Phân dạng bài tập và lời giải chi tiết chuyên đề Tích phân – Lưu Huy Thưởng Toán 12

Phân dạng bài tập và lời giải chi tiết chuyên đề Tích phân – Lưu Huy Thưởng Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

78 39 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Môn: Toán 12

Thông tin:

120 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
TUYỂN TẬP TÍCH PHÂN
(ĐÁP ÁN CHI TIẾT)
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
Toàn bộ tài liệu của thầy ở trang:
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HÀ NỘI, 4/2014
HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………
LỚP :………………………………………………………………….
TRƯỜNG :…………………………………………………………………
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 1
TÍCH PHÂN CƠ BẢN
Toàn bộ tài liệu luyện thi đại học môn toán của thầy Lưu Huy Thưởng:
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 1.Tính các tích phân sau:
a)
1
3
1
0
I x dx
=
∫
b)
1
3
2
0
(2 1)
I x dx
= +
∫
c)
1
3
3
0
(1 4 )
I x dx
= −
∫
d)
1
2 3
4
0
( 1)( 2 5)
I x x x dx
= − − +
∫
e)
1
2 3
5
0
(2 3)( 3 1)
I x x x dx
= − − +
∫
Bài giải
a)
1
4
3 1
1 0
0
1
x
I x dx
= = =
∫
b)
1
3
2
0
(2 1)
I x dx
= +
∫
Chú ý:
1
(2 1) 2 (2 1)
2
d x dx dx d x
+ = ⇒ = +
1 1
4
3 3 1
2 0
0 0
(2 1)
1 1 81 1
(2 1) (2 1) (2 1) 10
2 2 4 8 8
x
I x dx x d x
+
⇒ = + = + + = = − =
∫ ∫
c)
1
3
3
0
(1 4 )
I x dx
= −
∫
Chú ý:
1
(1 4 ) 4 (1 4 )
4
d x dx dx d x
− = − ⇒ = − −
1 1
4
3 3 1
3 0
0 0
(1 4 )
1 1 81 1
(1 4 ) (1 4 ) (1 4 ) 5
4 4 4 16 16
x
I x dx x d x
−
⇒ = − = − − − = − = − + = −
∫ ∫
d)
1
2 3
4
0
( 1)( 2 5)
I x x x dx
= − − +
∫
Chú ý:
2 2
1
( 2 5) (2 2) ( 1) ( 2 5)
2
d x x x dx x dx d x x− + = − ⇒ − = − +
1 1
2 3 2 3 2
4
0 0
1
( 1)( 2 5) ( 2 5) ( 2 5)
2
I x x x dx x x d x x
⇒ = − − + = − + − +
∫ ∫
2 4
1
0
( 2 5)
1 615 671
. 162
2 4 8 8
x x− +
= = − =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 2
e)
1
2 3
5
0
(2 3)( 3 1)
I x x x dx
= − − +
∫
Chú ý:
2
( 3 1) (2 3)
d x x x dx
− + = −
1 1
2 3 2 3 2
5
0 0
(2 3)( 3 1) ( 3 1) ( 3 1)
I x x x dx x x d x x
⇒ = − − + = − + − +
∫ ∫
2 4
1
0
( 3 1)
1 1
0
4 4 4
x x− +
= = − =
HT 2.Tính các tích phân sau:
a)
1
1
0
I xdx
=
∫
b)
7
2
2
2
I x dx
= +
∫
c)
4
3
0
2 1
I x dx
= +
∫
d)
1
2
4
0
1
I x x dx
= +
∫
e)
1
2
5
0
1
I x x dx
= −
∫
f)
1
2
6
0
(1 ) 2 3
I x x x dx
= − − +
∫
g)
1
2 3
7
0
1
I x x dx
= +
∫
h)
1
2 3 2
8
0
( 2 ) 3 2
I x x x x dx
= − − +
∫
Bài giải
a)
1
1
0
I xdx
=
∫
1
0
2 2
3 3
x x
= =
b)
7
7
2 2
2
2 16 38
2 ( 2) 2 18
3 3 3
I x dx x x= + = + + = − =
∫
c)
4
3
0
2 1
I x dx
= +
∫
4
4
0
0
1 1 2 1 26
2 1 (2 1) . (2 1) 2 1 9
2 2 3 3 3
x d x x x= + + = + + = − =
∫
d)
1 1
2 2 2 2 2 1
4 0
0 0
1 1 2 2 2 1
1 1 (1 ) . (1 ) 1
2 2 3 3 3
I x x dx x d x x x
= + = + + = + + = −
∫ ∫
e)
1
2
5
0
1
I x x dx
= −
∫
1
2 2 2 2 1
0
0
1 1 2 1 1
1 (1 ) . (1 ) 1 0
2 2 3 3 3
x d x x x
= − − − = − − − = + =
∫
f)
1 1
2 2 2
6
0 0
1
(1 ) 2 3 2 3 ( 2 3)
2
I x x x dx x x d x x= − − + = − − + − +
∫ ∫
2 2 1
0
1 2 2 2
. ( 2 3) 2 3 3
2 3 3
x x x x= − − + − + = − +
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 3
g)
1 1
2 3 3 3 3 3 1
7 0
0 0
1 1 2 4 2 2
1 1 ( 1) . ( 1) 1
3 3 3 9
I x x dx x d x x x
−
= + = + + = + + =
∫ ∫
h)
1 1
2 3 2 3 2 3 2
8
0 0
1
( 2 ) 3 2 3 2 ( 3 2)
3
I x x x x dx x x d x x
= − − + = − + − +
∫ ∫
3 2 3 2 1
0
1 2 4 2 4 2
. ( 3 2) 3 2 0
3 3 9 9
x x x x= − + − + = − = −
HT 3.Tính các tích phân sau:
a)
4
1
1
dx
I
x
=
∫
b)
1
2
0
2 1
dx
I
x
=
+
∫
c)
0
3
1
1 2
dx
I
x
−
=
−
∫
d)
1
4
2
0
( 1)
2 2
x dx
I
x x
+
=
+ +
∫
e)
1
5
2
0
( 2)
4 5
x dx
I
x x
−
=
− +
∫
Bài giải
a)
4
4
1 1
1
2 4 2 2
dx
I x
x
= = = − =
∫
b)
1 1
1
2 0
0 0
(2 1)
1
2 1 3 1
2
2 1 2 1
d x
dx
I x
x x
+
= = = + = −
+ +
∫ ∫
c)
0 0
0
3 1
1 1
(1 2 )
1
1 2 1 3
2
1 2 1 2
d x
dx
I x
x x
−
− −
−
= = − = − − = − +
− −
∫ ∫
d)
1 1
2
2 1
4 0
2 2
0 0
( 1) ( 2 2)
1
2 2 5 2
2
2 2 2 2
x dx d x x
I x x
x x x x
+ + +
= = = + + = −
+ + + +
∫ ∫
e)
1 1
2
2 1
5 0
2 2
0 0
( 2) ( 4 5)
1
4 5 2 5
2
4 5 4 5
x dx d x x
I x x
x x x x
− − +
= = = − + = −
− + − +
∫ ∫
HT 4.Tính các tích phân sau:
a)
1
1
e
dx
I
x
=
∫
b)
0
2
1
1 2
dx
I
x
−
=
−
∫
c)
1
3
2
0
1
xdx
I
x
=
+
∫
d)
1
4
2
0
( 1)
2 2
x dx
I
x x
+
=
+ +
∫
e)
1
5
2
0
2
4 5
x
I dx
x x
−
=
− +
∫
Bài giải
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 4
a)
1 1
1
ln ln ln 1 1
e
e
dx
I x e
x
= = = − =
∫
b)
0
2
1
1 2
dx
I
x
−
=
−
∫
0
0
1
1
(1 2 )
1 1 1 ln 3
ln 1 2 (ln1 ln 3)
2 1 2 2 2 2
d x
x
x
−
−
−
= − = − − = − − =
−
∫
c)
1
3
2
0
1
xdx
I
x
=
+
∫
(
)
2
1
2 1
0
2
0
1
1 1 1 ln 2
ln 1 (ln 2 ln 1)
2 2 2 2
1
d x
x
x
+
= = + = − =
+
∫
d)
1
4
2
0
( 1)
2 2
x dx
I
x x
+
=
+ +
∫
1
2
2
0
( 2 2)
1
2
2 2
d x x
x x
+ +
=
+ +
∫
2 1
0
1 1 1 5
ln 2 2 (ln 5 ln 2) ln
2 2 2 2
x x= + + = − =
e)
1 1
2
2 1
5 0
2 2
0 0
( 4 5)
2 1 1 1 1 2
ln 4 5 (ln 2 ln 5) ln
2 2 2 2 5
4 5 4 5
d x x
x
I dx x x
x x x x
− +
−
= = = − + = − =
− + − +
∫ ∫
HT 5.Tính các tích phân sau:
a)
2
1
2
1
dx
I
x
=
∫
b)
0
2
2
1
(2 1)
dx
I
x
−
=
−
∫
c)
1
3
2
0
(3 1)
dx
I
x
=
+
∫
Bài giải
a)
2
2
1 1
2
1
1 1 1
1
2 2
dx
I
x
x
= = − = − + =
∫
b)
0 0
0
2 1
2 2
1 1
(2 1)
1 1 1 1 1 1
.
2 2 2 1 2 6 3
(2 1) (2 1)
d x
dx
I
x
x x
−
− −
−
= = = − = − =
−
− −
∫ ∫
c)
1 1
1
3 0
2 2
0 0
(3 1)
1 1 1 1 1 1
.
3 3 3 1 12 4 6
(3 1) (3 1)
d x
dx
I
x
x x
+
= = = − = − + =
+
+ +
∫ ∫
HT 6.Tính các tích phân sau:
a)
1
3
1
0
x
I e dx
=
∫
b)
1
3
2
0
(2 1)
x x
I e e dx
= +
∫
c)
1
3
3
0
(1 4 )
x x
I e e dx
= −
∫
d)
1
4
0
1
x
x
e dx
I
e
=
+
∫
e)
2
2
5
2 2
1
( 1)
x
x
e dx
I
e
=
−
∫
f)
2
2
6
2 3
1
(1 3 )
x
x
e dx
I
e
=
−
∫
g)
1
7
0
2 1
x x
I e e dx
= +
∫
h)
1
2 2
8
0
1 3
x x
I e e dx
= +
∫
i)
1
9
0
1
x
x
e dx
I
e
=
+
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 5
a)
1
3
3 3 1
1 0
0
1 1
3 3 3
x x
e
I e dx e
= = = −
∫
b)
1 1
4
3 3 1
2 0
0 0
(2 1)
1 1
(2 1) (2 1) (2 1) .
2 2 4
x
x x x x
e
I e e dx e d e
+
= + = + + =
∫ ∫
4
(2 1)
1 81
2 4 4
e
+
= −
4
(2 1)
81
8 8
e +
= −
c)
1 1
3 3
3
0 0
1
(1 4 ) (1 4 ) (1 4 )
4
x x x x
I e e dx e d e
= − = − − −
∫ ∫
4 4 4
1
0
(1 4 ) (1 4 ) 81 (1 4 )
1 1 81
.
4 4 4 4 4 16
x
e e e
− − − −
= − = − − =
d)
1 1
1
4 0
0 0
( 1)
1
ln 1 ln( 1) ln 2 ln
2
1 1
x
x
x
x x
d e
e dx e
I e e
e e
+
+
= = = + = + − =
+ +
∫ ∫
e)
2 2
2
2 2
2
5 1
2 2 2 2 2 4 2 4
1 1
( 1)
1 1 1 1 1
.
2 2
( 1) ( 1) 1 2( 1) 2( 1) 2( 1)
x
x
x x x
d e
e dx e
I
e e e e e e
−
= = = − = − + =
− − − − − −
∫ ∫
f)
2 2
2
2
2
6 1
2 3 2 3 2 2 4 2
1 1
(1 3 )
1 1 1 1 1
.
6 6
(1 3 ) (1 3 ) 2(1 3 ) 12(1 3 ) 12(1 3 )
x
x
x x x
d e
e dx
I
e e e e e
−
−
= = − = − = −
− − − − −
∫ ∫
g)
1 1
1
7 0
0 0
1 1 2 1
2 1 2 1 (2 1) . (2 1) 2 1 (2 1) 2 1 3
2 2 3 3
x x x x x x
I e e dx e d e e e e e= + = + + = + + = + + −
∫ ∫
h)
1
2 2
8
0
1 3
x x
I e e dx
= +
∫
1
2 2 2 2 1 2 2
0
0
1 1 2 1 8
1 3 (1 3 ) . (1 3 ) 1 3 (1 3 ) 1 3
6 6 3 9 9
x x x x
e d e e e e e
= + + = + + = + + −
∫
i)
1
9
0
1
x
x
e dx
I
e
=
+
∫
1
1
0
0
( 1)
2 1 2 1 2
1
x
x
x
d e
e e
e
+
= = + = + −
+
∫
HT 7.Tính các tích phân sau:
a)
1
1
ln
e
x
I dx
x
=
∫
b)
2
1
3 ln 1
e
x
I dx
x
+
=
∫
c)
3
3
1
(3 ln 1)
e
x
I dx
x
+
=
∫
d)
3 2
4
1
4 ln 3 ln 2 ln 1
e
x x x
I dx
x
+ − +
=
∫
e)
2
5
ln
e
e
dx
I
x x
=
∫
f)
6
1
(3 ln 1)
e
dx
I
x x
=
+
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 6
g)
7
1
3 ln 1
e
x dx
I
x
+
=
∫
h)
8
1
3 ln 1
e
dx
I
x x
=
+
∫
Bài giải
a)
2 2 2
1 1
1 1
ln ln ln ln 1 1
ln (ln )
2 2 2 2
e e
e
x x e
I dx xd x
x
= = = = − =
∫ ∫
b)
2
2 1
1 1
3 ln 1 3 ln 3 5
(3 ln 1) (ln ) ln ( 1) 0
2 2 2
e e
e
x x
I dx x d x x
x
+
= = + = + = + − =
∫ ∫
c)
3 4
3
3 1
1 1
(3 ln 1) (3 ln 1)
1 1 64 1 85
(3 ln 1) (3 ln 1) .
3 3 4 3 12 4
e e
e
x x
I dx x d x
x
+ +
= = + + = = − =
∫ ∫
d)
3 2
4
1
4 ln 3 ln 2 ln 1
e
x x x
I dx
x
+ − +
=
∫
3 2
1
(4 ln 3 ln 2 ln 1) (ln )
e
x x x d x
= + − +
∫
4 3 2
1
(ln ln ln ln )
e
x x x x
= + − +
(1 1 1 1) 0 2
= + − + − =
e)
2 2
2
2
5
(ln )
ln(ln ) ln(ln ) ln(ln ) ln 2
ln ln
e e
e
e
e e
d x
dx
I x e e
x x x
= = = = − =
∫ ∫
f)
6
1
(3 ln 1)
e
dx
I
x x
=
+
∫
1
(3 ln 1)
1
3 3 ln 1
e
d x
x
+
=
+
∫
1
1
ln(3 ln 1)
3
e
x= +
1 ln 4
(ln 4 ln1)
3 3
= − =
g)
7
1 1
3 ln 1 1
3 ln 1 (3 ln 1)
3
e e
x dx
I x d x
x
+
= = + +
∫ ∫
1
1 2 16 2 14
. (3 ln 1) 3 ln 1
3 3 9 9 9
e
x x= + + = − =
h)
8
1
3 ln 1
e
dx
I
x x
= =
+
∫
1
1
(3 ln 1)
1 1 4 2 2
.2 3 ln 1
3 3 3 3 3
3 ln 1
e
e
d x
x
x
+
= = + = − =
+
∫
HT 8.Tính các tích phân sau:
a)
2
2
1
0
cos sin
I x xdx
π
=
∫
b)
2
2
2
0
sin cos
I x xdx
π
=
∫
c)
4
3
3
0
sin 2 cos2
I x xdx
π
=
∫
d)
4
4
0
sin
cos
x
I dx
x
π
=
∫
e)
2
5
0
sin 3 cos 1
I x x dx
π
= +
∫
f)
2
6
0
cos
3 sin 1
x
I dx
x
π
=
+
∫
Giải
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 7
a)
2 2
3
2 2
2
1 0
0 0
cos 1
cos sin cos (cos )
3 3
x
I x xdx xd x
π π
π
= = − = − =
∫ ∫
b)
2
2
2
0
sin cos
I x xdx
π
=
∫
2
3
2
2
0
0
sin 1
sin (sin )
3 3
x
xd x
π
π
= = =
∫
c)
4 4
4
3 3
4
3 0
0 0
1 sin 2 1
sin 2 cos2 sin 2 (sin2 )
2 8 8
x
I x xdx xd x
π π
π
= = = =
∫ ∫
d)
4 4
4
4 0
0 0
(cos )
sin 2 2
ln(cos ) ln ln1 ln
cos cos 2 2
d x
x
I dx x
x x
π π
π
= = − = − = − + = −
∫ ∫
e)
2 2
2
5 0
0 0
1 1 2 1 4
sin 3 cos 1 3 cos 1 (3 cos 1) . (3 cos 1) 3 cos 1 1
3 2 3 3 3
I x x dx x d x x x
π π
π
= + = + + = + + = − = −
∫ ∫
f)
2 2
2
6 0
0 0
(3 sin 1)
cos 1 2 4 2 2
3 sin 1
3 3 3 3 3
3 sin 1 3 sin 1
d x
x
I dx x
x x
π π
π
+
= = = + = − =
+ +
∫ ∫
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 8
PHẦN II TÍCH PHẦN HÀM HỮU TỶ
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
I.DẠNG 1:
dx
ax b
+
∫
1
ln
ax b C
a
= + +
HT 1.Tính các tích phân sau:
a)
1
0
3 1
dx
x
+
∫
b)
0
1
1 3
dx
x
−
−
∫
c)
1
0
1 3
2 1 4 2
dx
x x
−
+ −
∫
Giải
a)
1
1
0
0
1 1 ln 4
ln 3 1 (ln 4 ln 1)
3 1 3 3 3
dx
x
x
= + = − =
+
∫
b)
0
1
1 3
dx
x
−
−
∫
0
1
1 1 ln 4
ln 1 3 (ln1 ln 4)
3 3 3
x
−
= − − = − − = −
c)
1
1
0
0
1 3 1 3 1 3 1 3
ln 2 1 ln 4 2 ln 3 ln 2 ln1 ln 4
2 1 4 2 2 2 2 2 2 2
dx x x
x x
− = + + − = + − +
+ −
∫
1 3 1
ln 3 ln
2 2 2
= +
HT 2.Tính các tích phân sau:
a)
2
4 3 2
1
2
1
3 2 5 1
x x x x
I dx
x
+ − + −
=
∫
b)
1
3 2
2
0
3 2 1
2
x x x
I dx
x
− + −
=
−
∫
c)
0
3 2
3
1
2 3 4 1
1 2
x x x
I
x
−
− + −
=
−
∫
Giải
a)
2
4 3 2
1
2
1
3 2 5 1
x x x x
I dx
x
+ − + −
=
∫
2
2
2
1
5 1
( 3 2 )
x x dx
x
x
= + − + −
∫
3 2
2
1
3 1 8 1 1 3
2 5 ln 6 4 5 ln2 2 5 ln1 1
3 2 3 2 3 2
x x
x x
x
= + − + + = + − + + − + − + +
13
5 ln 2
3
= +
b)
1
3 2
2
0
3 2 1
2
x x x
I dx
x
− + −
=
−
∫
1
2
0
1
2)
x x dx
x
= − −
−
∫
( )
3 2
1
0
1 1 1
ln 2 ln1 ln 2 ln 2
3 2 3 2 6
x x
x
= − − − = − − − − = −
c)
0
3 2
3
1
2 3 4 1
1 2
x x x
I
x
−
− + −
=
−
∫
0
2
1
3 1
2 2( 2 1)
x x dx
x
−
= − + − +
− +
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 9
3 2
0
1
3 1
ln 2 1
3 2 2 4
x x
x x
−
= − + − − − +
1 1 1 3 1 ln 3 7
( ln1) ( ln 3)
4 3 2 2 4 4 3
= − − + + − = −
II.DẠNG 2:
2
dx
ax bx c
+ +
∫
HT 3.Tính các tích phân sau (mẫu số có hai nghiệm phân biệt)
a)
1
0
( 1)( 2)
dx
x x+ +
∫
b)
1
0
( 1)(3 )
dx
x x
+ −
∫
c)
1
0
( 1)(2 3)
dx
x x+ +
∫
Giải
a)
1 1 1
0 0 0
( 2) ( 1)
1 1
( 1)( 2) ( 1)( 2) 1 2
x x
dx
dx dx
x x x x x x
+ − +
= = −
+ + + + + +
∫ ∫ ∫
( )
1 1
0 0
1 2 1 4
ln 1 ln 2 ln ln ln ln
2 3 2 3
x
x x
x
+
= + − + = = − =
+
b)
1
0
( 1)(3 )
dx
x x
+ −
∫
1 1
0 0
( 1) (3 )
1 1 1 1
4 ( 1)(3 ) 4 3 1
x x
dx dx
x x x x
+ + −
= = +
+ − − +
∫ ∫
( )
1 1
0 0
1 1 1
ln 3 ln 1 ln
4 4 3
x
x x
x
+
= − − + + =
−
1 1 ln 3
ln1 ln
4 3 4
= − = −
c)
1 1
0 0
(2 3) 2( 1)
( 1)(2 3) ( 1)(2 3)
x x
dx
dx
x x x x
+ − +
=
+ + + +
∫ ∫
1
0
1 2
1 2 3
dx
x x
= −
+ +
∫
( )
1 1
0 0
1 2 1 6
ln 1 ln 2 3 ln ln ln ln
2 3 5 3 5
x
x x
x
+
= + − + = = − =
+
HT 4.Tính các tích phân sau:
a)
1
2
0
12
dx
x x− −
∫
b)
0
2
1
2 5 2
dx
x x
−
− +
∫
c)
2
2
1
1 2 3
dx
x x
− −
∫
Giải
a)
1
2
0
12
dx
x x− −
∫
=
1 1
0 0
( 3) ( 4)
1
( 3)( 4) 7 ( 3)( 4)
x x
dx
dx
x x x x
+ − −
=
+ − + −
∫ ∫
( )
1
1 1
0 0
0
1 1 1 1 1 4
ln 4 ln 3 ln
7 4 3 7 7 3
x
dx x x
x x x
−
= − = − − + =
− + +
∫
1 3 4 1 9
(ln ln ) ln
7 4 3 7 16
= − =
b)
0
2
1
2 5 2
dx
x x
−
− +
∫
=
0 0 0
1 1 1
(2 1) 2( 2)
1
1 ( 2)(2 1) 3 ( 2)(2 1)
2( 2)( )
2
x x
dx dx
dx
x x x x
x x
− − −
− − −
= =
− − − −
− −
∫ ∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 10
( )
0
0
1
1
1 1 2 1
ln 2 ln 2 1
3 2 2 1 3
dx x x
x x
−
−
= − = − − −
− −
∫
0
1
1 2 1 ln 2
ln (ln 2 ln1)
3 2 1 3 3
x
x
−
−
= = − =
−
c)
2 2 2
2
1 1 1
1 ( 1)(1 3 )
1 2 3
3( 1)( )
3
dx dx dx
x x
x x
x x
= =
+ −
− −
− + −
∫ ∫ ∫
2
1
3( 1) (1 3 )
1
4 ( 1)(1 3 )
x x
dx
x x
+ + −
=
+ −
∫
( )
2
2
1
1
1 3 1 1
ln 1 3 ln 1
4 1 3 1 4
dx x x
x x
= + = − − + +
− +
∫
2
1
1 1 1 3 1 3
ln (ln ln 1) ln
4 1 3 4 5 4 5
x
x
+
= = − =
−
HT 5.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm kép)
a)
2
2
1
dx
x
∫
b)
1
2
0
(3 1)
dx
x +
∫
c)
0
2
1
(1 2 )
dx
x
−
−
∫
d)
0
2
1
9 6 1
dx
x x
−
− +
∫
e)
0
2
1
16 8 1
dx
x x
−
− + −
∫
Giải
a)
2
2
1
dx
x
∫
2
1
1 1 1
1
2 2
x
= − = − + =
b)
1
1
0
2
0
1 1 1 1 1
.
3 (3 1) 12 3 4
(3 1)
dx
x
x
= − = − − =
+
+
∫
c)
0
2
1
(1 2 )
dx
x
−
−
∫
0
0
1
2
1
1 1 1 1 1
.
2 2 1 2 6 3
(2 1)
dx
x
x
−
−
= = − = − − + =
−
−
∫
d)
0
2
1
9 6 1
dx
x x
−
− +
∫
0
0
1
2
1
1 1 1 1 1
.
3 3 1 3 12 4
(3 1)
dx
x
x
−
−
= = − = − − + =
−
−
∫
e)
0
2
1
16 8 1
dx
x x
−
− + −
∫
0 0
0
1
2 2
1 1
1 1 1 1 1
.
4 4 1 4 20 5
16 8 1 (4 1)
dx dx
x
x x x
−
− −
= − = − = = − + = −
−
− + −
∫ ∫
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 6.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm)
a)
1
1
2
0
1
dx
I
x
=
+
∫
b)
3
2
0
3
dx
x
+
∫
c)
2
2
2
0
2 3
dx
x
+
∫
Giải
a)
1
1
2
0
1
dx
I
x
=
+
∫
Đặt:
tan ;
2 2
x t t
π π
= ∈ −
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
0 0
x t
= ⇒ =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 11
Với
1
4
x t
π
= ⇒ =
4 4 4
4
1 0
2 2
2
0 0 0
2
1
cos (tan 1)
cos .
cos
dt dt
I dt t
t t
t
t
π π π
π
⇒ = = = =
+
∫ ∫ ∫
4
π
=
b)
3
2
2
0
3
dx
I
x
=
+
∫
Đặt:
3 tan
x t
=
Với
;
2 2
t
π π
∈ −
2
3
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
0 0
x t
= ⇒ =
; Với
3
4
x t
π
= ⇒ =
4 4
2
2 2
2
0 0
2
3 3
3 1
cos (3 tan 3)
cos .
cos
dt dt
I
t t
t
t
π π
⇒ = =
+
∫ ∫
4
0
3
3
dt
π
=
∫
4
0
3 3
3 12
t
π
π
= =
c)
2 2
2 2
3
2
2
0 0
3
2 3
2
2
dx dx
I
x
x
= =
+
+
∫ ∫
2
2
2
0
1
2 3
2
dx
x
=
+
∫
Đặt:
3
tan
2
x t
=
Với
;
2 2
t
π π
∈ −
2
6
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
0 0;
x t
= ⇒ =
Với
2
2 6
x t
π
= ⇒ =
6 6 6
6
3 0
2 2 2
0 0 0
2
1 6 6 6 6 6
2 3 3 6 1 6 6 36
2 cos ( tan ) cos .
2 2
cos
dt dt
I dt t
t t t
t
π π π
π
π
⇒ = = = = =
+
∫ ∫ ∫
HT 7.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm)
a)
0
1
2
1
( 1) 1
dx
I
x
−
=
+ +
∫
b)
4
2
2
2
4 8
dx
I
x x
=
− +
∫
c)
1
3
2
0
1
dx
I
x x
=
+ +
∫
Giải
a)
0
1
2
1
( 1) 1
dx
I
x
−
=
+ +
∫
Đặt:
1 tan
x t
+ =
Với
;
2 2
t
π π
∈ −
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 12
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
1 0;
x t
= − ⇒ =
Với
0
4
x t
π
= ⇒ =
4 4 4
4
1 0
2 2
2
0 0 0
2
1 4
cos (tan 1)
cos .
cos
dt dt
I dt t
t t
t
t
π π π
π
π
⇒ = = = = =
+
∫ ∫ ∫
b)
4
2
2
2
4 8
dx
I
x x
=
− +
∫
4
2
2
( 2) 4
dx
x
=
− +
∫
Đặt:
2 2 tan
x t
− =
Với
;
2 2
t
π π
∈ −
2
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
2 0;
x t
= ⇒ =
Với
4
4
x t
π
= ⇒ =
4 4 4
4
2 0
2 2
2
0 0 0
2
2 1 1 1
2 1 2 2 8
cos (4 tan 4)
cos .
cos
dt dt
I dt t
t t
t
t
π π π
π
π
⇒ = = = = =
+
∫ ∫ ∫
c)
1
3
2
0
1
dx
I
x x
=
+ +
∫
1
2
0
1 3
2 4
dx
x
=
+ +
∫
Đặt:
1 3
tan
2 2
x t
+ =
Với
;
2 2
t
π π
∈ −
2
3
.
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
0
6
x t
π
= ⇒ =
;Với
1
3
x t
π
= ⇒ =
3 3
3
2 2 2
2
6 6
3 2 3
3 3 3 1
2 cos ( tan ) cos .
4 4
cos
dt dt
I
t t t
t
π π
π π
⇒ = = =
+
∫ ∫
3
3
6
6
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
3 3 9 18 18
dt t
π
π
π
π
π π π
= = − =
∫
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 13
III.Dạng 3:
2
mx n
dx
ax bx c
+
+ +
∫
HT 8.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có 2 nghiệm phân biệt)
a)
1
1
2
0
1
4 3
x
I dx
x x
−
=
+ +
∫
b)
0
2
2
1
2 10
2
x
I dx
x x
−
+
=
− + +
∫
c)
0
3
2
1
7 4
2 3 2
x
I dx
x x
−
−
=
− − +
∫
Giải
a)
1
1
2
0
1
4 3
x
I dx
x x
−
=
+ +
∫
1
0
( 1)
( 1)( 3)
x dx
x x
−
=
+ +
∫
Xét đồng nhất thức:
( ) 3
1 3
( 3)( 1) 3 1 ( 3)( 1) ( 3)( 1)
A b x A B
x A B Ax A Bx B
x x x x x x x x
+ + +
− + + +
= + = =
+ + + + + + + +
Đồng nhất thức hai vế ta được:
1 2
3 1 1
A B A
A B B
+ = =
⇔
+ = − = −
Vậy,
( )
1
1
1 0
0
2 1
2 ln 3 ln 1
3 1
I dx x x
x x
= − = + − +
+ +
∫
4
(2 ln 4 ln 2) (2 ln 3 ln 1) 2 ln ln 2
3
= − − − = −
b)
0
2
1
2 10
2
x
dx
x x
−
+
− + +
∫
0
1
2 10
( 2)(1 )
x
dx
x x
−
+
=
+ −
∫
Xét đồng nhất thức:
( ) 2
2 10 2
( 2)(1 ) 2 1 ( 2)(1 ) ( 2)(1 )
B A x A B
x A B A Ax Bx B
x x x x x x x x
− + +
+ − + +
= + = =
+ − + − + − + −
Đồng nhất thức hai vế ta được:
2 2
2 10 4
B A A
A B B
− = =
⇔
+ = =
Vậy,
( )
0
0
2 1
1
2 4
2 ln 2 4 ln 1
2 1
I dx x x
x x
−
−
= + = + − −
+ −
∫
(2 ln 2 4 ln1) (2 ln1 4 ln 2) 2 ln 2 4 ln2 ln 4 ln16 ln 64
= − − − = + = + =
c)
0
3
2
1
7 4
2 3 2
x
I dx
x x
−
−
=
− − +
∫
0
1
7 4
( 2)(1 2 )
x
dx
x x
−
−
=
+ −
∫
Xét đồng nhất thức:
( 2 ) 2
7 4 2 2
( 2)(1 2 ) 2 1 2 ( 2)(1 2 ) ( 2)(1 2 )
B A x A B
x A B A Ax Bx B
x x x x x x x x
− + +
− − + +
= + = =
+ − + − + − + −
Đồng nhất thức hai vế ta được:
2 4 3
2 7 2
B A A
A B B
− = − =
⇔
+ = =
Vậy,
( )
0
0
3 1
1
2 3
ln 1 2 3 ln 2
1 2 2
I dx x x
x x
−
−
= + = − − + +
− +
∫
3
( ln1 2 ln 2) ( ln 3 3 ln2) ln 3 ln 2 ln
2
= − + − − + = − =
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 14
HT 9.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm kép)
a)
1
1
2
0
(3 1)
2 1
x dx
I
x x
+
=
+ +
∫
b)
0
2
2
1
3 1
4 4 1
x
I dx
x x
−
−
=
− +
∫
c)
1
3
2
0
3 2
4 12 9
x
I dx
x x
+
=
+ +
∫
Giải
a)
1 1 1 1
1
2 2 2 2
0 0 0 0
(3 1) 3( 1) 2
3 1 3 2
1
2 1 ( 1) ( 1) ( 1)
x dx x
x
I dx dx dx
x
x x x x x
+ + −
+
= = = = −
+
+ + + + +
∫ ∫ ∫ ∫
1
0
2
3 ln 1 (3 ln 2 1) (3 ln1 2) 3 ln 2 1
1
x
x
= + + = + − + = −
+
b)
0
2
2
1
3 1
4 4 1
x
I dx
x x
−
−
=
− +
∫
( )
0 0
2 2
1 1
3 1
2 1
3 1
2 2
(2 1) (2 1)
x
x
dx dx
x x
− −
− +
−
= =
− −
∫ ∫
0
0
1
2
1
3 1 1 1 3 1 1
. . ln 2 1 .
2 2 1 2 4 4 2 1
(2 1)
dx x
x x
x
−
−
= + = − −
− −
−
∫
3 1 3 1 3 1
ln1 ln 3 ln 3
4 4 4 12 4 6
= + − + = − +
c)
1
3
2
0
3 2
4 12 9
x
I dx
x x
+
=
+ +
∫
1 1
2 2
0 0
3 5
(2 3)
3 2
2 2
(2 3) (2 3)
x
x
dx dx
x x
+ −
+
= =
+ +
∫ ∫
1
2
0
3 1 5 1
. .
2 2 3 2
(2 3)
dx
x
x
= −
+
+
∫
1
0
3 5 1
ln 2 3 .
4 4 2 3
x
x
= + +
+
3 1 3 5 3 5 1
ln 5 ln 3 ln
4 4 4 12 4 3 6
= + − + = −
HT 10.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm)
a)
1
1
2
0
3 1
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
b)
3
2
2
1
3 2
4 5
x
I dx
x x
+
=
− +
∫
c)
1
3
2
0
3 1
4 4 2
x
I dx
x x
−
=
− +
∫
Giải
a)
1
1
2
0
3 1
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
Chú ý:
2
( 1)' 2
x x
+ =
Nên:
1
1
2
0
3
.2 1
2
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
1
2 2
0
3 2 1
.
2
1 1
x
dx
x x
= +
+ +
∫
1 1
2 2
0 0
3 2
2
1 1
x dx
dx
x x
= +
+ +
∫ ∫
Xét:
1 1
2
2 1
0
2 2
0 0
( 1)
3 2 3 3 3 3 ln 2
ln 1 (ln 2 ln 1)
2 2 2 2 2
1 1
d x
x
M dx x
x x
+
= = = + = − =
+ +
∫ ∫
Xét:
1
2
0
1
dx
N
x
=
+
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 15
Đặt:
tan ;
2 2
x t t
π π
= ∈ −
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
0 0
x t
= ⇒ =
Với
1
4
x t
π
= ⇒ =
4 4 4
4
0
2 2
2
0 0 0
2
1
cos (tan 1)
cos .
cos
dt dt
M dt t
t t
t
t
π π π
π
⇒ = = = =
+
∫ ∫ ∫
4
π
=
Vậy,
1
3 ln 2
2 4
I M N
π
= + = +
b)
3
2
2
1
3 2
4 5
x
I dx
x x
+
=
− +
∫
Chú ý:
2
( 4 5)' 2 4
x x x
− + = −
Khi đó:
3 3
2
2 2 2
1 1
3
(2 4) 8
3 2 4 1
2
8.
2
4 5 4 5 4 5
x
x
I dx dx
x x x x x x
− +
−
= = +
− + − + − +
∫ ∫
3 3
2 2
1 1
3 2 4 1
8
2
4 5 4 5
x
dx dx
x x x x
−
= +
− + − +
∫ ∫
+ Xét:
3 3
2
2 2
1 1
( 4 5)
3 2 4 3
2 2
4 5 4 5
d x x
x
M dx
x x x x
− +
−
= =
− + − +
∫ ∫
=
2 3
1
3 3
ln 4 5 (ln 2 ln 2) 0
2 2
x x
− + = − =
+ Xét:
3
2
1
1
8
4 5
N dx
x x
=
− +
∫
3
2
1
8
( 2) 1
dx
x
=
− +
∫
Đặt:
2 tan
x t
− =
Với
;
2 2
t
π π
∈ −
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
1 ;
4
x t
π
= ⇒ = −
Với
3
4
x t
π
= ⇒ =
4 4
4
2 2
4
4 4
8 8 8 4
cos (tan 1)
dt
N dt t
t t
π π
π
π
π π
π
−
−
−
⇒ = = = =
+
∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 16
Vậy,
2
4
I M N
π
= + =
c)
1
3
2
0
3 1
4 4 2
x
I dx
x x
−
=
− +
∫
Chú ý:
2
(4 4 2)' 8 4
x x x
− + = −
Ta có:
1 1
3
2 2
0 0
3 1
(8 4)
3 1
8 2
4 4 2 4 4 2
x
x
I dx dx
x x x x
− +
−
= =
− + − +
∫ ∫
1 1
2 2
0 0
3 8 4 1
8 2
4 4 2 4 4 2
x dx
dx
x x x x
−
= +
− + − +
∫ ∫
+) Xét:
1 1
2
2 1
0
2 2
0 0
(4 4 2)
3 8 4 3 3 3
ln 4 4 2 (ln 2 ln 2) 0
8 8 8 8
4 4 2 4 4 2
d x x
x
M dx x x
x x x x
− +
−
= = = − + = − =
− + − +
∫ ∫
+) Xét:
1 1
2 2
0 0
1 1
2 2
4 4 2 (2 1) 1
dx dx
N
x x x
= =
− + − +
∫ ∫
Đặt:
2 1 tan
x t
− =
Với
;
2 2
t
π π
∈ −
2
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
2
2 cos
dt
dx
t
⇔ =
Đổi cận:Với
0 ;
4
x t
π
= ⇒ = −
Với
1
4
x t
π
= ⇒ =
4 4
4
2 2
4
4 4
1 1 1
2 2 2 4
2 cos (tan 1)
dt
N dt t
t t
π π
π
π
π π
π
−
− −
⇒ = = = =
+
∫ ∫
Vậy,
3
4
I M N
π
= + =
HT 11.Tính các tích phân sau:
a)
0
3 2
1
2
1
5 6 1
3 2
x x x
I dx
x x
−
− + −
=
− +
∫
b)
1
4 3 2
2
2
0
5 3 2 1
2 1
x x x x
I dx
x x
+ − + −
=
+ +
∫
c)
0
3 2
3
2
1
3 6 1
2 2
x x x
I dx
x x
−
+ − +
=
+ +
∫
d)
2
2
2
1
7 12
x
I dx
x x
=
− +
∫
Giải
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 17
a)
0 0
3 2
1
2 2
1 1
5 6 1 2 3
2
3 2 3 2
x x x x
I dx x dx
x x x x
− −
− + − − +
= = − +
− + − +
∫ ∫
0 0
2
1 1
2 3
( 2)
3 2
x
x dx dx
x x
− −
− +
= − +
− +
∫ ∫
+) Xét:
0
2
0
1
1
1 5
( 2) 2 2
2 2 2
x
M x dx x
−
−
= − = − = − + = −
∫
+) Xét:
0 0
2
1 1
2 3 2 3
( 1)( 2)
3 2
x x
N dx dx
x x
x x
− −
− + − +
= =
− −
− +
∫ ∫
Dùng đồng nhất thức ta tách được:
( )
0
0
1
1 1
ln 1 ln 2 ( ln1 ln 2) ( ln 2 ln 3) ln 3
1 2
N dx x x
x x
−
−
− −
= + = − − − − = − − − − − =
− −
∫
Vậy,
1
5
ln 3
2
I M N
= + = −
b)
1
4 3 2
2
2
0
5 3 2 1
2 1
x x x x
I dx
x x
+ − + −
=
+ +
∫
1
2
2
0
19 9
( 3 10 )
2 1
x
x x dx
x x
+
= + − +
+ +
∫
+) Xét:
1
3 2
2 1
0
0
3 1 3 49
( 3 10) 10 ( 10) 0
3 2 3 2 6
x x
M x x dx x
= + − = + − = + − − = −
∫
+) Xét:
1 1 1
2 2 2
0 0 0
19( 1) 10
19 9 19 10
1
2 1 ( 1) ( 1)
x
x
N dx dx dx
x
x x x x
+ −
+
= = = −
+
+ + + +
∫ ∫ ∫
1
0
10
19 ln 1 (19 ln 2 5) (19 ln1 10) 19 ln 2 5
1
x
x
= + + = + − + = −
+
Vậy,
2
79
19 ln 2
6
I M N= + = −
c)
0
3 2
3
2
1
3 6 1
2 2
x x x
I dx
x x
−
+ − +
=
+ +
∫
0
2
1
10 1
1
2 2
x
x dx
x x
−
+
= + −
+ +
∫
+) Xét:
0
2
0
1
1
1 1
( 1) 1
2 2 2
x
M x dx x
−
−
= + = + = − − =
∫
+) Xét:
0
2
1
10 1
2 2
x
N dx
x x
−
+
=
+ +
∫
0
2
1
5(2 2) 9
2 2
x
dx
x x
−
+ −
=
+ +
∫
=
0
2 2
1
5(2 2)
9
2 2 2 2
x
dx
x x x x
−
+
−
+ + + +
∫
0
2
1
2 2
5
2 2
x
P dx
x x
−
+
=
+ +
∫
0
2
2 0
1
2
1
( 2 2)
5 5 ln 2 2 5(ln 2 ln1) 5 ln2
2 2
d x x
x x
x x
−
−
+ +
= = + + = − =
+ +
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 18
0
2
1
9
2 2
dx
Q
x x
−
=
+ +
∫
0
2
1
9
( 1) 1
dx
x
−
=
+ +
∫
Đặt:
1 tan
x t
+ =
Với
;
2 2
t
π π
∈ −
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
1 0;
x t
= − ⇒ =
Với
0
4
x t
π
= ⇒ =
4
2 2
0
9
cos (tan 1)
dt
Q
t t
π
⇒ =
+
∫
4
4
0
0
9
9 9
4
dt t
π
π
π
= = =
∫
9
5 ln 2
4
N P Q
π
⇒ = − = −
3
1 9
5 ln 2
2 4
I M N
π
⇒ = + = + −
d)
2
1
16 9
1
4 3
I dx
x x
= + −
− −
∫
=
( )
2
1
16 ln 4 9 ln 3
x x x+ − − −
=
1 25ln2 16ln 3
+ −
.
HT 12.Tính các tích phân sau:
a)
2
5 3
1
dx
I
x x
=
+
∫
b)
1
3
0
( 1)
xdx
I
x
=
+
∫
Giải
a)
2
5 3
1
dx
I
x x
=
+
∫
Ta có:
3 2 3 2
1 1 1
( 1) 1
x
x
x x x x
= − + +
+ +
⇒
2
2
2
1 1 3 1 3
ln ln( 1) ln 2 ln 5
1
2 2 2 8
2
I x x
x
= − − + + = − + +
b)
1
3
0
( 1)
xdx
I
x
=
+
∫
Ta có:
2 3
3 3
1 1
( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
x x
x x
x x
− −
+ −
= = + − +
+ +
1
2 3
0
1
( 1) ( 1)
8
I x x dx
− −
⇒ = + − + =
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 19
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 20
HT 13.Tính các tích phân sau: (Đổi biến số)
1.
1
7
2 5
0
(1 )
x
I dx
x
=
+
∫
2.
1
5 3 6
0
(1 )
I x x dx
= −
∫
3.
4
3
4
1
1
( 1)
I dx
x x
=
+
∫
4.
2
10 2
1
.( 1)
dx
I
x x
=
+
∫
5.
2
7
7
1
1
(1 )
x
I dx
x x
−
=
+
∫
6.
3
6 2
1
(1 )
dx
I
x x
=
+
∫
7.
1
2
4
0
( 1)
(2 1)
x
I dx
x
−
+
=
∫
8.
( )
( )
1
99
101
0
7 1
2 1
x
I dx
x
−
=
+
∫
9.
2
2
4
1
1
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
10.
2
2
4
1
1
1
x
I dx
x
−
=
+
∫
11.
2
2
3
1
1 x
I dx
x x
−
=
+
∫
12.
1
4
6
0
1
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
13.
3
3
2
4
0
1
x
I dx
x
=
−
∫
14.
1
4 2
0
1
xdx
I
x x
=
+ +
∫
15.
1 5
2
2
4 2
1
1
1
x
I dx
x x
+
+
=
− +
∫
Bài giải
1.
(
)
3
2
1 1
7
2 5 2 5
0 0
(1 ) (1 )
x xdx
x
I dx
x x
= =
+ +
∫ ∫
Đặt
2
1 2
t x dt xdx
= + ⇒ =
Đổi cận: Với
0 1;
x t
= ⇒ =
Với
1 2
x t
= ⇒ =
2
3
5 5
1
( 1)
1 1 1
.
2 4
2
t
I dt
t
−
⇒ = =
∫
2.
1 1
5 3 6 3 3 2
0 0
(1 ) (1 )
I x x dx x x x dx
= − = −
∫ ∫
Đặt
3 2 2
1 3
3
dt
t x dt x dx x dx= − ⇒ = − ⇒ = −
Đổi cận: Với
0 1;
x t
= ⇒ =
Với
1 0
x t
= ⇒ =
1
7 8
6
0
1 1 1
(1 )
3 3 7 8 168
t t
I t t dt
⇒ = − = − =
∫
3.
4 4
3 3
3
4 4 4
1 1
1
( 1) ( 1)
x dx
I dx
x x x x
= =
+ +
∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 21
Đặt
4 3 3
4
4
dt
t x dt x dx x dx= ⇒ = ⇒ =
Đổi cận: Với
1 1;
x t
= ⇒ =
Với
4
3 3
x t
= ⇒ =
3 3
3
1
1 1
1 1 1 1 1 1 3
ln ln
4 ( 1) 4 1 4 1 4 2
dt t
I dt
t t t t t
⇒ = = − = =
+ + +
∫ ∫
4.
2 2
9
10 2 10 10 2
1 1
.( 1) ( 1)
dx x dx
I
x x x x
= =
+ +
∫ ∫
Đặt
10
1
t x
= +
9 9
10
10
dt
dt x dx x dx⇒ = ⇒ =
Đổi cận: Với
1 2
x t
= ⇒ =
; Với
10
2 2 1
x t
= ⇒ = +
10 10
2 1 2 1
2 2
2 2
1 1 1 1 1
5 5 1
( 1)
dt
I dt
t t
t t t
+ +
⇒ = = − −
−
−
∫ ∫
10
2 1
2
1 1
ln( 1) ln
5
t t
t
+
= − − +
10
10
1 1 1 1
(10 ln 2 ln(2 1) ) ( ln 2 )
5 5 2
2 1
= − + + − − +
+
5.
2
7
7
1
1
(1 )
x
I dx
x x
−
=
+
∫
2
7 6
7 7
1
(1 ).
.(1 )
x x
dx
x x
−
=
+
∫
.
Đặt
7 6 6
7
7
dt
t x dt x dx x dx= ⇒ = ⇒ =
Đổi cận: Với
1 1;
x t
= ⇒ =
Với
2 128
x t
= ⇒ =
128 128
128
1
1 1
1 1 1 1 2 1
(ln 2 ln 1 )
7 (1 ) 7 1 7
t
I dt dt t t
t t t t
−
⇒ = = − = − +
+ +
∫ ∫
1 1 10 2
(7 ln 2 2 ln129) ( 2 ln 2) ln 2 ln129
7 7 7 7
= − − − = −
6.
3 3
6 2
2 6
1 1
2
1
(1 )
. ( 1)
dx dx
I
x x
x x
x
= =
+
+
∫ ∫
Đặt
2
1 1
t dt dx
x
x
= ⇒ = −
: Đổi cận:Với
1 1;
x t
= ⇒ =
Với
1
3
3
x t= ⇒ =
3
1
3
6
4 2
2 2
1
3
3
1
1
1 1
t
I dt t t dt
t t
⇒ = − = − + −
+ +
∫ ∫
=
117 41 3
135 12
π
−
+
7.
1 1
2
2
4 2
0 0
( 1)
1
2 1
(2 1) (2 1)
x
x dx
I dx
x
x x
−
−
=
+
+ +
=
∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 22
Chú ý:
'
2
1 3
2 1
(2 1)
x
x
x
−
=
+
+
Đặt:
2 2
1 3
2 1 3
(2 1) (2 1)
x dx dx dt
t dt
x
x x
−
= ⇒ = ⇒ =
+
+ +
Đổi cận: Với:
0 1
x t
= ⇒ = −
; Với
1 0
x t
= ⇒ =
1
3
2 1
0
0
1 1
3 9 9
t
t t dt
−
−
⇒ = = = −
∫
8.
( )
1 1
99 99
2
0 0
7 1 1 7 1 7 1
2 1 9 2 1 2 1
2 1
x dx x x
I d
x x x
x
− − −
= =
+ + +
+
∫ ∫
100
100
1
1 1 7 1 1
2 1
0
9 100 2 1 900
x
x
−
= ⋅ = −
+
9.
x
2
2
4
1
1
1
x
I d
x
+
=
+
∫
Ta có:
2
2
4
2
2
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
.
Đặt
2
1 1
1
t x dt dx
x
x
= − ⇒ = +
Đổi cận: Với
1 0;
x t
= ⇒ =
Với
3
2
2
x t
= ⇒ =
⇒
3 3
2 2
2
0 0
1 1 1
2 2 2 2
2
dt
I dt
t t
t
= = −
− +
−
∫ ∫
3
1 2 1
.ln ln(3 2 2)
2
2 2 2 2
0
t
t
−
= = −
+
10.
x
2
2
4
1
1
1
x
I d
x
−
=
+
∫
Ta có:
2
2
4
2
2
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
−
−
=
+
+
.
Đặt
2
1 1
1
t x dt dx
x
x
= + ⇒ = −
Đổi cận: Với
1 2;
x t
= ⇒ =
Với
5
2
2
x t
= ⇒ =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 23
5
2
2
2
2
dt
I
t
⇒ = −
+
∫
.
Đặt
2
2 tan 2
cos
du
t u dt
u
= ⇒ =
;
1 2
5 5
tan 2 arctan 2; tan arctan
2 2
u u u u= ⇒ = = ⇒ =
⇒
2
1
2 1
2 2 2 5
( ) arctan arctan 2
2 2 2 2
u
u
I du u u
= = − = −
∫
11.
2
2
3
1
1 x
I dx
x x
−
=
+
∫
Ta có:
2
2
1
1
1
1
x
I dx
x
x
−
=
+
∫
. Đặt
1
t x
x
= +
2
1
1
dt dx
x
⇒ = −
Đổi cận: Với
1 2;
x t
= ⇒ =
Với
5
2
2
x t
= ⇒ =
5
5
2
2
2
2
5 4
ln ln ln 2 ln
2 5
dt
I t
t
= − = − = − + =
∫
12.
1
4
6
0
1
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
Ta có:
4 2 2
4 4 2 2 2
6 6 2 4 2 6 2 6
( 1)
1 1 1
1 1 ( 1)( 1) 1 1 1
x x x
x x x x x
x x x x x x x x
− + +
+ − +
= = + = +
+ + + − + + + +
⇒
1 1
3
2 3 2
0 0
( )
1 1 1
.
3 4 3 4 3
1 ( ) 1
d x
I dx dx
x x
π π π
= + = + =
+ +
∫ ∫
13.
3
3
2
4
0
1
x
I dx
x
=
−
∫
3 3
3 3
2
2 2 2 2
0 0
1 1 1 1
ln(2 3)
2 4 12
( 1)( 1) 1 1
x
I dx dx
x x x x
π
= = + = − +
− + − +
∫ ∫
14.
1
4 2
0
1
xdx
I
x x
=
+ +
∫
.
Đặt
2
t x
=
2
2
dt
dt xdx xdx⇒ = ⇒ =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 24
Đổi cận:
0 0;
x t
= ⇒ =
Với
1 1
x t
= ⇒ =
1 1
2 2
2
0 0
1 1
2 2
6 3
1
1 3
2 2
dt dt
I
t t
t
π
⇒ = = =
+ +
+ +
∫ ∫
15.
1 5
2
2
4 2
1
1
1
x
I dx
x x
+
+
=
− +
∫
Ta có:
2
2
4 2
2
2
1
1
1
1
1
1
x
x
x x
x
x
+
+
=
− +
+ −
.
Đặt
2
1 1
1
t x dt dx
x
x
= − ⇒ = +
1
2
0
1
dt
I
t
⇒ =
+
∫
.
Đặt
2
tan
cos
du
t u dt
u
= ⇒ =
⇒
4
0
4
I du
π
π
= =
∫
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 25
PHẦN III TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỶ
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 1.Tính các tích phân sau:
a)
3
1
2
0
1
xdx
I
x
=
+
∫
b)
3
2
2
0
1
dx
I
x
=
+
∫
c)
3
2
3
0
1
I x dx
= +
∫
Bài giải
a)
3 3
2
2 1
1 0
2 2
0 0
( 1)
1
1 2
2
1 1
d x
xdx
I x
x x
+
= = = + =
+ +
∫ ∫
b)
3
2
2
0
1
dx
I
x
=
+
∫
Đặt:
2
2
2 2 2
1
1 (1 )
1 1 1
x x x dx dt
x x t dx dt dx dt
t
x x x
+ +
+ + = ⇒ + = ⇔ = ⇔ =
+ + +
Đổi cận:
0 1; 3 3 2
x t x t
= ⇒ = = ⇒ = +
3 2
3 2
2 1
1
ln ln( 3 2)
dt
I t
t
+
+
⇒ = = = +
∫
c)
3
2
3
0
1
I x dx
= +
∫
Đặt:
2
2
1
1
x
du dx
u x
x
dv dx
v x
=
= +
⇒
+
=
=
3 3
2 2
2 3
3 0
2 2
0 0
1 1
1 2 3
1 1
x dx x
I x x dx
x x
+ −
⇒ = + − = −
+ +
∫ ∫
3 3
2
3 2
2
0 0
2 3 1 2 3
1
dx
x dx I I
x
= − + + = − +
+
∫ ∫
3
2 3 ln( 3 2)
I= − + +
3 3
1
2 2 3 ln( 3 2) 3 ln( 3 2)
2
I I⇒ = + + ⇒ = + +
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 26
HT 2.Tính các tích phân sau:
a)
1
3 2
0
1
I x x dx
= −
∫
b)
0
3
1
. 1
I x x dx
−
= +
∫
c)
1
3 2
0
( 1) 2
I x x x dx
= − −
∫
Bài giải
a)
1 1
3 2 2 2
0 0
1 1
I x x dx x x xdx
= − = −
∫ ∫
Đặt:
2 2 2
1 ( 0) 1
t x t x t xdx tdt
= − ≥ ⇔ = − ⇒ = −
Đổi cận:
0 1; 1 0
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =
0 1
3 5
2 2 4 1
0
1 0
1 1 2
(1 ) . ( )
3 5 3 5 15
t t
I t t tdt t t dt
⇒ = − − = − = − = − =
∫ ∫
b)
0
3
1
. 1
I x x dx
−
= +
∫
Đặt
3 2
3
1 1 3
t x t x dx t dt
= + ⇒ = + ⇒ =
Đổi cận:
1 0; 0 1
x t x t
= − ⇒ = = ⇒ =
1
1
7 4
3
0
0
9
3( 1) 3
7 4 28
t t
I t dt
⇒ = − = − = −
∫
c)
1
3 2
0
( 1) 2
I x x x dx
= − −
∫
1 1
3 2 2 2
0 0
( 1) 2 ( 2 1) 2 ( 1)
I x x x dx x x x x x dx
= − − = − + − −
∫ ∫
.
Đặt
2 2 2
2 2 2 (2 2 ) ( 1)
t x x t x x tdt x dx x dx tdt
= − ⇔ = − ⇒ = − ⇔ − = −
Đổi cận:
0 0; 1 1
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =
1 1
5 3
2 4 2 1
0
0 0
1 1 2
( 1) . ( )
5 3 5 3 15
t t
I t t tdt t t dt
⇒ = − − + = − = − = − = −
∫ ∫
.
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 27
HT 3.Tính các tích phân sau:
a)
4
0
2 1
1 2 1
x
I dx
x
+
=
+ +
∫
b)
6
2
2 1 4 1
dx
I
x x
=
+ + +
∫
c)
1
0
1
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
d)
3
0
3
3 1 3
x
I dx
x x
−
=
+ + +
∫
e)
5
2
1
1
3 1
x
I dx
x x
+
=
+
∫
f)
3
2
0
2 1
1
x x
I dx
x
+ −
=
+
∫
g)
1
2
0
( 1) 1
x dx
I
x x
=
+ +
∫
h)
(
)
4
2
0
1
1 1 2
x
I dx
x
+
=
+ +
∫
i)
2
3 2
2
0
2 3
1
x x x
I dx
x x
− +
=
− +
∫
j)
2
3
3
2
0
4
x dx
I
x
=
+
∫
k)
2
2
1
4 x
I dx
x
−
=
∫
l)
2 5
2 2
2
( 1) 5
x
I dx
x x
=
+ +
∫
m)
27
3
2
1
2x
I dx
x x
−
=
+
∫
o)
8
2
3
1
1
x
I dx
x
−
=
+
∫
p)
4
2
1
1
x x
I dx
x x
+
=
+
∫
Bài giải
a)
4
0
2 1
1 2 1
x
I dx
x
+
=
+ +
∫
Đặt
2
2 1 2 1 2 2
t x t x tdt dx dx tdt
= + ⇒ = + ⇒ = ⇔ =
Đổi cận:
0 1; 4 3
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =
3 3
2 2
3
1
1 1
1
1 ln 1
1 1 2
t t
I dt t dt t t
t t
⇒ = = − + = − + +
+ +
∫ ∫
.
9 1
3 ln 4 1 ln 2 2 ln 2
2 2
= − + − − + = +
b)
6
2
2 1 4 1
dx
I
x x
=
+ + +
∫
Đặt
2
4 1 4 1 2 4
2
tdt
t x t x tdt dx dx= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =
Đổi cận:
2 3; 6 5
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =
5 5 5 5
2 2 2 2
3 3 3 3
1 1 1
2 1
1 2 1 ( 1) ( 1)
1
2
tdt tdt tdt
I dt
t
t t t t t
t
⇒ = = = = −
+
− + + + +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
5
3
1 1 1 3 1
ln 1 (ln 6 ) (ln 4 ) ln
1 6 4 2 12
t
t
= + + = + − + = −
+
c)
1
0
1
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
Đặt
2
1 ( 1) 2( 1)
t x x t dx t dt
= + ⇒ = − ⇒ = −
Đổi cận:
0 1; 1 2
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 28
2 2
2
2
2
1
1 1
1 ( 1)
2 11
2 2 2 ln 4 ln 2
2 3
t
t
I dt t dt t t
t t
+ −
⇒ = = − + = − + = −
∫ ∫
.
d)
3
0
3
3 1 3
x
I dx
x x
−
=
+ + +
∫
Đặt
1 2
t x tdt dx
= + ⇒ =
Đổi cận:
0 1; 3 2
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =
2 2 2
3
2
1 1 1
2 8 1
(2 6) 6
1
3 2
t t
I dt t dt dt
t
t t
−
⇒ = = − +
+
+ +
∫ ∫ ∫
3
3 6 ln
2
= − +
e)
5
2
1
1
3 1
x
I dx
x x
+
=
+
∫
Đặt
2
3 1
3
tdt
t x dx= + ⇒ =
Đổi cận:
1 2; 5 4
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =
2
2
4
2
2
1
1
3
2
.
3
1
.
3
t
tdt
I
t
t
−
+
⇒ =
−
∫
4 4
2
2
2 2
2
( 1) 2
9
1
dt
t dt
t
= − +
−
∫ ∫
4 4
2
2 2
2 1 1
( 1) 2
9 1 1
t dt dt
t t
= − + −
− +
∫ ∫
3
4 4
2 1 1 100 9
ln ln .
9 3 1 27 5
2 2
t
t t
t
−
= − + = +
+
f)
3
2
0
2 1
1
x x
I dx
x
+ −
=
+
∫
Đặt
2
1 1
x t x t
+ = ⇔ = −
⇒
2
dx tdt
=
Đổi cận:
0 1; 3 2
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =
2
2 2
2 2 2
5
4 2 3
1
1 1
2( 1) ( 1) 1
4 54
2 2 (2 3 ) 2
5 5
t t
t
I tdt t t dt t
t
− + − −
⇒ = = − = − =
∫ ∫
g)
1
2
0
( 1) 1
x dx
I
x x
=
+ +
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 29
Đặt
2
1 1 2
t x t x tdt dx
= + ⇒ = + ⇒ =
Đổi cận:
0 1; 1 2
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =
2
2 2
2
2 2
3
3
1
1 1
( 1)
1 1 16 11 2
.2 2 2 2
3 3
t
t
I tdt t dt t
t t
t
−
−
⇒ = = − = − − =
∫ ∫
h)
(
)
4
2
0
1
1 1 2
x
I dx
x
+
=
+ +
∫
Đặt
1 1 2 ( 1)
1 2
dx
t x dt dx t dt
x
= + + ⇒ = ⇒ = −
+
và
2
2
2
t t
x
−
=
Đổi cận :
0 2; 4 4
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =
4 4 4
2
3 2
2 2 2
2 2 2
( 2 2)( 1)
1 1 3 4 2 1 4 2
3
2 2 2
t t t
t t t
I dt dt t dt
t
t t t
− + −
− + −
⇒ = = = − + −
∫ ∫ ∫
2
1 2
3 4 ln
2 2
t
t t
t
= − + +
=
1
2 ln 2
4
−
i)
2
3 2
2
0
2 3
1
x x x
I dx
x x
− +
=
− +
∫
2
2
2
0
( )(2 1)
1
x x x
dx
x x
− −
=
− +
∫
Đặt
2
1 2 (2 1)
t x x tdt x dx
= − + ⇒ = −
Đổi cận:
0 1; 2 3
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =
3
2
1
4
2 ( 1)
3
I t dt
⇒ = − =
∫
.
j)
2
3
3
2
0
4
x dx
I
x
=
+
∫
Đặt
3
2 2 3 2
4 4 2 3
t x x t xdx t dt
= + ⇒ = − ⇒ =
Đổi cận:
3
0 4; 2 2
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =
3
3
2
5
3
4 2 2
4
4
3 3 3 8
( 4 ) 2 4 2
2 2 5 2 5
t
I t t dt t
⇒ = − = − = − +
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 30
k)
2
2
1
4 x
I dx
x
−
=
∫
Ta có:
2
2
2
1
4 x
I xdx
x
−
=
∫
.
Đặt t =
2 2 2
4 4
x t x tdt xdx
− ⇒ = − ⇒ = −
Đổi cận:
1 3; 2 0
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =
0 0 0
0
2
2 2 2
3
3 3 3
( )
4 2
(1 ) ln
2
4 4 4
t tdt
t t
I dt dt t
t
t t t
−
−
⇒ = = = + = +
+
− − −
∫ ∫ ∫
=
2 3
3 ln
2 3
−
− +
+
l)
2 5
2 2
2
( 1) 5
x
I dx
x x
=
+ +
∫
Đặt
2
5
t x
= +
2 2
5
t x tdt xdx
⇒ = + ⇒ =
Đổi cận:
2 3; 2 5 5
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =
5 5
2
3 3
1 1 1 1 15
ln
4 2 2 4 7
4
dt
I dt
t t
t
= = − =
− +
−
∫ ∫
.
m)
27
3
2
1
2x
I dx
x x
−
=
+
∫
Đặt
6
t x
=
6 5
6
t x dx t dt
⇒ = ⇒ =
Đổi cận:
1 1; 27 3
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =
3 3
3
2 2 2
1 1
2 2 2 1
5 5 1
( 1) 1 1
t t
I dt dt
t
t t t t
−
⇒ = = − + −
+ + +
∫ ∫
2 5
5 3 1 ln
3 12
π
= − + −
o)
8
2
3
1
1
x
I dx
x
−
=
+
∫
8 8 8
2
2 2 2 2
3 3 3
( 1)
1 1
2
1 1 1 1
d x
x dx
I dx
x x x x
+
= − = −
+ + + +
∫ ∫ ∫
( )
8
2 2
3
1 ln 1x x x
= + − + +
=
(
)
(
)
1 ln 3 2 ln 8 3
+ + − +
p)
4
2
0
1
x x
I dx
x x
+
=
+
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 31
4 4 4
2 2
1 0 0
1 1 1
x x x x
dx dx dx
x x x x x x
+
= +
+ + +
∫ ∫ ∫
+
4
2
1
0
1
x
I dx
x x
=
+
∫
.
Đặt t=
2
1 1
x x t x x
+ ⇔ − =
3 2 2
( 1)
x t
⇔ = −
2 2
4
( 1)
3
x dx t t dt
⇔ = −
Đổi cận:
0 1; 4 3
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =
⇒
3
2 3 3
1
1
4 4 4 80
( 1)
3 9 3 9
t dt t t
− = − =
∫
+
4
2
0
1
x
I dx
x x
=
+
∫
4
0
(1 )
2
3
1
d x x
x x
+
= =
+
∫
4
0
4 8
1
3 3
x x
+ =
Vậy:
104
9
I =
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 4.Tính các tích phân sau:
a)
1
2
1
1 1
dx
I
x x
−
=
+ + +
∫
b)
( )
1
3
3
1
4
1
3
x x
I dx
x
−
=
∫
c)
1
2
0
1
1
I dx
x x
=
+ +
∫
d)
3
2
2 2
0
(1 1 ) (2 1 )
x
I dx
x x
=
+ + + +
∫
e)
3
2
0
2( 1) 2 1 1
x
I dx
x x x x
=
+ + + + +
∫
f)
2 2
3
3
4
1
2011x x x
I dx
x
− +
=
∫
g)
2 2
4
2
3
1
1
x
I dx
x x
x
=
− +
∫
h)
2
3
2
1
3
3 9 1
x
I dx
x x
=
+ −
∫
Bài giải
a)
1
2
1
1 1
dx
I
x x
−
=
+ + +
∫
Ta có:
1 1
2 2
2 2
1 1
1 1 1 1
2
(1 ) (1 )
x x x x
I dx dx
x
x x
− −
+ − + + − +
= =
+ − +
∫ ∫
1 1
2
1 1
1 1 1
1
2 2
x
dx dx
x x
− −
+
= + −
∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 32
+
1
1
1 1
1
1 1 1
1 ln | 1
2 2
I dx x x
x
−
−
= + = + =
∫
+
1
2
2
1
1
2
x
I dx
x
−
+
=
∫
. Đặt
2 2 2
1 1 2 2
t x t x tdt xdx
= + ⇒ = + ⇒ =
⇒
I
2
=
2
2
2
2
0
2( 1)
t dt
t
=
−
∫
Vậy:
1
I
=
.
Cách 2: Đặt
2
1
t x x
= + +
2
2 2 2 2
1
1 ( ) 1 2 1
2
t
t x x t x x t tx x
t
−
⇔ − = + ⇒ − = + ⇔ − = ⇔ =
2
1 1
2
2
dx dt
t
⇒ = +
Đổi cận:
1 1 2; 1 1 2
x t x t
= − ⇒ = − + = ⇒ = +
1 2 1 2
2
2 2
1 2 1 2
( 1)
1 2 1 1
2 1
2 (1 )
t dx
I dt
t t
t t t
+ +
− + − +
+
⇒ = = + −
+
+
∫ ∫
2
1 2 1 2
1 2 1 2
( 1)
1 1 1 1
2 ln 1 ln ln
2 2
t
t t
t t t
+ +
− + − +
+
= + − − = −
1 1
(ln(2 2 2) 1 2) (ln(2 2 2) 1 2) 1
2 2
= + + − − + − − =
b)
( )
1
3
3
1
4
1
3
x x
I dx
x
−
=
∫
Ta có:
1
1
3
2 3
1
3
1 1
1 .
I dx
x x
= −
∫
Đặt
2 3 3
1 2
1
2
dx dt
t dt dx
x x x
= − ⇒ = − ⇔ = −
Đổi cận:
1
8; 1 0
3
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =
0 8
1 1 4
8
3 3 3
0
8 0
1 1 1 3
. 6
2 2 2 4
I t dt t dt t
⇒ = − = = =
∫ ∫
c)
1
2
0
1
1
I dx
x x
=
+ +
∫
1
2
0
1 3
( )
2 4
dx
x
=
+ +
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 33
Đặt:
2
2 2
1
1
2 1
2
1
2 1 1
x x x
x
dt dx dt dx
x x x x
+ + + +
+
⇒ = + ⇔ =
+ + + +
2
1
dx dt
t
x x
⇒ =
+ +
Đổi cận:
3 3
0 ; 1 3
2 2
x t x t= ⇒ = = ⇒ = +
2
1
1
2
t x x x
= + + + +
3
3
3
2
3
2
3
3
2
2
3 3 3 2 3
ln ln 3 ln ln
2 2 3
dt
I t
t
+
+
+
= = = + − =
∫
d)
3
2
2 2
0
(1 1 ) (2 1 )
x
I dx
x x
=
+ + + +
∫
Đặt
2
2 1 2 1 ( 2) 1 2( 2)
x t t x t x t dt dx
+ + = ⇒ − = + ⇒ − = + ⇒ − =
Đổi cận:
0 3; 3 4
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =
(
)
2
2
4
2 2
3
( 2) 1 .2( 2)
( 1)
t t dt
I
t t
− − −
⇒ =
−
∫
4 4
2 2 2
2 2 2
3 3
( 1) ( 3) .2( 2) 2( 3) ( 2)
( 1)
t t t dt t t dt
t t t
− − − − −
= =
−
∫ ∫
4
2 4
3
2
3
42 36 36 4
2 16 16 42 ln 12 42 ln
3
t dt t t t
t t
t
= − + − = − + + = − +
∫
e)
3
2
0
2( 1) 2 1 1
x
I dx
x x x x
=
+ + + + +
∫
Đặt:
2
1 1 2
t x t x tdt dx
= + ⇒ = + ⇒ =
Đổi cận:
0 1; 3 2
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =
2 2
2 2
2
2
1 1
2 ( 1)
2 ( 1)
( 1)
t t dt
I t dt
t t
−
⇒ = = −
+
∫ ∫
2
3
1
2 2
( 1)
3 3
t
= − =
f)
2 2
3
3
4
1
2011x x x
I dx
x
− +
=
∫
Ta có:
3
2 2 2 2
2
3 3
1 1
1
1
2011
x
I dx dx M N
x x
−
= + = +
∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 34
+)
3
2 2
2
3
1
1
1
x
M dx
x
−
=
∫
.
Đặt
3 2 2
3
2 2 3 3
1 1 2 3
1 1 3
2
dx
t t t dt dx t dt
x x x x
= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −
Đổi cận:
3
7
1 0; 2 2
2
x t x t= ⇒ = = ⇒ = −
3
7
2
3
3
0
3 21 7
2 128
M t dt
−
⇒ = − = −
∫
+)
2 2 2 2
2 2
3
3 2
1
1 1
2011 2011 14077
2011
16
2
N dx x dx
x x
−
= = = − =
∫ ∫
3
14077 21 7
16 128
I⇒ = −
.
g)
2 2 2 2
4 4
2 2
2
3 3
.
1
( 1) 1
1
x x xdx
I dx
x x
x x
x
= =
− +
− +
∫ ∫
Đặt
2
1
t x
= +
2
1
xdx
dt
x
⇒ =
+
Đổi cận:
3 2; 2 2 3
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =
3
2 2
2
2
( 1)
2
t
I dt
t
−
⇒ =
−
∫
=
3 3 3
4 2
2
2 2
2 2 2
2 1 1 19 2 4 2
ln
3 4
4 2
2 2
t t
dt t dt dt
t t
− + +
= + = +
−
− −
∫ ∫ ∫
h)
2 2 2 2
3 3 3 3
2 2 2
2
1 1 1 1
3 3 3 3
(3 9 1) 3 9 1
3 9 1
x
I dx x x x dx x dx x x dx
x x
= = − − = − −
+ −
∫ ∫ ∫ ∫
+
2
2
3
2 3
3
1
1
1
3
3
8 1 7
3
27 27 27
I x dx x= = = − =
∫
+
2
3
2
2
1
3
9 1
I x x dx
= −
∫
2
2
3
3
2 2 2
3
2
1
1
3
3
1 1 3
9 1 (9 1) (9 1)
18 27 9
x d x x= − − = − =
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 35
7 3 3
27
I
−
⇒ =
HT 5.Tính các tích phân sau:
a)
2
2 2
0
4
I x x dx
= −
∫
b)
0
2
2
1
2
I x xdx
−
= − −
∫
c)
1
2
0
3 2
I x x dx
= + −
∫
d)
1
2
6
0
4
x dx
I
x
=
−
∫
e)
1
2
2
0
1 2 1
I x x dx
= − −
∫
f)
1
2
2
0
3 2
x dx
I
x x
=
+ −
∫
Bài giải
a)
2
2 2
0
4
I x x dx
= −
∫
Đặt:
2 sin ,
x t
=
Với
; cos 0
2 2
t t
π π
∈ − ⇒ ≥
2 cos
dx tdt
⇒ =
Đổi cận:
0 0; 2
2
x t x t
π
= ⇒ = = ⇒ =
2 2
2 2 2 2
0 0
4 sin 4 4 sin .2 cos . 16 sin 1 sin .cos .
I t t t dt t t t dt
π π
⇒ = − = −
∫ ∫
2 2
2 2 2
0 0
16 sin . cos cos 16 sin .cos .
t t tdt t t dt
π π
= =
∫ ∫
2 2
2
0 0
4 sin 4 . 2 (1 cos 8 )
t dt t dt
π π
= = −
∫ ∫
2
0
sin 8
2( )
8
t
t
π
= −
π
=
b)
0 0
2 2
2
1 1
2 1 ( 1)
I x xdx x dx
− −
= − − = − +
∫ ∫
Đặt:
1 sin
x t
+ =
, Với
; cos 0
2 2
t t
π π
∈ − ⇒ ≥
cos
dx tdt
⇒ =
Đổi cận:
1 0; 0
2
x t x t
π
= − ⇒ = = ⇒ =
2 2 2
2 2
0 0 0
1
1 sin .cos . cos . (1 cos2 )
2
I t t dt t dt t dt
π π π
⇒ = − = = +
∫ ∫ ∫
2
0
1 sin 2
2 2 4
t
t
π
π
= + =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 36
c)
1 1
2 2
0 0
3 2 4 ( 2)
I x x dx x dx
= + − = − −
∫ ∫
Đặt:
2 2 sin
x t
− =
, Với
; cos 0
2 2
t t
π π
∈ − ⇒ ≥
2 cos
dx tdt
⇒ =
Đổi cận:
0 ; 1
2 6
x t x t
π π
= ⇒ = − = ⇒ = −
6
2
2
4 4 sin .2 cos .
I t t dt
π
π
−
−
⇒ = −
∫
6 6
2
2 2
4 cos . 2 (1 cos 2 )
t dt t dt
π π
π π
− −
− −
= = +
∫ ∫
6
2
sin 2 3 3
2
2 12 4 4 6 4
t
t
π
π
π π π
−
−
= + = − − + = −
d)
1
2
6
0
4
x dx
I
x
=
−
∫
Đặt
3 2
3
t x dt x dx
= ⇒ =
Đổi cận:
0 0; 1 1
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =
1
2
0
1
3
4
dt
I
t
⇒ =
−
∫
.
Đặt:
2 sin , 0; 2 cos
2
t u u dt udu
π
= ∈ ⇒ =
Đổi cận:
0 0; 1
6
t u t u
π
= ⇒ = = ⇒ =
6 6
6
0
2
0 0
1 2 cos . 1
3 3 3 18
4 4 sin
u du u
I du
u
π π
π
π
⇒ = = = =
−
∫ ∫
.
Chú ý: Các em học sinh có thể đặt trực tiếp:
3
2 sin
x t
=
e)
1
2
2
0
1 2 1
I x x dx
= − −
∫
Đặt
sin
x t
=
, Với
; cos 0; cos sin
2 2
t t t t
π π
∈ − ⇒ ≥ >
cos .
dx t dt
⇒ =
Đổi cận:
1
0 0;
2 6
x t x t
π
= ⇒ = = ⇒ =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 37
6 6 6
2 2
0 0 0
1 2 sin 1 sin .cos . 1 2 sin .cos cos . (sin cos ) cos .
I t t t dt t t t dt t t t dt
π π π
⇒ = − − = − = −
∫ ∫ ∫
6 6
2
0 0
(cos sin )cos (cos sin .cos )
t t tdt t t t dt
π π
= − = −
∫ ∫
6
2
0
0
1 1 sin 2 cos 2
(1 cos 2 sin 2 ) ( )
2 2 2 2
t t
t t dt t
π
π
= + − = + +
∫
3 1
12 8 8
π
= + −
f)
1
2
2
0
3 2
x dx
I
x x
=
+ −
∫
Ta có:
1
2
2 2
0
2 ( 1)
x dx
I
x
=
− −
∫
.
Đặt
1 2 sin
x t
− =
. Với
; cos 0
2 2
t t
π π
∈ − ⇒ ≥
2 cos
dx tdt
⇒ =
Đổi cận:
0 ; 1
2 6
x t x t
π π
= ⇒ = − = ⇒ = −
6
2
2
2
(1 2 sin ) 2 cos
4 (2 sin )
t t
I dt
t
π
π
−
−
+
⇒ =
−
∫
( )
6 6
2
2 2
1 4 sin 4 sin (1 4 sin 2 2 cos 8 )
t t dt t t dt
π π
π π
− −
− −
= + + = + + −
∫ ∫
6
2
sin 8
(3 4 cos )
4
t
t t
π
π
−
−
= − − =
3 3
4
2 2
π
+ −
HT 6.Tính các tích phân sau:
a)
2
5 2 2
2
( ) 4
I x x x dx
−
= + −
∫
b)
(
)
2
2
4
1
3 4
2
x dx
I
x
− −
=
∫
c)
2
0
2
2
x
I dx
x
−
=
+
∫
d)
( )
1
0
1
2 ln 1
1
x
I x x dx
x
−
= − +
+
∫
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
Bài giải
a)
2
5 2 2
2
( ) 4
I x x x dx
−
= + −
∫
2
5 2 2
2
( ) 4
x x x dx
−
= + −
∫
=
2
5 2
2
4
x x dx
−
−
∫
+
2
2 2
2
4
x x dx
−
−
∫
= A + B.
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 38
+ Tính A =
2 2
5 2 4 2
2 2
4 4
x x dx x x xdx
− −
− = −
∫ ∫
.
Đặt
2
4
t x
= −
2 2
4
t x xdx tdt
⇒ = − ⇒ = −
Đổi cận:
2 0; 2 0
x t x t
= − ⇒ = = ⇒ =
0
2 2 2
0
(4 ) . . 0
I t t dt
⇒ = − =
∫
+ Tính B =
2
2 2
2
4
x x dx
−
−
∫
.
Đặt:
2 sin ,
x t
=
Với
; cos 0
2 2
t t
π π
∈ − ⇒ ≥
2 cos
dx tdt
⇒ =
Đổi cận:
2 ; 2
2 2
x t x t
π π
= − ⇒ = − = ⇒ =
2 2
2 2 2 2
2 2
4 sin 4 4 sin .2 cos . 16 sin 1 sin .cos .
B t t t dt t t t dt
π π
π π
− −
⇒ = − = −
∫ ∫
2 2
2 2 2
2 2
16 sin . cos cos 16 sin .cos .
t t tdt t t dt
π π
π π
− −
= =
∫ ∫
2 2
2
2 2
4 sin 4 . 2 (1 cos 8 )
t dt t dt
π π
π π
− −
= = −
∫ ∫
2
2
sin 8
2( )
8
t
t
π
π
−
= −
2
π
=
Vậy,
2
I
π
=
b)
(
)
2
2
4
1
3 4
2
x dx
I
x
− −
=
∫
Ta có:
2 2
2
4 4
1 1
3 4
2 2
x
I dx dx
x x
−
= −
∫ ∫
.
+ Tính
1
I
=
2
4
1
3
2
dx
x
∫
=
2
4
1
3 7
2 16
x dx
−
=
∫
.
+ Tính
2
2
2
4
1
4
2
x
I dx
x
−
=
∫
.
Đặt
2 sin 2 cos
x t dx tdt
= ⇒ =
.
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 39
Đổi cận:
1 ; 2
6 2
x t x t
π π
= ⇒ = = ⇒ =
2 2 2
2
2 2
2
4 2
6 6 6
1 cos 1 1 1 3
cot cot . (cot )
8 8 8 8
sin sin
tdt
I t dt t d t
t t
π π π
π π π
⇒ = = = − =
∫ ∫ ∫
Vậy:
(
)
1
7 2 3
16
I = −
.
c)
2
0
2
2
x
I dx
x
−
=
+
∫
Đặt
2 cos 2 sin
x t dx tdt
= ⇒ = −
Đổi cận:
0
2
x t
π
= ⇒ =
;
2 0
x t
= ⇒ =
2
0
2
2
0
2
sin
2 2 cos
2
2 sin 2 sin .
2 2 cos
cos
2
t
t
I tdt t dt
t t
π
π
−
⇒ = − =
+
∫ ∫
.
2 2
0 0
sin
2
4.sin .cos . 2(1 cos )
2 2
cos
2
t
t t
dt t dt
t
π π
= = −
∫ ∫
2
0
2( sin ) 2
t t
π
π
= − = −
d)
( )
1
0
1
2 ln 1
1
x
I x x dx
x
−
= − +
+
∫
Tính
1
0
1
1
x
H dx
x
−
=
+
∫
. Đặt
cos ; 0;
2
x t t
π
= ∈
2
2
H
π
⇒ = −
Tính:
1
0
2 ln(1 )
K x x dx
= +
∫
. Đặt
ln(1 )
2
u x
dv xdx
= +
=
1
2
K
⇒ =
Vậy:
3
2 2
I
π
= −
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 40
PHẦN IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 1.Tính các tích phân sau:
a)
4
0
cos
I xdx
π
=
∫
b)
2
6 6
2
0
(sin cos )
I x x dx
π
= +
∫
c)
2
2
sin 2 .sin 5 .
I x x dx
π
π
−
=
∫
d)
2
3
0
4 sin
1 cos
x
I dx
x
π
=
+
∫
e)
3
0
2 sin
4
cos
x
I dx
x
π
π
−
=
∫
f)
4
0
1 cos2
dx
I
x
π
=
+
∫
Bài giải
a)
4
0
cos
I xdx
π
=
∫
2
2 2 2
0 0 0
1 cos 2 1
(cos ) (1 2 cos 2 cos 2 )
2 4
x
x dx dx x x dx
π π π
+
= = = + +
∫ ∫ ∫
0
1 3 cos 4
2 cos 2
4 2 2
x
x dx
π
= + +
∫
0
1 3 sin 4 3
sin 2
4 2 8 8
x
x x
π
π
= + + =
b)
2
6 6
2
0
(sin cos )
I x x dx
π
= +
∫
2
2 2 4 2 2 4
0
(sin cos )(sin sin cos cos )
x x x x x x dx
π
= + − +
∫
( )
2
2 2 2 2 2
0
(sin cos ) 3 sin cos
x x x x dx
π
= + −
∫
2
2
0
3
(1 sin 2 )
4
x dx
π
= −
∫
2
2
0
0
5 3 5 3 5
( cos 4 ) sin 4
8 8 8 32 16
x dx x x
π
π
π
= + = + =
∫
c)
2 2
2
2
2 2
1 1 sin 3 sin 7
sin 2 .sin 5 . (cos 3 cos 7 )
2 2 3 7
x x
I x x dx x x dx
π π
π
π
π π
−
− −
= = − = −
∫ ∫
4
21
= −
d)
2 2
2
3
0 0
4(1 cos ) sin
4 sin
1 cos 1 cos
x x
x
I dx dx
x x
π π
−
= =
+ +
∫ ∫
2
2
2
0
0
4(1 cos ) (1 cos ) 2(1 cos ) 2
x d x x
π
π
= − − = − =
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 41
e)
3 3 3
0 0 0
2 sin
4
sin cos sin
1
cos cos cos
x
x x x
I dx dx dx
x x x
π π π
π
−
−
= = = −
∫ ∫ ∫
( )
3
0
ln cos ln2
3
x x
π
π
= − − = −
f)
4 4
4
0
2
0 0
1 1
tan
1 cos 2 2 2
2 cos
dx dx
I x
x
x
π π
π
= = = =
+
∫ ∫
HT 2. Tính các tích phân sau:
a)
I
2
2
0
cos cos 2
x xdx
π
=
∫
b)
2
3 2
0
(cos 1)cos .
I x x dx
π
= −
∫
c)
4
6
0
cos
dx
I
x
π
=
∫
d)
2
4 4 6 6
0
(sin cos )(sin cos )
I x x x x dx
π
= + +
∫
e)
2
4 4
0
cos2 (sin cos )
I x x x dx
π
= +
∫
Bài giải
a)
I
2
2
0
cos cos 2
x xdx
π
=
∫
I
2 2 2
2
0 0 0
1 1
cos cos 2 (1 cos2 )cos 2 (1 2 cos 2 cos 4 )
2 4
x xdx x xdx x x dx
π π π
= = + = + +
∫ ∫ ∫
2
0
1 1
( sin 2 sin 4 )
4 4 8
x x x
π
π
= + + =
b)
2 2
3 2 5 2
0 0
(cos 1)cos . (cos cos )
I x x dx x x dx
π π
= − = −
∫ ∫
A =
( )
2 2
2
5 2
0 0
cos 1 sin (sin )
xdx x d x
π π
= −
∫ ∫
=
8
15
B =
2 2
2
0 0
1
cos . (1 cos 2 ).
2
x dx x dx
π π
= +
∫ ∫
=
4
π
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 42
Vậy I =
8
15
–
4
π
.
c)
4 4
6 4 2
0 0
cos cos .cos
dx dx
I
x x x
π π
= =
∫ ∫
4
2 4
0
28
(1 2 tan tan ) (tan )
15
x x d x
π
= + + =
∫
.
d)
2
4 4 6 6
0
(sin cos )(sin cos )
I x x x x dx
π
= + +
∫
.
Ta có:
4 4 6 6
(sin cos )(sin cos )
x x x x
+ +
33 7 3
cos 4 cos 8
64 16 64
x x
= + +
33
128
I
π
⇒ =
.
e)
2
4 4
0
cos2 (sin cos )
I x x x dx
π
= +
∫
2 2
2 2
0 0
1 1 1
cos2 1 sin 2 1 sin 2 (sin 2 ) 0
2 2 2
I x x dx x d x
π π
= − = − =
∫ ∫
HT 3.Tính các tích phân sau :
a)
8
12
cot tan 2 tan 2
sin 4
x x x
I dx
x
π
π
− −
=
∫
b)
6
0
1
2 sin 3
I dx
x
π
=
−
∫
c)
3
2 3 sin cos
dx
I
x x
π
π
=
+ −
∫
d)
2
cos
8
sin 2 cos2 2
x
I dx
x x
π
+
=
+ +
∫
e)
2
8 cos sin 2 3
sin cos
x x
I dx
x x
− −
=
−
∫
f)
2
0
1 sin
I xdx
π
= +
∫
Bài giải
a)
8
12
cot tan 2 tan 2
sin 4
x x x
I dx
x
π
π
− −
=
∫
Ta có:
8 8 8
8
2
12
12 12 12
2 cot2 2 tan 2 2 cot 4 cos 4 1 2 3 3
2
sin 4 sin 4 2 sin 4 6
sin 4
x x x x
I dx dx dx
x x x
x
π π π
π
π
π π π
− −
= = = = − =
∫ ∫ ∫
b)
6
0
1
2 sin 3
I dx
x
π
=
−
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 43
Ta có:
6 6
0 0
1
1 1
2
2
sin sin sin sin
3 3
I dx dx
x x
π π
π π
= =
− −
∫ ∫
6 6
0 0
cos
cos
2 6 2 6
3
sin sin
2 cos .sin
3
2 6 2 6
x x
dx dx
x x
x
π π
π π
π
π
π π
+ − −
= =
−
+ −
∫ ∫
6 6
0 0
cos sin
2 6 2 6
1 1
2 2
sin cos
2 6 2 6
x x
dx dx
x x
π π
π π
π π
− +
= +
− +
∫ ∫
6 6
0 0
ln sin ln cos .....
2 6 2 6
x x
π π
π π
= − − + =
c)
3
2 3 sin cos
dx
I
x x
π
π
=
+ −
∫
3
1
2
1 cos
3
dx
I
x
π
π
π
=
− +
∫
=
2
3
1
4
2 sin
2 6
dx
I
x
π
π
π
=
+
∫
=
1
4 3
.
d)
2
cos
8
sin 2 cos2 2
x
I dx
x x
π
+
=
+ +
∫
Ta có:
1 cos 2
1
4
2 2
1 sin 2
4
x
I dx
x
π
π
+ +
=
+ +
∫
2
cos 2
1
4
2 2
1 sin 2
sin cos
4
8 8
x
dx
dx
x
x x
π
π
π π
+
= +
+ +
+ + +
∫ ∫
2
cos 2
1 1
4
2
3
2 2
1 sin 2 sin
4 8
x
dx
dx
x x
π
π π
+
= +
+ + +
∫ ∫
1 3
ln 1 sin 2 cot
4 8
4 2
x x C
π π
= + + − + +
e)
2
8 cos sin 2 3
sin cos
x x
I dx
x x
− −
=
−
∫
( )
2
(sin cos ) 4 cos 2
sin cos 4(sin cos
sin cos
x x x
I dx x x x x dx
x x
− +
= = − − +
−
∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 44
3 cos 5 sin
x x C
= − +
.
f)
2
0
1 sin
I xdx
π
= +
∫
2 2
2
0 0
sin cos sin cos
2 2 2 2
x x x x
I dx dx
π π
= + = +
∫ ∫
2
0
2 sin
2 4
x
dx
π
π
= +
∫
3
2
2
0 3
2
2 sin sin
2 4 2 4
x x
dx dx
π
π
π
π π
= + − +
∫ ∫
4 2
=
HT 4.Tính các tích phân sau:
1.
(
)
2
2
0
sin 2
2 sin
x
I dx
x
π
=
+
∫
2.
4
6 6
0
sin 4
sin cos
x
I dx
x x
π
=
+
∫
3.
3
2
0
sin
cos 3 sin
x
I dx
x x
π
=
+
∫
4.
2
3
3 2
3
( sin )sin
sin sin
x x x x
I dx
x x
π
π
+ +
=
+
∫
5.
2
2 2
0
sin 2
cos 4 sin
x
dx
x x
I
π
+
=
∫
6.
6
0
tan
4
cos2
x
I dx
x
π
π
−
=
∫
7.
x
2
6
3 5
1
2 1 cos .sin .cos
I x x xd
= −
∫
8.
4
2
0
tan
cos 1 cos
xdx
I
x x
π
=
+
∫
9.
2
3
0
cos2
(cos sin 3)
x
I dx
x x
π
=
− +
∫
10.
4
2 4
0
sin 4
cos . tan 1
x
I dx
x x
π
=
+
∫
11.
4
2
0
sin 4
1 cos
x
I dx
x
π
=
+
∫
12.
6
3
0
tan
cos2
x
I dx
x
π
=
∫
13.
4
0
cos sin
3 sin 2
x x
I dx
x
π
−
=
−
∫
14.
3
6
cot
sin .sin
4
x
I dx
x x
π
π
π
=
+
∫
15.
3
2 4
4
sin .cos
dx
I
x x
π
π
=
∫
Bài giải
1.
(
)
2
2
0
sin 2
2 sin
x
I dx
x
π
=
+
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 45
Ta có:
2 2
2 2
0 0
sin 2 sin cos
2
(2 sin ) (2 sin )
x x x
I dx dx
x x
π π
= =
+ +
∫ ∫
. Đặt
2 sin
t x
= +
.
3
3 3
2 2
2 2
2
2 1 2 2
2 2 2 ln
t
I dt dt t
t t
t t
−
⇒ = = − = +
∫ ∫
3 2
2 ln
2 3
= −
2.
4
6 6
0
sin 4
sin cos
x
I dx
x x
π
=
+
∫
•
x
x
x
4
2
0
sin 4
3
1 sin 2
4
I d
π
=
−
∫
. Đặt
x
2
3
1 sin 2
4
t = −
⇒ I =
1
4
1
2 1
3
dt
t
−
∫
=
1
1
4
4 2
3 3
t
=
.
3.
3
2
0
sin
cos 3 sin
x
I dx
x x
π
=
+
∫
Đặt
2
3 sin
t x
= +
=
2
4 cos
x
−
. Ta có:
2 2
cos 4
x t
= −
và
2
sin cos
3 sin
x x
dt dx
x
=
+
.
I =
3
2
0
sin
.
cos 3 sin
x
dx
x x
π
+
∫
=
3
2 2
0
sin .cos
cos 3 sin
x x
dx
x x
π
+
∫
=
15
2
2
3
4
dt
t
−
∫
=
15
2
3
1 1 1
4 2 2
dt
t t
−
+ −
∫
=
15
2
3
1 2
ln
4 2
t
t
+
−
=
1 15 4 3 2
ln ln
4
15 4 3 2
+ +
−
− −
=
(
)
(
)
(
)
1
ln 15 4 ln 3 2
2
+ − +
.
4.
2
3
3 2
3
( sin )sin
sin sin
x x x x
I dx
x x
π
π
+ +
=
+
∫
2 2
3 3
2
3 3
1 sin
sin
x dx
I dx
x
x
π π
π π
= +
+
∫ ∫
.
+ Tính
2
3
1
2
3
sin
x
I dx
x
π
π
=
∫
. Đặt
2
cot
sin
u x
du dx
dx
v x
dv
x
=
=
⇒
= −
=
⇒
1
3
I
π
=
+ Tính
I =
2 2 2
3 3 3
2
2
3 3 3
4 2 3
1 sin
1 cos 2 cos
2 4 2
dx dx dx
x
x
x
π π π
π π π
π π
= = = −
+
+ − −
∫ ∫ ∫
Vậy:
4 2 3
3
I
π
= + −
.
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 46
5.
2
2 2
0
sin 2
cos 4 sin
x
dx
x x
I
π
+
=
∫
2
2
0
2 sin cos
3 sin 1
x x
dx
x
I
π
=
+
∫
. Đặt
2
3 sin 1
u x
= +
⇒
2 2
1 1
2
2 2
3
3 3
udu
du
u
I
= =
=
∫ ∫
6.
6
0
tan
4
cos2
x
I dx
x
π
π
−
=
∫
6 6
2
2
0 0
tan
tan 1
4
cos2
(tan 1)
x
x
I dx dx
x
x
π π
π
−
+
= = −
+
∫ ∫
. Đặt
2
2
1
tan (tan 1)
cos
t x dt dx x dx
x
= ⇒ = = +
1
1
3
3
2
0
0
1 1 3
1 2
( 1)
dt
I
t
t
−
⇒ = − = =
+
+
∫
.
7.
x
2
6
3 5
1
2 1 cos .sin . cos
I x x xd
= −
∫
Đặt
5
6
3 6 3 5 2
2
2
1 cos 1 cos 6 3 cos sin
cos sin
t dt
t x t x t dt x xdx dx
x x
= − ⇔ = − ⇒ = ⇒ =
1
1
7 13
6 6
0
0
12
2 (1 ) 2
7 13 91
t t
I t t dt
⇒ = − = − =
∫
8.
4
2
0
tan
cos 1 cos
xdx
I
x x
π
=
+
∫
Ta có:
4
2 2
0
tan
cos tan 2
xdx
I
x x
π
=
+
∫
. Đặt
2 2 2
2
tan
2 tan 2 tan
cos
x
t x t x tdt dx
x
= + ⇒ = + ⇒ =
⇒
3 3
2 2
3 2
tdt
I dt
t
= = = −
∫ ∫
9.
2
3
0
cos2
(cos sin 3)
x
I dx
x x
π
=
− +
∫
Đặt
cos sin 3
t x x
= − +
⇒
4
3
2
3 1
32
t
I dt
t
−
= = −
∫
.
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 47
10.
4
2 4
0
sin 4
cos . tan 1
x
I dx
x x
π
=
+
∫
Ta có:
I
4
4 4
0
sin 4
sin cos
x
dx
x x
π
=
+
∫
. Đặt
4 4
sin cos
t x x
= +
I
2
2
1
2 2 2
dt⇒ = − = −
∫
.
11.
4
2
0
sin 4
1 cos
x
I dx
x
π
=
+
∫
Ta có:
4
2
2
0
2 sin 2 (2 cos 1)
1 cos
x x
I dx
x
π
−
=
+
∫
. Đặt
2
cos
t x
=
⇒
1
2
1
2(2 1)
1
2 6 ln
1 3
t
I dt
t
−
= − = −
+
∫
.
12.
6
3
0
tan
cos2
x
I dx
x
π
=
∫
Ta có:
3 3
6 6
tan tan
2 2 2 2
cos sin cos (1 tan )
0 0
x x
I dx dx
x x x x
π π
= =
∫ ∫
− −
.
Đặt
tan
t x
=
⇒
3
3
3
1 1 2
ln
2 6 2 3
1
0
t
I dt
t
= = − −
∫
−
.
13.
4
0
cos sin
3 sin 2
x x
I dx
x
π
−
=
−
∫
Đặt
sin cos
u x x
= +
2
2
1
4
du
I
u
⇒ =
−
∫
.
Đặt
2 sin
u t
=
4 4
2
6 6
2 cos
12
4 4 sin
tdt
I dt
t
π π
π π
π
⇒ = = =
−
∫ ∫
.
14.
3
6
cot
sin .sin
4
x
I dx
x x
π
π
π
=
+
∫
3
2
6
cot
2
sin (1 cot )
x
I dx
x x
π
π
=
+
∫
. Đặt
1 cot
x t
+ =
2
1
sin
dx dt
x
⇒ = −
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 48
( )
3 1
3 1
3 1
3
3 1
3
1 2
2 2 ln 2 ln 3
3
t
I dt t t
t
+
+
+
+
−
⇒ = = − = −
∫
15.
3
2 4
4
sin .cos
dx
I
x x
π
π
=
∫
Ta có:
3
2 2
4
4.
sin 2 .cos
dx
I
x x
π
π
=
∫
. Đặt
2
tan
1
dt
t x dx
t
= ⇒ =
+
3
2 2
3
3 3
(1 )
1 1 8 3 4
2
( 2 ) ( 2 )
2 2 3 3
1 1
1
t dt
t
I t dt t
t
t t
+
−
⇒ = = + + = − + + =
∫ ∫
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 5.Tính các tích phân sau:
1.
sin 2
3 4 sin cos 2
xdx
I
x x
=
+ −
∫
2.
3 5
sin .cos
dx
I
x x
=
∫
3.
3
sin .cos
dx
I
x x
=
∫
4.
2
0
sin 2 .cos
1 cos
x x
I dx
x
π
=
+
∫
5.
3
2
0
sin tan
I x xdx
π
=
∫
6.
2
2
sin (2 1 cos 2 )
I x x dx
π
π
= − +
∫
7.
3
2 4
4
sin .cos
dx
I
x x
π
π
=
∫
8.
6
0
sin
cos 2
x
I dx
x
π
=
∫
11.
6
0
1
sin 3 cos
I dx
x x
π
=
+
∫
12.
2
2
0
1 3 sin 2 2 cos
I x xdx
π
= − +
∫
13.
4
2
0
sin
5 sin .cos 2 cos
x
I dx
x x x
π
=
+
∫
14.
4
2
4 2
4
sin
cos (tan 2 tan 5)
xdx
x x x
I
π
π
−
− +
=
∫
15.
2
2
6
sin
sin 3
x
I dx
x
π
π
=
∫
16.
2
4
sin cos
1 sin 2
x x
I dx
x
π
π
−
=
+
∫
17.
3
4
3 5
4
sin .cos
dx
x x
π
π
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 49
9.
(
)
x
2
3
0
sin
sin 3 cos
x
I d
x x
π
=
+
∫
10.
4
2
2
3
sin 1 cos
cos
x x
I dx
x
π
π
−
−
=
∫
18.
3
2
0
cos cos sin
( )
1 cos
x x x
I x dx
x
π
+ +
=
+
∫
19.
I
2
2
6
cos
sin 3 cos
x
dx
x x
π
π
=
+
∫
Bài giải
1.
sin 2
3 4 sin cos 2
xdx
I
x x
=
+ −
∫
Ta có:
2
2 sin cos
2 sin 4 sin 2
x x
I dx
x x
=
+ +
∫
. Đặt
sin
t x
=
⇒
1
ln sin 1
sin 1
I x C
x
= + + +
+
2.
3 5
sin .cos
dx
I
x x
=
∫
3 3 2 3 2
8
sin .cos .cos sin 2 .cos
dx dx
I
x x x x x
= =
∫ ∫
Đặt
tan
t x
=
.
3 3 4 2
2
3 1 3 1
3 tan tan 3 ln tan
4 2
2 tan
I t t t dt x x x C
t
x
−
= + + + = + + − +
∫
Chú ý:
2
2
sin 2
1
t
x
t
=
+
.
3.
3
sin .cos
dx
I
x x
=
∫
2 2
2
sin .cos . cos sin 2 .cos
dx dx
I
x x x x x
= =
∫ ∫
. Đặt
tan
t x
=
2 2
2
; sin 2
cos 1
dx t
dt x
x t
⇒ = =
+
2
2
1
2
2
1
dt t
I dt
t t
t
+
⇒ = =
+
∫ ∫
2 2
1 tan
( ) ln ln tan
2 2
t x
t dt t C x C
t
= + = + + = + +
∫
4.
2
0
sin 2 .cos
1 cos
x x
I dx
x
π
=
+
∫
Ta có:
2
2
0
sin .cos
2
1 cos
x x
I dx
x
π
=
+
∫
. Đặt
1 cos
t x
= +
⇒
2
2
1
( 1)
2 2 ln 2 1
t
I dt
t
−
= = −
∫
5.
3
2
0
sin tan
I x xdx
π
=
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 50
Ta có:
3 3
2
2
0 0
(1 cos )sin
sin
sin .
cos cos
x x
x
I x dx dx
x x
π π
−
= =
∫ ∫
. Đặt
cos
t x
=
1
2
2
1
1 3
ln 2
8
u
I du
u
−
⇒ = − = −
∫
6.
2
2
sin (2 1 cos 2 )
I x x dx
π
π
= − +
∫
Ta có:
2 2
2 2
2 sin sin 1 cos2
I xdx x xdx H K
π π
π π
= − + = +
∫ ∫
+
2
2 2
2 sin (1 cos2 )
2 2
H xdx x dx
π π
π π
π π
π= = − = − =
∫ ∫
+
2 2 2
2 2
sin 2 cos 2 sin cos
K x x x xdx
π π
π π
= = −
∫ ∫
2
2
2
2 sin (sin )
3
xd x
π
π
= − =
∫
2
2 3
I
π
⇒ = −
7.
3
2 4
4
sin .cos
dx
I
x x
π
π
=
∫
3
2 2
4
4.
sin 2 .cos
dx
I
x x
π
π
=
∫
. Đặt
tan
t x
=
⇒
2
cos
dx
dt
x
=
.
3
3 3
2 2
3
2
2 2
1
1 1
(1 )
1 1 8 3 4
2 2
3 3
t dt
t
I t dt t
t
t t
+
−
= = + + = − + + =
∫ ∫
8.
6
0
sin
cos2
x
I dx
x
π
=
∫
6 6
2
0 0
sin sin
cos2
2 cos 1
x x
I dx dx
x
x
π π
= =
−
∫ ∫
. Đặt
cos sin
t x dt xdx
= ⇒ = −
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 51
Đổi cận:
3
0 1;
6 2
x t x t
π
= ⇒ = = ⇒ =
Ta được
3
1
2
2
3
1
2
1 1 2 2
ln
2 2 2 2
2 1
t
I dt
t
t
−
= − =
+
−
∫
=
1 3 2 2
ln
2 2 5 2 6
−
−
9.
(
)
x
2
3
0
sin
sin 3 cos
x
I d
x x
π
=
+
∫
Ta có:
sin 3 cos 2 cos
6
x x x
π
+ = −
;
sin sin
6 6
x x
π π
= − +
=
3 1
sin cos
2 6 2 6
x x
π π
− + −
2 2
3 2
0 0
sin
6
3 1
16 16
cos cos
6 6
x dx
dx
I
x x
π π
π
π π
−
= +
− −
∫ ∫
=
3
6
10.
4
2
2
3
sin 1 cos
cos
x x
I dx
x
π
π
−
−
=
∫
4 4
2
2 2
3 3
sin sin
1 cos . sin
cos cos
x x
I x dx x dx
x x
π π
π π
− −
= − =
∫ ∫
0
4
2 2
0
3
sin sin
sin sin
cos cos
x x
x dx x dx
x x
π
π −
−
= +
∫ ∫
0
4
2 2
2 2
0
3
sin sin
cos cos
x x
dx dx
x x
π
π
−
= − +
∫ ∫
7
3 1
12
π
= − −
.
11.
6
0
1
sin 3 cos
I dx
x x
π
=
+
∫
6
0
1
sin 3 cos
I dx
x x
π
=
+
∫
=
6
0
1 1
2
sin
3
dx
x
π
π
+
∫
=
6
2
0
sin
1
3
2
1 cos
3
x
dx
x
π
π
π
+
− +
∫
.
Đặt
cos sin
3 3
t x dt x dx
π π
= + ⇒ = − +
⇒
1
2
2
0
1 1 1
ln 3
2 4
1
I dt
t
= =
−
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 52
12.
2
2
0
1 3 sin 2 2 cos
I x xdx
π
= − +
∫
2
0
sin 3 cos
I x x dx
π
= −
∫
=
3 2
0
3
sin 3 cos sin 3 cos
I x x dx x x dx
π π
π
= − + −
∫ ∫
3 3
= −
13.
4
2
0
sin
5 sin . cos 2 cos
x
I dx
x x x
π
=
+
∫
Ta có:
4
2 2
0
tan 1
.
5 tan 2(1 tan ) cos
x
I dx
x x x
π
=
+ +
∫
. Đặt
tan
t x
=
,
1 1
2
0 0
1 2 1 1 2
ln 3 ln 2
3 2 2 1 2 3
2 5 2
t
I dt dt
t t
t t
⇒ = = − = −
+ +
+ +
∫ ∫
14.
4
2
4 2
4
sin
cos (tan 2 tan 5)
xdx
x x x
I
π
π
−
− +
=
∫
Đặt
2
tan
1
dt
t x dx
t
= ⇒ =
+
⇒
1 1
2
2 2
1 1
2
2 ln 3
3
2 5 2 5
t dt dt
I
t t t t
− −
= = + −
− + − +
∫ ∫
Tính
1
1
2
1
2 5
dt
I
t t
−
=
− +
∫
.Đặt
0
1
4
1 1
tan
2 2 8
t
u I du
π
π
−
−
= ⇒ = =
∫
.Vậy
2 3
2 ln
3 8
I
π
= + −
.
15.
2
2
6
sin
sin 3
x
I dx
x
π
π
=
∫
.
2 2
2
3 2
6 6
sin sin
3 sin 4 sin 4 cos 1
x x
I dx dx
x x x
π π
π π
= =
− −
∫ ∫
Đặt
cos sin
t x dt xdx
= ⇒ = −
⇒
3
0
2
2
2
0
3
2
1 1
ln(2 3)
4 1 4
4 1
4
dt dt
I
t
t
= − = = −
−
−
∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 53
16.
2
4
sin cos
1 sin 2
x x
I dx
x
π
π
−
=
+
∫
Ta có:
1 sin 2 sin cos sin cos
x x x x x
+ = + = +
(vì
;
4 2
x
π π
∈
)
2
4
sin cos
sin cos
x x
I dx
x x
π
π
−
⇒ =
+
∫
. Đặt
sin cos (cos sin )
t x x dt x x dx
= + ⇒ = −
2
2
1
1
1 1
ln ln 2
2
I dt t
t
⇒ = = =
∫
17.
3
4
3 5
4
sin .cos
dx
x x
π
π
∫
Ta có:
3
3
8
4
3
4
1
sin
.cos
cos
dx
x
x
x
π
π
∫
3
2
4
3
4
1 1
.
cos
tan
dx
x
x
π
π
=
∫
.
Đặt
tan
t x
=
⇒
( )
3
3
8
4
1
4 3 1
I t dt
−
= = −
∫
18.
3
2
0
cos cos sin
( )
1 cos
x x x
I x dx
x
π
+ +
=
+
∫
Ta có:
2
2 2
0 0 0
cos (1 cos ) sin
.sin
.cos .
1 cos 1 cos
x x x
x x
I x dx x x dx dx J K
x x
π π π
+ +
= = + = +
+ +
∫ ∫ ∫
+ Tính
0
.cos .
J x x dx
π
=
∫
. Đặt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
= =
⇒
= =
2
J
⇒ = −
+ Tính
2
0
.sin
1 cos
x x
K dx
x
π
=
+
∫
. Đặt
x t dx dt
π
= − ⇒ = −
2 2 2
0 0 0
( ).sin( ) ( ).sin ( ).sin
1 cos ( ) 1 cos 1 cos
t t t t x x
K dt dt dx
t t x
π π π
π π π π
π
− − − −
⇒ = = =
+ − + +
∫ ∫ ∫
2 2 2
0 0 0
( ).sin
sin . sin .
2
2
1 cos 1 cos 1 cos
x x x
x dx x dx
K dx K
x x x
π π π
π
π
π
+ −
⇒ = = ⇒ =
+ + +
∫ ∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 54
Đặt
cos
t x
=
1
2
1
2
1
dt
K
t
π
−
⇒ =
+
∫
, đặt
2
tan (1 tan )
t u dt u du
= ⇒ = +
4 4
2
2
4
2
4
4 4
(1 tan )
.
2 2 2 4
1 tan
u du
K du u
u
π π
π
π
π π
π π π π
−
− −
+
⇒ = = = =
+
∫ ∫
Vậy
2
2
4
I
π
= −
19.
I
2
2
6
cos
sin 3 cos
x
dx
x x
π
π
=
+
∫
Ta có:
2
2 2
6
sin cos
sin 3 cos
x x
I dx
x x
π
π
=
+
∫
. Đặt
2
3 cos
t x
= +
⇒
( )
15
2
2
3
1
ln( 15 4) ln( 3 2)
2
4
dt
I
t
= = + − +
−
∫
HT 6.Tính các tích phân sau:
1.
2
1
2
sin sin .
2
6
I x x dx
π
π
= ⋅ +
∫
2.
2
2 2
0
3 sin 4 cos
3 sin 4 cos
x x
I dx
x x
π
+
=
+
∫
3.
4
2
6
tan
cos 1 cos
x
I dx
x x
π
π
=
+
∫
4.
2
4
sin
4
2 sin cos 3
x
I dx
x x
π
π
π
+
=
−
∫
Bài giải
1.
2
1
2
sin sin .
2
6
I x x dx
π
π
= ⋅ +
∫
•
Đặt
3
cos sin , 0
2 2
x t t
π
= ≤ ≤
⇒
I =
4
2
0
3
cos
2
tdt
π
∫
=
3 1
2 4 2
π
+
.
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 55
2.
2
2 2
0
3 sin 4 cos
3 sin 4 cos
x x
I dx
x x
π
+
=
+
∫
•
2 2 2
2 2 2
0 0 0
3 sin 4 cos 3 sin 4 cos
3 cos 3 cos 3 cos
x x x x
I dx dx dx
x x x
π π π
+
= = +
+ + +
∫ ∫ ∫
2 2
2 2
0 0
3 sin 4 cos
3 cos 4 sin
x x
dx dx
x x
π π
= +
+ −
∫ ∫
+ Tính
2
1
2
0
3 sin
3 cos
x
I dx
x
π
=
+
∫
. Đặt
cos sin
t x dt xdx
= ⇒ = −
⇒
1
1
2
0
3
3
dt
I
t
=
+
∫
Đặt
2
3 tan 3(1 tan )
t u dt u du
= ⇒ = +
⇒
6
2
1
2
0
3 3(1 tan )
3
6
3(1 tan )
u du
I
u
π
π
+
= =
+
∫
+ Tính
2
2
2
0
4 cos
4 sin
x
I dx
x
π
=
−
∫
. Đặt
1 1
sin cos
t x dt xdx
= ⇒ =
1
1
2 1
2
1
0
4
ln 3
4
dt
I dt
t
= =
−
∫
Vậy:
3
ln 3
6
I
π
= +
3.
4
2
6
tan
cos 1 cos
x
I dx
x x
π
π
=
+
∫
•
Ta có:
4 4
2 2
2
2
6 6
tan tan
1
cos tan 2
cos 1
cos
x x
I dx dx
x x
x
x
π π
π π
= =
+
+
∫ ∫
Đặt
2
1
tan
cos
u x du dx
x
= ⇒ =
⇒
1
2
1
3
2
u
I dx
u
=
+
∫
. Đặt
2
2
2
2
u
t u dt du
u
= + ⇒ =
+
.
3
3
7
7
3
3
7 3 7
3 .
3 3
I dt t
−
⇒ = = = − =
∫
4.
2
4
sin
4
2 sin cos 3
x
I dx
x x
π
π
π
+
=
−
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 56
•
Ta có:
( )
2
2
4
1 sin cos
2
sin cos 2
x x
I dx
x x
π
π
+
= −
− +
∫
. Đặt
sin cos
t x x
= −
⇒
1
2
0
1 1
2
2
I dt
t
= −
+
∫
Đặt
2 tan
t u
=
⇒
1
arctan
2
2
2
0
2(1 tan )
1 1 1
arctan
2
2 2
2 tan 2
u
I du
u
+
= − = −
+
∫
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 7.Tính các tích phân sau:
1.
3
2
3
sin
cos
x x
I dx
x
π
π−
=
∫
2.
2
0
1 sin
.
1 cos
x
x
I e dx
x
π
+
=
+
∫
3.
(
)
4
2
0
cos2
1 sin 2
x x
I dx
x
π
=
+
∫
Bài giải
1.
3
2
3
sin
cos
x x
I dx
x
π
π−
=
∫
.
•
Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có:
3 3
3
3
3 3
1 4
,
cos cos cos 3
x dx
I xd J
x x x
π π
π
π
π π
π
−
− −
= = − = −
∫ ∫
với
3
3
cos
dx
J
x
π
π
−
=
∫
Để tính J ta đặt
sin .
t x
=
Khi đó
3
3
3 2
2
2
3
3
2
3
2
1 1 2 3
ln ln
cos 2 1
2 3
1
dx dt t
J
x t
t
π
π
−
−
−
− −
= = = − = −
+
+
−
∫ ∫
Vậy
4 2 3
ln .
3
2 3
I
π −
= −
+
2.
2
0
1 sin
.
1 cos
x
x
I e dx
x
π
+
=
+
∫
Ta có:
2 2
1 2 sin cos
1 sin 1
2 2
tan
1 cos 2
2 cos 2 cos
2 2
x x
x x
x x x
+
+
= = +
+
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 57
2 2
2
0 0
tan
2
2 cos
2
x
x
e dx x
I e dx
x
π π
⇒ = +
∫ ∫
=
2
e
π
3.
(
)
4
2
0
cos2
1 sin 2
x x
I dx
x
π
=
+
∫
Đặt
2
cos2
1
1 sin 2
(1 sin 2 )
u x
du dx
x
dv dx
v
x
x
=
=
⇒
=
= −
+
+
4 4
2
0 0
1 1 1 1 1 1 1
. . .
4
2 1 sin 2 2 1 sin 2 16 2
2
0
cos
4
I x dx dx
x x
x
π π
π
π
π
⇒ = − + = − +
+ +
−
∫ ∫
( )
1 1 1 2 2
. tan . 0 1
4
16 2 4 16 2 2 4 16
2
0
x
π
π π π π
= − + − = − + + = −
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 58
PHẦN V TÍCH PHÂN HÀM MŨ VÀ LOGARIT
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 1.Tính các tích phân sau:
1.
2
1
x
x
e
I dx
e
=
+
∫
2.
x
2
( )
x
x
x x e
I d
x e
−
+
=
+
∫
3.
2
9
x
dx
I
e
=
+
∫
4.
2
2
2 1
ln(1 ) 2011
ln ( )
x
x
x x
I dx
ex e
+
+ +
=
+
∫
5.
x
x
1
1
( ln )
e
x
x
xe
J d
x e
+
=
+
∫
6.
ln 2
3 2
3 2
0
2 1
1
x x
x x x
e e
I dx
e e e
+ −
=
+ − +
∫
7.
(
)
3 ln 2
2
3
0
2
x
dx
I
e
=
+
∫
8.
ln 2
3
0
1
x
I e dx
= −
∫
9.
(
)
ln 15
2
3 ln 2
24
1 5 3 1 15
x x
x x x x
e e dx
I
e e e e
−
=
+ + − + −
∫
10.
ln 3
2
ln 2
1 2
x
x x
e dx
I
e e
=
− + −
∫
11.
ln 3
3 2
0
2
4 3 1
x x
x x
e e
I dx
e e
−
=
− +
∫
12.
16
ln
3
8
ln
3
3 4
x
I e dx
= −
∫
13.
x
ln 3
3
0
( 1)
x
x
e
I d
e
=
+
∫
14.
x
ln 5
2
ln 2
1
x
x
e
I d
e
=
−
∫
15.
ln 2
0
1
x
I e dx
= −
∫
16.
2
1
2 2
4 4 2
x x
x x
I dx
−
−
−
=
+ −
∫
17.
1
0
6
9 3.6 2.4
x
x x x
dx
I =
+ +
∫
Bài giải
1.
2
1
x
x
e
I dx
e
=
+
∫
Đặt
2
2
x x x
t e e t e dx tdt
= ⇒ = ⇒ =
.
3
2
1
t
I dt
t
⇒ = =
+
∫
3 2
2
2 2 ln 1
3
t t t t C
− + − + +
2
2 2 ln 1
3
x x x x x
e e e e e C
= − + − + +
2.
2
( )
x
x
x x e
I dx
x e
−
+
=
+
∫
2
( )
x
x
x x e
I dx
x e
−
+
=
+
∫
=
.( 1)
1
x x
x
xe x e
dx
xe
+
+
∫
. Đặt
. 1
x
t x e
= +
1 ln 1
x x
I xe xe C
⇒ = + − + +
.
3.
2
9
x
dx
I
e
=
+
∫
Đặt
2
9
x
t e
= +
⇒
2
1 3
ln
6 3
9
dt t
I C
t
t
−
= = +
+
−
∫
2
2
1 9 3
ln
6
9 3
x
x
e
C
e
+ −
= +
+ +
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 59
4.
2
2
2 1
ln(1 ) 2011
ln ( )
x
x
x x
I dx
ex e
+
+ +
=
+
∫
Ta có:
2
2 2
ln( 1) 2011
( 1) ln( 1) 1
x x
I dx
x x
+ +
=
+ + +
∫
. Đặt
2
ln( 1) 1
t x
= + +
⇒
1 2010
2
t
I dt
t
+
=
∫
1
1005 ln
2
t t C
= + +
=
2 2
1 1
ln( 1) 1005 ln(ln( 1) 1)
2 2
x x C
+ + + + + +
5.
x
x
1
1
( ln )
e
x
x
xe
J d
x e
+
=
+
∫
x
x
x
1
1
( ln )
1
ln ln ln
ln
e
x
e
e
x
x
d e
e
J e
e
e
+
+
= = + =
+
∫
6.
ln 2
3 2
3 2
0
2 1
1
x x
x x x
e e
I dx
e e e
+ −
=
+ − +
∫
ln 2
3 2 3 2
3 2
0
3 2 ( 1)
1
x x x x x x
x x x
e e e e e e
I dx
e e e
+ − − + − +
=
+ − +
∫
=
ln 2
3 2
3 2
0
3 2
1
1
x x x
x x x
e e e
dx
e e e
+ −
−
+ − +
∫
=
3 2
ln 2 ln 2
ln( – 1)
0 0
x x x
e e e x+ + −
= ln11 – ln4 =
14
ln
4
7.
(
)
3 ln 2
2
3
0
2
x
dx
I
e
=
+
∫
(
)
3 ln 2
3
2
3
0
3
2
x
x
x
e dx
I
e e
=
+
∫
. Đặt
3 3
1
3
x x
t e dt e dx
= ⇒ =
⇒
3 3 1
ln
4 2 6
I
= −
8.
ln 2
3
0
1
x
I e dx
= −
∫
Đặt
3
1
x
e t
− =
⇒
2
3
3
1
t dt
dx
t
=
+
⇒
I =
1
3
0
1
3 1
1
dt
t
−
+
∫
=
1
3
0
3 3
1
dt
t
−
+
∫
.
Tính
1
1
3
0
3
1
dt
I
t
=
+
∫
=
1
2
0
1 2
1
1
t
dt
t
t t
−
+
+
− +
∫
=
ln 2
3
π
+
Vậy:
3 ln 2
3
I
π
= − −
9.
(
)
ln 15
2
3 ln 2
24
1 5 3 1 15
x x
x x x x
e e dx
I
e e e e
−
=
+ + − + −
∫
Đặt
2
1 1
x x
t e t e
= + ⇒ − =
2
x
e dx tdt
⇒ =
.
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 60
( )
4 4
2
4
2
3
3 3
(2 10 )
3 7
2 2 3 ln 2 7 ln 2
2 2
4
t t dt
I dt t t t
t t
t
−
= = − − = − − − +
− +
−
∫ ∫
2 3 ln 2 7 ln 6 7 ln 5
= − − +
10.
ln 3
2
ln 2
1 2
x
x x
e dx
I
e e
=
− + −
∫
Đặt t =
2
x
e
−
⇒
2
2
x
e dx tdt
=
⇒
I = 2
1
2
2
0
( 2)
1
t tdt
t t
+
+ +
∫
= 2
1
2
0
2 1
1
1
t
t dt
t t
+
− +
+ +
∫
=
1
0
2 ( 1)
t dt
−
∫
+
1
2
2
0
( 1)
2
1
d t t
t t
+ +
+ +
∫
=
1
2
0
( 2 )
t t
−
+
1
2
0
2 ln( 1)
t t+ +
=
2 ln 3 1
−
.
11.
ln 3
3 2
0
2
4 3 1
x x
x x
e e
I dx
e e
−
=
− +
∫
Đặt
3 2 2 3 2 3 2
4 3 4 3 2 (12 6 )
x x x x x x
t e e t e e tdt e e dx
= − ⇒ = − ⇒ = −
3 2
(2 )
3
x x
tdt
e e dx⇒ − =
9 9
1 1
1 1 1
(1 )
3 1 3 1
tdt
I dt
t t
⇒ = = −
+ +
∫ ∫
9
1
1 8 ln 5
( ln 1) .
3 3
t t
−
= − + =
12.
16
ln
3
8
ln
3
3 4
x
I e dx
= −
∫
Đặt:
2
4
3 4
3
x x
t
t e e
+
= − ⇒ =
2
2
4
tdt
dx
t
⇒ =
+
2 3 2 3 2 3
2
2 2
2 2 2
2
2 8
4 4
t dt
I dt dt
t t
⇒ = = −
+ +
∫ ∫ ∫
(
)
1
4 3 1 8
I
= − −
, với
2 3
1
2
2
4
dt
I
t
=
+
∫
Tính
2 3
1
2
2
4
dt
I
t
=
+
∫
. Đặt:
2 tan , ;
2 2
t u u
π π
= ∈ −
2
2(1 tan )
dt u du
⇒ = +
3
1
4
1 1
2 2 3 4 24
I du
π
π
π π π
⇒ = = − =
∫
. Vậy:
4( 3 1)
3
I
π
= − −
13.
ln 3
3
0
( 1)
x
x
e
I dx
e
=
+
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 61
Đặt
2
2
1 1 2
x x x
x
tdt
t e t e tdt e dx dx
e
= + ⇔ = + ⇔ = ⇒ =
2
3
2
2 2 1
tdt
I
t
⇒ = = −
∫
14.
ln 5
2
ln 2
1
x
x
e
I dx
e
=
−
∫
Đặt
2
2
3
2 2
1
1
2 20
1 1 2 ( 1) 2
3 3
x x
x
tdt t
t e t e dx I t d t
e
= − ⇔ = − ⇒ = ⇒ = + = + =
∫
15.
ln 2
0
1
x
I e dx
= −
∫
Đặt
2
2
2 2
1 1 2
1
x x x
x
td td
t e t e tdt e dx dx
e t
= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = =
+
1 1
2
2 2
0 0
2 1 4
2 1
2
1 1
t
I dt dt
t t
π
−
⇒ = = − =
+ +
∫ ∫
16.
2
1
2 2
4 4 2
x x
x x
I dx
−
−
−
=
+ −
∫
Đặt
2 2
x x
t
−
= +
⇒
2
4 4 2 (2 2 ) 4
x x x x
− −
+ − = + −
⇒
1 81
ln
4 ln 2 25
I =
17.
1
0
6
9 3.6 2.4
x
x x x
dx
I =
+ +
∫
Ta có:
1
2
0
3
2
3 3
3 2
2 2
x
x x
dx
I
=
+ +
∫
. Đăt
3
2
x
t
=
.
3
2
2
1
1
ln 3 ln 2
3 2
dt
I
t t
=
−
+ +
∫
ln15 ln14
ln 3 ln 2
−
=
−
HT 2.Tính các tích phân sau:
1.
2
1
ln
3 ln
1 ln
e
x
I x x dx
x x
= +
+
∫
2.
3
2
1
ln 2 ln
e
x x
I dx
x
+
=
∫
3.
2
ln .ln
e
e
dx
I
x x ex
=
∫
4.
ln 6
2
ln 4
6 5
x
x x
e
I dx
e e
−
=
+ −
∫
9.
5
2
ln( 1 1)
1 1
x
I dx
x x
− +
=
− + −
∫
10.
3
3
1
ln
1 ln
e
x
I dx
x x
=
+
∫
11.
1
3 2 ln
1 2 ln
e
x
I dx
x x
−
=
+
∫
12.
3
2
1
ln 2 ln
e
x x
I dx
x
+
=
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 62
5.
3
2
2
1
log
1 3 ln
e
x
I dx
x x
=
+
∫
6.
1
( 2)ln
(1 ln )
e
x x x
I dx
x x
+ −
=
+
∫
7.
3
2
2 2
2 ln ln 3
(1 ln )
e
e
x x x x
I dx
x x
− +
=
−
∫
8.
2
2 2
2
1
ln ln 1
e
x x
I dx
x
− +
=
∫
13.
1
1
( ln )
e
x
x
xe
I dx
x e x
+
=
+
∫
Bài giải
1.
2
1
ln
3 ln
1 ln
e
x
I x x dx
x x
= +
+
∫
2
1 1
ln
3 ln
1 ln
e e
x
I dx x xdx
x x
= +
+
∫ ∫
=
2(2 2)
3
−
+
3
2 1
3
e
+
=
3
5 2 2 2
3
e
− +
2.
3
2
1
ln 2 ln
e
x x
I dx
x
+
=
∫
Đặt
2
2 ln
t x
= +
⇒
2 ln
x
dt dx
x
=
⇒
3
3
2
1
2
I tdt
=
∫
(
)
3 3
4 4
3
3 2
8
= −
3.
ex
2
ln .ln
e
e
dx
I
x x
=
∫
2 2
(ln )
ln (1 ln ) ln (1 ln )
e e
e e
d x
dx
I
x x x x x
= =
+ +
∫ ∫
=
2
1 1
(ln )
ln 1 ln
e
e
d x
x x
−
+
∫
= 2ln2 – ln3
4.
x
ln 6
2
ln 4
6 5
x x
e
I dx
e e
−
=
+ −
∫
•
Đặt
x
t e
=
.
2 9 ln 3 4 ln2
I
= + −
5.
3
2
2
1
log
1 3 ln
e
x
I dx
x x
=
+
∫
3
3
2
2
3
2 2 2
1 1 1
ln
log
ln 2
1 ln . ln
.
ln 2
1 3 ln 1 3 ln 1 3 ln
e e e
x
x
x xdx
I dx dx
x
x x x x x
= = =
+ + +
∫ ∫ ∫
Đặt
2 2 2
1 1
1 3 ln ln ( 1) ln .
3 3
dx
x t x t x tdt
x
+ = ⇒ = − ⇒ =
.
Suy ra
2
3
3 3
1
1 1 4
3
9 ln 2 27 ln 2
I t t
= − =
.
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 63
6.
1
( 2)ln
(1 ln )
e
x x x
I dx
x x
+ −
=
+
∫
x
1 1
ln
2
(1 ln )
e e
x
d dx
x x
−
+
∫ ∫
=
1
ln
1 2
(1 ln )
e
x
e dx
x x
− −
+
∫
Tính J =
1
ln
(1 ln )
e
x
dx
x x+
∫
. Đặt
x
1 ln
t
= +
⇒
2
1
1
1 ln 2
t
J dt
t
−
= = −
∫
.
Vậy:
3 2 ln 2
I e
= − +
.
7.
3
2
2 2
2 ln ln 3
(1 ln )
e
e
x x x x
I dx
x x
− +
=
−
∫
3 3
2 2
1
3 2 ln
(1 ln )
e e
e e
I dx xdx
x x
= −
−
∫ ∫
3 2
3 ln 2 4 2
e e
= − − +
.
8.
2
2 2
2
1
ln ln 1
e
x x
I dx
x
− +
=
∫
Đặt :
ln
dx
t x dt
x
= ⇒ =
⇒
2
2 2 1 2
1 2
0 0 0 1
2 1 1 1 1
t t t t
t t t t t
I dt dt dt dt I I
e e e e
− + − − −
= = = − + = +
∫ ∫ ∫ ∫
+
11 1 1 1
1
0 0 0 0
0
1
t
t t t t
tdt dt dt dt
I te
e
e e e e
−
= − − = − − + − =
∫ ∫ ∫ ∫
+
2 22 2 2 2
2
2
1 1 1 1
1 1
1 2
t t
t t t t
tdt dt dt dt
I te te
e
e e e e e
− −
= − = − + − = − = −
∫ ∫ ∫ ∫
Vậy :
2
2( 1)
e
I
e
−
=
9.
5
2
ln( 1 1)
1 1
x
I dx
x x
− +
=
− + −
∫
Đặt
(
)
ln 1 1
t x= − +
⇒
2
1 1
dx
dt
x x
=
− + −
⇒
ln 3
2 2
ln 2
2 ln 3 ln 2
I dt= = −
∫
.
10.
3
3
1
ln
1 ln
e
x
I dx
x x
=
+
∫
Đặt
2
1 ln 1 ln 2
dx
t x x t tdt
x
= + ⇒ + = ⇒ =
và
3 2 3
ln ( 1)
x t= −
⇒
=
2 2 2
2 3
6 4 2
5 3
1 1 1
( 1)
3 3 1 1
( 3 3 )
t
t t t
I dt dt t t t dt
t t t
−
− + −
= = − + −
∫ ∫ ∫
15
ln 2
4
= −
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 64
11.
1
3 2 ln
1 2 ln
e
x
I dx
x x
−
=
+
∫
Đặt
1 2 ln
t x
= +
⇒
2
1
(2 )
e
I t dt
= −
∫
=
4 2 5
3
−
12.
3
2
1
ln 2 ln
e
x x
I dx
x
+
=
∫
Đặt
2
2 ln
t x
= +
⇒
3 3
4 4
3
3 2
8
I
= −
13.
1
1
( ln )
e
x
x
xe
I dx
x e x
+
=
+
∫
Đặt
ln
x
t e x
= +
⇒
1
ln
e
e
I
e
+
=
.
HT 3.Tính các tích phân sau:
1.
2
sin
0
.sin 2
x
I e xdx
π
=
∫
2.
1
2
0
ln( 1)
I x x x dx
= + +
∫
3.
8
3
ln
1
x
I dx
x
=
+
∫
4.
I
2
1
ln 1
e
x
x x x
e dx
x
+ +
=
∫
5.
2
1
ln
ln
1 ln
e
x
I x dx
x x
= +
+
∫
6.
2
3
2
ln( 1)
1
x
I dx
x
+
=
∫
7.
I = dx
2
2
1
ln( 1)
x
x
+
∫
8.
1
2
0
1
ln
1
x
I x dx
x
+
=
−
∫
9.
2
2
1
1
.ln
I x x dx
x
= +
∫
10.
1
2 2
.ln(1 )
0
I x x dx
= +
∫
11.
3
2
1
ln
( 1)
x
I dx
x
=
+
∫
12.
2 2
1
ln ( ln )
.
1
e
x x
x
x e e x
I dx
e
+ +
=
+
∫
13.
2
1
1
2
1
( 1 )
x
x
I x e dx
x
+
= + −
∫
14.
4
2
0
ln( 9 )
I x x dx
= + −
∫
Bài giải
1.
2
sin
0
.sin 2
x
I e xdx
π
=
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 65
inx
2
s
0
2 . sin cos
I e x xdx
π
=
∫
. Đặt
x
sin sin
sin cos
cos
x x
u x du xdx
dv e xd v e
= =
⇒
= =
2
sin sin sin
2 2
0 0
0
2 sin . cos 2 2 2
x x x
I xe e xdx e e
π
π π
⇒ = − = − =
∫
2.
1
2
0
ln( 1)
I x x x dx
= + +
∫
Đặt
2
2
2
2 1
ln( 1)
1
2
x
du dx
u x x
x x
dv xdx
x
v
+
=
= + +
+ +
⇒
=
=
1
1
2 3 2
2
2
0
0
1 2
ln( 1)
2 2
1
x x x
I x x dx
x x
+
= + + −
+ +
∫
1 1 1
2 2
0 0 0
1 1 1 2 1 3
ln 3 (2 1)
2 2 4 4
1 1
x dx
x dx dx
x x x x
+
= − − + −
+ + + +
∫ ∫ ∫
3 3
ln 3
4 12
π
= −
3.
8
3
ln
1
x
I dx
x
=
+
∫
Đặt
ln
2 1
1
u x
dx
du
dx
x
dv
v x
x
=
=
⇒
=
= +
+
( )
8
8
3
3
1
2 1.ln 2 6 ln 8 4 ln 3 2
x
I x x dx J
x
+
⇒ = + − = − −
∫
+ Tính
8
3
1
x
J dx
x
+
=
∫
. Đặt
3 3 3
2
2 2
2 2 2
1 1
1 .2 2 2
1 1
1 1
t t
t x J tdt dt dt
t t
t t
= + ⇒ = = = + −
− +
− −
∫ ∫ ∫
8
3
1
2 ln 2 ln 3 ln 2
1
t
t
t
−
= + = + −
+
Từ đó
20 ln 2 6 ln 3 4
I
= − −
.
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
4.
I
2
1
ln 1
e
x
x x x
e dx
x
+ +
=
∫
1 1 1
ln
e e e
x
x x
e
I xe dx xe dx dx
x
= + +
∫ ∫ ∫
. + Tính
1
1
1 1
( 1)
e e
e
x x x e
I xe dx xe e dx e e
= = − = −
∫ ∫
+Tính
2
1
1 1 1
ln ln
e e e
x x
e
x x e
e e
I e xdx e x dx e dx
x x
= = − = −
∫ ∫ ∫
.
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 66
Vậy:
1 2
1
e
x
e
I I I dx
x
= + +
∫
=
1
e
e
+
.
5.
2
1
ln
ln
1 ln
e
x
I x dx
x x
= +
+
∫
Tính
1
1
ln
1 ln
e
x
I dx
x x
=
+
∫
. Đặt
1 ln
t x
= +
⇒
1
4 2 2
3 3
I = −
.
+ Tính
2
2
1
ln
e
I xdx
=
∫
. Lấy tích phân từng phần 2 lần được
2
2
I e
= −
.
Vậy
2 2 2
3 3
I e= − −
.
6.
2
3
2
ln( 1)
1
x
I dx
x
+
=
∫
Đặt
2
2
3
2
2
ln( 1)
1
1
2
x
du
u x
x
dx
dv
v
x
x
=
= +
+
⇒
=
= −
. Do đó I =
2
2
2 2
1
2
ln( 1)
1
2 ( 1)
x
dx
x x x
+
− +
+
∫
2
2
1
ln 2 ln 5 1
2 8
1
x
dx
x
x
= − + −
+
∫
2 2
2
2
1 1
( 1)
ln 2 ln 5 1
2 8 2
1
d x
dx
x
x
+
= − + −
+
∫ ∫
2
2
ln 2 ln 5 1
ln | | ln | 1 |
1
2 8 2
x x
= − + − +
=
5
2 ln 2 ln 5
8
−
7.
I = dx
2
2
1
ln( 1)
x
x
+
∫
Đặt
2
2
1
ln( 1)
2
1 3
1
ln( 1) 3 ln 2 ln 3
1
1
( 1) 2
dx
u x
du
dx
x
I x
dx
dv
x x x
v
x
x
= +
=
+
⇔ ⇒ = − + + = −
=
+
= −
∫
8.
1
2
0
1
ln
1
x
I x dx
x
+
=
−
∫
Đặt
2
2
2
1
ln
(1 )
1
2
du dx
x
u
x
x
x
dv xdx
v
=
+
=
−
⇒
−
=
=
⇒
1
2
2 2
2
0
1
1 1 2
ln
2
2 1
1
0
x
I x x dx
x
x
+
= −
−
−
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 67
1 1
2 2
2
2
0 0
ln 3 ln 3 1 ln 3 1 1 2
1 ln
8 8 ( 1)( 1) 8 2 2 3
1
x
dx dx
x x
x
= + = + + = + +
− +
−
∫ ∫
9.
2
2
1
1
.ln
I x x dx
x
= +
∫
Đặt
2
1
lnu x
x
dv x dx
= +
=
⇒
10 1
3 ln 3 ln 2
3 6
I
= − +
10.
1
2 2
.ln(1 )
0
I x x dx
= +
∫
Đặt
2
2
ln(1 )
u x
dv x dx
= +
=
⇒
1 4
.ln 2
3 9 6
I
π
= + +
11.
3
2
1
ln
( 1)
x
I dx
x
=
+
∫
Đặt
2
ln
( 1)
u x
dx
dv
x
=
=
+
⇒
1 3
ln 3 ln
4 2
I = − +
12.
2 2
1
ln ( ln )
.
1
e
x x
x
x e e x
I dx
e
+ +
=
+
∫
Ta có:
2
2
1 1
ln .
1
e e
x
x
e
I x dx dx H K
e
= + = +
+
∫ ∫
+
2
1
ln .
e
H x dx
=
∫
. Đặt:
2
ln
u x
dv dx
=
=
⇒
1
2 ln . 2
e
H e x dx e
= − = −
∫
+
2
1
1
e
x
x
e
K dx
e
=
+
∫
. Đặt
1
x
t e
= +
⇒
1
2
1
1 1
ln
1
e
e
e
e
e
t e
I dt e e
t
e
+
+
− +
⇒ = = − +
+
∫
Vậy:
1
– 2 ln
1
e
e
e
I e
e
+
= +
+
13.
2
1
1
2
1
( 1 )
x
x
I x e dx
x
+
= + −
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 68
Ta có:
2 3
1 1
1 1
2 2
1
x x
x x
I e dx x e dx H K
x
+ +
= + − = +
∫ ∫
+ Tính H theo phương pháp từng phần I
1
=
2
2
1 1 5
2
1
1
2
2
1 3
2
x x
x x
H xe x e dx e K
x
+ +
= − − = −
∫
5
2
3
.
2
I e
⇒ =
14.
4
2
0
ln( 9 )
I x x dx
= + −
∫
Đặt
(
)
2
ln 9
u x x
dv dx
= + −
=
⇒
( )
4
4
2
2
0
0
ln 9 2
9
x
I x x x dx
x
= + − + =
+
∫
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 69
PHẦN VI TỔNG HỢP
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 1.Tính các tích phân sau:
1.
3
1
4
2
0
1
x
x
I x e dx
x
= +
+
∫
2.
2
2
3
1
4
x
x
I x e dx
x
−
= −
∫
3.
( )
1
2 2 2
2
0
. 4 .
4
x
x
I e x x dx
x
= − −
−
∫
4.
1
2
2
0
1
( 1)
x
x
I e dx
x
+
=
+
∫
5.
2
3
3 1
2
0
.
1
x
x e dx
I
x
+
=
+
∫
6.
x
2 3
2
ln( 1)
1
x x x
I d
x
+ +
=
+
∫
7.
(
)
4
2 3
2
0
ln 9 3
9
x x x
I dx
x
+ + −
=
+
∫
8.
3 2
1
( 1)ln 2 1
2 ln
e
x x x
I dx
x x
+ + +
=
+
∫
9.
3
3
1
ln
1 ln
e
x
I dx
x x
=
+
∫
10.
4
2
0
sin
cos
x x
I dx
x
π
=
∫
1.
3
1
4
2
0
1
x
x
I x e dx
x
= +
+
∫
3
1 1
4
2
0 0
1
x
x
I x e dx dx
x
= +
+
∫ ∫
.
+ Tính
3
1
2
1
0
x
I x e dx
=
∫
. Đặt
3
t x
=
⇒
1
1
1
0
0
1 1 1 1
3 3 3 3
t t
I e dt e e
= = = −
∫
.
+ Tính
1
4
2
0
1
x
I dx
x
=
+
∫
. Đặt
4
t x
=
⇒
1
4
2
2
0
2
4 4
3 4
1
t
I dt
t
π
= = − +
+
∫
Vậy:
1
3
3
I e π
= + −
2.
2
2
3
1
4
x
x
I x e dx
x
−
= −
∫
2
1
x
I xe dx
=
∫
+
2
2
2
1
4 x
dx
x
−
∫
.
+ Tính
2
2
1
1
x
I xe dx e
= =
∫
+ Tính
2
2
2
2
1
4 x
I dx
x
−
=
∫
. Đặt
2 sin
x t
=
,
0;
2
t
π
∈
.
⇒
2
2
2
2
2
6
6
cos
( cot )
sin
t
I dt t t
t
π
π
π
π
= = − −
∫
=
3
3
π
−
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 70
Vậy:
2
3
3
I e
π
= + −
.
3.
( )
1
2 2 2
2
0
. 4 .
4
x
x
I e x x dx
x
= − −
−
∫
1 1
3
2
1 2
2
0 0
4
x
x
I x e dx dx I I
x
= − = +
−
∫ ∫
+ Tính
1
2
2
1
0
1
4
x
e
I x e dx
+
= =
∫
+ Tính
1
3
2
2
0
4
x
I dx
x
=
−
∫
. Đặt
2
4
t x
= −
⇒
2
16
3 3
3
I = − +
⇒
⇒⇒
⇒
2
61
3 3
4 12
e
I = + −
4.
1
2
2
0
1
( 1)
x
x
I e dx
x
+
=
+
∫
Đặt
1
t x dx dt
= + ⇒ =
2 2
2
1 1
2 2
1 1
2 2 2 2
1
t t
t t
I e dt e dt
t
t t
− −
− +
= = + −
∫ ∫
=
2
2
1 1
2
e
e e
e
− + − + =
5.
2
3
3 1
2
0
.
1
x
x e dx
I
x
+
=
+
∫
Đặt
2
1
t x dx tdt
= + ⇒ =
⇒
2
2
1
( 1)
t
I t e dt
= −
∫
2
2 2
1
2
( )
1
t t
t e dt e J e e
= − = − −
∫
+
2 2 2
2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 4 2 4 2( )
1 1 1
t t t t t t t
J t e dt t e te dt e e te e dt e e te e
= = − = − − − = − − −
∫ ∫ ∫
Vậy:
2
I e
=
6.
x
2 3
2
ln( 1)
1
x x x
I d
x
+ +
=
+
∫
Ta có:
2 2 2
2 2 2 2
ln( 1) ( 1) ln( 1)
( )
1 1 1 1
x x x x x x x
x
f x x
x x x x
+ + − +
= + = + −
+ + + +
⇒
2 2 2
1 1
( ) ( ) ln( 1) ( 1) ln( 1)
2 2
F x f x dx x d x xdx d x
= = + + + − +
∫ ∫ ∫ ∫
=
2 2 2 2
1 1 1
ln ( 1) ln( 1)
4 2 2
x x x C
+ + − + +
.
7.
(
)
4
2 3
2
0
ln 9 3
9
x x x
I dx
x
+ + −
=
+
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 71
(
)
(
)
4 4 4
2 3 2 3
1 2
2 2 2
0 0 0
ln 9 3 ln 9
3 3
9 9 9
x x x x x x
I dx dx dx I I
x x x
+ + − + +
= = − = −
+ + +
∫ ∫ ∫
+ Tính
(
)
4
2
1
2
0
ln 9
9
x x
I dx
x
+ +
=
+
∫
. Đặt
(
)
2
ln 9
x x u
+ + =
⇒
2
1
9
du dx
x
=
+
⇒
ln 9
2 2 2
1
ln 3
ln 9
ln 9 ln 3
ln 3
2 2
u
I udu
−
= = =
∫
+ Tính
4
3
2
2
0
9
x
I dx
x
=
+
∫
. Đặt
2
9
x v
+ =
⇒
2 2
2
, 9
9
x
dv dx x v
x
= = −
+
⇒
5
3
2
2
3
5
44
( 9) ( 9 )
3
3 3
u
I u du u= − = − =
∫
Vậy
(
)
4
2 3 2 2
1 2
2
0
ln 9 3 ln 9 ln 3
3 44
2
9
x x x
I dx I I
x
+ + − −
= = − = −
+
∫
.
8.
3 2
1
( 1)ln 2 1
2 ln
e
x x x
I dx
x x
+ + +
=
+
∫
2
1 1
1 ln
2 ln
e e
x
I x dx dx
x x
+
= +
+
∫ ∫
. +
3 3
2
1
1
1
3 3
e
e
x e
x dx
−
= =
∫
+
1
1 1
(2 ln )
1 ln
ln 2 ln
2 ln 2 ln
e e
e
d x x
x
dx x x
x x x x
+
+
= = +
+ +
∫ ∫
2
ln
2
e
+
=
. Vậy:
3
1 2
ln
3 2
e e
I
− +
= +
.
9.
x
3
3
1
ln
1 ln
e
x
I d
x x
=
+
∫
Đặt
2
1 ln 1 ln 2
dx
t x x t tdt
x
= + ⇒ + = ⇒ =
và
3 2 3
ln ( 1)
x t
= −
⇒
=
2 2 2
2 3
6 4 2
5 3
1 1 1
( 1)
3 3 1 1
( 3 3 )
t
t t t
I dt dt t t t dt
t t t
−
− + −
= = − + −
∫ ∫ ∫
15
ln 2
4
= −
10.
4
2
0
sin
cos
x x
I dx
x
π
=
∫
Đặt
2
sin
1
cos
cos
u x
du dx
x
dv dx
v
x
x
=
=
⇒
=
=
⇒
4 4
4
0
0 0
2
cos cos 4 cos
x dx dx
I
x x x
π π
π
π
= − = −
∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 72
+
4 4
1
2
0 0
cos
cos
1 sin
dx xdx
I
x
x
π π
= =
−
∫ ∫
. Đặt
sin
t x
=
⇒
2
2
1
2
0
1 2 2
ln
2
2 2
1
dt
I
t
+
= =
−
−
∫
Vậy:
2 1 2 2
ln
4 2
2 2
π +
= −
−
HT 2.Tính các tích phân sau:
1.
4
3
2
1
ln(5 ) . 5
x x x
I dx
x
− + −
=
∫
2.
0
2
2
(2 ) ln(4 )
I x x x dx
= − + +
∫
3.
8
ln
1
3
x
I dx
x
=
∫
+
4.
2
2
3
1
1
ln
x
I xdx
x
+
=
∫
5.
2
1
ln 1
e
x
x x x
I e dx
x
+ +
=
∫
6.
2
3
4
cos
sin
x x
I dx
x
π
π
=
∫
7.
4
3
0
sin
cos
x x
I dx
x
π
=
∫
8.
2
2
0
( sin )
1 sin 2
x x
I dx
x
π
+
=
+
∫
9.
3
2
0
(cos cos sin )
1 cos
x x x x
I dx
x
π
+ +
=
+
∫
10.
2
3
2
3
( sin )sin
(1 sin )sin
x x x x
I dx
x x
π
π
+ +
=
+
∫
Bài giải
1.
4
3
2
1
ln(5 ) . 5
x x x
I dx
x
− + −
=
∫
Ta có:
4 4
2
1 1
ln(5 )
5 .
x
I dx x x dx K H
x
−
= + − = +
∫ ∫
.
+
4
2
1
ln(5 )
x
K dx
x
−
=
∫
. Đặt
2
ln(5 )
u x
dx
dv
x
= −
=
⇒
3
ln 4
5
K =
+ H=
4
1
5 .
x x dx
−
∫
. Đặt
5
t x
= −
⇒
164
15
H =
Vậy:
3 164
ln 4
5 15
I = +
2.
0
2
2
(2 ) ln(4 )
I x x x dx
= − + +
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 73
Ta có:
2
0
(2 )
I x x dx
= −
∫
+
2
2
0
ln(4 )
x dx
+
∫
=
1 2
I I
+
+
2 2
2
1
0 0
(2 ) 1 ( 1)
2
I x x dx x dx
π
= − = − − =
∫ ∫
(sử dụng đổi biến:
1 sin
x t
= +
)
+
2 2
2
2
2 2
2
0
2
0 0
ln(4 ) ln(4 ) 2
4
x
I x dx x x dx
x
= + = + −
+
∫ ∫
(sử dụng tích phân từng phần)
6 ln 2 4
π
= + −
(đổi biến
2 tan
x t
=
)
Vậy:
1 2
3
4 6 ln 2
2
I I I
π
= + = − +
3.
8
ln
1
3
x
I dx
x
=
∫
+
Đặt
ln
2 1
1
u x
dx
du
dx
x
dv
v x
x
=
=
⇒
=
= +
+
8
8
3
3
1
2 1 ln 2
x
I x x dx
x
+
⇒ = + −
∫
+ Tính
8
3
1
x
J dx
x
+
=
∫
. Đặt
1
t x
= +
⇒
3 3
2
2 2
2 2
2 1
2 1 2 ln 3 ln 2
1 1
t dt
J dt
t t
= = + = + −
− −
∫ ∫
6 ln 8 4 ln 3 2(2 ln 3 ln2) 20 ln 2 6 ln 3 4
I
⇒ = − − + − = − −
4.
2
2
3
1
1
ln
x
I xdx
x
+
=
∫
Ta có:
2
3
1
1 1
ln
I xdx
x
x
= +
∫
. Đặt
3
ln
1 1
( )
u x
dv dx
x
x
=
= +
⇒
2
2
1
4 5
1
1 1 1
ln ln ln
4 4
I x x x dx
x
x x
− −
= + − +
∫
=
2
1 63 1
ln 2 ln 2
64 4 2
− + +
5.
2
1
ln 1
e
x
x x x
I e dx
x
+ +
=
∫
Ta có:
1 1 1
ln
e e e
x
x x
e
I xe dx e xdx dx H K J
x
= + + = + +
∫ ∫ ∫
+
1
1 1
( 1)
e e
x x e x e
H xe dx xe e dx e e
= = − = −
∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 74
+
1
1 1 1
ln ln
e e e
x x
e
x x e e
e e
K e xdx e x dx e dx e J
x x
= = − = − = −
∫ ∫ ∫
Vậy:
1 1
e e e e
I H K J e e e J J e
+ +
= + + = − + − + =
.
6.
2
3
4
cos
sin
x x
I dx
x
π
π
=
∫
Ta có
2 3
1 2 cos
sin sin
x
x x
′
= −
. Đặt
3
cos
sin
u x
x
dv dx
x
=
=
⇒
2
1
2 sin
du dx
v
x
=
= −
⇒
I =
2
2
4
1 1
.
2
sin
x
x
π
π
−
+
2
2
2
4
4
1 1 1
( ) cot
2 2 2 2 2
sin
dx
x
x
π
π
π
π
π π
= − − −
∫
=
1
2
.
7.
x
4
3
0
sin
cos
x x
I d
x
π
=
∫
Đặt:
3 2
sin 1
cos 2.cos
u x du dx
x
dv dx v
x x
= =
⇒
= =
4
4 4
2 2
0
0
0
1 1 1
tan
2 4 2 4 2
2 cos cos
x dx
I x
x x
π
π π
π π
⇒ = − = − = −
∫
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
8.
2
2
0
( sin )
1 sin 2
x x
I dx
x
π
+
=
+
∫
Ta có:
2 2
2
0 0
sin
1 sin 2 1 sin 2
x x
I dx dx H K
x x
π π
= + = +
+ +
∫ ∫
+
2 2
2
0 0
1 sin 2
2 cos
4
x x
H dx dx
x
x
π π
π
= =
+
−
∫ ∫
. Đặt:
2
1
tan
2 cos
2 4
4
u x
du dx
dx
dv
v x
x
π
π
=
=
=
⇒
= −
−
2
2
0
0
1
tan ln cos
2 4 2 4 4
x
H x x
π
π
π π π
⇒ = − + − =
+
2
2
0
sin
1 sin 2
x
K dx
x
π
=
+
∫
. Đặt
2
t x
π
⇒
2
2
0
cos
1 sin 2
x
K dx
x
π
=
+
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 75
2
2
2
0
0
1
2 tan 1
2 4
2 cos
4
dx
K x
x
π
π
π
π
⇒ = = − =
−
∫
1
2
K
⇒ =
Vậy,
1
4 2
I H K
π
= + = +
.
9.
3
2
0
(cos cos sin )
1 cos
x x x x
I dx
x
π
+ +
=
+
∫
Ta có:
2
2 2
0 0 0
cos (1 cos ) sin
.sin
.cos .
1 cos 1 cos
x x x
x x
I x dx x x dx dx J K
x x
π π π
+ +
= = + = +
+ +
∫ ∫ ∫
+ Tính
0
.cos .
J x x dx
π
=
∫
. Đặt
cos
u x
dv xdx
=
=
⇒
0 0
0
( .sin ) sin . 0 cos 2
J x x x dx x
π
π π
= − = + = −
∫
+ Tính
2
0
.sin
1 cos
x x
K dx
x
π
=
+
∫
. Đặt
x t dx dt
π
= − ⇒ = −
2 2 2
0 0 0
( ).sin( ) ( ).sin ( ).sin
1 cos ( ) 1 cos 1 cos
t t t t x x
K dt dt dx
t t x
π π π
π π π π
π
− − − −
⇒ = = =
+ − + +
∫ ∫ ∫
2 2 2
0 0 0
( ).sin
sin . sin .
2
2
1 cos 1 cos 1 cos
x x x
x dx x dx
K dx K
x x x
π π π
π
π
π
+ −
⇒ = = ⇒ =
+ + +
∫ ∫ ∫
Đặt
cos sin .
t x dt x dx
= ⇒ = −
1
2
1
2
1
dt
K
t
π
−
⇒ =
+
∫
, đặt
2
tan (1 tan )
t u dt u du
= ⇒ = +
4 4
2
2
4
2
4
4 4
(1 tan )
.
2 2 2 4
1 tan
u du
K du u
u
π π
π
π
π π
π π π π
−
− −
+
⇒ = = = =
+
∫ ∫
Vậy
2
2
4
I
π
= −
10.
2
3
2
3
( sin )sin
(1 sin )sin
x x x x
I dx
x x
π
π
+ +
=
+
∫
Ta có:
2 2 2
2
3 3 3
2 2
3 3 3
(1 sin ) sin
1 sin
(1 sin )sin sin
x x x
x dx
I dx dx H K
x
x x x
π π π
π π π
+ +
= = + = +
+
+
∫ ∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 76
+
2
3
2
3
sin
x
H dx
x
π
π
=
∫
. Đặt
2
cot
sin
u x
du dx
dx
v x
dv
x
=
=
⇒
= −
=
⇒
3
H
π
=
+
2 2 2
3 3 3
2
3 3 3
3 2
1 sin
1 cos 2 cos
2 4 2
dx dx dx
K
x
x
x
π π π
π π π
π π
= = = = −
+
+ − −
∫ ∫ ∫
Vậy
3 2
3
I
π
= + −
HT 3.Tính các tích phân sau:
1.
2
3
0
sin
1 cos 2
x x
I dx
x
π
+
=
+
∫
2.
3
0
1 sin 1.
I x x dx
= + +
∫
3.
2
0
1 sin
.
1 cos
x
x
I e dx
x
π
+
=
+
∫
4.
2
0
cos
(1 sin 2 )
x
x
I dx
e x
π
=
+
∫
5.
x
4
6 6
4
sin cos
6 1
x
x x
I d
π
π
−
+
=
+
∫
6.
6
4
6
sin
2 1
x
xdx
I
π
π
−
−
=
+
∫
7.
1
cos(ln )
e
I x dx
π
=
∫
8.
2
2
sin 3
0
.sin .cos
x
I e x xdx
π
=
∫
9.
4
0
ln(1 tan )
I x dx
π
= +
∫
10.
2
0
sin ln(1 sin )
I x x dx
π
= +
∫
Bài giải
1.
2
3
0
sin
1 cos2
x x
I dx
x
π
+
=
+
∫
Ta có:
2 2
3 3 3
2 2
0 0 0
sin sin
1 cos 2
2 cos 2 cos
x x x x
I dx dx dx H K
x
x x
π π π
+
= = + = +
+
∫ ∫ ∫
+
3 3
2 2
0 0
1
2
2 cos cos
x x
H dx dx
x x
π π
= =
∫ ∫
. Đặt
2
tan
cos
u x
du dx
dx
v x
dv
x
=
=
⇒
=
=
3
3
3
0
0
0
1 1 1
tan tan ln cos ln 2
2 2 2
2 3 2 3
H x x xdx x
π
π
π
π π
⇒ = − = + = −
∫
+
2
2
3 3
2
0 0
sin 1
tan
2
2 cos
x
K dx xdx
x
π π
= =
∫ ∫
[ ]
3
0
1 1
tan 3
2 2 3
x x
π
π
= − = −
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 77
Vậy:
(
)
1 1 3 1 1
ln 2 3 ( 3 ln 2)
2 2 3 6 2
2 3
I H K
π π π
−
= + = − + − = + −
2.
3
0
1 sin 1.
I x x dx
= + +
∫
Đặt
1
t x
= +
⇒
2 2 2
2 2
1 1 1
.sin .2 2 sin 2 sin
I t t tdt t tdt x xdx
= = =
∫ ∫ ∫
Đặt
x
x
2
4
2
cos
sin
du xd
u x
v x
dv xd
=
=
⇒
= −
=
⇒
2
2
2
1
1
2 cos 4 cos
I x x x xdx
= − +
∫
Đặt
x
x
4 4
cos sin
u x du d
dv xd v x
= =
⇒
= =
. Từ đó suy ra kết quả.
3.
2
0
1 sin
.
1 cos
x
x
I e dx
x
π
+
=
+
∫
2 2
2
0 0
1 sin
2 1 cos
cos
2
x
x
e dx x
I e dx
x x
π π
= +
+
∫ ∫
+ Tính
2 2
1
2
0 0
2 sin . cos
sin
2 2
1 cos
2 cos
2
x x
x x
x
I e dx e dx
x x
π π
= =
+
∫ ∫
2
0
tan
2
x
x
e dx
π
=
∫
+ Tính
2
2
2
0
1
2
cos
2
x
e dx
I
x
π
=
∫
. Đặt
2
tan
2 cos
2
2
x
x
u e
du e dx
dx
dv
x
v
x
=
=
⇒
=
=
⇒
2
2
2
0
tan
2
x
x
I e e dx
π
π
= −
∫
Do đó:
2
1 2
I I I e
π
= + =
.
4.
2
0
cos
(1 sin 2 )
x
x
I dx
e x
π
=
+
∫
2
2
0
cos
(sin cos )
x
x
I dx
e x x
π
=
+
∫
. Đặt
2
cos
(sin cos )
sin
sin cos
(sin cos )
x
x
x
x x dx
u
du
e
e
dx
x
dv
v
x x
x x
− +
=
=
⇒
=
=
+
+
2 2
2
0
0 0
cos sin sin sin
.
sin cos
x x x
x x xdx xdx
I
x x
e e e
π π
π
⇒ = + =
+
∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 78
Đặt
1 1
1 1
sin cos
1
x x
u x du xdx
dx
dv v
e e
= =
⇒
−
= =
⇒
2 2
2
0
0 0
2
1 cos 1 cos
sin .
x x x
xdx xdx
I x
e e e
e
π π
π
π
− −
= + = +
∫ ∫
Đặt
2 2
1 1
cos sin
1
x x
u x du xdx
dx
dv v
e e
= = −
⇒
−
= =
2
2
2
0
0
2 2
1 1 sin 1
cos . 1 2 1
x x
xdx
I x I I e
e e
e e
π
π
π
π π
−
− − −
⇒ = + − = + − ⇒ = − +
∫
2
1
2 2
e
I
π−
−
⇒ = +
5.
x
4
6 6
4
sin cos
6 1
x
x x
I d
π
π
−
+
=
+
∫
Đặt
t x
= −
⇒
dt dx
= −
⇒
4 4
6 6 6 6
4 4
sin cos sin cos
6 6
6 1 6 1
t x
t x
t t x x
I dt dx
π π
π π
− −
+ +
= =
+ +
∫ ∫
⇒
4 4
6 6
6 6
4 4
sin cos
2 (6 1) (sin cos )
6 1
x
x
x x
I dx x x dx
π π
π π
− −
+
= + = +
+
∫ ∫
x
4
4
5 3
cos 4
8 8
x d
π
π
−
= +
∫
5
16
π
=
5
32
I
π
⇒ =
.
6.
6
4
6
sin
2 1
x
xdx
I
π
π
−
−
=
+
∫
Ta có:
0
6 6
4 4 4
1 2
0
6 6
2 sin 2 sin 2 sin
2 1 2 1 2 1
x x x
x x x
xdx xdx xdx
I I I
π π
π π
− −
= = + = +
+ + +
∫ ∫ ∫
+ Tính
0
4
1
6
2 sin
2 1
x
x
xdx
I
π
−
=
+
∫
. Đặt
x t
= −
0 0 0
4
4 4
1
6 6 6
2 sin ( )
sin sin
2 1 2 1 2 1
t
t t x
t
t x
I dt dt dx
π π π
−
−
−
⇒ = − = =
+ + +
∫ ∫ ∫
6 6 6 6
4 4
4 2
0 0 0 0
sin 2 sin 1
sin (1 cos2 )
4
2 1 2 1
x
x x
xdx xdx
I xdx x dx
π π π π
⇒ = + = = −
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 79
6
0
1
(3 4 cos 2 cos 4 )
8
x x dx
π
= − +
∫
4 7 3
64
π −
=
7.
1
cos(ln )
e
I x dx
π
=
∫
Đặt
ln
t t
t x x e dx e dt
= ⇒ = ⇒ =
⇒
0
cos
t
I e tdt
π
=
∫
=
1
( 1)
2
e
π
− +
(dùng pp tích phân từng phần).
8.
2
2
sin 3
0
.sin .cos
x
I e x xdx
π
=
∫
Đặt
2
sin
t x
=
⇒
1
0
1 1
(1 )
2 2
t
I e t dt e
= − =
∫
(dùng tích phân từng phần)
9.
4
0
ln(1 tan )
I x dx
π
= +
∫
Đặt
4
t x
π
= −
⇒
4
0
ln 1 tan
4
I t dt
π
π
= + −
∫
=
4
0
1 tan
ln 1
1 tan
t
dt
t
π
−
+
+
∫
=
4
0
2
ln
1 tan
dt
t
π
+
∫
=
4 4
0 0
ln 2 ln(1 tan )
dt t dt
π π
− +
∫ ∫
=
4
0
.ln 2
t I
π
−
⇒
2 ln 2
4
I
π
=
⇒
ln 2
8
I
π
=
.
10.
2
0
sin ln(1 sin )
I x x dx
π
= +
∫
Đặt
1 cos
ln(1 sin )
1 sin
sin
cos
x
u x
du dx
x
dv xdx
v x
+
= +
=
⇒
+
=
= −
⇒
2 2 2
2
0 0 0
cos 1 sin
cos .ln(1 sin ) cos . 0 (1 sin ) 1
2
1 sin 1 sin 2
0
x x
I x x x dx dx x dx
x x
π π π
π
π−
= − + + = + = − = −
+ +
∫ ∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 80
11.
4
0
tan .ln(cos )
cos
x x
I dx
x
π
=
∫
Đặt
cos
t x
=
⇒
sin
dt xdx
= −
⇒
1
1
2
2 2
1 1
2
ln ln
t t
I dt dt
t t
= − =
∫ ∫
.
Đặt
2
ln
1
u t
dv dt
t
=
=
⇒
1
1
du dt
t
v
t
=
= −
⇒
2
2 1 ln 2
2
I = − −
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 81
PHẦN VII TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 1.
Tính các tích phân sau:
1.
2
1
ln
ln
1 ln
e
x
I x dx
x x
= +
+
∫
2.
2
1
ln(1 ln )
e
x
dx
x
+
∫
3.
1
ln 2
ln
e
x
dx
x x x
−
+
∫
4.
2
1
ln
3 ln
1 ln
e
x
I x x dx
x x
= +
+
∫
5.
1
( 2)ln
(1 ln )
e
x x x
dx
x x
− +
+
∫
6.
os
1
2 2
3
4
2 tan
x
e x
x x dx
x c x
π
π
+ +
∫
7.
( )
( )
3
2
2 ln ln 1 3
1 ln
e
e
x x x
I dx
x x
− +
=
−
∫
8.
2
2
3 1
2
1
.3 ln( 1)
x
x x
I dx
x
+
+ +
=
∫
9.
1
ln
1 ln
e
x
dx
x x
+
∫
10.
2
1
ln ln( . )
ln 1
e
x x x e
dx
x x
+
+
∫
11.
(
)
3 2
1
1 ln 2 1
2 ln
e
x x x
I dx
x x
+ + +
=
+
∫
12.
(
)
2
2
0
sin cos ln 1 sin
A x x x dx
π
= +
∫
13.
1
ln 2
ln
e
x
dx
x x x
−
+
∫
14.
2
3
2
2
1
ln
1
e
x
I x dx
x
−
=
+
∫
15.
2 2
2
1
ln ln 1
ln
e
x x x x x
dx
x x x
+ + +
+
∫
16.
( )
1
2
0
ln 1
I x x x dx
= + +
∫
17.
2
1
1
2
1
( 1 )
x
x
x e dx
x
+
+ −
∫
Bài giải
1.
2
1
ln
ln
1 ln
e
x
I x dx
x x
= +
+
∫
I
1
=
1
ln
1 ln
e
x
dx
x x+
∫
, Đặt t =
1 ln
x
+
,… Tính được I
1
=
4 2 2
3 3
−
( )
2
2
1
ln
e
I x dx
=
∫
, lấy tích phân từng phần 2 lần được I
2
= e – 2 Vậy: I = I
1
+ I
2
=
2 2 2
3 3
e − −
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 82
2.
2
1
ln(1 ln )
e
x
dx
x
+
∫
Đặt lnx = t , ta có I =
1
2
0
ln(1 )
t dt
+
∫
. Đặt u = ln( 1+t
2
) , dv = dt ta có : du =
2
2
,
1
t
dt v t
t
=
+
.
Từ đó có : I = t ln( 1+ t
2
)
1 1 1
2
2 2
0 0 0
1
2 ln 2 2
0
1 1
t dt
dt dt
t t
− = − −
+ +
∫ ∫ ∫
(*).
Tiếp tục đặt t = tanu , ta tính được
1
2
0
4
1
dt
t
π
=
+
∫
.Thay vào (*) ta có : I = ln2 – 2 +
2
π
.
3.
1
ln 2
ln
e
x
dx
x x x
−
+
∫
=
1
ln 2
(ln 1)
e
x
dx
x x
−
+
∫
Đặt t = lnx + 1
⇒
dt =
1
dx
x
;
Đổi cận: x = 1 thì t = 1; x = e thì t = 2
Suy ra: I =
2 2
1 1
3 3
1
t
dt dt
t t
−
= −
∫ ∫
=
( )
2
1
ln | |
t t−
= 1 – ln2
4.
2
1
ln
3 ln
1 ln
e
x
I x x dx
x x
= +
+
∫
2
1 1
ln
3 ln
1 ln
e e
x
I dx x xdx
x x
= +
+
∫ ∫
=I
1
+3I
2
+) Tính
1
1
ln
1 ln
e
x
I dx
x x
=
+
∫
.
Đặt
2
1
1 ln 1 ln ; 2
t x t x tdt dx
x
= + ⇒ = + =
Khi
1 1; 2
x t x e t
= ⇒ = = ⇒ =
(
)
( )
(
)
2
2
1
3
2 2 2
2 2
2
.2 2 1 2
1
3 3
1 1
1
t
t
I tdt t dt t
t
−
−
⇒ = = − = − =
∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 83
+)Tính
2
2
1
ln
e
I x xdx
=
∫
. Đặt
2 3
ln
3
dx
du
u x
x
dv x dx x
v
=
=
⇒
=
=
3 3 3 3 3 3
2
2 1 1
1
1 1 1 2 1
.ln .
3 3 3 3 3 3 9 9 9
e
e e
x e x e e e
I x x dx
+
⇒ = − = − = − + =
∫
1 2
3I I I
= + =
3
5 2 2 2
3
e
− +
5.
1
( 2)ln
(1 ln )
e
x x x
dx
x x
− +
+
∫
I =
1 1
(1 ln ) 2 ln
(1 ln )
e e
x x x
dx dx
x x
+ −
=
+
∫ ∫
-2
1
ln
(1 ln )
e
x
dx
x x+
∫
Ta có :
1
1
e
dx e
= −
∫
Tính J =
1
ln
(1 ln )
e
x
dx
x x+
∫
Đặt t = 1 + lnx, Ta có: J =
2
1
1
t
dt
t
−
∫
=
2
1
1
(1 )
dt
t
−
∫
= (t - ln
t
) = 1 - ln2
Vậy I = e - 1 - 2(1- ln2) = e - 3 + 2ln2
6.
os
1
2 2
3
4
2 tan
x
e x
x x dx
x c x
π
π
+ +
∫
Ta có:
os os
1
1
2
2 2 2 2
3 3 3 3
4 4 4 4
1
2 tan . 2 tan
x
x
e x x
I x x dx e dx dx x xdx
x c x x c x
π π π π
π π π π
= + + = + +
∫ ∫ ∫ ∫
(1)
+)
1 1 1 1 4
3
2
3
3 3
4
4 4
1 1
.
x x x
e dx e d e e e
x
x
π
π π
π π
π
π π
= − = − = − +
∫ ∫
+)
os
2
2
3
4
x
J dx
c x
π
π
=
∫
: Đặt
( )
anx
anx
os
2
2
3
2
3
4
4
2
t 2 tan
1
t
u x
du xdx
J x x xdx
v
dv dx
c x
π
π
π
π
=
=
⇒ ⇒ = −
=
=
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 84
2
3
4
9
2 tan
16
J x xdx
π
π
π
= −
∫
Thay vào (1) ta có
1 4
2
3
9
16
I e e
π π
π
= − + +
7.
( )
( ) ( )
3 3 3
2 2 2
2 ln ln 1 3
1
3 2 ln
1 ln 1 ln
e e e
e e e
x x x
I dx dx xdx
x x x x
− +
= = −
− −
∫ ∫ ∫
( )
3 3
3
2
2 2
1
3 (ln ) 2 ln
1 ln
e e
e
e
e e
d x x x dx
x
= − −
−
∫ ∫
( )
3
3 3
2 2
2
3 2
3 ln 1 ln 2 ln 3 ln 2 4 2 .
e
e e
e e
e
x x x x e e
= − − − − = − − +
I
2
1
ln 1
e
x
x x x
e dx
x
+ +
=
∫
I=
2
1 1 1 1
ln 1
ln
e e e e
x
x x x
x x x e
e dx xe dx xe dx dx
x x
+ +
= + +
∫ ∫ ∫ ∫
Đặt I
1
=
( )
1
1 1
1
e e
x x e x e
xe dx xe e dx e e
= − = −
∫ ∫
Đặt I
2
=
1
1 1 1
ln ln
e e e
x x
e
x x e
e e
e xdx e x dx e dx
x x
= − = −
∫ ∫ ∫
Vậy I=I
1
+I
2
+
1
e
x
e
dx
x
∫
=
1 1
1 1
e e
x x
e e e e
e e
e e e dx dx e
x x
+ +
− + − + =
∫ ∫
8.
2
2
3 1
2
1
.3 ln( 1)
x
x x
I dx
x
+
+ +
=
∫
Ta có
2
2 2
1
2
1 1
ln( 1)
.3
x
x
I x dx dx J K
x
+
+
= + = +
∫ ∫
Tính:
2
2 2
2
2 2
1
1 1 2
1 1
1
1 3 117
.3 3 ( 1) .
2 2 ln 3 ln 3
x
x x
J x dx d x
+
+ +
= = + = =
∫ ∫
Tính:
2
2
1
ln( 1)
x
K dx
x
+
=
∫
. Đặt
2
1
ln( 1)
'
1
1
'
1
u x
u
x
v
v
x
x
= +
=
+
⇒
=
= −
.
Suy ra
2 2
2
2
1
1
1 1
ln( 1)
ln 3 1 1 2 ln 2 ln 3
ln 2 ln
( 1) 2 1 2 1
x
dx x
K dx
x x x x x x
+
−
= − + = − + + − = +
+ + +
∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 85
2 ln 2 ln 3 2 1 3
ln ln 3 ln2 ln 3.
2 3 2 2
−
= + − = −
Vậy
117 3
3 ln 2 ln 3
ln 3 2
I = + −
.
9.
1
ln
1 ln
e
x
dx
x x
+
∫
Đặt t =
1 ln
x
+
có 2tdt =
1
dx
x
x = 1 thì t = 1; x = e thì t =
2
2
2
1 1
ln 1
2
1 ln
e
x t
dx tdt
t
x x
−
= =
+
∫ ∫
2
3
1
2( )
3
t
t
− =
2(2 2)
3
−
2
1
ln ln( . )
ln 1
e
x x x e
dx
x x
+
+
∫
10.I=
2
1
ln ln( . )
ln 1
e
x x x e
dx
x x
+
+
∫
.
1
1 1 1 1
( ln 1)
ln 1 ln 1 ln 1
ln 1 ln 1 ln 1
e e e e
e
d x x
x x x x
I dx dx dx x
x x x x x x
+
+ + + +
= = + = +
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
1
1 ln ln 1 1 ln( 1)
e
e x x e e
= − + + = − + +
11.
(
)
3 2
1
1 ln 2 1
2 ln
e
x x x
I dx
x x
+ + +
=
+
∫
(
)
3 2
2
1 1 1
1 ln 2 1
1 ln
2 ln 2 ln
e e e
x x x
x
I dx x dx dx
x x x x
+ + +
+
= = +
+ +
∫ ∫ ∫
Ta có:
3 3
2
1
1
1
3 3
e
e
x e
x dx
−
= =
∫
(
)
( )
1
1 1
2 ln
1 ln
ln 2 ln
2 ln 2 ln
e e
e
d x x
x
dx x x
x x x x
+
+
= = +
+ +
∫ ∫
( )
2
ln 2 ln 2 ln
2
e
e
+
= + − =
Vậy
3
1 2
ln
3 2
e e
I
− +
= +
.
12.
(
)
2
2
0
sin cos ln 1 sin
A x x x dx
π
= +
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 86
(
)
2
2
0
1
sin 2 ln 1 sin
2
A x x dx
π
= +
∫
Đặt
(
)
2
ln 1 sin
u x
= +
và
sin 2
dv xdx
=
. Suy ra:
2
sin 2
1 sin
x
du dx
x
=
+
và
2
1 sin
v x
= +
( ) ( )
2
2 2
2
0
0
1
1 sin ln 1 sin sin 2
2
A x x xdx
π
π
= + + −
∫
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
0 0
1
1 sin ln 1 sin sin
2
x x x
π π
= + + −
ln 4 1
2
−
=
13.
1
ln 2
ln
e
x
dx
x x x
−
+
∫
Ta có: I =
1
ln 2
ln
e
x
dx
x x x
−
+
∫
=
1
ln 2
(ln 1)
e
x
dx
x x
−
+
∫
Đặt t = lnx + 1
⇒
dt =
1
dx
x
; Đổi cận: x = 1 thì t = 1; x = e thì t = 2
Suy ra: I =
2 2
1 1
3 3
1
t
dt dt
t t
−
= −
∫ ∫
=
( )
2
1
ln | |
t t−
= 1 – ln2
14.
2
3
2
2
1
ln
1
e
x
I x dx
x
−
=
+
∫
Đặt
2
2
3
1
ln
1
x
u
x
dv x dx
−
=
+
=
ta có
4
4
4
1
1
4
x
du dx
x
x
v
=
−
−
=
I =
4 2 4 2 2 4 2 2
2 2 2
2 2
2
1 1 1 1 1 1 3
ln | ln | ln ln 3 1
4 4 2 4 4 2
1 1 1
e
e e
x x e e x e e e
xdx
x e e
− − − − − −
− = − = + − +
+ + +
∫
15.
2 2
2
1
ln ln 1
ln
e
x x x x x
dx
x x x
+ + +
+
∫
( )
( )
1 1 1
1
1
ln
ln ln 1
1
ln ln
.
e e e
d x x
e
x
I xdx dx x x
x x x x
+
+
= + = − +
+ +
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
ln 1 ln ln ln 1 .
1
e
x x x x e e
= − + + = +
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 87
16.
( )
1
2
0
ln 1
I x x x dx
= + +
∫
Đặt
(
)
2
ln 1
u x x
dv xdx
= + +
=
⇒
2
2
2 1
1
2
x
du dx
x x
x
v
+
=
+ +
=
( )
1
2 3 2
2 1
0
2
0
1 2 3 3
ln 1 | ln 3
2 2 4 4
1
x x x
I x x dx J
x x
+
= + + − = −
+ +
∫
với
1
2
2
0
1 3
2 2
dx
J
x
=
+ +
∫
. Đặt
3
6
1 3 2 3 3
tan , ;
2 2 2 2 2 9
x t t J dt
π
π
π π π
+ = ∈ − ⇒ = =
∫
.
Vậy I =
3 3
ln 3
4 12
π
−
17.
2
1
1
2
1
( 1 )
x
x
x e dx
x
+
+ −
∫
:I =
2 2
1 1 1
1 2
1 1
2 2
1 1
( 1 ) ( )
x x x
x x x
x e dx e dx x e dx I I
x x
+ + +
+ − = + − = +
∫ ∫ ∫
.
Tính I
1
theo phương pháp từng phần I
1
=
2
2
1 1 5
2
2
1
1
2
2
1 3
( )
2
x x
x x
xe x e dx e I
x
+ +
− − = −
∫
5
2
3
.
2
I e
⇒ =
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 88
HT 2.
Tính các tích phân sau:
1.
3
2
2
1
2
1
dx
A
x x
=
−
∫
2.
1
2
3
2
0
4
ln
4
x
I x dx
x
−
=
+
∫
3.
1
2
0
1 1
dx
x
+ −
∫
4.
6
2
2 1 4 1
dx
I
x x
=
+ + +
∫
5.
1
3
4 2
0
3
5 6
x x
I dx
x x
+
=
− +
∫
6.
1
7
4 2
3
2 3
1
26
3 1
x x
I dx
x x x
+ +
=
+
∫
7.
1
2
1
3
3 9 1
x
dx
x x+ −
∫
8.
2 2
4
2
3
1
1
x
I dx
x x
x
=
− +
∫
9.
5
2
1
1
3 1
x
I dx
x x
+
=
+
∫
10.
1
2
0
( 1)
( 1)
x
x e
dx
x
+
+
∫
11.
(
)
2
5
2
5
1
1
1
x
dx
x x
−
+
∫
12.
3
1
4
2
0
( )
1
x
x
x e dx
x
+
+
∫
Bài giải
1.
3
2
2
1
2
1
dx
A
x x
=
−
∫
Đặt
2 2 2
2
1 1 2 2
dx tdt
t x t x tdt xdx
x
x
= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −
2 2
1 1
dx tdt tdt
x
t t
⇒ = − =
− −
+ Đổi cận:
1 3 3 1
;
2 2 2 2
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =
1 3
3
2 2
2
1
2 2
1
2
3
2
2
1 1 1 7 4 3
ln ln
2 1 2 3
1 1
|
dt dt t
A
t
t t
+ +
= = = =
−
− −
∫ ∫
2.
1
2
3
2
0
4
ln
4
x
I x dx
x
−
=
+
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 89
Đặt
2
4
2
4
3
16
4
ln
16
4
16
4
x
x
du dx
u
x
x
x
v
dv x dx
−
=
=
−
⇒
+
−
=
=
Do đó
( )
1
1
2
4
2
0
0
1 4 15 3
16 ln 4 ln 2
4 4 5
4
x
I x xdx
x
−
= − − = − −
+
∫
3.
1
2
0
1 1
dx
x
+ −
∫
Đặt x = sint với t
[ ; ]
2 2
π π
∈ −
. Ta có:
cos
dx tdt
=
và
2 2 2
1 1 sin cos
x t t
− = − =
=|cost| = cost.
Đổi cận: Với x =0 thì t = 0; Với x = 1 thì t =
2
π
. Từ đó:
1
2
2
0 0
cos
1 cos
1 1
dx tdt
t
x
π
=
+
+ −
∫ ∫
=
2
2
2
0
2 cos ( / 2) 1
2 cos ( / 2)
s t
dt
s t
π
−
∫
=
2 2
2
0 0
( / 2)
cos ( / 2)
d t
dt
t
π π
−
∫ ∫
=( t – tan (t/2) ) |
2
0
π
=
2
π
-1
4.
6
2
2 1 4 1
dx
I
x x
=
+ + +
∫
Đặt
2
1
4 1
4 2
t tdt
t x x dx
−
= + ⇒ = ⇒ =
(
)
(
)
2 3, 6 5
t t
= =
Khi đó
(
)
(
)
5 5
5
3
2 2
3 3
1 1 1 3 1
ln 1 ln
1 1 2 12
1 1
tdt
I dt t
t t
t t
= = − = + + = −
+ +
+ +
∫ ∫
5
3
1
ln 1
1
t
t
= + +
+
3 1
ln
2 12
= −
5.
1
3
4 2
0
3
5 6
x x
I dx
x x
+
=
− +
∫
1 1
2 2
2 2
2 2 2 2
0 0
1 3 1 2 5
2 2
( 2)( 3) ( 2)( 3)
x x
I dx dx
x x x x
+ − +
= =
− − − −
∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 90
1 1
2 2
2 2 1
0
2 2 2 2
0 0
1 5 1 1 1 5 3
ln 3 ln
2 2 2 2
3 3 2 2
dx x
dx x
x x x x
−
= + − = − +
− − − −
∫ ∫
1 5 1 5 3 5 2 5
ln 2 ln 2 ln 3 ln 3 ln 2 3 ln 3 ln 2 3 ln ln 2
2 2 2 2 2 2 3 2
= + − + = − + = +
6.
1 1 1
7 7 7
4 2 4 2
1 2
3 3 3
2 3 2 3 2 3
1 1 1
26 26 26
3 1 3 1x x x x
I dx dx dx I I
x x x x x x x x x
+ + +
= = + = +
+ + +
∫ ∫ ∫
1 1
7 7
2
3
2
3 2 2
1 1
3 3
2 2
26 26
1
1 1 1 1 1 3 1 15
7
1 1
1
2 4 4
1 1
1 1
26
Tính I dx d
x x x
x x
∗ = = − + = − + =
+ +
∫ ∫
Vậy:
322
.
91
I =
7.
1
2
1
3
3 9 1
x
dx
x x+ −
∫
1 1 1 1
2 2 2
2
1 1 1 1
3 3 3 3
(3 9 1) 3 9 1
3 9 1
x
I dx x x x dx x dx x x dx
x x
= = − − = − −
+ −
∫ ∫ ∫ ∫
1
1
2 3
1
1
3
1
3
26
3
27
I x dx x= = =
∫
1
1 1
3
2 2 2 2
2
2
1
1 1
3
3 3
1 1 16 2
9 1 9 1 (9 1) (9 1)
18 27 27
I x x dx x d x x= − = − − = − =
∫ ∫
.
Vậy
26 16 2
27
I
−
=
8.
2 2
4
2
3
1
1
x
I dx
x x
x
=
− +
∫
Ta có:
(
)
2 2
5
2 2
3
1 1
x
I dx
x x
=
− +
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 91
Đặt t =
2
1
x
+
, suy ra
2 2
2
& 1
1
x
dt dx x t
x
= = −
+
Đổi cận:
3 2; 2 2 3
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =
Khi đó
(
)
2
2
3
2
2
1
2
t
I dt
t
−
=
−
∫
Ta có I =
3 3 3
4 2
2
2 2
2 2 2
2 1 1
2 2
t t
dt t dt dt
t t
− +
= +
− −
∫ ∫ ∫
=
3
3
3
2
2
1 1 1 1
3
2 2 2 2
t dt
t t
+ −
− +
∫
=
3
2
19 1
ln 2 ln 2
3
2 2
t t
+ − − +
=
19 2 4 2
ln
3 4
4 2
+
+
−
9.
5
2
1
1
3 1
x
I dx
x x
+
=
+
∫
Đặt
3 2
3 1
3
2 3 1
dx tdt
t x dt dx
x
= + ⇒ = ⇒ =
+
.
Khi
1
x
=
thì t = 2, và khi x = 5 thì t = 4.
Suy ra
2
2
4
2
2
1
1
3
2
.
3
1
.
3
t
tdt
I
t
t
−
+
=
−
∫
4 4
2
2
2 2
2
( 1) 2
9
1
dt
t dt
t
= − +
−
∫ ∫
3
4 4
2 1 1 100 9
ln ln .
9 3 1 27 5
2 2
t
t t
t
−
= − + = +
+
10.
1
2
0
( 1)
( 1)
x
x e
dx
x
+
+
∫
Đặt
2
( 1)
( ( 1) 1)
1
1
( 1)
x
x
u x e
du e x dx
dx
dv
v
x
x
= +
= + +
⇒
−
=
=
+
+
I=
1
1
0
0
( 1)
1
| ( )
1 1
x
x
x e
e dx
x x
+
− + + =
+ +
∫
1
0
1 3
( ln 1) | ln 2
2 2 2
x
e e
e x
+
− + + + = + −
.
Vậy I =
3
ln 2
2 2
e
+ −
11.
(
)
2
5
2
5
1
1
1
x
dx
x x
−
+
∫
(
)
(
)
( )
(
)
2 2 2 2
5 5 5 4
1 2
2 2 2
5
5 5 5
1 1 1 1
1 1 2 1 2
1
1 1 1
x x x x
dx dx dx dx I I
x x
x x x x x
− + −
= = − = −
+
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 92
1
x
t
=
( )
( )
1
2
1 2
1
1 1
4
2
5 5
1
5 5
1 1 1
5
2 2
1
1 1 1 1
1 ln 1 6 ln 2 ln 33
5 5 5
1 1
1 1
1
t
t
I dt dt d t t
t t
t
t
−
⇒ = = = + = + = −
+ +
+
∫ ∫ ∫
(
)
( )
2
1
2
5
2
2 5
5
1
2 1 2 1 31
1 .
5 5 165
1
1
I d x
x
x
= + = − =
+
+
∫
( )
1 31
6 ln 2 ln 33
5 165
I = − −
12.
3
1
4
2
0
( )
1
x
x
x e dx
x
+
+
∫
Đặt I =
3
1
4
2
0
( )
1
x
x
x e dx
x
+
+
∫
. Ta có I =
3
1 1
4
2
0 0
1
x
x
x e dx dx
x
+
+
∫ ∫
Ta tính
3
1
2
1
0
x
I x e dx
=
∫
Đặt t = x
3
ta có
1
1
1
0
0
1 1 1 1
3 3 3 3
t t
I e dt e e
= = = −
∫
Ta tính
1
4
2
0
1
x
I dx
x
=
+
∫
Đặt t =
4
x
4 3
4
x t dx t dt
⇒ = ⇒ =
Khi đó
1 1
4
2
2
2 2
0 0
1 2
4 4 ( 1 ) 4( )
3 4
1 1
t
I dx t dt
t t
π
= = − + = − +
+ +
∫ ∫
. Vậy I = I
1
+ I
2
1
3
3
e π
= + −
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 93
HT 3.
Tính các tích phân sau:
1.
inx
2
cos
0
( s ).sin2 .
x
e x dx
π
+
∫
2.
( )
2
3
4
2 sin 3 cos
sin
x x x
dx
x
π
π
+ −
∫
3.
4
0
cos sin 2
1 cos2
x x
M dx
x
π
+
=
+
∫
4.
6
0
os2x
tan( )
4
x
I dx
c
π
π
−
=
∫
5.
2
2
0
1 3 sin 2 2 cos
x xdx
π
− +
∫
6.
os
4
2
0
sin sin 2
x x x
I dx
c x
π
+
=
∫
7.
4
0
cos sin 2
1 cos2
x x
M dx
x
π
+
=
+
∫
8.
4
8
cot tan
sin2 cos 2
4
x x
I dx
x x
π
π
π
−
=
−
∫
9.
( )
2
4 4
0
cos2 sin cos
I x x x dx
π
= +
∫
10.
( )
4
0
tan
4 cos sin cos
x
I dx
x x x
π
=
−
∫
11.
2
cos
0
( sin ). sin2 .
x
e x x dx
π
+
∫
12.
1 sin
o
x
dx
x
π
+
∫
13.
( )
2
3
4
2 sin 3 cos
sin
x x x
dx
x
π
π
+ −
∫
14.
x
2
4
4
cot
1 sin
dx
x
π
π
+
∫
15.
3
2
0
3 sin sin 2
(cos2 3 cos 1)(3 2 sin )
x x
dx
x x x
π
−
− + −
∫
16.
3
6
cot
sin .sin
4
x
I dx
x x
π
π
π
=
+
∫
17.
( )
5
0
cos sin
I x x x dx
π
= +
∫
Bài giải
1.I=
inx inx
2 2 2
cos cos
0 0 0
( s ).sin2 . 2 .cos .sin . s .sin 2 .
x x
e x dx e x x dx x dx
π π π
+ = +
∫ ∫ ∫
2
cos
0
.cos .sin .
x
J e x x dx
π
=
∫
Đặt t = cosx có J =
1 1
1
0
0 0
. . . . 1
t t t
t e dt t e e dt
= − =
∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 94
inx os inx
2 2
2
0
0 0
1 1 1 2
s .sin2 . (cos 3 ). (s sin 3 )
2 2 3 3
K x dx x c x dx x
π π
π
= = − = − =
∫ ∫
Vậy: I=
inx
2
cos
0
2 8
( s ).sin 2 . 2
3 3
x
e x dx
π
+ = + =
∫
2.
( )
2
3
4
2 sin 3 cos
sin
x x x
dx
x
π
π
+ −
∫
( ) ( )
2 2 2
3 3 3
4 4 4
2 sin 3 cos 2 sin 3 cos
cos
sin sin sin
x x x x x
x x
I dx dx dx
x x x
π π π
π π π
+ − −
= = +
∫ ∫ ∫
2 2 2
2
2
1
3 2 2 2
4
4
4 4 4
cos 1 1 1 1 1 1 1 1
cot
2 2 2 2 2 2 2 2
sin sin sin sin
x x x
I dx xd dx x
x x x x
π π π
π
π
π
π
π π π
π π
= = − = − + = − − − =
∫ ∫ ∫
( )
( )
2 2
2
3 3
4 4
2 sin 3 cos
2 sin 3 7
sin 2 2
2
sin sin
x x
x
I dx d x
x x
π π
π π
−
−
= = = −
∫ ∫
. Vậy
1 2
2 2 3
I I I
= + = −
.
3.
4
0
cos sin 2
1 cos2
x x
M dx
x
π
+
=
+
∫
1 2
4 4 4
0 0 0
cos sin 2 sin 2 cos
;
1 cos 2 1 cos2 1 cos 2
M M
x x x x
M dx dx dx
x x x
π π π
+
= = +
+ + +
∫ ∫ ∫
( )
4
4
1
0
0
1 cos 2
1 1 1
ln 1 cos 2 ln 2
2 1 cos 2 2 2
|
d x
M x
x
π
π
+
= − = − + =
+
∫
,
4 4
2
2
0 0
cos 1 cos
1 cos 2 2
1 sin
x x
M dx dx
x
x
π π
= = =
+
−
∫ ∫
Đặt
sin
u t
=
1 1
1
2 2
2
2
2
0
0 0
1 1 1 1 1 1 1
ln ln(1 2)
2 4 1 4 1 2
1 1
|
du u
M du
u u
u u
+
= = + = = +
+ −
− −
∫ ∫
Vậy
1
ln(2 2 2)
2
M = +
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 95
4.
6
0
os2x
tan( )
4
x
I dx
c
π
π
−
=
∫
6
2
0
os2x
anx+1)
6
2
0
tan( )
tan 1
4
(t
x
x
I dx dx
c
π
π
π
−
+
= = −
∫ ∫
Đặt
2
1
anx dt=
cos
2
t (tan 1)
t dx x dx
x
= ⇒ = +
Đổi cận:
1
0 0,
6
3
x t x t
π
= ⇒ = = ⇒ =
Suy ra
1
1
3
3
2
0
0
1 1 3
1 2
( 1)
dt
I
t
t
−
= − = =
+
+
∫
5.
2
2
0
1 3 sin 2 2 cos
x xdx
π
− +
∫
2 2 2
2 2
0 0 0
1 3 sin 2 2 cos (sin 3 cos ) sin 3 cos
I x xdx x x dx x x dx
π π π
= − + = − = −
∫ ∫ ∫
sin 3 cos 0 tan 3
3
x x x x k
π
π
− = ⇔ = ⇔ = +
Do
0;
2
x
π
∈
nên
3
x
π
=
3 2
0
3
sin 3 cos sin 3 cos
I x x dx x x dx
π π
π
= − + −
∫ ∫
3 2
0
3
(sin 3 cos ) (sin 3 cos )
x x dx x x dx
π π
π
= − + −
∫ ∫
( ) ( )
3 2
0
3
cos 3 sin cos 3 sinx x x x
π π
π
= − − + − −
1 3 1 3
1 3 3 3
2 2 2 2
= − − + + − + + = −
6.
os
4
2
0
sin sin 2
x x x
I dx
c x
π
+
=
∫
+ Ta có
inx
os
4 4
2
0 0
sin s
2
cos
x x
I dx dx
x
c x
π π
= +
∫ ∫
Đặt
inx
os
4 4
1 2
2
0 0
sin s
; 2
cos
x x
I dx I dx
x
c x
π π
= =
∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 96
+Tính
1
I
: Đặt
inx
os
os
2
2
s 1
; (cos )
cos
u x du dx v dx c xd x
x
c x
−
= ⇒ = = = − =
∫ ∫
inx
inx
4
1
0
1 1 s 2 1 2 2
ln ln
4 4 4
cos cos cos 2 1 s 4 2
2 2
0 0 0
x dx x
I
x x x
π
π π π
π+ +
⇒ = − = − = −
−
−
∫
+ Tính
4
2
0
(cos )
2
2 2 ln cos 2 ln
4
cos 2
0
d x
I x
x
π
π
= − = − = −
∫
Vậy
1 2
2 1 2 2 2
ln 2 ln
4 2 2
2 2
I I I
π +
= + = − −
−
7.
4
0
cos sin 2
1 cos2
x x
M dx
x
π
+
=
+
∫
1 2
4 4 4
0 0 0
cos sin 2 sin 2 cos
1 cos2 1 cos 2 1 cos 2
M M
x x x x
M dx dx dx
x x x
π π π
+
= = +
+ + +
∫ ∫ ∫

( )
4
4
1
0
0
1 cos 2
1 1 1
ln 1 cos 2 ln 2
2 1 cos 2 2 2
|
d x
M x
x
π
π
+
= − = − + =
+
∫
4 4
2
2
0 0
cos 1 cos
1 cos 2 2
1 sin
x x
M dx dx
x
x
π π
= = =
+
−
∫ ∫
Đặt
sin
u t
=
1 1
1
2 2
2
2
2
0
0 0
1 1 1 1 1 1 1
ln ln(1 2)
2 4 1 4 1 2
1 1
|
du u
M du
u u
u u
+
= = + = = +
+ −
− −
∫ ∫
Vậy
1
ln(2 2 2)
2
M = +
8.
4
8
cot tan
sin 2 cos 2
4
x x
I dx
x x
π
π
π
−
=
−
∫
4
8
cot tan
sin 2 cos 2
4
x x
I dx
x x
π
π
π
−
=
−
∫
2 2
4 4
8 8
cos sin
cot tan
sin .cos
sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 .cos sin 2 .sin
4 4 4
x x
x x
x x
I dx dx
x x x x x
π π
π π
π π π
−
−
= =
− +
∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 97
( )
4 4
2
8 8
cot2 cot2 1
2 2 2 2 .
1 cot2
sin 2 cos2 sin 2
sin 2
x x
dx dx
x
x x x
x
π π
π π
= =
+
+
∫ ∫
Đặt
2 2
2 1 1
cot2
2
sin 2 sin 2
t x dt dx dt dx
x x
= ⇒ = − ⇒ − =
. Đổi cận:
1; 0
8 4
x t x t
π π
= ⇒ = = ⇒ =
0
1
1
2 2 .
1 2
t
I dt
t
= −
+
∫
1 1
0 0
1
2 2 1
1 1
t
dt dt
t t
= = −
+ +
∫ ∫
( )
( )
1
0
2 ln 1 2 1 ln 2
t t= − + = −
9.
( )
2
4 4
0
cos2 sin cos
I x x x dx
π
= +
∫
( )
2 2
2 2
0 0
1 1 1
cos2 1 sin 2 1 sin 2 sin 2
2 2 2
I x x dx x d x
π π
= − = −
∫ ∫
( ) ( )
2 2
2 3
2 2
0 0
0 0
1 1 1 1
sin2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 0
2 4 2 12
| |
d x xd x x x
π π
π π
= − = − =
∫ ∫
10.
( )
4
0
tan
4 cos sin cos
x
I dx
x x x
π
=
−
∫
Ta có:
(
)
4
2
0
tan
4 tan cos
x
I dx
x x
π
=
−
∫
Đặt:
os
2
tan 4
dx
x t dt
c x
− = ⇒ =
. Đổi cận: Với
0 4; 3
4
x t x t
π
= ⇒ = − = ⇒ = −
Suy ra:
3
4
( 4).
t dt
I
t
−
−
+
= −
∫
3
4
4
(1 )
dt
t
−
−
= − +
∫
3
4
( 4 ln )
t t
−
−
= − +
4
4 ln 1
3
= −
11.
2
cos
0
( sin ).sin 2 .
x
e x x dx
π
+
∫
inx inx
2 2 2
cos cos
0 0 0
( s ).sin2 . 2 .cos .sin . s .sin2 .
x x
e x dx e x x dx x dx
π π π
+ = +
∫ ∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 98
2
cos
0
.cos .sin .
x
I e x x dx
π
=
∫
Đặt t = cosx có I =
1 1
1
0
0 0
. . . . 1
t t t
t e dt t e e dt
= − =
∫ ∫
inx os inx
2 2
2
0
0 0
1 1 1 2
s .sin 2 . (cos 3 ). (s sin 3 )
2 2 3 3
K x dx x c x dx x
π π
π
= = − = − =
∫ ∫
inx
2
cos
0
2 8
( s ).sin 2 . 2
3 3
x
e x dx
π
+ = + =
∫
12.
1 sin
o
x
dx
x
π
+
∫
I =
1 sin
o
x
dx
x
π
+
∫
=
2
(sin cos )
2 2
o
x
dx
x x
π
+
∫
=
2
2 cos
2 4
o
x
dx
x
π
π
−
∫
Đặt
2
2 cos
2 4
u x
dx
dv
x
π
=
=
−
=>
tan
2 4
du dx
x
v
π
=
= −
=> I =
0
tan tan
0
2 4 2 4
x x
x dx
π
π
π π
− − −
∫
=> I = π + 2ln
cos
0
2 4
x
π
π
−
13..
( )
2
3
4
2 sin 3 cos
sin
x x x
dx
x
π
π
+ −
∫
( ) ( )
2 2 2
3 3 3
4 4 4
2 sin 3 cos 2 sin 3 cos
cos
sin sin sin
x x x x x
x x
I dx dx dx
x x x
π π π
π π π
+ − −
= = +
∫ ∫ ∫
2 2 2
2
2
1
3 2 2 2
4
4
4 4 4
cos 1 1 1 1 1 1 1 1
cot
2 2 2 2 2 2 2 2
sin sin sin sin
x x x
I dx xd dx x
x x x x
π π π
π
π
π
π
π π π
π π
= = − = − + = − − − =
∫ ∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 99
( )
( )
2 2
2
3 3
4 4
2 sin 3 cos
2 sin 3 7
sin 2 2
2
sin sin
x x
x
I dx d x
x x
π π
π π
−
−
= = = −
∫ ∫
Vậy
1 2
2 2 3
I I I
= + = −
.
14.
x
2
4
4
cot
1 sin
dx
x
π
π
+
∫
Ta có: I =
2
4
4
cot
1 sin
x
dx
x
π
π
+
∫
=
2
4
4
cos
sin (1 sin )
x
dx
x x
π
π
+
∫
=
( )
2
3
4 4
4
sin cos
sin 1 sin
x x
dx
x x
π
π
+
∫
.
Đặt
4
sin
t x
=
, ta có:
1
4 4
x t
π
= ⇒ =
,
1
2
x t
π
= ⇒ =
v à
3
4 sin cos
dt x xdx
=
.
Khi đó I =
1
4
( )
1
1
4
1
dt
t t +
∫
=
1
4
1
1
4
1 1
1
dt
t t
−
+
∫
=
1
4
1
ln
1
1
4
t
t
=
+
1 5
ln
4 2
.
15.
3
2
0
3 sin sin 2
(cos2 3 cos 1)(3 2 sin )
x x
dx
x x x
π
−
− + −
∫
Ta có I =
3
2 2
0
3 sin sin 2
(2 cos 3 cos )(3 2 sin )
x x
dx
x x x
π
−
− −
∫
=
3
2
0
sin (3 2 cos )
(2 cos 3).cos . (1 2 cos )
x x
dx
x x x
π
−
− +
∫
=
3
2
0
sin (3 2 cos )
(2 cos 3).cos . (1 2 cos )
x x
dx
x x x
π
−
− +
∫
3
2
0
sin
cos . (1 2 cos )
x
dx
x x
π
−
=
+
∫
=
3
2 2
0
cos .( sin ).
cos . (1 2 cos )
x x dx
x x
π
−
+
∫
. Đặt t =
2
2 cos
x
4 cos .( sin )
dt x x dx
⇒ = −
Đổi cận: Khi x = 0
2
t
⇒ =
; khi
1
3 2
x t
π
= ⇒ =
. Khi đó I =
1
2
2
1
2 .(1 )
dt
t t
+
∫
=
=
1
2
2
1 1 1
2 1
dt
t t
−
+
∫
=
1
2
2
1
ln
2 1
t
t +
=
1 1 2
.( ln ln )
2 3 3
−
=
1 1
.ln
2 2
. Vậy I =
1
ln 2
2
−
.
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 100
16.
3
6
cot
sin .sin
4
x
I dx
x x
π
π
π
=
+
∫
Tính
( )
( )
x
3 3 3
2
6 6 6
cot cot cot
2 2
sin sin cos
sin 1 cot
sin sin
4
x x x
I dx dx dx
x x x
x x
x
π π π
π π π
π
= = =
+
+
+
∫ ∫ ∫
Đặt 1+cotx=t
2
1
sin
dx dt
x
⇒ = −
Khi
3 1
1 3;
6 3
3
x t x t
π π
+
= ⇔ = + = ⇔ =
Vậy
( )
3 1
3 1
3 1
3
3 1
3
1 2
2 2 ln 2 ln 3
3
t
I dt t t
t
+
+
+
+
−
= = − = −
∫
17.
( )
5
0
cos sin
I x x x dx
π
= +
∫
( )
5
0
cos sin
I x x x dx
π
= +
∫
*
( )
1 2
5 5
0 0 0
cos sin .cos . .sin .
I I
I x x x dx x x dx x x dx
π π π
= + = +
∫ ∫ ∫

.
*
1
0 0 0
0 0
.cos . .sin sin . .sin cos 2
I x x dx x x x dx x x x
π π
π π π
= = − = + = −
∫ ∫
* Với
2
I
ta đặt
( )
( )
2
2
2
0
8
1 cos cos
2 15
x t I x d x
π
π π
π= − ⇒ = − − =
∫
. * Vậy
8
2
15
I
π
= −
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 101
HT 4.
Tính các tích phân sau:
1.
d
ln 6
0
.
3 3 2 7
x
x x
e
I x
e e
=
+ + +
∫
2.
1
0
( 1) 1
1
x
x
x e x
I dx
e
− + +
=
+
∫
3.
1
2
0
( )
x
x
x x e
I dx
x e
−
+
=
+
∫
4.
d
ln 2
0
.
2
x x
x
I x
e e
−
=
+ +
∫
Bài giải
1.
d
ln 6
0
.
3 3 2 7
x
x x
e
I x
e e
=
+ + +
∫
Đặt
3 .
x
e t
+ =
Khi đó
d
2
3 2 .
x x
e t e dx t t
= − ⇒ =
Khi
0 2,
x t
= ⇒ =
khi
ln 6 3.
x t
= ⇒ =
Suy ra
d
d
3 3
2 2
2 2
2
2
3 2( 3) 7 2 3 1
t t t
I t
t t t t
= =
+ − + + +
∫ ∫
1
d d
t 1
3 3
2 2
1
2 2
( 1)(2 1) 2 1
t
t t
t t t
= = −
+ + + +
∫ ∫
3 3
2 2
80
2 ln 1 ln 2 1 (2 ln 4 2 ln 3) (ln 7 ln 5) ln .
63
t t= + − + = − − − =
2.
1
0
( 1) 1
1
x
x
x e x
I dx
e
− + +
=
+
∫
x x
e e
1 1 1 1
1 2
0 0 0 0
( 1) (1 ) 2
1
( 1) 2 2
1 1 1
x x x
x x x
x
x e e e
xe e x e
I dx dx x dx dx I I
e
+ + + −
− + +
= = = + − = −
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
Tính
1
2
1
1
0
0
3
( 1)
2 2
x
I x dx x
= + = + =
∫
Tính
1
1 1
2
0 0
0
( 1)
1
ln( 1) ln
2
1 1
x
x
x
x x
d e
e e
I dx e
e e
+
+
= = = + =
+ +
∫ ∫
Vậy
3 1
2 ln
2 2
e
I
+
= −
.
3.
1
2
0
( )
x
x
x x e
I dx
x e
−
+
=
+
∫
Ta có I=
1
2
0
( )
x
x
x x e
dx
x e
−
+
+
∫
=
1
0
.( 1)
1
x x
x
xe x e
dx
xe
+
+
∫
Đặt
. 1
x
t x e
= +
( 1)
x
dt x e dx
⇒ = +
0 1; 1 1
x t x t e
= ⇒ = = ⇒ = +
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 102
Suy ra I=
1
0
.( 1)
1
x x
x
xe x e
dx
xe
+
+
∫
1
1
( 1)
e
t
dt
t
+
−
=
∫
1
1
1
1
e
dt
t
+
= −
∫
. Vậy I
(
)
1
1
ln ln( 1)
e
t t e e
+
= − = − +
.
4.
d
ln 2
0
.
2
x x
x
I x
e e
−
=
+ +
∫
Ta có
d
ln 2
2
0
.
( 1)
x
x
xe
I x
e
=
+
∫
Đặt
d d
,
u x u x
= ⇒ =
d d
2
1
.
( 1) 1
x
x x
e
v x v
e e
= ⇒ = −
+ +
Theo công thức tích phân từng phần ta có:
d d
ln 2 ln 2
ln 2
0
0 0
ln 2
3
1 1 1
x x x
x x x
I
e e e
= − + = − +
+ + +
∫ ∫
(1)
Tính
d
ln 2
1
0
.
1
x
x
I
e
=
+
∫
Đặt
x
e t
=
ta có
0 1; ln 2 2
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =
và
d
d
.
t
x
t
=
Suy ra
d
d
2 2
2 2
1
1 1
1 1
1 1
ln ln( 1) 2 ln 2 ln 3.
( 1) 1
t
I t t t
t t t t
= = − = − + = −
+ +
∫ ∫
Thay vào (1) ta được
5
ln 2 ln 3.
3
I = −
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 103
PHẦN VIII TÍCH PHÂN HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 1.Tính các tích phân sau:
1.
2
2
3
3 2
I x x dx
−
= − +
∫
. 2.
2
2
0
5 4 cos 4 sin
I x xdx
π
= − −
∫
3.
( )
2
1
1
I x x dx
−
= − −
∫
Bài giải
1.
2
2
3
3 2
I x x dx
−
= − +
∫
Bảng xét dấu
x
3
−
1
2
2
3 2
x x
− +
+
0
−
0
( ) ( )
1 2
2 2
3 1
59
3 2 3 2
2
I x x dx x x dx
−
= − + − − + =
∫ ∫
.
2.
2
2
0
5 4 cos 4 sin
I x xdx
π
= − −
∫
.
2 2
2
0 0
4 sin 4 sin 1 2 sin 1
I x x dx x dx
π π
= − + = −
∫ ∫
.
Bảng xét dấu
x
0
6
π
2
π
2 sin 1
x
−
−
0
+
( ) ( )
6 2
0
6
2 sin 1 2 sin 1 2 3 2
6
I x dx x dx
π π
π
π
= − − + − = − −
∫ ∫
.
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 104
3.
( )
2
1
1
I x x dx
−
= − −
∫
.
Cách 1.
( )
2 2 2
1 1 1
1 1
I x x dx x dx x dx
− − −
= − − = − −
∫ ∫ ∫
0 2 1 2
1 0 1 1
( 1) ( 1)
xdx xdx x dx x dx
− −
= − + + − − −
∫ ∫ ∫ ∫
1 2
0 2
2 2 2 2
1 0
1 1
0
2 2 2 2
x x x x
x x
−
−
= − + + − − − =
.
Cách 2.
Bảng xét dấu
x –1 0 1 2
x – 0 + +
x – 1 – – 0 +
( ) ( ) ( )
0 1 2
1 0 1
1 1 1
I x x dx x x dx x x dx
−
= − + − + + − + − +
∫ ∫ ∫
(
)
1
0 2
2
1 1
0
0
x x x x
−
= − + − + =
.
Vậy
0
I
=
.
HT 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
ln , 1,
y x x x e
= = =
và Ox.
Bài giải
Do
ln 0 1;
x x e
≥ ∀ ∈
nên:
( )
1
1 1
ln ln ln 1 1
e e
e
S x dx xdx x x
= = = − =
∫ ∫
.
Vậy
1
S
=
(đvdt).
HT 3.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
4 3, 0, 3
y x x x x
= − + − = =
và
Ox
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 105
Bài giải
Bảng xét dấu
x
0 1 3
y
– 0 + 0
( ) ( )
1 3
2 2
0 1
4 3 4 3
S x x dx x x dx
= − − + − + − + −
∫ ∫
1 3
3 3
2 2
0 1
8
2 3 2 3
3 3 3
x x
x x x x
= − − + + + − + + =
.
Vậy
8
3
S
=
(đvdt).
HT 4.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
3 2
11 6, 6
y x x y x
= + − =
,
0, 2
x x
= =
Bài giải
Đặt
3 2 3 2
( ) ( 11 6) 6 6 11 6
h x x x x x x x
= + − − = − + −
( ) 0 1 2 3
h x x x x
= ⇔ = ∨ = ∨ =
(loại).
Bảng xét dấu
x
0 1 2
h(x)
– 0 + 0
( ) ( )
1 2
3 2 3 2
0 1
6 11 6 6 11 6
S x x x dx x x x dx
= − − + − + − + −
∫ ∫
1 2
4 2 4 2
3 3
0 1
11 11 5
2 6 2 6
4 2 4 2 2
x x x x
x x x x
= − − + − + − + − =
.
Vậy
5
2
S
=
(đvdt).
HT 5.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
3 2
11 6, 6
y x x y x
= + − =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 106
Bài giải
Đặt
3 2 3 2
( ) ( 11 6) 6 6 11 6
h x x x x x x x
= + − − = − + −
( ) 0 1 2 3
h x x x x
= ⇔ = ∨ = ∨ =
.
Bảng xét dấu
x
1 2 3
h(x)
0 + 0 – 0
( ) ( )
2 3
3 2 3 2
1 2
6 11 6 6 11 6
S x x x dx x x x dx
= − + − − − + −
∫ ∫
2 3
4 2 4 2
3 3
1 2
11 11 1
2 6 2 6
4 2 4 2 2
x x x x
x x x x
= − + − − − + − =
.
Vậy
1
2
S
=
(đvdt).
HT 6.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
3
, 4
y x y x
= =
.
Bài giải
Phương trình hoành độ giao điểm:
3
4 2 0 2
x x x x x
= ⇔ = − ∨ = ∨ =
( ) ( )
0 2
3 3
2 0
4 4
S x x dx x x dx
−
⇒ = − + −
∫ ∫
0 2
4 4
2 2
2 0
2 2 8
4 4
x x
x x
−
= − + − =
.
Vậy
8
S
=
(đvdt).
HT 7.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
4 3
y x x
= − +
và trục hoành.
Bài giải
Phương trình hoành độ giao điểm:
2 2
4 3 0 4 3 0, 0
x x t t t x
− + = ⇔ − + = = ≥
1 1 1
3 3
3
t x x
t x
x
= = = ±
⇔ ⇔ ⇔
= = ±
=
3 3
2 2
3 0
4 3 2 4 3
S x x dx x x dx
−
⇒ = − + = − +
∫ ∫
( ) ( )
1 3
2 2
0 1
2 4 3 4 3
x x dx x x dx
= − + + − +
∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 107
1 3
3 3
2 2
0 1
16
2 2 3 2 3
3 3 3
x x
x x x x
= − + + − + =
.
Vậy
16
3
S =
(đvdt).
HT 8.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
4 3
y x x
= − +
và
3
y x
= +
.
Bài giải
Phương trình hoành độ giao điểm:
2
4 3 3
x x x
− + = +
2
2
3 0
0
4 3 3
5
4 3 3
x
x
x x x
x
x x x
+ ≥
=
− + = +
⇔ ⇔
=
− + = − −
.
Bảng xét dấu
x 0 1 3 5
2
4 3
x x
− +
+ 0 – 0 +
( ) ( ) ( )
1 3 5
2 2 2
0 1 3
5 3 6 5
S x x dx x x dx x x dx
⇒ = − + − + − + −
∫ ∫ ∫
1 3 5
3 2 3 2 3 2
0 1 3
5 3 5 109
6
3 2 3 2 3 2 6
x x x x x x
x
−
= − + + − + − =
.
Vậy
109
6
S =
(đvdt).
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 9.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
1 , 5
y x y x
= − = +
.
Bài giải
Phương trình hoành độ giao điểm:
2 2
1 5 1 5, 0
x x t t t x
− = + ⇔ − = + = ≥
2
2
0
0
1 5
3
3
1 5
t x
t x
t t x
t
t t
= ≥
= ≥
− = +
⇔ ⇔ ⇔ = ±
=
− = − −
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 108
( )
( )
3 3
2 2
3 0
1 5 2 1 5
S x x dx x x dx
−
⇒ = − − + = − − +
∫ ∫
Bảng xét dấu
x 0 1 3
2
1
x
−
– 0 +
( ) ( )
1 3
2 2
0 1
2 4 6
S x x dx x x dx
⇒ = − − − + − −
∫ ∫
1 3
3 2 3 2
0 1
73
2 4 6
3 2 3 2 3
x x x x
x x
−
= − − + − − =
.
Vậy
73
3
S =
(đvdt).
HT 10.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
, 0, 2
y x y y x
= = = −
.
Bài giải
Ta có:
2 2
2 2 , 0
y x x y x
= − ⇔ = − ≥
.
Phương trình tung độ giao điểm:
2
2 1
y y y
= − ⇔ =
.
1 1
2 2
0 0
2 2
S y y dy y y dy
⇒ = − − = − −
∫ ∫
1
1
4
2
4
2
0
0
0 0
1
2 cos sin 2
2 2
y
tdt ydy t t
π
π
= − = + −
∫ ∫
.
Vậy
4
S
π
=
(đvdt).
HT 11.Tính thể tích hình cầu do hình tròn
2 2 2
( ) :
C x y R
+ =
quay quanh Ox.
Bài Giải
Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là
2 2
x R x R
= ⇔ = ±
.
Phương trình
2 2 2 2 2 2
( ) :
C x y R y R x
+ = ⇔ = −
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 109
( ) ( )
2 2 2 2
0
2
R R
R
V R x dx R x dx
π π
−
⇒ = − = −
∫ ∫
3 3
2
0
4
2
3 3
R
x R
R x
π
π
= − =
.
Vậy
3
4
3
R
V
π
=
(đvtt).
HT 12.Tính thể tích hình khối do ellipse
2 2
2 2
( ) : 1
x y
E
a b
+ =
quay quanh Oy.
Bài Giải
Tung độ giao điểm của (E) và Oy là
2
2
1
y
y b
b
= ⇔ = ±
.
Phương trình
2 2 2 2
2 2
2 2 2
( ) : 1
x y a y
E x a
a b b
+ = ⇔ = −
2 2 2 2
2 2
2 2
0
2
b b
b
a y a y
V a dy a dy
b b
π π
−
⇒ = − = −
∫ ∫
2 3 2
2
2
0
4
2
3
3
R
a y a b
a y
b
π
π
= − =
.
Vậy
2
4
3
a b
V
π
=
(đvtt).
HT 13.Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường
2 2
,
y x y x
= =
quay quanh Ox.
Bài Giải
Hoành độ giao điểm:
4
0
0
1
x
x
x
x x
≥
=
⇔
=
=
.
( )
1 1
4 4
0 0
V x x dx x x dx
π π⇒ = − = −
∫ ∫
1
5 2
0
1 1 3
5 2 10
x x
π
π
= − =
.
Vậy
3
10
V
π
=
(đvtt).
HT 14.Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
5
x y
= − +
,
3
x y
= −
quay quanh Oy.
Bài Giải
Tung độ giao điểm:
2
1
5 3
2
y
y y
y
= −
− + = − ⇔
=
.
( )
( )
2
2
2
2
1
5 3
V y y dy
π
−
⇒ = − + − −
∫
( )
2
4 2
1
11 6 16
y y y dy
π
−
= − + +
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 110
2
5 3
2
1
11 153
3 16
5 3 5
y y
y y
π
π
−
= − + + =
.
Vậy
153
5
V
π
=
(đvtt).
HT 15.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình sau
1)
sin , 0
y x y
= =
,
0, 2
x x
π
= =
2)
3
, 0
y x y
= =
,
1, 2
x x
= − =
3)
2 2
2 , 4
y x x y x x
= − = − +
4)
3
, 4
y x y x
= =
,
1, 2
x x
= − =
5)
2
5, 6
y x y x
= − − = −
,
0, 1
x x
= =
6)
2
2, 3
y x y x
= − − = −
,
0, 2
x x
= =
7)
2
2 , 2
y x x y x
= − − = − −
8)
3 2
2 2
y x x x
= − − +
và trục hoành
9)
3
2
2 2
y x x x
= − − +
và trục hoành
10)
2 2
4 ,
4
4 2
x x
y y= − =
11)
2 2
4 , 3 0
y x x y
= − − + =
12)
2
4 3 , 3
y x x y
= − + =
13)
2
4 3 , 0
y x x y
= − + =
14)
2
3
,
4
x y x
y
= =
−
15)
( )
,
2
2
2 1
, 2 0
8
x x y y
y
y
= = = ≥
−
16)
, y
(2 cos )sin 0
y x x
= + =
,
3
,
2 2
x x
π π
= =
17)
, y
2
1 0
y x x
= + =
,
1
x
=
18)
, y
ln
0
2
x
y
x
= =
,
1,
x x e
= =
19)
, y
1 ln
0
x
y
x
+
= =
,
1,
x x e
= =
20)
,
0 ln
y y x
= =
,
2,
x x e
= =
21)
,
2 2
1 1
sin cos
y y
x x
= =
,
,
6 3
x x
π π
= =
22)
,
2 2
4
y x y x
= =
,
4
y
=
23)
,
( 1)( 2) 0
y x x x y
= + − =
,
2, 2
x x
= − =
24)
,
0
x
y xe y
= =
,
1, 2
x x
= − =
25)
2
4 , 1 0
y x x y
= − + =
,
0
y
=
26)
,
3
1 0 1 0, 0
x y x y y
− + = + − = =
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
Bài giải
1)
2 2
0 0
sin sin sin
S x dx xdx xdx
π π π
π
= = +
∫ ∫ ∫
2
0
cos cosx x
π π
π
= − + −
= 4 (đvdt).
2)
2 0 2
3 3 3
1 1 0
S x dx x dx x dx
− −
= = +
∫ ∫ ∫
0 2
4 4
1 0
17
4 4 4
x x
−
= + =
(đvdt).
3)
2 2
2 4 0 3
x x x x x x
− = − + ⇔ = ∨ =
3
2 2
0
( 2 ) ( 4 )
S x x x x dx
⇒ = − − − +
∫
3
3
3
2 2
0
0
2
(2 6 ) 3
3
x
x x dx x
= − = −
∫
= 9(đvdt).
4)
3
4 0 0 2 2
x x x x x
− = ⇔ = ∨ = ∨ = −
(loại).
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 111
2 0 2
3 3 3
1 1 0
4 ( 4 ) ( 4 )
S x x dx x x dx x x dx
− −
⇒ = − = − + −
∫ ∫ ∫
0 2
4 4
2 2
1 0
2 2
4 4
x x
x x
−
= − + −
.
Vậy
23
4
S =
(đvdt).
5)
2
6 5 0 1 5
x x x x
− + = ⇔ = ∨ =
(loại).
1
2
0
6 5
S x x dx
⇒ = − +
∫
1
1
3
2 2
0
0
( 6 5) 3 5
3
x
x x dx x x
= − + = − +
∫
.
Vậy
7
3
S
=
(đvdt).
6)
2
3 2 0 1 2
x x x x
− + = ⇔ = ∨ =
.
2
2
0
3 2
S x x dx
⇒ = − +
∫
1 2
2 2
0 1
( 3 2) ( 3 2)
x x dx x x dx
= − + + − +
∫ ∫
1 2
3 2 3 2
0 1
3 3
2 2
3 2 3 2
x x x x
x x
= − + + − +
= 1(đvdt).
7)
2
2 2 2 1
x x x x x
− − = − − ⇔ = − ∨ =
.
1
2
2
2
S x x dx
−
⇒ = + −
∫
1
1
3 2
2
2
2
( 2) 2
3 2
x x
x x dx x
−
−
= + − = + −
∫
.
Vậy
9
2
S
=
(đvdt).
8)
3 2
2 2 0 2 1
x x x x x
− − + = ⇔ = ∨ = ±
.
2
3 2
1
2 2
S x x x dx
−
⇒ = − − +
∫
1 2
3 2 3 2
1 1
( 2 2) ( 2 2)
x x x dx x x x dx
−
= − − + + − − +
∫ ∫
1 2
4 3 2 4 3 2
1 1
2 2
2 2
4 3 2 4 3 2
x x x x x x
x x
−
= − − + + − − +
.
Vậy
37
12
S =
(đvdt).
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 112
9)
3
2
3 2
0
2 2 0
2 2 0
t x
x x x
t t t
= ≥
− − + = ⇔
− − + =
0
1
1
2
2
t x
x
t
x
t
= ≥
= ±
=
⇔ ⇔
= ±
=
.
2 2
3
2 3 2
2 0
2 2 2 2 2
S x x x dx x x x dx
−
⇒ = − − + = − − +
∫ ∫
1 2
3 2 3 2
0 1
2 ( 2 2) 2 ( 2 2)
x x x dx x x x dx
= − − + + − − +
∫ ∫
1 2
4 3 2 4 3 2
0 1
2 2
2 2 2 2
4 3 2 4 3 2
x x x x x x
x x
= − − + + − − +
= 3(đvdt).
10)
2 2
4 2
4 8 128 0 2 2
4
4 2
x x
x x x− = ⇔ + − = ⇔ = ±
2 2
2 2
2 2
4
4
4 2
x x
S dx
−
⇒ = − −
∫
2 2
2 2
2 2
4
4
4 2
x x
dx
−
= − −
∫
2 2
2 2
0
2 4
4
4 2
x x
dx
= − −
∫
2 2 2 2
2 2
0 0
1
16
2 2
x dx x dx
= − −
∫ ∫
2 2
4
2 2
0 0
1
16 cos
2 2
tdt x dx
π
= −
∫ ∫
2 2
3
4
0
0
1 1
8 sin 2
2 3
2 2
x
t t
π
= + −
.
Vậy
4
2
3
S
π
= +
(đvdt).
11)
2 2
2 2
3 0 4
3 3
x x
x y y x+ = ⇔ = − ⇒ − − = −
4 2
9 36 0 3
x x x
⇔ + − = ⇔ = ±
3 3
2 2
2 2
0
3
4 2 4
3 3
x x
S x dx x dx
−
⇒ = − − = − −
∫ ∫
3 3 3
3
2 2 2 2
0 0 0 0
1 1
2 4 2 4 cos
3 3
x dx x dx tdt x dx
π
= − − = −
∫ ∫ ∫ ∫
3
3
3
0
0
1
2 2 sin 2
2 9
x
t t
π
= + −
.
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 113
Vậy
4 3
3
S
π +
=
(đvdt).
12)
2
2
2
4 3 3 0
4 3 3
4
4 3 3
x x x
x x
x
x x
− + = =
− + = ⇔ ⇔
=
− + = −
.
Bảng xét dấu
x 0 1 3 4
2
4 3
x x
− +
+ 0 – 0 +
4
2
0
4 3 3
S x x dx
⇒ = − + −
∫
( ) ( ) ( )
1 3 4
2 2 2
0 1 3
4 4 6 4
x x dx x x dx x x dx
= − + − + − + −
∫ ∫ ∫
1 3 4
3 3 3
2 2 2
0 1 3
2 2 6 2
3 3 3
x x x
x x x x
−
= − + + − + −
= 8(đvdt).
13)
2 2
4 3 0 4 3 0
x x x x
− + = ⇔ − + =
1 1
3
3
x x
x
x
= = ±
⇔ ⇔
= ±
=
.
Bảng xét dấu
x 0 1 3
2
4 3
x x
− +
+ 0 – 0
3 3
2 2
3 0
4 3 2 4 3
S x x dx x x dx
−
⇒ = − + = − +
∫ ∫
( ) ( )
1 3
2 2
0 1
2 4 3 4 3
x x dx x x dx
= − + − − +
∫ ∫
1 3
3 3
2 2
0 1
2 2 3 2 3
3 3
x x
x x x x
= − + − − +
.
Vậy
16
3
S =
(đvdt).
14) Tung độ giao điểm
2
1
3
, 0 2
3
4
y
y y
y
y
=
= ≤ < ⇔
=
−
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 114
3 3
2 2
1 1
3 3
4 4
S y dy y dy
y y
⇒ = − = −
− −
∫ ∫
= …
Vậy
3
1
6
S
π
= −
(đvdt).
15) Tung độ giao điểm
2
2
2 1
2
8
y
y
y
= ⇔ =
−
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1 2 1
8 8
S dy dy
y y
y y
⇒ = − = −
− −
∫ ∫
= …
Vậy
2 1
12
S
π
= − −
(đvdt).
16)
3
2
2
(2 cos )sin
S x x dx
π
π
= +
∫
3
2
2
(2 cos )sin (2 cos )sin
x xdx x xdx
π
π
π π
= + − +
∫ ∫
3
2
2
1 1
2 cos cos 2 2 cos cos2
4 4
x x x x
π
π
π
π
= − + + +
= 3(đvdt).
17) Hoành độ giao điểm
2
1 0 0
x x x
+ = ⇔ =
1 1
2 2
0 0
1 1
S x x dx x x dx
⇒ = + = +
∫ ∫
1
1
2 2 2 3
0
0
1 1
1 (1 ) (1 )
2 3
x d x x= + + = +
∫
.
Vậy
2 2 1
3
S
−
=
(đvdt).
18)
1 1
ln ln ln
0 1;
2 2 2
e e
x x x
S dx dx x e
x x x
= = > ∀ ∈
∫ ∫
.
Đặt
ln
t t
t x x e dx e dt
= ⇒ = ⇒ =
1 0, 1
x t x e t
= ⇒ = = ⇒ =
1 1
0 0
2
t
t
t
te dt
S td e
e
⇒ = =
∫ ∫
1
1 1
0 0
0
2
t t t
t e e dt e e
= − = −
∫
.
Vậy
2
S e
= −
(đvdt).
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 115
19)
1 1
1 ln 1 ln
e e
x x
S dx dx
x x
+ +
= =
∫ ∫
.
Đặt
2
1 ln 1 ln 2
dx
t x t x tdt
x
= + ⇒ = + ⇒ =
1 1, 2
x t x e t
= ⇒ = = ⇒ =
2 2
2
2 3
1
1 1
2
.2 2
3
S t tdt t dt t⇒ = = =
∫ ∫
.
Vậy
4 2 2
3
S
−
=
(đvdt).
20)
2
2 2 2
ln ln ln
e e e
e
S x dx xdx x x dx
= = = −
∫ ∫ ∫
.
Vậy
2 2 ln 2
S
= −
.
21)
2 2
1 1
;
4 6 3
cos sin
x
x x
π π π
= ⇔ = ∈
3
2 2
6
1 1
cos sin
S dx
x x
π
π
⇒ = −
∫
4 3
2 2 2 2
6 4
1 1 1 1
cos sin cos sin
dx dx
x x x x
π π
π π
= − + −
∫ ∫
4 3
2 2 2 2
6 4
1 1 1 1
cos sin cos sin
dx dx
x x x x
π π
π π
= − + −
∫ ∫
( ) ( )
4 3
6 4
tgx cotgx tgx cotgx
π π
π π
= + + +
.
Vậy
8 3 12
3
S
−
=
(đvdt).
22) Tọa độ giao điểm
2
2
0
0
4
y x x
y
y x
= =
⇔
=
=
Ta có:
2
2
1
4
2
x y
y x
y x
x y
=
=
⇔
=
=
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 116
4
4
3
0
0
1
2 3
y
S y y dy
⇒ = − =
∫
.
Vậy
8
3
S
=
(đvdt).
23)
2
2
( 1)( 2)
S x x x dx
−
= + −
∫
( ) ( ) ( )
1 0 2
3 2 3 2 3 2
2 1 0
2 2 2
x x x dx x x x dx x x x dx
−
− −
= − − + − − + − −
∫ ∫ ∫
1 0 2
4 3 4 3 4 3
2 2 2
2 1 0
4 3 4 3 4 3
x x x x x x
x x x
−
− −
= − − + − − + − −
.
Vậy
37
6
S =
(đvdt).
24)
2 2 0
1 0 1
x x x
S xe dx xe dx xe dx
− −
= = −
∫ ∫ ∫
( ) ( )
2 0
0 1
1 1
x x
x e x e
−
= − − −
.
Vậy
3
2 2
e e
S
e
+ −
=
(đvdt).
25)
2
2
1
4
4
1 0
1
y x
x y
x y
x y
=
=
⇔
− + =
= −
2
1
1 2
4
y y y
⇒ = − ⇔ =
2
2
0
1
( 1)
4
S y y dy
⇒ = − −
∫
( )
2
2
3
2 2
0
0
1 1
4 4 2 4
4 4 3
y
y y dy y y
= − + = − +
∫
.
Vậy
2
3
S
=
(đvdt).
26)
3 3
1 0 1
1 0 1
x y x y
x y x y
− + = = −
⇔
+ − = = −
3 3
1 1 2 0 1
y y y y y
⇒ − = − ⇔ + − = ⇔ =
( )
1
1
3 4 2
0
0
1 1
2 2
4 2
S y y dy y y y
⇒ = + − = + −
∫
.
Vậy
5
4
S
=
.
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 117
HT 16.Tính thể tích do hình phẳng giới hạn bởi các đường
1)
,
3
y x y x
= =
,
0, 1
x x
= =
quay quanh Ox
2)
,
2
2
2
x
y y
= =
,
4, 0
y x
= =
quay quanh Oy
3)
,
2 3
( 1) 2
y x x
= − =
và
0
y
=
quay quanh Ox
4)
,
2
4 0
y x x
= − =
quay quanh Oy
5)
2 2
( ) : ( 4) 4
C x y
+ − =
quay quanh Oy
6) ellipse
2 2
( ) : 1
16 9
x y
E
+ =
quay quanh Ox
7) ellipse
2 2
( ) : 1
16 9
x x
E
+ =
quay quanh Oy
8)
2 2
2, 4
y x y x
= + = −
quay quanh Ox
9)
2
,
y x y x
= =
quay quanh Ox
10)
2 2
4 , 3 0
y x x y
= − − + =
quay quanh Ox
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
Bài giải
1)
( )
1
1 1
3
2
2 2
0
0 0
8
3 8
3
x
V x x dx x dx
π
π π= − = =
∫ ∫
.
Vậy
8
3
V
π
=
(đvtt).
2) Ta có
2
2
2
2
x
y x y
= ⇔ =
4 4
4
2 2
2
2 2
2
V x dy ydy y
π π π⇒ = = =
∫ ∫
.
Vậy
12
V
π
=
(đvtt).
3) Ta có
3
( 1) 0 1
x x
− = ⇔ =
2
2 2
4
2 3
1
1 1
( 1)
( 1)
4
x
V y dx x dxπ π π
−
⇒ = = − =
∫ ∫
.
Vậy
4
V
π
=
(đvtt).
4) Ta có
2 2
4 4
2
0 0
y x x y
y
x x
= − = −
⇔ ⇒ = ±
= =
( )
2
2
3 5
2
2
2
0
8
4 2 16
3 5
y y
V y dy yπ π
−
⇒ = − = − +
∫
.
Vậy
512
15
V
π
=
(đvtt).
5) Tung độ giao điểm
2 2
( ) : ( 4) 4
C x y
+ − =
và Oy:
2
4 2 6
( 4) 4
4 2 2
y y
y
y y
− = =
− = ⇔ ⇔
− = − =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 118
6
6 6
3
2 2 2
2 2
2
4 ( 4) 4 12
3
y
V x dy y dy y y
π π π
⇒ = = − − = − + −
∫ ∫
.
Cách khác:
Hình khối tròn xoay là hình cầu bán kính R = 2 nên
3
4 2
3
V
π
=
. Vậy
32
3
V
π
=
(đvtt).
6) Hoành độ giao điểm
2 2
( ) : 1
16 9
x y
E
+ =
và Ox là
4
x
= ±
.
Ta có:
(
)
2 2
2 2
9
1 16
16 9 16
x y
y x
+ = ⇔ = −
4
4 4
3
2 2
4 4
0
9 9
(16 ) 16
16 8 3
x
V y dx x dx x
π π
π
− −
⇒ = = − = −
∫ ∫
.
Vậy
48
V
π
=
(đvtt).
7) Tung độ giao điểm
2 2
( ) : 1
16 9
x y
E
+ =
và Oy là
3
y
= ±
.
(
)
2 2
2 2
16
1 9
16 9 9
x y
x y
+ = ⇔ = −
3
4 3
3
2 2
4 3
0
16 32
(9 ) 9
9 9 3
y
V x dy y dy y
π π
π
− −
⇒ = = − = −
∫ ∫
.
Vậy
64
V
π
=
(đvtt).
8) Hoành độ giao điểm
2 2
2 4 1
x x x
+ = − ⇔ = ±
( ) ( )
1
2 2
2 2
1
2 4
V x x dx
π
−
⇒ = + − −
∫
1
1
3
2
0
0
24 1 24
3
x
x dx xπ π
= − = −
∫
.
Vậy
16
V
π
=
(đvtt).
9) Hoành độ giao điểm
2 4
0 1
x x x x x x
= ⇔ = ⇔ = ∨ =
( )
1
1 1
5 2
4 4
0 0
0
5 2
x x
V x x dx x x dxπ π π
⇒ = − = − = −
∫ ∫
.
Vậy
3
10
V
π
=
(đvtt).
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 119
10) Hoành độ giao điểm
2
2 2
4 3 3
3
x
x x x− − = − ⇔ = ⇔ = ±
( )
3
4
2
3
4
9
x
V x dx
π
−
⇒ = − −
∫
( )
3
3
5
3 4 3
0
0
2 2
36 3 36 3
9 9 5
x
x x dx x x
π π
= − − = − −
∫
.
Vậy
28 3
5
V
π
=
(đvtt).
Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô và các bạn học sinh đã đọc tài liệu này!
Mọi sự góp ý xin gửi về: huythuong2801@gmail.com
Toàn bộ tài liệu ôn thi môn toán của Lưu Huy Thưởng ở địa chỉ sau:
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
| 1/120
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:


TUYỂN TẬP TÍCH PHÂN
(ĐÁP ÁN CHI TIẾT)
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
Toàn bộ tài liệu của thầy ở trang:
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HỌ VÀ TÊN: ……
…………………………………………………………… LỚP
:…………………… ……………………………………………. TR
ƯỜNG :………………………………………………………………… HÀ NỘI, 4/2014
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 TÍCH PHÂN CƠ BẢN
Toàn bộ tài liệu luyện thi đại học môn toán của thầy Lưu Huy Thưởng:
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 1.Tính các tích phân sau: 1 1 1 a) 3 I = x dx 3 I = (2x + 1) dx 3 I = (1 − 4x) dx 1 ∫ b) 2 ∫ c) 3 ∫ 0 0 0 1 1 d) 2 3 I = (x − 1)(x − 2x + 5) dx 2 3 I = (2x − 3)(x − 3x + 1) dx 4 ∫ e) 5 ∫ 0 0 Bài giải 1 4 x 1 a) 3 1 I = x dx = = 1 ∫ 0 4 4 0 1 1 b) 3 I = (2x + 1) dx d(2x + 1) = 2dx ⇒ dx = d(2x + 1) 2 ∫ Chú ý: 2 0 1 1 4 3 1 3 1 (2x + 1) 1 81 1 ⇒ I = (2x + 1) dx = (2x + 1) d(2x + 1) = = − = 10 2 ∫ ∫ 0 2 2 4 8 8 0 0 1 1 c) 3 I = (1 − 4x) dx
d(1 − 4x) = −4dx ⇒ dx = − d(1 − 4x) 3 ∫ Chú ý: 4 0 1 1 4 3 1 3 1 (1 − 4x) 1 81 1 ⇒ I = (1 − 4x) dx = − (1 − 4x) d(1 − 4x) = − = − + = −5 3 ∫ ∫ 0 4 4 4 16 16 0 0 1 1 d) 2 3 I = (x − 1)(x − 2x + 5) dx
d(x − 2x + 5) = (2x − 2)dx ⇒ (x − 1)dx = d(x − 2x + 5) 4 ∫ Chú ý: 2 2 2 0 1 1 2 3 1 2 3 2 ⇒ I = (x − 1)(x − 2x + 5) dx = (x − 2x + 5) d(x − 2x + 5) 4 ∫ ∫ 2 0 0 2 4 1 (x − 2x + 5) 1 615 671 = . = 162 − = 0 2 4 8 8
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 1
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 e) 2 3 I = (2x − 3)(x − 3x + 1) dx d x − x + = x − dx 5 ∫ Chú ý: 2 ( 3 1) (2 3) 0 1 1 2 3 2 3 2 ⇒ I = (2x − 3)(x − 3x + 1) dx = (x − 3x + 1) d(x − 3x + 1) 5 ∫ ∫ 0 0 2 4 (x − 3x + 1) 1 1 1 = = − = 0 0 4 4 4
HT 2.Tính các tích phân sau: 1 7 4 a) I = xdx I = x + 2dx I = 2x + 1dx 1 ∫ b) 2 ∫ c) 3 ∫ 0 2 0 1 1 1 d) 2 I = x 1 + x dx 2 I = x 1 − x dx 2 I = (1 − x) x − 2x + 3dx 4 ∫ e) 5 ∫ f) 6 ∫ 0 0 0 1 1 g) 2 3 I = x x + 1dx 2 3 2 I = (x − 2x) x − 3x + 2dx 7 ∫ h) 8 ∫ 0 0 Bài giải 1 2 2 a) I = xdx = x x = 1 ∫ 1 0 3 3 0 7 2 16 38 b) 7 I = x + 2dx = (x + 2) x + 2 = 18 − = 2 ∫ 2 3 3 3 2 4 4 1 1 2 1 26 c) I = 2x + 1dx 4 = 2x + 1d(2x + 1) = . (2x + 1) 2x + 1 = 9 − = 3 ∫ ∫ 0 2 2 3 3 3 0 0 1 1 1 1 2 2 2 1 d) 2 2 2 2 2 1 I = x 1 + x dx = 1 + x d(1 + x ) = . (1 + x ) 1 + x = − 4 ∫ ∫ 0 2 2 3 3 3 0 0 1 1 1 1 2 1 1 e) 2 I = x 1 − x dx 2 2 2 2 1 = −
1 − x d(1 − x ) = − . (1 − x ) 1 − x = 0 + = 5 ∫ ∫ 0 2 2 3 3 3 0 0 1 1 1 f) 2 2 2 I = (1 − x) x − 2x + 3dx = − x − 2x + 3d(x − 2x + 3) 6 ∫ ∫ 2 0 0 1 2 2 2 1 2 2
= − . (x − 2x + 3) x − 2x + 3 = − + 3 0 2 3 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 2
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 1 1 1 2 4 2 − 2 g) 2 3 3 3 3 3 1 I = x x + 1dx = x
+ 1d(x + 1) = . (x + 1) x + 1 = 7 ∫ ∫ 0 3 3 3 9 0 0 1 1 1 h) 2 3 2 3 2 3 2 I = (x − 2x) x − 3x + 2dx = x − 3x + 2d(x − 3x + 2) 8 ∫ ∫ 3 0 0 1 2 3 2 3 2 1 4 2 4 2
= . (x − 3x + 2) x − 3x + 2 = 0 − = − 0 3 3 9 9
HT 3.Tính các tích phân sau: 4 1 0 dx dx dx a) I = I = I = 1 ∫ b) 2 ∫ c) 3 ∫ x 2x + 1 1 − 2x 1 0 −1 1 1 (x + 1)dx (x − 2)dx d) I = I = 4 ∫ e) 5 ∫ 2 x + x + 2 x − x + 0 2 2 0 4 5 Bài giải 4 dx a) 4 I = = 2 x = 4 − 2 = 2 1 ∫ 1 x 1 1 1 dx 1 d(2x + 1) b) 1 I = = = 2x + 1 = 3 −1 2 ∫ ∫ 0 x + 2 2 1 2x + 1 0 0 0 0 dx 1 d(1 − 2x) c) 0 I = = − = − 1 − 2x = −1 + 3 3 ∫ ∫ −1 − x 2 1 2 1 − 2x −1 −1 1 1 2 (x + 1)dx 1 d(x + 2x + 2) d) 2 1 I = = = x + 2x + 2 = 5 − 2 4 ∫ ∫ 0 2 2 2 x + x + x + x + 0 2 2 0 2 2 1 1 2 (x − 2)dx 1 d(x − 4x + 5) e) 2 1 I = = = x − 4x + 5 = 2 − 5 5 ∫ ∫ 0 2 2 2 x − x + x − x + 0 4 5 0 4 5
HT 4.Tính các tích phân sau: e 0 1 dx dx xdx a) I = I = I = 1 ∫ b) ∫ c) ∫ x 2 1 − 2x 3 2 x + 1 1 −1 0 1 1 (x + 1)dx x − 2 d) I = I = dx 4 ∫ e) ∫ 2 5 x + 2x + 2 2 x − 4x + 5 0 0 Bài giải
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 3
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 e dx e a) I = = ln x = lne − ln1 = 1 1 ∫ 1 x 1 0 0 dx 1 d(1 − 2x) 1 1 ln 3 b) I = 0 = − = − ln 1 − 2x = − (ln1 − ln 3) = 2 ∫ ∫ 1 − 2 − x 1 2 1 − 2x 2 2 2 −1 −1 1 1 d x + 1 ( 2 )1 xdx 1 1 ln 2 c) I = 2 1 = = ln x + 1 = (ln 2 − ln1) = 3 ∫ ∫ 2 0 x + 1 2 2 x 2 2 2 + 1 0 0 1 1 (x + 1)dx 2 1 d(x + 2x + 2) 1 1 1 5 d) I = =
= ln x + 2x + 2 = (ln 5 − ln 2) = ln 4 ∫ ∫ 2 1 2 0 x + 2x + 2 2 2 x + 2x + 2 2 2 2 2 0 0 1 1 2 x − 2 1 d(x − 4x + 5) 1 1 1 2 e) 2 1 I = dx =
= ln x − 4x + 5 = (ln 2 − ln 5) = ln 5 ∫ ∫ 0 2 2 x − x 2 + x − x 2 2 2 5 4 5 4 + 5 0 0
HT 5.Tính các tích phân sau: 2 0 1 dx dx dx a) I = I = I = 1 ∫ b) ∫ c) ∫ 2 2 3 x 2 (2x − 1) 2 (3x + 1) 1 −1 0 Bài giải 2 dx 1 1 1 a) 2 I = = − = − + 1 = 1 ∫ 1 2 x x 2 2 1 0 0 dx 1 d(2x − 1) 1 1 1 1 1 b) 0 I = = = − . = − = 2 ∫ ∫ −1 2 2 2 2 2x x − x −1 2 6 3 (2 1) (2 − 1) −1 −1 1 1 dx 1 d(3x + 1) 1 1 1 1 1 c) 1 I = = = − . = − + = 3 ∫ ∫ 0 2 2 3 3 3x x + x + 1 12 4 6 (3 1) (3 + 1) 0 0
HT 6.Tính các tích phân sau: 1 1 1 x x x x x a) 3 I = e dx 3 I = e (2e + 1) dx 3 I = e (1 − 4e ) dx 1 ∫ b) 2 ∫ c) 3 ∫ 0 0 0 1 2 2 x x x e dx 2 e dx 2 e dx d) I = I = I = 4 ∫ e) ∫ f) ∫ x 5 x 6 x e + 1 2 2 (e −1) 2 3 (1 − 3e ) 0 1 1 1 1 1 x x x x x e dx g) I = e 2e + 1dx 2 2 I = e 1 + 3e dx I = 7 ∫ h) 8 ∫ i) 9 ∫ x e + 0 0 0 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 4
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 3 x 1 x e 1 a) 3 3 1 I = e dx = e = − 1 ∫ 0 3 3 3 0 1 1 x 4 + x x 1 x x 1 (2e 1) b) 3 3 1 I = e (2e + 1) dx = (2e + 1) d(2e + 1) = . 2 ∫ ∫ 0 2 2 4 0 0  4  1 (2e + 1) 81 4 =   (2e + 1) 81  −    = − 2  4 4    8 8 1 1 x x 1 x x c) 3 3 I = e (1 − 4e ) dx = − (1 − 4e ) d(1 − 4e ) 3 ∫ ∫ 4 0 0 x 4  4  4 1 (1 − 4e )  −  1 1 (1 4e) 81 81 − (1 − 4e) = − . = −    −  = 0   4 4 4  4 4   16  1 1 x e dx d( x e + 1) x e + 1 d) 1 I = =
= ln e + 1 = ln(e + 1) − ln 2 = ln 4 ∫ ∫ x x 0 e + e 2 1 + 1 0 0 2 2 2x 2x 2 e dx 1 d(e −1) 1 1 1 1 e e) 2 I = = = − . = − + = 5 ∫ ∫ x x x 1 2 2 2 2 2 4 2 4 e 2 − e 2 ( 1) ( −1) e −1 2(e − 1) 2(e − 1) 2(e − 1) 1 1 2 2 2x 2 e dx 1 d(1 − 3 x e ) 1 1 − 1 1 f) 2 I = = − = − . = − 6 ∫ ∫ x x x 1 2 3 2 3 2 2 4 2 − e 6 − e 6 (1 3 ) (1 3 ) 2(1 − 3e ) 12(1 − 3e ) 12(1 − 3e ) 1 1 1 1 x x 1 x x 1 2 x x 1 g) 1 I = e 2e + 1dx =
2e + 1d(2e + 1) = . (2e + 1) 2e + 1 = (2e + 1) 2e + 1 − 3 7 ∫ ∫ 0 2 2 3 3 0 0 1 1 x x 1 x x 1 2 x x 1 8 h) 2 2 I = e 1 + 3e dx 2 2 2 2 1 2 2 =
1 + 3e d(1 + 3e ) = . (1 + 3e ) 1 + 3e = (1 + 3e ) 1 + 3e − 8 ∫ ∫ 0 6 6 3 9 9 0 0 1 1 x x e dx d(e + 1) x i) I = 1 = = 2 e + 1 = 2 e + 1 − 2 9 ∫ ∫ 0 x x e + e + 0 1 0 1
HT 7.Tính các tích phân sau: e e e ln x 3 ln x + 1 3 (3 ln x + 1) a) I = dx I = dx I = dx 1 ∫ b) ∫ c) ∫ x 2 x 3 x 1 1 1 e 2 e e 3 2 4 ln x + 3 ln x − 2 ln x + 1 dx dx d) I = dx I = I = 4 ∫ e) ∫ f) ∫ x 5 x ln x 6 x(3 ln x + 1) 1 e 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 5
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 e e 3 ln x + 1dx dx g) I = I = 7 ∫ h) ∫ x 8 x 3 ln x + 1 1 1 Bài giải e e 2 2 2 ln x ln x e ln e ln 1 1 a) I = dx = ln xd(ln x) = = − = 1 ∫ ∫ 1 x 2 2 2 2 1 1 e e  2  3 ln x + 1 3 ln x  e 3 5 b) I = dx = (3 ln x + 1)d(ln x) =  + ln x = ( + 1) − 0 = 2 ∫ ∫   1 x  2   2 2  1 1 e e 3 4 (3 ln x + 1) 1 1 (3 ln x + 1) e 64 1 85 c) 3 I = dx = (3 ln x + 1) d(3 ln x + 1) = . = − = 3 ∫ ∫ 1 x 3 3 4 3 12 4 1 1 e e 3 2 4 ln x + 3 ln x − 2 ln x + 1 d) I = dx =
(4 ln x + 3 ln x − 2 ln x + 1)d(ln x) 4 ∫ 3 2 ∫ x 1 1 4 3 2 = (ln + ln − ln + ln ) e x x x x = (1 + 1 −1 + 1) − 0 = 2 1 2 2 e e dx d x 2 (ln ) e e) 2 I = =
= ln(ln x) = ln(lne ) − ln(lne) = ln 2 5 ∫ ∫ x ln x ln e x e e e e dx 1 d(3 ln x + 1) 1 e f) I = = = ln(3 ln x + 1 ln 4 1) = (ln 4 − ln1) = 6 ∫ ∫ x(3 ln x + 1) 3 3 ln x + 1 1 3 3 3 1 1 e e 3 ln x + 1dx 1 1 2 e 16 2 14 g) I = = 3 ln x + 1d(3 ln x + 1) = . (3 ln x + 1) 3 ln x + 1 = − = 7 ∫ ∫ x 3 1 3 3 9 9 9 1 1 e e dx 1 d(3 ln x + 1) 1 e 4 2 2 h) I = = = = .2 3 ln x + 1 = − = 8 ∫ ∫ 1 x 3 ln x + 1 3 x + 3 3 3 3 3 ln 1 1 1
HT 8.Tính các tích phân sau: π π π 2 2 4 a) 2 I = cos x sin xdx 2 I = sin x cos xdx 3 I = sin 2x cos 2xdx 1 ∫ b) 2 ∫ c) 3 ∫ 0 0 0 π π π 4 2 2 sin x cos x d) I = dx I = sin x 3 cos x + 1dx I = dx 4 ∫ e) ∫ f) ∫ cos x 5 6 3 sin x + 1 0 0 0 Giải
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 6
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π 2 2 3 π cos x 1 a) 2 2 I = x xdx = − xd x 2 cos sin cos (cos ) = − = 1 ∫ ∫ 0 3 3 0 0 π π 2 2 3 π sin x 1 b) 2 I = sin x cos xdx 2 = xd x 2 sin (sin ) = = 2 ∫ ∫ 0 3 3 0 0 π π 4 4 4 π 1 sin 2x 1 c) 3 3 I = x xdx = xd x 4 sin 2 cos 2 sin 2 (sin 2 ) = = 3 ∫ ∫ 0 2 8 8 0 0 π π 4 4 π sin x d(cos x) 2 2 d) I = dx = − = − x 4 ln(cos ) = −ln + ln1 = −ln 4 ∫ ∫ 0 cos x cos x 2 2 0 0 π π 2 2 π 1 1 2 1 4 e) I = x x + dx = x + d x + = x + x 2 sin 3 cos 1 3 cos 1 (3 cos 1) . (3 cos 1) 3 cos + 1 = − = 1 − 5 ∫ ∫ 0 3 2 3 3 3 0 0 π π 2 2 π cos x 1 d(3 sin x + 1) 2 4 2 2 f) I = dx = = x 2 3 sin + 1 = − = 6 ∫ ∫ 0 x + 3 x + 3 3 3 3 3 sin 1 3 sin 1 0 0
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 7
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
PHẦN II TÍCH PHẦN HÀM HỮU TỶ
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com dx I.DẠNG 1: ∫ 1 = ln ax + b +C ax + b a
HT 1.Tính các tích phân sau: 1 0 1 dx dx  1 3    a) ∫ b) ∫ c)  − dx ∫   3x + 1 1 − 3x 2x + 1 4 − 2x  0 −1 0 Giải 1 dx 1 1 ln 4 a) 1 = ln 3x + 1 = (ln 4 − ln1) = ∫ 0 3x + 1 3 3 3 0 0 dx 1 1 ln 4 b) ∫ 0 = − ln 1 − 3x = − (ln1 − ln 4) = − 1 − 3x −1 3 3 3 −1 1  1 3  1 3  1 3  1 3          c) 1  − dx = ∫  
 ln 2x + 1 + ln 4 − 2x  =   + −     ln 3 + ln 2 −       ln1 + ln 4 0       2x 1 4 2x 2 2 2 2  2 2  0 1 3 1 = ln 3 + ln 2 2 2
HT 2.Tính các tích phân sau: 2 4 3 2 1 0 x + 3x − 2x + 5x − 1 3 2 x − 3x + 2x − 1 3 2 2x − 3x + 4x − 1 a) I = dx I = dx I = 1 ∫ b) ∫ c) ∫ 2 2 3 x x − 2 1 − 2x 1 0 −1 Giải 2 4 3 2 2 x + 3x − 2x + 5x − 1 5 1 a) I = dx 2 = (x + 3x − 2 + − )dx 1 ∫ ∫ 2 x x 2 x 1 1  3 2  x 3x 1     =   2 8 1   1 3   13  +
− 2x + 5 ln x +  =  + 6 − 4 + 5 ln 2 +  −   
  + − 2 + 5 ln1 + 1 = + 5 ln 2 1        3 2 x 3 2 3 2   3 1 3 2 1 x − 3x + 2x − 1  1    b) I = dx 2 = x  − x − dx 2 ∫ ∫   x − 2  x − 2) 0 0  3 2  x x    =   1 1 1   1  −
− ln x − 2  =  − − ln1 − −ln 2 = ln 2 −   0   ( )  3 2   3 2  6  0 3 2 0 2x − 3x + 4x − 1  3 1    c) I = 2 =  x − + x − + dx 3 ∫ ∫   1 − 2x  2 2(−2x + 1) −1 −1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 8
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  3 2   x x 3 1  =   0 −  + − x − ln −2x + 1    − 1  3 2 2 4    1 1 1 3 1 ln 3 7
= (− ln1) −( + + − ln 3) = − 4 3 2 2 4 4 3 dx II.DẠNG 2: ∫ 2 ax + bx + c
HT 3.Tính các tích phân sau (mẫu số có hai nghiệm phân biệt) 1 1 1 dx dx dx a) ∫ b) ∫ c) ∫ (x + 1)(x + 2) (x + 1)(3 − x) (x + 1)(2x + 3) 0 0 0 Giải 1 1 1 dx (x + 2) − (x + 1)  1 1    a) = dx =  − dx ∫ ∫ ∫   (x + 1)(x + 2) (x + 1)(x + 2) x + 1 x + 2 0 0 0 ( + = x + − x + ) 1 x 1 1 2 1 4 ln 1 ln 2 = ln = ln − ln = ln 0 0 x + 2 3 2 3 1 1 1 dx 1 (x + 1) + (3 − x) 1  1 1    b) ∫ = dx =  + dx ∫ ∫   (x + 1)(3 − x) 4 (x + 1)(3 − x) 4 3 − x x + 1 0 0 0 1 ( x +   = − 1 1   ln 3 ln 3 − x + ln x + 1 ) 1 1 1 1 = ln = ln1 − ln  = − 0 0   4 4 3 − x 4  3 4 1 1 1 dx (2x + 3) − 2(x + 1)  1 2    c) = dx ∫ ∫ =  − dx ∫   (x + 1)(2x + 3) (x + 1)(2x + 3) x + 1 2x + 3 0 0 0 ( + = x + − x + ) 1 x 1 1 2 1 6 ln 1 ln 2 3 = ln = ln − ln = ln 0 0 2x + 3 5 3 5
HT 4.Tính các tích phân sau: 1 0 2 dx dx dx a) ∫ b) ∫ c) ∫ 2 x − x − 12 2 2x − 5x + 2 2 1 − 2x − 3x 0 −1 1 Giải 1 1 1 dx dx 1 (x + 3) − (x − 4) a) ∫ = = dx ∫ ∫ 2 x − x − 12 (x + 3)(x − 4) 7 (x + 3)(x − 4) 0 0 0 1 1  1 1    1 =  −  = ∫   ( x − dx ln x − 4 − ln x + 3 ) 1 1 4 1 = ln 0 0 7 x − 4 x + 3 7 7 x + 3 0 1 3 4 1 9 = (ln − ln ) = ln 7 4 3 7 16 0 0 0 0 dx dx dx 1 (2x − 1) − 2(x − 2) b) ∫ = = = dx ∫ ∫ ∫ 2 2x − 5x + 2 1 (x − 2)(2x − 1) 3 (x − 2)(2x − 1) −1 −1 2(x − 2)(x − ) −1 −1 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 9
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 0 1  1 2    1 =  − dx = ∫  
(ln x −2 −ln 2x −1) 0− 1 3 x − 2 2x −1 3 −1 1 x − 2 0 1 ln 2 = ln = (ln 2 − ln1) − = 1 3 2x − 1 3 3 2 2 2 2 dx dx dx 1 3(x + 1) + (1 − 3x) c) = = ∫ ∫ ∫ = dx ∫ 2 1 (x + 1)(1 − 3x) 1 − 2x − 3x 4 (x + 1)(1 − 3x) 1 1 −3(x + 1)(x − ) 1 1 3 2 1  3 1    1 + =  +  1 x 1 1 3 1 3 dx = ∫ 2  
(−ln 1−3x + ln x +1) 2 = ln = (ln − ln1) = ln 1 4 1− 3x x + 1 4 1 4 1 − 3x 4 5 4 5 1
HT 5.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm kép) 2 1 0 0 0 dx dx dx dx dx a) ∫ b) ∫ c) ∫ d) ∫ e) ∫ 2 x 2 (3x + 1) 2 (1 − 2x) 2 9x − 6x + 1 2 −16x + 8x −1 1 0 −1 −1 −1 Giải 2 dx 1 1 1 a) ∫ 2 = − = − + 1 = 2 1 x x 2 2 1 1 dx 1 1  1 1   1 b) 1 = − . = − −  = ∫ 0   2 3 (3x + 1)  + 12 3 4 (3x 1) 0 0 0 dx dx 1 1  1 1   1 c) ∫ 0 = = − . = − −  +  = ∫   2 −1 −   (1 − 2x) 2 2 2x 1 −  2 6 3 − (2x 1) 1 −1 0 0 dx dx 1 1  1 1    1 d) ∫ 0 = = − . = − −  +  = ∫   2 −1 −   9x − 6x + 1 2 3 3x 1 −  3 12 4 − (3x 1) 1 −1 0 0 0 dx dx dx 1 1 1 1 1 e) ∫ 0 = − = − = . = − + = − ∫ ∫ 2 − − 1 16x + 8x − 1 2 2 4 4x − 1 4 20 5 − + − − 16x 8x 1 (4x 1) 1 −1 −1
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 6.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm) 2 1 3 2 dx dx dx a) I = 1 ∫ b) ∫ c) ∫ 2 x + 1 2 x + 3 2 2x + 3 0 0 0 Giải 1 dx a) I = 1 ∫ 2 x + 1 0     π π     Đặt: x = tan t t  ∈ −  ;           2 2   dt ⇒ dx = 2 cos t
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 10
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π Với x = 1 ⇒ t = 4 π π π 4 4 4 π dt dt 4 ⇒ π I = = = dt = t = 1 ∫ ∫ ∫ 0 2 2 t t + 2 1 cos (tan 1) 4 0 0 cos t. 0 2 cos t 3 dx b) I = 2 ∫ 2 x + 3 0   π π   Đặt: x = 3 tant Với t ∈ −  ;      2 2  3dt ⇒ dx = 2 cos t π
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0 ; Với x = 3 ⇒ t = 4 π π π 4 4 4 π 3dt 3 dt ⇒ 3 3 3π I = = = dt = t = 2 ∫ ∫ ∫ 4 2 2 3 0 t t + 2 1 cos (3 tan 3) 3 3 12 0 0 cos t. 0 2 cos t 2 2 2 2 2 2 dx dx 1 dx c) I = = = 3 ∫ ∫ ∫ 2   2x + 3  2 3 2 2 3 0 0 2 x  +    x +  0  2 2 3   π π   Đặt: x = tan t Với t ∈ −  ;    2  2 2  6 dt ⇒ dx = 2 2 cos t 2 π
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0; Với x = ⇒ t = 2 6 π π π 6 6 6 π 1 6dt 6 dt 6 6 6 6π ⇒ I = = = dt = t = 3 ∫ ∫ ∫ 0 2 2 3 2 3 6 2 1 6 6 36 0 2 cos t( tan t + ) 0 cos t. 0 2 2 2 cos t
HT 7.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm) 0 4 1 dx dx dx a) I = I = I = 1 ∫ b) ∫ c) ∫ 2 2 3 (x + 1) + 1 2 − + 2 + + − x 4x 8 x x 1 1 2 0 Giải 0 dx a) I = 1 ∫ 2 (x + 1) + 1 −1   π π  
Đặt: x + 1 = tan t Với t ∈ −  ;      2 2 
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 11
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 dt ⇒ dx = 2 cos t π
Đổi cận: Với x = −1 ⇒ t = 0; Với x = 0 ⇒ t = 4 π π π 4 4 4 π dt dt 4 π ⇒ I = = = dt = t = 1 ∫ ∫ ∫ 0 2 2 t t + 2 1 4 cos (tan 1) 0 0 cos t. 0 2 cos t 4 4 dx dx b) I = = 2 ∫ ∫ 2 x − 4x + 8 2 (x − 2) + 4 2 2   π π  
Đặt: x − 2 = 2 tan t Với t ∈ −  ;      2 2  2dt ⇒ dx = 2 cos t π
Đổi cận: Với x = 2 ⇒ t = 0; Với x = 4 ⇒ t = 4 π π π 4 4 4 π 2dt 1 dt 1 1 4 π ⇒ I = = = dt = t = 2 ∫ ∫ ∫ 0 2 2 2 t t + 2 1 2 2 8 cos (4 tan 4) 0 0 cos t. 0 2 cos t 1 1 dx dx c) I = = 3 ∫ ∫ 2 x + x + 1 2   0 0 1   3 x  +  +    2 4 1 3   π π   Đặt: x + = tan t Với t ∈ −  ;    2 2  2 2  3 dt ⇒ dx = . 2 2 cos t π π
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = ;Với x = 1 ⇒ t = 6 3 π π 3 3 3dt 2 3 dt ⇒ I = = = 3 ∫ ∫ 2 3 2 3 3 2 1 + π 2 cos t( tan t ) π cos t. 2 4 4 6 6 cos t π 3 π 2 3 2 3 3 2 3π 2 3π 2 3π dt = t = − = ∫ 3 3 π 9 18 18 π 6 6
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 12
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 mx + n III.Dạng 3: dx ∫ 2 ax + bx + c
HT 8.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có 2 nghiệm phân biệt) 1 0 0 x − 1 2x + 10 7 − 4x a) I = dx I = dx I = dx 1 ∫ b) ∫ c) ∫ 2 2 3 x + 4x + 3 2 x − + x + 2 2 −2x − 3x + 2 0 −1 −1 Giải 1 1 x − 1 (x − 1)dx a) I = dx = 1 ∫ ∫ 2 x + 4x + 3 (x + 1)(x + 3) 0 0 x − 1 A B Ax + A + Bx + 3B (A + b)x + A + 3B Xét đồng nhất thức: = + = = (x + 3)(x + 1) x + 3 x + 1 (x + 3)(x + 1) (x + 3)(x + 1) A  + B = 1 A  = 2  
Đồng nhất thức hai vế ta được:  ⇔  A  + 3B = −1 B  = −1   1  2 1    Vậy, I =  − dx = ∫   (2ln x + 3 −ln x +1) 1 1 0 x + 3 x + 1 0 4
= (2 ln 4 − ln 2) −(2 ln 3 − ln1) = 2 ln − ln 2 3 0 0 2x + 10 2x + 10 b) dx ∫ = dx ∫ 2 x − + x + 2 (x + 2)(1 − x) −1 −1 2x + 10 A B A − Ax + Bx + 2B (B − ) A x + A + 2B Xét đồng nhất thức: = + = = (x + 2)(1 − x) x + 2 1 − x (x + 2)(1 − x) (x + 2)(1 − x) B  − A = 2 A  = 2  
Đồng nhất thức hai vế ta được:  ⇔  A  + 2B = 10 B  = 4   0  2 4    Vậy, I =  + dx = ∫   (2ln x +2 −4ln 1−x ) 0 2 1 x + 2 1− x −  −1
= (2 ln 2 − 4 ln1) −(2 ln1 − 4 ln 2) = 2 ln 2 + 4 ln 2 = ln 4 + ln16 = ln 64 0 0 7 − 4x 7 − 4x c) I = dx = dx 3 ∫ ∫ 2 −2x − 3x + 2 (x + 2)(1 − 2x) −1 −1 7 − 4x A B A − 2Ax + Bx + 2B (B − 2 ) A x + A + 2B Xét đồng nhất thức: = + = = (x + 2)(1 − 2x) x + 2 1 − 2x (x + 2)(1 − 2x) (x + 2)(1 − 2x) B  − 2A = −4 A  = 3  
Đồng nhất thức hai vế ta được:  ⇔  A  + 2B = 7 B  = 2   0  2 3    Vậy, I =  + dx = ∫   (−ln 1−2x + 3ln x +2) 0 3 −1 1− 2x x + 2 −1 3
= (−ln1 + 2 ln 2) − (−ln 3 + 3 ln 2) = ln 3 − ln 2 = ln 2
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 13
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 9.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm kép) 1 0 1 (3x + 1)dx 3x − 1 3x + 2 a) I = I = dx I = dx 1 ∫ b) ∫ c) ∫ 2 2 3 x + 2x + 1 2 4x − 4x + 1 2 4x + 12x + 9 0 −1 0 Giải 1 1 1 1   (3x + 1)dx 3x + 1 3(x + 1) − 2  3 2  = = = =   a) I dx dx  − dx 1 ∫ ∫ ∫ ∫   2 2 2 + + + + x + 2 1 x 2x 1 (x 1) (x 1)  (x + 1)  0 0 0 0  2    1 = 3 ln x + 1 +
 = (3 ln 2 + 1) −(3 ln1 + 2) = 3 ln 2 −1   0  x + 1 3 1 0 0 0 (2x − )1+ 3x − 1 3x − 1 b) I = dx 2 2 = dx = dx 2 ∫ ∫ ∫ 2 4x − 4x + 1 2 2 − − − (2x 1) (2x 1) 1 −1 −1 0   3 1 1 1  3 1 1  =     0  . + . dx =  ln 2x −1 − .  ∫     − 1  x − 2 2 2 1 2    −  4 4 2x − 1 (2x 1)  −  1 3 1 3 1      3 1 =  ln1 +  −    ln 3 +  = − ln 3 +     4 4 4 12 4 6 3 5 1 1 1 (2x + 3) − 3x + 2 3x + 2 c) I = dx 2 2 = dx = dx 3 ∫ ∫ ∫ 2 4x + 12x + 9 2 2 (2x + 3) (2x + 3) 0 0 0 1   3 1 5 1    =  3 5 1    . − . dx ∫ 1 =  + +    ln 2x 3 .    x + 2 2 2 3 2 0   +  (2x + 3)  4 4 2x 3 0 3 1 3 5      3 5 1 =  ln 5 +  −    ln 3 +  = ln −     4 4 4 12 4 3 6
HT 10.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm) 1 3 1 3x + 1 3x + 2 3x − 1 a) I = dx I = dx I = dx 1 ∫ b) ∫ c) ∫ 2 2 3 x + 1 2 x − 4x + 5 2 4x − 4x + 2 0 1 0 Giải 1 3x +1 a) I = dx 1 ∫ 2 x + 1 0 3 1 .2x + 1 1  1 1 3 2x 1  3 2x dx Chú ý: 2 (x + 1)' = 2x Nên: 2 I = dx =  . +  ∫  dx = dx + 1 ∫ ∫ ∫ 2   x + 1 2 2 2 x + 1 x + 1   2 2 2 x + 1 x + 1 0 0 0 0 1 1 2 3 2x 3 d(x + 1) 3 3 3 ln 2 Xét: 2 1 M = dx = = ln x + 1 = (ln 2 − ln1) = ∫ ∫ 0 2 2 2 2 2 2 2 x + 1 x + 1 0 0 1 dx Xét: N = ∫ 2 x + 1 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 14
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899     π π     Đặt: x = tan t t  ∈ −  ;           2 2   dt ⇒ dx = 2 cos t
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0 π Với x = 1 ⇒ t = 4 π π π 4 4 4 π dt dt 4 ⇒ π M = = = dt = t ∫ ∫ ∫ = 0 2 2 t t + 2 1 cos (tan 1) 4 0 0 cos t. 0 2 cos t 3 ln 2 π Vậy, I = M + N = + 1 2 4 3 3x + 2 b) I = dx 2 ∫ 2 x − 4x + 5 1 Chú ý: 2 (x − 4x + 5)' = 2x − 4 3 3 3 (2x − 4) + 8 3 2x 4 1  −  Khi đó: 2 I = dx =  + 8.  ∫ ∫  dx 2 2  2 2 2  x − 4x + 5 x − 4x + 5 x − 4x + 5   1 1 3 3 3 2x − 4 1 = dx + 8 dx ∫ ∫ 2 2 2 x − 4x + 5 x − 4x + 5 1 1 3 3 2 3 2x − 4 3 d(x − 4x + 5) 3 3 + Xét: M = dx = ∫ ∫ = 2 3 ln x − 4x + 5 = (ln 2 − ln 2) = 0 2 2 2 2 1 x − 4x + 5 x − 4x + 5 2 2 1 1 3 3 1 dx + Xét: N = 8 dx ∫ = 8∫ 2 x − 4x + 5 2 (x − 2) + 1 1 1     π π    
Đặt: x − 2 = tan t Với t  ∈ −  ;           2 2   dt ⇒ dx = 2 cos t π π
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = − ; Với x = 3 ⇒ t = 4 4 π π 4 4 π dt 4 ⇒ N = 8 = 8 dt = 8t = 4π ∫ ∫ 2 2 − cos t(tan t + 1) π π − π 4 − 4 4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 15
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Vậy, I = M + N = 4π 2 1 3x − 1 c) I = dx 3 ∫ 2 4x − 4x + 2 0 Chú ý: 2 (4x − 4x + 2)' = 8x − 4 3 1 1 1 (8x − 4) + 3x − 1 Ta có: 8 2 I = dx = dx 3 ∫ ∫ 2 2 4x − 4x + 2 4x − 4x + 2 0 0 1 1 3 8x − 4 1 dx = dx + ∫ ∫ 2 2 8 2 4x − 4x + 2 4x − 4x + 2 0 0 1 1 2 3 8x − 4 3 d(4x − 4x + 2) 3 3 +) Xét: 2 1 M = dx =
= ln 4x − 4x + 2 = (ln 2 − ln 2) = 0 ∫ ∫ 0 2 2 8 8 8 8 4x − 4x + 2 4x − 4x + 2 0 0 1 1 1 dx 1 dx +) Xét: N = = ∫ ∫ 2 2 2 2 4x − 4x + 2 (2x − 1) + 1 0 0     π π     Đặt: 2x − 1 = tan t Với t  ∈ −  ;           2 2   dt ⇒ dt 2dx = ⇔ dx = 2 cos t 2 2 cos t π π
Đổi cận:Với x = 0 ⇒ t = − ; Với x = 1 ⇒ t = 4 4 π π 4 4 π 1 dt 1 1 4 π ⇒ N = = dt = t = ∫ ∫ 2 2 2 2 2 π + − 4 2 cos t(tan t 1) π π 4 − − 4 4 π Vậy, I = M + N = 3 4
HT 11.Tính các tích phân sau: 0 3 2 1 x − 5x + 6x − 1 4 3 2 x + 5x − 3x + 2x − 1 a) I = dx I = dx 1 ∫ b) ∫ 2 2 x − 3x + 2 2 + + − x 2x 1 1 0 0 3 2 2 x + 3x − 6x + 1 2 x c) I = dx d) I = dx 3 ∫ ∫ 2 x + 2x + 2 2 x − 7x + 12 −1 1 Giải
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 16
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 0 0 3 2 0 0 x 5x 6x 1  2x 3  − + − − +  −2x + 3 a) I = dx = x  − 2 +  ∫ ∫  dx = (x − 2)dx + dx 1 ∫ ∫ 2  2  x − 3x + 2 x − 3x + 2   2 − + − x 3x 2 1 −1 −1 −1 0  2  x  1  = − =     5 +) Xét: 0 M (x 2)dx  − 2x = − + 2 ∫   − = − 1    2  2  2 −   1 0 0 −2x + 3 −2x + 3 +) Xét: N = dx = dx ∫ ∫ 2 (x − 1)(x − 2) x − 3x + 2 −1 −1
Dùng đồng nhất thức ta tách được: 0  1 1  − −   N =  + dx = ∫  
(−ln x −1 −ln x −2) 0 = (−ln1−ln2)−(−ln2−ln3) = ln3 − 1 x −1 x − 2 − 5 Vậy, I = M + N = ln 3 − 1 2 1 4 3 2 1 x + 5x − 3x + 2x − 1 19x + 9 b) I = dx 2 = (x + 3x 1 − 0 + )dx 2 ∫ ∫ 2 x + 2x + 1 2 x + 2x + 1 0 0 1  3 2  x 3x  1 3 49 +) Xét: 2 = + − =   1 M (x 3x 10)dx  +
−10x = ( + −10) − 0 = − ∫   0  3 2   3 2 6  0 1 1 1   19x + 9 19(x + 1) − 10  19 10  = = =   +) Xét: N dx dx  − dx ∫ ∫ ∫   2 2 + + + x + 2 1 x 2x 1 (x 1)  (x + 1)  0 0 0  10    1 = 1  9 ln x + 1 +
 = (19 ln 2 + 5) −(19 ln1 + 10) = 19 ln 2 − 5   0  x + 1 79 Vậy, I = M + N = 19 ln 2 − 2 6 0 3 2 0 x + 3x − 6x + 1  10x 1  +  c) I = dx = x  + 1 −  ∫  dx 3 ∫ 2   x + 2x + 2 2  + +  − x 2x 2 1 −1 0  2  x  1  = + =     1 +) Xét: 0 M (x 1)dx  + x = − −1 ∫   − = 1    2   2  2  −1 0 0 0 10x + 1 5(2x + 2) − 9  5(2x 2) 9  +  +) Xét: N = dx ∫ = dx ∫ =  −  ∫  dx 2   x + 2x + 2 2 + + 2 2  + + + +  − x 2x 2 x 2x 2 x 2x 2 1 −1 −1 0 0 2x + 2 2 d(x + 2x + 2) P = 5 dx ∫ 2 0 = 5 = 5 ln x + 2x + 2 = 5(ln 2 − ln1) = 5 ln 2 ∫ 2 −1 x + 2x + 2 2 + + − x 2x 2 1 −1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 17
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 0 0 dx dx Q = 9∫ = 9∫ 2 x + 2x + 2 2 + + − (x 1) 1 1 −1   π π  
Đặt: x + 1 = tan t Với t ∈ −  ;      2 2  dt ⇒ dx = 2 cos t π
Đổi cận: Với x = −1 ⇒ t = 0; Với x = 0 ⇒ t = 4 π π 4 4 π dt ⇒ 9π Q = 9∫ 4 = 9 dt = 9t = ∫ 2 2 0 cos t(tan t + 1) 4 0 0 9π ⇒ 1 9π N = P −Q = 5 ln 2 − ⇒ I = M + N = + 5 ln 2 − 4 3 2 4 2  16 9    d) I = 1  + − d  x ∫   + − − − + −  = (x 16 ln x 4 9 ln x 3 ) 2 = 1 25 ln 2 16 ln 3 . x − 4 x − 3 1 1
HT 12.Tính các tích phân sau: 2 dx 1 xdx a) I = ∫ b) I = ∫ 5 3 x + x 3 0 (x + 1) 1 Giải 2 dx a) I = ∫ 5 3 x + x 1 1 1 1 x Ta có: = − + + 3 2 x 3 2 x (x + 1) x x + 1  1 1  2 3 1 3 ⇒ 2 I = − ln x −
+ ln(x + 1) = − ln 2 + ln 5 +  2 2  1 2 2 8  2x  1 xdx b) I = ∫ 3 0 (x + 1) x x + 1 − 1 − − Ta có: 2 3 = = (x + 1) − (x + 1) 3 3 (x + 1) (x + 1) 1  2 − 3 −  1 ⇒ I = (  x + 1) −(x + 1) d ∫   x =  0 8
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 18
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 19
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 13.Tính các tích phân sau: (Đổi biến số) 1 7 2 x 2 1 + x 1. I = dx ∫ 9. I = dx ∫ 2 5 (1 + x ) 4 1 + x 0 1 1 2 2 1 − x 2. 5 3 6 I = x (1 − x ) dx ∫ 10. I = dx ∫ 4 1 + x 0 1 4 3 2 2 1 1 − x 3. I = dx ∫ 11. I = dx ∫ 4 3 x(x + 1) x + x 1 1 2 1 4 dx x + 1 4. I = ∫ 12. I = dx ∫ 10 2 6 x.(x + 1) x + 1 1 0 2 7 3 1 − x 5. I = dx ∫ 3 2 7 x x(1 + x ) 13. I = dx ∫ 1 4 x − 1 3 0 dx 1 6. I = ∫ xdx 6 2 x (1 + x ) 14. I = ∫ 1 4 2 x + x + 1 1 0 2 (x − 1) 7. I = dx ∫ 1+ 5 4 (2x + 1) 2 2 0 x + 1 15. I = dx ∫ 1 ( 4 2 7 − + x − )99 1 x x 1 1 8. I = dx ∫ (2x + )101 0 1 Bài giải 1 1 7 (x )3 2 xdx x 1. I = dx = ∫ ∫ 2 5 2 5 (1 + x ) (1 + x ) 0 0 Đặt 2 t = 1 + x ⇒ dt = 2xdx
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 1; Với x = 1 ⇒ t = 2 2 3 1 (t − 1) 1 1 ⇒ I = dt = . ∫ 5 5 2 4 t 2 1 1 1 2. 5 3 6 3 3 2 I = x (1 − x ) dx = x (1 − x )x dx ∫ ∫ 0 0 dt Đặt 3 2 2
t = 1 − x ⇒ dt = −3x dx ⇒ x dx = − 3
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 1; Với x = 1 ⇒ t = 0 1  7 8  1   6 1 t t 1 ⇒ I = t (1 − t)dt =    −  = ∫   3 3  7 8  168 0 4 4 3 3 3 1 x dx 3. I = dx = ∫ ∫ 4 4 4 x(x + 1) x (x + 1) 1 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 20
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 dt Đặt 4 3 3
t = x ⇒ dt = 4x dx ⇒ x dx = 4
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 1; Với 4 x = 3 ⇒ t = 3 3 3 1 dt 1 1 1  1  t      1 3 3 ⇒ I = =  − dt = ln  = ln ∫ ∫   +  +    1 4 t(t 1) 4 t t 1 4 t + 1 4 2 1 1 2 2 9 dx x dx 4. I = = ∫ ∫ 10 2 10 10 2 x.(x + 1) x (x + 1) 1 1 dt Đặt 10 t = x + 1 9 9 ⇒ dt = 10x dx ⇒ x dx = 10
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 2 ; Với 10 x = 2 ⇒ t = 2 + 1 10 10 2 1 + 2 1 + 1 dt 1  1 1 1    ⇒ I = =  − − dt ∫ ∫   2  − t − t 2 5 5 1  (t 1)t t  2 2   10 1 1   2 1 =  1 1 1 1 ln( + t − 1) − ln t +  10   = (10 ln 2 − ln(2 + 1) + ) − (− ln 2 + ) 2 5  t  10 5 5 2 2 + 1 2 7 2 1 − x 7 6 (1 − x ).x 5. I = dx ∫ = dx ∫ . 7 x(1 + x ) 7 7 x .(1 + x ) 1 1 dt Đặt 7 6 6
t = x ⇒ dt = 7x dx ⇒ x dx = 7
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 1; Với x = 2 ⇒ t = 128 128 128 1 1 t 1 1 2  −   1 128 ⇒ I = dt =  − dt = (ln t − 2 ln 1 + t ) ∫ ∫   1 7 t(1 + t) 7 t 1 + t  7 1 1 1 1 10 2
= (7 ln 2 − 2 ln129) − (−2 ln 2) = ln 2 − ln 129 7 7 7 7 3 3 dx dx 6. I = = ∫ ∫ 6 2 x + x 2 6 1 (1 ) 1 1 x .x ( + 1) 2 x 1 1 Đặt t = ⇒ dt = − dx x 2 x 1
: Đổi cận:Với x = 1 ⇒ t = 1; Với x = 3 ⇒ t = 3 3 3 1 6 t  1  117 − 41 3 π 4 2 ⇒ I = − dt = t  −t + 1−  ∫ ∫  dt = + 2  2  t + 1  t + 1 135 12 1 3 3 1 1 2 2 (x − 1)  x −1  dx   7. I = dx =   ∫ ∫   4  +  x +  2 2 1 (2x 1)  (2x + 1) 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 21
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 '  x −1    3 Chú ý:   =     x +  2 2 1 (2x + 1) x − 1 3dx dx dt Đặt: = t ⇒ = dt ⇒ = x + 2 2 2 1 3 (2x + 1) (2x + 1)
Đổi cận: Với: x = 0 ⇒ t = −1 ; Với x = 1 ⇒ t = 0 −1 3 1 2 t −1 1 ⇒ t = t dt = = − ∫ 0 3 9 9 0 1 99 1 99 7x 1 dx   1 7x 1    7x 1 − − −   8. I =   =   d   ∫     ∫   +     2x 1 ( x +   x +  2x + )2 9 2 1 2 1 0 1 0 100 1 1 7x − 1 1   1   100 = ⋅   =   2 −1 9 100 2x + 1 0 900 2 2 1 + x 9. I = dx ∫ 4 1 + x 1 1 1 + 2 2 1 + x Ta có: x = . 4 + x 2 1 1 x + 2 x 1  1    Đặt t = x − ⇒ dt = 1  + dx   x  2   x  3
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 0; Với x = 2 ⇒ t = 2 3 3 2 2 3 dt 1  1 1  1 t − 2 1 ⇒ I = =  − dt ∫ ∫   = . ln 2 = ln(3 − 2 2) 2   −  t 2 2 2 t − 2 t + 2  2 2 t + 2 0 2 0 0 2 2 1 − x 10. I = d x ∫ 4 1 + x 1 1 −1 2 2 1 − x Ta có: x = . 4 + x 2 1 1 x + 2 x 1  1    Đặt t = x + ⇒ dt = 1  − dx   x  2   x  5
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 2; Với x = 2 ⇒ t = 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 22
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 5 2 dt ⇒ I = −∫ . 2 t + 2 2 du 5 5 Đặt t = 2 tan u ⇒ dt = 2 ; tan u = 2 ⇒ u = arctan 2; tan u = ⇒ u = arctan 2 1 2 cos u 2 2 u2 2 2 2  5    ⇒ I = du = (u − u ) = a  rctan − arctan 2 ∫ 2 1   2 2 2  2  u1 2 2 1 − x 11. I = dx ∫ 3 x + x 1 1 2 −1 2 1  1    Ta có: x I = dx ∫ . Đặt t = x + ⇒ dt = 1  − dx   1 x  2   x  1 + x x 5
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 2; Với x = 2 ⇒ t = 2 5 2 5 dt 2 5 4 I = − = −lnt = −ln + ln 2 = ln ∫ 2 t 2 5 2 1 4 x + 1 12. I = dx ∫ 6 x + 1 0 4 4 2 2 4 2 2 2 x + 1 (x − x + 1) + x x − x + 1 x 1 x Ta có: = = + = + 6 6 2 4 2 6 2 6 x + 1 x + 1 (x + 1)(x − x + 1) x + 1 x + 1 x + 1 1 1 3 1 1 d(x ) π 1 π π ⇒ I = dx + dx = + . = ∫ ∫ 2 3 2 3 4 3 4 3 x + 1 (x ) + 1 0 0 3 3 2 x 13. I = dx ∫ 4 x − 1 0 3 3 3 3 2 x 1  1 1  1 π I = dx =  +  ∫ ∫  dx = ln(2 − 3) + 2 2  2 2 2  − +  − +  4 12 (x 1)(x 1) x 1 x 1 0 0 1 xdx 14. I = ∫ . 4 2 x + x + 1 0 dt Đặt 2 t = x ⇒ dt = 2xdx ⇒ xdx = 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 23
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; Với x = 1 ⇒ t = 1 1 1 1 dt 1 dt π ⇒ I = = = ∫ ∫ 2 2 2 2 2 t + t + 1     6 3 0 0 1    3  t  +  +           2 2  1+ 5 2 2 x + 1 15. I = dx ∫ 4 2 x − x + 1 1 1 1 + 2 2 x + 1 Ta có: x = . 4 2 x − x + 2 1 1 x + − 1 2 x 1  1    Đặt t = x − ⇒ dt = 1  + dx   x  2   x  1 dt ⇒ I = ∫ . 2 t + 1 0 π 4 du π Đặt t = tan u ⇒ dt = ⇒ I = du = ∫ 2 cos u 4 0
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 24
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
PHẦN III TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỶ
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 1.Tính các tích phân sau: 3 3 3 xdx dx a) I = I = 2 I = x + 1dx 1 ∫ b) 2 ∫ c) 3 ∫ 2 + 2 + 0 x 1 0 x 1 0 Bài giải 3 3 2 xdx 1 d(x + 1) a) 2 1 I = = = x + 1 = 2 1 ∫ ∫ 0 2 2 2 + + 0 x 1 0 x 1 3 dx b) I = 2 ∫ 2 + 0 x 1 2 x x + x + 1 dx dt Đặt: 2 x + x + 1 = t ⇒ (1 + )dx = dt ⇔ dx = dt ⇔ = 2 2 2 t x + 1 x + 1 x + 1
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1;x = 3 ⇒ t = 3 + 2 3 +2 dt 3 +2 ⇒ I = = ln t = ln( 3 + 2) 2 ∫ 1 t 1 3 c) 2 I = x + 1dx 3 ∫ 0  x   2  = + 1 du  = dx u x  Đặt:  ⇒ 2  x + 1 d  v dx   =   v   = x  3 3 2 2 2 3 x dx x + 1 −1 ⇒ I = x x + 1 − = 2 3 − dx 3 0 ∫ ∫ 2 2 + + 0 x 1 0 x 1 3 3 2 dx = 2 3 − x + 1dx + = 2 3 − I + I ∫ ∫ = 2 3 − I + ln( 3 + 2) 3 2 3 2 + 0 0 x 1 1
⇒ 2I = 2 3 + ln( 3 + 2) ⇒ I = 3 + ln( 3 + 2) 3 3 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 25
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 2.Tính các tích phân sau: 1 0 1 a) 3 2 I = x 1 − x dx ∫ b) 3 I = x. x + 1dx ∫ c) 3 2 I = (x − 1) 2x − x dx ∫ 0 −1 0 Bài giải 1 1 a) 3 2 2 2 I = x 1 − x dx = x 1 − x xdx ∫ ∫ 0 0 Đặt: 2 2 2 t = 1 − x
(t ≥ 0) ⇔ x = 1 − t ⇒ xdx = t − dt
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1;x = 1 ⇒ t = 0 0 1  3 5    2 2 4 t t ⇒ = − − = − =   1 1 1 2 I (1 t )t.tdt (t t )dt  −  = − = ∫ ∫   0  3 5  3 5 15   1 0 0 b) 3 I = x. x + 1dx ∫ −1 Đặt 3 3 2
t = x + 1 ⇒ t = x + 1 ⇒ dx = 3t dt
Đổi cận: x = −1 ⇒ t = 0;x = 0 ⇒ t = 1 1 1  7 4    3 t t 9 ⇒ = − =   I 3(t 1)dt 3 −  = − ∫    7 4  0 28 0 1 c) 3 2 I = (x − 1) 2x − x dx ∫ 0 1 1 3 2 2 2 I = (x − 1) 2x − x dx =
(x − 2x + 1) 2x − x (x − 1)dx ∫ ∫ . 0 0 Đặt 2 2 2 t = 2x − x
⇔ t = 2x − x ⇒ 2tdt = (2 − 2x)dx ⇔ (x − 1)dx = t − dt
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0;x = 1 ⇒ t = 1 1 1  5 3    2 4 2 t t ⇒ = − − + = − =   1 1 1 2 I ( t 1)t.tdt (t t )dt  −  = − = − ∫ ∫   . 0  5 3  5 3 15   0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 26
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 3.Tính các tích phân sau: 4 6 1 2x + 1 dx 1 + x a) I = dx ∫ b) I = ∫ c) I = dx ∫ 1 + 2x + 1 2x + 1 + 4x + 1 1 + x 0 2 0 3 5 3 x − 3 2 x + 1 2 2x + x − 1 d) I = dx ∫ e) I = dx ∫ f) I = dx ∫ 3 x + 1 + x + 3 x 3x + 1 x + 1 0 1 0 1 2 4 2 x dx x + 1 3 2 2x − 3x + x g) I = ∫ h) I = dx ∫ i) I = dx ∫ (x + 1) x + 1 2 x − x + 0 (1 + 1 + 2x )2 0 0 1 2 3 2 2 5 x dx 2 4 − x x j) I = ∫ k) I = dx ∫ l) I = dx ∫ 3 2 + x x 2 2 x + x + 0 4 1 2 ( 1) 5 27 8 4 x − 2 x − 1 2 x + x m) I = dx ∫ o) I = dx ∫ p) I = dx ∫ 3 2 x + x 2 x + + x x 1 1 3 1 1 Bài giải 4 2x + 1 a) I = dx ∫ 1 + 2x + 1 0 Đặt 2
t = 2x + 1 ⇒ t = 2x + 1 ⇒ 2tdt = 2dx ⇔ dx = tdt
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1;x = 4 ⇒ t = 3 3 3 2  2  t  1  t     ⇒ = =  − +  =  3 I dt t 1 dt ∫ ∫    − t + ln t + 1 . +  +    1 1 t t 1  2    1 1 9  1      =  − 3 + ln 4 − 
  −1 + ln 2 = 2 + ln 2     2  2  6 dx b) I = ∫ 2x + 1 + 4x + 1 2 tdt Đặt 2 t =
4x + 1 ⇒ t = 4x + 1 ⇒ 2tdt = 4dx ⇒ dx = 2
Đổi cận: x = 2 ⇒ t = 3; x = 6 ⇒ t = 5 5 5 5 5   1 tdt tdt tdt  1 1  ⇒ = = = =   I  − dt ∫ ∫ ∫ ∫   2 2 2 t − + + +  + 2 2  t t t t 1 1 2 1 ( 1)  (t + 1)  3 + + t 3 3 3 1 2  1    5 1 1 3 1 = ln t + 1 +
 = (ln 6 + ) − (ln 4 + ) = ln −   3  t  + 1 6 4 2 12 1 1 + x c) I = dx ∫ 1 + x 0 Đặt 2
t = 1 + x ⇒ x = (t − 1) ⇒ dx = 2(t − 1)dt
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1;x = 1 ⇒ t = 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 27
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 2 2  2  1 + (t − 1)  2 t     ⇒ = =  − +  =   2 11 I dt t 2 dt ∫ ∫    − 2t + 2 ln t  = − 4 ln 2     . 1 t t    2  3   1 1 3 x − 3 d) I = dx ∫ 3 x + 1 + x + 3 0
Đặt t = x + 1 ⇒ 2tdt = dx
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1;x = 3 ⇒ t = 2 2 2 2 3 2t − 8t 1 ⇒ I = dt = (2t − 6)dt + 6 dt ∫ ∫ ∫ 3 = 3 − + 6 ln 2 t t + t + 1 3 + 2 2 1 1 1 5 2 x + 1 e) I = dx ∫ x 3x + 1 1 2tdt Đặt t = 3x + 1 ⇒ dx = 3
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 2;x = 5 ⇒ t = 4 2  2  t  − 1     + 4 1    3  4 4 4 4   2tdt dt   ⇒ 2 2 1 1   I = . ∫ 2 = (t − 1)dt + 2 ∫ ∫ 2 = (t − 1)dt + 2  − dt ∫ ∫   2  − +  t 3 − 1 2 9 t −1 9 t 1 t 1 2 .t 2 2 2 2 3 4 4 2 1  t   −1 100 9 3 = t  −t + ln = + ln .   9 3  t  + 1 27 5 2 2 3 2 2x + x − 1 f) I = dx ∫ x + 1 0 Đặt 2
x + 1 = t ⇔ x = t − 1 ⇒ dx = 2tdt
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1;x = 3 ⇒ t = 2 2 2 2 2 2 2  5  2(t − 1) + (t − 1) − 1   ⇒ = = − =   I tdt 4 2 4t 3 54 2 2 (2t 3t )dt  − 2t  = ∫ ∫   t  5 1 5 1 1 1 2 x dx g) I = ∫ (x + 1) x + 1 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 28
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Đặt 2
t = x + 1 ⇒ t = x + 1 ⇒ 2tdt = dx
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1;x = 1 ⇒ t = 2 2 2 2 2 2 2  3  (t − 1)  1 t    1 16 − 11 2 ⇒ I = .2tdt 2 = t  −  dt =2 ∫ ∫     − 2t  −  =    3 t  3 t  t 1 3 1 1 4 x + 1 h) I = dx ∫ (1+ 1+ 2x )2 0 dx 2 t − 2t Đặt t = 1 + 1 + 2x ⇒ dt = ⇒ dx = (t − 1)dt và x = 1 + 2x 2
Đổi cận : x = 0 ⇒ t = 2; x = 4 ⇒ t = 4 4 4 4 2 3 2 1 (t 2t 2)(t 1) 1 t 3t 4t 2 1  4 2  − + − − + −   ⇒ I = dt = dt = t  − 3 + − d  t ∫ ∫ ∫   2 2  t 2 2  t 2 t 2  t  2 2 2  2  1 t  2 =  1  − 3t + 4 ln t  +    = 2 ln 2 − 2  2 t    4 2 3 2 2 2x − 3x + x 2 (x − x)(2x − 1) i) I = dx ∫ = dx ∫ 2 x − x + 2 x − x + 0 1 0 1 Đặt 2
t = x − x + 1 ⇒ 2tdt = (2x − 1)dx
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1;x = 2 ⇒ t = 3 3 2 4 ⇒ I = 2 (t − 1)dt = ∫ . 3 1 2 3 x dx j) I = ∫ 3 2 + x 0 4 3 Đặt 2 2 3 2 t =
4 + x ⇒ x = t − 4 ⇒ 2xdx = 3t dt Đổi cận: 3 x = 0 ⇒ t = 4;x = 2 ⇒ t = 2 2  5  3     4 3 t 2 ⇒ = − =   2 3 8  3  I (t 4t)dt  − 2t  = −  + 4 2 ∫   3   2 2  5  4  2 5    3 4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 29
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 2 4 − x k) I = dx ∫ x 1 2 2 4 − x Ta có: I = xdx ∫ . 2 x 1 Đặt t = 2 2 2
4 − x ⇒ t = 4 − x ⇒ tdt = x − dx Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 3;x = 2 ⇒ t = 0 0 0 0 0 2   t( tdt) t 4  t  2  − −   −  ⇒ 2 3 −  I = = dt = (1 + )dt = t  + ln  ∫ ∫ ∫   =  3 + ln    2 2 2  t  − − −  +  t t t 2 4 4 4   + 3 2 3  3 3 3 2 5 x l) I = dx ∫ 2 2 + + 2 (x 1) x 5 Đặt 2 t = x + 5 2 2 ⇒ t = x + 5 ⇒ tdt = xdx
Đổi cận: x = 2 ⇒ t = 3;x = 2 5 ⇒ t = 5 5 5 dt 1  1 1    1 15 I = =  − dt = ln ∫ ∫   . 2 4 t −  − 2 t +  t 2 4 7 4 3 3 27 x − 2 m) I = dx ∫ 3 2 x + x 1 Đặt 6 t = x 6 5 ⇒ t = x ⇒ dx = 6t dt
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1;x = 27 ⇒ t = 3 3 3 3   t − 2 2 2t 1   π   I 5 dt 5 1   ⇒ = = − + − dt ∫ ∫ 2 5 = 5 3 −1 + ln  −   2    t 2 2  t(t + 1)  t  + 1 t + 1 3 12 1 1 8 x − 1 o) I = dx ∫ 2 x + 1 3 8 8 8 2  x 1    1 d(x + 1) dx I =  − d  x = − ∫   ∫ ∫  2 2    2 2 2  x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 3 3 3   2 =  x + 1 − ln ( 2 x + x + 1) 8   
= 1 + ln ( 3 + 2) − ln ( 8 + 3) 3 4 2 x + x p) I = dx ∫ + x x 0 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 30
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 4 4 4 2 2 x + x x x dx = dx + dx ∫ ∫ ∫ + x x + x x + x x 1 1 0 1 0 1 4 2 x + I = dx 1 ∫ . + x x 0 1 4 Đặt t= 2 1 + x x ⇔ t − 1 = x x 3 2 2 ⇔ x = (t −1) 2 2 ⇔ x dx = t(t − 1)dt 3
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1;x = 4 ⇒ t = 3 3 4 4 4    80 ⇒ 2 3 3 (t − 1)dt = t  − t = ∫   1 3 9 3  9 1 4 4 x 2 d(1 + x x) 4 8 + I = dx = = 1 + x x = 2 ∫ ∫ 4 0 + x x 3 + x x 3 3 0 1 0 1 104 Vậy: I = 9
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 4.Tính các tích phân sau: 1 1 (x −x )1 3 3 1 dx 1 a) I = ∫ b) I = dx ∫ c) I = dx ∫ 2 + 4 x + + x x 2 − x + x + 1 1 1 1 1 0 3 3 2 3 x 2 x d) I = dx ∫ e) I = dx ∫ 2 2 (1 + 1 + x ) (2 + 1 + x ) 2(x + 1) + 2 x + 1 + x x + 1 0 0 2 2 2 3 3 2 2 3 x − x + 2011x 4 x x f) I = dx ∫ g) I = dx ∫ h) I = dx ∫ 4   x 1   2 2 1 3x + 9x − 1  −  3 x x + 1    1 x   3 Bài giải 1 dx a) I = ∫ 2 + x + + x −1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 + x − 1 + x 1 + x − 1 + x 2 1 1    1 + x Ta có: I = dx = dx ∫ ∫ =  + 1dx − dx ∫   ∫ 2 2 2   (1 + ) − (1 + ) x x x 2 x   2x −1 −1 −1 −1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 31
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 1 1    1 +   1 I =  + 1dx = ln x + x | = 1 1 ∫        −1 2 x   2  −1 1 2 2 1 + x 2 t dt + I = dx t =
+ x ⇒ t = + x ⇒ tdt = xdx ⇒ I = 0 2 ∫ . Đặt 2 2 2 1 1 2 2 2= ∫ 2x 2 t − − 2( 1) 1 2 Vậy: I = 1 . 2 t − Cách 2: Đặt 2 t = x + x + 1 2 2 2 2 1
⇔ t − x = x + 1 ⇒ (t − x) = x + 1 ⇔ t − 2tx = 1 ⇔ x = 2t 1 1    ⇒ dx =  + dt    2 2  2t  Đổi cận: x = 1 − ⇒ t = 1 − + 2;x = 1 ⇒ t = 1 + 2 1+ 2 1+ 2 2 (t 1)dx 1  2 1 1 +   ⇒ I = =  + − dt ∫ ∫   2 t 2 2 +  + 1  2 (1 ) t t t t  1 − + 2 −1+ 2  2  1  1     +  1+ 2 1 (t 1) 1 =  + − −  =   1+ 2 2 ln t 1 ln t   ln −       2 t  1 − + 2 2 t t   1 − + 2   1 1
= (ln(2 + 2 2) + 1 − 2) − (ln(2 + 2 2) − 1 − 2) = 1 2 2 1 (x −x )1 3 3 b) I = dx ∫ 4 x 1 3 1 1  1 3   1 Ta có: I =  −1 . dx ∫    2  3 x  x 1 3 1 2 dx dt Đặt t = −1 ⇒ dt = − dx ⇔ = − 2 3 3 x x x 2 1 Đổi cận: x = ⇒ t = 8;x = 1 ⇒ t = 0 3 0 1 8 1 4 1 1 1 3 8 ⇒ I = − t 3dt = t 3dt = t 3 . = 6 ∫ ∫ 0 2 2 2 4 8 0 1 1 1 dx c) I = dx ∫ = ∫ 2 x + x + 1 3 0 1 2 0 (x + ) + 2 4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 32
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899    2 1    x  + x + 1 + x +   2x + 1      dx dt ⇒ =  +    Đặt: 2 dt 1 dx ⇔ dt = dx        ⇒ =  2     2  t 2 x + x + 1   x + x + 1  2    x + x + 1   3 3 1 Đổi cận: x = 0 ⇒ t = ;x = 1 ⇒ t = + 3 2 t = x + + x + x + 1 2 2 2 3 + 3 2 3 dt + 3     + I = = t 2 3 3 3 2 3 ln = ln + 3 − ln = ln ∫   t 3 2  2 3 3 2 2 3 2 x d) I = dx ∫ 2 2 (1 + 1 + x ) (2 + 1 + x ) 0 Đặt 2
2 + 1 + x = t ⇒ t − 2 = 1 + x ⇒ (t − 2) = 1 + x ⇒ 2(t − 2)dt = dx
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 3;x = 3 ⇒ t = 4 4 ((t −2) − )2 2 1 .2(t − 2)dt 4 4 2 2 2 t − t − t − dt t − t − dt ⇒ ( 1) ( 3) .2( 2) 2( 3) ( 2) I = ∫ = = ∫ ∫ 2 2 (t − 1) t 2 2 2 (t − 1) t t 3 3 3 4  42 36  36     4 2 4 = 2t  −16 + − dt = t ∫    −16t + 42 ln t +  = −12 + 42 ln     3 t 2    t  t   3 3 3 2 x e) I = dx ∫ 2(x +1)+2 x +1+x x +1 0 Đặt: 2
t = x + ⇒ t = x + ⇒ tdt = dx 1 1 2
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1;x = 3 ⇒ t = 2 2 2 2 2 2t(t − 1) dt 2 ⇒ 2 2 I = = 2 (t −1) dt ∫ ∫ 2 3 = (t −1) = 2 t(t + 1) 3 1 3 1 1 2 2 3 3 x − x + 2011x f) I = dx ∫ 4 x 1 1 2 2 3 −1 2 2 2 x 2011 Ta có: I = dx + dx = M + N ∫ ∫ 3 3 x x 1 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 33
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 2 2 3 −1 2 x +) M = dx ∫ . 3 x 1 1 1 2 dx 3 Đặt 3 2 2 t = 3 −1 ⇒ t = −1 ⇒ 3t dt = − dx ⇒ = − t dt 2 2 3 3 x x x x 2 3 7
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 0;x = 2 2 ⇒ t = − 2 3 7 − 2 3 3 21 7 3 ⇒ M = − t dt = − ∫ 2 128 0 2 2 2 2 2 2 2011   − 2011 14077 +) 3 N = dx = 2011x dx = −  = ∫ ∫ 3  2  x x 16  2  1 1 1 3 14077 21 7 ⇒ I = − . 16 128 2 2 2 2 4 4 x x .xdx g) I = dx = ∫  ∫ 1  2 2   2  −  + (x − 1) x x x + 1 3 1   3  x   xdx Đặt 2 t = x + 1 ⇒ dt = 2 x + 1 Đổi cận: x = 3 ⇒ t = 2;x = 2 2 ⇒ t = 3 3 2 2 3 3 3   (t − 1) 4 2 t − t +  +  ⇒ 2 1 1 19 2 4 2 I = dt ∫ = 2 dt = t dt + dt = + ln   ∫ ∫ ∫   2   t − 2 2 2 t − t 3 4 2 − 2 4 − 2  2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 x h) 2 2 2 I = dx = x(3x − 9x − 1)dx = 3x dx − x 9x − 1dx ∫ ∫ ∫ ∫ 2 + − 1 3x 9x 1 1 1 1 3 3 3 3 2 3 2 8 1 7 + 2 3 I = x dx = x 3 3 = − = 1 ∫ 1 27 27 27 1 3 3 2 2 3 3 3 2 1 1 3 + 2 I = x 9x − 1dx 2 2 2 = x − d x − = x 2 3 9 1 (9 1) (9 −1) = 2 ∫ ∫ 1 18 27 9 1 1 3 3 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 34
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 7 − 3 3 ⇒ I = 27
HT 5.Tính các tích phân sau: 2 0 1 a) 2 2 I = x 4 − x dx ∫ b) 2 I = x − − 2xdx 2 I = 3 + 2x − x dx 2 ∫ c) ∫ 0 −1 0 1 1 2 2 1 x dx 2 x dx d) I = ∫ e) 2 I = 1 − 2x 1 − x dx ∫ f) I = ∫ 6 − x 2 + x − x 0 4 0 0 3 2 Bài giải 2 a) 2 2 I = x 4 − x dx ∫ 0   π π
Đặt: x = 2 sin t, Với t ∈ − ;  ⇒ cos t ≥ 0  2 2    ⇒ dx = 2 costdt π
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0;x = 2 ⇒ t = 2 π π 2 2 2 2 2 2 ⇒ I =
4 sin t 4 − 4 sin t .2 cost.dt = 16 sin t 1 − sin t .cost.dt ∫ ∫ 0 0 π π π π 2 2 2 2 2 2 2 = 16 sin t. cost costdt = 16 sin t. cos t.dt ∫ ∫ 2 = 4 sin 4t.dt = 2 (1 − cos 8t)dt ∫ ∫ 0 0 0 0 π sin 8t = t 2 2( − ) = 0 π 8 0 0 b) 2 2 I = x − − 2xdx = 1 − (x + 1) dx 2 ∫ ∫ −1 −1   π π
Đặt: x + 1 = sin t , Với t ∈ − ;  ⇒ cos t ≥ 0  2 2    ⇒ dx = costdt π
Đổi cận: x = −1 ⇒ t = 0;x = 0 ⇒ t = 2 π π π 2 2 2 2 2 1 ⇒ I = 1 − sin t. cost.dt = cos t.dt = (1 + cos 2t)dt ∫ ∫ ∫ 2 0 0 0 π 1  sin 2t  π   = t 2  +  =   0 2  2  4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 35
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 1 c) 2 2 I = 3 + 2x − x dx = 4 − (x − 2) dx ∫ ∫ 0 0   π π
Đặt: x − 2 = 2 sin t , Với t ∈ − ;  ⇒ cos t ≥ 0  2 2    ⇒ dx = 2 costdt π π
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = − ;x = 1 ⇒ t = − 2 6 π − π π − − 6 6 6 2 ⇒ I = 4 − 4 sin t .2 cost.dt ∫ 2 = 4 cos t.dt = 2 (1 + cos 2t)dt ∫ ∫ π − π π − − 2 2 2 π  sin 2t  − π π π   = t 6 3 3 2 +  = − − + = −     2 π  − 12 4 4 6 4 2 1 2 x dx d) I = ∫ 6 − x 0 4 Đặt 3 2 t = x ⇒ dt = 3x dx
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0;x = 1 ⇒ t = 1 1 1 dt ⇒ I = ∫ . 3 2 −t 0 4   π Đặt: t = 2 sin ,
u u ∈ 0;  ⇒ dt = 2 cos udu  2   π
Đổi cận: t = 0 ⇒ u = 0;t = 1 ⇒ u = 6 π π 6 6 π 1 2 cos u.du 1 u π ⇒ I = = du 6 = = ∫ ∫ . 0 3 2 3 3 18 − u 0 4 4 sin 0
Chú ý: Các em học sinh có thể đặt trực tiếp: 3 x = 2 sint 1 2 e) 2 I = 1 − 2x 1 − x dx ∫ 0   π π
Đặt x = sin t , Với t ∈ − ;  ⇒ cost ≥ 0; cos t > sin t  2 2    ⇒ dx = cost.dt 1 π
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0;x = ⇒ t = 2 6
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 36
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π π 6 6 6 2 2 ⇒ I =
1 − 2 sin t 1 − sin t . cost.dt = 1 − 2 sin t. cost cost.dt = (sin t − cost) cost.dt ∫ ∫ ∫ 0 0 0 π π π 6 6 6 π 2 t t = 1 1 sin 2 cos 2 (cost − sin t) costdt = (cos t − sin t. cost)dt ∫ ∫ = + t − t dt = t 2 (1 cos 2 sin 2 ) ( + + ) ∫ 0 2 2 2 2 0 0 0 π 3 1 = + − 12 8 8 1 2 x dx f) I = ∫ 2 + x − x 0 3 2 1 2 x dx Ta có: I = ∫ . 2 2 − − 0 2 (x 1)   π π
Đặt x − 1 = 2 sin t . Với t ∈ − ;  ⇒ cos t ≥ 0  2 2    ⇒ dx = 2 costdt π π
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = − ;x = 1 ⇒ t = − 2 6 π − π π − − 6 2 6 6 (1 + 2 sin t) 2 cost ⇒ I = dt ∫ = ∫ ( 2 1 + 4 sin t + 4 sin t)dt =
(1 + 4 sin t + 2 − 2 cos 8t)dt ∫ 2 − π 4 (2 sin t) − π π − − 2 2 2 π sin 8t − = π t − t 6 (3 4 cos − ) = 3 3 + − 4 4 π − 2 2 2
HT 6.Tính các tích phân sau: 2 2 ( 2 3 − 4 − x )dx a) 5 2 2 I = (x + x ) 4 − x dx ∫ b) I = ∫ 4 2x −2 1 2 1   2 − x  1− x    c) I = dx ∫ d) I =  − 2x ln ∫  (1+ x)dx  x + 2   1 + x  0 0
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Bài giải 2 a) 5 2 2 I = (x + x ) 4 − x dx ∫−2 2 2 2 5 2 2 = (x + x ) 4 − x dx ∫ = 5 2 x 4 − x dx ∫ + 2 2 x 4 − x dx ∫ = A + B. −2 −2 −2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 37
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 2 + Tính A = 5 2 4 2 x 4 − x dx = x 4 − x xdx ∫ ∫ . −2 −2 Đặt 2 t = 4 − x 2 2 ⇒ t = 4 − x ⇒ xdx = t − dt
Đổi cận: x = −2 ⇒ t = 0;x = 2 ⇒ t = 0 0 2 2 2 ⇒ I = (4 − t ) .t .dt = 0 ∫ 0 2 + Tính B = 2 2 x 4 − x dx ∫ . −2   π π
Đặt: x = 2 sin t, Với t ∈ − ;  ⇒ cos t ≥ 0  2 2    ⇒ dx = 2 costdt π π
Đổi cận: x = −2 ⇒ t = − ;x = 2 ⇒ t = 2 2 π π 2 2 2 2 2 2 ⇒ B =
4 sin t 4 − 4 sin t .2 cost.dt = 16 sin t 1 − sin t . cost.dt ∫ ∫ π π − − 2 2 π π π π 2 2 2 2 2 2 2 = 16 sin t. cost costdt = 16 sin t. cos t.dt ∫ ∫ 2 = 4 sin 4t.dt = 2 (1 − cos 8t)dt ∫ ∫ π π − − π π − − 2 2 2 2 π sin 8t = t 2 2( − ) = 2π 8 π − 2 Vậy, I = 2π 2 ( 2 3 − 4 − x )dx b) I = ∫ 4 2x 1 2 2 2 3 4 − x Ta có: I = dx − dx ∫ ∫ . 4 4 2x 2x 1 1 2 2 3 3 − 7 + Tính I = dx 4 x dx = 1 ∫ = ∫ . 4 2x 2 16 1 1 2 2 4 − x + Tính I = dx 2 ∫ . 4 2x 1
Đặt x = 2 sin t ⇒ dx = 2 cos tdt .
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 38
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π Đổi cận: x = 1 ⇒ t = ;x = 2 ⇒ t = 6 2 π π π 2 2 2 2 1 cos tdt 1   2 1   1 2 3 ⇒ I = = cot t  dt = − cot t.d(cott) = 2 ∫ ∫   ∫ 4  2 8  t 8  t  8 8 sin sin π π π 6 6 6 1 Vậy: I = (7 −2 3). 16 2 2 − x c) I = dx ∫ x + 2 0
Đặt x = 2 cos t ⇒ dx = −2 sin tdt π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = ; x = 2 ⇒ t = 0 2 π 2 t 0 2 sin 2 − 2 cost 2 ⇒ I = − 2 sin tdt = 2 sin t.dt ∫ ∫ . 2 + 2 cost 2 t π 0 cos 2 2 π π t 2 sin 2 2 t t = 4. sin . cos .dt = 2(1 − cost)dt ∫ ∫ t 2 2 0 cos 0 2 π = t − t 2 2( sin ) = π − 2 0 1    1− x    d) I =  − 2x ln ∫  (1+ x)dx   1 + x  0 1 1 − x   π π Tính H = dx ∫
. Đặt x = cos t;t ∈ 0;    ⇒ H = 2 − 1 + x 2   2 0 1 u  = ln(1 + x)  1 Tính: K = 2x ln(1 + x)dx ∫ . Đặt  ⇒ K =  dv = 2xdx  2 0 3 π Vậy: I = − 2 2
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 39
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
PHẦN IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 1.Tính các tích phân sau: π π π 2 2 a) 4 I = cos xdx ∫ b) 6 6 I = (sin x + cos x)dx I = sin 2x. sin 5x.dx 2 ∫ c) ∫ 0 0 π − 2 π π   π π   2 2 sin x  −  3 3   4 4 sin x  4  dx d) I = dx ∫ e) I = dx ∫ f) I = ∫ 1 + cos x cos x 1 + cos 2x 0 0 0 Bài giải π π π 2 π 1 cos2x  +   1 a) 4 I = cos xdx ∫ 2 2 2 = (cos x) dx =   dx = (1 + 2 cos 2x + cos 2x)dx ∫ ∫    ∫  2  4 0 0 0 0 π 1 3 cos 4x     x  =  + 1 3 sin 4   3π 2 cos 2x + dx ∫   = x  + sin 2x π +  =   4 2 2  0 4 2 8  8 0 π π 2 2 b) 6 6 I = (sin x + cos x)dx 2 2 4 2 2 4 =
(sin x + cos x)(sin x − sin x cos x + cos x)dx 2 ∫ ∫ 0 0 π π 2 2 = ∫ ( 2 2 2 2 2 3
(sin x + cos x) − 3 sin x cos x )dx 2 = (1 − sin 2x)dx ∫ 4 0 0 π 2 π 5 3 5 3  π   = + x dx = x  + x 2 5 ( cos 4 ) sin 4  = ∫   0 8 8 8 32  16 0 π π 2 2 π 1 1 sin 3x sin 7x    c) I = x x dx = x − x dx 2 sin 2 .sin 5 . (cos 3 cos 7 ) =  −  ∫ ∫ 4   = − 2 2  3 7 π  − 21 π π 2 − − 2 2 π π π 2 2 3 2 2 π 4 sin x 4(1 − cos x) sin x d) I = dx = dx ∫ ∫ 2 = − x d − x = − x 2 4(1 cos ) (1 cos ) 2(1 cos ) =2 ∫ 1 + cos x 1 + cos x 0 0 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 40
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π π   π   3 2 sin x  −    3 3  4  sin x − cos x  sinx    e) I = dx = dx =  −1dx ∫ ∫ ∫   cos x cos x cosx  0 0 0 π ( π
= −ln cos x − x) 3 =ln2 − 0 3 π π 4 4 π dx dx 1 1 f) I = = = x 4 tan = ∫ ∫ 0 + x 2 1 cos 2 x 2 2 2 cos 0 0
HT 2. Tính các tích phân sau: π π π 2 2 4 dx a) I 2 = cos x cos 2xdx ∫ b) 3 2 I = (cos x − 1)cos x.dx ∫ c) I = ∫ 6 cos x 0 0 0 π π 2 2 d) 4 4 6 6 I =
(sin x + cos x)(sin x + cos x)dx ∫ e) 4 4 I = cos 2x(sin x + cos x)dx ∫ 0 0 Bài giải π 2 a) I 2 = cos x cos 2xdx ∫ 0 π π π 2 2 2 1 1 I 2 = cos x cos 2xdx = (1 + cos 2x) cos 2xdx = (1 + 2 cos 2x + cos 4x)dx ∫ ∫ ∫ 2 4 0 0 0 π 1 1 2 π = (x + sin 2x + sin 4x) = 4 4 0 8 π π 2 2 b) 3 2 5 2 I = (cos x − 1) cos x.dx = (cos x − cos x)dx ∫ ∫ 0 0 π π 2 2 5 8 cos xdx = ( 2 1 − sin x )2 A = d(sin x) ∫ ∫ = 15 0 0 π π 2 2 1 π B = 2 cos x.dx = (1 + cos 2x).dx ∫ ∫ = 2 4 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 41
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 8 π Vậy I = – . 15 4 π π π 4 4 4 dx dx 28 c) I = = ∫ ∫ 2 4 =
(1 + 2 tan x + tan x)d(tan x) = ∫ . 6 4 2 cos x cos x. cos x 15 0 0 0 π 2 d) 4 4 6 6 I =
(sin x + cos x)(sin x + cos x)dx ∫ . 0 Ta có: 4 4 6 6 (sin x + cos x)(sin x + 33 7 3 cos x) = + cos 4x + cos 8x 64 16 64 33 ⇒ I = π . 128 π 2 e) 4 4 I = cos 2x(sin x + cos x)dx ∫ 0 π π 2 2  1     2  1 1  2  I = cos 2x 1  − sin 2xdx = 1 ∫    − sin 2xd(sin 2x) = 0  ∫     2  2  2  0 0
HT 3.Tính các tích phân sau : π π 8 6 π cot x − tan x − 2 tan 2x 1 dx a) I = dx ∫ b) I = dx ∫ c) I = ∫ sin 4x 2 sin x − 3 2 + 3 sin x − cos x π 0 π 12 3   2 π   cos x  +     2π  8  2 8 cos x − sin 2x − 3 d) I = dx ∫ e) I = dx ∫ f) I = 1 + sin xdx ∫ sin 2x + cos 2x + 2 sin x − cos x 0 Bài giải π 8 cotx − tanx −2 tan2x a) I = dx ∫ sin 4x π 12 π π π 8 8 8 π 2 cot 2x − 2 tan 2x 2 cot 4x cos 4x 1 2 3 − 3 Ta có: I = dx = dx = dx 8 2 = − = ∫ ∫ ∫ x x 2 sin 4 sin 4 2 sin 4x π x 6 sin 4 π π π 12 12 12 12 π 6 1 b) I = dx ∫ 2 sin x − 3 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 42
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π 1 6 6 1 1 Ta có: 2 I = dx = dx ∫ ∫ 2 π π 0 sin x − sin 0 sin x − sin 3 3      π π x π x π      π  + −    −   6 6 cos cos         2 6  2 6   3 = dx = dx ∫ ∫     π x π x π     0 sin x − sin 0 2 cos  + .sin    −      3 2 6  2 6 π x π    π x π      −   +  6 cos   6 sin     1 2 6  1 2 6  π π x    π x π     = dx + dx ∫ ∫
= ln sin −  6 − ln cos    +  6 = .....      2 x    0    0 π 2 x π     2 6 2 6  0 sin  −  0 cos    +      2 6  2 6  π dx c) I = ∫ 2 + 3 sin x − cos x π 3 π π 1 dx 1 dx 1 I = ∫ = I = ∫ = . 2     π   x − 4  +  2 π    +  4 3 π 1 cos x    π 2 sin    3  2 6  3 3   2 π   cos x  +     8  d) I = dx ∫ sin 2x + cos 2x + 2   π   1 + cos 2x  +  1    4  Ta có: I = dx ∫ 2 2   π   1 + sin 2x  +     4        π     cos 2  x  +   1       4  dx  = dx  +  ∫ ∫     π 2 2 2           1 + sin 2  x  π π  +             +  +      +   sin x cos 4 x            8 8         π      cos 2x  +       1   4  1 dx  =  dx  +   ∫ ∫        π 2 2 2    2 3π    1 + sin 2x  +  sin x     +        4  8   1      π  =    3π    ln 1 + sin 2x  +  − cot x     +   + C       4 8  4 2    2 8 cos x − sin 2x − 3 e) I = dx ∫ sin x − cos x 2 (sin x − cos x) + 4 cos 2x I dx ∫ ∫ (sinx cosx 4(sinx cosx  )d = = − − + x   sin x cos x  −
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 43
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 = 3 cos x − 5 sin x +C . 2π f) I = 1 + sin xdx ∫ 0 2π 2 2π  2π x x  x x   x  π   I = sin + cos  dx = sin + cos dx ∫   =  + d  x  ∫ 2 sin ∫   2 2  2 2 2 4  0 0 0 3  π   2 2π       x π x π       = 2 sin   + d  x − sin ∫    + dx =   ∫     4 2 2 4 2 4     0 3π     2 
HT 4.Tính các tích phân sau: π π 2 2 sin 2x cos 2x 1. I = dx ∫ 9. I = dx ∫ ( 3 2 + sin x )2 (cos x − sin x + 3) 0 0 π π 4 4 sin 4x sin 4x 2. I = dx ∫ 10. I = dx ∫ 6 6 + 2 4 cos x. tan x + 1 0 sin x cos x 0 π π 3 4 sin x sin 4x 3. I = dx ∫ 11. I = dx ∫ 2 2 + 1 + cos x 0 cos x 3 sin x 0 2 π π x + (x + sin x)sin x 6 4. I 3 = dx ∫ 3 tan x π 3 2 sin x + sin x 12. I = dx ∫ 3 cos 2x 0 π π 2 sin 2x 4 5. I = dx ∫ cos x − sin x 2 2 I = dx + 13. ∫ 0 cos x 4 sin x 3 − sin 2x 0 π   π   6 tan x  −  π    4  3 6. I = dx ∫ cot x cos 2x 14. I = dx ∫ 0   π    +  π sin x. sin x 2    4  6 6 7. 3 5 I = 2 1 − cos x .sin x. cos xdx ∫ π 1 3 dx π 15. I = ∫ 2 4 4 sin x.cos x tan xdx π 8. I = ∫ 4 2 + 0 cos x 1 cos x Bài giải π 2 sin 2x 1. I = dx ∫ (2 + sinx)2 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 44
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π 2 2 sin 2x sin x cos x Ta có: I = dx = 2 dx ∫ ∫ . Đặt t = 2 + sin x . 2 2 (2 + sin x) (2 + sin x) 0 0 3 3 3 t 2 1 2   2 −     ⇒ I = 2 dt = 2  − dt = 2 ∫ ∫ 3 2   lnt +  = 2 ln −     2 t 2  t  t  t    2 3 2 2 2 π 4 sin 4x 2. I = dx ∫ 6 6 + 0 sin x cos x π 1 4 4 1 sin 4x 3  2 1    4 2 2 • I = d x ∫ . Đặt t = 1 − sin 2x ⇒ I = − d   t ∫   = t = . 3 4  3  1 3 3 2 t 0 1 − sin 2x 1 4 4 π 3 sin x 3. I = dx ∫ 2 + 0 cos x 3 sin x sin x cos x Đặt 2 t = 3 + sin x = 2 4 − cos x . Ta có: 2 2 cos x = 4 −t và dt = dx . 2 3 + sin x π π 15 15 3 3 2 2 sin x sin x. cos x dt 1  1 1    I = .dx ∫ = dx ∫ = ∫ =  − d  t ∫   2 + 2 2 + 2 4 −  + −  t 4 t 2 t 2 0 cos x 3 sin x 0 cos x 3 sin x 3 3 15   1 t + 2 2 1  15 + 4 3 + 2    1 = ln = ln − ln  (ln 15 + 4 −ln 3 +2 )   = ( ) ( . 4 t − 2 4   − − 2 3 15 4 3 2  2π x +(x + sinx)sinx 4. 3 I = dx ∫ π 3 2 sin x + sin x 3 2π 2π x dx 3 3 I = dx + ∫ ∫ . π 2 π 1 + sin sin x x 3 3 2  π u = x   x d  u  = dx   π + Tính 3 I = dx dx  ⇒  ⇒ I = 1 ∫ . Đặt π 2  =  1 sin dv v = − x x cot     3 3 2  sin x 2π 2π 2π dx dx dx + Tính I = 3 3 3 = = 4 = − 2 3 2 ∫ ∫ ∫ π 1 + sin x π π     π   2 π x   3 3 1 + cos − x   3 2 cos  −       2  4 2 π Vậy: I = + 4 − 2 3 . 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 45
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 2 sin 2x 5. I = dx ∫ 2 2 + 0 cos x 4 sin x π 2 2 2 udu 2 2 sin x cos x I = 2 2 dx ∫ . Đặt 2 u = 3 sin x + 1 I 3 ⇒ = = du = ∫ ∫ 2 + u 3 3 0 3 sin x 1 1 1 π   π   6 tan x  −      6. 4 I = dx ∫ cos 2x 0 π π   π   6 tan x  −  6   2   4  tan x + 1 1 I = dx = − dx ∫ ∫ . Đặt 2 t = tan x ⇒ dt = dx = (tan x + 1)dx x 2 cos 2 (tan x + 1) 2 cos x 0 0 1 1 3 dt 1 3 1 − 3 ⇒ I = − = = ∫ . 2 t t + 1 + 0 2 ( 1) 0 2 6 7. 3 5 I = 2 1 − cos x .sin x. cos xdx ∫ 1 5 6 2t dt Đặt 3 6 3 5 2
t = 1 − cos x ⇔ t = 1 − cos x ⇒ 6t dt = 3 cos x sin xdx ⇒ dx = 2 cos x sin x 1 1  7 13  t t   12 ⇒ = − =   6 6 I 2 t (1 t )dt 2 −  = ∫    7 13  0 91 0 π 4 tan xdx 8. I = ∫ 2 + 0 cos x 1 cos x π 4 tan xdx tan x Ta có: I = ∫ . Đặt 2 2 2
t = 2 + tan x ⇒ t = 2 + tan x ⇒ tdt = dx 2 2 + 2 cos x 0 cos x tan x 2 3 3 tdt ⇒ I = = dt = 3 − 2 ∫ ∫ t 2 2 π 2 cos 2x 9. I = dx ∫ 3 (cos x − sin x + 3) 0 4 t − 3 1
Đặt t = cos x − sin x + 3 ⇒ I = dt = − ∫ . 3 t 32 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 46
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 4 sin 4x 10. I = dx ∫ 2 4 + 0 cos x. tan x 1 π 2 4 2 sin 4x Ta có: I = dx ∫ . Đặt 4 4 t = sin x + cos x ⇒ I = 2 − dt = 2 − 2 ∫ . 4 4 + 0 sin x cos x 1 π 4 sin 4x 11. I = dx ∫ 2 1 + cos x 0 π 1 4 2 2 2 sin 2x(2 cos x − 1) 2(2t − 1) 1 Ta có: I = dx ∫ . Đặt 2 t = cos x ⇒ I = − dt = 2 − 6 ln ∫ . 2 1 + cos x t + 1 3 0 1 π 6 3 tan x 12. I = dx ∫ cos 2x 0 π π 6 3 x 6 3 tan tan x Ta có: I = dx ∫ = dx ∫ . 2 2 2 2 0 cos x − sin x 0 cos x(1 − tan x) 3 3 3 t 1 1 2 Đặt t = tan x ⇒ I = dt ∫ = − − ln . 2 6 2 3 0 1 − t π 4 cosx − sinx 13. I = dx ∫ 3 − sin 2x 0 2 du
Đặt u = sin x + cos x ⇒ I = ∫ . 2 − 1 4 u π π 4 4 2 costdt π Đặt u = 2 sin t ⇒ I = = dt = ∫ ∫ . 2 12 − π 4 4 sin t π 6 6 π 3 cot x 14. I = dx ∫   π    +  π sin x. sin x    4  6 π 3 cot x 1 I = 2 dx ∫ . Đặt 1 + cot x = t ⇒ dx = d − t 2 sin x(1 + cot x) 2 sin x π 6
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 47
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 3 1 + t 1 +   −   ⇒ I = dt = ∫ (t − t) 3 1 2 2 2 ln =  −  3 1 2 ln 3 +   t    3  3 1 + 3 3 π 3 dx 15. I = ∫ 2 4 sin x.cos x π 4 π 3 dx dt Ta có: I = 4.∫ . Đặt t = tan x ⇒ dx = 2 2 sin 2x. cos x 2 1 + t π 4 3 3 2 2 3 3 (1 + t ) dt 1 2 1 t 8 3 − 4 ⇒ I = ∫
= ∫ ( + 2 + t )dt = (− + 2t + ) = 2 2 t 3 3 1 t 1 t 1
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 5.Tính các tích phân sau: sin 2xdx π 1. I = ∫ 3 + 4 sin 6 x − cos 2x 1 11. I = dx ∫ dx 2. I = ∫ sin x + 3 cos x 3 5 0 sin x. cos x π dx 2 3. I = ∫ 3 2 sin x. cos x 12. I = 1 − 3 sin 2x + 2 cos xdx ∫ π 0 2 sin2x.cosx π 4. I = dx ∫ 4 1 + cos x sin x = 0 13. I dx ∫ 2 5 sin x. cos x + 2 cos x π 0 3 π 5. 2 I = sin x tan xdx ∫ 4 2 sin xdx I = 0 14. ∫ 4 2 cos x(tan x − 2 tan x + 5) π π − 6. 2 I = sin x(2 − 1 + cos 2x )dx ∫ 4 π π 2 2 2 sin x 15. I = dx ∫ π sin 3x 3 π dx 7. I = ∫ 6 2 4 sin x.cos x π π sin x − cos x I = dx 4 16. 2 ∫ π 1 + sin 2x π 4 6 sin x π 8. I = dx ∫ 3 cos 2x dx 0 17. ∫ 4 3 5 π sin x. cos x 4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 48
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π 3 x + x + x 2 cos cos sin sin I = x dx x 18. ( ) ∫ 9. I = d x ∫ 2 1 + cos x ( 0 sin x + 3 cos x )3 0 π 2 π cos x = dx 4 19. I ∫ 2 sin x 1 − cos x 2 10. I = dx ∫ + π sin x 3 cos x 2 cos x 6 π − 3 Bài giải sin 2xdx 1. I = ∫ 3 + 4 sin x − cos 2x 2 sin x cos x 1 Ta có: I = dx ∫
. Đặt t = sin x ⇒ I = ln sin x + 1 + +C 2 2 sin x + 4 sin x + 2 sin x + 1 dx 2. I = ∫ 3 5 sin x. cos x dx dx I = = 8 ∫ ∫ 3 3 2 3 2 sin x.cos x. cos x sin 2x.cos x  3   −  1 3 1 Đặt t = tan x . 3 3 4 2 I = t  + 3t + + t
dt = tan x + tan x + 3 ln tan x − +C ∫    t  2 4 2 2 tan x 2t Chú ý: sin 2x = . 2 1 + t dx 3. I = ∫ 3 sin x. cos x dx dx dx 2t I = = 2 ∫ ∫ . Đặt t = tan x ⇒ dt = ; sin 2x = 2 2 sin x. cos x. cos x sin 2x. cos x 2 2 cos x 1 + t 2 dt t + 1 2 2 1 t tan x ⇒ I = 2 = dt ∫ ∫ = (t + )dt = + ln t +C = + ln tan x +C ∫ 2t t t 2 2 2 1 + t π 2 sin2x.cosx 4. I = dx ∫ 1 + cos x 0 π 2 2 2 sin x.cos x 2 (t − 1) Ta có: I = 2 dx ∫
. Đặt t = 1 + cos x ⇒ I = 2 dt = 2 ln 2 − 1 ∫ 1 + cos x t 0 1 π 3 5. 2 I = sin x tan xdx ∫ 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 49
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π 3 3 2 sin x (1 − cos x) sin x Ta có: 2 I = sin x. dx = dx ∫ ∫ . Đặt t = cos x cos x cos x 0 0 1 2 2 1 − u 3 ⇒ I = − du = ln 2 − ∫ u 8 1 π 6. 2 I = sin x(2 − 1 + cos 2x )dx ∫ π 2 π π Ta có: 2 2 I = 2 sin xdx − sin x 1 + cos 2xdx = H + K ∫ ∫ π π 2 2 π π π π + 2 H = 2 sin xdx = (1 − cos 2x)dx = π − = ∫ ∫ 2 2 π π 2 2 π π π 2 + 2 2 2 K = sin x 2 cos x = − 2 sin x cos xdx ∫ ∫ 2 = − 2 sin xd(sin x) = ∫ 3 π π π 2 2 2 π 2 ⇒ I = − 2 3 π 3 dx 7. I = ∫ 2 4 sin x.cos x π 4 π 3 dx dx I = 4.∫ . Đặt t = tan x ⇒ dt = . 2 2 sin 2x. cos x 2 cos x π 4 3 3 3 2 2  3  (1 + t ) dt  1      2 1 t 8 3 − 4 I = =  + 2 + t dt = − ∫ ∫    + 2t  +  =     2 2  t  t t  3 1 3 1 1 π 6 sin x 8. I = dx ∫ cos 2x 0 π π 6 6 sin x sin x I = dx = dx ∫ ∫
. Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx x 2 cos 2 2 cos x − 1 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 50
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 3 Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 6 2 3 1 2 1 1 2t − 2 1 3 − 2 2 Ta được I = − dt = ln ∫ = ln 2 2t − 1 2 2 2t + 2 3 2 2 5 − 2 6 1 2 π 2 sin x 9. I = d x ∫ (sinx + 3 cosx)3 0   π  
Ta có: sin x + 3 cos x = 2 cos x  −     6  ;        π π    3 π   1 π   sin x = sin  x  −  +     x  −  + x    −   = sin cos        6  6  2  6  2  6  π π   π    −  2 sin x dx   2 3  6  1 dx 3 I = + ∫ ∫ = 16     3 π 16   2 π   6 0 cos x  −  0 cos x    −      6   6  π 4 2 sin x 1 − cos x 10. I = dx ∫ 2 cos x π − 3 π π π 4 4 0 4 sin x 2 sin x sin x sin x I = 1 − cos x .dx = sin x dx ∫ ∫ = sin x dx + sin x dx ∫ ∫ 2 2 cos x cos x 2 2 cos x cos x π π − − π −0 − 3 3 3 π 0 4 2 2 sin x sin x π = − dx + dx ∫ ∫ 7 = − 3 − 1 . 2 2 cos x cos x 12 π 0 − 3 π 6 1 11. I = dx ∫ sin x + 3 cos x 0 π π π   π   6 6 6 sin x  +  1 1 1 1    3  I = dx ∫ = dx ∫ = dx ∫ . sin     x + 3 cos x 2 π   2 2 π   0 0 sin x  +    − x  +    0 1 cos    3  3  1     2 π π     1 1 1 Đặt t = cos x  +  ⇒ dt = −sin x    + dx I = dt =      ln 3 ∫ 3 3  ⇒ 2 2 −t 4 1 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 51
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 2 12. 2 I = 1 − 3 sin 2x + 2 cos xdx ∫ 0 π π π 2 3 2 I = sin x − 3 cos x dx ∫ = I = sin x − 3 cos x dx + sin x − 3 cos x dx ∫ ∫ = 3 − 3 0 0 π 3 π 4 sin x 13. I = dx ∫ 2 5 sin x. cos x + 2 cos x 0 π 4 tan x 1 Ta có: I = . dx ∫ . Đặt t = tan x , 2 2 5 tan x + 2(1 + tan x) cos x 0 1 1 t 1  2 1    1 2 ⇒ I = dt =  − dt = ln 3 − ln 2 ∫ ∫   2 3 t + +  + 2 2t +  t t 1 2 3 2 5 2 0 0 π 4 2 sin xdx 14. I = ∫ 4 2 cos x(tan x − 2 tan x + 5) π − 4 1 1 2 dt t dt 2 dt Đặt t = tan x ⇒ dx = ⇒ I = = 2 + ln − 3 ∫ ∫ 2 1 + 2 2 t t − t 3 2 + 5 t − 2t + 5 −1 1 − 1 0 dt t − 1 1 π 2 3π Tính I = ∫ . Đặt = tan u ⇒ I = du = ∫ . Vậy I = 2 + ln − . 1 2 1 t − 2t + 5 2 2 8 3 8 −1 π − 4 π 2 2 sin x 15. I = dx ∫ . sin 3x π 6 π π 2 2 2 sin x sin x I = dx = dx ∫ ∫ 3 2 3 sin x − 4 sin x 4 cos x − 1 π π 6 6 3 0 2 dt 1 dt 1
Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx ⇒ I = − = = ln(2 − 3) ∫ ∫ 2 t 4 − 2 1 4 4 1 0 t − 3 4 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 52
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π sin x − cos x 16. 2 I = dx ∫ π 1 + sin 2x 4   π π
Ta có: 1 + sin 2x = sin x + cos x = sin x + cos x (vì x ∈  ;   ) 4 2    π x − x 2 sin cos ⇒ I = dx ∫
. Đặt t = sin x + cos x ⇒ dt = (cos x − sin x)dx π sin x + cos x 4 2 1 2 1 ⇒ I = dt = ln t = 1 ln 2 ∫ 1 t 2 π 3 dx 17. ∫ 4 3 5 π sin x. cos x 4 π π 3 3 1 1 1 Ta có: dx ∫ = . dx ∫ . 3 4 2 3 cos π tan x x π sin x 8 4 . cos x 4 3 cos x 4 3 3 − I = t dt = 4 (8 4 3 − ) Đặt t = tan x ⇒ 1 ∫ 1 π 3 cos x + cos x + sin x 18. I = x( )dx ∫ 2 1 + cos x 0 π 2 π π  
cos x(1 + cos x) + sin x  x. sin x Ta có: I = x    dx = x. cos x.dx + dx = J + K ∫   ∫ ∫ 2  2  1 + cos x  1 + cos x 0 0 0 π u  = x d  u = dx   + Tính J = x.cos x.dx ∫ . Đặt  ⇒  ⇒ J = −2 d  v = cosxdx v  = sin x   0 π x.sin x + Tính K = dx ∫
. Đặt x = π − t ⇒ dx = d − t 2 1 + cos x 0 π π π (π − t). sin(π − t) (π − t). sin t (π − x). sin x ⇒ K = dt = dt = dx ∫ ∫ ∫ 2 2 2 1 + cos (π − t) 1 + cos t 1 + cos x 0 0 0 π π π (x + π − x). sin x sin x.dx π sin x.dx ⇒ 2K = dx = π ⇒ K = ∫ ∫ ∫ 2 2 2 + x + x 2 1 cos 1 cos 1 + cos x 0 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 53
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 π dt Đặt t = cos x ⇒ K = ∫ , đặt 2
t = tan u ⇒ dt = (1 + tan u)du 2 2 1 + t −1 π π 4 4 2 π 2 π (1 + tan u)du π π π ⇒ K = = du = u 4 . = ∫ ∫ 2 2 π + u 2 2 − 4 1 tan π π 4 − − 4 4 2 π Vậy I = − 2 4 π 2 cos x 19. I = dx ∫ 2 + π sin x 3 cos x 6 π 2 sin x cos x Ta có: I = dx ∫ . Đặt 2 t = 3 + cos x 2 2 + π sin x 3 cos x 6 15 2 dt 1 ⇒ I = = (ln( 15 + 4) − ln( 3 + 2 ) ) ∫ 2 − t 2 4 3
HT 6.Tính các tích phân sau: π π 2 2 2 1 3 sin x + 4 cos x
1. I = ∫ sin x ⋅ sin x + .dx 2. I = dx ∫ 2 2 2 3 sin x + 4 cos x π 0 6 π π   π    +  4 2 sin x   tan x  4  3. I = dx ∫ 4. I = dx ∫ 2 + 2 sin x cos x − 3 π cos x 1 cos x π 6 4 Bài giải π 2 2 1
1. I = ∫ sin x ⋅ sin x + .dx 2 π 6 π 4 3     π   3 3 π 1   2 • Đặt cos x = sin t, 0 ≤ t ≤    tdt  +    cos ∫ =    2 2  ⇒ I = 2 2 4 2 . 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 54
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 2 3 sin x + 4 cos x 2. I = dx ∫ 2 2 3 sin x + 4 cos x 0 π π π π π 2 2 2 2 2 3 sin x + 4 cos x 3 sin x 4 cos x 3 sin x 4 cos x • I = dx = dx + dx ∫ ∫ ∫ = dx + dx ∫ ∫ 2 2 2 3 + cos x 3 + cos x 3 + cos x 2 2 3 + cos x 4 − sin x 0 0 0 0 0 π 2 1 3 sin x 3dt + Tính I = dx t = x ⇒ dt = − xdx ⇒ I = 1 ∫ . Đặt cos sin ∫ 2 1 3 + cos x 2 3 + t 0 0 π 6 2 3 3(1 + tan u)du π 3 Đặt 2 t =
3 tan u ⇒ dt = 3(1 + tan u)du ⇒ I = = 1 ∫ 2 + u 6 3(1 tan ) 0 π 2 1 4 cos x 4dt + Tính I = dx t = sin x ⇒ dt = cos xdx 1 I = dt = ln 3 2 ∫ . Đặt ∫ 2 1 1 2 1 4 − sin x 2 4 − t 0 0 1 π 3 Vậy: I = + ln 3 6 π 4 tan x 3. I = dx ∫ 2 + π cos x 1 cos x 6 π π 4 4 tan x tan x • Ta có: I = dx = dx ∫ ∫ 2 2 2 1 + π π cos x tan x x 2 cos + 1 2 6 cos x 6 1 1 u u Đặt u = tan x ⇒ du = dx ⇒ I = dx ∫ . Đặt 2 t = u + 2 ⇒ dt = du . 2 cos x 2 + 2 + 1 u 2 u 2 3 3 3 7 3 − 7 ⇒ I = dt = t = 3 − = . ∫ 7 3 3 7 3 3 π   π    +  2 sin x    4  4. I = dx ∫ 2 sin x cos x − 3 π 4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 55
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 2 1 1 sin x + cos x 1 1 • Ta có: I = − dx ∫
. Đặt t = sin x − cos x ⇒ I = − dt ∫ 2 − + 2 2 t + 2 π (sinx cosx)2 2 0 4 1 arctan 2 2 1 2(1 + tan u) 1 1 Đặt t = 2 tan u ⇒ I = − du = − arctan ∫ 2 u 2 2 2 tan + 2 2 0
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 7.Tính các tích phân sau: π π π 3 2 4 x sin x 1 sinx  + x   x cos 2x 1. I = dx ∫ 2. I =  . e dx ∫   3. I = dx ∫ 2  +  cos x 1 cos x  0 (1 + sin 2x )2 π − 0 3 Bài giải π 3 x sinx 1. I = dx ∫ . 2 cos x π − 3
• Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có: π π π π 3 3  3 1  x 3 dx   4π dx I = xd   = − = −J, ∫   J =  ∫ với ∫ cos x  cos x π cos x 3 − cos x π 3 π − − π − 3 3 3 π 3 3 3 2 dx dt 1 t − 1 2 2 − 3
Để tính J ta đặt t = sin x. Khi đó J = = = − ln = −ln ∫ ∫ x 2 cos 2 t −t + 1 3 1 2 + 3 − π 3 − 2 − 3 2 4π 2 − 3 Vậy I = − ln . 3 2 + 3 π 2 1 sinx  +   2. I =  . x e dx ∫    1 + cos x  0 x x 1 + 2 sin cos 1 + sin x 1 x Ta có: 2 2 = = + tan 1 + cos x 2 x 2 x 2 2 cos 2 cos 2 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 56
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π 2 x 2 π e dx x x ⇒ I = + e tan dx ∫ ∫ = e 2 2 x 2 0 2 cos 0 2 π 4 x cos 2x 3. I = dx ∫ (1+ sin2x)2 0 u  = x d    u = dx     Đặt  cos 2x ⇒  1 dv  = dx v  = −  2   (1 + sin 2x)    1 + sin 2x π π π 4 4  1 1    1 1 π 1 1 1 ⇒ I = x. −  .    4 + dx = − + . dx  ∫ ∫  2 1 + sin 2x  2 1 + sin 2x 16 2   0 2 2 π   0 0 cos x  −     4  π   π 1 1 π π   1 2 2 π = − + . tan x  −    4 = − + . (0 + )1 = − 16 2  4  16 2 2 4 16 2 0
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 57
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
PHẦN V TÍCH PHÂN HÀM MŨ VÀ LOGARIT
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 1.Tính các tích phân sau: 2x ln 3 e 2x 1. I = dx ∫ e dx 10. I = ∫ 1 x + e x x − + − ln 2 e 1 e 2 2 (x + x) x e ln 3 2. I = d x ∫ 3x 2 2 x e −e x − x + e 11. I = dx ∫ x x e e − + dx 0 4 3 1 3. I = ∫ 16 2x e + 9 ln 3 x 2 ln(1 + x )x + 2011x 12. I = 3e − 4dx ∫ 4. I = dx ∫  2 2  x 1 8 ln ( + ex  +e)    ln 3 e x ln 3 x xe + 1 e 5. J = d x ∫ 13. I = d x ∫ x x e + x ( ln ) x 3 + 1 0 (e 1) ln 2 3x 2 ln 5 2 x e + e −1 2x e 6. I = dx ∫ 14. I = d x ∫ 3x 2x x e +e −e + 1 x 0 − ln 2 e 1 3 ln 2 ln 2 dx 7. I = ∫ x 15. I = e −1dx ∫ ( xe + )2 3 0 2 0 ln 2 2 2x − 2 x − 3 x 8. I = e −1 dx ∫ 16. I = dx ∫ 4x + 4 x − − 2 0 1 ln 15 ( 1 2 x x e − 24 x e )dx 6 dx 9. I = ∫ 17. I = ∫ x x x x x x x + + − + − 9 + 3.6 + 2.4 3 ln 2 e e 1 5e 3 e 1 15 0 Bài giải 2x e 1. I = dx ∫ 1 x + e x x x Đặt 2 t = e ⇒ e = t ⇒ e dx = 2tdt . 3 t 2 2 x x x x x ⇒ I = 2 dt = ∫ 3 2 t
−t + 2t − 2 ln t + 1 +C = e e −e + 2 e − 2 ln e + 1 +C 1 + t 3 3 2 (x + x) x e 2. I = dx ∫ x − x + e 2 ( x x x + x) x e xe .(x + 1)e x x x I = dx ∫ = dx ∫
. Đặt t = x.e + 1 ⇒ I = xe + 1 − ln xe + 1 +C . x − x x + e xe + 1 dx 3. I = ∫ 2x e + 9 2x x dt 1 t − 3 1 e + 9 − 3 Đặt 2 t = e + 9 ⇒ I = = ln +C ∫ = ln +C 2 6 t t + 3 − 9 6 2x e + 9 + 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 58
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 ln(1 + x )x + 2011x 4. I = dx ∫  2 2  x 1 ln ( + ex  +e)     2  x ln(x + 1) + 2011   Ta có: I = dx ∫ . Đặt 2 t = ln(x + 1) + 1 2  2  (x + 1) ln(x + 1) + 1   1 t + 2010 1 1 1 ⇒ I = dt ∫ = t + 1005 ln t +C = 2 2 ln(x + 1) + + 1005 ln(ln(x + 1) + 1) +C 2 t 2 2 2 e e x x e e xe + 1 d e + x ( ln ) x e + 1 5. J = d x ∫ J = = e + x ln ln = ln ∫ x x x e x ( + ln ) + x ln 1 e e 1 1 ln 2 3x 2 2 x e + e −1 6. I = dx ∫ 3x 2x x e +e −e + 1 0 ln 2 3x 2x x 3x 2 ln 2   3 x x x e + 2e −e −( x x e +e −e + 1) 3 2  3e + 2e −e  I = dx ∫   =  −1 dx  ∫   3x 2x x x x x   e + e −e + 1 3 2 e  +e −e + 1  0 0 x x x 14 = 3 e 2 ln 2 ln 2 + e e ln( – + 1) − x = ln11 – ln4 = ln 0 0 4 3 ln 2 dx 7. I = ∫ ( xe + )2 3 0 2 x 3 ln 2 x x e 3dx 1 3  3 1   I = ∫
. Đặt t = e 3 ⇒ dt = e 3dx ⇒ I = ln −    x 3 4  2 6 0 e 3 ( x e + )2 3 2 ln 2 3 x 8. I = e −1 dx ∫ 0 2 1   1 3 x 3t dt 1   dt Đặt e − 1 = t ⇒ dx = ⇒ I = 3 1  − dt ∫   = 3 − 3∫ . 3   t + 1 3  t + 1 3 t + 1 0 0 1 1 dt  1 2 t  −   π Tính I = 3  + d  t = + ln 2 1 ∫ = ∫   3  +  t + 1 t 2 1 t −t + 1 3 0 0 π Vậy: I = 3 − ln 2 − 3 ln 15 ( 2x e − 24 x e )dx 9. I = ∫ x x x x + + − + − 3 ln 2 e e 1 5e 3 e 1 15 x x x Đặt 2
t = e + 1 ⇒ t − 1 = e ⇒ e dx = 2tdt .
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 59
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 4 4 2 t − t dt   4 (2 10 ) 3 7   I = = 2  − − d
 t = (2t − 3 ln t − 2 − 7 ln t + 2 ) ∫ ∫  
= 2 − 3 ln 2 − 7 ln 6 + 7 ln 5 2  t −  − 2 t +  t 2 3 4 3 3 ln 3 2x e dx 10. I = ∫ x x − + − ln 2 e 1 e 2 x x Đặt t = e − 2 ⇒ 2 e dx = 2tdt 1 2 1 1 1 (t + 2)tdt  2t 1  +   2 d(t + t + 1) ⇒ I = 2 ∫ = 2 t  − 1 + dt ∫   = 2 (t −1)dt ∫ + 2∫ 2   t + t + 1 2  t + t + 1 2 t + t + 1 0 0 0 0 1 1 = 2 (t − 2t) + 2
2 ln(t + t + 1) = 2 ln 3 − 1 . 0 0 ln 3 3x 2 2 x e −e 11. I = dx ∫ x x − + 0 e 4e 3 1 x x x x x x x x tdt Đặt 3 2 2 3 2 3 2 t = 4e − 3e ⇒ t = 4e − 3e ⇒ 2tdt = (12e − 6e )dx 3 2 ⇒ (2e −e )dx = 3 9 9 1 tdt 1 1 1 8 − ln 5 ⇒ I = = (1 − )dt ∫ ∫ 9 = (t − ln t + 1) = . 3 t + 1 3 t + 1 1 3 3 1 1 16 ln 3 x 12. I = 3e − 4dx ∫ 8 ln 3 2 x x t + 4 2tdt Đặt: t = 3e − 4 ⇒ e = ⇒ dx = 3 2 t + 4 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2t dt dt ⇒ I = dt = 2 dt − 8 ∫ ∫ ∫ = 4 ( 3 − ) 1 − 8I , với I = ∫ 2 2 1 1 t + 4 t + 4 2 t + 4 2 2 2 2 2 3 dt   π π   Tính I = t = u u ∈ −   2 ⇒ dt = 2(1 + tan u)du 1 ∫ . Đặt: 2 tan , ;   2   t + 4  2 2  2 π 3 1 1   π π π   π ⇒ I = du =  −  = . Vậy: I = 4( 3 − 1) − 1 ∫   2 2  3 4  24 3 π 4 ln 3 x e 13. I = dx ∫ x 3 + 0 (e 1)
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 60
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 x x x tdt tdt Đặt 2 2
t = e + 1 ⇔ t = e + 1 ⇔ 2tdt = e dx ⇒ dx = ⇒ I = 2 = 2 − 1 ∫ x e 3 t 2 ln 5 2x e 14. I = dx ∫ x − ln 2 e 1 2 2  3    x x 2tdt t 20 = − ⇔ = − ⇒ = ⇒ = + =   Đặt 2 2 t e 1 t e 1 dx I 2 (t 1)d 2 + t = ∫   x   e 3 1 3 1 ln 2 x 15. I = e −1dx ∫ 0 x x x 2td 2td Đặt 2
t = e − 1 ⇒ t = e − 1 ⇒ 2tdt = e dx ⇒ dx = = x 2 e t + 1 1 1 2 2t  1  4 − π ⇒ I = dt = 2 1  − d  t ∫ ∫   = 2  2  t +  t +  2 1 1 0 0 2 2x − 2 x − 16. I = dx ∫ 4x + 4 x − − 2 1 x x − x x − x x − 1 81 Đặt t = 2 + 2 ⇒ 2 4 + 4 − 2 = (2 + 2 ) − 4 ⇒ I = ln 4 ln 2 25 1 6x dx 17. I = ∫ 9x + 3.6x + 2.4x 0 x 3   3 1   dx    x 2 2 3   1 dt − Ta có: I = ∫ . Đăt t =     . I = ∫ ln 15 ln 14 = 2x x     2 − 2 ln 3 ln 2 t + 3t + 2 ln 3 − ln 2 0 3   3     + 3 1     + 2     2 2
HT 2.Tính các tích phân sau: e  5  ln  x  ln( x − 1 + 1) 1. 2 I =  + 3x ln xdx ∫   9. I = dx   ∫ x 1 + lnx  x − 1 + x − 1 1 2 e 3 3 2 e ln x 2 + ln x 3 x 2. I = dx ∫ ln 10. I = dx ∫ x x + x 1 1 ln 1 2 e e dx − x 3. I = ∫ 3 2 ln 11. I = dx ∫ x ln x. lnex x 1 + 2 ln x e 1 ln 6 2x e e 3 2 x + x 4. I = dx ∫ ln 2 ln 12. I = dx ∫ x − e + 6 x e − 5 x ln 4 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 61
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 e 3 e log x x xe + 1 5. 2 I = dx ∫ 13. I = dx ∫ 2 + x( x e + ln x) 1 x 1 3 ln x 1 e x + (x − 2) ln x 6. I = dx ∫ x(1 + ln x) 1 3 e 2 2 2x ln x − x ln x + 3 7. I = dx ∫ x(1 − ln x) 2 e 2 e 2 2 ln x − ln x + 1 8. I = dx ∫ 2 x 1 Bài giải e  ln  x  1. 2 I =  + 3x ln xdx ∫     x 1 + lnx  1 e e ln x 3 3 2 2(2 − 2) 2e + 1 5 − 2 2 + 2e I = dx + 3 x ln xdx ∫ ∫ = + = x 1 + ln x 3 3 3 1 1 e 3 2 ln x 2 + ln x 2. I = dx ∫ x 1 3 2 ln x 1 3 = (3 4 3 4 3 − 2 ) Đặt 2 t = 2 + ln x 3 ⇒ dt = dx ⇒ I = tdt ∫ x 2 8 2 2 e dx 3. I = ∫ x x ex ln . ln e 2 2 e e 2 e dx d(ln x)  1 1    I = = ∫ ∫ =  − d  (ln x) ∫   = 2ln2 – ln3 x ln x(1 + ln x) ln x(1 + ln x) ln x 1 + lnx  e e e ln 6 x 2 e x 4. I = dx ∫
• Đặt t = e . I = 2 + 9 ln 3 − 4 ln 2 x − e + 6 x e − 5 ln 4 e 3 log x 5. 2 I = dx ∫ 2 + 1 x 1 3 ln x 3 lnx    e   3 e e   x 2 log   2 ln 2 1 ln x. ln xdx I = dx = dx = . ∫ ∫ ∫ 3 2 2 2 x + x x + x ln 2 x + 1 1 3 ln 1 1 3 ln 1 1 3 ln x 1 dx 1 Đặt 2 2 2 1 + 3 ln x = t ⇒ ln x = (t − 1) ⇒ ln x. = tdt . 3 x 3 2 1 1    4 Suy ra 3 I = t  − t =   . 3   3 3 9 ln 2 1 27 ln 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 62
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 e x + (x − 2) ln x 6. I = dx ∫ x(1 + ln x) 1 e e e x ln x ln x d − 2 dx ∫ ∫ = e − 1 − 2 dx ∫ x(1 + ln x) x(1 + ln x) 1 1 1 e 2 ln x t − 1 Tính J = dx ∫ . Đặt t = + x 1 ln ⇒ J = dt = 1 − ln 2 ∫ . x(1 + ln x) t 1 1 Vậy: I = e − 3 + 2 ln 2 . 3 e 2 2 2x ln x − x ln x + 3 7. I = dx ∫ x(1 − ln x) 2 e 3 3 e e 1 I = 3 dx − 2 ln xdx ∫ ∫ 3 2 = −3 ln 2 − 4e + 2e . x(1 − ln x) 2 2 e e 2 e 2 2 ln x − ln x + 1 8. I = dx ∫ 2 x 1 dx 2 2 t − t 2 + t 1 − t 2 2 1 1 − 1 t − 1 Đặt : t = ln x ⇒ dt = ⇒ I = dt = dt = − dt + dt = I + I ∫ ∫ ∫ ∫ x t t t t 1 2 0 e 0 e 0 e 1 e  1    tdt 1 dt 1 1 dt 1    t dt −  1 + I = − −    = − t − e + −  ∫ ∫    = 1  ∫ ∫     0 t 0 t  0 0 t 0 t e e e e e  2 tdt 2 dt 2 2 dt 2 dt 2 t − t − 1 2 + I = − = t − e + − = t − e = − 2 ∫ ∫ ∫ ∫ t t t t e 2 1 e 1 e 1 1 e 1 e 1 e 2(e − 1) Vậy : I = 2 e 5 ln( x −1 +1) 9. I = dx ∫ x − 1 + x − 1 2 ln 3 dx Đặt t = ln ( x − 1 + ) 1 ⇒ 2dt = ⇒ 2 2 I = 2 dt = ln 3 − ln 2 ∫ . x − 1 + x − 1 ln 2 3 e 3 ln x 10. I = dx ∫ x 1 + ln x 1 dx Đặt 2
t = 1 + ln x ⇒ 1 + ln x = t ⇒ = 2tdt và 3 2 3 ln x = (t − 1) x 2 2 2 2 3 6 4 2 (t − 1) t − 3t + 3t − 1 1 ⇒ I = dt = 5 3 dt = (t − 3t + 3t − )dt ∫ ∫ ∫ 15 = − ln 2 t t t 4 1 1 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 63
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 e 3 − 2 ln x 11. I = dx ∫ x 1 + 2 ln x 1 e 4 2 − 5 Đặt t = 1 + 2 ln x ⇒ 2 I = (2 − t )dt ∫ = 3 1 e 3 2 ln x 2 + ln x 12. I = dx ∫ x 1 3 3  4 3 Đặt 2 t = 2 + ln x ⇒ 4 I =  3 − 2  8 e x xe + 1 13. I = dx ∫ x( x e + ln x) 1 e x e + Đặt t = e + ln x ⇒ 1 I = ln . e
HT 3.Tính các tích phân sau: π 1 2 2  +  x 1 x   1. sin I = e .sin 2xdx ∫ 8. I = x ln  dx ∫    1 − x  0 0 1 2  1   2. 2 I = x ln(x + x + 1)dx ∫ 9. 2 I = x . ln x  + dx ∫    x   0 1 8 1 ln x 2 2 3. I = dx ∫ 10. I = x ∫ . ln(1 + x )dx x + 1 0 3 3 e 2 x x + x ln x + 1 ln x I = dx 4. I = e dx ∫ 11. ∫ 2 x (x + 1) 1 1 e x x e  2 2 ln x + e (e + ln x)  ln  x  I = dx 5. 2 I =  + ln xdx ∫ .   12. ∫    x x 1 + ln x  1 + e 1 1 2 2 1 2 x + ln(x + 1) 1 x I = x + − e dx 6. I = dx ∫ 13. ( 1 ) ∫ 3 x x 1 1 2 2 ln(x +1) 4 7. I = dx ∫ 2 2 14. I = ln( x + 9 − x)dx ∫ x 1 0 Bài giải π 2 x 1. sin I = e .sin 2xdx ∫ 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 64
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 2   =  inx u sin x du = cos xdx s   I = 2 e . sin x cos xdx ∫ . Đặt  ⇒  sin x d  v = e xd x sin cos x v  = e   0   π π 2 π x x x sin 2 sin sin 2 ⇒ I = 2 sin xe − e xdx = e − e = 0 . cos 2 2 ∫ 0 2 0 1 2. 2 I = x ln(x + x + 1)dx ∫ 0  2x + 1 d  u   = dx  2 u  = ln(x + x + 1)  2   Đặt x + x + 1  ⇒  d  v = xdx  2 x    v  =  2 1 1 2 3 2 1 1 1 x 1 2x + x 1 1 1 2x + 1 3 dx 2 I = ln(x + x + 1) − dx ∫ = ln 3 − (2x − 1)dx + dx − ∫ ∫ ∫ 2 2 0 2 x + x + 1 2 2 2 2 4 x + x 4 + 1 x + x + 1 0 0 0 0 3 3π = ln 3 − 4 12 8 ln x 3. I = dx ∫ x + 1 3 u  = lnx  dx  8 d  u   =   8 x + 1 Đặt dx  ⇒ ⇒ I = (2 x + 1.ln x ) x  − 2 dx = 6 ln 8 − 4 ln 3 − 2J ∫ d  v =   3 x v   +  = 2 x + 1 x 1  3 8 3 3 3 x + 1 2 t t  1 1    + Tính J = dx ∫ . Đặt t = x + 1 ⇒ J = .2tdt = 2 dt = 2  + − dt ∫ ∫ ∫   x 2 2  t − −  − 1 t +  t t 1 1 1  3 2 2 2  t  1  −  8 = 2  t + ln    = 2 + ln 3 − ln 2   3 t  + 1 
Từ đó I = 20 ln 2 − 6 ln 3 − 4 .
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com e 2 x + x ln x + 1 x 4. I = e dx ∫ x 1 e e e e e x e x = + ln x e x x x e I xe dx xe dx + dx ∫ ∫ ∫ . + Tính I = xe dx = xe 1 − e dx = e (e − 1) ∫ ∫ x 1 1 1 1 1 1 e e e x x e x x e e e +Tính I = e ln xdx = e ln x − dx = e − dx 2 ∫ ∫ ∫ . 1 x x 1 1 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 65
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 e x e e + Vậy: I = I + I + dx e . 1 2 ∫ = 1 x 1 e  ln  x  5. 2 I =  + ln xdx ∫     x 1 + lnx  1 e ln x 4 2 2 Tính I = dx t = + x ⇒ I = − . 1 ∫ . Đặt 1 ln 1 x 1 + ln x 3 3 1 e + Tính 2 I = ln xdx I = e − 2 . 2 ∫
. Lấy tích phân từng phần 2 lần được 2 1 2 2 2 Vậy I = e − − . 3 3 2 2 ln(x + 1) 6. I = dx ∫ 3 x 1  x  2 2  u  = ln(x + 1) du  =   2 2   2 ln(x + 1) 2 dx Đặt x + 1  dx ⇒  . Do đó I = − + ∫ d  v  =  1  2 1 2  2x x(x + 1) 3 v  = −  x   1 2  2x 2 2 2 ln 2 ln 5 1 x  2 ln 2 ln 5 dx 1 d(x + 1) = − +  − dx ∫   = − + −  ∫ ∫ x 2 2 8   x + 1 x 2 2 8 2 x + 1 1 1 1 ln 2 ln 5  1    5 2 2 = −
+ ln | x | − ln | x + 1 |   = 2 ln 2 − ln 5 2 8  2  1 8 2 ln(x +1) 7. I = dx ∫ 2 x 1     = ln( + 1) dx u x d  u 2   =   1 2 dx  x 3 Đặt + 1 dx  ⇔  ⇒ I = − ln(x + 1) + = 3 ln 2 − ln 3 ∫ d  v =  1 x 1 (x + 1)x 2    2 v  = − x 1   x  1 2 1 x  +   8. I = x ln  dx ∫   1− x  0    2  1    1 du +  = dx x  1 2  u   2  = ln   −     x 1  1 + x   2    Đặt (1 )  2 2 1 − x ⇒  I = x    − x  dx   ⇒ ln   2  ∫   −     2 x   2  d  v = xdx  x  2 1 0 1− x   v    =  0   2    
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 66
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 1 2 2 2 ln 3 x ln 3  1  ln 3 1 1 2 = + dx = + 1  +  dx = + + ln ∫ ∫ 2 8 8  (x − 1)(x  x + 1) 8 2 2 3 − 1   0 0 2  1    9. 2 I = x . ln x  + dx ∫    x    1   1     u  = ln x  +     10 1 Đặt   x  I = − +  ⇒ 3 ln 3 ln 2  2 3 6 dv  = x dx  1 2 2 10. I = x ∫ . ln(1 + x )dx 0  2 u  = ln(1 + x )  1 4 π Đặt  I = + +  ⇒ .ln 2 2 dv  = x dx  3 9 6  3 ln x 11. I = dx ∫ 2 (x + 1) 1 u  = lnx  1 3 Đặt dx  ⇒ I = − ln 3 + ln dv  =  4 2 2  (x + 1)  e 2 x x 2 ln x + e (e + ln x) 12. I = .dx ∫ 1 x +e 1 e e 2x e Ta có: 2 I = ln x.dx + dx = H + K ∫ ∫ x e + 1 1 1 e  e 2 u  = ln x  + 2 H = ln x.dx ∫ . Đặt:  ⇒ H = e − 2 ln x.dx = e − 2 ∫ d  v = dx  1  1 e e e + 2x 1 e x t − 1 e e + 1 + K = dx ∫ . Đặt t = e + 1 ⇒ ⇒ I = dt = e −e + ln ∫ x 2 e e + 1 t e + 1 1 e 1 + e e + 1 Vậy: I = e – 2 + ln e e + 1 2 1 1 x + 13. = ( + 1 − ) x I x e dx ∫ x 1 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 67
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 1 3 1 x +  1 x +   Ta có: x x I = e dx + x  − e dx = H + K ∫ ∫    x  1 1 2 2 2 1 2 1 5 x +  1  x +   3
+ Tính H theo phương pháp từng phần I x x H = xe − x  − e dx = e 2 1 = − K ∫    x  2 1 1 2 2 5 3 ⇒ I = e2 . 2 4 14. 2 I = ln( x + 9 − x)dx ∫ 0 u  = ( 2 ln x + 9 − x) x I = x ln ( 2 x + 9 − x) 4 4 Đặt  ⇒ + dx = 2 ∫ d  v  = dx  2 0 + 0 x 9
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 68
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 PHẦN VI TỔNG HỢP
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 1.Tính các tích phân sau: 1  4  2 3 + + 3     x ln(x 1) x 1. 2 x x I = x  e + dx ∫ 6. I = dx ∫    2 1 + x  x + 1 0 4 ln( 2 x + x + 9) 2   3 − 2   3x  = x 4 − x  7. I dx ∫ 2. I = x e  −  ∫  dx 2 3   x + 9 x  0 1   e 3 2 1 (x + 1)ln x + 2x + 1 x 8. I = dx ∫ I = ( 2x 2 2 e . 4 − x − x ) 3. dx. ∫ 2 + x ln x 2 − 1 0 4 x 3 e 1 3 2 ln x x + 1 9. I = dx ∫ 4. x I = e dx ∫ 2 x 1 + ln x (x + 1) 1 0 π 3 2 3 x 1 + x .e dx 4 5. I = ∫ x sin x 10. I = dx ∫ 2 + 2 0 1 x cos x 0 1  4  3   =   1. 2 x x I x  e + dx ∫     1 + x  0 1 1 4 3 2 x x I = x e dx + dx ∫ ∫ . 1 + x 0 0 1 1 3 1 1 t 1 t 1 1 + Tính 2 x I = x e dx = ⇒ I = e dt = e = e − 1 ∫ . Đặt 3 t x 1 ∫ . 3 3 0 3 3 0 0 1 4 1 x 4 t  2  π   + Tính I = dx = ⇒ I = 4 dt = 4 −  +  2 ∫ . Đặt 4 t x 2 ∫    1 +  x 2 3 4 1 + t 0 0 1 Vậy: I = e + π − 3 3 2   2    x 4 − x  2. I = x e  −  ∫  dx 3   x  1   2 2 2 x 4 − x I = xe dx ∫ + dx ∫ . 2 x 1 1 2 2 2 4 − x   π + Tính x 2 I = xe dx = e I = dx x = t , t ∈ 0;  . 1 ∫ + Tính 2 ∫ . Đặt 2 sin 2   x  2  1 1 π 2 2 π cos t π ⇒ 2 I = dt = (− cott − t) − 2 ∫ = 3 2 sin π t 3 π 6 6
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 69
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π Vậy: 2 I = e + 3 − . 3 1 x I = ( 2x 2 2 e . 4 − x − x ) 3. dx. ∫ 2 − 0 4 x 1 1 3 2x x I = x e dx − dx = I + I ∫ ∫ 1 2 2 − 0 0 4 x 1 2 x e + 1 + Tính 2 I = x e dx = 1 ∫ 4 0 1 3 x 16 + Tính I = dx t = − x ⇒ I = −3 3 + 2 ∫ . Đặt 2 4 2 2 − 3 0 4 x 2 e 61 ⇒ I = + 3 3 − 4 12 1 2 x + 1 4. x I = e dx ∫ 2 (x + 1) 0 2 2 2   t 2t 2   − + 2   t − 2 2   − 2 e − +   Đặt t = x + 1 ⇒ dx = dt 1 t 1 I = e dt = 1  + − e dt ∫ ∫   = e 1 −  + e = 1   2  2  t    t t  e 2   1 1 3 2 3 x 1 + x .e dx 5. I = ∫ 2 + 0 1 x 2 2 2 Đặt 2 t = 1 + x ⇒ dx = tdt ⇒ 2 = ( −1) t I t e dt ∫ 2 t t 2 = t e dt −e = J − (e −e) ∫ 1 1 1 2 2  2  2  2  2   + 2 t 2 t t 2 t t 2 = = − 2 = 4 − − 2 −  = 4 − − 2( t t J t e dt t e te dt e e te e dt e e te −e ) ∫ ∫ ∫  1  1  1   1 1  1  Vậy: 2 I = e 2 3 x ln(x + 1) + x 6. I = dx ∫ 2 x + 1 2 2 2 x ln(x + 1) x(x + 1) − x x ln(x + 1) x Ta có: f (x) = + = + x − 2 2 2 2 x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 1 1 ⇒ 2 2 2 F(x) = f (x)dx = ln(x + 1)d(x + 1) + xdx − d ln(x + 1) ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 1 1 1 = 2 2 2 2
ln (x + 1) + x − ln(x + 1) +C . 4 2 2 4 ln( 2 x + x + 9) 3 − 3x 7. I = dx ∫ 2 + 0 x 9
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 70
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 4 ln(x + x + 9) 4 − 3x ln (x + x + 9) 4 2 3 2 3 x I = dx = dx − 3 dx = I − 3I ∫ ∫ ∫ 1 2 2 2 2 + + + 0 x 9 0 x 9 0 x 9 4 ln( 2 x + x + 9) ( 2 1 ln x + x + 9) + Tính I = dx = u ⇒ du = dx 1 ∫ . Đặt 2 + 2 + 0 x 9 x 9 ln 9 2 2 2 u ln 9 ln 9 − ln 3 ⇒ I = udu = = 1 ∫ 2 ln 3 2 ln 3 4 3 x x + Tính I = dx x + = v ⇒ 2 2 dv = dx, x = v −9 2 ∫ . Đặt 2 9 2 + 2 + 0 x 9 x 9 5 3 u 5 44 ⇒ 2 I = (u − 9)du = ( − 9u) = 2 ∫ 3 3 3 3 4 ln( 2 x + x + 9) 3 2 2 − 3x ln 9 − ln 3 Vậy I = dx = I − 3I = − 44 ∫ . 1 2 2 2 + 0 x 9 e 3 2 (x + 1)ln x + 2x + 1 8. I = dx ∫ 2 + x ln x 1 e e e e 3 3 2 1 + ln x x e − 1 I = x dx + dx ∫ ∫ . + 2 x dx = = ∫ 2 + x ln x 3 1 3 1 1 1 e e 1 + ln x d(2 + x ln x) e e + 2 3 e − 1 e + 2 + dx = = ln 2 + x ln x ∫ ∫ = = + 1 ln . Vậy: I ln . 2 + x ln x 2 + x ln x 2 3 2 1 1 3 e 3 ln x 9. I = d x ∫ x 1 + ln x 1 dx Đặt 2
t = 1 + ln x ⇒ 1 + ln x = t ⇒ = 2tdt và 3 2 3 ln x = (t − 1) x 2 2 2 2 3 6 4 2 (t − 1) t − 3t + 3t − 1 1 ⇒ I = dt = 5 3 dt = (t − 3t + 3t − )dt ∫ ∫ ∫ 15 = − ln 2 t t t 4 1 1 1 π 4 x sinx 10. I = dx ∫ 2 cos x 0 π π  u = x π   du = dx   4 4   x 4 dx π 2 dx Đặt  sin x ⇒  1 ⇒ I = − = − ∫ ∫ d  v = dx v    =  cos x cos x 4 cos x 2  0 cos x  cos x 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 71
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π 2 4 4 2 dx cos xdx dt 1 2 + 2 + I = = t = x ⇒ I = = ln 1 ∫ ∫ . Đặt sin ∫ 2 cos x 1 1 − sin x 2 2 1 − t 2 − 2 0 0 0 π 2 1 2 + 2 Vậy: = − ln 4 2 2 − 2
HT 2.Tính các tích phân sau: 4 3 π ln(5 − x) + x . 5 − x 1. I = dx ∫ 4 2 x sin x x 7. I = dx ∫ 1 3 cos x 2 0   2. 2 I =  x(2 − x) + ln(4 + x ) ∫ π   dx  2 2 (x + sin x) 0 8. I = dx ∫ 8 ln x 1 + sin 2x 0 3. I = ∫ dx x + 1 π 3 3 x(cos x + cos x + sin x) 9. I = dx ∫ 2 2 + 2 1 cos x 1 + x 0 4. I = ln xdx ∫ 3 2π x x + (x + sin x)sin x 1 10. 3 I = dx ∫ π 2 e + 2 (1 sin x) sin x x + x ln x + 1 3 5. x I = e dx ∫ x 1 π 2 x cosx 6. I = dx ∫ 3 sin x π 4 Bài giải 4 3 ln(5 − x) + x . 5 − x 1. I = dx ∫ 2 x 1 4 4 ln(5 − x) Ta có: I = dx + x 5 − x .dx = K + H ∫ ∫ . 2 x 1 1 4 u  = ln(5 − x) ln(5 −  x)  3 + K = dx ∫ . Đặt  dx ⇒ K = ln 4 2  x dv =  5 1  2  x 4 164 + H= x 5 − x .dx ∫ . Đặt t = 5 − x ⇒ H = 15 1 3 164 Vậy: I = ln 4 + 5 15 2   2. 2 I =  x(2 − x) + ln(4 + x ) ∫   dx  0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 72
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 2 Ta có: I = x(2 − x)dx ∫ + 2 ln(4 + x )dx ∫ = I + I 1 2 0 0 2 2 π + 2 I = x(2 − x)dx = 1 − (x − 1) dx = x = + t ) 1 ∫ ∫ (sử dụng đổi biến: 1 sin 2 0 0 2 2 2 2 x + 2 2 I =
ln(4 + x )dx = x ln(4 + x ) − 2 dx 2 ∫ 0 ∫
(sử dụng tích phân từng phần) 2 4 + x 0 0
= 6 ln 2 + π − 4 (đổi biến x = 2 tan t ) 3π Vậy: I = I + I = − 4 + 6 ln 2 1 2 2 8 ln x 3. I = ∫ dx x + 1 3 u  = lnx  dx  8 d  u =   8 x + 1 Đặt  dx ⇒  x ⇒ I = 2 x + 1 ln x − 2 dx ∫ d  v =   v   3 x  +  = 2 x + 1 x 1  3 8 3 3 x + 1 2 2t dt  1    + Tính J = dx ∫ . Đặt t = x + 1 ⇒ J = = 2 1  + d  t = 2 + ln 3 − ln 2 ∫ ∫   x 2  2  t − 1  t − 1 3 2 2
⇒ I = 6 ln 8 − 4 ln 3 − 2(2 + ln 3 − ln 2)= 20 ln 2 − 6 ln 3 − 4 2 2 1 + x 4. I = ln xdx ∫ 3 x 1 2   u  = ln x  1 1     Ta có: I =  + ln xdx ∫   . Đặt   1 1 3  x   x  dv = ( + )dx  1  3 x  x 2  1  2    1 1  − −   1 63 1 ⇒ I =  + ln xln x −    + ln xdx = 2 − ln 2 + + ln 2   ∫   4 1    5  4 4 x x x  64 4 2 1 e 2 x + x ln x + 1 5. x I = e dx ∫ x 1 e e e x Ta có: x x e I = xe dx + e ln xdx + dx = H + K + J ∫ ∫ ∫ x 1 1 1 e e + x x e x e H = xe dx = xe − e dx = e (e − 1) ∫ 1 ∫ 1 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 73
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 e e e e x x e e + x K = e ln x xdx = e ln e e x − dx = e − dx = e − J ∫ ∫ ∫ 1 x x 1 1 1 + + Vậy: e 1 e e e 1 I = H + K + J = e −e +e −J + J = e . π 2 x cosx 6. I = dx ∫ 3 sin x π 4    ′ u  = x  d  u = dx  1    2 cos x   Ta có   = −    . Đặt  cos x ⇒  1 2  3    sin x  sin x dv = dx  v = −   3  sin x  2  2 sin x π π π 2 1 1 2 1 dx 1 π π 1 2 1 ⇒ I = − x. + = − ( − ) − cotx ∫ = . 2 2 sin π x π 2 2 2 2 2 2 sin x 2 4 π 4 4 π 4 x sinx 7. I = d x ∫ 3 cos x 0 π u  = x d  u = dx π π     4   x 4 1 dx π 1 4 π 1 Đặt:  sin x ⇒  1 ⇒ I = − = − tan x = − ∫ d  v = dx v  =   2 2  2 4 2 4 2 3  2 2 cos x cos x 0  0 cos x  2. cos x 0
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com π 2 2 (x + sin x) 8. I = dx ∫ 1 + sin 2x 0 π π 2 2 2 x sin x Ta có: I = dx + dx = H + K ∫ ∫ 1 + sin 2x 1 + sin 2x 0 0 π π u  = x   2 2  d  u = dx   x x  dx    + H = dx = dx ∫ ∫ . Đặt: d  v = ⇒  1   π      1 + sin 2x    =  −  2 π    2 π v tan x      −    0 0 2 cos x  −        2 cos x    2  4   4    4     π π      x π 2 2   1 π π   ⇒ H = tan x  −  +  ln cos x    −       = 2  4  2  4    4 0 0 π π 2 2 2 sin x 2 π cos x + K = dx ∫ . Đặt t = − x ⇒ K = dx ∫ 1 + sin 2x 2 1 + sin 2x 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 74
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π 2 dx 1   π 2   1 ⇒ 2K = = tan x  −  = 1 ∫ ⇒ =      K     2 π 2 4  2  −  0 0 2 cos x    4  π 1 Vậy, I = H + K = + . 4 2 π 3 x(cos x + cos x + sin x) 9. I = dx ∫ 2 1 + cos x 0 π 2 π π  
cos x(1 + cos x) + sin x  x. sin x Ta có: I = x    dx = x. cos x.dx + dx = J + K ∫   ∫ ∫ 2  2  1 + cos x  1 + cos x 0 0 0 π π u  = x  π π + Tính J = x.cos x.dx ∫ . Đặt  ⇒ J = (x. sin x) − sin x.dx = 0 + cos x = −2 ∫ d  v = cosxdx  0 0 0 0 π x.sin x + Tính K = dx ∫
. Đặt x = π − t ⇒ dx = d − t 2 1 + cos x 0 π π π (π − t). sin(π − t) (π − t). sin t (π − x). sin x ⇒ K = dt = dt = dx ∫ ∫ ∫ 2 2 2 1 + cos (π − t) 1 + cos t 1 + cos x 0 0 0 π π π (x + π − x). sin x sin x.dx π sin x.dx ⇒ 2K = dx = π ⇒ K = ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 1 + cos x 1 + cos x 1 + cos x 0 0 0 1 π dt
Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin x.dx ⇒ K = ∫ , đặt 2
t = tan u ⇒ dt = (1 + tan u)du 2 2 1 + t −1 π π 4 4 2 π 2 π (1 + tan u)du π π π 4 ⇒ K = = du = .u = ∫ ∫ 2 2 2 2 π + − 4 1 tan u π π 4 − − 4 4 2 π Vậy I = − 2 4 2π x +(x + sinx)sinx 10. 3 I = dx ∫ π 2 (1 + sin x) sin x 3 2π 2π 2 2 π x(1 + sin x) + sin x x dx Ta có: 3 3 3 I = dx = dx + = H + K ∫ ∫ ∫ π 2 π 2 π 1 + sin (1 + sin ) sin sin x x x x 3 3 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 75
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2  π u = x   x  d  u = dx   π + 3 H = dx ∫ . Đặt  dx ⇒  ⇒ H = π 2  =  sin = − x dv v cotx     3 3 2  sin x 2π 2π 2π dx dx dx + 3 3 3 K = = = = 3 − 2 ∫ ∫ ∫ π 1 + sin x π π     π   2 π x   3 3 1 + cos − x    3 2 cos  −      2  4 2 π Vậy I = + 3 − 2 3
HT 3.Tính các tích phân sau: π 2 π x + sin x 1. 3 I = dx ∫ 6 4 sin xdx 0 1 + cos 2x 6. I = ∫ x − 3 2 + 1 π − 2. I = x + 1 sin x + 1.dx ∫ 6 0 eπ π 7. I = cos(ln x)dx ∫ 2 1 + sinx 1 3. I = . x e dx ∫ 1 + cos x π 0 2 2 sin x 3 π 8. I = e . sin x.cos xdx cos ∫ x 4. 2 I = dx ∫ 0 0 x e (1 + sin 2x) π π 4 4 6 6 sin x + cos x 9. I = ln(1 + tan x)dx ∫ 5. I = dx ∫ 6x + 1 0 π − π 4 2 10. I = sin x ln(1 + sin x)dx ∫ 0 Bài giải π 2 x + sin x 1. 3 I = dx ∫ 0 1 + cos 2x π 2 π π 2 x + sin x x sin x Ta có: 3 3 3 I = dx = dx + dx = H + K ∫ ∫ ∫ 2 2 0 1 + cos 2x 0 0 2 cos x 2 cos x  π π u = x   x 1 x  d  u = dx   + 3 3 H = dx = dx ∫ ∫ . Đặt  dx ⇒  2 2 0 2 0  =  2 cos = x cos x dv v tan x    2   cos x   π π 1 π   π 1 π 1 3 ⇒ H = x tan x 3 − xdx  = + x 3 tan ln cos = − ln 2  ∫ 0 2    2 0 0 2 2 3 2 3 π 2 π π sin x 1 1 1   π   + 3 3 2 K = dx = tan xdx ∫ ∫
= [tan x − x ] 3 =  3 −    2 0 2 0   2 cos x 2 0 2  3 
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 76
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899   π 1 1 π π (   3 − ) 1 1 Vậy: I = H + K = − ln 2 +  3 −  = + ( 3 − ln 2)   2 2  3  6 2 2 3 3 2. I = x + 1 sin x + 1.dx ∫ 0 2 2 2 Đặt t = x + 1 ⇒ 2 2 I = t. sin t.2tdt = 2t sin tdt = 2x sin xdx ∫ ∫ ∫ 1 1 1  2  2 u  = 2x d  u = 4xdx   2 Đặt  ⇒  ⇒ 2 I = 2 − x cos x + 4x cos xdx ∫ d  v = sin xd  x v  = −cosx    1 1 u  = 4x d  u = 4d   x  Đặt  ⇒ 
. Từ đó suy ra kết quả. d  v = cos xdx v  = sin x   π 2 1 + sinx 3. I = . x e dx ∫ 1 + cos x 0 π π 2 2 1 x e dx sin x x I = + e dx ∫ ∫ 2 2 x 1 + cos x 0 cos 0 2 π π π x x 2 2 2 sin . cos 2 sin x x + Tính x 2 2 x I = e dx = e dx = tan x e dx 1 ∫ ∫ ∫ 1 + cos x 2 x 2 0 0 2 cos 0 2 π  x  π u = e  2   x   = π 2 1 x du e dx e dx     x + Tính I = dx  ⇒ x =  ⇒ 2 I = e − tan e dx 2 ∫ . Đặt dv ∫ 2 x   2 2 x  x v = 2 0 cos 2 tan   0 2  2 cos  2  2 π Do đó: 2 I = I + I = e . 1 2 π cos x 4. 2 I = dx ∫ 0 x e (1 + sin 2x)  cos x    ( − sin x + cos x)dx  =  π u d   u = cos x x   x   2 I = dx ∫ . Đặt e  ⇒ e  x 2 0  dx  e (sin x + cos x) sin x d  v =   v  =  2  (sin  x + cos x)    sin x + cos x π π π 2 2 cos x sin x 2 sin xdx sin xdx ⇒ I = . + = ∫ ∫ x sin x + cos x x x e 0 e e 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 77
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π u  = sinx d  u = cosxdx π  1  1   2 2   −1 2 cos xdx −1 cos xdx Đặt  dx ⇒  −1 ⇒ = + = +  I sin x. ∫ ∫ dv = v  =  x x π x 1  1  x  x e e e  0 e  e 0 0 2 e u  = cosx d  u = −sinxdx  2  2     Đặt  dx ⇒  −1  dv = v  =  1  1  x  x  e  e π π π − 2 π − −1 −1 2 sin xdx −1 2 e − 1 2 ⇒ I = + cos x. − = + 1 − I ⇒ 2I = e − + 1 ∫ ⇒ I = + π x x e π 2 2 0 e 0 2 2 e e π 4 6 6 sin x + cos x 5. I = dx ∫ 6x + 1 π − 4 π π 4 4 6 6 6 6 t sin t + cos t x sin x + cos x Đặt t = x − ⇒ dt = d − x ⇒ I = 6 dt = 6 dx ∫ ∫ 6t + 1 6x + 1 π π − − 4 4 π π π 4 4 6 6 4   x sin x + cos x 5 3   π ⇒ 6 6 2I = (6 + 1) dx = (sin x + cos x)dx ∫ ∫ =  + cos 4x d  ∫ 5   x =   6x + 1 8 8  16 π π − − π − 4 4 4 5π ⇒ I = . 32 π 6 4 sin xdx 6. I = ∫ 2 x − +1 π − 6 π π 6 0 6 x 4 x 4 x 4 2 sin xdx 2 sin xdx 2 sin xdx Ta có: I = = + = I + I ∫ ∫ ∫ 1 2 2x + 1 2x + 1 2x + 1 π π 0 − − 6 6 0 0 0 0 x 4 2 sin − xdx t 4 4 4 2 sin ( t − ) sin t sin x + Tính I = = − ⇒ I = − dt = dt = dx 1 ∫ . Đặt x t 1 ∫ ∫ ∫ 2x + 1 2 t − +1 2t + 1 2x + 1 π − π π π 6 6 6 6 π π π π 6 6 6 6 4 x 4 sin xdx 2 sin xdx 1 4 2 ⇒ I = + = sin xdx = (1 − cos 2x) dx ∫ ∫ ∫ ∫ x x 4 2 + 1 2 + 1 0 0 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 78
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 6 1 π − = (3 − 4 cos 2x + cos 4x)dx ∫ 4 7 3 = 8 64 0 eπ 7. I = cos(ln x)dx ∫ 1 Đặt = ln t t t x ⇒ x = e ⇒ dx = e dt π 1 ⇒ t I = e costdt ∫ = (eπ −
+ 1) (dùng pp tích phân từng phần). 2 0 π 2 2 8. sin x 3 I = e . sin x.cos xdx ∫ 0 1 1 t 1 Đặt 2 t = sin x ⇒ I = e (1 − t)dt = e ∫
(dùng tích phân từng phần) 2 2 0 π 4 9. I = ln(1 + tan x)dx ∫ 0 π π π 4     4   4 π π     1 − tan t   2 Đặt t = − x ⇒ I = ln 1  + tan −t d   ∫    t  = ln 1  + d  t = ln dt    ∫   ∫ 4 4    1 + tan t  1 + tan t 0 0 0 π π 4 4 π = ln 2dt − ln(1 + tan t)dt ∫ ∫ = 4 t. ln 2 − 0 I 0 0 π π ⇒ 2I = ln 2 ⇒ I = ln 2 . 4 8 π 2 10. I = sin x ln(1 + sin x)dx ∫ 0  1 + cos x u  = ln(1 + sinx) d    u = dx  Đặt  ⇒  1 + sin x d  v = sin xdx   v  = −cos x  π π π π 2 2 2 2 cos x 1 − sin x π
⇒ I = − cos x. ln(1 + sin x) 2 + cos x. dx = 0 + dx = (1 − sin x)dx = −1 ∫ ∫ ∫ 1 + sin x 1 + sin x 2 0 0 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 79
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 4 tanx.ln(cosx) 11. I = dx ∫ cos x 0 1 2 1 ln t ln t
Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx ⇒ I = − dt = dt ∫ ∫ . 2 2 t t 1 1 2  u  = lnt  1   d  u = dt   2 Đặt  1 ⇒ t  ⇒ I = 2 − 1 − ln 2 d  v = dt   1   2 2  v  = − t  t
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 80
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
PHẦN VII TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 1.Tính các tích phân sau: e  e  ln  x  2 x ln x + ln(x.e ) 1. 2 I =  + ln xdx ∫   dx   10. ∫ x 1 + lnx  x ln x + 1 1 1 e 2 e 3 2 ln(1 + ln x) (x + )1lnx +2x +1 2. dx ∫ 11. I = dx x ∫ 2 + x ln x 1 1 e ln x − 2 π 3. dx ∫ 12. 2 A = sin x cos x ln ∫ ( 2 1 + sin x )dx x ln x + x 0 1 e e  x − ln  x  ln 2 dx 4. 2 I =  + 3x ln xdx ∫ 13.   ∫    x x + x  ln x 1 + ln x  1 1 e e 2 ( x − x − 2)ln x + x 3 1 I = x dx 5. dx ∫ 14. ln ∫ 2 x(1 + ln x) x + 1 1 2  e 1  2 2 x x + x x + x + π   ln ln 1 x e  x      15. dx ∫ 6.  + x  + 2 tan x dx  ∫   2  x + x ln x 2   x cos2x  1 3   π   1 4 16. I = x ln ( 2 x + x + ∫ )1dx 3 e 2x ln x (ln x − ) 1 + 3 0 7. I = ∫ ( dx x 1 − ln x ) 2 1 x + 2 1 e 17. ( + 1 − ) x x e dx ∫ 2 x 2 3 x 1 + x .3 + ln(x + 1) 1 8. I = dx ∫ 2 2 x 1 e ln x 9. dx ∫ x 1 + ln x 1 Bài giải e  ln  x  1. 2 I =  + ln xdx ∫     x 1 + lnx  1 e ln x 4 2 2 I + 1 = dx ∫ , Đặt t = 1
ln x ,… Tính được I1 = − x 1 + ln x 3 3 1 e 2 2 2 I = ∫ ( 2
ln x dx , lấy tích phân từng phần 2 lần được I e − − 2 )
2 = e – 2 Vậy: I = I1 + I2 = 3 3 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 81
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 e 2 ln(1 + ln x) 2. dx ∫ x 1 1 2t Đặt lnx = t , ta có I = 2 ln(1 + t )dt ∫
. Đặt u = ln( 1+t2) , dv = dt ta có : du = dt ,v = t . 2 1 + t 0 1  1 1  2 1   t dt  
Từ đó có : I = t ln( 1+ t2) − 2 dt = ln 2 − 2 dt   −  ∫ ∫ ∫ (*). 0  2  2 1 + t  1 + t     0 0 0  1 dt π π
Tiếp tục đặt t = tanu , ta tính được = ∫
.Thay vào (*) ta có : I = ln2 – 2 + . 2 + t 4 1 2 0 e e ln x − 2 ln x − 2 3. dx ∫ = dx ∫ x ln x + x (ln x + 1)x 1 1 1
Đặt t = lnx + 1 ⇒ dt = dx ; x
Đổi cận: x = 1 thì t = 1; x = e thì t = 2 2 2 t − 3  3   2 Suy ra: I = dt = 1  − d  t ∫ ∫ 
 = (t − ln | t )| = 1 – ln2 t  t   1 1 1 e  ln  x  4. 2 I =  + 3x ln xdx ∫     x 1 + lnx  1 e e ln x 2 I = dx + 3 x ln xdx ∫ ∫ =I1+3I2 x 1 + ln x 1 1 e ln x +) Tính I = dx 1 ∫ . x 1 + ln x 1 Đặt 2 1
t = 1 + ln x ⇒ t = 1 + ln x; 2tdt = dx x
Khi x = 1 ⇒ t = 1;x = e ⇒ t = 2 2 ( 2 t − ) 2 1 2   −   ⇒ = tdt ∫ = ∫ ( 2 t I .2 2 t − ) 3 2(2 2) 1 dt = 2  1  −t =   t  3   3 1 1 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 82
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  dx e   = ln du u x  =   x   +)Tính 2 I = x ln xdx  ⇒ 2 ∫ . Đặt  2 3 d  v = x dx  x   1  v  =  3 e 3 3 3 3 3 3 x e 1 2 e 1 x e e e 1 2e + 1 ⇒ I = . ln x − x dx = − . = − + = 2 1 ∫ 1 3 3 3 3 3 3 9 9 9 1 3 5 − 2 2 + 2e I = I + 3I = 1 2 3 e (x − 2)ln x + x 5. dx ∫ x(1 + ln x) 1 e e e e x(1 + ln x) − 2 ln x ln x I = dx = dx ∫ ∫ -2 dx ∫ Ta có : dx = e − 1 ∫ x(1 + ln x) x(1 + ln x) 1 1 1 1 e ln x Tính J = dx ∫ x(1 + ln x) 1 2 2 t − 1 1
Đặt t = 1 + lnx, Ta có: J = dt ∫ = (1 − )dt ∫ = (t - ln t ) = 1 - ln2 t t 1 1
Vậy I = e - 1 - 2(1- ln2) = e - 3 + 2ln2  1  π   x e  x      6.  + x  + 2 tan x dx  ∫    2   x cos2x  3   π   4  1  π π   1 π π x   2 e x    1 x Ta có: I =  + x  + 2 tan x x  dx  = e ∫   . dx + dx + 2x tan xdx  ∫ ∫ ∫ (1) 2   x cos2  2 x  x cos2x 3   π 3π 3π 3π   4 4 4 4 π π 1 π 1 1 1 4 1 1   +) x x x e dx = − e d   = e − = e π − +e 3 . π ∫ ∫   2 x  x   3 3 3 π π π 4 4 4  2 π 2 u  = x π  x d   u = 2xdx π   +) J = dx ∫ : Đặt  ⇒  ⇒ J = x − x xdx  ∫ v dv  = dx  = t ( 2 tanx anx ) 2 tan 1 3π cos2x    3π  c  os2 4 3 x π 4 4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 83
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 π 1 4 9 2 π 9π J = − 2x tan xdx ∫ Thay vào (1) ta có I = e π − +e3π + 16 16 3π 4 3 e e e 3  3  e e 2x ln x (ln x − ) 3 3 1 + 3   1 3 1  e    7. I = ∫ = −  −  ( = − ∫ ∫ 3 d(ln x) 2 x ln x dx  ∫ ∫ − 2  x ) dx 3 x ( − x)dx 2 ln xdx x 1 ln 1 ln (1−lnx) e      2 2 2 e e e 2 2 e  e  = − (     − x ) 3e 3 3 e e 3 2 3 ln 1 ln − 2 x  ln x − x    = −3 ln 2 − 4e + 2e . 2 2 2 e e e     e 2 I x + x ln x + 1 x = e dx ∫ x 1 e e e e 2 x + x ln x + 1 x x x x e I= e dx = xe dx + ln xe dx + dx ∫ ∫ ∫ ∫ x x 1 1 1 1 e e x x e x e Đặt I1= xe dx = xe − e dx = e e − 1 ∫ 1 ( ) ∫ 1 1 e e e x x e x x e e e Đặt I2= e ln xdx = e ln x − dx = e − dx ∫ ∫ ∫ 1 x x 1 1 1 e e e x x x e e + e e e e e + Vậy I=I1+I2+ dx ∫ = 1 1 e −e +e − dx + dx = e ∫ ∫ x x x 1 1 1 2 2 3 x 1 + x .3 + ln(x + 1) 8. I = dx ∫ 2 x 1 2 2 2 + ln( + 1) Ta có 1 = .3x x I x dx + dx = J + K ∫ ∫ 2 x 1 1 2 2 2 2 x 1 + 2 2 x + 1 x + 3 117 Tính: 1 1 2 J = x.3 dx = 3 d(x + 1) = = . ∫ ∫ 2 2 ln 3 ln 3 1 1 1    2 u  = x 1 ln( + 1) u    = ln( ' x + 1)   Tính: K = dx ∫ . Đặt x + 1  1 ⇒  . 2  =  x v ' 1   1  2 v  = − x   x  2 2 2 2 ln(x + 1) dx ln 3 1 1    2 ln 2 − ln 3 x Suy ra K = − + = − + ln 2 +  − dx = + ln ∫ ∫   x x(x + 1) 2 x x  + 1 2 x + 1 1 1 1 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 84
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 ln 2 − ln 3 2 1 3 =
+ ln − ln = 3 ln 2 − ln 3. 2 3 2 2 117 3 Vậy I = + 3 ln 2 − ln 3 . ln 3 2 e ln x 9. dx ∫ x 1 + ln x 1 1
Đặt t = 1 + ln x có 2tdt = dx x = 1 thì t = 1; x = e thì t = 2 x e 2 2 2 ln x t −1 3 t 2(2 − 2) dx = 2tdt = ∫ ∫ 2( −t) = 1 + ln t x x 3 3 1 1 1 e 2 x ln x + ln(x.e ) dx ∫ x ln x + 1 1 e 2 x ln x + ln(x.e ) 10.I= dx ∫ . x ln x + 1 1 e e e e x ln x + 1 + ln x + 1 ln x + 1 e d(x ln x + 1) I = dx = dx + dx = x + ∫ ∫ ∫ 1 ∫ x ln x + 1 x ln x + 1 x ln x + 1 1 1 1 1 = −1 + ln ln + 1 e e x x = e −1 + ln(e + 1) 1 e ( 3 x + ) 2 1 ln x + 2x + 1 11. I = dx ∫ 2 + x ln x 1 e ( 3 + ) 2 1 ln + 2 + 1 e e x x x 2 1 + ln x I = dx = x dx + dx ∫ ∫ ∫ 2 + x ln x 2 + x ln x 1 1 1 e e  3  3 x   e −1 Ta có: 2 x dx =     = ∫    3  3   1 1 e e d + (2 + x ln 1 ln x x ) e + dx = = ∫ ∫ ( e ln 2 + x ln x ) = (e + ) 2 ln 2 − ln 2 = ln 2 + x ln x 2 + x ln x 1 2 1 1 3 e − 1 e + 2 Vậy I = + ln . 3 2 π 12. 2 A = sin x cos x ln ∫ ( 2 1 + sin x )dx 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 85
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 1 2 A = sin 2x ln ∫ ( 2 1 + sin x )dx 2 0 sin 2x Đặt u = ( 2
ln 1 + sin x ) và dv = sin2xdx . Suy ra: du = dx và 2 v = 1 + sin x 2 1 + sin x   π     π   π π 1   1   ln 4 − 1 A = (1+sin x  )ln(1+sin x) 2 2 2 2 − sin 2xdx ∫  = ( 2  1 + sin x)ln( 2 1 + sin x ) 2 −  ( 2 sin x ) 2  = 2   0  2 2  0 0   0        e ln x − 2 13. dx ∫ x ln x + x 1 e e ln x − 2 ln x − 2 Ta có: I = dx ∫ = dx ∫ x ln x + x (ln x + 1)x 1 1 1
Đặt t = lnx + 1 ⇒ dt = dx ; Đổi cận: x = 1 thì t = 1; x = e thì t = 2 x 2 2 t − 3  3   2 Suy ra: I = dt = 1  − d  t ∫ ∫ 
 = (t − ln | t )| = 1 – ln2 t  t   1 1 1 e 2 x −1 14. 3 I = x ln dx ∫ 2 x + 1 2   2  4x x  −1 d  u  = dx u  = ln   4  Đặt 2  x − 1 x + 1  ta có    4 3 x  − 1 d  v = x dx    =  v  4 e 4 2 4 2 2 4 2 2 x −1 x −1 e e −1 e −1 x e e − 1 e −1 3 e I = ln | − xdx = ln − | = ln + ln 3 − + 1 ∫ 2 4 2 2 x 4 + e 2 2 2 4 + e 4 2 1 1 + 1 2 e 2 2 x ln x + x ln x + x + 1 15. dx ∫ 2 x + x ln x 1 1 e e 1 e + e d x + x x I = ln xdx + dx = x ∫ ∫ (lnx − ) ( ln ) 1 + ∫ x + ln x 1 x + ln x 1 1 1 .   ( e x ln x )1 ln(x lnx) ln e     (e )1 = − + + = + . 1  
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 86
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 16. I = x ln ( 2 x + x + ∫ )1dx 0  2x + 1  d  u  = dx u  = ( 2 ln x + x +  )1  2  Đặt  ⇒ x + x + 1  d  v  = xdx  2  x v  =  2 x + I = (x +x + ) 1 2 3 2 2 1 1 2x x 3 3 ln 1 | − dx = ln 3 − J 0 ∫ với 2 2 2 x + x 4 4 + 1 0 π 1 3 dx 1 3   π π   2 3 π 3 J = ∫ . Đặt x + = tan t,t ∈ −  ;  ⇒ J = dt =   ∫ . 2 2       2 2 2 2  2 9 0 1    3  π x  +  +        2  2    6 3 π 3 Vậy I = ln 3 − 4 12 2 1 1 x + 17. ( + 1 − ) x x e dx ∫ x 1 2 2 1 2 1 1 1 x + x + 1 x + :I = ( + 1 − ) x x = + ( − ) x x e dx e dx x e dx = I + I ∫ ∫ ∫ . 1 2 x x 1 1 2 2 2 1 2 1 5 5 x + 1 x + 3 3 Tính I x x xe − x − e dx = e 2 ⇒ I = e2
1 theo phương pháp từng phần I1 = ( ) − I ∫ . 2 x 2 2 1 1 2 2
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 87
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 2.Tính các tích phân sau: 3 1 x 2 7. dx ∫ dx 1. A = ∫ 2 + − 1 3x 9x 1 2 x − x 1 1 3 2 2 2 4 1  x 2  4 − I = dx x  8. ∫ =     2. 3 I x ln  dx ∫ 1     2 2  x  −  x +  1 4 + x  3    x   0  1 5 dx 2 x + 1 3. ∫ 9. I = dx ∫ 2 + − x 3x + 1 0 1 1 x 1 6 1 dx ( x x e + 1) 4. I = ∫ 10. dx ∫ 2x + 1 + 4x + 1 2 (x + 1) 2 0 1 3 2 x + 3x 5 1 − x 5. I = dx ∫ 11. dx ∫ 4 2 x − 5x + 6 2 0 x ( 5 1 1 + x ) 1 1 7 4 4 2 3 3 x + x + 1 2 x x x e + dx 6. I = dx ∫ 12. ( ) ∫ 2 3 3 + x + 1 0 1 x x x 26 Bài giải 3 2 dx 1. A = ∫ 2 x − x 1 1 2 dx tdt Đặt 2 2 2
t = 1 − x ⇒ t = 1 − x ⇒ 2tdt = 2 − xdx ⇒ = − x 2 x dx tdt tdt ⇒ = − = x 2 2 1 − t t −1 1 3 3 1 + Đổi cận: x = ⇒ t = ;x = ⇒ t = 2 2 2 2 1 3 3 2 2   dt dt 1 t + 1  +  2 1 7 4 3 A = = = ln = ln  ∫ ∫   −   t | 2 2 1 t − −t 2 1 2  3 1 1    1 3 2 2 2 1  2  4 − x  =   2. 3 I x ln  dx ∫   2 4 + x  0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 88
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899     2  16x   4 − x  d  u  =    = dx u ln    4        Đặt 2 x −16 4 + x  ⇒     4 x   −  3 16 v dv  = x dx  =    4 1 1  2  1 4 − x  15 3 = −     Do đó I ( 4x 1 )6ln  − 4 xdx = − ln   − 2   ∫   2 4    +   x 4 5 4   0 0 1 dx 3. ∫ 2 + − 0 1 1 x π π
Đặt x = sint với t ∈ [− ; ]. Ta có: dx = cos tdt và 2 2 2
1 − x = 1 − sin t = cos t =|cost| = cost. 2 2 π
Đổi cận: Với x =0 thì t = 0; Với x = 1 thì t = . Từ đó: 2 π π 1 2 2 dx costdt 2 2 coss (t / 2) − 1 = ∫ ∫ = dt ∫ 2 1 + cost 2 2 coss (t / 2) 0 1 + 1 − x 0 0 π π 2 2 d(t / 2) π π = dt − ∫ ∫ =( t – tan (t/2) ) | 2 = -1 2 0 cos (t / 2) 2 0 0 6 dx 4. I = ∫ 2x + 1 + 4x + 1 2 2 t − 1 tdt Đặt t = 4x + 1 ⇒ x = ⇒ dx = t ( ) 2 = 3,t ( ) 6 = 5 4 2 5 5     tdt  1 1     1  = =  −    3 1 Khi đó 5 I dt ∫ ∫  = ln t + 1 +  = ln −   +    ( + ) t 1  t   +  t 1  (t + ) 3 2 2 1 2 12  3 3 1   1    5 =  3 1 ln t + 1 +    = ln − 3  t  + 1 2 12 1 3 x + 3x 5. I = dx ∫ 4 2 x − 5x + 6 0 1 1 2 2 1 x + 3 2 1 x − 2 + 5 2 I = dx = dx ∫ ∫ 2 2 2 2 2 x − x 2 ( 2)( − 3) (x − 2)(x − 3) 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 89
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 1 2    2  1 dx 5 1 1    −  2 1 = +  −   2 5 x 3  1 dx ∫ ∫   =  ln x − 3 + ln      0 2 2 2 2 2  x 2 − x − x −  2 2 3 3 2 x  − 2  0 0 1 5  1 5 3     5 2 5 =  ln 2 + ln 2 − 
  ln 3 + ln  = 3 ln 2 − 3 ln 3 + ln 2 = 3 ln + ln 2      2 2  2 2 2 2 3 2 1 1 1 7 7 7 4 2 4 2 3x + x + 1 3x + x 1 6. I = dx = dx + dx = I + I ∫ ∫ ∫ 1 2 2 3 3 2 3 3 2 3 3 + + + 1 x x x 1 x x x 1 x x x 26 26 26 1 1 1 7 7 2     ∗     Tính 1 1 1 1 1 3 1 15 I = dx = − d  +  3 7 1 = − 1 ∫ ∫    +  = 2     3 2    2  x 2 x 4  x  1 4 1 1 1 3 1 + 1 3 1 + 2 2 x x 26 26 26 322 Vậy: I = . 91 1 x 7. dx ∫ 2 + − 1 3x 9x 1 3 1 1 1 1 x 2 2 2 I = dx = x(3x − 9x − 1)dx = 3x dx − x 9x − 1dx ∫ ∫ ∫ ∫ 2 + − 1 3x 9x 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 26 2 3 I = 3x dx = x = 1 ∫ 1 27 1 3 3 1 1 1 3 1 1 16 2 2 2 2 2 I = x x − dx = x − d x − = x 2 9 1 9 1 (9 1) (9 −1) = 2 ∫ ∫ . 18 27 27 1 1 1 3 3 3 26 − 16 2 Vậy I = 27 2 2 4 x 8. I = dx ∫  1    2  −  3 x x + 1    x   2 2 5 x Ta có: I = ∫ ( dx 2 x − ) 2 1 x + 1 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 90
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x Đặt t = 2 x + 1 , suy ra 2 2 dt =
dx & x = t − 1 Đổi cận: x = 3 ⇒ t = 2;x = 2 2 ⇒ t = 3 2 x + 1 3 (t − )2 2 1 3 3 3 4 2 3 t − 2t + 1 1 3 1 1  1 1  Khi đó I = dt ∫ Ta có I = 2 dt = t dt + dt ∫ ∫ ∫ = 3 t +  − dt ∫   2    t − 2 2 2 t − 2 t − 2 3 2 2 2 t − 2 t + 2  2 2 2 2 2 3   19 1   19 2 4 + 2  = +
ln t − 2 − ln t + 2  = + ln     3   2 2  2 3 4 4 − 2  5 2 x + 1 9. I = dx ∫ x 3x + 1 1 3dx 2tdt Đặt t = 3x + 1 ⇒ dt = ⇒ dx = . x + 3 2 3 1
Khi x = 1 thì t = 2, và khi x = 5 thì t = 4. 2  2  t  − 1     + 4 1    4 4 3  4 4   2tdt 2 dt 2 1  t   − 1 100 9 Suy ra I = . ∫ 2 = (t − 1)dt + 2 ∫ ∫ 3 = t  − t + ln = + ln .   2   t 3 − 1 2 9 t −1 9 3 t  + 1 27 5 2 .t 2 2 2 2 3 1 ( x x e + 1) 10. dx ∫ 2 (x + 1) 0  = ( x +1)    = ( x u x e du e (x + 1) + 1)dx     Đặt  dx ⇒  −1 d  v = v    =  2  (x + 1)  x   + 1 1 x( x e + 1) x 1 e + 1 x e 3 I= 1 − | + (e + )dx = −
+ (e + ln x + 1) | = + ln 2 − . 0 ∫ 1 x + 1 x + 1 0 2 2 2 0 e 3 Vậy I = + ln 2 − 2 2 2 5 1 − x 11. dx ∫ x (1 + x )2 5 1 2 2 2 2 5 5 5 4 1 − x 1 + x − 2x 1 2x dx = dx = dx − dx = I − I ∫ ∫ ∫ ∫ ( + + x ) x ( + x ) x ( 5 5 5 1 x x 1 1 ) ( 5 1 1 1 1 1 + x ) 1 2 2 2 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 91
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  1    1 −   2   1 1 1  2  4   t 1 t 1 1 1 1 x = ⇒ I = dt = dt = d t + 1 = ln t + 1 = 6 ln 2 − ln 33 ∫   ∫ ∫ 5 5 ( 5 ) 5 1 ( ) t 1 2 1 1   t 5 + t 5 5 1 + 1 1 1  +  1 1   t  5   t  2 2 2 2 1     I = d ∫ ( 5 2 1 31 x + 1 = − .    = 2 2 ) 2 5 (    5 5 x +  165 1 1 1 + x ) 5 1 1 I = ( − ) 31 6 ln 2 ln 33 − 5 165 1 4 3 x x 12. 2 (x e + )dx ∫ 1 + x 0 1 4 1 1 4 3 x x 3 x x Đặt I = 2 (x e + )dx ∫ . Ta có I = 2 x e dx + dx ∫ ∫ 1 + x 1 + x 0 0 0 1 1 3 x 1 t 1 t 1 1 1 Ta tính 2 I = x e dx I = e dt = e = e − 1 ∫ Đặt t = x3 ta có 1 ∫ 0 3 3 3 3 0 0 1 4 x Ta tính I = dx ⇒ x = t ⇒ dx = t dt 2 ∫ Đặt t = 4 x 4 3 4 1 + x 0 1 1 4 t 1 2 π 1 Khi đó 2 I = 4 dx = 4 (t − 1 + )dt = 4(− + ) = e + π − 3 2 ∫ ∫ . Vậy I = I1+ I2 2 2 + t + t 3 4 1 1 3 0 0
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 92
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 3.Tính các tích phân sau: π π 2 2 x 1. cos (e + s inx).sin 2x.dx ∫ 9. I = cos 2x ∫ ( 4 4 sin x + cos x )dx 0 0 π π 2 (x + 2sinx − ) 3 cos x 4 tan x 2. dx ∫ 10. I = dx ∫ 3 sin x (4cosx − sinx)cosx π 0 4 π π 2 4 cos x e + x x dx cos x + sin 2x 11. ( sin ). sin 2 . ∫ 3. M = dx ∫ 1 + cos 2x 0 0 π x π 12. dx ∫ 6 π tan(x − ) 1 + sin x o 4. 4 I = dx ∫ cos2x π 0 2 (x + 2sinx − ) 3 cos x π 13. dx ∫ 2 3 sin x π 5. 2 1 − 3 sin 2x + 2 cos xdx ∫ 4 0 π cot xdx π 14. 2 ∫ 4 π 4 x sin x + sin 2x 1 + sin x 6. I = dx ∫ 4 cos2x π 0 3 3 sin x −sin 2x π 15. dx ∫ 4 2 cos x + sin 2x
(cos 2x − 3 cos x + 1)(3−2 sin x ) 7. M = dx ∫ 0 1 + cos 2x π 0 3 cot x π 16. I = dx ∫ 4   cot x − tan x π    +  π sin x. sin x 8. I = dx ∫      4  π   6  −  π sin 2x cos 2x    4  π 8 17. I = x ∫ ( 5 cos x + sin x )dx 0 Bài giải π π π 2 2 2 x x 1.I= cos (e + s inx cos ). sin 2x.dx = 2 e . cos x. sin x.dx + s inx.sin 2x.dx ∫ ∫ ∫ 0 0 0 π 2 cos x J = e . cos x. sin x.dx ∫ 0 1 1 1 t t t Đặt t = cosx có J = t.e .dt = t.e − e .dt = 1 ∫ ∫ 0 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 93
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π π 2 2 K = inx 1 x dx = x −cos 1 x dx = inx 1 2 2 s . sin 2 . (cos 3 ). (s − sin 3x) = ∫ ∫ 2 2 3 3 0 0 0 π 2 x 2 8 Vậy: I= cos (e + s inx).sin 2x.dx = 2 + = ∫ 3 3 0 π 2 (x + 2sinx − ) 3 cos x 2. dx ∫ 3 sin x π 4 π π π 2 (x + 2sinx − ) 2 2 3 cos x (2sinx − )3cos cos x x x I = dx = dx + dx ∫ ∫ ∫ 3 3 3 sin x sin x sin x π π π 4 4 4 π π π π 2 2 2 π x cos x 1  1    1 x 2 1 1 1   π π   1 I = dx = − xd   = − + dx = − ∫ ∫    −  − x 2 1 cot = 1   ∫   3 2 2 2     x 2 x 2 x 2 x 2 2 2  2 π π 2 sin sin sin sin π π π 4 4 4 4 4 π π 2 (2sinx − ) 2 3 cos x 2 sin x − 3 7 I = dx = d sin x = 2 2 −
. Vậy I = I + I = 2 2 − 3 . 2 ∫ ∫ ( ) 3 3 1 2 x x 2 sin sin π π 4 4 π 4 cosx + sin2x 3. M = dx ∫ 1 + cos 2x 0 π π π 4 4 4 cos x + sin 2x sin 2x cos x M = dx = dx + dx ; ∫ ∫ ∫ 1 + cos 2x 1 + cos 2x 1 + cos 2x 0 0 0 M M 1 2 π π π 4 π d (1 + cos2 4 4 1 x ) 1 x x 4 1 cos 1 cos M = − = − ln 1 + cos 2x = ln 2 M = dx = dx = 1 ∫ , ∫ ∫ + x | 2 1 cos 2 2 2 0 2 + x 2 1 cos 2 2 1 − sin x 0 0 0 1 1 2 2 1 1 du 1  1 1    1 u + 1 1 Đặt u = sin t M = =  + d  u 2 = ln = ln(1 + 2) 2 ∫ ∫    −  + u  u | 2 2 u 4 − u 1  4 −1 0 2 1 1 0 0 1 Vậy M = ln(2 + 2 2) 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 94
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 6 π tan(x − ) 4. 4 I = dx ∫ cos2x 0 π π 6 π tan(x − ) 6 2 tan x + 1 4 I = dx = − dx ∫ ∫ cos2x 2 (t anx+1) 0 0 1 Đặt t = anx ⇒ dt= 2 t dx = (tan x + 1)dx 2 cos x π 1
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0,x = ⇒ t = 6 3 1 1 3 dt 1 1 − 3 Suy ra 3 I = − = = ∫ 2 t t + 1 + 0 2 ( 1) 0 π 2 5. 2 1 − 3 sin 2x + 2 cos xdx ∫ 0 π π π 2 2 2 2 2 I = 1 − 3 sin 2x + 2 cos xdx = (sin x − 3 cos x) dx = sin x − 3 cos x dx ∫ ∫ ∫ 0 0 0   π π   π
sin x − 3 cos x = 0 ⇔ tan x = 3 ⇔ x = + k ∈   π Do x 0;   nên x = 3  2 3 π π π π 3 2 3 2 I = sin x − 3 cos x dx + sin x − 3 cos x dx ∫ ∫ = (sin x − 3 cos x)dx + (sin x − 3 cos x)dx ∫ ∫ 0 π 0 π 3 3 π π = (− 1 3 1 3
cos x − 3 sin x ) 3 + (−cosx − 3 sinx) 2 = − − + 1 + − 3 + + = 3 − 3 0 π 2 2 2 2 3 π 4 x sinx + sin2x 6. I = dx ∫ cos2x 0 π π π π 4 4 4 4 x sin x s inx x sin x s inx + Ta có I = dx + 2 dx ∫ ∫ Đặt I = dx;I = 2 dx ∫ ∫ os2 cos x 1 2 c x os2 cos x c x 0 0 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 95
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 s inx − 1 +Tính I u = x ⇒ du = dx;v = dx = − cos 2xd(cos x) = 1 : Đặt ∫ ∫ os2 cos x c x π π 4 π π x dx x 1 1 + s inx π 2 1 2 + 2 ⇒ I = 4 − = 4 − ln 4 = − ln 1 ∫ cos x cos x cos x 2 1 − s inx 4 2 0 0 0 2 − 2 0 π 4 π d(cos x) 2 + Tính I = 2 − = −2 ln cos x 4 = −2 ln 2 ∫ cos x 2 0 0 π 2 1 2 + 2 2 Vậy I = I + I = − ln − 2 ln 1 2 4 2 − 2 2 2 π 4 cosx + sin2x 7. M = dx ∫ 1 + cos 2x 0 π π π 4 4 4 cos x + sin 2x sin 2x cos x M = dx = dx + dx ∫ ∫ ∫ 1 + cos 2x 1 + cos 2x 1 + cos 2x 0 0 0 M M 1 2 π π π 4 π d (1 + cos2 4 4 1 x ) 1 x x 4 1 cos 1 cos M = − = − ln 1 + cos 2x = ln 2 M = dx = dx = 1 ∫ ∫ ∫ + x | 2 1 cos 2 2 2 0 2 + x 2 1 cos 2 2 1 − sin x 0 0 0 1 1 2 2 1 1 du 1  1 1    1 u + 1 1 Đặt u = sin t M = =  + d  u 2 = ln = ln(1 + 2) 2 ∫ ∫    −  + u  u | 2 2 u 4 − u 1  4 −1 0 2 1 1 0 0 1 Vậy M = ln(2 + 2 2) 2 π 4 cot x − tan x 8. I = dx ∫   π    −  π sin 2x cos 2x    4  8 π π π 2 2 cos x − sin x 4 4 4 cot x − tan x cot x − tan x x x I = dx ∫ sin . cos I = dx = dx   ∫   ∫   π    −  π π π      −     +  π x x π x x x π sin 2x cos 2x    sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 . cos sin 2 . sin      4  4   4 4  8 8 8
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 96
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π 4 4 cot 2x cot 2x 1 = 2 2 dx = dx ∫ ∫ sin 2x (cos 2x + sin 2x) 2 2 . + x 2 1 cot 2 sin 2x π π 8 8 2 1 1 π π Đặt t = cot 2x ⇒ dt = − dx ⇒ − dt = dx . Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 0 2 2 x 2 sin 2 sin 2x 8 4 0 1 1 t  1    t  1    1 I = 2 2 . − dt   ∫   = 2 dt = 2 1  − d  t ∫ ∫ 
 = 2 (t − ln t + 1 ) = 2 (1 − ln ) 2 1 + t  2  1 + t  t  + 1 0 1 0 0 π 2 9. I = cos 2x ∫ ( 4 4 sin x + cos x )dx 0 π π 2 2  1     2  1 1  2  I = cos 2x 1  − sin 2xdx = 1 ∫    − sin 2xd   ∫   (sin 2x)  2  2  2  0 0 π π 2 2 π π 1 1 1 1 = d ∫ (sin2x) 2 − sin 2xd ∫ (sin2x) 2 3 2 = sin 2x − sin 2x = 0 | | 2 4 2 0 12 0 0 0 π 4 tan x 10. I = ∫ ( dx 4 cos x − sin x)cosx 0 π 4 tan x Ta có: I = dx ∫ (4 − tanx) 2 cos x 0 dx π Đặt: tan x − 4 = t ⇒
= dt . Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 4 − ; x = ⇒ t = 3 − cos2x 4 −3 −3 (t + 4).dt 4 − Suy ra: I = −∫ = − (1 + )dt ∫ 3 = ( − t + 4 4 ln t ) = 4 ln −1 t t 4 − 3 −4 −4 π 2 x 11. cos (e + sin x).sin 2x.dx ∫ 0 π π π 2 2 2 cos ( x + s inx cos ). sin 2 . = 2 x e x dx e . cos x. sin x.dx + s inx.sin 2x.dx ∫ ∫ ∫ 0 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 97
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 2 cos x I = e . cos x. sin x.dx ∫ 0 1 1 1 t t t Đặt t = cosx có I = t.e .dt = t.e − e .dt = 1 ∫ ∫ 0 0 0 π π π 2 2 K = inx 1 x dx = x −cos 1 x dx = inx 1 2 2 s . sin 2 . (cos 3 ). (s − sin 3x) = ∫ ∫ 2 2 3 3 0 0 0 π 2 cos x e + inx 2 8 ( s ). sin 2x.dx = 2 + = ∫ 3 3 0 π x 12. dx ∫ 1 + sin x o π π π x x x I = dx ∫ = dx ∫ = dx ∫ 1 + sin x x x   2 2 x π   o o (sin + cos ) o 2 cos  −    2 2 2 4  u = x     du = dx  π dx   x    π π x π     Đặt dv  =    x  −  −    − d  x    => x π   => I = tan tan  ∫      v  =  −     2 x π   tan 2 4 0      2 4 2 cos  −      2 4 0  2 4   x  π π  
=> I = π + 2ln cos −     2 4  0 π 2 (x + 2sinx − ) 3 cos x 13.. dx ∫ 3 sin x π 4 π π π 2 (x + 2sinx − ) 2 2 3 cos x (2sinx − )3cos cos x x x I = dx = dx + dx ∫ ∫ ∫ 3 3 3 sin x sin x sin x π π π 4 4 4 π π π π 2 2 2 π x cos x 1  1    1 x 2 1 1 1   π π   1 I = dx = − xd   = − + dx = − ∫ ∫    −  − x 2 1 cot = 1   ∫   3 2 2 2     x 2 x 2 x 2 x 2 2 2  2 π π 2 sin sin sin sin π π π 4 4 4 4 4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 98
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π 2 (2sinx − ) 2 3 cos x 2 sin x − 3 7 I = dx = d sin x = 2 2 −
Vậy I = I + I = 2 2 − 3 . 2 ∫ ∫ ( ) 3 3 1 2 x x 2 sin sin π π 4 4 π cot xdx 14. 2 ∫ π 4 1 + sin x 4 π π π 2 2 2 cot x cos x 3 sin x cos x Ta có: I = dx ∫ = dx ∫ = dx ∫ . 4 1 + sin x 4 sin x(1 + sin x) 4 sin x + π ( 4 1 sin x) π π 4 4 4 π 1 π Đặt 4 t = sin x , ta có: x = ⇒ t = , x = ⇒ t = 1 v à 3 dt = 4 sin x cos xdx . 4 4 2 1 1 1 1 dt 1 1 1    1 t 1 5 Khi đó I = ∫ =  − dt ∫   = ln 1 = ln . 4 t (t + ) 1 4 t t  + 1 4 t + 1 4 2 1 1 4 4 4 π 3 3 sin x −sin 2x 15. dx ∫ 2
(cos 2x − 3 cos x + 1)(3−2 sin x ) 0 π π 3 3 sin x −sin 2x 3 sin x( 3−2 cos x) Ta có I = dx ∫ = dx ∫ 2 2
( 2 cos x − 3 cos x )(3−2 sin x ) 2
(2 cos x −3). cos x. (1 + 2 cos x ) 0 0 π π 3 sin x( 3−2 cos x) 3 −sin x = dx ∫ = dx ∫ 2
(2 cos x − 3). cos x. (1 + 2 cos x ) 2 cos x. (1 + 2 cos x ) 0 0 π 3 cos x.(−sin x).dx = ∫ . Đặt t = 2
2 cos x ⇒ dt = 4 cos x.(−sin x)dx 2 2 cos x. (1 + 2 cos x ) 0 1 2 π 1 1 dt
Đổi cận: Khi x = 0 ⇒ t = 2 ; khi x = ⇒ t = . Khi đó I = ∫ = 3 2 2 t.(1 + t) 2 1 2   1 1 1 1    1 t 1 1 2 1 1 1 =  −  dt ∫ 2   = ln = .( ln
− ln ) = .ln . Vậy I = − ln 2 . 2 t t  +1 2   2 t + 1 2 3 3 2 2 2 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 99
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 3 cot x 16. I = dx ∫   π    +  π sin x. sin x    4  6 π π π 3 3 3 cotx cot x cot x Tính I = dx = 2 dx = dx ∫   ∫ ∫ π   sin x (sin x + cosx) 2 2 +  +  π x sin x x π π (1 cotx sin sin )    4  6 6 6 1 π π + Đặt 1+cotx=t ⇒ dx = d − t Khi x = ⇔ t = + 3 1 1 3; x = ⇔ t = 2 sin x 6 3 3 3 1 + t 3 +1 1  2  −  Vậy I = 2 dt = 2 ∫ (t − lnt) =  −  3 1 2 ln 3 +   t    3  3 1 + 3 3 π 17. I = x ∫ ( 5 cos x + sin x )dx 0 π I = x ∫ ( 5 cos x + sin x )dx 0 π π π * I = x ∫ ( 5 cos x + sin x ) 5 dx = x. cos x.dx + x. sin x.dx ∫ ∫ . 0 0 0 I I 1 2 π π π π π * I = x. cos x.dx = x. sin x − sin x.dx = x.sin x + cos x = −2 1 ∫ ∫ 0 0 0 0 0 π 2 π 8π 8π * Với I 2 x = π − t ⇒ I = 1 − cos x d −cos x = I = − 2 2 ta đặt . * Vậy 2 ∫ ( ) ( ) 2 15 15 0
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 100
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 4.Tính các tích phân sau: ln 6 x 1 e 2 (x + x) x e 1. I = dx. ∫ 3. I = dx ∫ x x − + + + x x + e 0 3 3 e 2e 7 0 1 ln 2 (x − 1) x e + x + 1 x 2. I = dx ∫ 4. I = dx. ∫ 1 x + x x − e e +e + 2 0 0 Bài giải ln 6 x e 1. I = dx. ∫ x x + + + 0 3 3 e 2e 7 x x x Đặt 3 + e = t. Khi đó 2 e = t − 3 ⇒ e dx = 2tdt.
Khi x = 0 ⇒ t = 2, khi x = ln 6 ⇒ t = 3. 3 2td 3 t t Suy ra I = = 2 dt ∫ ∫ 2 2 3t + 2(t − 3) + 7 2t + 3t + 1 2 2 3 3 t  1  3 3 = d 1   80 2 t = 2  − dt ∫ ∫   = 2 ln t + 1 − ln 2t + 1
= (2 ln 4 − 2 ln 3) −(ln 7 − ln 5) = ln . (t + 1)(2t + 1) t +1 2t + 1 63 2 2 2 2 1 (x −1) x e + x + 1 2. I = dx ∫ 1 x +e 0 1 1 1 1 x x xe −e + x + 1 x( x e + 1) + (1 x + e ) − 2 x x e e I = dx = dx = (x + 1)dx − 2 dx = I − 2I ∫ x ∫ x ∫ ∫ 1 + e 1 + e x 1 2 1 + e 0 0 0 0 1 1  2  1 1 x x x   1 3 e d e + e + = + =  ( 1) x 1 Tính I (x 1)dx  + x = Tính I = dx = = ln(e + 1) = ln 1 ∫   ∫ ∫   0 2 2   2  x x +e e 2 1 + 1 0 0 0 0 3 e + 1 Vậy I = − 2 ln . 2 2 1 2 (x + x) x e 3. I = dx ∫ x − x + e 0 1 2 1 ( x x x + x) x e xe .(x + 1)e Ta có I= dx ∫ = dx ∫ x − x x + e xe + 1 0 0 x Đặt t = x.e + 1 ⇒ = ( + 1) x dt x
e dx x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = e + 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 101
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 e + e + x 1 1 xe .(x + 1) x e (t − 1)  1   e + Suy ra I= dx ∫ = dt ∫ = 1  − d  t
∫   . Vậy I= (t −ln t ) 1 =e −ln(e +1). x   xe + 1 t t  1 0 1 1 ln 2 x 4. I = dx. ∫ x x − e +e + 2 0 ln 2 x xe Ta có I = dx. ∫ x 2 (e + 1) 0 x e 1 Đặt u = x ⇒ du = dx, dv = dx ⇒ v = − . x 2 (e + 1) x e + 1 ln 2 x d ln 2 ln 2 x ln 2 dx
Theo công thức tích phân từng phần ta có: I = − + = − + ∫ ∫ (1) x x e + e 3 1 x 0 + 1 e + 1 0 0 ln 2 dx d x t Tính I = . e
= t ta có x = 0 ⇒ t = 1; x = ln 2 ⇒ t = 2 và dx = . 1 ∫ Đặt x e + 1 t 0 2 d 2 2 2 t 1 1    Suy ra I = =  − d
 t = lnt − ln(t + 1) = 2 ln 2 − ln 3. 1 ∫ ∫   t(t + 1) t t  + 1 1 1 1 1 5 Thay vào (1) ta được I = ln 2 − ln 3. 3
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 102
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
PHẦN VIII TÍCH PHÂN HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 1.Tính các tích phân sau: π 2 2 2 1. 2 I = x − 3x + 2 dx ∫ . 2. 2 I = 5 − 4 cos x − 4 sin xdx ∫ 3. I = ∫ (x − x −1)dx −3 0 −1 Bài giải 2 1. 2 I = x − 3x + 2 dx ∫ −3 Bảng xét dấu x −3 1 2 2 + 0 − 0 x − 3x + 2 1 I = (x − x + ) 2 2 dx − ( 2x − x + ) 59 3 2 3 2 dx = ∫ ∫ . 2 −3 1 π 2 2. 2 I = 5 − 4 cos x − 4 sin xdx ∫ . 0 π π 2 2 2 I = 4 sin x − 4 sin x + 1dx = 2 sin x − 1 dx ∫ ∫ . 0 0 Bảng xét dấu x π π 0 6 2 2 sin x − 1 − 0 + π π 6 2 π I = −
(2sinx − )1dx + (2sinx − )1dx = 2 3 −2 − ∫ ∫ . 6 0 π 6
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 103
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 3. I = ∫ (x − x −1)dx . −1 Cách 1. 2 2 2 I = ∫ (x − x −1)dx = x dx − x − 1 dx ∫ ∫ −1 −1 −1 0 2 1 2 = − xdx + xdx + (x − 1)dx − (x − 1)dx ∫ ∫ ∫ ∫ −1 0 −1 1 0 2 1 2 2 2  2   2  x x x  x  = − + +  − x −    − x = 0 .     2 2 2     2  −   1 0 −1 1 Cách 2. Bảng xét dấu x –1 0 1 2 x – 0 + + x – 1 – – 0 + 0 1 2 I = ( x − + x − ) 1 dx +
(x +x − )1dx + (x −x + )1dx ∫ ∫ ∫ −1 0 1 = x − + − + = . − (x x)1 0 2 2 x 0 1 1 0 Vậy I = 0 .
HT 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = ln x, x = 1, x = e và Ox. Bài giải Do ln x 0 x 1  ; e
≥ ∀ ∈   nên: e e e S = ln x dx = ln xdx = x (ln x − ) 1 = 1 ∫ ∫ . 1 1 1 Vậy S = 1 (đvdt).
HT 3.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 y = x
− + 4x − 3, x = 0, x = 3 và Ox
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 104
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Bài giải Bảng xét dấu x 0 1 3 y – 0 + 0 1 S = − ( x− +4x − ) 3 2 3 dx + ( 2x − + 4x − ∫ ∫ )3dx 0 1 1 3  3   3   x   x  8 2 = −  2 −  + 2x + 3x + −    + 2x + 3x = .     3     3  3   0 1 8 Vậy S = (đvdt). 3
HT 4.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 3 y = x + x − 2 11 6, y = 6x , x = 0, x = 2 Bài giải Đặt 3 2 3 2
h(x) = (x + 11x − 6) − 6x = x − 6x + 11x − 6
h(x) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3 (loại). Bảng xét dấu x 0 1 2 h(x) – 0 + 0 1 S = − (x −6x +11x − ) 2 3 2 6 dx + ( 3 2 x − 6x + 11x − ∫ ∫ )6dx 0 1 1 2  4 2   4 2  x 11x  x 11x  5 3 = −  3  − 2x + − 6x +     − 2x + − 6x = .     4 2     4 2  2   0 1 5 Vậy S = (đvdt). 2
HT 5.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 3 y = x + x − 2 11 6, y = 6x
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 105
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Bài giải Đặt 3 2 3 2
h(x) = (x + 11x − 6) − 6x = x − 6x + 11x − 6
h(x) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3 . Bảng xét dấu x 1 2 3 h(x) 0 + 0 – 0 2 S = (x −6x +11x − ) 3 3 2 6 dx − ( 3 2 x − 6x + 11x − ∫ ∫ )6dx 1 2 2 3  4 2   4 2  x 11x  x 11x  1 3 =   3  − 2x + − 6x −    − 2x + − 6x = .     4 2     4 2  2   1 2 1 Vậy S = (đvdt). 2
HT 6.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 y = x , y = 4x . Bài giải
Phương trình hoành độ giao điểm: 3
x = 4x ⇔ x = −2 ∨ x = 0 ∨ x = 2 0 0 2  4   4      ⇒ x x =    −  +   S = ∫ (x − 4x) 2 3 dx + ∫ ( 3 x − 4x )dx 2 2 2x    − 2x  = 8 .     4    4    −2 0 −2 0 Vậy S = 8 (đvdt).
HT 7.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2
y = x − 4 x + 3 và trục hoành. Bài giải
Phương trình hoành độ giao điểm:    = = = ± 2 2 t 1 x 1 x 1  
x − 4 x + 3 = 0 ⇔ t − 4t + 3 = 0, t = x ≥ 0  ⇔ ⇔ ⇔   t 3  = x   = 3 x = ±3     3 3 2 2 ⇒ S = x − 4 x + 3 dx = 2 x − 4x + 3 dx ∫ ∫ −3 0  1 3    = 2  ∫ ( 2 x − 4x + ) 3 dx + ∫ ( 2 x − 4x +  )3dx    0 1  
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 106
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  1 3    3   3    x  x  =     − +  +    16 2 2 2 2x 3x    − 2x + 3x = .       3     3     3  0 1    16 Vậy S = (đvdt). 3
HT 8.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2
y = x − 4x + 3 và y = x + 3 . Bài giải
Phương trình hoành độ giao điểm: x  + 3 ≥ 0    = 2 x 0 x − 4x + 3 = x + 3 2 ⇔ x 4x 3 x 3  − + = + ⇔   .  x = 5 2    x  − 4x + 3 = x − − 3  Bảng xét dấu x 0 1 3 5 2 x − 4x + 3 + 0 – 0 + 1 ⇒ S = ∫ (x −5x) 3 dx + ∫ ( x − + 3x − ) 5 2 2 6 dx + ∫ ( 2 x − 5x )dx 0 1 3 1 3 5  3 2   3 2   3 2  x 5x   x − 3x  x 5x  109 =    −  +      + −  +   6x .      −  =       3 2 3 2    3 2   6  0 1 3 109 Vậy S = (đvdt). 6
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 9.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 y = x − 1 , y = x + 5 . Bài giải
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2
x − 1 = x + 5 ⇔ t − 1 = t + 5, t = x ≥ 0 t  = x ≥ 0  t   = x ≥ 0  2
⇔  t −1 = t + 5 ⇔  ⇔ x = ±3   t  = 3  2   t −1 = t − − 5 
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 107
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 3 3 2 ⇒ S = x − 1 − ∫ (x +5) 2 dx = 2 x − 1 − (x + ) 5 dx ∫ −3 0 Bảng xét dấu x 0 1 3 2 x − 1 – 0 + 1 ⇒ S = 2 ( x− −x −4) 3 2 dx + ( 2x −x − ∫ ∫ )6dx 0 1 1 3  3 2   3 2   x − x  x x  73 =    − −  +   2 4x    − − 6x = .     3 2    3 2   3  0 1 73 Vậy S = (đvdt). 3
HT 10.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x y = 2 , 0, y = 2 − x . Bài giải Ta có: 2 2 y = 2 − x ⇔ x = 2 − y , x ≥ 0 .
Phương trình tung độ giao điểm: 2 y = 2 − y ⇔ y = 1 . 1 1   2 2 ⇒ S = 2 − y − y dy =  2 −y −ydy ∫ ∫     0 0 π π 4 1 1 2  1  4 y   2 = 2 cos tdt − ydy = t  + sin 2t − ∫ ∫    .  2  2 0 0 0 0 π Vậy S = (đvdt). 4
HT 11.Tính thể tích hình cầu do hình tròn 2 2 2
(C ) : x + y = R quay quanh Ox. Bài Giải
Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là 2 2 x = R ⇔ x = R ± . Phương trình 2 2 2 2 2 2
(C ) : x + y = R ⇔ y = R − x
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 108
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 R R  3  3   ⇒ x 4 R π V = 2 =   π ∫ ( R 2 2 R − x )dx = 2π∫ ( 2 2 R − x )dx 2π R  x −  =   .  3  3   R − 0 0 3 4 R π Vậy V = (đvtt). 3 2 2 x y
HT 12.Tính thể tích hình khối do ellipse (E) : + = 1 quay quanh Oy. 2 2 a b Bài Giải 2 y
Tung độ giao điểm của (E) và Oy là = 1 ⇔ y = b ± . 2 b 2 2 2 2 x y a y Phương trình 2 2 (E) : + = 1 ⇔ x = a − 2 2 2 a b b b  R 2 2 b   2 2       2 3  2 2 a y   ⇒ =   2 a y a y 4 a π b V  −  =   2 =   π a dy 2π a ∫    − dy ∫ 2π a  y −  = .     2 2       b  b  2   3  3b  b − 0 0 2 4 a π b Vậy V = (đvtt). 3
HT 13.Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2 y = x ,y = x quay quanh Ox. Bài Giải x  ≥ 0 x   = 0 Hoành độ giao điểm:    ⇔ . 4  x  = x x = 1     1 1 1   4 ⇒ 1 1   3π V = 5 2 =  −  π x − x dx = π ∫ ∫ ( 4x −x)dx π x x =    . 5 2  10 0 0 0 3π Vậy V = (đvtt). 10
HT 14.Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 x = y
− + 5 , x = 3 − y quay quanh Oy. Bài Giải y  = −  Tung độ giao điểm: 2 1 y − + 5 = 3 − y ⇔ . y  = 2  2 2 ⇒V = = π ∫ ( 4 2 y − 11y + 6y + 1 ) π ∫ ( y − + )2 5 −(3 −y)2 2 dy 6 dy −1 −1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 109
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2  5 3  y 11y  153π =   2 π  − + 3y + 16y =   .  5 3   5 −1 153π Vậy V = (đvtt). 5
HT 15.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình sau
1) y = sin x, y = 0 , x = 0, x = 2π 2 1 15) x = , x = , y = 2 (y ≥ ) 0 2) 3
y = x , y = 0 , x = −1, x = 2 2 2 y 8 − y 3) 2 y = x − x 2 2 , y = x − + 4x π π
16) y = (2 + cos x) sin x , y = 0 , x = 3 , x = 4) 3
y = x , y = 4x , x = −1, x = 2 2 2 2 5) 2 y = x − − 5, y = 6 − x , x = 0, x = 1
17) y = x 1 + x , y = 0 , x = 1 6) 2 y = x − − 2, y = 3 − x , x = 0, x = 2 ln x 18) y = , y = 0 , x = 1, x = e 2 x 7) 2 y = x − − 2x, y = x − − 2 1 + ln x 8) 3 2
y = x − 2x − x + 2 và trục hoành 19) y = , y = 0 , x = 1, x = e x 3 9) 2 y = x
− 2x − x + 2 và trục hoành 20) y = , 0 y = ln x , x = 2, x = e 2 2 1 1 π π x x 21) y = , y = , x = , x = 10) y = 4 − , y = 2 2 6 3 4 sin x cos x 4 2 22) 2 y = x , 2 y = 4x , y = 4 11) 2 y = − − x 2 4 , x + 3y = 0 23) y = x(x + 1)(x − 2 , ) y = 0 , x = −2, x = 2 12) 2 y = x − 4x + 3 , y = 3 24) x
y = xe , y = 0 , x = −1, x = 2 2 13) 2 y = x − 4 x + 3 , y = 0
25) y = 4x, x − y + 1 = 0 , y = 0 26) 3 x − y + 1 = , 0 x + y − 1 = 0, y = 0 3 14) x = y, x = 2 4 − y
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Bài giải 2π π 2π π π 1) S = sin x dx = sin xdx + sin xdx ∫ ∫ ∫ 2 = −cos x + −cos x = 4 (đvdt). 0 π 0 0 π 2 0 2 0 2 4 4 x x 17 2) 3 3 3 S = x dx = x dx + x dx ∫ ∫ ∫ = + = (đvdt). 4 4 4 −1 −1 0 −1 0 3) 2 2 x − 2x = x − + 4x ⇔ x = 0 ∨ x = 3 3 3 3  3  2 2   ⇒ 2x S = (x − 2x) − ( x − + 4x) dx ∫ 2 2 = (2x − 6x)dx =  − 3x  ∫   = 9(đvdt).  3    0 0 0 4) 3
x − 4x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 ∨ x = −2 (loại).
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 110
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 0 2 0 2  4   4      3 3 3 ⇒ x x =    −  +   S = x − 4x dx = (x − 4x)dx + (x − 4x)dx ∫ ∫ ∫ 2 2 2x    − 2x  .     4    4    −1 −1 0 −1 0 23 Vậy S = (đvdt). 4 5) 2
x − 6x + 5 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 5 (loại). 1 1 1  3  2   ⇒ x S = x − 6x + 5 dx ∫ 2 2 = (x − 6x + 5)dx =  − 3x + 5x ∫   .  3    0 0 0 7 Vậy S = (đvdt). 3 6) 2
x − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 2 . 2 1 2 2 ⇒ S = x − 3x + 2 dx ∫ 2 2 = (x − 3x + 2)dx + (x − 3x + 2)dx ∫ ∫ 0 0 1 1 2  3 2   3 2  x 3x  x 3x  =    − +  +   2x    − + 2x = 1(đvdt).     3 2    3 2    0 1 7) 2 x − − 2x = x
− − 2 ⇔ x = −2 ∨ x = 1 . 1 1 1  3 2  2   ⇒ x x S = x + x − 2 dx ∫ 2 = (x + x − 2)dx =  + − 2x ∫   .  3 2   −  2 −2 −2 9 Vậy S = (đvdt). 2 8) 3 2
x − 2x − x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = ±1 . 2 1 2 3 2 ⇒ S = x − 2x − x + 2 dx ∫ 3 2 3 2 = (x − 2x − x + 2)dx + (x − 2x − x + 2)dx ∫ ∫ −1 −1 1 1 2  4 3 2   4 3 2  x 2x x  x 2x x  =    − − +  +   2x    − − + 2x .     4 3 2    4 3 2    −1 1 37 Vậy S = (đvdt). 12
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 111
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899     t = x ≥ 0   3 t = x ≥ 0  x = ±1   9) 2  x − 2x − x + 2 = 0 ⇔  ⇔  t = 1 ⇔ . 3 2   t  − 2t −t + 2 = 0 x = ±2     t = 2    2 2 3 2 3 2 ⇒ S = x − 2x − x + 2 dx = 2 x − 2x − x + 2 dx ∫ ∫ −2 0 1 2 3 2 3 2 = 2 (x − 2x − x + 2)dx + 2 (x − 2x − x + 2)dx ∫ ∫ 0 1 1 2  4 3 2   4 3 2  x 2x x  x 2x x  =    − − +  +   2 2x 2    − − + 2x = 3(đvdt).     4 3 2    4 3 2    0 1 2 2 x x 10) 4 2 4 − =
⇔ x + 8x −128 = 0 ⇔ x = ±2 2 4 4 2 2 2   2 2 2 2 x x 2 2   ⇒  x x  S = 4 − − dx ∫ =  4 − −  ∫  dx 4  4 2  4  4 2    −  2 2 2 − 2 2 2   2 2  2 2 2 2  x x  1 = 2  4 − −  ∫ 2 2  dx = 16 − x dx − x dx ∫ ∫ 4   4 2    2 2 0  0 0 π π 4 2 2 2 2 1 3  1  4   1 x 2 2 = 16 cos tdt − x dx ∫ ∫ = 8 t  + sin 2t −   . 2 2  2  3 2 2 0 0 0 0 4 Vậy S = 2π + (đvdt). 3 2 2 x x 11) 2 2 x + 3y = 0 ⇔ y = − ⇒ − 4 − x = − 4 2
⇔ x + 9x − 36 = 0 ⇔ x = ± 3 3 3 3 3 2  2  2 x  2 x  ⇒ S = 4 − x − dx = 2  4 − x  − dx ∫ ∫   3  3    − 0 3 π π 3 3 3 3 3 1 1 3  1  3 x   2 2 2 2 = 2 4 − x dx − x dx = 2 4 cos tdt − x dx ∫ ∫ ∫ ∫ = 2 2 t  + sin 2t −   . 3 3  2  9 0 0 0 0 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 112
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 4π + 3 Vậy S = (đvdt). 3  2 x 4x 3 3  − + = x = 0 12) 2 x 4x 3 3  − + = ⇔  ⇔ . 2   x = 4 x − 4x + 3 = −3     Bảng xét dấu x 0 1 3 4 2 x − 4x + 3 + 0 – 0 + 4 1 3 4 2 ⇒ S = x − 4x + 3 − 3 dx ∫ = ∫ ( 2 x − 4x )dx + ∫ ( 2 x − + 4x − ) 6 dx + ∫ ( 2 x − 4x )dx 0 0 1 3 1 3 4  3   3   3  x   x −  x  =    −  +      + −  +   2 2 2 2x 2x 6x = 8(đvdt).      − 2x        3 3    3    0 1 3  x 1  = x = ±1  13) 2 2
x − 4 x + 3 = 0 ⇔ x − 4 x + 3 = 0  ⇔ ⇔   . x  = 3 x = ±3    Bảng xét dấu x 0 1 3 2 x − 4x + 3 + 0 – 0 3 3 2 2 ⇒ S = x − 4 x + 3 dx = 2 x − 4x + 3 dx ∫ ∫ 3 − 0  1 3    = 2 ∫ ( 2 x − 4x + ) 3 dx − ∫ ( 2 x − 4x +  )3dx   0 1    1 3   3   3   x  x   =    − +  −  2 2 2 2x 3x    − 2x + 3x   .      3    3     0 1   16 Vậy S = (đvdt). 3 y  = 1 3 
14) Tung độ giao điểm y = , 0 ≤ y < 2 ⇔  2 y  = 3 4 − y 
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 113
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 3 3   3  3  ⇒ S = − y dy =  − y ∫ ∫  dy  = … 2  2  −  −  1 4 y 1 4 y  π 3 Vậy S = 1 − (đvdt). 6 2 1 15) Tung độ giao điểm = ⇔ y = 2 2 2 y 8 − y 2 2   2 1  2 1  ⇒ S = − dy =   − ∫ ∫  dy = … 2  2  2 2 y  8 − y y  8 − y  2 2 π Vậy S = 2 − 1 − (đvdt). 12 3π 3π 2 π 2 16) S = (2 + cos x) sin x dx ∫ = (2 + cos x) sin xdx − (2 + cos x) sin xdx ∫ ∫ π π π 2 2 3π π     2 1   1   = − 2  cos x + cos 2x + 2    cos x + cos 2x  = 3(đvdt).     4    π 4  π 2 17) Hoành độ giao điểm 2 x 1 + x = 0 ⇔ x = 0 1 1 1 1 2 2 ⇒ 1 1 S = x 1 + x dx = x 1 + x dx ∫ ∫ 2 2 2 3 = 1 + x d(1 + x ) = (1 + x ) ∫ . 2 3 0 0 0 0 2 2 − 1 Vậy S = (đvdt). 3 e e ln x ln x  lnx  18) S = dx = dx  > 0 ∀x ∈ 1  ; e ∫ ∫   .     2 x 2 x 2 x  1 1 Đặt = ln t t t x ⇒ x = e ⇒ dx = e dt
x = 1 ⇒ t = 0, x = e ⇒ t = 1 1 1 1 t 1 1 te dt   t ⇒ S = = td  e  ∫ ∫ t t t   = t e − e dt = e − 2 e ∫ . t   0 0 0 2 e 0 0 Vậy S = 2 − e (đvdt).
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 114
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 e e 1 + ln x 1 + ln x 19) S = dx = dx ∫ ∫ . x x 1 1 dx Đặt 2
t = 1 + ln x ⇒ t = 1 + ln x ⇒ 2tdt = x
x = 1 ⇒ t = 1, x = e ⇒ t = 2 2 2 2 2 2 3 ⇒ S = t.2tdt = 2t dt = t ∫ ∫ . 3 1 1 1 4 2 − 2 Vậy S = (đvdt). 3 e e e e 20) S = ln x dx = ln xdx = x ln x − dx ∫ ∫ ∫ . 2 2 2 2 Vậy S = 2 − 2 ln 2 . 1 1   π π π 21) = ⇔ x = ∈  ;  2 2 4  6 3 cos x sin x   π π π 3 4 3 1 1 ⇒ 1 1 1 1 S = − dx ∫ = − dx + − dx ∫ ∫ 2 2 cos x sin x 2 2 2 2 cos x sin x cos x sin x π π π 6 6 4 π π 4 3  1 1   1 1      =  − dx + ∫    − dx   ∫   2 2    2 2  cos x sin x cos x sin x  π π 6 4 π π = (tgx + cotgx) 4 + + . π (tgx cotgx) 3π 6 4 8 3 − 12 Vậy S = (đvdt). 3  2 y  = x x  = 0  
22) Tọa độ giao điểm  ⇔   2 y  = 0 y  = 4x       2 x   =  = y y x    Ta có:  ⇔   2 1 y  4x x  =  = y   2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 115
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 4 4 3  1  y   ⇒ S =  y − y dy = ∫    .  2  3 0 0 8 Vậy S = (đvdt). 3 2 23) S = x(x + 1)(x − 2) dx ∫ −2 −1 0 2 = ∫ ( 3 2 x − x − 2x )dx + ∫ ( 3 2 x − x − 2x )dx + ∫ ( 3 2 x − x − 2x )dx −2 −1 0 −1 0 2  4 3   4 3   4 3  x x  x x  x x  =    − −  +      − −  +   2 2 2 x x .      − − x        4 3 4 3    4 3    −2 −1 0 37 Vậy S = (đvdt). 6 2 2 0 2 0 24) x x x S = xe dx = xe dx − xe dx ∫ ∫ ∫ = ( − ) 1 x − ( − ) 1 x x e x e . 0 −1 −1 0 −1 3 e + 2e − 2 Vậy S = (đvdt). e   2  1  2 y  = 4x x   = y  1 25)  ⇔  2 4 ⇒ y = y −1 ⇔ y = 2 x  −y + 1 = 0   x   = y −1   4  2 2 2   1 3 2   ⇒ 1 1 y S = y − (y − 1) dy ∫ = ∫ ( 2y −4y +4) 2 dy =  −2y + 4y   . 4 4 4  3    0 0 0 2 Vậy S = (đvdt). 3  3  3 x  − y + 1 = 0 x   = y −1 26)   ⇔  3 3
⇒ y −1 = 1 −y ⇔ y + y − 2 = 0 ⇔ y = 1 x  + y −1 = 0 x  = 1− y     1     ⇒ S = ∫ (y +y − ) 1 3 1 4 1 2 2 dy =  y + y − 2y    . 4 2 0 0 5 Vậy S = . 4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 116
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 16.Tính thể tích do hình phẳng giới hạn bởi các đường
1) y = 3x , y = x , x = 0, x = 1 quay quanh Ox 2 2 x y + = 2 6) ellipse (E) : 1 quay quanh Ox x 16 9 2) y =
, y = 2 , y = 4, x = 0 quay quanh Oy 2 2 2 x x 7) ellipse (E) : + = 1 quay quanh Oy 3) 2 3
y = (x − 1) , x = 2 và y = 0 quay quanh Ox 16 9 2 2 4) 2
y = 4 − x, x = 0 quay quanh Oy
8) y = x + 2, y = 4 − x quay quanh Ox 5) 2 2
(C ) : x + (y − 4) = 4 quay quanh Oy 9) 2 y = x , y = x quay quanh Ox 10) 2 y = − − x 2 4 , x + 3y = 0 quay quanh Ox
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Bài giải 1 1 1 3 2 8 x π 1) V = π (3x) 2 2 − x dx = 8π x dx = ∫ ∫ . 3 0 0 0 8π Vậy V = (đvtt). 3 2 4 4 x 4 2) Ta có 2 y = ⇔ x = 2y 2 2 ⇒V = π x dy = π 2ydy = π y ∫ ∫ . 2 2 2 2 Vậy V = 12π (đvtt). 2 2 2 4 (x − 1) 3) Ta có 3 (x − 1) = 0 ⇔ x = 1 2 3 ⇒V = π y dx = π (x − 1) dx = π ∫ ∫ . 4 1 1 1 π Vậy V = (đvtt). 4  2  2 y  = 4 − x x   = 4 − y 4) Ta có   ⇔  ⇒ y = ±2 x  = 0 x  = 0     2 2     ⇒ = − =   π ∫ ( 2 y )2 3 5 8y y V 4 dy 2π 1  6y − +    .  3 5  −   2 0 512π Vậy V = (đvtt). 15 5) Tung độ giao điểm 2 2
(C ) : x + (y − 4) = 4 và Oy:   − = = 2 y 4 2 y 6 (y 4) 4   − = ⇔ ⇔ y  4 2 y  − = − = 2  
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 117
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 6 6 6  3      2 2 y 2 ⇒V = =  − −  =   π x dy π 4 (y 4) dy π −  + 4y − 12y ∫ ∫ .      3    2 2 2 Cách khác: 3 4π2 32π
Hình khối tròn xoay là hình cầu bán kính R = 2 nên V = . Vậy V = (đvtt). 3 3 2 2 x y
6) Hoành độ giao điểm (E) : + = 1 và Ox là x = ±4 . 16 9 2 2 x y 9 Ta có: 2 + = 1 ⇔ y = ( 2 16 − x ) 16 9 16 4 4 4  3    2 9π 2 9π x ⇒V = = − =   π y dx (16 x )dx 1  6x −  ∫ ∫   . 16 8  3  −   4 −4 0 Vậy V = 48π (đvtt). 2 2 x y
7) Tung độ giao điểm (E) : + = 1 và Oy là y = ±3 . 16 9 2 2 x y 16 2 + = 1 ⇔ x = ( 2 9 − y ) 16 9 9 3 4 3  3    2 16π 2 32π y ⇒V = = − =   π x dy (9 y )dy 9  y −  ∫ ∫   . 9 9  3  −   4 −3 0 Vậy V = 64π (đvtt). 8) Hoành độ giao điểm 2 2 x + 2 = 4 − x ⇔ x = ±1 1 1 1  3    ⇒ x V = 2 = − =   π ∫ (x + )2 2 −(4 −x )2 2 2 dx 24π x 1 dx 24π  − x ∫   .  3   −  1 0 0 Vậy V = 16π (đvtt). 9) Hoành độ giao điểm 2 4
x = x ⇔ x = x ⇔ x = 0 ∨ x = 1 1 1 1     ⇒ = − = − =   π π ∫ ∫ ( ) 5 2 4 4 x x V x x dx x x dx π  −    .  5 2    0 0 0 3π Vậy V = (đvtt). 10
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 118
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 x 10) Hoành độ giao điểm 2 2 − 4 − x = − ⇔ x = 3 ⇔ x = ± 3 3 3 3 3  5    ⇒ = 2π = ∫ ( 3 4 π x 36 − 3x − x ) 2 3 =   π ∫ ( x V 4 − x ) 4 2 − dx dx 36x − 3x −    . 9 9 9  5    − 3 0 0 28π 3 Vậy V = (đvtt). 5
Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô và các bạn học sinh đã đọc tài liệu này!
Mọi sự góp ý xin gửi về: huythuong2801@gmail.com
Toàn bộ tài liệu ôn thi môn toán của Lưu Huy Thưởng ở địa chỉ sau:
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 119