-
Thông tin
-
Hỏi đáp
Phân dạng bài tập và lời giải chi tiết chuyên đề Tích phân – Lưu Huy Thưởng Toán 12
Phân dạng bài tập và lời giải chi tiết chuyên đề Tích phân – Lưu Huy Thưởng Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 197 tài liệu
Toán 12 3.8 K tài liệu
Phân dạng bài tập và lời giải chi tiết chuyên đề Tích phân – Lưu Huy Thưởng Toán 12
Phân dạng bài tập và lời giải chi tiết chuyên đề Tích phân – Lưu Huy Thưởng Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 197 tài liệu
Môn: Toán 12 3.8 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Tài liệu khác của Toán 12
Preview text:
TUYỂN TẬP TÍCH PHÂN
(ĐÁP ÁN CHI TIẾT)
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
Toàn bộ tài liệu của thầy ở trang:
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HỌ VÀ TÊN: ……
…………………………………………………………… LỚP
:…………………… ……………………………………………. TR
ƯỜNG :………………………………………………………………… HÀ NỘI, 4/2014
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 TÍCH PHÂN CƠ BẢN
Toàn bộ tài liệu luyện thi đại học môn toán của thầy Lưu Huy Thưởng:
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 1.Tính các tích phân sau: 1 1 1 a) 3 I = x dx 3 I = (2x + 1) dx 3 I = (1 − 4x) dx 1 ∫ b) 2 ∫ c) 3 ∫ 0 0 0 1 1 d) 2 3 I = (x − 1)(x − 2x + 5) dx 2 3 I = (2x − 3)(x − 3x + 1) dx 4 ∫ e) 5 ∫ 0 0 Bài giải 1 4 x 1 a) 3 1 I = x dx = = 1 ∫ 0 4 4 0 1 1 b) 3 I = (2x + 1) dx d(2x + 1) = 2dx ⇒ dx = d(2x + 1) 2 ∫ Chú ý: 2 0 1 1 4 3 1 3 1 (2x + 1) 1 81 1 ⇒ I = (2x + 1) dx = (2x + 1) d(2x + 1) = = − = 10 2 ∫ ∫ 0 2 2 4 8 8 0 0 1 1 c) 3 I = (1 − 4x) dx
d(1 − 4x) = −4dx ⇒ dx = − d(1 − 4x) 3 ∫ Chú ý: 4 0 1 1 4 3 1 3 1 (1 − 4x) 1 81 1 ⇒ I = (1 − 4x) dx = − (1 − 4x) d(1 − 4x) = − = − + = −5 3 ∫ ∫ 0 4 4 4 16 16 0 0 1 1 d) 2 3 I = (x − 1)(x − 2x + 5) dx
d(x − 2x + 5) = (2x − 2)dx ⇒ (x − 1)dx = d(x − 2x + 5) 4 ∫ Chú ý: 2 2 2 0 1 1 2 3 1 2 3 2 ⇒ I = (x − 1)(x − 2x + 5) dx = (x − 2x + 5) d(x − 2x + 5) 4 ∫ ∫ 2 0 0 2 4 1 (x − 2x + 5) 1 615 671 = . = 162 − = 0 2 4 8 8
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 1
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 e) 2 3 I = (2x − 3)(x − 3x + 1) dx d x − x + = x − dx 5 ∫ Chú ý: 2 ( 3 1) (2 3) 0 1 1 2 3 2 3 2 ⇒ I = (2x − 3)(x − 3x + 1) dx = (x − 3x + 1) d(x − 3x + 1) 5 ∫ ∫ 0 0 2 4 (x − 3x + 1) 1 1 1 = = − = 0 0 4 4 4
HT 2.Tính các tích phân sau: 1 7 4 a) I = xdx I = x + 2dx I = 2x + 1dx 1 ∫ b) 2 ∫ c) 3 ∫ 0 2 0 1 1 1 d) 2 I = x 1 + x dx 2 I = x 1 − x dx 2 I = (1 − x) x − 2x + 3dx 4 ∫ e) 5 ∫ f) 6 ∫ 0 0 0 1 1 g) 2 3 I = x x + 1dx 2 3 2 I = (x − 2x) x − 3x + 2dx 7 ∫ h) 8 ∫ 0 0 Bài giải 1 2 2 a) I = xdx = x x = 1 ∫ 1 0 3 3 0 7 2 16 38 b) 7 I = x + 2dx = (x + 2) x + 2 = 18 − = 2 ∫ 2 3 3 3 2 4 4 1 1 2 1 26 c) I = 2x + 1dx 4 = 2x + 1d(2x + 1) = . (2x + 1) 2x + 1 = 9 − = 3 ∫ ∫ 0 2 2 3 3 3 0 0 1 1 1 1 2 2 2 1 d) 2 2 2 2 2 1 I = x 1 + x dx = 1 + x d(1 + x ) = . (1 + x ) 1 + x = − 4 ∫ ∫ 0 2 2 3 3 3 0 0 1 1 1 1 2 1 1 e) 2 I = x 1 − x dx 2 2 2 2 1 = −
1 − x d(1 − x ) = − . (1 − x ) 1 − x = 0 + = 5 ∫ ∫ 0 2 2 3 3 3 0 0 1 1 1 f) 2 2 2 I = (1 − x) x − 2x + 3dx = − x − 2x + 3d(x − 2x + 3) 6 ∫ ∫ 2 0 0 1 2 2 2 1 2 2
= − . (x − 2x + 3) x − 2x + 3 = − + 3 0 2 3 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 2
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 1 1 1 2 4 2 − 2 g) 2 3 3 3 3 3 1 I = x x + 1dx = x
+ 1d(x + 1) = . (x + 1) x + 1 = 7 ∫ ∫ 0 3 3 3 9 0 0 1 1 1 h) 2 3 2 3 2 3 2 I = (x − 2x) x − 3x + 2dx = x − 3x + 2d(x − 3x + 2) 8 ∫ ∫ 3 0 0 1 2 3 2 3 2 1 4 2 4 2
= . (x − 3x + 2) x − 3x + 2 = 0 − = − 0 3 3 9 9
HT 3.Tính các tích phân sau: 4 1 0 dx dx dx a) I = I = I = 1 ∫ b) 2 ∫ c) 3 ∫ x 2x + 1 1 − 2x 1 0 −1 1 1 (x + 1)dx (x − 2)dx d) I = I = 4 ∫ e) 5 ∫ 2 x + x + 2 x − x + 0 2 2 0 4 5 Bài giải 4 dx a) 4 I = = 2 x = 4 − 2 = 2 1 ∫ 1 x 1 1 1 dx 1 d(2x + 1) b) 1 I = = = 2x + 1 = 3 −1 2 ∫ ∫ 0 x + 2 2 1 2x + 1 0 0 0 0 dx 1 d(1 − 2x) c) 0 I = = − = − 1 − 2x = −1 + 3 3 ∫ ∫ −1 − x 2 1 2 1 − 2x −1 −1 1 1 2 (x + 1)dx 1 d(x + 2x + 2) d) 2 1 I = = = x + 2x + 2 = 5 − 2 4 ∫ ∫ 0 2 2 2 x + x + x + x + 0 2 2 0 2 2 1 1 2 (x − 2)dx 1 d(x − 4x + 5) e) 2 1 I = = = x − 4x + 5 = 2 − 5 5 ∫ ∫ 0 2 2 2 x − x + x − x + 0 4 5 0 4 5
HT 4.Tính các tích phân sau: e 0 1 dx dx xdx a) I = I = I = 1 ∫ b) ∫ c) ∫ x 2 1 − 2x 3 2 x + 1 1 −1 0 1 1 (x + 1)dx x − 2 d) I = I = dx 4 ∫ e) ∫ 2 5 x + 2x + 2 2 x − 4x + 5 0 0 Bài giải
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 3
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 e dx e a) I = = ln x = lne − ln1 = 1 1 ∫ 1 x 1 0 0 dx 1 d(1 − 2x) 1 1 ln 3 b) I = 0 = − = − ln 1 − 2x = − (ln1 − ln 3) = 2 ∫ ∫ 1 − 2 − x 1 2 1 − 2x 2 2 2 −1 −1 1 1 d x + 1 ( 2 )1 xdx 1 1 ln 2 c) I = 2 1 = = ln x + 1 = (ln 2 − ln1) = 3 ∫ ∫ 2 0 x + 1 2 2 x 2 2 2 + 1 0 0 1 1 (x + 1)dx 2 1 d(x + 2x + 2) 1 1 1 5 d) I = =
= ln x + 2x + 2 = (ln 5 − ln 2) = ln 4 ∫ ∫ 2 1 2 0 x + 2x + 2 2 2 x + 2x + 2 2 2 2 2 0 0 1 1 2 x − 2 1 d(x − 4x + 5) 1 1 1 2 e) 2 1 I = dx =
= ln x − 4x + 5 = (ln 2 − ln 5) = ln 5 ∫ ∫ 0 2 2 x − x 2 + x − x 2 2 2 5 4 5 4 + 5 0 0
HT 5.Tính các tích phân sau: 2 0 1 dx dx dx a) I = I = I = 1 ∫ b) ∫ c) ∫ 2 2 3 x 2 (2x − 1) 2 (3x + 1) 1 −1 0 Bài giải 2 dx 1 1 1 a) 2 I = = − = − + 1 = 1 ∫ 1 2 x x 2 2 1 0 0 dx 1 d(2x − 1) 1 1 1 1 1 b) 0 I = = = − . = − = 2 ∫ ∫ −1 2 2 2 2 2x x − x −1 2 6 3 (2 1) (2 − 1) −1 −1 1 1 dx 1 d(3x + 1) 1 1 1 1 1 c) 1 I = = = − . = − + = 3 ∫ ∫ 0 2 2 3 3 3x x + x + 1 12 4 6 (3 1) (3 + 1) 0 0
HT 6.Tính các tích phân sau: 1 1 1 x x x x x a) 3 I = e dx 3 I = e (2e + 1) dx 3 I = e (1 − 4e ) dx 1 ∫ b) 2 ∫ c) 3 ∫ 0 0 0 1 2 2 x x x e dx 2 e dx 2 e dx d) I = I = I = 4 ∫ e) ∫ f) ∫ x 5 x 6 x e + 1 2 2 (e −1) 2 3 (1 − 3e ) 0 1 1 1 1 1 x x x x x e dx g) I = e 2e + 1dx 2 2 I = e 1 + 3e dx I = 7 ∫ h) 8 ∫ i) 9 ∫ x e + 0 0 0 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 4
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 3 x 1 x e 1 a) 3 3 1 I = e dx = e = − 1 ∫ 0 3 3 3 0 1 1 x 4 + x x 1 x x 1 (2e 1) b) 3 3 1 I = e (2e + 1) dx = (2e + 1) d(2e + 1) = . 2 ∫ ∫ 0 2 2 4 0 0 4 1 (2e + 1) 81 4 = (2e + 1) 81 − = − 2 4 4 8 8 1 1 x x 1 x x c) 3 3 I = e (1 − 4e ) dx = − (1 − 4e ) d(1 − 4e ) 3 ∫ ∫ 4 0 0 x 4 4 4 1 (1 − 4e ) − 1 1 (1 4e) 81 81 − (1 − 4e) = − . = − − = 0 4 4 4 4 4 16 1 1 x e dx d( x e + 1) x e + 1 d) 1 I = =
= ln e + 1 = ln(e + 1) − ln 2 = ln 4 ∫ ∫ x x 0 e + e 2 1 + 1 0 0 2 2 2x 2x 2 e dx 1 d(e −1) 1 1 1 1 e e) 2 I = = = − . = − + = 5 ∫ ∫ x x x 1 2 2 2 2 2 4 2 4 e 2 − e 2 ( 1) ( −1) e −1 2(e − 1) 2(e − 1) 2(e − 1) 1 1 2 2 2x 2 e dx 1 d(1 − 3 x e ) 1 1 − 1 1 f) 2 I = = − = − . = − 6 ∫ ∫ x x x 1 2 3 2 3 2 2 4 2 − e 6 − e 6 (1 3 ) (1 3 ) 2(1 − 3e ) 12(1 − 3e ) 12(1 − 3e ) 1 1 1 1 x x 1 x x 1 2 x x 1 g) 1 I = e 2e + 1dx =
2e + 1d(2e + 1) = . (2e + 1) 2e + 1 = (2e + 1) 2e + 1 − 3 7 ∫ ∫ 0 2 2 3 3 0 0 1 1 x x 1 x x 1 2 x x 1 8 h) 2 2 I = e 1 + 3e dx 2 2 2 2 1 2 2 =
1 + 3e d(1 + 3e ) = . (1 + 3e ) 1 + 3e = (1 + 3e ) 1 + 3e − 8 ∫ ∫ 0 6 6 3 9 9 0 0 1 1 x x e dx d(e + 1) x i) I = 1 = = 2 e + 1 = 2 e + 1 − 2 9 ∫ ∫ 0 x x e + e + 0 1 0 1
HT 7.Tính các tích phân sau: e e e ln x 3 ln x + 1 3 (3 ln x + 1) a) I = dx I = dx I = dx 1 ∫ b) ∫ c) ∫ x 2 x 3 x 1 1 1 e 2 e e 3 2 4 ln x + 3 ln x − 2 ln x + 1 dx dx d) I = dx I = I = 4 ∫ e) ∫ f) ∫ x 5 x ln x 6 x(3 ln x + 1) 1 e 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 5
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 e e 3 ln x + 1dx dx g) I = I = 7 ∫ h) ∫ x 8 x 3 ln x + 1 1 1 Bài giải e e 2 2 2 ln x ln x e ln e ln 1 1 a) I = dx = ln xd(ln x) = = − = 1 ∫ ∫ 1 x 2 2 2 2 1 1 e e 2 3 ln x + 1 3 ln x e 3 5 b) I = dx = (3 ln x + 1)d(ln x) = + ln x = ( + 1) − 0 = 2 ∫ ∫ 1 x 2 2 2 1 1 e e 3 4 (3 ln x + 1) 1 1 (3 ln x + 1) e 64 1 85 c) 3 I = dx = (3 ln x + 1) d(3 ln x + 1) = . = − = 3 ∫ ∫ 1 x 3 3 4 3 12 4 1 1 e e 3 2 4 ln x + 3 ln x − 2 ln x + 1 d) I = dx =
(4 ln x + 3 ln x − 2 ln x + 1)d(ln x) 4 ∫ 3 2 ∫ x 1 1 4 3 2 = (ln + ln − ln + ln ) e x x x x = (1 + 1 −1 + 1) − 0 = 2 1 2 2 e e dx d x 2 (ln ) e e) 2 I = =
= ln(ln x) = ln(lne ) − ln(lne) = ln 2 5 ∫ ∫ x ln x ln e x e e e e dx 1 d(3 ln x + 1) 1 e f) I = = = ln(3 ln x + 1 ln 4 1) = (ln 4 − ln1) = 6 ∫ ∫ x(3 ln x + 1) 3 3 ln x + 1 1 3 3 3 1 1 e e 3 ln x + 1dx 1 1 2 e 16 2 14 g) I = = 3 ln x + 1d(3 ln x + 1) = . (3 ln x + 1) 3 ln x + 1 = − = 7 ∫ ∫ x 3 1 3 3 9 9 9 1 1 e e dx 1 d(3 ln x + 1) 1 e 4 2 2 h) I = = = = .2 3 ln x + 1 = − = 8 ∫ ∫ 1 x 3 ln x + 1 3 x + 3 3 3 3 3 ln 1 1 1
HT 8.Tính các tích phân sau: π π π 2 2 4 a) 2 I = cos x sin xdx 2 I = sin x cos xdx 3 I = sin 2x cos 2xdx 1 ∫ b) 2 ∫ c) 3 ∫ 0 0 0 π π π 4 2 2 sin x cos x d) I = dx I = sin x 3 cos x + 1dx I = dx 4 ∫ e) ∫ f) ∫ cos x 5 6 3 sin x + 1 0 0 0 Giải
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 6
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π 2 2 3 π cos x 1 a) 2 2 I = x xdx = − xd x 2 cos sin cos (cos ) = − = 1 ∫ ∫ 0 3 3 0 0 π π 2 2 3 π sin x 1 b) 2 I = sin x cos xdx 2 = xd x 2 sin (sin ) = = 2 ∫ ∫ 0 3 3 0 0 π π 4 4 4 π 1 sin 2x 1 c) 3 3 I = x xdx = xd x 4 sin 2 cos 2 sin 2 (sin 2 ) = = 3 ∫ ∫ 0 2 8 8 0 0 π π 4 4 π sin x d(cos x) 2 2 d) I = dx = − = − x 4 ln(cos ) = −ln + ln1 = −ln 4 ∫ ∫ 0 cos x cos x 2 2 0 0 π π 2 2 π 1 1 2 1 4 e) I = x x + dx = x + d x + = x + x 2 sin 3 cos 1 3 cos 1 (3 cos 1) . (3 cos 1) 3 cos + 1 = − = 1 − 5 ∫ ∫ 0 3 2 3 3 3 0 0 π π 2 2 π cos x 1 d(3 sin x + 1) 2 4 2 2 f) I = dx = = x 2 3 sin + 1 = − = 6 ∫ ∫ 0 x + 3 x + 3 3 3 3 3 sin 1 3 sin 1 0 0
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 7
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
PHẦN II TÍCH PHẦN HÀM HỮU TỶ
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com dx I.DẠNG 1: ∫ 1 = ln ax + b +C ax + b a
HT 1.Tính các tích phân sau: 1 0 1 dx dx 1 3 a) ∫ b) ∫ c) − dx ∫ 3x + 1 1 − 3x 2x + 1 4 − 2x 0 −1 0 Giải 1 dx 1 1 ln 4 a) 1 = ln 3x + 1 = (ln 4 − ln1) = ∫ 0 3x + 1 3 3 3 0 0 dx 1 1 ln 4 b) ∫ 0 = − ln 1 − 3x = − (ln1 − ln 4) = − 1 − 3x −1 3 3 3 −1 1 1 3 1 3 1 3 1 3 c) 1 − dx = ∫
ln 2x + 1 + ln 4 − 2x = + − ln 3 + ln 2 − ln1 + ln 4 0 2x 1 4 2x 2 2 2 2 2 2 0 1 3 1 = ln 3 + ln 2 2 2
HT 2.Tính các tích phân sau: 2 4 3 2 1 0 x + 3x − 2x + 5x − 1 3 2 x − 3x + 2x − 1 3 2 2x − 3x + 4x − 1 a) I = dx I = dx I = 1 ∫ b) ∫ c) ∫ 2 2 3 x x − 2 1 − 2x 1 0 −1 Giải 2 4 3 2 2 x + 3x − 2x + 5x − 1 5 1 a) I = dx 2 = (x + 3x − 2 + − )dx 1 ∫ ∫ 2 x x 2 x 1 1 3 2 x 3x 1 = 2 8 1 1 3 13 +
− 2x + 5 ln x + = + 6 − 4 + 5 ln 2 + −
+ − 2 + 5 ln1 + 1 = + 5 ln 2 1 3 2 x 3 2 3 2 3 1 3 2 1 x − 3x + 2x − 1 1 b) I = dx 2 = x − x − dx 2 ∫ ∫ x − 2 x − 2) 0 0 3 2 x x = 1 1 1 1 −
− ln x − 2 = − − ln1 − −ln 2 = ln 2 − 0 ( ) 3 2 3 2 6 0 3 2 0 2x − 3x + 4x − 1 3 1 c) I = 2 = x − + x − + dx 3 ∫ ∫ 1 − 2x 2 2(−2x + 1) −1 −1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 8
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 3 2 x x 3 1 = 0 − + − x − ln −2x + 1 − 1 3 2 2 4 1 1 1 3 1 ln 3 7
= (− ln1) −( + + − ln 3) = − 4 3 2 2 4 4 3 dx II.DẠNG 2: ∫ 2 ax + bx + c
HT 3.Tính các tích phân sau (mẫu số có hai nghiệm phân biệt) 1 1 1 dx dx dx a) ∫ b) ∫ c) ∫ (x + 1)(x + 2) (x + 1)(3 − x) (x + 1)(2x + 3) 0 0 0 Giải 1 1 1 dx (x + 2) − (x + 1) 1 1 a) = dx = − dx ∫ ∫ ∫ (x + 1)(x + 2) (x + 1)(x + 2) x + 1 x + 2 0 0 0 ( + = x + − x + ) 1 x 1 1 2 1 4 ln 1 ln 2 = ln = ln − ln = ln 0 0 x + 2 3 2 3 1 1 1 dx 1 (x + 1) + (3 − x) 1 1 1 b) ∫ = dx = + dx ∫ ∫ (x + 1)(3 − x) 4 (x + 1)(3 − x) 4 3 − x x + 1 0 0 0 1 ( x + = − 1 1 ln 3 ln 3 − x + ln x + 1 ) 1 1 1 1 = ln = ln1 − ln = − 0 0 4 4 3 − x 4 3 4 1 1 1 dx (2x + 3) − 2(x + 1) 1 2 c) = dx ∫ ∫ = − dx ∫ (x + 1)(2x + 3) (x + 1)(2x + 3) x + 1 2x + 3 0 0 0 ( + = x + − x + ) 1 x 1 1 2 1 6 ln 1 ln 2 3 = ln = ln − ln = ln 0 0 2x + 3 5 3 5
HT 4.Tính các tích phân sau: 1 0 2 dx dx dx a) ∫ b) ∫ c) ∫ 2 x − x − 12 2 2x − 5x + 2 2 1 − 2x − 3x 0 −1 1 Giải 1 1 1 dx dx 1 (x + 3) − (x − 4) a) ∫ = = dx ∫ ∫ 2 x − x − 12 (x + 3)(x − 4) 7 (x + 3)(x − 4) 0 0 0 1 1 1 1 1 = − = ∫ ( x − dx ln x − 4 − ln x + 3 ) 1 1 4 1 = ln 0 0 7 x − 4 x + 3 7 7 x + 3 0 1 3 4 1 9 = (ln − ln ) = ln 7 4 3 7 16 0 0 0 0 dx dx dx 1 (2x − 1) − 2(x − 2) b) ∫ = = = dx ∫ ∫ ∫ 2 2x − 5x + 2 1 (x − 2)(2x − 1) 3 (x − 2)(2x − 1) −1 −1 2(x − 2)(x − ) −1 −1 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 9
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 0 1 1 2 1 = − dx = ∫
(ln x −2 −ln 2x −1) 0− 1 3 x − 2 2x −1 3 −1 1 x − 2 0 1 ln 2 = ln = (ln 2 − ln1) − = 1 3 2x − 1 3 3 2 2 2 2 dx dx dx 1 3(x + 1) + (1 − 3x) c) = = ∫ ∫ ∫ = dx ∫ 2 1 (x + 1)(1 − 3x) 1 − 2x − 3x 4 (x + 1)(1 − 3x) 1 1 −3(x + 1)(x − ) 1 1 3 2 1 3 1 1 + = + 1 x 1 1 3 1 3 dx = ∫ 2
(−ln 1−3x + ln x +1) 2 = ln = (ln − ln1) = ln 1 4 1− 3x x + 1 4 1 4 1 − 3x 4 5 4 5 1
HT 5.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm kép) 2 1 0 0 0 dx dx dx dx dx a) ∫ b) ∫ c) ∫ d) ∫ e) ∫ 2 x 2 (3x + 1) 2 (1 − 2x) 2 9x − 6x + 1 2 −16x + 8x −1 1 0 −1 −1 −1 Giải 2 dx 1 1 1 a) ∫ 2 = − = − + 1 = 2 1 x x 2 2 1 1 dx 1 1 1 1 1 b) 1 = − . = − − = ∫ 0 2 3 (3x + 1) + 12 3 4 (3x 1) 0 0 0 dx dx 1 1 1 1 1 c) ∫ 0 = = − . = − − + = ∫ 2 −1 − (1 − 2x) 2 2 2x 1 − 2 6 3 − (2x 1) 1 −1 0 0 dx dx 1 1 1 1 1 d) ∫ 0 = = − . = − − + = ∫ 2 −1 − 9x − 6x + 1 2 3 3x 1 − 3 12 4 − (3x 1) 1 −1 0 0 0 dx dx dx 1 1 1 1 1 e) ∫ 0 = − = − = . = − + = − ∫ ∫ 2 − − 1 16x + 8x − 1 2 2 4 4x − 1 4 20 5 − + − − 16x 8x 1 (4x 1) 1 −1 −1
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 6.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm) 2 1 3 2 dx dx dx a) I = 1 ∫ b) ∫ c) ∫ 2 x + 1 2 x + 3 2 2x + 3 0 0 0 Giải 1 dx a) I = 1 ∫ 2 x + 1 0 π π Đặt: x = tan t t ∈ − ; 2 2 dt ⇒ dx = 2 cos t
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 10
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π Với x = 1 ⇒ t = 4 π π π 4 4 4 π dt dt 4 ⇒ π I = = = dt = t = 1 ∫ ∫ ∫ 0 2 2 t t + 2 1 cos (tan 1) 4 0 0 cos t. 0 2 cos t 3 dx b) I = 2 ∫ 2 x + 3 0 π π Đặt: x = 3 tant Với t ∈ − ; 2 2 3dt ⇒ dx = 2 cos t π
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0 ; Với x = 3 ⇒ t = 4 π π π 4 4 4 π 3dt 3 dt ⇒ 3 3 3π I = = = dt = t = 2 ∫ ∫ ∫ 4 2 2 3 0 t t + 2 1 cos (3 tan 3) 3 3 12 0 0 cos t. 0 2 cos t 2 2 2 2 2 2 dx dx 1 dx c) I = = = 3 ∫ ∫ ∫ 2 2x + 3 2 3 2 2 3 0 0 2 x + x + 0 2 2 3 π π Đặt: x = tan t Với t ∈ − ; 2 2 2 6 dt ⇒ dx = 2 2 cos t 2 π
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0; Với x = ⇒ t = 2 6 π π π 6 6 6 π 1 6dt 6 dt 6 6 6 6π ⇒ I = = = dt = t = 3 ∫ ∫ ∫ 0 2 2 3 2 3 6 2 1 6 6 36 0 2 cos t( tan t + ) 0 cos t. 0 2 2 2 cos t
HT 7.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm) 0 4 1 dx dx dx a) I = I = I = 1 ∫ b) ∫ c) ∫ 2 2 3 (x + 1) + 1 2 − + 2 + + − x 4x 8 x x 1 1 2 0 Giải 0 dx a) I = 1 ∫ 2 (x + 1) + 1 −1 π π
Đặt: x + 1 = tan t Với t ∈ − ; 2 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 11
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 dt ⇒ dx = 2 cos t π
Đổi cận: Với x = −1 ⇒ t = 0; Với x = 0 ⇒ t = 4 π π π 4 4 4 π dt dt 4 π ⇒ I = = = dt = t = 1 ∫ ∫ ∫ 0 2 2 t t + 2 1 4 cos (tan 1) 0 0 cos t. 0 2 cos t 4 4 dx dx b) I = = 2 ∫ ∫ 2 x − 4x + 8 2 (x − 2) + 4 2 2 π π
Đặt: x − 2 = 2 tan t Với t ∈ − ; 2 2 2dt ⇒ dx = 2 cos t π
Đổi cận: Với x = 2 ⇒ t = 0; Với x = 4 ⇒ t = 4 π π π 4 4 4 π 2dt 1 dt 1 1 4 π ⇒ I = = = dt = t = 2 ∫ ∫ ∫ 0 2 2 2 t t + 2 1 2 2 8 cos (4 tan 4) 0 0 cos t. 0 2 cos t 1 1 dx dx c) I = = 3 ∫ ∫ 2 x + x + 1 2 0 0 1 3 x + + 2 4 1 3 π π Đặt: x + = tan t Với t ∈ − ; 2 2 2 2 3 dt ⇒ dx = . 2 2 cos t π π
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = ;Với x = 1 ⇒ t = 6 3 π π 3 3 3dt 2 3 dt ⇒ I = = = 3 ∫ ∫ 2 3 2 3 3 2 1 + π 2 cos t( tan t ) π cos t. 2 4 4 6 6 cos t π 3 π 2 3 2 3 3 2 3π 2 3π 2 3π dt = t = − = ∫ 3 3 π 9 18 18 π 6 6
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 12
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 mx + n III.Dạng 3: dx ∫ 2 ax + bx + c
HT 8.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có 2 nghiệm phân biệt) 1 0 0 x − 1 2x + 10 7 − 4x a) I = dx I = dx I = dx 1 ∫ b) ∫ c) ∫ 2 2 3 x + 4x + 3 2 x − + x + 2 2 −2x − 3x + 2 0 −1 −1 Giải 1 1 x − 1 (x − 1)dx a) I = dx = 1 ∫ ∫ 2 x + 4x + 3 (x + 1)(x + 3) 0 0 x − 1 A B Ax + A + Bx + 3B (A + b)x + A + 3B Xét đồng nhất thức: = + = = (x + 3)(x + 1) x + 3 x + 1 (x + 3)(x + 1) (x + 3)(x + 1) A + B = 1 A = 2
Đồng nhất thức hai vế ta được: ⇔ A + 3B = −1 B = −1 1 2 1 Vậy, I = − dx = ∫ (2ln x + 3 −ln x +1) 1 1 0 x + 3 x + 1 0 4
= (2 ln 4 − ln 2) −(2 ln 3 − ln1) = 2 ln − ln 2 3 0 0 2x + 10 2x + 10 b) dx ∫ = dx ∫ 2 x − + x + 2 (x + 2)(1 − x) −1 −1 2x + 10 A B A − Ax + Bx + 2B (B − ) A x + A + 2B Xét đồng nhất thức: = + = = (x + 2)(1 − x) x + 2 1 − x (x + 2)(1 − x) (x + 2)(1 − x) B − A = 2 A = 2
Đồng nhất thức hai vế ta được: ⇔ A + 2B = 10 B = 4 0 2 4 Vậy, I = + dx = ∫ (2ln x +2 −4ln 1−x ) 0 2 1 x + 2 1− x − −1
= (2 ln 2 − 4 ln1) −(2 ln1 − 4 ln 2) = 2 ln 2 + 4 ln 2 = ln 4 + ln16 = ln 64 0 0 7 − 4x 7 − 4x c) I = dx = dx 3 ∫ ∫ 2 −2x − 3x + 2 (x + 2)(1 − 2x) −1 −1 7 − 4x A B A − 2Ax + Bx + 2B (B − 2 ) A x + A + 2B Xét đồng nhất thức: = + = = (x + 2)(1 − 2x) x + 2 1 − 2x (x + 2)(1 − 2x) (x + 2)(1 − 2x) B − 2A = −4 A = 3
Đồng nhất thức hai vế ta được: ⇔ A + 2B = 7 B = 2 0 2 3 Vậy, I = + dx = ∫ (−ln 1−2x + 3ln x +2) 0 3 −1 1− 2x x + 2 −1 3
= (−ln1 + 2 ln 2) − (−ln 3 + 3 ln 2) = ln 3 − ln 2 = ln 2
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 13
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 9.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm kép) 1 0 1 (3x + 1)dx 3x − 1 3x + 2 a) I = I = dx I = dx 1 ∫ b) ∫ c) ∫ 2 2 3 x + 2x + 1 2 4x − 4x + 1 2 4x + 12x + 9 0 −1 0 Giải 1 1 1 1 (3x + 1)dx 3x + 1 3(x + 1) − 2 3 2 = = = = a) I dx dx − dx 1 ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 + + + + x + 2 1 x 2x 1 (x 1) (x 1) (x + 1) 0 0 0 0 2 1 = 3 ln x + 1 +
= (3 ln 2 + 1) −(3 ln1 + 2) = 3 ln 2 −1 0 x + 1 3 1 0 0 0 (2x − )1+ 3x − 1 3x − 1 b) I = dx 2 2 = dx = dx 2 ∫ ∫ ∫ 2 4x − 4x + 1 2 2 − − − (2x 1) (2x 1) 1 −1 −1 0 3 1 1 1 3 1 1 = 0 . + . dx = ln 2x −1 − . ∫ − 1 x − 2 2 2 1 2 − 4 4 2x − 1 (2x 1) − 1 3 1 3 1 3 1 = ln1 + − ln 3 + = − ln 3 + 4 4 4 12 4 6 3 5 1 1 1 (2x + 3) − 3x + 2 3x + 2 c) I = dx 2 2 = dx = dx 3 ∫ ∫ ∫ 2 4x + 12x + 9 2 2 (2x + 3) (2x + 3) 0 0 0 1 3 1 5 1 = 3 5 1 . − . dx ∫ 1 = + + ln 2x 3 . x + 2 2 2 3 2 0 + (2x + 3) 4 4 2x 3 0 3 1 3 5 3 5 1 = ln 5 + − ln 3 + = ln − 4 4 4 12 4 3 6
HT 10.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm) 1 3 1 3x + 1 3x + 2 3x − 1 a) I = dx I = dx I = dx 1 ∫ b) ∫ c) ∫ 2 2 3 x + 1 2 x − 4x + 5 2 4x − 4x + 2 0 1 0 Giải 1 3x +1 a) I = dx 1 ∫ 2 x + 1 0 3 1 .2x + 1 1 1 1 3 2x 1 3 2x dx Chú ý: 2 (x + 1)' = 2x Nên: 2 I = dx = . + ∫ dx = dx + 1 ∫ ∫ ∫ 2 x + 1 2 2 2 x + 1 x + 1 2 2 2 x + 1 x + 1 0 0 0 0 1 1 2 3 2x 3 d(x + 1) 3 3 3 ln 2 Xét: 2 1 M = dx = = ln x + 1 = (ln 2 − ln1) = ∫ ∫ 0 2 2 2 2 2 2 2 x + 1 x + 1 0 0 1 dx Xét: N = ∫ 2 x + 1 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 14
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π Đặt: x = tan t t ∈ − ; 2 2 dt ⇒ dx = 2 cos t
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0 π Với x = 1 ⇒ t = 4 π π π 4 4 4 π dt dt 4 ⇒ π M = = = dt = t ∫ ∫ ∫ = 0 2 2 t t + 2 1 cos (tan 1) 4 0 0 cos t. 0 2 cos t 3 ln 2 π Vậy, I = M + N = + 1 2 4 3 3x + 2 b) I = dx 2 ∫ 2 x − 4x + 5 1 Chú ý: 2 (x − 4x + 5)' = 2x − 4 3 3 3 (2x − 4) + 8 3 2x 4 1 − Khi đó: 2 I = dx = + 8. ∫ ∫ dx 2 2 2 2 2 x − 4x + 5 x − 4x + 5 x − 4x + 5 1 1 3 3 3 2x − 4 1 = dx + 8 dx ∫ ∫ 2 2 2 x − 4x + 5 x − 4x + 5 1 1 3 3 2 3 2x − 4 3 d(x − 4x + 5) 3 3 + Xét: M = dx = ∫ ∫ = 2 3 ln x − 4x + 5 = (ln 2 − ln 2) = 0 2 2 2 2 1 x − 4x + 5 x − 4x + 5 2 2 1 1 3 3 1 dx + Xét: N = 8 dx ∫ = 8∫ 2 x − 4x + 5 2 (x − 2) + 1 1 1 π π
Đặt: x − 2 = tan t Với t ∈ − ; 2 2 dt ⇒ dx = 2 cos t π π
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = − ; Với x = 3 ⇒ t = 4 4 π π 4 4 π dt 4 ⇒ N = 8 = 8 dt = 8t = 4π ∫ ∫ 2 2 − cos t(tan t + 1) π π − π 4 − 4 4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 15
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Vậy, I = M + N = 4π 2 1 3x − 1 c) I = dx 3 ∫ 2 4x − 4x + 2 0 Chú ý: 2 (4x − 4x + 2)' = 8x − 4 3 1 1 1 (8x − 4) + 3x − 1 Ta có: 8 2 I = dx = dx 3 ∫ ∫ 2 2 4x − 4x + 2 4x − 4x + 2 0 0 1 1 3 8x − 4 1 dx = dx + ∫ ∫ 2 2 8 2 4x − 4x + 2 4x − 4x + 2 0 0 1 1 2 3 8x − 4 3 d(4x − 4x + 2) 3 3 +) Xét: 2 1 M = dx =
= ln 4x − 4x + 2 = (ln 2 − ln 2) = 0 ∫ ∫ 0 2 2 8 8 8 8 4x − 4x + 2 4x − 4x + 2 0 0 1 1 1 dx 1 dx +) Xét: N = = ∫ ∫ 2 2 2 2 4x − 4x + 2 (2x − 1) + 1 0 0 π π Đặt: 2x − 1 = tan t Với t ∈ − ; 2 2 dt ⇒ dt 2dx = ⇔ dx = 2 cos t 2 2 cos t π π
Đổi cận:Với x = 0 ⇒ t = − ; Với x = 1 ⇒ t = 4 4 π π 4 4 π 1 dt 1 1 4 π ⇒ N = = dt = t = ∫ ∫ 2 2 2 2 2 π + − 4 2 cos t(tan t 1) π π 4 − − 4 4 π Vậy, I = M + N = 3 4
HT 11.Tính các tích phân sau: 0 3 2 1 x − 5x + 6x − 1 4 3 2 x + 5x − 3x + 2x − 1 a) I = dx I = dx 1 ∫ b) ∫ 2 2 x − 3x + 2 2 + + − x 2x 1 1 0 0 3 2 2 x + 3x − 6x + 1 2 x c) I = dx d) I = dx 3 ∫ ∫ 2 x + 2x + 2 2 x − 7x + 12 −1 1 Giải
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 16
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 0 0 3 2 0 0 x 5x 6x 1 2x 3 − + − − + −2x + 3 a) I = dx = x − 2 + ∫ ∫ dx = (x − 2)dx + dx 1 ∫ ∫ 2 2 x − 3x + 2 x − 3x + 2 2 − + − x 3x 2 1 −1 −1 −1 0 2 x 1 = − = 5 +) Xét: 0 M (x 2)dx − 2x = − + 2 ∫ − = − 1 2 2 2 − 1 0 0 −2x + 3 −2x + 3 +) Xét: N = dx = dx ∫ ∫ 2 (x − 1)(x − 2) x − 3x + 2 −1 −1
Dùng đồng nhất thức ta tách được: 0 1 1 − − N = + dx = ∫
(−ln x −1 −ln x −2) 0 = (−ln1−ln2)−(−ln2−ln3) = ln3 − 1 x −1 x − 2 − 5 Vậy, I = M + N = ln 3 − 1 2 1 4 3 2 1 x + 5x − 3x + 2x − 1 19x + 9 b) I = dx 2 = (x + 3x 1 − 0 + )dx 2 ∫ ∫ 2 x + 2x + 1 2 x + 2x + 1 0 0 1 3 2 x 3x 1 3 49 +) Xét: 2 = + − = 1 M (x 3x 10)dx +
−10x = ( + −10) − 0 = − ∫ 0 3 2 3 2 6 0 1 1 1 19x + 9 19(x + 1) − 10 19 10 = = = +) Xét: N dx dx − dx ∫ ∫ ∫ 2 2 + + + x + 2 1 x 2x 1 (x 1) (x + 1) 0 0 0 10 1 = 1 9 ln x + 1 +
= (19 ln 2 + 5) −(19 ln1 + 10) = 19 ln 2 − 5 0 x + 1 79 Vậy, I = M + N = 19 ln 2 − 2 6 0 3 2 0 x + 3x − 6x + 1 10x 1 + c) I = dx = x + 1 − ∫ dx 3 ∫ 2 x + 2x + 2 2 + + − x 2x 2 1 −1 0 2 x 1 = + = 1 +) Xét: 0 M (x 1)dx + x = − −1 ∫ − = 1 2 2 2 −1 0 0 0 10x + 1 5(2x + 2) − 9 5(2x 2) 9 + +) Xét: N = dx ∫ = dx ∫ = − ∫ dx 2 x + 2x + 2 2 + + 2 2 + + + + − x 2x 2 x 2x 2 x 2x 2 1 −1 −1 0 0 2x + 2 2 d(x + 2x + 2) P = 5 dx ∫ 2 0 = 5 = 5 ln x + 2x + 2 = 5(ln 2 − ln1) = 5 ln 2 ∫ 2 −1 x + 2x + 2 2 + + − x 2x 2 1 −1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 17
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 0 0 dx dx Q = 9∫ = 9∫ 2 x + 2x + 2 2 + + − (x 1) 1 1 −1 π π
Đặt: x + 1 = tan t Với t ∈ − ; 2 2 dt ⇒ dx = 2 cos t π
Đổi cận: Với x = −1 ⇒ t = 0; Với x = 0 ⇒ t = 4 π π 4 4 π dt ⇒ 9π Q = 9∫ 4 = 9 dt = 9t = ∫ 2 2 0 cos t(tan t + 1) 4 0 0 9π ⇒ 1 9π N = P −Q = 5 ln 2 − ⇒ I = M + N = + 5 ln 2 − 4 3 2 4 2 16 9 d) I = 1 + − d x ∫ + − − − + − = (x 16 ln x 4 9 ln x 3 ) 2 = 1 25 ln 2 16 ln 3 . x − 4 x − 3 1 1
HT 12.Tính các tích phân sau: 2 dx 1 xdx a) I = ∫ b) I = ∫ 5 3 x + x 3 0 (x + 1) 1 Giải 2 dx a) I = ∫ 5 3 x + x 1 1 1 1 x Ta có: = − + + 3 2 x 3 2 x (x + 1) x x + 1 1 1 2 3 1 3 ⇒ 2 I = − ln x −
+ ln(x + 1) = − ln 2 + ln 5 + 2 2 1 2 2 8 2x 1 xdx b) I = ∫ 3 0 (x + 1) x x + 1 − 1 − − Ta có: 2 3 = = (x + 1) − (x + 1) 3 3 (x + 1) (x + 1) 1 2 − 3 − 1 ⇒ I = ( x + 1) −(x + 1) d ∫ x = 0 8
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 18
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 19
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 13.Tính các tích phân sau: (Đổi biến số) 1 7 2 x 2 1 + x 1. I = dx ∫ 9. I = dx ∫ 2 5 (1 + x ) 4 1 + x 0 1 1 2 2 1 − x 2. 5 3 6 I = x (1 − x ) dx ∫ 10. I = dx ∫ 4 1 + x 0 1 4 3 2 2 1 1 − x 3. I = dx ∫ 11. I = dx ∫ 4 3 x(x + 1) x + x 1 1 2 1 4 dx x + 1 4. I = ∫ 12. I = dx ∫ 10 2 6 x.(x + 1) x + 1 1 0 2 7 3 1 − x 5. I = dx ∫ 3 2 7 x x(1 + x ) 13. I = dx ∫ 1 4 x − 1 3 0 dx 1 6. I = ∫ xdx 6 2 x (1 + x ) 14. I = ∫ 1 4 2 x + x + 1 1 0 2 (x − 1) 7. I = dx ∫ 1+ 5 4 (2x + 1) 2 2 0 x + 1 15. I = dx ∫ 1 ( 4 2 7 − + x − )99 1 x x 1 1 8. I = dx ∫ (2x + )101 0 1 Bài giải 1 1 7 (x )3 2 xdx x 1. I = dx = ∫ ∫ 2 5 2 5 (1 + x ) (1 + x ) 0 0 Đặt 2 t = 1 + x ⇒ dt = 2xdx
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 1; Với x = 1 ⇒ t = 2 2 3 1 (t − 1) 1 1 ⇒ I = dt = . ∫ 5 5 2 4 t 2 1 1 1 2. 5 3 6 3 3 2 I = x (1 − x ) dx = x (1 − x )x dx ∫ ∫ 0 0 dt Đặt 3 2 2
t = 1 − x ⇒ dt = −3x dx ⇒ x dx = − 3
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 1; Với x = 1 ⇒ t = 0 1 7 8 1 6 1 t t 1 ⇒ I = t (1 − t)dt = − = ∫ 3 3 7 8 168 0 4 4 3 3 3 1 x dx 3. I = dx = ∫ ∫ 4 4 4 x(x + 1) x (x + 1) 1 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 20
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 dt Đặt 4 3 3
t = x ⇒ dt = 4x dx ⇒ x dx = 4
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 1; Với 4 x = 3 ⇒ t = 3 3 3 1 dt 1 1 1 1 t 1 3 3 ⇒ I = = − dt = ln = ln ∫ ∫ + + 1 4 t(t 1) 4 t t 1 4 t + 1 4 2 1 1 2 2 9 dx x dx 4. I = = ∫ ∫ 10 2 10 10 2 x.(x + 1) x (x + 1) 1 1 dt Đặt 10 t = x + 1 9 9 ⇒ dt = 10x dx ⇒ x dx = 10
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 2 ; Với 10 x = 2 ⇒ t = 2 + 1 10 10 2 1 + 2 1 + 1 dt 1 1 1 1 ⇒ I = = − − dt ∫ ∫ 2 − t − t 2 5 5 1 (t 1)t t 2 2 10 1 1 2 1 = 1 1 1 1 ln( + t − 1) − ln t + 10 = (10 ln 2 − ln(2 + 1) + ) − (− ln 2 + ) 2 5 t 10 5 5 2 2 + 1 2 7 2 1 − x 7 6 (1 − x ).x 5. I = dx ∫ = dx ∫ . 7 x(1 + x ) 7 7 x .(1 + x ) 1 1 dt Đặt 7 6 6
t = x ⇒ dt = 7x dx ⇒ x dx = 7
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 1; Với x = 2 ⇒ t = 128 128 128 1 1 t 1 1 2 − 1 128 ⇒ I = dt = − dt = (ln t − 2 ln 1 + t ) ∫ ∫ 1 7 t(1 + t) 7 t 1 + t 7 1 1 1 1 10 2
= (7 ln 2 − 2 ln129) − (−2 ln 2) = ln 2 − ln 129 7 7 7 7 3 3 dx dx 6. I = = ∫ ∫ 6 2 x + x 2 6 1 (1 ) 1 1 x .x ( + 1) 2 x 1 1 Đặt t = ⇒ dt = − dx x 2 x 1
: Đổi cận:Với x = 1 ⇒ t = 1; Với x = 3 ⇒ t = 3 3 3 1 6 t 1 117 − 41 3 π 4 2 ⇒ I = − dt = t −t + 1− ∫ ∫ dt = + 2 2 t + 1 t + 1 135 12 1 3 3 1 1 2 2 (x − 1) x −1 dx 7. I = dx = ∫ ∫ 4 + x + 2 2 1 (2x 1) (2x + 1) 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 21
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 ' x −1 3 Chú ý: = x + 2 2 1 (2x + 1) x − 1 3dx dx dt Đặt: = t ⇒ = dt ⇒ = x + 2 2 2 1 3 (2x + 1) (2x + 1)
Đổi cận: Với: x = 0 ⇒ t = −1 ; Với x = 1 ⇒ t = 0 −1 3 1 2 t −1 1 ⇒ t = t dt = = − ∫ 0 3 9 9 0 1 99 1 99 7x 1 dx 1 7x 1 7x 1 − − − 8. I = = d ∫ ∫ + 2x 1 ( x + x + 2x + )2 9 2 1 2 1 0 1 0 100 1 1 7x − 1 1 1 100 = ⋅ = 2 −1 9 100 2x + 1 0 900 2 2 1 + x 9. I = dx ∫ 4 1 + x 1 1 1 + 2 2 1 + x Ta có: x = . 4 + x 2 1 1 x + 2 x 1 1 Đặt t = x − ⇒ dt = 1 + dx x 2 x 3
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 0; Với x = 2 ⇒ t = 2 3 3 2 2 3 dt 1 1 1 1 t − 2 1 ⇒ I = = − dt ∫ ∫ = . ln 2 = ln(3 − 2 2) 2 − t 2 2 2 t − 2 t + 2 2 2 t + 2 0 2 0 0 2 2 1 − x 10. I = d x ∫ 4 1 + x 1 1 −1 2 2 1 − x Ta có: x = . 4 + x 2 1 1 x + 2 x 1 1 Đặt t = x + ⇒ dt = 1 − dx x 2 x 5
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 2; Với x = 2 ⇒ t = 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 22
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 5 2 dt ⇒ I = −∫ . 2 t + 2 2 du 5 5 Đặt t = 2 tan u ⇒ dt = 2 ; tan u = 2 ⇒ u = arctan 2; tan u = ⇒ u = arctan 2 1 2 cos u 2 2 u2 2 2 2 5 ⇒ I = du = (u − u ) = a rctan − arctan 2 ∫ 2 1 2 2 2 2 u1 2 2 1 − x 11. I = dx ∫ 3 x + x 1 1 2 −1 2 1 1 Ta có: x I = dx ∫ . Đặt t = x + ⇒ dt = 1 − dx 1 x 2 x 1 + x x 5
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 2; Với x = 2 ⇒ t = 2 5 2 5 dt 2 5 4 I = − = −lnt = −ln + ln 2 = ln ∫ 2 t 2 5 2 1 4 x + 1 12. I = dx ∫ 6 x + 1 0 4 4 2 2 4 2 2 2 x + 1 (x − x + 1) + x x − x + 1 x 1 x Ta có: = = + = + 6 6 2 4 2 6 2 6 x + 1 x + 1 (x + 1)(x − x + 1) x + 1 x + 1 x + 1 1 1 3 1 1 d(x ) π 1 π π ⇒ I = dx + dx = + . = ∫ ∫ 2 3 2 3 4 3 4 3 x + 1 (x ) + 1 0 0 3 3 2 x 13. I = dx ∫ 4 x − 1 0 3 3 3 3 2 x 1 1 1 1 π I = dx = + ∫ ∫ dx = ln(2 − 3) + 2 2 2 2 2 − + − + 4 12 (x 1)(x 1) x 1 x 1 0 0 1 xdx 14. I = ∫ . 4 2 x + x + 1 0 dt Đặt 2 t = x ⇒ dt = 2xdx ⇒ xdx = 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 23
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; Với x = 1 ⇒ t = 1 1 1 1 dt 1 dt π ⇒ I = = = ∫ ∫ 2 2 2 2 2 t + t + 1 6 3 0 0 1 3 t + + 2 2 1+ 5 2 2 x + 1 15. I = dx ∫ 4 2 x − x + 1 1 1 1 + 2 2 x + 1 Ta có: x = . 4 2 x − x + 2 1 1 x + − 1 2 x 1 1 Đặt t = x − ⇒ dt = 1 + dx x 2 x 1 dt ⇒ I = ∫ . 2 t + 1 0 π 4 du π Đặt t = tan u ⇒ dt = ⇒ I = du = ∫ 2 cos u 4 0
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 24
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
PHẦN III TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỶ
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 1.Tính các tích phân sau: 3 3 3 xdx dx a) I = I = 2 I = x + 1dx 1 ∫ b) 2 ∫ c) 3 ∫ 2 + 2 + 0 x 1 0 x 1 0 Bài giải 3 3 2 xdx 1 d(x + 1) a) 2 1 I = = = x + 1 = 2 1 ∫ ∫ 0 2 2 2 + + 0 x 1 0 x 1 3 dx b) I = 2 ∫ 2 + 0 x 1 2 x x + x + 1 dx dt Đặt: 2 x + x + 1 = t ⇒ (1 + )dx = dt ⇔ dx = dt ⇔ = 2 2 2 t x + 1 x + 1 x + 1
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1;x = 3 ⇒ t = 3 + 2 3 +2 dt 3 +2 ⇒ I = = ln t = ln( 3 + 2) 2 ∫ 1 t 1 3 c) 2 I = x + 1dx 3 ∫ 0 x 2 = + 1 du = dx u x Đặt: ⇒ 2 x + 1 d v dx = v = x 3 3 2 2 2 3 x dx x + 1 −1 ⇒ I = x x + 1 − = 2 3 − dx 3 0 ∫ ∫ 2 2 + + 0 x 1 0 x 1 3 3 2 dx = 2 3 − x + 1dx + = 2 3 − I + I ∫ ∫ = 2 3 − I + ln( 3 + 2) 3 2 3 2 + 0 0 x 1 1
⇒ 2I = 2 3 + ln( 3 + 2) ⇒ I = 3 + ln( 3 + 2) 3 3 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 25
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 2.Tính các tích phân sau: 1 0 1 a) 3 2 I = x 1 − x dx ∫ b) 3 I = x. x + 1dx ∫ c) 3 2 I = (x − 1) 2x − x dx ∫ 0 −1 0 Bài giải 1 1 a) 3 2 2 2 I = x 1 − x dx = x 1 − x xdx ∫ ∫ 0 0 Đặt: 2 2 2 t = 1 − x
(t ≥ 0) ⇔ x = 1 − t ⇒ xdx = t − dt
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1;x = 1 ⇒ t = 0 0 1 3 5 2 2 4 t t ⇒ = − − = − = 1 1 1 2 I (1 t )t.tdt (t t )dt − = − = ∫ ∫ 0 3 5 3 5 15 1 0 0 b) 3 I = x. x + 1dx ∫ −1 Đặt 3 3 2
t = x + 1 ⇒ t = x + 1 ⇒ dx = 3t dt
Đổi cận: x = −1 ⇒ t = 0;x = 0 ⇒ t = 1 1 1 7 4 3 t t 9 ⇒ = − = I 3(t 1)dt 3 − = − ∫ 7 4 0 28 0 1 c) 3 2 I = (x − 1) 2x − x dx ∫ 0 1 1 3 2 2 2 I = (x − 1) 2x − x dx =
(x − 2x + 1) 2x − x (x − 1)dx ∫ ∫ . 0 0 Đặt 2 2 2 t = 2x − x
⇔ t = 2x − x ⇒ 2tdt = (2 − 2x)dx ⇔ (x − 1)dx = t − dt
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0;x = 1 ⇒ t = 1 1 1 5 3 2 4 2 t t ⇒ = − − + = − = 1 1 1 2 I ( t 1)t.tdt (t t )dt − = − = − ∫ ∫ . 0 5 3 5 3 15 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 26
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 3.Tính các tích phân sau: 4 6 1 2x + 1 dx 1 + x a) I = dx ∫ b) I = ∫ c) I = dx ∫ 1 + 2x + 1 2x + 1 + 4x + 1 1 + x 0 2 0 3 5 3 x − 3 2 x + 1 2 2x + x − 1 d) I = dx ∫ e) I = dx ∫ f) I = dx ∫ 3 x + 1 + x + 3 x 3x + 1 x + 1 0 1 0 1 2 4 2 x dx x + 1 3 2 2x − 3x + x g) I = ∫ h) I = dx ∫ i) I = dx ∫ (x + 1) x + 1 2 x − x + 0 (1 + 1 + 2x )2 0 0 1 2 3 2 2 5 x dx 2 4 − x x j) I = ∫ k) I = dx ∫ l) I = dx ∫ 3 2 + x x 2 2 x + x + 0 4 1 2 ( 1) 5 27 8 4 x − 2 x − 1 2 x + x m) I = dx ∫ o) I = dx ∫ p) I = dx ∫ 3 2 x + x 2 x + + x x 1 1 3 1 1 Bài giải 4 2x + 1 a) I = dx ∫ 1 + 2x + 1 0 Đặt 2
t = 2x + 1 ⇒ t = 2x + 1 ⇒ 2tdt = 2dx ⇔ dx = tdt
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1;x = 4 ⇒ t = 3 3 3 2 2 t 1 t ⇒ = = − + = 3 I dt t 1 dt ∫ ∫ − t + ln t + 1 . + + 1 1 t t 1 2 1 1 9 1 = − 3 + ln 4 −
−1 + ln 2 = 2 + ln 2 2 2 6 dx b) I = ∫ 2x + 1 + 4x + 1 2 tdt Đặt 2 t =
4x + 1 ⇒ t = 4x + 1 ⇒ 2tdt = 4dx ⇒ dx = 2
Đổi cận: x = 2 ⇒ t = 3; x = 6 ⇒ t = 5 5 5 5 5 1 tdt tdt tdt 1 1 ⇒ = = = = I − dt ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 t − + + + + 2 2 t t t t 1 1 2 1 ( 1) (t + 1) 3 + + t 3 3 3 1 2 1 5 1 1 3 1 = ln t + 1 +
= (ln 6 + ) − (ln 4 + ) = ln − 3 t + 1 6 4 2 12 1 1 + x c) I = dx ∫ 1 + x 0 Đặt 2
t = 1 + x ⇒ x = (t − 1) ⇒ dx = 2(t − 1)dt
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1;x = 1 ⇒ t = 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 27
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 2 2 2 1 + (t − 1) 2 t ⇒ = = − + = 2 11 I dt t 2 dt ∫ ∫ − 2t + 2 ln t = − 4 ln 2 . 1 t t 2 3 1 1 3 x − 3 d) I = dx ∫ 3 x + 1 + x + 3 0
Đặt t = x + 1 ⇒ 2tdt = dx
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1;x = 3 ⇒ t = 2 2 2 2 3 2t − 8t 1 ⇒ I = dt = (2t − 6)dt + 6 dt ∫ ∫ ∫ 3 = 3 − + 6 ln 2 t t + t + 1 3 + 2 2 1 1 1 5 2 x + 1 e) I = dx ∫ x 3x + 1 1 2tdt Đặt t = 3x + 1 ⇒ dx = 3
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 2;x = 5 ⇒ t = 4 2 2 t − 1 + 4 1 3 4 4 4 4 2tdt dt ⇒ 2 2 1 1 I = . ∫ 2 = (t − 1)dt + 2 ∫ ∫ 2 = (t − 1)dt + 2 − dt ∫ ∫ 2 − + t 3 − 1 2 9 t −1 9 t 1 t 1 2 .t 2 2 2 2 3 4 4 2 1 t −1 100 9 3 = t −t + ln = + ln . 9 3 t + 1 27 5 2 2 3 2 2x + x − 1 f) I = dx ∫ x + 1 0 Đặt 2
x + 1 = t ⇔ x = t − 1 ⇒ dx = 2tdt
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1;x = 3 ⇒ t = 2 2 2 2 2 2 2 5 2(t − 1) + (t − 1) − 1 ⇒ = = − = I tdt 4 2 4t 3 54 2 2 (2t 3t )dt − 2t = ∫ ∫ t 5 1 5 1 1 1 2 x dx g) I = ∫ (x + 1) x + 1 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 28
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Đặt 2
t = x + 1 ⇒ t = x + 1 ⇒ 2tdt = dx
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1;x = 1 ⇒ t = 2 2 2 2 2 2 2 3 (t − 1) 1 t 1 16 − 11 2 ⇒ I = .2tdt 2 = t − dt =2 ∫ ∫ − 2t − = 3 t 3 t t 1 3 1 1 4 x + 1 h) I = dx ∫ (1+ 1+ 2x )2 0 dx 2 t − 2t Đặt t = 1 + 1 + 2x ⇒ dt = ⇒ dx = (t − 1)dt và x = 1 + 2x 2
Đổi cận : x = 0 ⇒ t = 2; x = 4 ⇒ t = 4 4 4 4 2 3 2 1 (t 2t 2)(t 1) 1 t 3t 4t 2 1 4 2 − + − − + − ⇒ I = dt = dt = t − 3 + − d t ∫ ∫ ∫ 2 2 t 2 2 t 2 t 2 t 2 2 2 2 1 t 2 = 1 − 3t + 4 ln t + = 2 ln 2 − 2 2 t 4 2 3 2 2 2x − 3x + x 2 (x − x)(2x − 1) i) I = dx ∫ = dx ∫ 2 x − x + 2 x − x + 0 1 0 1 Đặt 2
t = x − x + 1 ⇒ 2tdt = (2x − 1)dx
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1;x = 2 ⇒ t = 3 3 2 4 ⇒ I = 2 (t − 1)dt = ∫ . 3 1 2 3 x dx j) I = ∫ 3 2 + x 0 4 3 Đặt 2 2 3 2 t =
4 + x ⇒ x = t − 4 ⇒ 2xdx = 3t dt Đổi cận: 3 x = 0 ⇒ t = 4;x = 2 ⇒ t = 2 2 5 3 4 3 t 2 ⇒ = − = 2 3 8 3 I (t 4t)dt − 2t = − + 4 2 ∫ 3 2 2 5 4 2 5 3 4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 29
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 2 4 − x k) I = dx ∫ x 1 2 2 4 − x Ta có: I = xdx ∫ . 2 x 1 Đặt t = 2 2 2
4 − x ⇒ t = 4 − x ⇒ tdt = x − dx Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 3;x = 2 ⇒ t = 0 0 0 0 0 2 t( tdt) t 4 t 2 − − − ⇒ 2 3 − I = = dt = (1 + )dt = t + ln ∫ ∫ ∫ = 3 + ln 2 2 2 t − − − + t t t 2 4 4 4 + 3 2 3 3 3 3 2 5 x l) I = dx ∫ 2 2 + + 2 (x 1) x 5 Đặt 2 t = x + 5 2 2 ⇒ t = x + 5 ⇒ tdt = xdx
Đổi cận: x = 2 ⇒ t = 3;x = 2 5 ⇒ t = 5 5 5 dt 1 1 1 1 15 I = = − dt = ln ∫ ∫ . 2 4 t − − 2 t + t 2 4 7 4 3 3 27 x − 2 m) I = dx ∫ 3 2 x + x 1 Đặt 6 t = x 6 5 ⇒ t = x ⇒ dx = 6t dt
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1;x = 27 ⇒ t = 3 3 3 3 t − 2 2 2t 1 π I 5 dt 5 1 ⇒ = = − + − dt ∫ ∫ 2 5 = 5 3 −1 + ln − 2 t 2 2 t(t + 1) t + 1 t + 1 3 12 1 1 8 x − 1 o) I = dx ∫ 2 x + 1 3 8 8 8 2 x 1 1 d(x + 1) dx I = − d x = − ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 2 x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 3 3 3 2 = x + 1 − ln ( 2 x + x + 1) 8
= 1 + ln ( 3 + 2) − ln ( 8 + 3) 3 4 2 x + x p) I = dx ∫ + x x 0 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 30
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 4 4 4 2 2 x + x x x dx = dx + dx ∫ ∫ ∫ + x x + x x + x x 1 1 0 1 0 1 4 2 x + I = dx 1 ∫ . + x x 0 1 4 Đặt t= 2 1 + x x ⇔ t − 1 = x x 3 2 2 ⇔ x = (t −1) 2 2 ⇔ x dx = t(t − 1)dt 3
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1;x = 4 ⇒ t = 3 3 4 4 4 80 ⇒ 2 3 3 (t − 1)dt = t − t = ∫ 1 3 9 3 9 1 4 4 x 2 d(1 + x x) 4 8 + I = dx = = 1 + x x = 2 ∫ ∫ 4 0 + x x 3 + x x 3 3 0 1 0 1 104 Vậy: I = 9
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 4.Tính các tích phân sau: 1 1 (x −x )1 3 3 1 dx 1 a) I = ∫ b) I = dx ∫ c) I = dx ∫ 2 + 4 x + + x x 2 − x + x + 1 1 1 1 1 0 3 3 2 3 x 2 x d) I = dx ∫ e) I = dx ∫ 2 2 (1 + 1 + x ) (2 + 1 + x ) 2(x + 1) + 2 x + 1 + x x + 1 0 0 2 2 2 3 3 2 2 3 x − x + 2011x 4 x x f) I = dx ∫ g) I = dx ∫ h) I = dx ∫ 4 x 1 2 2 1 3x + 9x − 1 − 3 x x + 1 1 x 3 Bài giải 1 dx a) I = ∫ 2 + x + + x −1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 + x − 1 + x 1 + x − 1 + x 2 1 1 1 + x Ta có: I = dx = dx ∫ ∫ = + 1dx − dx ∫ ∫ 2 2 2 (1 + ) − (1 + ) x x x 2 x 2x −1 −1 −1 −1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 31
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 1 1 1 + 1 I = + 1dx = ln x + x | = 1 1 ∫ −1 2 x 2 −1 1 2 2 1 + x 2 t dt + I = dx t =
+ x ⇒ t = + x ⇒ tdt = xdx ⇒ I = 0 2 ∫ . Đặt 2 2 2 1 1 2 2 2= ∫ 2x 2 t − − 2( 1) 1 2 Vậy: I = 1 . 2 t − Cách 2: Đặt 2 t = x + x + 1 2 2 2 2 1
⇔ t − x = x + 1 ⇒ (t − x) = x + 1 ⇔ t − 2tx = 1 ⇔ x = 2t 1 1 ⇒ dx = + dt 2 2 2t Đổi cận: x = 1 − ⇒ t = 1 − + 2;x = 1 ⇒ t = 1 + 2 1+ 2 1+ 2 2 (t 1)dx 1 2 1 1 + ⇒ I = = + − dt ∫ ∫ 2 t 2 2 + + 1 2 (1 ) t t t t 1 − + 2 −1+ 2 2 1 1 + 1+ 2 1 (t 1) 1 = + − − = 1+ 2 2 ln t 1 ln t ln − 2 t 1 − + 2 2 t t 1 − + 2 1 1
= (ln(2 + 2 2) + 1 − 2) − (ln(2 + 2 2) − 1 − 2) = 1 2 2 1 (x −x )1 3 3 b) I = dx ∫ 4 x 1 3 1 1 1 3 1 Ta có: I = −1 . dx ∫ 2 3 x x 1 3 1 2 dx dt Đặt t = −1 ⇒ dt = − dx ⇔ = − 2 3 3 x x x 2 1 Đổi cận: x = ⇒ t = 8;x = 1 ⇒ t = 0 3 0 1 8 1 4 1 1 1 3 8 ⇒ I = − t 3dt = t 3dt = t 3 . = 6 ∫ ∫ 0 2 2 2 4 8 0 1 1 1 dx c) I = dx ∫ = ∫ 2 x + x + 1 3 0 1 2 0 (x + ) + 2 4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 32
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 1 x + x + 1 + x + 2x + 1 dx dt ⇒ = + Đặt: 2 dt 1 dx ⇔ dt = dx ⇒ = 2 2 t 2 x + x + 1 x + x + 1 2 x + x + 1 3 3 1 Đổi cận: x = 0 ⇒ t = ;x = 1 ⇒ t = + 3 2 t = x + + x + x + 1 2 2 2 3 + 3 2 3 dt + 3 + I = = t 2 3 3 3 2 3 ln = ln + 3 − ln = ln ∫ t 3 2 2 3 3 2 2 3 2 x d) I = dx ∫ 2 2 (1 + 1 + x ) (2 + 1 + x ) 0 Đặt 2
2 + 1 + x = t ⇒ t − 2 = 1 + x ⇒ (t − 2) = 1 + x ⇒ 2(t − 2)dt = dx
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 3;x = 3 ⇒ t = 4 4 ((t −2) − )2 2 1 .2(t − 2)dt 4 4 2 2 2 t − t − t − dt t − t − dt ⇒ ( 1) ( 3) .2( 2) 2( 3) ( 2) I = ∫ = = ∫ ∫ 2 2 (t − 1) t 2 2 2 (t − 1) t t 3 3 3 4 42 36 36 4 2 4 = 2t −16 + − dt = t ∫ −16t + 42 ln t + = −12 + 42 ln 3 t 2 t t 3 3 3 2 x e) I = dx ∫ 2(x +1)+2 x +1+x x +1 0 Đặt: 2
t = x + ⇒ t = x + ⇒ tdt = dx 1 1 2
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1;x = 3 ⇒ t = 2 2 2 2 2 2t(t − 1) dt 2 ⇒ 2 2 I = = 2 (t −1) dt ∫ ∫ 2 3 = (t −1) = 2 t(t + 1) 3 1 3 1 1 2 2 3 3 x − x + 2011x f) I = dx ∫ 4 x 1 1 2 2 3 −1 2 2 2 x 2011 Ta có: I = dx + dx = M + N ∫ ∫ 3 3 x x 1 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 33
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 2 2 3 −1 2 x +) M = dx ∫ . 3 x 1 1 1 2 dx 3 Đặt 3 2 2 t = 3 −1 ⇒ t = −1 ⇒ 3t dt = − dx ⇒ = − t dt 2 2 3 3 x x x x 2 3 7
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 0;x = 2 2 ⇒ t = − 2 3 7 − 2 3 3 21 7 3 ⇒ M = − t dt = − ∫ 2 128 0 2 2 2 2 2 2 2011 − 2011 14077 +) 3 N = dx = 2011x dx = − = ∫ ∫ 3 2 x x 16 2 1 1 1 3 14077 21 7 ⇒ I = − . 16 128 2 2 2 2 4 4 x x .xdx g) I = dx = ∫ ∫ 1 2 2 2 − + (x − 1) x x x + 1 3 1 3 x xdx Đặt 2 t = x + 1 ⇒ dt = 2 x + 1 Đổi cận: x = 3 ⇒ t = 2;x = 2 2 ⇒ t = 3 3 2 2 3 3 3 (t − 1) 4 2 t − t + + ⇒ 2 1 1 19 2 4 2 I = dt ∫ = 2 dt = t dt + dt = + ln ∫ ∫ ∫ 2 t − 2 2 2 t − t 3 4 2 − 2 4 − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 x h) 2 2 2 I = dx = x(3x − 9x − 1)dx = 3x dx − x 9x − 1dx ∫ ∫ ∫ ∫ 2 + − 1 3x 9x 1 1 1 1 3 3 3 3 2 3 2 8 1 7 + 2 3 I = x dx = x 3 3 = − = 1 ∫ 1 27 27 27 1 3 3 2 2 3 3 3 2 1 1 3 + 2 I = x 9x − 1dx 2 2 2 = x − d x − = x 2 3 9 1 (9 1) (9 −1) = 2 ∫ ∫ 1 18 27 9 1 1 3 3 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 34
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 7 − 3 3 ⇒ I = 27
HT 5.Tính các tích phân sau: 2 0 1 a) 2 2 I = x 4 − x dx ∫ b) 2 I = x − − 2xdx 2 I = 3 + 2x − x dx 2 ∫ c) ∫ 0 −1 0 1 1 2 2 1 x dx 2 x dx d) I = ∫ e) 2 I = 1 − 2x 1 − x dx ∫ f) I = ∫ 6 − x 2 + x − x 0 4 0 0 3 2 Bài giải 2 a) 2 2 I = x 4 − x dx ∫ 0 π π
Đặt: x = 2 sin t, Với t ∈ − ; ⇒ cos t ≥ 0 2 2 ⇒ dx = 2 costdt π
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0;x = 2 ⇒ t = 2 π π 2 2 2 2 2 2 ⇒ I =
4 sin t 4 − 4 sin t .2 cost.dt = 16 sin t 1 − sin t .cost.dt ∫ ∫ 0 0 π π π π 2 2 2 2 2 2 2 = 16 sin t. cost costdt = 16 sin t. cos t.dt ∫ ∫ 2 = 4 sin 4t.dt = 2 (1 − cos 8t)dt ∫ ∫ 0 0 0 0 π sin 8t = t 2 2( − ) = 0 π 8 0 0 b) 2 2 I = x − − 2xdx = 1 − (x + 1) dx 2 ∫ ∫ −1 −1 π π
Đặt: x + 1 = sin t , Với t ∈ − ; ⇒ cos t ≥ 0 2 2 ⇒ dx = costdt π
Đổi cận: x = −1 ⇒ t = 0;x = 0 ⇒ t = 2 π π π 2 2 2 2 2 1 ⇒ I = 1 − sin t. cost.dt = cos t.dt = (1 + cos 2t)dt ∫ ∫ ∫ 2 0 0 0 π 1 sin 2t π = t 2 + = 0 2 2 4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 35
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 1 c) 2 2 I = 3 + 2x − x dx = 4 − (x − 2) dx ∫ ∫ 0 0 π π
Đặt: x − 2 = 2 sin t , Với t ∈ − ; ⇒ cos t ≥ 0 2 2 ⇒ dx = 2 costdt π π
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = − ;x = 1 ⇒ t = − 2 6 π − π π − − 6 6 6 2 ⇒ I = 4 − 4 sin t .2 cost.dt ∫ 2 = 4 cos t.dt = 2 (1 + cos 2t)dt ∫ ∫ π − π π − − 2 2 2 π sin 2t − π π π = t 6 3 3 2 + = − − + = − 2 π − 12 4 4 6 4 2 1 2 x dx d) I = ∫ 6 − x 0 4 Đặt 3 2 t = x ⇒ dt = 3x dx
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0;x = 1 ⇒ t = 1 1 1 dt ⇒ I = ∫ . 3 2 −t 0 4 π Đặt: t = 2 sin ,
u u ∈ 0; ⇒ dt = 2 cos udu 2 π
Đổi cận: t = 0 ⇒ u = 0;t = 1 ⇒ u = 6 π π 6 6 π 1 2 cos u.du 1 u π ⇒ I = = du 6 = = ∫ ∫ . 0 3 2 3 3 18 − u 0 4 4 sin 0
Chú ý: Các em học sinh có thể đặt trực tiếp: 3 x = 2 sint 1 2 e) 2 I = 1 − 2x 1 − x dx ∫ 0 π π
Đặt x = sin t , Với t ∈ − ; ⇒ cost ≥ 0; cos t > sin t 2 2 ⇒ dx = cost.dt 1 π
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0;x = ⇒ t = 2 6
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 36
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π π 6 6 6 2 2 ⇒ I =
1 − 2 sin t 1 − sin t . cost.dt = 1 − 2 sin t. cost cost.dt = (sin t − cost) cost.dt ∫ ∫ ∫ 0 0 0 π π π 6 6 6 π 2 t t = 1 1 sin 2 cos 2 (cost − sin t) costdt = (cos t − sin t. cost)dt ∫ ∫ = + t − t dt = t 2 (1 cos 2 sin 2 ) ( + + ) ∫ 0 2 2 2 2 0 0 0 π 3 1 = + − 12 8 8 1 2 x dx f) I = ∫ 2 + x − x 0 3 2 1 2 x dx Ta có: I = ∫ . 2 2 − − 0 2 (x 1) π π
Đặt x − 1 = 2 sin t . Với t ∈ − ; ⇒ cos t ≥ 0 2 2 ⇒ dx = 2 costdt π π
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = − ;x = 1 ⇒ t = − 2 6 π − π π − − 6 2 6 6 (1 + 2 sin t) 2 cost ⇒ I = dt ∫ = ∫ ( 2 1 + 4 sin t + 4 sin t)dt =
(1 + 4 sin t + 2 − 2 cos 8t)dt ∫ 2 − π 4 (2 sin t) − π π − − 2 2 2 π sin 8t − = π t − t 6 (3 4 cos − ) = 3 3 + − 4 4 π − 2 2 2
HT 6.Tính các tích phân sau: 2 2 ( 2 3 − 4 − x )dx a) 5 2 2 I = (x + x ) 4 − x dx ∫ b) I = ∫ 4 2x −2 1 2 1 2 − x 1− x c) I = dx ∫ d) I = − 2x ln ∫ (1+ x)dx x + 2 1 + x 0 0
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Bài giải 2 a) 5 2 2 I = (x + x ) 4 − x dx ∫−2 2 2 2 5 2 2 = (x + x ) 4 − x dx ∫ = 5 2 x 4 − x dx ∫ + 2 2 x 4 − x dx ∫ = A + B. −2 −2 −2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 37
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 2 + Tính A = 5 2 4 2 x 4 − x dx = x 4 − x xdx ∫ ∫ . −2 −2 Đặt 2 t = 4 − x 2 2 ⇒ t = 4 − x ⇒ xdx = t − dt
Đổi cận: x = −2 ⇒ t = 0;x = 2 ⇒ t = 0 0 2 2 2 ⇒ I = (4 − t ) .t .dt = 0 ∫ 0 2 + Tính B = 2 2 x 4 − x dx ∫ . −2 π π
Đặt: x = 2 sin t, Với t ∈ − ; ⇒ cos t ≥ 0 2 2 ⇒ dx = 2 costdt π π
Đổi cận: x = −2 ⇒ t = − ;x = 2 ⇒ t = 2 2 π π 2 2 2 2 2 2 ⇒ B =
4 sin t 4 − 4 sin t .2 cost.dt = 16 sin t 1 − sin t . cost.dt ∫ ∫ π π − − 2 2 π π π π 2 2 2 2 2 2 2 = 16 sin t. cost costdt = 16 sin t. cos t.dt ∫ ∫ 2 = 4 sin 4t.dt = 2 (1 − cos 8t)dt ∫ ∫ π π − − π π − − 2 2 2 2 π sin 8t = t 2 2( − ) = 2π 8 π − 2 Vậy, I = 2π 2 ( 2 3 − 4 − x )dx b) I = ∫ 4 2x 1 2 2 2 3 4 − x Ta có: I = dx − dx ∫ ∫ . 4 4 2x 2x 1 1 2 2 3 3 − 7 + Tính I = dx 4 x dx = 1 ∫ = ∫ . 4 2x 2 16 1 1 2 2 4 − x + Tính I = dx 2 ∫ . 4 2x 1
Đặt x = 2 sin t ⇒ dx = 2 cos tdt .
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 38
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π Đổi cận: x = 1 ⇒ t = ;x = 2 ⇒ t = 6 2 π π π 2 2 2 2 1 cos tdt 1 2 1 1 2 3 ⇒ I = = cot t dt = − cot t.d(cott) = 2 ∫ ∫ ∫ 4 2 8 t 8 t 8 8 sin sin π π π 6 6 6 1 Vậy: I = (7 −2 3). 16 2 2 − x c) I = dx ∫ x + 2 0
Đặt x = 2 cos t ⇒ dx = −2 sin tdt π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = ; x = 2 ⇒ t = 0 2 π 2 t 0 2 sin 2 − 2 cost 2 ⇒ I = − 2 sin tdt = 2 sin t.dt ∫ ∫ . 2 + 2 cost 2 t π 0 cos 2 2 π π t 2 sin 2 2 t t = 4. sin . cos .dt = 2(1 − cost)dt ∫ ∫ t 2 2 0 cos 0 2 π = t − t 2 2( sin ) = π − 2 0 1 1− x d) I = − 2x ln ∫ (1+ x)dx 1 + x 0 1 1 − x π π Tính H = dx ∫
. Đặt x = cos t;t ∈ 0; ⇒ H = 2 − 1 + x 2 2 0 1 u = ln(1 + x) 1 Tính: K = 2x ln(1 + x)dx ∫ . Đặt ⇒ K = dv = 2xdx 2 0 3 π Vậy: I = − 2 2
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 39
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
PHẦN IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 1.Tính các tích phân sau: π π π 2 2 a) 4 I = cos xdx ∫ b) 6 6 I = (sin x + cos x)dx I = sin 2x. sin 5x.dx 2 ∫ c) ∫ 0 0 π − 2 π π π π 2 2 sin x − 3 3 4 4 sin x 4 dx d) I = dx ∫ e) I = dx ∫ f) I = ∫ 1 + cos x cos x 1 + cos 2x 0 0 0 Bài giải π π π 2 π 1 cos2x + 1 a) 4 I = cos xdx ∫ 2 2 2 = (cos x) dx = dx = (1 + 2 cos 2x + cos 2x)dx ∫ ∫ ∫ 2 4 0 0 0 0 π 1 3 cos 4x x = + 1 3 sin 4 3π 2 cos 2x + dx ∫ = x + sin 2x π + = 4 2 2 0 4 2 8 8 0 π π 2 2 b) 6 6 I = (sin x + cos x)dx 2 2 4 2 2 4 =
(sin x + cos x)(sin x − sin x cos x + cos x)dx 2 ∫ ∫ 0 0 π π 2 2 = ∫ ( 2 2 2 2 2 3
(sin x + cos x) − 3 sin x cos x )dx 2 = (1 − sin 2x)dx ∫ 4 0 0 π 2 π 5 3 5 3 π = + x dx = x + x 2 5 ( cos 4 ) sin 4 = ∫ 0 8 8 8 32 16 0 π π 2 2 π 1 1 sin 3x sin 7x c) I = x x dx = x − x dx 2 sin 2 .sin 5 . (cos 3 cos 7 ) = − ∫ ∫ 4 = − 2 2 3 7 π − 21 π π 2 − − 2 2 π π π 2 2 3 2 2 π 4 sin x 4(1 − cos x) sin x d) I = dx = dx ∫ ∫ 2 = − x d − x = − x 2 4(1 cos ) (1 cos ) 2(1 cos ) =2 ∫ 1 + cos x 1 + cos x 0 0 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 40
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π π π 3 2 sin x − 3 3 4 sin x − cos x sinx e) I = dx = dx = −1dx ∫ ∫ ∫ cos x cos x cosx 0 0 0 π ( π
= −ln cos x − x) 3 =ln2 − 0 3 π π 4 4 π dx dx 1 1 f) I = = = x 4 tan = ∫ ∫ 0 + x 2 1 cos 2 x 2 2 2 cos 0 0
HT 2. Tính các tích phân sau: π π π 2 2 4 dx a) I 2 = cos x cos 2xdx ∫ b) 3 2 I = (cos x − 1)cos x.dx ∫ c) I = ∫ 6 cos x 0 0 0 π π 2 2 d) 4 4 6 6 I =
(sin x + cos x)(sin x + cos x)dx ∫ e) 4 4 I = cos 2x(sin x + cos x)dx ∫ 0 0 Bài giải π 2 a) I 2 = cos x cos 2xdx ∫ 0 π π π 2 2 2 1 1 I 2 = cos x cos 2xdx = (1 + cos 2x) cos 2xdx = (1 + 2 cos 2x + cos 4x)dx ∫ ∫ ∫ 2 4 0 0 0 π 1 1 2 π = (x + sin 2x + sin 4x) = 4 4 0 8 π π 2 2 b) 3 2 5 2 I = (cos x − 1) cos x.dx = (cos x − cos x)dx ∫ ∫ 0 0 π π 2 2 5 8 cos xdx = ( 2 1 − sin x )2 A = d(sin x) ∫ ∫ = 15 0 0 π π 2 2 1 π B = 2 cos x.dx = (1 + cos 2x).dx ∫ ∫ = 2 4 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 41
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 8 π Vậy I = – . 15 4 π π π 4 4 4 dx dx 28 c) I = = ∫ ∫ 2 4 =
(1 + 2 tan x + tan x)d(tan x) = ∫ . 6 4 2 cos x cos x. cos x 15 0 0 0 π 2 d) 4 4 6 6 I =
(sin x + cos x)(sin x + cos x)dx ∫ . 0 Ta có: 4 4 6 6 (sin x + cos x)(sin x + 33 7 3 cos x) = + cos 4x + cos 8x 64 16 64 33 ⇒ I = π . 128 π 2 e) 4 4 I = cos 2x(sin x + cos x)dx ∫ 0 π π 2 2 1 2 1 1 2 I = cos 2x 1 − sin 2xdx = 1 ∫ − sin 2xd(sin 2x) = 0 ∫ 2 2 2 0 0
HT 3.Tính các tích phân sau : π π 8 6 π cot x − tan x − 2 tan 2x 1 dx a) I = dx ∫ b) I = dx ∫ c) I = ∫ sin 4x 2 sin x − 3 2 + 3 sin x − cos x π 0 π 12 3 2 π cos x + 2π 8 2 8 cos x − sin 2x − 3 d) I = dx ∫ e) I = dx ∫ f) I = 1 + sin xdx ∫ sin 2x + cos 2x + 2 sin x − cos x 0 Bài giải π 8 cotx − tanx −2 tan2x a) I = dx ∫ sin 4x π 12 π π π 8 8 8 π 2 cot 2x − 2 tan 2x 2 cot 4x cos 4x 1 2 3 − 3 Ta có: I = dx = dx = dx 8 2 = − = ∫ ∫ ∫ x x 2 sin 4 sin 4 2 sin 4x π x 6 sin 4 π π π 12 12 12 12 π 6 1 b) I = dx ∫ 2 sin x − 3 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 42
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π 1 6 6 1 1 Ta có: 2 I = dx = dx ∫ ∫ 2 π π 0 sin x − sin 0 sin x − sin 3 3 π π x π x π π + − − 6 6 cos cos 2 6 2 6 3 = dx = dx ∫ ∫ π x π x π 0 sin x − sin 0 2 cos + .sin − 3 2 6 2 6 π x π π x π − + 6 cos 6 sin 1 2 6 1 2 6 π π x π x π = dx + dx ∫ ∫
= ln sin − 6 − ln cos + 6 = ..... 2 x 0 0 π 2 x π 2 6 2 6 0 sin − 0 cos + 2 6 2 6 π dx c) I = ∫ 2 + 3 sin x − cos x π 3 π π 1 dx 1 dx 1 I = ∫ = I = ∫ = . 2 π x − 4 + 2 π + 4 3 π 1 cos x π 2 sin 3 2 6 3 3 2 π cos x + 8 d) I = dx ∫ sin 2x + cos 2x + 2 π 1 + cos 2x + 1 4 Ta có: I = dx ∫ 2 2 π 1 + sin 2x + 4 π cos 2 x + 1 4 dx = dx + ∫ ∫ π 2 2 2 1 + sin 2 x π π + + + + sin x cos 4 x 8 8 π cos 2x + 1 4 1 dx = dx + ∫ ∫ π 2 2 2 2 3π 1 + sin 2x + sin x + 4 8 1 π = 3π ln 1 + sin 2x + − cot x + + C 4 8 4 2 2 8 cos x − sin 2x − 3 e) I = dx ∫ sin x − cos x 2 (sin x − cos x) + 4 cos 2x I dx ∫ ∫ (sinx cosx 4(sinx cosx )d = = − − + x sin x cos x −
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 43
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 = 3 cos x − 5 sin x +C . 2π f) I = 1 + sin xdx ∫ 0 2π 2 2π 2π x x x x x π I = sin + cos dx = sin + cos dx ∫ = + d x ∫ 2 sin ∫ 2 2 2 2 2 4 0 0 0 3 π 2 2π x π x π = 2 sin + d x − sin ∫ + dx = ∫ 4 2 2 4 2 4 0 3π 2
HT 4.Tính các tích phân sau: π π 2 2 sin 2x cos 2x 1. I = dx ∫ 9. I = dx ∫ ( 3 2 + sin x )2 (cos x − sin x + 3) 0 0 π π 4 4 sin 4x sin 4x 2. I = dx ∫ 10. I = dx ∫ 6 6 + 2 4 cos x. tan x + 1 0 sin x cos x 0 π π 3 4 sin x sin 4x 3. I = dx ∫ 11. I = dx ∫ 2 2 + 1 + cos x 0 cos x 3 sin x 0 2 π π x + (x + sin x)sin x 6 4. I 3 = dx ∫ 3 tan x π 3 2 sin x + sin x 12. I = dx ∫ 3 cos 2x 0 π π 2 sin 2x 4 5. I = dx ∫ cos x − sin x 2 2 I = dx + 13. ∫ 0 cos x 4 sin x 3 − sin 2x 0 π π 6 tan x − π 4 3 6. I = dx ∫ cot x cos 2x 14. I = dx ∫ 0 π + π sin x. sin x 2 4 6 6 7. 3 5 I = 2 1 − cos x .sin x. cos xdx ∫ π 1 3 dx π 15. I = ∫ 2 4 4 sin x.cos x tan xdx π 8. I = ∫ 4 2 + 0 cos x 1 cos x Bài giải π 2 sin 2x 1. I = dx ∫ (2 + sinx)2 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 44
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π 2 2 sin 2x sin x cos x Ta có: I = dx = 2 dx ∫ ∫ . Đặt t = 2 + sin x . 2 2 (2 + sin x) (2 + sin x) 0 0 3 3 3 t 2 1 2 2 − ⇒ I = 2 dt = 2 − dt = 2 ∫ ∫ 3 2 lnt + = 2 ln − 2 t 2 t t t 2 3 2 2 2 π 4 sin 4x 2. I = dx ∫ 6 6 + 0 sin x cos x π 1 4 4 1 sin 4x 3 2 1 4 2 2 • I = d x ∫ . Đặt t = 1 − sin 2x ⇒ I = − d t ∫ = t = . 3 4 3 1 3 3 2 t 0 1 − sin 2x 1 4 4 π 3 sin x 3. I = dx ∫ 2 + 0 cos x 3 sin x sin x cos x Đặt 2 t = 3 + sin x = 2 4 − cos x . Ta có: 2 2 cos x = 4 −t và dt = dx . 2 3 + sin x π π 15 15 3 3 2 2 sin x sin x. cos x dt 1 1 1 I = .dx ∫ = dx ∫ = ∫ = − d t ∫ 2 + 2 2 + 2 4 − + − t 4 t 2 t 2 0 cos x 3 sin x 0 cos x 3 sin x 3 3 15 1 t + 2 2 1 15 + 4 3 + 2 1 = ln = ln − ln (ln 15 + 4 −ln 3 +2 ) = ( ) ( . 4 t − 2 4 − − 2 3 15 4 3 2 2π x +(x + sinx)sinx 4. 3 I = dx ∫ π 3 2 sin x + sin x 3 2π 2π x dx 3 3 I = dx + ∫ ∫ . π 2 π 1 + sin sin x x 3 3 2 π u = x x d u = dx π + Tính 3 I = dx dx ⇒ ⇒ I = 1 ∫ . Đặt π 2 = 1 sin dv v = − x x cot 3 3 2 sin x 2π 2π 2π dx dx dx + Tính I = 3 3 3 = = 4 = − 2 3 2 ∫ ∫ ∫ π 1 + sin x π π π 2 π x 3 3 1 + cos − x 3 2 cos − 2 4 2 π Vậy: I = + 4 − 2 3 . 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 45
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 2 sin 2x 5. I = dx ∫ 2 2 + 0 cos x 4 sin x π 2 2 2 udu 2 2 sin x cos x I = 2 2 dx ∫ . Đặt 2 u = 3 sin x + 1 I 3 ⇒ = = du = ∫ ∫ 2 + u 3 3 0 3 sin x 1 1 1 π π 6 tan x − 6. 4 I = dx ∫ cos 2x 0 π π π 6 tan x − 6 2 4 tan x + 1 1 I = dx = − dx ∫ ∫ . Đặt 2 t = tan x ⇒ dt = dx = (tan x + 1)dx x 2 cos 2 (tan x + 1) 2 cos x 0 0 1 1 3 dt 1 3 1 − 3 ⇒ I = − = = ∫ . 2 t t + 1 + 0 2 ( 1) 0 2 6 7. 3 5 I = 2 1 − cos x .sin x. cos xdx ∫ 1 5 6 2t dt Đặt 3 6 3 5 2
t = 1 − cos x ⇔ t = 1 − cos x ⇒ 6t dt = 3 cos x sin xdx ⇒ dx = 2 cos x sin x 1 1 7 13 t t 12 ⇒ = − = 6 6 I 2 t (1 t )dt 2 − = ∫ 7 13 0 91 0 π 4 tan xdx 8. I = ∫ 2 + 0 cos x 1 cos x π 4 tan xdx tan x Ta có: I = ∫ . Đặt 2 2 2
t = 2 + tan x ⇒ t = 2 + tan x ⇒ tdt = dx 2 2 + 2 cos x 0 cos x tan x 2 3 3 tdt ⇒ I = = dt = 3 − 2 ∫ ∫ t 2 2 π 2 cos 2x 9. I = dx ∫ 3 (cos x − sin x + 3) 0 4 t − 3 1
Đặt t = cos x − sin x + 3 ⇒ I = dt = − ∫ . 3 t 32 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 46
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 4 sin 4x 10. I = dx ∫ 2 4 + 0 cos x. tan x 1 π 2 4 2 sin 4x Ta có: I = dx ∫ . Đặt 4 4 t = sin x + cos x ⇒ I = 2 − dt = 2 − 2 ∫ . 4 4 + 0 sin x cos x 1 π 4 sin 4x 11. I = dx ∫ 2 1 + cos x 0 π 1 4 2 2 2 sin 2x(2 cos x − 1) 2(2t − 1) 1 Ta có: I = dx ∫ . Đặt 2 t = cos x ⇒ I = − dt = 2 − 6 ln ∫ . 2 1 + cos x t + 1 3 0 1 π 6 3 tan x 12. I = dx ∫ cos 2x 0 π π 6 3 x 6 3 tan tan x Ta có: I = dx ∫ = dx ∫ . 2 2 2 2 0 cos x − sin x 0 cos x(1 − tan x) 3 3 3 t 1 1 2 Đặt t = tan x ⇒ I = dt ∫ = − − ln . 2 6 2 3 0 1 − t π 4 cosx − sinx 13. I = dx ∫ 3 − sin 2x 0 2 du
Đặt u = sin x + cos x ⇒ I = ∫ . 2 − 1 4 u π π 4 4 2 costdt π Đặt u = 2 sin t ⇒ I = = dt = ∫ ∫ . 2 12 − π 4 4 sin t π 6 6 π 3 cot x 14. I = dx ∫ π + π sin x. sin x 4 6 π 3 cot x 1 I = 2 dx ∫ . Đặt 1 + cot x = t ⇒ dx = d − t 2 sin x(1 + cot x) 2 sin x π 6
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 47
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 3 1 + t 1 + − ⇒ I = dt = ∫ (t − t) 3 1 2 2 2 ln = − 3 1 2 ln 3 + t 3 3 1 + 3 3 π 3 dx 15. I = ∫ 2 4 sin x.cos x π 4 π 3 dx dt Ta có: I = 4.∫ . Đặt t = tan x ⇒ dx = 2 2 sin 2x. cos x 2 1 + t π 4 3 3 2 2 3 3 (1 + t ) dt 1 2 1 t 8 3 − 4 ⇒ I = ∫
= ∫ ( + 2 + t )dt = (− + 2t + ) = 2 2 t 3 3 1 t 1 t 1
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 5.Tính các tích phân sau: sin 2xdx π 1. I = ∫ 3 + 4 sin 6 x − cos 2x 1 11. I = dx ∫ dx 2. I = ∫ sin x + 3 cos x 3 5 0 sin x. cos x π dx 2 3. I = ∫ 3 2 sin x. cos x 12. I = 1 − 3 sin 2x + 2 cos xdx ∫ π 0 2 sin2x.cosx π 4. I = dx ∫ 4 1 + cos x sin x = 0 13. I dx ∫ 2 5 sin x. cos x + 2 cos x π 0 3 π 5. 2 I = sin x tan xdx ∫ 4 2 sin xdx I = 0 14. ∫ 4 2 cos x(tan x − 2 tan x + 5) π π − 6. 2 I = sin x(2 − 1 + cos 2x )dx ∫ 4 π π 2 2 2 sin x 15. I = dx ∫ π sin 3x 3 π dx 7. I = ∫ 6 2 4 sin x.cos x π π sin x − cos x I = dx 4 16. 2 ∫ π 1 + sin 2x π 4 6 sin x π 8. I = dx ∫ 3 cos 2x dx 0 17. ∫ 4 3 5 π sin x. cos x 4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 48
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π 3 x + x + x 2 cos cos sin sin I = x dx x 18. ( ) ∫ 9. I = d x ∫ 2 1 + cos x ( 0 sin x + 3 cos x )3 0 π 2 π cos x = dx 4 19. I ∫ 2 sin x 1 − cos x 2 10. I = dx ∫ + π sin x 3 cos x 2 cos x 6 π − 3 Bài giải sin 2xdx 1. I = ∫ 3 + 4 sin x − cos 2x 2 sin x cos x 1 Ta có: I = dx ∫
. Đặt t = sin x ⇒ I = ln sin x + 1 + +C 2 2 sin x + 4 sin x + 2 sin x + 1 dx 2. I = ∫ 3 5 sin x. cos x dx dx I = = 8 ∫ ∫ 3 3 2 3 2 sin x.cos x. cos x sin 2x.cos x 3 − 1 3 1 Đặt t = tan x . 3 3 4 2 I = t + 3t + + t
dt = tan x + tan x + 3 ln tan x − +C ∫ t 2 4 2 2 tan x 2t Chú ý: sin 2x = . 2 1 + t dx 3. I = ∫ 3 sin x. cos x dx dx dx 2t I = = 2 ∫ ∫ . Đặt t = tan x ⇒ dt = ; sin 2x = 2 2 sin x. cos x. cos x sin 2x. cos x 2 2 cos x 1 + t 2 dt t + 1 2 2 1 t tan x ⇒ I = 2 = dt ∫ ∫ = (t + )dt = + ln t +C = + ln tan x +C ∫ 2t t t 2 2 2 1 + t π 2 sin2x.cosx 4. I = dx ∫ 1 + cos x 0 π 2 2 2 sin x.cos x 2 (t − 1) Ta có: I = 2 dx ∫
. Đặt t = 1 + cos x ⇒ I = 2 dt = 2 ln 2 − 1 ∫ 1 + cos x t 0 1 π 3 5. 2 I = sin x tan xdx ∫ 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 49
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π 3 3 2 sin x (1 − cos x) sin x Ta có: 2 I = sin x. dx = dx ∫ ∫ . Đặt t = cos x cos x cos x 0 0 1 2 2 1 − u 3 ⇒ I = − du = ln 2 − ∫ u 8 1 π 6. 2 I = sin x(2 − 1 + cos 2x )dx ∫ π 2 π π Ta có: 2 2 I = 2 sin xdx − sin x 1 + cos 2xdx = H + K ∫ ∫ π π 2 2 π π π π + 2 H = 2 sin xdx = (1 − cos 2x)dx = π − = ∫ ∫ 2 2 π π 2 2 π π π 2 + 2 2 2 K = sin x 2 cos x = − 2 sin x cos xdx ∫ ∫ 2 = − 2 sin xd(sin x) = ∫ 3 π π π 2 2 2 π 2 ⇒ I = − 2 3 π 3 dx 7. I = ∫ 2 4 sin x.cos x π 4 π 3 dx dx I = 4.∫ . Đặt t = tan x ⇒ dt = . 2 2 sin 2x. cos x 2 cos x π 4 3 3 3 2 2 3 (1 + t ) dt 1 2 1 t 8 3 − 4 I = = + 2 + t dt = − ∫ ∫ + 2t + = 2 2 t t t 3 1 3 1 1 π 6 sin x 8. I = dx ∫ cos 2x 0 π π 6 6 sin x sin x I = dx = dx ∫ ∫
. Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx x 2 cos 2 2 cos x − 1 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 50
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 3 Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 6 2 3 1 2 1 1 2t − 2 1 3 − 2 2 Ta được I = − dt = ln ∫ = ln 2 2t − 1 2 2 2t + 2 3 2 2 5 − 2 6 1 2 π 2 sin x 9. I = d x ∫ (sinx + 3 cosx)3 0 π
Ta có: sin x + 3 cos x = 2 cos x − 6 ; π π 3 π 1 π sin x = sin x − + x − + x − = sin cos 6 6 2 6 2 6 π π π − 2 sin x dx 2 3 6 1 dx 3 I = + ∫ ∫ = 16 3 π 16 2 π 6 0 cos x − 0 cos x − 6 6 π 4 2 sin x 1 − cos x 10. I = dx ∫ 2 cos x π − 3 π π π 4 4 0 4 sin x 2 sin x sin x sin x I = 1 − cos x .dx = sin x dx ∫ ∫ = sin x dx + sin x dx ∫ ∫ 2 2 cos x cos x 2 2 cos x cos x π π − − π −0 − 3 3 3 π 0 4 2 2 sin x sin x π = − dx + dx ∫ ∫ 7 = − 3 − 1 . 2 2 cos x cos x 12 π 0 − 3 π 6 1 11. I = dx ∫ sin x + 3 cos x 0 π π π π 6 6 6 sin x + 1 1 1 1 3 I = dx ∫ = dx ∫ = dx ∫ . sin x + 3 cos x 2 π 2 2 π 0 0 sin x + − x + 0 1 cos 3 3 1 2 π π 1 1 1 Đặt t = cos x + ⇒ dt = −sin x + dx I = dt = ln 3 ∫ 3 3 ⇒ 2 2 −t 4 1 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 51
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 2 12. 2 I = 1 − 3 sin 2x + 2 cos xdx ∫ 0 π π π 2 3 2 I = sin x − 3 cos x dx ∫ = I = sin x − 3 cos x dx + sin x − 3 cos x dx ∫ ∫ = 3 − 3 0 0 π 3 π 4 sin x 13. I = dx ∫ 2 5 sin x. cos x + 2 cos x 0 π 4 tan x 1 Ta có: I = . dx ∫ . Đặt t = tan x , 2 2 5 tan x + 2(1 + tan x) cos x 0 1 1 t 1 2 1 1 2 ⇒ I = dt = − dt = ln 3 − ln 2 ∫ ∫ 2 3 t + + + 2 2t + t t 1 2 3 2 5 2 0 0 π 4 2 sin xdx 14. I = ∫ 4 2 cos x(tan x − 2 tan x + 5) π − 4 1 1 2 dt t dt 2 dt Đặt t = tan x ⇒ dx = ⇒ I = = 2 + ln − 3 ∫ ∫ 2 1 + 2 2 t t − t 3 2 + 5 t − 2t + 5 −1 1 − 1 0 dt t − 1 1 π 2 3π Tính I = ∫ . Đặt = tan u ⇒ I = du = ∫ . Vậy I = 2 + ln − . 1 2 1 t − 2t + 5 2 2 8 3 8 −1 π − 4 π 2 2 sin x 15. I = dx ∫ . sin 3x π 6 π π 2 2 2 sin x sin x I = dx = dx ∫ ∫ 3 2 3 sin x − 4 sin x 4 cos x − 1 π π 6 6 3 0 2 dt 1 dt 1
Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx ⇒ I = − = = ln(2 − 3) ∫ ∫ 2 t 4 − 2 1 4 4 1 0 t − 3 4 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 52
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π sin x − cos x 16. 2 I = dx ∫ π 1 + sin 2x 4 π π
Ta có: 1 + sin 2x = sin x + cos x = sin x + cos x (vì x ∈ ; ) 4 2 π x − x 2 sin cos ⇒ I = dx ∫
. Đặt t = sin x + cos x ⇒ dt = (cos x − sin x)dx π sin x + cos x 4 2 1 2 1 ⇒ I = dt = ln t = 1 ln 2 ∫ 1 t 2 π 3 dx 17. ∫ 4 3 5 π sin x. cos x 4 π π 3 3 1 1 1 Ta có: dx ∫ = . dx ∫ . 3 4 2 3 cos π tan x x π sin x 8 4 . cos x 4 3 cos x 4 3 3 − I = t dt = 4 (8 4 3 − ) Đặt t = tan x ⇒ 1 ∫ 1 π 3 cos x + cos x + sin x 18. I = x( )dx ∫ 2 1 + cos x 0 π 2 π π
cos x(1 + cos x) + sin x x. sin x Ta có: I = x dx = x. cos x.dx + dx = J + K ∫ ∫ ∫ 2 2 1 + cos x 1 + cos x 0 0 0 π u = x d u = dx + Tính J = x.cos x.dx ∫ . Đặt ⇒ ⇒ J = −2 d v = cosxdx v = sin x 0 π x.sin x + Tính K = dx ∫
. Đặt x = π − t ⇒ dx = d − t 2 1 + cos x 0 π π π (π − t). sin(π − t) (π − t). sin t (π − x). sin x ⇒ K = dt = dt = dx ∫ ∫ ∫ 2 2 2 1 + cos (π − t) 1 + cos t 1 + cos x 0 0 0 π π π (x + π − x). sin x sin x.dx π sin x.dx ⇒ 2K = dx = π ⇒ K = ∫ ∫ ∫ 2 2 2 + x + x 2 1 cos 1 cos 1 + cos x 0 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 53
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 π dt Đặt t = cos x ⇒ K = ∫ , đặt 2
t = tan u ⇒ dt = (1 + tan u)du 2 2 1 + t −1 π π 4 4 2 π 2 π (1 + tan u)du π π π ⇒ K = = du = u 4 . = ∫ ∫ 2 2 π + u 2 2 − 4 1 tan π π 4 − − 4 4 2 π Vậy I = − 2 4 π 2 cos x 19. I = dx ∫ 2 + π sin x 3 cos x 6 π 2 sin x cos x Ta có: I = dx ∫ . Đặt 2 t = 3 + cos x 2 2 + π sin x 3 cos x 6 15 2 dt 1 ⇒ I = = (ln( 15 + 4) − ln( 3 + 2 ) ) ∫ 2 − t 2 4 3
HT 6.Tính các tích phân sau: π π 2 2 2 1 3 sin x + 4 cos x
1. I = ∫ sin x ⋅ sin x + .dx 2. I = dx ∫ 2 2 2 3 sin x + 4 cos x π 0 6 π π π + 4 2 sin x tan x 4 3. I = dx ∫ 4. I = dx ∫ 2 + 2 sin x cos x − 3 π cos x 1 cos x π 6 4 Bài giải π 2 2 1
1. I = ∫ sin x ⋅ sin x + .dx 2 π 6 π 4 3 π 3 3 π 1 2 • Đặt cos x = sin t, 0 ≤ t ≤ tdt + cos ∫ = 2 2 ⇒ I = 2 2 4 2 . 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 54
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 2 3 sin x + 4 cos x 2. I = dx ∫ 2 2 3 sin x + 4 cos x 0 π π π π π 2 2 2 2 2 3 sin x + 4 cos x 3 sin x 4 cos x 3 sin x 4 cos x • I = dx = dx + dx ∫ ∫ ∫ = dx + dx ∫ ∫ 2 2 2 3 + cos x 3 + cos x 3 + cos x 2 2 3 + cos x 4 − sin x 0 0 0 0 0 π 2 1 3 sin x 3dt + Tính I = dx t = x ⇒ dt = − xdx ⇒ I = 1 ∫ . Đặt cos sin ∫ 2 1 3 + cos x 2 3 + t 0 0 π 6 2 3 3(1 + tan u)du π 3 Đặt 2 t =
3 tan u ⇒ dt = 3(1 + tan u)du ⇒ I = = 1 ∫ 2 + u 6 3(1 tan ) 0 π 2 1 4 cos x 4dt + Tính I = dx t = sin x ⇒ dt = cos xdx 1 I = dt = ln 3 2 ∫ . Đặt ∫ 2 1 1 2 1 4 − sin x 2 4 − t 0 0 1 π 3 Vậy: I = + ln 3 6 π 4 tan x 3. I = dx ∫ 2 + π cos x 1 cos x 6 π π 4 4 tan x tan x • Ta có: I = dx = dx ∫ ∫ 2 2 2 1 + π π cos x tan x x 2 cos + 1 2 6 cos x 6 1 1 u u Đặt u = tan x ⇒ du = dx ⇒ I = dx ∫ . Đặt 2 t = u + 2 ⇒ dt = du . 2 cos x 2 + 2 + 1 u 2 u 2 3 3 3 7 3 − 7 ⇒ I = dt = t = 3 − = . ∫ 7 3 3 7 3 3 π π + 2 sin x 4 4. I = dx ∫ 2 sin x cos x − 3 π 4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 55
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 2 1 1 sin x + cos x 1 1 • Ta có: I = − dx ∫
. Đặt t = sin x − cos x ⇒ I = − dt ∫ 2 − + 2 2 t + 2 π (sinx cosx)2 2 0 4 1 arctan 2 2 1 2(1 + tan u) 1 1 Đặt t = 2 tan u ⇒ I = − du = − arctan ∫ 2 u 2 2 2 tan + 2 2 0
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 7.Tính các tích phân sau: π π π 3 2 4 x sin x 1 sinx + x x cos 2x 1. I = dx ∫ 2. I = . e dx ∫ 3. I = dx ∫ 2 + cos x 1 cos x 0 (1 + sin 2x )2 π − 0 3 Bài giải π 3 x sinx 1. I = dx ∫ . 2 cos x π − 3
• Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có: π π π π 3 3 3 1 x 3 dx 4π dx I = xd = − = −J, ∫ J = ∫ với ∫ cos x cos x π cos x 3 − cos x π 3 π − − π − 3 3 3 π 3 3 3 2 dx dt 1 t − 1 2 2 − 3
Để tính J ta đặt t = sin x. Khi đó J = = = − ln = −ln ∫ ∫ x 2 cos 2 t −t + 1 3 1 2 + 3 − π 3 − 2 − 3 2 4π 2 − 3 Vậy I = − ln . 3 2 + 3 π 2 1 sinx + 2. I = . x e dx ∫ 1 + cos x 0 x x 1 + 2 sin cos 1 + sin x 1 x Ta có: 2 2 = = + tan 1 + cos x 2 x 2 x 2 2 cos 2 cos 2 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 56
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π 2 x 2 π e dx x x ⇒ I = + e tan dx ∫ ∫ = e 2 2 x 2 0 2 cos 0 2 π 4 x cos 2x 3. I = dx ∫ (1+ sin2x)2 0 u = x d u = dx Đặt cos 2x ⇒ 1 dv = dx v = − 2 (1 + sin 2x) 1 + sin 2x π π π 4 4 1 1 1 1 π 1 1 1 ⇒ I = x. − . 4 + dx = − + . dx ∫ ∫ 2 1 + sin 2x 2 1 + sin 2x 16 2 0 2 2 π 0 0 cos x − 4 π π 1 1 π π 1 2 2 π = − + . tan x − 4 = − + . (0 + )1 = − 16 2 4 16 2 2 4 16 2 0
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 57
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
PHẦN V TÍCH PHÂN HÀM MŨ VÀ LOGARIT
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 1.Tính các tích phân sau: 2x ln 3 e 2x 1. I = dx ∫ e dx 10. I = ∫ 1 x + e x x − + − ln 2 e 1 e 2 2 (x + x) x e ln 3 2. I = d x ∫ 3x 2 2 x e −e x − x + e 11. I = dx ∫ x x e e − + dx 0 4 3 1 3. I = ∫ 16 2x e + 9 ln 3 x 2 ln(1 + x )x + 2011x 12. I = 3e − 4dx ∫ 4. I = dx ∫ 2 2 x 1 8 ln ( + ex +e) ln 3 e x ln 3 x xe + 1 e 5. J = d x ∫ 13. I = d x ∫ x x e + x ( ln ) x 3 + 1 0 (e 1) ln 2 3x 2 ln 5 2 x e + e −1 2x e 6. I = dx ∫ 14. I = d x ∫ 3x 2x x e +e −e + 1 x 0 − ln 2 e 1 3 ln 2 ln 2 dx 7. I = ∫ x 15. I = e −1dx ∫ ( xe + )2 3 0 2 0 ln 2 2 2x − 2 x − 3 x 8. I = e −1 dx ∫ 16. I = dx ∫ 4x + 4 x − − 2 0 1 ln 15 ( 1 2 x x e − 24 x e )dx 6 dx 9. I = ∫ 17. I = ∫ x x x x x x x + + − + − 9 + 3.6 + 2.4 3 ln 2 e e 1 5e 3 e 1 15 0 Bài giải 2x e 1. I = dx ∫ 1 x + e x x x Đặt 2 t = e ⇒ e = t ⇒ e dx = 2tdt . 3 t 2 2 x x x x x ⇒ I = 2 dt = ∫ 3 2 t
−t + 2t − 2 ln t + 1 +C = e e −e + 2 e − 2 ln e + 1 +C 1 + t 3 3 2 (x + x) x e 2. I = dx ∫ x − x + e 2 ( x x x + x) x e xe .(x + 1)e x x x I = dx ∫ = dx ∫
. Đặt t = x.e + 1 ⇒ I = xe + 1 − ln xe + 1 +C . x − x x + e xe + 1 dx 3. I = ∫ 2x e + 9 2x x dt 1 t − 3 1 e + 9 − 3 Đặt 2 t = e + 9 ⇒ I = = ln +C ∫ = ln +C 2 6 t t + 3 − 9 6 2x e + 9 + 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 58
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 ln(1 + x )x + 2011x 4. I = dx ∫ 2 2 x 1 ln ( + ex +e) 2 x ln(x + 1) + 2011 Ta có: I = dx ∫ . Đặt 2 t = ln(x + 1) + 1 2 2 (x + 1) ln(x + 1) + 1 1 t + 2010 1 1 1 ⇒ I = dt ∫ = t + 1005 ln t +C = 2 2 ln(x + 1) + + 1005 ln(ln(x + 1) + 1) +C 2 t 2 2 2 e e x x e e xe + 1 d e + x ( ln ) x e + 1 5. J = d x ∫ J = = e + x ln ln = ln ∫ x x x e x ( + ln ) + x ln 1 e e 1 1 ln 2 3x 2 2 x e + e −1 6. I = dx ∫ 3x 2x x e +e −e + 1 0 ln 2 3x 2x x 3x 2 ln 2 3 x x x e + 2e −e −( x x e +e −e + 1) 3 2 3e + 2e −e I = dx ∫ = −1 dx ∫ 3x 2x x x x x e + e −e + 1 3 2 e +e −e + 1 0 0 x x x 14 = 3 e 2 ln 2 ln 2 + e e ln( – + 1) − x = ln11 – ln4 = ln 0 0 4 3 ln 2 dx 7. I = ∫ ( xe + )2 3 0 2 x 3 ln 2 x x e 3dx 1 3 3 1 I = ∫
. Đặt t = e 3 ⇒ dt = e 3dx ⇒ I = ln − x 3 4 2 6 0 e 3 ( x e + )2 3 2 ln 2 3 x 8. I = e −1 dx ∫ 0 2 1 1 3 x 3t dt 1 dt Đặt e − 1 = t ⇒ dx = ⇒ I = 3 1 − dt ∫ = 3 − 3∫ . 3 t + 1 3 t + 1 3 t + 1 0 0 1 1 dt 1 2 t − π Tính I = 3 + d t = + ln 2 1 ∫ = ∫ 3 + t + 1 t 2 1 t −t + 1 3 0 0 π Vậy: I = 3 − ln 2 − 3 ln 15 ( 2x e − 24 x e )dx 9. I = ∫ x x x x + + − + − 3 ln 2 e e 1 5e 3 e 1 15 x x x Đặt 2
t = e + 1 ⇒ t − 1 = e ⇒ e dx = 2tdt .
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 59
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 4 4 2 t − t dt 4 (2 10 ) 3 7 I = = 2 − − d
t = (2t − 3 ln t − 2 − 7 ln t + 2 ) ∫ ∫
= 2 − 3 ln 2 − 7 ln 6 + 7 ln 5 2 t − − 2 t + t 2 3 4 3 3 ln 3 2x e dx 10. I = ∫ x x − + − ln 2 e 1 e 2 x x Đặt t = e − 2 ⇒ 2 e dx = 2tdt 1 2 1 1 1 (t + 2)tdt 2t 1 + 2 d(t + t + 1) ⇒ I = 2 ∫ = 2 t − 1 + dt ∫ = 2 (t −1)dt ∫ + 2∫ 2 t + t + 1 2 t + t + 1 2 t + t + 1 0 0 0 0 1 1 = 2 (t − 2t) + 2
2 ln(t + t + 1) = 2 ln 3 − 1 . 0 0 ln 3 3x 2 2 x e −e 11. I = dx ∫ x x − + 0 e 4e 3 1 x x x x x x x x tdt Đặt 3 2 2 3 2 3 2 t = 4e − 3e ⇒ t = 4e − 3e ⇒ 2tdt = (12e − 6e )dx 3 2 ⇒ (2e −e )dx = 3 9 9 1 tdt 1 1 1 8 − ln 5 ⇒ I = = (1 − )dt ∫ ∫ 9 = (t − ln t + 1) = . 3 t + 1 3 t + 1 1 3 3 1 1 16 ln 3 x 12. I = 3e − 4dx ∫ 8 ln 3 2 x x t + 4 2tdt Đặt: t = 3e − 4 ⇒ e = ⇒ dx = 3 2 t + 4 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2t dt dt ⇒ I = dt = 2 dt − 8 ∫ ∫ ∫ = 4 ( 3 − ) 1 − 8I , với I = ∫ 2 2 1 1 t + 4 t + 4 2 t + 4 2 2 2 2 2 3 dt π π Tính I = t = u u ∈ − 2 ⇒ dt = 2(1 + tan u)du 1 ∫ . Đặt: 2 tan , ; 2 t + 4 2 2 2 π 3 1 1 π π π π ⇒ I = du = − = . Vậy: I = 4( 3 − 1) − 1 ∫ 2 2 3 4 24 3 π 4 ln 3 x e 13. I = dx ∫ x 3 + 0 (e 1)
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 60
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 x x x tdt tdt Đặt 2 2
t = e + 1 ⇔ t = e + 1 ⇔ 2tdt = e dx ⇒ dx = ⇒ I = 2 = 2 − 1 ∫ x e 3 t 2 ln 5 2x e 14. I = dx ∫ x − ln 2 e 1 2 2 3 x x 2tdt t 20 = − ⇔ = − ⇒ = ⇒ = + = Đặt 2 2 t e 1 t e 1 dx I 2 (t 1)d 2 + t = ∫ x e 3 1 3 1 ln 2 x 15. I = e −1dx ∫ 0 x x x 2td 2td Đặt 2
t = e − 1 ⇒ t = e − 1 ⇒ 2tdt = e dx ⇒ dx = = x 2 e t + 1 1 1 2 2t 1 4 − π ⇒ I = dt = 2 1 − d t ∫ ∫ = 2 2 t + t + 2 1 1 0 0 2 2x − 2 x − 16. I = dx ∫ 4x + 4 x − − 2 1 x x − x x − x x − 1 81 Đặt t = 2 + 2 ⇒ 2 4 + 4 − 2 = (2 + 2 ) − 4 ⇒ I = ln 4 ln 2 25 1 6x dx 17. I = ∫ 9x + 3.6x + 2.4x 0 x 3 3 1 dx x 2 2 3 1 dt − Ta có: I = ∫ . Đăt t = . I = ∫ ln 15 ln 14 = 2x x 2 − 2 ln 3 ln 2 t + 3t + 2 ln 3 − ln 2 0 3 3 + 3 1 + 2 2 2
HT 2.Tính các tích phân sau: e 5 ln x ln( x − 1 + 1) 1. 2 I = + 3x ln xdx ∫ 9. I = dx ∫ x 1 + lnx x − 1 + x − 1 1 2 e 3 3 2 e ln x 2 + ln x 3 x 2. I = dx ∫ ln 10. I = dx ∫ x x + x 1 1 ln 1 2 e e dx − x 3. I = ∫ 3 2 ln 11. I = dx ∫ x ln x. lnex x 1 + 2 ln x e 1 ln 6 2x e e 3 2 x + x 4. I = dx ∫ ln 2 ln 12. I = dx ∫ x − e + 6 x e − 5 x ln 4 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 61
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 e 3 e log x x xe + 1 5. 2 I = dx ∫ 13. I = dx ∫ 2 + x( x e + ln x) 1 x 1 3 ln x 1 e x + (x − 2) ln x 6. I = dx ∫ x(1 + ln x) 1 3 e 2 2 2x ln x − x ln x + 3 7. I = dx ∫ x(1 − ln x) 2 e 2 e 2 2 ln x − ln x + 1 8. I = dx ∫ 2 x 1 Bài giải e ln x 1. 2 I = + 3x ln xdx ∫ x 1 + lnx 1 e e ln x 3 3 2 2(2 − 2) 2e + 1 5 − 2 2 + 2e I = dx + 3 x ln xdx ∫ ∫ = + = x 1 + ln x 3 3 3 1 1 e 3 2 ln x 2 + ln x 2. I = dx ∫ x 1 3 2 ln x 1 3 = (3 4 3 4 3 − 2 ) Đặt 2 t = 2 + ln x 3 ⇒ dt = dx ⇒ I = tdt ∫ x 2 8 2 2 e dx 3. I = ∫ x x ex ln . ln e 2 2 e e 2 e dx d(ln x) 1 1 I = = ∫ ∫ = − d (ln x) ∫ = 2ln2 – ln3 x ln x(1 + ln x) ln x(1 + ln x) ln x 1 + lnx e e e ln 6 x 2 e x 4. I = dx ∫
• Đặt t = e . I = 2 + 9 ln 3 − 4 ln 2 x − e + 6 x e − 5 ln 4 e 3 log x 5. 2 I = dx ∫ 2 + 1 x 1 3 ln x 3 lnx e 3 e e x 2 log 2 ln 2 1 ln x. ln xdx I = dx = dx = . ∫ ∫ ∫ 3 2 2 2 x + x x + x ln 2 x + 1 1 3 ln 1 1 3 ln 1 1 3 ln x 1 dx 1 Đặt 2 2 2 1 + 3 ln x = t ⇒ ln x = (t − 1) ⇒ ln x. = tdt . 3 x 3 2 1 1 4 Suy ra 3 I = t − t = . 3 3 3 9 ln 2 1 27 ln 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 62
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 e x + (x − 2) ln x 6. I = dx ∫ x(1 + ln x) 1 e e e x ln x ln x d − 2 dx ∫ ∫ = e − 1 − 2 dx ∫ x(1 + ln x) x(1 + ln x) 1 1 1 e 2 ln x t − 1 Tính J = dx ∫ . Đặt t = + x 1 ln ⇒ J = dt = 1 − ln 2 ∫ . x(1 + ln x) t 1 1 Vậy: I = e − 3 + 2 ln 2 . 3 e 2 2 2x ln x − x ln x + 3 7. I = dx ∫ x(1 − ln x) 2 e 3 3 e e 1 I = 3 dx − 2 ln xdx ∫ ∫ 3 2 = −3 ln 2 − 4e + 2e . x(1 − ln x) 2 2 e e 2 e 2 2 ln x − ln x + 1 8. I = dx ∫ 2 x 1 dx 2 2 t − t 2 + t 1 − t 2 2 1 1 − 1 t − 1 Đặt : t = ln x ⇒ dt = ⇒ I = dt = dt = − dt + dt = I + I ∫ ∫ ∫ ∫ x t t t t 1 2 0 e 0 e 0 e 1 e 1 tdt 1 dt 1 1 dt 1 t dt − 1 + I = − − = − t − e + − ∫ ∫ = 1 ∫ ∫ 0 t 0 t 0 0 t 0 t e e e e e 2 tdt 2 dt 2 2 dt 2 dt 2 t − t − 1 2 + I = − = t − e + − = t − e = − 2 ∫ ∫ ∫ ∫ t t t t e 2 1 e 1 e 1 1 e 1 e 1 e 2(e − 1) Vậy : I = 2 e 5 ln( x −1 +1) 9. I = dx ∫ x − 1 + x − 1 2 ln 3 dx Đặt t = ln ( x − 1 + ) 1 ⇒ 2dt = ⇒ 2 2 I = 2 dt = ln 3 − ln 2 ∫ . x − 1 + x − 1 ln 2 3 e 3 ln x 10. I = dx ∫ x 1 + ln x 1 dx Đặt 2
t = 1 + ln x ⇒ 1 + ln x = t ⇒ = 2tdt và 3 2 3 ln x = (t − 1) x 2 2 2 2 3 6 4 2 (t − 1) t − 3t + 3t − 1 1 ⇒ I = dt = 5 3 dt = (t − 3t + 3t − )dt ∫ ∫ ∫ 15 = − ln 2 t t t 4 1 1 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 63
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 e 3 − 2 ln x 11. I = dx ∫ x 1 + 2 ln x 1 e 4 2 − 5 Đặt t = 1 + 2 ln x ⇒ 2 I = (2 − t )dt ∫ = 3 1 e 3 2 ln x 2 + ln x 12. I = dx ∫ x 1 3 3 4 3 Đặt 2 t = 2 + ln x ⇒ 4 I = 3 − 2 8 e x xe + 1 13. I = dx ∫ x( x e + ln x) 1 e x e + Đặt t = e + ln x ⇒ 1 I = ln . e
HT 3.Tính các tích phân sau: π 1 2 2 + x 1 x 1. sin I = e .sin 2xdx ∫ 8. I = x ln dx ∫ 1 − x 0 0 1 2 1 2. 2 I = x ln(x + x + 1)dx ∫ 9. 2 I = x . ln x + dx ∫ x 0 1 8 1 ln x 2 2 3. I = dx ∫ 10. I = x ∫ . ln(1 + x )dx x + 1 0 3 3 e 2 x x + x ln x + 1 ln x I = dx 4. I = e dx ∫ 11. ∫ 2 x (x + 1) 1 1 e x x e 2 2 ln x + e (e + ln x) ln x I = dx 5. 2 I = + ln xdx ∫ . 12. ∫ x x 1 + ln x 1 + e 1 1 2 2 1 2 x + ln(x + 1) 1 x I = x + − e dx 6. I = dx ∫ 13. ( 1 ) ∫ 3 x x 1 1 2 2 ln(x +1) 4 7. I = dx ∫ 2 2 14. I = ln( x + 9 − x)dx ∫ x 1 0 Bài giải π 2 x 1. sin I = e .sin 2xdx ∫ 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 64
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 2 = inx u sin x du = cos xdx s I = 2 e . sin x cos xdx ∫ . Đặt ⇒ sin x d v = e xd x sin cos x v = e 0 π π 2 π x x x sin 2 sin sin 2 ⇒ I = 2 sin xe − e xdx = e − e = 0 . cos 2 2 ∫ 0 2 0 1 2. 2 I = x ln(x + x + 1)dx ∫ 0 2x + 1 d u = dx 2 u = ln(x + x + 1) 2 Đặt x + x + 1 ⇒ d v = xdx 2 x v = 2 1 1 2 3 2 1 1 1 x 1 2x + x 1 1 1 2x + 1 3 dx 2 I = ln(x + x + 1) − dx ∫ = ln 3 − (2x − 1)dx + dx − ∫ ∫ ∫ 2 2 0 2 x + x + 1 2 2 2 2 4 x + x 4 + 1 x + x + 1 0 0 0 0 3 3π = ln 3 − 4 12 8 ln x 3. I = dx ∫ x + 1 3 u = lnx dx 8 d u = 8 x + 1 Đặt dx ⇒ ⇒ I = (2 x + 1.ln x ) x − 2 dx = 6 ln 8 − 4 ln 3 − 2J ∫ d v = 3 x v + = 2 x + 1 x 1 3 8 3 3 3 x + 1 2 t t 1 1 + Tính J = dx ∫ . Đặt t = x + 1 ⇒ J = .2tdt = 2 dt = 2 + − dt ∫ ∫ ∫ x 2 2 t − − − 1 t + t t 1 1 1 3 2 2 2 t 1 − 8 = 2 t + ln = 2 + ln 3 − ln 2 3 t + 1
Từ đó I = 20 ln 2 − 6 ln 3 − 4 .
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com e 2 x + x ln x + 1 x 4. I = e dx ∫ x 1 e e e e e x e x = + ln x e x x x e I xe dx xe dx + dx ∫ ∫ ∫ . + Tính I = xe dx = xe 1 − e dx = e (e − 1) ∫ ∫ x 1 1 1 1 1 1 e e e x x e x x e e e +Tính I = e ln xdx = e ln x − dx = e − dx 2 ∫ ∫ ∫ . 1 x x 1 1 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 65
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 e x e e + Vậy: I = I + I + dx e . 1 2 ∫ = 1 x 1 e ln x 5. 2 I = + ln xdx ∫ x 1 + lnx 1 e ln x 4 2 2 Tính I = dx t = + x ⇒ I = − . 1 ∫ . Đặt 1 ln 1 x 1 + ln x 3 3 1 e + Tính 2 I = ln xdx I = e − 2 . 2 ∫
. Lấy tích phân từng phần 2 lần được 2 1 2 2 2 Vậy I = e − − . 3 3 2 2 ln(x + 1) 6. I = dx ∫ 3 x 1 x 2 2 u = ln(x + 1) du = 2 2 2 ln(x + 1) 2 dx Đặt x + 1 dx ⇒ . Do đó I = − + ∫ d v = 1 2 1 2 2x x(x + 1) 3 v = − x 1 2 2x 2 2 2 ln 2 ln 5 1 x 2 ln 2 ln 5 dx 1 d(x + 1) = − + − dx ∫ = − + − ∫ ∫ x 2 2 8 x + 1 x 2 2 8 2 x + 1 1 1 1 ln 2 ln 5 1 5 2 2 = −
+ ln | x | − ln | x + 1 | = 2 ln 2 − ln 5 2 8 2 1 8 2 ln(x +1) 7. I = dx ∫ 2 x 1 = ln( + 1) dx u x d u 2 = 1 2 dx x 3 Đặt + 1 dx ⇔ ⇒ I = − ln(x + 1) + = 3 ln 2 − ln 3 ∫ d v = 1 x 1 (x + 1)x 2 2 v = − x 1 x 1 2 1 x + 8. I = x ln dx ∫ 1− x 0 2 1 1 du + = dx x 1 2 u 2 = ln − x 1 1 + x 2 Đặt (1 ) 2 2 1 − x ⇒ I = x − x dx ⇒ ln 2 ∫ − 2 x 2 d v = xdx x 2 1 0 1− x v = 0 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 66
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 1 2 2 2 ln 3 x ln 3 1 ln 3 1 1 2 = + dx = + 1 + dx = + + ln ∫ ∫ 2 8 8 (x − 1)(x x + 1) 8 2 2 3 − 1 0 0 2 1 9. 2 I = x . ln x + dx ∫ x 1 1 u = ln x + 10 1 Đặt x I = − + ⇒ 3 ln 3 ln 2 2 3 6 dv = x dx 1 2 2 10. I = x ∫ . ln(1 + x )dx 0 2 u = ln(1 + x ) 1 4 π Đặt I = + + ⇒ .ln 2 2 dv = x dx 3 9 6 3 ln x 11. I = dx ∫ 2 (x + 1) 1 u = lnx 1 3 Đặt dx ⇒ I = − ln 3 + ln dv = 4 2 2 (x + 1) e 2 x x 2 ln x + e (e + ln x) 12. I = .dx ∫ 1 x +e 1 e e 2x e Ta có: 2 I = ln x.dx + dx = H + K ∫ ∫ x e + 1 1 1 e e 2 u = ln x + 2 H = ln x.dx ∫ . Đặt: ⇒ H = e − 2 ln x.dx = e − 2 ∫ d v = dx 1 1 e e e + 2x 1 e x t − 1 e e + 1 + K = dx ∫ . Đặt t = e + 1 ⇒ ⇒ I = dt = e −e + ln ∫ x 2 e e + 1 t e + 1 1 e 1 + e e + 1 Vậy: I = e – 2 + ln e e + 1 2 1 1 x + 13. = ( + 1 − ) x I x e dx ∫ x 1 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 67
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 1 3 1 x + 1 x + Ta có: x x I = e dx + x − e dx = H + K ∫ ∫ x 1 1 2 2 2 1 2 1 5 x + 1 x + 3
+ Tính H theo phương pháp từng phần I x x H = xe − x − e dx = e 2 1 = − K ∫ x 2 1 1 2 2 5 3 ⇒ I = e2 . 2 4 14. 2 I = ln( x + 9 − x)dx ∫ 0 u = ( 2 ln x + 9 − x) x I = x ln ( 2 x + 9 − x) 4 4 Đặt ⇒ + dx = 2 ∫ d v = dx 2 0 + 0 x 9
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 68
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 PHẦN VI TỔNG HỢP
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 1.Tính các tích phân sau: 1 4 2 3 + + 3 x ln(x 1) x 1. 2 x x I = x e + dx ∫ 6. I = dx ∫ 2 1 + x x + 1 0 4 ln( 2 x + x + 9) 2 3 − 2 3x = x 4 − x 7. I dx ∫ 2. I = x e − ∫ dx 2 3 x + 9 x 0 1 e 3 2 1 (x + 1)ln x + 2x + 1 x 8. I = dx ∫ I = ( 2x 2 2 e . 4 − x − x ) 3. dx. ∫ 2 + x ln x 2 − 1 0 4 x 3 e 1 3 2 ln x x + 1 9. I = dx ∫ 4. x I = e dx ∫ 2 x 1 + ln x (x + 1) 1 0 π 3 2 3 x 1 + x .e dx 4 5. I = ∫ x sin x 10. I = dx ∫ 2 + 2 0 1 x cos x 0 1 4 3 = 1. 2 x x I x e + dx ∫ 1 + x 0 1 1 4 3 2 x x I = x e dx + dx ∫ ∫ . 1 + x 0 0 1 1 3 1 1 t 1 t 1 1 + Tính 2 x I = x e dx = ⇒ I = e dt = e = e − 1 ∫ . Đặt 3 t x 1 ∫ . 3 3 0 3 3 0 0 1 4 1 x 4 t 2 π + Tính I = dx = ⇒ I = 4 dt = 4 − + 2 ∫ . Đặt 4 t x 2 ∫ 1 + x 2 3 4 1 + t 0 0 1 Vậy: I = e + π − 3 3 2 2 x 4 − x 2. I = x e − ∫ dx 3 x 1 2 2 2 x 4 − x I = xe dx ∫ + dx ∫ . 2 x 1 1 2 2 2 4 − x π + Tính x 2 I = xe dx = e I = dx x = t , t ∈ 0; . 1 ∫ + Tính 2 ∫ . Đặt 2 sin 2 x 2 1 1 π 2 2 π cos t π ⇒ 2 I = dt = (− cott − t) − 2 ∫ = 3 2 sin π t 3 π 6 6
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 69
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π Vậy: 2 I = e + 3 − . 3 1 x I = ( 2x 2 2 e . 4 − x − x ) 3. dx. ∫ 2 − 0 4 x 1 1 3 2x x I = x e dx − dx = I + I ∫ ∫ 1 2 2 − 0 0 4 x 1 2 x e + 1 + Tính 2 I = x e dx = 1 ∫ 4 0 1 3 x 16 + Tính I = dx t = − x ⇒ I = −3 3 + 2 ∫ . Đặt 2 4 2 2 − 3 0 4 x 2 e 61 ⇒ I = + 3 3 − 4 12 1 2 x + 1 4. x I = e dx ∫ 2 (x + 1) 0 2 2 2 t 2t 2 − + 2 t − 2 2 − 2 e − + Đặt t = x + 1 ⇒ dx = dt 1 t 1 I = e dt = 1 + − e dt ∫ ∫ = e 1 − + e = 1 2 2 t t t e 2 1 1 3 2 3 x 1 + x .e dx 5. I = ∫ 2 + 0 1 x 2 2 2 Đặt 2 t = 1 + x ⇒ dx = tdt ⇒ 2 = ( −1) t I t e dt ∫ 2 t t 2 = t e dt −e = J − (e −e) ∫ 1 1 1 2 2 2 2 2 2 + 2 t 2 t t 2 t t 2 = = − 2 = 4 − − 2 − = 4 − − 2( t t J t e dt t e te dt e e te e dt e e te −e ) ∫ ∫ ∫ 1 1 1 1 1 1 Vậy: 2 I = e 2 3 x ln(x + 1) + x 6. I = dx ∫ 2 x + 1 2 2 2 x ln(x + 1) x(x + 1) − x x ln(x + 1) x Ta có: f (x) = + = + x − 2 2 2 2 x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 1 1 ⇒ 2 2 2 F(x) = f (x)dx = ln(x + 1)d(x + 1) + xdx − d ln(x + 1) ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 1 1 1 = 2 2 2 2
ln (x + 1) + x − ln(x + 1) +C . 4 2 2 4 ln( 2 x + x + 9) 3 − 3x 7. I = dx ∫ 2 + 0 x 9
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 70
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 4 ln(x + x + 9) 4 − 3x ln (x + x + 9) 4 2 3 2 3 x I = dx = dx − 3 dx = I − 3I ∫ ∫ ∫ 1 2 2 2 2 + + + 0 x 9 0 x 9 0 x 9 4 ln( 2 x + x + 9) ( 2 1 ln x + x + 9) + Tính I = dx = u ⇒ du = dx 1 ∫ . Đặt 2 + 2 + 0 x 9 x 9 ln 9 2 2 2 u ln 9 ln 9 − ln 3 ⇒ I = udu = = 1 ∫ 2 ln 3 2 ln 3 4 3 x x + Tính I = dx x + = v ⇒ 2 2 dv = dx, x = v −9 2 ∫ . Đặt 2 9 2 + 2 + 0 x 9 x 9 5 3 u 5 44 ⇒ 2 I = (u − 9)du = ( − 9u) = 2 ∫ 3 3 3 3 4 ln( 2 x + x + 9) 3 2 2 − 3x ln 9 − ln 3 Vậy I = dx = I − 3I = − 44 ∫ . 1 2 2 2 + 0 x 9 e 3 2 (x + 1)ln x + 2x + 1 8. I = dx ∫ 2 + x ln x 1 e e e e 3 3 2 1 + ln x x e − 1 I = x dx + dx ∫ ∫ . + 2 x dx = = ∫ 2 + x ln x 3 1 3 1 1 1 e e 1 + ln x d(2 + x ln x) e e + 2 3 e − 1 e + 2 + dx = = ln 2 + x ln x ∫ ∫ = = + 1 ln . Vậy: I ln . 2 + x ln x 2 + x ln x 2 3 2 1 1 3 e 3 ln x 9. I = d x ∫ x 1 + ln x 1 dx Đặt 2
t = 1 + ln x ⇒ 1 + ln x = t ⇒ = 2tdt và 3 2 3 ln x = (t − 1) x 2 2 2 2 3 6 4 2 (t − 1) t − 3t + 3t − 1 1 ⇒ I = dt = 5 3 dt = (t − 3t + 3t − )dt ∫ ∫ ∫ 15 = − ln 2 t t t 4 1 1 1 π 4 x sinx 10. I = dx ∫ 2 cos x 0 π π u = x π du = dx 4 4 x 4 dx π 2 dx Đặt sin x ⇒ 1 ⇒ I = − = − ∫ ∫ d v = dx v = cos x cos x 4 cos x 2 0 cos x cos x 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 71
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π 2 4 4 2 dx cos xdx dt 1 2 + 2 + I = = t = x ⇒ I = = ln 1 ∫ ∫ . Đặt sin ∫ 2 cos x 1 1 − sin x 2 2 1 − t 2 − 2 0 0 0 π 2 1 2 + 2 Vậy: = − ln 4 2 2 − 2
HT 2.Tính các tích phân sau: 4 3 π ln(5 − x) + x . 5 − x 1. I = dx ∫ 4 2 x sin x x 7. I = dx ∫ 1 3 cos x 2 0 2. 2 I = x(2 − x) + ln(4 + x ) ∫ π dx 2 2 (x + sin x) 0 8. I = dx ∫ 8 ln x 1 + sin 2x 0 3. I = ∫ dx x + 1 π 3 3 x(cos x + cos x + sin x) 9. I = dx ∫ 2 2 + 2 1 cos x 1 + x 0 4. I = ln xdx ∫ 3 2π x x + (x + sin x)sin x 1 10. 3 I = dx ∫ π 2 e + 2 (1 sin x) sin x x + x ln x + 1 3 5. x I = e dx ∫ x 1 π 2 x cosx 6. I = dx ∫ 3 sin x π 4 Bài giải 4 3 ln(5 − x) + x . 5 − x 1. I = dx ∫ 2 x 1 4 4 ln(5 − x) Ta có: I = dx + x 5 − x .dx = K + H ∫ ∫ . 2 x 1 1 4 u = ln(5 − x) ln(5 − x) 3 + K = dx ∫ . Đặt dx ⇒ K = ln 4 2 x dv = 5 1 2 x 4 164 + H= x 5 − x .dx ∫ . Đặt t = 5 − x ⇒ H = 15 1 3 164 Vậy: I = ln 4 + 5 15 2 2. 2 I = x(2 − x) + ln(4 + x ) ∫ dx 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 72
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 2 Ta có: I = x(2 − x)dx ∫ + 2 ln(4 + x )dx ∫ = I + I 1 2 0 0 2 2 π + 2 I = x(2 − x)dx = 1 − (x − 1) dx = x = + t ) 1 ∫ ∫ (sử dụng đổi biến: 1 sin 2 0 0 2 2 2 2 x + 2 2 I =
ln(4 + x )dx = x ln(4 + x ) − 2 dx 2 ∫ 0 ∫
(sử dụng tích phân từng phần) 2 4 + x 0 0
= 6 ln 2 + π − 4 (đổi biến x = 2 tan t ) 3π Vậy: I = I + I = − 4 + 6 ln 2 1 2 2 8 ln x 3. I = ∫ dx x + 1 3 u = lnx dx 8 d u = 8 x + 1 Đặt dx ⇒ x ⇒ I = 2 x + 1 ln x − 2 dx ∫ d v = v 3 x + = 2 x + 1 x 1 3 8 3 3 x + 1 2 2t dt 1 + Tính J = dx ∫ . Đặt t = x + 1 ⇒ J = = 2 1 + d t = 2 + ln 3 − ln 2 ∫ ∫ x 2 2 t − 1 t − 1 3 2 2
⇒ I = 6 ln 8 − 4 ln 3 − 2(2 + ln 3 − ln 2)= 20 ln 2 − 6 ln 3 − 4 2 2 1 + x 4. I = ln xdx ∫ 3 x 1 2 u = ln x 1 1 Ta có: I = + ln xdx ∫ . Đặt 1 1 3 x x dv = ( + )dx 1 3 x x 2 1 2 1 1 − − 1 63 1 ⇒ I = + ln xln x − + ln xdx = 2 − ln 2 + + ln 2 ∫ 4 1 5 4 4 x x x 64 4 2 1 e 2 x + x ln x + 1 5. x I = e dx ∫ x 1 e e e x Ta có: x x e I = xe dx + e ln xdx + dx = H + K + J ∫ ∫ ∫ x 1 1 1 e e + x x e x e H = xe dx = xe − e dx = e (e − 1) ∫ 1 ∫ 1 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 73
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 e e e e x x e e + x K = e ln x xdx = e ln e e x − dx = e − dx = e − J ∫ ∫ ∫ 1 x x 1 1 1 + + Vậy: e 1 e e e 1 I = H + K + J = e −e +e −J + J = e . π 2 x cosx 6. I = dx ∫ 3 sin x π 4 ′ u = x d u = dx 1 2 cos x Ta có = − . Đặt cos x ⇒ 1 2 3 sin x sin x dv = dx v = − 3 sin x 2 2 sin x π π π 2 1 1 2 1 dx 1 π π 1 2 1 ⇒ I = − x. + = − ( − ) − cotx ∫ = . 2 2 sin π x π 2 2 2 2 2 2 sin x 2 4 π 4 4 π 4 x sinx 7. I = d x ∫ 3 cos x 0 π u = x d u = dx π π 4 x 4 1 dx π 1 4 π 1 Đặt: sin x ⇒ 1 ⇒ I = − = − tan x = − ∫ d v = dx v = 2 2 2 4 2 4 2 3 2 2 cos x cos x 0 0 cos x 2. cos x 0
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com π 2 2 (x + sin x) 8. I = dx ∫ 1 + sin 2x 0 π π 2 2 2 x sin x Ta có: I = dx + dx = H + K ∫ ∫ 1 + sin 2x 1 + sin 2x 0 0 π π u = x 2 2 d u = dx x x dx + H = dx = dx ∫ ∫ . Đặt: d v = ⇒ 1 π 1 + sin 2x = − 2 π 2 π v tan x − 0 0 2 cos x − 2 cos x 2 4 4 4 π π x π 2 2 1 π π ⇒ H = tan x − + ln cos x − = 2 4 2 4 4 0 0 π π 2 2 2 sin x 2 π cos x + K = dx ∫ . Đặt t = − x ⇒ K = dx ∫ 1 + sin 2x 2 1 + sin 2x 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 74
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π 2 dx 1 π 2 1 ⇒ 2K = = tan x − = 1 ∫ ⇒ = K 2 π 2 4 2 − 0 0 2 cos x 4 π 1 Vậy, I = H + K = + . 4 2 π 3 x(cos x + cos x + sin x) 9. I = dx ∫ 2 1 + cos x 0 π 2 π π
cos x(1 + cos x) + sin x x. sin x Ta có: I = x dx = x. cos x.dx + dx = J + K ∫ ∫ ∫ 2 2 1 + cos x 1 + cos x 0 0 0 π π u = x π π + Tính J = x.cos x.dx ∫ . Đặt ⇒ J = (x. sin x) − sin x.dx = 0 + cos x = −2 ∫ d v = cosxdx 0 0 0 0 π x.sin x + Tính K = dx ∫
. Đặt x = π − t ⇒ dx = d − t 2 1 + cos x 0 π π π (π − t). sin(π − t) (π − t). sin t (π − x). sin x ⇒ K = dt = dt = dx ∫ ∫ ∫ 2 2 2 1 + cos (π − t) 1 + cos t 1 + cos x 0 0 0 π π π (x + π − x). sin x sin x.dx π sin x.dx ⇒ 2K = dx = π ⇒ K = ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 1 + cos x 1 + cos x 1 + cos x 0 0 0 1 π dt
Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin x.dx ⇒ K = ∫ , đặt 2
t = tan u ⇒ dt = (1 + tan u)du 2 2 1 + t −1 π π 4 4 2 π 2 π (1 + tan u)du π π π 4 ⇒ K = = du = .u = ∫ ∫ 2 2 2 2 π + − 4 1 tan u π π 4 − − 4 4 2 π Vậy I = − 2 4 2π x +(x + sinx)sinx 10. 3 I = dx ∫ π 2 (1 + sin x) sin x 3 2π 2π 2 2 π x(1 + sin x) + sin x x dx Ta có: 3 3 3 I = dx = dx + = H + K ∫ ∫ ∫ π 2 π 2 π 1 + sin (1 + sin ) sin sin x x x x 3 3 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 75
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 π u = x x d u = dx π + 3 H = dx ∫ . Đặt dx ⇒ ⇒ H = π 2 = sin = − x dv v cotx 3 3 2 sin x 2π 2π 2π dx dx dx + 3 3 3 K = = = = 3 − 2 ∫ ∫ ∫ π 1 + sin x π π π 2 π x 3 3 1 + cos − x 3 2 cos − 2 4 2 π Vậy I = + 3 − 2 3
HT 3.Tính các tích phân sau: π 2 π x + sin x 1. 3 I = dx ∫ 6 4 sin xdx 0 1 + cos 2x 6. I = ∫ x − 3 2 + 1 π − 2. I = x + 1 sin x + 1.dx ∫ 6 0 eπ π 7. I = cos(ln x)dx ∫ 2 1 + sinx 1 3. I = . x e dx ∫ 1 + cos x π 0 2 2 sin x 3 π 8. I = e . sin x.cos xdx cos ∫ x 4. 2 I = dx ∫ 0 0 x e (1 + sin 2x) π π 4 4 6 6 sin x + cos x 9. I = ln(1 + tan x)dx ∫ 5. I = dx ∫ 6x + 1 0 π − π 4 2 10. I = sin x ln(1 + sin x)dx ∫ 0 Bài giải π 2 x + sin x 1. 3 I = dx ∫ 0 1 + cos 2x π 2 π π 2 x + sin x x sin x Ta có: 3 3 3 I = dx = dx + dx = H + K ∫ ∫ ∫ 2 2 0 1 + cos 2x 0 0 2 cos x 2 cos x π π u = x x 1 x d u = dx + 3 3 H = dx = dx ∫ ∫ . Đặt dx ⇒ 2 2 0 2 0 = 2 cos = x cos x dv v tan x 2 cos x π π 1 π π 1 π 1 3 ⇒ H = x tan x 3 − xdx = + x 3 tan ln cos = − ln 2 ∫ 0 2 2 0 0 2 2 3 2 3 π 2 π π sin x 1 1 1 π + 3 3 2 K = dx = tan xdx ∫ ∫
= [tan x − x ] 3 = 3 − 2 0 2 0 2 cos x 2 0 2 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 76
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 1 1 π π ( 3 − ) 1 1 Vậy: I = H + K = − ln 2 + 3 − = + ( 3 − ln 2) 2 2 3 6 2 2 3 3 2. I = x + 1 sin x + 1.dx ∫ 0 2 2 2 Đặt t = x + 1 ⇒ 2 2 I = t. sin t.2tdt = 2t sin tdt = 2x sin xdx ∫ ∫ ∫ 1 1 1 2 2 u = 2x d u = 4xdx 2 Đặt ⇒ ⇒ 2 I = 2 − x cos x + 4x cos xdx ∫ d v = sin xd x v = −cosx 1 1 u = 4x d u = 4d x Đặt ⇒
. Từ đó suy ra kết quả. d v = cos xdx v = sin x π 2 1 + sinx 3. I = . x e dx ∫ 1 + cos x 0 π π 2 2 1 x e dx sin x x I = + e dx ∫ ∫ 2 2 x 1 + cos x 0 cos 0 2 π π π x x 2 2 2 sin . cos 2 sin x x + Tính x 2 2 x I = e dx = e dx = tan x e dx 1 ∫ ∫ ∫ 1 + cos x 2 x 2 0 0 2 cos 0 2 π x π u = e 2 x = π 2 1 x du e dx e dx x + Tính I = dx ⇒ x = ⇒ 2 I = e − tan e dx 2 ∫ . Đặt dv ∫ 2 x 2 2 x x v = 2 0 cos 2 tan 0 2 2 cos 2 2 π Do đó: 2 I = I + I = e . 1 2 π cos x 4. 2 I = dx ∫ 0 x e (1 + sin 2x) cos x ( − sin x + cos x)dx = π u d u = cos x x x 2 I = dx ∫ . Đặt e ⇒ e x 2 0 dx e (sin x + cos x) sin x d v = v = 2 (sin x + cos x) sin x + cos x π π π 2 2 cos x sin x 2 sin xdx sin xdx ⇒ I = . + = ∫ ∫ x sin x + cos x x x e 0 e e 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 77
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π u = sinx d u = cosxdx π 1 1 2 2 −1 2 cos xdx −1 cos xdx Đặt dx ⇒ −1 ⇒ = + = + I sin x. ∫ ∫ dv = v = x x π x 1 1 x x e e e 0 e e 0 0 2 e u = cosx d u = −sinxdx 2 2 Đặt dx ⇒ −1 dv = v = 1 1 x x e e π π π − 2 π − −1 −1 2 sin xdx −1 2 e − 1 2 ⇒ I = + cos x. − = + 1 − I ⇒ 2I = e − + 1 ∫ ⇒ I = + π x x e π 2 2 0 e 0 2 2 e e π 4 6 6 sin x + cos x 5. I = dx ∫ 6x + 1 π − 4 π π 4 4 6 6 6 6 t sin t + cos t x sin x + cos x Đặt t = x − ⇒ dt = d − x ⇒ I = 6 dt = 6 dx ∫ ∫ 6t + 1 6x + 1 π π − − 4 4 π π π 4 4 6 6 4 x sin x + cos x 5 3 π ⇒ 6 6 2I = (6 + 1) dx = (sin x + cos x)dx ∫ ∫ = + cos 4x d ∫ 5 x = 6x + 1 8 8 16 π π − − π − 4 4 4 5π ⇒ I = . 32 π 6 4 sin xdx 6. I = ∫ 2 x − +1 π − 6 π π 6 0 6 x 4 x 4 x 4 2 sin xdx 2 sin xdx 2 sin xdx Ta có: I = = + = I + I ∫ ∫ ∫ 1 2 2x + 1 2x + 1 2x + 1 π π 0 − − 6 6 0 0 0 0 x 4 2 sin − xdx t 4 4 4 2 sin ( t − ) sin t sin x + Tính I = = − ⇒ I = − dt = dt = dx 1 ∫ . Đặt x t 1 ∫ ∫ ∫ 2x + 1 2 t − +1 2t + 1 2x + 1 π − π π π 6 6 6 6 π π π π 6 6 6 6 4 x 4 sin xdx 2 sin xdx 1 4 2 ⇒ I = + = sin xdx = (1 − cos 2x) dx ∫ ∫ ∫ ∫ x x 4 2 + 1 2 + 1 0 0 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 78
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 6 1 π − = (3 − 4 cos 2x + cos 4x)dx ∫ 4 7 3 = 8 64 0 eπ 7. I = cos(ln x)dx ∫ 1 Đặt = ln t t t x ⇒ x = e ⇒ dx = e dt π 1 ⇒ t I = e costdt ∫ = (eπ −
+ 1) (dùng pp tích phân từng phần). 2 0 π 2 2 8. sin x 3 I = e . sin x.cos xdx ∫ 0 1 1 t 1 Đặt 2 t = sin x ⇒ I = e (1 − t)dt = e ∫
(dùng tích phân từng phần) 2 2 0 π 4 9. I = ln(1 + tan x)dx ∫ 0 π π π 4 4 4 π π 1 − tan t 2 Đặt t = − x ⇒ I = ln 1 + tan −t d ∫ t = ln 1 + d t = ln dt ∫ ∫ 4 4 1 + tan t 1 + tan t 0 0 0 π π 4 4 π = ln 2dt − ln(1 + tan t)dt ∫ ∫ = 4 t. ln 2 − 0 I 0 0 π π ⇒ 2I = ln 2 ⇒ I = ln 2 . 4 8 π 2 10. I = sin x ln(1 + sin x)dx ∫ 0 1 + cos x u = ln(1 + sinx) d u = dx Đặt ⇒ 1 + sin x d v = sin xdx v = −cos x π π π π 2 2 2 2 cos x 1 − sin x π
⇒ I = − cos x. ln(1 + sin x) 2 + cos x. dx = 0 + dx = (1 − sin x)dx = −1 ∫ ∫ ∫ 1 + sin x 1 + sin x 2 0 0 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 79
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 4 tanx.ln(cosx) 11. I = dx ∫ cos x 0 1 2 1 ln t ln t
Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx ⇒ I = − dt = dt ∫ ∫ . 2 2 t t 1 1 2 u = lnt 1 d u = dt 2 Đặt 1 ⇒ t ⇒ I = 2 − 1 − ln 2 d v = dt 1 2 2 v = − t t
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 80
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
PHẦN VII TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 1.Tính các tích phân sau: e e ln x 2 x ln x + ln(x.e ) 1. 2 I = + ln xdx ∫ dx 10. ∫ x 1 + lnx x ln x + 1 1 1 e 2 e 3 2 ln(1 + ln x) (x + )1lnx +2x +1 2. dx ∫ 11. I = dx x ∫ 2 + x ln x 1 1 e ln x − 2 π 3. dx ∫ 12. 2 A = sin x cos x ln ∫ ( 2 1 + sin x )dx x ln x + x 0 1 e e x − ln x ln 2 dx 4. 2 I = + 3x ln xdx ∫ 13. ∫ x x + x ln x 1 + ln x 1 1 e e 2 ( x − x − 2)ln x + x 3 1 I = x dx 5. dx ∫ 14. ln ∫ 2 x(1 + ln x) x + 1 1 2 e 1 2 2 x x + x x + x + π ln ln 1 x e x 15. dx ∫ 6. + x + 2 tan x dx ∫ 2 x + x ln x 2 x cos2x 1 3 π 1 4 16. I = x ln ( 2 x + x + ∫ )1dx 3 e 2x ln x (ln x − ) 1 + 3 0 7. I = ∫ ( dx x 1 − ln x ) 2 1 x + 2 1 e 17. ( + 1 − ) x x e dx ∫ 2 x 2 3 x 1 + x .3 + ln(x + 1) 1 8. I = dx ∫ 2 2 x 1 e ln x 9. dx ∫ x 1 + ln x 1 Bài giải e ln x 1. 2 I = + ln xdx ∫ x 1 + lnx 1 e ln x 4 2 2 I + 1 = dx ∫ , Đặt t = 1
ln x ,… Tính được I1 = − x 1 + ln x 3 3 1 e 2 2 2 I = ∫ ( 2
ln x dx , lấy tích phân từng phần 2 lần được I e − − 2 )
2 = e – 2 Vậy: I = I1 + I2 = 3 3 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 81
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 e 2 ln(1 + ln x) 2. dx ∫ x 1 1 2t Đặt lnx = t , ta có I = 2 ln(1 + t )dt ∫
. Đặt u = ln( 1+t2) , dv = dt ta có : du = dt ,v = t . 2 1 + t 0 1 1 1 2 1 t dt
Từ đó có : I = t ln( 1+ t2) − 2 dt = ln 2 − 2 dt − ∫ ∫ ∫ (*). 0 2 2 1 + t 1 + t 0 0 0 1 dt π π
Tiếp tục đặt t = tanu , ta tính được = ∫
.Thay vào (*) ta có : I = ln2 – 2 + . 2 + t 4 1 2 0 e e ln x − 2 ln x − 2 3. dx ∫ = dx ∫ x ln x + x (ln x + 1)x 1 1 1
Đặt t = lnx + 1 ⇒ dt = dx ; x
Đổi cận: x = 1 thì t = 1; x = e thì t = 2 2 2 t − 3 3 2 Suy ra: I = dt = 1 − d t ∫ ∫
= (t − ln | t )| = 1 – ln2 t t 1 1 1 e ln x 4. 2 I = + 3x ln xdx ∫ x 1 + lnx 1 e e ln x 2 I = dx + 3 x ln xdx ∫ ∫ =I1+3I2 x 1 + ln x 1 1 e ln x +) Tính I = dx 1 ∫ . x 1 + ln x 1 Đặt 2 1
t = 1 + ln x ⇒ t = 1 + ln x; 2tdt = dx x
Khi x = 1 ⇒ t = 1;x = e ⇒ t = 2 2 ( 2 t − ) 2 1 2 − ⇒ = tdt ∫ = ∫ ( 2 t I .2 2 t − ) 3 2(2 2) 1 dt = 2 1 −t = t 3 3 1 1 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 82
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 dx e = ln du u x = x +)Tính 2 I = x ln xdx ⇒ 2 ∫ . Đặt 2 3 d v = x dx x 1 v = 3 e 3 3 3 3 3 3 x e 1 2 e 1 x e e e 1 2e + 1 ⇒ I = . ln x − x dx = − . = − + = 2 1 ∫ 1 3 3 3 3 3 3 9 9 9 1 3 5 − 2 2 + 2e I = I + 3I = 1 2 3 e (x − 2)ln x + x 5. dx ∫ x(1 + ln x) 1 e e e e x(1 + ln x) − 2 ln x ln x I = dx = dx ∫ ∫ -2 dx ∫ Ta có : dx = e − 1 ∫ x(1 + ln x) x(1 + ln x) 1 1 1 1 e ln x Tính J = dx ∫ x(1 + ln x) 1 2 2 t − 1 1
Đặt t = 1 + lnx, Ta có: J = dt ∫ = (1 − )dt ∫ = (t - ln t ) = 1 - ln2 t t 1 1
Vậy I = e - 1 - 2(1- ln2) = e - 3 + 2ln2 1 π x e x 6. + x + 2 tan x dx ∫ 2 x cos2x 3 π 4 1 π π 1 π π x 2 e x 1 x Ta có: I = + x + 2 tan x x dx = e ∫ . dx + dx + 2x tan xdx ∫ ∫ ∫ (1) 2 x cos2 2 x x cos2x 3 π 3π 3π 3π 4 4 4 4 π π 1 π 1 1 1 4 1 1 +) x x x e dx = − e d = e − = e π − +e 3 . π ∫ ∫ 2 x x 3 3 3 π π π 4 4 4 2 π 2 u = x π x d u = 2xdx π +) J = dx ∫ : Đặt ⇒ ⇒ J = x − x xdx ∫ v dv = dx = t ( 2 tanx anx ) 2 tan 1 3π cos2x 3π c os2 4 3 x π 4 4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 83
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 π 1 4 9 2 π 9π J = − 2x tan xdx ∫ Thay vào (1) ta có I = e π − +e3π + 16 16 3π 4 3 e e e 3 3 e e 2x ln x (ln x − ) 3 3 1 + 3 1 3 1 e 7. I = ∫ = − − ( = − ∫ ∫ 3 d(ln x) 2 x ln x dx ∫ ∫ − 2 x ) dx 3 x ( − x)dx 2 ln xdx x 1 ln 1 ln (1−lnx) e 2 2 2 e e e 2 2 e e = − ( − x ) 3e 3 3 e e 3 2 3 ln 1 ln − 2 x ln x − x = −3 ln 2 − 4e + 2e . 2 2 2 e e e e 2 I x + x ln x + 1 x = e dx ∫ x 1 e e e e 2 x + x ln x + 1 x x x x e I= e dx = xe dx + ln xe dx + dx ∫ ∫ ∫ ∫ x x 1 1 1 1 e e x x e x e Đặt I1= xe dx = xe − e dx = e e − 1 ∫ 1 ( ) ∫ 1 1 e e e x x e x x e e e Đặt I2= e ln xdx = e ln x − dx = e − dx ∫ ∫ ∫ 1 x x 1 1 1 e e e x x x e e + e e e e e + Vậy I=I1+I2+ dx ∫ = 1 1 e −e +e − dx + dx = e ∫ ∫ x x x 1 1 1 2 2 3 x 1 + x .3 + ln(x + 1) 8. I = dx ∫ 2 x 1 2 2 2 + ln( + 1) Ta có 1 = .3x x I x dx + dx = J + K ∫ ∫ 2 x 1 1 2 2 2 2 x 1 + 2 2 x + 1 x + 3 117 Tính: 1 1 2 J = x.3 dx = 3 d(x + 1) = = . ∫ ∫ 2 2 ln 3 ln 3 1 1 1 2 u = x 1 ln( + 1) u = ln( ' x + 1) Tính: K = dx ∫ . Đặt x + 1 1 ⇒ . 2 = x v ' 1 1 2 v = − x x 2 2 2 2 ln(x + 1) dx ln 3 1 1 2 ln 2 − ln 3 x Suy ra K = − + = − + ln 2 + − dx = + ln ∫ ∫ x x(x + 1) 2 x x + 1 2 x + 1 1 1 1 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 84
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 ln 2 − ln 3 2 1 3 =
+ ln − ln = 3 ln 2 − ln 3. 2 3 2 2 117 3 Vậy I = + 3 ln 2 − ln 3 . ln 3 2 e ln x 9. dx ∫ x 1 + ln x 1 1
Đặt t = 1 + ln x có 2tdt = dx x = 1 thì t = 1; x = e thì t = 2 x e 2 2 2 ln x t −1 3 t 2(2 − 2) dx = 2tdt = ∫ ∫ 2( −t) = 1 + ln t x x 3 3 1 1 1 e 2 x ln x + ln(x.e ) dx ∫ x ln x + 1 1 e 2 x ln x + ln(x.e ) 10.I= dx ∫ . x ln x + 1 1 e e e e x ln x + 1 + ln x + 1 ln x + 1 e d(x ln x + 1) I = dx = dx + dx = x + ∫ ∫ ∫ 1 ∫ x ln x + 1 x ln x + 1 x ln x + 1 1 1 1 1 = −1 + ln ln + 1 e e x x = e −1 + ln(e + 1) 1 e ( 3 x + ) 2 1 ln x + 2x + 1 11. I = dx ∫ 2 + x ln x 1 e ( 3 + ) 2 1 ln + 2 + 1 e e x x x 2 1 + ln x I = dx = x dx + dx ∫ ∫ ∫ 2 + x ln x 2 + x ln x 1 1 1 e e 3 3 x e −1 Ta có: 2 x dx = = ∫ 3 3 1 1 e e d + (2 + x ln 1 ln x x ) e + dx = = ∫ ∫ ( e ln 2 + x ln x ) = (e + ) 2 ln 2 − ln 2 = ln 2 + x ln x 2 + x ln x 1 2 1 1 3 e − 1 e + 2 Vậy I = + ln . 3 2 π 12. 2 A = sin x cos x ln ∫ ( 2 1 + sin x )dx 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 85
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 1 2 A = sin 2x ln ∫ ( 2 1 + sin x )dx 2 0 sin 2x Đặt u = ( 2
ln 1 + sin x ) và dv = sin2xdx . Suy ra: du = dx và 2 v = 1 + sin x 2 1 + sin x π π π π 1 1 ln 4 − 1 A = (1+sin x )ln(1+sin x) 2 2 2 2 − sin 2xdx ∫ = ( 2 1 + sin x)ln( 2 1 + sin x ) 2 − ( 2 sin x ) 2 = 2 0 2 2 0 0 0 e ln x − 2 13. dx ∫ x ln x + x 1 e e ln x − 2 ln x − 2 Ta có: I = dx ∫ = dx ∫ x ln x + x (ln x + 1)x 1 1 1
Đặt t = lnx + 1 ⇒ dt = dx ; Đổi cận: x = 1 thì t = 1; x = e thì t = 2 x 2 2 t − 3 3 2 Suy ra: I = dt = 1 − d t ∫ ∫
= (t − ln | t )| = 1 – ln2 t t 1 1 1 e 2 x −1 14. 3 I = x ln dx ∫ 2 x + 1 2 2 4x x −1 d u = dx u = ln 4 Đặt 2 x − 1 x + 1 ta có 4 3 x − 1 d v = x dx = v 4 e 4 2 4 2 2 4 2 2 x −1 x −1 e e −1 e −1 x e e − 1 e −1 3 e I = ln | − xdx = ln − | = ln + ln 3 − + 1 ∫ 2 4 2 2 x 4 + e 2 2 2 4 + e 4 2 1 1 + 1 2 e 2 2 x ln x + x ln x + x + 1 15. dx ∫ 2 x + x ln x 1 1 e e 1 e + e d x + x x I = ln xdx + dx = x ∫ ∫ (lnx − ) ( ln ) 1 + ∫ x + ln x 1 x + ln x 1 1 1 . ( e x ln x )1 ln(x lnx) ln e (e )1 = − + + = + . 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 86
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 16. I = x ln ( 2 x + x + ∫ )1dx 0 2x + 1 d u = dx u = ( 2 ln x + x + )1 2 Đặt ⇒ x + x + 1 d v = xdx 2 x v = 2 x + I = (x +x + ) 1 2 3 2 2 1 1 2x x 3 3 ln 1 | − dx = ln 3 − J 0 ∫ với 2 2 2 x + x 4 4 + 1 0 π 1 3 dx 1 3 π π 2 3 π 3 J = ∫ . Đặt x + = tan t,t ∈ − ; ⇒ J = dt = ∫ . 2 2 2 2 2 2 2 9 0 1 3 π x + + 2 2 6 3 π 3 Vậy I = ln 3 − 4 12 2 1 1 x + 17. ( + 1 − ) x x e dx ∫ x 1 2 2 1 2 1 1 1 x + x + 1 x + :I = ( + 1 − ) x x = + ( − ) x x e dx e dx x e dx = I + I ∫ ∫ ∫ . 1 2 x x 1 1 2 2 2 1 2 1 5 5 x + 1 x + 3 3 Tính I x x xe − x − e dx = e 2 ⇒ I = e2
1 theo phương pháp từng phần I1 = ( ) − I ∫ . 2 x 2 2 1 1 2 2
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 87
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 2.Tính các tích phân sau: 3 1 x 2 7. dx ∫ dx 1. A = ∫ 2 + − 1 3x 9x 1 2 x − x 1 1 3 2 2 2 4 1 x 2 4 − I = dx x 8. ∫ = 2. 3 I x ln dx ∫ 1 2 2 x − x + 1 4 + x 3 x 0 1 5 dx 2 x + 1 3. ∫ 9. I = dx ∫ 2 + − x 3x + 1 0 1 1 x 1 6 1 dx ( x x e + 1) 4. I = ∫ 10. dx ∫ 2x + 1 + 4x + 1 2 (x + 1) 2 0 1 3 2 x + 3x 5 1 − x 5. I = dx ∫ 11. dx ∫ 4 2 x − 5x + 6 2 0 x ( 5 1 1 + x ) 1 1 7 4 4 2 3 3 x + x + 1 2 x x x e + dx 6. I = dx ∫ 12. ( ) ∫ 2 3 3 + x + 1 0 1 x x x 26 Bài giải 3 2 dx 1. A = ∫ 2 x − x 1 1 2 dx tdt Đặt 2 2 2
t = 1 − x ⇒ t = 1 − x ⇒ 2tdt = 2 − xdx ⇒ = − x 2 x dx tdt tdt ⇒ = − = x 2 2 1 − t t −1 1 3 3 1 + Đổi cận: x = ⇒ t = ;x = ⇒ t = 2 2 2 2 1 3 3 2 2 dt dt 1 t + 1 + 2 1 7 4 3 A = = = ln = ln ∫ ∫ − t | 2 2 1 t − −t 2 1 2 3 1 1 1 3 2 2 2 1 2 4 − x = 2. 3 I x ln dx ∫ 2 4 + x 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 88
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 16x 4 − x d u = = dx u ln 4 Đặt 2 x −16 4 + x ⇒ 4 x − 3 16 v dv = x dx = 4 1 1 2 1 4 − x 15 3 = − Do đó I ( 4x 1 )6ln − 4 xdx = − ln − 2 ∫ 2 4 + x 4 5 4 0 0 1 dx 3. ∫ 2 + − 0 1 1 x π π
Đặt x = sint với t ∈ [− ; ]. Ta có: dx = cos tdt và 2 2 2
1 − x = 1 − sin t = cos t =|cost| = cost. 2 2 π
Đổi cận: Với x =0 thì t = 0; Với x = 1 thì t = . Từ đó: 2 π π 1 2 2 dx costdt 2 2 coss (t / 2) − 1 = ∫ ∫ = dt ∫ 2 1 + cost 2 2 coss (t / 2) 0 1 + 1 − x 0 0 π π 2 2 d(t / 2) π π = dt − ∫ ∫ =( t – tan (t/2) ) | 2 = -1 2 0 cos (t / 2) 2 0 0 6 dx 4. I = ∫ 2x + 1 + 4x + 1 2 2 t − 1 tdt Đặt t = 4x + 1 ⇒ x = ⇒ dx = t ( ) 2 = 3,t ( ) 6 = 5 4 2 5 5 tdt 1 1 1 = = − 3 1 Khi đó 5 I dt ∫ ∫ = ln t + 1 + = ln − + ( + ) t 1 t + t 1 (t + ) 3 2 2 1 2 12 3 3 1 1 5 = 3 1 ln t + 1 + = ln − 3 t + 1 2 12 1 3 x + 3x 5. I = dx ∫ 4 2 x − 5x + 6 0 1 1 2 2 1 x + 3 2 1 x − 2 + 5 2 I = dx = dx ∫ ∫ 2 2 2 2 2 x − x 2 ( 2)( − 3) (x − 2)(x − 3) 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 89
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 1 2 2 1 dx 5 1 1 − 2 1 = + − 2 5 x 3 1 dx ∫ ∫ = ln x − 3 + ln 0 2 2 2 2 2 x 2 − x − x − 2 2 3 3 2 x − 2 0 0 1 5 1 5 3 5 2 5 = ln 2 + ln 2 −
ln 3 + ln = 3 ln 2 − 3 ln 3 + ln 2 = 3 ln + ln 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 1 1 7 7 7 4 2 4 2 3x + x + 1 3x + x 1 6. I = dx = dx + dx = I + I ∫ ∫ ∫ 1 2 2 3 3 2 3 3 2 3 3 + + + 1 x x x 1 x x x 1 x x x 26 26 26 1 1 1 7 7 2 ∗ Tính 1 1 1 1 1 3 1 15 I = dx = − d + 3 7 1 = − 1 ∫ ∫ + = 2 3 2 2 x 2 x 4 x 1 4 1 1 1 3 1 + 1 3 1 + 2 2 x x 26 26 26 322 Vậy: I = . 91 1 x 7. dx ∫ 2 + − 1 3x 9x 1 3 1 1 1 1 x 2 2 2 I = dx = x(3x − 9x − 1)dx = 3x dx − x 9x − 1dx ∫ ∫ ∫ ∫ 2 + − 1 3x 9x 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 26 2 3 I = 3x dx = x = 1 ∫ 1 27 1 3 3 1 1 1 3 1 1 16 2 2 2 2 2 I = x x − dx = x − d x − = x 2 9 1 9 1 (9 1) (9 −1) = 2 ∫ ∫ . 18 27 27 1 1 1 3 3 3 26 − 16 2 Vậy I = 27 2 2 4 x 8. I = dx ∫ 1 2 − 3 x x + 1 x 2 2 5 x Ta có: I = ∫ ( dx 2 x − ) 2 1 x + 1 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 90
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x Đặt t = 2 x + 1 , suy ra 2 2 dt =
dx & x = t − 1 Đổi cận: x = 3 ⇒ t = 2;x = 2 2 ⇒ t = 3 2 x + 1 3 (t − )2 2 1 3 3 3 4 2 3 t − 2t + 1 1 3 1 1 1 1 Khi đó I = dt ∫ Ta có I = 2 dt = t dt + dt ∫ ∫ ∫ = 3 t + − dt ∫ 2 t − 2 2 2 t − 2 t − 2 3 2 2 2 t − 2 t + 2 2 2 2 2 2 3 19 1 19 2 4 + 2 = +
ln t − 2 − ln t + 2 = + ln 3 2 2 2 3 4 4 − 2 5 2 x + 1 9. I = dx ∫ x 3x + 1 1 3dx 2tdt Đặt t = 3x + 1 ⇒ dt = ⇒ dx = . x + 3 2 3 1
Khi x = 1 thì t = 2, và khi x = 5 thì t = 4. 2 2 t − 1 + 4 1 4 4 3 4 4 2tdt 2 dt 2 1 t − 1 100 9 Suy ra I = . ∫ 2 = (t − 1)dt + 2 ∫ ∫ 3 = t − t + ln = + ln . 2 t 3 − 1 2 9 t −1 9 3 t + 1 27 5 2 .t 2 2 2 2 3 1 ( x x e + 1) 10. dx ∫ 2 (x + 1) 0 = ( x +1) = ( x u x e du e (x + 1) + 1)dx Đặt dx ⇒ −1 d v = v = 2 (x + 1) x + 1 1 x( x e + 1) x 1 e + 1 x e 3 I= 1 − | + (e + )dx = −
+ (e + ln x + 1) | = + ln 2 − . 0 ∫ 1 x + 1 x + 1 0 2 2 2 0 e 3 Vậy I = + ln 2 − 2 2 2 5 1 − x 11. dx ∫ x (1 + x )2 5 1 2 2 2 2 5 5 5 4 1 − x 1 + x − 2x 1 2x dx = dx = dx − dx = I − I ∫ ∫ ∫ ∫ ( + + x ) x ( + x ) x ( 5 5 5 1 x x 1 1 ) ( 5 1 1 1 1 1 + x ) 1 2 2 2 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 91
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 1 − 2 1 1 1 2 4 t 1 t 1 1 1 1 x = ⇒ I = dt = dt = d t + 1 = ln t + 1 = 6 ln 2 − ln 33 ∫ ∫ ∫ 5 5 ( 5 ) 5 1 ( ) t 1 2 1 1 t 5 + t 5 5 1 + 1 1 1 + 1 1 t 5 t 2 2 2 2 1 I = d ∫ ( 5 2 1 31 x + 1 = − . = 2 2 ) 2 5 ( 5 5 x + 165 1 1 1 + x ) 5 1 1 I = ( − ) 31 6 ln 2 ln 33 − 5 165 1 4 3 x x 12. 2 (x e + )dx ∫ 1 + x 0 1 4 1 1 4 3 x x 3 x x Đặt I = 2 (x e + )dx ∫ . Ta có I = 2 x e dx + dx ∫ ∫ 1 + x 1 + x 0 0 0 1 1 3 x 1 t 1 t 1 1 1 Ta tính 2 I = x e dx I = e dt = e = e − 1 ∫ Đặt t = x3 ta có 1 ∫ 0 3 3 3 3 0 0 1 4 x Ta tính I = dx ⇒ x = t ⇒ dx = t dt 2 ∫ Đặt t = 4 x 4 3 4 1 + x 0 1 1 4 t 1 2 π 1 Khi đó 2 I = 4 dx = 4 (t − 1 + )dt = 4(− + ) = e + π − 3 2 ∫ ∫ . Vậy I = I1+ I2 2 2 + t + t 3 4 1 1 3 0 0
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 92
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 3.Tính các tích phân sau: π π 2 2 x 1. cos (e + s inx).sin 2x.dx ∫ 9. I = cos 2x ∫ ( 4 4 sin x + cos x )dx 0 0 π π 2 (x + 2sinx − ) 3 cos x 4 tan x 2. dx ∫ 10. I = dx ∫ 3 sin x (4cosx − sinx)cosx π 0 4 π π 2 4 cos x e + x x dx cos x + sin 2x 11. ( sin ). sin 2 . ∫ 3. M = dx ∫ 1 + cos 2x 0 0 π x π 12. dx ∫ 6 π tan(x − ) 1 + sin x o 4. 4 I = dx ∫ cos2x π 0 2 (x + 2sinx − ) 3 cos x π 13. dx ∫ 2 3 sin x π 5. 2 1 − 3 sin 2x + 2 cos xdx ∫ 4 0 π cot xdx π 14. 2 ∫ 4 π 4 x sin x + sin 2x 1 + sin x 6. I = dx ∫ 4 cos2x π 0 3 3 sin x −sin 2x π 15. dx ∫ 4 2 cos x + sin 2x
(cos 2x − 3 cos x + 1)(3−2 sin x ) 7. M = dx ∫ 0 1 + cos 2x π 0 3 cot x π 16. I = dx ∫ 4 cot x − tan x π + π sin x. sin x 8. I = dx ∫ 4 π 6 − π sin 2x cos 2x 4 π 8 17. I = x ∫ ( 5 cos x + sin x )dx 0 Bài giải π π π 2 2 2 x x 1.I= cos (e + s inx cos ). sin 2x.dx = 2 e . cos x. sin x.dx + s inx.sin 2x.dx ∫ ∫ ∫ 0 0 0 π 2 cos x J = e . cos x. sin x.dx ∫ 0 1 1 1 t t t Đặt t = cosx có J = t.e .dt = t.e − e .dt = 1 ∫ ∫ 0 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 93
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π π 2 2 K = inx 1 x dx = x −cos 1 x dx = inx 1 2 2 s . sin 2 . (cos 3 ). (s − sin 3x) = ∫ ∫ 2 2 3 3 0 0 0 π 2 x 2 8 Vậy: I= cos (e + s inx).sin 2x.dx = 2 + = ∫ 3 3 0 π 2 (x + 2sinx − ) 3 cos x 2. dx ∫ 3 sin x π 4 π π π 2 (x + 2sinx − ) 2 2 3 cos x (2sinx − )3cos cos x x x I = dx = dx + dx ∫ ∫ ∫ 3 3 3 sin x sin x sin x π π π 4 4 4 π π π π 2 2 2 π x cos x 1 1 1 x 2 1 1 1 π π 1 I = dx = − xd = − + dx = − ∫ ∫ − − x 2 1 cot = 1 ∫ 3 2 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2 2 2 π π 2 sin sin sin sin π π π 4 4 4 4 4 π π 2 (2sinx − ) 2 3 cos x 2 sin x − 3 7 I = dx = d sin x = 2 2 −
. Vậy I = I + I = 2 2 − 3 . 2 ∫ ∫ ( ) 3 3 1 2 x x 2 sin sin π π 4 4 π 4 cosx + sin2x 3. M = dx ∫ 1 + cos 2x 0 π π π 4 4 4 cos x + sin 2x sin 2x cos x M = dx = dx + dx ; ∫ ∫ ∫ 1 + cos 2x 1 + cos 2x 1 + cos 2x 0 0 0 M M 1 2 π π π 4 π d (1 + cos2 4 4 1 x ) 1 x x 4 1 cos 1 cos M = − = − ln 1 + cos 2x = ln 2 M = dx = dx = 1 ∫ , ∫ ∫ + x | 2 1 cos 2 2 2 0 2 + x 2 1 cos 2 2 1 − sin x 0 0 0 1 1 2 2 1 1 du 1 1 1 1 u + 1 1 Đặt u = sin t M = = + d u 2 = ln = ln(1 + 2) 2 ∫ ∫ − + u u | 2 2 u 4 − u 1 4 −1 0 2 1 1 0 0 1 Vậy M = ln(2 + 2 2) 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 94
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 6 π tan(x − ) 4. 4 I = dx ∫ cos2x 0 π π 6 π tan(x − ) 6 2 tan x + 1 4 I = dx = − dx ∫ ∫ cos2x 2 (t anx+1) 0 0 1 Đặt t = anx ⇒ dt= 2 t dx = (tan x + 1)dx 2 cos x π 1
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0,x = ⇒ t = 6 3 1 1 3 dt 1 1 − 3 Suy ra 3 I = − = = ∫ 2 t t + 1 + 0 2 ( 1) 0 π 2 5. 2 1 − 3 sin 2x + 2 cos xdx ∫ 0 π π π 2 2 2 2 2 I = 1 − 3 sin 2x + 2 cos xdx = (sin x − 3 cos x) dx = sin x − 3 cos x dx ∫ ∫ ∫ 0 0 0 π π π
sin x − 3 cos x = 0 ⇔ tan x = 3 ⇔ x = + k ∈ π Do x 0; nên x = 3 2 3 π π π π 3 2 3 2 I = sin x − 3 cos x dx + sin x − 3 cos x dx ∫ ∫ = (sin x − 3 cos x)dx + (sin x − 3 cos x)dx ∫ ∫ 0 π 0 π 3 3 π π = (− 1 3 1 3
cos x − 3 sin x ) 3 + (−cosx − 3 sinx) 2 = − − + 1 + − 3 + + = 3 − 3 0 π 2 2 2 2 3 π 4 x sinx + sin2x 6. I = dx ∫ cos2x 0 π π π π 4 4 4 4 x sin x s inx x sin x s inx + Ta có I = dx + 2 dx ∫ ∫ Đặt I = dx;I = 2 dx ∫ ∫ os2 cos x 1 2 c x os2 cos x c x 0 0 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 95
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 s inx − 1 +Tính I u = x ⇒ du = dx;v = dx = − cos 2xd(cos x) = 1 : Đặt ∫ ∫ os2 cos x c x π π 4 π π x dx x 1 1 + s inx π 2 1 2 + 2 ⇒ I = 4 − = 4 − ln 4 = − ln 1 ∫ cos x cos x cos x 2 1 − s inx 4 2 0 0 0 2 − 2 0 π 4 π d(cos x) 2 + Tính I = 2 − = −2 ln cos x 4 = −2 ln 2 ∫ cos x 2 0 0 π 2 1 2 + 2 2 Vậy I = I + I = − ln − 2 ln 1 2 4 2 − 2 2 2 π 4 cosx + sin2x 7. M = dx ∫ 1 + cos 2x 0 π π π 4 4 4 cos x + sin 2x sin 2x cos x M = dx = dx + dx ∫ ∫ ∫ 1 + cos 2x 1 + cos 2x 1 + cos 2x 0 0 0 M M 1 2 π π π 4 π d (1 + cos2 4 4 1 x ) 1 x x 4 1 cos 1 cos M = − = − ln 1 + cos 2x = ln 2 M = dx = dx = 1 ∫ ∫ ∫ + x | 2 1 cos 2 2 2 0 2 + x 2 1 cos 2 2 1 − sin x 0 0 0 1 1 2 2 1 1 du 1 1 1 1 u + 1 1 Đặt u = sin t M = = + d u 2 = ln = ln(1 + 2) 2 ∫ ∫ − + u u | 2 2 u 4 − u 1 4 −1 0 2 1 1 0 0 1 Vậy M = ln(2 + 2 2) 2 π 4 cot x − tan x 8. I = dx ∫ π − π sin 2x cos 2x 4 8 π π π 2 2 cos x − sin x 4 4 4 cot x − tan x cot x − tan x x x I = dx ∫ sin . cos I = dx = dx ∫ ∫ π − π π π − + π x x π x x x π sin 2x cos 2x sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 . cos sin 2 . sin 4 4 4 4 8 8 8
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 96
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π 4 4 cot 2x cot 2x 1 = 2 2 dx = dx ∫ ∫ sin 2x (cos 2x + sin 2x) 2 2 . + x 2 1 cot 2 sin 2x π π 8 8 2 1 1 π π Đặt t = cot 2x ⇒ dt = − dx ⇒ − dt = dx . Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 0 2 2 x 2 sin 2 sin 2x 8 4 0 1 1 t 1 t 1 1 I = 2 2 . − dt ∫ = 2 dt = 2 1 − d t ∫ ∫
= 2 (t − ln t + 1 ) = 2 (1 − ln ) 2 1 + t 2 1 + t t + 1 0 1 0 0 π 2 9. I = cos 2x ∫ ( 4 4 sin x + cos x )dx 0 π π 2 2 1 2 1 1 2 I = cos 2x 1 − sin 2xdx = 1 ∫ − sin 2xd ∫ (sin 2x) 2 2 2 0 0 π π 2 2 π π 1 1 1 1 = d ∫ (sin2x) 2 − sin 2xd ∫ (sin2x) 2 3 2 = sin 2x − sin 2x = 0 | | 2 4 2 0 12 0 0 0 π 4 tan x 10. I = ∫ ( dx 4 cos x − sin x)cosx 0 π 4 tan x Ta có: I = dx ∫ (4 − tanx) 2 cos x 0 dx π Đặt: tan x − 4 = t ⇒
= dt . Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 4 − ; x = ⇒ t = 3 − cos2x 4 −3 −3 (t + 4).dt 4 − Suy ra: I = −∫ = − (1 + )dt ∫ 3 = ( − t + 4 4 ln t ) = 4 ln −1 t t 4 − 3 −4 −4 π 2 x 11. cos (e + sin x).sin 2x.dx ∫ 0 π π π 2 2 2 cos ( x + s inx cos ). sin 2 . = 2 x e x dx e . cos x. sin x.dx + s inx.sin 2x.dx ∫ ∫ ∫ 0 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 97
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 2 cos x I = e . cos x. sin x.dx ∫ 0 1 1 1 t t t Đặt t = cosx có I = t.e .dt = t.e − e .dt = 1 ∫ ∫ 0 0 0 π π π 2 2 K = inx 1 x dx = x −cos 1 x dx = inx 1 2 2 s . sin 2 . (cos 3 ). (s − sin 3x) = ∫ ∫ 2 2 3 3 0 0 0 π 2 cos x e + inx 2 8 ( s ). sin 2x.dx = 2 + = ∫ 3 3 0 π x 12. dx ∫ 1 + sin x o π π π x x x I = dx ∫ = dx ∫ = dx ∫ 1 + sin x x x 2 2 x π o o (sin + cos ) o 2 cos − 2 2 2 4 u = x du = dx π dx x π π x π Đặt dv = x − − − d x => x π => I = tan tan ∫ v = − 2 x π tan 2 4 0 2 4 2 cos − 2 4 0 2 4 x π π
=> I = π + 2ln cos − 2 4 0 π 2 (x + 2sinx − ) 3 cos x 13.. dx ∫ 3 sin x π 4 π π π 2 (x + 2sinx − ) 2 2 3 cos x (2sinx − )3cos cos x x x I = dx = dx + dx ∫ ∫ ∫ 3 3 3 sin x sin x sin x π π π 4 4 4 π π π π 2 2 2 π x cos x 1 1 1 x 2 1 1 1 π π 1 I = dx = − xd = − + dx = − ∫ ∫ − − x 2 1 cot = 1 ∫ 3 2 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2 2 2 π π 2 sin sin sin sin π π π 4 4 4 4 4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 98
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π 2 (2sinx − ) 2 3 cos x 2 sin x − 3 7 I = dx = d sin x = 2 2 −
Vậy I = I + I = 2 2 − 3 . 2 ∫ ∫ ( ) 3 3 1 2 x x 2 sin sin π π 4 4 π cot xdx 14. 2 ∫ π 4 1 + sin x 4 π π π 2 2 2 cot x cos x 3 sin x cos x Ta có: I = dx ∫ = dx ∫ = dx ∫ . 4 1 + sin x 4 sin x(1 + sin x) 4 sin x + π ( 4 1 sin x) π π 4 4 4 π 1 π Đặt 4 t = sin x , ta có: x = ⇒ t = , x = ⇒ t = 1 v à 3 dt = 4 sin x cos xdx . 4 4 2 1 1 1 1 dt 1 1 1 1 t 1 5 Khi đó I = ∫ = − dt ∫ = ln 1 = ln . 4 t (t + ) 1 4 t t + 1 4 t + 1 4 2 1 1 4 4 4 π 3 3 sin x −sin 2x 15. dx ∫ 2
(cos 2x − 3 cos x + 1)(3−2 sin x ) 0 π π 3 3 sin x −sin 2x 3 sin x( 3−2 cos x) Ta có I = dx ∫ = dx ∫ 2 2
( 2 cos x − 3 cos x )(3−2 sin x ) 2
(2 cos x −3). cos x. (1 + 2 cos x ) 0 0 π π 3 sin x( 3−2 cos x) 3 −sin x = dx ∫ = dx ∫ 2
(2 cos x − 3). cos x. (1 + 2 cos x ) 2 cos x. (1 + 2 cos x ) 0 0 π 3 cos x.(−sin x).dx = ∫ . Đặt t = 2
2 cos x ⇒ dt = 4 cos x.(−sin x)dx 2 2 cos x. (1 + 2 cos x ) 0 1 2 π 1 1 dt
Đổi cận: Khi x = 0 ⇒ t = 2 ; khi x = ⇒ t = . Khi đó I = ∫ = 3 2 2 t.(1 + t) 2 1 2 1 1 1 1 1 t 1 1 2 1 1 1 = − dt ∫ 2 = ln = .( ln
− ln ) = .ln . Vậy I = − ln 2 . 2 t t +1 2 2 t + 1 2 3 3 2 2 2 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 99
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 3 cot x 16. I = dx ∫ π + π sin x. sin x 4 6 π π π 3 3 3 cotx cot x cot x Tính I = dx = 2 dx = dx ∫ ∫ ∫ π sin x (sin x + cosx) 2 2 + + π x sin x x π π (1 cotx sin sin ) 4 6 6 6 1 π π + Đặt 1+cotx=t ⇒ dx = d − t Khi x = ⇔ t = + 3 1 1 3; x = ⇔ t = 2 sin x 6 3 3 3 1 + t 3 +1 1 2 − Vậy I = 2 dt = 2 ∫ (t − lnt) = − 3 1 2 ln 3 + t 3 3 1 + 3 3 π 17. I = x ∫ ( 5 cos x + sin x )dx 0 π I = x ∫ ( 5 cos x + sin x )dx 0 π π π * I = x ∫ ( 5 cos x + sin x ) 5 dx = x. cos x.dx + x. sin x.dx ∫ ∫ . 0 0 0 I I 1 2 π π π π π * I = x. cos x.dx = x. sin x − sin x.dx = x.sin x + cos x = −2 1 ∫ ∫ 0 0 0 0 0 π 2 π 8π 8π * Với I 2 x = π − t ⇒ I = 1 − cos x d −cos x = I = − 2 2 ta đặt . * Vậy 2 ∫ ( ) ( ) 2 15 15 0
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 100
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 4.Tính các tích phân sau: ln 6 x 1 e 2 (x + x) x e 1. I = dx. ∫ 3. I = dx ∫ x x − + + + x x + e 0 3 3 e 2e 7 0 1 ln 2 (x − 1) x e + x + 1 x 2. I = dx ∫ 4. I = dx. ∫ 1 x + x x − e e +e + 2 0 0 Bài giải ln 6 x e 1. I = dx. ∫ x x + + + 0 3 3 e 2e 7 x x x Đặt 3 + e = t. Khi đó 2 e = t − 3 ⇒ e dx = 2tdt.
Khi x = 0 ⇒ t = 2, khi x = ln 6 ⇒ t = 3. 3 2td 3 t t Suy ra I = = 2 dt ∫ ∫ 2 2 3t + 2(t − 3) + 7 2t + 3t + 1 2 2 3 3 t 1 3 3 = d 1 80 2 t = 2 − dt ∫ ∫ = 2 ln t + 1 − ln 2t + 1
= (2 ln 4 − 2 ln 3) −(ln 7 − ln 5) = ln . (t + 1)(2t + 1) t +1 2t + 1 63 2 2 2 2 1 (x −1) x e + x + 1 2. I = dx ∫ 1 x +e 0 1 1 1 1 x x xe −e + x + 1 x( x e + 1) + (1 x + e ) − 2 x x e e I = dx = dx = (x + 1)dx − 2 dx = I − 2I ∫ x ∫ x ∫ ∫ 1 + e 1 + e x 1 2 1 + e 0 0 0 0 1 1 2 1 1 x x x 1 3 e d e + e + = + = ( 1) x 1 Tính I (x 1)dx + x = Tính I = dx = = ln(e + 1) = ln 1 ∫ ∫ ∫ 0 2 2 2 x x +e e 2 1 + 1 0 0 0 0 3 e + 1 Vậy I = − 2 ln . 2 2 1 2 (x + x) x e 3. I = dx ∫ x − x + e 0 1 2 1 ( x x x + x) x e xe .(x + 1)e Ta có I= dx ∫ = dx ∫ x − x x + e xe + 1 0 0 x Đặt t = x.e + 1 ⇒ = ( + 1) x dt x
e dx x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = e + 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 101
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 e + e + x 1 1 xe .(x + 1) x e (t − 1) 1 e + Suy ra I= dx ∫ = dt ∫ = 1 − d t
∫ . Vậy I= (t −ln t ) 1 =e −ln(e +1). x xe + 1 t t 1 0 1 1 ln 2 x 4. I = dx. ∫ x x − e +e + 2 0 ln 2 x xe Ta có I = dx. ∫ x 2 (e + 1) 0 x e 1 Đặt u = x ⇒ du = dx, dv = dx ⇒ v = − . x 2 (e + 1) x e + 1 ln 2 x d ln 2 ln 2 x ln 2 dx
Theo công thức tích phân từng phần ta có: I = − + = − + ∫ ∫ (1) x x e + e 3 1 x 0 + 1 e + 1 0 0 ln 2 dx d x t Tính I = . e
= t ta có x = 0 ⇒ t = 1; x = ln 2 ⇒ t = 2 và dx = . 1 ∫ Đặt x e + 1 t 0 2 d 2 2 2 t 1 1 Suy ra I = = − d
t = lnt − ln(t + 1) = 2 ln 2 − ln 3. 1 ∫ ∫ t(t + 1) t t + 1 1 1 1 1 5 Thay vào (1) ta được I = ln 2 − ln 3. 3
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 102
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
PHẦN VIII TÍCH PHÂN HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 1.Tính các tích phân sau: π 2 2 2 1. 2 I = x − 3x + 2 dx ∫ . 2. 2 I = 5 − 4 cos x − 4 sin xdx ∫ 3. I = ∫ (x − x −1)dx −3 0 −1 Bài giải 2 1. 2 I = x − 3x + 2 dx ∫ −3 Bảng xét dấu x −3 1 2 2 + 0 − 0 x − 3x + 2 1 I = (x − x + ) 2 2 dx − ( 2x − x + ) 59 3 2 3 2 dx = ∫ ∫ . 2 −3 1 π 2 2. 2 I = 5 − 4 cos x − 4 sin xdx ∫ . 0 π π 2 2 2 I = 4 sin x − 4 sin x + 1dx = 2 sin x − 1 dx ∫ ∫ . 0 0 Bảng xét dấu x π π 0 6 2 2 sin x − 1 − 0 + π π 6 2 π I = −
(2sinx − )1dx + (2sinx − )1dx = 2 3 −2 − ∫ ∫ . 6 0 π 6
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 103
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 3. I = ∫ (x − x −1)dx . −1 Cách 1. 2 2 2 I = ∫ (x − x −1)dx = x dx − x − 1 dx ∫ ∫ −1 −1 −1 0 2 1 2 = − xdx + xdx + (x − 1)dx − (x − 1)dx ∫ ∫ ∫ ∫ −1 0 −1 1 0 2 1 2 2 2 2 2 x x x x = − + + − x − − x = 0 . 2 2 2 2 − 1 0 −1 1 Cách 2. Bảng xét dấu x –1 0 1 2 x – 0 + + x – 1 – – 0 + 0 1 2 I = ( x − + x − ) 1 dx +
(x +x − )1dx + (x −x + )1dx ∫ ∫ ∫ −1 0 1 = x − + − + = . − (x x)1 0 2 2 x 0 1 1 0 Vậy I = 0 .
HT 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = ln x, x = 1, x = e và Ox. Bài giải Do ln x 0 x 1 ; e
≥ ∀ ∈ nên: e e e S = ln x dx = ln xdx = x (ln x − ) 1 = 1 ∫ ∫ . 1 1 1 Vậy S = 1 (đvdt).
HT 3.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 y = x
− + 4x − 3, x = 0, x = 3 và Ox
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 104
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Bài giải Bảng xét dấu x 0 1 3 y – 0 + 0 1 S = − ( x− +4x − ) 3 2 3 dx + ( 2x − + 4x − ∫ ∫ )3dx 0 1 1 3 3 3 x x 8 2 = − 2 − + 2x + 3x + − + 2x + 3x = . 3 3 3 0 1 8 Vậy S = (đvdt). 3
HT 4.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 3 y = x + x − 2 11 6, y = 6x , x = 0, x = 2 Bài giải Đặt 3 2 3 2
h(x) = (x + 11x − 6) − 6x = x − 6x + 11x − 6
h(x) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3 (loại). Bảng xét dấu x 0 1 2 h(x) – 0 + 0 1 S = − (x −6x +11x − ) 2 3 2 6 dx + ( 3 2 x − 6x + 11x − ∫ ∫ )6dx 0 1 1 2 4 2 4 2 x 11x x 11x 5 3 = − 3 − 2x + − 6x + − 2x + − 6x = . 4 2 4 2 2 0 1 5 Vậy S = (đvdt). 2
HT 5.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 3 y = x + x − 2 11 6, y = 6x
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 105
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Bài giải Đặt 3 2 3 2
h(x) = (x + 11x − 6) − 6x = x − 6x + 11x − 6
h(x) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3 . Bảng xét dấu x 1 2 3 h(x) 0 + 0 – 0 2 S = (x −6x +11x − ) 3 3 2 6 dx − ( 3 2 x − 6x + 11x − ∫ ∫ )6dx 1 2 2 3 4 2 4 2 x 11x x 11x 1 3 = 3 − 2x + − 6x − − 2x + − 6x = . 4 2 4 2 2 1 2 1 Vậy S = (đvdt). 2
HT 6.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 y = x , y = 4x . Bài giải
Phương trình hoành độ giao điểm: 3
x = 4x ⇔ x = −2 ∨ x = 0 ∨ x = 2 0 0 2 4 4 ⇒ x x = − + S = ∫ (x − 4x) 2 3 dx + ∫ ( 3 x − 4x )dx 2 2 2x − 2x = 8 . 4 4 −2 0 −2 0 Vậy S = 8 (đvdt).
HT 7.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2
y = x − 4 x + 3 và trục hoành. Bài giải
Phương trình hoành độ giao điểm: = = = ± 2 2 t 1 x 1 x 1
x − 4 x + 3 = 0 ⇔ t − 4t + 3 = 0, t = x ≥ 0 ⇔ ⇔ ⇔ t 3 = x = 3 x = ±3 3 3 2 2 ⇒ S = x − 4 x + 3 dx = 2 x − 4x + 3 dx ∫ ∫ −3 0 1 3 = 2 ∫ ( 2 x − 4x + ) 3 dx + ∫ ( 2 x − 4x + )3dx 0 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 106
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 3 3 3 x x = − + + 16 2 2 2 2x 3x − 2x + 3x = . 3 3 3 0 1 16 Vậy S = (đvdt). 3
HT 8.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2
y = x − 4x + 3 và y = x + 3 . Bài giải
Phương trình hoành độ giao điểm: x + 3 ≥ 0 = 2 x 0 x − 4x + 3 = x + 3 2 ⇔ x 4x 3 x 3 − + = + ⇔ . x = 5 2 x − 4x + 3 = x − − 3 Bảng xét dấu x 0 1 3 5 2 x − 4x + 3 + 0 – 0 + 1 ⇒ S = ∫ (x −5x) 3 dx + ∫ ( x − + 3x − ) 5 2 2 6 dx + ∫ ( 2 x − 5x )dx 0 1 3 1 3 5 3 2 3 2 3 2 x 5x x − 3x x 5x 109 = − + + − + 6x . − = 3 2 3 2 3 2 6 0 1 3 109 Vậy S = (đvdt). 6
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 9.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 y = x − 1 , y = x + 5 . Bài giải
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2
x − 1 = x + 5 ⇔ t − 1 = t + 5, t = x ≥ 0 t = x ≥ 0 t = x ≥ 0 2
⇔ t −1 = t + 5 ⇔ ⇔ x = ±3 t = 3 2 t −1 = t − − 5
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 107
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 3 3 2 ⇒ S = x − 1 − ∫ (x +5) 2 dx = 2 x − 1 − (x + ) 5 dx ∫ −3 0 Bảng xét dấu x 0 1 3 2 x − 1 – 0 + 1 ⇒ S = 2 ( x− −x −4) 3 2 dx + ( 2x −x − ∫ ∫ )6dx 0 1 1 3 3 2 3 2 x − x x x 73 = − − + 2 4x − − 6x = . 3 2 3 2 3 0 1 73 Vậy S = (đvdt). 3
HT 10.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x y = 2 , 0, y = 2 − x . Bài giải Ta có: 2 2 y = 2 − x ⇔ x = 2 − y , x ≥ 0 .
Phương trình tung độ giao điểm: 2 y = 2 − y ⇔ y = 1 . 1 1 2 2 ⇒ S = 2 − y − y dy = 2 −y −ydy ∫ ∫ 0 0 π π 4 1 1 2 1 4 y 2 = 2 cos tdt − ydy = t + sin 2t − ∫ ∫ . 2 2 0 0 0 0 π Vậy S = (đvdt). 4
HT 11.Tính thể tích hình cầu do hình tròn 2 2 2
(C ) : x + y = R quay quanh Ox. Bài Giải
Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là 2 2 x = R ⇔ x = R ± . Phương trình 2 2 2 2 2 2
(C ) : x + y = R ⇔ y = R − x
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 108
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 R R 3 3 ⇒ x 4 R π V = 2 = π ∫ ( R 2 2 R − x )dx = 2π∫ ( 2 2 R − x )dx 2π R x − = . 3 3 R − 0 0 3 4 R π Vậy V = (đvtt). 3 2 2 x y
HT 12.Tính thể tích hình khối do ellipse (E) : + = 1 quay quanh Oy. 2 2 a b Bài Giải 2 y
Tung độ giao điểm của (E) và Oy là = 1 ⇔ y = b ± . 2 b 2 2 2 2 x y a y Phương trình 2 2 (E) : + = 1 ⇔ x = a − 2 2 2 a b b b R 2 2 b 2 2 2 3 2 2 a y ⇒ = 2 a y a y 4 a π b V − = 2 = π a dy 2π a ∫ − dy ∫ 2π a y − = . 2 2 b b 2 3 3b b − 0 0 2 4 a π b Vậy V = (đvtt). 3
HT 13.Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2 y = x ,y = x quay quanh Ox. Bài Giải x ≥ 0 x = 0 Hoành độ giao điểm: ⇔ . 4 x = x x = 1 1 1 1 4 ⇒ 1 1 3π V = 5 2 = − π x − x dx = π ∫ ∫ ( 4x −x)dx π x x = . 5 2 10 0 0 0 3π Vậy V = (đvtt). 10
HT 14.Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 x = y
− + 5 , x = 3 − y quay quanh Oy. Bài Giải y = − Tung độ giao điểm: 2 1 y − + 5 = 3 − y ⇔ . y = 2 2 2 ⇒V = = π ∫ ( 4 2 y − 11y + 6y + 1 ) π ∫ ( y − + )2 5 −(3 −y)2 2 dy 6 dy −1 −1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 109
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 5 3 y 11y 153π = 2 π − + 3y + 16y = . 5 3 5 −1 153π Vậy V = (đvtt). 5
HT 15.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình sau
1) y = sin x, y = 0 , x = 0, x = 2π 2 1 15) x = , x = , y = 2 (y ≥ ) 0 2) 3
y = x , y = 0 , x = −1, x = 2 2 2 y 8 − y 3) 2 y = x − x 2 2 , y = x − + 4x π π
16) y = (2 + cos x) sin x , y = 0 , x = 3 , x = 4) 3
y = x , y = 4x , x = −1, x = 2 2 2 2 5) 2 y = x − − 5, y = 6 − x , x = 0, x = 1
17) y = x 1 + x , y = 0 , x = 1 6) 2 y = x − − 2, y = 3 − x , x = 0, x = 2 ln x 18) y = , y = 0 , x = 1, x = e 2 x 7) 2 y = x − − 2x, y = x − − 2 1 + ln x 8) 3 2
y = x − 2x − x + 2 và trục hoành 19) y = , y = 0 , x = 1, x = e x 3 9) 2 y = x
− 2x − x + 2 và trục hoành 20) y = , 0 y = ln x , x = 2, x = e 2 2 1 1 π π x x 21) y = , y = , x = , x = 10) y = 4 − , y = 2 2 6 3 4 sin x cos x 4 2 22) 2 y = x , 2 y = 4x , y = 4 11) 2 y = − − x 2 4 , x + 3y = 0 23) y = x(x + 1)(x − 2 , ) y = 0 , x = −2, x = 2 12) 2 y = x − 4x + 3 , y = 3 24) x
y = xe , y = 0 , x = −1, x = 2 2 13) 2 y = x − 4 x + 3 , y = 0
25) y = 4x, x − y + 1 = 0 , y = 0 26) 3 x − y + 1 = , 0 x + y − 1 = 0, y = 0 3 14) x = y, x = 2 4 − y
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Bài giải 2π π 2π π π 1) S = sin x dx = sin xdx + sin xdx ∫ ∫ ∫ 2 = −cos x + −cos x = 4 (đvdt). 0 π 0 0 π 2 0 2 0 2 4 4 x x 17 2) 3 3 3 S = x dx = x dx + x dx ∫ ∫ ∫ = + = (đvdt). 4 4 4 −1 −1 0 −1 0 3) 2 2 x − 2x = x − + 4x ⇔ x = 0 ∨ x = 3 3 3 3 3 2 2 ⇒ 2x S = (x − 2x) − ( x − + 4x) dx ∫ 2 2 = (2x − 6x)dx = − 3x ∫ = 9(đvdt). 3 0 0 0 4) 3
x − 4x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 ∨ x = −2 (loại).
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 110
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 0 2 0 2 4 4 3 3 3 ⇒ x x = − + S = x − 4x dx = (x − 4x)dx + (x − 4x)dx ∫ ∫ ∫ 2 2 2x − 2x . 4 4 −1 −1 0 −1 0 23 Vậy S = (đvdt). 4 5) 2
x − 6x + 5 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 5 (loại). 1 1 1 3 2 ⇒ x S = x − 6x + 5 dx ∫ 2 2 = (x − 6x + 5)dx = − 3x + 5x ∫ . 3 0 0 0 7 Vậy S = (đvdt). 3 6) 2
x − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 2 . 2 1 2 2 ⇒ S = x − 3x + 2 dx ∫ 2 2 = (x − 3x + 2)dx + (x − 3x + 2)dx ∫ ∫ 0 0 1 1 2 3 2 3 2 x 3x x 3x = − + + 2x − + 2x = 1(đvdt). 3 2 3 2 0 1 7) 2 x − − 2x = x
− − 2 ⇔ x = −2 ∨ x = 1 . 1 1 1 3 2 2 ⇒ x x S = x + x − 2 dx ∫ 2 = (x + x − 2)dx = + − 2x ∫ . 3 2 − 2 −2 −2 9 Vậy S = (đvdt). 2 8) 3 2
x − 2x − x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = ±1 . 2 1 2 3 2 ⇒ S = x − 2x − x + 2 dx ∫ 3 2 3 2 = (x − 2x − x + 2)dx + (x − 2x − x + 2)dx ∫ ∫ −1 −1 1 1 2 4 3 2 4 3 2 x 2x x x 2x x = − − + + 2x − − + 2x . 4 3 2 4 3 2 −1 1 37 Vậy S = (đvdt). 12
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 111
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 t = x ≥ 0 3 t = x ≥ 0 x = ±1 9) 2 x − 2x − x + 2 = 0 ⇔ ⇔ t = 1 ⇔ . 3 2 t − 2t −t + 2 = 0 x = ±2 t = 2 2 2 3 2 3 2 ⇒ S = x − 2x − x + 2 dx = 2 x − 2x − x + 2 dx ∫ ∫ −2 0 1 2 3 2 3 2 = 2 (x − 2x − x + 2)dx + 2 (x − 2x − x + 2)dx ∫ ∫ 0 1 1 2 4 3 2 4 3 2 x 2x x x 2x x = − − + + 2 2x 2 − − + 2x = 3(đvdt). 4 3 2 4 3 2 0 1 2 2 x x 10) 4 2 4 − =
⇔ x + 8x −128 = 0 ⇔ x = ±2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 x x 2 2 ⇒ x x S = 4 − − dx ∫ = 4 − − ∫ dx 4 4 2 4 4 2 − 2 2 2 − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x 1 = 2 4 − − ∫ 2 2 dx = 16 − x dx − x dx ∫ ∫ 4 4 2 2 2 0 0 0 π π 4 2 2 2 2 1 3 1 4 1 x 2 2 = 16 cos tdt − x dx ∫ ∫ = 8 t + sin 2t − . 2 2 2 3 2 2 0 0 0 0 4 Vậy S = 2π + (đvdt). 3 2 2 x x 11) 2 2 x + 3y = 0 ⇔ y = − ⇒ − 4 − x = − 4 2
⇔ x + 9x − 36 = 0 ⇔ x = ± 3 3 3 3 3 2 2 2 x 2 x ⇒ S = 4 − x − dx = 2 4 − x − dx ∫ ∫ 3 3 − 0 3 π π 3 3 3 3 3 1 1 3 1 3 x 2 2 2 2 = 2 4 − x dx − x dx = 2 4 cos tdt − x dx ∫ ∫ ∫ ∫ = 2 2 t + sin 2t − . 3 3 2 9 0 0 0 0 0 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 112
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 4π + 3 Vậy S = (đvdt). 3 2 x 4x 3 3 − + = x = 0 12) 2 x 4x 3 3 − + = ⇔ ⇔ . 2 x = 4 x − 4x + 3 = −3 Bảng xét dấu x 0 1 3 4 2 x − 4x + 3 + 0 – 0 + 4 1 3 4 2 ⇒ S = x − 4x + 3 − 3 dx ∫ = ∫ ( 2 x − 4x )dx + ∫ ( 2 x − + 4x − ) 6 dx + ∫ ( 2 x − 4x )dx 0 0 1 3 1 3 4 3 3 3 x x − x = − + + − + 2 2 2 2x 2x 6x = 8(đvdt). − 2x 3 3 3 0 1 3 x 1 = x = ±1 13) 2 2
x − 4 x + 3 = 0 ⇔ x − 4 x + 3 = 0 ⇔ ⇔ . x = 3 x = ±3 Bảng xét dấu x 0 1 3 2 x − 4x + 3 + 0 – 0 3 3 2 2 ⇒ S = x − 4 x + 3 dx = 2 x − 4x + 3 dx ∫ ∫ 3 − 0 1 3 = 2 ∫ ( 2 x − 4x + ) 3 dx − ∫ ( 2 x − 4x + )3dx 0 1 1 3 3 3 x x = − + − 2 2 2 2x 3x − 2x + 3x . 3 3 0 1 16 Vậy S = (đvdt). 3 y = 1 3
14) Tung độ giao điểm y = , 0 ≤ y < 2 ⇔ 2 y = 3 4 − y
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 113
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 3 3 3 3 ⇒ S = − y dy = − y ∫ ∫ dy = … 2 2 − − 1 4 y 1 4 y π 3 Vậy S = 1 − (đvdt). 6 2 1 15) Tung độ giao điểm = ⇔ y = 2 2 2 y 8 − y 2 2 2 1 2 1 ⇒ S = − dy = − ∫ ∫ dy = … 2 2 2 2 y 8 − y y 8 − y 2 2 π Vậy S = 2 − 1 − (đvdt). 12 3π 3π 2 π 2 16) S = (2 + cos x) sin x dx ∫ = (2 + cos x) sin xdx − (2 + cos x) sin xdx ∫ ∫ π π π 2 2 3π π 2 1 1 = − 2 cos x + cos 2x + 2 cos x + cos 2x = 3(đvdt). 4 π 4 π 2 17) Hoành độ giao điểm 2 x 1 + x = 0 ⇔ x = 0 1 1 1 1 2 2 ⇒ 1 1 S = x 1 + x dx = x 1 + x dx ∫ ∫ 2 2 2 3 = 1 + x d(1 + x ) = (1 + x ) ∫ . 2 3 0 0 0 0 2 2 − 1 Vậy S = (đvdt). 3 e e ln x ln x lnx 18) S = dx = dx > 0 ∀x ∈ 1 ; e ∫ ∫ . 2 x 2 x 2 x 1 1 Đặt = ln t t t x ⇒ x = e ⇒ dx = e dt
x = 1 ⇒ t = 0, x = e ⇒ t = 1 1 1 1 t 1 1 te dt t ⇒ S = = td e ∫ ∫ t t t = t e − e dt = e − 2 e ∫ . t 0 0 0 2 e 0 0 Vậy S = 2 − e (đvdt).
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 114
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 e e 1 + ln x 1 + ln x 19) S = dx = dx ∫ ∫ . x x 1 1 dx Đặt 2
t = 1 + ln x ⇒ t = 1 + ln x ⇒ 2tdt = x
x = 1 ⇒ t = 1, x = e ⇒ t = 2 2 2 2 2 2 3 ⇒ S = t.2tdt = 2t dt = t ∫ ∫ . 3 1 1 1 4 2 − 2 Vậy S = (đvdt). 3 e e e e 20) S = ln x dx = ln xdx = x ln x − dx ∫ ∫ ∫ . 2 2 2 2 Vậy S = 2 − 2 ln 2 . 1 1 π π π 21) = ⇔ x = ∈ ; 2 2 4 6 3 cos x sin x π π π 3 4 3 1 1 ⇒ 1 1 1 1 S = − dx ∫ = − dx + − dx ∫ ∫ 2 2 cos x sin x 2 2 2 2 cos x sin x cos x sin x π π π 6 6 4 π π 4 3 1 1 1 1 = − dx + ∫ − dx ∫ 2 2 2 2 cos x sin x cos x sin x π π 6 4 π π = (tgx + cotgx) 4 + + . π (tgx cotgx) 3π 6 4 8 3 − 12 Vậy S = (đvdt). 3 2 y = x x = 0
22) Tọa độ giao điểm ⇔ 2 y = 0 y = 4x 2 x = = y y x Ta có: ⇔ 2 1 y 4x x = = y 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 115
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 4 4 3 1 y ⇒ S = y − y dy = ∫ . 2 3 0 0 8 Vậy S = (đvdt). 3 2 23) S = x(x + 1)(x − 2) dx ∫ −2 −1 0 2 = ∫ ( 3 2 x − x − 2x )dx + ∫ ( 3 2 x − x − 2x )dx + ∫ ( 3 2 x − x − 2x )dx −2 −1 0 −1 0 2 4 3 4 3 4 3 x x x x x x = − − + − − + 2 2 2 x x . − − x 4 3 4 3 4 3 −2 −1 0 37 Vậy S = (đvdt). 6 2 2 0 2 0 24) x x x S = xe dx = xe dx − xe dx ∫ ∫ ∫ = ( − ) 1 x − ( − ) 1 x x e x e . 0 −1 −1 0 −1 3 e + 2e − 2 Vậy S = (đvdt). e 2 1 2 y = 4x x = y 1 25) ⇔ 2 4 ⇒ y = y −1 ⇔ y = 2 x −y + 1 = 0 x = y −1 4 2 2 2 1 3 2 ⇒ 1 1 y S = y − (y − 1) dy ∫ = ∫ ( 2y −4y +4) 2 dy = −2y + 4y . 4 4 4 3 0 0 0 2 Vậy S = (đvdt). 3 3 3 x − y + 1 = 0 x = y −1 26) ⇔ 3 3
⇒ y −1 = 1 −y ⇔ y + y − 2 = 0 ⇔ y = 1 x + y −1 = 0 x = 1− y 1 ⇒ S = ∫ (y +y − ) 1 3 1 4 1 2 2 dy = y + y − 2y . 4 2 0 0 5 Vậy S = . 4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 116
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 16.Tính thể tích do hình phẳng giới hạn bởi các đường
1) y = 3x , y = x , x = 0, x = 1 quay quanh Ox 2 2 x y + = 2 6) ellipse (E) : 1 quay quanh Ox x 16 9 2) y =
, y = 2 , y = 4, x = 0 quay quanh Oy 2 2 2 x x 7) ellipse (E) : + = 1 quay quanh Oy 3) 2 3
y = (x − 1) , x = 2 và y = 0 quay quanh Ox 16 9 2 2 4) 2
y = 4 − x, x = 0 quay quanh Oy
8) y = x + 2, y = 4 − x quay quanh Ox 5) 2 2
(C ) : x + (y − 4) = 4 quay quanh Oy 9) 2 y = x , y = x quay quanh Ox 10) 2 y = − − x 2 4 , x + 3y = 0 quay quanh Ox
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Bài giải 1 1 1 3 2 8 x π 1) V = π (3x) 2 2 − x dx = 8π x dx = ∫ ∫ . 3 0 0 0 8π Vậy V = (đvtt). 3 2 4 4 x 4 2) Ta có 2 y = ⇔ x = 2y 2 2 ⇒V = π x dy = π 2ydy = π y ∫ ∫ . 2 2 2 2 Vậy V = 12π (đvtt). 2 2 2 4 (x − 1) 3) Ta có 3 (x − 1) = 0 ⇔ x = 1 2 3 ⇒V = π y dx = π (x − 1) dx = π ∫ ∫ . 4 1 1 1 π Vậy V = (đvtt). 4 2 2 y = 4 − x x = 4 − y 4) Ta có ⇔ ⇒ y = ±2 x = 0 x = 0 2 2 ⇒ = − = π ∫ ( 2 y )2 3 5 8y y V 4 dy 2π 1 6y − + . 3 5 − 2 0 512π Vậy V = (đvtt). 15 5) Tung độ giao điểm 2 2
(C ) : x + (y − 4) = 4 và Oy: − = = 2 y 4 2 y 6 (y 4) 4 − = ⇔ ⇔ y 4 2 y − = − = 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 117
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 6 6 6 3 2 2 y 2 ⇒V = = − − = π x dy π 4 (y 4) dy π − + 4y − 12y ∫ ∫ . 3 2 2 2 Cách khác: 3 4π2 32π
Hình khối tròn xoay là hình cầu bán kính R = 2 nên V = . Vậy V = (đvtt). 3 3 2 2 x y
6) Hoành độ giao điểm (E) : + = 1 và Ox là x = ±4 . 16 9 2 2 x y 9 Ta có: 2 + = 1 ⇔ y = ( 2 16 − x ) 16 9 16 4 4 4 3 2 9π 2 9π x ⇒V = = − = π y dx (16 x )dx 1 6x − ∫ ∫ . 16 8 3 − 4 −4 0 Vậy V = 48π (đvtt). 2 2 x y
7) Tung độ giao điểm (E) : + = 1 và Oy là y = ±3 . 16 9 2 2 x y 16 2 + = 1 ⇔ x = ( 2 9 − y ) 16 9 9 3 4 3 3 2 16π 2 32π y ⇒V = = − = π x dy (9 y )dy 9 y − ∫ ∫ . 9 9 3 − 4 −3 0 Vậy V = 64π (đvtt). 8) Hoành độ giao điểm 2 2 x + 2 = 4 − x ⇔ x = ±1 1 1 1 3 ⇒ x V = 2 = − = π ∫ (x + )2 2 −(4 −x )2 2 2 dx 24π x 1 dx 24π − x ∫ . 3 − 1 0 0 Vậy V = 16π (đvtt). 9) Hoành độ giao điểm 2 4
x = x ⇔ x = x ⇔ x = 0 ∨ x = 1 1 1 1 ⇒ = − = − = π π ∫ ∫ ( ) 5 2 4 4 x x V x x dx x x dx π − . 5 2 0 0 0 3π Vậy V = (đvtt). 10
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 118
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 x 10) Hoành độ giao điểm 2 2 − 4 − x = − ⇔ x = 3 ⇔ x = ± 3 3 3 3 3 5 ⇒ = 2π = ∫ ( 3 4 π x 36 − 3x − x ) 2 3 = π ∫ ( x V 4 − x ) 4 2 − dx dx 36x − 3x − . 9 9 9 5 − 3 0 0 28π 3 Vậy V = (đvtt). 5
Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô và các bạn học sinh đã đọc tài liệu này!
Mọi sự góp ý xin gửi về: huythuong2801@gmail.com
Toàn bộ tài liệu ôn thi môn toán của Lưu Huy Thưởng ở địa chỉ sau:
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 119