Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Nguyễn Chín Em Toán 12
Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Nguyễn Chín Em Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
18
9 lượt tải
Tải xuống
Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Môn: Toán 12
Thông tin:
827 trang
6 tháng trước
Tác giả:
MỤC LỤC
CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1
1 NGUYÊN HÀM 1
A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1
1 Nguyên hàm và tính chất 1
1.1 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Phương pháp tính nguyên hàm 1
2.1 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.3 Bảng nguyên hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.4 Bảng nguyên hàm mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Các dạng toán và bài tập 3
3.1 Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.1.1 Bài tập vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.2 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.1 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Nguyên hàm từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.1 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Phương pháp đổi biến số 39
B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 39
1 Nhận biết 39
1.1 ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2 Thông hiểu 54
2.1 ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3 Vận dụng thấp 69
3.1 ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 Vận dụng cao 81
4.1 ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2 TÍCH PHÂN 87
A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 87
1 Khái niệm tích phân 87
1.1 Định nghĩa tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.2 Tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 87
2.1 Phương Pháp Đổi Biến Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
2.2 Phương Pháp Tích Phân Từng Phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3 Các dạng toán và bài tập 88
3.1 Tích phân cơ bản và tính chất tính phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.1.1 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2 Tích phân hàm số phân thức hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2.1 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.3 Tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.3.1 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.4 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
b
Z
a
| f (x) | dx . . . . . . . . . . 107
3.4.1 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.5 Phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.5.1 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.6 Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.6.1 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 150
1 Nhận biết 150
1.1 ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2 Thông hiểu 161
2.1 ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
3 Vận dụng thấp 192
3.1 ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
4 Vận dụng cao 228
4.1 ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 247
A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 247
1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành 247
2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong 247
B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY 247
C Dạng toán và bài tập 248
1 Diện tích hình phẳng và bài toán liên quan 248
1.1 Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
1.2 Tìm vận tốc, gia tốc, quãng đường trong vật lí . . . . . . . . . . . . . . . . 251
2 Thể tích 254
2.1 Thể tích của vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
2.2 Tính thể tích của vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Th.s Nguyễn Chín Em 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 259
1 Nhận biết 259
1.1 ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
2 Thông hiểu 277
2.1 ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
3 Vận dụng thấp 287
3.1 ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
4 Vận dụng cao 297
4.1 ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
CHƯƠNG 3
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG
DỤNG
BÀI 1. NGUYÊN HÀM
A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
1.1 Nguyên hàm
Định nghĩa 1. Cho hàm số f (x ) xác định trên K . Hàm số F(x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x)
trên K nếu F
0
(x ) = f (x) với mọi x ∈K .
Định lí 1. Nếu F(x ) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) =
F(x)+C cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K .
Định lí 2. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f (x) trên
K đều có dạng F(x) +C, với C là một hằng số.
Định lí 3. Mọi hàm số f (x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
1.2 Tính chất
Tính chất 1.
Z
f
0
(x )dx = f (x)+C
Tính chất 2.
Z
k f (x)dx = k
Z
f (x)dx (k là một hằng số khác 0).
Tính chất 3.
Z
£
f (x) ± g (x)
¤
dx =
Z
f (x)dx ±
Z
g(x)dx
2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
2.1 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số
Định lí 4. Nếu
Z
f (u)du =F(u) +C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
Z
f (u(x))u
0
(x )dx =F(u(x))+C.
2.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Định lí 5. Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x ) có đạo hàm liên tục trên K thì
Z
u(x)·v
0
(x )dx = u(x)v(x)−
Z
u
0
(x )v (x)dx.
Nhận xét. Vì v
0
(x )dx = dv, u
0
(x )dx = du nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng
Z
u dv = uv −
Z
vdu.
Để tính nguyên hàm
Z
f
(
x
)
dx bằng từng phần ta làm như sau:
Bước 1: Chọn u,v sao cho f
(
x
)
dx = u dv (chú ý dv =v
0
(
x
)
dx ). Sau đó tính v =
Z
dv và d u = u
0
· dx.
1
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Bước 2:Thay vào công thức
(
∗
)
và tính
Z
vdu. Chú ý. Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm
được v và tích phân
Z
vdu dễ tính hơn
Z
u dv. Ta thường gặp các dạng sau
1 Dạng 1: I =
Z
P(x)
·
sin x
cos x
¸
dx . Với dạng này, ta đặt
u = P(x)
dv =
·
sin x
cos x
¸
dx
2 Dạng 2: I =
Z
P
(
x
)
e
ax+b
dx , trong đó P
(
x
)
là đa thức. Với dạng này, ta đặt
(
u = P
(
x
)
dv =e
ax+b
dx .
3 Dạng 3: I =
Z
P
(
x
)
ln
(
mx +n
)
dx , trong đó P
(
x
)
là đa thức. Với dạng này, ta đặt
½
u =ln
(
mx +n
)
dv =P
(
x
)
dx .
4 Dạng 4: I =
Z
·
sin x
cos x
¸
e
x
d x. Với dạng này ta đặt
u =
·
sin x
cos x
¸
d x =e
x
d x
2.3 Bảng nguyên hàm cơ bản
Nguyên hàm của hàm sơ cấp Nguyên hàm của hàm hợp u = u(x)
1
Z
0 dx =C 1
Z
0 du =C
2
Z
1 dx = x +C 2
Z
1 du = u +C
3
Z
x
α
dx =
x
α+1
α +1
+C 3
Z
u
α
du =
u
α+1
α +1
+C
4
Z
1
x
dx =ln|x|+C 4
Z
1
u
du =ln|u|+C
5
Z
e
x
dx =ee
x
+C 5
Z
e
u
du =e
u
+C
6
Z
a
x
dx =
a
x
lna
+C 6
Z
a
u
du =
a
u
lna
+C
7
Z
cos x dx =sin x +C 7
Z
cosu du =sin u +C
8
Z
sin x dx =−cos x +C 8
Z
sinu du =−cos u +C
9
Z
1
cos
2
x
dx =tan x +C 9
Z
1
cos
2
u
du =tanu +C
10
Z
1
sin
2
x
dx =−cot x +C 10
Z
1
sin
2
u
du =−cot u +C
11
Z
1
2
p
x
d x =
p
x +C 11
Z
1
2
p
u
du =
p
u +C
2.4 Bảng nguyên hàm mở rộng
1
Z
(
ax +b
)
α
d x =
1
a
(ax +b)
α+1
α +1
+C(α 6=−1) 10
Z
1
ax +b
d x =
1
a
ln
|
ax +b
|
+C
2
Z
e
ax+b
d x =
1
a
e
ax+b
+C 11
Z
cos(ax +b)d x =
1
a
sin(ax +b)+C
3
Z
sin(ax +b)d x =−
1
a
cos(ax +b)+C 12
Z
1
cos
2
(ax +b)
d x =
1
a
tan(ax +b)+C
Th.s Nguyễn Chín Em 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
4
Z
1
sin
2
(ax +b)
d x =−
1
a
cot(ax +b)+C 13
Z
tan(ax +b)d x =−
1
a
ln
|
cos(ax +b)
|
+C
5
Z
cot(ax +b)d x =
1
a
ln
|
sin(ax +b)
|
+C 14
Z
d x
a
2
+x
2
=
1
a
arctan
x
a
+C
6
Z
d x
a
2
−x
2
=
1
2a
ln
¯
¯
¯
a +x
a −x
¯
¯
¯
+C 15
Z
d x
p
x
2
+a
2
=ln
³
x +
p
x
2
+a
2
´
+C
7
Z
d x
p
a
2
−x
2
=arcsin
x
|a|
=C 16
Z
dx
x.
p
x
2
−a
2
=
1
a
arccos
¯
¯
¯
x
a
¯
¯
¯
+C
8
Z
ln(ax +b)d x =
µ
x +
b
a
¶
ln(ax +b)−x +C 17
Z
p
a
2
−x
2
d x =
x
p
a
2
−x
2
2
+
a
2
2
arcsin
x
a
+C
9
Z
e
ax
cosbxd x =
e
ax
(a cosbx)+b sinbx
a
2
+b
2
+C
18
Z
e
ax
sinbxd x =
e
ax
(a sinbx)−b cosbx
a
2
+b
2
+C
3 CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP
3.1 Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm
Phương pháp giải
1 Tích của đa thức hoặc lũy thừa
PP
−−−−−−−−−→ khai triển.
2 Tích các hàm mũ
PP
−−−−−−−−−→ khai triển theo công thức mũ.
3 Chứa căn
PP
−−−−−−−−−→ chuyển về lũy thừa.
4 Tích lượng giác bậc một của sin và cosin
PP
−−−−−−−−−→ Sử dụng công thức tích thành tổng.
• sinacosb =
1
2
[
sin(a +b)+sin(a −b)
]
• sinasinb =
1
2
[
cos(a −b)−cos(a +b)
]
• cosacosb =
1
2
[
cos(a +b)+cos(a −b)
]
5 Bậc chẵn của sin và cosin ⇒ Hạ bậc: sin
2
x =
1
2
−
1
2
cos2a, cos
2
x =
1
2
+
1
2
cos2a.
6 Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ I =
Z
P(x)
Q(x)
dx , với P(x), Q(x) là các đa thức.
• Nếu bậc của tử số P(x) ≥ bậc của mẫu số Q(x)
PP
−−−−−−−−−→ Chia đa thức.
• Nếu bậc của tử số P(x) < bậc của mẫu số Q(x)
PP
−−−−−−−−−→ Phân tích mẫu số Q(x) thành tích số,
rồi sử dụng đồng nhất thức đưa về dạng tổng của các phân số (PP che).
1
(x −m )(ax
2
+bx +c)
=
A
x −m
+
Bx +C
ax
2
+bx +c
, với ∆ = b
2
−4ac.
1
(x −a)
2
(x −b)
2
=
A
x −a
+
B
(x −a)
2
+
C
x −b
+
D
(x −b)
2
.
Nhận xét. Nếu mẫu không phân tích được thành tích sẽ tìm hiểu ở phần đổi biến.
3.1.1 Bài tập vận dụng
Ví dụ 1. Tính nguyên hàm của hàm số
f (x) =3x
2
+
1
3
x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Th.s Nguyễn Chín Em 3 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
ĐS: x
3
+
x
2
6
+C
Lời giải: Ta có F(x) =
Z
µ
3x
2
+
1
3
x
¶
dx = x
3
+
x
2
6
+C.
Bài 1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định), biết
1 f (x) =2x
3
−5x
2
−4x +7 =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
2
x
4
−
5
3
x
3
−2x
2
+7x +C
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
¡
2x
3
−5x
2
−4x +7
¢
dx =
1
2
x
4
−
5
3
x
3
−2x
2
+7x +C. ä
2 f (x) =6x
5
−12x
3
+x
2
−8 =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: x
6
−3x
4
+
1
3
x
3
−8x +C
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
¡
6x
5
−12x
3
+x
2
−8
¢
dx = x
6
−3x
4
+
1
3
x
3
−8x +C. ä
3 f (x) =(x
2
−3x)(x +1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: F(x) =
1
4
x
4
−
2
3
x
3
−
3
2
x
2
+C
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
(x
2
−3x)(x +1)dx =
Z
(x
3
−2x
2
−3x)dx =
1
4
x
4
−
2
3
x
3
−
3
2
x
2
+C. ä
4 f (x) =(x −1)(x
2
+2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: F(x) =
1
4
x
4
−
1
3
x
3
+x
2
−2x +C
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
(x −1)(x
2
+2)dx =
Z
(x
3
−x
2
+2x −2)dx =
1
4
x
4
−
1
3
x
3
+x
2
−2x +C. ä
5 f (x) = x(x
2
+1)
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: F(x) =
1
6
(x
2
+1)
3
+C
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
x(x
2
+1)
2
dx =
Z
(x
2
+1)
2
d(x
2
+1)
2
=
1
6
(x
2
+1)
3
+C. ä
6 f (x) =(3−x)
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: F(x) =−
1
4
(3−x)
4
+C
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
(3−x)
3
dx =−
Z
(3−x)
3
d(3−x) =−
1
4
(3−x)
4
+C. ä
7 f (x) =(2x +1)
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: F(x) =
1
12
(2x +1)
6
+C
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
(2x +1)
5
dx =
Z
(2x +1)
5
d(2x +1)
2
=
1
12
(2x +1)
6
+C. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 4 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
8 f (x) =(2x −10)
2018
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: F(x) =
1
4038
(2x −10)
2019
+C
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
(2x −10)
2018
dx =
1
2
Z
(2x −10)
2018
d(2x −10) =
1
4038
(2x −10)
2019
+C. ä
9 f (x) =(3−4x)
2019
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: F(x) =−
1
8080
(3−4x)
2020
+C
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
(3−4x)
2019
dx =−
1
4
Z
(3−4x)
2019
d(3−4x) =−
1
8080
(3−4x)
2020
+C. ä
10 f (x) =(2x
2
−1)
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: F(x) =
4
5
x
5
−
4
3
x
3
+x +C
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
(2x
2
−1)
2
dx =
Z
¡
4x
4
−4x
2
+1
¢
dx =
4
5
x
5
−
4
3
x
3
+x +C. ä
11 f (x) =(x
2
+1)
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: F(x) =
1
7
x
7
+
3
5
x
5
+x
3
+x +C
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
(x
2
+1)
3
dx =
Z
¡
x
6
+3x
4
+3x
2
+1
¢
dx =
1
7
x
7
+
3
5
x
5
+x
3
+x +C. ä
Ví dụ 2. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =4x
3
−4x +5 thỏa mãn F(1) =3 . . . . . . . . . . .
ĐS: F(x) = x
4
−2x
2
+5x −1
Lời giải: Ta có F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
¡
4x
3
−4x +5
¢
dx = x
4
−2x
2
+5x +C.
Vì F(1) =3 ⇔1−2+5 +C =3 ⇔C =−1.
Suy ra F(x) = x
4
−2x
2
+5x −1.
Bài 2. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F(x
◦
) = k.
1 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =−x
3
+3x
2
−2x thỏa mãn F(1) =0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: F(x) =−
x
4
4
+x
3
−x
2
+
1
4
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
¡
−x
3
+3x
2
−2x
¢
dx =−
x
4
4
+x
3
−x
2
+C.
Vì F(1) =0 nên C =
1
4
. Suy ra F(x) =−
x
4
4
+x
3
−x
2
+
1
4
. ä
2 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =3x
3
−2x
2
+1 thỏa mãn F(−2) =3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: F(x) =
3x
4
4
−
2x
3
3
+x −
37
3
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
¡
3x
3
−2x
2
+1
¢
dx =
3x
4
4
−
2x
3
3
+x +C.
Vì F(−2) =3 nên C =−
37
3
. Suy ra F(x) =
3x
4
4
−
2x
3
3
+x −
37
3
. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 5 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
3 Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =−5x
4
+4x
2
−6 thỏa mãn F(3) =1. Tính F(−3) . . . . .
ĐS: F(−3) =451
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
¡
−5x
4
+4x
2
−6
¢
dx =−x
5
+
4x
3
3
−6x +C.
Vì F(3) =1 nên C =226. Suy ra F(x) =−x
5
+
4x
3
3
−6x +226.
Do đó F(−3) =451. ä
4 Hàm số f (x) = x
3
+3x
2
+2 có một nguyên hàm F(x) thỏa F(2) =14. Tính F(−2) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: F(−2) =−10
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
¡
x
3
+3x
2
+2
¢
dx =
x
4
4
+x
3
+2x +C.
Vì F(2) =14 nên C =−2. Suy ra F(x) =
x
4
4
+x
3
+2x −2.
Do đó F(−2) =−10. ä
5 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =(1−x)
9
thỏa 10F(2) =9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: F(x) =−
(1−x)
10
10
+1
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
¡
(1−x)
9
¢
dx =−
(1−x)
10
10
+C.
Vì 10F(2) =9 nên C =1. Suy ra F(x) =−
(1−x)
10
10
+1. ä
6 Hàm số f (x) =(2x +1)
3
có một nguyên hàm là F(x) thỏa F
µ
1
2
¶
=4. Tính F
µ
3
2
¶
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: F
µ
3
2
¶
=34
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
¡
(2x +1)
3
¢
dx =
(2x +1)
4
8
+C.
Vì F
µ
1
2
¶
=4 nên C =2. Suy ra F(x) =
(2x +1)
4
8
+2.
Do đó F
µ
3
2
¶
=34. ä
7 Hàm số f (x) =(1−2x)
5
có một nguyên hàm là F(x) thỏa F
µ
−
1
2
¶
=
2
3
. Tính F(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: F
µ
3
2
¶
=
71
12
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
¡
(1−2x)
5
¢
dx =−
(1−2x)
6
12
+C.
Vì F
µ
−
1
2
¶
=
2
3
nên C =6. Suy ra F(x) =−
(1−2x)
6
12
+6.
Do đó F
µ
3
2
¶
=
71
12
. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 6 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
8 Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x ) = (2x −3)
2
thỏa F(0) =
1
3
. Tính giá trị của biểu thức
P =log
2
[
3F(1)−2F(2)
]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: P =log
2
[
3F(1)−2F(2)
]
=2
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
¡
(2x −3)
2
¢
dx =
(2x −3)
3
6
+C.
Vì F(0) =
1
3
nên C =
29
6
. Suy ra F(x) =
(2x −3)
3
6
+
29
6
⇒F(1) =
13
3
;F(2) =5.
Do đó P =log
2
[
3F(1)−2F(2)
]
=2. ä
9 Gọi F
1
(x ) là một nguyên hàm của hàm số f
1
(x ) = x(x+2)
2
thỏa F
1
(0) =1 và F
2
(x ) là một nguyên hàm
của hàm số f
2
(x ) = x
3
+4x
2
+5 thỏa F
2
(0) =−2. Tìm nghiệm của phương trình F
1
(x ) = F
2
(x ) . . . . . . .
ĐS:
½
1;
3
2
¾
- Lời giải.
Ta có F
1
(x ) =
Z
f
1
(x )dx =
Z
x(x +2)
2
dx =
Z
¡
x
3
+4x
2
+4x
¢
dx =
x
4
4
+
4x
3
3
+2x
2
+C.
Vì F
1
(0) =1 nên C =1. Suy ra F
1
(x ) =
x
4
4
+
4x
3
3
+2x
2
+1 (1).
Tương tự F
2
(x ) =
Z
f
2
(x )dx =
Z
¡
x
3
+4x
2
+5
¢
dx =
x
4
4
+
4x
3
3
+5x +C.
Vì F
2
(0) =−2 nên C =−2. Suy ra F
2
(x ) =
x
4
4
+
4x
3
3
+5x −2 (2).
Từ (1) và (2), ta có F
1
(x ) = F
2
(x ) ⇔2x
2
+1 =5x −2 ⇔2x
2
−5x +3 =0 ⇔
x =1
x =
3
2
.
ä
10 Gọi F
1
(x ) là một nguyên hàm của hàm số f
1
(x ) =(x +1)(x +2) thỏa F
1
(0) =0 và F
2
(x ) là một nguyên
hàm của hàm số f
2
(x ) = x
2
+x −2 thỏa F
2
(0) =0. Biết phương trình F
1
(x ) = F
2
(x ) có hai nghiệm là
x
1
, x
2
. Tính 2
x
1
+2
x
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
17
16
- Lời giải.
Ta có F
1
(x ) =
Z
f
1
(x )dx =
Z
(x +1)(x +2)dx =
Z
¡
x
2
+3x +2
¢
dx =
x
3
3
+
3x
3
2
−2x +C.
Vì F
1
(0) =0 nên C =0. Suy ra F
1
(x ) =
x
3
3
+
3x
3
2
−2x (1).
Tương tự F
2
(x ) =
Z
f
2
(x )dx =
Z
¡
x
2
+x
2
−2
¢
dx =
x
3
3
+
x
2
2
−2x +C.
Vì F
2
(0) =0 nên C =0. Suy ra F
2
(x ) =
x
3
3
+
x
2
2
−2x (2).
Từ (1) và (2), ta có F
1
(x ) = F
2
(x ) ⇔
3x
2
2
+2x =
x
2
2
−2x ⇔ x
2
+4x =0 ⇔
x =0
x =−4.
Khi đó 2
0
+2
−4
=
17
16
. ä
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định). f (x) = x
2
−3x+
1
x
⇒
F(x) =
Z
f (x)dx =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Th.s Nguyễn Chín Em 7 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
ĐS:
x
3
3
−
3
2
x
2
+ln|x |+C
Lời giải: Ta có F(x) =
Z
µ
x
2
−3x +
1
x
¶
dx =
x
3
3
−
3
2
x
2
+ln|x |+C.
Bài 3. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định).
1 f (x) =3x
2
+
1
x
−2 ⇒ F(x) =
Z
f (x)dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: x
3
+ln|x |−2x +C
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
µ
3x
2
+
1
x
−2
¶
dx = x
3
+ln|x |−2x +C. ä
2 f (x) =3x
2
−
2
x
−
1
x
2
⇒F(x) =
Z
f (x)dx =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: x
3
−2ln|x|+
1
x
+C
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
µ
3x
2
−
2
x
−
1
x
2
¶
dx = x
3
−2ln|x|+
1
x
+C. ä
3 f (x) =
x
2
−3x +1
x
⇒F(x) =
Z
x
2
−3x +1
x
dx =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
x
2
2
−3x +ln|x|+C
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
x
2
−3x +1
x
dx =
Z
µ
x −3+
1
x
¶
dx =
x
2
2
−3x +ln|x|+C. ä
4 f (x) =
2x
4
−x
2
−3x
x
2
⇒F(x) =
Z
2x
4
−x
2
−3x
x
2
dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
2x
3
3
−x −3ln|x|+C
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
2x
4
−x
2
−3x
x
2
dx =
Z
µ
2x
2
−1−
3
x
¶
dx =
2x
3
3
−x −3ln|x|+C. ä
5 f (x) =
1
2x −1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
2
ln|2x −1|+C.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
1
2x −1
dx =
1
2
Z
d(2x −1)
2x −1
=
1
2
ln|2x −1|+C. ä
6 f (x) =
1
3−4x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: −
1
4
ln|3−4x|+C.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 8 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có F(x) =
Z
1
3−4x
dx =−
1
4
Z
d(3−4x)
3−4x
=−
1
4
ln|3−4x|+C. ä
7 f (x) =
5
3x +1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
5
3
ln|3x +1|+C.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
5
3x +1
dx =
5
3
Z
d(3x +1)
3x +1
=
5
3
ln|3x +1|+C. ä
8 f (x) =
3
2−4x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: −
3
4
ln|2−4x|+C.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
3
2−4x
dx =−
3
4
Z
d(2−4x)
2−4x
=−
3
4
ln|2−4x|+C. ä
9 f (x) =
2
5−2x
+
2
x
+
3
x
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: −ln|5−2x|+2ln|x|−
3
x
+C.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
µ
2
5−2x
+
2
x
+
3
x
2
¶
dx = −
Z
d(5−2x)
5−2x
+2
Z
1
x
dx +3
Z
1
x
2
dx = −ln|5−2x|+2ln|x|−
3
x
+C. ä
10 f (x) =
4
2x +1
+
5
x
−
2
x
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 2ln|2x +1|+5ln|x|+
2
x
+C.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
µ
4
2x +1
+
5
x
−
2
x
2
¶
dx = 2
Z
d(2x +1)
2x +1
+5
Z
1
x
dx −2
Z
1
x
2
dx = 2ln|2x +1|+5ln|x|+
2
x
+C. ä
11 f (x) =
12
(
x −1
)
2
+
2
2x −3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: −
12
x −1
+ln|2x −3|+C.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
µ
12
(
x −1
)
2
+
2
2x −3
¶
dx =12
Z
(
x −1
)
−2
d(x−1)+
Z
d(2x −3)
2x −3
=−
12
x −1
+ln|2x−3|+C.
ä
12 f (x) =
6
(
3x −1
)
2
−
9
3x −1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: −
2
3x −1
−3ln|3x −1|+C.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
µ
6
(
3x −1
)
2
−
9
3x −1
¶
dx =2
Z
(
3x −1
)
−2
d(3x−1)−3
Z
d(3x −1)
3x −1
=−
2
3x −1
−3ln|3x−
1|+C. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 9 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định). f (x) =
1
x
+
1
(2−x)
2
−
2x ⇒ F(x) =
Z
f (x)dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: ln|x|−
1
x −2
−x
2
+C
Lời giải: Ta có F(x) =
Z
µ
1
x
+
1
(2−x)
2
−2
¶
dx =ln|x|−
1
x −2
−x
2
+C.
Bài 4. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định).
1
f (x) =
1
x
3
−
2
x
2
+
4
x
4
⇒F(x) =
Z
f (x)dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: −
1
2x
2
+
2
x
−
4
3x
3
+C
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
µ
1
x
3
−
2
x
2
+
4
x
4
¶
dx =−
1
2x
2
+
2
x
−
4
3x
3
+C. ä
2 f (x) =
2
(2x −1)
3
⇒F(x) =
Z
f (x)dx =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: −
1
2(2x −1)
2
+C
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
µ
2
(2x −1)
3
¶
dx =−
1
2(2x −1)
2
+C. ä
Bài 5. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F(x
◦
) = k.
1 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
1
2x −5
thỏa mãn F(1) =2ln
p
3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: F(x) =
1
2
ln|2x −5|+
1
2
ln3
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
1
2x −5
dx =
1
2
ln|2x −5|+C.
Vì F(1) =2ln
p
3 nên C =
1
2
ln3. Suy ra F(x) =
1
2
ln|2x −5|+
1
2
ln3. ä
2 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
5
2−10x
thỏa mãn F(2) =3ln2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: F(x) =−
1
2
ln|10x −2|+
1
2
ln18+3ln2
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
5
2−10x
dx =−
1
2
ln|10x −2|+C.
Vì F(2) =3ln2 nên C =
1
2
ln18+3ln2. Suy ra F(x) =−
1
2
ln|10x −2|+
1
2
ln18+3ln2. ä
3 Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
x −1
và F(2) =1. Tính F(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: F(3) =ln2+1
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
1
x −1
dx =ln|x −1|+C.
Vì F(2) =1 nên C =1. Suy ra F(x) =ln|x −1|+1. Do đó F(3) =ln2+1. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 10 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
4 Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
2x +1
và F(0) =2. Tính F(e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: F(e) =ln
(
2e +1
)
+2
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
f
(
x
)
dx =
Z
1
2x +1
dx =ln|2x +1|+C.
Vì F(0) =2 nên C =2. Suy ra F(x) =ln|2x +1|+2. Do đó F(e) =ln
(
2e +1
)
+2. ä
5 cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f
0
(x ) =
1
2x −1
và f (1) =1. Tính f (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: f (5) =2ln3 +1
- Lời giải.
Ta có f (x) =
Z
f
0
(x )dx =
Z
1
2x −1
dx =ln|2x −1|+C.
Vì f (1) =1 nên C =1. Suy ra f (x) =ln|2x −1|+1. Do đó f (5) =2ln3+1. ä
6 Cho hàm số f
(
x
)
xác định trên thỏa mãn f
0
(
x
)
=
2
2x −1
, f
(
0
)
= 1 và f
(
1
)
= 2. Giá trị của biểu thức
P = f
(
−1
)
+ f
(
3
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: f
(
−1
)
+ f
(
3
)
=3 +ln15.
- Lời giải.
Ta có f
(
x
)
=
Z
f
0
(
x
)
dx =
Z
2
2x −1
dx =ln
|
2x −1
|
+C, với mọi x.
Xét trên
µ
−∞;
1
2
¶
. Ta có f
(
0
)
=1, suy ra C =1.
Do đó, f
(
x
)
=ln
|
2x −1
|
+1, với mọi x ∈
µ
−∞;
1
2
¶
. Suy ra f
(
−1
)
=1 +ln3.
Xét trên
µ
1
2
;+∞
¶
. Ta có f
(
1
)
=2, suy ra C =2.
Do đó, f
(
x
)
=ln
|
2x −1
|
+2, với mọi
µ
1
2
;+∞
¶
. Suy ra f
(
3
)
=2 +ln5.
Vậy f
(
−1
)
+ f
(
3
)
=3 +ln3+ln5 =3+ln15.
Mấu chốt của bài toán là tính chất của hàm f
(
x
)
, hàm f
(
x
)
là hàm phân nhánh (hàm cho bởi nhiều
biểu thức) thường ít xuất hiện trong các bài toán tích phân, nguyên hàm thông thường. Nắm được điểm
này, ta có thể viết ra biểu thức f
(
x
)
một cách rõ ràng, và tìm được các giá trị cụ thể của C. ä
7 Cho hàm số f
(
x
)
xác định trên thỏa mãn f
0
(
x
)
=
2
x −1
, f
(
0
)
= 3 và f
(
2
)
= 4. Giá trị của biểu thức
P = f
(
−2
)
+ f
(
5
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: f
(
−2
)
+ f
(
5
)
=5 +2ln2 +ln3
- Lời giải.
Ta có f
(
x
)
=
Z
f
0
(
x
)
dx =
Z
2
x −1
dx =ln
|
x −1
|
+C, với mọi x.
Xét trên
(
−∞;1
)
. Ta có f
(
0
)
=3, suy ra C =1.
Do đó, f
(
x
)
=ln
|
x −1
|
+1, với mọi x ∈
(
−∞;1
)
. Suy ra f
(
−2
)
=1 +ln3.
Xét trên
(
1;+∞
)
. Ta có f
(
2
)
=4, suy ra C =4.
Do đó, f
(
x
)
=ln
|
x −1
|
+4, với mọi
µ
1
2
;+∞
¶
. Suy ra f
(
5
)
=4 +2ln2.
Th.s Nguyễn Chín Em 11 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Vậy f
(
−2
)
+ f
(
5
)
=5 +2ln2 +ln3. ä
8 Cho hàm số f
(
x
)
xác định trên thỏa mãn f
0
(
x
)
=
6
3x −1
, f
(
−2
)
=2 và f
(
1
)
=1. Giá trị của biểu thức
P = f
(
−1
)
+ f
(
4
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: f
(
−1
)
+ f
(
4
)
=3 +2ln2 −ln7+2ln11
- Lời giải.
Ta có f
(
x
)
=
Z
f
0
(
x
)
dx =
Z
6
3x −1
dx =2ln
|
3x −1
|
+C, với mọi x.
Xét trên
µ
−∞;
1
3
¶
. Ta có f
(
−2
)
=2, suy ra C =2−ln7.
Do đó, f
(
x
)
=2ln
|
3x −1
|
+2−ln7, với mọi x ∈
µ
−∞;
1
3
¶
. Suy ra f
(
−1
)
=2 +4ln2 −ln7.
Xét trên
µ
1
3
;+∞
¶
. Ta có f
(
1
)
=1, suy ra C =1−2ln2.
Do đó, f
(
x
)
=2ln
|
3x −1
|
+1−2ln2, với mọi
µ
1
3
;+∞
¶
. Suy ra f
(
4
)
=1 +2ln11 −2ln2.
Vậy f
(
−1
)
+ f
(
4
)
=3 +2ln2 −ln7+2ln11. ä
Bài 6.
1 Cho hàm số f (x) xác định trên R
?
thỏa mãn f
00
(x ) =
1
x
2
, f (−1) = 1, f (1) = 0 và f (2) =0. Giá trị của
biểu thức f (−2) bằng
A. 1+2ln2. B. 2 +ln2. C. 3+ln2. D. ln2.
ĐS: f (−2) =1+2ln2.
- Lời giải.
Ta có f
0
(x ) =
Z
f
00
(x )dx =
Z
1
x
2
dx =−
1
x
+C
1
.
Suy ra, f (x) =
Z
f
0
(x )dx =
Z
·
−
1
x
+C
1
¸
dx =−ln|x|+C
1
x+C
2
=
−ln(x) +C
1
x +C
21
khi x >0
−ln(−x) +C
1
x +C
22
khi x <0.
Với f (−1) =1, f (1) =0 và f (2) =0, ta có hệ
f (−1) =ln(1)+C
1
·(−1)+C
22
=1
f (1) =ln(1)+C
1
·(1)+C
21
=0
f (2) =ln(2)+C
1
·(2)+C
21
=0
⇔
−C
1
+C
22
=1
C
1
+C
21
=0
2C
1
+C
21
=−ln(2)
⇔
C
1
=−ln2
C
21
=ln2
C
22
=1 +ln2.
Khi đó, f (x) =
−lnx −x ln2+ln2 khi x >0
−ln(−x) −x ln2+1+ln2 khi x <0.
Vậy f (−2) =1 +2ln2.
Chọn đáp án A ä
2 Cho hàm số f (x) xác định trên R\{2} thỏa f
0
(x ) =|2x−4|, f (1) =1 và f (3) =−2. Giá trị của biểu thức
f (−1)+ f (4) bằng bao nhiêu?
A. −6. B. 2. C. −14. D. 0.
ĐS: −6.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 12 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có |2x −4|=
2x −4 khi x >2
4−2x khi x <2.
Khi đó, f (x) =
Z
f
0
(x )dx =
x
2
−4x +C
1
khi x >2
4x −x
2
+C
2
khi x <2.
mà
f (3) =−2
f (1) =1
⇔
3
2
−4·3 +C
1
=−2
4·1−1
2
+C
2
=1
⇔
C
1
=1
C
2
=−2
⇔ f (x) =
x
2
−4x +1 khi x >2
4x −x
2
−2 khi x <2.
Vậy f (−1) + f (4) =4 ·(−1)−(−1)
2
−2+[4
2
−4·4 +1] =−6.
Chọn đáp án A ä
3 Cho hàm số f (x ) xác định trên R \{−1;1} thỏa f
0
(x ) =
2
x
2
−1
; f (−3)+ f (3) =0 và f
µ
−
1
2
¶
+ f
µ
1
2
¶
=2.
Tính giá trị của biểu thức P = f (−2)+ f (0)+ f (4).
A. 2ln2−2ln3−ln5. B. 2ln3−ln5+1.
C. 2ln3−ln5. D. 2ln3−ln5+6.
ĐS: 2ln3−ln5+1.
- Lời giải.
f (x) =
Z
f
0
(x )dx =
Z
2
x
2
−1
dx =
Z
µ
1
x −1
−
1
x +1
¶
dx =ln|x −1|−
1
2
ln|x +1|+C.
Hay f (x) =ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +1
¯
¯
¯
¯
+C =
ln
µ
x −1
x +1
¶
+C
1
khi x >1
ln
µ
1−x
x +1
¶
+C
2
khi −1 < x <1
ln
µ
x −1
x +1
¶
+C
3
khi x <−1.
Theo đề ta có
f (−3)+ f (3) =0
f
µ
−
1
2
¶
+ f
µ
1
2
¶
=2
⇔
ln2+C
1
+ln
1
2
+C
3
=0
ln3+C
2
+ln
1
3
+C
2
=2
⇔
C
1
+C
3
=0
C
2
=1.
Do đó f (−2)+ f (0)+ f (4) =ln3+C
3
+C
2
+ln
3
5
+C
1
=ln3+ln3 −ln5+1 =2ln3 −ln5+1.
Chọn đáp án B ä
4 Cho hàm số f (x) xác định trên R \
½
−1;
1
2
¾
thỏa f
0
(x ) =
4x +1
2x
2
+x −1
; f (1) + f (−2) = 0; f
µ
3
2
¶
= ln20
và f (0)+ f (1) =0. Tính giá trị của biểu thức f (−3)+ f (3)+ f
µ
−
1
2
¶
.
A. ln
µ
7
2
¶
. B. −ln7.
C. ln2. D. ln14.
ĐS: ln
µ
7
2
¶
.
- Lời giải.
Ta có f (x) =
Z
f
0
(x )dx =
Z
4x +1
2x
2
+x −1
dx =
Z
1
2x
2
+x −1
d(2x
2
+x −1) =ln|2x
2
+x −1|+C.
Khi đó, f (x) =
ln(2x
2
+x −1)+C
1
khi x <−1
ln(1−x −2x
2
)+C
2
khi −1 < x <
1
2
ln(2x
2
+x −1)+C
3
khi x >
1
2
.
Th.s Nguyễn Chín Em 13 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Mà
f (1)+ f (−2) =0
f
µ
3
2
¶
=ln20
f (0)+ f (1) =0
⇔
ln2+C
3
+ln5+C
1
=0
ln5+C
3
=ln20
ln1+C
2
+ln2+C
3
=0
⇔
C
1
+C
3
=−ln10
C
3
=ln4
C
2
+C
3
=−ln2
⇔
C
1
=−ln40
C
2
=−ln8
C
3
=ln4.
Khi đó, f (−3)+f (3)+f
µ
−
1
2
¶
=ln14+C
1
+ln20+C
3
+C
2
=ln14−ln40+ln20+ln4−ln8 =ln
µ
7
2
¶
.
Chọn đáp án A ä
5 Cho hàm số f (x) xác định trên R \{1;2} thỏa f
0
(x ) =|x −1|+|x −2|; f (0)+ f
µ
4
3
¶
=0 và f (4) =2. Tính
giá trị của biểu thức P = f (−1)+ f
µ
3
2
¶
+ f (3) bằng
A. −
3
26
. B. −
35
6
.
C. −
3
2
. D. −
5
36
.
ĐS: −
35
6
.
- Lời giải.
Ta có f
0
(x ) =|x −1|+|x −2|=
3−2x khi x <1
1 khi 1 < x <2
2x −3 khi x >2.
Khi đó f (x) =
Z
f
0
(x )dx =
3x −x
2
+C
1
khi x <1
x +C
2
khi 1 < x <2
x
2
−3x +C
3
khi x >2.
Mà
f (0)+ f
µ
4
3
¶
=0
f (4) =2
⇔
C
1
+
4
3
+C
2
=0
4+C
3
=2.
⇔
C
1
+C
2
=−
4
3
C
3
=−2
Suy ra f (−1)+ f
µ
3
2
¶
+ f (3) =(−4 +C
1
)+
µ
3
2
+C
2
¶
+C
3
=−
5
2
−
4
3
−2 =−
35
6
.
Chọn đáp án B ä
6 Cho hàm số f (x) xác định trên R \{0} thỏa f
0
(x ) = x ln|x|; f (−1) =
3
4
và f (2) = −1. Tính giá trị của
biểu thức P = f (−2)+ f (1). ĐS: P =−
1
4
.
- Lời giải.
f
0
(x ) =
xln x khi x >0
xln(−x) khi x <0
.
Đặt
u =ln x
dv = x dx
⇒
du =
1
x
dx
v =
x
2
2
.
Khi đó,
Z
xln xdx =
x
2
2
ln x −
x
2
+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 14 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Tương tự ta có
f (x) =
x
2
2
ln x −
x
2
+C
1
khi x >0
x
2
2
ln(−x) +
x
2
+C
2
khi x <0
Mà f (−1) =
3
4
⇔−
1
2
+C
2
=
3
4
⇒C
2
=
5
4
và f (2) =−1 ⇔2ln2 −1+C
1
=−1 ⇔C
1
=−2ln2.
Do đó, P = f (−2)+ f (1) =−ln2−1+C
2
−
1
2
+C
1
=2ln2−
3
2
+
5
4
−2ln2 =−
1
4
. ä
7 Cho f
0
(x ) = 2x +1; f (1) = 5 và phương trình f (x) = 5 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Tính tổng log
2
|
x
1
|
+
log
2
|
x
2
|
. ĐS: 1
- Lời giải.
f (x) =
Z
f
0
(x )dx =
Z
(2x +1)dx = x
2
+x +C.
Mà f (1) =5 ⇔2+C =5 ⇔C =3.
Mặt khác f (x) =5 có hai nghiệm x
1
; x
2
, nên x
2
+x +3 =5 có hai nghiệm 1;−2.
Suy ra log
2
|
x
1
|
+log
2
|
x
2
|
=log
2
|
x
1
·x
2
|
=log
2
|
−2
|
=1. ä
8 Cho f
0
(x ) =
2
(2x −1)
2
−
1
(x −1)
2
thỏa f (2) = −
1
3
. Biết phương trình f (x) = −1 có nghiệm duy nhất
x = x
0
. Tính 2017
x
0
. ĐS: 1
- Lời giải.
Ta có f (x) =
Z
f
0
(x )dx =
Z
·
2
(2x −1)
2
−
1
(x −1)
2
¸
dx =−
1
2x −1
+
1
x −1
+C.
Mà f (2) =−
1
3
⇔−
1
3
+1+C
1
=−
1
3
⇔C
1
=−1.
Phương trình f (x) = −1 ⇔ −
1
2x −1
+
1
x −1
−1 = −1 có nghiệm duy nhất x = 0, suy ra 2017
x
0
=
2007
0
=1.
ä
9 Cho hàm số có đạo hàm cấp hai là f
00
(x ) = 12x
2
+6x −4 và thỏa f (0) = 1, f (1) = 3. Tính giá trị của
hàm số f (x) tại x =−1. ĐS: −3
- Lời giải.
Ta có f
0
(x ) =
Z
f
00
(x )dx =
Z
(12x
2
+6x −4)dx =4x
3
+3x
2
−4x +C
1
.
f (x) =
Z
f
0
(x )dx =
Z
(4x
3
+3x
2
+C
1
)dx = x
4
+x
3
−2x
2
+C
1
x +C
2
.
Mà
f (0) =1
f (1) =3
⇔
C
2
=1
C
1
+C
2
=3
⇔
C
1
=2
C
2
=1
.
Suy ra f (x) = x
4
+x
3
−2x
2
+2x +1 ⇒ f (−1) =−3. ä
10 Tìm hàm số f (x), biết f
0
(x ) = ax +
b
x
2
, f
0
(1) =0, f (1) =4 và f (−1) =2. Tính f (2). ĐS: 5
- Lời giải.
f (x) =
Z
f
0
(x )dx =
Z
µ
ax +
b
x
2
¶
dx =
a
2
x
2
−
b
x
+C.
Ta có
f
0
(1) =0 ⇔a +b =0
f (1) =4 ⇔
a
2
−b +C =4
f (−1) =2 ⇔
a
2
+b +C =2
⇔
a =1
b =−1
c =
5
2
.
Suy ra, f (x) =
1
2
x
2
+
1
x
+
5
2
⇒ f (2) =5. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 15 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
11 Cho hàm số f (x) xác định trên [−1;2] thỏa f (0) =1 và f
2
(x )· f
0
(x ) =1+2x +3x
2
. Hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của hàm số và giá trị lớn nhất của hàm số f (x) trên [−1;2]. ĐS: m = f (−1) =
3
p
−2 và
M = f (2) =
3
p
43
- Lời giải.
Z
f
2
(x ) · f
0
(x )dx =
Z
(1+2x +3x
2
)dx ⇔
1
3
f
3
(x ) = x
3
+x
2
+x +C ⇔ f
3
(x ) =3(x
3
+x
2
+x +C)
mà f (0) =1 ⇔ f
3
(0) =1 ⇔C =
1
3
Suy ra, f
3
(x ) =3x
3
+3x
2
+3x +1 ⇒ f (x) =
3
p
3x
3
+3x
2
+3x +1.
Mà f
0
(x ) =
1+2x +3x
2
f
2
(x )
>0 ∀x, nên f (x) là hàm đồng biến.
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là m = f (−1) =
3
p
−2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là M = f (2) =
3
p
43.
ä
Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) thỏa f (x) =
n
p
ax +b ⇒F(x) =
Z
n
p
ax +b dx =....
ĐS: F(x) =
n
(n +1)a
·(ax +b)
n
p
ax +b +C
Lời giải: Đặt t =
n
p
ax +b ⇒ t
n
=ax +b ⇒ n ·t
n−1
dt = a ·dx.
Suy ra F(x) =
Z
n ·t
n−1
·t
a
dt =
n
(n +1)a
·t
n+1
+C =
n
(n +1)a
·(ax +b)
n
p
ax +b +C.
Nhận xét.
Z
n
p
ax +b dx =
n
(n +1)a
·(ax +b)
n
p
ax +b +C.
• Với n =2, suy ra F(x) =
Z
p
ax +b dx =
2
3a
(ax +b)
p
ax +b +C.
• Với n =3, suy ra F(x) =
Z
3
p
ax +b dx =
3
4a
(ax +b)
3
p
ax +b +C.
Bài 7. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F(x
0
) = k.
1 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
p
x thỏa mãn F(4) =
19
3
.
ĐS: F(x) =
2
3
x
p
x +1.
- Lời giải.
F(x) =
Z
p
xdx =
2
3
x
p
x +C.
mà F(4) =
19
3
⇒
2
3
4
p
4+C =
19
3
⇒C =1.
Vậy F(x) =
2
3
x
p
x +1. ä
2 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
p
2x −1 thỏa mãn F(1) =
4
3
.
ĐS: F(x) =
1
3
(2x −1)
p
2x −1+1.
- Lời giải.
F(x) =
Z
p
2x −1dx =
2
3·2
(2x −1)
p
2x −1+C.
mà F(1) =
4
3
⇒
1
3
(2·1−1)
p
2·1−1+C =
4
3
⇒C =1.
Vậy F(x) =
1
3
(2x −1)
p
2x −1+1. ä
3 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
p
4x −5 thỏa mãn F
µ
9
4
¶
=2.
ĐS: F(x) =
1
6
(4x −5)
p
4x −5+
2
3
.
Th.s Nguyễn Chín Em 16 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
F(x) =
Z
p
2x −1dx =
2
3·4
(4x −5)
p
4x −5+C.
mà F
µ
9
4
¶
=2 ⇒
1
6
µ
4·
9
4
−5
¶
…
4·
9
4
−5+C =2 ⇒C =
2
3
.
Vậy F(x) =
1
6
(4x −5)
p
4x −5+
2
3
. ä
4 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
p
5−2x thỏa mãn F
µ
1
2
¶
=−
7
3
.
ĐS: F(x) =−
1
3
(5−2x)
p
5−2x +
1
3
.
- Lời giải.
F(x) =
Z
p
5−2xdx =
2
3·(−2)
(5−2x)
p
5−2x +C =−
1
3
(5−2x)
p
5−2x +C.
mà F
µ
1
2
¶
=−
7
3
⇒−
1
3
µ
5−2·
1
2
¶
…
5−2·
1
2
+C =−
7
3
⇒C =
1
3
.
Vậy F(x) =−
1
3
(5−2x)
p
5−2x +
1
3
. ä
5 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
p
1−x thỏa mãn F(−3) =
5
3
.
ĐS: F(x) =−
2
3
(1−x)
p
1−x +7.
- Lời giải.
F(x) =
Z
p
1−xdx =
2
3·(−1)
(1−x)
p
1−x +C =−
2
3
(1−x)
p
1−x +C.
mà F(−3) =
5
3
⇒−
2
3
(1−(−3))
p
1−(−3)+C =
5
3
⇒C =7.
Vậy F(x) =−
2
3
(1−x)
p
1−x +7.
ä
6 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
3
p
2x −4 thỏa mãn F(−2) =
1
4
.
ĐS: F(x) =
3
8
(2x −4)
3
p
2x −4−
23
4
.
- Lời giải.
F(x) =
Z
3
p
2x −4dx =
3
4·2
(2x −4)
3
p
2x −4+C =
3
8
(2x −4)
3
p
2x −4+C
mà F(−2) =
1
4
⇒
3
8
(2·(−2)−4)
3
p
2·(−2)−4+C =
1
4
⇒C =−
23
4
.
Vậy F(x) =
3
8
(2x −4)
3
p
2x −4−
23
4
.
ä
7 Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
3
p
x −2 thỏa mãn F(3) =
7
4
. Tính giá trị biểu thức
T =2
log
13
[F(10)]
+3
log
13
[F(−6)]
.
ĐS: T =2
log
13
12
+3
log
13
12
- Lời giải.
F(x) =
Z
3
p
x −2dx =
3
4
(x −2)
3
p
x −2+C.
mà F(3) =
7
4
⇒
3
4
(3−2)
3
p
3−2+C =
7
4
⇒C =1.
Th.s Nguyễn Chín Em 17 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Vậy F(x) =
3
4
(x −2)
3
p
x −2+1, nên F(10) =13; F(−6) =13.
Vậy T =2
log
13
[F(10)]
+3
log
13
[F(−6)]
=2
log
13
12
+3
log
13
12
. ä
8 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
3
p
3−5x thỏa mãn F(−1) =−
8
5
.
ĐS: F(x) =−
3
20
(3−5x)
3
p
3−5x +
4
5
.
- Lời giải.
F(x) =
Z
3
p
3−5xdx =
3
4·(−5)
(3−5x)
3
p
3−5x +C =−
3
20
(3−5x)
3
p
3−5x +C
mà F(−1) =−
8
5
⇒−
3
20
(3−5·(−1))
3
p
3−5·(−1)+C =−
8
5
⇒C =
4
5
.
Vậy F(x) =−
3
20
(3−5x)
3
p
3−5x +
4
5
.
ä
9 Cho f (x) =
1
n
p
ax +b
⇒F(x) =
Z
1
n
p
ax +b
dx =....
ĐS: F(x) =
n
(n −1)a
·
ax +b
n
p
ax +b
+C.
- Lời giải.
Đặt t =
n
p
ax +b ⇔ t
n
=ax +b ⇔ n ·t
n−1
dt = adx.
Suy ra, F(x) =
Z
1
n
p
ax +b
dx =
Z
n ·t
n−1
at
dt =
Z
n ·t
n−2
a
dt =
n
(n −1)a
·t
n−1
+C =
n
(n −1)a
·
ax +b
n
p
ax +b
+
C.
ä
Nhận xét.
Z
1
n
p
ax +b
dx =
n
(n −1)a
·
ax +b
n
p
ax +b
+C .
• Với n =2, suy ra F(x) =
Z
1
p
ax +b
dx =
2
a
·
p
ax +b +C.
• Với n =3, suy ra F(x) =
Z
1
3
p
ax +b
dx =
3
2a
·
3
p
(ax +b)
2
+C.
10 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
2
p
4x −1
thỏa mãn F(3) =3
p
11.
ĐS: F(x) =
p
4x −1+2
p
11.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
2
p
4x −1
dx =
2·2
4
p
4x −1+C =
p
4x −1+C.
Mà F(3) =3
p
11 ⇔
p
4·3−1+C =3
p
11 ⇔ C =2
p
11.
Vậy F(x) =
p
4x −1+2
p
11. ä
11 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
1
p
3x −1
thỏa mãn F(2) =
p
5.
ĐS: F(x) =
2
3
p
3x −1+
1
3
p
5.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
2
p
3x −1
dx =
2
3
p
3x −1+C.
Mà F(2) =
p
5 ⇔
2
3
p
3·2−1+C =
p
5 ⇔ C =
1
3
p
5.
Vậy F(x) =
2
3
p
3x −1+
1
3
p
5. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 18 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
12 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
1
p
1−2x
thỏa mãn F
µ
−
3
2
¶
=2018.
ĐS: F(x) =−
p
1−2x +2020.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
1
p
1−2x
dx =
2
−2
p
1−2x +C =−
p
1−2x +C.
Mà F
µ
−
3
2
¶
=2018 ⇔−
…
1−2·
−3
2
+C =2018 ⇔C =2020.
Vậy F(x) =−
p
1−2x +2020. ä
13 Biết
Z
dx
p
x +2+
p
x +1
=a (x +2)
p
x +2+b(x +1)
p
x +1+C với a,b là các số hữu tỷ và C là hằng số
bất kỳ. Tính S =3a +b.
ĐS: S =
4
3
.
- Lời giải.
F(x) =
Z
dx
p
x +2+
p
x +1
=
Z
(x +2)−(x +1)
p
x +2+
p
x +1
dx =
Z
(
p
x +2−
p
x +1)·(
p
x +2+
p
x +1)
p
x +2+
p
x +1
dx
F(x) =
Z
(
p
x +2−
p
x +1)dx =
2
3
(x +2)
p
x +2−
2
3
(x +1)
p
x +1+C.
Ta có a =
2
3
;b =−
2
3
nên S =3a +b =
4
3
. ä
14 Biết F(x ) là nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
p
x +
p
x +1
thỏa F(0) =
2
3
. Tính giá trị của biểu thức
T =3
[
F(3) +F(2)
]
+4
p
2.
ĐS: T =16.
- Lời giải.
F(x) =
Z
dx
p
x +
p
x +1
=
Z
(x +1)−x
p
x +
p
x +1
dx =
Z
(
p
x +1−
p
x)·(
p
x +1+
p
x)
p
x +2+
p
x +1
dx
F(x) =
Z
(
p
x +1−
p
x)dx =
2
3
(x +1)
p
x +1−
2
3
x
p
x +C.
Ta có F(0) =
2
3
⇔
2
3
(0+1)
p
0+1−
2
3
0
p
0+C =
2
3
⇔C =0,
T =3
[
F(3) +F(2)
]
+4
p
2 =3
·
2
3
(3+1)
p
3+1−
2
3
3
p
3+
2
3
(2+1)
p
2+1−
2
3
2
p
2
¸
+4
p
2 =16. ä
Ví dụ 6. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
3
p
2x +1−
p
2x −2
thỏa F(1) =
p
2.
ĐS: F(x) =
1
3
(2x +1)
p
2x −1+
1
3
(2x −2)
p
2x −2+
p
2−
p
3
Th.s Nguyễn Chín Em 19 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Lời giải: Ta có:
F(x) =
Z
3
p
2x +1−
p
2x −2
dx =
Z
3
¡
p
2x +1+
p
2x −2
¢
¡
p
2x +1−
p
2x −2
¢¡
p
2x +1+
p
2x −2
¢
dx
=
Z
3
¡
p
2x +1+
p
2x −2
¢
3
dx
=
Z
³
p
2x +1+
p
2x −2
´
dx
=
Z
p
2x +1dx +
Z
p
2x −2dx
=
1
2
Z
p
2x +1d(2x +1)+
1
2
Z
p
2x −2d(2x −2)
=
1
3
(2x +1)
p
2x −1+
1
3
(2x −2)
p
2x −2+C.
Vì F(1) =
p
2 nên suy ra
p
3+C =
p
2 ⇒ C =
p
2−
p
3.
Vậy F(x) =
1
3
(2x +1)
p
2x +1+
1
3
(2x −2)
p
2x −2+
p
2−
p
3.
Bài 8.
1 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
9x
p
x +10+
p
10−8x
thỏa F(0) =
p
10.
ĐS: F(x) =
2
3
(x +10)
p
x +10+
1
12
(10−8x)
p
10−8x −
13
2
p
10
- Lời giải.
F(x) =
Z
9x
p
x +10+
p
10−8x
dx =
Z
9x
¡
p
x +10−
p
10−8x
¢
¡
p
x +10+
p
10−8x
¢¡
p
x +10−
p
10−8x
¢
dx
=
Z
9x
¡
p
x +10−
p
10−8x
¢
9x
dx
=
Z
³
p
x +10−
p
10−8x
´
dx
=
Z
p
x +10d(x +10)+
1
8
Z
p
10−8xd(10 −8x)
=
2
3
(x +10)
p
x +10+
1
12
(10−8x)
p
10−8x +C.
Vì F(0) =
p
10 nên suy ra
15
2
p
10+C =
p
10 ⇒ C =−
13
2
p
10.
Vậy F(x) =
2
3
(x +10)
p
x +10+
1
12
(10−8x)
p
10−8x −
13
2
p
10. ä
2 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
6x
p
3x +7−
p
7−3x
thỏa F(2) =1.
ĐS: F(x) =
2
9
(3x +7)
p
3x +7−
2
9
(7−3x)
p
7−3x +
11
9
−
26
9
p
13
Th.s Nguyễn Chín Em 20 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
F(x) =
Z
6x
p
3x +7−
p
7−3x
dx =
Z
6x
¡
p
3x +7+
p
7−3x
¢
¡
p
3x +7−
p
7−3x
¢¡
p
3x +7+
p
7−3x
¢
dx
=
Z
6x
¡
p
3x +7+
p
7−3x
¢
6x
dx
=
Z
³
p
3x +7+
p
7−3x
´
dx
=
1
3
Z
p
3x +7d(3x +7)−
1
3
Z
p
7−3xd(7 −3x)
=
2
9
(3x +7)
p
3x +7−
2
9
(7−3x)
p
7−3x +C.
Vì F(2) =1 nên suy ra
2
9
13
p
13−
2
9
+C =1 ⇒C =
11
9
−
26
9
p
13.
Vậy F(x) =
2
9
(3x +7)
p
3x +7−
2
9
(7−3x)
p
7−3x +
11
9
−
26
9
p
13. ä
3 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
1
(x +1)
p
x −x
p
x +1
thỏa F(2) =2
p
2.
ĐS: F(x) =2
p
x +2
p
x +1−2
p
3
- Lời giải.
F(x) =
Z
1
(x +1)
p
x −x
p
x +1
dx =
Z
1
p
x
p
x +1
¡
p
x +1−
p
x
¢
dx
=
Z
¡
p
x +1+
p
x
¢
p
x
p
x +1
¡
p
x +1−
p
x
¢¡
p
x +1+
p
x
¢
dx
=
Z
p
x +1+
p
x
p
x
p
x +1
dx
=
Z
µ
1
p
x
+
1
p
x +1
¶
dx
=
Z
1
p
x
dx +
1
p
x +1
d(x +1)
=2
p
x +2
p
x +1+C.
Vì F(2) =2
p
2 nên suy ra 2
p
2+2
p
3+C =2
p
2 ⇒ C =−2
p
3.
Vậy F(x) =2
p
x +2
p
x +1−2
p
3. ä
4 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
1
(x +2)
p
x +1+(x +1)
p
x +2
thỏa F(3) =4.
ĐS: F(x) =
p
x +
p
x +2−1
Th.s Nguyễn Chín Em 21 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
F(x) =
Z
1
(x +2)
p
x +1+(x +1)
p
x +2
dx =
Z
1
p
x +1
p
x +2
¡
p
x +2−
p
x +1
¢
dx
=
Z
¡
p
x +2−
p
x +1
¢
p
x +2
p
x +1
¡
p
x +2−
p
x +1
¢¡
p
x +2+
p
x +1
¢
dx
=
Z
p
x +2−
p
x +1
p
x +2
p
x +1
dx
=
Z
µ
1
p
x +1
−
1
p
x +2
¶
dx
=
Z
1
p
x +1
d(x +1)−
1
p
x +2
d(x +2)
=2
p
x +1−2
p
x +2+C.
Vì F(3) =4 nên suy ra 4−2
p
5+C =4 ⇒C =2
p
5.
Vậy F(x) =2
p
x +1−2
p
x +2+2
p
5. ä
5 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
1
(x +2)
p
x −x
p
x +2
thỏa F(1) =
p
3.
ĐS: F(x) =2
p
x +1−2
p
x +2+2
p
5
- Lời giải.
F(x) =
Z
1
(x +2)
p
x −x
p
x +2
dx =
Z
1
p
x
p
x +2
¡
p
x +2−
p
x
¢
dx
=
Z
¡
p
x +2+
p
x
¢
p
x +2
p
x
¡
p
x +2−
p
x
¢¡
p
x +2+
p
x
¢
dx
=
Z
p
x +2+
p
x
2
p
x +2
p
x
dx
=
Z
µ
1
2
1
p
x
+
1
2
1
p
x +2
¶
dx
=
Z
1
2
p
x
dx +
1
2
p
x +2
d(x +2)
=
p
x +
p
x +2+C.
Vì F(1) =
p
3 nên suy ra 1+
p
3+C =
p
3 ⇒ C =−1.
Vậy F(x) =
p
x +
p
x +2−1. ä
Ví dụ 7. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = x +sinx thỏa mãn điều kiện F(0) =19.
ĐS: F(x) =
1
2
x
2
−cosx +20
Lời giải: Ta có: F(x) =
Z
(
x +sinx
)
dx =
1
2
x
2
−cosx +C.
Vì F(0) =19 nên suy ra 0−1+C =19 ⇒C =20.
Vậy F(x) =
1
2
x
2
−cosx +20.
Bài 9. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F(x
0
) = k
1 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =sin x −cosx thỏa mãn điều kiện F
³
π
4
´
=0.
ĐS: F(x) =−cos x −sin x +
p
2
Th.s Nguyễn Chín Em 22 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
(
sin x −cos x
)
dx =−cos x −sinx +C.
Vì F
³
π
4
´
=0 nên suy ra −
p
2
2
−
p
2
2
+C =0 ⇒C =
p
2.
Vậy F(x) =−cosx −sinx +
p
2. ä
2 Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =2x −3cos x và F
³
π
2
´
=
π
2
4
. Tính F(π).
ĐS: F(x) = x
2
−3sin x +3
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
(
2x −3cos x
)
dx = x
2
−3sin x +C.
Vì F
³
π
2
´
=
π
2
4
nên suy ra
π
2
4
−3+C =0 ⇒C =3.
Vậy F(x) = x
2
−3sin x +3. ä
3 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
³
sin
x
2
−cos
x
2
´
2
thỏa mãn điều kiện F
³
π
2
´
=
3π
2
.
ĐS: F(x) = x +cos x +π
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
³
sin
x
2
−cos
x
2
´
2
dx =
Z
³
sin
2
x
2
−2sin
x
2
cos
x
2
+cos
2
x
2
´
dx =
Z
(1 −sin x)dx = x +
cos x +C.
Vì F
³
π
2
´
=
3π
2
nên suy ra
π
2
+C =
3π
2
⇒C =π.
Vậy F(x) = x +cos x +π. ä
4 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
2
cos
2
x
thỏa mãn điều kiện F
³
−
π
4
´
=2.
ĐS: F(x) =2tan x +4
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
2
cos
2
x
dx =2tan x +C.
Vì F
³
−
π
4
´
=2 nên suy ra −2+C =2 ⇒C =4.
Vậy F(x) =2tanx +4. ä
5 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
1
sin
2
x
thỏa mãn điều kiện F
³
−
π
6
´
=0.
ĐS: F(x) =−cot x −
p
3
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
1
sin
2
x
dx =−cot x +C.
Vì F
³
−
π
6
´
=0 nên suy ra
p
3+C =0 ⇒C =−
p
3.
Vậy F(x) =−cotx −
p
3. ä
6 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = x
µ
2+
1
xsin
2
x
¶
thỏa mãn điều kiện F
³
π
4
´
=−1.
ĐS: F(x) = x
2
−cotx −
π
2
16
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
x
µ
2+
1
xsin
2
x
¶
dx =
Z
µ
2x +
1
sin
2
x
¶
dx = x
2
−cotx +C.
Th.s Nguyễn Chín Em 23 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Vì F
³
π
4
´
=−1 nên suy ra
π
2
16
−1+C =−1 ⇒C =−
π
2
16
.
Vậy F(x) = x
2
−cotx −
π
2
16
. ä
7 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =sin x +
1
cos
2
x
thỏa mãn điều kiện F
³
−
π
4
´
=
p
2
2
.
ĐS: F(x) =−cos x +tan x +
p
2+1
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
µ
sin x +
1
cos
2
x
¶
dx =−cos x +tanx +C.
Vì F
³
−
π
4
´
=
p
2
2
nên suy ra −
p
2
2
−1+C =
p
2
2
⇒C =
p
2+1.
Vậy F(x) =−cosx +tanx +
p
2+1. ä
8 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =1+tan
2
x thỏa mãn điều kiện F
µ
5π
6
¶
=
p
3
3
.
ĐS: F(x) =tan x +
2
p
3
3
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
¡
1+tan
2
x
¢
dx =tan x +C.
Vì F
µ
5π
6
¶
=
p
3
3
nên suy ra −
p
3
3
+C =
p
3
3
⇒C =
2
p
3
3
.
Vậy F(x) =tan x +
2
p
3
3
. ä
9 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =tan
2
x thỏa mãn điều kiện F(0) =3.
ĐS: F(x) =tan x −x +3
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
tan
2
xdx =
Z
¡
tan
2
x +1−1
¢
dx =tan x −x +C.
Vì F(0) =3 nên suy ra 0−0+C =3 ⇒C =3.
Vậy F(x) =tan x −x +3. ä
10 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
(
tan x +cot x
)
2
thỏa mãn điều kiện F
³
π
4
´
=3.
ĐS: F(x) =tan x −cot x +3
- Lời giải.
Ta có:
F(x) =
Z
(
tan x +cot x
)
2
dx =
Z
¡
tan
2
x +2+cot
2
x
¢
dx =
Z
¡
tan
2
x +1+cot
2
x +1
¢
dx
=tan x −cotx +C.
Vì F
³
π
4
´
=3 nên suy ra 1−1+C =3 ⇒C =3.
Vậy F(x) =tan x −cotx +3. ä
11 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
cos2x
sin
2
xcos
2
x
thỏa mãn điều kiện F
³
π
4
´
=0.
ĐS: F(x) =−cot x −tan x +2
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 24 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có: F(x) =
Z
cos2x
sin
2
xcos
2
x
dx =
Z
cos
2
x −sin
2
x
sin
2
xcos
2
x
dx =
Z
µ
1
sin
2
x
−
1
cos
2
x
¶
dx =−cot x −tanx +C.
Vì F
³
π
4
´
=0 nên suy ra −1−1+C =0 ⇒C =2.
Vậy F(x) =−cotx −tanx +2. ä
12 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =sin
2
x
2
thỏa mãn F
³
π
2
´
=4.
ĐS: F(x) =
1
2
x −
1
2
sin x +
9−π
4
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
sin
2
x
2
dx =
Z
1−cosx
2
dx =
1
2
x −
1
2
sin x +C.
Vì F
³
π
2
´
=4 nên suy ra
π
4
−
1
2
+C =4 ⇒C =
9−π
4
.
Vậy F(x) =
1
2
x −
1
2
sin x +
9−π
4
. ä
13 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =cos
2
x
2
thỏa mãn F
³
π
2
´
=
π
4
.
ĐS: F(x) =
1
2
x +
1
2
sin x −
1
2
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
cos
2
x
2
dx =
Z
1+cosx
2
dx =
1
2
x +
1
2
sin x +C.
Vì F
³
π
2
´
=
π
4
nên suy ra
π
4
+
1
2
+C =
π
4
⇒C =−
1
2
.
Vậy F(x) =
1
2
x +
1
2
sin x −
1
2
. ä
Ví dụ 8. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =cos2x thỏa mãn điều kiện F
³
π
4
´
=
5
2
.
ĐS: F(x) =
1
2
sin2x +2
Lời giải: Ta có: F(x) =
Z
cos2x dx =
1
2
sin2x +C.
Vì F
³
π
4
´
=
5
2
nên suy ra
1
2
+C =
5
2
⇒C =2.
Vậy F(x) =
1
2
sin2x +2.
Bài 10. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F(x
0
) = k
1 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =sin(1−2x) thỏa mãn điều kiện F
µ
1
2
¶
=1.
ĐS: F(x) =
1
2
cos(1−2x)+
1
2
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
sin(1−2x)dx =−
1
2
Z
sin(1−2x)d(1 −2x) =
1
2
cos(1−2x)+C.
Vì F
µ
1
2
¶
=1 nên suy ra
1
2
+C =1 ⇒C =
1
2
.
Vậy F(x) =
1
2
cos(1−2x)+
1
2
. ä
2 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =cos
4
x −sin
4
x thỏa mãn điều kiện F
³
π
4
´
=
3
2
.
ĐS: F(x) =
1
2
sin2x +1
Th.s Nguyễn Chín Em 25 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
¡
sincos
4
x −sin
4
x
¢
dx =
Z
¡
cos
2
x −sin
2
x
¢¡
cos
2
x +sin
2
x
¢
dx =
Z
cos2x dx =
1
2
sin2x+
C.
Vì F
³
π
4
´
=
3
2
nên suy ra
1
2
+C =
3
2
⇒C =1.
Vậy F(x) =
1
2
sin2x +1. ä
3 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =cos
4
x +sin
4
x thỏa mãn điều kiện F
³
π
4
´
=
3π
16
.
ĐS: F(x) =
3
4
x +
1
16
sin4x
- Lời giải.
Ta có: cos
4
x+sin
4
x =
¡
cos
2
x +sin
2
x
¢
−2cos
2
xsin
2
x =1−
1
2
sin
2
2x =1−
1
4
(
1−cos4x
)
=
3
4
+
1
4
cos4x.
Do đó: F(x) =
Z
¡
cos
4
x +sin
4
x
¢
dx =
Z
µ
3
4
+
1
4
cos4x
¶
dx =
3
4
x +
1
16
sin4x +C.
Vì F
³
π
4
´
=
3π
16
nên suy ra
3π
16
+C =
3π
16
⇒C =0.
Vậy F(x) =
3
4
x +
1
16
sin4x. ä
4 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =sin x(2+cosx) thỏa mãn điều kiện 4F(0) =11.
ĐS: F(x) =−
1
2
(2+cosx)
2
+
29
4
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
sin x(2 +cos x)dx =−
Z
(2+cosx)d(2+cos x) =−
1
2
(2+cosx)
2
+C.
Vì 4F(0) =11 nên suy ra 4
µ
−
9
2
+C
¶
=11 ⇒C =
29
4
.
Vậy F(x) =−
1
2
(2+cosx)
2
+
29
4
. ä
5 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =cos
³
3x +
π
6
´
thỏa mãn điều kiện F
³
π
3
´
=
5
6
.
ĐS: F(x) =
1
3
sin
³
3x +
π
6
´
+1
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
cos
³
3x +
π
6
´
dx =
1
3
sin
³
3x +
π
6
´
+C.
Vì F
³
π
3
´
=
5
6
nên suy ra −
1
6
+C =
5
6
⇒C =1.
Vậy F(x) =
1
3
sin
³
3x +
π
6
´
+1. ä
6 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =cos6x −cos4x thỏa mãn điều kiện F
³
π
8
´
=
p
2
12
.
ĐS: F(x) =
1
6
sin6x −
1
4
sin4x +
1
4
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
(
cos6x −cos4x
)
dx =
1
6
sin6x −
1
4
sin4x +C.
Vì F
³
π
8
´
=
p
2
12
nên suy ra
p
2
12
−
1
4
+C =
p
2
12
⇒C =
1
4
.
Vậy F(x) =
1
6
sin6x −
1
4
sin4x +
1
4
. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 26 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
7 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =sin2x +3x
2
thỏa mãn điều kiện F(0) =0.
ĐS: F(x) =−
1
2
cos2x +x
3
+
1
2
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
¡
sin2x +3x
2
¢
dx =−
1
2
cos2x +x
3
+C.
Vì F(0) =0 nên suy ra −
1
2
+C =0 ⇒C =
1
2
.
Vậy F(x) =−
1
2
cos2x +x
3
+
1
2
. ä
8 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =1+tan
2
x
2
thỏa mãn điều kiện F
³
π
2
´
=5.
ĐS: F(x) =2tan
x
2
+3
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
³
1+tan
2
x
2
´
dx =2
Z
³
1+tan
2
x
2
´
d
³
x
2
´
=2tan
x
2
+C.
Vì F
³
π
2
´
=5 nên suy ra 2+C =5 ⇒C =3.
Vậy F(x) =2tan
x
2
+3. ä
9 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
1
sin
2
xcos
2
x
thỏa mãn điều kiện F
³
π
4
´
=3.
ĐS: F(x) =−2cot2x +3
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
1
sin
2
xcos
2
x
dx =
Z
4
sin
2
2x
dx =
Z
2
sin
2
2x
d(2x ) =−2cot2x +C.
Vì F
³
π
4
´
=3 nên suy ra 0+C =3 ⇒C =3.
Vậy F(x) =−2cot2x +3. ä
10 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
2
(
cos x −sin x
)
2
thỏa mãn điều kiện F(0) =1.
ĐS: F(x) =−cot
³
x −
π
4
´
−1
- Lời giải.
Ta có:
F(x) =
Z
2
(
cos x −sin x
)
2
dx =
Z
2
³
p
2sin
³
x −
π
4
´´
2
dx =
Z
1
sin
2
³
x −
π
4
´
d
³
x −
π
4
´
=−cot
³
x −
π
4
´
+C.
Vì F(0) =1 nên suy ra 1+C =0 ⇒C =−1.
Vậy F(x) =−cot
³
x −
π
4
´
−1. ä
11 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
1
(
cos x +sin x
)
2
thỏa mãn điều kiện F(0) =
1
2
.
ĐS: F(x) =−
1
2
cot
³
x +
π
4
´
+1
- Lời giải.
Ta có:
F(x) =
Z
1
(
cos x +sin x
)
2
dx =
Z
1
³
p
2sin
³
x +
π
4
´´
dx =
Z
1
2sin
2
³
x +
π
4
´
d
³
x +
π
4
´
=−
1
2
cot
³
x +
π
4
´
+C.
Vì F(0) =
1
2
nên suy ra −
1
2
+C =
1
2
⇒C =1.
Vậy F(x) =−
1
2
cot
³
x +
π
4
´
+1. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 27 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
12 Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = a +b cos2x thỏa mãn điều kiện F(0) =
π
2
, F
³
π
2
´
=
π
6
và
F
³
π
12
´
=
π
3
.
ĐS: F(x) =−
2
3
x −
2π
9
sin2x +
π
2
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
(
a +b cos2x
)
dx = ax +
1
2
b sin2x +C.
Vì F(0) =
π
2
, F
³
π
2
´
=
π
6
và F
³
π
12
´
=
π
3
nên ta có hệ:
C =
π
2
aπ
2
+C =
π
6
aπ
12
+
b
4
+C =
π
3
⇔
C =
π
2
a =
−2
3
b =
−4π
9
.
Vậy F(x) =−
2
3
x −
2π
9
sin2x +
π
2
. ä
13 Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = 2sin5x +
p
x +
3
5
thỏa mãn điều kiện đồ thị của hai hàm số
F(x) và f (x) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung. Tìm hàm số F(x).
ĐS: F(x) =−
2
5
cos5x +
2
3
x
p
x +
3
5
x +1
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
µ
2sin5x +
p
x +
3
5
¶
dx =−
2
5
cos5x +
2
3
x
p
x +
3
5
x +C.
Đồ thị hàm số f (x) =2sin5x +
p
x +
3
5
cắt trục tung tại điểm A
µ
0;
3
5
¶
.
Vì đồ thị của hai hàm số F(x) và f (x) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung nên suy ra F(x) đi qua
điểm A
µ
0;
3
5
¶
. Do đó:
−
2
5
+C =
3
5
⇒C =1.
Vậy F(x) =−
2
5
cos5x +
2
3
x
p
x +
3
5
x +1. ä
Ví dụ 9. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =cos
2
x thỏa mãn F(0) =10.
Lời giải: F(x) =
1
2
x +
1
4
sin2x +10
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
cos
2
xdx =
Z
1+cos2x
2
dx =
1
2
x +
1
4
sin2x +C.
Vì F(0) =10 nên suy ra C =10.
Vậy F(x) =
1
2
x +
1
4
sin2x +10. ä
Bài 11. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F(x
0
) = k
1 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = sin
2
2x , biết rằng đồ thị của hàm số y = F(x) đi qua
điểm
³
π
2
;
π
4
´
.
ĐS: F(x) =
1
2
x −
1
8
sin4x
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 28 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có: F(x) =
Z
sin
2
2x dx =
Z
1−cos4x
2
dx =
1
2
x −
1
8
sin4x +C.
Vì đồ thị của hàm số y = F(x) đi qua điểm
³
π
2
;
π
4
´
nên suy ra:
π
4
+C =
π
4
⇒C =0.
Vậy F(x) =
1
2
x −
1
8
sin4x. ä
2 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
(
1+sinx
)
2
thỏa mãn F(0) =0.
ĐS: F(x) =
3
2
x −2cos x −
1
4
sin4x +2
- Lời giải.
Ta có:
F(x) =
Z
(
1+sinx
)
2
dx =
Z
¡
1+2sinx +sin
2
x
¢
dx =
Z
µ
3
2
+2sin x −
1
2
cos2x
¶
dx
=
3
2
x −2cos x −
1
4
sin4x +C.
Vì F(0) =0 nên suy ra −2+C =0 ⇒C =2.
Vậy F(x) =
3
2
x −2cos x −
1
4
sin4x +2. ä
3 Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
4m
π
+sin
2
x thỏa mãn F(0) =1 và F
³
π
4
´
=
π
8
. Tìm giá thực
của tham số m.
ĐS: m =−
3
4
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
µ
4m
π
+sin
2
x
¶
dx =
Z
µ
4m
π
+
1
2
−
1
2
cos2x
¶
dx =
µ
4m
π
+
1
2
¶
x −
1
4
sin2x +C.
Vì F(0) =1 và F
³
π
4
´
=
π
8
nên ta có hệ
C =1
m +
π
8
+
3
4
=
π
8
⇒
C =1
m =−
3
4
.
Vậy m =−
3
4
. ä
4 Cho hàm số f (x) =
a
π
+cos
2
x Tìm tất cả các giá tr ị của a để f (x) có một nguyên hàm F(x) thỏa mãn
đồng thời F(0) =
1
4
và F
³
π
4
´
=
π
4
.
ĐS: a =
π
2
−2
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
³
a
π
+cos
2
x
´
dx =
Z
µ
a
π
+
1
2
+
1
2
cos2x
¶
dx =
µ
a
π
+
1
2
¶
x +
1
4
sin2x +C.
Vì F(0) =
1
4
và F
³
π
4
´
=
π
4
nên suy ra:
C =
1
4
a
4
+
π
8
+
1
4
+C =
π
4
⇔
C = 1
a =
π
2
−2
.
Vậy a =
π
2
−2. ä
5 Tìm hàm số f (x), biết rằng f
0
(x ) =cos
2
³
x +
π
4
´
và f (0) =
13
4
.
ĐS: f (x) =
1
2
x +
1
4
cos2x +3
Th.s Nguyễn Chín Em 29 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có: f (x) =
Z
cos
2
³
x +
π
4
´
dx =
Z
µ
1
2
+
1
2
cos
³
2x +
π
2
´
¶
dx =
Z
µ
1
2
−
1
2
sin2x
¶
dx =
1
2
x+
1
4
cos2x+C.
Vì f (0) =
13
4
nên suy ra
1
4
+C =
13
4
⇒C =3.
Vậy f (x) =
1
2
x +
1
4
cos2x +3. ä
Ví dụ 10. Gọi F
1
(x ) là một nguyên hàm của hàm số f
1
(x ) = sin
2
x thỏa F
1
(0) = 0 và F
2
(x ) là một
nguyên hàm của hàm số f
2
(x ) =cos
2
x thỏa mãn F
2
(0) =0. Giải phương trình F
1
(x ) = F
2
(x ).
ĐS: x = k
π
2
Lời giải: Ta có, F
1
(x ) =
Z
sin
2
x dx =
1
2
Z
(
1−cos2x
)
dx =
1
2
µ
x −
1
2
sin2x
¶
+C
mà F
1
(0) =0 ⇒
1
2
µ
0−
1
2
sin0
¶
+C =0 ⇒C =0
Khi đó, F
1
(x ) =
1
2
µ
x −
1
2
sin2x
¶
Tương tự, F
2
(x ) =
Z
cos
2
x dx =
1
2
Z
(
1+cos2x
)
dx =
1
2
µ
x +
1
2
sin2x
¶
+C
mà F
2
(0) =0 ⇒
1
2
µ
0+
1
2
sin0
¶
+C =0 ⇒C =0
Khi đó, F
2
(x ) =
1
2
µ
x +
1
2
sin2x
¶
Theo đề bài,
F
1
(x ) = F
2
(x )
⇒
1
2
µ
x −
1
2
sin2x
¶
=
1
2
µ
x +
1
2
sin2x
¶
⇒ sin2x =0
⇒ 2x = kπ
⇒ x = k
π
2
Bài 12. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F(x
◦
) = k.
1 Tìm một nguyên hàm của hàm số f (x) =cos
4
x thỏa mãn F
³
π
4
´
=
p
2.
ĐS: F(x) =
1
8
µ
3x +2sin2x +
1
4
sin4x
¶
+8
p
2−2−
3π
4
- Lời giải.
Ta có,
F(x) =
Z
cos
4
x dx =
Z
µ
1+cos2x
2
¶
2
dx =
1
4
Z
¡
1+2cos2x +cos
2
2x
¢
dx
=
1
4
Z
µ
1+2cos2x +
1+cos4x
2
¶
dx
=
1
8
Z
(
3+4cos2x +cos4x
)
dx
=
1
8
µ
3x +2sin2x +
1
4
sin4x
¶
+C
Th.s Nguyễn Chín Em 30 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
mà F
³
π
4
´
=
p
2 ⇒
1
8
µ
3π
4
+2sin
π
2
+
1
4
sinπ
¶
+C =
p
2 ⇒ C =8
p
2−2−
3π
4
Vậy một nguyên hàm cần tìm là F(x) =
1
8
µ
3x +2sin2x +
1
4
sin4x
¶
+8
p
2−2−
3π
4
. ä
2 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =sin
4
2x thỏa mãn F(0) =
3
8
.
ĐS: F(x) =
1
8
µ
3x −sin4x −
1
8
sin8x
¶
+
3
8
- Lời giải.
Ta có, F(x) =
Z
sin
4
2x dx =
Z
µ
1−cos4x
2
¶
2
dx =
1
4
Z
¡
1−2cos4x +cos
2
4x
¢
dx
=
1
4
Z
µ
1−2cos4x +
1−cos8x
2
¶
dx =
1
8
Z
(
3−4cos4x −cos8x
)
dx
=
1
8
µ
3x −sin4x −
1
8
sin8x
¶
+C
mà F(0) =
3
8
⇒
1
8
µ
0−sin0−
1
8
sin0
¶
+C =
3
8
⇒C =
3
8
Vậy một nguyên hàm cần tìm là F(x) =
1
8
µ
3x −sin4x −
1
8
sin8x
¶
+
3
8
. ä
Ví dụ 11. Hàm số f (x) =sin3x cos x có 1 nguyên hàm là F(x) thỏa F
³
π
6
´
=
15
16
. Tính F
³
π
4
´
.
ĐS: F(x) =
1
2
µ
−
1
4
cos4x −
1
2
cos2x
¶
+1
Lời giải:
F(x) =
Z
(sin3x cosx) dx
=
1
2
Z
(sin4x +sin2x) dx
=
1
2
µ
−
1
4
cos4x −
1
2
cos2x
¶
+C
Theo giả thuyết, F
³
π
6
´
=
15
16
⇒
1
2
µ
−
1
4
cos
2π
3
−
1
2
cos
π
3
¶
+C =
15
16
⇒C =1.
Vậy có 1 nguyên hàm cần tìm là F(x) =
1
2
µ
−
1
4
cos4x −
1
2
cos2x
¶
+1.
Bài 13. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F(x
◦
) = k.
1 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =2sin xcos3x thỏa mãn F
³
π
2
´
=−3.
ĐS: F(x) =−
cos4x
4
+
cos2x
2
−
9
4
- Lời giải.
F(x) =
Z
2sin x cos3x dx =
Z
(
sin4x +sin(−2x)
)
dx =
Z
(
sin4x −sin2x
)
dx =−
cos4x
4
+
cos2x
2
+C.
F
³
π
2
´
=−3 ⇔−
cos2π
4
+
cosπ
2
+C =−3 ⇔−
1
4
+
−1
2
+C =−3 ⇔C =−
9
4
.
Vậy F(x) =−
cos4x
4
+
cos2x
2
−
9
4
. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 31 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
2 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =sin4x cos x thỏa mãn F
(
π
)
=4.
ĐS: F(x) =
1
2
µ
−
cos5x
5
−
cos3x
3
¶
+
56
15
- Lời giải.
F(x) =
Z
sin4x cosx dx =
1
2
Z
(
sin5x +sin3x
)
dx =
1
2
µ
−
cos5x
5
−
cos3x
3
¶
+C.
F
(
π
)
=4 ⇔
1
2
µ
−
cos5π
5
−
cos3π
3
¶
+C =4 ⇔
1
2
µ
1
5
+
1
3
¶
+C =4 ⇔C =
56
15
.
Vậy F(x) =
1
2
µ
−
cos5x
5
−
cos3x
3
¶
+
56
15
. ä
3 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =cos5x cos x thỏa mãn F
³
π
4
´
=5.
ĐS: F(x) =
1
2
µ
sin6x
6
+
sin4x
4
¶
+
61
12
- Lời giải.
F(x) =
Z
cos5x cosx dx =
1
2
Z
(
cos6x +cos4x
)
dx =
1
2
µ
sin6x
6
+
sin4x
4
¶
+C.
F
³
π
4
´
=5 ⇔
1
2
sin6
π
4
6
+
sinπ
4
+C =5 ⇔
1
2
µ
−1
6
+
0
4
¶
+C =5 ⇔C =
61
12
.
Vậy F(x) =
1
2
µ
sin6x
6
+
sin4x
4
¶
+
61
12
. ä
4 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =cos6x cos2x thỏa mãn F
³
π
6
´
=−2.
ĐS: F(x) =
1
2
µ
sin8x
8
+
sin4x
4
¶
+
p
3−64
32
- Lời giải.
F(x) =
Z
cos6x cos2x dx =
1
2
Z
(
cos8x +cos4x
)
dx =
1
2
µ
sin8x
8
+
sin4x
4
¶
+C.
F
³
π
6
´
=−2 ⇔
1
2
sin8
π
6
8
+
sin4
π
6
4
+C =−2 ⇔
1
2
−
p
3
2
8
+
p
3
2
4
+C =−2 ⇔C =
p
3−64
32
.
Vậy F(x) =
1
2
µ
sin8x
8
+
sin4x
4
¶
+
p
3−64
32
. ä
5 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =cos2x cos8x thỏa mãn F
³
π
8
´
=2018.
ĐS: F(x) =
1
2
µ
sin10x
10
+
sin6x
6
¶
+2018−
p
2
60
- Lời giải.
F(x) =
Z
cos2x cos8x dx
=
1
2
Z
(
cos10x +cos(−6x)
)
dx
=
1
2
Z
(
cos10x +cos6x
)
dx
=
1
2
µ
sin10x
10
+
sin6x
6
¶
+C
Th.s Nguyễn Chín Em 32 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
F
³
π
8
´
=2018
⇔
1
2
sin10
π
8
10
+
sin6
π
8
6
+C =2018
⇔
1
2
sin
5π
4
10
+
sin
3π
4
6
+C =2018
⇔
1
2
−
p
2
2
10
+
p
2
2
6
+C =2018
⇔ C =2018−
p
2
60
Vậy F(x) =
1
2
µ
sin10x
10
+
sin6x
6
¶
+2018−
p
2
60
. ä
6 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =sin7x sin x thỏa mãn F
³
π
3
´
=−7.
ĐS: F(x) =−
1
2
µ
sin8x
8
−
sin6x
6
¶
+
p
3
32
−7
- Lời giải.
F(x) =
Z
sin7x sinx dx =−
1
2
Z
(
cos8x −cos6x
)
dx =−
1
2
µ
sin8x
8
−
sin6x
6
¶
+C.
F
³
π
3
´
=−7 ⇔−
1
2
sin8
π
3
8
−
sin6
π
3
6
+C =−7 ⇔−
1
2
p
3
2
8
−
0
6
+C =−7 ⇔C =
p
3
32
−7.
Vậy F(x) =−
1
2
µ
sin8x
8
−
sin6x
6
¶
+
p
3
32
−7. ä
7 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =sin xsin3x thỏa mãn F
³
π
4
´
=
1
2
.
ĐS: F(x) =−
1
2
µ
sin4x
4
−
sin2x
2
¶
+
1
4
- Lời giải.
F(x) =
Z
sin x sin3x dx
= −
1
2
Z
(
cos4x −cos(−2x)
)
dx
= −
1
2
Z
(
cos4x −cos2x
)
dx
= −
1
2
µ
sin4x
4
−
sin2x
2
¶
+C
Th.s Nguyễn Chín Em 33 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
F
³
π
4
´
=
1
2
⇔ −
1
2
sin4
π
4
4
−
sin2
π
4
2
+C =
1
2
⇔ −
1
2
sinπ
4
−
sin
π
2
2
+C =
1
2
⇔ −
1
2
µ
0
4
−
1
2
¶
+C =
1
2
⇔ C =
1
4
Vậy F(x) =−
1
2
µ
sin4x
4
−
sin2x
2
¶
+
1
4
. ä
8 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =sin10x sin5x thỏa mãn F
³
π
2
´
=9.
ĐS: F(x) =−
1
2
µ
sin15x
15
−
sin5x
5
¶
+
133
15
- Lời giải.
F(x) =
Z
sin10x sin5x dx =−
1
2
Z
(
cos15x −cos5x
)
dx =−
1
2
µ
sin15x
15
−
sin5x
5
¶
+C.
F
³
π
2
´
=9 ⇔−
1
2
sin15
π
2
15
−
sin5
π
2
5
+C =9 ⇔−
1
2
µ
−1
15
−
1
5
¶
+C =9 ⇔C =
133
15
.
Vậy F(x) =−
1
2
µ
sin15x
15
−
sin5x
5
¶
+
133
15
. ä
Ví dụ 12. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = e
3x
thỏa mãn F
(
0
)
=1.
ĐS: F(x) =
1
3
e
3x
+
2
3
Lời giải: F(x) =
Z
e
3x
dx =
1
3
e
3x
+C.
F
(
0
)
=1 ⇔
1
3
e
0
+C =1 ⇔C =
2
3
.
Vậy F(x) =
1
3
e
3x
+
2
3
.
Bài 14. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F(x
◦
) = k.
1 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = e
3x+1
thỏa mãn F
(
0
)
=
e
3
. Tính ln
3
[
3F(1)
]
.
ĐS: ln
3
[
3F(1)
]
=64
- Lời giải.
F(x) =
Z
e
3x+1
dx =
1
3
e
3x+1
+C.
F
(
0
)
=
e
3
⇔
1
3
e +C =
e
3
⇔C =0.
⇒F(x) =
1
3
e
3x+1
⇒F(1) =
e
4
3
.
ln
3
[
3F(1)
]
=ln
3
·
3
e
4
3
¸
=4
3
=64. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 34 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
2 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
¡
2+e
3x
¢
2
thỏa mãn F
(
0
)
=
3
2
. Tính F
µ
1
3
¶
·
ĐS: F
µ
1
3
¶
=
3e
2
2
+12e
- Lời giải.
F(x) =
Z
¡
2+e
3x
¢
2
dx =
Z
¡
e
6x
+4e
3x
+4
¢
dx =
e
6x
6
+
4e
3x
3
+4x +C.
F(0) =
3
2
⇒
e
0
6
+
4e
0
3
+0+C =
3
2
⇒
1
6
+
4
3
+C =
3
2
⇒C =0.
⇒F(x) =
e
6x
6
+
4e
3x
3
+4x.
⇒F
µ
1
3
¶
=
e
6
1
3
6
+
4e
3
1
3
3
+4
1
3
=
e
2
6
+
4e
3
+
4
3
. ä
3 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = e
−x
(
2e
x
+1
)
thỏa mãn F
(
0
)
=1.
ĐS: F(x) =2x −e
−x
+2
- Lời giải.
F(x) =
Z
e
−x
¡
2e
x
+1
¢
dx =
Z
¡
2+e
−x
¢
dx =2x −e
−x
+C.
F
(
0
)
=1 ⇒2·0−e
0
+C =1 ⇒C =2.
Vậy F(x) =2x −e
−x
+2 ä
4 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = e
x
(
3+e
−x
)
thỏa mãn F
(
ln2
)
=3
ĐS: F(x) =3e
x
+x −4−ln2
- Lời giải.
F(x) =
Z
e
x
¡
3+e
−x
¢
dx =
Z
¡
3e
x
+1
¢
dx =3e
x
+x +C.
F
(
ln2
)
=3 ⇒3e
ln2
+ln2+C =2 ⇒C =−4 −ln2.
Vậy F(x) =3e
x
+x −4−ln2. ä
5 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
p
e
4x−2
thỏa mãn F
µ
1
2
¶
=1
ĐS: F(x) =
e
2x−1
2
+
1
2
- Lời giải.
F(x) =
Z
p
e
4x−2
dx =
Z
e
4x−2
2
dx =
Z
e
2x−1
dx =
e
2x−1
2
+C.
F
µ
1
2
¶
=1 ⇒
e
2
1
2
−1
2
+C =1 ⇒C =
1
2
.
Vậy F(x) =
e
2x−1
2
+
1
2
. ä
6 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = e
3x−1
−
1
x
2
thỏa mãn F
(
1
)
=2 +
e
2
3
·
ĐS: F(x) =
e
3x−1
3
+
1
x
+1
- Lời giải.
F(x) =
Z
e
3x−1
−
1
x
2
dx =
e
3x−1
3
+
1
x
+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 35 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
F
(
1
)
=2 +
e
2
3
⇒
e
3·1−1
3
+
1
1
+C =2 +
e
2
3
⇒C =1.
Vậy F(x) =
e
3x−1
3
+
1
x
+1. ä
7 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =2017
x
thỏa mãn F
(
1
)
=ln
−1
2017.
ĐS: F(x) =
2017
x
ln2017
−
2016
ln2017
- Lời giải.
F(x) =
Z
2017
x
dx =
2017
x
ln2017
+C.
F
(
1
)
=ln
−1
2017 ⇒
2017
1
ln2017
+C =ln
−1
2017 ⇒ C =
−2016
ln2017
.
Vậy F(x) =
2017
x
ln2017
−
2016
ln2017
. ä
8 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =3
x
−2
x
·3
x
thỏa mãn F
(
0
)
=−
1
ln6
+2.
ĐS: F(x) =
3
x
ln3
−
6
x
ln6
+2−
1
ln3
- Lời giải.
F(x) =
Z
3
x
−2
x
·3
x
dx =
Z
3
x
−6
x
dx =
3
x
ln3
−
6
x
ln6
+C.
F
(
0
)
=−
1
ln6
+2 ⇒
3
0
ln3
−
6
0
ln6
+C =−
1
ln6
+2 ⇒
1
ln3
−
1
ln6
+C =−
1
ln6
+2 ⇒C =2−
1
ln3
.
Vậy F(x) =
3
x
ln3
−
6
x
ln6
+2−
1
ln3
. ä
9 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =9
x
−3x
2
thỏa mãn F
(
0
)
=
1
ln9
+2.
ĐS: F(x) =
9
x
ln9
−x
3
+2
- Lời giải.
F(x) =
Z
9
x
−3x
2
dx =
9
x
ln9
−x
3
+C.
F
(
0
)
=
1
ln9
+2 ⇒
9
0
ln9
−0+C =
1
ln9
+2 ⇒C =2.
Vậy F(x) =
9
x
ln9
−x
3
+2. ä
10 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =4
x
2
2x+3
thỏa mãn F
(
0
)
=
2
ln2
. Tính A =
[
ln2·F
(
1
)
]
3
2
10
·
ĐS: A =32
- Lời giải.
F(x) =
Z
4
x
2
2x+3
dx =
Z
8·16
x
dx =8
16
x
ln16
+C =2
16
x
ln2
+C.
F
(
0
)
=
2
ln2
⇒2
16
0
ln2
+C =
2
ln2
⇒C =0.
⇒F(x) =2
16
x
ln2
.
A =
[
ln2·F
(
1
)
]
3
2
10
=
·
ln2·2
16
1
ln2
¸
3
2
10
=32. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 36 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
11 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =2
2x
3
x
7
x
thỏa mãn F
(
1
)
=
1
ln84
·
ĐS: F(x) =
84
x
ln84
−
83
ln84
- Lời giải.
F(x) =
Z
2
2x
3
x
7
x
dx =
Z
84
x
dx =
84
x
ln84
+C.
F
(
1
)
=
1
ln84
⇒
84
1
ln84
+C =
1
ln84
⇒C =−
83
ln84
.
Vậy F(x) =
84
x
ln84
−
83
ln84
. ä
12 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =2
x
3
−2x
thỏa mãn F
(
1
)
=
2
9
·
ĐS: F(x) =
¡
2
9
¢
x
ln
2
9
+
2
9
Ã
1−
1
ln
2
9
!
- Lời giải.
F(x) =
Z
2
x
3
−2x
dx =
Z
µ
2
9
¶
x
dx =
¡
2
9
¢
x
ln
2
9
+C.
F
(
1
)
=
2
9
⇒
¡
2
9
¢
1
ln
2
9
+C =
2
9
⇒C =
2
9
Ã
1−
1
ln
2
9
!
Vậy F(x) =
¡
2
9
¢
x
ln
2
9
+
2
9
Ã
1−
1
ln
2
9
!
. ä
Ví dụ 13. f (x) =
2x +1
x −1
⇒F(x) =
Z
2x +1
x −1
dx =
ĐS: F(x) =2x +3ln
|
x −1
|
+C
Lời giải: F(x) =
Z
2x +1
x −1
dx =
Z
2+
3
x −1
dx =2x +3ln
|
x −1
|
+C
Bài 15. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định)
1 f (x) =
3x +1
x −2
⇒F(x) =
Z
3x +1
x −2
dx =
ĐS: F(x) =3x +7ln
|
x −2
|
+C
- Lời giải.
F(x) =
Z
3x +1
x −2
dx =
Z
3+
7
x −2
dx =3x +7ln
|
x −2
|
+C. ä
2 f (x) =
x +1
2x +3
⇒F(x) =
Z
x +1
2x +3
dx =
ĐS: F(x) =
x
2
−
ln
|
2x +3
|
2
+C
- Lời giải.
F(x) =
Z
x +1
2x +3
dx =
Z
1
2
−
1
2
(
2x +3
)
dx =
x
2
−
ln
|
2x +3
|
2
+C. ä
3 f (x) =
x −1
3x +1
⇒F(x) =
Z
x −1
3x +1
dx =
ĐS: F(x) =
x
3
−
4ln
|
3x +1
|
3
+C
- Lời giải.
F(x) =
Z
x −1
3x +1
dx =
Z
1
3
−
4
3
(
3x +1
)
dx =
x
3
−
4ln
|
3x +1
|
3
+C. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 37 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
4 f (x) =
x
2
+x +1
x +1
⇒F(x) =
Z
f (x) dx =
ĐS: F(x) =
x
2
2
+ln
|
x +1
|
+C
- Lời giải.
F(x) =
Z
x
2
+x +1
x +1
dx =
Z
x +
1
x +1
dx =
x
2
2
+ln
|
x +1
|
+C. ä
5 f (x) =
4x
2
+6x +1
2x +1
⇒F(x) =
Z
f (x) dx =
ĐS: F(x) = x
2
+2x −ln
|
2x +1
|
+C
- Lời giải.
F(x) =
Z
4x
2
+6x +1
2x +1
dx =
Z
2x +2−
1
2x +1
dx = x
2
+2x −ln
|
2x +1
|
+C. ä
6 f (x) =
x
2
−x +2
2x +1
⇒F(x) =
Z
f (x) dx =
ĐS: F(x) =
x
2
4
−
3x
4
+
11ln
|
2x +1
|
4
+C
- Lời giải.
F(x) =
Z
x
2
−x +2
2x +1
dx =
Z
x
2
−
3
4
+
11
4
(
2x +1
)
dx =
x
2
4
−
3x
4
+
11ln
|
2x +1
|
4
+C. ä
7 f (x) =
4x
3
+4x
2
−1
2x +1
⇒F(x) =
Z
f (x) dx =
ĐS: F(x) =
2x
3
3
+
x
2
2
−
x
2
−
ln
|
2x +1
|
2
+C
- Lời giải.
F(x) =
Z
4x
3
+4x
2
−1
2x +1
dx =
Z
2x
2
+x −
1
2
−
1
2
(
2x +1
)
dx =
2x
3
3
+
x
2
2
−
x
2
−
ln
|
2x +1
|
2
+C. ä
8 f (x) =
x
3
−2x
2
+3x −5
2x +3
⇒F(x) =
Z
f (x) dx =
ĐS: F(x) =
x
3
6
−
7x
2
8
+
33x
8
−
139ln
|
2x +3
|
8
+C
- Lời giải.
F(x) =
Z
x
3
−2x
2
+3x −5
2x +3
dx =
Z
x
2
2
−
7x
4
+
33
8
−
139
8
(
2x +3
)
dx =
x
3
6
−
7x
2
8
+
33x
8
−
139ln
|
2x +3
|
8
+C.
ä
Ví dụ 14. Tìm nguyên của hàm số f (x) =
1
x
2
−a
2
⇒F(x) =
Z
f (x) dx =
ĐS: F(x) =
ln
¯
¯
¯
x −a
x +a
¯
¯
¯
2a
+C
Lời giải: F(x) =
Z
1
x
2
−a
2
dx =
1
2a
Z
µ
1
x −a
−
1
x +a
¶
dx =
ln
¯
¯
¯
x −a
x +a
¯
¯
¯
2a
+C.
Bài 16. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định)
1 f (x) =
1
x
2
−4
⇒F(x) =
Z
f (x) dx =
ĐS: F(x) =
ln
¯
¯
¯
¯
x −2
x +2
¯
¯
¯
¯
4
+C
Th.s Nguyễn Chín Em 38 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
F(x) =
Z
1
x
2
−4
dx =
ln
¯
¯
¯
¯
x −2
x +2
¯
¯
¯
¯
4
+C. ä
2 f (x) =
1
x(x +1)
⇒F(x) =
Z
f (x) dx =
ĐS: F(x) =ln
¯
¯
¯
x
x −1
¯
¯
¯
+C
- Lời giải.
F(x) =
Z
1
x(x +1)
dx =
Z
1
x
−
1
x +1
dx =ln
¯
¯
¯
x
x −1
¯
¯
¯
+C ä
3 f (x) =
3
x
2
+3x
⇒F(x) =
Z
f (x) dx =
ĐS: F(x) =ln
¯
¯
¯
x
x +3
¯
¯
¯
+C
- Lời giải.
F(x) =
Z
3
x
2
+3x
dx =
Z
1
x
−
1
x +3
dx =ln
¯
¯
¯
x
x +3
¯
¯
¯
+C. ä
4 f (x) =
4
x
2
−4x
⇒F(x) =
Z
f (x) dx =
ĐS: F(x) =ln
¯
¯
¯
¯
x −4
x
¯
¯
¯
¯
+C
- Lời giải.
F(x) =
Z
4
x
2
−4x
dx =
Z
1
x −4
−
1
x
dx =ln
¯
¯
¯
¯
x −4
x
¯
¯
¯
¯
+C. ä
5 f (x) =
1
x
2
−6x +5
⇒F(x) =
Z
f (x) dx =
ĐS: F(x) =
1
4
ln
¯
¯
¯
¯
x −5
x −1
¯
¯
¯
¯
+C
- Lời giải.
F(x) =
Z
1
x
2
−6x +5
dx =
Z
1
(x −1)(x −5)
dx =
1
4
Z
1
x −5
−
1
x −1
dx =
1
4
ln
¯
¯
¯
¯
x −5
x −1
¯
¯
¯
¯
+C. ä
6 f (x) =
1
x
2
+4x −5
⇒F(x) =
Z
f (x) dx =
ĐS: F(x) =
1
6
ln
¯
¯
¯
¯
x +5
x −1
¯
¯
¯
¯
+C
- Lời giải.
F(x) =
Z
1
x
2
+4x −5
dx =
Z
1
(x +5)(x −1)
dx =
1
6
Z
1
x −1
−
1
x +5
dx =
1
6
ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +5
¯
¯
¯
¯
+C. ä
7 f (x) =
1
2x
2
−x −6
⇒F(x) =
Z
f (x) dx =
ĐS: F(x) =
1
7
ln
¯
¯
¯
¯
¯
x −2
x +
3
2
¯
¯
¯
¯
¯
+C
- Lời giải.
F(x) =
Z
1
2x
2
−x −6
dx =
Z
1
2(x +
3
2
)(x −2)
dx =
1
2
·
1
2+
3
2
Z
1
x −2
−
1
x +
3
2
dx =
1
7
ln
¯
¯
¯
¯
¯
x −2
x +
3
2
¯
¯
¯
¯
¯
+C. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 39 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
8 f (x) =
1
2x
2
−3x −9
⇒F(x) =
Z
f (x) dx =
ĐS: F(x) =
1
9
ln
¯
¯
¯
¯
¯
x −3
x +
3
2
¯
¯
¯
¯
¯
+C
- Lời giải.
F(x) =
Z
1
2x
2
−3x −9
dx =
Z
1
2(x +
3
2
)(x −3)
dx =
1
2
·
1
3+
3
2
Z
1
x −3
−
1
x +
3
2
dx =
1
9
ln
¯
¯
¯
¯
¯
x −3
x +
3
2
¯
¯
¯
¯
¯
+C. . ä
9 f (x) =
4x −5
x
2
−x −2
⇒F(x) =
Z
f (x) dx =
ĐS: F(x) =ln
|
x −2
|
+3ln
|
x +1
|
+C
- Lời giải.
Áp dụng công thức:
mx +n
(ax +b)(cx +d)
=
1
ad −bc
·
−(mb −na)
ax +b
+
md −nc
cx +d
¸
.
F(x) =
Z
4x −5
x
2
−x −2
dx
=
Z
4x −5
(x −2)(x +1)
dx
=
Z
1
1+2
·
−(4·(−2)−(−5))
x −2
+
4·1−(−5)
x +1
¸
dx
=
Z
1
3
·
3
x −2
+
9
x +1
¸
dx
=
Z
·
1
x −2
+
3
x +1
¸
dx
= ln
|
x −2
|
+3ln
|
x +1
|
+C
ä
10 f (x) =
4x +11
x
2
+5x +6
⇒F(x) =
Z
f (x) dx =
ĐS: F(x) =3ln
|
x +2
|
+ln
|
x +3
|
+C
- Lời giải.
Áp dụng công thức:
mx +n
(ax +b)(cx +d)
=
1
ad −bc
·
−(mb −na)
ax +b
+
md −nc
cx +d
¸
.
F(x) =
Z
4x +11
x
2
+5x +6
dx
=
Z
4x +11
(x +2)(x +3)
dx
=
Z
1
3−2
·
−(4·2−(11·1))
x +2
+
4·3−11·1
x +3
¸
dx
=
Z
·
3
x +2
+
1
x +3
¸
dx
= 3ln
|
x +2
|
+ln
|
x +3
|
+C
ä
11 f (x) =
x +1
x
2
−x −6
⇒F(x) =
Z
f (x) dx =
ĐS: F(x) =
4
5
ln
|
x −3
|
+
1
5
ln
|
x +2
|
+C
Th.s Nguyễn Chín Em 40 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Áp dụng công thức:
mx +n
(ax +b)(cx +d)
=
1
ad −bc
·
−(mb −na)
ax +b
+
md −nc
cx +d
¸
.
F(x) =
Z
x +1
x
2
−x −6
dx =
Z
x +1
(x −3)(x +2)
dx =
Z
1
5
·
4
x −3
+
1
x +2
¸
dx =
4
5
ln
|
x −3
|
+
1
5
ln
|
x +2
|
+C.
ä
12 f (x) =
5x −3
x
2
−3x +2
⇒F(x) =
Z
f (x) dx =
ĐS: F(x) =
- Lời giải.
Áp dụng công thức:
mx +n
(ax +b)(cx +d)
=
1
ad −bc
·
−(mb −na)
ax +b
+
md −nc
cx +d
¸
.
F(x) =
Z
5x −3
x
2
−3x +2
dx
=
Z
5x −3
(x −2)(x −1)
dx
=
Z
1
1
·
7
x −2
+
−2
x −1
¸
dx
=
Z
·
7
x −2
−
2
x −1
¸
dx
= 7ln
|
x −2
|
−2ln
|
x −1
|
+C
ä
13 f (x) =
2x
2
+6x −4
x(x
2
−4)
⇒F(x) =
Z
f (x) dx =
ĐS: F(x) =ln
|
x
|
−ln
|
x +2
|
+2ln
|
x −2
|
+C
- Lời giải.
F(x) =
Z
2x
2
+6x −4
x(x
2
−4)
dx =
Z
·
1
x
−
1
x +2
+
2
x −2
¸
dx =ln
|
x
|
−ln
|
x +2
|
+2ln
|
x −2
|
+C. ä
14 f (x) =
2x
2
−6x −6
x
3
−6x
2
+11x −6
⇒F(x) =
Z
f (x) dx =
ĐS: F(x) =10ln
|
x −2
|
−3ln
|
x −3
|
−5ln
|
x −1
|
+C
- Lời giải.
F(x) =
Z
2x
2
−6x −6
x
3
−6x
2
+11x −6
dx
=
Z
·
10
x −2
−
3
x −3
−
5
x −5
¸
dx
= 10ln
|
x −2
|
−3ln
|
x −3
|
−5ln
|
x −1
|
+C
ä
15 f (x) =
1
x
2
−6x +9
⇒F(x) =
Z
f (x) dx =
ĐS: F(x) =−
1
x −3
+C
- Lời giải.
F(x) =
Z
1
x
2
−6x +9
dx =
Z
1
(x −3)
2
dx =−
1
x −3
+C. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 41 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
16 f (x) =
3x +2
4x
2
−4x +1
⇒F(x) =
Z
f (x) dx =
ĐS: F(x) =
3
4
ln
|
2x −1
|
−
1
4(2x −1)
+C
- Lời giải.
F(x) =
Z
3x +2
4x
2
−4x +1
dx
=
Z
"
3
2
(2x −1)+
1
2
(2x −1)
2
#
dx
=
Z
·
3
2(2x −1)
+
1
2(2x −1)
2
¸
dx
=
3
4
ln
|
2x −1
|
−
1
4(2x −1)
+C
ä
17 f (x) =
3x +1
(x +1)
3
⇒F(x) =
Z
f (x) dx =
ĐS: F(x) =−
3
x +1
+
1
(x +1)
2
+C
- Lời giải.
F(x) =
Z
3x +1
(x +1)
3
dx
=
Z
·
3(x +1)−2
(x +1)
3
¸
dx
=
Z
·
3
(x +1)
2
−
2
(x +1)
3
¸
dx
= −
3
x +1
+
1
(x +1)
2
+C
ä
Ví dụ 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =
2x −1
(x −1)
3
⇒F(x) =
Z
f (x)dx =...
ĐS: F(x) =−
2
x −1
−
1
2(x −1)
2
+C Lời giải:
F(x) =
Z
2x −1
(x −1)
3
dx
=
Z
·
2(x −1)+1
(x −1)
3
¸
dx
=
Z
·
2
(x −1)
2
+
1
(x −1)
3
¸
dx
= −
2
x −1
−
1
2(x −1)
2
+C.
Bài 17. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định)
1 f (x) =
1
x
2
(x −1)
⇒F(x) =
Z
f (x)dx =...
ĐS: F(x) =ln|x −1|−ln|x|+
1
x
+C
Th.s Nguyễn Chín Em 42 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
F(x) =
Z
1
x
2
(x −1)
dx
=
Z
·
x
2
−(x
2
−1)
x
2
(x −1)
¸
dx
=
Z
·
1
x −1
−
x +1
x
2
¸
dx
=
Z
·
1
x −1
−
1
x
−
1
x
2
¸
dx
= ln|x −1|−ln|x|+
1
x
+C.
ä
2 f (x) =
2
(x −1)(x +2)
2
⇒F(x) =
Z
f (x)dx =
ĐS: F(x) =
2
9
ln|x −1|−
2
9
ln|x +2|+
2
3
·
1
x +2
+C
- Lời giải.
F(x) =
Z
2
(x −1)(x +2)
2
dx
=
2
3
Z
·
x +2−(x −1)
(x −1)(x +2)
2
¸
dx
=
2
3
Z
·
1
(x −1)(x +2)
−
1
(x +2)
2
¸
dx
=
2
3
Z
·
1
3
µ
1
x −1
−
1
x +2
¶
−
1
(x +2)
2
¸
dx
=
2
9
ln|x −1|−
2
9
ln|x +2|+
2
3
·
1
x +2
+C.
ä
3 f (x) =
3
x(x −1)
2
⇒F(x) =
Z
f (x)dx =...
ĐS: F(x) =−
3
x −1
−3ln|x −1|+3ln|x|+C
- Lời giải.
F(x) =
Z
3
x(x −1)
2
dx
=
Z
·
3x −3(x −1)
x(x −1)
2
¸
dx
=
Z
·
3
(x −1)
2
−
3
x(x −1)
¸
dx
=
Z
·
3
(x −1)
2
−
3
x −1
+
3
x
¸
dx
= −
3
x −1
−3ln|x −1|+3ln|x|+C.
ä
4 f (x) =
4
(x
2
−x)(x −2)
2
⇒F(x) =
Z
f (x)dx =...
ĐS: F(x) =−ln|x|+4ln|x −1|−3ln|x −2|−
2
x −2
+C
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 43 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có f (x) =
4
(x
2
−x)(x −2)
2
=
A
x
+
B
x −1
+
D
x −2
+
E
(x −2)
2
⇒ A(x −1)(x −2)
2
+Bx(x −2)
2
+Dx(x −1)(x −2)+Ex(x −1) =4
⇒(A +B +D)x
3
+(−5A −4B −3D +E)x
2
+(8A +4B +2D −E)x −4A =4
⇒
A +B +D =0
−5A −4B −3D +E =0
8A +4B +2D −E =0
−4A =4
⇔
A =−1
B =4
D =−3
E =2.
Khi đó
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
·
−
1
x
+
4
x −1
−
3
x −2
+
2
(x −2)
2
¸
dx
= −ln|x|+4ln|x −1|−3ln|x −2|−
2
x −2
+C.
ä
5 f (x) =
x +1
x(x −1)
2
⇒F(x) =
Z
f (x)dx =...
ĐS: F(x) =ln|x|−ln|x −1|−
2
x −1
+C
- Lời giải.
Ta có f (x) =
x +1
x(x −1)
2
=
A
x
+
B
x −1
+
D
(x −1)
2
⇒ A(x −1)
2
+Bx(x −1)+Dx = x +1
⇒(A +B)x
2
+(−2A −B +D)x +A = x +1
⇒
A +B =0
−2A −B +D =1
A =1
⇔
A =1
B =−1
D =2.
Khi đó
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
·
1
x
−
1
x −1
+
2
(x −1)
2
¸
dx
= ln|x|−ln|x −1|−
2
x −1
+C.
ä
6 f (x) =
x
2
+10x −6
x
3
−2x
2
−7x −4
⇒F(x) =
Z
f (x)dx =...
ĐS: 2ln|x −4|−ln|x +1|−
3
x +1
+C
- Lời giải.
Ta có f (x) =
x
2
+10x −6
x
3
−2x
2
−7x −4
=
x
2
+10x −6
(x −4)(x +1)
2
=
A
x −4
+
B
x +1
+
D
(x +1)
2
⇒ A(x +1)
2
+B(x −4)(x +1)+D(x −4) = x
2
+10x −6
⇒(A +B)x
2
+(2A −3B +D)x +A −4B −4D = x
2
+10x −6
⇒
A +B =1
2A −3B +D =10
A −4B −4D =−6
⇔
A =2
B =−1
D =3.
Th.s Nguyễn Chín Em 44 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
·
2
x −4
−
1
x +1
+
3
(x +1)
2
¸
dx
= 2ln|x −4|−ln|x +1|−
3
x +1
+C.
ä
7 f (x) =
3x +6
x(x −1)(x −2)
2
⇒F(x) =
Z
f (x)dx =...
ĐS: −
3
2
ln|x|+9ln|x −1|−
15
2
ln|x −2|−
6
x −2
+C
- Lời giải.
Ta có f (x) =
3x +6
x(x −1)(x −2)
2
=
A
x
+
B
x −1
+
D
(x −2)
+
E
(x −2)
2
⇒ A(x −1)(x −2)
2
+Bx(x −2)
2
+Dx(x −1)(x −2)+Ex(x −1) =3x +6
⇒(A +B +D)x
3
+(−5A −4B −3D +E)x
2
+(8A +4B +2D −E)x −4A =3x +6
⇒
A +B +D =0
−5A −4B −3D +E =0
8A +4B +2D −E =3
−4A =6
⇔
A =−
3
2
B =9
D =−
15
2
E =6.
Khi đó
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
·
−
3
2x
+
9
x −1
−
15
2(x −2)
+
6
(x −2)
2
¸
dx
= −
3
2
ln|x|+9ln|x −1|−
15
2
ln|x −2|−
6
x −2
+C.
ä
Ví dụ 16. Tìm một nguyên hàm của hàm số F(x) của hàm số f (x) =
x
x +1
thỏa F(2) =3−ln3.
ĐS: F(x) = x −ln|x +1|+1 Lời giải: Ta có
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
x
x +1
dx
=
Z
µ
1−
1
x +1
¶
dx
= x −ln|x +1|+C.
Ta lại có F(2) =3−ln3 ⇔2−ln3+C =3−ln3 ⇔ C =1.
Vậy F(x) = x −ln|x +1|+1.
Bài 18. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F(x
0
) = k.
Th.s Nguyễn Chín Em 45 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
1 Tìm một nguyên hàm của hàm số F(x) của hàm số f (x) =
x
2
x −1
biết đồ thị hàm số y = F(x) đi qua
điểm M(2;5).
ĐS: F(x) =
1
2
x
2
+x +ln|x −1|+1
- Lời giải.
Ta có
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
x
2
x −1
dx
=
Z
µ
x +1+
1
x −1
¶
dx
=
1
2
x
2
+x +ln|x −1|+C.
Ta lại có F(2) =5 ⇔2+2+ln1+C =5 ⇔C =1.
Vậy F(x) =
1
2
x
2
+x +ln|x −1|+1. ä
2 Tìm một nguyên hàm của hàm số F(x) của hàm số f (x) =
x
2
x +2
biết F(−1) =3.
ĐS: F(x) =
1
2
x
2
−2x +4ln|x +2|+
1
2
- Lời giải.
Ta có
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
x
2
x +2
dx
=
Z
µ
x −2+
4
x +2
¶
dx
=
1
2
x
2
−2x +4ln|x +2|+C.
Ta lại có F(−1) =3 ⇔
1
2
+2+4ln1+C =3 ⇔C =
1
2
.
Vậy F(x) =
1
2
x
2
−2x +4ln|x +2|+
1
2
. ä
3 Hàm số f (x) =
x
3
x
2
+2x +1
có một nguyên hàm là F(x) thỏa F(−2) =6. Tính F(0).
ĐS: F(0) =2
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 46 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
x
3
x
2
+2x +1
dx
=
Z
·
x
3
+1
(x +1)
2
−
1
(x +1)
2
¸
dx
=
Z
·
x
2
−x +1
x +1
−
1
(x +1)
2
¸
dx
=
Z
·
x −2+
3
x +1
−
1
(x +1)
2
¸
dx
=
1
2
x
2
−2x +3ln|x +1|+
1
x +1
+C.
Ta lại có F(−2) =6 ⇔2+4+3ln1−1+C =6 ⇔C =1.
Do đó F(x) =
1
2
x
2
−2x +3ln|x +1|+
1
x +1
+1.
Vậy F(0) =2. ä
4 Hàm số f (x) =
x
(x +1)
3
có một nguyên hàm là F(x) thỏa F
µ
−
3
2
¶
=5. Tính F
µ
−
1
2
¶
.
ĐS: F
µ
−
1
2
¶
=1
- Lời giải.
Ta có
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
x
(x +1)
3
dx
=
Z
x +1−1
(x +1)
3
dx
=
Z
·
1
(x +1)
2
−
1
(x +1)
3
¸
dx
= −
1
x +1
+
1
2(x +1)
2
+C.
Ta lại có F
µ
−
3
2
¶
=5 ⇔2+2+C =5 ⇔C =1.
Do đó F(x) =−
1
x +1
+
1
2(x +1)
2
+1.
Vậy F
µ
−
1
2
¶
=1. ä
5 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
3x +1
(x +1)
3
biết F(−2) =5.
ĐS: F(x) =−
3
x +1
+
1
(x +1)
2
+1
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 47 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
3x +1
(x +1)
3
dx
=
Z
3(x +1)−2
(x +1)
3
dx
=
Z
·
3
(x +1)
2
−
2
(x +1)
3
¸
dx
= −
3
x +1
+
1
(x +1)
2
+C.
Ta lại có F(−2) =5 ⇔3+1+C =5 ⇔C =1.
Vậy F(x) =−
3
x +1
+
1
(x +1)
2
+1. ä
6 Hàm số f (x) =
x
(2x +1)
3
có một nguyên hàm là F(x) thỏa F
µ
−
1
4
¶
=
1
9
. Tính F
µ
−
1
8
¶
.
ĐS: F
µ
−
1
8
¶
=0
- Lời giải.
Ta có
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
x
(2x +1)
3
dx
=
1
2
Z
2x +1−1
(2x +1)
3
dx
=
1
2
Z
·
1
(2x +1)
2
−
1
(2x +1)
3
¸
dx
= −
1
4
·
1
2x +1
+
1
8
·
1
(2x +1)
2
+C.
Ta lại có F
µ
−
1
4
¶
=
1
9
⇔−
1
2
+
1
2
+C =
1
9
⇔C =
1
9
.
Do đó F(x) =−
1
4(2x +1)
+
1
8(2x +1)
2
+
1
9
.
Vậy F
µ
−
1
8
¶
=0. ä
7 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
x
3
x −1
biết F(2) =
5
3
.
ĐS: F(x) =
1
3
x
3
+
1
2
x
2
+x +ln|x −1|−5
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 48 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
x
3
x −1
dx
=
Z
x
3
−1+1
x −1
dx
=
Z
µ
x
2
+x +1+
1
x −1
¶
dx
=
1
3
x
3
+
1
2
x
2
+x +ln|x −1|+C.
Ta lại có F(2) =
5
3
⇔
8
3
+2+2 +C =
5
3
⇔C =−5.
Vậy F(x) =
1
3
x
3
+
1
2
x
2
+x +ln|x −1|−5. ä
8 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
x
3
−1
x +1
biết F(1) =
5
6
.
ĐS: F(x) =
1
3
x
3
−
1
2
x
2
+x −2ln|x +1|+2ln2
- Lời giải.
Ta có
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
x
3
−1
x +1
dx
=
Z
x
3
+1−2
x +1
dx
=
Z
µ
x
2
−x +1−
2
x +1
¶
dx
=
1
3
x
3
−
1
2
x
2
+x −2ln|x +1|+C.
Ta lại có F(1) =
5
6
⇔
1
3
−
1
2
+1−2ln2+C =
5
6
⇔C =2ln2.
Vậy F(x) =
1
3
x
3
−
1
2
x
2
+x −2ln|x +1|+2ln2. ä
9 Hàm số f (x) =
x
3
x +2
có một nguyên hàm là F(x) thỏa F(−3) =0. Tính F(−1).
ĐS: F(−1) =
74
3
- Lời giải.
Ta có
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
x
3
x +2
dx
=
Z
x
3
+8−8
x +2
dx
=
Z
µ
x
2
−2x +4−
8
x +2
¶
dx
=
1
3
x
3
−x
2
+4x −8ln|x +2|+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 49 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta lại có F(−3) =0 ⇔−9−9−12 +C =0 ⇔C =30.
Do đó F(x) =
1
3
x
3
−x
2
+4x −8ln|x +2|+30.
Vậy F(−1) =
74
3
. ä
10 Biết f
0
(x ) =
2x +3
x +1
và f (2) =6. Tính giá trị của e
f (0)
.
ĐS: e
f (0)
=
1
3
e
2
- Lời giải.
Ta có
f (x) =
Z
f
0
(x )dx
=
Z
2x +3
x +1
dx
=
Z
µ
2+
1
x +1
¶
dx
= 2x +ln|x +1|+C.
Ta lại có f (2) =6 ⇔4+ln3+C =6 ⇔C =2 −ln3.
Do đó f (x) =2x +ln|x +1|+2−ln3.
Vậy e
f (0)
=e
2−ln3
=
1
3
e
2
. ä
11 Gọi F(x ) là một nguyên hàm của f (x) =
x −3
x
2
+2x −3
thỏa F(0) =0. Tính F(−2).
ĐS: F(−2) =−2ln3
- Lời giải.
Ta có f (x) =
x −3
x
2
+2x −3
=
A
x −1
+
B
x +3
⇒(A +B)x +3A −B = x −3
⇒
A +B =1
3A −B =−3
⇔
A =−
1
2
B =
3
2
.
Khi đó
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
x −3
x
2
+2x −3
dx
=
Z
µ
−
1
2
·
1
x −1
+
3
2
·
1
x +3
¶
dx
= −
1
2
ln|x −1|+
3
2
ln|x +3|+C.
Ta lại có F(0) =0 ⇔
3
2
ln3+C =0 ⇔C =−
3
2
ln3.
Do đó F(x) =−
1
2
ln|x −1|+
3
2
ln|x +3|−
3
2
ln3.
Vậy F(−2) =−2ln3. ä
12 Gọi F(x ) là một nguyên hàm của f (x) =
(x +1)
2
x +2
thỏa F(−1) =
1
2
. Tính F(2).
ĐS: F(2) =2+ln4
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 50 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
(x +1)
2
x +2
dx
=
Z
x
2
+2x +1
x +2
dx
=
Z
µ
x +
1
x +2
¶
dx
=
1
2
x
2
+ln|x +2|+C.
Ta lại có F(−1) =
1
2
⇔
1
2
+C =
1
2
⇔C =0.
Do đó F(x) =
1
2
x
2
+ln|x +2|.
Vậy F(2) =2 +ln4. ä
13 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
1
4x
2
+4x +1
; biết rằng đồ thị hàm số y = F(x) đi qua
điểm M
µ
−1;
1
2
¶
.
ĐS: F(x) =−
1
2(2x +1)
- Lời giải.
Ta có
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
1
4x
2
+4x +1
dx
=
Z
1
(2x +1)
2
dx
= −
1
2(2x +1)
+C.
Ta lại có F(−1) =
1
2
⇔
1
2
+C =
1
2
⇔C =0.
Vậy F(x) =−
1
2(2x +1)
. ä
14 Hàm số f (x) =
2x +9
x +3
có một nguyên hàm là F(x) thỏa F(−2) =0. Biết phương trình F(x) =2x +4 có
hai nghiệm x
1
, x
2
. Tính tổng
1
2
x
1
+
1
2
x
2
.
ĐS:
1
2
x
1
+
1
2
x
2
=20
- Lời giải.
Ta có
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
2x +9
x +3
dx
=
Z
µ
2+
3
x +3
¶
dx
= 2x +3ln|x +3|+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 51 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta lại có F(−2) =0 ⇔−4+C =0 ⇔C =4.
Khi đó phương trình F(x) = 2x +4 ⇔ 2x +3ln|x +3|+4 = 2x +4 ⇔ |x +3| = 1 ⇔
x +3 =1
x +3 =−1
⇔
x =−2(= x
1
)
x =−4(= x
2
).
Vậy
1
2
x
1
+
1
2
x
2
=20. ä
15 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
2x
2
+2x +3
2x +1
, biết đồ thị của hàm số y = F(x) cắt trục
tung tại điểm có tung độ bằng
9
8
.
ĐS: F(x) =
1
2
x
2
+
1
2
x +
5
4
ln|2x +1|
- Lời giải.
Ta có
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
2x
2
+2x +3
2x +1
dx
=
Z
µ
x +
1
2
+
5
2
·
1
2x +1
¶
dx
=
1
2
x
2
+
1
2
x +
5
4
ln|2x +1|+C.
Ta lại có F(0) =
9
8
⇔C =
9
8
.
Vậy F(x) =
1
2
x
2
+
1
2
x +
5
4
ln|2x +1|. ä
16 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
1
x
2
+3x
thỏa mãn F(1) =−
5
3
ln2.
ĐS: F(x) =
1
3
ln|x|−
1
3
ln|x +3|−ln2
- Lời giải.
Ta có
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
1
x
2
+3x
dx
=
1
3
Z
µ
1
x
−
1
x +3
¶
dx
=
1
3
ln|x|−
1
3
ln|x +3|+C.
Ta lại có F(1) =−
5
3
ln2 ⇔−
1
3
ln4+C =−
5
3
ln2 ⇔C =−ln2.
Vậy F(x) =
1
3
ln|x|−
1
3
ln|x +3|−ln2. ä
17 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
1
x
2
+x −2
; biết rằng đồ thị của hàm số y =F(x) cắt trục
tung tại điểm có tung độ bằng
2
3
ln2.
ĐS: F(x) =
1
3
ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +2
¯
¯
¯
¯
+ln2
Th.s Nguyễn Chín Em 52 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
1
x
2
+x −2
dx
=
1
3
Z
µ
1
x −1
−
1
x +2
¶
dx
=
1
3
ln|x −1|−
1
3
ln|x +2|+C.
Ta lại có F(0) =
2
3
ln2 ⇔−
1
3
ln2+C =
2
3
ln2 ⇔C =ln2.
Vậy F(x) =
1
3
ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +2
¯
¯
¯
¯
+ln2. ä
18 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
1
x
2
−x −6
; biết F(−1) =
6
5
ln4.
ĐS: F(x) =
1
5
ln
¯
¯
¯
¯
x −3
x +2
¯
¯
¯
¯
+ln4
- Lời giải.
Ta có
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
1
x
2
−x −6
dx
=
1
5
Z
µ
1
x −3
−
1
x +2
¶
dx
=
1
5
ln|x −3|−
1
5
ln|x +2|+C.
Ta lại có F(−1) =
6
5
ln4 ⇔
1
5
ln4+C =
6
5
ln4 ⇔C =ln4.
Vậy F(x) =
1
5
ln
¯
¯
¯
¯
x −3
x +2
¯
¯
¯
¯
+ln4. ä
19 Hàm số f (x) =
1
x
2
−3x +2
có một nguyên hàm là F(x) thỏa F(3) =0. Tính F
µ
2
3
¶
.
ĐS: F
µ
2
3
¶
=3ln2
- Lời giải.
Ta có
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
1
x
2
−3x +2
dx
=
Z
µ
1
x −2
−
1
x −1
¶
dx
= ln|x −2|−ln|x −1|+C.
Ta lại có F(3) =0 ⇔−ln2+C =0 ⇔C =ln2.
Do đó F(x) =ln
¯
¯
¯
¯
x −2
x −1
¯
¯
¯
¯
+ln2.
Vậy F
µ
2
3
¶
=ln
4
3
−ln
1
3
+ln2 =ln8 =3ln2. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 53 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
20 Hàm số f (x) =
2x +3
2x
2
−x −1
có một nguyên hàm là F(x) thỏa F(−1) =
11
3
ln2. Tìm e
F(0)
.
ĐS: e
F(0)
=4
- Lời giải.
Ta có f (x) =
2x +3
2x
2
−x −1
=
A
2x +1
+
B
x −1
⇒ A(x −1)+B(2x +1) =2x +3 ⇒(A +2B)x − A +B =2x +3 ⇒
A +2B =2
−A +B =3
⇔
A =−
4
3
B =
5
3
.
Khi đó
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
2x +3
2x
2
−x −1
dx
=
Z
µ
−
4
3
·
1
2x +1
+
5
3
·
1
x −1
¶
dx
= −
2
3
ln|2x +1|+
5
3
ln|x −1|+C.
Ta lại có F(−1) =
11
3
ln2 ⇔
5
3
ln2+C =
11
3
ln2 ⇔C =2ln2.
Do đó F(x) =−
2
3
ln|2x +1|+
5
3
ln|x −1|+2ln2.
Vậy e
F(0)
=e
2ln2
=4. ä
21 Hàm số f (x) =
4x +11
x
2
+5x +6
có một nguyên hàm là F(x) thỏa F(−1) =ln2. Tìm e
F(−4)
.
ĐS: e
F(−4)
=3ln2
- Lời giải.
Ta có f (x) =
4x +11
x
2
+5x +6
=
A
x +2
+
B
x +3
⇒ A(x +3)+B(x +2) =4x +11 ⇒(A +B)x +3A +2B =4x +11 ⇒
A +B =4
3A +2B =11
⇔
A =3
B =1.
Khi đó
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
4x +11
x
2
+5x +6
dx
=
Z
µ
3
x +2
+
1
x +3
¶
dx
= 3ln|x +2|+ln|x +3|+C.
Ta lại có F(−1) =ln2 ⇔ln2+C =ln2 ⇔C =0.
Do đó F(x) =3ln|x +2|+ln|x +3|.
Vậy e
F(−4)
=3ln2. ä
22 Hàm số f (x) =
5x +3
x
2
+7x +12
có một nguyên hàm là F(x) thỏa F(−2) =18ln2. Tìm F(−5).
ĐS: F(−5) =−11ln2
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 54 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có f (x) =
5x +3
x
2
+7x +12
=
A
x +3
+
B
x +4
⇒ A(x +4)+B(x +3) =5x +3 ⇒(A +B)x +4A +3B =5x +3 ⇒
A +B =5
4A +3B =3
⇔
A =−12
B =17.
Khi đó
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
5x +3
x
2
+7x +12
dx
=
Z
µ
−
12
x +3
+
17
x +4
¶
dx
= −12ln|x +3|+17ln|x +4|+C.
Ta lại có F(−2) =18ln2 ⇔17ln2+C =18ln2 ⇔C =ln2.
Do đó F(x) =−12ln|x +3|+17ln|x +4|+ln2.
Vậy F(−5) =−12ln2+ln2 =−11ln2. ä
23 Hàm số f (x) =
9x −10
6x
2
−11x +3
có một nguyên hàm là F(x) thỏa F(1) = ln2. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm
của phương trình F(x) =ln|3x −1|+
1
2
ln3. Tính 3
x
1
+3
x
2
.
ĐS: 3
x
1
+3
x
2
=28
- Lời giải.
Ta có f (x) =
9x −10
6x
2
−11x +3
=
A
2x −3
+
B
3x −1
⇒ A(3x −1)+B(2x −3) =9x −10 ⇒(3A +2B)x − A −3B =9x −10 ⇒
3A +2B =9
−A −3B =−10
⇔
A =1
B =3.
Khi đó
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
9x −10
6x
2
−11x +3
dx
=
Z
µ
1
2x −3
+
3
3x −1
¶
dx
=
1
2
ln|2x −3|+ln|3x −1|+C.
Ta lại có F(1) =ln2 ⇔C =0.
Do đó F(x) =
1
2
ln|2x −3|+ln|3x −1|.
Phương trình F(x) =ln|3x −1|+
1
2
ln3 ⇔
1
2
ln|2x −3|+ln|3x −1|=ln|3x −1|+
1
2
ln3 ⇔|2x −3|=3
⇔
2x −3 =3
2x −3 =−3
⇔
x =3(= x
1
)
x =0(= x
2
)
.
Vậy 3
x
1
+3
x
2
=28. ä
24 Hàm số f (x) =
1
x
2
(x +1)
có một nguyên hàm là F(x) thỏa F(1) =ln2. Tính F(−2).
ĐS: F(−2) =
3
2
−ln2
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 55 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có f (x) =
1
x
2
(x +1)
=
A
x +1
+
B
x
+
D
x
2
⇒ Ax
2
+Bx(x +1)+D(x +1) =1 ⇒(A +B)x
2
+(B +D)x +D =1 ⇒
A +B =0
B +D =0
D =1
⇔
A =1
B =−1
D =1.
Khi đó
F(x) =
Z
f (x)dx
=
Z
1
x
2
(x +1)
dx
=
Z
µ
1
x +1
−
1
x
+
1
x
2
¶
dx
= ln|x +1|−ln|x|−
1
x
+C.
Ta lại có F(1) =ln2 ⇔ln2−1+C =ln2 ⇔ C =1.
Do đó F(x) =ln|x +1|−ln|x|−
1
x
+1.
Vậy F(−2) =−ln2+
1
2
+1 =
3
2
−ln2. ä
3.2 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
Định lí
Cho
Z
f (u)du =F(u) +C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
Z
f
[
u(x)
]
u
0
(x )dx =F
[
u(x)
]
+C.
Một số dạng đổi biến thường gặp
1
I =
Z
f (ax +b)
n
·x dx
phương pháp
−−−−−−−−→ Đặt t = ax +b ⇒ dt = adx.
I =
Z
f
µ
x
n
ax
n+1
+1
¶
m
dx
phương pháp
−−−−−−−−→ Đặt t = ax
n+1
+1 ⇒ dt = a(n +1)x
n
dx , với m,n ∈Z.
I =
Z
f (ax
2
+b)
n
·x dx
phương pháp
−−−−−−−−→ Đặt t = ax
2
+b ⇒ dt =2ax dx.
2 I =
Z
n
p
f (x) · f
0
(x )dx
phương pháp
−−−−−−−−→ Đặt t =
n
p
f (x) ⇒ t
n
= f (x) ⇒ nt
n−1
dt = f
0
(x )dx.
3
I =
Z
f (ln x) ·
1
x
dx
phương pháp
−−−−−−−−→ Đặt t =ln x ⇒ dt =
1
x
dx .
I =
Z
f (a +b ln x)·
1
x
dx
phương pháp
−−−−−−−−→ Đặt t = a +b lnx ⇒ dt =
b
x
dx .
4
I =
Z
f (e
x
)·e
x
dx
phương pháp
−−−−−−−−→ Đặt t =e
x
⇒ dt =e
x
dx .
I =
Z
f (a +be
x
)·e
x
dx
phương pháp
−−−−−−−−→ Đặt t = a +be
x
⇒ dt = be
x
dx
5
I =
Z
f (cos x) ·sin x dx
phương pháp
−−−−−−−−→ Đặt t =cos x ⇒ dt =−sin xdx.
I =
Z
f (a +b cos x)·sinxdx
phương pháp
−−−−−−−−→ Đặt t = a +b cosx ⇒ dt =−b sin x dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 56 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
6
I =
Z
f (sin x) ·cos x dx
phương pháp
−−−−−−−−→ Đặt t =sin x ⇒ dt =cos x dx.
I =
Z
f (a +b sin x)·cosxdx
phương pháp
−−−−−−−−→ Đặt t = a +b sinx ⇒ dt = b cos x dx.
7 I =
Z
f (tan x) ·
dx
cos
2
x
phương pháp
−−−−−−−−→ Đặt t =tanx ⇒ dt =
1
cos
2
x
dx =(1+tan
2
x)dx.
8 I =
Z
f (cot x) ·
dx
sin
2
x
phương pháp
−−−−−−−−→ Đặt t =cotx ⇒ dt =−
1
sin
2
x
dx =−(1+cot
2
x)dx.
9 I =
Z
f (sin
2
x;cos
2
x)·sin2x dx
phương pháp
−−−−−−−−→ Đặt
"
t =sin
2
x ⇒ dt =sin2xdx;
t =cos
2
x ⇒ dt =−sin2x dx.
10 I =
Z
f (sin x ±cos x)·(sin x ∓cos x)dx
phương pháp
−−−−−−−−→ Đặt t =sin x ±cosx ⇒ dt =(cos x ∓sin x)dx.
4
!
Chú ý: Sau khi đổi biến và tính nguyên hàm xong, ta cần trả lại biến cũ ban đầu là x.
3.2.1 Bài tập áp dụng
Ví dụ 1. Tính I =
Z
x(1−x)
2018
dx . ĐS: I =
(1−x)
2020
2020
−
(1−x)
2019
2019
+C
Lời giải: Đặt t =1−x ⇒ x =1−t ⇒ dx =−dt.
Suy ra
I = −
Z
(1−t)t
2018
dt =
Z
¡
t
2019
−t
2018
¢
dt
=
t
2020
2020
−
t
2019
2019
+C =
(1−x)
2020
2020
−
(1−x)
2019
2019
+C.
Vậy I =
Z
x(1−x)
2018
dx =
(1−x)
2020
2020
−
(1−x)
2019
2019
+C.
Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
1 Tính I =
Z
x(1+x)
2017
dx .
ĐS: I =
(1+x)
2019
2019
−
(1+x)
2018
2018
+C
- Lời giải.
Đặt t =1+x ⇒ x = t −1 ⇒ dx = dt.
Suy ra
I =
Z
(t −1)t
2017
dt =
Z
¡
t
2018
−t
2017
¢
dt
=
t
2019
2019
−
t
2018
2018
+C =
(1+x)
2019
2019
−
(1+x)
2018
2018
+C.
Vậy I =
Z
x(1+x)
2017
dx =
(1+x)
2019
2019
−
(1+x)
2018
2018
+C. ä
2 Tính I =
Z
x(x
2
+1)
5
dx .
ĐS: I =
¡
x
2
+1
¢
6
12
+C
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 57 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt t = x
2
+1 ⇒ dt =2x dx ⇒ x dx =
1
2
dt.
Suy ra
I =
1
2
Z
t
5
dt =
1
2
·
t
6
6
+C =
¡
x
2
+1
¢
6
12
+C.
Vậy I =
Z
x(x
2
+1)
5
dx =
¡
x
2
+1
¢
6
12
+C. ä
3 Tính I =
Z
x
2
(x −1)
9
dx .
ĐS: I =
(x −1)
12
12
+2
(x −1)
11
11
+
(x −1)
10
10
+C
- Lời giải.
Đặt t = x −1 ⇒ x = t +1 ⇒ dx = dt.
Suy ra
I =
Z
(t +1)
2
t
9
dt =
Z
¡
t
11
+2t
10
+t
9
¢
dt
=
t
12
12
+2
t
11
11
+
t
10
10
+C =
(x −1)
12
12
+2
(x −1)
11
11
+
(x −1)
10
10
+C.
Vậy I =
Z
x
2
(x −1)
9
dx =
(x −1)
12
12
+2
(x −1)
11
11
+
(x −1)
10
10
+C. ä
4 Tính I =
Z
2
£
x
¡
1−x
2
¢¤
5
dx .
ĐS: I =−
¡
1−x
2
¢
6
6
+
2
¡
1−x
2
¢
7
7
−
¡
1−x
2
¢
8
8
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
2
£
x
¡
1−x
2
¢¤
5
dx =
Z
x
4
¡
1−x
2
¢
5
·2x dx.
Đặt t =1−x
2
⇒ x
2
=1 −t ⇒2x dx =−dt.
Suy ra
I = −
Z
(1−t)
2
t
5
dt =
Z
¡
−t
5
+2t
6
−t
7
¢
dt
= −
t
6
6
+
2t
7
7
−
t
8
8
+C =−
¡
1−x
2
¢
6
6
+
2
¡
1−x
2
¢
7
7
−
¡
1−x
2
¢
8
8
+C.
Vậy I =
Z
2
£
x
¡
1−x
2
¢¤
5
dx =−
¡
1−x
2
¢
6
6
+
2
¡
1−x
2
¢
7
7
−
¡
1−x
2
¢
8
8
+C. ä
5 Tính I =
Z
x
5
¡
1−x
3
¢
6
dx .
ĐS: I =−
¡
1−x
3
¢
7
21
+
¡
1−x
3
¢
8
24
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
x
5
¡
1−x
3
¢
6
dx =
Z
x
3
¡
1−x
3
¢
6
·x
2
dx
Đặt t =1−x
3
⇒ x
3
=1 −t ⇒ x
2
dx =−
1
3
dt.
Suy ra
I = −
1
3
Z
(1−t)t
6
dt =−
1
3
Z
¡
t
6
−t
7
¢
dt
= −
t
7
21
+
t
8
24
+C =−
¡
1−x
3
¢
7
21
+
¡
1−x
3
¢
8
24
+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 58 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Vậy I =
Z
x
5
¡
1−x
3
¢
6
dx =−
¡
1−x
3
¢
7
21
+
¡
1−x
3
¢
8
24
+C. ä
6 Tính I =
Z
x
3
¡
2−3x
2
¢
8
dx .
ĐS: I =−
¡
2−3x
2
¢
9
81
+
¡
2−3x
2
¢
10
180
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
x
3
¡
2−3x
2
¢
8
dx =
Z
x
2
¡
2−3x
2
¢
8
·x dx.
Đặt t =2−3x
2
⇒ x
2
=
2−t
3
⇒ xdx =−
1
6
dt.
Suy ra
I = −
1
6
Z
µ
2−t
3
¶
t
8
dt =−
1
18
Z
¡
2t
8
−t
9
¢
dt
= −
t
9
81
+
t
10
180
+C =−
¡
2−3x
2
¢
9
81
+
¡
2−3x
2
¢
10
180
+C.
Vậy I =
Z
x
3
¡
2−3x
2
¢
8
dx =−
¡
2−3x
2
¢
9
81
+
¡
2−3x
2
¢
10
180
+C. ä
Ví dụ 2. Tính I =
Z
xdx
x
2
+2
.
ĐS: I =
1
2
ln(x
2
+2)+C
Lời giải: Đặt t = x
2
+2 ⇒ x
2
= t −2 ⇒2x dx = dt ⇒ x dx =
1
2
dt.
Suy ra
I =
Z
1
2
·
1
t
dt =
1
2
ln|t|+C
=
1
2
ln|x
2
+2|+C =
1
2
ln(x
2
+2)+C.
Vậy I =
Z
xdx
x
2
+2
=
1
2
ln(x
2
+2)+C.
Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
1 Tính I =
Z
xdx
(x +1)
5
. ĐS: I =−
1
3(x +1)
3
+
1
4(x +1)
4
+C
- Lời giải.
Đặt t = x +1 ⇒ x = t −1 ⇒ dx = dt.
Suy ra
I =
Z
t −1
t
5
dt =
Z
µ
1
t
4
−
1
t
5
¶
dt
=
t
−3
−3
−
t
−4
−4
+C =−
1
3(x +1)
3
+
1
4(x +1)
4
+C.
Vậy I =
Z
xdx
(x +1)
5
=−
1
3(x +1)
3
+
1
4(x +1)
4
+C. ä
2 Tính I =
Z
x
3
dx
¡
1+x
2
¢
3
. ĐS: I =−
1
2
¡
1+x
2
¢
+
1
4
¡
1+x
2
¢
2
+C
Th.s Nguyễn Chín Em 59 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có I =
Z
x
3
dx
¡
1+x
2
¢
3
=
Z
x
2
·x dx
¡
1+x
2
¢
3
.
Đặt t =1+x
2
⇒ x
2
= t −1 ⇒2x dx = dt ⇒ x dx =
1
2
dt.
Suy ra
I =
1
2
Z
t −1
t
3
dt =
1
2
Z
µ
1
t
2
−
1
t
3
¶
dt
=
1
2
µ
t
−1
−1
−
t
−2
−2
¶
+C =−
1
2
¡
1+x
2
¢
+
1
4
¡
1+x
2
¢
2
+C.
Vậy I =
Z
x
3
dx
¡
1+x
2
¢
3
=−
1
2
¡
1+x
2
¢
+
1
4
¡
1+x
2
¢
2
+C. ä
3 Tính I =
Z
4x
3
dx
¡
x
4
+2
¢
2
. ĐS: I =−
1
x
4
+2
+C
- Lời giải.
Đặt t = x
4
+2 ⇒ x
4
= t −2 ⇒4x
3
dx = dt .
Suy ra
I =
Z
1
t
2
dt =
t
−1
−1
+C =−
1
x
4
+2
+C.
Vậy =
Z
4x
3
dx
¡
x
4
+2
¢
2
=−
1
x
4
+2
+C. ä
4 Tính I =
Z
x
5
dx
x
2
+1
. ĐS: I =
¡
x
2
+1
¢
2
4
−
¡
x
2
+1
¢
+
1
2
ln
¡
x
2
+1
¢
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
x
5
dx
x
2
+1
=
Z
x
4
·x dx
x
2
+1
.
Đặt t = x
2
+1 ⇒ x
2
= t −1 ⇒2x dx = dt ⇒ x dx =
1
2
dt.
Suy ra
I =
1
2
Z
(
t −1
)
2
t
dt =
1
2
Z
µ
t −2+
1
t
¶
dt
=
1
2
µ
t
2
2
−2t +ln|t|
¶
+C =
¡
x
2
+1
¢
2
4
−
¡
x
2
+1
¢
+
1
2
ln
¡
x
2
+1
¢
+C.
Vậy I =
Z
x
5
dx
x
2
+1
=
¡
x
2
+1
¢
2
4
−
¡
x
2
+1
¢
+
1
2
ln
¡
x
2
+1
¢
+C. ä
5 Tính I =
Z
x
4
dx
x
10
−4
. ĐS: I =
1
20
ln
¯
¯
¯
¯
x
5
−2
x
5
+2
¯
¯
¯
¯
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
x
4
dx
x
10
−4
=
Z
x
4
dx
¡
x
5
−2
¢¡
x
5
+2
¢
.
Đặt t = x
5
⇒ x
4
dx =
1
5
dt.
Th.s Nguyễn Chín Em 60 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Suy ra
I =
1
5
Z
·
1
(t −2)(t +2)
¸
dt =
1
20
Z
µ
1
t −2
−
1
t +2
¶
dt
=
1
20
ln
¯
¯
¯
¯
t −2
t +2
¯
¯
¯
¯
+C =
1
20
ln
¯
¯
¯
¯
x
5
−2
x
5
+2
¯
¯
¯
¯
+C.
Vậy I =
Z
x
4
dx
x
10
−4
=
1
20
ln
¯
¯
¯
¯
x
5
−2
x
5
+2
¯
¯
¯
¯
+C. ä
6 Tính I =
Z
µ
1+
1
x
¶
3
dx
x
2
. ĐS: I =−
1
4
µ
1+
1
x
¶
4
+C
- Lời giải.
Đặt t =1+
1
x
⇒
1
x
= t −1 ⇒
dx
x
2
=−dt.
Suy ra
I = −
Z
t
3
dt =−
t
4
4
+C =−
1
4
µ
1+
1
x
¶
4
+C.
Vậy I =
Z
µ
1+
1
x
¶
3
dx
x
2
=−
1
4
µ
1+
1
x
¶
4
+C. ä
Ví dụ 3. Tính I =
Z
(x +1)
2017
(2x +3)
2019
dx . ĐS: I =
1
2018
·
µ
x +1
2x +3
¶
2018
+C
Lời giải: Ta có I =
Z
(x +1)
2017
(2x +3)
2019
dx =
Z
µ
x +1
2x +3
¶
2017
·
1
(2x +3)
2
dx .
Đặt t =
x +1
2x +3
⇒ dt =
1
(2x +3)
2
dx .
Suy ra
I =
Z
t
2017
dt =
t
2018
2018
+C =
1
2018
·
µ
x +1
2x +3
¶
2018
+C.
Vậy I =
Z
(x +1)
2017
(2x +3)
2019
dx =
1
2018
·
µ
x +1
2x +3
¶
2018
+C.
Bài 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
1 Tính I =
Z
x
5
(x +1)
7
dx . ĐS: I =
1
6
·
³
x
x +1
´
6
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
x
5
(x +1)
7
dx =
Z
³
x
x +1
´
5
·
1
(x +1)
2
dx .
Đặt t =
x
x +1
⇒ dt =
1
(x +1)
2
dx .
Suy ra
I =
Z
t
5
dt =
t
6
6
+C =
1
6
·
³
x
x +1
´
6
+C.
Vậy I =
Z
x
5
(x +1)
7
dx =
1
6
·
³
x
x +1
´
6
+C. ä
2 Tính I =
Z
(7x −1)
99
(2x +1)
101
dx . ĐS: I =
1
900
·
µ
7x −1
2x +1
¶
100
+C
Th.s Nguyễn Chín Em 61 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có I =
Z
(7x −1)
99
(2x +1)
101
dx =
Z
µ
7x −1
2x +1
¶
99
·
1
(2x +1)
2
dx .
Đặt t =
7x −1
2x +1
⇒ dt =
9
(2x +1)
2
dx ⇒=
1
(2x +1)
2
dx =
1
9
dt.
Suy ra
I =
1
9
Z
t
99
dt =
1
9
·
t
100
100
+C =
1
900
·
µ
7x −1
2x +1
¶
100
+C.
Vậy I =
Z
(7x −1)
99
(2x +1)
101
dx =
1
900
·
µ
7x −1
2x +1
¶
100
+C. ä
3 Tính I =
Z
x
9
dx
¡
x
2
+1
¢
6
. ĐS: I =
1
10
·
µ
x
2
x
2
+1
¶
5
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
x
9
dx
¡
x
2
+1
¢
6
=
Z
µ
x
2
x
2
+1
¶
4
·
x
¡
x
2
+1
¢
2
dx .
Đặt t =
x
2
x
2
+1
⇒ dt =
2x
¡
x
2
+1
¢
2
dx ⇒
x
¡
x
2
+1
¢
2
dx =
1
2
dt.
Suy ra
I =
1
2
Z
t
4
dt =
1
2
·
t
5
5
+C =
1
10
·
µ
x
2
x
2
+1
¶
5
+C.
Vậy I =
Z
x
9
dx
¡
x
2
+1
¢
6
=
1
10
·
µ
x
2
x
2
+1
¶
5
+C. ä
4 Tính I =
Z
x
2001
dx
¡
x
2
+1
¢
1002
. ĐS: I =
1
2002
·
µ
x
2
x
2
+1
¶
1001
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
x
2001
dx
¡
x
2
+1
¢
1002
=
Z
µ
x
2
x
2
+1
¶
1000
·
x
¡
x
2
+1
¢
2
dx .
Đặt t =
x
2
x
2
+1
⇒ dt =
2x
¡
x
2
+1
¢
2
dx ⇒
x
¡
x
2
+1
¢
2
dx =
1
2
dt.
Suy ra
I =
1
2
Z
t
1000
dt =
1
2
·
t
1001
1001
+C =
1
2002
·
µ
x
2
x
2
+1
¶
1001
+C.
Vậy I =
Z
x
2001
dx
¡
x
2
+1
¢
1002
=
1
2002
·
µ
x
2
x
2
+1
¶
1001
+C. ä
Ví dụ 4. Tính I =
Z
(x +1)dx
p
x
2
+2x −4
. ĐS: I =
p
x
2
+2x −4+C
Łời giải: Đặt t =
p
x
2
+2x −4 ⇒ t
2
= x
2
+2x −4
⇒2tdt =(2x +2)dx ⇒(x +1)dx = tdt.
Suy ra
I =
Z
t
t
dt =
Z
dt = t +C =
p
x
2
+2x −4+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 62 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Vậy I =
Z
(x +1)dx
p
x
2
+2x −4
=
p
x
2
+2x −4+C.
Bài 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
1 Tính I =
Z
(2x −3)dx
p
x
2
−3x −5
. ĐS: I =2
p
x
2
−3x −5+C
- Lời giải.
Đặt t =
p
x
2
−3x −5 ⇒ t
2
= x
2
−3x −5
⇒2tdt =(2x −3)dx ⇒(2x −3)dx =2tdt.
Suy ra
I =
Z
2t
t
dt =
Z
2dt =2t +C =2
p
x
2
−3x −5+C.
Vậy I =
Z
(2x −3)dx
p
x
2
−3x −5
=2
p
x
2
−3x −5+C. ä
2 Tính I =
Z
x
p
2017−xdx. ĐS: I =
2(2017−x)
2
p
2017−x
5
−
4034(2017−x)
p
2017−x
3
+C
- Lời giải.
Đặt t =
p
2017−x ⇒ x =2017 −t
2
⇒ dx =−2tdt.
Suy ra
I =
Z
(2017−t
2
)·t ·(−2t)dt =
Z
(2t
4
−4034t
2
)dt
=
2t
5
5
−
4034t
3
3
+C =
2(2017−x)
2
p
2017−x
5
−
4034(2017−x)
p
2017−x
3
+C.
Vậy I =
Z
x
p
2017−xdx =
2(2017−x)
2
p
2017−x
5
−
4034(2017−x)
p
2017−x
3
+C. ä
3 Tính I =
Z
x
p
x
2
+3dx . ĐS: I =
(x
2
+3)
p
x
2
+3
3
+C
- Lời giải.
Đặt t =
p
x
2
+3 ⇒ t
2
= x
2
+3 ⇒2t dt =2xdx ⇒ xdx = tdt.
Suy ra
I =
Z
t
2
dt =
t
3
3
+C =
(x
2
+3)
p
x
2
+3
3
+C.
Vậy I =
Z
x
p
x
2
+3dx =
(x
2
+3)
p
x
2
+3
3
+C. ä
4 Tính I =
Z
x
p
2019−x
2
dx . ĐS: I =−
(2019−x
2
)
p
2019−x
2
3
+C
- Lời giải.
Đặt t =
p
2019−x
2
⇒ t
2
=2019 −x
2
⇒2tdt =−2xdx ⇒ xdx =−tdt.
Suy ra
I =
Z
−t
2
dt =−
t
3
3
+C =−
(2019−x
2
)
p
2019−x
2
3
+C.
Vậy I =
Z
x
p
2019−x
2
dx =−
(2019−x
2
)
p
2019−x
2
3
+C. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 63 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
5 Tính I =
Z
x
3
p
x
2
−2018dx . ĐS: I =
3(x
2
−2018)
3
p
x
2
−2018
8
+C
- Lời giải.
Đặt t =
3
p
x
2
−2018 ⇒ t
3
= x
2
−2018 ⇒3t
2
dt =2x dx ⇒ x dx =
3
2
t
2
dt.
Suy ra
I =
3
2
Z
t
3
dt =
3
2
·
t
4
4
+C =
3(x
2
−2018)
3
p
x
2
−2018
8
+C.
Vậy I =
Z
x
3
p
x
2
−2018dx =
3(x
2
−2018)
3
p
x
2
−2018
8
+C. ä
6 Tính I =
Z
2x
3
p
x
2
+4
dx . ĐS: I =
3
2
3
»
¡
x
2
+4
¢
2
+C
- Lời giải.
Đặt t =
3
p
x
2
+4 ⇒ t
3
= x
2
+4 ⇒3t
2
dt =2x dx.
Suy ra
I =
Z
3t
2
t
dt =
Z
3t dt =
3t
2
2
+C =
3
2
3
»
¡
x
2
+4
¢
2
+C.
Vậy I =
Z
2x
3
p
x
2
+4
dx =
3
2
3
»
¡
x
2
+4
¢
2
+C. ä
7 Tính I =
Z
5x
3
p
1−x
2
dx . ĐS: I =−
15
8
¡
1−x
2
¢
3
p
1−x
2
+C
- Lời giải.
Đặt t =
3
p
1−x
2
⇒ t
3
=1 −x
2
⇒3t
2
dt =−2x dx ⇒ x dx =−
3t
2
2
dt.
Suy ra
I = −
3
2
Z
5t
3
dt =−
15
2
·
t
4
4
+C =−
15
8
¡
1−x
2
¢
3
p
1−x
2
+C.
Vậy I =
Z
5x
3
p
1−x
2
dx =−
15
8
¡
1−x
2
¢
3
p
1−x
2
+C. ä
8 Tính I =
Z
x
2
p
1−x
dx . ĐS: I =−2
p
1−x +
4(1−x)
p
1−x
3
−
2(1−x)
2
p
1−x
5
+C
- Lời giải.
Đặt t =
p
1−x ⇒ x =1 −t
2
⇒ dx =−2tdt.
Suy ra
I =
Z
¡
1−t
2
¢
2
t
·(−2t)dt =−2
Z
¡
1−2t
2
+t
4
¢
dt
= −2t +4·
t
3
3
−2·
t
5
5
+C =−2
p
1−x +
4(1−x)
p
1−x
3
−
2(1−x)
2
p
1−x
5
+C.
Vậy I =
Z
x
2
p
1−x
dx =−2
p
1−x +
4(1−x)
p
1−x
3
−
2(1−x)
2
p
1−x
5
+C. ä
9 Tính I =
Z
x
3
p
4−x
2
dx . ĐS: I =
¡
4−x
2
¢
p
4−x
2
3
−4
p
4−x
2
+C
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 64 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có I =
Z
x
3
p
4−x
2
dx =
Z
x
2
p
4−x
2
·x dx
Đặt t =
p
4−x
2
⇒ t
2
=4 −x
2
⇒ x
2
=4 −t
2
⇒2xdx =−2tdt ⇒ xdx =−tdt.
Suy ra
I =
Z
4−t
2
t
·(−t)dt =
Z
¡
t
2
−4
¢
dt
=
t
3
3
−4t +C =
¡
4−x
2
¢
p
4−x
2
3
−4
p
4−x
2
+C.
Vậy I =
Z
x
3
p
4−x
2
dx =
¡
4−x
2
¢
p
4−x
2
3
−4
p
4−x
2
+C. ä
10 Tính I =
Z
dx
x
p
x
2
+4
. ĐS: I =
1
4
ln
¯
¯
¯
¯
¯
p
x
2
+4−2
p
x
2
+4+2
¯
¯
¯
¯
¯
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
dx
x
p
x
2
+4
=
Z
xdx
x
2
p
x
2
+4
.
Đặt t =
p
x
2
+4 ⇒ t
2
= x
2
+4 ⇒ x
2
= t
2
−4 ⇒2x dx =2tdt ⇒ xdx = tdt.
Suy ra
I =
Z
1
t
2
−4
dt =
1
4
Z
µ
1
t −2
−
1
t +2
¶
dt
=
1
4
ln
¯
¯
¯
¯
t −2
t +2
¯
¯
¯
¯
+C =
1
4
ln
¯
¯
¯
¯
¯
p
x
2
+4−2
p
x
2
+4+2
¯
¯
¯
¯
¯
+C.
Vậy I =
Z
dx
x
p
x
2
+4
=
1
4
ln
¯
¯
¯
¯
¯
p
x
2
+4−2
p
x
2
+4+2
¯
¯
¯
¯
¯
+C. ä
11 Tính I =
Z
dx
x
p
x
2
+9
. ĐS: I =
1
6
ln
¯
¯
¯
¯
¯
p
x
2
+9−3
p
x
2
+9+3
¯
¯
¯
¯
¯
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
dx
x
p
x
2
+9
=
Z
xdx
x
2
p
x
2
+9
.
Đặt t =
p
x
2
+9 ⇒ t
2
= x
2
+9 ⇒ x
2
= t
2
−9 ⇒2x dx =2tdt ⇒ xdx = tdt.
Suy ra
I =
Z
1
t
2
−9
dt =
1
6
Z
µ
1
t −3
−
1
t +3
¶
dt
=
1
6
ln
¯
¯
¯
¯
t −3
t +3
¯
¯
¯
¯
+C =
1
6
ln
¯
¯
¯
¯
¯
p
x
2
+9−3
p
x
2
+9+3
¯
¯
¯
¯
¯
+C.
Vậy I =
Z
dx
x
p
x
2
+9
=
1
6
ln
¯
¯
¯
¯
¯
p
x
2
+9−3
p
x
2
+9+3
¯
¯
¯
¯
¯
+C. ä
12 Tính I =
Z
x
5
3
»
¡
1−2x
2
¢
2
dx . ĐS:
I =−
3
80
¡
1−2x
2
¢
3
»
¡
1−2x
2
¢
2
+
3
64
¡
1−2x
2
¢
2
3
»
¡
1−2x
2
¢
2
−
3
176
¡
1−2x
2
¢
3
3
»
¡
1−2x
2
¢
2
+C
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 65 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có I =
Z
x
5
3
»
¡
1−2x
2
¢
2
dx =
Z
x
4
3
»
¡
1−2x
2
¢
2
·x dx.
Đặt t =
3
p
1−2x
2
⇒ t
3
=1 −2x
2
⇒ x
2
=
1−t
3
2
⇒ xdx =−
3t
2
4
dt.
Suy ra
I =
Z
µ
1−t
3
2
¶
2
·t
2
·
µ
−
3t
2
4
¶
dt =−
3
16
Z
¡
t
4
−2t
7
+t
10
¢
dt
= −
3
16
µ
t
5
5
−
2t
8
8
+
t
11
11
¶
+C
= −
3
80
¡
1−2x
2
¢
3
»
¡
1−2x
2
¢
2
+
3
64
¡
1−2x
2
¢
2
3
»
¡
1−2x
2
¢
2
−
3
176
¡
1−2x
2
¢
3
3
»
¡
1−2x
2
¢
2
+C.
Vậy I =−
3
80
¡
1−2x
2
¢
3
»
¡
1−2x
2
¢
2
+
3
64
¡
1−2x
2
¢
2
3
»
¡
1−2x
2
¢
2
−
3
176
¡
1−2x
2
¢
3
3
»
¡
1−2x
2
¢
2
+C. ä
13 Tính I =
Z
2x
3
−3x
2
+x
p
x
2
−x +1
dx . ĐS: I =
2
¡
x
2
−x +1
¢
p
x
2
−x +1
3
−2
p
x
2
−x +1+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
2x
3
−3x
2
+x
p
x
2
−x +1
dx =
Z
(2x −1)(x
2
−x)
p
x
2
−x +1
dx =
Z
(x
2
−x)
p
x
2
−x +1
·(2x −1)dx.
Đặt t =
p
x
2
−x +1 ⇒ t
2
= x
2
−x +1 ⇒ x
2
−x = t
2
−1 ⇒(2x −1)dx =2tdt.
Suy ra
I =
Z
t
2
−1
t
·2t dt =
Z
¡
2t
2
−2
¢
dt
=
2t
3
3
−2t +C =
2
¡
x
2
−x +1
¢
p
x
2
−x +1
3
−2
p
x
2
−x +1+C.
Vậy I =
Z
2x
3
−3x
2
+x
p
x
2
−x +1
dx =
2
¡
x
2
−x +1
¢
p
x
2
−x +1
3
−2
p
x
2
−x +1+C. ä
Ví dụ 5. Tính I =
Z
ln x dx
x
p
1+lnx
. ĐS: I =
2
(
1+lnx
)
p
1+lnx
3
−2
p
1+lnx +C
Lời giải: Đặt t =
p
1+lnx ⇒ t
2
=1 +ln x ⇒ln x = t
2
−1 ⇒
dx
x
=2tdt.
Suy ra
I =
Z
t
2
−1
t
·2t dt =
Z
¡
2t
2
−2
¢
dt
=
2t
3
3
−2t +C =
2
(
1+lnx
)
p
1+lnx
3
−2
p
1+lnx +C.
Vậy I =
Z
ln x dx
x
p
1+lnx
=
2
(
1+lnx
)
p
1+lnx
3
−2
p
1+lnx +C.
Bài 5. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
1 Tính I =
Z
ln x
p
1+3lnx
x
dx . ĐS: I =
2
(
1+3lnx
)
2
p
1+3lnx
45
−
2
(
1+3lnx
)
p
1+3lnx
27
+C
- Lời giải.
Đặt t =
p
1+3lnx ⇒ t
2
=1 +3ln x ⇒ln x =
t
2
−1
3
⇒
dx
x
=
2t
3
dt.
Th.s Nguyễn Chín Em 66 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Suy ra
I =
Z
¡
t
2
−1
¢
t
3
·
2t
3
dt =
2
9
Z
¡
t
4
−t
2
¢
dt
=
2
9
µ
t
5
5
−
t
3
3
¶
+C =
2
(
1+3lnx
)
2
p
1+3lnx
45
−
2
(
1+3lnx
)
p
1+3lnx
27
+C.
Vậy I =
Z
ln x
p
1+3lnx
x
dx =
2
(
1+3lnx
)
2
p
1+3lnx
45
−
2
(
1+3lnx
)
p
1+3lnx
27
+C. ä
2
Tính I =
Z
dx
x
3
p
1+lnx
. ĐS: I =
3
3
p
(
1+lnx
)
2
2
+C
- Lời giải.
Đặt t =
3
p
1+lnx ⇒ t
3
=1 +ln x ⇒ln x = t
3
−1 ⇒
dx
x
=3t
2
dt.
Suy ra
I =
Z
1
t
·3t
2
dt =
Z
3t dt
=
3t
2
2
+C =
3
3
p
(
1+lnx
)
2
2
+C.
Vậy I =
Z
dx
x
3
p
1+lnx
=
3
3
p
(
1+lnx
)
2
2
+C. ä
3 Tính I =
Z
ln
2
xdx
x
p
1+lnx
. ĐS: I =
2
(
1+lnx
)
2
p
1+lnx
5
−
4
(
1+lnx
)
p
1+lnx
3
+2
p
1+lnx +C
- Lời giải.
Đặt t =
p
1+lnx ⇒ t
2
=1 +ln x ⇒ln x = t
2
−1 ⇒
dx
x
=2tdt.
Suy ra
I =
Z
¡
t
2
−1
¢
2
t
·2t dt =
Z
¡
2t
4
−4t
2
+2
¢
dt
=
2t
5
5
−
4t
3
3
+2t +C =
2
(
1+lnx
)
2
p
1+lnx
5
−
4
(
1+lnx
)
p
1+lnx
3
+2
p
1+lnx +C.
Vậy I =
Z
ln
2
xdx
x
p
1+lnx
=
2
(
1+lnx
)
2
p
1+lnx
5
−
4
(
1+lnx
)
p
1+lnx
3
+2
p
1+lnx +C. ä
4 I =
Z
e
x
p
5−e
x
dx .
ĐS:
−2
3
¡
p
5−e
x
¢
3
+C
- Lời giải.
Đặt t =
p
5−e
x
⇒ t
2
=5 −e
x
⇒−2tdt =e
x
dx .
Suy ra I =
Z
t ·(−2t)dt =−2
Z
t
2
dt =
−2
3
t
3
+C =
−2
3
³
p
5−e
x
´
3
+C. ä
5 I =
Z
dx
p
e
x
+3
.
ĐS:
1
p
3
¡
ln
¯
¯
p
e
x
+3−
p
3
¯
¯
−ln
¯
¯
p
e
x
+3+
p
3
¯
¯
¢
+C
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 67 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt t =
p
e
x
+3 ⇒ t
2
=e
x
+3 ⇒e
x
= t
2
−3 ⇒dx =
2t
t
2
−3
dt.
Suy ra
I =
Z
1
t
·
2t
t
2
−3
dt =2
Z
1
t
2
−3
dt =
2
2
p
3
Z
µ
1
t −
p
3
−
1
t +
p
3
¶
dt
=
1
p
3
³
ln
¯
¯
¯
t −
p
3
¯
¯
¯
−ln
¯
¯
¯
t +
p
3
¯
¯
¯
´
+C
=
1
p
3
³
ln
¯
¯
¯
p
e
x
+3−
p
3
¯
¯
¯
−ln
¯
¯
¯
p
e
x
+3+
p
3
¯
¯
¯
´
+C.
ä
6 I =
Z
cos x
p
3sin x +2dx.
ĐS:
2
9
³
p
3sin x +2
´
3
+C
- Lời giải.
Đặt t =
p
3sin x +2 ⇒ t
2
=3sinx +2 ⇒
2
3
tdt =cos xdx.
Suy ra I =
Z
t ·
2
3
tdt =
2
3
Z
t
2
dt =
2
9
t
3
+C =
2
9
³
p
3sin x +2
´
3
+C. ä
7 I =
Z
sin x
p
2018+cosxdx.
ĐS:
−2
3
¡
p
2018+cosx
¢
3
+C
- Lời giải.
Đặt t =
p
2018+cosx ⇒ t
2
=2018 +cos x ⇒−2t dt =sin x dx.
Suy ra I =
Z
t ·(−2t)dt =−2
Z
t
2
dt =
−2
3
t
3
+C =
−2
3
³
p
2018+cosx
´
3
+C. ä
8 I =
Z
1
xln x
p
6+3ln
2
x
dx .
ĐS:
1
2
p
6
³
ln
¯
¯
¯
p
6+3ln
2
x −
p
6
¯
¯
¯
−ln
¯
¯
¯
p
6+3ln
2
x +
p
6
¯
¯
¯
´
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
ln x
xln
2
x
p
6+3ln
2
x
dx .
Đặt t =
p
6+3ln
2
x ⇒ t
2
=6 +3ln
2
x ⇒
1
3
tdt =
1
x
ln x dx.
Suy ra
I =
Z
1
t
2
−6
3
·t
·
1
3
tdt =
Z
1
t
2
−6
dt =
1
2
p
6
Z
µ
1
t −
p
6
−
1
t +
p
6
¶
dt
=
1
2
p
6
³
ln
¯
¯
¯
t −
p
6
¯
¯
¯
−ln
¯
¯
¯
t +
p
6
¯
¯
¯
´
+C
=
1
2
p
6
³
ln
¯
¯
¯
p
6+3ln
2
x −
p
6
¯
¯
¯
−ln
¯
¯
¯
p
6+3ln
2
x +
p
6
¯
¯
¯
´
+C.
ä
9 I =
Z
x
x +
p
x
2
−1
dx .
ĐS:
1
3
x
3
−
1
3
³
p
x
2
−1
´
3
+C
Th.s Nguyễn Chín Em 68 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có I =
Z
³
x −
p
x
2
−1
´
·x dx =
Z
x
2
dx −
Z
x
p
x
2
−1dx = I
1
−I
2
.
I
1
=
Z
x
2
dx =
1
3
x
3
+C
1
.
I
2
=
Z
x
p
x
2
−1dx .
Đặt t =
p
x
2
−1 ⇒ t
2
= x
2
−1 ⇒ t dt = xdx.
Suy ra I
2
=
Z
t ·t dt =
Z
t
2
dt =
1
3
t
3
+C
2
=
1
3
³
p
x
2
−1
´
3
+C
2
.
Vậy I =
1
3
x
3
−
1
3
³
p
x
2
−1
´
3
+C. ä
10 I =
Z
x
3
p
x
4
+1−x
2
dx .
ĐS:
1
6
x
6
+
1
6
³
p
x
4
+1
´
3
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
³
p
x
4
+1+x
2
´
·x
3
dx =
Z
x
3
p
x
4
+1dx +
Z
x
5
dx = I
1
+I
2
.
I
2
=
Z
x
5
dx =
1
6
x
6
+C
1
.
I
1
=
Z
x
3
p
x
4
+1dx .
Đặt t =
p
x
4
+1 ⇒ t
2
= x
4
+1 ⇒
1
2
tdt = x
3
dx .
Suy ra I
1
=
Z
t ·
1
2
tdt =
1
2
Z
t
2
dt =
1
6
t
3
+C
2
=
1
6
³
p
x
4
+1
´
3
+C
2
. Vậy I =
1
6
x
6
+
1
6
³
p
x
4
+1
´
3
+C.
ä
11 I =
Z
3x
p
x
2
+2+
p
x
2
−1
dx .
ĐS:
³
p
x
2
+2
´
3
3
+
³
p
x
2
−1
´
3
3
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
x
³
p
x
2
+2−
p
x
2
−1
´
dx =
Z
x
p
x
2
+2dx −
Z
x
p
x
2
−1dx = I
1
−I
2
.
I
1
=
Z
p
x
2
+2dx .
Đặt a =
p
x
2
+2 ⇒ a
2
= x
2
+2 ⇒ a da = x dx.
Suy ra I
1
=
Z
a
2
da =
a
3
3
+C
1
=
³
p
x
2
+2
´
3
3
+C
1
.
I
2
=
Z
x
p
x
2
−1dx .
Đặt b =
p
x
2
−1 ⇒ b
2
= x
2
−1 ⇒ b db = xdx.
Suy ra I
2
=
Z
b
2
db =
b
3
3
+C
2
=
³
p
x
2
−1
´
3
3
+C
2
.
Vậy I =
³
p
x
2
+2
´
3
3
+
³
p
x
2
−1
´
3
3
+C. ä
Ví dụ 6. I =
Z
ln x
x
dx .
ĐS:
ln
2
x
2
+C
Th.s Nguyễn Chín Em 69 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Lời giải:
Đặt t =ln x ⇒ dt =
1
x
dx . Suy ra I =
Z
tdt =
t
2
2
+C =
ln
2
x
2
+C.
Bài 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 I =
Z
ln
2
x
x
dx .
ĐS:
ln
3
x
3
+C
- Lời giải.
Đặt t =ln x ⇒ dt =
1
x
dx . Suy ra I =
Z
t
2
dt =
t
3
3
+C =
ln
3
x
3
+C. ä
2 I =
Z
1+lnx
x
dx .
ĐS:
(
1+lnx
)
2
2
+C
- Lời giải.
Đặt t =1+lnx ⇒ dt =
1
x
dx . Suy ra I =
Z
tdt =
t
2
2
+C =
(
1+lnx
)
2
2
+C. ä
3 I =
Z
1+ln
4
x
x
dx .
ĐS: ln x +
ln
5
x
5
+C
- Lời giải.
Đặt t =ln x ⇒ dt =
1
x
dx . Suy ra I =
Z
(1+t
4
)dt = t +
t
5
5
+C =ln x +
ln
5
x
5
+C. ä
4 I =
Z
3ln x +1
xln x
dx .
ĐS: ln|x|+ln|x lnx|+C
- Lời giải.
Đặt t = x lnx ⇒ dt =(ln x +1)dx.
Suy ra
I =
Z
3ln x +1
xln x
dx =
Z
2ln x +ln x +1
xln x
dx =
Z
2
x
dx +
Z
ln x +1
xln x
dx = ln|x|+
Z
dt
t
= ln|x|+ln|t|+C
= ln|x|+ln|x lnx|+C.
ä
5 I =
Z
ln x
x(2+lnx)
2
dx .
ĐS: ln|2+ln x|+2·
1
2+lnx
+C
- Lời giải.
Đặt t =2+lnx ⇒ dt =
1
x
dx .
Suy ra I =
Z
ln x
x(2+lnx)
2
dx =
Z
t −2
t
2
dt =
Z
1
t
dt−
Z
2
t
2
dt =ln|t|+2
1
t
+C =ln|2+ln x|+2·
1
2+lnx
+
C. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 70 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
6 I =
Z
p
4+lnx
x
dx .
ĐS:
2
³
p
4+lnx
´
3
3
+C
- Lời giải.
Đặt t =
p
4+lnx ⇒ t
2
=4 +ln x ⇒2t dt =
1
x
dx .
Suy ra I =
Z
p
4+lnx
x
dx =
Z
2t
2
dt =2
Z
t
2
dt =
2t
3
3
+C =
2
³
p
4+lnx
´
3
3
+C. ä
7 I =
Z
p
1+3lnx
x
dx .
ĐS:
2
9
³
p
1+3lnx
´
3
+C
- Lời giải.
Đặt t =
p
1+3lnx ⇒ t
2
=1 +3ln x ⇒2tdt =
3
x
dx .
Suy ra I =
Z
p
1+3lnx
x
dx =
Z
2
3
t
2
dt =
2
3
·
t
3
3
+C =
2
9
³
p
1+3lnx
´
3
+C. ä
8 I =
Z
ln x
x
p
1+lnx
dx .
ĐS:
2
3
³
p
1+lnx
´
3
+2
p
1+lnx +C
- Lời giải.
Đặt t =
p
1+lnx ⇒ t
2
=1 +ln x ⇒2t dt =
1
x
dx .
Suy ra I =
Z
ln x
x
p
1+lnx
dx = 2
Z
t(t
2
−1)
t
dt = 2
Z
(t
2
−1)dt = 2 ·
t
3
3
−2t +C =
2
3
³
p
1+lnx
´
3
+
2
p
1+lnx +C. ä
Ví dụ 7. I =
Z
e
x
dx
e
x
−1
.
ĐS: ln|e
x
−1|+C
Lời giải: Đặt t =e
x
−1 ⇒ dt =e
x
dx .
Suy ra I =
Z
e
x
dx
e
x
−1
=
Z
1
t
dt =ln|t|+C =ln|e
x
−1|+C.
Bài 7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1
I =
Z
dx
e
x
+3
.
ĐS:
1
3
(
ln|e
x
|−ln|e
x
+3|
)
+C
- Lời giải.
Đặt t =e
x
+3 ⇒ dt =e
x
dx .
Suy ra
I =
Z
dx
e
x
+3
=
Z
e
x
dx
e
x
(e
x
+3)
=
Z
1
(t −3)t
dt =
Z
µ
1
3(t −3)
−
1
3t
¶
dt =
1
3
ln|t −3|−
1
3
ln|t|+C
=
1
3
¡
ln|e
x
|−ln|e
x
+3|
¢
+C.
ä
Th.s Nguyễn Chín Em 71 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
2 I =
Z
dx
e
x
+4
.
ĐS:
1
4
(
ln|e
x
|−ln|e
x
+4|
)
+C
- Lời giải.
Đặt t =e
x
+4 ⇒ dt =e
x
dx .
Suy ra
I =
Z
dx
e
x
+4
=
Z
e
x
dx
e
x
(e
x
+4)
=
Z
1
(t −4)t
dt =
Z
µ
1
4(t −4)
−
1
4t
¶
dt =
1
4
ln|t −4|−
1
4
ln|t|+C
=
1
4
¡
ln|e
x
|−ln|e
x
+4|
¢
+C.
ä
3 I =
Z
dx
e
x
+e
−x
.
ĐS: arctane
x
+C
- Lời giải.
Đặt t =e
x
⇒ dt =e
x
dx . Suy ra I =
Z
dx
e
x
+e
−x
=
Z
e
x
dx
e
2x
+1
=
Z
1
t
2
+1
dt
Đặt t =tanu ⇒ dt =
1
cos
2
u
du.
Vậy I =
Z
1
tan
2
u +1
·
1
cos
2
u
du =
Z
du = u +C =arctan t +C =arctane
x
+C. ä
4 I =
Z
e
x
dx
e
x
+e
−x
.
ĐS:
1
2
ln|e
2x
+1|+C
- Lời giải.
Đặt t = e
2x
+1 ⇒ dt =2e
2x
dx .
Suy ra I =
Z
e
x
dx
e
x
+e
−x
=
Z
e
2x
dx
e
2x
+1
=
1
2
Z
1
t
dt =
1
2
ln|t|+C =
1
2
ln|e
2x
+1|+C. ä
5 I =
Z
dx
e
x
+2e
−x
−3
.
ĐS: ln|e
x
−2|−ln|e
x
−1|+C
- Lời giải.
Đặt t =e
x
⇒ dt =e
x
dx .
Ta có
I =
Z
dx
e
x
+2e
−x
−3
=
Z
e
x
dx
e
2x
+2−3e
x
=
Z
1
t
2
−3t +2
dt =
Z
1
(t −2)(t −1)
dt =
Z
1
t −2
−
1
t −1
dt
= ln|t −2|−ln|t −1|+C
= ln|e
x
−2|−ln|e
x
−1|+C.
ä
6 I =
Z
dx
e
x
−4·e
−x
.
ĐS:
1
4
(
ln
|
e
x
−2
|
−ln
|
e
x
+2
|
)
+C
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 72 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có I =
Z
e
x
e
2x
−4
dx.
Đặt t =e
x
⇒ dt =e
x
dx .
Suy ra I =
Z
dt
t
2
−4
=
1
4
Z
µ
1
t −2
−
1
t +2
¶
=
1
4
(
ln
|
t −2
|
−ln
|
t +2
|
)
+C =
1
4
¡
ln
¯
¯
e
x
−2
¯
¯
−ln
¯
¯
e
x
+2
¯
¯
¢
+C.
ä
7 I =
Z
(
1+e
x
)
3
e
x
dx .
ĐS:
−1
e
x
+3x +3e
x
+
1
2
e
2x
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
1+3e
x
+3e
2x
+e
3x
e
x
dx =
Z
µ
1
e
x
+3+3e
x
+e
2x
¶
dx =
−1
e
x
+3x +3e
x
+
1
2
e
2x
+C. ä
8 I =
Z
e
2x
+3e
x
e
2x
+3e
x
+2
dx .
ĐS: 2ln
|
e
x
+1
|
−ln
|
e
x
+2
|
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
e
x
(
e
x
+3
)
e
2x
+3e
x
+2
dx .
Đặt t =e
x
⇒ dt =e
x
dx .
Suy ra I =
Z
t +3
t
2
+3t +2
dt =
Z
µ
2
t +1
−
1
t +2
¶
dt =2ln
|
t +1
|
−ln
|
t +2
|
+C =2ln
¯
¯
e
x
+1
¯
¯
−ln
¯
¯
e
x
+2
¯
¯
+
C.
ä
9 I =
Z
e
x
(
1+e
x
)
2
dx .
ĐS:
−1
e
x
+1
+C
- Lời giải.
Đặt t =e
x
+1 ⇒ dt =e
x
dx .
Ta có I =
Z
dt
t
2
=
−1
t
+C =
−1
e
x
+1
+C. ä
10 I =
Z
2e
x
−1
e
x
+1
dx .
ĐS: 2lne
x
+1−
1
2
ln(e
x
)−
1
2
ln(e
x
+2)+C
- Lời giải.
Đặt t =e
x
+1 ⇒e
x
= t −1 ⇒ dx =
dt
t −1
.
Suy ra
I =
Z
2(t −1)−1
t
·
dt
t −1
=
Z
µ
2
t
−
1
t(t −1)
¶
dt = 2ln t −
Z
µ
1
t −1
−
1
t
¶
= 2ln t −ln(t −1)−ln(t)+C
= 2ln(e
x
+1)−ln(e
x
)−ln(e
x
+1)+C.
ä
11 I =
Z
e
2x
p
e
x
+1
dx .
Th.s Nguyễn Chín Em 73 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
ĐS:
2
¡
p
e
x
+1
¢
2
3
+
p
e
x
+1+C
- Lời giải.
Đặt t =
p
e
x
−1 ⇒ t
2
=e
x
−1 ⇒e
x
= t
2
+1 ⇒e
x
dx =2t dt.
Suy ra I =
Z
(t
2
+1)2t
t
dt =2
Z
(t
2
+1)dt =
2t
3
3
+2t +C =
2
¡
p
e
x
+1
¢
3
3
+2
p
e
x
+1+C ä
12 I =
Z
e
2x
dx
p
3+e
x
.
ĐS:
2e
x
3
p
3+e
x
−6
p
3+e
x
+C
- Lời giải.
Đặt t =
p
3+e
x
⇒ dt =
e
x
2
p
3+e
x
dx .
Suy ra I =
Z
2(t
2
−3)dt =
2t
3
3
−6t+C =
2
3
(3+e
x
)
p
3+e
x
−6
p
3+e
x
+C =
2e
x
3
p
3+e
x
−6
p
3+e
x
+C.
ä
13 I =
Z
dx
p
e
x
+1
.
ĐS: ln|
p
e
x
+1−1|−ln|
p
e
x
+1+1|+C.
- Lời giải.
Đặt t =
p
e
x
+1 ⇒ dt =
e
x
2
p
e
x
+1
dx .
Suy ra
I =2
Z
1
t
2
−1
dt =2
Z
µ
1
2(t −1)
−
1
2(t +1)
¶
dt = ln|t −1|−ln|t +1|+C
= ln|
p
e
x
+1−1|−ln|
p
e
x
+1+1|+C.
ä
Ví dụ 8. I =
Z
tan x dx.
ĐS: −ln|cos x|+C.
Lời giải: Ta có I =
Z
sin x
cos x
dx .
Đặt t =cos x ⇒ dt =−sin x dx.
Suy ra I =
Z
−
1
t
dt =−ln|t|+C =−ln|cos x |+C.
Bài 8. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 I =
Z
sin
3
xdx.
ĐS: −cosx +
cos
3
x
3
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
(1−cos
2
x)·sin x dx.
Đặt t =cos x ⇒ dt =−sin x dx.
Suy ra I =
Z
−(1−t
2
)dt =−t +
t
3
3
+C =−cosx +
cos
3
x
3
+C. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 74 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
2 I =
Z
sin
5
xdx.
ĐS: −
cos
5
x
5
+
2cos
3
x
3
−cosx +C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
(1−cos
2
x)
2
sin x dx.
Đặt t =cos x ⇒ dt =−sin x dx.
Suy ra I =
Z
−(1−t
2
)
2
dt =
Z
(−t
4
+2t
2
−1)dt =−
t
5
5
+
2t
3
3
−t+C =−
cos
5
x
5
+
2cos
3
x
3
−cos x+C. ä
3 I =
Z
cos
2017
x ·sin x dx.
ĐS: −
cos
2018
x
2018
+C
- Lời giải.
Đặt t =cos x ⇒ dt =−sin x dx.
Suy ra I =
Z
−t
2017
dt =−
t
2018
2018
+C =−
cos
2018
x
2018
+C. ä
4 I =
Z
sin x
cos
2
x
dx .
ĐS:
1
cos x
+C
- Lời giải.
Đặt t =cos x ⇒ dt =−sin x dx.
Suy ra I =
Z
−
1
t
2
dt =
1
t
+C =
1
cos x
+C. ä
5 I =
Z
sin2x cos
2
xdx.
ĐS: −
cos
4
x
2
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
2sin x cos
3
xdx. Đặt t =cos x ⇒ dt =−sin xdx.
Suy ra I =
Z
−2t
3
dt =−
t
4
2
+C =−
cos
4
x
2
+C. ä
6 I =
Z
sin x
2+cosx
dx .
ĐS: −ln|2+cos x|+C
- Lời giải.
Đặt t =2+cosx ⇒ dt =−sin xdx.
Suy ra I =
Z
−
1
t
dt =−ln|t|+C =−ln|2+cos x|+C. ä
7 I =
Z
5sin
3
x
1−cosx
dx .
ĐS: −5cosx −
5
2
cos
2
x +C
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 75 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có I =
Z
5(1−cos
2
x)sin x
1−cosx
dx =
Z
5(1+cosx)sin xdx.
Đặt t =cos x ⇒ dt =−sin x dx.
Suy ra I =
Z
−5(1+t)dt =−5t −5
t
2
2
+C =−5cosx −
5
2
cos
2
x +C. ä
8 I =
Z
sin
2
xtan xdx.
ĐS: −ln|cos x|+
cos
2
x
2
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
sin
3
x
cos x
dx =
Z
(1−cos
2
x)sin x
cos x
dx .
Đặt t =cos x ⇒ dt =−sin x dx.
Suy ra I =
Z
−
1−t
2
t
dt =
Z
µ
−
1
t
+t
¶
dt =−ln|t|+
t
2
2
+C =−ln|cos x|+
cos
2
x
2
+C. ä
9 I =
Z
sin2x cosx
1−cosx
dx .
ĐS:
cos
2
x
2
−2cos x +ln|cos x|+C.
- Lời giải.
Ta có I =
Z
2sin x cos
2
x
1−cosx
dx .
Đặt t =1−cosx ⇒ dt =sin xdx.
Suy ra I =
Z
(1−t)
2
t
dt =
Z
µ
t −2+
1
t
¶
dt =
t
2
2
−2t +ln|t|+C =
cos
2
x
2
−2cos x +ln|cos x|+C. ä
10 I =
Z
sin2x
4−cos
2
x
dx .
ĐS: ln|4−cos
2
x|+C.
- Lời giải.
Đặt t =4−cos
2
x ⇒ dt =sin2xdx.
Suy ra I =
Z
1
t
dt =ln|t|+C =ln|4 −cos
2
x|+C. ä
11 I =
Z
sin4x
1+cos
2
x
dx .
ĐS: −2(1 +cos
2
x)
2
+6ln|1+cos
2
x|+C.
- Lời giải.
I =
Z
2sin2x(2(cos
2
x +1)−3)
1+cos
2
x
dx
Đặt t =1+cos
2
x ⇒ dt =−sin2x dx.
Suy ra I =
Z
−
2(2t
2
−3)
t
dt =
Z
−
µ
4t −
6
t
¶
dt =−2t
2
+6ln|t|+C =−2(1+cos
2
x)
2
+6ln|1+cos
2
x|+C.
ä
12 I =
Z
³
1+tanxtan
x
2
´
sin x dx.
ĐS: −ln|cos x|+C
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 76 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
I =
Z
cos x cos
x
2
+sinx sin
x
2
cos x cos
x
2
sin x dx =
Z
cos
x
2
cos x cos
x
2
sin x dx =
Z
sin x
cos x
dx
Đặt t =cos x ⇒ dt =−sin x dx.
Suy ra I =
Z
−
1
t
dt =−ln|t|+C =−ln|cos x |+C. ä
13 I =
Z
sin x
cos2x +3cosx +2
dx .
ĐS: ln|cosx +1|−ln|2cos x +1|+C
- Lời giải.
I =
Z
sin x
2cos
2
x +3cos x +1
dx .
Đặt t =cos x ⇒ dt =−sin x dx.
Suy ra
I =
Z
−
1
2t
2
+3t +1
dt =
Z
−
1
(2t +1)(t +1)
dt
=
Z
µ
1
t +1
−
2
2t +1
¶
dt =ln|t +1|−ln|2t +1|+C =ln|cosx +1|−ln|2cosx +1|+C
ä
14 I =
Z
sin x
cos2x −cosx
dx .
ĐS: −
1
3
ln|cos x +1|+
1
3
ln|2cos x +1|+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
sin x
2cos
2
x −cosx −1
dx .
Đặt t =cos x ⇒ dt =−sin x dx.
Suy ra
I =
Z
−
1
2t
2
−t −1
dt =
Z
−
1
(2t +1)(t −1)
dt =−
1
3
Z
µ
1
t −1
−
2
2t +1
¶
dt
= −
1
3
ln|t +1|+
1
3
ln|2t +1|+C =−
1
3
ln|cos x +1|+
1
3
ln|2cos x +1|+C.
ä
15 I =
Z
sin x +sin3x
cos2x
dx .
ĐS: −
cos4x
2
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
2sin4xcos2x
cos2x
dx =
Z
2sin4xdx =−
cos4x
2
+C. ä
16 I =
Z
2sin x
p
1+4cosx dx.
ĐS: −
1
3
p
1+4cosx(1+4cos x)+C
- Lời giải.
Đặt t =
p
1+4cosx ⇒ t
2
=1 +4cos x ⇒ t dt =−2sin x dx.
Suy ra I =
Z
−t
2
dt =−
t
3
3
=−
1
3
p
1+4cosx(1+4cos x)+C. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 77 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
17 Tính I =
Z
sin2x +sinx
p
1+3cosx
dx . ĐS: −
2
9
Ã
2
¡
p
1+3cosx
¢
3
3
+
p
1+3cosx
!
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
sin2x +sinx
p
1+3cosx
dx =
Z
sin x(2cosx +1)
p
1+3cosx
.
Đặt t =
p
1+3cosx ⇒ t
2
=1 +3cos x ⇒−
2
3
tdt =sin xdx. Khi đó
I =
Z
−
2
3
t
µ
2
µ
t
2
−1
3
¶
+1
¶
t
dt =
Z
−
2
9
(2t
2
+1)dt =−
2
9
µ
2t
3
3
+t
¶
+C =−
2
9
Ã
2
¡
p
1+3cosx
¢
3
3
+
p
1+3cosx
!
+C.
ä
18 Tính I =
Z
dx
sin x
. ĐS:
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
cos x −1
cos x +1
¯
¯
¯
¯
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
dx
sin x
=
Z
sin x dx
sin
2
x
=
Z
sin x dx
1−cos
2
x
.
Đặt t =cos x ⇒−dt =sin x dx. Khi đó
I =
Z
dt
t
2
−1
=
1
2
Z
µ
1
t −1
−
1
t +1
¶
dt =
1
2
(
ln|t −1|−ln|t +1|
)
+C =
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
t −1
t +1
¯
¯
¯
¯
+C =
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
cos x −1
cos x +1
¯
¯
¯
¯
+C.
ä
19 Tính I =
Z
dx
sin
3
x
. ĐS: −
1
4
µ
1
1−cosx
−
1
1+cosx
+ln
¯
¯
¯
¯
1+cosx
1−cosx
¯
¯
¯
¯
¶
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
dx
sin
3
x
=
Z
sin x dx
sin
4
x
=
Z
sin x dx
(1−cos
2
x)
2
.
Đặt t =cos x ⇒dt =−sin xdx. Khi đó
I =
Z
−dt
(1−t
2
)
2
=−
1
4
Z
[
(1+t)+(1−t)
]
2
dt
(1−t)
2
·(1+t)
2
=−
1
4
Z
(1+t)
2
+(1−t)
2
+2(1−t)(1+t)
(1−t)
2
(1+t)
2
dt
= −
1
4
Z
·
1
(1−t)
2
+
1
(1+t)
2
+
1
(1−t)(1+t)
¸
dt =−
1
4
Z
·
1
(1−t)
2
+
1
(1+t)
2
+
1
1+t
+
1
1−t
¸
dt
= −
1
4
µ
1
1−t
−
1
1+t
+ln
¯
¯
¯
¯
1+t
1−t
¯
¯
¯
¯
¶
+C =−
1
4
µ
1
1−cosx
−
1
1+cosx
+ln
¯
¯
¯
¯
1+cosx
1−cosx
¯
¯
¯
¯
¶
+C.
ä
20 Tính I =
Z
dx
sin x +
p
3cos x
. ĐS: −
1
4
ln
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1+cos
³
x +
π
3
´
1−cos
³
x +
π
3
´
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+C
- Lời giải.
Ta có
I =
Z
dx
sin x +
p
3cos x
=
1
2
Z
dx
sin
³
x +
π
3
´
=
1
2
Z
sin
³
x +
π
3
´
dx
sin
³
x +
π
3
´
sin
³
x +
π
3
´
=
1
2
Z
sin
³
x +
π
3
´
dx
1−cos
2
³
x +
π
3
´
=−
1
4
ln
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1+cos
³
x +
π
3
´
1−cos
³
x +
π
3
´
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+C.
ä
Th.s Nguyễn Chín Em 78 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ví dụ 9.
Tính I =
Z
cot x dx. ĐS: ln|sinx|+C
Lời giải:
Ta có I =
Z
cot x dx =
Z
cos x
sin x
dx =ln|sin x|+C.
Bài 9. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 Tính I =
Z
cos
3
xdx. ĐS:
1
3
sin
3
x +C
- Lời giải.
Ta có I =
R
cos
3
xdx =
R
cos x sin
2
xdx.
Đặt t =sin x ⇒dt =cos x dx. Khi đó I =
R
t
2
d =
t
3
3
+C =
1
3
sin
3
x +C. ä
2 Tính I =
Z
cos
5
xdx. ĐS: sin x −
2
3
sin
3
x +
1
5
sin
5
x +C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
cos
5
xdx =
Z
cos x
¡
1−sin
2
x
¢
2
dx .
Đặt t =sin x ⇒dt =cos x dx. Khi đó
I =
Z
¡
1−t
2
¢
2
dt =
Z
¡
1−2t
2
+t
4
¢
dt
= t −
2
3
t
3
+
1
5
t
5
+C =sin x −
2
3
sin
3
x +
1
5
sin
5
x +C.
ä
3 Tính I =
Z
sin
2019
xcos xdx. ĐS:
1
2020
sin
2020
x +C
- Lời giải.
Đặt t =sin x ⇒dt =cos x dx. Khi đó I =
Z
t
2019
dt =
1
2020
t
2020
+C =
1
2020
sin
2020
x +C. ä
4 Tính I =
Z
(1+2sinx)cos x dx. ĐS:
(1+2sinx)
2
4
+C
- Lời giải.
Đặt t =1+2sinx ⇒dt =2cosxdx ⇒
1
2
dt =cos x dx. Khi đó
I =
Z
1
2
tdt =
1
2
Z
tdt =
1
2
·
t
2
2
+C =
1
2
(1+2sinx)
2
2
+C.
ä
5 Tính I =
Z
cos x
4+sinx
dx . ĐS: ln|4+sin x|+C
- Lời giải.
Đặt t =4+sinx ⇒dt =cos xdx. Khi đó I =
Z
dt
t
=ln|t|+C =ln|4+sin x|+C. ä
6 Tính I =
Z
cos x
9−2sinx
dx . ĐS: −
1
2
ln|9−2sin x|+C
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 79 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt t =9−2sinx ⇒dt =−2cosxdx ⇒−
1
2
dt =cos x dx. Khi đó
I =
Z
−
1
2
dt
t
=−
1
2
Z
dt
t
=−
1
2
ln|t|+C =−
1
2
ln|9−2sin x|+C.
ä
7 Tính I =
Z
sin2x
1−sinx
dx . ĐS: −2ln|1−sin x|+2(1−sin x)+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
sin2x
1−sinx
dx =
Z
2sin x cosx
1−sinx
dx .
Đặt t =1−sinx ⇒ dt =−cos xdx. Khi đó
I =
Z
−2(1−t)dt
t
=
Z
µ
−2
t
+2
¶
dt =−2ln|t|+2t +C =−2ln|1 −sin x|+2(1 −sin x)+C.
ä
8 Tính I =
Z
sin2x
(2+sinx)
2
dx . ĐS: 2ln|2 +sin x|+
4
2+sinx
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
sin2x
(2+sinx)
2
dx =
Z
2sin x cosx
(2+sinx)
2
dx .
Đặt t =2+sinx ⇒dt =cos xdx. Khi đó
I =
Z
2(t −2)dt
t
2
=
Z
µ
2
t
−
4
t
2
¶
dt =2ln|t|+
4
t
+C =2ln|2+sin x|+
4
2+sinx
+C.
ä
9 Tính I =
Z
(1+sinx)
9
cos x dx. ĐS:
(1+sinx)
10
10
+C
- Lời giải.
Đặt t =1+sinx ⇒dt =cos xdx. Khi đó I =
Z
t
9
dt =
t
10
10
+C =
(1+sinx)
10
10
+C. ä
10 Tính I =
Z
sin2x sin
5
xdx. ĐS:
2
7
sin
7
x +C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
sin2x sin
5
xdx =
Z
2sin
6
xcos xdx.
Đặt t =sin x ⇒dt =cos x dx. Khi đó I =
Z
2t
6
dt =
2
7
t
7
+C =
2
7
sin
7
x +C. ä
11 Tính I =
Z
(1+2sinx)
7
cos x dx. ĐS:
(1+2sinx)
8
8
+C
- Lời giải.
Đặt t =1+2sinx ⇒
1
2
dt =cos x dx. Khi đó I =
Z
t
7
dt =
t
8
8
+C =
(1+2sinx)
8
8
+C. ä
12 Tính I =
Z
(2sin x −3)cos x
2sin x +1
dx . ĐS:
1
2
(
2sin x +1−4ln|2sin x +1|
)
+C
- Lời giải.
Đặt t =2sin x +1 ⇒
t −1
2
=sin x ⇒
1
2
dt =cos x dx. Khi đó
I =
Z
(t −1−3)
1
2
dt
t
=
1
2
Z
µ
1−
4
t
¶
dt =
1
2
(
t −4ln|t|
)
+C =
1
2
(
2sin x +1−4ln|2sin x +1|
)
+C.
ä
Th.s Nguyễn Chín Em 80 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
13 Tính I =
Z
cos2x
1+2sin2x
dx . ĐS:
1
4
ln|1+2sin2x|+C
- Lời giải.
Đặt t =1+2sin2x ⇒dt =4cos2xdx. Khi đó
I =
Z
1
4
dt
t
=
1
4
Z
1
t
dt
=
1
4
ln|t|+C =
1
4
ln|1+2sin2x|+C.
ä
14 Tính I =
Z
1−2sin
2
x
1+sin2x
dx . ĐS:
1
2
ln|1+sin2x |+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
1−2sin
2
x
1+sin2x
dx =
Z
cos2x
1+sin2x
dx .
Đặt t =1+sin2x ⇒ dt =2cos2xdx. Khi đó
I =
Z
1
2
dt
t
=
1
2
Z
dt
t
=
1
2
ln|t|+C =
1
2
ln|1+sin2x |+C.
ä
15 Tính I =
Z
cos x dx
6−5sinx +sin
2
x
. ĐS: ln
¯
¯
¯
¯
sin x −3
sin x −2
¯
¯
¯
¯
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
cos x dx
6−5sinx +sin
2
x
=
Z
cos x dx
(sin x −3)(sin x −2)
.
Đặt t =sin x −3 ⇒ dt =cos xdx. Khi đó
I =
Z
dt
t(t +3−2)
=
Z
dt
t(t +1)
=
Z
µ
1
t
−
1
t +1
¶
dt =ln
¯
¯
¯
¯
t
t +1
¯
¯
¯
¯
+C =ln
¯
¯
¯
¯
sin x −3
sin x −2
¯
¯
¯
¯
+C.
ä
16 Tính I =
Z
cos xe
sin x
dx . ĐS: e
sin x
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
cos xe
sin x
dx =e
sin x
+C. ä
17 Tính I =
Z
cos x
p
1+sinxdx. ĐS:
2
3
p
(1+sinx)
3
+C
- Lời giải.
Đặt t =
p
1+sinx ⇒ t
2
=1 +sin x ⇒2tdt =cos x dx. Khi đó
I =
Z
t ·2t dt =
2t
3
3
+C =
2
3
p
(1+sinx)
3
+C.
ä
18 Tính I =
Z
cos x
p
3sin x +1dx. ĐS:
2
p
(3sin x +1)
3
9
+C
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 81 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt t =
p
3sin x +1 ⇒ t
2
=3sinx +1 ⇒
2
3
tdt =cos xdx. Khi đó
I =
Z
2
3
t
2
dt =
2
3
·
t
3
3
+C =
2
3
p
(3sin x +1)
3
3
+C.
ä
19 Tính I =
Z
cos x dx
2+
p
3sin x +1
. ĐS:
2
3
³
2+
p
3sin x +1−2ln|2 +
p
3sin x +1|
´
+C
- Lời giải.
Đặt t =2+
p
3sin x +1 ⇒ t −2 =
p
3sin x +1 ⇒(t −2)
2
=3sinx +1 ⇒2(t −2)dt =3cos xdx. Khi đó
I =
Z
cos x dx
2+
p
3sin x +1
=
Z
2
3
·(t −2)dt
t
=
2
3
Z
t −2
t
dt =
2
3
Z
µ
1−
2
t
¶
dt
=
2
3
(
t −2ln|t|
)
+C =
2
3
³
2+
p
3sin x +1−2ln
¯
¯
¯
2+
p
3sin x +1
¯
¯
¯
´
+C.
ä
20 Tính I =
Z
dx
cos x
. ĐS:
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
1+sinx
1−sinx
¯
¯
¯
¯
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
dx
cos x
=
Z
cos x dx
cos
2
x
=
Z
cos x dx
1−sin
2
x
.
Đặt t =sin x ⇒dt =cos x dx. Khi đó
I =
Z
dt
1−t
2
=
Z
1
2
µ
1
1−t
+
1
1+t
¶
dt
=
1
2
(
ln|1+t|−ln|1−t|
)
+C =
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
1+t
1−t
¯
¯
¯
¯
+C =
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
1+sinx
1−sinx
¯
¯
¯
¯
+C.
ä
21 Tính I =
Z
dx
cos
3
x
. ĐS:
1
4
µ
1
1−sinx
−
1
1+sinx
+ln
¯
¯
¯
¯
1+sinx
1−sinx
¯
¯
¯
¯
¶
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
dx
cos
3
x
=
Z
cos x dx
cos
4
x
=
Z
cos x dx
(1−sin
2
x)
2
.
Đặt t =sin x ⇒dt =cos x dx. Khi đó
I =
Z
dt
(1−t
2
)
2
=
1
4
Z
[
(1+t)+(1−t)
]
2
dt
(1−t)
2
·(1+t)
2
=
1
4
Z
(1+t)
2
+(1−t)
2
+2(1−t)(1+t)
(1−t)
2
(1+t)
2
dt
=
1
4
Z
·
1
(1−t)
2
+
1
(1+t)
2
+
1
(1−t)(1+t)
¸
dt =
1
4
Z
·
1
(1−t)
2
+
1
(1+t)
2
+
1
1+t
+
1
1−t
¸
dt
=
1
4
µ
1
1−t
−
1
1+t
+ln
¯
¯
¯
¯
1+t
1−t
¯
¯
¯
¯
¶
+C =
1
4
µ
1
1−sinx
−
1
1+sinx
+ln
¯
¯
¯
¯
1+sinx
1−sinx
¯
¯
¯
¯
¶
+C.
ä
Ví dụ 10. Tính I =
Z
tan x
cos
2
x
dx . ĐS:
tan
2
x
2
+C
Th.s Nguyễn Chín Em 82 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Lời giải: Đặt t =tan x ⇒ dt =
dx
cos
2
x
. Khi đó I =
Z
tdt =
t
2
2
+C =
tan
2
x
2
+C.
Bài 10. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 Tính I =
Z
sin
2
x
cos
4
x
dx . ĐS:
tan
3
x
3
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
sin
2
x
cos
4
x
dx =
Z
tan
2
x
cos
2
x
dx .
Đặt t =tan x ⇒ dt =
dx
cos
2
x
. Khi đó I =
Z
t
2
dt =
t
3
3
+C =
tan
3
x
3
+C. ä
2 Tính I =
Z
(1+tanx)
2
cos
2
x
dx . ĐS:
(1+tanx)
3
3
+C
- Lời giải.
Đặt t =1+tanx ⇒ dt =
dx
cos
2
x
. Khi đó I =
Z
t
2
dt =
t
3
3
+C =
(1+tanx)
3
3
+C. ä
3 Tính I =
Z
2+3tanx
1+cos2x
dx . ĐS:
1
6
·
(2+3tanx)
2
2
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
2+3tanx
1+cos2x
dx =
Z
2+3tanx
2cos
2
x
dx .
Đặt t =2+3tanx ⇒
1
3
dt =
dx
cos
2
x
. Khi đó I =
Z
1
6
tdt =
1
6
·
t
2
2
+C =
1
6
·
(2+3tanx)
2
2
+C. ä
4 Tính I =
Z
tan
2
x
cos2x
dx . ĐS:
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
1+tanx
1−tanx
¯
¯
¯
¯
−tanx +C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
tan
2
x
cos2x
dx =
Z
tan
2
x
2cos
2
x −1
dx =
Z
tan
2
x
2−
1
cos
2
x
·
dx
cos
2
x
=
Z
tan
2
x
2−(1+tan
2
x)
·
dx
cos
2
x
.
Đặt t =tan x ⇒dt =
dx
cos
2
x
. Khi đó
I =
Z
t
2
1−t
2
dt =
Z
µ
1
1−t
2
−1
¶
dt =
Z
1
2
µ
1
1−t
+
1
1+t
−2
¶
dt
=
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
1+t
1−t
¯
¯
¯
¯
−t +C =
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
1+tanx
1−tanx
¯
¯
¯
¯
−tanx +C.
ä
5 Tính I =
Z
dx
sin
2
x −4cos
2
x
. ĐS:
1
4
ln
¯
¯
¯
¯
tan x −2
tan x +2
¯
¯
¯
¯
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
dx
sin
2
x −4cos
2
x
=
Z
dx
cos
2
x
¡
tan
2
x −4
¢
.
Đặt t =tan x ⇒dt =
dx
cos
2
x
. Khi đó
I =
Z
dt
t
2
−4
=
Z
1
4
µ
1
t −2
−
1
t +2
¶
dt
=
1
4
(
ln|t −2|−ln|t +2|
)
+C =
1
4
ln
¯
¯
¯
¯
t −2
t +2
¯
¯
¯
¯
+C =
1
4
ln
¯
¯
¯
¯
tan x −2
tan x +2
¯
¯
¯
¯
+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 83 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
ä
6 Tính I =
Z
dx
sin
2
x +3sin x cosx
. ĐS:
1
3
ln
¯
¯
¯
¯
tan x
tan x +3
¯
¯
¯
¯
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
dx
sin
2
x +3sin x cosx
=
Z
dx
cos
2
x(tan
2
x +3tan x)
.
Đặt t =tan x ⇒ dt =
dx
cos
2
x
. Khi đó
I =
Z
dt
t
2
+3t
=
Z
1
3
µ
1
t
−
1
t +3
¶
dt
=
1
3
(
ln|t|−ln|t +3|
)
+C =
1
3
ln
¯
¯
¯
¯
t
t +3
¯
¯
¯
¯
+C =
1
3
ln
¯
¯
¯
¯
tan x
tan x +3
¯
¯
¯
¯
+C.
ä
7 Tính I =
Z
dx
5cos
2
x −8sin x cosx +3sin
2
x
. ĐS: −
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
tan x −1
3tan x −5
¯
¯
¯
¯
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
dx
5cos
2
x −8sin x cosx +3sin
2
x
=
Z
dx
cos
2
x(5−8tan x +3tan
2
x)
.
Đặt t =tan x ⇒ dt =
dx
cos
2
x
. Khi đó
I =
Z
dt
5−8t +3t
2
=
Z
dt
(3t −5)(t −1)
=
Z
−
1
2
·
µ
1
t −1
−
3
3t −5
¶
dt
= −
1
2
(ln|t −1|−ln|3t −5|)+C =−
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
t −1
3t −5
¯
¯
¯
¯
+C =−
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
tan x −1
3tan x −5
¯
¯
¯
¯
+C.
ä
8 Tính I =
Z
dx
sin x cos
3
x
. ĐS: ln|tanx|+
tan
2
x
2
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
dx
sin x cos
3
x
=
Z
1
sin x cosx
·
dx
cos
2
x
=
Z
1
cos
2
x(tan x)
·
dx
cos
2
x
=
Z
1+tan
2
x
tan x
·
dx
cos
2
x
.
Đặt t =tan x ⇒ dt =
dx
cos
2
x
. Khi đó
I =
Z
1+t
2
t
dt =
Z
µ
1
t
+t
¶
dt =ln|t|+
t
2
2
+C =ln|tanx|+
tan
2
x
2
+C.
ä
9 Tính I =
Z
dx
cos
4
xsin
2
x
. ĐS: −
1
tan x
+2tan x +
tan
3
x
3
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
dx
cos
4
xsin
2
x
=
Z
1
cos
2
xsin
2
x
·
dx
cos
2
x
=
Z
1
cos
4
x(tan
2
x)
·
dx
cos
2
x
=
Z
(1+tan
2
x)
2
tan
2
x
·
dx
cos
2
x
.
Đặt t =tan x ⇒ dt =
dx
cos
2
x
. Khi đó
I =
Z
(1+t
2
)
2
t
2
dt =
Z
µ
1
t
2
+2+t
2
¶
dt
= −
1
t
+2t +
t
3
3
+C =−
1
tan x
+2tan x +
tan
3
x
3
+C.
ä
Th.s Nguyễn Chín Em 84 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
10 Tính I =
Z
dx
cos
4
x
. ĐS: tan x +
tan
3
x
3
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
dx
cos
4
x
=
Z
1
cos
2
x
·
dx
cos
2
x
=
Z
1+tan
2
x
cos
2
x
dx .
Đặt t =tan x ⇒ dt =
dx
cos
2
x
. Khi đó I =
Z
(1+t
2
)dt = t +
t
3
3
+C =tan x +
tan
3
x
3
+C. ä
11 Tính I =
Z
(1+sin2x)dx
2sin x cos
3
x +cos
4
x
. ĐS:
tan
2
x
4
+
3tan x
4
+
ln|2tan x +1|
8
+C
- Lời giải.
Ta có
I =
Z
(1+sin2x)dx
2sin x cos
3
x +cos
4
x
=
Z
1+sin2x
2sin x cosx +cos
2
x
·
dx
cos
2
x
=
Z
1
cos
2
x
+2tan x
2tan x +1
·
dx
cos
2
x
=
Z
1+tan
2
x +2tan x
2tan x +1
·
dx
cos
2
x
Đặt t =tan x ⇒ dt =
dx
cos
2
x
. Khi đó
I =
Z
t
2
+2t +1
2t +1
dt =
Z
µ
1
2
t +
3
4
+
1
4(2t +1)
¶
dt
=
t
2
4
+
3t
4
+
ln|2t +1|
8
+C
=
tan
2
x
4
+
3tan x
4
+
ln|2tan x +1|
8
+C.
ä
Ví dụ 11.
Tính I =
Z
cot x
sin
2
x
dx . ĐS: −
cot
2
x
2
+C
Lời giải: Đặt t =cot x ⇒dt =−
1
sin
2
x
dx .
Do đó I =
Z
−t dt =−
t
2
2
+C =−
cot
2
x
2
+C.
Bài 11. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 Tính I =
Z
(2−cotx)
2
sin
2
x
dx . ĐS:
(2−cotx)
3
3
+C
- Lời giải.
Đặt t =2−cotx ⇒dt =
1
sin
2
x
dx .
Do đó I =
Z
t
2
dt =
t
3
3
+C =
(2−cotx)
3
3
+C. ä
2 Tính I =
Z
cos
2
x
sin
4
x
dx . ĐS: −
cot
3
x
3
+C
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 85 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có I =
Z
cos
2
x
sin
4
x
dx =
Z
cot
2
x
sin
2
x
dx .
Đặt t =cot x ⇒dt =−
1
sin
2
x
dx .
Do đó I =
Z
−t
2
dt =−
t
3
3
+C =−
cot
3
x
3
+C. ä
3 Tính I =
Z
3−cotx
1−cos2x
dx . ĐS:
1
4
(3−cotx)
2
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
3−cotx
1−cos2x
dx =
Z
3−cotx
1−(1−2sin
2
x)
dx =
Z
3−cotx
2sin
2
x
dx .
Đặt t =3−cotx ⇒dt =
1
sin
2
x
dx .
Do đó I =
Z
1
2
tdt = t
2
+C =
1
4
(3−cotx)
2
+C. ä
4 Tính I =
Z
cos
4
x
sin
6
x
dx . ĐS: I =−
cot
5
x
5
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
cos
4
x
sin
6
x
dx =
Z
cot
4
x
sin
2
x
dx .
Đặt t =cot x ⇒dt =−
1
sin
2
x
dx .
Do đó I =
Z
−t
4
dt =−
t
5
5
+C =−
cot
5
x
5
+C. ä
5 Tính I =
Z
dx
sin
4
x
. ĐS: −cotx −
cot
3
x
3
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
dx
sin
4
x
=
Z
1+cot
2
x
sin
2
x
dx .
Đặt t =cot x ⇒dt =−
1
sin
2
x
dx .
Do đó I =−
Z
(1+t
2
)dt =−t −
t
3
3
+C =−cotx −
cot
3
x
3
+C. ä
6 Tính I =
Z
cot
2
x
cos2x
dx . ĐS: −cotx −
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
cot x −1
cot x +1
¯
¯
¯
¯
+C
- Lời giải.
Đặt t =cot x ⇒dt =−
1
sin
2
x
dx =−(1+cot
2
x)dx.
Ta có cos2x =
t
2
−1
1+t
2
.
Suy ra dt =−(1+cot
2
x)dx ⇒dx =−
1
1+t
2
dt.
Do đó I =
Z
t
2
µ
−
1
1+t
2
¶
t
2
−1
1+t
2
dt =−
Z
t
2
t
2
−1
dt =−
Z
t
2
−1+1
t
2
−1
dt =−
Z
µ
1+
1
t
2
−1
¶
dt.
Vậy I =−
Z
µ
t +
1
2
·
µ
1
t −1
+
1
t +1
¶¶
dt =−t −
1
2
·ln
¯
¯
¯
¯
t −1
t +1
¯
¯
¯
¯
+C =−cotx −
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
cot x −1
cot x +1
¯
¯
¯
¯
+C. ä
7 Tính I =
Z
cot
4
x
cos2x
dx . ĐS: −
cot
3
x
3
−cotx −
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
cot x −1
cot x +1|
¯
¯
¯
¯
+C
Th.s Nguyễn Chín Em 86 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Đặt t =cot x ⇒dt =−
1
sin
2
x
dx =−(1+cot
2
x)dx.
Ta có cos2x =
t
2
−1
1+t
2
.
Suy ra dt =−(1+cot
2
x)dx ⇒dx =−
1
1+t
2
dt.
Do đó I =
Z
t
4
µ
−
1
1+t
2
¶
t
2
−1
1+t
2
dt =−
Z
t
4
t
2
−1
dt =−
Z
t
4
−1+1
t
2
−1
dt =−
Z
µ
t
2
+1+
1
t
2
−1
¶
dt.
Vậy I =−
t
3
3
−t −
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
t −1
t +1
¯
¯
¯
¯
+C =−
cot
3
x
3
−cotx −
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
cot x −1
cot x +1|
¯
¯
¯
¯
+C. ä
8 Tính I =
Z
dx
cos x sin
3
x
. ĐS: −
cot
2
x
2
−ln|cot x|+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
dx
cos x sin
3
x
=
Z
2(1+cot
2
x)
sin2x
dx .
Đặt t =cot x ⇒dt =−
1
sin
2
x
dx =−(1+cot
2
x)dx.
Và sin2x =
2t
t
2
+1
.
Do đó I =−
Z
2(1+t
2
)
(1+t
2
)
µ
2t
t
2
+1
¶
dt =−
Z
t
2
+1
t
dt =−
Z
µ
t +
1
t
¶
dt =−
t
2
2
−ln|t|+C.
Vậy I =−
cot
2
x
2
−ln|cot x|+C. ä
9 Tính I =
Z
sin x
(sin x +cos x)
3
dx . ĐS: −cot
³
x +
π
4
´
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
sin x
(sin x +cos x)
3
dx =
Z
2
p
2sin x
sin
3
³
x +
π
4
´
dx .
Đặt t = x +
π
4
⇒dt =dx.
Do đó I =
Z
2
p
2sin
³
t −
π
4
´
sin
3
t
dt =
Z
2(sin t −cos t)
sin
3
t
dt =
Z
µ
2
sin
2
t
−
cot t
sin
2
t
¶
dt.
Vậy I =−2cot t +cot t +C =−cot t +C =−cot
³
x +
π
4
´
+C. ä
Ví dụ 12.
Tính I =
Z
sin2x
1+cos
2
x
dx . ĐS: −ln|1+cos
2
x|+C
Lời giải: Đặt t =1+cos
2
x ⇒dt =−sin2x dx.
Do đó I =
Z
−
1
t
dt =−ln|t|+C =−ln|1+cos
2
x|+C.
Bài 12. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 Tính I =
Z
sin2x
1+sin
2
x
dx . ĐS: ln|1+sin
2
x|+C
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 87 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt t =1+sin
2
x ⇒dt =sin2xdx.
Do đó I =
Z
1
t
dt =ln|t|+C =ln|1 +sin
2
x|+C. ä
2 Tính I =
Z
sin2x
3+cos
2
x
dx . ĐS: −ln|3 +cos
2
x|+C
- Lời giải.
Đặt t =3+cos
2
x ⇒dt =−sin2x dx.
Do đó I =
Z
−
1
t
dt =−ln|t|+C =−ln|3+cos
2
x|+C. ä
3 Tính I =
Z
sin2x
¡
1+sin
2
x
¢
3
dx . ĐS:
(1+sin
2
x)
4
4
+C
- Lời giải.
Đặt t =1+sin
2
x ⇒dt =sin2xdx.
Do đó I =
Z
t
3
dt =
t
4
4
+C =
(1+sin
2
x)
4
4
+C. ä
4 Tính I =
Z
e
sin
2
x
sin2x dx. ĐS: e
sin
2
x
+C
- Lời giải.
Đặt t =sin
2
x ⇒dt =sin2xdx.
Do đó I =
Z
e
t
dt =e
t
+C =e
sin
2
x
+C. ä
5 Tính I =
Z
e
cos
2
x
sin2x dx. ĐS: −e
cos
2
x
+C
- Lời giải.
Đặt t =cos
2
x ⇒dt =−sin2x dx.
Do đó I =
Z
−e
t
dt =−e
t
+C =−e
cos
2
x
+C. ä
6 Tính I =
Z
sin4x
1+cos
2
x
dx . ĐS: −4(1 +cos
2
x)+6ln|1+cos
2
x|+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
sin4x
1+cos
2
x
dx =
Z
2(2cos
2
x −1)sin2x
1+cos
2
x
dx
Đặt t =1+cos
2
x ⇒dt =−sin2x dx.
Do đó I =−2
Z
2t −3
t
dt =
Z
µ
−4+
6
t
¶
dt =−4t +6ln|t|+C =−4(1+cos
2
x)+6ln|1+cos
2
x|+C. ä
7 Tính I =
Z
sin2x
p
cos
2
x +4sin
2
x
dx . ĐS:
2
3
p
1+sin
2
x +C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
sin2x
p
cos
2
x +4sin
2
x
dx =
Z
sin2x
p
1+3sin
2
x
dx .
Đặt t =1+3sin
2
x ⇒dt =3sin2x dx.
Do đó I =
1
3
Z
1
p
t
dt =
2
3
p
t +C =
2
3
p
1+sin
2
x +C. ä
8 Tính I =
Z
sin x cosx
p
4cos
2
x +9sin
2
x
dx . ĐS:
1
5
p
4+5sin
2
x +C
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 88 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có I =
Z
sin x cosx
p
4cos
2
x +9sin
2
x
dx =
Z
sin2x
2
p
4+5sin
2
x
dx .
Đặt t =4+5sin
2
x ⇒dt =5sin2x dx.
Do đó I =
Z
1
10
1
p
t
dt =
1
5
p
t +C =
1
5
p
4+5sin
2
x +C. ä
Ví dụ 13.
Tính I =
Z
sin x −cos x
sin x +cos x
dx . ĐS: −ln|sin x +cos x|+C
Lời giải: Đặt t =sin x +cos x ⇒dt =−(sin x −cos x)dx.
Do đó I =−
Z
1
t
dt =−ln|t|+C =−ln|sin x +cos x|+C.
Bài 13. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 Tính I =
Z
sin x −cos x
sin x +cos x +3
dx . ĐS: −ln|sin x +cos x +3|+C
- Lời giải.
Đặt t =sin x +cos x +3 ⇒dt =−(sin x −cosx)dx.
Do đó I =−
Z
1
t
dt =ln|t|+C =−ln|sinx +cos x +3|+C. ä
2 Tính I =
Z
cos2x
sin x +cos x +1
dx . ĐS: ln|sin x +cosx +1|−sinx −cosx −1+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
cos2x
sin x +cos x +1
dx =
Z
cos
2
x −sin
2
x
sin x +cos x +1
dx =−
Z
(sin x +cos x)(sinx −cos x )
sin x +cos x +1
dx .
Đặt t =sin x +cos x +1 ⇒dt =−(sin x −cosx)dx.
Do đó I =
Z
t −1
t
dt =
Z
µ
1−
1
t
¶
dt = t −ln|t|+C =sin x +cosx +1−ln|sin x +cos x +1|+C. ä
3 Tính I =
Z
cos2x
(sin x +cos x +4)
3
dx . ĐS: −
1
sin x +cos x +4
+
2
(sin x +cos x +4)
2
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
cos2x
(sin x +cos x +4)
3
dx =−
Z
(sin x +cos x)(sinx −cos x )
(sin x +cos x +4)
3
dx .
Đặt t =sin x +cos x +4 ⇒dt =−(sin x −cosx)dx.
Do đó I =
Z
t −4
t
3
dt = −
Z
µ
4
t
3
−
1
t
2
¶
dt = −
1
t
+
2
t
2
+C = −
1
sin x +cos x +4
+
2
(sin x +cos x +4)
2
+C.
ä
4 Tính I =
Z
sin x +cos x
3+sin2x
dx . ĐS: −
1
4
·ln
¯
¯
¯
¯
sin x −cos x −2
sin x −cos x +2
¯
¯
¯
¯
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
sin x +cos x
3+sin2x
dx =
Z
sin x +cos x
4−(sinx −cosx)
2
dx .
Đặt t =sin x −cos x ⇒dt =(sin x +cosx)dx.
Do đó I =
Z
1
4−t
2
dt =−
Z
1
t
2
−4
dt =−
1
4
·
Z
µ
1
t −2
−
1
t +2
¶
dt =−
1
4
·ln
¯
¯
¯
¯
t −2
t +2
¯
¯
¯
¯
+C.
Vậy I =−
1
4
·ln
¯
¯
¯
¯
sin x −cos x −2
sin x −cos x +2
¯
¯
¯
¯
+C. ä
5 Tính I =
Z
1+sin2x +cos2x
sin x +cos x
dx . ĐS: 2sinx +C
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 89 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có I =
Z
1+sin2x +cos2x
sin x +cos x
dx =
Z
(sin x +cos x)
2
+(cosx −sin x)(cos x +sinx)
sin x +cos x
dx =
Z
2cos x dx.
Do đó I =2sinx +C. ä
6 Tính I =
Z
sin x −cos x
sin2x +2(1+sin x +cosx)
dx . ĐS:
1
sin x +cos x +1
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
sin x −cos x
sin2x +2(1+sin x +cosx)
dx =
Z
sin x −cos x
(sin x +cos x +1)
2
dx .
Đặt t =sin x +cos x +1 ⇒dt =−(sin x −cosx)dx.
Do đó I =−
Z
1
t
2
dt =
1
t
+C =
1
sin x +cos x +1
+C. ä
7 Tính I =
Z
cos2x
2−
p
1+sinx −cosx
dx
ĐS: −
4
3
(
p
1+sinx −cosx)
3
+4(
p
1+sinx −cosx)
2
−16
p
1+sinx −cosx +32ln|2−
p
1+sinx −cosx|+C.
- Lời giải.
Ta có I =
Z
cos2x
2−
p
1+sinx −cosx
dx =
Z
(sin x +cos x)(sinx −cos x )
p
1+sinx −cosx −2
dx .
Đặt t =
p
1+sinx −cosx ⇒ t
2
=1 +sin x −cos x ⇒2t ·dt =(sin x +cosx)dx.
Và sin x −cos x = t
2
−1.
Do đó I =
Z
2t(t
2
−1)
2−t
dt =
Z
µ
−4t
2
+8t −16−
32
2−t
¶
dt =−
4
3
t
3
+4t
2
−16t +32ln|2 −t|+C.
Vậy I =−
4
3
(
p
1+sinx −cosx)
3
+4(
p
1+sinx −cosx)
2
−16
p
1+sinx −cosx+32ln|2−
p
1+sinx −cosx|+
C. ä
8 Tính I =
Z
4(sin x +cos x)−cos2x
2(sin x −cos x −1)−sin2x
dx . ĐS:
5
4
ln|sin x −cosx −1|−
1
4
ln|sin x −cosx +3|+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
4(sin x +cos x)−cos2x
2(sin x −cos x −1)−sin2x
dx =
Z
(sin x +cos x)(4+sin x −cos x)
(sin x −cos x)
2
+2(sinx −cos x) −3
dx .
Đặt t =sin x −cos x ⇒dt =(sin x +cosx)dx.
Do đó I =
Z
4+t
t
2
+2t −3
dt =
Z
4+t
(t −1)(t +3)
dt =
1
4
·
Z
µ
5
t −1
−
1
t +3
¶
dt.
Vậy I =
5
4
ln|t −1|−
1
4
ln|t +3|+C =
5
4
ln|sin x −cosx −1|−
1
4
ln|sin x −cosx +3|+C. ä
9 Tính I =
Z
cos2x
(1+sin2x)cos
³
x −
π
4
´
dx . ĐS: −
p
2
sin x +cos x
+C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
cos2x
(1+sin2x)cos
³
x −
π
4
´
dx =−
Z
sin
2
x −cos
2
x
(sin x +cos x)
2
p
2
2
(sin x +cos x)
dx =−
Z
p
2(sin x −cos x)
(sin x +cos x)
2
dx .
Đặt t =sin x +cos x ⇒dt =−(sin x −cosx)dx.
Do đó I =
Z
p
2
t
2
dt =
p
2
Z
1
t
2
dt =−
p
2
t
+C.
Vậy I =−
p
2
sin x +cos x
+C. ä
3.3 Nguyên hàm từng phần
Th.s Nguyễn Chín Em 90 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Định lí.
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm và liên tục trên K thì
I =
Z
u(x)v
0
(x )dx = u(x)v(x)−
Z
u
0
(x )v (x)dx hay I =
Z
u dv −
Z
vdu.
Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhau. Ví dụ:
Z
e
x
sin x dx,
Z
xln xdx, . . .
1 Đặt:
u =...
vi phân
−−−−→ du =... dx
dv =... dx
nguyên hàm
−−−−−−−−→v =...
Suy ra: I =
Z
u dv = uv −
Z
vdu.
2 Thứ tự ưu tiên chọn u: nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ và dv = phần còn lại.
3 Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm.
4 Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi.
3.3.1 Ví dụ và bài t ập
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định)
Tính I =
Z
ln x dx. Chọn
u =... −→ du =...
dv =... −→v =...
ĐS: I = x ln x −x +C
Lời giải: Đặt
u =ln x
dv = dx
⇒
du =
1
x
dx
v = x
Ta có: I = x lnx −
Z
x
1
x
dx = x lnx −x +C.
Bài 1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định):
1 Tính I =
Z
xln xdx. Chọn
u =... −→ du =...
dv =... −→v =...
ĐS: I =
x
2
2
ln x −
x
2
4
+C.
- Lời giải.
Đặt
u =ln x
dv = x dx
⇒
du =
1
x
dx
v =
x
2
2
Ta có: I =
x
2
2
·lnx −
Z
x
2
2
·
1
x
dx =
x
2
2
ln x −
x
2
4
+C. ä
2 Tính I =
Z
(2x +1)ln xdx. Chọn
u =... −→ du =...
dv =... −→v =...
ĐS: I =(x
2
+x)lnx −
x
2
2
−x +C
- Lời giải.
Đặt
u =ln x
dv =(2x +1)dx
⇒
du =
1
x
dx
v = x
2
+x
Ta có: I =(x
2
+x)lnx −
Z
(x
2
+x)
1
x
dx =(x
2
+x)lnx −
Z
(x +1)dx =(x
2
+x)lnx −
x
2
2
−x +C
ä
Th.s Nguyễn Chín Em 91 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
3 Tính I =
Z
xln(1 −x)dx. Chọn
u =... −→ du =...
dv =... −→v =...
ĐS: I =
x
2
−1
2
ln(1−x)−
1
4
x
2
−
1
2
x +C
- Lời giải.
Đặt
u =ln(1−x)
dv = x dx
⇒
du =
−1
1−x
dx
v =
x
2
2
I =
x
2
2
ln(1−x)−
Z
x
2
2
·
µ
−1
1−x
¶
dx
=
x
2
2
ln(1−x)+
1
2
Z
x
2
1−x
dx
=
x
2
2
ln(1−x)+
1
2
Z
µ
−x −1+
1
1−x
¶
dx
=
x
2
2
ln(1−x)+
1
2
µ
−
x
2
2
−x −ln(1−x)
¶
+C
=
x
2
−1
2
ln(1−x)−
1
4
x
2
−
1
2
x +C.
ä
4 Tính I =
Z
xsin xdx. Chọn
u =... −→ du =...
dv =... −→v =...
ĐS: I =−x cos x +sinx +C
- Lời giải.
Đặt
u = x
dv =sin x dx
⇒
du = dx
v =−cosx
I =−x cos x −
Z
(−cos x)dx
=−xcos x +
Z
cos x dx
=−xcos x +sinx +C.
ä
5 Tính I =
Z
xcos xdx. Chọn
u =... −→ du =...
dv =... −→v =...
ĐS: I = x sin x +cos x +C
- Lời giải.
Đặt
u = x
dv =cos x dx
⇒
du = dx
v =sin x
Ta có: I = x sinx −
Z
sin x dx = xsin x +cosx +C. ä
6 Tính I =
Z
(x +1)sin2xdx. Chọn
u =... −→ du =...
dv =... −→v =...
ĐS: I =−
1
2
(x +1)cos2x +
1
4
sin2x +C
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 92 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt
u = x +1
dv =sin2xdx
⇒
du = dx
v =−
1
2
cos2x
I =−
1
2
(x +1)cos2x −
Z
µ
−
1
2
cos2x
¶
dx =−
1
2
(x +1)cos2x +
1
2
Z
cos2x dx
=−
1
2
(x +1)cos2x +
1
4
sin2x +C.
ä
7 Tính I =
Z
xsin
x
2
dx . Chọn
u =... −→ du =...
dv =... −→v =...
ĐS: I =−2x ·cos
x
2
+4sin
x
2
+C
- Lời giải.
Đặt
u = x
dv =sin
x
2
dx
⇒
du = dx
v =−2cos
x
2
I =−2x ·cos
x
2
−
Z
(−2)·cos
x
2
dx =−2x ·cos
x
2
+4sin
x
2
+C. ä
8 Tính I =
Z
xsin xcos xdx. Chọn
u =... −→ du =...
dv =... −→v =...
ĐS: I =−
1
4
x ·cos2x +
1
8
sin2x +C
- Lời giải.
Ta có I =
Z
1
2
xsin2xdx.
Đặt
u =
1
2
x
dv =sin2xdx
⇒
du =
1
2
dx
v =−
1
2
cos2x
I =−
1
4
x ·cos2x −
Z
µ
−
1
4
cos2x
¶
dx
=−
1
4
x ·cos2x +
1
4
·
1
2
sin2x +C
=−
1
4
x ·cos2x +
1
8
sin2x +C
ä
9 Tính I =
Z
x(2cos
2
x −1)dx. Chọn
u =... −→ du =...
dv =... −→v =...
ĐS: I =
1
2
xsin2x +
1
4
cos2x +C
- Lời giải.
I =
Z
x ·cos2x dx
Đặt
u = x
dv =cos2xdx
⇒
du = dx
v =
1
2
sin2x
I =
1
2
xsin2x −
Z
1
2
sin2x dx
=
1
2
xsin2x +
1
4
cos2x +C.
ä
Th.s Nguyễn Chín Em 93 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
10 Tính I =
Z
xe
x
dx . Chọn
u =... −→ du =...
dv =... −→v =...
ĐS: I = x ·e
x
−e
x
+C
- Lời giải.
Đặt
u = x
dv = e
x
dx
⇒
du = dx
v = e
x
I = x ·e
x
−
Z
e
x
dx
= x ·e
x
−e
x
+C.
ä
11 Tính I =
Z
(1−2x)e
x
dx . Chọn
u =... −→ du =...
dv =... −→v =...
ĐS: I =(1 −2x)e
x
+2e
x
+C
- Lời giải.
Đặt
u =1−2x
dv = e
x
dx
⇒
du =−2dx
v = e
x
I =(1 −2x)·e
x
−
Z
e
x
(−2)dx
=(1 −2x)e
x
+2e
x
+C.
ä
12 Tính I =
Z
xe
3x
dx . Chọn
u =... −→ du =...
dv =... −→v =...
ĐS: I =
1
3
xe
3x
−
1
9
e
3x
+C
- Lời giải.
Đặt
u = x
dv = e
3x
dx
⇒
du = dx
v =
1
3
e
3x
I =
1
3
e
x
−
Z
1
3
e
3x
dx
=
1
3
xe
3x
−
1
3
·
1
3
·e
3x
+C
=
1
3
xe
3x
−
1
9
e
3x
+C.
ä
13 Tính I =
Z
xe
−x
dx . Chọn
u =... −→ du =...
dv =... −→v =...
ĐS: I =−xe
−x
−e
−x
+C
- Lời giải.
Đặt
u = x
dv = e
−x
dx
⇒
du = dx
v =−e
−x
I =−xe
−x
−
Z
(−e
−x
)dx
=−xe
−x
+
Z
e
−x
dx
=−xe
−x
−e
−x
+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 94 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
ä
14 Tính I =
Z
(4x −1)e
−2x
dx . Chọn
u =... −→ du =...
dv =... −→v =...
ĐS: I =−
1
2
(4x −1)e
−2x
−e
−2x
+C
- Lời giải.
Đặt
u =4x −1
v = e
−2x
dx
⇒
du =4dx
v =−
1
2
e
−2x
I =−
1
2
(4x −1)e
−2x
−
Z
µ
−
1
2
e
−2x
·4
¶
dx
=−
1
2
(4x −1)e
−2x
+2
Z
e
−2x
dx
=−
1
2
(4x −1)e
−2x
+2·
µ
−
1
2
¶
·e
−2x
+C
=−
1
2
(4x −1)e
−2x
−e
−2x
+C.
ä
15 Tính I =
Z
x
sin
2
x
dx . Chọn
u =... −→ du =...
dv =... −→v =...
ĐS: I =−x cot x −ln|sin x|+C
- Lời giải.
Đặt
u = x
dv =
1
sin
2
x
dx
⇒
du = dx
v =−cotx
I =−x cot x +
Z
(−cot x)dx
=−xcot x −
Z
cos x
sin x
dx
=−xcot x −
Z
d(sin x)
sin x
=−xcot x −ln|sin x|+C.
ä
16 Tính I =
Z
x
cos
2
x
dx . Chọn
u =... −→ du =...
dv =... −→v =...
ĐS: I = x tan x +ln|cos x|+C
- Lời giải.
Đặt
u = x
dv =
1
cos
2
x
dx
⇒
du = dx
v =tan x
I = x tan x −
Z
tan x dx
= xtan x −
Z
sin x
cos x
dx
= xtan x +
Z
d(cos x)
cos x
= xtan x +ln|cos x|+C.
ä
Th.s Nguyễn Chín Em 95 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
17 Tính I =
Z
2x −1
1+cos2x
dx . Chọn
u =... −→ du =...
dv =... −→v =...
ĐS: I =
1
2
(2x −1)tan x +ln|cos x|+C
- Lời giải.
Đặt
u =2x −1
dv =
1
2cos
2
x
dx
⇒
du =2dx
v =
1
2
tan x
I =
1
2
(2x −1)tan x −
Z
1
2
tan x ·2dx
=
1
2
(2x −1)tan x +
Z
d(cos x)
cos x
=
1
2
(2x −1)tan x +ln|cos x|+C.
ä
18 Tính I =
Z
2x
1−cos4x
dx . Chọn
u =... −→ du =...
dv =... −→v =...
ĐS: I =−
1
2
xcot2x +
1
4
ln|sin2x|+C
- Lời giải.
I =
Z
2x
2sin
2
2x
dx =
Z
x
sin
2
2x
dx .
Đặt
u = x
dv =
1
sin
2
2x
dx
⇒
du = dx
v =−
1
2
cot2x
I =−
1
2
xcot2x −
Z
µ
−
1
2
cot2x
¶
dx
=−
1
2
xcot2x +
1
2
Z
cos2x
sin2x
dx
=−
1
2
xcot2x +
1
2
·
1
2
Z
d(sin2x)
sin2x
=−
1
2
xcot2x +
1
4
ln|sin2x|+C.
ä
19 Tính I =
Z
ln x
x
3
dx . Chọn
u =... −→ du =...
dv =... −→v =...
ĐS: I =−
ln x
2x
2
−
1
4x
2
+C
- Lời giải.
Đặt
u =ln x
dv =
1
x
3
dx
⇒
du =
1
x
dx
v =
x
−2
−2
=
1
−2x
2
.
I =−
ln x
2x
2
−
Z
x
−2
−2
·
1
x
dx
=−
ln x
2x
2
+
1
2
Z
1
x
3
dx
=−
ln x
2x
2
+
1
2
·
x
−2
−2
+C
=−
ln x
2x
2
−
1
4x
2
+C.
ä
Th.s Nguyễn Chín Em 96 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
20 Tính I =
Z
x
2
−1
x
2
ln x dx. Chọn
u =... −→ du =...
dv =... −→v =...
ĐS: I =
µ
x +
1
x
¶
ln x −x +
1
x
+C
- Lời giải.
I =
Z
x
2
−1
x
2
ln x dx =
Z
µ
1−
1
x
2
¶
ln x dx.
Đặt
u =ln x
dv =
µ
1−
1
x
2
¶
dx
⇒
du =
1
x
dx
v = x +
1
x
I =
µ
x +
1
x
¶
ln x −
Z
µ
x +
1
x
¶
·
1
x
dx
=
µ
x +
1
x
¶
ln x −
Z
µ
1+
1
x
2
¶
dx
=
µ
x +
1
x
¶
ln x −
µ
x −
1
x
¶
+C
=
µ
x +
1
x
¶
ln x −x +
1
x
+C.
ä
21 Tính I =
Z
e
x
cos x dx. Chọn
u =... −→ du =...
dv =... −→v =...
ĐS: I =
1
2
e
x
(cos x −sin x)+C
- Lời giải.
Đặt
u =cos x
dv = e
x
dx
⇒
du =−sin x dx
v = e
x
I = e
x
·cosx +
Z
e
x
·sinx dx = e
x
·cosx +I
2
, với I
2
=
Z
e
x
·sinx dx.
Đặt
u =sin x
dv = e
x
dx
⇒
du =cos x dx
v = e
x
I
2
= e
x
sin x −
R
e
x
cos x dx = e
x
sin x −I.
Do đó: I = e
x
cos x −(e
x
sin x −I) +C ⇔ I =
1
2
e
x
(cos x −sin x)+C. ä
22 Tính I =
Z
e
x
sin x dx. Chọn
u =... −→ du =...
dv =... −→v =...
ĐS: I =
1
2
e
x
(sin x −cos x)+C
- Lời giải.
Đặt
u =sin x
dv = e
x
dx
⇒
du =cos x dx
v = e
x
I = e
x
sin x −
Z
e
x
·cosx dx
= e
x
sin x −I
2
Tính I
2
=
Z
e
x
cos x dx
Th.s Nguyễn Chín Em 97 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt
u =cos x
dv = e
x
dx
⇒
du =−sin x dx
v = e
x
I
2
= e
x
cos x +
Z
e
x
sin x dx
= e
x
cos x +I
⇒ I = e
x
sin x −e
x
cos x −I
⇔2I = e
x
(sin x −cos x)
⇒ I =
1
2
e
x
(sin x −cos x)+C.
ä
Ví dụ 2. Tìm một nguyên hàm của hàm số F(x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện cho trước.
Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = xe
−x
thỏa mãn F(0) =1.
ĐS: F(x) =−xe
−x
−e
−x
+1
Lời giải: Theo đề ta tính
Z
f (x)dx =
Z
xe
−x
dx .
Đặt
u = x ⇒du =dx
dv =e
−x
dx ⇒v =−e
−x
.
Suy ra
Z
xe
−x
dx =−xe
−x
+
Z
e
−x
dx =−xe
−x
−e
−x
+C =F(x).
Mà F(0) =1 ⇒ C =1.
Vậy F(x) =−xe
−x
−e
−x
+1.
Bài 2. Tìm một nguyên hàm của hàm số F(x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện cho trước.
1 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = xcos3x thỏa mãn F(0) =1.
ĐS: F(x) =
1
3
xsin3x +
1
9
cos3x −
1
9
- Lời giải.
Theo đề ta tính
Z
f (x)dx =
Z
xcos3xdx.
Đặt
u = x ⇒du =dx
dv =cos3xdx ⇒v =
1
3
sin3x.
Suy ra
Z
xcos3xdx =
1
3
xsin3x −
1
3
Z
sin3x dx =
1
3
xsin3x +
1
9
cos3x +C =F(x).
Mà F(0) =1 ⇒ C =−
1
9
.
Vậy F(x) =
1
3
xsin3x +
1
9
cos3x −
1
9
. ä
2 Cho F(x) =ln x là một nguyên hàm của hàm số
f (x)
x
3
. Tìm nguyên hàm của hàm f
0
(x )lnx.
ĐS:
Z
f
0
(x )lnxdx = x
2
ln x −
x
2
2
+C
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 98 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Vì F(x) =ln x là một nguyên hàm của hàm số
f (x)
x
3
nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có
(ln x)
0
=
f (x)
x
3
⇒
1
x
=
f (x)
x
3
⇒ f (x) = x
2
⇒ f
0
(x ) =2x.
Khi đó
Z
f
0
(x )lnxdx =
Z
2x lnxdx.
Đặt
u =ln x ⇒du =
1
x
dx
dv =2x dx ⇒v = x
2
.
Suy ra
Z
2x lnxdx = x
2
ln x −
Z
xdx = x
2
ln x −
x
2
2
+C. ä
3 Cho F(x) =ln x là một nguyên hàm của hàm số
f (x)
x
2
. Tìm nguyên hàm của hàm f
0
(x )lnx.
ĐS:
Z
f
0
(x )lnxdx = xln x −x +C
- Lời giải.
Vì F(x) =ln x là một nguyên hàm của hàm sô
f (x)
x
2
nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có
(ln x)
0
=
f (x)
x
2
⇒
1
x
=
f (x)
x
2
⇒ f (x) = x ⇒ f
0
(x ) =1.
Khi đó
Z
f
0
(x )lnxdx =
Z
ln x dx.
Đặt
u =ln x ⇒du =
1
x
dx
dv = dx ⇒v = x .
Suy ra
Z
ln x dx = xln x −
Z
1dx = x lnx −x +C. ä
4 Cho F(x) =ln x là một nguyên hàm của hàm số xf (x ). Tìm nguyên hàm của hàm f
0
(x )lnx.
ĐS:
Z
f
0
(x )lnxdx =
1
x
2
ln x +
1
2x
2
+C
- Lời giải.
Vì F(x) =ln x là một nguyên hàm của hàm sô x f (x) nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có
(ln x)
0
= xf (x)
⇒
1
x
= xf (x)
⇒ f (x) =
1
x
2
⇒ f
0
(x ) =−
2
x
3
.
Khi đó
Z
f
0
(x )lnxdx =
Z
−2
x
3
ln x dx.
Đặt
u =ln x ⇒du =
1
x
dx
dv =
−2
x
3
dx ⇒v =
1
x
2
.
Suy ra
Z
−2
x
3
ln x dx =
1
x
2
ln x −
Z
1
x
3
dx =
1
x
2
ln x +
1
2x
2
+C. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 99 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
5 Cho F(x) = x
2
+1 là một nguyên hàm của
f (x)
x
. Tìm nguyên hàm của hàm f
0
(x )lnx.
ĐS:
Z
f
0
(x )lnxdx =2x
2
ln x −x
2
+C
- Lời giải.
Vì F(x) = x
2
+1 là một nguyên hàm
f (x)
x
nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có
(x
2
+1)
0
=
f (x)
x
⇒ 2x =
f (x)
x
⇒ f (x) =2x
2
⇒ f
0
(x ) =4x.
Khi đó
Z
f
0
(x )lnxdx =
Z
4x lnxdx.
Đặt
u =ln x ⇒du =
1
x
dx
dv =4x dx ⇒v =2x
2
.
Suy ra
Z
4x lnxdx =2x
2
ln x −
Z
2x dx =2x
2
ln x −x
2
+C. ä
6 Cho F(x) =
1
x
2
là một nguyên hàm của
f (x)
x
. Tìm nguyên hàm của f
0
(x )(x
4
−x
3
).
ĐS:
Z
f
0
(x )lnxdx =2x
2
−4x +C
- Lời giải.
Vì F(x) =
1
x
2
là một nguyên hàm của
f (x)
x
nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có
µ
1
x
2
¶
0
=
f (x)
x
⇒ −
2
x
3
=
f (x)
x
⇒ f (x) =−
2
x
2
⇒ f
0
(x ) =
4
x
3
.
Khi đó
Z
f
0
(x )(x
4
−x
3
)dx =
Z
(4x −4)dx =2x
2
−4x +C.
ä
7 Cho F(x) = x
2
là một nguyên hàm của f (x)e
2x
. Tìm nguyên hàm của f
0
(x )e
2x
.
ĐS:
Z
f
0
(x )e
2x
dx =2x −2x
2
+C
- Lời giải.
Vì F(x) = x
2
là một nguyên hàm của f (x)e
2x
nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có
(x
2
)
0
= f (x)e
2x
⇒ 2x = f (x)e
2x
⇒ f (x) =
2x
e
2x
⇒ f
0
(x ) =
2−4x
e
2x
Khi đó
Z
f
0
(x )e
2x
dx =
Z
(2−4x)dx =2x −2x
2
+C
ä
Th.s Nguyễn Chín Em 100 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
8 Cho F(x) =
1
x
2
là một nguyên hàm của
f (x)
x
. Tìm nguyên hàm của f
0
(x )(x
3
+1).
ĐS:
Z
f
0
(x )(x
3
+1)dx =4x −
2
x
2
+C
- Lời giải.
Vì F(x) =
1
x
2
là một nguyên hàm của
f (x)
x
nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có
µ
1
x
2
¶
0
=
f (x)
x
⇒ −
2
x
3
=
f (x)
x
⇒ f (x) =−
2
x
2
⇒ f
0
(x ) =
4
x
3
.
Khi đó
Z
f
0
(x )(x
3
+1)dx =
Z
(4+
4
x
3
)dx =4x −
2
x
2
+C.
ä
9 Cho F(x) =
1
x
là một nguyên hàm của x
2
f (x). Tìm nguyên hàm của f
0
(x )x
3
ln x.
ĐS:
Z
f
0
(x )x
3
ln x dx =−
4
x
ln x −
4
x
+C
- Lời giải.
Vì F(x) =
1
x
là một nguyên hàm của x
2
f (x) nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có
µ
1
x
¶
0
= x
2
f (x)
⇒ −
1
x
2
= x
2
f (x)
⇒ f (x) =−
1
x
4
⇒ f
0
(x ) =
4
x
5
.
Khi đó
Z
f
0
(x )x
3
ln x dx =
Z
4
x
2
ln x dx.
ä
Đặt
u =ln x ⇒du =
1
x
dx
dv =
4
x
2
dx ⇒v =−
4
x
.
Suy ra
Z
4x
2
ln x dx =−
4
x
ln x +
Z
4
x
2
dx =−
4
x
ln x −
4
x
+C.
10 Cho F(x ) =
1
x
2
là một nguyên hàm của
f (x)
x
. Tìm nguyên hàm của f
0
(x )x ln x.
ĐS:
Z
f
0
(x )x ln x dx =−
4
x
ln x −
4
x
+C
- Lời giải.
Vì F(x) =
1
x
2
là một nguyên hàm của hàm số
f (x)
x
nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có
µ
1
x
2
¶
0
=
f (x)
x
⇒−
2
x
3
=
f (x)
x
⇒ f (x) =−
2
x
2
⇒ f
0
(x ) =
4
x
3
.
Th.s Nguyễn Chín Em 101 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó I =
Z
f
0
(x )x ln x dx =
Z
4
x
2
ln x dx.
Đặt
u =ln x
dv =
4
x
2
dx
⇒
du =
dx
x
v =−
4
x
⇒ I =−
4
x
ln x +
Z
4
x
2
dx =−
4
x
ln x −
4
x
+C. ä
11 Cho F(x ) =
1
x
3
là một nguyên hàm của
f (x)
x
2
. Tìm nguyên hàm của f
0
(x )lnx.
ĐS:
Z
f
0
(x )lnxdx =−
3
x
2
·lnx −
3
2x
2
+C
- Lời giải.
Vì F(x) =
1
x
3
là một nguyên hàm của hàm số
f (x)
x
2
nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có
µ
1
x
3
¶
0
=
f (x)
x
2
⇒−
3
x
4
=
f (x)
x
2
⇒ f (x) =−
3
x
2
⇒ f
0
(x ) =
6
x
3
.
Khi đó I =
Z
f
0
(x )lnxdx =6
Z
1
x
3
ln x dx.
Đặt
u =ln x
dv =
1
x
3
dx
⇒
du =
dx
x
v =−
1
2x
2
⇒ I =−6·
1
2x
2
·lnx +3
Z
1
x
3
dx =−
3
x
2
·lnx −
3
2x
2
+C. ä
12 Cho F(x ) =
x
4
16
là một nguyên hàm của
f (x)
x
. Tìm nguyên hàm của f
0
(x )lnx.
ĐS:
Z
f
0
(x )lnxdx =
x
4
4
·lnx −
x
4
16
+C
- Lời giải.
Vì F(x) =
x
4
16
là một nguyên hàm của hàm số
f (x)
x
nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có
µ
x
4
16
¶
0
=
f (x)
x
⇒
x
3
4
=
f (x)
x
⇒ f (x) =
x
4
4
⇒ f
0
(x ) = x
3
.
Khi đó I =
Z
f
0
(x )lnxdx =
Z
x
3
ln x dx.
Đặt
u =ln x
dv = x
3
dx
⇒
du =
dx
x
v =
x
4
4
⇒ I =
x
4
4
·lnx −
Z
x
3
4
dx =
x
4
4
·lnx −
x
4
16
+C. ä
13 Cho F(x ) =−xe
x
là một nguyên hàm của hàm số f (x)e
2x
. Tìm nguyên hàm của f
0
(x )e
2x
.
ĐS:
Z
f
0
(x )e
2x
dx = x e
x
−e
x
+C
- Lời giải.
Vì F(x) =−xe
x
là một nguyên hàm của hàm số f (x)e
2x
nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có
¡
−xe
x
¢
0
= f (x)e
2x
⇒−e
x
−xe
x
= f (x)e
2x
⇒ f (x) =
−1−x
e
x
⇒ f
0
(x ) =
x
e
x
.
Khi đó I =
Z
f
0
(x )e
2x
dx =
Z
xe
x
dx .
Đặt
u = x
dv =e
x
dx
⇒
du =dx
v =e
x
⇒ I = xe
x
−
Z
e
x
dx = x e
x
−e
x
+C. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 102 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
14 Cho F(x) =2(x−1)e
x
là một nguyên hàm của hàm số f
0
(x )e
x
thỏa f (0) =0. Tìm nguyên hàm của hàm
số f (x)e
x
.
ĐS:
Z
f (x)e
x
dx
¡
x
2
−2x +2
¢
e
x
+C
0
- Lời giải.
Vì F(x) =2(x −1)e
x
là một nguyên hàm của hàm số f
0
(x )e
x
nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có
¡
2(x −1)e
x
¢
0
= f
0
(x )e
x
⇒2e
x
+2(x −1)e
x
= f
0
(x )e
x
⇒2xe
x
= f
0
(x )e
x
⇒ f
0
(x ) =2x ⇒ f (x) = x
2
+C.
Mà f (0) =0 ⇒ C =0, do đó f (x) = x
2
.
Khi đó I =
Z
f (x)e
x
dx =
Z
x
2
e
x
dx .
Đặt
u = x
2
dv =e
x
dx
⇒
du =2xdx
v =e
x
⇒ I = x
2
e
x
−2
Z
xe
x
dx .
Đặt
u
0
= x
dv
0
=e
x
dx
⇒
du
0
=dx
v
0
=e
x
dx
⇒
Z
xe
x
dx = x e
x
−
Z
e
x
dx = x e
x
−e
x
+C.
Do đó I = x
2
e
x
−2
(
xe
x
−e
x
+C
)
=
¡
x
2
−2x +2
¢
e
x
+C
0
(với C
0
=2C). ä
15 Cho F(x) =
µ
1−
x
2
2
¶
cos x + x sin x là một nguyên hàm của hàm số f (x)sin x. Tìm nguyên hàm của
hàm số f
0
(x )cosx. ĐS:
Z
f
0
(x )cosxdx = xsin x +cosx +C
- Lời giải.
Vì F(x) =
µ
1−
x
2
2
¶
cos x + x sinx là một nguyên hàm của hàm số f (x)sin x nên theo định nghĩa
nguyên hàm ta có
µµ
1−
x
2
2
¶
cos x +x sin x
¶
0
= f (x)sin x ⇒ −x cos x −
µ
1−
x
2
2
¶
sin x +sin x +xcos x =
f (x)sinx ⇒
x
2
2
sin x = f (x)sinx ⇒ f (x) =
x
2
2
⇒ f
0
(x ) = x.
Khi đó I =
Z
f
0
(x )cosxdx =
Z
xcos xdx.
Đặt
u = x
dv =cos x dx
⇒
du =dx
v =sin x
⇒ I = x sinx −
Z
sin x dx = xsin x +cosx +C. ä
16 Cho F(x) =
µ
x
2
2
−1
¶
sin x + x cos x là một nguyên hàm của hàm số f (x)cos x. Tìm nguyên hàm của
hàm số f
0
(x )sinx. ĐS:
Z
f
0
(x )sinxdx =−xcos x +sinx +C
- Lời giải.
Vì F(x) =
µ
x
2
2
−1
¶
sin x+x cosx là một nguyên hàm của hàm số f (x)cos x nên theo định nghĩa nguyên
hàm ta có
µµ
x
2
2
−1
¶
sin x +x cos x
¶
0
= f (x)cos x ⇒ xsin x+
µ
x
2
2
−1
¶
cos x+cosx−xsin x = f (x)cos x ⇒
x
2
2
cos x = f (x)cosx ⇒ f (x) =
x
2
2
⇒ f
0
(x ) = x.
Khi đó I =
Z
f
0
(x )sinxdx =
Z
xsin xdx.
Đặt
u = x
dv =sin x dx
⇒
du =dx
v =−cosx
⇒ I =−x cosx +
Z
cos x dx =−xcos x +sinx +C. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 103 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
17 Cho F(x) = x tanx +ln|cosx| là một nguyên hàm của hàm số
f (x)
cos
2
x
. Tìm nguyên hàm của hàm số
f
0
(x )tanx. ĐS:
Z
f
0
(x )tanxdx =−ln|cosx|+C
- Lời giải.
Vì F(x) = x tan x +ln|cos x| là một nguyên hàm của hàm số
f (x)
cos
2
x
nên theo định nghĩa nguyên hàm
ta có
(
xtan x +ln|cos x|
)
0
=
f (x)
cos
2
x
⇒ tan x +
x
cos
2
x
−tan x =
f (x)
cos
2
x
⇒
x
cos
2
x
=
f (x)
cos
2
x
⇒ f (x) = x ⇒
f
0
(x ) =1.
Khi đó I =
Z
f
0
(x )tanxdx =
Z
tan x dx =−ln|cos x|+C. ä
18 Cho F(x) = −x cotx +ln
|
sin x
|
là một nguyên hàm của hàm số
f (x)
sin
2
x
. Tìm nguyên hàm của hàm số
f
0
(x )cotx. ĐS:
Z
f
0
(x )cotxdx =ln|sinx|+C
- Lời giải.
Vì F(x) =−xcot x +ln
|
sin x
|
là một nguyên hàm của hàm số
f (x)
sin
2
x
nên theo định nghĩa nguyên hàm
ta có
(
−x cotx +ln
|
sin x
|
)
0
=
f (x)
sin
2
x
⇒−cotx+
x
sin
2
x
+cot x =
f (x)
sin
2
x
⇒
x
sin
2
x
=
f (x)
sin
2
x
⇒ f (x) = x ⇒
f
0
(x ) =1.
Khi đó I =
Z
f
0
(x )cotxdx =
Z
cot x dx =ln|sinx|+C. ä
19 Cho F(x) =
µ
x
2
2
−x +1
¶
e
x
là một nguyên hàm của hàm số f (x)e
x
. Tìm nguyên hàm của hàm số
f
0
(x )e
x
. ĐS:
Z
f
0
(x )e
x
dx =(x −1)e
x
+C
- Lời giải.
Vì F(x) =
µ
x
2
2
−x +1
¶
e
x
là một nguyên hàm của hàm só f (x)e
x
nên theo định nghĩa nguyên hàm ta
có
·µ
x
2
2
−x +1
¶
e
x
¸
0
= f (x)e
x
⇒(x −1)e
x
+
µ
x
2
2
−x +1
¶
e
x
= f (x)e
x
⇒ x
2
e
x
= f (x)e
x
⇒ f (x) = x
2
.
Suy ra f
0
(x ) =2x. Khi đó I =
Z
f
0
(x )e
x
dx =
Z
2x e
x
dx .
Đặt
u =2x
dv =e
x
dx
⇒
du =2dx
v =e
x
⇒ I = xe
x
−
Z
e
x
dx = x e
x
−e
x
=(x −1)e
x
. ä
4 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
b
Z
a
[
f (x)
]
u
0
(x )dx =F
[
u(x)
]
¯
¯
¯
b
a
=F
[
u(b)
]
−F
[
u(a )
]
.
Bước 1: Biến đổi để chọn phép đặt t = u(x) ⇒dt = u
0
(x )dx.
Bước 2: Đổi cận
½
x = b ⇒ t = u(b)
x =a ⇒ t = u(a)
.
Bước 3: Đưa về dạng I =
u(b)
Z
u(a)
f (t)dt đơn giản hơn và dễ tính toán.
Th.s Nguyễn Chín Em 104 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1 NHẬN BIẾT
Câu 1. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =e
x
+x là
A. e
x
+x
2
+C. B. e
x
+
1
2
x
2
+C. C.
1
x +1
e
x
+
1
2
x
2
+C. D. e
x
+1+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
(e
x
+x)dx =
Z
e
x
dx +
Z
xdx =e
x
+
1
2
x
2
+C, với C là hằng số.
Chọn đáp án B ä
Câu 2. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x
3
+x là
A. x
4
+x
2
+C. B. 3x
2
+1+C. C. x
3
+x +C. D.
1
4
x
4
+
1
2
x
2
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
(x
3
+x)dx =
1
4
x
4
+
1
2
x
2
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 3. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x
4
+x
2
là
A. 4x
3
+2x +C. B.
1
5
x
5
+
1
3
x
3
+C. C. x
4
+x
2
+C. D. x
5
+x
3
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
(x
4
+x
2
)dx =
1
5
x
5
+
1
3
x
3
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 4. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
A.
Z
2e
x
dx =2
¡
e
x
+C
¢
. B.
Z
x
3
dx =
x
4
+C
4
.
C.
Z
1
x
dx =ln x +C. D.
Z
sin x dx =−cosx +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
1
x
dx =ln
|
x
|
+C nên mệnh đề ở phương án C sai.
Chọn đáp án C ä
Câu 5. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f
(
x
)
=5
2x
?
A.
Z
5
2x
dx =2.5
2x
ln5+C. B.
Z
5
2x
dx =2.
5
2x
ln5
+C.
C.
Z
5
2x
dx =
25
x
2ln5
+C. D.
Z
5
2x
dx =
25
x+1
x +1
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
5
2x
dx =
1
2
.
5
2x
ln5
+C =
25
x
2ln5
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =3x
2
+3
x
là
A. x
3
+3
x
ln3+C. B. x
3
+
3
x
ln3
+C. C. x
3
+3
x
+C. D. x
3
+
ln3
3
x
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
¡
3x
2
+3
x
¢
dx = x
3
+
3
x
ln3
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 7. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =2
2x
là
A. 4
x
·ln4+C. B.
1
4
x
·ln4
+C. C. 4
x
+C. D.
4
x
ln4
+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 105 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có
Z
2
2x
dx =
Z
4
x
dx =
4
x
ln4
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 8. Với C là hằng số, họ nguyên hàm của hàm số f (x) =2cos2x là
A. −sin2x +C. B. −2sin2x +C. C. 2sin2x +C. D. sin2x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
2cos2xdx =sin2x +C.
Chọn đáp án D ä
Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =e
−x
µ
2+
e
x
cos
2
x
¶
.
A. F(x) =−
2
e
x
+tanx +C. B. F(x) =2e
x
−tanx +C.
C. F(x) =−
2
e
x
−tanx +C. D. F(x) =2e
−x
+tanx +C.
- Lời giải.
Tập xác định D =R \
n
π
2
+kπ, k ∈Z
o
.
Ta có
Z
e
−x
µ
2+
e
x
cos
2
x
¶
dx =
Z
µ
2e
−x
+
1
cos
2
x
¶
dx =−
2
e
x
+tanx +C.
Chọn đáp án A ä
Câu 10. Cho biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên R. Tìm I =
Z
[
2f (x)−1
]
dx .
A. I =2xF(x)−x +C. B. I =2xF(x) −1+C. C. I =2F(x)−1+C. D. I =2F(x) −x +C.
- Lời giải.
Ta có
I =
Z
[
2f (x)−1
]
dx =2
Z
f (x)dx −
Z
dx =2F(x)−x +C.
Chọn đáp án D ä
Câu 11. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) =sin5x là
A.
1
5
cos5x +C. B. cos5x +C. C. −cos5x +C. D. −
1
5
cos5x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
sin5xdx =−
1
5
cos5x +C.
Chọn đáp án D ä
Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
x +1
là
A. log|1 +x|+C. B. ln(1 +x)+C. C. −
1
(1+x)
2
+C. D. ln|1 +x|+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
1
x +1
dx =
Z
1
x +1
d(x +1) =ln|x +1|+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =e
x
+x
2
là
A.
1
x
e
x
+
x
3
3
+C. B. e
x
+2x +C. C. e
x
+
x
3
3
+C. D. e
x
+3x
3
+C.
- Lời giải.
Z
¡
e
x
+x
2
¢
dx =e
x
+
x
3
3
+C, với C là hằng số.
Chọn đáp án C ä
Th.s Nguyễn Chín Em 106 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 14. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =cos3x.
A.
Z
cos3x dx =3sin3x +C. B.
Z
cos3x dx =
sin3x
3
+C.
C.
Z
cos3x dx =−
sin3x
3
+C. D.
Z
cos3x dx =sin3x +C.
- Lời giải.
Z
cos3x dx =
1
3
Z
cos3x d(3x) =
sin3x
3
+C
Chọn đáp án B ä
Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
5x −2
.
A.
Z
dx
5x −2
=
1
5
ln|5x −2|+C. B.
Z
dx
5x −2
=−
1
2
ln(5x −2)+C.
C.
Z
dx
5x −2
=5ln|5x −2|+C. D.
Z
dx
5x −2
=ln|5x −2|+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
dx
5x −2
=
Z
1
5(5x −2)
d(5x −2) =
1
5
ln|5x −2|+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 16. Tìm nguyên hàm của hàm số f
(
x
)
=7
x
.
A.
Z
7
x
dx =7
x
ln7+C. B.
Z
7
x
dx =
7
x
ln7
+C.
C.
Z
7
x
dx =7
x+1
+C. D.
Z
7
x
dx =
7
x+1
x +1
+C.
Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =cos2x.
A.
Z
f (x)dx =
1
2
sin2x +C. B.
Z
f (x)dx =−
1
2
sin2x +C. .
C.
Z
f (x)dx =2sin2x +C. . D.
Z
f (x)dx =−2sin2x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
1
2
Z
cos2x d(2x) =
1
2
sin2x +C.
Chọn đáp án A ä
Câu 18. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x
2
+
2
x
2
.
A.
Z
f (x) dx =
x
3
3
−
2
x
+C. B.
Z
f (x) dx =
x
3
3
−
1
x
+C.
C.
Z
f (x) dx =
x
3
3
+
2
x
+C. D.
Z
f (x) dx =
x
3
3
+
1
x
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
µ
x
2
+
2
x
2
¶
dx =
x
3
3
−
2
x
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =3x
2
+1 là
A. x
3
+C. B.
x
3
3
+x +C. C. 6x +C. D. x
3
+x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
(3x
2
+1)dx =3.
x
3
3
+x +C = x
3
+x +C.
Chọn đáp án D ä
Câu 20. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x
3
+x là
A. x
4
+x
2
+C. B. 3x
2
+1+C. C. x
3
+x +C. D.
1
4
x
4
+
1
2
x
2
+C.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 107 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
Z
(x
3
+x)dx =
1
4
x
4
+
1
2
x
2
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 21. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =4
x
·2
2x+3
.
A. F(x) =
2
4x+3
ln2
. B. F(x) =2
4x+1
·ln2. C. F(x) =
2
4x+1
ln2
. D. F(x) =2
4x+3
·ln2.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
4
x
·2
2x+3
dx =
Z
2
4x+3
dx =
2
4x+3
4ln2
+C =
2
4x+1
ln2
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 22. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
R
[
f (x) + g (x)
]
dx =
R
f (x)dx +
R
g(x)dx, với mọi hàm số f (x), g(x)liên tục trên R.
B.
R
f
0
(x )dx = f (x)+C với mọi hàm f (x) có đạo hàm trên R.
C.
R
k f (x)dx = k
R
f (x)dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f (x) liên tục trên R.
D.
R
[
f (x) − g (x)
]
dx =
R
f (x)dx −
R
g(x)dx, với mọi hàm số f (x), g(x) liên tục trên R.
- Lời giải.
Mệnh đề
R
k f (x)dx = k
R
f (x)dx sai vì k 6=0.
Chọn đáp án C ä
Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =
π
2
cos2x.
A.
Z
f (x)dx =
π
4
sin2x +C. B.
Z
f (x)dx =−
π
2
sin2x +C .
C.
Z
f (x)dx =π sin2x +C. D.
Z
f (x)dx =
π
2
sin2x +C.
- Lời giải.
Z
f (x)dx =
Z
π
2
cos2xdx =
π
4
sin2x +C.
Chọn đáp án A ä
Câu 24. Cho f (x), g(x) là các hàm số liên tục trên R. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
Z
f (x) · g(x)dx = f (x)dx ·
Z
g(x)dx. B.
Z
f
0
(x ) · g
0
(x )dx = f (x)· g(x)+C.
C.
Z
k · f (x )dx = k
Z
f (x)dx. D.
Z
f (x) · f
0
(x )dx =
f
2
(x )
2
+C.
- Lời giải.
Z
f (x) · f
0
(x )dx =
Z
f (x)d
[
f (x)
]
=
f
2
(x )
2
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 25. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =4
x
là
A.
Z
f (x)dx =
4
x+1
x +1
+C. B.
Z
f (x)dx =4
x+1
+C.
C.
Z
f (x)dx =4
x
ln4+C. D.
Z
f (x)dx =
4
x
ln4
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
4
x
ln4
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 26. Họ các nguyên hàm của hàm số y =e
−3x+1
là
A.
1
3
e
−3x+1
+C. B. −
1
3
e
−3x+1
+C. C. 3e
−3x+1
+C. D. −3e
−3x+1
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
e
−3x+1
dx =−
1
3
e
−3x+1
+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 108 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án B ä
Câu 27. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
Z
k f (x)dx = k
Z
f (x)dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f (x) liên tục trên R.
B.
Z
f
0
(x )dx = f (x)+C với mọi hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R.
C.
Z
(f (x)−g(x))dx =
Z
f (x)dx −
Z
g(x)dx, với mọi hàm số f (x); g(x) liên tục trên R.
D.
Z
(f (x)+g(x))dx =
Z
f (x)dx +
Z
g(x)dx, với mọi hàm số f (x); g(x) liên tục trên R.
- Lời giải.
Với k =0 ta có
Z
k f (x)dx =
Z
0dx = C còn k
Z
f (x)dx =0.
Do đó mệnh đề “
Z
k f (x)dx = k
Z
f (x)dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f (x) liên tục trên R” là
mệnh đề sai.
Chọn đáp án A ä
Câu 28. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
A.
Z
[
f (x) · g(x)
]
dx =
Z
f (x)dx ·
Z
g(x)dx. B.
Z
0dx =0.
C.
Z
f (x)dx = f
0
(x ) +C. D.
Z
f
0
(x )dx = f (x)+C.
- Lời giải.
Hiển nhiên theo định nghĩa nguyên hàm thì f (x) là một nguyên hàm của f
0
(x ) nên họ tất cả các nguyên hàm
của f
0
(x ) là f (x)+C do đó
Z
f
0
(x )dx = f (x)+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 29. Tìm một nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
5x −2
.
A.
Z
f (x)dx =−
1
2
ln(5x −2)+C. B.
Z
f (x)dx =
1
5
ln|5x −2|+C.
C.
Z
f (x)dx =ln|5x −2|+C. D.
Z
f (x)dx =5ln|5x −2|+C.
- Lời giải.
Z
f (x)dx =
Z
1
5x −2
dx =
1
5
ln|5x −2|+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 30. Nguyên hàm của hàm số f (x) =cos3x là
A.
Z
f (x)dx =sin3x +C. B.
Z
f (x)dx =−
sin3x
3
+C.
C.
Z
f (x)dx =3sin3x +C. D.
Z
f (x)dx =
sin3x
3
+C.
- Lời giải.
Z
f (x)dx =
Z
cos3x dx =
sin3x
3
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 31. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A.
Z
k f (x)dx = k
Z
f (x)dx với k ∈R.
B.
Z
[f (x)+g(x)]dx =
Z
f (x)dx +
Z
g(x)dx với f (x); g(x) liên tục trên R.
C.
Z
x
α
dx =
1
α +1
x
α+1
với α 6=−1.
Th.s Nguyễn Chín Em 109 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
D.
µ
Z
f (x)dx
¶
0
= f (x).
- Lời giải.
Ta có
Z
k f (x)dx = k
Z
f (x)dx với k ∈R sai vì tính chất đúng khi k ∈R \{0}.
Chọn đáp án A ä
Câu 32. Tính
Z
(
x −sin2x
)
dx .
A.
x
2
2
+sinx +C. B.
x
2
2
+cos2x +C. C. x
2
+
cos2x
2
+C. D.
x
2
2
+
cos2x
2
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
(
x −sin2x
)
dx =
Z
xdx −
Z
sin2x dx =
x
2
2
+
cos2x
2
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 33. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
Z
0dx = C. B.
Z
x
4
dx =
x
5
5
+C. C.
Z
1
x
dx =ln x +C. D.
Z
e
x
dx =e
x
+C.
- Lời giải.
Tacó:
Z
1
x
dx =ln|x|+C
Vậy C sai.
Chọn đáp án C ä
Câu 34. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x −sin2x là
A.
x
2
2
+cos2x +C. B.
x
2
2
+
1
2
cos2x +C. C. x
2
+
1
2
cos2x +C. D.
x
2
2
−
1
2
cos2x +C.
- Lời giải.
Ta có:
Z
f (x)dx =
Z
(
x −sin2x
)
dx =
x
2
2
+
1
2
cos2x +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 35. Họ nguyên hàm của hàm số y =3cos x −2
x
là
A. −3sin x −
2
x
ln2
+C. B. 3sin x −2
x
+C. C. 3sin x −
2
x
ln2
+C. D. 3sin x −2
x
ln2+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
¡
3cos x −2
x
¢
dx =3sin x −
2
x
ln2
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 36. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x
3
+x
2
là
A. 3x
2
+2x +C. B.
1
4
x
4
+
1
3
x
3
+C. C. x
4
+x
3
+C. D. 4x
4
+3x
3
+C.
- Lời giải.
Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản
Z
f (x)dx =
Z
(x
3
+x
2
)dx =
1
4
x
4
+
1
3
x
3
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 37. Tìm một họ nguyên hàm của hàm số f (x) =3
x
+7
x
.
A.
Z
f (x)dx =
3
x
ln3
+
7
x
ln7
+C. B.
Z
f (x)dx =3
x
ln3+7
x
ln7+C.
C.
Z
f (x)dx =
3
x+1
x +1
+
7
x
x +1
+C. D.
Z
f (x)dx =3
x+1
+7
x+1
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
(3
x
+7
x
)dx =
3
x
ln3
+
7
x
ln7
+C.
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 110 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 38. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
x
là
A. F(x) =−
1
x
2
+C. B. F(x) =
2
x
2
+C. C. F(x) =ln|x|+C. D. F(x) =
p
x +C.
- Lời giải.
Vì
Z
1
x
dx =ln|x|+C nên họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
x
là F(x) =ln|x|+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 39. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =cos2x +3x là
A. −
1
2
sin2x +
3
2
x
2
+C. B.
1
2
sin2x +3x
2
+C.
C. −2sin2x +3+C. D.
1
2
sin2x +
3
2
x
2
+C.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
(
cos2x +3x
)
dx =
1
2
sin2x +
3
2
x
2
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 40. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
2x −1
là
A. ln|2x −1|+C. B. 2ln|2x −1|+C. C.
1
2
ln|2x −1|+C. D.
1
2
ln(2x +1)+C.
- Lời giải.
Ta có:
Z
f (x)dx =
Z
1
2x −1
dx =
1
2
ln|2x −1|+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 41. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x
2
+
2
x
2
A.
Z
f (x)dx =
x
3
3
+
2
x
+C. B.
Z
f (x)dx =
x
3
3
−
2
x
+C.
C.
Z
f (x)dx =
x
3
3
+
1
x
+C. D.
Z
f (x)dx =
x
3
3
−
1
x
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
µ
x
2
+
2
x
2
¶
dx =
x
3
3
−
2
x
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 42. Hàm số f (x ) =cos(4x +7) có một nguyên hàm là
A. −sin(4x +7)+x. B.
1
4
sin(4x +7)−3. C. sin(4x +7)−1. D. −
1
4
sin(4x +7)+3.
- Lời giải.
Tính nguyên hàm của hàm số f (x) =cos(4x +7)
Ta có:
Z
cos(4x +7)dx =
Z
cos(4x +7)
d(4x +7)
4
=
1
4
Z
cos(4x +7)d(4x +7) =
1
4
sin(4x +7)+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 43. Nguyên hàm của hàm số f (x) =sin x +x là
A. cos x +
1
2
x
2
+C. B. cos x +x
2
+C. C. −cos x +1+C. D. −cos x +
1
2
x
2
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
(
sin x +x
)
dx =
Z
sin x dx +
Z
xdx =−cosx +
1
2
x
2
+C.
Chọn đáp án
D ä
Câu 44. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x
3
+sin2x là
A.
x
4
4
−
1
2
cos2x +C. B.
x
4
4
−cos2x +C. C.
x
4
4
+
1
2
cos2x +C. D.
x
4
4
+cos2x +C.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 111 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
Z
¡
x
3
+sin2x
¢
dx =
1
4
x
4
−
1
2
cos2x +C.
Chọn đáp án A ä
Câu 45. Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
x +1
là
A. −
1
(x +1)
2
+C. B. −ln|x +1|+C. C. −
1
2
ln(x +1)
2
+C. D. ln|2x +2|+C.
- Lời giải.
Ta có
(
ln|2x +2|+C
)
0
=
1
x +1
.
Chọn đáp án D ä
Câu 46. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A.
Z
[
f
1
(x ) + f
2
(x )
]
dx =
Z
f
1
(x )dx +
Z
f
2
(x )dx.
B. Nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f (x) thì F(x) =G(x).
C.
Z
k f (x)dx = k
Z
f (x)dx (k là hằng số và k 6=0).
D. Nếu
Z
f (x)dx =F(x)+C thì
Z
f (u)du =F(u)+C.
- Lời giải.
Nếu F(x ) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f (x) thì F(x) =G(x) +C, với C là hằng số.
Chọn đáp án
B ä
Câu 47. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =sin2x
A.
Z
sin2x dx =−cos2x +C. B.
Z
sin2x dx =2cos2x +C.
C.
Z
sin2x dx =−
cos2x
2
+C. D.
Z
sin2x dx =
cos2x
2
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
sin2x dx =−
cos2x
2
+C
Chọn đáp án C ä
Câu 48. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =e
2019x
.
A.
Z
f (x)dx =
1
2019
·e
2019x
+C. B.
Z
f (x)dx =2019 ·e
2019x
+C.
C.
Z
f (x)dx =e
2019x
+C. D.
Z
f (x)dx =e
2019x
ln2019+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
1
2019
·e
2019x
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 49. Nguyên hàm của hàm số f (x) =sin3x là
A. cos3x +C. B. −
1
3
cos3x +C. C. −cos3x +C. D.
1
3
cos3x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
sin3x dx =−
1
3
cos3x +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 50. Tính
Z
sin x dx.
A. sin(π −x ) +C. B. cos x +C. C. cos(π −x)+C. D. cos
³
π
2
−x
´
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
sin x dx =−cosx +C =cos(π −x)+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 112 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án C ä
Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =cos x là
A. F(x) =tan x +C. B. F(x) =cot x +C. C. F(x) =−sin x +C. D. F(x) =sin x +C.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
cos xdx =sin x +C.
Chọn đáp án D ä
Câu 52. Tìm nguyên hàm F(x) =
Z
cos x dx
A. F(x) =cos x +C. B. F(x) =−cosx +C. C. F(x) =sin x +C. D. F(x) =−sinx +C.
Câu 53. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =2x +1.
A.
Z
f (x)dx =2x
2
+x +C. B.
Z
f (x)dx =
x
2
2
+x +C.
C.
Z
f (x)dx = x
2
+x +C. D.
Z
f (x)dx =2x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
(2x +1)dx =
2x
2
2
+x +C = x
2
+x +C.
Chọn đáp án C ä
Câu 54. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số y = x
3
?
A. y =
x
4
4
+3. B. y =
x
4
4
+1. C. y =
x
4
4
+2. D. y =3x
2
.
- Lời giải.
Nguyên hàm của hàm số y = x
3
là
x
4
4
+C, với C là hằng số. Vậy hàm số y =3x
2
không là một nguyên hàm
của hàm số y = x
3
.
Chọn đáp án D ä
Câu 55. Phát biểu nào sau đây đúng?
A.
Z
cos x dx =−cosx +C. B.
Z
cos x dx =−sinx +C.
C.
Z
cos x dx =cos x +C. D.
Z
cos x dx =sin x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
cos x dx =sin x +C.
Chọn đáp án D ä
Câu 56. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = e
−x
+2x là
A.
Z
f (x)dx =e
−x
+x
2
+C. B.
Z
f (x)dx =−xe
−x
+x
2
+C.
C.
Z
f (x)dx =−e
−x
+x
2
+C. D.
Z
f (x)dx = xe
−x
+x
2
+C.
- Lời giải.
Họ nguyên hàm của hàm số f (x) là
Z
f (x)dx =−e
−x
+x
2
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 57. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A.
Z
e
x
dx =
x
e+1
e+1
+C. B.
Z
x
2
dx =
1
3
x
3
+C. C.
Z
e
x
dx =
e
x+1
x +1
+C. D.
Z
x
7
dx =
1
8
x
8
+C.
- Lời giải.
Z
e
x
dx =e
x
+C.
Chọn đáp án C ä
Th.s Nguyễn Chín Em 113 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 58. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) =sin x là
A. F(x) =−cosx. B. F(x) =−cos x +C. C. F(x) =cos x +C. D. F(x) =cos x.
- Lời giải.
Nguyên hàm của hàm số f (x) =sin x là F(x) =−cosx +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 59.
Z
dx
2−3x
bằng
A.
1
3
ln|2−3x|+C. B.
1
(2−3x)
2
+C. C. −
3
(2−3x)
2
+C. D. −
1
3
ln|3x −2|+C.
- Lời giải.
Ta thấy
Z
dx
2−3x
=−
1
3
ln|2−3x|+C =−
1
3
ln|3x −2|+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 60. Cho
5
Z
1
dx
2x −1
=lnC. Khi đó giá trị của C là
A. 3. B. 8. C. 9. D. 81.
- Lời giải.
Ta có
5
Z
1
dx
2x −1
=
µ
1
2
ln
|
2x −1
|
¶
¯
¯
¯
5
1
=
1
2
ln9 =ln3. Do đó C =3.
Chọn đáp án A ä
Câu 61. Khi tính
Z
sinax ·cos bx dx, biến đổi nào dưới đây là đúng?
A.
Z
sinax ·cos bx dx =
Z
sinax dx ·
Z
cosbx dx.
B.
Z
sinax ·cos bx dx =
1
2
Z
[
sin
(
a +b
)
x +sin
(
a −b
)
x
]
dx .
C.
Z
sinax ·cos bx dx =
1
2
Z
·
sin
a +b
2
x +sin
a −b
2
x
¸
dx .
D.
Z
sinax ·cos bx dx =ab
Z
sin x ·cos x dx.
- Lời giải.
Ta có sinax ·cos bx =
1
2
[
sin
(
a +b
)
x +sin
(
a −b
)
x
]
.
Do đó
Z
sinax ·cos bx dx =
1
2
Z
[
sin
(
a +b
)
x +sin
(
a −b
)
x
]
dx .
Chọn đáp án B ä
Câu 62. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =sin x +1 là
A. −cos x +x +C. B.
sin
2
x
2
+x +C. C. cos x +x +C. D. sin2x +x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
(
sin x +1
)
dx =−cos x +x +C.
Chọn đáp án A ä
Câu 63. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
x
+2x là
A. 2ln|x|+x
2
+C. B. ln|x|+2x
2
+C. C. ln|x|+x
2
+C. D. ln|x
2
|+2x +C.
- Lời giải.
Z
f (x)dx =
Z
µ
1
x
+2x
¶
dx =
Z
dx
x
+
Z
2x dx =ln|x|+x
2
+C.
Chọn đáp án C ä
Th.s Nguyễn Chín Em 114 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 64. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
3
1−2x
.
A. −6ln|1−2x|+C. B. 3ln|1 −2x |+C. C. −
3
2
ln|1−2x|+C. D.
3
2
ln|1−2x|+C.
- Lời giải.
Z
f (x)dx =
Z
3
1−2x
dx =−
3
2
ln|1−2x|+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 65. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
2x +1
?
A. F(x) =ln|2x +1|+1. B. F(x) =
1
2
ln|2x +1|+2.
C. F(x) =
1
2
ln|4x +2|+3. D. F(x) =
1
4
ln(4x
2
+4x +1)+3.
- Lời giải.
Ta có
Z
1
2x +1
dx =
1
2
ln|2x +1|+C.
Mặt khác
1
2
ln|4x +2|+3 =
1
2
ln|2x +1|+
ln2
2
+3 và
1
2
ln(4x
2
+4x +1)+3 =
1
2
ln|2x +1|+3.
Chọn đáp án A ä
Câu 66. Nguyên hàm của hàm số f (x) =3
x
là
A.
Z
f (x)dx =3
x
+C. B.
Z
f (x)dx =3
x
ln3+C.
C.
Z
f (x)dx =
3
x+1
x +1
+C. D.
Z
f (x)dx =
3
x
ln3
+C.
- Lời giải.
Theo công thức nguyên hàm thì
Z
f (x)dx =
3
x
ln3
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 67. Cho hàm số f (x) =2017
x
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.
Z
f (x)dx =
2017
x
ln2018
+C. B.
Z
f (x)dx =
2017
x
ln2017
+C.
C.
Z
f (x)dx =2017
x
ln2017+C. D.
Z
f (x)dx =
2017
x
2017
+C.
- Lời giải.
Z
f (x)dx =
2017
x
ln2017
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 68. Tính
Z
cos2x dx.
A.
Z
cos2x dx =−sin2x +C. B.
Z
cos2x dx =
1
2
sin2x +C.
C.
Z
cos2x dx =sin2x +C. D.
Z
cos2x dx =−
1
2
sin2x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
cos2x dx =
Z
cos2x
d(2x )
2
=
1
2
Z
cos2x d(2x) =
1
2
sin2x +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 69. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =cos x +sinx là
A. sin x −cosx +C. B. sinx +cosx +C. C. −sinx +cosx +C. D. −sinx −cosx +C.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 115 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Z
(cos x +sin x)dx =sin x −cos x +C.
Chọn đáp án A ä
Câu 70. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =(x −1)
3
.
A. 3(x −1)+C. B.
1
4
(x −1)
4
+C. C. 4(x −1)
4
+C. D.
1
4
(x −1)
3
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
(x −1)
3
dx =
1
4
(x −1)
4
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 71. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f (x) =e
1−4x
.
A. y =
1
4
e
1−4x
. B. y =−4e
1−4x
. C. y =e
1−4x
. D. y =−
1
4
e
1−4x
.
- Lời giải.
Ta có
Z
e
1−4x
dx =−
1
4
e
1−4x
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 72. Cho bốn mệnh đề sau
I.
Z
cos
2
xdx =
cos
3
x
3
+C.
II.
Z
3
x
dx =3
x
·ln3+C.
III.
Z
x
α
dx =
x
α+1
α +1
+C với α ∈R.
IV. Nếu F(x),G(x) là các nguyên hàm của f (x ) thì F(x) =G(x).
Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai?
A. 3. B. 1. C. 4. D. 2.
- Lời giải.
Ta lần lượt xét 4 mệnh đề đã cho
Mệnh đề (I) sai vì
Z
cos
2
xdx =
Z
1+cos2x
2
dx =
1
2
µ
x +
sin2x
2
¶
+C.
Mệnh đề (I I) sai vì
Z
3
x
dx =
3
x
ln3
+C.
Mệnh đề (III) sai vì thiếu điều kiện α 6=−1.
Mệnh đề (IV) sai vì nguyên hàm của hàm số f (x) là có một họ nguyên hàm, chúng sai khác nhau một
hằng số.
Vậy có 4 mệnh đề SAI.
Chọn đáp án
C ä
Câu 73. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x(x +1).
A. x(x +1)+C. B. 2x +1+C. C. x
3
+x
2
+C. D.
x
3
3
+
x
2
2
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
x(x +1)dx =
Z
(x
2
+x)dx =
x
3
3
+
x
2
2
+C.
Chọn đáp án D ä
Th.s Nguyễn Chín Em 116 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 74. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
Z
0dx = C. B.
Z
1
x
dx =ln|x|+C. C.
Z
x
a
dx =
x
a+1
a +1
+C. D.
Z
dx = x +C.
- Lời giải.
Đáp án
Z
x
a
dx =
x
a+1
a +1
+C không đúng với trường hợp a =−1.
Chọn đáp án C ä
Câu 75. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =sin x −cosx.
A.
Z
f (x)dx =−sinx +cosx +C. B.
Z
f (x)dx =sin x +cosx +C.
C.
Z
f (x)dx =−sinx −cosx +C. D.
Z
f (x)dx =sin x −cosx +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
(sin x −cos x)dx =−cos x −sinx +C =−sin x −cos x +C
Chọn đáp án C ä
Câu 76. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =3
x
+
1
x
2
.
A.
Z
f (x)dx =3
x
+
1
x
+C. B.
Z
f (x)dx =
3
x
ln3
+
1
x
+C.
C.
Z
f (x)dx =3
x
−
1
x
+C. D.
Z
f (x)dx =
3
x
ln3
−
1
x
+C.
- Lời giải.
Ta có
µ
3
x
ln3
−
1
x
+C
¶
0
=
3
x
ln3
ln3
−
µ
−
1
x
2
¶
=3
x
+
1
x
2
.
Chọn đáp án D ä
Câu 77. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =
3
x
e
3
A.
3
x
e
3
ln
3
e
+C. B.
3
x
−2ln3 ·e
2
+C. C.
3
x
ln3
e
3
+C. D.
3
x
e
3
ln3
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
3
x
e
3
dx =
3
x
e
3
ln3
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 78. Cho hai hàm số f (x), g(x) là hai hàm số liên tục có F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của f (x),
g(x). Xét các mệnh đề sau:
(I). F(x) +G(x) là một nguyên hàm của f (x)+ g(x).
(II). kF(x) là một nguyên hàm của hàm số k f (x), (k ∈R).
(III). F(x) ·G(x) là một nguyên hàm của f (x)· g(x).
Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
A. (I) và (III). B. (I) và (II). C. (II) và (III). D. (III).
- Lời giải.
Chỉ có mệnh đề (I) và (II) là hai mệnh đề đúng.
Chọn đáp án B ä
Câu 79. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =4x
3
+sinx −2 là
A. x
4
+cosx −2x +C. B.
x
4
4
+cosx +C. C. 12x +cos x +C. D. x
4
−cosx −2x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
¡
4x
3
+sinx −2
¢
dx = x
4
−cosx −2x +C.
Th.s Nguyễn Chín Em 117 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án D ä
Câu 80. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =sin2x là
A. F(x) =−
1
2
cos2x +C. B. F(x) =cos2x +C.
C. F(x) =
1
2
cos2x +C. D. F(x) =−cos2x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
sin2x dx =−
cos2x
2
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 81. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =5
x
là
A.
5
x
ln5
+C. B. 5
x
·ln5+C. C.
5
x+1
x +1
+C. D. 5
x+1
+C.
- Lời giải.
Áp dụng công thức
Z
a
x
dx =
a
x
lna
+C, ta được
Z
5
x
dx =
5
x
ln5
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 82. Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =e
2x
.
A. F(x) =e
x
+C. B. F(x) =
e
x
2
+C. C. F(x) =e
2x
+C. D. F(x) =
e
2x
2
+C.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
e
2x
dx =
e
2x
2
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 83. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
2
x
−
1
x
2
+x trên khoảng (0;+∞).
A. F(x) =2ln
|
x
|
+
1
x
+
x
2
2
+C. B. F(x) =ln x −ln x
2
+
x
2
2
+C.
C. F(x) =ln x −
1
x
+
x
2
2
+C. D. F(x) =ln
|
x
|
+
1
x
+
x
2
2
+C.
- Lời giải.
Ta có F(x) =2ln
|
x
|
+
1
x
+
x
2
2
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 84. Tìm nguyên hàm I =
Z
¡
e
−x
+2x
¢
dx .
A. I =−e
−x
+x
2
+C. B. I =e
−x
+x
2
+C. C. I =−e
−x
−x
2
+C. D. I =e
−x
−x
2
+C.
- Lời giải.
I =
Z
¡
e
−x
+2x
¢
dx =−e
−x
+x
2
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 85. Nguyên hàm của hàm số f (x) =cos x là
A. −sin x +C. B. sin x +C. C. cos x +C. D. −cos x +C.
- Lời giải.
Nguyên hàm của hàm số f (x) =cos x là F(x) =sin x +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 86. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y =cos x?
A. y =tan x. B. y =cot x. C. y =sin x. D. y =−sinx.
Th.s Nguyễn Chín Em 118 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Vì (sin x)
0
=cos x nên sin x là một nguyên hàm của hàm số cos x.
Chọn đáp án C ä
Câu 87. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
Z
f
0
(x )dx = f (x)+C với mọi hàm f (x) có đạo hàm trên R.
B.
Z
[f (x)+g(x)]dx =
Z
f (x)dx +
Z
g(x)dx, với mọi hàm số f (x), g(x) có đạo hàm trên R.
C.
Z
k f (x)dx = k
Z
f (x)dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f (x) có đạo hàm trên R.
D.
Z
[f (x)−g(x)]dx =
Z
f (x)dx −
Z
g(x)dx, với mọi hàm số f (x), g(x) có đạo hàm trên R.
- Lời giải.
Z
k f (x)dx = k
Z
f (x)dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f (x) có đạo hàm trên R là mệnh đề sai vì
hằng số k phải khác 0.
Chọn đáp án C ä
Câu 88. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =sin(3ax +1) (với a là tham số khác 0).
A. cos(3ax +1)+C. B.
1
3a
cos(3ax +1)+C.
C. −
1
3a
cos(3ax +1)+C. D. −cos(3ax +1)+C.
- Lời giải.
Z
sin(3ax +1)dx =
1
3a
Z
sin(3ax +1)d(3ax +1) =−
1
3a
cos(3ax +1)+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 89. Nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
x +2
trên khoảng (−∞;−2) là
A. ln|x +2|+C. B.
1
2
ln|x +2|+C. C. ln(x +2)+C. D.
1
2
ln(x +2)+C.
- Lời giải.
Nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
x +2
trên khoảng (−∞;−2) là ln|x +2|+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 90. Công thức nguyên hàm nào sau đây là công thức SAI?
A.
Z
a
x
dx =
a
x
lna
+C (a >0;a 6=1). B.
Z
sin x dx =cos x +C.
C.
Z
cos x dx =sin x +C. D.
Z
x
α
dx =
x
α+1
α +1
+C (α 6=−1).
- Lời giải.
Công thức đúng
Z
sin x dx =−cosx +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 91. Tìm nguyên hàm của hàm số y =sin(x −1).
A.
Z
sin(x −1)dx =−cos(x −1)+C. B.
Z
sin(x −1)dx =cos(x −1)+C.
C.
Z
sin(x −1)dx =(x −1)cos(x −1)+C. D.
Z
sin(x −1)dx =(1 −x)cos(x −1)+C.
- Lời giải.
Z
sin(x −1)dx =
Z
sin(x −1)d(x −1) =−cos(x −1)+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 92. Tìm nguyên hàm của hàm số y = x
3
.
Th.s Nguyễn Chín Em 119 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A.
Z
x
3
dx =3x
4
+C. B.
Z
x
3
dx =
1
4
x
4
+C. C.
Z
x
3
dx =4x
4
+C. D.
Z
x
3
dx =
1
3
x
4
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
x
3
dx =
1
4
x
4
+C.
Chọn đáp án
B ä
Câu 93. Tìm nguyên hàm của hàm số y =cos(3x −2).
A.
Z
cos(3x −2)dx =−
1
3
sin(3x −2)+C. B.
Z
cos(3x −2)dx =−
1
2
sin(3x −2)+C.
C.
Z
cos(3x −2)dx =
1
2
sin(3x −2)+C. D.
Z
cos(3x −2)dx =
1
3
sin(3x −2)+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
cos(3x −2)dx =
1
3
Z
cos(3x −2)d(3x −2) =
1
3
sin(3x −2)+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 94. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =sin x là
A. sin x +C. B. cos x +C. C. −sin x +C. D. −cos x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
sin x dx =−cosx +C.
Chọn đáp án D ä
Câu 95. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =e
x
là biểu thức nào sau đây?
A. ln|x|+C. B. −e
x
+C. C. e
x
+C. D.
1
x
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
e
x
dx =e
x
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 96. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =2x +1 là họ hàm số nào sau đây?
A. x
2
+x +C. B. x
2
+1+C. C. 2x
2
+1+C. D. 4x
2
+x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
(2x +1)dx = x
2
+x +C.
Chọn đáp án A ä
Câu 97. Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng?
A.
Z
1
cos
2
x
dx =tan x +C. B.
Z
a
x
dx =
a
x
lna
+C (0 < a 6=1).
C.
Z
x
α
dx =
x
α+1
α +1
+C (α 6=−1). D.
Z
1
x
dx =ln x +C.
- Lời giải.
Công thức đúng là
Z
1
x
dx =ln|x|+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 98. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
Z
1
x
2
dx =ln x
2
+C. B.
Z
cos xdx =sin x +C.
C.
Z
1
sin
2
x
dx =cot x +C. D.
Z
e
2x
dx =2e
x
+C.
- Lời giải.
Z
cos xdx =sin x +C.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 120 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 99. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =e
x
+2sin x.
A.
Z
¡
e
x
+2sin x
¢
dx =e
x
−cos
2
x +C. B.
Z
¡
e
x
+2sin x
¢
dx =e
x
+sin
2
x +C.
C.
Z
¡
e
x
+2sin x
¢
dx =e
x
−2cos x +C. D.
Z
¡
e
x
+2sin x
¢
dx =e
x
+2cos x +C.
- Lời giải.
Z
¡
e
x
+2sin x
¢
dx =e
x
−2cos x +C.
Chọn đáp án C ä
Câu 100. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x
2
+x −2.
A.
Z
f (x)dx =
x
3
3
+
x
2
2
−2+C. B.
Z
f (x)dx =
x
3
3
+
x
2
2
+C.
C.
Z
f (x)dx =2x +1+C. D.
Z
f (x)dx =
x
3
3
+
x
2
2
−2x +C.
- Lời giải.
Z
f (x)dx =
x
3
3
+
x
2
2
−2x +C.
Chọn đáp án D ä
Câu 101. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =2x
3
−9.
A.
Z
f (x)dx =
1
2
x
4
−9x +C. B.
Z
f (x)dx = x
4
−9x +C.
C.
Z
f (x)dx =
1
2
x
4
+C. D.
Z
f (x)dx =4x
3
+9x +C.
- Lời giải.
Z
(2x
3
−9)dx =
1
2
x
4
−9x +C.
Chọn đáp án A ä
Câu 102. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
Z
cot x dx =ln|sinx|+C. B.
Z
sin x dx =cos x +C.
C.
Z
1
x
2
dx =
1
x
. D.
Z
cos x dx =−sinx +C.
- Lời giải.
Z
cot x dx =
Z
dsin x
sin x
=ln|sinx|+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 103. Cho tích phân I =
e
Z
1
3ln x +1
x
dx . Nếu đặt t =ln x thì
A. I =
1
Z
0
3t +1
e
t
dt. B. I =
e
Z
1
3t +1
t
dt. C. I =
e
Z
1
(3t +1)dt. D. I =
1
Z
0
(3t +1)dt.
- Lời giải.
Đặt t =ln x, ta có dt =
dx
x
.
Khi x =1 thì t =0. Khi x = e thì t =1. Vậy I =
1
Z
0
(3t +1)dt.
Chọn đáp án D ä
Câu 104. Biết
Z
f (u)du =F(u)+C. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
Z
f (2x −1)dx =2F(2x −1)+C. B.
Z
f (2x −1)dx =2F(x)−1+C.
C.
Z
f (2x −1)dx =
1
2
F(2x −1)+C. D.
Z
f (2x −1)dx = F(2x −1)+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 121 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Đặt u =2x −1 ⇒du =2dx. Khi đó, ta có
Z
f (2x −1)dx =
1
2
Z
f (u)du =
1
2
F(2x −1)+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 105. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =5
x
.
A.
Z
f (x)dx =5
x
ln5+C. B.
Z
f (x)dx =5
x
+C.
C.
Z
f (x)dx =
5
x
ln x
+C. D.
Z
f (x)dx =
5
x
ln5
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
5
x
dx =
5
x
ln5
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 106. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
1−x
?
A. F(x) =−
1
4
ln|4−4x|+3. B. F(x) =−ln|1−x|+4.
C. F(x) =ln|1−x|+2. D. F(x) =
1
2
ln(x
2
−2x +1)+5.
- Lời giải.
Ta có
Z
1
1−x
dx =−
Z
d(1−x)
1−x
=−ln|1−x|+C.
Do đó F(x) =−ln|1−x|+4 là một nguyên hàm của hàm số f (x) đã cho.
Chọn đáp án B ä
Câu 107. Hàm số F(x) =e
3x
là một nguyên hàm của hàm số
A. f (x) =3e
3x
. B. f (x) =e
3x
. C. f (x) =
e
3x
3
. D. f (x) =3ln3x.
- Lời giải.
F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) khi và chỉ khi F
0
(x ) = f (x). Vậy f (x) =
¡
e
3x
¢
0
=3e
3x
.
Chọn đáp án A ä
Câu 108. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =cos2x.
A.
Z
f (x)dx =
1
2
sin2x +C. B.
Z
f (x)dx =−
1
2
sin2x +C.
C.
Z
f (x)dx =2sin2x +C. D.
Z
f (x)dx =−2sin2x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
cos2xdx =
1
2
Z
cos2xd(2x) =
1
2
sin2x +C.
Chọn đáp án A ä
Câu 109. Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) =48sin2x là
A. 24cos2x +C. B. 96cos2x +C. C. −96cos2x +C. D. −24cos2x +C.
- Lời giải.
Ta có (−24cos2x +C)
0
=48sin2x.
Chọn đáp án D ä
Câu 110. Để tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =12x ln x, ta đặt u =ln x và dv =12x dx. Tính du.
Th.s Nguyễn Chín Em 122 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. du =
1
x
. B. du =
1
x
dx . C. du =12xdx. D. du =
1
x
dv.
- Lời giải.
Ta có du =
1
x
dx .
Chọn đáp án B ä
Câu 111. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A.
Z
1
x
2
dx =−
1
x
+C. B.
Z
cos x dx =sin x +C.
C.
Z
1
2
p
x
dx =
p
x +C. D.
Z
a
x
dx = a
x
·lna +C (a >0, a 6=1).
- Lời giải.
Chú ý rằng
Z
a
x
dx =
a
x
lna
+C (a >0, a 6=1).
Chọn đáp án D ä
Câu 112. Biết rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =sin(1 −2x) và thỏa mãn F
µ
1
2
¶
= 1. Mệnh
đề nào sau đây là đúng?
A. F(x) =cos(1 −2x). B. F(x) =cos(1−2x)+1.
C. F(x) =−
1
2
cos(1−2x)+
3
2
. D. F(x) =
1
2
cos(1−2x)+
1
2
.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
sin(1−2x)dx =
1
2
cos(1−2x)+C.
Do F
µ
1
2
¶
=1 ⇒C =
1
2
. Vậy F(x ) =
1
2
cos(1−2x)+
1
2
.
Chọn đáp án D ä
Câu 113. Hàm số f (x ) =
p
x +3 là một nguyên hàm của hàm số nào bên dưới?
A. g(x) =
2
3
(
x +3
)
3
2
+C. B. g(x) =
1
2
p
x +3
.
C. g(x) =
−1
p
x +3
. D. g(x) =
3
2
(
x +3
)
3
2
+C.
- Lời giải.
g(x) = f
0
(x ) =
¡
p
x +3
¢
0
=
(x +3)
0
2
p
x +3
=
1
2
p
x +3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 114. Tìm F(x) =
Z
cos x dx.
A. sin x +C. B. cos x +C. C. −cos x +C. D. −sin x +C.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
cos x dx =sin x +C.
Chọn đáp án
A ä
Câu 115. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
Z
2
x
dx =2
x
ln2+C. B.
Z
ln x dx =
1
x
+C.
C.
Z
e
x
dx =−e
x
+C. D.
Z
x
3
dx =
x
4
4
+C.
- Lời giải.
Công thức nguyên hàm cơ bản
Z
x
n
dx =
x
n+1
n +1
+C.
Chọn đáp án D ä
Th.s Nguyễn Chín Em 123 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 116. Cho F(x) và f
0
(x ) lần lượt là một nguyên hàm và đạo hàm của hàm số f (x). Khẳng định nào sau
đây là sai?
A.
b
R
a
f (x)dx =F(a) −F(b). B.
a
Z
b
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
c
Z
b
f (x)dx.
C.
b
Z
a
dx = b −a. D.
b
Z
a
f
0
(x )dx = f (b)− f (a).
- Lời giải.
Ta có
b
Z
a
f (x)dx =F(b)−F(a).
Chọn đáp án A ä
Câu 117. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
Z
e
x
dx =
e
x+1
x +1
+C. B.
Z
x
e
dx =
x
e+1
e+1
+C.
C.
Z
cos2xdx =
1
2
sin2x +C. D.
Z
1
x
dx =ln|x|+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
e
x
dx =e
x
+C.
Z
x
e
dx =
x
e+1
e+1
+C.
Z
cos2xdx =
1
2
sin2x +C.
Z
1
x
dx =ln|x|+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 118. Tính tích phân I =
1
Z
0
3
x
dx .
A. I =
2
ln3
. B. I =
3
ln3
. C. I =
1
2
. D. I =2.
- Lời giải.
Ta có I =
3
x
ln3
¯
¯
¯
1
0
=
2
ln3
.
Chọn đáp án A ä
Câu 119. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =3
x
+1 là
A. 3
x
ln x +x +C. B.
3
x
ln3
+x +C. C.
3
x
ln3
+C. D. 3
x
+x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
¡
3
x
+1
¢
dx =
3
x
ln3
+x +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 120. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
A.
Z
cos x dx =sin x +C. B.
Z
sin x dx =−cosx +C.
C.
Z
e
x
dx =e
x
+C. D.
Z
1
sin
2
x
dx =−tan x +C.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 124 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Mệnh đề sai ở đáp án D. Mệnh đề đúng phải là
Z
1
sin
2
x
dx =−cot x +C.
Chọn đáp án D ä
Câu 121. Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =cos(2x +3).
A. F(x) =−sin(2x +3)+C. B. F(x) =
1
2
sin(2x +3)+C.
C. F(x) =−
1
2
sin(2x +3)+C. D. F(x) =sin(2x +3)+C.
- Lời giải.
F(x) =
Z
cos(2x +3)dx =
1
2
sin(2x +3)+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 122. Tính
Z
4sin
³
2x +
π
3
´
dx , kết quả nào sau đây là đúng?
A. −2cos
³
2x +
π
3
´
+C. B. −
1
2
cos
³
2x +
π
3
´
+C. C. −4cos
³
2x +
π
3
´
+C. D. 2cos
³
2x +
π
3
´
+C.
- Lời giải.
Ta có:
Z
4sin
³
2x +
π
3
´
dx =−2cos
³
2x +
π
3
´
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 123. Nguyên hàm I =
Z
1
2x +1
dx bằng
A. −
1
2
ln|2x +1|+C. B. −ln|2x +1|+C. C.
1
2
ln|2x +1|+C. D. ln|2x +1|+C.
- Lời giải.
Sử dụng công thức
Z
1
ax +b
dx =
1
a
ln|ax +b|+C, ta được
Z
1
2x +1
dx =
1
2
ln|2x +1|+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 124. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =2x
2
+x +1 là
A.
2x
3
3
+x
2
+x +C. B. 4x +1. C.
2x
3
3
+
x
2
2
+x. D.
2x
3
3
+
x
2
2
+x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
(2x
2
+x +1)dx=
2x
3
3
+
x
2
2
+x +C.
Chọn đáp án D ä
Câu 125. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =sin x −1 là
A. cos x −x +C. B. −cosx +C. C. −cosx −x +C. D. cos x −x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
(
sin x −1
)
dx =−cos x −x +C.
Chọn đáp án C ä
Câu 126. Tính nguyên hàm
Z
cos3x dx.
A. −3sin3x +c. B.
1
3
sin3x +c. C. 3sin3x +c. D. −
1
3
sin3x +c.
- Lời giải.
Ta có
Z
cos3x dx =
1
3
sin3x +c.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 125 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 127. Công thức nguyên hàm nào sau đây là sai?
A.
Z
dx
x
=ln x +C. B.
Z
x
α
dx =
x
α+1
α +1
+C.
C.
Z
a
x
dx =
a
x
lna
+C (<α 6=−1). D.
Z
1
cos
2
x
dx =tan x +C.
- Lời giải.
Dựa vào công thức nguyên hàm cơ bản. (Đúng là
Z
dx
x
=ln
|
x
|
+C).
Chọn đáp án A ä
Câu 128. Cho hai hàm số f (x) và g(x) liên tục trên K và a, b ∈K . Khẳng định nào sau đây là khẳng định
sai?
A.
b
Z
a
[
f (x) + g (x)
]
dx =
b
Z
a
f (x)dx +
b
Z
a
g(x)dx. B.
b
Z
a
k f (x)dx = k
b
Z
a
f (x)dx.
C.
b
Z
a
[
f (x)g(x)
]
dx =
b
Z
a
f (x)dx ·
b
Z
a
g(x)dx. D.
b
Z
a
[
f (x) − g (x)
]
dx =
b
Z
a
f (x)dx −
b
Z
a
g(x)dx.
- Lời giải.
Dựa vào tính chất của tích phân.
Chọn đáp án C ä
Câu 129. Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) =e
2x+3
là
A.
Z
f (x)dx =
1
3
e
2x+3
+C. B.
Z
f (x)dx =e
2x+3
+C.
C.
Z
f (x)dx =
1
2
e
2x+3
+C. D.
Z
f (x)dx =2e
2x+3
+C.
- Lời giải.
Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng, ta được
Z
f (x)dx =
Z
e
2x+3
dx =
1
2
e
2x+3
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 130. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
2x +3
là
A.
1
2
ln(2x +3)+C. B.
1
2
ln
|
2x +3
|
+C. C. ln
|
2x +3
|
+C. D.
1
ln2
ln
|
2x +3
|
+C.
- Lời giải.
Ta có:
Z
f (x)dx =
Z
1
2x +3
dx =
1
2
ln
|
2x +3
|
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 131. Họ nguyên hàm của hàm số y =sin2x là
A. y =−
1
2
cos2x +C . B. y =−
1
2
cos2x. C. y =
1
2
cos2x +C . D. y =−cos2x +C .
- Lời giải.
Ta có
Z
sin2x dx =−
1
2
cos2x +C.
Chọn đáp án A ä
Câu 132. Tích phân
π
2
Z
0
e
cos x
·sinx dx bằng
A. 1−e. B. e +1. C. e −1. D. e.
- Lời giải.
Ta có
π
2
Z
0
e
cos x
·sinx dx =−
π
2
Z
0
e
cos x
d
(
cos x
)
=−e
cos x
¯
¯
¯
π
2
0
=e −1.
Th.s Nguyễn Chín Em 126 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án C ä
Câu 133. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =7
x
.
A.
Z
7
x
dx =
7
x
ln7
+C. B.
Z
7
x
dx =7
x
ln7+C.
C.
Z
7
x
dx =
7
x+1
x +1
+C. D.
Z
7
x
dx =7
x+1
+C.
- Lời giải.
Theo công thức nguyên hàm
Z
7
x
dx =
7
x
ln7
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 134. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.
Z
sin x dx =cos x +C. B.
Z
2x dx = x
2
+C.
C.
Z
e
x
dx =e
x
+C. D.
Z
1
x
dx =ln|x|+C.
- Lời giải.
Theo công thức nguyên hàm
Z
sin x dx =−cosx +C.
Chọn đáp án A ä
Câu 135. Kết luận nào sau đây đúng?
A.
Z
sin x dx =−sinx +C. B.
Z
sin x dx =sin x +C.
C.
Z
sin x dx =−cosx +C. D.
Z
sin x dx =cos x +C.
- Lời giải.
Z
sin x dx =−cosx +C.
Chọn đáp án C ä
Câu 136. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
Z
(
f (x) + g (x)
)
dx =
Z
f (x)dx +
Z
g(x)dx với mọi hàm số f (x), g(x) liên tục trên R.
B.
Z
(
f (x) − g (x)
)
dx =
Z
f (x)dx −
Z
g(x)dx với mọi hàm số f (x), g(x) liên tục trên R.
C.
Z
(
f (x) · g(x)
)
dx =
Z
f (x)dx ·
Z
g(x)dx với mọi hàm số f (x), g(x) liên tục trên R.
D.
Z
f
0
(x )dx = f (x)+C với mọi hàm số f (x) có đạo hàm trên R.
- Lời giải.
Mệnh đề sai là
Z
(
f (x) · g(x)
)
dx =
Z
f (x)dx ·
Z
g(x)dx với mọi hàm số f (x), g(x) liên tục trên R.
Chọn đáp án C ä
Câu 137. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =2
2x
µ
3
x
−
p
x
4
x
¶
.
A. F(x) =
12
x
ln12
−
2x
p
x
3
+C. B. F(x) =12
x
+x
p
x +C.
C. F(x) =
2
2x
ln2
µ
3
x
ln3
−
x
p
x
4
x
¶
+C. D. F(x) =
2
2x
ln2
µ
3
x
ln3
−
x
p
xln4
4
x
¶
+C.
- Lời giải.
Ta có: f (x) =12
x
−
p
x nên F(x) =
Z
f (x)dx =
12
x
ln12
−
2x
p
x
3
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 138. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =4x
5
−
1
x
+2018 là
A.
4
6
x
6
+ln|x |+2018x +C. B.
2
3
x
6
−lnx +2018x +C.
Th.s Nguyễn Chín Em 127 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
C. 20x
4
+
1
x
2
+C. D.
2
3
x
6
−ln|x |+2018x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
µ
4x
5
−
1
x
+2018
¶
dx =
2
3
x
6
−ln|x |+2018x +C.
Chọn đáp án D ä
Câu 139. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =sin5x +2 là
A. 5cos5x +C. B. −
1
5
cos5x +2x +C. C.
1
5
cos5x +2x +C. D. cos5x +2x +C.
- Lời giải.
Ta có:
Z
f (x)dx =
Z
(sin5x +2)dx =−
1
5
cos5x +2x +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 140. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =cos x là
A. cos x +C. B. sin x +C. C. −cos x +C. D. −sin x +C.
- Lời giải.
Z
f (x)dx =
Z
cos x dx =sin x +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 141. Khẳng định nào sau đây sai (C là hằng số)?
A.
Z
1
cos
2
x
dx =tan x +C. B.
Z
1
sin
2
x
dx =−cot x +C.
C.
Z
sin x dx =cos x +C. D.
Z
cos x dx =sin x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
sin x dx =−cosx +C.
Chọn đáp án C ä
Câu 142. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f
0
(x ) =3+2sinx và f (0) =3. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f (x) =3x −2cos x +5. B. f (x) =3x +2cos x +3.
C. f (x) =3x −2cos x +3. D. f (x) =3x +2cos x +5.
- Lời giải.
Ta có f (x) =
Z
f
0
(x )dx =
Z
(3+2sinx)dx =3x −2cos x +C.
f (0) =3 ⇔−2+C =3 ⇔C =5.
Vậy f (x) =3x −2cos x +5.
Chọn đáp án A ä
Câu 143. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =3
x
.
A.
Z
3
x
dx =3
x
+C. B.
Z
3
x
dx =
3
x
ln3
+C.
C.
Z
3
x
dx =3
x
ln3+C. D.
Z
3
x
dx =
3
x+1
x +1
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
3
x
dx =
3
x
ln3
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 144. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.
Z
sin x dx =cos x +C. B.
Z
1
x
dx =−
1
x
2
+C.
C.
Z
e
x
dx =e
x
+C. D.
Z
ln x dx =
1
x
+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 128 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Z
e
x
dx =e
x
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 145. Tính nguyên hàm A =
Z
1
xln x
dx bằng cách đặt t =ln x. Mệnh đề nào dưới dây đúng?
A. A =
Z
dt. B. A =
Z
1
t
2
dt. C. A =
Z
tdt. D. A =
Z
1
t
dt.
- Lời giải.
Đặt t =ln x ⇒ dt =
1
x
dx .
A =
Z
1
t
dt.
Chọn đáp án D ä
Câu 146. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =2x +1.
A.
Z
(2x +1)dx =
x
2
2
+x +C. B.
Z
(2x +1)dx = x
2
+x +C.
C.
Z
(2x +1)dx =2x
2
+1+C. D.
Z
(2x +1)dx = x
2
+C.
- Lời giải.
Z
(2x +1)dx = x
2
+x +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 147. Họ các nguyên hàm của hàm số y =10
2x
là
A.
10
x
2ln10
+C. B. 10
2x
2ln10 +C. C.
10
2x
2ln10
+C. D.
10
2x
ln10
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
10
2x
dx =
10
2x
2.ln10
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 148. Họ nguyên hàm
Z
sin x dx bằng
A. cos x +C. B. −sin x +C. C. −cos x +C. D. sin x +C.
- Lời giải.
Có
Z
sin x dx =−cosx +C.
Chọn đáp án C ä
Câu 149. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) =cos2x là
A. sin2x +C. B.
1
2
sin2x +C. C. −
1
2
sin2x +C. D. 2sin2x +C.
- Lời giải.
Ta có:
Z
cos2x dx =
1
2
sin2x +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 150. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =e
2018x
.
A.
Z
f (x)dx =e
2018x
+C. B.
Z
f (x)dx =
1
2018
·e
2018x
+C.
C.
Z
f (x)dx =2018 ·e
2018x
+C. D.
Z
f (x)dx =e
2018x
·ln2018+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
e
2018x
dx =
1
2018
e
2018x
d(2018x ) =
1
2018
·e
2018x
+C.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 129 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 151. Họ nguyên hàm của hàm số y =cos3x là
A.
sin3x
3
+C. B. −
sin3x
3
+C. C. sin3x +C. D. −sin3x +C.
- Lời giải.
Áp dụng công thức
Z
cos(ax +b)dx =
sin(ax +b)
a
+C ta có
Z
cos3x dx =
sin3x
3
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 152. Họ nguyên hàm của hàm số ex
e
+4 là
A. ex
e+1
+4x +C. B. e
2
x
e−1
+C. C.
ex
e+1
e+1
+4x +C. D.
x
e+1
e+1
+4x +C.
- Lời giải.
Ta có:
Z
¡
ex
e
+4
¢
dx =e
Z
x
e
dx +
Z
4dx =e
x
e+1
e+1
+4x +C.
Chọn đáp án C ä
Câu 153. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =3cosx +
1
x
2
trên (0;+∞).
A. 3cos x +lnx +C. B. 3sin x −
1
x
+C. C. −3sin x +
1
x
+C. D. 3cos x +
1
x
+C.
- Lời giải.
Ta có:
Z
(3cos x +
1
x
2
)dx =3
Z
cos x dx +
Z
1
x
2
dx =3sin x −
1
x
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 154. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là nguyên hàm của hàm số f (x) = x
3
?
A. y =
x
4
4
−1. B. y =
x
4
4
+1. C. y =
x
4
4
. D. y =3x
2
.
- Lời giải.
Ta có
Z
x
3
dx =
x
4
4
+C.
Suy ra hàm số y =3x
2
không phải là nguyên hàm của y = x
3
.
Chọn đáp án D ä
Câu 155. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = x
2
. Giá trị của biểu thức F
0
(4) là
A. 2. B. 4. C. 8. D. 16.
- Lời giải.
Theo định nghĩa nguyên hàm, ta có F
0
(x ) = x
2
. Suy ra F
0
(4) =16.
Chọn đáp án D ä
Câu 156. Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =3−
1
sin
2
x
là
A. F(x) =3x −tanx +C. B. F(x) =3x +tan x +C.
C. F(x) =3x +cotx +C. D. F(x) =3x −cotx +C.
- Lời giải.
F(x) =
Z
µ
3−
1
sin
2
x
¶
dx =3x +cot x +C.
Chọn đáp án C ä
Câu 157. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =e
x
−e
−x
.
A.
Z
f (x)dx =e
x
+e
−x
+C. B.
Z
f (x)dx =e
x
−e
−x
+C.
C.
Z
f (x)dx =−e
x
−e
−x
+C. D.
Z
f (x)dx =−e
x
+e
−x
+C.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 130 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Z
f (x)dx =e
x
−
1
−1
e
−x
+C =e
x
+e
−x
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 158. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =cos2x.
A. F(x) =2sin2x +C. B. F(x) =−
1
2
sin2x +C.
C. F(x) =
1
2
sin2x +C. D. F(x) =−2sin2x +C.
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
cos2x dx =
1
2
sin2x +C.
Chọn đáp án C ä
Câu 159. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A.
Z
f
0
(x )dx = f (x)+C. B.
Z
f
0
(ax +b)dx =
1
a
· f (x)+C.
C.
Z
f
0
(x )dx = f
00
(x ) +C. D.
Z
f
0
(x )dx =a · f (ax +b)+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f
0
(x )dx = f (x)+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 160. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y =12x
5
.
A. y =12x
6
+5. B. y =2x
6
+3. C. y =12x
4
. D. y =60x
4
.
- Lời giải.
Ta có
Z
12x
5
dx =12
x
6
6
+C =2x
6
+C.
Chọn đáp án
B ä
Câu 161. Tính nguyên hàm I =
Z
¡
2
x
+3
x
¢
dx .
A. I =
2
x
ln2
+
3
x
ln3
+C. B. I =
ln2
2
x
+
ln3
3
x
+C. C. I =
ln2
2
+
ln3
3
+C. D. I =−
ln2
2
−
ln3
3
+C.
- Lời giải.
Ta có I =
Z
¡
2
x
+3
x
¢
dx =
2
x
ln2
+
3
x
ln3
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 162. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
A.
Z
[
f (x) · g(x)
]
dx =
Z
f (x)dx ·
Z
g(x)dx . B.
Z
[
f (x) ± g (x)
]
dx =
Z
f (x)dx ±
Z
g(x)dx .
C.
Z
f
0
(x )dx = f (x)+C . D.
Z
[
k · f (x )
]
dx = k ·
Z
f (x)dx .
- Lời giải.
Theo tính chất của nguyên hàm, ta suy ra
Z
[
f (x) · g(x)
]
dx =
Z
f (x)dx ·
Z
g(x)dx là khẳng định sai.
Chọn đáp án A ä
Câu 163. Tìm H =
Z
4
p
2x −1dx.
A. H =
2
5
(2x −1)
5
4
+C. B. H =(2x −1)
5
4
+C. C. H =
1
5
(2x −1)
5
4
+C. D. H =
8
5
(2x −1)
5
4
+C.
- Lời giải.
Ta có: H =
Z
4
p
2x −1dx =
Z
(2x −1)
1
4
dx =
1
2
·
(2x −1)
1
4
+1
1
4
+1
+C =
2
5
(2x −1)
5
4
+C.
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 131 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 164. Cho hai hàm số f (x), g(x) liên tục trên R. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.
Z
[f (x)+g(x)]dx =
Z
f (x)dx +
Z
g(x)dx. B.
Z
[f (x)·g(x)]dx =
Z
f (x)dx ·
Z
g(x)dx.
C.
Z
[f (x)−g(x)]dx =
Z
f (x)dx −
Z
g(x)dx. D.
Z
k f (x)dx = k
Z
f (x)dx.
- Lời giải.
Ta có
Z
(2·x)dx = x
2
+C, còn
Z
2dx ·
Z
xdx =2x ·
x
2
2
+C nên
Z
(2·x)dx 6=
Z
2dx ·
Z
xdx.
Chọn đáp án B ä
Câu 165. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =e
1
2
x
.
A.
Z
f (x)dx =2e
1
2
x
+C. B.
Z
f (x)dx =
1
2
e
1
2
x
+C.
C.
Z
f (x)dx =e
1
2
x
+C. D.
Z
f (x)dx =
2
3
e
1
2
x
+C.
- Lời giải.
Theo công thức nguyên hàm
Z
e
1
2
x
dx =2e
1
2
x
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 166. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =sin3x.
A.
Z
sin3x dx =−
cos3x
3
+C. B.
Z
sin3x dx =
cos3x
3
+C.
C.
Z
sin3x dx =−
sin3x
3
+C. D.
Z
sin3x dx =−cos3x +C.
- Lời giải.
Áp dụng công thức cơ bản
Z
sinkx dx =−
coskx
k
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 167. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
3x +1
.
A. ln|3x +1|+C. B.
1
3
ln|3x +1|+C. C.
1
3
ln(3x +1)+C. D. ln(3x +1)+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
1
3x +1
dx =
1
3
ln|3x +1|+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 168. Tìm họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) =cos3x.
A. −3sin3x +C. B. −
1
3
sin3x +C. C. −sin3x +C. D.
1
3
sin3x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
cos3x dx =
1
3
Z
cos3x d(3x) =
1
3
sin3x +C.
Chọn đáp án D ä
Câu 169. Tìm tất cả nguyên hàm của hàm số f (x) =3x
2
+
x
2
.
A.
Z
f (x)dx =
x
3
3
+
x
2
4
+C. B.
Z
f (x)dx = x
3
+
x
2
2
+C.
C.
Z
f (x)dx = x
3
+
x
2
4
+C. D.
Z
f (x)dx = x
3
+
x
2
4
.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
³
3x
2
+
x
2
´
dx =3
Z
x
2
dx +
1
2
Z
xdx = x
3
+
x
2
4
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 170. Nguyên hàm
Z
sin2x dx bằng
Th.s Nguyễn Chín Em 132 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. −
1
2
cos2x +C. B. cos2x +C. C.
1
2
cos2x +C. D. −cos2x +C.
- Lời giải.
Chú ý rằng
Z
sin(ax +b)dx =−
1
a
cos(ax +b)+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 171. Nguyên hàm của hàm số y =e
−3x+1
là
A.
1
3
e
−3x+1
+C. B. −3e
−3x+1
+C. C. −
1
3
e
−3x+1
+C. D. 3e
−3x+1
+C.
- Lời giải.
Ta có:
Z
e
−3x+1
dx =−
1
3
e
−3x+1
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 172. Cho hàm số f (x) =e
2x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
Z
f (x)dx =e
2x
+C . B.
Z
f (x)dx =
1
2
e
2x
+C .
C.
Z
f (x)dx =−
1
2
e
2x
+C . D.
Z
f (x)dx =
1
2x
e
2x
+C .
- Lời giải.
Z
f (x)dx =
Z
e
2x
dx =
1
2
Z
e
2x
d(2x ) =
1
2
e
2x
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 173. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x
2
.
A.
Z
x
2
dx =
x
2
2
+C . B.
Z
x
2
dx =2x +C . C.
Z
x
2
dx =
x
3
3
+C . D.
Z
x
2
dx =
x
3
3
.
- Lời giải.
Ta có
Z
x
2
dx =
x
3
3
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 174. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai?
A.
Z
k f (x)dx = k
Z
f (x)dx với k ∈R.
B.
Z
[f (x)+g(x)]dx =
Z
f (x)dx +
Z
g(x)dx với f (x), g(x) liên tục trên R.
C.
Z
x
α
dx =
1
α +1
x
α+1
+C với α 6=−1.
D.
µ
Z
f (x)dx
¶
0
= f (x).
- Lời giải.
Khẳng định
Z
k f (x)dx = k
Z
f (x)dx chỉ đúng với k 6=0.
Chọn đáp án A ä
Câu 175. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
2x
2
+x −1
x
2
.
A.
Z
2x
2
+x −1
x
2
dx =2+
1
x
−
1
x
2
+C. B.
Z
2x
2
+x −1
x
2
dx =2x +
1
x
+ln|x |+C.
C.
Z
2x
2
+x −1
x
2
dx = x
2
+ln|x |+
1
x
+C. D.
Z
2x
2
+x −1
x
2
dx = x
2
−
1
x
+ln|x |+C.
- Lời giải.
Z
2x
2
+x −1
x
2
dx =
Z
µ
2+
1
x
−
1
x
2
¶
dx =2x +ln|x|+
1
x
+C.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 133 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 176. Nguyên hàm của hàm số f (x) =e
x
+sinx là
A. F(x) =e
x
+cosx +C. B. F(x) =e
x
−sinx +C.
C. y =e
x
+sinx +C. D. y =e
x
−cosx +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
¡
e
x
+sinx
¢
dx =e
x
−cosx +C.
Chọn đáp án D ä
Câu 177. Nguyên hàm của hàm số y = x
2
−3x +
1
x
là
A.
x
3
3
−
3x
2
2
−ln|x |+C. B.
x
3
3
−
3x
2
2
+
1
x
2
+C.
C.
x
3
3
−
3x
2
2
+lnx +C. D.
x
3
3
−
3x
2
2
+ln|x |+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
µ
x
2
−3x +
1
x
¶
dx =
x
3
3
−
3x
2
2
+ln|x |+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 178. Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng?
A.
Z
a
x
dx =
a
x
lna
+C(0 < a 6=1). B.
Z
dx
cos x
=tan x +C.
C.
Z
dx
x
=ln|x|+C. D.
Z
x
α
dx =
x
α+1
α +1
+C(α 6=−1).
- Lời giải.
Ta có
Z
dx
cos
2
x
=tan x +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 179. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số y =cos x
A. y =−sin x. B. y = x −sinx. C. y = x +sin x. D. y =sin x.
- Lời giải.
Ta có
Z
cos x dx =sin x +C.
Chọn đáp án D ä
Câu 180. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x
3
là.
A.
x
4
4
. B.
x
3
3
+C. C. 3x
2
+C. D.
x
4
4
+C.
- Lời giải.
Z
f (x)dx =
Z
x
3
dx =
x
4
4
+C.
Chọn đáp án D ä
1.1 ĐÁP ÁN
1. B 2. D 3. B 4. C 5. C 6. B
7. D
8. D 9. A 10. D
11. D 12. D 13. C 14. B 15. A 16. B 17. A 18. A 19. D 20. D
21. C 22. C 23. A 24. D 25. D 26. B 27. A 28. D 29. B 30. D
31. A 32. D 33. C 34. B 35. C 36. B 37. A 38. C 39. D 40. C
41. B 42. B 43. D 44. A 45. D 46. B 47. C 48. A 49. B 50. C
51. D 52. C 53. C 54. D 55. D 56. C 57. C 58. B 59. D 60. A
61. B 62. A 63. C 64. C 65. A 66. D 67. B 68. B 69. A 70. B
71. D 72. C 73. D 74. C 75. C 76. D
77. D
78. B 79. D 80. A
81. A 82. D 83. A 84. A 85. B 86. C 87. C 88. C 89. A 90. B
91. A 92. B 93. D 94. D 95. C 96. A 97. D 98. B 99. C 100. D
Th.s Nguyễn Chín Em 134 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
101. A 102. A 103. D 104. C 105. D 106. B 107. A 108. A 109. D 110. B
111. D 112. D 113. B 114. A 115. D 116. A 117. A 118. A 119. B 120. D
121. B 122. A 123. C 124. D 125. C 126. B 127. A 128. C 129. C 130. B
131. A 132. C 133. A 134. A 135. C 136. C 137. A 138. D 139. B 140. B
141. C 142. A 143. B 144. C 145. D 146. B 147. C 148. C 149. B 150. B
151. A 152. C 153. B 154. D 155. D 156. C 157. A 158. C 159. A 160. B
161. A 162. A 163. A 164. B 165. A 166. A 167. B 168. D 169. C 170. A
171. C 172. B 173. C 174. A 175. B 176. D 177. D 178. B 179. D 180. D
2 THÔNG HIỂU
Câu 1. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f
0
(x ) =−cos x và f (0) =2019. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f (x) =−sin x +2019. B. f (x) =2019 +cos x.
C. f (x) =sin x +2019. D. f (x) =2019 −cos x.
- Lời giải.
Do f
0
(x ) =−cos x nên f (x) =
Z
f
0
(x )dx =
Z
(−cos x)dx =−sin x +C.
Do f (0) =2019 nên −sin0+C =2019 ⇔C =2019.
Vậy f (x) =−sin x +2019.
Chọn đáp án A ä
Câu 2. Khi tính nguyên hàm
Z
x −3
p
x +1
dx , bằng cách đặt u =
p
x +1 ta được nguyên hàm nào?
A.
Z
2
¡
u
2
−4
¢
du . B.
Z
¡
u
2
−4
¢
du. C.
Z
¡
u
2
−3
¢
du. D.
Z
2u
¡
u
2
−4
¢
du.
- Lời giải.
Với u =
p
x +1 ta có u
2
= x +1 ⇒2u du =dx và x = u
2
−1.
Từ đó
Z
x −3
p
x +1
dx =
Z
u
2
−1−3
u
·2u du =
Z
2
¡
u
2
−4
¢
du .
Chọn đáp án A ä
Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số f
(
x
)
=4x
(
1+lnx
)
là
A. 2x
2
ln x +3x
2
. B. 2x
2
ln x +x
2
. C. 2x
2
ln x +3x
2
+C. D. 2x
2
ln x +x
2
+C.
- Lời giải.
Đặt
u =1+lnx
dv =4x dx
⇒
du =
1
x
dx
v =2x
2
.
Khi đó
Z
f (x)dx =2x
2
(
1+lnx
)
−
Z
2x dx =2x
2
(
1+lnx
)
−x
2
+C =2x
2
ln x +x
2
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 4. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x
4
+x là
A. x
4
+x
2
+C. B. 4x
3
+1+C. C. x
5
+x
2
+C. D.
1
5
x
5
+
1
2
x
2
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
¡
x
4
+x
¢
dx =
1
5
x
5
+
1
2
x
2
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 5. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x
3
+x
2
là
A. x
4
+x
3
+C. B.
1
4
x
4
+
1
3
x
3
+C. C. 3x
2
+2x +C. D. x
3
+x
2
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
(x
3
+x
2
)dx =
1
4
x
4
+
1
3
x
3
+C.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 135 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 6. Nguyên hàm I =
Z
p
2x +1dx là
A. I =
1
3
p
(
2x +1
)
3
+C. B. I =
2
3
p
(
2x +1
)
3
+C.
C. I =
1
2
p
2x +1
+C. D. I =
1
4
p
2x +1
+C.
- Lời giải.
Ta có I =
1
2
Z
p
2x +1d
(
2x +1
)
=
1
3
»
(
2x +1
)
3
+C, với C là hằng số tùy ý.
Chọn đáp án A ä
Câu 7. Nguyên hàm F(x) trên (−∞;0) của hàm số f (x) =−
1
x
2
e
1
x
thỏa mãn điều kiện F(−1) =
1
e
là
A. F(x) = e
1
x
. B. F(x) =
2
e
−e
1
x
. C. F(x) =2e
1
x
−
1
e
. D. F(x) =−2e
1
x
+
3
e
.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
−
1
x
2
e
1
x
dx =
Z
e
1
x
d
µ
1
x
¶
= e
1
x
+C.
F(−1) =
1
e
⇔ e
−1
+C =
1
e
⇔C =0.
Vậy F(x) = e
1
x
.
Chọn đáp án A ä
Câu 8. Nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
sin
2
xcos
2
x
trên khoảng
³
0;
π
2
´
là
A.
Z
f (x)dx =−cotx +tanx +C. B.
Z
f (x)dx =cot x −tanx +C.
C.
Z
f (x)dx =lnsin
2
x +lncos
2
x +C. D.
Z
f (x)dx =−cotx −tanx +C.
- Lời giải.
Ta có f (x) =
1
sin
2
xcos
2
x
=
sin
2
x +cos
2
x
sin
2
xcos
2
x
=
1
cos
2
x
+
1
sin
2
x
.
Do đó,
Z
f (x)dx =
Z
µ
1
cos
2
x
+
1
sin
2
x
¶
dx =tan x −cot x +C.
Chọn đáp án A ä
Câu 9. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
5+2x
4
x
2
A.
Z
f (x)dx =
2x
3
3
−
5
x
+C. B.
Z
f (x)dx =2x
3
−
5
x
+C.
C.
Z
f (x)dx =
2x
3
3
+
5
x
+C. D.
Z
f (x)dx =
2x
3
3
+5ln x
2
+C.
- Lời giải.
Rút gọn f (x) ta được f (x) =
5
x
2
+2x
2
.
Khi đó
Z
f (x)dx =
Z
2x
2
dx +
Z
5
x
2
dx =
2x
3
3
−
5
x
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 10. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =(x +1)ln x. Tính F
00
(x ).
A. F
00
(x ) =1+
1
x
. B. F
00
(x ) =
1
x
. C. F
00
(x ) =1+
1
x
+lnx. D. F
00
(x ) = x +ln x.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
(x +1)ln xdx ⇒F
0
(x ) =(x +1)ln x ⇒F
00
(x ) =1+
1
x
+lnx.
Chọn đáp án C ä
Câu 11. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =e
x
+x là
A. e
x
+x
2
+C. B. e
x
+
1
2
x
2
+C. C.
1
x +1
e
x
+
1
2
x
2
+C. D. e
x
+1+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 136 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Z
f (x)dx =
Z
¡
e
x
+x
¢
dx =e
x
+
1
2
x
2
+C
Chọn đáp án B ä
Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =4x(1+lnx) là
A. 2x
2
ln x +3x
2
. B. 2x
2
ln x +x
2
. C. 2x
2
ln x +3x
2
+C. D. 2x
2
ln x +x
2
+C.
- Lời giải.
Z
4x (1 +ln x)dx =
Z
(1+lnx)d(2x
2
)
=2x
2
(1+lnx)−
Z
2x
2
1
x
dx
=2x
2
(1+lnx)−x
2
+C
=2x
2
ln x +x
2
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 13. Hàm số F
(
x
)
= x
2
ln
(
sin x −cos x
)
là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
A. f
(
x
)
=
x
2
sin x −cos x
. B. f
(
x
)
=2xln
(
sin x −cos x
)
+
x
2
sin x −cos x
.
C. f
(
x
)
=2xln
(
sin x −cos x
)
+
x
2
(
cos x +sin x
)
sin x −cos x
. D. f
(
x
)
=
x
2
(
sin x +cosx
)
sin x −cos x
.
- Lời giải.
Vì F(x) là một nguyên hàm của f
(
x
)
nên
f
(
x
)
=F
0
(
x
)
=2x ·ln
(
sin x −cos x
)
+x
2
·
(
sin x −cos x
)
0
sin x −cos x
=2x ·ln
(
sin x −cos x
)
+x
2
·
sin x +cos x
sin x −cos x
.
Chọn đáp án C ä
Câu 14. Cho hàm số y = f
(
x
)
có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn f
0
(
x
)
−x f
(
x
)
= 0, f
(
x
)
> 0,∀x ∈ R và
f
(
0
)
=1. Giá trị củaf
(
1
)
bằng
A.
1
p
e
. B.
1
e
. C.
p
e. D. e.
- Lời giải.
Từ giả thiết ta có
f
0
(
x
)
f
(
x
)
= x ⇒
Z
f
0
(
x
)
f
(
x
)
dx =
Z
xdx ⇒ln
[
f
(
x
)
]
=
1
2
x
2
+C (do f
(
x
)
>0, ∀x ∈R).
Do đó ln
[
f
(
0
)
]
=
1
2
·0
2
+C ⇒C =0 ⇒ln f
(
x
)
=
1
2
x
2
⇒ f
(
x
)
=e
1
2
x
2
⇒ f
(
1
)
=
p
e.
Chọn đáp án C ä
Câu 15. Cho hàm số f
(
x
)
=sin
2
2x ·sin x. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm f
(
x
)
.
A. y =
4
3
cos
3
−
4
5
sin
5
x +C. B. y =−
4
3
cos
3
x +
4
5
cos
5
x +C.
C. y =
4
3
sin
3
x −
4
5
cos
5
x +C. D. y =−
4
3
sin
3
x +
4
5
sin
5
x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f
(
x
)
dx =
Z
sin
2
2x ·sin x dx =4
Z
sin
3
x ·cos
2
xdx
= −4
Z
sin
2
x ·cos
2
x · d
(
cos x
)
=−4
Z
¡
1−cos
2
x
¢
·cos
2
x · d
(
cos x
)
= −4
Z
¡
cos
2
x −cos
4
x
¢
· d
(
cos x
)
=−
4
3
cos
3
x +
4
5
cos
5
x +C.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 137 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 16. Tìm họ nguyên hàm F(x) =
Z
1
(2x +1)
3
dx .
A. F(x) =−
1
4(2x +1)
2
+C. B. F(x) =−
1
6(2x +1)
2
+C.
C. F(x) =−
1
4(2x +1)
3
+C. D. F(x) =−
1
6(2x +1)
3
+C.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
(2x +1)
−3
dx =
1
2
·
(2x +1)
−2
−2
+C =−
1
4(2x +1)
2
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 17. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =e
x
+2x thỏa mãn F
(
0
)
=
3
2
. F(x) bằng
A. F
(
x
)
=e
x
+x
2
+
5
2
. B. F
(
x
)
=e
x
+x
2
−
1
2
. C. F
(
x
)
=e
x
+x
2
+
3
2
. D. F
(
x
)
=e
x
+x
2
+
1
2
.
- Lời giải.
Ta có
Z
¡
e
x
+2x
¢
dx =e
x
+x
2
+C.
Do F(0) =
3
2
nên e
0
+0
2
+C =
3
2
⇔C =
1
2
.
Vậy F
(
x
)
=e
x
+x
2
+
1
2
.
Chọn đáp án D ä
Câu 18. Cho F(x) là nguyên hàm của f (x) =
1
p
x +2
thỏa mãn F(2) =4. Giá trị F(−1) bằng
A.
p
3. B. 1. C. 2
p
3. D. 2.
- Lời giải.
F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
1
p
x +2
dx =2
p
x +2+C.
Theo đề bài F(2) =4 nên 2
p
2+2+C =4 ⇔C =0 ⇒ F(−1) =2
p
−1+2 =2.
Vậy F(−1) =2.
Chọn đáp án D ä
Câu 19. Cho biết
Z
2x −13
(x +1)(x −2)
dx = aln|x +1|+b ln|x −2|+C. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a +2b =8. B. a +b =8. C. 2a −b =8. D. a −b =8.
- Lời giải.
Giả sử 2x −13 = A(x +1)+B(x −2) ⇔2x −13 =(A +B)x + A −2B.
Đồng nhất thức hai vế ta có hệ
A +B =−2
A −2B =−13
⇔
A =−3
B =5.
Z
2x −13
(x +1)(x −2)
dx =
Z
−3(x +1)+5(x −2)
(x +1)(x −2)
dx
=
Z
−3
x −2
dx +
Z
5
x +1
dx
= −3ln|x −2|+5ln|x +1|+C.
Suy ra a =5, b =−3, vậy a −b =8.
Chọn đáp án
D ä
Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
p
1−2x
là
A. 2
p
1−2x +C. B. −2
p
1−2x +C. C.
p
1−2x +C. D. −
p
1−2x +C.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 138 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
Z
1
p
1−2x
dx =−
1
2
Z
(1−2x)
−
1
2
d(1−2x) =−
1
2
·
(1−2x)
1
2
1
2
+C =−
p
1−2x +C.
Chọn đáp án D ä
Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
3
p
3x +1
là
A.
3
p
3x +1+C. B.
1
3
3
p
3x +1+C. C.
1
2
3
p
(3x +1)
2
+C. D.
3
2
3
p
(3x +1)
2
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
1
3
p
3x +1
dx =
1
3
Z
(3x +1)
−
1
3
d(3x +1) =
1
3
·
(3x +1)
2
3
2
3
+C =
1
2
3
p
(3x +1)
2
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 22. Cho hàm số f (x) thỏa f
0
(x ) =3−5sinx và f (0) =10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f (x) =3x +5cos x +5. B. f (x) =3x +5cos x +2.
C. f (x) =3x −5cos x +2. D. f (x) =3x −5cos x +15.
- Lời giải.
f (x) =
Z
(3−5sinx) dx =3x +5cosx +C.
f (0) =10 ⇒5+C =10 ⇒C =5. Vậy hàm số cần tìm: f (x) =3x +5cos x +5.
Chọn đáp án A ä
Câu 23. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =sin x +cosx thỏa mãn F
³
π
2
´
=2.
A. F(x) =cos x −sinx +3. B. F(x) =−cos x +sinx +3.
C. F(x) =−cosx +sinx −1. D. F(x) =−cosx +sinx +1.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
f (x)dx =−cosx +sinx +C. Mà F
³
π
2
´
=2 nên C =1.
Chọn đáp án D ä
Câu 24. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =
p
2x −1.
A.
Z
f (x) dx =
2
3
(2x −1)
p
2x −1+C. B.
Z
f (x) dx =
1
3
(2x −1)
p
2x −1+C.
C.
Z
f (x) dx =−
1
3
(2x −1)
p
2x −1+C. D.
Z
f (x) dx =
1
2
(2x −1)
p
2x −1+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x) dx =
Z
p
2x −1 dx =
1
2
Z
(2x −1)
1
2
d(2x −1)
=
1
2
·
2
3
(2x −1)
3
2
+C =
1
3
(2x −1)
p
2x −1+C
Chọn đáp án B ä
Câu 25. Cho hàm số f (x) xác định trên R \
½
1
2
¾
thỏa mãn f
0
(x ) =
2
2x −1
, f (0) =1 và f (1) =2. Giá trị của
biểu thức f (−1)+ f (3) bằng
A. 4+ln15. B. 2+ln15. C. 3+ln15. D. ln15.
- Lời giải.
Cách 1: dùng bài toán tìm nguyên hàm có điều kiện trên 1 khoảng K
Chú ý: g(x) =
2
2x −1
xác định trên D =R \
½
1
2
¾
nên mỗi nguyên hàm G(x) của g(x) chỉ được xét trên từng
Th.s Nguyễn Chín Em 139 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
khoảng con của D , không được xét trên cả tập xác định D .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trên từng khoảng của D , ta có f (x) =
Z
f
0
(x )dx =
Z
2
2x −1
dx =ln|2x −1|+C
Xét trên khoảng
µ
−∞;
1
2
¶
, ta có f (0) =1, suy ra C =1.
Do đó, f (x) =ln|2x −1|+1, với mọi x ∈
µ
−∞;
1
2
¶
. Suy ra f (−1) =1 +ln3.
Xét trên khoảng (
1
2
;+∞), ta có f (1) =2, suy ra C =2.
Do đó, f (x) =ln|2x −1|+2, với mọi
µ
1
2
;+∞
¶
. Suy ra f (3) =2 +ln5.
Vậy f (−1) + f (3) =3 +ln3 +ln5 =3 +ln15.
Cách 2: dùng định nghĩa tích phân xác định trên đoạn mà hàm số liên tục
Chú ý: Nếu hàm số f (x) liên tục trên K (một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng) chứa a và b thì F(b ) =
F(a) +
b
Z
a
f (x)dx, trong đó F(x) là một nguyên hàm của f (x ) trên đoạn [a; b].
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Do f
0
(x ) =
2
2x −1
liên tục trên mỗi đoạn [−1;0] và [1;3] nên
f (−1) = f (0)+
−1
Z
0
f
0
(x )dx
f (3) = f (1)+
3
Z
1
f
0
(x )dx
⇔
f (−1) =1+
−1
Z
0
2
2x −1
dx =1+ln3
f (3) =2+
3
Z
1
2
2x −1
dx =2+ln5
Vậy f (−1) + f (3) =3 +ln3 +ln5 =3 +ln15.
Chọn đáp án C ä
Câu 26. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x
4
+x là
A. x
4
+x
2
+C. B. 4x
3
+1+C. C. x
5
+x
2
+C. D.
1
5
x
5
+
1
2
x
2
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
¡
x
4
+x
¢
dx =
1
5
x
5
+
1
2
x
2
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 27. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x
3
+x
2
là
A. x
4
+x
3
+C. B.
1
4
x
4
+
1
3
x
3
+C. C. 3x
2
+2x +C. D. x
3
+x
2
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
(x
3
+x
2
)dx =
1
4
x
4
+
1
3
x
3
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 28. Giả sử
Z
e
2x
¡
2x
3
+5x
2
−2x +4
¢
dx =
¡
ax
3
+bx
2
+cx +d
¢
e
2x
+C. Khi đó a +b +c +d bằng
A. −2. B. 3. C. 2. D. 5.
- Lời giải.
Ta có
Z
e
2x
¡
2x
3
+5x
2
−2x +4
¢
dx =
¡
ax
3
+bx
2
+cx +d
¢
e
2x
+C nên:
¡¡
ax
3
+bx
2
+cx +d
¢
e
2x
+C
¢
0
=
¡
3ax
2
+2bx +c
¢
e
2x
+2e
2x
¡
ax
3
+bx
2
+cx +d
¢
=
¡
2ax
3
+(3a +2b)x
2
+(2b +2c)x +c +2d
¢
e
2x
=(2x
3
+5x
2
−2x +4)e
2x
.
Th.s Nguyễn Chín Em 140 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Do đó
2a =2
3a +2b =5
2b +2c =−2
c +2d =4
⇔
a =1
b =1
c =−2
d =3
. Vậy a +b +c +d =3.
Chọn đáp án B ä
Câu 29. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
Z
cos4x dx =
sin4x
4
+C. B.
Z
1
cos
2
2x
dx =
tan2x
2
+C.
C.
Z
1
ex
dx =
ln|x|
e
+C. D.
Z
cos2x dx =2sin2x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
cos2x dx =
sin2x
2
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 30. Tìm nguyên hàm I =
Z
1
p
5x +2
dx .
A. I =
1
5
3
p
(5x +2)
3
+C. B. I =
2
5
p
5x +2+C.
C. I =
1
5
p
5x +2+C. D. I =
2
5
p
(5x +2)
3
+C.
- Lời giải.
I =
Z
1
p
5x +2
dx =
Z
(5x −2)
−
1
2
dx =
2·(5x −2)
1
2
5
+C =
2
5
p
5x −2+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 31. Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x +cosx, thỏa mãn F
³
π
2
´
= 2. Tính giá trị của
S =F(0)+2F(π).
A. S =4. B. S =5. C. S =−1. D. S =0.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
(sin x +cos x)dx =−cos x +sinx +C
Theo giả thiết ta có F
³
π
2
´
=0 ⇒−cos
π
2
+sin
π
2
+C =2 ⇒C =1.
Vậy F(x) =−cosx +sinx +1, S = F(0)+2F(π) =4.
Chọn đáp án A ä
Câu 32. Nguyên hàm của hàm số f
(
x
)
=
x
p
x +
p
x
x
2
là
A. F
(
x
)
=
2
(
x −1
)
p
x
+C. B. F
(
x
)
=
2
¡
p
x +1
¢
x
2
+C.
C. F
(
x
)
=
1+2
p
x
x
+C. D. F
(
x
)
=
2−3
p
x
p
x
+C.
- Lời giải.
Z
x
p
x +
p
x
x
2
dx =
Z
µ
x
−
1
2
+x
−
3
2
¶
dx =2x
1
2
−2x
−
1
2
+C
=2
p
x −
2
p
x
+C =2
p
x −
2
p
x
+C =
2x −2
p
x
+C.
ä
Câu 33.
Z
3cos x
2+sinx
dx bằng
A.
3sin x
(
2+sinx
)
2
+C. B. −3ln
|
2+sinx
|
+C. C. 3ln
(
2+sinx
)
+C. D.
3sin x
(
2+sinx
)
2
+C.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 141 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
.
Đặt t =2+sinx⇒ dt =cos x dx. I =
Z
3dt
t
=3ln
|
t
|
=3ln
(
2+sinx
)
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 34. Công thức nào dưới đây là sai?
A.
Z
1
x
2
−a
2
dx =
1
2
ln
¯
¯
¯
x −a
x +a
¯
¯
¯
+C. B.
Z
sin x dx =cos x +C.
C.
Z
e
ax+b
dx =
1
a
e
ax+b
+C. D.
Z
a
x
dx =
a
x
lna
+C, (0 < a 6=1).
- Lời giải.
Z
sin x dx =−cosx +C. ä
Câu 35. Tìm
Z
ln x
x
dx có kết quả là
A.
x
2
2
(
ln x −1
)
+C. B.
1
2
ln
2
x +C. C. ln
|
ln x
|
+C. D. ln
x
2
2
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
ln x
x
dx =
Z
ln x d(lnx) =
ln
2
x
2
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 36. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R \ {1} thỏa mãn f
0
(x ) =
1
x −1
, f (0) =2018, f (2) = 2019. Giá
trị của f (3)− f (−1) bằng
A. 1. B. ln4. C. ln4037. D. 0.
- Lời giải.
Cách 1:
Có f (x) =
Z
f
0
(x )dx =
Z
1
x −1
dx =ln|x −1|+C, suy ra f (x) =
ln(x −1)+C
1
khi x >1
ln(1−x)+C
2
khi x <1.
Do f (0) =2018, f (2) =2019 nên C
2
=2018, C
1
=2019.
Khi đó f (3)− f (−1) =ln2+C
1
−
(
ln2+C
2
)
=C
1
−C
2
=1.
Cách 2: Sử dụng MTCT
Ta có
f (3)− f (−1) = f (3) − f (2) + f (0) − f (−1)+ f (2)− f (0)
=
3
Z
2
f
0
(x )dx +
0
Z
−1
f
0
(x )dx + f (2)− f (0)+1
=
3
Z
2
1
x −1
dx +
0
Z
−1
1
x −1
dx + f (2)− f (0) =1.
Chọn đáp án A ä
Câu 37. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x ·
3
p
x
2
+1 bằng
A.
1
8
3
p
(x
2
+1)
4
+C. B.
1
8
3
p
(x
2
+1)+C. C.
3
8
3
p
(x
2
+1)+C. D.
3
8
3
p
(x
2
+1)
4
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
x ·
3
p
x
2
+1dx =
1
2
Z
(x
2
+1)
1
3
d(x
2
+1) =
3
8
(x
2
+1)
4
3
+C =
3
8
3
p
(x
2
+1)
4
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 38. Cho F(x) = (ax
2
+bx − c)e
2x
là một nguyên hàm của hàm số f (x) = (2018x
2
−3x +1)e
2x
trên
khoảng (−∞;+∞). Tính T = a +2b +4c.
Th.s Nguyễn Chín Em 142 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. T =−3035. B. T =1007. C. T =−5053. D. T =1011.
- Lời giải.
Vì F(x) =(ax
2
+bx−c)e
2x
là một nguyên hàm của hàm số f (x) =(2018x
2
−3x+1)e
2x
trên khoảng (−∞;+∞)
nên ta có: (F(x))
0
= f (x), với mọi x ∈(−∞;+∞).
⇔
¡
2ax
2
+x(2b +2a)−2c +b
¢
e
2x
=
¡
2018x
2
−3x +1
¢
e
2x
, với mọi x ∈(−∞;+∞).
⇔
2a =2018
2b +2a =−3
−2c +b =1
⇔
a =1009
b =−
2021
2
c =−
2023
4
.
Vậy T = a +2 b +4c =1009 +2·
µ
−
2021
2
¶
+4·
µ
−
2023
4
¶
=−3035.
Chọn đáp án A ä
Câu 39. Nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
1−2x
là
A.
Z
f (x)dx =−
1
2
ln|1−2x|+C. B.
Z
f (x)dx =ln|1−2x|+C.
C.
Z
f (x)dx =−2ln|1−2x|+C. D.
Z
f (x)dx =2ln|1−2x|+C.
- Lời giải.
Z
f (x)dx =
Z
dx
1−2x
=−
1
2
Z
d(1−2x)
1−2x
=−
1
2
ln|1−2x|+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 40. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
Z
x
e
dx =
x
e+1
e+1
+C. B.
Z
x
2
dx =
1
3
x
3
+C. C.
Z
e
x
dx =
e
x+1
x +1
+C. D.
Z
x
7
dx =
1
8
x
8
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
e
x
dx =e
x
+C ⇒.
Chọn đáp án C ä
Câu 41. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
2x +3
là
A.
1
2
ln(2x +3)+C. B.
1
2
ln|2x +3|+C. C. ln|2x +3|+C. D.
1
ln2
ln|2x +3|+C.
- Lời giải.
Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng:
Z
f (x)dx =
Z
1
2x +3
dx =
1
2
ln|2x +3|+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 42. F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = x ·e
x
2
. Hàm số nào sau đây không phải là F(x) ?
A. F(x) =
1
2
e
x
2
+2. B. F(x) =
1
2
³
e
x
2
+5
´
. C. F(x) =−
1
2
e
x
2
+C. D. F(x) =−
1
2
³
2−e
x
2
´
.
- Lời giải.
Ta thấy ở đáp án C thì
µ
−
1
2
e
x
2
+C
¶
0
=−xe
x
2
6= xe
x
2
nên hàm số ở đáp án C không là một nguyên hàm của
hàm y = x ·e
x
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 43. Nguyên hàm của hàm số y =e
−3x+1
là
A.
1
3
e
−3x+1
+C. B. −3e
−3x+1
+C. C. −
1
3
e
−3x+1
+C. D. 3e
−3x+1
+C.
- Lời giải.
Ta có:
Z
e
−3x+1
dx =−
1
3
Z
e
−3x+1
d(−3x +1) =−
1
3
e
−3x+1
+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 143 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án C ä
Câu 44. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =e
2x
, biết F(0) =1.
A. F(x) =e
2x
. B. F(x) =
e
2x
2
+
1
2
. C. F(x) =2e
2x
−1. D. F(x) =e
x
.
- Lời giải.
Ta có:
F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
e
2x
dx =
1
2
e
2x
+C.
Theo giả thiết: F(0) =1 ⇒ C =
1
2
. Vậy F(x ) =
e
2x
2
+
1
2
.
Chọn đáp án B ä
Câu 45. Cho hàm số f (x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện f
0
(x ) = x +sin x và f (0) =1. Tìm f (x).
A. f (x) =
x
2
2
−cosx +2. B. f (x) =
x
2
2
−cosx −2.
C. f (x) =
x
2
2
+cosx. D. f (x) =
x
2
2
+cosx +
1
2
.
- Lời giải.
Ta có f
0
(x ) = x +sin x ⇒ f (x) =
x
2
2
−cosx +C; f (0) =1 ⇔−1+C =1 ⇔C =2.
Vậy f (x) =
x
2
2
−cosx +2.
Chọn đáp án A ä
Câu 46. Cho
1
Z
−2
f (x)dx =3. Tính tích phân I =
1
Z
−2
[2f (x)−1]dx.
A. −9. B. −3. C. 3. D. 5.
- Lời giải.
I =
1
Z
−2
[2f (x)−1]dx =2
1
Z
−2
f (x)dx −
1
Z
−2
dx =6−x
¯
¯
¯
1
−2
=3.
Chọn đáp án
C ä
Câu 47. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
5+2x
4
x
2
.
A.
Z
f (x)dx =
2x
3
3
−
5
x
+C. B.
Z
f (x)dx =2x
3
−
5
x
+C.
C.
Z
f (x)dx =
2x
3
3
+
5
x
+C. D.
Z
f (x)dx =
2x
3
3
+5ln x
2
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
µ
2x
2
+
5
x
2
¶
dx =
2x
3
3
−
5
x
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 48. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =(x +1)ln x. Tính F
00
(x ).
A. F
00
(x ) =1+
1
x
. B. F
00
(x ) =
1
x
. C. F
00
(x ) =1+
1
x
+lnx. D. F
00
(x ) = x +ln x.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
(x +1)ln xdx ⇒F
0
(x ) =(x +1)ln x ⇒F
00
(x ) =1+
1
x
+lnx.
Chọn đáp án C ä
Câu 49. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x
3
+x
2
là:
A.
x
4
4
+
x
3
3
+c. B. x
4
+x
3
. C. 3x
2
+2x. D.
1
3
x
4
+
1
4
x
3
.
Th.s Nguyễn Chín Em 144 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản ta có:
Z
f (x)dx =
Z
(x
3
+x
2
)dx =
x
4
4
+
x
3
3
+c.
Chọn đáp án A ä
Câu 50. Cho F(x) là một nguyên hàm của f (x) =
1
x −1
trên khoảng (1;+∞) thỏa mãn F(e +1) = 4. Tìm
F(x).
A. F(x) =2ln(x −1)+2. B. F(x) =ln(x −1)+3.
C. F(x) =4ln(x −1). D. F(x) =ln(x −1)−3.
- Lời giải.
Gọi F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
dx
x −1
=ln(x −1)+C với x ∈(1;+∞)
Lại có F(e +1) =4 ⇒4 =1+C ⇒C =3. Do đó F(x) =ln(x −1)+3.
Chọn đáp án B ä
Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số y =3x
(
x +cosx
)
là
A. x
3
+3
(
xsin x +cosx
)
+C. B. x
3
−3
(
xsin x +cosx
)
+C.
C. x
3
+3
(
xsin x −cosx
)
+C. D. x
3
−3
(
xsin x −cosx
)
+C.
- Lời giải.
Ta có I =
Z
3x
(
x +cosx
)
dx =
Z
¡
3x
2
+3x cosx
¢
dx = x
3
+3
Z
xcos xdx.
Tính J =
Z
xcos xdx.Đặt
x = u
cos x dx =dv
⇒
dx =du
sin x = v
⇒ J = x sinx −
Z
sin x dx = xsin x +cosx +C. Vậy I = x
3
+3
(
xsin x +cosx
)
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =sin x +1 là
A.
sin
2
x
2
+x +C. B. −cos x +x +C. C. cos x +x +C. D. −cos x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
(
sin x +1
)
dx =−cos x +x +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 53. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =e
3x
, biết F(0) =1.
A. F(x) =
1
3
e
3x
+
2
3
. B. F(x) =e
3x
+1. C. F(x ) =
1
3
e
3x
+
1
3
. D. F(x) =3e
3x
−2.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
e
3x
dx =
1
3
e
3x
+c =F(x).
Mặt khác, F(0) =
1
3
·1+c =1 ⇔ c =
2
3
.
Nên F(x ) =
1
3
e
3x
+
2
3
.
Chọn đáp án A ä
Câu 54. Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) =10
x
là
A.
10
x
ln10
+C. B.
10
x+1
x +1
+C. C.
10
x
11
+C. D. 10
x
·ln10+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
10
x
dx =
10
x
ln10
+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 145 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án A ä
Câu 55. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
1+lnx
x
2
là
A. −
ln x
x
+
2
x
+C. B. −
ln x
x
−
2
x
+C. C.
ln x
x
+
2
x
+C. D.
ln x
x
−
2
x
+C.
- Lời giải.
Ta có f (x) =
1+lnx
x
2
=
1
x
2
+
ln x
x
2
.
Đặt
u =ln x
dv =
1
x
2
dx
⇒
du =
1
x
dx
v =−
1
x
.
Khi đó:
Z
ln x
x
2
dx =−
ln x
x
+
Z
1
x
2
dx =−
ln x
x
−
1
x
+C
0
.
Mặt khác,
Z
1
x
2
dx =−
1
x
+C".
Do đó,
Z
f (x)dx =
Z
ln x
x
2
dx +
Z
1
x
2
dx =−
ln x
x
−
1
x
−
1
x
+C =−
2
x
−
ln x
x
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 56. Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) =(2x +1)lnx là
A. (x
2
+x)lnx −
x
2
2
+x +C. B. (x
2
+x)lnx −
x
2
2
−x +C.
C. (x
2
+1)ln x −
x
2
2
−x +C. D. 2lnx +
1
x
+C.
- Lời giải.
Xét F(x) =
Z
(2x +1)ln xdx.
Đặt
u =ln x
dv =(2x +1)dx
⇒
du =
1
x
dx
v = x
2
+x.
⇒F(x) =(x
2
+x)lnx −
Z
(x +1)dx =(x
2
+x)lnx −
x
2
2
−x +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 57. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
ln x
x
là
A.
1
2
ln
2
x +lnx +C. B.
1
2
ln
2
x +C. C. ln
2
x +C. D. ln
(
ln x
)
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
ln x
x
dx =
Z
ln xd
(
ln x
)
=
1
2
ln
2
x +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 58. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0;+∞). Khi đó
Z
f
0
¡
p
x
¢
p
x
dx bằng
A.
1
2
f
¡
p
x
¢
+C. B. f
¡
p
x
¢
+C. C. −2f
¡
p
x
¢
+C. D. 2f
¡
p
x
¢
+C.
- Lời giải.
Ta có: I =
Z
f
0
¡
p
x
¢
p
x
dx . Đặt
p
x = t, ta có
1
2
p
x
dx =dt.
Do đó: I =
Z
f
0
(t)2dt =2f (t)+C =2f
¡
p
x
¢
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 59. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f
0
(x ) =3−5sinx và f (0) =10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f (x) =3x +5cos x +2. B. f (x) =3x −5cos x +15.
C. f (x) =3x +5cos x +5. D. f (x) =3x −5cos x +2.
Th.s Nguyễn Chín Em 146 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có
Z
f
0
(x )dx =
Z
(
3−5sinx
)
dx =3x +5cos x +C.
Mà f (0) =10 ⇔3·0+5cos0+C =10 ⇔ C =5.
Vậy f (x) =3x +5cos x +5.
Chọn đáp án C ä
Câu 60. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =e
−x
+sinx thỏa mãn F(0) =0. Tìm F(x).
A. F(x) =−e
−x
−cosx +2. B. F(x) =−e
−x
−cosx.
C. F(x) =−e
−x
+cosx −2. D. F(x) =−e
x
−cosx +2.
- Lời giải.
Có: f (x) =e
−x
+sinx ⇒
Z
f (x)dx =−e
−x
−cosx +C.
Mà F(0) =0 ⇒−1−1+C =0 ⇒C =2.
Khi đó F(x) =−e
−x
−cosx +2.
Chọn đáp án D ä
Câu 61. Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
ln(2x )
x
2
.
A. F(x) =−
1
x
(
ln2x −1
)
+C. B. F(x) =−
1
x
(
ln2x +1
)
+C.
C. F(x) =−
1
x
(
1−ln2x
)
+C. D. F(x) =
1
x
(
ln2x +1
)
+C.
- Lời giải.
Đặt
u =ln(2x)
dv =
1
x
2
dx
, ta có
du =
1
x
dx
v =−
1
x
.
Suy ra
F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
ln(2x )
x
2
dx
= −
ln(2x )
x
+
Z
1
x
2
dx
= −
ln(2x )
x
−
1
x
+C
= −
1
x
(
ln(2x ) +1
)
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 62. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
2x +3
là
A.
1
2
ln(2x +3)+C. B.
1
2
ln|2x +3|+C. C. ln|2x +3|+C. D. 2ln|2x +3|+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
1
2x +3
dx =
1
2
ln|2x +3|+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 63. Tìm một nguyên hàm của hàm số f (x) = x tan
2
x.
A. x tanx +ln
|
cos x
|
−
x
2
2
+C. B. x tanx −ln
|
cos x
|
−
x
2
2
+C.
C. x tanx +ln
|
cos x
|
+
x
2
2
+C. D. −xtan x +ln
|
cos x
|
−
x
2
2
+C.
- Lời giải.
Đặt
u = x ⇒ du =dx
dv =tan
2
xdx ⇒v =−x +tan x.
Th.s Nguyễn Chín Em 147 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó
Z
xtan
2
xdx = x
(
−x +tan x
)
−
Z
(
−x +tan x
)
dx =−x
2
+x tanx +
x
2
2
+ln
|
cos x
|
+C
Hay
Z
xtan
2
xdx = xtan x +ln
|
cos x
|
−
x
2
2
+C.
Biết rằng
Z
tan x dx =
Z
sin x
cos x
dx =−
Z
d
(
cos x
)
cos x
=−ln|cos x|+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 64. Cho I =
Z
x
¡
1−x
2
¢
10
dx . Đặt u =1−x
2
, khi đó viết I theo u và du ta được
A. I =−
1
2
Z
u
10
du. B. I =−2
Z
u
10
du. C. I =
Z
2u
10
du. D. I =
1
2
Z
u
10
du.
- Lời giải.
Đặt u =1−x
2
⇒ du =−2xdx ⇒ xdx =−
1
2
du. Vậy I =−
1
2
Z
u
10
du.
Chọn đáp án A ä
Câu 65. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f
0
(x ) =3−5sinx và f (0) =1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f (x) =3x −5cos x +5. B. f (x) =3x +5cos x +5.
C. f (x) =3x +5cos x −4. D. f (x) =3x −5cos x +15.
- Lời giải.
Ta có f (x) =
Z
f
0
(x )dx =
Z
(3−5sinx)dx =3x +5cos x +C.
Ta có f (0) =1 ⇔3·0+5cos0+C =1 ⇔C =−4.
Vậy f (x) =3x +5cos x −4.
Chọn đáp án C ä
Câu 66. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =cos x
p
sin x +1.
A. F(x) =
1
3
(sin x +1)
p
sin x +1+C. B. F(x) =
1−2sinx −3sin
2
x
2
p
sin x +1
.
C. F(x) =
2
3
(sin x +1)
p
sin x +1+C. D. F(x) =
1
3
sin x
p
sin x +1+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
cos x
p
sin x +1dx =
Z
p
sin x +1d(sin x +1) =
2
3
(sin x +1)
p
sin x +1+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 67. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
x
và F(1) =2. Tính F(2).
A. F(2) =2 −ln2. B. F(2) =2ln2. C. F(2) =3. D. F(2) =ln2+2.
- Lời giải.
Theo giả thiết, F(x) =ln|x|+C. Do F(1) =2 nên C =2. Vậy F(2) =ln2+2.
Chọn đáp án D ä
Câu 68. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =2x −sinx.
A.
Z
f (x)dx = x −cosx +C. B.
Z
f (x)dx = x
2
−cosx +C.
C.
Z
f (x)dx = x +cosx +C. D.
Z
f (x)dx = x
2
+cosx +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
(2x −sin x)dx = x
2
+cosx +C.
Chọn đáp án D ä
Th.s Nguyễn Chín Em 148 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 69. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f (x) =(3x +2)e
2x+3
?
A. F(x) =
1
2
(3x +1)e
2x+3
. B. F(x) =
1
3
(2x +3)e
2x+3
.
C. F(x) =
1
4
(6x +1)e
2x+3
. D. F(x ) =(3x −1)e
2x+3
.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
(3x +2)e
2x+3
dx .
Đặt
u =3x +2
dv =e
2x+3
dx
⇒
du =3dx
v =
1
2
e
2x+3
.
Khi đó
Z
(3x +2)e
2x+3
dx =
1
2
(3x +2)e
2x+3
−
3
2
Z
e
2x+3
dx
=
1
2
(3x +2)e
2x+3
−
3
4
e
2x+3
+C
=
µ
3
2
x +1−
3
4
¶
e
2x+3
+C
=
1
4
(6x +1)e
2x+3
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 70. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =sin2x.
A.
Z
sin2x dx =2cos2x +C. B.
Z
sin2x dx =
cos2x
2
+C.
C.
Z
sin2x dx =−cos2x +C. D.
Z
sin2x dx =−
cos2x
2
+C.
- Lời giải.
Tính
Z
sin2x dx.
Đặt t =2x ⇒dt =2dx. Khi đó,
Z
sin2x dx =
Z
sin t
2
dt =−
cos t
2
+C =−
cos2x
2
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 71. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =e
3x+1
.
A.
Z
f (x) dx =
1
3
e
3x+1
+C. B.
Z
f (x) dx =e
3x+1
+C.
C.
Z
f (x) dx =
1
3
e
3x+1
. D.
Z
f (x) dx =−
1
3
e
3x+1
+C.
- Lời giải.
Z
f (x) dx =
Z
e
3x+1
dx =
1
3
e
3x+1
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 72. Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng?
1 Mọi hàm số liên tục trên [a; b] đều có đạo hàm trên [a;b].
2 Mọi hàm số liên tục trên [a; b] đều có nguyên hàm trên [a; b].
3 Mọi hàm số có đạo hàm trên [a; b] đều có nguyên hàm trên [a; b].
4 Mọi hàm số liên tục trên [a; b] thì đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [a; b].
Th.s Nguyễn Chín Em 149 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
- Lời giải.
a) và b) sai, lấy VD là hàm y =|x|.
c) đúng vì hàm số có đạo hàm trên [a; b] thì liên tục trên [a;b]. Do đó hàm số có nguyên hàm trên [a; b].
d) đúng vì hàm số liên tục trên [a;b] thì có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các điểm cực trị hoặc hai
đầu mút.
Chọn đáp án A ä
Câu 73. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
p
x −1 trên (0;+∞)?
A. F(x) =
2
3
3
p
x
2
−x +1. B. F(x) =
2
3
p
x
3
−x +2.
C. F(x) =
1
2
p
x
. D. F(x) =
1
2
p
x
−x.
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
¡
p
x −1
¢
dx =
2
3
p
x
3
−x +C.
Cho C =2 ta được F(x) =
2
3
p
x
3
−x +2.
Chọn đáp án B ä
Câu 74. Mệnh đề nào trong bốn mệnh đề sau sai?
A.
Z
1
x
dx = lnx +C. B.
Z
e
x
dx = e
x
+C.
C.
Z
cos x dx =sin x +C. D.
Z
0dx = C.
- Lời giải.
Mệnh đề
Z
1
x
dx = lnx +C sai vì
Z
1
x
dx = ln
|
x
|
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 75. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =cos x là
A. tan x +C. B. cot x +C. C. −sin x +C. D. sin x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
cos x dx =sin x +C.
Chọn đáp án D ä
Câu 76. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =e
−2018x
là
A.
−1
2018
e
2018x
+C. B.
−1
2018
e
−2018x
+C. C. 2018e
−2018x
+C. D. e
−2018x
+C.
- Lời giải.
Z
e
−2018x
dx =−
1
2018
Z
e
−2018x
d
(
−2018x
)
=
−1
2018
e
−2018x
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 77. Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = x
3
+x +1.
A. F(x) =
x
4
4
+
x
3
2
+C. B. F(x) =
x
4
4
+
x
2
2
+x +C.
C. F(x) = x
4
+
x
3
2
+x +C. D. F(x) =3x
3
+C.
- Lời giải.
F(x) =
x
4
4
+
x
2
2
+x +C.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 150 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 78. Nguyên hàm của hàm số f (x) =(x +1)e
x
là
A. 2xe
x
+C. B. xe
x
+C. C. (x −1)e
x
+C. D. (x +2)e
x
+C.
- Lời giải.
Đặt
u = x +1
dv =e
x
dx
⇔
du =dx
v =e
x
.
Khi đó
Z
f (x)dx =(x +1)e
x
−
Z
e
x
dx =(x +1)e
x
−e
x
= xe
x
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 79. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =4x
3
+2018 là
A. x
4
+2018x +C. B.
x
4
3
+2018x +C. C. 12x
2
+C. D. x
4
+C.
- Lời giải.
Z
(4x
3
+2018)dx = x
4
+2018x +C.
Chọn đáp án A ä
Câu 80. Tích phân
e
Z
1
dx
x(ln x +2)
bằng
A. ln2. B. ln
3
2
. C. 0. D. ln3.
- Lời giải.
Đặt t =ln x +2 ⇒ dt =
dx
x
.
Đổi cận x =1 thì t =2 và x =e thì t =3.
⇒
e
Z
1
dx
x(ln x +2)
=
3
Z
2
dt
t
=ln|t|
¯
¯
¯
3
2
=ln
3
2
.
Chọn đáp án B ä
Câu 81. Cho hàm số f (x) xác định trên R \
{
1;4
}
có f
0
(x ) =
2x −5
x
2
−5x +4
thỏa mãn f (0) = 1. Giá trị f (2)
bằng
A. 1−ln2. B. 2. C. 1 +3ln2. D. −1+3ln2.
- Lời giải.
Ta có: f (x) =
Z
2x −5
x
2
−5x +4
dx =
Z
µ
1
x −1
+
1
x −4
¶
dx =ln|x −1|+ln|x −4|+C với C ∈R.
Do f (0) =1 nên C =1 −2ln2 hay f (x) =ln|x −1|+ln|x −4|+1−2ln2.
Khi đó: f (2) =1 −ln2.
Chọn đáp án A ä
Câu 82. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =e
2x
là
A. e
x
+C. B.
e
x
2
+C. C. e
2x
+C. D.
e
2x
2
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
e
2x
dx =
1
2
e
2x
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 83. Họ nguyên hàm của hàm số y = x
2
+e
x
−cos3x là
A.
1
3
¡
x
3
+3e
x
−sin3x
¢
+C. B.
1
3
¡
x
3
+e
x
−sin3x
¢
+C.
C.
1
3
¡
x
3
+3e
x
+sin3x
¢
+C. D.
1
3
¡
x
3
+e
x
+sin3x
¢
+C.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 151 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Z
(x
2
+e
x
−cos3x )dx =
1
3
x
3
+e
x
−
1
3
sin3x +C =
1
3
¡
x
3
+3e
x
−sin3x
¢
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 84. Hàm số y =ln x +
1
x
là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
A. y =ln x +1. B. y =
1
2
ln
2
x −
1
x
2
. C. y =
1
2
ln
2
x −
1
x
. D. y =
1
x
−
1
x
2
.
- Lời giải.
y
0
=
µ
ln x +
1
x
¶
0
=
(
ln x
)
0
+
µ
1
x
¶
0
=
1
x
−
1
x
2
.
Chọn đáp án D ä
Câu 85. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =3
p
x +x
2018
là
A.
p
x +
x
2019
673
+C. B. 2
p
x
3
+
x
2019
2019
+C.
C.
1
p
x
+
x
2019
673
+C. D.
1
2
p
x
+6054x
2017
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
¡
3
p
x +x
2018
¢
dx
= 3
Z
x
1
2
dx +
Z
x
2018
dx
= 3·
x
3
2
3
2
+
x
2019
2019
+C
= 2
p
x
3
+
x
2019
2019
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 86. Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
Z
f (2x)dx =2F(2x)+C. B.
Z
f (2x)dx =
1
2
F(2x)+C.
C.
Z
f (2x)dx =
1
2
F(x)+C. D.
Z
f (2x)dx =F(x)+C.
- Lời giải.
Z
f (2x)dx =
1
2
Z
f (2x)d(2x) =
1
2
F(2x)+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 87. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =3
2x+1
.
A. (2x +1)3
2x
+C. B.
3
2x+1
ln3
+C. C. 3
2x+1
ln3+C. D.
3
2x+1
ln9
+C.
- Lời giải.
Áp dụng công thức
Z
a
bx+c
dx =
a
bx+c
b lna
+C ta được
Z
f (x)dx =
3
2x+1
2ln3
+C =
3
2x+1
ln9
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 88. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
3x +1
trên khoảng
µ
−∞;−
1
3
¶
. Mệnh đề nào
sau đây đúng?
A. F(x) =ln(−3x −1)+C. B. F(x) =
1
3
ln(3x +1)+C.
C. F(x) =
1
3
ln(−3x −1)+C. D. F(x) =ln
|
3x +1
|
+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 152 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Vì x ∈
µ
−∞;−
1
3
¶
nên ta có
Z
f (x)dx =
Z
1
3x +1
dx =
1
3
ln
|
3x +1
|
+C =
1
3
ln
(
−3x −1
)
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 89. Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) xác định trên K. Mệnh đề nào dưới đây
sai?
A.
µ
x
Z
f (x)dx
¶
0
= f
0
(x ). B.
µ
Z
f (x)dx
¶
0
= f (x).
C.
µ
Z
f (x)dx
¶
0
=F
0
(x ). D.
Z
f (x)dx =F(x)+C.
- Lời giải.
Ta có: F
0
(x ) = f (x).
Suy ra
µ
Z
f (x)dx
¶
0
= f (x) =F
0
(x ) và
Z
f (x)dx =F(x)+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 90. Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x ) =
1
2
p
x +1
+m −1 thỏa mãn F(0) =0 và F(3) =7. Khi
đó, giá trị của tham số m bằng
A. −2. B. 3. C. −3. D. 2.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
µ
1
2
p
x +1
+m −1
¶
dx =
p
x +1+(m −1)x +C.
Theo giả thiết, ta có
F(0) =0
F(3) =7
⇒
C +1 =0
C +3m =8
⇔
C =−1
m =3.
Chọn đáp án B ä
Câu 91. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =4
x
+sin
2
x là
A.
4
x
ln4
−
1
4
sin2x +C. B. 4
x
ln x +
sin
3
x
3
+C.
C. 4
x
ln x −
sin
3
x
3
+C. D.
4
x
ln4
+
x
2
−
1
4
sin2x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
(4
x
+sin
2
x)dx =
Z
µ
4
x
+
1−cos2x
2
¶
dx
=
Z
µ
4
x
+
1
2
−
cos2x
2
¶
dx =
4
x
ln4
+
x
2
−
1
4
sin2x +C.
Chọn đáp án D ä
Câu 92. Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =sin
2
2x ·cos
3
2x thỏa F
³
π
4
´
=0 là
A. F(x) =
1
6
sin
3
2x −
1
10
sin
5
2x +
1
15
. B. F(x) =
1
6
sin
3
2x +
1
10
sin
5
2x −
1
15
.
C. F(x) =
1
6
sin
3
2x −
1
10
sin
5
2x −
1
15
. D. F(x) =
1
6
sin
3
2x +
1
10
sin
5
2x −
4
15
.
- Lời giải.
Đặt t =sin2x ⇒ dt =2cos2xdx ⇒
1
2
dt =cos2x dx.
Ta có F(x) =
Z
sin
2
2x ·cos
3
2x dx=
1
2
·
Z
t
2
·
¡
1−t
2
¢
dt =
1
2
·
Z
¡
t
2
−t
4
¢
dt
=
1
6
t
3
−
1
10
t
5
+C =
1
6
sin
3
2x −
1
10
sin
5
2x +C.
Th.s Nguyễn Chín Em 153 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Mà từ giả thiết ta được F
³
π
4
´
=0 ⇔
1
6
sin
3
π
2
−
1
10
sin
5
π
2
+C =0 ⇔C =−
1
15
.
Vậy F(x) =
1
6
sin
3
2x −
1
10
sin
5
2x −
1
15
.
Chọn đáp án C ä
Câu 93. Cho
Z
2x
(
3x −2
)
6
dx = A
(
3x −2
)
8
+B
(
3x −2
)
7
+C với A,B ∈ Q và C ∈ R. Giá trị của biểu thức
12A +7B bằng
A.
23
252
. B.
241
252
. C.
52
9
. D.
7
9
.
- Lời giải.
Đặt t =3x −2 ⇒ x =
t +2
3
⇒
1
3
dt = dx .
Ta có
Z
2x
(
3x −2
)
6
dx =
2
3
Z
t +2
3
·t
6
dt =
2
9
Z
¡
t
7
+2t
6
¢
dt =
2
9
·
t
8
8
+
4
9
·
t
7
7
+C
=
1
36
·
(
3x −2
)
8
+
4
63
·
(
3x −2
)
7
+C.
Suy ra A =
1
36
, B =
4
63
.
Giá trị của biểu thức 12A +7B =12·
1
36
+7·
4
63
=
7
9
.
Chọn đáp án D ä
Câu 94. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =e
x
+cosx là
A.
e
x
+1
x +1
+sinx +C. B. e
x
−sinx +C. C. e
x
+sinx +C. D.
e
x+1
x +1
−sinx +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
¡
e
x
+cosx
¢
dx =e
x
+sinx +C.
Chọn đáp án C ä
Câu 95. Cho hàm số f (x) xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f (x) trên K nếu F
0
(x ) = f (x) với mọi x ∈K .
B. Nếu f (x) liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K .
C. Nếu hàm số F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x)+C
cũng là một nguyên hàm của f (x) trên K .
D. Nếu hàm số F(x ) là một nguyên hàm của f (x) trên K thì hàm số F(−x) cũng là một nguyên hàm của
f (x) trên K .
- Lời giải.
Khẳng định “Nếu hàm số F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên K thì hàm số F(−x) cũng là một nguyên
hàm của f (x) trên K ” là khẳng định sai.
Chọn đáp án D ä
Câu 96. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =e
2x
−
1
x
2
là
A.
1
2
e
2x
−
1
x
+C. B.
1
2
e
2x
+
1
x
+C. C. e
2x
+
1
x
+C. D. e
2x
−
1
x
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
µ
e
2x
−
1
x
2
¶
dx =
1
2
e
2x
+
1
x
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 97. Họ nguyên hàm của hàm số f
(
x
)
=sin2x +cosx là
A. −cos2x +sinx +C. B. cos
2
x −sinx +C. C. sin
2
x +sinx +C. D. cos2x −sin x +C.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 154 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Do
Z
f
(
x
)
dx =
Z
(
sin2x +cosx
)
dx =−
1
2
cos2x +sinx +C =sin
2
x +sinx +C −
1
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 98. Tìm họ nguyên F(x) của hàm số y = f (x) =sin2x +2x.
A. F(x) =
cos2x
2
+x
2
+C . B. F(x) =−
cos2x
2
+x
2
+C.
C. F(x) =cos2x +2+C. D. F(x) =−cos2x +x
2
+C.
- Lời giải.
Z
(
sin2x +2x
)
dx =
Z
sin2x dx +
Z
2x dx =−
cos2x
2
+x
2
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 99. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =cos
³
3x +
π
6
´
.
A.
Z
f (x)dx =−
1
3
sin
³
3x +
π
6
´
+C. B.
Z
f (x)dx =6sin
³
3x +
π
6
´
+C.
C.
Z
f (x)dx =
1
3
sin
³
3x +
π
6
´
+C. D.
Z
f (x)dx =3sin
³
3x +
π
6
´
+C.
- Lời giải.
Z
f (x)dx =
Z
cos
³
3x +
π
6
´
dx =
1
3
sin
³
3x +
π
6
´
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 100. Nguyên hàm
Z
1+lnx
x
dx (x >0) bằng
A. x +ln
2
x +C. B. ln
2
x +lnx +C. C.
1
2
ln
2
x +lnx +C. D. x +
1
2
ln
2
x +C.
- Lời giải.
Đặt u =1+lnx ⇒ du =
1
x
dx . Do đó
Z
1+lnx
x
dx =
Z
u du =
u
2
2
+C =
(1+lnx)
2
2
+C =
1
2
ln
2
x +lnx +C.
Chọn đáp án C ä
Câu 101. Họ nguyên hàm của hàm số y = x
2
−3x +
1
x
là
A. F(x) =
x
3
3
−
3
2
x
2
+lnx +C. B. F(x) =
x
3
3
−
3
2
x
2
+ln|x |+C.
C. F(x) =
x
3
3
+
3
2
x
2
+lnx +C. D. F(x) =2x −3−
1
x
+C.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
µ
x
2
−3x +
1
x
¶
dx =
x
3
3
−
3
2
x
2
+ln|x |+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 102. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =3x +2
A.
Z
f (x)dx =3x
2
+2x +C . B.
Z
f (x)dx =
3
2
x
2
−2x +C .
C.
Z
f (x)dx =3x
2
−2x +C . D.
Z
f (x)dx =
3
2
x
2
+2x +C.
- Lời giải.
Z
f (x)dx =
3
2
x
2
+2x +C.
Chọn đáp án D ä
Câu 103. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
p
2x +3.
Th.s Nguyễn Chín Em 155 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A.
Z
f (x)dx =
2
3
x
p
2x +3+C. B.
Z
f (x)dx =
1
3
(2x +3)
p
2x +3+C.
C.
Z
f (x)dx =
2
3
(2x +3)
p
2x +3+C. D.
Z
f (x)dx =
p
2x +3+C.
- Lời giải.
Xét I =
Z
p
2x +3dx.
Đặt t =
p
2x +3, suy ra t
2
=2x +3. Khi đó t dt = dx. Ta có
I =
Z
p
2x +3dx =
Z
t
2
dt =
1
3
t
3
+C =
1
3
(2x +3)
p
2x +3+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 104. Cho F(x) =cos2x −sin x +C là nguyên hàm của hàm số f (x). Tính f (π).
A. f (π) =−3. B. f (π) =1. C. f (π) =−1. D. f (π) =0.
- Lời giải.
f (x) = F
0
(x ) =−2sin2x −cosx, suy ra f (π) =1.
Chọn đáp án B ä
Câu 105. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =cos(2x +3).
A.
Z
f (x)dx =−sin(2x +3)+C. B.
Z
f (x)dx =−
1
2
sin(2x +3)+C.
C.
Z
f (x)dx =sin(2x +3)+C. D.
Z
f (x)dx =
1
2
sin(2x +3)+C.
- Lời giải.
Z
f (x)dx =
1
2
sin(2x +3)+C
Chọn đáp án D ä
Câu 106. Biết
Z
f (2x)dx =sin
2
x +lnx +C, tìm nguyên hàm
Z
f (x)dx.
A.
Z
f (x)dx =sin
2
x
2
+lnx +C. B.
Z
f (x)dx =2sin
2
x
2
+2ln x +C.
C.
Z
f (x)dx =2sin
2
x +2ln x −ln2 +C. D.
Z
f (x)dx =2sin
2
2x +2ln x −ln2+C.
- Lời giải.
Gọi F(x) là 1 nguyên hàm của f (x).
Khi đó
Z
f (2x)dx =
F(2x)
2
+C =sin
2
x +lnx +C.
⇒F(2x) =2sin
2
x +2ln x +C =2sin
2
³
2·
x
2
´
+2ln
³
2·
x
2
´
+C.
⇒F(x) =2sin
2
x
2
+2ln
x
2
+C =2sin
2
x
2
+2ln x +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 107. Tìm hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = −sin x(4cos x +1) thỏa mãn F
³
π
2
´
=
−1.
A. F(x) =cos2x +cosx −1. B. F(x) =−2cos2x +cos x −3.
C. F(x) =cos2x +cosx. D. F(x) =−cos2x −cos x −2.
- Lời giải.
Ta có
Z
[
−sin x(4cos x +1)
]
dx =−
Z
(
2sin2x +sinx
)
dx =cos2x +cosx +C.
Ta có F
³
π
2
´
=cosπ+cos
π
2
+C =−1 ⇔C =0.
Vậy F
(
x
)
=cos2x +cosx.
Chọn đáp án C ä
Th.s Nguyễn Chín Em 156 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 108. Mệnh đề nào trong bốn mệnh đề sau sai?
A.
Z
1
x
dx =ln x +C . B.
Z
0dx = C.
C.
Z
e
x
dx =e
x
+C. D.
Z
cos x dx =sin x +C.
- Lời giải.
Mệnh đề
Z
1
x
dx =ln x +C sai.
Chọn đáp án A ä
Câu 109. Nguyên hàm của hàm số y =
1
2−3x
là
A.
1
3
ln|2−3x|+C. B. −3ln|2−3x|+C. C. −
1
3
ln|2−3x|+C. D. ln|2 −3x|+C.
- Lời giải.
Z
1
2−3x
dx =−
1
3
Z
1
2−3x
d(2−3x) =−
1
3
ln|2−3x|+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 110. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =e
x
, biết F(0) =4. Tìm F(x).
A. F(x) =e
x
+2. B. F(x) =e
x
+3. C. F(x) =e
x
+4. D. F(x) =e
x
+1.
- Lời giải.
Do F(x) là một nguyên hàm của f (x) =e
x
nên F(x) =e
x
+C. Lại có F(0) =4 nên C =3 hay F(x) =e
x
+3.
Chọn đáp án B ä
Câu 111. Biết
e
4
Z
e
f
(
ln x
)
1
x
dx =4. Tính tích phân I =
4
Z
1
f (x)dx.
A. I =8. B. I =16. C. I =2. D. I =4.
- Lời giải.
Xét tích phân
e
4
Z
e
f
(
ln x
)
1
x
dx =4. Đặt ln x = t khi đó ta có
1
x
dx =dt. Tại x =e thì t =1; tại x = e
4
thì t =4.
Khi đó tích phân đã cho trở thành
4
Z
1
f (t)dt =4.
Chọn đáp án D ä
Câu 112. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
Z
[
f (x) − g (x)
]
dx =
Z
f (x)dx −
Z
g(x)dx, với mọi hàm số f (x), g(x) liên tục trên R.
B.
Z
f
0
(x )dx = f (x)+C với mọi hàm số f (x) có đạo hàm trên R.
C.
Z
k f (x)dx = k
Z
f (x)dx với mọi hằng số k và mọi hàm số f (x) liên tục trên R.
D.
Z
[
f (x) + g (x)
]
dx =
Z
f (x)dx +
Z
g(x)dx, với mọi hàm số f (x), g(x) liên tục trên R.
- Lời giải.
Ta có
Z
k f (x)dx = k
Z
f (x)dx với mọi hằng số k 6=0 và mọi hàm số f (x) liên tục trên R.
Chọn đáp án C ä
Câu 113. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
Z
1
1−2x
dx =
1
2
ln
|
1−2x
|
+C. B.
Z
1
1−2x
dx =ln
|
1−2x
|
+C.
C.
Z
1
1−2x
dx =−
1
2
ln
|
4x −2
|
+C. D.
Z
1
1−2x
dx =2ln
1
|
1−2x
|
+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 157 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có
Z
1
1−2x
dx =−
1
2
ln
|
1−2x
|
+C
1
.
Chú ý rằng C, C
1
là một hằng số bất kì nên
−
1
2
ln
|
4x −2
|
+C =−
1
2
ln
|
1−2x
|
−
1
2
ln2+C =−
1
2
ln
|
1−2x
|
+C
1
.
Chọn đáp án C ä
Câu 114. Cho hàm số f (x) =sin3x. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
Z
f (x)dx =
1
3
cos3x +C. B.
Z
f (x)dx =−
1
3
cos3x +C.
C.
Z
f (x)dx =3cos3x +C. D.
Z
f (x)dx =−3cos3x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
sin3x dx =−
1
3
cos3x +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 115. Cho số thực a >0, a 6=1. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
Z
a
x
dx = a
x
lna +C. B.
Z
a
x
dx =
a
x+1
x +1
+C.
C.
Z
a
x
dx =
a
x
loga
+C. D.
Z
a
x
dx =
a
x
lna
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
a
x
dx =
a
x
lna
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 116. Cho x >0. Tìm hàm số f (x) biết rằng
Z
f (x)dx =
1
x
+lnx +C.
A. f (x) =ln x +
1
x
. B. f (x) =ln x −
1
x
2
. C. f (x) =
1
x
2
+
1
x
. D. f (x) =−
1
x
2
+
1
x
.
- Lời giải.
Vì
Z
f (x)dx =
1
x
+lnx +C nên
f (x) =
µ
1
x
+lnx +C
¶
0
=−
1
x
2
+
1
x
.
Chọn đáp án D ä
Câu 117. Tìm nguyên hàm của hàm số y = xe
x
.
A.
Z
xe
x
dx = x e
x
+C. B.
Z
xe
x
dx = x e
x
−e
x
+C.
C.
Z
xe
x
dx =e
x
+C. D.
Z
xe
x
dx = x e
x
+e
x
+C.
- Lời giải.
Đặt
u = x
dv =e
x
dx
⇒
du =dx
v =e
x
.
Khi đó
Z
xe
x
dx = x e
x
−
Z
e
x
dx = x e
x
−e
x
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 118. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =4xln x là
A. x
2
(
2ln x +1
)
+C. B. 4x
2
(
2ln x −1
)
+C. C. x
2
(
2ln x −1
)
+C. D. x
2
(
8ln x −16
)
+C.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 158 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt
u =ln x
dv =4xdx
⇒
du =
1
x
dx
v =2x
2
.
Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần. Ta được
Z
4x lnxdx =2x
2
ln x −
Z
2x dx = x
2
(
2ln x −1
)
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 119. Xác định f (x ) biết
Z
f (x)dx =
1
x
+e
x
+C.
A. f (x) =ln
|
x
|
+e
x
. B. f (x) =
1
x
2
+e
x
. C. f (x) =−
1
x
2
+e
x
. D. f (x) =ln x +e
x
.
- Lời giải.
Ta có
µ
1
x
+e
x
+C
¶
0
=−
1
x
2
+e
x
.
Chọn đáp án C ä
Câu 120. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
98
(2x +1)
50
là
A. −
1
(2x +1)
49
+C. B. −
2
(2x +1)
49
+C. C.
1
51(2x +1)
51
+C. D.
2
(2x +1)
51
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
98
(2x +1)
50
dx =
98
2
·
(2x +1)
−49
−49
+C =−
1
(2x +1)
49
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 121. Cho f
(
x
)
=3
p
x
·
ln3
p
x
. Hàm số nào dưới đây không phải là nguyên hàm của hàm số f
(
x
)
?
A. F
(
x
)
=3
p
x
+C. B. F
(
x
)
=2 ·3
p
x
+C.
C. F
(
x
)
=2 ·
³
3
p
x
−1
´
+C. D. F
(
x
)
=2 ·
³
3
p
x
+1
´
+C.
- Lời giải.
Ta xét
Z
f
(
x
)
dx =
Z
3
p
x
·
ln3
p
x
dx =2
Z
d
³
3
p
x
´
=2 ·3
p
x
+C, với C là hằng số tùy ý.
Chọn đáp án B ä
Câu 122. Hàm số F
(
x
)
nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f
(
x
)
=
x +3
x
2
+4x +3
?
A. F
(
x
)
=2ln
|
x +3
|
−ln
|
x +1
|
+C. B. F
(
x
)
=ln
(
2
|
x +1
|
)
.
C. F
(
x
)
=ln
¯
¯
¯
¯
x +1
x +3
¯
¯
¯
¯
+2. D. F
(
x
)
=ln
[
(
x +1
)(
x +3
)
]
.
- Lời giải.
Ta có
Z
x +3
x
2
+4x +3
dx =
Z
x +3
(
x +3
)(
x +1
)
dx =
Z
dx
x +1
=ln
|
x +1
|
+C
0
Chọn C =ln2 suy ra ln
|
x +1
|
+C =
|
x +1
|
+ln2 =ln2
|
x +1
|
.
Chọn đáp án B ä
Câu 123. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =cos3x là
A. −
1
3
·sin3x +C. B.
1
3
·sin3x +C. C. 3sin3x +C. D. −3sin3x +C.
- Lời giải.
Ta có:
Z
cos3xdx =
1
3
·sin3x +c
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 159 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 124. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f (x) =
4
1+2x
và F(0)=2. Tìm F(2).
A. 4ln5+2. B. 5
(
1+ln2
)
. C. 2ln5+4. D. 2(1+ln5).
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
4
1+2x
dx =2ln
|
1+2x
|
+C.
Mặt khác F(0) =2 ⇔ C =2.
Do đó F(2) =2ln5 +2 =2(1+ln5).
Chọn đáp án D ä
Câu 125. F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) =
3x +4
x
2
,
(
x 6=0
)
, biết rằng F(1) =1. F(x ) là biểu thức nào
sau đây
A. F(x) =2x +
4
x
−5. B. F(x) =3ln
|
x
|
−
4
x
+5.
C. F(x) =F(3x −
4
x
+3. D. F(x) =3ln
|
x
|
−
4
x
+3.
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
3x +4
x
2
dx =
Z
µ
3
x
+
4
x
2
¶
dx =3ln|x|−
4
x
+C.
Mà F(1) =1 ⇔3ln1−
4
1
+C =1 ⇔C =5.
Vậy F(x) =3ln|x|−
4
x
+5.
Chọn đáp án
B ä
Câu 126. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =10
x
.
A.
Z
10
x
dx =
10
x
ln10
+C. B.
Z
10
x
dx =10
x
ln10+C.
C.
Z
10
x
dx =10
x+1
+C. D.
Z
10
x
dx =
10
x+1
x +1
+C.
- Lời giải.
Áp dụng công thức
Z
a
x
dx =
a
x
lna
+C với a >0.
Chọn đáp án A ä
Câu 127. Tính
Z
x(x
2
+7)
15
dx .
A.
Z
x(x
2
+7)
15
dx =
1
2
¡
x
2
+7
¢
16
+C. B.
Z
x(x
2
+7)
15
dx =
1
32
¡
x
2
+7
¢
16
+C.
C.
Z
x(x
2
+7)
15
dx =−
1
32
¡
x
2
+7
¢
16
+C. D.
Z
x(x
2
+7)
15
dx =
1
16
¡
x
2
+7
¢
16
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
x(x
2
+7)
15
dx =
1
2
Z
2x (x
2
+7)
15
dx =
1
2
Z
(x
2
+7)
15
d(x
2
+7) =
1
32
¡
x
2
+7
¢
16
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 128. Tính F(x) =
Z
xcos2xdx.
A. F(x) =
1
2
xsin2x +
1
2
cos2x +C. B. F(x) =
1
2
xsin2x +
1
4
cos2x +C.
C. F(x) =
x
2
sin2x
4
+C. D. F(x) =sin2x +C.
Th.s Nguyễn Chín Em 160 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
F(x) =
Z
xcos2xdx
=
1
2
Z
xdsin2x
=
1
2
xsin2x −
1
2
Z
sin2x dx
=
1
2
xsin2x +
1
4
cos2x +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 129. Cho f (x) =
4m
π
+sin
2
x. Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x). Tìm m để F(0) = 1 và
F
³
π
4
´
=
π
8
.
A. m =−
3
4
. B. m =
3
4
. C. m =−
4
3
. D. m =
4
3
.
- Lời giải.
F(x) =
4m
π
x +
Z
1−cos2x
2
dx =
4m
π
x +
1
2
x −
1
4
sin2x +C.
F(0) =1
F
³
π
4
´
=
π
8
⇔
C =1
m +
π
8
−
1
4
+C =
π
8
⇒ m =−
3
4
.
Chọn đáp án A ä
Câu 130. Họ các nguyên hàm của hàm số y =cos4x là
A. −
1
4
sin4x +C. B.
1
4
sin4x +C. C. sin4x +C. D.
1
4
sin x +C.
- Lời giải.
Họ các nguyên hàm của hàm số y =cos4x là F(x) =
1
4
sin4x +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 131. Hàm số f (x ) thỏa mãn f
0
(x ) = xe
x
là
A. (x −1)e
x
+C. B. x
2
+
e
x+1
x +1
+C. C. x
2
e
x
+C. D. (x +1)e
x
+C.
- Lời giải.
Ta có f (x) =
Z
f
0
(x )dx =
Z
xe
x
dx .
Đặt
u = x
dv = e
x
dx
⇒
du =dx
v = e
x
. Do đó f (x) = uv −
Z
vdu = xe
x
−
Z
e
x
dx =(x −1)e
x
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 132. Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =sin x −cosx thỏa mãn F
³
π
4
´
=0 là
A. −cos x −sinx +
p
2
2
. B. −cosx −sinx −
p
2. C. cos x −sinx. D. −cos x −sin x +
p
2.
- Lời giải.
F(x) =
Z
f (x) dx =
Z
(sin x −cos x) dx =−cos x −sinx +C.
Ta có F
³
π
4
´
=0 ⇔−
p
2
2
−
p
2
2
+C =0 ⇔C =
p
2.
Vậy F(x) =−cosx −sinx +
p
2.
Chọn đáp án D ä
Th.s Nguyễn Chín Em 161 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 133. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = xe
x
.
A.
Z
f (x)dx =(x +1)e
x
+C. B.
Z
f (x)dx =(x −1)e
x
+C.
C.
Z
f (x)dx = xe
x
+C. D.
Z
f (x)dx = x
2
e
x
+C.
- Lời giải.
Đặt
u = x
dv =e
x
dx
⇒
du =dx
v =e
x
.
Khi đó, ta có
Z
xe
x
dx = x e
x
−
Z
e
x
dx = x e
x
−e
x
+C =(x −1)e
x
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 134. Tìm hàm số F(x) biết F
0
(x ) =sin2x và F
³
π
2
´
=1.
A. F(x) =
1
2
cos2x +
3
2
. B. F(x) =2x −π +1.
C. F(x) =−
1
2
cos2x +
1
2
. D. F(x) =−cos2x.
- Lời giải.
Ta có
F(x) =
Z
F
0
(x )dx =
Z
sin2x dx =−
1
2
cos2x +C.
Do F
³
π
2
´
=1 nên −
1
2
cos(π)+C =1 ⇒C =
1
2
.
Vậy F(x) =−
1
2
cos2x +
1
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 135. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x và đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm
M(0;1). Tính F
³
π
2
´
.
A. F
³
π
2
´
=2. B. F
³
π
2
´
=0. C. F
³
π
2
´
=1. D. F
³
π
2
´
=−1.
- Lời giải.
F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
sin x dx =−cosx +C.
F(0) =1 ⇔−cos0 +C =1 ⇔ C =2. Do đó F(x) =−cos x +2. Vậy F
³
π
2
´
=2.
Chọn đáp án A ä
Câu 136. Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) =
ln x
x
. Tính I =F(e)−F(1).
A. I =1. B. I =
1
e
. C. I =e. D. I =
1
2
.
- Lời giải.
F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
ln x
x
dx .
Đặt t =ln x ⇒ dt =
1
x
dx .
Khi đó F(x) =
Z
tdt =
1
2
t
2
+C =
1
2
ln
2
x +C.
I = F(e)−F(1) =
1
2
ln
2
e =
1
2
.
Chọn đáp án D ä
Câu 137. Cho bốn mệnh đề sau
(I)
Z
cos
2
xdx =
cos
3
x
3
+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 162 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
(II)
Z
2x +1
x
2
+x +2018
dx =ln(x
2
+x +2018)+C.
(III)
Z
3
x
(2
x
+3
−x
)dx =
6
x
ln6
+C.
(IV)
Z
3
x
dx =3
x
ln3+C.
Có bao nhiêu mệnh đề sai?
A. −2−
p
3. B. −2+
p
3. C. 0. D. −2.
- Lời giải.
Ta có
(I)
Z
cos
2
xdx =
1
2
Z
(1+cos2x)dx =
1
2
(x +
1
2
sin2x)+C 6=
cos
3
x
3
+C ⇒ (I) sai.
(II)
Z
2x +1
x
2
+x +2018
dx =ln(x
2
+x +2018)+C ⇒ (II) đúng.
(III)
Z
3
x
(2
x
+3
−x
)dx =
Z
(6
x
+1)dx =
6
x
ln6
+x +C 6=
6
x
ln6
+C ⇒ (III) sai.
(IV)
Z
3
x
dx =
3
x
ln3
+C 6=3
x
ln3+C ⇒ (IV) sai.
Vậy có 3 mệnh đề sai.
Chọn đáp án B ä
Câu 138. Tìm nguyên hàm I =
Z
xln xdx?
A. I =
x
2
2
µ
ln x −
1
2
¶
+C. B. I =
x
2
2
ln x −
x
2
2
+C.
C. I = x
2
ln x −
x
2
4
+C. D. I = x
2
ln x −
x
2
2
+C.
- Lời giải.
Ta có I =
Z
xln xdx =
Z
ln x d
µ
x
2
2
¶
=
x
2
2
ln x −
Z
x
2
2x
dx
=
x
2
2
ln x −
x
2
4
+C =
x
2
2
µ
ln x −
1
2
¶
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 139. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =sin
x
2
và F(π) =1. Tính F
µ
2π
3
¶
.
A. F
µ
2π
3
¶
=2. B. F
µ
2π
3
¶
=0. C. F
µ
2π
3
¶
=3. D. F
µ
2π
3
¶
=−1.
- Lời giải.
Do F(x) là một nguyên hàm của f (x) nên
F(x) =
Z
sin
x
2
dx =−2cos
x
2
+C.
Do F(π) =1 = C nên F(x) =−2cos
x
2
+1. Vậy F
µ
2π
3
¶
=0.
Chọn đáp án B ä
Câu 140. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =6x +sin3x, biết F(0) =
2
3
.
A. F(x) =3x
2
−
cos3x
3
+
2
3
. B. F(x) =3x
2
−
cos3x
3
−1.
Th.s Nguyễn Chín Em 163 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
C. V =F(x) =3x
2
+
cos3x
3
+1. D. F(x) =3x
2
−
cos3x
3
+1.
- Lời giải.
Z
f (x)dx =
Z
(
6x +sin3x
)
dx =3x
2
−
cos3x
3
+C.
Từ F(0) =
2
3
suy ra −
1
3
+C =
2
3
hay C =1.
Vậy F(x) =3x
2
−
cos3x
3
+1.
Chọn đáp án D ä
Câu 141. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = x ·e
2x
.
A. F(x) =2e
2x
(
x −2
)
+C. B. F(x) =
1
2
e
2x
(
x −2
)
+C.
C. F(x) =2e
2x
µ
x −
1
2
¶
+C. D. F(x) =
1
2
e
2x
µ
x −
1
2
¶
+C.
- Lời giải.
Đặt
u = x
dv =e
2x
dx
suy ra
du = dx
v =
1
2
e
2x
.
Khi đó
I =
Z
x ·e
2x
dx =
1
2
x ·e
2x
−
1
2
Z
e
2x
dx =
1
2
e
2x
µ
x −
1
2
¶
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 142. Tìm hàm số f (x) thỏa mãn f
0
(x ) =
6
3−2x
và f (2) =0.
A. f (x) =−3ln|3 −2x|. B. f (x) =2ln|3 −2x|. C. f (x) =−2ln|3 −2x| . D. f (x) =3ln|3−2x|.
- Lời giải.
Ta có f (x) =
Z
6
3−2x
dx =−3ln|3 −2x|+C.
Mà f (2) =0 nên C =0, do đó f (x) =−3ln|3 −2x | .
Chọn đáp án A ä
Câu 143. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =8(1−2x)
3
. Tính I =F(1)−F(0).
A. I =2. B. I =−2. C. I =0. D. I =−16.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
8(1−2x)
3
dx =−(1−2x)
4
+C, suy ra F(1)−F(0) =0.
Chọn đáp án C ä
Câu 144. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =3
x
ln9 thỏa mãn F(0) =2. Tính F(1).
A. F(1) =12 ·ln
2
3. B. F(1) =3. C. F(1) =6. D. F(1) =4.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
3
x
ln9dx =ln9 ·
3
x
ln3
+C =2 ·3
x
+C và F(0) =2 nên C =0. Do đó F(1) =6.
Chọn đáp án C ä
Câu 145. Biết hàm số F(x) = ax
3
+(a +b)x
2
+(2a −b + c)x +1 là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
3x
2
+6x +2. Tổng a +b +c là
A. 5. B. 3. C. 4. D. 2.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 164 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có F
0
(x ) = f (x),∀x ∈R ⇔3ax
2
+2(a +b)x +(2a −b +c) =3x
2
+6x +2,∀x ∈R.
Suy ra
3a =3
2(a +b) =6
2a −b +c =2
⇔
a =1
b =2
c =2
⇒a +b +c =5.
Chọn đáp án A ä
Câu 146. Đặt t =
p
1+tanx thì
Z
p
1+tanx
cos
2
x
dx trở thành nguyên hàm nào?
A.
Z
2t dt. B.
Z
t
2
dt. C.
Z
dt. D.
Z
2t
2
dt.
- Lời giải.
Ta có
Z
p
1+tanx
cos
2
x
dx =
Z
p
1+tanxd(tan x +1) =
Z
tdt
2
=
Z
2t
2
dt.
Chọn đáp án D ä
Câu 147. Biết
Z
µ
1
2x
+x
5
¶
dx = aln
|
x
|
+bx
6
+C với
(
a, b ∈Q,C ∈R
)
. Tính a
2
+b?
A.
7
6
. B.
7
13
. C. 9. D.
5
12
.
- Lời giải.
Ta có
Z
µ
1
2x
+x
5
¶
dx =
1
2
ln
|
x
|
+
1
6
x
6
+C.
Vậy a =
1
2
, b =
1
6
⇒a
2
+b =
1
4
+
1
6
=
5
12
.
Chọn đáp án D ä
Câu 148. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =sin3x.
A.
Z
f (x)dx =3cos3x +C. B.
Z
f (x)dx =
1
3
cos3x +C.
C.
Z
f (x)dx =−
1
3
cos3x +C. D.
Z
f (x)dx =−3cos3x +C.
- Lời giải.
Có
Z
f (x)dx =
Z
sin3x dx =−
1
3
cos3x +C.
Chọn đáp án C ä
Câu 149. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là mệnh đề sai?
A.
Z
xln xdx = x
2
ln x −
x
2
2
+C. B.
Z
ln x dx = xln x −x +C.
C.
Z
xln xdx =
x
2
2
ln x −
x
2
4
+C. D.
Z
2x lnxdx = x
2
ln x −
x
2
2
+C.
- Lời giải.
Đặt u =ln x ⇒ du =
1
x
dx và dv = x dx ⇒v =
x
2
2
.
Z
xln xdx =
x
2
2
ln x −
Z
x
2
dx =
x
2
2
ln x −
x
2
4
+C.
Vậy
Z
xln xdx = x
2
ln x −
x
2
2
+C là mệnh đề sai.
Chọn đáp án A ä
Câu 150. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
2x −1
và F(2) =3 +
1
2
ln3. Tính F(3).
A. F(3) =
1
2
ln5+5. B. F(3) =
1
2
ln5+3. C. F(3) =−2ln5+5. D. F(3) =2ln5 +3.
- Lời giải.
Có F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
1
2x −1
dx =
1
2
ln|2x −1|+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 165 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có F(2) =3 +
1
2
ln3 ⇔
1
2
ln3+C =3 +
1
2
ln3 ⇔C =3.
Vậy ta có F(3) =
1
2
ln5+3.
Chọn đáp án B ä
Câu 151. Họ nguyên hàm của hàm số y =2x(1+3x
3
) là
A. F(x) = x
2
(x +x
3
)+C. B. F(x) =2x(x +x
3
)+C.
C. F(x) = x
2
(1+3x
2
)+C. D. F(x) = x
2
µ
1+
6x
3
5
¶
+C.
- Lời giải.
R
2x (1 +3x
3
)dx =
R
¡
2x +6x
4
¢
dx = x
2
+
6
5
x
5
+C = x
2
µ
1+
6x
3
5
¶
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 152. Nếu F(x) +C là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
x −3
x
2
+2x −3
và F(0) = 0 thì hằng số C
bằng
A.
3
2
ln3. B. −
2
3
ln3. C.
2
3
ln3. D. −
3
2
ln3.
- Lời giải.
Z
x −3
x
2
+2x −3
dx =
Z
µ
3
2(x +3)
−
1
2(x −1)
¶
dx =
3
2
ln|x +3|−
1
2
ln|x −1|+C.
Theo giả thiết F(0) =0 nên ta có
3
2
ln3+C =0 ⇔C =−
3
2
ln3.
Chọn đáp án D ä
Câu 153. Họ nguyên hàm của hàm số y =(1+sin x)
2
là
A. F(x) =
2
3
x −2cos x −
1
4
sin2x +C. B. F(x) =
3
2
x −2cos x +
1
4
sin2x +C.
C. F(x) =
3
2
x +2cos x −
1
4
sin2x +C. D. F(x) =
3
2
x −2cos x −
1
4
sin2x +C.
- Lời giải.
Z
(1+sinx)
2
dx =
Z
¡
1+2sinx +(sin x)
2
¢
dx
=
Z
µ
3
2
+2sin x −
1
2
cos2x
¶
dx
=
3
2
x −2cos x −
1
4
sin2x +C.
Chọn đáp án D ä
Câu 154. Khẳng định nào sau đây là sai?
A.
Z
sin x dx =−cosx +C. B.
Z
sin x dx =sin
³
x −
π
2
´
+C.
C.
Z
sin x dx =−sin
³
x +
π
2
´
+C. D.
Z
sin x dx =sin x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
sin x dx =−cosx +C.
Mặt khác, ta có cos x =sin
³
π
2
−x
´
=−sin
³
x −
π
2
´
=sin
³³
x −
π
2
´
+π
´
=sin
³
x +
π
2
´
.
Chọn đáp án D ä
Câu 155. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = xe
x
2
. Hàm số nào sau đây không phải là một
nguyên hàm của hàm số f (x)?
A. F(x) =−
1
2
e
x
2
+C. B. F(x) =−
1
2
(2−e
x
2
). C. F(x) =
1
2
(e
x
2
+2). D. F(x) =
1
2
(e
x
2
+5).
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 166 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
Z
xe
x
2
dx =
1
2
Z
e
x
2
dx
2
=
1
2
e
x
2
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 156. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =6x +sin3x, biết F(0) =
2
3
.
A. F(x) =3x
2
−
cos3x
3
+
2
3
. B. F(x) =3x
2
−
cos3x
3
−1.
C. F(x) =3x
2
+
cos3x
3
+1. D. F(x) =3x
2
−
cos3x
3
+1.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
(6x +sin3x)dx =3x
2
−
cos3x
3
+C.
Mà F(0) =
2
3
nên C =1 ⇒ F(x) =3x
2
−
cos3x
3
+1.
Chọn đáp án D ä
Câu 157. Tìm nguyên hàm I =
Z
sin
4
xcos xdx.
A.
sin
5
x
5
+C. B.
cos
5
x
5
+C. C. −
sin
5
x
5
+C. D. −
cos
5
x
5
+C.
- Lời giải.
Đặt t =sin x ⇒dt =cos x dx.
Khi đó I =
Z
t
4
dt =
t
5
5
+C =
sin
5
x
5
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 158. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
x −1
x
2
, biết đồ thị hàm số y = F(x ) đi qua điểm
(1;−2).
A. F(x) =ln
|
x
|
+
1
x
+3. B. F(x) =ln
|
x
|
−
1
x
+1. C. F(x ) =ln
|
x
|
−
1
x
−1. D. F(x ) =ln
|
x
|
+
1
x
−3.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
x −1
x
2
dx =
Z
µ
1
x
−
1
x
2
¶
dx =ln
|
x
|
+
1
x
+C
Theo giả thiết F(1) =−2 ⇔ln1+
1
1
+C =−2 ⇔C =−3.
Suy ra F(x) =ln
|
x
|
+
1
x
−3.
Chọn đáp án D ä
Câu 159. Cho a ∈R, hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f (x) =cos x?
A. F(x) =sin x. B. F(x) =2cos
x +a
2
cos
x −a
2
.
C. F(x) =2sin
³
x
2
+a
´
cos
³
x
2
−a
´
. D. F(x) =2sin
x +a
2
cos
x −a
2
.
- Lời giải.
Z
cos x dx =sin x +C.
Ta có 2cos
x +a
2
cos
x −a
2
=cos x +cosa. Đây không phải là họ nguyên hàm của hàm số f (x) =cos x.
Chọn đáp án B ä
Câu 160. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x
2
−2
x
.
A.
Z
f (x)dx =
x
3
3
+
2
x
ln2
+C. B.
Z
f (x)dx =2x −
2
x
ln2
+C.
C.
Z
f (x)dx =
x
3
3
−
2
x
ln2
+C. D.
Z
f (x)dx =2x −2
x
ln2+C.
- Lời giải.
Z
f (x)dx =
Z
(x
2
−2
x
)dx =
x
3
3
−
2
x
ln2
+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 167 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án C ä
Câu 161. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
(
e
x
−1
)
2
.
A. F(x) =2e
x
(
e
x
−1
)
. B. F(x) =
1
2
e
2x
−2e
x
+x +C.
C. F(x) =e
2x
−2e
x
+x +C. D. F(x) =2e
2x
−2e
x
+C.
- Lời giải.
Ta có f (x) =
(
e
x
−1
)
2
=e
2x
−2e
x
+1 ⇒ F(x) =
1
2
e
2x
−2e
x
+x +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 162. Tìm
Z
1
x
2
dx .
A.
Z
1
x
2
dx =
1
x
+C. B.
Z
1
x
2
dx =−
1
x
+C. C.
Z
1
x
2
dx =
1
2x
+C. D.
Z
1
x
2
dx =ln x
2
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
1
x
2
dx =−
1
x
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 163. Hàm số F(x) = x
2
+sinx là một nguyên hàm của hàm số
A. f (x) =
1
3
x
3
+cosx. B. f (x) =2x +cos x. C. f (x) =
1
3
x
3
−cosx. D. f (x) =2x −cosx.
- Lời giải.
F(x) là nguyên hàm của f (x) ⇔F
0
(x ) = f (x).
Ta có F
0
(x ) =2x +cos x.
Vậy hàm số F(x) = x
2
+sinx là một nguyên hàm của hàm số f (x) =2x +cosx.
Chọn đáp án
B ä
Câu 164. Cho hàm số f (x) liên tục trên
[
0;10
]
thỏa mãn
10
Z
0
f (x)dx =7,
6
Z
2
f (x)dx =3. Tính P =
2
Z
0
f (x)dx+
10
Z
6
f (x)dx.
A. P =4. B. P =5. C. P =7. D. P =−4.
- Lời giải.
Ta có
10
Z
0
f (x)dx =
2
Z
0
f (x)dx +
6
Z
2
f (x)dx +
10
Z
6
f (x)dx.
Suy ra
2
Z
0
f (x)dx +
10
Z
6
f (x)dx =
10
Z
0
f (x)dx −
6
Z
2
f (x)dx =4.
Chọn đáp án A ä
Câu 165. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A.
Z
ln|x|dx =
1
x
+C. B.
Z
(x +1)
−3
dx =
1
2
(x +1)
−2
+C.
C.
Z
(x +1)
3
dx =
1
4
(x +1)
4
+C. D.
Z
dx
2x +1
=ln|2x +1|+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
(x +1)
3
dx =
Z
(x +1)
3
d(x +1) =
1
4
(x +1)
4
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 166. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =sin3x.
A.
Z
f (x)dx =3cos3x +C. B.
Z
f (x)dx =−3cos3x +C.
Th.s Nguyễn Chín Em 168 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
C.
Z
f (x)dx =−
1
3
cos3x +C. D.
Z
f (x)dx =
1
3
cos3x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
sin3x dx =
1
3
Z
sin3x d(3x) =−
1
3
cos3x +C.
Chọn đáp án C ä
Câu 167. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =e
x
+2x thỏa mãn F(0) =
3
2
. Tìm F(x).
A. F(x) =e
x
+x
2
+
1
2
. B. F(x) =e
x
+x
2
+
5
2
. C. F(x) =e
x
+x
2
+
3
2
. D. F(x) =2e
x
+x
2
−
1
2
.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
(e
x
+2x)dx = e
x
+x
2
+C.
Do F(0) =
3
2
⇒1 +C =
3
2
⇒C =
1
2
.
Từ đó ta có F(x) = e
x
+x
2
+
1
2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 168. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =e
x
(1+e
−x
).
A.
Z
f (x)dx =e
x
+1+C. B.
Z
f (x)dx =e
x
+x +C.
C.
Z
f (x)dx =−e
x
+x +C. D.
Z
f (x)dx =e
x
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
e
x
(1+e
−x
)dx =
Z
(e
x
+1)dx =e
x
+x +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 169. Cho biết F(x) =
1
3
x
3
+2x −
1
x
là một nguyên hàm của f (x) =
(x
2
+a)
2
x
2
. Tìm nguyên hàm của
g(x) = x cos ax.
A. x sinx −cosx +C. B.
1
2
xsin2x −
1
4
cos2x +C.
C. x sinx +cosx +C. D.
1
2
xsin2x +
1
4
cos2x +C.
- Lời giải.
Ta có:
F(x) =
Z
f (x)dx ⇒F
0
(x ) = f (x) ⇒
(x
2
+1)
2
x
2
=
(x
2
+a)
2
x
2
⇒a =1.
Do đó: g(x) =
Z
xcos xdx.
Đặt
u = x
dv =cos x dx
⇒
du = dx
v =sin x.
⇒ g(x) = x sinx −
Z
sin x dx = xsin x +cosx +C.
Chọn đáp án C ä
Câu 170. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =cos2x là
A.
Z
cos2x dx =2sin2x +C. B.
Z
cos2x dx =−
1
2
sin2x +C.
C.
Z
cos2x dx =sin2x +C. D.
Z
cos2x dx =
1
2
sin2x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
cos2x dx =
1
2
sin2x +C.
Chọn đáp án D ä
Th.s Nguyễn Chín Em 169 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 171. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =4x
3
+2x +
1
2
p
x
.
A.
Z
f (x)dx =
x
4
4
+x
2
+
p
x +C. B.
Z
f (x)dx =
x
4
4
+2x +
p
x +C.
C.
Z
f (x)dx = x
4
+x
2
+
p
x +C. D.
Z
f (x)dx =12x
2
+2−
1
4x
p
x
+C.
- Lời giải.
Z
µ
4x
3
+2x +
1
2
p
x
¶
dx = x
4
+x
2
+
p
x +C.
Chọn đáp án C ä
Câu 172. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 +2x +3x
2
thỏa mãn F(1) = 2. Tính F(0) +
F(−1).
A. −3. B. −4. C. 3. D. 4.
- Lời giải.
F(x) =
Z
(1+2x +3x
2
)dx = x +x
2
+x
3
+C.
Do F(1) =2 nên C =−1. Suy ra F(x) = x +x
2
+x
3
−1, từ đó ta có F(0)+F(−1) =−3.
Chọn đáp án A ä
Câu 173. Tìm
Z
µ
3
p
x
2
+
4
x
¶
dx
A.
3
5
3
p
x
5
+4ln|x|+C. B.
3
5
3
p
x
5
−4ln|x|+C.
C. −
3
5
3
p
x
5
+4ln|x|+C. D.
5
3
3
p
x
5
+4ln|x|+C.
- Lời giải.
Z
µ
3
p
x
2
+
4
x
¶
dx =
Z
x
2
3
dx +4
Z
1
x
dx =
3
5
x
5
3
+4ln|x|+C =
3
5
3
p
x
5
+4ln|x|+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 174. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
x
2
là
A. −
1
x
+C. B. x
3
+C. C. −
1
3x
2
. D.
1
x
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
1
x
2
dx =
Z
x
−2
dx =−
1
x
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 175. Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =5x
4
−3x
2
trên tập số thực thỏa mãn F(1) =3 là
A. x
5
−x
3
+2x +1. B. x
5
−x
3
+3. C. x
5
−x
3
+5. D. x
5
−x
3
.
- Lời giải.
Ta có F(x) = x
5
−x
3
+C, do F(1) =C =3 nên F(x) = x
5
−x
3
+3.
Chọn đáp án B ä
2.1 ĐÁP ÁN
1. A 2. A 3. D 4. D 5. B 6. A 7. A 8. A 9. A 10. C
11. B 12. D 13. C 14. C 15. B 16. A 17. D 18. D 19. D 20. D
21. C 22. A 23. D 24. B 25. C 26. D 27. B 28. B 29. D 30. B
31. A 33. C 35. B 36. A 37. D 38. A 39. A 40. C 41. B 42. C
43. C 44. B 45. A 46. C 47. A 48. C 49. A 50. B 51. A 52. B
53. A 54. A 55. B 56. B 57. B 58. D 59. C 60. D 61. B 62. B
63. A 64. A 65. C 66. C 67. D 68. D 69. C 70. D 71. A 72. A
73. B 74. A 75. D 76. B
77. B
78. B 79. A 80. B 81. A 82. D
Th.s Nguyễn Chín Em 170 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
83. A 84. D 85. B 86. B 87. D 88. C 89. A 90. B 91. D 92. C
93. D 94. C 95. D 96. B 97. C 98. B 99. C 100. C 101. B 102. D
103. B 104. B 105. D 106. B 107. C 108. A 109. C 110. B 111. D 112. C
113. C 114. B 115. D 116. D 117. B 118. C 119. C 120. A 121. B 122. B
123. B 124. D 125. B 126. A 127. B 128. B 129. A 130. B 131. A 132. D
133. B 134. C 135. A 136. D 137. B 138. A 139. B 140. D 141. D 142. A
143. C 144. C 145. A 146. D 147. D 148. C 149. A 150. B 151. D 152. D
153. D 154. D 155. A 156. D 157. A 158. D 159. B 160. C 161. B 162. B
163. B 164. A 165. C 166. C 167. A 168. B 169. C 170. D 171. C 172. A
173. A 174. A 175. B
3 VẬN DỤNG THẤP
Câu 1. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
2sin x
sin x −cos x
.
A. F(x) = x +ln|sin x +cosx|+C. B. G(x) = x +
1
|sin x −cos x|
+C.
C. H(x) =ln|sinx −cosx|+C. D. T(x) = x +ln|sin x −cosx|+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
2sin x
sin x −cos x
dx =
Z
sin x +sin x +cos x −cosx
sin x −cos x
dx =
Z
µ
1+
sin x +cos x
sin x −cos x
¶
dx
= x +
Z
d(sin x −cos x)
sin x −cos x
= x +ln|sin x −cosx|+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 2. Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =2
x
, thỏa mãn F(0) =
1
ln2
. Tính giá trị của biểu thức
T = F(0)+F(1) +F(2)+···+F(2017)+F(2018) +F(2019).
A. T =1009·
2
2019
+1
ln2
. B. T =2
2019·2020
. C. T =
2
2019
−1
ln2
. D. T =
2
2020
−1
ln2
.
- Lời giải.
Có F(x) =
Z
2
x
dx =
2
x
ln2
+C.
Lại có F(0) =
1
ln2
⇒
1
ln2
+C =
1
ln2
⇒C =0.
Vậy F(x) =
2
x
ln2
.
T = F(0) +F(1) +F(2)+···+F(2017)+F(2018) +F(2019)
=
1
ln2
+
2
ln2
+
2
2
ln2
+···+
2
2017
ln2
+
2
2018
ln2
+
2
2019
ln2
=
1
ln2
·
¡
1+2+2
2
+···+2
2017
+2
2018
+2
2019
¢
=
1
ln2
·
2
2020
−1
2−1
=
2
2020
−1
ln2
.
Chọn đáp án D ä
Câu 3. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = e
3
p
x
và F(0) =2. Hãy tính F(−1).
A. 6−
15
e
. B. 4−
10
e
. C.
15
e
−4. D.
10
e
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 171 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Vì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x), suy ra F(x) =
Z
e
3
p
x
dx (1).
Đặt t =
3
p
x ⇒ t
3
= x ⇒3t
2
dt = dx . Suy ra (1) trở thành F(t) =
Z
3e
t
·t
2
dt.
Đặt
u =3t
2
dv =e
t
dt
⇒
du =6t dt
v =e
t
.
F(t) =3t
2
·e
t
−
Z
6te
t
dt.
Đặt
u
1
=6t
dv
1
=e
t
dt
⇒
du
1
=6dt
v
1
=e
t
.
F(t) =3t
2
·e
t
−(6t ·e
t
−
Z
6e
t
dt) =3t
2
e
t
−6te
t
+6e
t
+C.
Thay t =
3
p
x ta được F(x) =e
3
p
x
(3
3
p
x
2
−6
3
p
x +6)+C.
Theo bài ra F(0) =2 ⇒6+C =2 ⇒C =−4.
Vậy F(x) =e
3
p
x
(3
3
p
x
2
−6
3
p
x +6)−4. Suy ra
F(−1) =
1
e
(3+6+6)−4 =
15
e
−4.
Chọn đáp án C ä
Câu 4. Biết rằng xe
x
là một nguyên hàm của f (1−x) trên khoảng (−∞;+∞). Gọi F(x) là một nguyên hàm
của f
0
(x )e
x
thỏa mãn F(3) =1, giá trị của F(1) bằng
A. 2e−1. B. 2e +1. C. e +1. D. 4e +1.
- Lời giải.
Ta có f (1−x) =
(
xe
x
)
0
=e
x
+xe
x
,∀x ∈(−∞;+∞).
Đặt t =1−x, ta có f (t) =e
1−t
+(1−t)e
1−t
=(2 −t)e
1−t
,∀t ∈(−∞;+∞).
Hay f (x) =(2−x)e
1−x
,∀x ∈(−∞;+∞).
Do đó f
0
(x ) =
£
(2−x)e
1−x
¤
0
=(x −3)e
1−x
⇒ f
0
(x )e
x
=(x −3)e
1−x
e
x
=(x −3)e.
Bởi vậy F(x) =
Z
(x −3)edx =
e
2
(x −3)
2
+C.
Lại có F(3) =1 ⇔ C =1. Vậy F(x) =
e
2
(x −3)
2
+1 ⇒ F(1) =2e+1.
Chọn đáp án B ä
Câu 5. Biết rằng e
x
là một nguyên hàm của f (2x) trên khoảng (−∞;+∞). Gọi F(x) là một nguyên hàm
của [f
0
(x )]
2
thỏa mãn F(0) =1, giá trị của F(1) bằng
A. 1. B. 4e −3. C.
e+1
4
. D.
e+3
4
.
- Lời giải.
Ta có f (2x) =
(
e
x
)
0
=e
x
,∀x ∈(−∞;+∞).
Đặt t =2x, ta có f (t) =e
t
2
,∀t ∈(−∞;+∞).
Hay f (x) =e
x
2
,∀x ∈(−∞;+∞).
Do đó f
0
(x ) =
h
e
x
2
i
0
=
1
2
e
x
2
⇒[f
0
(x )]
2
=
µ
1
2
e
x
2
¶
2
=
1
4
e
x
.
Bởi vậy F(x) =
1
4
Z
e
x
dx =
1
4
e
x
+C.
Lại có F(0) =1 ⇔
1
4
+C =1 ⇔C =
3
4
.
Vậy F(x) =
1
4
e
x
+
3
4
⇒F(1) =
1
4
e+
3
4
=
e+3
4
.
Chọn đáp án D ä
Th.s Nguyễn Chín Em 172 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 6. Cho F(x) = x
2
là một nguyên hàm của hàm số f (x)e
2x
. Tìm nguyên hàm của hàm số f
0
(x )e
2x
.
A.
Z
f
0
(x )e
2x
dx =−x
2
+2x +C. B.
Z
f
0
(x )e
2x
dx =−x
2
+x +C.
C.
Z
f
0
(x )e
2x
dx = x
2
−2x +C. D.
Z
f
0
(x )e
2x
dx =−2x
2
+2x +C.
- Lời giải.
F(x) = x
2
là một nguyên hàm của f (x)e
2x
⇒2x = f (x)e
2x
.
Đặt
u =e
2x
dv = f
0
(x )dx
⇒
du =2e
2x
dx
v = f (x)
⇒
Z
f
0
(x )e
2x
dx = f (x )e
2x
−2
Z
f (x)e
2x
dx =2x −2x
2
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 7. Cho F(x) =(x−1)e
x
là một nguyên hàm của hàm số f (x)e
2x
. Tìm nguyên hàm của hàm số f
0
(x )e
2x
.
A.
Z
f
0
(x )e
2x
dx =(4−2x)e
x
+C. B.
Z
f
0
(x )e
2x
dx =
2−x
2
e
x
+C.
C.
Z
f
0
(x )e
2x
dx =(2−x)e
x
+C. D.
Z
f
0
(x )e
2x
dx =(x −2)e
x
+C.
- Lời giải.
- Ta có f (x)e
2x
=F
0
(x ) = xe
x
.
- Suy ra
Z
f
0
(x )e
2x
dx =e
2x
.f (x)−2
Z
f (x)e
2x
dx = x e
x
−2(x −1)e
x
=(2 −x)e
x
+C
Chọn đáp án C ä
Câu 8. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
1+8
x
.
A.
Z
f (x)dx =
1
(1+8
x
)
2
+C. B.
Z
f (x)dx =
8
x
ln8
1+8
x
+C.
C.
Z
f (x)dx = x +
ln(1+8
x
)
ln8
+C. D.
Z
f (x)dx = x −
ln(1+8
x
)
ln8
+C.
- Lời giải.
F
(
x
)
=
Z
1
1+8
x
dx =
Z
1+8
x
−8
x
1+8
x
dx =
Z
µ
1−
8
x
1+8
x
¶
dx =
Z
dx −
Z
8
x
1+8
x
dx
F
(
x
)
= x −
1
ln8
Z
d
(
1+8
x
)
1+8
x
= x −
1
ln8
ln
(
1+8
x
)
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 9. Tính nguyên hàm
Z
x
2
−x +3
x +1
dx .
A. 2x +5ln
|
x +1
|
+C. B.
x
2
2
−2x −5ln
|
x −1
|
+C.
C.
x
2
2
−2x +5ln
|
x +1
|
+C. D. x +5ln
|
x +1
|
+C.
- Lời giải.
Z
x
2
−x +3
x +1
dx =
Z
(x −2+
5
x +1
)dx =
x
2
2
−2x +5ln
|
x +1
|
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 10. Gọi F(x) là họ các nguyên hàm của hàm số f (x) = 8sin3xcos x. Biết rằng F(x) có dạng F(x ) =
acos4x +b cos2x +C. Khi đó, a −b bằng
A. 3. B. −1. C. 1. D. 2.
- Lời giải.
F(x) =
Z
8sin3xcos xdx =4
Z
(
sin4x +sin2x
)
dx =−cos4x −2cos2x +C.
Suy ra a =−1, b =−2. Vậy a −b =1.
Th.s Nguyễn Chín Em 173 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án C ä
Câu 11. Giả sử hàm số f (x) liên tục, dương trên R; thỏa mãn f (0) =1 và
f
0
(x ) =
x
x
2
+1
f (x). Khi đó hiệu T = f
¡
2
p
2
¢
−2f (1) thuộc khoảng nào?
A. (2;3). B. (7;9). C. (0;1). D. (9;12).
- Lời giải.
Ta có:
f
0
(x ) =
x
x
2
+1
f (x) ⇔
f
0
(x )
f (x)
=
x
x
2
+1
⇒
Z
f
0
(x )
f (x)
dx =
1
2
Z
2x
x
2
+1
dx
⇒ln|f (x)|=
1
2
ln|x
2
+1|+C ⇒ln f (x) =ln
p
x
2
+1+C ( vì f (x) luôn dương trên R ).
Mà f (0) =1 ⇒ C =0 ⇒ f (x) =
p
x
2
+1 ⇒ T = f
¡
2
p
2
¢
−2f (1) =3−2
p
2 ∈(0;1).
Chọn đáp án C ä
Câu 12. Cho
3
Z
2
5x +12
x
2
+5x +6
dx = aln2+b ln5+c ln6 với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị 3a+2b+c bằng
A. 3. B. −14. C. −2. D. −11.
- Lời giải.
Ta có:
5x +12
x
2
+5x +6
=
5x +12
(x +2)(x +3)
=
A
x +2
+
B
x +3
=
(A +B)x +3A +2B
x
2
+5x +6
.
Khi đó:
A +B =5
3A +2B =12
⇔
A =2
B =3.
Nên
3
Z
2
5x +12
x
2
+5x +6
dx =
3
Z
2
2
x +2
dx +
3
Z
2
3
x +3
dx
= 2ln|x +2|
¯
¯
¯
3
2
+3ln|x +3|
¯
¯
¯
3
2
= 3ln6−ln5 −2ln4
= −4ln2−ln5 +3ln6.
Vậy a =−4, b =−1, c =3 ⇒3a +2b +c =−11.
Chọn đáp án D ä
Câu 13. Cho f (x) =
x
cos
2
x
trên
³
−
π
2
;
π
2
´
và F(x) là một nguyên hàm của x · f
0
(x ) thỏa mãn F(0) = 0. Tính
F
³
π
3
´
?
A.
π
2
36
−
π
p
3
3
+ln2. B.
4π
2
9
−
π
p
3
3
−ln2. C.
4π
2
9
−
π
p
3
3
+ln2. D.
π
2
36
−
π
p
3
3
−ln2.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
x · f
0
(x )dx =
Z
xd(f (x)) = x · f (x)−
Z
f (x)dx =
x
2
cos
2
x
−
Z
x
cos
2
x
dx .
Mà
Z
x
cos
2
x
dx =
Z
xd
(
tan x
)
= x ·tanx −
Z
tan x dx = x ·tanx +ln
(
cos x
)
+C, (vì cos x >0 ).
Do đó F(x) =
x
2
cos
2
x
−x tanx −ln
(
cos x
)
+C. Mà F(0) =0 nên C =0.
Vậy F
³
π
3
´
=
4π
2
9
−
p
3π
3
+ln2.
Chọn đáp án C ä
Câu 14. Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
x
9
+3x
5
.
Th.s Nguyễn Chín Em 174 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A.
Z
f (x)dx =−
1
3x
4
+
1
36
ln
¯
¯
¯
¯
x
4
x
4
+3
¯
¯
¯
¯
+C. B.
Z
f (x)dx =−
1
12x
4
−
1
36
ln
¯
¯
¯
¯
x
4
x
4
+3
¯
¯
¯
¯
+C.
C.
Z
f (x)dx =−
1
3x
4
−
1
36
ln
¯
¯
¯
¯
x
4
x
4
+3
¯
¯
¯
¯
+C. D.
Z
f (x)dx =−
1
12x
4
+
1
36
ln
¯
¯
¯
¯
x
4
x
4
+3
¯
¯
¯
¯
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
dx
x
9
+3x
5
=
Z
dx
x
5
(x
4
+3)
=
1
3
Z
(x
4
+3)−x
4
x
5
(x
4
+3)
dx
=
1
3
µ
Z
dx
x
5
−
Z
dx
x(x
4
+3)
¶
=
1
3
µ
Z
dx
x
5
−
1
3
Z
(x
4
+3)−x
4
x(x
4
+3)
dx
¶
=
1
3
Z
dx
x
5
−
1
9
·
Z
dx
x
−
Z
x
3
dx
x
4
+3
¸
=
1
3
Z
dx
x
5
−
1
9
·
Z
dx
x
−
1
4
Z
d(x
4
+3)
x
4
+3
¸
= −
1
12x
4
−
1
36
ln
¯
¯
¯
¯
x
4
x
4
+3
¯
¯
¯
¯
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 15. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
xln x
thỏa mãn F
µ
1
e
¶
=2 và F(e) =ln2. Giá trị
của biểu thức F
µ
1
e
2
¶
+F(e
2
) bằng
A. 3ln2+2. B. ln2+2. C. ln2+1. D. 2ln2 +1.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
1
xln x
dx =
Z
1
ln x
d
(
ln x
)
=ln
|
ln x
|
+C =
ln
(
ln x
)
+C
1
khi x >1
ln
(
−ln x
)
+C
2
khi x <1.
Theo đầu bài F
µ
1
e
¶
=2 ⇒ln
µ
−ln
µ
1
e
¶¶
+C
2
=2 ⇔C
2
=2.
Và F(e) =ln2 ⇒ln
(
ln x
)
+C
1
=ln2 ⇔C
1
=ln2.
Từ đó ta có F(x) =
ln
(
ln x
)
+ln2 khi x >1
ln
(
−ln x
)
+2 khi x <1.
Từ đó suy ra F
µ
1
e
2
¶
+F(e
2
) =ln
µ
−ln
1
e
2
¶
+2+ln
¡
lne
2
¢
+ln2 =3ln2 +2.
Vậy F
µ
1
e
2
¶
+F(e
2
) =3ln2 +2.
Chọn đáp án A ä
Câu 16. Cho biết F(x) =
1
3
x
3
+2x −
1
x
là một nguyên hàm của f (x) =
(x
2
+a)
2
x
2
. Tìm nguyên hàm của hàm
số g(x) = x cosax.
A. x sinx −cosx +C. B.
1
2
xsin2x −
1
4
cos2x +C.
C. x sinx +cosx +C. D.
1
2
xsin2x +
1
4
cos2x +C.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 175 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có F(x) =
1
3
x
3
+2x −
1
x
là một nguyên hàm của f (x) =
(x
2
+a)
2
x
2
⇔ F
0
(x ) = f (x), ∀x 6=0
⇔ x
2
+2+
1
x
2
=
x
4
+2ax
2
+a
2
x
2
, ∀x 6=0
⇔ x
2
+2+
1
x
2
= x
2
+2a +
a
2
x
2
, ∀x 6=0
⇔ a =1
Suy ra g(x) = xcos x
Suy ra
Z
g(x)dx =
Z
xcos xdx
Đặt
u = x
dv =cos x dx
⇒
du =dx
v =sin x
⇒
Z
g(x)dx = x sin x −
Z
sin x dx = xsin x +cosx +C.
Chọn đáp án C ä
Câu 17. Biết F(x) =log
2
¯
¯
¯
¯
2
x
+a
2
x
−2
¯
¯
¯
¯
+b
(
a, b ∈Z
)
là nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
2
x
+6·2
−x
−5
thỏa mãn
F(2) =2018. Tính P =a +b.
A. P =2017. B. P =2019. C. P =2016. D. P =2022.
- Lời giải.
Ta có
F(x) =
Z
1
2
x
+6·2
−x
−5
dx =
Z
2
x
2
2x
−5·2
x
+6
dx
=
1
ln2
Z
1
2
2x
−5·2
x
+6
d(2
x
)
=
1
ln2
Z
µ
1
2
x
−3
−
1
2
x
−2
¶
d(2
x
)
=
1
ln2
·ln
¯
¯
¯
¯
2
x
−3
2
x
−2
¯
¯
¯
¯
+C
=log
2
e·ln
¯
¯
¯
¯
2
x
−3
2
x
−2
¯
¯
¯
¯
+C
=log
2
¯
¯
¯
¯
2
x
−3
2
x
−2
¯
¯
¯
¯
+C.
Vì F(2) =2018 nên log
2
1
2
+C =2018 ⇔C =2019.
Do đó F(x) =log
2
¯
¯
¯
¯
2
x
−3
2
x
−2
¯
¯
¯
¯
+2019. Vậy a =−3, b =2019 và P = a +b =−3+2019 =2016.
Chọn đáp án C ä
Câu 18. Cho F(x) =
¡
ax
2
+bx +c
¢
p
2x −1 là một nguyên hàm của hàm số
4x
2
p
2x −1
trên
µ
1
2
;+∞
¶
. Tính
S =a +b +c.
A. S =2. B. S =
9
5
. C. S =
28
15
. D. S =1.
- Lời giải.
Theo giả thiết ta có
4x
2
p
2x −1
=F
0
(x ) =
5ax
2
+(3b −2a)x −b +c
p
2x −1
.
Đồng nhất hệ số ta được
5a =4
3b −2a =0
−b +c =0
, suy ra a =
4
5
, b = c =
8
15
. Vậy S =
28
15
.
Th.s Nguyễn Chín Em 176 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án C ä
Câu 19. Biết
Z
x
2
+1
x
3
−6x
2
+11x −6
dx =ln|(x −1)
m
(x −2)
n
(x −3)
p
|+C. Tính 4(m +n + p).
A. 5. B. 0. C. 2. D. 4.
- Lời giải.
Z
x
2
+1
x
3
−6x
2
+11x −6
dx =
Z
x
2
+1
(x −1)(x −2)(x −3)
dx =
Z
µ
1
x −1
−
5
x −2
+
5
x −3
¶
dx
=ln|x −1−5ln|x −2|+5ln|x −3|+C =ln|(x −1)(x −2)
−5
(x −3)
5
|+C.
Suy ra m =1, n =−5, p =5. Vậy 4(m +n + p) =4.
Chọn đáp án D ä
Câu 20. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
x −1
thoả mãn F(5) = 2 và F(0) = 1. Mệnh đề
nào dưới đây đúng?
A. F(−1) =2 −ln2. B. F(2) =2−2ln2. C. F(3) =1 +ln2. D. F(−3) =2.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
ln|x −1|+C
1
với x >1
ln|x −1|+C
2
với x <1
.
Với F(5) =2 và F(0) =1 ta có F(x) =
ln|x −1|+2−2ln2 với x >1
ln|x −1|+1 với x <1
.
Từ đó ta có F(2) =2−2ln2 là đúng.
Chọn đáp án B ä
Câu 21. Cho hàm số f (x) xác định trên R \{0;2} và thỏa mãn f
0
(x ) =
1
x
2
−2x
. Biết rằng f (−2) + f (4) = 0
và f
µ
1
2
¶
+ f
µ
3
2
¶
=2018. Tính T = f (−1)+ f (1)+ f (5).
A. T =
1
2
ln5+1009. B. T =
1
2
ln
9
5
+1009. C. T =
1
2
ln
9
5
+2018. D. T =
1
2
ln
9
5
.
- Lời giải.
Ta có f (x) =
Z
f
0
(x )dx =
Z
1
x
2
−2x
dx =
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
x −2
x
¯
¯
¯
¯
+C.
Suy ra f (x) =
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
x −2
x
¯
¯
¯
¯
+C
1
khi x <0
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
x −2
x
¯
¯
¯
¯
+C
2
khi 0 < x <2
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
x −2
x
¯
¯
¯
¯
+C
3
khi x >2.
Do f
µ
1
2
¶
+ f
µ
3
2
¶
=2018 ⇔
1
2
µ
ln3+ln
1
3
¶
+2C
2
=2018 ⇔C
2
=1009.
Lại có f (−2)+ f (4) =0 ⇔
1
2
µ
ln2+ln
1
2
¶
+C
1
+C
3
=0 ⇔C
1
+C
3
=0.
Do đó T = f (−1)+ f (1)+ f (5) =
1
2
µ
ln3+ln1+ln
3
5
¶
+C
1
+C
2
+C
3
=
1
2
ln
9
5
+1009.
Chọn đáp án B ä
Câu 22. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn
Z
f
¡
p
x +1
¢
p
x +1
dx =
2
¡
p
x +1+3
¢
x +5
+C. Nguyên hàm
của hàm số f (2x) trên tập R
+
là
A.
x +3
2
¡
x
2
+4
¢
+C. B.
x +3
x
2
+4
+C. C.
2x +3
4
¡
x
2
+1
¢
+C. D.
2x +3
8
¡
x
2
+1
¢
+C.
- Lời giải.
Đặt t =
p
x +1 ⇒
dx
p
x +1
=2dt.
Th.s Nguyễn Chín Em 177 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó
Z
f
¡
p
x +1
¢
p
x +1
dx =
Z
2f (t)dt.
Mà
Z
f
¡
p
x +1
¢
p
x +1
dx =
2
¡
p
x +1+3
¢
x +5
+C nên
Z
2f (t)dt =
2(t +3)
t
2
+4
+C.
Khi đó
Z
f (t)dt =
t +3
t
2
+4
+C
⇔
Z
f (2t)dt =
1
2
·
2t +3
4t
2
+4
+C
⇔
Z
f (2x)dx =
2x +3
4
¡
x
2
+1
¢
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 23. Giả sử F(x ) là một nguyên hàm của f (x) =
ln(x +3)
x
2
sao cho F(−2)+F(1) =0. Giá trị của F(−1)+
F(2) bằng
A.
7
3
ln2. B.
2
3
ln2+
3
6
ln5. C.
10
3
ln2−
5
6
ln5. D. 0.
- Lời giải.
F(x) =
Z
ln(x +3)
x
2
dx , (x >−3).
Đặt
u =ln(x +3)
dv =
1
x
2
dx
⇒
du =
1
x +3
dx
v =−
1
x
.
F(x) = −
1
x
ln(x +3)+
Z
1
x(x +3)
dx
= −
1
x
ln(x +3)+
1
3
Z
µ
1
x
−
1
x +3
¶
dx
= −
1
x
ln(x +3)+
1
3
ln
¯
¯
¯
x
x +3
¯
¯
¯
+C.
Suy ra
F(x) =
−
1
x
ln(x +3)+
1
3
ln
x
x +3
+C
1
khi x >0
−
1
x
ln(x +3)+
1
3
ln
−x
x +3
+C
2
khi −3 < x <0.
Khi đó
F(−2) =
1
3
ln2+C
2
.
F(1) =−ln4+
1
3
ln
1
4
+C
1
.
F(−2) +F(1) =0 ⇒C
1
+C
2
=
7
3
ln2.
F(−1) =ln2+
1
3
ln
1
2
+C
2
.
F(2) =−
1
2
ln5+
1
3
ln
2
5
+C
1
.
⇒F(−1)+F(2) =ln2+
1
3
ln
1
2
−
1
2
ln5+
1
3
ln
2
5
+C
1
+C
2
=
10
3
ln2−
5
6
ln5.
Chọn đáp án C ä
Câu 24. Biết
Z
(
sin2x −cos2x
)
2
dx = x +
a
b
cos4x +C, với a, b là các số nguyên dương,
a
b
là phân số tối
giản và C ∈R. Giá trị của a +b bằng
A. 5. B. 4. C. 2. D. 3.
Th.s Nguyễn Chín Em 178 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có
Z
(
sin2x −cos2x
)
2
dx =
Z
(
1−2sin2x cos2x
)
dx =
Z
(
1−sin4x
)
dx = x +
1
4
cos4x +C.
Mà
Z
(
sin2x −cos2x
)
2
dx = x +
a
b
cos4x +C nên
a =1
b =4
⇒a +b =5.
Chọn đáp án A ä
Câu 25. Tính I =
2018
Z
0
ln
(
1+2
x
)
(
1+2
−x
)
log
4
e
dx .
A. I =ln
2
¡
1+2
2018
¢
−ln
2
2. B. I =ln
2
¡
1+2
2018
¢
−ln4.
C. I =ln
¡
1+2
2018
¢
−ln2. D. I =ln
2
¡
1+2
−2018
¢
−ln
2
2.
- Lời giải.
Đặt t =ln(1+2
x
), ta có dt =
2
x
ln2
1+2
x
=
ln2
1+2
−x
dx . Đổi cận: x =0 ⇒ t =ln2; x =2018 ⇒ t =ln
¡
1+2
2018
¢
.
Khi đó I =
ln
(
1+2
2018
)
Z
ln2
t
ln2.log
4
e
dt =
µ
1
log
4
2
·
t
2
2
¶
¯
¯
¯
ln
(
1+2
2018
)
ln2
=ln
2
¡
1+2
2018
¢
−ln
2
2.
Chọn đáp án A ä
Câu 26. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số y = 4cos
4
x −3cos
2
x. F(x) là nguyên hàm của hàm số nào
dưới đây?
A. F(x) =
cos4x
8
+
cos2x
4
+C. B. F(x) =sin
3
xcos x +C.
C. F(x) =−sinxcos
3
x +C. D. F(x) =
sin4x
8
+
sin2x
4
+C.
- Lời giải.
Ta có 4cos
4
x −3cos
2
x =
cos4x
2
+2cos2x +
3
2
−
3(cos2x +1)
2
=
cos4x
2
+
cos2x
2
.
F(x) =
Z
µ
cos4x
2
+
cos2x
2
¶
dx =
sin4x
8
+
sin2x
4
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 27. Cho F
(
x
)
là một nguyên hàm của hàm số f
(
x
)
=e
3
p
x
và F
(
0
)
=2. Hãy tính F
(
−1
)
.
A. 6−
15
e
. B. 4−
10
e
. C.
15
e
−4. D.
10
e
.
- Lời giải.
Xét I =
Z
f
(
x
)
dx =
Z
e
3
p
x
dx .
Đặt t =
3
p
x suy ra t
3
= x nên 3t
2
dt =dx khi đó I =
Z
3t
2
e
t
dt.
Theo công thức tích phân từng phần
I =3t
2
e
t
−3
Z
2te
t
dt =3t
2
e
t
−3
µ
2te
t
−
Z
2e
t
dt
¶
=3t
2
e
t
−3
¡
2te
t
−2e
t
¢
+C
Suy ra I =
Z
f
(
x
)
dx =3
3
p
x
2
·e
3
p
x
−3
³
2
3
p
x ·e
3
p
x
−2e
3
p
x
´
+C
hay F
(
x
)
=3
3
p
x
2
·e
3
p
x
−3
³
2
3
p
x ·e
3
p
x
−2e
3
p
x
´
+C.
Do F
(
0
)
=2 suy ra 6+C =2 ⇔C =−4. Khi đó F
(
−1
)
=
3
e
−3
µ
−
2
e
−
2
e
¶
−4 =
15
e
−4.
Chọn đáp án C ä
Câu 28. Cho hàm số f (x) xác định trên R \ {−1;1} thỏa mãn f
0
(x ) =
1
x
2
−1
. Biết f (3) + f (−3) = 4 và
f
µ
1
3
¶
+ f
µ
−
1
3
¶
=2. Tính giá trị của biểu thức T = f (−5) + f (0)+ f (2).
Th.s Nguyễn Chín Em 179 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. T =5−
1
2
ln2. B. T =6 −
1
2
ln2. C. T =5+
1
2
ln2. D. T =6+
1
2
ln2.
- Lời giải.
Ta có
Z
1
x
2
−1
dx =
1
2
Z
µ
1
x −1
−
1
x +1
¶
dx =
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +1
¯
¯
¯
¯
+C.
Do hàm số f (x) liên tục trên các khoảng (−∞;−1), (−1;1), (1;+∞) nên
f (x) =
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +1
¯
¯
¯
¯
+C
1
khi x ∈(1;+∞),
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +1
¯
¯
¯
¯
+C
2
khi x ∈(−∞;−1),
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +1
¯
¯
¯
¯
+C
3
khi x ∈(−1;1).
Theo đề bài ta có
f (−3) =
1
2
ln2+C
2
,
f (3) =
1
2
ln
1
2
+C
1
.
Mà
f (3)+ f (−3) =4 ⇔ C
1
+C
2
=4. (1)
Tương tự
f
µ
1
3
¶
+ f
µ
−
1
3
¶
=2 ⇔2C
3
=2 ⇔C
3
=1.
Ta có
f (−5) =
1
2
ln
3
2
+C
2
f (0) =1
f (2) =
1
2
ln
1
3
+C
1
⇒ f (−5) + f (0) + f (2) =
1
2
ln
1
2
+1+C
1
+C
2
.
Từ (1) suy ra f (−5)+ f (0)+ f (2) =−
1
2
ln2+1+C
1
+C
2
=−
1
2
ln2+5.
Chọn đáp án A ä
Câu 29. Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) =
x
2
+x +1
x +1
và F(0) =2018. Tính F(−2).
A. F(−2) không xác định. B. F(−2) =2.
C. F(−2) =2018. D. F(−2) =2020.
- Lời giải.
Z
f (x)dx =
Z
µ
x +
1
x +1
¶
dx =
x
2
2
+ln|x +1|+C.
Ta có F(0) =2018 nên C =2018.
Suy ra F(−2) =2020.
Chọn đáp án D ä
Câu 30. Biết F(x) = (ax
2
+bx + c)e
x
là một nguyên hàm của hàm số f (x) = (x
2
+5x +5)e
x
. Giá trị của
2a +3b +c là
A. 10. B. 6. C. 8. D. 13.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 180 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có F
0
(x ) =(ax
2
+bx +c)e
x
+(2ax +b)e
x
=(ax
2
+(2a +b)x +b +c)e
x
.
Từ giả thiết ta có hệ
a =1
2a +b =5
b +c =5
⇔
a =1
b =3
c =2.
Vậy 2a +3b +c =13.
Chọn đáp án D ä
Câu 31. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x −1 thỏa mãn F(0) = −1. Đồ thị của hai hàm số
y = f (x) và y =F(x) có bao nhiêu điểm chung?
A. Không có. B. 1. C. 2. D. Vô số.
- Lời giải.
Ta có
F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
(4x −1)dx =2x
2
−x +C.
Vì F(0) =−1 nên
2·0
2
−0+C =−1 ⇔C =−1.
Vậy F(x) =2x
2
−x−1. Số điểm chung của hai đồ thị y = f (x) và y = F(x) bằng số nghiệm của phương trình
2x
2
−x −1 =4x −1
⇔ 2x
2
−5x =0
⇔
x =0
x =
5
2
.
Vậy đồ thị của hai hàm số y = f (x) và y = F(x) có 2 điểm chung.
Chọn đáp án C ä
Câu 32. Đặt A =
Z
cos
2
xdx, B =
Z
sin
2
xdx. Xác định A −B.
A. A −B =−
1
2
·sin2x +C. B. A −B =−cos2x +C.
C. A −B =−2cos2x +C. D. A −B =
1
2
·sin2x +C.
- Lời giải.
Ta có A −B =
Z
¡
cos
2
x −sin
2
x
¢
dx =
Z
cos2x dx =
1
2
sin2x +C.
Chọn đáp án D ä
Câu 33. Cho F(x) = x
2
là một nguyên hàm của hàm số f (x)e
2x
. Tìm nguyên hàm của hàm số f
0
(x )e
2x
.
A.
Z
f
0
(x )e
2x
dx =2x
2
−2x +C. B.
Z
f
0
(x )e
2x
dx =−x
2
+2x +C.
C.
Z
f
0
(x )e
2x
dx =−2x
2
+2x +C. D.
Z
f
0
(x )e
2x
dx =−x
2
+x +C.
- Lời giải.
Vì F(x) = x
2
là một nguyên hàm của hàm số f (x)e
2x
nên ta có f (x)e
2x
=F
0
(x ) =2x.
Đặt
u =e
2x
dv = f
0
(x )dx
⇒
du =2e
2x
dx
v = f (x)
. Khi đó, ta có
Z
f
0
(x )e
2x
dx =e
2x
· f (x)−2
Z
f (x)e
2x
dx =2x −2x
2
+C.
Chọn đáp án C ä
Th.s Nguyễn Chín Em 181 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 34. Xét hàm số f (x) xác định trên R\
{
−2;2
}
và thỏa mãn f
0
(x ) =
4
x
2
−4
, f (−3)+f (3) = f (−1)+f (1) =
2. Giá trị của biểu thức f (−4)+ f (0)+ f (4) bằng
A. 4. B. 1. C. 2. D. 3.
- Lời giải.
Ta có f (x) =
Z
f
0
(x )dx =
Z
4
x
2
−4
dx =4
Z
1
(x −2)(x +2)
dx =4
Z
1
4
µ
1
x −2
−
1
x +2
¶
dx
=ln
¯
¯
¯
¯
x −2
x +2
¯
¯
¯
¯
+c
Khi đó ta có f (−3)+ f (3) =ln5 +c +ln
1
5
+c =2 ⇒2c =2 ⇒ c =1.
Suy ra f (x) =ln
¯
¯
¯
¯
x −2
x +2
¯
¯
¯
¯
+1.
Do đó f (−4)+ f (0)+ f (4) =ln3+1+ln1+1+ln
1
3
+1 =3. Vậy f (−4)+ f (0)+ f (4) =3
Chọn đáp án D ä
Câu 35. Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
cos
2
x
+m thoả mãn F(0) = 0 và F
³
π
4
´
= 2. Giá trị
của m bằng
A.
4
π
. B. −
4
π
. C. −
π
4
. D.
π
4
.
- Lời giải.
Ta có
F(x) =
Z
1
cos
2
x
+mdx =tan x +mx +C.
Theo giả thiết ta có
F(0) =0
F
³
π
4
´
=2
⇔
tan0+C =0
tan
π
4
+
π
4
m +C =2
⇔
C =0
1+
π
4
m =2
⇔
C =0
m =
4
π
.
Vậy m =
4
π
.
Chọn đáp án A ä
Câu 36. Biết F(x) = (ax
2
+bx + c)
p
x (a, b, c ∈ R) là nguyên hàm của hàm số f (x) =
2x
2
−3x +2
p
x
trên
khoảng (0;+∞). Tính tổng S =5a +4b +3c.
A. S =14. B. S =12. C. S =7. D. S =8.
- Lời giải.
Do F(x) là một nguyên hàm của f (x) nên F
0
(x ) = f (x),∀x ∈(0;+∞).
Ta có
F
0
(x ) =(2ax +b)
p
x +
ax
2
+bx +c
2
p
x
=
5ax
2
+3bx +c
2
p
x
Vì F
0
(x ) = f (x),∀x ∈(0;+∞), nên
5ax
2
+3bx +c
2
p
x
=
2x
2
−3x +2
p
x
,∀x ∈(0;+∞). Hay
5ax
2
+3bx +c =4x
2
−6x +4,∀x ∈(0;+∞).
Đồng nhất các hệ số, được
a =
4
5
b =−2
c =4
. Vậy S =5·
4
5
+4·(−2) +3·4 =8.
Th.s Nguyễn Chín Em 182 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án D ä
Câu 37. Một nguyên hàm của hàm số f (x) =sin
2
x ·cos
3
x có dạng là F(x) =−
a
b
sin
5
x +
c
d
sin
3
x, với
a
b
và
c
d
là phân số tối giản và a, b, c,d là các số nguyên dương. Tính T = a +b +c +d.
A. Đáp án khác. B. T =11. C. T =10. D. T =9.
- Lời giải.
Ta có
F(x) =
Z
sin
2
x ·cos
3
xdx
=
Z
sin
2
x ·cos
2
x ·cos x dx
=
Z
sin
2
x ·
¡
1−sin
2
x
¢
d
(
sin x
)
=
Z
¡
sin
2
x −sin
4
x
¢
d
(
sin x
)
= −
1
5
sin
5
x +
1
3
sin
3
x +C.
Vậy a =1, b =5, c =1, d =3 ⇒ T =a +b +c +d =10.
Chọn đáp án C ä
Câu 38. Xét hàm số f (x) = x
2
+ax +ln
|
bx +1
|
+c với a, b, c ∈ R. Biết f
0
(x ) =
4x
2
+4x +3
2x +1
và f (0) = 1.
Tính giá trị S = c(2a −b)
2
.
A.
2
3
. B. 1. C. 4. D. 0.
- Lời giải.
f (x) =
Z
f
0
(x )dx =
Z
4x
2
+4x +3
2x +1
dx =
Z
µ
2x +1+
2
2x +1
¶
dx = x
2
+x +ln
|
2x +1
|
+C.
Suy ra a =1, b =2.
Lại có: f (0) =1 ⇒C =1 hay c =1. Vậy S = c(2a −b)
2
=0.
Chọn đáp án D ä
Câu 39. Tìm F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =3x
2
+e
x
−1, biết F(0) =2.
A. F(x) =6x +e
x
−x −1. B. F(x) = x
3
+
1
e
x
−x +1.
C. F(x) = x
3
+e
x
−x +1. D. F(x) = x
3
+e
x
−x −1.
- Lời giải.
Ta có
Z
(3x
2
+e
x
−1)dx = x
3
+e
x
−x +C.
Mặt khác F(0) =2 ⇒ C =1 ⇒F(x) = x
3
+e
x
−x +1.
Chọn đáp án C ä
Câu 40. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
x
2
+x −2
là
A.
Z
f (x)dx =ln
¯
¯
¯
¯
x +2
x −1
¯
¯
¯
¯
+C. B.
Z
f (x)dx =
1
3
ln
¯
¯
¯
¯
x +2
x −1
¯
¯
¯
¯
+C.
C.
Z
f (x)dx =ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +2
¯
¯
¯
¯
+C. D.
Z
f (x)dx =
1
3
ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +2
¯
¯
¯
¯
+C.
- Lời giải.
Z
1
x
2
+x −2
dx =
1
3
Z
µ
1
x −1
−
1
x +2
¶
dx =
1
3
ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +2
¯
¯
¯
¯
+C.
Chọn đáp án D ä
Th.s Nguyễn Chín Em 183 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 41. Cho hàm số f (x) 6= 0 thỏa mãn điều kiện f
0
(x ) = (2x +3)f
2
(x ) và f (0) = −
1
2
. Biết rằng tổng
f (1)+ f (2) + f (3) +···+ f (2017) + f (2018) =
a
b
với
(
a ∈Z, b ∈N
∗
)
và
a
b
là phân số tối giản. Mệnh đề nào
sau đây đúng?
A.
a
b
<−1. B.
a
b
>1. C. a +b =1010. D. b −a =3029.
- Lời giải.
Ta có
f
0
(x ) =(2x +3)f
2
(x ) ⇒
f
0
(x )
f
2
(x )
=2x +3 ⇒
Z
f
0
(x )
f
2
(x )
dx =
Z
(2x +3)dx ⇔−
1
f (x)
= x
2
+3x +C.
Vì f (0) =−
1
2
⇒C =2.
Vậy f (x) =−
1
(x +1)(x +2)
=
1
x +2
−
1
x +1
.
Do đó f (1)+ f (2)+ f (3) +···+ f (2017) + f (2018) =
1
2020
−
1
2
=−
1009
2020
.
Vậy a =−1009; b =2020. Do đó b −a =3029.
Chọn đáp án D ä
Câu 42. Biết F(x) là một nguyên hàm của f (x) =
1−sin
3
x
sin
2
x
và F
³
π
4
´
=
p
2
2
. Có bao nhiêu số thực x ∈
(0;2018π) để F(x) =1.
A. 2018. B. 1009. C. 2017. D. 2016.
- Lời giải.
Ta có f (x) =
1
sin
2
x
−sinx, suy ra F(x) =−cot x +cosx +C.
Do F
³
π
4
´
=
p
2
2
nên C =1, khi đó F(x) =−cotx +cosx +1.
Vậy F(x) =1 ⇔cot x −cos x =0 ⇔
cos x =0
sin x =1
⇔ x =
π
2
+kπ, k ∈Z.
Do x ∈ (0;2018π) ⇒ 0 <
π
2
+kπ < 2018π ⇒0 <
1
2
+k, từ đó suy ra có 2018 số thực thỏa mãn yêu cầu bài
toán.
Chọn đáp án A ä
Câu 43. Biết
Z
xcos2xdx =ax sin2x +b cos2x +C với a, b là các số hữu tỉ. Tính tích ab.
A. ab =
1
8
. B. ab =
1
4
. C. ab =−
1
8
. D. ab =−
1
4
.
- Lời giải.
Đặt
u = x
dv =cos2xdx
⇒
du = dx
v =
sin2x
2
. Khi đó
Z
xcos2xdx =
1
2
xsin2x −
1
2
Z
sin2x dx
=
1
2
xsin2x +
1
4
cos2x +C.
Suy ra a =
1
2
, b =
1
4
⇒ab =
1
8
.
Chọn đáp án A ä
Câu 44. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =2x +1.
A.
Z
f (x)dx =(2x +1)
2
+C. B.
Z
f (x)dx =
1
2
(2x +1)
2
+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 184 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
C.
Z
f (x)dx =
1
4
(2x +1)
2
+C. D.
Z
f (x)dx =2(2x +1)
2
+C.
- Lời giải.
Z
f (x)dx =
Z
(2x +1)dx =
1
2
·
(2x +1)
2
2
+C =
1
4
(2x +1)
2
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 45. F(x) là một nguyên hàm của hàm số y =2sin x cos3x và F(0) =0, khi đó
A. F(x) =cos4x −cos2x. B. F(x) =
cos2x
4
−
cos4x
8
−
1
8
.
C. F(x) =
cos2x
2
−
cos4x
4
−
1
4
. D. F(x) =
cos4x
4
−
cos2x
2
+
1
4
.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
2sin x cos3x dx =
Z
(
−sin2x +sin4x
)
dx =
cos2x
2
−
cos4x
4
+C.
Vì F(0) =0, suy ra C =−
1
4
.
Vậy F(x) =
cos2x
2
−
cos4x
4
−
1
4
.
Chọn đáp án C ä
Câu 46. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =3
x
−2x là
A. F(x) =
3
x
ln3
−x
2
−1. B. F(x) =
3
x
ln3
−2. C. F(x) =
3
x
ln3
−
x
2
2
. D. F(x) =3
x
ln3−x
2
.
- Lời giải.
Ta có
Z
(3
x
−2x)dx =
3
x
ln3
−x
2
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 47. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =3x
2
+sinx là
A. x
3
+cosx +C. B. x
3
+sinx +C. C. x
3
−cosx +C. D. x
3
−sinx +C.
- Lời giải.
Z
(3x
2
+sinx)dx = x
3
−cosx +C.
Chọn đáp án C ä
Câu 48. Cho f (x), g(x) là các hàm số xác định và liên tục trên R. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào
sai?
A.
Z
[
2f (x)+3g(x)
]
dx =2
Z
f (x)dx +3
Z
g(x)dx.
B.
Z
[
f (x) − g (x)
]
dx =
Z
f (x)dx −
Z
g(x)dx.
C.
Z
2f (x)dx =2
Z
f (x)dx.
D.
Z
f (x)g(x)dx =
Z
f (x)dx ·
Z
g(x)dx.
- Lời giải.
Z
f (x)g(x)dx =
Z
f (x)dx ·
Z
g(x)dx là mệnh đề sai.
Chọn đáp án D ä
Câu 49. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =e
4x
.
A.
Z
e
4x
dx =
1
4
e
4x
+C. B.
Z
e
4x
dx =4e
x
+C. C.
Z
e
4x
dx =e
4x
+C. D.
Z
e
4x
dx =4e
4x
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
e
4x
dx =
1
4
e
4x
+C.
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 185 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 50. Biết
Z
(x−2)sin3x dx =−
(x −a)cos3x
b
+
1
c
sin3x+2017, trong đó a, b, c là các số nguyên dương.
Khi đó S = ab +c bằng
A. S =15. B. S =10. C. S =14. D. S =3.
- Lời giải.
Đặt
u = x −2
dv =sin3xdx
. Khi đó
du =dx
v =−
1
3
cos3x.
Do đó
Z
(x −2)sin3xdx = −
1
3
(x −2)cos3x +
1
3
Z
cos3x dx
= −
(x −2)cos3x
3
+
1
9
sin3x +C
= −
(x −2)cos3x
3
+
1
9
sin3x +2017 (với C =2017).
Như vậy a =2, b =3, c =9. Do đó S =2·3+9 =15.
Chọn đáp án A ä
Câu 51. Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) =5x
4
−6x
2
+1 là
A. 20x
3
−12x +C. B. x
5
−2x
3
+x +C. C. 20x
5
−12x
3
+x +C. D.
x
4
4
+2x
2
−2x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
¡
5x
4
−6x
2
+1
¢
dx = x
5
−2x
3
+x +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 52. Cho số thực x >0. Chọn đẳng thức đúng trong các khẳng định sau
A.
Z
ln x
x
dx =2ln x +C. B.
Z
ln x
x
dx =2ln
2
x +C.
C.
Z
ln x
x
dx =ln
2
x +C. D.
Z
ln x
x
dx =
1
2
ln
2
x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
ln x
x
dx =
Z
ln x d
(
ln x
)
=
1
2
ln
2
x +C.
Chọn đáp án D ä
Câu 53. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =sin x +2cos x biết F
³
π
2
´
=0 là
A. F(x) =2sinx −cosx +2. B. F(x) =2sin x −cos x −2.
C. F(x) =−2sinx −cosx +2. D. F(x) =sin x −2cos x −2.
- Lời giải.
Ta có
Z
(
sin x +2cos x
)
dx =−cos x +2sinx +C.
Do F
³
π
2
´
=0 nên C =−2. Vậy F(x) =2sin x −cosx −2.
Chọn đáp án B ä
Câu 54. Nguyên hàm của hàm số f (x) =cos(2x +1) là
A. 2sin(2x +1)+C. B. sin(2x +1)+C. C.
1
2
sin(2x +1)+C. D. −
1
2
sin(2x +1)+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
cos(2x +1)dx =
1
2
Z
cos(2x +1)d(2x +1) =
1
2
sin(2x +1)+C.
Chọn đáp án C ä
Th.s Nguyễn Chín Em 186 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 55. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
Z
cos x dx =sin x −C. B.
Z
1
sin
2
x
dx =−cot x +3C.
C.
Z
sin x dx =cos x +C. D.
Z
1
cos
2
x
dx =tan x −5+C.
- Lời giải.
Z
sin x dx =cos x +C sai vì
(
cos x +C
)
0
=−sinx .
Các nguyên hàm:
Z
cos x dx =sin x −C đúng vì
(
sin x −C
)
0
=cos x.
Z
1
sin
2
x
dx =cot x −3C đúng vì
(
−cot x +3C
)
0
=
1
sin
2
x
.
Z
1
cos
2
x
dx =tan x −5+C đúng vì
(
tan x −5+C
)
0
=
1
cos
2
x
.
Chọn đáp án C ä
Câu 56. Xét nguyên hàm I =
Z
x
p
x +2dx. Nếu đặt t =
p
x +2 thì ta được
A. I =
Z
¡
t
4
−2t
2
¢
dt. B. I =
Z
¡
4t
4
−2t
2
¢
dt. C. I =
Z
¡
2t
4
−4t
2
¢
dt. D. I =
Z
¡
2t
4
−t
2
¢
dt.
- Lời giải.
Đặt t =
p
x +2 ⇔ t
2
= x +2. Vi phân hai vế ta được 2tdt = dx.
Khi đó I =
Z
¡
t
2
−2
¢
·t ·2t dt =
Z
¡
2t
4
−4t
2
¢
dt.
Chọn đáp án C ä
Câu 57. Họ các nguyên hàm của hàm số y = x sinx là
A. −xcos x +C. B. −x cosx +sin x +C. C. −xsin x +cosx +C. D. x
2
sin
x
2
+C.
- Lời giải.
Đặt u = x,v
0
= sin x ta có u
0
= 1,v = −cos x. Khi đó áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có
I =
Z
uv
0
dx = uv −
Z
u
0
vdx +C =−x cosx +sin x +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 58. Nguyên hàm của hàm số f (x) =
1+cos4x
2
là
A.
x
2
+
1
8
sin2x +C. B.
x
2
+
1
2
sin4x +C. C.
x
2
+
1
8
sin4x +C. D.
x
2
+
1
4
sin4x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
µ
1
2
+
cos4x
2
¶
dx =
1
2
x +
sin4x
8
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 59. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
Z
e
x
2
dx =2
p
e
x
+C. B.
Z
sin2x dx =−2cos2x +C.
C.
Z
dx
x
=ln x +C. D.
Z
2
x
dx =2
x
·ln2+C.
- Lời giải.
Bằng cách so sánh hàm dưới dấu nguyên hàm với đạo hàm của các hàm ở vế phải tương ứng ở các phương
án, ta thấy chỉ có một trường hợp cho kết quả đúng, là
¡
2
p
e
x
+C
¢
0
=e
x
2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 60. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
4
1−4x
trên khoảng
µ
−∞;
1
4
¶
thỏa mãn F(0) =10.
Tính F(−1).
Th.s Nguyễn Chín Em 187 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. F(−1) =10 −4ln5. B. F(−1) =10+4ln5. C. F(−1) =10+ln5. D. F(−1) =10−ln5.
- Lời giải.
Do F(x) là một nguyên hàm của f (x) =
4
1−4x
nên F(x) có dạng F(x) =−ln|1−4x|+C. Lại có F(0) =10
nên C =10. Vậy F(−1) =−ln5 +10.
Chọn đáp án D ä
Câu 61. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =e
3x
¡
1−3e
−5x
¢
.
A.
Z
f (x)dx =
1
3
e
3x
+
3
2
e
−2x
+C. B.
Z
f (x)dx =
1
3
e
3x
−
3
2
e
−2x
+C.
C.
Z
f (x)dx =e
3x
−3e
−2x
+C. D.
Z
f (x)dx =3e
3x
+6e
−2x
+C.
- Lời giải.
Ta có f (x) =e
3x
¡
1−3e
−5x
¢
=e
3x
−3e
−2x
. Do đó,
Z
f (x)dx =
1
3
e
3x
+
3
2
e
−2x
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 62. Xét trên khoảng (0;+∞), hàm số nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
x
2
−1
x
2
?
A. F
1
(x ) =
x
2
−x +1
x
. B. F
2
(x ) =
x
2
+1
x
. C. F
3
(x ) =
x
2
+2x +1
x
. D. F
4
(x ) =
x
2
−1
x
.
- Lời giải.
Do (F
4
(x ))
0
=
µ
x −
1
x
¶
0
=1 +
1
x
2
, trong khi f (x) =1−
1
x
2
nên F
4
(x ) không phải là một nguyên hàm của f (x).
Chọn đáp án D ä
Câu 63. Hàm số F(x) =e
x
2
là nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. f (x) = x
2
e
x
2
+3. B. f (x) =2x
2
e
x
2
+C. C. f (x) =2xe
x
2
. D. f (x) = xe
x
2
.
- Lời giải.
Ta có F
0
(x ) =
³
e
x
2
´
0
=(x
2
)
0
·e
x
2
=2xe
x
2
.
Vậy F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) =2xe
x
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 64. Nguyên hàm của hàm số y =e
−3x+1
là
A.
1
3
e
−3x+1
+C. B. −
1
3
e
−3x+1
+C. C. 3e
−3x+1
+C. D. −3e
−3x+1
+C.
- Lời giải.
Áp dụng công thức
Z
e
ax+b
dx =
1
a
e
ax+b
+C, ta được
Z
e
−3x+1
dx =−
1
3
e
−3x+1
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 65. Họ nguyên hàm của f (x) =
2x
4
+3
x
2
là
A.
2x
3
3
−3ln|x|+C. B.
2x
3
3
+3ln x +C. C.
2x
3
3
−
3
x
+C. D.
2x
3
3
+
3
x
+C.
- Lời giải.
Z
2x
4
+3
x
2
dx =
Z
µ
2x
2
+
3
x
2
¶
dx =
2x
3
3
−
3
x
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 66. Để hàm số F(x) = mx
3
+(3m +2)x
2
−4x +3 là một nguyên hàm của hàm số f (x) =3x
2
+10x −4
thì giá trị của m là
Th.s Nguyễn Chín Em 188 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. m =−1. B. m =2. C. m =0. D. m =1.
- Lời giải.
Ta có F
0
(x ) =3mx
2
+2(3m +2)x −4. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) thì
3mx
2
+2(3m +2)x −4 =3x
2
+10x −4, ∀x ∈R.
Đồng nhất hai vế, thu được m =1.
Chọn đáp án D ä
Câu 67. Họ nguyên hàm
Z
x
3
p
x
2
+1dx bằng
A.
1
8
3
p
x
2
+1+C. B.
3
8
3
p
x
2
+1+C. C.
3
8
3
p
(x
2
+1)
4
+C. D.
1
8
3
p
(x
2
+1)
4
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
x
3
p
x
2
+1dx =
1
2
Z
(x
2
+1)
1
3
d(x
2
+1) =
3
8
3
p
(x
2
+1)
4
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 68. Tính I =
Z
8sin3xcos xdx = acos4x +b cos2x +C. Khi đó a −b bằng
A. 3. B. −1. C. 1. D. 2.
- Lời giải.
Ta có I =4
Z
(sin4x +sin2x)dx =−cos4x −2cos2x +C ⇒
a =−1
b =−2
⇒a −b =1.
Chọn đáp án C ä
Câu 69. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
3
3x +1
là
A. ln|3x +1|+C. B.
1
3x +1
+C. C.
9
(3x +1)
2
+C. D. 3ln|3x +1|+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
3
3x +1
dx =ln|3x +1|+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 70. Tìm họ nguyên hàm của hàm số y =
1
(x +1)
2
.
A.
Z
1
(x +1)
2
dx =
2
(x +1)
3
+C. B.
Z
1
(x +1)
2
dx =
−1
x +1
+C.
C.
Z
1
(x +1)
2
dx =
1
x +1
+C. D.
Z
1
(x +1)
2
dx =
−2
(x +1)
3
+C.
- Lời giải.
Z
1
(x +1)
2
dx =
Z
1
(x +1)
2
d(x +1) =
−1
x +1
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 71. Cho hàm số f (x) liên tục trên [a; b]. Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên [a;b] và
u(x) ∈[α;β], ∀x ∈[a; b], hơn nữa f (u) liên tục trên đoạn [α;β]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
b
Z
a
f (u(x))·u
0
(x )dx =
b
Z
a
f (u)du. B.
u(b)
Z
u(a)
f (u(x))·u
0
(x )dx =
b
Z
a
f (u)du.
C.
b
Z
a
f (u(x))·u
0
(x )dx =
u(b)
Z
u(a)
f (u)du. D.
b
Z
a
f (u(x))·u
0
(x )dx =
b
Z
a
f (x)du.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 189 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
b
Z
a
f (u(x))·u
0
(x )dx =
u(b)
Z
u(a)
f (u)du.
Chọn đáp án C ä
Câu 72. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =2
2x
.
A. F(x) =2
2x
·ln2. B. F(x) =
2
2x
ln2
+C. C. F(x) =
4
x
ln4
+C. D. F(x) =4
x
·ln4+C.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
2
2x
dx =
Z
4
x
dx =
4
x
ln4
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 73. Nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
1−2x
là
A.
Z
f (x)dx =ln|1−2x|+C. B.
Z
f (x)dx =−2ln|1−2x|+C.
C.
Z
f (x)dx =2ln|1−2x|+C. D.
Z
f (x)dx =−
1
2
ln|1−2x|+C.
- Lời giải.
Z
dx
1−2x
=−
1
2
Z
d(1−2x)
1−2x
=−
1
2
ln|1−2x|+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 74. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) =sin(2x +1) là
A.
Z
f (x)dx =−
1
2
cos(2x +1)+C. B.
Z
f (x)dx =
1
2
cos(2x +1)+C.
C.
Z
f (x)dx =−
1
2
cos(2x +1). D.
Z
f (x)dx =cos(2x +1).
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
sin(2x +1)dx =−
1
2
cos(2x +1)+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 75. Chọn công thức đúng trong các công thức dưới đây.
A.
Z
ln x
x
dx =2ln x +C. B.
Z
ln x
x
dx =2ln
2
x +C.
C.
Z
ln x
x
dx =ln
2
x +C. D.
Z
ln x
x
dx =
1
2
ln
2
x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
ln x
x
dx =
Z
ln x d(lnx) =
ln
2
x
2
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 76. F(x) =(ax
3
+bx
2
+cx +d)e
−x
+2018e là một nguyên hàm của hàm số f (x) =(−2x
3
+3x
2
+7x −
2)e
−x
. Khi đó
A. a +b +c +d =4. B. a +b +c +d =6. C. a +b +c +d =5. D. a +b +c +d =7.
- Lời giải.
Ta có F
0
(x ) =e
−x
(−ax
3
+(3a −b)x
2
+(2b −c)x +c −d) và F
0
(x ) = f (x) suy ra a =2;b =3; c =−1;d =1, do
đó a +b +c +d =5.
Chọn đáp án C ä
Câu 77. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x
2018
là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
A. F(x) =2017 ·x
2018
+C,(C ∈R). B. F(x) =
1
2019
x
2019
+C,(C ∈R).
C. F(x) = x
2019
+C,(C ∈R). D. F(x) =2018 ·x
2017
+C,(C ∈R).
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 190 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
Z
x
2018
dx =
1
2019
x
2019
+C,(C ∈R).
Chọn đáp án B ä
Câu 78. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =e
x
+2x thỏa mãn F(0) =
3
2
. Tìm F(x).
A. F(x) =e
x
+x
2
+
5
2
. B. F(x) =2e
x
+x
2
−
1
2
. C. F(x) =e
x
+x
2
+
3
2
. D. F(x) =e
x
+x
2
+
1
2
.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
f (x)dx =e
x
+x
2
+C.
Theo bài ra F(0) =
3
2
⇒C +1 =
3
2
⇒C =
1
2
.
Vậy F(x) =e
x
+x
2
+
1
2
.
Chọn đáp án D ä
Câu 79. Hàm số F(x) =
1
4
ln
4
x +C là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
A. f (x) =
ln
3
x
x
. B. f (x) =
1
xln
3
x
. C. f (x) =
x
ln
3
x
. D. f (x) =
xln
3
x
3
.
- Lời giải.
Ta có F
0
(x ) =
1
x
ln
3
x.
Chọn đáp án A ä
Câu 80. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =e
x
+cosx +2018 là
A. F(x) =e
x
+sinx +2018x +C. B. F(x ) =e
x
−sinx +2018x +C.
C. F(x) =e
x
+sinx +2018x. D. F(x) =e
x
+sinx +2018+C.
- Lời giải.
Ta có
F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
¡
e
x
+cosx +2018
¢
dx =e
x
+sinx +2018x +C.
Chọn đáp án A ä
Câu 81. Tìm hàm số F(x) biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
p
x và F(1) =1.
A. F(x) =
2
3
x
p
x. B. F(x) =
2
3
x
p
x +
1
3
. C. F(x) =
1
2
p
x
+
1
2
. D. F(x) =
2
3
x
p
x −
5
3
.
- Lời giải.
Xét
Z
p
xdx
Đặt t =
p
x ⇒ t
2
= x và dx =2dt. Khi đó
Z
p
xdx trở thành
Z
t ·2t dt =
2
3
t
3
+C.
Như vậy
Z
p
xdx =
2
3
x
p
x +C ⇒ F(x) =
2
3
x
p
x +C.
Vì F(1) =1 nên C =
1
3
.
Vậy F(x) =
2
3
x
p
x +
1
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 82. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =3
p
x +x.
A.
Z
¡
3
p
x +x
¢
dx = x
p
x +
x
2
2
+C. B.
Z
¡
3
p
x +x
¢
dx =
3
2
x
p
x +
x
2
2
+C.
C.
Z
¡
3
p
x +x
¢
dx =2x
p
x +
x
2
2
+C. D.
Z
¡
3
p
x +x
¢
dx =
2
3
x
p
x +
x
2
2
+C.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 191 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Z
¡
3
p
x +x
¢
dx =
Z
µ
3x
1
2
+x
¶
dx =2x
3
2
+
x
2
2
+C =2x
p
x +
x
2
2
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 83. Cho bốn mệnh đề sau
I)
Z
cos
2
xdx =
cos
3
x
3
+C.
II)
Z
2x +1
x
2
+x +2018
dx =ln(x
2
+x +2018)+C.
III)
Z
3
x
¡
2
x
+3
−x
¢
dx =
6
x
ln6
+x +C.
IV)
Z
3
x
dx =3
x
·ln3+C.
Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai?
A. 3. B. 1. C. 2. D. 4.
- Lời giải.
Ta lần lượt xét 4 mệnh đề đã cho
Mệnh đề (I) sai vì
Z
cos
2
xdx =
Z
1+cos2x
2
dx =
1
2
µ
x +
sin2x
2
¶
+C.
Mệnh đề (I I) đúng vì
Z
2x +1
x
2
+x +2018
dx =
Z
d(x
2
+x +2018)
x
2
+x +2018
=ln(x
2
+x +2018)+C.
Mệnh đề (I I I) đúng vì
Z
3
x
¡
2
x
+3
−x
¢
dx =
Z
¡
6
x
+1
¢
dx =
6
x
ln6
+x +C.
Mệnh đề (IV ) sai vì
Z
3
x
dx =
3
x
ln3
+C.
Vậy có 2 mệnh đề đúng.
Chọn đáp án C ä
Câu 84. Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số: f (x) = x
2
−3x.
A. F(x) = x
3
−
3
2
x
2
+C. B. F(x) = x
3
−3x
2
+C.
C. F(x) =
x
3
3
−
3
2
x
2
+C. D. F(x) =2x −3+C.
- Lời giải.
Họ nguyên hàm của hàm f (x) = x
2
−3x là F(x) =
x
3
3
−
3x
2
2
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 85. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Nếu
Z
f (x)dx =F(x)+C thì
Z
f (u)du =F(u) +C.
B. Nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f (x) thì F(x) =G(x).
C.
Z
[
f
1
(x ) + f
2
(x )
]
dx =
Z
f
1
(x )dx +
Z
f
2
(x )dx.
D.
Z
k f (x)dx = k
Z
f (x)dx (k là hằng số và k 6=0).
Câu 86. Cho hàm số f (x) = x
3
−x
2
+2x−1. Gọi F(x) là một nguyên hàm của f (x). Biết rằng F(1) =4. Tìm
F(x).
Th.s Nguyễn Chín Em 192 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. F(x) =
x
4
4
−
x
3
3
+x
2
−x. B. F(x) =
x
4
4
−
x
3
3
+x
2
−x +1.
C. F(x) =
x
4
4
−
x
3
3
+x
2
−x +2. D. F(x) =
x
4
4
−
x
3
3
+x
2
−x +
49
12
.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
x
4
4
−
x
3
3
+x
2
−x +C.
F(1) =4 ⇒C =
49
12
.
Vậy F(x) =
x
4
4
−
x
3
3
+x
2
−x +
49
12
.
Chọn đáp án D ä
Câu 87. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = ax +
b
x
2
(
x 6=0
)
biết rằng F(−1) = 1; F(1) = 4;
f (1) =0.
A. F(x) =
3x
2
4
+
3
2x
+
7
4
. B. F(x) =
3x
2
4
−
3
2x
−
7
4
.
C. F(x) =
3x
2
2
+
3
4x
−
7
4
. D. F(x) =
3x
2
2
−
3
2x
−
1
2
.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
µ
ax +
b
x
2
¶
dx =
ax
2
2
−
b
x
+c.
Từ đó
F(−1) =1
F(1) =4
f (1) =0
⇔
a
2
+b +c =1
a
2
−b +c =4
a +b =0
⇔
a =
3
2
b =−
3
2
c =
7
4
.
Vậy F(x) =
3x
2
4
+
3
2x
+
7
4
.
Chọn đáp án A ä
Câu 88. Một nguyên hàm của f (x ) =(2x−1)e
1
x
là F(x) =
µ
ax
2
+bx +c +
d
x
¶
e
1
x
. Tính tổng a+b+c+d.
A. 1. B. 3. C. 0. D. 2.
- Lời giải.
Ta có
F
0
(x ) =
µ
2ax +b −
d
x
2
¶
e
1
x
+
µ
ax
2
+bx +c +
d
x
¶
e
1
x
·
µ
−1
x
2
¶
=
µ
2ax +(b −a) −
b
x
−
c +d
x
2
−
d
x
3
¶
e
1
x
= f (x).
Đồng nhất hệ số ta được
2a =2
b −a =−1
b =0
c +d =0
d =0
⇔
a =1
b =0
c =0
d =0
⇒a +b +c +d =1.
Chọn đáp án A ä
Câu 89. Nếu
Z
f (x)dx =
1
x
+ln|5x |+C với x ∈(0;+∞) thì hàm số f (x) là
A. f (x) =
p
x +
1
5x
. B. f (x) =−
1
x
2
+
1
5x
. C. f (x) =−
1
x
2
+
1
x
. D. f (x) =
1
x
2
+ln(5x).
Th.s Nguyễn Chín Em 193 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có f (x) =
µ
Z
f (x)dx
¶
0
=
µ
1
x
+ln|5x |+C
¶
0
=−
1
x
2
+
1
x
.
Chọn đáp án C ä
Câu 90. Tìm m để hàm số F(x) = mx
3
+(3m +2)x
2
−4x +3 là một nguyên hàm của hàm số f (x) =3x
2
+
10x −4.
A. m =3. B. m =1. C. m =2. D. m =0.
- Lời giải.
F(x) = mx
3
+(3m +2)x
2
−4x +3 =
Z
f (x)dx =
Z
¡
3x
2
+10x −4
¢
dx = x
3
+5x
2
−4x +C.
Khi đó
m =1
C =3.
Chọn đáp án B ä
Câu 91. Tính
Z
1
2x
2
+5x +2
dx .
A.
1
3
ln
¯
¯
¯
¯
x +2
2x +1
¯
¯
¯
¯
+C. B. ln
¯
¯
¯
¯
x +2
2x +1
¯
¯
¯
¯
+C. C.
1
3
ln
¯
¯
¯
¯
2x +1
x +2
¯
¯
¯
¯
+C. D. ln
¯
¯
2x
2
+5x +2
¯
¯
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
1
2x
2
+5x +2
dx =
Z
1
(2x +1)(x +2)
dx =
2
3
Z
1
2x +1
dx −
1
3
Z
1
x +2
dx
=
2
3
·
1
2
ln
|
2x +1
|
−
1
3
ln
|
x +2
|
+C
=
1
3
ln
¯
¯
¯
¯
2x +1
x +2
¯
¯
¯
¯
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 92. Nguyên hàm của hàm số f (x) =sin(2x +1) là
A. cos(2x +1)+C. B. −cos(2x +1)+C. C.
1
2
cos(2x +1)+C. D. −
1
2
cos(2x +1)+C.
- Lời giải.
Đặt u =2x +1 ⇒ du =2dx.
Khi đó, ta có
Z
sin(2x +1)dx =
1
2
Z
sinu du =−
1
2
cosu +C =−
1
2
cos(2x +1)+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 93. Phát biểu nào sau đây đúng?
A.
Z
cos2x dx =−2sin2x +C. B.
Z
cos2x dx =2sin2x +C.
C.
Z
cos2x dx =−
1
2
sin2x +C. D.
Z
cos2x dx =
1
2
sin2x +C.
- Lời giải.
Z
cos2x dx =
1
2
Z
cos2x d(2x) =
1
2
sin2x +C.
Chọn đáp án D ä
Câu 94. Phát biểu nào sau đây đúng?
A.
Z
e
x
sin x dx =e
x
cos x −
Z
e
x
cos x dx. B.
Z
e
x
sin x dx =−e
x
cos x +
Z
e
x
cos x dx.
C.
Z
e
x
sin x dx =e
x
cos x +
Z
e
x
cos x dx. D.
Z
e
x
sin x dx =−e
x
cos x −
Z
e
x
cos x dx.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 194 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
+ Đặt
u =e
x
dv =sin x dx
⇒
du =e
x
dx
v =−cosx.
+ Suy ra
Z
e
x
sin x dx =−e
x
cos x +
Z
e
x
cos x dx.
Chọn đáp án B ä
Câu 95. Khi tính nguyên hàm
Z
x −3
p
x +1
dx , bằng cách đặt u =
p
x +1 ta được nguyên hàm nào dưới
đây?
A.
Z
2(u
2
−4)u du. B.
Z
(u
2
−4)du. C.
Z
2(u
2
−4)du. D.
Z
(u
2
−3)du.
- Lời giải.
Đặt u =
p
x +1 ⇒ u
2
= x +1 ⇒2u du = dx. Thay vào ta được
Z
u
2
−1−3
u
·2u du =2(u
2
−4)du.
Chọn đáp án C ä
Câu 96. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =tan2x.
A.
Z
tan2x dx =2
¡
1+tan
2
2x
¢
+C. B.
Z
tan2x dx =−ln
|
cos2x
|
+C.
C.
Z
tan2x dx =
1
2
¡
1+tan
2
2x
¢
+C. D.
Z
tan2x dx =−
1
2
ln
|
cos2x
|
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
tan2x dx =
Z
sin2x
cos2x
dx =
1
2
Z
−d(cos2x)
cos2x
=−
1
2
ln|cos2x|+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 97. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =5
2x
.
A.
Z
5
2x
dx =2·
5
2x
ln5
+C. B.
Z
5
2x
dx =
25
x
2ln5
+C.
C.
Z
5
2x
dx =2·5
2x
+C. D.
Z
5
2x
dx =2·
25
x+1
x +1
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
5
2x
dx =
1
2
Z
5
2x
d(2x ) =
5
2x
2ln5
+C =
25
x
2ln5
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 98. Tìm nguyên hàm của hàm số F(x) =
Z
(
4x +1
)
ln x dx.
A. F(x) =
¡
2x
2
+x
¢
ln x +x
2
+x +C. B. F(x) =
¡
3x
2
+2x
¢
ln x +C.
C. F(x) =
¡
2x
2
+x
¢
ln x −x
2
−x +C. D. F(x) = x
2
ln x +C.
- Lời giải.
F(x) =
Z
(
4x +1
)
ln x dx =
Z
(2x
2
+x)
0
ln x dx =(2x
2
+x)lnx −
Z
(2x
2
+x)
1
x
dx
=(2x
2
+x)lnx −
Z
(2x +1)dx =(2x
2
+x)lnx −x
2
−x +C.
Chọn đáp án C ä
Câu 99. Một nguyên hàm của hàm số f (x) =2cos2x là
A. F(x) =−4sin2x. B. F(x) =4sin2x. C. F(x) =−sin2x. D. F(x) =sin2x.
- Lời giải.
Z
2cos2xdx =
Z
cos2xd(2x) =sin2x +C.
Chọn đáp án D ä
Th.s Nguyễn Chín Em 195 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 100. Nguyên hàm
Z
e
x
(e
x
−1)
3
dx =
a
b
(e
x
−1)
m
+C (với a, b ∈ Z,
a
b
là phân số tối giản). Tìm H =
a
2
+b −m.
A. H =−4. B. H =−1. C. H =4. D. H =1.
- Lời giải.
Z
e
x
(e
x
−1)
3
dx =
Z
(e
x
−1)
3
d
¡
e
x
−1
¢
=
1
4
¡
e
x
−1
¢
4
+C.
Suy ra a =1, b =4, m =4 nên H =a
2
+b −m =1.
Chọn đáp án D ä
Câu 101. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x
2
+8sin x và thỏa mãn F(0) = 2010. Tìm
F(x).
A. F(x) =6x −8cos x +2018. B. F(x) =6x +8cos x.
C. F(x) = x
3
−8cos x +2018. D. F(x) = x
3
−8cos x +2019.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
¡
3x
2
+8sin x
¢
dx = x
3
−8cos x +C.
Mặt khác F(0) =2010 ⇔−8+C =2010 ⇔C =2018.
Vậy F(x) = x
3
−8cos x +2018.
Chọn đáp án C ä
Câu 102. Một nguyên hàm của hàm số f (x) = x
p
1+x
2
là
A. F(x) =
1
3
³
p
1+x
2
´
3
. B. F(x) =
1
3
³
p
1+x
2
´
2
.
C. F(x) =
x
2
2
³
p
1+x
2
´
2
. D. F(x) =
1
2
³
p
1+x
2
´
2
.
- Lời giải.
Ta có
Z
x
p
1+x
2
dx =
1
2
Z
p
1+x
2
d(1+x
2
) =
1
3
³
p
1+x
2
´
3
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 103. Tính nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =e
2x
, biết F(0) =1.
A. F(x) =e
2x
. B. F(x) =e
2x
−1. C. F(x ) =e
x
. D. F(x ) =
e
2x
2
+
1
2
.
- Lời giải.
F(x) =
Z
e
2x
dx =
1
2
·e
2x
+C. Vì F(0) =1 nên C =
1
2
. Vậy F(x) =
e
2x
2
+
1
2
.
Chọn đáp án D ä
Câu 104. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x sin x là
A. F(x) =−xcos x −sinx +C. B. F(x) = x cosx −sinx +C.
C. F(x) =−xcos x +sinx +C. D. F(x) = xcos x +sinx +C.
- Lời giải.
F(x) =
Z
xsin xdx, đặt
u = x
dv =sin x dx
⇒
du = dx
v =−cosx.
Khi đó F(x) =−x cos x +
Z
cos x dx =−xcos x +sinx +C.
Chọn đáp án C ä
Câu 105. Hàm số F(x) =cos3x là nguyên hàm của hàm số
A. f (x) =
sin3x
3
. B. f (x) =−3sin3x. C. f (x) =3sin3x. D. f (x) =sin3x.
- Lời giải.
F
0
(x ) = f (x) =−3sin3x
Th.s Nguyễn Chín Em 196 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án B ä
Câu 106. Cho nguyên hàm I =
Z
x
p
1+2x
2
dx , khi thực hiện đổi biến u =
p
1+2x
2
thì ta được nguyên
hàm theo biến mới u là
A. I =
1
2
Z
u
2
du . B. I =
Z
u
2
du. C. I =2
Z
u du. D. I =
Z
u du.
- Lời giải.
Ta có: u =
p
1+2x
2
suy ra u
2
=1 +2x
2
.
Do đó
1
2
du = x dx. Suy ra I =
1
2
Z
u
2
du .
Chọn đáp án A ä
Câu 107. Tìm m để hàm số F(x) = mx
3
+(3m +2)x
2
−4x +3 là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
3x
2
+10x −4.
A. m =3. B. m =0. C. m =1. D. m =2.
- Lời giải.
Nguyên hàm của f (x) là x
3
+5x
2
−4x +C.
Do đó, F(x) là một nguyên hàm của f (x) khi và chỉ khi m =1.
Chọn đáp án C ä
Câu 108. Tính F(x) =
Z
xsin2xdx. Chọn kết quả đúng?
A. F(x) =
1
4
(2x cos2x +sin2x)+C. B. F(x) =−
1
4
(2x cos2x +sin2x)+C.
C. F(x) =−
1
4
(2x cos2x −sin2x)+C. D. F(x) =
1
4
(2x cos2x −sin2x)+C.
- Lời giải.
Đặt
u = x
dv =sin2xdx
⇒
du =dx
v =−
1
2
cos2x
Suy ra
Z
xsin2xdx =−
1
2
xcos2x +
1
2
Z
cos2xdx =−
1
2
xcos2x +
1
4
sin2x +C.
Vậy: F(x) =−
1
4
(2x cos2x −sin2x)+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 109. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
x −1
và F(2) =1. Tính F(3).
A. F(3) =ln2−1. B. F(3) =ln2+1. C. F(3) =
1
2
. D. F(3) =
7
4
.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
1
x −1
dx =ln
|
x −1
|
+C.
Theo đề F(2) =1 ⇔ln1 +C =1 ⇔ C =1.
Vậy F(3) =ln2+1 .
Chọn đáp án B ä
Câu 110. Cho hàm số f (x) =
4m
π
+sin
2
x. Tìm m để nguyên hàm F(x ) của f (x) thỏa mãn F(0) = 1 và
F
³
π
4
´
=
π
8
.
A. m =−
4
3
. B. m =−
3
4
. C. m =
4
3
. D. m =
3
4
.
- Lời giải.
Ta có
π
4
Z
0
µ
4m
π
+sin
2
x
¶
dx = F
³
π
4
´
−F(0)
Th.s Nguyễn Chín Em 197 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
⇔
µ
4m
π
x +
x
2
−
sin2x
4
¶
¯
¯
¯
¯
π
4
0
=
π
8
−1 ⇔ m +
π
8
−
1
4
=
π
8
−1 ⇔ m =−
3
4
.
Chọn đáp án B ä
Câu 111. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =2sin2x.
A.
Z
2sin2xdx =sin
2
x +C. B.
Z
2sin2xdx =−cos2x +C.
C.
Z
2sin2xdx =cos2x +C. D.
Z
2sin2xdx =−2cos2x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
2sin2xdx =2·
−cos2x
2
+C =−cos2x +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 112. Họ nguyên hàm
Z
x
3
−2x
2
+5
x
2
dx bằng
A.
x
2
2
−2x −
5
x
+C. B. −2x +
5
x
+C. C. x
2
−2x −
5
x
+C. D. x
2
−x −
5
x
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
x
3
−2x
2
+5
x
2
dx =
Z
µ
x −2+
5
x
2
¶
dx =
x
2
2
−2x −
5
x
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 113. Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = x
2
−1 là
A. F(x) =
x
3
3
+C. B. F(x) =
x
3
3
+x +C. C. F(x) =
x
3
3
−x +C. D. F(x) =2x +C.
- Lời giải.
Có
Z
f (x)dx =
Z
(x
2
−1)dx =
x
3
3
−x +C.
Chọn đáp án C ä
Câu 114. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đạo hàm là hàm số f
0
(x ). Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A.
Z
f (x)dx =−f
0
(x ) +C. B.
Z
f
0
(x )dx =−f (x)+C.
C.
Z
f
0
(x )dx = f (x)+C. D.
Z
f (x)dx = f
0
(x ) +C.
- Lời giải.
Theo định nghĩa, hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) khi và chỉ khi F
0
(x ) = f (x).
Vậy ta có f (x) là một nguyên hàm của f
0
(x ) nên
Z
f
0
(x )dx = f (x)+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 115. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
x −1
và F(3) =1. Tính giá trị của F(2).
A. F(2) =−1−ln2. B. F(2) =1 −ln2. C. F(2) =−1+ln2. D. F(2) =1+ln2.
- Lời giải.
Có F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
1
x −1
dx =ln|x −1|+C, mà F(3) =1 ⇔ C =1−ln2.
Vậy F(x) =ln|x −1|+1 −ln2 ⇒F(2) =1−ln2.
Chọn đáp án B ä
Câu 116. Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =cos3x và F
³
π
2
´
=
14
3
thì
A. F(x) =
1
3
sin3x +
13
3
. B. F(x) =−
1
3
sin3x +5.
C. F(x) =
1
3
sin3x +5. D. F(x) =−
1
3
sin3x +
13
3
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 198 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
F(x) là một nguyên hàm của f (x) =cos3x nên F(x ) =
1
3
sin3x +C.
Mà F
³
π
2
´
=
14
3
nên
1
3
sin
µ
3π
2
¶
+C =
14
3
⇔C =5.
Chọn đáp án C ä
Câu 117. Nếu
Z
f
0
(x )dx =
1
x
+ln
|
2x
|
+C với x ∈
(
0;+∞
)
thì hàm số f (x) là
A. f (x) =−
1
x
2
+
1
x
. B. f (x) =
p
x +
1
2x
. C. f (x) =
1
x
2
+ln
(
2x
)
. D. f (x) =−
1
x
2
+
1
2x
.
- Lời giải.
Ta có f (x) =
·
1
x
+ln
|
2x
|
+C
¸
0
=−
1
x
2
+
1
x
.
Chọn đáp án A ä
Câu 118. Tính F(x) =
Z
xcos xdx ta được kết quả
A. F(x) = xsin x −cosx +C. B. F(x) =−x sinx −cosx +C.
C. F(x) = xsin x +cosx +C. D. F(x) =−x sin x +cosx +C.
- Lời giải.
Đặt
u = x
dv =cos x dx
⇒
du = dx
v =sin x
⇒F(x) = x sin x −
Z
sin x dx = xsin x +cosx +C.
Chọn đáp án
C ä
Câu 119. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x và đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm
M
(
0;1
)
. Tính F
³
π
2
´
.
A. F
³
π
2
´
=0. B. F
³
π
2
´
=1. C. F
³
π
2
´
=2. D. F
³
π
2
´
=−1.
- Lời giải.
Ta có
π
2
Z
0
f (x)dx =F
³
π
2
´
−F(0) = F
³
π
2
´
−1 ⇒ F
³
π
2
´
=
π
2
Z
0
sin x dx +1 =sin x
¯
¯
¯
π
2
0
+1 =2.
Chọn đáp án C ä
Câu 120. Trong các khẳng định sau, hãy chọn khẳng định đúng.
A.
Z
3
2x
dx =
3
2x
ln3
+C. B.
Z
3
2x
dx =
9
x
ln3
+C.
C.
Z
3
2x
dx =
3
2x
ln9
+C. D.
Z
3
2x
dx =
3
2x+1
2x +1
+C.
- Lời giải.
Z
3
2x
dx =
1
2
Z
3
2x
d(2x ) =
3
2x
2ln3
+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 121. Nguyên hàm của hàm số f (x) =2x
3
−9 là
A.
1
2
x
4
−9x +C. B. 4x
4
−9x +C. C.
1
4
x
4
−9x +C. D. 4x
3
−9x +C.
- Lời giải.
Z
(2x
3
−9) dx =
1
2
x
4
−9x +C.
Chọn đáp án A ä
Câu 122. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
2
p
2x +1
.
A.
Z
f (x)dx =
p
2x +1+C. B.
Z
f (x)dx =2
p
2x +1+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 199 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
C.
Z
f (x)dx =
1
(2x +1)
p
2x +1
+C. D.
Z
f (x)dx =
1
2
p
2x +1+C.
- Lời giải.
Z
f (x)dx =
Z
1
4
p
2x +1
d(2x +1) =
1
2
p
2x +1+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 123. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = e
2018x
.
A.
Z
f (x)dx = e
2018x
+C. B.
Z
f (x)dx =
1
2018
·e
2018x
+C.
C.
Z
f (x)dx =2018e
2018x
+C. D.
Z
f (x)dx =e
2018x
·ln2018+C.
- Lời giải.
Z
f (x)dx =
Z
1
2018
·e
2018x
d(2018x ) =
1
2018
·e
2018x
+C
Chọn đáp án B ä
Câu 124. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =6x +sin3x, biết F(0) =
2
3
.
A. F(x) =3x
2
−
cos3x
3
+
2
3
. B. F(x) =3x
2
−
cos3x
3
−1.
C. F(x) =3x
2
+
cos3x
3
+1. D. F(x) =3x
2
−
cos3x
3
+1.
- Lời giải.
Ta có
Z
(6x +sin3x)dx =3x
2
−
cos3x
3
+C. Mà F(0) =
2
3
nên C =1.
Chọn đáp án D ä
Câu 125. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x
3
·e
x
4
+1
.
A.
Z
f (x)dx =e
x
4
+1
+C. B.
Z
f (x)dx =4e
x
4
+1
+C.
C.
Z
f (x)dx =
x
4
4
e
x
4
+1
+C. D.
Z
f (x)dx =
1
4
e
x
4
+1
+C.
- Lời giải.
Z
f (x)dx =
1
4
Z
e
x
4
+1
d
¡
x
4
+1
¢
=
1
4
e
x
4
+1
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 126. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.
Z
e
x
dx =e
x
+C. B.
Z
2x dx = x
2
+C.
C.
Z
1
x
dx =ln|x|+C. D.
Z
sin x dx =cos x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
sin x dx =−cosx +C.
Chọn đáp án D ä
Câu 127. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =2x +sin2x.
A. x
2
−
1
2
cos2x +C. B. x
2
+
1
2
cos2x +C. C. x
2
−2cos2x +C. D. x
2
+2cos2x +C.
- Lời giải.
Ta có
Z
2x +sin2x = x
2
−
1
2
cos2x +C.
Chọn đáp án A ä
Câu 128. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x cos2x.
A.
xsin2x
2
−
cos2x
4
+C. B. x sin2x −
cos2x
2
+C.
C. x sin2x +
cos2x
2
+C. D.
xsin2x
2
+
cos2x
4
+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 200 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Đặt u = x ⇒ du = dx ; dv =cos2x dx ⇒ v =
1
2
sin2x. Suy ra
I =
Z
xcos2xdx =
1
2
xsin2x −
1
2
Z
sin2x dx =
1
2
xsin2x +
1
4
cos2x +C.
Chọn đáp án D ä
Câu 129. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x.e
2x
là:
A. F(x) =
1
2
e
2x
µ
x −
1
2
¶
+C. B. F(x) =2e
2x
µ
x −
1
2
¶
+C.
C. F(x) =2e
2x
(
x −2
)
+C. D. F(x) =
1
2
e
2x
(
x −2
)
+C.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
x.e
2x
dx .
Đặt
u = x
dv = e
2x
dx
⇒
du = dx
v =
e
2x
2
⇒F(x) =
xe
2x
2
−
1
2
Z
e
2x
dx =
1
2
e
2x
(x −
1
2
)+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 130. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =
p
xln x.
A.
Z
f (x)dx =
1
9
x
3
2
(3ln x −2)+C. B.
Z
f (x)dx =
2
3
x
3
2
(3ln x −2)+C.
C.
Z
f (x)dx =
2
9
x
3
2
(3ln x −1)+C. D.
Z
f (x)dx =
2
9
x
3
2
(3ln x −2)+C.
- Lời giải.
Đặt
u =ln x
dv =
p
xdx
⇒
du =
1
x
dx
v =
2
3
x
3
2
.
Ta có
Z
f (x)dx =
2
3
x
3
2
ln x −
Z
2
3
x
3
2
·
1
x
dx =
2
3
x
3
2
ln x −
2
3
Z
x
1
2
dx =
2
9
x
3
2
(3ln x −2)+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 131. Trong các hàm số sau: (I) f (x) =tan
2
x+2, (II) f (x) =
2
cos
2
x
, (III) f (x) =tan
2
x+1. Hàm số nào
có nguyên hàm là hàm số g(x) =tan x?
A. Chỉ (II). B. Chỉ (III). C. Chỉ (II), (III). D. (I), (II), (III).
- Lời giải.
Cách 1:
Ta có
Z
¡
tan
2
x +2
¢
dx =
Z
µ
1+
1
cos
2
x
¶
dx = x +tan x +C.
Và
Z
2
cos
2
x
dx =2tan x +C.
Và
Z
¡
tan
2
x +1
¢
dx =
Z
1
cos
2
x
dx =tan x +C.
Cách 2:
Ta có g
0
(x ) =
(
tan x
)
0
=1 +tan
2
x.
Chọn đáp án B ä
Câu 132. Cho F(x) là một nguyên hàm của f (x) =
2
x +2
. Biết F(−1) =2. Tính F(1) kết quả là
A. ln8 +1. B. 4ln2+1. C. 2ln3 +2. D. 2ln4.
- Lời giải.
Ta có: F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
2
x +2
dx =2ln|x +2|+C.
F(−1) =2 ⇔2ln|−1+2|+C =2 ⇔C =2.
Th.s Nguyễn Chín Em 201 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Suy ra F(x) =2ln|x +2|+2.
Vậy F(1) =2ln|1+2|+2 =2ln3+2.
Chọn đáp án C ä
Câu 133. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =(3x +1)
2019
là
A.
(3x +1)
2018
6054
+C. B.
(3x +1)
2018
2018
+C. C.
(3x +1)
2020
6060
+C. D.
(3x +1)
2020
2020
+C.
- Lời giải.
Ta có:
Z
(3x +1)
2019
dx =
1
3
Z
(3x +1)
2019
d(3x +1) =
(3x +1)
2020
6060
+C.
Chọn đáp án C ä
3.1 ĐÁP ÁN
1. D 2. D 3. C 4. B 5. D 6. D 7. C 8. D 9. C
10. C 11. C 12. D 13. C 14. B 15. A 16. C 17. C 18. C
19. D 20. B 21. B 22. C 23. C 24. A 25. A 26. D 27. C
28. A 29. D 30. D 31. C 32. D 33. C 34. D 35. A 36. D
37. C 38. D 39. C 40. D 41. D 42. A 43. A 44. C 45. C
46. A 47. C 48. D 49. A 50. A 51. B 52. D 53. B 54. C
55. C 56. C 57. B 58. C 59. A 60. D 61. A 62. D 63. C
64. B 65. C 66. D 67. C 68. C 69. A 70. B 71. C 72. C
73. D 74. A 75. D 76. C
77. B
78. D 79. A 80. A 81. B
82. C 83. C 84. C 85. B 86. D 87. A 88. A 89. C 90. B
91. C 92. D 93. D 94. B 95. C 96. D 97. B 98. C 99. D
100. D 101. C 102. A 103. D 104. C 105. B 106. A 107. C 108. C
109. B 110. B 111. B 112. A 113. C 114. C 115. B 116. C 117. A
118. C 119. C 120. C 121. A 122. D 123. B 124. D 125. D 126. D
127. A 128. D 129. D 130. D 131. B 132. C 133. C
4 VẬN DỤNG CAO
Câu 1. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên [1;2] thỏa mãn f (1) =4 và f (x) = x f
0
(x ) −2x
3
−3x
2
.
Tính f (2).
A. 5. B. 20. C. 10. D. 15.
- Lời giải.
Với x ∈[1;2] ta có
f (x) = x f
0
(x ) −2x
3
−3x
2
⇔
x f
0
(x ) − f (x )
x
2
=2x +3
⇔
µ
f (x)
x
¶
0
=2x +3
⇔
f (x)
x
= x
2
+3x +C.
Do f (1) =4 nên C =0 ⇒ f (x) = x
3
+3x
2
.
Vậy f (2) =2
3
+3·2
2
=20.
Chọn đáp án B ä
Câu 2. Cho hàm số f (x) xác định trên R\
{
kπ, k ∈Z
}
thỏa mãn f
0
(x ) =cot x, f
³
π
4
´
=2 và f
µ
−
5π
3
¶
=1. Giá
trị của biểu thức f
³
π
6
´
− f
µ
−
7π
4
¶
bằng
A. 1+ln
p
3
2
. B. 3 +ln
1
2
−ln
p
3
2
. C. 1−ln
p
3
2
. D. ln
1
2
−ln
p
2
2
.
Th.s Nguyễn Chín Em 202 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có
Z
f
0
(x )dx =
Z
cot x dx =ln
|
sin x
|
+C = f (x).
Xét trên khoảng (−2π;−π) ta có:
f
µ
−
5π
3
¶
=1 ⇔ln
¯
¯
¯
¯
sin
µ
−
5π
3
¶
¯
¯
¯
¯
+C
1
=1 ⇒C
1
=1 −ln
p
3
2
⇒ f (x) =ln
|
sin x
|
+1−ln
p
3
2
.
F
µ
−
7π
4
¶
=ln
¯
¯
¯
¯
sin
µ
−
−7π
4
¶
¯
¯
¯
¯
+1−ln
p
3
2
=ln
p
2
2
+1−ln
p
3
2
.
Xét trên khoảng (0;π) ta có:
f
³
π
4
´
=2 ⇔ln
¯
¯
¯
sin
³
π
4
´
¯
¯
¯
+C
2
=2 ⇒C
2
=2 −ln
p
2
2
⇒ f (x) =ln
|
sin x
|
+2−ln
p
2
2
.
f
³
π
6
´
=ln
¯
¯
¯
sin
³
π
6
´
¯
¯
¯
+2−ln
p
2
2
=ln
1
2
+2−ln
p
2
2
.
Vậy f
³
π
6
´
− f
µ
−
7π
4
¶
=1 +ln
p
3
2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 3. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R , thỏa mãn f (x) > 0,∀x ∈ R và f
0
(x ) +2f (x) = 0. Tính f (0) ,
biết rằng f (3) =1.
A. e
6
. B. e
3
. C. 1. D. e
4
.
- Lời giải.
Ta có
f
0
(x )
f (x)
= −2, lấy nguyên hàm hai vế ta được ln|f (x)| = −2x +C, suy ra f (x) = Ae
−2x
với A > 0. Do
f (3) = Ae
−6
=1 nên A =e
6
. Vậy f (0) =e
6
·e
0
=e
6
.
Chọn đáp án A ä
Câu 4. Cho nguyên hàm
Z
dx
p
x +2018+
p
x +2017
= m(x +2018)
p
x +2018+n(x +2017)
p
x +2017+C. Khi đó 4m −n bằng
A.
4
3
. B.
8
3
. C.
2
3
. D.
10
3
.
- Lời giải.
Ta có
Z
dx
p
x +2018+
p
x +2017
=
Z
³
p
x +2018−
p
x +2017
´
dx
=
2
3
(x +2018)
p
x +2018−
2
3
(x +2017)
p
x +2017+C.
Vậy 4m −n =
10
3
.
Chọn đáp án D ä
Câu 5. Cho hàm số f (x) xác định trên R\
½
1
2
¾
thỏa mãn f
0
(x ) =
2
2x −1
và f (0) = 1. Giá trị của biểu thức
f (−1)+ f (3) bằng
A. 4+ln15. B. 3+ln15. C. 2+ln15. D. ln15.
- Lời giải.
Ta có
Z
f
0
(x )dx =
Z
2
2x −1
dx =
Z
d(2x −1)
2x −1
=ln|2x −1|+C.
Vì f (0) =1 nên ln|2 ·0−1|+C =1 hay C =1. Do vậy f (x) =ln|2x −1|+1. Suy ra
f (−1)+ f (3) =ln3+1+ln5+1 =2+ln15.
Chọn đáp án C ä
Th.s Nguyễn Chín Em 203 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 6. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số f (x) =|2x−4| trên khoảng (−∞;+∞), ở đó C,C
0
là
các hằng số tùy ý?
A. F(x) =
¯
¯
x
2
−4x
¯
¯
+C. B. F(x) =
x
2
−4x +2C khi x ≥2
−x
2
+4x +2C −8 khi x <2
.
C. F(x) =
¯
¯
x
2
−4x +C
¯
¯
. D. F(x) =
x
2
−4x +C khi x ≥2
−x
2
+4x +C
0
khi x <2
.
- Lời giải.
Ta có f (x) =|2x −4|=
2x −4 khi x ≥2
−2x +4 khi x <2
.
Xét hàm số F(x) =
x
2
−4x +C khi x ≥2
−x
2
+4x +C
0
khi x <2
.
Với x >2, ta có F
0
(x ) =2x −4 = f (x).
Với x <2, ta có F
0
(x ) =−2x +4 = f (x).
Xét tại x =2, ta có f (2) =0,
lim
x→2
+
F(x)−F(2)
x −2
= lim
x→2
+
x
2
−4x +C −(C −4)
x −2
= lim
x→2
+
(x −2) =0,
lim
x→2
−
F(x)−F(2)
x −2
= lim
x→2
−
−x
2
+4x +C
0
−(C −4)
x −2
.
Do lim
x→2
−
(x −2) =0 nên điều kiện cần để F
0
(2) = f (2) =0 là lim
x→2
−
(−x
2
+4x +C
0
−C +4) =0
⇔C
0
−C +8 =0 ⇔C
0
=C −8.
Ngược lại, với C
0
=C −8 ta có lim
x→2
−
F(x)−F(2)
x −2
= lim
x→2
−
−x
2
+4x −4
x −2
=0.
Vậy nếu chọn hằng số là 2C thì F(x) =
x
2
−4x +2C khi x ≥2
−x
2
+4x +2C −8 khi x <2
là nguyên hàm của f (x) = |2x −4|
trên (−∞;+∞).
Chọn đáp án B ä
Câu 7. Cho hàm số f (x) xác định trên đoạn [−1;2] thỏa mãn f (0) = 1 và f
2
(x ) · f
0
(x ) = 3x
2
+2x −2. Số
nghiệm của phương trình f (x) =1 trên đoạn [−1;2] là
A. 1. B. 3. C. 0. D. 2.
- Lời giải.
Vì hàm số f (x) xác định trên đoạn [−1;2] nên ta có
Z
f
2
(x ) · f
0
(x )dx =
Z
f
2
(x )d(f (x)) =
Z
(3x
2
+2x −2)dx ⇔
1
3
f
3
(x ) = x
3
+x
2
−2x +C.
Vì f (0) =1 suy ra C =
1
3
.
Ta có f (x) =1 ⇔ f
3
(x ) =1 ⇔3(x
3
+x
2
−2x )+1 =1 ⇔ x
3
+x
2
−2x =0 ⇔ x =0 hoặc x =1 hoặc x =−2 (loại
vì x =−2 ∉[−1;2]).
Chọn đáp án D ä
Câu 8. Biết
Z
f (x)dx =−x
2
+2x +C. Tính
Z
f (−x)dx.
A. x
2
+2x +C
0
. B. −x
2
+2x +C
0
. C. −x
2
−2x +C
0
. D. x
2
−2x +C
0
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 204 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
Z
f (x)dx =−x
2
+2x +C ⇒ f (x) =−2x +2 ⇒ f (−x) =2x +2
⇒
Z
f (−x)dx = x
2
+2x +C
0
.
Chọn đáp án
A ä
Câu 9. Một nguyên hàm của hàm số y =cos5x cos x là
A.
1
2
µ
1
6
sin6x +
1
4
sin4x
¶
. B.
1
2
µ
1
6
cos6x +
1
4
cos4x
¶
.
C. −
1
2
µ
sin6x
6
+
sin4x
4
¶
. D.
1
5
sin5x sinx.
- Lời giải.
Ta có cos5x cos x =
1
2
[
cos(6x ) +cos(4x)
]
.
⇒
Z
cos5x cosx dx =
1
2
Z
[
cos(6x ) +cos(4x)
]
dx =
1
2
Z
cos6x dx +
1
2
Z
cos4x dx
=
1
12
sin6x +
1
8
sin4x +C.
Chọn đáp án A ä
Câu 10. Hàm số f (x ) = x
p
x +1 có một nguyên hàm là F(x). Nếu F(0) =2 thì F(3) bằng
A.
116
15
. B.
146
15
. C.
886
105
. D. 3.
- Lời giải.
Cách 1. Ta có F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
x
p
x +1dx.
Đặt t =
p
x +1 ⇒ t
2
= x +1. Suy ra x = t
2
−1 và dx =2tdt.
F(x) =
Z
(t
2
−1)·t ·2tdt =
Z
(2t
4
−2t
2
)dt =
2t
5
5
−
2t
3
3
+C =
2(x +1)
2
p
x +1
5
−
2(x +1)
p
x +1
3
+C.
Từ
F(0) =2 ⇔
2
5
−
2
3
+C =2 ⇔C =
34
15
.
Vậy F(x) =
2(x +1)
2
p
x +1
5
−
2(x +1)
p
x +1
3
+
34
15
nên F(3) =
2·4
2
·2
5
−
2·4·2
3
+
34
15
=
146
15
.
Cách 2. Ta có F(3)−F(0) =
3
Z
0
f (x)dx nên F(3) =F(0)+
3
Z
0
f (x)dx =2 +
3
Z
0
x
p
x +1dx.
Tính tích phân I =
3
Z
0
x
p
x +1dx.
Đặt t =
p
x +1 ⇒ t
2
= x +1. Suy ra x = t
2
−1 và dx =2tdt.
Đổi cận
x =0 ⇒ t =1
x =3 ⇒ t =2.
Từ đó
I =
2
Z
1
(t
2
−1)·t ·2tdt =
2
Z
1
(2t
4
−2t
2
)dt =
µ
2t
5
5
−
2t
3
3
¶
¯
¯
¯
¯
2
1
=
116
15
.
Vậy F(3) =2 +
116
15
=
146
15
.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 205 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 11. Cho f (x) =
x
cos
2
x
trên
³
−
π
2
;
π
2
´
và F(x) là một nguyên hàm của x · f
0
(x ) thỏa mãn F(0) = 0. Biết
α ∈
³
−
π
2
;
π
2
´
và tanα =3. Tính F(α)−10α
2
+3α.
A. −
1
2
ln10. B. −
1
4
ln10. C.
1
2
ln10. D. ln10.
- Lời giải.
Theo công thức tích phân từng phần ta có
Z
x · f
0
(x )dx = x · f (x)−
Z
f (x)dx.
Cũng theo công thức tích phân từng phần lại có
Z
f (x)dx =
Z
x ·(tan x)
0
dx = x ·tan x −
Z
tan x dx = x ·tanx +ln
|
cos x
|
+C.
Do đó
F(x) =
Z
x · f
0
(x )dx = x · f (x)−x ·tan x −ln|cosx|+C.
Mà F(0) =0 nên F(x) = x·f (x)−x·tan x −ln|cosx|. Lại có tanα =3 nên
1
cos
2
α
=10. Từ đó F(α)−10α
2
+
3α =−ln
1
p
10
=
1
2
ln10.
Chọn đáp án C ä
Câu 12. Cho hàm số f (x) xác định trên R\{−2;1} thỏa mãn f
0
(x ) =
1
x
2
+x −2
, f (−3)−f (3) =0 và f (0) =
1
3
.
Giá trị của biểu thức f (−4)+ f (−1)− f (4) bằng
A.
1
3
ln2+
1
3
. B. ln80 +1. C.
1
3
ln
4
5
+ln2+1. D.
1
3
ln
8
5
+1.
- Lời giải.
Ta có f (x) =
Z
1
(x +2)(x −1)
dx =
1
3
ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +2
¯
¯
¯
¯
+C
1
,∀x ∈(−∞;−2)
1
3
ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +2
¯
¯
¯
¯
+C
2
,∀x ∈(−2;1)
1
3
ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +2
¯
¯
¯
¯
+C
3
,∀x ∈(1;+∞)
.
Trên khoảng (−∞;−2), ta có f (−3) =
1
3
ln4+C
1
.
Trên khoảng (−2;1), ta có f (0) =
1
3
ln
1
2
+C
2
=
1
3
⇒C
2
=
1
3
(1+ln2).
Do đó f (−1) =
2
3
ln2+
1
3
.
Trên khoảng (1;+∞), ta có f (3) =
1
3
ln
2
5
+C
3
.
Theo giả thiết f (−3)− f (3) =0 ⇔C
1
−C
3
=
1
3
ln
1
10
.
Khi đó
f (−4)+ f (−1)− f (4) =
1
3
ln
5
2
+C
1
+
2
3
ln
1
2
+
1
3
−
1
3
ln
1
2
−C
3
=
1
3
ln
5
2
+
2
3
ln
1
2
+
1
3
−
1
3
ln
1
2
+
1
3
ln
1
10
=
1
3
ln2+
1
3
.
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 206 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 13. Cho hàm số f (x) xác định trên R \ {−1} thỏa mãn f
0
(x ) =
3
x +1
; f (0) =1 và f (1)+ f (−2) = 2. Giá
trị f (−3) bằng
A. 1+2ln2. B. 1−ln2. C. 1. D. 2+ln2.
- Lời giải.
Trên khoảng (−∞;−1) nguyên hàm của f (x) là 3ln|x +1|+C
1
.
Trên khoảng (−1;+∞) nguyên hàm của f (x) là 3ln|x +1|+C
2
.
f (0) =1 nên 3ln1+C
2
=1 ⇒C
2
=1.
f (1)+ f (−2) =2 nên 3ln2+1 +3ln1 +C
1
=2 ⇒C
1
=1 −3ln2.
f (−3) =3ln2 +1−3ln2 =1.
Chọn đáp án C ä
Câu 14. Giả sử hàm số f (x) liên tục, dương trên R, thỏa mãn f (0) =1 và
f
0
(x )
f (x)
=
x
x
2
+1
. Khi đó giá trị của
biểu thức T = f (2
p
2)−2f (1) thuộc khoảng
A.
(
2;3
)
. B.
(
7;9
)
. C.
(
0;1
)
. D.
(
9;12
)
.
- Lời giải.
f
0
(x )
f (x)
=
x
x
2
+1
⇒
Z
f
0
(x )
f (x)
dx =
Z
x
x
2
+1
dx ⇔ln f (x) =
1
2
ln(x
2
+1)+C.
Do hàm số y =ln x đồng biến trên R nên ln f (x) =ln
p
x
2
+1+C.
Theo bài ra f (0) =1 ⇔C =0 ⇒ f (x) =
p
x
2
+1.
Vậy f (2
p
2)−2f (1) =3−2
p
2 ∈
(
0;1
)
.
Chọn đáp án C ä
Câu 15. Tìm nguyên hàm J =
Z
(x +1)e
3x
dx .
A. J =
1
3
(x +1)e
3x
−
1
9
e
3x
+C. B. J =
1
3
(x +1)e
3x
−
1
3
e
3x
+C.
C. J =(x +1)e
3x
−
1
3
e
3x
+C. D. J =
1
3
(x +1)e
3x
+
1
9
e
3x
+C.
- Lời giải.
Đặt
u = x +1
dv =e
3x
dx
⇒
du = dx
v =
1
3
e
3x
.
Suy ra J =
x +1
3
e
3x
−
Z
1
3
e
3x
dx =
x +1
3
e
3x
−
1
9
e
3x
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 16. Cho F(x) =
a
x
(ln x +b) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
1+lnx
x
2
, trong đó a, b là các số
nguyên. Tính S =a +b.
A. S =−2. B. S =1. C. S =2. D. S =0.
- Lời giải.
Xét I =
Z
f (x)dx =
Z
1+lnx
x
2
dx .
Đặt
u =1+lnx
dv =
1
x
2
dx
⇒
du =
1
x
dx
v =−
1
x
. Khi đó
I =−
1
x
(1+lnx)+
Z
1
x
2
dx =−
1
x
(1+lnx)−
1
x
+C =−
1
x
(ln x +2)+C ⇒a =−1;b =2.
Vậy S = a +b =1.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 207 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 17. Biết
Z
f (x)dx = 2x ln(3x −1) +C với x ∈
µ
1
3
;+∞
¶
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định
sau
A.
Z
f (3x)dx =2xln(9x −1)+C. B.
Z
f (3x)dx =6xln(3x −1)+C.
C.
Z
f (3x)dx =6xln(9x −1)+C. D.
Z
f (3x)dx =3xln(9x −1)+C.
- Lời giải.
Đặt x =3t ⇒dx =3dt. Ta có:
Z
f (x)dx = 3
Z
f (3t)dt = 2·3t ln(3 ·3t −1) +C ⇒
Z
f (3t)dt = 2tln(9t −1) +C ⇒
Z
f (3x)dx = 2x ln(9x −
1)+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 18. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
sin x
1+3cosx
và F
³
π
2
´
=2. Khi đó F(0) là
A. −
2
3
ln2+2. B. −
1
3
ln2−2. C. −
1
3
ln2+2. D. −
2
3
ln2−2.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
sin x
1+3cosx
dx =−
1
3
Z
d(1+3cosx)
1+3cosx
=−
1
3
ln|1+3cos x|+C.
F
³
π
2
´
=2 ⇒C =2 ⇒ F(x) =−
1
3
ln|1+3cos x|+2.
Suy ra F(0) =−
1
3
ln4+2 =−
2
3
ln2+2.
Chọn đáp án A ä
Câu 19. Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f
0
(x ) = 2018
x
ln2018 −cos x và f (0) = 2. Phát biểu nào sau đây
đúng?
A. f (x) =2018
x
+sinx +1. B. f (x) =
2018
x
ln2018
+sinx +1.
C. f (x) =
2018
x
ln2018
−sinx +1. D. f (x) =2018
x
−sinx +1.
- Lời giải.
Vì
Z
¡
2018
x
ln2018−cosx
¢
dx =2018
x
−sinx +C. Do f (0) =2 nên C =1.
Vậy f (x) =2018
x
−sinx +1.
Chọn đáp án D ä
Câu 20. Biết F(x) là một nguyên hàm trên R của hàm số f (x) =
2017x
¡
x
2
+1
¢
2018
thỏa mãn F(1) = 0. Tìm giá
trị nhỏ nhất m của F(x).
A. m =−
1
2
. B. m =
1−2
2017
2
2018
. C. m =
2
2017
+1
2
2018
. D. m =
1
2
.
- Lời giải.
Ta có
Z
2017x
¡
x
2
+1
¢
2018
dx =
2017
2
Z
d
¡
x
2
+1
¢
¡
x
2
+1
¢
2018
=−
1
2
¡
x
2
+1
¢
2017
+C.
Do đó ta có thể viết F(x) =−
1
2
¡
x
2
+1
¢
2017
+C. Vì F(1) =0 nên C =
1
2
2018
. Suy ra
F(x) =
1
2
2018
−
1
2
¡
x
2
+1
¢
2017
≥
1
2
2017
−
1
2
=
1−2
2017
2
2018
.
Đẳng thức xảy ra khi x =0. Vậy m =
1−2
2017
2
2018
.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 208 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 21. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số y =
x
(
2+x
)
(
x +1
)
2
?
A. y =
x
2
+x −1
x +1
. B. y =
x
2
−x −1
x +1
. C. y =
x
2
+x +1
x +1
. D. y =
x
2
x +1
.
- Lời giải.
Ta có biến đổi:
x
(
2+x
)
(
x +1
)
2
=
x
2
+2x
(
x +1
)
2
=1 −
1
(
x +1
)
2
.
Suy ra,
Z
x
(
2+x
)
(
x +1
)
2
dx =
Z
µ
1−
1
(
x +1
)
2
¶
dx = x +
1
x +1
+C =
x
2
+
(
C +1
)
x +C +1
x +1
.
Với C =−2, ta được y =
x
2
−x −1
x +1
;
Với C =0, ta được y =
x
2
+x +1
x +1
;
Với C =−1, ta được y =
x
2
x +1
.
Vậy hàm số không phải là nguyên hàm của hàm số đã cho là y =
x
2
+x −1
x +1
.
Chọn đáp án A ä
Câu 22. Cho F(x) là một nguyên hàm của f (x) = x lnx. Tính F"(x).
A. F"(x) =1 −ln x. B. F"(x) =
1
x
. C. F"(x) =1 +ln x. D. F"(x) = x +lnx.
- Lời giải.
F
0
(x ) = f (x), F"(x) = f
0
(x ) =1+lnx.
Chọn đáp án C ä
Câu 23. Cho các hàm số f (x) =
20x
2
−30x +7
p
2x −3
, F(x) =(ax
2
+bx +c)
p
2x −3 với x >
3
2
. Gọi (a;b; c) là bộ
số thỏa mãn F(x) là một nguyên hàm của f (x). Khi đó a +b +c bằng
A. 1. B. 5. C. 3. D. 7.
- Lời giải.
Ta có
f (x) =10x
p
2x −3+
7
p
2x −3
=5(2x −3)
p
2x −3+15
p
2x −3+
7
p
2x −3
=5(2x −3)
3
2
+15(2x −3)
1
2
+
7
p
2x −3
.
Suy ra
Z
f (x)dx =(2x −3)
5
2
+5(2x −3)
3
2
+7
p
2x −3+C =(4x
2
−2x +1)
p
2x −3+C.
Suy ra F(x) =(4x
2
−2x +1)
p
2x −3 hay a =4, b =−2, c =1 ⇒a +b +c =3.
Chọn đáp án C ä
Câu 24. Tìm
Z
xcos2xdx.
A.
1
2
xsin2x −
1
4
cos2x +C. B. x sin2x +cos2x +C.
C.
1
2
xsin2x +
1
2
cos2x +C. D.
1
2
xsin2x +
1
4
cos2x +C.
- Lời giải.
Đặt
u = x
dv =cos2xdx
⇒
du = dx
v =
1
2
sin2x
.
Khi đó I =
Z
xcos2xdx =
1
2
xsin2x −
1
2
Z
sin2x dx =
1
2
xsin2x +
1
4
cos2x +C.
Th.s Nguyễn Chín Em 209 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án D ä
Câu 25. Biết
Z
f (x)dx =2xln
(
3x −1
)
+C với x ∈
µ
1
9
;+∞
¶
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
Z
f (3x)dx =2xln
(
9x −1
)
+C. B.
Z
f (3x)dx =6xln
(
3x −1
)
+C.
C.
Z
f (3x)dx =6xln
(
9x −1
)
+C. D.
Z
f (3x)dx =3xln
(
9x −1
)
+C.
- Lời giải.
Đặt x =3t ⇒ dx =3dt ⇒
Z
f (x)dx =3
Z
f (3t)dt =6t ·ln
(
9t −1
)
+C
⇒
Z
f (3t)dt =2t ·ln
(
9t −1
)
+C.
Mà nguyên hàm không phụ thuộc vào biến số nên
Z
f (3x)dx =2xln
(
9x −1
)
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 26. Tìm các họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
sin
2
xcos
4
x
.
A.
Z
f (x)dx =
1
3
tan
3
x −2tan x −
1
tan
2
x
+C. B.
Z
f (x)dx =
1
4
tan
4
x +2tan x −
1
tan x
+C.
C.
Z
f (x)dx =
1
3
tan
3
x +2tan
2
x −
1
tan x
+C. D.
Z
f (x)dx =
1
3
tan
3
x +2tan x −
1
tan x
+C.
- Lời giải.
Ta có f (x) =
sin
2
x +cos
2
x
sin
2
xcos
4
x
=
1
cos
4
x
+
1
sin
2
xcos
2
x
=
1
cos
2
x
(tan
2
x +1)+
1
cos
2
x
+
1
sin
2
x
. Nên
Z
f (x)dx =
1
3
tan
3
x +tanx +tan x −cot x +C =
1
3
tan
3
x +2tan x −
1
tan x
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 27. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
2x +1
x
4
+2x
3
+x
2
trên khoảng (0;+∞) thỏa mãn
F(1) =
1
2
. Giá trị của biểu thức S =F(1)+F(2) +F(3)+···+F(2019) bằng
A.
2019
2020
. B.
2019·2021
2020
. C. 2018
1
2020
. D . −
2019
2020
.
- Lời giải.
Ta có F(x) =
Z
2x +1
x
4
+2x
3
+x
2
dx =
Z
1
(x
2
+x)
2
d(x
2
+x) =−
1
x
2
+x
+C.
Mà F(1) =
1
2
⇔
1
2
=−
1
2
+C ⇔C =1 ⇒ F(x) =−
1
x
2
+x
+1 =
1
x +1
−
1
x
+1.
Ta có
S = F(1) +F(2)+F(3)+···+F(2019) =
µ
1
2
−
1
1
+1
¶
+
µ
1
3
−
1
2
+1
¶
+··+
µ
1
2020
−
1
2019
+1
¶
= 2019+
µ
1
2
−
1
1
+
1
3
−
1
2
+··+
1
2020
−
1
2019
¶
=2019 −
1
1
+
1
2020
=2018
1
2020
.
Chọn đáp án C ä
Câu 28. Cho hàm số f (x) có đồ thị (C). Biết rằng f
0
(x +2) =2x+
p
x +3−
p
3x +1−1 và tiếp tuyến của đồ
thị (C) tại điểm M(a;1) thuộc (C) song song với đường thẳng y = x+1. Có bao nhiêu hàm số f (x) thỏa mãn
yêu cầu bài toán.
A. vô số. B. 2. C. 0. D. 1.
- Lời giải.
Từ giả thiết, ta có f
0
(u) =2u −5+
p
u +1−
p
3u −5. Suy ra
f (u) =
Z
(2u −5+
p
u +1−
p
3u −5)du = u
2
−5u +
2
3
p
(u +1)
3
−
2
9
p
(3u −5)
3
+C
Th.s Nguyễn Chín Em 210 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
với C là hằng số.
Tiếp tuyến tại điểm M(a;1) thuộc đồ thị song song với đường thẳng y = x +1 nên f
0
(a) =1.
Với u < 2 thì f
0
(a) < −1 +
p
3 +0 =
p
3 −1 < 1 nên phương trình f
0
(u) = 1 không có nghiệm trên
·
5
3
;2
¶
. Với u >2 thì f
00
(u) =2+
1
2
p
u +1
−
3
2
p
3u −5
>0 nên phương trình f
0
(u) =1 có không quá 1
nghiệm. Do đó phương trình f
0
(u) =1 có 1 nghiệm duy nhất u =3.
Như vậy có duy nhất điểm M(3;1) thỏa mãn điều kiện. Do M ∈( C) nên f (3) =1 nên tồn tại duy nhất
1 giá trị C thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy có đúng 1 hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn đáp án D ä
Câu 29. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (2) =−
1
3
và f
0
(x ) = x
[
f (x)
]
2
với mọi x ∈R. Giá trị của f (1) bằng
A. −
11
6
. B. −
2
3
. C. −
2
9
. D. −
7
6
.
- Lời giải.
Ta có f
0
(x ) = x
[
f (x)
]
2
⇔
f
0
(x )
f
2
(x )
= x.
Do đó,
Z
f
0
(x )
f
2
(x )
dx =
Z
xdx
⇔ −
Z
d
µ
1
f (x)
¶
=
Z
xdx
⇔ −
1
f (x)
=
1
2
x
2
+C
⇔ f (x) =−
1
1
2
x
2
+C
.
Theo giả thuyết, f (2) =−
1
3
⇒C =1 ⇒ f (x) =−
1
1
2
x
2
+1
.
Suy ra f (1) =−
2
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 30. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (2) =−
1
3
và f
0
(x ) = x
[
f (x)
]
2
với mọi x ∈R. Giá trị của f (1) bằng
A. −
11
6
. B. −
2
3
. C. −
2
9
. D. −
7
6
.
- Lời giải.
Ta có f
0
(x ) = x
[
f (x)
]
2
⇔
f
0
(x )
f
2
(x )
= x.
Do đó,
Z
f
0
(x )
f
2
(x )
dx =
Z
xdx
⇔ −
Z
d
µ
1
f (x)
¶
=
Z
xdx
⇔ −
1
f (x)
=
1
2
x
2
+C
⇔ f (x) =−
1
1
2
x
2
+C
.
Theo giả thuyết, f (2) =−
1
3
⇒C =1 ⇒ f (x) =−
1
1
2
x
2
+1
.
Suy ra f (1) =−
2
3
.
Th.s Nguyễn Chín Em 211 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án B ä
Câu 31. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f
00
(x ) · f
2
(x ) +2[f
0
(x )]
2
· f (x) =2x −3, ∀x ∈R, f (0) = f
0
(0) =1.
Tính giá trị P = f
3
(2).
A. P =−
11
3
. B. P =−6. C. P =−3. D. P =−
23
3
.
- Lời giải.
Ta có f
00
(x ) · f
2
(x ) +2[f
0
(x )]
2
· f (x) =2x −3, ∀x ∈R ⇔
£
f
0
(x ) · f
2
(x )
¤
0
=2x −3 (1).
Lấy nguyên hàm hai vế ta có
(1) ⇒
Z
£
f
0
(x ) · f
2
(x )
¤
0
dx =
Z
(2x −3)dx ⇔ f
0
(x ) · f
2
(x ) = x
2
−3x +C.
Với x =0 ⇒ f
0
(0)· f
2
(0) = C ⇔ C =1 ⇒ f
0
(x ) · f
2
(x ) = x
2
−3x +1.
Lấy nguyên hàm hai vế ta có
f
0
(x ) · f
2
(x ) = x
2
−3x +1 ⇒
Z
f
0
(x ) · f
2
(x )dx =
Z
(x
2
−3x +1)dx
⇒
1
3
f
3
(x ) =
1
3
x
3
−
3
2
x
2
+x +C.
Với x =0 ⇒
1
3
f
3
(0) = C ⇒ C =
1
3
⇒ f
3
(x ) = x
3
−
9
2
x
2
+3x +1 ⇒ f
3
(2) =−3.
.
Chọn đáp án C ä
Câu 32. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên
(
0;+∞
)
thỏa mãn 2x f
0
(x ) − f (x) = 6x
3
p
x. Biết f (1) = a, hãy
tìm f (4) theo a.
A. 2a +126. B. 4 a +252. C. 2a +63. D. a +63.
- Lời giải.
Ta có 2x f
0
(x ) − f (x ) =6x
3
p
x ⇔
2x f
0
(x ) − f (x )
2x
p
x
=3x
2
⇔
µ
f (x)
p
x
¶
0
=3x
2
⇒
f (x)
p
x
= x
3
+a −1 (do f (1) = a).
⇒ f (4) =2a +126.
Chọn đáp án A ä
Câu 33. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = e
x
2
+1
(x
3
+3x). Hàm số F(x) có bao nhiêu điểm
cực trị?
A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.
- Lời giải.
F(x) =
Z
f (x)dx =
Z
(x
2
+3)e
x
2
+1
·x dx.
Đặt t = x
2
+1 ⇒ dt =2x dx ⇒ x dx =
1
2
dt. Khi đó F(t) =
Z
(t +2)e
t
dt.
Đặt
u = t +2
dv =e
t
dt
⇒
du = dt
v =e
t
ta có F(t) =(t +2)e
t
−
Z
e
t
dt =(t +2)e
t
−e
t
+C =(t +1)e
t
+C.
Vậy F(x) =(x
2
+2)e
x
2
+1
+C, từ đó ta có F
0
(x ) =2xe
x
2
+1
(x
2
+3) =0 ⇔ x =0.
Hàm số F
0
(x ) đổi dấu khi qua x =0, suy ra hàm số F(x) có 1 cực trị.
Chọn đáp án A ä
Câu 34. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục và f (x) > 0 trên đoạn [0;2] đồng thời thỏa mãn f
0
(0) = 1,
f (0) =2 và f (x)· f
00
(x ) +
·
f (x)
x +2
¸
2
=
£
f
0
(x )
¤
2
. Tính f
2
(1)+ f
2
(2)?
A. 20. B. 10. C. 15. D. 25.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 212 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
f (x) · f
00
(x ) +
·
f (x)
x +2
¸
2
=
£
f
0
(x )
¤
2
⇔
f (x) · f
00
(x ) −
£
f
0
(x )
¤
2
[
f (x)
]
2
=−
1
(x +2)
2
⇔
µ
f
0
(x )
f (x)
¶
0
=−
1
(x +2)
2
.
Lấy nguyên hàm hai vế ⇒
f
0
(x )
f (x)
=
1
x +2
+C.
Cho x =0 ⇒
f
0
(0)
f (0)
=
1
2
+C ⇔
1
2
=
1
2
+C ⇔C =0.
Khi đó
f
0
(x )
f (x)
=
1
x +2
⇒
Z
f
0
(x )
f (x)
dx =
Z
1
x +2
dx ⇒ln
|
f (x)
|
=ln|x +2|+C.
Cho x =0 ⇒ln
|
f (0)
|
=ln2+C ⇔ C =0.
Do đó ln
|
f (x)
|
=ln|x +2|⇔
|
f (x)
|
=|x +2|.
Vì f (x) >0 trên đoạn [0;2] nên f (x) = x +2,∀x ∈[0;2].
Ta có f (1) =3, f (2) =4 ⇒ f
2
(1)+ f
2
(2) =3
3
+4
2
=25.
Chọn đáp án D ä
Câu 35. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] và f
0
(x )−2018f (x) = x·e
2019x
. Biết f (0) =−1,
tính f (1).
A. e
2018
. B. e
2019
. C. 0. D. −1.
- Lời giải.
Từ f
0
(x ) −2018f (x) = x ·e
2019x
. Nhân hai vế cho e
−2018x
ta được
e
−2018x
· f
0
(x ) −2018e
−2018x
· f (x) = x ·e
x
⇔
¡
e
−2018x
· f (x)
¢
0
= xe
x
⇔ e
−2018x
· f (x) =
Z
xe
x
dx
⇔ e
−2018x
· f (x) = xe
x
−e
x
+C.
Thay x =0 ta được 1· f (0) =0·e
0
−e
0
+C ⇒C =0. Do đó e
−2018x
· f (x) = xe
x
−e
x
.
Thay x =1 ta có e
−2018
· f (1) =1e
1
−e
1
⇒ f (1) =0.
Chọn đáp án C ä
Câu 36. Biết F(x) =
¡
ax
2
+bx +c
¢
· e
x
là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
¡
x
2
+5x +5
¢
e
x
. Giá trị của
2a +3b +c là
A. 6. B. 13. C. 8. D. 10.
- Lời giải.
Ta có F
0
(x ) =
¡
ax
2
+bx +c
¢
e
x
+
(
2ax +b
)
e
x
=
¡
ax
2
+
(
2a +b
)
x +b +c
¢
e
x
.
Từ giả thiết ta có hệ
a =1
2a +b =5
b +c =5
⇔
a =1
b =3
c =2.
Vậy 2a +3b +c =13.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 213 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 37. Cho I
n
=
Z
tan
n
xdx với n ∈N. Khi đó I
0
+I
1
+2(I
2
+I
3
+···+I
8
)+I
9
+I
10
bằng
A.
9
X
r=1
(tan x)
r
r
+C. B.
9
X
r=1
(tan x)
r+1
r +1
+C. C.
10
X
r=1
(tan x)
r
r
+C. D.
10
X
r=1
(tan x)
r+1
r +1
+C.
- Lời giải.
Có I
n
=
Z
tan
n
xdx =
Z
tan
n−2
x ·tan
2
xdx =
Z
tan
n−2
x
µ
1
cos
2
x
−1
¶
dx
=
Z
tan
n−2
xd(tan x)−I
n−2
=
(
tan x
)
n−1
n −1
−I
n−2
+C.
Suy ra I
n−2
+I
n
=
(
tan x
)
n−1
n −1
+C (*)
Từ đẳng thức (*), cho n nhận lần lượt các giá trị 2,3,...,10 rồi cộng vế với vế các đẳng thức thu được, ta có
kết quả I
0
+I
1
+2(I
2
+I
3
+···+I
8
)+I
9
+I
10
=
9
X
r=1
(tan x)
r
r
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 38. Cho hàm số f (x) xác định trên R \ {0} và thỏa mãn f
0
(x ) =
1
x
2
+x
4
, f (1) = a và f (−2) = b. Giá trị
của biểu thức f (−1)− f (2) bằng
A. a +b. B. b −a. C. a −b. D. −a −b.
- Lời giải.
Ta có f (x) =
Z
f
0
(x )dx =
Z
1
x
2
+x
4
dx =
Z
µ
1
x
2
−
1
x
2
+1
¶
dx =−
1
x
−arctanx +C.
Do hàm số f (x) có đạo hàm trên R \{0} nên liên tục trên từng khoảng (−∞;0) và (0;+∞). Do đó, hàm số
f (x) có dạng
−
1
x
−arctanx +C
1
, nếu x <0
−
1
x
−arctanx +C
2
, nếu x >0.
Thay x =1, ta được a =−
1
1
−arctan1+C
2
⇒C
2
=a +1+
π
4
.
Thay x =−2, ta được b =−
1
−2
−arctan(−2)+C
1
⇒C
1
= b −
1
2
−arctan2.
Do đó
f (−1)− f (2) =
·
−
1
−1
−arctan(−1)+b −
1
2
−arctan2
¸
−
·
−
1
2
−arctan2+a +1+
π
4
¸
= b −a.
Chọn đáp án B ä
Câu 39. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn
Z
f
¡
p
x +1
¢
p
x +1
dx =
2
¡
p
x +1+3
¢
x +5
+C. Tìm họ nguyên
hàm của hàm số f (2x) trên tập R
+
.
A.
x +3
2
¡
x
2
+4
¢
+C. B.
x +3
x
2
+4
+C. C.
2x +3
4
¡
x
2
+1
¢
+C. D.
2x +3
8
¡
x
2
+1
¢
+C.
- Lời giải.
Ta có
Z
f
¡
p
x +1
¢
p
x +1
dx =
Z
2f
³
p
x +1
´
d
³
p
x +1
´
=
2
¡
p
x +1+3
¢
p
x +1
2
+4
+C,
suy ra
Z
f
³
p
x +1
´
d
³
p
x +1
´
=
p
x +1+3
p
x +1
2
+4
+C
Từ đó suy ra
Z
f (2x)dx =
1
2
Z
f (2x)d(2x) =
1
2
·
2x +3
(2x )
2
+4
+C =
2x +3
8
¡
x
2
+1
¢
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 40. Cho hàm số y = f (x) liên tục, nhận giá trị dương trên (0;+∞) và thỏa mãn f (1) = 1, f (x) =
f
0
(x )
p
3x +1, với mọi x >0. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Th.s Nguyễn Chín Em 214 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. 2 < f (5) <3. B. 4 < f (5) <5. C. 1 < f (5) <2. D. 3 < f (5) <4.
- Lời giải.
Ta có f (x) = f
0
(x )
p
3x +1 ⇔
f
0
(x )
f (x)
=
1
p
3x +1
⇔
Z
f
0
(x )
f (x)
dx =
Z
dx
p
3x +1
.
Suy ra
Z
d(f (x))
f (x)
=
Z
(3x +1)
−
1
2
dx ⇔ln f (x) =
2
3
p
3x +1+C ⇔ f (x) =e
2
3
p
3x+1+C
.
Mà f (1) =1 ⇒1 =e
4
3
+C
⇒C =−
4
3
⇒ f (5) ≈3,793.
Chọn đáp án D ä
Câu 41. Cho hàm số f (x) thỏa mãn [f
0
(x )]
2
+ f (x) · f "(x) = 2x
2
−x +1, ∀x ∈ R và f (0) = f
0
(0) = 3. Giá trị
của [f (1)]
2
bằng
A. 28. B. 22. C.
19
2
. D. 10.
- Lời giải.
Ta có
[f
0
(x )]
2
+ f (x)· f "(x) =2x
2
−x +1
⇔
£
f (x) · f
0
(x )
¤
0
=2x
2
−x +1
⇔ f (x)· f
0
(x ) =
Z
(2x
2
−x +1)dx
⇔ f (x)· f
0
(x ) =
2
3
x
3
−
1
2
x
2
+x +C.
Thay x =0 ta được f (0)· f
0
(0) = C ⇔ C =9.
Khi đó
f (x) · f
0
(x ) =
2
3
x
3
−
1
2
x
2
+x +9
⇔
Z
f (x) · f
0
(x )dx =
Z
µ
2
3
x
3
−
1
2
x
2
+x +9
¶
dx
⇔
Z
f (x)d[f (x)] =
1
6
x
4
−
1
6
x
3
+
1
2
x
2
+9x +C
1
⇔
1
2
f
2
(x ) =
1
6
x
4
−
1
6
x
3
+
1
2
x
2
+9x +C
1
⇔ f
2
(x ) =
1
3
x
4
−
1
3
x
3
+x
2
+18x +2C
1
.
Thay x =0 ta được f
2
(0) =2C
1
⇔C
1
=
9
2
.
Vậy f
2
(x ) =
1
3
x
4
−
1
3
x
3
+x
2
+18x +9, nên f
2
(1) =28.
Chọn đáp án A
ä
Câu 42. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R\{−1;0} thỏa mãn x(x+1)f
0
(x )+ f (x) = x
2
+x, ∀x ∈R\{−1;0}
và f (1) =−2ln2 biết f (2) = a +b ln3 với a, b ∈Q. Tính a
2
+b
2
.
A.
1
2
. B.
9
2
. C.
3
4
. D.
13
4
.
- Lời giải.
Từ giả thiết
x
x +1
f
0
(x ) +
1
(x +1)
2
f (x) =
x
x +1
,∀x ∈R \{−1;0}.
⇒
h
x
x +1
· f (x)
i
0
=
x
x +1
.
Lấy nguyên hàm hai vế, ta có
x
x +1
· f (x) =
Z
x
x +1
dx =
Z
µ
1−
1
x +1
¶
dx = x −ln|x +1|+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 215 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Mà f (1) =−2ln2 nên C =−1 ⇒ f (x)·
x
x +1
= x −ln|x +1|−1.
Cho x =2 ⇒ f (2)·
2
3
=2 −ln3−1 ⇒ f (2) =
3
2
−
3
2
ln3.
Vậy a =
3
2
, b =−
3
2
⇒a
2
+b
2
=
9
2
.
Chọn đáp án B ä
Câu 43. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = |1+x|−|1−x| trên tập R và thỏa mãn F(1) = 3.
Tính tổng T = F(0)+F(2)+F(−3).
A. 8. B. 12. C. 14. D. 10.
- Lời giải.
Ta viết lại hàm số f (x) đã cho
f (x) =
2 nếu x >1
2x nếu −1 ≤ x ≤1
−2 nếu x <−1
.
Xét trên các khoảng (−∞;−1),(−1;1),(1;+∞) hàm số f (x) có nguyên hàm là
F(x) =
2x +C
1
nếu x >1
x
2
+C
2
nếu −1 < x <1
−2x +C
3
nếu x <−1
.
Vì F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên R nên F(x) liên tục trên R. Do đó F(x) liên tục tại các điểm x =−1
và x =1. Để có điều này trước hết phải có
lim
x→1
+
F(x) = lim
x→1
−
F(x)
lim
x→(−1)
+
F(x) = lim
x→(−1)
−
F(x)
⇔
C
1
=C
3
C
2
=C
1
+1
.
Lại có F(1) =3 nên C
1
=1 khi đó ta có
F(x) =
2x +1 nếu x >1
x
2
+2 nếu −1 ≤ x ≤1
−2x +1 nếu x <−1
.
Vậy T = F(0)+F(2)+F(−3) =14.
Chọn đáp án C ä
Câu 44. Cho hàm số f (x) thỏa mãn
¡
f
0
(x )
¢
2
+ f (x) · f
00
(x ) =15x
4
+12x ,∀x ∈ R và f (0) = f
0
(0) = 1. Giá tr ị
của f
2
(1) bằng
A.
9
2
. B.
5
2
. C. 10. D. 8.
- Lời giải.
Ta có
¡
f
0
(x )
¢
2
+ f (x)· f
00
(x ) =15x
4
+12x
⇔
£
f
0
(
x
)
· f
(
x
)
¤
0
=15x
4
+12x
⇔ f
0
(
x
)
· f
(
x
)
=3x
5
+6x
2
+C
1
.
Th.s Nguyễn Chín Em 216 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Do f
(
0
)
= f
0
(
0
)
=1 nên ta có C
1
=1. Do đó:
f
0
(
x
)
· f
(
x
)
=3x
5
+6x
2
+1
⇔
µ
1
2
f
2
(
x
)
¶
0
=3x
5
+6x
2
+1
⇔ f
2
(
x
)
= x
6
+4x
3
+2x +C
2
.
Mà f
(
0
)
=1 nên ta có C
2
=1. Vậy f
2
(
x
)
= x
6
+4x
3
+2x +1 suy ra f
2
(
1
)
=8.
Chọn đáp án D ä
Câu 45. Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng
(
0;+∞
)
\
{
e
}
thỏa mãn f
0
(x ) =
1
x
(
ln x −1
)
, f
µ
1
e
2
¶
=ln6 và
f
¡
e
2
¢
=3. Giá trị của biểu thức f
µ
1
e
¶
+ f
¡
e
3
¢
bằng
A. 3
(
ln2+1
)
. B. 2ln2. C. 3ln2+1. D. ln2+3.
- Lời giải.
Ta có f (x) =
Z
f
0
(x )dx =
Z
1
x
(
ln x −1
)
dx =
Z
d
(
ln x −1
)
ln x −1
=ln
|
ln x −1
|
+C
=
ln
(
ln x −1
)
+C
1
khi x >e
ln
(
1−lnx
)
+C
2
khi 0 < x <e
.
Vì f
µ
1
e
2
¶
=ln6 ⇒ln
µ
1−ln
1
e
2
¶
+C
2
=ln6 ⇒ln3+C
2
=ln6 ⇒C
2
=ln6−ln3 =ln2.
Vì f
¡
e
2
¢
=3 ⇒ln
¡
lne
2
−1
¢
+C
1
=3 ⇒C
2
=3.
Do đó f
µ
1
e
¶
+ f
¡
e
3
¢
=ln
µ
1−ln
1
e
¶
+ln2+ln
¡
lne
3
−1
¢
+3 =2ln2 +ln2+3 =3
(
ln2+1
)
.
Chọn đáp án A ä
Câu 46. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0;+∞), biết f
0
(x ) +(2x +3)f
2
(x ) = 0,
f (x) >0 với mọi x >0 và f (1) =
1
6
. Tính giá trị của P =1 + f (1)+ f (2)+···+ f (2017)
A.
6059
4038
. B.
6055
4038
. C.
6053
4038
. D.
6047
4038
.
- Lời giải.
f
0
(x )+(2x+3)f
2
(x ) =0 ⇔
f
0
(x )
f
2
(x )
=−2x−3. Lấy nguyên hàm hai vế ta có −
1
f (x)
=−x
2
−3x+C. Do f (1) =
1
6
nên C =−2.
Vậy f (x) =
1
x
2
+3x +2
=
1
(x +1)(x +2)
=
1
x +1
−
1
x +2
.
Do đó P =1+
1
2
−
1
3
+
1
3
−
1
4
+···+
1
2018
−
1
2019
=
6055
4038
.
Chọn đáp án B ä
Câu 47. Cho hàm số f (x) xác định trên R\
{
−1;1
}
và thỏa mãn f
0
(x ) =
1
x
2
−1
· Biết rằng f
(
−3
)
+ f (3) = 0
và f
µ
−
1
2
¶
+ f
µ
1
2
¶
=2. Tính T = f
(
−2
)
+ f (0)+ f (4).
A. T =1+ln
9
5
. B. T =1+ln
6
5
. C. T =1+
1
2
ln
9
5
. D. T =1 +
1
2
ln
6
5
.
- Lời giải.
Ta có f (x) =
Z
1
x
2
−1
dx =
1
2
Z
µ
1
x −1
−
1
x +1
¶
dx =
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +1
¯
¯
¯
¯
+C.
Với x ∈
(
−∞;−1
)
ta có f (x) =
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +1
¯
¯
¯
¯
+C
1
.
Với x ∈
(
1;+∞
)
ta có f (x) =
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +1
¯
¯
¯
¯
+C
3
.
Mà f
(
−3
)
+ f (3) =0 ⇔
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
−3−1
−3+1
¯
¯
¯
¯
+C
1
+
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
3−1
3+1
¯
¯
¯
¯
+C
3
=0
Th.s Nguyễn Chín Em 217 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
⇔
1
2
ln2+C
1
+
1
2
ln
1
2
+C
3
=0 ⇔C
1
+C
3
=0.
Do đó f
(
−2
)
=
1
2
ln3+C
1
; f (4) =
1
2
ln
3
5
+C
3
.
Với x ∈
(
−1;1
)
ta có f (x) =
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +1
¯
¯
¯
¯
+C
2
.
f
µ
−
1
2
¶
+ f
µ
1
2
¶
=2 ⇔
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−
1
2
−1
−
1
2
+1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+C
2
+
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
2
−1
1
2
+1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+C
2
=2.
⇔
1
2
ln3+C
2
+
1
2
ln
1
3
+C
2
=2 ⇔C
2
=1.
Do đó với x ∈
(
−1;1
)
: f (x) =
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +1
¯
¯
¯
¯
+1 ⇒ f (0) =1.
Vậy T = f
(
−2
)
+ f (0)+ f (4) =1 +
1
2
ln
9
5
·
Chọn đáp án C ä
Câu 48. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên R và thỏa mãn f (x) >0, ∀x ∈R. Biết f (0) =1 và
f
0
(x )
f (x)
=2 −2x,
hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f (x) = m có hai nghiệm thực phân biệt?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 5.
- Lời giải.
Theo bài ra ta có
Z
f
0
(x )
f (x)
dx =
Z
(2−2x)dx ⇔ln|f (x)|=2x −x
2
+C. (1)
Thay x =0 vào (1) ta được C =0, từ đó suy ra ln|f (x)|=2x −x
2
⇔ f (x) =e
2x−x
2
.
Phương tr ình f (x) = m có hai nghiệm phân biệt khi chỉ khi phương trình m =e
2x−x
2
có hai nghiệm phân biệt
tương đương với −x
2
+2x−ln m =0 có hai nghiệm phân biệt tương đương với ∆
0
=1−lnm >0 ⇔0 < m <e,
từ đó suy ra m =1 hoặc m =2.
Chọn đáp án B ä
Câu 49. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn f (x) > 0,∀x ∈ R. Biết f (0) = 1 và
f
0
(x )
f (x)
= 2 −2x. Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f (x) = m có hai nghiệm thực phân
biệt.
A. m > e. B. 0 < m É1. C. 0 < m < e. D. 1 < m < e.
- Lời giải.
Ta có
f
0
(x )
f (x)
=2 −2x ⇒
Z
f
0
(x )
f (x)
dx =
Z
(
2−2x
)
dx . ⇔ln f (x) =2x −x
2
+C ⇔ f (x) = A.e
2x−x
2
.
Mà f (0) =1 suy ra f (x) = e
2x−x
2
.
Ta có 2x −x
2
=1 −
¡
x
2
−2x +1
¢
=1 −
(
x −1
)
2
É1.
Suy ra 0 < e
2x−x
2
É e và ứng với một giá trị thực t < 1 thì phương trình 2x −x
2
= t sẽ có hai nghiệm phân
biệt.
Vậy để phương trình f (x) = m có 2 nghiệm phân biệt khi 0 < m < e
1
= e.
Chọn đáp án C ä
Câu 50. Cho F(x) =−
1
3x
3
là một nguyên hàm của hàm số
f (x)
x
. Tìm nguyên hàm của hàm số f
0
(x )lnx.
A.
Z
f
0
(x )lnxdx =−
ln x
x
3
+
1
3x
3
+C. B.
Z
f
0
(x )lnxdx =
ln x
x
3
+
1
3x
3
+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 218 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
C.
Z
f
0
(x )lnxdx =
ln x
x
3
−
1
5x
5
+C. D.
Z
f
0
(x )lnxdx =
ln x
x
3
+
1
5x
5
+C.
- Lời giải.
Ta có F
0
(x ) =
f (x)
x
⇔
1
x
4
=
f (x)
x
⇒ f (x) =
1
x
3
.
Đặt
u =ln x
dv = f
0
(x )dx
⇒
du =
1
x
dx
v = f (x).
Suy ra
Z
f
0
(x )lnxdx = f (x)·lnx −
Z
f (x)
x
dx =
ln x
x
3
−F(x) +C =
ln x
x
3
+
1
3x
3
+C.
Chọn đáp án B ä
4.1 ĐÁP ÁN
1. B 2. A 3. A 4. D 5. C 6. B
7. D
8. A 9. A
10. B 11. C 12. A 13. C 14. C 15. A 16. B 17. A 18. A
19. D 20. B 21. A 22. C 23. C 24. D 25. A 26. D 27. C
28. D 29. B 30. B 31. C 32. A 33. A 34. D 35. C 36. B
37. A 38. B 39. D 40. D 41. A 42. B 43. C 44. D 45. A
46. B 47. C 48. B 49. C 50. B
Th.s Nguyễn Chín Em 219 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
BÀI 2. TÍCH PHÂN
A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1 KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1.1 Định nghĩa tích phân
Cho f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên đoạn [a; b].
Hiệu số F(b )−F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b]) của hàm số f (x), kí
hiệu là
Z
b
a
f (x)dx.
Vậy
Z
b
a
f (x)dx = F(x)
|
b
a
=F(b)−F(a).
Nhận xét.
1 Tích phân chỉ phụ thuộc vào f và các cận a,b mà không phụ thuộc vào biến số x hay biến t.
2 Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f (x) liên túc trên đoạn [a ; b], thì
Z
b
a
f (x)dx là diện tích
S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f (x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b.
1.2 Tính chất của tích phân
Z
b
a
k f (x)dx = k
Z
b
a
f (x)dx ( k là hằng số).1
b
Z
a
f (x)dx =−
a
Z
b
f (x)dx.2
a
Z
a
f (x)dx =0.
3
b
Z
a
(
f (x) ± g (x)
)
dx =
b
Z
a
f (x)dx ±
b
Z
a
g(x)dx.
4
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx (a < c < b).5
b
Z
a
f
0
(x )dx = f (x)
¯
¯
¯
b
a
,
b
Z
a
f
00
(x )dx = f
0
(x )
¯
¯
¯
b
a
, . . . .6
2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
2.1 Phương Pháp Đổi Biến Số
Dạng 1. Giả sử cần tính I =
b
Z
a
f
(
x
)
dx ta thực hiện các bước sau
1 Đặt x = u
(
t
)
(với u
(
t
)
là hàm có đạo hàm liên tục trên
£
α;β
¤
, f
[
u
(
t
)
]
xác định trên
£
α;β
¤
và u
(
α
)
=
a, u
¡
β
¢
= b) và xác định α,β.
2 Thay vào, ta có I =
β
Z
α
f
[
u
(
t
)
]
·u
0
(
t
)
dt =
β
Z
α
g
(
t
)
dt =G
(
t
)
¯
¯
¯
β
α
=G
¡
β
¢
−G
(
α
)
.
Dấu hiệu Cách chọn
•
p
a
2
−x
2
•
x =|a|sint, t ∈
h
−
π
2
;
π
2
i
x =|a|cost, t ∈
[
0;π
]
•
p
x
2
−a
2
•
x =
|a|
sin t
, t ∈
h
−
π
2
;
π
2
i
\
{
0
}
x =
|a|
cos t
, t ∈
[
0;π
]
\
n
π
2
o
• x
2
+a
2
• x =
|
a
|
tan t, t ∈
³
−
π
2
;
π
2
´
Th.s Nguyễn Chín Em 220 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Dạng 2: Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (ta gọi là loại 2) như sau:
Để tính tích phân I =
b
Z
a
f
(
x
)
dx nếu f
(
x
)
= g
[
u
(
x
)
]
·u
0
(
x
)
, ta có thể thực hiện phép đổi biến như sau
1 Đặt t = u
(
x
)
⇒ dt = u
0
(
x
)
dx . Đổi cận
½
x =a ⇒ t = u
(
a
)
x = b ⇒ t = u
(
b
)
.
2 Thay vào ta có I =
u(b)
Z
u(a)
g
(
t
)
dt =G
(
t
)
¯
¯
¯
u
(
b
)
u
(
a
)
.
2.2 Phương Pháp Tích Phân Từng Phần
Cho hai hàm số u và v liên tục trên
[
a; b
]
và có đạo hàm liên tục trên
[
a; b
]
. Khi đó
b
Z
a
u dv = uv
¯
¯
¯
b
a
−
b
Z
a
vdu.
3 CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP
3.1 Tích phân cơ bản và tính chất tính phân
Dùng định nghĩa tích phân và các tính chất để giải bài toán.
3.1.1 Ví dụ và bài t ập
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau
1 Tính
3
Z
1
(3x
2
−4x +5)dx. ĐS: 20
Lời giải:
3
Z
1
(3x
2
−4x +5)dx =
¡
x
3
−2x
2
+5x
¢
¯
¯
¯
3
1
=24 −4 =20.
2 Tính
1
Z
0
dx
(1+x)
3
. ĐS:
3
8
Lời giải:
1
Z
0
dx
(1+x)
3
=
1
Z
0
(1+x)
−3
dx = −
(1+x)
−2
2
¯
¯
¯
¯
1
0
=−
1
8
+
1
2
=
3
8
.
Ví dụ 2. Tìm số thực m thỏa mãn
1
m
Z
−1
e
x+1
dx =e
2
−1. ĐS: m =1
Lời giải:
m
Z
−1
e
x+1
dx =e
x+1
¯
¯
¯
m
−1
=e
m+1
−1.
Theo đề bài ta suy ra
e
2
−1 =e
m+1
−1 ⇔ m =1.
Vậy m =1.
2
m
Z
0
(2x +5)dx =6. ĐS: m =1, m =−6
Th.s Nguyễn Chín Em 221 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Lời giải:
m
Z
0
(2x +5)dx =
¡
x
2
+5x
¢
¯
¯
¯
m
0
= m
2
+5m.
Theo đề bài ta suy ra
m
2
+5m =6 ⇔ m =1 hoặc m =−6.
Vậy m =1 hoặc m =−6.
Bài 1. Tính các tích phân sau
1
π
2
Z
π
3
sin x dx. ĐS:
1
2
- Lời giải.
π
2
Z
π
3
sin x dx =−cosx
¯
¯
¯
π
2
π
3
=0 +
1
2
=
1
2
. ä
2
π
3
Z
π
4
dx
cos
2
x
. ĐS:
p
3−1
- Lời giải.
π
3
Z
π
4
dx
cos
2
x
=tan x
¯
¯
¯
π
3
π
4
=
p
3−1. ä
Bài 2. Tính các tính phân
Th.s Nguyễn Chín Em 222 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
−5
Z
−2
dx
p
1−3x
. ĐS:
2
p
7−8
3
- Lời giải.
−5
Z
−2
dx
p
1−3x
=−
2
3
p
1−3x
¯
¯
¯
−5
−2
=−
8
3
+
2
p
7
3
=
2
p
7−8
3
.
ä
1
7
Z
2
4dx
p
x +1+
p
x −1
. ĐS:
64
p
2−12
p
3−24
p
6+4
3
- Lời giải.
7
Z
2
4dx
p
x +1+
p
x −1
=
7
Z
2
4
¡
p
x +1−
p
x −1
¢
dx
x +1−x +1
=
7
Z
2
2
p
x +1dx −
7
Z
2
2
p
x −1dx.
Ta có
7
Z
2
2
p
x +1dx =
4
3
(x +1)
3
2
¯
¯
¯
7
2
=
64
p
2
3
−
4
p
3,
7
Z
2
2
p
x −1dx =
4
3
(x −1)
3
2
¯
¯
¯
7
2
=
24
p
6
3
−
4
3
.
Vậy
7
Z
2
4dx
p
x +1+
p
x −1
=
64
p
2−12
p
3−24
p
6+4
3
.
ä
2
Bài 3. Tính các tích phân sau
1 Tính
3
Z
−2
(4x
3
−3x
2
+10)dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 80
- Lời giải.
3
Z
−2
(4x
3
−3x
2
+10)dx =(x
4
−x
3
+10x)
¯
¯
¯
3
−2
=84 −4 =80. ä
2 Tính
4
Z
1
(x
2
+3
p
x)dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 35
- Lời giải.
4
Z
1
4
(1−2x)
2
dx =
µ
x
3
3
+2x
p
x
¶
¯
¯
¯
4
1
=
112
3
−
7
3
=35. ä
3 Tính
2
Z
0
x(x +1)
2
dx =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
34
3
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 223 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
2
Z
0
x(x +1)
2
dx =
2
Z
0
(x
3
+2x
2
+x)dx =
µ
x
4
4
+
2x
3
3
+
x
2
2
¶
¯
¯
¯
2
0
=
34
3
−0 =
34
3
. ä
4 Tính
4
Z
2
µ
x +
1
x
¶
dx =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 6 +ln2
- Lời giải.
4
Z
2
µ
x +
1
x
¶
dx =
µ
x
2
2
+lnx
¶
¯
¯
¯
4
2
=8 +ln4−2−ln2 =6 +ln2. ä
5 Tính
3
Z
1
µ
3
x
−
1
x
2
¶
dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 3ln3−
2
3
- Lời giải.
3
Z
1
µ
3
x
−
1
x
2
¶
dx =
µ
3ln x +
1
x
¶
¯
¯
¯
3
1
=3ln3+
1
3
−0−1 =3ln3 −
2
3
. ä
6 Tính
1
Z
0
e
3x
dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
3
e
3
−
1
3
- Lời giải.
1
Z
0
e
3x
dx =
1
3
e
3x
¯
¯
¯
1
0
=
1
3
e
3
−
1
3
. ä
7 Tính
2018
Z
0
7
x
dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
7
2018
−1
ln7
- Lời giải.
2018
Z
0
7
x
dx =
7
x
ln7
¯
¯
¯
2018
0
=
7
2018
ln7
−
1
ln7
=
7
2018
−1
ln7
. ä
8 Tính
6
Z
0
dx
x +6
=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: ln2
- Lời giải.
6
Z
0
dx
x +6
=ln(x +6)
¯
¯
¯
6
0
=ln12−ln6 =ln2. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 224 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
9 Tính
3
Z
1
dx
1−3x
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: −
1
3
ln4
- Lời giải.
3
Z
1
dx
1−3x
=−
1
3
ln(3x −1)
¯
¯
¯
3
1
=−
1
3
ln8+
1
3
ln2 =−
1
3
ln4. ä
10 Tính
2
Z
1
dx
(4x −1)
2
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
21
- Lời giải.
2
Z
1
dx
(4x −1)
2
=−
1
4
·
1
4x −1
¯
¯
¯
2
1
=−
1
28
+
1
12
=
1
21
. ä
11 Tính
4
Z
1
4
(1−2x)
2
dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
12
7
- Lời giải.
4
Z
1
4
(1−2x)
2
dx =2·
1
1−2x
¯
¯
¯
4
1
=−
2
7
+2 =
12
7
. ä
Bài 4. Tìm các số thực m thỏa mãn
1
5
Z
2
m
2
(5−x
3
)dx =−549.
ĐS: m =±
1
2
- Lời giải.
Ta có
5
Z
2
m
2
(5−x
3
)dx = m
2
(5x −
x
4
4
)
¯
¯
¯
5
2
= m
2
·
µ
−
549
4
¶
. (1)
Từ (1) suy ra
m
2
·
µ
−
549
4
¶
=−549 ⇔ m
2
=
1
4
⇔ m =±
1
2
.
Vậy m =±
1
2
. ä
2
2
Z
m
(3−2x)
4
dx =
122
5
. ĐS: m =0
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 225 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
2
Z
m
(3−2x)
4
dx =−
(3−2x)
5
10
¯
¯
¯
2
m
=
1
10
+
(3−2m)
5
10
. (1)
Từ (1) suy ra
1
10
+
(3−2m)
5
10
=
122
5
⇔
(3−2m)
5
10
=
243
10
⇔3 −2m =3 ⇔ m =0.
Vậy m =0. ä
3
m
Z
0
(3x
2
−12x +11)dx =6.
ĐS: m =1, m =2, m =3
- Lời giải.
Ta có
m
Z
0
(3x
2
−12x +11)dx =(x
3
−6x
2
+11x)
¯
¯
¯
m
0
= m
3
−6m
2
+11m. (1)
Từ (1) suy ra
m
3
−6m
2
+11m =6 ⇔ m
3
−6m
2
+11m −6 =0 ⇔
m =1
m =2
m =3.
Vậy m =1, m =2, m =3. ä
4
2
Z
1
¡
m
2
+(4−4m)x +4x
3
¢
dx =
4
Z
2
2x dx.
ĐS: m =3
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
¡
m
2
+(4−4m)x +4x
3
¢
dx =
¡
m
2
x +(2−2m)x
2
+x
4
¢
¯
¯
¯
2
1
= m
2
−6m +21. (1)
Mà
4
Z
2
2x dx = x
2
¯
¯
¯
4
2
=12. (1)
Từ (1) và (2) suy ra
m
2
−6m +21 =12 ⇔ m
2
−6m +9 =0 ⇔ m =3.
Vậy m =3. ä
Bài 5. Tính các tính phân sau
1 Tính
2π
3
Z
π
3
cos
µ
3x −
2π
3
¶
dx =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: −
p
3
3
Th.s Nguyễn Chín Em 226 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
2π
3
Z
π
3
cos
µ
3x −
2π
3
¶
dx =
1
3
sin
µ
3x −
2π
3
¶
¯
¯
¯
2π
3
π
3
=−
p
3
6
−
p
3
6
=−
p
3
3
. ä
2 Tính
π
4
Z
π
6
tan
2
xdx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 1 −
p
3
3
−
π
12
- Lời giải.
π
4
Z
π
6
tan
2
xdx =
π
4
Z
π
6
µ
1
cos
2
x
−1
¶
dx =
(
tan x −x
)
¯
¯
¯
π
4
π
6
=1 −
π
4
−
p
3
3
+
π
6
=1 −
p
3
3
−
π
12
. ä
3 Tính
π
3
Z
π
4
cot
2
xdx =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 1 −
p
3
3
−
π
12
- Lời giải.
π
3
Z
π
4
cot
2
xdx =
π
3
Z
π
4
µ
1
sin
2
x
−1
¶
xdx =
(
−cot x −x
)
¯
¯
¯
π
3
π
4
=−
p
3
3
−
π
3
+1+
π
4
=1 −
p
3
3
−
π
12
. ä
4 Tính
π
4
Z
0
sin5x sinx dx =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
12
- Lời giải.
π
4
Z
0
sin5x sinx dx =
1
2
π
4
Z
0
(
cos4x −cos6x
)
dx =
1
2
·
µ
1
4
sin4x −
1
6
sin6x
¶
¯
¯
¯
π
4
0
=
1
12
−0 =
1
12
. ä
5 Tính
π
6
Z
0
sin4x cosx dx =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
p
3
20
+
4
15
- Lời giải.
π
6
Z
0
sin4x cosx dx =
1
2
π
6
Z
0
(
sin5x +sin3x
)
dx =−
1
2
·
µ
1
5
cos5x +
1
3
cos3x
¶
¯
¯
¯
π
6
0
=
p
3
20
+
4
15
. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 227 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
6 Tính
π
4
Z
0
sin6x cos2x dx =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
4
- Lời giải.
π
4
Z
0
sin6x cos2x dx =
1
2
π
4
Z
0
(
sin8x +sin4x
)
dx =−
1
2
·
µ
1
8
cos8x +
1
4
cos4x
¶
¯
¯
¯
π
4
0
=
1
16
+
3
16
=
1
4
. ä
7 Tính
π
6
Z
0
cos3x cosx dx =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
3
p
3
16
- Lời giải.
π
6
Z
0
cos3x cosx dx =
1
2
π
6
Z
0
(
cos4x +cos2x
)
dx =
1
2
·
µ
1
4
sin4x +
1
2
sin2x
¶
¯
¯
¯
π
6
0
=
3
p
3
16
−0 =
3
p
3
16
. ä
8 Tính
π
6
Z
0
cos6x cos2x dx =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
p
3
32
- Lời giải.
π
6
Z
0
cos6x cos2x dx =
1
2
π
6
Z
0
(
cos8x +cos4x
)
dx =
1
2
·
µ
1
8
sin8x +
1
4
sin4x
¶
¯
¯
¯
π
6
0
=
p
3
32
−0 =
p
3
32
. ä
9 Tính
π
4
Z
0
sin
4
xdx =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
4
µ
3π
8
−1
¶
- Lời giải.
Ta có
sin
4
x =
µ
1−cos2x
2
¶
2
=
1
4
·
¡
1−2cos2x +cos
2
2x
¢
=
1
4
·
µ
1−2cos2x +
1+cos4x
2
¶
.
Suy ra
π
4
Z
0
sin
4
xdx =
1
4
π
4
Z
0
µ
1−2cos2x +
1+cos4x
2
¶
dx =
1
4
µ
x −sin2x +
1
2
x +
1
8
sin4x
¶
¯
¯
¯
π
4
0
=
1
4
µ
3π
8
−1
¶
.
ä
Th.s Nguyễn Chín Em 228 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Bài 6. 1 Biết
a
Z
0
sin x cosxdx =
1
4
. Tìm a.
ĐS: a =
π
4
+k
π
2
, k ∈Z
- Lời giải.
Ta có
a
Z
0
sin x cosxdx =
a
Z
0
1
2
sin2x dx =−
1
4
cos2x
¯
¯
¯
a
0
=−cos2a +
1
4
.
Theo đề bài ta có
−cos2a +
1
4
=
1
4
⇔ cos2a =0
⇔ 2a =
π
2
+kπ
⇔ a =
π
4
+k
π
2
, k ∈Z.
Vậy a =
π
4
+k
π
2
, k ∈Z. ä
2 Có bao nhiêu số nguyên m ∈(0;2018) thỏa
m
Z
0
cos2x dx =0?
ĐS: 1284
- Lời giải.
Ta có
m
Z
0
cos2x dx =
1
2
sin2x
¯
¯
¯
m
0
=
1
2
sin2m.
Theo đề bài ta có
1
2
sin2m =0 ⇔ sin2m =0
⇔ 2m = k π
⇔ m = k
π
2
, k ∈Z.
Vì m ∈(0;2018) ⇔0 < k
π
2
<2018 ⇔0 < k <1284,6.
Do k ∈Z nên k =1,2,3,...,1284. Vậy có 1284 số nguyên m ∈(0;2018) thỏa mãn đề. ä
3 Biết
π
4
Z
0
sin5x dx = a +b
p
2
2
với a, b ∈Q. Tính giá trị P =ab +b −a.
ĐS:
1
25
- Lời giải.
Ta có
π
4
Z
0
sin5x dx =−
1
5
cos5x
¯
¯
¯
π
4
0
=
p
2
10
+
1
5
=
1
5
+
1
5
·
p
2
2
.
Suy ra a = b =
1
5
nên P =ab +b −a =
1
25
. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 229 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
4 Biết
π
4
Z
π
6
1−sin
3
x
sin
2
x
dx =
p
a +
p
b −c
2
với a, b, c là các số nguyên dương. Tính giá tr ị P = a
2
+b
2
+abc.
ĐS: 25
- Lời giải.
Ta có
π
4
Z
π
6
1−sin
3
x
sin
2
x
dx =
π
4
Z
π
6
µ
1
sin
2
x
−sinx
¶
dx =(−cot x +cosx)
¯
¯
¯
π
4
π
6
=
p
3+
p
2−2
2
.
Suy ra a =3, b =2, c =2 hoặc a =2, b =3, c =2 và P = a
2
+b
2
+abc =25. ä
5 Biết
π
4
Z
0
dx
cos
2
xsin
2
x
=a +b
p
3 với a, b ∈Q. Tính giá trị P = ab −a +b.
ĐS:
2
3
- Lời giải.
Ta có
π
4
Z
0
dx
cos
2
xsin
2
x
=
π
4
Z
0
µ
1
cos
2
x
+
1
sin
2
x
¶
dx =
(
tan x −cot x
)
¯
¯
¯
π
4
0
=
2
p
3
3
=0 +
2
3
p
3.
Suy ra a =0, b =
2
3
và P = ab −a +b =
2
3
. ä
6 Biết
π
4
Z
0
sin3x sin2x dx = a +
b
p
2
10
với a, b ∈Z. Tính a +b.
ĐS: 3
- Lời giải.
Ta có
π
4
Z
0
sin3x sin2x dx =
1
2
π
4
Z
0
(cos x −cos5x)dx =
1
2
µ
sin x −
1
5
sin5x
¶
¯
¯
¯
π
4
0
=
3
p
2
10
.
Suy ra a =0, b =3 và a +b =3. ä
Bài 7. Tính các tích phân sau
1 Tính
1
Z
0
3
p
5+3xdx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 4 −
5
3
p
5
4
- Lời giải.
1
Z
0
3
p
5+3xdx =
1
Z
0
(
5+3x
)
1
3
dx =
1
4
(5+3x)
¯
¯
¯
1
0
=4 −
5
3
p
5
4
. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 230 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
2 Tính
5
Z
3
4x dx
p
5x +1−
p
3x +1
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
104
p
26
15
+
512
45
−
40
p
10
9
- Lời giải.
5
Z
3
4x dx
p
5x +1−
p
3x +1
=
5
Z
3
4x
¡
p
5x +1+
p
3x +1
¢
5x +1−3x −1
dx
= 2
5
Z
3
µ
(5x +1)
1
2
+(3x +1)
1
2
¶
dx
= 2
µ
2
15
(5x +1)
3
2
+
2
9
(3x +1)
3
2
¶
¯
¯
¯
5
3
=
104
p
26
15
+
512
45
−
40
p
10
9
.
ä
3 Tính
5
Z
1
5x dx
p
8x +1+
p
3x +1
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
41
p
41
12
−
529
36
- Lời giải.
5
Z
1
5x dx
p
8x +1+
p
3x +1
=
5
Z
1
5x
¡
p
8x +1−
p
3x +1
¢
8x +1−3x −1
dx
=
5
Z
1
µ
(8x +1)
1
2
−(3x +1)
1
2
¶
dx
=
µ
1
12
(8x +1)
3
2
−
2
9
(3x +1)
3
2
¶
¯
¯
¯
5
1
=
41
p
41
12
−
529
36
.
ä
4 Tính
6
Z
1
dx
(x +3)
p
x −x
p
x +3
=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
2
p
6
3
- Lời giải.
6
Z
1
dx
(x +3)
p
x −x
p
x +3
=
6
Z
1
dx
p
x(x +3)
¡
p
x +3−
p
x
¢
=
6
Z
1
p
x +3+
p
x
3
p
x(x +3)
dx
Th.s Nguyễn Chín Em 231 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
=
1
3
6
Z
1
µ
1
p
x
+
1
p
x +3
¶
dx
=
2
3
³
p
x +
p
x +3
´
¯
¯
¯
6
1
=
2
p
6
3
.
ä
5 Tính
3
Z
2
dx
(x +2)
p
x +1+(x +1)
p
x +2
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 8 −2
p
5−2
p
3
- Lời giải.
3
Z
2
dx
(x +2)
p
x +1+(x +1)
p
x +2
=
3
Z
2
dx
p
(x +2)(x +1)
¡
p
x +2+
p
x +1
¢
=
3
Z
2
p
x +2−
p
x +1
p
(x +2)(x +1)
dx
=
3
Z
2
µ
1
p
x +1
−
1
p
x +2
¶
dx
= 2
³
p
x +1−
p
x +2
´
¯
¯
¯
3
2
= 8−2
p
5−2
p
3.
. ä
Bài 8. 1 Biết
2
Z
1
p
2x −1dx =
p
a −1
b
với a, b là số nguyên dương. Tính a −b
3
.
ĐS: 0
- Lời giải.
2
Z
1
p
2x −1dx =
2
Z
1
(2x −1)
1
2
dx =
1
3
(2x −1)
3
2
¯
¯
¯
2
1
=
p
3−
1
3
=
p
27−1
3
.
Suy ra a =27, b =3 và a −b
3
=0. ä
2 Biết
3
Z
1
p
8−2xdx =
p
a −
p
b
3
với a, b là số nguyên dương. Tính P = ab +a +b.
ĐS: 1952
- Lời giải.
3
Z
1
p
8−2xdx =
3
Z
1
(8−2x)
1
2
dx =−
1
3
(8−2x)
3
2
¯
¯
¯
3
1
=
6
p
6−2
p
2
3
=
p
216−
p
8
3
.
Suy ra a =216, b =8 và ab +a +b =1952. ä
3 Biết
3
Z
2
3
p
3x −5dx =
3
p
a −
1
b
với a, b là các số nguyên. Tính P = ab +a −b.
Th.s Nguyễn Chín Em 232 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
ĐS: 16
- Lời giải.
3
Z
2
3
p
3x −5dx =
3
Z
2
(3x −5)
1
3
dx =
1
4
(3x −5)
4
3
¯
¯
¯
3
2
=
3
p
4−
1
4
.
Suy ra a =4, b =4 và P = ab +a −b =16. ä
4 Biết
6
Z
2
2dx
p
2x −1
=
p
a −
p
b với a, b là các số nguyên dương. Tính P =ab +a +b.
ĐS: 584
- Lời giải.
6
Z
2
2dx
p
2x −1
=2
6
Z
2
2dx
2
p
2x −1
=2
p
2x −1
¯
¯
¯
6
2
=2
p
11−2
p
3 =
p
44−
p
12.
Suy ra a =44, b =12 và P = ab +a +b =584. ä
5 Biết
2
Z
1
dx
(x +1)
p
x +x
p
x +1
=
p
a −
p
b −c với a, b, c là các số nguyên dương. Tính P = a +b +c .
ĐS: 46
- Lời giải.
2
Z
1
dx
(x +1)
p
x +x
p
x +1
=
2
Z
1
dx
p
x(x +1)
¡
p
x +1+
p
x
¢
=
2
Z
1
p
x +1−
p
x
p
x(x +1)
dx
=
2
Z
1
µ
1
p
x
−
1
p
x +1
¶
dx
= 2
³
p
x −
p
x +1
´
¯
¯
¯
2
1
= 4
p
2−2
p
3−2
=
p
32−
p
12−2.
Suy ra a =32, b =12, c =2 và P = a +b +c =46. ä
3.2 Tích phân hàm số phân thức hữu tỉ
Phương pháp giải:
Chú ý nguyên hàm của một số hàm phân thức hữu tỉ thường gặp.
1
Z
1
ax +b
dx =
1
a
ln|ax +b|+C, với a 6=0.
2
Z
1
(ax +b)
n
dx =
1
a
·
−1
(n −1)(ax +b)
n−1
+C, với a 6=0, n ∈N,n ≥2.
3
Z
1
(x +a)(x +b)
dx =
1
b −a
ln
¯
¯
¯
x +a
x +b
¯
¯
¯
+C, với a 6= b .
3.2.1 Ví dụ và bài t ập
Th.s Nguyễn Chín Em 233 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau
Tính
1
Z
0
x
(x +1)
2
dx . ĐS: ln2 −
1
2
1
1
Z
0
x
(x +2)
3
dx . ĐS: ln
3
2
−
5
36
2
Lời giải:
1 Ta có
1
Z
0
x
(x +1)
2
dx =
1
Z
0
x +1−1
(x +1)
2
dx =
1
Z
0
·
1
x +1
−
1
(x +1)
2
¸
dx =
·
ln|x +1|+
1
x +1
¸
¯
¯
¯
¯
1
0
=ln2−
1
2
.
2 Ta có
1
Z
0
x
(x +2)
3
dx =
1
Z
0
x +2−2
(x +2)
3
dx =
1
Z
0
·
1
x +2
−
2
(x +2)
3
¸
dx =
·
ln|x +2|+
1
(x +2)
2
¸
¯
¯
¯
¯
1
0
=ln
3
2
−
5
36
.
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau
1 Biết
2
Z
1
dx
3x −1
=
1
a
lnb với b >0. Tính S = a
2
+b. ĐS:
47
18
2 Biết
2
Z
0
x
2
x +1
dx = a +lnb với a, b ∈Q. Tính S =2a +b +2
b
. ĐS: 11
Lời giải:
1 Ta có
2
Z
1
dx
3x −1
=
1
3
2
Z
1
d(3x −1)
3x −1
=
1
3
ln|3x −1|
|
2
1
=
1
3
(
ln5−ln2
)
=
1
3
ln
5
2
.
Suy ra a =3,b =
5
2
. Do đó S =
1
9
+
5
2
=
47
18
.
2 Ta có
2
Z
0
x
2
x +1
dx =
2
Z
0
µ
x −1+
1
x +1
¶
dx =
·
x
2
2
−x +ln|x +1|
¸
¯
¯
¯
¯
2
0
=ln3 =0 +ln3.
Suy ra a =0,b =3 nên S =2·0+3+2
3
=11.
Bài 1. Tính các tích phân sau
1 Biết
1
Z
0
2x +3
2−x
dx = aln2 +b với a,b ∈Q. Tính P =a +2b +2
a
−2
b
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
523
4
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 234 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
2x +3
2−x
=−
2(x −2)+7
x −2
=−2 −
7
x −2
. Do đó
1
Z
0
2x +3
2−x
dx =
1
Z
0
µ
−2−
7
x −2
¶
dx =
[
−2x −7ln|x −2|
]
|
1
0
=−2 +7ln2 =7ln2−2.
Do đó, a =7,b =−2. Vậy P =7+2·(−2)+2
7
−2
−2
=
523
4
. ä
2 Biết
1
Z
0
2x −1
x +1
dx = a +b ln2 với a, b ∈Q. Tính P = ab −a +b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: −11
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
2x −1
x +1
dx =
1
Z
0
2(x +1)−3
x +1
dx =
1
Z
0
µ
2−
3
x +1
¶
dx =
(
2x −3ln|x +1|
)
|
1
0
=2 −3ln2.
Vậy a =2,b =−3, suy ra P =−6−2−3 =−11. ä
Bài 2. Tính các tích phân sau
1 Tính
1
Z
0
3x −1
x
2
+6x +9
dx = 3ln
a
b
−
5
6
với a, b ∈ Z
+
và
a
b
là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức
P =2
a
+2
b
−ab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 12
- Lời giải.
Ta có
3x −1
x
2
+6x +9
=
3(x +3)−10
(x +3)
2
=
3
x +3
−
10
(x +3)
2
.
Do đó
1
Z
0
3x −1
x
2
+6x +9
dx =
1
Z
0
·
3
x +3
−
10
(x +3)
2
¸
dx =
·
3ln|x +3|+
10
x +3
¸
¯
¯
¯
¯
1
0
=3ln
4
3
−
5
6
.
Suy ra a =4,b =3 nên P =2
4
+2
3
−4·3 =12. ä
2 Biết
1
Z
0
µ
1
x +1
−
1
x +2
¶
dx = aln2 +b ln3 với a,b ∈Z. Tính S = a +b −ab
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: −1
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
µ
1
x +1
−
1
x +2
¶
dx =
[
ln|x +1|−ln|x +2|
]
|
1
0
= ln
¯
¯
¯
¯
x +1
x +2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
0
=ln
2
3
−ln
1
2
=ln
4
3
=2ln2−ln3.
Suy ra a =2,b =−1 nên S =2+(−1)−2·(−1)
2
=−1. ä
Bài 3. Tính các tích phân sau
Th.s Nguyễn Chín Em 235 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
1 Biết
1
Z
0
x
3
x +2
dx =
a
3
+b ln3+c ln2, với a, b, c ∈Q. Tính S =2a +4b
2
+3c
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: −1388
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
x
3
x +2
dx =
1
Z
0
x
2
(x +2)−2x(x +2)+4(x +2)−8
x +2
dx =
1
Z
0
µ
x
2
−2x +4−
8
x +2
¶
dx
1
Z
0
x
3
x +2
dx =
·
x
3
3
−x
2
+4x −8ln|x +2|
¸
¯
¯
¯
¯
1
0
=
10
3
−8ln3−8ln2 =
10
3
+(−8)ln3+(−8)ln2.
Suy ra a =10,b =−8, c =−8 nên S =2 ·10+4·(−8)
2
+3·(−8)
3
=−1388. ä
2 Biết
0
Z
−1
3x
2
+5x −1
x −2
dx = aln
2
3
+b với a, b ∈Q. Tính giá tr ị của S = a +4b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: −29
- Lời giải.
Ta có
3x
2
+5x −1
x −2
=
3(x
2
−4)+5(x −2)+21
x −2
=(3x +11)+
21
x −2
.
Do đó:
0
Z
−1
3x
2
+5x −1
x −2
dx =
Z
−
1
0
·
3x +11+
21
x −2
¸
dx =
·
3
2
x
2
+11x +21ln|x −2|
¸
¯
¯
¯
¯
0
−1
=−
25
2
+21ln
2
3
.
Khi đó a =21,b =−
25
2
nên S =21+4·
µ
−
25
2
¶
=−29. ä
3 Biết
5
Z
3
dx
x
2
−x
=a ln5+b ln3+c ln2 với a, b, c ∈Q. Tính S =−2a +b +3c
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 6
- Lời giải.
Ta có
1
x
2
−x
=
x −(x −1)
x(x −1)
=
1
x −1
−
1
x
.
Khi đó
5
Z
3
dx
x
2
−x
=
5
Z
3
µ
1
x −1
−
1
x
¶
dx =
[
ln|x −1|−ln|x|
]
|
5
3
= ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
5
3
=ln
4
5
−ln
2
3
=ln2+ln3 −ln5.
Suy ra rằng a =−1, b =1, c =1 nên S =−2·(−1)+1+3·1
2
=6. ä
4 Tính
5
Z
1
3
x
2
+3x
dx = aln5 +b ln2 với a,b ∈Z. Tính S = a +b −ab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 1
- Lời giải.
Ta có
3
x
2
+3x
=
(x +3)−x
x(x +3)
=
µ
1
x
−
1
x +3
¶
.
Th.s Nguyễn Chín Em 236 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó
5
Z
1
3
x
2
+3x
dx =
5
Z
1
µ
1
x
−
1
x +3
¶
dx = ln
¯
¯
¯
x
x +3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
5
1
=ln
5
8
−ln
1
4
=ln5−3ln2+2ln2 =ln5−ln2.
Suy ra a =1,b =−1 nên S =1+(−1)−1·(−1) =1. ä
5 Biết
2
Z
1
x
(x +1)(2x +1)
dx = aln2 +b ln3+c ln5 với a,b, c ∈Q. Tính S =a +b +c. . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 0
- Lời giải.
Ta có
x
(x +1)(2x +1)
=
(2x +1)−(x +1)
(x +1)(2x +1)
=
1
x +1
−
1
2x +1
.
Do đó
2
Z
1
x
(x +1)(2x +1)
dx =
2
Z
1
µ
1
x +1
−
1
2x +1
¶
dx =
·
ln|x +1|−
1
2
ln|2x +1|
¸
¯
¯
¯
¯
2
1
=−ln2+
3
2
ln3−
1
2
ln5.
Suy ra a =−1,b =
3
2
, c =−
1
2
nên S =−1+
3
2
+
µ
−
1
2
¶
=0. ä
6 Biết
1
Z
0
dx
x
2
−5x +6
=a ln2+b ln3 với a, b ∈Z. Tính S =a +b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: −1
- Lời giải.
Ta có
1
x
2
−5x +6
=
(x −2)−(x −3)
(x −2)(x −3)
=
1
x −3
−
1
x −2
.
Khi đó
1
Z
0
dx
x
2
−5x +6
=
1
Z
0
µ
1
x −2
−
1
x −3
¶
dx =
[
ln|x −2|−ln|x −3|
]
|
1
0
=−2ln2+ln3
Suy ra a =−2,b =1 nên S = a +b =−2+1 =−1. ä
7
Tính
3
Z
2
dx
−2x
2
+3x −1
=a ln2+b ln3+c ln5 với a, b, c ∈Z. Tính S =2a +b
2
+2
c
. . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 1
- Lời giải.
Ta có
1
−2x
2
+3x −1
=−
2(x −1)+(−2x +1)
(−2x +1)(x −1)
=
−2
−2x +1
−
1
x −1
.
Khi đó
3
Z
2
d
−2x
2
+3x −1
=
3
Z
2
µ
−2
−2x +1
−
1
x −1
¶
dx =
[
ln|−2x +1|−ln|x −1|
]
|
3
2
=−ln2−ln3+ln5.
Suy ra a =−1,b =−1, c =1 nên S =2 ·(−1)+(−1)
2
+2
1
=1. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 237 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
8 Tính
1
Z
0
5−2x
x
2
+3x +2
dx = aln2 +b ln3 với a,b ∈Z. Tính S =2
a
−3ab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 65968
- Lời giải.
Ta có
5−2x
x
2
+3x +2
=
−9(x +1)+7(x +2)
(x +1)(x +2)
=
−9
x +2
+
7
x +1
.
Khi đó
1
Z
0
5−2x
x
2
+3x +2
dx =
1
Z
0
µ
−9
x +2
+
7
x +1
¶
dx =
[
−9ln|x +2|+7ln|x +1|
]
|
1
0
=16ln2−9ln3.
Suy ra a =16,b =−9 nên S =2
16
−3·16 ·(−9) =65968. ä
9 Tính
2
Z
0
x −1
x
2
+4x +3
dx = aln5 +b ln3 với a,b ∈Q. Tính S = ab +3
a
−a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 1
- Lời giải.
Ta có
x −1
x
2
+4x +3
=
2(x +1)−(x +3)
(x +1)(x +3)
=
2
x +3
−
1
x +1
.
Khi đó
2
Z
0
x −1
x
2
+4x +3
dx =
2
Z
0
µ
2
x +3
−
1
x +1
¶
dx =
[
2ln|x +3|−ln|x +1|
]
|
2
0
=2ln5−3ln3.
Suy ra a =2,b =−3 nên S = ab +3
a
−a =2·(−3)+3
2
−2 =1. ä
10 Biết
2
Z
1
1
x
2
(x +1)
dx =
1
2
+ln
a
b
với a,b ∈Z
+
và
a
b
là phân số tối giản. Tính S =a +2
b
. . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 19
- Lời giải.
Ta có
1
x
2
(x +1)
=
x +1−x
x
2
(x +1)
=
1
x
2
−
1
x(x +1)
=
1
x
2
+
1
x +1
−
1
x
.
Khi đó
2
Z
1
1
x
2
(x +1)
dx =
2
Z
1
µ
1
x
2
+
1
x +1
−
1
x
¶
dx =
·
−
1
x
+ln|x +1|−ln|x|
¸
¯
¯
¯
¯
2
1
=
1
2
+ln
3
4
.
Suy ra a =3,b =4 nên S = a +2
b
=3 +2
4
=19. ä
3.3 Tính chất của tích phân
1
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx,
b
Z
a
f (x)dx =−
a
Z
b
f (x)dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 238 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
2
b
Z
a
f (x)dx = f (x)
|
b
a
= f (b)− f (a),
b
Z
a
f
00
(x )dx = f
0
(x )
¯
¯
b
a
= f (b)− f (a),.. . .
3.3.1 Ví dụ và bài t ập
Ví dụ 1.
1 Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0;10] thỏa mãn
10
Z
0
f (x)dx = 7 và
6
Z
2
f (x)dx = 3. Tính
2
Z
0
f (x)dx +
10
Z
6
f (x)dx. ĐS: 4
2 Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn
b
Z
a
f (x)dx =2 và
b
Z
c
f (x)dx =3 với a < b < c. Tính
c
Z
a
f (x)dx ĐS: −1
3 Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn
3
Z
1
f (x)dx = 2017 và
3
Z
4
f (x)dx = 2018. Tính
4
Z
1
f (x)dx. ĐS: −1
Lời giải:
1 Ta có
7 =
10
Z
0
f (x)dx =
2
Z
0
f (x)dx +
6
Z
2
f (x)dx +
10
Z
6
f (x)dx.
Hay là
7 =
10
Z
0
f (x)dx =
2
Z
0
f (x)dx +3+
10
Z
6
f (x)dx ⇒P =
2
Z
0
f (x)dx +
10
Z
6
f (x)dx =7 −3 =4.
2 Ta có
c
Z
a
f (x)dx =
b
Z
a
f (x)dx +
c
Z
b
f (x)dx =
b
Z
a
f (x)dx −
b
Z
c
f (x)dx =2 −3 =−1.
3 Ta có
4
Z
1
f (x)dx =
3
Z
1
f (x)dx +
4
Z
3
f (x)dx =
3
Z
1
f (x)dx −
3
Z
4
f (x)dx =2017 −2018 =−1.
Ví dụ 2.
Th.s Nguyễn Chín Em 239 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
1 Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn
5
Z
2
f (x)dx =3 và
7
Z
5
f (x)dx =9. Tính
7
Z
2
f (x)dx.
ĐS: 12
2 Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn
6
Z
0
f (x)dx =4 và
6
Z
2
f (t)dt =−3. Tính
2
Z
0
[f (v) −
3]dv. ĐS: 1
Lời giải:
1 Ta có
7
Z
2
f (x)dx =
5
Z
2
f (x)dx +
7
Z
5
f (x)dx =3 +9 =12.
2 Ta có
2
Z
0
f (v)dv =
6
Z
0
f (v)dv −
6
Z
2
f (v)dv =
6
Z
0
f (x)dx −
6
Z
2
f (x)dx =4 −(−3) =7.
Hay là
2
Z
0
f (v)dv =7 ⇒
2
Z
0
[f (v)−3]d v =
2
Z
0
f (v)dv −
2
Z
0
3dv =7 −3 v|
2
0
=1.
Ví dụ 3.
1 Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [1;2], f
0
(1) =1 và f (2) =2. Tính
2
Z
1
f
0
(x )dx. ĐS: 1
2 Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [1;4], f (1) =1 và
4
Z
1
f
0
(x )dx =2. Tính f (4). ĐS: 3
3 Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [1;3], f (3) =5 và
3
Z
1
f
0
(x )dx =6. Tính f (1). ĐS: −1
Lời giải:
1 Ta có
2
Z
1
f
0
(x )dx = f (x)
|
2
1
= f (2) − f (1) =2−1 =1.
2 Ta có 2 =
4
Z
1
f
0
(x )dx = f (x)
|
4
1
= f (4) − f (1) = f (4) −1 ⇒ f (4) =3.
3 Ta có 6 =
3
Z
1
f
0
(x )dx = f (x)
|
3
1
= f (3) − f (1) =5− f (1) ⇒ f (1) =−1.
Bài 1. Bài toán sử dụng tính chất
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx,
b
Z
a
f (x)dx =−
a
Z
b
f (x)dx
Th.s Nguyễn Chín Em 240 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
1 Cho
4
Z
2
f (x)dx =10 và
4
Z
2
g(x)dx =5. Tính tích phân
4
Z
2
[
3f (x)−5g(x)
]
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 5
- Lời giải.
Ta có
4
Z
2
[
3f (x)−5g(x)
]
dx =3
4
Z
2
f (x)dx −5
4
Z
2
g(x)dx =3 ·10−5·5 =5.
ä
2 Cho
5
Z
−1
f (x)dx =5,
5
Z
4
f (t)dt =−2 và
4
Z
−1
g(u)du =
1
3
. Tính I =
4
Z
−1
[
f (x) + g (x)
]
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
22
3
- Lời giải.
Ta có
4
Z
−1
f (x)dx =
5
Z
−1
f (x)dx −
5
Z
4
f (x)dx =
5
Z
−1
f (x)dx −
5
Z
4
f (t)dt =5 −(−2) =7.
Khi đó
I =
4
Z
−1
[
f (x) + g (x)
]
dx =
4
Z
−1
f (x)dx +
4
Z
−1
g(x)dx =
4
Z
−1
f (x)dx +
4
Z
−1
g(u)du =7 +
1
3
=
22
3
.
ä
3 Cho
π
4
Z
0
f (x)dx =a. Tính tích phân I =
π
4
Z
0
f (x)cos
2
x −5
cos
2
x
dx theo a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: a −5
- Lời giải.
Ta có
π
4
Z
0
f (x)cos
2
x −5
cos
2
x
dx =
π
4
Z
0
µ
f (x) −
5
cos
2
x
¶
dx =
π
4
Z
0
f (x)dx −
π
4
Z
0
5
cos
2
x
dx = a −5 tan x
|
π
4
0
=a −5.
ä
4 Cho
π
2
Z
0
f (x)dx =5. Tính tích phân I =
π
2
Z
0
[f (x)+2sinx]dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 7
- Lời giải.
Ta có
π
2
Z
0
[f (x)+2sinx]dx =
π
2
Z
0
f (x)dx +2·
π
2
Z
0
sin x =5−2 cos x
|
π
2
0
=5 −2(0−1) =7.
ä
Th.s Nguyễn Chín Em 241 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Bài 2. Bài toán sử dụng tính chất
b
Z
a
f (x)dx = f (x)
|
b
a
= f (b)− f (a),
b
Z
a
f
00
(x )dx = f
0
(x )
¯
¯
b
a
= f (b)− f (a),.. . .
1 Cho hàm số f (x) liên tục, có đạo hàm cấp hai trên đoạn [1;3], f
0
(1) = 1 và f
0
(3) = m. Tìm m để
3
Z
1
f
00
(x )dx =5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 6
- Lời giải.
Ta có 5 =
3
Z
1
f
00
(x )dx = f
0
(x )
¯
¯
3
1
= f
0
(3)− f
0
(1) = m −1 ⇒ m =6. ä
2 Biết f (1) =12, f
0
(x ) là hàm số liên tục trên [1;4] và
4
Z
1
f
0
(x )dx =17. Tính f (4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 29
- Lời giải.
Ta có 17 =
4
Z
1
f
0
(x )dx = f (x)
|
4
1
= f (4) − f (1) = f (4) −12 ⇒ f (4) =29. ä
Bài 3. Bài toán sử dụng tính chất
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx,
b
Z
a
f (x)dx =−
a
Z
b
f (x)dx
1 Cho
2
Z
−1
f (x)dx =5 và
2
Z
−1
g(x)dx =−2. Tính tích phân I =
2
Z
−1
[x +2f (x)−3g(x)]dx. . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
35
2
- Lời giải.
Ta có
I =
2
Z
−1
[x +2f (x)−3g(x)]dx = I =
2
Z
−1
xdx +2
2
Z
−1
f (x)dx −3
2
Z
−1
g(x)dx =
x
2
2
¯
¯
¯
¯
2
−1
+2·5 −3·(−2) =
35
2
.
ä
2 Cho
4
Z
−1
f (x)dx =10 và
6
Z
4
f (x)dx =2. Tính tích phân I =
−1
Z
6
f (x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: −12
- Lời giải.
Ta có
I =
−1
Z
6
f (x)dx =−
6
Z
−1
f (x)dx =−
4
Z
−1
f (x)dx −
6
Z
4
f (x)dx =−10 −2 =−12.
ä
3 Cho
6
Z
3
f (x)dx =7. Tính tích phân I =
6
Z
3
[x
2
− f (x)]dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 56
Th.s Nguyễn Chín Em 242 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có
I =
6
Z
3
[x
2
− f (x)]dx =
6
Z
3
x
2
dx −
6
Z
3
f (x)dx =
x
3
3
¯
¯
¯
¯
6
3
−7 =63−7 =56.
ä
4 Cho
2
Z
0
f (x)dx =1 và
2
Z
0
£
e
x
− f (x)
¤
dx =e
a
−b. Tìm a, b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: a = b =2
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
£
e
x
− f (x)
¤
dx =
2
Z
0
e
x
dx −
2
Z
0
f (x)dx = e
x
¯
¯
2
0
−1 =e
2
−2.
Suy ra a =2,b =2. ä
Bài 4. Bài toán sử dụng tính chất
b
Z
a
f (x)dx = f (x)
|
b
a
= f (b)− f (a),
b
Z
a
f
00
(x )dx = f
0
(x )
¯
¯
b
a
= f (b)− f (a),.. . .
1 Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên [−3;5], f (−3) =1 và f (5) =9. Tính
5
Z
−3
4f
0
(x )dx. . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 32
- Lời giải.
Ta có
5
Z
−3
4f
0
(x )dx =4 f (x)
|
5
−3
=4 ·[f (5)− f (−3)] =4(9 −1) =32. ä
2 Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp 3 trên [−3;2], f
00
(−3) = 4 và f
00
(2) = 6. Tính giá trị của tích phân
2
Z
−3
f
000
(x )dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 2
- Lời giải.
Ta có
2
Z
−3
f
000
(x )dx = f
00
(x )
¯
¯
2
−3
= f
00
(2)− f
00
(−3) =6−4 =2. ä
Bài 5. Tính các tích phân sau bằng phương pháp biến đổi hàm ẩn:
1 Cho f (x) liên tục trên R và
1
Z
0
f (x)dx =2017. Tính
π
4
Z
0
f
(
sin2x
)
cos2x dx. ĐS:
2017
2
- Lời giải.
Đặt t =sin2x ⇒ dt =2cos2xdx ⇒cos2xdx =
1
2
dt. Đổi cận:
x =0 ⇒ t =0
x =
π
4
⇒ t =1.
Khi đó I =
1
2
1
Z
0
f (t)dt =
1
2
1
Z
0
f (x)dx =
2017
2
. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 243 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
2 Cho
4
Z
0
f (x)dx =16. Tính
2
Z
0
f (2x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 8
- Lời giải.
Đặt t =2x ⇒ dt =2dx ⇒ dx =
1
2
dt. Đổi cận:
x =0 ⇒ t =0
x =2 ⇒ t =4.
Khi đó I =
1
2
4
Z
0
f (t)dt =
1
2
4
Z
0
f (x)dx =8. ä
3 Cho f (x) thỏa mãn
2017
Z
0
f (x)dx =1. Tính
1
Z
0
f (2017x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
2017
- Lời giải.
Đặt t =2017x ⇒ dt =2017dx ⇒ dx =
1
2017
dt. Đổi cận:
x =0 ⇒ t =0
x =1 ⇒ t =2017.
Khi đó I =
1
2017
2017
Z
0
f (t)dt =
1
2017
2017
Z
0
f (x)dx =
1
2017
. ä
4 Cho
4
Z
0
f (x)dx =2. Tính
1
Z
0
f (4x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
2
- Lời giải.
Đặt t =4x ⇒ dt =4dx ⇒ dx =
1
4
dt. Đổi cận:
x =0 ⇒ t =0
x =1 ⇒ t =4.
Khi đó I =
1
4
4
Z
0
f (t)dt =
1
4
4
Z
0
f (x)dx =
1
2
. ä
5 Biết
3
Z
1
f (3x −1)dx =20. Tính
8
Z
2
f (x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 60
- Lời giải.
Đặt t =3x −1 ⇒ dt =3dx ⇒ dx =
1
3
dt. Đổi cận:
x =1 ⇒ t =2
x =3 ⇒ t =8.
Khi đó, ta có 20 =
3
Z
1
f (3x −1)dx =
1
3
8
Z
2
f (t)dt =
1
3
8
Z
2
f (x)dx ⇒
8
Z
2
f (x)dx =60. ä
6 Cho f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] thỏa mãn
2
Z
1
f
0
(x )dx =10 và
2
Z
1
f
0
(x )
f (x)
dx =ln2. Biết rằng
hàm số f (x) >0,∀x ∈[1;2]. Tính f (2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 20
Th.s Nguyễn Chín Em 244 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Đặt u = f (x) ⇒ du = f
0
(x )dx. Đổi cận:
x =1 ⇒ u = f (1)
x =2 ⇒ u = f (2).
Khi đó
10 =
2
Z
1
f
0
(x )dx =
f (2)
Z
f (1)
du = u
|
f (2)
f (1)
= f (2) − f (1) (1).
ln2 =
2
Z
1
f
0
(x )
f (x)
dx =
f (2)
Z
f (1)
du
u
= ln|u|
|
f (2)
f (1)
=ln|f (2)|−ln|f (1)|.
Vì f (x) > 0,∀x ∈ [1;2] nên f (1) > 0 và f (2) > 0. Do đó: ln f (2) −ln f (1) =ln2 ⇔
f (2)
f (1)
= 2 ⇔ f (2) =
2f (1) (2).
Từ (1) và (2), suy ra f (2) =20. ä
Bài 6. Tính các tích phân bằng phương pháp đổi biến hàm ẩn:
1 Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên [1;2], f (2) =2 và f (4) =2018. Tính I =
2
Z
1
f
0
(2x )dx. . . . ĐS:
I =1008.
- Lời giải.
Xét I =
2
Z
1
f
0
(2x )dx.
Đặt t =2x ⇒ dt =2dx.
Đổi cận: x =1 ⇒ t =2, x =2 ⇒ t =4.
Khi đó I =
4
Z
2
1
2
· f
0
(t)dt =
1
2
· f (t)
¯
¯
4
2
=
1
2
[
f (4)− f (2)
]
=1008. ä
2 Cho hàm số f (x) liên tục trên R và có
π
2
Z
0
f (x)dx =4. Tính I =
π
4
Z
0
[
f (2x) −sin x
]
dx . . ĐS: 1+
p
2
2
.
- Lời giải.
Ta có I =
π
4
Z
0
[
f (2x) −sin x
]
dx =
π
4
Z
0
f (2x)dx −
π
4
Z
0
sin x dx.
Xét H =
π
4
Z
0
f (2x)dx.
Đặt t =2x ⇒ dt =2dx.
Đổi cận: x =0 ⇒ t =0, x =
π
4
⇒ t =
π
2
.
Khi đó H =
1
2
·
π
2
Z
0
f (t)dt =
1
2
·4 =2.
Xét K =
π
4
Z
0
sin x dx =−cosx
¯
¯
¯
π
4
0
=1 −
p
2
2
.
Th.s Nguyễn Chín Em 245 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Vậy I = H −K =1+
p
2
2
. ä
3 Cho tích phân
2
Z
1
f (x)dx =a. Hãy tính tích phân I =
1
Z
0
x f
£
x
2
+1
¤
dx theo a. . . . . ĐS:
1
2
a.
- Lời giải.
Đặt t = x
2
+1 ⇒ dt =2x dx.
Đổi cận: x =0 ⇒ t =1, x =1 ⇒ t =2.
Khi đó I =
2
Z
1
f (t) ·
1
2
dt =
1
2
a. ä
4 Cho f (x) liên tục trên R thỏa
9
Z
1
f
¡
p
x
¢
p
x
dx =4 và
π
2
Z
0
f (sin x)·cosxdx =2. Tính tích phân I =
3
Z
0
f (x)dx.
ĐS: I =4.
- Lời giải.
Xét H =
9
Z
1
f
¡
p
x
¢
p
x
dx
Đặt t =
p
x ⇒ dt =
dx
2
p
x
.
Đổi cận: x =1 ⇒ t =1, x =9 ⇒ t =3.
Khi đó H =
3
Z
1
f
(
t
)
·2dt =4 ⇒
3
Z
1
f
(
t
)
dt =2 ⇒
3
Z
1
f
(
x
)
dx =2.
Xét K =
π
2
Z
0
f (sin x) ·cos x dx
Đặt t =sin x ⇒ dt =cos x dx.
Đổi cận: x =0 ⇒ t =0, x =
π
2
⇒ t =1.
Khi đó K =
1
Z
0
f
(
t
)
dt =2 ⇒
1
Z
0
f
(
x
)
dx =2.
Vậy I =
3
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
f (x)dx +
3
Z
1
f (x)dx =2 +2 =4. ä
5 Cho hàm số f (x) liên tục trên R và có
π
4
Z
0
f (tan x)dx = 4 và
1
Z
0
x
2
f (x)
x
2
+1
dx = 2. Tính tích phân I =
1
Z
0
f (x)dx.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =6.
- Lời giải.
Xét H =
π
4
Z
0
f (tan x)dx.
Đặt t =tan x ⇒ dt =
¡
1+tan
2
x
¢
dx ⇒ dx =
1
1+t
2
dt.
Th.s Nguyễn Chín Em 246 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đổi cận: x =0 ⇒ t =0, x =
π
4
⇒ t =1.
Khi đó H =
1
Z
0
f (t)
1+t
2
dt =4 ⇒
1
Z
0
f (x)
1+x
2
dx =4.
Xét K =
1
Z
0
x
2
f (x)
x
2
+1
dx =
1
Z
0
"
¡
x
2
+1
¢
f (x)
x
2
+1
−
f (x)
x
2
+1
#
dx =
1
Z
0
f (x)dx −
1
Z
0
f (x)
1+x
2
dx .
⇒2 =
1
Z
0
f (x)dx −4
⇒ I =6.
ä
6 Cho f (x) là hàm liên tục và a >0. Giả sử rằng với mọi x ∈ [0;a] ta có f (x) > 0 và f (x)· f ( a −x) = 1.
Tính I =
a
Z
0
dx
1+ f (x)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
a
2
.
- Lời giải.
Do f (x)· f (a −x) =1 ⇒ f (a −x) =1− f (x).
Xét I =
a
R
0
dx
1+ f (x)
.
Đặt t = a −x ⇒ dt =−dx.
Đổi cận: x =0 ⇒ t =a, x = a ⇒ t =0.
I =
0
Z
a
−dt
1+ f ( a −t)
=
a
Z
0
dt
1+
1
f (t)
=
a
Z
0
f (t)dt
1+ f (t)
=
a
Z
0
f (x)dx
1+ f (x)
.
Mặt khác,
a
Z
0
dx
1+ f (x)
+
a
Z
0
f (x)dx
1+ f (x)
=
a
Z
0
dx = a.
⇒2I = a ⇔ I =
a
2
. ä
Bài 7. Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần của hàm ẩn:
1 Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên [1;2] thỏa f (1) =0, f (2) =2 và
2
Z
1
f (x)dx =1. Tính I =
2
Z
1
x f
0
(x )dx.
ĐS: I =3.
- Lời giải.
Từ I =
2
Z
1
x f
0
(x )dx chọn
u = x ⇒ du = dx
dv = f
0
(x )dx ⇒v = f (x)
.
Khi đó I = x f (x)
¯
¯
¯
2
1
−
2
Z
1
f (x)dx =2f (2)−1 =3.
4
!
Lưu ý: Tùy vào bài toán mà ta cần chọn u và dv sao cho
b
Z
a
vdu đơn giản nhất.
ä
2 Cho hàm số f (x) có nguyên hàm là F(x) trên [1;2], F(2) = 1 và
2
Z
1
F(x)dx = 5. Tính I =
2
Z
1
(x −
1)f (x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =−4.
Th.s Nguyễn Chín Em 247 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Từ I =
2
Z
1
(x −1)f (x)dx chọn
u = x −1 ⇒ du = dx
dv = f (x)dx ⇒ v = F(x)
.
I =(x −1)F(x)
¯
¯
¯
2
1
−
2
Z
1
F(x)dx =F(2)−5 =1 −5 =−4. ä
3 Cho hàm số f (x) liên tục trên R và f (2) =16,
2
Z
0
f (x)dx =4. Tính I =
1
Z
0
x f
0
(2x )dx.. . ĐS: I =7.
- Lời giải.
Xét I =
1
Z
0
x f
0
(2x )dx.
Đặt t =2x ⇒dt =2dx.
Đổi cận: x =0 ⇒ t =0, x =1 ⇒ t =2.
Khi đó I =
1
4
2
Z
0
t f
0
(t)dx =
1
4
J.
Xét J =
2
Z
0
t f
0
(t)dt.
Chọn
u = t ⇒ du = dt
dv = f
0
(t)dt ⇒v = f (t)
.
Khi đó J = t f (t)
¯
¯
¯
2
0
−
2
Z
0
f (t)dt =2f (2)−
2
Z
0
f (x)dx =32 −4 =28.
Vậy I =
1
4
J =7. ä
4 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn
2
Z
0
f (x)dx = 3 và f (2) = 2. Tính tích
phân I =
4
Z
0
f
0
¡
p
x
¢
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =2.
- Lời giải.
Xét I =
4
Z
0
f
0
¡
p
x
¢
dx .
Đặt t =
p
x ⇒ t
2
= x ⇒2tdt =dx.
Đổi cận x =0 ⇒ t =0, x =4 ⇒ t =2. Ta được
I =
2
Z
0
f
0
(
t
)
·2t dt
Chọn
u =2t ⇒du =2dt
dv = f
0
(t)dt ⇒v = f (t)
. Khi đó I =2t ·f (t)
¯
¯
¯
2
0
−
2
Z
0
2f (t)dt =2·2·2−2
2
Z
0
f (x)dx =8−2·3 =2.
ä
Th.s Nguyễn Chín Em 248 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
5 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] thỏa
2
Z
1
f
0
(x )ln
[
f (x)
]
dx =1 và f (1) =1, f (2) >1.
Tính f (2).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: f (2) =e.
- Lời giải.
Xét I =
2
Z
1
f
0
(x )ln
[
f (x)
]
dx .
Đặt t = f (x) ⇒dt = f
0
(x )dx.
Đổi cận: x =1 ⇒ t = f (1) =1, x =2 ⇒ t = f (2).
Khi đó I =
f (2)
Z
1
ln t dt. Chọn
u =ln t ⇒du =
dt
t
dv =dt ⇒ v = t.
Ta được I = t lnt
¯
¯
¯
f (2)
1
−
f (2)
Z
1
dt = f (2)ln f (2) −
[
f (2)−1
]
.
Do I =1 và f (2) >1 nên
f (2)ln f (2)−
[
f (2)−1
]
=1 ⇔ f (2) ·
[
ln f (2) −1
]
=0 ⇔
f (2) =0 (loại)
ln f (2) =1 ⇒ f (2) =e.
Vậy f (2) =e. ä
6 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa
1
Z
0
(x +1)f
0
(x )dx =10 và 2f (1) − f (0) =2.
Tính tích phân I =
1
Z
0
f (x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =−8.
- Lời giải.
Với H =
1
Z
0
(x +1)f
0
(x )dx, chọn
u = x +1 ⇒du =dx
dv = f
0
(x )dx ⇒v = f (x)
.
Ta được H =(x +1)f (x)
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
f (x)dx =2f (1)− f (0)−I.
⇒ I =2−10 =−8. ä
7 Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai và liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn các điều kiện
1
Z
0
x
2
f
00
(x )dx =
12 và 2f (1) − f
0
(1) =−2. tính tích phân I =
1
Z
0
f (x)dx. . . . . . . . . . . ĐS: I =5.
- Lời giải.
Với H =
1
Z
0
x
2
f
00
(x )dx, chọn
u = x
2
⇒du =2xdx
dv = f
00
(x )dx ⇒v = f
0
(x )
. Ta được H = x
2
f
0
(x )
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
2x f
0
(x )dx.
Suy ra f
0
(1)−2K =12 với K =
1
Z
0
x f
0
(x )dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 249 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn
u = x ⇒du =dx
dv = f
0
(x )dx ⇒v = f (x)
. Ta được K = xf (x)
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
f (x)dx = f (1) −I.
Do đó f
0
(1)−2
(
f (1)−I
)
=12 ⇒ f
0
(1)−2f (1) +2I =12 ⇒ I =5. ä
8 Cho hàm số f (x) thỏa mãn
3
Z
0
xe
f (x)
f
0
(x )dx =8 và f (3) =ln3. Tính I =
3
Z
0
e
f (x)
dx . . . ĐS: I =1.
- Lời giải.
H =
3
Z
0
xe
f (x)
f
0
(x )dx =8. Đặt
u = x ⇒du =dx
dv =e
f (x)
f
0
(x )dx ⇒v =e
f (x)
. Do đó
H = xe
f (x)
¯
¯
¯
3
0
−
3
Z
0
e
f (x)
dx =3·e
f (3)
−I.
⇒ I =3 ·3−8 =1.
ä
9 Cho hàm số f (x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f (1) = 4,
1
Z
0
x f (x)dx =
223
10
. Tính
tích phân I =
1
Z
0
x
2
f
0
(x )dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =−
203
5
.
- Lời giải.
H =
1
Z
0
x f (x)dx =
223
10
. Đặt
u = f (x) ⇒du = f
0
(x )dx
dv = xdx ⇒ v =
x
2
2
. Do đó
H =
x
2
2
f (x)
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
x
2
2
f
0
(x )dx =
1
2
f (1)−
1
2
I.
⇒ I = f (1) −2H =4−
223
5
=−
203
5
.
ä
10 Cho hàm số f (x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f (1) =0,
1
Z
0
x
2
f (x)dx =
1
3
. Tính tích
phân I =
1
Z
0
x
3
f
0
(x )dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =−1.
- Lời giải.
H =
1
Z
0
x
2
f (x)dx =
1
3
. Đặt
u = f (x) ⇒du = f
0
(x )dx
dv = x
2
dx ⇒ v =
x
3
3
. Do đó
H =
x
3
3
f (x)
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
x
3
3
f
0
(x )dx =
1
3
f (1)−
1
3
I.
⇒ I = f (1) −3H =0−3·
1
3
=−1.
ä
Th.s Nguyễn Chín Em 250 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
11 Cho hàm số f (x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [0;3] thỏa mãn f (3) =2,
3
Z
0
x
3
f (x)dx =
5461
120
. Tính
tích phân I =
3
Z
0
x
4
f
0
(x )dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =−
601
30
.
- Lời giải.
H =
3
Z
0
x
3
f (x)dx =
5461
120
. Đặt
u = f (x) ⇒du = f
0
(x )dx
dv = x
3
dx ⇒ v =
x
4
4
. Do đó
H =
x
4
4
f (x)
¯
¯
¯
3
0
−
3
Z
0
x
4
4
f
0
(x )dx =
3
4
4
f (3)−
1
4
I
⇒ I =3
4
· f (3)−4H =2·3
4
−4·
5461
120
=−
601
30
.
ä
12 Cho hàm số f (x) thỏa mãn
b
Z
a
x f
00
(x )dx = 4, f
0
(a) = −2, f
0
(b ) = 3 với a, b là các số thực dương và
f (a) = f (b). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
4a
2
3b +1
+
9b
2
2a +3
.. . . . . . . ĐS:
1
32
.
- Lời giải.
H =
b
Z
a
x f
00
(x )dx =4 . Đặt
u = x ⇒du =dx
dv = f
00
(x )dx ⇒v = f
0
(x )
. Do đó
H = x f
0
(x )
¯
¯
¯
b
a
−
b
Z
a
f
0
(x )dx = b f
0
(b ) −a f
0
(a)− f (x)
¯
¯
¯
b
a
=3b +2a.
⇒ 2a +3b =4 ⇔ a =
4−3b
2
. (∗)
Thay (∗) vào P ta được
P =
(4−3b)
2
3b +1
+
9b
2
7−3b
=8 ·
18b
2
−27b +14
−9b
2
+18b +8
.
Lại có a >0, b >0 nên 0 < b <
4
3
.
Xét hàm số f (x ) =
18x
2
−27x +14
−9x
2
+18x +7
trên
µ
0;
4
3
¶
.
Ta có f
0
(x ) =
81x
2
+504x −441
¡
−9x
2
+18x +7
¢
2
. Cho f
0
(x ) =0 ⇔
x =−7
x =
7
9
.
Ta có bảng biến thiên
x
f
0
(x )
f (x)
0
7
9
4
3
−
0
+
22
1
4
1
4
2
3
2
3
Th.s Nguyễn Chín Em 251 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Do đó giá trị nhỏ nhất của y = f (x) trên
µ
0;
4
3
¶
là
1
4
tại x =
7
9
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8·
1
4
=2 tại b =
7
9
. Khi đó a =
5
6
. ä
Bài 8. 1 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa f (1) =0,
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx =7 và
1
Z
0
x
2
f (x)dx =
1
3
. Tính
1
Z
0
f (x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS:
7
5
.
- Lời giải.
Ta có
1
3
=
1
Z
0
x
2
f (x)dx. Chọn
u = f (x) ⇒du = f
0
(x )dx
dv = x
2
dx ⇒ v =
1
3
x
3
.
Suy ra
1
3
=
1
Z
0
x
2
f (x)dx =
1
3
x
3
f (x)
¯
¯
¯
1
0
−
1
3
1
Z
0
x
3
f
0
(x )dx ⇒
1
Z
0
x
3
f
0
(x )dx =−1.
Ta lại có
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx =7
2
1
Z
0
7x
3
f
0
(x )dx =−14
1
Z
0
(7x
3
)
2
dx =7
⇒
1
Z
0
£
f
0
(x ) +7x
3
¤
2
dx =0.
Mà
£
f
0
(x ) +7x
3
¤
2
≥0 ⇒
1
Z
0
£
f
0
(x ) +7x
3
¤
2
dx ≥0
1
Z
0
£
f
0
(x ) +7x
3
¤
2
dx =0
⇒ f
0
(x ) =−7x
3
.
Ta có f (x) =
Z
−7x
3
dx =−
7
4
x
4
+C.
Vì f (1) =0 nên −
7
4
+C =0 ⇔C =
7
4
⇔ f (x) =−
7
4
x
4
+
7
4
.
Vậy
1
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
µ
−
7
4
x
4
+
7
4
¶
dx =
µ
−
7x
5
20
+
7x
4
¶
¯
¯
¯
1
0
=
7
5
. ä
2 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa f (1) = 4,
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx =36 và
1
Z
0
x f (x)dx =
1
5
.
Tính tích phân
1
Z
0
f (x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS:
5
2
.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
x f (x)dx =
1
5
. Chọn
u = f (x) ⇒du = f
0
(x )dx
dv = x dx ⇒ v =
x
2
2
.
Suy ra
1
5
=
x
2
2
f (x)
¯
¯
¯
1
0
−
1
2
1
Z
0
x
2
f
0
(x )dx ⇒
1
Z
0
x
2
f
0
(x )dx =
18
5
.
Th.s Nguyễn Chín Em 252 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Do đó,
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx =36
2
1
Z
0
−(6x
2
)f
0
(x )dx =−
216
5
1
Z
0
(6x
2
)
2
dx =
36
5
⇒
1
Z
0
£
f
0
(x ) −6x
2
¤
2
dx =0.
Suy ra f
0
(x ) −6x
2
=0 ⇔ f
0
(x ) =6x
2
⇒ f (x) =2x
3
+C.
Mà f (1) =4 nên C +2 =4 ⇒ C =2 ⇒ f (x) =2x
3
+2.
Vậy
1
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
(2x
3
+2)dx =
5
2
. ä
3 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f (1) = 1,
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx = 9 và
1
Z
0
x
3
f (x)dx =
1
2
. Tích phân
1
Z
0
f (x)dx bằng . . . . . . . . . . . . . . . ĐS:
5
2
- Lời giải.
Ta có
1
2
=
1
Z
0
x
3
f (x)dx =
x
4
f (x)
4
¯
¯
¯
¯
1
0
−
1
4
1
Z
0
x
4
f
0
(x )dx =
1
4
−
1
4
1
Z
0
x
4
f
0
(x )dx.
Suy ra
1
Z
0
x
4
f
0
(x )dx =−1, do đó ta có
1
Z
0
£
f
0
(x ) +9x
4
¤
2
dx =
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx +18
1
Z
0
x
4
f
0
(x )dx +81
1
Z
0
x
8
dx
=9 −18+9 =0.
Do đó f
0
(x ) =−9x
4
, kết hợp với f (1) =1, suy ra f (x) =−
9x
5
5
+
14
5
. Vậy
1
Z
0
f (x)dx =
5
2
. ä
4 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
0;1
]
thỏa mãn
f (1) =1,
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx =
9
5
và
1
Z
0
f
¡
p
x
¢
dx =
2
5
.
Tính tích phân I =
1
Z
0
f (x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
1
4
- Lời giải.
Đặt t =
p
x ⇒ t
2
= x ⇒ dx =2tdt.
Đổi cận: x =0 ⇒ t =0; x =1 ⇒ t =1.
Th.s Nguyễn Chín Em 253 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Suy ra
1
Z
0
f
¡
p
x
¢
dx =2
1
Z
0
t f (t)dt ⇔
1
Z
0
t f (t)dt =
1
5
.
Do đó
1
Z
0
x f (x)dx =
1
5
.
Mặt khác
1
Z
0
x f (x)dx =
x
2
2
f (x)
¯
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
x
2
2
f
0
(x )dx =
1
2
−
1
Z
0
x
2
2
f
0
(x )dx.
Suy ra
1
Z
0
x
2
2
f
0
(x )dx =
1
2
−
1
5
=
3
10
⇒
1
Z
0
x
2
f
0
(x )dx =
3
5
.
Ta tính được
1
Z
0
¡
3x
2
¢
2
dx =
9
5
.
Do đó
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx −2
1
Z
0
3x
2
f
0
(x )dx +
1
Z
0
¡
3x
2
¢
2
dx =0 ⇔
1
Z
0
¡
f
0
(x ) −3x
2
¢
2
dx =0.
Suy ra
f
0
(x ) −3x
2
=0 ⇔ f
0
(x ) =3x
2
⇔ f (x) = x
3
+C.
Vì f (1) =1 nên f (x) = x
3
.
Vậy I =
1
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
x
3
dx =
1
4
. ä
5 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn
f (0) =1,
1
Z
0
[f
0
(x )]
2
dx =
1
30
,
1
Z
0
(2x −1)f (x)dx =−
1
30
.Tính
1
Z
0
f (x)dx.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS:
11
12
- Lời giải.
Ta có −
1
30
=
Z
1
0
f (x)d(x
2
−x) =(x
2
−x)f (x)
¯
¯
¯
1
0
−
Z
1
0
(x
2
−x)f
0
(x )dx.
⇔
Z
1
0
(x
2
−x)f
0
(x )dx =
1
30
.
Ta có 0 =
Z
1
0
[f
0
(x )]
2
dx −2
Z
1
0
f
0
(x )(x
2
−x)dx +
Z
1
0
(x
2
−x)
2
dx =
Z
1
0
¡
f
0
(x ) −(x
2
−x)
¢
2
dx .
Do vậy, f
0
(x ) −(x
2
−x) =0 ⇒ f
0
(x ) = x
2
−x ⇒ f (x) =
x
3
3
−
x
2
2
+C.
Mà f (0) =1 ⇒ C =1 ⇒
1
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
µ
x
3
3
−
x
2
2
+1
¶
dx =
11
12
. ä
Bài 9. Cho hàm số f (x) liên tục và lẻ trên đoạn [−a;a]. Chứng minh rằng I =
a
Z
−a
f (x)dx =0.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 254 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có I =
a
Z
−a
f (x)dx =
0
Z
−a
f (x)dx +
a
Z
0
f (x)dx. Xét tích phân
0
Z
−a
f (x)dx, ta có:
Đặt x =−t ⇒dx =−dt. Đổi cận
x =−a ⇒ t = a
x =0 ⇒ t =0.
Vì f (x) là hàm số lẻ và liên tục trên [−a;a] nên f (−x) =−f (x) ⇒ f (−t) =−f (t).
Do đó,
0
Z
−a
f (x)dx =−
0
Z
a
f (−t)dt =−
0
Z
a
[
−f (t)
]
dt =
0
Z
a
f (t)dt =−
a
Z
0
f (t)dt =−
a
Z
0
f (x)dx.
Vậy I =
a
Z
−a
f (x)dx =−
a
Z
0
f (x)dx +
a
Z
0
f (x)dx =0. ä
1 Cho f (x) là hàm số lẻ thỏa mãn
0
Z
−2
f (x)dx =2. Tính tích phân I =
2
Z
0
f (x)dx. . . . . ĐS: −2.
- Lời giải.
Vì y = f (x) là hàm số lẻ nên y = f (x) cũng là hàm số lẻ trên [−2;2].
Do đó,
2
Z
−2
f (x)dx =0 ⇔
0
Z
−2
f (x)dx +
2
Z
0
f (x)dx =0 .
Suy ra
2
Z
0
f (x)dx =−
0
Z
−2
f (x)dx =−2. ä
2 Tính tích phân I =
2017
Z
−2017
x
2019
p
x
4
+2018dx . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 0
- Lời giải.
Với mọi x ∈ [−2017;2017], ta có f (−x) = (−x)
2019
p
(−x)
4
+2018 = −x
2019
p
x
4
+2018 = −f (x), do
đó, hàm số y = x
2019
p
x
4
+2018 là hàm số lẻ trên [−2017;2017].
Suy ra I =
2017
Z
−2017
x
2019
p
x
4
+2018dx =0. ä
3 Tính tích phân I =
π
4
Z
−
π
4
sin x
p
1+x
2018
dx . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 0
- Lời giải.
Với mọi x ∈
h
−
π
4
;
π
4
i
, ta có f (−x) =sin(−x)·
p
1+(−x)
2018
=−sinx·
p
1+x
2018
=−f (x), do đó, hàm
số y =sin x ·
p
1+x
2
018 là hàm số lẻ trên
h
−
π
4
;
π
4
i
.
Suy ra I =
π
4
Z
−
π
4
sin x ·
p
1+x
2018
dx =0. ä
4 Biết
π
4
Z
−
π
4
sin x
p
1+x
2
+x
dx =
π
p
b −
p
a
4
với a, b là các số nguyên dương. Tính T = ab. . . ĐS: 64
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 255 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Vì
p
1+x
2
−x >0,∀x ∈
h
−
π
4
;
π
4
i
nên I =
π
4
Z
−
π
4
sin x
p
1+x
2
+x
dx =
π
4
Z
−
π
4
sin x
h
p
1+x
2
−x
i
dx =−
π
4
Z
−
π
4
xsin xdx
(vì hàm số y =sin x
p
1+x
2
là hàm số lẻ trên
h
−
π
4
;
π
4
i
nên
π
4
Z
−
π
4
sin x
p
1+x
2
dx =0).
Đặt
u = x ⇒du = dx
dv =−sin x dx ⇒ v =cos x
. Do đó, I = x cosx
¯
¯
¯
π
4
−
π
4
−
π
4
Z
−
π
4
cos x dx =
π
p
2
4
−sinx
¯
¯
¯
π
4
−
π
4
=
π
p
2−
p
32
4
.
Suy ra a =32, b =2.
Vậy T = ab =64. ä
Bài 10. Cho hàm số y = f (x) liên tục và chẵn trên đoạn [−a;a]. Chứng minh rằng
a
Z
−a
f (x)dx =2
0
Z
−a
f (x)dx =2
a
Z
0
f (x)dx (1) và
a
Z
−a
f (x)
1+b
x
dx =
1
2
a
Z
−a
f (x)dx =
a
Z
0
f (x)dx (2)
Chứng minh
1. Ta đi chứng minh công thức (1):
a
Z
−a
f (x)dx =2
0
Z
−a
f (x)dx =2
a
Z
0
f (x)dx.
Ta có I =
a
Z
−a
f (x)dx =
0
Z
−a
f (x)dx +
a
Z
0
f (x)dx = A +B.
Xét A =
0
Z
−a
f (x)dx. Đặt x =−t ⇒ dx =−dt. Đổi cận
x =−a ⇒ t = a.
x =0 ⇒ t =0.
Do f
(
x
)
là hàm chẵn và liên tục trên
[
−a;a
]
nên f
(
−x
)
= f
(
x
)
⇒ f
(
−t
)
= f
(
t
)
.
Khi đó: A =−
0
Z
a
f (−t)dt =
a
Z
0
f (−t)dt =
a
Z
0
f (−x)dx =
a
Z
0
f (x)dx =B.
Suy ra A = B =
1
2
I nên I =
a
Z
−a
f (x)dx =2
0
Z
−a
f (x)dx =2
a
Z
0
f (x)dx.
2. Ta đi chứng minh công thức
(
2
)
:
a
Z
−a
f (x)
1+b
x
dx =
1
2
a
Z
−a
f (x)dx =
a
Z
0
f (x)dx với 0 < b 6=1 và a ∈R
+
.
Đặt x =−t ⇒ dx =−dt. Đổi cận
x =−a ⇒ t = a
x =0 ⇒ t =0.
Ta có
I =−
−a
Z
a
f
(
−t
)
1+b
−t
dt =
a
Z
−a
f
(
t
)
1+
1
b
t
dt =
a
Z
−a
b
t
· f
(
t
)
1+b
t
dt =
a
Z
−a
b
x
· f
(
x
)
1+b
x
dx .
Cộng hai vế cho I ⇒2I =
a
Z
−a
b
x
· f (x)
1+b
x
dx +
a
Z
−a
f
(
x
)
1+b
x
dx =
a
Z
−a
(
b
x
+1
)
f (x)
1+b
x
dx =
a
Z
−a
f (x)dx.
Suy ra I =
1
2
a
Z
−a
f (x)dx =
0
Z
−a
f (x)dx =
a
Z
0
f (x)dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 256 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
1 Cho hàm số f (x) là hàm chắn và liên tục trên R, thỏa mãn I =
a
Z
0
f (x)d =6.
i) Tính A =
0
Z
−3
f (x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: A =6
- Lời giải.
Đặt t =−x ⇒ dt =−dx. Đổi cận
x =0 ⇒ t =0
x =−3 ⇒ t =3.
Vậy A =−
0
Z
3
f (−t)dt =
3
Z
0
f (t)dt =6. ä
ii) Tính B =
1
Z
−1
f (3x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: B =4
- Lời giải.
Ta có B =
0
Z
−1
f (3x)dx +
1
Z
0
f (3x)dx.
Đặt I =
0
Z
−1
f (3x)dx và J =
1
Z
0
f (3x)dx.
Ta đi tính I =
0
Z
−1
f (3x)dx.
Đặt t =−x ⇒ dx =−dt. Đổi cận
x =0 ⇒ t =0
x =−1 ⇒ t =1.
Vậy I =−
0
Z
1
f (−3t)dt =
1
Z
0
f (−3t)dt =
1
Z
0
f (3x)dx = J.
Vậy B =2
1
Z
0
f (3x)dx.
Đặt t =3x ⇒ dx =
1
3
dt. Đổi cận
x =0 ⇒ t =0
x =1 ⇒ t =3.
Vậy B =
2
3
3
Z
0
f (t)dt =
2
3
·6 =4. ä
iii) Tính C =
π
2
Z
−
π
2
cos x · f (3sin x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: C =4
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 257 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
C =
π
2
Z
−
π
2
cos x · f
(
3sin x
)
dx =
π
2
Z
−
π
2
f (3sin x)d
(
sin x
)
=
1
3
π
2
Z
−
π
2
f (3sin x)d
(
3sin x
)
=
2
3
3
Z
0
f (t)dt =
2
3
·6 =4.
ä
2 Cho f (x) là hàm số chẵn và có đạo hàm trên đoạn
[
−6;6
]
. Biết rằng
2
Z
−1
f (x)dx =8 và
3
Z
1
f (−2x)dx =3.
Tính tích phân
6
Z
−1
f (x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 14
- Lời giải.
Ta có:
6
Z
−1
f (x)dx =
2
Z
−1
f (x)dx +
6
Z
2
f (x)dx.
Đặt I =
6
Z
2
f (x)dx.
Đặt x =2t ⇒ dx =2dt. Đổi cận
x =2 ⇒ t =1
x =6 ⇒ t =3.
Suy ra
6
Z
2
f (x)dx =2
3
Z
1
f (2t)dt =2
3
Z
1
f (−2x)dx =2 ·3 =6.
Vậy
6
Z
−1
f (x)dx =8 +6 =14. ä
3 Cho f (x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn
[
−1;1
]
thỏa mãn
1
Z
−1
f (x)dx = 4. Tính tích phân
1
Z
−1
f (x)
2
x
+1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 2
- Lời giải.
Áp dụng tính chất trên, ta có
1
Z
−1
f (x)
2
x
+1
dx =
1
Z
0
f (x)dx =2. ä
4 Tính tích phân
3
Z
−3
x
2018
e
x
+1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
2019
·3
2019
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 258 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
3
Z
−3
x
2018
e
x
+1
dx =
3
Z
0
x
2018
dx =
1
2019
x
2019
¯
¯
¯
3
0
=
1
2019
·3
2019
. ä
5 Tính tích
1
Z
−1
1
(
2018
x
+1
)
¡
x
2
−4
¢
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: −
1
4
ln3
- Lời giải.
Ta có
1
Z
−1
dx
(
2018
x
+1
)
¡
x
2
−4
¢
=
1
Z
0
dx
x
2
−4
=
1
4
1
Z
0
dx
x −2
−
1
Z
0
dx
x +2
=
1
4
ln
¯
¯
¯
x −2
x +2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
0
=−
1
4
ln3. ä
6 Tính I =
π
4
Z
−
π
4
cos x
2017
x
+1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
p
2
2
- Lời giải.
Ta có I =
π
4
Z
−
π
4
cos x
2017
x
+1
dx =
π
4
Z
0
cos x dx =sin x
¯
¯
¯
π
4
0
=
p
2
2
. ä
7 Tính tích phân
π
4
Z
−
π
4
sin
6
x +cos
6
x
6
x
+1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
5π
32
- Lời giải.
Ta có I =
π
4
Z
−
π
4
sin
6
x +cos
6
x
6
x
+1
dx =
π
4
Z
0
¡
sin
6
x +cos
6
x
¢
dx =
π
4
Z
0
¡
1−3sin
2
xcos
2
x
¢
dx
=
π
4
Z
0
dx −
3
4
π
4
Z
0
sin
2
2x dx =
π
4
−
3
4
·
1
2
π
4
Z
0
(
1−cos4x
)
dx =
π
4
−
3
8
π
4
Z
0
dx +
3
8
π
4
Z
0
cos4x dx
=
π
4
−
3π
32
+
3
32
sin4x
¯
¯
¯
π
4
0
=
5π
32
. ä
Bài 11. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên đoạn
[
a; b
]
. Chứng minh rằng
1 Nếu
b
Z
a
f (x)dx = k thì
b
Z
a
f (a +b −x)dx = k.
2 Nếu f
(
a +b −x
)
=−f
(
x
)
thì
b
Z
a
f (x)dx =0.
3 Nếu f (a +b −x) = f (x) thì
b
Z
a
x f (x)dx =
a +b
2
b
Z
a
f (x)dx
Th.s Nguyễn Chín Em 259 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chứng minh
1 Nếu
b
Z
a
f (x)dx = k thì
b
Z
a
f (a +b −x)dx = k.
Đặt t = a +b −x ⇒ dt =−dx. Đổi cận: x = a ⇒ t = b và x = b ⇒ t = a.
Suy ra
b
Z
a
f (a +b −x)dx =−
a
Z
b
f (t)dt =
b
Z
a
f (x)dx = k.
2 Nếu f
(
a +b −x
)
=−f
(
x
)
thì
b
Z
a
f (x)dx =0.
Đặt t = a +b −x ⇒ dt =−dx. Đổi cận: x = a ⇒ t = b và x = b ⇒ t = a.
Suy ra
b
Z
a
f (a+b−x)dx =−
a
Z
b
f (t)dt =
b
Z
a
f (x)dx. Mà f (a+b−x) =−f (x) nên ta có
b
Z
a
f (a+b−x)dx =
−
b
Z
a
f (x)dx =
b
Z
a
f (x)dx ⇒
b
Z
a
f (x)dx =0.
3 Nếu f (a +b −x) = f (x) thì
b
Z
a
x f (x)dx =
a +b
2
b
Z
a
f (x)dx.
Đặt t = a +b −x ⇒ dt =−dx. Đổi cận: x = a ⇒ t = b và x = b ⇒ t = a.
Khi đó
b
Z
a
x f (x)dx =−
a
Z
b
(
a +b −t
)
f (a +b −t)dt =
b
Z
a
(
a +b −t
)
f (a +b −t)dt
=
b
Z
a
(
a +b −x
)
f (a +b −x)dx
f (a+b−x)=f (x)
=
(
a +b
)
b
Z
a
f (x)dx −
b
Z
a
x f (x)dx
Suy ra 2
b
Z
a
x f (x)dx =
(
a +b
)
b
Z
a
f (x)dx ⇒
b
Z
a
x f (x)dx =
a +b
2
b
Z
a
f (x)dx.
1 Cho tích phân
2018
Z
1
f (x)dx = 5 trong đó f (x) là hàm số liên tục trên đoạn
[
1;2018
]
. Tính tích phân
I =
2018
Z
1
f (2019−x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 5
- Lời giải.
Đặt t =2019−x ⇒ dt =−dx. Đổi cận
x =1 ⇒ t =2018
x =2018 ⇒ t =1.
Vậy I =−
1
Z
2018
f (t)dt =
2018
Z
1
f (x)dx =5. ä
2 Cho tích phân
2
Z
−1
f (x)dx = 10 trong đó f (x) là hàm số liên tục trên đoạn
[
−1;2
]
. Tính tích phân
I =
2
Z
−1
f (1−x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Th.s Nguyễn Chín Em 260 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
ĐS: 10
- Lời giải.
Đặt t =1−x ⇒ dt =−dx. Đổi cận
x =−1 ⇒ t =2
x =2 ⇒ t =−1.
⇒ I =−
−1
Z
2
f (t)dt =
2
Z
−1
f (x)dx =10. ä
3 Cho f (x) là hàm số liên tục trên đoạn
[
a; b
]
thỏa mãn
b
Z
a
f (x) =7dx. Tính
b
Z
a
f (a +b −x)dx. . . . . . . . .
ĐS: 7
- Lời giải.
Đặt t = a +b −x ⇒ dx =−dt. Đổi cận
x =a ⇒ t = b
x = b ⇒ t =a.
Vậy I =−
a
Z
b
f (t)dt =
b
Z
a
f (x)dx =7. ä
4 Biết
π
4
Z
0
ln
(
1+tanx
)
dx =
a
b
ln c với
a
b
là phân số tối giản và c >0. Tính a +9b −c. . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: π +70
- Lời giải.
Ta có I =
π
4
Z
0
ln
(
1+tanx
)
dx = x ·ln
(
1+tanx
)
¯
¯
¯
π
4
0
−
π
4
Z
0
x ·
1
cos
2
x ·
(
1+tanx
)
dx
=
π
4
ln2−
π
4
Z
0
x
1+tan
2
x
1+tanx
dx .
Ta đi tính tích phân J =
π
4
Z
0
x
1+tan
2
x
1+tanx
dx .
Xét hàm số f
(
x
)
=
1+tan
2
x
1+tanx
, có : f
³
π
4
+0−x
´
=
1+tan
2
³
π
4
−x
´
1+tan
³
π
4
−x
´
= f
(
x
)
Vì vậy J =
π
8
π
4
Z
0
1+tan
2
x
1+tanx
dx =
π
8
π
4
Z
0
1
cos
2
x
(
1+tanx
)
dx =
π
8
π
4
Z
0
1
1+tanx
d
(
1+tanx
)
=
π
8
ln|1+tanx|
¯
¯
¯
π
4
0
=
π
8
ln2.
Vậy a =π, b =8, c =2 ⇒a +9b −c =π +72−2 =π +70. ä
5 Biết
π
Z
0
x ·sin
6
xdx =
a ·π
6
c
với a,b, c ∈R. Tìm phần nguyên của a +2π +10b −c. . . . . ĐS:
- Lời giải.
Xét hàm số f
(
x
)
=sin
6
x. Có : f
(
π +0−x
)
= f
(
π −x
)
=sin
6
(
π −x
)
=sin
6
x = f
(
x
)
.
Th.s Nguyễn Chín Em 261 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
π
Z
0
xsin
6
xdx =
π
2
π
Z
0
sin
6
xdx =
π
2
π
Z
0
µ
1−cos2x
2
¶
3
dx .
=
π
64
π
Z
0
(
−cos6x +6cos4x −15cos2x +10
)
dx
=
π
64
µ
−
1
6
sin6x +
3
2
sin4x −
15
2
sin2x +10x
¶
¯
¯
¯
π
0
=
5π
2
32
.
⇒a =5, b =2, c =32.
Do đó a +2π +10 b −c =5+2π+20−32 =2π −7 ⇒[a +2π+10b −c] =1. ä
6 Biết
π
Z
0
x f (sin x)dx =2π. Tính tích phân I =
π
Z
0
f (sin x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 4
- Lời giải.
Xét hàm số g
(
x
)
= f
(
sin x
)
. Ta có g
(
0+π−x
)
= f
(
sin(π −x)
)
= f
(
sin x
)
.
Suy ra I =
π
2
π
Z
0
f (sin x)dx =2π ⇒
π
Z
0
f (sin x)dx =4. ä
7 Biết
π
Z
0
f (sin x)dx =
2
3
. Tính tích phân I =
π
Z
0
x f (sin x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
- Lời giải.
Ta có I =
π
Z
0
f (sin x)dx =
2
3
.
⇒ I =
π
Z
0
x f (sin x)dx =
π
2
π
Z
0
f (sin x)dx =
π
2
·
2
3
=
π
3
. ä
8 Chứng minh rằng
π
2
Z
0
sin
n
xdx
sin
n
x +cos
n
x
=
π
4
với n ∈R
+
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
π
4
- Lời giải.
Đặt x =
π
2
−t ⇒ dx =−dt. Đổi cận
x =0 ⇒ t =
π
2
x =
π
2
⇒ t =0.
Như vậy
π
2
Z
0
sin
n
x
cos
n
x +sin
n
x
dx =
π
2
Z
0
cos
n
t
sin
n
t +cos
n
t
dt.
Đặt I =
π
2
Z
0
sin
n
t
sin
n
t +cos
n
t
dx và J =
π
2
Z
0
cos
n
x
sin
n
x +cos
n
x
dx . Ta có
I = J
I +J =
π
2
⇒ I = J =
π
4
. ä
9 Tính tích phân
π
Z
0
xdx
sin x +1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: π
Th.s Nguyễn Chín Em 262 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Hàm số g(x) =
1
sin x +1
thỏa mãn g
(
π −x
)
=
1
sin
(
π −x
)
+1
=
1
sin x +1
= g
(
x
)
.
Suy ra
π
Z
0
x
sin x +1
dx =
π
2
π
Z
0
1
sin x +1
dx =
π
2
π
Z
0
dx
³
sin
x
2
+cos
x
2
´
2
=
π
2
π
Z
0
1
2sin
2
³
x
2
+
π
4
´
dx
=
π
4
π
Z
0
dx
sin
2
³
x
2
+
π
4
´
=−
π
2
cot
³
x
2
+
π
4
´
¯
¯
¯
π
0
=π. ä
Bài 12. Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên R và thỏa mãn: m f (−x) +n f (x) = g(x) thì
a
Z
−a
f (x)dx =
1
m +n
a
Z
−a
g(x)dx.
Hệ quả 1. Nếu f (x) liên tục trên
[
0;1
]
thì
1)
π−α
Z
α
x · f (sin x)dx =
π
2
π−α
Z
α
f (sin x)dx
2)
2π−α
Z
α
x · f (cos x)dx =π
2π−α
Z
α
f (cos x)dx
1 Cho f (x) liên tục trên R và thỏa mãn f (−x)+2017f (x) =cos x. Tính tích phân I =
π
2
Z
−
π
2
f (x)dx. . . . . . . .
ĐS:
1
1009
- Lời giải.
Ta có f
(
−x
)
+2017f
(
x
)
=cos x (1)
Thay x bởi −x, ta có f (x) +2017f (−x) =cos x (2).
Lấy (1)−(2), ta được
f (x) +2017f (−x) = f (−x)+2017f (x) ⇔2016f (−x) =2016f (x) ⇔ f (−x) = f (x).
Vậy f (x) là hàm số chẵn trên R.
Ta có
π
2
Z
−
π
2
f (x)dx =2
π
2
Z
0
f (x)dx.
Suy ra
π
2
Z
0
[f (−x)+2017f (x)]dx =
π
2
Z
0
cos x dx ⇔2018
π
2
Z
0
f (x)dx =sin x
¯
¯
¯
π
2
0
=1.
⇒
π
2
Z
0
f (x)dx =
1
2018
Vậy
π
2
Z
−
π
2
f (x)dx =
1
1009
ä
2 Cho hàm f (x) liên tục trên R và thỏa mãn 2f (x)+5f (−x) =
1
4+x
2
. Tính tích phân
2
Z
−2
f (x)dx. . . . . . . .
Th.s Nguyễn Chín Em 263 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
ĐS:
π
28
- Lời giải.
Ta có 2f (x)+5f (−x) =
1
4+x
2
(1).
Thay x bởi −x, ta có 2f (−x)+5f (x) =
1
4+x
2
(2).
Lấy (1)−(2), ta được f (−x) = f (x ). Vậy f (x) là hàm số chẵn trên R.
Từ (1) suy ra 7f (x) =
1
4+x
2
⇔ f (x) =
1
7
¡
4+x
2
¢
.
Suy ra I =
2
Z
−2
f (x)dx =
1
7
2
Z
−2
dx
4+x
2
. (1)
Ta đi tính tích phân J =
2
Z
−2
dx
x
2
+4
.
Đặt x =2tan t ⇒ dx =
2
cos
2
t
dt.
Đổi cận:
x =−2 ⇒ t =−
π
4
x =2 ⇒ t =
π
4
.
Suy ra J =
π
4
Z
−
π
4
2
4cos
2
t
¡
1+tan
2
t
¢
dt =
1
2
π
4
Z
−
π
4
dt =
1
2
t
¯
¯
¯
π
4
−
π
4
=
1
2
³
π
4
+
π
4
´
=
1
2
·
π
2
=
π
4
.
Thay vào (1), suy ra I =
1
7
·
π
4
=
π
28
. ä
3 Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (x) + f (−x) =
p
2+2cos2x , ∀x ∈ R. Tính tích phân I =
3π
2
Z
−
3π
2
f (x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 6
- Lời giải.
Áp dụng công thức trên, ta có
3π
2
Z
−
3π
2
f (x)dx =
1
2
3π
2
Z
−
3π
2
p
2+2cos2x dx =
1
2
3π
2
Z
−
3π
2
2|cos x|dx =
3π
2
Z
−
3π
2
|cos x|dx
= −
−
π
2
Z
−
3π
2
cos x dx +
π
2
Z
−
π
2
cos x dx −
3π
2
Z
π
2
cos x dx
= −sin x
¯
¯
¯
−
π
2
−
3π
2
+sinx
¯
¯
¯
π
2
−
π
2
−sinx
¯
¯
¯
3π
2
π
2
=6.
ä
Bài 13. Cho tích phân
a+T
Z
a
f (x)dx = k với f (x) là hàm xác định, liên tục trên R và tuần hoàn với chu kỳ T
thì tích phân
T
Z
0
f (x)dx =
a+T
Z
a
f (x)dx = k.
Th.s Nguyễn Chín Em 264 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chứng minh
Ta có I =
a+T
Z
a
f (x)dx =
0
Z
a
f (x)dx +
T
Z
0
f (x)dx +
a+T
Z
T
f (x)dx.
Xét tích phân J =
a+T
Z
a
f (x)dx. Đặt t = x −T.
Đổi cận
x =T ⇒ t =0
x =a +T ⇒ t = a.
Khi đó: J =
a+T
Z
T
f (x)dx =
a
Z
0
f (t +T)dt =
a
Z
0
f (t)dt =
a
Z
0
f (x)dx
⇒
a+T
Z
a
f (x)dx =
0
Z
a
f (x)dx +
T
Z
0
f (x)dx +
a
Z
0
f (x)dx =
T
Z
0
f (x)dx = k
4
!
Hàm số f (x) có chu kỳ T thì f (x +T) = f (x) với T là số nguyên dương nhỏ nhất
1 Cho tích phân I =
a+π
Z
a
f (x)dx =2018, với f (x) là hàm xác định, liên tục trên R và tuần hoàn với chu
kỳ π. Tính tích phân I =
π
Z
0
f (x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 2018
- Lời giải.
Cho a =0 ta suy ra I =
π
Z
0
f (x)dx =2018. ä
2 Tính tích phân I =
5π
4
Z
π
sin2x dx
cos
4
x +sin
4
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
π
4
- Lời giải.
Ta có
5π
4
Z
π
sin2x
sin
4
x +cos
4
x
dx =
5π
4
Z
π
2tan x
cos
2
x
¡
1+tan
4
x
¢
dx =
5π
4
Z
π
2tan x
1+tan
4
x
d(tan x).
Đặt t =tan
2
x ⇒ dt =2tanxd(tan x).
Đổi cận:
x =π ⇒ t =0
x =
5π
4
⇒ t =1.
Do đó
5π
4
Z
π
2tan x
1+tan
4
x
d(tan x) =
1
Z
0
1
1+t
2
dt. (1)
Ta đi tính tích phân I =
1
Z
0
dt
1+t
2
.
Đặt t =tanu ⇒ dt =
1
cos
2
u
du.
Th.s Nguyễn Chín Em 265 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đổi cận
t =0 ⇒ u =0
t =1 ⇒ u =
π
4
.
Suy ra
1
Z
0
dt
1+t
2
=
π
4
Z
0
du
cos
2
u ·
¡
1+tan
2
u
¢
=
π
4
Z
0
du = u
¯
¯
¯
π
4
0
=
π
4
.
Vậy I =
5π
4
Z
π
sin2x dx
cos
4
x +sin
4
x
=
π
4
. ä
3 Tính tích phân I =
2017π
Z
0
p
1−cos2x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 4034
p
2
- Lời giải.
Vì hàm số f (x) =
p
1−cos2x là hàm tuần hoàn với chu kỳ π nên
π
Z
0
f (x)dx =
2π
Z
π
f (x)dx =... =
2017π
Z
2016π
f (x)dx.
Do đó
I =
2017π
Z
0
p
1−cos2x dx =2017
p
2
π
Z
0
sin x dx
= −2017
p
2
µ
cos x
¯
¯
¯
π
0
¶
=−2017
p
2(−1−1) =4034
p
2
ä
3.4 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
b
Z
a
| f (x) | dx
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất của tích phân
b
Z
a
| f (x) | dx =
c
Z
a
| f (x) | dx +
b
Z
c
| f (x) | dx
đến đây ta có 2 cách để phá dấu giá trị tuyệt đối
• Cách 1. Xét dấu biểu thức f (x) để khử dấu tr ị tuyệt đối.
• Cách 2. Giải phương trình f (x) = 0 trên
(
a; b
)
. Giả sử trên khoảng
(
a; b
)
phương trình có nghiệm
a < x
1
< x
2
<... < x
n
< b. Do hàm số f (x) không đổi dấu trên mỗi khoảng
(
x
i
; x
i+1
)
nên ta có
b
Z
a
| f (x) | dx =
x
1
Z
a
| f (x) | dx +
x
2
Z
x
1
| f (x) | dx +...+
b
Z
x
n
| f (x) | dx
=
¯
¯
¯
x
1
Z
a
f (x)dx
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
x
2
Z
x
1
f (x)dx
¯
¯
¯
+...+
¯
¯
¯
b
Z
x
n
f (x)dx
¯
¯
¯
3.4.1 Ví dụ và bài t ập
Th.s Nguyễn Chín Em 266 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:
1 Tính tích phân I =
2
Z
0
|1−x|dx. ĐS: 1
Lời giải: Cách 1. Ta có 1−x =0 ⇔ x =1
Và 1−x ≥0, ∀x ∈
(
0;1
)
Do đó I =
1
Z
0
(1−x)dx +
2
Z
1
(
x −1
)
dx =
µ
x −
x
2
2
¶
¯
¯
¯
1
0
+
µ
x
2
2
−x
¶
¯
¯
¯
2
1
=1.
Cách 2. phương trình 1−x =0 ⇔ x =1 ∈(0;2), nên ta có
I =
2
Z
0
|1−x|dx =
1
Z
0
|1−x|dx +
2
Z
1
|1−x|dx =
¯
¯
¯
1
Z
0
(
1−x
)
dx
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
2
Z
1
(
1−x
)
dx
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
1−
1
2
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
1
2
−1
¯
¯
¯
=1
2 Tính tích phân I =
2
Z
0
| x
2
−x | dx. ĐS: 1
Lời giải: Ta có x
2
−x =0 ⇔
x =0
x =1.
Do đó
I =
2
Z
0
| x
2
−x | dx =
1
Z
0
| x
2
−x | dx +
2
Z
1
| x
2
−x | dx
=
¯
¯
¯
1
Z
0
(x
2
−x)dx
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
2
Z
1
(x
2
−x)dx
¯
¯
¯
=
1
6
+
5
6
=1
Bài 1.
1 Tính tích phân I =
2
Z
0
|x
2
−x|dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 1
- Lời giải.
Ta có: x
2
−x =0 ⇔ x =0 hoặc x =1.
Bảng xét dấu x
2
−x trên đoạn
[
0;2
]
x
f (x)
−∞
0
1 2
+∞
+
0
−
0
+
0
+
Suy ra: I =
1
Z
0
¡
−x
2
+x
¢
dx +
2
Z
1
¡
x
2
−x
¢
dx =
µ
−
x
3
3
+
x
2
2
¶
¯
¯
¯
1
0
+
µ
x
3
3
−
x
2
2
¶
¯
¯
¯
2
1
=1. ä
2 Tính tích phân
3
Z
0
¯
¯
x
2
−2x
¯
¯
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Th.s Nguyễn Chín Em 267 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
ĐS:
8
3
- Lời giải.
Phương trình f (x) =0 có các nghiệm lần lượt là x =0 và x =2.
Bảng xét dấu
x
f (x)
−∞
0
2
+∞
+
0
−
0
+
Vì vậy I =
3
Z
0
|x
2
−2x|dx =
2
Z
0
¡
2x −x
2
¢
dx +
3
Z
2
¡
x
2
−2x
¢
dx =
8
3
ä
3 Tính tích phân
4
Z
0
¯
¯
x
2
+4x −5
¯
¯
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
116
3
- Lời giải.
Nghiệm của phương trình x
2
−4x +5 =0 lần lượt là x =1 và x =−5. Do đó
4
Z
0
¯
¯
¯
x
2
+4x −5
¯
¯
¯
dx =−
1
Z
0
¡
x
2
+4x −5
¢
dx +
4
Z
1
¡
x
2
+4x −5
¢
dx =
8
3
+36 =
116
3
ä
4 Tính tích phân I =
3
Z
0
p
x
3
−2x
2
+x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
8
15
+
8
p
3
5
- Lời giải.
Ta có I =
3
Z
0
p
x
3
−2x
2
+x dx =
3
Z
0
»
x
(
x −1
)
2
dx =
1
Z
0
(
1−x
)
p
xdx +
3
Z
1
(
x −1
)
p
xdx
=
8
15
+
8
p
3
5
ä
5 Tính tích phân I =
π
Z
0
¯
¯
cos x
¯
¯
p
sin x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
4
3
- Lời giải.
Ta có I =
π
2
Z
0
cos x
p
sin x dx −
π
Z
π
2
cos x
p
sin x dx
Ta đi tính hai tích phân sau: I
1
=
π
2
Z
0
cos x
p
sin x dx và I
2
=
π
Z
π
2
cos x
p
sin x dx.
Tính I
1
=
π
2
Z
0
cos x
p
sin x dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 268 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt t =
p
sin x ⇒ dt =
cos x dx
2
p
sin x
.
Đổi cận:
x =0 ⇒ t =0
x =
π
2
⇒ t =1.
Suy ra
I
1
=
π
2
Z
0
cos x
p
sin x dx =
1
Z
0
2t
2
dt =
2
3
. (1)
Tương tự I
2
=−
2
3
. (2)
Từ (1), (2) suy ra I =
4
3
. ä
6 Tính tích phân I =
2π
Z
0
p
1−cos2x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 4
p
2
- Lời giải.
Ta có I =
2π
Z
0
p
1−1+2sin
2
xdx =
p
2
2π
Z
0
|sin x|dx =
p
2
π
Z
0
sin x dx −
p
2
2π
Z
π
sin x dx
=−
p
2
(
−1−1
)
+
p
2
(
1+1
)
=4
p
2. ä
7 Tính tích phân I =
π
3
Z
π
6
p
tan
2
x +cot
2
x −2dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: −2ln
p
3
2
- Lời giải.
Ta có I =
π
3
Z
π
6
p
tan
2
x +cot
2
x −2dx =
π
3
Z
π
6
¯
¯
tan x −cot x
¯
¯
dx =
π
3
Z
π
6
¯
¯
¯
sin x
cos x
−
cos x
sin x
¯
¯
¯
dx
=
π
3
Z
π
6
¯
¯
¯
sin
2
x −cos
2
x
sin x ·cos x
¯
¯
¯
dx =
π
3
Z
π
6
¯
¯
¯
cos2x
sin2x
¯
¯
¯
d(2x ).
Đặt t =2x. Khi đó
I =
2π
3
Z
π
3
¯
¯
¯
cos t
sin t
¯
¯
¯
dt =
π
2
Z
π
3
cos t
sin t
dt −
2π
3
Z
π
2
cos t
sin t
dt =ln
¯
¯
sin t
¯
¯
¯
¯
¯
π
2
π
3
−ln
¯
¯
sin t
¯
¯
¯
¯
¯
2π
3
π
2
=−2ln
p
3
2
. ä
8 Tính tích phân I =
1
Z
−1
¯
¯
2
x
−2
−x
¯
¯
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: −
3
ln2
- Lời giải.
Ta có I =
1
Z
−1
¯
¯
2
x
−2
−x
¯
¯
dx =
0
Z
−1
¯
¯
2
x
−2
−x
¯
¯
dx +
1
Z
0
¯
¯
2
x
−2
−x
¯
¯
dx
Th.s Nguyễn Chín Em 269 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
=
0
Z
−1
¡
2
−x
−2
x
¢
dx +
1
Z
0
¡
2
x
−2
−x
¢
dx =
µ
−
2
−x
ln2
−
2
x
ln2
¶
¯
¯
¯
0
−1
+
µ
2
x
ln2
+
2
−x
ln2
¶
1
0
=−
3
ln2
. ä
9 Tính tích phân I =
2
Z
−2
¯
¯
2x −|x +1|
¯
¯
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 6
- Lời giải.
Ta có I =
2
Z
−2
¯
¯
2x −|x +1|
¯
¯
dx =
1
Z
−2
¯
¯
2x −|x +1|
¯
¯
dx +
2
Z
1
¯
¯
2x −|x +1|
¯
¯
dx
=
1
Z
−2
¡
¯
¯
x +1
¯
¯
−2x
¢
dx +
2
Z
1
¡
2x −
¯
¯
x +1
¯
¯
¢
dx
=
1
Z
−2
|x +1|dx −2
1
Z
−2
xdx +2
2
Z
1
2x dx −
2
Z
1
|x +1|dx
= −
−1
Z
−2
(
x +1
)
dx +
1
Z
−1
(
x +1
)
dx −2
1
Z
−2
xdx +2
2
Z
1
xdx −
2
Z
1
(
x +1
)
dx
= −
(
x +1
)
2
2
¯
¯
¯
−1
−2
+
(
x +1
)
2
2
¯
¯
¯
1
−1
−x
2
¯
¯
¯
1
−2
+x
2
¯
¯
¯
2
1
−
(
x +1
)
2
2
¯
¯
¯
2
1
=6.
ä
3.5 Phương pháp đổi biến số
b
Z
a
[
f (x)
]
u
0
(x )dx =F
[
u(x)
]
¯
¯
¯
b
a
=F
[
u(b)
]
−F
[
u(a )
]
.
1 Biến đổi để chọn phép đặt t = u(x) ⇒dt = u
0
(x )dx.
2 Đổi cận
½
x = b ⇒ t = u(b)
x =a ⇒ t = u(a)
.
3 Đưa về dạng I =
u(b)
Z
u(a)
f (t)dt đơn giản hơn và dễ tính toán.
3.5.1 Ví dụ và bài t ập
Dạng: I =
Z
f (ax +b)
n
xdx
I
1
=
Z
f (ax +b)
n
xdx −→ Đặt t =ax +b ⇒dt = adx.
I
2
=
Z
µ
x
n
x
n+1
+1
¶
m
dx −→ Đặt t = x
n+1
+1 ⇒dt =(n +1)x
n
dx .
I
3
=
Z
f (ax
2
+b)
n
xdx −→ Đặt t =ax
2
+b ⇒dt =2 axdx.
Th.s Nguyễn Chín Em 270 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ví dụ 1. Tính tích phân I =
1
Z
0
x(1−x)
19
dx . ĐS:
1
420
Lời giải: Đặt t =1−x ⇒ x =1−t ⇒dx =−dt.
Đổi cận:
x =0 ⇒ t =1
x =1 ⇒ t =0
.
Khi đó I =−
0
Z
1
(1−t)t
19
dt =
1
Z
0
¡
t
19
−t
20
¢
dt =
µ
t
20
20
−
t
21
21
¶
¯
¯
¯
1
0
=
1
20
−
1
21
=
1
420
.
Ví dụ 2. Tính tích phân I =
1
Z
0
x
3
1+x
2
dx . ĐS:
1
2
−
1
2
ln2
Lời giải: Đặt t =1+x
2
⇒ x
2
= t −1 ⇒2xdx =dt ⇒ xdx =
1
2
dt.
Đổi cận
x =0 ⇒ t =1
x =1 ⇒ t =2
.
Khi đó I =
1
Z
0
x
2
1+x
2
xdx =
1
2
2
Z
1
t −1
t
dt =
1
2
2
Z
1
µ
1−
1
t
¶
dt =
1
2
(t −ln|t|)
¯
¯
¯
2
1
=
1
2
−
1
2
ln2.
Ví dụ 3. Tính tích phân I =
1
Z
0
(7x −1)
99
(2x +1)
101
dx . ĐS:
2
100
−1
900
Lời giải: Ta có I =
1
Z
0
µ
7x −1
2x +1
¶
99
·
1
(2x +1)
2
dx .
Đặt t =
7x −1
2x +1
⇒dt =
9
(2x +1)
2
dx ⇒
1
(2x +1)
2
dx =
1
9
dt.
Đổi cận
x =0 ⇒ t =−1
x =1 ⇒ t =2
.
Khi đó I =
1
9
2
Z
−1
t
99
dt =
1
9
·
t
100
100
¯
¯
¯
2
−1
=
2
100
−1
900
.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
1 I =
2
Z
1
x(1−x)
50
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS:
103
2652
- Lời giải.
Đặt t =1−x ⇒ x =1 −t ⇒dx =−dt.
Đổi cận
x =1 ⇒ t =0
x =2 ⇒ t =−1
.
Khi đó I =−
−1
Z
0
(1−t)t
50
dt =
0
Z
−1
¡
t
50
−t
51
¢
dt =
µ
t
51
51
−
t
52
52
¶
¯
¯
¯
0
−1
=
103
2652
. ä
2 I =
1
Z
0
x
¡
1+x
2
¢
4
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Th.s Nguyễn Chín Em 271 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
ĐS:
31
10
- Lời giải.
Đặt t =1+x
2
⇒ x
2
= t −1 ⇒ xdx =
1
2
dt.
Đổi cận
x =0 ⇒ t =1
x =1 ⇒ t =2
.
Khi đó I =
1
2
2
Z
1
t
4
dt =
1
2
·
t
5
5
¯
¯
¯
2
1
=
1
2
µ
2
5
5
−
1
5
¶
=
31
10
. ä
Bài 2. Tính các tích phân sau:
1 I =
1
Z
0
x
5
x
2
+1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
2
µ
ln2−
1
2
¶
- Lời giải.
Đặt t = x
2
+1 ⇒ x
2
= t −1 ⇒ xdx =
1
2
dt.
Đổi cận
x =0 ⇒ t =1
x =1 ⇒ t =2
.
Khi đó I =
1
Z
0
x
4
x
2
+1
xdx =
1
2
2
Z
1
(t −1)
2
t
dt =
1
2
2
Z
1
µ
t −2+
1
t
¶
dt =
1
2
µ
t
2
2
−2t +ln|t|
¶
¯
¯
¯
2
1
=
1
2
µ
ln2−
1
2
¶
.
ä
2 I =
1
Z
0
x
3
¡
1+x
2
¢
3
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
16
- Lời giải.
Đặt t =1+x
2
⇒ x
2
= t −1 ⇒ xdx =
1
2
dt.
Đổi cận
x =0 ⇒ t =1
x =1 ⇒ t =2
.
Khi đó I =
1
Z
0
x
2
¡
1+x
2
¢
3
xdx =
1
2
2
Z
1
t −1
t
3
dt =
1
2
2
Z
1
µ
1
t
2
−
1
t
3
¶
dt =
1
2
µ
−
1
t
+
1
2t
2
¶
¯
¯
¯
2
1
=
1
16
. ä
Bài 3. Tính I =
3
Z
2
x
2017
(x −1)
2019
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
2
2018
−
µ
3
2
¶
2018
2018
- Lời giải.
Ta có I =
3
Z
2
³
x
x −1
´
2017
·
1
(x −1)
2
dx .
Đặt t =
x
x −1
⇒dt =
−1
(x −1)
2
dx ⇒
1
(x −1)
2
dx =−dt.
Th.s Nguyễn Chín Em 272 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đổi cận
x =2 ⇒ t =2
x =3 ⇒ t =
3
2
.
Khi đó I =−
3
2
Z
2
t
2017
dt =
2
Z
3
2
t
2017
dt =
t
2018
2018
¯
¯
¯
2
3
2
=
2
2018
−
µ
3
2
¶
2018
2018
. ä
Bài 4. Tính các tích phân sau:
1 I =
1
Z
0
x
5
¡
1−x
3
¢
6
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
168
- Lời giải.
Đặt t =1−x
3
⇒ x
3
=1 −t ⇒ x
2
dx =−
1
3
dt.
Đổi cận
x =0 ⇒ t =1
x =1 ⇒ t =0
.
Khi đó I =−
1
3
0
Z
1
£
(1−t)·t
6
¤
dt =
1
3
1
Z
0
¡
t
6
−t
7
¢
dt =
1
3
µ
t
7
7
−
t
8
8
¶
¯
¯
¯
1
0
=
1
168
. ä
2 I =
1
Z
0
(1+3x)
¡
1+2x +3x
2
¢
10
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
6
11
−1
22
- Lời giải.
Đặt t =1+2x +3x
2
⇒(1 +3x)dx =
1
2
dt.
Đổi cận
x =0 ⇒ t =1
x =1 ⇒ t =6
.
Khi đó I =
1
2
6
Z
1
t
10
dt =
t
11
22
¯
¯
¯
6
1
=
6
11
−1
22
. ä
Bài 5. Tính các tích phân sau:
1 I =
1
Z
0
2
£
x
¡
1−x
2
¢¤
5
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
168
- Lời giải.
Đặt t =1−x
2
⇒ x
2
=1 −t ⇒2xdx =−dt.
Đổi cận
x =0 ⇒ t =1
x =1 ⇒ t =0
.
Khi đó
I =
1
Z
0
h
¡
x
2
¢
2
¡
1−x
2
¢
5
i
2x dx = −
0
Z
1
£
(1−t)
2
·t
5
¤
dt =
1
Z
0
¡
t
7
−2t
6
+t
5
¢
dt =
µ
t
8
8
−
2
7
t
7
+
t
6
6
¶
¯
¯
¯
1
0
=
1
168
.
ä
Th.s Nguyễn Chín Em 273 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
2 I =
0
Z
−1
x
2
(x +1)
15
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
2448
- Lời giải.
Đặt t = x +1 ⇒ x = t −1 ⇒dx =dt.
Đổi cận
x =−1 ⇒ t =0
x =0 ⇒ t =1
.
Khi đó I =
1
Z
0
£
(t −1)
2
·t
15
¤
dt =
1
Z
0
¡
t
17
−2t
16
+t
15
¢
dt =
µ
t
18
18
−
2
17
t
17
+
t
16
16
¶
¯
¯
¯
1
0
=
1
2448
. ä
3 I =
1
Z
0
x
2
¡
1+x
3
¢
n
dx ,
¡
∀n ∈N
∗
¢
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
2
n+1
−1
3(n +1)
- Lời giải.
Đặt t =1+x
3
⇒ x
2
dx =
1
3
dt.
Đổi cận
x =0 ⇒ t =1
x =1 ⇒ t =2
.
Khi đó I =
1
3
2
Z
1
t
n
dt =
t
n+1
3(n +1)
¯
¯
¯
2
1
=
2
n+1
−1
3(n +1)
. ä
4 I =
1
Z
0
x
¡
1−x
2
¢
n
dx ,
¡
∀n ∈N
∗
¢
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
2(n +1)
- Lời giải.
Đặt t =1−x
2
⇒ x
2
= t −t ⇒ xdx =−
1
2
dt.
Đổi cận
x =0 ⇒ t =1
x =1 ⇒ t =0
.
Khi đó I =−
1
2
0
Z
1
t
n
dt =
1
2
1
Z
0
t
n
dt =
t
n+1
2(n +1)
¯
¯
¯
1
0
=
1
2(n +1)
. ä
Bài 6. Tính các tích phân sau:
1 I =
1
Z
0
4x
3
¡
x
4
+2
¢
3
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
5
72
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 274 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt t = x
4
+2 ⇒4x
3
dx =dt.
Đổi cận
x =0 ⇒ t =2
x =1 ⇒ t =3
.
Khi đó I =
3
Z
2
1
t
3
dt =
−1
2t
2
¯
¯
¯
3
2
=
5
72
. ä
2 I =
1
Z
0
x
¡
x
2
+1
¢
3
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
3
16
- Lời giải.
Đặt t = x
2
+1 ⇒ xdx =
1
2
dt.
Đổi cận
x =0 ⇒ t =1
x =1 ⇒ t =2
.
Khi đó I =
1
2
2
Z
1
1
t
3
dt =
−1
4t
2
¯
¯
¯
2
1
=
3
16
. ä
Bài 7. Tính các tích phân sau:
1 I =
2
Z
1
(x +2)
2017
x
2019
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
3
2018
−2
2018
4036
- Lời giải.
Ta có I =
2
Z
1
µ
x +2
x
¶
2017
·
1
x
2
dx .
Đặt t =
x +2
x
⇒dt =
−2
x
2
dx ⇒
1
x
2
dx =−
1
2
dt.
Đổi cận
x =1 ⇒ t =3
x =2 ⇒ t =2
.
Khi đó I =−
1
2
2
Z
3
t
2017
dt =
1
2
3
Z
2
t
2017
dt =
t
2018
2·2018
¯
¯
¯
3
2
=
3
2018
−2
2018
4036
. ä
Bài 8. Tính I =
2
Z
1
x
2001
¡
1+x
2
¢
1002
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
µ
4
5
¶
1001
−
µ
1
2
¶
1001
2002
- Lời giải.
Đặt t =1+x
2
⇒ x
2
= t −1 ⇒ xdx =
1
2
dt.
Đổi cận
x =1 ⇒ t =2
x =2 ⇒ t =5
.
Th.s Nguyễn Chín Em 275 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó I =
2
Z
1
¡
x
2
¢
1000
¡
1+x
2
¢
1002
·x dx =
1
2
5
Z
2
(t −1)
1000
t
1002
dt =
1
2
5
Z
2
µ
t −1
t
¶
1000
·
1
t
2
dt.
Đặt u =
t −1
t
⇒du =
1
t
2
dt.
Đổi cận
t =2 ⇒ u =
1
2
t =5 ⇒ u =
4
5
.
Khi đó I =
1
2
4
5
Z
1
2
u
1000
du =
u
1001
2002
¯
¯
¯
4
5
1
2
=
µ
4
5
¶
1001
−
µ
1
2
¶
1001
2002
. ä
Dạng: I =
b
Z
a
n
p
f (x)f
0
(x )dx −→ Đặt t =
n
p
f (x) ⇒ t
n
= f (x) ⇒ nt
n−1
dt = f
0
(x )dx.
Ví dụ 4. Tính tích phân I =
9
Z
1
x
3
p
1−xdx. ĐS: −
468
7
Lời giải: Đặt t =
3
p
1−x ⇒ t
3
=1 −x ⇒
x =1 −t
3
dx =−3t
2
dt.
Đổi cận
x =1 ⇒ t =0
x =9 ⇒ t =−2.
Khi đó I =−
−2
Z
0
(1−t
3
)·t ·3t
2
dt =3
0
Z
−2
¡
t
3
−t
6
¢
dt =3
µ
t
4
4
−
t
7
7
¶
¯
¯
¯
0
−2
=−
468
7
.
Bài 9. Tính các tích phân sau:
1 I =
1
Z
−1
2x +1
p
x
2
+x +1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 2
¡
p
3−1
¢
- Lời giải.
Đặt t =
p
x
2
+x +1 ⇒dt =
2x +1
2
p
x
2
+x +1
dx .
Đổi cận
x =−1 ⇒ t =1
x =1 ⇒ t =
p
3
.
Khi đó I =
p
3
Z
1
2dt =2t
¯
¯
¯
p
3
1
=2
³
p
3−1
´
. ä
2 I =
1
Z
0
x
p
1−xdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
4
15
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 276 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt t =
p
1−x ⇒ x =1 −t
2
⇒dx =−2tdt.
Đổi cận
x =0 ⇒ t =1
x =1 ⇒ t =0
.
Khi đó I =−2
0
Z
1
(1−t
2
)t
2
dt =2
1
Z
0
(t
2
−t
4
)dt =2
µ
t
3
3
−
t
5
5
¶
¯
¯
¯
1
0
=
4
15
. ä
Bài 10. Tính các tích phân sau:
1 I =
3
Z
0
x
p
x +1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
8
3
- Lời giải.
Đặt t =
p
x +1 ⇒ x = t
2
−1 ⇒dx =2tdt.
Đổi cận
x =0 ⇒ t =1
x =3 ⇒ t =2
.
Khi đó I =2
2
Z
1
(t
2
−1)dt =2
µ
t
3
3
−t
¶
¯
¯
¯
2
1
=
8
3
. ä
2 I =
1
Z
0
x
p
2−x
2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
2
p
2−1
3
- Lời giải.
Đặt t =
p
2−x
2
⇒ x
2
=2 −t
2
⇒2xdx =−2tdt ⇒ xdx =−tdt.
Đổi cận
x =0 ⇒ t =
p
2
x =1 ⇒ t =1
.
Khi đó I =−
1
Z
p
2
t
2
dt =
p
2
Z
1
t
2
dt =
t
3
3
¯
¯
¯
p
2
1
=
2
p
2−1
3
. ä
3 I =
3
Z
1
x
3
p
x
2
−1dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 6
- Lời giải.
Đặt t =
3
p
x
2
−1 ⇒ x
2
= t
3
+1 ⇒2xdx =3t
2
dt ⇒ x dx =
3
2
t
2
dt.
Đổi cận
x =1 ⇒ t =0
x =3 ⇒ t =2
.
Khi đó I =
3
2
2
Z
0
t
3
dt =
3t
4
8
¯
¯
¯
2
0
=6. ä
4 I =
p
7
Z
0
x
3
p
1+x
2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Th.s Nguyễn Chín Em 277 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
ĐS:
45
8
- Lời giải.
Đặt t =
3
p
1+x
2
⇒ x
2
= t
3
−1 ⇒2xdx =3t
2
dt ⇒ x dx =
3
2
t
2
dt.
Đổi cận
x =0 ⇒ t =1
x =
p
7 ⇒ t =2
.
Khi đó I =
3
2
2
Z
1
t
3
dt =
3t
4
8
¯
¯
¯
2
1
=
45
8
. ä
5 I =
0
Z
−1
(x −1)
2
p
x +1dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
142
105
- Lời giải.
Đặt t =
p
x +1 ⇒ x = t
2
−1 ⇒dx =2tdt.
Đổi cận
x =−1 ⇒ t =0
x =0 ⇒ t =1
.
Khi đó I =2
1
Z
0
¡
t
2
−2
¢
2
t
2
dt =2
1
Z
0
¡
t
6
−4t
4
+4t
2
¢
dt =2
µ
t
7
7
−
4
5
t
5
+
4
3
t
3
¶
¯
¯
¯
1
0
=
142
105
. ä
6 I =
1
Z
0
x
3
p
1+x
2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
2
p
2+2
15
- Lời giải.
Đặt t =
p
1+x
2
⇒ x
2
= t
2
−1 ⇒ xdx = tdt.
Đổi cận
x =0 ⇒ t =1
x =1 ⇒ t =
p
2
.
Khi đó I =
p
2
Z
1
¡
t
2
−1
¢
t
2
dt =
p
2
Z
1
¡
t
4
−t
2
¢
dt =
µ
t
5
5
−
t
3
3
¶
¯
¯
¯
p
2
1
=
2
p
2+2
15
. ä
7 I =
p
3
Z
0
x
5
p
1+x
2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
848
105
- Lời giải.
Đặt t =
p
1+x
2
⇒ x
2
= t
2
−1 ⇒ xdx = tdt.
Đổi cận
x =0 ⇒ t =1
x =
p
3 ⇒ t =2
.
Khi đó I =
2
Z
1
¡
t
2
−1
¢
2
t
2
dt =
2
Z
1
¡
t
6
−2t
4
+t
2
¢
dt =
µ
t
7
7
−
2
5
t
5
+
t
3
3
¶
¯
¯
¯
2
1
=
848
105
. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 278 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
8 I =
p
7
Z
0
x
3
3
p
x
2
+1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
141
20
- Lời giải.
Đặt t =
3
p
x
2
+1 ⇒ x
2
= t
3
−1 ⇒ xdx =
3
2
t
2
dt.
Đổi cận
x =0 ⇒ t =1
x =
p
7 ⇒ t =2
.
Khi đó I =
3
2
2
Z
1
¡
t
3
−1
¢
tdt =
3
2
2
Z
1
¡
t
4
−t
¢
dt =
3
2
µ
t
5
5
−
t
2
2
¶
¯
¯
¯
2
1
=
141
20
. ä
9 I =
1
Z
0
x
15
p
1+3x
8
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
29
270
- Lời giải.
Đặt t =
p
1+3x
8
⇒ x
8
=
1
3
¡
t
2
−1
¢
⇒ x
7
dx =
1
12
tdt.
Đổi cận
x =0 ⇒ t =1
x =1 ⇒ t =2
.
Khi đó I =
1
36
2
Z
1
¡
t
2
−1
¢
t
2
dt =
1
36
2
Z
1
¡
t
4
−t
2
¢
dt =
1
36
µ
t
5
5
−
t
3
3
¶
¯
¯
¯
2
1
=
29
270
. ä
Bài 11. Tính các tích phân sau:
1 I =
2
p
3
Z
p
5
1
x
p
x
2
+4
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
4
ln
µ
5
3
¶
- Lời giải.
Đặt t =
p
x
2
+4 ⇒ x =
p
t
2
−4 ⇒dx =
t
p
t
2
−4
dt.
Đổi cận
x =
p
5 ⇒ t =3
x =2
p
3 ⇒ t =4
.
Khi đó I =
4
Z
3
1
(t −2)(t +2)
dt =
1
4
4
Z
3
µ
1
t −2
−
1
t +2
¶
dt =
1
4
(
ln|t −2|−ln|t +2|
)
¯
¯
¯
4
3
=
1
4
ln
µ
5
3
¶
. ä
2 I =
4
Z
p
7
1
x
p
x
2
+9
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
6
ln
µ
7
4
¶
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 279 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt t =
p
x
2
+9 ⇒ x =
p
t
2
−9 ⇒dx =
t
p
t
2
−9
dt.
Đổi cận
x =
p
7 ⇒ t =4
x =4 ⇒ t =5
.
Khi đó I =
5
Z
4
1
(t −3)(t +3)
dt =
1
6
5
Z
4
µ
1
t −3
−
1
t +3
¶
dt =
1
6
(
ln|t −3|−ln|t +3|
)
¯
¯
¯
5
4
=
1
6
ln
µ
7
4
¶
. ä
3 I =
2
Z
1
1
x
p
x
3
+1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
3
ln
3+2
p
2
2
- Lời giải.
Đặt t =
p
x
3
+1 ⇒ x =
3
p
t
2
−1 ⇒dx =
2t
3
3
»
¡
t
2
−1
¢
2
dt.
Đổi cận
x =1 ⇒ t =
p
2
x =2 ⇒ t =3
.
Khi đó I =
2
3
3
Z
p
2
1
(t −1)(t +1)
dt =
1
3
3
Z
p
2
µ
1
t −1
−
1
t +2
¶
dt =
1
3
(
ln|t −1|−ln|t +1|
)
¯
¯
¯
3
p
2
=
1
3
ln
3+2
p
2
2
.
ä
4 I =
5
Z
1
1
x
p
3x +1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: ln
µ
9
5
¶
- Lời giải.
Đặt t =
p
3x +1 ⇒ x =
1
3
¡
t
2
−1
¢
⇒dx =
2
3
tdt.
Đổi cận
x =1 ⇒ t =2
x =5 ⇒ t =4
.
Khi đó I =
4
Z
2
2
(t −1)(t +1)
dt =
4
Z
2
µ
1
t −1
−
1
t +1
¶
dt =
(
ln|t −1|−ln|t +1|
)
¯
¯
¯
4
2
=ln
µ
9
5
¶
. ä
Bài 12. Tính I =
6
Z
1
p
x +3+1
x +2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 2
(
1+ln2
)
- Lời giải.
Đặt t =
p
x +3 ⇒ x +2 = t
2
−1 ⇒dx =2tdt.
Đổi cận
x =1 ⇒ t =2
x =6 ⇒ t =3
.
Khi đó I =2
3
Z
2
t
t −1
dt.
Đặt u = t −1 ⇒ t = u +1 ⇒dt =du.
Th.s Nguyễn Chín Em 280 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đổi cận
t =2 ⇒ u =1
t =3 ⇒ u =2
.
Khi đó I =2
2
Z
1
u +1
u
du =2
2
Z
1
µ
1+
1
u
¶
du =2
(
u +ln|u|
)
¯
¯
¯
2
1
=2
(
1+ln2
)
. ä
Bài 13. Tính tích phân
1 I =
6
Z
0
2
p
4x +1+1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 4 −ln3
- Lời giải.
Đặt t =
p
4x +1 ⇒ t
2
=4x +1 ⇒
x =
t
2
−1
4
dx =
t
2
dt.
Đổi cận:
x =0 ⇒ t =1
x =6 ⇒ t =5
.
Khi đó I =
5
Z
1
t
t +1
dx = t
¯
¯
¯
5
1
−ln|t +1|
¯
¯
¯
5
1
=4 −ln3. ä
2 I =
4
Z
0
4x −1
p
2x +1+2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
34
3
−10ln
5
3
- Lời giải.
Đặt t =
p
2x +1 ⇒ t
2
=2x +1 ⇒
x =
t
2
−1
2
dx = t dt.
Đổi cận:
x =0 ⇒ t =1
x =4 ⇒ t =3
.
Khi đó I =
3
Z
1
2t
3
−3t
t +2
dt =
3
Z
1
¡
2t
2
−4t +5
¢
dt −
3
Z
1
10
t +2
dt =
µ
2t
3
3
−
4t
2
2
+5t
¶
¯
¯
¯
3
1
−10ln|t +2|
¯
¯
¯
3
1
=
34
3
−
10ln
5
3
. ä
3 I =
4
Z
1
1
x(1+
p
x)
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: ln
16
9
- Lời giải.
Đặt t =
p
x ⇒ t
2
= x ⇒
x = t
2
dx =2t dt.
Đổi cận:
x =1 ⇒ t =1
x =4 ⇒ t =2
.
Th.s Nguyễn Chín Em 281 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó I =
2
Z
1
2t
t
2
(t +1)
dt =
2
Z
1
2
t
dt −
2
Z
1
2
t +1
dt =2ln|t|
¯
¯
¯
2
1
−2ln|t +1|
¯
¯
¯
2
1
=ln
16
9
. ä
4 I =
2
Z
0
p
2+
p
x
1+
p
2x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 4 −ln3
- Lời giải.
Đặt t =
p
x ⇒ t
2
= x ⇒
x = t
2
dx =2t dt.
Đổi cận:
x =0 ⇒ t =0
x =2 ⇒ t =
p
2
.
Khi đó I =
p
2
Z
0
¡
p
2+t
¢
2t
1+
p
2t
dt =
p
2
Z
0
³
2t +
p
2
´
dt −
p
2
Z
1
1
p
2t +1
dt =
³
t
2
+
p
2t
´
¯
¯
¯
p
2
0
−ln|
p
2t +1|
¯
¯
¯
p
2
0
= 4−
ln3. ä
5 I =
4
Z
1
e
4
p
x+1
p
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
e
9
−e
5
2
- Lời giải.
Đặt t =
p
x ⇒ t
2
= x ⇒
x = t
2
dx =2t dt.
Đổi cận:
x =1 ⇒ t =1
x =4 ⇒ t =2
.
Khi đó I =
2
Z
1
e
4t+1
t
2t dt =2
2
Z
1
e
4t+1
dt =2
µ
e
4t+1
4
¶
¯
¯
¯
2
1
=
e
9
−e
5
2
. ä
6 I =
1
Z
0
(x −1)
3
p
2x −x
2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: −
2
15
- Lời giải.
Đặt t =
p
2x −x
2
⇒ t
2
=2x −x
2
⇒
(x −1)
2
=1 −t
2
(x −1)dx =−tdt.
Đổi cận:
x =0 ⇒ t =0
x =1 ⇒ t =1
.
Khi đó I =
1
Z
0
¡
−t
2
+t
4
¢
dt =
µ
−
t
3
3
+
t
5
5
¶
¯
¯
¯
1
0
=−
2
15
. ä
7 I =
2
Z
1
x
x +
p
x
2
−1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Th.s Nguyễn Chín Em 282 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
ĐS:
7−3
p
3
3
- Lời giải.
Ta có I =
2
Z
1
x
x +
p
x
2
−1
dx =
2
Z
1
³
x
2
−x
p
x
2
−1
´
dx =
2
Z
1
x
2
dx −
2
Z
1
³
x
p
x
2
−1
´
dx .
Đặt t =
p
x
2
−1 ⇒ t
2
= x
2
−1 ⇒
x
2
= t
2
−1
xdx = tdt.
Đổi cận:
x =1 ⇒ t =0
x =2 ⇒ t =
p
3
.
Khi đó I =
7
3
−
p
3
Z
0
¡
t
2
¢
dx =
7−3
p
3
3
. ä
8 I =
p
5
Z
0
x
3
x +
p
x
2
+4
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =−
5
p
5
4
+
253
60
- Lời giải.
I =
p
5
Z
0
x
3
x +
p
x
2
+4
dx =
p
5
Z
0
x
3
³
x −
p
x
2
+4
´
−4
dx =
p
5
Z
0
x
4
−4
dx +
p
5
Z
0
x
3
p
x
2
+4
4
dx .
Ta có:
I
1
=
p
5
Z
0
x
4
−4
dx =−
1
4
µ
x
5
5
¶
¯
¯
¯
¯
p
5
0
=−
25
20
p
5.
I
2
=
p
5
Z
0
x
3
p
x
2
+4
4
dx .
Đặt t =
p
x
2
+4 ⇒ t
2
= x
2
+4 ⇒ x
2
= t
2
−4 ⇒ x dx = tdt.
Đổi cận x =
p
5 ⇒ t =3; x =0 ⇒ t =2.
I
2
=
3
Z
2
¡
t
2
−4
¢
·t ·t
4
dt =
1
4
µ
t
5
5
−4.
t
3
3
¶
¯
¯
¯
¯
3
2
=
253
60
.
Vậy, I =−
5
p
5
4
+
253
60
. ä
9 I =
1
Z
0
x
3
x
2
+
p
x
4
+1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
p
2−1
3
- Lời giải.
Ta có:
I =
1
Z
0
x
3
x
2
+
p
x
4
+1
dx =
p
5
Z
0
x
3
³
x −
p
x
2
+4
´
−1
dx =−
1
Z
0
x
5
dx +
1
Z
0
x
3
p
x
4
+1dx .
I
1
=−
µ
x
6
6
¶
¯
¯
¯
¯
1
0
=−
1
6
.
Th.s Nguyễn Chín Em 283 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
I
2
=
1
Z
0
x
3
p
x
4
+1dx .
Đặt t =
p
x
4
+1 ⇒ t
2
= x
4
+1 ⇒2t dt =4x
3
dx ⇒ x
3
dx =
1
2
tdt.
Đổi cận: x =1 ⇒ t =
p
2; x =0 ⇒ t =1.
Khi đó I
2
=
p
2
Z
1
1
2
t ·t dt =
1
2
Ã
2
p
2
3
−
1
3
!
=
2
p
2−1
6
.
Vậy, I =
p
2−1
3
. ä
Dạng: Đổi biến biểu thức chứa ln, e
x
hoặc lượng giác trong dấu căn
Phương pháp giải: Đặt t là căn thức chứa lôgarit hoặc căn thức chứa mũ hoặc căn thức chứa lượng giác.
Ví dụ 5. Tính tích phân I =
e
Z
1
ln x
x
p
1+lnx
dx ĐS:
4−2
p
2
3
Lời giải: Đặt t =
p
1+lnx ⇒ t
2
=1 +ln x ⇒
ln x = t
2
−1
2t dt =
dx
x
.
Đổi cận:
x =1 ⇒ t =1
x =e ⇒ t =
p
2
.
I =
p
2
Z
1
¡
t
2
−1
¢
·2t
t
dt =2
p
2
Z
1
¡
t
2
−1
¢
dt =2
µ
t
3
3
−t
¶
¯
¯
¯
p
2
1
=2
Ã
2
p
2
3
−
p
2−
1
3
+1
!
=2
2−
p
2
3
=
4−2
p
2
3
.
Ví dụ 6. Tính tích phân I =
e
3
Z
1
ln
2
x
x
p
ln x +1
dx ĐS:
76
15
Lời giải: Đặt t =
p
ln x +1 ⇒ t
2
=ln x +1 ⇒
ln x = t
2
−1
2t dt =
dx
x
.
Đổi cận:
x =1 ⇒ t =1
x =e
3
⇒ t =2
.
I =
2
Z
1
¡
t
2
−1
¢
2
·2t
t
dt =2
2
Z
1
¡
t
4
−2t
2
+1
¢
dt =2
µ
t
5
5
−2
t
3
3
+t
¶
¯
¯
¯
2
1
=
76
15
.
Ví dụ 7. Tính tích phân I =
2
Z
0
cos x
p
3sin x +1dx ĐS:
14
9
Lời giải: Đặt t =
p
3sin x +1 ⇒ t
2
=3sinx +1 ⇒2t dt =3cosxdx.
Đổi cận:
x =0 ⇒ t =1
x =
π
2
⇒ t =2
.
I =
2
Z
1
t ·
2
3
tdt =
2
3
µ
t
3
3
¶
¯
¯
¯
2
1
=
2
3
µ
8
3
−
1
3
¶
=
14
9
.
Th.s Nguyễn Chín Em 284 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ví dụ 8. Tính tích phân I =
ln2
Z
0
e
2x
p
e
x
+1
dx ĐS:
2
p
2
3
Lời giải: Đặt t =
p
e
x
+1 ⇒ t
2
=e
x
+1 ⇒
e
x
= t
2
−1
2t dt =e
x
dx .
Đổi cận:
x =0 ⇒ t =
p
2
x =ln2 ⇒ t =
p
3
.
I =
p
3
Z
p
2
¡
t
2
−1
¢
·2t
t
dt =2
p
3
Z
p
2
¡
t
2
−1
¢
dt =2
µ
t
3
3
−t
¶
¯
¯
¯
p
3
p
2
=2
Ã
3
p
3
3−
p
3
−
2
p
2
3
+
p
2
!
=
2
p
2
3
.
Bài 14. Tính tích phân
1 I =
e
Z
1
ln x
p
1+3lnx
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
116
135
- Lời giải.
Đặt t =
p
1+3lnx ⇒ t
2
=1 +3ln x ⇒
ln x =
t
2
−1
3
2t dt =
3dx
x
.
Đổi cận:
x =1 ⇒ t =1
x =e ⇒ t =2
.
I =
2
Z
1
t
2
−1
3
·t ·
2
3
tdt =
2
9
2
Z
1
¡
t
4
−t
2
¢
dt =
2
9
µ
t
5
5
−
t
3
3
¶
¯
¯
¯
2
1
=
116
135
. ä
2 I =
ln2
Z
0
e
x
p
5−e
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
16−6
p
3
3
- Lời giải.
Đặt t =
p
5−e
x
⇒ t
2
=5 −e
x
⇒
e
x
=5 −t
2
2t dt =−e
x
dx .
Đổi cận:
x =0 ⇒ t =2
x =ln2 ⇒ t =
p
3
.
I =
p
3
Z
2
t ·(−2t)dt =2
2
Z
p
3
t
2
dt =2
µ
t
3
3
¶
¯
¯
¯
2
p
3
=2
Ã
8
3
−
p
27
3
!
=
16−6
p
3
3
. ä
3 I =
π
2
Z
0
sin x
p
1+cosxdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
4
p
2−2
3
Th.s Nguyễn Chín Em 285 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Đặt t =
p
1+cosx ⇒ t
2
=1 +cos x ⇒2t dt =−sinxdx.
Đổi cận:
x =0 ⇒ t =
p
2
x =
π
2
⇒ t =1
.
I =
1
Z
p
2
t ·
(
−2t
)
dt =2
p
2
Z
1
t
2
dt =2
µ
t
3
3
¶
¯
¯
¯
p
2
1
=2
Ã
2
p
2
3
−
1
3
!
=
4
p
2−2
3
. ä
4 I =
π
2
Z
0
sin2x +sinx
p
1+3cosx
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
34
27
- Lời giải.
Đặt t =
p
1+3cosx ⇒ t
2
=1 +3cos x ⇒2tdt =−3sin x dx.
Đổi cận:
x =0 ⇒ t =2
x =
π
2
⇒ t =1
.
I =
1
Z
2
µ
2·
µ
t
2
−1
3
¶
+1
¶
·
µ
−
2
3
t
¶
t
dt =
2
9
2
Z
1
¡
2t
2
+1
¢
dt =
2
9
µ
2t
3
3
+t
¶
¯
¯
¯
2
1
=
2
9
µ
16
3
+2−
2
3
−1
¶
=
34
27
. ä
Bài 15. Tính tích phân
1 I =
e
p
e
Z
1
3−2lnx
x
p
1+2lnx
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
5
3
- Lời giải.
Đặt t =
p
1+2lnx ⇒ t
2
=1 +2ln x ⇒
ln x =
t
2
−1
2
2t dt =
2dx
x
.
Đổi cận:
x =1 ⇒ t =1
x =e
p
e ⇒ t =2
.
I =
2
Z
1
3−
¡
t
2
−1
¢
t
·t dt =
2
Z
1
¡
4−t
2
¢
dt =
µ
4t −
t
3
3
¶
¯
¯
¯
2
1
=8 −
8
3
−4+
1
3
=
5
3
. ä
2 I =
e
Z
1
ln
3
x
x
p
1+3ln
2
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
4
27
- Lời giải.
Đặt t =
p
1+3ln
2
x ⇒ t
2
=1 +3ln
2
x ⇒
ln
2
x =
t
2
−1
3
2t dt =
6ln x dx
x
.
Th.s Nguyễn Chín Em 286 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đổi cận:
x =1 ⇒ t =1
x =e ⇒ t =2
.
I =
2
Z
1
µ
t
2
−1
3
¶
·
2
6
tdt
t
=
1
9
2
Z
1
¡
t
2
−1
¢
dt =
1
9
µ
t
3
3
−t
¶
¯
¯
¯
2
1
=
4
27
. ä
3 I =
e
Z
1
ln x
3
p
2+ln
2
x
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
9
3
p
3−6
3
p
2
8
- Lời giải.
Đặt t =
3
p
2+ln
2
x ⇒ t
3
=2 +ln
2
x ⇒
ln
2
x = t
3
−2
3t
2
dt =
2ln x dx
x
.
Đổi cận:
x =1 ⇒ t =
3
p
2
x =e ⇒ t =
3
p
3
.
I =
3
p
3
Z
3
p
2
t ·
3
2
t
2
dt =
3
2
3
p
3
Z
3
p
2
t
3
dt =
3
2
µ
t
4
4
¶
¯
¯
¯
3
p
3
3
p
2
=
9
3
p
3−6
3
p
2
8
. ä
4 I =
e
Z
1
1
x
3
p
1+lnx
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
3
3
p
4−3
2
- Lời giải.
Đặt t =
3
p
1+lnx ⇒ t
3
=1 +ln x ⇒
ln x = t
3
−1
3t
2
dt =
dx
x
.
Đổi cận:
x =1 ⇒ t =1
x =e ⇒ t =
3
p
2
.
I =
3
p
2
Z
1
3t
2
t
dt =3
3
p
2
Z
1
tdt =3
µ
t
2
2
¶
¯
¯
¯
3
p
2
1
=
3
3
p
4−3
2
. ä
5 I =
ln6
Z
0
1
p
e
x
+3
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
p
3
ln
¡
2+
p
3
¢
- Lời giải.
Đặt t =
p
e
x
+3 ⇒ t
2
=e
x
+3 ⇒
e
x
= t
2
−3
2t dt =e
x
dx
.
Đổi cận:
x =0 ⇒ t =2
x =ln6 ⇒ t =3
.
Th.s Nguyễn Chín Em 287 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
I =
3
Z
2
1
t
·
2t
t
2
−3
dt =
3
Z
2
2
t
2
−3
dt =
3
Z
2
2
¡
t −
p
3
¢¡
t +
p
3
¢
dt =
1
p
3
3
Z
2
1
¡
t −
p
3
¢
dt −
1
p
3
3
Z
2
1
¡
t +
p
3
¢
dt =
1
p
3
ln|t −
p
3|
¯
¯
¯
3
2
−
1
p
3
ln|t +
p
3|
¯
¯
¯
3
2
=
1
p
3
ln
¯
¯
¯
¯
¯
3−
p
3
2−
p
3
¯
¯
¯
¯
¯
−
1
p
3
ln
¯
¯
¯
¯
¯
3+
p
3
2+
p
3
¯
¯
¯
¯
¯
=
1
p
3
ln
¯
¯
¯
¯
¯
¡
3−
p
3
¢¡
2+
p
3
¢
¡
2−
p
3
¢¡
3+
p
3
¢
¯
¯
¯
¯
¯
=
1
p
3
ln
³
2+
p
3
´
. ä
6 I =
ln5
Z
ln2
e
2x
p
e
x
−1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
22
3
- Lời giải.
Đặt t =
p
e
x
−1 ⇒ t
2
=e
x
−1 ⇒
e
x
= t
2
+1
2t dt =e
x
dx .
Đổi cận:
x =ln2 ⇒ t =1
x =ln5 ⇒ t =2
.
I =
2
Z
1
¡
t
2
+1
¢
·2t
t
dt =2
2
Z
1
¡
t
2
+1
¢
dt =2
µ
t
3
3
+t
¶
¯
¯
¯
2
1
=2
µ
8
3
+2−
1
3
−1
¶
=
22
3
. ä
7 I =
p
3
Z
0
e
x
p
(
e
x
+1
)
3
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 2
µ
−
1
e
p
3
+1
+
1
p
2
¶
- Lời giải.
Đặt t =
p
e
x
+1 ⇒ t
2
=e
x
+1 ⇒
e
x
= t
2
−1
2t dt =e
x
dx .
Đổi cận:
x =0 ⇒ t =
p
2
x =
p
3 ⇒ t =
»
e
p
3+1
.
I =
p
e
p
3+1
Z
p
2
2t
t
2
·t
dt =2
p
e
p
3+1
Z
p
2
1
t
2
dt =2
µ
−
1
t
¶
¯
¯
¯
p
e
p
3+1
p
2
=2
µ
−
1
e
p
3
+1
+
1
p
2
¶
. ä
8 I =
1
Z
0
5
x
2
(
5
x
−9
)
p
6−5
1−x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
7
log
5
2
9
- Lời giải.
I =
1
Z
0
5
x
2
(
5
x
−9
)
…
6−
5
5
x
dx =
1
Z
0
5
x
(
5
x
−9
)
p
6·5
x
−5
dx .
Đặt t =
p
6·5
x
−5 ⇒ t
2
=6 ·5
x
−5 ⇒5
x
=
t
2
+5
6
⇒2tdt =6 ·5
x
·ln5dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 288 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đổi cận: x =1 ⇒ t =5; x =0 ⇒ t =1.
I =
5
Z
1
2
6ln5
µ
(t
2
+5)
6
−9
¶
dt =
5
Z
1
2
ln5
¡
t
2
+5−54
¢
dt =
2
ln5
5
Z
1
1
t
2
−49
dt =
2
ln5
5
Z
1
dt
(t −7)(t +7)
=
2
ln5
5
Z
1
1
14(t −7)
dt −
1
14
5
Z
1
1
(t +7)
dt
=
1
7ln5
µ
ln
|
t −7
|
¯
¯
¯
5
1
−ln
|
t +7
|
¯
¯
¯
5
1
¶
=
1
7ln5
(
ln2−ln6−ln12+ln8
)
=
1
7ln5
µ
ln
1
3
+ln
8
12
¶
=
1
7ln5
.ln
µ
1
3
·
8
12
¶
=
1
7ln5
·ln
2
9
=
1
7
log
5
2
9
.
ä
9 I =
π
2
Z
0
sin2x
p
cos
2
x +4sin
2
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
2
3
- Lời giải.
I =
π
2
Z
0
sin2x
p
cos
2
x +4sin
2
x
dx =
π
2
Z
0
sin2x
p
1+3sin
2
x
dx
Đặt t =
p
1+3sin
2
x ⇒ t
2
=1 +3sin
2
x ⇒2tdt =6sinxcos x dx.
Đổi cận:
x =0 ⇒ t =1
x =
π
2
⇒ t =2
.
I =
2
Z
1
2
3
t
t
dt =
2
3
(
t
)
¯
¯
¯
2
1
=
2
3
. ä
10 I =
π
2
Z
0
sin x cosx
p
4cos
2
x +9sin
2
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
5
- Lời giải.
Đặt t =
p
4cos
2
x +9sin
2
x ⇒ t
2
=4 +5sin
2
x ⇒
t
2
=4 +5sin
2
x
2t dt =10sinxcos x dx .
Đổi cận:
x =0 ⇒ t =2
x =
π
2
⇒ t =3
.
I =
3
Z
2
1
5
t
t
dt =
1
5
(
t
)
¯
¯
¯
3
2
=
1
5
. ä
11 I =
π
2
Z
0
cos x
2+
p
3sin x +1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
2
3
µ
1−2ln
4
3
¶
Th.s Nguyễn Chín Em 289 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Đặt t =
p
3sin x +1 ⇒ t
2
=3sinx +1 ⇒2t dt =3cosxdx.
Đổi cận:
x =0 ⇒ t =1
x =
π
2
⇒ t =2
.
I =
2
Z
1
2
3
t
2+t
dt =
2
3
2
Z
1
t
2+t
dt =
2
3
2
Z
1
dt −
2
Z
1
2
2+t
dt
=
2
3
µ
1−2ln
|
t +2
|
¯
¯
¯
2
1
¶
=
2
3
µ
1−2ln
4
3
¶
. ä
12 I =
π
4
Z
0
p
2+3tanx
1+cos2x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
5
p
5−2
p
2
9
- Lời giải.
Đặt t =
p
2+3tanx ⇒ t
2
=2 +3tan x.
Đổi cận: x =
π
4
⇒ t =
p
5; x =0 ⇒ t =
p
2.
Khi đó I =
p
5
Z
p
2
t ·t
3
dt =
1
3
2
Z
1
t
2
dt =
1
3
µ
t
3
3
¶
¯
¯
¯
¯
p
5
p
2
=
5
p
5−2
p
2
9
. ä
13 I =
π
2
Z
0
sin x cosx
p
b
2
cos
2
x +c
2
sin
2
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
c +b
- Lời giải.
Đặt t =
p
b
2
+(c
2
−b
2
)sin
2
x ⇒ t
2
= b
2
+(c
2
−b
2
)sin
2
x ⇒2tdt =2(c
2
−b
2
)sin x ·cos x.
Đổi cận: x =
π
2
⇒ t = c; x =0 ⇒ t = b.
Khi đó I =
c
Z
b
1
(c
2
−b
2
)
t
t
dt =
c
Z
b
1
c
2
−b
2
dt =
1
c
2
−b
2
·t
¯
¯
¯
c
b
=
c −b
c
2
−b
2
=
1
c +b
. ä
Dạng: Đổi biến biểu thức chứa hàm ln không nằm trong căn
I =
b
Z
a
f (ln x)
1
x
dx
. Phương pháp giải:
t =ln x ⇒ dt =
1
x
dx
t = m +n lnx ⇒ dt =
n
x
dx .
Ví dụ 9. Tính tích phân I =
e
Z
1
ln x
x
dx ĐS:
1
2
Lời giải: Đặt t =ln x ⇒ dt =
1
x
dx .
Th.s Nguyễn Chín Em 290 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đổi cận: x =e ⇒ t =1; x =1 ⇒ t =0.
Khi đó I =
1
Z
0
tdt =
t
2
2
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
2
.
Ví dụ 10. Tính tích phân I =
e
Z
1
1+ln
2
x
x
dx ĐS:
4
3
Lời giải: Đặt t =ln x ⇒ dt =
1
x
dx .
Đổi cận: x =e ⇒ t =1; x =1 ⇒ t =0.
Khi đó I =
1
Z
0
¡
1+t
2
¢
dt =
µ
t +
t
3
3
¶
¯
¯
¯
¯
1
0
=1 +
1
3
=
4
3
.
Bài 16. Tính các tích phân
1 I =
e
Z
1
ln
2
x
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
3
- Lời giải.
Đặt t =ln x ⇒ dt =
1
x
dx .
Đổi cận: x =e ⇒ t =1; x =1 ⇒ t =0.
Khi đó I =
1
Z
0
t
2
dt =
t
3
3
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
3
. ä
2 I =
e
Z
1
1+lnx
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
3
2
- Lời giải.
Đặt t =1+lnx ⇒ dt =
1
x
dx .
Đổi cận: x =e ⇒ t =2; x =1 ⇒ t =1.
Khi đó I =
2
Z
1
tdt =
t
2
2
¯
¯
¯
¯
2
1
=2 −
1
2
=
3
2
. ä
3 I =
e
Z
1
1+2lnx
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 2
- Lời giải.
Đặt t =1+2lnx ⇒ dt =
2
x
dx .
Đổi cận: x =e ⇒ t =3; x =1 ⇒ t =1.
Khi đó I =
3
Z
1
t
2
dt =
1
2
.
t
2
2
¯
¯
¯
¯
2
1
=
1
2
µ
9
2
−
1
2
¶
=
4
2
=2. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 291 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
4 I =
e
Z
1
1+ln
4
x
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
6
5
- Lời giải.
Đặt t =ln x ⇒ dt =
1
x
dx .
Đổi cận: x =e ⇒ t =1; x =1 ⇒ t =0.
Khi đó I =
1
Z
0
¡
1+t
4
¢
dt =
µ
t +
t
5
5
¶
¯
¯
¯
¯
1
0
=1 +
1
5
=
6
5
. ä
5 I =
e
Z
1
ln x
x(2+lnx)
2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: ln
3
2
−
1
3
- Lời giải.
Đặt t =2+lnx ⇒ dt =
1
x
dx .
Đổi cận: x =e ⇒ t =3; x =1 ⇒ t =2.
Khi đó I =
3
Z
2
t −2
t
2
dt =
3
Z
2
t
t
2
dt −
3
Z
2
2
t
2
dt = ln
|
t
||
3
2
+
µ
2
t
¶
¯
¯
¯
3
2
=ln
3
2
+
2
3
−1 =ln
3
2
−
1
3
. ä
6 I =
e
Z
1
ln x −2
xln x +x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 1 −3ln2
- Lời giải.
Đặt t =ln x +1 ⇒ dt =
1
x
dx .
Đổi cận: x =e ⇒ t =2; x =1 ⇒ t =1.
Khi đó I =
2
Z
1
t −3
t
dt =
2
Z
1
dt −3
2
Z
1
1
t
dt =1−3ln
|
t
|
¯
¯
¯
2
1
=1 −3ln2. ä
Bài 17. Tính các tích phân
1 I =
e
Z
1
ln
2
x
x(1+2ln x)
dx .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
1
4
−
1
8
ln3
- Lời giải.
Đặt t =1+2lnx ⇒ln x =
1−t
2
và
dt
2
=
dx
x
.
Có
x =1 ⇒ t =1
x =e ⇒ t =3.
Khi đó
I =
3
Z
1
(1−t)
2
8t
dt =
µ
t
2
16
−
t
4
+
1
8
ln t
¶
¯
¯
¯
¯
3
1
=
1
8
ln3.
ä
Th.s Nguyễn Chín Em 292 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
2 I =
e
Z
1
ln x +1
xln x +1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =ln(e +1)
- Lời giải.
Ta có
I =
e
Z
1
ln x +1
xln x +1
dx =
e
Z
1
d
(
xln x +1
)
xln x +1
.
Đặt t = x lnx +1 ⇒ I =
e+1
Z
1
dt
t
=ln t
¯
¯
¯
e+1
1
=ln(e +1). ä
3 I =
e
Z
1
1+lnx
2+xln x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =ln
µ
e+2
2
¶
- Lời giải.
Ta có
I =
e
Z
1
1+lnx
2+xln x
dx =
e
Z
1
d
(
xln x +2
)
xln x +2
.
Đặt t = x lnx +2 ⇒ I =
e+2
Z
2
dt
t
=ln t
¯
¯
¯
e+2
2
=ln
µ
e+2
2
¶
. ä
4 I =
e
2
Z
e
1
xln x ·lnex
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =ln
4
3
- Lời giải.
Ta có
I =
e
2
Z
e
1
xln x ·lnex
dx
=
e
2
Z
e
1
ln x ·
(
1+lnx
)
d
(
ln x
)
=
e
2
Z
e
µ
1
ln x
−
1
1+lnx
¶
d
(
ln x
)
Đặt t =ln x ⇒ I =
2
Z
1
µ
1
t
−
1
t +1
¶
dt =ln
¯
¯
¯
¯
t
t +1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2
1
=ln
4
3
. ä
5 I =
e
Z
1
2x +ln x +1
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Th.s Nguyễn Chín Em 293 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
ĐS: I =2e −
1
2
- Lời giải.
Ta có
I =
e
Z
1
2x +ln x +1
x
dx
=
e
Z
1
2dx +
e
Z
1
ln x d(lnx)+
e
Z
1
1
x
dx
=
µ
2x +
ln
2
x
2
+lnx
¶
¯
¯
¯
¯
e
1
=2e−
1
2
.
ä
6 I =
2
Z
1
1+xln x
x
2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
1+(ln2)
2
2
- Lời giải.
Ta có
I =
2
Z
1
1+xln x
x
2
dx
=
2
Z
1
1
x
2
+
ln x
x
dx
=
µ
−
1
x
+
(ln
2
x)
2
¶
¯
¯
¯
¯
2
1
=
1+(ln2)
2
2
.
ä
7 I =
e
Z
1
p
4+lnx
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
2
3
¡
5
p
5−8
¢
- Lời giải.
Ta có
I =
e
Z
1
p
4+lnx
x
dx =
e
Z
1
p
4+lnxd
(
ln x +4
)
.
Đặt t =ln x +4 ⇒ I =
5
Z
4
p
tdt =
2
3
t
3
2
¯
¯
¯
5
4
=
2
3
³
5
p
5−8
´
. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 294 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
8 I =
e
Z
1
p
1+3lnx
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
14
9
- Lời giải.
Ta có
I =
e
Z
1
p
1+3lnx
x
dx =
1
3
e
Z
1
p
1+3lnx d(3lnx +1).
Đặt t =3ln x +1 ⇒ I =
1
3
4
Z
1
p
tdt =
2
9
t
3
2
¯
¯
¯
4
1
=
14
9
. ä
Bài 18. Tính các tích phân
1 I =
e
Z
1
ln x
p
1+ln
2
x
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
p
8−1
3
- Lời giải.
Đặt t =
p
1+ln
2
x ⇒ t
2
=1 +ln
2
x ⇒ tdt =
ln x dx
x
.
Có
x =1 ⇒ t =1
x =e ⇒ t =
p
2.
Khi đó
I =
p
2
Z
1
t
2
dt =
t
3
3
¯
¯
¯
¯
p
2
1
=
p
8−1
3
.
ä
2 I =
p
e
Z
1
1
x
p
1−ln
2
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
π
6
- Lời giải.
Ta có
I =
p
e
Z
1
1
x
p
1−ln
2
x
dx
=
p
e
Z
1
1
p
1−ln
2
x
d
(
ln x
)
.
Đặt t =ln x, với x =1 ⇒ t =0; x =
p
e ⇒ t =
1
2
.
Khi đó
I =
1
2
Z
0
1
p
1−t
2
dt.
Th.s Nguyễn Chín Em 295 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt t =sinu ⇒ dt =cosu d u; với t =0 ⇒ u =0; với t =
1
2
⇒ u =
π
6
.
Ta có I =
π
6
Z
0
cosu
cosu
du =
π
6
. ä
3 I =
e
Z
1
ln x
3
p
2+ln
2
x
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
3
8
³
3
4
3
−2
4
3
´
- Lời giải.
Đặt t =
3
p
2+ln
2
x ⇒ t
3
=2 +ln
2
x ⇒
3t
2
dt
2
=
ln x dx
x
.
Có
x =1 ⇒ t =
3
p
2
x =e ⇒ t =
3
p
3.
Khi đó
I =
3
2
3
p
3
Z
3
p
2
t
3
dt =
3t
4
8
¯
¯
¯
¯
3
p
3
3
p
2
=
3
8
³
3
4
3
−2
4
3
´
.
ä
4 I =
e
Z
1
ln
3
x −2log
2
x
x
p
1+3ln
2
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
4
27
−
2
3ln2
- Lời giải.
Ta có
I =
e
Z
1
ln
3
x −2log
2
x
x
p
1+3ln
2
x
dx
=
e
Z
1
ln
3
x −2
ln x
ln2
p
1+3ln
2
x
d(ln x)
Đặt t =
p
1+3ln
2
x ⇒1 +3ln
2
x = t
2
⇒ln
2
x =
t
2
−1
3
⇒ln xd(ln x) =
1
3
tdt.
Với x =1 ⇒ t =1; x =e ⇒ t =2. Ta có
I =
2
Z
1
µ
1
9
¡
t
2
−1
¢
−
2
3ln2
¶
dt
=
1
9
µ
t
3
3
−t
¶
¯
¯
¯
¯
2
1
−
2
3ln2
t
¯
¯
¯
¯
2
1
=
4
27
−
2
3ln2
.
ä
5 I =
e
Z
1
log
3
2
x
x
p
3+ln
2
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Th.s Nguyễn Chín Em 296 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
ĐS: I =
1
(
ln2
)
3
µ
−
10
3
+2
p
3
¶
- Lời giải.
Ta có I =
e
Z
1
log
3
2
x
x
p
3+ln
2
x
dx =
e
Z
1
µ
ln x
ln2
¶
3
x
p
3+ln
2
x
dx .
Đặt t =
p
3+ln
2
x ⇒ t
2
=3 +ln
2
x ⇒ln
2
x = t
2
−3 ⇒
ln x
x
dx = t dt.
Ta có x =1 ⇒ t =
p
3; x =e ⇒ t =2.
Khi đó
I =
1
(
ln2
)
3
2
Z
p
3
¡
t
2
−3
¢
dt
=
1
(
ln2
)
3
µ
t
3
3
−3t
¶
¯
¯
¯
2
p
3
=
1
(
ln2
)
3
µ
−
10
3
+2
p
3
¶
.
ä
6 I =
e
Z
1
xe
x
+1
x(e
x
+lnx)
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =ln(e
e
+1)−1
- Lời giải.
Ta có
I =
e
Z
1
xe
x
+1
x(e
x
+lnx)
dx
=
e
Z
1
1
e
x
+lnx
d
¡
e
x
+lnx
¢
=ln
¯
¯
e
x
+lnx
¯
¯
¯
¯
¯
e
1
=ln(e
e
+1)−1.
ä
7 I =
e
2
Z
e
(x
2
+1)ln x +1
xln x
dx .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
e
4
2
−
e
2
2
+1+ln2
Th.s Nguyễn Chín Em 297 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
I =
e
2
Z
e
(x
2
+1)ln x +1
xln x
dx
=
e
2
Z
e
µ
x +
1
x
¶
dx +
e
2
Z
e
d(ln x)
ln x
=
µ
x
2
2
+ln|x |+ln
|
ln x
|
¶
¯
¯
¯
¯
e
2
e
=
e
4
2
−
e
2
2
+1+ln2.
ä
8 I =
e
2
Z
1
2ln x −1
x(8ln
2
x −8ln x +3)
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
1
8
ln
19
3
- Lời giải.
Đặt t =ln x ⇒ dt =
dx
x
.
Ta có x =1 ⇒ t =0; x =e
2
⇒ t =2.
I =
2
Z
0
2t −1
8t
2
−8t +3
dt
=
1
8
Z
1
8t
2
−8t +3
d
¡
8t
2
−8t +3
¢
=
1
8
ln
¯
¯
8t
2
−8t +3
¯
¯
¯
¯
¯
2
0
=
1
8
ln
19
3
.
ä
9 I =
5
Z
2
ln
¡
p
x −1+1
¢
x −1+
p
x −1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =ln
2
3−ln
2
2
Th.s Nguyễn Chín Em 298 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
I =
5
Z
2
ln
¡
p
x −1+1
¢
x −1+
p
x −1
dx
=
5
Z
2
ln
¡
p
x −1+1
¢
p
x −1
¡
p
x −1+1
¢
dx
=2
5
Z
2
ln
¡
p
x −1+1
¢
¡
p
x −1+1
¢
d
³
p
x −1+1
´
=2
5
Z
2
ln
³
p
x −1+1
´
dln
³
p
x −1+1
´
=ln
2
³
p
x −1+1
´
¯
¯
¯
5
2
=ln
2
3−ln
2
2.
ä
10 I =
1
Z
0
ln(3+x)−ln(3−x)
9−x
2
dx .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
1
12
ln
2
2
- Lời giải.
Ta có
I =
1
Z
0
ln(3+x)−ln(3−x)
9−x
2
dx
=
1
Z
0
(3−x)ln
3+x
3−x
(x +3)(3−x)
2
dx
=
1
6
1
Z
0
3−x
3+x
ln
3+x
3−x
d
µ
3+x
3−x
¶
=
1
6
1
Z
0
ln
µ
3+x
3−x
¶
dln
µ
3+x
3−x
¶
=
1
12
ln
2
µ
3+x
3−x
¶
¯
¯
¯
1
0
=
1
12
ln
2
2.
ä
Dạng:
I =
b
Z
a
f
¡
e
x
¢
e
x
dx .
Th.s Nguyễn Chín Em 299 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt
·
t =e
x
⇒ dt =e
x
dx
t = m +ne
x
⇒ dt = ne
x
dx .
Ví dụ 11. Tính tích phân I =
1
Z
0
xe
x
2
dx . ĐS:
e−1
2
Lời giải: Đặt t =e
x
2
⇒ dt =2xe
x
2
dx ⇒ x e
x
2
dx =
dt
2
.
Với x =0 ⇒ t =1 và x =1 ⇒ t =e. Khi đó
I =
e
Z
1
dt
2
=
t
2
¯
¯
¯
¯
e
1
=
e−1
2
.
Ví dụ 12. Tính I =
2
Z
0
(
2x −1
)
e
x−x
2
dx . ĐS: I =1 −e
−2
Lời giải: Đặt t =e
x−x
2
⇒ dt =(1 −2x )e
x−x
2
dx .
Với x =0 ⇒ t =1 và x =2 ⇒ t =e
−2
. Khi đó
I =
1
Z
e
−2
dt = t
¯
¯
¯
¯
1
e
−2
=1 −e
−2
.
Bài 19. Tính các tích phân
1 I =
ln2
Z
0
e
x
(
e
x
+1
)
2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
1
6
- Lời giải.
Đặt t =e
x
+1, suy ra dt =e
x
dx
Với x =0 thì t =2; với x =ln2 thì t =3.
Vây I =
3
Z
2
1
t
2
dt =−
1
t
¯
¯
¯
3
2
=
1
6
. ä
2 I =
3
Z
1
1
e
x
−1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =ln(e
2
+e+1) −2
- Lời giải.
I =
3
Z
1
e
x
−(e
x
−1)
e
x
−1
dx =
3
Z
1
µ
e
x
e
x
−1
−1
¶
dx =
3
Z
1
1
e
x
−1
d(e
x
−1)−
3
Z
1
dx .
Vậy I =
(
ln(e
x
−1)−x
)
¯
¯
¯
¯
3
1
=ln(e
2
+e+1) −2. ä
3 I =
ln3
Z
0
1
e
x
+2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Th.s Nguyễn Chín Em 300 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
ĐS: I =
3e+6
5e
- Lời giải.
I =−
1
2
ln3
Z
0
e
x
−(e
x
+2)
e
x
+2
dx =
1
2
ln3
Z
0
µ
1−
e
x
e
x
+2
dx
¶
.
Suy ra I =
1
2
(
x −ln(e
x
+2)
)
¯
¯
¯
¯
ln3
0
=
1
2
ln
µ
9
5
¶
. ä
4 I =
ln2
Z
0
2e
x
−1
e
x
+1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =ln
5
2
- Lời giải.
Đặt t =e
x
, suy ra dt =e
x
dx .
Suy ra I =
2
Z
1
2t −1
t
2
+t
dt =
2
Z
1
d(t
2
+t)
t
2
+t
−2
2
Z
1
µ
1
t
−
1
t +1
¶
dt =
µ
ln(t
2
+t) −2ln
t
t +1
¶
=
¯
¯
¯
¯
2
1
=ln
27
16
. ä
5 I =
1
Z
0
e
x
e
x
+e
−x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
1
2
ln
e
2
+1
2
- Lời giải.
I =
1
Z
0
e
2x
e
2x
+1
dx =
1
2
1
Z
0
d(e
2x
+1)
e
2x
+1
=
1
2
ln(e
2x
+1)
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
2
ln
e
2
+1
2
. ä
Bài 20. Tính các tích phân
1 I =
ln5
Z
ln3
1
e
x
+2e
−x
−3
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =ln
3
2
- Lời giải.
Ta có I =
ln5
Z
ln3
e
x
e
2x
−3e
x
+2
dx . Đặt t =e
x
, suy ra dt =e
x
dx .
Vậy, I =
5
Z
3
1
(t −1)(t −2)
dt =
5
Z
3
µ
1
t −2
−
1
t −1
¶
dt =
(
ln(t −2)−ln(t −1)
)
¯
¯
¯
¯
5
3
=ln
3
2
. ä
2 I =
1
Z
0
(
1+e
x
)
3
e
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
e
2
2
+3e−
1
e
+
1
2
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 301 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
I =
1
Z
0
1+3e
x
+3e
2x
+e
3x
e
x
dx =
1
Z
0
¡
e
−x
+3+3e
x
+e
2x
¢
dx =
µ
−e
−x
+3x +3e
x
+
1
2
e
2x
¶
¯
¯
¯
¯
1
0
=
e
2
2
+3e −
1
e
+
1
2
. ä
3 I =
1
Z
0
e
−2x
1+e
−x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =−
1
e
+1−ln
2e
1+e
- Lời giải.
Ta có I =
1
Z
0
dx
e
2x
+e
x
=
1
Z
0
µ
1
e
x
−
1
e
x
+1
¶
dx =−
1
e
+1−I
1
.
Ta tính I
1
=
1
Z
0
dx
e
x
+1
=
1
Z
0
e
x
e
x
(e
x
+1)
dx .
Đặt t =e
x
⇒ dt =e
x
dx ⇒ I
1
=
e
Z
1
dt
t(t +1)
=ln
¯
¯
¯
¯
t
t +1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
e
1
=ln
¯
¯
¯
¯
2e
e+1
¯
¯
¯
¯
.
⇒ I =−
1
e
+1−ln
2e
1+e
. ä
4 I =
ln2
Z
0
e
2x
+3e
x
e
2x
+3e
x
+2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =ln
27
16
- Lời giải.
Đặt t =e
x
ta có dt =e
x
dx .
Suy ra I =
2
Z
1
t +3
t
2
+3t +2
dt. =
2
Z
1
µ
2
t +1
−
1
t +2
¶
dt =
(
2ln|t +1|−ln|t +2|
)
¯
¯
¯
2
1
=ln
27
16
. ä
5 I =
ln5
Z
ln2
e
2x
p
e
x
−1
dx .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
20
3
- Lời giải.
Đặt t =
p
e
x
−1 ⇒e
x
= t
2
+1 ⇒e
x
dx =2t dt.
Suy ra I =
2
Z
1
2(t
2
+1)dt =
µ
2
3
t
3
+2t
¶
¯
¯
¯
¯
2
1
=
20
3
. ä
Dạng:
b
Z
a
f
(
sin x
)
cos x dx
Đặt
·
t =sin x ⇒ dt =cos xdx
t = m +n sinx ⇒ dt = ncos xdx.
Th.s Nguyễn Chín Em 302 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ví dụ 13. Tính I =
π
4
Z
π
6
cot x dx. ĐS: I =
1
2
ln2
Lời giải:
Ta có I =
π
4
Z
π
6
cot x dx =
π
4
Z
π
6
cos x
sin x
dx .
Đặt t =sin x ⇒ dt =cos x dx.
Có
x =
π
6
⇒ t =
1
2
x =
π
4
⇒ t =
p
2
2
.
Khi đó I =
p
2
2
Z
1
2
dt
t
=ln|t|
¯
¯
¯
¯
p
2
2
1
2
=
1
2
ln2.
Ví dụ 14. Tính I =
π
2
Z
0
sin
2
xcos xdx. ĐS: I =
1
3
Lời giải:
Đặt t =sin x ⇒ dt =cos x dx.
Có
x =0 ⇒ t =0
x =
π
2
⇒ t =1.
Khi đó I =
1
Z
0
t
2
dt =
t
3
3
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
3
.
Ví dụ 15. Tính I =
π
2
Z
0
(
1−3sinx
)
cos x dx. ĐS: I =−
1
2
Lời giải:
Đặt t =sin x ⇒ dt =cos x dx.
Có
x =0 ⇒ t =0
x =
π
2
⇒ t =1.
Khi đó I =
1
Z
0
(1−3t)dt =
µ
t −
3
2
t
2
¶
¯
¯
¯
¯
1
0
=−
1
2
.
Bài 21. Tính các tích phân
Th.s Nguyễn Chín Em 303 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
1 I =
π
4
Z
0
cos
3
xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
5
p
2
12
- Lời giải.
Ta có I =
π
4
Z
0
cos
2
xcos xdx =
π
4
Z
0
¡
1−sin
2
x
¢
cos x dx.
Đặt t =sin x ⇒ dt =cos x dx.
Có
x =0 ⇒ t =0
x =
π
4
⇒ t =
p
2
2
.
Khi đó I =
p
2
2
Z
0
(1−t
2
)dt =
µ
t −
t
3
3
¶
¯
¯
¯
¯
p
2
2
0
=
5
p
2
12
.
ä
2 I =
π
3
Z
0
cos
5
xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
49
p
3
160
- Lời giải.
Ta có I =
π
3
Z
0
cos
4
xcos xdx =
π
3
Z
0
¡
1−sin
2
x
¢
2
cos x dx.
Đặt t =sin x ⇒ dt =cos x dx.
Có
x =0 ⇒ t =0
x =
π
3
⇒ t =
p
3
2
.
Khi đó I =
p
3
2
Z
0
(1−t
2
)
2
dt =
p
3
2
Z
0
¡
1−2t
2
+t
4
¢
dt =
µ
t −2
t
3
3
+
t
5
5
¶
¯
¯
¯
¯
p
3
2
0
=
49
p
3
160
.
ä
3 I =
π
6
Z
0
1
cos x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
1
2
ln3
- Lời giải.
Ta có I =
π
6
Z
0
1
cos x
dx =
π
6
Z
0
cos x
cos
2
x
dx =
π
6
Z
0
cos x
1−sin
2
x
dx .
Th.s Nguyễn Chín Em 304 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt t =sin x ⇒ dt =cos x dx.
Có
x =0 ⇒ t =0
x =
π
6
⇒ t =
1
2
.
Khi đó I =
1
2
Z
0
1
1−t
2
dt =
1
2
Z
0
1
2
µ
1
1+t
+
1
1−t
¶
dt =
1
2
(
ln|1+t|−ln|1−t|
)
¯
¯
¯
¯
1
2
0
=
1
2
ln3.
ä
4 I =
π
6
Z
0
1
cos
3
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
1
3
+
1
4
ln3
- Lời giải.
Ta có I =
π
6
Z
0
1
cos
3
x
dx =
π
6
Z
0
cos x
cos
4
x
dx =
π
6
Z
0
cos x
¡
1−sin
2
x
¢
2
dx .
Đặt t =sin x ⇒ dt =cos x dx.
Có
x =0 ⇒ t =0
x =
π
6
⇒ t =
1
2
.
Khi đó
I =
1
2
Z
0
1
¡
1−t
2
¢
2
dt =
1
2
Z
0
1
¡
t
2
−1
¢
2
dt =
1
2
Z
0
·
1
2
µ
1
t −1
−
1
t +1
¶¸
2
dt
=
1
2
Z
0
1
4
·
1
(t +1)
2
+
1
(t −1)
2
−
2
(t −1)(t +1)
¸
dt
=
1
2
Z
0
1
4
·
1
(t +1)
2
+
1
(t −1)
2
−
µ
1
t −1
−
1
t +1
¶¸
dt
=
1
4
µ
−
1
t +1
−
1
t −1
−ln|t −1|+ln|t +1|
¶
¯
¯
¯
¯
1
2
0
=
1
3
+
1
4
ln3.
ä
5 I =
π
2
Z
0
(
1+sinx
)
2
cos x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
7
3
- Lời giải.
Đặt t =sin x ⇒ dt =cos x dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 305 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Có
x =0 ⇒ t =0
x =
π
2
⇒ t =1.
Khi đó I =
1
Z
0
(1+t)
2
dt =
1
3
(
1+t
)
3
¯
¯
¯
¯
1
0
=
7
3
.
ä
6 I =
π
2
Z
0
(
1+2sinx
)
3
cos x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =10
- Lời giải.
Đặt t =sin x ⇒ dt =cos x dx.
Có
x =0 ⇒ t =0
x =
π
2
⇒ t =1.
Khi đó I =
1
Z
0
(1+2t)
3
dt =
1
8
(
1+2t
)
4
¯
¯
¯
¯
1
0
=10.
ä
7 I =
π
2
Z
0
sin2x sin
3
xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
2
5
- Lời giải.
Ta có I =
π
2
Z
0
sin2x sin
3
xdx =
π
2
Z
0
2sin x cosx sin
3
xdx =2
π
2
Z
0
sin
4
xcos xdx
Đặt t =sin x ⇒ dt =cos x dx.
Có
x =0 ⇒ t =0
x =
π
2
⇒ t =1.
Khi đó I =2
1
Z
0
t
4
dt =
2
5
t
5
¯
¯
¯
¯
1
0
=
2
5
.
ä
8 I =
π
2
Z
0
sin2x(1+sin
2
x)
3
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
15
4
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 306 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có I =
π
2
Z
0
2sin x cosx(1 +sin
2
x)
3
dx =2
π
2
Z
0
sin x(1 +sin
2
x)
3
cos x dx
Đặt t =sin x ⇒ dt =cos x dx.
Có
x =0 ⇒ t =0
x =
π
2
⇒ t =1.
Khi đó I =2
1
Z
0
t(1+t
2
)
3
dt =
1
4
(1+t
2
)
4
¯
¯
¯
¯
1
0
=
15
4
.
ä
9 I =
π
2
Z
0
cos x
1+sinx
dx .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =ln2
- Lời giải.
Đặt t =sin x ⇒ dt =cos x dx.
Có
x =0 ⇒ t =0
x =
π
2
⇒ t =1.
Khi đó I =
1
Z
0
1
1+t
dt =ln|1+t|
¯
¯
¯
¯
1
0
=ln2.
ä
10 I =
π
2
Z
0
cos x
5−2sinx
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
1
2
ln5−
1
2
ln3
- Lời giải.
Đặt t =sin x ⇒ dt =cos x dx.
Có
x =0 ⇒ t =0
x =
π
2
⇒ t =1.
Khi đó I =
1
Z
0
1
5−2t
dt =−
1
2
ln|5−2t|
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
2
ln5−
1
2
ln3.
ä
Bài 22. Tính các tích phân
1 I =
π
2
Z
0
sin2x
1+sinx
dx .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =2 −2ln2
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 307 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có I =
π
2
Z
0
sin2x
1+sinx
dx =
π
2
Z
0
2sin x cosx
1+sinx
dx .
Đặt t =sin x ⇒ dt =cos x dx.
Đổi cận: x =0 ⇒ t =0; x =
π
2
⇒ t =1.
Khi đó I =
1
Z
0
2t
1+t
dt =
1
Z
0
µ
2−
2
1+t
¶
dt =
(
2t −2ln
|
t +1
|
)
¯
¯
¯
1
0
=2 −2ln2. ä
2 I =
0
Z
−
π
2
sin2x
(2+sinx)
2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =2ln2
- Lời giải.
Ta có I =
0
Z
−
π
2
sin2x
(2+sinx)
2
dx =
0
Z
−
π
2
2sin x cosx
(2+sinx)
2
dx .
Đặt t =sin x ⇒ dt =cos x dx.
Đổi cận: x =−
π
2
⇒ t =−1; x =0 ⇒ t =0.
Khi đó I =
0
Z
−1
2t
(2+t)
2
dt =
0
Z
−1
µ
2
2+t
−
4
(2+t)
2
¶
dt =
µ
2ln|t +2|+
4
2+t
¶
¯
¯
¯
0
−1
=2ln2. ä
3 I =
π
2
Z
0
(2sin x −3)cos x
2sin x +1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =1 −2ln3
- Lời giải.
Đặt t =sin x ⇒ dt =cos x dx.
Đổi cận x =0 ⇒ t =0; x =
π
2
⇒ t =1.
Khi đó I =
1
Z
0
2t −3
2t +1
dt =
1
Z
0
µ
1−
4
2t +1
¶
dt =
(
t −2ln|2t +1|
)
¯
¯
¯
1
0
=1 −2ln3. ä
4 I =
π
4
Z
0
cos2x
1+2sin2x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
1
4
ln3
- Lời giải.
Đặt t =sin2x ⇒ dt =2cos2xdx ⇒cos2xdx =
1
2
dt.
Đổi cận x =0 ⇒ t =0; x =
π
4
⇒ t =1.
Khi đó I =
1
2
1
Z
0
1
2t +1
dt =
1
4
ln|2t +1|
¯
¯
¯
1
0
=
1
4
ln3. ä
5 I =
π
2
Z
π
6
cos
3
x
sin
2
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Th.s Nguyễn Chín Em 308 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
ĐS: I =
1
2
- Lời giải.
Ta có I =
π
2
Z
π
6
cos
3
x
sin
2
x
dx =
π
2
Z
π
6
cos
2
xcos x
sin
2
x
dx =
π
2
Z
π
6
¡
1−sin
2
x
¢
cos x
sin
2
x
dx .
Đặt t =sin x ⇒ dt =cos x dx.
Đổi cận x =
π
6
⇒ t =
1
2
; x =
π
2
⇒ t =1.
Khi đó I =
1
Z
1
2
1−t
2
t
2
dt =
1
Z
1
2
µ
1
t
2
−1
¶
dt =
µ
−
1
t
−t
¶
¯
¯
¯
¯
1
1
2
=
1
2
. ä
6 I =
π
2
Z
π
4
cos
3
x
1+sinx
dx .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
3
4
−
p
2
2
- Lời giải.
Ta có I =
π
2
Z
π
4
cos
2
x ·cos x
1+sinx
dx =
π
2
Z
π
4
¡
1−sin
2
x
¢
·cosx
1+sinx
dx
=
π
2
Z
π
4
(1−sinx)d(sin x) =
µ
sin x −
1
2
sin
2
x
¶
¯
¯
¯
¯
π
2
π
4
=
3
4
−
p
2
2
.
ä
7 I =
π
2
Z
0
cos2x
¡
sin
4
x +cos
4
x
¢
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
5
12
- Lời giải.
Ta có sin
4
x +cos
4
x =
¡
sin
2
x +cos
2
x
¢
2
−2sin
2
xcos
2
x =1 −
1
2
sin
2
2x .
Do đó I =
π
2
Z
0
µ
1−
1
2
sin
2
2x
¶
cos2x dx.
Đặt sin2x = t ⇒2cos2xdx = dt ⇒cos2xdx =
1
2
dt.
Đổi cận x =0 ⇒ t =0; x =
π
2
⇒ t =1.
Khi đó I =
1
2
1
Z
0
µ
1−
1
2
t
2
¶
dt =
1
2
µ
t −
1
6
t
3
¶
¯
¯
¯
¯
1
0
=
5
12
. ä
8 I =
π
6
Z
0
cos x
6−5sinx +sin
2
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =ln
10
9
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 309 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt t =sin x ⇒ dt =cos x dx.
Đổi cận x =0 ⇒ t =0; x =
π
6
⇒ t =
1
2
.
Khi đó I =
1
2
Z
0
1
t
2
−5t +6
dt =
1
2
Z
0
µ
1
t −3
−
1
t −2
¶
dt =ln
¯
¯
¯
¯
t −3
t −2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
2
0
=ln
10
9
. ä
9 I =
π
2
Z
0
³
e
sin x
+cosx
´
cos x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
4e+π−4
4
- Lời giải.
Ta có I =
π
2
Z
0
e
sin x
cos x dx +
π
2
Z
0
cos
2
xdx.
I
1
=
π
2
Z
0
e
sin x
cos x dx =
π
2
Z
0
e
sin x
d(sin x) = e
sin x
¯
¯
¯
π
2
0
=e −1.
I
2
=
π
2
Z
0
cos
2
xdx =
1
2
π
2
Z
0
(1+cos2x)dx =
1
2
µ
x +
1
2
sin2x
¶
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=
π
4
.
Vậy I = I
1
+I
2
=
4e+π−4
4
. ä
10 I =
π
2
Z
0
¡
cos
3
x −1
¢
cos
2
xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
8
15
−
π
4
- Lời giải.
Ta có I =
π
2
Z
0
¡
cos
3
x −1
¢
cos
2
xdx =
π
2
Z
0
cos
5
xdx −
π
2
Z
0
cos
2
xdx.
I
1
=
π
2
Z
0
cos
5
xdx =
π
2
Z
0
¡
1−sin
2
x
¢
2
cos x dx
=
π
2
Z
0
¡
sin
4
x −2sin
2
x +1
¢
d(sin x) =
µ
1
5
sin
5
x −
2
3
sin
3
x +sinx
¶
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=
8
15
.
I
2
=
π
2
Z
0
cos
2
xdx =
1
2
π
2
Z
0
(1+cos2x)dx =
1
2
µ
x +
1
2
sin2x
¶
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=
π
4
.
Vậy I = I
1
−I
2
=
8
15
−
π
4
. ä
11 I =
π
2
Z
0
p
1+sinxcos xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
4
p
2−2
3
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 310 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt
p
1+sinx = t ⇒1+sin x = t
2
⇒cos xdx =2tdt.
Đổi cận x =0 ⇒ t =1; x =
π
2
⇒ t =
p
2.
Khi đó I =
p
2
Z
1
2t
2
dt =
2
3
t
3
¯
¯
¯
p
2
1
=
4
p
2−2
3
. ä
12 I =
π
2
Z
0
cos x
p
3sin x +1dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
14
9
- Lời giải.
Đặt
p
3sin x +1 = t ⇒3sinx +1 = t
2
⇒cos xdx =
2
3
tdt.
Đổi cận x =0 ⇒ t =1; x =
π
2
⇒ t =2.
Khi đó I =
2
3
2
Z
1
t
2
dt =
2
9
t
3
¯
¯
¯
2
1
=
14
9
ä
13 I =
π
2
Z
0
cos x
2+
p
3sin x +1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
2
3
+
4
3
ln
3
4
- Lời giải.
Đặt
p
3sin x +1 = t ⇒3sinx +1 = t
2
⇒cos xdx =
2
3
tdt.
Đổi cận x =0 ⇒ t =1; x =
π
2
⇒ t =2.
Khi đó I =
2
3
2
Z
1
t
2+t
dt =
2
3
2
Z
1
µ
1−
2
t +2
¶
dt =
2
3
(
t −2ln|t +2|
)
¯
¯
¯
2
1
=
2
3
+
4
3
ln
3
4
. ä
Dạng:
I =
b
Z
a
f (cos x)sinxdx.
Phương pháp giải: Đặt
·
t =cos x ⇒ dt =−sin x dx.
t = m +n cosx ⇒ dt =−nsin xdx
.
Ví dụ 16. Tính I =
π
3
Z
0
tan x dx. ĐS: I =−ln
1
2
Lời giải: Ta có I =
π
3
Z
0
sin x
cos x
dx .
Đặt cos x = t ⇒−sinxdx = dt.
Đổi cận x =
π
3
⇒ t =
1
2
; x =0 ⇒ t =1.
Th.s Nguyễn Chín Em 311 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó I =
1
2
Z
1
−
1
t
dt =
(
−ln|t|
)
¯
¯
¯
1
2
1
=−ln
1
2
.
Ví dụ 17. Tính I =
π
4
Z
0
cos
2
xsin xdx. ĐS: I =
1
3
−
p
2
12
Lời giải: Đặt cos x = t ⇒−sin x dx = dt.
Đổi cận x =
π
4
⇒ t =
p
2
2
; x =0 ⇒ t =1.
Khi đó I =
p
2
2
Z
1
−t
2
dt =
µ
−
t
3
3
¶
¯
¯
¯
p
2
2
1
=
1
3
−
p
2
12
.
Ví dụ 18. Tính I =
π
3
Z
0
sin x cos
4
xdx. ĐS: I =
31
160
Lời giải: Đặt cos x = t ⇒−sin x dx = dt.
Đổi cận x =
π
3
⇒ t =
1
2
; x =0 ⇒ t =1.
Khi đó I =
1
2
Z
1
−t
4
dt =
µ
−
t
5
5
¶
¯
¯
¯
1
2
1
=
31
160
.
Bài 23. Tính các tích phân
1 I =
π
3
Z
0
sin
3
xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
5
24
- Lời giải.
Ta có I =
π
3
Z
0
¡
1−cos
2
x
¢
sin x dx.
Đặt cos x = t ⇒−sinxdx = dt.
Đổi cận x =
π
3
⇒ t =
1
2
.
Khi đó I =
1
2
Z
1
−
¡
1−t
2
¢
dt =
1
Z
1
2
¡
1−t
2
¢
dt =
µ
t −
1
3
t
3
¶
¯
¯
¯
1
1
2
=
5
24
ä
2 I =
π
6
Z
0
sin
5
xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =−
49
p
3
160
+
8
15
- Lời giải.
Ta có
π
6
Z
0
¡
1−cos
2
x
¢
2
sin x dx.
Đặt cos x = t ⇒−sinxdx = dt.
Th.s Nguyễn Chín Em 312 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đổi cận x =
π
6
⇒ t =
p
3
2
; x =0 ⇒ t =1.
Khi đó I =
p
3
2
Z
1
−
¡
1−t
2
¢
2
dt =
1
Z
p
3
2
¡
t
4
−2t
2
+1
¢
dt =
µ
1
5
t
5
−
2
3
t
3
+1
¶
¯
¯
¯
¯
1
p
3
2
=−
49
p
3
160
+
8
15
. ä
3 I =
π
2
Z
0
sin x
1+cosx
dx .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =ln2
- Lời giải.
I =
π
2
Z
0
−d(1+cosx)
1+cosx
=−ln
|
1+cosx
|
¯
¯
¯
π
2
0
=ln2. ä
4 I =
π
3
Z
0
sin x
cos
2
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =1
- Lời giải.
I =
π
3
Z
0
−d(cos x)
cos
2
x
=
1
cos x
¯
¯
¯
¯
π
3
0
=1. ä
5 I =
π
Z
0
sin2x cos
2
xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =0
- Lời giải.
Ta có I =
π
Z
0
2sin x cos
3
xdx =−2
π
Z
0
cos
3
xd(cos x) =−
1
2
cos
4
x
¯
¯
¯
π
0
=0. ä
6 I =
π
2
Z
0
sin x cosx(1+cosx)
2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
17
12
- Lời giải.
I =
π
2
Z
0
sin x cosx(1+cosx)
2
dx
=−
π
2
Z
0
¡
cos
3
x +2cos
2
x +cosx
¢
d(cos x)
=−
µ
1
4
cos
4
x +
2
3
cos
3
x +
1
2
cos
2
x
¶
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=
17
12
.
ä
Th.s Nguyễn Chín Em 313 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
7 I =
π
2
Z
0
4sin
3
x
1+cosx
dx .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =2
- Lời giải.
I =
π
2
Z
0
4
¡
1−cos
2
x
¢
sin x
1+cosx
dx =−4
π
2
Z
0
(
1−cosx
)
d(cos x) =
¡
2cos
2
x −4cos x
¢
¯
¯
¯
π
2
0
=2. ä
8 I =
π
3
Z
0
sin
2
xtan xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =−
3
8
+ln2
- Lời giải.
Ta có I =
π
3
Z
0
sin
3
x
cos x
dx =
π
3
Z
0
¡
1−cos
2
x
¢
sin x
cos x
dx
=−
π
3
Z
0
µ
1
cos x
−cosx
¶
d(cos x) =
µ
1
2
cos
2
x −ln|cos x|
¶
¯
¯
¯
¯
π
3
0
=−
3
8
+ln2.
ä
9 I =
π
2
Z
0
sin2x cosx
1+cosx
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
2
p
2−3
2
+2ln
4
2+
p
2
- Lời giải.
Ta có
π
2
Z
0
2cos
2
x
1+cosx
sin x dx,
Đặt cos x = t ⇒−sinxdx = dt.
Đổi cận x =
π
2
⇒ t =
p
2
2
; x =0 ⇒ t =1.
Khi đó I =−
p
2
2
Z
1
2t
2
t +1
dt =
1
Z
p
2
2
µ
2t −2+
2
t +1
¶
dt =
¡
t
2
−2t +2ln|t +1|
¢
¯
¯
¯
1
p
2
2
=
2
p
2−3
2
+2ln
4
2+
p
2
. ä
Bài 24. Tính các tích phân
1 I =
π
2
Z
0
sin2x
3cos
2
x +1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
1
3
ln
8
5
- Lời giải.
Ta có
π
2
Z
0
2cos x
3cos
2
x +1
sin x dx.
Đặt cos x = t ⇒−sinxdx = t.
Th.s Nguyễn Chín Em 314 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đổi cận x =
π
2
⇒ t =
p
2
2
; x =0 ⇒ t =1.
Khi đó I =
p
2
2
Z
1
−2t
3t
2
+1
dt =
1
3
1
Z
p
2
2
d
¡
3t
2
+1
¢
3t
2
+1
=
1
3
ln|3t
2
+1|
¯
¯
¯
1
p
2
2
=
1
3
ln
8
5
. ä
2 I =
π
2
Z
0
sin2x
4−cos
2
x
dx .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =ln
4
3
- Lời giải.
Ta có I =
π
2
Z
0
2cos x
4−cos
2
x
sin x dx.
Đặt cos x = t ⇒−sinxdx = dt.
Đổi cận x =
π
2
⇒ t =0; x =0 ⇒ t =1.
Khi đó I =−
0
Z
1
2t
4−t
2
dt =
1
Z
0
2t
4−t
2
dt =
1
Z
0
µ
1
2−t
−
1
2+t
¶
dt =
(
−ln|2 −t|−ln|2+t|
)
¯
¯
¯
1
0
=ln
4
3
. ä
3 Tính I =
π
2
Z
0
sin4x
1+cos
2
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =2 −
3
2
ln5
- Lời giải.
Ta có I =
π
2
Z
0
4sin2xcos2x
3+cos2x
dx .
Đặt cos2x = t ⇒−2sin2x = dt.
Đổi cận x =0 ⇒ t =1; x =
π
2
⇒ t =−1.
Khi đó I =−
−1
Z
1
2t
2t +3
dt =
1
Z
−1
µ
1−
3
2t +3
¶
dt =
µ
t −
3
2
ln|2t +3|
¶
¯
¯
¯
1
−1
=2 −
3
2
ln5. ä
4 I =
π
2
Z
0
sin
3
x
1+cos
2
x
dx .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
π −2
2
- Lời giải.
Ta có I =
π
2
Z
0
¡
1−cos
2
x
¢
sin x
1+cos
2
x
dx .
Đặt cos x = t ⇒−sinxdx = dt.
Đổi cận x =
π
2
⇒ t =0; x =0 ⇒ t =1.
Khi đó I =−
0
Z
1
1−t
2
1+t
2
dtI =
1
Z
0
1−t
2
1+t
2
dt =
1
Z
0
µ
2
1+t
2
−1
¶
dt =
1
Z
0
2
1+t
2
dt −
1
Z
0
dt.
Th.s Nguyễn Chín Em 315 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
5 I
1
=
1
Z
0
2
1+t
2
dt.
Đặt t =tanu ⇒ dt =
1
cos
2
u
du =
¡
1+tan
2
u
¢
du.
Đổi cận t =0 ⇒ u =0; t =1 ⇒ u =
π
4
.
Khi đó I
1
=2
π
4
Z
0
du =2u
¯
¯
¯
π
4
0
=
π
2
.
I
2
=
1
Z
0
dt = t
¯
¯
¯
1
0
=1.
Vậy I = I
1
−I
2
=
π
2
−1 =
π −2
2
. ä
6 Tính I =
π
4
Z
0
³
1+tanxtan
x
2
´
sin x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =ln
p
2
- Lời giải.
Ta có 1+tanxtan
x
2
=1 +
sin x
cos x
·
sin
x
2
cos
x
2
=1 +
2sin
2
x
2
cos x
=1 +
1−cosx
cos x
=
1
cos x
.
Suy ra I =
π
4
Z
0
sin x
cos x
dx =−ln|cosx|
¯
¯
¯
π
4
0
=−ln
p
2
2
=ln
p
2. ä
7 Tính I =
π
2
Z
0
sin x
cos2x +3cosx +2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =ln
3
2
- Lời giải.
Ta có I =
π
2
Z
0
sin x dx
2cos
2
x +5cos x +1
dx .
Đặt cos x = t → dt =−sin x dx.
Đổi cận x =0 ⇒ t =1; x =
π
2
⇒ t =0.
Khi đó I = −
1
Z
0
dt
2t
2
+3t +1
=
0
Z
1
dt
(2t +1)(t +1)
=
1
Z
0
2
2t +1
dt −
1
Z
0
1
t +1
dt =ln|2t +1|
¯
¯
¯
1
0
−ln|t +1|
¯
¯
¯
1
0
=
ln
3
2
. ä
8 Tính I =
π
2
Z
π
3
sin x
cos2x −cosx
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =−
2
3
ln2
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 316 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
π
2
Z
π
3
sin x
2cos
2
x −cosx −1
dx .
Đặt cos x = t ⇒ dt =−sin x dt.
Đổi cận x =
π
3
⇒ t =
1
2
; x =
π
2
⇒ t =0.
Khi đó I =−
0
Z
1
2
dt
2t
2
−t −1
=
1
2
Z
0
dt
(t −1)(2t +1)
=
1
3
1
2
Z
0
dt
t −1
−
2
3
1
2
Z
0
dt
2t +1
=
1
3
ln|t−1|
¯
¯
¯
1
2
0
−
1
3
ln|2t+1|
¯
¯
¯
1
2
0
=
−
2
3
ln2 ä
9 I =
π
3
Z
0
sin x
cos
3
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
3
2
- Lời giải.
Đặt cos x = t ⇒ dt =−sin x dx.
Đổi cận x =0 ⇒ t =1; x =
π
3
⇒ t =
1
2
.
Khi đó I =−
1
2
Z
1
dt
t
3
=−
1
2t
2
¯
¯
¯
1
1
2
=
3
2
. ä
Dạng:
I =
b
Z
a
f (tan x)
1
cos
2
x
dx .
Phương pháp giải: Đặt t =tan x ⇒ dt =
1
cos
2
x
dx =
¡
1+tan
2
x
¢
dx .
Tính I =
b
Z
a
f (cot x)
1
sin
2
x
dx .
Phương pháp giải: Đặt t =cot x ⇒ dt =−
1
sin
2
x
dx =−
¡
1+cot
2
x
¢
dx .
Ví dụ 19. Tính I =
π
4
Z
0
(1+tanx)
2
cos
2
x
dx . ĐS: I =
7
3
Lời giải: I =
π
4
Z
0
(1+tanx)
2
cos
2
x
dx =
π
4
Z
0
(1+tanx)
2
d(1+tanx) =
1
3
(1+tanx)
3
¯
¯
¯
π
4
0
=
7
3
.
Ví dụ 20. Tính I =
π
4
Z
0
p
2+3tanx
1+cos2x
dx . ĐS: I =
5
p
5−2
p
2
9
Lời giải: Ta có I =
π
4
Z
0
p
2+3tanx
1+cos2x
dx =
π
4
Z
0
p
2+3tanx
2cos
2
x
dx .
Đặt
p
2+3tanx = t ⇒2 +3tan x = t
2
⇒
1
cos
2
x
dx =
2
3
tdt.
Th.s Nguyễn Chín Em 317 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đổi cận x =0 ⇒ t =
p
2; x =
π
4
⇒ t =
p
5.
Khi đó I =
p
5
Z
p
2
t
2
·
2
3
tdt =
1
3
p
5
Z
p
2
t
2
dt =
1
9
t
3
¯
¯
¯
p
5
p
2
=
5
p
5−2
p
2
9
.
Ví dụ 21. Tính I =
π
4
Z
0
¡
cos x +e
tan x
¢
sin x
cos
3
x
dx . ĐS: I =
p
2
Lời giải: Ta có I =
π
4
Z
0
cos x sinx
cos
3
x
dx +
π
4
Z
0
e
tan x
sin x
cos
3
x
dx =
π
4
Z
0
sin x
cos
2
x
dx +
π
4
Z
0
tan xe
tan x
cos
2
x
dx .
I
1
=
π
4
Z
0
sin x
cos
2
x
dx =
π
4
Z
0
−d(cos x)
cos
2
x
=
1
cos x
¯
¯
¯
π
4
0
=
p
2−1.
Tính I
2
=
π
4
Z
0
tan xe
tan x
cos
2
x
dx .
Đặt tan x = t ⇒
1
cos
2
x
dx = dt .
Đổi cận x =0 ⇒ t =0; x =
π
4
⇒ t =1.
Khi đó I
2
=
1
Z
0
te
t
dt =(te
t
−e
t
)
¯
¯
¯
1
0
=1.
Vậy I = I
1
+I
2
=
p
2.
Bài 25. Tính các tích phân
1 I =
π
6
Z
0
tan
4
x
cos2x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =−
10
9
p
3
+
1
2
ln
Ã
p
3+1
p
3−1
!
- Lời giải.
Ta có cos2x =
1−tan
2
x
1+tan
2
x
.
Nên I =
π
6
Z
0
tan
4
x
¡
1+tan
2
x
¢
1−tan
2
x
dx .
Đặt tan x = t ⇒
1
cos
2
x
dx = dt hay
¡
1+tan
2
x
¢
dx = dt .
Đổi cận x =0 ⇒ t =0; x =
π
6
⇒ t =
1
p
3
.
Th.s Nguyễn Chín Em 318 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó I =
1
p
3
Z
0
t
4
1−t
2
dt =
1
p
3
Z
0
µ
−t
2
−1+
1
1−t
2
¶
dx
=
1
p
3
Z
0
µ
−t
2
−1+
1
2(1−t)
+
1
2(1+t)
¶
dx
=
µ
−
1
3
t
3
−t −
1
2
ln|1−t|+
1
2
ln|1+t|
¶
¯
¯
¯
1
p
3
0
=−
10
9
p
3
+
1
2
ln
Ã
p
3+1
p
3−1
!
.
ä
2 Tính I =
π
3
Z
π
4
dx
sin x cos
3
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =1 +ln
p
3
- Lời giải.
Chia cả tử và mẫu của hàm dưới dấu tích phân cho cos
4
x ta được
I =
π
3
Z
π
4
1
cos
4
x
tan x
dx =
π
3
Z
π
4
¡
1+tan
2
x
¢¡
1+tan
2
x
¢
tan x
dx .
Đặt tan x = t ⇒
¡
1+tan
2
x
¢
dx = dt .
Đổi cận x =
π
4
⇒ t =1; x =
π
3
⇒ t =
p
3.
Khi đó I =
p
3
Z
1
1+t
2
t
dt =
p
3
Z
1
µ
1
t
+t
¶
dt =
µ
ln|t|+
1
2
t
2
¶
¯
¯
¯
p
3
1
=1 +ln
p
3. ä
Bài 26. Tính các tích phân
1 I =
π
6
Z
0
1
5cos
2
x −8sin x cosx +3sin
2
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
1
2
ln
5
p
3−3
5
p
3−5
- Lời giải.
Chia cả tử và mẫu của hàm dưới dấu tích phân cho cos
2
x ta được
I =
π
6
Z
0
1
cos
2
x
5−8tanx +3tan
2
x
dx =
π
6
Z
0
1+tan
2
x
(
tan x −1
)(
3tan x −5
)
dx .
Đặt tan x = t ⇒
¡
1+tan
2
x
¢
dx = dt .
Đổi cận x =0 ⇒ t =0; x =
π
6
⇒ t =
1
p
3
.
Khi đó I =
1
p
3
Z
0
1
(
t −1
)(
3t −5
)
dt =
1
p
3
Z
0
·
3
2(3t −5)
−
1
2(t −1)
¸
dt
=
µ
1
2
ln|3t −5|−
1
2
ln|t −1|
¶
¯
¯
¯
1
p
3
0
=
1
2
ln
5
p
3−3
5
p
3−5
.
ä
Th.s Nguyễn Chín Em 319 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
2 I =
π
2
Z
π
4
1
sin
2
x +3sin x cosx +1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =ln
4
3
- Lời giải.
Chia cả tử và mẫu của hàm số dưới dấu tích phân cho sin
2
x ta được
I =
π
2
Z
π
4
1
sin
2
x
1+3cotx +
1
sin
2
x
dx =
π
2
Z
π
4
1+cot
2
x
cot
2
x +3cot x +2
dx .
Đặt cot x = t ⇒−
1
sin
2
x
dx = dt hay −
¡
1+cot
2
x
¢
dx = dt .
Đổi cận x =
π
4
⇒ t =1; x =
π
2
⇒ t =0.
Khi đó I =−
0
Z
1
1
t
2
+3t +2
dt =
1
Z
0
1
t
2
+3t +2
dt =
1
Z
0
µ
1
t +1
−
1
t +2
¶
dt =ln
¯
¯
¯
¯
t +1
t +2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
0
=ln
4
3
. ä
3 I =
π
4
Z
π
6
sin x
2cos x +5cos
2
xsin x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =ln
p
3+
1
6
ln
2+
p
3
p
3
−
2
3
ln
2
p
3+1
p
3
- Lời giải.
Chia cả tử và mẫu của hàm số dưới dấu tích phân cho cos
3
x ta được
I =
π
4
Z
π
6
tan x
1
cos
2
x
2
cos
2
x
+5tan x
dx =
π
4
Z
π
6
tan x
¡
1+tan
2
x
¢
2tan
2
x +5tan x +2
dx .
Đặt tan x = t ⇒
¡
1+tan
2
x
¢
dx = dt .
Đổi cận x =
π
6
⇒ t =
1
p
3
; x =
π
4
⇒ t =1.
Khi đó I =
1
Z
1
p
3
t
2t
2
+5t +2
dt =
1
Z
1
p
3
t
(2t +1)(t +2)
dt
=
1
Z
1
p
3
·
2
3(t +2)
−
1
3(2t +1)
¸
dt =
µ
2
3
ln|t +2|−
1
6
ln|2t +1|
¶
¯
¯
¯
¯
1
1
p
3
=ln
p
3+
1
6
ln
2+
p
3
p
3
−
2
3
ln
2
p
3+1
p
3
.
ä
4 I =
π
4
Z
−
π
4
sin x(2 −sin2x)
cos
3
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =π −4
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 320 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
sin x(2 −sin2x)
cos
3
x
=
2sin x −2sin
2
xcos x
cos x
·
1
cos
2
x
=
¡
2tan x −2sin
2
x
¢
·
1
cos
2
x
=
¡
2tan x −2+2cos
2
x
¢
·
1
cos
2
x
=
2tan x −2
cos
2
x
+2.
Suy ra I =
π
4
Z
−
π
4
µ
2tan x −2
cos
2
x
+2
¶
dx =
π
4
Z
−
π
4
(
2tan x −2
)
d(tan x) +
π
4
Z
−
π
4
2dx
=
¡
tan
2
x −2tan x
¢
¯
¯
¯
π
4
−
π
4
+2x
¯
¯
¯
π
4
−
π
4
=π −4.
ä
Bài 27. Tính các tích phân
1 I =
π
4
Z
0
tan
3
x −3
sin
2
x −sin2x −3cos
2
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
5
2
+7ln2−6ln3
- Lời giải.
Ta có
tan
3
x −3
sin
2
x −sin2x −3cos
2
x
=
tan
3
x −3
tan
2
x −2tan x −3
·
1
cos
2
x
=
µ
tan x +2+
6
tan x −3
+
1
tan x +1
¶
·
1
cos
2
x
Đặt t =tan x ⇒ dt =
1
cos
2
x
dx
x =0 ⇒ t =0, x =
π
4
⇒ t =1.
Khi đó
I =
1
Z
0
µ
t +2+
6
t −3
+
1
t +1
¶
dt
=
µ
t
2
2
+2t +6ln|t −3|+ln|t +1|
¶
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
2
+2+6ln2+ln2−6ln3
=
5
2
+7ln2−6ln3.
Vậy I =
5
2
+7ln2−6ln3. ä
2 I =
π
4
Z
0
1+sin2x
2sin x cos
3
x +cos
4
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 1 +
1
8
ln3
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 321 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
1+sin2x
2sin x cos
3
x +cos
4
x
=
1+2sinx cos x
cos
2
x
¡
2sin x cosx +cos
2
x
¢
=
tan
2
x +2tan x +1
2tan x +1
·
1
cos
2
x
=
µ
1
2
tan x +
3
4
+
1
4
·
1
2tan x +1
¶
1
cos
2
x
.
Đặt t =tan x ⇒ dt =
1
cos
2
x
dx
x =0 ⇒ t =0, x =
π
4
⇒ t =1. Khi đó
I =
1
Z
0
µ
1
2
t +
3
4
+
1
4
·
1
2t +1
¶
dt
=
µ
1
4
t
2
+
3
4
t +
1
8
ln|2t +1|
¶
¯
¯
¯
¯
1
0
=1 +
1
8
ln3.
Vậy I =1+
1
8
ln3. ä
3 I =
π
4
Z
0
sin
4
x +1
cos
4
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
π
4
+
2
3
- Lời giải.
Ta có
sin
4
x +1
cos
4
x
=
(1−cos
2
x)
2
+1
cos
4
x
=1 −
2
cos
2
x
+
2
cos
4
x
=1 −
2
cos
2
x
+2
¡
1+tan
2
x
¢
·
1
cos
2
x
.
Th.s Nguyễn Chín Em 322 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó
I =
π
4
Z
0
µ
1−
2
cos
2
x
+2
¡
1+tan
2
x
¢
·
1
cos
2
x
¶
dx
=
π
4
Z
0
µ
1−
2
cos
2
x
¶
dx +2
π
4
Z
0
¡
1+tan
2
x
¢
·
1
cos
2
x
dx
=
(
x −2tan x
)
|
π
4
0
+2
π
4
Z
0
¡
1+tan
2
x
¢
d
(
tan x
)
=
π
4
−2+2
µ
tan x +
tan
3
x
3
¶
¯
¯
¯
¯
π
4
0
=
π
4
−2+2
µ
1+
1
3
¶
=
π
4
+
2
3
.
Vậy I =
π
4
+
2
3
. ä
4 I =
π
4
Z
π
6
1
cos
4
xsin
2
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
36+8
p
3
27
- Lời giải.
Ta có
1
cos
4
xsin
2
x
=
sin
2
x +cos
2
x
cos
4
xsin
2
x
=
1
cos
4
x
+
4
sin
2
2x
=
¡
1+tan
2
x
¢
1
cos
2
x
+
4
sin
2
2x
.
Khi đó
I =
π
4
Z
π
6
µ
¡
1+tan
2
x
¢
1
cos
2
x
+
4
sin
2
2x
¶
dx
=
π
4
Z
π
6
¡
1+tan
2
x
¢
d
(
tan x
)
+
π
4
Z
π
6
4
sin
2
2x
dx
=
µ
tan x +
tan
3
x
3
−2cot2x
¶
¯
¯
¯
¯
π
4
π
6
=
36+8
p
3
27
.
ä
5 I =
π
6
Z
0
1
cos x cos
¡
x +
π
4
¢
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: −
p
2ln
Ã
3−
p
3
3
!
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 323 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
1
cos x cos
¡
x +
π
4
¢
=
p
2
cos
2
x −sinx cosx
=
p
2
cos
2
x
·
1
1−tanx
.
Khi đó I =
p
2
π
6
Z
0
µ
1
1−tanx
¶
d
(
tan x
)
= −
p
2ln
|
1−tanx
|
¯
¯
¯
π
6
0
=−
p
2ln
Ã
3−
p
3
3
!
. ä
6 I =
π
3
Z
π
6
1
sin x sin
¡
x +
π
6
¢
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: −2ln
2
3
- Lời giải.
Ta có
1
sin x sin
¡
x +
π
6
¢
=
2
sin
2
x
·
1
p
3+cotx
.
Đặt t =
p
3+cotx ⇒ dt =−
1
sin
2
x
dx .
Đổi cận: x =
π
6
⇒ t =2
p
3, x =
π
3
⇒ t =
p
3+
p
3
3
=
4
p
3
3
.
Khi đó I =−2
4
p
3
3
Z
2
p
3
1
t
dt = −2ln
|
t
||
4
p
3
3
2
p
3
=−2ln
4
p
3
3
2
p
3
=−2ln
2
3
Cách khác: I =−2
π
3
Z
π
6
µ
1
p
3+cotx
¶
d
(
cot x
)
= −2ln
¯
¯
¯
p
3+cotx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
π
3
π
6
=−2ln
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
p
3+
1
p
3
p
3+
p
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=−2ln
2
3
.
Vậy I =−2ln
2
3
. ä
7 I =
π
2
Z
π
4
sin x
(
sin x +cos x
)
3
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
3
8
- Lời giải.
Ta có
sin x
(
sin x +cos x
)
3
=
1
sin
2
x
·
1
(
1+cotx
)
3
.
Đặt t =1+cotx ⇒ dt =−
1
sin
2
x
dx
Đổi cận: x =
π
4
⇒ t =1, x =
π
2
⇒ t =2.
Khi đó I =
π
2
Z
π
4
1
sin
2
x
·
1
(
1+cotx
)
3
dx =−
1
Z
2
1
t
3
dt = −
1
2
t
−2
¯
¯
¯
¯
2
1
=
3
8
. ä
Dạng:
I =
b
Z
a
f (sin x ±cos x)dx
Phương pháp: Đặt t =sin x ±cos x ⇒ dt =
(
cos x ±sin x
)
dx
Th.s Nguyễn Chín Em 324 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ví dụ 22. Tính các tích phân
1 I =
π
2
Z
π
4
sin x −cos x
sin x +cos x
dx . ĐS:
1
2
ln2
2 I =
π
4
Z
0
sin x −cos x
sin x +cos x +3
dx . ĐS: ln
4
3+
p
2
Lời giải:
1 Đặt t =sin x +cos x ⇒ dt =−
(
sin x −cos x
)
dx
Đổi cận x =
π
4
⇒ t =
p
2, x =
π
2
⇒ t =1
Khi đó I =
p
2
Z
1
1
t
dt = ln
|
t
||
p
2
1
=
1
2
ln2.
2 Đặt t =sin x +cos x +3 ⇒ dt =−
(
sin x −cos x
)
dx
Đổi cận x =0 ⇒ t =4, x =
π
4
⇒ t =3 +
p
2
Khi đó I =
4
Z
3+
p
2
1
t
dt = ln
|
t
||
4
3+
p
2
=ln
4
3+
p
2
.
Ví dụ 23. Tính các tích phân
1 I =
π
4
Z
0
cos2x
sin x +cos x +2
dx . ĐS:
p
2−1+2ln
3
2+
p
2
2 I =
π
2
Z
0
cos2x
(
sin x −cos x +3
)
3
dx . ĐS:
1
32
Lời giải:
1 Ta có
cos2x
sin x +cos x +2
=
(
cos x +sin x
)(
cos x −sin x
)
sin x +cos x +2
.
Đặt t =sin x +cos x +2 ⇒ dt =
(
cos x −sin x
)
dx .
Đổi cận x =0 ⇒ t =3, x =
π
4
⇒ t =2 +
p
2.
Khi đó I =
2+
p
2
Z
3
t −2
t
dt =
(
t −2ln|t|
)
|
2+
p
2
3
=
p
2−1+2ln
3
2+
p
2
.
Vậy I =
p
2−1+2ln
3
2+
p
2
.
2 Ta có
cos2x
(
sin x −cos x +3
)
3
=
(
cos x +sin x
)(
cos x −sin x
)
(
sin x −cos x +3
)
3
.
Đặt t =sin x −cos x +3 ⇒ dt =
(
cos x +sin x
)
dx .
Đổi cận x =0 ⇒ t =2, x =
π
2
⇒ t =4.
Khi đó I =−
4
Z
2
t −3
t
3
dt =−
4
Z
2
µ
1
t
2
−
3
t
3
¶
dt = −
µ
−
1
t
+
3
2
·
1
t
2
|
¶
¯
¯
¯
¯
4
2
=
1
32
.
Vậy I =
1
32
.
Th.s Nguyễn Chín Em 325 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ví dụ 24. Tính I =
π
4
Z
0
cos2x
(1+sin2x)cos
³
x −
π
4
´
dx . ĐS:
p
2−1
Lời giải: Ta có
cos2x
(1+sin2x)cos
³
x −
π
4
´
=
p
2(cos x −sin x)
(sin x +cos x)
2
Khi đó I =
π
4
Z
0
d
(
sin x +cos x
)
(
sin x +cos x
)
2
= −
p
2
sin x +cos x
¯
¯
¯
¯
¯
π
4
0
=
p
2−1.
Vậy I =
p
2−1.
Bài 28. Tính các tích phân
1 I =
π
2
Z
π
4
1+sin2x +cos2x
sin x +cos x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 2 −
p
2
- Lời giải.
Ta có
1+sin2x +cos2x
sin x +cos x
=
1+2sinx cos x +(sin x +cos x)(cosx −sin x)
sin x +cos x
=
(
cos x +sin x
)
2
+(sinx +cos x)(cos x −sinx)
sin x +cos x
=2cosx.
Khi đó I =
π
2
Z
π
4
2cos x dx = 2sin x
|
π
2
π
4
=2 −
p
2.
Vậy I =2−
p
2. ä
2 I =
π
4
Z
0
p
2(sin x −cos x)
sin2x +2(1+sin x +cosx)
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
4−2
p
2
2
- Lời giải.
Ta có
p
2(sin x −cos x)
(sin x +cos x)
2
+2(sinx +cos x) +1
=
p
2(sin x −cos x)
(
sin x +cos x +1
)
2
.
Đặt t =sin x +cos x +1 ⇒ dt =−
(
sin x −cos x
)
dx . Đổi cận x =0 ⇒ t =2, x =
π
4
⇒ t =1 +
p
2.
Khi đó I =
2
Z
1+
p
2
p
2
t
2
dt = −
p
2
t
¯
¯
¯
¯
¯
3
1+
p
2
=
4−3
p
2
2
.
Vậy I =
4−3
p
2
2
. ä
Bài 29. Tính các tích phân
1 I =
π
4
Z
0
cos2x
(
sin x +cos x +2
)
3
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS:
13−9
p
2
18
Th.s Nguyễn Chín Em 326 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có
cos2x
(
sin x +cos x +2
)
3
=
(
cos x +sin x
)(
cos x −sin x
)
(
sin x +cos x +2
)
3
.
Đặt t =sin x +cos x +2 ⇒ dt =
(
cos x −sin x
)
dx .
Đổi cận x =0 ⇒ t =3, x =
π
4
⇒ t =2 +
p
2.
Khi đó I =
2+
p
2
Z
3
t −2
t
3
dt =
2+
p
2
Z
3
µ
1
t
2
−
2
t
3
¶
dt =
µ
−
1
t
+
1
t
2
|
¶
¯
¯
¯
¯
2+
p
2
3
=
13−9
p
2
18
Vậy I =
13−9
p
2
18
. ä
2
π
4
Z
0
sin x +cos x
3+sin2x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: ln3
- Lời giải.
Ta có
sin x +cos x
3+sin2x
=
sin x +cos x
2+
(
sin x +cos x
)
2
=
p
2sin
³
x +
π
4
´
2+2sin
2
³
x +
π
4
´
=
1
p
2
·
sin
³
x +
π
4
´
2−cos
2
³
x +
π
4
´
Đặt t =cos
³
x +
π
4
´
⇒ dt =−sin
³
x +
π
4
´
dx
Đổi cận: x =0 ⇒ t =
p
2
2
, x =
π
4
⇒ t =0.
Khi đó I =
p
2
2
Z
0
1
2−t
2
dt =
p
2
2
Z
0
1
¡
p
2−t
¢¡
p
2+t
¢
= ln
¯
¯
¯
¯
¯
p
2+t
p
2−t
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
p
2
2
0
=ln3.
Vậy I =ln3. ä
Bài 30. Tính I =
π
4
Z
0
sin4x
p
5−4sinx −cos
2
x +cosx
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: −
14
3
+12ln
3
2
- Lời giải.
Ta có
sin4x
p
5−4sinx −cos
2
x +cosx
=
2(cos x −sin x)(cosx +sin x )sin2x
2+cosx −sinx
.
Đặt t =2+cosx −sinx ⇒ dt =−(cos x +sinx)dx và sin2x =−t
2
+4t −3
Đổi cận x =0 ⇒ t =3; x =
π
4
⇒ t =2
Khi đó
I =2
3
Z
2
(t −2)(−t
2
+4t −3)
t
dt
=−2
3
Z
2
µ
t
2
−6t +11−
6
t
¶
dt
= −2
µ
t
3
3
−3t
2
−6ln|t|
¶
¯
¯
¯
¯
3
2
=−
14
3
+12ln
3
2
.
Vậy I =−
14
3
+12ln
3
2
. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 327 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Bài 31. Tính các tích phân
1 I =
π
4
Z
0
cos
2
x(1+cosx) −sin
2
x(1+sinx)
sin x +cos x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
p
2−
1
4
−
1
4
ln2
- Lời giải.
Ta có
cos
2
x(1+cosx) −sin
2
x(1+sinx)
sin x +cos x
=
µ
1+cosx +sinx +
sin x cosx
sin x +cos x
¶
(cos x −sin x)
Đặt t =sin x +cos x ⇒ dt =(cos x −sinx)dx và sin xcos x =
1
2
(t
2
−1).
Đổi cận x =0 ⇒ t =1; x =
π
4
⇒ t =
p
2.
Khi đó
I =
p
2
Z
1
1+t +
1
2
(t
2
−1)
t
dt
=
p
2
Z
1
µ
1+
3
2
t −
1
2t
¶
dt
=
µ
t +
3
4
t
2
−
1
2
ln|t|
¶
¯
¯
¯
¯
p
2
1
=
p
2−
1
4
−
1
4
ln2.
Vậy I =
p
2−
1
4
−
1
4
ln2. ä
2
π
4
Z
0
cos2x
2−
p
1+sinx −cosx
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
26
3
−12ln2
- Lời giải.
Ta có
cos2x
2−
p
1+sinx −cosx
=
(cos x −sin x)(cosx +sin x )
2−
p
1+sinx −cosx
.
Đặt t =
p
1+sinx −cosx ⇒ t
2
=1 +sin x −cos x
Suy ra 2tdt =(cos x +sinx)dx và cos x −sin x =1−t
2
.
Đổi cận x =0 ⇒ t =0; x =
π
4
⇒ t =1.
Th.s Nguyễn Chín Em 328 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó
I =2
1
Z
0
(1−t
2
)t
2−t
dt
=2
1
Z
0
−t
3
+t
2−t
dt
=2
1
Z
0
µ
t
2
+2t +3−
6
2−t
¶
dt
=
µ
t
3
3
+t
2
+3t +6ln|2 −t|
¶
¯
¯
¯
¯
1
0
=
26
3
−12ln2.
ä
Bài 32. Tính các tích phân
1
π
4
Z
0
3cos2x −sin4x
2−sinx −cosx
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
−5+13
p
2
3
+6ln(2−
p
2).
- Lời giải.
Ta có
3cos2x −sin4x
2−sinx −cosx
=
cos2x
(
3−2sin2x
)
2−cosx −sinx
=
(
cos x −sin x
)
(cos x +sin x)(3−2
¡
(cos x +sin x)
2
−1
¢
2−sinx −cosx
=
µ
−2(sin x +cos x)
3
+5(sinx +cos x)
2−sinx −cosx
¶
(
cos x −sin x
)
.
Đặt t =2−sinx −cosx ⇒sin x +cos x =2−t
dt =−
(
cos x −sin x
)
dx
Đổi cận: x =0 ⇒ t =1; x =
π
4
⇒ t =2 −
p
2.
Ta có
I =
1
Z
2−
p
2
−2(2−t)
3
+5(2−t)
t
dt
=
1
Z
2−
p
2
2t
3
−12t
2
+19t −6
t
dt
=
1
Z
2−
p
2
µ
2t
2
−12t +19−
6
t
¶
dt
=
µ
2
3
t
3
−6t
2
+19t −6ln|t|
¶
¯
¯
¯
¯
1
2−
p
2
=
−5+13
p
2
3
+6ln(2−
p
2).
Th.s Nguyễn Chín Em 329 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Vậy I =
−5+13
p
2
3
+6ln(2−
p
2). ä
2 I =
π
4
Z
0
4(sin x +cos x)−cos2x
2(sin x −cos x −1)−sin2x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: −
1
4
ln3−ln2
- Lời giải.
Ta có
4(sin x +cos x)−cos2x
2(sin x −cos x −1)−sin2x
=
(sin x +cos x)(4+sin x −cos x)
(sin x −cos x −1)(3+sin x −cos x)
Đặt t =sin x −cos x −1 ⇒ dt =(cos x +sinx)dx.
Đổi cận x =0 ⇒ t =−2; x =
π
4
⇒ t =−1.
Khi đó
I =
−1
Z
−2
5+t
t(t +4)
dx
=
−1
Z
−2
µ
1
t +4
+
5
4
1
t(t +4)
¶
dx
=
µ
5
4
ln
¯
¯
¯
¯
t
t +4
¯
¯
¯
¯
+ln
|
t +4
|
¶
¯
¯
¯
¯
−1
−2
=−
1
4
ln3−ln2.
Vậy I =−
1
4
ln3−ln2. ä
Dạng:
b
Z
a
f
¡
sin
2
x,cos
2
x
¢
sin2x dx
Phương pháp: Đặt
"
t =sin
2
x ⇒ dt =sin2xdx
t =cos
2
x ⇒ dt =−sin2x dx
Ví dụ 25. Tính
π
2
Z
0
sin2x
1+cos
2
x
dx ĐS: ln2
Lời giải: Đặt t =1 +cos
2
x ⇒ dt =−sin2x dx
Đổi cận x =0 ⇒ t =2; x =
π
2
⇒ t =1.
Khi đó I =
2
Z
1
1
t
dt = ln|t|
|
2
1
=ln2.
Vậy I =ln2.
Ví dụ 26. Tính I =
π
2
Z
0
e
sin
2
x
sin2x dx ĐS: e −1
Lời giải: Đặt t =sin
2
x ⇒ dt =sin2xdx
Đổi cận x =0 ⇒ t =0; x =
π
2
⇒ t =1.
Th.s Nguyễn Chín Em 330 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó I =
1
Z
0
e
t
dt = e
t
¯
¯
1
0
=e −1.
Vây I =e−1.
Bài 33. Tính I =
π
2
Z
0
sin2x(1+sin
2
x)
3
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
15
4
- Lời giải.
Đặt t =1+sin
2
x ⇒ dt =sin2xdx
Đổi cận x =0 ⇒ t =1; x =
π
2
⇒ t =2.
Khi đó I =
2
Z
1
t
3
dt =
t
4
4
¯
¯
¯
¯
2
1
=
15
4
.
Vậy I =
15
4
. ä
Bài 34. Tính các tích phân
1 I =
π
4
Z
0
sin4x
1+cos
2
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 2 +6ln
3
4
- Lời giải.
Ta có
sin4x
1+cos
2
x
=
2cos2x
1+cos
2
x
·sin2x =
4cos
2
x −2
1+cos
2
x
·sin2x .
Đặt t =1+cos
2
x ⇒ dt =−sin2x dx
Đổi cận x =0 ⇒ t =2; x =
π
4
⇒ t =
3
2
.
Khi đó I =
3
2
Z
2
4(t −1)−2
t
dt =
3
2
Z
2
µ
4−
6
t
¶
dt =
(
4t −6ln|t|
)
|
3
2
1
=2 +6ln
3
2
.
Vậy I =2+6ln
3
2
ä
2 I =
π
2
Z
0
sin2x
p
cos
2
x +4sin
2
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
2
3
- Lời giải.
Ta có
sin2x
p
cos
2
x +4sin
2
x
=
sin2x
p
1+3sin
2
x
.
Đặt t =
p
1+3sin
2
x ⇒ t
2
=1 +3sin
2
x ⇒2tdt =sin2xdx
Đổi cận x =0 ⇒ t =1; x =
π
2
⇒ t =2.
Khi đó I =
2
Z
1
2
3
t
t
dt =
2
Z
1
2
3
dt =
2
3
(2−1) =
2
3
.
Vậy I =
2
3
. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 331 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Bài 35. Tính I =
π
2
Z
0
sin x cosx
p
4cos
2
x +9sin
2
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
5
- Lời giải.
Ta có
sin x cosx
p
9cos
2
x +4sin
2
x
=
1
2
sin2x
p
4+5cos
2
x
.
Đặt t =
p
4+5cos
2
x ⇒ t
2
=4 +5cos
2
x ⇒2tdt =−5sin2xdx ⇒
1
2
sin2x dx =−
1
5
tdt.
Đổi cận x =0 ⇒ t =3; x =
π
2
⇒ t =2.
Khi đó I =
2
Z
1
1
5
t
t
dt =
2
Z
1
1
5
dt =
1
5
(2−1).
Vậy I =
1
5
. ä
Bài 36. Tính I =
π
2
Z
0
sin x cosx
p
b
2
cos
2
x +c
2
sin
2
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
|c|+|b |
- Lời giải.
Ta có
sin x cosx
p
b
2
cos
2
x +c
2
sin
2
x
=
1
2
sin2x
p
b
2
+(c
2
−b
2
)sin
2
x
.
Đặt t =
p
b
2
+(c
2
−b
2
)sin
2
x ⇒ t
2
= b
2
+(c
2
−b
2
)sin
2
x ⇒2tdt =(c
2
−b
2
)sin2xdx
Đổi cận x =0 ⇒ t =|b|; x =
π
2
⇒ t =|c|.
Khi đó I =
|c|
Z
|b|
1
2
·
2
c
2
−b
2
t
t
dt =
|c|
Z
|b|
1
c
2
−b
2
dt =
1
c
2
−b
2
(|c|−|b |) =
1
|c|+|b |
.
Vậy I =
1
|c|+|b |
. ä
Dạng:
I =
b
Z
a
f
³
p
a
2
−x
2
´
x
2n
dx
Phương pháp: Đặt x = asin t ⇒ dx = acos tdt.
Ví dụ 27. Tính các tích phân
1 I =
1
Z
0
p
1−x
2
dx . ĐS:
π
4
2 I =
1
Z
−
1
2
p
1−x
2
dx . ĐS:
π
3
+
p
3
8
Th.s Nguyễn Chín Em 332 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
3 I =
2
Z
0
x
2
p
4−x
2
dx ĐS: π
Lời giải:
1 Đặt x =sin t ⇒ dx =cos tdt.
Đổi cận x =0 ⇒ t =0; x =1 ⇒ t =
π
2
.
Khi đó I =
π
2
Z
0
cos
2
tdt =
π
2
Z
0
1
2
(
1+cos2t
)
dt =
1
2
µ
t +
1
2
sin2t
¶
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=
π
4
.
Vậy I =
π
4
.
2 Đặt x =sin t ⇒ dx =cos tdt.
Đổi cận x =−
1
2
⇒ t =−
π
6
; x =1 ⇒ t =
π
2
.
Khi đó I =
π
2
Z
−
π
6
cos
2
tdt =
π
2
Z
−
π
6
1
2
(
1+cos2t
)
dt =
1
2
µ
t +
1
2
sin2t
¶
¯
¯
¯
¯
π
2
−
π
6
=
π
3
+
p
3
8
.
Vậy I =
π
3
+
p
3
8
.
3 Đặt x =2sint ⇒ dx =2cos tdt.
Đổi cận x =0 ⇒ t =0; x =2 ⇒ t =
π
2
.
Khi đó
I =
π
2
Z
0
4sin
2
t·
p
4−4sin
2
t·2costdt =
π
2
Z
0
4sin
2
2t dt =2
π
2
Z
0
(1−cos4t)dt = 2
µ
t −
1
4
sin4t
¶
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=π
Vậy I =π.
Bài 37. Tính các tích phân
1 I =
1
Z
0
x
2
p
1−x
2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
π
16
- Lời giải.
Đặt x =sin t ⇒ dx =cos t dt.
Đổi cận x =0 ⇒ t =0; x =1 ⇒ t =
π
2
.
Khi đó I =
π
2
Z
0
sin
2
t ·
p
1−1sin
2
t ·cos tdt =
1
4
π
2
Z
0
sin
2
2t dt =
1
8
π
2
Z
0
(1−cos4t)dt =
1
8
µ
t −
1
4
sin4t
¶
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=
π
16
.
Vậy I =
π
16
. ä
2 I =
p
2
2
Z
0
x
2
p
1−x
2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Th.s Nguyễn Chín Em 333 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
ĐS:
π
8
−
1
4
- Lời giải.
Đặt x =sin t ⇒ dx =cos t dt.
Đổi cận x =0 ⇒ t =0; x =
p
2
2
⇒ t =
π
4
.
Khi đó I =
π
4
Z
0
sin
2
t
cos t
·cost dt =
π
4
Z
0
1
2
(1−cos2t)dt =
1
2
µ
t −
1
2
sin2t
¶
¯
¯
¯
¯
π
4
0
=
π
8
−
1
4
.
Vậy I =
π
8
−
1
4
. ä
3 I =
1
Z
0
x
2
p
4−x
2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
π
3
−
p
3
2
- Lời giải.
Đặt x =2sin t ⇒ dx =2cos tdt.
Đổi cận x =0 ⇒ t =0; x =1 ⇒ t =
π
6
.
Khi đó
I =
π
6
Z
0
4sin
2
t
2cos t
·2cos t dt =
π
6
Z
0
2(1−cos2t)dt = 2
µ
t −
1
2
sin2t
¶
¯
¯
¯
¯
π
6
0
=
π
3
−
p
3
2
Vậy I =
π
3
−
p
3
2
. ä
Bài 38. Tính các tích phân
1 I =
2
Z
0
p
2x −x
2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
π
2
- Lời giải.
Ta có 2x −x
2
=1 −(x −1)
2
Đặt x −1 =sin t ⇒ dx =cos t dt
Đổi cận x =0 ⇒ t =−
π
2
; x =2 ⇒ t =
π
2
.
Khi đó I =
π
2
Z
−
π
2
p
1−sin
2
tcos tdt =
π
2
Z
−
π
2
cos
2
tdt =
1
2
µ
t +
1
2
sin2t
¶
¯
¯
¯
¯
π
2
−
π
2
=
π
2
.
Vậy I =
π
2
. ä
2 I =
1
Z
1
2
p
x −x
2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
π
8
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 334 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có x −x
2
=
1
4
−
µ
x −
1
2
¶
2
Đặt x −
1
2
=
1
2
sin t ⇒ dx =
1
2
cos t dt
Đổi cận x =
1
2
⇒ t =0; x =1 ⇒ t =
π
2
.
Khi đó I =
π
2
Z
0
1
2
cos
2
tdt =
1
4
π
2
Z
0
(1+cos2t)dt =
1
4
µ
t +
1
2
sin2t
¶
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=
π
8
.
Vậy I =
π
8
. ä
3 I =
1
Z
0
x
2
p
3+2x −x
2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: −4 +
π +3
p
3
2
- Lời giải.
Ta có 3+2x −x
2
=4 −
(
x −1
)
2
Đặt x −1 =2sin t ⇒ dx =2costdt
Đổi cận x =0 ⇒ t =−
π
6
; x =1 ⇒ t =0.
Khi đó I =
0
Z
−
π
6
(1+2sint)
2
2cos t
·2cos t dt =
0
Z
−
π
6
(3 +4sin t −2cos2t)dt =
(
3t −4cos t −sin2t
)
|
0
−
π
6
= −4 +
π +3
p
3
2
.
Vậy I =−4+
π +3
p
3
2
. ä
Dạng:
I =
β
Z
α
f
³³
p
x
2
+a
2
´
m
´
x
2n
dx
Phương pháp giải: Đặt x =a tant ⇒dx =a
¡
1+tan
2
t
¢
dt.
Ví dụ 28. Tính các tích phân sau
1 I =
1
Z
0
1
1+x
2
dx ĐS:
π
4
2 I =
2
p
3
Z
2
3
p
3
x
2
+4
dx ĐS:
p
3π
8
Lời giải:
1 Đặt x =tan t ⇒ dx =(1+tan
2
t)dt.
Th.s Nguyễn Chín Em 335 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đổi cận: x =0 ⇒ t =0
x =1 ⇒ t =
π
4
I =
π
4
Z
0
1
1+tan
2
t
·(1+tan
2
t)dt =
π
4
Z
0
dt = t
¯
¯
¯
π
4
0
=
π
4
.
2 Đặt x =2tan t ⇒ dx =2(1+tan
2
t)dt.
Đổi cận: x =2
p
3 ⇒ t =
π
3
x =2 ⇒ t =
π
4
I =
π
3
Z
π
4
3
p
3
4+4tan
2
t
·2(1+tan
2
t)dt =
π
3
Z
π
4
3
p
3
2
dt =
3
p
3
2
t
¯
¯
¯
¯
¯
π
3
π
4
=
p
3π
8
.
Bài 39. Tính các tích phân sau
1 I =
4
Z
2
1
x
2
−2x +4
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: I =
π
6
p
3
- Lời giải.
I =
4
Z
2
1
x
2
−2x +4
dx =
4
Z
2
1
(x −1)
2
+3
dx . Đặt x −1 =
p
3tan t ⇒ dx =
p
3(1+tan
2
t)dt.
Đổi cận: x =4 ⇒ t =
π
3
x =2 ⇒ t =
π
6
.
I =
π
3
Z
π
6
1
3tan
2
t +3
p
3(1+tan
2
t)dt =
π
3
Z
π
6
1
p
3
dt =
π
6
p
3
.
ä
2 I =
1
Z
0
1
x
2
+x +1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
π
3
p
3
- Lời giải.
I =
1
Z
0
1
x
2
+x +1
dx =
1
Z
0
1
µ
x +
1
2
¶
2
+
3
4
dx . Đặt x +
1
2
=
p
3
2
tan t ⇒ dx =
p
3
2
(1+tan
2
t)dt.
Đổi cận: x =1 ⇒ t =
π
3
x =0 ⇒ t =
π
6
.
Th.s Nguyễn Chín Em 336 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
I =
π
3
Z
π
6
1
3
4
tan
2
t +
3
4
·
p
3
2
(1+tan
2
t)dt =
π
3
Z
π
6
2
p
3
dt =
π
3
p
3
.
ä
3 I =
1
Z
0
x
3
1+x
8
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
π
16
- Lời giải.
Đặt u = x
4
⇒du =4x
3
dx .
Đổi cận: x =1 ⇒ u =1
x =0 ⇒ u =0.
Ta có I =
1
Z
0
1
4(1+u
2
)
du =
1
Z
0
1
4(1+x
2
)
dx . Đặt x =tan t ⇒dx =(1+tan
2
t)dt.
Đổi cận: x =1 ⇒ t =
π
4
x =0 ⇒ t =0.
Ta có I =
π
4
Z
0
1
4(1+tan
2
t)
(1+tan
2
t)dt =
π
4
Z
0
1
4
dt =
π
16
. ä
4 I =
2
Z
0
dx
p
x
2
+4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
1
2
ln(3+2
p
2)
- Lời giải.
Đặt x =2tan t ⇒dx =2(1+tan
2
t)dt.
Đổi cận: x =2 ⇒ t =
π
4
x =0 ⇒ t =0.
Ta có
I =
π
4
Z
0
1
p
4+4tan
2
t
·2(1+tan
2
t)dt =
π
4
Z
0
p
1+tan
2
t dt =
π
4
Z
0
1
cos t
dt =
π
4
Z
0
cos t
1−sin
2
t
dt
Đặt u =sin t ⇒du =cos tdx.
Đổi cận: t =
π
4
⇒ u =
p
2
2
t =0 ⇒ u =0.
I =
p
2
2
Z
0
1
1−u
2
du =
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
u +1
u −1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
p
2
2
0
=
1
2
ln(3+2
p
2).
ä
Bài 40. Tính các tích phân sau
Th.s Nguyễn Chín Em 337 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
1 I =
1
Z
0
p
x
2
+1dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
p
2
2
+
1
4
ln(3+2
p
2)
- Lời giải.
Đặt x =tan t ⇒dx =
1
cos
2
t
dt.
Đổi cận: x =1 ⇒ t =
π
4
x =0 ⇒ t =0.
I =
π
4
Z
0
p
1+tan
2
t ·
1
cos
2
t
dt =
π
4
Z
0
1
cos
3
t
dt =
π
4
Z
0
cos t
cos
4
t
dt =
π
4
Z
0
1
(1−sin
2
t)
2
d
(
sin x
)
=
1
4
π
4
Z
0
·
1+sint +1−sin t
(1+sinx)(1−sinx)
¸
2
d
(
sin x
)
=
1
4
π
4
Z
0
·
1
1−sint
+
1
1+sint
¸
2
d
(
sin x
)
=
1
4
π
4
Z
0
·
1
(1−sint)
2
+
1
(1+sint)
2
+
2
(1−sint)(1+sint)
¸
d
(
sin x
)
=
1
4
µ
1
1−sinx
−
1
1+sinx
¶
¯
¯
¯
¯
π
4
0
+
1
4
π
4
Z
0
1−sinx +1+sin x
(1−sinx)(1+sinx)
d
(
sin x
)
=
p
2
2
+
1
4
π
4
Z
0
µ
1
1+sinx
+
1
1−sinx
¶
d
(
sin x
)
=
p
2
2
+
1
4
(
ln
|
1+sinx
|
−ln
|
1−sinx
|
)
|
π
4
0
=
p
2
2
+
1
4
ln(3+2
p
2).
ä
2 I =
p
3
Z
0
dx
p
3+x
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: −
1
2
ln(3−2
p
2)
- Lời giải.
Đặt x =
p
3tan t ⇒dx =
p
3
cos
2
t
dt. Với x =0 ⇒ t =0 và x =
p
3 ⇒ t =
π
4
.
I =
π
4
Z
0
1
p
3(1+tan
2
t)
·
p
3
¡
1+tan
2
t
¢
dt =
π
4
Z
0
1
cos t
dt =
π
4
Z
0
cos t
1−sin
2
t
dt =−
π
4
Z
0
1
(sin t −1)(sin t +1)
d(sin t)
= −
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
sin t −1
sin t +1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
π
4
0
= −
1
2
ln(3−2
p
2).
ä
3 I =
1
Z
0
1
p
x
2
+x +1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Th.s Nguyễn Chín Em 338 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
ĐS: −
1
2
ln(21−12
p
3)
- Lời giải.
I =
1
Z
0
1
p
x
2
+x +1
dx =
1
Z
0
1
µ
x +
1
2
¶
2
+
3
4
dx .
Đặt x +
1
2
=
p
3
2
tan t ⇒dx =
p
3
2
1
cos
2
t
dt. Với x =0 ⇒ t =
π
6
và x =1 ⇒ t =
π
3
. Ta có
I =
π
3
Z
π
6
1
…
3
4
(1+tan
2
t)
·
p
3
2
1
cos
2
t
dt =
π
3
Z
π
6
1
cos t
dt =
π
3
Z
π
6
cos t
1−sin
2
t
dt
=
π
3
Z
π
6
1
1−sin
2
t
d(sin t)
= −
π
3
Z
π
6
1
(sin t −1)(sin t +1)
d(sin t)
= −
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
sin t −1
sin t +1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
π
3
π
6
= −
1
2
ln(21−12
p
3).
ä
4 I =
2
Z
0
p
3
p
x
2
+2x +4
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: −
p
3
2
ln(21−12
p
3)
- Lời giải.
I =
2
Z
0
p
3
p
x
2
+2x +4
dx =
2
Z
0
p
3
p
(x +1)
2
+3
dx
Đặt x +1 =
p
3tan t ⇒dx
p
3
cos
2
t
dt. Với x =0 ⇒ t =
π
6
và x =2 ⇒ t =
π
3
. Ta có
I =
π
3
Z
π
6
p
3
p
3(1+tan
2
t)
·
p
3
1
cos
2
t
dt =
π
3
Z
π
6
p
3
cos t
dt =
π
3
Z
π
6
p
3cos t
1−sin
2
t
dt
=
π
3
Z
π
6
p
3
1−sin
2
t
d(sin t)
= −
π
3
Z
π
6
p
3
(sin t −1)(sin t +1)
d(sin t)
= −
p
3
2
ln
¯
¯
¯
¯
sin t −1
sin t +1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
π
3
π
6
Th.s Nguyễn Chín Em 339 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
= −
p
3
2
ln(21−12
p
3).
ä
5 I =
p
3
Z
p
3
3
1
p
(1+x
2
)
3
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
p
3−1
2
- Lời giải.
Đặt x =tan t ⇒dx =
1
cos
2
t
dt. Với x =
p
3
3
⇒ t =
π
6
và x =
p
3 ⇒
π
3
. Ta có
I =
π
3
Z
π
6
1
p
(1+tan
2
t)
3
·
1
cos
2
t
dt =
π
3
Z
π
6
cos tdt
= sin t
|
π
3
π
6
=
p
3−1
2
.
ä
Bài 41. Tính các tích phân sau
1 I =
2
Z
0
x
2
p
x
2
+4dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 6
p
2+ln
¡
3−2
p
2
¢
- Lời giải.
Đặt x =2tan t ⇒dx =
2
cos
2
t
dt. Với x =0 ⇒ t =0; và x =2 ⇒ t =
π
4
. Do đó
I =
π
4
Z
0
4tan
2
t ·
p
4(1+tan
2
t)·
2
cos
2
t
dt =16
π
4
Z
0
sin
2
t
cos
5
t
dt =16
π
4
Z
0
sin
2
t ·cost
cos
6
t
dt
Đặt u =sin t ⇒du =cos tdt. Ta có I =
p
2
2
Z
0
16u
2
(1−u
2
)
3
du =
p
2
2
Z
0
16x
2
(1−x
2
)
3
dx .
Đặt
u =16x
dv =
xdx
(1−x
2
)
3
⇒
du =16dx
v =
1
4(1−x
2
)
2
. Ta được
I =
4x
(1−x
2
)
2
¯
¯
¯
¯
p
2
2
0
−
p
2
2
Z
0
4
(1−x
2
)
2
dx =8
p
2−
p
2
2
Z
0
µ
2
1−x
2
¶
2
dx =8
p
2−
p
2
2
Z
0
µ
1
1−x
+
1
1+x
¶
2
dx
= 8
p
2−
p
2
2
Z
0
·
1
(1−x)
2
+
1
(1+x)
2
+
2
(1−x)(1+x)
¸
dx
Th.s Nguyễn Chín Em 340 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
= 8
p
2−
·
1
1−x
−
1
1+x
¸
¯
¯
¯
¯
p
2
2
0
+
p
2
2
Z
0
2
(x −1)(x +1)
dx
= 6
p
2+ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
p
2
2
0
= 6
p
2+ln
³
3−2
p
2
´
.
ä
2 I =
p
3
Z
0
x
2
p
3+x
2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
3
p
2
2
+
3
4
ln(3−2
p
2)
- Lời giải.
Đặt x =
p
3tan t ⇒dx =
p
3
1
cos
2
t
dt. Với x =0 ⇒ t =0 và x =
p
3 ⇒ t =
π
4
.
I =
π
4
Z
0
3tan
2
t
p
3(1+tan
2
t)
·
p
3
cos
2
t
dt =
π
4
Z
0
3tan
2
t
1
cos t
dt =3
π
4
Z
0
sin
2
t ·cost
(1−sin
2
t)
2
dt
Đặt u =sin t, ta có
I = 3
p
2
2
Z
0
u
2
(1−u
2
)
2
du =
3
4
p
2
2
Z
0
µ
1
u −1
+
1
u +1
¶
2
du
=
3
4
p
2
2
Z
0
µ
1
(u −1)
2
+
1
(u +1)
2
+
2
(u −1)(u +1)
¶
2
du
=
3
4
·
−
1
u −1
−
1
u +1
+ln
¯
¯
¯
¯
u −1
u +1
¯
¯
¯
¯
¸
¯
¯
¯
¯
p
2
2
0
=
3
p
2
2
+
3
4
ln(3−2
p
2).
ä
Dạng:
β
Z
α
f
µ
…
a ±x
a ∓x
¶
dx ;
β
Z
α
dx
(a +bx
n
)
n
p
a +bx
n
;
Phương pháp giải:
1
β
Z
α
f
µ
…
a ±x
a ∓x
¶
dx đặt x = acos2t.
2
β
Z
α
dx
(a +bx
n
)
n
p
a +bx
n
đặt x =
1
t
.
Th.s Nguyễn Chín Em 341 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
3
β
Z
α
R
h
s
1
p
ax +b,···,
s
k
p
ax +b
i
dx
đặt t
n
=ax +b, với n là bội chung nhỏ nhất {s
1
,s
2
,···,s
k
}.
4
β
Z
α
dx
p
(ax +b)(cx +d)
đặt t =
p
ax +b +
p
cx +d
Ví dụ 29. Tính các tích phân sau
1 I =
64
Z
1
1
3
p
x +
p
x
dx ĐS: 11 +6ln
2
3
2 I =
2
Z
0
…
2−x
x +2
dx ĐS: π −2
3 I =
1
Z
0
1
p
x
2
+4x +3
dx ĐS: 2ln
Ã
2+
p
2
1+
p
3
!
Lời giải:
1 Đặt t =
6
p
x ⇒ x = t
6
⇒dx =6t
5
dt. Với x =1 ⇒ t =1 và x =64 ⇒ t =2.
I =
2
Z
1
6t
5
dt
t
3
+t
2
=
2
Z
1
6t
3
t +1
dt =6
2
Z
1
µ
t
2
−t +1−
1
t +1
¶
dt
= 6
µ
t
3
3
−
t
2
2
+t −ln
|
t +1
|
¶
¯
¯
¯
¯
2
1
= 11+6ln
2
3
.
2 Đặt x =2cos2t ⇒dx =−4sin2tdt. Với x =0 ⇒ t =
π
4
và x =2 ⇒ t =0.
I =
π
4
Z
0
…
2−2cos2t
2+2cos2t
4sin2tdt =
π
4
Z
0
tan t ·4sin2tdt =
π
4
Z
0
8sin
2
tdt =
π
4
Z
0
4(1−cos2t)dt
= 4
µ
t −
1
2
sin2t
¶
¯
¯
¯
¯
π
4
0
= π −2.
3 Đặt t =
p
x +1+
p
x +3 ⇒dt =
1
2
p
(x +1)(x +3)
dt ⇔
2
t
dt =
dx
p
(x +1)(x +3)
.
Với x =0 ⇒ t =1 +
p
3 và x =1 ⇒ t =2+
p
2
I =
2+
p
2
Z
1+
p
3
2
t
dt =2ln|t|
¯
¯
¯
2+
p
2
1+
p
3
=2ln
2+
p
2
1+
p
3
.
Bài 42. Tính các tích phân sau
Th.s Nguyễn Chín Em 342 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
1 I =
1
Z
0
4
p
x
1+
p
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: π −
8
3
- Lời giải.
Đặt t =
4
p
x ⇒ x = t
4
⇒dx =4t
3
dt. Với x =0 ⇒ t =1 và x =1 ⇒ t =1.
I =
1
Z
0
t
1+t
2
·4t
3
dt =
1
Z
0
4t
4
1+t
2
dt =
1
Z
0
µ
4t
2
−4+
4
1+t
2
¶
dt =−
8
3
+
1
Z
0
4
1+x
2
dx
Đặt x =tan t ⇒dx =
1
cos
2
t
dt. Khi đó
I = −
8
3
+
π
4
Z
0
4
1+tan
2
t
·
1
cos
2
t
dt
= −
8
3
+
π
4
Z
0
4dt
= π −
8
3
.
ä
2 I =
27
Z
1
p
x −2
x +
3
p
x
2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 4 −6ln2 +
π
2
- Lời giải.
Đặt t =
6
p
x ⇒ t
6
= x ⇒dx =6t
5
dt. Với x =1 ⇒ t =1 và x =27 ⇒ t =
p
3.
I =
p
3
Z
1
t
3
−2
t
6
+t
4
·6t
5
dt =
p
3
Z
1
6t
4
−12t
t
2
+1
dt =
p
3
Z
1
µ
6t
2
−6+
6−12t
t
2
+1
¶
dt =4+
p
3
Z
1
6
t
2
+1
dt −
p
3
Z
1
12t
t
2
+1
dt
= 4−6ln2+
p
3
Z
1
6
x
2
+1
dx
Đặt x =tan t ⇒dx =
1
cos
2
t
dt. Với x =1 ⇒ t =
π
4
và x =
p
3 ⇒ t =
π
3
.
I = 4−6ln2+
π
6
Z
π
4
6
1+tan
2
t
·
1
cos
2
t
dt =4−6ln2+
π
6
Z
π
4
6dt =4−6ln2+
π
2
.
ä
3 I =
1
Z
0
1
x
2
…
2−x
2+x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS:
p
3
2
+
1
4
ln(7−4
p
3)
Th.s Nguyễn Chín Em 343 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Đặt x =2cos2t ⇒dx =−4sin2tdt. Với x =1 ⇒ t =
π
6
và x =2 ⇒ t =0.
I =
π
6
Z
0
1
4cos
2
2t
·
…
1−cos2t
1+cos2t
·4sin2tdt =
π
6
Z
0
1
cos
2
2t
tan t ·sin2tdt =
π
6
Z
0
2
sin
2
t
cos
2
2t
dt
Đặt
u =2sin
2
t
dv =
1
cos
2
2t
dt
⇒
du =2sin2tdt
v =
1
2
tan2t
. Khi đó
I = sin
2
ttan2t
¯
¯
π
6
0
−
π
6
Z
0
sin2t ·
sin2t
cos2t
dt =
p
3
4
−
π
6
Z
0
sin
2
2t
1−sin
2
2t
·cos2t dt
=
p
3
4
+
π
6
Z
0
1−sin
2
2t +1
1−sin
2
2t
cos2tdt =
p
3
4
−
1
2
π
6
Z
0
µ
1−
1
1−sin
2
2t
¶
d(sin2t)
=
p
3
4
+
1
2
·
sin2t +
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
sin2t −1
sin2t +1
¯
¯
¯
¯
¸
¯
¯
¯
¯
π
6
0
=
p
3
2
+
1
4
ln(74
p
3).
ä
Bài 43. Tính tích phân I =
2
Z
1
1
3
p
x
2
+4
p
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 3
3
p
2−24
6
p
2+21+96ln
4+6
p
2
5
- Lời giải.
Đặt t =
6
p
x ⇒ t
6
= xdx =6t
5
dt. Với x =1 ⇒ t =1 và x =2 ⇒ t =
6
p
2.
I =
6
p
2
Z
1
1
t
4
+4t
3
·6t
5
dt =
6
p
2
Z
1
6t
2
t +4
dt =
6
p
2
Z
1
µ
6t −24+
96
t +4
¶
dt
=
µ
3t
2
−24t +
96
t +4
¶
¯
¯
¯
¯
6
p
2
1
= 3
3
p
2−24
6
p
2+21+96ln
4+6
p
2
5
.
ä
Bài 44. Tính các tích phân sau
1 I =
1
Z
0
1−
p
x
1+
p
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 2 −
π
2
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 344 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt
p
x =cos2t ⇒ x =cos
2
2t ⇒dx =−4cos2t ·sin2tdt. Với x =0 ⇒ t =
π
4
và x =1 ⇒ t =0
I =
π
4
Z
0
…
1−cos2t
1+cos2t
·4sin2t cos2tdt =
π
4
Z
0
tan t4sin2t cos2tdt =
π
4
Z
0
¡
8sin
2
t −16sin
2
t
¢
dt
=
π
4
Z
0
·
4(1−cos2t) −16
µ
1−cos2t
2
¶
2
¸
dt =
(
4t −2sin2t
)
|
π
4
0
−
π
4
Z
0
4(1−cos2t)
2
dt
= π −2−
π
4
Z
0
¡
4−8cos2t +4cos
2
2t
¢
dt =2−
π
4
Z
0
2
µ
1+cos4t
2
¶
dt
= 2−
π
2
.
ä
2 I =
1
Z
0
…
3−x
1+x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ĐS: 2 −
p
3+
π
3
- Lời giải.
Đặt t =
…
3−x
1+x
⇒ x =
3−t
2
t
2
+1
⇒dx =−
8t
t
2
+1
dt. Với x =0 ⇒ t =
p
3 và x =1 ⇒ t =1. Ta có
I =
p
3
Z
1
t ·
8t
(t
2
+1)
2
dt =
p
3
Z
1
8t
2
(t
2
+1)
2
dt
Đặt
u =4t
dv =
2t
(t
2
+1)
2
dt
⇒
du =4dt
v =−
1
t
2
+1
. Khi đó
I =
−4t
t
2
+1
¯
¯
¯
¯
p
3
1
+
p
3
Z
1
4
t
2
+1
dt =2−
p
3+
p
3
Z
1
4
x
2
+1
dx
Đặt x =tan t ⇒dx =(1+tan
2
t)dt. với x =1 ⇒ t =
π
4
và x =
p
3 ⇒ t =
π
3
.
I = 2−
p
3+
π
3
Z
π
4
4
1+tan
2
t
(1+tan
2
t)dt
= 2−
p
3+
π
3
Z
π
4
4dt
= 2−
p
3+
π
3
.
ä
3.6 Tích phân từng phần
Th.s Nguyễn Chín Em 345 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Định lý: Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì
I =
b
Z
a
u(x)v
0
(x )dx =
[
u(x)v(x)
]
|
b
a
−
b
Z
a
u
0
(x )v (x)dx hay I =
b
Z
a
u dv = uv
|
b
a
−
b
Z
a
vdu.
Thực hành:
1 Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác, ...
2 Đặt:
u =······
V P
−→ du =······ dx
dv =··· dx
NH
−→ v =······
. Suy ra I =
b
Z
a
u dv = uv
|
b
a
−
b
Z
a
vdu.
3 Thứ tự ưu tiên chọn u: loga - đa - lượng - mũ và dv = phần còn lại. Nghĩa là nếu có ln x hay
log
a
x thì chọn u = ln x hay u = log
a
x =
1
lna
·ln x và dv = còn lại. Nếu không có ln, log thì chọn
u = đa thức và dv = còn lại. Nếu không có log, đa thức, ta chọn u = lượng giác, ...
4
!
Lưu ý: rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm.
4 Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi.
3.6.1 Ví dụ và bài t ập
Ví dụ 1. Tính I =
1
Z
0
(x −3)e
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =4 −3e
Lời giải: Chọn
u = x −3 ⇒ du = dx
dv =e
x
dx ⇒ v =e
x
.
Khi đó I =(x −3)e
x
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
e
x
dx =−2e+3−e
x
¯
¯
¯
1
0
=4 −3e.
Ví dụ 2. Tính I =
1
Z
0
(x
2
+2x)e
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =e
Lời giải: Chọn
u = x
2
+2x ⇒ du =2(x +1)dx
dv =e
x
dx ⇒ v =e
x
.
Khi đó I =(x
2
+2x)e
x
¯
¯
¯
1
0
−2
1
Z
0
(x +1)e
x
dx =3e−2
1
Z
0
(x +1)e
x
dx =3e−2J.
Tính J: Chọn
u
1
= x +1 ⇒ du
1
= dx
dv =e
x
dx ⇒ v =e
x
.
Khi đó J =(x +1)e
x
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
e
x
dx =2e−1−e
x
¯
¯
¯
1
0
=e.
Vậy I =3e−2e =e.
Ví dụ 3. Tính I =
π
Z
0
e
x
cos x dx. . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =−
1
2
(
e
π
+1
)
Th.s Nguyễn Chín Em 346 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Lời giải: Chọn
u =cos x ⇒ du =−sin x dx
dv =e
x
dx ⇒ v =e
x
.
Khi đó I =e
x
cos x
¯
¯
¯
π
0
+
π
Z
0
sin xe
x
dx =−e
π
−1+J.
Tính J. Chọn
u
1
=sin x ⇒ du
1
=cos xdx
dv =e
x
dx ⇒ v =e
x
.
Khi đó J =sin xe
x
¯
¯
¯
π
0
−I =−I.
Vậy I =−
1
2
(
e
π
+1
)
.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
1 I =
1
Z
0
xe
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =1
- Lời giải.
Chọn
u = x ⇒ du = dx
dv =e
x
dx ⇒ v =e
x
.
Khi đó I = xe
x
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
e
x
dx =e−e
x
¯
¯
¯
1
0
=1. ä
2 I =
2
Z
0
(2x −1)e
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =e
2
+3
- Lời giải.
Chọn
u =2x −1 ⇒ du =2dx
dv =e
x
dx ⇒ v =e
x
.
Khi đó I =(2x −1)e
x
¯
¯
¯
2
0
−2
2
Z
0
e
x
dx =3e
2
+1−2e
x
¯
¯
¯
2
0
=e
2
+3. ä
3 I =
1
Z
0
(2x +1)e
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = e +1
- Lời giải.
Chọn
u =2x +1 ⇒ du =2dx
dv =e
x
dx ⇒ v =e
x
.
Khi đó I =(2x +1)e
x
¯
¯
¯
1
0
−2
1
Z
0
e
x
dx =3e−1−2e
x
¯
¯
¯
1
0
=e +1. ä
4 I =
1
Z
0
(4x −1)e
2x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
1
2
e
2
+
3
2
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 347 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn
u =4x −1 ⇒ du =4dx
dv =e
2x
dx ⇒ v =
1
2
e
2x
.
Khi đó I =
1
2
(4x −1)e
2x
¯
¯
¯
1
0
−2
1
Z
0
e
2x
dx =
3
2
e
2
+
1
2
−e
2x
¯
¯
¯
1
0
=
1
2
e
2
+
3
2
. ä
5 I =
1
Z
0
(x −1)e
2x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
3
4
−
1
4
e
2
- Lời giải.
Chọn
u = x −1 ⇒ du = dx
dv =e
2x
dx ⇒ v =
1
2
e
2x
.
Khi đó I =
1
2
(x −1)e
2x
¯
¯
¯
1
0
−
1
2
1
Z
0
e
2x
dx =
1
2
−
1
4
e
2x
¯
¯
¯
1
0
=
3
4
−
1
4
e
2
. ä
6 I =
3
Z
1
xe
−x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =−
4
e
3
+
2
e
- Lời giải.
Chọn
u = x ⇒ du = dx
dv =e
−x
dx ⇒ v =−e
−x
.
Khi đó I =−xe
−x
¯
¯
¯
3
1
+
3
Z
1
e
−x
dx =−3e
−3
+e
−1
−e
−x
¯
¯
¯
3
1
=−
3
e
3
+
1
e
−
1
e
3
+
1
e
=−
4
e
3
+
2
e
. ä
7 I =
2
Z
0
(1−2x)e
−x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
5
e
2
−1
- Lời giải.
Chọn
u =1−2x ⇒ du =−2dx
dv =e
−x
dx ⇒ v =−e
−x
.
Khi đó I =−(1 −2x)e
−x
¯
¯
¯
2
0
−2
2
Z
0
e
−x
dx =3e
−2
+1+2e
−x
¯
¯
¯
2
0
=
3
e
2
+1+
2
e
2
−2 =
5
e
2
−1. ä
8 I =
3
Z
1
x
2
e
−x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =−
17
e
3
+
5
e
- Lời giải.
Chọn
u = x
2
⇒ du =2xdx
dv =e
−x
dx ⇒ v =−e
−x
.
Khi đó I =−x
2
e
−x
¯
¯
¯
3
1
+2
3
Z
1
xe
−x
dx =−
9
e
3
+
1
e
+2J.
Tính J. Chọn
u = x ⇒ du = dx
dv =e
−x
dx ⇒ v =−e
−x
.
Th.s Nguyễn Chín Em 348 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó J =−xe
−x
¯
¯
¯
3
1
+
3
Z
1
e
−x
dx =−3e
−3
+e
−1
−e
−x
¯
¯
¯
3
1
=−3e
−3
+e
−1
−e
−3
+e
−1
=−
4
e
3
+
2
e
.
Vậy I =−
17
e
3
+
5
e
. ä
9 I =
π
4
Z
0
5e
x
sin2x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =e
π
4
+2
- Lời giải.
I =
π
4
Z
0
5e
x
sin2x dx =5
π
4
Z
0
e
x
sin2x dx =5J.
Chọn
u =sin2x ⇒ du =2cos2x dx
dv =e
x
dx ⇒ v =e
x
.
Khi đó J =e
x
sin2x
¯
¯
¯
π
4
0
−2
π
4
Z
0
cos2xe
x
dx =e
π
4
−2K.
Tính K . Chọn
u =cos2x ⇒ du =−2sin2xdx
dv =e
x
dx ⇒ v =e
x
.
Khi đó K =cos2xe
x
¯
¯
¯
π
4
0
+2J =−1+2J.
Vậy I =e
π
4
+2. ä
10 I =
π
2
Z
0
e
−x
cos x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
e
−
π
2
+1
2
- Lời giải.
Chọn
u =cos x ⇒ du =−sin x dx
dv =e
−x
dx ⇒ v =−e
−x
.
Khi đó I =−e
−x
cos x
¯
¯
¯
π
2
0
−
π
2
Z
0
sin xe
−x
dx =1−J.
Tính J. Chọn
u =sin x ⇒ du =cos x dx
dv =e
−x
dx ⇒ v =−e
−x
.
Khi đó J =−e
−x
sin x
¯
¯
¯
π
2
0
+I =−e
−
π
2
+I.
Vậy 2I =1+e
−
π
2
⇒ I =
e
−
π
2
+1
2
. ä
11 I =
π
4
Z
0
e
3x
sin4x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
4e
3π
4
+4
25
- Lời giải.
Chọn
u =sin4x ⇒ du =4cos4x dx
dv =e
3x
dx ⇒ v =
1
3
e
3x
.
Th.s Nguyễn Chín Em 349 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó I =
1
3
sin4xe
3x
¯
¯
¯
π
4
0
−
4
3
π
4
Z
0
cos4xe
3x
dx =0−
4
3
J =−
4
3
J.
Tính J. Chọn
u =cos4x ⇒ du =−4sin4xdx
dv =e
3x
dx ⇒ v =
1
3
e
3x
.
Khi đó J =
1
3
e
3x
cos4x
¯
¯
¯
π
4
0
+
4
3
I =−
1
3
e
3π
4
−
1
3
+
4
3
I.
Suy ra I =
4e
3π
4
+4
25
. ä
12 I =
π
2
Z
0
e
x
cos2x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =−
e
π
2
+1
5
- Lời giải.
Chọn
u =cos2x ⇒ du =−2sin2xdx
dv =e
x
dx ⇒ v =e
x
.
Khi đó I =cos2xe
x
¯
¯
¯
π
2
0
+2
π
2
Z
0
sin2xe
x
dx =−e
π
2
−1+2J.
Tính J. Chọn
u =sin2x ⇒ du =2cos2x dx
dv =e
x
dx ⇒ v =e
x
.
Khi đó J =e
x
sin2x
¯
¯
¯
π
2
0
−2I =−2I.
Vậy I =−1−e
π
2
−4I ⇒ I =−
e
π
2
+1
5
. ä
13 I =
1
Z
0
3x +1
e
2x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =−
11
4e
2
+
5
4
- Lời giải.
Chọn
u =3x +1 ⇒ du =3dx
dv =e
−2x
dx ⇒ v =−
1
2
e
−2x
.
Khi đó I =−
1
2
(3x +1)e
−2x
¯
¯
¯
1
0
+
3
2
1
Z
0
e
−2x
dx =−2e
−2
+
1
2
−
3
4
e
−2x
¯
¯
¯
1
0
=−
11
4e
2
+
5
4
. ä
Ví dụ 4. Tính I =
3
Z
1
ln x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =3ln3 −2
- Lời giải.
Chọn
u =ln x ⇒ du =
1
x
dx
dv = dx ⇒ v = x.
Khi đó I = x ln x
¯
¯
¯
3
1
−
1
Z
0
dx =3ln3 −x
¯
¯
¯
3
1
=3ln3−2. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 350 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ví dụ 5. Tính I =
e
Z
1
x
2
ln x dx. . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
2e
3
9
+
1
9
Lời giải: Chọn
u =ln x ⇒ du =
1
x
dx
dv = x
2
dx ⇒ v =
x
3
3
.
Khi đó I =
x
3
3
ln x
¯
¯
¯
e
1
−
1
3
e
Z
1
x
2
dx =
e
3
3
−
1
9
x
3
¯
¯
¯
e
1
=
e
3
3
−
e
3
9
+
1
9
=
2e
3
9
+
1
9
.
Ví dụ 6. Tính I =
e
Z
1
xln
2
xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
e
2
4
−
1
4
Lời giải: Chọn
u =ln
2
x ⇒ du =
2
x
ln x dx
dv = x dx ⇒ v =
x
2
2
.
Khi đó I =
x
2
2
ln
2
x
¯
¯
¯
e
1
−
e
Z
1
xln xdx =
e
2
2
−J.
Tính J. Chọn
u =ln x ⇒ du =
1
x
dx
dv = x dx ⇒v =
x
2
2
.
Khi đó J =
x
2
2
ln x
¯
¯
¯
e
1
−
1
2
e
Z
1
xdx =
e
2
2
−
1
4
x
2
¯
¯
¯
e
1
=
e
2
2
−
e
2
4
+
1
4
=
e
2
4
+
1
4
.
Vậy I =
e
2
2
−
e
2
4
−
1
4
⇒ I =
e
2
4
−
1
4
..
Ví dụ 7. Tính I =
1
Z
0
(2x −1)ln(x +1)dx. . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
3
2
−ln4
Lời giải: Chọn
u =ln(x +1) ⇒ du =
1
x +1
dx
dv =(2x −1)dx ⇒v = x
2
−x.
Khi đó I = (x
2
−x)ln(x +1)
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
x
2
−x
x +1
dx = −
1
Z
0
µ
x −2+
2
x +1
¶
dx = −
µ
x
2
2
−2x +2ln|x +1|
¶
¯
¯
¯
1
0
=
3
2
−ln4.
Ví dụ 8. Tính I =
π
4
Z
0
ln(sin x +2cos x)
cos
2
x
dx . . . . . . . . . . . ĐS: I =ln
27
p
2
8
−
π
4
Lời giải: Với mọi x ∈
h
0;
π
4
i
, ta có
ln(sin x +2cos x)
cos
2
x
=
ln[cos x(tan x +2)]
cos
2
x
=
lncos x
cos
2
x
+
ln(tan x +2)
cos
2
x
.
Tính I
1
=
π
4
Z
0
lncos x
cos
2
x
dx .
Th.s Nguyễn Chín Em 351 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn
u =lncos x ⇒ du =
1
cos x
·(−sin x)dx
dv =
1
cos
2
x
dx ⇒ v =tan x.
Khi đó
I
1
= tan x lncos x
¯
¯
¯
π
4
0
+
π
4
Z
0
tan
2
xdx
= ln
p
2
2
+
π
4
Z
0
µ
1
cos
2
x
−1
¶
dx
= ln
p
2
2
+
(
tan x −x
)
¯
¯
¯
π
4
0
= ln
p
2
2
+1−
π
4
.
Tính I
2
=
π
4
Z
0
ln(tan x +2)
cos
2
x
dx .
Chọn
u =ln(tan x +2) ⇒ du =
1
tan x +2
d(tan x)
dv =
1
cos
2
x
dx ⇒ v =tan x.
Khi đó
I
2
= tan x ln(tan x +2)
¯
¯
¯
π
4
0
−
π
4
Z
0
tan x
tan x +2
d(tan x)
= ln3 −
π
4
Z
0
µ
1−
2
tan x +2
¶
d(tan x)
= ln3 −
(
tan x −2ln|tanx +2|
)
¯
¯
¯
π
4
0
= 3ln3−2ln2−1.
Vậy I = I
1
+I
2
=ln
p
2
2
+1−
π
4
+3ln3−2ln2−1 =ln
27
p
2
8
−
π
4
.
Bài 2. Tính các tích phân sau:
1 I =
2
Z
1
xln xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =2ln2−
3
4
- Lời giải.
Chọn
u =ln x ⇒ du =
1
x
dx
dv = x dx ⇒ v =
x
2
2
.
Khi đó I =
x
2
2
ln x
¯
¯
¯
2
1
−
1
2
2
Z
1
xdx =2ln2−
x
2
4
¯
¯
¯
2
1
=2ln2−
3
4
. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 352 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
2 I =
2
Z
1
(2x −1)ln xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =2ln2−
1
2
- Lời giải.
Chọn
u =ln x ⇒ du =
1
x
dx
dv =(2x −1)dx ⇒v = x
2
−x.
Khi đó I =(x
2
−x)lnx
¯
¯
¯
2
1
−
2
Z
1
(x −1)dx =2ln2−
µ
x
2
2
−x
¶
¯
¯
¯
2
1
=2ln2−
1
2
. ä
3 I =
e
Z
1
(1+x)ln xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
e
2
4
+
5
4
- Lời giải.
Chọn
u =ln x ⇒ du =
1
x
dx
dv =(1+x)dx ⇒ v =
x
2
2
+x.
Khi đó I =
µ
x
2
2
+x
¶
ln x
¯
¯
¯
e
1
−
e
Z
1
³
x
2
+1
´
dx =
e
2
2
+e−
µ
x
2
4
+x
¶
¯
¯
¯
e
1
=
e
2
2
+e−
e
2
4
−e+
5
4
=
e
2
4
+
5
4
. ä
4 I =
e
Z
1
(x +2)ln xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
e
2
4
+
9
4
- Lời giải.
Chọn
u =ln x ⇒ du =
1
x
dx
dv =(x +2)dx ⇒v =
x
2
2
+2x.
Khi đó I =
µ
x
2
2
+2x
¶
ln x
¯
¯
¯
e
1
−
e
Z
1
³
x
2
+2
´
dx =
e
2
2
+2e−
µ
x
2
4
+2x
¶
¯
¯
¯
e
1
=
e
2
2
+2e−
e
2
4
−2e+
9
4
=
e
2
4
+
9
4
. ä
5 I =
e
Z
1
x(ln x +1)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
3e
2
4
−
1
4
- Lời giải.
I =
e
Z
1
x(ln x +1)dx =
e
Z
1
xln xdx +
e
Z
1
xdx = I
1
+I
2
.
Tính I
1
. Chọn
u =ln x ⇒ du =
1
x
dx
dv = x dx ⇒v =
x
2
2
.
Khi đó I
1
=
x
2
2
ln x
¯
¯
¯
e
1
−
1
2
e
Z
1
xdx =
e
2
2
−
1
4
x
2
¯
¯
¯
e
1
=
e
2
2
−
e
2
4
+
1
4
=
e
2
4
+
1
4
.
Tính I
2
=
x
2
2
¯
¯
¯
e
1
=
e
2
2
−
1
2
.
Vậy I = I
1
+I
2
=
3e
2
4
−
1
4
. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 353 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
6 I =
2
Z
1
x
3
−2ln x
x
2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =ln2+
1
2
- Lời giải.
I =
2
Z
1
x
3
−2ln x
x
2
dx =
2
Z
1
xdx −2
2
Z
1
ln x
x
2
dx =
x
2
2
¯
¯
¯
2
1
−2J =
3
2
−2J.
Tính J. Chọn
u =ln x ⇒ du =
1
x
dx
dv = x
−2
dx ⇒ v =−
1
x
.
Khi đó J =−
1
x
ln x
¯
¯
¯
2
1
+
2
Z
1
1
x
2
dx =−
1
2
ln2−
1
x
¯
¯
¯
2
1
=−
1
2
ln2−
1
2
+1 =ln2+
1
2
.
Vậy I =ln2+
1
2
. ä
7 I =
2
Z
1
ln(x e
x
)
(x +2)
2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
5
4
ln2−
1
2
ln3−
1
6
- Lời giải.
Chọn
u =ln(xe
x
) ⇒ du =
x +1
x
dx
dv =(x +2)
−2
dx ⇒ v =−
1
x +2
.
Khi đó I =−
1
x +2
ln(xe
x
)
¯
¯
¯
2
1
+
2
Z
1
x +1
x(x +2)
dx =−
1
4
ln(2e
2
)+
1
3
+J.
Tính J. Ta có J =
2
Z
1
x +1
x(x +2)
=
1
2
2
Z
1
µ
1
x
+
1
x +2
¶
dx =
1
2
ln|x(x +2)|
¯
¯
¯
2
1
=
1
2
(
ln8−ln3
)
.
Vậy I =
5
4
ln2−
1
2
ln3−
1
6
. ä
8 I =
e
Z
1
2x (1 −ln x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
e
2
−3
2
- Lời giải.
I =
e
Z
1
2x (1 −ln x)dx =
e
Z
1
2x dx −2
e
Z
1
xln xdx = x
2
¯
¯
¯
e
1
−2J =e
2
−1−2J.
Tính J. Chọn
u =ln x ⇒ du =
1
x
dx
dv = x dx ⇒ v =
x
2
2
.
Khi đó J =
x
2
2
ln x
¯
¯
¯
e
1
−
1
2
e
Z
1
xdx =
e
2
2
−
1
4
x
2
¯
¯
¯
e
1
=
e
2
2
−
e
2
4
+
1
4
=
e
2
4
+
1
4
.
Vậy I =e
2
−1−
e
2
2
−
1
2
=
e
2
2
−
3
2
. ä
9 I =
e
2
Z
e
(1+lnx)x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
5e
4
4
−
3e
2
4
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 354 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
I =
e
2
Z
e
(1+lnx)x dx =
e
2
Z
e
xln xdx +
e
2
Z
e
xdx = J +
x
2
2
¯
¯
¯
e
2
e
= J +
e
4
2
−
e
2
2
.
Tính J. Chọn
u =ln x ⇒ du =
1
x
dx
dv = x dx ⇒ v =
x
2
2
.
Khi đó J =
x
2
2
ln x
¯
¯
¯
e
2
e
−
1
2
e
2
Z
e
xdx =e
4
−
e
2
2
−
1
4
x
2
¯
¯
¯
e
2
e
=
3e
4
4
−
e
2
4
.
Vậy I =
3e
4
4
−
e
2
4
+
e
4
2
−
e
2
2
=
5e
4
4
−
3e
2
4
. ä
10 I =
3
Z
1
1+ln(x +1)
x
2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =ln3+
2
3
−
2
3
ln2
- Lời giải.
Chọn
u =ln(x +1)+1 ⇒ du =
1
x +1
dx
dv = x
−2
dx ⇒ v =−
1
x
.
Khi đó
I = −
1
x
(ln(x +1)+1)
¯
¯
¯
3
1
+
3
Z
1
1
x(x +1)
dx
=
1
3
ln2+
2
3
+
3
Z
1
µ
1
x
−
1
(x +1)
¶
dx
=
1
3
ln2+
2
3
+(ln|x |−ln|x +1|)
¯
¯
¯
3
1
=
1
3
ln2+
2
3
+ln3−ln4+ln2 =−
2
3
ln2+ln3+
2
3
.
ä
11 I =
3
Z
2
2x ln(x −1)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =8ln2 −
7
2
- Lời giải.
Chọn
u =ln(x −1) ⇒ du =
1
x −1
dx
dv =2x dx ⇒ v = x
2
.
Khi đó I = x
2
ln(x −1)
¯
¯
¯
3
2
−
3
Z
2
x
2
x −1
dx =9ln2−J. Tính J =
3
Z
2
µ
x +1+
1
x −1
¶
dx =
µ
x
2
2
+x +ln|x −1|
¶
¯
¯
¯
3
2
=
7
2
+ln2.
Vậy I =8ln2−
7
2
. ä
12 I =
1
Z
−1
(4x −5)ln(2x +3)dx. . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =16 −15ln5
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 355 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn
u =ln(2x +3) ⇒ du =
2
2x +3
dx
dv =(4x −5)dx ⇒v =2x
2
−5x.
Khi đó
I = (2x
2
−5x)ln(2x +3)
¯
¯
¯
1
−1
−2
1
Z
−1
2x
2
−5x
2x +3
dx
= −3ln5−2
1
Z
−1
µ
x −4+
12
2x +3
¶
dx =−3ln5 −2
µ
x
2
2
−4x +6ln|2x +3|
¶
¯
¯
¯
1
−1
= 16−15ln5.
ä
13 I =
1
Z
0
xln(2 +x
2
)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =ln
3
p
3
2
−
1
2
- Lời giải.
Chọn
u =ln(2+x
2
) ⇒ du =
2x
x
2
+2
dx
dv = x dx ⇒ v =
x
2
2
.
Khi đó
I =
x
2
2
ln(x
2
+2)
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
x
3
x
2
+2
dx =
1
2
ln3−
1
Z
0
µ
x −
2x
x
2
+2
¶
dx
=
1
2
ln3−
µ
x
2
2
−ln(x
2
+2)
¶
¯
¯
¯
1
0
=
1
2
ln3−
1
2
+ln3−ln2 =ln
3
p
3
2
−
1
2
.
ä
14 I =
1
Z
0
(x −5)ln(2x +1)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =5−
57
8
ln3
- Lời giải.
Chọn
u =ln(2x +1) ⇒ du =
2
2x +1
dx
dv =(x −5)dx ⇒v =
x
2
2
−5x.
Khi đó I =
µ
x
2
2
−5x
¶
ln(2x +1)
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
x
2
−10x
2x +1
dx =−
9
2
ln3−J.
Tính J =
1
Z
0
x
2
−10x
2x +1
dx =
1
Z
0
µ
1
2
x −
21
4
+
21
4(2x +1)
¶
dx =
µ
x
2
4
−
21
4
x +
21
8
ln|2x +1|
¶
¯
¯
¯
1
0
=−5 +
21
8
ln3.
Vậy I =−
9
2
ln3+5−
21
8
ln3 =5 −
57
8
ln3. ä
15 I =
ln2
Z
0
e
x
ln(e
x
+1)dx . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =3ln3−2ln2−1
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 356 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn
u =ln(e
x
+1) ⇒ du =
e
x
e
x
+1
dx
dv =e
x
dx ⇒ v =e
x
.
Khi đó I =e
x
ln(e
x
+1)
¯
¯
¯
ln2
0
−
ln2
Z
0
e
2x
e
x
+1
dx =2ln3 −ln2−J.
Tính J. Đặt t =e
x
⇒ dt =e
x
dx .
Đổi cận
x =0 ⇒ t =1
x =ln2 ⇒ t =2.
Khi đó J =
2
Z
1
t
t +1
dt =
2
Z
1
µ
1−
1
t +1
¶
dt =
(
t −ln|t +1|
)
¯
¯
¯
2
1
=1 −ln3+ln2.
Vậy I =3ln3−2ln2−1. ä
16 I =
1
Z
0
ln(x +1)
(x +2)
2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
5
3
ln2−ln3
- Lời giải.
Chọn
u =ln(x +1) ⇒ du =
1
x +1
dx
dv =(x +2)
−2
dx ⇒ v =−
1
x +2
.
Khi đó
I = −
1
x +2
ln(x +1)
¯
¯
¯
1
0
+
1
Z
0
1
(x +1)(x +2)
dx
= −
1
3
ln2+
1
Z
0
µ
1
x +1
−
1
x +2
¶
dx
= −
1
3
ln2+
(
ln|x +1|−ln|x +2|
)
¯
¯
¯
1
0
=
5
3
ln2−ln3.
ä
17 I =
3
Z
2
ln[2+x(x
2
−3)]dx . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =−4ln2+5ln5−3
- Lời giải.
Chọn
u =ln(x
3
−3x +2) ⇒ du =
3x
2
−3
x
3
−3x +2
dx =
3(x +1)
(x −1)(x +2)
dx
dv = dx ⇒ v = x.
Khi đó
I = x ln(x
3
−3x +2)
¯
¯
¯
3
2
−3
3
Z
2
x
2
+x
(x −1)(x +2)
dx
= 3ln20−2ln4−3
3
Z
2
µ
1+
2
3
µ
1
x −1
−
1
x +2
¶¶
dx
= 3ln20−2ln4−
µ
3x +2ln
|x −1|
|x +2|
¶
¯
¯
¯
3
2
= 3ln20−2ln4−3−2ln
8
5
=−4ln2+5ln5−3.
ä
Th.s Nguyễn Chín Em 357 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
18 I =
1
Z
0
ln(4x
2
+8x +3)
(x +1)
3
dx . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =−
1
8
ln15+
1
2
ln3+ln
25
16
- Lời giải.
Chọn
u =ln(4x
2
+8x +3) ⇒ du =
8x +8
4x
2
+8x +3
dx
dv =
1
(x +1)
3
dx ⇒ v =−
1
2(x +1)
2
.
Khi đó
I = −
1
2(x +1)
2
ln(4x
2
+8x +3)
¯
¯
¯
1
0
+
1
Z
0
8x +8
2(4x
2
+8x +3)(x +1)
2
dx
= −
1
8
ln15+
1
2
ln3+
1
Z
0
4
(2x +1)(2x +3)(x +1)
dx
= −
1
8
ln15+
1
2
ln3+4
1
Z
0
µ
1
2x +1
+
1
2x +3
−
1
x +1
¶
dx
= −
1
8
ln15+
1
2
ln3+
(
2ln|2x +1|+2ln|2x +3|−4ln|x +1|
)
¯
¯
¯
1
0
= −
1
8
ln15+
1
2
ln3+ln
25
16
.
ä
19 I =
π
2
Z
π
4
log(3sin x +cos x)
sin
2
x
dx . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =log
128
p
2
27
−
π
4ln10
- Lời giải.
Với mọi x ∈
h
π
4
;
π
2
i
, ta có
log(3sin x +cos x)
sin
2
x
=
log[sin x(3 +cot x)]
sin
2
x
=
logsin x
sin
2
x
+
log(3+cotx)
sin
2
x
.
Tính I
1
=
π
2
Z
π
4
logsin x
sin
2
x
dx :
Chọn
u =logsin x ⇒ du =
1
sin x ·ln10
·cosx dx
dv =
1
sin
2
x
dx ⇒ v =−cot x.
Th.s Nguyễn Chín Em 358 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó
I
1
= −cot xlogsinx
¯
¯
¯
π
2
π
4
+
π
2
Z
π
4
cot
2
x
ln10
dx
= log
p
2
2
+
1
ln10
π
2
Z
π
4
µ
1
sin
2
x
−1
¶
dx
= log
p
2
2
+
1
ln10
(
−cot x −x
)
¯
¯
¯
π
2
π
4
= log
p
2
2
+
1
ln10
³
−
π
4
+1
´
.
Tính I
2
=
π
2
Z
π
4
log(3+cotx)
sin
2
x
dx :
Chọn
u =log(3+cotx) ⇒ du =
1
(3+cotx)ln10
d(cot x)
dv =
1
sin
2
x
dx ⇒ v =−cot x.
Khi đó
I
2
= −cot xlog(3 +cot x )
¯
¯
¯
π
2
π
4
+
1
ln10
π
2
Z
π
4
cot x
3+cotx
d(cot x)
= log4 +
1
ln10
π
2
Z
π
4
µ
1−
3
3+cotx
¶
d(cot x)
= log4 +
1
ln10
(
cot x −3ln|3 +cot x|
)
¯
¯
¯
π
2
π
4
= log4 +
1
ln10
µ
3ln
4
3
−1
¶
.
Vậy I = I
1
+I
2
=log
p
2
2
+
1
ln10
³
−
π
4
+1
´
+log4+
1
ln10
µ
3ln
4
3
−1
¶
=log
128
p
2
27
−
π
4ln10
. ä
Ví dụ 9. Tính I =
π
2
Z
0
(
2x −1
)
cos2x dx. . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =−1
Lời giải: Đặt
u =2x −1
dv =cos2xdx
⇒
du =2dx
v =
sin2x
2
.
Do đó I =
(
2x −1
)
sin2x
2
¯
¯
¯
¯
π
2
0
−
π
2
Z
0
sin2x dx =
cos2x
2
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=−1.
Th.s Nguyễn Chín Em 359 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ví dụ 10. Tính I =
π
2
Z
0
e
2x
¡
1+xe
−2x
cos x
¢
dx . . . . . . . . . . . ĐS: I =
e
π
−3
2
+
π
2
Lời giải: Có I =
π
2
Z
0
e
2x
¡
1+xe
−2x
cos x
¢
dx =
π
2
Z
0
e
2x
dx +
π
2
Z
0
xcos xdx =
e
2x
2
¯
¯
¯
¯
π
2
0
+J =
e
π
−1
2
+J.
Đặt
u = x
dv =cos x dx
⇒
du = dx
v =sin x.
Do đó J = x sinx
¯
¯
¯
¯
π
2
0
−
π
2
Z
0
sin x dx =
π
2
+cosx
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=
π
2
−1.
Vậy I =
e
π
−1
2
+
π
2
−1 =
e
π
−3
2
+
π
2
.
Ví dụ 11. Tính I =
2
Z
1
¡
2x
3
+lnx
¢
xdx. . . . . . . . . . . . . ĐS: I =2ln2+
233
20
Lời giải: Có I =
2
Z
1
2x
4
dx +
2
Z
1
xln xdx = I
1
+I
2
.
+ I
1
=
2x
5
5
¯
¯
¯
¯
2
1
=
62
5
.
+ I
2
=
2
Z
1
xln xdx.
Đặt
u =ln x
dv = x dx
⇒
du =
1
x
dx
v =
x
2
2
.
Suy ra I
2
=
x
2
ln x
2
¯
¯
¯
¯
2
1
−
2
Z
1
x
2
dx =2ln2 −
x
2
4
¯
¯
¯
¯
2
1
=2ln2−
3
4
.
Vậy I =2ln2+
233
20
.
Ví dụ 12. Tính I =
π
2
Z
π
4
log
2
(
3sin x +cos x
)
sin
2
x
dx . . . . . . . ĐS: I =
1
ln2
µ
ln2
p
2+3ln
4
3
−
π
4
¶
Lời giải: Có I =
1
ln2
π
2
Z
π
4
ln
(
3sin x +cos x
)
sin
2
x
dx .
Đặt
u =ln
(
3sin x +cos x
)
dv =
1
sin
2
x
dx
⇒
du =
3cos x −sin x
3sin x +cos x
dx
v =−cotx.
Suy ra ln2 ·I =−cot x ·ln
(
3sin x +cos x
)
¯
¯
¯
¯
π
2
π
4
+J =ln2
p
2+J.
Th.s Nguyễn Chín Em 360 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Với J =
π
2
Z
π
4
3cos
2
x −sinx cosx
3sin
2
x +sinx cosx
dx =
π
2
Z
π
4
3
3sin
2
x +sinx cosx
dx −
π
2
Z
π
4
dx =
π
2
Z
π
4
3
(
3+cotx
)
sin
2
x
dx −
π
4
=−3ln
|
3+cotx
|
¯
¯
¯
¯
π
2
π
4
−
π
4
=3ln
4
3
−
π
4
.
Vậy I =
1
ln2
µ
ln2
p
2+3ln
4
3
−
π
4
¶
.
Bài 3. Tính các tích phân sau:
1 I =
π
2
Z
0
xsin xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =1
- Lời giải.
Chọn
u = x ⇒ du = dx
dv =sin x dx ⇒ v =−cos x.
Khi đó I =−x cos x
¯
¯
¯
π
2
0
+
π
2
Z
0
cos x dx =sin x
¯
¯
¯
π
2
0
=1. ä
2 I =
π
4
Z
0
2x cosxdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
p
2
4
π +
p
2−2
- Lời giải.
Chọn
u =2x ⇒ du =2dx
dv =cos x dx ⇒ v =sin x.
Khi đó I =2x sin x
¯
¯
¯
π
4
0
−
π
4
Z
0
2sin x dx =
p
2
4
π +2cosx
¯
¯
¯
π
4
0
=
p
2
4
π +
p
2−2. ä
3 I =
π
4
Z
0
(x +1)sin2xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
3
4
- Lời giải.
Chọn
u = x +1 ⇒ du = dx
dv =sin2xdx ⇒ v =−
1
2
cos2x.
Khi đó I =−
1
2
(x +1)cos2x
¯
¯
¯
π
4
0
+
π
4
Z
0
1
2
cos2x dx =
1
2
+
1
4
sin2x
¯
¯
¯
π
4
0
=
3
4
. ä
4 I =
π
2
Z
0
(x −2)cos xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
π
2
−3
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 361 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn
u = x −2 ⇒ du = dx
dv =cos x dx ⇒ v =sin x.
Khi đó I =(x −2)sin x
¯
¯
¯
π
2
0
−
π
2
Z
0
sin x dx =
π
2
−2+cos x
¯
¯
¯
π
2
0
=
π
2
−3. ä
5 I =
π
2
Z
0
(x +1)cos xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
π
2
- Lời giải.
Chọn
u = x −2 ⇒ du = dx
dv =cos x dx ⇒ v =sin x.
Khi đó I =(x +1)sin x
¯
¯
¯
π
2
0
−
π
2
Z
0
sin x dx =
π
2
+1+cos x
¯
¯
¯
π
2
0
=
π
2
. ä
6 I =
π
2
Z
0
(x −1)sin xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =0
- Lời giải.
Chọn
u = x −1 ⇒ du = dx
dv =sin x dx ⇒ v =−cos x.
Khi đó I =−(x −1)cos x
¯
¯
¯
π
2
0
+
π
2
Z
0
cos x dx =−1 +sin x
¯
¯
¯
π
2
0
=0. ä
7 I =
π
2
Z
0
(2x +1)sin xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =3
- Lời giải.
Chọn
u =2x +1 ⇒ du =2dx
dv =sin x dx ⇒ v =−cos x.
Khi đó I =−(2x +1)cos x
¯
¯
¯
π
2
0
+
π
2
Z
0
2cos x dx =1+2sinx
¯
¯
¯
π
2
0
=3. ä
8
I =
π
2
Z
0
xcos2xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =−
1
2
- Lời giải.
Chọn
u = x ⇒ du = dx
dv =cos2xdx ⇒ v =
1
2
sin2x.
Khi đó I =
1
2
xsin2x
¯
¯
¯
π
2
0
−
π
2
Z
0
1
2
sin2x dx =
1
4
cos2x
¯
¯
¯
π
2
0
=−
1
2
. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 362 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Bài 4. Tính các tích phân sau:
1 I =
π
4
Z
0
(
3−2x
)
sin2x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =1
- Lời giải.
Đặt
u =3−2x
dv =sin2xdx
⇒
du =−2dx
v =−
cos2x
2
.
Do đó I =
µ
−
(
3−2x
)
cos2x
2
¶
¯
¯
¯
¯
π
4
0
−
π
4
Z
0
cos2x dx =
3
2
−
sin2x
2
¯
¯
¯
¯
π
4
0
=1. ä
2 I =
π
2
Z
0
3x cosxdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
3π
2
−3
- Lời giải.
Đặt
u =3x
dv =cos x dx
⇒
du = dx
v =sin x.
Do đó I =3x sin x
¯
¯
¯
¯
π
2
0
−
π
2
Z
0
3sin x dx =
3π
2
+3cos x
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=
3π
2
−3. ä
3 I =
π
2
Z
0
xsin
2
xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
π
2
16
+
1
4
- Lời giải.
Có I =
π
2
Z
0
x −x cos2x
2
dx =
π
2
Z
0
x
2
dx −
π
2
Z
0
xcos2x
2
dx =
1
2
I
1
−
1
2
I
2
.
+ I
1
=
π
2
Z
0
xdx =
x
2
2
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=
π
2
8
.
+ I
2
=
π
2
Z
0
xcos2xdx.
Đặt
u = x
dv =cos2xdx
⇒
du = dx
v =
sin2x
2
.
Do đó I
2
=
xsin2x
2
¯
¯
¯
¯
π
2
0
−
π
2
Z
0
sin2x
2
dx =
cos2x
4
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=−
1
2
.
Vậy I =
π
2
16
+
1
4
. ä
4 I =
π
2
Z
0
xcos
2
xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
π
2
16
−
1
4
Th.s Nguyễn Chín Em 363 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Có I =
π
2
Z
0
xcos
2
xdx =
π
2
Z
0
x +x cos2x
2
dx =
π
2
Z
0
x
2
dx +
π
2
Z
0
xcos2x
2
dx =
1
2
I
1
+
1
2
I
2
.
+ I
1
=
π
2
Z
0
xdx =
x
2
2
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=
π
2
8
.
+ I
2
=
π
2
Z
0
xcos2xdx.
Đặt
u = x
dv =cos2xdx
⇒
du = dx
v =
sin2x
2
.
Do đó I
2
=
xsin2x
2
¯
¯
¯
¯
π
2
0
−
π
2
Z
0
sin2x
2
dx =
cos2x
4
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=−
1
2
.
Vậy I =
π
2
16
−
1
4
. ä
5 I =
π
3
Z
0
¡
x +2cos
2
x
¢
xdx. . . . . . . . . . . . . . . . ĐS:
π
3
81
+
π
2
18
+
π
p
3
12
−
3
8
- Lời giải.
Có I =
π
3
Z
0
¡
x +2cos
2
x
¢
xdx =
π
3
Z
0
¡
x
2
+x +x cos2x
¢
dx =
π
3
Z
0
¡
x
2
+x
¢
dx +
π
3
Z
0
xcos2xdx = I
1
+I
2
.
+ I
1
=
π
3
Z
0
¡
x
2
+x
¢
dx =
µ
x
3
3
+
x
2
2
¶
¯
¯
¯
¯
π
3
0
=
π
3
81
+
π
2
18
.
+ I
2
=
π
3
Z
0
xcos2xdx.
Đặt
u = x
dv =cos2xdx
⇒
du = dx
v =
sin2x
2
.
Do đó I
2
=
xsin2x
2
¯
¯
¯
¯
π
3
0
−
π
3
Z
0
sin2x
2
dx =
π
p
3
12
+
cos2x
4
¯
¯
¯
¯
π
3
0
=
π
p
3
12
−
3
8
.
Vậy I =
π
3
81
+
π
2
18
+
π
p
3
12
−
3
8
. ä
6 I =
π
4
Z
0
ln
(
cos x
)
cos
2
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =−
1
2
ln2+1−
π
4
- Lời giải.
Đặt
u =ln
(
cos x
)
dv =
1
cos
2
x
dx
⇒
du =−
sin x
cos x
dx =−tan x dx
v =tan x.
Th.s Nguyễn Chín Em 364 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Do đó I =tan x ln
(
cos x
)
¯
¯
¯
¯
π
4
0
+
π
4
Z
0
tan
2
xdx =ln
p
2
2
+
π
4
Z
0
µ
1
cos
2
x
−1
¶
dx =−
1
2
ln2+
(
tan x −x
)
¯
¯
¯
¯
π
4
0
=−
1
2
ln2+1−
π
4
. ä
7 I =
π
2
Z
0
¡
x
2
+1
¢
sin x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =π −1
- Lời giải.
Đặt
u = x
2
+1
dv =sin x dx
⇒
du =2x dx
v =−cosx.
Do đó I =−
¡
x
2
+1
¢
cos x
¯
¯
¯
¯
π
2
0
+2
π
2
Z
0
xcos xdx =1 +2J.
Đặt
u = x
dv =cos x dx
⇒
du = dx
v =sin x.
Do đó J = x sinx
¯
¯
¯
¯
π
2
0
−
π
2
Z
0
sin x dx =
π
2
+cosx
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=
π
2
−1.
Vậy I =1+2
³
π
2
−1
´
=π −1. ä
8 I =
π
Z
0
x
(
x −sinx
)
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
π
3
3
−π
- Lời giải.
Có I =
π
Z
0
x
(
x −sinx
)
dx =
π
Z
0
x
2
dx −
π
Z
0
xsin xdx =
x
3
3
¯
¯
¯
¯
π
0
−J =
π
3
3
−J.
Đặt
u = x
dv =sin x dx
⇒
du = dx
v =−cosx.
Do đó J =−x cos x
¯
¯
¯
¯
π
0
+
π
Z
0
cos x dx =π +sin x
¯
¯
¯
¯
π
0
=π.
Vậy I =
π
3
3
−π. ä
9 I =
π
2
Z
0
(
x +cos3x
)
xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
π
3
24
−
π
6
−
1
9
- Lời giải.
Có I =
π
2
Z
0
(
x +cos3x
)
xdx =
π
2
Z
0
x
2
dx +
π
2
Z
0
xcos3xdx =
x
3
3
¯
¯
¯
¯
π
2
0
+J =
π
3
24
+J.
Đặt
u = x
dv =cos3xdx
⇒
du = dx
v =
sin3x
3
.
Th.s Nguyễn Chín Em 365 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Do đó J =
xsin3x
3
¯
¯
¯
¯
π
2
0
−
1
3
π
2
Z
0
sin3x dx =−
π
6
+
cos3x
9
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=−
π
6
−
1
9
.
Vậy I =
π
3
24
−
π
6
−
1
9
. ä
10 I =
π
4
Z
0
x
(
1+sin2x
)
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
π
2
32
+
1
4
- Lời giải.
Có I =
π
4
Z
0
x
(
1+sin2x
)
dx =
π
4
Z
0
xdx +
π
4
Z
0
xsin2xdx =
x
2
2
¯
¯
¯
¯
π
4
0
+
π
4
Z
0
xsin2xdx =
π
2
32
+J.
Đặt
u = x
dv =sin2xdx
⇒
du = dx
v =−
cos2x
2
.
Do đó J =−
xcos2x
2
¯
¯
¯
¯
π
4
0
+
1
2
π
4
Z
0
cos2x dx =
sin2x
4
¯
¯
¯
¯
π
4
0
=
1
4
.
Vậy I =
π
2
32
+
1
4
. ä
11 I =
π
2
Z
0
cos x
(
x −2sin x
)
dx .. . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
π
2
−2
- Lời giải.
Có I =
π
2
Z
0
cos x
(
x −2sin x
)
dx =
π
2
Z
0
xcos xdx −
π
2
Z
0
sin2x dx = J +
cos2x
2
¯
¯
¯
¯
π
2
0
= J −1.
Đặt
u = x
dv =cos x dx
⇒
du = dx
v =sin x.
Do đó J = x sinx
¯
¯
¯
¯
π
2
0
−
π
2
Z
0
sin x dx =
π
2
+cosx
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=
π
2
−1.
Vậy I =
π
2
−2. ä
12 I =
π
2
Z
0
(
x −sinx
)
2
dx .. . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
π
3
24
+
π
4
−2
- Lời giải.
Có I =
π
2
Z
0
(
x −sinx
)
2
dx =
π
2
Z
0
¡
x
2
+sin
2
x
¢
dx −2
π
2
Z
0
xsin xdx = I
1
−2I
2
.
+ I
1
=
π
2
Z
0
¡
x
2
+sin
2
x
¢
dx =
π
2
Z
0
x
2
dx +
π
2
Z
0
1−cos2x
2
dx =
π
2
Z
0
x
2
dx +
1
2
π
2
Z
0
dx −
1
2
π
2
Z
0
cos2x dx
=
x
3
3
¯
¯
¯
¯
π
2
0
+
x
2
¯
¯
¯
¯
π
2
0
−
sin2x
4
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=
π
3
24
+
π
4
.
Th.s Nguyễn Chín Em 366 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
+ I
2
=
π
2
Z
0
xsin xdx.
Đặt
u = x
dv =sin x dx
⇒
du = dx
v =−cosx.
Do đó I
2
=−xcos x
¯
¯
¯
¯
π
2
0
+
π
2
Z
0
cos x dx =sin x
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=1.
Vậy I =
π
3
24
+
π
4
−2. ä
13 I =
π
2
4
Z
0
cos
p
xdx.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =π −2
- Lời giải.
Đặt t =
p
x ⇒ t
2
= x ⇒2tdt = dx.
Đổi cận
x =0 ⇒t =0
x =
π
2
4
⇒t =
π
2
.
Vậy I =
π
2
Z
0
2t costdt.
Đặt
u =2t
dv =cos t dt
⇒
du =2dt
v =sin t.
Suy ra I =2t sin t
¯
¯
¯
¯
π
2
0
−
π
2
Z
0
2sin t dt =π +2cost
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=π −2. ä
14 I =
π
2
Z
0
sin
p
xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =2π
- Lời giải.
Đặt t =
p
x ⇒ t
2
= x ⇒2tdt = dx.
Đổi cận
x =0 ⇒t =0
x =π
2
⇒t =π.
Vậy I =
π
Z
0
2t sintdt.
Đặt
u =2t
dv =sin t dt
⇒
du =2dt
v =−cost.
Suy ra I =−2t cos t
¯
¯
¯
¯
π
0
+
π
Z
0
2cos t dt =2π +2sint
¯
¯
¯
¯
π
0
=2π. ä
15 I =
π
2
Z
0
sin2x ln
(
1+cosx
)
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
1
2
Th.s Nguyễn Chín Em 367 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Có I =
π
2
Z
0
sin2x ln
(
1+cosx
)
dx =
π
2
Z
0
2sin x cosx ln
(
1+cosx
)
dx .
Đặt t =1+cosx ⇒cos x = t −1 ⇒−sin x dx = dt.
Đổi cận
x =0 ⇒t =2
x =
π
2
⇒t =1.
Vậy I =−
1
Z
2
2
(
t −1
)
ln t dt =
2
Z
1
(
2t −2
)
ln t dt.
Đặt
u =ln t
dv =
(
2t −2
)
dt
⇒
du =
1
t
dt
v = t
2
−2t.
Suy ra I =
¡
t
2
−2t
¢
ln t
¯
¯
¯
¯
2
1
−
2
Z
1
t
2
−2t
t
dt =−
2
Z
1
(
t −2
)
dt =−
µ
t
2
2
−2t
¶
¯
¯
¯
¯
2
1
=
1
2
. ä
16 I =
π
2
Z
0
sin2x ln
¡
1+cos
2
x
¢
dx . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =2ln2 −1
- Lời giải.
Đặt t =1+cos
2
x ⇒ dt =−2cosxsin x dx =−sin2xdx.
Đổi cận
x =0 ⇒t =2
x =
π
2
⇒t =1.
Vậy I =−
1
Z
2
ln t dt =
2
Z
1
ln t dt.
Đặt
u =ln t
dv = dt
⇒
du =
1
t
dt
v = t.
Suy ra I = t ln t
¯
¯
¯
¯
2
1
−
2
Z
1
dt =2ln2 −t
¯
¯
¯
¯
2
1
=2ln2−1. ä
Bài 5. Tính các tích phân sau:
1 I =
1
Z
0
(
1−x
)
¡
2+e
2x
¢
dx .. . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
e
2
4
+
1
4
- Lời giải.
Có I =
1
Z
0
(
2−2x
)
dx +
1
Z
0
(
1−x
)
e
2x
dx = I
1
+I
2
.
+ I
1
=
¡
2x −x
2
¢
¯
¯
¯
¯
1
0
=1.
+ I
2
=
1
Z
0
(
1−x
)
e
2x
dx .
Th.s Nguyễn Chín Em 368 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt
u =1−x
dv =e
2x
dx
⇒
du =−dx
v =
e
2x
2
.
Suy ra I
2
=
(
1−x
)
e
2x
2
¯
¯
¯
¯
1
0
+
1
2
1
Z
0
e
2x
dx =−
1
2
+
e
2x
4
¯
¯
¯
¯
1
0
=
e
2
4
−
3
4
.
Vậy I =
e
2
4
+
1
4
. ä
2 I =
π
Z
0
x
(
x −sinx
)
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
π
3
3
−π
- Lời giải.
Có I =
π
Z
0
x
2
dx −
π
Z
0
xsin xdx = I
1
−I
2
.
+ I
1
=
x
3
3
¯
¯
¯
¯
π
0
=
π
3
3
.
+ I
2
=
π
Z
0
xsin xdx.
Đặt
u = x
dv =sin x dx
⇒
du = dx
v =−cosx.
Suy ra I
2
=−xcos x
¯
¯
¯
¯
π
0
+
π
Z
0
cos x dx =π +sin x
¯
¯
¯
¯
π
0
=π.
Vậy I =
π
3
3
−π. ä
3 I =
2
Z
1
x
3
−2ln x
x
2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =ln2 +
1
2
- Lời giải.
Có I =
2
Z
1
xdx −2
2
Z
1
ln x
x
2
dx = I
1
−2I
2
.
+ I
1
=
x
2
2
¯
¯
¯
¯
2
1
=
3
2
.
+ I
2
=
2
Z
1
ln x
x
2
dx .
Đặt
u =ln x
dv =
1
x
2
dx
⇒
du =
1
x
dx
v =−
1
x
.
Suy ra I
2
=−
ln x
x
¯
¯
¯
¯
2
1
+
2
Z
1
1
x
2
dx =−
ln2
2
−
1
x
¯
¯
¯
¯
2
1
=−
ln2
2
+
1
2
.
Vậy I =
3
2
+ln2−1 =ln2+
1
2
. ä
4 I =
2
Z
1
1+x
2
e
x
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =e
2
+ln2
Th.s Nguyễn Chín Em 369 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Có I =
2
Z
1
1
x
dx +
2
Z
1
xe
x
dx = I
1
+I
2
.
+ I
1
=ln x
¯
¯
¯
¯
2
1
=ln2.
+ I
2
=
2
Z
1
xe
x
dx .
Đặt
u = x
dv =e
x
dx
⇒
du = dx
v =e
x
.
Suy ra I
2
= xe
x
¯
¯
¯
¯
2
1
−
2
Z
1
e
x
dx =2e
2
−e−e
x
¯
¯
¯
¯
2
1
=e
2
.
Vậy I =e
2
+ln2. ä
5 I =
1
Z
0
e
x
+x
e
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =2−
2
e
- Lời giải.
Có I =
1
Z
0
dx +
1
Z
0
xe
−x
dx = I
1
+I
2
.
+ I
1
= x
¯
¯
¯
¯
1
0
=1.
+ I
2
=
1
Z
0
xe
−x
dx .
Đặt
u = x
dv =e
−x
dx
⇒
du = dx
v =−e
−x
.
Suy ra I
2
=−xe
−x
¯
¯
¯
¯
1
0
+
1
Z
0
e
−x
dx =−
1
e
−e
−x
¯
¯
¯
¯
1
0
=1 −
2
e
.
Vậy I =2−
2
e
. ä
6 I =
3
Z
1
1+ln
(
x +1
)
x
2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
2
3
+ln3−
2
3
ln2
- Lời giải.
Có I =
3
Z
1
1
x
2
dx +
3
Z
1
ln
(
x +1
)
x
2
dx = I
1
+I
2
.
+ I
1
=−
1
x
¯
¯
¯
¯
3
1
=
2
3
.
+ I
2
=
3
Z
1
ln
(
x +1
)
x
2
dx .
Đặt
u =ln
(
x +1
)
dv =
1
x
2
dx
⇒
du =
1
x +1
dx
v =−
1
x
.
Th.s Nguyễn Chín Em 370 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Suy ra I
2
=−
1
x
ln
(
x +1
)
¯
¯
¯
¯
3
1
+
3
Z
1
1
x
(
x +1
)
dx =
1
3
ln2+
3
Z
1
µ
1
x
−
1
x +1
¶
dx =
1
3
ln2+ln
¯
¯
¯
x
x +1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
3
1
=ln3−
2
3
ln2.
Vậy I =
2
3
+ln3−
2
3
ln2. ä
7 I =
1
Z
0
x
µ
e
x
+
2
x +1
¶
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =3 −2ln2
- Lời giải.
Có I =
1
Z
0
xe
x
dx +
1
Z
0
2x
x +1
dx = I
1
+I
2
.
+ I
1
=
1
Z
0
xe
x
dx .
Đặt
u = x
dv =e
x
dx
⇒
du = dx
v =e
x
.
Suy ra I
1
= xe
x
¯
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
e
x
dx =e−e
x
¯
¯
¯
¯
1
0
=1.
+ I
2
=
1
Z
0
2x
x +1
dx =
1
Z
0
µ
2−
2
x +1
¶
dx =
(
2x −2ln
|
x +1
|
)
¯
¯
¯
¯
1
0
=2 −2ln2.
Vậy I =3−2ln2. ä
8 I =
1
Z
0
³
e
x
+
p
3x
2
+1
´
xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
16
9
- Lời giải.
Có I =
1
Z
0
xe
x
dx +
1
Z
0
x
p
3x
2
+1dx = I
1
+I
2
.
+ I
1
=
1
Z
0
xe
x
dx .
Đặt
u = x
dv =e
x
dx
⇒
du = dx
v =e
x
.
Suy ra I
2
= xe
x
¯
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
e
x
dx =e−e
x
¯
¯
¯
¯
1
0
=1.
+ I
2
=
1
Z
0
x
p
3x
2
+1dx .
Đặt t =
p
3x
2
+1 ⇒ t
2
=3x
2
+1 ⇒ t dt =3xdx ⇒ xdx =
t
3
dt.
Đổi cận
x =0 ⇒t =1
x =1 ⇒t =2
.
Th.s Nguyễn Chín Em 371 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Suy ra I
2
=
2
Z
1
t
2
3
dt =
t
3
9
¯
¯
¯
¯
2
1
=
7
9
.
Vậy I =1+
7
9
=
16
9
. ä
9 I =
π
2
Z
0
¡
x +cos
2
x
¢
sin x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
4
3
- Lời giải.
Có I =
π
2
Z
0
xsin xdx +
π
2
Z
0
cos
2
xsin xdx = I
1
+I
2
.
+ I
1
=
π
2
Z
0
xsin xdx.
Đặt
u = x
dv =sin x dx
⇒
du = dx
v =−cosx.
Suy ra I
2
=−xcos x
¯
¯
¯
¯
π
2
0
+
π
2
Z
0
cos x dx =sin x
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=1.
+ I
2
=
π
2
Z
0
cos
2
xsin xdx.
Đặt t =cos x ⇒ dt =−sin x dx.
Đổi cận
x =0 ⇒t =1
x =
π
2
⇒t =0.
Suy ra I
2
=−
0
Z
1
t
2
dt =
1
Z
0
t
2
dt =
t
3
3
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
3
.
Vậy I =1+
1
3
=
4
3
. ä
10 I =
e
Z
1
µ
x +
1
x
¶
ln x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
e
2
+3
4
- Lời giải.
Có I =
e
Z
1
xln xdx +
e
Z
1
ln x
x
dx = I
1
+I
2
.
+ I
1
=
e
Z
1
xln xdx.
Đặt
u =ln x
dv = x dx
⇒
du =
1
x
dx
v =
x
2
2
.
Suy ra I
1
=
x
2
ln x
2
¯
¯
¯
¯
e
1
−
e
Z
1
x
2
dx =
e
2
2
−
x
2
4
¯
¯
¯
¯
e
1
=
e
2
+1
4
.
Th.s Nguyễn Chín Em 372 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
I
2
=
e
Z
1
ln x
x
dx .
Đặt t =ln x ⇒ dt =
1
x
dx .
Đổi cận
x =1 ⇒t =0
x =e ⇒t =1.
Suy ra I
2
=
1
Z
0
tdt =
t
2
2
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
2
.
Vậy I =
e
2
+1
4
+
1
2
=
e
2
+3
4
. ä
11 I =
1
Z
0
x
3
e
x
2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
1
2
- Lời giải.
Đặt t = x
2
⇒ dt =2xdx.
Đổi cận
x =0 ⇒t =0
x =1 ⇒t =1.
Suy ra I =
1
2
1
Z
0
te
t
dt.
Đặt
u = t
dv =e
t
dt
⇒
du = dt
v =e
t
.
Suy ra I =
1
2
te
t
¯
¯
¯
¯
1
0
−
1
2
1
Z
0
e
t
dt =
e
2
−
e
t
2
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
2
. ä
12 I =
1
Z
0
x
5
e
x
3
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
1
3
- Lời giải.
Đặt t = x
3
⇒ dt =3x
2
dx .
Đổi cận
x =0 ⇒t =0
x =1 ⇒t =1.
Suy ra I =
1
3
1
Z
0
te
t
dt.
Đặt
u = t
dv =e
t
dt
⇒
du = dt
v =e
t
.
Suy ra I =
1
3
te
t
¯
¯
¯
¯
1
0
−
1
3
1
Z
0
e
t
dt =
e
3
−
e
t
3
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
3
. ä
13 I =
1
Z
0
¡
8x
3
−2x
¢
e
x
2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =5 −e
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 373 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Có I =8
1
Z
0
x
3
e
x
2
dx −2
1
Z
0
xe
x
2
dx =8I
1
−2I
2
.
+ I
1
=
1
Z
0
x
3
e
x
2
dx .
Đặt t = x
2
⇒ dt =2xdx.
Đổi cận
x =0 ⇒t =0
x =1 ⇒t =1.
Suy ra I
1
=
1
2
1
Z
0
te
t
dt.
Đặt
u = t
dv =e
t
dt
⇒
du = dt
v =e
t
.
Suy ra I
1
=
1
2
te
t
¯
¯
¯
¯
1
0
−
1
2
1
Z
0
e
t
dt =
e
2
−
e
t
2
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
2
.
+ I
2
=
1
Z
0
xe
x
2
dx .
Đặt t = x
2
⇒ dt =2xdx.
Đổi cận
x =0 ⇒t =0
x =1 ⇒t =1.
Suy ra I
2
=
1
2
1
Z
0
e
t
dt =
1
2
e
t
¯
¯
¯
¯
1
0
=
e−1
2
.
Vậy I =4−e+1 =5 −e. ä
14 I =
1
Z
0
p
xe
p
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =2e−4
- Lời giải.
Đặt t =
p
x ⇒ t
2
= x ⇒2tdt = dx.
Đổi cận
x =0 ⇒t =0
x =1 ⇒t =1.
Suy ra I =2
1
Z
0
t
2
e
t
dt.
Đặt
u = t
2
dv =e
t
dt
⇒
du =2t dt
v =e
t
.
Do đó I =2t
2
e
t
¯
¯
¯
¯
1
0
−4
1
Z
0
te
t
dt =2e−4J.
Đặt
u = t
dv =e
t
dt
⇒
du = dt
v =e
t
.
Suy ra J = te
t
¯
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
e
t
dt =e−e
t
¯
¯
¯
¯
1
0
=1.
Vậy I =2e−4. ä
Th.s Nguyễn Chín Em 374 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
15 I =
π
3
27
Z
0
sin
3
p
xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =−
π
2
6
+π
p
3−3
- Lời giải.
Đặt t =
3
p
x ⇒ t
3
= x ⇒3t
2
dt = dx .
Đổi cận
x =0 ⇒t =0
x =
π
3
27
⇒t =
π
3
.
Suy ra I =3
π
3
Z
0
t
2
sin t dt.
Đặt
u = t
2
dv =sin t dt
⇒
du =2t dt
v =−cost.
Suy ra I =−3t
2
cos t
¯
¯
¯
¯
π
3
0
+6
π
3
Z
0
tcos tdt =−
π
2
6
+6J.
Đặt
u = t
dv =cos t dt
⇒
du = dt
v =sin t.
Suy ra J = t sin t
¯
¯
¯
¯
π
3
0
−
π
3
Z
0
sin t dx =
π
p
3
6
+cost
¯
¯
¯
¯
π
3
0
=
π
p
3
6
−
1
2
=
π
p
3−3
6
.
Vậy I =−
π
2
6
+π
p
3−3. ä
16 I =
1
Z
1−
π
2
4
cos
p
1−xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =π −2
- Lời giải.
Đặt t =
p
1−x ⇒ t
2
=1 −x ⇒2t dt =−dx.
Đổi cận
x =1 −
π
2
4
⇒t =
π
2
x =1 ⇒t =0.
Suy ra I =−2
0
Z
π
2
tcos tdt =2
π
2
Z
0
tcos tdt.
Đặt
u = t
dv =cos t dt
⇒
du = dt
v =sin t.
Suy ra I =2t sin t
¯
¯
¯
¯
π
2
0
−2
π
2
Z
0
sin t dt =π +2cos t
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=π −2. ä
17 I =
π
2
Z
π
6
cos x ln
(
sin x
)
sin
2
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =1−2ln2
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 375 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt t =sin x ⇒ dt =cos x dx.
Đổi cận
x =
π
6
⇒t =
1
2
x =
π
2
⇒t =1.
Suy ra I =
1
Z
1
2
ln t
t
2
dt.
Đặt
u =ln t
dv =
1
t
2
dt
⇒
du =
1
t
dt
v =−
1
t
.
Suy ra I =−
ln t
t
¯
¯
¯
¯
1
1
2
+
1
Z
1
2
1
t
2
dt =2ln
1
2
−
1
t
¯
¯
¯
¯
1
1
2
=1 −2ln2. ä
18
I =
π
3
Z
π
4
ln
(
tan x
)
cos
2
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I =
p
3ln3
2
−
p
3+1
- Lời giải.
Đặt t =tan x ⇒ dt =
1
cos
2
x
dx .
Đổi cận
x =
π
4
⇒t =1
x =
π
3
⇒t =
p
3.
Suy ra I =
p
3
Z
1
ln t dt.
Đặt
u =ln t
dv = dt
⇒
du =
1
t
dt
v = t.
Suy ra I = t ln t
¯
¯
¯
¯
p
3
1
−
p
3
Z
1
dt =
p
3ln
p
3−t
¯
¯
¯
¯
p
3
1
=
p
3ln3
2
−
p
3+1. ä
B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1 NHẬN BIẾT
Câu 1. Cho hàm số f
(
x
)
liên tục trên R và thỏa mãn
6
Z
0
f
(
x
)
dx = 7,
10
Z
3
f
(
x
)
dx = 8,
6
Z
3
f
(
x
)
dx = 9. Giá trị
của I =
10
Z
0
f
(
x
)
dx bằng
A. I =5. B. I =6. C. I =7. D. I =8.
- Lời giải.
Ta có
10
Z
3
f
(
x
)
dx =
6
Z
3
f
(
x
)
dx +
10
Z
6
f
(
x
)
dx ⇔
10
Z
6
f
(
x
)
dx =
10
Z
3
f
(
x
)
dx −
6
Z
3
f
(
x
)
dx =8−9 =−1
Khi đó I =
10
Z
0
f
(
x
)
dx =
6
Z
0
f
(
x
)
dx +
10
Z
6
f
(
x
)
dx =7−1 =6.
Th.s Nguyễn Chín Em 376 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án B ä
Câu 2. Cho các hàm số y = f
(
x
)
và y = g
(
x
)
liên tục trên
[
a; b
]
và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định
sau, khẳng định nào sai?
A.
a
Z
a
k f
(
x
)
dx =0. B.
b
Z
a
x f
(
x
)
dx = x
b
Z
a
f
(
x
)
dx .
C.
b
Z
a
[
f
(
x
)
+ g
(
x
)
]
dx =
b
Z
a
f
(
x
)
dx +
b
Z
a
g
(
x
)
dx . D.
b
Z
a
f
(
x
)
dx =−
a
Z
b
f
(
x
)
dx .
- Lời giải.
Dựa vào các đáp án ta dễ dàng nhận thấy các đáp án A, C, D đúng, đáp án B sai.
Chọn đáp án B ä
Câu 3. Cho I =
π
3
Z
0
sin x cos
2
xdx, khẳng định nào sau đây đúng?
A. 0 < I <
1
3
. B.
1
3
< I <
1
2
. C.
1
2
< I <
2
3
. D.
2
3
< I <1.
- Lời giải.
Ta có I =−
π
3
Z
0
cos
2
xd(cos x) =−
cos
3
x
3
¯
¯
¯
¯
π
3
0
=−
1
3
³
cos
3
π
3
−cos
3
0
´
=
7
24
.
Chọn đáp án A ä
Câu 4. Tính tích phân I =
ln2
Z
0
¡
e
4x
+1
¢
dx .
A. I =
15
4
+ln2. B. I =4 +ln2. C. I =
17
4
+ln2. D. I =
15
2
+ln2.
- Lời giải.
Ta có I =
µ
1
4
e
4x
+x
¶
¯
¯
¯
¯
ln2
0
=
µ
1
4
e
4ln2
+ln2
¶
−
1
4
=
15
4
+ln2.
Chọn đáp án A ä
Câu 5. Biết
5
Z
2
f (x)dx =3,
5
Z
2
g(x)dx =9. Tích phân
5
Z
2
[
f (x) + g (x)
]
dx bằng
A. 10. B. 3. C. 6. D. 12.
- Lời giải.
Ta có
5
Z
2
[
f (x) + g (x)
]
dx =
5
Z
2
f (x)dx +
5
Z
2
g(x)dx =3 +9 =12.
Chọn đáp án D ä
Câu 6. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =sin2x và F
³
π
4
´
=1. Tính F
³
π
6
´
.
A. F
³
π
6
´
=
1
2
. B. F
³
π
6
´
=
5
4
. C. F
³
π
6
´
=0. D. F
³
π
6
´
=
3
4
.
- Lời giải.
Ta có F
³
π
6
´
=F
³
π
4
´
−
π
4
Z
π
6
f (x)dx =F
³
π
4
´
−
π
4
Z
π
6
sin2x dx = F
³
π
4
´
−
1
2
cos2x
¯
¯
¯
π
4
π
6
=
3
4
.
Chọn đáp án D ä
Th.s Nguyễn Chín Em 377 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 7. Tích phân
2
Z
1
(x +3)
2
dx bằng
A. 61. B.
61
3
. C.
61
9
. D. 4.
- Lời giải.
2
Z
1
(x +3)
2
dx =
2
Z
1
(x +3)
2
d(x +3) =
(x +3)
3
3
¯
¯
¯
2
1
=
61
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 8. Giả sử f (x) và g(x) là các hàm số bất kỳ liên tục trên R và a, b, c là các số thực. Mệnh đề nào sau
đây sai?
A.
b
Z
a
f (x)dx +
c
Z
b
f (x)dx +
a
Z
c
f (x)dx =0. B.
b
Z
a
c f (x)dx = c
b
Z
a
f (x)dx.
C.
b
Z
a
f (x)g(x)dx =
b
Z
a
f (x)dx ·
b
Z
a
g(x)dx. D.
b
Z
a
(
f (x) − g (x)
)
dx +
b
Z
a
g(x)dx =
b
Z
a
f (x)dx.
- Lời giải.
Theo tính chất trong sách giáo khoa thì
b
Z
a
f (x)g(x)dx =
b
Z
a
f (x)dx ·
b
Z
a
g(x)dx sai.
Chọn đáp án C ä
Câu 9. Cho hàm số f (x) liên tục trên khoảng (−2;3). Gọi F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên khoảng
(−2;3). Tính I =
2
Z
−1
[
f (x) +2x
]
dx , biết F(−1) =1, F(2) =4.
A. I =6. B. I =10. C. I =3. D. I =9.
- Lời giải.
I =
2
Z
−1
f (x)dx +
2
Z
−1
2x dx = F(x)
|
2
−1
+ x
2
¯
¯
2
−1
=F(2)−F(−1)+4−1 =4 −1+3 =6.
Chọn đáp án A ä
Câu 10. Cho f (x) và g (x) là các hàm số liên tục trên đoạn [ a;b ]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
b
Z
a
|f (x)+g(x)|dx =
b
Z
a
|f (x)|dx +
b
Z
a
|g(x)|dx. B.
b
Z
a
(f (x)·g(x))dx =
b
Z
a
f (x)dx ·
b
Z
a
g(x)dx.
C.
b
Z
a
[
f (x) + g (x)
]
dx =
b
Z
a
f (x)dx +
b
Z
a
g(x)dx. D.
b
Z
a
|
f (x) + g (x)
|
dx =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
b
Z
a
[
f (x) + g (x)
]
dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
- Lời giải.
Theo tính chất của tích phân ta có
b
Z
a
[
f (x) + g (x)
]
dx =
b
Z
a
f (x)dx +
b
Z
a
g(x)dx.
Chọn đáp án C ä
Câu 11. Cho f (x) và g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b] và h, k là các hằng số. Mệnh đề nào sau
đây đúng?
Th.s Nguyễn Chín Em 378 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A.
b
Z
a
[
h f (x)−kg(x)
]
dx = h
b
Z
a
f (x)dx −k
b
Z
a
g(x)dx.
B.
a
Z
b
[
f (x) − g (x)
]
dx =
b
Z
a
[
f (x) − g (x)
]
dx .
C.
b
Z
a
[h +k f (x)]dx = h +k
b
Z
a
f (x)dx.
D.
b
Z
a
[
f (x) · g(x)
]
dx = f (x )
b
Z
a
g(x)dx.
- Lời giải.
Theo tính chất của tích phân ta có
b
Z
a
[
h f (x)−kg(x)
]
dx = h
b
Z
a
f (x)dx −k
b
Z
a
g(x)dx.
Chọn đáp án
A ä
Câu 12. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [1;2], f (1) =1 và f (2) =2.
Tính I =
Z
2
1
f
0
(x )dx
A. I =1. B. I =−1. C. I =3. D. I =
7
2
.
- Lời giải.
I =
Z
2
1
f
0
(x )dx = f (x)
¯
¯
¯
2
1
= f (2) − f (1) =1.
Chọn đáp án A ä
Câu 13. Tích phân
2
Z
0
dx
x +3
bằng
A.
16
225
. B. log
5
3
. C. ln
5
3
. D.
2
15
.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
dx
x +3
=ln
¯
¯
x +3
¯
¯
¯
¯
¯
2
0
=ln|2+3|−ln|0+3|=ln
5
3
.
Chọn đáp án C ä
Câu 14. Cho f , g là hai hàm liên tục trên [1;3] thỏa:
3
Z
1
[
f (x) +3g(x)
]
dx = 10,
3
Z
1
[
2f (x)−g(x)
]
dx = 6.
Tính
3
Z
1
[
f (x) + g (x)
]
dx .
A. 9. B. 6. C. 7. D. 8.
- Lời giải.
Ta có
3
Z
1
[
f (x) +3g(x)
]
dx =10 ⇔
3
Z
1
f (x)dx +3
3
Z
1
g(x)dx =10.
Tương tự
3
Z
1
[
2f (x)−g(x)
]
dx =6 ⇔2
3
Z
1
f (x)dx −
3
Z
1
g(x)dx =6.
Th.s Nguyễn Chín Em 379 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Xét hệ phương trình
u +3v =10
2u −v =6
⇔
u =4
v =2
, trong đó u =
3
Z
1
f (x)dx, v =
3
Z
1
g(x)dx.
Khi đó
3
Z
1
[
f (x) + g (x)
]
dx =
3
Z
1
f (x)dx +
3
Z
1
g(x)dx =4 +2 =6.
Chọn đáp án B ä
Câu 15. Cho a < b < c,
b
Z
a
f (x)dx =12,
b
Z
c
f (x)dx =4. Khi đó giá trị của
c
Z
a
f (x)dx là
A. 3. B. 4. C. 16. D. 8.
- Lời giải.
Ta có
c
Z
a
f (x)dx =
b
Z
a
f (x)dx +
c
Z
b
f (x)dx =
b
Z
a
f (x)dx −
b
Z
c
f (x)dx =12 −4 =8.
Chọn đáp án C ä
Câu 16. Tính tích phân
π
Z
0
sin3x dx.
A. −
2
3
. B.
2
3
. C. −
1
3
. D.
1
3
.
- Lời giải.
Ta có
π
Z
0
sin3x dx =−
1
3
cos3x
¯
¯
¯
π
0
=−
1
3
(−1−1) =
2
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 17. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [1;2], f (1) =1 và f (2) =2. Tính I =
2
Z
1
f
0
(x )dx.
A. I =1. B. I =−1. C. I =3. D. I =
7
2
.
- Lời giải.
Ta có I =
2
Z
1
f
0
(x )dx = f (x)
¯
¯
¯
2
1
= f (2) − f (1) =2−1 =1.
Chọn đáp án A ä
Câu 18. Cho
2
Z
−2
f (x)dx =1,
4
Z
−2
f (t)dt =−4. Tính
4
Z
2
f (y)dy.
A. I =5. B. I =−3. C. I =3. D. I =−5.
- Lời giải.
Ta có:
4
Z
−2
f (t)dt =
4
Z
−2
f (x)dx,
4
Z
2
f (y)dy =
4
Z
2
f (x)dx.
Khi đó:
2
Z
−2
f (x)dx +
4
Z
2
f (x)dx =
4
Z
−2
f (x)dx
⇒
4
Z
2
f (x)dx =
4
Z
−2
f (x)dx −
2
Z
−2
f (x)dx =−4 −1 =−5.
Vậy
4
Z
2
f (y)dy =−5.
Th.s Nguyễn Chín Em 380 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án D ä
Câu 19. Tích phân I =
2019
Z
0
2
x
dx bằng
A. 2
2019
−1. B.
2
2019
−1
ln2
. C.
2
2019
ln2
. D. 2
2019
.
- Lời giải.
I =
2019
Z
0
2
x
dx =
2
x
ln2
¯
¯
¯
2019
0
=
2
2019
−1
ln2
.
Chọn đáp án B ä
Câu 20. Cho
2
Z
0
f (x)dx =3 và
2
Z
0
g(x)dx =−1. Giá trị của
2
Z
0
[
f (x) −5g(x)+x
]
dx bằng
A. 12. B. 0. C. 8. D. 10.
- Lời giải.
Ta có: I =
2
Z
0
[
f (x) −5g(x)+x
]
dx =
2
Z
0
f (x)dx −5
2
Z
0
g(x)dx +
2
Z
0
xdx.
Do đó : I =3 −5(−1)+
1
2
(2
2
−0
2
) =10.
Chọn đáp án D ä
Câu 21. Cho
2
Z
0
f (x)dx =3 và
2
Z
0
g(x)dx =−2, khi đó
2
Z
0
[
2f (x)−g(x)
]
dx bằng
A. 5. B. 4. C. 8. D. 1.
- Lời giải.
Ta có:
2
Z
0
[
2f (x)−g(x)
]
dx =2
2
Z
0
f (x)dx −
2
Z
0
g(x)dx =2 ·3−(−2) =8.
Chọn đáp án C ä
Câu 22. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b],
(
a < b
)
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
b
Z
a
f (x)dx =
a
Z
b
f (x)dx. B.
b
Z
a
f (x)dx =−
a
Z
b
f (x)dx.
C.
b
Z
a
f (x)dx +
a
Z
b
f (x)dx =2
b
Z
a
f (x)dx. D.
b
Z
a
f (x)dx +
a
Z
b
f (x)dx =−2
b
Z
a
f (x)dx.
- Lời giải.
Ta có
b
Z
a
f (x)dx =−
a
Z
b
f (x)dx.
Chọn đáp án B ä
Câu 23. Cho các hằng số a, b, k
(
k 6=0
)
và hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Mệnh đề nào dưới đây là
mệnh đề sai?
A.
b
Z
a
k · f (x )dx = k
b
Z
a
f (x)dx. B.
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx.
C.
b
Z
a
f (x)dx =−
a
Z
b
f (x)dx. D.
b
Z
a
f (x)dx 6=
b
Z
a
f (t)dt.
Th.s Nguyễn Chín Em 381 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Mệnh đề
b
Z
a
f (x)dx 6=
b
Z
a
f (t)dt là mệnh đề sai vì
b
Z
a
f (x)dx =
b
Z
a
f (t)dt.
Chọn đáp án D ä
Câu 24. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0;3] và
2
Z
0
f (x)dx =1,
3
Z
2
f (x)dx =4. Tính I =
3
Z
0
f (x)dx.
A. I =5. B. I =−3. C. I =3. D. P =4.
- Lời giải.
Ta có I =
3
Z
0
f (x)dx =
2
Z
0
f (x)dx +
3
Z
2
f (x)dx =1 +4 =5.
Chọn đáp án A ä
Câu 25. Giá trị của
1
Z
0
¡
2019x
2018
−1
¢
dx bằng
A. 0. B. 2
2017
+1. C. 2
2017
−1. D. 1.
- Lời giải.
Ta có:
1
Z
0
¡
2019x
2018
−1
¢
dx =
¡
x
2019
−x
¢
¯
¯
¯
1
0
=0.
Chọn đáp án A ä
Câu 26. Cho
0
Z
−1
f (x)dx =3
3
Z
0
f (x)dx =3. Tích phân
3
Z
−1
f (x)dx bằng
A. 6. B. 4. C. 2. D. 0.
- Lời giải.
3
Z
−1
f (x)dx =
0
Z
−1
f (x)dx +
3
Z
0
f (x)dx =3 +1 =4.
Chọn đáp án B ä
Câu 27. Tích phân
1
Z
0
1
x +1
dx có giá trị bằng
A. ln2 −1. B. −ln2. C. ln2. D. 1−ln2.
- Lời giải.
Ta có I =
1
Z
0
1
x +1
dx =
1
Z
0
d(x +1)
x +1
=ln|x +1|
¯
¯
¯
1
0
=ln2−ln1 =ln2.
Chọn đáp án C ä
Câu 28. Tích phân I =
2
Z
0
dx bằng
A. 4. B. 0. C. 1. D. 2.
- Lời giải.
Ta có I =
2
Z
0
dx = x
¯
¯
¯
2
0
=2.
Chọn đáp án D ä
Th.s Nguyễn Chín Em 382 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 29. Giá trị của
π
2
Z
0
cos x dx bằng
A. 0. B. 1. C.
π
2
. D. π.
- Lời giải.
Ta có
π
2
Z
0
cos x dx =sin x
¯
¯
¯
π
2
0
=sin
π
2
−sin0 =1.
Chọn đáp án B ä
Câu 30. Cho
3
Z
0
f (x)dx =2 và
3
Z
0
g(x)dx =3. Tính giá trị của tích phân L =
3
Z
0
[
2f (x)−g(x)
]
dx .
A. L =4. B. L =−1. C. L =−4. D. L =1.
- Lời giải.
L =
3
Z
0
[
2f (x)−g(x)
]
dx =2
3
Z
0
f (x)dx −
3
Z
0
g(x)dx =2·2−3 =1.
Chọn đáp án D ä
Câu 31. Nếu
2
Z
1
f (x)dx =3,
5
Z
2
f (x)dx =−1 thì
5
Z
1
f (x)dx bằng
A. −2. B. 2. C. 3. D. 4.
- Lời giải.
Ta có
5
Z
1
f (x)dx =
2
Z
1
f (x)dx +
5
Z
2
f (x)dx =3 −1 =2.
Chọn đáp án B ä
Câu 32. Giá trị tích phân
1
Z
0
dx
x +1
bằng
A. log2. B. ln2. C. 1. D. −ln2.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
dx
x +1
= ln|x +1|
|
1
0
=ln2.
Chọn đáp án B ä
Câu 33. Tính I =
1
Z
0
(3x
2
−2x +3)dx.
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
- Lời giải.
I =
1
Z
0
(3x
2
−2x +3)dx =
¡
x
3
−x
2
+3x
¢
¯
¯
¯
1
0
=3.
Chọn đáp án C ä
Câu 34. Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng với mọi hàm f , g liên tục trên K và a, b là các số
bất kì thuộc K?
A.
b
Z
a
[
f (x) + g (x)
]
dx =
b
Z
a
f (x)dx +
b
Z
a
g(x)dx. B.
b
Z
a
[
f (x) · g(x)
]
dx =
b
Z
a
f (x)dx ·
b
Z
a
g(x)dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 383 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
C.
b
Z
a
f (x)
g(x)
dx =
b
Z
a
f (x)dx
b
Z
a
g(x)dx
. D.
b
Z
a
f
2
(x )dx =
b
Z
a
f (x)dx
2
.
- Lời giải.
Một trong các tính chất của tích phân là
b
Z
a
[
f (x) + g (x)
]
dx =
b
Z
a
f (x)dx +
b
Z
a
g(x)dx.
Chọn đáp án A ä
Câu 35. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và F(x) là nguyên hàm của f (x), biết
9
Z
0
f (x)dx =9 và F(0) = 3.
Tính F(9).
A. F(9) =−6. B. F(9) =6. C. F(9) =12. D. F(9) =−12.
- Lời giải.
Ta có
9
Z
0
f (x)dx =9 ⇔ F(9)−F(0) =9 ⇔ F(9) =9 +F(0) =9+3 =12.
Chọn đáp án C ä
Câu 36. Tính tích phân
1
Z
0
1
x +1
dx bằng
A. log2. B. 1. C. ln2. D. −ln2.
- Lời giải.
1
Z
0
1
x +1
dx =ln|x +1|
¯
¯
¯
1
0
=ln2.
Chọn đáp án C ä
Câu 37. Cho hai hàm số y = f (x), y = g(x) liên tục trên [a; b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
A.
a
Z
a
k f (x)dx =0. B.
b
Z
a
x f (x)dx = x
b
Z
a
f (x)dx.
C.
b
Z
a
[
f (x) + g (x)
]
dx =
b
Z
a
f (x)dx +
b
Z
a
g(x)dx. D.
b
Z
a
f (x)dx =−
a
Z
b
f (x)dx.
- Lời giải.
Biểu thức
b
Z
a
x f (x)dx = x
b
Z
a
f (x)dx sai, vì một hàm khác hằng số không thể đưa ra ngoài dấu tích phân.
Chọn đáp án B ä
Câu 38. Cho F(x) =
¡
ax
2
+bx −c
¢
e
2x
là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
¡
2018x
2
−3x +1
¢
e
2x
trên
khoảng
(
−∞;+∞
)
. Tính T =a +2b +4c.
A. T =1011. B. T =−3035. C. T =1007. D. T =−5053.
- Lời giải.
Ta có
f (x) = F
0
(x ) =
(
2ax +b
)
e
2x
+2
¡
ax
2
+bx −c
¢
e
2x
=
£
2ax
2
+
(
2a +2b
)
x +
(
b −2c
)
¤
e
2
.
Th.s Nguyễn Chín Em 384 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Suy ra
2a =2018
2a +2b =−3
b −2c =1
⇔
a =1009
b =−
2021
2
c =−
2023
4
.
Vậy T = a +2 b +4c =−3035.
Chọn đáp án B ä
Câu 39. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và f (1) − f (0) = 2. Tích phân I =
1
Z
0
£
f
0
(x ) −e
x
¤
dx bằng
A. 1−e. B. 1 +e. C. 3 −e. D. 3 +e.
- Lời giải.
I =
1
Z
0
¡
f
0
(x ) −e
x
¢
dx =
1
Z
0
f
0
(x )dx −
1
Z
0
e
x
dx
= f (x)
¯
¯
¯
¯
1
0
−e
x
¯
¯
¯
¯
1
0
= f (1) − f (0) −(e−e
0
)
= 3−e.
Vậy I =3−e.
Chọn đáp án C ä
Câu 40. Cho
2
Z
1
f (x)dx =2 và
2
Z
1
2g(x)dx =8. Khi đó
2
Z
1
[f (x)+g(x)]dx bằng
A. 10. B. 6. C. 18. D. 0.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
f (x)dx =2 và
2
Z
1
g(x)dx =4 ⇒
2
Z
1
[f (x)+g(x)]dx =6.
Chọn đáp án B ä
Câu 41. Cho tích phân I =
4
Z
0
f (x)dx =32. Tính tích phân J =
2
Z
0
f (2x)dx.
A. 32. B. 64. C. 8. D. 16.
- Lời giải.
Đặt t =2x ⇒ dt =2dx. Với x =0 thì t =0, x =2 thì t =4 .
Suy ra
2
Z
0
f (2x)dx =
1
2
4
Z
0
f (t)dt =
1
2
4
Z
0
f (x)dx =
1
2
·32 =16.
Chọn đáp án D ä
Câu 42. Cho tích phân I =
2
Z
0
f (x)dx =2. Tính tích phân J =
2
Z
0
[
3f (x)−2
]
dx .
A. J =6. B. J =2. C. J =8. D. J =4.
- Lời giải.
Ta có J =
2
Z
0
[3f (x)−2]dx =3
2
Z
0
f (x)dx −2
2
Z
0
dx =3·2−(2x)
¯
¯
¯
2
0
=6 −4 =2.
Th.s Nguyễn Chín Em 385 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án B ä
Câu 43. Cho
2
Z
0
f (x)dx =3 và
2
Z
0
g(x)dx =7, khi đó
2
Z
0
[
f (x) +3g(x)
]
dx bằng
A. 16. B. −18. C. 24. D. 10.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
[
f (x) +3g(x)
]
dx =
2
Z
0
f (x)dx +3
2
Z
0
g(x)dx =3 +3×7 =24.
Chọn đáp án C ä
Câu 44. Tích phân
2
Z
1
dx
3x −2
bằng
A. 2ln2. B.
2
3
ln2. C. ln2. D.
1
3
ln2.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
dx
3x −2
=
1
3
ln|3x −2|
¯
¯
¯
¯
2
1
=
1
3
ln4−
1
3
ln1 =
2
3
ln2.
Chọn đáp án B ä
Câu 45. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn
8
Z
1
f (x)dx = 9,
12
Z
4
f (x)dx = 3 và
8
Z
4
f (x)dx = 5. Tính
12
Z
1
f (x)dx.
A. I =17. B. I =1. C. I =11. D. I =7.
- Lời giải.
Ta có
4
Z
1
f (x)dx =
8
Z
1
f (x)dx −
8
Z
4
f (x)dx =9 −5 =4.
Suy ra
12
Z
1
f (x)dx =
4
Z
1
f (x)dx +
12
Z
4
f (x)dx =4 +3 =7.
Chọn đáp án D ä
Câu 46. Cho
1
Z
−1
f (x)dx =6 và
2
Z
1
f (x)dx =3, khi đó
2
Z
−1
f (x)dx bằng
A. 3. B. 2. C. 9. D. 18.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
−1
f (x)dx =
1
Z
−1
f (x)dx +
2
Z
1
f (x)dx =6 +3 =9.
Chọn đáp án C ä
Câu 47. Giả sử f (x ) là một hàm số bất kì liên tục trên khoảng
¡
α;β
¢
và a,b , c,b +c ∈
¡
α;β
¢
. Mệnh đề nào
sau đây sai?
Th.s Nguyễn Chín Em 386 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A.
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx. B.
b
Z
a
f (x)dx =
b+c
Z
a
f (x)dx −
c
Z
a
f (x)dx.
C.
b
Z
a
f (x)dx =
b+c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
b+c
f (x)dx. D.
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx −
c
Z
b
f (x)dx.
- Lời giải.
Theo các tính chất của tích phân, ta suy ra
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx là khẳng định đúng.
b
Z
a
f (x)dx =
b+c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
b+c
f (x)dx là khẳng định đúng.
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx −
c
Z
b
f (x)dx là khẳng định đúng vì
c
Z
a
f (x)dx −
c
Z
b
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx =
b
Z
a
f (x)dx.
Vậy
b
Z
a
f (x)dx =
b+c
Z
a
f (x)dx −
c
Z
a
f (x)dx là khẳng định sai.
Chọn đáp án B ä
Câu 48. Cho
2
Z
1
f (x)dx =2 và
4
Z
2
f (x)dx =−1. Tích phân
4
Z
1
f (x)dx bằng
A. −3. B. 3. C. 1. D. −1.
- Lời giải.
Ta có
4
Z
1
f (x)dx =
2
Z
1
f (x)dx +
4
Z
2
f (x)dx =2 +(−1) =1.
Vậy
4
Z
1
f (x)dx =1.
Chọn đáp án
C ä
Câu 49. Cho
2
Z
0
f (x)dx =3 và
2
Z
0
g(x)dx =7, khi đó
2
Z
0
[
f (x) +3g(x)
]
dx bằng
A. 16. B. 10. C. 24. D. −18.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
[
f (x) +3g(x)
]
dx =
2
Z
0
f (x)dx +3
2
Z
0
g(x)dx =3 +3·7 =24.
Chọn đáp án C ä
Câu 50. Cho
2
Z
0
f (x)dx =3 và
2
Z
0
g(x)dx =−2, khi đó
2
Z
0
[
2f (x)−g(x)
]
dx bằng
Th.s Nguyễn Chín Em 387 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. 5. B. 4. C. 8. D. 1.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
[
2f (x)−g(x)
]
dx =2
2
Z
0
f (x)dx −
2
Z
0
g(x)dx =2 ·3−(−2) =8.
Chọn đáp án C ä
Câu 51. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng K và a, b, c ∈K. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
a
Z
a
f (x)dx =0. B.
b
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx.
C.
b
Z
a
f (x)dx =
b
Z
a
f (t)dt. D.
b
Z
a
f (x)dx =−
a
Z
b
f (x)dx.
- Lời giải.
Theo lý thuyết, ta có
b
Z
a
f (x)dx +
c
Z
b
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx.
Chọn đáp án B ä
Câu 52. Biết
1
Z
0
f (x)dx =3 và
1
Z
0
g(x)dx =−2, giá trị của
1
Z
0
[
f (x) +2g(x)
]
dx bằng
A. 7. B. −1. C. 5. D. 1.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
[
f (x) +2g(x)
]
dx =
1
Z
0
f (x)dx +2
1
Z
0
g(x)dx =3 +2(−2) =−1.
Chọn đáp án B ä
Câu 53. Cho hàm số f (x) thỏa mãn
Z
3
1
f (x)dx =5 và
Z
3
−1
f (x)dx =1. Tính tích phân I =
Z
1
−1
f (x)dx.
A. I =−6. B. I =6. C. I =4. D. I =−4.
- Lời giải.
Ta có
Z
3
−1
f (x)dx =
Z
3
1
f (x)dx +
Z
1
−1
f (x)dx ⇒
Z
1
−1
f (x)dx =
Z
3
−1
f (x)dx −
Z
3
1
f (x)dx =−4.
Chọn đáp án
D ä
Câu 54. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] và
Z
f (x)dx =F(x)+C. Hãy chọn khẳng định đúng.
A.
b
Z
a
f (x)dx = b −a. B.
b
Z
a
f (x)dx =F(a) −F(b).
C.
b
Z
a
f (x)dx =a −b. D.
b
Z
a
f (x)dx =F(b)−F(a).
- Lời giải.
Áp dụng định nghĩa của tích phân ta có
b
Z
a
f (x)dx =F(b)−F(a).
Chọn đáp án D ä
Câu 55. Giá trị của
1
Z
0
(2019x
2018
−1)dx bằng
Th.s Nguyễn Chín Em 388 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. 0. B. 2
2017
+1. C. 2
2017
−1. D. 1.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
(2019x
2018
−1)dx =
¡
x
2019
−x
¢
¯
¯
¯
1
0
=0.
Chọn đáp án A ä
Câu 56. Tính tích phân I =
2
Z
1
1
2x −1
dx .
A. I =ln3 −1. B. I =ln
p
3. C. I =ln2 +1. D. I =ln2 −1.
- Lời giải.
Ta có I =
2
Z
1
1
2x −1
dx =
1
2
ln
|
2x −1
|
¯
¯
¯
¯
2
1
=
1
2
(ln3−ln1) =
1
2
ln3 =ln
p
3.
Chọn đáp án B ä
Câu 57. Tính tích phân I =
0
Z
−1
(2x +1)dx.
A. 0. B. 1. C. 2. D. −
1
2
.
- Lời giải.
Ta có I =(x
2
+x)
¯
¯
¯
0
−1
=0.
Chọn đáp án A ä
Câu 58. Cho hàm số f (x) liên tục trên khoảng K và các hằng số a, b, c ∈ K. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
b
Z
a
k · f (x )dx = k
b
Z
a
f (x)dx với k ∈R. B.
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx.
C.
b
Z
a
f (x)dx =−
b
Z
a
f (x)dx. D.
b
Z
a
f (x)dx 6=
b
Z
a
f (t)dt.
- Lời giải.
Ta có
b
Z
a
f (x)dx =
b
Z
a
f (t)dt.
Chọn đáp án D ä
Câu 59. Cho hai số thực a, b tùy ý, F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên tập R. Mệnh đề nào dưới
đây là đúng?
A.
b
Z
a
f (x)dx =F(b)−F(a). B.
b
Z
a
f (x)dx =F(a) −F(b).
C.
b
Z
a
f (x)dx = f (b)− f (a). D.
b
Z
a
f (x)dx =F(b)+F(a).
- Lời giải.
Theo công thức lý thuyết thì
b
Z
a
f (x)dx =F(x)
¯
¯
¯
¯
b
a
=F(b)−F(a).
Chọn đáp án A ä
Câu 60. Cho hàm số f (x) liên tục trên R diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x),
trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b(a < b) được tính theo công thức
Th.s Nguyễn Chín Em 389 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. S =
b
Z
a
π|f (x)|dx. B. S =
b
Z
a
|f (x)|dx. C. S =
b
Z
a
f (x)dx. D. S =π
b
Z
a
f
2
(x )dx.
- Lời giải.
Do định nghĩa ta có S =
b
Z
a
|f (x)|dx.
Chọn đáp án B ä
Câu 61. Cho hàm số y = f (x) có f (2) =2, f (3) =5; hàm số y = f
0
(x ) liên tục trên [2;3]. Khi đó
3
Z
2
f
0
(x )dx
bằng
A. 3. B. −3. C. 10. D. 7.
- Lời giải.
Theo công thức lý thuyết ta có
3
Z
2
f
0
(x )dx = f (x)
¯
¯
¯
3
2
= f (3) − f (2) =5−2 =3.
Chọn đáp án A ä
Câu 62. Cho hàm số f (x) và F(x) liên tục trên R thỏa mãn F
0
(x ) = f (x), ∀x ∈R. Tính
1
Z
0
f (x)dx biết F(0) =2
và F(1) =5.
A.
1
Z
0
f (x)dx =−3. B.
1
Z
0
f (x)dx =7. C.
1
Z
0
f (x)dx =1. D.
1
Z
0
f (x)dx =3.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
f (x)dx =F(x)
¯
¯
¯
1
0
=F(1)−F(0) =5 −2 =3.
Chọn đáp án D ä
Câu 63. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (0) =1, f
0
(x ) liên tục trên R và
3
Z
0
f
0
(x )dx =9. Giá trị của f (3) là
A. 6. B. 3. C. 10. D. 9.
- Lời giải.
Ta có
3
Z
0
f
0
(x )dx = f (x)
¯
¯
¯
3
0
⇔9 = f (3) − f (0) ⇔ f (3) =9+ f (0) =10.
Chọn đáp án C ä
Câu 64. Tích phân I =
1
Z
0
2
2x +1
dx bằng
A. I =2ln2. B. I =2ln3. C. I =ln2. D. I =ln3.
- Lời giải.
Ta có I =
1
Z
0
2
2x +1
dx =ln|2x +1|
¯
¯
¯
1
0
=ln3.
Chọn đáp án D ä
Câu 65. Kí hiệu z
1
, z
2
là hai nghiệm phức của phương trình z
2
+z +1 =0. Giá trị của z
1
+z
2
bằng
A. i. B. −1. C. 1. D. −i.
Th.s Nguyễn Chín Em 390 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Áp dụng định lý Vi-ét ta có z
1
+z
2
=−1.
Chọn đáp án B ä
Câu 66. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0;3] và
2
Z
0
f (x)dx =1,
3
Z
2
f (x)dx =4. Tính I =
3
Z
0
f (x)dx.
A. I =5. B. I =−3. C. I =3. D. I =4.
- Lời giải.
Ta có I =
3
Z
0
f (x)dx =
2
Z
0
f (x)dx +
3
Z
2
f (x)dx =1 +4 =5.
Chọn đáp án A ä
Câu 67. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và có
2
Z
0
f (x)dx =9,
4
Z
2
f (x)dx =4. Tính giá tr ị của I =
4
Z
0
f (x)dx.
A. I =5. B. I =36. C. I =
9
4
. D. I =13.
- Lời giải.
Ta có I =
4
Z
0
f (x)dx =
2
Z
0
f (x)dx +
4
Z
2
f (x)dx =9 +4 =13.
Chọn đáp án D ä
Câu 68. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0;3]. Nếu
3
Z
0
f (x)dx = 2 thì tích phân
3
Z
0
[x −3f (x)]dx có giá
trị bằng
A. −3. B. 3. C.
3
2
. D. −
3
2
.
- Lời giải.
Ta có
3
Z
0
[x −3f (x)]dx =
3
Z
0
xdx −3
3
Z
0
f (x)dx =
1
2
x
2
¯
¯
¯
3
0
−6 =
9
2
−6 =−
3
2
.
Chọn đáp án D ä
Câu 69. Cho
5
Z
1
f (x)dx =6 và
5
Z
1
g(x)dx =8. Giá trị của
5
Z
1
[4f (x)−g(x)]dx bằng
A. 16. B. 14. C. 12. D. 10.
- Lời giải.
Ta có
5
Z
1
[4f (x)−g(x)]dx =4
5
Z
1
f (x)dx −
5
Z
1
g(x)dx =4 ·6−8 =16.
Chọn đáp án A ä
Câu 70. Cho các hàm số f (x), g(x) liên tục trên R thỏa mãn
5
Z
−1
[
2f (x)+3g(x)
]
dx =−5;
5
Z
−1
[
3f (x)−5g(x)
]
dx =
21. Tính
5
Z
−1
[
f (x) + g (x)
]
dx .
A. −5. B. 1. C. 5. D. −1.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 391 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt I
1
=
5
Z
−1
f (x)dx, I
2
=
5
Z
−1
g(x)dx. Ta có
5
Z
−1
[
2f (x)+3g(x)
]
dx =−5 ⇔2
5
Z
−1
f (x)dx +3
5
Z
−1
g(x)dx =−5 ⇒2I
1
+3I
2
=−5.
5
Z
−1
[
3f (x)−5g(x)
]
dx =21 ⇔3
5
Z
−1
f (x)dx −5
5
Z
−1
g(x)dx =21 ⇒3I
1
−5I
2
=21.
Từ đó suy ra I
1
=2, I
2
=−3.
Vậy
5
Z
−1
[
f (x) + g (x)
]
dx =
5
Z
−1
f (x)dx +
5
Z
−1
g(x)dx = I
1
+I
2
=−1.
Chọn đáp án D ä
Câu 71. Kết quả của tích phân I =
π
2
Z
0
cos x dx bằng
A. I =1. B. I =−2. C. I =0. D. I =−1.
- Lời giải.
Ta có I =
π
2
Z
0
cos x dx =sin x
¯
¯
¯
π
2
0
=1.
Chọn đáp án A ä
Câu 72. Cho các số thực a, b (a < b). Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm là hàm liên tục trên R thì
A.
b
Z
a
f (x)dx = f
0
(a)− f
0
(b ). B.
b
Z
a
f
0
(x )dx = f (b)− f (a).
C.
b
Z
a
f
0
(x )dx = f (a) − f (b). D.
b
Z
a
f (x)dx = f
0
(b ) − f
0
(a).
- Lời giải.
Ta có
b
Z
a
f
0
(x )dx = f (x)
¯
¯
¯
b
a
= f (b)− f (a).
Chọn đáp án
B ä
Câu 73. Cho
Z
5
1
h(x)dx =4 và
Z
7
1
h(x)dx =10, khi đó
Z
7
5
h(x)dx bằng
A. 7. B. 2. C. 6. D. 5.
- Lời giải.
Ta có
Z
7
1
h(x)dx =
Z
5
1
h(x)dx +
Z
7
5
h(x)dx.
Suy ra
Z
7
5
h(x)dx =
Z
7
1
h(x)dx −
Z
5
1
h(x)dx =10−4 =6.
Chọn đáp án C ä
Câu 74. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có một nguyên hàm là hàm số F(x). Mệnh đề nào dưới đây
là đúng?
A.
b
Z
a
f (x)dx =F(b)+F(a). B.
b
Z
a
f (x)dx =F(b)−F(a).
Th.s Nguyễn Chín Em 392 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
C.
b
Z
a
f (x)dx = f (b)− f (a). D.
b
Z
a
f (x)dx =F(a) −F(b).
- Lời giải.
Theo công thức Newton-Leibniz ta có:
b
Z
a
f (x)dx =F(b)−F(a).
Chọn đáp án B ä
Câu 75. Cho
3
Z
1
f (x)dx =3 và
3
Z
1
g(x)dx =4, khi đó
3
Z
1
[
4f (x)−g(x)
]
dx bằng
A. 16. B. 8. C. 11. D. 19.
- Lời giải.
Ta có
3
Z
1
[
4f (x)−g(x)
]
dx =4
3
Z
1
f (x)dx −
3
Z
1
g(x)dx =4 ·3−4 =8.
Chọn đáp án B ä
Câu 76. Cho
1
Z
−1
f (x)dx =4 và
1
Z
−1
g(x)dx =3. Tính tích phân I =
−1
Z
1
[2f (x)−5g(x)]dx.
A. I =−7. B. I =7. C. I =−14. D. I =14.
- Lời giải.
Ta có
I =
−1
Z
1
[2f (x)−5g(x)]dx =−
1
Z
−1
[2f (x)−5g(x)]dx =5
1
Z
−1
g(x)dx −2
1
Z
−1
f (x)dx =7.
Chọn đáp án B ä
Câu 77. Biết
2019
Z
2018
f (x)dx =−2,
2019
Z
2018
g(x)dx =6. Tích phân
2019
Z
2018
[
2f (x)−g(x)
]
dx bằng
A. 10. B. −2. C. 22. D. −10.
- Lời giải.
Ta có
2019
Z
2018
[
2f (x)−g(x)
]
dx =2
2019
Z
2018
f (x)dx −
2019
Z
2018
g(x)dx =−4 −6 =−10.
Chọn đáp án D ä
Câu 78. Cho hai hàm số f (x), g(x) liên tục trên [a; b] và a < c < b. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
b
Z
a
[
f (x) + g (x)
]
dx =
b
Z
a
f (x)dx +
b
Z
a
g(x)dx. B.
b
Z
a
k f (x)dx = k
b
Z
a
f (x)dx với k là hằng số.
C.
b
Z
a
f (x)
g(x)
dx =
b
Z
a
f (x)dx
b
Z
a
g(x)dx
. D.
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx.
- Lời giải.
Theo tính chất của tích phân xác định ta có
b
Z
a
[
f (x) + g (x)
]
dx =
b
Z
a
f (x)dx +
b
Z
a
g(x)dx
Th.s Nguyễn Chín Em 393 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
b
Z
a
k f (x)dx = k
b
Z
a
f (x)dx với k là hằng số.
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx.
Ta không có tính chất
b
Z
a
f (x)
g(x)
dx =
b
Z
a
f (x)dx
b
Z
a
g(x)dx
.
Chọn đáp án C ä
Câu 79. Biết
3
Z
1
f (x)dx =9,
3
Z
1
g(x)dx =−5. Tính K =
3
Z
1
[
2f (x)−3g(x)
]
dx .
A. K =3. B. K =33. C. K =4. D. K =14.
- Lời giải.
Ta có K =2
3
Z
1
f (x)dx −3
3
Z
1
g(x)dx =2 ·9−3·(−5) =33.
Chọn đáp án B ä
Câu 80. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a;b] và F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên đoạn
[a;b]. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
b
Z
a
f (x)dx =F(a) −F(b). B.
b
Z
a
f (x)dx =F(b)−F(a).
C.
b
Z
a
f (x)dx =F(b)+F(a). D.
b
Z
a
f (x)dx =F
0
(b ) −F
0
(a).
- Lời giải.
Theo định nghĩa tích phân xác định ta có
b
Z
a
f (x)dx =F(b)−F(a).
Chọn đáp án B ä
Câu 81. Tính I =
3
Z
1
¡
4x
3
+3x
¢
dx .
A. I =92. B. I =68. C. I =−68. D. I =−92.
- Lời giải.
I =
3
Z
1
¡
4x
3
+3x
¢
dx =
µ
x
4
+
3
2
x
2
¶
¯
¯
¯
¯
3
1
=92.
Chọn đáp án A ä
Câu 82. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;4], f (1) =15, f (4) =8. Tính
4
Z
1
f
0
(x )dx
A.
4
Z
1
f
0
(x )dx =7. B.
4
Z
1
f
0
(x )dx =3. C.
4
Z
1
f
0
(x )dx =23. D.
4
Z
1
f
0
(x )dx =−7.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 394 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
4
Z
1
f
0
(x )dx = f (4) − f (1) =8−15 =−7.
Chọn đáp án D ä
Câu 83. Tích phân
2
Z
1
dx
x +2
bằng
A.
16
225
. B. log
4
3
. C.
2
15
. D. ln
4
3
.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
dx
x +2
= ln
|
x +2
||
2
1
=ln4−ln3 =ln
4
3
.
Chọn đáp án D ä
Câu 84. Cho
3
Z
0
f (x)dx =2 và
3
Z
0
g(x)dx =3. Tính giá trị của tích phân L =
3
Z
0
[
2f (x)−g(x)
]
dx .
A. L =4. B. L =−1. C. L =−4. D. L =1.
- Lời giải.
Ta có L =
3
Z
0
[
2f (x)−g(x)
]
dx =2
3
Z
0
f (x)dx −
3
Z
0
g(x)dx =2 ·2−3 =1.
Chọn đáp án D ä
Câu 85. Tích phân
2
Z
0
¡
x
2
−3x
¢
dx bằng
A.
10
3
. B.
−10
3
. C.
7
3
. D. 12.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
¡
x
2
−3x
¢
dx =
µ
x
3
3
−
3x
2
2
¶
¯
¯
¯
2
0
=
−10
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 86. Tính tính phân
1
Z
0
x(x +1)dx.
A.
5
6
. B. 1. C. 0. D.
5
6
.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
x(x +1)dx =
1
Z
0
(x
2
+x)dx =
µ
x
3
3
+
x
2
2
¶
¯
¯
¯
1
0
=
5
6
.
Chọn đáp án A ä
Câu 87. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
0;1
]
và thỏa mãn f (0) = 6,
1
Z
0
(2x −2)f
0
(x )dx =6. Tích phân
1
Z
0
f (x)dx có giá trị bằng
A. −3. B. −9. C. 3. D. 6.
- Lời giải.
Gọi I =
1
Z
0
(2x −2)f
0
(x )dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 395 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt
u =2x −2
dv = f
0
(x )dx
ta chọn
du =2dx
v = f (x)
I =(2x −2)f (x)
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
2f (x)dx ⇔6 =2f (0)−2
1
Z
0
f (x)dx ⇒
1
Z
0
f (x)dx = f (0) −3 =3.
Chọn đáp án C ä
Câu 88. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và có
1
Z
0
f (x)dx = 2,
3
Z
1
f (x)dx = 6. Tính
I =
3
Z
0
f (x)dx.
A. I =36. B. I =4. C. I =12. D. I =8.
- Lời giải.
I =
3
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
f (x)dx +
3
Z
1
f (x)dx =2 +6 =8.
Chọn đáp án D ä
Câu 89. Cho hàm số f
(
x
)
có đạo hàm trên đoạn
[
0;2
]
và f
(
0
)
=−1, biết
2
Z
0
f
0
(
x
)
dx =5. Tính f
(
2
)
.
A. f
(
2
)
=2. B. f
(
2
)
=6. C. f
(
2
)
=4. D. f
(
2
)
=5.
- Lời giải.
2
Z
0
f
0
(
x
)
dx = f
(
x
)
¯
¯
¯
2
0
= f
(
2
)
− f
(
0
)
=5 ⇔ f
(
2
)
=4.
Chọn đáp án C ä
Câu 90. Giả sử tích phân I =
6
Z
1
1
2x +1
dx =ln M, tìm M.
A. M =4,33. B. M =13. C. M =
13
3
. D. M =
…
13
3
.
- Lời giải.
Ta có I =
6
Z
1
1
2x +1
dx =
1
2
ln
|
2x +1
|
¯
¯
6
1
=
1
2
ln13−
1
2
ln3 =ln
…
13
3
.
Chọn đáp án D ä
Câu 91. Cho biết
5
Z
2
f (x)dx =3,
5
Z
2
g(t)dt =9. Tính
5
Z
2
[
f (x) −2g(x)
]
dx .
A. −6. B. −15. C. 12. D. 21.
- Lời giải.
Ta có
5
Z
2
[
f (x) −2g(x)
]
dx =
5
Z
2
f (x)dx −2
5
Z
2
g(x)dx =3 −2·9 =−15.
Chọn đáp án B ä
Câu 92. Cho f (x ), g(x) là các hàm liên tục trên R. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây.
A.
b
Z
a
f (x) · g(x)dx =
b
Z
a
f (x)dx ·
b
Z
a
g(x)dx. B.
b
Z
a
[f (x)+g(x)]dx =
b
Z
a
f (x)dx +
b
Z
a
g(x)dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 396 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
C.
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx (a < c < b). D.
b
Z
a
[f (x)−g(x)]dx =
b
Z
a
f (x)dx −
b
Z
a
g(x)dx.
- Lời giải.
Khẳng định “
b
Z
a
f (x) · g(x)dx =
b
Z
a
f (x)dx ·
b
Z
a
g(x)dx” là khẳng định sai.
Chọn đáp án A ä
Câu 93. Tích phân
1
Z
0
e
x
dx bằng
A. e. B. e+1. C. 1. D. e−1.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
e
x
dx =e
x
¯
¯
1
0
=e
1
−e
0
=e −1.
Chọn đáp án D ä
Câu 94. Tính I =
2018
Z
0
e
x
dx .
A. I =e
2018
−1. B. I =e
2019
−1. C. I =e
2019
. D. I =e
2018
.
- Lời giải.
Ta có I =
2018
Z
0
e
x
dx =e
x
¯
¯
2018
0
=e
2018
−1.
Chọn đáp án A ä
Câu 95. Tính I =
2
Z
0
2018dx.
A. 4036. B. 2018. C. 0. D. 4026.
- Lời giải.
Ta có I =2018 x
|
2
0
=4036.
Chọn đáp án A ä
Câu 96. Cho hai hàm số f (x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
A.
b
Z
a
k f (x)dx = k
b
Z
a
f (x)dx. B.
b
Z
a
x f (x)dx = x
b
Z
a
f (x)dx.
C.
b
Z
a
(
f (x) + g (x)
)
dx =
b
Z
a
f (x)dx +
b
Z
a
g(x)dx. D.
b
Z
a
f (x)dx =−
a
Z
b
f (x)dx.
- Lời giải.
Khẳng định sai là
b
Z
a
x f (x)dx = x
b
Z
a
f (x)dx.
Chọn đáp án B ä
Câu 97. Tính tích phân
2
Z
1
dx
x +1
.
A. ln
3
2
. B.
5
2
. C. log
3
2
. D. ln6.
Th.s Nguyễn Chín Em 397 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Tính tích phân
2
Z
1
dx
x +1
=
2
Z
1
d(x +1)
x +1
=ln|x +1|
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2
1
=ln
3
2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 98. Tích phân
8
Z
4
dx
x +1
bằng
A. ln9 −ln5. B. ln5−ln9. C. 4. D.
1
81
−
1
25
.
- Lời giải.
8
Z
4
dx
x +1
=ln
|
x +1
|
¯
¯
8
4
=ln9−ln5.
Chọn đáp án A ä
Câu 99. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Diện tích S của D được tính theo công thức
A. S =
b
Z
a
f
2
(x )dx. B. S =
b
Z
a
|f (x)|dx. C. S =
¯
¯
¯
¯
b
Z
a
f (x)dx
¯
¯
¯
¯
. D. S =π
b
Z
a
f
2
(x )dx.
- Lời giải.
Theo công thức ta có S =
b
Z
a
|f (x)|dx.
Chọn đáp án B ä
Câu 100. Tích phân I =
1
Z
0
e
2x
dx bằng
A. I =2(e
2
−1). B. I =
e
2
2
. C. I =
e
2
−1
2
. D. I =e
2
−1.
- Lời giải.
I =
1
Z
0
e
2x
dx =
e
2x
2
¯
¯
¯
¯
1
0
=
e
2
−1
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 101. Tính tích phân
2
Z
0
e
2x
dx .
A.
1
2
e
3
−
1
2
. B.
1
2
e
5
−
1
2
. C.
1
2
e
4
−
1
2
. D. e
4
−1.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
e
2x
dx =
e
2x
2
¯
¯
¯
¯
2
0
=
1
2
e
4
−
1
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 102. Giá trị tích phân
1
Z
0
x +4
x +3
dx bằng
A. ln
5
3
. B. 1 +ln
4
3
. C. ln
3
5
. D. 1−ln
3
5
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 398 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có:
1
Z
0
x +4
x +3
dx =
1
Z
0
µ
1+
1
x +3
¶
dx =
(
x +ln|x +3|
)
¯
¯
¯
1
0
=1 +ln
4
3
.
Chọn đáp án B ä
1.1 ĐÁP ÁN
1. B 2. B 3. A 4. A 5. D 6. D
7. B
8. C 9. A 10. C
11. A 12. A 13. C 14. B 15. C 16. B 17. A 18. D 19. B 20. D
21. C 22. B 23. D 24. A 25. A 26. B 27. C 28. D 29. B 30. D
31. B 32. B 33. C 34. A 35. C 36. C 37. B 38. B 39. C 40. B
41. D 42. B 43. C 44. B 45. D 46. C 47. B 48. C 49. C 50. C
51. B 52. B 53. D 54. D 55. A 56. B 57. A 58. D 59. A 60. B
61. A 62. D 63. C 64. D 65. B 66. A 67. D 68. D 69. A 70. D
71. A 72. B 73. C 74. B 75. B 76. B
77. D
78. C 79. B 80. B
81. A 82. D 83. D 84. D 85. B 86. A 87. C 88. D 89. C 90. D
91. B 92. A 93. D 94. A 95. A 96. B 97. A 98. A 99. B 100. C
101. C 102. B
2 THÔNG HIỂU
Câu 1. Tính tích phân
Z
2
0
2
2x +1
dx .
A. 2ln5. B.
1
2
ln5. C. ln5. D. 4ln5.
- Lời giải.
Ta có
Z
2
0
2
2x +1
dx =
Z
2
0
1
2x +1
d(2x +1) =ln| 2x +1|
¯
¯
¯
2
0
=ln5.
Chọn đáp án C ä
Câu 2. Cho tích phân
0
Z
−
π
3
cos2x cos4x dx = a+b
p
3, trong đó a,b là các hằng số hữu tỉ. Tính e
a
+log
2
|b |.
A. −2. B. −3. C.
1
8
. D. 0.
- Lời giải.
0
Z
−
π
3
cos2x cos4x dx =
1
2
0
Z
−
π
3
(
cos2x +cos6x
)
dx =
1
2
µ
1
2
sin2x +
1
6
sin6x
¶
¯
¯
¯
0
−
π
3
=
p
3
8
.
Suy ra a =0 và b =
1
8
. Khi đó e
a
+log
2
|b |=1−3 =−2.
Chọn đáp án A ä
Câu 3. Tính I =
1
Z
0
1
x +1
dx .
A. ln2. B. 1. C. 0. D. ln
3
2
.
- Lời giải.
I =
1
Z
0
dx
x +1
=ln|x +1|
¯
¯
¯
1
0
=ln2.
Chọn đáp án A ä
Câu 4. Tích phân
2
Z
0
2x +1
x +3
dx bằng
Th.s Nguyễn Chín Em 399 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. 4−5ln
3
5
. B. 4−5log
5
3
. C. 4+5ln
5
3
. D. 4−5ln
5
3
.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
2x +1
x +3
dx =
2
Z
0
µ
2−
5
x +3
¶
dx =
(
2x −5ln|x +3|
)
¯
¯
¯
2
0
=4 −5ln
5
3
.
Chọn đáp án D ä
Câu 5. Cho
2
Z
−1
f (x)dx =2 và
2
Z
−1
g(x)dx =−1. Tính I =
2
Z
−1
[x +2f (x)−3g(x)]dx.
A. I =
11
2
. B. I =
7
2
. C. I =
17
2
. D. I =
5
2
.
- Lời giải.
I =
2
Z
−1
[x +2f (x)−3g(x)]dx =
2
Z
−1
xdx +2
2
Z
−1
f (x)dx −3
2
Z
−1
g(x)dx =
17
2
Chọn đáp án C ä
Câu 6. Cho
2
Z
1
[3f (x)+2g(x)]dx =1 và
2
Z
1
[2f (x)−g(x)]dx =−3. Khi đó
2
Z
1
f (x)dx bằng
A.
11
7
. B. −
5
7
. C.
6
7
. D.
16
7
.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
[3f (x)+2g(x)]dx =1
2
Z
1
[2f (x)−g(x)]dx =−3
⇔
3
2
Z
1
f (x)dx +2
2
Z
1
g(x)dx =1
2
2
Z
1
f (x)dx −
2
Z
1
g(x)dx =−3
⇔
2
Z
1
f (x)dx =−
5
7
2
Z
1
g(x)dx =
11
7
.
Chọn đáp án B ä
Câu 7. Biết
π
Z
0
(x −sin2x)dx =
a
b
π
2
trong đó a, b là các số thực và
a
b
(tối giản). Tính a +b.
A. −3. B. 5. C. 3. D. 2.
- Lời giải.
Ta có
π
Z
0
(x −sin2x)dx =
µ
x
2
2
+
1
2
cos2x
¶
¯
¯
¯
¯
π
0
=
π
2
2
+
1
2
−
1
2
=
π
2
2
. Suy ra a =1, b =2 khi đó a +b =3.
Chọn đáp án C ä
Câu 8. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =sin2x và F
³
π
4
´
=1. Tính F
³
π
6
´
.
A. F
³
π
6
´
=
5
4
. B. F
³
π
6
´
=0. C. F
³
π
6
´
=
3
4
. D. F
³
π
6
´
=
1
2
.
- Lời giải.
Ta có
π
4
Z
π
6
sin2x dx =
1
4
=F
³
π
4
´
−F
³
π
6
´
⇒F
³
π
6
´
=F
³
π
4
´
−
1
4
=1 −
1
4
=
3
4
.
Chọn đáp án C ä
Câu 9. Tính tích phân I =
π
2
Z
0
sin
³
π
4
−x
´
dx .
A. I =
π
4
. B. I =−1. C. I =0. D. I =1.
Th.s Nguyễn Chín Em 400 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có I = cos
³
π
4
−x
´
¯
¯
¯
π
2
0
=0.
Chọn đáp án C ä
Câu 10. Tính I =
3
Z
0
1
x +2
dx .
A. I =−
21
100
. B. I =ln
5
2
. C. I =
4581
5000
. D. I =log
5
2
.
- Lời giải.
I =
3
Z
0
dx
x +2
=ln
|
x +2
|
¯
¯
¯
¯
¯
3
0
=ln5−ln2 =ln
5
2
.
Chọn đáp án B ä
Câu 11. Cho I =
1
Z
0
(2x −m
2
)dx. Có bao nhiêu giá tr ị nguyên dương của m để I +3 ≥0.
A. 4. B. 0. C. 5. D. 2.
- Lời giải.
Ta có I =
1
Z
0
(2x −m
2
)dx = (x
2
−m
2
x)
¯
¯
1
0
=1 −m
2
.
Để I +3 ≥0 ⇔4−m
2
≥0 ⇔ m
2
≤4 ⇔−2 ≤ m ≤2.
Từ đó suy ra có 2 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn.
Chọn đáp án D ä
Câu 12. Cho
1
Z
−2
f (x)dx =3. Tính tích phân I =
1
Z
−2
[
2f (x)−1
]
dx .
A. −9. B. 3. C. −3. D. 5.
- Lời giải.
I =
1
Z
−2
[
2f (x)−1
]
dx =2
1
Z
−2
f (x)dx −
1
Z
−2
dx =3.
Chọn đáp án B ä
Câu 13. Tích phân
2
Z
1
(x +3)
2
dx bằng
A.
61
9
. B. 4. C. 61. D.
61
3
.
- Lời giải.
2
Z
1
(x +3)
2
dx =
2
Z
1
(x
2
+6x +9)dx =
µ
x
3
3
+
6x
2
2
+9x
¶
¯
¯
¯
2
1
=
61
3
.
Chọn đáp án D ä
Câu 14. Cho hàm số f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+2 với a, b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện
1
Z
1
2
f
(
x
)
dx =2−3ln2. Tính
T = a +b
A. T =−2. B. T =2. C. T =−1. D. T =0.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 401 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
2−3ln2 =
1
Z
1
2
f (x)dx =
³
−
a
x
+b ln|x|+2x
´
¯
¯
¯
1
1
2
=a +b ln2+1 ⇒
a +1 =2
b =−3
⇒a +b =−2.
Chọn đáp án A ä
Câu 15. Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn điều kiện f (1) = 12, f
0
(x ) liên tục trên R và
4
Z
1
f
0
(x )dx = 17. Khi
đó f (4) bằng
A. 5. B. 29. C. 19. D. 9.
- Lời giải.
Ta có
4
Z
1
f
0
(x )dx = f (4) − f (1) ⇒ f (4) =
4
Z
1
f
0
(x )dx + f (1) =17 +12 =29.
Chọn đáp án B ä
Câu 16. Tính tích phân I =
4
Z
2
x
x −1
dx .
A. 2−ln3. B. 1 +ln3. C.
2
5
. D. 2+ln3.
- Lời giải.
Ta có I =
4
Z
2
x
x −1
dx =
4
Z
2
µ
1+
1
x −1
¶
dx =
(
x +ln|x −1|
)
¯
¯
¯
4
2
=2 +ln3.
Chọn đáp án D ä
Câu 17. Tích phân
π
3
Z
0
cos2x dx bằng
A. −
p
3
2
. B. −
p
3
4
. C.
p
3
2
. D.
p
3
4
.
- Lời giải.
π
3
Z
0
cos2x dx =
1
2
sin2x
¯
¯
π
3
0
=
p
3
4
.
Chọn đáp án D ä
Câu 18. Tích phân I =
1
Z
0
(
x +1
)
2
dx bằng
A.
8
3
. B. 4. C.
7
3
. D. 2.
- Lời giải.
Ta có I =
1
Z
0
(
x +1
)
2
dx =
(
x +1
)
3
3
¯
¯
¯
¯
1
0
=
8
3
−
1
3
=
7
3
.
Chọn đáp án C ä
Câu 19. Nếu f
(
1
)
=12, f
0
(
x
)
liên tục và
4
Z
1
f
0
(
x
)
dx =17. Giá trị của f
(
4
)
bằng
Th.s Nguyễn Chín Em 402 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. 19. B. 5. C. 29. D. 9.
- Lời giải.
Ta có
4
Z
1
f
0
(
x
)
dx = f
(
x
)
¯
¯
¯
4
1
= f
(
4
)
− f
(
1
)
=17 ⇔ f
(
4
)
=29.
Chọn đáp án C ä
Câu 20. Cho
2
Z
0
f
(
x
)
dx =5. Khi đó
2
Z
0
[
4f
(
x
)
−3
]
dx bằng
A. 6. B. 14. C. 8. D. 2.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
[
4f
(
x
)
−3
]
dx =
2
Z
0
4f
(
x
)
dx −
2
Z
0
3dx =4·5−3x
¯
¯
¯
2
0
=14.
Chọn đáp án
B ä
Câu 21. Tích phân I =
2
Z
1
µ
1
x
+2
¶
dx bằng
A. I =ln2 +2. B. I =ln2+1. C. I =ln2−1. D. I =ln2+3.
- Lời giải.
Ta có I =
2
Z
1
µ
1
x
+2
¶
dx =
¡
ln
¯
¯
x
¯
¯
+2x
¢
¯
¯
¯
2
1
=ln2+4−2 =ln2+2.
Chọn đáp án A ä
Câu 22. Tính tích phân I =
1
Z
0
1
x
2
−x −2
dx .
A. I =−2ln2. B. I =
2ln2
3
. C. I =−
2ln2
3
. D. I =2ln2.
- Lời giải.
Ta có
I =
1
Z
0
1
x
2
−x −2
dx =
1
Z
0
1
(x +1)(x −2)
dx =
1
3
1
Z
0
1
x −2
dx −
1
Z
0
1
x +1
dx
=
1
3
ln
¯
¯
¯
¯
x −2
x +1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
3
ln
µ
1
2
¶
−
1
3
ln2 =−
2ln2
3
.
Chọn đáp án C ä
Câu 23. Có bao nhiêu giá trị thực của a để có
a
Z
0
(2x +5)dx =a −4.
A. 1. B. 0. C. 2. D. Vô số.
- Lời giải.
Ta có
a
Z
0
(2x +5)dx =
¡
x
2
+5x
¢
¯
¯
a
0
=a
2
+5a.
Nên:
a
Z
0
(2x +5)dx =a −4 ⇔a
2
+5a = a −4 ⇔ a
2
+4a +4 ⇔a =−2.
Vậy, có một giá trị thực của a thỏa mãn là a =−2.
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 403 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 24. Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kì thuộc K . Khẳng định nào sau
đây sai?
A.
a
Z
a
f (x)dx =1. B.
b
Z
a
f (x)dx =−
a
Z
b
f (x)dx.
C.
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx =
b
Z
a
f (x)dx, c ∈(a; b). D.
b
Z
a
f (x)dx =
b
Z
a
f (t)dt.
- Lời giải.
Hàm số f liên tục trên khoảng K và a số bất kì thuộc K , ta có
a
Z
a
f (x)dx = 0. Như vậy, khẳng định
a
Z
a
f (x)dx =1 là khẳng định sai.
Chọn đáp án A ä
Câu 25. Cho hàm số y = f (x) =
3x
2
khi 0 ≤ x ≤1
4−x khi 1 ≤ x ≤2
. Tính
2
Z
0
f (x)dx.
A.
7
2
. B. 1. C.
5
2
. D.
3
2
.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
3x
2
dx +
2
Z
1
(4−x)dx =
7
2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 26. Tích phân
1
Z
0
e
2x
dx bằng
A. 1−e
2
. B.
1
2
(1−e
2
). C.
1
2
(e
2
−1). D. e
2
−1.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
e
2x
dx =
1
2
e
2x
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
2
¡
e
2
−1
¢
.
Chọn đáp án C ä
Câu 27. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [−1;3] và thỏa mãn f (−1) = 4; f (3) = 7. Giá
trị của I =
3
Z
−1
5f
0
(t)dt bằng
A. I =20. B. I =3. C. I =10. D. I =15.
- Lời giải.
Ta có I =5
3
Z
−1
f
0
(t)dt =5f (t)
¯
¯
¯
3
−1
=5(f (3)− f (−1)) =15.
Chọn đáp án D ä
Câu 28. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên
[
a; b
]
. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
b
Z
a
f (x)dx =−
a
Z
b
f (x)dx. B.
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx, ∀c ∈R.
Th.s Nguyễn Chín Em 404 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
C.
b
Z
a
f (x)dx =
b
Z
a
f (t)dt. D.
a
Z
a
f (x)dx =0.
- Lời giải.
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên
[
a; b
]
ta có các mệnh đề sau
b
Z
a
f (x)dx =−
a
Z
b
f (x)dx.
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx, ∀c ∈(a;b).
b
Z
a
f (x)dx =
b
Z
a
f (t)dt.
a
Z
a
f (x)dx =0.
Chọn đáp án B ä
Câu 29. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;2] và f (0)− f (2) =2. Tính
2
Z
0
f
0
(x )dx.
A. 2. B. −2. C.
1
2
. D. 4.
- Lời giải.
2
Z
0
f
0
(x )dx = f (2) − f (0) =−2.
Chọn đáp án B ä
Câu 30. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R, biết f (1) = 2017 và
2
Z
1
f
0
(x )dx = 1, giá trị của
f (2) bằng
A. 2017. B. 2019. C. 2018. D. 2016.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
f
0
(x )dx =1 ⇔ f (x)
¯
¯
¯
2
1
=1 ⇔ f (2) − f (1) =1 ⇔ f (2) =1 + f (1) ⇔ f (2) =2018.
Chọn đáp án C ä
Câu 31. Giá trị của tích phân I =
1
Z
0
x
x +1
dx là
A. I =2+ln2. B. I =1−ln2. C. I =2 −ln2. D. I =1+ln2.
- Lời giải.
I =
1
Z
0
x
x +1
dx =
1
Z
0
µ
1−
1
x +1
¶
dx =
(
x −ln|x +1|
)
¯
¯
¯
1
0
=1 −ln2.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 405 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 32. Biết
3
Z
1
1
p
x +1−
p
x
dx = a
p
3+b
p
2+c với a, b, c là các số hữu tỷ. Tính P = a +b +c.
A. P =
13
2
. B. P =
16
3
. C. P =5. D. P =
2
3
.
- Lời giải.
Ta có
3
Z
1
dx
p
x +1−
p
x
=
3
Z
1
³
p
x +1+
p
x
´
dx =
·
2
3
³
p
x +1
´
3
+
2
3
¡
p
x
¢
3
¸
¯
¯
¯
¯
3
1
.
=
16
3
+2
p
3−
4
3
p
2−
2
3
=2
p
3−
4
3
p
2+
14
3
.
Vậy P = a +b +c =2−
4
3
+
14
3
=
16
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 33. Tích phân
1
Z
0
3
2x+1
dx bằng
A.
27
ln9
. B.
9
ln9
. C.
4
ln3
. D.
12
ln3
.
- Lời giải.
1
Z
0
3
2x+1
dx =
3
2x+1
2ln3
¯
¯
¯
1
0
=
12
ln3
.
Chọn đáp án D ä
Câu 34. Cho hàm số f (x ) liên tục trên R và thỏa mãn
1
Z
0
f (x)dx =2;
3
Z
1
f (x)dx =6. Tính I =
3
Z
0
f (x)dx.
A. I =8. B. I =12. C. I =36. D. I =4.
- Lời giải.
Ta có
3
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
f (x)dx +
3
Z
1
f (x)dx =2 +6 =8.
Chọn đáp án A ä
Câu 35. Cho M, N là các số thực, xét hàm số f (x) = M sinπx+N cosπx thỏa mãn f (1) =3 và
1
2
Z
0
f (x)dx =
−
1
π
. Giá trị của f
0
µ
1
4
¶
bằng
A.
5π
p
2
2
. B. −
5π
p
2
2
. C. −
π
p
2
2
. D.
π
p
2
2
.
- Lời giải.
Ta có f (1) =3 ⇔ M sinπ +N cosπ =3 ⇔ N =−3.
Mặt khác
1
2
Z
0
f (x)dx =−
1
π
⇔
1
2
Z
0
(
M sinπx −3cosπx
)
dx =−
1
π
⇔
µ
−
M
π
cosπx −
3
π
sinπx
¶
¯
¯
¯
1
2
0
=−
1
π
⇔−
3
π
+
M
π
=−
1
π
⇔ M =2.
Vậy f (x) =2sinπx −3cosπx nên f
0
(x ) =2πcosπx +3πsinπx ⇒ f
0
µ
1
4
¶
=
5π
p
2
2
.
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 406 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 36. Cho a là số thực thỏa mãn |a|<2 và
2
Z
a
(2x +1)dx =4. Giá trị biểu thức 1+a
3
bằng
A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
a
(2x +1)dx =(x
2
+x)
¯
¯
¯
2
a
=6 −a
2
−a.
Theo giả thiết 6−a
2
−a =4 ⇔ a
2
+a −2 =0 ⇔
a =1
a =−2.
Đối chiếu điều kiện |a|<2 ⇒ a =1. Vậy 1 +a
3
=2 là giá trị cần tìm.
Chọn đáp án B ä
Câu 37. Cho I =
π
4
Z
0
dx
(
sin x +cos x
)
2
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. I ∈(−1;3). B. I ∈(−2;0). C. I ∈(−7;−5). D. I ∈[3;8].
- Lời giải.
I =
π
4
Z
0
dx
(
sin x +cos x
)
2
=
π
4
Z
0
dx
2cos
2
¡
x −
π
4
¢
=
1
2
tan
³
x −
π
4
´
¯
¯
¯
π
4
0
=
1
2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 38. Tích phân I =
2
Z
0
(x +2)
3
dx bằng
A. I =56. B. I =60. C. I =240. D. I =120.
- Lời giải.
Ta có I =
2
Z
0
(x +2)
3
dx =
(x +2)
4
4
¯
¯
¯
¯
2
0
=
4
4
−2
4
4
=60.
Chọn đáp án B ä
Câu 39. Cho I =
5
Z
2
f
(
x
)
dx =10. Kết quả J =
2
Z
5
[
2−4f
(
x
)
]
dx là
A. 34. B. 36. C. 40. D. 32.
- Lời giải.
Xét J =
2
Z
5
[
2−4f
(
x
)
]
dx =2x
¯
¯
¯
2
5
−4
2
Z
5
f
(
x
)
dx =−6+40 =34.
Chọn đáp án A ä
Câu 40. Tích phân I =
1
Z
0
x
x +1
dx bằng
A. ln3. B. 1 −ln2. C. ln2. D. 1−ln3.
- Lời giải.
I =
1
Z
0
x
x +1
dx =
1
Z
0
µ
1−
1
x +1
¶
dx = x
¯
¯
¯
1
0
−ln|x +1|
¯
¯
¯
1
0
=1 −ln2.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 407 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 41. Tính tích phân I =
π
4
Z
0
cos
³
π
2
−x
´
dx .
A. I =
1−
p
2
p
2
. B. I =1 −
p
2. C. I =
p
2−1
p
2
. D. I =
p
2−1.
- Lời giải.
Ta có
I =
π
4
Z
0
cos
³
π
2
−x
´
dx =
π
4
Z
0
sin x dx =−cosx
¯
¯
¯
π
4
0
=1 −
p
2
2
=
p
2−1
p
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 42. Tính tích phân I =
2
Z
1
µ
2
x
−
1
x
2
¶
dx .
A. I =1. B. I =2ln2−
1
2
. C. I =2ln2+
1
2
. D. I =2e −
1
2
.
- Lời giải.
Ta có I =
2
Z
1
µ
2
x
−
1
x
2
¶
dx =
µ
2ln|x|+
1
x
¶
¯
¯
¯
2
1
=2ln2−
1
2
.
Chọn đáp án B ä
Câu 43. Tính
1
Z
0
e
−x
dx .
A. −
1
e
+1. B. 1. C.
1
e
. D. −1+
1
e
.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
e
−x
dx =−e
−x
¯
¯
¯
1
0
=−e
−1
+e
0
=−
1
e
+1.
Chọn đáp án A ä
Câu 44. Biết
3
Z
2
x
2
−3x +2
x
2
−x +1
dx = a ln7 +b ln3 + c ln2 +d (với a, b, c, d là các số nguyên). Tính giá trị của
biểu thức T = a +2b
2
+3c
3
+4d
4
.
A. T =6. B. T =7. C. T =9. D. T =5.
- Lời giải.
Ta có
3
Z
2
x
2
−3x +2
x
2
−x +1
dx =
3
Z
2
µ
1−
2x −1
x
2
−x +1
¶
dx =
¡
x −ln|x
2
−x +1|
¢
¯
¯
¯
3
2
=1 −ln7+ln3
⇒a =−1, b =1, c =0, d =1 ⇒ T =5.
Chọn đáp án D ä
Câu 45. Giá trị nào của b để
b
Z
1
(2x −6)dx =0?
A. b =0 hoặc b =3. B. b =0 hoặc b =1. C. b =5 hoặc b =0. D. b =1 hoặc b =5.
- Lời giải.
Ta có
b
Z
1
(2x −6)dx =(x
2
−6x)
¯
¯
¯
b
1
= b
2
−6b +5.
Th.s Nguyễn Chín Em 408 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Do đó
b
Z
1
(2x −6)dx =0 ⇔ b
2
−6b +5 =0 ⇔
b =1
b =5
.
Chọn đáp án D ä
Câu 46. Cho một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = acos
4
x−b cos x với a, b ∈R biết rằng F(0) = F
³
π
2
´
=
0. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
a
b
=
3π
16
. B. cos
µ
b
a
¶
≈0,83. C. ab <0. D. cos
³
a
b
´
=0,45.
- Lời giải.
Ta có
f (x) = a cos
4
x −b cosx
= a
µ
1+cos2x
2
¶
2
−b cosx
=
a
4
¡
1+2cos2x +cos
2
2x
¢
−b cosx
=
a
4
µ
1+2cos2x +
1+cos4x
2
¶
−b cosx.
Suy ra
F(x) =
Z
µ
a
4
+
a
2
cos2x +
1+cos4x
8
−b cosx
¶
dx
=
3a
8
x +
a
4
sin2x +
a
32
sin4x −b sin x +C.
Mặt khác
F(0) =0
F
³
π
2
´
=0
⇔
C =0
3aπ
16
−b =0
⇒
3aπ
16
−b =0 ⇔
b
a
=
3π
16
⇔
a
b
=
16
3π
⇒cos
µ
b
a
¶
≈0,83.
Chọn đáp án B ä
Câu 47. Tính tích phân I =
1
Z
0
x
2018
(1+x)dx.
A. I =
1
2018
+
1
2019
. B. I =
1
2020
+
1
2021
. C. I =
1
2019
+
1
2020
. D. I =
1
2017
+
1
2018
.
- Lời giải.
Ta có I =
1
Z
0
¡
x
2018
+x
2019
¢
dx =
µ
x
2019
20019
+
x
2020
2020
¶
¯
¯
¯
1
0
=
1
2019
+
1
2020
.
Chọn đáp án C ä
Câu 48. Cho
4
Z
1
f (x)dx =9, tính I =
1
Z
0
f
(
3x +1
)
dx .
A. I =9. B. I =3. C. I =1. D. I =27.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 409 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có I =
1
Z
0
f
(
3x +1
)
dx =
1
3
1
Z
0
f
(
3x +1
)
d(3x +1) =
1
3
4
Z
1
f (t)dt =3.
Chọn đáp án B ä
Câu 49. Cho hàm số f (x) liên tục trên khoảng K ; a, b, c là các số thực thuộc K . Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A.
c
Z
a
f (x)dx =
c
Z
b
f (x)dx −
a
Z
b
f (x)dx. B.
c
Z
a
f (x)dx =
b
Z
c
f (x)dx +
a
Z
b
f (x)dx.
C.
c
Z
a
f (x)dx =
a
Z
b
f (x)dx +
c
Z
a
f (x)dx. D.
c
Z
a
f (x)dx =
c
Z
b
f (x)dx +
a
Z
b
f (x)dx.
- Lời giải.
Theo tính chất của tích phân.
Chọn đáp án A ä
Câu 50. Cho
4
Z
3
1
x
2
−3x +2
dx = aln2 +b ln3,
(
a, b ∈Z
)
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a +b +1 =0. B. a +3 b +1 =0. C. a −2b =0. D. a +b =−2.
- Lời giải.
4
Z
3
1
x
2
−3x +2
dx =
4
Z
3
µ
1
x −2
−
1
x −1
¶
dx =
(
ln(x −2)−ln(x −1)
)
|
4
3
.
=ln2−ln3 −
(
ln1−ln2
)
=2ln2−ln3 ⇒a =2;b =−1.
Vậy a +3b +1 =0 là khẳng định đúng.
Chọn đáp án B ä
Câu 51. Cho f (x), g(x) là hai hàm liên tục trên
[
1;3
]
thỏa mãn
3
Z
1
[
f (x) +3g(x)
]
dx =10,
3
Z
1
[
2f (x)−g(x)
]
dx =
6. Tính
3
Z
1
[
f (x) + g (x)
]
dx .
A. 9. B. 8. C. 6. D. 7.
- Lời giải.
Ta có
3
Z
1
[
f (x) +3g(x)
]
dx =10
3
Z
1
[
2f (x)−g(x)
]
dx =6
⇔
3
Z
1
f (x)dx =4
3
Z
1
g(x)dx =2
⇒
3
Z
1
[
f (x) + g (x)
]
dx =4+2 =6.
Chọn đáp án C ä
Câu 52. Tích phân
2
Z
0
a
ax +3a
dx ,(a >0) bằng
A.
16a
225
. B. a log
5
3
. C. ln
5
3
. D.
2a
15
.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
a
ax +3a
dx =
2
Z
0
1
x +3
dx = ln(x +3)
|
2
0
=ln5−ln3 =ln
5
3
.
Chọn đáp án C ä
Th.s Nguyễn Chín Em 410 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 53. Nếu
d
Z
a
f (x)dx =5 và
d
Z
b
f (x)dx =2 (với a < d <b) thì
b
Z
a
f (x)dx bằng
A. 3. B. 7. C.
5
2
. D. 10.
- Lời giải.
Ta có
b
Z
a
f (x)dx =
d
Z
a
f (x)dx +
b
Z
d
f (x)dx =
d
Z
a
f (x)dx −
d
Z
b
f (x)dx =5 −2 =3.
Chọn đáp án A ä
Câu 54. Cho
1
Z
0
2x +3
2−x
dx = a ·ln2+b (với a,b là các số nguyên). Khi đó giá trị của a là
A. −7. B. 7. C. 5. D. −5.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
2x +3
2−x
dx =−
1
Z
0
2(x −2)+7
x −2
dx =−
1
Z
0
µ
2+
7
x −2
¶
dx =−
(
2x +7ln|x −2|
)
¯
¯
¯
1
0
=7ln2−2.
Do đó a =7.
Chọn đáp án B ä
Câu 55. Cho hàm số f (x) =
x khi x ≥1
1 khi x <1
. Tính tích phân I =
2
Z
0
f (x)dx.
A. I =4. B. I =2. C. I =
3
2
. D. I =
5
2
.
- Lời giải.
Ta có I =
2
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
f (x)dx +
2
Z
1
f (x)dx =
1
Z
0
1dx +
1
Z
0
xdx =
5
2
.
Chọn đáp án D ä
Câu 56. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b]. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
b
Z
a
f (x)dx =−
a
Z
b
f (x)dx. B.
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx, ∀c ∈R.
C.
b
Z
a
f (x)dx =
b
Z
a
f (t)dt. D.
a
Z
a
f (x)dx =0.
- Lời giải.
Ta không biết được hàm số y = f (x) có liên tục tại c hay không, nên biểu thức
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx, ∀c ∈R sai.
Chọn đáp án B ä
Câu 57. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và thỏa mãn
3
Z
0
f (x)dx =20,
5
Z
0
f (x)dx =2. Tính
5
Z
3
f (x)dx.
A. 22. B. 18. C. −18. D. −22.
Th.s Nguyễn Chín Em 411 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
5
Z
3
f (x)dx =
5
Z
0
f (x)dx −
3
Z
0
f (x)dx =−18.
Chọn đáp án C ä
Câu 58. Cho f , g là hai hàm số liên tục trên [1;3], đồng thời thỏa mãn
3
Z
1
[
f (x) +3g(x)
]
dx = 10 và
3
Z
1
[
2f (x)−g(x)
]
dx =6. Tính
3
Z
1
[
f (x) + g (x)
]
dx .
A. 6. B. 8. C. 7. D. 9.
- Lời giải.
Đặt a =
3
Z
1
f (x)dx, b =
3
Z
1
g(x)dx. Theo giả thiết ta có
a +3b =10
2a −b =6
⇒
a =4
b =2.
Vậy
3
Z
1
[
f (x) + g (x)
]
dx = a +b =6.
Chọn đáp án A ä
Câu 59. Cho tích phân
π
2
Z
π
3
sin x
cos x +2
dx = aln5 +b ln2 với a, b ∈Z. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 2a +b =0. B. a −2b =0. C. 2a −b =0. D. a +2b =0.
- Lời giải.
Đặt t =cos x +2 ⇒ dt =−sin xdx ⇒sin xdx =−dt.
Đổi cận
x =
π
3
x =
π
2
⇒
t =
5
2
t =2.
Suy ra a ln5+b ln2 =
π
2
Z
π
3
sin x
cos x +2
dx =
2
Z
5
2
−dt
t
=−ln|t|
¯
¯
¯
2
5
2
=−
µ
ln2−ln
5
2
¶
=ln5−2ln2.
Do đó a =1, b =−2 nên 2a +b =0.
Chọn đáp án A ä
Câu 60. Tích phân I =
1
Z
0
(x −1)
2
x
2
+1
dx = a lnb +c, trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu
thức a +b +c.
A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.
- Lời giải.
Ta có
I =
1
Z
0
(x −1)
2
x
2
+1
dx =
1
Z
0
(x
2
+1)−2x
x
2
+1
dx =
1
Z
0
µ
1−
2x
x
2
+1
¶
dx =
1
Z
0
dx −
1
Z
0
1
x
2
+1
d(x
2
+1).
Th.s Nguyễn Chín Em 412 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Suy ra I =1 −
£
ln(x
2
+1)
¤
¯
¯
¯
1
0
=1 −ln2. Do đó a =−1, b =2, c =1.
Vậy a +b +c =2.
Chọn đáp án A ä
Câu 61. Cho I =
5
Z
1
f (x)dx =26. Khi đó J =
2
Z
0
x ·
£
f (x
2
+1)+1
¤
dx bằng
A. 13. B. 52. C. 54. D. 15.
- Lời giải.
Ta có
J =
2
Z
0
x ·
£
f (x
2
+1)+1
¤
dx =
2
Z
0
x · f (x
2
+1)dx +
2
Z
0
xdx
=
1
2
2
Z
0
f (x
2
+1)d(x
2
+1)+
x
2
2
¯
¯
¯
2
0
=
1
2
5
Z
1
f (t)dt +2
=
1
2
·26+2 =15.
Chọn đáp án D ä
Câu 62. Cho hàm số f (x) liên tục trên và
8
Z
2
f (x)dx =10. Tính I =
3
2
3
Z
1
f (3x −1)dx.
A. 30. B. 10. C. 20. D. 5.
- Lời giải.
Đặt 3x −1 = t ⇒3dx =dt ⇒dx =
1
3
dt.
Đổi cận x =1 ⇒ t =2; x =3 ⇒ t =8.
I =
3
2
3
Z
1
f (3x −1)dx =
3
2
8
Z
2
f (t)
1
3
dt =
1
2
8
Z
2
f (t)dt.
Ta có
8
Z
2
f (x)dx =10 ⇒
8
Z
2
f (t)dt =10. Vậy I =
1
2
8
Z
2
f (t)dt =
1
2
·10 =5.
Chọn đáp án D ä
Câu 63. Biết rằng I =
3
Z
2
xln x dx = mln3 +n ln2+p, trong đó m, n, p ∈Q. Tính m +n +2p.
A.
5
4
. B.
9
2
. C. 0. D. −
5
4
.
- Lời giải.
Đặt
u =ln x
dv = xdx
⇒
du =
1
x
dx
v =
x
2
2
suy ra
I =
x
2
2
ln x
¯
¯
¯
¯
3
2
−
1
2
3
Z
2
xdx =
9
2
ln3−2ln2−
5
4
.
Suy ra m +n +2p =0.
Chọn đáp án C ä
Th.s Nguyễn Chín Em 413 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 64. Cho
1
Z
0
f (x)dx =2 và
1
Z
0
g(x)dx =5, khi đó
1
Z
0
[
f (x) −2g(x)
]
dx bằng
A. −3. B. 12. C. −8. D. 1.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
[
f (x) −2g(x)
]
dx =
1
Z
0
f (x)dx −2
1
Z
0
g(x)dx =2 −2·5 =−8.
Chọn đáp án C ä
Câu 65.
2
Z
1
e
3x−1
dx bằng
A.
1
3
(e
5
−e
2
). B.
1
3
e
5
−e
2
. C. e
5
−e
2
. D.
1
3
(e
5
+e
2
).
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
e
3x−1
dx =
1
3
e
3x−1
¯
¯
¯
2
1
=
1
3
(e
5
−e
2
).
Chọn đáp án A ä
Câu 66.
1
Z
0
e
3x+1
dx bằng
A.
1
3
¡
e
4
−e
¢
. B. e
4
−e. C.
1
3
¡
e
4
+e
¢
. D. e
3
−e.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
e
3x+1
dx =
1
3
e
3x+1
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
3
(e
4
−e).
Chọn đáp án A ä
Câu 67.
2
Z
1
dx
3x −2
bằng
A. 2ln2. B.
1
3
ln2. C.
2
3
ln2. D. ln2.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
dx
3x −2
=
1
3
ln
|
3x −2
|
¯
¯
¯
2
1
=
1
3
(
ln4−ln1
)
=
2
3
ln2.
Chọn đáp án C ä
Câu 68. Cho
e
Z
1
(1+xln x)dx =ae
2
+be +c với a, b, c là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a +b = c. B. a +b =−c. C. a −b = c . D. a −b =−c.
- Lời giải.
Ta có
e
Z
1
(1+xln x)dx =
e
Z
1
1dx +
e
Z
1
xln xdx =e −1+
e
Z
1
xln xdx.
Đặt
u =ln x
dv = x dx
, ta chọn
du =
1
x
dx
v =
x
2
2
.
Th.s Nguyễn Chín Em 414 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó
e
Z
1
xln xdx =
x
2
2
ln x
¯
¯
¯
e
1
−
1
2
e
Z
1
xdx =
e
2
2
−
1
4
x
2
¯
¯
¯
e
1
=
e
2
2
−
e
2
4
+
1
4
=
e
2
4
+
1
4
.
Suy ra
e
Z
1
(1+xln x)dx =e −1+
e
2
4
+
1
4
=
e
2
4
+e−
3
4
nên a =
1
4
, b =1, c =−
3
4
.
Vậy a −b = c.
Chọn đáp án C ä
Câu 69.
2
Z
1
dx
2x +3
bằng
A. 2ln
7
5
. B.
1
2
ln35. C. ln
7
5
. D.
1
2
ln
7
5
.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
dx
2x +3
=
1
2
ln|2x +3|
¯
¯
¯
2
1
=
1
2
(ln7−ln5) =
1
2
ln
7
5
.
Chọn đáp án D ä
Câu 70. Tính tích phân
π
4
Z
0
sin2x dx bằng
A. 1. B. 2. C.
1
2
. D. 0.
- Lời giải.
Ta có I =
π
4
Z
0
sin2x dx =
1
2
π
4
Z
0
sin2x d(2x) =−
1
2
cos2x
¯
¯
¯
π
4
0
=
1
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 71. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và thỏa mãn I =
e
Z
1
f (ln x)
x
dx = e. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A.
e
Z
1
f (x)dx =e. B.
1
Z
0
f (x)dx =1. C.
1
Z
0
f (x)dx =e. D.
e
Z
0
f (x)dx =1.
- Lời giải.
Đặt ln x = t ⇒
dx
x
= dt.
Đổi cận: Khi x =1 ⇒ t =0; Khi x =e ⇒ t =1.
Vậy ta có I =
1
Z
0
f (t)dt =e ⇔ I =
1
Z
0
f (x)dx =e.
Chọn đáp án C ä
Câu 72. Tích phân
e
2
Z
e
1
xln x
dx bằng
A. ln2 +1. B. ln2+2. C. ln3−1. D. ln2.
- Lời giải.
Đặt u =ln x ⇒du =
1
x
dx .
Khi đó
e
2
Z
e
1
xln x
dx =
2
Z
1
du
u
=ln|u|
¯
¯
¯
2
1
=ln2.
Th.s Nguyễn Chín Em 415 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án D ä
Câu 73. Giá trị của
Z
e
1
ln x
x
dx bằng
A.
1
4
. B. 1. C.
1
2
. D.
1
6
.
- Lời giải.
Đặt t =ln x ⇒ dt =
1
x
dx .
Đổi cận: x =1 ⇒ t =0; x = e ⇒ t =1.
Khi đó, I =
Z
1
0
tdt =
t
2
2
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 74. Tính tích phân
e
Z
1
xln xdx ta được kết quả
A.
e
2
+1
4
. B.
e
2
−1
4
. C.
2e
2
+1
4
. D.
2e
2
−1
4
.
- Lời giải.
Đặt u =ln x ⇒du =
1
x
dx ,dv = xdx ⇒v =
x
2
2
.
Suy ra
e
Z
1
xln xdx =
x
2
2
ln x
¯
¯
¯
e
1
−
e
Z
1
x
2
dx =
e
2
2
−
x
2
4
¯
¯
¯
e
1
=
e
2
+1
4
.
Chọn đáp án A ä
Câu 75. Cho
1
Z
0
f (x)dx =2 và
1
Z
0
g(x)dx =5, khi đó
1
Z
0
[
f (x) −2g(x)
]
dx bằng
A. −3. B. 12. C. −8. D. 1.
- Lời giải.
1
Z
0
[
f (x) −2g(x)
]
dx =
1
Z
0
f (x)dx −2
1
Z
0
g(x)dx =2 −2·5 =−8.
Chọn đáp án C ä
Câu 76. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để tích phân
1+a
Z
1
dx
x
(
x −5
)(
x −4
)
tồn tại.
A. −1 <a <3. B. a <−1. C. a 6=4,a 6=5. D. a <3.
- Lời giải.
Tích phân
1+a
Z
1
dx
x
(
x −5
)(
x −4
)
tồn tại khi và chỉ khi hàm số y =
1
x
(
x −5
)(
x −4
)
liên tục trên [1;1+a] hoặc
[1+a;a].
Mà hàm số y =
1
x
(
x −5
)(
x −4
)
liên tục trên khoảng
(
−∞;0
)
;
(
0;4
)
;
(
4;5
)
;
(
5;+∞
)
.
Nên hàm số liên tục trên [1;1+a] hoặc
[
1+a;1
]
⇔0 <1+a <4 ⇔−1 < a <3.
Vậy −1 < a <3.
Chọn đáp án A ä
Câu 77. Cho
2
Z
1
f
(
x
)
dx =2. Hãy tính
4
Z
1
f
¡
p
x
¢
p
x
dx .
A. I =4. B. I =1. C. I =
1
2
. D. I =2.
Th.s Nguyễn Chín Em 416 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Đặt t =
p
x ⇒dt =
1
2
p
x
dx ⇒
1
p
x
dx =2dt.
Đổi cận x =1 ⇔ t =1; x =4 ⇒ t =2, ta có
I =2
2
Z
1
f
(
t
)
dt =2
2
Z
1
f
(
x
)
dx =2·2 =4.
Chọn đáp án A ä
Câu 78. Cho
5
Z
−2
f
(
x
)
dx =8 và
−2
Z
5
g
(
x
)
dx =3. Tính I =
5
Z
−2
[
f
(
x
)
−4g
(
x
)
−1
]
dx .
A. I =13. B. I =27. C. I =−11. D. I =3.
- Lời giải.
Theo tính chất của tích phân ta có
I =
5
Z
−2
[
f
(
x
)
−4g
(
x
)
−1
]
dx =
5
Z
−2
f
(
x
)
dx −4
5
Z
−2
g
(
x
)
dx −
5
Z
−2
dx =8·4·
(
−3
)
−x
¯
¯
¯
5
−2
=13.
Chọn đáp án A ä
Câu 79. Tích phân
2
Z
0
x
x
2
+3
dx bằng
A.
1
2
log
7
3
. B. ln
7
3
. C.
1
2
ln
3
7
. D.
1
2
ln
7
3
.
- Lời giải.
Đặt u = x
2
+3 ⇒du =2xdx ⇒ xdx =
1
2
du.
Đổi cận x =0 ⇒ u =3; x =2 ⇒ u =7, ta có
I =
1
2
7
Z
3
1
u
du =
1
2
ln|u|
¯
¯
¯
¯
7
3
=
1
2
ln7−
1
2
ln3 =
1
2
ln
7
3
.
Chọn đáp án D ä
Câu 80. Cho
1
Z
0
f (x)dx =3,
2
Z
1
f (x)dx =2. Khi đó
2
Z
0
f (x)dx bằng
A. 6. B. −1. C. 1. D. 5.
- Lời giải.
2
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
f (x)dx +
2
Z
1
f (x)dx =5.
Chọn đáp án D ä
Câu 81. Cho biết
2
Z
0
f (x)dx =3 và
2
Z
0
g(x)dx =−2. Tính tích phân
I =
2
Z
0
[
2x + f (x)−2g(x)
]
dx .
Th.s Nguyễn Chín Em 417 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. I =11. B. I =18. C. I =5. D. I =3.
- Lời giải.
Ta có I =
2
Z
0
[
2x + f (x)−2g(x)
]
dx =
2
Z
0
2x dx +
2
Z
0
f (x)dx −2
2
Z
0
g(x)dx = x
2
¯
¯
¯
2
0
+3−2(−2) =11.
Chọn đáp án A ä
Câu 82. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [2;3] thỏa mãn
3
Z
2
f (x)dx = 2019. Tính I =
3
p
2
Z
1
x
2
f (x
3
+
1)dx.
A. I =6057. B. I =
3
p
2019. C. I =673. D. I =2019.
- Lời giải.
Đặt t = x
3
+1 ⇒ dt =3x
2
dx ⇒
1
3
dt = x
2
dx .
Đổi cận x =1 ⇒ t =2, x =
3
p
2 ⇒ t =3.
Vậy I =
1
3
3
Z
2
f (t)dt =
2019
3
=673.
Chọn đáp án C ä
Câu 83. Cho
4
Z
0
f (x)dx =
16
3
. Tính I =
4
Z
0
·
5
(x +1)
2
−3f (x)
¸
dx .
A. I =−12. B. I =0. C. I =−20. D. I =1.
- Lời giải.
Ta có
I =
4
Z
0
·
5
(x +1)
2
−3f (x)
¸
dx =
−5
x +1
¯
¯
¯
¯
4
0
−3
4
Z
0
f (x)dx =−1 +5−3·
16
3
=−12.
Chọn đáp án A ä
Câu 84. Cho I =
4
Z
0
x
p
1+2xdx và u =
p
2x +1. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. I =
1
2
µ
u
5
5
−
u
3
3
¶
¯
¯
¯
¯
3
1
. B. I =
3
Z
1
u
2
(u
2
−1)du.
C. I =
1
2
3
Z
1
x
2
(x
2
−1)dx . D. I =
1
2
3
Z
1
u
2
(u
2
−1)du.
- Lời giải.
Đặt u =
p
2x +1 ⇒du =
1
p
2x +1
dx ⇒dx = u du.
Đổi cận: x =0 ⇒ u =1, x =4 ⇒ u =3.
Khi đó, ta có
I =
1
2
3
Z
1
u
2
(u
2
−1)du =
1
2
µ
u
5
5
−
u
3
3
¶
¯
¯
¯
¯
3
1
.
Mặt khác, do tích phân không phụ thuộc vào ký hiệu biến nên ta có
I =
1
2
3
Z
1
u
2
(u
2
−1)du =
1
2
3
Z
1
x
2
(x
2
−1)dx .
Th.s Nguyễn Chín Em 418 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta thấy
3
Z
1
u
2
(u
2
−1)du 6=
1
2
3
Z
1
u
2
(u
2
−1)du.
Vậy mệnh đề “I =
3
Z
1
u
2
(u
2
−1)du” sai.
Chọn đáp án B ä
Câu 85. Biết rằng hàm số f (x) =ax
2
+bx +c thỏa mãn
1
Z
0
f (x)dx =−
7
2
,
2
Z
0
f (x)dx =−2 và
3
Z
0
f (x)dx =
13
2
(với a, b , c ∈R). Tính giá trị của biểu thức P = a +b +c .
A. P =−
3
4
. B. P =−
4
3
. C. P =
4
3
. D. P =
3
4
.
- Lời giải.
Ta có
Z
f (x)dx =
1
3
ax
3
+
1
2
bx
2
+cx +d.
Có
1
Z
0
f (x)dx =−
7
2
⇒
µ
1
3
ax
3
+
1
2
bx
2
+cx +d
¶
¯
¯
¯
¯
1
0
⇒
1
3
a +
1
2
b +c =−
7
2
(1).
Có
2
Z
0
f (x)dx =−2 ⇒
µ
1
3
ax
3
+
1
2
bx
2
+cx +d
¶
¯
¯
¯
¯
2
0
⇒
8
3
a +2b +2c =−2 (2).
Có
3
Z
0
f (x)dx =
13
2
⇒
µ
1
3
ax
3
+
1
2
bx
2
+cx +d
¶
¯
¯
¯
¯
3
0
⇒9a +
9
2
b +3c =
13
2
(3).
Từ (1), (2), (3) ta có hệ
1
3
a +
1
2
b +c =−
7
2
8
3
a +2b +2c =−2
9a +
9
2
b +3c =
13
2
.
Hệ phương trình có nghiệm (a; b; c) =
µ
1;3;−
16
3
¶
.
Vậy P = a +b +c =4−
16
3
=−
4
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 86. Cho f , g là hai hàm số liên tục trên [1;3] thỏa mãn điều kiện
3
Z
1
[f (x)+3g(x)]dx = 10 đồng thời
3
Z
1
[2f (x)−g(x)]dx =6. Tính
3
Z
1
[f (x)+g(x)]dx.
A. 9. B. 6. C. 7. D. 8.
- Lời giải.
Đặt A =
3
Z
1
f (x)]dx, B =
3
Z
1
g(x)dx.
Theo bài ra ta có hệ
A +3B =10
2A −B =6
⇒
A =4
B =2.
Vậy
3
Z
1
[f (x)+g(x)]dx = A +B =6.
Th.s Nguyễn Chín Em 419 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án B ä
Câu 87. Biết m là số thực thỏa mãn
π
2
Z
0
x(cos x +2m)dx =2π
2
+
π
2
−1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. m ≤0. B. 0 < m ≤3. C. 3 < m ≤6. D. m >6.
- Lời giải.
Ta có
π
2
Z
0
x(cos x +2m)dx =
π
2
Z
0
xcos xdx +
π
2
Z
0
2mxdx
= xsin x
|
π
2
0
−
π
2
Z
0
sin x dx + mx
2
¯
¯
π
2
0
=
π
2
+ cos x
|
π
2
0
+
mπ
2
4
=
π
2
−1+
mπ
2
4
=
mπ
2
4
+
π
2
−1. (1)
Theo bài ra
π
2
Z
0
x(cos x +2m)dx =2π
2
+
π
2
−1. (2)
Từ (1) và (2), suy ra
m
2
=4 ⇒ m =8.
Chọn đáp án D ä
Câu 88. Cho
6
Z
0
f (x)dx =12. Tính I =
2
Z
0
f (3x)dx.
A. I =6. B. I =36. C. I =2. D. I =4.
- Lời giải.
I =
2
Z
0
f (3x) dx =
1
3
2
Z
0
f (3x) d(3x) =
1
3
6
Z
0
f (u) du (với u =3x)
⇒ I =
1
3
.12 =4.
Chọn đáp án D ä
Câu 89. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
ln x
x
. Tính I =F(e)−F(1).
A. I =e. B. I =
1
e
. C. I =
1
2
. D. I =1.
- Lời giải.
Ta có I =
Z
e
1
ln x
x
dx =
Z
e
1
ln x d(lnx) =
(ln x)
2
2
¯
¯
¯
¯
e
1
=
1
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 90. Cho
2
Z
−1
f (x)dx =2 và
2
Z
−1
g(x)dx =−1. Tính I =
2
Z
−1
[
x +2f (x)−3g(x)
]
dx .
A. I =
5
2
. B. I =
7
2
. C. I =
17
2
. D. I =
11
2
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 420 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
2
Z
−1
[
x +2f (x)−3g(x)
]
dx
=
2
Z
−1
xdx +2
2
Z
−1
f (x)dx −3
2
Z
−1
g(x)dx
=
x
2
2
¯
¯
¯
2
−1
+2.2−3.(−1) =
17
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 91. Cho
π
2
Z
0
f (x)dx =5. Tính I =
π
2
Z
0
[f (x)+2sinx]dx.
A. 7. B. 5 +
π
2
. C. 3. D. 5 +π.
- Lời giải.
I =
π
2
Z
0
[f (x)+2sinx]dx =
π
2
Z
0
f (x)dx +
π
2
Z
0
2sin x dx =5−2cosx
¯
¯
¯
π
2
0
=7
Chọn đáp án A ä
Câu 92. Tính tích phân I =
π
Z
0
cos
3
x.sin x dx .
A. I =−
1
4
π
4
. B. I =−π
4
. C. I =0. D. I =−
1
4
.
- Lời giải.
Đặt u =cos x ⇒ du =−sin x dx ⇒sin x dx =−du
Đổi cận
x 0 π
u 1 −1
Nên I =
−1
Z
1
u
3
.
(
−du
)
=
1
Z
−1
u
3
. du =
1
4
u
4
¯
¯
¯
¯
1
−1
=0
Chọn đáp án C ä
Câu 93. Tính tích phân I =
e
Z
1
xln x dx
A. I =
1
2
. B. I =
e
2
−2
2
. C. I =
e
2
+1
4
. D. I =
e
2
−1
4
.
- Lời giải.
Đặt
u =ln x
dv = x dx
⇒
du =
1
x
dx
v =
1
2
x
2
, ta có:
I =
1
2
x
2
ln x
¯
¯
¯
¯
e
1
−
e
Z
1
1
2
x dx =
1
2
x
2
ln x
¯
¯
¯
¯
e
1
−
1
4
x
2
¯
¯
¯
¯
e
1
=
1
2
e
2
−
µ
1
4
e
2
−
1
4
¶
=
e
2
+1
4
.
Chọn đáp án C ä
Câu 94. Biết F(x) là một nguyên hàm của f (x) =
1
x −1
và F(2) =1. Tính F(3).
Th.s Nguyễn Chín Em 421 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. F(3) =ln2−1. B. F(3) =ln2+1. C. F(3) =
1
2
. D. F(3) =
7
4
.
- Lời giải.
Ta có F(x) =ln|x −1|+C.
Do F(2) =1 nên C =1 ⇒ F(x) =ln|x −1|+1.
Khi đó F(3) =ln2+1.
Chọn đáp án B ä
Câu 95. Cho
4
Z
0
f (x)dx =16. Tính tích phân I =
2
Z
0
f (2x)dx.
A. I =32. B. I =8. C. I =16. D. I =4.
- Lời giải.
Đặt t =2x ⇒ dt =2dx.
Đổi cận: x =0 ⇒ t =0; x =2 ⇒ t =4.
⇒ I =
4
Z
0
1
2
f (t)dt =
1
2
4
Z
0
f (x)dx =8.
Chọn đáp án B ä
Câu 96. Tính tích phân I =
Z
2
1
2x
p
x
2
−1dx bằng cách đặt u = x
2
−1, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. I =2
Z
3
0
p
udu. B. I =
Z
2
1
p
udu. C. I =
Z
3
0
p
udu. D. I =
1
2
Z
2
1
p
udu.
- Lời giải.
Đặt u = x
2
−1 ⇒du =2xdx. Đổi cận x =1 ⇒ u =0; x =2 ⇒ u =3.
Do đó: I =
2
Z
1
2x
p
x
2
−1dx =
3
Z
0
p
udu.
Chọn đáp án C ä
Câu 97. Cho hàm số f (x) thỏa mãn
1
Z
0
(x +1)f
0
(x )dx =10 và 2f (1) − f (0) =2. Tính
1
Z
0
f (x)dx.
A. I =−12. B. I =8. C. m =1. D. I =−8.
- Lời giải.
Đặt
u = x +1
dv = f
0
(x )dx
⇒
du =dx
v = f (x)
. Khi đó I =(x +1)f (x)
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
f (x)dx.
Suy ra 10 =2f (1)− f (0) −
1
Z
0
f (x)dx ⇒
1
Z
0
f (x)dx =−10 +2 =−8.
Vậy
1
Z
0
f (x)dx =−8.
Chọn đáp án D ä
Câu 98.
2
Z
1
e
3x−1
dx bằng
A.
1
3
(e
5
−e
2
). B.
1
3
e
5
−e
2
. C. e
5
−e
2
. D.
1
3
(e
5
+e
2
).
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 422 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
2
Z
1
e
3x−1
dx =
1
3
e
3x−1
¯
¯
¯
2
1
=
1
3
(e
5
−e
2
).
Chọn đáp án A ä
Câu 99.
1
Z
0
e
3x+1
dx bằng
A.
1
3
¡
e
4
−e
¢
. B. e
4
−e. C.
1
3
¡
e
4
+e
¢
. D. e
3
−e.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
e
3x+1
dx =
1
3
e
3x+1
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
3
(e
4
−e).
Chọn đáp án A ä
Câu 100.
2
Z
1
dx
2x +3
bằng
A. 2ln
7
5
. B.
1
2
ln35. C. ln
7
5
. D.
1
2
ln
7
5
.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
dx
2x +3
=
1
2
ln|2x +3|
¯
¯
¯
2
1
=
1
2
(ln7−ln5) =
1
2
ln
7
5
.
Chọn đáp án D ä
Câu 101. Cho hàm số f
(
x
)
liên tục trên R và f (2) =16,
2
Z
0
f (x)dx =4. Tính I =
1
Z
0
x f
0
(2x )dx.
A. I =7. B. I =12. C. I =20. D. I =13.
- Lời giải.
Đặt t =2x ⇒dt =2dx, Đổi cận x =0 ⇔ t =0, x =1 ⇔ t =2.
I =
1
4
2
Z
0
t · f
0
(t)dt.
Đặt
u = t ⇒ du = dt
dv = f
0
(t)dt ⇒v = f (t).
I =
1
4
t f (t)
|
2
0
−
2
Z
0
f (t)dt
=
1
4
(
2f (2)−0f (0)−4
)
=7.
Chọn đáp án A ä
Câu 102. Cho f (x), g(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [0;1] và
1
Z
0
g(x) · f
0
(x )dx = 1,
1
Z
0
g
0
(x ) ·
f (x)dx =2. Tính tích phân I =
1
Z
0
[f (x)·g(x)]
0
dx .
A. I =−1. B. I =1. C. I =2. D. I =3.
- Lời giải.
I =
1
Z
0
[f (x)·g(x)]
0
dx =
1
Z
0
£
f
0
(x )g(x ) + g
0
(x )f (x)
¤
dx =2+1 =3.
Chọn đáp án D ä
Th.s Nguyễn Chín Em 423 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 103. Biết
π
2
Z
0
³
e
sin x
+cosx
´
·cosx dx =ae+bπ +c, với a,b, c ∈Q. Tính S =a
2
+b
2
+c
2
.
A.
49
36
. B.
49
9
. C.
33
16
. D.
9
4
.
- Lời giải.
Ta có I =
π
2
Z
0
e
sin x
·cos x dx+
π
2
Z
0
cos
2
xdx =−
π
2
Z
0
e
sin x
d(sin x)+
π
2
Z
0
1+2cos2x
2
dx =−e
sin x
¯
¯
¯
¯
π
2
0
+
µ
x
2
+
sin2x
4
¶
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=
−e+
π
4
+1.
Đồng nhất với đề bài ta được a =−1; b =
1
4
; c =1 ⇒ S = a
2
+b
2
+c
2
=
33
16
.
Chọn đáp án C ä
Câu 104. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đạo hàm là hàm số f (x) = x
2
+2
p
x −1
A. g(x) =2x +
1
p
x
−1. B. g(x) =2x +
1
2
p
x
−1.
C. g(x) =2x +
1
2
p
x
. D. g(x) =2x +
1
p
x
.
- Lời giải.
f
0
(x ) =2x +2·
1
2
p
x
=2x +
1
p
x
.
Chọn đáp án D ä
Câu 105. Biết rằng
3
Z
2
3x +1
2x
2
−x −1
dx = aln2 +b ln5+c ln7 trong đó a, b, c ∈Q. Tính P =a +b +c.
A.
4
3
. B.
3
2
. C.
5
3
. D.
7
6
.
- Lời giải.
Ta có
3
Z
2
3x +1
2x
2
−x −1
dx =
4
3
3
Z
2
1
x −1
dx +
1
3
3
Z
2
1
2x +1
dx
=
4
3
ln|x −1|
¯
¯
¯
¯
¯
¯
3
2
+
1
6
ln|2x +1|
¯
¯
¯
¯
¯
¯
3
2
=
4
3
ln2−
1
6
ln5+
1
6
ln7.
Suy ra a =
4
3
, b =−
1
6
, c =
1
6
.
Vậy a +b +c =
4
3
.
Chọn đáp án A ä
Câu 106. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và F(x) là nguyên hàm của f (x), biết
2019
Z
0
f (x)dx = 2019 và
F(0) =3. Tính F(2019).
A. F(2019) =2020. B. F(2019) =2016. C. F(2019) =2022. D. F(2019) =−2022.
- Lời giải.
I =
2019
Z
0
f (x)dx =F(x)
¯
¯
¯
2019
0
=F(2019)−F(0) =2019 ⇔ F(2019) =2019+F(0) =2022.
Chọn đáp án C ä
Th.s Nguyễn Chín Em 424 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 107. Cho
1
Z
0
µ
1
x +2
−
1
x +3
¶
dx = aln2 +b ln3 với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng
?
A. a +b <2. B. a −2b >0. C. a +b >3. D. a +2b <0.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
dx
x +2
=ln|x +2|
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
0
=ln3−ln2 và
1
Z
0
dx
x +3
=ln|x +3|
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
0
=ln4−ln3 =2ln2−ln3.
Do đó
1
Z
0
µ
1
x +2
−
1
x +3
¶
dx =
(
ln3−ln2
)
−
(
2ln2 −ln3
)
=−3ln2+2ln3 nên a =−3, b =2.
Vậy a +b =−1 <2.
Chọn đáp án A ä
Câu 108. Cho tích phân I =
3
Z
0
x
1+
p
x +1
dx . Nếu đặt t =
p
x +1 thì
A. I =
2
Z
1
(t
2
−2t)dt. B. I =
2
Z
1
(2t
2
−t)dt. C. I =
2
Z
1
(2t
2
+2t)dt. D. I =
2
Z
1
(2t
2
−2t)dt.
- Lời giải.
Đặt t =
p
x +1 ⇒ t
2
= x +1 ⇔ x = t
2
−1, dx =2tdt.
Đổi cận: Khi x =0 thì t =1; khi x =3 thì t =2.
I =
3
Z
0
x
1+
p
x +1
dx =
2
Z
1
t
2
−1
1+t
2t dt =
2
Z
1
2t(t −1)dt =
2
Z
1
(2t
2
−2t)dt.
Chọn đáp án D ä
Câu 109. Biết I =
4
Z
3
dx
x
2
+x
=a ln2+b ln3+c ln5, với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a +b +c.
A. S =0. B. S =6. C. S =2. D. S =−2.
- Lời giải.
Ta có
1
x
2
+x
=
1
x(x +1)
=
1
x
−
1
x +1
. Khi đó
I =
4
Z
3
dx
x
2
+x
=
4
Z
3
µ
1
x
−
1
x +1
¶
dx =
[
ln x −ln(x +1)
]
¯
¯
¯
4
3
=4ln2−ln3−ln5.
Suy ra: a =4, b =−1, c =−1. Vậy S =2.
Chọn đáp án C ä
Câu 110. Kết quả tích phân I =
1
Z
0
(2x+3)e
x
dx được viết dưới dạng I = ae+b với a, b là các số hữu tỉ. Tìm
khẳng định đúng.
A. a
3
+b
3
=28. B. a +2b =1. C. a −b =2. D. ab =3.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 425 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Cách 1: Ta có
I =
1
Z
0
(2x +3)e
x
dx
=
Z
1
0
(2x +3)de
x
= [(2x +3)e
x
]
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
2e
x
dx
=
£
(2x +3)e
x
−2e
x
¤
¯
¯
¯
1
0
= 3e−1.
Do đó a =3, b =−1 nên a +2b =1.
Cách 2: Đặt
u =2x +3
dv =e
x
dx
⇒
du =2dx
v =e
x
.
⇒ I =(2x +3)e
x
¯
¯
¯
1
0
−2
1
Z
0
e
x
dx =5e−3−2e
x
¯
¯
¯
1
0
=5e −3−2(e−1) =3e −1.
Suy ra Do đó a =3, b =−1 nên a +2b =1.
Chọn đáp án B ä
Câu 111. Biết
2
Z
1
x
(x
2
+6x +8)
dx = a ln3+b ln4 +c ln5 +d ln6 (a, b, c, d ∈ Z). Tính giá trị của biểu thức
T =2a +3b −c −
d
2
.
A. T =2. B. T =5. C. T =0. D. T =3.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
x
(x
2
+6x +8)
dx =
2
Z
1
x
(x +2)(x +4)
dx
=
2
Z
1
µ
2
x +4
−
1
x +2
¶
dx
=
[
2ln(x +4)−ln(x +2)
]
¯
¯
¯
2
1
= =2ln6 −ln4−2ln5+ln3.
Từ đó có a =1, b =−1, c =−2, d =2 nên T =2+(−3)+2 −1 =0.
Chọn đáp án C ä
Câu 112. Biết f (x) là hàm liên tục trên R và
9
Z
0
f (x)dx =9. Khi đó giá trị của I =
4
Z
1
f (3x −3)dx là
A. 24. B. 0. C. 27. D. 3.
- Lời giải.
I =
4
Z
1
f (3x −3)dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 426 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt t =3x −3 ⇒ dt =3dx ⇒ dx =
1
3
dt. Đổi cận: x =1 ⇒ t =0; x =4 ⇒ t =9.
Khi đó: I =
1
3
9
Z
0
f (t)dt =
1
3
·9 =3.
Chọn đáp án D ä
Câu 113. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0;10] và
10
Z
0
f (x)dx =7 và
6
Z
2
f (x)dx =3. Tính P =
2
Z
0
f (x)dx+
10
Z
6
f (x)dx.
A. P =7. B. P =−4. C. P =4. D. P =10.
- Lời giải.
Ta có
10
Z
0
f (x)dx =7 ⇔
2
Z
0
f (x)dx +
6
Z
2
f (x)dx +
10
Z
6
f (x)dx =7 ⇔
2
Z
0
f (x)dx +
10
Z
6
f (x)dx =7 −3 =4.
Vậy P =4.
Chọn đáp án C ä
Câu 114. Tính tích phân I =
2
Z
1
1
2x −1
dx .
A. I =
ln3−1
2
. B. I =
ln3
2
. C. I =
ln3
3
. D. I =ln3+1.
- Lời giải.
Ta có I =
2
Z
1
1
2x −1
dx =
1
2
ln|2x −1|
¯
¯
¯
2
1
=
1
2
(
ln3−ln1
)
=
ln3
2
.
Chọn đáp án B ä
Câu 115. Biết rằng tích phân
1
Z
0
(2x +1)e
x
dx = a +b ·e (a, b ∈Z), tích a ·b bằng
A. −15. B. −1. C. 1. D. 20.
- Lời giải.
Điều kiện: a, b ∈Z.
Đặt
u =2x +1
dv =e
x
dx
⇒
du =2dx
v =e
x
⇒
1
Z
0
(2x +1)e
x
dx =(2x +1)e
x
¯
¯
¯
1
0
−2
1
Z
0
e
x
dx =(2x −1)e
x
¯
¯
¯
1
0
=1 +e = a +b ·e.
⇒
a =1
b =1
. Vậy tích a ·b =1.
Chọn đáp án C ä
Câu 116. Cho hai tích phân
5
Z
0
f (x)dx =7 và
3
Z
0
f (x)dx =4. Tính
5
Z
3
[1+ f (x)]dx .
A. 3. B. 11. C. 5. D. 13.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 427 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
5
Z
3
[1+ f (x)]dx =
5
Z
3
dx +
5
Z
3
f (x)dx =2 +
5
Z
0
f (x)dx −
3
Z
0
f (x)dx =5.
Chọn đáp án C ä
Câu 117. Cho
1+ln2
Z
ln2
f (x)dx =2018. Tính
e
Z
1
1
x
f
(
ln2x
)
dx .
A. I =2018. B. I =4036. C. I =
1009
2
. D. I =1009.
- Lời giải.
Đặt ln2x = t ⇒
1
x
dx =dt.
Khi đó
e
Z
1
1
x
f
(
ln2x
)
dx =
1+ln2
Z
ln2
f (t)dt =2018.
Chọn đáp án A ä
Câu 118. Tính tích phân I =
e
Z
1
1+x
x
2
dx .
A. I =1+
1
e
. B. I =2−
1
e
. C. I =2 +
1
e
. D. I =1 −
1
e
.
- Lời giải.
I =
e
Z
1
1+x
x
2
dx =
e
Z
1
µ
1
x
2
+
1
x
¶
dx =
µ
−
1
x
+ln|x |
¶
¯
¯
¯
e
1
=2 −
1
e
.
Chọn đáp án B ä
Câu 119. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và có
1
Z
0
f (x)dx =2;
3
Z
0
f (x)dx =6. Tính I =
1
Z
−1
f
(
|2x −1|
)
dx .
A. I =
2
3
. B. I =4. C. I =
3
2
. D. I =6.
- Lời giải.
Có I =
1
Z
−1
f
(
|2x −1|
)
dx =
1
2
Z
−1
f (1−2x)dx +
1
Z
1
2
f (2x −1)dx = I
1
+I
2
Tính I
1
=
1
2
Z
−1
f (1−2x)dx.
Đặt u =1−2x ⇒ du =−2dx. Đổi cận:
x =−1 ⇒ u =3
x =
1
2
⇒ u =0.
⇒ I
1
=
−1
2
0
Z
3
f (u)du =
1
2
3
Z
0
f (u)du =3
Tính I
2
=
1
Z
1
2
f (2x −1)dx.
Đặt u =2x −1 ⇒ du =2dx. Đổi cận:
x =1 ⇒ u =1
x =
1
2
⇒ u =0.
Th.s Nguyễn Chín Em 428 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
⇒ I
2
=
1
2
1
Z
0
f (u)du =
1
2
1
Z
0
f (u)du =1
Vậy I = I
1
+I
2
=4.
Chọn đáp án B ä
Câu 120. Tính chất tích phân
e
Z
1
xln xdx
A.
e
2
+1
4
. B.
e
2
−1
4
. C.
2e
2
+1
4
. D.
2e
2
−1
4
.
- Lời giải.
Đặt u =ln x ⇒ du =
1
x
dx , dv = x dx ⇒v =
x
2
3
Vậy
e
Z
1
xln xdx =
x
2
2
ln x
¯
¯
¯
e
1
−
e
Z
1
x
2
dx =
e
2
2
−
x
2
4
¯
¯
¯
e
1
=
e
2
+1
4
.
Chọn đáp án A ä
Câu 121. Giá trị của
0
Z
−1
e
x+1
dx bằng
A. 1−e. B. e −1. C. −e. D. e.
- Lời giải.
Ta có:
0
Z
−1
e
x+1
dx =
0
Z
−1
e
x+1
d(x +1) =e
x+1
¯
¯
¯
0
−1
=e −1.
Chọn đáp án B ä
Câu 122. Cho
4
Z
3
5x −8
x
2
−3x +2
dx = a ln3 + b ln2 + c ln5 với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của 2
a−3b+c
bằng
A. 12. B. 6. C. 1. D. 64.
- Lời giải.
4
Z
3
5x −8
x
2
−3x +2
dx =
4
Z
3
µ
3
x −1
+
2
x −2
¶
dx =3ln|x −1|
¯
¯
¯
4
3
+2ln|x −2|
¯
¯
¯
4
3
=3ln3−3ln2+2ln2 =−ln2+3ln3
⇒
a =3
b =−1
c =0
⇒a −3b +c =6.
Chọn đáp án
D ä
Câu 123. Tích phân
2
Z
0
2
2x +1
dx bằng
A. ln5. B.
ln5
2
. C. 2ln5. D. 4ln5.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
2
2x +1
dx =ln|2x +1|
¯
¯
¯
2
0
=ln5.
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 429 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 124. Cho
3
Z
0
2f (x)dx =
2
Z
0
3x
2
dx và
3
Z
0
g(t)dt =−1, khi đó
3
Z
0
[f (x)+3g(x)]dx bằng
A. 4. B. 7. C. 1. D. 3.
- Lời giải.
Ta có:
3
Z
0
2f (x)dx =
2
Z
0
3x
2
dx = x
3
¯
¯
¯
2
0
=8 ⇒
3
Z
0
f (x)dx =4.
Lại có:
3
Z
0
g(t)dt =−1 ⇒
3
Z
0
g(x)dx =−1.
Vậy
3
Z
0
[f (x)+3g(x)]dx =
3
Z
0
f (x)dx +3
3
Z
0
g(x)dx =4 +3·(−1) =1.
Chọn đáp án C ä
Câu 125. Trong không gian với hệ tọa độ cho 3 điểm A(1;4;5), B(3;4;0), C(2;−1;0) và mặt phẳng (P): 3x−
3y−2z−12 =0. Gọi M(a; b; c) thuộc mặt phẳng (P) sao cho M A
2
+MB
2
+3MC
2
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
giá trị của biểu thức T =2a −b +c.
A.
15
2
. B.
5
2
. C. −
15
2
. D. −
5
2
.
- Lời giải.
Gọi I là điểm thỏa mãn điều kiện
# »
I A +
# »
IB +3
# »
IC =
#»
0 ⇒ I
µ
1+3+3·2
1+1+3
;
4+4+3·(−1)
1+1+3
;
5+0+3·0
1+1+3
¶
⇒ I(2;1;1).
Khi đó
M A
2
+MB
2
+3MC
2
=
³
# »
MI +
# »
I A
´
2
+
³
# »
MI +
# »
IB)
2
+3(
# »
MI +
# »
IC
´
2
= 5MI
2
+2
# »
MI
³
# »
I A +
# »
IB +3
# »
IC
´
++I A
2
+IB
2
+3IC
2
= 5MI
2
+I A
2
+IB
2
+3IC
2
.
Do I A
2
+IB
2
+3IC
2
là hằng số cụ thể nên
M A
2
+MB
2
+3MC
2
min ⇔5M I
2
min ⇔ M I min, khi đó M là hình chiếu của I trên (P).
Đường thẳng đi qua I(2;1;1) và vuông góc với (P) là
x =2 +3t
y =1−3t
z =1−2t.
Điểm M thỏa mãn hệ
x =2 +3t
y =1−3t
z =1−2t
3x −3y −2z −12 =0
⇒ M
µ
7
2
;−
1
2
;0
¶
⇒2a −b +c =
15
2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 126. Cho số thực a và hàm số f (x) =
2x nếu x ≤0
a(x −x
2
) nếu x >0
. Tích phân
1
Z
−1
f (x)dx bằng
A.
a
6
−1. B.
2a
3
+1. C.
a
6
+1. D.
2a
3
−1.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
−1
f (x)dx =
0
Z
−1
f (x)dx +
1
Z
0
f (x)dx =
0
Z
−1
2x dx +
1
Z
0
a(x −x
2
)dx =
a
6
−1.
Th.s Nguyễn Chín Em 430 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án A ä
Câu 127. Trên đoạn thẳng AB dài 200 (m) có hai chất điểm X và Y . Chất điểm X xuất phát từ A chuyển
động thẳng hướng đến B với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật v(t) =
1
80
t
2
+
1
3
t (m/s), trong đó t
(giây) tính từ lúc X bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, chất điểm Y xuất phát từ B và xuất phát chậm
hơn X , 10 giây và chuyển động thẳng ngược chiều với X có gia tốc bằng a (m/s
2
) với a là hằng số. Biết
rằng hai chất điểm gặp nhau tại đúng trung điểm của đoạn thẳng AB , giá trị của a bằng
A. 2. B. 1,5. C. 2,5. D. 1.
- Lời giải.
Gọi I là trung điểm AB, ta có AI =100 m.
Gọi t
0
là khoảng thời gian chất điểm X xuất phát từ A đi đến I, ta có
S
X
=
t
0
Z
0
v(t)dt =
t
0
Z
0
µ
t
2
80
+
t
3
¶
dt =
µ
t
3
240
+
t
2
6
¶
¯
¯
¯
t
0
0
=
t
3
0
240
+
t
2
0
6
=100
⇒ t
0
=20 (giây).
Do đó Y cần 20 −10 =10 giây để di chuyển đến trung điểm I của đoạn thẳng AB, vì vậy
10
Z
0
v
Y
(t)dt =100 ⇔
10
Z
0
atdt =100 ⇔ a =
100
10
Z
0
tdt
=2.
Chọn đáp án A ä
Câu 128. Cho
b
Z
a
f (x)dx =2 và
b
Z
a
g(x)dx =−3. Giá trị của
b
Z
a
[f (x)−2g(x)]dx bằng
A. −4. B. 4. C. 6. D. 8.
- Lời giải.
Ta có
b
Z
a
[f (x)−2g(x)]dx =
b
Z
a
f (x)dx −2
b
Z
a
g(x)dx =2 −2·(−3) =8.
Chọn đáp án D ä
Câu 129. Biết
2
Z
1
xln(x
2
+1)dx = aln5 +b ln2+c với a, b , c là các số hữu tỉ. Tính P = a +b +c.
A. P =3. B. P =0. C. P =5. D. P =2.
- Lời giải.
Đặt
u =ln(x
2
+1)
dv = x dx
⇒
du =
2x
x
2
+1
dx
v =
x
2
+1
2
.
Do đó:
2
Z
1
xln(x
2
+1)dx =
x
2
+1
2
ln(x
2
+1)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2
1
−
2
Z
1
xdx =
5
2
ln5−ln2−
3
2
.
Suy ra a =
5
2
, b =−1, c =−
3
2
⇒P = a +b +c =0.
Chọn đáp án B ä
Câu 130. Cho
2
Z
−1
f (x)dx =2 và
2
Z
−1
g(x)dx =−1. Tính I =
2
Z
−1
[
x +2f (x)−3g(x)
]
dx .
Th.s Nguyễn Chín Em 431 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. I =
17
2
. B. I =
11
2
. C. I =
7
2
. D. I =
5
2
.
- Lời giải.
Ta có
I =
2
Z
−1
[
x +2f (x)−3g(x)
]
dx =
2
Z
−1
xdx +2
2
Z
−1
f (x)dx −3
2
Z
−1
g(x)dx
=
x
2
2
¯
¯
¯
2
−1
+2·2 −3·(−1) =2−
1
2
+4+3 =
17
2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 131. Cho các hàm số f (x), g(x) liên tục trên R có
5
Z
−1
[
2f (x)+3g(x)
]
dx = −5;
5
Z
−1
[
3f (x)−5g(x)
]
dx =
21. Tính
5
Z
−1
[
f (x) + g (x)
]
dx .
A. −5. B. 1. C. 5. D. −1.
- Lời giải.
Ta có
5
Z
−1
[
2f (x)+3g(x)
]
dx =−5
5
Z
−1
[
3f (x)−5g(x)
]
dx =21
⇔
2
5
Z
−1
f (x)dx +3
5
Z
−1
g(x)dx =−5
3
5
Z
−1
f (x)dx −5
5
Z
−1
g(x)dx =21
⇔
5
Z
−1
f (x) =2
5
Z
−1
g(x) =−3.
⇒
5
Z
−1
[
f (x) + g (x)
]
dx =
5
Z
−1
f (x)dx +
5
Z
−1
g(x)dx =2 −3 =−1.
Chọn đáp án D ä
Câu 132. Cho I =
1
Z
0
x
2
p
1−x
3
dx . Nếu đặt t =
p
1−x
3
thì ta được
A. I =
3
2
1
Z
0
t
2
dt. B. I =−
3
2
1
Z
0
t
2
dt. C. I =−
2
3
1
Z
0
t
2
dt. D. I =
2
3
1
Z
0
t
2
dt.
- Lời giải.
Đặt t =
p
1−x
3
⇒ t
2
=1 −x
3
⇒2tdt =−3x
2
dx hay x
2
dx =−
2
3
tdt
Đổi cận:
x =0 ⇒ t =1
x =1 ⇒ t =0.
Do đó I =−
2
3
0
Z
1
t
2
dt =
2
3
1
Z
0
t
2
dt.
Chọn đáp án D ä
Câu 133. Cho
2
Z
−2
f (x)dx =1,
4
Z
−2
f (t)dt =−4. Tính I =
4
Z
2
f (y)dy =1.
A. I =5. B. I =3. C. I =−3. D. I =−5.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 432 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Vì
2
Z
−2
f (x)dx =
2
Z
−2
f (y)dy =1 và
4
Z
−2
f (t)dt =
4
Z
−2
f (y)dy =−4 nên
I =
4
Z
2
f (y)dy =
−2
Z
2
f (y)dy +
4
Z
−2
f (y)dy =−1−4 =−5.
Chọn đáp án D ä
Câu 134. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0;3]. Nếu
3
Z
0
f (x)dx =2 thì tích phân I =
3
Z
0
[
x −3f (x)
]
dx có
giá trị bằng
A. I =−3. B. I =3. C. I =
3
2
. D. I =−
3
2
.
- Lời giải.
Ta có I =
3
Z
0
[
x −3f (x)
]
dx =
3
Z
0
xdx −3
3
Z
0
f (x)dx =
9
2
−3·2 =−
3
2
.
Chọn đáp án D ä
Câu 135. Cho với
1
Z
0
(x +3)e
x
dx = a +be với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a +b =−5. B. a ·b =−6. C. a ·b =6. D. a +b =−1.
- Lời giải.
Ta có:
1
Z
0
(x +3)e
x
dx =
1
Z
0
(x +3)d(e
x
) =(x +3) ·e
x
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
e
x
dx =(x +2)·e
x
¯
¯
¯
1
0
=3e −2.
Suy ra a =−2,b =3. Do đó a ·b =−6.
Chọn đáp án B ä
Câu 136. Cho
1
Z
0
f (x)dx =1, tích phân
1
Z
0
¡
2f (x)−3x
2
¢
dx bằng
A. 1. B. 0. C. 3. D. −1.
- Lời giải.
1
Z
0
¡
2f (x)−3x
2
¢
dx =2
1
Z
0
f (x)dx −3
1
Z
0
x
2
dx =2·1−1 =1.
Chọn đáp án A ä
Câu 137. Biết
5
Z
3
x
2
+x +1
x +1
dx = a +ln
b
2
với a, b là các số nguyên. Tính S = a −2b.
A. S =2. B. S =−2. C. S =5. D. S =10.
- Lời giải.
5
Z
3
x
2
+x +1
x +1
dx =
5
Z
3
µ
x +
1
x +1
¶
dx =
µ
x
2
2
+ln|x +1|
¶
¯
¯
¯
5
3
=8 +ln
3
2
⇒
a =8
b =3
⇒S = a −2b =2.
Chọn đáp án A ä
Câu 138. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn
6
Z
0
f (x)dx =7,
10
Z
3
f (x)dx =8,
6
Z
3
f (x)dx =9. Giá trị
Th.s Nguyễn Chín Em 433 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
của I =
10
Z
0
f (x)dx bằng
A. 5. B. 6. C. 7. D. 8.
- Lời giải.
I =
10
Z
0
f (x)dx =
6
Z
0
f (x)dx +
3
Z
6
f (x)dx +
10
Z
3
f (x)dx =7 −9+8 =6.
Chọn đáp án B ä
Câu 139. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để tích phân
1+a
Z
1
dx
x(x −5)(x −4)
tồn tại.
A. −1 <a <3. B. a <−1. C. a 6=4,a 6=5. D. a <3.
- Lời giải.
Để tích phân của đề bài xác định thì 1,1 + a phải thuộc vào cùng một khoảng xác định của hàm số
1
x(x −5)(x −4)
. Khoảng xác định chứa 1 là khoảng (0;4). Nên 1+a ∈(0;4) hay a ∈(−1;3).
Chọn đáp án A ä
Câu 140. Tích phân
π
2
Z
0
¡
sin
p
x −cos
p
x
¢
dx = A +Bπ với A,B ∈Z. Tính A +B.
A. 7. B. 6. C. 5. D. 4.
- Lời giải.
Đặt t =
p
x ⇒ t
2
= x ⇒2tdt = dx. Đổi cận
x =0 ⇒ t =0
x =π
2
⇒ t =π.
Suy ra I =2
π
Z
0
(
sin t −cos t
)
tdt.
Đặt
u = t
dv =
(
sin t −cos t
)
dt
⇒
du = dt
v =−cost −sint.
I =2
t
(
−cos t −sin t
)
¯
¯
¯
π
0
+
π
Z
0
(
cos t +sin t
)
dt
=2
h
π +
(
sin t −cos t
)
¯
¯
¯
π
0
i
=4 +2π.
Vậy A =4;B =2 ⇒ A +B =6.
Chọn đáp án B ä
Câu 141. Cho
2
Z
1
e
3x−1
dx = m(e
p
−e
q
) với m, p, q ∈Q và là các phân số tối giản. Giá trị m+p+q bằng
A. 10. B. 6. C.
22
3
. D. 8.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
e
3x−1
dx =
1
3
2
Z
1
e
3x−1
d(3x −1) =
1
3
·e
3x−1
¯
¯
¯
2
1
=
1
3
(e
5
−e
2
).
Suy ra m =
1
3
, p =5 và q =2.
Vậy m + p +q =
22
3
.
Chọn đáp án C ä
Câu 142. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Th.s Nguyễn Chín Em 434 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A.
1
Z
−1
|x |
3
dx =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
Z
−1
x
3
dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. B.
2018
Z
−1
¯
¯
x
4
−x
2
+1
¯
¯
3
dx =
2018
Z
−1
¡
x
4
−x
2
+1
¢
dx .
C.
3
Z
−2
¯
¯
e
x
(x +1)
¯
¯
dx =
3
Z
−2
e
x
(x +1)
3
dx . D.
π
2
Z
−π
2
p
1−cos
2
xdx =
π
2
Z
−π
2
sin xdx.
- Lời giải.
Ta có x
4
−x
2
+1 = x
4
−2·
1
2
·x
2
+
1
4
+
3
4
=
µ
x
2
−
1
2
¶
2
+
3
4
>0,∀x ∈R.
Do đó
2018
Z
−1
¯
¯
x
4
−x
2
+1
¯
¯
3
dx =
2018
Z
−1
¡
x
4
−x
2
+1
¢
dx .
Chọn đáp án B ä
Câu 143. Tích phân
2
Z
1
[4f (x)−2x]dx =1. Khi đó
2
Z
1
f (x)dx bằng
A. 1. B. −3. C. 3. D. −1.
- Lời giải.
Ta có:
2
Z
1
[4f (x)−2x]dx =1
⇔ 4
2
Z
1
f (x)dx −2
2
Z
1
xdx =1
⇔ 4
2
Z
1
f (x)dx −2·
x
2
2
¯
¯
¯
2
1
=1
⇔ 4
2
Z
1
f (x)dx =4
⇔
2
Z
1
f (x)dx =1.
Chọn đáp án A ä
Câu 144. Tích phân
e
Z
1
ln x
x(ln x +2)
2
dx = aln3 +b ln2+
c
3
với a,b, c ∈Z. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. a
2
+b
2
+c
2
=1. B. a
2
+b
2
+c
2
=11. C. a
2
+b
2
+c
2
=9. D. a
2
+b
2
+c
2
=3.
- Lời giải.
Ta có I =
e
Z
1
ln x
x(ln x +2)
2
dx , đặt t =ln x +2 ⇒ dt =
dx
x
.
Đổi cận tích phân: Khi x =1 ⇒ t =2; x =e ⇒ t =3.
Vậy I =
3
Z
2
t −2
t
2
dt =
3
Z
2
(
1
t
−
2
t
2
)dt =(ln t +
2
t
)
¯
¯
¯
3
2
=ln3−ln2 −
1
3
.
Suy ra a =1,b =−1, c =−1. Vậy a
2
+b
2
+c
2
=3.
Th.s Nguyễn Chín Em 435 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án D ä
Câu 145. Cho tích phân I =
1
Z
0
3
p
1−xdx. Với cách đặt t =
3
p
1−x ta được
A. I =3
1
Z
0
t
3
dt. B. I =3
1
Z
0
t
2
dt. C. I =
1
Z
0
t
3
dt. D. I =3
1
Z
0
tdt.
- Lời giải.
Đặt t =
3
p
1−x ⇒ x =1 −t
3
⇒ dx =−3t
2
dt.
Đổi cận
x =1 ⇒ t =0
x =0 ⇒ t =1
⇒ I =−3
0
Z
1
t
3
dt =3
1
Z
0
t
3
dt.
Chọn đáp án A ä
Câu 146. Biết
e
Z
1
ln x
x(ln x +2)
dx = aln
3
2
+b, (a, b ∈Q). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a −b =1. B. 2a +b =1. C. a
2
+b
2
=4. D. a +2b =0.
- Lời giải.
Đặt u =ln x +2 ⇒
du =
dx
x
ln x = u −2.
Đổi cận: x =1 → u =2; x =e → u =3.
Khi đó
e
Z
1
ln x
x(ln x +2)
dx =
3
Z
2
u −2
u
du =(u −2ln|u|)
¯
¯
¯
¯
3
2
=−2ln
3
2
+1.
Vậy
a =−2
b =1
⇒a +2b =0.
Chọn đáp án D ä
Câu 147. Cho
16
Z
4
f (x)dx =20. Tính
4
Z
1
f (4x)dx.
A. 80. B. 24. C. 5. D. 16.
- Lời giải.
4
Z
1
f (4x)dx =
1
4
4
Z
1
f (4x)d(4x) =
1
4
·20 =5.
Chọn đáp án C ä
Câu 148. Biết
7
Z
1
f (x)dx =3,
7
Z
5
f (x)dx =5. Tính I =
5
Z
1
f (x)dx.
A. I =−2. B. I =2. C. I =1. D. I =−1.
- Lời giải.
Ta có
7
Z
1
f (x)dx =
5
Z
1
f (x)dx +
7
Z
5
f (x)dx nên I =
5
Z
1
f (x)dx =
7
Z
1
f (x)dx −
7
Z
5
f (x)dx =−2.
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 436 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 149. Biết
8
Z
3
1
x
p
x +1
dx = aln2 +b ln3+c ln4. Tính S =a
2
+b
2
+c
2
.
A. S =2. B. S =3. C. S =4. D. S =5.
- Lời giải.
Đặt t =
p
x +1. Khi đó t
2
= x +1 hay x = t
2
−1. Suy ra 2t dt =dx.
Với x =3 thì t =2 và với x =8 thì t =3.
Khi đó
I =
3
Z
2
2t dt
(t
2
−1)t
=
3
Z
2
2dt
(t −1)(t +1)
=
3
Z
2
(t +1)−(t −1)
(t −1)(t +1)
dt =
3
Z
2
µ
1
t −1
−
1
t +1
¶
dt
= ln
¯
¯
¯
¯
t −1
t +1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
3
2
=ln
2
4
−ln
1
3
=ln2+ln3 −ln4.
Suy ra a =1, b =1, c =−1. Do đó S =1
2
+1
2
+(−1)
2
=3.
Chọn đáp án B ä
Câu 150. Cho
2
Z
1
f (x
2
+1)xdx =2, khi đó
5
Z
2
f (x)dx bằng
A. 2. B. 1. C. −1. D. 4.
- Lời giải.
• Đặt t = x
2
+1 ⇒dt =2xdx.
•
2
Z
1
f (x
2
+1)xdx =
1
2
5
Z
2
f (t)dt nên
5
Z
2
f (x)dx =
5
Z
2
f (t)dt =4 .
Chọn đáp án D ä
Câu 151. Biết
5
Z
3
x
2
+x +1
x +1
dx = a +ln
b
2
với a,b là các số nguyên. Tính S = a −2b.
A. S =−2. B. S =5. C. S =2. D. S =10.
- Lời giải.
5
Z
3
x
2
+x +1
x +1
dx =
5
Z
3
µ
x +
1
x +1
¶
dx =
µ
1
2
x
2
+ln|x +1|
¶
¯
¯
¯
¯
5
3
=8 +ln
3
2
.
Vậy a −2b =2.
Chọn đáp án C ä
Câu 152. Tích phân
2
Z
1
e
x
dx bằng
A. e −e
2
. B. e
2
−e. C. e. D. e
−1
.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
e
x
dx = e
x
¯
¯
2
1
= e
2
−e.
Chọn đáp án B ä
Câu 153. Nếu
5
Z
2
f (x)dx =3 và
7
Z
5
f (x)dx =9 thì
7
Z
2
f (x)dx bằng
A. 3. B. 6. C. 12. D. −6.
Th.s Nguyễn Chín Em 437 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có
7
Z
2
f (x)dx =
5
Z
2
f (x)dx +
7
Z
5
f (x)dx =3 +9 =12.
Chọn đáp án C ä
Câu 154. Cho hàm số f (x) liên tục trên [0;10] thỏa mãn
10
Z
0
f (x)dx = 7,
6
Z
2
f (x)dx = 3. Tính giá trị của
P =
2
Z
0
f (x)dx +
10
Z
6
f (x)dx.
A. P =3. B. P =1. C. P =4. D. P =2.
- Lời giải.
Ta có
10
Z
0
f (x)dx =
2
Z
0
f (x)dx +
6
Z
2
f (x)dx +
10
Z
6
f (x)dx
⇒P =
10
Z
0
f (x)dx −
6
Z
2
f (x)dx =7 −3 =4.
Chọn đáp án C ä
Câu 155. Giả sử
2
Z
1
x
1+
p
x −1
dx = a +b ln c. Tính S =3a +2b +c.
A. S =5. B. S =1. C. S =8. D. S =11.
- Lời giải.
Đặt t =
p
x −1 ⇒ t
2
+1 = x ⇒ dx =2t dt. Ta có
2
Z
1
x
1+
p
x −1
dx =
1
Z
0
µ
t
2
+1
1+t
·2t
¶
dt
=
1
Z
0
µ
2t
2
−2t +4−
4
1+t
¶
dt
=
µ
2
3
t
3
−t
2
+4t −4ln|t +1|
¶
¯
¯
¯
1
0
=
11
3
−4ln2
Do đó a =
11
3
,b =−4, c =2 ⇒ S =3a +2b +c =5.
Chọn đáp án A ä
Câu 156. Tích phân
1
Z
0
1
p
x +1
dx = a +b
p
2 với a,b ∈Q. Khi đó a −b bằng
A. 1. B. −1. C. −4. D. 4.
- Lời giải.
Ta có b
p
2+a =
1
Z
0
1
p
x +1
dx =
1
Z
0
(x +1)
−
1
2
d(x +1) =2
p
x +1
¯
¯
¯
1
0
=2
p
2−2.
Do đó a =−2,b =2 ⇒ a −b =−4.
Chọn đáp án C ä
Th.s Nguyễn Chín Em 438 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 157. Nếu
d
Z
a
f (x)dx =5,
d
Z
b
f (x)dx =2, với a < d <b thì
b
Z
a
f (x)dx bằng
A. −2. B. 3. C. 8. D. 0.
- Lời giải.
Ta có
b
Z
a
f (x)dx =
d
Z
a
f (x)dx +
b
Z
d
f (x)dx =
d
Z
a
f (x)dx −
d
Z
b
f (x)dx =3.
Chọn đáp án
B ä
Câu 158. Cho số thực a thỏa mãn
a
Z
−1
e
x+1
dx = e
2
−1, khi đó a có giá trị bằng
A. 1. B. −1. C. 0. D. 2.
- Lời giải.
Ta có
a
Z
−1
e
x+1
dx = e
x+1
¯
¯
a
−1
= e
a+1
−1.
Vậy yêu cầu bài toán tương đương e
a+1
−1 = e
2
−1 ⇔ a =1.
Chọn đáp án A ä
Câu 159. Tích phân
1
Z
0
1
p
x +1
dx = a +b
p
2 với a,b ∈Q. Khi đó a −b bằng
A. 1. B. −1. C. −4. D. 4.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
1
p
x +1
dx =
1
Z
0
(x +1)
−
1
2
d(x +1) =2
p
x +1
¯
¯
¯
1
0
=2
p
2−2.
Do đó a =−2, b =2. Vậy a −b =−4.
Chọn đáp án C ä
Câu 160. Giả sử
9
Z
0
f (x)dx =37 và
0
Z
9
g(x)dx =16. Khi đó I =
9
Z
0
[
2f (x)+3g(x)
]
dx bằng
A. I =122. B. I =58. C. I =143. D. I =26.
- Lời giải.
Ta có
I =
9
Z
0
[
2f (x)+3g(x)
]
dx = 2
9
Z
0
f (x)dx +3
9
Z
0
g(x)dx
= 2
9
Z
0
f (x)dx −3
0
Z
9
g(x)dx
= 2·37−3·16 =26.
Vậy I =26.
Chọn đáp án D ä
Câu 161. Giả sử
9
Z
0
f (x)dx =37 và
0
Z
9
g(x)dx =16. Khi đó, I =
9
Z
0
[
2f (x)+3g(x)
]
dx bằng
A. I =122. B. I =58. C. I =143. D. I =26.
Th.s Nguyễn Chín Em 439 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có
I =
9
Z
0
[
2f (x)+3g(x)
]
dx =2
9
Z
0
f (x)dx +3
9
Z
0
g(x)dx =2
9
Z
0
f (x)dx −3
0
Z
9
g(x)dx
= 2×37−3×16 =26.
Vậy I =26.
Chọn đáp án D ä
Câu 162. Nếu
3
Z
0
x
1+
p
1+x
dx =
2
Z
1
f (t)dt với t =
p
1+x thì f (t) là hàm số nào trong các hàm số dưới
đây?
A. f (t) =2t
2
+2t. B. f (t) = t
2
−t. C. f (t) = t
2
+t. D. f (t) =2t
2
−2t.
- Lời giải.
Đặt t =
p
1+x ⇒ t
2
=1 +x ⇒2t dt = dx và x = t
2
−1.
Đổi cận, x =0 ⇒ t =1 và x =3 ⇒ t =2.
Khi đó,
3
Z
0
x
1+
p
1+x
dx =
2
Z
1
t
2
−1
1+t
·2t dt =
2
Z
1
(t −1)2t dt =
2
Z
1
¡
2t
2
−2t
¢
dt.
Vậy f (t) =2t
2
−2t.
Chọn đáp án D ä
Câu 163. Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm liên tục trên [1;e] biết
e
Z
1
f (x)
x
dx =1, f (e) =2. Tính tích
phân
e
Z
1
f
0
(x ) ·ln x dx.
A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.
- Lời giải.
Đặt I =
e
Z
1
f
0
(x ) ·ln x dx. Đặt
u =ln x
dv = f
0
(x )dx
⇒
du =
1
x
dx
v = f (x).
Ta có I =
[
f (x) ·ln x
]
|
e
1
−
e
Z
1
f (x)
x
dx = f (e)−1 =2 −1 =1.
Chọn đáp án A ä
Câu 164. Cho b là số thực dương sao cho
b
Z
0
xe
p
x
2
+1
dx =2e
p
b
2
+1
. Tính b.
A. b =2
p
2. B. b =3
p
2. C. b =2
p
3. D. b =3
p
3.
- Lời giải.
Đặt t =
p
x
2
+1 ⇒ t
2
= x
2
+1 ⇒2t dt =2xdx.
Khi x =0 thì t =1, khi x = b thì t =
p
b
2
+1, do đó
I =
b
Z
0
xe
p
x
2
+1
dx =
p
b
2
+1
Z
1
te
t
dt.
Th.s Nguyễn Chín Em 440 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt
u = t
dv =e
t
dt
⇒
du = dt
v =e
t
.
Khi đó
I = te
t
¯
¯
¯
p
b
2
+1
1
−
p
b
2
+1
Z
1
e
t
dt
=
p
b
2
+1·e
p
b
2
+1
−e−e
t
¯
¯
¯
p
b
2
+1
1
=
p
b
2
+1·e
p
b
2
+1
−e−e
p
b
2
+1
+e
=
³
p
b
2
+1−1
´
e
p
b
2
+1
.
Suy ra
³
p
b
2
+1−1
´
=2 ⇔ b =±2
p
2, mà b dương nên b =2
p
2.
Chọn đáp án A ä
Câu 165. Cho
3
Z
0
f (x)dx =2 và
3
Z
0
g(x)dx =3. Tính giá trị của tích phân L =
3
Z
0
[
2f (x)−g(x)
]
dx .
A. L =4. B. L =−1. C. L =−4. D. L =1.
- Lời giải.
L =
3
Z
0
[
2f (x)−g(x)
]
dx =2
3
Z
0
f (x)dx −
3
Z
0
g(x)dx =2·2−3 =1.
Chọn đáp án D ä
Câu 166. F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = xe
x
2
. Hàm số nào sau đây không phải là F(x)?
A. F(x) =
1
2
e
x
2
+2. B. F(x) =
1
2
³
e
x
2
+5
´
. C. F(x) =−
1
2
e
x
2
+C . D. F(x) =−
1
2
³
2−e
x
2
´
.
- Lời giải.
Ta thấy ở đáp án C thì
µ
−
1
2
e
x
2
+C
¶
0
=−xe
x
2
6= xe
x
2
nên hàm số ở đáp án C không là một nguyên hàm của
hàm y = xe
x
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 167. Cho
2
Z
1
f (x
2
+1)xdx =2, khi đó I =
5
Z
2
f (x)dx bằng
A. 2. B. 1. C. −1. D. 4.
- Lời giải.
Đặt t = x
2
+1 ⇒dt =2xdx.
Đổi cận x =1 ⇒ t =2, x =2 ⇒ t =5.
Khi đó:
2
Z
1
f (x
2
+1)xdx =
1
2
5
Z
2
f (t)dt ⇒
5
Z
2
f (t)dt =2
2
Z
1
f (x
2
+1)xdx =4.
Mà tích phân không phụ thuộc vào biến nên: I =
5
Z
2
f (t)dt =
5
Z
2
f (x)dx =4.
Chọn đáp án D ä
Câu 168. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;4] và thỏa mãn f (1) =12,
4
Z
1
f
0
(x )dx =17. Tính
giá trị của f (4t) =?
Th.s Nguyễn Chín Em 441 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. f (4) =19. B. f (4) =5. C. f (4) =29. D. f (4) =9.
- Lời giải.
Ta có
Z
f
0
(x )dx = f (x)+C nên
4
Z
1
f
0
(x )dx = f (4) − f (1) =17.
Suy ra f (4) =17 + f (1) =17+12 =29.
Chọn đáp án C ä
Câu 169. Cho hai tích phân
5
Z
−2
f (x)dx =8 và
−2
Z
5
g(x)dx =3. Tính
5
Z
−2
[
f (x) −4g(x)−1
]
dx .
A. I =13. B. I =27. C. I =−11. D. I =3.
- Lời giải.
Ta có
5
Z
−2
g(x)dx =−3
và
5
Z
−2
[
f (x) −4g(x)−1
]
dx =
5
Z
−2
f (x)dx −4
5
Z
−2
g(x)dx −
5
Z
−2
1dx =8−4(−3)−7 =13.
Chọn đáp án A ä
Câu 170. Tích phân
2
Z
0
x
x
2
+3
dx bằng
A.
1
2
log
7
3
. B. ln
7
3
. C.
1
2
ln
3
7
. D.
1
2
ln
7
3
.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
x
x
2
+3
dx =
1
2
2
Z
0
d(x
2
+3)
x
2
+3
=
1
2
ln(x
2
+3)
¯
¯
¯
¯
2
0
=
1
2
ln7−
1
2
ln3 =
1
2
ln
7
3
.
Chọn đáp án D ä
Câu 171. Biết
1
2
Z
0
2x −1
x +1
dx = aln3 +b ln2+c (a, b, c ∈Z). Giá trị a +b −c bằng
A. 2. B. −4. C. 3. D. −1.
- Lời giải.
Ta có
1
2
Z
0
2x −1
x +1
dx =
1
2
Z
0
µ
2−
3
x +1
¶
dx =
(
2x −3ln|x +1|
)
¯
¯
¯
¯
1
2
0
= 1−3ln
3
2
=1 −3ln3 +3ln2.
Từ đó suy ra a =−3,b =3, c =1.
Vậy a +b −c =−1.
Chọn đáp án D ä
Câu 172. Cho tích phân
2
Z
1
ln x
x
2
dx =
b
c
+aln2 với a là số thực và b, c là các số nguyên dương, đồng thời
b
c
là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức P =2a +3b +c.
A. P =6. B. P =−6. C. P =5. D. P =4.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 442 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt
u =ln x
dv =
1
x
2
dx
⇒
du =
dx
x
v =−
1
x
. Suy ra
I = −
ln x
x
¯
¯
¯
¯
2
1
+
2
Z
1
1
x
2
dx
= −
ln2
2
−
1
x
¯
¯
¯
¯
2
1
= −
ln2
2
+
1
2
.
Vậy a =−
1
2
, b =1, c =2 hay P =2a +3b +c =4.
Chọn đáp án D ä
Câu 173. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f
0
(x ) =(x +1)e
x
và f (0) =1. Tính f (2).
A. f (2) =4e
2
+1. B. f (2) =2e
2
+1. C. f (2) =3e
2
+1. D. f (2) =e
2
+1.
- Lời giải.
Ta có
f (2)− f (0) =
2
Z
0
f
0
(x )dx =
2
Z
0
(x +1)e
x
dx = x e
x
¯
¯
¯
2
0
=2e
2
.
Suy ra f (2) =2e
2
+ f (0) =2e
2
+1.
Chọn đáp án B ä
Câu 174. Biết
Z
x +1
(x −1)(x −2)
dx = aln|x−1|+b ln|x−2|+C (a, b ∈Z). Tính giá trị của biểu thức a+b.
A. a +b =1. B. a +b =5. C. a +b =−5. D. a +b =−1.
- Lời giải.
Ta có
Z
x +1
(x −1)(x −2)
dx =
Z
−2(x −2)+3(x −1)
(x −1)(x −2)
dx
=
Z
µ
−2
x −1
+
3
x −2
¶
dx
=−2ln|x −1|+3ln|x −2|+C.
Suy ra a =−2, b =3 và a +b =1.
Chọn đáp án A ä
Câu 175. Cho
2
Z
−2
f (x)dx =1,
4
Z
−2
f (x)dx =−4. Tính I =
4
Z
2
f (x)dx.
A. I =5. B. I =−5. C. I =−3. D. I =3.
- Lời giải.
I =
4
Z
2
f (x)dx =
4
Z
−2
f (x)dx −
2
Z
−2
f (x)dx =−5.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 443 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 176. Có hai giá trị của số thực a là a
1
và a
2
(0 < a
1
< a
2
) thỏa mãn
a
Z
1
(2x −3)dx = 0. Hãy tính
T =3
a
1
+3
a
2
+log
2
µ
a
2
a
1
¶
.
A. T =26. B. T =12. C. T =13. D. T =28.
- Lời giải.
Ta có
a
Z
1
(2x −3)dx =0 ⇔(x
2
−3x)
¯
¯
a
1
=0 ⇔ a
2
−3a +2 =0 ⇔
a
1
=1
a
2
=2.
Vậy T =13.
Chọn đáp án C ä
Câu 177. Biết I =
π
3
Z
0
x
cos
2
x
dx =
p
3
a
π −lnb, với a, b là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức
T = a
2
+b.
A. T =9. B. T =13. C. T =7. D. T =11.
- Lời giải.
I =
π
3
Z
0
x
cos
2
x
dx =(x tanx)
¯
¯
¯
π
3
0
−
π
3
Z
0
tan x dx =(xtan x)
¯
¯
¯
π
3
0
+ln(cosx)
¯
¯
¯
π
3
0
=
p
3
3
π −ln2.
Vậy a =3, b =2 và do đó T =11.
Chọn đáp án D ä
Câu 178. Tích phân I =
π
2
Z
0
sin
4
xdx bằng
A. I =
3π
16
. B. I =−
π
16
. C. I =
π
16
. D. I =−
3π
16
.
- Lời giải.
Ta có
I =
π
2
Z
0
sin
4
xdx =
π
2
Z
0
µ
1−cos2x
2
¶
2
dx
=
π
2
Z
0
1−2cos2x +cos
2
2x
4
dx =
1
4
π
2
Z
0
µ
1−2cos2x +
1+cos4x
2
¶
dx
=
1
4
µ
3
2
x −sin2x +
1
8
sin4x
¶
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=
3π
16
.
Chọn đáp án A ä
Câu 179. Cho
2
Z
0
f (x)dx =2 và
0
Z
2
g(x)dx =1, khi đó
2
Z
0
[f (x)−3g(x)]dx bằng
A. 1. B. 5. C. 3. D. −1.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 444 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
2
Z
0
[f (x)−3g(x)]dx =
2
Z
0
f (x)dx −3
2
Z
0
g(x)dx
=
2
Z
0
f (x)dx +3
0
Z
2
g(x)dx =2 +3 =5.
Chọn đáp án B ä
Câu 180. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; 10] và
10
Z
0
f (x)dx =7 và
6
Z
2
f (x)dx =3. Tính P =
2
Z
0
f (x)dx+
10
Z
6
f (x)dx.
A. P =−4. B. P =10. C. P =7. D. P =4.
- Lời giải.
Ta có
10
Z
0
f (x)dx =
2
Z
0
f (x)dx +
6
Z
2
f (x)dx +
10
Z
6
f (x)dx
⇔ 7 =
2
Z
0
f (x)dx +
10
Z
6
f (x)dx +3 ⇔ P =4.
Chọn đáp án D ä
Câu 181. Biết J =
4
Z
1
xlog
2
x dx =16−
a
b ln2
với a,b ∈N
∗
;
a
b
là phân số tối giản. Tính T = a +b.
A. T =11. B. T =19. C. T =13. D. T =17.
- Lời giải.
Tính J =
4
Z
1
xlog
2
x dx.
+ Đặt
u =log
2
x
dv = x dx
⇒
du =
1
xln2
dx
v =
x
2
2
.
J =
4
Z
1
xlog
2
x dx
=
µ
x
2
2
log
2
x
¶
¯
¯
¯
4
1
−
4
Z
1
1
xln2
·
x
2
2
dx
=16 −
1
2ln2
4
Z
1
x dx
=16 −
1
2ln2
·
x
2
2
¯
¯
¯
¯
4
1
=16 −
1
2ln2
·
15
2
=16 −
15
4ln2
⇒a =15;b =4.
Vậy T = a +b =19.
Th.s Nguyễn Chín Em 445 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án B ä
Câu 182. Cho hàm số f (x) thỏa mãn
2017
Z
0
f (x)dx =1. Tính tích phân I =
1
Z
0
f (2017x)dx.
A. I =
1
2017
. B. I =0. C. I =2017. D. I =1.
- Lời giải.
Đặt t =2017x ⇒
1
2017
dt = dx .
Đổi cận: x =0 ⇒ t =0; x =1 ⇒ t =2017.
I =
1
Z
0
f (2017x)dx =
1
2017
2017
Z
0
f (t)dt =
1
2017
2017
Z
0
f (x)dx =
1
2017
.
Chọn đáp án A ä
Câu 183. Cho tích phân
2
Z
1
f (x)dx =a . Hãy tính tích phân I =
1
Z
0
x f
¡
x
2
+1
¢
dx theo a.
A. I =4a. B. I =
a
4
. C. I =
a
2
. D. I =2a.
- Lời giải.
Đặt t = x
2
+1 ⇒ dt =2x dx.
Đổi cận: x =0 ⇒ t =1; x =1 ⇒ t =2.
Khi đó I =
1
Z
0
x f
¡
x
2
+1
¢
dx =
2
Z
0
f (t) ·
dt
2
=
1
2
2
Z
0
f (t)dt =
a
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 184. Cho hai hàm số f (x), g(x) liên tục trên [1;3] thỏa mãn
3
Z
1
f (x)dx =1,
3
Z
1
g(x)dx =3. Tính
1
Z
3
[f (x)−
2g(x)]dx.
A. 1. B.
5
2
. C. −1. D. 5.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
3
[f (x)−2g(x)]dx =−
3
Z
1
[f (x)−2g(x)]dx =−
3
Z
1
f (x)dx +2
3
Z
1
g(x)dx =−1 +2·3 =5.
Chọn đáp án D ä
Câu 185. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
x −2
. Biết F(1) =2, giá trị của F(0) bằng
A. 2+ln2. B. ln2. C. 2+ln(−2). D. ln(−2).
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
1
x −2
dx = F(1)−F(0) ⇒ F(0) = F(1)−
1
Z
0
1
x −2
dx =2+ln2.
Chọn đáp án A ä
Câu 186. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và
π
2
Z
0
f (x)dx =2018. Tính I =
π
Z
0
x f (x
2
)dx.
A. I =1008. B. I =2019. C. I =2017. D. I =1009.
- Lời giải.
Đặt t = x
2
⇒dt =2xdx.
Đổi cận: x =0 ⇒ t =0; x =π ⇒ t =π
2
.
Th.s Nguyễn Chín Em 446 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó, ta có
I =
1
2
π
2
Z
0
f (t)dt =
1
2
π
2
Z
0
f (x)dx =
1
2
·2018 =1009.
Chọn đáp án D ä
Câu 187. Cho hàm số f (x) thỏa mãn
1
Z
0
f (2x)dx =2. Tích phân
2
Z
0
f (x)dx bằng
A. 8. B. 1. C. 2. D. 4.
- Lời giải.
Xét
1
Z
0
f (2x)dx =2. Đặt t =2x ⇒dt =2dx ⇒dx =
1
2
dt.
Đổi cận x =0 ⇒ t =0 và x =1 ⇒ t =2.
Khi đó, 2 =
1
Z
0
f (2x)dx =
2
Z
0
f (t) ·
1
2
dt ⇒
2
Z
0
f (t)dt =4.
Vậy
2
Z
0
f (x)dx =4.
Chọn đáp án D ä
Câu 188. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và
6
Z
0
f (x)dx =10, thì
3
Z
0
f (2x)dx bằng
A. 30. B. 20. C. 10. D. 5.
- Lời giải.
Đặt t =2x ⇒dt =2dx ⇔
1
2
dt =dx.
Đổi cận x =0 ⇒ t =0, x =3 ⇒ t =6.
Vậy I =
3
Z
0
f (2x)dx =
1
2
6
Z
0
f (t)dt =5.
Chọn đáp án D ä
Câu 189. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R đồng thời thỏa mãn f (0) = f (1) = 5. Tính tích phân
I =
1
Z
0
f
0
(x )e
f (x)
dx .
A. I =10. B. I =−5. C. I =0. D. I =5.
- Lời giải.
Ta có
I =
1
Z
0
f
0
(x )e
f (x)
dx =
1
Z
0
e
f (x)
df (x) =e
f (x)
¯
¯
¯
1
0
=e
f (1)
−e
f (0)
=0.
Chọn đáp án C ä
Câu 190. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và
4
Z
0
f (x)dx =10,
4
Z
3
f (x)dx =4. Tích phân
3
Z
0
f (x)dx bằng
A. 4. B. 7. C. 3. D. 6.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 447 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Theo tính chất của tích phân, ta có:
3
Z
0
f (x)dx +
4
Z
3
f (x)dx =
4
Z
0
f (x)dx.
Suy ra
3
Z
0
f (x)dx =
4
Z
0
f (x)dx −
4
Z
3
f (x)dx =10 −4 =6.
Vậy
3
Z
0
f (x)dx =6.
Chọn đáp án D ä
Câu 191. Cho
m
Z
0
(3x
2
−2x +1)dx =6. Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây?
A. (−1;2). B. (−∞;0). C. (0;4). D. (−3;1).
- Lời giải.
Ta có
m
Z
0
(3x
2
−2x +1)dx =6 ⇔(x
3
−x
2
+x)
¯
¯
¯
m
0
=6 ⇔ m
3
−m
2
+m −6 =0 ⇔ m =2.
Vậy m ∈(0;4).
Chọn đáp án
C ä
Câu 192. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và
2
Z
0
¡
f (x) +3x
2
¢
dx =10. Tính
2
Z
0
f (x)dx
A. −18. B. −2. C. 18. D. 2.
- Lời giải.
Ta có
10 =
2
Z
0
¡
f (x) +3x
2
¢
dx =
2
Z
0
f (x)dx +
2
Z
0
3x
2
dx =
2
Z
0
f (x)dx +8 ⇒
2
Z
0
f (x)dx =2.
Chọn đáp án
D ä
Câu 193. Cho f (x), g(x) là các hàm số liên tục trên R thỏa mãn
2
Z
0
[f (x)−3g(x)]dx = 4,
1
Z
0
f (x)dx = 3, và
2
Z
0
[2f (x)+g(x)]dx =8. Tính I =
2
Z
1
f (x)dx.
A. I =0. B. I =1. C. I =3. D. I =2.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
[f (x)−3g(x)]dx =4
2
Z
0
[2f (x)+g(x)]dx =8
⇔
2
Z
0
f (x)dx −3
2
Z
0
g(x)dx =4
2
2
Z
0
f (x)dx +
2
Z
0
g(x)dx =8
⇔
2
Z
0
f (x)dx =4
2
Z
0
g(x)dx =0.
Do đó 4 =
2
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
f (x)dx +
2
Z
1
f (x)dx =3 +
2
Z
1
f (x)dx ⇒
2
Z
1
f (x)dx =1.
Chọn đáp án B ä
Câu 194. Cho tích phân I =
4
Z
0
f (x)dx =32. Tính tích phân J =
2
Z
0
f (2x)dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 448 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. J =64. B. J =8. C. J =32. D. J =16.
- Lời giải.
Đặt t =2x ⇒ dt =2dx.
Ta có x =0 ⇒ t =0, x =2 ⇒ t =4.
Suy ra
J =
2
Z
0
f (2x)dx =
4
Z
0
f (t) ·
1
2
dt =
1
2
4
Z
0
f (x)dx =16.
Chọn đáp án D ä
Câu 195. Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) =
ln x
x
. Tính I =F(e)−F(1).
A. I =
1
2
. B. I =
1
e
. C. I =1. D. I =e.
- Lời giải.
Ta có I = F(e)−F(1) =
e
Z
1
ln x
x
dx =
e
Z
1
ln x d(lnx) =
ln
2
x
2
¯
¯
¯
¯
e
1
=
1
2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 196. Cho
Z
(x −2)e
x
dx =
¡
ax
2
+bx +c
¢
e
x
+C. Tính giá trị a +b +c.
A. −2. B. −1. C. −3. D. 0.
- Lời giải.
Đặt
u = x −2
dv =e
x
dx
⇒
du =dx
v =e
x
, ta có
Z
(x −2)e
x
dx =(x −2)e
x
−
Z
e
x
dx =(x −2)e
x
−e
x
+C =(x −3)e
x
+C.
Từ đó suy ra a =0, b =1, c =−3. Vậy a +b +c =0+1+(−3) =−2.
Chọn đáp án A ä
Câu 197. Cho
2
Z
1
f (x
2
+1)x dx =2. Khi đó I =
5
Z
2
f (x)dx bằng
A. 1. B. 2. C. 4. D. −1.
- Lời giải.
Đặt t = x
2
+1 ⇒ dt =2x dx.
Đổi cận:
x =1 ⇒ t =2
x =2 ⇒ t =5
. Suy ra
2 =
2
Z
1
f (x
2
+1)x dx =
1
2
5
Z
2
f (t)dt ⇒
5
Z
2
f (t)dt =4.
Vậy I =
5
Z
2
f (x)dx =
5
Z
2
f (t)dt =4.
Chọn đáp án C ä
Câu 198. Nếu các số hữu tỉ a, b thỏa mãn
1
Z
0
(ae
x
+b)dx =e+2 thì giá trị của biểu thức a +b bằng
A. 4. B. 5. C. 6. D. 3.
Th.s Nguyễn Chín Em 449 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
(ae
x
+b)dx =(ae
x
+bx)
¯
¯
¯
1
0
=a e +b −a (1).
Theo giả thiết, ta có
1
Z
0
(ae
x
+b)dx =e+2 (2).
Từ (1) và (2) suy ra:
a =1
b −a =2
⇔
a =1
b =3.
Vậy a +b =4.
Chọn đáp án A ä
Câu 199. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (1) = 12, f
0
(x ) liên tục trên đoạn [1;4] và
4
Z
1
f
0
(x )dx = 17. Tính
f (4).
A. 29. B. 9. C. 26. D. 5.
- Lời giải.
Ta có
4
Z
1
f
0
(x )dx = f (4) − f (1) ⇒ f (4) =12+17 =29.
Chọn đáp án A ä
Câu 200. Tích phân
2
Z
0
dx
x +3
bằng
A. log
5
3
. B.
16
225
. C. ln
5
3
. D.
2
15
.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
dx
x +3
=ln
|
x +3
|
¯
¯
¯
2
0
=ln
5
3
.
Chọn đáp án C ä
Câu 201. Tính tích phân I =
2
Z
0
2
2x +1
dx .
A. I =ln5. B. I =
ln5
2
. C. I =2ln5. D. I =4ln5.
- Lời giải.
Ta có I =
2
Z
0
2
2x +1
dx =
2
Z
0
d(2x +1)
2x +1
=ln|2x +1|
¯
¯
2
0
=ln5.
Chọn đáp án A ä
Câu 202. Cho
2
Z
1
2
x
2
+2x
dx = aln2 +b ln3 với a,b là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a +3b bằng
A. 5. B. 1. C. −1. D. −5.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
2
x
2
+2x
dx =
2
Z
1
µ
1
x
−
1
x +2
¶
dx = ln
¯
¯
¯
x
x +2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2
1
=ln
1
2
−ln
1
3
=−ln2+ln3.
⇒a =−1 và b =1 ⇒2a +3b =1.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 450 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 203. Cho
Z
5
2
f (x)dx =10, khi đó I =−
Z
2
5
4f (x)dx bằng
A. 12. B. 40. C. −40. D. −12.
- Lời giải.
Ta có I =4
Z
5
2
f (x)dx =40.
Chọn đáp án B ä
Câu 204. Cho
4
Z
0
f (x)dx =−1. Tính giá trị của I =
1
Z
0
f (4x)dx.
A. I =
1
4
. B. I =−2. C. I =−
1
4
. D. I =−
1
2
.
- Lời giải.
Đặt t =4x ⇒dt =4dx. Khi đó I =
4
Z
0
1
4
f (t)dt =−
1
4
.
Chọn đáp án C ä
Câu 205. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [2;3] đồng thời f (2) = 2, f (3) =5. Khi đó
3
Z
2
f
0
(x )dx
bằng
A. 3. B. −3. C. 10. D. 7.
- Lời giải.
Ta có
3
Z
2
f
0
(x )dx =
[
f (x)
]
¯
¯
¯
3
2
= f (3) − f (2) =3.
Chọn đáp án A ä
Câu 206. Cho tích phân I =
2
p
2
Z
0
p
16−x
2
dx và x =4sint. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. I =8
π
4
Z
0
(
1+cos2t
)
dt. B. I =16
π
4
Z
0
sin
2
tdt.
C. I =8
π
4
Z
0
(
1−cos2t
)
dt. D. I =−16
π
4
Z
0
cos
2
tdt.
- Lời giải.
Ta có x =4sin t, t ∈
£
−
π
2
;
π
2
¤
.
⇒ dx =4cos t dt. Đổi cận x =0 ⇒ t =0 và x =2
p
2 ⇒ t =
π
4
.
Khi đó I =
π
4
Z
0
4
p
16−16sin
2
tcos tdt =16
π
4
Z
0
cos
2
tdt =8
π
4
Z
0
(1+cos2t)dt.
Chọn đáp án A ä
Câu 207. Tính tích phân
Z
1
0
x
p
x +1
dx được kết quả
A.
1
6
−ln2. B.
4−2
p
2
3
. C.
2
p
2+4
3
. D. ln2−
1
6
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 451 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
Z
1
0
x
p
x +1
dx .
Đặt t =
p
x +1 ⇒ dx =2t dt.
Đổi cận x =0 ⇒ t =1, x =1 ⇒ t =
p
2.
Ta có
Z
1
0
x
p
x +1
dx =2
Z
p
2
1
(t
2
−1)dx =2
µ
1
3
t
3
−t
¶
¯
¯
¯
¯
p
2
1
=
4−2
p
2
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 208. Cho biết
Z
3
0
f (x)dx =3,
Z
5
0
f (t)dt =10. Tính
Z
5
3
2f (z)dz.
A. −7. B. 14. C. 13. D. 7.
- Lời giải.
Ta có
Z
5
3
2f (z)dz =2
Z
5
0
f (z)dz −2
Z
3
0
f (z)dz =2·10−2 ·3 =14.
Chọn đáp án B ä
Câu 209. Cho tích phân I =
Z
4
0
x
p
x
2
+9dx . Khi đặt t =
p
x
2
+9 thì tích phân đã cho trở thành
A. I =
Z
5
3
tdt. B. I =
Z
4
0
tdt. C. I =
Z
4
0
t
2
dt. D. I =
Z
5
3
t
2
dt.
- Lời giải.
Ta có t =
p
x
2
+9 ⇒ t
2
= x
2
+9 ⇒ t dt = xdx.
Đổi cận x =0 ⇒ t =3, x =4 ⇒ t =5.
Khi đó I =
Z
4
0
x
p
x
2
+9dx =
Z
5
3
t
2
dt.
Chọn đáp án D ä
Câu 210. Cho I =
Z
4
1
f (t)dt =9. Tính tích phân J =
Z
1
0
f (3x +1)dx.
A. 9. B. 27. C. 3. D. 1.
- Lời giải.
Đặt t =3x +1 ⇒ dx =
1
3
dt.
Đổi cận x =0 ⇒ t =1, x =1 ⇒ t =4.
Ta có J =
Z
1
0
f (3x +1)dx =
1
3
Z
4
1
f (t)dt =
1
3
·I =3.
Chọn đáp án C ä
Câu 211. Biết
1
Z
0
x
2
+2x
(
x +3
)
2
dx =
a
4
−4ln
4
b
, với a,b là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức a
2
+b
2
bằng
A. 25. B. 41. C. 20. D. 34.
- Lời giải.
Ta có
Z
1
0
x
2
+2x
(x +3)
2
dx =
Z
1
0
(x +3)
2
−4(x +3)+3
(x +3)
2
dx =
Z
1
0
·
1−
4
x +3
+
3
(x +3)
2
¸
dx
=
µ
x −4ln|x +3|−
3
x +3
¶
¯
¯
¯
¯
1
0
=
5
4
−4ln
4
3
⇒
a =5
b =3.
Vậy a
2
+b
2
=34.
Chọn đáp án D ä
Th.s Nguyễn Chín Em 452 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 212. Cho hàm số f (x) thỏa mãn
2017
Z
0
f (x)dx =1. Tính tích phân I =
1
Z
0
f (2017x)dx.
A. I =0. B. I =1. C. I =
1
2017
. D. I =2017.
- Lời giải.
Đặt t =2017x ⇒ dt =2017dx ⇒ dx =
1
2017
dt.
Đổi cận x =0 ⇒ t =0; x =1 ⇒ t =2017.
Khi đó I =
1
2017
2017
Z
0
f (t)dt =
1
2017
·1 =
1
2017
.
Chọn đáp án C ä
Câu 213. Cho
2
Z
−1
f (x)dx =3 và
−1
Z
2
g(x)dx =1. Tính I =
2
Z
−1
[x +2f (x)−3g(x)]dx.
A.
21
2
. B.
26
2
. C.
7
2
. D.
5
2
.
- Lời giải.
Ta có
I =
2
Z
−1
[x +2f (x)−3g(x)]dx =
2
Z
−1
xdx +2
2
Z
−1
f (x)dx −3
2
Z
−1
g(x)dx
=
x
2
2
¯
¯
¯
¯
2
−1
+2
2
Z
−1
f (x)dx +3
−1
Z
2
g(x)dx
=
3
2
+2·3 +3·1 =
21
2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 214. Biết
5
Z
3
x
2
+x +1
x +1
dx = a +ln
b
2
với a, b là các số nguyên. Tính S = a −2b.
A. S =2. B. S =−2. C. S =5. D. S =10.
- Lời giải.
Ta có
5
Z
3
x
2
+x +1
x +1
dx =
5
Z
3
µ
x +
1
x +1
¶
dx =
µ
x
2
2
+ln|x +1|
¶
¯
¯
¯
¯
5
3
=8 +ln
3
2
.
Vậy a =8, b =3 và S = a −2b =2.
Chọn đáp án A ä
Câu 215. Biết
e
Z
1
ln x
x
p
1+lnx
dx = a +b
p
2 với a, b là các số hữu tỷ. Tính S = a +b.
A. S =1. B. S =
1
2
. C. S =
3
4
. D. S =
2
3
.
- Lời giải.
Đặt t =
p
1+lnx ⇒ t
2
=1 +ln x ⇒ln x = t
2
−1 ⇒
1
x
dx =2t dt.
Đổi cận x =1 ⇒ t =1, x =e ⇒ t =
p
2.
Khi đó,
e
Z
1
ln x
x
p
1+lnx
dx =
p
2
Z
1
¡
t
2
−1
¢
2t
t
dt =
µ
2t
3
3
−2t
¶
¯
¯
¯
¯
p
2
1
=
4
3
−
2
3
·
p
2.
Vậy a =
4
3
, b =−
2
3
và S = a +b =
2
3
.
Th.s Nguyễn Chín Em 453 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án D ä
Câu 216. Cho
13
Z
1
f (x)dx =2019. Tính
4
Z
0
f (3x +1)dx.
A. −2019. B. 2019. C. 6057. D. 673.
- Lời giải.
Đặt t =3x +1 ⇒ dt =3dx.
Đổi cận: x =0 ⇒ t =1, x =4 ⇒ t =13.
4
Z
0
f (3x +1)dx =
13
Z
1
f (t) ·
1
3
dt =
1
3
·2019 =673.
Chọn đáp án D ä
Câu 217. Tính tích phân
e
Z
1
xln xdx ta được kết quả
A.
e
2
+1
4
. B.
e
2
−1
4
. C.
2e
2
+1
4
. D.
2e
2
−1
4
.
- Lời giải.
Đặt u =ln x ⇒du =
1
x
dx ,dv = xdx ⇒v =
x
2
2
.
Suy ra
e
Z
1
xln xdx =
x
2
2
ln x
¯
¯
¯
e
1
−
e
Z
1
x
2
dx =
e
2
2
−
x
2
4
¯
¯
¯
e
1
=
e
2
+1
4
.
Chọn đáp án A ä
Câu 218. Cho
5
Z
1
¯
¯
¯
¯
x −2
x +1
¯
¯
¯
¯
dx = aln3 +b ln2+c với a,b , c là các số nguyên. Giá trị P = abc là
A. P =−36. B. P =0. C. P =18. D. P =−18.
- Lời giải.
Ta thấy
Z
x −2
x +1
dx =
Z
µ
1−
3
x +1
¶
dx = x −3ln|x +1|+C. (1)
Ta có
5
Z
1
¯
¯
¯
¯
x −2
x +1
¯
¯
¯
¯
dx =−
2
Z
1
x −2
x +1
dx +
5
Z
2
x −2
x +1
dx
(1)
= 2+3ln3−6ln2 ⇒
a =3
b =−6
c =2
⇒P =−36.
Chọn đáp án A
ä
Câu 219. Cho
3
Z
2
f (x)dx =1,
3
Z
2
g(x)dx =5. Tìm tất cả các giá trị của a để
3
Z
2
[a +2ax +3f (x)]dx −
3
Z
2
(a −2)g(x)dx =10.
A. 2. B. −3. C. 1. D. 3.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 454 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
10 = [ax +ax
2
]
¯
¯
3
2
+3
3
Z
2
f (x)dx −(a −2)
3
Z
2
g(x)dx
= a +5a +3−(a −2)·5
= a +13 ⇒a =−3.
Chọn đáp án B ä
Câu 220. Cho
2
Z
1
f (x)dx =3 và
2
Z
1
[
3f (x)−g(x)
]
dx =10, khi đó
2
Z
1
g(x)dx bằng
A. 17. B. 1. C. −1. D. −4.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
[
3f (x)−g(x)
]
dx =3
2
Z
1
f (x)dx −
2
Z
1
g(x)dx =3 ·3−
2
Z
1
g(x)dx =9 −
2
Z
1
g(x)dx.
Suy ra
2
Z
1
g(x)dx =−1.
Chọn đáp án C ä
Câu 221. Tính tích phân I =
1
Z
0
x
p
x
2
+1dx .
A. I =
2
p
2−1
3
. B. I =
2
p
2
3
. C. I =2
p
2−1. D. I =
2
p
2+1
3
.
- Lời giải.
Ta có I =
1
Z
0
x
p
x
2
+1dx =
1
2
1
Z
0
¡
x
2
+1
¢
1
2
d
¡
x
2
+1
¢
=
1
3
¡
x
2
+1
¢
3
2
¯
¯
¯
1
0
=
2
p
2−1
3
.
Chọn đáp án A ä
Câu 222. Biết
1
Z
0
x
3
+2x
2
+3
x +2
dx =
1
a
+b ln
3
2
với a, b >0. Tính giá trị của S = a +2b.
A. S =5. B. S =6. C. S =9. D. S =3.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
x
3
+2x
2
+3
x +2
dx =
1
Z
0
µ
x
2
+
3
x +2
¶
dx =
x
3
3
+3ln|x +2|
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
3
+3ln
3
2
.
Vậy a =3, b =3 nên S = a +2b =9.
Chọn đáp án C ä
Câu 223. Cho
2
Z
−1
f (x)dx =2 và
2
Z
−1
g(x)dx =−1, khi đó
2
Z
−1
[
x +2f (x)+3g(x)
]
dx bằng
A.
5
2
. B.
7
2
. C.
17
2
. D.
11
2
.
Th.s Nguyễn Chín Em 455 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
2
Z
−1
[
x +2f (x)+3g(x)
]
dx =
2
Z
−1
xdx +2
2
Z
−1
f (x)dx +3
2
Z
−1
g(x)dx
=
x
2
2
¯
¯
¯
2
−1
+2·2 +3·(−1)
=
3
2
+4−3 =
5
2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 224. Tính tích phân I =
5
Z
1
dx
1−2x
.
A. I =−ln9. B. I =ln9. C. I =−ln3. D. I =ln3.
- Lời giải.
Ta có
I =
5
Z
1
dx
1−2x
=−
1
2
5
Z
1
d(1−2x)
1−2x
= −
1
2
ln
|
1−2x
|
¯
¯
¯
¯
5
1
=−
1
2
(
ln9−ln1
)
=−ln3.
Chọn đáp án C ä
Câu 225. Cho
2
Z
0
f (x)dx =5 và
5
Z
0
f (x)dx =−3. Khi đó
5
Z
2
f (x)dx bằng
A. 8. B. 15. C. −8. D. −15.
- Lời giải.
Ta có
5
Z
2
f (x)dx =
0
Z
2
f (x)dx +
5
Z
0
f (x)dx =−
2
Z
0
f (x)dx +
5
Z
0
f (x)dx =−5 −3 =−8.
Chọn đáp án C ä
Câu 226. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên R và f (−1) =−2, f (3) =2. Tính I =
3
Z
−1
f
0
(x )dx.
A. I =4. B. I =3. C. I =0. D. I =−4.
- Lời giải.
Ta có I =
3
Z
−1
f
0
(x )dx = f (x)
¯
¯
¯
3
−1
= f (3) − f (−1) =4
Chọn đáp án A ä
Câu 227. Cho hàm số f (x) =
p
x
Z
1
¡
4t
3
−8t
¢
dt. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm
số f (x) trên đoạn [1;6]. Tính M −m.
A. 16. B. 12. C. 18. D. 9.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 456 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có f (x) =
p
x
Z
1
¡
4t
3
−8t
¢
dt =(t
4
−4t
2
)
¯
¯
¯
p
x
1
= x
2
−4x +3.
y
0
=2x −4,y
0
=0 ⇔ x =2 ∈[1;6].
y(1) =0, y(2) =−1, y(6) =15.
Suy ra m =−1, M =15, M −m =16.
Chọn đáp án A ä
Câu 228. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R. Biết f (2) =4 và
2
Z
0
f (x)dx =5. Tính I =
2
Z
0
x · f
0
(x )dx.
A. I =1. B. I =3. C. I =−1. D. I =9.
- Lời giải.
Đặt
u = x
dv = f
0
(x )dx
⇒
du = dx
v = f (x).
Ta có I = x f (x)
¯
¯
¯
2
0
−
2
Z
0
f (x)dx =2f (2)−5 =3.
Chọn đáp án B ä
Câu 229. Cho
1
Z
0
f (x)dx =5 và
1
Z
0
g(x)dx =3, khi đó
1
Z
0
[3f (x)−2g(x)]dx bằng
A. −9. B. 12. C. 9. D. 2.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
[3f (x)−2g(x)]dx =3
1
Z
0
f (x)dx −2
1
Z
0
g(x)dx =9.
Chọn đáp án C ä
Câu 230. Biết I =
e
Z
1
x
2
ln xdx =ae
3
+b với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của 9(a +b) bằng
A. 3. B. 10. C. 9. D. 6.
- Lời giải.
Đặt
u =ln x
dv = x
2
dx
ta có
du =
1
x
dx
v =
x
3
3
.
Suy ra I =
x
3
ln x
3
¯
¯
¯
¯
e
1
−
e
Z
1
x
2
3
dx =
e
3
3
−
x
3
9
¯
¯
¯
¯
e
1
=
2
9
·e
3
+
1
9
.
Vậy a =
2
9
, b =
1
9
nên 9(a +b) =3.
Chọn đáp án A ä
Câu 231. Cho
1
Z
0
f (x)dx =−2 và
5
Z
1
2f (x)dx =6, khi đó
5
Z
0
f (x)dx bằng
A. 1. B. 2. C. 4. D. 3.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 457 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
5
Z
1
2f (x)dx =6 ⇔
5
Z
1
f (x)dx =3.
Do đó
5
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
f (x)dx +
5
Z
1
f (x)dx =−2 +3 =1.
Chọn đáp án A ä
Câu 232. Cho biết
1
Z
0
x
2
+x +1
x +1
dx = a +b ln2, trong đó a, b là hai số hữu tỉ, thì
A. a +b =
1
2
. B. a +b =
3
2
. C. a +b =−
1
2
. D. a +b =
5
2
.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
x
2
+x +1
x +1
dx =
Z
1
0
µ
x +
1
x +1
¶
dx =
µ
1
2
x
2
+ln|x +1|
¶
¯
¯
¯
1
0
=
1
2
+ln2.
Do đó a =
1
2
, b =1, a +b =
3
2
.
Chọn đáp án B ä
Câu 233. Cho biết
1
Z
0
ln(x +1) dx = a +b ln2, trong đó a, b là hai số hữu tỉ, thì
A. a +b =2. B. a +b =1. C. a +b =3. D. a +b =−1.
- Lời giải.
Đặt
u =ln(x +1)
dv =dx
⇒
du =
1
x +1
dx
v = x +1.
Ta có
1
Z
0
ln(x +1) dx = a +b ln2 =(x +1)ln(x +1)
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
1 dx =−1 +2ln2.
Do đó a =−1, b =2, a +b =1.
Chọn đáp án B ä
Câu 234. Cho
1
Z
0
(x +2)e
x
dx = ae+b với a, b là số nguyên. Tính S = a
2
+b
2
.
A. S =−1. B. S =10. C. S =5. D. S =0.
- Lời giải.
Đặt
x +2 = u
e
x
dx = dv
⇒
du =dx
v =e
x
, ta có
1
Z
0
(x +2)e
x
dx =(x +2)e
x
¯
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
e
x
dx =3e−2−e
x
¯
¯
¯
¯
1
0
=3e −2−e+1 =2e −1.
Do đó a =2, b =−1, S =5.
Chọn đáp án C ä
Câu 235. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [1;3] thỏa mãn f
(
4−x
)
= f (x), ∀x ∈[1;3] và
Z
3
1
x f (x)dx =
−2. Giá trị 2
Z
3
1
f (x)dx bằng
A. 1. B. 2. C. −1. D. −2.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 458 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt t =4−x ⇒ x =4 −t ⇒dx =−dt, với x =1 ⇒ t =3, x =3 ⇒ t =1. Ta có
−2 =
Z
3
1
x f (x)dx =−
Z
1
3
(4−t)f (4 −t)dt =
Z
3
1
(4−t)f (t)dt =4
Z
3
1
f (x)dx +2.
Vậy 2
Z
3
1
f (x)dx =−2.
Chọn đáp án D ä
Câu 236. Biết rằng
a
Z
1
ln x dx =1 +2a, (a >1). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. a ∈(18;21). B. a ∈(1;4). C. a ∈(11;14). D. a ∈(6;9).
- Lời giải.
Ta có
a
Z
1
ln x dx = xln x
¯
¯
¯
a
1
−
a
Z
1
xd(ln x) = xln x
¯
¯
¯
a
1
−
a
Z
1
dx = alna −a +1.
Suy ra a lna −a +1 =1+2a ⇔lna =3 ⇔a =e
3
≈20 ∈(18;21).
Chọn đáp án A ä
Câu 237. Cho
1
Z
0
(x +3)e
x
dx = a +be với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a ·b =6. B. a ·b =−6. C. a +b =−5. D. a +b =−1.
- Lời giải.
Đặt u = x +3 ⇒du =dx; dv =e
x
dx ⇒ v =e
x
.
Khi đó I =(x +3)·e
x
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
e
x
dx =4e−3−e
x
¯
¯
¯
1
0
=−2 +3e.
Vậy a =−2, b =3. Do đó a ·b =−6.
Chọn đáp án
B ä
Câu 238. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và
6
Z
0
f (x)dx =10 thì
3
Z
0
f (2x)dx bằng
A. 30. B. 20. C. 10. D. 5.
- Lời giải.
Ta có
3
Z
0
f (2x)dx =
1
2
3
Z
0
f (2x)2dx =
1
2
3
Z
0
f (2x)d(2x) =
1
2
6
Z
0
f (x)dx =
1
2
·10 =5.
Chọn đáp án D ä
Câu 239. Tích phân
2
Z
1
e
2x
dx bằng
A.
e
4
−e
2
2
. B.
e
2
2
. C. e
4
−e
2
. D. 2
¡
e
4
−e
2
¢
.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
e
2x
dx =
1
2
e
2x
¯
¯
2
1
=
1
2
¡
e
4
−e
2
¢
.
Chọn đáp án A ä
Câu 240. Biết
3
Z
1
x +2
x
dx = a +b ln c với a, b, c ∈Z, c <9. Tính tổng S = a +b +c.
Th.s Nguyễn Chín Em 459 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. S =6. B. S =7. C. S =5. D. S =8.
- Lời giải.
Ta có
3
Z
1
x +2
x
dx =
3
Z
1
µ
1+
2
x
¶
dx =
(
x +2ln x
)
¯
¯
¯
¯
3
1
=2 +2ln3 = a +b ln c.
⇒a =2, b =2, c =3 ⇒ a +b +c =7.
Chọn đáp án B ä
Câu 241. Nếu
Z
f (x)dx =
1
x
+ln|x |+C thì f (x) là
A. f (x) =−
1
x
2
+ln|x |. B. f (x) =
p
x +ln|x|. C. f (x) =−
p
x +
1
x
. D. f (x) =
1
x
−
1
x
2
.
- Lời giải.
Ta có F
0
(x ) =
µ
1
x
+ln|x |+C
¶
0
=
1
x
−
1
x
2
= f (x).
Chọn đáp án D ä
Câu 242. Cho
2
Z
−2
f (x)dx =1,
4
Z
−2
f (t)dt =−4. Tính I =
4
Z
2
f (y)dy.
A. I =5. B. I =3. C. I =−3. D. I =−5.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
−2
f (x)dx =
2
Z
−2
f (y)dy =1,
4
Z
−2
f (t)dt =
4
Z
−2
f (y)dy =−4.
Vậy I =
4
Z
2
f (y)dy=
4
Z
−2
f (y)dy −
2
Z
−2
f (y)dy =−4−1 =−5.
Chọn đáp án D ä
Câu 243. Kết quả của tích phân I =
2
Z
1
(2x −1)ln x dx bằng
A. I =2ln2. B. I =
1
2
. C. I =2ln2−
1
2
. D. I =2ln2+
1
2
.
- Lời giải.
Đặt
u =ln x
dv =(2x −1)dx
⇒
du =
1
x
dx
v = x
2
−x.
Ta có I =
2
Z
1
(2x −1)ln x dx =(x
2
−x)lnx
¯
¯
¯
2
1
−
2
Z
1
(x −1) dx =2ln2 −
1
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 244. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn
1
Z
−5
f (x) dx =9. Tính
2
Z
0
(f (1−3x) +9) dx.
A. 27. B. 15. C. 75. D. 21.
- Lời giải.
Đặt t =1−3x ⇒dt =−3dx.
Đổi cận
x 0 2
t 1 −5
Th.s Nguyễn Chín Em 460 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
2
Z
0
(f (1−3x) +9) dx =
2
Z
0
f (1−3x) dx +
2
Z
0
9 dx =18 +
1
3
1
Z
−5
f (t) dt =18 +
1
3
1
Z
−5
f (x) dx =21.
Chọn đáp án D ä
Câu 245. Nếu
0
Z
−2
³
4−e
−
x
2
´
dx = a +2be thì giá trị của a +2b là
A. 12. B. 9. C. 12,5. D. 8.
- Lời giải.
Ta có
0
Z
−2
³
4−e
−
x
2
´
dx = 4x
|
0
−2
+ 2e
−
x
2
¯
¯
¯
0
−2
=8 +2(1−e) =10 −2e
⇒
a =10
2b =−2
⇒a +2b =8.
Chọn đáp án D ä
Câu 246. Cho hàm số f (x) có đạo hàm với mọi x ∈R và f
0
(x ) =2x +1. Giá trị f (2)− f (1) bằng
A. 4. B. −2 . C. 2. D. 0.
- Lời giải.
Ta thấy f (2)− f (1) =
2
Z
1
f
0
(x )dx =
2
Z
1
(2x +1)dx =4.
Chọn đáp án A ä
Câu 247. Cho f (x) là hàm số liên tục trên R và
6
Z
0
f (x)dx = 4,
6
Z
2
f (x)dx = −3. Giá trị của
2
Z
0
[
f (v)−3
]
dv
bằng
A. 1. B. 3. C. 4. D. 2.
- Lời giải.
Ta có
6
Z
0
f (x)dx =
2
Z
0
f (x)dx +
6
Z
2
f (x)dx
⇒
2
Z
0
f (x)dx =
6
Z
0
f (x)dx −
6
Z
2
f (x)dx
⇒
2
Z
0
f (x)dx =7.
Ta thấy
2
Z
0
[
f (v)−3
]
dv =
2
Z
0
f (v)dv −3
2
Z
0
dv =7−6 =1.
Chọn đáp án
A ä
Câu 248. Tính tích phân I =
2
Z
1
xe
x
dx .
A. I =e. B. I =−e
2
. C. I =e
2
. D. I =3e
2
−2e.
Th.s Nguyễn Chín Em 461 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Đăt
u = x
dv =e
x
dx
⇒
du =dx
v =e
x
.
Khi đó I =
2
Z
1
xe
x
dx = xe
x
¯
¯
¯
2
1
−
2
Z
1
e
x
dx =2e
2
−e−
¡
e
2
−e
¢
=e
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 249. Cho
1
Z
−1
f (x)dx =−2,
3
Z
1
f (x)dx =5. Khi đó
3
Z
−1
2f (x)dx bằng
A. −14. B. 14. C. 12. D. 6.
- Lời giải.
Ta có 2
3
Z
−1
f (x)dx =2
1
Z
−1
f (x)dx +
3
Z
1
f (x)dx
=2(−2 +5) =6.
Chọn đáp án D ä
Câu 250. Cho
2
Z
1
f (x)dx =4,
2
Z
1
2f (x)dx =200. Khi đó
5
Z
2
f (x)dx bằng
A. 104. B. 204. C. 196. D. 96.
- Lời giải.
Ta có
5
Z
1
2f (x)dx =200 ⇔2
5
Z
1
f (x)dx =200 ⇔
5
Z
1
f (x)dx =100.
Suy ra
5
Z
2
f (x)dx =
5
Z
1
f (x)dx −
2
Z
1
f (x)dx =96.
Chọn đáp án D ä
Câu 251. Cho tích phân I =
2
Z
1
f (x)dx =2. Giá trị của
π
2
Z
0
sin x · f
¡
p
3cos x +1
¢
p
3cos x +1
dx bằng
A. 2. B. −
4
3
. C.
4
3
. D. −2.
- Lời giải.
Đặt t =
p
3cos x +1 ⇒ t
2
=3cosx +1 ⇒2t dt =−3sinxdx ⇒sin xdx =−
2t dt
3
.
Đổi cận
x =0 ⇒ t =2
x =
π
2
⇒ t =1.
Khi đó ta có
π
2
Z
0
sin x · f
¡
p
3cos x +1
¢
p
3cos x +1
dx =−
2
3
1
Z
2
t · f (t)
t
dt =
2
3
2
Z
1
f (t)dt =
2
3
2
Z
1
f (x)dx =
4
3
.
Chọn đáp án C ä
Câu 252. Giá trị của I =
Z
µ
x
2
−2
x
¶
·lnx dx bằng
A. I =2ln
2
x +
x
2
2
·lnx −
x
2
4
+C. B. I =−ln
2
x +
x
2
2
·lnx −
x
2
4
+C.
C. I =ln
2
x +
x
2
2
·lnx −
x
2
4
+C. D. I =
ln
2
x
2
+
x
2
2
·lnx −
x
2
4
+C.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 462 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có I =
Z
µ
x
2
−2
x
¶
ln x dx =
Z
xln xdx −2
Z
ln x
x
dx = A −2B.
A =
Z
xln xdx.
Đặt
u =ln x
dv = x dx
⇒
du =
1
x
dx
v =
x
2
2
.
Khi đó A =
x
2
2
·lnx −
Z
x
2
dx =
x
2
2
·lnx −
x
2
4
+C.
B =
Z
ln x
x
dx =
Z
ln x d(lnx) =
ln
2
x
2
+C.
Suy ra I = A −2B =
x
2
2
·lnx −
x
2
4
−ln
2
x +C =−ln
2
x +
x
2
2
·lnx −
x
2
4
+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 253. Giả sử
b
Z
a
f (x)dx =2,
b
Z
c
f (x)dx =3 với a < b < c thì
c
Z
a
f (x)dx bằng
A. −5. B. 1. C. −1. D. 5.
- Lời giải.
Ta có
c
Z
a
f (x)dx =
b
Z
a
f (x)dx +
c
Z
b
f (x)dx
=
b
Z
a
f (x)dx −
b
Z
c
f (x)dx
= 2−3 =−1.
Chọn đáp án C ä
Câu 254. Cho tích phân
π
2
Z
π
3
sin x
cos x +2
dx = aln5 +b ln2 với a, b ∈Z. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 2a +b =0. B. a −2b =0. C. 2a −b =0. D. a +2b =0.
- Lời giải.
Đặt t =cos x +2 ⇒ dt =−sin xdx ⇒sin xdx =−dt.
Đổi cận
x =
π
3
x =
π
2
⇒
t =
5
2
t =2.
Suy ra a ln5+b ln2 =
π
2
Z
π
3
sin x
cos x +2
dx =
2
Z
5
2
−dt
t
=−ln|t|
¯
¯
¯
2
5
2
=−
µ
ln2−ln
5
2
¶
=ln5−2ln2.
Do đó a =1, b =−2 nên 2a +b =0.
Chọn đáp án A ä
Câu 255. Biết I =
2
Z
1
x
2
+2x
x +1
dx =
5
a
+lnb −ln c. Tính giá tr ị biểu thức S =a −b +c.
A. S =7. B. S =3. C. S =−3. D. S =1.
Th.s Nguyễn Chín Em 463 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có I =
2
Z
1
x
2
+2x
x +1
dx =
2
Z
1
µ
x +1−
1
x +1
¶
dx =
µ
x
2
2
+x −ln|x +1|
¶
¯
¯
¯
2
1
=
5
2
+ln2−ln3.
Suy ra a =2, b =2 và c =3. Do đó S = a −b +c =2−2+3 =3.
Chọn đáp án B ä
Câu 256. Cho
2
Z
0
f (x)dx =3 và
2
Z
0
g(x)dx =−5, khi đó
2
Z
0
[
3f (x)+4g(x)
]
dx bằng
A. 29. B. −3. C. −11. D. 4.
- Lời giải.
Ta thấy
2
Z
0
[
3f (x)+4g(x)
]
dx =3
2
Z
0
f (x)dx +4
2
Z
0
g(x)dx =3 ·3+4·(−5) =−11.
Chọn đáp án C ä
Câu 257. Cho
Z
1
0
f (x)dx =−1 và
Z
1
0
g(x)dx =1. Khi đó
Z
1
0
[
f (x) −7g(x)
]
dx bằng
A. −8. B. 6. C. −6. D. 8.
- Lời giải.
Ta có
Z
1
0
[
f (x) −7g(x)
]
dx =
Z
1
0
f (x)dx −7
Z
1
0
g(x)dx =−8.
Chọn đáp án A ä
Câu 258. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên đoạn
[
−1;4
]
, f (4) =2017,
Z
4
−1
f
0
(x )dx =2016. Giá trị của
f (−1) là
A. 3. B. 1. C. −1. D. 2.
- Lời giải.
Ta có
Z
4
−1
f
0
(x )dx =2016 ⇔ f (4)− f (−1) =2016
⇔ f (−1) = f (4) −2016
⇔ f (−1) =1.
Chọn đáp án B ä
Câu 259. Cho
Z
3
1
f (x)dx =12, giá trị của I =
Z
6
2
f
³
x
2
´
dx bằng
A. I =24. B. I =10. C. I =6. D. I =14.
- Lời giải.
Ta có I =
Z
6
2
f
³
x
2
´
dx =2
Z
6
2
f
³
x
2
´
d
³
x
2
´
=2
Z
3
1
f (x)dx =24.
Chọn đáp án A ä
Câu 260. Tính tích phân
π
3
Z
0
cos2x dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 464 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A.
1
4
. B.
p
3
4
. C.
1
2
. D.
p
3
2
.
- Lời giải.
Ta có
π
3
Z
0
cos2x dx =
sin2x
2
¯
¯
¯
¯
π
3
0
=
p
3
4
.
Chọn đáp án B ä
Câu 261. Tích phân
1
Z
0
¡
3x
2
+1
¢
dx .
A. −6. B. 2. C. 6. D. −2.
- Lời giải.
1
Z
0
¡
3x
2
+1
¢
dx =(x
3
+x)
¯
¯
¯
1
0
=2.
Chọn đáp án B ä
Câu 262. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [−1;1] thỏa mãn
1
Z
−1
f
0
(x )dx = 5 và f (−1) = 4.
Tìm f (1)?
A. f (1) =−1. B. f (1) =1. C. f (1) =9. D. f (1) =−9.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
−1
f
0
(x )dx = f (1) − f (−1) =5, suy ra f (1) =5+ f (−1) =9.
Chọn đáp án C ä
Câu 263. Tính tích phân I =
1
Z
0
dx
x
2
−9
.
A. I =
1
6
ln
1
2
. B. I =−
1
6
ln
1
2
. C. I =
1
6
ln2. D. I =ln
6
p
2.
- Lời giải.
I =
1
Z
0
dx
x
2
−9
=
1
Z
0
dx
(x −3)(x +3)
=
1
6
1
Z
0
µ
1
x −3
−
1
x +3
¶
dx
=
1
6
(
ln|x −3|−ln|x +3|
)
|
1
0
=
1
6
µ
ln
2
3
−ln
4
3
¶
=
1
6
ln
1
2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 264. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] và f (a) =2, f (b) =−4. Tính T =
b
Z
a
f
0
(x )dx.
A. T =−2. B. T =6. C. T =−6. D. T =2.
- Lời giải.
Ta có T =
b
Z
a
f
0
(x )dx = f (x)
|
b
a
= f (b)− f (a) =−4 −2 =−6.
Chọn đáp án C ä
Th.s Nguyễn Chín Em 465 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 265. Cho hàm số f (x) = A sin(πx) +Bx
2
(A,B là các hằng số) và
2
Z
0
f (x)dx =
8
3
. Tính B.
A. 1. B. −1. C. 8. D. 3.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
£
A sin(πx)+Bx
2
¤
dx =
8
3
⇔−
A
π
cos(πx )
¯
¯
¯
2
0
+
Bx
3
3
¯
¯
¯
2
0
=
8
3
⇔B =1.
Chọn đáp án A ä
Câu 266. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (1) = 12, f
0
(x ) liên tục trên đoạn [1;4] và
4
Z
1
f
0
(x )dx = 17. Tính
f (4).
A. 29. B. 9. C. 26. D. 5.
- Lời giải.
Ta có
4
Z
1
f
0
(x )dx = f (4) − f (1) ⇒ f (4) =12+17 =29.
Chọn đáp án A ä
Câu 267. Đổi biến x =2sin t thì tích phân
1
Z
0
dx
p
4−x
2
trở thành
A.
π
6
Z
0
tdt. B.
π
3
Z
0
tdt. C.
π
6
Z
0
dt. D.
π
6
Z
0
dt
t
.
- Lời giải.
Xét I =
1
Z
0
dx
p
4−x
2
.
Đặt x =2sin t với t ∈
³
−
π
2
;
π
2
´
⇒dx =2costdt.
Đổi cận:
x =0 ⇒ t =0.
x =1 ⇒ t =
π
6
.
Ta có:
I =
π
6
Z
0
2cos t
p
4−4sin
2
t
dt =
π
6
Z
0
2cos t
p
4cos
2
t
dt =
π
6
Z
0
dt.
Chọn đáp án C ä
Câu 268. Biết
2
Z
1
dx
4x
2
−4x +1
=
1
a
+
1
b
thì a,b là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. x
2
−5x +6 =0. B. x
2
+4x −12 =0. C. 2x
2
−x −1 =0. D. x
2
−9 =0.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 466 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
2
Z
1
dx
4x
2
−4x +1
=
2
Z
1
dx
(
2x −1
)
2
=−
1
2(2x −1)
¯
¯
¯
2
1
=−
1
6
+
1
2
⇒a =−6;b =2.
⇒a , b là nghiệm của phương trình x
2
+4x −12 =0.
Chọn đáp án B ä
Câu 269. Cho f (x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên R. Biết
5
Z
−1
[
2f (x)+3g(x)
]
dx =16 và
5
Z
−1
[
f (x) −3g(x)
]
dx =
−1. Tính
2
Z
−1
f (2x +1)dx.
A.
5
2
. B. 1. C.
1
2
. D. 5.
- Lời giải.
Ta có
5
Z
−1
[
2f (x)+3g(x)
]
dx =16 ⇔2
5
Z
−1
f (x)dx +3
5
Z
−1
g(x)dx =16 (1)
5
Z
−1
[
f (x) −3g(x)
]
dx =−1 ⇔
5
Z
−1
f (x)dx −3
5
Z
−1
g(x)dx =−1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra
5
Z
−1
f (x)dx =5
5
Z
−1
g(x)dx =2
.
Xét I =
2
Z
−1
f (2x +1)dx.
Đặt t =2x +1 ⇒dx =
1
2
dt. Với x =−1 ⇒ t =−1; x =2 ⇒ t =5.
⇒ I =
1
2
5
Z
−1
f (t)dt =
1
2
5
Z
−1
f (x)dx =
5
2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 270. Biết
2
Z
1
ln(2x +1)dx =
a
2
ln5+
b
2
ln3+c, với a, b, c là các số nguyên. Tính T =a +2b +c.
A. T =12. B. T =2. C. T =10. D. T =−2.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 467 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt
u =ln(2x +1)
dv =dx
⇒
du =
2
2x +1
dx
v = x.
⇒
2
Z
1
ln(2x +1)dx = x ln(2x +1)
|
2
1
−
2
Z
1
2x
2x +1
dx
= 2ln5−ln3 −
2
Z
1
µ
1−
1
2x +1
¶
dx
= 2ln5−ln3 −
·
x −
1
2
ln(2x +1)
¸
¯
¯
¯
¯
2
1
=
5
2
ln5+
−3
2
ln3−1.
Vậy a =5, b =−3, c =−1 suy ra T =a +2b +c =−2.
Chọn đáp án D ä
Câu 271. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [−1;3] thỏa mãn f
0
(x ) > 0, ∀x ∈ [−1;3] và
f (3) =−1. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
3
Z
−1
f (x)dx =4. B. f (−1) =3.
C.
3
Z
−1
|
f (x)
|
dx =−
3
Z
−1
f (x)dx. D.
3
Z
−1
|
f (x)
|
dx =
3
Z
−1
f (x)dx.
- Lời giải.
Vì
f
0
(x ) >0, ∀x ∈[−1;3]
f (3) =−1
⇒ f (x) <0, ∀x ∈[−1;3].
Vậy
3
Z
−1
|
f (x)
|
dx =−
3
Z
−1
f (x)dx.
Chọn đáp án C ä
Câu 272. Cho
2
Z
0
f (x)dx =5. Khi đó
2
Z
0
[
4f (x)−3
]
dx bằng
A. 6. B. 14. C. 8. D. 2.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
[
4f (x)−3
]
dx =4
2
Z
0
f (x)dx −3
2
Z
0
dx =20−6 =14.
Chọn đáp án B ä
Câu 273. Tích phân
4
Z
2
x
x −1
dx bằng
A. 2−ln3. B. 1 +ln3. C.
2
5
. D. 2+ln3.
- Lời giải.
Ta có
4
Z
2
x
x −1
dx =
4
Z
2
µ
1+
1
x −1
¶
dx =
(
x +ln(x −1)
)
¯
¯
¯
4
2
=2 +ln3.
Chọn đáp án D ä
Th.s Nguyễn Chín Em 468 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 274. Nếu f (1) =12, f
0
(x ) liên tục và
4
Z
1
f
0
(x )dx =17. Giá trị của f (4) bằng
A. 19. B. 5. C. 29. D. 9.
- Lời giải.
Ta có
4
Z
1
f
0
(x )dx =17 ⇔ f (x)
¯
¯
¯
4
1
=17 ⇔ f (4) − f (1) =17 suy ra f (4) =17 + f (1) =29.
Chọn đáp án C ä
Câu 275. Tích phân
7
Z
2
xdx
x
2
+1
bằng a ln2−b ln5 với a, b ∈Q. Giá tr ị của 2a +b bằng
A.
3
2
. B.
1
2
. C. 1. D. 2.
- Lời giải.
Ta có
Z
7
2
xdx
x
2
+1
=
Z
7
2
1
2
·
d
¡
x
2
¢
x
2
+1
=
1
2
ln(x
2
+1)
¯
¯
¯
7
2
=
1
2
ln2+
1
2
ln5.
Do đó a =
1
2
và b =−
1
2
. Vậy 2a +b =
1
2
.
Chọn đáp án B ä
Câu 276. Nếu
1
Z
0
(x
2
−mx)e
x
dx =e−7 thì giá trị của m là nghiệm của phương trình nào dưới đây?
A. x
2
+4ex +36e−81 =0. B. x
2
−5x +6 =0.
C. x
2
−8x −e
2
+4e+12 =0. D. x
2
−12x +35 =0.
- Lời giải.
Đặt
u = x
2
−mx
dv =e
x
dx
⇒
du =(2x −m)dx
v =e
x
.
Khi đó I =(x
2
−mx)e
x
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
(2x −m )e
x
dx .
Đặt
u =2x −m
dv =e
x
dx
⇒
du =2dx
v =e
x
.
I = (1−m )e −e
x
(2x −m)
¯
¯
¯
1
0
+
1
Z
0
2e
x
dx = (1 −m −2 +m)e −m +2e −2 = e −m −2 ⇒ m = 5. Phương trình
x
2
−12x +35 =0 ⇔
x =5
x =7.
Vậy giá trị m =5 là nghiệm của phương trình x
2
−12x +35 =0.
Chọn đáp án
D ä
Câu 277. Biểu thức I =
3
Z
2
2x −3
x −1
dx có giá trị bằng
A. 2+4ln2. B. 5−4ln2. C. 5+ln2. D. 2−ln2.
- Lời giải.
Ta có I =
3
Z
2
2(x −1)−1
x −1
dx =
3
Z
2
µ
2−
1
x −1
¶
dx =(2x −ln|x −1|)
¯
¯
3
2
=2 −ln2.
Th.s Nguyễn Chín Em 469 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án D ä
Câu 278. Một chiếc xe đang chạy đều với vận tốc 20 m/s thì giảm phanh với vận tốc v(t) =20−2t m/s đến
khi dừng hẳn. Quãng đường xe đi được từ lúc bắt đầu giảm phanh đến khi dừng hẳn là
A. 98 m . B. 94 m. C. 100 m. D. 96 m.
- Lời giải.
Ta có v(0) =20 do đó thời điểm xe bắt đầu giảm phanh ứng với t =0.
Xe dừng hẳn khi v(t) = 0 ⇔ t = 10. Vậy quãng đường xe đi được từ lúc bắt đầu giảm phanh đến khi dừng
hẳn là
S =
10
Z
0
v(t)dx =
¡
20t −t
2
¢
¯
¯
¯
10
0
=100.
Chọn đáp án C ä
Câu 279. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R, có đạo hàm f
0
(x ) =(x
2
−1)x trên R và thỏa mãn f (2) =0.
Tính
1
Z
0
f (x)dx.
A.
7
60
. B. −
127
60
. C.
113
60
. D. −
7
60
.
- Lời giải.
f (x) =
1
4
x
4
−
1
2
x
2
+C. Vì f (2) =0 ⇒C =−2.
Khi đó
1
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
µ
1
4
x
4
−
1
2
x
2
−2
¶
dx =−
127
60
.
Chọn đáp án
B ä
Câu 280. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [1;3], f (3) =5 và
3
Z
1
f
0
(x )dx =6. Khi đó f (1) bằng
A. −1. B. 11. C. 1. D. 10.
- Lời giải.
3
Z
1
f
0
(x )dx =6 ⇔ f (3) − f (1) =6 ⇒ f (1) = f (3) −6.
Vậy f (1) =−1.
Chọn đáp án A ä
Câu 281. Cho f (x) là hàm số liên tục trên [a, b] và c ∈[a,b]. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
A.
c
Z
a
f (x)dx −
c
Z
b
f (x)dx =
b
Z
a
f (x)dx. B.
a
Z
a
f (x)dx =0.
C.
c
Z
a
f (x)dx +
a
Z
c
f (x)dx 6=0. D.
b
Z
a
f (x)dx +
a
Z
b
f (x)dx =0.
- Lời giải.
Ta có
c
Z
a
f (x)dx +
a
Z
c
f (x)dx =
a
Z
a
f (x)dx =0. Vậy đẳng thức
c
Z
a
f (x)dx +
a
Z
c
f (x)dx 6=0 sai.
Chọn đáp án C ä
Th.s Nguyễn Chín Em 470 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 282. Cho
5
Z
−1
f (x)dx =4. Tính I =
2
Z
−1
f (2x +1)dx.
A. I =2. B. I =4. C. I =
5
2
. D. I =
3
2
.
- Lời giải.
Đặt t =2x +1 ⇒dt =2dx và bảng đổi cận
x
t
−1
5
−1
5
Ta có
5
Z
−1
f (2x +1)dx =
1
2
5
Z
−1
f (t)dt =2.
Chọn đáp án A ä
Câu 283. Biết
2
Z
1
ln x
x
2
dx =
b
c
+a ln2 (với a là số thực, b, c là các số nguyên dương và
b
c
là phân số tối
giản). Tính giá trị của 2a +3b +c.
A. 4. B. 6. C. 5. D. −6.
- Lời giải.
Đặt
u =ln x
dv =
1
x
2
dx
⇒
du =
1
x
dx
v =−
1
x
.
Khi đó ta có
2
Z
1
ln x
x
2
dx =−
ln x
x
¯
¯
¯
2
1
+
2
Z
1
1
x
2
dx =−
1
2
ln2−
1
x
¯
¯
¯
2
1
=−
1
2
ln2+
1
2
=
b
c
+a ln2.
Do đó a =−
1
2
, b =1, c =2 ⇒2a +3b +c =4.
Chọn đáp án A ä
Câu 284. Cho biết
p
2
Z
0
x f (x
2
)dx =4,
3
Z
2
f (z)dz =2,
16
Z
9
f
¡
p
t
¢
p
t
dt =2. Tính
4
Z
0
f (x)dx.
A. 10. B. 11. C. 9. D. 1.
- Lời giải.
Ta có
4 =
p
2
Z
0
x f (x
2
)dx =
1
2
2
Z
0
f (u)du ⇒
2
Z
0
f (u)du =8 hay
2
Z
0
f (x)dx =8.
2 =
16
Z
9
f
¡
p
t
¢
p
t
dt =2
4
Z
3
f (u)du ⇒
4
Z
3
f (u)du =1 hay
4
Z
3
f (x)dx =1.
Vậy
4
Z
0
f (x)dx =
2
Z
0
f (x)d+
3
Z
2
f (x)dx +
4
Z
3
f (x)dx =8 +2+1 =11.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 471 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 285. Tích phân
2
Z
1
dx
2x +1
bằng
A. log
5
3
. B.
2
15
. C.
1
2
ln
5
3
. D.
16
225
.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
dx
2x +1
=
1
2
ln(2x +1)
¯
¯
¯
2
1
=
1
2
(ln5−ln3) =
1
2
ln
5
3
.
Chọn đáp án C ä
Câu 286. Giả sử hàm số f (x), g(x) liên tục trên K và a,b, c là ba số bất kì thuộc K. Khẳng định nào sau
đây là sai?
A.
b
Z
a
f (x)dx +
c
Z
b
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx. B.
b
Z
a
f (x)dx +
b
Z
a
g(x)dx =
b
Z
a
(
f (x) + g (x)
)
dx .
C.
a
Z
a
f (x)dx =0. D.
b
Z
a
f (x)dx =
a
Z
b
f (x)dx.
- Lời giải.
Khẳng định sai là: “
b
Z
a
f (x)dx =
a
Z
b
f (x)dx”.
Chọn đáp án D ä
Câu 287. Giá trị của b để
b
Z
1
(2x −6)dx =0.
A. b =0 hoặc b =1. B. b =0 hoặc b =3. C. b =1 hoặc b =5. D. b =5 hoặc b =0.
- Lời giải.
Ta có
b
Z
1
(2x −6)dx =(x
2
−6x)
¯
¯
b
1
= b
2
−6b +5.
Do đó
b
Z
1
(2x −6)dx =0 ⇔ b
2
−6b +5 =0 ⇔
b =1
b =5.
Chọn đáp án C ä
Câu 288. Cho
2
Z
0
f (x)dx =3. Tính
2
Z
0
(
f (x) +1
)
dx .
A. 4. B. 5. C. 7. D. 1.
- Lời giải.
2
Z
0
(
f (x) +1
)
dx =
2
Z
0
f (x)dx +
2
Z
0
dx =3+ x
|
2
0
=3 +2 =5.
Chọn đáp án B ä
Câu 289. Biết
e
Z
1
(
x +1
)
ln x +2
1+xln x
dx = ae+b ln
µ
e+1
e
¶
trong đó a, b là các số nguyên. Tính tỉ số
a
b
.
A.
1
2
. B. 1. C. 3. D. 2.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 472 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
e
Z
1
(
x +1
)
ln x +2
1+xln x
dx =
e
Z
1
xln x +1+1 +ln x
1+xln x
dx
=
e
Z
1
µ
1+
1+lnx
1+xln x
¶
dx
=
e
Z
1
dx +
e
Z
1
µ
1+lnx
1+xln x
¶
dx
= x
¯
¯
¯
e
1
+ln
|
1+xln x
|
¯
¯
¯
e
1
=e −1+ln
|
1+e
|
= e−lne+ln
(
1+e
)
=e +ln
µ
e+1
e
¶
.
Suy ra a =1 và b =1 nên
a
b
=1.
Chọn đáp án B ä
Câu 290. Cho tích phân I =
3
Z
0
x
1+
p
x +1
dx . Viết dạng của I khi đặt t =
p
x +1.
A.
2
Z
1
(2t
2
+2t)dt. B.
2
Z
1
(2t
2
−2t)dt. C.
2
Z
1
(t
2
−2t)dt. D.
2
Z
1
(2t
2
−t)dt.
- Lời giải.
Đặt t =
p
x +1 ⇒ t
2
= x +1 ⇒2t dt = x dx.
Đổi cận
x 0 3
t 1 2
Tích phân trở thành
I =
2
Z
1
(t
2
−1)2t
1+t
dt =
2
Z
1
(t −1)(t +1)2t
t +1
dt =
2
Z
1
(t −1)2t dt =
2
Z
1
(2t
2
−2t)dt.
Chọn đáp án B ä
Câu 291. Tìm số thực m thỏa mãn 9+
1
Z
0
(2m
2
x −6m)dx =0.
A. m =1. B. m =2. C. m =3. D. m =4.
- Lời giải.
9+
1
Z
0
(2m
2
x −6m)dx =0 ⇔9 +
£
m
2
x
2
−6mx
¤
¯
¯
¯
1
0
=0 ⇔ m
2
−6m +9 =0 ⇔ m =3.
Chọn đáp án C ä
Câu 292. Cho tích phân
π
2
Z
0
(
4x −1+cosx
)
dx =π
µ
π
a
−
1
b
¶
+c, (a,b, c ∈Q). Tính a −b +c.
A.
1
2
. B. 1. C. −2. D.
1
3
.
Th.s Nguyễn Chín Em 473 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có
π
2
Z
0
(
4x −1+cosx
)
dx =
¡
2x
2
−x +sin x
¢
¯
¯
¯
π
2
0
=π
µ
π
2
−
1
2
¶
+1.
Vậy a =2,b =2, c =1, suy ra a −b +c =1.
Chọn đáp án B ä
Câu 293. Cho
2
Z
0
f (x)dx =3. Tích phân
2
Z
0
[4f (x)−3]dx bằng
A. 2. B. 9. C. 6. D. 1.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
[4f (x)−3]dx =4
2
Z
0
f (x)dx +
2
Z
0
3dx =12−6 =6.
Chọn đáp án C ä
Câu 294. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (2) = 16,
1
Z
0
f (2x)dx = 2.
Tính
2
Z
0
x · f
0
(x )dx
A. 16. B. 28. C. 36. D. 30.
- Lời giải.
Từ
1
Z
0
f (2x)dx =2 ta đặt t =2x được
1
2
2
Z
0
f (t)dt =2 ⇒
2
Z
0
f (x)dx =4 (1).
Từ I =
2
Z
0
x · f
0
(x )dx =[x · f (x)]
¯
¯
¯
2
0
−
2
Z
0
f (x)dx =28.
Chọn đáp án B ä
Câu 295. Cho tích phân I =
4
Z
0
x
p
x
2
+9dx . Khi đặt u =
p
x
2
+9 ta được tích phân nào dưới đây?
A. I =
5
Z
3
u
2
du. B. I =
5
Z
3
p
u du. C. I =
4
Z
0
u
2
du. D. I =
5
Z
3
u du.
- Lời giải.
Ta có u =
p
x
2
+9 ⇒ u
2
= x
2
+9 ⇒ u du = x dx. Đổi cận: x =0 ⇒ u =3, x =4 ⇒ u =5. Khi đó, tích phân
đã cho trở thành
I =
5
Z
3
u
2
du .
Chọn đáp án A ä
Câu 296. Tích phân
1
Z
0
p
2x +1dx có giá trị bằng
A. 3
p
3−
2
3
. B.
3
p
3−1
3
. C. 2
p
3−
3
2
. D. 3
p
3−
3
2
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 474 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
1
Z
0
p
2x +1dx =
µ
1
3
p
(2x +1)
3
¶
¯
¯
¯
¯
1
0
=
p
3−
1
3
=
3
p
3−1
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 297. Cho
2
Z
−1
f (x)dx =2 và
2
Z
−1
g(x)dx =−1. Tính I =
2
Z
−1
[
x +2f (x)+3g(x)
]
dx bằng
A. I =
7
2
. B. I =
17
2
. C. I =
5
2
. D. I =
11
2
.
- Lời giải.
I =
2
Z
−1
[
x +2f (x)+3g(x)
]
dx =
2
Z
−1
xdx +2
2
Z
−1
f (x)dx +3
2
Z
−1
g(x)dx =
3
2
+4−3 =
5
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 298. Cho hàm số y = f (x) liên tục, luôn dương trên [0;3] và thỏa mãn I =
3
Z
0
f (x)dx =4. Khi đó giá trị
của tích phân K =
3
Z
0
(e
1+ln f (x)
+4)dx là
A. 14+3e. B. 4e+14. C. 12+4e. D. 3e+12.
- Lời giải.
K =
3
Z
0
(e
1+ln f (x)
+4)dx =
3
Z
0
(e· f (x)+4)dx =4e +12.
Chọn đáp án C ä
Câu 299. Tính tích phân sau I =
π
Z
0
cos
2
x ·sin x dx.
A. I =−
3
2
. B. I =
2
3
. C. I =−
2
3
. D. I =
3
2
.
- Lời giải.
Đặt t =cos x suy ra dt =−sin xdx.
Đổi cận
x =0
x =π
⇒
t =1
t =−1.
Khi đó
I =
−1
Z
1
t
2
·(−1)dt =
1
Z
−1
t
2
dt =
t
3
3
¯
¯
¯
1
−1
=
2
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 300. Biết rằng
1
Z
0
xcos2xdx =
1
4
(
asin2+b cos2+c
)
với a, b, c ∈Z. Khẳng định nào sau đây là khẳng
định đúng?
A. a +b +c =1. B. a −b +c =0. C. 2a +b +c =−1. D. a +2b +c =1.
- Lời giải.
Đặt
u = x
dv =cos2xdx
⇒
du =dx
v =
1
2
sin2x.
Th.s Nguyễn Chín Em 475 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó,
1
Z
0
xcos2xdx =
1
2
xsin2x
¯
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
1
2
sin2x dx
=
1
2
sin2+
1
4
cos2x
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
2
sin2+
1
4
cos2−
1
4
=
1
4
(
2sin2 +cos2−1
)
=
1
4
(
asin2+b cos2+c
)
.
Suy ra a =2;b =1; c =−1.
Vậy a −b +c =0.
Chọn đáp án B ä
Câu 301. Cho hàm số y = f (x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn f (2) =−2,
2
Z
0
f (x)dx =1. Tính tích
phân I =
4
Z
0
f
0
¡
p
x
¢
dx .
A. I =0. B. I =−18. C. I =−10. D. I =−5.
- Lời giải.
Đặt t =
p
x ⇒ t
2
= x ⇒2tdt = dx.
Đổi cận x =0 ⇒ t =0 và x =4 ⇒ t =2. Khi đó
I =
2
Z
0
f
0
(t) ·2t dt
= 2·
2
Z
0
td
(
f (t)
)
= 2·
t f (t)
¯
¯
¯
2
0
−
2
Z
0
f (t)dt
= 4· f (2)−2·
2
Z
0
f (x)dx =−8 −2 =−10.
Chọn đáp án C ä
Câu 302. Tính tích phân
2
Z
−1
(2x +1)
2018
dx .
A.
1
2019
¡
5
2019
+1
¢
. B.
1
4038
¡
5
2019
+1
¢
. C.
1
2019
¡
5
2019
−1
¢
. D.
1
4038
³
5
5
2019
−1
´
.
- Lời giải.
Đặt t =2x +1 ⇒ dt =2dx ⇒ dx =
1
2
dt.
Khi x =−1 thì t =−1; khi x =2 thì t =5. Suy ra
2
Z
−1
(2x +1)
2018
dx =
5
Z
−1
t
2018
1
2
dt =
t
2019
4038
¯
¯
¯
¯
2019
−1
=
1
4038
¡
5
2019
+1
¢
.
Th.s Nguyễn Chín Em 476 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án B ä
Câu 303. Cho tích phân
2
Z
1
x
3
−3x
2
+2x
x +1
dx = a +b ln2+c ln3 với a,b , c ∈R. Chọn khẳng định đúng trong
các khẳng định sau
A. b <0. B. c >0. C. a <0. D. a +b +c >0.
- Lời giải.
Ta có
I =
2
Z
1
x
3
−3x
2
+2x
x +1
dx =
2
Z
1
(x +1)
¡
x
2
−4x +6
¢
−6
x +1
dx =
2
Z
1
µ
x
2
−4x +6−
6
x +1
¶
dx
=
µ
x
3
3
−2x
2
+6x −6ln|x +1|
¶
¯
¯
¯
2
1
=
7
3
+6ln2−6ln3.
Vậy a =
7
3
, b =6, c =−6. Suy ra a +b +c =
7
3
>0.
Chọn đáp án D ä
Câu 304. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A.
b
Z
a
xe
x
dx = x e
x
¯
¯
¯
b
a
−
b
Z
a
xdx. B.
b
Z
a
xe
x
dx = x e
x
¯
¯
¯
b
a
−
b
Z
a
e
x
dx .
C.
b
Z
a
xe
x
dx = x e
x
¯
¯
¯
b
a
+
b
Z
a
xdx. D.
b
Z
a
xe
x
dx = x e
x
¯
¯
¯
b
a
+
b
Z
a
e
x
dx .
- Lời giải.
Ta có
b
Z
a
xe
x
dx =
b
Z
a
xd(e
x
) = xe
x
¯
¯
¯
b
a
−
b
Z
a
e
x
dx .
Chọn đáp án B ä
Câu 305. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên (a; b) và f (a) = f (b). Tính I =
b
Z
a
f
0
(x )e
f (x)
dx .
A. I =0. B. I =1. C. I =−1. D. I =2.
- Lời giải.
Ta có
I =
b
Z
a
e
f (x)
d(f (x)) = e
f (x)
¯
¯
¯
b
a
=e
f (b)
−e
f (a)
=0.
Chọn đáp án A ä
Câu 306. Cho
Z
1
0
(x +2)e
x
dx = ae+b (a, b ∈Q). Tính S = a
2
+b
2
.
A. S =−1. B. S =10. C. S =5. D. S =0.
- Lời giải.
Đặt
u = x +2
dv =e
x
dx
⇒
du =dx
v =e
x
.
Khi đó
Z
1
0
(x +2)e
x
dx = (x +2)e
x
¯
¯
1
0
−
Z
1
0
e
x
dx =3e−2−(e −1) =2e−1.
Suy ra a =2, b =−1 ⇒ S =5.
Chọn đáp án C ä
Th.s Nguyễn Chín Em 477 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 307. Tính tích phân
2
Z
1
dx
x +1
.
A. log
3
2
. B.
5
2
. C. ln
3
2
. D. ln6.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
dx
x +1
= ln|x +1|
|
2
1
=ln3−ln2 =ln
3
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 308. Cho tích phân I =
e
Z
1
xln
2
xdx. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. I = x
2
ln
2
x
¯
¯
e
1
−2
e
Z
1
xln xdx. B. I =
1
2
x
2
ln
2
x
¯
¯
e
1
−2
e
Z
1
xln xdx.
C. I =
1
2
x
2
ln
2
x
¯
¯
e
1
+2
e
Z
1
xln xdx. D. I =
1
2
x
2
ln
2
x
¯
¯
e
1
−
e
Z
1
xln xdx.
- Lời giải.
Dùng tích phân từng phần bằng cách đặt
u =ln
2
x
dv = x ·dx
, ta có
I =
e
Z
1
xln
2
xdx =
1
2
x
2
ln
2
x
¯
¯
e
1
−
e
Z
1
xln xdx.
Chọn đáp án D ä
Câu 309. Cho
1
Z
0
f (x)dx =4,
3
Z
1
f (x)dx =−8. Tính
4
Z
1
3f (x −1)dx.
A. −4. B. 12. C. −12. D. −24.
- Lời giải.
Đặt t = x −1 hay x = t +1, ta có dx =dt.
Với x =1 thì t =0 và với x =4 thì t =3.
Khi đó
4
Z
1
3f (x −1)dx bằng
3
Z
0
3f (t)dt =3
1
Z
0
f (t)dt +
3
Z
1
f (t)dt
=3(4 −8) =−12.
Chọn đáp án C ä
Câu 310. Cho
1
Z
0
2x
2
+3x +1
2x +3
dx = aln5 +b ln3+c. Tính T =a +b +2c.
A. T =3. B. T =0. C. T =1. D. T =2.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
2x
2
+3x +1
2x +3
dx =
1
Z
0
µ
x +
1
2x +3
¶
dx =
µ
x
2
2
+
1
2
ln(2x +3)
¶
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
2
+
1
2
ln5−
1
2
ln3.
Th.s Nguyễn Chín Em 478 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Suy ra a =
1
2
, b =−
1
2
, c =
1
2
. Vậy T =1.
Chọn đáp án C ä
Câu 311. Biết
b
Z
a
f (x)dx =10 và
b
Z
a
g(x)dx =5. Tính tích phân I =
b
Z
a
[
3f (x)−5g(x)
]
dx .
A. I =5. B. I =−5. C. I =10. D. I =15.
- Lời giải.
Ta có I =3·
b
Z
a
f (x)dx −5·
b
Z
a
g(x)dx =3·10−5·5 =5.
Chọn đáp án A ä
Câu 312. Cho
4
Z
0
f (x)dx =16. Tính I =
2
Z
0
f (2x)dx.
A. 32. B. 16. C. 4. D. 8.
- Lời giải.
Ta có 16 =
4
Z
0
f (x)dx =
2
Z
0
f (2t)d(2t) =2
2
Z
0
f (2t)dt ⇒
2
Z
0
f (2t)dt =8. Vậy I =
2
Z
0
f (2x)dx =8.
Chọn đáp án D ä
Câu 313. Biết
2
Z
1
f (x)dx =2. Tích phân
2
Z
1
3f (x)dx bằng
A. 5. B. 6. C. 1. D. 3.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
3f (x)dx =3
2
Z
1
f (x)dx =3.2 =6.
Chọn đáp án B ä
Câu 314. Trong không gian Ox yz, cho mặt phẳng (α): 2x + y +z −1 =0. Tìm phương trình mặt phẳng (β)
song song với mặt phẳng (α) và đi qua gốc tọa độ 0.
A. (β): 2x + y +z +1 =0. B. (β): x − y −z =0.
C. (β): 2x + y +z =0. D. (β): 2x − y −z =0.
- Lời giải.
Mặt phẳng (α) nhận
#»
u (2;1;1) làm véc-tơ pháp tuyến.
Do (α) ∥(β) nên
#»
u cũng là véc-tơ pháp tuyến của (β).
Phương trình mặt phẳng (P): 2(x −0)+1(y −0)+1(z −0) =0 ⇔2x + y +z =0.
Chọn đáp án C ä
Câu 315. Tích phân I =
1
Z
0
2x
2
+3x −6
2x +1
dx có giá trị là
A. I =
3
2
−
7
2
ln3. B. I =
3
2
+
7
2
ln3. C. I =5ln3. D. I =−2ln3.
Th.s Nguyễn Chín Em 479 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
I =
1
Z
0
2x
2
+3x −6
2x +1
dx =
1
Z
0
µ
x +1−
7
2x +1
¶
dx
=
³
x
2
+
x
2
´
¯
¯
¯
1
0
−
µ
7
2
ln(2x +1)
¶
¯
¯
¯
¯
1
0
=
3
2
−
7
2
ln3.
Chọn đáp án A ä
Câu 316. Tích phân
π
2
Z
0
sin
2
x ·cos x dx bằng
A.
1
4
. B.
1
3
. C.
1
2
. D.
1
5
.
- Lời giải.
π
2
Z
0
sin
2
x ·cos x dx =
π
2
Z
0
sin
2
xd(sin x) =
sin
3
x
3
¯
¯
¯
π
2
0
=
1
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 317. Cho
7
Z
1
f (x)dx =10. Tính tích phân I =
4
Z
1
f (2x −1)dx.
A. I =7. B. I =14. C. I =5. D. I =17.
- Lời giải.
Đặt t =2x −1, suy ra dt =2dx ⇒ dx =
1
2
dt.
Với x =1 ⇒ t =1 và x =4 ⇒ t =7.
Vậy
I =
4
Z
1
f (2x −1)dx =
7
Z
1
f (t) ·
1
2
dt =
1
2
7
Z
1
f (t)dt =
10
2
=5.
Chọn đáp án C ä
Câu 318. Cho
c
Z
a
f (x)dx =10 và
c
Z
b
f (x)dx =3 với a < c <b. Tính
b
Z
a
f (x)dx.
A.
b
Z
a
f (x)dx =7. B.
b
Z
a
f (x)dx =30. C.
b
Z
a
f (x)dx =−7. D.
b
Z
a
f (x)dx =13.
- Lời giải.
Ta có
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx
=
c
Z
a
f (x)dx −
c
Z
b
f (x)dx =10 −3 =7.
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 480 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 319. Tìm các giá trị của b sao cho
b
Z
0
(2x −4)dx =5.
A. {−1;4}. B. {5}. C. {−1}. D. {−1;5}.
- Lời giải.
Ta có
b
Z
0
(2x −4)dx =5 ⇔
¡
x
2
−4x
¢
¯
¯
b
0
=5 ⇔ b
2
−4b −5 =0 ⇔
b =−1
b =5.
Chọn đáp án D ä
Câu 320. Cho
1
Z
−2
f (x)dx =3. Tính tích phân I =
1
Z
−2
[2f (x)−1]dx.
A. I =5. B. I =3. C. I =−3. D. I =−9.
- Lời giải.
Ta có I =
1
Z
−2
[2f (x)−1]dx =2
1
Z
−2
f (x)dx −
1
Z
−2
dx =3.
Chọn đáp án B ä
Câu 321. Biết
1
Z
0
dx
p
x +1+
p
x
=
2
3
(
p
a −b), với a, b là các số nguyên dương. Tính T =a +b.
A. T =10. B. T =7. C. T =8. D. T =6.
- Lời giải.
1
Z
0
dx
p
x +1+
p
x
=
1
Z
0
(
p
x +1+
p
x)dx
(x +1)−x
=
1
Z
0
(
p
x +1−
p
x)dx =
·
2
3
(x +1)
3
2
−
2
3
x
3
2
¸
¯
¯
¯
¯
1
0
=
2
3
(
p
8−2).
Khi đó, a =8,b =2 ⇒ T =a +b =8+2 =10.
Chọn đáp án A ä
Câu 322. Hàm số f (x ) liên tục trên R thỏa mãn
1
Z
−1
f (2−3x)dx = a. Tìm a để
5
Z
−1
f (x)dx =1.
A. 3. B. −1. C. −3. D. 1.
- Lời giải.
Đặt t =2−3x ⇒ dt =−3dx.
Khi x =−1 thì t =5, khi x =1 thì t =−1.
1
Z
−1
f (2−3x)dx = a ⇔ −
1
3
−1
Z
5
f (t)d =a
⇔
5
Z
−1
f (t)dt =−
a
3
⇔
5
Z
−1
f (x)dx =−
a
3
⇔ a =−3.
Chọn đáp án C ä
Th.s Nguyễn Chín Em 481 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 323. Biết I =
5
Z
2
|x −2|
x
dx = aln2 +b ln5+c với a, b , c ∈Z. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a +2b =2. B. a +b =0. C. a =2c. D. a +c = b.
- Lời giải.
Ta có I =
5
Z
2
|x −2|
x
dx =
5
Z
2
2−x
x
dx =
5
Z
2
2
x
−1dx =
(
2ln x −x
)
¯
¯
¯
5
2
=−2ln2+2ln5−4.
Từ đó suy ra a =−2, b =2, c =−4. Vậy a +b =0.
Chọn đáp án B ä
Câu 324. Tích phân
1
Z
0
1
p
x +1
dx bằng
A.
p
2−1. B. 2(
p
2−1). C. ln2. D.
p
2−1
2
.
- Lời giải.
1
Z
0
1
p
x +1
dx =
1
Z
0
(x +1)
−
1
2
d(x +1) =
(x +1)
1
2
1
2
¯
¯
¯
¯
1
0
=2(
p
2−1).
Chọn đáp án B ä
Câu 325. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =sin
3
x ·cos x và F(0) =π. Tìm F
³
π
2
´
.
A. F
³
π
2
´
=−
1
4
+π. B. F
³
π
2
´
=
1
4
+π. C. F
³
π
2
´
=−π. D. F
³
π
2
´
=π.
- Lời giải.
F
³
π
2
´
−F(0) =
π
2
Z
0
sin
3
xcos xdx =
µ
sin
4
x
4
¶
¯
¯
¯
π
2
0
=
1
4
⇔F
³
π
2
´
=
1
4
+F(0) =
1
4
+π.
Chọn đáp án B ä
Câu 326. Tính tích phân I =
1
Z
0
dx
3−2x
.
A. I =−
1
2
ln3. B. I =−ln3. C. I =
1
2
ln3. D. I =
1
2
log3.
- Lời giải.
I =
1
Z
0
dx
3−2x
=−
1
2
ln(3−2x)
¯
¯
¯
1
0
=
1
2
ln3.
Chọn đáp án C ä
Câu 327. Tích phân I =
π
2
Z
0
sin
3
x ·cos x dx bằng
A. I =
π
4
4
. B. I =
1
4
. C. I =1. D. I =−
1
4
.
- Lời giải.
I =
π
2
Z
0
sin
3
x ·cos x dx =
π
2
Z
0
sin
3
xd(sin x) =
sin
4
x
4
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=
1
4
.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 482 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
2.1 ĐÁP ÁN
1. C 2. A 3. A 4. D 5. C 6. B 7. C 8. C 9. C 10. B
11. D 12. B 13. D 14. A 15. B 16. D 17. D 18. C 19. C 20. B
21. A 22. C 23. A 24. A 25. A 26. C 27. D 28. B 29. B 30. C
31. B 32. B 33. D 34. A 35. A 36. B 37. A 38. B 39. A 40. B
41. C 42. B 43. A 44. D 45. D 46. B 47. C 48. B 49. A 50. B
51. C 52. C 53. A 54. B 55. D 56. B 57. C 58. A 59. A 60. A
61. D 62. D 63. C 64. C 65. A 66. A 67. C 68. C 69. D 70. C
71. C 72. D 73. C 74. A 75. C 76. A 77. A 78. A 79. D 80. D
81. A 82. C 83. A 84. B 85. B 86. B 87. D 88. D 89. C 90. C
91. A 92. C 93. C 94. B 95. B 96. C 97. D 98. A 99. A 100. D
101. A 102. D 103. C 104. D 105. A 106. C 107. A 108. D 109. C 110. B
111. C 112. D 113. C 114. B 115. C 116. C 117. A 118. B 119. B 120. A
121. B 122. D 123. A 124. C 125. A 126. A 127. A 128. D 129. B 130. A
131. D 132. D 133. D 134. D 135. B 136. A 137. A 138. B 139. A 140. B
141. C 142. B 143. A 144. D 145. A 146. D 147. C 148. A 149. B 150. D
151. C 152. B 153. C 154. C 155. A 156. C 157. B 158. A 159. C 160. D
161. D 162. D 163. A 164. A 165. D 166. C 167. D 168. C 169. A 170. D
171. D 172. D 173. B 174. A 175. B 176. C 177. D 178. A 179. B 180. D
181. B 182. A 183. C 184. D 185. A 186. D 187. D 188. D 189. C 190. D
191. C 192. D 193. B 194. D 195. A 196. A 197. C 198. A 199. A 200. C
201. A 202. B 203. B 204. C 205. A 206. A 207. B 208. B 209. D 210. C
211. D 212. C 213. A 214. A 215. D 216. D 217. A 218. A 219. B 220. C
221. A 222. C 223. A 224. C 225. C 226. A 227. A 228. B 229. C 230. A
231. A 232. B 233. B 234. C 235. D 236. A 237. B 238. D 239. A 240. B
241. D 242. D 243. C 244. D 245. D 246. A 247. A 248. C 249. D 250. D
251. C 252. B 253. C 254. A 255. B 256. C 257. A 258. B 259. A 260. B
261. B 262. C 263. A 264. C 265. A 266. A 267. C 268. B 269. A 270. D
271. C 272. B 273. D 274. C 275. B 276. D 277. D 278. C 279. B 280. A
281. C 282. A 283. A 284. B 285. C 286. D 287. C 288. B 289. B 290. B
291. C 292. B 293. C 294. B 295. A 296. B 297. C 298. C 299. B 300. B
301. C 302. B 303. D 304. B 305. A 306. C 307. C 308. D 309. C 310. C
311. A 312. D 313. B 314. C 315. A 316. B 317. C 318. A 319. D 320. B
321. A 322. C 323. B 324. B 325. B 326. C 327. B
3 VẬN DỤNG THẤP
Câu 1. Cho
Z
3
0
x
4+2
p
x +1
dx =
a
3
+b ln2+c ln3, với a, b, c là các số nguyên. Tính a +b +c.
A. 1. B. 2. C. 7. D. 9.
- Lời giải.
Đặt t =
p
x +1 ⇒ t
2
= x +1 ⇒2t dt = dx. Đổi cận: x =0 ⇒ t =1; x =3 ⇒ t =2.
Ta có I =
Z
3
0
x
4+2
p
x +1
dx =
Z
2
1
2(t
2
−1)t
4+2t
dt =
Z
2
1
t
3
−t
t +2
dt =
Z
2
1
(t +2)(t
2
−2t +3)−6
t +2
dt
=
Z
2
1
µ
t
2
−2t +3−
6
t +2
¶
dt =
1
3
t
3
−t
2
+3t −6ln t =
7
3
−12ln2+6ln3.
Suy ra a =7;b =−12; c =6 ⇒ a +b +c =7 −12+6 =1.
Chọn đáp án A ä
Câu 2. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (tan x) =cos
2
x,∀x ∈R. Tính I =
1
Z
0
f (x)dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 483 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A.
2+π
8
. B. 1. C.
2+π
4
. D.
π
4
.
- Lời giải.
Đặt x =tan t với t ∈
³
−
π
2
;
π
2
´
, suy ra dx =
1
cos
2
t
· dt.
Khi x =0 thì t =0.
Khi x =1 thì t =
π
4
.
Ta có
I =
π
4
Z
0
f (tan t) ·
1
cos
2
t
dt =
π
4
Z
0
cos
2
t ·
1
cos
2
t
dt =
π
4
Z
0
dt = t
|
π
4
0
=
π
4
.
Chọn đáp án D ä
Câu 3. Xét hàm số y = f (x) liên tục trên miền D =
[
a; b
]
có đồ thị là một đường cong (C). Gọi S là phần
giới hạn bởi (C) và các đường thẳng x = a, x = b. Người ta chứng minh được rằng độ dài đường cong S
bằng
b
Z
a
p
1+(f
0
(x ))
2
dx . Theo kết quả trên, độ dài đường cong S là phần đồ thị của hàm số f (x) =ln x bị
giới hạn bởi các đường x = 1, x =
p
3 là m −
p
m +ln
1+
p
m
p
n
với m,n ∈Z thì giá trị m
2
−mn +n
2
là bao
nhiêu?
A. 6. B. 7. C. 3. D. 1.
- Lời giải.
Ta có S =
p
3
Z
1
…
1+
1
x
2
dx =
p
3
Z
1
x
p
1+x
2
x
2
dx .
Đặt u =
p
1+x
2
⇒ u
2
=1 +x
2
⇒ udu = xdx.
Khi x =1 thì u =
p
2.
Khi x =
p
3 thì u =2.
Nên
S =
2
Z
p
2
u
2
u
2
−1
du =
2
Z
p
2
du +
2
Z
p
2
1
(u −1)(u +1)
du
=
2
Z
p
2
du +
1
2
2
Z
p
2
µ
1
u −1
−
1
u +1
¶
du
= u
|
2
p
2
+
1
2
ln
u −1
u +1
¯
¯
¯
¯
2
p
2
=2 −
p
2+ln
1+
p
2
p
3
.
Do đó m =2, n =3. Bởi vậy m
2
−mn +n
2
=7.
Chọn đáp án B ä
Câu 4. Tìm tất cả các giá trị dương của m để
3
Z
0
x(3−x)
m
dx =−f
00
µ
10
9
¶
, với f (x) =ln x
15
.
A. m =20. B. m =4. C. m =5. D. m =3.
- Lời giải.
Đặt u =3−x ⇒ du =−dx
x 0 3
u 3 0
Th.s Nguyễn Chín Em 484 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
3
Z
0
x(3−x)
m
dx =−
0
Z
3
(3−u)u
m
du =3
3
m+1
m +1
−
3
m+2
m +2
Ta có f
0
(x ) =
15
x
và f
00
(x ) =−
15
x
2
⇒ f
00
µ
10
9
¶
=−
243
20
.
3
Z
0
x(3−x)
m
dx =−f
00
µ
10
9
¶
⇔3
m+2
µ
1
m +1
−
1
m +2
¶
=
243
20
⇔
3
m
m
2
+3m +2
−
27
20
=0 (∗).
Xét hàm g(m) =
3
m
m
2
+3m +2
−
27
20
trên (0;+∞).
Ta có g
0
(m) =
3
m
(m
2
+3m +2)
2
[m
2
ln3+(3ln3−2)m +2ln3−3] =0 có hai nghiệm trái dấu m
1
<0 < m
2
.
Bảng biến thiên hàm g(m) trên (0;+∞):
x
y
0
y
0
m
2
+∞
−
0
+
g(0)g(0)
g(m
2
)g(m
2
)
+∞+∞
Vì g(0) <0 nên đồ thị hàm số g(m) cắt đường thẳng y =0 tại đúng một điểm. Suy ra phương trình g(m) =0
có đúng một nghiệm trên (0;+∞). Mà g(3) =0 nên (∗) ⇔ m =3.
Chọn đáp án D
ä
Câu 5. Cho
2
Z
1
dx
x
5
+x
3
=a ln5+b ln2+c, với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của a +2b +4c bằng
A. 0. B. −1. C. −
5
8
. D. 1.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
dx
x
5
+x
3
=
2
Z
1
xdx
x
4
(x
2
+1)
= I. Đặt t = x
2
+1 ⇒ x
2
= t−1, xdx =
1
2
dt. Với x =1 ⇒ t =2; x =2 ⇒ t =5.
Khi đó
I =
1
2
5
Z
2
dt
(t −1)
2
t
=
1
2
5
Z
2
dt
(t −1)
2
−
1
2
5
Z
2
dt
t −1
+
1
2
5
Z
2
dt
t
=−
1
2(t −1)
¯
¯
¯
5
2
−
1
2
ln|t −1|
¯
¯
¯
5
2
+
1
2
ln|t|
¯
¯
¯
5
2
=
1
2
ln5−
3
2
ln2+
3
8
.
Suy ra a =
1
2
, b =−
3
2
, c =
3
8
⇒a +2b +4c =−1.
Chọn đáp án B ä
Câu 6. Giả sử a, b, c là các số nguyên thỏa mãn
4
Z
0
2x
2
+4x +1
p
2x +1
dx =
1
2
3
Z
1
(au
4
+bu
2
+ c)du, trong đó
u =
p
2x +1. Tính giá trị S =a +b +c.
A. S =3. B. S =0. C. S =1. D. S =2.
- Lời giải.
Đặt u =
p
2x +1 ⇒ u
2
=2x +1 ⇒ x =
u
2
−1
2
·
Th.s Nguyễn Chín Em 485 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đổi cận
x 0 4
u 1 3
Khi đó
4
Z
0
2x
2
+4x +1
p
2x +1
dx =
3
Z
1
2
µ
u
2
−1
2
¶
2
+4
µ
u
2
−1
2
¶
+1
u
·u du =
1
2
3
Z
1
(u
4
+2u
2
−1)du.
⇒
a =1
b =2
c =−1
⇒S = a +b +c =2.
Chọn đáp án D ä
Câu 7. Giả sử tích phân I =
5
Z
1
1
1+
p
3x +1
dx = a +b ln3 +c ln5
(
a, b, c ∈Z
)
. Tính S = a +b +c.
A. S =
5
3
. B. S =
8
3
. C. S =
7
3
. D. S =
4
3
.
- Lời giải.
Đặt t =1+
p
3x +1 ⇒3x +1 =
(
t −1
)
2
⇒ dx =
2
3
(
t −1
)
dt.
Đổi cận x =1 ⇒ t =3; x =5 ⇒ t =5. Khi đó
I =
2
3
5
Z
3
t −1
t
dt =
2
3
5
Z
3
µ
1−
1
t
¶
dt =
2
3
(
t −ln
|
t
|
)
¯
¯
5
3
=
4
3
+
2
3
ln3−
2
3
ln5.
Suy ra a =
4
3
, b =
2
3
, c =−
2
3
.
Vậy S =
4
3
.
Chọn đáp án D ä
Câu 8. Cho tích phân
π
2
Z
π
3
sin x
cos x +2
dx = aln5 +b ln2 với a,b ∈Z. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 2a +b =0. B. a −2b =0. C. 2a −b =0. D. a +2b =0.
- Lời giải.
Đặt t =cos x +2 ⇒ dt =−sinxdx
x =
π
3
⇒ t =
5
2
,
x =
π
2
⇒ t =2.
I =
5
2
Z
2
1
t
dt =ln t
¯
¯
¯
5
2
2
=ln5−2ln2.
Suy ra a =1, b =−2.
Vậy 2a +b =0.
Chọn đáp án A ä
Câu 9. Cho tích phân I =
π
2
Z
0
x
2
+
(
2x +cos x
)
cos x +1−sinx
x +cosx
dx = aπ
2
+b −ln
c
π
, với a, b, c là các số hữu
tỉ. Giá trị biểu thức P = ac
3
+b là
A. 3. B.
5
4
. C.
3
2
. D. 2.
Th.s Nguyễn Chín Em 486 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
I =
π
2
Z
0
x
2
+
(
2x +cos x
)
cos x +1−sinx
x +cosx
dx
=
π
2
Z
0
(x +cos x)
2
+1−sin x
x +cosx
dx
=
π
2
Z
0
(
x +cosx
)
dx +
π
2
Z
0
1−sinx
x +cosx
dx
=
π
2
Z
0
(
x +cosx
)
dx +
π
2
Z
0
1
x +cosx
d(x +cos x)
=
µ
x
2
2
+sinx
¶
¯
¯
¯
π
2
0
+ln|x +cos x|
¯
¯
¯
π
2
0
=
π
2
8
+1+ln
π
2
=
1
8
π
2
+1−ln
2
π
Suy ra a =
1
8
; b =1; c =2
Vậy P =2.
Chọn đáp án D ä
Câu 10. Giả sử tích phân I =
5
Z
1
1
1+
p
3x +1
dx = a +b ln3 +c ln5. Lúc đó
A. a +b +c =
4
3
. B. a +b +c =
5
3
. C. a +b +c =
7
3
. D. a +b +c =
8
3
.
- Lời giải.
Đặt t =
p
3x +1 ⇒ t
2
=3x +1 ⇒2t dt =3dx ⇒ dx =
2t
3
dt.
Đổi cận
x =1 ⇒ t =2
x =5 ⇒ t =4.
I =
2
3
4
Z
2
t
1+t
dt =
2
3
4
Z
2
µ
1−
1
t +1
¶
dt =
2
3
(
t −ln|t +1|
)
¯
¯
¯
4
2
=
4
3
+
2
3
ln3−
2
3
ln5.
Vậy a =
4
3
; b =
2
3
; c =−
2
3
suy ra a +b +c =
4
3
+
2
3
−
2
3
=
4
3
.
Chọn đáp án A ä
Câu 11. Cho I =
Z
e
1
ln x
x(ln x +2)
2
dx có kết quả dạng I =lna +b (với a >0,b ∈R). Khẳng định nào sau đây
đúng:
A. 2ab =−1. B. 2ab =1. C. −b +ln
3
2a
=−
1
3
. D. −b +ln
3
2a
=
1
3
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 487 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt t =ln x ⇒ dt =
1
x
dx . Khi đó:
I =
1
Z
0
tdt
(t +2)
2
=
1
Z
0
µ
1
t +2
−
2
(t +2)
2
¶
dt =
µ
ln
|
t +2
|
+
2
t +2
¶
¯
¯
¯
1
0
=ln
3
2
−
1
3
.
Vậy lna +b =ln
3
2
−
1
3
⇔−b +ln
3
2a
=
1
3
.
Lưu ý. Với bài toán này, nếu đọc đề không kĩ thì rất dễ rơi vào phương án nhiễu vì các bộ số a,b ở đây là
không duy nhất. Nhiều em học sinh sau khi giải ra được I =ln
3
2
−
1
3
=lna +b (∗)
đã vội vàng kết luận a =
3
2
,b = −
1
3
, do đó 2ab = −1 và rơi vào phương án nhiễu của đề bài. Dễ thấy
a =
3
2e
,b =
2
3
cũng thỏa mãn (∗) nhưng 2ab 6=−1.
Chọn đáp án D ä
Câu 12. Giá trị I =
9
3
p
4
Z
1
3
p
6
x
2
sin
¡
πx
3
¢
e
cos
(
πx
3
)
dx gần bằng số nào nhất trong các số sau đây:
A. 0,046. B. 0,036. C. 0,037. D. 0,038.
- Lời giải.
Xét tích phân I =
9
3
p
4
Z
1
3
p
6
x
2
sin
¡
πx
3
¢
e
cos
(
πx
3
)
dx . Đặt t =cos
¡
πx
3
¢
⇒ ddt =−3πx
2
sin
¡
πx
3
¢
dx .
Đổi cận: x =
1
3
p
6
⇒ t =
p
3
2
; x =
9
3
p
4
⇒ t =cos
729π
4
=cos
³
π
4
+182π
´
=
p
2
2
.
Vậy I =−
1
3π
p
2
2
Z
p
3
2
e
t
dt =−
1
3π
e
t
¯
¯
¯
p
2
2
p
3
2
=
e
p
3
2
−e
p
2
2
3π
≈0,037.
Chọn đáp án C ä
Câu 13. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và thỏa mãn f (4−x) = f (x) ∀x ∈R. Biết
3
Z
1
x f (x)dx =5, tính
I =
3
Z
1
f (x)dx.
A. I =
5
2
. B. I =
7
2
. C. I =
9
2
. D. I =
11
2
.
- Lời giải.
Trong tích phân
3
Z
1
x f (x)dx, đặt x =4−t, ta được 5 =
1
Z
3
(4−t)f (4 −t)d(4−t) =
3
Z
1
(4−t)f (t)dt =4
2
Z
1
f (t)dt−
3
Z
1
t f (t)dt. Suy ra
3
Z
1
f (x)dx =
3
Z
1
f (t)dt =
5
2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 14. Cho
4
Z
0
f (x)dx =16. Tính I =
2
Z
0
f (2x)dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 488 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. I =32. B. I =8. C. I =16. D. I =4.
- Lời giải.
Ta có I =
2
Z
0
f (2x)dx =
1
2
2
Z
0
f (2x)d(2x) =
1
2
4
Z
0
f (u)d(u) =8.
Chọn đáp án B ä
Câu 15. Tính tích phân I =
5
Z
1
dx
x
p
3x +1
ta được kết quả I =a ln3+b ln5.
Giá trị S =a
2
+ab +3b
2
là
A. 4. B. 1. C. 0. D. 5.
- Lời giải.
Đặt t =
p
3x +1 ⇒ t
2
=3x +1 ⇒2t dt =3dx.
Đổi cận: x =1 ⇒ t =2; x =5 ⇒ t =4.
I =
5
Z
1
dx
x
p
3x +1
=
2
3
4
Z
2
tdt
t
2
−1
3
·t
=2
4
Z
2
dt
t
2
−1
=
4
Z
2
µ
1
t −1
−
1
t +1
¶
dt = ln
¯
¯
¯
¯
t −1
t +1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4
2
=2ln3−ln5.
Khi đó a =2,b =−1 ⇒ a
2
+ab +3b
2
=4 −2+3 =5.
Chọn đáp án D ä
Câu 16. Giá trị của tích phân I =
1
Z
0
x
x +1
dx là
A. I =2+ln2. B. I =1+ln2. C. I =1 −ln2. D. I =2−ln2.
- Lời giải.
Ta có
I =
1
Z
0
x
x +1
dx =
1
Z
0
x +1−1
x +1
dx =
1
Z
0
µ
1−
1
x +1
¶
dx =
1
Z
0
dx −
1
Z
0
1
x +1
dx
= x
¯
¯
¯
1
0
−ln(x +1)
¯
¯
¯
1
0
=1 −ln2.
Chọn đáp án C ä
Câu 17. Biết
1
Z
0
πx
3
+2
x
+ex
3
·2
x
π +e·2
x
dx =
1
m
+
1
elnn
ln
³
p +
e
e+π
´
với m,n, p là các số nguyên dương. Tính
tổng S = m +n + p.
A. S =7. B. S =6. C. S =8. D. S =5.
- Lời giải.
1
Z
0
πx
3
+2
x
+ex
3
·2
x
π +e·2
x
dx =
1
Z
0
x
3
(
π +e·2
x
)
+2
x
π +e·2
x
dx =
1
Z
0
µ
x
3
+
2
x
π +e·2
x
¶
dx =
1
Z
0
x
3
dx +
1
Z
0
2
x
π +e·2
x
dx =
x
4
4
¯
¯
¯
¯
1
0
+
1
ln2
1
Z
0
d
(
2
x
)
π +e·2
x
=
1
4
+
1
e·ln2
ln
¯
¯
π +e·2
x
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
4
+
1
e·ln2
ln
π +2e
π +e
=
1
4
+
1
e·ln2
ln
³
1+
e
e+π
´
.
Suy ra S =7.
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 489 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 18. Biết
π
4
Z
0
5sin x +cos x
sin x +cos x
dx = aπ +lnb, với a, b là các số hữu tỉ. Tính S = a +b.
A. S =2+
p
2. B. S =
11
4
. C. S =
5
4
. D. S =
3
4
.
- Lời giải.
Phân tích 5sinx +cosx =α
(
sin x +cos x
)
+β
(
−sin x +cos x
)
⇒α =3,β =−2.
Suy ra
π
4
Z
0
5sin x +cos x
sin x +cos x
dx =
π
4
Z
0
µ
3−2
−sin x +cos x
sin x +cos x
¶
dx
=
(
3x −2ln
|
sin x +cos x
|
)
¯
¯
¯
π
4
0
=
3π
4
−2ln
p
2 =
3π
4
+ln
1
2
⇒S = a +b =
3
4
+
1
2
=
5
4
.
Chọn đáp án C ä
Câu 19. Cho
1
Z
1
3
x
3x +
p
9x
2
−1
dx = a +b
p
2, với a,b là các số hữu tỉ. Khi đó giá trị của a là
A.
26
27
. B. −
26
27
. C. −
27
26
. D. −
25
27
.
- Lời giải.
Nhân cả tử và mẫu với lượng liên hợp của 3x +
p
9x
2
−1 ta được
I =
1
Z
1
3
x
3x +
p
9x
2
−1
dx =
1
Z
1
3
x(3x −
p
9x
2
−1)dx =3
1
Z
1
3
x
2
dx −
1
Z
1
3
x
p
9x
2
−1dx
Đặt u =9x
2
−1 ⇒ du =18x dx và đổi cận, ta được
I = x
3
¯
¯
¯
1
1
3
−
1
18
1
Z
1
3
p
9x
2
−1·18xdx = x
3
¯
¯
¯
1
1
3
−
1
18
8
Z
0
p
u du =
26
27
+
−
u
3
2
27
¯
¯
¯
¯
8
0
=
26
27
−
16
p
2
27
.
Chọn đáp án A ä
Câu 20. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và
1
Z
0
f (2x)dx =8. Tính I =
p
2
Z
0
x f (x
2
)dx.
A. I =8. B. I =16. C. I =4. D. I =32.
- Lời giải.
Ta có
8 =
1
Z
0
f (2x)dx =
1
2
1
Z
0
f (2x)d(2x) =
1
2
2
Z
0
f (t)dt ⇒
2
Z
0
f (t)dt =16.
Đặt t = x
2
⇒ dt =2xdx. Suy ra
I =
1
2
2
Z
0
f (t)dt =8.
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 490 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 21. Cho số thực a >0. Giả sử hàm số f (x) liên tục và luôn dương trên đoạn [0;a] thỏa mãn f (x)f (a −
x) =1. Tính tích phân I =
a
Z
0
1
1+ f (x)
dx .
A. I =
2a
3
. B. I =
a
2
. C. I =
a
3
. D. I =a.
- Lời giải.
Đặt t = a −x ⇒ dx =−dt.
⇒ I =
Z
a
0
1
1+ f ( a −t)
dt =
Z
a
0
1
1+
1
f (x)
dx =
Z
a
0
f (x)
1+ f (x)
dx .
⇒2I =
Z
a
0
dx = a ⇒ I =
a
2
.
Chọn đáp án B ä
Câu 22. Biết
π
6
Z
−
π
6
xcos x
p
1+x
2
+x
dx = a +
π
2
b
+
p
3π
c
với a,b, c là các số nguyên. Tính M = a −b +c.
A. M =35. B. M =41. C. M =−37. D. M =−35.
- Lời giải.
Đặt x =−t ⇒ dx =−dt.
Đổi cận: x =−
π
6
⇒ t =
π
6
và x =
π
6
⇒ t =−
π
6
.
Từ đó, I =
π
6
Z
−
π
6
xcos x
p
1+x
2
+x
dx =−
−
π
6
Z
π
6
−t cos(−t)
p
1+t
2
−t
dt =−
π
6
Z
−
π
6
xcos x
p
1+x
2
−x
dx .
Suy ra 2I =
π
6
Z
−
π
6
xcos x
p
1+x
2
+x
dx −
π
6
Z
−
π
6
xcos x
p
1+x
2
−x
dx =−
π
6
Z
−
π
6
2x
2
cos x dx.
Suy ra I =−
π
6
Z
−
π
6
x
2
cos x dx.
u v
0
x
2
cos x
2x sin x
2 −cos x
0 −sin x
=−
µ
x
2
sin x
¯
¯
¯
¯
π
6
−
π
6
+2x cosx
¯
¯
¯
¯
π
6
−
π
6
−2sin x
¯
¯
¯
¯
π
6
−
π
6
¶
=2 −
π
2
36
−
π
p
3
3
.
Vậy a =2, b =−36, c =−3 do đó M =a −b +c =35.
Chọn đáp án A ä
Câu 23. Cho hàm số y = f
(
x
)
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
0;1
]
thỏa mãn f
(
1
)
= 1 và
1
Z
0
f
(
x
)
dx = 2.
Tích phân
1
Z
0
f
0
¡
p
x
¢
dx bằng
A. 3. B. −2. C. 1. D. 4.
Th.s Nguyễn Chín Em 491 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Xét I =
1
Z
0
f
0
¡
p
x
¢
dx , đặt
p
x = t → dx =2tdt, đổi cận
x =0 ⇒ t =0
x =1 ⇒ t =1
Khi đó I =
1
Z
0
f
0
(
t
)
·2t dt =2
1
Z
0
x · f
0
(
x
)
dx =2
1
Z
0
xd
(
f
(
x
))
=2 ·x · f
(
x
)
¯
¯
¯
1
0
−2
1
Z
0
f
(
x
)
dx =−2.
Chọn đáp án B ä
Câu 24. Biết
e
Z
1
p
3+lnx
x
dx =
a −b
p
c
3
, trong đó a, b, c là các số nguyên dương và c < 4. Tính giá trị
S =a +b +c.
A. S =13. B. S =28. C. S =25. D. S =16.
- Lời giải.
Xét tích phân: I =
e
Z
1
p
3+lnx
x
dx .
Đặt u =
p
3+lnx ⇒ u
2
=3 +ln x ⇒2u du =
1
x
dx ;
Khi x =1 thì u =
p
3;
Khi x =e thì u =2;
Ta có: I =
2
Z
p
3
u ·2u du =2
2
Z
p
3
u
2
du =
2
3
u
3
¯
¯
¯
¯
2
p
3
=
16−6
p
3
3
.
Suy ra a =16, b =6, c =3. Do đó S = a +b +c =16+6+3 =25.
Chọn đáp án C ä
Câu 25. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và có
1
Z
0
f (x)dx =2,
3
Z
0
f (x)dx =6. Tính I =
1
Z
−1
f
(
|2x −1|
)
dx .
A. I =
2
3
. B. I =4. C. I =
3
2
. D. I =6.
- Lời giải.
Đặt t =2x −1 ⇒ dt =2dx. Đổi cận: x =−1 ⇒ t =−3; x =1 ⇒ t =1. Khi đó
I =
1
2
1
Z
−3
f (|t|)dt =
1
2
0
Z
−3
f (−t)dt +
1
2
1
Z
0
f (t)dt
=
1
2
3
Z
0
f (x)dx +
1
2
1
Z
0
f (x)dx =1 +3 =4.
Chọn đáp án B ä
Câu 26. Biết
2
Z
1
x
3
p
x
2
+1−1
dx = a
p
5+b
p
2+c với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của P = a +b +c là
A. −
5
2
. B.
7
2
. C.
5
2
. D. 2.
- Lời giải.
Ta có: a
p
5+b
p
2+c =
2
Z
1
x
3
dx
p
x
2
+1−1
Th.s Nguyễn Chín Em 492 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
=
2
Z
1
x
3
(
p
x
2
+1)dx
x
2
+1−1
=
2
Z
1
x(
p
x
2
+1+1)dx
=
2
Z
1
(
p
x
2
+1)
2
d(
p
x
2
+1)+
2
Z
1
xdx
=
(
p
x
2
+1)
3
3
¯
¯
¯
2
1
+
x
2
2
¯
¯
¯
2
1
=
5
p
5−2
p
3
3
+
3
2
.
Do đó a =
5
3
, b =−
2
3
và c =
3
2
hay P =
5
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 27. Biết tích phân
π
4
Z
0
5sin x +cos x
sin x +cos x
dx = aπ +lnb với a, b là các số hữu tỉ. Tính S = a +b.
A. S =
5
4
. B. S =
11
4
. C. S =
3
4
. D. S =2.
- Lời giải.
I =
π
4
Z
0
5sin x +cos x
sin x +cos x
dx =
π
4
Z
0
3(sin x +cos x)+2(sin x −cos x)
sin x +cos x
dx
=
π
4
Z
0
µ
3+
2(sin x −cos x)
sin x +cos x
¶
dx
=
π
4
Z
0
3dx +
π
4
Z
0
−2(cos x −sin x)
sin x +cos x
dx
=
3π
4
+J.
Đặt t =sin x +cos x ⇒ dt =(cos x −sinx)dx.
Đổi cận: x =0 ⇒ t =1, x =
π
4
⇒ t =
p
2.
Khi đó J =
π
4
Z
0
−2(cos x −sin x)
sin x +cos x
dx =
p
2
Z
1
−2
t
dt =−2ln|t|
¯
¯
¯
p
2
1
=−ln2 =ln
1
2
.
Suy ra I =
3π
4
−ln2. Mà I =aπ +lnb nên a =
3
4
, b =
1
2
.
Vậy S = a +b =
5
4
.
Chọn đáp án A ä
Câu 28. Cho tam thức bậc hai f (x) = ax
2
+bx + c (a, b, c ∈R,a 6= 0), phương trình f (x) = 0 có hai nghiệm
thực phân biệt x
1
, x
2
. Tính tích phân I =
x
2
Z
x
1
(2ax +b)
3
·e
ax
2
+bx+c
dx .
A. I = x
2
−x
1
. B. I =
x
2
−x
1
4
. C. I =0. D. I =
x
2
−x
1
2
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 493 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta đặt t = ax
2
+bx +c ⇒ dt =(2ax +b)dx và g(t) =(2ax +b)
2
Do giả thiết x
1
, x
2
là hai nghiệm của ax
2
+bx +c =0 nên
x = x
1
⇒ t =0
x = x
2
⇒ t =0.
Do đó dễ dàng có
I =
x
2
Z
x
1
(2ax +b)
3
·e
ax
2
+bx+c
dx =
0
Z
0
g(t)·e
t
dt =0.
Chọn đáp án C ä
Câu 29. Biết
5
Z
1
f (x) dx =12. Tính tích phân I =
2
Z
0
x
¡
2+ f (x
2
+1)
¢
dx .
A. I =16. B. I =4. C. I =10. D. I =7.
- Lời giải.
I =
2
Z
0
£
2x +x f (x
2
+1)
¤
dx = x
2
¯
¯
¯
2
0
+
1
2
2
Z
0
f (x
2
+1) d(x
2
+1)
=4 +
1
2
5
Z
0
f (t) dt (ta đặt x
2
+1 = t) =4+
1
2
·12 =10.
Chọn đáp án C ä
Câu 30. Biết
π
4
Z
0
4sin x −2cos x
p
2sin
³
x +
π
4
´
(
cos2x +1
)
dx = a +b ln2, với a, b là các số nguyên. Tính S = a ·b.
A. S =10. B. S =−6. C. S =6. D. S =4.
- Lời giải.
Ta có
4sin x −2cos x
p
2sin
³
x +
π
4
´
(
cos2x +1
)
=
2sin x −cos x
(sin x +cos x)cos
2
x
=
2
cos
2
x
−
3
(sin x +cos x)cos x
=
2
cos
2
x
−
3
cos
2
x(tan x +1)
.
Suy ra
π
4
Z
0
4sin x −2cos x
p
2sin
³
x +
π
4
´
(
cos2x +1
)
dx =
(
2tan x
)
¯
¯
¯
π
4
0
−3ln|tan x +1|
¯
¯
¯
π
4
0
=2 −3ln2.
Vậy S = a ·b =2 ·(−3) =−6.
Chọn đáp án B ä
Câu 31. Cho
3
Z
1
x +3
x
2
+3x +2
dx = m ln2+n ln3+p ln5, với m, n, p là các số hữu tỉ. Tính S =m
2
+n+p
2
.
A. S =6. B. S =4. C. S =3. D. S =5.
- Lời giải.
3
Z
1
x +3
x
2
+3x +2
dx =
3
Z
1
x +3
(x +1)(x +2)
dx =
3
Z
1
µ
2
x +1
−
1
x +2
¶
dx =2ln2 +ln3−ln5.
Suy ra m =2, n =1, p =−1 nên S = m
2
+n + p
2
=6.
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 494 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 32. Cho f (x) là hàm số liên tục trên R và
1
Z
−1
f (x)dx =12,
2π
3
Z
π
3
f (2cos x)sin x dx bằng
A. −12. B. 12. C. 6. D. −6.
- Lời giải.
Xét tích phân I =
2π
3
Z
π
3
f (2cos x)sin x dx.
Đặt t =2cos x ⇒ dt =−2sin xdx hay sin x dx =−
1
2
dt.
Đổi cận: x =
π
3
⇒ t =1, x =
2π
3
⇒ t =−1.
Từ đó:
I =−
1
2
−1
Z
1
f (t)dt =
1
2
1
Z
−1
f (x)dx =
1
2
·12 =6.
Chọn đáp án C ä
Câu 33. Biết rằng
π
2
Z
0
cos x sin2x
1+sinx
dx = a +
π
b
, với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của a +b bằng
A. 0. B. 4. C. −4. D. 2.
- Lời giải.
Ta có
π
2
Z
0
cos x sin2x
1+sinx
dx =
π
2
Z
0
2cos
2
xsin x
1+sinx
dx =
π
2
Z
0
2(1−sin
2
x)sin x
1+sinx
dx
=
π
2
Z
0
2(1−sinx)sin xdx =
π
2
Z
0
2sin x dx −
π
2
Z
0
2sin
2
xdx
=−2cosx
¯
¯
¯
π
2
0
+
µ
1
2
sin2x −x
¶
¯
¯
¯
π
2
0
=2 +
π
−2
.
Suy ra a =2, b =−2. Vậy a +b =0.
Chọn đáp án A ä
Câu 34. Biết
1
Z
0
1
x
2
+3x +2
dx = aln2 +b ln3 với a, b là các số hữu tỉ. Hỏi a +b bằng bao nhiêu?
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
- Lời giải.
Ta có
1
x
2
+3x +2
=
1
(x +1)(x +2)
=
1
x +1
−
1
x +2
.
Khi đó
1
Z
0
1
x
2
+3x +2
dx =
1
Z
0
µ
1
x +1
−
1
x +2
¶
dx =
(
ln|x +1|−ln|x +2|
)
¯
¯
¯
1
0
=ln2−ln3 +ln2
= 2ln2−ln3.
Vậy a =2, b =−1. Do đó a +b =1.
Chọn đáp án C ä
Th.s Nguyễn Chín Em 495 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 35. Biết rằng
1
Z
0
1
p
x
2
+4x +3
dx = 2ln
µ
2+
p
a
1+
p
b
¶
với a, b là các số nguyên dương. Giá tr ị của a +b
bằng
A. 3. B. 5. C. 9. D. 7.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
1
p
x
2
+4x +3
dx =
1
Z
0
1
p
(x +1)(x +3)
dx .
Đặt t =
p
x +3+
p
x +1 ⇒ dt =
1
2
µ
1
p
x +3
+
1
p
x +1
¶
dx
⇔ dt =
1
2
Ã
p
x +1+
p
x +3
p
(x +1)(x +3)
!
dx ⇔ dt =
1
2
·
t
p
(x +1)(x +3)
dx ⇔
2
t
dt =
1
p
(x +1)(x +3)
dx .
Khi x =0 thì t =1+
p
3; khi x =1 thì t =2+
p
2.
1
Z
0
1
p
x
2
+4x +3
dx =2
2+
p
2
Z
1+
p
3
1
t
dt =2ln|t|
¯
¯
2+
p
2
1+
p
3
=2ln
2+
p
2
1+
p
3
⇒
a =2
b =3
⇒a +b =5.
Chọn đáp án B ä
Câu 36. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và ∀x ∈[0; 2018], ta có f (x) > 0 và f (x)· f (2018−x) =1. Giá trị
của tích phân I =
2018
Z
0
1
1+ f (x)
dx là
A. 2018. B. 4016. C. 0. D. 1009.
- Lời giải.
Đặt t =2018−x, dt =−dx. Khi đó
I =−
0
Z
2018
1
1+ f (2018−t)
dt =
2018
Z
0
1
1+
1
f (t)
dt =
2018
Z
0
f (t)
1+ f (t)
dt =
2018
Z
0
f (x)
1+ f (x)
dx .
Do đó
2I = I +I =
2018
Z
0
1
1+ f (x)
dx +
2018
Z
0
f (x)
1+ f (x)
dx =
2018
Z
0
1dx =2018.
Vậy I =1019.
Chọn đáp án D ä
Câu 37. Tính I =
2
Z
1
µ
2019log
2
x +
1
ln2
¶
x
2018
dx .
A. I =2
2018
. B. I =2
2017
. C. I =2
2020
. D. I =2
2019
.
- Lời giải.
Đặt
u =2019log
2
x +
1
ln2
dv = x
2018
dx
⇒
du =
2019
xln2
dx
v =
x
2019
2019
Th.s Nguyễn Chín Em 496 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó
I =
µ
2019log
2
x +
1
ln2
¶
x
2019
2019
¯
¯
¯
2
1
−
2
Z
1
x
2018
ln2
dx
=2
2019
+
2
2019
2019ln2
−
1
2019ln2
−
x
2019
2019ln2
¯
¯
¯
2
1
=2
2019
+
2
2019
2019ln2
−
1
2019ln2
−
2
2019
2019ln2
+
1
2019ln2
=2
2019
.
Chọn đáp án D ä
Câu 38. Có bao nhiêu số thực a để
1
Z
0
x
a +x
2
dx =1?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
- Lời giải.
a +x
2
6=0 với mọi x ∈[0;1] ⇒a >0 hoặc a <−1.
1
Z
0
x
a +x
2
dx =1 ⇔
1
2
ln
¯
¯
a +x
2
¯
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
a +1
a
¯
¯
¯
¯
=1 ⇔
a =
1
e
2
−1
a =−
1
e
2
+1
(loại)
Chọn đáp án B ä
Câu 39. Cho f (x) là một hàm số chẵn liên tục trên R và
0
Z
−2
f (x)dx = 2018,
2
Z
−1
f (x)dx = 2017. Giá trị của
I =
0
Z
−1
f (x)dx bằng
A. I =2. B. I =1. C. I =0. D. I =−1.
- Lời giải.
Vì f (x) là hàm số chẵn liên tục trên R nên
0
Z
−2
f (x)dx =
2
Z
0
f (x)dx =2018 ⇒
0
Z
2
f (x)dx =−2018
Khi đó, I =
0
Z
−1
f (x)dx =
2
Z
−1
f (x)dx +
0
Z
2
f (x)dx =2017 −2018 =−1.
Chọn đáp án D ä
Câu 40. Biết
2
Z
1
3x +1
3x
2
+x lnx
dx = ln
µ
a +
lnb
c
¶
với a, b, c là các số nguyên dương và c ≤ 4. Tính tổng
T = a +b +c.
A. T =7. B. T =6. C. T =8. D. T =9.
- Lời giải.
Đặt u =ln x ⇒
du =
1
x
dx
x =e
u
.
Với x =1 ⇒ u =0 và x =2 ⇒ u =ln2.
Th.s Nguyễn Chín Em 497 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
2
Z
1
3x +1
3x
2
+x lnx
dx =
ln2
Z
0
3e
u
+1
3e
u
+u
du
=
ln2
Z
0
d
(
3e
u
+u
)
3e
u
+u
=ln x
¯
¯
¯
6+ln2
3
=ln
(
6+ln2
)
−ln3 =ln
µ
2+
ln2
3
¶
.
Khi đó a =2; b =2; c =3. Vậy T = a +b +c =7.
Chọn đáp án A ä
Câu 41. Cho y = f (x) là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn [−6;6]. Biết rằng
2
Z
−1
f (x)dx =8 và
3
Z
1
f (−2x)dx =
3. Tính
6
Z
−1
f (x)dx.
A. I =11. B. I =5. C. I =2. D. I =14.
- Lời giải.
Hàm số y = f (x) chẵn trên [−6;6] nên f (−2x) = f (2x), do đó
3
Z
1
f (2x)dx =3.
Đặt u =2x ⇒ du =2dx, đổi cận: x =1 ⇒ u =2, x =2 ⇒ u =6; lúc này được
3
Z
1
f (2x)dx =
1
2
6
Z
2
f (u)du =3.
Vậy
6
Z
−1
f (x)dx =
2
Z
−1
f (x)dx +
6
Z
2
f (x)dx =14.
Chọn đáp án D ä
Câu 42. Cho
3
Z
1
(
x +6
)
2017
x
2019
dx =
a
2018
−3
2018
6·2018
. Tính a.
A. 7. B. 9. C. 6. D. 8.
- Lời giải.
Ta có I =
3
Z
1
(x +6)
2017
x
2019
dx =
3
Z
1
(x +6)
2017
x
2017
·
1
x
2
dx =
3
Z
1
µ
1+
6
x
¶
2017
·
1
x
2
dx .
Đặt t =1+
6
x
⇒ nếu x =1 thì t =7; nếu x =3 thì t =3; dt =−
1
6x
2
dx .
Khi đó I =
1
6
7
Z
3
t
2017
dt =
7
2018
−3
2018
6·2018
⇒a =7.
Chọn đáp án A ä
Câu 43. Cho y = f (x) là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn [−6;6]. Biết rằng
2
Z
−1
f (x)dx =8 và
3
Z
1
f (−2x)dx =
3. Tính I =
6
Z
−1
f (x)dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 498 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. I =2. B. I =11. C. I =5. D. I =14.
- Lời giải.
3
Z
1
f (−2x)dx =3 ⇔−
1
2
3
Z
1
f (−2x)d(−2x) =3 ⇔−
1
2
−6
Z
−2
f (t)dt =3 ⇔
−2
Z
−6
f (t)dt =6.
I =
6
Z
−1
f (x)dx =
2
Z
−1
f (x)dx +
6
Z
2
f (x)dx =8 +
−6
Z
−2
f (−t)d(−t) =8 +
−2
Z
−6
f (t)dt =14.
Chọn đáp án D ä
Câu 44. Biết
π
2
Z
0
xsin x +cosx +2x
sin x +2
dx =
π
2
a
+ln
b
c
với a,b, c là các số nguyên dương và
b
c
là phân số tối
giản. Tính P =a ·b ·c.
A. P =24. B. P =13. C. P =48. D. P =96.
- Lời giải.
π
2
Z
0
xsin x +cosx +2x
sin x +2
dx =
π
2
Z
0
x(sin x +2)+cos x
sin x +2
dx
=
π
2
Z
0
³
x +
cos x
sin x +2
´
dx
=
·
x
2
2
+ln|sin x +2|
¸
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=
π
2
8
+ln
3
2
.
P = a ·b ·c =48.
Chọn đáp án C ä
Câu 45. Cho
e
Z
1
ln x
p
x
dx = a
p
e+b với a, b là các số hữu tỉ. Tính P = a ·b.
A. P =−8. B. P =8. C. P =−4. D. P =4.
- Lời giải.
Ta có
e
Z
1
ln x
p
x
dx =4
e
Z
1
ln
p
x
2
p
x
dx =4
e
Z
1
ln
¡
p
x
¢
d
¡
p
x
¢
=4
p
e
Z
1
ln x dx = 4
(
xln x −x
)
|
p
e
1
=−2
p
e+4.
Vậy a =−2 và b =4 ⇒ P =a ·b =8.
Chọn đáp án A ä
Câu 46. Biết
p
3
Z
1
1
1+x +
p
1+x
2
dx = a
p
3 +b
p
2 + c +
1
2
ln(3
p
2 −3) với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính P =
a +b +c.
A. P =
1
2
. B. P =−1. C. P =−
1
2
. D. P =
5
2
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 499 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
p
3
Z
1
1
1+x +
p
1+x
2
dx =
p
3
Z
1
(1+x −
p
1+x
2
)
2x
dx =
µ
1
2
ln x +
1
2
x
¶
¯
¯
¯
p
3
1
−
p
3
Z
1
x
p
1+x
2
2x
2
dx .
=
1
2
ln
p
3+
p
3−1
2
−I.
Xét I =
p
3
Z
1
x
p
1+x
2
2x
2
dx .
Đặt t =
p
1+x
2
, khi đó tdt = x dx.
Ta có
I =
2
Z
p
2
t
2
2(t
2
−1)
dt
=
1
2
t
¯
¯
¯
2
p
2
+
1
2
2
Z
p
2
µ
1
t −1
−
1
t +1
¶
dt
=
1
2
·
t +
1
2
ln
t −1
t +1
¸
¯
¯
¯
2
p
2
=
1
2
"
2−
p
2+
1
2
ln
1
3
−
1
2
ln
p
2−1
p
2+1
#
=
1
2
h
2−
p
2ln
p
3−ln(
p
2−1)
i
.
Vậy I =
1
2
p
3+
1
2
p
2−
3
2
+
1
2
ln(3
p
2−3).
Do đó P = a +b +c =−
1
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 47. Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn f (2) =−2,
2
Z
0
f (x)dx =1. Tính tích phân
I =
4
Z
0
f
0
¡
p
x
¢
dx .
A. I =−10. B. I =0. C. I =−5. D. I =−18.
- Lời giải.
Đặt t =
p
x, suy ra dx =2t dt. Khi x =0 thi t =0, khi x =4 thì t =2. Do đó
I =
2
Z
0
2t f
0
(t)dt =2t f (t)
¯
¯
¯
2
0
−2
2
Z
0
f (t)dt =2 ·2f (2)−2·1 =−10.
Chọn đáp án A ä
Câu 48. Cho
3
Z
0
x
4+2
p
x +1
dx =
a
3
+b ln2+c ln3, với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a+b+c bằng
A. 2. B. 9. C. 7. D. 1.
- Lời giải.
Đặt
p
x +1 = t ⇒ x +1 = t
2
⇒ x = t
2
−1. Như vậy, dx =2tdt.
Với x =0 ⇒ t =1; x =3 ⇒ t =2. Từ đó ta có
I =
3
Z
0
x
4+2
p
x +1
dx =2
2
Z
1
t
2
−1
4+2t
·t dt =
2
Z
1
t
3
−t
t +2
dt =
2
Z
1
µ
t
2
−2t +3−
6
t +2
¶
dt.
Th.s Nguyễn Chín Em 500 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Suy ra I =
µ
t
3
3
−t
2
+3t −6ln|t +2|
¶
¯
¯
¯
2
1
=
7
3
−12ln2+6ln3.
Vậy a =7, b =−12, c =6 ⇒a +b +c =1.
Chọn đáp án D ä
Câu 49. Biết
Z
5
1
1
1+
p
3x +1
dx = a +b ln3 +c ln5, (a, b, c ∈Q). Giá trị của a +b +c bằng
A.
7
3
. B.
5
3
. C.
8
3
. D.
4
3
.
- Lời giải.
Đặt t =1+
p
3x +1 ⇒3x +1 =(t −1)
2
⇒3dx =2(t −1)dt ⇒dx =
2(t −1)
3
dt.
Đổi cận x =1 ⇒ t =3; x =5 ⇒ t =5.
Khi đó
Z
5
1
1
1+
p
3x +1
dx =
5
Z
3
2(t −1)
3t
dt =
5
Z
3
µ
2
3
−
2
3t
¶
dt =
µ
2t
3
−
2ln|t|
3
¶
¯
¯
¯
¯
5
3
=
4
3
+
2
3
·ln3−
2
3
·ln5.
Vậy a =
4
3
, b =
2
3
, c =−
2
3
và a +b +c =
4
3
.
Chọn đáp án D ä
Câu 50. Cho hàm số f (x) =
e
x
+m khi x ≥0
2x
p
3+x
2
khi x <0
liên tục trên R và
1
Z
−1
f (x)dx =a e+b
p
3+c,
(
a, b, c ∈Q
)
.
Tổng a +b +3c bằng
A. 15. B. −10. C. −19. D. −17.
- Lời giải.
Ta có lim
x→0
+
f (x) = lim
x→0
+
(
e
x
+m
)
= m +1, lim
x→0
−
f (x) = lim
x→0
−
³
2x
p
3+x
2
´
=0 và f (0) = m +1.
Vì hàm số đã cho liên tục trên R nên liên tục tại x =0.
Suy ra lim
x→0
+
f (x) = lim
x→0
−
f (x) = f (0) hay m +1 =0 ⇔ m =−1.
Khi đó
1
Z
−1
f (x)dx =
0
Z
−1
2x
p
3+x
2
dx +
1
Z
0
¡
e
x
−1
¢
dx =
0
Z
−1
p
3+x
2
d
¡
3+x
2
¢
+
1
Z
0
¡
e
x
−1
¢
dx
=
2
3
¡
3+x
2
¢
p
3+x
2
¯
¯
¯
0
−1
+
(
e
x
−x
)
¯
¯
¯
1
0
=e +2
p
3−
22
3
.
Suy ra a =1, b =2, c =−
22
3
. Vậy tổng a +b +3c =−19.
Chọn đáp án C ä
Câu 51. Cho hàm số f (x) xác định, liên tục trên R và thỏa mãn
f (x
3
+x −1)+ f (−x
3
−x −1) =−6x
6
−12x
4
−6x
2
−2, ∀x ∈R.
Tính tích phân
1
Z
−3
f (x)dx.
A. 32. B. 4. C. −36. D. −20.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 501 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt x = t
3
+t −1 ⇒dx =(3t
2
+1)dt. Đổi cận: x =−3 ⇒ t =−1; x =1 ⇒ t =1.
Khi đó I =
1
Z
−3
f (x)dx =
1
Z
−1
f (t
3
+t −1)(3t
2
+1)dt.
Đặt t =−u ta có
I =
1
Z
−1
f (t
3
+t −1)(3t
2
+1)dt =
−1
Z
1
f (−u
3
−u −1)(3u
2
+1)(−du) =
1
Z
−1
f (−t
3
−t −1)(3t
2
+1)dt.
Do đó
2I =
1
Z
−1
f (t
3
+t −1)(3t
2
+1)dt +
1
Z
−1
f (−t
3
−t −1)(3t
2
+1)dt =
1
Z
−1
(−6x
6
−12x
4
−6x
2
−2)(3t
2
+1)dt =−40.
Vậy I =−20.
Chọn đáp án D ä
Câu 52. Cho tích phân
1
Z
0
…
1−x
1+x
dx =
a
b
π −
m
n
, với a, b,m, n ∈ N
∗
, các phân số
a
b
,
m
n
tối giản. Tính
a
b
+m
n
.
A. 3. B. 5. C. 8. D. 2.
- Lời giải.
Đặt x =cos2t với 0 ≤ t ≤
π
4
thì dx =−2sin2t dt. Đổi cận: x =0 ⇒ t =
π
4
; x =1 ⇒ t =0.
Khi đó
1
Z
0
…
1−x
1+x
dx =
0
Z
π
4
…
1−cos2t
1+cos2t
(−2sin2t)dt =2
π
4
Z
0
(1−cos2t)dt =
π
2
−1.
Suy ra a =1, b =2, m = n =1. Vậy a
b
+m
n
=2.
Chọn đáp án D ä
Câu 53. Cho
1
Z
0
9
x
+3m
9
x
+3
dx = m
2
−1. Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m.
A. P =24. B. P =16. C. P =
1
2
. D. P =12.
- Lời giải.
Ta có I =
1
Z
0
9
x
+3m
9
x
+3
dx =1+(3m −3)
1
Z
0
1
9
x
+3
dx .
Xét J =
1
Z
0
1
9
x
+3
dx :
Đặt t =9
x
⇒ dt =9
x
·ln9dx ⇒dx =
dt
tln9
. Đổi cận x =0 ⇒ t =1, x =1 ⇒ t =9. Khi đó
J =
9
Z
1
1
t(t +3)ln9
dt =
1
3ln9
1
Z
0
·
1
t
−
1
t +3
¸
dt =
1
3ln9
ln
t
t +3
¯
¯
¯
9
1
=
1
6
.
Suy ra I =1 +
3m −3
6
=1 +
m −1
2
. Do đó m
2
−1 =1+
m −1
2
⇔2m
2
−m −3 =0 ⇔
m =−1
m =
3
2
.
Vậy tổng tất cả các giá trị m là
1
2
.
Th.s Nguyễn Chín Em 502 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án C ä
Câu 54. Biết
e
Z
1
(x +1)ln x +2
1+xln x
dx = ae+b ln
µ
e+1
e
¶
trong đó a, b là các số nguyên. Khi đó tỷ số
a
b
là
A.
1
2
. B. 1. C. 3. D. 2.
- Lời giải.
Ta có
e
Z
1
(x +1)ln x +2
1+xln x
dx =
e
Z
1
·
1+
ln x +1
1+xln x
¸
dx = x
¯
¯
¯
e
1
+ln
|
1+xln x
|
¯
¯
¯
e
1
=e +ln
µ
e+1
e
¶
.
Vậy a = b =1 ⇒
a
b
=1.
Chọn đáp án B ä
Câu 55. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn
1
Z
0
f (2x)dx =2,
2
Z
0
f (4x)dx =6.
Tính I =
2
Z
−2
f
(
3|x |+2
)
dx .
A. I =
20
3
. B. I =20. C. I =
40
3
. D. 40.
- Lời giải.
Đặt t =2x, ta được
4
Z
0
f (2t)dt =
4
Z
0
f (2x)dx =12.
Ta thấy I =
2
Z
−2
f
(
3|x |+2
)
dx =2
2
Z
0
f
(
3|x |+2
)
dx =2
2
Z
0
f
(
3x +2
)
dx .
Đặt 2u =3x +2, ta được I =
4
3
4
Z
1
f (2u)du =
4
3
4
Z
0
f (2x)dx −
1
Z
0
f (2x)dx
=
4
3
(
12−2
)
=
40
3
.
Chọn đáp án C ä
Câu 56. Cho
3
Z
1
x +3
x
2
+3x +2
dx = a ln2 +b ln3 + c ln5 với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c
bằng
A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.
- Lời giải.
Ta có
x +3
x
2
+3x +2
=
−1
x +2
+
2
x +1
.
Do đó,
3
Z
1
x +3
x
2
+3x +2
dx =
3
Z
1
µ
−1
x +2
+
2
x +1
¶
dx =
(
−ln|x +2|+2ln|x +1|
)
¯
¯
¯
3
1
=2ln2+ln3−ln5.
Suy ra a =2, b =1 và c =−1.
Vậy a +b +c =2.
Chọn đáp án B ä
Câu 57. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn
1
Z
0
f (x)dx = 3 và
5
Z
0
f (x)dx = 6. Tính tích phân I =
Th.s Nguyễn Chín Em 503 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
1
Z
−1
f
(
|3x −2|
)
dx .
A. I =3. B. I =−2. C. I =4. D. I =9.
- Lời giải.
Ta có f
(
|3x −2|
)
=
f (3x −2) khi x ≥
2
3
f (2−3x) khi x <
2
3
.
Do đó I =
1
Z
−1
f
(
|3x −2|
)
dx =
2
3
Z
−1
f (2−3x)dx
| {z }
A
+
1
Z
2
3
f (3x −2)dx
| {z }
B
.
Với A =
2
3
Z
−1
f (2−3x)dx, đặt t =2−3x ⇒ dt =−3dx ⇒
dt
−3
=dx.
Khi đó x =−1 ⇒ t =5, x =
2
3
⇒ t =0.
Do đó A =
0
Z
5
f (t)
−3
dt =
1
3
5
Z
0
f (x)dx =
6
3
=2.
Với B =
1
Z
2
3
f (3x −2)dx, đặt u =3x −2 ⇒ du =3dx ⇒
du
3
=dx. Khi đó x =
2
3
⇒ u =0, x =1 ⇒ u =1.
Do đó B =
1
Z
0
f (u)
du
3
=
1
3
1
Z
0
f (x)dx =1.
Vậy I = A +B =2+1 =3.
Chọn đáp án A ä
Câu 58. Cho
3
Z
0
x
4+2
p
x +1
dx =
a
3
+b ln2+c ln3 với a, b, c là các số nguyên. Tìm tổng giá trị của a +b +
c.
A. 1. B. 2. C. 7. D. 9.
- Lời giải.
Đặt t =
p
x +1 ⇒ t
2
= x +1 ⇒ x = t
2
−1 ⇒ dx =2t dt.
Đổi cận x =0 ⇒ t =2; x =3 ⇒ t =4.
Th.s Nguyễn Chín Em 504 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó
3
Z
0
x
4+2
p
x +1
dx =
2
Z
1
t
2
−1
4+2t
·2t dt
=
2
Z
1
t
3
−t
t +2
dt
=
2
Z
1
µ
t
2
−2t +3−
6
t +2
¶
dt
=
µ
t
3
3
−t
2
+3t −6ln
|
t +2
|
¶
¯
¯
¯
¯
2
1
=
7
3
−12ln2+6ln3.
Suy ra
a =7
b =−12
c =6
⇒a +b +c =1.
Chọn đáp án A ä
Câu 59. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn
1
Z
0
f (x)dx =3 và
5
Z
0
f (x)dx =6. Tính
1
Z
−1
f (|3x−2|)dx.
A. I =3. B. I =−2. C. I =4. D. I =9.
- Lời giải.
Có
1
Z
−1
f (|3x −2|)dx =
2
3
Z
−1
f (2−3x)dx +
Z
1
2
3
f (3x −2)dx.
2
3
Z
−1
f (2−3x)dx =−
Z
0
5
f (t)
dt
3
=2.
1
Z
2
3
f (3x −2)dx =
Z
1
0
f (t)
dt
3
=1.
Vậy I =3.
Chọn đáp án A ä
Câu 60. Biết
1
Z
0
1
e
x
+1
dx = a +b ln
1+e
2
, với a,b là các số hữu tỉ. Tính S = a
3
+b
3
.
A. −2. B. 6. C. 2. D. 0.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
1
e
x
+1
dx =
1
Z
0
e
x
e
x
(e
x
+1)
dx .
Đặt t =e
x
+1 ⇒ dt =e
x
dx .
Th.s Nguyễn Chín Em 505 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đổi cận
x =0 ⇒ t =2
x =1 ⇒ t =e+1.
Khi đó
1
Z
0
e
x
e
x
(e
x
+1)
dx =
e+1
Z
2
1
t(t −1)
dt =
e+1
Z
2
1
t(t −1)
dt =
e+1
Z
2
µ
1
t −1
−
1
t
¶
dt =ln
¯
¯
¯
¯
t −1
t
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
e+1
2
= 1−ln
e+1
2
.
Vậy a =1, b =−1 và S = a
3
+b
3
=0.
Chọn đáp án D ä
Câu 61. Cho hàm số f (x) liên tục trên R. Biết
ln2
Z
0
f (e
x
+1)dx =5 và
3
Z
2
(2x −3)f (x)
x −1
dx =3.
Tính I =
3
Z
2
f (x)dx
A. I =2. B. I =4. C. I =−2. D. I =8.
- Lời giải.
Đặt e
x
+1 = t ⇒e
x
dx =dt ⇒(t −1)dx =dt, cận
x =0 ⇒ t =2
x =ln2 ⇒ t =3.
ln2
Z
0
f (e
x
+1)dx =5 ⇒
3
Z
2
f (t)
dt
t −1
=5 ⇒
3
Z
2
f (x)
x −1
dx =5.
Ta có
3
Z
2
(2x −3)f (x)
x −1
dx =3 ⇒
3
Z
2
(2x −2)f (x)− f (x)
x −1
dx =
3
Z
2
2f (x)dx −
3
Z
2
f (x)
x −1
dx =3.
Suy ra 2
3
Z
2
f (x)dx =3 +5 =8 ⇒
3
Z
2
f (x)dx =4.
Chọn đáp án B ä
Câu 62. Biết tích phân
ln6
Z
0
e
x
1+
p
e
x
+3
dx = a +b ln2+c ln3, với a, b, c là các số nguyên. Tính T = a +b +
c.
A. T =−1. B. T =0. C. T =2. D. T =1.
- Lời giải.
Đặt t =
p
e
x
+3 ta có t
2
=e
x
+3, suy ra 2t dt =e
x
dx .
Đổi cận
x 0 ln6
t 2 3
. Tích phân ban đầu trở thành
3
Z
2
2t
1+t
dx =
3
Z
2
µ
2−
2
t +1
¶
dt =
(
2t −2ln|1+t|
)
¯
¯
¯
3
2
=6 −2ln4 −(4−2ln3) =2−4ln2+2ln3.
Đồng nhất hệ số, ta có a =2, b =−4, c =2. Vậy T = a +b +c =0.
Chọn đáp án B ä
Câu 63. Cho
1
Z
1
2
…
x
x
3
+1
dx =
1
a
ln
µ
b
c
+
p
d
¶
, với a, b, c, d là các số nguyên dương và
b
c
tối giản. Giá trị
của a +b +c +d bằng
Th.s Nguyễn Chín Em 506 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. 12. B. 10. C. 18. D. 15.
- Lời giải.
Nhân tử và mẫu của
…
x
x
3
+1
cho x
p
x ta được I =
1
Z
1
2
…
x
x
3
+1
dx =
1
Z
1
2
x
2
p
x
3
(x
3
+1)
dx .
Đặt t = x
3
thì I =
1
3
1
Z
1
8
1
p
t(t +1)
dt =
1
3
1
Z
1
8
1
µ
t +
1
2
¶
2
+
µ
−
1
4
¶
dt.
Áp dụng công thức
Z
u
0
(x )
p
u
2
(x ) +b
du =ln
¯
¯
¯
u(x)+
p
u
2
(x ) +b
¯
¯
¯
+C, ta có
I =
1
3
1
Z
1
8
d
µ
t +
1
2
¶
µ
t +
1
2
¶
2
+
µ
−
1
4
¶
=
1
3
ln
¯
¯
¯
¯
¯
t +
1
2
+
µ
t +
1
2
¶
2
+
µ
−
1
4
¶
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
1
8
=
1
3
ln
µ
3
2
+
p
2
¶
.
Vậy a +b +c +d =10.
Chọn đáp án B ä
Câu 64. Cho I =
1
Z
0
xln
¡
2+x
2
¢
dx = aln3+b ln2+c với a, b , c là các số hữu tỷ. Giá trị a +b +c bằng
A. 2. B. 1. C.
3
2
. D. 0.
- Lời giải.
Đặt
u =ln
¡
2+x
2
¢
dv = x dx
. Khi đó
du =
2x
2+x
2
dx
v =
x
2
+2
2
.
Do đó
I =
µ
x
2
+2
2
¶
·ln
¡
2+x
2
¢
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
xdx =
3
2
ln3−ln2−
1
2
.
Suy ra a =
3
2
, b =−1, c =−
1
2
. Vậy a +b +c =0.
Chọn đáp án D ä
Câu 65. Biết
e
Z
1
ln x
x
p
1+lnx
dx = a +b
p
2 với a, b là các số hữu tỷ. Tính S =a +b.
A. S =1. B. S =
1
2
. C. S =
3
4
. D. S =
2
3
.
- Lời giải.
Đặt t =
p
1+lnx ⇒ln x = t
2
−1 và
dx
x
=2tdt.
Đổi cận x =1 → t =1; x = e → t =
p
2.
Khi đó I =
e
Z
1
ln x
x
p
1+lnx
dx ⇒ I =
p
2
Z
1
t
2
−1
t
·2t dt =2
µ
t
3
3
−t
¶
¯
¯
¯
p
2
1
=2
Ã
2
p
2
3
−
p
2
!
+
4
3
=
4
3
−
2
3
p
2.
Suy ra S =
4
3
−
2
3
=
2
3
.
Chọn đáp án
D ä
Th.s Nguyễn Chín Em 507 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 66. Biết
π
2
Z
0
cos x
sin
2
x +3sin x +2
dx = aln2 +b ln3 với a, b là các số nguyên. Tính P =2a +b.
A. 3. B. 7. C. 5. D. 1.
- Lời giải.
Đặt sin x = t ⇒cos xdx = dt.
Đổi cận x =0 ⇒ t =0, x =
π
2
⇒ t =1.
π
2
Z
0
cos x
sin
2
x +3sin x +2
dx =
1
Z
0
1
t
2
+3t +2
dt
=
1
Z
0
1
(t +1)(t +2)
dt
=
1
Z
0
µ
1
t +1
−
1
t +2
¶
dt
= (ln|t +1|−ln|t +2|)
¯
¯
¯
1
0
=2ln2−ln3.
Vậy a =2, b =−1 ⇒ P =2a +b =3.
Chọn đáp án A ä
Câu 67. Biết
3
Z
0
x
4+2
p
x +1
dx =
a
3
+b ln2+cln3, trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính T = a+b+c.
A. T =1. B. T =4. C. T =3. D. T =6.
- Lời giải.
Đặt t =
p
x +1 ⇒ t
2
= x +1 ⇒2t dt =dx.
Đổi cận x =0 ⇒ t =1, x =3 ⇒ t =2.
Suy ra
3
Z
0
x
4+2
p
x +1
dx =
2
Z
1
2t(t
2
−1)
4+2t
dt =
2
Z
1
µ
t
2
−2t +3−
6
t +2
¶
dt =
7
3
−12ln2+6ln3.
Vậy a =7,b =−12, c =6 ⇒ T =1.
Chọn đáp án A ä
Câu 68. Biết I =
5
Z
1
1
x
p
3x +1
dx = aln3 +b ln5. Giá trị của 2a
2
+ab +b
2
là
A. 7. B. 9. C. 8. D. 3.
- Lời giải.
Đặt t =
p
3x +1 ⇒ x =
t
2
−1
3
⇒ dx =
2
3
tdt.
Ta có I =
4
Z
2
2
t
2
−1
dt =
4
Z
2
µ
1
t −1
−
1
t +1
¶
dt =ln
¯
¯
¯
¯
t −1
t +1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4
2
=
µ
ln
3
5
−ln
1
3
¶
=2ln3−ln5.
Do đó 2a
2
+ab +b
2
=3.
Chọn đáp án D ä
Th.s Nguyễn Chín Em 508 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 69. Nếu
π
2
Z
π
4
sin x −cos x
p
1+sin2x
dx =
a
b
ln c, (với a , b, c ∈Z, a >0,
a
b
là phân số tối giản) thì a +2b +3c là
A. 13. B. 14. C. 9. D. 11.
- Lời giải.
Có
p
1+sin2x =
p
(sin x +cos x)
2
=sin x +cosx, vì x ∈
h
π
4
;
π
2
i
. Suy ra
π
2
Z
π
4
sin x −cos x
p
1+sin2x
dx =
π
2
Z
π
4
sin x −cos x
sin x +cos x
dx
= −
π
2
Z
π
4
d(sin x +cos x)
sin x +cos x
=− ln|sin x +cosx|
|
π
2
π
4
=−
³
ln1−ln
p
2
´
=
1
2
ln2.
Suy ra a =1, b =2, c =2. Vậy a +2b +3c =11.
Chọn đáp án D ä
Câu 70. Biết rằng I =
π
2
Z
0
−4sin x +7cos x
2sin x +3cos x
dx = a +2ln
b
c
, với a > 0; b, c ∈ N
∗
;
b
c
tối giản. Hãy tính giá trị
biểu thức P = a −b +c.
A. π −1. B.
π
2
+1. C.
π
2
−1. D. 1.
- Lời giải.
Ta có
I =
π
2
Z
0
4cos x −6sin x
2sin x +3cos x
dx +
π
2
Z
0
1dx
=
π
2
Z
0
2
2sin x +3cos x
d(2sin x +3cos x)+
π
2
= 2ln|2sinx +3cos x|
¯
¯
π
2
0
+
π
2
= 2ln2−2ln3+
π
2
= 2ln
2
3
+
π
2
.
Vậy P =
π
2
−2+3 =
π
2
+1.
Chọn đáp án B ä
Câu 71. Biết rằng
1
Z
−2
1
x +5
p
x +3+9
dx = aln2 + bln3 + c ln5, với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của
a +b +c bằng
A. −10. B. 10. C. 5. D. −5.
- Lời giải.
Đặt t =
p
x +3. Ta có t
2
= x +3 ⇒2t dt = dx.
Đổi cận x =−2 ⇒ t =1, x =1 ⇒ t =2.
Th.s Nguyễn Chín Em 509 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó,
I =
1
Z
−2
1
x +5
p
x +3+9
dx =
2
Z
1
2t
t
2
−3+5t +9
dt =
2
Z
1
2t
t
2
+5t +6
dt =
2
Z
1
2t
(t +2)(t +3)
dt
=
2
Z
1
µ
−
4
t +2
+
6
t +3
¶
dt =
(
−4ln|t +2|+6ln|t +3|
)
|
2
1
=−20ln2+4ln3+6ln5.
Do đó, a =−20, b =4, c =6.
Vậy a +b +c =−20+4+6 =−10.
Chọn đáp án A ä
Câu 72. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn
1
Z
−5
f (x)dx =9. Tính tích phân
2
Z
0
[f (1−3x)+9]dx.
A. 27. B. 21. C. 15. D. 75.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
[f (1−3x) +9]dx =
2
Z
0
f (1−3x)dx +18.
Xét I =
2
Z
0
f (1−3x)dx.
Đặt u =1−3x ⇒du =−3dx ⇒dx =−
du
3
.
Đổi cận: x =0 ⇒ u =1; x =2 ⇒ u =−5.
Khi đó I =
2
Z
0
f (1−3x)dx =−
1
Z
−5
f (u)
du
3
=−3.
Vậy
2
Z
0
[f (1−3x) +9]dx =18−3 =15.
Chọn đáp án C ä
Câu 73. Cho
1
Z
0
p
3x +1
x −5
dx =a +b ·ln5 +c ·ln3 với a,b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của biểu thức a +b +c
bằng
A. 6. B. −4. C. 14. D. −2.
- Lời giải.
Xét I =
1
Z
0
p
3x +1
x −5
dx .
Đặt t =
p
3x +1 ⇒ t
2
=3x +1 ⇒
2t
3
dt =dx.
Đổi cận x =0 thì t =1, x =1 thì t =2.
Khi đó
I =
2
Z
1
2t
2
t
2
−16
dt =
2
Z
1
µ
2+
4
t −4
−
4
t +4
¶
dt
=
(
2t +4ln|t −4|−4ln|t +4|
)
¯
¯
¯
2
1
=2 −8ln3 +4ln5.
Do đó a =2,b =4, c =−8. Vậy a +b +c =−2.
Th.s Nguyễn Chín Em 510 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án D ä
Câu 74. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và f (3) =21,
3
Z
0
f (x)dx =9. Tính I =
1
Z
0
x f
0
(3x )dx.
A. I =6. B. I =12. C. I =9. D. I =15.
- Lời giải.
Đặt 3x = t ⇒ dx =
1
3
dt. Với x =0 ⇒ t =0, x =1 ⇒ t =3.
I =
1
9
3
Z
0
t f
0
(t)dt =
1
9
3
Z
0
td(f (t)) =
1
9
t f (t)
¯
¯
¯
3
0
−
3
Z
0
f (t)dt
=
1
9
[
3f (3)−9
]
=
3·21−9
9
=6.
Chọn đáp án A ä
Câu 75. Cho
1
Z
0
xln(2 +x
2
)dx = aln3+b ln2+c, với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị a +b +c bằng
A. 2. B. 1. C.
3
2
. D. 0.
- Lời giải.
Đặt
u =ln(2+x
2
)
dv = x dx
⇒
du =
2x
2+x
2
dx
v =
x
2
2
+1.
I =
µ
x
2
2
+1
¶
ln(2+x
2
)
¯
¯
¯
1
0
−
Z
1
0
xdx =
3
2
ln3−ln2−
x
2
2
¯
¯
¯
¯
1
0
=
3
2
ln3−ln2−
1
2
.
Vậy a +b +c =
3
2
−1−
1
2
=0.
Chọn đáp án D ä
Câu 76. Biết m là số thực thỏa mãn
π
2
Z
0
x
(
cos x +2m
)
dx =2π
2
+
π
2
−1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. m É0. B. 0 < m É3. C. 3 < m É6. D. m >6.
- Lời giải.
Tính I =
π
2
Z
0
x
(
cos x +2m
)
dx .
Đặt
u = x
dv =
(
cos x +2m
)
dx
⇒
du =dx
v =sin x +2mx.
Khi đó I =
π
2
Z
0
x
(
cos x +2m
)
dx = x
(
sin x +2mx
)
¯
¯
¯
π
2
0
−
π
2
Z
0
(
sin x +2mx
)
dx
=
π
2
(
1+mπ
)
−
¡
mx
2
−cosx
¢
¯
¯
¯
π
2
0
=
mπ
2
4
+
π
2
−1.
Theo giả thiết I =2π
2
+
π
2
−1 ⇒
m
4
=2 ⇔ m =8.
Chọn đáp án D ä
Câu 77. Biết
e
Z
1
ln x
p
x
dx = a
p
e+b với a, b ∈Z. Tính P = a ·b.
A. P =4. B. P =−8. C. P =8. D. P =−4.
Th.s Nguyễn Chín Em 511 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Đặt
u =ln x
dv =
dx
p
x
⇒
du =
dx
x
v =2
p
x.
Khi đó
e
Z
1
ln x
p
x
dx =2
p
xln x
¯
¯
¯
e
0
−2
e
Z
1
1
p
x
dx =2
p
xln x
¯
¯
¯
e
0
−4
p
x
¯
¯
¯
e
0
=−2
p
e +4 ⇒
a =−2
b =4.
Vậy P = ab =−8.
Chọn đáp án B ä
Câu 78. Biết
π
4
Z
0
x
1+cos2x
dx = aπ +b ln2, với a, b là các số hữu tỉ. Tính T =16 a −8b.
A. T =4. B. T =5. C. T =2. D. T =−2.
- Lời giải.
Ta có I =
π
4
Z
0
x
1+cos2x
dx =
π
4
Z
0
x
2cos
2
x
dx . Đặt
u = x
dv =
1
cos
2
x
dx
⇒
du =dx
v =tan x.
I =
1
2
xtan x
¯
¯
¯
¯
π
4
0
−
π
4
Z
0
tan x dx
=
π
8
+
1
2
ln|cos x|
¯
¯
¯
¯
π
4
0
=
π
8
−
1
4
ln2.
Nên a =
1
8
, b =−
1
4
. Do đó T =16a −8b =4.
Chọn đáp án A ä
Câu 79. Biết
e
Z
1
ln x
(1+x)
2
dx =
a
e+1
+b ln
2
e+1
+c, với a, b, c ∈Z. Tính a +b +c.
A. −1. B. 1. C. 3. D. 2.
- Lời giải.
Đặt
u =ln x
dv =
dx
(x +1)
2
⇒
du =
1
x
dx
v =−
1
x +1
+1 =
x
x +1
. Ta có
e
Z
1
ln x
(1+x)
2
dx =
xln x
x +1
¯
¯
¯
e
1
−
e
Z
1
dx
x +1
=
e
e+1
−ln|x +1|
¯
¯
¯
e
1
=
e
e+1
+ln
2
e+1
=
−1
e+1
+ln
2
e+1
+1.
Vậy ta suy ra a =−1; b =1; c =1 ⇒ a +b +c =1.
Chọn đáp án B ä
Câu 80. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;2] và thỏa mãn f (0) =2,
2
Z
0
(2x−4)·f
0
(x )dx =4.
Tính I =
2
Z
0
f (x)dx.
A. I =−2. B. I =−6. C. I =2. D. I =6.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 512 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt
u =2x −4
dv = f
0
(x )dx
⇒
du =2dx
v = f (x).
Khi đó
2
Z
0
(2x −4)· f
0
(x )dx =(2x −4)· f (x)
¯
¯
¯
2
0
−
2
Z
0
2f (x)dx =4f (0) −2
2
Z
0
f (x)dx =4
⇒ I =
2
Z
0
f (x)dx =2.
Chọn đáp án C ä
Câu 81. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f
0
(x ) liên tục trên [0;2] và f (2) = 3,
2
Z
0
f (x)dx = 3. Tính I =
2
Z
0
x f
0
(x )dx.
A. I =3. B. I =−3. C. I =6. D. I =0.
- Lời giải.
Ta có I =
2
Z
0
x · f
0
(x )dx = f (x)·x
¯
¯
¯
2
0
−
2
Z
0
f (x)dx =2f (2)−
2
Z
0
f (x)dx =3.
Chọn đáp án A ä
Câu 82. Biết
2
Z
1
xln(x
2
+1)dx = aln5 +b ln2+c. Tính P =a +b +c.
A. P =3. B. P =0. C. P =5. D. P =2.
- Lời giải.
Đặt
u =ln(x
2
+1)
dv = x dx
⇒
du =
2x
x
2
+1
dx
v =
x
2
2
.
Khi đó
2
Z
1
xln(x
2
+1)dx =
x
2
2
ln(x
2
+1)
¯
¯
¯
2
1
−
2
Z
1
x
3
x
2
+1
dx
=
x
2
2
ln(x
2
+1)
¯
¯
¯
2
1
−
2
Z
1
³
x −
x
x
2
+1
´
dx
=
x
2
2
ln(x
2
+1)
¯
¯
¯
2
1
−
x
2
2
¯
¯
¯
2
1
+
1
2
ln(x
2
+1)
¯
¯
¯
2
1
= 2ln5−
1
2
ln2−2+
1
2
+
1
2
ln5−
1
2
ln2
=
5
2
ln5−ln2−
3
2
.
Vậy P = a +b +c =0.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 513 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 83. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;2] và thỏa mãn f (0) =2,
2
Z
0
(2x −4)f
0
(x )dx =4.
Tính I =
2
Z
0
f (x)dx.
A. I =−2. B. I =−6. C. I =2. D. I =6.
- Lời giải.
Đặt
u =2x −4
dv = f
0
(x )dx
⇒
du =2dx
v = f (x).
Khi đó
2
Z
0
(2x −4)f
0
(x )dx =(2x −4)· f (x)
¯
¯
¯
2
0
−
2
Z
0
2f (x)dx =4f (0) −2
2
Z
0
f (x)dx =4.
Vậy I =
2
Z
0
f (x)dx =2.
Chọn đáp án C ä
Câu 84. Biết
e
Z
1
ln x
(1+x)
2
dx =
a
e+1
+b ·ln
2
e+1
+c, với a, b, c ∈Z. Tính a +b +c.
A. −1. B. 1. C. 3. D. 2.
- Lời giải.
Xét tích phân I =
e
Z
1
ln x
(1+x)
2
dx .
Đặt
u =ln x
dv =
dx
(x +1)
2
⇒
du =
1
x
dx
v =−
1
x +1
.
Thu được
I = −
1
x +1
·lnx
¯
¯
¯
¯
e
1
+
e
Z
1
1
x(x +1)
dx =−
1
e+1
+
e
Z
1
µ
1
x
−
1
x +1
¶
dx
= −
1
e+1
+
(
ln|x|−ln|x +1|
)
¯
¯
¯
¯
e
1
=−
1
e+1
+1−ln(e +1)+ln2
=
−1
e+1
+ln
2
e+1
+1.
Từ đó suy ra a =−1,b =1, c =1 nên a +b +c =1.
Chọn đáp án B ä
Câu 85. Tích phân
2
Z
1
xln xdx
(x
2
+1)
2
=a ln2+b ln3 +c ln5 với b ∈N, a, c ∈Q là các phân số tối giản. Tính tổng
a +b +c.
A. −
2
5
. B.
2
5
. C.
9
10
. D. −
9
10
.
- Lời giải.
Đặt
u =ln x
dv =
x
(x
2
+1)
2
dx
⇒
du =
1
x
dx
v =−
1
2(x
2
+1)
.
Th.s Nguyễn Chín Em 514 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó
I =−
1
2
ln x
(x
2
+1)
¯
¯
¯
2
1
+
2
Z
1
1
2x (x
2
+1)
dx =−
1
10
ln2+I
1
.
(Với I
1
=
2
Z
1
1
2x (x
2
+1)
dx )
Ta có
I
1
=
2
Z
1
1
2x (x
2
+1)
dx =
1
2
2
Z
1
(x
2
+1)−x
2
x(x
2
+1)
dx
=
1
2
2
Z
1
µ
1
x
−
x
x
2
+1
¶
dx
=
1
2
ln x
¯
¯
¯
2
1
−
1
4
ln(x
2
+1)
¯
¯
¯
2
1
=
1
2
ln2−
1
4
ln5+
1
4
ln2
=
3
4
ln2−
1
4
ln5.
Suy ra I =−
1
10
ln2+
3
4
ln2−
1
4
ln5 =
13
20
ln2−
1
4
ln5.
Vậy
a =
13
20
b =0
c =−
1
4
và a +b +c =
2
5
.
Chọn đáp án B ä
Câu 86. Cho
2
Z
1
ln
(
1+2x
)
x
2
dx =
a
2
ln5+b ln3+c ln2, với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a +2
(
b +c
)
là
A. 0. B. 9. C. 3. D. 5.
- Lời giải.
Đặt
u =ln
(
1+2x
)
dv =
1
x
2
dx
⇒
du =
2
1+2x
dx
v =
−1
x
.
Ta có
2
Z
1
ln
(
1+2x
)
x
2
dx =−
1
x
ln
(
1+2x
)
¯
¯
¯
¯
2
1
−
2
Z
1
µ
−1
x
·
2
1+2x
¶
dx
=−
1
2
ln5+ln3+
2
Z
1
2
x
(
2x +1
)
dx
=−
1
2
ln5+ln3+
2
Z
1
µ
2
x
−
4
2x +1
¶
dx
=−
1
2
ln5+ln3+
(
2ln
|
x
|
−2ln
|
2x +1
|
)
¯
¯
¯
2
1
=−
5
2
ln5+3ln3+2ln2
Th.s Nguyễn Chín Em 515 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Vậy
a =−5
b =3
c =2
⇒a +2
(
b +c
)
=−5 +2(3+2) =5.
Chọn đáp án D ä
Câu 87. Nghiệm dương a của phương trình
a
Z
1
(2x −1)ln xdx = (a
2
−a)lna −9 thuộc khoảng nào sau
đây?
A. (1;3). B. (3;5). C. (5;7). D. (7;10).
- Lời giải.
Đặt
u =ln x
dv =(2x −1)dx
⇒
du =
1
x
dx
v = x
2
−x.
Khi đó
I =
a
Z
1
(2x −1)ln xdx =(x
2
−x)lnx
¯
¯
¯
a
1
−
a
Z
1
(x −1)dx
= (a
2
−a)lna −
µ
x
2
2
−x
¶
¯
¯
¯
a
1
=(a
2
−a)lna −
a
2
2
+a −
1
2
⇒ I =(a
2
−a)lna −9 ⇔−
a
2
2
+a −
1
2
=−9
⇔ −
a
2
2
+a +
17
2
=0 ⇔
a =
16
3
a =−
10
3
.
Vậy nghiệm dương a thỏa mãn là a =
16
3
∈(5;7).
Chọn đáp án
C ä
Câu 88. Cho I =
2
Z
1
x +lnx
(
x +1
)
2
dx =
a
b
ln2−
1
c
với a, b, c là các số nguyên dương và các phân số là phân số tối
giản. Tính giá trị của biểu thức S =
a +b
c
.
A. S =
5
6
. B. S =
1
3
. C. S =
2
3
. D. S =
1
2
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 516 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt
u = x +ln x
dv =
1
(x +1)
2
dx
⇒
du =
µ
1+
1
x
¶
dx
v =−
1
x +1
. Khi đó
I = (x +lnx) ·
µ
−
1
x +1
¶
¯
¯
¯
¯
2
1
+
2
Z
1
1
x +1
·
µ
1+
1
x
¶
dx
= −
1
3
·(2+ln2)+
1
2
+
2
Z
1
1
x
dx
= −
1
3
ln2−
1
6
+lnx
¯
¯
¯
¯
2
1
= −
1
3
ln2−
1
6
+ln2
=
2
3
ln2−
1
6
.
Suy ra a =2, b =3, c =6.
Vậy S =
a +b
c
=
2+3
6
=
5
6
.
Chọn đáp án A ä
Câu 89. Biết
2
Z
0
e
x
¡
2x +e
x
¢
dx = a ·e
4
+b ·e
2
+c, với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính S = a +b +c.
A. S =−4. B. S =−2. C. S =2. D. S =4.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
e
x
¡
2x +e
x
¢
dx =
2
Z
0
¡
2x +e
x
¢
de
x
=
¡
2x +e
x
¢
e
x
¯
¯
2
0
−
2
Z
0
e
x
d
¡
2x +e
x
¢
=
¡
2x +e
x
¢
e
x
¯
¯
2
0
−
2
Z
0
e
x
¡
2+e
x
¢
dx
=
¡
2x +e
x
¢
e
x
¯
¯
2
0
−
2
Z
0
¡
2e
x
+e
2x
¢
dx
=
¡
2x +e
x
¢
e
x
¯
¯
2
0
−
µ
2e
x
+
1
2
e
2x
¶
¯
¯
¯
¯
2
0
=
1
2
e
4
+2e
2
+
3
2
.
Suy ra a =
1
2
, b =2, c =
3
2
.
Vậy S = a +b +c =
1
2
+2+
3
2
=4.
Chọn đáp án D ä
Câu 90. Cho
3
Z
1
3+lnx
(x +1)
2
dx = aln3+b ln2+c với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của a
2
+b
2
−c
2
bằng
Th.s Nguyễn Chín Em 517 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A.
17
18
. B.
1
8
. C. 1. D. 0.
- Lời giải.
Đặt:
u =3+lnx
dv =
1
(x +1)
2
dx
⇒
du =
1
x
dx
v =−
1
x +1
.
Ta có:
3
Z
1
3+lnx
(x +1)
2
dx =
−1
(x +1)
(
3+lnx
)
¯
¯
¯
3
1
+
3
Z
1
1
x(x +1)
dx
=
−1
4
(
3+ln3
)
+
3
2
+ln
x
x +1
¯
¯
¯
3
1
=
−3
4
−
1
4
ln3+
3
2
+ln
3
4
−ln
1
2
=
3
4
ln3−ln2+
3
4
.
Suy ra a =
3
4
, b =−1, c =
3
4
.
Vậy a
2
+b
2
−c
2
=1.
Chọn đáp án C ä
Câu 91. Cho I =
1
Z
0
³
x +
p
x
2
+15
´
dx = a +b ln3 +c ln5 với a, b, c ∈Q. Tính tổng a +b +c.
A. 1. B.
5
2
. C.
1
3
. D. −
1
3
.
- Lời giải.
Đặt J =
1
Z
0
p
x
2
+15dx .
Đặt
u =
p
x
2
+15
dv =dx
, ta được
du =
x
p
x
2
+15
dx
Chọn v = x
. Khi đó
J = x
p
x
2
+15
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
x
2
p
x
2
+15
dx
J = 4 −
1
Z
0
x
2
+15−15
p
x
2
+15
dx
J = 4 −J +15
1
Z
0
1
p
x
2
+15
dx
J = 2 +
15
2
ln
¯
¯
¯
x +
p
x
2
+15
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
0
J = 2 −
15
4
ln3+
15
4
ln5.
Ta được I =
1
Z
0
xdx +J =
5
2
−
15
4
ln3+
15
4
ln5 ⇒
a =
5
2
b =−
15
4
c =
15
4
.
Vậy a +b +c =
5
2
.
Th.s Nguyễn Chín Em 518 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án B ä
Câu 92. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f
0
(x ) liên tục trên [0;2] và f (2) = 3;
2
Z
0
f (x)dx = 3. Tính I =
2
Z
0
x · f
0
(x )dx
A. I =6. B. I =3. C. I =0. D. I =−3.
- Lời giải.
Ta có: I =
2
Z
0
x · f
0
(x )dx = f (x)·x
¯
¯
2
0
−
2
Z
0
f (x)dx =2f (2)−
2
Z
0
f (x)dx =3.
Chọn đáp án B ä
Câu 93. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên (0;+∞) và thỏa mãn 2(x+1)f (x)f
0
(x ) =1+f
2
(x ), ∀x ∈(0;+∞);
f (0) =2. Khi đó giá trị f
2
(1) bằng
A. 3. B. e
2
. C.
1
e
. D. 9.
- Lời giải.
Theo bài ra ta có
2f (x)f
0
(x )
1+ f
2
(x )
=
1
x +1
⇒
1
Z
0
2f (x)f
0
(x )
1+ f
2
(x )
dx =
1
Z
0
1
x +1
dx
⇔ ln
¯
¯
1+ f
2
(x )
¯
¯
¯
¯
¯
1
0
=ln|1+x|
¯
¯
¯
1
0
⇔ ln
¡
1+ f
2
(1)
¢
−ln5 =ln2
⇔ f
2
(1) =9.
Chọn đáp án D ä
Câu 94. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [1;3] thỏa mãn các điều kiện f (4−x) = f (x),∀x ∈[1;3] và
3
Z
1
x f (x)dx =−2. Giá trị 2
3
Z
1
f (x)dx bằng
A. 1. B. 2. C. −1. D. −2.
- Lời giải.
Ta có f (4−x) = f (x),∀x ∈[1;3] nên
3
Z
1
x f (x)dx =
3
Z
1
x f (4 −x)dx.
Đặt t =4−x, khi đó dt =−dx hay dx =−dt.
Với x =1 thì t =3; với x =3 thì t =1.
Do đó
3
Z
1
x f (x)dx =
3
Z
1
x f (4 −x)dx =
1
Z
3
(4−t)f (t)(−dt) =
3
Z
1
4f (t)dt −
3
Z
1
t f (t)dt.
Suy ra
2
3
Z
1
x f (x)dx =4
3
Z
1
f (x)dx ⇒2
3
Z
1
f (x)dx =
3
Z
1
x f (x)dx =−2.
Chọn đáp án D ä
Câu 95. Cho hàm số y = f (x) thoả mãn f (2) =−
4
19
và f
0
(x ) = x
3
f
2
(x )∀x ∈R. Giá trị của f (1) bằng
A. −
2
3
. B. −
1
2
. C. −1. D. −
3
4
.
Th.s Nguyễn Chín Em 519 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có f
0
(x ) = x
3
f
2
(x ), ∀x ∈R ⇔
f
0
(x )
f
2
(x )
= x
3
, ∀x ∈R.
Lấy tích phân 2 vế trên đoạn [1;2] ta được
2
Z
1
f
0
(x )
f
2
(x )
dx =
2
Z
1
x
3
dx ⇔
−1
f (x)
¯
¯
¯
2
1
=
15
4
⇔
−1
f (2)
+
1
f (1)
=
15
4
⇔ f (1) =−1.
Chọn đáp án C ä
Câu 96. Cho hàm số f (x) thoả mãn
3
Z
0
£
2x ln(x +1)+xf
0
(x )
¤
dx =0 và f (3) =1. Biết
3
Z
0
f (x)dx =
a +b ln2
2
với a,b là các số thực dương. Giá trị của a +b bằng
A. 35. B. 29. C. 11. D. 7.
- Lời giải.
Giả sử với f (x) là hàm có đạo hàm liên tục trên [0;3].
Ta có
3
Z
0
£
2x ln(x +1)+xf
0
(x )
¤
dx =
3
Z
0
2x ln(x +1)dx
| {z }
I
+
3
Z
0
x f
0
(x )dx
| {z }
K
Ta có
I =
3
Z
0
2x ln(x +1)dx =
¡
x
2
ln(x +1)
¢
¯
¯
¯
3
0
−
3
Z
0
x
2
x +1
= 9ln4−
3
Z
0
µ
x −1+
1
x +1
¶
dx =9ln4 −
µ
x
2
2
−x +ln|x +1|
¶
¯
¯
¯
3
0
=8ln4−
3
2
.
K =
3
Z
0
x f
0
(x )dx =(x f (x))
¯
¯
¯
3
0
−
3
Z
0
f (x)dx =3f (3)−
3
Z
0
f (x)dx =3 −
3
Z
0
f (x)dx.
Theo giả thiết ta có I +K =0 suy ra
3
Z
0
f (x)dx =8ln4+
3
2
=
16ln4 +3
2
=
32ln2 +3
2
.
Vậy a =32; b =3. Giá trị của a +b =35.
Chọn đáp án A ä
Câu 97. Cho hàm số f (x) thỏa mãn [(f
0
(x )]
2
+ f (x)f
00
(x ) = 15x
4
+12x, ∀x ∈R và f (0) = f
0
(0) = 1. Giá trị
của [f (1)]
2
là
A. 8. B.
5
2
. C. 10. D.
9
2
.
- Lời giải.
Ta có
£
f (x) · f
0
(x )
¤
0
=
£
f
0
(x )
¤
2
+ f (x)· f
00
(x ) do đó,
£
f (x) · f
0
(x )
¤
0
=15x
4
+12x, suy ra
f (x) · f
0
(x ) =3x
5
+6x
2
+C,
cho x =0 suy ra C =1 nên ta được f (x)· f
0
(x ) =3x
5
+6x
2
+1. (1)
Lấy nguyên hàm hai vế của (1) ta có
Z
f (x) · f
0
(x )dx =
Z
(3x
5
+6x
2
+1)dx
⇒
[f (x)]
2
2
=3 ·
x
6
6
+6·
x
3
3
+x +C
1
⇒ [f (x)]
2
= x
6
+4x
3
+2x +C
0
,
Th.s Nguyễn Chín Em 520 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
cho x =0 suy ra C
0
=1.
Vậy [f (x)]
2
= x
6
+4x
3
+2x +1 ⇒[f (1)]
2
=8.
Chọn đáp án A ä
Câu 98. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên [−2;1] thỏa mãn f (0) = 1 và [f (x)]
2
· f
0
(x ) =
3x
2
+4x +2. Giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [−2;1] là
A. 2.
3
p
16. B.
3
p
18. C. 2.
3
p
18. D.
3
p
16.
- Lời giải.
Ta có:
[f (x)]
2
· f
0
(x ) =3x
2
+4x +2 ⇒
Z
[f (x)]
2
· f
0
(x )dx =
Z
(3x
2
+4x +2)dx
⇔
[(f (x)]
3
3
= x
3
+2x
2
+2x +C ⇔ f (x) =
3
p
3x
3
+6x
2
+6x +3C.
Vì f (0) =1 nên C =
1
3
⇒ f
0
(x ) =
3x
2
+4x +2
3
p
(3x
3
+6x
2
+6x +1)
2
>0.
Vậy max
[−2;1]
f (x) = f (1) =
3
p
16.
Chọn đáp án D ä
Câu 99. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai liên tục trên [0;1] và thỏa mãn
1
Z
0
e
x
f (x)dx =
1
Z
0
e
x
f
0
(x )dx =
1
Z
0
e
x
f
00
(x )dx 6=0. Giá trị của biểu thức
e f
0
(1)− f
0
(0)
e f (1) − f (0)
bằng
A. −1. B. 1. C. 2. D. −2.
- Lời giải.
Giả sử
1
Z
0
e
x
f (x)dx =
1
Z
0
e
x
f
0
(x )dx =
1
Z
0
e
x
f
00
(x )dx =a 6=0.
Ta đặt I =
1
Z
0
e
x
f (x)dx =a ; I
1
=
1
Z
0
e
x
f
0
(x )dx =a; I
2
=
1
Z
0
e
x
f
00
(x )dx =a.
Xét I
1
=
1
Z
0
e
x
f
0
(x )dx =a.
Đặt
u =e
x
dv = f
0
(x )dx
⇒
du =e
x
dx
v = f (x).
Khi đó I
1
=e
x
f (x)
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
e
x
f (x)dx =a ⇔ e f (1) − f (0) =2a.
Xét I
2
=
1
Z
0
e
x
f
00
(x )dx =a.
Đặt
u =e
x
dv = f
00
(x )dx
⇒
du =e
x
dx
v = f
0
(x ).
Khi đó I
1
=e
x
f
0
(x )
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
(e
x
)
0
f (x)dx =a ⇔ e f
0
(1)− f
0
(0) =2a.
Vậy
e f
0
(1)− f
0
(0)
e f (1) − f (0)
=
2a
2a
=1.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 521 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 100. Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [0;5] thỏa mãn
5
Z
0
x f
0
(x )e
f (x)
dx =8; f (5) =ln5.
Tính I =
5
Z
0
e
f (x)
dx .
A. −33. B. 33. C. 17. D. −17.
- Lời giải.
Đặt
u = x ⇒ du =dx
v = f
0
(x )e
f (x)
dx ⇒ d v =e
f (x)
.
Khi đó
5
Z
0
x f
0
(x )e
f (x)
dx =8 ⇔
³
x ·e
f (x)
´
¯
¯
¯
5
0
−
5
Z
0
e
f (x)
dx =8 ⇔5e
f (5)
−I =8 ⇒ I =25−8 =17.
Chọn đáp án C ä
Câu 101. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (x) >0 và f (x)− f
0
(x ) =−
2[f (x)]
2
e
x
·x
p
x −x
2
, ∀x ∈(0;1). Biết f
µ
1
2
¶
=
1
2
,
khẳng định nào sau đây đúng?
A. f
µ
1
5
¶
Ê
1
4
. B.
1
5
É f
µ
1
5
¶
<
1
4
. C. f
µ
1
5
¶
<
1
6
. D.
1
6
É f
µ
1
5
¶
<
1
5
.
- Lời giải.
Ta có
f (x) − f
0
(x ) =−
2[f (x)]
2
e
x
·x
p
x −x
2
, ∀x ∈(0;1)
⇔
e
x
f (x) −e
x
· f
0
(x )
[f (x)]
2
=−
2
x
p
x −x
2
⇔
·
e
x
f (x)
¸
0
=
−2
x
p
x −x
2
⇒
Z
·
e
x
f (x)
¸
0
dx =
Z
−2
x
p
x −x
2
dx
⇔
e
x
f (x)
=
Z
−2
x
2
…
1
x
−1
dx . (1)
Xét I =
Z
−2
x
2
…
1
x
−1
dx .
Đặt t =
…
1
x
−1 ⇒ t
2
=
1
x
−1 ⇒2t dt =−
1
x
2
dx .
Khi đó I =
Z
4t
t
dt =4t +C =4
…
1
x
−1+C.
Từ (1) suy ra
e
x
f (x)
=4
…
1
x
−1+C ⇒ f (x) =
e
x
4
…
1
x
−1+C
.
Do f
µ
1
2
¶
=
1
2
⇔
e
1
2
4+C
=
1
2
⇔C =2e
1
2
−4 ⇒ f (x) =
e
x
4
…
1
x
−1+2e
1
2
−4
.
Vậy f
µ
1
5
¶
≈0,167.
Chọn đáp án D ä
Th.s Nguyễn Chín Em 522 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 102. Cho hàm số f (x) xác định trên (0;+∞) và thỏa mãn x · f
0
(x ) = −[f (x)]
2
·ln x; f (1) = 1. Giá trị
f (e) bằng
A.
1
2
. B.
2e
3
. C.
e
2
. D.
2
3
.
- Lời giải.
Ta có
x · f
0
(x ) =−[f (x)]
2
·lnx
⇔
f
0
(x )
[f (x)]
2
=−
ln x
x
⇔
µ
1
f (x)
¶
0
=
ln x
x
⇔
1
f (x)
=
Z
ln x
x
dx =
ln
2
x
2
+C.
Do f (1) =1 ⇒ C =1 ⇒ f (x) =
2
ln
2
x +2
. Vậy f (e) =
2
3
.
Chọn đáp án D ä
Câu 103.
Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên R và đồ thị hàm số
f (x) như hình vẽ bên. Biết rằng hàm số f (x) đạt cực đại tại điểm x = 1; đường
thẳng ∆ trong hình vẽ bên là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
x =2. Tích phân
ln3
Z
0
e
x
f
00
µ
e
x
+1
2
¶
dx bằng
A. 8. B. 4. C. 3. D. 6.
x
y
O
1
y = f (x)
∆
2
−3
- Lời giải.
Ta có phương trình tiếp tuyến ∆ là y = f
0
(2)(x −2)+ f (2) =3x −3.
Suy ra f
0
(2) =3 và 2f
0
(2)− f (2) =3.
Do hàm số đạt cực đại tại điểm x =1 nên f
0
(1) =0.
Đặt t =
e
x
+1
2
khi đó I =
ln3
Z
0
e
x
f
00
µ
e
x
+1
2
¶
dx =2
2
Z
1
f
00
(t)dt =2f
0
(2)−2f
0
(1) =6.
Chọn đáp án D ä
Câu 104. Cho hàm số f (x) liên tục trên R. Biết
ln2
Z
0
f
¡
e
x
+1
¢
dx = 5 và
3
Z
2
(2x −3)f (x)
x −1
dx = 3. Tính I =
3
Z
2
f (x)dx.
A. I =2. B. I =4. C. I =−2. D. I =8.
- Lời giải.
Xét tích phân
ln2
Z
0
f
¡
e
x
+1
¢
dx =5.
Th.s Nguyễn Chín Em 523 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt t =e
x
+1. Ta có
dt =e
x
dx ⇒dx =
1
t −1
·dt.
x =0 ⇒ t =2, x =ln2 ⇒ t =3.
Do đó
5 =
ln2
Z
0
f
¡
e
x
+1
¢
dx =
3
Z
2
f (t)
t −1
dt.
Mặt khác
3 =
3
Z
2
(2x −3)f (x)
x −1
dx =
3
Z
2
(2x −2−1)f (x)
x −1
dx =
3
Z
2
·
2f (x)−
f (x)
x −1
¸
dx
= 2
3
Z
2
f (x)dx −
3
Z
2
f (x)
x −1
dx =2I −5.
Vậy I =4.
Chọn đáp án B ä
Câu 105. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên R, thỏa mãn f
¡
x
5
+4x +3
¢
=2x +1,∀x ∈ R. Tích
phân
8
Z
−2
f (x)dx bằng
A. 10. B. 2. C.
32
3
. D. 72.
- Lời giải.
Đặt t = x
5
+4x +3 ⇒dt =(5x
4
+4)dx .
Đổi cận x =−1 ⇒ t =−2, x =1 ⇒ t =8.
Suy ra
8
Z
−2
f (t)dt =
1
Z
−1
(5x
4
+4)f
¡
x
5
+4x +3
¢
dx =
1
Z
−1
(5x
4
+4)(2x +1)dx =10.
Vậy
8
Z
−2
f (x)dx =10.
Chọn đáp án A ä
Câu 106. Cho y = f (x ), y = g(x) là hai hàm số liên tục trên [1;3] thỏa mãn:
3
Z
1
[f (x)+3g(x)]dx =10,
3
Z
1
[2f (x)−g(x)]dx =6.
Tính
3
Z
1
[f (x)+g(x)]dx.
A. 7. B. 8. C. 6. D. 9.
- Lời giải.
Theo giả thiết
3
Z
1
[f (x)+3g(x)]dx =10
3
Z
1
[2f (x)−g(x)]dx =6
⇔
3
Z
1
f (x)dx +3
3
Z
1
g(x)dx =10
2
3
Z
1
f (x)dx −
3
Z
1
g(x)dx =6
⇔
3
Z
1
f (x)dx =4
3
Z
1
g(x)dx =2.
Th.s Nguyễn Chín Em 524 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
⇒
3
Z
1
[f (x)+g(x)]dx =
3
Z
1
f (x)dx +
3
Z
1
g(x)dx =6.
Chọn đáp án C ä
Câu 107. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f (1) =0 và
1
Z
0
x
2018
f (x)dx =2.
Giá trị của
1
Z
0
x
2019
f
0
(x )dx bằng
A. −4038. B.
2
2019
. C. 4038. D. −
2
2019
.
- Lời giải.
Đặt
u = x
2019
dv = f
0
(x )dx
, ta được
u
0
=2019x
2018
Chọn v = f (x)
. Khi đó, ta có
I =
1
Z
0
x
2019
f
0
(x )dx
= x
2019
f (x)
¯
¯
¯
1
0
−2019
1
Z
0
x
2018
f (x)dx
= −2019·2
= −4038.
Chọn đáp án A ä
Câu 108.
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị của hàm số y = f (x)
như hình vẽ bên. Khi đó tổng
Z
4
0
f
0
(x −2)dx +
Z
2
0
f
0
(x +2)dx bằng
A. 2. B. −2. C. 6. D. 10.
x
y
−2 2 4
O
−2
2
4
- Lời giải.
Dựa vào đồ thị hàm số có f (−2) =−2, f (2) =2, f (4) =4.
Đặt t = x −2 ⇒ dt = dx và
Z
4
0
f
0
(x −2)dx =
Z
2
−2
f
0
(t)dt = f (2) − f (−2) =2−(−2) =4.
Đặt t = x +2 ⇒dt = dx và
Z
2
0
f
0
(x +2)dx =
Z
4
2
f
0
(t)dt = f (4) − f (2) =4−2 =2.
Vậy
Z
4
0
f
0
(x −2)dx +
Z
2
0
f
0
(x +2)dx =6.
Chọn đáp án
C ä
Câu 109. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R sao cho f
0
(x ) = f
0
(1−x), ∀x ∈R và f (0) =1, f (1) =2019.
Giá trị của I =
1
Z
0
f (x)dx bằng
A. 2020. B. 2019. C. 1010. D.
p
2019.
Th.s Nguyễn Chín Em 525 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có
Z
f
0
(x )dx =
Z
f
0
(1−x)dx ⇔ f (x) =−f (1−x) +C ⇔ f (x)+ f (1 −x) =C.
Khi đó f (0)+ f (1) =C ⇒C =2020 ⇒ f (x) + f (1−x) =2020.
Đặt t =1−x ⇒dt =−dx.
Với x =0 ⇒ t =1; x =1 ⇒ t =0.
Ta có
1
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
f (t)dt =
0
Z
1
f (1−x)(−dx) =
1
Z
0
f (1−x)dx.
Do đó 2I =
1
Z
0
f (x)dx +
1
Z
0
f (1−x)dx =
1
Z
0
2020dx ⇒ I =
2020
2
=1010.
Chọn đáp án C ä
Câu 110. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R. Tập hợp các số thực m thỏa mãn
m
Z
0
f (x)dx =
m
Z
0
f (m −x )dx
là
A. (0;+∞). B. (−∞;0). C. R \
{
0
}
. D. R.
- Lời giải.
Với m bất kì, đặt t = m −x ⇒ dt =−dx.
Đổi cận: x =0 ⇒ t = m, x = m ⇒wt =0.
Nên
m
Z
0
f (m −x)dx =−
0
Z
m
f (t)dt =
m
Z
0
f (t)dt =
m
Z
0
f (x)dx. Do đó m ∈R.
Chọn đáp án D ä
Câu 111. Cho f (x ) xác định, liên tục trên đoạn
[
0;4
]
thỏa mãn f (x)+ f (4 −x) =−x
2
+4x . Giá trị của tích
phân I =
4
Z
0
f (x)dx bằng
A. 32. B.
16
3
. C.
32
3
. D. 16.
- Lời giải.
Trong tích phân I, ta đặt t =4−x ⇒ dt =−dx.
Với x =0 ⇒ t =4; với x =4 ⇒ t =0.
Tích phân trở thành I =
0
Z
4
f (4−t)(−dt). Hay I =
4
Z
0
f (4−x)dx.
Từ đó suy ra I +I =
4
Z
0
(
f (x) + f (4−x)
)
dx =
4
Z
0
(−x
2
+4x)dx =
µ
−
x
3
3
+2x
2
¶
¯
¯
¯
4
0
=
32
3
.
Vậy I =
16
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 112. Cho
π
2
Z
−
π
2
cos x +3
2
x
+1
dx = a +
bπ
2
(a,b ∈Z). Giá trị của a +b
2
bằng
A. 10. B. 4. C. −2. D. 2.
- Lời giải.
Ta có
π
2
Z
−
π
2
cos x +3
2
x
+1
dx =
0
Z
−
π
2
cos x +3
2
x
+1
dx +
π
2
Z
0
cos x +3
2
x
+1
dx .
Th.s Nguyễn Chín Em 526 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt t =−x ⇒ dt =−dx. Đổi cận x =−
π
2
⇒ t =
π
2
và x =0 ⇒ t =0.
Khi đó
0
Z
−
π
2
cos x +3
2
x
+1
dx =−
0
Z
π
2
2
t
(cos t +3)
2
t
+1
dt =
π
2
Z
0
2
t
(cos t +3)
2
t
+1
dt.
Suy ra
π
2
Z
−
π
2
cos x +3
2
x
+1
dx =
π
2
Z
0
2
x
(cos x +3)
2
x
+1
dx +
π
2
Z
0
cos x +3
2
x
+1
dx
=
π
2
Z
0
(cos x +3)dx =(sin x +3x)
¯
¯
¯
π
2
0
=1 +
3π
2
.
Vậy a =1,b =3 ⇒ a +b
2
=10.
Chọn đáp án A ä
Câu 113. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và 3f (−x)−2f (x) =tan
2
x. Tính
π
4
Z
−
π
4
f (x)dx.
A. 1−
π
2
. B.
π
2
−1. C. 1+
π
4
. D. 2 −
π
2
.
- Lời giải.
Theo đề bài ta có 3f (−x)−2f (x) =tan
2
x. (1)
Thay x bởi −x ta được: 3f (x)−2f (−x) =tan
2
(−x) =tan
2
x. (2)
Từ (1) và (2) suy ra f (x) =tan
2
x. Khi đó
I =
π
4
Z
−
π
4
f (x)dx =
π
4
Z
−
π
4
tan
2
xdx =2
π
4
Z
0
tan
2
xdx =2
π
4
Z
0
£¡
1+tan
2
x
¢
−1
¤
dx
= 2
π
4
Z
0
µ
1
cos
2
x
−1
¶
dx = 2(tan x −x)
|
π
4
0
=2 −
π
2
.
Chọn đáp án D ä
Câu 114. Cho
1
Z
0
xdx
(
x +2
)
2
=a +b ln2+c ln3 với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a +b +c bằng
A. −2. B. −1. C. 2. D. 1.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
xdx
(x +2)
2
=
1
Z
0
1
x +2
dx −
1
Z
0
2
(x +2)
2
dx
= ln
|
x +2
|
¯
¯
¯
¯
1
0
+
2
x +2
¯
¯
¯
¯
1
0
=ln3−ln2 −
1
3
.
Nên a =−
1
3
, b =−1, c =1. Suy ra 3a +b +c =−1.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 527 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 115. Cho
55
Z
16
dx
x
p
x +9
= a ln2 + b ln5 + c ln11 với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A. a −b =−c. B. a +b = c. C. a +b =3c. D. a −b =−3c .
- Lời giải.
Đặt t =
p
x +9 ⇒ t
2
= x +9 ⇒2t dt = dx.
Đổi cận: x =16 ⇒ t =5 ; x =55 ⇒ t =8.
Ta có
55
Z
16
dx
x
p
x +9
=
8
Z
5
2t dt
(t
2
−9)t
=2
8
Z
5
dt
t
2
−9
=
1
3
8
Z
5
dt
t −3
−
8
Z
5
dt
t +3
=
1
3
(
ln
|
x −3
|
−ln
|
x +3
|
)
¯
¯
¯
8
5
=
2
3
ln2+
1
3
ln5−
1
3
ln11.
.
Vậy a =
2
3
, b =
1
3
, c =−
1
3
. Mệnh đề a −b =−c đúng.
Chọn đáp án A
ä
Câu 116. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (2) =−
2
9
và f
0
(x ) =2x
[
f (x)
]
2
với mọi x ∈R. Giá trị của f (1) bằng
A. −
35
36
. B. −
2
3
. C. −
19
36
. D. −
2
15
.
- Lời giải.
Ta có f
0
(x ) =2x
[
f (x)
]
2
f (x)6=0
⇔
f
0
(x )
[
f (x)
]
2
=2x ⇔
·
1
f (x)
¸
0
=−2x ⇔
1
f (x)
=−x
2
+C.
Từ f (2) =−
2
9
suy ra C =−
1
2
.
Do đó f (1) =
1
−1
2
+
µ
−
1
2
¶
=−
2
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 117. Cho
21
Z
5
dx
x
p
x +4
=a ln3 +b ln5+c ln7 với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a +b =−2c. B. a +b = c . C. a −b =−c. D. a −b =−2c.
- Lời giải.
Đặt t =
p
x +4 ⇒
x = t
2
−4
dx =2t dt.
Đổi cận
x =5 ⇒ t =3
x =21 ⇒ t =5.
Do đó
I =
5
Z
3
2dt
(t −2)(t +2)
=
1
2
5
Z
3
µ
1
t −2
−
1
t +2
¶
dt
=
1
2
(
ln|t −2|−ln|t +2|
)
¯
¯
5
3
=
1
2
(ln3−ln7+ln5).
⇒a =
1
2
,b =
1
2
, c =−
1
2
.
Do đó a +b =−2c .
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 528 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 118. Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy
luật v(t ) =
1
150
t
2
+
59
75
t (m/s), trong đó t (s) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng
thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3
giây so với A và có gia tốc bằng a (m/s
2
) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 12 giây thì đuổi kịp A.
Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng
A. 20 (m/s). B. 16 (m/s). C. 13 (m/s). D. 15 (m/s).
- Lời giải.
Từ đề bài, ta suy ra từ lúc chất điểm A chuyển động đến lúc bị chất điểm B bắt kịp thì A đi được 15 giây, B
đi được 12 giây.
Biểu thức vận tốc của chất điểm B có dạng v
B
(t) =
Z
adt =a ·t +C, lại có v
B
(0) =0 nên v
B
(t) = at.
Từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến lúc bị chất điểm B bắt kịp thì quãng đường hai chất điểm
đi được là bằng nhau, nghĩa là
15
Z
0
µ
1
150
t
2
+
59
75
t
¶
dt =
12
Z
0
atdt ⇔96 =72a ⇔a =
4
3
.
Do đó, vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng v
B
(12) =
4
3
·12 =16 (m/s).
Chọn đáp án B ä
Câu 119. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (2) = −
1
25
và f
0
(x ) = 4x
3
[f (x)]
2
với mọi x ∈ R. Giá trị của f (1)
bằng
A. −
41
400
. B. −
1
10
. C. −
391
400
. D. −
1
40
.
- Lời giải.
Ta có f
0
(x ) =4x
3
[f (x)]
2
⇒−
f
0
(x )
[
f (x)
]
2
=−4x
3
⇒
·
1
f (x)
¸
0
=−4x
3
⇒
1
f (x)
=−x
4
+C.
Do f (2) =−
1
25
nên ta có C =−9. Do đó f (x) =−
1
x
4
+9
⇒ f (1) =−
1
10
.
Chọn đáp án B ä
Câu 120. Cho
e
Z
1
(2+xln x)dx =ae
2
+b·e+c với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a +b =−c. B. a +b = c. C. a −b = c. D. a −b =−c.
- Lời giải.
Ta có
e
Z
1
(2+xln x)dx =
e
Z
1
2dx +
e
Z
1
xln xdx =2x
¯
¯
¯
e
1
+I =2e −2+I với I =
e
Z
1
xln xdx.
Đặt
u =ln x
dv = xdx
⇒
du =
1
x
dx
v =
x
2
2
.
Khi đó I =
x
2
2
ln x
¯
¯
¯
e
1
−
e
Z
1
x
2
dx =
e
2
+1
4
.
Suy ra
e
Z
1
(2+xln x)dx =
1
4
e
2
+2e−
7
4
⇒
a =
1
4
b =2
c =−
7
4
⇒a −b = c.
Th.s Nguyễn Chín Em 529 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án C ä
Câu 121.
Hàm số y = f (x ) có đồ thị trên đoạn [−1;4] như hình bên. Khi đó
17
4
Z
0
f
µ
x −
1
2
¶
dx bằng bao nhiêu?
A.
5
2
. B. 5. C.
19
4
. D.
9
4
.
x
y
O
3
4
1 2−1
2
- Lời giải.
Dựa vào đồ thị của hàm số y = f (x) trên đoạn [−1;4] ta có f (x) =
2x +2 khi −1 ≤ x ≤0
2 khi 0 ≤ x ≤1
−2x +4 khi 1 ≤ x ≤2
−x +2 khi 2 ≤ x ≤3
−1 khi 3 ≤ x ≤4.
Xét I =
17
4
Z
0
f
µ
x −
1
2
¶
dx .
Đặt t = x −
1
2
. Khi đó dt =dx.
Với x =0 thì t =−
1
2
và với x =
17
4
thì t =
15
4
.
Do đó
I =
15
4
Z
−
1
2
f (t)dt =
0
Z
−
1
2
(2t +2)dt +
1
Z
0
2dt +
2
Z
1
(−2t +4)dt +
3
Z
2
(−t +2)dt +
15
4
Z
3
(−1)dt
=
3
4
+2+1 −
1
2
−
3
4
=
5
2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 122. Giá trị của tích phân I =
Z
π
2
0
cos x dx
p
1+3sinx
là
A. I =
1
3
. B. I =
2
3
. C. I =1. D. I =
4
3
.
- Lời giải.
Đặt t =
p
1+3sinx ⇒ t
2
=1 +3sin x ⇒2tdt =3cos x dx ⇒cos x dx =
2
3
tdt.
Đổi cận: x =0 ⇒ t =1; x =
π
2
⇒ t =2.
Khi đó, I =
Z
2
1
2
3
tdt
t
=
2
3
Z
2
1
dt =
2
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 123. Cho a và b là hai số hữu tỷ tỏa mãn I =
³
π
2
´
2
Z
0
2cos
p
xdx =aπ+b. Giá trị của biểu thức a
b
là
A. 0,0625. B. 4. C. 0,125. D. 0,625.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 530 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt t =
p
x ⇒ x = t
2
⇒ dx =2tdt.
Đổi cận
x =0 ⇒ t =0
x =
³
π
2
´
2
⇒ t =
π
2
.
I =
³
π
2
´
2
Z
0
2cos
p
xdx =
π
2
Z
0
2cos t ·2tdt =
z
2
Z
0
4t d(sint)
= 4tsin t
¯
¯
¯
π
2
0
−
π
2
Z
0
sin t d(4t)
= 2π −4
π
2
Z
0
sin t dt =2π −4
Suy ra a =2, b =−4. Vậy a
b
=2
−4
=0,0265.
Chọn đáp án A ä
Câu 124. Cho
3
Z
0
x
4+2
p
x +1
dx =
a
3
+b ln2 + c ln3 với a , b, c là các số nguyên. Tìm tổng giá trị của
a +b +c.
A. 1. B. 2. C. 7. D. 9.
- Lời giải.
Đặt t =
p
x +1 ⇒ t
2
= x +1 ⇒ x = t
2
−1 ⇒ dx =2t dt.
Đổi cận x =0 ⇒ t =2; x =3 ⇒ t =4.
Khi đó
3
Z
0
x
4+2
p
x +1
dx =
2
Z
1
t
2
−1
4+2t
·2t dt
=
2
Z
1
t
3
−t
t +2
dt
=
2
Z
1
µ
t
2
−2t +3−
6
t +2
¶
dt
=
µ
t
3
3
−t
2
+3t −6ln
|
t +2
|
¶
¯
¯
¯
¯
2
1
=
7
3
−12ln2+6ln3.
Suy ra
a =7
b =−12
c =6
⇒a +b +c =1.
Chọn đáp án A ä
Câu 125. Cho
1
Z
0
xdx
(x +2)
2
=a +b ln2+c ln3 với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a +b +c bằng
A. −2. B. −1. C. 2. D. 1.
Th.s Nguyễn Chín Em 531 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
1
Z
0
xdx
(x +2)
2
=
1
Z
0
x +2−2
(x +2)
2
dx
=
1
Z
0
x +2
(x +2)
2
dx −
1
Z
0
2
(x +2)
2
dx
=
1
Z
0
1
x +2
dx −
1
Z
0
2
(x +2)
2
dx
=ln
|
x +2
|
¯
¯
¯
1
0
+
2
x +2
¯
¯
¯
1
0
=ln3−ln2 −
1
3
.
Nên a =−
1
3
, b =−1, c =1, suy ra 3a +b +c =−1.
Chọn đáp án B ä
Câu 126. Tích phân
π
2
Z
0
¡
sin
p
x −cos
p
x
¢
dx = A +Bπ. Tính A +B.
A. 7. B. 6. C. 5. D. 4.
- Lời giải.
Đặt y =
p
x ⇒ t
2
= x ⇒2tdt = dx.
Đổi cận x =0 ⇒ t =0; x =π
2
⇒ t =π Suy ra I =2
π
Z
0
(sin t −cos t)t dt.
Đặt u = t; dv =(sint −cos t )dt ⇒ du = dt;v =−cos t −sint.
I =2
t(−cos t −sint)
¯
¯
¯
π
0
+
π
Z
0
(cos t +sin t)dt
=2
h
π +(sint −cost)
¯
¯
¯
π
0
i
=4 +2π.
Nên A =4; B =2 ⇒ A +B =6.
Chọn đáp án B ä
Câu 127. Cho hai hàm số f (x) và f (−x) liên tục trên R và thỏa mãn 2f (x) +3f (−x) =
1
4+x
2
. Tính I =
2
Z
−2
f (x)dx.
A. I =
π
20
. B. I =
π
10
. C. I =−
π
20
. D. I =−
π
10
.
- Lời giải.
Đặt t =−x ⇒dx =−dt.
Đổi cận x =−2 ⇒ t =2; x =2 ⇒ t =−2, ta có
I =−
−2
Z
2
f
(
−t
)
dt =
2
Z
−2
f
(
−x
)
dx .
Theo bài ra ta có
2f
(
x
)
+3f
(
−x
)
=
1
4+x
2
⇔2
2
Z
−2
f
(
x
)
dx +3
2
Z
−2
f
(
−x
)
dx =
2
Z
−2
1
4+x
2
dx
Th.s Nguyễn Chín Em 532 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
⇔3I +2I =
2
Z
−2
1
4+x
2
dx
⇔ I =
1
5
2
Z
−2
1
4+x
2
dx .
Đặt x =2tan u ta có dx =2
1
cos
2
u
du =2
¡
1+tan
2
u
¢
du.
Đổi cận x =−2 ⇒ u =−
π
4
; x =2 ⇒ u =
π
4
, ta có
I =
1
5
π
4
Z
−
π
4
2
¡
1+u
2
¢
4+4tan
2
u
du =
1
10
π
4
Z
−
π
4
du =
1
10
u
¯
¯
¯
¯
π
4
−
π
4
=
1
10
³
π
4
+
π
4
´
=
π
20
.
Chọn đáp án A ä
Câu 128. Cho hàm số y = f
(
x
)
có f
0
(
x
)
liên tục trên
[
0;2
]
và f
(
2
)
=16;
2
Z
0
f
(
x
)
dx =4 . Tính I =
1
Z
0
x f
0
(
2x
)
dx
.
A. I =7. B. I =20. C. I =12. D. I =13.
- Lời giải.
Đặt t =2x ⇒dt =2dx.
Đổi cận x =0 ⇒ t =0; x =1 ⇒ t =2, ta có
I =
2
Z
0
t
2
f
0
(t)
1
2
dt =
1
4
2
Z
0
t f
0
(t)dt.
Đặt
u = t
dv = f
0
(t)dt
⇒
du =dt
v = f (t)
, ta có
I =
1
4
t f (t)
¯
¯
¯
2
0
−
2
Z
0
f (t)dt
=
1
4
[
2f
(
2
)
−4
]
=
1
4
(
2·16−4
)
=7.
Chọn đáp án A ä
Câu 129. Biết tích phân
ln6
Z
0
e
x
1+
p
e
x
+3
dx = a+b ln2+c ln3, với a, b, c là các số nguyên. Tính T = a +b+
c.
A. T =−1. B. T =0. C. T =2. D. T =1.
- Lời giải.
Đặt t =
p
e
x
+3 ta có t
2
=e
x
+3, suy ra 2t dt =e
x
dx .
Đổi cận
x 0 ln6
t 2 3
. Tích phân ban đầu trở thành
3
Z
2
2t
1+t
dx =
3
Z
2
µ
2−
2
t +1
¶
dt =
(
2t −2ln|1+t|
)
¯
¯
¯
3
2
=6 −2ln4 −(4−2ln3) =2−4ln2+2ln3.
Đồng nhất hệ số, ta có a =2, b =−4, c =2. Vậy T = a +b +c =0.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 533 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 130. Cho hàm số f (x) thỏa mãn [(f
0
(x )]
2
+ f (x)f
00
(x ) =15x
4
+12x, ∀x ∈R và f (0) = f
0
(0) =1. Giá trị
của [f (1)]
2
là
A. 8. B.
5
2
. C. 10. D.
9
2
.
- Lời giải.
Ta có
£
f (x) · f
0
(x )
¤
0
=
£
f
0
(x )
¤
2
+ f (x)· f
00
(x ) do đó,
£
f (x) · f
0
(x )
¤
0
=15x
4
+12x, suy ra
f (x) · f
0
(x ) =3x
5
+6x
2
+C,
cho x =0 suy ra C =1 nên ta được f (x)· f
0
(x ) =3x
5
+6x
2
+1. (1)
Lấy nguyên hàm hai vế của (1) ta có
Z
f (x) · f
0
(x )dx =
Z
(3x
5
+6x
2
+1)dx
⇒
[f (x)]
2
2
=3 ·
x
6
6
+6·
x
3
3
+x +C
1
⇒ [f (x)]
2
= x
6
+4x
3
+2x +C
0
,
cho x =0 suy ra C
0
=1.
Vậy [f (x)]
2
= x
6
+4x
3
+2x +1 ⇒[f (1)]
2
=8.
Chọn đáp án A ä
Câu 131. Cho hàm số y = f (x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn f (2) =−2,
2
Z
0
f (x)dx =1. Tính tích
phân I =
3
Z
−1
f
0
(
p
x +1)dx.
A. I =−5. B. I =0. C. I =−18. D. I =−10.
- Lời giải.
Đặt t =
p
x +1 ⇒ t
2
= x +1 ⇒2t dt = dx.
Đổi cận x =−1 ⇒ t =0, x =3 ⇒ t =2.
Vậy
3
Z
−1
f
0
(
p
x +1)dx =2
2
Z
0
t · f
0
(t)dt.
Chọn
u = t
dv = f
0
(t)dt
⇒
du = dt
v = f (t).
Khi đó
2
Z
0
t · f
0
(t)dt = t · f (t)
¯
¯
¯
2
0
−
2
Z
0
f (t)dt =2f (2)−1 =−5.
Vậy I =−10.
Chọn đáp án D ä
Câu 132. Cho hàm số f (x) =
ax +1, x ≥1
x
2
+b, x <1
, với a, b là các số thực. Biết rằng f (x) liên tục và có đạo hàm
trên R. Tính
2
Z
−1
f (x)dx.
A. I =
19
3
. B. I =
25
3
. C. I =
1
3
. D. I =
26
3
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 534 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Do hàm số liên tục và có đạo hàm trên R ⇒hàm số liên tục và có đạo hàm tại x =1 ⇔
lim
x→1
+
f (x) = lim
x→1
−
f (x) = f (1)
f
0
(1
−
) = f
0
(1
+
).
Hay ta có hệ
a +1 =1+b
a =2
⇔
a =2
b =2
⇒ f (x) =
2x +1, x ≥1
x
2
+2, x <1.
Do đó ta có
2
Z
−1
f (x)dx =
1
Z
−1
f (x)dx +
2
Z
1
f (x)dx
=
1
Z
−1
¡
x
2
+2
¢
dx +
2
Z
1
(2x +1)dx
=
26
3
.
Vậy
2
Z
−1
f (x)dx =
26
3
.
Chọn đáp án D ä
Câu 133. Biết
π
3
Z
π
4
1
cos
4
+cos
3
xsin x
dx = a(2−
p
3)+b ln2+c ln
³
1+
p
3
´
, với a,b, c là các số hữu tỉ. Giá trị
của abc bằng
A. 0. B. −2. C. −4. D. −6.
- Lời giải.
Ta có:
π
3
Z
π
4
1
cos
4
x +cos
3
xsin x
dx =
π
3
Z
π
4
1
cos
2
x
¡
cos
2
x +sinx cosx
¢
dx
=
π
3
Z
π
4
¡
1+tan
2
x
¢
.
(1+tan
2
x)
1+tanx
dx
Đặt t =1+tanx ta được dt =
¡
1+tan
2
x
¢
dx, đổi cận x =
π
4
⇒ t =2, x =
π
3
⇒ t =1 +
p
3. Ta được,
π
3
Z
π
4
¡
1+tan
2
x
¢
.
(1+tan
2
x)
1+tanx
dx =
1+
p
3
Z
2
µ
t −2+
2
t
¶
dt
=
µ
t
2
2
−2t +2ln t
¶
¯
¯
¯
1+
p
3
2
=2 −
p
3−2ln2+2ln
³
1+
p
3
´
.
Từ đây ta suy ra a(2−
p
3)+b ln2+c ln
¡
1+
p
3
¢
=2 −
p
3−2ln2+2ln
¡
1+
p
3
¢
.
Do đó a =1,b =−2, c =2 suy ra abc =−4.
Chọn đáp án C ä
Câu 134. Cho F(x) =
1
2x
2
là một nguyên hàm của hàm số
f (x)
x
. Tìm nguyên hàm của hàm số f
0
(x )lnx.
Th.s Nguyễn Chín Em 535 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A.
Z
f
0
(x )lnxdx =−
µ
ln x
x
2
+
1
2x
2
¶
+C. B.
Z
f
0
(x )lnxdx =
ln x
x
2
+
1
x
2
+C.
C.
Z
f
0
(x )lnxdx =−
µ
ln x
x
2
+
1
x
2
¶
+C. D.
Z
f
0
(x )lnxdx =
ln x
x
2
+
1
2x
2
+C.
- Lời giải.
Z
f
0
(x )lnxdx =
Z
ln x df (x) = f (x)ln x −
Z
f (x)
x
dx = f (x)ln x −
1
2x
2
+C. Mặt khác,
f (x)
x
=
µ
1
2x
2
¶
0
=⇒
f (x)lnx =−
ln x
x
2
. Vậy
Z
f
0
(x )lnxdx =−
µ
ln x
x
2
+
1
2x
2
¶
+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 135. Biết I =
4
Z
3
dx
x
2
+x
=a ln2+b ln3+c ln5, với a, b, c là các số nguyên. Tính S =a +b +c.
A. S =6. B. S =2. C. S =−2. D. S =0.
- Lời giải.
Ta có f (x) =
1
x
2
+x
=
1
x
−
1
x +1
⇒
Z
f (x)dx =ln|x|−ln|x +1|+C.
Vậy I =(ln|x|−ln|x +1|)
¯
¯
4
3
=4ln2−ln3−ln5nên a =4,b =−1, c =−1 ⇒S =2.
Chọn đáp án B ä
Câu 136. Cho
1
Z
0
1
e
x
+1
dx = a +b ln
1+e
2
, với a,b là các số hữu tỉ. Tính S = a
3
+b
3
.
A. S =2. B. S =−2. C. S =0. D. S =1.
- Lời giải.
1
Z
0
dx
e
x
+1
=
1
Z
0
(e
x
+1)−e
x
e
x
+1
dx =
1
Z
0
dx −
1
Z
0
d(e
x
+1)
e
x
+1
= x
¯
¯
¯
1
0
−ln|e
x
+1|
¯
¯
¯
1
0
=1 −ln
1+e
2
.
⇒
a =1
b =−1
⇒S = a
3
+b
3
=0.
Chọn đáp án C ä
Câu 137. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn f (x) + f (−x) =
p
2+2cos2x ,∀x ∈ R. Tính I =
3π
2
Z
−
3π
2
f (x)dx.
A. I =−6. B. I =0. C. I =−2. D. I =6.
- Lời giải.
Cách 1. Tự luận.
Đặt t =−x ⇒dt =−dx.
Đổi cận x =−
3π
2
⇒ t =
3π
2
; x =
3π
2
⇒ t =−
3π
2
. Suy ra I =
3π
2
Z
−
3π
2
f (−t)dt.
Mặt khác f (t)+ f (−t) =
p
2+2cos2t =
p
4cos
2
t =2
|
cos t
|
(thay x = t).
Ta có 2I =
3π
2
Z
−
3π
2
[
f (t) + f (−t)
]
dt =
3π
2
Z
−
3π
2
2
|
cos t
|
dt.
Th.s Nguyễn Chín Em 536 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Suy ra I =
3π
2
Z
−
3π
2
|
cos t
|
dt.
I =
3π
2
Z
−
3π
2
|
cos t
|
dt =2
3π
2
Z
0
|
cos t
|
dt.
³
Do
|
cos t
|
là hàm số chẵn trên đoạn
·
−
3π
2
;
3π
2
¸
´
=2
π
2
Z
0
|
cos t
|
dt +2
3π
2
Z
π
2
|
cos t
|
dt =2
π
2
Z
0
cos tdt −2
3π
2
Z
π
2
cos tdt =2sint
¯
¯
¯
π
2
0
−2sin t
¯
¯
¯
3π
2
π
2
=6.
Cách 2. Trắc nghiệm.
Ta có: f (x) + f (−x) =2
|
cos x
|
⇔ f (x)+ f (−x) =
|
cos x
|
+
|
cos(−x)
|
nên ta có thể chọn f (x) =
|
cos x
|
.
Suy ra I =
3π
2
Z
−
3π
2
|
cos x
|
dx =6 (bấm máy).
Chọn đáp án D ä
Câu 138. Biết I =
2
Z
1
dx
(x +1)
p
x +x
p
x +1
=
p
a −
p
b − c với a, b , c là các số nguyên dương. Tính P =
a +b +c.
A. P =24. B. P =12. C. P =18. D. P =46.
- Lời giải.
Ta có
p
x +1−
p
x 6=0, ∀x ∈[1;2] nên
I =
2
Z
1
dx
(x +1)
p
x +x
p
x +1
=
2
Z
1
dx
p
x(x +1)
¡
p
x +1+
p
x
¢
(*)
=
2
Z
1
¡
p
x +1−
p
x
¢
dx
p
x(x +1)
(
x +1−x
)
=
2
Z
1
¡
p
x +1−
p
x
¢
dx
p
x(x +1)
=
2
Z
1
µ
1
p
x
−
1
p
x +1
¶
dx =
³
2
p
x −2
p
x +1
´
¯
¯
¯
2
1
=
p
32−
p
12−2.
Mà I =
p
a −
p
b −c nên
a =32
b =12
c =2
. Suy ra P = a +b +c =32 +12+2 =46.
Lưu ý: giải đến bước (*), ta có thể đổi biến với t =
p
x +1+
p
x.
Chọn đáp án D ä
Câu 139. Cho
55
Z
16
dx
x
p
x +9
= a ln2 + b ln5 + c ln11 với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A. a −b =−c. B. a +b = c. C. a +b =3c. D. a −b =−3c .
- Lời giải.
Đặt t =
p
x +9 ⇒ t
2
= x +9 ⇒2t dt = dx.
Đổi cận: x =16 ⇒ t =5 ; x =55 ⇒ t =8.
Th.s Nguyễn Chín Em 537 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
55
Z
16
dx
x
p
x +9
=
8
Z
5
2t dt
(t
2
−9)t
=2
8
Z
5
dt
t
2
−9
=
1
3
8
Z
5
dt
t −3
−
8
Z
5
dt
t +3
=
1
3
(
ln
|
x −3
|
−ln
|
x +3
|
)
¯
¯
¯
8
5
=
2
3
ln2+
1
3
ln5−
1
3
ln11.
.
Vậy a =
2
3
, b =
1
3
, c =−
1
3
. Mệnh đề a −b =−c đúng.
Chọn đáp án A ä
Câu 140. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (2) =−
2
9
và f
0
(x ) =2x
[
f (x)
]
2
với mọi x ∈R. Giá trị của f (1) bằng
A. −
35
36
. B. −
2
3
. C. −
19
36
. D. −
2
15
.
- Lời giải.
Ta có f
0
(x ) =2x
[
f (x)
]
2
f (x)6=0
⇔
f
0
(x )
[
f (x)
]
2
=2x ⇔
·
1
f (x)
¸
0
=−2x ⇔
1
f (x)
=−x
2
+C.
Từ f (2) =−
2
9
suy ra C =−
1
2
.
Do đó f (1) =
1
−1
2
+
µ
−
1
2
¶
=−
2
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 141. Cho
21
Z
5
dx
x
p
x +4
=a ln3 +b ln5+c ln7 với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a +b =−2c. B. a +b = c . C. a −b =−c. D. a −b =−2c.
- Lời giải.
Đặt t =
p
x +4 ⇒
x = t
2
−4
dx =2t dt.
Đổi cận
x =5 ⇒ t =3
x =21 ⇒ t =5.
Do đó
I =
5
Z
3
2dt
(t −2)(t +2)
=
1
2
5
Z
3
µ
1
t −2
−
1
t +2
¶
dt
=
1
2
(
ln|t −2|−ln|t +2|
)
¯
¯
5
3
=
1
2
(ln3−ln7+ln5).
⇒a =
1
2
,b =
1
2
, c =−
1
2
.
Do đó a +b =−2c .
Chọn đáp án A ä
Câu 142. Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy
luật v(t ) =
1
150
t
2
+
59
75
t (m/s), trong đó t (s) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng
thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3
giây so với A và có gia tốc bằng a (m/s
2
) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 12 giây thì đuổi kịp A.
Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng
A. 20 (m/s). B. 16 (m/s). C. 13 (m/s). D. 15 (m/s).
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 538 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Từ đề bài, ta suy ra từ lúc chất điểm A chuyển động đến lúc bị chất điểm B bắt kịp thì A đi được 15 giây, B
đi được 12 giây.
Biểu thức vận tốc của chất điểm B có dạng v
B
(t) =
Z
adt =a ·t +C, lại có v
B
(0) =0 nên v
B
(t) = at.
Từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến lúc bị chất điểm B bắt kịp thì quãng đường hai chất điểm
đi được là bằng nhau, nghĩa là
15
Z
0
µ
1
150
t
2
+
59
75
t
¶
dt =
12
Z
0
atdt ⇔96 =72a ⇔a =
4
3
.
Do đó, vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng v
B
(12) =
4
3
·12 =16 (m/s).
Chọn đáp án B ä
Câu 143. Cho
e
Z
1
(2+xln x)dx =ae
2
+b·e+c với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a +b =−c. B. a +b = c. C. a −b = c. D. a −b =−c.
- Lời giải.
Ta có
e
Z
1
(2+xln x)dx =
e
Z
1
2dx +
e
Z
1
xln xdx =2x
¯
¯
¯
e
1
+I =2e −2+I với I =
e
Z
1
xln xdx.
Đặt
u =ln x
dv = xdx
⇒
du =
1
x
dx
v =
x
2
2
.
Khi đó I =
x
2
2
ln x
¯
¯
¯
e
1
−
e
Z
1
x
2
dx =
e
2
+1
4
.
Suy ra
e
Z
1
(2+xln x)dx =
1
4
e
2
+2e−
7
4
⇒
a =
1
4
b =2
c =−
7
4
⇒a −b = c.
Chọn đáp án
C ä
Câu 144. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (−x) = f (x),∀x ∈ R. Biểu thức
I =
1
Z
−1
f (x)
2
x
+1
dx bằng biểu thức nào trong các biểu thức sau đây?
A.
1
Z
−1
f (x)dx. B.
1
2
1
Z
−1
f (x)dx. C. −
1
Z
−1
f (x)dx. D. −
1
2
1
Z
−1
f (x)dx.
- Lời giải.
Đổi biến x =−t ⇒dx =−dt. Đổi cận x =−1 ⇒ t =1, x =1 ⇒ t =−1.
Khi đó I =−
−1
Z
1
f (−t)
2
−t
+1
dt =
1
Z
−1
2
r
f (t)
2
s
+1
dt ⇒ I =
1
Z
−1
2
x
f (x)
2
x
+1
dx .
Do đó 2I =
1
Z
−1
f (x)
2
x
+1
dx +
1
Z
−1
2
x
f (x)
2
x
+1
dx =
1
Z
−1
µ
2
x
f (x)
2
x
+1
+
f (x)
2
x
+1
¶
dx =
1
Z
−1
f (x)dx
⇒ I =
1
2
1
Z
−1
f (x)dx .
Th.s Nguyễn Chín Em 539 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án B ä
Câu 145. Cho biết tích phân I =
1
Z
0
(x +2)ln(x +1)dx = a ln2 +
−7
b
trong đó a, b là các số nguyên dương.
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A. a = b. B. a < b. C. a > b. D. a = b +3.
- Lời giải.
Đặt
u =ln(x +1)
dv =(x +2)dx
⇒
du =
1
x +1
dx
v =
x
2
2
+2x.
I =
·µ
x
2
2
+2x
¶
ln(x +1)
¸
¯
¯
¯
1
0
−
1
2
1
Z
0
x
2
+4x
x +1
dx
=
5
2
ln2−
1
2
1
Z
0
µ
x +3−
3
x +1
¶
dx
=
5
2
ln2−
1
2
·
x
2
2
+3x −3ln|x +1|
¸
¯
¯
¯
1
0
= 4ln2−
7
4
.
Suy ra a =4, b =4.
Vậy a = b.
Chọn đáp án A ä
Câu 146. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và có
3
Z
0
f (x)dx =8 và
5
Z
0
f (x)dx =4. Tính
1
Z
−1
f
(
|4x −1|
)
dx .
A.
9
4
. B.
11
4
. C. 3. D. 6.
- Lời giải.
Ta có
I =
1
Z
−1
f
(
|4x −1|
)
dx =
1
4
Z
−1
f
(
|4x −1|
)
dx +
1
Z
1
4
f
(
|4x −1|
)
dx =
1
4
Z
−1
f (1−4x)dx +
1
Z
1
4
f (4x +1)dx.
Xét I
1
=
1
4
Z
−1
f (1−4x)dx.
Đặt u =1−4x ⇒ dx =−
1
4
du .
Khi x =−1 thì u =5. Khi x =
1
4
thì u =0.
Nên I
1
=−
1
4
0
Z
5
f (u)du =
1
4
5
Z
0
f (u)du =
1
4
5
Z
0
f (x)dx =
1
4
·4 =1.
Xét I
2
=
1
Z
1
4
f (4x −1)dx.
Đặt t =4x −1 ⇒ dx =
1
4
dt.
Th.s Nguyễn Chín Em 540 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi x =
1
4
thì t =0. Khi x =1 thì t =3.
Nên I
2
=
1
4
3
Z
0
f (t)dt =
1
4
3
Z
0
f (x)dx =
1
4
·8 =2.
Vậy I = I
1
+I
2
=1 +2 =3.
Chọn đáp án C ä
Câu 147. Cho I =
4
Z
0
x
p
1+2xdx và u =
p
2x +1. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. I =
1
2
3
Z
1
x
2
(x
2
−1)dx . B. I =
3
Z
1
u
2
(u
2
−1)du.
C. I =
1
2
µ
u
5
5
−
u
3
3
¶
¯
¯
¯
3
1
. D. I =
1
2
3
Z
1
u
2
(u
2
−1)du.
- Lời giải.
I =
4
Z
0
x
p
1+2xdx
Đặt u =
p
2x +1 ⇒ x =
1
2
(u
2
−1) ⇒ dx = u du, đổi cận: x =0 ⇒ u =1, x =4 ⇒ u =3.
Khi đó I =
1
2
3
Z
1
(u
2
−1)u
2
du.
Chọn đáp án B ä
Câu 148. Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (x) = x · f
0
(x ) −2x
3
−3x
2
; f (1) =4. Tính f (2).
A. 10. B. 20. C. 15. D. 25.
- Lời giải.
Xét biểu thức −f (x)+x · f
0
(x ) =2x
3
+3x
2
. (∗)
Chia hai vế của (∗) cho x
2
, ta có
(∗) ⇔ −
1
x
2
· f (x)+
1
x
· f
0
(x ) =2x +3
⇔
·
1
x
· f (x)
¸
0
=2x +3.
⇒
Z
·
1
x
· f (x)
¸
0
dx =
Z
(2x +3)dx ⇒
f (x)
x
= x
2
+3x +C.
Mà f (1) =4 ⇒4 =4+C ⇔C =0.
⇒
f (x)
x
= x
2
+3x ⇒ f (x) = x
3
+3x
2
.
Vậy f (2) =2
3
+3·2
2
=20.
Phân tích
Biểu thức điều kiện ⇔−f (x)+x · f
0
(x ) =2x
3
+3x
2
. (∗)
Khi đó
[
u(x)· f (x)
]
0
= u
0
(x ) · f (x)+u(x ) · f
0
(x ) ≡−1· f (x)+x · f
0
(x ).
Với u(x ) 6=0 ⇒
−1
u
0
(x )
=
x
u(x)
⇒
u
0
(x )
u(x)
=
−1
x
.
⇒ln|u(x)|=−ln|x|=ln
¯
¯
¯
¯
1
x
¯
¯
¯
¯
⇒ u(x) =
1
x
.
Nên ta có
·
1
x
· f (x)
¸
0
=−
1
x
2
· f (x)+
1
x
· f
0
(x ).
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 541 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 149. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;5] và f (5) = 10,
5
Z
0
x f
0
(x )dx = 30. Tính
5
Z
0
f (x)dx.
A. −20. B. 70. C. 20. D. −30.
- Lời giải.
Đặt
u = x ⇒ du =dx
dv = f
0
(x )dx ⇒v = f (x)
5
Z
0
x · f
0
(x )dx =
[
x · f (x)
]
¯
¯
¯
5
0
−
5
Z
0
f (x)dx ⇔30 =5f (5)−
5
Z
0
f (x)dx
⇔
5
Z
0
f (x)dx =5f (5)−30 =20.
Chọn đáp án C ä
Câu 150. Cho biết
5
Z
−1
f (x)dx =15. Tính giá trị của P =
2
Z
0
[f (5−3x) +7]dx.
A. P =15. B. P =37. C. P =27. D. P =19.
- Lời giải.
Đặt t =5−3x ⇒ dt =−3dx ⇒ dx =−
1
3
dt.
Đổi cận: x =0 thì t =5; x =2 thì t =−1.
Ta có: P =
2
Z
0
[f (5−3x) +7]dx =
2
Z
0
f (5−3x)dx +
2
Z
0
7dx
=
−1
Z
5
f (t)
dt
−3
+7x
¯
¯
¯
2
0
=
1
3
5
Z
−1
f (t)dt +14
=
1
3
·15+14 =19.
Chọn đáp án D ä
Câu 151. Giả sử
Z
e
2x
(2x
3
+5x
2
−2x +4)dx =(ax
3
+bx
2
+cx +d)e
2x
+C.
Khi đó a +b +c +d bằng
A. −2. B. 3. C. 5. D. 2.
- Lời giải.
Ta có:
Z
f (x)dx =F(x)+C ⇒ F
0
(x ) = f (x) =e
2x
(2x
3
+5x
2
−2x +4)
Vậy F
0
(x ) =(3ax
2
+2bx +c)e
2x
+2(ax
3
+bx
2
+cx +d)e
2x
=(2ax
3
+(2b +3a)x
2
+(2c +2b)x +2d +c)e
2x
Vậy đồng nhất ta có hệ phương trình:
2a =2
2b +3a =5
2c +2b =−2
2d +c =4
⇔
a =1
b =1
c =−2
d =3.
Do đó a +b +c +d =3.
Chọn đáp án
B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 542 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 152. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [1;e], biết
e
Z
1
f (x)
x
dx =1, f (e) =1.
Ta có
e
Z
1
f
0
(x ) ·ln x dx bằng
A. I =4. B. I =3. C. I =1. D. I =0.
- Lời giải.
Xét
e
Z
1
f
0
(x ) ·ln x dx đặt
u =ln x
dv = f
0
(x )dx
⇒
du =
1
x
dx
v = f (x).
Khi đó
e
Z
1
f
0
(x ) ·ln x dx = f (x) ·ln x
¯
¯
¯
e
1
−
e
Z
1
f (x)
x
dx =1−1 =0.
Chọn đáp án D
ä
Câu 153. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để có
k
Z
1
(2x −1)dx =4 lim
x→0
p
x +1−1
x
.
A.
k =1
k =2
. B.
k =1
k =−2
. C.
k =−1
k =−2
. D.
k =−1
k =2
.
- Lời giải.
Ta có:
k
Z
1
(2x −1)dx =
1
2
k
Z
1
(2x −1)d(2x −1) =
(2x −1)
2
4
¯
¯
¯
k
1
=
(2k −1)
2
4
−
1
4
Mà 4 lim
x→0
p
x +1−1
x
=4 lim
x→0
¡
p
x +1−1
¢¡
p
x +1+1
¢
x
¡
p
x +1+1
¢
=4 lim
x→0
1
p
x +1+1
=2
Khi đó:
k
Z
1
(2x −1)dx =4 lim
x→0
p
x +1−1
x
⇔
(2k −1)
2
−1
4
=2 ⇔(2k −1)
2
=9 ⇔
k =2
k =−1
.
Chọn đáp án D ä
Câu 154. Cho
3
Z
0
x
4+2
p
x +1
dx =
a
3
+b ln2 + c ln3 với a , b, c là các số nguyên. Tìm tổng giá trị của
a +b +c.
A. 1. B. 2. C. 7. D. 9.
- Lời giải.
Đặt t =
p
x +1 ⇒ t
2
= x +1 ⇒ x = t
2
−1 ⇒ dx =2t dt.
Đổi cận: x =0 ⇒ t =2; x =3 ⇒ t =4.
Khi đó
2
Z
1
t
2
−1
4+2t
·2t dt =
2
Z
1
t
3
−t
t +2
dt =
2
Z
1
µ
t
2
−2t +3−
6
t +2
¶
dt
=
µ
t
3
3
−t
2
+3t −6ln|t +2|
¶
¯
¯
¯
2
1
=
7
3
−12ln2+6ln3
Suy ra
a =7
b =−12
c =6
⇒a +b +c =1.
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 543 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 155. Cho I =
π
4
Z
0
ln
(
sin x +2cos x
)
cos
2
x
dx = a ln3+b ln2 + cπ với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của abc
bằng
A.
15
8
. B.
5
8
. C.
5
4
. D.
17
8
.
- Lời giải.
Đặt
u =ln
(
sin x +2cos x
)
dv =
dx
cos
2
x
⇒
⇒
du =
cos x −2sin x
sin x +2cos x
dx
v =tan x +2 =
sin x +2cos x
cos x
.
Khi đó I =
[
(
tan x +2
)
ln
(
sin x +2cos x
)
]
¯
¯
¯
π
4
0
−
π
4
Z
0
µ
1+2
(
cos x
)
0
cos x
¶
dx
Suy ra I =3ln
3
p
2
2
−2ln2−
(
x +2ln
|
cos x
|
)
¯
¯
¯
π
4
0
=3ln
3
p
2
2
−2ln2−
π
4
−2ln
p
2
2
⇒ I =3ln3 −
5
2
ln2−
1
4
π ⇒ a =3, b =−
5
2
, c =−
1
4
.
Vậy abc =
15
8
.
Chọn đáp án A ä
Câu 156. Cho
2
Z
1
2
x
2
+2x
dx = aln2 +b ln3 với a,b là các số hữu tỷ. Giá trị của 2a +3b bằng
A. 5. B. 1. C. −1. D. −5.
- Lời giải.
2
Z
1
2
x
2
+2x
dx =
2
Z
1
2
x(x +2)
dx
=
2
Z
1
µ
1
x
−
1
x +2
¶
dx
=
(
ln|x|−ln|x +2|
)
¯
¯
¯
2
1
=ln
¯
¯
¯
x
x +2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2
1
= ln
2
4
−ln
1
3
=−ln2+ln3.
⇒a =−1,b =1.
Vậy 2a +3b =1.
Chọn đáp án B ä
Câu 157. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn f (3) = 7,
3
Z
0
f (x)dx = 3. Giá trị
1
Z
0
x f
0
(3x )dx bằng
A.
8
3
. B. 6. C. 8. D. 2.
- Lời giải.
Đặt t =3x ⇒ dt =3dx, khi đó x =0 ⇒ t =0, x =1 ⇒ t =3.
Ta có
1
Z
0
x f
0
(3x )dx =
3
Z
0
t
3
f
0
(t)dt =
1
3
3
Z
0
t · f
0
(t)dt =
I
3
Th.s Nguyễn Chín Em 544 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt
u = t ⇒ du =dt
dv = f
0
(t)dt ⇒v = f (t).
Khi đó I =
[
t · f (t)
]
¯
¯
¯
3
0
−
3
Z
0
f (t)dt =3f (3)−
3
Z
0
f (x)dx =21 −3 =18.
Vậy
1
Z
0
x f
0
(3x )dx =
I
3
=6.
Chọn đáp án B ä
Câu 158. Cho I =
3
Z
0
x −1
1+
p
1+x
dx = a+b ln2+c ln3. Trong đó a, b, c là những số hữu tỉ. Khi đó 3a+b+c
bằng
A. 0. B. 1. C. −2. D. −1.
- Lời giải.
Đặt t =1+
p
1+x ⇒ x =(t −1)
2
−1 = t
2
−2t ⇒ dx =(2t −2)dt.
Khi đó
I =
3
Z
0
x −1
1+
p
1+x
dx =
3
Z
2
t
2
−2t −1
t
·(2t −2)dt
= 2·
3
Z
2
µ
t
2
−3t +1+
1
t
¶
dt =2·
µ
t
3
3
−
3t
2
2
+t +ln|t|
¶
¯
¯
¯
3
2
= −
1
3
+2ln3−2ln2.
Từ đây ta suy ra: a =−
1
3
;b =2; c =−2 ⇒3a +b +c =−1.
Chọn đáp án D ä
Câu 159. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn x f (x)f
0
(x ) = f
2
(x ) − x, ∀x ∈ R và
f (2) =1. Tích phân
2
Z
0
f
2
(x )dx bằng
A.
3
2
. B.
4
3
. C. 2. D. 4.
- Lời giải.
Lấy tích phân hai vế trên đoạn [0;2] có:
2
Z
0
x f (x)f
0
(x )dx =
2
Z
0
f
2
(x )dx −
2
Z
0
xdx.
Tích phân từng phần có
2
Z
0
x f (x)f
0
(x )dx =
2
Z
0
xd
µ
1
2
f
2
(x )
¶
=
x
2
f
2
(x )
¯
¯
¯
2
0
−
2
Z
0
1
2
f
2
(x )dx = f
2
(2)−
1
2
2
Z
0
f
2
(x )dx.
Vậy f
2
(2)−
1
2
2
Z
0
f
2
(x )dx =
2
Z
0
f
2
(x )dx −
2
Z
0
xdx.
Từ đó suy ra
2
Z
0
f
2
(x )dx =
f
2
(2)+
2
Z
0
xdx
3
2
=
1
2
+2
3
2
=2.
Th.s Nguyễn Chín Em 545 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án C ä
Câu 160. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn
e
6
Z
1
f
¡
ln
p
x
¢
x
dx = 6 và
π
1
Z
0
f
¡
cos
2
x
¢
sin2x dx = 2. Tích
phân
3
Z
1
(f (x)+2)dx bằng ?
A. 10. B. 16. C. 9. D. 5.
- Lời giải.
Đặt t =ln
p
x ⇒ t =
1
2
ln x ⇒ dt =
1
2x
dx .
Khi đó, 6 =
e
6
Z
1
f
¡
ln
p
x
¢
x
dx =2
3
Z
0
f (t)dt =2
3
Z
0
f (x)dx ⇒
3
Z
0
f (x)dx =3.
Đặt t =cos
2
x ⇒ dt =−sin2x dx.
Mà 2 =
π
2
Z
0
f
¡
cos
2
x
¢
sin2x dx =
0
Z
1
f (t)(−dt) =
1
Z
0
f (t)dt ⇒
1
Z
0
f (x)dx =2.
Vậy
3
Z
1
(f (x)+2)dx =
3
Z
1
f (x)dx +2
3
Z
1
dx =
3
Z
0
f (x)dx −
1
Z
0
f (x)dx +4 =3−2+4 =5.
Chọn đáp án D ä
Câu 161. Cho hàm số f (x) = ax
3
+bx
2
+cx +d có đồ thị (C) và M là một điểm bất kì thuộc (C) sao cho
tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm thứ hai N; tiếp tuyến của (C) tại N cắt (C) tại điểm thứ ba P.
Gọi S
1
, S
2
lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng MN và (C); đường thẳng NP và (C).
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. S
1
=8S
2
. B. S
2
=8S
1
. C. S
2
=16S
1
. D. S
1
=16S
2
.
- Lời giải.
Ta có
2x
M
+x
N
=−
b
a
2x
N
+x
P
=−
b
a
⇔
x
N
=−
b
a
−2x
M
x
P
=
b
a
+4x
M
.
Khi đó
S
1
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
x
N
Z
x
M
[a(x −x
M
)
2
(x −x
N
)]dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
x
N
Z
x
M
[(x −x
M
)
3
+(x
M
−x
N
)(x −x
M
)
2
]dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
a
·
(x −x
M
)
4
4
+
(x
M
−x
N
)(x −x
N
)
3
3
¸
¯
¯
¯
x
N
x
M
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
a
·
(x
N
−x
M
)
4
4
−
(x
M
−x
N
)
4
3
¸
¯
¯
¯
¯
=
|a|(x
M
−x
N
)
4
12
.
Tương tự S
2
=
|a|(x
N
−x
P
)
4
12
.
x
y
O
1
M
N
P
S
2
S
1
Th.s Nguyễn Chín Em 546 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Suy ra
S
2
S
1
=
µ
x
N
−x
P
x
M
−x
N
¶
4
=
−2·
b
a
−6x
M
b
a
+3x
M
4
=16.
Chọn đáp án C ä
Câu 162. Cho
5
Z
1
¯
¯
¯
¯
x −2
x +1
¯
¯
¯
¯
dx = aln3 +b ln2+c với a, b , c là các số nguyên. Giá trị P =abc là
A. P =−36. B. P =0. C. P =18. D. P =−18.
- Lời giải.
Ta có
5
Z
1
¯
¯
¯
¯
x −2
x +1
¯
¯
¯
¯
dx =
2
Z
1
−x +2
x +1
dx +
5
Z
2
x −2
x +1
dx
=
2
Z
1
µ
−1+
3
x +1
¶
dx +
5
Z
2
µ
1−
3
x +1
¶
dx
=
(
−x +3ln|x +1|
)
¯
¯
¯
2
1
+
(
x −3ln|x +1|
)
¯
¯
¯
5
2
=
(
−2+3ln3
)
−
(
−1+3ln2
)
+
(
5−3ln6
)
−
(
2−3ln3
)
= 3ln3−6ln+2.
Vậy a =3, b =−6, c =2 nên P =−36.
Chọn đáp án A ä
Câu 163. Cho đồ thị hàm số f (x) trên đoạn [−2;2] như hình vẽ bên.
Biết rằng diện tích S
1
=S
2
=2 và S
3
=6. Giá trị của tích phân I =
2
Z
−2
f (x)dx
là
A. I =4. B. I =2. C. I =10. D. I =8.
O
x
y
−2 1 2−1
S
1
S
2
S
3
- Lời giải.
O
x
y
−2 1 2−1
S
1
S
2
S
3
- Với x ∈[−2;−1]: f (x) ≤0 ⇒
−1
Z
−2
f (x)dx =−
−1
Z
−2
|f (x)|dx =−S
1
=−2.
Th.s Nguyễn Chín Em 547 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Với x ∈[−1;1]: f (x) ≥0 ⇒
1
Z
−1
f (x)dx =
1
Z
−1
|f (x)|dx = S
3
=6.
- Với x ∈[1;2]: f (x) ≤0 ⇒
2
Z
1
f (x)dx =−
2
Z
1
|f (x)|dx =−S
2
=−2.
Vậy I =
2
Z
−2
f (x)dx =
−1
Z
−2
f (x)dx +
1
Z
−1
f (x)dx +
2
Z
1
f (x)dx =−2 +6−2 =2.
Chọn đáp án B ä
Câu 164. Biết
1
Z
0
dx
e
x
+1
=a +b ln
1+e
2
, với a,b là các số hữu tỉ. Tính S = a
3
+b
3
.
A. −2. B. 6. C. 2. D. 0.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
dx
e
x
+1
=
1
Z
0
e
x
dx
e
x
(e
x
+1)
.
Đặt t =e
x
+1 ⇒ dt =e
x
dx .
Đổi cận
x =0 ⇒ t =2
x =1 ⇒ t =e+1.
Khi đó
1
Z
0
e
x
dx
e
x
(e
x
+1)
=
e+1
Z
2
dt
t(t −1)
=
e+1
Z
2
dt
t(t −1)
=
e+1
Z
2
µ
1
t −1
−
1
t
¶
dt =ln
¯
¯
¯
¯
t −1
t
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
e+1
2
= 1−ln
e+1
2
.
Vậy a =1, b =−1 và S = a
3
+b
3
=0.
Chọn đáp án D ä
Câu 165. Biết
1
Z
0
x
2
+2x
(x +3)
2
dx =
a
4
−4ln
4
b
với a, b là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức a
2
+b
2
bằng
A. 25. B. 41. C. 20. D. 34.
- Lời giải.
Ta có:
1
Z
0
x
2
+2x
(x +3)
2
dx =
1
Z
0
(x +3)
2
−4(x +3)+3
(x +3)
2
dx
=
1
Z
0
·
1−
4
x +3
+
3
(x +3)
2
¸
dx
=
µ
x −4ln|x +3|−
3
x +3
¶
¯
¯
¯
1
0
=
5
4
−4ln
4
3
⇒
a =5
b =3
.
Vậy a
2
+b
2
=34.
Chọn đáp án D ä
Th.s Nguyễn Chín Em 548 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 166. Biết
π
2
Z
0
cos x dx
sin
2
x +3sin x +2
=a ln2+b ln3 với a, b, c là các số nguyên. Tính P =2a +b.
A. 3. B. 7. C. 5. D. 1.
- Lời giải.
Ta có:
π
2
Z
0
cos x dx
sin
2
x +3sin x +2
=
π
2
Z
0
d
(
sin x
)
(
sin x +1
)(
sin x +2
)
=
π
2
Z
0
µ
1
sin x +1
−
1
sin x +2
¶
d
(
sin x
)
=
π
2
Z
0
µ
1
sin x +1
−
1
sin x +2
¶
d
(
sin x
)
=ln
sin x +1
sin x +2
¯
¯
¯
π
2
0
=ln
4
3
=2ln2−ln3 ⇒
a =2
b =−1
.
Chọn đáp án A ä
Câu 167. Cho
1
Z
1
2
…
x
x
3
+1
dx =
1
a
ln
µ
b
c
+
p
d
¶
, với a, b, c,d là các số nguyên dương và
b
c
tối giản. Giá trị
của a +b +c +d bằng
A. 12. B. 10. C. 18. D. 15.
- Lời giải.
Nhân tử và mẫu của
…
x
x
3
+1
cho x
p
x ta được I =
1
Z
1
2
…
x
x
3
+1
dx =
1
Z
1
2
x
2
p
x
3
(x
3
+1)
dx .
Đặt t = x
3
thì I =
1
3
1
Z
1
8
1
p
t(t +1)
dt =
1
3
1
Z
1
8
1
µ
t +
1
2
¶
2
+
µ
−
1
4
¶
dt.
Áp dụng công thức
Z
u
0
(x )
p
u
2
(x ) +b
du =ln
¯
¯
¯
u(x)+
p
u
2
(x ) +b
¯
¯
¯
+C, ta có
I =
1
3
1
Z
1
8
d
µ
t +
1
2
¶
µ
t +
1
2
¶
2
+
µ
−
1
4
¶
=
1
3
ln
¯
¯
¯
¯
¯
t +
1
2
+
µ
t +
1
2
¶
2
+
µ
−
1
4
¶
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
1
8
=
1
3
ln
µ
3
2
+
p
2
¶
.
Vậy a +b +c +d =10.
Chọn đáp án B ä
Câu 168. Trên đoạn thẳng AB dài 200 m có hai chất điểm X , Y . Chất điểm X xuất phát từ A, chuyển
động thẳng hướng đến B với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật v(t) =
1
80
t
2
+
1
3
t (m/s), trong đó
t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc X bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, chất điểm Y xuất phát từ
B và xuất phát chậm hơn 10 giây so với X; Y chuyển động thẳng theo chiều ngược lại với X và có gia tốc
bằng a
¡
m/s
2
¢
(a là hằng số). Biết rằng hai chất điểm X, Y gặp nhau tại đúng trung điểm đoạn thẳng AB.
Gia tốc của chất điểm Y bằng
A. 2
¡
m/s
2
¢
. B. 1,5
¡
m/s
2
¢
. C. 2,5
¡
m/s
2
¢
. D. 1
¡
m/s
2
¢
.
- Lời giải.
Gọi v
1
(t), v
2
(t) lần lượt là vận tốc của hai chất điểm X ,Y .
Ta có v
1
(t) =
1
80
t
2
+
1
3
t và v
2
(t) = a ·t
Vì X , Y gặp nhau tại trung điểm AB nên quãng đường di chuyển của X ,Y là 100 (m).
Gọi t
1
, t
2
là thời gian mà X , Y di chuyển trên quãng đường 100(m).
Th.s Nguyễn Chín Em 549 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó
t
1
Z
0
v
1
(t)dt =100 ⇔
t
3
1
240
+
t
2
1
6
=100 ⇔ t
1
=20 ⇒ t
2
= t
1
−10 =10.
Suy ra
t
2
Z
0
at · dt =100 ⇔
a ·t
2
2
2
=100 ⇔ a =2.
Chọn đáp án A ä
Câu 169.
Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên R và đồ thị hàm số
f (x) như hình vẽ bên. Biết rằng hàm số f (x) đạt cực đại tại điểm x = 1; đường
thẳng ∆ trong hình vẽ bên là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
x =2. Tích phân
ln3
Z
0
e
x
f
00
µ
e
x
+1
2
¶
dx bằng
A. 8. B. 4. C. 3. D. 6.
x
y
O
1
y = f (x)
∆
2
−3
- Lời giải.
Ta có phương trình tiếp tuyến ∆ là y = f
0
(2)(x −2)+ f (2) =3x −3.
Suy ra f
0
(2) =3 và 2f
0
(2)− f (2) =3.
Do hàm số đạt cực đại tại điểm x =1 nên f
0
(1) =0.
Đặt t =
e
x
+1
2
khi đó I =
ln3
Z
0
e
x
f
00
µ
e
x
+1
2
¶
dx =2
2
Z
1
f
00
(t)dt =2f
0
(2)−2f
0
(1) =6.
Chọn đáp án D ä
Câu 170. Biết
4
Z
1
f (x)dx =5 và
5
Z
4
f (x)dx =20. Tính
2
Z
1
f (4x −3)dx −
ln2
Z
0
f
¡
e
2x
¢
e
2x
dx .
A. I =
15
4
. B. I =15. C. I =
5
2
. D. I =25.
- Lời giải.
Ta có I
1
=
2
Z
1
f (4x −3)dx =
1
4
2
Z
1
f (4x −3)d(4x −3) =
1
4
5
Z
1
f (t)dt.
Hay là I
1
=
1
4
5
Z
1
f (x)dx =
1
4
4
Z
1
f (x)dx +
1
4
5
Z
4
f (x)dx =
25
4
.
Lại có I
2
=
ln2
Z
0
f
¡
e
2x
¢
e
2x
dx =
1
2
ln2
Z
0
f
¡
e
2x
¢
d
¡
e
2x
¢
=
1
2
4
Z
1
f (t)dt =
5
2
.
Vậy I = I
1
−I
2
=
25
4
−
5
2
=
15
4
.
Chọn đáp án A ä
Câu 171. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên [1;+∞) thỏa mãn f (1) =1 và f
0
(x ) ≥3x
2
+2x −5 trên [1;+∞).
Tìm số nguyên dương lớn nhất m sao cho min
x∈[3;10]
f (x) ≥ m với mọi hàm số f (x) thỏa điều kiện đề bài.
A. 15. B. 20. C. 25. D. 30.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 550 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Vì 3x
2
+2x −5 ≥0 với mọi x ∈[1;+∞) nên f
0
(x ) ≥3x
2
+2x −5 ≥0 với mọi x ∈[1;+∞).
Suy ra hàm số f (x) đồng biến trên [1;+∞), suy ra min
x∈[3;10]
f (x) = f (3).
Ta có
3
Z
1
f
0
(x )dx ≥
3
Z
1
¡
3x
2
+2x −5
¢
dx
⇔ f (x)
¯
¯
¯
3
1
≥
¡
x
3
+x
2
−5x
¢
¯
¯
¯
3
1
⇔ f (3) − f (1) ≥24
⇔ f (3) ≥25.
Suy ra min
x∈[3;10]
f (x) = f (3) ≥25, suy ra m =25.
Chọn đáp án C ä
Câu 172. Biết rằng
a+
p
b
Z
−1
dx
p
−x
2
−4x
=
π
6
, với a, b là các số nguyên thỏa mãn −1 < a +
p
b < 0 và b > 0.
Tổng a +b bằng
A. 1. B. 2. C. 4. D. 0.
- Lời giải.
I =
a+
p
b
Z
−1
dx
p
−x
2
−4x
=
a+
p
b
Z
−1
dx
p
4−(x +2)
2
.
Đặt x +2 =2sin t ⇒ dx =2costdt.
Đổi cận x =−1 ⇒ t =
π
6
, x = a +
p
b ⇒sin t =
a +
p
b +2
2
⇒ t = t
0
với
π
6
< t
0
<
π
2
.
I =
t
0
Z
π
6
2dt =2
³
t
0
−
π
2
´
=
π
6
⇒ t
0
=
π
3
.
Do đó
a +
p
b +2
2
=
3
2
⇒a +
p
b =−2+
p
3. Ta tìm được a =−2, b =3 nên a +b =1.
Chọn đáp án A ä
Câu 173. Cho hàm số f (x) liên tục trên [−1;+∞) và
3
Z
0
f (
p
x +1)dx =4. Tính I =
2
Z
1
x ·
[
f (x) +2
]
dx
A. I =5. B. I =11. C. I =16. D. I =12.
- Lời giải.
Đặt t =
p
x +1 ⇒ t
2
= x +1 ⇒2t dt = dx.
x =0 ⇒ t =1, x =3 ⇒ t =2.
Ta có
3
Z
0
f (
p
x +1)dx =
2
Z
1
2t f (t)dt ⇒
2
Z
1
t f (t)dt =2.
I =
2
Z
1
x[f (x)+2]dx =
2
Z
1
x f (x)dx +
2
Z
1
2x dx =2 +3 =5.
Chọn đáp án A ä
Câu 174. Cho
1
Z
0
f (x)dx =2018. Tích phân
π
4
Z
0
f (cos2x)sin2xdx bằng
Th.s Nguyễn Chín Em 551 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. 2018. B. 1009. C. −1009. D. −2018.
- Lời giải.
Đặt t =cos2x ⇒dt =−2sin2xdx ⇒−
1
2
dt =sin2xdx. Đổi cận x =0 ⇒ t =1, x =
π
4
⇒ t =0.
Khi đó I =−
1
2
0
Z
1
f (t)dt =
1
2
1
Z
0
f (x)dx =
1
2
·2018 =1009.
Chọn đáp án B ä
Câu 175. Cho
2
Z
0
(1−2x)f
0
(x )dx =3f (2)+ f (0) =2018. Tích phân
1
Z
0
f (2x)dx bằng
A. 0. B. 1009. C. 2018. D. 4036.
- Lời giải.
Ta có 2018 =
2
Z
0
(1−2x)f
0
(x )dx = (1 −2x)f (x)
|
2
0
−
2
Z
0
(−2)f (x)dx =−3f (2) − f (0) +2
2
Z
0
f (x)dx.
Suy ra
2
Z
0
f (x)dx =2018.
Đặt x =2t ⇒dx =2dt, đổi cận x =0 ⇒ t =0, x =2 ⇒ t =1, ta được
2018 =2
1
Z
0
f (2t)dt =2
1
Z
0
f (2x)dx.
Vậy
1
Z
0
f (2x)dx =1009.
Chọn đáp án B ä
Câu 176. Cho hàm số f (x) liên tục trên R, thỏa mãn
π
4
Z
0
f (tan x)dx = 4 và
1
Z
0
x
2
f (x)
x
2
+1
dx = 2. Tính I =
1
Z
0
f (x)dx.
A. I =6. B. I =2. C. I =3. D. I =4.
- Lời giải.
Ta có I −2 =
1
Z
0
f (x)dx −
1
Z
0
x
2
f (x)
x
2
+1
dx =
1
Z
0
f (x)
x
2
+1
dx .
Đặt x =tan t với t ∈
³
−
π
2
;
π
2
´
ta có
dx =
1
cos
2
t
dt =
¡
1+tan
2
t
¢
dt ⇒
dx
x
2
+1
= dt.
Đổi cận: Với x =0 ⇒ t =0, x =1 ⇒ t =
π
4
.
Suy ra I −2 =
π
4
Z
0
f (tan t)dt =4. Vậy I =6.
Chọn đáp án A ä
Câu 177.
Th.s Nguyễn Chín Em 552 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Cho hàm số y = f (x) có f (1) = 3 và hàm số y = f
0
(x ) có đồ thị như
hình vẽ bên. Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f
0
(x ), trục Ox trên các đoạn [−2;1] và [1;4] lần lượt là 9 và 12.
Giá trị của f (−2)+ f (4) bằng.
A. 21. B. 9.
C. 3. D. 2.
x
y
O
y = f
0
(x)
−2
1 4
- Lời giải.
Dựa vào đồ thị ta thấy f
0
(x ) ≤0 trên các đoạn [−2;1], [1;4]. Do đó
1
Z
−2
¯
¯
f
0
(x )
¯
¯
dx =−
1
Z
−2
f
0
(x )dx =−f (x)
¯
¯
¯
1
−2
=−f (1)+ f (−2).
4
Z
1
¯
¯
f
0
(x )
¯
¯
dx =−
4
Z
1
f
0
(x )dx =−f (x)
¯
¯
¯
4
1
=−f (4)+ f (1).
Theo bài ra ta lại có
1
Z
−2
¯
¯
f
0
(x )
¯
¯
dx =9,
4
Z
1
¯
¯
f
0
(x )
¯
¯
dx =12 và f (1) =3. Do đó
[−f (1)+ f (−2)]−[−f (4)+ f (1)] =−3 ⇔ f (−2)+ f (4) =2f (1)−3 =3.
Chọn đáp án C ä
Câu 178. Biết
e
Z
1
(x +1)ln x +2
1+xln x
dx = ae+b ln
µ
e+1
e
¶
trong đó a, b là các số nguyên. Khi đó tỉ số
a
b
là
A.
1
2
. B. 1. C. 3. D. 2.
- Lời giải.
Ta có
e
Z
1
(x +1)ln x +2
1+xln x
dx =
e
Z
1
1+xln x +1+ln x
1+xln x
dx
=
e
Z
1
dx +
e
Z
1
d(1+xln x)
1+xln x
= x
¯
¯
¯
e
1
+ln(1+x ln x)
¯
¯
¯
e
1
=e −1+ln(1+e) =e +ln
e+1
e
.
Suy ra a = b =1. Vậy
a
b
=1.
Chọn đáp án B ä
Câu 179. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [1;e], biết
Z
e
1
f (x)
x
dx = 1, f (e) = 2. Tích phân
Z
e
1
f
0
(x ) ·
ln x dx
A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.
- Lời giải.
Đặt
u = f (x)
dv =
dx
x
⇒
du = f
0
(x )dx
v =ln
|
x
|
.
Th.s Nguyễn Chín Em 553 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Suy ra
1 =
e
Z
1
f (x)
x
dx = ln
|
x
|
· f (x)
|
e
1
−
e
Z
1
f
0
(x )lnxdx =2−
e
Z
1
f
0
(x ) ·ln x dx ⇒
e
Z
1
f
0
(x ) ·ln x dx =1.
Chọn đáp án D ä
Câu 180. Cho hàm số f (x) thỏa mãn
1
Z
0
(x +1)f
0
(x )dx =10 và 2f (1) − f (0) =2. Tính
1
Z
0
f (x)dx.
A. I =−12. B. I =8. C. I =1. D. I =−8.
- Lời giải.
Đặt
u = x +1
dv = f
0
(x )dx
⇒
du =dx
v = f (x)
. Khi đó I =(x +1)f (x )
|
1
0
−
1
Z
0
f (x)dx.
Suy ra 10 =2f (1)− f (0) −
1
Z
0
f (x)dx ⇒
1
Z
0
f (x)dx =−10 +2 =−8.
Vậy
1
Z
0
f (x)dx =−8.
Chọn đáp án D ä
Câu 181. Biết
Z
x
2
+1
x
3
−6x
2
+11x −6
dx =ln|(x −1)
m
(x −2)
n
(x −3)
p
|+C. Tính 4(m +n + p).
A. 5. B. 0. C. 4. D. 2.
- Lời giải.
Ta có
x
2
+1
x
3
−6x
2
+11x −6
=
x
2
+1
(x −1)(x −2)(x −3)
=
A
x −1
+
B
x −2
+
C
x −3
.
Khi đó ta có x
2
+1 = A(x −2)(x −3)+B(x −1)(x −3)+C(x −1)(x −2).
Chọn x =1 ta có A =1.
Chọn x =2 ta có B =−5.
Chọn x =3 ta có C =5.
Vậy
Z
x
2
+1
x
3
−6x
2
+11x −6
dx =
Z
1
x −1
dx+
Z
5
x −2
dx+
Z
5
x −3
dx =ln|x−1|−5ln|x−2|+5ln|x−3|+C =
ln|(x −1)(x −2)
−5
(x −3)
5
|+C.
Vậy m =1;n =−5; p =5 và 4(m +n + p) =4.
Chọn đáp án C ä
Câu 182. Nếu
3
Z
0
x
1+
p
1+x
dx =
2
Z
1
f (t)dt, với t =
p
1+x thì f (t) là hàm số nào trong các hàm số dưới
đây?
A. f (t) =2t
2
+2t. B. f (t) = t
2
−t. C. f (t) = t
2
+t. D. f (t) =2t
2
−2t.
- Lời giải.
Đặt t =
p
1+x ⇒ x = t
2
−1 ⇒ dx =2t dt.
Khi x =0 thì t =1. Khi x =3 thì t =2. Ta có
3
Z
0
x
1+
p
1+x
dx =
2
Z
1
t
2
−1
1+t
2t dt =
2
Z
1
(2t
2
−2t)dt.
Vậy f (t) =2t
2
−2t.
Chọn đáp án D ä
Th.s Nguyễn Chín Em 554 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 183. Biết I =
4
Z
0
xln(2x +1)dx =
a
b
ln3 − c, trong đó a, b, c là các số nguyên dương và
a
b
là phân số
tối giản. Tính S = a +b +c.
A. S =60. B. S =70. C. S =72. D. S =68.
- Lời giải.
Đặt
u =ln(2x +1)
dv = x dx
⇒
du =
2
2x +1
dx
v =
1
2
x
2
. Do đó
I =
1
2
x
2
ln(2x +1)
¯
¯
¯
¯
4
0
−
4
Z
0
1
2
x
2
·
2
2x +1
dx
=
1
2
x
2
ln(2x +1)
¯
¯
¯
¯
4
0
−
4
Z
0
µ
1
2
x −
1
4
+
1
4(2x +1)
¶
dx
=
1
2
x
2
ln(2x +1)
¯
¯
¯
¯
4
0
−
µ
1
4
x
2
−
1
4
x +
1
8
ln4(2x +1)
¶
¯
¯
¯
¯
4
0
=
63
4
ln3−3.
Như vậy a =63, b =4, c =3. Nên S = a +b +c =63+4+3 =70.
Chọn đáp án B ä
Câu 184. Biết I =
4
Z
0
xln(2x +1)dx =
a
b
ln3 − c, trong đó a, b, c là các số nguyên dương và
b
c
là phân số
tối giản. Tính S = a +b +c.
A. S =60. B. S =70. C. S =72. D. S =68.
- Lời giải.
Đặt
u =ln(2x +1)
dv = x dx
⇒
du =
2
2x +1
v =
x
2
2
.
Khi đó,
I =
x
2
2
ln(2x +1)
¯
¯
¯
¯
4
0
−
4
Z
0
x
2
2x +1
dx =8ln9 −
4
Z
0
µ
x
2
−
1
4
+
1
4(2x +1)
¶
dx
= 16ln3−
µ
x
2
4
−
x
4
+
1
8
ln|2x +1|
¶
¯
¯
¯
¯
4
0
=16ln3−
µ
3+
1
8
ln9
¶
=
63
4
ln3−3.
Vậy S = a +b +c =63+4+3 =70.
Chọn đáp án B ä
Câu 185. Biết
5
Z
3
x
2
+x +1
x +1
dx = a +ln
b
2
với a,b là các số nguyên. Tính S = a −2b.
A. S =−2. B. S =5. C. S =2. D. S =10.
- Lời giải.
Ta có
5
Z
3
x
2
+x +1
x +1
dx =
5
Z
3
µ
x +
1
x +1
¶
dx =
µ
1
2
x
2
+ln|x +1|
¶
¯
¯
¯
5
3
=
25
2
+ln6−
9
2
−ln4 =8+ln
3
2
.
Vậy a =8,b =3. Suy ra a −2b =8−2·3 =2.
Th.s Nguyễn Chín Em 555 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án C ä
Câu 186. Cho
2
Z
1
f (x)dx =2. Tính I =
4
Z
1
f
¡
p
x
¢
p
x
dx bằng
A. I =4. B. I =1. C. I =
1
2
. D. I =2.
- Lời giải.
Đặt u =
p
x ⇒du =
1
2
p
x
dx ⇒2du =
dx
p
x
.
Với x =1 ⇒ u =1.
Với x =4 ⇒ u =2.
Từ đó ta có I =2
2
Z
1
f (u)du =2
2
Z
1
f (x)dx =4.
Chọn đáp án
A ä
Câu 187. Cho hàm số y = f (x) có f
0
(x ) liên tục trên đoạn [0;2] và f (2) =16,
2
Z
0
f (x)dx =4. Tính
1
Z
0
x f
0
(2x )dx.
A. I =7. B. I =20. C. I =12. D. I =13.
- Lời giải.
Xét I =
1
Z
0
x f
0
(2x )dx.
Đặt u =2x ⇒dx =
du
2
.
Với x =0 ⇒ u =0.
Với x =1 ⇒ u =2.
Suy ra I =
1
2
2
Z
0
u
2
f
0
(u)du =
1
4
2
Z
0
u f
0
(u)du =
1
4
u f (u)
|
2
0
−
2
Z
0
f (u)du
=
1
4
(
2f (2)−4
)
=7.
Chọn đáp án A ä
Câu 188. Biết
2
Z
1
ln x
(x +1)
2
dx = aln3 +b ln2(a, b là các số hữu tỉ). Tính T =a
2
+b
3
.
A. T =
13
3
. B. T =
134
27
. C. T =
8
3
. D. T =
152
27
.
- Lời giải.
Đặt
u =ln x
v
0
=
1
(x +1)
2
⇒
u
0
=
1
x
v =−
1
x +1
+1.
Th.s Nguyễn Chín Em 556 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
2
Z
1
ln x
(x +1)
2
dx =
µ
−1
x +1
+1
¶
ln x
¯
¯
¯
¯
2
1
+
2
Z
1
1
x
µ
1
x +1
−1
¶
dx
=
µ
−1
x +1
+1
¶
ln x
¯
¯
¯
¯
2
1
−
2
Z
1
1
x +1
dx
=
µ
−1
x +1
+1
¶
ln x
¯
¯
¯
¯
2
1
−ln|x +1|
¯
¯
¯
¯
2
1
= −ln3+
5
3
ln2.
Từ đó suy ra a =−1, b =
5
3
⇒T = a
2
+b
3
=1 +
125
27
=
152
27
.
Vậy T =
152
27
.
Chọn đáp án D ä
Câu 189. Cho
1
Z
0
xdx
(2x +1)
2
=a +b ln2+c ln3 với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá tr ị của a +b +c bằng
A.
1
12
. B.
5
12
. C. −
1
3
. D.
1
4
.
- Lời giải.
Đặt t =2x +1 ⇔ x =
t −1
2
⇒ dx =
1
2
dt.
Đổi cận: x =0 ⇒ t =1 và x =1 ⇒ t =3.
Ta có I =
3
Z
1
t −1
4t
2
dt =
µ
1
4
ln|t|+
1
4t
¶
¯
¯
¯
¯
3
1
=
1
4
ln3−
1
6
.
Suy ra a =−
1
6
, b =0, c =
1
4
.
Vậy a +b +c =
1
12
.
Chọn đáp án A ä
Câu 190. Cho hàm số f (x) xác định trên R \ {1;4} có f
0
(x ) =
2x −5
x
2
−5x +4
thỏa mãn f (3) = 1. Giá trị f (2)
bằng
A. −1+3ln2. B. 1+3ln2. C. 1. D. 1 −ln2.
- Lời giải.
Xét trục số
x
1 4
2 3
Vì hàm số f
0
(x ) xác định trên [2;3] nên
f (2)− f (3) =
2
Z
3
f
0
(x )dx ⇒ f (2) =
2
Z
3
2x −5
x
2
−5x +4
dx + f (3).
Xét tích phân
2
Z
3
2x −5
x
2
−5x +4
dx =
2
Z
3
d(x
2
−5x +4)
x
2
−5x +4
= ln|x
2
−5x +4|
¯
¯
2
3
=0.
Vậy f (2) = f (3) =1.
Chọn đáp án C ä
Th.s Nguyễn Chín Em 557 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 191. Cho hàm số f (x) xác định trên R \ {−1;1} thỏa mãn f
0
(x ) =
1
x
2
−1
. Biết f (3) + f (−3) = 4 và
f
µ
1
3
¶
+ f
µ
−
1
3
¶
=2. Tính giá trị của biểu thức T = f (−5) + f (0)+ f (2).
A. T =5+
1
2
ln2. B. T =5 −
1
2
ln2. C. T =6+
1
2
ln2. D. T =6−
1
2
ln2.
- Lời giải.
Xét trục số
x
−1 1
−3 0 3
−
1
3
1
3
Ta có
f (−3)− f (−5) =
−3
Z
−5
1
x
2
−1
dx =
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−3
−5
=
1
2
ln
4
3
⇒ f (−5) = f (−3) −
1
2
ln
4
3
.
f (3)− f (2) =
3
Z
2
1
x
2
−1
dx =
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
3
2
=
1
2
ln
3
2
⇒ f (2) = f (3) −
1
2
ln
3
2
.
f
µ
−
1
3
¶
− f (0) =
−
1
3
Z
0
1
x
2
−1
dx =
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−
1
3
0
=
1
2
ln2 ⇒ f (0) = f
µ
−
1
3
¶
−
1
2
ln2.
f
µ
1
3
¶
− f (0) =
1
3
Z
0
1
x
2
−1
dx =
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
3
0
=−
1
2
ln2 ⇒ f (0) = f
µ
1
3
¶
+
1
2
ln2.
Suy ra
f (−5)+ f (0)+ f (2) = f (−3) −
1
2
ln
4
3
+
1
2
·
f
µ
−
1
3
¶
+ f
µ
1
3
¶¸
+ f (3)−
1
2
ln
3
2
= 4+
1
2
·2−
1
2
ln2
= 5−
1
2
ln2.
Chọn đáp án B ä
Câu 192. Cho hàm số f (x) >0 với mọi x ∈R, f (0) = 1 và f (x) =
p
x +1· f
0
(x ) với mọi x ∈R. Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A. f (3) <2. B. 2 < f (3) <4. C. f (3) >6. D. 4 < f (3) <6.
- Lời giải.
Vì f (x) >0 với mọi x ∈R nên
f (x) =
p
x +1· f
0
(x ) ⇔
f
0
(x )
f (x)
=
p
x +1 ⇒
Z
f
0
(x )
f (x)
dx =
Z
p
x +1dx ⇔ln f (x) =
2
3
p
(x +1)
3
+C.
Khi x =0 thì f (0) =1 nên ln1 =
2
3
+C ⇒C =−
2
3
.
Khi x =3 thì ln f (3) =
2
3
p
(3+1)
3
−
2
3
=
14
3
⇒ f (3) = e
14
3
>6.
Chọn đáp án C ä
Th.s Nguyễn Chín Em 558 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 193. Cho hàm số f (x) liên tục trên thỏa mãn f (2x) = 3f (x). Biết rằng
1
Z
0
f (x)dx = 1. Tính tích phân
I =
2
Z
1
f (x)dx.
A. I =3. B. I =5. C. I =2. D. I =6.
- Lời giải.
Từ giả thiết ta có f (x) =
1
3
f (2x) và
1
Z
0
f (x)dx =
1
3
1
Z
0
f (2x)dx =1 ⇔
1
Z
0
f (2x)dx =3.
Đặt t =2x ⇒dt =2dx. Đổi cận
x =0 ⇒ t =0
x =1 ⇒ t =2.
Khi đó
1
Z
0
f (2x)dx =
1
2
2
Z
0
f (t)dt =3 ⇔
2
Z
0
f (t)dt =6 =
2
Z
0
f (x)dx.
Vậy I =
2
Z
1
f (x)dx =
2
Z
0
f (x)dx −
1
Z
0
f (x)dx =6 −1 =5.
Chọn đáp án B ä
Câu 194. Cho hàm số f (x) thỏa mãn
1
Z
0
(x +1)f
0
(x )dx =10 và 2f (1)− f (0) =2. Tính I =
1
Z
0
f (x)dx.
A. I =−8. B. I =8. C. I =12. D. I =−12.
- Lời giải.
Đặt
u = x +1
dv = f
0
(x )dx
⇒
du =dx
v = f (x).
Vậy
1
Z
0
(x +1)f
0
(x )dx =(x +1)f (x)
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
f (x)dx.
Suy ra
1
Z
0
f (x)dx =(x +1)f (x)
¯
¯
¯
1
0
−10 =2f (1)− f (0)−10 =−8.
Vậy I =−8.
Chọn đáp án A ä
Câu 195. Tính I =
a
Z
0
x
3
+x
p
x
2
+1
dx .
A. I =
¡
a
2
+1
¢
p
a
2
+1−1. B. I =
1
3
h
¡
a
2
+1
¢
p
a
2
+1−1
i
.
C. I =
1
3
h
¡
a
2
+1
¢
p
a
2
+1+1
i
. D. I =
¡
a
2
+1
¢
p
a
2
+1+1.
- Lời giải.
Ta có
a
Z
0
x
3
+x
p
x
2
+1
dx =
a
Z
0
x
¡
x
2
+1
¢
p
x
2
+1
dx =
a
Z
0
x
³
p
x
2
+1
´
2
p
x
2
+1
dx =
a
Z
0
x
p
x
2
+1dx .
Đặt t =
p
x
2
+1 ⇔ t
2
= x
2
+1 ⇔ t dt = dx .
Th.s Nguyễn Chín Em 559 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đổi cận
x =0 ⇒ t =1
x =a ⇒ t =
p
a
2
+1
. Khi đó tích phân trở thành
p
a
2
+1
Z
1
t
2
dt =
t
3
3
¯
¯
¯
¯
p
a
2
+1
1
=
¡
a
2
+1
¢
p
a
2
+1
3
−
1
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 196. Cho n là số nguyên dương khác 0, hãy tính tích phân
1
Z
0
¡
1−x
2
¢
n
x dx theo n .
A. I =
1
2n +2
. B. I =
1
2n
. C. I =
1
2n −1
. D. I =
1
2n +1
.
- Lời giải.
Ta xét: I =
1
Z
0
¡
1−x
2
¢
n
x dx.
Đặt t =1−x
2
⇒−
1
2
dt = x dx.
Đổi cận: x =0 ⇒ t =1; x =1 ⇒ t =0.
I =−
1
2
0
Z
1
t
n
dt =
1
2
·
t
n+1
n +1
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
2(n +1)
=
1
2n +2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 197. Biết I =
π
3
Z
0
x
cos
2
x
dx =
p
3
a
π −lnb. Khi đó, giá trị của a
2
+b bằng
A. 11. B. 7. C. 13. D. 9.
- Lời giải.
Đặt
u = x
dv =
1
cos
2
x
dx
⇔
du = dx
v =tan x.
Khi đó I = x ·tan x
¯
¯
¯
π
3
0
−
π
3
Z
0
tan x dx =
π
3
·tan
π
3
+
π
3
Z
0
d(cos x)
cos x
.
=
π
p
3
3
+ln
|
cos x
|
¯
¯
¯
π
3
0
=
π
p
3
3
+ln
1
2
−ln1 =
p
3
3
π −ln2.
Vậy a =3; b =2. Do đó a
2
+b =3
2
+2 =11.
Chọn đáp án A ä
Câu 198. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f (1) =0,
1
Z
0
x
2
f (x)dx =
1
3
. Tính
I =
1
Z
0
x
3
f
0
(x )dx.
A. −1. B. 1. C. 3. D. −3.
- Lời giải.
Đặt
u = x
3
dv = f
0
(x )dx
⇒
du =3x
2
dx
v = f (x).
Ta có I = x
3
f (x)
¯
¯
¯
1
0
−3·
Z
1
0
x
2
f (x)dx = f (1) −3·
1
3
=0 −1 =−1.
Th.s Nguyễn Chín Em 560 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án A ä
Câu 199. Cho I =
3
Z
0
x
4+2
p
x +1
dx =
a
3
+b ln2+c ln3 với a, b, c là các số nguyên. Giá trị a+b+c bằng
A. 9. B. 2. C. 1. D. 7.
- Lời giải.
Đặt t =
p
x +1 ⇒ t
2
= x +1 ⇒2t dt = dx.
Đổi cận x =0 ⇒ t =1 và x =3 ⇒ t =2.
Khi đó
I =
2
Z
1
t
2
−1
4+2t
·2t dt =
2
Z
1
t
3
−t
t +2
dt
=
2
Z
1
µ
t
2
−2t +3−
6
t +2
¶
dt
=
µ
t
3
3
−t
2
+3t −6ln|t +2|
¶
¯
¯
¯
¯
2
1
=
7
3
−6ln
4
3
=
7
3
−12ln2+6ln3.
Do đó a =7, b =−12, c =6. Suy ra a +b +c =1.
Chọn đáp án C ä
Câu 200. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (3) =1, f (1) >0 và f
0
(x ) =3x
2
[
f (x)
]
2
với mọi x ∈R. Giá trị của f (1)
bằng
A. −
1
25
. B.
1
27
. C.
1
25
. D.
1
24
.
- Lời giải.
Ta có f
0
(x ) =3x
2
[
f (x)
]
2
⇔ f
0
(x ) ≥0,∀x ∈[1;3].
Do đó hàm số f (x) đồng biến trên [1;3] ⇒ f (x) ≥ f (1) >0,∀x ∈[1;3].
Suy ra ta có
f
0
(x )
f
2
(x )
=3x
2
⇒
Z
f
0
(x )
f
2
(x )
dx =
Z
3x
2
dx ⇒−
1
f (x)
= x
3
+C.
Do f (3) =1 ⇒ C =−1−27 =−28 ⇒ f (x) =−
1
x
3
−28
⇒ f (1) =
1
27
.
Vậy f (1) =
1
27
.
Chọn đáp án B ä
Câu 201. Biết F(x) là một nguyên hàm của f (x) =4x
(
1+lnx
)
và F(1) =5.Tính F(e).
A. F(e) =3e
2
+4. B. F(e) =5e
2
+4. C. F(e) =5e
2
. D. F(e) =3e
2
+6.
- Lời giải.
Ta có
Z
4x (1 +ln x)dx =
Z
4x dx +
Z
4x lnxdx
= 2x
2
+2
Z
ln x dx
2
= 2x
2
+2x
2
ln x −
Z
2x
2
·
1
x
dx
= 2x
2
+2x
2
ln x −x
2
+C.
Do F(1) =5 ⇒ C =4 ⇒F(e) =3e
2
+4.
Vậy F(e) =3e
2
+4.
Th.s Nguyễn Chín Em 561 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án A ä
Câu 202. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f
0
(x ) +2x f (x) = e
x
f (x) với f (x) 6= 0,∀x và f (0) = 1. Khi đó |f (1)|
bằng
A. e+1. B. e
e−2
. C. e−1. D. e
e+1
.
- Lời giải.
f
0
(x ) +2x f (x) =e
x
f (x) ⇔
f
0
(x )
f (x)
=e
x
−2x.
Do đó
Z
f
0
(x )
f (x)
dx =
Z
(e
x
−2x)dx
⇒ln|f (x)|=e
x
−x
2
+C
⇒|f (x)|=e
e
x
−x
2
+C
Vì f (0) =1 nên C =−1.
Vậy |f (1)|=e
e−2
Chọn đáp án B ä
Câu 203. Giá trị của
2
2021
2021
−
1
Z
−1
(x +1)
2019
xdx bằng
A.
2
2017
505
. B.
2
2018
505
. C.
2
2017
−1
505
. D.
2
2016
−1
505
.
- Lời giải.
Đặt u = x +1 thì du =dx. Với x =−1 ⇒ u =0, x =1 ⇒ u =2. Ta có
1
Z
−1
(x +1)
2019
xdx =
2
Z
0
u
2019
(u −1)du =
µ
u
2021
2021
−
u
2020
2020
¶
¯
¯
¯
¯
2
0
=
2
2021
2021
−
2
2018
505
.
Chọn đáp án B ä
Câu 204. Cho f (x) là hàm số chẵn trên đoạn [−a; a] và k >0. Giá trị tích phân
a
Z
−a
f (x)
1+e
kx
d x bằng
A.
a
Z
0
f (x)d x. B.
a
Z
−a
f (x)d x. C. 2
a
Z
−a
f (x)d x. D. 2
a
Z
0
f (x)d x.
- Lời giải.
Vì f (x) là hàm chẵn nên ta có f (−x) = f (x).
Đặt t =−x, dt =−dx, đổi cận ta được I =−
−a
Z
a
f (−t)
1+e
−kt
d t =
a
Z
−a
e
kt
· f (t)
1+e
kt
d t.
Khi đó, 2I =
a
Z
−a
f (x)
1+e
kx
d x +
a
Z
−a
e
kx
· f (x)
1+e
kx
d x =
a
Z
−a
f (x)d x =2
a
Z
0
f (x)d x.
Chọn đáp án A ä
Câu 205. Biết rằng
1
Z
0
dx
3x +5
p
3x +1+7
= a ln2 +b ln3 + c ln5, với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của
a +b +c bằng
A. −
5
3
. B.
10
3
. C. −
10
3
. D.
5
3
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 562 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt t =
p
3x +1 ⇒ t
2
=3x +1 ⇒2t dt =3dx.
Đổi cận: x =0 ⇒ t =1; x =1 ⇒ t =2. Ta có
2
Z
1
dx
3x +1+5
p
3x +1+6
=
2
3
2
Z
1
tdt
t
2
+5t +6
=
2
3
2
Z
1
µ
3
t +3
−
2
t +2
¶
dt
=
2
3
[
3ln|t +3|−2ln|t +2|
]
¯
¯
¯
2
1
=
2
3
[
(
3ln5 −2ln4
)
−
(
3ln4 −2ln3
)
]
= −
20
3
ln2+
4
3
ln3+2ln5.
Suy ra a =−
20
3
,b =
4
3
, c =2. Vậy a +b +c =−
10
3
Chọn đáp án C ä
Câu 206. Cho f (x) là hàm số liên tục trên R thỏa mãn f (x) + f
0
(x ) = x, ∀x ∈R và f (0) =1. Tính f (1).
A.
2
e
. B.
1
e
. C. e. D.
e
2
.
- Lời giải.
Ta có f (x) + f
0
(x ) = x ⇔ f (x ) ·e
x
+ f
0
(x ) ·e
x
= xe
x
⇔
(
e
x
f (x)
)
0
= xe
x
.
Suy ra e
x
f (x) =
Z
xe
x
dx =
Z
xd
¡
e
x
¢
= xe
x
−
Z
e
x
dx = x e
x
−e
x
+C.
Vì f (0) =1 nên e
0
·1 =0·e
0
−e
0
+C ⇒C =2. Suy ra e
1
f (1) =1e
1
−e
1
+2 ⇒ f (1) =
2
e
.
Vậy f (1) =
2
e
.
Chọn đáp án A ä
Câu 207. Cho f (x) là hàm số liên tục trên R thỏa mãn f (x) + f (2 − x) = xe
x
2
, ∀x ∈ R. Tính tích phân
I =
2
Z
0
f (x)dx.
A. I =
e
4
−1
4
. B. I =
2e−1
2
. C. I =e
4
−2. D. I =e
4
−1.
- Lời giải.
Xét J =
2
Z
0
f (2−x)dx. Đặt u =2−x ⇒ du =−dx.
Đổi cận: với x =0 ⇒ u =2, x =2 ⇒ u =0.
Khi đó J =−
0
Z
2
f (u)du =
2
Z
0
f (u)du =
2
Z
0
f (x)dx = I.
Ta có
f (x) + f (2−x) = xe
x
2
⇒
2
Z
0
f (x)dx +
2
Z
0
f (2−x)dx =
2
Z
0
xe
x
2
dx
⇒ 2I =
2
Z
0
xe
x
2
dx .
Th.s Nguyễn Chín Em 563 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Xét K =
2
Z
0
xe
x
2
dx . Đặt u = x
2
⇒ du =2xdx.
Đổi cận: với x =0 ⇒ u =0, x =2 ⇒ u =4.
Khi đó K =
4
Z
0
1
2
e
u
du =
1
2
(e
4
−1).
Vậy I =
1
2
K =
e
4
−1
4
.
Chọn đáp án A ä
Câu 208. Biết
Z
2
0
x
2
+5x +2
x
2
+4x +3
dx = a +b ln3 +c ln5, (a, b, c ∈Q). Giá trị của abc bằng
A. −8. B. −10. C. −12. D. 16.
- Lời giải.
Ta có
Z
2
0
x
2
+5x +2
x
2
+4x +3
dx =
Z
2
0
µ
1+
2
x +3
−
1
x +1
¶
dx
=
(
x +2ln|x +3|−ln|x +1|
)
|
2
0
= 2−3ln3+2ln5.
Vậy a =2, b =−3, c =2 và abc =−12.
Chọn đáp án C ä
Câu 209. Biết
Z
5
1
1
1+
p
3x +1
dx = a +b ln3 +c ln5, (a, b, c ∈Q). Giá trị của a +b +c bằng
A.
7
3
. B.
5
3
. C.
8
3
. D.
4
3
.
- Lời giải.
Đặt t =1+
p
3x +1 ⇒3x +1 =(t −1)
2
⇒3dx =2(t −1)dt ⇒dx =
2(t −1)
3
dt.
Đổi cận x =1 ⇒ t =3; x =5 ⇒ t =5.
Khi đó
Z
5
1
1
1+
p
3x +1
dx =
5
Z
3
2(t −1)
3t
dt =
5
Z
3
µ
2
3
−
2
3t
¶
dt =
µ
2t
3
−
2ln|t|
3
¶
¯
¯
¯
¯
5
3
=
4
3
+
2
3
·ln3−
2
3
·ln5.
Vậy a =
4
3
, b =
2
3
, c =−
2
3
và a +b +c =
4
3
.
Chọn đáp án D ä
Câu 210. Cho tích phân
5
Z
1
¯
¯
¯
¯
x −2
x +1
¯
¯
¯
¯
dx = a +b ln2 +c ln3 với a, b, c là các số nguyên. Tính P = abc.
A. P =−36. B. P =0. C. P =−18. D. P =18.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 564 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
5
Z
1
¯
¯
¯
¯
x −2
x +1
¯
¯
¯
¯
dx =
2
Z
1
¯
¯
¯
¯
x −2
x +1
¯
¯
¯
¯
dx +
5
Z
2
¯
¯
¯
¯
x −2
x +1
¯
¯
¯
¯
dx =−
2
Z
1
x −2
x +1
dx +
5
Z
2
x −2
x +1
dx
=
2
Z
1
µ
3
x +1
−1
¶
dx +
5
Z
2
µ
1−
3
x +1
¶
dx
=
(
3ln(x +1)−x
)
¯
¯
¯
2
1
+
(
x −3ln(x +1)
)
¯
¯
¯
5
2
=2 −6ln2 +3ln3
⇒
a =2
b =−6
c =3
⇒P = abc =−36.
Chọn đáp án A ä
Câu 211. Cho
1
Z
0
9
x
+3m
9
x
+3
dx = m
2
−1. Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m.
A. P =24. B. P =16. C. P =
1
2
. D. P =12.
- Lời giải.
Ta có I =
1
Z
0
9
x
+3m
9
x
+3
dx =1+(3m −3)
1
Z
0
1
9
x
+3
dx .
Xét J =
1
Z
0
1
9
x
+3
dx :
Đặt t =9
x
⇒ dt =9
x
·ln9dx ⇒dx =
dt
tln9
. Đổi cận x =0 ⇒ t =1, x =1 ⇒ t =9. Khi đó
J =
9
Z
1
1
t(t +3)ln9
dt =
1
3ln9
1
Z
0
·
1
t
−
1
t +3
¸
dt =
1
3ln9
ln
t
t +3
¯
¯
¯
9
1
=
1
6
.
Suy ra I =1 +
3m −3
6
=1 +
m −1
2
. Do đó m
2
−1 =1+
m −1
2
⇔2m
2
−m −3 =0 ⇔
m =−1
m =
3
2
.
Vậy tổng tất cả các giá trị m là
1
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 212. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai liên tục trên [0;1] và thỏa mãn
1
Z
0
e
x
f (x)dx =
1
Z
0
e
x
f
0
(x )dx =
1
Z
0
e
x
f
00
(x )dx 6=0. Giá trị của biểu thức
ef
0
(1)− f
0
(0)
ef (1)− f (0)
bằng
A. −1. B. 1. C. 2. D. −2.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
e
x
f (x)dx =
1
Z
0
e
x
f
0
(x )dx =
1
Z
0
e
x
f
00
(x )dx 6=0, suy ra
1
Z
0
e
x
f (x)dx +
1
Z
0
e
x
f
0
(x )dx =2
1
Z
0
e
x
f
0
(x )dx ⇔
1
Z
0
£
e
x
f (x)
¤
0
dx =2
1
Z
0
e
x
f
0
(x )dx. (1)
Th.s Nguyễn Chín Em 565 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
1
Z
0
e
x
f
0
(x )dx +
1
Z
0
e
x
f
00
(x )dx =2
1
Z
0
e
x
f
0
(x )dx ⇔
1
Z
0
£
e
x
f
0
(x )
¤
0
dx =2
1
Z
0
e
x
f
0
(x )dx. (2)
Từ (1) và (2) suy ra
1
Z
0
£
e
x
f (x)
¤
0
dx =
1
Z
0
£
e
x
f
0
(x )
¤
0
dx ⇔ef (1)− f (0) =ef
0
(1)− f
0
(0)
⇔
ef
0
(1)− f
0
(0)
e f (1) − f (0)
=1.
Chọn đáp án B ä
Câu 213. Cho hàm số f (x) xác định trên R \ {1} thỏa mãn f
0
(x ) =
1
x −1
, f (0) = 2018, f (2) = 2019. Tính
S = f (3) − f (−1).
A. S =ln4035. B. S =4. C. S =ln2. D . S =1.
- Lời giải.
Ta có
f (x) =
Z
1
x −1
dx =ln|x −1|+C =
ln(x −1)+C
1
, với x >1
ln(1−x)+C
2
, với x <1.
Với f (0) =2018 ⇒C
2
=2018.
Với f (2) =2019 ⇒C
1
=2019.
Vậy S = f (3)− f (−1) =ln2+2019−
(
ln2+2018
)
=1.
Chọn đáp án D ä
Câu 214. Cho
1
Z
0
1
e
x
+1
dx = a +b ln
1+e
2
, với a, b là các số hữu tỉ. Tính S = a
3
+b
3
.
A. S =−2. B. S =0. C. S =1. D. S =2.
- Lời giải.
Gọi I =
1
Z
0
1
e
x
+1
dx =
1
Z
0
e
x
e
x
(
e
x
+1
)
dx .
Đặt u =e
x
⇒du =e
x
dx . Đổi cận x =0 ⇒ u =1, x =1 ⇒ u =e, ta có
I =
Ìe
Z
1
1
u(u +1)
du =
Ìe
Z
1
µ
1
u
−
1
u +1
¶
du = ln
u
u +1
¯
¯
¯
e
1
=1 −ln
1+e
2
.
Từ đó suy ra a =1, b =−1. Vậy S =1
3
+(−1)
3
=0.
Chọn đáp án B ä
Câu 215. Biết I =
5
Z
1
1
x
p
3x +1
dx = aln3 +b ln5, với a, b là các số nguyên. Tính tổng a +b.
A. −1. B. 3. C. 1. D. 2.
- Lời giải.
Đặt u =
p
3x +1, ta có 3x +1 = u
2
⇒3dx =2udu.
Đổi cận x =1 ⇒ u =2, x =5 ⇒ u =4, ta có
I =
4
Z
2
3
(u
2
−1)u
2u
3
du =2
4
Z
2
1
u
2
−1
du =
4
Z
2
µ
1
u −1
−
1
u +1
¶
du
Th.s Nguyễn Chín Em 566 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
= ln
u −1
u +1
¯
¯
¯
¯
4
2
=ln
3
5
−ln
1
3
=2ln3−ln5.
Từ đó ta có a =2, b =−1. Vậy a +b =2 +(−1) =1.
Chọn đáp án C ä
Câu 216. Biết
2
Z
1
1
4x
2
−4x +1
dx =
1
a
+
1
b
thì a và b là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. x
2
−5x +6 =0. B. x
2
−9 =0. C. x
2
+4x −12 =0. D. 2x
2
−x −1 =0.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
1
4x
2
−4x +1
dx =
2
Z
1
1
(2x −1)
2
dx = −
1
2(2x −1)
¯
¯
¯
¯
2
1
=−
1
6
+
1
2
.
Không mất tính tổng quát ta có a =−6, b =2, suy ra a +b =−4, ab =−12.
Vậy a, b là 2 nghiệm của phương trình x
2
+4x −12 =0.
Chọn đáp án C ä
Câu 217. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và có
3
Z
0
f (x)dx =8 và
5
Z
0
f (x)dx =4.
Tính
1
Z
−1
f (|4x −1|)dx.
A. 6. B.
9
4
. C. 3. D.
11
4
.
- Lời giải.
Ta có:
1
Z
−1
f (|4x −1|)dx =
1
4
Z
−1
f (−4x +1)dx +
1
Z
1
4
f (4x −1)dx.
Tính A =
1
4
Z
−1
f (−4x +1)dx.
Đặt t =−4x +1 ⇒−
1
4
dt = dx . Đổi cận:
x =−1 ⇒ t =5
x =
1
4
⇒ t =0.
⇒ A =−
1
4
0
Z
5
f (t)dt =
1
4
5
Z
0
f (t)dt =1
Tính: B =
1
Z
1
4
f (4x −1)dx.
Đặt t =4x −1 ⇒
1
4
dt = dx . Đổi cận:
x =
1
4
⇒ t =0
x =1 ⇒ t =3.
⇒B =
1
4
3
Z
0
f (t)dt =2.
Vậy
1
Z
−1
f (|4x −1|)dx = A +B =3.
Chọn đáp án C ä
Th.s Nguyễn Chín Em 567 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 218. Cho hai tích phân
5
Z
−2
f (x)dx =8 và
5
Z
−2
g(x)dx =−3. Tính
5
Z
−2
[
f (x) −4g(x)−1
]
dx .
A. I =−11. B. I =13. C. I =27. D. I =3.
- Lời giải.
5
Z
−2
[
f (x) −4g(x)−1
]
dx =
5
Z
−2
f (x)dx −4
5
Z
−2
g(x)dx −
5
Z
−2
dx
=8 +4·3−
[
5−(−2)
]
=13.
Chọn đáp án B ä
Câu 219. Biết tích phân
ln6
Z
0
e
x
1+
p
e
x
+3
dx = a +b ln2+c ln3 với a,b, c là các số nguyên. Tính T = a +b +
c.
A. T =2. B. T =1. C. T =0. D. T =−1.
- Lời giải.
Đặt
p
e
x
+3 = t ⇒ e
x
= t
2
−3 và e
x
dx =2t dt. Tại x =0 thì t =2; tại x =ln6 thì t =3.
Khi đó tích phân đã cho trở thành
I =
3
Z
2
2t dt
1+t
=
3
Z
2
(2t +2)dt
1+t
−2
3
Z
2
dt
1+t
=2t
¯
¯
3
2
−2ln(1+t)
¯
¯
3
2
=2 −2ln4 +2ln3 =2−4ln2+2ln3.
⇒ a =2, b =−4, c =2.
Suy ra T = a +b +c =0.
Chọn đáp án C ä
Câu 220. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm kiên tục trên R và thỏa mãn f (3) =7,
3
Z
0
f (x)dx =3. Giá trị của
1
Z
0
x f
0
(3x )dx bằng
A.
8
3
. B. 6. C. 8. D. 2.
- Lời giải.
Đặt
u = f (x)
dv =dx
⇒
du = f
0
(x )dx
v = x
. Khi đó:
3 =
3
Z
0
f (x)dx = x · f (x)
¯
¯
3
0
−
3
Z
0
x f
0
(x )dx ⇒
3
Z
0
x f
0
(x )dx =18.
Đặt t =3x ⇒dx =
dt
3
. Khi đó I =
1
Z
0
x f
0
(3x )dx =
1
9
3
Z
0
t f
0
(t)dt =2.
Chọn đáp án D ä
Câu 221. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (2x) = 3f (x) +x,∀x ∈ R. Biết rằng
Z
1
0
f (x)dx = 1.
Tính tích phân I =
Z
2
1
f (x)dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 568 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. I =3. B. I =5. C. I =6. D. I =4.
- Lời giải.
Từ giả thiết f (2x) =3f (x)+x, lấy tích phân hai vế trên đoạn [0;1], ta được:
1
Z
0
f (2x)dx =3
1
Z
0
f (x)dx +
Z
1
0
xdx
⇔
1
2
2
Z
0
f (t)dt =3 +
x
2
2
¯
¯
¯
1
0
⇔
1
2
1
Z
0
f (x)dx +
1
2
2
Z
1
f (x)dx =
7
2
⇔
1
2
+
1
2
2
Z
1
f (x)dx =
7
2
⇔
2
Z
1
f (x)dx =6.
Chọn đáp án C ä
Câu 222. Biết
3
Z
2
ln x
x
2
dx = a +b ln2 +c ln3, với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của a +b +c bằng
A.
1
6
. B.
1
3
. C. 1. D. 3.
- Lời giải.
Ta có
3
Z
2
ln x
x
2
dx =
3
Z
2
ln x d
µ
−
1
x
¶
=−
1
x
·lnx
¯
¯
¯
¯
3
2
−
3
Z
2
µ
−
1
x
¶
d(ln x)
= −
1
3
·ln3+
1
2
·ln2+
3
Z
2
1
x
2
dx =−
1
3
·ln3+
1
2
·ln2+
1
6
.
Vậy a =
1
6
, b =
1
2
, c =−
1
3
. Suy ra a +b +c =
1
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 223. Biết
2
Z
1
x
3
p
x
2
+4−2
dx = a
p
5+b
p
2+c, với a, b, c ∈Q. Giá trị của a +b +c bằng
A. 10. B.
7
2
. C. 20. D.
20
3
.
- Lời giải.
2
Z
1
x
3
p
x
2
+4−2
dx =
2
Z
1
x
3
³
p
x
2
+4+2
´
x
2
dx
=
2
Z
1
x
³
p
x
2
+4+2
´
dx
=
2
Z
1
x
p
x
2
+4dx +3.
Th.s Nguyễn Chín Em 569 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt t =
p
x
2
+4 ⇒ t
2
= x
2
−4 ⇒ t dt = xdx.
Với x =1 ⇒ t =
p
5; x =2 ⇒ t =2
p
2.
Khi đó ta có
2
Z
1
x
p
x
2
+4dx =
2
p
2
Z
p
5
t
2
dt =−
5
3
p
5+
16
3
p
2.
Do đó
a =−
5
3
b =
16
3
c =3
⇒a +b +c =
20
3
.
Chọn đáp án D ä
Câu 224. Cho
2
Z
1
³
x
2
+
x
x +1
´
dx =
10
b
+ln
a
b
với a,b ∈Q. Tính P = a +b.
A. P =1. B. P =5. C. P =7. D. P =2.
- Lời giải.
2
Z
1
³
x
2
+
x
x +1
´
dx =
2
Z
1
µ
x
2
+1−
1
x +1
¶
dx
=
µ
1
3
x
3
+x −ln
|
x +1
|
¶
¯
¯
¯
¯
2
1
=
µ
8
3
+2−ln3
¶
−
µ
1
3
+1−ln2
¶
=
10
3
+ln
2
3
.
Nên suy ra
a =2
b =3
⇒P = a +b =5.
Chọn đáp án B ä
Câu 225. Cho I =
Z
1
0
xe
2x
dx = a ·e
2
+b với a, b ∈Q. Tính tổng a +b.
A.
1
2
. B.
1
4
. C. 0. D. 1.
- Lời giải.
Ta có
I =
Z
1
0
xe
2x
dx =
Z
1
0
1
2
xd(e
2x
) =
xe
2x
2
¯
¯
¯
¯
1
0
−
Z
1
0
e
2x
2
dx
=
e
2
2
−
e
2x
4
¯
¯
¯
¯
1
0
=
e
2
2
−
e
2
4
+
1
4
=
e
2
4
+
1
4
.
Suy ra a = b =
1
4
⇒a +b =
1
2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 226. Cho hàm số y = f (x) thoả mãn f (2) =−
4
19
và f
0
(x ) = x
3
f
2
(x ), ∀x ∈R. Giá trị của f (1) bằng
A. −
2
3
. B. −
1
2
. C. −1. D. −
3
4
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 570 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có f
0
(x ) = x
3
f
2
(x ) ⇒
f
0
(x )
f
2
(x )
= x
3
, ∀x ∈R.
Lấy tích phân 2 vế trên đoạn
[
1;2
]
ta được
2
Z
1
f
0
(x )
f
2
(x )
dx =
2
Z
1
x
3
dx ⇔
−1
f (x)
¯
¯
¯
¯
2
1
=
15
4
⇔
−1
f (2)
+
1
f (1)
=
15
4
⇔ f (1) =−1.
Chọn đáp án C ä
Câu 227. Cho hàm số f (x) thỏa mãn
3
Z
0
£
2x ln(x +1)+xf
0
(x )
¤
dx =0 và f (3) =1. Biết
3
Z
0
f (x)dx =
a +b ln2
2
với a, b là các số thực dương. Giá trị của a +b bằng?
A. 35. B. 29. C. 11. D. 7.
- Lời giải.
Ta có
3
Z
0
£
2x ln(x +1)+xf
0
(x )
¤
dx =
3
Z
0
2x ln(x +1)dx +
3
Z
0
x f
0
(x )dx.
Xét I =
3
Z
0
2x ln(x +1)dx.
Đặt
u =ln(x +1)
dv =2x dx
⇒
du =
1
x +1
dx
v = x
2
. Khi đó
I = x
2
ln(x +1)
¯
¯
¯
3
0
−
3
Z
0
x
2
x +1
dx =9ln4−
3
Z
0
µ
x −1+
1
x +1
¶
dx
=18ln2−
µ
x
2
2
−x +ln|x +1|
¶
¯
¯
¯
3
0
=18ln2−(
3
2
+ln4)
=−
3
2
+16ln2.
Xét J =
3
Z
0
x f
0
(x )dx =
3
Z
0
xd
[
f (x)
]
= xf (x)
¯
¯
¯
3
0
−
3
Z
0
f (x)dx =3f (3)−
a +b ln2
2
=3 −
a +b ln2
2
.
Suy ra I +J =0 ⇔−
3
2
+16ln2+3−
a +b ln2
2
=0 ⇔ a =3 và b =32.
Vậy a +b =35.
Chọn đáp án A ä
Câu 228. Biết
1
Z
0
πx
3
+2
x
+ex
3
2
x
π +e2
x
dx =
1
m
+
1
elnn
·ln
³
p +
e
e+π
´
với m, n, p là các số nguyên dương. Tính
tổng P = m +n + p.
A. P =5. B. P =6. C. P =8. D. P =7.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 571 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
1
Z
0
πx
3
+2
x
+ex
3
2
x
π +e2
x
dx =
1
Z
0
x
3
(
π +e2
x
)
+2
x
π +e2
x
dx
=
1
Z
0
µ
x
3
+
2
x
π +e2
x
¶
dx
=
x
4
4
¯
¯
¯
¯
1
0
+
1
eln2
·ln
¯
¯
π +e2
x
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
4
+
1
e·ln2
·ln
¯
¯
¯
1+
e
π +e
¯
¯
¯
.
Vậy m =4, n =2, p =1 nên P = m +n + p =7.
Chọn đáp án D ä
Câu 229. Cho f , g là hai hàm liên tục trên [1;3] thoả
3
Z
1
[f (x)+3g(x)]dx =10,
3
Z
1
[2f (x)−g(x)]dx =6. Tính
3
Z
1
[
f (x) + g (x)
]
dx .
A. 7. B. 6. C. 8. D. 0.
- Lời giải.
Đặt a =
3
Z
1
f (x)dx và b =
3
Z
1
g(x)dx.
Khi đó,
3
Z
1
[f (x)+3g(x)]dx =a +3b và
3
Z
1
[2f (x)−g(x)]dx =2a −b.
Theo đề bài ta có hệ phương trình
a +3b =10
2a −b =6
⇔
a =4
b =2.
Vậy
3
Z
1
[
f (x) + g (x)
]
dx = a +b =4+2 =6.
Chọn đáp án B ä
Câu 230. Giả sử I =
64
Z
1
dx
p
x +
3
p
x
=a ln
2
3
+b với a, b là các số nguyên. Khi đó giá trị a −b là
A. −17. B. 5. C. −5. D. 17.
- Lời giải.
Đặt x = t
6
⇒ dx =6t
5
dt.
Với x =1 ⇒ t =1, x =64 ⇒ t =2.
Th.s Nguyễn Chín Em 572 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
I =
2
Z
1
6t
5
t
2
+t
3
dt
= 6
2
Z
1
t
3
1+t
dt
= 6
2
Z
1
µ
t
2
−t +1−
1
t +1
¶
dt
=
µ
t
3
3
−
t
2
2
+t −ln|t +1|
¶
¯
¯
¯
2
1
= 6ln
2
3
+11.
Vậy a =6, b =11. Khi đó a −b =6−11 =−5.
Chọn đáp án C ä
Câu 231. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và f (2) =16,
2
Z
0
f (x)dx =4.
Tính I =
1
Z
0
x · f
0
(2x )dx.
A. I =7. B. I =12. C. I =20. D. I =13.
- Lời giải.
Đặt t =2x ⇒
1
2
dt = dt và x =
t
2
.
Với x =0 ⇒ t =0 và x =1 ⇒ t =2.
Do đó, I =
2
Z
0
t
2
· f
0
(t) ·
1
2
dt =
1
4
2
Z
0
t f
0
(t)dt =
1
4
2
Z
0
x f
0
(x )dx.
Đặt
u = x
dv = f
0
(x )dx
⇒
du = dx
v = f (x).
Khi đó, I =
1
4
x f (x)
¯
¯
¯
2
0
−
2
Z
0
f (x)dx
=
1
4
(
2f (2)−4
)
=7.
Chọn đáp án A ä
Câu 232. Tính tích phân
1
Z
0
max
©
e
x
,e
1−2x
ª
dx
A. e−1. B.
3
2
¡
e−
3
p
e
¢
. C. e−
3
p
e. D.
1
2
µ
e−
1
e
¶
.
- Lời giải.
Xét phương trình x =1−2x ⇔ x =
1
3
.
Với 0 ≤ x ≤
1
3
thì e
x
≤e
1−2x
.
Với 1 ≥ x ≥
1
3
thì e
x
≥e
1−2x
.
Vậy
1
Z
0
max
©
e
x
,e
1−2x
ª
dx =
1
3
Z
0
e
1−2x
dx +
1
Z
1
3
e
x
dx = −
e
1−2x
2
¯
¯
¯
¯
1
3
0
+e
x
¯
¯
¯
1
1
3
=
3
2
¡
e−
3
p
e
¢
.
Th.s Nguyễn Chín Em 573 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án B ä
Câu 233. Cho tích phân
π
4
Z
0
1
cot
¡
5π
12
−x
¢
tan
¡
π
6
+x
¢
dx =
2+
p
a
2
lnb −
π
c
với a, b, c là các số nguyên dương.
Tính a
2
+b
2
+c
2
.
A. 48. B. 18. C. 34. D. 36.
- Lời giải.
Ta có cot
µ
5π
12
−x
¶
=tan
³
π
12
+x
´
.
π
4
Z
0
1
cot
¡
5π
12
−x
¢
tan
¡
π
6
+x
¢
dx =
π
4
Z
0
1
tan
¡
π
12
+x
¢
tan
¡
π
6
+x
¢
dx
=
π
4
Z
0
1−tan
¡
π
12
+x
¢
tan
¡
π
12
¢
tan
2
¡
π
12
+x
¢
+tan
¡
π
12
+x
¢
tan
¡
π
12
¢
dx
=
π
4
Z
0
Ã
1+tan
2
¡
π
12
+x
¢
tan
2
¡
π
12
+x
¢
+tan
¡
π
12
+x
¢
tan
¡
π
12
¢
−1
!
dx
=
π
4
Z
0
1+tan
2
¡
π
12
+x
¢
tan
2
¡
π
12
+x
¢
+tan
¡
π
12
+x
¢
tan
¡
π
12
¢
dx −
π
4
.
Đặt t =tan
³
π
12
+x
´
, khi đó dt =1+tan
2
³
π
12
+x
´
dx .
Đổi cận: Khi x =0 thì t =2−
p
3.
Khi x =
π
4
thì t =
p
3.
Vậy
π
4
Z
0
1+tan
2
¡
π
12
+x
¢
tan
2
¡
π
12
+x
¢
+tan
¡
π
12
+x
¢
tan
¡
π
12
¢
dx =
p
3
Z
2−
p
3
1
t
2
+t tan
¡
π
12
¢
dt
=
1
2−
p
3
p
3
Z
2−
p
3
Ã
1
t
−
1
t +
¡
2−
p
3
¢
!
dt
=
1
2−
p
3
ln
¯
¯
¯
¯
t
t +2−
p
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
p
3
2−
p
3
=
1
2−
p
3
ln
p
3 =
2+
p
3
2
ln3.
Từ đây suy ra a =b =3, c =4. Hay a
2
+b
2
+c
2
=9 +9+16 =34.
Chọn đáp án C ä
Câu 234. Cho I =
π
2
Z
0
¡
e
cos x
+sinx
¢
sin x dx =a +be+cπ với a, b , c ∈Q. Tính a +b +c.
A.
3
5
. B.
6
5
. C.
1
4
. D.
2
3
.
- Lời giải.
Ta có I =
π
2
Z
0
e
cos x
sin x dx +
π
2
Z
0
sin
2
xdx =e
cos x
¯
¯
¯
π
2
0
+
1
2
µ
x −
1
2
sin2x
¶
¯
¯
¯
π
2
0
=1 −e+
π
4
.
Vậy a +b +c =
1
4
.
Th.s Nguyễn Chín Em 574 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án C ä
Câu 235. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn
1
Z
0
f (2x)dx =2,
2
Z
0
f (4x)dx =6.
Tính I =
2
Z
−2
f
(
3|x |+2
)
dx .
A. I =
20
3
. B. I =20. C. I =
40
3
. D. 40.
- Lời giải.
Đặt t =2x, ta được
4
Z
0
f (2t)dt =
4
Z
0
f (2x)dx =12.
Ta thấy I =
2
Z
−2
f
(
3|x |+2
)
dx =2
2
Z
0
f
(
3|x |+2
)
dx =2
2
Z
0
f
(
3x +2
)
dx .
Đặt 2u =3x +2, ta được I =
4
3
4
Z
1
f (2u)du =
4
3
4
Z
0
f (2x)dx −
1
Z
0
f (2x)dx
=
4
3
(
12−2
)
=
40
3
.
Chọn đáp án C ä
Câu 236. Cho hàm số f (x) liên tục trên [0;1] và f (x)+f (1−x) =
x
2
+2x +3
x +1
, ∀x ∈[0;1]. Tính I =
1
Z
0
f (x)dx.
A. I =
3
4
+2ln2. B. I =3+ln2. C. I =
3
4
+ln2. D. I =
3
2
+2ln2.
- Lời giải.
Đặt t =1−x, ta có dt =−dx. Đổi cận, ta được I =−
0
Z
1
f (1−t)dt =
1
Z
0
f (1−x)dx.
Do vậy 2I =
1
Z
0
[
f (x) + f (1−x)
]
dx =
1
Z
0
x
2
+2x +3
x +1
dx =
·
x
2
2
+x +2ln|x +1|
¸
¯
¯
¯
1
0
=
3
2
+2ln2.
Vậy I =
3
4
+ln2.
Chọn đáp án C ä
Câu 237. Cho
3
Z
2
2x +3
x
2
+x
dx = aln2 +b ln3. Tính giá trị biểu thức a
2
−ab −b.
A. 11. B. 21. C. 31. D. 41.
- Lời giải.
Ta có
3
Z
2
2x +3
x
2
+x
dx =
3
Z
2
µ
2x +1
x
2
+x
+
2
x
−
2
x +1
¶
dx
=
h
ln|x
2
+x|+2ln
¯
¯
¯
x
x +1
¯
¯
¯
i
¯
¯
¯
3
2
= ln12 +2ln
3
4
−ln6−2ln
2
3
= −5ln2+4·ln3.
Từ đó, suy ra a
2
−ab −b =(−5)
2
−(−5)·4 −4 =41.
Chọn đáp án D ä
Th.s Nguyễn Chín Em 575 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 238. Cho
3
Z
1
x +3
x
2
+3x +2
dx = a ln2 +b ln3 +c ln5 với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a +b + c
bằng
A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.
- Lời giải.
Ta có
x +3
x
2
+3x +2
=
−1
x +2
+
2
x +1
.
Do đó,
3
Z
1
x +3
x
2
+3x +2
dx =
3
Z
1
µ
−1
x +2
+
2
x +1
¶
dx =
(
−ln|x +2|+2ln|x +1|
)
¯
¯
¯
3
1
=2ln2+ln3−ln5.
Suy ra a =2, b =1 và c =−1.
Vậy a +b +c =2.
Chọn đáp án B ä
Câu 239. Biết
π
4
Z
0
x
1+cos2x
dx = aπ +b ln2, với a, b là các số hữu tỉ. Tính T =16 a −8b.
A. T =4. B. T =5. C. T =2. D. T =−2.
- Lời giải.
Ta có I =
π
4
Z
0
x
1+cos2x
dx =
π
4
Z
0
x
2cos
2
x
dx . Đặt
u = x
dv =
1
cos
2
x
dx
⇒
du =dx
v =tan x.
I =
1
2
xtan x
¯
¯
¯
¯
π
4
0
−
π
4
Z
0
tan x dx
=
π
8
+
1
2
ln|cos x|
¯
¯
¯
¯
π
4
0
=
π
8
−
1
4
ln2.
Nên a =
1
8
, b =−
1
4
. Do đó T =16a −8b =4.
Chọn đáp án A ä
Câu 240. Cho hàm số bậc ba y = f (x) thỏa mãn f (x) +1 chia hết cho (x −1)
2
và f (x) −1 chia hết cho
(x +1)
2
. Tính
1
Z
0
f (x)dx.
A. 5. B. 7. C. −
5
8
. D.
13
2
.
- Lời giải.
Ta có f (x) +1 chia hết cho (x −1)
2
nên f
0
(x ) chia hết cho x −1.
Tương tự ta cũng có f
0
(x ) chia hết cho x +1 nên f
0
(x ) = a(x −1)(x +1), với a ∈R.
Khi đó f (x) =
a
3
x
3
−ax +b, với a, b ∈R.
Mà f (1) =−1 và f (−1) =1 nên ta có
−
2a
3
+b =−1
2a
3
+b =1
⇔
a =
3
2
b =0.
Vậy f (x) =
1
2
x
3
−
3
2
x.
Khi đó
1
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
µ
1
2
x
3
−
3
2
x
¶
dx =
µ
1
8
x
4
−
3
4
x
2
¶
¯
¯
¯
1
0
=−
5
8
.
Th.s Nguyễn Chín Em 576 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án C ä
Câu 241. Cho
3
Z
2
dx
(x +1)(x +2)
=a ln2+b ln3+c ln5 với a, b, c là các số thực. Giá trị của a+b
2
−c
3
là
A. 3. B. 5. C. 4. D. 6.
- Lời giải.
Ta có
3
Z
2
dx
(x +1)(x +2)
=
3
Z
2
µ
1
x +1
−
1
x +2
¶
dx
=
[
ln(x +1)−ln(x +2)
]
¯
¯
¯
3
2
= ln4 −ln5−(ln3−ln4)
= 4ln2−ln3 −ln5.
Suy ra a =4, b =−1, c =−1 ⇒ a +b
2
−c
3
=6.
Chọn đáp án D ä
Câu 242. Biết
e
Z
1
ln x
p
x
dx = a
p
e+b với a, b ∈Z. Tính P = a ·b.
A. P =4. B. P =−8. C. P =8. D. P =−4.
- Lời giải.
Xét tích phân I =
e
Z
1
ln x
p
x
dx .
Đặt
u =ln x
dv =
1
p
x
dx
⇒
du =
1
x
dx
v =2
p
x
. Do đó
I = 2
p
xln x
¯
¯
e
1
−
e
Z
1
2
p
x ·
1
x
dx
= 2
p
xln x
¯
¯
e
1
−
e
Z
1
2
p
x
dx
= 2
p
xln x
¯
¯
e
1
− 4
p
x
¯
¯
e
1
= 2
p
e−4
¡
p
e−1
¢
= −2
p
e+4.
Suy ra a =−2, b =4. Do đó P = a ·b =(−2) ·4 =−8.
Chọn đáp án B ä
Câu 243. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và f (2) =16,
2
Z
0
f (x)dx =4. Tính I =
4
Z
0
x · f
0
³
x
2
´
dx .
A. I =144. B. I =12. C. I =112. D. I =28.
- Lời giải.
Đặt
u = x
dv = f
0
³
x
2
´
dx
⇒
du =dx
v =2f
³
x
2
´
.
Th.s Nguyễn Chín Em 577 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó I =
4
Z
0
x · f
0
³
x
2
´
dx =2x · f
³
x
2
´
¯
¯
¯
4
0
−2
4
Z
0
f
³
x
2
´
dx =128−2
4
Z
0
f
³
x
2
´
dx .
Đặt t =
x
2
, khi đó
4
Z
0
f
³
x
2
´
dx =2
2
Z
0
f
(
t
)
dt =2
2
Z
0
f
(
x
)
dx =8.
Vậy I =128−2·8 =112.
Chọn đáp án C ä
Câu 244. Cho tích phân I =
1
Z
0
(x +2)ln(x +1)dx = a ln2−
7
b
, trong đó a , b là các số nguyên dương. Tổng
a +b
2
bằng
A. 8. B. 16. C. 12. D. 20.
- Lời giải.
Đặt
u =ln(x +1)
dv =(x +2)dx
⇒
du =
1
x +1
dx
v =
1
2
x
2
+2x.
Khi đó
I =
µ
x
2
2
+2x
¶
ln(x +1)
¯
¯
¯
¯
1
0
−
1
2
1
Z
0
x
2
+4x
x +1
dx
=
5
2
ln2−
1
2
1
Z
0
µ
x +3−
3
x +1
¶
dx
=
5
2
ln2−
1
2
"
µ
x
2
2
+3x −3ln|x +1|
¶
¯
¯
¯
¯
1
0
#
=
5
2
ln2−
7
4
+
3
2
ln2 =4ln2−
7
4
.
Suy ra a =4, b =4 ⇒ a +b
2
=20.
Chọn đáp án D ä
Câu 245. Cho I =
1
Z
0
³
x +
p
x
2
+15
´
dx = a +b ln3 +c ln5 với a, b, c ∈Q. Tính tổng a +b +c.
A. 1. B.
5
2
. C.
1
3
. D. −
1
3
.
- Lời giải.
Đặt J =
1
Z
0
p
x
2
+15dx .
Đặt
u =
p
x
2
+15
dv =dx
, ta được
du =
x
p
x
2
+15
dx
Chọn v = x
. Khi đó
J = x
p
x
2
+15
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
x
2
p
x
2
+15
dx
J = 4 −
1
Z
0
x
2
+15−15
p
x
2
+15
dx
Th.s Nguyễn Chín Em 578 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
J = 4 −J +15
1
Z
0
1
p
x
2
+15
dx
J = 2 +
15
2
ln
¯
¯
¯
x +
p
x
2
+15
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
0
J = 2 −
15
4
ln3+
15
4
ln5.
Ta được I =
1
Z
0
xdx +J =
5
2
−
15
4
ln3+
15
4
ln5 ⇒
a =
5
2
b =−
15
4
c =
15
4
.
Vậy a +b +c =
5
2
.
Chọn đáp án B ä
Câu 246. Cho f (x ) xác định, liên tục trên đoạn
[
0;4
]
thỏa mãn f (x)+ f (4 −x) =−x
2
+4x . Giá trị của tích
phân I =
4
Z
0
f (x)dx bằng
A. 32. B.
16
3
. C.
32
3
. D. 16.
- Lời giải.
Trong tích phân I, ta đặt t =4−x ⇒ dt =−dx.
Với x =0 ⇒ t =4; với x =4 ⇒ t =0.
Tích phân trở thành I =
0
Z
4
f (4−t)(−dt). Hay I =
4
Z
0
f (4−x)dx.
Từ đó suy ra I +I =
4
Z
0
(
f (x) + f (4−x)
)
dx =
4
Z
0
(−x
2
+4x)dx =
µ
−
x
3
3
+2x
2
¶
¯
¯
¯
4
0
=
32
3
.
Vậy I =
16
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 247. Biết
2
Z
1
xln(x
2
+1)dx = aln5 +b ln2+c. Tính P =a +b +c.
A. P =3. B. P =0. C. P =5. D. P =2.
- Lời giải.
Đặt
u =ln(x
2
+1)
dv = x dx
⇒
du =
2x
x
2
+1
dx
v =
x
2
2
.
Th.s Nguyễn Chín Em 579 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó
2
Z
1
xln(x
2
+1)dx =
x
2
2
ln(x
2
+1)
¯
¯
¯
2
1
−
2
Z
1
x
3
x
2
+1
dx
=
x
2
2
ln(x
2
+1)
¯
¯
¯
2
1
−
2
Z
1
³
x −
x
x
2
+1
´
dx
=
x
2
2
ln(x
2
+1)
¯
¯
¯
2
1
−
x
2
2
¯
¯
¯
2
1
+
1
2
ln(x
2
+1)
¯
¯
¯
2
1
= 2ln5−
1
2
ln2−2+
1
2
+
1
2
ln5−
1
2
ln2
=
5
2
ln5−ln2−
3
2
.
Vậy P = a +b +c =0.
Chọn đáp án
B ä
Câu 248. Cho I =
1
Z
0
xln
¡
2+x
2
¢
dx = aln3+b ln2+c với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị a+b+c bằng
A. 2. B. 1. C.
3
2
. D. 0.
- Lời giải.
Đặt
u =ln
¡
2+x
2
¢
dv = x dx
. Khi đó
du =
2x
2+x
2
dx
v =
x
2
+2
2
.
Do đó
I =
µ
x
2
+2
2
¶
·ln
¡
2+x
2
¢
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
xdx =
3
2
ln3−ln2−
1
2
.
Suy ra a =
3
2
, b =−1, c =−
1
2
. Vậy a +b +c =0.
Chọn đáp án D ä
Câu 249. Cho
2
Z
1
x
(x +1)
2
dx = a+b ln2+c ln3, với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 6a +b +c bằng
A. −2. B. 1. C. 2. D. −1.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
x
(x +1)
2
dx =
2
Z
1
1
x +1
dx −
2
Z
1
1
(x +1)
2
dx
= ln
|
x +1
||
2
1
+
1
x +1
¯
¯
¯
¯
2
1
=ln3−ln2 +
1
3
−
1
2
=−
1
6
−ln2+ln3.
Vậy 6a +b +c =6·
−1
6
+(−1)+1 =−1.
Chọn đáp án D ä
Th.s Nguyễn Chín Em 580 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 250.
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Giá
trị của biểu thức I =
4
Z
0
f
0
(x −2)dx +
2
Z
0
f
0
(x +2)dx bằng
A. 6. B. −2.
C. 2. D. 10.
x
−2 2 4
y
−2
2
4
O
- Lời giải.
I =
4
Z
0
f
0
(x −2)dx +
2
Z
0
f
0
(x +2)dx =
4
Z
0
f
0
(x −2)d(x −2)+
2
Z
0
f
0
(x +2)d(x +2)
= f (x −2)
¯
¯
¯
4
0
+ f (x +2)
¯
¯
¯
2
0
= f (2) − f (−2) + f (4) − f (2) = f (4) − f (−2) =6.
Chọn đáp án A ä
Câu 251. Biết
π
2
Z
0
cos x dx
sin
2
x +3sin x +2
=a ln2+b ln3 với a, b là các số nguyên. Tính P =2a +b.
A. 3. B. 7. C. 5. D. 1.
- Lời giải.
Đặt sin x = t ⇒cos xdx = dt.
Đổi cận x =0 ⇒ t =0, x =
π
2
⇒ t =1.
π
2
Z
0
cos x dx
sin
2
x +3sin x +2
=
1
Z
0
dt
t
2
+3t +2
=
1
Z
0
dt
(t +1)(t +2)
=
1
Z
0
µ
1
t +1
−
1
t +2
¶
dt
= (ln|t +1|−ln|t +2|)
¯
¯
¯
1
0
=2ln2−ln3.
Vậy a =2, b =−1 ⇒ P =2a +b =3.
Chọn đáp án A ä
Câu 252. Biết
e
Z
1
ln x
(1+x)
2
dx =
a
e+1
+b ·ln
2
e+1
+c, với a, b, c ∈Z. Tính a +b +c.
A. −1. B. 1. C. 3. D. 2.
- Lời giải.
Xét tích phân I =
e
Z
1
ln x
(1+x)
2
dx .
Th.s Nguyễn Chín Em 581 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt
u =ln x
dv =
dx
(x +1)
2
⇒
du =
1
x
dx
v =−
1
x +1
.
Thu được
I = −
1
x +1
·lnx
¯
¯
¯
¯
e
1
+
e
Z
1
1
x(x +1)
dx =−
1
e+1
+
e
Z
1
µ
1
x
−
1
x +1
¶
dx
= −
1
e+1
+
(
ln|x|−ln|x +1|
)
¯
¯
¯
¯
e
1
=−
1
e+1
+1−ln(e +1)+ln2
=
−1
e+1
+ln
2
e+1
+1.
Từ đó suy ra a =−1,b =1, c =1 nên a +b +c =1.
Chọn đáp án B ä
Câu 253. Cho hàm số f (x) liên tục trên R. Biết
ln2
Z
0
f
¡
e
x
+1
¢
dx = 5 và
3
Z
2
(2x −3)f (x)
x −1
dx = 3. Tính I =
3
Z
2
f (x)dx.
A. I =2. B. I =4. C. I =−2. D. I =8.
- Lời giải.
Xét tích phân
ln2
Z
0
f
¡
e
x
+1
¢
dx =5.
Đặt t =e
x
+1. Ta có
dt =e
x
dx ⇒dx =
1
t −1
·dt.
x =0 ⇒ t =2, x =ln2 ⇒ t =3.
Do đó
5 =
ln2
Z
0
f
¡
e
x
+1
¢
dx =
3
Z
2
f (t)
t −1
dt.
Mặt khác
3 =
3
Z
2
(2x −3)f (x)
x −1
dx =
3
Z
2
(2x −2−1)f (x)
x −1
dx =
3
Z
2
·
2f (x)−
f (x)
x −1
¸
dx
= 2
3
Z
2
f (x)dx −
3
Z
2
f (x)
x −1
dx =2I −5.
Vậy I =4.
Chọn đáp án B ä
Câu 254. Biết
3
Z
0
x
4+2
p
x +1
dx =
a
3
+b ln2+c ln3, trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính T = a+b+c.
A. T =1. B. T =4. C. T =3. D. T =6.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 582 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt t =
p
x +1 ⇒ t
2
= x +1 ⇒2t dt =dx.
Đổi cận x =0 ⇒ t =1, x =3 ⇒ t =2.
Suy ra
3
Z
0
x
4+2
p
x +1
dx =
2
Z
1
2t(t
2
−1)
4+2t
dt =
2
Z
1
µ
t
2
−2t +3−
6
t +2
¶
dt =
7
3
−12ln2+6ln3.
Vậy a =7,b =−12, c =6 ⇒ T =1.
Chọn đáp án A ä
Câu 255. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên R, thỏa mãn f
¡
x
5
+4x +3
¢
=2x +1,∀x ∈ R. Tích
phân
8
Z
−2
f (x)dx bằng
A. 10. B. 2. C.
32
3
. D. 72.
- Lời giải.
Đặt t = x
5
+4x +3 ⇒dt =(5x
4
+4)dx .
Đổi cận x =−1 ⇒ t =−2, x =1 ⇒ t =8.
Suy ra
8
Z
−2
f (t)dt =
1
Z
−1
(5x
4
+4)f
¡
x
5
+4x +3
¢
dx =
1
Z
−1
(5x
4
+4)(2x +1)dx =10.
Vậy
8
Z
−2
f (x)dx =10.
Chọn đáp án A ä
Câu 256. Biết I =
5
Z
1
d
x
p
3x +1
=a ln3+b ln5. Giá trị của 2a
2
+ab +b
2
là
A. 7. B. 9. C. 8. D. 3.
- Lời giải.
Đặt t =
p
3x +1 ⇒ x =
t
2
−1
3
⇒dx =
2
3
tdt.
Ta có I =
4
Z
2
2dt
t
2
−1
=
4
Z
2
µ
1
t −1
−
1
t +1
¶
dt =ln
¯
¯
¯
¯
t −1
t +1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4
2
=
µ
ln
3
5
−ln
1
3
¶
=2ln3−ln5.
Do đó 2a
2
+ab +b
2
=3.
Chọn đáp án D ä
Câu 257. Nếu
π
2
Z
π
4
sin x −cos x
p
1+sin2x
dx =
a
b
ln c, (với a,b, c ∈Z, a >0,
a
b
là phân số tối giản) thì a+2b +3c là
A. 13. B. 14. C. 9. D. 11.
- Lời giải.
Có
p
1+sin2x =
p
(sin x +cos x)
2
=sin x +cosx, vì x ∈
h
π
4
;
π
2
i
. Suy ra
π
2
Z
π
4
sin x −cos x
p
1+sin2x
dx =
π
2
Z
π
4
sin x −cos x
sin x +cos x
dx
= −
π
2
Z
π
4
d(sin x +cos x)
sin x +cos x
=− ln|sin x +cosx|
|
π
2
π
4
=−
³
ln1−ln
p
2
´
=
1
2
ln2.
Th.s Nguyễn Chín Em 583 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Suy ra a =1, b =2, c =2. Vậy a +2b +3c =11.
Chọn đáp án D ä
Câu 258. Cho I =
1
Z
0
1
p
2x +m
dx , m là số thực dương. Tìm tất cả các giá trị của m để I ≥1.
A. 0 < m ≤
1
4
. B. m ≥
1
4
. C. m >0. D.
1
8
≤ m ≤
1
4
.
- Lời giải.
Ta có I =
1
Z
0
1
p
2x +m
dx =
1
2
1
Z
0
1
p
2x +m
d(2x +m ) =
p
2x +m
¯
¯
¯
1
0
=
³
p
2+m −
p
m
´
.
Do đó I ≥1 ⇔
¡
p
2+m −
p
m
¢
≥1 ⇔
p
2+m ≥
p
m +1 ⇔2+m ≥m +1+2
p
m ⇔0 ≤ m ≤
1
4
.
Kết hợp điều kiện m >0 của đề bài, ta có 0 < m ≤
1
4
.
Chọn đáp án A ä
Câu 259. Biết rằng
1
Z
−2
dx
x +5
p
x +3+9
=a ln2+b ln3+c ln5, với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của a+b+c
bằng
A. −10. B. 10. C. 5. D. −5.
- Lời giải.
Đặt t =
p
x +3. Ta có t
2
= x +3 ⇒2t dt = dx.
Đổi cận x =−2 ⇒ t =1, x =1 ⇒ t =2.
Khi đó,
I =
1
Z
−2
dx
x +5
p
x +3+9
=
2
Z
1
2t dt
t
2
−3+5t +9
=
2
Z
1
2t
t
2
+5t +6
dt =
2
Z
1
2t
(t +2)(t +3)
dt
=
2
Z
1
µ
−
4
t +2
+
6
t +3
¶
dt =
(
−4ln|t +2|+6ln|t +3|
)
|
2
1
=−20ln2+4ln3+6ln5.
Do đó, a =−20, b =4, c =6.
Vậy a +b +c =−20+4+6 =−10.
Chọn đáp án A ä
Câu 260. Cho hàm số y = f (x) liên tục, luôn dương trên [0;2] và thỏa mãn I =
2
Z
0
f (x)dx =5. Khi đó giá trị
của tích phân K =
2
Z
0
³
e
2+ln f (x)
+3
´
dx là
A. 5e
2
+6. B. 5e
2
−6. C. 6e
2
+5. D. 5e
2
+9.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 584 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
K =
2
Z
0
³
e
2+ln f (x)
+3
´
dx =
2
Z
0
³
e
2
·e
ln f (x)
+3
´
dx
=
2
Z
0
¡
e
2
f (x) +3
¢
dx =e
2
2
Z
0
f (x)dx +3
2
Z
0
dx
= 5e
2
+6.
Chọn đáp án A ä
Câu 261. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R. Biết f (1) =−1 và (x +1)f
0
(x )+ f (x) =3x
2
−2x.
Tính giá trị f (2).
A. f (2) =
5
2
. B. f (2) =3. C. f (2) =2. D. f (2) =
2
3
.
- Lời giải.
Ta có
[
(x +1)f (x)
]
0
= (x +1)
0
f (x) +(x +1)f
0
(x ) = (x +1)f
0
(x ) + f (x). Nên từ giả thiết (x +1)f
0
(x ) + f (x) =
3x
2
−2x suy ra
[
(x +1)f (x)
]
0
=3x
2
−2x.
Do đó (x +1)f (x) =
Z
(3x
2
−2x)dx = x
3
−x
2
+C. (∗)
Thay x =1 vào (∗) ta có 2f (1) =C ⇒C =−2.
Như vậy (x +1)f (x) = x
3
−x
2
−2 ⇒(2+1)f (2) =2
3
−2
2
−2 ⇒ f (2) =
2
3
.
Chọn đáp án D ä
Câu 262. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn
1
Z
−5
f (x)dx =9. Tính tích phân
2
Z
0
[f (1−3x)+9]dx.
A. 27. B. 21. C. 15. D. 75.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
[f (1−3x) +9]dx =
2
Z
0
f (1−3x)dx +18.
Xét I =
2
Z
0
f (1−3x)dx.
Đặt u =1−3x ⇒du =−3dx ⇒dx =−
du
3
.
Đổi cận: x =0 ⇒ u =1; x =2 ⇒ u =−5.
Khi đó I =
2
Z
0
f (1−3x)dx =−
1
Z
−5
f (u)
du
3
=−3.
Vậy
2
Z
0
[f (1−3x) +9]dx =18−3 =15.
Chọn đáp án C ä
Câu 263. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên đoạn [1;3], F(1) =3, F(3) =5 và
3
Z
1
¡
x
4
−8x
¢
f (x)dx =
12. Tính I =
3
Z
1
¡
x
3
−2
¢
F(x)dx.
A. I =
147
2
. B. I =
147
3
. C. I =−
147
2
. D. I =147.
Th.s Nguyễn Chín Em 585 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Đặt
u = F(x)
dv =(x
3
−2)dx
⇒
du = f (x )dx
v =
x
4
4
−2x
.
Khi đó
I =
µ
x
4
4
−2x
¶
F(x)
¯
¯
¯
¯
3
1
−
3
Z
1
µ
x
4
4
−2x
¶
f (x)dx =
57
4
F(3) +
7
4
F(1) −
1
4
·12 =
57
4
·5+
7
4
·3−3 =
147
2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 264. Biết
1
Z
0
x
p
x
2
+4dx =
1
a
³
p
b
3
−c
´
(với a, b , c ∈N). Tính Q =abc.
A. Q =120. B. Q =15. C. Q =−120. D. Q =40.
- Lời giải.
Đặt t =
p
x
2
+4 ⇒ t
2
= x
2
+4 ⇒ tdt = xdx.
Đổi cận
x
t
0
1
2
p
5
Ta được
1
Z
0
x
p
x
2
+4dx =
p
5
Z
2
t ·t dt =
p
5
Z
2
t
2
dt =
t
3
3
¯
¯
¯
¯
p
5
2
=
1
3
³
p
5
3
−8
´
.
Suy ra a =3,b =5, c =8 ⇒Q =abc =120.
Chọn đáp án A ä
Câu 265. Biết
1
Z
−1
µ
9
x −3
−
7
x −2
¶
dx = aln3−b ln2 với a, b là các số nguyên. Tính giá trị P = a
2
+b
2
.
A. P =32. B. P =130. C. P =2. D. P =16.
- Lời giải.
1
Z
−1
µ
9
x −3
−
7
x −2
¶
dx =
(
9ln|x −3|−7ln|x −2|
)
|
1
−1
=7ln3−9ln2 ⇒ a =7; b =9.
Vậy P =130.
Chọn đáp án B ä
Câu 266. Cho tích phân I =
Z
2
1
x
3
−3x
2
+2x
x +1
dx = a +b ln2 + c ln3 với a, b, c ∈ Q. Trong các khẳng định
sau, khẳng định nào đúng?
A. b <0. B. c >0. C. a <0. D. a +b +c >0.
- Lời giải.
Ta có
I =
Z
2
1
x
3
−3x
2
+2x
x +1
dx =
Z
2
1
µ
x
2
−4x +6−
6
x +1
¶
dx
=
Z
2
1
¡
x
2
−4x +6
¢
dx −
Z
2
1
6
x +1
dx
=
µ
x
3
3
−2x
2
+6x
¶
¯
¯
¯
2
1
−6ln(x +1)
¯
¯
2
1
=
7
3
+6ln2−6ln3.
Th.s Nguyễn Chín Em 586 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Suy ra, a +b +c =
7
3
>0.
Chọn đáp án D ä
Câu 267. Biết
1
Z
0
x +1
(
x +2
)
2
dx = ln
a
b
−
c
d
với a, b, c, d là các số nguyên dương và
a
b
,
c
d
là các phân số tối
giản. Tính T = a +b +c +d.
A. T =13. B. T =10. C. T =12. D. T =11.
- Lời giải.
1
Z
0
x +1
(
x +2
)
2
dx =
1
Z
0
µ
1
(
x +2
)
−
1
(
x +2
)
2
¶
dx =ln|x +2|
¯
¯
¯
1
0
−
1
x +2
¯
¯
¯
1
0
=ln
µ
3
2
¶
−
1
6
.
Chọn đáp án C ä
Câu 268. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R \ {−2;1} thỏa mãn f
0
(x ) =
1
x
2
+x −2
, f (0) =
1
3
và f (−3)−
f (3) =0. Tính giá trị của biểu thức T = f (−4)+ f (−1)− f (4).
A.
1
3
ln2+
1
3
. B.
1
3
ln
µ
8
5
¶
+1. C.
1
3
ln
µ
4
5
¶
+ln2+1. D.
1
3
ln80+1.
- Lời giải.
f (x) =
Z
1
x
2
+x −2
dx =
Z
1
(x −1)(x +2)
dx =
Z
1
3
·
x +2−(x −1)
(x −1)(x +2)
dx =
1
3
ln
¯
¯
¯
¯
x +2
x −1
¯
¯
¯
¯
+C.
Khử dấu giá trị tuyệt đối, ta được
f (x) =
1
3
ln
µ
x +2
x −1
¶
+C
1
khi x ∈(−∞;−2)
1
3
ln
µ
x +2
1−x
¶
+C
2
khi x ∈(−2;1)
1
3
ln
µ
x +2
x −1
¶
+C
3
khi x ∈(1;+∞).
Ta có f (0) =
1
3
⇔
1
3
ln2+C
2
=
1
3
⇔C
2
=
1
3
−
1
3
ln2.
f (−3)− f (3) =0 ⇔
1
3
ln
1
4
+C
1
−
1
3
ln
5
2
−C
3
=0 ⇔C
1
−C
3
=
1
3
ln
5
2
−
1
3
ln
1
4
.
Vậy T = f (−4)+ f (−1)− f (4) =
1
3
ln
2
5
+C
1
+
1
3
ln
1
2
+C
2
−
1
3
ln2−C
3
=
1
3
ln2+
1
3
.
Chọn đáp án A ä
Câu 269. Biết
2
Z
1
ln(1+x)
x
2
dx = aln2 +b ln3, với a, b là các số hữu tỉ. Tính P =a +4b.
A. P =−3. B. P =0. C. P =3. D. P =1.
- Lời giải.
Đặt
u =ln(1+x)
dv =
1
x
2
dx
⇒
du =
1
1+x
dx
v =−
1
x
. Do đó
I = −
1
x
ln(1+x)
¯
¯
¯
¯
2
1
+
2
Z
1
1
x(1+x)
dx =−
1
2
ln3+ln2+
2
Z
1
µ
1
x
−
1
1+x
¶
dx
= −
1
2
ln3+ln2+
(
ln x −ln(1+x)
)
|
2
1
=3ln2−
3
2
ln3.
Th.s Nguyễn Chín Em 587 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Suy ra a =3; b =−
3
2
nên P =a +4b =−3.
Chọn đáp án A ä
Câu 270. Cho biết
π
4
Z
0
cos x
sin x +cos x
dx = aπ +b ln2 với a và b là các số hữu tỉ. Khi đó
a
b
bằng
A.
1
2
. B.
1
2
. C.
3
4
. D.
3
8
.
- Lời giải.
Đặt A =
π
4
Z
0
cos x
sin x +cos x
dx và B =
π
4
Z
0
sin x
sin x +cos x
dx . Khi đó A +B =
π
4
Z
0
dx =
π
4
(1).
A −B =
π
4
Z
0
cos x −sin x
sin x +cos x
dx =
π
4
Z
0
d
(
sin x +cos x
)
sin x +cos x
= ln
(
sin x +cos x
)
|
π
4
0
=
1
2
ln2 (2).
Từ (1) và (2) suy ra A =
π
8
+
1
4
ln2 ⇒a =
1
8
và b =
1
4
và
a
b
=
1
2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 271. Biết rằng
0
Z
1
3e
p
1+3x
dx =
a
5
e
2
+
b
3
e+c (a;b; c ∈Z). Tính T = a +
b
2
+
c
3
.
A. T =9. B. T =10. C. T =−10. D. T =6.
- Lời giải.
Đặt t =
p
1+3x ⇒ t
2
=3x +1 ⇒2tdt =3dx.
Đổi cận x =1 ⇒ t =2, x =0 ⇒ t =1.
Khi đó
0
Z
1
3e
p
1+3x
dx =2
1
Z
2
te
t
dt =2
1
Z
2
tde
t
=2
te
t
−
1
Z
2
e
t
dt
=2
¡
te
t
−e
t
¢
¯
¯
1
2
=2(−2e
2
+e
2
) =−2e
2
=
−10
5
e
2
+
0
3
e+0.
Do đó a =−10,b =0, c =0. Vậy a +
b
2
+
c
3
=−10.
Chọn đáp án C ä
Câu 272. Xét hàm số f (x ) liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn điều kiện 2f (x)+3f (1−x) = x
p
1−x. Tính
tích phân I =
1
Z
0
f (x)dx.
A. I =−
4
15
. B. I =
1
15
. C. I =
4
75
. D. I =
1
25
.
- Lời giải.
Từ giả thiết ta có I =−
3
2
1
Z
0
f (1−x)dx +
1
2
1
Z
0
x
p
1−xdx = I
1
+I
2
.
Xét I
1
=−
3
2
1
Z
0
f (1−x)dx.
Đổi biến 1 −x = t ⇒ dt =−dx.
Đổi cận: x =0 ⇒ t =1; x =1 ⇒ t =0.
Suy ra I
1
=−
3
2
1
Z
0
f (t)dt =−
3
2
1
Z
0
f (x)dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 588 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Xét I
2
=
1
2
1
Z
0
x
p
1−xdx =
1
2
1
Z
0
³
p
1−x −(1−x)
p
1−x
´
dx =
2
15
.
Từ đó ta có
5
2
I =
2
15
⇒ I =
4
75
.
Chọn đáp án C ä
Câu 273. Xét hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện f (1) = 1 và f (2) = 4. Tính
J =
2
Z
1
µ
f
0
(x ) +2
x
−
f (x) +1
x
2
¶
dx .
A. J =ln2−
1
2
. B. J =1 +ln4. C. J =
1
2
+ln4. D. J =4−ln2.
- Lời giải.
Ta có
J =
2
Z
1
µ
f
0
(x ) +2
x
−
f (x) +1
x
2
¶
dx =
2
Z
1
µ
2
x
−
1
x
2
+
x f
0
(x ) − f (x )
x
2
¶
dx
=
µ
2ln x +
1
x
+
f (x)
x
¶
¯
¯
¯
¯
2
1
=2ln2+
1
2
=
1
2
+ln4.
Chọn đáp án C ä
Câu 274. Tìm tất cả giá trị thực của tham số k để có
k
Z
1
(2x −1)dx =4 lim
x→0
p
x +1−1
x
.
A.
k =−1
k =2
. B.
k =1
k =−2
. C.
k =1
k =2
. D.
k =−1
k =−2
.
- Lời giải.
k
Z
1
(2x −1)dx = (x
2
−x)
¯
¯
k
1
= k
2
−k
4lim
x→0
p
x +1−1
x
= lim
x→0
4
p
x +1+1
=2. Ta có k
2
−k =2 ⇔
k =−1
k =2.
Chọn đáp án A ä
Câu 275. Cho các hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R thỏa mãn f (x) = x
2
∀x ∈(−∞;1], f
0
(x ) =2 ∀x > 1.
Giá trị của biểu thức
2
Z
0
f (x)dx bằng
A.
1
2
. B. 1. C.
1
3
. D.
2
3
.
- Lời giải.
Do f
0
(x ) =2 nên f (x) =
Z
2dx =2x +C ∀x >1.
Ta có lim
x→1
+
f (x) = lim
x→1
+
(
2x +C
)
=2 +C và lim
x→1
−
f (x) = lim
x→1
−
x
2
=1.
Do f (x) có đạo hàm trên R nên f (x) liên tục trên R và vì vậy f (x) liên tục tại x =1.
Do đó lim
x→1
+
f (x) = lim
x→1
−
f (x) ⇔2+C =1 ⇔C =−3.
Ta có f (x) =
x
2
với x ≤1
2x −3 với x >1.
Th.s Nguyễn Chín Em 589 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Vậy
2
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
f (x)dx +
2
Z
1
f (x)dx
=
1
Z
0
x
2
dx +
2
Z
1
(
2x −3
)
dx
=
x
3
3
¯
¯
¯
¯
1
0
+(x
2
−3x)
¯
¯
¯
2
1
=
1
3
.
Chọn đáp án C ä
Câu 276. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [0;+∞) và
x
2
Z
0
f (t)dt = xe
x
. Tính giá trị f (4).
A. f (4) =3e
2
. B. f (4) =
3e
2
4
. C. f (4) =
5e
4
8
. D. f (4) =
e
2
4
.
- Lời giải.
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên [0;+∞).
x
2
Z
0
f (t)dt = xe
x
⇔F
¡
x
2
¢
−F(0) = xe
x
.
Lấy đạo hàm hai vế ta được 2xf
¡
x
2
¢
=e
x
+xe
x
.
Cho x =2 ta được 4f (4) =3e
2
⇔ f (4) =
3e
2
4
.
Chọn đáp án B ä
Câu 277. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (x) + f (2018 −x) =2 với mọi x ∈R. Tính giá tr ị của
tích phân
2018
Z
0
f (x)dx.
A. 1009. B. 4036. C. 2018. D. 1009
2
.
- Lời giải.
Đặt t =2018−x ⇒ x =2018 −t, ta có dt =−dx. Đổi cận: x =0 thì t =2018, x =2018 thì t =0.
Ta có
I =
2018
Z
0
f (x)dx =
2018
Z
0
f (t)dt =
0
Z
2018
f (2018−x)(−dx) =
2018
Z
0
f (2018−x)dx.
Do đó
2I =
2018
Z
0
f (x)dx +
2018
Z
0
f (2018−x)dx =
2018
Z
0
(
f (x) + f (2018−x)
)
dx =2x
¯
¯
¯
2018
0
=2 ·2018.
Vậy I =2018.
Chọn đáp án C ä
Th.s Nguyễn Chín Em 590 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 278. Cho hàm số f (x) xác định trên R \ {0} thỏa mãn f
0
(x ) =
3x
2
+1
x
3
+x
, f (−1) = 0 và f (1) = 2. Giá trị
của biểu thức f (−2)− f (2) bằng
A. −2+2ln5. B. 2+2ln5. C. −2. D. 2.
- Lời giải.
Ta có
Z
3x
2
+1
x
3
+x
dx =
Z
d(x
3
+x)
x
3
+x
=ln|x
3
+x|+C =
ln(x
3
+x) +C
1
khi x >0
ln(−x
3
−x) +C
2
khi x <0
f (−1) =0 nên C
1
=−ln2. Lại có f (1) =2 nên C
2
=2 −ln2.
Ta có f (−2) =ln10−ln2 =ln5 và f (2) =ln10 +2−ln2 =ln5 +2.
Vậy f (−2) − f (2) =ln5−(ln5+2) =−2.
Chọn đáp án C ä
Câu 279. Biết
5
Z
1
1
x
p
3x +1
dx = aln3 +b ln5 với a, b ∈Z. Tính S = a
2
+ab +3b
2
.
A. S =2. B. S =5. C. S =4. D. S =0.
- Lời giải.
Đặt t =
3
p
3x +1 ⇒ t
2
=3x +1 ⇒2tdt =3dx ⇒
2t
3
dt =dx.
Đổi cận: x =1 ⇒ t =2, x =5 ⇒ t =4.
Khi đó
I =
5
Z
1
1
x
p
3x +1
dx =
4
Z
2
3
(t
2
−1)·t
·
2
3
tdt
=
4
Z
2
µ
1
t −1
−
1
t +1
¶
dt =ln
¯
¯
¯
¯
t −1
t +1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4
2
=2ln2−ln5.
Suy ra a =2 và b =−1. Vậy S =a
2
+ab +3b
2
=5.
Chọn đáp án B ä
Câu 280. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f
0
(x ) liên tục trên R, f (0) = 1, f (2) =3 và
2
Z
0
f (x)dx = 3. Tính tích
phân
1
Z
0
x f
0
(2x )dx.
A.
3
2
. B.
3
4
. C. 0. D. 2.
- Lời giải.
Đặt
u = x
dv = f
0
(2x )dx
⇒
du =dx
v =
1
2
f (2x).
I =
1
Z
0
x f
0
(2x )dx =
1
2
x f (2x)
¯
¯
¯
¯
1
0
−
1
2
1
Z
0
f (2x)dx =
3
2
−
1
2
2
Z
0
1
2
f (t)dt =
3
2
−
1
4
·3 =
3
4
.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 591 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 281. Cho hai số hữu tỉ a,b sao cho tồn tại F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
ln x
(x +1)
2
, biết
rằng F(1) =−
2
3
ln2 và F(2) = a ln2+b ln3. Tính giá trị của biểu thức T =ab.
A. T =−
5
3
. B. T =−2. C. T =−
4
3
. D. T =−1.
- Lời giải.
Xét I =
2
Z
1
f (x)dx. Đặt
u =ln x
dv =
1
(x +1)
2
dx
Ta chọn
−−−−−→
du =
1
x
dx
v =−
1
x +1
Vậy I =−
1
x +1
ln x
¯
¯
¯
2
1
+
2
Z
1
x +1−x
x(x +1)
dx =−
1
3
ln2+
(
ln|x|−ln|x +1|
)
¯
¯
¯
2
1
=
5
3
ln2−ln3.
Mặt khác I = F(2)−F(1) ⇒
µ
a +
2
3
¶
ln2+b ln3 =
5
3
ln2−ln3 ⇒
a =1
b =−1
⇒T =−1.
Chọn đáp án D ä
Câu 282. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và f (2) =16,
2
Z
0
f (x)dx =4. Tính
1
Z
0
x f
0
(2x )dx.
A. 14. B. 18. C. 13. D. 7.
- Lời giải.
Đặt t =2x ⇒ dx =
dt
2
. Với x =0 ⇒ t =0, với x =1 ⇒ t =2. Suy ra
1
Z
0
x f
0
(2x )dx =
2
Z
0
t
2
f
0
(t)
dt
2
=
2
Z
0
1
4
t f
0
(t)dt.
Đặt
u =
1
4
t
dv = f
0
(t)dt
⇒
du =
1
4
dt
v = f (t).
Suy ra
2
Z
0
1
4
t f
0
(t)dt =
·
1
4
t f (t)
¸
¯
¯
¯
2
0
−
2
Z
0
1
4
f (t)dt
=
f (2)
2
−
1
4
2
Z
0
f (x)dx
=
16
2
−
1
4
·4 =7.
Chọn đáp án D ä
Câu 283. Cho hàm số f (x) xác định trên R \ {−1;1} thỏa mãn f
0
(x ) =
1
x
2
−1
. Biết f (3) + f
(
−3
)
= 4 và
f
µ
1
3
¶
+ f
µ
−
1
3
¶
=2. Tính m = f (−5)+ f (0)+ f (2).
A. m =5+
1
2
ln2. B. m =6−
1
2
ln2. C. m =5−
1
2
ln2. D. m =6+
1
2
ln2.
Th.s Nguyễn Chín Em 592 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
m = f
(
−5
)
+ f (0)+ f (2)
= f (−5) − f (−3) + f (2) − f (3) +
1
2
µ
f (0)− f
µ
1
3
¶¶
+
1
2
µ
f (0)− f
µ
−1
3
¶¶
+
1
2
µ
f
µ
1
3
¶
+ f
µ
−1
3
¶¶
+ f (−3)+ f (3)
=
−5
Z
−3
f
0
(x )dx +
2
Z
3
f
0
(x )dx
+
1
2
0
Z
1
3
f
0
(x )dx +
1
2
0
Z
−
1
3
f
0
(x )dx +1+4
=5 −
1
2
ln2.
Chọn đáp án C ä
Câu 284. Tính tích phân
2
Z
0
max
©
x, x
3
ª
dx
A.
17
4
. B. 2. C.
15
4
. D. 4.
- Lời giải.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: x
3
= x ⇔
x =0
x =±1
.
Ta có: y = x
3
−x mang giá trị âm trên khoảng (0;1), dương tên khoảng (1;2).
Suy ra
max
[0;1]
©
x
3
, x
ª
= x
max
[1;2]
©
x
3
, x
ª
= x
3
.
Vậy I =
2
Z
0
max
©
x, x
3
ª
dx =
1
Z
0
xdx +
2
Z
1
x
3
dx =
17
4
.
Chọn đáp án A ä
Câu 285. Cho hàm số f (x) liên tục và a >0. Giả sử với mọi x ∈ [0;a] ta có f (x) > 0 và f (x)· f
(
a −x
)
=1.
Tính I =
a
Z
0
dx
1+ f (x)
.
A. I =
a
3
. B. I =
a
2
. C. I =2a. D. I = aln(a +1).
- Lời giải.
Ta có I =
a
Z
0
dx
1+ f (x)
=−
0
Z
a
dt
1+ f ( a −t)
=
a
Z
0
dt
1+
1
f (t)
.
⇒ I =
a
Z
0
f (t)
f (t) +1
dt.
Suy ra 2I =
a
Z
0
dt
1+ f (t )
+
a
Z
0
f (t)dt
f (t) +1
⇔2I =
a
Z
0
dt = a ⇔ I =
a
2
.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 593 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 286. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn
1
3
Z
0
f (x)dx = 1,
1
2
Z
1
6
f (2x)dx = 13. Tính tích
phân I =
1
Z
0
x
2
f
¡
x
3
¢
dx .
A. I =6. B. I =8. C. I =7. D. I =9.
- Lời giải.
Gọi F(X ) là một nguyên hàm của f (x ).
1
3
Z
1
f (x)dx =1
1
2
Z
1
6
f (2x)dx =13
⇔
F
µ
1
3
¶
−F(0) =1
F(1) −F
µ
1
3
¶
=26
⇒F(1)−F(0) =27.
Vậy I =
1
Z
0
x
2
f
¡
x
3
¢
dx =
1
3
1
Z
0
f
¡
x
3
¢
d
¡
x
3
¢
=
1
3
[
F(1) −F(0)
]
=9.
Chọn đáp án D ä
Câu 287. Cho các số thực a, b khác 0. Xét hàm số f (x) =
a
(x +1)
3
+bxe
x
, (x 6=−1). Biết f
0
(0) =−22,
1
Z
0
f (x)dx =
5. Tính a +b.
A. 19. B. 7. C. 8. D. 10.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
a
(x +1)
3
dx +
1
Z
0
bxe
x
dx =−
a
2
·
1
(x +1)
2
¯
¯
¯
1
0
+
1
Z
0
bxe
x
dx =
3a
8
+
1
Z
0
bxe
x
dx .
Đặt
u = x
dv =e
x
dx
⇒
du =dx
v =e
x
. Khi đó
1
Z
0
bxe
x
dx = bxe
x
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
be
x
dx = b ⇒
1
Z
0
f (x)dx =
3a
8
+b =5. (1)
Mà f
0
(x ) =−
3a
(x +1)
4
+be
x
+bxe
x
⇒ f
0
(0) =−3a +b =−22. (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra a =8, b =2 ⇒a +b =10.
Chọn đáp án D ä
Câu 288. Tích phân
7
Z
2
xdx
x
2
+1
bằng a ln2−b ln5. Giá trị của 2a +b bằng
A.
3
2
. B.
1
2
. C. 2. D. 1.
- Lời giải.
7
Z
2
xdx
x
2
+1
=
7
Z
2
1
2
·
d
¡
x
2
¢
x
2
+1
=
1
2
ln(x
2
+1)
¯
¯
¯
¯
7
2
=
1
2
ln2+
1
2
ln5.
Th.s Nguyễn Chín Em 594 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Do đó a =
1
2
và b =−
1
2
. Vậy 2a +b =
1
2
.
Chọn đáp án B ä
Câu 289.
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị của hàm số
y = f (x) như hình vẽ bên. Khi đó giá trị của biểu thức S =
4
Z
0
f
0
(x −
2)dx +
2
Z
0
f
0
(x +2)dx bằng
A. S =−2. B. S =10. C. S =2. D. S =6.
2 4
2
4
O
x
y
−2
−2
- Lời giải.
Ta có
4
Z
0
f
0
(x −2)dx +
2
Z
0
f
0
(x +2)dx = f (x −2)
¯
¯
¯
4
0
+ f (x +2)
¯
¯
¯
2
0
= f (2) − f (−2) + f (4) − f (2) =2−(−2)+4−2 =6.
Chọn đáp án D ä
Câu 290. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [1;e], biết
e
Z
1
f (x)
x
dx = 1, f (e) = 1. Tính I =
e
Z
1
f
0
(x ) ·
ln x dx.
A. I =2. B. I =e. C. I =2e. D. I =0.
- Lời giải.
Xét tích phân I =
e
Z
1
f
0
(x ) ·ln x dx.
Đặt
u =ln x
dv = f
0
(x )dx
suy ra
du =
1
x
dx
v = f (x).
Bởi vậy I = f (x) ·ln x
¯
¯
e
1
−
e
Z
1
f (x)
x
dx = f (e)−1 =1 −1 =0.
Chọn đáp án D ä
Câu 291.
Cho hàm số y = f (x). Hàm số y = f
0
(x ) có đồ thị như hình dưới đây. Biết
phương trình f
0
(x ) =0 có bốn nghiệm phân biệt a, 0, b, c với a <0 < b <
c. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f (b) > f (a) > f (c). B. f (c) > f (b) > f (a).
C. f (b) > f (c) > f (a). D. f (c) > f (a) > f (b).
O
x
y
a
b
c
- Lời giải.
Từ hình vẽ ta thấy f
0
(x ) <0 khi x ∈(b; c), f
0
(x ) >0 khi x > c nên f (b) > f (c).
Th.s Nguyễn Chín Em 595 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
0
Z
a
[−f
0
(x )]dx <
b
Z
0
f
0
(x )dx −
c
Z
b
[−f
0
(x )]dx ⇔
0
Z
a
[−f
0
(x )]dx <
c
Z
0
f
0
(x )dx
Suy ra [−f
0
(x )]
¯
¯
0
a
< f (x)
|
c
0
⇔−f (0)+ f (a) < f (c)− f (0) ⇔ f (a) < f (c).
Vậy f (b) > f (c) > f (a).
Chọn đáp án C ä
Câu 292. Biết I =
4
Z
3
dx
x
2
+x
=a ln2+b ln3+c ln5 với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a +b +c.
A. S =6. B. S =2. C. S =−2. D. S =0.
- Lời giải.
I =
4
Z
3
dx
x
2
+x
=
4
Z
3
dx
x(x +1)
=
4
Z
3
dx
x
−
4
Z
3
dx
x +1
= ln|x|
|
4
3
− ln|x +1|
|
4
3
= ln4 −ln3−ln5+ln4 =4ln2 −ln3−ln5.
Suy ra a =4, b = c =−1 nên S =2.
Chọn đáp án B ä
Câu 293. Cho hàm số f (x) xác định trên R \ {0}, thỏa mãn f
0
(x ) =
1
x
3
+x
5
, f (1) = a và f (−2) = b. Tính
f (−1)+ f (2).
A. f (−1)+ f (2) =−a −b. B. f (−1) + f (2) = a −b.
C. f (−1)+ f (2) =a +b. D. f (−1) + f (2) = b −a.
- Lời giải.
Ta có f
0
(−x) =
1
(−x)
3
+(−x)
5
=−
1
x
3
+x
5
=−f
0
(x ) nên f
0
(x ) là hàm lẻ.
Do đó
−1
Z
−2
f
0
(x )dx =−
2
Z
1
f
0
(x )dx.
Suy ra f (−1)− f (−2) =−f (2)+ f (1) ⇒ f (−1) + f (2) = f (−2)+ f (1) = a +b.
Chọn đáp án C ä
Câu 294. Biết
1
Z
0
x
2
+6x +4
¡
x
2
+1
¢
(
2x +1
)
dx =
1
a
lnb +
cπ
d
với a, b, c, d ∈ N
∗
,b < 5, phân số
c
d
tối giản. Tính P =
a
2
+b
2
+c
2
+d
2
.
A. P =42 . B. P =36 . C. P =38 . D. P =40 .
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
x
2
+6x +4
¡
x
2
+1
¢
(
2x +1
)
dx =
1
Z
0
1
2x +1
dx +
1
Z
0
3
x
2
+1
dx = I
1
+I
2
.
Tính I
1
=
1
Z
0
1
2x +1
dx =
1
2
ln
|
2x +1
|
¯
¯
¯
1
0
=
1
2
ln3.
Tính I
2
=3
1
Z
0
3
x
2
+1
dx bằng cách đặt x =tan t ⇒dx =(1+tan
2
t)dt.
Đổi cận: x =0 ⇒ t =0; x =1 ⇒ t =
π
4
.
Khi đó I
2
=3
π
4
Z
0
dt =
3π
4
.
Th.s Nguyễn Chín Em 596 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Vậy
1
Z
0
x
2
+6x +4
¡
x
2
+1
¢
(
2x +1
)
dx =
1
2
ln3+
3π
4
. Do đó a =2, b = c =3, d =4.
Vậy P = a
2
+b
2
+c
2
+d
2
=38.
Chọn đáp án C ä
Câu 295. Cho hai tích phân sau
π
2
Z
0
sin
2
xdx và
π
2
Z
0
cos
2
xdx, hãy chỉ ra khẳng định đúng
A.
π
2
Z
0
sin
2
xdx <
π
2
Z
0
cos
2
xdx. B.
π
2
Z
0
sin
2
xdx =
π
2
Z
0
cos
2
xdx.
C.
π
2
Z
0
sin
2
xdx >
π
2
Z
0
cos
2
xdx. D. Không so sánh được.
- Lời giải.
Xét tích phân I =
π
2
Z
0
sin
2
xdx.
Đặt x =
π
2
−t suy ra dx =−dt.
Khi x =0 suy ra t =
π
2
; khi x =
π
2
suy ra t =0.
Do đó I =−
0
Z
π
2
sin
2
³
π
2
−t
´
dt =
π
2
Z
0
cos
2
tdt.
Vi giá trị tích phân không phụ thuộc vào biến lấy tích phân nên I =
π
2
Z
0
cos
2
xdx.
Hay
π
2
Z
0
sin
2
xdx =
π
2
Z
0
cos
2
xdx.
Chọn đáp án B ä
Câu 296. Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =|2x +1|+|x −2| biết F(1) =
5
2
. Tính F(−1).
A. −
7
2
. B. −4. C. −
5
2
. D.
11
2
.
- Lời giải.
Lập bảng xét dấu
x
2x +1
x −2
|2x +1|+|x −2|
−1
−
1
2
1
−
0
+
− −
−3x +1
0
x +3
Từ bảng xét dấu ta có
Th.s Nguyễn Chín Em 597 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
1
Z
−1
f (x)dx =
−
1
2
Z
−1
f (x)dx +
1
Z
−
1
2
f (x)dx =
−
1
2
Z
−1
(−3x +1)dx +
1
Z
−
1
2
(x +3)dx =
13
2
⇒F(1)−F(−1) =
13
2
⇔F(−1) = F(1)−
13
2
=
5
2
−
13
2
=−4.
Chọn đáp án B ä
Câu 297. Biết
1
Z
0
x f (x)dx =2, tính
π
2
Z
0
sin2x · f (cos x )dx.
A. 6. B. 3. C. 8. D. 4.
- Lời giải.
I =
π
2
Z
0
sin2x · f (cos x )dx =2
π
2
Z
0
cos x f (cos x)sin x dx.
Đặt t =cos x ⇒ dt =−sin x dx. Đổi cận
x 0
π
2
t 1 0
Tích phân trở thành I =2
0
Z
1
t f (t)(−dt) =2
1
Z
0
t f (t)dt =2
1
Z
0
x f (x)dx =2 ·2 =4.
Chọn đáp án D ä
Câu 298. Giả sử
3
Z
1
1+lnx
(
x +1
)
3
dx = a +b ln2 +c ln3 với a, b, c là các số hữu tỷ. Tính a −b −c.
A. −2. B. 4. C. 2. D. 0.
- Lời giải.
Đặt
u =1+lnx
dv =
1
(
x +1
)
3
dx
⇒
du =
1
x
dx
v =−
1
2
(
x +1
)
2
.
Ta có
I =−
1
2
(
1+lnx
)
1
(
x +1
)
2
¯
¯
¯
3
1
+
1
2
3
Z
1
1
x
(
x +1
)
2
dx.
I =−
1
2
·
(
1+ln3
)
1
16
−
1
4
¸
+
1
2
3
Z
1
·
1
x
−
1
x +1
−
1
(
x +1
)
2
¸
dx .
I =−
1
2
µ
−
3
16
+
ln3
16
¶
+
1
2
·
ln x
¯
¯
¯
3
1
−ln
(
x +1
)
¯
¯
¯
3
1
+
1
x +1
¯
¯
¯
3
1
¸
.
I =
15
32
ln3−
1
2
ln2−
1
32
.
Vậy a =−
1
32
, b =−
1
2
, c =
15
32
.
⇒a −b −c =−
1
32
+
1
2
−
15
32
=0.
Chọn đáp án D ä
Câu 299. Cho I =
1
Z
0
e
2x
e
x
+1
dx. Đặt t = e
x
. Khi đó
Th.s Nguyễn Chín Em 598 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. I =
1
Z
0
t
2
t +1
dt. B. I =
e
Z
1
t
2
t +1
dt. C. I =
1
Z
0
t
t +1
dt. D. I =
e
Z
1
t
t +1
dt.
- Lời giải.
Đặt t = e
x
⇒ dt = e
x
dx hay dx =
dt
t
.
Đổi cận: x =0 ⇒ t =1; x =1 ⇒ t = e.
Do đó I =
e
Z
1
t
2
t
(
t +1
)
dt =
e
Z
1
t
t +1
dt.
Chọn đáp án D ä
Câu 300. Cho hai hàm số y = f
(
x
)
, y = g
(
x
)
liên tục trên
[
a; b
]
. Đặt h
(
x
)
= f
(
x
)
+2g
(
x
)
. Biết rằng
b
Z
a
f
(
x
)
dx =8;
b
Z
a
h
(
x
)
dx =4. Tính I =
b
Z
a
g
(
x
)
dx.
A. I =−2. B. I =16. C. I =−16. D. I =2.
- Lời giải.
Ta có
I =
Z
b
a
h
(
x
)
dx =
Z
b
a
[
f
(
x
)
+2g
(
x
)
]
dx
⇔
Z
b
a
h
(
x
)
dx =
Z
b
a
f
(
x
)
dx +2
Z
b
a
g
(
x
)
dx
⇔4 =8 +2
Z
b
a
g
(
x
)
dx .
⇒
Z
b
a
g
(
x
)
dx =−2.
Chọn đáp án A ä
Câu 301. Tính tích phân
1
Z
0
2
2018x
dx.
A. I =
2
2018
−1
2018ln2
. B.
2
2018
−1
2018
.
C. I =
¡
2
2018
−1
¢
ln2. D. I =2018
¡
2
2018
−1
¢
ln2.
- Lời giải.
Ta có
I =
Z
1
0
2
2018x
dx =
1
2018
Z
1
0
2
2018x
d
(
2018x
)
.
I =
2
2018x
2018·ln2
¯
¯
¯
1
0
=
1
2018ln2
¡
2
2018x
−1
¢
=
2
2018x
−1
2018ln2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 302.
Th.s Nguyễn Chín Em 599 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Cho hàm số y = ax
3
+bx
2
+cx+d có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào
sau đây là đúng?
A. a <0,b >0, c <0,d <0. B. a <0, b >0, c >0,d >0.
C. a <0,b <0, c >0,d <0. D. a <0, b <0, c <0,d <0.
O
x
y
- Lời giải.
Ta có y
0
=3ax
2
+2bx +c. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình y
0
=0.
Dạng đồ thị, suy ra hệ số a <0.
x
1
+x
2
=−
2b
3a
<0 ⇒
2b
3a
>0 ⇒ b <0.
x
1
x
2
=
c
3a
<0 ⇒ c >0.
Đồ thị hàm số cắt tr ục tung tại (0; d) ⇒ d <0.
O
x
y
d
x
1
x
2
Chọn đáp án C ä
Câu 303. Biết
2
Z
1
x −1
p
2x −1+
p
x
dx = a
p
3+b
p
2+c với a,b, c là các số hữu tỉ. Tính P = a +b +c.
A. P =3. B. P =0. C. P =1. D. P =2.
- Lời giải.
Ta có
I =
2
Z
1
x −1
p
2x −1+
p
x
dx =
2
Z
1
³
p
2x −1−
p
x
´
dx
=
µ
1
3
p
(2x −1)
3
−
2
3
p
x
3
¶
¯
¯
¯
2
1
=
p
3−
4
3
p
2+
1
3
.
Do đó, a =1, b =−
4
3
, c =
1
3
, suy ra P = a +b +c =0.
Chọn đáp án B ä
Câu 304. Biết
3
Z
1
dx
p
x +1−
p
x
=a
p
3+b
p
2+c với a, b, c là các số hữu tỷ. Tính P = a +b +c.
A. P =
16
3
. B. P =
13
2
. C. P =5. D. P =
2
3
.
- Lời giải.
3
Z
1
dx
p
x +1−
p
x
=
3
Z
1
³
p
x +1+
p
x
´
dx =
2
3
³
p
(x +1)
3
+
p
x
3
´
¯
¯
¯
3
1
=2
p
3−
4
3
p
2+
14
3
.
Do đó a =2, b =−
4
3
, c =
14
3
. Vậy P = a +b +c =
16
3
.
Chọn đáp án A ä
Câu 305. Cho
π
4
Z
0
p
2+3tanx
1+cos2x
dx = a
p
5+b
p
2,(a, b ∈Q). Tính giá tr ị của biểu thức A = a +b.
A.
1
3
. B.
7
12
. C.
2
3
. D.
4
3
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 600 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt t =tan x suy ra dx =
1
1+t
2
dt và cos2x =
1−t
2
1+t
2
. Khi đó
π
4
Z
0
p
2+3tanx
1+cos2x
dx =
1
Z
0
p
2+3t
1+
1−t
2
1+t
2
·
1
1+t
2
dt =
1
2
1
Z
0
p
2+3tdt =
1
9
p
(2+3t)
3
¯
¯
¯
¯
1
0
=
5
9
p
5−
2
9
p
2.
Hay a =
5
9
,b =−
2
9
. Vậy A = a +b =
1
3
.
Chọn đáp án A ä
Câu 306. Cho hàm số f (x) xác định trên R \
½
3
5
¾
thỏa mãn f
0
(x ) =
5
5x −3
, f (0) = 0, f (2) = −1. Giá trị của
biểu thức f (−1)+ f (1) bằng
A. ln
16
21
−1. B. 0. C. 4+ln15. D. ln
16
21
+1.
- Lời giải.
Từ giả thuyết ta suy ra hàm f (x) như sau f (x) =
ln(5x −3)+C
1
, khi x >
3
5
ln(−5x +3)+C
2
, khi x <
3
5
với C
1
,C
2
là các hằng số.
Ta có
f (0) =0
f (2) =−1
⇔
ln3+C
2
=0
ln7+C
1
=−1
⇔
C
1
=−1 −ln7
C
2
=−ln3.
Khi đó
f (−1)+ f (1) =ln8+C
2
+ln2+C
1
=ln
16
21
−1.
Chọn đáp án A ä
Câu 307. Cho biết I =
2
Z
1
ln(9−x
2
)dx = aln5 +b ln2 +c, với a, b, c là các số nguyên. Tính S =|a|+|b|+
|c|.
A. S =34. B. S =13. C. S =18. D. S =26.
- Lời giải.
Đặt
ln(9−x
2
) = u
dx =dv
⇒
2x
x
2
−9
dx =dv
x =v.
Suy ra
I = x ln(9 −x
2
)
¯
¯
¯
1
2
−2
2
Z
1
x
2
x
2
−9
dx
=2ln5−ln8−
2
Z
1
2(x
2
−9)
x
2
−9
dx −18
2
Z
1
1
x
2
−9
dx
=2ln5−3ln2−2x
¯
¯
¯
2
1
−3
2
Z
1
1
x +3
dx −
2
Z
1
1
x −3
dx
=2ln5−3ln2−2 +3ln5 −3ln2
=5ln5−6ln2−2.
Suy ra a =5, b =−5, c =−2. Khi đó S =13
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 601 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 308. Cho f (x) là một hàm số chẵn, liên tục trên R và
2
Z
−2
f (x)dx =2. Tính
1
R
0
f (2x)dx.
A.
1
Z
0
f (2x)dx =2. B.
1
Z
0
f (2x)dx =4. C.
1
Z
0
f (2x)dx =
1
2
. D.
1
Z
0
f (2x)dx =1.
- Lời giải.
Do f (x) là hàm số chẵn liên tục trên R nên
2
Z
−2
f (x)dx =2 ⇔2
2
Z
0
f (x)dx =2 ⇔
2
Z
0
f (x)dx =1. (1)
Đặt x =2t ⇒dx =2dt.
Đổi cận x =0 ⇒ t =0, x =2 ⇒ t =1.
Khi đó (1) trở thành
2
1
Z
0
f (2t)dt =1 ⇔
1
Z
0
f (2t)dt =
1
2
.
Vậy
1
Z
0
f (2x)dx =
1
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 309. Cho
e
Z
1
x
2
ln x dx =
a
b
e
3
+
c
d
với a, b, c,d ∈N và
a
b
,
c
d
là các phân số tối giản. Tính T =ad−bc.
A. 3. B. 0. C. −9. D. 9.
- Lời giải.
e
Z
1
x
2
ln x dx =
1
3
e
Z
1
ln x d
¡
x
3
¢
=
1
3
x
3
ln x
¯
¯
¯
e
1
−
1
3
e
Z
1
x
2
dx =
1
3
e
3
−
1
9
x
3
¯
¯
¯
e
1
=
2
9
e
3
+
1
9
.
Khi đó a =2,b =9, c =1, d =9 ⇒ T =2 ·9−1·9 =9.
Chọn đáp án D ä
Câu 310. Tính tích phân I =
5
Z
1
dx
x
p
3x +1
được kết quả I = aln3 +b ln5. Giá trị của a
2
+ab +3b
2
là
A. 4. B. 1. C. 0. D. 5.
- Lời giải.
Đặt t =
p
3x +1 ⇒ t
2
=3x +1 ⇒2t dt =3dx.
Đội cận: x =1 ⇒ t =2; x =5 ⇒ t =4.
I =
4
Z
2
2t dt
3·
t
2
−1
3
·t
=2
4
Z
2
dt
t
2
−1
= ln
¯
¯
¯
¯
t −1
t +1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4
2
=ln
µ
3
5
·3
¶
=2ln3−ln5.
Do đó, a =2,b =−1 ⇒ a
2
+ab +3b
2
=4 −2+3 =5.
Chọn đáp án D ä
Câu 311. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [0;10], thỏa mãn
10
Z
0
f (x)dx = 7 và
6
Z
2
f (x)dx = 3. Tính giá trị
biểu thức P =
2
Z
0
f (x)dx +
10
Z
6
f (x)dx.
A. P =4. B. P =2. C. P =3. D. P =10.
Th.s Nguyễn Chín Em 602 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có
10
Z
0
f (x)dx =
2
Z
0
f (x)dx +
6
Z
2
f (x)dx +
10
Z
6
f (x)dx.
Suy ra P =
10
Z
0
f (x)dx −
6
Z
2
f (x)dx =7 −3 =4.
Chọn đáp án A ä
Câu 312. Biết
1
Z
0
3x −1
x
2
+6x +9
dx =3ln
a
b
−
5
6
, trong đó a, b là hai số nguyên dương và
a
b
là phân số tối giản.
Tính kết quả ab.
A. −5. B. 7. C. 12. D. 6.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
3x −1
x
2
+6x +9
dx
=
1
Z
0
3x +9−10
x
2
+6x +9
dx
=
1
Z
0
3
x +3
dx −
1
Z
0
10
(x +3)
2
dx
=
µ
3ln|x +3|+
10
x +3
¶
¯
¯
¯
1
0
= 3ln
4
3
−
5
6
.
Suy ra a =4,b =3. Vậy ab =12.
Chọn đáp án C ä
.
Câu 313. Biết
3
Z
0
x f
0
(x )dx =1, f (3) =1. Tính I =
3
Z
0
f (x)dx.
A. I =−4. B. I =2. C. I =4. D. I =−2.
- Lời giải.
Đặt
u = x
dv = f
0
(x )dx
⇒
du = dx
v = f (x).
Khi đó
3
Z
0
x f
0
(x )dx =1 ⇔ x f (x)
|
3
0
−
3
Z
0
f (x)dx =1 ⇔3f (3)−
3
Z
0
f (x)dx =1 ⇔
3
Z
0
f (x)dx =2.
Chọn đáp án B ä
Câu 314. Biết rằng I =
π
2
Z
0
−4sin x +7cos x
2sin x +3cos x
dx = a +2ln
b
c
, với a > 0; b, c ∈N
∗
;
b
c
tối giản. Hãy tính giá trị
biểu thức P = a −b +c.
A. π −1. B.
π
2
+1. C.
π
2
−1. D. 1.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 603 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
I =
π
2
Z
0
4cos x −6sin x
2sin x +3cos x
dx +
π
2
Z
0
1dx
=
π
2
Z
0
2
2sin x +3cos x
d(2sin x +3cos x)+
π
2
= 2ln|2sinx +3cos x|
¯
¯
π
2
0
+
π
2
= 2ln2−2ln3+
π
2
= 2ln
2
3
+
π
2
.
Vậy P =
π
2
−2+3 =
π
2
+1.
Chọn đáp án B ä
Câu 315. Cho hàm số f (x) xác định trên R\{0} và thỏa mãn f
0
(x ) =
cos x
2017x
2
+2018x
4
, f (2) = a, f (−6) = b.
Tính giá trị của biểu thức f (−2)− f (6).
A. 2017a −2018b. B. b −a. C. a −b. D. −a −b.
- Lời giải.
Ta có
6
Z
2
f
0
(x )dx = f (6) − f (2),
−2
Z
−6
f
0
(x )dx = f (2) − f (−6).
Xét I =
−2
Z
−6
f
0
(x )dx.
Đặt t =−x ⇒ dt =−dx.
Với x =−6 ⇒ t =6, x =−2 ⇒ t =2.
Khi đó I =−
2
Z
6
cos(−t)
2017(−t)
2
+2018(−t)
4
dt =
6
Z
2
cos t
2017t
2
+2018t
4
dt =
6
Z
2
f
0
(x )dx.
Vậy
6
Z
2
f
0
(x )dx =
−2
Z
−6
f
0
(x )dx hay
f (6)− f (2) = f (−2)− f (−6) ⇒ f (−2)− f (6) = f (−6)− f (2) = b −a.
Chọn đáp án B ä
Câu 316. Biết rằng
3
Z
2
xln xdx = m ln3+nln2 + p, trong đó m, n, p ∈Q. Khi đó số m là
A.
27
4
. B.
9
2
. C. 18. D. 9.
- Lời giải.
Đặt
u =ln x
dv = x dx
⇒
du =
1
x
dx
v =
x
2
2
. Khi đó
3
Z
2
xln xdx =
x
2
2
·lnx
¯
¯
¯
¯
3
2
−
3
Z
2
x
2
dx =
9
2
ln3−2ln2−
x
2
4
¯
¯
¯
¯
3
2
=
9
2
ln3−2ln2−
5
4
.
Suy ra m =
9
2
, n =−2 và p =−
5
4
.
Th.s Nguyễn Chín Em 604 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án B ä
Câu 317. Cho hàm số y = f (x) là hàm lẻ, liên tục trên [−4;4]. Biết
0
Z
−2
f (−x)dx = 2 và
2
Z
1
f (−2x)dx = 4.
Tính I =
4
Z
0
f (x)dx.
A. I =−10. B. I =−6. C. I =6. D. I =10.
- Lời giải.
Xét
0
Z
−2
f (−x)dx =2. Đặt t =−x ⇒dt =−dx.
Ta có −
0
Z
2
f (t)dt =2 ⇔
2
Z
0
f (t)dt =2 hay
2
Z
0
f (x)dx =2.
Xét
2
Z
1
f (−2x)dx =4. Đặt t =2x ⇒ dt =2dx. Ta có
1
2
4
Z
2
f (−t)dt =4 ⇔
4
Z
2
f (−t)dt =8.
Do y = f (x) là hàm lẻ nên f (−t) =−f (t).
Do đó −
4
Z
2
f (t)dt =8 ⇔
4
Z
2
f (t)dt =−8 hay
4
Z
2
f (x)dx =−8.
Vậy I =
4
Z
0
f (x)dx =
2
Z
0
f (x)dx +
4
Z
2
f (x)dx =2 +(−8) =−6.
Chọn đáp án
C ä
Câu 318. Cho hàm số f (x) xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên [1;4] thỏa mãn x +2xf (x) =
£
f
0
(x )
¤
2
, ∀x ∈[1;4], f (1) =
3
2
. Giá trị f (4) bằng
A.
391
18
. B.
361
18
. C.
381
18
. D.
371
18
.
- Lời giải.
Do f (x) đồng biến trên [1;4] nên f
0
(x ) ≥0, ∀x ∈[1;4].
Suy ra f
0
(x ) =
p
x +2x f (x) =
p
x ·
p
1+2f (x) ⇒
f
0
(x )
p
1+2f (x)
=
p
x. Ta có
4
Z
1
f
0
(x )
p
1+2f (x)
dx =
4
Z
1
p
xdx
⇔
1
2
4
Z
1
1
p
1+2f (x)
d
(
2f (x)
)
=
4
Z
1
p
xdx
⇔
³
p
1+2f (x)
´
¯
¯
¯
4
1
=
2
3
p
x
3
¯
¯
¯
4
1
⇔
p
1+2f (4) −
p
1+2f (1) =
14
3
⇔ f (4) =
391
18
.
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 605 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 319. Cho các số thực a,b khác 0. Xét hàm số f (x) =
a
(x +1)
3
+bxe
x
, x 6=−1. Biết rằng
1
Z
0
f (x)dx =5
và f
0
(0) =−22. Tính M =2a −b.
A. M =10. B. M =12. C. M =14. D. M =8.
- Lời giải.
Ta có
Z
dx
(x +1)
3
=
Z
(x +1)
−3
dx =
(x +1)
−2
−2
+C =−
1
2(x +1)
2
+C
và
Z
xe
x
dx =
Z
xd(e
x
) = xe
x
−
Z
e
x
dx =(x −1)·e
x
+C.
Vậy
1
Z
0
f (x)dx = −
a
2(x +1)
2
+b(x −1)e
x
¯
¯
¯
¯
1
0
=
3a
8
+b =5 (1).
Ta có f
0
(x ) =−
3a
(x +1)
4
+b(x +1)e
x
, vậy f
0
(0) =−3a +b =−22 (2).
Từ (1),(2) ta có
a =8
b =2
. Vậy M =2 ·8−2 =14.
Chọn đáp án C ä
Câu 320. Cho I =
2
Z
0
x +ln(2x +1)
(x +1)
2
dx . Tìm khẳng định đúng.
A. I =
µ
−
x +ln(2x +1)
x +1
¶
¯
¯
¯
¯
2
0
−
2
Z
0
µ
1+
2
2x +1
¶
dx .
B. I =
µ
−
x +ln(2x +1)
x +1
¶
¯
¯
¯
¯
2
0
−
2
Z
0
µ
1
x +1
+
2
(2x +1)(x +1)
¶
dx .
C. I =
µ
−
x +ln(2x +1)
x +1
¶
¯
¯
¯
¯
2
0
+
2
Z
0
µ
1
x +1
+
2
(2x +1)(x +1)
¶
dx .
D. I =
x +ln(2x +1)
x +1
¯
¯
¯
¯
2
0
−
2
Z
0
µ
1+
2
2x +1
¶
dx .
- Lời giải.
Xét tích phân I =
2
Z
0
x +ln(2x +1)
(x +1)
2
dx . Đặt
u = x +ln(2x +1)
dv =
1
(x +1)
2
dx
⇒
du =
2x +3
2x +1
dx
v =−
1
x +1
.
Khi đó
I =
µ
−
x +ln(2x +1)
x +1
¶
¯
¯
¯
¯
2
0
+
2
Z
0
2x +3
(2x +1)(x +1)
dx
=
·
−
x +ln(2x +1)
x +1
¸
¯
¯
¯
¯
2
0
+
2
Z
0
·
1
x +1
+
2
(2x +1)(x +1)
¸
dx .
Th.s Nguyễn Chín Em 606 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án C ä
Câu 321. Cho hàm số y = f (x) =
2
x +1
khi 0 ≤ x ≤1
2x −1 khi 1 ≤ x ≤3
. Tính I =
3
Z
0
f (x)dx.
A. I =4+ln4. B. I =2+ln2. C. I =6 +ln2. D. I =6+ln4.
- Lời giải.
Trước hết, vì lim
x→1
−
f (x) = lim
x→1
+
f (x) = f (1) = 1 nên hàm số liên tục tại 1 và từ đó suy ra hàm số liên tục trên
[0;3].
Ta có
I =
1
Z
0
f (x)dx +
3
Z
1
f (x)dx =
1
Z
0
2
x +1
dx +
3
Z
1
(2x −1)dx =2 ln|x +1|
|
1
0
+ (x
2
−x)
¯
¯
3
1
=2ln2+6.
Chọn đáp án D ä
Câu 322. Giả sử các biểu thức trong dấu nguyên hàm, tích phân đều có nghĩa, trong các khẳng định sau,
khẳng định nào là sai?
A.
Z
f
0
(x )dx = f (x)+C. B.
Z
k f (x)dx = k
Z
f (x)dx, ∀k ∈R.
C.
b
Z
a
u(x)v
0
(x ) = u(x)v(x)
|
b
a
−
b
Z
a
u
0
(x )v (x). D.
b
Z
a
k f (x)dx = k
b
Z
a
f (x)dx, ∀k ∈R.
- Lời giải.
Với k =0 thì
Z
0.f (x)dx =C (C là hằng số) trong khi 0·
Z
f (x)dx =0.
Chọn đáp án B ä
Câu 323. Biết
1
Z
0
(x −1)e
x
+2
xe
x
+1
dx = a +b ln(1+ce). Tính P = a +2b +3c.
A. P =1. B. P =2. C. P =3. D. P =7.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
µ
(x −1)e
x
+2
xe
x
+1
¶
dx =
1
Z
0
µ
2−
xe
x
+e
x
xe
x
+1
¶
dx =
£
2x −ln(xe
x
+1
¤
¯
¯
1
0
=2 −ln(e+1).
Suy ra a =2,b =−1, c =1 và P =2+2·(−1) +3·1 =3.
Chọn đáp án C ä
Câu 324. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm và liên lục trên R, thỏa mãn f
0
(x )−3x
2
f (x) =2x e
x
3
và f (0) =1.
Tính f (1).
A. e. B.
1
e
. C. e
2
. D. 2e.
- Lời giải.
Từ giả thiết ta có
e
−x
3
f
0
(x ) −3x
2
e
−x
3
f (x) =2x ⇒
³
e
−x
3
f (x)
´
0
=2x.
Suy ra
1 =
1
Z
0
2x dx =
1
Z
0
³
e
−x
3
f (x)
´
0
dx =e
−x
3
f (x)
¯
¯
¯
1
0
=
f (1)
e
−1.
Th.s Nguyễn Chín Em 607 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Vậy f (1) =2e.
Chọn đáp án D ä
Câu 325. Biết
1
Z
0
ln
³
x +
p
1+x
2
´
dx = ln
³
a +b
p
2
´
− c với a, b là các số nguyên và c là số thực. Tính
T = a +b +c.
A. T =3+
p
2. B. T =3−
p
2. C. T =1−
p
2. D. T =1+
p
2.
- Lời giải.
Đặt
u =ln
³
x +
p
1+x
2
´
dv =dx
⇒
du =
1
p
1+x
2
v = x.
Khi đó
1
Z
0
ln
³
x +
p
1+x
2
´
dx = x ln
³
x +
p
1+x
2
´
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
x
p
1+x
2
dx
= x ln
³
x +
p
1+x
2
´
¯
¯
¯
1
0
−
p
1+x
2
¯
¯
¯
1
0
= ln
³
1+
p
2
´
−
³
p
2−1
´
.
Vậy a =1; b =1; c =
p
2−1 suy ra T =a +b +c =1+
p
2.
Chọn đáp án D ä
Câu 326. Tích phân I =
Z
π
4
−
π
4
sin
2
x
3
x
+1
dx =
π
a
−
1
b
với a,b là số tự nhiên. Tính P =
a
b
.
A. P =2. B. P =−4. C. P =4. D. P =8.
- Lời giải.
Đặt t =−x. Ta có: dt =−dx.
Khi đó, I =−
Z
−
π
4
π
4
sin
2
t
3
−t
+1
dt =
Z
π
4
−
π
4
3
t
sin
2
t
3
t
+1
dt =
Z
π
4
−
π
4
3
x
sin
2
x
3
x
+1
dx
⇒2I =
Z
π
4
−
π
4
sin
2
xdx =2
Z
π
4
0
sin
2
xdx ⇒ I =
Z
π
4
0
sin
2
xdx =
π
8
−
1
4
.
Vậy a =8 và b =4. Do đó, P =2.
Chọn đáp án A ä
Câu 327. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn
1
Z
0
(x +1)f
0
(x ) dx = 10 và 2f (1) − f (0) = 2. Tính
I =
1
Z
0
f (x) dx.
A. I =−12. B. I =8. C. I =12. D. I =−8.
- Lời giải.
Tích phân từng phần ta có
1
Z
0
(x +1)f
0
(x ) dx =10 ⇔(x +1)f (x)
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
f (x) dx =10
⇔ 2f (1) − f (0) −I =10 ⇔ I =−8.
Chọn đáp án D ä
Th.s Nguyễn Chín Em 608 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 328. Cho biết
1
Z
0
x
2
e
x
(x +2)
2
dx =
a
b
·e+c với a , c là các số nguyên, b là số nguyên dương và
a
b
là phân số
tối giản. Tính a −b +c.
A. 3. B. 0. C. 2. D. −3.
- Lời giải.
1
Z
0
x
2
e
x
(x +2)
2
dx =
1
Z
0
µ
1−
2
x +2
¶
2
e
x
dx
=
1
Z
0
µ
1−
4
x +2
+
4
(x +2)
2
¶
e
x
dx
=
1
Z
0
e
x
dx −
1
Z
0
4
x +2
e
x
dx +
1
Z
0
4
(x +2)
2
e
x
dx
=e
x
¯
¯
1
0
−
4
x +2
e
x
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
−4
(x +2)
2
e
x
dx
+
1
Z
0
4
(x +2)
2
e
x
dx
=
µ
e
x
−
4
x +2
e
x
¶
¯
¯
1
0
=
−1
3
e+1.
Suy ra a =−1;b =3; c =1.
Vậy a −b +c =−1−3+1 =−3.
Chọn đáp án D ä
Câu 329. Cho f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1], thoả mãn 4f (x) + xf
0
(x ) = x
2017
, ∀x ∈ [0;1]. Tính
I =
1
Z
0
f (x)dx.
A. I =
1
2018·2021
. B. I =
1
2018·2020
. C. I =
1
2018·2019
. D. I =
1
2019·2021
.
- Lời giải.
Ta thấy
4f (x)+xf
0
(x ) = x
2017
,∀x ∈[0;1]
⇒ 4x
3
f (x) +x
4
f
0
(x ) = x
2020
,∀x ∈[0;1]
⇒
£
x
4
f (x)
¤
0
= x
2020
,∀x ∈[0;1]
⇒
t
Z
0
£
x
4
f (x)
¤
0
dx =
t
Z
0
x
2020
dx ,∀t ∈[0;1]
⇒ t
4
f (t) =
t
2021
2021
,∀t ∈[0;1]
⇒ f (x) =
x
2017
2021
,∀x ∈[0;1].
Do vậy, ta được I =
1
Z
0
x
2017
2021
dx =
1
2018·2021
.
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 609 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 330. Biết I =
ln6
Z
ln3
dx
e
x
+2e
−x
−3
=3lna −ln b, với a, b là các số nguyên dương. Tính P =ab.
A. P =15. B. P =10. C. P =20. D. P =−10.
- Lời giải.
Ta có
I =
ln6
Z
ln3
dx
e
x
+2e
−x
−3
=
ln6
Z
ln3
e
x
dx
e
2x
+2−3e
x
Đặt t =e
x
⇒ dt =e
x
dx . Suy ra
I =
6
Z
3
dt
t
2
−3t +2
=
6
Z
3
dt
(t −1)(t −2)
=
6
Z
3
dt
(t −2)
−
6
Z
3
dt
(t −1)
=
µ
ln
¯
¯
¯
¯
t −2
t −1
¯
¯
¯
¯
¶
¯
¯
¯
6
3
=3ln2−ln5.
Do đó a =2 và b =5. Suy ra ab =10.
Chọn đáp án B ä
Câu 331. Tính I =
b
Z
0
a −x
2
¡
a +x
2
¢
2
dx (với a, b là các số thực dương cho trước).
A. I =
2b
a
2
+b
2
. B. I =
b
a +b
2
. C. I =
b
a
2
+b
2
. D. I =
b
a
2
+b
.
- Lời giải.
Ta có I =
b
Z
0
a −x
2
¡
a +x
2
¢
2
dx =
x
a +x
2
¯
¯
¯
b
0
=
b
a +b
2
.
Chọn đáp án B ä
Câu 332. Cho hàm số y = f (x) =2sin3x ·cos x +3x
2
+2cos x. Tính I =
π
4
Z
0
f
(6)
(x )dx.
A. I =−14−
p
2. B. I =14+
p
2. C. I =−2080−
p
2. D. I =2080+
p
2.
- Lời giải.
f (x) =sin2x +sin4x +3x
2
+2cos x.
f
0
(x ) =2cos2x +4cos4x +6x −2sin x.
f
00
(x ) =−4sin2x −16sin4x +6−2cos x.
f
000
(x ) =−8cos2x −64cos4x +2sinx.
f
(4)
(x ) =16sin2x +256sin4x +2cosx.
f
(5)
(x ) =32cos2x +1024cos4x −2sinx.
Ta có I =
π
4
Z
0
f
(6)
(x )dx = f
(5)
(x )
¯
¯
¯
π
4
0
=−1024 −
p
2−(32+1024) =−2080 −
p
2.
Chọn đáp án C ä
Câu 333. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1]. Biết
1
Z
0
x f
0
(x )dx = −
1
3
và f (1) = 2. Tính
1
Z
0
[
f (x) +2
]
dx .
A.
1
3
. B. −
13
3
. C. −
1
3
. D.
13
3
.
Th.s Nguyễn Chín Em 610 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Đặt
u = x
dv = f
0
(x )dx
⇒
du =dx
v = f (x).
Suy ra
1
Z
0
x f
0
(x )dx = x · f (x)
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
f (x)dx ⇒
1
Z
0
f (x)dx =
7
3
.
1
Z
0
[
f (x) +2
]
dx =
1
Z
0
f (x)dx +2x
¯
¯
¯
1
0
=
7
3
+2 =
13
3
.
Chọn đáp án D ä
Câu 334. Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối
thiểu 1 m. Một ô tô A đang chạy với vận tốc 12 m/s bỗng gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ nên ô tô A hãm
phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức v
A
(t) = 12 −4t (đơn vị tính
bằng m/s), thời gian t tính bằng giây. Hỏi rằng để 2 ô tô A và B đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì ô
tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng ít nhất là bao nhiêu mét?
A. 37. B. 17. C. 19. D. 18.
- Lời giải.
Lấy mốc thời gian là lúc ô tô A bắt đầu hãm phanh. Gọi T là thời điểm ô tô A dừng cách ô tô B 1 mét. Ta
có v
A
(T) =0 hay T =3.
Vậy quãng đường ô tô A đi được trong khoảng 3 giây đó là
3
Z
0
(12−4t)dt = (12t −2t
2
)
¯
¯
3
0
=18 (m).
Do đó khoảng cách an toàn là 18+1 =19 (m).
Chọn đáp án C ä
Câu 335. Biết
1
Z
0
x
p
x +1
dx =
a
b
³
−
p
2+c
´
với
a
b
là phân số tối giản. Tính a +b +c.
A. −1. B. 7. C. 3. D. 1.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
x
p
x +1
dx =
1
Z
0
µ
p
x +1−
2
2
p
x +1
¶
dx =
µ
2
3
p
(x +1)
3
−2
p
x +1
¶
¯
¯
¯
¯
1
0
=
2
3
(−
p
2+2).
Từ đó suy ra a =2, b =3 và c =2.
Vậy a +b +c =7.
Chọn đáp án B ä
Câu 336. Cho hàm số f (x) xác định trên R và thỏa mãn f (0) =1, f
2
(x )·f
0
(x ) =1+2x+3x
2
. Tính f (2).
A.
3
p
43. B.
3
p
103. C.
p
17. D. 34.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
f
2
(x )f
0
(x )dx =
2
Z
0
¡
1+2x +3x
2
¢
dx ,
suy ra
f
3
(x )
3
¯
¯
¯
¯
2
0
= (x +x
2
+x
3
)
¯
¯
2
0
=14 ⇒
f
3
(2)
3
−
1
3
=14 ⇒ f (2) =
3
p
43.
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 611 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 337. Biết
2
Z
1
x
3
dx
p
x
2
+1−1
=a
p
5+b
p
2+c với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của P =a +b +c là
A. −
5
2
. B.
7
2
. C.
5
2
. D. 2.
- Lời giải.
Ta có: a
p
5+b
p
2+c =
2
Z
1
x
3
dx
p
x
2
+1−1
=
2
Z
1
x
3
(
p
x
2
+1)dx
x
2
+1−1
=
2
Z
1
x(
p
x
2
+1+1)dx
=
2
Z
1
(
p
x
2
+1)
2
d(
p
x
2
+1)+
2
Z
1
xdx
=
(
p
x
2
+1)
3
3
¯
¯
¯
2
1
+
x
2
2
¯
¯
¯
2
1
=
5
p
5−2
p
3
3
+
3
2
.
Do đó a =
5
3
, b =−
2
3
và c =
3
2
hay P =
5
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 338. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn f (x) + f (−x) =
p
2+2cos2x . Giá trị I =
π
2
Z
−π
2
f (x)dx
là
A. I =1. B. I =−1. C. I =2. D. I =−2.
- Lời giải.
Ta có: I =
π
2
Z
−π
2
f (x)dx
−x=t
=
−π
2
Z
π
2
f (−t)(−dt) =
π
2
Z
−π
2
f (−t)dt =
π
2
Z
−π
2
f (−x)dx. Do đó:
I =
π
2
Z
−π
2
f (x) + f (−x)
2
dx =
π
2
Z
−π
2
p
2+2cos2x
2
dx =
π
2
Z
−π
2
p
4cos
2
x
2
dx =
π
2
Z
−π
2
cos x dx =sin x
¯
¯
¯
π
2
−π
2
hay I =2.
Chọn đáp án C ä
3.1 ĐÁP ÁN
1. A 2. D 3. B 4. D 5. B 6. D
7. D
8. A 9. D 10. A
11. D 12. C 13. A 14. B 15. D 16. C 17. A 18. C 19. A 20. A
21. B 22. A 23. B 24. C 25. B 26. C 27. A 28. C 29. C 30. B
31. A 32. C 33. A 34. C 35. B 36. D 37. D 38. B 39. D 40. A
41. D 42. A 43. D 44. C 45. A 46. C 47. A 48. D 49. D 50. C
51. D 52. D 53. C 54. B 55. C 56. B 57. A 58. A 59. A 60. D
61. B 62. B 63. B 64. D 65. D 66. A 67. A 68. D 69. D 70. B
71. A 72. C 73. D 74. A 75. D 76. D
77. B
78. A 79. B 80. C
Th.s Nguyễn Chín Em 612 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
81. A 82. B 83. C 84. B 85. B 86. D 87. C 88. A 89. D 90. C
91. B 92. B 93. D 94. D 95. C 96. A 97. A 98. D 99. B 100. C
101. D 102. D 103. D 104. B 105. A 106. C 107. A 108. C 109. C 110. D
111. B 112. A 113. D 114. B 115. A 116. B 117. A 118. B 119. B 120. C
121. A 122. B 123. A 124. A 125. B 126. B 127. A 128. A 129. B 130. A
131. D 132. D 133. C 134. A 135. B 136. C 137. D 138. D 139. A 140. B
141. A 142. B 143. C 144. B 145. A 146. C 147. B 148. B 149. C 150. D
151. B 152. D 153. D 154. A 155. A 156. B 157. B 158. D 159. C 160. D
161. C 162. A 163. B 164. D 165. D 166. A 167. B 168. A 169. D 170. A
171. C 172. A 173. A 174. B 175. B 176. A 177. C 178. B 179. D 180. D
181. C 182. D 183. B 184. B 185. C 186. A 187. A 188. D 189. A 190. C
191. B 192. C 193. B 194. A 195. B 196. A 197. A 198. A 199. C 200. B
201. A 202. B 203. B 204. A 205. C 206. A 207. A 208. C 209. D 210. A
211. C 212. B 213. D 214. B 215. C 216. C 217. C 218. B 219. C 220. D
221. C 222. B 223. D 224. B 225. A 226. C 227. A 228. D 229. B 230. C
231. A 232. B 233. C 234. C 235. C 236. C 237. D 238. B 239. A 240. C
241. D 242. B 243. C 244. D 245. B 246. B 247. B 248. D 249. D 250. A
251. A 252. B 253. B 254. A 255. A 256. D 257. D 258. A 259. A 260. A
261. D 262. C 263. A 264. A 265. B 266. D 267. C 268. A 269. A 270. A
271. C 272. C 273. C 274. A 275. C 276. B 277. C 278. C 279. B 280. B
281. D 282. D 283. C 284. A 285. B 286. D 287. D 288. B 289. D 290. D
291. C 292. B 293. C 294. C 295. B 296. B 297. D 298. D 299. D 300. A
301. A 302. C 303. B 304. A 305. A 306. A 307. B 308. C 309. D 310. D
311. A 312. C 313. B 314. B 315. B 316. B 317. C 318. A 319. C 320. C
321. D 322. B 323. C 324. D 325. D 326. A 327. D 328. D 329. A 330. B
331. B 332. C 333. D 334. C 335. B 336. A 337. C 338. C
4 VẬN DỤNG CAO
Câu 1. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn
1
Z
0
f (x)dx =1, f (1) =cot1. Tính tích phân
I =
1
Z
0
£
f (x)tan
2
x + f
0
(x )tanx
¤
dx .
A. −1. B. 1 −ln(cos1). C. 0. D. 1−cot1.
- Lời giải.
Ta có I =
1
Z
0
£
f (x)tan
2
x + f
0
(x )tanx
¤
dx =
1
Z
0
f (x)tan
2
xdx +
1
Z
0
f
0
(x )tanxdx.
Lại có
1
Z
0
f (x)tan
2
xdx =
1
Z
0
f (x)
µ
1
cos
2
x
−1
¶
dx =
1
Z
0
f (x)
cos
2
x
dx −
1
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
f (x)
cos
2
x
dx −1.
1
Z
0
f
0
(x )tanxdx =
1
Z
0
tan xd(f (x)) = f (x)·tanx
|
1
0
−
1
Z
0
f (x)
cos
2
x
dx =1−
1
Z
0
f (x)
cos
2
x
dx .
Vậy I =0.
Chọn đáp án C ä
Th.s Nguyễn Chín Em 613 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 2. Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [0;5] thỏa mãn
5
Z
0
x f
0
(x )e
f (x)
dx =8, f (5) = ln5.
Tính I =
5
Z
0
e
f (x)
dx .
A. −33. B. 33. C. 17. D. −17.
- Lời giải.
Ta có
5
Z
0
x f
0
(x )e
f (x)
dx =
5
Z
0
xd
³
e
f (x)
´
= xe
f (x)
¯
¯
¯
5
0
−
5
Z
0
e
f (x)
dx .
Kết hợp với giả thiết ta có
5
Z
0
e
f (x)
dx = xe
f (x)
¯
¯
¯
5
0
−
5
Z
0
x f
0
(x )e
f (x)
dx =5e
f (5)
−8 =25−8 =17.
Vậy
5
Z
0
e
f (x)
dx =17.
Chọn đáp án C ä
Câu 3. Cho hàm số f (x) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên trục trên đoạn [0;1] sao cho f (1) = 1 và
f (x) · f (1−x) =e
x
2
−x
, ∀x ∈[0;1]. Tính I =
1
Z
0
(2x
3
−3x
2
)f
0
(x )
f (x)
dx .
A. I =−
1
60
. B. I =
1
10
. C. I =−
1
10
. D. I =
1
60
.
- Lời giải.
Đặt
u =2x
3
−3x
2
dv =
f
0
(x )
f (x)
dx
⇒
du =(6x
2
−6x)dx
v =ln f (x )
(do f (x) nhận giá trị dương trên đoạn [0;1]).
Ta có I =(2x
3
−3x
2
)ln f (x)
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
(6x
2
−6x)ln f (x)dx =−ln f (1)−
1
Z
0
(6x
2
−6x)ln f (x)dx
=ln1−
1
Z
0
(6x
2
−6x)ln f (x)dx =−
1
Z
0
(6x
2
−6x)ln f (x)dx.
Đặt t =1−x ⇒ dt =−dx.
Ta có I =
0
Z
1
[6(1−t)
2
−6(1−t)]ln f (1 −t)dt =−
1
Z
0
(6t
2
−6t)ln f (1−t)dt
=−
1
Z
0
(6x
2
−6x)ln f (1−x)dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 614 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Suy ra, 2I =−
1
Z
0
(6x
2
−6x)ln f (x)dx −
1
Z
0
(6x
2
−6x)ln f (1−x)dx
=−
1
Z
0
(6x
2
−6x)
[
ln f (x)+ln f (1−x)
]
dx
=−
1
Z
0
(6x
2
−6x)ln[f (x)· f (1−x)]dx =−
1
Z
0
(6x
2
−6x)lne
x
2
−x
dx
=−6
1
Z
0
(x
2
−x)
2
dx =−6
1
Z
0
(x
4
−2x
3
+x
2
)dx =−
1
5
.
Như vậy, 2I =−
1
5
⇒ I =−
1
10
.
Chọn đáp án C ä
Câu 4. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R, f (0) = 0, f
0
(0) 6= 0 và thỏa mãn hệ thức f (x)f
0
(x ) +
18x
2
=(3x
2
+x)f
0
(x ) +(6x +1)f (x), ∀x ∈ R. Biết
1
Z
0
(x +1)e
f (x)
dx = ae
2
+b, với a,b ∈ Q. Giá trị của a −b
bằng
A. 1. B. 2. C. 0. D.
2
3
.
- Lời giải.
Ta có f (x)f
0
(x ) +18x
2
=(3x
2
+x)f
0
(x ) +(6x +1)f (x)
⇒
·
1
2
f
2
(x ) +6x
3
¸
0
=
£
(3x
2
+x)f (x)
¤
0
⇒
1
2
f
2
(x ) +6x
3
=(3x
2
+x)f (x)+C, với C là hằng số.
Mặt khác, theo giả thiết f (0) =0 nên C =0.
Khi đó
1
2
f
2
(x ) +6x
3
=(3x
2
+x)f (x), ∀x ∈R. Ta có
1
2
f
2
(x ) +6x
3
=(3x
2
+x)f (x) ⇔ f
2
(x ) +12x
3
=(6x
2
+2x)f (x)
⇔
[
f (x) −2x
]
£
f (x) −6x
2
¤
=0 ⇔
f (x) =2x
f (x) =6x
2
.
Với f (x) =6x
2
, ∀x ∈R, ta có f
0
(0) =0 (loại).
Với f (x) =2x, ∀x ∈R, ta có
1
Z
0
(x +1)e
f (x)
dx =
1
Z
0
(x +1)e
2x
dx =
·
(x +1)e
2x
2
¸
¯
¯
¯
¯
1
0
−
1
2
1
Z
0
e
2x
dx =
3
4
e
2
−
1
4
.
⇒
a =
3
4
b =−
1
4
⇒a −b =1.
Chọn đáp án A ä
Câu 5. Cho hàm f (x) có đạo hàm cấp hai liên tục thỏa đẳng thức 2f (x) − x
2
f
00
(x ) +(x
4
+4x
3
)e
x
= 0 và
f (1) =e. Tính I =
Z
1
0
f (x)dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 615 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. I =2e. B. I =e−2. C. I =e +2. D. I =e.
- Lời giải.
Từ biểu thức, suy ra
2f (x)−x
2
f
00
(x ) =−(x
4
+4x
3
)e
x
,∀x ∈R
⇔
¡
2x f (x)−x
2
f
0
(x )
¢
0
=(−x
4
e
x
)
0
⇔ 2xf (x)−x
2
f
0
(x ) =−x
4
e
x
+C. (∗)
Thay x =0 và (∗) ta được C =0. Suy ra 2x f (x)−x
2
f
0
(x ) =−x
4
e
x
.
Nếu x 6=0 thì
x
2
f
0
(x ) −2x f (x)
x
4
=e
x
⇔
µ
f (x)
x
2
¶
0
=e
x
⇒ f (x) = x
2
(e
x
+C
1
). (∗∗)
Thay x =1 vào (∗∗), ta được e =e +C
1
⇒C
1
=0.
Suy ra f (x) = x
2
e
x
,∀x 6=0.
Do f (x) liên tục nên f (x) = x
2
e
x
,∀x ∈R.
Vậy I =
Z
1
0
f (x)dx =
Z
1
0
x
2
e
x
dx =
¡
x
2
−2x +2
¢
e
x
¯
¯
¯
1
0
=e −2.
Chọn đáp án B ä
Câu 6. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f
0
(x ) liên tục trên [0;1] và thỏa mãn f (1) = 0;
£
f
0
(x )
¤
2
+12xf (x) =
21x
4
−12x, ∀x ∈[0;1]. Tính giá trị của I =
1
Z
0
f (x)dx.
A. I =−
3
4
. B. I =−
1
4
. C. I =
1
2
. D. I =
1
4
.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
x f (x)dx =−
1
2
1
Z
0
x
2
f
0
(x )dx.
Do vậy, ta thấy
1
Z
0
h
£
f
0
(x )
¤
2
+12x f (x)
i
dx =
1
Z
0
¡
21x
4
−12x
¢
dx
⇒
1
Z
0
£
f
0
(x ) −3x
2
¤
2
dx =
1
Z
0
¡
30x
4
−12x
¢
dx
⇒
1
Z
0
£
f
0
(x ) −3x
2
¤
2
dx =0
⇒ f
0
(x ) =3x
2
⇒ f (x) = x
3
−1.
Ta được I =
1
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
¡
x
3
−1
¢
dx =−
3
4
.
Chọn đáp án A ä
Câu 7. Biết rằng với mỗi số thực x thì phương trình t
3
+tx −27 =0 có nghiệm dương duy nhất t = t(x) với
t(x) là hàm liên tục trên [0;+∞). Giá trị I =
26
Z
0
[
t(x)
]
2
dx bằng
A. 26. B. 48. C. 81. D. 94.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 616 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Với x =0 ⇒ t =3 và x =26 ⇒ t =1.
Ta thấy t
3
+tx −27 =0 ⇔ x =
27
t
−t
2
. Ta được dx =
µ
−
27
t
2
−2t
¶
dt.
Khi đó, I =
26
Z
0
[
t(x)
]
2
dx =−
1
Z
3
t
2
µ
27
t
2
+2t
¶
dt =
3
Z
1
¡
27+2t
3
¢
dt =94.
Chọn đáp án D ä
Câu 8. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R thỏa mãn f
³
π
2
´
= −1 và với mọi x ∈R ta có f
0
(x ) · f (x) −
sin2x = f
0
(x ) ·cos x − f (x)·sinx. Tính tích phân I =
π
4
Z
0
f (x)dx.
A. I =1. B. I =
p
2−1. C. I =
p
2
2
−1. D. I =2.
- Lời giải.
Ta có f
0
(x ) · f (x)−sin2x =
[
f (x) ·cos x
]
0
Suy ra
Z
£
f
0
(x ) · f (x)−sin2x
¤
dx =
Z
[
f (x)cosx
]
0
dx
Suy ra
f
2
(x )
2
+
1
2
cos2x =cos x · f (x)+C
Lại có f
³
π
2
´
=−1 ⇒
1
2
−
1
2
=C ⇒C =0
Do đó f
2
(x ) +cos2x =2cos x · f (x)
Suy ra f
2
(x ) −2cos x · f (x)+cos
2
x =sin
2
x ⇔
[
f (x) −cos x
]
2
=sin
2
x
⇔
f (x) −cos x =sin x
f (x) −cos x =−sin x
⇔
f (x) =cos x +sin x
f (x) =cos x −sin x.
Mặt khác, do f
³
π
2
´
=−1 nên ta nhận f (x) =cos x −sin x
Vậy I =
π
4
Z
0
f (x)dx =
π
4
Z
0
(
cos x −sin x
)
dx =
(
sin x +cos x
)
¯
¯
¯
π
4
0
=
p
2−1.
Chọn đáp án B ä
Câu 9. Cho biết hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên [0;3] và có f (3) =4; thỏa mãn điều kiện
¡
f
0
(x )
¢
2
=
8x
2
−20−4f (x). Tính f (6).
A. f (6) =8. B. f (6) =36. C. f (6) =31. D. f (6) =41.
- Lời giải.
Lấy tích phân hai vế của giả thiết, cận từ 0 đến 3 ta được
3
Z
0
¡
f
0
(x )
¢
2
dx =
3
Z
0
¡
8x
2
−20−4f (x)
¢
dx
⇔
3
Z
0
¡
f
0
(x )
¢
2
dx =
3
Z
0
¡
8x
2
−20
¢
dx −4
3
Z
0
f (x)dx
⇔
3
Z
0
¡
f
0
(x )
¢
2
dx =
µ
8x
3
3
−20x
¶
¯
¯
¯
¯
3
0
−4·I với I =
3
Z
0
f (x)dx
⇔
3
Z
0
¡
f
0
(x )
¢
2
dx =12−4·I (∗)
Th.s Nguyễn Chín Em 617 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đối với I =
3
Z
0
f (x)dx, đặt
u = f (x)
dv = dx
⇒
du = f
0
(x )dx
v = x.
Suy ra I = x f (x)
¯
¯
¯
3
0
−
3
Z
0
x f
0
(x )dx =3f (3)−
3
Z
0
x f
0
(x )dx =12 −
3
Z
0
x f
0
(x )dx.
Thay vào (∗), ta được
3
Z
0
¡
f
0
(x )
¢
2
dx =−36+4
3
Z
0
x f
0
(x )dx.
⇔
3
Z
0
¡
f
0
(x )
¢
2
dx −4
3
Z
0
x f
0
(x )dx +36 =0
⇔
3
Z
0
¡
f
0
(x )
¢
2
dx −4
3
Z
0
x f
0
(x )dx +
3
Z
0
4x
2
dx =0
⇔
3
Z
0
¡
f
0
(x ) −2x
¢
2
dx =0 ⇔ f
0
(x ) −2x =0 ⇔ f
0
(x ) =2x ⇔ f (x) = x
2
+C.
Mà f (3) =4 ⇒4 =9+C ⇔C =−5 ⇒ f (x) = x
2
−5 ⇒ f (6) =31.
Chọn đáp án C ä
Câu 10. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [1;4] và thỏa mãn f (x) =
f (2
p
x −1)
p
x
+
4ln x
x
. Tính tích phân
I =
4
Z
3
f (x)dx.
A. I =4ln
2
2. B. I =8ln
2
2. C. I =8ln2. D. I =4+2ln
2
2.
- Lời giải.
Lấy tích phân hai vế từ 1 đến 4, ta được
4
Z
1
f (x)dx =
4
Z
1
f
¡
2
p
x −1
¢
p
x
dx +
4
Z
1
4ln x
x
dx =
4
Z
1
f
¡
2
p
x −1
¢
d
¡
2
p
x −1
¢
+4
4
Z
1
ln x d
(
ln x
)
.
Do I
1
=
4
Z
1
f
¡
2
p
x −1
¢
d
¡
2
p
x −1
¢
=
3
Z
1
f (x)dx nên ta có
4
Z
1
f (x)dx =
3
Z
1
f (x)dx +2ln
2
x
¯
¯
¯
4
1
⇒
4
Z
3
f (x)dx =2ln
2
4 =8ln
2
2.
Chọn đáp án B ä
Câu 11. Cho hàm số y = f (x) là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên.
Th.s Nguyễn Chín Em 618 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Biết
4
Z
1
x · f
00
(x −1)dx = 7 và
2
Z
1
2x · f
0
(x
2
−1)dx =−3. Phương trình tiếp
tuyến với đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm có hoành độ x =3 là
A. y = x −4. B. y =
1
2
x −
5
2
. C. y =2x −7. D. y =3x −10.
x
y
O
2
- Lời giải.
Từ đồ thị hàm số ta suy ra f (0) =2 và f
0
(0) =0.
Xét
2
Z
1
2x · f
0
(x
2
−1)dx =−3. Đặt u = x
2
−1 ⇒ du =2x dx.
Đổi cận: x =1 ⇒ u =0; x =2 ⇒ u =3 Ta có
3
Z
0
f
0
(u)du = f (u)
¯
¯
¯
3
0
=−3 ⇔ f (3) − f (0) =−3 ⇔ f (3) =−1.
Xét
4
Z
1
x · f
00
(x −1)dx =7. Đặt u = x −1 ⇒ x = u +1 ⇒ du =dx.
Đổi cận: x =1 ⇒ u =0; x =4 ⇒ u =3.
⇒
3
Z
0
(u +1)f
00
(u)du =
3
Z
0
(u +1)d f
0
(u) =(u +1)f
0
(x )
¯
¯
¯
3
0
−
3
Z
0
f
0
(u)du
=4f
0
(3)− f
0
(0)− f (u)
¯
¯
¯
3
0
=4f
0
(3)− f
0
(0)− f (3)+ f (0) =7
⇔4f
0
(3) =7+ f (3)− f (0) =4 ⇔ f
0
(3) =1.
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoàn độ x =3 là y = x −4.
Chọn đáp án A ä
Câu 12. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] thỏa mãn f (2) = 0,
2
Z
1
£
f
0
(x )
¤
2
dx =
1
45
và
2
Z
1
(x −1)f (x)dx =−
1
30
. Tính I =
2
Z
1
f (x)dx.
A. I =−
1
12
. B. I =−
1
15
. C. I =−
1
36
. D. I =
1
12
.
- Lời giải.
Ta có
−
1
30
=
2
Z
1
(x −1)f (x)dx =
1
2
2
Z
1
f (x)d
¡
(x −1)
2
¢
=
1
2
(x −1)
2
f (x)
¯
¯
¯
¯
2
t
−
1
2
2
Z
1
(x −1)
2
f
0
(x )dx ⇔
2
Z
1
(x −1)
2
f
0
(x )dx =
1
15
.
Ta lại có
2
Z
1
(x −1)
4
dx =
1
5
(x −1)
5
¯
¯
¯
¯
2
1
=
1
5
.
Từ giả thiết và các kết quả, ta có 9
2
Z
1
£
f
0
(x )
¤
2
dx −6
2
Z
1
(x −1)
2
f
0
(x )dx +
2
Z
1
(x −1)
4
dx =0.
Th.s Nguyễn Chín Em 619 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Mặt khác 9
2
Z
1
£
f
0
(x )
¤
2
dx −6
2
Z
1
(x −1)
2
f
0
(x )dx +
2
Z
1
(x −1)
4
dx =
2
Z
1
£
3f
0
(x ) −(x −1)
2
¤
2
dx ≥0.
Do đó, xét trên đoạn [1;2] ta có 3f
0
(x ) −(x −1)
2
=0 ⇔ f
0
(x ) =
1
3
(x −1)
2
⇒ f (x) =
1
9
(x −1)
3
+C.
Lại do f (2) =0 nên C +
1
9
=0 ⇔C =−
1
9
⇒ f (x) =
1
9
(x −1)
3
−
1
9
.
Suy ra I =
1
9
2
Z
1
£
(x −1)
3
−1
¤
dx =
1
36
(x −1)
4
¯
¯
¯
¯
2
1
−
1
9
(x −1)
¯
¯
¯
¯
2
1
=−
1
12
.
Chọn đáp án A ä
Câu 13. Cho hàm số f (x) không âm, có đạo hàm trên đoạn [0;1] và thỏa mãn f (1) =1,
[2f (x)+1−x
2
]f
0
(x ) =2x[1+ f (x)], ∀x ∈[0;1]. Tích phân
Z
1
0
f (x)dx bằng
A. 1. B. 2. C.
1
3
. D.
3
2
.
- Lời giải.
Với mọi x ∈[0;1], ta có
[2f (x)+1−x
2
]f
0
(x ) =2x[1+ f (x)]
⇔ x
2
f
0
(x ) +2x f (x) =2f (x)f
0
(x ) + f
0
(x ) −2x
⇔
£
x
2
f (x) − f
2
(x ) − f (x )
¤
0
=−2x
⇒ x
2
f (x) − f
2
(x ) − f (x ) =−x
2
+C.
Do f (1) =1 ⇒ C =0. Vậy f
2
(x ) −(x
2
−1)f (x) −x
2
=0. (∗)
Coi (∗) là phương trình bậc 2 ẩn f (x), dễ dàng giải được f (x) =−1 hoặc f (x) = x
2
.
Do f (x) không âm trên đoạn [0;1] nên f (x) = x
2
.
Vậy
Z
1
0
f (x)dx =
Z
1
0
x
2
dx =
1
3
.
Chọn đáp án C ä
Câu 14. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R thỏa mãn f
³
π
2
´
=−1 và với mọi x ∈R ta có f
0
(x ) · f (x)−
sin2x = f
0
(x ) ·cos x − f (x)·sinx. Tính tích phân I =
π
4
Z
0
f (x)dx.
A. I =1. B. I =
p
2−1. C. I =
p
2
2
−1. D. I =2.
- Lời giải.
Nguyên hàm hai vế ta có
1
2
f (x)
2
+
1
2
cos2x = f (x)cos x +C. (1)
Thay x =
π
2
vào (1) và f
³
π
2
´
=1 ta có 0 = C.
Th.s Nguyễn Chín Em 620 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Vậy (1) là
1
2
f (x)
2
+
1
2
cos2x = f (x)cos x
⇔
1
2
f (x)
2
+
1
2
¡
cos
2
x −sin
2
x
¢
= f (x)cos x
⇔
(
f (x) −cos x
)
2
=sin
2
x
⇔
f (x) =sin x +cos x
f (x) =−sin x +cos x
.
Bởi vì f (x) có đạo hàm trên R nên hàm f (x) không thể cùng lúc nhận hai biểu thức tại những giá trị
khác nhau, vậy f (x) =−sinx +cosx (vì f
³
π
2
´
=−1).
Từ đó I =
Z
π
4
0
f (x)dx =
p
2−1.
Chọn đáp án B ä
Câu 15. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên
·
1
2
;2
¸
và thỏa mãn f (x) +2f
µ
1
x
¶
= 3x, ∀x ∈ R
∗
. Tính I =
2
Z
1
2
f (x)
x
dx .
A. I =4ln2+
15
8
. B. I =4ln2−
15
8
. C. I =
5
2
. D. I =
3
2
.
- Lời giải.
Ta có 2I =2
2
Z
1
2
f (x)
x
dx .
Đặt t =
1
x
⇒dx =−
1
t
2
dt.
Đổi cận x =
1
2
⇒ t =2, x =2 ⇒ t =
1
2
.
Khi đó,
2I =2
2
Z
1
2
f (x)
x
dx =2
1
2
Z
2
f
µ
1
t
¶
1
t
·
µ
−
1
t
2
¶
dt =2
2
Z
1
2
f
µ
1
t
¶
t
dt =2
2
Z
1
2
f
µ
1
x
¶
x
dx ,
I +2I =
2
Z
1
2
f (x)
x
dx +
2
Z
1
2
2f
µ
1
x
¶
x
dx =
2
Z
1
2
f (x)
x
+
2f
µ
1
x
¶
x
dx =3
2
Z
1
2
dx =
9
2
.
Vậy I =
3
2
.
Chọn đáp án D ä
Câu 16. Cho hàm số y = f
(
x
)
liên tục trên đoạn
[
0;2
]
và thỏa mãn điều kiện f
(
2
)
= 1 và
2
Z
0
f (x)dx =
2
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx =
2
3
. Giá trị của
2
Z
1
f
(
x
)
x
2
dx bằng
Th.s Nguyễn Chín Em 621 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. 1 . B. 2 . C.
1
4
. D.
1
3
.
- Lời giải.
Sử dụng tích phân từng phần với phép đặt u = f (x ), dv = dx ta có
2
3
=
2
Z
0
f (x)dx = xf
(
x
)
¯
¯
¯
¯
2
0
−
2
Z
0
x f
0
(x )dx =2 −
2
Z
0
x f
0
(x )dx.
Cho nên
2
Z
0
x f
0
(x )dx =
4
3
. Ta cũng có
2
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx =
2
3
. Để ý rằng
2
Z
0
x
2
dx =
8
3
.
Từ đó dẫn đến
2
Z
0
£
2f
0
(x ) −x
¤
2
dx =0 ⇒ f
0
(
x
)
=
x
2
⇒ f
(
x
)
=
x
2
4
+C. Vì f
(
2
)
=1 nên C =0.
Vậy
2
Z
1
f
(
x
)
x
2
dx =
1
4
.
Chọn đáp án C ä
Câu 17. Cho hàm số f (x) liên tục trên R \ {−1;0} thỏa mãn điều kiện f (1) = −2ln2 và đồng thời x(x +
1)f
0
(x ) + f (x ) = x
2
+x. Biết rằng f (2) = a +b ln3
(
a, b ∈Q
)
. Giá trị của a
2
+2b
2
là?
A.
25
4
. B.
27
4
. C.
5
2
. D.
13
4
.
- Lời giải.
Từ giả thiết, ta có x(x +1)· f
0
(x ) + f (x ) = x
2
+x
⇔
x
x +1
· f
0
(x ) +
1
(x +1)
2
f (x) =
x
x +1
⇔
h
x
x +1
· f (x)
i
0
=
x
x +1
, với ∀x ∈R \{0;−1}.
Suy ra
x
x +1
· f (x) =
Z
x
x +1
dx hay
x
x +1
· f (x) = x −ln|x +1|+C.
Mặt khác, ta có f (1) =−2ln2 nên C =−1. Do đó
x
x +1
· f (x) = x −ln|x +1|−1.
Với x =2 thì
2
3
· f (2) =1 −ln3 ⇔ f (2) =
3
2
−
3
2
ln3. Suy ra a =
3
2
và b =−
3
2
.
Vậy a
2
+2b
2
=
27
4
.
Chọn đáp án B ä
Câu 18. Cho hàm số f (x) xác định trên (0;+∞) và thỏa mãn xf
0
(x ) =−[f (x)]
2
·ln x; f (1) =1. Giá trị f (e)
bằng
A.
2
3
. B.
e
2
. C.
2e
3
. D.
1
2
.
- Lời giải.
Ta có x f
0
(x ) =−[f (x)]
2
·lnx; f (1) =1 ⇒−
f
0
(x )
[f (x)]
2
=
ln x
x
.
Suy ra
Z
−
f
0
(x )
[f (x)]
2
dx =
Z
ln x
x
dx =
Z
ln x d(lnx) ⇒
1
f (x)
=
ln
2
x
2
+C
Theo giả thiết f (1) =0 +C =1 ⇒ C =1. Khi x = e ⇒
1
f (e)
=
1
2
+1 =
3
2
⇒ f (e) =
2
3
.
Chọn đáp án A ä
Câu 19. Giả sử hàm f có đạo hàm cấp hai trên R thỏa mãn f
0
(1) = 1 f (1 −x) +x
2
f
00
(x ) = 2x +1 với mọi
x ∈R. Tính tích phân I =
1
Z
0
x f
0
(x )dx.
A. 1. B. 0. C.
1
3
. D. −
1
3
.
Th.s Nguyễn Chín Em 622 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
f (1−x)+x
2
f
00
(x ) =2x +1 (1).
Trong (1), thay x =0 ta được f (1) =1.
Lấy tích phân hai vế cận từ 0 đến 1 của (1) ta có:
1
Z
0
f (1−x)dx +
1
Z
0
x
2
f
00
(x )dx =
1
Z
0
(2x +1)dx
⇔ −
1
Z
0
f (1−x)d(1−x) + f
0
(1)−2
1
Z
0
x
2
f
0
(x )dx =2
⇔
1
Z
0
f (x)dx −2
1
Z
0
x f
0
(x )dx =1.
Đặt I
1
=
1
Z
0
f (x)dx. Vì
1
Z
0
x f
0
(x )dx = f (1) −
1
Z
0
f (x)dx =1 −
1
Z
0
f (x)dx nên ta có hệ
I
1
−2I =1
I
1
=1 −I
⇔
I
1
=1
I =0.
Vậy I =0.
Chọn đáp án B ä
Câu 20. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f
00
(x ) · f
2
(x ) +2[f
0
(x )]
2
· f (x) = 2x −3, ∀x ∈ R; f (0) = f
0
(0) = 1. Tính
giá trị P = f
3
(2).
A. P =−3. B. P =−
11
3
. C. P =−
23
3
. D. P =−6.
- Lời giải.
Xét
Z
f
00
(x ) · f
2
(x )dx. Đặt
u = f
2
(x )
dv = f
00
(x )dx
⇒
du =2f
0
(x ) · f (x)dx
v = f
0
(x )
. Khi đó
Z
f
00
(x ) · f
2
(x )dx = f
0
(x ) · f
2
(x ) −
Z
2[f
0
(x )]
2
· f (x)dx
⇒ f
0
(x ) · f
2
(x ) =
Z
f
00
(x ) · f
2
(x )dx +2
Z
[f
0
(x )]
2
· f (x)dx
=
Z
[f
00
(x ) · f
2
(x ) +2[f
0
(x )]
2
· f (x)]dx
⇒ f
0
(x ) · f
2
(x ) =
Z
(2x −3)dx = x
2
−3x +C.
Chọn x =0 ⇒ C =1 ⇒ f
0
(x ) · f
2
(x ) = x
2
−3x +1 ⇒
1
3
f
3
(x ) =
x
3
3
−
3x
2
2
+x +C.
Với x =0 thì C =
1
3
. Vậy f
3
(x ) = x
3
−
9
2
x
2
+3x +1. Do đó f
3
(2) =−3.
Chọn đáp án A ä
Câu 21. Cho hàm số f (x) = ax
4
+bx
2
+c, có đồ thị (C). Gọi ∆ : y = dx +e là tiếp tuyến của (C) tại điểm
A có hoành độ x =−1. Biết ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N,
(
M,N 6= A
)
có hoành độ lần lượt x =0;
x =2. Cho biết
2
Z
0
(
dx −e − f (x)
)
dx =
28
5
. Tích phân
0
Z
−1
(
f (x) −dx −e
)
dx bằng
A.
2
5
. B.
1
4
. C.
2
9
. D.
1
5
.
Th.s Nguyễn Chín Em 623 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có f (x) −dx −e =ax(x +1)
2
(x −2).
Theo bài ra có
2
Z
0
(
dx −e − f (x)
)
dx =
28
5
⇔−
2
Z
0
ax(x +1)
2
(x −2)dx =
28
5
⇔
28
5
a =
28
5
⇔a =1.
Vậy
0
Z
−1
(
f (x) −dx −e
)
dx =
0
Z
−1
x(x +1)
2
(x −2)dx =
1
5
.
Chọn đáp án D ä
Câu 22. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đạo hàm là f
0
(x ). Biết rằng f
2
(2) = 6 +8f
2
(1),
2
Z
1
2x +1
x + f
2
(x )
dx =
11
16
. Tính I =
2
Z
1
f (x) + f
0
(x )
x + f
2
(x )
· f (x)dx.
A. I =
21
16
+3ln2. B. I =
21
32
+
3
2
ln2. C. I =
21
32
+ln2. D. I =
21
16
−
3
2
ln2.
- Lời giải.
Ta có: f
2
(2) =6+8f
2
(1) ⇔2+ f
2
(2) =8+8f
2
(1) ⇔
2+ f
2
(2)
1+ f
2
(1)
=8.
I =
2
Z
1
f (x) + f
0
(x )
x + f
2
(x )
f (x)dx =
2
Z
1
f
2
(x ) + f
0
(x ) · f (x)
x + f
2
(x )
dx
=
2
Z
1
(f
2
(x ) +x)+
¡
f
0
(x ) · f (x)−x
¢
x + f
2
(x )
dx =
2
Z
1
·
1+
1
2
·
1+2f
0
(x ) · f (x)−2x −1
x + f
2
(x )
¸
dx
=
2
Z
1
·
1+
1
2
·
1+2f
0
(x ) · f (x)
x + f
2
(x )
−
1
2
·
2x +1
x + f
2
(x )
¸
dx
=
2
Z
1
dx +
1
2
2
Z
1
1+2f
0
(x ) · f (x)
x + f
2
(x )
dx −
1
2
2
Z
1
2x +1
x + f
2
(x )
dx
=
2
Z
1
dx +
1
2
2
Z
1
d(x + f
2
(x ))
x + f
2
(x )
−
1
2
2
Z
1
2x +1
x + f
2
(x )
dx
= x
¯
¯
¯
2
1
+
1
2
ln
¯
¯
x + f
2
(x )
¯
¯
¯
¯
¯
2
1
−
1
2
·
11
16
=(2 −1)+
1
2
¡
ln
¯
¯
2+ f
2
(2)
¯
¯
−ln
¯
¯
1+ f
2
(1)
¯
¯
¢
−
11
32
=
21
32
+
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
2+ f
2
(2)
1+ f
2
(1)
¯
¯
¯
¯
=
21
32
+
1
2
ln8
=
21
32
+
3
2
ln2.
.
Chọn đáp án B ä
Câu 23. Cho hàm số f (x) liên tục trên R \{−1;0} thỏa điều kiện f (1) = −2ln2 và x ·(x +1) · f
0
(x ) + f (x) =
x
2
+x, ∀x ∈R \{−1;0}. Biết f (2) = a +b ·ln3, (a,b ∈Q). Giá trị của a
2
+b
2
là
A.
3
4
. B.
27
4
. C. 9. D.
9
2
.
- Lời giải.
Ta có x ·(x +1)· f
0
(x ) + f (x ) = x
2
+x ⇔
x
x +1
f
0
(x ) +
1
(x +1)
2
f (x) =
x
x +1
, ∀x ∈R \{−1;0}.
Th.s Nguyễn Chín Em 624 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Nhận thấy
x
x +1
f
0
(x ) +
1
(x +1)
2
f (x) =
h
x
x +1
f (x)
i
0
.
Do đó ta được
h
x
x +1
f (x)
i
0
=
x
x +1
, ∀x ∈R \{−1;0}.
⇒
x
x +1
f (x) =
Z
x
x +1
dx =
Z
µ
1−
1
x +1
¶
dx = x −ln|x +1|+C.
Mà ta có f (1) =−2ln2 ⇔
1
2
·(−2ln2) =1 −ln2+C ⇔C =−1.
⇒
x
x +1
f (x) = x −ln|x +1|−1.
Thay x =2 vào ta được
2
3
f (2) =2−ln3−1 ⇔ f (2) =
3
2
−
3
2
ln3.
Vậy a =
3
2
và b =−
3
2
. Suy ra P = a
2
+b
2
=
9
2
.
Chọn đáp án D ä
Câu 24. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên R thỏa mãn f
0
(x )−2018f (x) =2018·x
2017
·e
2018x
với mọi x ∈R;
f (0) =2018. Giá trị của f (1) là
A. f (1) =2018 ·e
−2018
. B. f (1) =2019 ·e
−2018
. C. f (1) =2018 ·e
2018
. D. f (1) =2019 ·e
2018
.
- Lời giải.
Ta có
f
0
(x ) −2018f (x) =2018·x
2017
·e
2018x
⇔ e
−2018x
£
f
0
(x ) −2018· f (x)
¤
=2018x
2017
⇔
£
e
−2018x
· f (x)
¤
0
=2018x
2017
⇒
1
Z
0
£
e
−2018x
· f (x)
¤
0
dx =
1
Z
0
2018x
2017
dx
⇒ e
−2018x
· f (x)
¯
¯
1
0
= x
2018
¯
¯
1
0
⇒ e
−2018
· f (1)− f (0) =1 ⇒ f (1) =e
2018
·
[
1+ f (0)
]
=2019 ·e
2018
.
Chọn đáp án D ä
Câu 25. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn
[
−1;1
]
và f (−x) +2019f (x) =e
x
,∀x ∈
[
−1;1
]
(1). Tính tích
phân I =
1
Z
−1
f (x)dx.
A. I =
e
2
−1
e
. B. I =
e
2
−1
2020e
. C. I =0 . D. I =
e
2
−1
2019e
.
- Lời giải.
Trong tích phân I ta đặt t =−x ⇒ dt =−dx. Nên I =
−1
Z
1
f (−t)(−dt) =
1
Z
−1
f (−x)dx.
Do đó I =
1
2
1
Z
−1
³
f (x) + f (−x)
´
dx .
Với phép đặt đó thì đẳng thức (1) trở thành f (x)+2019f (−x) =e
−x
,∀x ∈
[
−1;1
]
(2).
Cộng vế theo vế các đẳng thức (1) và (2) ta được f (x)+ f (−x) =
1
2020
(e
x
+e
−x
).
Do đó I =
1
4040
1
Z
−1
³
e
x
+e
−x
)dx =
1
4040
h
e
x
+e
−x
i
¯
¯
¯
1
−1
=
e
2
−1
2020e
.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 625 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 26. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên đoạn [0;3], thỏa mãn
f (3−x)f (x) =1
f (x) 6=1
với mọi x ∈[0;3] và
f (0) =
1
2
. Tính tích phân I =
3
Z
0
x f
0
(x )
[
1+ f (3−x)
]
2
[
f (x)
]
2
dx .
A. I =
3
2
. B. I =
1
2
. C. I =1. D. I =
5
2
.
- Lời giải.
Từ giả thiết
f (3−x)f (x) =1
f (0) =
1
2
⇒ f (3) =2.
Do f (3 −x)f (x) =1 nên
[
1+ f (3−x)
]
2
[
f (x)
]
2
=
[
f (x) +1
]
2
.
Khi đó ta được
I =
3
Z
0
x f
0
(x )
[
1+ f (x)
]
2
dx =−
3
Z
0
xd
µ
1
1+ f (x)
¶
= −
x
1+ f (x)
¯
¯
¯
¯
3
0
+
3
Z
0
1
1+ f (x)
dx =−1+J.
Tính J =
3
Z
0
1
1+ f (x)
dx .
Đặt t =3−x ⇒dt =−dx.
Đổi cận x =0 ⇒ t =3 và x =3 ⇒ t =0.
Khi đó, J =−
0
Z
3
1
1+ f
(
3−t
)
dt =
3
Z
0
1
1+ f
(
3−t
)
dt =
3
Z
0
1
1+ f (3−x)
dx .
Suy ra 2J =
3
Z
0
1
1+ f (x)
dx +
3
Z
0
1
1+ f (3−x)
dx =
3
Z
0
1
1+ f (x)
dx +
3
Z
0
f (x)
1+ f (x)
dx =
3
Z
0
dx =3.
Do đó J =
3
2
.
Vậy I =−1+
3
2
=
1
2
.
Chọn đáp án B ä
Câu 27. Cho hàm số y = f (x) dương và liên tục trên [1;3] thỏa mãn max
[1;3]
f (x) = 2, min
[1;3]
f (x) =
1
3
và biểu
thức S =
3
Z
1
f (x)dx ·
3
Z
1
1
f (x)
dx đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tích phân
8
Z
0
f
¡
p
x +1
¢
p
x +1
dx bằng
A.
7
3
. B.
7
6
. C.
14
3
. D.
7
12
.
- Lời giải.
Đặt t =
p
x +1 ⇒ dt =
1
2
p
x +1
dx ⇒2dt =
1
p
x +1
dx .
Với x =0 ⇒ t =1 và x =8 ⇒ t =3.
Vậy I =
8
Z
0
f
¡
p
x +1
¢
p
x +1
dx =2
3
Z
1
f (t)dt.
Ta có
1
3
≤ f (x) ≤2, ∀x ∈[1;3] ⇒
µ
f (x) −
1
3
¶
(f (x)−2)
f (x)
≤0, ∀x ∈[1;3].
Th.s Nguyễn Chín Em 626 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó,
3
Z
1
µ
f (x) −
1
3
¶
(f (x)−2)
f (x)
dx ≤0 ⇔
3
Z
1
µ
f (x) +
2
3
·
1
f (x)
−
7
3
¶
dx ≤0
⇔
3
Z
1
f (x)dx +
2
3
·
3
Z
1
1
f (x)
dx −
14
3
≤0
⇔
3
Z
1
1
f (x)
≤7 −
3
2
·
3
Z
1
f (x)dx. (1)
Nhân cả 2 vế của (1) cho
3
Z
1
f (x)dx ta được
3
Z
1
1
f (x)
·
3
Z
1
f (x)dx ≤7
3
Z
1
f (x)dx −
3
2
·
3
Z
1
f (x)dx
2
=−
3
2
7
3
−
3
Z
1
f (x)dx
2
+
49
6
.
Như vậy
3
Z
1
f (x)dx ·
3
Z
1
1
f (x)
dx đạt giá trị lớn nhất bằng
49
6
khi
3
Z
1
f (x)dx =
7
3
.
Vậy I =2·
7
3
=
14
3
.
Chọn đáp án C ä
Câu 28. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;π] và f
³
π
2
´
= 1. Biết
π
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx =
π
Z
0
cos x · f (x ) =
π
2
. Tính tích phân I =
π
2
Z
0
f (x)dx.
A. 0. B.
π
2
+1. C.
π
2
. D.
1
4
.
- Lời giải.
Tính G =
π
Z
0
cos x · f (x)dx
Đặt
u = f (x)
dv =cos xdx
⇒
du = f
0
(x )dx
v =sin x.
Ta có G =sin x.f (x)
|
π
0
−
π
Z
0
sin x · f
0
(x )dx =−
π
Z
0
sin x · f
0
(x )dx.
Kết hợp giả thiết G =
π
2
, ta có
π
Z
0
sin x · f
0
(x )dx =−
π
2
⇒
π
Z
0
2sin x · f
0
(x )dx =−π. (1)
Lại có
π
Z
0
sin
2
xdx =
1
2
π
Z
0
(1−cos2x)dx =
π
2
. (2)
Kết hợp giả thiết
π
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx =
π
2
. (3)
Th.s Nguyễn Chín Em 627 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Từ (1),(2),(3) ta được
π
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx +2
π
Z
0
f
0
(x )sinxdx +
π
Z
0
sin
2
xdx =−π +
π
2
+
π
2
⇔
π
Z
0
n
£
f
0
(x )
¤
2
+2f
0
(x )sinx +sin
2
x
o
dx =0
⇔
π
Z
0
£
f
0
(x ) +sin x
¤
2
dx =0
⇒ f
0
(x ) +sin x =0
⇔ f
0
(x ) =−sin x
⇔ f
0
(x ) =−sin x
⇒ f (x) =cos x +C.
Lại có f
³
π
2
´
=1 ⇒C =1 ⇒ f (x) =cos x +1.
Vậy I =
π
2
Z
0
f (x)dx =
π
2
Z
0
(1+cosx)dx =1+
π
2
.
Chọn đáp án B ä
Câu 29. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [−1;1] và thỏa mãn
£
f
0
(x )
¤
2
+4f (x) =8x
2
+16x −8 với mọi x ∈[−1;1], f (1) =0.
Giá trị của
1
Z
0
f (x)dx bằng
A. −
5
3
. B.
2
3
. C.
1
5
. D. −
1
3
.
- Lời giải.
Với mọi x ∈[−1;1] ta có
£
f
0
(x )
¤
2
+4f (x) =8x
2
+16x −8 nên
1
Z
−1
£
f
0
(x )
¤
2
dx +2
1
Z
−1
2f (x)dx =
1
Z
−1
(8x
2
+16x −8)dx. (1)
Xét I =
1
Z
−1
2f (x)dx. Đặt
u = f (x)
dv =2dx
, khi đó
du = f
0
(x )dx
v =2x +2.
Do đó I =
1
Z
−1
2f (x)dx =(2x +2)f (x)
¯
¯
¯
1
−1
−
1
Z
−1
(2x +2)f
0
(x )dx =−
1
Z
−1
(2x +2)f
0
(x )dx.
Từ (1) suy ra
1
Z
−1
(f
0
(x ))
2
dx −2
1
Z
−1
(2x +2)f
0
(x )dx +
1
Z
−1
(2x +2)
2
dx =
1
Z
−1
(12x
2
+24x −4)dx
⇔
1
Z
−1
(f
0
(x ))
2
dx −2
1
Z
−1
(2x +2)f
0
(x )dx +
1
Z
−1
(2x +2)
2
dx =0
Th.s Nguyễn Chín Em 628 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
⇔
1
Z
−1
£
f
0
(x ) −(2x +2)
¤
2
dx =0
⇔ f
0
(x ) =2x +2,∀x ∈[−1;1]
⇔ f (x) = x
2
+2x +C,∀x ∈[−1;1].
Vì f (1) =0 nên C =−3.
Do đó
1
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
(x
2
+2x −3)dx =−
5
3
.
Chọn đáp án A ä
Câu 30. Cho hàm số chẵn y = f (x) liên tục trên R và
1
Z
−1
f (2x)
1+5
x
dx =8. Giá trị của
2
Z
0
f (x)dx bằng
A. 8. B. 2. C. 1. D. 16.
- Lời giải.
1
Z
−1
f (2x)
1+5
x
dx =
0
Z
−1
f (2x)
1+5
x
dx +
1
Z
0
f (2x)
1+5
x
dx .
Đặt x =−t ⇒ dx =−dt; x =−1 ⇒ t =1 và x =0 ⇒ t =0. Khi đó
0
Z
−1
f (2x)
1+5
x
dx =
0
Z
1
f (−2t)
1+5
−t
(−dt) =
1
Z
0
5
x
f (−2x)
1+5
x
dx =
1
Z
0
5
x
f (2x)
1+5
x
dx .
Gọi F(x) là một nguyên hàm của f (x), ta có
1
Z
−1
f (2x)
1+5
x
dx =
1
Z
0
5
x
· f (2x)
1+5
x
dx +
1
Z
0
f (2x)
1+5
x
dx =
1
Z
0
f (2x)dx =
1
2
[
F(2) −F(0)
]
=8.
⇒F(2)−F(0) =16. Do đó
2
Z
0
f (x)dx =F(2)−F(0) =16.
Chọn đáp án D ä
Câu 31. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R \ {0;−1} thỏa mãn điều kiện f (1) = 2ln2 và x(x +1)f
0
(x ) +
f (x) = x
2
+3x +2. Giá trị f (2) = a +b ln3 với a, b ∈Q. Tổng a
2
+b
2
bằng
A.
9
2
. B.
5
2
. C.
25
4
. D.
13
4
.
- Lời giải.
Theo bài ra ta có
x
x +1
f
0
(x ) +
1
(x +1)
2
f (x) =
x +2
x +1
⇔
h
x
x +1
f (x)
i
0
=
x +2
x +1
, ∀x ∈R \{0;−1}.
Từ đó dẫn tới
x
x +1
f (x) =
Z
x +2
x +1
dx =
Z
µ
1+
1
x +1
¶
dx = x +ln|x +1|+C.
Mặt khác ta có f (1) =2ln2 nên C =−1 hay
x
x +1
f (x) = x +ln|x +1|−1.
Khi đó
2
3
f (2) =2+ln3−1 ⇒ f (2) =
3
2
+
3
2
ln2 nên a
2
+b
2
=
9
2
.
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 629 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 32. Cho đa thức bậc bốn y = f (x) đạt cực trị tại x = 1 và x = 2. Biết lim
x→0
2x + f
0
(x )
2x
= 2. Tích phân
1
Z
0
f
0
(x )dx bằng
A.
3
2
. B.
1
4
. C.
3
4
. D. 1.
- Lời giải.
Cách 1. Ta có f
0
(x ) =4ax
3
+3bx
2
+2cx +d.
Do lim
x→0
2x + f
0
(x )
2x
=2, suy ra lim
x→0
f
0
(x )
2x
=1.
Đặt g(x) =
f
0
(x )
2x
⇒ f
0
(x ) =2x · g(x), với g(0) =1, suy ra g(x) = mx
2
+nx +1,(m 6=0).
Xét f
0
(x ) =0 ⇔
x =0
g(x) =0.
Do x =1, x =2 là cực trị nên
g(1) =0
g(2) =0
⇔
m =
1
2
n =−
3
2
.
Nên f
0
(x ) =2x
µ
1
2
x
2
−
3
2
x +1
¶
= x
3
−3x
2
+2x.
Vậy
1
Z
0
f
0
(x )dx =
1
4
.
Cách 2. Giả sử f (x) = ax
4
+bx
3
+cx
2
+dx +e,a 6=0, suy ra f
0
(x ) =4ax
3
+3bx
2
+2cx +d.
Từ lim
x→0
2x + f
0
(x )
2x
=2, suy ra f
0
(x ) =0 phải có một nghiệm x =0, suy ra d =0.
Thay d =0 vào f
0
(x ) ta được f
0
(x ) = x(4ax
2
+3bx +2c).
Mà y = f (x) đạt cực trị tại x =1 và x =2 nên 4 ax
2
+3bx +2c =0 phải có hai nghiệm là x =1 và x =2.
Theo định lý Vi-et ta có
−
3b
4a
=3
2c
4a
=2
⇔
b =−4 a
c =4a.
Suy ra f
0
(x ) =4ax(x
2
−3x +2). Nên, ta có
1
Z
0
f
0
(x )dx =
1
Z
0
(4ax
3
−12ax
2
+8ax)dx
=
¡
ax
4
−4ax
3
+4ax
2
¢
¯
¯
1
0
= a −4a +4a =a.
Theo giả thiết lim
x→0
2x + f
0
(x )
2x
=2 ⇔ lim
x→0
2+4a(x
2
−3x +2)
2
=2 ⇔
2+8a
2
=2 ⇔ a =
1
4
.
Suy ra
1
Z
0
f
0
(x )dx =
1
4
.
Chọn đáp án B ä
Câu 33. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn f (x) +3f
³
π
2
−x
´
=(x −1)cos x,
(
∀x ∈R
)
. Tích phân
π
2
Z
0
f (x)dx bằng
A.
π −4
2
. B. 0. C.
π −4
8
. D.
4−π
4
.
Th.s Nguyễn Chín Em 630 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có
π
2
Z
0
f
³
π
2
−x
´
dx =
π
2
Z
0
f
³
π
2
−x
´
d
³
π
2
−x
´
−1
=−
0
Z
π
2
f (t)dt =
π
2
Z
0
f (t)dt =
π
2
Z
0
f (x)dx
π
2
Z
0
(x −1)cos xdx =(x −1)sin x
¯
¯
¯
π
2
0
−
π
2
Z
0
sin x dx =(x −1)sin x
¯
¯
¯
π
2
0
+cosx
¯
¯
¯
π
2
0
=
π −4
2
.
π
2
Z
0
³
f (x) +3f
³
π
2
−x
´´
dx =
π
2
Z
0
(x −1)cos xdx ⇔4
π
2
Z
0
f (x)dx =
π −4
2
.
Vậy
π
2
Z
0
f (x)dx =
π −4
8
.
Chọn đáp án C ä
Câu 34. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn f (x)+2f (π −x) = (x +1)sinx,
(
∀x ∈R
)
. Tích phân
π
Z
0
f (x)dx bằng
A. 1+
π
2
. B.
2+π
3
. C. 2 +π. D. 0.
- Lời giải.
Thay x =π −x ta được
f (π −x)+2f (x ) =(π −x +1)sin(π −x) ⇔2f (x)+ f (π −x) =(π −x +1)sin x.
Ta có
f (x) +2f (π −x ) =(π −x +1)sin x
2f (x)+ f (π −x) =(x +1)sin x
⇒3f (x) =(2π −3x +1)sin x
⇒ f (x) =
2π −3x +1
3
sin x
⇒
π
Z
0
f (x)dx =
µ
2π +1
3
x −
x
2
2
¶
¯
¯
¯
π
0
=
2+π
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 35. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn 2f (x) +3f (π − x) = (x −1)cos x, ∀x ∈ R. Tính tích
phân
π
Z
0
f (x)dx.
A.
1
5
. B. −
2
5
. C. −
3
5
. D. −
4
5
.
- Lời giải.
Ta có
π
Z
0
f (π −x)dx =
π
Z
0
f (π −x)
d(π −x)
−1
=−
0
Z
π
f (t)dt =
π
Z
0
f (t)dt =
π
Z
0
f (x)dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 631 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó từ 2f (x)+3f (π −x) =(x −1)cos x, ∀x ∈R lấy tích phân hai vế ta được
π
Z
0
(
2f (x)+3f (π −x)
)
dx =
π
Z
0
(x −1)cos xdx
⇔ 2
π
Z
0
f (x)dx +3
π
Z
0
f (π −x)dx =
π
Z
0
(x −1)cos xdx
⇔
π
Z
0
f (x)dx =
1
5
π
Z
0
(x −1)cos xdx.
Ta có
π
Z
0
(x −1)cos xdx =(x −1)sin x
¯
¯
¯
π
0
−
π
Z
0
sin xdx =(x −1)sin x
¯
¯
¯
π
0
+cosx
¯
¯
¯
π
0
=−2.
Vậy
π
Z
0
f (x)dx =−
2
5
.
Chọn đáp án B ä
Câu 36. Cho hàm số y = f (x) đồng biến trên (0;+∞); y = f (x) liên tục, nhận giá trị dương trên (0;+∞) và
thỏa mãn f (3) =
4
9
và
£
f
0
(x )
¤
2
=(x +1)· f (x). Tính f (8).
A. f (8) =49. B. f (8) =256. C. f (8) =
1
16
. D. f (8) =
49
64
.
- Lời giải.
Ta có ∀x ∈(0;+∞) thì y = f (x) >0; x +1 >0.
Hàm số y = f (x) đồng biến trên (0;+∞) nên f
0
(x ) ≥0, ∀x ∈(0;+∞).
Do đó
£
f
0
(x )
¤
2
=(x +1)f (x) ⇔ f
0
(x ) =
p
(x +1)f (x) ⇔
f
0
(x )
p
f (x)
=
p
x +1.
Suy ra
Z
f
0
(x )
p
f (x)
dx =
Z
p
x +1dx ⇒
p
f (x) =
1
3
p
(x +1)
3
+C.
Vì f (3) =
4
9
nên C =−2. Suy ra f (x) =
µ
1
3
p
(x +1)
3
−2
¶
2
. Vậy f (8) =49.
Chọn đáp án A ä
Câu 37. Cho hàm số f
(
x
)
thỏa mãn f
(
2
)
=−
1
5
và f
0
(
x
)
= x
3
[
f
(
x
)
]
2
với mọi x ∈R. Giá trị của f
(
1
)
bằng
A. −
4
35
. B. −
71
20
. C. −
79
20
. D. −
4
5
.
- Lời giải.
Ta có
f
0
(x ) = x
3
[
f (x)
]
2
⇒
f
0
(x )
f
2
(x )
= x
3
⇒
2
Z
1
f
0
(x )
f
2
(x )
dx =
2
Z
1
x
3
dx
⇔ −
1
f (x)
¯
¯
¯
2
1
=
15
4
⇔−
1
f (2)
+
1
f (1)
=
15
4
⇔ f (1) =−
4
5
.
Chọn đáp án D ä
Câu 38. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] thỏa mãn f (2) = 0,
2
Z
1
£
f
0
(x )
¤
2
dx =
1
45
và
2
Z
1
(x −1)f (x)dx =−
1
30
. Tính I =
2
Z
1
f (x)dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 632 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. I =−
1
12
. B. I =−
1
15
. C. I =−
1
36
. D. I =
1
12
.
- Lời giải.
Ta có
−
1
30
=
2
Z
1
(x −1)f (x)dx =
1
2
2
Z
1
f (x)d
¡
(x −1)
2
¢
=
1
2
(x −1)
2
f (x)
|
2
t
−
1
2
2
Z
1
(x −1)
2
f
0
(x )dx ⇔
2
Z
1
(x −1)
2
f (x)dx =
1
15
.
Ta lại có
2
Z
1
(x −1)
4
dx =
1
5
(x −1)
5
¯
¯
2
1
=
1
5
.
Từ giả thiết và các kết quả, ta có 9
2
Z
1
£
f
0
(x )
¤
2
dx −6
2
Z
1
(x −1)
2
f
0
(x )dx +
2
Z
1
(x −1)
4
dx =0.
Mặt khác 9
2
Z
1
£
f
0
(x )
¤
2
dx −6
2
Z
1
(x −1)
2
f
0
(x )dx +
2
Z
1
(x −1)
4
dx =
2
Z
1
£
3f
0
(x ) −(x −1)
2
¤
2
dx ≥0.
Do đó, xét trên đoạn [1;2] ta có 3f
0
(x ) −(x −1)
2
=0 ⇔ f
0
(x ) =
1
3
(x −1)
2
⇒ f (x) =
1
9
(x −1)
3
+C.
Lại do f (2) =0 nên C +
1
9
=0 ⇔C =−
1
9
⇒ f (x) =
1
9
(x −1)
3
−
1
9
.
Suy ra I =
1
9
2
Z
1
£
(x −1)
3
−1
¤
dx =
1
36
(x −1)
4
¯
¯
2
1
−
1
9
(x −1)
|
2
1
=−
1
12
.
Chọn đáp án A ä
Câu 39. Cho f
(
x
)
là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn
[
−1;1
]
và
1
Z
−1
f
(
x
)
dx = 4. Kết quả I =
1
Z
−1
f
(
x
)
1+e
x
dx
bằng
A. I =8. B. I =4. C. I =2. D. I =
1
4
.
- Lời giải.
Đặt t =−x ⇒dt =−dx.
Đổi cận x =1 ⇒ t =−1; x =−1 ⇒ t =1, ta có
I = e
1
Z
−1
f (x)
1+e
x
dx =−
−1
Z
1
f (−t)
1+e
−t
dt =
1
Z
−1
f
(
−x
)
1+
1
e
x
dx =
1
Z
−1
e
x
f (−x)
1+e
x
dx .
Do f (x) là hàm số chẵn nên f (x) = f (−x),∀x ∈[−1;1] ⇒ I =
1
Z
−1
e
x
f (x)
1+e
x
dx .
Từ đó suy ra
I +I =
1
Z
−1
f (x)
1+e
x
dx +
1
Z
−1
e
x
f (x)
1+e
x
dx =
1
Z
−1
(
e
x
+1
)
f (x)
1+e
x
dx =
1
Z
−1
f (x)dx =4.
Vậy I =2.
Chọn đáp án C ä
Câu 40. Cho hàm số y = f (x) liên tục, có đạo hàm trên [−1;0]. Biết f
0
(x ) =
¡
3x
2
+2x
¢
e
−f (x)
, ∀x ∈[−1;0].
Tính giá trị biểu thức A = f (0) − f (−1).
A. A =−1. B. A =1. C. A =0. D. A =
1
e
.
Th.s Nguyễn Chín Em 633 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Vì f
0
(x ) =
¡
3x
2
+2x
¢
e
−f (x)
nên f
0
(x )e
f (x)
=3x
2
+2x
⇒
Z
f
0
(x )e
f (x)
dx =
Z
¡
3x
2
+2x
¢
dx
⇔ e
f (x)
= x
3
+x
2
+C.
Ta có e
f (0)
=C và e
f (−1)
=C.
Khi đó e
f (0)
=e
f (−1)
⇔e
f (0)−f (−1)
=1 ⇔ f (0) − f (−1) =0.
Vậy A =0.
Chọn đáp án C ä
Câu 41. Cho hàm số f (x) >0 có đạo hàm liên tục trên đoạn
h
0;
π
3
i
, đồng thời thỏa mãn f
0
(0) =0; f (0) =1
và f
00
(x ) · f (x)+
·
f (x)
cos x
¸
2
=
£
f
0
(x )
¤
2
. Tính T = f
³
π
3
´
.
A. T =
p
3
2
. B. T =
p
3
4
. C. T =
3
4
. D. T =
1
2
.
- Lời giải.
Ta có
f
00
(x ) · f (x)+
·
f (x)
cos x
¸
2
=
£
f
0
(x )
¤
2
⇔
f
00
(x ) · f (x)−
£
f
0
(x )
¤
2
f
2
(x )
=−
1
cos
2
x
⇔
·
f
0
(x )
f (x)
¸
0
=−
1
cos
2
x
⇒
f
0
(x )
f (x)
=−tanx +C.
Vì
f
0
(0) =0
f (0) =1
nên C =0.
Do đó
f
0
(x )
f (x)
=−tanx. Suy ra
π
3
Z
0
f
0
(x )
f (x)
dx =
π
3
Z
0
(cos x)
0
cos x
dx ⇒ ln f (x)
¯
¯
¯
π
3
0
=lncosx
¯
¯
¯
π
3
0
⇒ ln f
³
π
3
´
−ln f (0) =ln
1
2
−ln1 ⇒ f
³
π
3
´
=
1
2
.
Chọn đáp án D ä
Câu 42. Giả sử hàm f có đạo hàm cấp hai trên R thỏa mãn f
0
(1) = 1 f (1 −x) +x
2
f
00
(x ) = 2x +1 với mọi
x ∈R. Tính tích phân I =
1
Z
0
x f
0
(x )dx.
A. 1. B. 0. C.
1
3
. D. −
1
3
.
- Lời giải.
f (1−x)+x
2
f
00
(x ) =2x +1 (1).
Trong (1), thay x =0 ta được f (1) =1.
Th.s Nguyễn Chín Em 634 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Lấy tích phân hai vế cận từ 0 đến 1 của (1) ta có:
1
Z
0
f (1−x)dx +
1
Z
0
x
2
f
00
(x )dx =
1
Z
0
(2x +1)dx
⇔ −
1
Z
0
f (1−x)d(1−x) + f
0
(1)−2
1
Z
0
x
2
f
0
(x )dx =2
⇔
1
Z
0
f (x)dx −2
1
Z
0
x f
0
(x )dx =1.
Đặt I
1
=
1
Z
0
f (x)dx. Vì
1
Z
0
x f
0
(x )dx = f (1) −
1
Z
0
f (x)dx =1 −
1
Z
0
f (x)dx nên ta có hệ
I
1
−2I =1
I
1
=1 −I
⇔
I
1
=1
I =0.
Vậy I =0.
Chọn đáp án B ä
Câu 43. Biết
π
3
Z
π
4
cos
2
x +sinx cosx +1
cos
2
x +sinx cosx
dx = a
π
12
+b ln2 + c ln
³
1+
p
3
´
, với a,b, c là các số hữu tỉ. Giá trị
của abc bằng
A. −1. B. 1. C. −2. D. 2.
- Lời giải.
Ta có:
π
3
Z
π
4
cos
2
x +sinx cosx +1
cos
2
x +sinx cosx
dx =
π
3
Z
π
4
1+tanx +(1+tan
2
x)
1+tanx
dx
=
π
3
Z
π
4
µ
1+
1+tan
2
x
1+tanx
¶
dx
=
π
12
+
π
3
Z
π
4
1+tan
2
x
1+tanx
dx
Đặt t =1+tanx ta được dt =
¡
1+tan
2
x
¢
dx, đổi cận x =
π
4
⇒ t =2, x =
π
3
⇒ t =1 +
p
3. Ta được,
π
3
Z
π
4
1+tan
2
x
1+tanx
dx =
1+
p
3
Z
2
1
t
dt =ln t
¯
¯
¯
1+
p
3
2
=ln(1 +
p
3)−ln2
Từ đây ta suy ra a
π
12
+b ln2+c ln
¡
1+
p
3
¢
=
π
12
−ln2+ln
¡
1+
p
3
¢
.
Do đó a =1,b =−1, c =1 suy ra abc =−1.
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 635 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 44. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn f (0) = 5 và f (x) + f (3 −x) = x
2
−3x +
2, ∀x ∈R. Tích phân
3
Z
0
x f
0
(x )dx bằng
A. −
39
4
. B.
3
4
. C.
3
2
. D. −
15
4
.
- Lời giải.
Thay x =0 ta được f (0)+ f (3) =2 ⇒ f (3) =2 − f (0) =2−5 =−3.
Ta có
3
Z
0
f (x)dx =
3
Z
0
f (3−x)dx.
Từ hệ thức đề ra
3
Z
0
(f (x)+ f (3−x))dx =
3
Z
0
(x
2
−3x +2)dx =
3
2
⇒
3
Z
0
f (x)dx =
3
4
.
Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta lại có
3
Z
0
x f
0
(x )dx = x f (x)
¯
¯
¯
3
0
−
3
Z
0
f (x)dx =3f (3)−
3
4
=−
39
4
.
Chọn đáp án A ä
Câu 45. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn f (0) = 1 và f (x) + f (a −x) = x
2
−ax +
2, ∀x ∈R. Có bao nhiêu số nguyên dương a để tích phân
a
Z
0
x f
0
(x )dx không vượt quá
16
3
?
A. 3. B. 5. C. 4. D. 6.
- Lời giải.
Thay x =0 ta được f (0)+ f (a) =2 ⇒ f (a) =2 − f (0) =2−1 =1
Ta có:
a
Z
0
f (x)dx =
a
Z
0
f (a −x)dx
Từ hệ thức đề ra:
a
Z
0
(f (x)+ f (a −x))dx =
a
Z
0
(x
2
−ax +2)dx =2a −
a
3
6
⇒
a
Z
0
f (x)dx =a −
a
3
12
.
Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta lại có
a
Z
0
x f
0
(x )dx = x f (x)
¯
¯
¯
a
0
−
a
Z
0
f (x)dx =a f (a) −
µ
a −
a
3
12
¶
=
a
3
12
.
Yêu cầu bài toán là
a
3
12
≤
16
3
⇔a
3
≤64 ⇔ a ≤4.
Vậy có 4 số nguyên dương a thỏa bài toán
Chọn đáp án C ä
Câu 46. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f (1) = 0,
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx = 7 và
1
Z
0
x
2
f (x)dx =
1
3
. Tích phân
1
Z
0
f (x)dx bằng
A.
7
5
. B. 1. C.
7
4
. D. 4.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 636 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Cách 1. Đặt
u = f (x)
dv = x
2
dx
⇒
du = f
0
(x )dx
v =
x
3
3
.
Khi đó:
1
3
=
1
Z
0
x
2
f (x)dx =
·
x
3
3
f (x)
¸
¯
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
x
3
3
f
0
(x )dx.
Suy ra
1
Z
0
x
3
f
0
(x )dx =−1. (1)
Mặt khác, do
1
Z
0
[f
0
(x )]
2
dx =7 nên
1
Z
0
£
[f
0
(x )]
2
+14x
3
f
0
(x ) +49x
6
¤
dx =0 =7−14+7 =0.
Hay
1
Z
0
¡
f
0
(x ) +7x
3
¢
2
dx =0. (2)
Suy ra f
0
(x ) +7x
3
=0 ⇒ f
0
(x ) =−7x
3
⇒ f (x) =−
7
4
x
4
+C.
Mà f (1) =0 nên C =
7
4
, suy ra f (x) =
7
4
(1−x
4
). Khi đó
1
Z
0
f (x)dx =
7
5
.
Lưu ý. Có thể giải thích vì sao từ (2) suy ra f
0
(x ) +7x
3
= 0, ∀x ∈
[
0;1
]
như sau: Theo giả thiết ta có hàm
số y =
¡
f
0
(x ) +7x
3
¢
2
liên tục và không âm trên đoạn [0;1] (do đó, đồ thị hàm số này là một đường nét liền
trên đoạn [0;1] và không có điểm nào nằm bên dưới trục Ox). Tích phân ở (2) có giá trị bằng diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
¡
f
0
(x ) +7x
3
¢
2
, trục hoành, đường thẳng x =0, đường thẳng x =1. Mà
theo (2) thì hình phẳng này có diện tích bằng 0 nên f
0
(x ) +7x
3
=0, ∀x ∈
[
0;1
]
.
Cách 2 (tiếp nối từ (1)). Ta có bất đẳng thức Bunnyakovski đối với tích phân: Nếu hai hàm số f (x), g(x)
liên tục trên đoạn [a; b] thì ta luôn có
b
Z
a
f (x).g(x)dx
2
≤
b
Z
a
f
2
(x )dx
.
b
Z
a
g
2
(x )dx.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi g(x) = k f (x), ∀x ∈
[
a; b
]
. Trở lại bài toán. Từ (1), ta có:
1 =
1
Z
0
x
3
f
0
(x )dx
2
≤
1
Z
0
x
6
dx ·
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx =
1
7
·7 =1.
Như vậy dấu "=" xảy ra, tức là f
0
(x ) = kx
3
. Thay trở lại vào (1), ta được:
k
1
Z
0
x
6
dx =−1 ⇒
k
7
=−1 ⇒ k =−7.
Vậy f
0
(x ) =−7x
3
⇒ f (x) =−
7
4
x
4
+C
do f (1)=0
⇒
f (x) =−
7
4
x
4
+
7
4
.
Do đó
1
Z
0
f (x)dx =
7
5
.
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 637 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 47. Cho hàm số f
(
x
)
thỏa mãn f
(
2
)
=−
1
5
và f
0
(
x
)
= x
3
[
f
(
x
)
]
2
với mọi x ∈R. Giá trị của f
(
1
)
bằng
A. −
4
35
. B. −
71
20
. C. −
79
20
. D. −
4
5
.
- Lời giải.
Ta có
f
0
(x ) = x
3
[
f (x)
]
2
⇒
f
0
(x )
f
2
(x )
= x
3
⇒
2
Z
1
f
0
(x )
f
2
(x )
dx =
2
Z
1
x
3
dx
⇔ −
1
f (x)
¯
¯
¯
2
1
=
15
4
⇔−
1
f (2)
+
1
f (1)
=
15
4
⇔ f (1) =−
4
5
.
Chọn đáp án D ä
Câu 48. Cho hàm số y = f (x) là hàm lẻ và liên tục trên [−4;4] biết
0
Z
−2
f (−x)dx = 2 và
2
Z
1
f (−2x)dx = 4.
Tính I =
4
Z
0
f (x)dx.
A. I =−10. B. I =−6. C. I =6. D. I =10.
- Lời giải.
Xét tích phân
0
Z
−2
f (−x)dx =2.
Đặt −x = t ⇒ dx =−dt.
Đổi cận: khi x =−2 thì t =2; khi x =0 thì t =0
Do đó:
0
Z
−2
f (−x)dx =−
◦
Z
2
f (t)dt =
2
Z
0
f (t)dt ⇒
2
Z
0
f (t)dt =2 ⇒
2
Z
0
f (x)dx =2.
Do hàm số y = f (x) là hàm số lẻ nên f (−2x) =−f (2x).
Do đó
2
Z
1
f (−2x)dx =−
2
Z
1
f (2x)dx ⇒
2
Z
1
f (2x)dx =−4.
Xét
2
Z
1
f (2x)dx.
Đặt 2x = t ⇒ dx =
1
2
dt.
Đổi cận: khi x =1 thì t =2; khi x =2 thì t =4 do đó
2
Z
1
f (2x)dx =
1
2
4
Z
2
f (t)dt =−4.
⇒
4
Z
2
f (t)dt =−8 ⇒
4
Z
2
f (x)dx =−8.
Vậy: I =
4
Z
0
f (x)dx =
2
Z
0
f (x)dx +
4
Z
2
f (x)dx =2 −8 =−6.
Chọn đáp án B ä
Câu 49. Cho hàm số f (x) liên tục trên [−1;1] và f (−x)+2018f (x) =e
x
, ∀x ∈[−1;1]. Tính
1
Z
−1
f (x)dx.
A.
e
2
−1
e
. B.
e
2
−1
2019e
. C. 0. D.
e
2
−1
2018e
.
Th.s Nguyễn Chín Em 638 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Đặt I =
1
Z
−1
f (x)dx.
Xét J =
1
Z
−1
f (−x)dx.
Đặt t =−x, khi đó J =
−1
Z
1
f (t)d(−t) =
1
Z
−1
f (t)dt = I.
Mà f (−x)+2018f (x) =e
x
, ∀x ∈[−1;1] ⇒
1
Z
−1
(f (−x)+2018f (x))dx =
1
Z
−1
e
x
dx
⇒
1
Z
−1
f (−x)dx +2018
1
Z
−1
f (x)dx =e
x
¯
¯
¯
1
−1
⇒2019I =e−
1
e
⇒ I =
e
2
−1
2019e
.
Chọn đáp án B ä
Câu 50. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] thỏa mãn f (2) = 0,
2
Z
1
[f
0
(x )]
2
dx =
1
45
và
2
Z
1
(x −1)f (x)dx =−
1
30
. Tính I =
2
Z
1
f (x)dx.
A. I =−
1
12
. B. I =−
1
15
. C. I =−
1
36
. D. I =
1
12
.
- Lời giải.
Ta có −
1
30
=
2
Z
1
(x −1)f (x)dx =
1
2
2
Z
1
f (x)d((x −1)
2
)
=
1
2
(x −1)
2
f (x)
¯
¯
¯
2
1
−
1
2
2
Z
1
(x −1)
2
f
0
(x )dx ⇔
2
Z
1
(x −1)
2
f
0
(x )dx =
1
15
.
Ta lại có
2
Z
1
(x −1)
4
dx =
1
5
(x −1)
5
¯
¯
¯
2
1
=
1
5
.
Từ giả thiết và các kết quả ta có 9
2
Z
1
[f
0
(x )]
2
dx −6
2
Z
1
(x −1)
2
f
0
(x )dx +
2
Z
1
(x −1)
4
dx =0.
Mặt khác:
9
2
Z
1
[f
0
(x )]
2
dx −6
2
Z
1
(x −1)
2
f
0
(x )dx +
2
Z
1
(x −1)
4
dx =
2
Z
1
[3f
0
(x ) −(x −1)
2
]
2
dx Ê0.
Do vậy xét trên đoạn [1;2], ta có
3f
0
(x ) −(x −1)
2
=0 ⇔ f
0
(x ) =
1
3
(x −1)
2
⇒ f (x) =
1
9
(x −1)
3
+C.
Lại do f (2) =0 nên C +
1
9
=0 ⇔C =−
1
9
⇒ f (x) =
1
9
(x −1)
3
−
1
9
.
Suy ra I =
1
9
2
Z
1
£
(x −1)
3
−1 ==
¤
dx =
1
36
(x −1)
4
¯
¯
¯
2
1
−
1
9
(x −1)
¯
¯
¯
2
1
=−
1
12
.
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 639 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 51. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f
0
(x ) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa f (1) =0; [f
0
(x )]
2
+12x f (x) =
21x
4
−12x, ∀x ∈[0;1]. Tính giá trị của I =
1
Z
0
f (x)dx.
A.
−3
4
. B. −
1
4
. C.
1
2
. D.
1
4
.
- Lời giải.
Lấy tích phân hai vế của đẳng thức đã cho trên đoạn [0;1] ta được
1
Z
0
[f
0
(x )]
2
dx +12
1
Z
0
x f (x)dx =
1
Z
0
(21x
4
−12x)dx =−
9
5
.
Xét tích phân J =
1
Z
0
x f (x)dx. Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có
J =
1
Z
0
f (x)d
µ
x
2
2
¶
=
µ
x
2
2
¶
f (x)
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
x
2
2
d[f (x)] =
1
2
f (1)−
1
2
1
Z
0
x
2
f
0
(x )dx =−
1
2
1
Z
0
x
2
f
0
(x )dx.
Ta có
1
Z
0
[f
0
(x )]
2
dx −6
1
Z
0
x
2
f
0
(x )dx +
9
5
=0 ⇔
1
Z
0
[f
0
(x )]
2
dx −2
1
Z
0
f
0
(x ) ·3x
2
dx +
1
Z
0
9x
4
dx =0
⇔
1
Z
0
[f
0
(x ) −3x
2
]
2
dx =0 ⇔ f
0
(x ) =3x
2
, ∀x ∈[0;1].
Do đó f (x) = x
3
−1 ⇒
1
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
(x
3
−1)dx =−
3
4
.
Chọn đáp án A ä
Câu 52. Biết rằng với mỗi số thực x thì phương trình t
3
+tx −27 = 0 có nghiệm dương duy nhất t = t(x)
với t(x) là hàm liên tục trên [0;+∞). Giá trị của I =
26
Z
0
[t(x)]
2
dx là
A. 26. B. 48. C. 81. D. 94.
- Lời giải.
Với ∀x ∈[0;+∞) ta có t(x) >0 thỏa mãn [t(x)]
3
+t(x)·x −27 =0 (1).
Suy ra
[t(0)]
3
−27 =0
[t(26)]
3
+26·t(26)−27 =0
⇔
t(0) =3
t(26) =1.
Mặt khác ta có (1) ⇔ x =
27
t(x)
−[t(x)]
2
(2).
Do t = t(x) liên tục trên [0;+∞) nên với x
0
>0 ta có lim
x→x
0
t = lim
x→x
0
t(x) = t(x
0
) = t
0
>0.
Xét
lim
x→x
0
t(x)−t(x
0
)
x −x
0
= lim
x→x
0
t(x)−t(x
0
)
·
27
t(x)
−[t(x)]
2
¸
−
·
27
t(x
0
)
−[t(x
0
)]
2
¸
= lim
t→t
0
t −t
0
·
27
t
−t
2
¸
−
·
27
t
0
−t
2
0
¸
= lim
t→t
0
t −t
0
27
µ
1
t
−
1
t
0
¶
−(t
2
−t
2
0
)
= lim
t→t
0
1
−27
t ·t
0
−(t +t
0
)
= −
1
27
t
2
0
+2t
0
=−
t
2
0
2t
3
0
+27
(hữu hạn).
Th.s Nguyễn Chín Em 640 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Suy ra t = t(x) có đạo hàm trên (0;+∞).
Ta lại có lim
x→0
+
t(x)−t(0)
x −0
= lim
t→3
±
t −3
27
t
−t
2
= lim
t→3
±
(t −3)t
27−t
3
= lim
t→3
±
−t
t
2
+3t +9
=−
1
9
.
Suy ra t = t(x) có đạo hàm phải tại 0.
Tóm lại t = t(x) có đạo hàm trên[0;+∞) là t
0
(x ).
Đạo hàm hai vế của (2) ta được
1 =−
27·t
0
(x )
[t(x)]
2
−2t(x)·t
0
(x ) ⇔[t(x)]
2
=−27t
0
(x ) −2[t(x)]
3
t
0
(x )
Do đó
I =
26
Z
0
[t(x)]
2
dx =−27
26
Z
0
t
0
(x ) −2
26
Z
0
[t(x)]
3
t
0
(x )dx
= −27·t(x)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
26
0
−
1
2
[t(x)]
4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
26
0
=−27[t(26)−t(0)] −
1
2
©
[t(26)]
4
−[t(0)]
4
ª
=94.
Chọn đáp án D ä
Câu 53. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa
1
Z
0
f (2x)dx =2,
2
Z
0
f (4x)dx =6. Tính
2
Z
−2
f
(
3|x |+2
)
dx .
A.
20
3
. B. 20. C.
40
3
. D. 40.
- Lời giải.
Xét A =
1
Z
0
f (2x)dx. Đặt t =2x ⇒ dt =2dx. Đổi cận:
x =0 ⇒ t =0
x =1 ⇒ t =2.
Suy ra: A =
2
Z
0
f (t)
dt
2
⇔2 =
1
2
2
Z
0
f (t)dt ⇔
2
Z
0
f (t)dt =4 ⇒
2
Z
0
f (x)dx =4.
Xét B =
2
Z
0
f (4x)dx. Đặt m =4x ⇒ dm =4dx. Đổi cận:
x =0 ⇒ m =0
x =2 ⇒ m =8.
Suy ra: B =
8
Z
0
f (m)
dm
4
⇔6 =
1
4
8
Z
0
f (m)dm ⇔
8
Z
0
f (m)dm =24 ⇒
8
Z
0
f (x)dx =24.
Ta có:
I =
2
Z
−2
f
(
3|x |+2
)
dx =
0
Z
−2
f
(
3|x |+2
)
dx +
2
Z
0
f
(
3|x |+2
)
dx
=
0
Z
−2
f (−3x +2)dx +
2
Z
0
f (3x +2)dx = I
1
+I
2
.
Đặt h =−3x +2 ⇒ dh =−3dx. Đổi cận:
x =−2 ⇒ h =8
x =0 ⇒ h =2.
Suy ra: I
1
=
2
Z
8
f (h)
dh
−3
=
1
3
8
Z
2
f (h)dh =
1
3
8
Z
2
f (x)dx.
Ta có:
8
Z
0
f (x)dx =
2
Z
0
f (x)dx +
8
Z
2
f (x)dx ⇒
8
Z
2
f (x)dx =
8
Z
0
f (x)dx −
2
Z
0
f (x)dx
Th.s Nguyễn Chín Em 641 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Nên I
1
=
1
3
(24−4) =
20
3
.
Đặt k =3x +2 ⇒ dk =3dx. Đổi cận:
x =0 ⇒ k =2
x =2 ⇒ k =8.
Suy ra: I
2
=
8
Z
2
f (k)
dk
3
=
1
3
8
Z
2
f (k)dk =
1
3
8
Z
2
f (x)dx =
20
3
.
Vậy ta có I =
20
3
+
20
3
=
40
3
.
Chọn đáp án C ä
Câu 54. Cho hàm số f (x) liên tục trên [0;1] và f (x)+f (1−x) =
x
2
+2x +3
x +1
, ∀x ∈[0;1]. Tính
1
Z
0
f (x)dx.
A.
3
4
+2ln2. B. 3+ln2. C.
3
4
+ln2. D.
3
2
+2ln2.
- Lời giải.
Theo giả thiết, ta có: f (x ) + f (1−x) =
x
2
+2x +3
x +1
, ∀x ∈[0;1] và f (x) liên tục trên [0;1] nên
1
Z
0
[f (x)+ f (1−x)]dx =
1
Z
0
x
2
+2x +3
x +1
dx ⇔
1
Z
0
f (x)dx +
1
Z
0
f (1−x)dx =
1
Z
0
(x +1)
2
+2
x +1
dx (1).
Đặt 1 −x = t thì dx =−dt, với x =0 ⇒ t =1, với x =1 ⇒ t =0.
Do đó:
1
Z
0
f (1−x)dx =−
0
Z
1
f (t)dt =
1
Z
0
f (t)dt =
1
Z
0
f (x)dx ⇒
1
Z
0
f (x)dx +
1
Z
0
f (1−x)dx =2
1
Z
0
f (x)dx (2).
Lại có
1
Z
0
(x +1)
2
+2
x +1
dx =
1
Z
0
µ
x +1+
2
x +1
¶
dx =
µ
x
2
2
+x +2ln|x +1|
¶
¯
¯
¯
1
0
=
3
2
+2ln2 (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra 2
1
Z
0
f (x)dx =
3
2
+2ln2 ⇔
1
Z
0
f (x)dx =
3
4
+ln2.
Chọn đáp án C ä
Câu 55. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [−1;1] và thỏa mãn f (1) = 0,
(f
0
(x ))
2
+4f (x) =8x
2
+16x −8 với mọi x thuộc [−1;1]. Giá trị của
1
Z
0
f (x)dx bằng
A. −
5
3
. B.
2
3
. C.
1
5
. D. −
1
3
.
- Lời giải.
Ta có:
(f
0
(x ))
2
+4f (x) =8x
2
+16x −8 ⇒
1
Z
−1
(f
0
(x ))
2
dx +2
1
Z
−1
2f (x)dx =
1
Z
−1
(8x
2
+16x −8)dx (1).
Xét I =
1
Z
−1
2f (x)dx, Đặt
u = f (x)
dv =2dx
⇒
du = f
0
(x )dx
v =2x +2.
Do đó I =
1
Z
−1
2f (x)dx =(2x +2)f (x)
¯
¯
¯
1
−1
−
1
Z
−1
(2x +2)f
0
(x )dx =−
1
Z
−1
(2x +2)f
0
(x )dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 642 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Từ (1):
1
Z
−1
(f
0
(x ))
2
dx +2
1
Z
−1
2f (x)dx =
1
Z
−1
(8x
2
+16x −8)dx
⇔
1
Z
−1
(f
0
(x ))
2
dx −2
1
Z
−1
(2x +2)f
0
(x )dx +
1
Z
−1
(2x +2)
2
dx =
1
Z
−1
(12x
2
+24x −4)dx =0
⇔
1
Z
−1
(f
0
(x ) −(2x +2))
2
dx =0
⇒ f
0
(x ) =2x +2 ⇒ f (x) = x
2
+2x +C.
Vì f (1) =0 nên C =−3.
Suy ra
1
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
(x
2
+2x −3)dx =−
5
3
.
Chọn đáp án A ä
Câu 56. Cho hàm số chẵn y = f (x) liên tục trên R và
1
Z
−1
f (2x)
1+5
x
dx =8. Giá trị của
2
Z
0
f (x)dx bằng
A. 8. B. 2. C. 1. D. 16.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
−1
f (2x)
1+5
x
dx =
0
Z
−1
f (2x)
1+5
x
dx +
1
Z
0
f (2x)
1+5
x
dx .
Đặt x =−t ⇒ dx =−dt; x =−1 ⇒ t =1; x =0 ⇒ t =0.
Khi đó
0
Z
−1
f (2x)
1+5
x
dx =
0
Z
1
f (−2t)
1+5
−t
(−dt) =
1
Z
0
.
5
x
f (−2x)
1+5
x
dx =
1
Z
0
5
x
f (2x)
1+5
x
dx .
Do đó
1
Z
−1
f (2x)
1+5
x
dx =
1
Z
0
5
x
· f (2x)
1+5
x
dx +
1
Z
0
f (2x)
1+5
x
dx =
1
Z
0
f (2x)dx.
=
1
2
[F(2)−F(0)] =8 ⇒ F(2)−F(0) =16 ⇒
2
Z
0
f (x)dx =F(2)−F(0) =16.
Chọn đáp án D ä
Câu 57. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên
·
1
2
;2
¸
và thỏa mãn f (x) +2f
µ
1
x
¶
= 3x, ∀x ∈ R
∗
. Tính I =
2
Z
1
2
f (x)
x
dx .
A. I =4ln2+
15
8
. B. I =4ln2−
15
8
. C. I =
5
2
. D. I =
3
2
.
- Lời giải.
Ta có 2I =2
2
Z
1
2
f (x)
x
dx .
Đặt t =
1
x
⇒dx =−
1
t
2
dt.
Đổi cận x =
1
2
⇒ t =2, x =2 ⇒ t =
1
2
.
Th.s Nguyễn Chín Em 643 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó,
2I =2
2
Z
1
2
f (x)
x
dx =2
1
2
Z
2
f
µ
1
t
¶
1
t
·
µ
−
1
t
2
¶
dt =2
2
Z
1
2
f
µ
1
t
¶
t
dt =2
2
Z
1
2
f
µ
1
x
¶
x
dx ,
I +2I =
2
Z
1
2
f (x)
x
dx +
2
Z
1
2
2f
µ
1
x
¶
x
dx =
2
Z
1
2
f (x)
x
+
2f
µ
1
x
¶
x
dx =3
2
Z
1
2
dx =
9
2
.
Vậy I =
3
2
.
Chọn đáp án D ä
Câu 58. Cho hàm số y = f (x) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [0;1]. Giá trị nhỏ nhất của biểu
thức M =
1
Z
0
(2f (x)+3x)f (x)dx −
1
Z
0
(4f (x)+x)
p
x f (x)dx bằng
A.
−1
24
. B.
−1
8
. C.
−1
12
. D.
−1
6
.
- Lời giải.
M =
1
Z
0
(2f (x)+3x)f (x)dx −
1
Z
0
(4f (x)+x)
p
x f (x)dx
=
1
Z
0
h
(2f (x)+3x)f (x)−(4f (x) +x)
p
x f (x)
i
dx
=
1
8
1
Z
0
h
16f
2
(x ) −32f (x)·
p
f (x) ·
p
x +24x f (x)−8f (x)x
p
x +x
2
−x
2
i
dx
=
1
8
1
Z
0
·
³
2
p
f (x) −
p
x
´
4
−x
2
¸
dx Ê−
1
8
1
Z
0
x
2
dx =
−1
24
.
Chọn đáp án A ä
Câu 59. Biết rằng
2
Z
1
(x +1)
2
e
x−
1
x
dx = me
p
q
−n, trong đó m, n, p, q là các số nguyên dương và
p
q
là phân
số tối giản. Tính T = m +n + p +q .
A. T =11. B. T =10. C. T =7. D. T =8.
- Lời giải.
Đặt I =
2
Z
1
(x +1)
2
e
x−
1
x
dx =
2
Z
1
(x
2
+2x +1)e
x−
1
x
dx = K +H, trong đó
K =
2
Z
1
2x e
x−
1
x
dx , H =
2
Z
1
(x
2
+1)e
x−
1
x
dx .
Xét K =
2
Z
1
2x e
x−
1
x
dx .
Đặt u =e
x−
1
x
và dv =2x dx, ta có du =
µ
1+
1
x
2
¶
e
x−
1
x
dx và v = x
2
.
Th.s Nguyễn Chín Em 644 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Từ đó ta có K = x
2
e
x−
1
x
¯
¯
¯
2
1
−
2
Z
1
(x
2
+1)e
x−
1
x
dx , suy ra K +
2
Z
1
(x
2
+1)e
x−
1
x
dx = x
2
e
x−
1
x
¯
¯
¯
2
1
nên
I = x
2
e
x−
1
x
¯
¯
¯
2
1
=4e
3
2
−1.
Từ đó suy ra m =4, n =1, p =3, q =2 và T =10.
Chọn đáp án B ä
Câu 60. Cho hàm số f (x ) đồng biến, có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn [0;2] và thỏa mãn
[
f (x)
]
2
− f (x) ·
f
00
(x ) +
£
f
0
(x )
¤
2
=0. Biết f (0) =1, f (2) = e
4
. Khi đó f (1) bằng
A. e
3
4
. B. e. C. e
3
2
. D. e
2
.
- Lời giải.
Từ giả thiết ta suy ra f (x) >0, ∀x ∈[0;2].
[
f (x)
]
2
− f (x)· f
00
(x ) +
£
f
0
(x )
¤
2
=0 ⇒
[
f (x)
]
2
= f (x)· f
00
(x ) −
£
f
0
(x )
¤
2
f 6=0
⇒
f
00
· f −(f
0
)
2
f
2
=1
⇒
µ
f
0
f
¶
0
=1 ⇒
f
0
f
= x +C
1
⇒
(
ln|f |
)
0
= x +C
1
⇒ln|f |=
1
2
x
2
+C
1
x +C
2
⇒|f (x)|= e
1
2
x
2
+C
1
x+C
2
f >0
⇒ f (x) = e
1
2
x
2
+C
1
x+C
2
.
Vì f (0) =1, f (2) = e
4
nên f (x) = e
1
2
x
2
+x
.
Vậy f (1) = e
3
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 61. Biết
π
3
Z
0
x
2
dx
(x sinx +cosx)
2
= −
aπ
b +cπ
p
3
+d
p
3, với a, b, c, d là các số nguyên dương. Tính P =
a +b +c +d.
A. P =7. B. P =10. C. P =8. D. P =9.
- Lời giải.
Ta có I =
π
3
Z
0
x
2
dx
(x sinx +cosx)
2
=
π
3
Z
0
xcos x
(x sinx +cosx)
2
·
x
cos x
dx .
Đặt u =
x
cos x
và dv =
xcos x
(x sinx +cosx)
2
dx . Khi đó du =
xsin x +cosx
cos
2
x
dx và v =−
1
xsin x +cosx
.
Do đó
I =−
x
cos x(x sin x +cos x)
¯
¯
¯
¯
π
3
0
+
π
3
Z
0
dx
cos
2
x
=−
4π
3+π
p
3
+tanx
¯
¯
¯
π
3
0
=−
4π
3+π
p
3
+
p
3.
Suy ra a =4, b =3, c =1, d =1. Vì vậy P =4 +3+1+1 =9.
Chọn đáp án D ä
Câu 62. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
0;1
]
thỏa mãn f (1) =
3
5
,
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx =
4
9
và
1
Z
0
x
3
f (x)dx =
37
180
. Tích phân
1
Z
0
[
f (x) −1
]
dx bằng
A.
2
30
. B. −
1
10
. C. −
2
30
. D.
1
10
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 645 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt
u = f (x)
dv = x
3
dx
⇒
du = f
0
(x )dx
v =
x
4
4
.
Suy ra
37
180
=
1
Z
0
x
3
f (x)dx =
x
4
4
f (x)
¯
¯
¯
1
0
−
1
4
1
Z
0
x
4
f
0
(x )dx ⇒
1
Z
0
x
4
f
0
(x )dx = f (1) −4·
37
180
=−
2
9
.
Khi đó
1
Z
0
£
f
0
(x ) +2x
4
¤
2
dx =
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx +4
1
Z
0
x
4
f
0
(x )dx +4
1
Z
0
x
8
dx =
4
9
+4·
µ
−
2
9
¶
+
4
9
=0. (1)
Mặt khác
£
f
0
(x ) +2x
4
¤
2
≥0 xét trên đoạn
[
0;1
]
.
Nên
1
Z
0
£
f
0
(x ) +2x
4
¤
2
dx ≥0 (2) .
Từ (1) và (2) đẳng thức xảy ra khi f
0
(x ) +2x
2
=0 ⇔ f
0
(x ) =−2x
4
.
Từ đó f (x) =
Z
f
0
(x )dx =
Z
¡
−2x
4
¢
dx =−
2x
5
5
+C .
Mà f (1) =
3
5
⇒C =1 nên f (x) =−
2x
5
5
+1 .
Vậy
1
Z
0
[
f (x) −1
]
dx =
1
Z
0
µ
−
2x
5
5
+1
¶
dx =−
2
30
.
LỜI BÌNH : Ngoài cách giải trên ta còn có cách giải nhanh sau
Trước hết tính được
1
Z
0
x
4
f
0
(x )dx =−
2
9
⇔
1
Z
0
£
−2x
4
f
0
(x )
¤
dx =
4
9
(1).
Theo giả thiết
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx =
4
9
(2).
Từ (1) và (2) ta có thể chọn −2x
4
f
0
(x ) =
£
f
0
(x )
¤
2
⇒ f
0
(x ) =−2x
4
.
Chọn đáp án C ä
Câu 63. Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn [f
0
(x )]
2
+f (x)·f
00
(x ) =2e
x
−4 và f (0) = f
0
(0) =2. Giá trị của f
2
(1)
thuộc khoảng nào sau đây?
A. (6;7). B. (10;11). C. (8;9). D. (9;10).
- Lời giải.
Ta có [f
0
(x )]
2
+ f (x)· f
00
(x ) =2e
x
−4 ⇔[f (x)· f
0
(x )]
0
=(2e
x
−4x)
0
⇔ f (x)· f
0
(x ) =2e
x
−4x +C.
Th.s Nguyễn Chín Em 646 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Thay x =0 ⇒ f (0).f
0
(0) =2e
0
−4·0 +C ⇒C =2.
⇒ f (x)· f
0
(x ) =2e
x
−4x +2
⇒
1
Z
0
f (x) · f
0
(x ) dx =
1
Z
0
(2e
x
−4x +2)dx
⇒
1
Z
0
f (x) d(f (x)) =(2e
x
−2x
2
+2x)
¯
¯
¯
1
0
⇔
f
2
(x )
2
¯
¯
¯
1
0
=2e −1
⇒
1
2
[f
2
(1)− f
2
(0)] =2e −2
⇒ [f
2
(1)− f
2
(0)] =4e −4
⇒ f
2
(1) =4e ∈(10;11).
Chọn đáp án B ä
Câu 64. Tìm f (9), biết rằng
x
2
Z
0
f (t)dt = xcos
(
πx
)
.
A. f (9) =−
1
6
. B. f (9) =
1
6
. C. f (9) =−
1
9
. D. f (9) =
1
9
.
- Lời giải.
Gọi F là một nguyên hàm của f .
Ta có
x
2
Z
0
f (t)dt =F
¡
x
2
¢
−F(0) ⇔ x cos
(
πx
)
=F
¡
x
2
¢
−F(0).
Đạo hàm hai vế, ta được cos
(
πx
)
−xπ sin
(
πx
)
=2xf
¡
x
2
¢
.
Thay x =3 có 2·3· f
¡
3
2
¢
=−3π sin
(
3π
)
+cos
(
3π
)
.
Suy ra f (9) =−
1
6
.
Chọn đáp án A ä
Câu 65. Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn
£
f
0
(x )
¤
2
+f (x)·f
00
(x ) =2e
x
−4 và f (0) = f
0
(0) =2. Giá trị của f
2
(1)
thuộc khoảng nào sau đây?
A. (6;7). B. (10;11). C. (8;9). D. (9;10).
- Lời giải.
Ta có
£
f
0
(x )
¤
2
+ f (x)· f
00
(x ) =2e
x
−4 ⇔
£
f (x) · f
0
(x )
¤
0
=
(
2e
x
−4x
)
0
.
⇔ f (x)· f
0
(x ) =2e
x
−4x +C
Thay x =0 ⇒ f (0).f
0
(0) =2e
0
−4.0+C ⇒C =2.
⇒ f (x)· f
0
(x ) =2e
x
−4x +2 ⇒
Z
1
0
f (x) · f
0
(x ) ·dx =
Z
1
0
¡
2e
x
−4x +2
¢
dx (đổi kí hiệu tích phân cuối).
⇒
Z
1
0
f (x)d(f (x)) =
¡
2e
x
−2x
2
+2x
¢
¯
¯
¯
1
0
⇒
f
2
(x )
2
¯
¯
¯
1
0
=2e −1.
⇒
1
2
£
f
2
(1)− f
2
(0)
¤
=2e −2 ⇒ f
2
(1)− f
2
(0) =4e−4 ⇒ f
2
(1) =4e ∈(10;11).
Chọn đáp án B ä
Câu 66. Tính tích phân I =
1
Z
1
2
e
x+
1
x
µ
x
4
−1
x
3
¶
dx .
Th.s Nguyễn Chín Em 647 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. e
2
+
3
2
e
5
2
. B. e
5
2
−
3
2
e
2
. C. e
2
−
3
2
e
5
2
. D. e
2
+2e
5
2
.
- Lời giải.
Đặt
u =e
x+
1
x
dv =
x
4
−1
x
3
dx
⇒
du =
µ
1−
1
x
2
¶
e
x+
1
x
dx
v =
1
2
µ
x
2
+
1
x
2
¶
.
Suy ra I =
1
2
e
x+
1
x
µ
x
2
+
1
x
2
¶
¯
¯
¯
¯
1
1
2
−
1
2
1
Z
1
2
µ
x
2
+
1
x
2
¶µ
1−
1
x
2
¶
e
x+
1
x
dx
= e
2
−
17
8
e
5
2
−
1
2
1
Z
1
2
µ
x
2
+
1
x
2
¶µ
1−
1
x
2
¶
e
x+
1
x
dx .
Tính J =
1
2
1
Z
1
2
µ
x
2
+
1
x
2
¶µ
1−
1
x
2
¶
e
x+
1
x
dx .
Đặt u = x +
1
x
⇒du =
µ
1−
1
x
2
¶
dx .
Đổi cận x =
1
2
⇒ u =
5
2
, x =1 ⇒ u =2.
J =
1
2
2
Z
5
2
¡
u
2
−2
¢
e
u
du =
1
2
2
Z
5
2
(u
2
−2)d
¡
e
u
¢
=
1
2
¡
u
2
−2
¢
e
u
¯
¯
¯
2
5
2
−
2
Z
5
2
ue
u
du
= e
2
−
17
8
e
5
2
−
2
Z
5
2
u d
¡
e
u
¢
=e
2
−
17
8
e
5
2
−
¡
ue
u
¢
¯
¯
¯
2
5
2
+
2
Z
5
2
e
u
du
= e
2
−
17
8
e
5
2
−2e
2
+
5
2
e
5
2
+e
2
−e
5
2
=−
5
8
e
5
2
.
Vậy I =e
2
−
17
8
e
5
2
+
5
8
e
5
2
=e
2
−
3
2
e
5
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 67. Biết
π
3
Z
0
x
2
dx
(
xsin x +cosx
)
2
= −
aπ
b +cπ
p
3
+d
p
3, với a, b, c, d là các số nguyên dương. Tính P =
a +b +c +d.
A. P =9. B. P =10. C. P =8. D. P =7.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 648 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt
I =
π
3
Z
0
x
2
dx
(
xsin x +cosx
)
2
=
π
3
Z
0
x
2
¡
tan
2
x +1
¢
(
xtan x +1
)
2
dx
=
π
3
Z
0
x
2
tan
2
x +2x tanx +1−2xtan x −2+1 +x
2
(
xtan x +1
)
2
dx
=
π
3
Z
0
·
1−
2
xtan x +1
+
x
2
+1
(
xtan x +1
)
2
¸
dx .
Xét tích phân K =
π
3
Z
0
x
2
+1
(
xtan x +1
)
2
dx
Đặt
u = x
2
+1 ⇒ du =2x dx
dv =
1
(
xtan x +1
)
2
dx ⇒ v =
tan x
xtan x +1
K =
¡
x
2
+1
¢
·
tan x
xtan x +1
¯
¯
¯
¯
π
3
0
−
π
3
Z
0
2x tanx
xtan x +1
dx =
¡
x
2
+1
¢
·
tan x
xtan x +1
¯
¯
¯
¯
π
3
0
−
π
3
Z
0
µ
2−
2
xtan x +1
¶
dx
⇒ I =−
π
3
+
µ
π
2
9
+1
¶
p
3
π
3
·
p
3+1
=
−π +3
p
3
π
p
3+3
=−
4π
3+π
p
3
+
p
3.
⇒a =4;b =3; c =1;d =1 ⇒P =9.
+ Cách khác:
I =
π
3
Z
0
x
2
dx
(
xsin x +cosx
)
2
=
π
3
Z
0
x
cos x
·
xcos x
(
xsin x +cosx
)
2
dx
Đặt:
u =
x
cos x
dv =
xcos x
(
xsin x +cosx
)
2
dx
⇒
du =
cos x +x sin x
cos
2
x
dx
v =−
1
xsin x +cosx
⇒ I =−
x
cos x
·
1
(
xsin x +cosx
)
¯
¯
¯
¯
π
3
0
+
π
3
Z
0
1
cos
2
x
dx =−
π
3
1
2
·
1
π
3
·
p
3
2
+
1
2
+tanx
¯
¯
¯
π
3
0
=−
4π
3+π
p
3
+
p
3
Vậy a =4;b =3; c =1;d =1 suy ra P =9.
Chọn đáp án A ä
Câu 68. Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn
[
0;1
]
thỏa mãn f (1) =
3
5
,
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx =
4
9
và
1
Z
0
x
3
f (x)dx =
37
180
. Tính tích phân
1
Z
0
[
f (x) −1
]
dx .
A.
1
15
. B. −
1
15
. C. −
1
10
. D.
1
10
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 649 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Xét I =
1
Z
0
x
3
f (x)dx =
37
180
. Đặt
u = f (x)
dv = x
3
dx
⇒
du = f
0
(x )dx
v =
x
4
4
.
I =
x
4
4
f (x)
¯
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
x
4
4
f
0
(x )dx ⇔
3
20
−
1
Z
0
x
4
4
f
0
(x )dx =
37
180
⇔2
1
Z
0
2x
4
f
0
(x )dx =−
8
9
.
Lại có:
1
Z
0
¡
2x
4
¢
2
dx =
4
9
.
Suy ra:
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx +2
1
Z
0
2x
4
f
0
(x )dx +
1
Z
0
¡
2x
4
¢
2
dx =
4
9
=
4
9
−
8
9
+
4
9
=0
⇒
1
Z
0
£
f
0
(x ) +2x
4
¤
2
dx =0 ⇒ f
0
(x ) =−2x
4
⇒ f (x) =−
2x
5
5
+C.
Mà f (1) =
3
5
⇒C =1 nên f (x) =−
2x
5
5
+1.
Vậy
1
Z
0
[
f (x) −1
]
dx =
1
Z
0
µ
−
2x
5
5
¶
dx =−
1
15
.
Chọn đáp án B ä
Câu 69. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và f (x)+ f (−x) =cos
2
x,∀x ∈R. Tính I =
π
2
Z
−
π
2
f (x)dx.
A. I =
π
2
+2ln2. B. I =
π
4
. C. I =
3π
4
. D. I =
π
4
+ln2.
- Lời giải.
Ta có I =
π
2
Z
−
π
2
f (x)dx =
0
Z
−
π
2
f (x)dx +
π
2
Z
0
f (x)dx.
Đặt x =−t ⇒ dx =−dt.
Khi x =0 thì t =0, khi x =−
π
2
thì t =
π
2
.
Do đó
I =−
0
Z
π
2
f (−t)dt +
π
2
Z
0
f (x)dx =
π
2
Z
0
f (−t)dt +
π
2
Z
0
f (x)dx
=
π
2
Z
0
f (−x)dx +
π
2
Z
0
f (x)dx =
π
2
Z
0
[
f (−x) + f (x)
]
dx
=
π
2
Z
0
cos
2
xdx =
π
2
Z
0
1+cos2x
2
dx
=
1
2
µ
x +
sin2x
2
¶
¯
¯
¯
π
2
0
=
π
4
.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 650 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 70. Cho hàm số f (x), f (−x) liên tục trên R và thỏa mãn 2f (x)+3f (−x) =
1
4+x
2
. Tính I =
2
Z
−2
f (x)dx.
A.
π
20
. B.
π
10
. C. −
π
20
. D. −
π
10
.
- Lời giải.
Xét I =
2
Z
−2
f (x)dx.
Đặt x =−u ⇒dx =−du.
Với x =−2 ⇒ u =2.
Với x =2 ⇒ u =−2.
Suy ra I =−
−2
Z
2
f (−u)du =
2
Z
−2
f (−u)du =
2
Z
−2
f (−x)dx.
Từ đó ta có 5I =2I +3I =2
2
Z
−2
f (x)dx +3
2
Z
−2
f (−x)dx =
2
Z
−2
1
x
2
+4
dx .
Tính J =
2
Z
−2
1
x
2
+4
dx .
Đặt x =2tanv ⇒dx =2(1 +tan
2
v)dv.
Đổi cận
Với x =−2 ⇒v =−
π
4
.
Với x =2 ⇒v =
π
4
.
Suy ra J =
π
4
Z
−
π
4
1
4tan
2
v +4
·2(1+tan
2
v)dv =
π
4
Z
−
π
4
1
2
dv =
π
4
.
Từ đó suy ra I =
π
20
.
Chọn đáp án A ä
Câu 71. Cho f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [−1;1] và
1
Z
−1
f (x)dx =4. Kết quả
1
Z
−1
f (x)
1+e
x
dx bằng
A. 8. B. 4. C. 2. D.
1
4
.
- Lời giải.
Xét tích phân I =
1
Z
−1
f (x)
1+e
x
dx .
Đặt u =−x, suy ra du =−dx ⇒dx =−du.
Với x =−1 ⇒ u =1.
Với x =1 ⇒ u =−1.
Th.s Nguyễn Chín Em 651 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Suy ra I =−
−1
Z
1
f (−u)
1+e
−u
du =
1
Z
−1
e
u
f (u)
1+e
u
du =
1
Z
−1
e
x
f (x)
1+e
x
dx .
Từ đó suy ra I +I =
1
Z
−1
f (x)
1+e
x
dx +
1
Z
−1
e
x
f (x)
1+e
x
dx =
1
Z
−1
f (x)dx =4 ⇒ I =2.
Chọn đáp án C ä
Câu 72. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f (1) = 1,
1
Z
0
x f (x)dx =
1
5
và
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx =
9
5
. Tính tích phân
1
Z
0
f (x)dx.
A. I =
3
4
. B. I =
1
5
. C. I =
1
4
. D. I =
4
5
.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
x f (x)dx =
1
Z
0
f (x)d
x
2
2
=
x
2
2
f (x)
¯
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
x
2
2
f
0
(x )dx.
Từ đó suy ra
1
Z
0
x
2
2
f
0
(x )dx =
x
2
2
f (x)
¯
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
x f (x)dx =
1
2
−
1
5
=
3
10
. (1)
Ta có
1
Z
0
x
4
dx =
x
5
5
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
5
. (2)
Do
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx =
9
5
nên kết hợp với (1) và (2), ta có
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx −2
1
Z
0
3x
2
· f
0
(x )dx +
1
Z
0
9x
4
dx =
9
5
−
18
5
+
9
5
=0. (3)
Từ (3) ⇒
1
Z
0
£
f
0
(x ) −3x
2
¤
2
dx =0 ⇒ f
0
(x ) =3x
2
⇒ f (x) = x
3
+C.
Theo giả thiết f (1) =1 ⇒1 +C =1 ⇒C =0.
Do đó ta có
1
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
x
3
dx =
x
4
4
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
4
.
Vậy I =
1
Z
0
f (x)dx =
1
4
.
• Lưu ý: Việc tính ra
1
Z
0
x
2
f
0
(x )dx =
3
5
thì chỉ sau một bước tích phân từng phần từ giả thiết
1
Z
0
x f (x)dx =
1
5
.
Tuy nhiên tại sao lại xuất hiện 3x
2
thì ta cần chú ý bài toán tìm k thỏa mãn
1
Z
0
£
f
0
(x ) −kx
2
¤
2
dx =0. (4)
Ta có (4) tương đương với
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx −2
1
Z
0
kx
2
· f
0
(x )dx +
1
Z
0
k
2
x
4
dx =
9
5
−
6k
5
+
k
2
5
=0.
Th.s Nguyễn Chín Em 652 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án C ä
Câu 73. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn f
0
(x ) +2xf (x) = e
−x
2
, ∀x ∈ R và f (0) = 0. Tính
f (1).
A. f (1) =e
2
. B. f (1) =−
1
e
. C. f (1) =
1
e
2
. D. f (1) =
1
e
.
- Lời giải.
Ta có
f
0
(x ) +2x f (x) =e
−x
2
⇔e
x
2
f
0
(x ) +2xe
x
2
f (x) =1
⇔
h
e
x
2
f (x)
i
0
=1
⇔e
x
2
f (x) = x +C
⇔ f (x) =
x +C
e
x
2
Mặt khác f (0) =0 ⇒C =0 ⇒ f (x) =
x
e
x
2
.
Vậy f (1) =
1
e
.
Chọn đáp án D ä
Câu 74. Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) =
xcos x −sinx
x
2
. Hỏi đồ thị của hàm số y = F(x) có bao
nhiêu điểm cực trị trên khoảng
(
0;4π
)
?
A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.
- Lời giải.
Ta có F
0
(x ) = f (x) =
xcos x −sinx
x
2
trên (0;4π).
F
0
(x ) = f (x) =
xcos x −sinx
x
2
=0 ⇔ x cosx −sinx =0 trên (0;4π).
Đặt g(x) = x cosx −sinx trên (0;4π).
Ta có g
0
(x ) =−x ·sin x =0 ⇔
x =π
x =2π
x =3π
trên (0;4π).
Từ đó có bảng biến thiên của g(x):
x
g
0
(x )
g(x)
0
π
2π
3π
4π
−
0
+
0
−
0
+
00
−π−π
2π2π
−3π−3π
4π4π
x
1
0
x
2
0
x
3
0
Vì g(x) liên tục và đồng biến trên [π;2π] và g( π) · g(2π) < 0 nên tồn tại duy nhất x
1
∈ (π;2π) sao cho
g(x
1
) =0.
Tương tự ta có g(x
2
) =0, g(x
3
) =0 với x
2
∈
(
2π;3π
)
, x
3
∈(3π;4π).
Từ bảng biến thiên của g(x) ta thấy g(x) < 0 khi x ∈
(
0; x
1
)
và x ∈ (x
2
; x
3
); g(x) > 0 khi x ∈ (x
1
; x
2
) và
x ∈(x
3
;4π).
Dấu của f (x) là dấu của g(x) trên
(
0;4π
)
. Do đó ta có bảng biến thiên của F(x):
Th.s Nguyễn Chín Em 653 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
x
f (x)
F(x)
0
x
1
x
2
x
3
4π
−
0
+
0
−
0
+
CTCT
CĐCĐ
CTCT
Vậy hàm số y = F(x) có 3 cực trị.
Chọn đáp án C ä
Câu 75. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn f (0) =0. Biết
1
Z
0
f
2
(x )dx =
9
2
và
1
Z
0
f
0
(x ) ·cos
πx
2
dx =
3π
4
. Tích phân
1
Z
0
f (x)dx bằng
A.
6
π
. B.
2
π
. C.
4
π
. D.
1
π
.
- Lời giải.
Đặt
u =cos
πx
2
dv = f
0
(x )dx
⇒
du =−
π
2
·sin
πx
2
dx
v = f (x)
.
Áp dụng tích phân từng phần ta có
1
Z
0
f
0
(x )cos
πx
2
dx = cos
πx
2
· f (x)
¯
¯
¯
1
0
+
π
2
1
Z
0
f (x)sin
πx
2
dx
⇔
3π
4
=
π
2
1
Z
0
f (x)sin
πx
2
dx ⇔
1
Z
0
f (x)sin
πx
2
dx =
3
2
.
Suy ra
1
Z
0
f
2
(x )dx =
9
2
1
Z
0
f (x)sin
πx
2
dx =
3
2
1
Z
0
sin
2
πx
2
dx =
1
2
.
Sử dụng đồng nhất thức ta có
1
Z
0
h
f (x) −k ·sin
πx
2
i
2
dx =0
⇔
1
Z
0
f
2
(x )dx −2k
1
Z
0
f (x)sin
πx
2
dx +k
2
1
Z
0
f
0
(x )sin
2
πx
2
dx =0
⇔
9
2
−2k ·
3
2
+k
2
·
1
2
=0
⇔ k
2
−6k +9 =0 ⇔ k =3.
Vậy
1
Z
0
h
f (x) −3sin
πx
2
i
dx =0 ⇒ f (x) =3sin
πx
2
.
Th.s Nguyễn Chín Em 654 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta được
1
Z
0
f (x)dx =3
1
Z
0
sin
πx
2
dx =
6
π
·
1
Z
0
sin
πx
2
d
³
πx
2
´
=
6
π
·
³
−cos
πx
2
´
¯
¯
¯
1
0
=
6
π
.
Chọn đáp án A ä
Câu 76. Cho hàm số f (x) liên tục và f (3) =21,
3
Z
0
f (x)dx =9. Tính tích phân I =
1
Z
0
x f
0
(3x )dx.
A. I =9. B. I =12. C. I =15. D. I =6.
- Lời giải.
Đặt 3x = t ⇒3dx = dt ⇒ dx =
dt
3
.
Đổi cận:
x =0 ⇒ t =0
x =1 ⇒ t =3
⇒ I =
3
Z
0
t
3
f
0
(t)
dt
3
=
1
9
3
Z
0
x f
0
(x )dx.
Đặt
u = x
dv = f
0
(x )dx
⇒
du = dx
v = f (x).
⇒ I =
1
9
x f (x)
¯
¯
¯
3
0
−
3
Z
0
f (x)dx
=
1
9
(3·21−9) =6.
Chọn đáp án D ä
Câu 77. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn
h
0;
π
2
i
, thỏa mãn
π
2
Z
0
f
0
(x )cos
2
xdx =10 và f (0) =3.
Tích phân
π
2
Z
0
f (x)sin2x dx bằng
A. I =−7. B. I =13. C. I =7. D. I =−13.
- Lời giải.
Đặt
u =cos
2
x
dv = f
0
(x )dx
⇒
du =−sin2xdx
v = f (x).
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có:
10 =
π
2
Z
0
f
0
(x )cos
2
xdx = f (x)·cos
2
x
¯
¯
¯
π
2
0
+
π
2
Z
0
f (x)sin2x dx =−3+
π
2
Z
0
f (x)sin2x dx.
⇒
π
2
Z
0
f (x)sin2x dx =13.
Chọn đáp án B ä
Câu 78. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f (1) = 0,
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx = 7 và
π
2
Z
0
sin
2
x ·cos x f
(
sin x
)
dx =
1
3
. Tính tích phân
1
Z
0
f (x)dx bằng
A.
7
5
. B. 4. C.
7
4
. D. 1.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 655 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Xét tích phân I
1
=
π
2
Z
0
sin
2
x ·cos x f (sin x)dx.
Đặt t =sin x ⇒dt =cos xdx.
Ta có x =0 ⇒ t =0; x =
π
2
⇒ t =1.
Ta có I =
1
Z
0
t
2
f (t)dt =
1
Z
0
x
2
f (x)dx =
1
3
(tính chất không phụ thuộc biến số).
Ta có
1
Z
0
x
2
d(x)dx =
1
3
x
3
f (x)
¯
¯
¯
¯
1
0
−
1
3
1
Z
0
x
3
f
0
(x )dx =
1
3
⇒
1
Z
0
x
3
f
0
(x )dx =−1.
Ta có
1
Z
0
£
f
0
(x ) +7x
3
¤
2
dx =
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx +14
1
Z
0
x
3
f
0
(x )dx +49
1
Z
0
x
6
dx =7−14+7 =0.
Do đó
1
Z
0
£
f
0
(x ) +7x
3
¤
2
dx =0 ⇒ f
0
(x ) +7x
3
=0 ⇔ f
0
(x ) =−7x
3
⇒ f (x) =−
7
4
x
4
+C.
Theo giả thiết f (1) =0 ⇒C =
7
4
⇒
1
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
µ
−
7
4
x
4
+
7
4
¶
dx =
7
5
.
Vậy
1
Z
0
f (x)dx =
7
5
.
Chọn đáp án A ä
Câu 79. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và f (0)+ f (1) =0. Biết
1
Z
0
f
2
(x )dx =
1
2
,
1
Z
0
f
0
(x )cos(πx)dx =
π
2
. Tính
1
Z
0
f (x) x.
A. π. B.
3π
2
. C.
2
π
. D.
1
π
.
- Lời giải.
Đặt
u =cos(πx)
dv = f
0
(x )dx
⇒
du =−πsin(πx)dx
v = f (x).
Ta có
1
Z
0
f
0
(x )cos(πx)dx = f (x)cos(πx)
¯
¯
¯
¯
1
0
+π
1
Z
0
f (x)sin(πx)dx
= −f (1)− f (0)+π
1
Z
0
f (x)sin(πx)dx =
π
2
⇒
1
Z
0
f (x)sin(πx)dx =
1
2
.
Th.s Nguyễn Chín Em 656 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
1
Z
0
[
f (x) −sin(πx)
]
2
dx =
1
Z
0
f
2
(x )dx −2
1
Z
0
f (x)sin(πx)dx +
1
Z
0
sin
2
(πx )dx
=
1
2
−2·
1
2
+
1
Z
0
1−cos(2πx)
2
dx =−
1
2
+
µ
1
2
x −
1
2π
sin(2πx )
¶
¯
¯
¯
¯
1
0
=0 (∗).
Từ
[
f (x) −sin(πx)
]
2
≥0 trên [0;1], kết hợp với (∗), ta có f (x) =sin(πx).
Vậy
1
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
sin(πx ) =−
cos(πx )
π
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
π
+
1
π
=
2
π
.
Chọn đáp án C ä
Câu 80. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn
1
Z
0
x
2
f (x)d x = −
1
21
, f (1) = 0 và
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
d x =
1
7
. Giá trị của
1
Z
0
f (x)d x bằng
A.
5
12
. B. −
1
5
. C.
4
5
. D. −
7
10
.
- Lời giải.
Ta thấy
1
Z
0
x
2
f (x)dx =
x
3
3
· f (x)
¯
¯
¯
1
0
−
1
3
1
Z
0
x
3
· f
0
(x )dx
⇒
1
Z
0
x
3
· f
0
(x )dx =
1
7
.
Ta thấy
1
Z
0
h
£
f
0
(x )
¤
2
−2·x
3
· f
0
(x ) +x
6
i
dx =
1
7
−
2
7
+
1
Z
0
x
6
dx
⇒
1
Z
0
£
f
0
(x ) −x
3
¤
2
dx =0
⇒ f
0
(x ) = x
3
f (1)=0
⇒ f (x) =
x
4
4
−
1
4
⇒
1
Z
0
f (x)d x =−
1
5
.
Cách khác:
Ta có
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
d x =
1
7
1
Z
0
x
3
· f
0
(x )dx =
1
7
⇒
1
Z
0
£
f
0
(x )f
0
(x ) −x
3
¤
d x =0 ⇒ f
0
(x ) = x
3
.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 657 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 81. Biết
12
Z
1
12
µ
1+x −
1
x
¶
e
x+
1
x
dx =
a
b
·e
c
d
, trong đó a, b, c, d là các số nguyên dương và các phân số
a
b
,
c
d
là tối giản. Tính bc −ad.
A. 12. B. 1. C. 24. D. 64.
- Lời giải.
Ta có
12
Z
1
12
µ
1+x −
1
x
¶
e
x+
1
x
dx =
12
Z
1
12
e
x+
1
x
dx +
12
Z
1
12
e
x+
1
x
x
µ
1−
1
x
2
¶
dx .
Đặt I =
12
Z
1
12
e
x+
1
x
dx và J =
12
Z
1
12
e
x+
1
x
x
µ
1−
1
x
2
¶
dx .
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần ta có
u = x
dv =e
x+
1
x
µ
1−
1
x
2
¶
dx
⇒
du = dx
v =e
x+
1
x
.
Khi đó J = xe
x+
1
x
¯
¯
¯
12
1
12
−
12
Z
1
12
e
x+
1
x
dx = x e
x+
1
x
¯
¯
¯
12
1
12
−I ⇒ I + J = xe
x+
1
x
¯
¯
¯
12
1
12
=
143
12
e
145
12
.
Vậy bc −ad =12·145−143·12 =24.
Chọn đáp án C ä
Câu 82. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R, f (0) = 0, f
0
(0) 6= 0 và thỏa mãn hệ thức f (x)f
0
(x ) +
18x
2
=(3x
2
+x)f
0
(x ) +(6x +1)f (x), ∀x ∈ R. Biết
1
Z
0
(x +1)e
f (x)
dx = ae
2
+b, với a,b ∈ Q. Giá trị của a −b
bằng
A. 1. B. 2. C. 0. D.
2
3
.
- Lời giải.
Ta có f (x)f
0
(x ) +18x
2
=(3x
2
+x)f
0
(x ) +(6x +1)f (x)
⇒
·
1
2
f
2
(x ) +6x
3
¸
0
=
£
(3x
2
+x)f (x)
¤
0
⇒
1
2
f
2
(x ) +6x
3
=(3x
2
+x)f (x)+C, với C là hằng số.
Mặt khác, theo giả thiết f (0) =0 nên C =0.
Khi đó
1
2
f
2
(x ) +6x
3
=(3x
2
+x)f (x), ∀x ∈R. Ta có
1
2
f
2
(x ) +6x
3
=(3x
2
+x)f (x) ⇔ f
2
(x ) +12x
3
=(6x
2
+2x)f (x)
⇔
[
f (x) −2x
]
£
f (x) −6x
2
¤
=0 ⇔
f (x) =2x
f (x) =6x
2
.
Với f (x) =6x
2
, ∀x ∈R, ta có f
0
(0) =0 (loại).
Với f (x) =2x, ∀x ∈R, ta có
1
Z
0
(x +1)e
f (x)
dx =
1
Z
0
(x +1)e
2x
dx =
·
(x +1)e
2x
2
¸
¯
¯
¯
¯
1
0
−
1
2
1
Z
0
e
2x
dx =
3
4
e
2
−
1
4
.
Th.s Nguyễn Chín Em 658 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
⇒
a =
3
4
b =−
1
4
⇒a −b =1.
Chọn đáp án A ä
Câu 83. Số điểm cực trị của hàm số f (x) =
x
2
Z
2x
2t
1+t
2
dt là
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
- Lời giải.
Gọi F(t) là nguyên hàm của hàm số y =
2t
1+t
2
.
Khi đó f (x) = F(t)
¯
¯
¯
x
2
2x
=F(x
2
)−F(2x).
⇒ f
0
(x ) =2xF
0
(x
2
)−2F
0
(2x ) =2x ·
2x
2
1+x
4
−2·
4x
1+4x
2
⇔ f
0
(x ) =
8x
5
+4x
3
−8x
(1+x
4
)(1+4x
2
)
.
f
0
(x ) =0 ⇔8x
5
+4x
3
−8x =0 ⇔4x(2x
4
+x
2
−2) =0
⇔
x =0
x
2
=
−1+
p
17
4
x
2
=
−1−
p
17
4
<0
⇔
x =0
x = x
1
=
p
−1+
p
17
2
x = x
2
=−
p
−1+
p
17
2
.
Bảng biến thiên
x
y
0
y
−∞
x
2
0
x
1
+∞
−
0
+
0
−
0
+
+∞+∞
f (x
2
)f (x
2
)
f (0)f (0)
f (x
1
)f (x
1
)
+∞+∞
Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số có 3 điểm cực trị.
Chọn đáp án D ä
Câu 84. Cho hàm số f (x ) liên tục trên R thỏa mãn
π
3
Z
0
tan x f
¡
cos
2
x
¢
dx =
8
Z
1
f (
3
p
x)
x
dx = 6. Tính tích phân
p
2
Z
1
2
f
¡
x
2
¢
x
dx .
A. 7. B. 6. C. 4. D. 10..
- Lời giải.
Đặt t =cos x ⇒ dt =−sin x dx. Đổi cận
x =0 ⇒ t =
1
2
x =
π
3
⇒ t =1
⇒ I =
π
3
Z
0
tan x f
¡
cos
2
x
¢
dx =
1
Z
1
2
f
¡
t
2
¢
t
dt =6.
Đặt t =
6
p
x ⇒ x = t
6
⇒ dx =6t
5
dt. Đổi cận
x =1 ⇒ t =1
x =8 ⇒ t =
p
2.
Th.s Nguyễn Chín Em 659 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
⇒
8
Z
1
f (
3
p
x)
x
dx =
p
2
Z
1
f
¡
t
2
¢
t
6
·6t
5
dt =6
p
2
Z
1
f
¡
t
2
¢
t
dt =6 ⇒
p
2
Z
1
f
¡
t
2
¢
t
dt =1.
Vậy
p
2
Z
1
2
f
¡
x
2
¢
x
dx =
1
Z
1
2
f
¡
x
2
¢
x
dx +
p
2
Z
1
f
¡
x
2
¢
x
dx =6+1 =7.
Chọn đáp án A ä
Câu 85. Cho hàm số y = f (x) là hàm lẻ và liên tục trên [−4;4] biết
0
Z
−2
f (−x)dx = 2 và
2
Z
1
f (−2x)dx = 4.
Tính I =
4
Z
0
f (x)dx.
A. I =−6. B. I =−10. C. I =10. D. I =6.
- Lời giải.
Đặt t =−2x ⇒ dt =−2dx.
Đổi cận x =1 ⇒ t =−2; x =2 ⇒ t =−4.
Do đó 4 =
2
Z
1
f (−2x)dx =−
1
2
−4
Z
−2
f (t)dt =
1
2
−2
Z
−4
f (t)dt ⇒
−2
Z
−4
f (t)dt =8
Lại có f (x) là hàm số lẻ nên f (−x) =−f (x).
Do đó 2 =
0
Z
−2
f (−x)dx =−
0
Z
−2
f (x)dx ⇒
0
Z
−2
f (x)dx =−2.
Nên
0
Z
−4
f (x)dx =
−2
Z
−4
f (x)dx +
0
Z
−2
f (x)dx =8 −2 =6.
Vậy I =
4
Z
0
f (x)dx =−
0
Z
−4
f (x)dx =−6.
Chọn đáp án A ä
Câu 86. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên R thỏa mãn f
0
(x ) − f (x) = (x
2
+1)e
x
2
+2x−1
2
,∀x ∈R và f (1) = e.
Giá trị của f (3) bằng
A. 3e
7
−1. B. 3e
5
−1. C. 3e
7
. D. 3e
5
.
- Lời giải.
Ta có
f
0
(x ) − f (x ) =(x
2
+1)e
x
2
+2x−1
2
⇔
¡
f
0
(x ) − f (x )
¢
e
−x
=(x
2
+1)e
x
2
−1
2
⇔
¡
f (x)e
−x
¢
0
=(x
2
+1)e
x
2
−1
2
.
Lấy nguyên hàm hai vế ta được
f (x)e
−x
=
Z
(x
2
+1)e
x
2
−1
2
dx
=
Z
x
2
e
x
2
−1
2
dx +
Z
e
x
2
−1
2
dx .
Th.s Nguyễn Chín Em 660 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt
u = x
dv = xe
x
2
−1
2
dx
⇒
du =dx
v =e
x
2
−1
2
.
Suy ra
f (x)e
−x
= x e
x
2
−1
2
−
Z
e
x
2
−1
2
dx +
Z
e
x
2
−1
2
dx
= x e
x
2
−1
2
+C.
Do đó f (x)e
−x
= xe
x
2
−1
2
+C.
Với f (1) =e ⇒1 =1+C ⇒C =0.
Vậy f (x) = xe
x
2
+2x−1
2
. Suy ra f (3) =3e
7
.
Chọn đáp án C ä
Câu 87. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng (0;+∞). Biết f (1) = 1 và f (x) = xf
0
(x ) +lnx, ∀x ∈
(0;+∞). Giá trị của f (e) bằng
A. e. B. 1. C. 2. D.
1
e
.
- Lời giải.
Xét x ∈(0;+∞). Ta có
f (x) = x f
0
(x ) +ln x ⇔
x f
0
(x ) − f (x )
x
2
=−
ln x
x
2
⇔
µ
f (x)
x
¶
0
=−
ln x
x
2
.
Từ đó suy ra
e
Z
1
µ
f (x)
x
¶
0
dx =
e
Z
1
ln x d
µ
1
x
¶
⇔
f (e)
e
−
f (1)
1
=
1
x
·lnx
¯
¯
¯
¯
e
1
−
e
Z
1
1
x
2
dx
⇔
f (e)
e
−1 =
1
e
+
1
e
−1 ⇔ f (e) =2.
Chọn đáp án C ä
Câu 88. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn 2f (x)− f (1−x ) =
p
1−x
2
, ∀x ∈[0;1]. Tích
phân
1
Z
0
f (x)dx bằng
A.
π
4
. B.
π
8
. C.
π
12
. D.
π
6
.
- Lời giải.
Xét x ∈[0;1]. Ta có
2f (x)− f (1−x) =
p
1−x
2
. (1)
Thay x bởi 1 −x, ta được
2f (1−x) − f (x) =
p
2x −x
2
. (2)
Từ (1) và (2), suy ra
f (x) =
2
3
·
p
1−x
2
+
1
3
·
p
2x −x
2
.
Vậy
1
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
µ
2
3
·
p
1−x
2
+
1
3
·
p
2x −x
2
¶
dx =
π
4
.
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 661 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 89. Cho hàm số f (x) xác định và có đạo hàm f
0
(x ) liên tục trên đoạn [1;3], f (x ) 6=0 với mọi x ∈[1;3],
đồng thời
f
0
(x )(1 + f (x ))
2
=[(f (x))
2
(x −1)]
2
và f (1) =−1.
Biết rằng
Z
3
1
f (x)dx =a ln3+b (a ∈Z, b ∈Z), tính tổng S = a +b
2
.
A. S =2. B. S =−1. C. S =4. D. S =0.
- Lời giải.
Ta có
f
0
(x )(1 + f (x ))
2
=[(f (x))
2
(x −1)]
2
⇔ (x −1)
2
=
f
0
(x )
(
1+ f (x)
)
2
(
f (x)
)
4
⇔
Z
f
0
(x )
(
1+ f (x)
)
2
(
f (x)
)
4
dx =
Z
(x −1)
2
dx
⇔
Z
µ
1
(f (x))
2
+
2
(f (x))
3
+
1
(f (x))
4
¶
d(f (x)) =
1
3
(x −1)
3
+C
⇔ −
1
f (x)
−
1
(f (x))
2
−
1
3(f (x))
3
=
1
3
(x −1)
3
+C, do f (1) =−1 ⇒C =
1
3
⇔ −
1
f (x)
−
1
(f (x))
2
−
1
3(f (x))
3
=
1
3
(x −1)
3
+
1
3
⇔
1
(f (x))
3
+
3
(f (x))
2
+
3
f (x)
=−(x −1)
3
−1
⇔
µ
1
f (x)
+1
¶
3
=(1 −x)
3
⇔
1
f (x)
=−x
⇔ f (x) =−
1
x
⇔
Z
3
1
f (x)dx =
Z
3
1
µ
−
1
x
¶
dx =−ln|x|
¯
¯
¯
3
1
=−ln3.
Vậy S = a +b
2
=−1 +0
2
=−1.
Chọn đáp án B ä
Câu 90.
Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = f
0
(x ) trên [−5;3]
như hình vẽ bên (phần cong của đồ thị là một phần của parabol
y = ax
2
+bx+c ). Biết f (0) =0, giá trị của 2f (−5)+3f (2) bằng
A. 33. B.
109
3
. C.
35
3
. D. 11.
x
y
O
−5
−4 −1 1 2
3
4
3
2
−1
- Lời giải.
Dựa vào đồ thị đã cho ta tính được f
0
(x ) =
3x +14 nếu −5 ≤ x ≤−4
−
2
3
x −
2
3
nếu −4 ≤ x ≤−1
−x
2
+2x +3 nếu x ≥−1.
Ta có
f (−4)− f (−5) =
−4
Z
−5
f
0
(x )dx =
−4
Z
−5
(3x +14)dx =
1
2
. Suy ra f (−4)− f (−5) =−
1
2
. (1)
Th.s Nguyễn Chín Em 662 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
f (−1)− f (−4) =
−1
Z
−4
f
0
(x )dx =
−1
Z
−4
µ
−
2
3
x −
2
3
¶
dx =3. Suy ra f (−1)− f (−4) =3. (2)
Từ (1) và (2) ta có f (−1)− f (−5) =
7
2
. (3)
Mặt khác,
f (0)− f (−1) =
0
Z
−1
f
0
(x )dx =
0
Z
−1
(−x
2
+2x +3)dx =
5
3
. Suy ra f (0)− f (−1) =
5
3
. (4)
f (2)− f (0) =
2
Z
0
f
0
(x )dx =
2
Z
0
(−x
2
+2x +3)dx =
22
3
. Suy ra f (2)− f (0) =
22
3
. (5)
Mà f (0) =0, từ (4) và (5) suy ra f (−1) =−
5
3
, f (2) =
22
3
.
Do đó, từ (3) suy ra f (−5) = f (−1)−
7
2
=−
5
3
−
7
2
=−
31
6
.
Vậy 2f (−5)+3f (2) =2·
µ
−
31
6
¶
+3·
22
3
=
35
3
.
Chọn đáp án C ä
Câu 91. Cho hàm số y = f (x) nhận giá trị dương và có đạo hàm f
0
(x ) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn
f (1) =2018f (0). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
1
Z
0
1
[f (x)]
2
dx+
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx bằng 2lna. Tính a+1.
A. 2019. B.
2
3
. C.
6
5
. D.
3
5
.
- Lời giải.
Ta có
M =
1
Z
0
·
1
[f (x)]
2
+
£
f
0
(x )
¤
2
¸
dx ≥
1
Z
0
2
f
0
(x )
f (x)
dx =2ln f (x)
¯
¯
¯
1
0
=2ln
f (1)
f (0)
=2ln2018.
Vậy a +1 =2019.
Chọn đáp án A ä
Câu 92. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f
0
(x ) liên tục trên [0;1] và thỏa mãn f (1) = 0;
£
f
0
(x )
¤
2
+12x f (x) =
21x
4
−12x, ∀x ∈[0;1]. Tính giá trị của I =
1
Z
0
f (x)dx.
A. I =−
3
4
. B. I =−
1
4
. C. I =
1
2
. D. I =
1
4
.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
x f (x)dx =−
1
2
1
Z
0
x
2
f
0
(x )dx.
Do vậy, ta thấy
1
Z
0
h
£
f
0
(x )
¤
2
+12x f (x)
i
dx =
1
Z
0
¡
21x
4
−12x
¢
dx
⇒
1
Z
0
£
f
0
(x ) −3x
2
¤
2
dx =
1
Z
0
¡
30x
4
−12x
¢
dx
Th.s Nguyễn Chín Em 663 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
⇒
1
Z
0
£
f
0
(x ) −3x
2
¤
2
dx =0
⇒ f
0
(x ) =3x
2
⇒ f (x) = x
3
−1.
Ta được I =
1
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
¡
x
3
−1
¢
dx =−
3
4
.
Chọn đáp án A ä
Câu 93. Cho biết hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên [0;3] và có f (3) = 4; thỏa mãn điều kiện
¡
f
0
(x )
¢
2
=8x
2
−20−4f (x). Tính f (6).
A. f (6) =8. B. f (6) =36. C. f (6) =31. D. f (6) =41.
- Lời giải.
Lấy tích phân hai vế của giả thiết, cận từ 0 đến 3 ta được
3
Z
0
¡
f
0
(x )
¢
2
dx =
3
Z
0
¡
8x
2
−20−4f (x)
¢
dx
⇔
3
Z
0
¡
f
0
(x )
¢
2
dx =
3
Z
0
¡
8x
2
−20
¢
dx −4
3
Z
0
f (x)dx
⇔
3
Z
0
¡
f
0
(x )
¢
2
dx =
µ
8x
3
3
−20x
¶
¯
¯
¯
¯
3
0
−4·I với I =
3
Z
0
f (x)dx
⇔
3
Z
0
¡
f
0
(x )
¢
2
dx =12−4·I (∗)
Đối với I =
3
Z
0
f (x)dx, đặt
u = f (x)
dv = dx
⇒
du = f
0
(x )dx
v = x.
Suy ra I = x f (x)
¯
¯
¯
3
0
−
3
Z
0
x f
0
(x )dx =3f (3)−
3
Z
0
x f
0
(x )dx =12 −
3
Z
0
x f
0
(x )dx.
Thay vào (∗), ta được
3
Z
0
¡
f
0
(x )
¢
2
dx =−36+4
3
Z
0
x f
0
(x )dx.
⇔
3
Z
0
¡
f
0
(x )
¢
2
dx −4
3
Z
0
x f
0
(x )dx +36 =0
⇔
3
Z
0
¡
f
0
(x )
¢
2
dx −4
3
Z
0
x f
0
(x )dx +
3
Z
0
4x
2
dx =0
⇔
3
Z
0
¡
f
0
(x ) −2x
¢
2
dx =0 ⇔ f
0
(x ) −2x =0 ⇔ f
0
(x ) =2x ⇔ f (x) = x
2
+C.
Mà f (3) =4 ⇒4 =9+C ⇔C =−5 ⇒ f (x) = x
2
−5 ⇒ f (6) =31.
Chọn đáp án C ä
Th.s Nguyễn Chín Em 664 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 94. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [1;4] và thỏa mãn f (x) =
f (2
p
x −1)
p
x
+
4ln x
x
. Tính tích phân
I =
4
Z
3
f (x)dx.
A. I =4ln
2
2. B. I =8ln
2
2. C. I =8ln2. D. I =4+2ln
2
2.
- Lời giải.
Lấy tích phân hai vế từ 1 đến 4, ta được
4
Z
1
f (x)dx =
4
Z
1
f
¡
2
p
x −1
¢
p
x
dx +
4
Z
1
4ln x
x
dx =
4
Z
1
f
¡
2
p
x −1
¢
d
¡
2
p
x −1
¢
+4
4
Z
1
ln x d
(
ln x
)
.
Do I
1
=
4
Z
1
f
¡
2
p
x −1
¢
d
¡
2
p
x −1
¢
=
3
Z
1
f (x)dx nên ta có
4
Z
1
f (x)dx =
3
Z
1
f (x)dx +2ln
2
x
¯
¯
¯
4
1
⇒
4
Z
3
f (x)dx =2ln
2
4 =8ln
2
2.
Chọn đáp án B ä
Câu 95.
Cho hàm số y = f (x) là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. Biết
4
Z
1
x · f
00
(x −1)dx = 7 và
2
Z
1
2x · f
0
(x
2
−1)dx = −3. Phương trình tiếp
tuyến với đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm có hoành độ x =3 là
A. y = x −4. B. y =
1
2
x −
5
2
.
C. y =2x −7. D. y =3x −10.
x
y
O
2
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
2x · f
0
(x
2
−1)dx =
2
Z
1
·f
0
(x
2
−1)d(x
2
−1) = f (x
2
−1)
¯
¯
2
1
= f (3) − f (0).
Do đó f (3)− f (0) =−3.
Từ đồ thị hàm số y = f (x) ta có f (0) =2 nên suy ra f (3) =−1.
Xét I =
4
Z
1
x · f
00
(x −1)dx =7.
Đặt
u = x
dv = f
00
(x −1)dx
⇒
du = dx
v = f
0
(x −1)
. Do đó
I = x f
0
(x −1)
¯
¯
4
1
−
4
Z
1
f
0
(x −1)dx
= x f
0
(x −1)
¯
¯
4
1
− f (x −1)
|
4
1
= 4f
0
(3)−
(
f (3)− f (0)
)
= 4f
0
(3)+3.
Suy ra 4f
0
(3)+3 =7 ⇒ f
0
(3) =1.
Th.s Nguyễn Chín Em 665 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x ) tại điểm có hoành độ x =3 là
y − f (3) = f
0
(3)(x −3) ⇔ y +1 =1(x −3) ⇔ y = x −4.
Chọn đáp án A ä
Câu 96. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [0;1]. Biết rằng ba số
1
Z
0
(f (x))
2018
dx ,
1
Z
0
(f (x))
2019
dx ,
1
Z
0
(f (x))
2020
dx
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Giá trị của biểu thức
1
R
0
£
(f (x))
2
+(1− f (x))
2
¤
dx bằng
A. 4. B. 0. C. 1. D. 9.
- Lời giải.
Theo giả thiết ta có
1
Z
0
(f (x))
2018
dx +
1
Z
0
(f (x))
2020
dx =2
1
Z
0
(f (x))
2019
dx
⇔
1
Z
0
(f (x))
2018
·(1− f (x))
2
dx =0.
Do (f (x))
2018
·(1− f (x))
2
liên tục, không âm trên đoạn [0;1] nên f (x ) ·(1− f (x)) =0, ∀x ∈[0;1].
Vậy
1
Z
0
¡
f (x))
2
+(1− f (x)
¢
2
dx =
1
Z
0
[
1−2f (x)(1− f (x))
]
dx =
1
Z
0
1 dx =1.
Chọn đáp án C ä
Câu 97. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên R thỏa mãn 4f
3
(x ) + f (x) = x,∀x ∈ R. Giá tr ị của
1
Z
0
f (x)dx
bằng
A. 0. B.
1
2
. C.
5
16
. D. -
1
2
.
- Lời giải.
Đặt t = f (x) ⇒4t
3
+t = x ⇒
¡
12t
2
+1
¢
dt =dx.
Đổi cận
Với x =0 ⇒ t =0.
Với x =1 ⇒ t =
1
2
.
Ta có
1
Z
0
f (x)dx =
1
2
Z
0
t
¡
12t
2
+1
¢
dt =
1
2
Z
0
¡
12t
3
+t
¢
dt =
µ
3t
4
+
1
2
t
2
¶
¯
¯
¯
¯
1
2
0
=
5
16
.
Chọn đáp án C ä
Câu 98. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f
00
(x ) · f
2
(x ) +2[f
0
(x )]
2
· f (x) = 2x −3, ∀x ∈ R; f (0) = f
0
(0) = 1. Tính
giá trị P = f
3
(2).
A. P =−3. B. P =−
11
3
. C. P =−
23
3
. D. P =−6.
Th.s Nguyễn Chín Em 666 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Xét
Z
f
00
(x ) · f
2
(x )dx. Đặt
u = f
2
(x )
dv = f
00
(x )dx
⇒
du =2f
0
(x ) · f (x)dx
v = f
0
(x )
. Khi đó
Z
f
00
(x ) · f
2
(x )dx = f
0
(x ) · f
2
(x ) −
Z
2[f
0
(x )]
2
· f (x)dx
⇒ f
0
(x ) · f
2
(x ) =
Z
f
00
(x ) · f
2
(x )dx +2
Z
[f
0
(x )]
2
· f (x)dx
=
Z
[f
00
(x ) · f
2
(x ) +2[f
0
(x )]
2
· f (x)]dx
⇒ f
0
(x ) · f
2
(x ) =
Z
(2x −3)dx = x
2
−3x +C.
Chọn x =0 ⇒ C =1 ⇒ f
0
(x ) · f
2
(x ) = x
2
−3x +1 ⇒
1
3
f
3
(x ) =
x
3
3
−
3x
2
2
+x +C.
Với x =0 thì C =
1
3
. Vậy f
3
(x ) = x
3
−
9
2
x
2
+3x +1. Do đó f
3
(2) =−3.
Chọn đáp án A ä
Câu 99. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên R thỏa mãn f
0
(x )−2018f (x) =2018·x
2017
·e
2018x
với mọi x ∈R;
f (0) =2018. Giá trị của f (1) là
A. f (1) =2018 ·e
−2018
. B. f (1) =2019 ·e
−2018
. C. f (1) =2018 ·e
2018
. D. f (1) =2019 ·e
2018
.
- Lời giải.
Ta có
f
0
(x ) −2018f (x) =2018·x
2017
·e
2018x
⇔ e
−2018x
£
f
0
(x ) −2018· f (x)
¤
=2018x
2017
⇔
£
e
−2018x
· f (x)
¤
0
=2018x
2017
⇒
1
Z
0
£
e
−2018x
· f (x)
¤
0
dx =
1
Z
0
2018x
2017
dx
⇒ e
−2018x
· f (x)
¯
¯
1
0
= x
2018
¯
¯
1
0
⇒ e
−2018
· f (1)− f (0) =1 ⇒ f (1) =e
2018
·
[
1+ f (0)
]
=2019 ·e
2018
.
Chọn đáp án D ä
Câu 100. Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [0;5] thỏa mãn
5
Z
0
x f
0
(x )e
f (x)
dx =8, f (5) =ln5.
Tính I =
5
Z
0
e
f (x)
dx .
A. −33. B. 33. C. 17. D. −17.
- Lời giải.
Ta có
5
Z
0
x f
0
(x )e
f (x)
dx =
5
Z
0
xd
³
e
f (x)
´
= xe
f (x)
¯
¯
¯
5
0
−
5
Z
0
e
f (x)
dx .
Kết hợp với giả thiết ta có
5
Z
0
e
f (x)
dx = xe
f (x)
¯
¯
¯
5
0
−
5
Z
0
x f
0
(x )e
f (x)
dx =5e
f (5)
−8 =25−8 =17.
Th.s Nguyễn Chín Em 667 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Vậy
5
Z
0
e
f (x)
dx =17.
Chọn đáp án C ä
Câu 101. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn
[
−1;1
]
và f (−x)+2019f (x) =e
x
,∀x ∈
[
−1;1
]
(1). Tính tích
phân I =
1
Z
−1
f (x)dx.
A. I =
e
2
−1
e
. B. I =
e
2
−1
2020e
. C. I =0 . D. I =
e
2
−1
2019e
.
- Lời giải.
Trong tích phân I ta đặt t =−x ⇒ dt =−dx. Nên I =
−1
Z
1
f (−t)(−dt) =
1
Z
−1
f (−x)dx.
Do đó I =
1
2
1
Z
−1
³
f (x) + f (−x)
´
dx .
Với phép đặt đó thì đẳng thức (1) trở thành f (x)+2019f (−x) =e
−x
,∀x ∈
[
−1;1
]
(2).
Cộng vế theo vế các đẳng thức (1) và (2) ta được f (x)+ f (−x) =
1
2020
(e
x
+e
−x
).
Do đó I =
1
4040
1
Z
−1
³
e
x
+e
−x
)dx =
1
4040
h
e
x
+e
−x
i
¯
¯
¯
1
−1
=
e
2
−1
2020e
.
Chọn đáp án B ä
Câu 102. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên đoạn [0;3], thỏa mãn
f (3−x)f (x) =1
f (x) 6=1
với mọi x ∈[0;3]
và f (0) =
1
2
. Tính tích phân I =
3
Z
0
x f
0
(x )
[
1+ f (3−x)
]
2
[
f (x)
]
2
dx .
A. I =
3
2
. B. I =
1
2
. C. I =1. D. I =
5
2
.
- Lời giải.
Từ giả thiết
f (3−x)f (x) =1
f (0) =
1
2
⇒ f (3) =2.
Do f (3 −x)f (x) =1 nên
[
1+ f (3−x)
]
2
[
f (x)
]
2
=
[
f (x) +1
]
2
.
Khi đó ta được
I =
3
Z
0
x f
0
(x )
[
1+ f (x)
]
2
dx =−
3
Z
0
xd
µ
1
1+ f (x)
¶
= −
x
1+ f (x)
¯
¯
¯
¯
3
0
+
3
Z
0
1
1+ f (x)
dx =−1+J.
Tính J =
3
Z
0
1
1+ f (x)
dx .
Đặt t =3−x ⇒dt =−dx.
Đổi cận x =0 ⇒ t =3 và x =3 ⇒ t =0.
Khi đó, J =−
0
Z
3
1
1+ f
(
3−t
)
dt =
3
Z
0
1
1+ f
(
3−t
)
dt =
3
Z
0
1
1+ f (3−x)
dx .
Suy ra 2J =
3
Z
0
1
1+ f (x)
dx +
3
Z
0
1
1+ f (3−x)
dx =
3
Z
0
1
1+ f (x)
dx +
3
Z
0
f (x)
1+ f (x)
dx =
3
Z
0
dx =3.
Th.s Nguyễn Chín Em 668 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Do đó J =
3
2
.
Vậy I =−1+
3
2
=
1
2
.
Chọn đáp án B ä
Câu 103. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn f (x) −2f
³
π
2
−x
´
= x sin2x, ∀x ∈ R. Tích phân
π
2
Z
0
f (x)dx bằng
A.
π
4
. B. −
π
4
. C.
π
12
. D. 0.
- Lời giải.
π
2
Z
0
f (x)dx =
π
2
Z
0
³
xsin2x +2f
³
π
2
−x
´´
dx
=
π
2
Z
0
xsin2xdx +2
π
2
Z
0
f
³
π
2
−x
´
dx
=
π
4
−2
π
2
Z
0
f
³
π
2
−x
´
d
³
π
2
−x
´
=
π
4
−2
0
Z
π
2
f (t)dt
=
π
4
+2
π
2
Z
0
f (t)dt.
Suy ra
−
π
2
Z
0
f (x)dx =
π
4
⇔
π
2
Z
0
f (x)dx =−
π
4
.
Chọn đáp án B ä
Câu 104. Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn [1;4], f (1) =
1
3
, f
0
(1) =
2
5
và thỏa mãn
2f
0
(x ) +x f
00
(x ) =
p
x,∀x ∈[1;4]. Tính I =
4
Z
1
f (x)dx.
A. I =
139
75
. B. I =
213
25
. C. I =
263
75
. D. I =
119
25
.
- Lời giải.
Ta có (x
2
f
0
(x ))
0
=2xf
0
(x ) +x
2
f
00
(x ) = x(2f
0
(x ) +x f
00
(x )) = x
p
x.
⇒ x
2
f
0
(x ) =
Z
x
p
xdx =
Z
x
3
2
dx =
2
5
x
5
2
+C.
⇒ f
0
(1) =
2
5
+C ⇒
2
5
=
2
5
+C ⇒C =0.
⇒ x
2
f
0
(x ) =
2
5
x
5
2
⇒ f
0
(x ) =
2
5
x
1
2
.
⇒ f (x) =
Z
2
5
x
1
2
dx =
4
15
x
3
2
+C.
⇒ f (1) =
4
15
+C ⇒
1
3
=
4
15
+C ⇒C =
1
15
.
Th.s Nguyễn Chín Em 669 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
⇒ f (x) =
4
15
x
3
2
+
1
15
.
Vậy I =
4
Z
1
µ
4
15
x
3
2
+
1
15
¶
dx =
µ
8
75
x
5
2
+
1
15
x
¶
¯
¯
¯
4
1
=
92
25
−
13
75
=
263
75
.
Chọn đáp án C ä
Câu 105. Biết I =
2
Z
1
x(1+e
x
)+lnx +1
(
xln x +e
x
)
2
dx =
a
b ln2+e
c
+
2
e
với a, b, c là các số nguyên. Tính P = a +b +
c.
A. P =3. B. P =6. C. P =1. D. P =7.
- Lời giải.
Ta có
I =
2
Z
1
x(1+e
x
)+lnx +1
(
xln x +e
x
)
2
dx =−
2
Z
1
d
µ
x +1
xln x +e
x
¶
=−
x +1
xln x +e
x
¯
¯
¯
2
1
=
−3
2ln2 +e
2
+
2
e
.
Suy ra a =−3,b = c =2. Vậy
P = a +b +c =−3+2+2 =1.
Chọn đáp án C ä
Câu 106. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên
h
0;
π
2
i
thỏa mãn f
³
π
2
´
= 0,
π
2
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx =
π
4
,
π
2
Z
0
cos x f (x)dx =
π
4
. Tính tích phân
π
2
Z
0
f (x)dx.
A. 2. B. −1. C. 1. D.
π
4
.
- Lời giải.
Đặt
u = f (x)
dv =cos x dx
⇒
du = f
0
(x )dx
v =sin x.
π
2
Z
0
cos x f (x)dx =sin x f (x)
¯
¯
¯
π
2
0
−
π
2
Z
0
sin x f
0
(x )dx =
π
4
⇒
π
2
Z
0
sin x f
0
(x )dx =−
π
4
.
Ta có
π
2
Z
0
sin
2
xdx =
π
4
. Suy ra
π
2
Z
0
³
£
f
0
(x )
¤
2
+2sin x f
0
(x ) +sin
2
x
´
dx =0.
Đẳng thức trên tương đương với
π
2
Z
0
£
f
0
(x ) +sin x
¤
2
dx =0.
Mà
π
2
Z
0
£
f
0
(x ) +sin x
¤
2
dx Ê0 nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f
0
(x ) =−sin x.
Suy ra f (x) =
Z
−sin x dx =cos x +C.
Vì f
³
π
2
´
=0 nên C =0.
Vậy
π
2
Z
0
f (x)dx =
π
2
Z
0
cos x dx =1.
Chọn đáp án C ä
Th.s Nguyễn Chín Em 670 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 107. Cho hàm số f (x ) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên [0;2]. Biết f (0) = 1 và f (x) · f (2 −
x) = e
2x
2
−4x
, với mọi x ∈[0;2]. Tính tích phân
2
Z
0
(x
3
−3x
2
)f
0
(x )
f (x)
dx .
A. I =−
16
3
. B. I =−
16
5
. C. I =−
14
3
. D. I =−
32
5
.
- Lời giải.
Có f (x)· f (2−x) = e
2x
2
−4x
, thay x =0 ta được f (0)· f (2) =1 ⇒ f (2) =
1
f (0)
=1.
I =
2
Z
0
(x
3
−3x
2
)f
0
(x )
f (x)
dx = (x
3
−3x
2
)ln f (x)
¯
¯
2
0
−
2
Z
0
ln f (x)d(x
3
−3x
2
)
= −4ln f (2)−
2
Z
0
(3x
2
−6x)ln f (x)dx =−
2
Z
0
(3x
2
−6x)ln f (x)dx.
Xét A =
2
Z
0
(3x
2
−6x)ln f (x)dx.
Đặt x =2−t, suy ra
dx =−dt
3x
2
−6x =3(2 −t)
2
−6(2−t) =12−12t +3t
2
−12+6t =3t
2
−6t.
A =
2
Z
0
(3x
2
−6x)ln f (x)dx =−
0
Z
2
(3t
2
−6t)ln f (2−t)dt
=
2
Z
0
(3t
2
−6t)ln f (2−t)dt =
2
Z
0
(3x
2
−6x)ln f (2−x)dx.
Lại có f (x)· f (2−x) = e
2x
2
−4x
⇒ f (2 −x) =
e
2x
2
−4x
f (x)
⇒ln f (2−x) =2x
2
−4x −ln f (x).
Nên A =
2
Z
0
(3x
2
−6x)(2x
2
−4x −ln f (x))dx.
Suy ra
2A =
2
Z
0
(3x
2
−6x)(2x
2
−4x)dx =
2
Z
0
(6x
4
−12x
3
−12x
3
+24x
2
)dx
=
2
Z
0
(6x
4
−24x
3
+24x
2
)dx =
32
5
⇒ A =
16
5
.
Vậy I =−
16
5
.
Chọn đáp án B ä
Câu 108. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f (1) = 1,
1
Z
0
[f
0
(x )]
2
dx =
9
5
và
1
Z
0
f
¡
p
x
¢
dx =
2
5
. Tính tích phân
1
Z
0
f (x)dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 671 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A.
3
4
. B.
1
5
. C.
1
4
. D.
3
5
.
- Lời giải.
Đặt u =
p
x ⇒ u
2
= x ⇒2udu =dx. Do đó
1
Z
0
f
¡
p
x
¢
dx =
1
Z
0
2u f
(
u
)
du.
Suy ra
1
Z
0
2u f
(
u
)
du =
2
5
⇒
1
Z
0
2x f
(
x
)
dx =
2
5
.
Đặt
u = f (x)
dv =2xdx
⇒
du = f
0
(x )dx
v = x
2
dx .
2
5
=
1
Z
0
2x f
(
x
)
dx = x
2
f (x)
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
x
2
f
0
(
x
)
dx =1−
1
Z
0
x
2
f
0
(
x
)
dx ⇒
1
Z
0
x
2
f
0
(
x
)
dx =
3
5
.
Ta có
9
25
=
1
Z
0
x
2
f
0
(
x
)
dx
2
≤
1
Z
0
x
4
dx ·
1
Z
0
¡
f
0
(
x
)
¢
2
dx =
9
25
.
Dấu bằng xảy ra khi f
0
(x ) = kx
2
. Mặt khác
1
Z
0
x
2
f
0
(
x
)
dx =
3
5
⇒ k =3.
Vậy f
0
(x ) =3x
2
, f (x) = x
3
+C, f (1)1 nên C =0. Vậy f (x) = x
3
.
1
Z
0
f
(
x
)
dx =
1
4
.
Chọn đáp án C ä
Câu 109. Cho hàm số f (x) xác định trên đoạn
h
0;
π
2
i
thỏa mãn
π
2
Z
0
h
f
2
(x ) −2
p
2f (x)sin
³
x −
π
4
´i
dx =2−
π
2
. Tính
π
2
Z
0
f (x)dx.
A.
π
4
. B. 1. C. 0. D.
π
2
.
- Lời giải.
Ta có
π
2
Z
0
h
f
2
(x ) −2
p
2f (x)sin
³
x −
π
4
´i
dx =
2−π
2
⇔
π
2
Z
0
h
f
2
(x ) −2
p
2f (x)sin
³
x −
π
4
´
+2sin
2
³
x −
π
4
´i
dx =
2−π
2
+
π
2
Z
0
2sin
2
³
x −
π
4
´
dx
⇔
π
2
Z
0
h
f (x) −
p
2sin
³
x −
π
4
´i
2
dx =
2−π
2
+
π
2
Z
0
2sin
2
³
x −
π
4
´
dx .
Mặt khác ta có
2−π
2
+
π
2
Z
0
2sin
2
³
x −
π
4
´
dx =
2−π
2
+
π
2
Z
0
³
1−cos(2x −
π
2
)
´
dx =0.
Vậy
π
2
Z
0
h
f (x) −
p
2sin
³
x −
π
4
´i
2
dx =0 ⇔ f (x) =
p
2sin
³
x −
π
4
´
=0.
Th.s Nguyễn Chín Em 672 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Nên ta có
π
2
Z
0
f (x)dx =
π
2
Z
0
p
2sin
³
x −
π
4
´
dx =−
p
2cos
³
x −
π
4
´
¯
¯
¯
π
2
0
=0.
Chọn đáp án C ä
Câu 110. Biết
2
Z
1
dx
p
x +1
p
x +2
= ln
³
a
p
6+b
p
3+c
p
2+d
´
với a,b, c,d là các số nguyên. Tính P = a +
b +c +d.
A. P =45. B. P =65. C. P =93. D. P =17.
- Lời giải.
Đặt u =
…
x +2
x +1
ta có u
2
=
x +2
x +1
=1 +
1
x +1
nên
x +1 =
1
u
2
−1
dx =−
2u
(u
2
−1)
2
du.
Đổi cận x =1 thì u =
…
3
2
, x =2 thì u =
…
4
3
.
Ta có
2
Z
1
dx
p
x +1
p
x +2
=
2
Z
1
dx
(x +1)
…
x +2
x +1
=
»
4
3
Z
»
3
2
−
2u
(u
2
−1)
2
du
1
u
2
−1
·u
=
»
4
3
Z
»
3
2
−2du
u
2
−1
=
»
4
3
Z
»
3
2
µ
1
u +1
−
1
u −1
¶
du
=
(
ln(u +1)−ln(u −1)
)
¯
¯
¯
»
4
3
»
3
2
=ln
(2+
p
3)(
p
3−
p
2)
(2−
p
3)(
p
3+
p
2)
=ln(2 +
p
3)
2
(
p
3−
p
2)
2
=ln(−14
p
6+20
p
3−24
p
2+35).
Vậy a +b +c +d =17.
Chọn đáp án D ä
Câu 111. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn
·
1
2
;2
¸
và thỏa mãn f (x)+2f
µ
1
x
¶
=3x, ∀x ∈R
∗
. Tính tích
phân I =
2
Z
1
2
f (x)
x
dx .
A. I =
3
2
. B. I =
5
2
. C. I =4ln2−
15
8
. D. I =4ln2+
15
8
.
- Lời giải.
Đặt x =
1
t
⇒dx =−
1
t
2
dt.
Đổi cận: x =
1
2
⇒ t =2, x =2 ⇒ t =
1
2
.
Khi đó I =
2
Z
1
2
f (x)
x
dx =
1
2
Z
2
f
µ
1
t
¶
·t ·
µ
−
1
t
2
¶
dt =
2
Z
1
2
f
µ
1
t
¶
t
dt =
2
Z
1
2
f
µ
1
x
¶
x
dx .
Th.s Nguyễn Chín Em 673 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có f (x) +2f
µ
1
x
¶
=3x ⇔
f (x) +2f
µ
1
x
¶
x
=3
⇒
2
Z
1
2
f (x) +2f
µ
1
x
¶
x
dx =
2
Z
1
2
3dx ⇒
2
Z
1
2
3f
µ
1
x
¶
x
dx =
9
2
⇒
2
Z
1
2
f
µ
1
x
¶
x
dx =
3
2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 112. Cho hàm số f (x) xác định và có đạo hàm trên khoảng (0;+∞) đồng thời thỏa mãn điều kiện
f (1) =1+e; f (x) =e
1
x
+x f
0
(x ) ∀x ∈(0;+∞). Giá trị của f (2) bằng
A. 1+2
p
e. B. 1 +
p
e. C. 2+2
p
e. D. 2+
p
e.
- Lời giải.
Ta có
f (x) =e
1
x
+x f
0
(x ) ∀x >0
⇔ f
0
(x ) −
1
x
f (x) =−
1
x
e
1
x
⇔
1
x
f
0
(x ) −
1
x
2
f (x) =−
1
x
2
e
1
x
⇔
µ
1
x
f (x)
¶
0
=−
1
x
2
e
1
x
⇒
2
Z
1
µ
1
x
f (x)
¶
0
dx =
2
Z
1
−
1
x
2
e
1
x
dx
⇔
1
2
f (2)− f (1) =
2
Z
1
e
1
x
d
µ
1
x
¶
⇔
1
2
f (2) =
p
e−e+ f (1)
⇔ f (2) =2
p
e+2.
Chọn đáp án C ä
Câu 113. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên [1;4] và thỏa mãn 2x f
0
(x )−f (x) =2x
p
x, ∀x ∈[1;4].
Biết rằng f (1) =0, tính I =
4
Z
1
f (x)
x
dx .
A. I =
22
3
. B. I =
20
3
. C. I =
8
3
. D. I =
14
3
.
- Lời giải.
Với mọi x ∈[1;4], ta có
2x f
0
(x ) − f (x ) =2x
p
x ⇔
1
p
x
· f
0
(x ) −
1
2x
p
x
· f (x) =1
⇔
·
1
p
x
· f (x)
¸
0
=1.
Th.s Nguyễn Chín Em 674 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Suy ra
4
Z
1
·
1
p
x
· f (x)
¸
0
dx =
4
Z
1
dx
⇔
·
1
p
x
· f (x)
¸
¯
¯
¯
4
1
= x
¯
¯
4
1
⇔
1
2
· f (4)− f (1) =3 ⇒ f (4) =6.
Với mọi x ∈[1;4], ta có
2x f
0
(x ) − f (x ) =2x
p
x ⇔ 2f
0
(x ) −
f (x)
x
=2
p
x
⇔ 2f
0
(x ) −2
p
x =
f (x)
x
.
Suy ra
4
Z
1
f (x)
x
dx =
4
Z
1
£
2f
0
(x ) −2
p
x
¤
dx
= [2f (x)]
¯
¯
4
1
−
µ
4
3
x
p
x
¶
¯
¯
¯
4
1
= 2f (4) −2f (1)−
28
3
=2 ·6−2·0 −
28
3
=
8
3
.
Chọn đáp án C ä
Câu 114. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] thỏa mãn f (2) = 0,
2
Z
1
£
f
0
(x )
¤
2
dx =
1
45
và
2
Z
1
(x −1)f (x)dx =−
1
30
. Tính I =
2
Z
1
f (x)dx.
A. I =−
1
36
. B. I =−
1
15
. C. I =
1
12
. D. I =−
1
12
.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
(x −1)f (x)dx
=
2
Z
1
f (x)d
µ
x
2
2
−x +
1
2
¶
=
µ
x
2
2
−x +
1
2
¶
f (x)
¯
¯
2
1
−
2
Z
1
µ
x
2
2
−x +
1
2
¶
f
0
(x )dx
=
1
2
f (2)−
2
Z
1
µ
x
2
2
−x +
1
2
¶
f
0
(x )dx =−
1
30
⇒
2
Z
1
µ
x
2
2
−x +
1
2
¶
f
0
(x )dx =
1
30
(∗)
Th.s Nguyễn Chín Em 675 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
và
2
Z
1
µ
x
2
2
−x +
1
2
¶
2
dx =
1
20
(∗∗)
2
Z
1
£
f
0
(x )
¤
2
dx =
1
45
(∗∗∗)
Từ (∗);(∗∗);(∗∗∗) suy ra
2
Z
1
µ
f
0
(x ) −
2
3
µ
x
2
2
−x +
1
2
¶¶
2
dx =0
⇒ f
0
(x ) =
x
2
3
−
2
3
x +
1
3
⇒ f (x) =
x
3
9
−
x
2
3
+
1
3
x +C.
Mặt khác f (2) =0 ⇒C =−
2
9
.
⇒
2
Z
1
f (x)dx =
2
Z
1
µ
x
3
9
−
x
2
2
+
1
3
x −
2
9
¶
dx =−
1
12
.
Chọn đáp án D ä
Câu 115. Giả sử
3
Z
1
p
1+x
2
x
4
dx =
1
a
Ã
b
p
2−
c
p
10
a
3
!
(với a, b, c ∈ N và
b
a
là phân số tối giản). Khi đó giá trị
a +bc bằng
A. 43. B. 23. C. y =33. D. 13.
- Lời giải.
3
Z
1
p
1+x
2
x
4
dx =
3
Z
1
…
1+
1
x
2
.
1
x
3
dx =
3
Z
1
…
1+
1
x
2
.
1
x
3
dx
=−
1
2
3
Z
1
…
1+
1
x
2
d
µ
1
x
2
+1
¶
=
1
3
µ
1
x
2
+1
¶
3
2
¯
¯
¯
3
1
=
1
3
Ã
2
p
2−
10
p
10
27
!
.
Do
b
a
tối giản suy ra a =3, b =2, c =10.
Chọn đáp án B ä
Câu 116. cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [0;π] và thỏa mãn
f (0) = f (π) =2018;
π
Z
0
¡
f
0
(x )
¢
2
dx =2π;
π
Z
0
sin2x f (x)dx =
π
2
. Tính I =
π
Z
0
cos x f (x)dx.
A. I =2018 . B. I =2018π. C.
4
3
. D.
5
3
.
- Lời giải.
π
Z
0
sin2x f (x)dx =−
1
2
cos2x f (x)
¯
¯
¯
π
0
+
1
2
π
Z
0
cos2x f
0
(x )dx =
1
2
π
Z
0
cos2x f
0
(x )dx
Th.s Nguyễn Chín Em 676 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
⇒
π
Z
0
4cos2x.f
0
(x )dx =4π ⇒
π
Z
0
³
¡
f
0
(x )
¢
2
−4cos2x.f
0
(x ) +4cos
2
2x
´
dx =0
⇒
π
Z
0
¡
f
0
(x ) −2cos2x
¢
2
dx =0 ⇒ f
0
(x ) −2cos2x =0 ⇒ f
0
(x ) =2cos2x ⇒ f (x) =sin2x +C
⇒f (x) =sin2x +2018.
Vậy I =
π
Z
0
cos x f (x)dx =
π
Z
0
cos x
(
sin2x +2018
)
dx =
4
3
.
Chọn đáp án C ä
Câu 117. Biết
2
Z
1
dx
p
x +1
p
x +2
= ln(a
p
6 + b
p
3 + c
p
2 + d) với a, b , c, d là các số nguyên. Tính P =
a +b +c +d.
A. P =93. B. P =65. C. P =45. D. P =17.
- Lời giải.
Đặt u =
…
x +2
x +1
⇒ u
2
=
x +2
x +1
=1 +
1
x +1
. Suy ra
x +1 =
1
u
2
−1
dx =−
2u
(u
2
−1)
2
du
.
Đổi cận: x =1 thì u =
…
3
2
, x =2 thì u =
…
4
3
.
2
Z
1
dx
p
x +1
p
x +2
=
2
Z
1
dx
(x +1)
…
x +2
x +1
=
»
4
3
Z
»
3
2
−
2u
(u
2
−1)
2
du
1
u
2
−1
·u
=
»
4
3
Z
»
3
2
−2du
u
2
−1
=
»
4
3
Z
»
3
2
µ
1
u +1
−
1
u −1
¶
du
=(ln(u +1)−ln(u −1))
¯
¯
¯
¯
»
4
3
»
3
2
=ln
(2+
p
3)(
p
3−
p
2)
(2−
p
3)(
p
3+
p
2)
=(2 +
p
3)
2
(
p
3−
p
2)
2
=−14
p
6+20
p
3−24
p
2+35.
Vậy a +b +c +d =17.
Chọn đáp án D ä
Câu 118. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (x) + f (2018 −x) =2 với mọi x ∈R. Tính giá tr ị của
tích phân
2018
Z
0
f (x)dx.
A. 4036. B. 2018. C. 1009. D. 1009
2
.
- Lời giải.
Đặt t =2018−x ⇒ x =2018 −t ⇒dt =−dx.
Đổi cận: x =0 thì t =2018, x =2018 thì t =0.
Th.s Nguyễn Chín Em 677 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
I =
2018
Z
0
f (x)dx =
2018
Z
0
f (t)dt =
0
Z
2018
f (2018−x)(−dx) =
2018
Z
0
f (2018−x)dx.
Do đó
2I =
2018
Z
0
f (x)dx +
2018
Z
0
f (2018−x)dx =
2018
Z
0
[f (x)+ f (2018−x)]dx = 2x
|
2018
0
=2 ·2018.
Vậy I =2018.
Chọn đáp án B ä
Câu 119. Biết
1
Z
0
3+(x −2)e
x
xe
x
+1
dx = a +b ln
µ
1+
1
e
¶
với a, b là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây là
đúng?
A. a −2b =5. B. a +b =3. C. a +b =5. D. a −2b =7.
- Lời giải.
Ta có I =
1
Z
0
1+xe
x
+2−2e
x
xe
x
+1
dx =1+2
1
Z
0
1−e
x
xe
x
+1
dx =1+2J.
Lại có I =
1
Z
0
(1+x)e
x
+3−3e
x
xe
x
+1
dx =
1
Z
0
d(xe
x
+1)
xe
x
+1
+3
1
Z
0
1−e
x
xe
x
+1
dx =ln(e+1)+3J.
Do đó, ta có
I =1 +2J
I =ln(e +1)+3J
⇒ I =1−2ln
µ
1+
1
e
¶
.
Suy ra a =1, b =−2. Vậy a −2 b =5.
Chọn đáp án A ä
Câu 120. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên
[
0;1
]
thỏa mãn
f (1) =0,
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx =
3
2
−2ln2 và
1
Z
0
f (x)
(
x +1
)
2
dx =2ln2 −
3
2
Tích phân
1
Z
0
f (x)dx bằng bao nhiêu?
A.
1−ln2
2
. B.
1−2ln2
2
. C.
3−4ln2
2
. D.
3−ln2
2
.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
f (x)
(
x +1
)
2
dx =
1
Z
0
f (x)
(
x +1
)
2
d
µ
1−
1
x +1
¶
=
·
1−
1
x +1
f (x)
¸
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
µ
1−
1
x +1
¶
f
0
(x )dx.
Suy ra
1
Z
0
µ
1−
1
x +1
¶
f
0
(x )dx =
3
2
−2ln2.
Th.s Nguyễn Chín Em 678 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Hơn nữa ta tính được:
1
Z
0
µ
1−
1
x +1
¶
2
dx
=
1
Z
0
·
1−2·
1
x +1
+
1
(x +1)
2
¸
dx
=
µ
x −2ln
|
x +1
|
−
1
x +1
¶
¯
¯
¯
1
0
=
3
2
−2ln2
Do đó:
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx −2
1
Z
0
µ
1−
1
x +1
¶
f
0
(x )dx +
1
Z
0
µ
1−
1
x +1
¶
2
dx =0
⇔
1
Z
0
·
f
0
(x ) +
1
x +1
−1
¸
2
dx =0
⇒ f
0
(x ) =1−
1
x +1
Suy ra f (x) = x −ln(x +1)+C.
Vì f (1) =0 nên C =ln2 −1.
Ta tính được
1
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
[
x −ln(x +1)+ln2−1
]
dx =
1
2
−ln2.
Chọn đáp án B ä
Câu 121. Cho hàm số f
(
x
)
có đạo hàm liên tục trên
[
0;1
]
thỏa mãn f
(
0
)
=1,
1
Z
0
£
f
0
(
x
)
¤
2
dx =
1
30
,
1
Z
0
(
2x −1
)
f
(
x
)
dx =
−
1
30
. Tính tích phân
1
Z
0
f
(
x
)
dx .
A.
11
12
. B.
11
4
. C.
1
30
. D.
11
30
.
- Lời giải.
Ta xét tích phân I =
1
Z
0
(
2x −1
)
f
(
x
)
dx .
Theo công thức tích từng phần ta có
1
Z
0
(
2x −1
)
f
(
x
)
dx =
¡
x
2
−x
¢
f
(
x
)
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
¡
x
2
−x
¢
f
0
(
x
)
dx
= −
1
Z
0
¡
x
2
−x
¢
f
0
(
x
)
dx .
Do giả thiết suy ra −
1
Z
0
¡
x
2
−x
¢
f
0
(
x
)
dx =−
1
30
⇔
1
Z
0
¡
x
2
−x
¢
f
0
(
x
)
dx =
1
30
.
Th.s Nguyễn Chín Em 679 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Mặt khác
1
Z
0
¡
x
2
−x
¢
2
dx =
1
Z
0
¡
x
4
−2x
3
+x
2
¢
dx =
µ
x
5
5
−
x
4
2
+
x
3
3
¶
¯
¯
¯
1
0
=
1
5
−
1
2
+
1
3
=
1
30
.
Khi đó ta có
1
Z
0
£
f
0
(
x
)
¤
2
dx −2
1
Z
0
¡
x
2
−x
¢
f
0
(
x
)
dx +
1
Z
0
¡
x
2
−x
¢
2
dx =
1
30
−2·
1
30
+
1
30
=0.
Hay
1
Z
0
£
f
0
(
x
)
−
¡
x
2
−x
¢¤
2
dx =0.
Suy ra f
0
(
x
)
−
¡
x
2
−x
¢
=0 ⇔ f
0
(
x
)
= x
2
−x.
Ta có
f
(
x
)
=
Z
f
0
(
x
)
dx =
Z
¡
x
2
−x
¢
dx =
x
3
3
−
x
2
2
+C.
Theo giả thiết f
(
0
)
=1 suy ra C =1. Do đó f
(
x
)
=
x
3
3
−
x
2
2
+1.
Khi đó
1
Z
0
f
(
x
)
dx =
1
Z
0
µ
x
3
3
−
x
2
2
+1
¶
dx =
µ
x
4
12
−
x
3
6
+x
¶
¯
¯
¯
1
0
=
1
12
−
1
6
+1 =
11
12
.
Chọn đáp án A ä
Câu 122. Tính tích phân I =2
p
2
Z
1
x ·2018
x
6
dx +
2018
8
Z
2018
3
p
log
2018
x dx.
A. 2.2018
8
−2018. B. 2018
8
−2018. C. 2.2018
8
−
3
p
2018. D. 2018
8
−
3
p
2018.
- Lời giải.
Ta có
I
1
=2
p
2
Z
1
x.2018
x
6
dx =
2
Z
1
2018
t
3
dt (với t = x
2
).
I
2
=
2018
8
Z
2018
3
p
log
2018
x dx. Đặt t =
3
p
log
2018
x ⇒ t
3
=log
2018
x ⇒ x =2018
t
3
⇒dx =d2018
t
3
.
Mặt khác, với x =2018 thì t =1, với t =2018
2
thì t =2.
Do đó I
2
=
2
Z
1
t d2018
t
3
= t ·2018
t
3
¯
¯
¯
2
1
−
2
Z
1
2018
t
3
dt.
Vậy I = I
1
+I
2
= t ·2018
t
3
¯
¯
¯
2
1
=2.2018
8
−2018.
Chọn đáp án A ä
Câu 123. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [0;1] và thoả mãn f (x) −8x
3
f (x
4
) +
x
3
p
x
2
+1
= 0. Tích
phân I =
1
Z
0
f (x)dx có kết quả dạng
a −b
p
2
c
, a,b, c ∈Z,
a
c
,
b
c
tối giản. Tính a +b +c.
A. 6. B. −4. C. 4. D. −10.
Th.s Nguyễn Chín Em 680 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có f (x) =8x
3
f (x
4
)−
x
3
p
x
2
+1
⇒ I =
1
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
8x
3
f (x
4
)dx −
1
Z
0
x
3
p
x
2
+1
dx . (1)
Lại có
1
Z
0
8x
3
f (x
4
)dx =
1
Z
0
2f (x
4
)d(x
4
) =2
1
Z
0
f (x)dx =2I.
Xét tích phân J =
1
Z
0
x
3
p
x
2
+1
dx .
Đặt t =
p
x
2
+1 ⇒ t
2
= x
2
+1 ⇒ t dt = xdx. Với x =0 thì t =1 và x =1 thì t =
p
2 nên ta có
J =
p
2
Z
0
(t
2
−1)t dt
t
=
p
2
Z
0
(t
2
−1)dt =
µ
t
3
3
−t
¶
¯
¯
¯
p
2
0
=
2−
p
2
3
.
Kết hợp với (1), ta có I =2I −
2−
p
2
3
⇒ I =
2−
p
2
3
.
Suy ra a =2,b =1, c =3, dẫn tới a +b +c =6.
Chọn đáp án A ä
Câu 124. Cho hàm số f (x) xác định trên R \ {−2} thỏa mãn f
0
(x ) =
3x −1
x +2
, f (0) = 1 và f (−4) = 2. Giá trị
của biểu thức f (2)+ f (−3) bằng
A. 12. B. 3−20ln2. C. ln2. D. 10+ln2.
- Lời giải.
Có f (2) + f (−3) =[f (2)+ f (0)]+[f (−3)− f (−4)]+3 =
2
Z
0
f
0
(x )dx +
−3
Z
−4
f
0
(x )dx +3.
Ta lại có
2
Z
0
f
0
(x )dx =
2
Z
0
3x −1
x +2
dx =6−7ln2.
Và
−3
Z
−4
f
0
(x )dx =
−3
Z
−4
3x −1
x +2
dx =3+7ln2.
Vậy f (2) + f (−3) =6 −7ln2 +3+7ln2+3 =12.
Chọn đáp án A ä
Câu 125. Cho hàm số f (x) có đạo hàm và đồng biến trên R thỏa mãn f (0) = 1 và
(f
0
(x ))
2
= e
x
· f (x),∀x ∈R. Tích phân
1
Z
0
f (x)dx bằng
A. e −2. B. e −1. C. e
2
−2. D. e
2
−1.
- Lời giải.
Do hàm số f (x) có đạo hàm trên R nên cũng có đạo hàm tại x = 0, thay x = 0 vào giả thiết ta được:
(f
0
(0))
2
= e
0
· f (0) =1 ⇒ f
0
(0) =±1.
Lại do hàm số f (x) đồng biến trên R nên f
0
(x ) ≥0,∀x ∈R ⇒ f
0
(0) =1.
Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức (f
0
(x ))
2
= e
x
· f (x), ta được:
2f
0
(x ) · f "(x) = e
x
· f (x)+e
x
· f
0
(x ) =(f
0
(x ))
2
+e
x
· f
0
(x ) (1).
Hàm số đồng biến trên R nên đồng biến trên [0;1], mà f (0) =1 nên f (x) >0,∀x ∈[0;1]
Vậy giả sử f
0
(x ) =0 tại x
0
∈[0;1]
Th.s Nguyễn Chín Em 681 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Khi đó theo giả thiết ta có
¡
f
0
(x )
¢
2
= e
x
· f (x)
⇒
¡
f
0
(x
0
)
¢
2
= e
x
0
· f (x
0
) ⇔0 = e
x
0
· f (x
0
)
Mà e
x
0
>0 ⇒ f (x
0
) =0 (vô lý)
Vậy f
0
(x ) >0,∀x ∈[0;1].
Nếu f
0
(x ) 6=0 thì (1) ⇔2f "(x) = f
0
(x ) +e
x
⇒2f
0
(x ) = f (x) +e
x
+C.
Thay x =0 ta được
2 =1+1+C ⇒ C =0 ⇒2f
0
(x ) = f (x) +e
x
⇒ f
0
(x ) =
f (x) +e
x
2
⇒(f
0
(x ))
2
=
µ
f (x) +e
x
2
¶
2
⇒ e
x
· f (x) =
µ
f (x) +e
x
2
¶
2
⇒(f (x)−e
x
)
2
=0 ⇒ f (x) = e
x
.
Vậy
1
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
e
x
dx = e −1.
Chọn đáp án B ä
Câu 126. Cho hàm số y = f
(
x
)
liên tục trên R thỏa mãn : f
(
1+2x
)
+ f
(
1−2x
)
=
x
2
x
2
+1
, ∀x ∈ R. Tính
I =
3
Z
−1
f
(
x
)
dx.
A. I =2−
π
2
. B. I =1−
π
4
. C. I =
1
2
−
π
8
. D. I =
π
4
.
- Lời giải.
Từ giả thiết ta thay x bởi
x −1
2
, ta có
f
(
x
)
+ f
(
2−x
)
=
x
2
−2x +1
x
2
−2x +5
Lại có
Z
1
−1
f
(
x
)
dx =
Z
3
−1
f
(
2−x
)
dx
⇔ 2I =
Z
3
−1
x
2
−2x +1
x
2
−2x +5
dx =
Z
3
−1
dx −4
Z
3
−1
dx
(
x −1
)
2
+4
Đặt x −1 =2tan t.
⇒
3
Z
−1
1
(
x −1
)
2
+4
dx =
1
2
π
4
Z
−
π
4
dtdt =
π
4
⇒2I =4−π ⇔ I =2−
π
2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 127. Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (x
3
+3x +1) =3x +2 với mọi x ∈R. Tính
5
Z
1
x f
0
(x )dx.
A.
5
4
. B.
17
4
. C.
33
4
. D.
15
4
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 682 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có f (x
3
+3x +1) =3x +2 ⇔ (3x
2
+3)f (x
3
+3x +1) =(3x +2)(3x
2
+3).
Đặt t = x
3
+3x +1 ⇒ dt =(3x
2
+3)dx . Suy ra,
5
Z
1
f (t)dt =
1
Z
0
(9x
3
+6x
2
+9x +6)dx =
µ
9
4
x
4
+2x
3
+
9
2
x
2
+6x
¶
¯
¯
¯
1
0
=
59
4
.
Ta có
5
Z
1
x f
0
(x )dx =
5
Z
1
xd
(
f (x)
)
= xf (x)
¯
¯
¯
5
1
−
5
Z
1
f (x)dx =25 −2−
59
4
=
33
4
.
Chọn đáp án C ä
Câu 128.
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị của hàm
số y = f (x) như hình bên. Khi đó giá trị của biểu thức
4
Z
0
f
0
(x −
2)dx +
2
Z
0
f
0
(x +2)dx bằng bao nhiêu?
A. 2. B. −2. C. 10. D. 6.
x
−2 1 2
3
4
y
−2
2
4
O
- Lời giải.
Tính
4
Z
0
f
0
(x −2)dx. Đặt t = x −2. Khi đó
4
Z
0
f
0
(x −2)dx =
2
Z
−2
f
0
(t)dt =
2
Z
−2
f
0
(x )dx.
Tính
2
Z
0
f
0
(x +2)dx. Đặt u = x +2. Khi đó
2
Z
0
f
0
(x +2)dx =
4
Z
2
f
0
(u)du =
4
Z
2
f
0
(x )dx.
Vậy
4
Z
0
f
0
(x −2)dx +
2
Z
0
f
0
(x +2)dx =
4
Z
−2
f
0
(x )dx = f (x)
¯
¯
¯
¯
4
−2
= f (4) − f (−2) =6.
Chọn đáp án D ä
Câu 129. Cho hàm số f
(
x
)
có đạo hàm và liên tục trên đoạn
[
1;e
]
. Biết f
(
e
)
=
e
2
,
e
Z
1
£
f
0
(
x
)
¤
2
dx = 1 và
e
Z
1
f
(
x
)
x
dx =
1
2
. Tính f
¡
e
2018
¢
.
Th.s Nguyễn Chín Em 683 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. 2018e
2018
+e. B. 2018e
2018
+
e
2
. C. 2017e
2018
+e. D. 2017e
2018
+
e
2
.
- Lời giải.
Xét tích phân I =
e
Z
1
f
(
x
)
x
dx =
1
2
, đặt
u = f
(
x
)
dv =
dx
x
⇒
du = f
(
x
)
0
dx
v =ln x.
Khi đó I = f
(
x
)
ln x
¯
¯
¯
e
1
−
e
Z
1
f
0
(
x
)
ln x dx =
e
2
−
e
Z
1
f
0
(
x
)
ln x dx =
1
2
⇔
e
Z
1
f
0
(
x
)
ln x dx =
e
2
−
1
2
(
1
)
.
Mặt khác ta có
e
Z
1
ln
2
xdx =e −2.
Khi đó xét J =
e
Z
1
£
f
0
(
x
)
−lnx
¤
2
dx =
e
Z
1
£
f
0
(
x
)
2
¤
dx −2
e
Z
1
f
0
(
x
)
ln x dx +
e
Z
1
ln
2
xdx =1 −
(
e −1
)
+e −2 =0.
Hay f
0
(
x
)
=ln x ⇒ f
(
x
)
=
Z
ln x dx = xln x −x +C, mà f
(
e
)
=
e
2
⇒C =
e
2
.
⇒ f
(
x
)
= xln x −x +
e
2
⇒ f
¡
e
2018
¢
=2018e
2018
−e
2018
+
2
2
=2017e
2018
+
e
2
.
Chọn đáp án D ä
Câu 130. Biết I =
2
p
2
Z
p
3
x
x
2
−1+
p
x
2
+1
dx = a ln5 +b ln2, với a,b là các số hữu tỉ. Tính tổng S = 3a +
2b .
A.
2
3
. B. 0. C. −
1
3
. D. −
5
3
.
- Lời giải.
Đặt t =
p
x
2
+1 ⇒ x
2
= t
2
−1 ⇒ tdt = xdx, đổi cận
x =
p
3 ⇒ t =2
x =2
p
2 ⇒ t =3.
Khi đó I =
3
Z
2
tdt
t
2
+t −2
=
3
Z
2
µ
2/3
t +2
+
1/3
t −1
¶
dt =
2
3
ln
|
t +2
|
¯
¯
¯
3
2
+
1
3
ln
|
t −1
|
¯
¯
¯
3
2
=
2
3
ln5−ln2.
Từ đó a =
2
3
;b =−1 ⇒ S =3a +2b =0.
Chọn đáp án B ä
Câu 131. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [4;8] và f (x) 6=0,∀x ∈[4;8]. Biết rằng
8
Z
4
£
f
0
(x )
¤
2
[
f (x)
]
4
dx =
1 và f (4) =
1
4
, f (8) =
1
2
. Tính f (6).
A.
2
3
. B.
3
8
. C.
1
3
. D.
5
8
.
- Lời giải.
Ta có
8
Z
4
f
0
(x )
[
f (x)
]
2
dx = −
1
f (x)
¯
¯
¯
¯
8
4
=
1
f (4)
−
1
f (8)
=2 và
8
Z
4
dx =4.
Suy ra
8
Z
4
·
f
0
(x )
[f (x)]
2
−
1
2
¸
2
dx =
8
Z
4
£
f
0
(x )
¤
2
[f (x)]
4
dx −
8
Z
4
f
0
(x )
[f (x)]
2
dx +
1
4
8
Z
4
dx =0
Th.s Nguyễn Chín Em 684 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
⇒
f
0
(x )
[f (x)]
2
=
1
2
,∀x ∈
[
4;8
]
⇒
6
Z
4
f
0
(x )
[f (x)]
2
dx =
6
Z
4
1
2
dx
⇒ −
1
f (x)
¯
¯
¯
¯
6
4
=
x
2
¯
¯
¯
6
4
⇒
1
f (4)
−
1
f (6)
=1
⇒ f (6) =
1
3
.
Chọn đáp án C ä
Câu 132. Cho tích phân
π
2
Z
0
x
2
+(2x +cos x)cosx +1−sin x
x +cosx
dx = aπ
2
+b −ln
c
π
với a,b, c là các số hữu tỷ.
Tính giá trị của biểu thức P = ac
3
+b.
A. P =
5
4
. B. P =2. C. P =3. D. P =
3
4
.
- Lời giải.
Ta có
I =
π
2
Z
0
x
2
+(2x +cos x)cosx +1−sin x
x +cosx
dx
=
π
2
Z
0
(x +cos x)
2
+1−sin x
x +cosx
dx
=
π
2
Z
0
µ
x +cosx +
1−sinx
x +cosx
¶
dx
=
π
2
Z
0
(
x +cosx
)
dx +
π
2
Z
0
d
(
x +cosx
)
x +cosx
=
µ
x
2
2
+sinx +ln
|
x +cosx
|
¶
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=
π
2
8
+1+ln
π
2
=
1
8
·π
2
+1−ln
2
π
.
Suy ra a =
1
8
,b =1, c =2.
Vậy P = ac
3
+b =2.
Chọn đáp án B ä
Câu 133. Cho hàm số y = f (x) > 0 xác định, có đạo hàm trên đoạn [0;1]; g(x) là hàm số thỏa mãn g(x) =
1+1008
x
Z
0
f (t)dt và g(x) = f
2
(x ). Tính
1
Z
0
p
g(x)dx.
A. 1014. B. 253. C.
507
2
. D.
1017
2
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 685 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có g(x) =1+1008
x
Z
0
f (t)dt ⇒ g
0
(x ) =1008f (x), g(0) =1+1008
0
Z
0
f (t)dt =1.
f
2
(x ) = g(x) ⇒ f (x ) =
p
g(x) ⇒ g
0
(x ) =1008
p
g(x) ⇒
g
0
(x )
g(x)
=1008.
Lấy tích phân hai vế trên [0; t], ta được
t
Z
0
g
0
(x )dx
g(x)
=
t
Z
0
1008dx ⇔ 2
p
g(x)
¯
¯
¯
t
0
=1008|
t
0
⇔2
³
p
g(x)−1
´
=1008 ⇔
p
g(t) =504t +1.
⇒
1
Z
0
p
g(x)dx =
1
Z
0
(504x +1)dx =253.
Chọn đáp án B ä
Câu 134. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] đồng thời thỏa mãn f (1) =0 và
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx =
1
Z
0
(x +1)e
x
f (x)dx =
e
2
−1
4
. Tính tích phân I =
1
Z
0
f (x)dx.
A. I =e−2. B. I =
e−1
2
. C. I =2e −1. D. I =e+1.
- Lời giải.
Ta có
(
(x −1)e
x
)
00
=
(
xe
x
)
0
=(x +1)e
x
.
Ta có
1
Z
0
(x +1)e
x
f (x)dx =
1
Z
0
f (x)d
¡
xe
x
¢
= xe
x
f (x)
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
xe
x
f
0
(x )dx =−
1
Z
0
xe
x
f
0
(x )dx.
Vậy
1
Z
0
xe
x
f
0
(x )dx =−
e
2
−1
4
.
Xét
J =
1
Z
0
x
2
e
2x
dx
=
1
Z
0
x
2
· d
µ
e
2x
2
¶
=
x
2
e
2x
2
¯
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
e
2x
2
·2x dx
=
e
2
2
−
1
2
1
Z
0
xd
¡
e
2x
¢
=
e
2
2
−
1
2
xe
2x
¯
¯
¯
¯
1
0
+
1
2
1
Z
0
e
2x
dx
=
e
2
2
−
e
2
2
+
e
2x
4
¯
¯
¯
¯
1
0
=
e
2
−1
4
.
Vậy
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
dx +2
1
Z
0
xe
x
f
0
(x )dx +
1
Z
0
x
2
e
2x
dx =0 ⇔
1
Z
0
£
f
0
(x ) +xe
x
¤
2
dx =0.
Th.s Nguyễn Chín Em 686 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Từ đó ta có f
0
(x ) =−xe
x
hay f (x) =−(x −1)e
x
+C. Vì f (1) =0 nên C =0.
Vậy
1
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
−(x −1)e
x
dx =−(x −2)e
x
¯
¯
¯
1
0
=e −2.
Chọn đáp án A ä
Câu 135. Cho hàm số f (x) liên tục trên (0;+∞) và f (x) 6= 0 với mọi x ∈ (0;+∞), f
0
(x ) =(2x +1)f
2
(x ) và
2f (1) =−1. Biết rằng
2
Z
1
x f (x)dx =ln
a
b
(
a, b ∈N
∗
)
với
a
b
tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
a
b
>1. B. b −a =5. C. a +b =5. D. ab =2018.
- Lời giải.
Ta có f
0
(x ) =(2x+1)f
2
(x ). Do đó
Z
f
0
(x )dx
f
2
(x )
=
Z
dx
2x +1
, suy ra −
1
f (x)
=2x
2
+x+c hay f (x) =−
1
x
2
+x +c
.
Vì 2f (1) =−1 nên c =0. Từ đó suy ra
f (x) =−
1
x
2
+x
.
Do đó
2
Z
1
x f (x)dx =−
2
Z
1
1
x +1
dx =ln
2
3
. Suy ra a +b =5.
Chọn đáp án C ä
Câu 136. Cho hàm số f liên tục, f (x) >−1 với mọi x ∈R thỏa mãn f (0) =0 và f
0
(x )
p
x
2
+1 =2x
p
f (x) +1.
Tính f (
p
3).
A. 0. B. 9. C. 3. D. 7.
- Lời giải.
Với điều kiện đã cho, ta có
f
0
(x )
p
x
2
+1 =2x
p
f (x) +1 ⇒
Z
f
0
(x )dx
p
f (x) +1
=
Z
2x dx
p
x
2
+1
⇒
Z
d(f (x)+1)
p
f (x) +1
=
Z
d(x
2
+1)
p
x
2
+1
⇒
p
f (x) +1 =
p
x
2
+1+C.
Vì f (0) =0 nên C =0. Từ đó ta có
»
f (
p
3)+1 =
p
(
p
3)
2
+1+0 ⇒ f (
p
3) =3.
Chọn đáp án C ä
Câu 137. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;4] có f (1) =1; f (4) =3ln
5
2
+1. Biết
4
Z
1
f
0
(x )
x +1
dx =
9
10
và
4
Z
1
x(f
0
(x ))
2
dx =9ln
5
2
−
27
10
. Tính
4
Z
1
f (x)dx.
A. 5ln
5
2
−6. B. 5ln
5
2
+6. C. 15ln
5
2
−6. D. 15ln
5
2
+6.
- Lời giải.
Ta có
4
Z
1
f
0
(x )dx = f (4) − f (1) =3ln
5
2
.
4
Z
1
x f
0
(x )
x +1
dx =
4
Z
1
µ
f
0
(x ) −
f
0
(x )
x +1
¶
dx =
4
Z
1
f
0
(x )dx −
4
Z
1
f
0
(x )
x +1
dx =3ln
5
2
−
9
10
.
4
Z
1
x
(x +1)
2
dx =
4
Z
1
µ
1
x +1
−
1
(x +1)
2
¶
dx =
µ
ln|x +1|+
1
x +1
¶
¯
¯
¯
¯
4
1
=ln
5
2
−
3
10
.
Th.s Nguyễn Chín Em 687 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Xét tích phân
4
Z
1
x
µ
f
0
(x ) −
3
(x +1)
2
¶
2
dx =
4
Z
1
·
x(f
0
(x ))
2
−
6x f
0
(x )
x +1
+
9x
(x +1)
2
¸
dx
=
4
Z
1
£
x(f
0
(x ))
2
¤
dx −6
4
Z
1
x f
0
(x )
x +1
dx +9
4
Z
1
x
(x +1)
2
dx
= 9ln
5
2
−
27
10
−6
µ
3ln
5
2
−
9
10
¶
+9
µ
ln
5
2
−
3
10
¶
= 0.
Mặt khác,
4
Z
1
x
µ
f
0
(x ) −
3
(x +1)
2
¶
2
dx ≥0 nên ta được f
0
(x ) =
3
x +1
.
Do đó f (x) =
Z
3
x +1
dx =3ln|x +1|+C.
Kết hợp với f (1) =1 ⇒3ln2 +C =1 ⇔ C =1−3ln2.
Ta được f (x) =3ln|x +1|+1 −3ln2 ⇒
4
Z
1
f (x)dx =
4
Z
1
(
3ln|x +1|+1 −3ln2
)
dx =15ln
5
2
−6.
Chọn đáp án C ä
Câu 138. Cho hàm số f (x) xác định liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1
Z
0
[f (x)]
2
dx −
1
Z
0
2x f (x)dx +
1
3
= 0. Tính
I =
1
Z
0
f (x)
x +1
dx ?
A. I =1−ln2. B. I =
3
2
−ln2. C. I =1+ln2. D. I =
3
2
.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
[f (x)]
2
dx −
1
Z
0
2x f (x)dx +
1
3
=0
⇔
1
Z
0
[f (x)]
2
dx −
1
Z
0
2x f (x)dx +
1
Z
0
x
2
dx =0
⇔
1
Z
0
[f (x)−x]
2
dx =0 ⇔ f (x)−x =0 ⇔ f (x) = x.
Vậy ta suy ra I =
1
Z
0
x
x +1
dx =
1
Z
0
µ
1−
1
x +1
¶
dx = x
¯
¯
1
0
−ln|x +1|
¯
¯
1
0
=1 −ln2.
Chọn đáp án A ä
Câu 139. Cho hàm số y = f (x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên đoạn [0;1] đồng thời thỏa mãn
f (1) =ef (0) =e và
1
Z
0
·
f
0
(x )
f (x)
¸
2
dx ≤1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f (2) =2. B. f (2) =e
2
. C. f (2) =e
−2
. D. f (2) =
1
2
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 688 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Từ f (1) =ef (0) =e, ta suy ra f (1) =e, f (0) =1.
Ta có
1
Z
0
f
0
(x )
f (x)
dx =ln f (x)
¯
¯
1
0
=ln f (1)−ln f (0) =lne −ln1 =1.
Mặt khác, dễ thấy
1
Z
0
dx =1.
Do đó ta suy ra
1
Z
0
·
f
0
(x )
f (x)
¸
2
dx −2
1
Z
0
f
0
(x )
f (x)
dx +
1
Z
0
dx ≤1−2+1
⇔
1
Z
0
·
f
0
(x )
f (x)
−1
¸
2
dx ≤0 ⇒
f
0
(x )
f (x)
−1 =0
Ã
vì
·
f
0
(x )
f (x)
−1
¸
2
≥0
!
⇒
f
0
(x )
f (x)
=1 ⇒
Z
f
0
(x )
f (x)
dx =
Z
dx ⇒ln f (x) = x +C.
Vì f (0) =1 nên ln f (0) =0+C ⇒ln1 =0+C ⇒C =0.
Như vậy ln f (x) = x ⇒ f (x ) =e
x
, suy ra f (2) =e
2
.
Chọn đáp án B ä
Câu 140. Cho hàm số f (x) xác định trên R\{−1;1} và thỏa mãn f
0
(x ) =
1
x
2
−1
. Biết f (−3) + f (3) = 0 và
f
µ
−
1
2
¶
+ f
µ
1
2
¶
=2. Tính T = f (−2)+ f (0)+ f (5).
A.
1
2
ln2−1. B. ln2+1. C. ln2 −1. D.
1
2
ln2+1.
- Lời giải.
Ta có f (x) =
Z
f
0
(x )dx =
Z
1
x
2
−1
dx =
1
2
Z
(x +1)−(x −1)
x
2
−1
dx =
1
2
Z
µ
1
x −1
−
1
x +1
¶
dx
⇒ f (x) =
1
2
(
ln|x −1|−ln|x +1|
)
+C =
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +1
¯
¯
¯
¯
+C
⇒ f (x) =
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +1
¯
¯
¯
¯
+C
1
x>1
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +1
¯
¯
¯
¯
+C
2
-1<x<1
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
x −1
x +1
¯
¯
¯
¯
+C
3
x<-1
.
Với f (−3)+ f (3) =0 ⇔
1
2
ln2+C
1
+
1
2
ln
1
2
+C
3
=0 ⇔C
1
+C
3
=0.
Với f
µ
−
1
2
¶
+ f
µ
1
2
¶
=2 ⇔
1
2
ln3+C
2
+
1
2
ln
1
3
+C
3
=0 ⇔C
2
=1.
Vậy T = f (−2)+ f (0)+ f (5) =
1
2
ln3+C
3
+C
2
+
1
2
ln
1
3
+C
2
+C
1
=
1
2
ln2+1.
Chọn đáp án D ä
Câu 141. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R, f (x) >0,∀x ∈R thỏa mãn ln f (x)+f (x)−1 =ln
h
¡
x
2
+1
¢
e
x
2
i
.
Tính I =
1
Z
0
x f (x) dx.
A. I =−12. B. I =8. C. I =12. D. I =
3
4
.
Th.s Nguyễn Chín Em 689 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
ln f (x)+ f (x)−1 =ln
h
¡
x
2
+1
¢
e
x
2
i
⇒ ln
h
f (x)e
f (x)−1
i
=ln
h
¡
x
2
+1
¢
e
x
2
i
⇒ f (x)ef (x)−1 =
¡
x
2
+1
¢
e
x
2
⇒ f (x) = x
2
+1
⇒ I =
1
Z
0
x
¡
x
2
+1
¢
dx =
3
4
.
Chọn đáp án D ä
Câu 142. Biết I =
3
Z
2
1+
1
x
2
+
1
(x −1)
2
dx = a +b ln2 + c ln3, trong đó a,b, c là những số nguyên. Tính
biểu thức
¡
a +b
2
+3c
2
¢
.
A. 6. B. 5. C. 8. D. 9.
- Lời giải.
I =
3
Z
2
1+
1
x
2
+
1
(x −1)
2
dx
=
3
Z
2
µ
1+
1
x −1
−
1
x
¶
2
dx
=
3
Z
2
µ
1+
1
x −1
−
1
x
¶
dx
= x +ln
|
x −1
|
−ln
|
x
|
¯
¯
3
2
= 1+2ln2−ln3.
Vậy a =1, b =2, c =−1, a +b
2
+3c
2
=8.
Chọn đáp án C ä
Câu 143. Hàm số f (x) có đạo hàm đến cấp hai trên R thỏa mãn: f
2
(1 −x) = (x
2
+3)f (x +1). Biết rằng
f (x) 6=0, ∀x ∈R, tính I =
2
Z
0
(2x −1)f
00
(x )dx.
A. −4. B. 4. C. 8. D. 0.
- Lời giải.
Từ giả thiết f
2
(1−x) =(x
2
+3)f (x +1), ta thay lần lượt x =1 và x =−1 vào ta được
f
2
(0) =4f (2)
f
2
(2) =4f (0)
⇔
f
2
(0) =4f (2); f (2) ≥0; f (0) ≥0
f
4
(2) =16f
2
(0) =64f (2)
⇔
f
2
(0) =4f (2); f (2) ≥0; f (0) ≥0
f (2) =4
f (2) =0 (loại)
⇔ f (2) = f (0) =4.
Th.s Nguyễn Chín Em 690 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Lấy đạo hàm hai vế ta có −2f (1 −x)f
0
(1−x) =(x
2
+3)f
0
(x +1)+2x f (x +1).
Thay x =1, x =−1 ta có
−2f (0)f
0
(0) =4f
0
(2)+2f (2)
−2f (2)f
0
(2) =4f
0
(0)−2f (0)
⇔
2f
0
(0)+ f
0
(2) =−2
f
0
(0)+2f
0
(2)−2 =0
⇔
f
0
(0) =−2
f
0
(2) =2.
Do đó I =
1
Z
0
(2x −1)f
00
(x )dx =(2x −1)f
0
(x )
¯
¯
¯
1
0
−2
1
Z
0
f
0
(x )dx =3f
0
(2)+ f
0
(0)−2
[
f (2)− f (0)
]
=4.
Chọn đáp án B ä
Câu 144. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn a f (b)+b f (a) ≤
2018
π
với mọi a,b ∈[0;1].
Tìm giá trị lớn nhất của tích phân M =
1
Z
0
f (x)dx.
A. 1009. B.
1009
2
. C.
1009
π
. D.
2018
π
.
- Lời giải.
Đặt x =sin t, ta có dx =cos t dt.
Đổi cận ta được M =
π
2
Z
0
cos t · f (sin t)dt =
π
2
Z
0
cos x · f (sin x)dx. (1)
Đặt x =cosu, ta có dx =−sin u du.
Đổi cận ta được M =−
0
Z
π
2
sinu · f (cosu)du =
π
2
Z
0
sin x · f (cos x)dx. (2)
Từ (1) và (2) ta được
2M =
π
2
Z
0
[
sin x · f (cos x) +cos x · f (sin x)
]
dx
⇒ 2M ≤
π
2
Z
0
2018
π
dx
⇒ M ≤
1009
2
.
Chọn đáp án B ä
Câu 145.
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đạo hàm đến cấp hai trên R. Biết hàm
số y = f (x) đạt cực trị tại x =−1, có đồ thị như hình vẽ và đường thẳng ∆ là tiếp
tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 2. Tính
4
Z
1
f
00
(x −2)dx
A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.
O
x
y
−1 1 2
−3
Th.s Nguyễn Chín Em 691 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Đường thẳng ∆ : y =3x −3. Vậy f
0
(2) =3.
Từ giả thiết ta có
4
Z
1
f
00
(x −2)dx =
2
Z
−1
f
00
(x )dx = f
0
(2)− f
0
(−1) =3−0 =3.
Chọn đáp án A ä
Câu 146. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R. Biết
x
2
Z
0
f (t)dt = e
x
2
+x
4
−1 với ∀x ∈ R. Giá trị của f (4)
là
A. f (2) = e
4
+4. B. f (2) =4e
4
. C. f (2) = e
4
+8. D. f (2) =1.
- Lời giải.
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x). Từ giả thiết ta có F(x
2
)−F(0) = e
x
2
+x
4
−1. Lấy đạo hàm
hai vế ta được 2x · f (x
2
) =2x e
x
2
+4x
3
⇔ f (x
2
) = e
x
2
+2x
2
.
Vậy f (4) = e
4
+8.
Chọn đáp án C ä
Câu 147. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn f
0
(x ) = f (x)+x
2
·e
x
+1, ∀x ∈R và f (0) =−1.
Tính f (3).
A. 6e
3
+3. B. 6e
2
+2. C. 3e
2
−1. D. 9e
3
−1.
- Lời giải.
Ta có
f
0
(x ) = f (x) +x
2
·e
x
+1 ⇔ f
0
(x ) =e
x
¡
f (x)e
−x
+x
2
+e
−x
¢
⇔ f
0
(x )e
−x
= f (x)e
−x
+x
2
+e
−x
⇔ f
0
(x )e
−x
− f (x)e
−x
= x
2
+e
−x
⇔
¡
f (x)e
−x
¢
0
= x
2
+e
−x
Suy ra
Z
3
0
¡
f (x)e
−x
¢
0
dx =
Z
3
0
¡
x
2
+e
−x
¢
dx ⇔
¡
f (x)e
−x
¢
¯
¯
¯
3
0
=
µ
x
3
3
−e
−x
¶
¯
¯
¯
3
0
⇔
f (3)
e
3
− f (0) =
µ
9−
1
e
3
¶
−
(
0−1
)
⇔ f (3) =9e
3
−1.
Chọn đáp án D ä
Câu 148. Cho hàm số f (x) liên tục, f (x) >0 và f (x)· f (a −x) =1 trên đoạn
[
0;a
]
. Tính I =
a
Z
0
dx
1+ f (x)
theo
a.
A. I =
3a
2
. B. I =2a. C. I =3a. D. I =
a
2
.
- Lời giải.
Đặt x = a −t ta có dx =−dt và I =
0
Z
a
−dt
1+ f ( a −t)
=
a
Z
0
f (t)dt
1+ f (t )
=
a
Z
0
dt −I.
Từ đó suy ra 2I =
a
Z
0
dt = a ⇔ I =
a
2
.
Chọn đáp án D ä
Th.s Nguyễn Chín Em 692 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 149. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên
h
0;
π
3
i
. Biết
π
4
Z
0
f (x)
[
f (x) −cos x
]
dx = −
1
16
−
π
32
,
π
3
Z
0
f (x)dx =
…
a
b
, a,b ∈N
∗
và
a
b
là phân số tối giản. Khi đó giá trị của a +b bằng
A. 12. B. −11. C. 19. D. 7.
- Lời giải.
π
4
Z
0
f (x)
[
f (x) −cos x
]
dx =−
1
16
−
π
32
⇔
π
4
Z
0
¡
f
2
(x ) −cos x · f (x)
¢
dx =
π
4
Z
0
µ
−
1
4
cos
2
x
¶
dx
⇔
π
4
Z
0
µ
f
2
(x ) −cos x · f (x)+
1
4
cos
2
x
¶
dx =0
⇔
π
4
Z
0
µ
f (x) −
1
2
cos x
¶
2
dx =0
⇔
µ
f (x) −
1
2
cos x
¶
2
=0
⇔ f (x) =
1
2
cos x.
Suy ra
π
3
Z
0
f (x)dx =
π
3
Z
0
1
2
cos x dx =
1
2
sin x
¯
¯
¯
¯
π
3
0
=
p
3
4
=
…
3
16
.
Vậy a +b =19.
Chọn đáp án C ä
Câu 150. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1], thỏa mãn f (0) =0, f (1) =1 và
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
e
x
dx =
1
e−1
. Tích phân
1
Z
0
f (x)dx bằng
A.
e−2
e−1
. B. 1. C.
1
(e−1)(e−2)
. D.
e−1
e−2
.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
f
0
(x )dx = f (x)
|
1
0
= f (1) − f (0) =1.
Ta tính tích phân sau
1
Z
0
Ã
f
0
(x )
p
e
x
−
p
e
x
e−1
!
2
dx =
1
Z
0
£
f
0
(x )
¤
2
e
x
dx −
2
e−1
1
Z
0
f
0
(x )dx +
1
(e−1)
2
1
Z
0
e
x
dx
=
1
e−1
−
2
e−1
+
e−1
(e−1)
2
=0
Từ đó suy ra
f
0
(x )
p
e
x
=
p
e
x
e−1
, ∀x ∈[0;1] hay f
0
(x ) =
e
x
e−1
, ∀x ∈[0;1].
Vậy f (x) =
Z
e
x
e−1
dx =
e
x
e−1
+C.
Th.s Nguyễn Chín Em 693 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Với f (0) =0 ta có C =
−1
e−1
hay f (x) =
e
x
−1
e−1
.
Do đó
1
Z
0
f (x)dx =
e
x
−x
e−1
¯
¯
¯
¯
1
0
=
e−2
e−1
.
Chọn đáp án A ä
Câu 151. Cho hàm số y = f (x) liên tục, có đạo hàm trên đoạn [0;1] và thỏa mãn đẳng thức sau f (x) +
2x f
¡
x
2
¢
+3x
2
f
¡
x
3
¢
=
p
1−x
2
, ∀x ∈[0;1]. Tính
1
Z
0
f (x)dx.
A.
π
4
. B.
π
24
. C.
π
36
. D.
π
12
.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
f (x)dx +
1
Z
0
2x f (x
2
)dx +
1
Z
0
3x
2
f (x
3
)dx =
1
Z
0
p
1−x
2
dx =
π
4
⇔
1
Z
0
f (x)dx +
1
Z
0
f (x
2
)d(x
2
)+
1
Z
0
f (x
3
)d(x
3
) =
π
4
⇔
1
Z
0
f (x)dx +
1
2
Z
0
2
f (x)dx +
1
3
Z
0
3
f (x)dx =3
1
Z
0
f (x)dx =
π
4
⇔
1
Z
0
f (x)dx =
π
12
.
Chọn đáp án D ä
4.1 ĐÁP ÁN
1. C 2. C 3. C 4. A 5. B 6. A
7. D
8. B 9. C 10. B
11. A 12. A 13. C 14. B 15. D 16. C 17. B 18. A 19. B 20. A
21. D 22. B 23. D 24. D 25. B 26. B 27. C 28. B 29. A 30. D
31. A 32. B 33. C 34. B 35. B 36. A 37. D 38. A 39. C 40. C
41. D 42. B 43. A 44. A 45. C 46. A 47. D 48. B 49. B 50. A
51. A 52. D 53. C 54. C 55. A 56. D 57. D 58. A 59. B 60. C
61. D 62. C 63. B 64. A 65. B 66. C 67. A 68. B 69. B 70. A
71. C 72. C 73. D 74. C 75. A 76. D
77. B
78. A 79. C 80. B
81. C 82. A 83. D 84. A 85. A 86. C 87. C 88. A 89. B 90. C
91. A 92. A 93. C 94. B 95. A 96. C 97. C 98. A 99. D 100. C
101. B 102. B 103. B 104. C 105. C 106. C 107. B 108. C 109. C 110. D
111. A 112. C 113. C 114. D 115. B 116. C 117. D 118. B 119. A 120. B
121. A 122. A 123. A 124. A 125. B 126. A 127. C 128. D 129. D 130. B
131. C 132. B 133. B 134. A 135. C 136. C 137. C 138. A 139. B 140. D
141. D 142. C 143. B 144. B 145. A 146. C 147. D 148. D 149. C 150. A
151. D
Th.s Nguyễn Chín Em 694 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
BÀI 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1 HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐƯỜNG CONG VÀ TRỤC HOÀNH
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f (x) liên tục, trục
hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức
b
Z
a
|
f (x)
|
dx
x
y
O
b
a
y = f (x)
2 HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI HAI ĐƯỜNG CONG
Cho hai hàm số y = f
1
(x ) và y = f
2
(x ) liên tục trên đoạn
[
a; b
]
. Gọi D là hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b.
Diện tích hình phẳng D được tính bởi công thức sau S =
b
Z
a
|
f
1
(x ) − f
2
(x )
|
dx
x
y
0
y = f
1
(x )
y = f
2
(x )
a
b
D
B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
1. Thể tích vật thể
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai
mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các
điểm a và b, S(x) là diện tích thiết diện
của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông
góc với trục Ox tại điểm x, (a ≤ x ≤
b). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên
đoạn [a ; b]. Khi đó, thể tích của vật thể
B được xác định: V =
b
Z
a
S(x)dx.
xa
b
x
S(x)
O
P
Q
2. Thể tích khối tròn xoay
1 Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x), trục hoành và
hai đường thẳng x =a, x = b quanh trục Ox:
(C): y = f (x)
Ox : y =0
x =a
x = b.
V
Ox
=π
b
Z
a
[f (x)]
2
dx .
x
y
O
a
b
y = f (x)
2 Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), trục tung và hai
Th.s Nguyễn Chín Em 695 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
đường thẳng y = c, y = d quanh trục O y:
(C): x = g(y)
O y: x =0
y = c
y = d.
V
O y
=π
d
Z
c
[g(y)]
2
dy.
x
y
O
a
b
x = g(y)
3 Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x), y = g(x)
(cùng nằm một phía so với Ox) và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục
Ox:
V =π
b
Z
a
¯
¯
f
2
(x ) − g
2
(x )
¯
¯
dx .
x
y
O
a
b
f (x)
g(x)
C DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP
1 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1.1 Diện tích hình phẳng
Hình phẳng (H) giới hạn bởi
(C
1
) : y = f (x )
(C
2
) : y = g(x)
x =a,x = b (a < b )
thì diện tích của
(H) được xác đinh bởi công thức S =
Z
b
a
|
f (x) − g (x)
|
dx .
x
y
O b
a
f (x)
g(x)
(H)
Phương pháp 1. Phương pháp đại số (phương pháp tự luận)
Giải phương trình hoành độ giao điểm f (x) = g(x) tìm nghiệm x
i
∈[a; b].
Lập bảng xét dấu f (x)−g(x), chẳng hạn
x
f (x) − g(x)
a
x
1
x
2
b
−
0
+
0
−
S =
b
Z
a
|f (x)−g(x)|dx =
x
1
Z
a
[f (x)−g(x)]dx +
x
2
Z
x
1
[g(x)− f (x)]dx +
b
Z
x
2
[f (x)−g(x)]dx.
Phương pháp 2. Phương pháp hình học (nếu 3 đường ta nên sử dụng hình học)
Th.s Nguyễn Chín Em 696 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
x
y
O b
a
(C
1
)
(C
2
)
S
Hình 1
x
y
O
x
1
x
2
d : y = ax +b
(C
1
) (C
2
)
Hình 2
Hình 1 do (C
1
) nằm trên (C
2
) nên S =
b
Z
a
[f
1
(x ) − f
2
(x )]dx.
Hình 2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường, trong [0;x
1
] thì (C
1
) nằm trên (C
2
) nằm dưới nên S
1
=
x
1
Z
0
[f
1
(x )−f
2
(x )]dx và trong [x
1
; x
2
] thì đường d nằm trên và (C
2
) nằm dưới nên S
2
=
x
2
Z
x
1
[ax+b−f
2
(x )]dx.
Khi đó diện tích hình 2 là S = S
1
+S
2
là phần gạch sọc như hình vẽ.
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau
(H) : {y = x
3
+11x −6, y =6x
2
, x =0, x =2}.
ĐS:
5
2
Lời giải: Phương tr ình hoành độ giao điểm: x
3
+11x −6 = 6x
2
⇔ x
3
−6x
2
+11x −6 = 0 ⇔
x =1
x =2
x =3 (loại).
Bảng xét dấu biểu thức x
3
−6x
2
+11x −6
x
x
3
−6x
2
+11x −6
0
1 2
−
0
+
S =
2
Z
0
|x
3
−6x
2
+11x −6|dx =−
1
Z
0
(x
3
−6x
2
+11x −6)dx +
2
Z
1
(x
3
−6x
2
+11x −6)dx =
5
2
.
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau
(H) : {y =sin x, y =cos x, x =0, x =π}.
. ĐS: 2
p
2
Lời giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm sin x =cos x ⇔tan x =1 ⇔ x =
π
4
.
Diện tích hình phẳng cần tính là:
S =
π
Z
0
|sin x −cos x|dx =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
π
4
Z
0
(sin x −cos x)dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
π
Z
π
4
(sin x −cos x)dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
(cos x +sin x)
¯
¯
¯
π
4
0
¯
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
¯
(cos x +sin x)
¯
¯
¯
π
π
4
¯
¯
¯
¯
=2
p
2.
Th.s Nguyễn Chín Em 697 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau
(H) : {y =
p
x +1, y =5−x, y =1}.
ĐS:
13
6
Lời giải: • Cách 1. Từ phương trình y =
p
x +1 ⇒ x = y
2
−1 (y ≥0); y =5−x ⇒ x =5− y.
Xét phương trình tung độ giao điểm: y
2
+ y −6 =0 ⇔
y =2
y =−3 (loại).
Diện tích hình phẳng cần tính là:
S =
2
Z
1
|y
2
+ y −6|dy =−
2
Z
1
(y
2
+ y −6)dy =−
µ
y
3
3
+
y
2
2
−6y
¶
¯
¯
¯
¯
2
1
=
23
3
−
31
6
=
13
6
.
• Cách 2. Vẽ đồ thị các hàm số y =
p
x +1, y = 5 − x,
y = 1 như hình bên. Giải các phương trình hoành độ
giao điểm từ đó ta được các giao điểm giữa các đồ thị
là (0;1), (3;2), (4,1).
Dựa vào đồ thị diện tích hình cần tính là miền gạch sọc
S =
3
Z
0
³
p
x +1−1
´
dx +
4
Z
3
(
5−x −1
)
dx =
13
6
.
x
y
O
1
2
−1 3 4
y =1
y =
p
x +1
y =5−x
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường thẳng sau
(H) : {y =min{x;2x −1;4 −x},Ox}.
ĐS:
55
12
Lời giải:
Vẽ đồ thị các hàm số y = x, y =2x −1, y =4−x như hình bên. Giải
các phương trình hoành độ giao điểm từ đó ta được các giao điểm
giữa các đồ thị là
µ
1
2
;1
¶
, (1;1), (2;2), (4;0).
Dựa vào đồ thị, diện tích hình cần tính là miền gạch sọc
S =
1
Z
1
2
(
2x −1
)
dx +
2
Z
1
xdx +
4
Z
2
(4−x)dx =
1
4
+
3
2
+2 =
15
4
.
x
y
O
1
2
4
1
2
1 2 4
y =2x −1
y = x
y =4−x
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau
1 (H) : {y = x
3
−x, y =2x, x =−1, x =1}. ĐS:
5
2
- Lời giải.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: x
3
−3x =0 ⇔
x =0 ∈[−1;1]
x =
p
3 ∉[−1;1]
x =−
p
3 ∉[−1;1].
Bảng xét dấu biểu thức x
3
−3x
Th.s Nguyễn Chín Em 698 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
x
x
3
−3x
−1
0
1
+
0
−
Diện tích hình phẳng cần tính là:
S =
1
Z
−1
|x
3
−3x|dx =
0
Z
−1
(x
3
−3x)dx+
1
Z
0
(−x
3
+3x)dx =
µ
1
4
x
4
−
3
2
x
2
¶
¯
¯
¯
¯
0
−1
+
µ
−
1
4
x
4
+
3
2
x
2
¶
¯
¯
¯
¯
1
0
=
5
4
+
5
4
=
5
2
.
ä
2 (H) : {y = x, y = x +sin
2
x, x =0, x =π}. ĐS:
π
2
- Lời giải.
Xét phương trình hoành độ giao điểm x = x +sin
2
x ⇔sin x =0 ⇔ x = kπ (k ∈Z).
Trên đoạn [0;π] phương trình có 2 nghiệm x =0, x =π.
S =
π
Z
0
sin
2
xdx =
1
2
π
Z
0
(1−cos2x)dx =
1
2
µ
x −
1
2
sin2x
¶
¯
¯
¯
¯
π
0
=
π
2
. ä
3 (H) : {y = x
3
−4x,Ox, x =−2, x =5}. ĐS:
473
4
- Lời giải.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: x
3
−4x =0 ⇔
x =0
x =±2.
Bảng xét dấu biểu thức x
3
−4x
x
x
3
−4x
−2
0
2
5
+
0
−
0
+
Diện tích hình phẳng cần tính là:
S =
5
Z
−2
|x
3
−4x|dx =
0
Z
−2
|x
3
−4x|dx +
2
Z
0
|x
3
−4x|dx +
5
Z
2
|x
3
−4x|dx
=
0
Z
−2
(x
3
−4x)dx −
2
Z
0
(x
3
−4x)dx +
5
Z
2
(x
3
−4x)dx
=
µ
1
4
x
4
−2x
2
¶
¯
¯
¯
¯
0
−2
−
µ
1
4
x
4
−2x
2
¶
¯
¯
¯
¯
2
0
+
µ
1
4
x
4
−2x
2
¶
¯
¯
¯
¯
5
2
= 4+4+
425
4
+4 =
473
4
.
ä
4 (H) : {y = x
4
−3x
2
−4,Ox,x =0, x =3}. ĐS:
144
5
- Lời giải.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: x
4
−3x
2
−4 =0 ⇔
x =2
x =−2 (loại).
Bảng xét dấu biểu thức x
4
−3x
2
−4
Th.s Nguyễn Chín Em 699 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
x
x
4
−3x
2
−4
0
2
3
−
0
+
Diện tích hình phẳng cần tính là:
S =
3
Z
0
|x
4
−3x
2
−4|dx =
2
Z
0
|x
4
−3x
2
−4|dx +
3
Z
2
|x
4
−3x
2
−4|dx
= −
2
Z
0
(x
4
−3x
2
−4)dx +
3
Z
2
(x
4
−3x
2
−4)dx
= −
µ
1
5
x
5
−x
3
−4x
¶
¯
¯
¯
¯
2
0
+
µ
1
5
x
5
−x
3
−4x
¶
¯
¯
¯
¯
3
2
=
48
5
+
48
5
+
48
5
=
144
5
.
ä
5 (H) : {y =cos
2
x,Ox,O y, x =π}. ĐS:
π
2
- Lời giải.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: cos
2
x =0 ⇔ x =
π
2
.
Diện tích hình phẳng cần tính là:
S =
π
Z
0
cos
2
xdx =
1
2
π
Z
0
(1+cos2x)dx =
1
2
µ
x +
1
2
sin2x
¶
¯
¯
¯
¯
π
0
=
π
2
. ä
6 (H) : {y = x
3
−x, y = x −x
2
}. ĐS:
37
12
- Lời giải.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: x
3
−x = x −x
2
⇔ x
3
+x
2
−2x =0 ⇔
x =0
x =1
x =−2.
Bảng xét dấu biểu thức x
3
+x
2
−2x
x
x
3
+ x
2
−2x
−2
0
1
+
0
−
Diện tích hình phẳng cần tính là:
S =
1
Z
−2
|x
3
+x
2
−2x|dx =
0
Z
−2
|x
3
+x
2
−2x|dx +
1
Z
0
|x
3
+x
2
−2x|dx
=
0
Z
−2
(x
3
+x
2
−2x)dx −
1
Z
0
(x
3
+x
2
−2x)dx
=
µ
1
4
x
4
+
1
3
x
3
−x
2
¶
¯
¯
¯
¯
0
−2
−
µ
1
4
x
4
+
1
3
x
3
−x
2
¶
¯
¯
¯
¯
1
0
Th.s Nguyễn Chín Em 700 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
=
8
3
+
5
12
=
37
12
.
ä
7 (H) : {y = x
2
+2x, y = x
3
}. ĐS:
37
12
- Lời giải.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: x
3
−x
2
−2x =0 ⇔
x =−1
x =0
x =2.
Bảng xét dấu biểu thức x
3
+x
2
−2x
x
x
3
− x
2
−2x
−1
0
2
+
0
−
Diện tích hình phẳng cần tính là:
S =
2
Z
−1
|x
3
−x
2
−2x|dx =
0
Z
−1
|x
3
−x
2
−2x|dx +
2
Z
0
|x
3
−x
2
−2x|dx
=
0
Z
−1
(x
3
−x
2
−2x)dx −
2
Z
0
(x
3
−x
2
−2x)dx
=
µ
1
4
x
4
−
1
3
x
3
−x
2
¶
¯
¯
¯
¯
0
−1
−
µ
1
4
x
4
−
1
3
x
3
−x
2
¶
¯
¯
¯
¯
2
0
=
5
12
+
8
3
=
37
12
.
ä
8 (H) : {y =−2x
3
+x
2
+x +5, y = x
2
−x +5}. ĐS: 1
- Lời giải.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: −2x
3
+2x =0 ⇔
x =0
x =±1.
Bảng xét dấu biểu thức −2x
3
+2x
x
−2x
3
+2x
−1
0
1
−
0
+
Diện tích hình phẳng cần tính là:
S =
1
Z
−1
|−2x
3
+2x|dx =
0
Z
−1
|−2x
3
+2x|dx +
1
Z
0
|−2x
3
+2x|dx
= −
0
Z
−1
(−2x
3
+2x)dx +
1
Z
0
(−2x
3
+2x)dx
Th.s Nguyễn Chín Em 701 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
= −
µ
−
1
2
x
4
+x
2
¶
¯
¯
¯
¯
0
−1
+
µ
−
1
2
x
4
+x
2
¶
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
2
+
1
2
=1.
ä
9 (H) : {y = x
4
−10x
2
+9,Ox}. ĐS:
784
15
- Lời giải.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: x
4
−10x
2
+9 =0 ⇔
x =±1
x =±3.
Bảng xét dấu biểu thức x
4
−10x
2
+9
x
x
4
−10x
2
+9
−3
−1 1
3
−
0
+
0
−
Diện tích hình phẳng cần tính là:
S =
3
Z
−3
|x
4
−10x
2
+9|dx =
−1
Z
−3
|x
4
−10x
2
+9|dx +
1
Z
−1
|x
4
−10x
2
+9|dx +
3
Z
1
|x
4
−10x
2
+9|dx
= −
−1
Z
−3
(x
4
−10x
2
+9)dx +
1
Z
−1
(x
4
−10x
2
+9)dx −
3
Z
1
(x
4
−10x
2
+9)dx
= −
µ
x
5
5
−
10
3
x
3
+9x
¶
¯
¯
¯
¯
−1
−3
+
µ
x
5
5
−
10
3
x
3
+9x
¶
¯
¯
¯
¯
1
−1
−
µ
x
5
5
−
10
3
x
3
+9x
¶
¯
¯
¯
¯
3
1
= −
µ
−
88
15
−
72
5
¶
+
µ
88
15
+
88
15
¶
−
µ
−
72
5
−
88
15
¶
=
784
15
.
ä
10 (H) : {y =(e+1)x, y =(1+e
x
)x }. ĐS:
e−2
2
- Lời giải.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: x(e
x
−e) =0 ⇔
x =0
x =1.
Diện tích hình phẳng cần tính là:
S =
1
Z
0
|x (e
x
−e)|dx =−
1
Z
0
x(e
x
−e)dx =−
1
Z
0
xe
x
dx +e
1
Z
0
xdx
=
1
Z
0
xde
x
+
e·x
2
2
¯
¯
¯
¯
1
0
=−
xe
x
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
e
x
dx
+
e
2
=−
µ
e−e
x
¯
¯
¯
1
0
¶
+
e
2
=
e−2
2
.
ä
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau
Th.s Nguyễn Chín Em 702 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
1 (H) : {y =
p
x +2, y =4−x , y =1}. ĐS:
13
6
- Lời giải.
• Cách 1. Từ phương tr ình y =
p
x +2 ⇒ x = y
2
−2 (y ≥0); y =4−x ⇒ x =4− y.
Xét phương trình tung độ giao điểm: y
2
+ y −6 =0 ⇔
y =2
y =−3 (loại).
Diện tích hình phẳng cần tính là:
S =
2
Z
1
|y
2
+ y −6|dy =−
2
Z
1
(y
2
+ y −6)dy =−
µ
y
3
3
+
y
2
2
−6y
¶
¯
¯
¯
¯
2
1
=
23
3
−
31
6
=
13
6
.
• Cách 2. Vẽ đồ thị các hàm số y =
p
x +2, y =4−x , y =1
như hình bên. Giải các phương trình hoành độ giao điểm
từ đó ta được các giao điểm giữa các đồ thị là (−1;1),
(2;2), (3,1).
Dựa vào đồ thị diện tích hình cần tính là miền gạch sọc
S =
2
Z
−1
³
p
x +2−1
´
dx +
3
Z
2
(
4−x −1
)
dx =
13
6
.
x
y
O
1
2
4
−1
2 3 4
y =1
y =
p
x +2
y =4−x
ä
2 (H) : {y =
p
x, y =2−x, y =0}. ĐS:
7
6
- Lời giải.
• Cách 1. Từ phương tr ình y =
p
x ⇒ x = y
2
(y ≥0); y =2−x ⇒ x =2 − y.
Xét phương trình tung độ giao điểm: y
2
+ y −2 =0 ⇔
y =1
y =−2 (loại).
Diện tích hình phẳng cần tính là:
S =
1
Z
0
|y
2
+ y −2|dy =−
1
Z
0
(y
2
+ y −2)dy =−
µ
y
3
3
+
y
2
2
−2y
¶
¯
¯
¯
¯
1
0
=
7
6
.
• Cách 2. Vẽ đồ thị các hàm số y =
p
x, y = 2 −x như hình bên. Giải các
phương trình hoành độ giao điểm từ đó ta được các giao điểm giữa các đồ
thị là (0;0), (1;1), (2,0).
Dựa vào đồ thị diện tích hình cần tính là miền gạch sọc
S =
1
Z
0
¡
p
x
¢
dx +
2
Z
1
(
2−x −1
)
dx =
2
3
+
1
2
=
7
6
.
x
y
O
1
2
1 2
y =
p
x
y =2−x
ä
3 (H) : {y = x
3
−3x, y =2, y = x}. ĐS:
11
4
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 703 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Vẽ đồ thị các hàm số y = x
3
−3x, y =2, y = x như hình bên. Giải các
phương tr ình hoành độ giao điểm từ đó ta được các giao điểm giữa
các đồ thị là (0;0), (−1;2), (2;2).
Dựa vào đồ thị, diện tích hình cần tính là miền gạch sọc
S =
0
Z
−1
¡
2−x
3
+3x
¢
dx +
2
Z
0
(2−x)dx =
3
4
+2 =
11
4
.
x
y
O
2
−2
−1 2
−2 1
ä
4 (H) : {y =min{x
2
−2x +1;2x +1},Ox}. ĐS:
7
12
- Lời giải.
Vẽ đồ thị các hàm số y = x
2
−2x +1, y = 2x +1 như
hình bên. Giải các phương trình hoành độ giao điểm
từ đó ta được các giao điểm giữa các đồ thị là
µ
−
1
2
;0
¶
,
(0;1), (1;0).
Dựa vào đồ thị, diện tích hình cần tính là miền gạch sọc
S =
0
Z
−
1
2
(
2x +1
)
dx +
1
Z
0
(x
2
−2x +1)dx =
1
4
+
1
3
=
7
12
.
x
y
O
1
−
1
2
1
y = x
2
−2x +1
y =2x +1
ä
1.2 Tìm vận tốc, gia tốc, quãng đường trong vật lí
Ví dụ 5. Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô
chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) =−4t +20 m/s trong đó t là khoảng thời gian tính bằng
giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được
bao nhiêu mét? Lời giải: Khi vật dừng lại thì v =0 ⇒−4t +20 =0 ⇔ t =5 s.
Quãng đường vật đi được trong thời gian này là:
s =
Z
5
0
v(t)dt =
Z
5
0
(−4t +20)dt =(−2t
2
+20t)
¯
¯
¯
5
0
=50 m.
Ví dụ 6. Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v
0
= 16 m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) =
t
2
+3t m/s
2
. Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 4 s kể từ lúc bắt đầu
tăng tốc. Lời giải: Ta có: v(t) =
Z
(t
2
+3t)dt =
t
3
3
+
3t
2
2
+C.
Khi đó v
0
=v (0) =C =16 ⇒ v(t) =
t
3
3
+
3t
2
2
+16.
Quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 4 s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là:
s =
Z
4
0
v(t)dt =
Z
4
0
µ
t
3
3
+
3t
2
2
+16
¶
dt =
µ
t
4
12
+
t
3
2
+16t
¶
¯
¯
¯
4
0
=
352
3
m.
Ví dụ 7.
Th.s Nguyễn Chín Em 704 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v km/h phụ thuộc
vào thời gian t h có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh
I
µ
3
2
;
25
4
¶
và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên.
Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.
t(h)
v(km/h)
O
1,5 3
4
25
4
Lời giải: Gọi phương trình vận tốc của vật là v(t) = at
2
+bt +c.
Khi đó đồ thị hàm số v = v(t) là một parabol có đỉnh I
µ
3
2
;
25
4
¶
và đi qua điểm A(0;4) nên có hệ
phương trình
−
b
2a
=
3
2
a ·
µ
3
2
¶
2
+b ·
3
2
+c =
25
4
4 = a ·0
2
+b ·0+c
⇔
a =−1
b =3
c =4
⇒v (t) =−t
2
+3t +4.
Do đó quãng đường vật di chuyển được trong thời gian 3 giờ là S =
Z
3
0
¡
−t
2
+3t +4
¢
dt =
33
2
km.
Ví dụ 8.
Một vật chuyển động với vận tốc v
0
= 15 m/s thì tăng tốc với gia tốc a
m/s
2
phụ thuộc thời gian t s có đồ thị là một phần của parabol có đỉnh
I(2;−4) và có trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính
quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng
tốc.
t(h)
v(km/h)
O
2
−4
Lời giải: Gọi phương trình gia tốc của vật là a(t) = at
2
+bt +c.
Đồ thị gia tốc đi qua điểm O(0;0) và có đỉnh (2;−4) nên ta có hệ phương trình sau
0 = a ·0
2
+b ·0+c
−
b
2a
=2
−4 = a ·2
2
+b ·2+c
⇔
a =1
b =−4
c =0
⇒a (t) = t
2
−4t.
Vận tốc của vật là: v(t) =
Z
a(t)dt =
Z
(t
2
−4t)dt =
t
3
3
−2t
2
+C. Vì v
0
=v (0) =15 ⇒ C =15.
Vật bắt đầu tăng tốc khi: a ≥0 ⇔ t
2
−4t ≥0 ⇔
t ≤0
t ≥4
. Vì t ≥0 nên vật bắt đầu tăng tốc khi t =4 s.
Quãng đường vật đi được sau 3 s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là s =
Z
7
4
µ
t
3
3
−2t
2
+15
¶
dt =
151
4
m.
Th.s Nguyễn Chín Em 705 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Bài 3. Một ô tô đang chạy với vận tốc 15 m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển
động chậm dần đều với vận tốc v(t ) =−5t +15 m/s trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc
bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét? ĐS:
45
2
m
- Lời giải.
Khi vật dừng lại thì v =0 ⇒−5t +15 =0 ⇔ t =3 s.
Quãng đường vật đi được trong thời gian này là:
s =
Z
3
0
v(t)dt =
Z
3
0
(−5t +15)dt =
µ
−
5
2
t
2
+15t
¶
¯
¯
¯
¯
3
0
=
45
2
m.
ä
Bài 4. Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) =150−15t m/s. Hỏi rằng trong 5 s trước khi dừng
hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét? ĐS:
375
2
m
- Lời giải.
Khi vật dừng lại thì v =0 ⇒150−15t =0 ⇔ t =10 s.
Quãng đường vật đi được trong 5 s trước khi dừng hẳn là
s =
Z
10
5
v(t)dt =
Z
10
5
(150−15t)dt =
µ
−
15
2
t
2
+150t
¶
¯
¯
¯
¯
10
5
=
375
2
m.
ä
Bài 5. Một ô tô đang chạy đều với vận tốc b m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó ô tô chuyển
động chậm dần đều với vận tốc v(t) =−4t+b m/s. Biết từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn thì ô tô di chuyển
được 50 m. Tìm vận tốc ban đầu b. ĐS: 20 m/s
- Lời giải.
Khi vật dừng lại thì v =0 ⇒−4t +b =0 ⇔ t =
b
4
s.
Quãng đường vật đi được trong thời gian này là:
50 =
Z
b
4
0
v(t)dt =
Z
b
4
0
(−4t +b)dt =(−2t
2
+bt)
¯
¯
¯
b
4
0
=
b
2
8
⇒ b
2
=400 ⇔ b =20 m/s.
ä
Bài 6. Một ô tô xuất phát với vận tốc v
1
(t) = 2t +12 m/s sau khi đi được khoảng thời gian t
1
thì bất ngờ
gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc v
2
(t) =24 −6t m/s và đi thêm một khoảng thời gian
t
2
nữa thì dừng lại. Hỏi từ khi xuất phát đến lúc dừng lại thì xe ô tô đã đi được bao nhiêu mét? ĐS: 156 m
- Lời giải.
Khi xe bắt đầu phanh thì vận tốc xe lúc đó là v =24 m/s ⇒2t
1
+12 =24 ⇔ t
1
=6 s.
Đến khi xe dừng lại thì v
2
=0 ⇔24−6t
2
=0 ⇔ t
2
=4 s.
Quãng đường ô tô đi được từ lúc xuất phát đến lúc dừng lại là
s =
Z
6
0
v
1
(t)dt +
Z
4
0
v
2
(t)dt =
Z
6
0
(2t +12)dt +
Z
4
0
(24−6t)dt =(t
2
+12t)
¯
¯
¯
6
0
+(24t −3t
2
)
¯
¯
¯
4
0
=156 m.
ä
Bài 7. Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v
0
=18 m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) = t
2
+5t m/s
2
.
Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. ĐS:
333
4
m
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 706 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có: v(t) =
Z
(t
2
+5t)dt =
t
3
3
+
5t
2
2
+C.
Khi đó v
0
=v (0) =C =18 ⇒ v(t) =
t
3
3
+
5t
2
2
+18.
Quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là:
s =
Z
3
0
v(t)dt =
Z
3
0
µ
t
3
3
+
5t
2
2
+18
¶
dt =
µ
t
4
12
+
5t
3
6
+18t
¶
¯
¯
¯
3
0
=
333
4
m.
ä
Bài 8. Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t ) = t
2
+5t m/s
2
. Tính quãng
đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. ĐS:
4300
3
m
- Lời giải.
Ta có: v(t) =
Z
(t
2
+3t)dt =
t
3
3
+
3t
2
2
+C.
Khi đó v
0
=v (0) =C =10 ⇒ v(t) =
t
3
3
+
3t
2
2
+10.
Quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 10 s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là:
s =
Z
10
0
v(t)dt =
Z
10
0
µ
t
3
3
+
3t
2
2
+10
¶
dt =
µ
t
4
12
+
t
3
2
+10t
¶
¯
¯
¯
10
0
=
4300
3
m.
ä
Bài 9.
Vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v km/h phụ thuộc vào thời gian
t h có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ
khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh
I(2;5) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại
đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường mà
vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
ĐS:
32
3
km
t(h)
v(km/h)
O
1 2 3 4
1
2
3
4
5
A
B
I
- Lời giải.
Gọi phương trình vận tốc của vật là v(t) = at
2
+bt +c.
Khi đó đồ thị hàm số v = v(t) là một parabol có đỉnh I
(
2;5
)
và đi qua điểm D(0;1) nên có hệ phương trình
−
b
2a
=2
a ·2
2
+b ·2+c =5
1 = a ·0
2
+b ·0+c
⇔
a =−1
b =4
c =1
⇒v (t) =−t
2
+4t +1.
Do đó quãng đường vật di chuyển được trong thời gian 3 giờ là S =
Z
1
0
¡
−t
2
+4t +1
¢
dt +4 ·(3 −1) =
32
3
km. ä
Bài 10.
Th.s Nguyễn Chín Em 707 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v km/h phụ thuộc thời gian t h có đồ
thị là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;9) và trục đối xứng song song với
trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.
ĐS:
99
4
km
t(h)
v(km/h)
O
2 3
6
9
- Lời giải.
Gọi phương trình vận tốc của vật là v(t) = at
2
+bt +c.
Khi đó đồ thị hàm số v = v(t) là một parabol có đỉnh I
(
2;9
)
và đi qua điểm D(0;6) nên có hệ phương trình
−
b
2a
=2
a ·2
2
+b ·2+c =9
6 = a ·0
2
+b ·0+c
⇔
a =−
3
4
b =3
c =6
⇒v (t) =−
3
4
t
2
+3t +6.
Do đó quãng đường vật di chuyển được trong thời gian 3 giờ là S =
Z
3
0
µ
−
3
4
t
2
+3t +6
¶
dt =
99
4
km. ä
Bài 11.
Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v km/h phụ thuộc thời gian t h có
đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu
chuyển động, đồ thị là một phần của parabol có đỉnh I(2;9) và trục đối xứng song
song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song
với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó.ĐS: 27
km
t(h)
v(km/h)
O
2 3 4
6
9
- Lời giải.
Gọi phương trình vận tốc của vật là v(t) = at
2
+bt +c.
Khi đó đồ thị hàm số v = v(t) là một parabol có đỉnh I
(
2;9
)
và đi qua điểm D(0;0) nên có hệ phương trình
−
b
2a
=2
a ·2
2
+b ·2+c =9
0 = a ·0
2
+b ·0+c
⇔
a =−
9
4
b =9
c =0
⇒v (t) =−
9
4
t
2
+9t.
Khi t =3 ⇒ v =v(3) =
27
4
m/s. Do đó quãng đường vật di chuyển được trong thời gian 4 giờ là
S =
Z
3
0
µ
−
9
4
t
2
+9t
¶
dt +
27
4
(4−3) =27 km.
ä
Bài 12.
Th.s Nguyễn Chín Em 708 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Một vật chuyển động trong t giờ với vận tốc v km/h phụ thuộc thời gian t h có
đồ thị của vận tốc là một hàm bậc ba như hình bên. Đồ thị hàm số đạt điểm cực
đại A(1;9). Tính quãng đường s mà vật di chuyển được cho đến thời điểm v =0.
ĐS:
243
16
km
t(h)
v(km/h)
O
1 2
9
4,5
- Lời giải.
Gọi phương trình vận tốc của vật là v(t) = at
3
+bt
2
+ct +d ⇒ v
0
(t) =3at
2
+2bt +c.
Đồ thị vận tốc đi qua điểm (0;0), A(1;9) và (2;4,5) nên ta có hệ phương trình sau
0 = a ·0
3
+b ·0
2
+c ·0+d
9 = a ·1
3
+b ·1
2
+c ·1+d
0 =3a ·1
2
+2b ·1+c
4,5 = a ·2
3
+b ·2
2
+c ·2+d
⇔
d =0
a +b +c =9
3a +2b +c =0
8a +4b +2c =
9
2
⇔
a =
9
4
b =−
27
2
c =
81
4
d =0
⇒v (t) =
9
4
t
3
−
27
2
t
2
+
81
4
t.
Khi v(t) =0 ⇔
9
4
t
3
−
27
2
t
2
+
81
4
t =0 ⇔
9
4
t(t
2
−6t +9) =0 ⇔
t =0
t =3.
Quãng đường vật chuyển động đến khi vận tốc bằng 0 là: s =
Z
3
0
µ
9
4
t
3
−
27
2
t
2
+
81
4
t
¶
dt =
243
16
km. ä
Bài 13.
Một vật chuyển động trong 4 giây với gia tốc a m/s
2
phụ thuộc thời gian t s có
đồ thị của gia tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi bắt đầu
chuyển động đồ thị là một parabol có đỉnh I(2;4) và trục đối xứng song song với
trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng. Tính quãng đường
s mà vật di chuyển được trong 4 giây đó. Biết rằng vận tốc của vật tại giây thứ 3
bằng 18 m/s. ĐS:
1715
36
m
t(h)
a(m/s
2
)
O
2 3
4
- Lời giải.
Gọi phương trình gia tốc của vật (trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động) là a
1
(t) =
at
2
+bt +c.
Đồ thị gia tốc đi qua điểm O(0;0) và có đỉnh (2;4) nên ta có hệ phương trình sau
0 = a ·0
2
+b ·0+c
−
b
2a
=2
4 = a ·2
2
+b ·2+c
⇔
a =−1
b =4
c =0
⇒a
1
(t) =−t
2
+4t.
Khi t =3 ⇒ a =a
1
(3) =−3
2
+4·3 =3 m/s
2
.
Gọi phương trình gia tốc kể từ thời điểm t =3 giây trở đi là a
2
(t) = dt +e.
Đồ thị gia tốc đi qua điểm (0;0) và (3,3) nên ta có hệ phương trình:
d ·0+e =0
d ·3+e =3
⇔
d =1
e =0
⇒a
2
(t) = t.
Th.s Nguyễn Chín Em 709 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Vận tốc của vật trước 3 giây là: v
1
(t) =
Z
a
1
(t)dt =
Z
(−t
2
+4t)dt =−
t
3
3
+2t
2
+C
1
.
Vì v(3) =18 ⇔−
3
3
3
+2·3
2
+C
1
=18 ⇔C
1
=9 ⇒ v
1
(t) =−
t
3
3
+2t
2
+9.
Vật tốc của vật sau 3 giây là v
2
(t) =
Z
a
2
(t)dt =
Z
tdt =
1
2
t
2
+C
2
.
Vì v(3) =18 ⇔
1
2
·3
2
+C
2
=18 ⇔C
2
=13,5 ⇒ v
2
(t) =
1
2
t
2
+13,5.
Quãng đường vật đi được sau 4 s kể từ lúc bắt đầu chuyển động là
s =
Z
3
0
µ
−
t
3
3
+2t
2
+9
¶
dt +
Z
4
3
µ
−
t
2
2
+13,5
¶
dt =
1715
36
m.
ä
2 THỂ TÍCH
2.1 Thể tích của vật thể
Tính thể tích của vật thể
1 Tính S(x).
2 Xác định cận a, b.
3 Tính tích phân V =
b
Z
a
S(x)dx.
Ví dụ 9. Tính thể tích khối lăng trụ, biết diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h.
Lời giải:
Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ, còn
hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại x =0 và
x = h (hình vẽ).
Hiển nhiên một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox, cắt lăng
trụ theo một thiết diện có diện tích không đổi S(x) = B (0 ≤ x ≤
h).
Áp dụng công thức tích thể tích vật thể, ta có:
V =
h
Z
0
S(x)dx =
h
Z
0
B dx =Bx
¯
¯
¯
h
0
=Bh.
x
A
0
D
0
A
B
O
D
B
0
C
0
C
h
x
S(x) =B
Ví dụ 10. Cho khối chóp cụt có chiều cao h, diện tích đáy nhỏ và đáy lớn theo thứ tự là S
0
, S
1
.
Chứng minh thể tích thể tích V của nó là V =
h
3
³
S
0
+S
1
+
p
S
0
S
1
´
.
Lời giải:
Th.s Nguyễn Chín Em 710 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
S(x)
S
1
=
³
x
b
´
2
⇒S(x) =
S
1
x
2
b
2
.
V =
b
Z
a
S
1
x
2
b
2
dx =
S
1
b
2
·
x
3
3
¯
¯
¯
b
a
=
S
1
3b
2
¡
b
3
−a
3
¢
=
S
1
(b −a)
3
¡
b
2
+ba +a
2
¢
b
2
.
Thay b − a = h và
³
a
b
´
2
=
S
0
S
1
, ta được V =
h
3
³
S
0
+S
1
+
p
S
0
S
1
´
.
z
y
O
xx
b
a
S
0
S(x)
S
1
Ví dụ 11. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x =3, có thiết diện bị
cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(1 ≤ x ≤ 3) là một hình chữ nhật có
hai kích thước bằng 3x và 2
p
3x
2
−2.
Lời giải: Diện tích thiết diện là S(x) =3x
p
3x
2
−2.
Suy ra thể tích vật thể tạo thành là
V =
3
Z
1
S(x)dx =
3
Z
1
3x
p
3x
2
−2dx =
1
2
3
Z
1
p
3x
2
−2d(3x
2
−2) =
1
3
p
(3x
2
−2)
3
¯
¯
¯
3
1
=
124
3
.
Bài 14. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = 3, có thiết diện bị cắt bởi
mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0 ≤ x ≤3) là một hình chữ nhật có hai kích thước
bằng x và 2
p
9−x
2
. ĐS: V =18.
- Lời giải.
Diện tích thiết diện là S(x) =2x
p
9−x
2
.
Suy ra thể tích vật thể tạo thành là
V =
3
Z
1
S(x)dx =
3
Z
1
2x
p
9−x
2
dx =−
3
Z
1
p
9−x
2
d(9−x
2
) =−
2
3
p
(9−x
2
)
3
¯
¯
¯
3
0
=18.
ä
Bài 15. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = π, biết rằng thiết diện của
vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤π) là một tam giác đều
cạnh là 2
p
sin x. ĐS: V =2
p
3.
- Lời giải.
Diện tích thiết diện là S(x) =
(2
p
sin x)
2
p
3
4
=
p
3sin x.
Suy ra thể tích vật thể tạo thành là
V =
π
Z
0
S(x)dx =
π
Z
1
p
3sin x dx =−
p
3cos x
¯
¯
¯
π
0
=2
p
3.
ä
Bài 16. Thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 2 biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi
mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤2) là một nửa hình tròn đường kính
p
5x
2
.
ĐS: V =4π.
Th.s Nguyễn Chín Em 711 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Diện tích thiết diện là S(x) =π
Ã
p
5x
2
2
!
2
=
5π
4
x
4
.
Suy ra thể tích vật thể tạo thành là
V =
2
Z
0
S(x)dx =
2
Z
0
5π
4
x
4
dx =
π
4
x
5
¯
¯
¯
2
0
=4π.
ä
Bài 17. Xét trong không gian Ox yz, tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = −1 và x =1 biết
rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(−1 ≤ x ≤ 1)
là một hình vuông cạnh là 2
p
1−x
2
. ĐS: V =
16
3
.
- Lời giải.
Diện tích của thiết diện là S(x) =
³
2
p
1−x
2
´
2
=4(1 −x
2
).
Vậy thể tích vật thể tạo thành là V =
1
Z
−1
4(1−x
2
)dx =4
µ
x −
x
3
3
¶
¯
¯
¯
1
−1
=
16
3
. ä
Bài 18. Xét trong không gian Oxyz, tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 1 và x = 4 biết
rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(1 ≤ x ≤4) là
một hình vuông cạnh là
p
x. ĐS: V =
15
2
.
- Lời giải.
Diện tích của thiết diện là S(x) =
¡
p
x
¢
2
= x.
Vậy thể tích vật thể tạo thành là V =
4
Z
1
xdx =
x
2
2
¯
¯
¯
4
1
=
15
2
. ä
Bài 19.
Một cái trống trường có bán kính các đáy là 30 cm, thiết diện vuông góc
với trục và cách đều hai đáy có bán kính 40 cm, chiều dài của trống là 1 m.
Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh của trống là các đường
parabol. Tính thể tích của cái trống. ĐS: V =425,2 lít.
1m
40cm
30cm
Parabol
- Lời giải.
Mặt phẳng đi qua trục của trống cẳt trống ta được hình. Chọn hệ trục
tọa độ như hình vẽ.
Parabol đi qua 3 điểm A(−5;3), (0;4), B(5;3) là y =−0,04x
2
+4.
Thiết diện vuông góc với trục của cái trống là một hình tròn.
Diện tích của thiết diện là S(x) = πR
2
= π(−0,04x
2
+ 4)
2
=
π
µ
1
625
x
4
−
8
25
x
2
+16
¶
.
Vậy thể tích của cái trống là
V =
5
Z
−5
S(x)dx =
5
Z
−5
π
µ
1
625
x
4
−
8
25
x
2
+16
¶
dx
= π
µ
1
625
·
x
5
5
−
8
25
·
x
3
3
+16x
¶
¯
¯
¯
5
−5
≈425,2.
x
y
O
−5 5
4
−4
A B
Th.s Nguyễn Chín Em 712 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
ä
Bài 20. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R. Tính thể tích vật thể tạo thành bởi đáy của hình trụ và mặt
phẳng qua đường kính đáy, biết mặt phẳng tạo với đáy một góc 45
◦
. ĐS: V =
2R
3
3
.
- Lời giải.
O
R
45
◦
x
45
◦
O
A
B
C
R
−R
x
Chọn trục tọa độ như hình vẽ, thiết diện vuông góc với Ox là tam giác vuông cân tại B.
Ta có AB =
p
OB
2
−OA
2
=
p
R
2
−x
2
⇒S(x) = S
4ABC
=
1
2
¡
R
2
−x
2
¢
.
Vậy thể tích vật thể tạo thành là V =
R
Z
−R
1
2
¡
R
2
−x
2
¢
dx =
1
2
µ
R
2
x −
x
3
3
¶
¯
¯
¯
R
−R
=
2R
3
3
. ä
Bài 21.
Một vật thể bằng gỗ có dạng khối trụ với bán kính đáy bằng
10cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng có giao tuyến với đáy là
một đường kính của đáy và tạo với đáy góc 45
◦
(như hình vẽ).
Tính thể tích V của khối gỗ bé. ĐS: V =
2000
3
cm
3
.
O
R
45
◦
45
◦
- Lời giải.
Chọn trục tọa độ như hình vẽ, thiết diện vuông góc với Ox là tam giác vuông cân tại
B.
Ta có AB =
p
OB
2
−OA
2
=
p
10
2
−x
2
⇒S(x) = S
4ABC
=
1
2
(100−x
2
).
Vậy thể tích vật thể tạo thành là V =
10
Z
−10
1
2
(100 − x
2
)dx =
1
2
µ
100x −
x
3
3
¶
¯
¯
¯
10
−10
=
2000
3
cm
3
.
x
45
◦
O
A
B
C
10
−10
x
ä
2.2 Tính thể tích của vật thể tròn xoay
1 Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x), trục hoành
và hai đường thẳng x =a, x = b quanh trục Ox: V
Ox
=π
b
Z
a
[f (x)]
2
dx .
2 Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), trục tung và
Th.s Nguyễn Chín Em 713 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục O y: V
O y
=π
d
Z
c
[g(y)]
2
dy.
Ví dụ 12. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y =
p
2+cosx, trục hoành và các đường thẳng
x =0, x =
π
2
. Khối tròn xoay tạo thanh khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
ĐS: V =π(π +1).
- Lời giải.
Ta có V
Ox
=π
π
2
Z
0
y
2
dx =π
π
2
Z
0
(2+cosx)dx =π(2x +sinx)
¯
¯
¯
π
2
0
=π(π +1). ä
Ví dụ 13. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y =
p
2+sinx, tr ục hoành và các đường thẳng
x =0, x =π. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
ĐS: V =2π(π +1).
- Lời giải.
Ta có V
Ox
=π
π
Z
0
y
2
dx =π
π
Z
0
(2+sinx)dx =π(2x −cosx)
¯
¯
¯
π
0
=2π(π +1). ä
Ví dụ 14. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y =e
x
, trục hoành và các đường thẳng x =0,
x =1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
Lời giải: Ta có V
Ox
=π
1
Z
0
y
2
dx =π
1
Z
0
e
2x
dx =π
e
2x
2
¯
¯
¯
1
0
=
π(e
2
−1)
2
.
Ví dụ 15. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y =
p
x
2
+1, tr ục hoành và các đường thẳng
x =0, x =1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
Lời giải: Ta có V
Ox
=π
1
Z
0
y
2
dx =π
1
Z
0
(x
2
+1)dx =π
µ
x
3
3
+x
¶
¯
¯
¯
1
0
=
4π
3
.
Bài 22. Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = x
2
−2x, y =0, x =0 và x =1. ĐS:
8π
15
- Lời giải.
Thể tích của khối tròn xoay cần tính là
V =π
1
Z
0
£
(x
2
−2x)
2
¤
dx =π
1
Z
0
¡
x
4
−4x
3
+4x
2
¢
dx =
µ
x
5
5
−x
4
+
4x
3
3
¶
¯
¯
¯
1
0
=
8π
15
.
x
y
O
1
−1
ä
Bài 23. Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi các đường
y =
2
x
, y =0, x =1 và x =4. ĐS: 3π
- Lời giải.
Thể tích của khối tròn xoay cần tính là
V =π
4
Z
1
µ
2
x
¶
2
dx =π
4
Z
1
4
x
2
dx =4π ·
µ
−
1
x
¶
¯
¯
¯
4
1
=3π.
x
y
O
1 4
Th.s Nguyễn Chín Em 714 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
ä
Bài 24. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0,
y = x
p
ln(x +1), x =1 xung quanh trục Ox. ĐS:
π
18
(12ln2 −5)
- Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm x
p
ln(x +1) =0 ⇔ x =0.
Từ đó suy ra thể tích của khối tròn xoay cần tính là
V =π
1
Z
0
³
x
p
ln(x +1)
´
2
dx =π
1
Z
0
x
2
ln(x +1)dx =
1
3
πx
3
ln(x +1)
¯
¯
¯
1
0
−
1
3
π
µ
x
3
3
−
x
2
2
+x −ln(x +1)
¶
¯
¯
¯
1
0
=
π
18
(12ln2−5).
ä
Bài 25.
Một bác thợ gốm làm một cái lọ có dáng khối tròn xoay được tạo thành
khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
p
x +1 (đồ thị như hình
vẽ bên dưới) và trục Ox quay quanh trục Ox. Biết đáy lọ và miệng lọ có
đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm. Tính thể tích V của lọ. ĐS:
V =
15π
2
dm
3
x
y
O
y =
p
x +1
1
2
3−1
- Lời giải.
Đáy lọ có đường kính bằng 2 dm ứng với x =0, miệng lọ có đường kính
bằng 4 dm ứng với x =3.
Từ đó suy ra thể tích của khối tròn xoay cần tính là
V =π
3
Z
0
(
x +1
)
dx =π
µ
x
2
2
+x
¶
¯
¯
¯
3
0
=
15π
2
.
x
y
O
y =
p
x +1
1
2
3−1
ä
Bài 26.
Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn
bởi các đường y =
p
x, y =0 và x =4 quanh trục Ox. Đường thẳng x = a,
(0 < a < 4) cắt đồ thị hàm y =
p
x tại M (hình vẽ bên). Gọi V
1
là thể tích
khối tròn xoay tạo thành khi quay 4OMH quanh trục Ox. Biết V =2V
1
.
Tính a. ĐS: a =3
x
y
O
y =
p
x
4
H
a
M
- Lời giải.
Ta có V =π
4
Z
0
xdx =π
µ
x
2
2
¶
¯
¯
¯
4
0
=8π. Từ đó suy ra V
1
=4π.
Mà V
1
=
1
3
π ·4a nên suy ra a =3. ä
Bài 27.
Coi cái trống trường là vật thể giới hạn bởi một mặt cầu bán kính R = 0,5
m và hai mặt phẳng song song cách đều tâm I. Biết chiều cao của trống là
h =0,8 m. Tính thể tích V của cái trống. ĐS: V =
59π
375
m
3
R
h
2
I
Th.s Nguyễn Chín Em 715 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta coi phần hình cầu bị cắt là chỏm cầu có chiều cao h
1
=0,1 m, nên V
chỏm cầu
=πh
2
1
µ
R −
h
1
3
¶
.
Ta có V
trống
=V
cầu
−2V
chỏm cầu
=
4
3
πR
3
−2π(h
1
)
2
µ
R −
h
1
3
¶
=
59π
375
.
ä
Bài 28.
Cho hai đường tròn (O
1
;5) và (O
2
;3) cắt nhau tại hai điểm A và B sao cho AB là
một đường kính của đường tròn (O
2
). Gọi (D) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
hai đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần gạch chéo như hình vẽ). Quay (D)
quanh tr ục O
1
O
2
, ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay
được tạo thành? ĐS: V =
40π
3
O
1
O
2
A
B
- Lời giải.
Lập hệ trục toạ độ với gốc là O
1
, tia Ox trùng với tia O
1
O
2
ta có miền D giới
hạn bởi các đường y =
p
25−x
2
, y =
p
9−(x −4)
2
, x =4, x =7.
Từ đó suy ra thể tích của khối tròn xoay cần tính là
V = π
7
Z
4
£
9−(x −4)
2
¤
dx −π
5
Z
4
¡
25−x
2
¢
dx
= π
·
9x −
(x −4)
3
3
¸
¯
¯
¯
7
4
−π
µ
25x −
x
3
3
¶
¯
¯
¯
5
4
=
40π
3
.
x
y
4 5 7
O
2
O
1
A
B
ä
Bài 29.
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi
1
4
cung tròn có bán kính R =2, đường
cong y =
p
4−x và trục hoành, x =3 (miền tô đậm như hình). Tính thể tích
V khối tạo thành khi cho (H) quay quanh Ox. ĐS: V =
77π
6
O
x
y
−2
2
3
- Lời giải.
Thể tích của khối tròn xoay cần tính là
V = π
0
Z
−2
³
p
4−x
2
´
2
dx +π
3
Z
0
³
p
4−x
´
2
dx =π
0
Z
−2
¡
4−x
2
¢
dx +π
3
Z
0
(4−x)dx
= π
µ
4x −
x
3
3
¶
¯
¯
¯
0
−2
+π
µ
4x −
x
2
2
¶
¯
¯
¯
3
0
=
16π
3
+
15π
2
=
77π
6
.
ä
Bài 30.
Th.s Nguyễn Chín Em 716 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới
đây. Người ta đo được đường kính của miệng ly là 4 cm và chiều cao là 6cm.
Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol.
Tính thể tích V (cm
3
) của vật thể đã cho. ĐS: V =12π
A B
I
O
4 cm
6 cm
- Lời giải.
Cái ly chính bằng vật thể tròn xoay sinh bởi miền D giới hạn bởi
các đường y =
…
2x
3
, y =0, x =0, x =6 khi quay quanh trục Ox.
Từ đó suy ra thể tích của khối tròn xoay cần tính là
V =π
6
Z
0
µ
2x
3
¶
dx =π
µ
x
2
3
¶
¯
¯
¯
6
0
=12π.
x
y
O
y =
…
2
3
x
6
2
ä
Bài 31.
Ta vẽ hai nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường kính
của nửa đường tròn lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn
nhỏ. Biết rằng nửa hình tròn đường kính AB có diện tích là 8π
và
BAC =30
◦
. Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành
khi quay hình (H) (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng AB.
ĐS: V =
98π
3
A
B
C
H
- Lời giải.
Nửa đường tròn đường kính AB có diện tích bằng 8π, suy ra
R =
AB
2
=4.
Lập hệ trục toạ độ như hình vẽ bên, nhận thấy đường thẳng
AC có phương trình y =
1
p
3
x +
4
p
3
(d).
Đường tròn lớn có phương trình x
2
+ y
2
=16.
Đường tròn nhỏ có phương trình (x +2)
2
+ y
2
=4.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) với đường tròn lớn
là
x
2
+
µ
1
p
3
x +
4
p
3
¶
2
=16 ⇔ x
2
+2x −8 =0 ⇔
x =−4
x =2.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) với đường tròn nhỏ
là
(x +2)
2
+
µ
1
p
3
x +
4
p
3
¶
2
=4 ⇔ x
2
+5x +4 =0 ⇔
x =−1
x =−4.
x
y
OA
B
C
H
−1 2
−4 4
Th.s Nguyễn Chín Em 717 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Từ đó ta suy ra thể tích khối tròn xoay cần tính bằng
V = π
2
Z
−1
µ
x
p
3
+
4
p
3
¶
2
dx +π
4
Z
2
¡
16−x
2
¢
dx −π
0
Z
−1
£
4−(x +2)
2
¤
dx
= π
µ
(x +4)
3
9
¶
¯
¯
¯
2
−1
+π
µ
16x −
x
3
3
¶
¯
¯
¯
4
2
−π
µ
−2x
2
−
x
3
3
¶
¯
¯
¯
0
−1
=
98π
3
.
ä
Bài 32. Tính thể tích V của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y = x
2
và đường
thẳng d : y = x quay xung quanh trục Ox. ĐS: V =
2π
15
- Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm là x
2
= x ⇔ x
2
−x =0 ⇔
x =0
x =1.
Ta thấy trong khoảng [0;1] thì x
2
≥ x
4
. Vậy thể tích vật thể tạo thành là
V =π
1
Z
0
¯
¯
¯
(x
2
)
2
−(x)
2
¯
¯
¯
dx =π
1
Z
0
¯
¯
x
4
−x
2
¯
¯
dx =π
1
Z
0
¡
x
2
−x
4
¢
dx =π
µ
x
3
3
−
x
5
5
¶
¯
¯
¯
1
0
=
2π
15
.
O
x
y
1
1
ä
Bài 33. Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C): y =−x
2
+4x và đường thẳng d : y = x. Tính
thể tích V của vật thể tròn xoay do hình phẳng (H) quay xung quanh trục hoành. ĐS: V =
108π
5
- Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm là −x
2
+4x = x ⇔ x
2
−3x =0 ⇔
x =0
x =3.
Vậy thể tích vật thể tạo thành là
V = π
3
Z
0
¯
¯
¯
(−x
2
+4x)
2
−(x)
2
¯
¯
¯
dx = π
3
Z
0
¡
x
4
−8x
3
+15x
2
¢
dx =
π
µ
x
5
5
−2x
4
+5x
3
¶
¯
¯
¯
3
0
=
108π
5
.
O
x
y
3
3
ä
Bài 34. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục hoành Ox hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của hai hàm số y = x
2
−4x +6 và y =−x
2
−2x +6. ĐS: V =3π
- Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm là x
2
−4x +6 =−x
2
−2x +6 ⇔ x
2
−x =0 ⇔
x =0
x =1.
Vậy thể tích vật thể tạo thành là
V =π
1
Z
0
¯
¯
¯
(−x
2
−2x +6)
2
−(x
2
−4x +6)
2
¯
¯
¯
dx =π
1
Z
0
¡
12x
3
−36x
2
+24x
¢
dx =π
¡
3x
4
−12x
3
+12x
2
¢
¯
¯
¯
1
0
=3π.
O
x
y
3
1
6
ä
Th.s Nguyễn Chín Em 718 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Bài 35. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x
2
và
y =
p
x xung quanh trục hoành Ox. ĐS: V =
3π
10
- Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm là x
2
=
p
x ⇔
x =0
x =1.
Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là
V =π
1
Z
0
¯
¯
¯
(
p
x)
2
−(x
2
)
2
¯
¯
¯
dx =π
1
Z
0
¡
x −x
4
¢
dx =π
µ
1
2
x
2
−
1
5
x
5
¶
¯
¯
¯
1
0
=
3π
10
.
O
x
y
1
1
ä
Bài 36. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x
2
, y =0, x =2. Tính thể tích V của khối tròn xoay
thu được khi quay (H) quanh trục Ox. ĐS: V =
32π
5
- Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm là x
2
=0 ⇔ x =0.
Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là
V =π
2
Z
0
¯
¯
(x
2
)
2
¯
¯
dx =π
2
Z
0
x
4
dx =π
µ
1
5
x
5
¶
¯
¯
¯
2
0
=
32π
5
.
O
x
y
4
2
ä
Bài 37.
Tính thể tích của khối elip (E):
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1, (a > b >0) khi xoay
quanh trục
1 Trục hoành Ox. ĐS:
4π
3
ab
2
2 Trục tung O y. ĐS:
4π
3
a
2
b
−a a
−b
b
O
x
y
- Lời giải.
1 Trục hoành Ox. Elip giao với Ox: y =0 ⇒
x
2
a
2
=1 ⇔ x
2
=a
2
⇔ x =±a.
Từ phương trình elip ⇒
y
2
b
2
=1 −
x
2
a
2
⇔ y
2
= b
2
µ
1−
x
2
a
2
¶
.
V
Ox
= π
a
Z
−a
y
2
dx = π
a
Z
−a
b
2
µ
1−
x
2
a
2
¶
dx = 2πb
2
a
Z
0
µ
1−
x
2
a
2
¶
dx = 2πb
2
µ
x −
x
3
3a
2
¶
¯
¯
¯
a
0
= 2πb
2
³
a −
a
3
´
=
4π
3
ab
2
.
Vậy V
Ox
=
4π
3
ab
2
.
2 Trục tung O y. Elip giao với trục O y, x =0 là
y
2
b
2
=1 ⇔ y
2
= b
2
⇔ y =±b.
Từ phương trình elip ⇒
a
2
a
2
=1 −
y
2
b
2
⇒ x
2
=a
2
µ
1−
y
2
b
2
¶
.
Th.s Nguyễn Chín Em 719 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
V
O y
= π
b
Z
−b
x
2
dy = π
b
Z
−b
a
2
µ
1−
y
2
b
2
¶
dy = 2πa
2
b
Z
0
µ
1−
y
2
b
2
¶
dy = 2πa
2
µ
y −
y
3
3b
2
¶
¯
¯
¯
b
0
= 2πa
2
µ
b −
b
3
¶
=
4π
3
a
2
b. Vậy V
O y
=
4π
3
a
2
b.
ä
Bài 38.
Tính thể tích của khối elip (E):
x
2
16
+
y
2
9
=1 khi xoay (E) xung quanh
trục
1 Trục hoành Ox. ĐS: V =48π
2 Trục tung O y. ĐS: V =64π
−4 4
−3
3
O
x
y
- Lời giải.
1 Trục hoành Ox. Áp dụng công thức bài 31 ta có V
Ox
=
4π
3
ab
2
, mà a =4, b =3.
Vậy V
Ox
=
4π
3
·4·3
2
=48π.
2 Trục tung O y. Áp dụng công thức bài 31 ta có V
O y
=
4π
3
a
2
b, mà a =4, b =3.
Vậy V
O y
=
4π
3
·4
2
·3 =64π.
ä
Bài 39.
Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho phần gạch sọc như hình vẽ xoay xung
quanh
1 Trục hoành Ox. ĐS:
(19ln4 −9)π
3ln4
2 Trục tung O y. ĐS:
(7ln
2
2−12ln2+6)π
3ln
2
2
O
x
y
y =−x +3
y =2
x
2
1
3
1
- Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm là 2
x
= 3 −x ⇔ 2
x
+x −3 =0 ⇔ x =1 (vì hàm số f (x) =2
x
+x −3 đồng
biến và f (1) =0).
1 Trục hoành Ox. Dễ thấy trong đoạn [0;1] thì 3−x ≥2 ≥2
x
⇒3 −x ≥2
x
.
Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là
V
Ox
=π
1
Z
0
¯
¯
(3−x)
2
−(2
x
)
2
¯
¯
dx =π
1
Z
0
£
(3−x)
2
−(2
x
)
2
¤
dx =π
µ
−
(3−x)
3
3
−
4
x
ln4
¶
¯
¯
¯
1
0
=
(19ln4 −9)π
3ln4
.
2 Trục tung O y.
2
x
= y ⇔ x =log
2
y =
ln y
ln2
.
Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là V
O y
=π
2
Z
1
µ
ln y
ln2
¶
2
dy +π
3
Z
2
(3− y)
2
dy = A +B.
Th.s Nguyễn Chín Em 720 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
B =π
3
Z
2
(3− y)
2
dy =π
µ
−
(3− y)
3
3
¶
¯
¯
¯
3
2
=
π
3
.
A =
π
ln
2
2
2
Z
1
ln
2
ydy =
π
ln
2
2
·M,trong đó M =
2
Z
1
ln
2
ydy.
Đặt
u
1
=ln
2
y
dv
1
= dy
⇒
du
1
=
2ln y
y
dy
v
1
= y
⇒ M =
¡
yln
2
y
¢
¯
¯
¯
2
1
−
2
Z
1
2ln y dy =2ln
2
2−N.
Ta đi tính N =
2
Z
1
2ln y dy.
Đặt
u
2
=2ln y
dv
2
= dy
⇒
du
2
=
2
y
dy
v
2
= y
⇒ N =
(
2yln y
)
¯
¯
¯
2
1
−
2
Z
1
2dy =
(
2yln y −2y
)
¯
¯
¯
2
1
=4ln2−2.
Ta có M =2ln
2
2−N =2ln
2
2−4ln2+2.
Khi đó V
O y
= A +B =
(7ln
2
2−12ln2+6)π
3ln
2
2
.
ä
D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1 NHẬN BIẾT
Câu 1. Cho hàm số y = f (x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b]. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị của hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x =a, x = b. Gọi S là diện tích của (H). Chọn khẳng
định sai.
A. S =−
b
Z
a
f (x)dx. B. S =
b
Z
a
f (x)dx. C. S =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
b
Z
a
f (x)dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. D. S =
b
Z
a
|f (x)|dx.
- Lời giải.
Do hàm số y = f (x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] nên S =−
b
Z
a
f (x)dx là công thức sai.
Chọn đáp án A ä
Câu 2. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y = x −1, x =0, x = 2 và trục Ox. Diện tích S của hình
phẳng D được tính bởi công thức
A. S =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2
Z
0
(x −1)dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. B. S =
2
Z
0
(1−x)dx. C. S =
2
Z
0
|x −1|dx. D. S =
2
Z
0
(x −1)dx.
- Lời giải.
Theo lí thuyết sách giáo khoa chọn S =
2
Z
0
|x −1|dx.
Chọn đáp án C ä
Câu 3. Cho hàm số y = f (x ) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f (x), y = g(x) và hai đường x = a , x = b. Diện tích hình phẳng được tính theo công thức nào sau
đây?
A. S =
b
Z
a
|f (x)+g(x)|dx. B. S =
b
Z
a
[f (x)−g(x)]dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 721 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
C. S =
b
Z
a
|f (x)−g(x)|dx. D. S =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
b
Z
a
(f (x)−g(x))dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
- Lời giải.
Câu hỏi lý thuyết.
Chọn đáp án C ä
Câu 4. Cho hàm số y = f (x) và y = g (x) liên tục trên đoạn
[
a; b
]
. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
các hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b(a < b). Diện tích S của hình phẳng D được tính bằng công
thức
A. S =
b
Z
a
[
f (x) − g (x)
]
dx . B. S =
b
Z
a
[
g(x)− f (x)
]
dx .
C. S =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
b
Z
a
[
f (x) − g (x)
]
dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. D. S =
b
Z
a
|
f (x) − g (x)
|
dx .
- Lời giải.
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f (x) và y = g(x), các đường
thẳng x = a, x = b là S =
b
Z
a
|
f (x) − g (x)
|
dx .
Chọn đáp án D ä
Câu 5. Viết công thức tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x =0 và x =ln4, bị cắt bởi mặt
phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x(0 ≤ x ≤ln4), có thiết diện là một hình vuông có độ
dài là
p
xe
x
.
A. V =π
ln4
Z
0
xe
x
dx . B. V =
ln4
Z
0
p
xe
x
dx . C. V =
ln4
Z
0
xe
x
dx . D. V =π
ln4
Z
0
[x e
x
]
2
dx .
- Lời giải.
Thể tích của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(a ≤ x ≤ b) có thiết
diện S(x) là
V =
b
Z
a
S(x)dx.
Do đó V =
ln4
Z
0
xe
x
dx .
Chọn đáp án C ä
Câu 6. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b ) được tính theo công thức
A. S =π
b
Z
a
f (x)dx. B. S =
b
Z
a
f (x)dx. C. S =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
b
Z
a
f (x)dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. D. S =
b
Z
a
|
f (x)
|
dx .
- Lời giải.
Áp dụng công thức.
Chọn đáp án D ä
Câu 7. Cho hình phẳng ( H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = −x
2
+3x −2, trục hoành và hai đường thẳng
x =1, x =2. Quay (H) xung quanh trục hoành được khối tròn xoay có thể tích là
Th.s Nguyễn Chín Em 722 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. V =
2
Z
1
¯
¯
x
2
−3x +2
¯
¯
dx . B. V =
2
Z
1
¯
¯
x
2
−3x +2
¯
¯
2
dx .
C. V =π
2
Z
1
¡
x
2
−3x +2
¢
2
dx . D. V =π
2
Z
1
¯
¯
x
2
−3x +2
¯
¯
dx .
- Lời giải.
Theo công thức tính thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường
thẳng x = a, x = b (a < b) là V =π
b
Z
a
(
f (x)
)
2
dx .
Chọn đáp án C ä
Câu 8. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn
[
a; b
]
. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) là
A. S =
b
Z
a
f
2
(x )dx. B. S =
b
Z
a
|
f (x)
|
dx . C. S =π
b
Z
a
f
2
(x )dx. D.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
S =
b
Z
a
f
2
(x )dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
- Lời giải.
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
(a <b) là S =
b
Z
a
|
f (x)
|
dx .
Chọn đáp án
B ä
Câu 9. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn
[
a; b
]
. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x ),
trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b; V là thể tích của khối tròn xoay tạo đuợc khi quay (H) quanh
trục Ox. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. V =π
b
Z
a
|
f (x)
|
dx . B. V =
b
Z
a
f
2
(x )dx. C. V =π
b
Z
a
f
2
(x )dx. D. V =
b
Z
a
|
f (x)
|
dx .
- Lời giải.
Áp dụng công thức ta có V =π
b
Z
a
f
2
(x )dx.
Chọn đáp án C ä
Câu 10. Cho hai hàm số y = f (x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b (a < b ). Diện tích S của hình phẳng D được tính theo công
thức
A. S =
b
Z
a
[
f (x) − g (x)
]
dx . B. S =
b
Z
a
[
g(x)− f (x)
]
dx .
C. S =
b
Z
a
|
f (x) − g (x)
|
dx . D. S =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
b
Z
a
f (x) − g (x)dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
- Lời giải.
Công thức đúng là S =
b
Z
a
|
f (x) − g (x)
|
dx
Chọn đáp án C ä
Câu 11. Cho các hàm số y = f (x) và y = g(x) liên tục trên đoạn
[
a; b
]
. Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị các hàm số y = f (x), y = g (x) và các đường thẳng x = a; x = b . Diện tích S được tính theo công thức
Th.s Nguyễn Chín Em 723 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. S =
b
Z
a
|
f (x) − g (x)
|
dx . B. S =
¯
¯
¯
b
Z
a
(
f (x) − g (x)
)
dx
¯
¯
¯
.
C. S =
b
Z
a
|
f (x)
|
dx −
b
Z
a
|
g(x)
|
dx . D. S =
b
Z
a
[
f (x) − g (x)
]
dx .
- Lời giải.
Công thức diện tích hình phẳng là S =
b
Z
a
|
f (x) − g (x)
|
dx .
Chọn đáp án A ä
Câu 12. Hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn
[
a; b
]
, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm
số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức
A. S =
b
Z
a
|
f (x)
|
dx . B. S =
b
Z
a
f (x)dx. C. S =
a
Z
b
|
f (x)
|
dx . D. S =
a
Z
b
f (x)dx.
- Lời giải.
Định nghĩa diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng
x =a, x = b.
Chọn đáp án A ä
Câu 13. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f (x), trục hoành, hai đường thẳng x = a, x = b,(a < b) được tính bởi công thức
A.
b
Z
a
f (x)dx. B.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
b
Z
a
f (x)dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. C.
b
Z
a
f
2
(x )dx. D.
b
Z
a
|
f (x)
|
dx .
- Lời giải.
Định lí SGK.
Chọn đáp án D ä
Câu 14. Cho hai hàm số y = f (x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a ; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi
các đồ thị hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b(a < b ). Diện tích S của hình phẳng D được tính theo
công thức
A. S =
b
Z
a
[
f (x) − g (x)
]
dx . B. S =
b
Z
a
[
g(x)− f (x)
]
dx .
C. S =
b
Z
a
|
f (x) − g (x)
|
dx . D. S =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
b
Z
a
[
|f (x)−g(x)|
]
dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
- Lời giải.
Chọn S =
b
Z
a
|
f (x) − g (x)
|
dx .
Chọn đáp án C ä
Câu 15. Cho hàm số y = f (x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hai hàm số y = f (x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x = b được tính bởi công thức
A. S =
b
Z
a
|f (x)−g(x)|dx. B. S =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
b
Z
a
[f (x)−g(x)]dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Th.s Nguyễn Chín Em 724 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
C. S =
b
Z
a
|f (x)+g(x)|dx. D. S =
b
Z
a
|f (x)|dx +
b
Z
a
|g(x)|dx.
- Lời giải.
Theo định nghĩa sách giáo khoa ta có S =
b
Z
a
|f (x)−g(x)|dx.
Chọn đáp án A ä
Câu 16.
Tổng diện tích S = S
1
+S
2
+S
3
trong hình vẽ được tính bằng tích
phân nào sau đây?
x
y
O
c
d
a
b
S
1
S
3
S
2
A. S =
b
Z
a
f (x)dx. B. S =
c
Z
a
f (x)dx −
d
Z
c
f (x)dx +
b
Z
d
f (x)dx.
C. S =
c
Z
a
f (x)dx +
d
Z
c
f (x)dx −
b
Z
d
f (x)dx. D. S =
c
Z
a
f (x)dx +
d
Z
c
f (x)dx +
b
Z
d
f (x)dx.
- Lời giải.
Từ hình vẽ, ta thấy
S
1
=
c
Z
a
f (x)dx
S
2
=
d
Z
c
[
−f (x)
]
dx
S
3
=
b
Z
d
f (x)dx
⇒S =
c
Z
a
f (x)dx −
d
Z
c
f (x)dx +
b
Z
d
f (x)dx.
Chọn đáp án B ä
Câu 17. Công thức tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x) liên tục, trục hoành
và hai đường thẳng x = a và x = b là
A. S =π
b
Z
a
f
2
(x )dx. B. S =
b
Z
a
|
f (x)
|
dx .
C. S =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
b
Z
a
f (x)dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. D. S =π
b
Z
a
|
f (x)
|
dx .
- Lời giải.
Công thức tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x) liên tục, trục hoành và hai
đường thẳng x = a và x = b là S =
b
Z
a
|
f (x)
|
dx .
Chọn đáp án B ä
Câu 18. Cho hai hàm số y = f (x) và y = g (x) cùng liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hai hàm số y = f (x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b). Diện tích của D được tính
Th.s Nguyễn Chín Em 725 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
theo công thức
A.
b
Z
a
|
f (x) − g (x)
|
dx . B.
b
Z
a
(
f (x) − g (x)
)
dx . C.
b
Z
a
(
g(x)− f (x)
)
dx . D. π
b
Z
a
|
f (x) − g (x)
|
dx .
- Lời giải.
Diện tích của D được tính theo công thức
b
Z
a
|
f (x) − g (x)
|
dx .
Chọn đáp án A ä
Câu 19.
Cho hình phẳng trong hình bên (phần tô đậm) quay quanh tr ục
hoành. Thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức
nào trong các công thức sau đây?
x
y
O
a
b
y = f (x)
y = g(x)
A. V =π
b
Z
a
£
g
2
(x ) − f
2
(x )
¤
dx . B. V =π
b
Z
a
[f (x)−g(x)]
2
dx .
C. V =π
b
Z
a
[f (x)−g(x)]dx. D. V =π
b
Z
a
£
f
2
(x ) − g
2
(x )
¤
dx .
- Lời giải.
Thể tích khối tròn xoay trên được tính theo công thức V =π
b
Z
a
¯
¯
f
2
(x ) − g
2
(x )
¯
¯
dx .
Vì ta thấy đồ thị f (x) luôn nằm phía trên đồ thị g(x) trên [a; b] nên f (x) ≥ g(x),∀x ∈[a; b].
Vậy V =π
b
Z
a
£
f
2
(x ) − g
2
(x )
¤
dx .
Chọn đáp án D ä
Câu 20. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ a;b] . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm
số y = f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b (a < b) . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi
quay D quanh trục hoành được tính theo công thức
A. V =2
b
Z
a
[
f (x)
]
2
dx . B. V =2π
2
b
Z
a
f (x)dx.
C. V =2π
2
b
Z
a
[
f (x)
]
2
dx . D. V =π
b
Z
a
[
f (x)
]
2
dx .
- Lời giải.
Theo lý thuyết.
Chọn đáp án D ä
Câu 21. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x =a, x = b (a < b). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay
D quanh trục hoành được tính theo công thức
A. V =π
b
Z
a
[f (x)]
2
dx . B. V =2π
2
b
Z
a
[f (x)]
2
dx .
Th.s Nguyễn Chín Em 726 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
C. V =2
b
Z
a
[f (x)]
2
dx . D. V =2π
2
b
Z
a
f (x)dx.
- Lời giải.
Theo công thức (6) trang 120 SGK Giải tích 12 cơ bản, ta chọn V =π
b
Z
a
[f (x)]
2
dx .
Chọn đáp án A ä
Câu 22. Thể tích khối tròn xoay có được khi quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
p
x, y =
0, x =0, x =1 bằng
A. V =
π
2
. B. V =
2π
3
. C. V =
2
3
. D. V =
1
2
.
- Lời giải.
V =π
1
Z
0
¡
p
x
¢
2
dx =π
1
Z
0
xdx =
π
2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 23. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b(a < b). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D
quanh trục hoành được tính theo công thức
A. V =π
2
b
Z
a
f
2
(x )dx. B. V =π
b
Z
a
f
2
(x )dx. C. V =π
2
b
Z
a
f (x)dx. D. V =2π
b
Z
a
f
2
(x )dx.
- Lời giải.
Theo công thức trong sách giáo khoa, thì công thức tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh
trục hoành là V =π
b
Z
a
f
2
(x )dx.
Chọn đáp án B ä
Câu 24. Thể tích khối tròn xoay tạo được do hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
x
4
; y =0; x =1; x =4
quay quanh trục Ox là
A.
21π
16
. B.
15
16
. C.
21
16
. D.
15π
8
.
- Lời giải.
Thể tích của khối tròn xoay là V =π
4
Z
1
³
x
4
´
2
dx =
πx
3
48
¯
¯
¯
¯
4
1
=
21π
16
.
Chọn đáp án A ä
Câu 25. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay D
quanh trục hoành được tính theo công thức
A. V =
b
Z
a
f (x
2
)dx . B. V =π
b
Z
a
f (x
2
)dx . C. V =π
b
Z
a
f
2
(x )dx. D. V =
b
Z
a
f
2
(x )dx.
- Lời giải.
Theo lý thuyết SGK.
Chọn đáp án C ä
Câu 26. Cho hàm số (C): y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Xét hình phẳng ( H) giới hạn bởi các đường
(C); y =0; x = a; x = b. Quay (H) quanh trục Ox ta được một khối tròn xoay có thể tích là
Th.s Nguyễn Chín Em 727 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A.
b
Z
a
f
2
(x )dx. B.
b
Z
a
|
f (x)
|
dx . C. π
b
Z
a
f
2
(x )dx. D. π
b
Z
a
|
f (x)
|
dx .
- Lời giải.
Khối tròn xoay có thể tích là V =π
b
Z
a
f
2
(x )dx.
Chọn đáp án C ä
Câu 27. Cho hàm số y =π
x
có đồ thị (C). Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và hai đường
thẳng x = 2, x =3. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính bởi công
thức
A. V =π
2
3
Z
2
π
x
dx . B. V =π
3
3
Z
2
π
x
dx . C. V =π
3
Z
2
π
2x
dx . D. V =π
2
Z
3
π
2x
dx .
- Lời giải.
Ta có V =π
3
Z
2
¡
π
x
¢
2
dx =π
3
Z
2
π
2x
dx .
Chọn đáp án C ä
Câu 28. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =e
x
, y =0, x =0, x =2. Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A. S =π
2
Z
0
e
2x
dx . B. S =
2
Z
0
e
x
dx . C. S =π
2
Z
0
e
x
dx . D. S =
2
Z
0
e
2x
dx .
- Lời giải.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e
x
, y = 0, x = 0, x = 2 được tính theo công thức S =
2
Z
0
¯
¯
e
x
¯
¯
dx =
2
Z
0
e
x
dx .
Chọn đáp án B ä
Câu 29. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y =2
x
, y =0, x =0, x =2. Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A. S =
Z
2
0
2
x
dx . B. S =π
Z
2
0
2
2x
dx . C. S =
Z
2
0
2
2x
dx . D. S =π
Z
2
0
2
x
dx .
- Lời giải.
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y =2
x
, y =0, x =0, x =2 là S =
2
Z
0
2
x
dx .
Chọn đáp án A ä
Câu 30. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x
2
+3, y = 0, x =0, x = 2. Gọi V là thể tích của
khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. V =π
2
Z
0
(x
2
+3)
2
dx . B. V =π
2
Z
0
(x
2
+3)dx . C. V =
2
Z
0
(x
2
+3)
2
dx . D. V =
2
Z
0
(x
2
+3)dx .
- Lời giải.
Thể tích của khối tròn xoay cần tìm là V =π
2
Z
0
(x
2
+3)
2
dx .
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 728 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 31. Cho hình phẳng
(
H
)
giới hạn bởi các đường thẳng y = x
2
+2, y =0, x =1, x =2. Gọi V là thể tích
của khối tròn xoay được tạo thành khi quay
(
H
)
xung quanh trục Ox. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. V =π
2
Z
1
(x
2
+2)
2
dx . B. V =
2
Z
1
(x
2
+2)
2
dx . C. V =π
2
Z
1
(x
2
+2)dx . D. V =
2
Z
1
(x
2
+2)dx .
- Lời giải.
Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh Ox là V =π
2
Z
1
(x
2
+2)
2
dx .
Chọn đáp án A ä
Câu 32. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x), trục hoành, x =2 và x =3 là
A. S =
3
Z
2
f
2
(x )dx. B. S =
3
Z
2
|f (x)|dx. C. S =π
3
Z
2
f (x)dx. D. S =π
3
Z
2
f
2
(x )dx.
- Lời giải.
Do giả thiết suy ra diện tích hình phẳng bằng S =
3
Z
2
|f (x)|dx.
Chọn đáp án B ä
Câu 33. Tính diện tích S của hình phẳng (phần gạch sọc) trong hình sau
x
y
g(x) = x −2
f (x) =
p
x
O
2 4
A. S =
8
3
. B. S =
10
3
. C. S =
11
3
. D. S =
7
3
.
- Lời giải.
Dựa vào hình vẽ, ta có hình phẳng được giới hạn bởi các đường
y =
p
x
y = x −2
y =0.
Suy ra S =
2
Z
0
p
xdx +
4
Z
2
(
p
x −x +2)dx =
10
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 34. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y =
p
2+cosx, trục hoành và các đường thẳng x = 0,
x =
π
2
. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành.
A. V =π −1. B. V =π +1. C. V =π(π −1). D. V =π(π +1).
- Lời giải.
Thể tích khối tròn xoay khi quay D quanh trục hoành
V =π
π
2
Z
0
y
2
dx =π
π
2
Z
0
(2+cosx)dx =π
(
2x +sin x
)
¯
¯
¯
π
2
0
=π(π +1).
Th.s Nguyễn Chín Em 729 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án D ä
Câu 35. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b]. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x),
trục Ox, các đường thẳng x =a, x = b và V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox,
khẳng định nào sau đây đúng?
A. V =π
b
Z
a
[f (x)]
2
dx . B. V =π
b
Z
a
f (x)dx. C. V =
b
Z
a
[f (x)]
2
dx . D. V =
b
Z
a
f (x)dx.
- Lời giải.
The công thức thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là V =π
b
Z
a
[f (x)]
2
dx .
Chọn đáp án A ä
Câu 36. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y =3
x
, y = 0, x =0 và x =3. Thể tích V của khối
tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox được định bởi công thức
A. V =π
3
Z
0
3
x+1
dx . B. V =
3
Z
0
3
x+1
dx . C. V =π
3
Z
0
9
x
dx . D. V =
3
Z
0
9
x
dx .
- Lời giải.
Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh tr ục Ox được định bởi công thức
V =π
3
Z
0
y
2
dx =π
3
Z
0
9
x
dx .
Chọn đáp án C ä
Câu 37. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y =4
x
, y = 0, x =1 và x =3. Thể tích V của khối
tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox được định bởi công thức
A. V =π
3
Z
1
4
2x
dx . B. V =
3
Z
1
4
x+1
dx . C. V =π
3
Z
1
4
2x+1
dx . D. V =
3
Z
1
16
x
dx .
- Lời giải.
Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh tr ục Ox được định bởi công thức
V =π
3
Z
1
y
2
dx =π
3
Z
1
4
2x
dx .
Chọn đáp án A ä
Câu 38. Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn
bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b), xung quanh trục Ox.
A. V =π
b
Z
a
f
2
(x ) dx. B. V =
b
Z
a
f
2
(x ) dx. C. V =π
b
Z
a
f (x) dx. D. V =π
b
Z
a
|f (x)|dx.
- Lời giải.
Thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục
Ox và hai đường thẳng x =a, x = b; (a < b), xung quanh trục Ox được tính theo công thức V =π
b
Z
a
f
2
(x ) dx.
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 730 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 39. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D
quanh trục hoành được tính theo công thức
A. V =π
b
Z
a
f
2
(x )dx. B. V =2π
b
Z
a
f
2
(x )dx. C. V =π
2
b
Z
a
f
2
(x )dx. D. V =π
2
b
Z
a
f (x)dx.
- Lời giải.
Đây chỉ là công thức theo lý thuyết của sách giáo khoa: V =π
b
Z
a
f
2
(x )dx.
Chọn đáp án A ä
Câu 40. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =e
x
, y =0, x =0, x =2. Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A. S =π
2
Z
0
e
2x
dx . B. S =
2
Z
0
e
x
dx . C. S =π
2
Z
0
e
x
dx . D. S =
2
Z
0
e
2x
dx .
- Lời giải.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e
x
, y = 0, x = 0, x = 2 được tính theo công thức S =
2
Z
0
¯
¯
e
x
¯
¯
dx =
2
Z
0
e
x
dx .
Chọn đáp án B ä
Câu 41. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y =2
x
, y =0, x =0, x =2. Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A. S =
Z
2
0
2
x
dx . B. S =π
Z
2
0
2
2x
dx . C. S =
Z
2
0
2
2x
dx . D. S =π
Z
2
0
2
x
dx .
- Lời giải.
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y =2
x
, y =0, x =0, x =2 là S =
2
Z
0
2
x
dx .
Chọn đáp án
A ä
Câu 42. Cho hình phẳng
(
H
)
giới hạn bởi các đường thẳng y = x
2
+2, y =0, x =1, x =2. Gọi V là thể tích
của khối tròn xoay được tạo thành khi quay
(
H
)
xung quanh trục Ox. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. V =π
2
Z
1
(x
2
+2)
2
dx . B. V =
2
Z
1
(x
2
+2)
2
dx . C. V =π
2
Z
1
(x
2
+2)dx . D. V =
2
Z
1
(x
2
+2)dx .
- Lời giải.
Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh Ox là V =π
2
Z
1
(x
2
+2)
2
dx .
Chọn đáp án A ä
Câu 43.
Th.s Nguyễn Chín Em 731 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Hình phẳng được gạch sọc trong hình vẽ sau
đây có diện tích là:
A. S =
c
Z
a
|f (x)−g(x)|dx +
c
Z
b
|f (x)−h(x)|dx.
B. S =
c
Z
a
|h(x)− g(x)|dx +
c
Z
b
|h(x)− f (x)|dx.
C. S =
b
Z
a
|f (x)−g(x)|dx +
c
Z
b
|f (x)−h(x)|dx.
D. S =
b
Z
a
|h(x)− g(x)|dx +
c
Z
b
|h(x)− f (x)|dx.
- Lời giải.
S =
b
Z
a
|f (x)−g(x)|dx +
c
Z
b
|f (x)−h(x)|dx.
Chọn đáp án C ä
x
y
O
a
b
c
y = f (x)
y = g(x)
y = h(x)
Câu 44. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số y = f (x), trục hoành, đường thẳng x = a và đường thẳng x =b là
A. S =π
b
Z
a
f
2
(x )dx. B. S =
b
Z
a
|f (x)|dx. C. S =
b
Z
a
f (x)dx. D. S =π
b
Z
a
|f (x)|dx.
- Lời giải.
Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành, đường thẳng x = a và đường
thẳng x = b là S =
b
Z
a
|f (x)|dx.
Chọn đáp án B ä
Câu 45.
Diện tích của hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ
thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a,
x = b
(
a < b
)
(phần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức
A. S =
b
Z
a
f (x)dx.
B. S =−
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx.
C. S =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
b
Z
a
f (x)dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
D. S =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx.
O
x
y
ca
b
(C): y = f (x)
- Lời giải.
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có
S =
b
Z
a
|f (x)|dx =
c
Z
a
[0− f (x)]dx +
b
Z
c
[f (x)−0]dx =−
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 732 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án B ä
Câu 46. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =(x +2)
2
, y =0, x =1, x =3 là
A. 30. B. 18. C.
98
3
. D. 21.
- Lời giải.
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Khi đó S =
3
Z
1
(x +2)
2
dx =
1
3
(x +2)
3
¯
¯
¯
3
1
=
98
3
.
Chọn đáp án C ä
Câu 47.
Cho đồ thị hàm số y = f (x) như hình vẽ.
Diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
f (x) và trục Ox (phần gạch sọc) được tính bởi công thức
A. S =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
3
Z
−3
f (x)dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. B. S =
3
Z
−3
f (x)dx.
C. S =
1
Z
−3
f (x)dx −
3
Z
1
f (x)dx. D. S =
1
Z
−3
f (x)dx +
3
Z
1
f (x)dx.
x
y
O
−3 1 3
2
y = f (x)
- Lời giải.
Từ đồ thị hàm số ta thấy f (x) Ê0 với x ∈[−3;1], f (x) É0 với x ∈[1;3].
Do đó S =
3
Z
−3
|f (x)|dx =
1
Z
−3
|f (x)|dx +
3
Z
1
|f (x)|dx =
1
Z
−3
f (x)dx −
3
Z
1
f (x)dx.
Chọn đáp án C ä
Câu 48. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường
thẳng x = a, x = b,
(
a < b
)
có diện tích S là
A. S =
b
Z
a
|f (x)|dx. B. S =
b
Z
a
f (x)dx. C. S =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
b
Z
a
f (x)dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. D. S =π
b
Z
a
f
2
(x )dx.
- Lời giải.
Diện tích S của hình phẳng là S =
b
Z
a
|f (x)|dx.
Chọn đáp án A ä
Câu 49. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x =−1; x =1
được tính bởi công thức nào dưới đây?
A.
1
Z
−1
f (x)dx. B.
1
Z
−1
|f (x)|dx. C. π
1
Z
−1
f
2
(x )dx. D.
1
Z
−1
f
2
(x )dx.
- Lời giải.
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có S =
1
Z
−1
|f (x)|dx.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 733 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 50. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b], trục hoành và các đường
thẳng x = a, x = b quay quanh trục hoành tạo thành vật thể tròn xoay có thể tích bằng
A.
b
Z
a
f
2
(x )dx. B. π
b
Z
a
f
2
(x )dx. C. π
b
Z
a
|f (x)|dx. D. π
b
Z
a
f (x)dx.
- Lời giải.
Câu hỏi lý thuyết chọn “π
b
Z
a
f
2
(x )dx”.
Chọn đáp án B ä
Câu 51. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số
y =sin x, trục Ox, trục O y và đường thẳng x =
π
2
, xung quanh trục Ox. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. V =
π
2
Z
0
sin
2
xdx. B. V =
π
2
Z
0
sin x dx. C. V =π
π
2
Z
0
sin
2
xdx. D. V =π
π
2
Z
0
sin x dx.
- Lời giải.
Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y =sin x, các đường thẳng y =0, x =0, x =
π
2
.
Khi (H) quay xung quanh trục Ox được vật thể tròn xoay có thể tích V =π
π
2
Z
0
sin
2
xdx.
Chọn đáp án C ä
Câu 52. Cho hàm số f
(
x
)
liên tục trên R và thỏa mãn
6
Z
0
f
(
x
)
dx =7,
10
Z
3
f
(
x
)
dx =8,
6
Z
3
f
(
x
)
dx =9. Giá trị
của I =
10
Z
0
f
(
x
)
dx bằng
A. I =5. B. I =6. C. I =7. D. I =8.
- Lời giải.
Ta có
10
Z
3
f
(
x
)
dx =
6
Z
3
f
(
x
)
dx +
10
Z
6
f
(
x
)
dx ⇔
10
Z
6
f
(
x
)
dx =
10
Z
3
f
(
x
)
dx −
6
Z
3
f
(
x
)
dx =8−9 =−1
Khi đó I =
10
Z
0
f
(
x
)
dx =
6
Z
0
f
(
x
)
dx +
10
Z
6
f
(
x
)
dx =7−1 =6.
Chọn đáp án B ä
Câu 53. Cho các hàm số y = f
(
x
)
và y = g
(
x
)
liên tục trên
[
a; b
]
và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định
sau, khẳng định nào sai?
A.
a
Z
a
k f
(
x
)
dx =0. B.
b
Z
a
x f
(
x
)
dx = x
b
Z
a
f
(
x
)
dx .
C.
b
Z
a
[
f
(
x
)
+ g
(
x
)
]
dx =
b
Z
a
f
(
x
)
dx +
b
Z
a
g
(
x
)
dx . D.
b
Z
a
f
(
x
)
dx =−
a
Z
b
f
(
x
)
dx .
- Lời giải.
Dựa vào các đáp án ta dễ dàng nhận thấy các đáp án A, C, D đúng, đáp án B sai.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 734 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 54. Cho I =
π
3
Z
0
sin x cos
2
xdx, khẳng định nào sau đây đúng?
A. 0 < I <
1
3
. B.
1
3
< I <
1
2
. C.
1
2
< I <
2
3
. D.
2
3
< I <1.
- Lời giải.
Ta có I =−
π
3
Z
0
cos
2
xd(cos x) =−
cos
3
x
3
¯
¯
¯
¯
π
3
0
=−
1
3
³
cos
3
π
3
−cos
3
0
´
=
7
24
.
Chọn đáp án A ä
Câu 55. Tính tích phân I =
ln2
Z
0
¡
e
4x
+1
¢
dx .
A. I =
15
4
+ln2. B. I =4 +ln2. C. I =
17
4
+ln2. D. I =
15
2
+ln2.
- Lời giải.
Ta có I =
µ
1
4
e
4x
+x
¶
¯
¯
¯
¯
ln2
0
=
µ
1
4
e
4ln2
+ln2
¶
−
1
4
=
15
4
+ln2.
Chọn đáp án A ä
Câu 56. Biết
5
Z
2
f (x)dx =3,
5
Z
2
g(x)dx =9. Tích phân
5
Z
2
[
f (x) + g (x)
]
dx bằng
A. 10. B. 3. C. 6. D. 12.
- Lời giải.
Ta có
5
Z
2
[
f (x) + g (x)
]
dx =
5
Z
2
f (x)dx +
5
Z
2
g(x)dx =3 +9 =12.
Chọn đáp án D ä
Câu 57. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =sin2x và F
³
π
4
´
=1. Tính F
³
π
6
´
.
A. F
³
π
6
´
=
1
2
. B. F
³
π
6
´
=
5
4
. C. F
³
π
6
´
=0. D. F
³
π
6
´
=
3
4
.
- Lời giải.
Ta có F
³
π
6
´
=F
³
π
4
´
−
π
4
Z
π
6
f (x)dx =F
³
π
4
´
−
π
4
Z
π
6
sin2x dx = F
³
π
4
´
−
1
2
cos2x
¯
¯
¯
π
4
π
6
=
3
4
.
Chọn đáp án D ä
Câu 58. Tích phân
2
Z
1
(x +3)
2
dx bằng
A. 61. B.
61
3
. C.
61
9
. D. 4.
- Lời giải.
2
Z
1
(x +3)
2
dx =
2
Z
1
(x +3)
2
d(x +3) =
(x +3)
3
3
¯
¯
¯
2
1
=
61
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 59. Giả sử f (x) và g(x) là các hàm số bất kỳ liên tục trên R và a, b, c là các số thực. Mệnh đề nào sau
đây sai?
Th.s Nguyễn Chín Em 735 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A.
b
Z
a
f (x)dx +
c
Z
b
f (x)dx +
a
Z
c
f (x)dx =0. B.
b
Z
a
c f (x)dx = c
b
Z
a
f (x)dx.
C.
b
Z
a
f (x)g(x)dx =
b
Z
a
f (x)dx ·
b
Z
a
g(x)dx. D.
b
Z
a
(
f (x) − g (x)
)
dx +
b
Z
a
g(x)dx =
b
Z
a
f (x)dx.
- Lời giải.
Theo tính chất trong sách giáo khoa thì
b
Z
a
f (x)g(x)dx =
b
Z
a
f (x)dx ·
b
Z
a
g(x)dx sai.
Chọn đáp án
C ä
Câu 60. Cho hàm số f (x) liên tục trên khoảng (−2;3). Gọi F(x ) là một nguyên hàm của f (x) trên khoảng
(−2;3). Tính I =
2
Z
−1
[
f (x) +2x
]
dx , biết F(−1) =1, F(2) =4.
A. I =6. B. I =10. C. I =3. D. I =9.
- Lời giải.
I =
2
Z
−1
f (x)dx +
2
Z
−1
2x dx = F(x)
|
2
−1
+ x
2
¯
¯
2
−1
=F(2)−F(−1)+4−1 =4 −1+3 =6.
Chọn đáp án A ä
Câu 61. Cho f (x) và g (x) là các hàm số liên tục trên đoạn [ a;b ]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
b
Z
a
|f (x)+g(x)|dx =
b
Z
a
|f (x)|dx +
b
Z
a
|g(x)|dx. B.
b
Z
a
(f (x)·g(x))dx =
b
Z
a
f (x)dx ·
b
Z
a
g(x)dx.
C.
b
Z
a
[
f (x) + g (x)
]
dx =
b
Z
a
f (x)dx +
b
Z
a
g(x)dx. D.
b
Z
a
|
f (x) + g (x)
|
dx =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
b
Z
a
[
f (x) + g (x)
]
dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
- Lời giải.
Theo tính chất của tích phân ta có
b
Z
a
[
f (x) + g (x)
]
dx =
b
Z
a
f (x)dx +
b
Z
a
g(x)dx.
Chọn đáp án C ä
Câu 62. Cho f (x) và g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b] và h, k là các hằng số. Mệnh đề nào sau
đây đúng?
A.
b
Z
a
[
h f (x)−kg(x)
]
dx = h
b
Z
a
f (x)dx −k
b
Z
a
g(x)dx.
B.
a
Z
b
[
f (x) − g (x)
]
dx =
b
Z
a
[
f (x) − g (x)
]
dx .
C.
b
Z
a
[h +k f (x)]dx = h +k
b
Z
a
f (x)dx.
D.
b
Z
a
[
f (x) · g(x)
]
dx = f (x )
b
Z
a
g(x)dx.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 736 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Theo tính chất của tích phân ta có
b
Z
a
[
h f (x)−kg(x)
]
dx = h
b
Z
a
f (x)dx −k
b
Z
a
g(x)dx.
Chọn đáp án A ä
Câu 63. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [1;2], f (1) =1 và f (2) =2.
Tính I =
Z
2
1
f
0
(x )dx
A. I =1. B. I =−1. C. I =3. D. I =
7
2
.
- Lời giải.
I =
Z
2
1
f
0
(x )dx = f (x)
¯
¯
¯
2
1
= f (2) − f (1) =1.
Chọn đáp án A ä
Câu 64. Tích phân
2
Z
0
dx
x +3
bằng
A.
16
225
. B. log
5
3
. C. ln
5
3
. D.
2
15
.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
dx
x +3
=ln
¯
¯
x +3
¯
¯
¯
¯
¯
2
0
=ln|2+3|−ln|0+3|=ln
5
3
.
Chọn đáp án C ä
Câu 65. Cho f , g là hai hàm liên tục trên [1;3] thỏa:
3
Z
1
[
f (x) +3g(x)
]
dx = 10,
3
Z
1
[
2f (x)−g(x)
]
dx = 6.
Tính
3
Z
1
[
f (x) + g (x)
]
dx .
A. 9. B. 6. C. 7. D. 8.
- Lời giải.
Ta có
3
Z
1
[
f (x) +3g(x)
]
dx =10 ⇔
3
Z
1
f (x)dx +3
3
Z
1
g(x)dx =10.
Tương tự
3
Z
1
[
2f (x)−g(x)
]
dx =6 ⇔2
3
Z
1
f (x)dx −
3
Z
1
g(x)dx =6.
Xét hệ phương trình
u +3v =10
2u −v =6
⇔
u =4
v =2
, trong đó u =
3
Z
1
f (x)dx, v =
3
Z
1
g(x)dx.
Khi đó
3
Z
1
[
f (x) + g (x)
]
dx =
3
Z
1
f (x)dx +
3
Z
1
g(x)dx =4 +2 =6.
Chọn đáp án B ä
Câu 66. Cho a < b < c,
b
Z
a
f (x)dx =12,
b
Z
c
f (x)dx =4. Khi đó giá trị của
c
Z
a
f (x)dx là
A. 3. B. 4. C. 16. D. 8.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 737 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
c
Z
a
f (x)dx =
b
Z
a
f (x)dx +
c
Z
b
f (x)dx =
b
Z
a
f (x)dx −
b
Z
c
f (x)dx =12 −4 =8.
Chọn đáp án C ä
Câu 67. Tính tích phân
π
Z
0
sin3x dx.
A. −
2
3
. B.
2
3
. C. −
1
3
. D.
1
3
.
- Lời giải.
Ta có
π
Z
0
sin3x dx =−
1
3
cos3x
¯
¯
¯
π
0
=−
1
3
(−1−1) =
2
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 68. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [1;2], f (1) =1 và f (2) =2. Tính I =
2
Z
1
f
0
(x )dx.
A. I =1. B. I =−1. C. I =3. D. I =
7
2
.
- Lời giải.
Ta có I =
2
Z
1
f
0
(x )dx = f (x)
¯
¯
¯
2
1
= f (2) − f (1) =2−1 =1.
Chọn đáp án A ä
Câu 69. Cho
2
Z
−2
f (x)dx =1,
4
Z
−2
f (t)dt =−4. Tính
4
Z
2
f (y)dy.
A. I =5. B. I =−3. C. I =3. D. I =−5.
- Lời giải.
Ta có:
4
Z
−2
f (t)dt =
4
Z
−2
f (x)dx,
4
Z
2
f (y)dy =
4
Z
2
f (x)dx.
Khi đó:
2
Z
−2
f (x)dx +
4
Z
2
f (x)dx =
4
Z
−2
f (x)dx
⇒
4
Z
2
f (x)dx =
4
Z
−2
f (x)dx −
2
Z
−2
f (x)dx =−4 −1 =−5.
Vậy
4
Z
2
f (y)dy =−5.
Chọn đáp án D ä
Câu 70. Tích phân I =
2019
Z
0
2
x
dx bằng
A. 2
2019
−1. B.
2
2019
−1
ln2
. C.
2
2019
ln2
. D. 2
2019
.
- Lời giải.
I =
2019
Z
0
2
x
dx =
2
x
ln2
¯
¯
¯
2019
0
=
2
2019
−1
ln2
.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 738 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 71. Cho
2
Z
0
f (x)dx =3 và
2
Z
0
g(x)dx =−1. Giá trị của
2
Z
0
[
f (x) −5g(x)+x
]
dx bằng
A. 12. B. 0. C. 8. D. 10.
- Lời giải.
Ta có: I =
2
Z
0
[
f (x) −5g(x)+x
]
dx =
2
Z
0
f (x)dx −5
2
Z
0
g(x)dx +
2
Z
0
xdx.
Do đó : I =3 −5(−1)+
1
2
(2
2
−0
2
) =10.
Chọn đáp án D ä
Câu 72. Cho
2
Z
0
f (x)dx =3 và
2
Z
0
g(x)dx =−2, khi đó
2
Z
0
[
2f (x)−g(x)
]
dx bằng
A. 5. B. 4. C. 8. D. 1.
- Lời giải.
Ta có:
2
Z
0
[
2f (x)−g(x)
]
dx =2
2
Z
0
f (x)dx −
2
Z
0
g(x)dx =2 ·3−(−2) =8.
Chọn đáp án
C ä
Câu 73. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b],
(
a < b
)
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
b
Z
a
f (x)dx =
a
Z
b
f (x)dx. B.
b
Z
a
f (x)dx =−
a
Z
b
f (x)dx.
C.
b
Z
a
f (x)dx +
a
Z
b
f (x)dx =2
b
Z
a
f (x)dx. D.
b
Z
a
f (x)dx +
a
Z
b
f (x)dx =−2
b
Z
a
f (x)dx.
- Lời giải.
Ta có
b
Z
a
f (x)dx =−
a
Z
b
f (x)dx.
Chọn đáp án B ä
Câu 74. Cho các hằng số a, b, k
(
k 6=0
)
và hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Mệnh đề nào dưới đây là
mệnh đề sai?
A.
b
Z
a
k · f (x )dx = k
b
Z
a
f (x)dx. B.
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx.
C.
b
Z
a
f (x)dx =−
a
Z
b
f (x)dx. D.
b
Z
a
f (x)dx 6=
b
Z
a
f (t)dt.
- Lời giải.
Mệnh đề
b
Z
a
f (x)dx 6=
b
Z
a
f (t)dt là mệnh đề sai vì
b
Z
a
f (x)dx =
b
Z
a
f (t)dt.
Chọn đáp án
D ä
Câu 75. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0;3] và
2
Z
0
f (x)dx =1,
3
Z
2
f (x)dx =4. Tính I =
3
Z
0
f (x)dx.
A. I =5. B. I =−3. C. I =3. D. P =4.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 739 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có I =
3
Z
0
f (x)dx =
2
Z
0
f (x)dx +
3
Z
2
f (x)dx =1 +4 =5.
Chọn đáp án A ä
Câu 76. Giá trị của
1
Z
0
¡
2019x
2018
−1
¢
dx bằng
A. 0. B. 2
2017
+1. C. 2
2017
−1. D. 1.
- Lời giải.
Ta có:
1
Z
0
¡
2019x
2018
−1
¢
dx =
¡
x
2019
−x
¢
¯
¯
¯
1
0
=0.
Chọn đáp án A ä
Câu 77. Cho
0
Z
−1
f (x)dx =3
3
Z
0
f (x)dx =3. Tích phân
3
Z
−1
f (x)dx bằng
A. 6. B. 4. C. 2. D. 0.
- Lời giải.
3
Z
−1
f (x)dx =
0
Z
−1
f (x)dx +
3
Z
0
f (x)dx =3 +1 =4.
Chọn đáp án B ä
Câu 78. Tích phân
1
Z
0
1
x +1
dx có giá trị bằng
A. ln2 −1. B. −ln2. C. ln2. D. 1−ln2.
- Lời giải.
Ta có I =
1
Z
0
1
x +1
dx =
1
Z
0
d(x +1)
x +1
=ln|x +1|
¯
¯
¯
1
0
=ln2−ln1 =ln2.
Chọn đáp án C ä
Câu 79. Tích phân I =
2
Z
0
dx bằng
A. 4. B. 0. C. 1. D. 2.
- Lời giải.
Ta có I =
2
Z
0
dx = x
¯
¯
¯
2
0
=2.
Chọn đáp án D
ä
Câu 80. Giá trị của
π
2
Z
0
cos x dx bằng
A. 0. B. 1. C.
π
2
. D. π.
- Lời giải.
Ta có
π
2
Z
0
cos x dx =sin x
¯
¯
¯
π
2
0
=sin
π
2
−sin0 =1.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 740 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 81. Cho
3
Z
0
f (x)dx =2 và
3
Z
0
g(x)dx =3. Tính giá trị của tích phân L =
3
Z
0
[
2f (x)−g(x)
]
dx .
A. L =4. B. L =−1. C. L =−4. D. L =1.
- Lời giải.
L =
3
Z
0
[
2f (x)−g(x)
]
dx =2
3
Z
0
f (x)dx −
3
Z
0
g(x)dx =2·2−3 =1.
Chọn đáp án D ä
Câu 82. Nếu
2
Z
1
f (x)dx =3,
5
Z
2
f (x)dx =−1 thì
5
Z
1
f (x)dx bằng
A. −2. B. 2. C. 3. D. 4.
- Lời giải.
Ta có
5
Z
1
f (x)dx =
2
Z
1
f (x)dx +
5
Z
2
f (x)dx =3 −1 =2.
Chọn đáp án B ä
Câu 83. Giá trị tích phân
1
Z
0
dx
x +1
bằng
A. log2. B. ln2. C. 1. D. −ln2.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
dx
x +1
= ln|x +1|
|
1
0
=ln2.
Chọn đáp án B ä
Câu 84. Tính I =
1
Z
0
(3x
2
−2x +3)dx.
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
- Lời giải.
I =
1
Z
0
(3x
2
−2x +3)dx =
¡
x
3
−x
2
+3x
¢
¯
¯
¯
1
0
=3.
Chọn đáp án C ä
Câu 85. Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng với mọi hàm f , g liên tục trên K và a, b là các số
bất kì thuộc K?
A.
b
Z
a
[
f (x) + g (x)
]
dx =
b
Z
a
f (x)dx +
b
Z
a
g(x)dx. B.
b
Z
a
[
f (x) · g(x)
]
dx =
b
Z
a
f (x)dx ·
b
Z
a
g(x)dx.
C.
b
Z
a
f (x)
g(x)
dx =
b
Z
a
f (x)dx
b
Z
a
g(x)dx
. D.
b
Z
a
f
2
(x )dx =
b
Z
a
f (x)dx
2
.
- Lời giải.
Một trong các tính chất của tích phân là
b
Z
a
[
f (x) + g (x)
]
dx =
b
Z
a
f (x)dx +
b
Z
a
g(x)dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 741 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án A ä
Câu 86. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và F(x) là nguyên hàm của f (x), biết
9
Z
0
f (x)dx =9 và F(0) = 3.
Tính F(9).
A. F(9) =−6. B. F(9) =6. C. F(9) =12. D. F(9) =−12.
- Lời giải.
Ta có
9
Z
0
f (x)dx =9 ⇔ F(9)−F(0) =9 ⇔ F(9) =9 +F(0) =9+3 =12.
Chọn đáp án C ä
Câu 87. Tính tích phân
1
Z
0
1
x +1
dx bằng
A. log2. B. 1. C. ln2. D. −ln2.
- Lời giải.
1
Z
0
1
x +1
dx =ln|x +1|
¯
¯
¯
1
0
=ln2.
Chọn đáp án C ä
Câu 88. Cho hai hàm số y = f (x), y = g(x) liên tục trên [a; b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
A.
a
Z
a
k f (x)dx =0. B.
b
Z
a
x f (x)dx = x
b
Z
a
f (x)dx.
C.
b
Z
a
[
f (x) + g (x)
]
dx =
b
Z
a
f (x)dx +
b
Z
a
g(x)dx. D.
b
Z
a
f (x)dx =−
a
Z
b
f (x)dx.
- Lời giải.
Biểu thức
b
Z
a
x f (x)dx = x
b
Z
a
f (x)dx sai, vì một hàm khác hằng số không thể đưa ra ngoài dấu tích phân.
Chọn đáp án
B ä
Câu 89. Cho F(x) =
¡
ax
2
+bx −c
¢
e
2x
là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
¡
2018x
2
−3x +1
¢
e
2x
trên
khoảng
(
−∞;+∞
)
. Tính T =a +2b +4c.
A. T =1011. B. T =−3035. C. T =1007. D. T =−5053.
- Lời giải.
Ta có
f (x) = F
0
(x ) =
(
2ax +b
)
e
2x
+2
¡
ax
2
+bx −c
¢
e
2x
=
£
2ax
2
+
(
2a +2b
)
x +
(
b −2c
)
¤
e
2
.
Suy ra
2a =2018
2a +2b =−3
b −2c =1
⇔
a =1009
b =−
2021
2
c =−
2023
4
.
Vậy T = a +2 b +4c =−3035.
Chọn đáp án B ä
Th.s Nguyễn Chín Em 742 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 90. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và f (1) − f (0) = 2. Tích phân I =
1
Z
0
£
f
0
(x ) −e
x
¤
dx bằng
A. 1−e. B. 1 +e. C. 3 −e. D. 3 +e.
- Lời giải.
I =
1
Z
0
¡
f
0
(x ) −e
x
¢
dx =
1
Z
0
f
0
(x )dx −
1
Z
0
e
x
dx
= f (x)
¯
¯
¯
¯
1
0
−e
x
¯
¯
¯
¯
1
0
= f (1) − f (0) −(e−e
0
)
= 3−e.
Vậy I =3−e.
Chọn đáp án C ä
Câu 91. Cho
2
Z
1
f (x)dx =2 và
2
Z
1
2g(x)dx =8. Khi đó
2
Z
1
[f (x)+g(x)]dx bằng
A. 10. B. 6. C. 18. D. 0.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
f (x)dx =2 và
2
Z
1
g(x)dx =4 ⇒
2
Z
1
[f (x)+g(x)]dx =6.
Chọn đáp án B ä
Câu 92. Cho tích phân I =
4
Z
0
f (x)dx =32. Tính tích phân J =
2
Z
0
f (2x)dx.
A. 32. B. 64. C. 8. D. 16.
- Lời giải.
Đặt t =2x ⇒ dt =2dx. Với x =0 thì t =0, x =2 thì t =4 .
Suy ra
2
Z
0
f (2x)dx =
1
2
4
Z
0
f (t)dt =
1
2
4
Z
0
f (x)dx =
1
2
·32 =16.
Chọn đáp án D ä
Câu 93. Cho tích phân I =
2
Z
0
f (x)dx =2. Tính tích phân J =
2
Z
0
[
3f (x)−2
]
dx .
A. J =6. B. J =2. C. J =8. D. J =4.
- Lời giải.
Ta có J =
2
Z
0
[3f (x)−2]dx =3
2
Z
0
f (x)dx −2
2
Z
0
dx =3·2−(2x)
¯
¯
¯
2
0
=6 −4 =2.
Chọn đáp án B ä
Câu 94. Cho
2
Z
0
f (x)dx =3 và
2
Z
0
g(x)dx =7, khi đó
2
Z
0
[
f (x) +3g(x)
]
dx bằng
A. 16. B. −18. C. 24. D. 10.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 743 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
2
Z
0
[
f (x) +3g(x)
]
dx =
2
Z
0
f (x)dx +3
2
Z
0
g(x)dx =3 +3×7 =24.
Chọn đáp án C ä
Câu 95. Tích phân
2
Z
1
dx
3x −2
bằng
A. 2ln2. B.
2
3
ln2. C. ln2. D.
1
3
ln2.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
dx
3x −2
=
1
3
ln|3x −2|
¯
¯
¯
¯
2
1
=
1
3
ln4−
1
3
ln1 =
2
3
ln2.
Chọn đáp án B ä
Câu 96. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn
8
Z
1
f (x)dx = 9,
12
Z
4
f (x)dx = 3 và
8
Z
4
f (x)dx = 5. Tính
12
Z
1
f (x)dx.
A. I =17. B. I =1. C. I =11. D. I =7.
- Lời giải.
Ta có
4
Z
1
f (x)dx =
8
Z
1
f (x)dx −
8
Z
4
f (x)dx =9 −5 =4.
Suy ra
12
Z
1
f (x)dx =
4
Z
1
f (x)dx +
12
Z
4
f (x)dx =4 +3 =7.
Chọn đáp án D ä
Câu 97. Cho
1
Z
−1
f (x)dx =6 và
2
Z
1
f (x)dx =3, khi đó
2
Z
−1
f (x)dx bằng
A. 3. B. 2. C. 9. D. 18.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
−1
f (x)dx =
1
Z
−1
f (x)dx +
2
Z
1
f (x)dx =6 +3 =9.
Chọn đáp án C ä
Câu 98. Giả sử f (x ) là một hàm số bất kì liên tục trên khoảng
¡
α;β
¢
và a,b , c,b +c ∈
¡
α;β
¢
. Mệnh đề nào
sau đây sai?
A.
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx. B.
b
Z
a
f (x)dx =
b+c
Z
a
f (x)dx −
c
Z
a
f (x)dx.
C.
b
Z
a
f (x)dx =
b+c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
b+c
f (x)dx. D.
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx −
c
Z
b
f (x)dx.
- Lời giải.
Theo các tính chất của tích phân, ta suy ra
Th.s Nguyễn Chín Em 744 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx là khẳng định đúng.
b
Z
a
f (x)dx =
b+c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
b+c
f (x)dx là khẳng định đúng.
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx −
c
Z
b
f (x)dx là khẳng định đúng vì
c
Z
a
f (x)dx −
c
Z
b
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx =
b
Z
a
f (x)dx.
Vậy
b
Z
a
f (x)dx =
b+c
Z
a
f (x)dx −
c
Z
a
f (x)dx là khẳng định sai.
Chọn đáp án B ä
Câu 99. Cho
2
Z
1
f (x)dx =2 và
4
Z
2
f (x)dx =−1. Tích phân
4
Z
1
f (x)dx bằng
A. −3. B. 3. C. 1. D. −1.
- Lời giải.
Ta có
4
Z
1
f (x)dx =
2
Z
1
f (x)dx +
4
Z
2
f (x)dx =2 +(−1) =1.
Vậy
4
Z
1
f (x)dx =1.
Chọn đáp án C ä
Câu 100. Cho
2
Z
0
f (x)dx =3 và
2
Z
0
g(x)dx =7, khi đó
2
Z
0
[
f (x) +3g(x)
]
dx bằng
A. 16. B. 10. C. 24. D. −18.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
[
f (x) +3g(x)
]
dx =
2
Z
0
f (x)dx +3
2
Z
0
g(x)dx =3 +3·7 =24.
Chọn đáp án C ä
Câu 101. Cho
2
Z
0
f (x)dx =3 và
2
Z
0
g(x)dx =−2, khi đó
2
Z
0
[
2f (x)−g(x)
]
dx bằng
A. 5. B. 4. C. 8. D. 1.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
[
2f (x)−g(x)
]
dx =2
2
Z
0
f (x)dx −
2
Z
0
g(x)dx =2 ·3−(−2) =8.
Chọn đáp án C ä
Câu 102. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng K và a, b, c ∈K. Mệnh đề nào sau đây sai?
Th.s Nguyễn Chín Em 745 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A.
a
Z
a
f (x)dx =0. B.
b
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx.
C.
b
Z
a
f (x)dx =
b
Z
a
f (t)dt. D.
b
Z
a
f (x)dx =−
a
Z
b
f (x)dx.
- Lời giải.
Theo lý thuyết, ta có
b
Z
a
f (x)dx +
c
Z
b
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx.
Chọn đáp án B ä
Câu 103. Biết
1
Z
0
f (x)dx =3 và
1
Z
0
g(x)dx =−2, giá trị của
1
Z
0
[
f (x) +2g(x)
]
dx bằng
A. 7. B. −1. C. 5. D. 1.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
[
f (x) +2g(x)
]
dx =
1
Z
0
f (x)dx +2
1
Z
0
g(x)dx =3 +2(−2) =−1.
Chọn đáp án B ä
Câu 104. Cho hàm số f (x) thỏa mãn
Z
3
1
f (x)dx =5 và
Z
3
−1
f (x)dx =1. Tính tích phân I =
Z
1
−1
f (x)dx.
A. I =−6. B. I =6. C. I =4. D. I =−4.
- Lời giải.
Ta có
Z
3
−1
f (x)dx =
Z
3
1
f (x)dx +
Z
1
−1
f (x)dx ⇒
Z
1
−1
f (x)dx =
Z
3
−1
f (x)dx −
Z
3
1
f (x)dx =−4.
Chọn đáp án D ä
Câu 105. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a;b] và
Z
f (x)dx =F(x)+C. Hãy chọn khẳng định đúng.
A.
b
Z
a
f (x)dx = b −a. B.
b
Z
a
f (x)dx =F(a) −F(b).
C.
b
Z
a
f (x)dx =a −b. D.
b
Z
a
f (x)dx =F(b)−F(a).
- Lời giải.
Áp dụng định nghĩa của tích phân ta có
b
Z
a
f (x)dx =F(b)−F(a).
Chọn đáp án
D ä
Câu 106. Giá trị của
1
Z
0
(2019x
2018
−1)dx bằng
A. 0. B. 2
2017
+1. C. 2
2017
−1. D. 1.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
(2019x
2018
−1)dx =
¡
x
2019
−x
¢
¯
¯
¯
1
0
=0.
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 746 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 107. Tính tích phân I =
2
Z
1
1
2x −1
dx .
A. I =ln3 −1. B. I =ln
p
3. C. I =ln2 +1. D. I =ln2 −1.
- Lời giải.
Ta có I =
2
Z
1
1
2x −1
dx =
1
2
ln
|
2x −1
|
¯
¯
¯
¯
2
1
=
1
2
(ln3−ln1) =
1
2
ln3 =ln
p
3.
Chọn đáp án B ä
Câu 108. Tính tích phân I =
0
Z
−1
(2x +1)dx.
A. 0. B. 1. C. 2. D. −
1
2
.
- Lời giải.
Ta có I =(x
2
+x)
¯
¯
¯
0
−1
=0.
Chọn đáp án A ä
Câu 109. Cho hàm số f (x) liên tục trên khoảng K và các hằng số a, b, c ∈ K. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
b
Z
a
k · f (x )dx = k
b
Z
a
f (x)dx với k ∈R. B.
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx.
C.
b
Z
a
f (x)dx =−
b
Z
a
f (x)dx. D.
b
Z
a
f (x)dx 6=
b
Z
a
f (t)dt.
- Lời giải.
Ta có
b
Z
a
f (x)dx =
b
Z
a
f (t)dt.
Chọn đáp án D ä
Câu 110. Cho hai số thực a, b tùy ý, F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên tập R. Mệnh đề nào
dưới đây là đúng?
A.
b
Z
a
f (x)dx =F(b)−F(a). B.
b
Z
a
f (x)dx =F(a) −F(b).
C.
b
Z
a
f (x)dx = f (b)− f (a). D.
b
Z
a
f (x)dx =F(b)+F(a).
- Lời giải.
Theo công thức lý thuyết thì
b
Z
a
f (x)dx =F(x)
¯
¯
¯
¯
b
a
=F(b)−F(a).
Chọn đáp án A ä
Câu 111. Cho hàm số f (x) liên tục trên R diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x ),
trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b(a < b) được tính theo công thức
A. S =
b
Z
a
π|f (x)|dx. B. S =
b
Z
a
|f (x)|dx. C. S =
b
Z
a
f (x)dx. D. S =π
b
Z
a
f
2
(x )dx.
- Lời giải.
Do định nghĩa ta có S =
b
Z
a
|f (x)|dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 747 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án B ä
Câu 112. Cho hàm số y = f (x) có f (2) =2, f (3) =5; hàm số y = f
0
(x ) liên tục trên [2;3]. Khi đó
3
Z
2
f
0
(x )dx
bằng
A. 3. B. −3. C. 10. D. 7.
- Lời giải.
Theo công thức lý thuyết ta có
3
Z
2
f
0
(x )dx = f (x)
¯
¯
¯
3
2
= f (3) − f (2) =5−2 =3.
Chọn đáp án A ä
Câu 113. Cho hàm số f (x) và F(x) liên tục trên R thỏa mãn F
0
(x ) = f (x), ∀x ∈ R. Tính
1
Z
0
f (x)dx biết
F(0) =2 và F(1) =5.
A.
1
Z
0
f (x)dx =−3. B.
1
Z
0
f (x)dx =7. C.
1
Z
0
f (x)dx =1. D.
1
Z
0
f (x)dx =3.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
f (x)dx =F(x)
¯
¯
¯
1
0
=F(1)−F(0) =5 −2 =3.
Chọn đáp án D ä
Câu 114. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (0) =1, f
0
(x ) liên tục trên R và
3
Z
0
f
0
(x )dx =9. Giá trị của f (3) là
A. 6. B. 3. C. 10. D. 9.
- Lời giải.
Ta có
3
Z
0
f
0
(x )dx = f (x)
¯
¯
¯
3
0
⇔9 = f (3) − f (0) ⇔ f (3) =9+ f (0) =10.
Chọn đáp án C ä
Câu 115. Tích phân I =
1
Z
0
2
2x +1
dx bằng
A. I =2ln2. B. I =2ln3. C. I =ln2. D. I =ln3.
- Lời giải.
Ta có I =
1
Z
0
2
2x +1
dx =ln|2x +1|
¯
¯
¯
1
0
=ln3.
Chọn đáp án D ä
Câu 116. Kí hiệu z
1
, z
2
là hai nghiệm phức của phương trình z
2
+z +1 =0. Giá trị của z
1
+z
2
bằng
A. i. B. −1. C. 1. D. −i.
- Lời giải.
Áp dụng định lý Vi-ét ta có z
1
+z
2
=−1.
Chọn đáp án B ä
Câu 117. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0;3] và
2
Z
0
f (x)dx =1,
3
Z
2
f (x)dx =4. Tính I =
3
Z
0
f (x)dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 748 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. I =5. B. I =−3. C. I =3. D. I =4.
- Lời giải.
Ta có I =
3
Z
0
f (x)dx =
2
Z
0
f (x)dx +
3
Z
2
f (x)dx =1 +4 =5.
Chọn đáp án A ä
Câu 118. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và có
2
Z
0
f (x)dx =9,
4
Z
2
f (x)dx =4. Tính giá trị của I =
4
Z
0
f (x)dx.
A. I =5. B. I =36. C. I =
9
4
. D. I =13.
- Lời giải.
Ta có I =
4
Z
0
f (x)dx =
2
Z
0
f (x)dx +
4
Z
2
f (x)dx =9 +4 =13.
Chọn đáp án D ä
Câu 119. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0;3]. Nếu
3
Z
0
f (x)dx =2 thì tích phân
3
Z
0
[x −3f (x)]dx có giá
trị bằng
A. −3. B. 3. C.
3
2
. D. −
3
2
.
- Lời giải.
Ta có
3
Z
0
[x −3f (x)]dx =
3
Z
0
xdx −3
3
Z
0
f (x)dx =
1
2
x
2
¯
¯
¯
3
0
−6 =
9
2
−6 =−
3
2
.
Chọn đáp án D ä
Câu 120. Cho
5
Z
1
f (x)dx =6 và
5
Z
1
g(x)dx =8. Giá trị của
5
Z
1
[4f (x)−g(x)]dx bằng
A. 16. B. 14. C. 12. D. 10.
- Lời giải.
Ta có
5
Z
1
[4f (x)−g(x)]dx =4
5
Z
1
f (x)dx −
5
Z
1
g(x)dx =4 ·6−8 =16.
Chọn đáp án A ä
Câu 121. Cho các hàm số f (x), g(x) liên tục trên R thỏa mãn
5
Z
−1
[
2f (x)+3g(x)
]
dx =−5;
5
Z
−1
[
3f (x)−5g(x)
]
dx =
21. Tính
5
Z
−1
[
f (x) + g (x)
]
dx .
A. −5. B. 1. C. 5. D. −1.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 749 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt I
1
=
5
Z
−1
f (x)dx, I
2
=
5
Z
−1
g(x)dx. Ta có
5
Z
−1
[
2f (x)+3g(x)
]
dx =−5 ⇔2
5
Z
−1
f (x)dx +3
5
Z
−1
g(x)dx =−5 ⇒2I
1
+3I
2
=−5.
5
Z
−1
[
3f (x)−5g(x)
]
dx =21 ⇔3
5
Z
−1
f (x)dx −5
5
Z
−1
g(x)dx =21 ⇒3I
1
−5I
2
=21.
Từ đó suy ra I
1
=2, I
2
=−3.
Vậy
5
Z
−1
[
f (x) + g (x)
]
dx =
5
Z
−1
f (x)dx +
5
Z
−1
g(x)dx = I
1
+I
2
=−1.
Chọn đáp án D ä
Câu 122. Kết quả của tích phân I =
π
2
Z
0
cos x dx bằng
A. I =1. B. I =−2. C. I =0. D. I =−1.
- Lời giải.
Ta có I =
π
2
Z
0
cos x dx =sin x
¯
¯
¯
π
2
0
=1.
Chọn đáp án A ä
Câu 123. Cho các số thực a, b (a < b). Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm là hàm liên tục trên R thì
A.
b
Z
a
f (x)dx = f
0
(a)− f
0
(b ). B.
b
Z
a
f
0
(x )dx = f (b)− f (a).
C.
b
Z
a
f
0
(x )dx = f (a) − f (b). D.
b
Z
a
f (x)dx = f
0
(b ) − f
0
(a).
- Lời giải.
Ta có
b
Z
a
f
0
(x )dx = f (x)
¯
¯
¯
b
a
= f (b)− f (a).
Chọn đáp án B ä
Câu 124. Cho
Z
5
1
h(x)dx =4 và
Z
7
1
h(x)dx =10, khi đó
Z
7
5
h(x)dx bằng
A. 7. B. 2. C. 6. D. 5.
- Lời giải.
Ta có
Z
7
1
h(x)dx =
Z
5
1
h(x)dx +
Z
7
5
h(x)dx.
Suy ra
Z
7
5
h(x)dx =
Z
7
1
h(x)dx −
Z
5
1
h(x)dx =10−4 =6.
Chọn đáp án
C ä
Câu 125. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có một nguyên hàm là hàm số F(x). Mệnh đề nào dưới
đây là đúng?
A.
b
Z
a
f (x)dx =F(b)+F(a). B.
b
Z
a
f (x)dx =F(b)−F(a).
Th.s Nguyễn Chín Em 750 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
C.
b
Z
a
f (x)dx = f (b)− f (a). D.
b
Z
a
f (x)dx =F(a) −F(b).
- Lời giải.
Theo công thức Newton-Leibniz ta có:
b
Z
a
f (x)dx =F(b)−F(a).
Chọn đáp án B ä
Câu 126. Cho
3
Z
1
f (x)dx =3 và
3
Z
1
g(x)dx =4, khi đó
3
Z
1
[
4f (x)−g(x)
]
dx bằng
A. 16. B. 8. C. 11. D. 19.
- Lời giải.
Ta có
3
Z
1
[
4f (x)−g(x)
]
dx =4
3
Z
1
f (x)dx −
3
Z
1
g(x)dx =4 ·3−4 =8.
Chọn đáp án B ä
Câu 127. Cho
1
Z
−1
f (x)dx =4 và
1
Z
−1
g(x)dx =3. Tính tích phân I =
−1
Z
1
[2f (x)−5g(x)]dx.
A. I =−7. B. I =7. C. I =−14. D. I =14.
- Lời giải.
Ta có
I =
−1
Z
1
[2f (x)−5g(x)]dx =−
1
Z
−1
[2f (x)−5g(x)]dx =5
1
Z
−1
g(x)dx −2
1
Z
−1
f (x)dx =7.
Chọn đáp án B ä
Câu 128. Biết
2019
Z
2018
f (x)dx =−2,
2019
Z
2018
g(x)dx =6. Tích phân
2019
Z
2018
[
2f (x)−g(x)
]
dx bằng
A. 10. B. −2. C. 22. D. −10.
- Lời giải.
Ta có
2019
Z
2018
[
2f (x)−g(x)
]
dx =2
2019
Z
2018
f (x)dx −
2019
Z
2018
g(x)dx =−4 −6 =−10.
Chọn đáp án D ä
Câu 129. Cho hai hàm số f (x), g(x) liên tục trên [a; b] và a < c < b. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
b
Z
a
[
f (x) + g (x)
]
dx =
b
Z
a
f (x)dx +
b
Z
a
g(x)dx. B.
b
Z
a
k f (x)dx = k
b
Z
a
f (x)dx với k là hằng số.
C.
b
Z
a
f (x)
g(x)
dx =
b
Z
a
f (x)dx
b
Z
a
g(x)dx
. D.
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx.
- Lời giải.
Theo tính chất của tích phân xác định ta có
b
Z
a
[
f (x) + g (x)
]
dx =
b
Z
a
f (x)dx +
b
Z
a
g(x)dx
Th.s Nguyễn Chín Em 751 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
b
Z
a
k f (x)dx = k
b
Z
a
f (x)dx với k là hằng số.
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx.
Ta không có tính chất
b
Z
a
f (x)
g(x)
dx =
b
Z
a
f (x)dx
b
Z
a
g(x)dx
.
Chọn đáp án C ä
Câu 130. Biết
3
Z
1
f (x)dx =9,
3
Z
1
g(x)dx =−5. Tính K =
3
Z
1
[
2f (x)−3g(x)
]
dx .
A. K =3. B. K =33. C. K =4. D. K =14.
- Lời giải.
Ta có K =2
3
Z
1
f (x)dx −3
3
Z
1
g(x)dx =2 ·9−3·(−5) =33.
Chọn đáp án B ä
Câu 131. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên đoạn
[a;b]. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
b
Z
a
f (x)dx =F(a) −F(b). B.
b
Z
a
f (x)dx =F(b)−F(a).
C.
b
Z
a
f (x)dx =F(b)+F(a). D.
b
Z
a
f (x)dx =F
0
(b ) −F
0
(a).
- Lời giải.
Theo định nghĩa tích phân xác định ta có
b
Z
a
f (x)dx =F(b)−F(a).
Chọn đáp án B ä
Câu 132. Tính I =
3
Z
1
¡
4x
3
+3x
¢
dx .
A. I =92. B. I =68. C. I =−68. D. I =−92.
- Lời giải.
I =
3
Z
1
¡
4x
3
+3x
¢
dx =
µ
x
4
+
3
2
x
2
¶
¯
¯
¯
¯
3
1
=92.
Chọn đáp án A ä
Câu 133. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;4], f (1) =15, f (4) =8. Tính
4
Z
1
f
0
(x )dx
A.
4
Z
1
f
0
(x )dx =7. B.
4
Z
1
f
0
(x )dx =3. C.
4
Z
1
f
0
(x )dx =23. D.
4
Z
1
f
0
(x )dx =−7.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 752 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
4
Z
1
f
0
(x )dx = f (4) − f (1) =8−15 =−7.
Chọn đáp án D ä
Câu 134. Tích phân
2
Z
1
dx
x +2
bằng
A.
16
225
. B. log
4
3
. C.
2
15
. D. ln
4
3
.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
1
dx
x +2
= ln
|
x +2
||
2
1
=ln4−ln3 =ln
4
3
.
Chọn đáp án D ä
Câu 135. Cho
3
Z
0
f (x)dx =2 và
3
Z
0
g(x)dx =3. Tính giá trị của tích phân L =
3
Z
0
[
2f (x)−g(x)
]
dx .
A. L =4. B. L =−1. C. L =−4. D. L =1.
- Lời giải.
Ta có L =
3
Z
0
[
2f (x)−g(x)
]
dx =2
3
Z
0
f (x)dx −
3
Z
0
g(x)dx =2 ·2−3 =1.
Chọn đáp án D ä
Câu 136. Tích phân
2
Z
0
¡
x
2
−3x
¢
dx bằng
A.
10
3
. B.
−10
3
. C.
7
3
. D. 12.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
¡
x
2
−3x
¢
dx =
µ
x
3
3
−
3x
2
2
¶
¯
¯
¯
2
0
=
−10
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 137. Tính tính phân
1
Z
0
x(x +1)dx.
A.
5
6
. B. 1. C. 0. D.
5
6
.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
x(x +1)dx =
1
Z
0
(x
2
+x)dx =
µ
x
3
3
+
x
2
2
¶
¯
¯
¯
1
0
=
5
6
.
Chọn đáp án A ä
Câu 138. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn
[
0;1
]
và thỏa mãn f (0) = 6,
1
Z
0
(2x −2)f
0
(x )dx =6. Tích phân
1
Z
0
f (x)dx có giá trị bằng
A. −3. B. −9. C. 3. D. 6.
- Lời giải.
Gọi I =
1
Z
0
(2x −2)f
0
(x )dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 753 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt
u =2x −2
dv = f
0
(x )dx
ta chọn
du =2dx
v = f (x)
I =(2x −2)f (x)
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
2f (x)dx ⇔6 =2f (0)−2
1
Z
0
f (x)dx ⇒
1
Z
0
f (x)dx = f (0) −3 =3.
Chọn đáp án C ä
Câu 139. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và có
1
Z
0
f (x)dx = 2,
3
Z
1
f (x)dx = 6. Tính
I =
3
Z
0
f (x)dx.
A. I =36. B. I =4. C. I =12. D. I =8.
- Lời giải.
I =
3
Z
0
f (x)dx =
1
Z
0
f (x)dx +
3
Z
1
f (x)dx =2 +6 =8.
Chọn đáp án D ä
Câu 140. Cho hàm số f
(
x
)
có đạo hàm trên đoạn
[
0;2
]
và f
(
0
)
=−1, biết
2
Z
0
f
0
(
x
)
dx =5. Tính f
(
2
)
.
A. f
(
2
)
=2. B. f
(
2
)
=6. C. f
(
2
)
=4. D. f
(
2
)
=5.
- Lời giải.
2
Z
0
f
0
(
x
)
dx = f
(
x
)
¯
¯
¯
2
0
= f
(
2
)
− f
(
0
)
=5 ⇔ f
(
2
)
=4.
Chọn đáp án C ä
Câu 141. Giả sử tích phân I =
6
Z
1
1
2x +1
dx =ln M, tìm M.
A. M =4,33. B. M =13. C. M =
13
3
. D. M =
…
13
3
.
- Lời giải.
Ta có I =
6
Z
1
1
2x +1
dx =
1
2
ln
|
2x +1
|
¯
¯
6
1
=
1
2
ln13−
1
2
ln3 =ln
…
13
3
.
Chọn đáp án D ä
Câu 142. Cho biết
5
Z
2
f (x)dx =3,
5
Z
2
g(t)dt =9. Tính
5
Z
2
[
f (x) −2g(x)
]
dx .
A. −6. B. −15. C. 12. D. 21.
- Lời giải.
Ta có
5
Z
2
[
f (x) −2g(x)
]
dx =
5
Z
2
f (x)dx −2
5
Z
2
g(x)dx =3 −2·9 =−15.
Chọn đáp án B ä
Câu 143. Cho f (x), g(x) là các hàm liên tục trên R. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây.
A.
b
Z
a
f (x) · g(x)dx =
b
Z
a
f (x)dx ·
b
Z
a
g(x)dx. B.
b
Z
a
[f (x)+g(x)]dx =
b
Z
a
f (x)dx +
b
Z
a
g(x)dx.
Th.s Nguyễn Chín Em 754 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
C.
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx (a < c < b). D.
b
Z
a
[f (x)−g(x)]dx =
b
Z
a
f (x)dx −
b
Z
a
g(x)dx.
- Lời giải.
Khẳng định “
b
Z
a
f (x) · g(x)dx =
b
Z
a
f (x)dx ·
b
Z
a
g(x)dx” là khẳng định sai.
Chọn đáp án A ä
Câu 144. Tích phân
1
Z
0
e
x
dx bằng
A. e. B. e+1. C. 1. D. e−1.
- Lời giải.
Ta có
1
Z
0
e
x
dx =e
x
¯
¯
1
0
=e
1
−e
0
=e −1.
Chọn đáp án D ä
Câu 145. Tính I =
2018
Z
0
e
x
dx .
A. I =e
2018
−1. B. I =e
2019
−1. C. I =e
2019
. D. I =e
2018
.
- Lời giải.
Ta có I =
2018
Z
0
e
x
dx =e
x
¯
¯
2018
0
=e
2018
−1.
Chọn đáp án A ä
Câu 146. Tính I =
2
Z
0
2018dx.
A. 4036. B. 2018. C. 0. D. 4026.
- Lời giải.
Ta có I =2018 x
|
2
0
=4036.
Chọn đáp án A ä
Câu 147. Cho hai hàm số f (x), g(x) liên tục trên đoạn [ a;b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
A.
b
Z
a
k f (x)dx = k
b
Z
a
f (x)dx. B.
b
Z
a
x f (x)dx = x
b
Z
a
f (x)dx.
C.
b
Z
a
(
f (x) + g (x)
)
dx =
b
Z
a
f (x)dx +
b
Z
a
g(x)dx. D.
b
Z
a
f (x)dx =−
a
Z
b
f (x)dx.
- Lời giải.
Khẳng định sai là
b
Z
a
x f (x)dx = x
b
Z
a
f (x)dx.
Chọn đáp án B ä
Câu 148. Tính tích phân
2
Z
1
dx
x +1
.
A. ln
3
2
. B.
5
2
. C. log
3
2
. D. ln6.
Th.s Nguyễn Chín Em 755 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Tính tích phân
2
Z
1
dx
x +1
=
2
Z
1
d(x +1)
x +1
=ln|x +1|
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2
1
=ln
3
2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 149. Tích phân
8
Z
4
dx
x +1
bằng
A. ln9 −ln5. B. ln5−ln9. C. 4. D.
1
81
−
1
25
.
- Lời giải.
8
Z
4
dx
x +1
=ln
|
x +1
|
¯
¯
8
4
=ln9−ln5.
Chọn đáp án A ä
Câu 150. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a;b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Diện tích S của D được tính theo công thức
A. S =
b
Z
a
f
2
(x )dx. B. S =
b
Z
a
|f (x)|dx. C. S =
¯
¯
¯
¯
b
Z
a
f (x)dx
¯
¯
¯
¯
. D. S =π
b
Z
a
f
2
(x )dx.
- Lời giải.
Theo công thức ta có S =
b
Z
a
|f (x)|dx.
Chọn đáp án B ä
Câu 151. Tích phân I =
1
Z
0
e
2x
dx bằng
A. I =2(e
2
−1). B. I =
e
2
2
. C. I =
e
2
−1
2
. D. I =e
2
−1.
- Lời giải.
I =
1
Z
0
e
2x
dx =
e
2x
2
¯
¯
¯
¯
1
0
=
e
2
−1
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 152. Tính tích phân
2
Z
0
e
2x
dx .
A.
1
2
e
3
−
1
2
. B.
1
2
e
5
−
1
2
. C.
1
2
e
4
−
1
2
. D. e
4
−1.
- Lời giải.
Ta có
2
Z
0
e
2x
dx =
e
2x
2
¯
¯
¯
¯
2
0
=
1
2
e
4
−
1
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 153. Giá trị tích phân
1
Z
0
x +4
x +3
dx bằng
A. ln
5
3
. B. 1 +ln
4
3
. C. ln
3
5
. D. 1−ln
3
5
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 756 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có:
1
Z
0
x +4
x +3
dx =
1
Z
0
µ
1+
1
x +3
¶
dx =
(
x +ln|x +3|
)
¯
¯
¯
1
0
=1 +ln
4
3
.
Chọn đáp án B ä
1.1 ĐÁP ÁN
1. A 2. C 3. C 4. D 5. C 6. D 7. C 8. B 9. C 10. C
11. A 12. A 13. D 14. C 15. A 16. B 17. B 18. A 19. D 20. D
21. A 22. A 23. B 24. A 25. C 26. C 27. C 28. B 29. A 30. A
31. A 32. B 33. B 34. D 35. A 36. C 37. A 38. A 39. A 40. B
41. A 42. A 43. C 44. B 45. B 46. C 47. C 48. A 49. B 50. B
51. C 52. B 53. B 54. A 55. A 56. D 57. D 58. B 59. C 60. A
61. C 62. A 63. A 64. C 65. B 66. C 67. B 68. A 69. D 70. B
71. D 72. C 73. B 74. D 75. A 76. A
77. B
78. C 79. D 80. B
81. D 82. B 83. B 84. C 85. A 86. C 87. C 88. B 89. B 90. C
91. B 92. D 93. B 94. C 95. B 96. D 97. C 98. B 99. C 100. C
101. C 102. B 103. B 104. D 105. D 106. A 107. B 108. A 109. D 110. A
111. B 112. A 113. D 114. C 115. D 116. B 117. A 118. D 119. D 120. A
121. D 122. A 123. B 124. C 125. B 126. B 127. B 128. D 129. C 130. B
131. B 132. A 133. D 134. D 135. D 136. B 137. A 138. C 139. D 140. C
141. D 142. B 143. A 144. D 145. A 146. A 147. B 148. A 149. A 150. B
151. C 152. C 153. B
2 THÔNG HIỂU
Câu 1. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C): y =
4
x
và đường thẳng (d): y =5−x. Tính thể tích V
của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) xung quanh trục hoành.
A. V =51π. B. V =33π. C. V =9π. D. V =18π.
- Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm
4
x
=5 −x ⇔4 =5x −x
2
⇔
x =1
x =4
.
Mặt khác với mọi x ∈[1;4] ta có
4
x
≤5 −x nên V =π
4
Z
1
·
(5−x)
2
−
µ
4
x
¶
2
¸
dx =9π.
Chọn đáp án C ä
Câu 2. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R. Gọi D
1
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), các
đường x =0, x =1 và trục Ox. Gọi D
2
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =2f (x), các đường x =0,
x =1 và tr ục Ox. Quay các hình phẳng D
1
, D
2
quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích lần lượt là
V
1
,V
2
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. V
2
=V
1
. B. V
2
=2V
1
. C. V
2
=4V
1
. D. V
2
=8V
1
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 757 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
V
1
=
1
Z
0
πf
2
(x )dx,
V
2
=
1
Z
0
π
(
2f (x)
)
2
dx =4
1
Z
0
πf
2
(x )dx =4V
1
.
O
x
y
y = f (x)
y =2f (x)
Chọn đáp án C ä
Câu 3.
Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y =
p
x, đường thẳng
y =2−x và trục hoành (phần gạch chéo trong hình vẽ). Thể tích của khối
tròn xoay sinh bởi hình phẳng trên khi quay quanh trục Ox bằng
A.
5π
4
. B.
4π
3
. C.
7π
6
. D.
5π
6
.
2
2
O
x
y
- Lời giải.
Xét phương trình hoành độ giao điểm
p
x =2 −x ⇔ x =1.
Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng đã cho khi quay quanh trục Ox là
V
Ox
= π
1
Z
0
(
p
x)
2
dx +π
2
Z
1
(2−x)
2
dx =π
1
Z
0
xdx +π
2
Z
1
(x
2
−4x +4)dx
= π
"
x
2
2
¯
¯
¯
¯
1
0
+
µ
x
3
3
−2x
2
+4x
¶
¯
¯
¯
¯
2
1
#
=
5π
6
.
Chọn đáp án D ä
Câu 4. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = e
x
, trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 1.
Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng
A. V =
e
2
−1
2
. B. V =
π(e
2
+1)
2
. C. V =
π(e
2
−1)
2
. D.
πe
2
2
.
- Lời giải.
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành là
V =π
1
Z
0
e
2x
dx =
πe
2x
2
¯
¯
¯
1
0
=
π(e
2
−1)
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 5. Gọi (H) là hình phẳng tạo bởi đồ thị hàm số y =
p
x
3
−x
2
−2x và trục hoành. Khi cho (H) quay
quanh trục hoành ta được khối tròn xoay có thể tích là
A.
13
6
π. B.
9
4
π. C.
5
12
π. D.
8
3
π.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 758 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Xét x
3
−x
2
−2x =0 ⇔ x =0∨x =−1 ∨x =2.
Điều kiện x
3
−x
2
−2x ≥0 ⇔ x ∈[−1;0]∪[2;+∞].
Vậy khối tròn xoay tạo thành có thể tích là
V =π
0
Z
−1
y
2
dx =π
µ
x
4
4
−
x
3
3
−x
2
¶
¯
¯
¯
¯
0
−1
=
5
12
π.
Chọn đáp án C ä
Câu 6. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y =
p
2+cosx, trục hoành và các đường thẳng x = 0,
x =
π
2
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A. V =π −1. B. V =π +1. C. V =π(π −1). D. V =π(π +1).
- Lời giải.
Thể tích V là
V =π
π
2
Z
0
(
p
2+cosx)
2
dx =π
π
2
Z
0
(2+cosx)dx =π(π +1).
Chọn đáp án
D
ä
Câu 7. Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y = x
2
và đường thẳng d : y =2x quay quanh trục Ox.
A. π
2
Z
0
¡
x
2
−2x
¢
2
dx . B. π
2
Z
0
4x
2
dx −π
2
Z
0
x
4
dx .
C. π
2
Z
0
4x
2
dx +π
2
Z
0
x
4
dx . D. π
2
Z
0
¡
2x −x
2
¢
dx .
- Lời giải.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d, ta có
x
2
=2x ⇔ x =0 hoặc x =2.
Trên đoạn [0;2] ta thấy 2x ≥ x
2
nên thể tích cần tìm là
V =π
3
Z
0
¡
4x
2
−x
4
¢
dx =π
2
Z
0
4x
2
dx −π
2
Z
0
x
4
dx .
Chọn đáp án B ä
Câu 8. Thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol (P): y = x
2
và đường thẳng (d): y =
2x quay xung quanh trục Ox bằng
A. π
2
Z
0
4x
2
dx +π
2
Z
0
x
4
dx . B. π
2
Z
0
(x
2
−2x)
2
dx .
C. π
2
Z
0
(2x −x
2
)dx. D. π
2
Z
0
4x
2
dx −π
2
Z
0
x
4
dx .
- Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm x
2
=2x ⇔
x =0
x =2
.
Do x
2
<2x, ∀x ∈(0;2) nên thể tích khối tròn xoay được tính bởi công thức
Th.s Nguyễn Chín Em 759 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
V =π
2
Z
0
4x
2
dx −π
2
Z
0
x
4
dx .
Chọn đáp án D ä
Câu 9. Thể tích khối tròn xoay tạo bởi khi quay quanh trục hoành của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị
hàm số y = x
2
−2x; y =0; x =0; x =1 có giá trị bằng
A.
8π
15
(đvtt). B.
7π
3
(đvtt). C.
15π
8
(đvtt). D.
8π
7
(đvtt).
- Lời giải.
Thể tích cần tính
V =π
1
Z
0
(x
2
−2x)
2
dx =π
1
Z
0
(x
4
−4x
3
+4x
2
)dx =π ·
µ
x
5
5
−x
4
+
4x
3
3
¶
¯
¯
¯
¯
1
0
=
8π
15
.
Chọn đáp án A ä
Câu 10.
Cho hình phẳng trong hình (phần gạch chéo) quay quanh trục hoành.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào?
x
y
O
a
b
f
1
(x )
f
2
(x )
A. V =π
b
Z
a
[
f
1
(x ) − f
2
(x )
]
2
dx . B. V =π
b
Z
a
£
f
2
2
(x ) − f
2
1
(x )
¤
dx .
C. V =π
b
Z
a
[
f
1
(x ) − f
2
(x )
]
dx . D. V =π
b
Z
a
£
f
2
1
(x ) − f
2
2
(x )
¤
dx .
- Lời giải.
Thể tích khối tròn xoay tạo thành là V =π
b
Z
a
£
f
2
1
(x ) − f
2
2
(x )
¤
dx .
Chọn đáp án D ä
Câu 11. Tính thể tích V của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x
2
;
y =
p
x quanh trục Ox.
A. V =
3π
10
. B. V =
π
10
. C. V =
7π
10
. D. V =
9π
10
.
- Lời giải.
Điều kiện x ≥0. Xét phương trình x
2
=
p
x ⇔ x
4
= x ⇔ x ·
¡
x
3
−1
¢
=0 ⇔
x =0
x =1.
Thể tích V =π ·
1
Z
0
¯
¯
¯
¡
x
2
¢
2
−
¡
p
x
¢
2
¯
¯
¯
dx =π ·
1
Z
0
¡
x −x
4
¢
dx =π ·
µ
x
2
2
−
x
5
5
¶
¯
¯
¯
¯
1
0
=
3π
10
.
Chọn đáp án A ä
Câu 12.
Th.s Nguyễn Chín Em 760 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y =
x
2
9
và đường
thẳng −2x +3y = 0. Tính thể tích V của khối tròn xoay khi
quay hình phẳng (H) (phần tô sọc) quanh trục hoành.
A. V =4π. B. V =
96π
5
.
C. V =
64π
5
. D. V =
625π
81
.
x
y
O
6
4
- Lời giải.
Dựa vào hình vẽ ta có
V =π
6
Z
0
"
µ
2x
3
¶
2
−
µ
x
2
9
¶
2
#
dx
=π
6
Z
0
µ
4x
2
9
−
x
4
81
¶
dx =
µ
4x
3
27
−
x
5
405
¶
¯
¯
¯
6
0
=
64π
5
.
Chọn đáp án C ä
Câu 13. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y =2x−x
2
; y =0
quay quanh trục Ox.
A.
14π
15
. B.
17π
15
. C.
48π
15
. D.
16π
15
.
- Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm là 2x −x
2
=0 ⇔ x =0 hay x =2.
Thể tích của khối tròn xoay là: V =π
2
Z
0
¡
2x −x
2
¢
2
dx =
16π
15
.
Chọn đáp án D ä
Câu 14. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
p
4x −e
x
, trục hoành và hai đường thẳng
x =1, x =2. Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục hoành.
A. V =π
¡
6−e
2
−e
¢
. B. V =6−e
2
+e. C. V =6−e
2
−e. D. V =π
¡
6−e
2
+e
¢
.
- Lời giải.
Thể tích của khối tròn xoay là
V =π
2
Z
1
(4x −e
x
)d =π
¡
2x
2
−e
x
¢
¯
¯
¯
2
1
=π
¡
6−e
2
+e
¢
.
Chọn đáp án D ä
Câu 15. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = x
2
và y =
p
x.
A.
π
5
. B.
π
2
. C.
3
10
. D.
3π
10
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 761 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Phương trình hoành độ giao điểm: x
2
=
p
x ⇔
x =0
x =1.
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành là
V =π
1
Z
0
¯
¯
x
4
−x
¯
¯
dx =π
1
Z
0
(x −x
4
)dx =π
µ
x
2
2
−
x
5
5
¶
¯
¯
¯
¯
1
0
=
3π
10
.
Chọn đáp án D ä
Câu 16. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x ln x, y =0, x =e quay quanh trục Ox tạo thành khối
tròn xoay có thể tích bằng
π
a
¡
be
3
−2
¢
. Tính a +b.
A. 30. B. 33. C. 32. D. 29.
- Lời giải.
Xét phương trình hoành độ giao điểm x lnx =0 ⇔ x =1.
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn quanh trục Ox là
V =π
e
Z
1
x
2
ln
2
xdx =
π
27
(5e
3
−2).
Vậy a =27, b =5, suy ra a +b =32.
Chọn đáp án C ä
Câu 17. Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol
(
P
)
: y = x
2
và đường thẳng
d : y =2x quay quanh trục Ox bằng
A. π
2
Z
0
4x
2
dx −π
2
Z
0
x
4
dx . B. π
2
Z
0
¡
x
2
−2x
¢
2
dx .
C. π
2
Z
0
4x
2
dx +π
2
Z
0
x
4
dx . D. π
2
Z
0
¡
x
2
−2x
¢
dx .
- Lời giải.
Xét phương trình
x
2
=2x ⇔ x
2
−2x =0 ⇔
x =0
x =2
Khi đó miền phẳng là phần gạch chéo hình bên. Gọi V là thể tích
khối tròn xoay khi quay miền phẳng đó quanh trục Ox ta có V =
π
2
Z
0
(
2x
)
2
dx −π
2
Z
0
¡
x
2
¢
2
dx =π
2
Z
0
4x
2
dx −π
2
Z
0
x
4
dx .
O
x
y
1 2
4
Chọn đáp án A ä
Câu 18. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x =0 và x =3, biết rằng thiết diện của
vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤3) là một hình tròn có
đường kính bằng
p
36−3x
2
.
A. V =
81π
4
. B. V =
81
4
. C. V =81π. D. V =81.
Th.s Nguyễn Chín Em 762 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Diện tích của thiết diện đó là S(x) =π ·
Ã
p
36−3x
2
2
!
2
=
π
4
·(36−3x
2
).
Thể tích vật thể tròn xoay đó là
V =
3
Z
0
π
4
·(36−3x
2
)dx =
π
4
3
Z
0
(36−3x
2
)dx =
π
4
·(36x −x
3
)
¯
¯
¯
3
0
=
81π
4
.
Chọn đáp án A ä
Câu 19. Độ lớn của vận tốc của một vật thay đổi theo thời gian v = f (t) (m/s) trong đó f (t) nhận giá tr ị
dương. Quãng đường đi được (tính theo đơn vị mét) từ thời điểm t = a (s) đến thời điểm t = b (s), (0 <a < b),
được tính theo công thức
A. f (b)− f (a). B.
a
Z
b
f (t)dt. C.
b
Z
a
f (t)dt. D. f (a)− f (b).
- Lời giải.
Gọi công thức tính độ dài quãng đường đi được theo thời gian là s = g(t) (m). Khi đó, g(t) là một nguyên
hàm của f (t).
Do đó g(b)− g(a) =
b
Z
a
f (t)dt.
Chọn đáp án C ä
Câu 20. Một vật di chuyển với gia tốc a(t) = − 20(1 +2t)
−2
(m/s
2
). Khi t =0 thì vận tốc của vật là 30 m/s.
Tính quãng đường vật đó đi được sau 2 giây đầu tiên.
A. 47 m. B. 48 m. C. 49 m. D. 46 m.
- Lời giải.
v(t) =
Z
a(t)dt =
Z
−20
(1+2t)
2
dt =
10
1+2t
+C.
Vì v(0) =30 ⇒10+C =30 ⇔C =20. Suy ra quãng đường cần tính là
s =
2
Z
0
v(t)dt =
2
Z
0
µ
10
1+2t
+20
¶
dt =
(
5ln(1+2t) +20t
)
¯
¯
¯
2
0
≈48.
Chọn đáp án B ä
Câu 21. Một vật chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = −10 m/s
2
, vận tốc ban đầu là v
0
= 120 m/s.
Tính quãng đường di chuyển của vật từ thời điểm t
0
=0 đến lúc dừng hẳn.
A. 1440 m. B. 1000 m. C. 680 m. D. 720 m.
- Lời giải.
Vận tốc của vật đó cho bởi v(t) = 120 −10t . Vật đó dừng sau
120
10
= 12 giây. Quãng đường vật đó đã di
chuyển được là
12
Z
0
(120−10t)dt =720 (m).
Chọn đáp án D ä
Câu 22. Cho miền phẳng (D) giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
p
x, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và trục
hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) quanh trục hoành.
Th.s Nguyễn Chín Em 763 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. 3π. B.
3π
2
. C.
2π
3
. D.
3
2
.
- Lời giải.
V =π
2
Z
1
xdx =
πx
2
2
¯
¯
¯
¯
2
1
=
3π
2
.
Chọn đáp án B ä
Câu 23.
Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức
nào dưới đây?
A.
Z
2
−1
¡
2x
2
−2x −4
¢
dx . B.
Z
2
−1
(−2x +2)dx.
C.
Z
2
−1
(2x −2)dx. D.
Z
2
−1
¡
−2x
2
+2x +4
¢
dx .
x
−1
2
y
O
y =−x
2
+3
y = x
2
−2x −1
- Lời giải.
S =
Z
2
−1
£¡
−x
2
+3
¢
−
¡
x
2
−2x −1
¢¤
dx =
Z
2
−1
¡
−2x
2
+2x +4
¢
dx .
Chọn đáp án D ä
Câu 24. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x
3
+2x +1, trục hoành, x =1 và x =2 bằng
A.
31
4
. B.
49
4
. C.
21
4
. D.
39
4
.
- Lời giải.
Gọi S là diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường y = x
3
+2x +1, trục hoành,
x =1 và x =2. Khi đó D là phần gạch sọc như hình bên.
Khi đó
S =
2
Z
1
¡
x
3
+2x +1
¢
dx =
µ
x
4
4
+x
2
+x
¶
¯
¯
¯
2
1
=
31
4
.
x
y
O
1 2
1
4
13
Chọn đáp án A ä
Câu 25.
Th.s Nguyễn Chín Em 764 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40cm được thiết kế như hình bên.
Diện tích mỗi cánh hoa ( phần tô đậm ) bằng :
A.
800
3
cm
2
. B.
400
3
cm
2
. C. 250cm
2
. D. 800cm
2
.
0
40cm
- Lời giải.
Diện tích một cánh hoa là diện tích hình phẳng được tính theo
công thức sau:
S =
Z
20
0
µ
p
20x −
1
20
x
2
¶
dx =
µ
2
3
p
20
p
x
3
−
1
60
x
3
¶
¯
¯
20
0
=
400
3
(cm
2
)
.
x
y
0
20
−20
20−20
y =
x
2
20
y =
p
20x
Chọn đáp án B ä
Câu 26. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y =
x
2
−4x +6 và y =−x
2
−2x +6 bằng
A. π. B. 2π. C. 3π. D. π −1.
- Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
x
2
−4x +6 =−x
2
−2x +6 ⇔
x =0
x =1.
Thể tích khối tròn xuay là
V = π
1
Z
0
¯
¯
¯
¡
x
2
−4x +6
¢
2
−
¡
−x
2
−2x +6
¢
2
¯
¯
¯
dx
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
π
1
Z
0
¡
−12x
3
+36x
2
−24x
¢
dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
π
1
Z
0
¡
−12x
3
+36x
2
−24x
¢
dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
π(−3x
4
+12x
3
−12x
2
)
¯
¯
¯
1
0
¯
¯
¯
¯
=3π.
Chọn đáp án C ä
Câu 27. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D với AB = AD =
CD
2
= a. Quay hình thang và miền
trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh AB. Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành.
A. V =
4πa
3
3
. B. V =
5πa
3
3
. C. V =πa
3
. D.
7πa
3
3
.
Th.s Nguyễn Chín Em 765 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Gọi V
1
là thể tích khối nón có đường sinh là BC , bán kính R = AD = a, chiều cao h = a. Khi đó V
1
=
1
3
πR
2
h =
1
3
πa
2
·a =
a
3
3
π.
Gọi V
2
là thể tích khối trụ có đường sinh là DC = 2a, bán kính R = AD = a, chiều cao h
0
= 2a. Khi đó
V
2
=πR
2
h
0
=π ·a
2
.2a =2a
3
π.
Thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành là V =V
2
−V
1
=2a
3
π −
a
3
π
3
=
5a
3
π
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 28. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
p
x
2
−4, trục Ox, đường thẳng x =3. Tính
thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục hoành.
A. V =
7π
3
(đvtt). B. V =
5π
3
(đvtt). C. V =2π(đvtt). D. V =3π(đvtt).
- Lời giải.
Xét phương trình hoành độ giao điểm
p
x
2
−4 =0 ⇔ x
2
=4 ⇔ x =±2.
Khi đó hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
p
x
2
−4, trục Ox,
x =2, x =3.
Thể tích khối tròn xoay khi quay (H) quanh Ox là
V =π
3
Z
2
(x
2
−4)dx =π
µ
x
3
3
−4x
¶
¯
¯
¯
¯
3
2
=
7π
3
.
x
y
O
2
3
Chọn đáp án A ä
Câu 29. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x ln x, trục Ox và đường thẳng x =e.
A. S =
e
2
+3
4
. B. S =
e
2
−1
2
. C. S =
e
2
+1
2
. D. S =
e
2
+1
4
.
- Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm là xln x =0 ⇔
x =0(loại)
ln x =0
⇔ x =1.
Diện tích hình phẳng cần tìm là S =
e
Z
1
|x lnx|dx =
e
Z
1
xln xdx.
Đặt
u =ln x
dv = x dx
⇒
du =
1
x
dx
v =
x
2
2
.
Khi đó S =
x
2
2
·lnx
¯
¯
¯
¯
e
1
−
e
Z
1
x
2
dx =
e
2
2
−
x
2
4
¯
¯
¯
¯
e
1
=
e
2
2
−
µ
e
2
4
−
1
4
¶
=
e
2
+1
4
.
Chọn đáp án D ä
Câu 30.
Th.s Nguyễn Chín Em 766 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Cho đồ thị hàm số y = f (x) như hình vẽ. Diện tích S của hình phẳng
được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) và trục Ox (phần gạch sọc)
được tính bởi công thức
A. S =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
3
Z
−3
f (x)dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. B. S =
3
Z
−3
f (x)dx.
C. S =
1
Z
−3
f (x)dx −
3
Z
1
f (x)dx. D. S =
1
Z
−3
f (x)dx +
3
Z
1
f (x)dx.
x
y
O
2
−3
1 3
y = f (x)
- Lời giải.
Ta có diện tích cần tính bằng
S =
3
Z
−3
|
f (x)
|
dx =
1
Z
−3
|
f (x)
|
dx +
3
Z
1
|
f (x)
|
dx =
1
Z
−3
f (x)dx −
3
Z
1
f (x)dx.
Chọn đáp án C ä
Câu 31. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
p
tan x; y =0; x =0; x =
π
4
quay xung quanh trục Ox.
Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra.
A.
π
4
. B.
πln3
4
. C.
πln2
2
. D. πln2.
- Lời giải.
Ta có V =π
π
4
Z
0
tan x dx =−π ln|cos x|
¯
¯
¯
π
4
0
=π ln
p
2 =
πln2
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 32. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (H) của hàm số y =
x −1
x +1
và các trục tọa độ. Khi
đó giá trị của S là
A. 2ln2+1 (đvdt). B. 2ln2−1 (đvdt). C. ln2+1 (đvdt). D. ln2−1 (đvdt).
- Lời giải.
Tập xác định D =R \ {−1}.
Ta có
x −1
x +1
=0 ⇔ x =1. Vậy diện tích hình phẳng S là
S =
1
Z
0
¯
¯
¯
¯
x −1
x +1
¯
¯
¯
¯
dx =
1
Z
0
¯
¯
¯
¯
1−
2
x +1
¯
¯
¯
¯
dx =
¯
¯
¯
¯
x
¯
¯
¯
1
0
−2ln(x +1)
¯
¯
¯
1
0
¯
¯
¯
¯
=|1 −2ln2|=2ln2−1 (đvdt).
Chọn đáp án B ä
Câu 33. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) của hàm số y = x
p
1+x
2
, trục hoành,
trục tung và đường thẳng x =1. Biết S =a
p
2+b, với (a,b ∈Q) và a, b viết dạng các phân số tối giản. Tính
a +b.
A. a +b =
1
6
. B. a +b =
1
2
. C. a +b =
1
3
. D. a +b =0.
- Lời giải.
Hoành độ giao điểm của (C ) và trục Ox là nghiệm của phương trình
x
p
1+x
2
=0 ⇔ x =0.
Suy ra
S =
1
Z
0
x
p
1+x
2
dx =
1
2
1
Z
0
(1+x
2
)
1
2
d(1+x
2
) =
1
2
·
1
1
2
+1
(1+x
2
)
3
2
¯
¯
¯
¯
1
0
=
2
3
p
2−
1
3
.
Th.s Nguyễn Chín Em 767 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Do đó a =
2
3
, b =−
1
3
.
Vậy a +b =
1
3
.
Chọn đáp án C ä
Câu 34. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
f (x) =
1
3
x
3
−x
2
−
1
3
x +1 và trục hoành như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. S =
1
Z
−1
f (x)dx −
3
Z
1
f (x)dx. B. S =2
3
Z
1
f (x)dx.
C. S =2
1
Z
−1
f (x)dx. D. S =
3
Z
−1
|
f (x)
|
dx .
x
y
O
−1 1 3
- Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) và trục hoành:
1
3
x
3
−x
2
−
1
3
x +1 =0 ⇔
x =−1
x =1
x =3.
Từ hình vẽ ta thấy f (x) >0, ∀x ∈(−1;1) và f (x) <0, ∀x ∈(1;3).
Do đó diện tích S được tính bởi
S =
3
Z
−1
|
f (x)
|
dx =
1
Z
−1
f (x)dx −
3
Z
1
f (x)dx =2
1
Z
−1
f (x)dx
vì
1
Z
−1
f (x)dx =
1
Z
−1
µ
1
3
x
3
−x
2
−
1
3
x +1
¶
dx =
4
3
và
3
Z
1
f (x)dx =
3
Z
1
µ
1
3
x
3
−x
2
−
1
3
x +1
¶
dx =−
4
3
.
Vậy mệnh đề sai là S =2
3
Z
1
f (x)dx.
Chọn đáp án B ä
Câu 35.
Cho hàm số y = f (x). Hàm số y = f
0
(x ) có đồ thị như hình bên. Biết
rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y =
f
0
(x ) trên đoạn [−2;1] và [1;4] lần lượt bằng 9 và 12. Cho f (1) =3. Giá
trị của biểu thức f (−2)+ f (4) bằng
A. 21. B. 9. C. 3. D. 2.
O
x
y
−2
1 4
y = f
0
(x)
- Lời giải.
Dựa vào đồ thị hàm số, kết hợp với giả thiết ta có
Th.s Nguyễn Chín Em 768 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
1
Z
−2
f
0
(x )dx =−9 ⇒ f (1) − f (−2) =−9 ⇒ f (−2) =9 + f (1) =12.
4
Z
1
f
0
(x )dx =12 ⇒ f (4) − f (1) =−12 ⇒ f (4) =−12 + f (1) =−9.
Vậy f (−2) + f (4) =3.
Chọn đáp án C ä
Câu 36. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (H
1
) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
x
2
4
, y = −
x
2
4
,
x =−4, x =4 và (H
2
) là hình gồm các điểm (x; y) thỏa mãn x
2
+ y
2
≤16, x
2
+(y −2)
2
≥4, x
2
+(y +2)
2
≥4.
Cho (H
1
) và (H
2
) quay quanh trục O y ta được các vật thể có thể tích lần lượt là V
1
, V
2
. Đẳng thức nào sau
đây đúng?
A. V
1
=V
2
. B. V
1
=
1
2
V
2
. C. V
1
=2V
2
. D. V
1
=
2
3
V
2
.
O
x
y
−4 4
−4
4
O
x
y
−4 4
−4
4
2
−2
- Lời giải.
Tính thể tích V
1
.
– Thể tích khối trụ bán kính r =4, chiều cao h =8 là V =πr
2
h =128π.
– y =
x
2
4
⇒ x
2
= 4y ⇒ x = 2
p
y với x ≥ 0. Thể tích hình giới hạn bởi parabol y =
x
2
4
, trục tung,
đường thẳng y =4 quay quanh O y là
V
(P)
=π
4
Z
0
x
2
dy =π
4
Z
0
4ydy =32π.
Suy ra thể tích sinh bởi (H
1
) là
V
1
=V −2·V
(P)
=128π −2·32π =64π.
Tính thể tích V
2
.
– Thể tích khối cầu bán kính R =4 là V
L
=
4
3
πR
3
=
256
3
π.
– Thể tích khối cầu bán kính r =2 là V
N
=
4
3
πr
3
=
32
3
π.
Suy thể tích sinh bởi (H
2
) là
V
2
=V
L
−2·V
N
=
256π
3
−
2·32π
3
=64π.
Th.s Nguyễn Chín Em 769 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Vậy V
1
=V
2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 37. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y =
p
2+cosx, trục hoành và các đường thẳng x = 0,
x =
π
2
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A. V =π −1. B. V =(π −1)π. C. V =(π +1)π. D. V =π +1.
- Lời giải.
Thể tích V =π
π
2
Z
0
(
p
2+cosx)
2
dx =π
π
2
Z
0
(2+cosx)dx =π(2x +sinx)
¯
¯
¯
π
2
0
=(π +1)π.
Chọn đáp án C ä
Câu 38. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y =
p
2+sinx, trục hoành và các đường thẳng x =0,
x =π. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A. V =2
(
π +1
)
. B. V =2π
(
π +1
)
. C. V =2π
2
. D. V =2π.
- Lời giải.
Ta có
−1 ≤sin x ≤1
⇔1 ≤2+sinx ≤3
⇔1 ≤ y ≤
p
3
Do vậy đường cong y =
p
2+sinx không cắt trục hoành. Vậy, ta có
V =π
π
Z
0
(
2+sinx
)
dx =
(
2x −cos x
)
¯
¯
¯
π
0
=2π
(
π +1
)
.
Chọn đáp án B ä
Câu 39. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y =
p
x
2
+1, trục hoành và các đường thẳng x = 0,
x =1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A. V =
4π
3
. B. V =2π. C. V =
4
3
. D. V =2.
- Lời giải.
Ta có V =π
1
Z
0
³
p
x
2
+1
´
2
dx =
4π
3
.
Chọn đáp án A ä
Câu 40. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x
3
−x và đồ thị hàm số y = x −x
2
.
A.
37
12
. B.
9
4
. C.
81
12
. D. 13.
- Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số:
x
3
−x = x −x
2
⇔ x
3
+x
2
−2x =0 ⇔
x =0
x =1
x =−2
Th.s Nguyễn Chín Em 770 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x
3
−x và đồ thị hàm số y = x −x
2
là
S =
1
Z
−2
¯
¯
x
3
+x
2
−2x
¯
¯
dx =
0
Z
−2
¯
¯
x
3
+x
2
−2x
¯
¯
dx +
1
Z
0
¯
¯
x
3
+x
2
−2x
¯
¯
dx
=
0
Z
−2
¡
x
3
+x
2
−2x
¢
dx −
1
Z
0
¡
x
3
+x
2
−2x
¢
dx
=
µ
1
4
x
4
+
1
3
x
3
−x
2
¶
¯
¯
¯
¯
0
−2
−
µ
1
4
x
4
+
1
3
x
3
−x
2
¶
¯
¯
¯
¯
1
0
=
8
3
−
µ
−
5
12
¶
=
37
12
.
Chọn đáp án A ä
Câu 41.
Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các
đường y = f (x), trục hoành và 2 đường thẳng x =−1,
x = 2 (như hình vẽ bên). Đặt a =
Z
0
−1
f (x)dx, b =
Z
2
0
f (x)dx. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. S = b −a. B. S =b +a.
C. S =−b +a. D. S =−b −a.
x
1 2
−1
y
1
2
0
f
- Lời giải.
Ta có: S =
2
Z
−1
|
f (x)
|
dx =
0
Z
−1
|
f (x)
|
dx +
2
Z
0
|
f (x)
|
dx =−
0
Z
−1
f (x)dx +
2
Z
0
f (x)dx =−a +b.
Chọn đáp án
A ä
Câu 42. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 3, biết rằng khi cắt vật
thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với tr ục Ox tại điểm có hoành độ x
(
1 É x É3
)
thì được thiết diện là một
hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và
p
3x
2
−2.
A. V =32+2
p
15. B. V =
124π
3
. C. V =
124
3
. D. V =
¡
32+2
p
15
¢
π.
- Lời giải.
Diện tích thiết diện là S(x) =3x
p
3x
2
−2.
Suy ra thể tích vật thể tạo thành là: V =
3
Z
1
S(x)dx =
3
Z
1
3x
p
3x
2
−2dx.
Sử dụng MTCT ta được : V =
124
3
.
Chọn đáp án C ä
Câu 43.
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi
1
4
cung tròn có bán kính
R = 2, đường cong y =
p
4−x và trục hoành (miền tô đậm như hình
vẽ). Tính thể tích V của khối tạo thành khi cho hình (H) quay quanh
trục Ox
A. V =
40π
3
. B. V =
66π
7
. C. V =
77π
6
. D. V =
8π
3
.
x
y
O
- Lời giải.
Phương trình đường tròn tâm O có bán kính bằng 2 là x
2
+ y
2
=4.
Vậy phương trình của nữa đường tròn tren tr ục hoành là y =
p
4−x.
Th.s Nguyễn Chín Em 771 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Do đó: V =π
◦
Z
−2
¡
4−x
2
¢
dx +
4
Z
0
(4−x)dx
=
40
3
π.
Chọn đáp án A ä
Câu 44.
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục
hoành (như hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
O
x
y
y = f (x)
d
a c
b
A. S =
b
Z
a
f (x)dx +
c
Z
b
f (x)dx +
d
Z
c
f (x)dx. B. S =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
d
Z
a
f (x)dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
C. S =−
b
Z
a
f (x)dx +
c
Z
b
f (x)dx +
d
Z
c
f (x)dx. D. S =
b
Z
a
f (x)dx +
c
Z
b
f (x)dx −
d
Z
c
f (x)dx.
- Lời giải.
Ta thấy trong [a; b] thì f (x) <0, trong [b; c] thì f (x) >0, và trong [c;d] thì f (x) <0.
Chọn đáp án D ä
Câu 45.
Diện tích hình phẳng phần gạch chéo trong hình vẽ bên được
tính theo công thức nào sau đây?
A. S =
2
Z
−1
(−x
3
−2x
2
+5x +6)dx.
B. S =
2
Z
−1
(x
3
−2x
2
−x +10)dx.
C. S =
2
Z
−1
(x
3
+2x
2
−5x −6)dx.
D. S =
2
Z
−1
(x
3
+2x
2
−x −10)dx.
x
y
y =−2x
2
+2x +8
y = x
3
−3x +2
O
−2 −1 1 2
2
8
- Lời giải.
Diện tích hình phẳng S =
2
Z
−1
[−2x
2
+2x +8−(x
3
−3x +2)]dx =
2
Z
−1
(−x
3
−2x
2
+5x +6)dx.
Chọn đáp án A ä
Câu 46. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 3, biết rằng khi cắt vật
thể bởi mặt phẳng bất kỳ vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x
(
1 É x É3
)
thì được thiết diện là tam
giác đều có độ dài cạnh là
p
3x
2
+4.
A.
17
p
3
4
. B. V =
17
p
3
2
π. C.
17
p
3
4
π. D.
17
p
3
2
.
- Lời giải.
Giả sử thiết diện là tam giác đều ABC.
Th.s Nguyễn Chín Em 772 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Diện tích của thiết diện: S(x) =
1
2
AB · AC ·sin A =
p
3
4
(3x
2
+4)
Thể tích khối vật thể V =
3
Z
1
p
3
4
(3x
2
+4)dx =
17
p
3
2
.
Chọn đáp án D ä
Câu 47. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 4, biết rằng khi cắt
bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x
(
1 É x É4
)
thì được thiết diện là lục giác đều
có độ dài cạnh là 2x.
A. V =63
p
3π. B. V =126
p
3. C. V =63
p
3. D. V =126
p
3π.
- Lời giải.
Thiết diện tại điểm có hoành độ x là lục giác đều có cạnh 2x nên nó có diện tích
S(x) =6
(2x )
2
p
3
4
=6
p
3x
2
.
Thể tích vật thể cần tìm là V =
4
Z
1
S(x)dx =
4
Z
1
6
p
3x
2
dx =2
p
3x
3
¯
¯
¯
4
1
=126
p
3.
Chọn đáp án B ä
Câu 48.
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị (C): y = f (x), trục hoành, hai đường thẳng x = a, x = b
(như hình vẽ bên). Giả sử S
D
là diện tích của hình phẳng D. Chọn
công thức đúng trong các phương án dưới đây?
x
y
O
y = f (x)
a
b
A. S
D
=
0
Z
a
f (x)dx +
b
Z
0
f (x)dx. B. S
D
=−
0
Z
a
f (x)dx +
b
Z
0
f (x)dx.
C. S
D
=
0
Z
a
f (x)dx −
b
Z
0
f (x)dx. D. S
D
=−
0
Z
a
f (x)dx −
b
Z
0
f (x)dx.
- Lời giải.
Nhìn đồ thị ta thấy f (x) É0, ∀x ∈[a;0] và f (x) Ê0, ∀x ∈[0;b].
Vậy S
D
=
b
Z
a
|f (x)|dx =
0
Z
a
|f (x)|dx +
b
Z
0
|f (x)|dx =−
0
Z
a
f (x)dx +
b
Z
0
f (x)dx.
Chọn đáp án B ä
Câu 49. Cho phần vật thể
(
ℑ
)
giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x =0 và x =2. Cắt phần vật thể
(
ℑ
)
bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x
(
0 É x É2
)
, ta được thiết diện là một tam
giác đều có độ dài cạnh bằng x
p
2−x. Tính thể tích V của phần vật thể
(
ℑ
)
.
A. V =
4
3
. B. V =
p
3
3
. C. V =4
p
3. D. V =
p
3.
- Lời giải.
Diện tích thiết diện: S
∆
=
x
2
(2−x)
p
3
4
.
Th.s Nguyễn Chín Em 773 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
V
ℑ
=
2
Z
0
x
2
(2−x)
p
3
4
dx =
p
3
4
2
Z
0
x
2
(2−x)dx =
p
3
4
µ
2
3
x
3
−
1
4
x
4
¶
¯
¯
¯
2
0
=
p
3
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 50. Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong y =−x
3
+12x và y =−x
2
.
A. S =
343
12
. B. S =
793
4
. C. S =
397
4
. D. S =
937
12
.
- Lời giải.
Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình:
−x
3
+12x =−x
2
⇔−x
3
+12x +x
2
=0 ⇔
x =4
x =−3
x =0.
Ta có S =
0
Z
−3
|−x
3
+12x +x
2
|dx +
4
Z
0
|−x
3
+12x +x
2
|dx
=
0
Z
−3
(x
3
−12x −x
2
)dx +
4
Z
0
(−x
3
+12x +x
2
)dx =
99
4
+
160
3
=
937
12
.
Chọn đáp án D ä
Câu 51. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x
2
+2, x =1, x =2, y =0.
A. S =
10
3
. B. S =
8
3
. C. S =
13
3
. D. S =
5
3
.
- Lời giải.
Gọi S là diện tích cần tìm. Ta có S =
2
Z
1
(x
2
+2)dx =
13
3
.
Chọn đáp án C ä
Câu 52. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x
2
, y = 2x. Thể tích của khối tròn xoay được tạo
thành khi quay (H) xung quanh trục Ox bằng:
A.
32π
15
. B.
64π
15
. C.
21π
15
. D.
16π
15
.
- Lời giải.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: x
2
−2x =0 ⇔
x =0
x =2.
Khi quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay giới hạn bởi
y = x
2
y =2x
x =0
x =2.
Do đó thể tích của khối tròn xoay là V =π
2
Z
0
¯
¯
(x
2
)
2
−(2x)
2
¯
¯
dx =
64π
15
.
Chọn đáp án B ä
Câu 53.
Th.s Nguyễn Chín Em 774 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Cho hình (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x
2
−4x +4, đường cong
y = x
3
và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích S của hình
(H).
A. S =
11
2
. B. S =
7
12
. C. S =
20
3
. D. S =−
11
2
.
O
x
y
1 2 3
- Lời giải.
Parabol y = x
2
−4x +4 có đỉnh I(2;0).
Phương trình hoành độ giao điểm của y = x
2
−4x +4 và y = x
3
là
x
3
−x
2
+4x −4 =0 ⇔(x −1)(x
2
+4) =0 ⇔ x =1.
Khi đó, diện tích S =
1
Z
0
x
3
dx +
2
Z
1
(x
2
−4x +4)dx =
7
12
.
Chọn đáp án B ä
Câu 54.
Tích diện tích S của hình phẳng (phần gạch sọc) trong hình bên.
A. S =
8
3
. B. S =
10
3
. C. S =
11
3
. D. S =
7
3
.
x
y
y =
p
x
y = x −2
2 4
2
O
- Lời giải.
Dựa và hình vẽ, ta có hình phẳng được giới hạn bởi các đường y =
p
x, y = x −2, y =0.
Vậy S =
2
Z
0
p
xdx +
4
Z
2
¡
p
x −x +2
¢
dx =
10
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 55. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y =
p
2+cosx, trục hoành và các đường thẳng x = 0,
x =
π
2
. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành.
A. V =π −1. B. V =π +1. C. V =π(π −1). D. V =π(π +1).
- Lời giải.
Thể tích khối tròn xoay khi quay D quanh trục hoành là
V =π
π
2
Z
0
y
2
dx =π
π
2
Z
0
(2+cosx)dx =π(2x +sinx)
¯
¯
¯
π
2
0
=π(π +1).
Chọn đáp án D ä
Câu 56. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = 2x − x
2
, y = 0. Quay (H) quanh trục hoành tạo
thành khối tròn xoay có thể tích là
A.
2
Z
0
(2x −x
2
)dx. B. π
2
Z
0
(2x −x
2
)
2
dx . C.
2
Z
0
(2x −x
2
)
2
dx . D. π
2
Z
0
(2x −x
2
)dx.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 775 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có: 2x −x
2
=0 ⇔
x =0
x =2.
Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có: π
2
Z
0
(2x −x
2
)
2
dx .
Chọn đáp án B ä
Câu 57. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = xe
x
, trục
hoành và hai đường thẳng x =0, x =2 quanh trục hoành bằng π(ae
4
+b). Giá trị a +b là
A.
1
2
. B.
3
2
. C. 1. D. 2.
- Lời giải.
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là: V =π
2
Z
0
x
2
e
2x
dx =π ·I.
Đặt:
u = x
2
dv =e
2x
dx
⇒
du =2x dx
v =
e
2x
2
. Ta có: I =
µ
1
2
x
2
e
2x
¶
¯
¯
¯
2
0
−
2
Z
0
xe
2x
dx =
µ
1
2
x
2
e
2x
¶
¯
¯
¯
2
0
−I
1
.
Tính I
1
.
Đặt:
u = x
dv =e
2x
dx
⇒
du =dx
v =
e
2x
2
. Do đó I
1
=
x ·e
2x
2
¯
¯
¯
2
0
−
1
2
2
Z
0
e
2x
dx
Ta có
I =
µ
1
2
x
2
e
2x
¶
¯
¯
¯
2
0
−
µ
1
2
xe
2x
¶
¯
¯
¯
2
0
+
1
2
2
Z
0
e
2x
dx
=
µ
1
2
x
2
e
2x
¶
¯
¯
¯
2
0
−
µ
1
2
xe
2x
¶
¯
¯
¯
2
0
+
µ
1
4
e
2x
¶
¯
¯
¯
2
0
=
µ
2e
4
−e
4
+
1
4
e
4
−
1
4
¶
=
5
4
e
4
−
1
4
.
Do đó: V =π
µ
5
4
e
4
−
1
4
¶
⇒a =
5
4
, b =−
1
4
. Vậy a +b =1.
Chọn đáp án C ä
Câu 58. Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x
1
2
·e
x
2
, x =1,
x =2, y =0 xung quanh trục Ox bằng
A. π(e
2
+e). B. π(e
2
−e). C. πe. D. πe
2
.
- Lời giải.
Thể tích V =π
2
Z
1
µ
x
1
2
·e
x
2
¶
2
dx =π
2
Z
1
xe
x
dx =π
xe
x
¯
¯
2
1
−
2
Z
1
e
x
dx
=πe
2
(đvtt).
Chọn đáp án D ä
Câu 59. Tính thể tích vật thể bị giới hạn bởi các mặt phẳng x =0 và x =1, biết thiết diện của vật thể khi cắt
bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x
(
0 ≤ x ≤1
)
là một hình vuông có độ dài cạnh
p
x(e
x
−1).
A. V =
π
2
. B. V =
e−1
2
. C. V =
1
2
. D. V =
π(e−1)
2
.
- Lời giải.
Ta có V =
1
Z
0
S(x)dx =
1
Z
0
x(e
x
−1)dx .
Th.s Nguyễn Chín Em 776 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt
u = x
dv =e
x
−1
⇒
du =dx
v =e
x
−x.
Suy ra V = x(e
x
−x)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
(e
x
−x)dx =e−1−
µ
e
x
−
1
2
x
2
¶
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
0
=e −1−
µ
e−
1
2
¶
+1 =
1
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 60. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
p
x −1,
trục hoành, x =2 khi quay quanh trục hoành.
A. V =
π
2
. B. V =
1
2
. C. V =2π. D. V =2.
- Lời giải.
Hoành độ giao điểm của đường y =
p
x −1 và trục hoành là nghiệm của phương trình
p
x −1 =0 ⇔ x =1.
Thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
p
x −1, trục hoành,
x =1, x =2 khi quay quanh trục hoành là
V =π
2
Z
1
³
p
x −1
´
2
dx =π
2
Z
1
(x −1)dx =π
µ
x
2
2
−x
¶
¯
¯
¯
2
1
=
π
2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 61.
Cho đồ thị hai hàm số y = x
3
−3x
2
+x +3 và y =−x
2
+2x +1. Diện
tích hình phẳng được tô màu tính theo công thức nào dưới đây?
A.
1
Z
−1
(x
3
−2x
2
−x +2)dx +
2
Z
1
(−x
3
+2x
2
+x −2)dx.
B.
2
Z
−1
(x
3
−2x
2
+x −2)dx.
C.
1
Z
−1
(−x
3
+2x
2
−x +2)dx +
2
Z
1
(x
3
−2x
2
+x −2)dx.
D.
2
Z
−1
(−x
3
+2x
2
−x +2)dx.
x
y
O
1 2
−1
−2
3
y = x
3
−3x
2
+x +3
y =−x
2
+2x +1
- Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là
x
3
−3x
2
+x +3 =−x
2
+2x +1 ⇔ x
3
−2x
2
−x +2 =0 ⇔
x =±1
x =2.
Do đó diện tích cần tìm là
1
Z
−1
(x
3
−2x
2
−x +2)dx +
2
Z
1
(−x
3
+2x
2
+x −2)dx.
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 777 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 62. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y = 3 −x
2
và đường thẳng y = −2x +
3.
A. S =
4
3
(đvdt). B. S =
3
4
(đvdt). C. S =−
3
4
(đvdt). D. S =−
4
3
(đvdt).
- Lời giải.
Xét phương trình 3 −x
2
=−2x +3 ⇔ x
2
−2x =0 ⇔
x =0
x =2.
Vậy S =
2
Z
0
¯
¯
(3−x
2
)−(−2x +3)
¯
¯
dx =
2
Z
0
¯
¯
−x
2
+2x
¯
¯
dx =
4
3
(đvdt).
Chọn đáp án A ä
Câu 63. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y =
1
2
x
2
−x, trục hoành và các đường thẳng x = 1,
x =4. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích bằng
A.
42π
5
. B. 3π. C.
4π
15
. D.
128π
25
.
- Lời giải.
Ta có V =π
4
Z
1
µ
1
2
x
2
−x
¶
2
dx =π
4
Z
1
µ
1
4
x
4
−x
3
+x
2
¶
dx =π
µ
x
5
20
−
1
4
x
4
+
1
3
x
3
¶
¯
¯
¯
¯
4
1
=
42π
5
.
Chọn đáp án
A ä
Câu 64. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y =cos x; y = 0; x =0 và x =
π
2
. Thể tích vật thể tròn
xoay có được khi quay (H) quanh trục Ox bằng
A.
π
2
4
. B. 2π. C.
π
4
. D.
π
2
2
.
- Lời giải.
Ta có: V
H
=
π
2
Z
0
(
cos x
)
2
dx =
1
2
π
2
Z
0
(
1+cos2x
)
dx =
1
2
µ
x +
1
2
sin2x
¶
¯
¯
¯
π
2
0
=
π
2
4
.
Chọn đáp án A ä
Câu 65. Cho đồ thị hàm số y = f (x).
Diện tích hình phẳng (phần có dấu gạch trong hình)
là:
A. S =
0
Z
−3
f (x)dx −
4
Z
0
f (x)dx.
B. S =
0
Z
−3
f (x)dx +
4
Z
0
f (x)dx.
C. S =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4
Z
−3
f (x)dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
D. S =
4
Z
−3
f (x)dx.
x
y
−3
4
y = f (x)
O
- Lời giải.
Dựa vào đồ thị ta thấy: trong đoạn [−3;0], f (x) Ê0 và trong đoạn [0;4], f (x) É0
Ta có S =
4
Z
−3
|f (x)|dx =
0
Z
−3
|f (x)|dx +
4
Z
0
|f (x)|dx =
0
Z
−3
f (x)dx −
4
Z
0
f (x)dx.
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 778 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 66. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường cong y =
x −3
x +1
; trục hoành và trục tung. Khối tròn xoay
được tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V =π
(
a +b ln2
)
với a, b ∈Z. Tính T = a +b.
A. T =3. B. T =6. C. T =10. D. T =−1.
- Lời giải.
Ta có giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm phương trình:
x −3
x +1
=0 ⇔ x =3.
Khi đó
V =π
3
Z
0
µ
x −3
x +1
¶
2
dx = π
3
Z
0
µ
1−
4
x +1
¶
2
dx =π
3
Z
0
µ
1−
8
x +1
+
16
(x +1)
2
¶
dx
= π
µ
x −8ln|x +1|−
16
x +1
¶
¯
¯
¯
3
0
=π
(
15−16ln2
)
.
Vậy T = a +b =−1.
Chọn đáp án D ä
Câu 67.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y =
(
x −2
)
2
, đường
cong y = x
3
và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ bên)
bằng
A. S =
11
2
. B. S =
73
12
. C. S =
7
12
. D. S =
5
2
.
x
O
2
y
- Lời giải.
Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y =
(
x −2
)
2
và y = x
3
là x =1.
Vậy S =
1
Z
0
x
3
dx +
2
Z
1
(x −2)
2
dx hay S =
7
12
.
Chọn đáp án C ä
Câu 68. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 0 < a < 1;
1
8
< b < 1;
3
8
< c < 1. Gọi M là giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P =
3
16
log
a
µ
b
2
−
1
16
¶
+
1
4
log
b
µ
c
2
−
3
16
¶
+
1
3
log
c
a. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
p
3 É M <2. B. M Ê2. C.
p
2 É M <
p
3. D. M <
p
2.
- Lời giải.
Ta có
b
2
−
1
16
=
8b −1
16
=
1
4
·
8b −1
4
É
µ
2b
2
¶
2
= b
2
.
c
2
−
3
16
=
8c −3
16
=
1
2
·
1
2
·
1
2
·
8c −3
2
É
µ
4c
4
¶
4
= c
4
.
Th.s Nguyễn Chín Em 779 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Suy ra
P =
3
16
log
a
µ
b
2
−
1
16
¶
+
1
4
log
b
µ
c
2
−
3
16
¶
+
1
3
log
c
a
Ê
3
16
log
a
b
2
+
1
4
log
b
c
4
+
1
3
log
a
c
=
3
8
log
a
b +log
b
c +
1
3
log
a
c
Ê3 ·
3
…
2
16
=
3
2
.
Vậy P
min
=
3
2
⇔
8b −1 =1
8c −3 =1
3
8
log
a
b =log
b
c =
1
3
log
c
a
⇔
b =
1
4
c =
1
2
a =
p
2
4
.
Chọn đáp án C
ä
Câu 69. Để làm cống thoát nước cho một con đường người ta cần đúc 200 ống hình trụ bằng bê tông có
đường kính trong lòng ống là 1m và chiều cao của mỗi ống bằng 2m, độ dày của thành ống là 8 cm. Biết
rằng 1 m
3
bê tông thì cần đúng 10 bao xi-măng. Hỏi cần bao nhiêu bao xi-măng để đúc 200 ống trên (kết
quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
A. 1086 bao. B. 1025 bao. C. 2091 bao. D. 523 bao.
- Lời giải.
Ta có thể tích của mỗi ống là V =π ·2·(0,5+0,08)
2
−π ·2 ·(0,5)
2
=
108π
625
(m
3
).
Như vậy cần tất cả
108π
625
·200·10 =1085,73 bao xi-măng.
Chọn đáp án A ä
Câu 70.
Cho hàm số f (x) liên tục trên [−1;4] và có đồ thị trên [−1;4]
như hình vẽ bên.
4
Z
−1
f (x)dx bằng
A.
5
2
. B.
11
2
. C. 5. D. 3.
x
y
O
−1
2
2
1
−1
3
4
- Lời giải.
4
Z
−1
f (x)dx =
2
Z
−1
f (x)dx +
4
Z
2
f (x)dx.
2
Z
−1
f (x)dx bằng diện tích hình thang có độ dài hai cạnh đáy bằng 3 và 1, đường cao bằng 2, do đó
2
Z
−1
f (x)dx =
1
2
·(3+1) ·2 =4.
Vì trên [2;4], f (x) <0 nên tương tự trên ta có
4
Z
2
f (x)dx =−
4
Z
2
−f (x)dx =−
1
2
·(2+1) ·1 =−
3
2
.
Th.s Nguyễn Chín Em 780 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Vậy
4
Z
−1
f (x)dx =4 −
3
2
=
5
2
.
Chọn đáp án A ä
2.1 ĐÁP ÁN
1. C 2. C 3. D 4. C 5. C 6. D
7. B
8. D 9. A 10. D
11. A 12. C 13. D 14. D 15. D 16. C 17. A 18. A 19. C 20. B
21. D 22. B 23. D 24. A 25. B 26. C 27. B 28. A 29. D 30. C
31. C 32. B 33. C 34. B 35. C 36. A 37. C 38. B 39. A 40. A
41. A 42. C 43. A 44. D 45. A 46. D 47. B 48. B 49. B 50. D
51. C 52. B 53. B 54. B 55. D 56. B 57. C 58. D 59. C 60. A
61. A 62. A 63. A 64. A 65. A 66. D 67. C 68. C 69. A 70. A
3 VẬN DỤNG THẤP
Câu 1. Cho hàm số y = f (x) liên tục và không âm trên khoảng (0;+∞). Biết rằng diện tích hình thang cong
giới hạn bởi các đường y = f (x), y =0, x =1, x =9 bằng 12. Tính I =
3
Z
1
x f (x
2
)dx.
A. I =6. B. I =24. C. I =2
p
3. D. I =144.
- Lời giải.
Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường y = f (x), y =0, x =1, x =9 bằng 12
⇒
9
Z
1
|f (x)|dx =12.
Mà hàm số y = f (x) liên tục và không âm trên khoảng (0;+∞) nên
9
Z
1
f (x)dx =12.
Ta có
I =
3
Z
1
x f (x
2
)dx =
1
2
3
Z
1
f (x
2
)d(x
2
) =
1
2
9
Z
1
f (t)d(t) =
1
2
·12 =6.
Chọn đáp án A ä
Câu 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y =2x +1 và đồ thị hàm số y = x
2
−x +3.
A.
1
7
. B.
1
8
. C.
1
6
. D. −
1
6
.
- Lời giải.
Xét phương trình hoành độ giao điểm
x
2
−x +3 =2x +1 ⇔ x
2
−3x +2 =0 ⇔
x =1
x =2.
Gọi S là diện tích cần tìm thì
S =
¯
¯
¯
¯
Z
2
1
(x
2
−3x +2)dx
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
µ
x
3
3
−
3x
2
2
+2x
¶
¯
¯
¯
¯
2
1
¯
¯
¯
¯
¯
=
1
6
.
O
x
y
1 2
Chọn đáp án C ä
Th.s Nguyễn Chín Em 781 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 3.
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x
2
, y = 0,
x = 0, x = 4. Đường thẳng y = k (0 < k < 16)) chia hình
(H) thành hai phần có diện tích S
1
, S
2
(hình vẽ). Tìm k để
S
1
=S
2
.
A. k =8. B. k =4. C. k =5. D. k =3.
y
x
O
x =4
y = k
S
1
S
2
y = x
2
- Lời giải.
Gọi S là diện tích hình phẳng (H). Vì S
1
=S
2
nên
2S
1
=S
1
+S
2
=S =
1
Z
0
x
2
dx =
x
3
3
¯
¯
¯
¯
4
0
=
64
3
⇒S
1
=
32
3
.
Mặt khác, S
1
=
4
Z
p
k
(x
2
−k)dx =
x
3
3
¯
¯
¯
¯
4
p
k
− kx
|
4
p
k
=
64
3
+
2k
p
k
3
−4k. Suy ra,
64
3
+
2k
p
k
3
−4k =
32
3
⇔2k
p
k −12k +32 =0 ⇔
p
k =2
p
k =2+2
p
3 (loại)
p
k =2−2
p
3 (vô nghiệm)
⇒ k =4.
Chọn đáp án B ä
Câu 4. Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong y =−x
3
+12x và y =−x
2
.
A. S =
397
4
. B. S =
937
12
. C. S =
343
12
. D. S =
793
4
.
- Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm của (S) và (H) là
−x
3
+12x =−x
2
⇔ x
3
−x
2
−12x =0 ⇔
x =0
x =4
x =−3.
S =
4
Z
−3
¯
¯
(−x
3
+12x +x
2
)
¯
¯
dx =
0
Z
−3
¯
¯
(−x
3
+12x +x
2
)
¯
¯
dx +
4
Z
0
¯
¯
(−x
3
+12x +x
2
)
¯
¯
dx
=
0
Z
−3
(x
3
−12x −x
2
)dx +
4
Z
0
(−x
3
+12x +x
2
)dx
=
937
12
.
Chọn đáp án B ä
Câu 5. Cho hàm số y = x
4
−4x
2
+m có đồ thị (C
m
). Giả sử (C
m
) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao
cho hình phẳng giới hạn bởi (C
m
) với trục hoành có diện tích phần phía trên trục hoành bằng diện tích phần
phía dưới trục hoành. Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây?
A. m ∈(−1;1). B. m ∈(2;3). C. m ∈(3;5). D. m ∈(5;+∞).
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 782 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) với trục hoành là
x
4
−4x
2
+m =0. (1)
Đặt t = x
2
, phương trình (1) trở thành
t
2
−4t +m =0. (2)
Đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi phương trình (1) có
4 nghiệm phân biệt.
⇔ phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt.
⇔
4−m >0
m >0
⇔0 < m <4.
x
y
O
x
4
x
3
Gọi t
1
, t
2
là hai nghiệm dương của (2) với t
1
< t
2
. Khi đó (1) có 4 nghiệm phân biệt theo thứ tự là
x
1
= −
p
t
1
, x
2
= −
p
t
2
, x
3
=
p
t
1
, x
4
=
p
t
2
. Do tính đối xứng qua trục Oy của (C
m
) nên yêu cầu của bài
toán trở thành
x
3
Z
0
(x
4
−4x
2
+m)dx =
x
4
Z
x
3
(−x
4
+4x
2
−m)dx
⇔
x
4
Z
0
(x
4
−4x
2
+m)dx =0
⇔
µ
x
5
5
−
4x
3
3
+mx
¶
¯
¯
¯
¯
x
4
0
=0
⇔
x
5
4
5
−
4x
3
4
3
+mx
4
=0
⇔ 3x
4
4
−20x
2
4
+15m =0.
Suy ra x
4
là nghiệm của hệ phương trình
x
4
4
−4x
2
4
+m =0
3x
4
4
−20x
2
4
+15m =0
⇔
12x
4
4
−40x
2
4
=0
3x
4
4
−20x
2
4
+15m =0
⇔
x
2
4
=0
m =0
x
2
4
=
10
3
m =
20
9
.
Kết hợp với điều kiện, suy ra m =
20
9
∈(2;3).
Chọn đáp án B ä
Câu 6.
Th.s Nguyễn Chín Em 783 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị y = f
0
(x ) (như hình vẽ bên) cắt trục Ox
tại ba điểm có hoành độ a < b < c. Xét 4 mệnh đề sau
(1) f (c) > f (a) > f (b).
(2) f (c) > f (b) > f (a).
(3) f (a ) > f (b ) > f (c).
(4) f (a ) > f (b ).
Trong các mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.
x
y
O
a
b
c
- Lời giải.
Dựa vào đồ thị của hàm số f
0
(x ), ta có bảng biến thiên của hàm số y = f (x) như sau:
x
f
0
(x )
f (x)
−∞
a
b
c
+∞
+
0
−
0
+
0
−
f (a)f (a)
f (b)f (b)
f (c)f (c)
Do đó f (a) > f (b).
Lại có diện tích hình phẳng giới hạn bởi f
0
(x ) với trục hoành trên đoạn [a; b] nhỏ hơn diện tích hình phẳng
giới hạn bởi f
0
(x ) với trục hoành trên đoạn [b; c], do đó
b
Z
a
|f
0
(x )|dx <
c
Z
b
|f
0
(x )|dx ⇔−
(
f (b) − f (a)
)
< f (c)− f (b) ⇔ f (a) < f (c).
Chọn đáp án C ä
Câu 7.
Cho hình cong (H) giới hạn bởi các đường y =
1
x
, x =
1
2
, x = 2 và trục hoành.
Đường thẳng x = k
µ
1
2
< k <2
¶
chia (H) thành hai phần có diện tích là S
1
và
S
2
như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của k để S
1
=3S
2
.
2
k
1
2
0
x
y
S
1
S
2
A. k =
p
2. B. k =1. C. k =
7
5
. D. k =
p
3.
- Lời giải.
Ta có
S
1
+S
2
=
2
Z
1
2
dx
x
=2ln2
S
1
=3S
2
⇒
ln2
2
=S
2
S
2
=
2
Z
k
dx
x
=ln2−ln k
⇒ln k =
ln2
2
⇒ k =
p
2.
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 784 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho hình chữ nhật (H) có một cạnh nằm trên trục hoành và có hai
đỉnh trên một đường chéo là A(−1;0) và C
¡
a;
p
a
¢
, với a >0. Biết rằng đồ thị của hàm số y =
p
x chia hình
(H) thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tìm a.
A. a =
1
2
. B. a =4. C. a =9. D. a =3.
- Lời giải.
x
y
O
−1 1 2 3
1
2
A
D
C
B
Gọi ABCD là hình chữ nhật (H) với AB nằm trên trục Ox.
Nhận thấy đồ thị hàm số y =
p
x cắt tr ục hoành tại điểm có hoành độ bằng 0 và đi qua C(a;
p
a).
Do đó nó chia hình chữ nhật ABCD ra làm 2 phần có diện tích lần lượt là S
1
, S
2
.
Gọi S
1
là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
p
x, trục Ox, x = 0, x = a và S
2
là phần
diện tích còn lại.
Ta có S
1
=
a
Z
0
p
xdx.
Đặt t =
p
x ⇒ t
2
= x ⇒2tdt = dx.
Khi x =0 ⇒ t =0, x = a ⇒ t =
p
a.
Do đó S
1
=
p
a
Z
0
2t
2
dt =
µ
2
3
t
3
¶
¯
¯
¯
p
a
0
=
2a
p
a
3
.
Hình chữ nhật ABCD có AB =a +1, AD =
p
a.
Khi đó S
2
=S
ABCD
−S
1
=
p
a(a +1)−
2a
p
a
3
=
a
p
a
3
+
p
3.
Theo đề bài ta có S
1
=S
2
⇔
2a
p
a
3
=
a
p
a
3
+
p
a ⇔a
p
a =3
p
a ⇔a =3 (do a >0).
Chọn đáp án D ä
Câu 9.
Cho đồ thị hàm số y = f (x) có đồ thị trên đoạn [−1;4] như hình
vẽ. Tính tích phân I =
4
Z
−1
|f (x)|dx.
A. I =
5
2
. B. I =
11
2
. C. I =5. D. I =3.
x
y
O
−1 1 2
3
4
−1
2
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 785 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có
I =
4
Z
−1
f (x)dx =
2
Z
−1
f (x)dx +
4
Z
2
f (x)dx
=
1
2
(3+1)·2−
1
2
(1+2)·1 =
5
2
.
x
y
O
−1 1 2
3
4
−1
2
Chọn đáp án A ä
Câu 10.
Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đường cong có phương trình y =
|x
2
−4x +3| và đường thẳng y = x +3. Tính diện tích S của hình phẳng
(H ).
A. S =
39
2
. B. S =
47
2
. C. S =
169
6
. D. S =
109
6
.
x
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
y
1
2
3
4
5
6
7
8
O
- Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường y =|x
2
−4x +3| và y = x +3 là
|x
2
−4x +3|= x +3 ⇔
x =0
x =5.
Từ đồ thị, diện tích S của hình phẳng (H ) là
S =
1
Z
0
£
(x +3)−(x
2
−4x +3)
¤
dx +
3
Z
1
£
(x +3)−(−x
2
+4x −3)
¤
dx +
+
5
Z
3
£
(x +3)−(x
2
−4x +3)
¤
dx
=
1
Z
0
(−x
2
+5x)dx +
3
Z
1
(x
2
−3x +6)dx +
5
Z
3
(−x
2
+5x)dx
=
13
6
+
26
3
+
22
3
=
109
6
.
Chọn đáp án D ä
Câu 11. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =2x , y = x
2
, y =1 trên miền x ≥0, y ≤1 là
A.
1
2
. B.
1
3
. C.
5
12
. D.
2
3
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 786 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Phương trình hoành độ giao điểm x
2
=2x ⇔
x =1
x =2.
Phương trình hoành độ giao điểm x
2
=1 ⇔
x =1
x =−1.
Phương trình hoành độ giao điểm 2x =1 ⇔ x =
1
2
.
Từ hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm là
1
2
Z
0
¡
2x −x
2
¢
dx +
1
Z
1
2
¡
1−x
2
¢
dx
=
µ
x
2
−
x
3
3
¶
¯
¯
¯
1
2
0
µ
x −
x
3
3
¶
¯
¯
¯
1
1
2
=
5
12
.
−1 1 2
4
O
1
2
x
y
Chọn đáp án C ä
Câu 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y =2x −x
2
và trục hoành.
A. S =
4π
3
. B. S =
4
3
. C. S =
5π
6
. D. S =
5
6
.
- Lời giải.
Xét phương trình: 2x −x
2
=0 ⇔
x =0
x =2
.
⇒S =
2
Z
0
¯
¯
2x −x
2
¯
¯
dx =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2
Z
0
¡
2x −x
2
¢
dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
4
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 13.
Cho hàm số y = f (x). Hàm số y = f
0
(x ) có đồ thị như hình bên. Khẳng
định nào sau đây đúng?
A. Hàm số y = f (x) có hai cực trị.
B. Hàm số y = f (x) đồng biên trên khoảng (1;+∞).
C. f (−1) < f (4) < f (1).
D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [−1;4] bằng
f (4).
O
x
y
−1 1 4
y = f
0
(x )
- Lời giải.
Bảng biến thiên của hàm số y = f (x)
x
f
0
(x )
f (x)
−∞
−1 1 4
+∞
−
0
+
0
−
0
+
+∞+∞
f (−1)f (−1)
f (1)f (1)
f (4)f (4)
+∞+∞
Dựa vào đồ thị hàm số y = f
0
(x ), ta thấy
1
Z
−1
f
0
(x )dx <
4
Z
1
−f
0
(x )dx ⇔ f (1)− f (−1) <−f (4)+ f (1) ⇔ f (−1) > f (4).
Suy ra, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [−1;4] bằng f (4).
Th.s Nguyễn Chín Em 787 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án D ä
Câu 14. Cho H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x
2
+2 và các tiếp tuyến của parabol đó tại điểm có
tung độ bằng 3. Diện tích của H bằng
A.
8
3
. B.
2
3
. C.
1
9
. D.
16
3
.
- Lời giải.
Ta có y
0
=3 ⇒ x
2
0
+2 =3 ⇔
x
0
=1
x
0
=−1
, ta được hai phương trình tiếp tuyến y =2x +1 và y =−2x +1.
Diện tích giới hạn bởi parabol và các tiếp tuyến là
S =
0
Z
−1
¯
¯
x
2
+2+2x −1
¯
¯
dx +
1
Z
0
¯
¯
x
2
+2−2x −1
¯
¯
dx =
0
Z
−1
¯
¯
x
2
+2x +1
¯
¯
dx +
1
Z
0
¯
¯
x
2
−2x +1
¯
¯
dx =
2
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 15.
Cho hàm số f (x) liên tục trên R. Đồ thị hàm số y = f
0
(x )
được cho như hình vẽ bên. Diện tích hình phẳng (K),(H)
lần lượt là
5
12
và
8
3
. Biết f
(
−1
)
=
19
12
, tính f (2).
A. f (2) =
11
6
. B. f (2) =−
2
3
.
C. f (2) =3. D. f (2) =0.
x
y
O
(K )
(H)
−2 −1 1 2
- Lời giải.
Ta có S
(K )
=
0
Z
−1
f
0
(x )dx = f (x)
¯
¯
0
−1
= f (0) − f (−1) =
5
12
.
S
(H)
=−
2
Z
0
f
0
(x )dx =
(
−f (x)
)
¯
¯
2
0
= f (0) − f (2) =
8
3
.
Suy ra f (2)− f (−1) =−
9
4
⇒ f (2) = f (−1) −
9
4
=
19
12
−
9
4
=−
2
3
.
Chọn đáp án B ä
Câu 16. Cho hàm số y =
x
4
2
−2m
2
x
2
+2. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đã
cho có cực đại, cực tiểu đồng thời đường thẳng cùng phương với trục hoành qua điểm cực đại tạo với đồ thị
một hình phẳng có diện tích bằng
64
15
là
A. {±1}. B. ∅. C.
½
±1;±
1
2
¾
. D.
(
±1;±
p
2
2
)
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 788 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi
1
2
·(−2m
2
) <0 ⇔ m
2
>0 ⇔
m 6=0.
Với m 6=0, đồ thị hàm số có điểm cực đại là A(0;2).
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 2 và đồ thị hàm số
y =
x
4
2
−2m
2
x
2
+2 là
x
4
2
−2m
2
x
2
+2 =2 ⇔
x =0
x =±2|m|.
x
y
O
2
Diện tích hình phẳng cần tính là
64
15
=2
2|m|
Z
0
µ
2m
2
x
2
−
x
4
2
¶
dx ⇔
32
15
=
µ
2m
2
x
3
3
−
x
5
10
¶
¯
¯
¯
¯
2|m|
0
⇔
32
15
|m|
5
=
32
15
⇔|m|
5
=1 ⇔ m =±1
Chọn đáp án A ä
Câu 17. Đồ thị của hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [−3;5] như hình vẽ dưới đây (phần cong của đồ thị
là một phần của Parabol y =ax
2
+bx +c). Tính I =
3
Z
−2
f (x)dx.
y
1
2
3
4
x
−3 −2 −1 1 2 3 4
O
E
G
D
C
A
H
B
A. I =
53
3
. B. I =
97
6
. C. I =
43
2
. D. I =
95
6
.
- Lời giải.
Từ đồ thị hàm số ta có y = f (x) =
4
3
x +4 nếu −3 ≤ x <0
−x +4 nếu 0 ≤ x <1
−x
2
+4x nếu 1 ≤ x ≤5
. Suy ra
I =
3
Z
−2
f (x)dx
=
0
Z
−2
f (x)dx +
1
Z
0
f (x)dx +
3
Z
1
f (x)dx
=
0
Z
−2
µ
4
3
x +4
¶
dx +
1
Z
0
(−x +4)dx +
3
Z
1
(−x
2
+4x)dx
Th.s Nguyễn Chín Em 789 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
=
µ
−
2x
2
3
+4x
¶
¯
¯
¯
¯
0
−2
+
µ
−
x
2
2
+4x
¶
¯
¯
¯
¯
1
0
+
µ
−
x
3
3
+2x
2
¶
¯
¯
¯
¯
3
1
=
97
6
.
Chọn đáp án B ä
Câu 18.
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị y = f
0
(x ) cắt trục Ox tại 3 điểm có hoành độ
a < b < c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f (a) > f (b) > f (c). B. f (c ) > f (b) > f (a).
C. f (c) > f (a) > f (b). D. f (b) > f (a) > f (c).
O x
y
a
b
c
- Lời giải.
Ta có f (b) − f (a) =
b
Z
a
f
0
(x )dx <0 nên f (b) < f (a). Tương tự, f (c)− f (b) =
c
Z
b
f
0
(x )dx >0 nên f (c) > f (b).
Xét f (c) − f (a) =
c
Z
a
f
0
(x )dx =
b
Z
a
f
0
(x )dx +
c
Z
b
f
0
(x )dx >0 nên f (c) > f (a).
Vậy f (c) > f ( a) > f (b).
Chọn đáp án C ä
Câu 19. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị các hàm số y =−x
2
+2x và y =−3x.
A.
125
2
. B.
125
3
. C.
125
6
. D.
125
8
.
- Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm là
−x
2
+2x =−3x ⇔
x =0
x =5.
Diện tích S của hình phẳng cần tìm là
S =
5
Z
0
¯
¯
(−x
2
+2x) −(−3x )
¯
¯
dx =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
5
Z
0
(−x
2
+5x)dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
125
6
.
x
y
O
5
y =−x
2
+2x
y =−3x
Chọn đáp án C ä
Câu 20.
Th.s Nguyễn Chín Em 790 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y =
1
4
x
2
+1 với
(0 ≤ x ≤ 2
p
2), nửa đường tròn y =
p
8−x
2
và trục hoành, trục
tung (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng
A.
3π +14
6
. B.
2π +2
3
. C.
3π +4
6
. D.
3π +2
3
.
O
2
p
2
x
y
- Lời giải.
O
2
p
2
2
S
1
S
2
y =
1
4
x
2
+1
x
y
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và nửa đường tròn là:
1
4
x
2
=
p
8−x
2
⇔ x =±2.
Trên khoảng
¡
0;2
p
2
¢
, hai đường cong giao nhau tại điểm có hoành độ bằng 2.
Gọi S
1
là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi parabol, trục hoành, trục tung và đường thẳng x =2.
Gọi S
2
là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đường tròn, trục hoành, đường thẳng x = 2
p
2 và đường
thẳng x =2 thì S
H
=S
1
+S
2
. Ta có S
2
=
2
p
2
Z
2
p
8−x
2
dx .
Đặt a =
x
2
p
2
⇒dx =2
p
2da. Ta được S
2
=8
1
Z
1
p
2
p
1−a
2
da.
Đặt a =sin t ⇒da =cos tdt. Ta được
S
2
=8
π
2
Z
π
4
cos
2
tdt =4
π
2
Z
π
4
(1+cos2t)dt =
(
4t +2sin2t
)
|
π
2
π
4
=π −2.
Dễ có S
1
=
2
Z
0
µ
1
4
x
2
+1
¶
dx =
8
3
⇒S
H
=S
1
+S
2
=
3π +2
3
.
Chọn đáp án D ä
Câu 21. Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng x =4, x =9 và đường cong có phương
trình y
2
=8x.
A.
76
p
2
3
. B.
152
3
. C. 76
p
2. D.
152
p
2
3
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 791 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Viết lại y
2
=8x ⇔ y =±2
p
2x .
Diện tích hình phẳng cần tìm:
S =2
9
Z
4
2
p
2x =4
p
2·
2
3
·x
3
2
¯
¯
9
4
=
152
p
2
3
.
Chọn đáp án D ä
Câu 22. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y =(x−3)
2
, trục tung và trục hoành. Gọi k
1
,k
2
(k
1
>
k
2
) là hệ số góc của hai đường thẳng cùng đi qua A(0;9) và chia (H) thành ba phần có diện tích bằng nhau.
Tính k
1
−k
2
.
A.
13
2
. B. 7. C.
25
4
. D.
27
4
.
- Lời giải.
y =(x −3)
2
cắt trục tung tại A(0;9) và trục hoành tại B(3;0).
Diện tích (H) là
3
Z
0
(x −3)
2
dx =
(x −3)
3
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
3
0
=9.
Gọi giao điểm của hai đường thẳng có hệ số góc k
1
;k
2
với trục hoành là
C(c;0) và D(d;0).
Do k
1
> k
2
nên OC >OD.
Theo giả thiết ta có S
OAD
=S
ACD
=
1
3
S
(H)
=3.
Mà S
OAD
=
1
2
·OA ·OD =
1
2
·9·OD ⇒OD =
3
9
2
=
2
3
.
Tương tự CD =
2
3
⇒OC =
4
3
.
Ta có: k
1
=−tan
ACO =−
OA
OC
=−
9
4
3
=
−27
4
;
k
2
=−tan
ADO =−
OA
OD
=−
9
2
3
=
−27
2
.
Vậy k
1
−k
2
=
27
4
.
x
y
O
A
D
C
B
Chọn đáp án D ä
Câu 23.
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f
0
(x ) trên R và đồ thị
của hàm số f
0
(x ) cắt trục hoành tại điểm a, b, c, d(như
hình vẽ). Xác định số khẳng định đúng trong các khẳng
định sau:
1. Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng
(
∞;a
)
.
2. Hàm số y = g(x) = f (1−2x) đạt cực tiểu tại x =
1−b
2
.
3. max
x∈
[
a;d
]
f (x) = f (c); min
x∈
[
a;d
]
f (x) = f (d).
O
x
y
a b c d
A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 792 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Từ giả thiết của bài toán ta có bảng biến thiên sau
x
f
0
(x )
f (x)
−∞
a
b
c
d
+∞
+
0
−
0
+
0
−
0
+
f (a)f (a)
f (b)f (b)
f (c)f (c)
f (d)f (d)
Nhìn vào hình vẽ ta thấy
b
Z
a
|f
0
(x )|dx <
c
Z
b
|f
0
(x )|dx <
d
Z
c
|f
0
(x )|dx ⇒ 0 < f (a ) − f (b) < f (c)− f (b) < f (c) − f (d)
⇒ f (c) > f (a) > f (b) > f (d)
⇒ max
[
0;d
]
f (x) = f (c);min
[
0;d
]
f (x) = f (d)
Vậy (1), (2) sai và (3) đúng.
Chọn đáp án A ä
Câu 24. Cho hàm số y = f (x) xác định, dương và nghịch biến trên
[
0;2
]
và có f (1) = 1. Gọi (H) là hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f (x), y =
1
f (x)
, hai đường thẳng x = 0, x = 2. Công thức tính diện tích hình
(H) là
A.
2
Z
0
1− f
2
(x )
f (x)
dx . B.
1
Z
0
f
2
(x ) −1
f (x)
dx +
2
Z
1
1− f
2
(x )
f (x)
dx .
C.
2
Z
0
f
2
(x ) −1
f (x)
dx . D.
1
Z
0
1− f
2
(x )
f (x)
dx +
2
Z
1
f
2
(x ) −1
f (x)
dx .
- Lời giải.
Vì f (x) là hàm nghịch biến trên
[
0;2
]
nên
Với x ∈
[
1;2
]
thì f (x) ≤ f (1) =1.
Với x ∈
[
0;1
]
thì f (x) ≥ f (1) =1.
Diện tích hình (H) là
S =
2
Z
0
|f (x)−
1
f (x)
|dx =
1
Z
0
f (x) −
1
f (x)
+
2
Z
1
1
f (x)
− f (x)dx =
1
Z
0
f
2
(x ) −1
f (x)
dx +
2
Z
1
1− f
2
(x )
f (x)
dx .
Chọn đáp án B ä
Câu 25. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong y = x
2
−2x và y =2x
2
−x −2 là
A.
9
2
. B. 4. C. 5. D. 9.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 793 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Phương trình hoành độ giao điểm x
2
−2x =2x
2
−x −2 ⇔
x =1
x =−2.
Vậy
1
Z
−2
¯
¯
¡
x
2
−2x
¢
−
¡
2x
2
−x −2
¢
¯
¯
dx =
9
2
.
Chọn đáp án A ä
Câu 26.
Cho hình phẳng D giới hạn bởi parabol y =−
1
2
x
2
+2x, cung
tròn có phương trình y =
p
16−x
2
, với (0 ≤ x ≤4), trục tung
(phần tô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích của hình D.
A. 8π −
16
3
. B. 2π −
16
3
. C. 4π +
16
3
. D. 4π −
16
3
.
x
y
O
4
4
- Lời giải.
Ta có S =
1
4
π4
2
−
4
Z
0
µ
−
1
2
x
2
+2x
¶
dx =4π −
16
3
.
Chọn đáp án D ä
Câu 27. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x
2
−x, tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
điểm x =1 và hai đường thẳng x =0, x =2 bằng
A.
2
3
. B. 1. C.
1
2
. D.
1
4
.
- Lời giải.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y = x
2
−x tại điểm x =1 là y = x −1.
Diện tích hình phẳng cần tìm là
S =
2
Z
0
¯
¯
x
2
−x −(x −1)
¯
¯
dx =
2
Z
0
(x
2
−2x +1)dx =
µ
1
3
x
3
−x
2
+x
¶
¯
¯
¯
¯
2
0
=
2
3
.
Chọn đáp án A ä
Câu 28.
Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm. Người ta đã dùng bốn đường parabol có chung
đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (phần tô đậm như hình vẽ). Diện tích của
mỗi cánh hoa đó bằng
A. 200 cm
2
. B.
800
3
cm
2
. C.
400
3
cm
2
. D.
200
3
cm
2
.
40 cm
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 794 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Đặt hình vuông vào hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, cạnh của hình vuông ta có
thể coi có độ dài bằng 2 trên hệ trục tọa độ.
Khi đó diện tích một cánh hoa chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ
thị y = x
2
và y =
p
x. Ta có
S
1
=
1
Z
0
(
p
x −x
2
)dx =
2
3
x
p
x −
x
3
3
¯
¯
¯
¯
1
0
=
1
3
.
Vậy thực tế diện tích của mỗi cánh hoa là
S =20 ×20×S
1
=
400
3
cm
2
.
O
x
y
−1−1 11
Chọn đáp án C ä
Câu 29.
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x
2
và đường tròn x
2
+ y
2
=2
(Phần tô đậm trong hình bên). Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành
khi quay (H) quanh trục hoành
x
y
O
y = x
2
A.
22π
15
. B.
π
5
. C.
5π
3
. D.
44π
15
.
- Lời giải.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol y = x
2
và đường tròn x
2
+ y
2
=2, ta có
x
2
+x
4
=2 ⇔
x
2
=1
x
2
=−2
⇔
x =1
x =−1.
Khi đó thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành là
V =π
1
Z
−1
|2−x
2
−x
4
|dx =π
1
Z
−1
(2−x
2
−x
4
)dx =π
µ
2x −
x
3
3
−
x
5
5
¶
¯
¯
¯
1
−1
=
44π
15
.
Chọn đáp án D
ä
Câu 30. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các hàm số y =
x
2
2
, y =
p
2x . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D
quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A. V =
4π
3
. B. V =
28π
5
. C. V =
36π
35
. D. V =
12π
5
.
- Lời giải.
Xét phương trình hoành độ giao điểm
x
2
2
=
p
2x ⇔
x
4
4
=2x ⇔
x =0
x =2.
Th.s Nguyễn Chín Em 795 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Gọi D
1
là hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
p
2x , y =0, x =0, x =2. Khối
tròn xoay tạo thành khi quay D
1
quanh trục hoành có thể tích V
1
.
Gọi D
2
là hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
x
2
2
, y = 0, x =0, x = 2. Khối
tròn xoay tạo thành khi quay D
2
quanh trục hoành có thể tích V
2
.
O
x
y
2
Khi đó
V =V
1
−V
2
=π
Z
2
0
2x dx −π
Z
2
0
x
4
4
dx =π
Z
2
0
µ
2x −
x
4
4
¶
dx =π
µ
x
2
−
x
5
20
¶
¯
¯
¯
¯
2
0
=
12π
5
.
Chọn đáp án D ä
Câu 31.
Cho nửa đường tròn đường kính AB =4
p
5. Trên đó người
ta vẽ parabol có đỉnh trùng với tâm của nửa hình tròn, trục
đối xứng là đường kính vuông góc với AB. Parabol cắt nửa
đường tròn tại hai điểm cách nhau 4 cm và khoảng cách
từ hai điểm đó đến AB bằng nhau và bằng 4 cm. Sau đó
người ta cắt bỏ phần
A
B
4 cm
4 cm
hình phẳng giới hạn bởi đường tròn và parabol (phần gạch sọc trong hình vẽ). Đem phần còn lại quay xung
quanh trục AB. Thể tích của khối tròn xoay thu được bằng
A. V =
π
15
¡
800
p
5−464
¢
cm
3
. B. V =
π
3
¡
800
p
5−928
¢
cm
3
.
C. V =
π
5
¡
800
p
5−928
¢
cm
3
. D. V =
π
15
¡
800
p
5−928
¢
cm
3
.
- Lời giải.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
O
x
y
−2
4
2
Theo đề bài ta có phương trình đường tròn là y =
p
20−x
2
và phương trình của parabol là y = x
2
.
Phương trình hoành độ giao điểm là
p
20−x
2
= x
2
⇔ x =±2.
Do tính chất đối xứng của hình vẽ nên ta có thể tích vật thể tròn xoay được tính theo công thức
V =2
π
2
p
5
Z
0
(20−x
2
)dx −π
2
Z
0
¡
20−x
2
−x
4
¢
dx
=
1
15
π
³
800
p
5−928
´
.
Chọn đáp án D ä
Câu 32. Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x
2
−4, y =2x−4,
x =0, x =2 quanh trục Ox.
Th.s Nguyễn Chín Em 796 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A.
32π
7
. B.
22π
5
. C.
32π
15
. D.
32π
5
.
- Lời giải.
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình
x
2
−4 =2x −4 ⇔ x
2
−2x =0 ⇔
x =0
x =2.
Thể tích của khối tròn xoay cần tính là:
V =π
2
Z
0
£
(x
2
−4)
2
−(2x −4)
2
¤
dx =π
2
Z
0
¡
x
4
−12x
2
+16x
¢
dx =
32π
5
.
x
y
O
2
−4
Chọn đáp án D ä
Câu 33. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên đoạn [−5;3].
Biết rằng diện tích hình phẳng S
1
, S
2
, S
3
giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f (x) và parabol y = g(x) = ax
2
+bx + c lần lượt là m, n, p.
Tích phân
3
Z
−5
f (x)dx bằng
A. −m +n − p −
208
45
. B. m −n + p +
208
45
.
C. m −n + p −
208
45
. D. −m +n − p +
208
45
.
x
y
O
y = f (x)
y = g(x)
−5
2
32
5
S
1
S
2
S
3
−2
- Lời giải.
Ta có
3
Z
−5
[
f (x) − g (x)
]
dx =
−2
Z
−5
[
f (x) − g (x)
]
dx
| {z }
S
1
+
0
Z
−2
[
f (x) − g (x)
]
dx
| {z }
−S
2
+
3
Z
0
[
f (x) − g (x)
]
dx
| {z }
S
3
.
Do đó
3
Z
−5
[
f (x) − g (x)
]
dx = m −n + p. Suy ra
3
Z
−5
f (x)dx = m −n + p +
3
Z
−5
g(x)dx.
Dựa vào đồ thị thì parabol (P): y = g(x) = ax
2
+bx +c đi qua O(0,0), A(−2,0) và B(3;2) nên
c =0
4a −2b +c =0
9a +3b +c =2
⇔
a =
2
15
b =
4
15
c =0.
Vậy
3
Z
−5
f (x)dx = m −n + p +
3
Z
−5
µ
2
15
x
2
+
4
15
x
¶
dx = m −n + p +
208
45
.
Chọn đáp án B ä
Câu 34.
Th.s Nguyễn Chín Em 797 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Cho hai hàm số f (x) = ax
3
+bx
2
+cx−2 và g(x) = dx
2
+ex+2 (a, b, c, d, e ∈
R). Biết rằng đồ thị của hàm số y = f (x) và y = g(x) cắt nhau tại ba điểm có
hoành độ lần lượt là −2; −1; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi
hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
A.
37
6
. B.
13
2
. C.
9
2
. D.
37
12
.
x
y
O
−2 −1 1
- Lời giải.
Ta có f (x) − g(x) = ax
3
+(b −d)x
2
+(c −e)x −4 (1).
Mặt khác phương trình f (x)− g(x) =0 có 3 nghiệm phân biệt x =−2, x =−1, x =1 nên
f (x) − g (x) =0 ⇔(x +2)(x +1)(x −1) =0 ⇔ x
3
+2x
2
−x −2 =0 (2).
Từ (1) và (2), suy ra f (x) − g(x) =2x
3
+4x
2
−2x −4.
Diện tích hình phẳng cần tìm là
S =
−1
Z
−2
(2x
3
+4x
2
−2x −4)dx −
1
Z
−1
(2x
3
+4x
2
−2x −4)dx =
37
6
.
Chọn đáp án A ä
Câu 35. Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy
luật v
(
t
)
=
1
120
t
2
+
58
45
t (m/s), trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ
trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm
hơn 3 giây so với A và có giá tốc bằng a (m/s
2
) ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi
kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng
A. 25 (m/s). B. 36 (m/s). C. 30 (m/s). D. 21 (m/s).
- Lời giải.
Thời điểm chất điểm B đuổi kịp chất điểm A thì chất điểm B đi được 15 giây, chất điểm A đi được 18 giây.
Biểu thức vận tốc của chất điểm B có dạng v
B
(t) =
Z
adt =at +C mà v
B
(0) =0 ⇒v
B
(t) = at.
Do từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi chất điểm B đuổi kịp thì quãng đường hai chất điểm
bằng nhau do đó
18
Z
0
µ
1
120
t
2
+
58
45
¶
dt =
15
Z
0
atdt ⇔225 = a ·
225
2
⇔a =2.
Vậy vận tốc của chất điểm B tại thời điểm đuổi kịp A bằng v
B
(t) =2·15 =30 (m/s).
Chọn đáp án C ä
Câu 36. Một mặt phẳng chứa trục của một khối tròn xoay, cắt hình đó thành một hình elip có trục lớn bằng
12 (cm), trục bé bằng 8 (cm) và trục lớn nằm trên trục của khối tròn xoay. Thể tích của khối đó bằng
A. 96π cm
3
. B. 192π cm
3
. C. 256π cm
3
. D. 128π cm
3
.
- Lời giải.
Gọi phương trình của elip là
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1.
Độ dài trục lớn 2a =12 ⇒ a =6. Độ dài trục bé 2b =8 ⇒ b =4.
Th.s Nguyễn Chín Em 798 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Vậy elip có phương trình là
x
2
36
+
y
2
16
=1.
Thể tích của khối tròn xoay là
V =π
6
Z
−6
16
µ
1−
x
2
36
¶
=π
µ
16x −
x
3
108
¶
¯
¯
¯
6
−6
=128π cm
3
.
Chọn đáp án D ä
Câu 37.
Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức
nào dưới đây ?
A.
2
Z
−1
(2x
2
−2x −4)dx. B.
2
Z
−1
(−2x +2)dx.
C.
2
Z
−1
(2x −2)dx. D.
2
Z
−1
(−2x
2
+2x +4)dx.
x
−1
2
y
O
y =−x
2
+3
y = x
2
−2x −1
- Lời giải.
S =
2
Z
−1
£
(−x
2
+3)−(x
2
−2x −1)
¤
dx =
2
Z
−1
(−2x
2
+2x +4)dx.
Chọn đáp án D ä
Câu 38.
Cho hai hàm số y = x
3
+ax
2
+bx + c, (a,b , c ∈ R). Có đồ thị ( C) và y =
mx
2
+nx +p, (m,n, p ∈R) có đồ thị (P) như hình vẽ. Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi (C) và (P) có giá trị nằm trong khoảng nào dưới đây?
A. (0;1). B. (1;2). C. (3;4). D. (2;3).
x
y
O
−1
1
(C)
(P)
- Lời giải.
Từ hình vẽ, ta có phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (P) có hai nghiệm là x =−1 và x =1. Do đó
ta có
1+a +b +c =m +n + p
−1+a −b +c = m −n + p
⇒2 +2b =2n ⇒ n = b +1. (1)
Mà (P) có trục đối xứng là đường thẳng x =−1 ⇒−
n
2m
=−1 ⇒ n =2m. (2)
Mặt khác (C) có hai điểm cực trị là x =−1 và x =1 suy ra
3+2a +b =0
3−2a +b =0
⇒
a =0
b =−3.
(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có
a =0
b =−3
n =−2
m =−1
c − p =−1
. Do đó y = x
3
−3x +c ( C); y =−x
2
−2x + p.
Vậy diện tích phần gạch sọc là S =
1
Z
−1
¯
¯
x
3
+x
2
−x −1
¯
¯
dx =
4
3
.
Vậy S ∈(1;2).
Th.s Nguyễn Chín Em 799 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn đáp án B ä
Câu 39. Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = 4, biết rằng khi cắt bởi mặt
phẳng tuỳ ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 < x < 4) thì được thiết diện là nửa hình tròn
có bán kính R = x
p
4−x.
A. V =
64
3
. B. V =
32
3
. C. V =
64π
3
. D. V =
32π
3
.
- Lời giải.
Diện tích thiết diện là
S(x) =
1
2
πR
2
=
1
2
πx
2
(4−x).
Vậy thể tích cần tìm là
V =
4
Z
0
S(x)dx =
1
2
4
Z
0
πx
2
(4−x)dx =
1
2
π
4
Z
0
¡
4x
2
−x
3
¢
dx =
π
2
µ
4
3
x
3
−
x
4
4
¶
¯
¯
¯
¯
4
0
=
32π
3
.
Chọn đáp án D ä
Câu 40. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong y = e
x
, trục hoành và các đường thẳng x = 0, x =1.
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh Ox.
A. V =
π
¡
e
2
+1
¢
2
. B. V =
e
2
−1
2
. C. V =
π
¡
e
2
−1
¢
2
. D. V =
πe
2
2
.
- Lời giải.
Thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi (H) quay quanh Ox là
V =
1
Z
0
π
¡
e
x
¢
2
dx =
π
2
e
2x
¯
¯
¯
1
0
=
π
¡
e
2
−1
¢
2
.
Chọn đáp án C ä
Câu 41.
Sàn của một viện bảo tàng mỹ thuật được lát bằng những viên gạch hình vuông
cạnh 40 cm như hình bên. Biết rằng người thiết kế đã sử dụng các đường cong
có phương trình 4x
2
= y
4
và 4y
2
= x
4
để tạo hoa văn cho viên gạch. Diện tích
phần được tô đậm gần nhất với giá trị nào dưới đây?
A. 533 cm
2
. B. 266 cm
2
. C. 534 cm
2
. D. 267 cm
2
.
- Lời giải.
Do tính đối xứng nên diện tích cần tìm bằng 4 lần diện tích phần tô đậm của
hình vẽ bên. Ta chỉ xét đồ thị trong góc phần tư thứ nhất do đó
4x
2
= y
4
⇔ y =
p
2x
4y
2
= x
4
⇔ y =
1
2
x
2
.
x
y
O
2
2
Một đơn vị trong hệ tọa độ Oxy bằng 10 cm, do đó diện tích của phần tô đậm ban đầu là
S =4 ·10
2
2
Z
0
µ
p
2x −
1
2
x
2
¶
dx =400
Ã
2
p
2
3
p
x
3
−
1
6
x
3
!
¯
¯
¯
2
0
=
1600
3
(cm
2
).
Chọn đáp án A ä
Th.s Nguyễn Chín Em 800 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Câu 42.
Sàn của một viện bảo tàng mỹ thuật được lát bằng những viên gạch hình vuông
cạnh 20 cm như hình bên. Biết rằng người thiết kế đã sử dụng các đường cong
có phương trình x
2
= y
4
và (2|x|−1)
3
= y
2
để tạo hoa văn cho viên gạch. Diện
tích phần được tô đậm gần nhất với giá tr ị nào dưới đây?
A. 373 cm
2
. B. 186 cm
2
. C. 374 cm
2
. D. 187 cm
2
.
- Lời giải.
Do tính đối xứng nên diện tích cần tìm bằng 4 lần diện tích phần tô đậm của
hình vẽ bên. Ta chỉ xét đồ thị trong góc phần tư thứ nhất do đó
x
2
= y
4
⇔ x = y
2
(2|x |−1)
3
= y
2
⇔ x =
1
2
³
3
p
y
2
+1
´
.
x
y
1
2
O
1
1
Một đơn vị trong hệ tọa độ Oxy bằng 10 cm, do đó diện tích của phần tô đậm ban đầu là
S =4 ·10
2
1
Z
0
µ
1
2
³
3
p
y
2
+1
´
− y
2
¶
dy =400·
7
15
=
560
3
(cm
2
).
Chọn đáp án D ä
Câu 43.
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ
thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển
động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;9) và trục đối xứng song
song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với
trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm
tròn đến hàng phần trăm).
A. s =23,25 km. B. s =21,58 km.
C. s =15,50 km. D. s =13,83 km.
t
v
O
4
1 2 3
9
- Lời giải.
Dễ dàng tìm được phương trình của vận tốc trong 1 giờ đầu tiên là v =−
5
4
t
2
+5t +4 còn 2 giờ tiếp theo là
v =
31
4
.
Vậy quãng đường mà vật đi được trong 3 giờ đó là
s =
1
Z
0
µ
−
5
4
t
2
+5t +4
¶
dt +
3
Z
1
31
4
dt =
259
12
≈21,58.
Chọn đáp án B ä
Câu 44. Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =2(x −1)e
x
, trục tung và trục hoành. Tính
thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox.
Th.s Nguyễn Chín Em 801 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. V =4−2e. B. V =(4−2e)π. C. V = e
2
−5. D. V =(e
2
−5)π.
- Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y =2(x −1)e
x
và trục hoành là
2(x −1)e
x
=0 ⇔ x =1
Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox là
V =
1
Z
0
£
2(x −1)e
x
¤
2
dx =4
1
Z
0
(x −1)
2
e
2x
dx
Xét tích phân I =
1
Z
0
(x −1)
2
e
2x
dx
Đặt
u =(x −1)
2
dv = e
2x
dx
⇒
du =2(x −1) dx
v =
1
2
e
2x
,
Ta có: I =
1
2
(x −1)
2
e
2x
¯
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
(x −1)e
2x
dx =−
1
2
−
1
Z
0
(x −1)e
2x
dx
Đặt
u
1
=(x −1)
dv
1
= e
2x
dx
⇒
du
1
= dx
v
1
=
1
2
e
2x
,
Do đó I =−
1
2
−
1
2
(x −1)e
2x
¯
¯
¯
¯
1
0
−
1
2
1
Z
0
e
2x
dx
=−
1
2
−
µ
1
2
−
1
4
e
2x
¯
¯
¯
¯
1
0
¶
=−
1
2
−
µ
1
2
−
e
2
4
+
1
4
¶
=
e
2
−5
4
Vậy V =4I =4 ·
e
2
−5
4
= e
2
−5.
Chọn đáp án D ä
Câu 45.
Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường y =e
x
, y =0, x =0, x =ln4.
Đường thẳng x = k (0 < k <ln4) chia (H) thành hai phần có diện tích là S
1
và
S
2
như hình vẽ bên. Tìm k để S
1
=2S
2
.
A. k =
2
3
ln4. B. k =ln2.
C. k =ln
8
3
. D. k =ln3.
x
y
O k
ln4
S
1
S
2
- Lời giải.
Ta có S
1
=
k
Z
0
¯
¯
e
x
¯
¯
dx =e
k
−1 và S
2
=
ln4
Z
k
¯
¯
e
x
¯
¯
dx =4−e
k
.
Theo đề bài S
1
=2S
2
⇒e
k
−1 =2(4−e
k
) ⇔e
k
=3 ⇔ k =ln3.
Chọn đáp án D ä
Câu 46.
Th.s Nguyễn Chín Em 802 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y =
p
3x
2
, cung tròn có phương
trình y =
p
4−x
2
(với 0 É x É2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).
Diện tích của (H) bằng
A.
4π +
p
3
12
. B.
4π −
p
3
6
.
C.
4π +2
p
3−3
6
. D.
5
p
3−2π
3
.
x
y
O
2
2
- Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol y =
p
3x
2
và cung tròn y =
p
4−x
2
(với 0 É x É2) là
p
4−x
2
=
p
3x
2
⇔4 −x
2
=3x
4
⇔ x =1 (vì 0 É x É2 )
Cách 1: Diện tích của (H) là:
S =
1
Z
0
p
3x
2
dx +
2
Z
1
p
4−x
2
dx =
p
3
3
x
3
¯
¯
¯
1
0
+I =
p
3
3
+I
x
y
O
2
2
1
Với I =
2
Z
1
p
4−x
2
dx . Đặt x =2sin t, t ∈
h
−
π
2
;
π
2
i
⇒ dx =2costdt.
Đổi cận: x =1 ⇒ t =
π
6
, x =2 ⇒ t =
π
2
.
I =
π
2
Z
π
6
p
4−4sin
2
t.2cos t.dt =
π
2
Z
π
6
4cos
2
t.dt =
π
2
Z
π
6
2
(
1+cos2t
)
.dt =
(
2x +sin2t
)
¯
¯
¯
π
2
π
6
=
2π
3
−
p
3
2
.
Vậy S =
p
3
3
+I =
p
3
3
+
2π
3
−
p
3
2
=
4π −
p
3
6
.
Cách 2: Diện tích của (H) bằng diện tích một phần tư hình tròn bán kính 2 trừ diện tích hình phẳng giới hạn
bởi cung tròn, parabol và trục O y, tức là
S =
1
4
·(π.2
2
)−
1
Z
0
³
p
4−x
2
−
p
3x
2
´
dx
Chọn đáp án B ä
Câu 47.
Cho hai hàm số f (x) = ax
3
+bx
2
+cx−2 và g(x) = dx
2
+ex+2 (a, b, c, d, e ∈
R). Biết rằng đồ thị của hàm số y = f (x) và y = g(x) cắt nhau tại ba điểm có
hoành độ lần lượt là −2; −1; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi
hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
A.
37
6
. B.
13
2
. C.
9
2
. D.
37
12
.
x
y
O
−2 −1 1
- Lời giải.
Ta có f (x) − g(x) = ax
3
+(b −d)x
2
+(c −e)x −4 (1).
Mặt khác phương trình f (x)− g(x) =0 có 3 nghiệm phân biệt x =−2, x =−1, x =1 nên
f (x) − g (x) =0 ⇔(x +2)(x +1)(x −1) =0 ⇔ x
3
+2x
2
−x −2 =0 (2).
Từ (1) và (2), suy ra f (x) − g(x) =2x
3
+4x
2
−2x −4.
Th.s Nguyễn Chín Em 803 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Diện tích hình phẳng cần tìm là
S =
−1
Z
−2
(2x
3
+4x
2
−2x −4)dx −
1
Z
−1
(2x
3
+4x
2
−2x −4)dx =
37
6
.
Chọn đáp án A ä
Câu 48. Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy
luật v
(
t
)
=
1
120
t
2
+
58
45
t (m/s), trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ
trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm
hơn 3 giây so với A và có giá tốc bằng a (m/s
2
) ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi
kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng
A. 25 (m/s). B. 36 (m/s). C. 30 (m/s). D. 21 (m/s).
- Lời giải.
Thời điểm chất điểm B đuổi kịp chất điểm A thì chất điểm B đi được 15 giây, chất điểm A đi được 18 giây.
Biểu thức vận tốc của chất điểm B có dạng v
B
(t) =
Z
adt =at +C mà v
B
(0) =0 ⇒v
B
(t) = at.
Do từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi chất điểm B đuổi kịp thì quãng đường hai chất điểm
bằng nhau do đó
18
Z
0
µ
1
120
t
2
+
58
45
¶
dt =
15
Z
0
atdt ⇔225 = a ·
225
2
⇔a =2.
Vậy vận tốc của chất điểm B tại thời điểm đuổi kịp A bằng v
B
(t) =2·15 =30 (m/s).
Chọn đáp án C ä
Câu 49.
Cho đường tròn (C) có tâm I(0;1) và bán kính bằng R =2, parabol (P): y =
m ·x
2
cắt (C) tại hai điểm A, B có tung độ bằng 2. Diện tích hình phẳng giới
hạn bởi (C) và (P) (phần gạch sọc ở hình vẽ) có kết quả gần đúng bằng số
nào sau đây?
A. 7,0755. B. 7,0756. C. 5,4908. D. 11,6943.
x
y
I
O
−1
1
3
A
B
- Lời giải.
Ta có (C): x
2
+(y −1)
2
=4.
Xét A(x;2) ∈(C), ta có x
2
+1 =4 ⇔ x
2
=3 ⇔ x =±
p
3. Suy ra A
¡
−
p
3;2
¢
, B
¡
p
3;2
¢
.
Vì A ∈(P) nên ta có 2 = m ·3 ⇔ m =
2
3
. Suy ra (P): y =
2
3
x
2
.
Từ phương trình của (C), ta có y =±
p
4−x
2
+1 nên cung nhỏ
_
AB thuộc đồ thị hàm số y =
p
4−x
2
+1.
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm bằng S =
p
3
Z
−
p
3
¯
¯
¯
¯
p
4−x
2
+1−
2
3
x
2
¯
¯
¯
¯
dx ≈7,075541545.
Chọn đáp án A ä
Câu 50.
Th.s Nguyễn Chín Em 804 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f
0
(x ) trên R và đồ thị của hàm số f
0
(x )
cắt trục hoành tại điểm a , b, c, d (hình sau). Chọn khẳng định đúng trong
các khẳng định sau:
A. f (c) > f (a) > f (b) > f (d). B. f (c) > f (a) > f (d) > f (b).
C. f (a) > f (b) > f (c) > f (d). D. f (a) > f (c) > f (d) > f (b).
x
y
O
a
b
c
d
- Lời giải.
Gọi S
1
, S
2
, S
3
lần lượt là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số f
0
(x ), trục hoành và các đường thẳng x = a,x = b; x = b, x = c;
x = c, x = d (như hình vẽ).
Ta có:
S
1
<S
2
⇒
b
Z
a
[−f
0
(x )]dx <
c
Z
b
f
0
(x )dx ⇔[−f (x)]
¯
¯
¯
b
a
< f (x)
¯
¯
¯
c
b
⇔−f (b)+ f ( a) < f (c) − f (b) ⇔ f (a) < f (c) (1).
S
2
<S
3
⇒
c
Z
b
f
0
(x )dx <
d
Z
c
[−f
0
(x )]dx ⇔ f (x)
¯
¯
¯
c
b
<[−f (x)]
¯
¯
¯
d
c
x
y
O
a
b
c
d
S
1
S
2
S
3
⇔ f (c)− f (b ) <−f (d) + f (c) ⇔ f (b) > f (d) (2).
Từ (1) suy ra khẳng định f ( a) > f (b) > f (c) > f (d) và f (a) > f (c) > f (d) > f (b) là sai.
Từ (2) suy ra khẳng định f (c) > f (a) > f (d) > f (b) sai. Vậy khẳng định f (c ) > f (a) > f (b) > f (d) đúng.
Nhận xét:
- Có thể lập bảng biến thiên của hàm số y = f (x) hoặc sử dụng S
1
>0 để suy ra f (a) > f (b).
- Đề xuất bổ sung phương án nhiễu f (b) > f (d) > f (c) > f (a).
Chọn đáp án A ä
Câu 51.
Cho hàm số f (x). Đồ thị của hàm số y = f
0
(x ) trên [−3;2]
như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của parabol
y = ax
2
+bx + c). Biết f (−3) = 0, giá trị của f (−1) + f (1)
bằng
A.
23
6
. B.
31
6
. C.
35
3
. D.
9
2
.
x
y
O
−3
−1
1
−2
2
2
- Lời giải.
Parabol y =ax
2
+bx +c có đỉnh I(−2;1) và đi qua điểm (−3;0) nên ta có
−
b
2a
=−2
4a −2b +c =1
9a −3b +c =0
⇔
a =−1
b =−4
c =−3
⇒ y =−x
2
−4x −3.
Do f (−3) =0 nên f (−1)+ f (1) =[f (1)− f (0)]+[f (0)− f (−1)]+2[f (−1)− f (−3)]
Th.s Nguyễn Chín Em 805 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
=
1
Z
0
f
0
(x )dx +
0
Z
−1
f
0
(x )dx +2
−1
Z
−3
(−x
2
−4x −3)dx = S
1
+S
2
+2
−1
Z
−3
(−x
2
−4x −3)dx =1+
3
2
+
8
3
=
31
6
.
Với S
1
,S
2
lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f
0
(x ), trục Ox và hai đường thẳng
x =−1, x =0 và x =0, x =1. Dễ thấy S
1
=1;S
2
=
3
2
.
Chọn đáp án B ä
Câu 52. Ba bác bảo vệ nhà trường (bác Giao, bác Hương, bác Giảng) có trồng cây đinh lăng vào phần đất
được tô chấm giới hạn bởi cạnh AD, BC, đường trung bình EF của mảnh vườn hình chữ nhật ABCD và
một đường cong hình sin (hình vẽ).
Biết AB = 2 (m), AD = 2π (m). Tính diện tích đất còn lại
của mảnh vườn (đơn vị tính m
2
) bằng
A. 4π −1. B. 4
(
π −1
)
. C. 4π −3. D. 4π −2.
C
D
FE
A
B
- Lời giải.
Chọn trục như hình vẽ
x
y
C
D
FE
A
B
O
Diện tích trồng cây đinh lằng là S
1
=2
π
Z
0
sin x dx =4.
Vậy diện tích mảnh đất còn lại là S
2
=S −S
1
=4π −4 =4
(
π −1
)
.
Chọn đáp án B ä
Câu 53. Hình phẳng (H ) được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số đa thức bậc bốn y = f (x) và y = g(x).
Biết rằng đồ thị của hai hàm số này cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là −3; −1; 2.
Diện tích hình phẳng (H ) (phần gạch sọc trên hình vẽ bên) gần nhất với kết quả nào dưới đây?
x
y
O
−3
−1
2
−
3
5
−
3
2
Th.s Nguyễn Chín Em 806 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. 3,11. B. 2,45. C. 3,21. D. 2,95.
- Lời giải.
Ta có hoành độ x =−3 hai đồ thị hàm số này tiếp xức với nhau.
Có f (x)− g(x) =−
1
18
·
−
3
2
−
µ
−
3
5
¶¸
(x +3)
2
(x +1)(x −2)
Vì vậy nên ta có
S
(H )
=
2
Z
−3
[f (x)−g(x)]dx =
2
Z
−3
¯
¯
¯
¯
−
1
18
µ
−
3
2
−
µ
−
3
5
¶¶
(x +3)
2
(x +1)(x −2)
¯
¯
¯
¯
dx =
3733
1200
≈3,11.
Chọn đáp án A ä
Câu 54. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (H): y =
x −1
x +1
và các trục tọa độ là
A. ln2 −1. B. ln2+1. C. 2ln2 −1. D. 2ln2+1.
- Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là
x −1
x +1
=0 ⇔ x =1.
Diện tích hình phẳng cần tìm là
S =
1
Z
0
¯
¯
¯
¯
x −1
x +1
¯
¯
¯
¯
dx =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
Z
0
x −1
x +1
dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
Z
0
µ
1−
2
x +1
¶
dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
(
x −2ln|x +1|
)
¯
¯
¯
1
0
¯
¯
¯
¯
=
|
1−2ln2
|
=2ln2−1.
Chọn đáp án C ä
Câu 55. Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 (m/s) thì hãm phanh. Sau khi hãm phanh ô tô chuyển động
chậm dần đều với vận tốc v(t) =20 −4t (m/s) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc hãm
phanh. Quãng đường xe ô tô di chuyển trong giây cuối trước khi dừng lại là
A. 0,5 (m). B. 1 (m). C. 2 (m). D. 2,5 (m).
- Lời giải.
Ô tô dừng lại khi v(t) =0 ⇔20−4t =0 ⇔ t =5 (s).
Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn quãng đường ô tô di chuyển trong 5 giây là
S =
5
Z
0
(20−4t)dt =50 (m).
Từ lúc đạp phanh quãng đường ô tô di chuyển trong 4 giây là S =
4
Z
0
(20−4t)dt =48 (m).
Vậy quãng đường xe ô tô di chuyển trong giây cuối trước khi dừng lại là 50−48 =2 (m).
Chọn đáp án C ä
Câu 56. Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) : y = x
2
, tiếp tuyến với (P) tại điểm M(2;4) và trục
hoành. Diện tích của hình phẳng (H) bằng
A.
2
3
. B.
8
3
. C.
1
3
. D.
4
3
.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 807 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Tiếp tuyến với (P) : y = x
2
tại điểm M(2;4) có phương trình
y = y
0
(2)(x −2)+4 =4(x −2)+4 =4x −4.
Diện tích của hình phẳng (H)
S =
1
Z
0
x
2
dx +
2
Z
1
(x
2
−4x +4)dx =
2
3
.
O
x
y
1 2
4
Chọn đáp án A ä
Câu 57. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x
3
, y =10 −x và trục Ox là:
A. 32. B. 26. C. 36. D. 40.
- Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm của y = x
3
và y =10−x là
x
3
=10 −x ⇔ x
3
+x −10 =0 ⇔ x =2.
Phương trình hoành độ giao điểm của y = x
3
và Ox
x
3
=0 ⇔ x =0.
Phương trình hoành độ giao điểm của y =10−x và Ox
10−x =0 ⇔ x =10.
x
y
O
2
10
Diện tích hình phẳng cần tìm là
S =
2
Z
0
¡
x
3
−0
¢
dx +
10
Z
2
(
10−x −0
)
dx =4+32 =36.
Chọn đáp án C ä
Câu 58. Ông An có một khu đất hình elip với độ dài trục lớn 10m và độ dài trục bé 8m. Ông An muốn chia
khu đất thành hai phần, phần thứ nhất là hình chữ nhật nội tiếp elip dùng để xây bể cá cảnh và phần còn lại
dùng để trồng hoa. Biết chi phí xây bể cá là 1000000 đồng trên 1m
2
và chi phí trồng hoa là 1200000 đồng
trên 1m
2
. Hỏi ông An có thể thiết kế xây dựng như trên với tổng chi phí thấp nhất gần nhất với số nào sau
đây?
A. 67398224. B. 67593346. C. 63389223. D. 67398228.
- Lời giải.
Ta có phương trình chính tắc (E):
x
2
25
+
y
2
16
=1.
Khi đó diện tích của elip S =4
5
Z
0
4
1−
x
2
25
dx =20π.
Ta có F
t;4
1−
t
2
25
nên CF =2t, CD =8
1−
t
2
25
.
Diện tích hình chữ nhật S
1
= 16t
1−
t
2
25
và diện tích phần còn lại S
2
=
20π −16t
1−
t
2
25
O
I
A
A
0
B
B
0
C
D E
F
Th.s Nguyễn Chín Em 808 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Tổng chi phí xây dựng là T =16t
1−
t
2
25
·1000000+
20π −16t
1−
t
2
25
1200000 với t ∈[0;5].
T =−640000t
p
25−t
2
+24000000π.
Ta có T
0
=640000
2t
2
−25
p
25−t
2
.
T
0
=0 ⇔2t
2
−25 =0 =0 ⇒
t =
5
p
2
2
(N)
t =−
5
p
2
2
(L).
Suy ra bảng biến thiên
⇒minT ≈67398224, khi t =
5
p
2
2
.
t
T
0
T
0
5
p
2
2
5
−
0
+
T(0)T(0)
T
³
5
p
2
2
´
T
³
5
p
2
2
´
T(5)T(5)
Chọn đáp án A ä
Câu 59.
Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên đoạn [−5;3]
có đồ thị như hình vẽ bên. Biết diện tích các hình phẳng (A), (B),
(C), (D) giới hạn bởi đồ thị hàm số f (x) và trục hoành lần lượt bằng
6; 3; 12; 2. Tích phân
1
Z
−3
(2f (2x +1)+1)dx bằng
A. 27. B. 25. C. 17. D. 21.
x
y
O
(A)
(B)
(C)
(D)
−5 3
- Lời giải.
Tính
1
Z
−3
(2f (2x +1)+1)dx =2
1
Z
−3
f (2x +1)dx +
1
Z
−3
dx =2
1
Z
−3
f (2x +1)
d(2x +1)
2
+4 =
3
Z
−5
f (x)dx +4.
Mà
3
Z
−5
f (x)dx bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f (x) và trục hoành
Suy ra
3
Z
−5
f (x)dx =6 −3+12+2 =17.
Vậy
1
Z
−3
(2f (2x +1)+1)dx =17 +4 =21.
Chọn đáp án D ä
3.1 ĐÁP ÁN
1. A 2. C 3. B 4. B 5. B 6. C 7. A 8. D 9. A 10. D
11. C 12. B 13. D 14. B 15. B 16. A 17. B 18. C 19. C 20. D
21. D 22. D 23. A 24. B 25. A 26. D 27. A 28. C 29. D 30. D
31. D 32. D 33. B 34. A 35. C 36. D 37. D 38. B 39. D 40. C
41. A 42. D 43. B 44. D 45. D 46. B 47. A 48. C 49. A 50. A
51. B 52. B 53. A 54. C 55. C 56. A 57. C 58. A 59. D
4 VẬN DỤNG CAO
Câu 1.
Th.s Nguyễn Chín Em 809 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = f
0
(x ) như hình sau. Đặt
g(x) =2f (x)−(x +1)
2
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. g(−1) > g(−3) > g(3). B. g (−3) > g(3) > g(1).
C. g(3) > g(−3) > g(1). D. g(1) > g(3) > g(−3).
−3
1
3
−2
2
4
O
x
y
- Lời giải.
Ta có g
0
(x ) =2f
0
(x ) −2(x +1)
⇒ g
0
(x ) =0 ⇔ f
0
(x ) = x +1.
Từ đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y = x +1 cắt đồ thị y = f
0
(x ) tại 3 điểm
A(−3;−2), B(1;2), C(3;4).
Suy ra g
0
(−3) = g
0
(1) = g
0
(3) =0 và g(x) có bảng biến thiên như sau:
−3
1
3
−2
2
4
O
x
y
x
f
0
(x )
f (x)
−∞
−3
1
3
+∞
−
0
+
0
−
0
+
+∞+∞
f (−3)f (−3)
f (1)f (1)
f (3)f (3)
+∞+∞
Từ đó suy ra g(1) là số lớn nhất trong ba số g(−3), g(1), g(3) (1).
Từ đồ thị hàm số ta thấy diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f
0
(x ), y = x +1 và x =−3, x =1 lớn hơn diện
tích hình phẳng giới hạn bởi y = f
0
(x ), y = x +1 và x =1, x =3. Do đó
1
Z
−3
[f
0
(x ) −(x +1)]dx >
3
Z
1
[(x +1)− f
0
(x )]dx ⇔
1
Z
−3
g
0
(x )dx >−
3
Z
1
g
0
(x )dx.
Suy ra g(1) − g(−3) > g(1)−g(3) ⇔ g(3) > g(−3) (2).
Từ (1) và (2), ta có g(1) > g(3) > g(−3).
Chọn đáp án D ä
Câu 2. Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy
luật v(t) =
1
100
t
2
+
13
30
t (m/s), trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ
trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm
hơn 10 giây so với A và có gia tốc bằng a (m/s
2
) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi
kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng
A. 15 (m/s). B. 9 (m/s). C. 42 (m/s). D. 25 (m/s).
Th.s Nguyễn Chín Em 810 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
Ta có v
B
(t) =
Z
adt =at +C. Do v
B
(0) =0 nên C =0 ⇒ v
B
(t) = at.
Quãng đường chất điểm A đi được trong 25 giây là
S
A
=
25
Z
0
µ
1
100
t
2
+
13
30
t
¶
dt =
µ
1
300
t
3
+
13
60
t
2
¶
¯
¯
¯
25
0
=
375
2
.
Quãng đường chất điểm B đi được trong 15 giây là
S
B
=
15
Z
0
atdt =
at
2
2
¯
¯
¯
15
0
=
225a
2
.
Ta có
375
2
=
225a
2
⇔a =
5
3
.
Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là v
B
(15) =
5
3
·15 =25 (m/s).
Chọn đáp án D ä
Câu 3.
Cho hai hàm số f (x) = ax
3
+ bx
2
+ cx − 1 và g(x) = dx
2
+ ex +
1
2
(a,b, c,d, e ∈ R). Biết rằng đồ thị của hàm số y = f (x) và y = g(x) cắt
nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt −3;−1;2 (tham khảo hình vẽ). Hình
phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
A.
253
12
. B.
125
12
. C.
253
48
. D.
125
48
.
x
−3 −1 2
y
O
- Lời giải.
Do (C): y = f (x) và (C
0
): y = g(x) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ −3;−1;2 nên
f (x) − g (x) = A(x +3)(x +1)(x −2).
Do f (0) − g (0) =−
3
2
nên −6A =−
3
2
⇒ A =−
1
4
.
Từ đó f (x)− g(x) =
1
4
(x +3)(x +1)(x −2) =
1
4
(x
3
+2x
2
−5x −6).
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là
S =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−1
Z
−3
1
4
(x
3
+2x
2
−5x −6)dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2
Z
−1
1
4
(x
3
+2x
2
−5x −6)dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
253
48
.
Chọn đáp án C ä
Câu 4. Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A
1
, A
2
, B
1
, B
2
như hình vẽ bên.
Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 200.000 đồng/m
2
và phần còn lại là
100.000 đồng/m
2
. Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào
dưới đây, biết A
1
A
2
=8m, B
1
B
2
=6m và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật
có MQ =3 m?
M
N
P
Q
A
1
A
2
B
1
B
2
A. 7.322.000 đồng. B. 7.213.000 đồng. C. 5.526.000 đồng. D. 5.782.000 đồng.
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 811 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục hoành trùng với trục lớn, trục
tung trùng với trục bé của biển quảng cáo.
Khi đó, đường viền của biển quảng cáo có phương trình của dạng
elip sau
(
E
)
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1.
Theo giả thiết ta có
A
1
A
2
=8
B
1
B
2
=6
⇔
2a =8
2b =6
⇔
a =4
b =3
⇒
(
E
)
:
x
2
16
+
y
2
9
=1 ⇒ y =±
3
4
p
16−x
2
.
O
x
y
A
1
A
2
B
1
B
2
M
N
P
Q
Ta có: MQ =3 ⇒
M = d ∩
(
E
)
N = d ∩
(
E
)
với d : y =
3
2
⇒ M
µ
−2
p
3;
3
2
¶
và N
µ
2
p
3;
3
2
¶
.
Do Elip nhận trục Ox và O y làm trục đối xứng nên diện tích phần tô màu gấp 4 diện tích hình phẳng giới hạn
bởi y =
3
4
p
16−x
2
và các đường thẳng x =2
p
3, trục tung, trục hoành, chính là S =4
2
p
3
Z
0
µ
3
4
p
16−x
2
¶
dx =
3
2
p
3
Z
0
³
p
16−x
2
´
dx .
Đặt x =4sin t, khi đó dx =4cos tdt. Và với x =0 ⇒ t =0; với x =2
p
3 ⇒ t =
π
3
.
S = 3
π
3
Z
0
³
p
16−16sin
2
t ·4·cost
´
dt = 48
π
3
Z
0
¡
cos
2
t
¢
dt = 24
π
3
Z
0
(
1+cos2t
)
dt =
(
24t +12sin2t
)
¯
¯
¯
π
3
0
= 8π +
6
p
3 m
2
.
Số tiền để sơn theo yêu cầu bài toán là T =100.000×
¡
4π −6
p
3
¢
+200.000×
¡
8π +6
p
3
¢
≈7.322.000 đồng.
Chọn đáp án A ä
Câu 5.
Cho hàm số f (x) = ax
3
+bx
2
+cx −
1
2
và g(x) = dx
2
+ex +1
(
a, b, c, d, e ∈R
)
.
Biết rằng đồ thị của hàm số y = f (x) và y = g(x) cắt nhau tại ba điểm có hoành
độ lần lượt là −3; −1; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ
thị đã cho có diện tích bằng
A.
9
2
. B. 8. C. 4. D. 5.
x
−3 −1
y
1
O
- Lời giải.
Do (C): y = f (x) và (C
0
): y = g(x) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ −3;−1 và 1 nên
f (x) − g (x) = A(x +3)(x +1)(x −1).
Từ giả thiết ta có f (0)− g(0) =−
3
2
nên −3A =−
3
2
⇔ A =
1
2
.
⇒ f (x)− g(x) =
1
2
(x +3)(x +1)(x −1) =
1
2
x
3
+
3
2
x
2
−
1
2
x −
3
2
.
Diện tích hình phẳng cần tìm là
Th.s Nguyễn Chín Em 812 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
S =
−1
Z
−3
[
f (x) − g (x)
]
dx +
1
Z
−1
[
g(x)− f (x)
]
dx
=
−1
Z
−3
·
1
2
x
3
+
3
2
x
2
−
1
2
x −
3
2
¸
dx −
1
Z
−1
·
1
2
x
3
+
3
2
x
2
−
1
2
x −
3
2
¸
dx =2−(−2) =4.
.
Chọn đáp án C ä
Câu 6.
Cho hai hàm số f
(
x
)
= ax
3
+ bx
2
+ cx +
3
4
và g
(
x
)
= dx
2
+ ex −
3
4
(
a, b, c, d, e ∈R
)
. Biết rằng đồ thị của hàm số y = f
(
x
)
và y = g
(
x
)
cắt
nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −2; 1; 3 (tham khảo hình vẽ).
Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
A.
253
48
. B.
125
24
.
C.
125
48
. D.
253
24
.
x
−2
1
3
y
O
- Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm ax
3
+bx
2
+cx +
3
4
= dx
2
+ex −
3
4
⇔ax
3
+(b −d)x
2
+(c −e)x +
3
2
=0.
Đặt h(x) = ax
3
+(b −d)x
2
+(c −e)x +
3
2
.
Dựa vào đồ thị ta có h(x) =0 có ba nghiệm là x =−2; x =1; x =3.
Khi đó ta có hệ
−8a +4(b −d)−2(c −e) =−
3
2
a +(b −d) +(c −e) =−
3
2
27a +9(b −d) +3(c −e) =−
3
2
⇔
a =
1
4
b −d =−
1
2
c −e =−
5
4
.
Khi đó diện tích hình phẳng cần tính là
S =
3
Z
−2
|f (x)−g(x)|dx =
1
Z
−2
¯
¯
¯
¯
1
4
x
3
−
1
2
x
2
−
5
4
x +
3
2
¯
¯
¯
¯
dx +
3
Z
1
¯
¯
¯
¯
1
4
x
3
−
1
2
x
2
−
5
4
x +
3
2
¯
¯
¯
¯
dx
=
63
16
+
4
3
=
253
48
.
Chọn đáp án A ä
Câu 7.
Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A
1
, A
2
, B
1
, B
2
như hình
vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 200.000 đồng/m
2
và phần còn
lại là 100.000 đồng/m
2
. Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số
tiền nào dưới đây, biết A
1
A
2
= 8m, B
1
B
2
= 6m và tứ giác MNPQ là hình
chữ nhật có MQ =3m ?
A. 7.322.000 đồng. B. 7.213.000 đồng.
C. 5.526.000 đồng. D. 5.782.000 đồng.
M
N
P
Q
A
1
A
2
B
1
B
2
- Lời giải.
Giả sử phương trình elip (E):
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1.
Theo giả thiết ta có
A
1
A
2
=8
B
1
B
2
=6
⇔
2a =8
2b =6
⇔
a =4
a =3
Th.s Nguyễn Chín Em 813 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Suy ra (E):
x
2
16
+
y
2
9
=1 ⇒ y =±
3
4
p
16−x
2
.
Diện tích của elip (E) là S
(E)
=πab =12π (m
2
).
Ta có: MQ =3 ⇒
M = d ∩(E)
N = d ∩(E)
với d : y =
3
2
⇒ M(−2
p
3;
3
2
) và N(2
p
3;
3
2
).
Khi đó, diện tích phần không tô màu là S =4
4
Z
2
p
3
(
3
4
p
16−x
2
)dx =4π −6
p
3(m
2
).
Diện tích phần tô màu là S
0
=S
(E)
−S =8π +6
p
3.
Số tiền để sơn theo yêu cầu bài toán là
T =100.000 ×(4π −6
p
3)+200.000×(8π +6
p
3) ≈7.322.000 đồng.
Chọn đáp án A ä
Câu 8. Cho hai hàm số f (x) = ax
3
+bx
2
+cx −
1
2
và g(x) = dx
2
+ex +1 (a,b, c,d, e ∈R). Biết rằng đồ thị
hàm số y = f (x) và y = g(x) cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là −3,−1,1 (tham khảo hình vẽ). Hình
phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho (miền gạch chéo) có diện tích bằng
A.
9
2
.
B. 4.
C. 5.
D. 8.
x
y
O
−1
1
−3
- Lời giải.
Từ giả thiết ta có f (x)−g(x) = ax
3
+bx
2
+cx −
1
2
−dx
2
−ex −1. (1)
Do −3,−1,1 là các nghiệm của (1) ⇒ f (x) − g(x) =a(x +3)(x +1)(x −1) ⇒−3a =−
3
2
⇔a =
1
2
.
Ta có diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đồ thị là
S(H) =
1
Z
−3
|
f (x) − g (x)
|
dx =
1
2
1
Z
−3
|
(x +3)(x −1)(x +1)
|
dx =4.
Vậy diện tích cần tích bằng 4.
Chọn đáp án B ä
Câu 9.
Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = f
0
(x ) như hình bên.Đặt
h(x) =2f (x)−x
2
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. h(4) = h(−2) > h(2).
B. h(4) = h(−2) < h(2).
C. h(2) > h(4) > h(−2).
D. h(2) > h(−2) > h(4).
x
y
2 4
O
−2
2
4
−2
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 814 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ta có h(x) =2f (x)−x
2
nên h
0
(x ) =2
¡
f
0
(x ) −x
¢
.
Dựa vào hình vẽ bên và tính chất của tích phân ta thấy h(2) − h(−2) =
2
Z
−2
h
0
(x ) dx =2
2
Z
−2
¡
f
0
(x ) −x
¢
dx >0 nên h(2) > h(−2).
Tương tự ta có h(4) > h(−2), h(2) > h(4), từ đó chọn phương án C.
x
y
2 4
O
−2
2
4
−2
Chọn đáp án C ä
Câu 10.
Biết rằng đường parabol (P): y
2
=2x chia đường tròn (C): x
2
+y
2
=8 thành
hai phần lần lượt có diện tích là S
1
, S
2
(hình vẽ bên). Khi đó S
2
−S
1
=a π−
b
c
với a, b, c nguyên dương và
b
c
là phân số tối giản. Tính S = a+b+c.
A. S =13. B. S =14. C. S =15. D. S =16.
O
x
S
2
S
1
y
- Lời giải.
Đường tròn (C) có tâm O(0;0), bán kính R =2
p
2 diện tích S =8π.
Xét giao điểm của (P) và (C) là
y
2
=2x
x
2
+ y
2
=8
⇒
x ≥0
x
2
+2x =8
⇔ x =2.
Suy ra S
1
=2
2
Z
0
p
2x dx +2
2
p
2
Z
2
p
8−x
2
dx =
4
3
+2π ⇒ S
2
=S −S
1
=6π −
4
3
.
Vậy ⇒ S
2
−S
1
=4π −
8
3
⇒
a =4
b =8
c =3.
Chọn đáp án C ä
Câu 11.
Trong mặt phẳng, cho đường elip (E) có độ dài trục lớn là
A A
0
= 10, độ dài trục nhỏ là BB
0
= 6, đường tròn tâm 0 có
đường kính là BB
0
(như hình vẽ bên dưới). Tính thể tích V
của khối tròn xoay có được bằng cách cho miền hình hình
phẳng giới hạn bởi đường elip và được tròn (được tô đậm trên
hình vẽ) quay xung quanh trục A A
0
.
A. V =36π. B. V =60π.
C. V =24π. D. V =
20π
3
.
O
A
B
A
0
B
0
O
- Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em 815 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Xét hình phẳng trong hệ tọa độ Ox y, nhận 0 làm gốc
tọa độ và tọa độ các điểm lần lượt là A(5;0), A
0
(−5;0),
B(0;3), B
0
(0;−3).
Ta có phương trình của elip và đường tròn lần lượt là
(E):
x
2
25
+
y
2
9
=1 và (C): x
2
+ y
2
=9.
Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra là V =
π
5
Z
−5
9
µ
1−
x
2
25
¶
dx −
4
3
π ·3
3
=24π.
O
A
B
A
0
B
0
x
y
−5 5
−3
3
O
Chọn đáp án C ä
Câu 12.
Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính 6m. Người ta cần trồng cây trên
dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là 70000
đồng m
2
. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó (số tiền được
làm tròn đến hàng đơn vị).
A. 8142232 đồng. B. 4821232 đồng.
C. 4821322 đồng. D. 8412322 đồng.
O
6cm
- Lời giải.
Xét hệ trục tọa độ Oxy đặt vào tâm khu vườn, khi đó phương trình đường tròn tâm O là x
2
+ y
2
= 36. Khi
đó phần nửa cung tròn phía trên trục Ox có phương trình y =
p
36−x
2
= f (x).
Diện tích S của mảnh đất bằng 2 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đồ thị y = f (x) và hai
đường thẳng x =−3; x =3 ⇒S =2
3
Z
−3
p
36−x
2
dx .
Đặt x =6sin t ⇒ dx =6cos tdt. Đổi cận: x =−3 ⇒ t =−
π
6
; x =3 ⇒ t =
π
6
.
⇒S =2
π
6
Z
−
π
6
36cos
2
tdt =36
π
6
Z
−
π
6
(
cos2t +1
)
dt =18
(
sin2t +2t
)
¯
¯
¯
π
6
−
π
6
=18
p
3+12π.
Do đó số tiền cần dùng là 70000 ·S ≈4821322 đồng.
Chọn đáp án C ä
Câu 13.
Cho hình (H) giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của một Parabol và một đường thẳng
tiếp xúc với Parabol đó tại điểm A(2;4), như hình vẽ bên. Thể tích vật thể tròn
xoay tạo bởi khi hình (H) quay quanh tr ục Ox bằng
A.
16π
15
. B.
32π
5
. C.
2π
3
. D.
22π
5
.
x
y
O
1
2
4
- Lời giải.
Parabol có đỉnh là gốc tọa độ như hình vẽ và đi qua A(2;4) nên có phương trình y = x
2
.
Tiếp tuyến của Parabol đó tại A(2;4) có phương trình là y =4(x −2)+4 =4x −4.
Th.s Nguyễn Chín Em 816 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Suy ra thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là
V =π
2
Z
0
(x
2
)
2
dx −π
2
Z
1
(4x −4)
2
dx =π
x
5
5
¯
¯
¯
2
0
−16
2
Z
1
(x
2
−2x +1)dx
=π
µ
32
5
−
16
3
¶
=
16π
15
.
Chọn đáp án A ä
Câu 14.
Cho hai đường tròn (O
1
;5) và (O
2
;3) cắt nhau tại
hai điểm A, B sao cho AB là một đường kính của đường tròn
(O
2
;3). Gọi (D) là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường
tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần được gạch chéo như hình
vẽ). Quay (D) quanh trục O
1
O
2
ta được một khối tròn xoay.
Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành.
A. V =36π. B. V =
68π
3
.
C. V =
14π
3
. D. V =
40π
3
.
O1
B
O2
A
C
(D)
- Lời giải.
Chọn hệ tọa độ Ox y với O
2
≡O, O
2
C ≡Ox, O
2
A ≡O y.
Cạnh O
1
O
2
=
p
O
1
A
2
−O
2
A
2
=
p
5
2
−3
2
= 4 ⇒
(O
1
): (x +4)
2
+ y
2
=25.
Phương trình đường tròn (O
2
): x
2
+ y
2
=9.
O1
B
O2
A
C
(D)
x
y
Kí hiệu (H
1
) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
p
25−(x +4)
2
, trục Ox, x =0, x =1.
Kí hiệu (H
2
) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
p
9−x
2
, trục Ox, x =0, x =3.
Khi đó thể tích V cần tính chính bằng thể tích V
2
của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H
2
) xung
quanh trục Ox trừ đi thể tích V
1
của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H
1
) xung quanh trục Ox.
Ta có V
2
=
1
2
·
4
3
πr
3
=
2
3
π ·3
3
=18π.
Lại có V
1
=π
1
Z
0
y
2
dx =π
1
Z
0
[25−(x +4)
2
]dx =π
·
25x −
(x +4)
3
3
¸
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
0
=
14π
3
.
Do đó V =V
2
−V
1
=18π −
14π
3
=
40π
3
.
Chọn đáp án D ä
Câu 15.
Th.s Nguyễn Chín Em 817 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi Parabol y = 2x
2
−1 và nửa đường tròn có
phương trình y =
p
2−x
2
(với −
p
2 É x É
p
2 ) (phần tô đậm trong hình vẽ).
Diện tích của (H) bằng
A.
3π −2
6
. B.
3π +10
3
. C.
3π +2
6
. D.
3π +10
6
.
x
y
O
−
p
2
p
2
−1
- Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm 2x
2
−1 =
p
2−x
2
⇔ x =±1.
Diện tích hình phẳng cần tính bằng S =
1
Z
−1
³
p
2−x
2
−2x
2
+1
´
dx =
1
Z
−1
p
2−x
2
dx −
1
Z
−1
(2x
2
−1)dx .
Ta có
1
Z
−1
(2x
2
−1)dx =
µ
2x
3
3
−x
¶
¯
¯
¯
1
−1
=−
2
3
.
Đặt x =
p
2sin t
³
t ∈
h
−
π
2
;
π
2
i´
suy ra
p
2−x
2
=
p
2cos t; dx =d
¡
p
2sin t
¢
=
p
2cos t dt.
Khi x =−1 ⇒ t =−
π
4
; x =1 ⇒ t =
π
4
.
Suy ra
1
Z
−1
p
2−x
2
dx =2
π
4
Z
−
π
4
cos
2
tdt =
π
4
Z
−
π
4
(
1+cos2t
)
dt =
µ
t +
1
2
sin2t
¶
¯
¯
¯
π
4
−
π
4
=
π
2
+1.
Vậy S =
π
2
+1+
2
3
=
3π +10
6
.
Chọn đáp án D ä
Câu 16. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = x
3
−x; y =2x và các đường x =1; x =−1
được xác định bởi công thức
A. S =
0
Z
−1
(x
3
−3x)dx +
1
Z
0
(3x −x
3
)dx. B. S =
0
Z
−1
(3x −x
3
)dx +
1
Z
0
(x
3
−3x)dx.
C. S =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
Z
−1
(3x −x
3
)dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. D. S =
1
Z
−1
(3x −x
3
)dx.
- Lời giải.
Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = x
3
−x; y =2x và các đường x =1; x = −1 là
S =
1
Z
−1
|(x
3
−x) −(2x)|dx =
1
Z
−1
|x
3
−3x|dx.
Bảng xét dấu x
3
−3x
x
x
3
−3x
−1
0
1
+
0
−
Do đó dựa vào bảng ta có: S =
0
Z
−1
(x
3
−3x)dx +
1
Z
0
(3x −x
3
)dx.
Chọn đáp án A ä
Câu 17.
Th.s Nguyễn Chín Em 818 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng
và kích thước như hình vẽ bên, biết đường
cong phía trên là một Parabol. Giá 1m
2
của
rào sắt là 700.000 đồng. Hỏi ông An phải trả
bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm
tròn đến hàng nghìn).
A. 6.620.000 đồng. B. 6.320.000 đồng.
C. 6.520.000 đồng. D. 6.417.000 đồng.
5m
1,5m
2m
- Lời giải.
Ta chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Trong đó A(−2,5;1,5), B(2,5;1,5), C(0;2).
Giả sử đường cong phía trên là một Parabol có dạng y =
ax
2
+bx +c, với a; b; c ∈R.
Do Parabol đi qua các điểm A(−2,5;1,5), B(2,5;1,5),
C(0;2) nên ta có hệ phương trình
a(−2,5)
2
+b(−2,5)+c =1,5
a(2,5)
2
+b(2,5)+c =1,5
c =2
⇔
a =−
2
25
b =0
c =2.
x
y
O
2
−1
−3 −2 2 3
BA
C
Khi đó phương trình Parabol là y =−
2
25
x
2
+2.
Diện tích S của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = −
2
25
x
2
+2, trục
hoành và hai đường thẳng x =−2,5; x =2,5.
Ta có S =
2,5
Z
−2,5
µ
−
2
25
x
2
+2
¶
dx =
µ
−
2
25
x
3
3
+2x
¶
¯
¯
¯
2,5
−2,5
=
55
6
.
Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là
S ×700000 =
55
6
×700000 ≈6.417.000 (đồng).
Chọn đáp án D ä
Câu 18.
Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = f
0
(x ) như hình bên. Đặt g(x) =
2f (x)−(x +1)
2
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. g(−3) > g(3) > g(1).
B. g(1) > g(−3) > g(3).
C. g(3) > g(−3) > g(1).
D. g(1) > g(3) > g(−3).
x
y
1 3
O
−3
−2
2
4
Th.s Nguyễn Chín Em 819 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
- Lời giải.
- Ta có g
0
(x ) =2
¡
f
0
(x ) −(x +1)
¢
.
- Từ g (3) − g(1) =
3
Z
1
g
0
(x )dx =2
3
Z
1
¡
f
0
(x ) −(x +1)
¢
dx <0 suy ra g(3) < g(1).
- Tương tự g(3)− g(−3) =
3
Z
−3
g
0
(x )dx =2
3
Z
−3
¡
f
0
(x ) −(x +1)
¢
dx >0 suy ra g(−3) < g(3).
Chọn đáp án D ä
Câu 19.
Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = f
0
(x ) như hình bên. Đặt g(x) =
2f (x)+(x +1)
2
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. g(1) < g(3) < g(−3).
B. g(1) < g(−3) < g(3).
C. g(3) = g(−3) < g(1).
D. g(3) = g(−3) > g(1).
x
y
1
3
−4
2
O
−3
−2
- Lời giải.
g
0
(x ) = 2f (x)
0
+2(x +1). Từ đồ thị ta có g
0
(x ) = 0 có 3 nghiệm là −3;1;3 và có
g(1) < g(3), g(−3). Mặt khác cũng từ đồ thị ta có
1
Z
−3
¡
−g
0
(x )
¢
dx >
3
Z
1
¡
−g
0
(x )
¢
dx .
Suy ra g(3) < g (−3). Vậy ta có g(1) < g(3) < g(−3).
x
y
1
3
−4
2
O
−3
−2
Chọn đáp án A ä
Câu 20.
Cho hàm số f (x) = ax
3
+bx
2
+cx −
1
2
và g(x) = dx
2
+ex +1
(
a, b, c, d, e ∈R
)
.
Biết rằng đồ thị của hàm số y = f (x) và y = g(x) cắt nhau tại ba điểm có hoành
độ lần lượt là −3; −1; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ
thị đã cho có diện tích bằng
A.
9
2
. B. 8. C. 4. D. 5.
x
−3 −1
y
1
O
- Lời giải.
Do (C): y = f (x) và (C
0
): y = g(x) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ −3;−1 và 1 nên
f (x) − g (x) = A(x +3)(x +1)(x −1).
Từ giả thiết ta có f (0)− g(0) =−
3
2
nên −3A =−
3
2
⇔ A =
1
2
.
⇒ f (x)− g(x) =
1
2
(x +3)(x +1)(x −1) =
1
2
x
3
+
3
2
x
2
−
1
2
x −
3
2
.
Th.s Nguyễn Chín Em 820 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Diện tích hình phẳng cần tìm là
S =
−1
Z
−3
[
f (x) − g (x)
]
dx +
1
Z
−1
[
g(x)− f (x)
]
dx
=
−1
Z
−3
·
1
2
x
3
+
3
2
x
2
−
1
2
x −
3
2
¸
dx −
1
Z
−1
·
1
2
x
3
+
3
2
x
2
−
1
2
x −
3
2
¸
dx =2−(−2) =4.
.
Chọn đáp án C ä
Câu 21.
Cho hai hàm số f
(
x
)
= ax
3
+ bx
2
+ cx +
3
4
và g
(
x
)
= dx
2
+ ex −
3
4
(
a, b, c, d, e ∈R
)
. Biết rằng đồ thị của hàm số y = f
(
x
)
và y = g
(
x
)
cắt
nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −2; 1; 3 (tham khảo hình vẽ).
Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
A.
253
48
. B.
125
24
.
C.
125
48
. D.
253
24
.
x
−2
1
3
y
O
- Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm ax
3
+bx
2
+cx +
3
4
= dx
2
+ex −
3
4
⇔ax
3
+(b −d)x
2
+(c −e)x +
3
2
=0.
Đặt h(x) = ax
3
+(b −d)x
2
+(c −e)x +
3
2
.
Dựa vào đồ thị ta có h(x) =0 có ba nghiệm là x =−2; x =1; x =3.
Khi đó ta có hệ
−8a +4(b −d)−2(c −e) =−
3
2
a +(b −d) +(c −e) =−
3
2
27a +9(b −d) +3(c −e) =−
3
2
⇔
a =
1
4
b −d =−
1
2
c −e =−
5
4
.
Khi đó diện tích hình phẳng cần tính là
S =
3
Z
−2
|f (x)−g(x)|dx =
1
Z
−2
¯
¯
¯
¯
1
4
x
3
−
1
2
x
2
−
5
4
x +
3
2
¯
¯
¯
¯
dx +
3
Z
1
¯
¯
¯
¯
1
4
x
3
−
1
2
x
2
−
5
4
x +
3
2
¯
¯
¯
¯
dx
=
63
16
+
4
3
=
253
48
.
Chọn đáp án A ä
Câu 22. Cho hai nửa đường tròn như hình vẽ bên dưới, trong đó đường kính của nửa đường tròn lớn gấp
đôi đường kính của đường tròn nhỏ. Biết rằng nửa hình tròn đường kính AB có diện tích là 32π và góc
BAC =30
◦
. Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) (phần gạch sọc trong hình
vẽ) xung quanh đường thẳng AB.
A O
B
C
D
(H)
Th.s Nguyễn Chín Em 821 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
A. 279π. B.
620π
3
. C.
784π
3
. D.
325π
3
.
- Lời giải.
Đặt AB =2R. Ta được
πR
2
2
=32π ⇒ R
2
=64 ⇒ R =8.
Xét hệ trục tọa độ Ox y với gốc tọa độ O trùng với tâm đường tròn lớn, A(−8;0), B(8;0).
Phương trình đường tròn lớn là ( C
1
): x
2
+ y
2
=64.
Phương trình đường tròn nhỏ là ( C
2
): (x +4)
2
+ y
2
=16.
Đường thẳng AC đi qua điểm A(−8;0), hệ số góc k =tan30
◦
=
p
3
3
có phương trình là y =
p
3
3
(x +8).
Tọa độ các điểm C
¡
4;4
p
3
¢
, D
¡
−2;2
p
3
¢
.
Thể tích khối tròn xoay khi quay xung quanh trục AB phần tam giác cong ABC là
V
1
=π
4
Z
−8
1
3
(x +8)
2
dx +
8
Z
4
(64−x
2
)dx
=
896π
3
.
Thể tích khối tròn xoay khi quay xung quanh trục AB phần tam giác cong AOD là
V
2
=π
−2
Z
−8
1
3
(x +8)
2
dx +
0
Z
−2
(16−(x +4)
2
)dx
=
112π
3
.
Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là V =V
1
−V
2
=
896π
3
−
112π
3
=
784π
3
.
Chọn đáp án C ä
Câu 23.
Ông Nam có một mảnh vườn hình elip có độ dài tr ục lớn bằng 16
m và độ dài trục bé bằng 10 m. Ông muốn trồng hoa trên một dải
đất rộng 8 m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình
vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/ 1 m
2
. Hỏi ông
Nam cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được
làm tròn đến hàng nghìn).
A. 7.862.000 đồng. B. 7.653.000 đồng.
C. 7.128.000 đồng. D. 7.826.000 đồng.
8 cm
- Lời giải.
Giả sử elip có phương trình
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1, với a > b >0.
Từ giả thiết ta có 2a =16 ⇒ a =8 và 2b =10 ⇒ b =5.
Vậy phương trình của elip là
x
2
64
+
y
2
25
=1 ⇒
y =−
5
8
p
64− y
2
(E
1
)
y =
5
8
p
64− y
2
(E
2
).
Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường (E
1
), (E
2
), x = −4, x = 4 và diện tích của dải vườn
là S =2
4
Z
−4
5
8
p
64−x
2
dx =
5
2
4
Z
0
p
64−x
2
dx
Khi đó số tiền là T =80
Ã
π
6
+
p
3
4
!
·100000 =7652891,82 '7.653.000.
Chọn đáp án B ä
Câu 24.
Th.s Nguyễn Chín Em 822 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
Cho hàm số y = f (x) = mx
4
+nx
3
+ px
2
+qx +r, trong đó m, n, p, q,
r ∈ R. Biết rằng hàm số y = f
0
(x ) có đồ như hình vẽ bên. Tập nghiệm
của phương trình f (x) =16m+8n+4p+2q+r có tất cả bao nhiêu phần
tử?
A. 4. B. 3. C. 5. D. 6.
x
y
O
y = f
0
(x)
−1
1 4
- Lời giải.
Từ đồ thị ta thấy phương trình f
0
(x ) =0 có ba nghiệm phân biệt là x =−1, x =1 và x =4.
Ta có bảng biến thiên
x
f
0
(x )
f (x)
−∞
−1 1 4
+∞
+
0
−
0
+
0
−
−∞−∞
f (−1)f (−1)
f (1)f (1)
f (4)f (4)
−∞−∞
2
Phương trình f (x) =16m +8n +4p +2q +r ⇔ f (x) = f (2). (1)
Mặt khác, gọi S
1
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f
0
(x ), trục hoành và hai đường thẳng
x =−1, x =1 ta có S
1
=
1
Z
−1
f
0
(x )dx = f (1) − f (−1);
Gọi S
2
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f
0
(x ), trục hoành và hai đường thẳng x =1, x =4
ta có S
2
=−
4
Z
1
f
0
(x )dx = f (1) − f (4).
Mà S
1
<S
2
nên f (1) − f (−1) < f (1)− f (4) hay f (−1) > f (4). (2)
Từ (1), (2) và dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f (x) =16m +8n+4p +2q +r có 4 nghiệm phân
biệt.
Chọn đáp án A ä
Câu 25.
Cho hàm số y = f (x ) liên tục trên R và có đồ thị như hình
vẽ bên. Biết rằng diện tích các hình (A), (B) lần lượt bằng
3 và 7. Tích tích phân
π
2
Z
0
cos x · f (5sin x −1)dx bằng
A. I =−
4
5
. B. I =2. C. I =
4
5
. D. I =−2.
x
y
O
−1 1 4
(A)
(B)
- Lời giải.
Theo đề
1
Z
−1
f (x)dx =3,
4
Z
1
f (x)dx =−7
Th.s Nguyễn Chín Em 823 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12
π
2
Z
0
cos x · f (5sin x −1)dx =
1
5
π
2
Z
0
f (5sin x −1)d(5sin x −1) =
1
5
4
Z
−1
f (t)dt =
1
5
1
Z
−1
f (x)dx +
4
Z
1
f (x)dx
=−
4
5
.
Chọn đáp án A ä
4.1 ĐÁP ÁN
1. D 2. D 3. C 4. A 5. C 6. A 7. A 8. B 9. C 10. C
11. C 12. C 13. A 14. D 15. D 16. A 17. D 18. D 19. A 20. C
21. A 22. C 23. B 24. A 25. A
Th.s Nguyễn Chín Em 824 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.
Thông tin :
827
trang
6 tháng trước
Chủ đề:
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Môn:
Tác giả: