Phương pháp giải các bài toán Tích phân – Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn Toán 12
Phương pháp giải các bài toán Tích phân – Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Môn: Toán 12
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Chuyeân ñeà 4: TÍCH PHAÂN
Vaán ñeà 1:
BIEÁN ÑOÅI VEÀ TOÅNG – HIEÄU CAÙC TÍCH PHAÂN CÔ BAÛN
A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
Söû duïng ba tích chaát sau ñeå bieán ñoåi tích phaân caàn tính thaønh toång – hieäu caùc tích phaân cô baûn b b b b b 1/ k.f(x)dx kf(x)dx
2/ f(x) g(x )dx f(x)dx g(x)dx a a a a a b c b 3/ f(x)dx f(x)dx f(x)dx a a c
BAÛNG NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN
Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp
Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá hôïp (u = u(x))
1. dx x c; kdx kx c 1 1. u u u'dx c ; ( 1) 1 1 2. x x dx c, ( 1) 1 2. u'dx ln u c u 3. dx ln x c x 3. u u e u'dx e c 4. x x e dx e c u 4. u a a u'dx c (0 a 1) x lna 5. x a a dx c (0 a 1) lna 5. u'cosudx sinu c 6. cosxdx sinx c 6. u'sinudx cosu c 7. sinxdx cosx c 7. u' dx tanu c 2 cos u 8. dx tanx c 2 cos x u' dx 8. dx cot u c 9. cot x c 2 2 sin u sin x 9. 10. tanxdx ln cosx c u'tanudx ln cosu c 10. 11. cotxdx ln sinx c u'cotudx ln sinu c 124
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Ñaëc bieät: u(x) = ax + b; 1 f(x)dx F(x) c f(ax b)dx F(ax b) c a 1 dx 1 1. 1 (ax b) (ax b) dx c 7. tan(ax b) c a 1 2 cos (ax b) a 2. dx 1 dx 1 ln ax b c 8. cot(ax b) c ax b a 2 sin (ax b) a 3. 1 e dx ax b ax b e 1 a 9. tan(ax b)dx ln cos(ax b) c a 4. x 1 a dx ln x c 1 10. cot(ax b)dx ln sin(ax b) c a dx 1 x a 5. 1 cos(ax b)dx sin(ax b) c 11. ln c a 2 x 2 a 2a x a 6. 1 sin(ax b)dx cos(ax b) c a B – ÑEÀ THI
Baøi 1: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2011 Tính tích phaân 2 2x 1 I dx 1 x(x 1) Giaûi 2 2 I = (x 1) xdx = 1 1 dx 6 lnx(x 1) ln ln3 . x(x = 2 1) x 1 x 1 2 1 1
Baøi 2: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2010 1 Tính tích phaân: 2x 1 I dx x 1 0 Giaûi 1 2x 1 1 3 1 I dx 2 dx 2x 3ln x 1 x = 2 – 3ln2. 1 = x 1 = 0 0 0
Baøi 3: CAO ÑAÚNG GTVT III KHOÁI A NAÊM 2007 2 4 3 2
Tính caùc tích phaân sau: x x 3x 2x 2 I dx 2 x 1 x Giaûi
Chia töû cho maãu, ta ñöôïc: 125
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 4 3 2 x x 3x 2x 2 2 x 2 x 3 = 2 1 2 x 3 2 x 2 x x x x 1 x 2 x 2 3 2 1 2 I x 3 dx
3x ln x 1 2ln x x 1 x 3 1 1 I = 16 3 ln 3 8
Baøi 4: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ – COÂNG NGHIEÄP TPHCM NAÊM 2007 Tính tích phaân: dt I(x) x
, vôùi x > 1. Töø ñoù tìm lim I(x) 1 t(t 1) x Giaûi x x x I(x) = dt 1 1 x t lnt ln t 1 dt = ln t t 1 t t 1 1 t 1 1 1 1 = x 1 ln ln x 1 2 x 1 lim Ix lim ln ln ln2 x x x 1 2
Baøi 5: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2005 4 Tính tích phaân: sin x tan x e cosxdx 0 Giaûi 4 4 4 I tanx sinx e .cosxdx tanxdx sinx sinx 'e dx 0 0 0 2
= ln cosx + e sin x 4 4 2 ln 2 e 1. 0 0
Baøi 6: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 3 Tính tích phaân: dx I x 3 1 x Giaûi 2 2 3 dx 3 1 x x 3 1 x 3 1 1 2x I dx dx dx 1 3 1 2 1 2 x x x(1 x ) x 1 2 x 1 x 2 x 1 126
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 1 2 3 2 3 ln x ln(x 1) lnx ln x 2 1 1 1 x 3 3 1 6 ln ln ln ln 1 2 1 2 2 2 x Baøi 7: 2 Tính tích phaân : I = 2 x xdx . 0 Giaûi 2 1 2 Tính I 2 x x dx 2 x xdx 2 x xdx 0 0 1 Do : x 0 1 2 x2x 0 + 3 2 1 3 2 2 x x x x I 1. 3 2 0 3 2 1
Baøi 8: ÑEÀ DÖÏ BÒ 3 Cho haøm soá: f(x) = a x bxe . x 3 1 1
Tìm a vaø b bieát raèng f’(0) = 22 vaø f(x)dx 5 0 Giaûi Ta coù: a f(x) x bx.e (x 3 1) 3a f(x) x
be (x 1) f(0) 3a b 22 (1) (x 4 1) 1 1 1 1 3 x a 3a
f(x)dx a(x 1) dx b xe x b(xe x e ) b 5 (2) 2(x 2 1) 8 0 0 0 0 3a b 22 a 8
(1) vaø (2) ta coù heä: 3a . b 5 b 2 8 127
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Vaán ñeà 2:
TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ
A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
ÑOÅI BIEÁN SOÁ LOAÏI I b
1. Söû duïng coâng thöùc: f[u(x)]. u (x)dx f(u)du a b
2. Phöông phaùp: Xeùt tích phaân I f(x)du a
- Ñaët t = u(x) dt = u'(x)dx
- Ñoåi caän u(a) = t1 ; u(b) = t2 t2 t - Suy ra: 2 I g(t)dt g(t) (g(t) f[u(x)]. u (x)) t1 t1
Thöôøng ñaët aån phuï t laø
caên thöùc, hoaëc muõ cuûa e, hoaëc maãu soá, hoaëc bieåu thöùc trong ngoaëc.
coù sinxdx ñaët t = cosx, coù cosxdx ñaët t = sinx, coù dx ñaët t = lnx. x
ÑOÅI BIEÁN SOÁ LOAÏI II b Coâng thöùc: f ( (t) / ) (t)dt
f(x)dx ; x (t); ( ) a, ( ) b a b Tính: I f(x)dx a
Ñaët x (t) dx (t)dt
Ñoåi caän: x (t); ( ) a, ( ) b b Khi ñoù: I f ( (t)). (t)dt f(x)dx a b
Caùc daïng thöôøng gaëp: 1. 2 a 2 x dx ñaët x asint a b b 2. dx dx ñaët x asin t 3. ñaët x atan t 2 a 2 2 2 a x a a x B. ÑEÀ THI
Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2011 128
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 4 xsinx x 1 cosx Tính tích phaân : I dx. xsinx cosx 0 Giaûi 4 4 Ta coù: xsin x cosx x cosx I x cosx dx 1 dx xsin x cosx xsin x cosx 0 0 4 4 4 xcosx xcosx x dx dx 0 xsinx cosx 4 xsinx cosx 0 0
Ñaët t = xsinx + cosx dt = xcosxdx.
Khi x = 0 thì t = 1, x = thì t = 2 1 4 2 4 2 1 2 4 2 dt 1 2 Suy ra: I 2 4 ln t ln 1 . 4 t 4 1 4 2 4 1
Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2011 4 Tính tích phaân: 4x 1 I dx. 2x 1 2 0 Giaûi
Ñaët: t 2x 1 2 2x 1 t 2 2 2x 1 t 4t 4 2 t 4t 3 x dx = (t – 2)dt. 2
x = 0 t = 3, x = 4 t = 5. 2 t 4t 3 5 4 1 2
5 2t 8t 5t 2 Suy ra: 2 I t 2dt = dt t t 3 3 5 3 2 5 = 2t 12t 21t 10 10 dt = 2 2t 12t 21 dt t t 3 3 5 3 = 2t 2 6t 21t 10ln t = 34 3 10ln . 3 3 5 3
Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2010 129
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – e Tính tích phaân: ln x I = dx x(2 2 1 ln x) Giaûi Ñaët 1
u lnx du dx , x = 1 u = 0, x = e u = 1 x 1 1 u 1 2 1 2 I du du ln 2 u 2 2 u 2 u 2 u 0 0 2 2 u 0 2 3 1 ln 3 ln2 1 ln 3 2 3 .
Baøi 4: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2009 3 Tính tích phaân: dx I . x e 1 1 Giaûi
Ñaët t = ex dx = dt ; x = 1 t = e; x = 3 t = e3 t 3 3 e e 3 3 dt 1 1 I e e 2 dt ln t 1 ln t lne e 1 2 t t 1 t 1 t e e e e
Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2008 6 4 tan x Tính tích phaân: I dx cos2x 0 Giaûi Caùch 1: dt
Ñaët t = tanx dt = (1 + tan2x)dx dx 1 2 t 2 1 t cos2x 1 2 t 3
Ñoåi caän: x = 0 t = 0; x t 6 3 3 3 3 4 3 t 1 Khi ñoù: 2 I dt t 1 dt 2 2 1 t 1 t 0 0 130
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 3 3 t 1 1 t 1 3 1 10 t ln 3 ln 3 2 1 t 2 3 1 9 3 0 Caùch 2: 6 4 6 4 6 4 Ta coù: tan x tan x tan x I dx dx dx 2 2 cos2x cos x 2 sin x cos x(1 2 0 0 0 tan x) Ñaët: t = tanx dx dt 2 cos x Ñoåi caän: x = 0 3 t = 0; x t 6 3 3 3 4 Khi ñoù: t 1 3 1 10 I dt ln 1 2 t 2 3 1 9 3 0
Baøi 4: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2008 sin x 4 dx Tính tích phaân: 4 I
sin2x 2(1 sinx cosx) 0 Giaûi sin x 4 dx Tính tích phaân: 4 I
sin2x 2(1 sinx cosx) 0 Ñaët t = sinx + cosx
dt (cosx sinx)dx 2 sin x dx 4
Ñoåi caän: x = 0 t = 1; x t 2 4
Ta coù: t2 = sin2x + cos2x + 2sinxcosx = 1 + sin2x sin2x = t2 – 1 2 2 Khi ñoù: 2 dt 2 dt I 2 2 t 1 2(1 t) 2 (t 2 1 1 1) 2 1 2 2 1 1 4 3 2 . . 2 t 1 1 2 2 1 2 4
Baøi 5: ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN KHOÁI B NAÊM 2007 1 Tính tích phaân: 1 I dx 2 x x 0 1 131
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – Giaûi 1 I = 1 dx 1 2 0 3 x 2 4 Ñaët 1 3 3 x tant, t ; dx 2 1 tan tdt 2 2 2 2 2 3 1 2 3 tan t I = 2 dt 3 2 3 3 1 tan t 6 4
Baøi 6: CAO ÑAÚNG XAÂY DÖÏNG SOÁ 2 NAÊM 2007
Tính tích phaân: I = e dx 1 3 x 1 lnx Giaûi Ñaët: dx 3 t 1 lnx lnx = t3 – 1, 2 3t dt x
Ñoåi caän: x = 1 t = 1; x = e 3 t 2 3 2 3 3 2 3t 2 3 4 3 I 3tdt 1 2 1 2
Baøi 7: CAO ÑAÚNG COÂNG NGHIEÄP THÖÏC PHAÅM NAÊM 2007 Tính tích phaân: x 1 1 dx 0 2 x 1 Giaûi 1 1 1 xdx 1 dx I 1 I I ; I 2 ln(x 1) ln2 . 0 x 0 1 x 1 2 2 2 1 1 2 0 2 Ñaët x = tant, dt t 0, , dx 4 2 cos t 1 I dt 4 2 . Vaäy I ln2 0 4 2 4
Baøi 8: CAO ÑAÚNG TAØI CHÍNH – HAÛI QUAN NAÊM 2007 2 Tính tích phaân: sin x I dx cos2x cosx 3 132
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giaûi
Ñaët t = cosx dt = sinxdx x 3 2 1 t 0 2 1 1 0 2 2 1 2 I = dt 1 dt 3 3 dt 2 2 1 2t t 1 2t t 1 0 0 t 1 2t 1 2 1 1 1
I = ln t 1 ln 2t 1 2 ln4 0 3 3
Baøi 9: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2006 6 Tính tích phaân: I = dx 2x 1 4x 1 2 Giaûi 2 Ñaët t 1 1 t 4x 1 x dx tdt 4 2 t 5 dt 5 5 2 t 1 1 I dt dt 2 2 2 t 1 (t 1) t 1 3 3 3 (t 1) 2. 1 t 4 1 5 3 1 ln t 1 ln t 1 3 2 12
Baøi 10: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2006 10 Tính tích phaân: I = dx x 2 x 1 5 Giaûi Ñaët t = 2 x 1
t x 1 dx 2tdt vaø x = t2 + 1 x 5 10 Ñoåi caän t 2 3 3 3 Khi ñoù: I = 2tdt 1 1 2 dt 2 t 2t 1 t 1 t 2 2 2 1 3 = 2 2ln t 1 2ln2 1 t 1 2 133
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Baøi 11: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2006 2 Tính tích phaân: sin2x I dx 2 cos x 2 0 4sin x Giaûi 2 2 Ta coù: sin2x I sin2x dx = dx 2 cos x 2 2 0 4sin x 0 1 3sin x
Ñaët t = 1 + 3sin2x dt = 3sin2xdx. 4 4
Vôùi x = 0 thì t = 1, vôùi x = thì t = 4 1 dt 2 2 I t 2 3 t 3 3 1 1
Baøi 12: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2006 ln5 Tính tích phaân: dx I x e x 2e ln3 3 Giaûi ln5 ln5 x dx e dx I x x e 2e 2x 3 e x 3e ln3 ln3 2
Ñaët t = ex dt = ex dx . Vôùi x = ln3 t = 3 ; vôùi x = ln5 t = 5. 5 5 5 dt 1 1 t 2 3 I dt = ln ln (t 1)(t 2) t 2 t 1 t 1 2 3 3 3
Baøi 13: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2005 2
Tính tích phaân: I = sin2x sin x dx 1 3cosx 0 Giaûi 2 (2cosx 1)sin x I dx . 1 3cosx 0 2 t 1 cosx Ñaët t = 3 1 3cosx 3sin x dt dx 2 1 3cosx
x = 0 t = 2, x = t = 1. 2 134
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 1 2 t 1 2 I = 2 2 2 1 dt 2 2t 1dt 3 3 9 2 1 2 2 3 2t = 2 16 2 34 t 2 1 3 . 9 9 3 3 27 1
Baøi 14: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2005 2 Tính tích phaân: sin2x cosx I dx . 1 cosx 0 Giaûi 2 Ta coù sin2x cosx I 2
dx . Ñaët t = 1 + cosx dt = sinxdx. 1 cosx 0
x = 0 t = 2, x = t = 1. 2 1 2 2 (t 1) 1 I 2 (dt) 2 t 2 dt t t 2 1 2 2 t = 2 1 2t ln t = 2 (2 4 ln2) 2 2ln2 1. 2 2 1
Baøi 15: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 3
Tính tích phaân: I 2 sin x.tan xdx 0 Giaûi sinx I 2 sin xtanxdx 2 3 3 sin x dx 0 0 cosx
Ñaët t = cosx dt = sinxdx dt = sinxdx, sin2x = 1 – t2 Ñoåi caän x 0 3 t 1 1 2 1 1 (1 2t) 1 2 1 t 3 I 2 dt 1 t dt lnt ln2 1 t t 2 1 8 2 2 135
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Baøi 16: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 7 Tính tích phaân: x 2 I dx 3 x 0 1 Giaûi 7 x 2 I dx 3 x 0 1 Ñaët 3 t x 1 3 t x 1 2 3t dt dx x 2 3 t 1 x 0 7 Ñoåi caän: t 1 2 2 2 3 2 5 2 t 1 t t 231 I 2 3t dt 3 4t t dt 3 t 5 2 10 1 1 1
Baøi 17: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 3 e 2 Tính tích phaân: ln x I dx . x lnx 1 1 Giaûi 3 2 e ln x I dx 1 x lnx 1 dx 2tdt
Ñaët t lnx 1 t2 = lnx + 1 x . lnx 1 2t 3 x 1 e Ñoåi caän t 1 2 2 2 5 t 2 2 (t 1) 2 76 I 2tdt 4 2 (t 2 2t 1)dt = 2 3 2 t t 1 t 1 5 3 1 15 Baøi 18: 2 Tính tích phaân: x I dx. 1 x 1 1 Giaûi x 1 t = 0
Ñaët t = x 1 t2 = x 1 2tdt = dx. Ñoåi caän x = 2 t = 1 136
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 2 1 t 1 2t 1 3 1 Vaäy t t 2 2 I dt 2 dt 2 t t 2 dt 1 t t 1 t 1 0 0 0 1 3 2 t t 11
I 2 2t 2ln | t 1| 4ln2 . 3 2 3 0 Baøi 19: e Tính tích phaân: 1 3lnx.lnx I dx . x 1 Giaûi Ñaët 2 3dx t 1 3lnx t 1 3lnx 2tdt = x x e t = 2 Ñoåi caän x 1 t = 1 2 2 t 1 2 2tdt 2 2 5 3 t t 2 116 I t 4 2 3
t t dt 3 9 9 5 3 1 135 1 1
Baøi 20: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 2 4 Tính tích phaân: x x 1 I dx. 2 x 0 4 Giaûi 2 4 2 I = x x 1 2 x 17 dx x 4 dx 2 2 2 x 4 x 4 x 4 0 0 2 3 x 1 2 = dx 4x ln 2 x 4 17 . 2 3 2 x 4 0 0 2 Tính: I dx 1 =
. Ñaët x = 2tant dx = 2(tan2x + 1)dt 2 x 0 4 x 0 2 4 2 4 Ñoåi caän: tan t 1 1 4 I 2 dt dt 1 = 2 t 0 4 tan t 1 2 2 8 0 0 0 4 2 3 x 1 Vaäy I = 17 16 4x ln 2 x 4 17. = ln2 3 2 8 8 3 0 137
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – Baøi 21: 2 3 Tính tích phaân: dx I . 2 5 x x 4 Giaûi 2 3 2 3 2 3 Tính tích phaân dx dx xdx I . Ta coù I 2 2 2 2 5 x x 4 5 x x 4 5 x x 4 Ñaët xdx t 2 x 4 2 t 4 2 x dt = 2 x 4 x 2 3 t = 4 Ñoåi caän x 5 t = 3 4 dt 1 t 2 4 Vaäy 1 1 1 1 5 I ln ln ln ln . 2 t 4 4 t 2 3 4 3 5 4 3 3
Baøi 22: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 ln3 2x Tính tích phaân: e dx I . x ln2 e 1 Giaûi ln5 2x e I dx . Ñaët t = x
e 1 t2 = ex – 1 2tdt = exdx vaø ex = t2 + 1 x ln2 e 1 2 x ln2 ln5 2 2 t 1 .2tdt 3 t Ñoåi caän: 20 I 2 t t 1 2 t 3 3 1 1 Baøi 23: 4 2 1 2sin x Tính tích phaân: I dx . 1 sin2x 0 Giaûi 4 4 cos2x 1 d1 sin2x 1 1 Ta coù I dx ln 1 sin2x 4 ln2. 1 sin2x 2 1 sin2x 2 0 2 0 0
Baøi 24: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 ln3 x Tính tích phaân: e dx I . 3 x 0 e 1 138
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giaûi ln3 x x 0 ln3 e I
dx . Ñaët x x t e 1 dt e dx ; Ñoåi caän: 3 t 2 4 x 0 e 1 4 4 Khi ñoù dt 2 I 2 1 3 t 2 2 t 2
Baøi 25: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 2
Tính tích phaân: I 6 1 3 5 cos x sinxcos xdx 0 Giaûi 2 2 I 6 1 3 5 cos x sinxcos xdx 6 1 3 3 2 cos x.cos x.sinx.cos xdx 0 0 Ñaët 6 3 6 3 5 2 t 1 cos x t 1 cos x 6t dt 3sinxcos xdx
2t5dt = sinxcos2xdx vaø cos3x = 1 – t6 Ñoåi caän; x 0 1 1 1 13 2 2 2t 12 I t. 6 1 t 5 2t dt 6 12 2t 2t dt 7 t t 0 1 7 13 91 0 0 0
Baøi 26: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ TP. HCM 2
Tính tích phaân: I xsin2xdx 0 Giaûi u x du dx cos2x dv sin2xdx v 2 2 xcos2x 1 Vaäy: I = 2 sin2x 2 cos2xdx 2 0 2 4 2 2 0 4 0 139
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Vaán ñeà 3: TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP
TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN
A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI b b Coâng thöùc: u(x). v (x)dx b u(x).v(x) v(x).u a (x)dx a a b b Vieát goïn: b udv uv a vdu a a B. ÑEÀ THI
Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2011 3 Tính tích phaân: 1 xsin x I dx. 2 0 cos x Giaûi 3 3 3 Ta coù: 1 xsin x 1 xsin x I dx dx dx 2 2 2 0 cos x 0 cos x 0 cos x 3 3 3 xsin x xsin x tan x dx 3 dx 0 2 . 2 0 cos x 0 cos x 3 xsinx Tính J = dx
baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn. 2 0 cos x Ñaët: u = x du = dx dv = sin x dx, choïn v = 1 2 cos x cosx 3 x 1 3 2 1 Suy ra: J = 3 dx dx cosx = 0 cosx 3 cosx 0 0 3 3 1 cosx Tính K = dx dx
baèng phöông phaùp ñoåi bieán soá. 2 cosx 0 0 1 sin x
Ñaët t = sinx dt = cosxdx. 140
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 3 3 2 Suy ra: dt 1 1 t 2 1 2 3 K ln ln 2 1 t 2 1 t 2 2 3 0 0 1 2 2 3 ln ln 2 3. 2 4 3 Vaäy I = 2 3 ln2 3 . 3
Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2009 3 Tính tích phaân: 3 ln x I dx x 2 1 1 Giaûi dx 1 1 u 3 lnx dv ; du dx v x 2 1 x x 1 3 3 3 lnx dx I x 1 1 xx 1 1 3 3 3 ln3 3 1 dx 3 ln3 1 27 dx 3 3 ln x ln x 1 3 ln 4 2 x x 1 1 1 4 4 16 1 1
Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2008 2 Tính tích phaân: ln x I dx . 3 1 x Giaûi 2 u ln x Tính tích phaân: ln x I dx 1 dx . Ñaët: dx du , choïn v 3 dv x 2 1 x 2x 3 x 2 1 2 1 1 2 1 I 1 3 3 2ln2 ln x dx = ln2 ln2 . 2 3 2x 1 2 8 4x 1 8 16 16 1 2x
Baøi 4: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2007 e
Tính tích phaân: I 3 2 x ln xdx 1 Giaûi 141
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – Tính tích phaân 4 Ñaët u = ln2x 2lnx x du dx; dv = x3dx v . x 4 4 e 4 e x e Ta coù: 1 e 1 I 2 .ln x 3 x lnxdx 3 x lnxdx 4 1 2 4 2 1 1 4 Ñaët u = lnx dx x du , dv = x3dx, choïn v . Ta coù x 4 e e e 4 e 4 4 3 x 1 3 e 1 4 3e 1 x lnxdx lnx x dx x . 4 4 4 16 16 1 1 1 1 4 Vaäy 5e 1 I 32
Baøi 5: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006 1
Tính tích phaân: I (x 2x 2)e dx . 0 Giaûi Tính tích phaân. 1 u x 2 1 I (x 2x 2)e dx . Ñaët du 2x dx, choïn v = e 2x dv e dx 2 0 1 1 2 1 2 1 1 I e 1 5 3e (x 2x 2)e 2x e dx = 2x 1 e 2 0 2 2 4 4 0 0
Baøi 6: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006 2
Tính tích phaân: I = (x 1)sin2xdx 0 Giaûi u x 1 Ñaët 1
du dx, choïn v cos2x dv sin2xdx 2 2 x 1 1 I 2 cos2x cos2xdx 1 0 2 2 4 0
Baøi 7: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006 142
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 2
Tính tích phaân: I = (x 2)ln xdx 1 Giaûi 2 u lnx Ñaët 1 x du dx, choïnv 2x dv x 2 dx x 2 2 2 x 2 I = x 5 2xlnx 2 dx 2ln2 2 2 4 1 1
Baøi 8: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2005 2
Tính tích phaân: I 2x 2 1 cos xdx . 0 Giaûi 2 2 2 1 cos2x
I (2x 1)cos x.dx (2x 1) dx 2 0 0 2 2 1 1 (2x 1)dx (2x 1)cos2x.dx 2 2 0 0 2 2 2
Tính I (2x 1)dx x x 2 1 0 4 2 0 2 Tính I (2x 2 1)cos2x.dx . 0 u 2x 1 Ñaët 1
du 2dx choïn v sin2x dv cos2xdx 2 2 1 1 I (2x 2 1)sin2x sin2xdx 2 cos2x 2 1 2 0 2 0 0 2 1 1 1 I I I 1 2 . 2 2 8 4 2 143
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – Baøi 9: 3
Tính tích phaân: I ln 2 x xdx . 2 Giaûi 3 I ln 2 x xdx 2 3 3 3 Ta coù I = ln 2
x xdx lnxx 1dx lnx lnx 1 dx 2 2 2 dx u lnx du = Ñaët x dv dx choïn v = x 3 3 3 3
I lnxdx xlnx dx 1
xlnx x 3ln3 3 2ln2 2 2 2 2 2 3ln3 2ln2 1 3 2 I 2 lnx
1 dx lnudu ulnu u2 2ln2 1 1 2 1 3 Vaäy I ln 2
x xdx I I 3ln3 2ln2 1 2ln2 1 2 1 I 3ln3 2 2
Baøi 10: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 4 Tính tích phaân: x I dx . 1 cos2x 0 Giaûi 4 4 u x du dx x 1 xdx I dx . Ñaët du 1 2 cos2x 2 dv choïn v tan x 0 0 cos x 2 cos x 4 1 1 1 1 4 I xtanx
tanxdx xtanx ln cosx 4 ln2 2 2 2 0 0 8 4 0
Baøi 11: CÑ KINH TEÁ – KYÕ THUAÄT COÂNG NGHIEÄP I Tính tích phaân: lnx I 3 dx 1 (x 2 1) 144
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giaûi Ñaët u = lnx dx du x dv = (x + 1)-2dx, choïn 1 v x 1 lnx 3 3 (x 1) x 1 3 1 1 I dx ln3 dx x 1 1 1 x(x 1) 4 1 x x 1 3 = 1 x 1 3 ln3 ln ln3 ln 4 x 1 1 4 2
Baøi 12: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ ÑOÁI NGOAÏI 4 Tính tích phaân: ln 2x 1 I dx (2x 3 0 1) Giaûi 3 1 Ñaët u = ln 2x 1 , dv= 2
(2x 1) dx du = (2x 1)1dx, choïn v = 2 (2x 1) 1 1 2 I = (2x 4 2
1) ln 2x 1 ln3 0 3 3
Baøi 13: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ TP. HCM 2
Tính tích phaân : I xsin2xdx 0 Giaûi u x du dx cos2x
dv sin2xdx, choïnv 2 2 Vaäy: I = xcos2x 2 1 sin2x2 cos2xdx 2 0 2 4 2 2 0 4 0
Vaán ñeà 4:
TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP PHOÁI HÔÏP A.ÑEÀ THI
Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2010 1 2 x x Tính tích phaân : x (1 2e ) e I dx 1 x 0 2e 145
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – Giaûi 1 2 x (1 x 2e ) x 1 1 x e e I dx 2 x dx dx x 1 2e 1 x 0 0 0 2e 1 1 3 x 1 I 2 x dx 1 3 3 0 0 1 x e 1 1 d(1 x 2e ) 1 1 1 1 2e I dx x ln(1 2e ) ln 2 = = 1 x x 2 2 = 2 3 0 2e 1 0 2e 0 Vaäy I = 1 1 1 2e ln 3 2 3
Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2010 e Tính tích phaân: 3 I 2x ln xdx x 1 Giaûi e 3 e e 1 I 2x lnxdx 2 xlnxdx 3 lnx. dx x x 1 1 1 e 2 Xeùt I dx x
x ln xdx . Ñaët u ln x du ; dv xdx v 1 x 2 1 e e 2 x e 2 1 e 1 2 x 2 Do ñoù e 1 I lnx xdx 1 2 2 2 2 2 4 1 1 1 e Xeùt I 1 2 = ln x. dx . x 1 Ñaët t = lnx dx dt
. Vôùi x = 1 t = 0; x = e t = 1 . x 1 1 2 t 2 Do ñoù 1 I e 2 tdt 2 . Vaäy I 2 2 2 0 0
Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2009 2
Tính tích phaân I 3 cos x 2 1 cos xdx . 0 146
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giaûi 2 2 I 5 cos xdx 2 cos xdx 0 0
Ñaët t = sinx dt = cosxdx; x = 0 t = 0, x t 1 2 2 2 1 2 2 5 I cos xdx 2
1 sin x cosxdx 2 1 t 1 2 3 1 5 8 1 dt t t t 3 5 15 0 0 0 0 2 2 1 1 1 I cos xdx 2 1 cos2x 2 2 dx x sin2x 2 2 2 4 0 0 0 Vaäy 8 I I I 1 2 5 4
Baøi 4: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2009 1 Tính tích phaân I 2x e x x e dx 0 Giaûi 1 1 Ta coù I x e dx x xe dx 0 0 1 1 1 I x x 1 e dx e 1 0 e 0 1 I x 2 xe dx . x x
Ñaët u x du dx; ñaët dv e dx, choïn v e 0 1 1 Suy ra I 1 x xe x e dx 2
1 . Vaäy I I I 2 . 0 1 2 e 0
Baøi 5: ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN KHOÁI A NAÊM 2007 1 Tính: 2x 1 I dx 2 x x 0 1 Giaûi 1 1 I = 2x 1 1 dx 2 dx 2 x x 2 1 x x 0 0 1 147
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 1 1 1 I 2x 1 2 dx 1 = dx ln x x 1 ln3 ; I 2 2 = x x 1 0 2 0 0 1 3 x 2 4 Ñaët x + 1 3 3 tant dx = 1 2 tan tdt 2 2 2 3 1 2 3 tan tdt I 2 2 2 = 3 2 6 3 1 tan t 6 4 I = 2 ln3 6 3
Baøi 6: CAO ÑAÚNG GTVT III KHOÁI A NAÊM 2007 2 9
Tính tích phaân : J sin xdx 0 Giaûi 3
Ñaët t = x thì dx = 2tdt J 2tsintdt 0 u 2t du 2dt Choïn : dv sin tdt choïn v cost 3
J = 2t cost3 2 costdt 2t cost3 2sint = 3 0 3 0 0 3 0
Baøi 7: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2005 2
Tính tích phaân I 2 sinx e cosxcosxdx . 0 Giaûi 2 2 2 1 cos2x 2 sin x I 2 e dsinx 2 dx sinx 2e 1 1 e 1 2 x sin2x 2 0 0 2 2 0 0 148
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Baøi 8: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 2
Tính tích phaân: I x sin xdx . 0 Giaûi 2 I
x sin xdx . Ñaët t = x t2 = x 2tdt = dx 0 Ñoåi caän x 0 2 t 0 2 du 2tdt I u t
2 2t sintdt . Ñaët 0 dv sintdt v cost I 2
2(t cost) 4 t costdt 22 4 1I 0 0 Tính I 1 tcostdt 0 u t du dt Ñaët dv costdt choïn v sin t
I tsint sintdt cost 1 2 . Vaäy I = 22 – 8 0 0 0
Baøi 9: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 1 2
Tính tích phaân: I 3 x x e dx 0 Giaûi 1 1 2 2 Tính I 3 x x e dx 2 x x e xdx 0 0 x 0 1 Ñaët t = x2 dt dt = 2xdx xdx . Ñoåi caän: 2 t 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I t te dt t te t e dt t te t e 2 2 0 2 2 0 0 0
Baøi 10: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 0
Tính tích phaân: I x 2x e 3 x 1dx . 1 149
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – Giaûi 0 0 0 Tính I x 2x e 3 x 1dx 2x x.e .dx 3 x x 1dx 1 1 1 0 du dx u x Tính I 2x 1 xe dx . Ñaët 1 2x 2x dv e dx choïn v e 1 2 0 0 0 1 0 0 x 1 2x 1 2x 1 2x 3 1 I uv vdu x.e e dx x.e .e 1 1 2 2 1 2 2 4 4e 4 1 1 1 0 Tính I 3 x x 2 1dx 1 x 1 0 Ñaët 3 t x 1 3 t x 1 2 3t dt dx . Ñoåi caän: t 0 1 1 1 1 7 4 3t 3 1 .t.3t dt 3 6 3 t t 9 I2 t t dt 3 7 4 28 0 0 0 Vaäy I = I 3 1 9 3 4 1 + I2 = 2 2 4e 4 28 4e 7
Baøi 11: CAO ÑAÚNG KYÕ THUAÄT CAO THAÉNG 4 Tính tích phaân: 1 sin2x dx 2 0 cos x Giaûi 4 4 4 I = 1 sin2x dx = 1 sin2x dx dx 2 2 2 0 cos x 0 cos x 0 cos x 4 2 4 d(cos x) tan x dx . 2 0 cos x 0 = 4 2 tan x ln(cos x) 4 = 1 + ln2 0 0 150
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Vaán ñeà 5:
ÖÙNG DUÏNG CUÛA TÍCH PHAÂN
A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI TÍNH DIEÄN TÍCH
Baøi toaùn 1: Cho haøm soá y = f(x) lieân tuïc vaø khoâng aâm treân ñoaïn [a, b]. Dieän tích
hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò cuûa haøm soá y = f(x), truïc hoaønh vaø hai ñöôøng thaúng x = a, x = b laø: y b b y = f(x) S f(x)dx f(x) dx a a 0
Töø baøi toaùn 1 suy ra neáu f(x) khoâng x = a x = b
döông treân ñoaïn [a, b] y b b x = a x = b S f(x)dx f(x) dx a a 0 S y = f(x)
Baøi toaùn 2: (Toång quaùt)
Cho hai haøm soá y1 = f(x), y2 = g(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a, b] vaø coù ñoà thò laàn löôït
laø (C1), (C2). Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (C1), (C2) vaø hai ñöôøng x = a, b
x = b ñöôïc xaùc ñònh bôûi coâng thöùc: S f(x) g(x) dx (*) a
* Phöông phaùp giaûi (*):
Giaûi phöông trình: f(x) = g(x) (1) b
Neáu (1) voâ nghieäm thì: S (f(x) g(x))dx a
Neáu (1) coù nghieäm thuoäc [a, b] giaû söû laø , ( ) thì b
S (f(x) g(x)dx (f(x) g(x)dx (f(x) g(x)dx a Baøi toaùn 3: Cho ( 1 C ): 1 x f(y), ( 2
C ): x2 g(y), f(y), g(y) lieân tuïc treân ñoaïn [a, b].
Dieän tích hình phaúng S ñöôïc giôùi haïn bôûi (C1); (C2) vaø hai ñöôøng thaúng y = a,
y = b ñöôïc xaùc ñònh bôûi coâng thöùc: b S f(y) g(y) dy a 151
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
THEÅ TÍCH CAÙC VAÄT THEÅ
I. COÂNG THÖÙC THEÅ TÍCH
Giaû söû vaät theå T ñöôïc xaùc ñònh bôûi 2 maët y phaúng ( ) vaø ( ) song song vôùi nhau. Ta
choïn truïc Ox sao cho noù vuoâng goùc vôùi S(x)
caùc maët phaúng ( vaø (). Ta coù Ox ()
= A, Ox () = B. Giaû söû maët phaúng a x b x
( () Ox, () Ox C, () caét vaät theå T O A C B
coù thieát dieän laø S(x). b Khi ñoù V S(x)dx y y = f(x) a II. BAØI TOAÙN y a x
Baøi toaùn 1: Giaû söû hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc b O x
ñöôøng y = f(x), x = a, x = b vaø y = 0 quay quanh Ox.
Hình troøn S(x) coù baùn kính R = y: 2 S(x) y S(x) b V 2 y dx y a b
Baøi toaùn 2: Theå tích do hình phaúng: x = g(y), x = 0, x
y = a, y = b quay quanh truïc Oy: x = g(y) a b V 2 x dy O x a
Baøi toaùn 3: Tính theå tích vaät theå do hình phaúng
giôùi haïn hai ñöôøng caét nhau quay quanh Ox: y f(x) = y1 y f(x), y g(x) 1 2 y2 1 y 0 x [a, b] g(x) = y2 b V 2 (y 2 2 1 y )dx O a b x a
Baøi toaùn 4: Tính theå tích vaät theå do hình phaúng y x
giôùi haïn hai ñöôøng caét nhau quay quanh Ox. a b O y f(x),y g(x) 1 2 f(x) = y1 1 y y2 0 x [a,b] b g(x) = y2 V 2 (y 2 1 y2)dx a 152
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN B. ÑEÀ THI
Baøi 1: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2008
Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi parabol (P): x = x2 + 4x vaø ñöôøng thaúng d: y = x. Giaûi
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø d: 2
x 4x x x 0 hayx 3 3 3 3 2 x 3x 3 9 S 3 x 3x dx ( 3 x 3x)dx (ñvdt) 3 2 0 2 0 0
Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2007
Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: y = (e + 1)x, y = (1 + ex)x Giaûi
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng ñaõ cho laø:
(e + 1)x = (1 + ex)x (ex e)x = 0 x = 0 hoaëc x = 1 1 1 1
Dieän tích cuûa hình phaúng caàn tìm laø: S dx e xdx x x xe dx xe ex 0 0 0 1 1 2 1 1 ex e 1 1 Ta coù: e xdx x , xe dx x xe x e dx e x e 1 2 2 0 0 0 0 0 0 Vaäy e S 1(ñvdt). 2
Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2007
Cho hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: y = xlnx, y = 0, x = e.
Tính theå tích cuûa khoái troøn xoay taïo thaønh khi quay hình (H) quanh truïc Ox. Giaûi
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa caùc ñöôøng y = xlnx vaø y = 0 laø: xlnx = 0 x = 1
Theå tích khoái troøn xoay taïo thaønh khi quay hình H quanh truïc hoaønh laø: e e V 2 y dx 2 (xlnx) dx 1 1 3 Ñaët u = ln2x, dv = x2dx 2lnx x du dx, v .Ta coù: x 3 e e 3 e 3 e 2 x 2 e 2 (xlnx) dx 2 ln x 2 x lnxdx 2 x lnxdx 3 3 3 3 1 1 1 1 153
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 3 Ñaët u = lnx, dv = x2dx dx x du , choïnv . Ta coù: x 3 e e e 3 e 3 3 3 2 x 1 2 e x 2e 1 x lnxdx lnx x dx 3 3 3 9 9 1 1 1 1 3 Vaäy (5e 2) V (ñvtt). 27
Baøi 4: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2006
Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi paraol y = x2 – x + 3 vaø ñöôøng thaúng d: y = 2x + 1. Giaûi
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa parabol vaø d:
x2 – x + 3 = 2x + 1 x2 – 3x + 2 = 0 x = 1 x = 2 2 2 Ta coù S 2
(x x 3) (2x 1)dx 2 x 3x 2 dx 1 1 2 3 2 x 3x 2 1 ( 2 x 3x 2)dx 2x (ñvdt) 3 2 1 6 1
Baøi 5: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
Tính theå tích vaät theå troøn xoay sinh ra trong pheùp quay xung quanh truïc Ox,
cuûa hình phaúng giôùi haïn bôûi truïc Ox vaø ñöôøng y = x sinx (0 x ) Giaûi V = 2 2 f x dx x.sin xdx
x1 cos2xdx = xdx x.cos2xdx 2 2 0 0 0 0 0 2 2 Tính : I x 1 = xdx . Tính : I xcos2xdx 2 2 2 = 0 0 0 du dx u x Ñaët 1 dv cos2xdx choïn v sin2x 2 I x 1 x 1 2 = sin2x sin2xdx sin2x cos2x 0 2 0 2 2 4 0 2 3 V = 0 (ñvtt) 2 2 4 154
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Baøi 6:
Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: 2
y x 4x 3 vaø y = x + 3 . Giaûi 5 3 y S x 3 2 x 4x 3 dx 2 2 x 4x 3 dx 8 0 1 5 3 S 2 x 5xdx 2 2 x 4x 3dx 0 1 3 3 2 x 5x 5 3 x 3 y = x + 3 S 2 2 2x 3x 1 3 2 0 3 1 1 O1 3 5 x 1 109 S (ñvdt) 6 Baøi 7: 2 2
Tính dieän tích cuûa hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: x x y 4 vaø y = 4 4 2 Giaûi 2 2 2 2 2 Ta coù x x x x y y 4 2 y 4 2 y 4 1 (E) 4 4 4 16 4 2 2 2 4
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm: x x x x 4 4 4 4 2 4 32 4 2 2 2
x 8x 128 0 x 8 x 1
6 (loaïi) x = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Neân S = x x x x 4 dx 2 4 dx dx 4 4 2 4 4 2 2 2 0 0 2 2 2 Tính x I 4 1 dx 4 y 0 y = 2 x
Ñaët x = 4sint dx = 4costdt 4 2 2 x 2 2 t = y = 2 4 x Ñoåi caän 4 4 x 0 4 O 4 x t 0 155
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 4 4 1 1 I 2 8cos tdt 41 cos2t dt 4 t 4 sin2t 2 2 0 0 0 2 2 2 3 x x 2 2 4 I dx 2 4 2 12 2 0 3 0 Vaäy 4 S 2 ñvdt . 3
Baøi 8: CAO ÑAÚNG KYÕ THUAÄT CAO THAÉNG
Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng
(P1): y = x2 2x vaø (P2) : y = x2 + 4x. Giaûi
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P1) vaø (P2) laø: x2 2x = x2 + 4x 2x2 + 6x = 0
2x(x 3) = 0 x = 0 x = 3. Dieän tích caàn tìm: 3 3 S (( 2 x 4x) 2 (x 2x))dx ( 2 2x 6x)dx 0 0 2 3 = 3 2 x 3x = 9 (ñvdt) 3 0
Baøi 9: CAO ÑAÚNG KYÕ THUAÄT CAO THAÉNG
Tính dieän tích cuûa hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: y = 7 – 2x2, y = x2 + 4. Giaûi
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm 7 – 2x2 = x2 – 4
3x2 = 3 x = 1 hoaëc x = 1 Dieän tích S caàn tìm 1 1 S (7 2 2x 2 x 4)dx (3 2 3x )dx 4 (ñvdt) 1 1 156