Phương pháp giải các dạng Tích phân thường gặp Toán 12

Phương pháp giải các dạng Tích phân thường gặp Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

84 42 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Môn: Toán 12

Thông tin:

26 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
1
TÍCH PHÂN
I.CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Tính tích phân bằng định nghĩa ,tính chất và bảng nguyên hàm cơ bản
2.Phƣơng pháp tích phân từng phần.
Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên
;ab
thì:
''
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
bb
aa
b
u x v x dx u x v x v x u x dx
a


hay
bb
aa
b
udv uv vdu
a


.
Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:
Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng
'
udv uvdx
bằng cách chọn một phần thích hợp
của f(x) làm u(x) và phần còn lại
'
( ) .dv v x dx
Bước 2: Tính
'
du u dx
và
'
()v dv v x dx

.
Bước 3: Tính
và
b
uv
a
.
Bước 5: Áp dụng công thức trên.
Ví dụ 5: a)Tính tích phân
3
2
1
3 ln x
I dx
(x 1)
(ĐH-KB-2009)
3 3 3
2 2 2
1 1 1
3
3
1
2
1
1
3
2
2
1
3 ln x dx ln x
I dx 3 dx
(x 1) (x 1) (x 1)
dx 3 3
I3
(x 1) (x 1) 4
ln x
I dx
(x 1)

Đặt u = lnx
dx
du
x

2
dx
dv .
(x 1)
Chọn
1
v
x1
3
3 3 3
2
1
1 1 1
lnx dx ln3 dx dx ln3 3
I ln
x 1 x(x 1) 4 x x 1 4 2
2
Vậy :
3
I (1 ln3) ln2
4
b) Tính
1
ln
e
x xdx
Giải: Đặt
lnux
dv xdx
2
2
dx
du
x
x
v
2 2 2 2
11
11
ln ln
11
2 2 2 4 4
ee
ee
x e x e
x xdx x xdx

.
Ví dụ 6: Tính các tích phân sau:
a)
2
5
1
ln x
dx
x
b)
2
0
cosx xdx
c)
1
0
x
xe dx
d)
2
0
cos
x
e xdx
Giải: a) Đặt
5
4
ln
1
1
4
dx
ux
du
x
dv dx
v
x
x




. Do đó:
2
2
22
5 4 5 4
1
11
1
ln ln 1 ln2 1 1 15 4ln2
4 4 64 4 4 256
x x dx
dx
x x x x




.
b) Đặt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x





. Do đó:
22
00
cos sin sin cos 1
22
22
00
x xdx x x xdx x




.
c)Đặt
xx
u x du dx
dv e dx v e





. Do đó:
11
00
11
11
00
x x x x
xe dx xe e dx e e e e

.
3
d) Đặt
cos sin
xx
u e du e dx
dv xdx v x





22
00
cos sin sin
2
0
x x x
e xdx e x e xdx


.
Đặt
11
11
sin cos
xx
u e du e dx
dv xdx v x




22
2
00
cos cos cos
2
0
x x x
e xdx e e x e xdx


.
22
2
2
00
1
2 cos 1 cos .
2
xx
e
e xdx e e xdx


*Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.
()
b
x
a
P x e dx
( )ln
b
a
P x xdx
( )cos
b
a
P x xdx
cos
b
x
a
e xdx
u
P(x)
lnx
P(x)
x
e
dv
x
e dx
P(x)dx
cosxdx
cosxdx
Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn
u và
'
dv vdx
thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn
u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn
'
dv vdx
là phần của f(x)dx là
vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần:
4
Nếu tính tích phân
( ) ( )P x Q x dx
mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong
những hàm số:
, cos , sin
ax
e ax ax
thì ta thường đặt
'
()
()
()
()
du P x dx
u P x
dv Q x dx
v Q x dx

Nếu tính tích phân
( ) ( )P x Q x dx
mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số
ln(ax) thì ta đặt
'
()
()
()
du Q x dx
u Q x
dv P x dx
v P x dx

Nếu tính tích phân
cos
ax
I e bxdx
hoặc
sin
ax
J e bxdx
thì
ta đặt
1
cos
sin
ax
ax
du ae dx
ue
dv bxdx
v bx
b

hoặc đặt
1
sin
cos
ax
ax
du ae dx
ue
dv bxdx
v bx
b


Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích
phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.
3. Phƣơng pháp đổi biến số
Bài toán: Tính
()
b
a
I f x dx
,
*Phương pháp đổi biến dạng I
Định lí . Nếu 1) Hàm
()x u t
có đạo hàm liên tục trên đoạn
;

,
2) Hàm hợp
( ( ))f u t
được xác định trên
;

,
3)
( ) , ( )u a u b


,
5
thì
'
( ) ( ( )) ( )
b
a
I f x dx f u t u t dt


.
Ví dụ 1. Hãy tính các tích phân sau:
a ) Tính tích phân
2
32
0
I cos x 1 cos x.dx

(ĐH-KA-2009)
b)
1
23
0
5I x x dx
c)
2
4
0
sin 1 cosJ x xdx

Giải: a) I =
22
52
00
cos x.dx cos x.dx


Ta có: I
2
=
22
2
00
1
cos x.dx (1 cos2x).dx
2



=
11
x sin2x
2
2 2 4
0




Mặt khác xét I
1
=
22
54
00
cos x.dx cos x.cosx.dx


=
3
2
2 2 5
0
1 2sin x 8
(1 sin x) d(sinx) sin x sin x
2
5 3 15
0



Vậy I = I
1
– I
2
=
8
15 4
b) Ta có
3
3 2 2
5
53
3
dx
d x x dx x dx
1
3
3
0
5
5
3
dx
Ix
1
1
1
3
1
2
3 3 3 3
2
0
11
1 1 ( 5) 2
5 ( 5) ( 5) 5
1
00
3 3 9
1
2
x
x d x x x
.
6
c) Ta có
2
4
0
(sin 1) (sin )J x d x

5
16
sin sin
2
55
0
xx



Ví dụ 2. Hãy tính các tích sau:
a)
4
2
0
4 x dx
b)
1
2
0
1
dx
x
Giải: a) Đặt
2sin , ;
22
x t t




. Khi x = 0 thì t = 0. Khi
2x
thì
2
t
.
Từ
2sinxt
2cosdx tdt
4
22
2 2 2
0 0 0
4 4 4sin .2cos 4 cos
x dx t tdt tdt

.
b) Đặt
tan , ;
22
x t t




. Khi
0x
thì
0t
, khi
1x
thì
4
t
.
Ta có:
2
tan
cos
dt
x t dx
t
.
1
44
2 2 2
0 0 0
1
..
4
1 1 tan cos 4
0
dx dt
dt t
x t t


Chú ý: Trong thực tế chúng ta có thể gặp dạng tích phân trên dạng tổng quát hơn như:
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn dạng
2 2 2 2
,a x a x
và
22
xa
(trong trong đó a là hằng số dương) mà không có cách biến đổi nào khác thì
nên đổi sang các hàm số lượng giác để làm mất căn thức, cụ thể là:
Với
22
ax
, đặt
sin , ;
22
x a t t




hoặc
cos , 0;x a t t

.
Với
22
ax
, đặt
tan , ;
22
x a t t




hoặc
, 0;x acott t

.
7
Với
22
xa
, đặt
, ; \ 0
sin 2 2
a
xt
t




hoặc
;
cos
a
x
t
0; \
2
t



.
*Phương pháp đổi biến dạng II
Định lí : Nếu hàm số
()u u x
đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn
;ab
sao cho
'
( ) ( ( )) ( ) ( )f x dx g u x u x dx g u du
thì
()
()
( ) ( )
ub
b
a u a
I f x dx g u du

.
Ví dụ 3: Tính
1
23
0
5I x x dx
Giải: Đặt
3
( ) 5u x x
.Tacó
(0) 5, (1) 6uu
.
Từ đó được:
6
5
6
1 2 2 4 10
6 6 5 5 6 5
5
3 9 9 9 9
I udu u u
Ví dụ 4: Hãy tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến dạng II:
a)
1
5
0
21x dx
b)
2
ln
e
e
dx
xx
c)
1
2
0
42
1
x
dx
xx

d)
2
2
1
(2 1)
dx
x
e)
2
3
3
2
cos(3 )
3
x dx
Giải: a) Đặt
21ux
khi
0x
thì
1u
. Khi
1x
thì
3u
Ta có
2
2
du
du dx dx
. Do đó:
13
6
5
56
01
3
11
2 1 (3 1)
1
2 12 12
u
x dx u du

= 60
2
3
.
b)Đặt
lnux
. Khi
xe
thì
1u
. Khi
2
xe
thì
2u
.
8
Ta có
dx
du
x
2
2
1
2
ln ln2 ln1 ln2
1
ln
e
e
dx du
u
x x u

.
c)Đặt
2
1u x x
. Khi
0x
thì
1u
. Khi
1x
thì
3u
.
Ta có
. Do đó:
13
2
01
3
4 2 2
2ln 2(ln3 ln1) 2ln3
1
1
x du
dx u
x x u


.
d)Đặt
21ux
. Khi
1x
thì
1u
. Khi
2x
thì
3u
.
Ta có
2
2
du
du dx dx
. Do đó:
23
22
11
3
1 1 1 1 1
( 1)
1
(2 1) 2 2 2 3 3
dx du
x u u

.
e)Đặt
2
3
3
ux

. Khi
3
x
thì
3
u
, khi
2
3
x
thì
4
3
u
.
Ta có
3
3
du
du dx dx
. Do đó:
24
33
33
4
2 1 1 1 4
3
cos(3 ) cos sin sin sin
3 3 3 3 3 3
3
x dx udu u






1 3 3 3
3 2 2 3



.
3.Phƣơng pháp tích phân từng phần.
Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên
;ab
thì:
''
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
bb
aa
b
u x v x dx u x v x v x u x dx
a


hay
bb
aa
b
udv uv vdu
a


.
9
Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:
Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng
'
udv uv dx
bằng cách chọn một phần thích hợp
của f(x) làm u(x) và phần còn lại
'
( ) .dv v x dx
Bước 2: Tính
'
du u dx
và
'
()v dv v x dx

.
Bước 3: Tính
và
b
uv
a
.
Bước 5: Áp dụng công thức trên.
Ví dụ 5: a)Tính tích phân
3
2
1
3 ln x
I dx
(x 1)
(ĐH-KB-2009)
3 3 3
2 2 2
1 1 1
3
3
1
2
1
1
3
2
2
1
3 ln x dx ln x
I dx 3 dx
(x 1) (x 1) (x 1)
dx 3 3
I3
(x 1) (x 1) 4
ln x
I dx
(x 1)

Đặt u = lnx
dx
du
x

2
dx
dv .
(x 1)
Chọn
1
v
x1
3
3 3 3
2
1
1 1 1
lnx dx ln3 dx dx ln3 3
I ln
x 1 x(x 1) 4 x x 1 4 2
Vậy :
3
I (1 ln3) ln2
4
b) Tính
1
ln
e
x xdx
Giải: Đặt
lnux
dv xdx
2
2
dx
du
x
x
v
2 2 2 2
11
11
ln ln
11
2 2 2 4 4
ee
ee
x e x e
x xdx x xdx

.
Ví dụ 6: Tính các tích phân sau:
10
a)
2
5
1
ln x
dx
x
b)
2
0
cosx xdx
c)
1
0
x
xe dx
d)
2
0
cos
x
e xdx
Giải: a) Đặt
5
4
ln
1
1
4
dx
ux
du
x
dv dx
v
x
x




. Do đó:
2
2
22
5 4 5 4
1
11
1
ln ln 1 ln2 1 1 15 4ln2
4 4 64 4 4 256
x x dx
dx
x x x x




.
b) Đặt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x





. Do đó:
22
00
cos sin sin cos 1
22
22
00
x xdx x x xdx x




.
c)Đặt
xx
u x du dx
dv e dx v e





. Do đó:
11
00
11
11
00
x x x x
xe dx xe e dx e e e e

.
d) Đặt
cos sin
xx
u e du e dx
dv xdx v x





22
00
cos sin sin
2
0
x x x
e xdx e x e xdx


.
Đặt
11
11
sin cos
xx
u e du e dx
dv xdx v x




22
2
00
cos cos cos
2
0
x x x
e xdx e e x e xdx


.
11
22
2
2
00
1
2 cos 1 cos .
2
xx
e
e xdx e e xdx


*Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.
()
b
x
a
P x e dx
( )ln
b
a
P x xdx
( )cos
b
a
P x xdx
cos
b
x
a
e xdx
u
P(x)
lnx
P(x)
x
e
dv
x
e dx
P(x)dx
cosxdx
cosxdx
Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn
u và
'
dv v dx
thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn
u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn
'
dv v dx
là phần của f(x)dx là
vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần:
Nếu tính tích phân
( ) ( )P x Q x dx
mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong
những hàm số:
, cos , sin
ax
e ax ax
thì ta thường đặt
'
()
()
()
()
du P x dx
u P x
dv Q x dx
v Q x dx

Nếu tính tích phân
( ) ( )P x Q x dx
mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số
ln(ax) thì ta đặt
'
()
()
()
du Q x dx
u Q x
dv P x dx
v P x dx

Nếu tính tích phân
cos
ax
I e bxdx
hoặc
sin
ax
J e bxdx
thì
12
ta đặt
1
cos
sin
ax
ax
du ae dx
ue
dv bxdx
v bx
b

hoặc đặt
1
sin
cos
ax
ax
du ae dx
ue
dv bxdx
v bx
b


hoctoan capba.com Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần
sau đó trở thành tích phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.
II.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ THƢỜNG GẶP
1. Tích phân hàm số phân thức
a)Tính tích phân dạng tổng quát sau:
2
0
dx
Ia
ax bx c


.
(trong đó
2
0ax bx c
với mọi
;x

)
Xét
2
4b ac
.
+)Nếu
0
thì
2
2
dx
I
b
ax
a



tính được.
+)Nếu
0
thì
12
1 dx
I
a x x x x

,
(trong đó
12
;
22
bb
xx
aa

)
1
1 2 2
1
ln
xx
I
a x x x x


.
+) Nếu
0
thì
2
2
2
2
24















dx dx
I
ax bx c
b
ax
aa


13
Đặt
2
22
1
1
2 4 2
b
x tgt dx tg t dt
a a a
, ta tính được I.
b) Tính tích phân:
2
,0
mx n
I dx a
ax bx c


.
(trong đó
2
()
mx n
fx
ax bx c

liên tục trên đoạn
;

)
+) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:
cbxax
B
cbxax
baxA
cbxax
nmx
222
)2(
+)Ta có I=
dx
cbxax
B
dx
cbxax
baxA
dx
cbxax
nmx
222
)2(
. Tích phân
dx
cbxax
baxA
2
)2(
=
cbxaxA
2
ln
Tích phân
2
dx
ax bx c

tính được.
c) Tính tích phân
()
()
b
a
Px
I dx
Qx
với P(x) và Q(x) là đa thức của x.
Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức.
Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:
+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn
12
, ,...,
n
thì đặt
12
12
()
...
()
n
n
A
AA
Px
Q x x x x
.
+ Khi
22
( ) , 4 0Q x x x px q p q
thì đặt
2
()
.
()
P x A Bx C
Q x x x px q

14
+ Khi
2
()Q x x x

với thì đặt
2
()
()
A
P x B C
Q x x x
x


.
Ví dụ 7. Tính tích phân:
1
2
0
4 11
56
x
dx
xx

.
Giải:
Cách 1.Bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta có thể tìm A, B sao cho:
2 2 2
25
4 11
, \ 3; 2
5 6 5 6 5 6
Ax
xB
x
x x x x x x
22
25
4 11
, \ 3; 2
5 6 5 6
Ax A B
x
x
x x x x

2 4 2
5 11 1
AA
A B B





Vậy
2 2 2
2 2 5
4 11 1
, \ 3; 2
5 6 5 6 5 6
x
x
x
x x x x x x
.
Do đó
1 1 1
2 2 2
0 0 0
4 11 2 5
2
5 6 5 6 5 6
x x dx
dx dx
x x x x x x


2
11
29
2ln 5 6 ln ln
00
32
x
xx
x
.
Cách 2. Vì
2
5 6 2 3x x x x
nên ta có thể tính tích phân trên bằng cách:
Tìm A, B sao cho:
2
4 11
, \ 3; 2
5 6 2 3
x A B
x
x x x x
22
3
4 11
, \ 3; 2
5 6 5 6
A B x A B
x
x
x x x x
43
3 2 11 1
A B A
A B B




15
Vậy
2
4 11 3 1
, \ 3; 2
5 6 2 3
x
x
x x x x
.
Do đó
1 1 1
2
0 0 0
4 11
3
5 6 2 3
x dx dx
dx
x x x x

11
9
3ln 2 ln 3 ln
00
2
xx
.
Ví dụ 8:Tính tích phân:
1
2
0
1
dx
xx
.
Giải:
Do
11
2
2
00
1
13
24
dx dx
xx
x






Đặt
2
1 3 3
tan , ; 1 tan
2 2 6 3 2
x t t dx t dt




Vậy
2
1
33
2
2
0
66
3
1 tan
2 3 2 3 3
3
2
3
1 3 3 9
(1 tan )
4
6
t dt
dx
dt t
xx
t



.
Ví dụ 9. Tính tích phân:
1
2
3
2
0
1
x
dx
x
.
Giải:
1 1 1 1
2 2 2 2
3
2 2 2
0 0 1 0
1 1 1
x x xdx
dx x dx xdx
x x x



2
2
11
1 1 1 3
ln 1 ln
22
2 2 8 2 4
00
x
x
.
2. Tích phân các hàm lƣợng giác
16
2.1.Dạng 1: Biến đổi về tích phân cơ bản
Ví dụ 10: Hãy tính các tích phân sau:
a)
2
2
sin2 sin7J x xdx
;
b)
2
44
0
cos (sin cos )K x x x dx

;
c)
2
3
0
4sin
1 cos
x
M dx
x
.
Giải
a)
22
22
11
cos5 cos9
22
J xdx xdx





1 1 4
22
sin5 sin9
10 18 45
22
xx




.
b) Ta có
2
4 4 2 2 2 2
cos (sin cos ) cos sin cos 2sin cosx x x x x x x x


2
1 1 3 1
cos 1 sin 2 cos 1 1 cos4 cos cos cos4
2 4 4 4
x x x x x x x


31
cos cos5 cos3
48
x x x
.
2 2 2 2
44
0 0 0 0
3 1 1
cos (sin cos ) cos cos5 co3
4 8 8
K x x x dx xdx xdx xdx
3 1 1 3 1 1 11
sin sin5 sin3
2 2 2
4 40 24 4 40 24 15
0 0 0
x x x
.
c)
3 2 2
4sin 4sin sin 4(1 cos )sin
4(1 cos )sin
1 cos 1 cos 1 cos
x x x x x
xx
x x x
2M
.
17
2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác
2.2.1.Tính
cos
dx
I
asinx b x c

Phƣơng pháp:
Đặt
2
2
tan
21
x dt
t dx
t
Ta có:
2
2
sin
1
t
x
t
và
2
2
1
cos
1
t
x
t
2
2
cos 2
dx dt
I
asinx b x c c b t at b c


đã biết cách tính.
Ví dụ 11. Tính
4cos 3sin 5
dx
xx
Giải: Đặt
2
2
12
1 tan
2 2 2 1
x x dt
t tg dt dx dx
t



2
2
2
22
2
1
12
cos 3sin 3 3 2
33
11



dt
dx dt
t
tt
x x t t
tt
tan 1
1
2
ln ln
2
tan 2
2
x
t
CC
x
t
.
2.2.2. Tính
22
sin sin cos cos
dx
I
a x b x x c x d
Phƣơng pháp:
22
sin sin cos cos
dx
I
a d x b x x c d x
2
2
cos
tan tan
dx
x
a d x b x c d
Đặt
2
cos
dx
t tgx dt
x
2
dt
I
a d t bt c d

đã tính được.
18
Ví dụ 12. Tính:
22
sin 2sin cos 3cos
dx
I
x x x x

.
Giải:Ta có
2
2 2 2
cos
sin 2sin cos 3cos 2 3
dx
dx
x
I
x x x x tg x tgx


Đặt
2
cos
dx
t tgx dt
x
2
1 1 1 1
ln ln
2 3 1 3 4 3 4 3
dt dt t tgx
I C C
t t t t t tgx


2.2.3.
Tính
sin cos
sin cos
m x n x p
I dx
a x b x c


.
Phƣơng pháp:
+)Tìm A, B, C sao cho:
sin cos sin cos cos sin ,m x n x p A a x b x c B a x b x C x
+)
Vậy
sin cos
sin cos
m x n x p
I dx
a x b x c


=
=
cxbxa
dx
Cdx
cxbxa
xbxa
BdxA
cossincossin
sincos
Tích phân
dx
tính được
Tích phân
Ccxbxadx
cxbxa
xbxa
cossinln
cossin
sincos
Tích phân
cxbxa
dx
cossin
tính được.
Ví dụ 13. Tính:
cos 2sin
4cos 3sin
xx
I dx
xx
.
Giải:
Bằng cách cân bằng hệ số bất định, tìm A và B sao cho:
cos 2sin 4cos 3sin 4sin 3cos , x x A x x B x x x
cos 2sin 4 3 cos 3 4 sin ,x x A B x A B x x
19
2
4 3 1
5
3 4 2 1
5
A
AB
AB
B





2 1 4sin 3cos 2 1
. ln 4cos 3sin
5 5 4cos 3sin 5 5
xx
I dx x x x C
xx




.
2.3.Dạng 3: Đổi biến số để đưa về tích phân hàm lượng giác đơn giản hơn
(Xem ví dụ 17, 20, 21)
2.4.Chú ý: Nguyên hàm dạng
sin ,cosR x x dx
, với
sin ,cosR x x
là một hàm hữu
tỉ theo sinx, cosx
Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta đã
biết cách tính tích phân.
Trường hợp chung: Đặt
2
2
tan
21
x dt
t dx
t
Ta có
2
22
21
sin ;cos
11
tt
xx
tt


Những trường hợp đặc biệt:
+) Nếu
sin ,cosR x x
là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là
sin , cos sin ,cosR x x R x x
thì đặt
t tgx
hoặc
cott gx
, sau đó
đưa tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t.
+) Nếu
sin ,cosR x x
là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là:
sin ,cos sin ,cosR x x R x x
thì đặt
costx
.
+) Nếu
sin ,cosR x x
là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là:
sin , cos sin ,cosR x x R x x
thì đặt
sintx
.
3.Tích phân hàm vô tỉ
3.1 .Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản
20
Ví dụ 14. Tính tích phân:
1
0
1
dx
I
xx

.
Giải
11
3
3
2
2
00
1
2
11
0
3
1





dx
I x x dx x x
xx
2
2 2 2
3

Ví dụ 15:Tính tích phân
1
3
2
0
1
x dx
xx
.
Giải:
11
3
3 2 4
2
00
2 2 1
( 1 )
15
1
x dx
x x x dx
xx


.
3.2.Dạng 2: Biến đổi về tích phân hàm lượng giác
(xem ví dụ 2)
3.3Dạng 3: Biến đổi làm mất căn
Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức
Viết biểu thức trong căn dưới dạng bình phương đúng
Ví dụ 15:Tính
1
0
23
1 dxxxI
Giải:
1
0
22
1
0
23
.11 xdxxxdxxxI
Đặt t=
22222
111 txxtx
Ta có: xdx=-tdt, Khi x= 0 thì t =1,khi x = 1 thì t =0
Vậy
15
2
53
)1(
1
0
53
0
1
22
tt
dtttI
4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phƣơng pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối
21
Ví dụ 16: Tính
2
2
2
1J x dx

Giải: Lập bảng xét dấu của
2
1x
trên đoạn
2;2
x
-2 -1 1 2
2
1x
+ 0 - 0 +
Do đó
2 1 1 2
2 2 2 2
2 2 1 1
1 1 1 1I x dx x dx x dx x dx
3 3 3
1 1 2
4
2 1 1
3 3 3
x x x
x x x

.
III.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT
1.Cho hàm số
()y f x
liên tục và lẻ trên đoạn
;aa
. Khi đó
( ) 0
a
a
I f x dx

.
Ví dụ 17: Chứng minh
2
2
2
0
4 sin
xdx
I
x

.
Giải: Đặt
x t dx dt
. Khi x=
2
thì t = -
2
, khi
2
x

thì
2
t
Do đó : I=
I
t
tdt
2
2
2
sin4
Suy ra : 2I = 0. Ta được
2
2
2
0
4 sin
xdx
I
x

.
22
2.Cho hàm số
()y f x
liên tục và chẵn trên đoạn
;aa
. Khi đó
0
( ) 2 ( )
aa
a
I f x dx f x dx


.
Chứng minh : Ta có
0
0
( ) ( ) ( )
aa
aa
I f x dx f x dx f x dx

(1)
Ta tính
0
()
a
J f x dx
bằng cách đặt
0x t t a dx dt
00
00
( ) ( ) ( ) ( )
aa
aa
J f x dx f t dt f t dt f x dx
(2)
Thay (2) vào (1) ta được
0
( ) 2 ( )
aa
a
I f x dx f x dx


Ví dụ 18: Tính tích phân:
2
2
2
cos
4 sin
xx
I dx
x
Giải: Ta có
2 2 2
2 2 2
2 2 2
cos cos
4 sin 4 sin 4 sin
x x x x
I dx dx dx
x x x
Do
1
2
()
4 sin
x
fx
x
là hàm số lẻ trên
;
22




nên
2
2
2
0
4 sin
x
dx
x
và
2
2
cos
()
4 sin
x
fx
x
là hàm số chẵn trên
;
22




nên ta có:
2 2 2
22
0
22
cos cos (sin )
22
4 sin 4 sin (sin 2) sin 2
x x d x
dx dx
x x x x


23
Vậy
1 sin 2 1
ln ln3
2
2 sin 2 2
0
x
I
x
.
3.Cho hàm số
()y f x
liên tục và chẵn trên đoạn
:
. Khi đó
dxxfdx
a
xf
I
x
)(
2
1
1
)(
Chứng minh: Đặt t= -x
dt= - dx
Ta có f(x) = f(-t)= f(t); a
x
+1= a
-t
+1=
1
t
t
a
a
Khi x= -
thì t =
; x =
thì t =-
Vậy
dttf
a
a
dt
a
tfa
dx
a
xf
I
t
t
t
t
x
)(
1
11
1
)(
1
)(
Idxxfdt
a
tf
dttf
t
)(
1
)(
)(
Suy ra
dxxfdx
a
xf
I
x
)(
2
1
1
)(
Ví dụ 19 : Tính tích phân:
1
4
1
21
x
x
I dx
.
Giải:Đặt t= -x
dt= - dx
Khi x= - 1 thì t = 1 ; x =1 thì t =-1
Vậy
1
1
1
`1
4
4
1
1
4
12
2
1212
dttdt
t
dx
x
I
t
t
tx
1
1
1
1
1
1
4
4
4
12
Idxxdt
t
dtt
t
Suy ra
5
1
52
1
2
1
1
1
5
1
1
4

x
dxxI
24
4.Cho f(x) liên tục trên đoạn
0;
2



.Khi đó
22
00
(sin ) (cos )f x dx f x dx


.
Chứng minh:
Đặt
2
t x dx dt
Khi x = 0 thì
2
t
, khi
2
x
thì t = 0
Do đó
0
2 2 2
0 0 0
2
(sin ) (sin( ) (cos ) (cos )
2
f x dx f t dt f t dt f x dx
.
Nhận xét : Bằng cách làm tương tự ta có các công thức
*Nếu f(x) liên tục trên
0;1
thì
(sin ) (sin )
2
xf x dx f x dx



*Nếu f(x) liên tục trên
0;1
thì
22
(cos ) (cos )


xf x dx f x dx

Ví dụ 20:Chứng minh: I=
2
0
sin
sin cos 4
n
nn
x
dx
xx
.
Giải :
Tương tự như trên ta có:
I=
22
00
sin cos
sin cos sin cos
nn
n n n n
xx
dx dx
x x x x



=J
+) Vậy I+J=
22
00
sin cos
sin cos sin cos 2
nn
n n n n
xx
dx dx
x x x x




25
Vậy I=
2
0
sin
sin cos 4
n
nn
x
dx
xx
.
Ví dụ 21: Tính tích phân:
2
0
sin
1 cos
xx
dx
x
.
Giải: Đặt
0x t t dx dt

.
Khi đó
0
22
0
sin
sin
1 cos 1 cos
tt
xx
dx dt
xt




22
00
22
00
sin sin
1 cos 1 cos
sin sin
1 cos 1 cos
t t t
dt dt
tt
x x x
dx dx
xx








22
00
sin sin
2
1 cos 1 cos
x x x
dx dx
xx




Vậy
2
22
00
sin sin
1 cos 2 1 cos 4
x x x
dx dx
xx





.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1.Tính các tích phân sau
2
0
22
sin4cos
2sin
)
dx
xx
x
Ia
( ĐH-KA-2006)
2
0
cos31
sin2sin
)
dx
x
xx
Ic
(ĐH-KA-2005)
2
0
cos1
cos.2sin
)
dx
x
xx
Ie
(ĐH-KB-2005)
2
0
sin)
dxxxIb
2
0
2
.cos)12()
dxxxId
4
0
2cos1
)
dx
x
x
If
26
2
4
2sin1
cossin
)
dx
x
xx
Ig
2
0
3
)3cos(sin
2cos
)
dx
xx
x
Ii
3
4
2
cos1cos
tan
)
dx
xx
x
Ih
4
0
2
.tan)
dxxxIk
Bài 2.Tính các tích phân sau
3
0
2
35
1
2
) dx
x
xx
Ia
4
0
121
12
) dx
x
x
Ic
dxxxIe
3
1
23
1.)
32
5
2
4
)
xx
dx
Ig
3
1
22
)1(
)
xx
dx
Ib
1
2
1
2
1
1
1
) dx
x
x
Id
3
1
3
)
xx
dx
If
5
3
22) dxxxIh
Bài 3. Tính các tích phân sau
1
0
2
)1() dxexIa
x
1
0
1
)
x
e
dx
Ic
2
0
2
2
)2(
.
) dx
x
ex
Ie
x
0
1
3
2
)1() dxxexIg
x
2
1
2
)1ln(
) dx
x
x
Ib
e
dxx
x
x
Id
1
3
.ln
1
)
3
2
2
).ln() dxxxIf
2
0
sin
.cos)cos()
dxxxeIh
x
| 1/26
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

1 TÍCH PHÂN
I.CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Tính tích phân bằng định nghĩa ,tính chất và bảng nguyên hàm cơ bản
2.Phƣơng pháp tích phân từng phần.
Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên  ; a b thì: b b b '
u x v x dx  u x v x  ' ( ) ( ) ( ) ( )
v(x)u (x)dx   a a a b b b hay udv uvvdu   . a a a
Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:
 Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng '
udv uv dx bằng cách chọn một phần thích hợp
của f(x) làm u(x) và phần còn lại '
dv v (x)d . x  Bước 2: Tính '
du u dx và ' v
dv v (x)dx   . b b b  Bước 3: Tính ' vdu vu dx   và uv . a a a
 Bước 5: Áp dụng công thức trên. 3 3  ln x
Ví dụ 5: a)Tính tích phân I  dx  (ĐH-KB-2009) 2 (x 1) 1 3 3 3 3  ln x dx ln x I  dx  3  dx    2 2 2 (x 1) (x 1) (x 1) 1 1 1 3 3 dx 3  3 I  3    1 2 (x 1) (x 1) 4 1 1 3 ln x I  dx  2 2 (x 1) 1 Đặt u = lnx dx  du  x dx  dv  . Chọn 1 v  2 (x 1) x 1 3 3 3 3 ln x dx ln 3 dx dx ln 3 3 I           ln    2 x  1 x(x  1) 4 x x 1 4 2 1 1 1 1 2 Vậy : 3 I  (1  ln 3)  ln 2 4 e b) Tính x ln xdx  1  dx du u   ln x  x Giải: Đặt    dv xdx 2 xv   2 e e 2 2 2 2 x e 1 e x e e 1 x ln xdx  ln x xdx      . 2 1 2 2 4 1 4 1 1
Ví dụ 6: Tính các tích phân sau:   2 2 1 2 ln x a) dx  b) x cos xdx  c) x xe dx  d) x e cos xdx  5 x 1 0 0 0  dx u   ln x du     x Giải: a) Đặt  1   . Do đó: dv dx 1   5  v x   4  4x 2 2 2 2 ln x ln x 1 dx ln 2 1  1  15  4 ln 2 dx             5 4 5 4 . x 4x 4 x 64 4  4x  256 1 1 1 1 u   xdu dx b) Đặt    . Do đó:
dv  cos xdxv  sin x     2 2  
x cos xdx   xsin x 2  sin xdx   cos x 2  1   . 2 2 0 0 0 0 u   xdu dx c)Đặt    . Do đó: x xdv e dxv e 1 1 1 1 x x x x xe dx xe
e dx e e
e  e   1  1   . 0 0 0 0 3 x x u   edu e dx   
d) Đặt dv  cos xdx v  sin x    2 2 x  cos x  sin 2 x e xdx e xe sin xdx   . 0 0 0 x x u   edu e dx 1 1   Đặt  dv  sin xdx v   cos x  1  1    2 2  x 2  cos x   cos 2 x e xdx e e xe cos xdx   . 0 0 0    2 2  2 e x x 1 2
 2 e cos xdx e 1  e cos xdx  .   2 0 0
*Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần. b b b b P(x) x e dx
P(x) ln xdx
P(x) cos xdxx e cos xdxa a a a u P(x) lnx P(x) x e dv x e dx P(x)dx cosxdx cosxdx
Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và '
dv v dx thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn
u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn '
dv v dx là phần của f(x)dx là
vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần: 4 
 Nếu tính tích phân P(x)Q(x)dx
mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong  những hàm số: ax e , cos ax,
sin ax thì ta thường đặt '
du P (x)dx u   P(x)    
dv Q(x)dx
v Q(x)dx   
 Nếu tính tích phân P(x)Q(x)dx
mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số  '
du Q xdx u   Q(x)  ln(ax) thì ta đặt   
dv P(x)dx v P(x)dx      Nếu tính tích phân ax I e cosbxdx  hoặc ax J e sin bxdx  thì   axdu ae dx ax u   e  ta đặt    1
dv  cosbxdx v  sin bx  b axdu ae dx ax u   e  hoặc đặt    1
dv  sinbxdx v   cosbx  b
Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích
phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.
3. Phƣơng pháp đổi biến số b
Bài toán: Tính I f (x)dx  , a
*Phương pháp đổi biến dạng I
Định lí . Nếu 1) Hàm x u(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn ;  ,
2) Hàm hợp f (u(t)) được xác định trên ;  , 3) u( )  ,
a u( )  b , 5 b  thì ' I
f (x)dx
f (u(t))u (t)dt   . a
Ví dụ 1. Hãy tính các tích phân sau:  2 I   3 cos x    2 a ) Tính tích phân 1 cos x.dx (ĐH-KA-2009) 0  1 2 b) 2 3 I x x  5dx  c) J   4 sin x   1 cos xdx  0 0   2 2 Giải: a) I = 5 2 cos x.dx  cos x.dx   0 0    2 2 1 1  1   Ta có: I 2     2 = cos x.dx (1 cos2x).dx   = x sin 2x   2 2 2  2  4 0 0 0   2 2 Mặt khác xét I 5 4  1 = cos x.dx cos x.cosx.dx   0 0   2 3  1 2sin x  8 = 2 2 5 (1 sin x) d(sin x)    sin x   sin x  2   5 3  15 0 0 Vậy I = I 8   1 – I2 = 15 4 3 d x  5 b) Ta có d  3 x  5 2   2  3x dx   x dx 3 1 d  3 x  5 3   I x  5  3 0 1 1 1  1  x   x  5 3 1 2 1 ( 5) 1 2 1 3 3 3 3
2 d (x  5) 
 (x  5) x  5  3 3 1 0 9 0  0 1 2 4 10  6  5 . 3 9 6   2  1  6 c) Ta có 4 J
(sin x 1)d (sin x)  5
  sin x  sin x 2   5  5 0 0
Ví dụ 2. Hãy tính các tích sau: 4 1 dx a) 2 4  x dx  b)  2 1  x 0 0     
Giải: a) Đặt x  2sin t, t   ; 
 . Khi x = 0 thì t = 0. Khi x  2 thì t  .  2 2  2
Từ x  2sin t dx  2costdt   4 2 2 2 2 2 4  x dx
4  4sin t.2costdt  4 cos tdt      . 0 0 0     
b) Đặt x  tan t, t    ;
 . Khi x  0 thì t  0, khi x 1 thì t  .  2 2  4 dt
Ta có: x  tan t dx  . 2 cos t    1 4 4 dx 1 dt       . dt t 4 .    2 2 2 1  x
1  tan t cos t 4 0 0 0 0
Chú ý: Trong thực tế chúng ta có thể gặp dạng tích phân trên dạng tổng quát hơn như:
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn dạng 2 2 2 2
a x , a x và 2 2
x a (trong trong đó a là hằng số dương) mà không có cách biến đổi nào khác thì
nên đổi sang các hàm số lượng giác để làm mất căn thức, cụ thể là:      Với 2 2
a x , đặt x a sin t, t   ;    2 2 
hoặc x a cost, t 0;  .      Với 2 2
a x , đặt x a tan t, t    ;   2 2 
hoặc x acott, t 0;  . 7      a Với 2 2
x a , đặt x  , t   ; \   0   sin t  2 2  a   hoặc x
; t 0;  \  . cost  2 
*Phương pháp đổi biến dạng II
Định lí : Nếu hàm số u u(x)đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn  ; a b sao cho b u (b) '
f (x)dx g(u(x))u (x)dx g(u)du thì I
f (x)dx g(u)du   . a u ( a ) 1 Ví dụ 3: Tính 2 3 I x x  5dx  0 Giải: Đặt 3
u(x)  x  5.Tacó u(0)  5, u(1)  6 . 6 1 2 6 2 4 10
Từ đó được: I udu u u   6 6 5 5 6  5 3 9 5 9 9 9 5
Ví dụ 4: Hãy tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến dạng II: 1 2 e 1  5 dx 4x 2 a) 2x   1 dx  b)  c) dxx ln x 2 x x 1 0 e 0 2 2 3 dx 2 d)  e) cos(3x  )dx  2 (2x 1) 3 1  3
Giải: a) Đặt u  2x 1 khi x  0 thì u  1. Khi x  1thì u  3 du
Ta có du  2dx dx  . Do đó: 2 1 3  u 2x   6 1 3 5 1 5 6 1 dx u du   (3 1)   2 = 60 . 2 12 1 12 3 0 1
b)Đặt u  ln x . Khi x e thì u  1. Khi 2
x e thì u  2 . 8 2 e 2 dx dx du 2 Ta có du   
 lnu  ln 2  ln1  ln 2   . x x ln x u 1 e 1 c)Đặt 2
u x x 1. Khi x  0 thì u  1. Khi x  1 thì u  3.
Ta có du  (2x 1)dx . Do đó: 1 3 4x  2 2du 3 dx
 2lnu  2(ln3  ln1)  2ln3   . 2 x x 1 u 1 0 1
d)Đặt u  2x 1. Khi x  1thì u  1. Khi x  2 thì u  3. du
Ta có du  2dx dx  . Do đó: 2 2 3 dx 1 du 1 3 1 1 1      ( 1)    . 2 2 (2x 1) 2 u 2u 1 2 3 3 1 1 2   2 4
e)Đặt u  3x  . Khi x  thì u  , khi x  thì u  . 3 3 3 3 3 du
Ta có du  3dx dx  . Do đó: 3 2 4 4 3 3 2 1 1 3 1  4   cos(3x  )dx  cosudu  sin u  sin  sin    3 3 3  3  3 3    3 3 3 1  3 3  3        . 3 2 2 3  
3.Phƣơng pháp tích phân từng phần.
Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên  ; a b thì: b b b '
u x v x dx  u x v x  ' ( ) ( ) ( ) ( )
v(x)u (x)dx   a a a b b b hay udv uvvdu   . a a a 9
Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:
 Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng '
udv uv dx bằng cách chọn một phần thích hợp
của f(x) làm u(x) và phần còn lại '
dv v (x)d . x  Bước 2: Tính '
du u dx và ' v
dv v (x)dx   . b b b  Bước 3: Tính ' vdu vu dx   và uv . a a a
 Bước 5: Áp dụng công thức trên. 3 3  ln x
Ví dụ 5: a)Tính tích phân I  dx  (ĐH-KB-2009) 2 (x 1) 1 3 3 3 3  ln x dx ln x I  dx  3  dx    2 2 2 (x 1) (x 1) (x 1) 1 1 1 3 3 dx 3  3 I  3    1 2 (x 1) (x 1) 4 1 1 3 ln x I  dx  2 2 (x 1) 1 Đặt u = lnx dx  du  x dx  dv  . Chọn 1 v  2 (x 1) x 1 3 3 3 3 ln x dx ln 3 dx dx ln 3 3 I           ln    2 x  1 x(x  1) 4 x x 1 4 2 1 1 1 1 Vậy : 3 I  (1  ln 3)  ln 2 4 e b) Tính x ln xdx  1  dx du u   ln x  x Giải: Đặt    dv xdx 2 xv   2 e e 2 2 2 2 x e 1 e x e e 1 x ln xdx  ln x xdx      . 2 1 2 2 4 1 4 1 1
Ví dụ 6: Tính các tích phân sau: 10   2 2 1 2 ln x a) dx  b) x cos xdx  c) x xe dx  d) x e cos xdx  5 x 1 0 0 0  dx u   ln x du     x Giải: a) Đặt  1   . Do đó: dv dx 1   5  v x   4  4x 2 2 2 2 ln x ln x 1 dx ln 2 1  1  15  4 ln 2 dx             5 4 5 4 . x 4x 4 x 64 4  4x  256 1 1 1 1 u   xdu dx b) Đặt    . Do đó:
dv  cos xdxv  sin x     2 2  
x cos xdx   xsin x 2  sin xdx   cos x 2  1   . 2 2 0 0 0 0 u   xdu dx c)Đặt    . Do đó: x xdv e dxv e 1 1 1 1 x x x x xe dx xe
e dx e e
e  e   1  1   . 0 0 0 0 x x u   edu e dx   
d) Đặt dv  cos xdx v  sin x    2 2 x  cos x  sin 2 x e xdx e xe sin xdx   . 0 0 0 x x u   edu e dx 1 1   Đặt  dv  sin xdx v   cos x  1  1    2 2  x 2  cos x   cos 2 x e xdx e e xe cos xdx   . 0 0 0 11    2 2  2 e x x 1 2
 2 e cos xdx e 1  e cos xdx  .   2 0 0
*Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần. b b b b P(x) x e dx
P(x) ln xdx
P(x) cos xdxx e cos xdxa a a a u P(x) lnx P(x) x e dv x e dx P(x)dx cosxdx cosxdx
Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và '
dv v dx thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn
u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn '
dv v dx là phần của f(x)dx là
vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần: 
 Nếu tính tích phân P(x)Q(x)dx
mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong  những hàm số: ax e , cos ax,
sin ax thì ta thường đặt '
du P (x)dx u   P(x)    
dv Q(x)dx
v Q(x)dx   
 Nếu tính tích phân P(x)Q(x)dx
mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số  '
du Q xdx u   Q(x)  ln(ax) thì ta đặt   
dv P(x)dx v P(x)dx      Nếu tính tích phân ax I e cosbxdx  hoặc ax J e sin bxdx  thì   12 axdu ae dx ax u   e  ta đặt    1
dv  cosbxdx v  sin bx  b axdu ae dx ax u   e  hoặc đặt    1
dv  sinbxdx v   cosbx  b
hoctoan capba.com Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần
sau đó trở thành tích phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.
II.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ THƢỜNG GẶP
1. Tích phân hàm số phân thức
a)Tính tích phân dạng tổng quát sau: dx I  a  0  . 2
ax bx c  (trong đó 2
ax bx c  0 với mọi x ;  ) Xét 2
  b  4ac.  dx
+)Nếu   0 thì I   tính được. 2  b   a x    2a   1 dx
+)Nếu   0 thì I   , a
x x x x 1   2   b    b    (trong đó x  ; x  ) 1 2 2a 2a 1 x x  1  I a ln x x x  . x  1 2  2   dx dx
+) Nếu   0thì I    ax bx c  2 2 2       b      a  x       2  2a  4   a   13 b  1  Đặt x   tgt dx   2
1 tg t dt , ta tính được I. 2 2  2a 4a 2 amx n
b) Tính tích phân: I dx, a  0  . 2
ax bx cmx n
(trong đó f (x)  ; ) 2
ax bx  liên tục trên đoạn   c
+) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho: mx n
A(2ax b) B  
ax2  bx c
ax2  bx c ax2  bx c     mxn
A(2ax b) B   +)Ta có I= dx dx dx 2  2      2    ax bx c ax bx c ax bx c   
A(2ax b)  2 . Tích phân dx
= Aln ax bx c
ax2  bx c    dx Tích phân  tính được. 2
ax bx cb P(x)
c) Tính tích phân I dx
với P(x) và Q(x) là đa thức của x. Q(x) a
 Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức.
 Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:
+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn  , ,..., thì đặt 1 2 n P(x) A A A 1 2    ... n  . Q(x) x   x   x   1 2 n
+ Khi Q x   x   2
x px q 2 ( )
,   p  4q  0 thì đặt P(x) A Bx C   . 2 Q(x) x 
x px q 14
+ Khi Q x   x   x   2 ( )
với    thì đặt P(x) A B C    . Q(x) x   x   x   2 1 4x  11
Ví dụ 7. Tính tích phân: dx  . 2 x  5x  6 0 Giải:
Cách 1.Bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta có thể tìm A, B sao cho: 4x 11 A2x  5 B   , x   \  3  ;  2 2 2 2 x  5x  6 x  5x  6 x  5x  6 4x 11
2Ax  5A B   , x   \  3  ;  2 2 2 x  5x  6 x  5x  6 2A  4 A  2     5
A B 11 B 1 4x 11 22x  5 1 Vậy   , x   \  3  ;  2 2 2 2 x  5x  6 x  5x  6 x  5x  . 6 1 1 1 4x 11 2x  5 dx Do đó dx  2 dx     2 2 2 x  5x  6 x  5x  6 x  5x  6 0 0 0 1 x  2 1 9 2
 2ln x  5x  6  ln  ln 0 x  . 3 0 2 Cách 2. Vì 2
x  5x  6   x  2 x  3 nên ta có thể tính tích phân trên bằng cách: Tìm A, B sao cho: 4x 11 A B   , x   \  3  ;  2 2 x  5x  6 x  2 x  3 4x 11
ABx  3AB   , x   \  3  ;  2 2 2 x  5x  6 x  5x  6 A B  4 A  3     3
A  2B 11 B 1 15 4x 11 3 1 Vậy   , x   \  3  ;  2 2 x  5x  6 x  2 x  . 3 1 1 1 4x 11 dx dx Do đó dx  3     2 x  5x  6 x  2 x  3 0 0 0 1 1 9  3ln x  2
 ln x  3  ln . 0 0 2 1 dx
Ví dụ 8:Tính tích phân:  . 2 x x 1 0 Giải: 1 1 dx dx Do    2 2 x x 1  1  3 0 0  x     2  4 1 3    3 Đặt x   tan t, t  ;  dx   2
1 tan t dt   2 2  6 3  2  3    2 1 3 1 tan t  3 dt dx 2 3 2 3 2 3  3 Vậy   dt t     . 2 x x 1 3  2 3 3 9  0  (1 tan t)  6 6 4 6 1 2 3 x
Ví dụ 9. Tính tích phân: dx  . 2 x 1 0 Giải: 1 1 1 1 2 2 2 2 3 xxxdx dx x dx xdx        2 2 2 x 1  x 1 x 1 0 0 1 0 1 1 2 x 1 1 1 3 2  2 
ln x 1 2   ln . 2 2 8 2 4 0 0
2. Tích phân các hàm lƣợng giác 16
2.1.Dạng 1: Biến đổi về tích phân cơ bản
Ví dụ 10: Hãy tính các tích phân sau:  2 a) J  sin 2x sin 7xdx  ;   2  2 b) 4 4 K
cos x(sin x  cos x)dx  ; 0  2 3 4sin x c) M dx  . 1  cos x 0 Giải     2 2 1 1 1 2 1 2 4 a) J  cos5xdx  cos9xdx    sin 5x  sin 9x  . 2 2 10  18  45       2 2 2 2 b) Ta có x x x x   x x2 4 4 2 2 2 2 cos (sin cos ) cos sin cos
 2sin xcos x    1   1  3 1 2
 cos x 1 sin 2x  cos x 1 1 cos4x  cos x    cos x cos 4x    2   4  4 4 3 1
 cos x  cos5x  cos3x. 4 8     2 2 2 2 3 1 1 4 4 K
cos x(sin x  cos x)dx  cos xdx  cos5xdx  co3xdx     4 8 8 0 0 0 0    3 1 1 3 1 1 11  sin x 2  sin 5x 2  sin 3x 2     . 4 40 24 4 40 24 15 0 0 0 3 2 2 4sin x 4sin xsin x
4(1 cos x)sin x c)  
 4(1 cos x)sin x 1 cos x 1 cos x 1 cos xM  2. 17
2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác dx
2.2.1.Tính I  
asinx b cos x c Phƣơng pháp: x 2dt Đặt t  tan  dx  2 2 1 t 2t 2 1 t Ta có: sin x  cos x  2 1 và t 2 1 t dx 2dt I     đã biết cách tính.
asinx b cos x c
c b 2t  2at b c dx Ví dụ 11. Tính 
4cos x  3sin x  5 x 1  x  2dt Giải: Đặt 2 t tgdt  1 tan dx     dx 2 2 2  2  1 t 2dt 2 dx 1    x xt tdt t 2 2 cos  3sin  3 1 2 t  3t  2  3  3 2 2 1 t 1 t x tan 1 t 1 2  ln  C  ln  C . t  2 x tan  2 2 dx
2.2.2. Tính I   2 2
a sin x bsin x cos x c cos x d dx
Phƣơng pháp: I   a d  2 x b x
x  c d  2 sin sin cos cos x dx 2 cos x   a d  2
tan x b tan x  c d dx dt
Đặt t tgx dt   I   đã tính được. 2 cos x
a d 2t bt  c d 18 dx
Ví dụ 12. Tính: I   . 2 2
sin x  2sin x cos x  3cos x dx 2 dx cos x Giải:Ta có I     2 2 2
sin x  2sin x cos x  3cos x
tg x  2tgx  3 dx
Đặt t tgx dt  2 cos x dt dt 1 t 1 1 tgx 1  I    ln  C  ln  C   2.2.3. 2 t  2t  3 t   1 t  3 4 t  3 4 tgx  3
msin x n cos x p Tính I dx.
a sin x b cos x c Phƣơng pháp: +)Tìm A, B, C sao cho:
msin x ncos x p Aasin x bcos x c  Ba cos x bsin x  C, x  +)
msin x ncos x p Vậy I dx  =
a sin x b cos x c a cos x  sin A dx b x B dx dx =   C
a sin x b cos x c
a sin x b cos x c
Tích phân  dx tính được
a cos x bsin x  ln sin    Tích phân dx a x b x c C  cos
a sin x b cos x c dx
Tích phân  asin x bcos x c tính được. cos x  2sin x
Ví dụ 13. Tính: I dx  .
4cos x  3sin x Giải:
Bằng cách cân bằng hệ số bất định, tìm A và B sao cho:
cos x  2sin x A4cos x  3sin x  B 4
 sin x  3cos x, x
cos x  2sin x  4A  3Bcos x  3A  4Bsin , x x 19  2 A
4A  3B 1  5     3
A  4B  2 1 B    5  2 1 4
 sin x  3cos x  2 1 I   . dx
x  ln 4cos x  3sin x    C  .
 5 5 4cos x  3sin x  5 5
2.3.Dạng 3: Đổi biến số để đưa về tích phân hàm lượng giác đơn giản hơn (Xem ví dụ 17, 20, 21)
2.4.Chú ý: Nguyên hàm dạng
Rsin x,cos xdx
, với Rsin x,cos xlà một hàm hữu tỉ theo sinx, cosx
Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta đã
biết cách tính tích phân.  x 2dt
Trường hợp chung: Đặt t  tan  dx  2 2 1 t 2 2t 1 t Ta có sin x  ;cos x  2 2 1 t 1 t
 Những trường hợp đặc biệt:
+) Nếu Rsin x,cos xlà một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là Rsin ,
x cos x  Rsin ,
x cos x thì đặt t tgx hoặc t  cot gx, sau đó
đưa tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t.
+) Nếu Rsin x,cos xlà hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là: Rsin ,
x cos x  Rsin ,
x cos xthì đặt t  cos x .
+) Nếu Rsin x,cos xlà hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là: Rsin ,
x cos x  Rsin ,
x cos xthì đặt t  sin x.
3.Tích phân hàm vô tỉ
3.1 .Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản 20 1 dx
Ví dụ 14. Tính tích phân: I   . x 1  x 0 Giải 1 1  dx 2 I  2 2  2 x x
 x x 2    1 dx  x   3 3 1 2 2 1   x  1  3   0 3 0 0 1 3 x dx
Ví dụ 15:Tính tích phân  . 2   0 x 1 x 1 3 1 x dx 2 2 1 3 2 4     Giải: (x 1 x x )dx   . 2   15 0 x 1 x 0
3.2.Dạng 2: Biến đổi về tích phân hàm lượng giác (xem ví dụ 2)
3.3Dạng 3: Biến đổi làm mất căn
Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức
Viết biểu thức trong căn dưới dạng bình phương đúng 1 I   3 x 1  2 x dx Ví dụ 15:Tính 0 Giải: 1 1 I   3 x 1  2 x dx   2 x 1 2 x .xdx 0 0 Đặt t= 2 2 2 2 2
1 x t  1 x x  1 t
Ta có: xdx=-tdt, Khi x= 0 thì t =1,khi x = 1 thì t =0 1 0 3 5  t  2 2 2 I   1
(  t )t dt     t Vậy   3 5 15   1 0
4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phƣơng pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối 21 2 Ví dụ 16: Tính 2 J x 1 dx  2 
Giải: Lập bảng xét dấu của 2
x 1 trên đoạn  2  ;2 x -2 -1 1 2 2 x 1 + 0 - 0 + 2 1  1 2 Do đó 2 I
x 1 dx   2 x   1 dx   2
1 x dx   2 x   1 dx     2  2  1  1 3 3 3  x  1   x  1  x  2   xx    x  4       .  3  2   3  1   3  1
III.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT
1.Cho hàm số y f (x) liên tục và lẻ trên đoạn  ;
a a . Khi đó a I
f (x)dx  0  . a  2 xdx
Ví dụ 17: Chứng minh I   0  . 2 4  sin x   2    
Giải: Đặt x t
  dx  dt . Khi x= 2 thì t = - 2 , khi x   thì t  2 2   2 tdt   Do đó : I= I   4  2 sin t 2  2 xdx
Suy ra : 2I = 0. Ta được I   0  . 2 4  sin x   2 22
2.Cho hàm số y f (x) liên tục và chẵn trên đoạn  ;
a a . Khi đó a a I
f (x)dx  2 f (x)dx   . a 0 a 0 a
Chứng minh : Ta có I
f (x)dx
f (x)dx f (x)dx    (1) aa 0 0 Ta tính J f (x)dx
bằng cách đặt x t
 0  t a  dx  dta 0 0 a a
J f (x)dx   f ( t
 )dt f (t)dt f (x)dx     (2) a a 0 0 a a
Thay (2) vào (1) ta được I
f (x)dx  2 f (x)dx   a 0  2 x  cos x
Ví dụ 18: Tính tích phân: I dx  2 4  sin x   2    2 2 2 x  cos x x cos x Giải: Ta có I dx dx dx    2 2 2 4  sin x 4  sin x 4  sin x       2 2 2  2 x     x Do f (x)   nên dx  0  1 2   4  là hàm số lẻ trên ; sin x  2 2  2 4  sin x   2 cos x     và f (x)   nên ta có: 2 2   4  là hàm số chẵn trên ; sin x  2 2     2 2 2 cos x cos x d (sin x) dx  2 dx  2     2 2 4  sin x 4  sin x
(sin x  2)sin x  2  0    2 2 23  1 sin x  2 1 Vậy I   ln 2  ln 3 2 sin x  . 2 2 0
3.Cho hàm số y f (x) liên tục và chẵn trên đoạn :. Khi đó   ( ) 1 I f x dx  ( ) xf x dx a  1 2 
Chứng minh: Đặt t= -x  dt= - dx t a 1 x -t
Ta có f(x) = f(-t)= f(t); a +1= a +1= t a
Khi x= -  thì t =  ; x = thì t =-    tf (x) a f t ( ) at  1  1 I dx dt  Vậy  ( ) xtf t dt a  1 a  1 at     1      ( ) f t
( )dt   f t dt  ( ) tf x dx I a    1    ( ) 1
I   f x dx  ( ) xf x dx Suy ra a   1 2  1 4 x
Ví dụ 19 : Tính tích phân: I dx  . 2x 1 1 
Giải:Đặt t= -x  dt= - dx
Khi x= - 1 thì t = 1 ; x =1 thì t =-1 1 4 1 4 1 tx It dx dt  2 4 Vậy  x  tt dt 2  1 2 1 2t   1 1 1  ` 1 1 1 4 1   t 4 t dt   dt t  4xdxI 2   1 1 1 1 1 1 1 4 1 5 1 I  x    x dx Suy ra 2 2 5 5 1  1  24   
4.Cho f(x) liên tục trên đoạn 0;   .Khi đó  2    2 2
f (sin x)dx
f (cos x)dx   . 0 0 Chứng minh:  Đặt t
x dx  dt 2   Khi x = 0 thì t  , khi x  thì t = 0 2 2    2 0 2 2  Do đó
f (sin x)dx   f (sin(
t)dt f (cost)dt f (cos x)dx     . 2 0  0 0 2
Nhận xét : Bằng cách làm tương tự ta có các công thức       
*Nếu f(x) liên tục trên 0;  1 thì
xf (sin x)dx
f (sin x)dx   2   2  2 
*Nếu f(x) liên tục trên 0;  1 thì
xf (cos x)dx   f (cos x)   dx    2 sinn x
Ví dụ 20:Chứng minh: I= dx   .
sinn x  cosn x 4 0 Giải :
Tương tự như trên ta có:   2 2 sinn x cosn x I= dx dx   =J
sinn x  cosn x
sinn x  cosn x 0 0   2 2 sinn x cosn x  +) Vậy I+J= dx dx   
sinn x  cosn x
sinn x  cosn x 2 0 0 25  2 sinn x  Vậy I= dx   .
sinn x  cosn x 4 0  x sin x
Ví dụ 21: Tính tích phân: dx  . 2 1  cos x 0
Giải: Đặt x    t 0  t     dx  dt .  0 x sin x
 tsin t Khi đó dx   dt   2 2 1 cos x
1 cos   t  0     sint t sin tdt dt   2 2 1  cos t 1  cos t 0 0    sin x x sin xdx dx   2 2 1  cos x 1  cos x 0 0   xsin x  sin x  2 dx dx   2 2 1 cos x 1  cos x 0 0   2 xsin x  sin x  Vậy dx dx    . 2 2 1 cos x 2 1  cos x 4 0 0 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1.Tính các tích phân sau  2  2 x
b)I   x sin xdx a)I   sin 2 dx 2 2 0 0 cos x  4sin x ( ĐH-KA-2006)   2 2 x x
d)I  (2x  2 ) 1 cos . x dx c)I sin2   sin dx 1 3cos x 0 0 (ĐH-KA-2005)   4 x 2 x x f )I   dx
e)I   sin 2 .cos dx 1 cos 2x 1 cos x 0 0 (ĐH-KB-2005) 26   2 x x 3 tan x g)I sin   cos dx h)I   dx 2  1 sin 2x
 cos x 1  cos x 4 4   2 x 4 i)I   cos 2 dx 2
k)I   x tan .xdx
(sin x  cos x  3 ) 3 0 0
Bài 2.Tính các tích phân sau 3 5 3 3 dx a Ix   2x ) dx b)I   2 2 2 x (x  ) 1 0 x 1 1 4 x 1 1  1  c)I  2   1 dx
d )I   1 dx 2 1 2x 1 x x 1   0 2 3
e)I x3. x2 dx  1 3 dx f )I   1 x  3 x 1 2 3 dx g)I   5
h)I  x  2  x  2  2 dx 5 x x  4 3
Bài 3. Tính các tích phân sau 1 2 ln( 1 x) a)I   2 (x  ) 1 exdx b)I    dx 2 x 0 1 1 dx e x3 1 c)I   d)I    ln x dx . 1 x e x 0 1 2 2 x 3
e I   x .e ) dx 2
f )I  ln(x x).dx (x  2 ) 2 0 2 0  g)I   2
x(e x  3 x  ) 1 dx 2 h)I   sin
(e x  cos x) cos . x dx  1 0