-
Thông tin
-
Hỏi đáp
Phương pháp giải các dạng Tích phân thường gặp Toán 12
Phương pháp giải các dạng Tích phân thường gặp Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 197 tài liệu
Toán 12 3.8 K tài liệu
Phương pháp giải các dạng Tích phân thường gặp Toán 12
Phương pháp giải các dạng Tích phân thường gặp Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 197 tài liệu
Môn: Toán 12 3.8 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
1 TÍCH PHÂN
I.CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Tính tích phân bằng định nghĩa ,tính chất và bảng nguyên hàm cơ bản
2.Phƣơng pháp tích phân từng phần.
Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên ; a b thì: b b b '
u x v x dx u x v x ' ( ) ( ) ( ) ( )
v(x)u (x)dx a a a b b b hay udv uv vdu . a a a
Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:
Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng '
udv uv dx bằng cách chọn một phần thích hợp
của f(x) làm u(x) và phần còn lại '
dv v (x)d . x Bước 2: Tính '
du u dx và ' v
dv v (x)dx . b b b Bước 3: Tính ' vdu vu dx và uv . a a a
Bước 5: Áp dụng công thức trên. 3 3 ln x
Ví dụ 5: a)Tính tích phân I dx (ĐH-KB-2009) 2 (x 1) 1 3 3 3 3 ln x dx ln x I dx 3 dx 2 2 2 (x 1) (x 1) (x 1) 1 1 1 3 3 dx 3 3 I 3 1 2 (x 1) (x 1) 4 1 1 3 ln x I dx 2 2 (x 1) 1 Đặt u = lnx dx du x dx dv . Chọn 1 v 2 (x 1) x 1 3 3 3 3 ln x dx ln 3 dx dx ln 3 3 I ln 2 x 1 x(x 1) 4 x x 1 4 2 1 1 1 1 2 Vậy : 3 I (1 ln 3) ln 2 4 e b) Tính x ln xdx 1 dx du u ln x x Giải: Đặt dv xdx 2 x v 2 e e 2 2 2 2 x e 1 e x e e 1 x ln xdx ln x xdx . 2 1 2 2 4 1 4 1 1
Ví dụ 6: Tính các tích phân sau: 2 2 1 2 ln x a) dx b) x cos xdx c) x xe dx d) x e cos xdx 5 x 1 0 0 0 dx u ln x du x Giải: a) Đặt 1 . Do đó: dv dx 1 5 v x 4 4x 2 2 2 2 ln x ln x 1 dx ln 2 1 1 15 4 ln 2 dx 5 4 5 4 . x 4x 4 x 64 4 4x 256 1 1 1 1 u x du dx b) Đặt . Do đó:
dv cos xdx v sin x 2 2
x cos xdx xsin x 2 sin xdx cos x 2 1 . 2 2 0 0 0 0 u x du dx c)Đặt . Do đó: x x dv e dx v e 1 1 1 1 x x x x xe dx xe
e dx e e
e e 1 1 . 0 0 0 0 3 x x u e du e dx
d) Đặt dv cos xdx v sin x 2 2 x cos x sin 2 x e xdx e x e sin xdx . 0 0 0 x x u e du e dx 1 1 Đặt dv sin xdx v cos x 1 1 2 2 x 2 cos x cos 2 x e xdx e e x e cos xdx . 0 0 0 2 2 2 e x x 1 2
2 e cos xdx e 1 e cos xdx . 2 0 0
*Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần. b b b b P(x) x e dx
P(x) ln xdx
P(x) cos xdx x e cos xdx a a a a u P(x) lnx P(x) x e dv x e dx P(x)dx cosxdx cosxdx
Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và '
dv v dx thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn
u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn '
dv v dx là phần của f(x)dx là
vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần: 4
Nếu tính tích phân P(x)Q(x)dx
mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong những hàm số: ax e , cos ax,
sin ax thì ta thường đặt '
du P (x)dx u P(x)
dv Q(x)dx
v Q(x)dx
Nếu tính tích phân P(x)Q(x)dx
mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số '
du Q xdx u Q(x) ln(ax) thì ta đặt
dv P(x)dx v P(x)dx Nếu tính tích phân ax I e cosbxdx hoặc ax J e sin bxdx thì ax du ae dx ax u e ta đặt 1
dv cosbxdx v sin bx b ax du ae dx ax u e hoặc đặt 1
dv sinbxdx v cosbx b
Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích
phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.
3. Phƣơng pháp đổi biến số b
Bài toán: Tính I f (x)dx , a
*Phương pháp đổi biến dạng I
Định lí . Nếu 1) Hàm x u(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn ; ,
2) Hàm hợp f (u(t)) được xác định trên ; , 3) u( ) ,
a u( ) b , 5 b thì ' I
f (x)dx
f (u(t))u (t)dt . a
Ví dụ 1. Hãy tính các tích phân sau: 2 I 3 cos x 2 a ) Tính tích phân 1 cos x.dx (ĐH-KA-2009) 0 1 2 b) 2 3 I x x 5dx c) J 4 sin x 1 cos xdx 0 0 2 2 Giải: a) I = 5 2 cos x.dx cos x.dx 0 0 2 2 1 1 1 Ta có: I 2 2 = cos x.dx (1 cos2x).dx = x sin 2x 2 2 2 2 4 0 0 0 2 2 Mặt khác xét I 5 4 1 = cos x.dx cos x.cosx.dx 0 0 2 3 1 2sin x 8 = 2 2 5 (1 sin x) d(sin x) sin x sin x 2 5 3 15 0 0 Vậy I = I 8 1 – I2 = 15 4 3 d x 5 b) Ta có d 3 x 5 2 2 3x dx x dx 3 1 d 3 x 5 3 I x 5 3 0 1 1 1 1 x x 5 3 1 2 1 ( 5) 1 2 1 3 3 3 3
2 d (x 5)
(x 5) x 5 3 3 1 0 9 0 0 1 2 4 10 6 5 . 3 9 6 2 1 6 c) Ta có 4 J
(sin x 1)d (sin x) 5
sin x sin x 2 5 5 0 0
Ví dụ 2. Hãy tính các tích sau: 4 1 dx a) 2 4 x dx b) 2 1 x 0 0
Giải: a) Đặt x 2sin t, t ;
. Khi x = 0 thì t = 0. Khi x 2 thì t . 2 2 2
Từ x 2sin t dx 2costdt 4 2 2 2 2 2 4 x dx
4 4sin t.2costdt 4 cos tdt . 0 0 0
b) Đặt x tan t, t ;
. Khi x 0 thì t 0, khi x 1 thì t . 2 2 4 dt
Ta có: x tan t dx . 2 cos t 1 4 4 dx 1 dt . dt t 4 . 2 2 2 1 x
1 tan t cos t 4 0 0 0 0
Chú ý: Trong thực tế chúng ta có thể gặp dạng tích phân trên dạng tổng quát hơn như:
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn dạng 2 2 2 2
a x , a x và 2 2
x a (trong trong đó a là hằng số dương) mà không có cách biến đổi nào khác thì
nên đổi sang các hàm số lượng giác để làm mất căn thức, cụ thể là: Với 2 2
a x , đặt x a sin t, t ; 2 2
hoặc x a cost, t 0; . Với 2 2
a x , đặt x a tan t, t ; 2 2
hoặc x acott, t 0; . 7 a Với 2 2
x a , đặt x , t ; \ 0 sin t 2 2 a hoặc x
; t 0; \ . cost 2
*Phương pháp đổi biến dạng II
Định lí : Nếu hàm số u u(x)đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn ; a b sao cho b u (b) '
f (x)dx g(u(x))u (x)dx g(u)du thì I
f (x)dx g(u)du . a u ( a ) 1 Ví dụ 3: Tính 2 3 I x x 5dx 0 Giải: Đặt 3
u(x) x 5.Tacó u(0) 5, u(1) 6 . 6 1 2 6 2 4 10
Từ đó được: I udu u u 6 6 5 5 6 5 3 9 5 9 9 9 5
Ví dụ 4: Hãy tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến dạng II: 1 2 e 1 5 dx 4x 2 a) 2x 1 dx b) c) dx x ln x 2 x x 1 0 e 0 2 2 3 dx 2 d) e) cos(3x )dx 2 (2x 1) 3 1 3
Giải: a) Đặt u 2x 1 khi x 0 thì u 1. Khi x 1thì u 3 du
Ta có du 2dx dx . Do đó: 2 1 3 u 2x 6 1 3 5 1 5 6 1 dx u du (3 1) 2 = 60 . 2 12 1 12 3 0 1
b)Đặt u ln x . Khi x e thì u 1. Khi 2
x e thì u 2 . 8 2 e 2 dx dx du 2 Ta có du
lnu ln 2 ln1 ln 2 . x x ln x u 1 e 1 c)Đặt 2
u x x 1. Khi x 0 thì u 1. Khi x 1 thì u 3.
Ta có du (2x 1)dx . Do đó: 1 3 4x 2 2du 3 dx
2lnu 2(ln3 ln1) 2ln3 . 2 x x 1 u 1 0 1
d)Đặt u 2x 1. Khi x 1thì u 1. Khi x 2 thì u 3. du
Ta có du 2dx dx . Do đó: 2 2 3 dx 1 du 1 3 1 1 1 ( 1) . 2 2 (2x 1) 2 u 2u 1 2 3 3 1 1 2 2 4
e)Đặt u 3x . Khi x thì u , khi x thì u . 3 3 3 3 3 du
Ta có du 3dx dx . Do đó: 3 2 4 4 3 3 2 1 1 3 1 4 cos(3x )dx cosudu sin u sin sin 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 3 3 . 3 2 2 3
3.Phƣơng pháp tích phân từng phần.
Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên ; a b thì: b b b '
u x v x dx u x v x ' ( ) ( ) ( ) ( )
v(x)u (x)dx a a a b b b hay udv uv vdu . a a a 9
Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:
Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng '
udv uv dx bằng cách chọn một phần thích hợp
của f(x) làm u(x) và phần còn lại '
dv v (x)d . x Bước 2: Tính '
du u dx và ' v
dv v (x)dx . b b b Bước 3: Tính ' vdu vu dx và uv . a a a
Bước 5: Áp dụng công thức trên. 3 3 ln x
Ví dụ 5: a)Tính tích phân I dx (ĐH-KB-2009) 2 (x 1) 1 3 3 3 3 ln x dx ln x I dx 3 dx 2 2 2 (x 1) (x 1) (x 1) 1 1 1 3 3 dx 3 3 I 3 1 2 (x 1) (x 1) 4 1 1 3 ln x I dx 2 2 (x 1) 1 Đặt u = lnx dx du x dx dv . Chọn 1 v 2 (x 1) x 1 3 3 3 3 ln x dx ln 3 dx dx ln 3 3 I ln 2 x 1 x(x 1) 4 x x 1 4 2 1 1 1 1 Vậy : 3 I (1 ln 3) ln 2 4 e b) Tính x ln xdx 1 dx du u ln x x Giải: Đặt dv xdx 2 x v 2 e e 2 2 2 2 x e 1 e x e e 1 x ln xdx ln x xdx . 2 1 2 2 4 1 4 1 1
Ví dụ 6: Tính các tích phân sau: 10 2 2 1 2 ln x a) dx b) x cos xdx c) x xe dx d) x e cos xdx 5 x 1 0 0 0 dx u ln x du x Giải: a) Đặt 1 . Do đó: dv dx 1 5 v x 4 4x 2 2 2 2 ln x ln x 1 dx ln 2 1 1 15 4 ln 2 dx 5 4 5 4 . x 4x 4 x 64 4 4x 256 1 1 1 1 u x du dx b) Đặt . Do đó:
dv cos xdx v sin x 2 2
x cos xdx xsin x 2 sin xdx cos x 2 1 . 2 2 0 0 0 0 u x du dx c)Đặt . Do đó: x x dv e dx v e 1 1 1 1 x x x x xe dx xe
e dx e e
e e 1 1 . 0 0 0 0 x x u e du e dx
d) Đặt dv cos xdx v sin x 2 2 x cos x sin 2 x e xdx e x e sin xdx . 0 0 0 x x u e du e dx 1 1 Đặt dv sin xdx v cos x 1 1 2 2 x 2 cos x cos 2 x e xdx e e x e cos xdx . 0 0 0 11 2 2 2 e x x 1 2
2 e cos xdx e 1 e cos xdx . 2 0 0
*Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần. b b b b P(x) x e dx
P(x) ln xdx
P(x) cos xdx x e cos xdx a a a a u P(x) lnx P(x) x e dv x e dx P(x)dx cosxdx cosxdx
Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và '
dv v dx thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn
u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn '
dv v dx là phần của f(x)dx là
vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần:
Nếu tính tích phân P(x)Q(x)dx
mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong những hàm số: ax e , cos ax,
sin ax thì ta thường đặt '
du P (x)dx u P(x)
dv Q(x)dx
v Q(x)dx
Nếu tính tích phân P(x)Q(x)dx
mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số '
du Q xdx u Q(x) ln(ax) thì ta đặt
dv P(x)dx v P(x)dx Nếu tính tích phân ax I e cosbxdx hoặc ax J e sin bxdx thì 12 ax du ae dx ax u e ta đặt 1
dv cosbxdx v sin bx b ax du ae dx ax u e hoặc đặt 1
dv sinbxdx v cosbx b
hoctoan capba.com Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần
sau đó trở thành tích phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.
II.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ THƢỜNG GẶP
1. Tích phân hàm số phân thức
a)Tính tích phân dạng tổng quát sau: dx I a 0 . 2
ax bx c (trong đó 2
ax bx c 0 với mọi x ; ) Xét 2
b 4ac. dx
+)Nếu 0 thì I tính được. 2 b a x 2a 1 dx
+)Nếu 0 thì I , a
x x x x 1 2 b b (trong đó x ; x ) 1 2 2a 2a 1 x x 1 I a ln x x x . x 1 2 2 dx dx
+) Nếu 0thì I ax bx c 2 2 2 b a x 2 2a 4 a 13 b 1 Đặt x tgt dx 2
1 tg t dt , ta tính được I. 2 2 2a 4a 2 a mx n
b) Tính tích phân: I dx, a 0 . 2
ax bx c mx n
(trong đó f (x) ; ) 2
ax bx liên tục trên đoạn c
+) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho: mx n
A(2ax b) B
ax2 bx c
ax2 bx c ax2 bx c mxn
A(2ax b) B +)Ta có I= dx dx dx 2 2 2 ax bx c ax bx c ax bx c
A(2ax b) 2 . Tích phân dx
= Aln ax bx c
ax2 bx c dx Tích phân tính được. 2
ax bx c b P(x)
c) Tính tích phân I dx
với P(x) và Q(x) là đa thức của x. Q(x) a
Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức.
Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:
+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn , ,..., thì đặt 1 2 n P(x) A A A 1 2 ... n . Q(x) x x x 1 2 n
+ Khi Q x x 2
x px q 2 ( )
, p 4q 0 thì đặt P(x) A Bx C . 2 Q(x) x
x px q 14
+ Khi Q x x x 2 ( )
với thì đặt P(x) A B C . Q(x) x x x 2 1 4x 11
Ví dụ 7. Tính tích phân: dx . 2 x 5x 6 0 Giải:
Cách 1.Bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta có thể tìm A, B sao cho: 4x 11 A2x 5 B , x \ 3 ; 2 2 2 2 x 5x 6 x 5x 6 x 5x 6 4x 11
2Ax 5A B , x \ 3 ; 2 2 2 x 5x 6 x 5x 6 2A 4 A 2 5
A B 11 B 1 4x 11 22x 5 1 Vậy , x \ 3 ; 2 2 2 2 x 5x 6 x 5x 6 x 5x . 6 1 1 1 4x 11 2x 5 dx Do đó dx 2 dx 2 2 2 x 5x 6 x 5x 6 x 5x 6 0 0 0 1 x 2 1 9 2
2ln x 5x 6 ln ln 0 x . 3 0 2 Cách 2. Vì 2
x 5x 6 x 2 x 3 nên ta có thể tính tích phân trên bằng cách: Tìm A, B sao cho: 4x 11 A B , x \ 3 ; 2 2 x 5x 6 x 2 x 3 4x 11
A Bx 3A B , x \ 3 ; 2 2 2 x 5x 6 x 5x 6 A B 4 A 3 3
A 2B 11 B 1 15 4x 11 3 1 Vậy , x \ 3 ; 2 2 x 5x 6 x 2 x . 3 1 1 1 4x 11 dx dx Do đó dx 3 2 x 5x 6 x 2 x 3 0 0 0 1 1 9 3ln x 2
ln x 3 ln . 0 0 2 1 dx
Ví dụ 8:Tính tích phân: . 2 x x 1 0 Giải: 1 1 dx dx Do 2 2 x x 1 1 3 0 0 x 2 4 1 3 3 Đặt x tan t, t ; dx 2
1 tan t dt 2 2 6 3 2 3 2 1 3 1 tan t 3 dt dx 2 3 2 3 2 3 3 Vậy dt t . 2 x x 1 3 2 3 3 9 0 (1 tan t) 6 6 4 6 1 2 3 x
Ví dụ 9. Tính tích phân: dx . 2 x 1 0 Giải: 1 1 1 1 2 2 2 2 3 x x xdx dx x dx xdx 2 2 2 x 1 x 1 x 1 0 0 1 0 1 1 2 x 1 1 1 3 2 2
ln x 1 2 ln . 2 2 8 2 4 0 0
2. Tích phân các hàm lƣợng giác 16
2.1.Dạng 1: Biến đổi về tích phân cơ bản
Ví dụ 10: Hãy tính các tích phân sau: 2 a) J sin 2x sin 7xdx ; 2 2 b) 4 4 K
cos x(sin x cos x)dx ; 0 2 3 4sin x c) M dx . 1 cos x 0 Giải 2 2 1 1 1 2 1 2 4 a) J cos5xdx cos9xdx sin 5x sin 9x . 2 2 10 18 45 2 2 2 2 b) Ta có x x x x x x2 4 4 2 2 2 2 cos (sin cos ) cos sin cos
2sin xcos x 1 1 3 1 2
cos x 1 sin 2x cos x 1 1 cos4x cos x cos x cos 4x 2 4 4 4 3 1
cos x cos5x cos3x. 4 8 2 2 2 2 3 1 1 4 4 K
cos x(sin x cos x)dx cos xdx cos5xdx co3xdx 4 8 8 0 0 0 0 3 1 1 3 1 1 11 sin x 2 sin 5x 2 sin 3x 2 . 4 40 24 4 40 24 15 0 0 0 3 2 2 4sin x 4sin xsin x
4(1 cos x)sin x c)
4(1 cos x)sin x 1 cos x 1 cos x 1 cos x M 2. 17
2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác dx
2.2.1.Tính I
asinx b cos x c Phƣơng pháp: x 2dt Đặt t tan dx 2 2 1 t 2t 2 1 t Ta có: sin x cos x 2 1 và t 2 1 t dx 2dt I đã biết cách tính.
asinx b cos x c
c b 2t 2at b c dx Ví dụ 11. Tính
4cos x 3sin x 5 x 1 x 2dt Giải: Đặt 2 t tg dt 1 tan dx dx 2 2 2 2 1 t 2dt 2 dx 1 x x t t dt t 2 2 cos 3sin 3 1 2 t 3t 2 3 3 2 2 1 t 1 t x tan 1 t 1 2 ln C ln C . t 2 x tan 2 2 dx
2.2.2. Tính I 2 2
a sin x bsin x cos x c cos x d dx
Phƣơng pháp: I a d 2 x b x
x c d 2 sin sin cos cos x dx 2 cos x a d 2
tan x b tan x c d dx dt
Đặt t tgx dt I đã tính được. 2 cos x
a d 2t bt c d 18 dx
Ví dụ 12. Tính: I . 2 2
sin x 2sin x cos x 3cos x dx 2 dx cos x Giải:Ta có I 2 2 2
sin x 2sin x cos x 3cos x
tg x 2tgx 3 dx
Đặt t tgx dt 2 cos x dt dt 1 t 1 1 tgx 1 I ln C ln C 2.2.3. 2 t 2t 3 t 1 t 3 4 t 3 4 tgx 3
msin x n cos x p Tính I dx .
a sin x b cos x c Phƣơng pháp: +)Tìm A, B, C sao cho:
msin x ncos x p Aasin x bcos x c Ba cos x bsin x C, x +)
msin x ncos x p Vậy I dx =
a sin x b cos x c a cos x sin A dx b x B dx dx = C
a sin x b cos x c
a sin x b cos x c
Tích phân dx tính được
a cos x bsin x ln sin Tích phân dx a x b x c C cos
a sin x b cos x c dx
Tích phân asin x bcos x c tính được. cos x 2sin x
Ví dụ 13. Tính: I dx .
4cos x 3sin x Giải:
Bằng cách cân bằng hệ số bất định, tìm A và B sao cho:
cos x 2sin x A4cos x 3sin x B 4
sin x 3cos x, x
cos x 2sin x 4A 3Bcos x 3A 4Bsin , x x 19 2 A
4A 3B 1 5 3
A 4B 2 1 B 5 2 1 4
sin x 3cos x 2 1 I . dx
x ln 4cos x 3sin x C .
5 5 4cos x 3sin x 5 5
2.3.Dạng 3: Đổi biến số để đưa về tích phân hàm lượng giác đơn giản hơn (Xem ví dụ 17, 20, 21)
2.4.Chú ý: Nguyên hàm dạng
Rsin x,cos x dx
, với Rsin x,cos xlà một hàm hữu tỉ theo sinx, cosx
Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta đã
biết cách tính tích phân. x 2dt
Trường hợp chung: Đặt t tan dx 2 2 1 t 2 2t 1 t Ta có sin x ;cos x 2 2 1 t 1 t
Những trường hợp đặc biệt:
+) Nếu Rsin x,cos xlà một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là Rsin ,
x cos x Rsin ,
x cos x thì đặt t tgx hoặc t cot gx, sau đó
đưa tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t.
+) Nếu Rsin x,cos xlà hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là: Rsin ,
x cos x Rsin ,
x cos xthì đặt t cos x .
+) Nếu Rsin x,cos xlà hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là: Rsin ,
x cos x Rsin ,
x cos xthì đặt t sin x.
3.Tích phân hàm vô tỉ
3.1 .Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản 20 1 dx
Ví dụ 14. Tính tích phân: I . x 1 x 0 Giải 1 1 dx 2 I 2 2 2 x x
x x 2 1 dx x 3 3 1 2 2 1 x 1 3 0 3 0 0 1 3 x dx
Ví dụ 15:Tính tích phân . 2 0 x 1 x 1 3 1 x dx 2 2 1 3 2 4 Giải: (x 1 x x )dx . 2 15 0 x 1 x 0
3.2.Dạng 2: Biến đổi về tích phân hàm lượng giác (xem ví dụ 2)
3.3Dạng 3: Biến đổi làm mất căn
Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức
Viết biểu thức trong căn dưới dạng bình phương đúng 1 I 3 x 1 2 x dx Ví dụ 15:Tính 0 Giải: 1 1 I 3 x 1 2 x dx 2 x 1 2 x .xdx 0 0 Đặt t= 2 2 2 2 2
1 x t 1 x x 1 t
Ta có: xdx=-tdt, Khi x= 0 thì t =1,khi x = 1 thì t =0 1 0 3 5 t 2 2 2 I 1
( t )t dt t Vậy 3 5 15 1 0
4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phƣơng pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối 21 2 Ví dụ 16: Tính 2 J x 1 dx 2
Giải: Lập bảng xét dấu của 2
x 1 trên đoạn 2 ;2 x -2 -1 1 2 2 x 1 + 0 - 0 + 2 1 1 2 Do đó 2 I
x 1 dx 2 x 1 dx 2
1 x dx 2 x 1 dx 2 2 1 1 3 3 3 x 1 x 1 x 2 x x x 4 . 3 2 3 1 3 1
III.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT
1.Cho hàm số y f (x) liên tục và lẻ trên đoạn ;
a a . Khi đó a I
f (x)dx 0 . a 2 xdx
Ví dụ 17: Chứng minh I 0 . 2 4 sin x 2
Giải: Đặt x t
dx dt . Khi x= 2 thì t = - 2 , khi x thì t 2 2 2 tdt Do đó : I= I 4 2 sin t 2 2 xdx
Suy ra : 2I = 0. Ta được I 0 . 2 4 sin x 2 22
2.Cho hàm số y f (x) liên tục và chẵn trên đoạn ;
a a . Khi đó a a I
f (x)dx 2 f (x)dx . a 0 a 0 a
Chứng minh : Ta có I
f (x)dx
f (x)dx f (x)dx (1) a a 0 0 Ta tính J f (x)dx
bằng cách đặt x t
0 t a dx dt a 0 0 a a
J f (x)dx f ( t
)dt f (t)dt f (x)dx (2) a a 0 0 a a
Thay (2) vào (1) ta được I
f (x)dx 2 f (x)dx a 0 2 x cos x
Ví dụ 18: Tính tích phân: I dx 2 4 sin x 2 2 2 2 x cos x x cos x Giải: Ta có I dx dx dx 2 2 2 4 sin x 4 sin x 4 sin x 2 2 2 2 x x Do f (x) nên dx 0 1 2 4 là hàm số lẻ trên ; sin x 2 2 2 4 sin x 2 cos x và f (x) nên ta có: 2 2 4 là hàm số chẵn trên ; sin x 2 2 2 2 2 cos x cos x d (sin x) dx 2 dx 2 2 2 4 sin x 4 sin x
(sin x 2)sin x 2 0 2 2 23 1 sin x 2 1 Vậy I ln 2 ln 3 2 sin x . 2 2 0
3.Cho hàm số y f (x) liên tục và chẵn trên đoạn :. Khi đó ( ) 1 I f x dx ( ) x f x dx a 1 2
Chứng minh: Đặt t= -x dt= - dx t a 1 x -t
Ta có f(x) = f(-t)= f(t); a +1= a +1= t a
Khi x= - thì t = ; x = thì t =- t f (x) a f t ( ) at 1 1 I dx dt Vậy ( ) x t f t dt a 1 a 1 at 1 ( ) f t
( )dt f t dt ( ) t f x dx I a 1 ( ) 1
I f x dx ( ) x f x dx Suy ra a 1 2 1 4 x
Ví dụ 19 : Tính tích phân: I dx . 2x 1 1
Giải:Đặt t= -x dt= - dx
Khi x= - 1 thì t = 1 ; x =1 thì t =-1 1 4 1 4 1 t x I t dx dt 2 4 Vậy x t t dt 2 1 2 1 2t 1 1 1 ` 1 1 1 4 1 t 4 t dt dt t 4xdx I 2 1 1 1 1 1 1 1 4 1 5 1 I x x dx Suy ra 2 2 5 5 1 1 24
4.Cho f(x) liên tục trên đoạn 0; .Khi đó 2 2 2
f (sin x)dx
f (cos x)dx . 0 0 Chứng minh: Đặt t
x dx dt 2 Khi x = 0 thì t , khi x thì t = 0 2 2 2 0 2 2 Do đó
f (sin x)dx f (sin(
t)dt f (cost)dt f (cos x)dx . 2 0 0 0 2
Nhận xét : Bằng cách làm tương tự ta có các công thức
*Nếu f(x) liên tục trên 0; 1 thì
xf (sin x)dx
f (sin x)dx 2 2 2
*Nếu f(x) liên tục trên 0; 1 thì
xf (cos x)dx f (cos x) dx 2 sinn x
Ví dụ 20:Chứng minh: I= dx .
sinn x cosn x 4 0 Giải :
Tương tự như trên ta có: 2 2 sinn x cosn x I= dx dx =J
sinn x cosn x
sinn x cosn x 0 0 2 2 sinn x cosn x +) Vậy I+J= dx dx
sinn x cosn x
sinn x cosn x 2 0 0 25 2 sinn x Vậy I= dx .
sinn x cosn x 4 0 x sin x
Ví dụ 21: Tính tích phân: dx . 2 1 cos x 0
Giải: Đặt x t 0 t dx dt . 0 x sin x
tsin t Khi đó dx dt 2 2 1 cos x
1 cos t 0 sint t sin t dt dt 2 2 1 cos t 1 cos t 0 0 sin x x sin x dx dx 2 2 1 cos x 1 cos x 0 0 xsin x sin x 2 dx dx 2 2 1 cos x 1 cos x 0 0 2 xsin x sin x Vậy dx dx . 2 2 1 cos x 2 1 cos x 4 0 0 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1.Tính các tích phân sau 2 2 x
b)I x sin xdx a)I sin 2 dx 2 2 0 0 cos x 4sin x ( ĐH-KA-2006) 2 2 x x
d)I (2x 2 ) 1 cos . x dx c)I sin2 sin dx 1 3cos x 0 0 (ĐH-KA-2005) 4 x 2 x x f )I dx
e)I sin 2 .cos dx 1 cos 2x 1 cos x 0 0 (ĐH-KB-2005) 26 2 x x 3 tan x g)I sin cos dx h)I dx 2 1 sin 2x
cos x 1 cos x 4 4 2 x 4 i)I cos 2 dx 2
k)I x tan .xdx
(sin x cos x 3 ) 3 0 0
Bài 2.Tính các tích phân sau 3 5 3 3 dx a I x 2x ) dx b)I 2 2 2 x (x ) 1 0 x 1 1 4 x 1 1 1 c)I 2 1 dx
d )I 1 dx 2 1 2x 1 x x 1 0 2 3
e)I x3. x2 dx 1 3 dx f )I 1 x 3 x 1 2 3 dx g)I 5
h)I x 2 x 2 2 dx 5 x x 4 3
Bài 3. Tính các tích phân sau 1 2 ln( 1 x) a)I 2 (x ) 1 exdx b)I dx 2 x 0 1 1 dx e x3 1 c)I d)I ln x dx . 1 x e x 0 1 2 2 x 3
e I x .e ) dx 2
f )I ln(x x).dx (x 2 ) 2 0 2 0 g)I 2
x(e x 3 x ) 1 dx 2 h)I sin
(e x cos x) cos . x dx 1 0