95 trang 29 lượt tải

Nguyên hàm và các phương pháp tính nguyên hàm – Nguyễn Hoàng Việt Toán 12

Nguyên hàm và các phương pháp tính nguyên hàm – Nguyễn Hoàng Việt Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 199 tài liệu

Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu

Tác giả:

Mai Nguyệt

1 năm trước

Danh sách Quiz

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

BÀI 1: NGUYÊN HÀM

DẠNG TOÁN 1: TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG BẢNG NGUYÊN HÀM

 Bài toán 1.Tìm nguyên hàm

()Fx

của hàm số

()fx

(giả sử điều kiện được xác định)









x dx C



Môû roäng



  





1 ( )

()

ax b

ax b dx C

Một số công thức thường sử dụng:





kdx kx C





( ) . ( )kf x dx k f x dx

  

  

( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

a) Tìm họ nguyên hàm của

  

( ) 4 5f x x x

Lời giải

Ta có:





( ) ( )dF x f x x

      



(4 5) 5

x x dx x x C

b) Tìm họ nguyên hàm của



( ) 3 2f x x x

Lời giải

Ta có:





( ) ( )dF x f x x

    



2 3 2

(3 2 )x x dx x x C

c) Tìm họ nguyên hàm của



()f x x

Lời giải

Ta có:



  



( ) ( )d ( )dF x f x x x x x



   

d) Tìm họ nguyên hàm của

  

( ) 1f x x

Lời giải

Ta có:

 



   



( ) ( )d 1 dF x f x x x x x



   

e) Tính

  



( 3 )( 1)dI x x x x

Lời giải

Phân phối được:

  



( 2 3 )dI x x x x

   

4 3 2

x x C

f) Tính

  



( 1)( 2)dI x x x

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Lời giải

Phân phối được:

   



( 2 2)dI x x x x

    

x x C

g) Tính





(2 1) dI x x

(công thức mở rộng)

Lời giải



   



1 (2 1)

(2 1) d

I x x C

h) Tính





2020

(2 10) dI x x

Lời giải



   



2021

2020

1 (2 10)

(2 10) d

2 2021

I x x C

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Tìm một nguyên hàm

()Fx

của hàm số

  

( ) 4 4 5f x x x

thỏa mãn

(1) 3F

   

( ) 2 5 1F x x x x

. B.

   

( ) 4 5 1F x x x x

   

( ) 2 5 3F x x x x

. D.

   

( ) 2 5

F x x x x

Lời giải

Chọn A

Ta có:

   



( ) ( )d (4 4 5)dF x f x x x x x

   

25x x x C

Theo đề bài, ta có:

(1) 3F

       

1 2.1 5.1 3 1CC

Do đó:

   

( ) 2 5 1F x x x x

Lưu ý. Nếu đề bài yêu cầu tìm

()Fa

ta chỉ cần thế

xa

vào

()Fx

sẽ tìm được

()Fa

Chẳng hạn, tính

(2)F

, ta thế

 2x

vào

()Fx

, nghĩa là

    

(2) 2 2.2 5.2 1 17F

Câu 2: Tìm một nguyên hàm

 

của hàm số

 

  

3 2 5f x x x

thỏa mãn

 

14F

 

   

53F x x x x

. B.

 

   

53F x x x x

 

   

53F x x x x

. D.

 

   

53F x x x x

Lời giải

Chọn B

 

      



2 3 2

d 3 2 5 d 5f x x x x x x x x C

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

 

14F

     7 4 3CC

Vậy

 

   

53F x x x x

Câu 3: Hàm số

 

   

5 4 6f x x x

có một nguyên hàm

 

thỏa

 

31F

. Tính

 

3F

 

3 226F

. B.

 

  3 225F

. C.

 

3 451F

. D.

 

3 225F

Lời giải

Chọn C

 

   



d 5 4 6 df x x x x x

    

x x x C

 

31F

     225 1 226CC

 

     

6 226

F x x x x

Do đó

 

3 451F

Câu 4: Hàm số

 

  

32f x x x

có một nguyên hàm

 

thỏa

 

2 14F

. Tính

 

2F

 

26F

. B.

 

  2 14F

. C.

 

  26F

. D.

 

2 14F

Lời giải

Chọn A

 

  



d 3 2 df x x x x x

   

x x x C

 

2 14F

    14 14 0CC

 

   

F x x x x

Do đó

 

26F

Câu 5: Hàm số

   



21f x x

có một nguyên hàm

 

thỏa









. Tính









 32P

. B.

 34P

. C.

 18P

. D.

 30P

Lời giải

Chọn B

 

   



    



2 1 2 1

2 1 d .

2 4 8

x x C C









    2 4 2CC

 



  

Do đó









 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Câu 6: Hàm số

   



12f x x

có một nguyên hàm là

 

thỏa









. Tính

 

1 10F

. B.

 

15F

. C.

 



. D.

 



Lời giải

Chọn D

   





12F x x dx

   

   



1 2 1 2

x d x

 



  

Ta có









 



   

2 6 3

6C

Do đó

 



  

nên

 

   

1 1 71

1 . 6

2 6 12

Câu 7: Gọi

 

là một nguyên hàm của hàm số

   



23f x x

thỏa

 



. Tính giá trị của biểu

thức

   







log 3 1 2 2 .T F F

 2T

. B.

 4T

. C.

 10T

. D.

4T

Lời giải

Chọn A

   





23F x x dx

   

  



2 3 2 3

x d x

 





Ta có

 



 



  

2 3 3



Do đó

 





1 29

2 3 6

nên

 



  

1 1 29 14

2 3 6 3

;

 

  

1 1 29

2 . 5

2 3 6

   



  



log 3 1 2 2T F F



   





log 3. 2.5 log 4 2

Câu 8: Hàm số

 

  

32f x x x

có một nguyên hàm

 

. Biết đồ thị hàm số

 

y F x

đi qua điểm

 

2;10M

. Giá trị của

 

2F

bằng

. B.

. C.

8

. D.

Lời giải

Chọn B

 

  



32F x x x dx

   

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Hàm số đi qua

 

2;10M

do đó

   

2 3.2

2.2 10

4C

Do đó

 

   

F x x

 

   

 



       

2 3. 2

2 2 2 4 6

 Bài toán 2.Tìm nguyên hàm

 

của hàm số

 

(mục đích cho học sinh rèn luyện

công thức).

Làm quen nhóm công thức có mẫu số cơ bản





d lnx x C



Môû roäng

  





d lnx ax b C

ax b a

  



dxC



Môû roäng

 

  





1 1 1

d.xC

a ax b

ax b

a) Tìm



  







3 2 dI x x

Lời giải

Ta có:



      







3 2 d ln 2 .I x x x x x C

b) Tìm



  







3dI x x

Lời giải

Ta có:



      







2 1 1

3 d 2ln .I x x x x C

c) Tìm







Lời giải

Ta có:

   

       







3 1 1

d 3 d 3 ln .

I x x x x x x C

d) Tìm







2 6 3

Lời giải

Ta có:

   

       







2 6 3 3

d 2 6 d 6 3ln .

I x x x x x x C

e) Tìm







Lời giải

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Ta có:

   





d ln 2 1 .

2 1 2

I x x C

f) Tìm







Lời giải

Ta có:

       





2 1 1

d 2. .ln 3 4 ln 3 4 .

3 4 4 2

I x x C x C

g) Tìm

 







I dx

Lời giải

 



     







1 1 1 1

2 2 1 4 2

I dx C C

h) Tìm

 

















12 2

I dx

Lời giải

 







          

  









12 2 12 1 2 12

. ln 2 3 ln 2 3 .

2 3 1 1 2 1

I dx x C x C

x x x

i) Tìm







4 4 1

I dx

Lời giải

 



      







1 1 1 1 1

2 2 1 4 2

4 4 1

I dx dx C C

j) Tìm







I dx

Lời giải

 



      







4 4 4 1 4

1 3 3

I dx dx C C

k) Tìm

 









I dx

Lời giải

     



  



  



  





2 2 2

2 2 3 2( 1) 3

1 1 1

I dx dx

x x x

 







dx dx

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold



       



2ln 1 2ln 1 .

I x C x C

l) Tìm









4 4 1

I dx

Lời giải

     







  



  





2 2 2

2 2 2 1 3

2 1 2 1 2 1

I dx dx

x x x

 







I dx dx

 



   



ln 2 1

2 2 1

I x C

 

   



ln 2 1

2 2 1

I x C

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 9: Cho

 

là một nguyên hàm của hàm số

 





và

 

21F

. Giá trị

 

bằng

. B.

ln2 1

. C.

. D.

ln2 1

Lời giải

Chọn B

 

   





d ln 1

F x x x c

     

         2 1 1 ln 1 1 3 ln2 1F c F x x F

Câu 10: Biết

 

là một nguyên hàm của hàm

 





và

 

15F

. Giá trị của

 

4F

bằng



ln7 5

. B.

2ln7 5

. C.

ln7 5

. D.



ln7 5

Lời giải

Chọn D

 

   





d ln 2 1

2 1 2

F x x x c

     

           

1 5 5 ln 2 1 5 4 ln7 5

F c F x x F

Câu 11: Biết

 

là một guyên hàm của hàm số

 





thỏa

 

10F

. Giá trị của

 

bằng

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

4ln 2

. B.

3ln2

. C.

ln 3

. D.

Lời giải

Chọn C

 

   





d ln 2 1

2 1 2

F x x x c

     

       

1 0 0 ln 2 1 2 ln 3

F c F x x F

Câu 12: Nguyên hàm

 

của hàm số

 





biết

  







e 1 3

là

 

  2ln 2 1 0,5F x x

. B.

 

  2ln 2 1 1F x x

 

  

ln 2 1 1

F x x

. D.

 

  0,5ln 2 1 0,5F x x

Lời giải

Chọn C

 

   





d ln 2 1

2 1 2

F x x x c

 

  

         





e 1 3 3 1 1

lne 1 ln 2 1 1

2 2 2 2 2

F c c F x x

Câu 13: Tìm một nguyên hàm

 

của hàm số

   

  

, ,0

f ax b

xxa

biết

 

11F

 

14F

và

 

10f

 

  

3 3 7

4 2 4

. B.

 

  

3 3 7

4 2 4

 

  

3 3 7

2 4 4

. D.

 

  

3 3 1

2 2 2

Lời giải

Chọn A

 



    







b a b

F x ax x x c

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Lại có:

 



   











  

       

  

  

















1 4 4

b c a

F b c b

. Nên

 

  

3 3 7

4 2 4

 Bài toán 3. Tìm nguyên hàm

()Fx

của hàm số

()fx

(gi s điu kiện đưc xc đnh):.

Làm quen nhóm công thức nguyên hàm của hàm lượng giác

        



sin d cos sin( )d cos( ) .x x x C ax b x ax b C

      



cos d sin cos( )d sin( ) .x x x C ax b x ax b C

 Cần nhớ:

sin2 2sin cos ,x x x

     

2 2 2 2

cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin .x x x x x

a) Tìm





(sin cos )dI x x x

Lời giải

     



(sin cos )d . cos sinI x x x x x C

b) Tìm





(3cos 2sin )dI x x x

Lời giải

    



(3cos 2sin )d 3sin 2cosI x x x x x C

c) Tìm





(2sin2 3cos6 )dI x x x

Lời giải

     



(2sin 2 3cos6 )d cos2 sin6

I x x x x x C

d) Tìm





sin cos dI x x x

Lời giải

    



sin cos d sin2 d cos 2

I x x x x x x C

e) Tìm













cos d

Lời giải



   

    

   

   



cos d 2sin

2 6 2 6

I x C

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

f) Tìm













sin d

Lời giải



   

    

   

   



sin d 3cos

3 3 3 3

I x C

g) Tìm





(sin cos ) dI x x x

Lời giải

         

  

2 2 2

(sin cos ) d (sin 2sin cos cos )d (1 sin 2 )d cos2

I x x x x x x x x x x x x C

h) Tìm





(cos sin ) dI x x x

Lời giải

 

         

  

sin cos d sin 2sin cos cos d 1 sin2 d cos2

I x x x x x x x x x x x x C

i) Tìm

 





cos sin dI x x x

Lời giải

 

    



cos sin d cos2 d sin 2

I x x x x x x C

j) Tìm

 





cos sin dI x x x

Lời giải

    

    



4 4 2 2 2 2

cos sin d cos sin sin cos dI x x x x x x x x

 

    



cos sin d cos2 d sin 2

x x x x x x C

 Nhóm áp dụng công thức:

         



  

1 d 1

d (1 cot )d cot cot( ) .

sin sin ( )

x x x x C ax b C

x ax b

       



  

1 d 1

d (1 tan )d tan tan( ) .

cos cos ( )

x x x x C ax b C

x ax b

k) Tìm











cos sin

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Lời giải



    







d tan cot

cos sin

I x x x C

l) Tìm





cos 3

Lời giải

    



d 6. tan 3 2tan 3

cos 3

I x x C x C

m) Tìm





tan d .I x x

Lời giải

 



        





  

tan d tan 1 1 d 1 d tan

cos

I x x x x x x x C

n) Tìm





(tan cot ) dI x x x

Lời giải

 



         





  

tan cot d tan 2 cot d d tan cot

cos sin

I x x x x x x x x x C

 Bậc chẵn



Hạ bậc và lấy công thức nguyên hàm.

Công thức hạ bậc:



sin cos 2

và



cos cos 2 .

(Cần nhớ: Mỗi lần hạ bậc xuất hiện hai số

;

sin là trừ, cos là cộng, cung góc tăng gấp

đôi)

o) Tìm





sin dI x x

Lời giải

Ta có



  













sin d d sin

1 1 1 1

cos2 2

2 2 2 4

x x x CI x x x

p) Tìm





cos dI x x

Lời giải

Ta có



  













cos d d sin

1 1 1 1

cos2 2

2 2 2 4

x x x CI x x x

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

q) Tìm





sin 2 dI x x

Lời giải

Ta có



  





  



sin 2 d d sin

1 1 1 1

cos4 4

2 2 2 8

x x x CI x x x

r) Tìm





cos 2 dI x x

Lời giải

Ta có



  





  



cos 2 d d sin

1 1 1 1

cos4 4

2 2 2 8

x x x CI x x x

s) Tìm





(2 sin3 ) dI x x

Lời giải

Ta có

 



       







  

2 sin3 d 4 4sin3 sin 3 d 4 4

sin3

cos6

dI xx x x x x x x

 

9 4 1

cos3

3 12

in6x x x C

t) Tìm





(2 cos2 ) dI x x

Lời giải

Ta có

 



       







  

(2 cos2 ) d 4 4 cos2 cos d o4 4c

2 c s4s

dI x x x x x xxx

 2

sin s

in 4x x x C

 Tích bậc nhất của sin và cos



Áp dụng công thức tích thành tổng.

     



sin .cos sin( ) sin( ) .

a b a b a b

      



sin .sin cos( ) cos( ) .

a b a b a b

     



cos .cos cos( ) cos( ) .

a b a b a b

u) Tìm





sin3 cos dI x x x

Lời giải

Ta có

 

     



sin3 cos d sin 4 sin

2 d cos 4 co 2

2 8 4

xCI x x x x x x x

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

v) Tìm





sin4 cos dI x x x

Lời giải

Ta có

 

     



sin4 cos d sin5 sin

3 d cos5 c

xCI x x x x x x x

w) Tìm





sin3 sin dI x x x

Lời giải

Ta có

 

  



sin3 sin d cos4

c s 2 d sin 4 si

xCI x x x x x x x

x) Tìm





sin 2 sin 4 dI x x x

Lời giải

Ta có

 

  



sin2 sin 4 d cos6

c s2 d sin6 si

xCI x x x x x x x

y) Tìm





cos7 cos dI x x x

Lời giải

Ta có

 

     



cos7 cos d cos8 cos

1 1 1

6 d sin8 si 6

xCI x x x x x x x

z) Tìm





cos9 cos dI x x x

Lời giải

Ta có

 

   



cos9 cos d cos10 cos

1 1 1

8 d sin10 si 8

xCI x x x x x x x

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 14: Biết

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

 sin2f x x

và











. Tính













. B.

 0P

. C.



. D.



Lời giải

Chọn D

Ta có:

 

   



sin2 d cos2

F x x x x C



   

      

   

   

1 cos 2. 1 1

4 2 4

F C C

Suy ra

 



   

        

   

   

1 1 3

cos2 1 cos 2. 1

2 6 2 6 4

F x x P F

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Câu 15: Tìm một nguyên hàm

 

của hàm số

 

  2 sin 2cosf x x x x

thỏa mãn

 

01F

 

   

cos 2sin 2F x x x x

. B.

 

  

cos 2sinF x x x x

 

  2 cos 2sinF x x x

. D.

 

   

cos 2sin 2F x x x x

Lời giải

Chọn D

Ta có:

   

      



2 sin 2cos d cos 2sinF x x x x x x x x C

 

       

0 1 0 cos0 2sin0 1 2F C C

Suy ra

 

   

cos 2sin 2F x x x x

Câu 16: Tìm một nguyên hàm

 

của hàm số

 



sin

cos

f x x

thỏa mãn











 

   cos tanF x x x C

. B.

 

    cos tan 2 1F x x x

 

   cos tan 2 1F x x x

. D.

 

    cos tan 2 1F x x x

Lời giải

Chọn D

Ta có:

 



     







sin d cos tan

cos

F x x x x x C

  



        





cos tan 2 1

4 2 4 4 2

F C C

Suy ra

 

    cos tan 2 1F x x x

Câu 17: Cho

 

là một nguyên hàm của

 



4cos 5f x x

thỏa mãn

 



 0F

. Tìm

 



   3 sin2 3F x x x

. B.

 



  

sin 5 5

F x x x

 



   

cos 5 5

F x x x

. D.

 



   3 sin2 3F x x x

Lời giải

Chọn A

Ta có:

 

      



4cos 5 d 2cos2 3 d sin2 3F x x x x x x x C

 

   

      0 sin2 3 0 3F C C

Suy ra

 



   3 sin2 3F x x x

Câu 18: Biết rằng

 

   



cos d sin2F x x x ax b x C

. Giá trị của



bằng

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

   

     



1 1 1

cos d 1 cos2 d sin2

2 2 4

F x x x x x x x C

Suy ra

    

1 1 5

;

2 4 16

a b a b

Câu 19: Biết

 

   



sin2 cos2 d cos4

x x x x x C

, với

,ab

là các số nguyên dương,

là

phân số tối giản và

C

. Giá trị của

ab

bằng

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

Ta có:

 





sin2 cos2 dx x x

 

    



1 sin4 d cos4

x x x x C

Suy ra

    1; 4 5a b a b

 Bài toán 4. Tìm nguyên hàm

()Fx

của hàm số

()fx

(giả sử điều kiện được xác định):.

Làm quen nhóm công thức mũ



    



e d e e d e .

x x ax b ax b

x C x C







    



d d .

ln ln

a x C a x C

aa) Tìm





e d .

Lời giải

  



I x e C

bb) Tìm







e d .

Lời giải



   



1 2 1 2

e d . e

I x C

cc) Tìm







(2 e )d .

I x x

Lời giải

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn



    



(2 e )d

I x x x e C

dd)







e (1 3e )d .

Lời giải

   



   



e 1 3e d 3 d

x x x x

I x e e x



  3

e e C

ee) Tìm





(3 e ) d .

Lời giải

   

    



3 e d 9 6 d

x x x

I x e e x

   

x e e C

ff) Tìm

 





2 e d

Lời giải

   

    



3 3 6

2 e d 4 4 d

x x x

I x e e x

   

x e e C

gg) Tìm







Lời giải



  



2 d .

2 ln 2

I x C

hh) Tìm







4 d .

Lời giải



   



4 d . .

2 ln4

I x C

ii) Tìm





3 .5 d

Lời giải

  



3 .5 d 15 d

ln 5

x x x

I x x

jj) Tìm







4 .3 d .

Lời giải

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold



   



12 1 12

4 .3 d d .

3 3 ln12

I x x C

kk) Tìm







Lời giải





   



5 2 5 2

I x e C

ll) Tìm







Lời giải





   



2 3 2 3

2 d 2

I x C

mm) Tìm







4 .3

Lời giải



    

  

4 .3 4 12 4 4 6

d d 6 d

3 3 3 ln 6

x x x x

I x x x C

nn) Tìm







2 1 1

4 .6

Lời giải



   



2 1 1

4 .6 1 96 1 32

d d .

24 24 ln 32

x x x x

I x x C

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 20: Biết

()Fx

là một nguyên hàm của hàm số



( ) e

thỏa



(0)

Giá trị của







bằng



. B.



. C.

21e

. D.



Lời giải

Chọn B

Ta có:

 

  



f x dx e dx e C

 

     

2.0

3 1 3

0 . 1

2 2 2

F e C C

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Vậy

 



    





1 1 1

1 1.

2 2 2

F x e F e

Câu 21: Một nguyên hàm

()Fx

của hàm số



( ) 2e 3

f x x

thỏa



(0)

là

  

  

Lời giải

Chọn B

Ta có:

 

    



2 3 2

f x dx e x dx e x C

 

      

9 9 5

0 2. 0

2 2 2

F e C C

Vậy

 

   

F x e x

Câu 22: Biết

()Fx

là một nguyên hàm của hàm số

( ) 4

thỏa



(1)

ln 2

Giá trị của

(2)F

bằng



(2)

ln 2

. B.



(2)

ln 2

. C.



(2)

ln 2

. D.



(2)

ln 2

Lời giải

Chọn A

Ta có:

 

    



ln 4 2 ln 2

f x dx dx C C

 

     

3 4 3 1

ln 2 2ln 2 ln 2 ln2

F C C

   



    

4 2 4 2 9

2ln2 2ln 2 ln 2

F x F

Câu 23: Họ nguyên hàm của hàm số



( ) 2 .3 .7

x x x

là



ln 84

. B.



2 .3 .7

ln 4.ln 3.ln7

x x x

. C.

84

. D.

84 .ln84

Lời giải

Chọn A

Ta có:

 

    

   

2 .3 .7 4.3.7 84

ln84

x x x x

f x dx dx dx dx C

Câu 24: Biết

()Fx

là một nguyên hàm của hàm số





( ) e

thỏa mãn



(0)

Tính





ln 3 (1) .F

  



ln 3 (1) 64F

. B.

   



ln 3 (1) 8F

. C.

  



ln 3 (1) 81F

. D.

  



ln 3 (1) 27F

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Lời giải

Chọn A

Ta có:

 



  



f x dx e dx C

 



     

3.0 1

3 3 3

e e e

F C C

   



   

3 1 4

F x F

 

   



    



3 3 4 4 3

ln 3 1 ln ln 4 64F e e

Câu 25: Biết một nguyên hàm

()Fx

của hàm số





( ) 4 .2

thỏa mãn



(0)

ln 2

Tính giá trị của

biểu thức







ln 2. (1)

 1A

. B.

 8A

. C.

 16A

. D.

 32A

Lời giải

Chọn B

Ta có:

 





   

  

2 3 4 3

4 .2 2

4ln2

x x x

f x dx dx dx C

 



     

4.0 3

2 2 2

ln 2 4 ln 2 ln 2

F C C

   



   

4 3 5

4ln2 ln 2

F x F

 







   

     

10 10 10

ln 2.

ln 2.F 1

ln 2

2 32

2 2 2

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

DẠNG TOÁN 2: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ (PHÂN SỐ KHÔNG CĂN)

 Bài toán 5. Tìm nguyên hàm

()Fx

của hàm số

()fx

(giả sử điều kiện được xác định):

a) Tìm









Lời giải

Ta có

   

  









3( 1) 4 4

d 3 d

I x x

   3 4ln 1 .x x C

b) Tìm









Lời giải

Ta có

 





  









2 1 3

d 2 d

I x x

   2 4ln 1 .x x C

c) Tìm









Lời giải

Ta có

 





  









3 2 7

d 3 d

I x x

   3 7ln 2 .x x C

d) Tìm









Lời giải

Ta có

 





  









2 2 1 5

d 2 d

2 1 2 1

I x x

   

2 ln 2 1 .

x x C

e) Tìm







Lời giải

Ta có:









( 1 ) 1

    

   









( 1)( 1) 1 1

d 1 d

x x x

    

ln 1 .

x x C

f) Tìm







Lời giải

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Ta có:









( 1 ) 1

    

   









( 1)( 1) 1 1

d 1 d

x x x

    

ln 1 .

x x C

g) Tìm







Lời giải

Ta có:

       

     



  



  

3 3 2

( 1 ) 1 ( 1)( 1) 1 1

d d 1 d

1 1 1

x x x x

I x x x x x

x x x

     

ln 1 .

x x C

h) Tìm







Lời giải

Ta có:

       

     



  



  

3 3 2

( 2 ) 8 ( 2)( 2 4) 8 8

d d 2 4 d

2 2 2

x x x x

I x x x x x

x x x

     

4 8ln 2 .

x x x C

i) Tìm









Lời giải

Ta có:



       









1 d 3ln 2 .

I x x x x C

j) Tìm









2 4 3

Lời giải

Ta có:



       









2 6 d 6 9 ln 1 .

I x x x x x C

k) Tìm









4 6 1

Lời giải

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Ta có:



       









2 2 d 2 ln 2 1 .

2 1 2

I x x x x x C

l) Tìm









3 2 1

Lời giải

Ta có:



       









3 5 d 5 4ln 1 .

I x x x x x C

 Nhớ.



  



d ln d ln

x u x u C

m) Tìm









Lời giải

Ta có:









 









2 2 1

 











 



      



2 ln 4 d 2ln 4x x x x x C

n) Tìm









Lời giải

Ta có:









 











 



  



ln 3 4 dx x x

   

ln 3 4x x C

o) Tìm









Lời giải

Áp dụng

    

     

f x ax bx c a x x x x

với

là hai nghiệm của

 

0fx

ta được:





 













  







2 2 3



2 2 3

với

































 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Khi đó, ta có Lời giải sau:





















2 2 3

    

2ln 2 ln 2 3

x x C

p) Tìm

  







Lời giải

Ta có:

  





với



















 







Khi đó:

  







 



      









1 1 1 1

ln 1 ln 3

4 1 3 4

dx x x C







q) Tìm

  







2 4 5

Lời giải

Ta có:

  





2 4 5

với



















 







2 4 14

Khi đó:

  







2 4 5

 



      









1 1 1 1

ln 2 ln 5

14 2 5 14

dx x x C







14 5

r) Tìm







Lời giải

Ta có:



4xx

 





4xx



4

với





  

















 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Khi đó:







 



     









1 1 1 1

ln 4 ln

4 4 4

dx x x C





s) Tìm









Lời giải

Ta có:





  









12

với































Khi đó:





















    3ln 1 ln 2x x C

t) Tìm









4 11

Lời giải

Ta có:





4 11

  







4 11



23

với





























4 11

u) Tìm

 







Lời giải

Ta có:



  









a b c

với





 







;





 







;





Nên



  









1 1 1

    

ln 1 lnx x C



  

v) Tìm

   







Lời giải

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Ta có:

   







   















 

















a b c

với





  







d 1 1

d 1 9

;





 







;

 















Khi đó:

   







   

 





  











1 1 1

9 1 9 2

 

     



2 2 1

ln 1 ln 2

x x C

 



  



DẠNG TOÁN 3: NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

 Định lý: Nếu hai hàm số

 

u u x

và

 

v v x

có đạo hàm và liên tục trên

thì

           



  



ddI u x v x x u x v x v x u x x

hay

  



ddI u v uv v u

 Vận dụng giải toán:

Nhận dạng: Tích hai hàm nhân khác nhau, ví dụ:



sin d , ln d ,...

e x x x x x

+ Đặt

   









......... d ......d

d ......d .........

u u x

v x v

. Suy ra

  



ddI u v uv v u

+ Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và

dv

phần còn lại.

+ Lưu ý: Bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm.

+ Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi.

Tìm nguyên hàm

()Fx

của hàm số

()fx

(giả sử điều kiện được xác định):

 Bài toán 6. Tìm nguyên hàm

()Fx

của hàm số

()fx

(giả sử điều kiện được xác định):

a) Tìm

 





1 sin dI x x x

Lời giải

Chọn



   





   





sin cos

u x du dx

dv xdx v x

Suy ra

 

   



1 cos cos dI x x x x

 

    1 cos sinx x x C

b) Tìm





ln dI x x x

Lời giải

Chọn



  







  





u x du dx

dv xdx v x

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Suy ra





ln d

I x x x x

  

x x x C

c) Tìm





I xe x

Lời giải

Chọn



  





  





u x du dx

v e x v e

Suy ra





I xe e x

  

xe e C

 

  1

e x C

d) Tìm







I xe x

Lời giải

Chọn





  





   





u x du dx

v e x v e

Suy ra



  



I xe e x



   

xe e C

 



   1

e x C

e) Tìm





sin

Lời giải

Chọn



  





   





d d cot

sin

u x du dx

v x v x

Suy ra

  



cot cot dI x x x x

 

  



cot d sin

sin

x x x

   cot ln sinx x x C

f) Tìm





cos

Lời giải

Chọn



  





  





d d tan

cos

u x du dx

v x v x

Suy ra





tan tan dI x x x x

 





tan d cos

cos

x x x

  tan ln cosx x x C

 Cần nhớ: 1)

  



tan d ln cosx x x C

. 2)





cot d ln sinx x x C

g) Tìm





lnI xdx

Lời giải

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Đặt









      















ln . ln .

du dx

I x x x dx x x x C

dv dx

h) Tìm

 





2 1 lnI x xdx

Lời giải

Đặt

 























du dx

dv x dx

v x x

     

         



2 2 2

ln . ln .

I x x x x x dx x x x x C

i) Tìm





sin cosI x x xdx

Lời giải

Ta có





sin 2

I x xdx

. Khi đó, đặt



















sin 2

cos 2

du dx

dv xdx

Suy ra



      







1 1 1 1 1

cos2 cos2 cos 2 sin 2

2 2 2 4 8

I x x xdx x x x C

j) Tìm

 





2cos 1I x x dx

Lời giải

Ta có:

 

     

  

1 cos 2 cos 2I x x x dx x x dx x xdx

Đặt





     













sin 2 sin 2

cos2

3 2 2 2

sin 2

du dx

x x x

I x xdx

dv xdx

     

sin2 cos2

3 2 2 4

x x x

I x x C

k) Tìm





sin

I e xdx

Lời giải

Đặt







       



  







cos cos cos

sin cos

x x x

u e du e dx

I e x e xdx e x I

dv xdx v x

Đặt







     











sin sin sin .

cos sin

x x x

u e du e dx

I e x e xdx e x I

dv xdx v x

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Suy ra:

 

       cos sin sin cos

I e x e x I I x x C

l) Tìm





cos

I e xdx

Lời giải

Đặt







     











sin sin sin

cos sin

x x x

u e du e dx

I e x e xdx e x I

dv xdx v x

Đặt







       



  







cos cos cos .

sin cos

x x x

u e du e dx

I e x e xdx e x I

dv xdx v x

Suy ra:

 

      cos sin sin cos

I e x e x I I x x C

m) Tìm

 



   







1 ln 1

I x x dx

Lời giải

Đặt

 



       







1 ln 1

t x x dt dx I t dt

Đặt

 

     









          



















ln 1

ln 1 ln 1 ln 1

du dt

I t t dt t t t t C

dv dt

       

          ln 1 ln 1I x x x x x x x x C

n) Tìm

 









ln 4 8 3

I dx

Lời giải

Đặt

   

 





 





         





ln 4 1 1

ln 4 1

1 2 1

t x dt x dx dx I dx dt

Đặt

 















    



















ln 4 1

du dt

I dt

dv dt

   



  

        









ln 4 1 ln 4 1

1 1 4 1

8 8ln

2 4 1 4 2 4

I dt C

t t t t t

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

 

   



    



ln 4 8 3

4 8 3

8ln .

2 1 4 1

o) Cho

 

 lnF x x

là một nguyên hàm của

 

. Tìm nguyên hàm của

 



lnf x x

Lời giải

Áp dụng định nghĩa

'( ) ( ),F x f x

Ta có:

 





 



 



f x x

Ta tìm

 







ln dI f x x x

Chọn

   



  









   



ln d d

u x u x

v f x x v f x x



      



2 2 2 2

.ln . d ln d ln

I x x x x x x x x x x C

Vậy

 



  



ln d ln

f x x x x x C

p) Cho

 

 lnF x x

là một nguyên hàm của

 

. Tìm nguyên hàm của

 



lnf x x

Lời giải

Áp dụng định nghĩa

'( ) ( ),F x f x

Ta có:

 





 



 

f x x

Ta tìm

 







ln dI f x x x

Chọn

 

























v f x x



      



ln . d ln d lnI x x x x x x x x x x C

Vậy

 



  



ln d lnf x x x x x x C

q) Cho

 



là một nguyên hàm của

 

. Tìm nguyên hàm của

 



lnf x x

Lời giải

Áp dụng định nghĩa

'( ) ( ),F x f x

Ta có:

 











 

  

 

  

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Ta tìm

 







ln dI f x x x

Chọn

 































v f x x

v f x





        



2 2 2 3 2 2

3 3 1 3 1 3 3

ln . d ln 3 d ln

I x x x x x C

x x x x x x

Vậy

 



   



ln d ln

f x x x x C

r) Cho

 



là một nguyên hàm của

 

. Tìm nguyên hàm của

 



'( )x x f x

Lời giải

Áp dụng định nghĩa

'( ) ( ),F x f x

Ta có:

 











 

  

 

  

Ta tìm

 







dI x x f x x

Chọn

 



























d 4 3 d

u x x x

u x x

v f x x

v f x

   

 

           

        



4 3 3 2 2

2 2 2

. 4 3 d 2 2 8 6 d

2 2 4 6 2 4

I x x x x x x x x x

x x x x C x x C

Vậy

 







dx x f x x



24x x C

s) Cho

 



F x x

là một nguyên hàm của

( ).

f x e

. Tìm nguyên hàm của

. '( )

e f x

Lời giải

Áp dụng định nghĩa

'( ) ( ),F x f x

Ta có:

 





( ).

x f x e



2 ( ).

x f x e

 





f x x e

Ta tìm

 







I e f x x

Đặt

 























d 2. d

u e x

v f x x

v f x xe





       



2 2 2 2 2

2 . 4 . . d 2 4 d 2 2

x x x x

I xe e x e e x x x x x x C

Vậy

 



   



d 2 2

e f x x x x C

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

t) Cho

 

 .

F x x e

là một nguyên hàm của

( ).

f x e

. Tìm nguyên hàm của

'( )

e f x

Lời giải

Áp dụng định nghĩa

'( ) ( ),F x f x

Ta có:

 





. ( ).

x e f x e

   

( 1) ( ).

x e f x e



   ( ) ( 1).

f x x e

Ta tìm





'( ).

I e f x dx

Chọn















   





'( )

( ) ( 1).

du e dx

dv f x dx

v f x x e

Suy ra

        



( 1) 2 ( 1) ( 1) 2

x x x

I x e x e dx x e I

Tìm





( 1)

I x e dx

Chọn



  













u x du dx

dv e dx v e





            





( 1) 2 ( 1) 2 ( 1). ( 1)

x x x x x

I x e I x e x e e dx x e C

Vậy

  



'( ). ( 1)

e f x dx x e C

DẠNG TOÁN 4: NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN SỐ

 Định lí: Cho





( )d ( )f u u F u C

và

 ()u u x

là hàm số có đạo hàm liên tục thì



     

   



( ) ( )d ( ) .f u x u x x F u x C

Có sẵn Tách từ hàm Nhân thêm

Một số dạng đổi biến thường gặp







      







      











      







( ) . d d d

d 1 d ( 1) d ,

( ) . d d 2 d

I f ax b x x t ax b t a x

I x t x t n x x

I f ax b x x t ax b t ax x

với

, .mn









( ). ( )d

I f x f x x



Đặt





    

( ) ( ) d ( )d .

t f x t f x nt t f x x

















(ln ) d

( ln ) d

I f x x

I f a b x x



Đặt



  







   





ln d d

t x t x

t a b x t x

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn







(e ).e d

I f x



Đặt



  





   





e d e d

t t x

t a b t b x







(cos ).sin dI f x x x



Đặt

    





    



cos d sin d

t x t x x

t a b x t b x x







(sin ).cos dI f x x x



Đặt

   





   



sin d cos d

t x t x x

t a b x t b x x







(tan )

cos

I f x



Đặt

    

tan d d (1 tan )d .

cos

t x t x x x







(cot )

sin

I f x



Đặt

      

cot d (1 cot )d .

sin

t x t x x







(sin ;cos ).sin2 dI f x x x x



Đặt



  





   





sin d sin 2 d

cos d sin 2 d

t x t x x







(sin cos ).(sin cos )dI f x x x x x



Đặt

sin cos .t x x

 Lưu ý: Sau khi đổi biến và tính nguyên hàm xong, ta cần trả lại biến cũ ban đầu là

 Nhóm 1.

 





      







       











      





1 1 ,khi m,n

I f ax b xdx t ax b dt adx

I dx t ax dt a n x dx Z

I f ax b xdx t ax b dt axdx

 Bài toán 7. Tìm nguyên hàm

()Fx

của hàm số

()fx

(giả sử điều kiện được xác định):

a) Tìm

 





2018

1.I x x dx

Lời giải

Đặt

       

t x x t dx dt

Khi đó:

   

    



2018 2018

11I t t dt t t dt

 

    



2020 2019

2019 2018

2020 2019

t t dt C

Suy ra

   



  

2020 2019

b) Tìm

 





2019

1.I x x dx

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Lời giải

Đặt

      

t x x t dx dt

Khi đó:

 





2019

1I t t dt

 

    



2021 2020

2020 2019

2021 2020

t t dt C

Suy ra

   



  

2021 2020

c) Tìm

 





1.I x x dx

Lời giải

Đặt

     

t x dt xdx xdx

Khi đó:





I t dt



Suy ra

 





d) Tìm

 





1.I x x dx

Lời giải

Đặt

      

t x x t dx dt

Khi đó:

 

    



9 11 10 9

12I t t dt t t t dt

   

12 11 10

t t t

Suy ra

     

  

   

12 11 10

1 2 1 1

12 11 10

x x x

e) Tìm







xdx

Lời giải

 







  



ln 2

I dx

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

f) Tìm

 







xdx

Lời giải

Đặt

      

t x x t dx dt

Khi đó:







I dt

   

Suy ra

   

   



3 1 4 1

g) Tìm







x dx

Lời giải

Ta có







x dx x xdx

Đặt

      

t x x t xdx dt

Khi đó:

  

   







1 ( 1) 1 1

I dt t dt

   

Suy ra

 



    

1 ln 1

I x C

h) Tìm







x dx

Lời giải

Đặt

  

t x x dx dt

Khi đó:

  



  









1 1 1 1 1

5 20 2 2

I dt dt







20 2

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Suy ra







i) Tìm







Lời giải

Đặt

      

1 1 2 d d

t x x t x x t



d d .

x x t

Khi đó:

 



     





   



     



1 1 1 1

1 d 2 d

1 ln 1 .

I t t t t

t t C

x x C

j) Tìm







Lời giải

Đặt

    

5 4 4

5 d d d

t x x x t x x

Khi đó:



  























1 d 1 1 1

5 20 2 2

20 2

ln .

k) Tìm









2017

2019

( 1)

(2 3)

Lời giải

Ta có:

  













2017

(2 3)

Đặt



  





d d .

(2 3)

t t x

Khi đó:

  



2018

2017

2018

I t t C

  

  







2018

2018 2 3

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

l) Tìm







( 1)

Lời giải

Ta có:













( 1)

Đặt

  



d d .

( 1)

t t x

Khi đó:

  



I t t C



  







m) Tìm









101

(7 1) d

(2 1)

Lời giải

Ta có:

  











7 1 1

(2 1)

Đặt



  



7 1 9

d d .

(2 1)

t t x

Khi đó:

  



100

9 900

I t C

  

  







100

1 7 1

900 2 1

n) Tìm







2001

2 1002

(1 )

Lời giải

Ta có:













1000

2 2 2

1 ( 1)

Đặt

    

d 2 .d .d

t x t x x x x

Khi đó:

 















1000

Đặt

  



du d .

(t 1)

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

   













1001

1000

1001

2 2002

2001

I u C

 Nhóm 2.

Hai công thức thường được sử dụng là:

  





2dx

ax b C

ax b

và

 

   



ax bdx ax b C

 Bài toán 8. Tìm nguyên hàm

()Fx

của hàm số

()fx

(giả sử điều kiện được xác định):

a) Tìm





4 3 dI x x x

Lời giải

Đặt

    

2 2 2

33t x t x

22tdt xdx

Lúc đó:

  



I t dt t c

Vậy





 

     

2 2 2

3 3 3

I x x x c

b) Tìm





2020 dI x x x

Lời giải

Đặt

    

2020 2020t x t x

  2 d dt t x

Lúc đó:

   

       



2 4 2

2 4040

2020 . .2 d 2 4040 d

I t t t t t t t c

Vậy

   



  

2 2020 4040 2020

c) Tìm







Lời giải

Đặt

    

2 2 2

44t x t x

2 d 2 dt t x x

 

  

    











  

1 4 1 8 1 8

d dt dt

t t t

      

1 1 1

ln ln 2 ln 2

4 8 8

t t t c

Vậy

         

2 2 2

1 1 1

ln 4 ln 4 2 ln 4 2

4 8 8

I x x x c

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

d) Tìm







Lời giải

Đặt

    

2 2 2

99t x t x

2 d 2 dt t x x

 

  

    











  

1 9 1 18 1 18

d dt dt

t t t

      

1 1 1

ln ln 2 ln 2

9 18 18

t t t c

Vậy

         

2 2 2

1 1 1

ln 9 ln 9 2 ln 9 2

9 18 18

I x x x c

e) Tìm





I e e x

Lời giải

Đặt

    

t e t e

  2 d d

t t e x

 

        

  

5 d . 2 d 2 d

I e e x t t x t t t c

Vậy





   

I e c

f) Tìm





sin 2018 cos dI x x x

Đặt

    

2018 cos 2018 cost x t x

  2 d sin dt t x x

 

      



. 2 d 2 d

I t t x t t t c

Vậy

 

   

2018 cosI x c

g) Tìm







xdx

Lời giải

Ta có:





   



( 1)

( 1)( 1)

x x x dx

x x x x









( 1)

x x x









( 1)

x x x

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

  



( 1)x x x dx

  



1x dx x x dx



Tính

   

1t x tdt xdx

Ta có

 

      



2 2 3 2

x x dx t dt t C x C

Vậy

 

   

I x C

h) Tìm







x dx

Lời giải

Đặt







x dx





   



3 4 2

4 2 4 2

( 1 )

( 1 )( 1 )

x x x dx

x x x x









3 4 5

( 1)

x x x

  



3 4 5

( 1 )x x x dx

  



5 3 4

1x dx x x dx



Tính

Đặt

   

12t x tdt x dx

Ta có

 

      



3 4 2 3 4

1 1 1

2 6 6

x x dx t dt t C x C

Vậy

 

   

I x C

i) Tìm



  



( 1) 1

x x x x

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Lời giải



  



( 1) 1

x x x x

 



  



x x x x

 

  





    



1 1 1

x x dx

x x x x x x

 









x x dx







dx dx

   2 2 1x x C

j) Tìm



  



3 ( 3)

x x x x

Lời giải



  



3 ( 3)

x x x x

 



  



x x x x

 

  





    



3 3 3

x x dx

x x x x x x

 











x x dx















dx dx















dx dx





   



2 2 3

x x C

 Nhóm 3.

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

+Nếu:

 





ln .I f x dx

Đặt:

  

lnt x dt dx

+ Nếu:

 





ln .I f a b x dx

Đặt:

   ln

t a b x dt dx

 Bài toán 9. Tìm nguyên hàm

()Fx

của hàm số

()fx

(giả sử điều kiện được xác định):

a) Tìm







2 ln

Lời giải

Đặt:

   

2 lnt x dt dx

Khi đó:

 

     



2 ln

I tdt C x C

b) Tìm





ln x

I dx

Lời giải

Đặt

  

lnt x dt dx

Suy ra:

    



I t dt C C

c) Tìm







1 ln

Lời giải

Đặt:

  

lnt x dt dx

Suy ra

 

       



1 ln

I t dt t C x C

d) Tìm







1 ln

Lời giải

Đặt:

  

lnt x dt dx

Khi đó:

 

       



1 ln

I t dt t C x C

e) Tìm







3ln 1

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Lời giải

Ta có:

 



        





    

3 3 ln 3ln ln ln

ln ln ln

dx dx

I dx d x x x C

x x x x x x x

f) Tìm

 







2 ln

Lời giải

Đặt

   

2 lnt x dt dx

, ta có:

ln 2xt

Khi đó:

  

         









2 1 2 2 2

ln ln 2 ln

2 ln

I dt dt t C x C

t t x

 Nhóm 4.

Tìm





(e ).e d

I f x



Đặt



  





   





e d e d

t t x

t a b t b x

 Bài toán 10. Tìm nguyên hàm

()Fx

của hàm số

()fx

(giả sử điều kiện được xác định):

a) Tìm







Lời giải

Đặt

      

e 3 e 3 d e d

x x x

t t t x

Khi đó:







d e d

e 3 e (e 3)

x x x



    







d 1 3 1

ln ln

( 3) 3 3

t t e

t t t

b) Tìm







Lời giải

Đặt

      

e 4 e 4 d e d

x x x

t t t x

Khi đó:







d e d

e 4 e (e 4)

x x x



    







d 1 4 1

ln ln

( 4) 4 3

t t e

t t t

c) Tìm







 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Lời giải

Đặt

   

e 1 d e d

t t x

Khi đó:







     



ln ln 1

t C e C

d) Tìm







Lời giải

Đặt

   

e 8 d e d

t t x

Khi đó:







     



ln ln 8

t C e C

e) Tìm









e 2e 3

Lời giải

Ta có

  



  

   



  

e d e d

e 2e 3 e 3e 2

e 1 e 2

x x x x

Đặt

  

e d e d

t t x

Khi đó:

 



    









d 2 2

ln ln

1 ( 2)

t t e

I C C

f) Tìm









Lời giải

Ta có









e e e 1

x x x

Đặt

   

e 1 e d

Khi đó:

     



1 d 1 1

ln ln 1

2 2 2

I t C e C

g) Tìm







 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Lời giải

Đặt

e1

   

e 1 2td e d

t t x

Khi đó:







e .e d

 



  





         











1 2td e 1 e 1

2 1 d 2 2 e 1

t t t C C

h) Tìm







Lời giải

Đặt

 3+e

   

3 e 2td e d

t t x

Khi đó:





e .e d

3+e

 









        











3 2td 3+e 3+e

2 3 d 2 3 2 3 3+e

t t t C C

i) Tìm







Lời giải

Đặt

   



1 dt d

t e x

;



Ta có:

 

   





e d . d

1 .2

e 1 1

x x x

x e e x

I t dt

   

I t t C





     

1 2 1

I e e C

* Đặt

    

t e t e

2

t dt e dx

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

 



    



  

1 .2

t t dt

e e dx

I t dt

j) Tìm







Lời giải

Đặt

3





dt= d

;



có:

 

   



  

e d .

3 e 3

x x x

x e e dx

I t dt

   

I t t C

Vậy





    

3 6 3

I e e C

* Đặt

    

t e t e

2

t dt e dx

 



    



  

3 .2

t t dt

e e dx

I t dt

   

I t t C





     

3 6 3 .

I e e C

 Nhóm 5.

Nhóm đổi biến hàm số lượng giác

 Bài toán 11. Tìm nguyên hàm

()Fx

của hàm số

()fx

(giả sử điều kiện được xác định):

a) Tìm





sin d .I x x

Lời giải

  



sin .sin d (1 cos )sin dI x x x x x x

Đặt

costx

d sin dt x x

Ta có:

 

      



I t t t C

Vậy:

   

cos cos .

I x x C

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

b) Tìm





cos d .I x x

Lời giải

 

  



cos .cos d 1 sin cos dI x x x x x x

Đặt

  sin d cos dt x t x x

 

     



I t t t t C

Vậy

  

sin sin

I x x C

c) Tìm





2017

cos sin d .I x x x

Lời giải

Đặt

costx

sin ddt x x

     



2017 2018

2018

I t t t C

   

2018

cos

2018

I x C

d) Tìm





2019

sin cos dI x x x

Lời giải

Đặt

  sin d cos dt x t x x

   



2019 2020

2020

I t t t C

  

2020

sin

2020

I x C

e) Tìm





(1 2sin )cos dI x x x

Lời giải

Đặt

  sin d cos dt x t x x

 

     



1 2 dI t t t t C

   

sin sinI x x C

f) Tìm





sin2 cos dI x x x

Lời giải

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Ta có:

  

  

2 2 3

sin 2 cos d 2sin cos cos d 2sin cos dI x x x x x x x x x x

Đặt

costx

d sin dt x x

     



I t t t C

   

cos

I x C

g) Tìm







sin

2 cos

Lời giải

Đặt

  2 costx

d sin dt x x



    



I t C

    ln 2 cosI x C

h) Tìm







cos

9 2 sin

Lời giải

Đặt

    9 2sin d 2cos dt x t x x



    



d ln

I t t C

    

ln 9 2sin

I x C

i) Tìm







cos d

6 5sin sin

Lời giải

Đặt

  sin cost x dt xdx







  





















    



ln 3 ln 2

ln sin 3 ln sin 2

t t C

x x C

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

j) Tìm







sin d

cos2 3cos 2

Lời giải







  







sin d

cos 2 3cos 2

sin d

2cos 1 3cos 2

sin d

2cos 3cos 1

Đặt

   cos sint x dt xdx







2 3 1

  







  







     



2 1 1

ln 2 1 ln 1

ln 2 cos 1 ln cos 1

t t C

x x C

k) Tìm





cos

Lời giải





d cos .d

cos

x x x

Đặt

  sin cost x dt xdx

  



   









  

1 1 1 1

2 1 1

I dt dt



    



ln 1 ln 1

t t C



    



ln 1 sin ln 1 sin

x x C

l) Tìm





sin

Lời giải





d sin

sin

x xdx

Đặt

   cos sint x dt xdx

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

  

   







dt dt

I dt













1 1 1

2 1 1



    





    



ln 1 ln 1

ln cos 1 ln cos 1

t t C

m) Tìm







sin 3 cos

Lời giải







d 1 d

sin 3 cos 1 3

sin cos















sin





   



   

   



2sin cos

2 12 2 12





   



   

   



tan cos

2 12 2 12























d tan

2 12

tan

2 12











ln tan

2 2 12

n) Tìm







cos 3 sin

Lời giải

  





d 1 d

3 sin cos 3 1

sin cos

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn





     















1 d 1

ln tan

2 2 2 12

sin

o) Tìm





tan

cos

Lời giải





tan 1

d tan . d

cos cos

I x x x

Đặt

  

tan

cos

t x dt dx

    



tan

I tdt C C

p) Tìm





cot

sin

Lời giải





cot 1

d cot . d .

sin sin

I x x x

Đặt

   

cot

sin

t x dt dx

       



cot

I tdt C C

q) Tìm







(1 tan )

cos

Lời giải

Đặt

   

1 tan

cos

t x dt dx

 



     



1 tan

I t dt C C

r) Tìm







(2 cot )

sin

Lời giải

Đặt

   

2 cot

sin

t x dt dx

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

 



     



2 cot

I t dt C C

s) Tìm







sin 2

1 cos

Lời giải







2sin .cos

1 cos

I dx

Đặt

   

1 cos 2sin .cos .t x dt x x dx

 

      



ln ln 1 cosI dt t C x C

t) Tìm







sin 2

1 sin

Lời giải







2sin .cos

1 sin

I dx

Đặt

    

1 sin 2sin .cos .t x dt x x dx

 

         



ln ln 1 sinI dt t C x C

u) Tìm









sin cos

sin cos 2

Lời giải

Đặt

 

      sin cos 2 cos sint x x dt x x dx

 

   

  



ln sin cos

I dt t C

x x C

v) Tìm









sin cos

sin cos 3

Lời giải

Đặt

 

     sin cos 3 sin cost x x dt x x dx

   



lnI dt t C

 

   ln sin cos 3x x C

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

w) Tìm







cos2

sin cos 1

Lời giải

  















cos sin

sin cos 1

cos sin cos sin

sin cos 1

I dx

x x x x

Đặt

 

   



   



  





1 sin cos

sin cos 1

cos sin

t x x

dt x x dx

 

   





   





   

       



sin cos 1 ln sin cos 1

I dt dt

t t C

x x x x C

x) Tìm









sin cos

3 sin2

Lời giải









sin cos

3 2 sin cos

Đặt

 







  



    





sin cos

1 2sin cos 2sin cos 1

dt x x dx

t x x

t x x x x t

 



   









    



1 1 1

4 2 2

ln 2 ln 2

I dt

t t C

 

      

ln sin cos 2 ln 2 sin cos

x x x x C

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

DẠNG TOÁN 5: TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM & NGUYÊN HÀM CỦA HÀM ẨN

Nhóm 1. Sử dụng định nghĩa



( ) ( ).F x f x

Câu 1: (THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội năm 2019) Gọi

  

) e( ( ).

F x ax bx c

là một nguyên hàm

của hàm số



( ) ( 1) . .e

f x x

Giá trị của biểu thức

  2S a b c

bằng.

. B.

2

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

Theo định nghĩa



( ) ( ),F x f x

ta có:



   

( ) ( ) [( ). ]e

f x F x ax bx c

            

2 2 2

(2 )e e ( ) [ (2 ) ]e ( 2 1) .e

x x x x

ax b ax bx c ax a b x b c x x

Đồng nhất hệ số:

   



              





  



2 2 4 2 1 8 5 2.

a b b S a b c

b c c

Câu 2: Biết



  

( ) ( ).e

F x ax bx c

là một nguyên hàm của hàm số



  

( ) (2 5 2).e

f x x x

trên

Giá trị của biểu thức





(0)fF

bằng.



. B.

. C.

20e

. D.

Lời giải

Chọn B

Theo định nghĩa



( ) ( ),F x f x

ta có:





   

( ) ( ) ]e[( ).

f x F x ax bx c

   

             

2 2 2

(2 )e e ( ) [ (2 ) ]e (2 5 2) .e

x x x x

ax b ax bx c ax a b x b c x x

Đồng nhất hệ số:

    



    





   



2 5 1

a b b

b c c



      

( ) ( 2 1).e (0) 1

F x x x F

    



(0) ( 1) 9ef F f

Câu 3: Biết

   

( ) ( ) 2 3F x ax bx c x

là một nguyên hàm của hàm số







20 30 11

()

trên

khoảng









Giá trị của biểu thức

  T a b c

bằng.

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn C

Theo định nghĩa



( ) ( ),F x f x

ta có:

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

 

   







     





5 3 6 3

( ) ( ) ( ) 2 3

ax x b a c b

f x F x ax bx c x

Do đó ta có

   



         





  



5 20 4

3 6 30 2 7

3 11 5

b a b a b c

c b c

Câu 4: Cho hàm số

()Fx

là một nguyên hàm của

   

( ) 2019 ( 4)( 3 2).

f x x x x

Khi đó số điểm

cực trị của hàm số

()Fx

là.

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

Theo định nghĩa



( ) ( ),F x f x

ta có:

    

          





  







( ) 0 2019 ( 4)( 3 2) 0 2019 2 2 1 0

f x x x x x x x

 2x

là nghiệm bội bậc hai nên

 

không đổi dấu qua

 2x

Vậy hàm số

 

y F x

có hai điểm cực trị.

Câu 5: Cho

()Fx

là một nguyên hàm của hàm số



.(( ) e 4 )

f x x x

Hàm số



()F x x

có bao nhiêu

điểm cực trị?

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn A

Ta có

 

   

 

   

 

     

 







        





      

      

2 2 2 2

2 2 2

( ) 2 1 2 1 e 4

e 2 1 2 2

e 2 1 1 1 2 2

F x x x f x x x x x x x

x x x x x x x

 





( ) 0F x x

có

nghiệm đơn

Vậy hàm số



()F x x

có 5 điểm cực trị

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Nhóm 2. Sử dụng định nghĩa giải bài toán nguyên hàm của hàm ẩn

Vận dụng tính chất

  

   



( )d ( ) , ( )d ( ) ,...f x x f x C f x x f x C

vào các dạng sau:

   

   



( )d ( . ) d .u v v u x u v x uv C





  



. . d ( ) .

n n n

n u u x u dx u C





  

  







u v v u u u

dx dx C

 



  



d ln d ln .

x u x u C



  



d ( ) d .

x u x u C





   







d d .

x x C

Câu 6: (HSG Bắc Ninh năm 2019) Cho hàm số

 ()y f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn

[1; 2]

thỏa mãn

(1) 4f

và



  

( ) ( ) 2 3 .f x xf x x x

Giá trị của

(2)f

bằng

10.

15.

20.

Lời giải

Chọn D

Ta có:



        

3 2 3 2 2

( ) ( ) 2 3 ( ) ( ) 2 3 (2 3)f x xf x x x xf x f x x x x x

 



  

         







( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 3 d 3 .

xf x f x f x f x

x dx x x x x C

          

(1) 4 4 1 3 0 ( ) 3f C C f x x x

(2) 20.f

Câu 7: (THPT Yên Định Thanh Hóa năm 2019) Cho hàm số

()fx

thỏa mãn





( ). ( ) 3 6f x f x x x

và

(0) 2.f

Giá trị của

(2)f

bằng

144.

64.

100.

81.

Lời giải

Chọn C

Ta có:

 









       

5 2 5 2 5 2

( ). ( ) 3 6 2 ( ). ( ) 6 12 ( ) 6 12f x f x x x f x f x x x f x x x

 





 



      



5 2 6 3

( ) 6 12 d ( ) 4f x dx x x x f x x x C

    (0) 2 4 4f C C



(2) 100.f

Câu 8: (Đề thi THPT QG năm 2018 – Mã đề 102 – Câu 40) Cho hàm số

()fx

thỏa mãn



(2)

và



  



( ) ( )f x x f x

với mọi

 .x

Giá trị của

(1)f

bằng

11

2

7

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Lời giải

Chọn B

Ta có:

   

 







     











( ) 0

f x x f x x x

   



     



()

x dx C

f x f x

  

             



1 1 2 1 2

(2) 3 3 1 (1)

3 (2) 2 3

f C C f

Câu 9: Cho hàm số

()fx

thỏa





( ) 2 ( ) ( ) 5f x xf x f x x

với

(1) 0, ( ) 0.f f x

Hệ số góc tiếp tuyến

của đồ thị hàm số

 ()y f x

tại điểm có hoành độ

 2x

bằng

 1.k

 2.k

 4.k

 3.k

Lời giải

Chọn D

Ta có:







   



2 4 2 4

( ) 2 ( ) ( ) 5 ( ) 5f x xf x f x x xf x x

 





    





2 4 2 5

( ) 5 d ( ) .xf x dx x x xf x x C

          

5 2 5

(1) 0 0 1 1 ( ) 1f C C xf x x

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN 1.

Câu 10: (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT năm 2018)Tìm họ nguyên hàm của hàm số



( ) 3 1.f x x



.xC

. B.



. C.

6.xC

. D.



.x x C

Lời giải

Chọn D

Áp dụng công thức









x x C

Ta có:

 

    



( ) 3 1 .f x dx x dx x x C

Câu 11: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số





()

  





d ln 5 2 .

5 2 5

x x C

. B.

   





d ln(5 2) .

5 2 2

x x C

  





d 5ln 5 2 .

x x C

. D.

  





d ln 5 2 .

x x C

Lời giải

Chọn A

Áp dụng công thức:

  





d ln .x ax b C

ax b a

   





d ln 5 2 .

5 2 5

x x C

Câu 12: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số

( ) 7 .





7 d 7 ln7 .

. B.







7 d 7 .





7 d .

ln7

. D.









7 d .

Lời giải

Chọn C

Áp dụng công thức





a x C

  



7 d .

ln7

Câu 13: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017)Tìm nguyên hàm của hàm số

( ) cos 3 .f x x





cos 3 d 3sin3 .x x x C

. B.





sin3

cos3 d .

x x C

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn





cos 3 d sin3 .x x x C

. D.





cos 3 d cos3 .x x x C

Lời giải

Chọn B

Ta có:

   



cos( )d sin( ) .ax b x ax b C

  



sin3

cos3 d .

x x C

Câu 14: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số

( ) 2sin .f x x





2sin d 2cos .x x x C

. B.





2sin d sin .x x x C





2sin d sin2 .x x x C

. D.

  



2sin d 2cos .x x x C

Lời giải

Chọn D

Ta có:

  



sin d cos .x x x C

   



2sin d 2cos .x x x C

Câu 15: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 104 câu 28) Tìm nguyên hàm

()Fx

của hàm số

( ) sin cosf x x x

thoả mãn











cos sin 3.xx

. B.

  cos sin 3.xx

sin cos 1.xx

. D.

  cos sin 1.xx

Lời giải

Chọn D

Ta có:

   

      



( ) sin cos cos sinF x f x dx x x dx x x C

  

     

     

     

     

cos sin 2.

2 2 2

    1 2 1CC

Vậy

 

   cos sin 1.F x x x

Câu 16: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 101 câu 27) Cho hàm số

 ()y f x

thỏa mãn



( ) 3 5sinf x x

và

(0) 10.f

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

  ( ) 3 5cos 5.f x x x

. B.

  ( ) 3 5cos 2.f x x x

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

  ( ) 3 5cos 2.f x x x

. D.

  ( ) 3 5cos 15.f x x x

Lời giải

Chọn A

Ta có:

     

     



' 3 5sin 3 5cosf x f x dx x dx x x C

     (0) 10 5 10 5f C C

Vậy

  ( ) 3 5cos 5.f x x x

Câu 17: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 103 câu 13)Cho

()Fx

là một nguyên hàm của hàm

số

( ) e 2

f x x

thỏa mãn



(0)

Tìm

( ).Fx

  

. B.

  

  

. D.

  

Lời giải

Chọn D

 

     



( ) e 2

F x f x dx x dx e x C

     

3 3 1

(0) 1

2 2 2

F C C

vậy

 

  

F =e

Câu 18: (Đề thi minh họa – Bộ GD & ĐT 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số

( ) 2 1.f x x



. B.

  

(2 1) 2 1

x x C

  

. D.

  

(2 1) 2 1

x x C

Lời giải

Chọn B

Ta có

     

         



2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

x dx x dx x C x x C

Câu 19: (Đề thi minh họa – Bộ GD & ĐT 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số

  

()f x x



. B.



 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn



. D.



Lời giải

Chọn A

Ta có



   







2 1 2

x dx x C

Câu 20: (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh Cụm 6 năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số

( ) cos5 cosf x x x

thỏa mãn











Tính





















6 12

. B.





















. D.











Lời giải

Chọn C

Ta có

   

    



1 1 1

cos5 cos cos4 cos6 sin 4 sin6

2 8 12

x x dx x x dx x x C

 





      





3 1 1 3

0 sin4 sin6

3 16 8 12 16

F C F x x x

  



   





1 4 1 6 3 3

sin sin

6 8 6 12 6 16 8

Câu 21: (THPT Kim Liên – Hà Nội) Biết

  

( ) ( )e

F x ax bx c

là một nguyên hàm của hàm số



( ) .e .

f x x

Tìm

, , .a b c

   1, 2, 2a b c

. B.

   2, 1, 2a b c

   2, 2, 1a b c

. D.

   1, 2, 2a b c

Lời giải

Chọn D

Đặt

















d 2 d

u x x

v e x

Lúc đó:

 





d 2 d

f x x x e xe x

Đặt

















u x u x

v e x v e

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

 

    

  

d 2 d 2 d

x x x x x

f x x x e xe x x e xe e x

 

     

2 2 2 2

x x x x

x e xe e x x e

Vậy

   1, 2, 2.a b c

Cách 2: Ta có

   

 



         

x x x

F x ax b e ax bx c e ax a b x b c e

 



là một nguyên hàm của hàm

 

nên

   



  ,F x f x x

 

   



           





  



2 2 0 2

ax a b x b c e x e a b b

b c c

Câu 22: (THPT Lê Lợi – Thanh Hóa) Tìm một nguyên hàm

()Fx

của hàm số



( ) sin

cos

f x x

thỏa mãn điều kiện











   ( ) cos tanF x x x C

. B.

    ( ) cos tan 2 1F x x x

   ( ) cos tan 2 1F x x x

. D.

    ( ) cos tan 2 1F x x x

Lời giải

Chọn D

 



      







( )d sin d cos tan

cos

F x f x x x x x x c

Theo đề:

  



        





cos tan 2 1

4 2 4 4 2

F c c

Vậy

    ( ) cos tan 2 1.F x x x

Câu 23: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 103 câu 37) Cho



()

là một nguyên hàm

của hàm số



()fx

Tìm nguyên hàm của hàm số



( )ln .f x x



ln 1



ln 1



ln 1

  

ln 1

Lời giải

Chọn C

   







F Fxx

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Theo bài ra

 



    

f x f x

F x f x

Xét:







( )ln dI f x x x

Đặt

 

























v f x dx

v f x

Lúc đó:

 

   



l 1

()

ln . d

x x

x f x

Câu 24: Tìm nguyên hàm của

 .

y x e



x e C

. B.

.

x e C

. C.

 

1

x e C

. D.

 

1

x e C

Lời giải

Chọn D

Đặt

















u x u x

v e x v e

Khi đó

 

       



. d d 1

x x x x x x

x e x xe e x xe e C x e C

Câu 25: Một nguyên hàm của

 lny x x

là



. B.



x x x

. C.



. D.



x x x

Lời giải

Chọn C

Đặt



























v x x

Khi đó

    



ln d ln d ln

2 2 2 4

x x x

x x x x x x x C

Câu 26: Tìm nguyên hàm của hàm số

( 1)cosy x x

  ( 1)sin cosx x x C

. B.

  ( 1)sin cosx x x C

   ( 1)sin cosx x x C

. D.

   ( 1)sin cosx x x C

Lời giải

Chọn B

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Đặt

    









1 d d

d cos d sin

u x u x

v x x v x

Khi đó

     

       



1 cos d 1 sin sin d 1 sin cosx x x x x x x x x x C

Câu 27: Tìm nguyên hàm của hàm số



()

cos

  cot ln cosx x x C

. B.

tan ln cosx x x C

  cot ln cosx x x C

. D.

  tan ln cosx x x C

Lời giải

Chọn B

Đặt





















tan

cos

Khi đó

    



d tan tan d l

tan n cos

x x x x x x x x C

Câu 28: Gọi

()Fx

là một nguyên hàm của hàm số

( ) lnf x x

thỏa mãn điều kiện

(1) 3F

. Tính giá trị

của biểu thức

   



(e)

2 log 3.log (e)

 2T

. B.

 8T

. C.



 17T

Lời giải

Chọn D

   





d ln dF x f x x x x

Đặt























 

      



ln . ln ln

F x x x x x x dx x x x C

Ta có :

      (1) 3 1.ln1 1 3 4F C C

Suy ra :

   

       ln 4 ln 4 4F x x x x F e e e e

Khi đó:

        



(e) 4

4 3 4 3

2 log 3.log (e) 2 log 3.log 4 16 1 17

Câu 29: Xét





3 4 5

(4 3) d .I x x x

Bằng cách đặt



43ux

, hỏi khẳng định nào đúng?





I u u

. B.





I u u

. C.





I u u





dI u u

Lời giải

Chọn C

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Đặt

     

4 3 3

4 3 d 16 d d

u x u x x x x

   

  

3 4 5 5 5

(4 3) d d

16 16

I x x x u u u

Câu 30: Xét







, bằng cách đặt

41tx

thì

trở thành









. B.









. C.

















Lời giải

Chọn C

Đặt



   

t x x

dd













. . d







 







  





Câu 31: Tìm nguyên hàm của hàm số

 



cos .sin .f x x x



cos .



cos .xC



cos .



sin .

Lời giải

Chọn C

Cách 1:

 





cos .sin .I f x dx x x dx

Đặt

      cos sin sint x dt xdx dt xdx

Khi đó

 

    



I t dt C

Dẫn đến

  

cos .

I x C

Cách 2:

   

     

  

cos

cos .sin . cos . cos .

f x dx x x dx x d x C

Câu 32: Biết

 

là một nguyên hàm của

 



sin .cosf x x x

và

 



0.F

Tìm

























  

























Lời giải

Chọn C

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Cách 1

 





sin .cos .I f x dx x x dx

Đặt

  sin cos .t x dt xdx

Khi đó

  



I t dt C

Suy ra

 

  

sin

F x I C

 

  

     

sin 0

F C C

Dẫn đến

 





sin

Vậy











Cách 2

     

    

  

sin

sin .cos sin sin .

F x f x dx x xdx xd x C

 

  

     

sin 0

F C C

Dẫn đến

 





sin

Vậy











Cách 3

 













0 sin .cos .

F F x x dx

Bấm máy vế phải, ta được











. Dẫn đến











Câu 33: Cho

 

là một nguyên hàm của hàm số

 



và

 

e 3.F

Tính

 

e.F

3 2ln2.

3 ln 2.

1 ln3.

3 ln2.

Lời giải

Chọn B

Cách 1

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

 

  

  

1 1 1

ln ln

I f x dx dx dx

x x x x

Đặt

  

ln .t x dt dx

Khi đó

  



ln .I dt t C

Suy ra

 

  ln ln .F x I x C

 

     e 3 ln lne 3 3.F C C

Dẫn đến

 

  ln ln 3.F x I x

Vậy

 



e 3 ln 2.F

Cách 2

 





F e F e dx

Bấm máy vế phải, ta được

 



3 0,693...Fe

. Dẫn đến

 



e 3,693...F

Bấm máy kiểm tra

từng kết quả. Ta chọn được Chọn Câu B.

Câu 34: Tìm nguyên hàm của hàm số

 







  









  









11 1

  









11 1

  









33 1

Lời giải

Chọn D

 

   



  

  









  

12 2

I f x dx dx dx

Đặt

   



    





2 3 1 1

t dt dx dt dx

Khi đó

  



10 11

3 33

I t dt t C

Vậy

  









33 1

Câu 35: Cho

 

là một nguyên hàm của hàm số

 





và

 

0 1.F

Tính

 

1.F

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

ln2 1.



ln 2 1.

ln2 2.

Lời giải

Chọn B

Cách 1

 

  



  

I f x dx dx xdx

Đặt

     

1 2 .

t x dt xdx dt xdx

Khi đó

  



1 1 1

. ln .

I dt t C

Suy ra

 

   

ln 1 .

F x I x C

 

   

ln 1 .

F x I x C

 

      

0 1 ln 0 1 1 1.

F C C

Dẫn đến

 

  

ln 1 1.

F x x

Vậy

 



1 ln 2 1.

Cách 2

   







F F dx

Bấm máy vế phải, ta được

 

1 1 0,346...F

. Dẫn đến

 

1 1,346...F

Bấm máy kiểm tra

từng kết quả. Ta chọn được Chọn Câu B.

Câu 36: Tìm nguyên hàm của hàm số

 



1.f x x x



1.x x C







x x C







x x C

Lời giải

Chọn C

 

    

  

1 1 .I f x dx x x dx x xdx

Đặt

        

2 2 2

1 1 2 2 .t x t x tdt xdx tdt xdx

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Khi đó

   



I t tdt t dt C

Dẫn đến

I







Câu 37: Cho

 

là một nguyên hàm của hàm số

 



ln 1

f x x

và

 



Tính

 





.Fe

 







 







 







 







Lời giải

Chọn B

Cách 1

 

    

  

ln ln

ln 1 ln 1 .

I f x dx x dx x dx

Đặt

        

2 2 2

1 ln

ln 1 ln 1 2 2ln .

t x t x tdt x dx tdt dx

Khi đó

   



I t tdt t dt C

Dẫn đến

 





   

ln 1 .

F x I x C

 





      

1 1 1

1 ln 1 1 0.

3 3 3

F C C

Dẫn đến

 







ln 1 .

F x x

Ta tính được

 





  

1 2 2

ln 1 .

F e x

Suy ra

 







Cách 2

   

  



1 ln 1

F e F x dx

Bấm máy vế phải, ta được

 



0,609...

. Suy ra

 

 0.942...Fe

Dẫn đến

 







Câu 38: Gọi

 

là một nguyên hàm của hàm số

 





thỏa mãn

 

20F

. Tìm tổng các

nghiệm của phương trình

 

F x x

13

. B.

. C.

. D.

13

Lời giải

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Chọn D

Ta có

 

   





d d 8

F x x x

 

    

8F x x C

Vì

 

20F

   20C

2C

. Suy ra

 

   

82F x x

Xét phương trình

 

F x x

    

82xx

   

82xx

 

  







  















  





2 2 0















  13x

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng

13

Câu 39: Hàm số

 







9 10

6 11 3

có một nguyên hàm là

 

thỏa mãn

 

1 ln 2F

. Gọi

,xx

là

hai nghiệm của phương trình

 

  

ln 3 1 ln 3

F x x

. Giá trị của



bằng

. B.

. C.

730

. D.

Lời giải

Chọn A

Ta có

 









9 10

6 11 3

F x x

 

   

  

  







3 2 3 3 1

2 3 3 1

F x x

 



  









3 1 2 3

F x x

 

     

ln 3 1 ln 2 3

F x x x C

Vì

 

1 ln 2F

  ln2 ln2C

0C

. Suy ra

 

   

ln 3 1 ln 2 3

F x x x

Xét phương trình

 

  

ln 3 1 ln 3

F x x

  ln 2 3 ln3x

  2 3 3x











    

3 3 3 3 28

Vậy



3 3 28

ĐÁP ÁN ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN 1

1.D

2.B

3.C

4.B

5.D

6.D

7.A

8.D

9.B

10.A

11.C

12.D

13.D

14.B

15.D

16.C

17.B

18.B

19.D

20.C

21.C

22.C

23.C

24.B

25.D

26.B

27.C

28.B

29.D

30.A

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN 2

Câu 40: (Đề thi THPT QG năm 2019 Mã đề 101) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

 

25f x x

là



5x x C

. B.



25x x C

. C.



5xx

. D.



Lời giải

Chọn A

Ta có

   

    



d 2 5 d 5f x x x x x x C

Câu 41: Cho

 

là một nguyên hàm của hàm số

 



4cos 5f x x

thỏa mãn

 



 0F

. Tìm

 



   3 sin2 3F x x x

. B.

 



   

sin 5 5

F x x x

 



   

cos 5 5

F x x x

. D.

 



   3 sin2 3F x x x

Lời giải

Chọn A

Ta có

 





4cos 5 dF x x x

   

  



2cos2 3 dF x x x

 

   sin2 3F x x x C

Lại có

 



 0F



   30C



3C

Vậy

 



   3 sin2 3F x x x

Câu 42: Tìm nguyên hàm

 

của hàm số

 

23f x x x

thỏa mãn

 

10F



34xx

. B.



23xx

. C.



23xx

. D.



34xx

Lời giải

Chọn B

Ta có

 





2 3 dF x x x x

 

   

  



2 d 6 dF x x x x x

 

   

2F x x x C

Lại có

 

10F

  30C

  3C

Vậy

 

  

23F x x x

Câu 43: Tìm nguyên hàm

 

của hàm số

 

2 8sin cosf x x x x

thỏa mãn

 



 2F

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

 



   

4cos2 2F x x x

. B.

 



   

2cos2 4F x x x

 



  

2cos2F x x x

. D.

 



   

4cos2 6F x x x

Lời giải

Chọn C

 





2 8sin cos dx x x x

 

    



2 4sin 2 d 2cos2x x x x x C

 



 2F



      

22CC

. Do đó

 



  

2cos2F x x x

Câu 44: Cho hàm số

 

thỏa mãn

 



23

f x x

và

 



ln 2

. Mệnh đề nào đúng?

 

   

2 2 32

ln 2

f x x

. B.

 

  

2 ln 2 8

f x x

 

   

2 24

ln 2

f x x

. D.

 

  

2 16

ln 2

f x x

Lời giải

Chọn D

 



   







2 3 d 2 3. d

f x x x x x

     

2. 2

ln 2 ln 2

x C x C

 



ln 2

      

16 16

ln 2 ln 2

. Do đó

 

  

2 16

ln 2

f x x

Câu 45: Tìm nguyên hàm của hàm số

 



2 .3 .7

x x x



ln 84

. B.



2 .3 .7

ln 4.ln 3.ln7

x x x

. C.

84

. D.

84 .ln84 C

Lời giải

Chọn A

  



2 .3 .7 d 84 d

ln84

x x x x

x x C

Câu 46: Tìm nguyên hàm của hàm số

 









. B.

 





. C.





. D.





Lời giải

Chọn A

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

 









d 2 1 d

x x x

    



1 1 1

2 2 1 2 4

Câu 47: Họ nguyên hàm của hàm số

 



f x x

là



. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn B

      



3 3 3

4 4 4

x x x x x C x C C

Câu 48: Tìm nguyên hàm của hàm số

 

 sin5 cosf x x x



cos5

. B.

  

cos4 cos6

8 12



cos5

. D.



cos4 cos6

8 12

x x C

Lời giải

Chọn B

 

     



1 1 1

sin5 cos d sin6 sin 4 d cos6 cos4

2 12 8

x x x x x x x x C

Câu 49: (Đề thi THPT QG năm 2019 Mã đề 101) Họ các nguyên hàm của hàm số







()

( 1)

trên

khoảng

 ( 1; )

là

  



2ln( 1) .

  



2ln( 1) .

  



2ln( 1) .

  



2ln( 1) .

Lời giải

Chọn B

Ta có

 



  



2 1 2 3

()

( 1)

 





     











2 3 3

d d 2ln 1

f x x x x C

Câu 50: Hàm số

()Fx

là nguyên hàm của

  

( ) (1 )ln( 1).f x x x

Hỏi hàm số

()Fx

có bao nhiêu điểm

cực trị?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Chọn B

TXĐ

D

Ta có

     

 

   

' 1 ln 1F x f x x x

   

 

  

     









' 0 1 ln 1 0

ln 1 0

F x x x

















Phương trình

 

'0Fx

có 1 nghiệm đơn

 1x

và nghiệm kép

 0x

nên hàm số

()Fx

có 1

điểm cực trị.

Câu 51: Họ nguyên hàm của hàm số



  

()

x a b x ab

là (giả sử hàm số xác định).



ln .





ln .

b a x b



ln .





ln .

b a x a

Lời giải

Chọn B

Ta có

 

        

  

     

1 1 1

x a x b b a x a b a x b

 

     







   







ddf x x x

b a x a b a x b







  





1 1 1

b a x a x b





      



  

. ln ln ln

x a x b C C

b a b a x b

Câu 52: Hàm số





()

có một nguyên hàm là

()Fx

thỏa

  

22 1

(3) ln 2

Giá trị của

(2)

bằng:



Lời giải

Chọn D

 

  



   













d 1 d

F x x x x

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn



   



3 2 1

Trên khoảng

 

1;

 

  

   







3 2 1

F x x C

Ta có

          

22 1 3 1 1 22 1 14

(3) ln2 3 ln ln2

3 2 3 2 2 3 2 3

F C C

   

  

       







1 1 14

ln , 1;

3 2 1 3

F x x x

 

   

1 1 3 3

2 ln ln

2 3 3 3

Câu 53: Hàm số

 







có 1 nguyên hàm là

 

thỏa

 



10ln 2

. Tính

 

2 .5

. B.

ln 2

. C.

2.5

. D.

ln 4

Lời giải

Chọn C

Sử dụng phương pháp đồng nhất thức.

Có

 

  

   

  

  



    



   



2 1 2 1

1 2 1 2

A B x A B

x x A B

x x x x

Suy ra:

  



  





















   



        









1 1 5 1 1 5

d . . d .ln 1 .ln 2

3 1 3 2 3 3

F x f x x x x x C

Trên khoảng

 

1;

     

     

.ln 1 .ln 2

F x x x C

Mà:

 



10ln 2

   

     

1 5 10ln 2

.ln 2 1 .ln 2 2

3 3 3



       

       

.ln 1 .ln 2 1;

F x x x x

Khi đó:

 

  

3 .ln 2 .ln 5

Vậy:

 



  

1 5 1 5

.ln2 .ln5 .ln2 .ln5

3 3 3 3

. 2.5

e e e e

Câu 54: Hàm số

 





có một nguyên hàm là

 

thỏa

   

  

. Tính

   

23FF

. B.



ln 2

. C.



ln 2

. D.

Lời giải

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Chọn D

Sử dụng phương pháp đồng nhất thức.

Có

 

   

 

   

    





2 2 2

A C x A B x B

A B C

x x x x x

Suy ra:

  













  













   

  

   









1 1 1

.d .d

F x f x x x

 



         

1 1 1

ln ln 1 ln

F x x x C C

x x x

Khi đó:

 



  

       









   



        









  

      











ln , 0 ;

ln , 1; 0

ln , ; 1

F x C x

Mà:

   

  

 



      





1 1 1

ln 2 1 ln

2 2 2

  

1CC

Vậy:

   

   

        

   

   

3 1 2 1 5

2 3 ln ln

2 2 3 3 6

F F C C

Câu 55: (Đề thi THPT QG năm 2017 – Mã đề 110) Cho

   

1

F x x e

là một nguyên hàm của hàm

số

 

f x e

. Tìm nguyên hàm của hàm số

 



f x e

 

2

x e C

. B.





. C.

 

2

x e C

. D.

 

42

x e C

Lời giải

Chọn C

Có:

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

f x e

nên:

   





F x f x e

   





  



x e f x e

Hay:

   

   

x x x x

f x e e x e x e

Xét

 







I f x e x

Đặt

 

















v f x x

 

















d 2 d

u e x

v f x

Khi đó:

       

        



2 d . 2. 1 2

x x x x x

I f x e f x e x x e x e C x e C

Câu 56: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa lần 2 năm 2017) Cho

là các số hữu tỉ thỏa mãn

   

      

  



2 2 1 1

a x x b x x C

. Tính

3S a b

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn



. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn C

Có

   

 

  

     

  

  

  

d 2 1

d 2 1 d

x x x

I x x x x

Suy ra:

   

      

2 2 1 1

I x x x x C

Hay:







Vậy

  

S a b

Câu 57: Tìm

một nguyên hàm

()Fx

của hàm số

 

 .f x x sinx

thỏa mãn











2019.

  ( ) sin cos 2019.F x x x x

   ( ) cos sin 2018.F x x x x

  ( ) sin cos 2019.F x x x x

  ( ) sin cos 2018.F x x x x

Lời giải

Chọn B

Đặt









sin

dv xdx











os x

du dx

       



Csin oscos cos sinx xx x x cdx Cxx x

   

    ( ) .cos sin 2019

2 2 2 2

2018C

Câu 58: Tìm

một nguyên hàm

()Fx

của hàm số



( ) .e

f x x

thỏa mãn

(0) 1.F



  ( 1)e 1.



  ( 1)e 2.



( 1)e 1.



( 1)e 2.

Lời giải

Chọn B

Đặt

















dv e dx



















du dx

()Fx

   

    

 

x x xx x

xe dx xe xe e CeC

    (0) 1 1 1FC

2C

Câu 59: Tìm

nguyên hàm của hàm số



tan

()

cos



tan





tan



tan

tan .e .



tan

Lời giải

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Chọn A

Đặt

  

tanx

cos

t dt dx

    



tan

cos

t t x

dx e dt e C e C

Câu 60: Tìm

nguyên hàm của hàm số



( ) sin cos .f x x x



sin .



sin .xC



sin .



sin .xC

Lời giải

Chọn C

Đặt

  sinx dt os xdxtc

    



4 4 5

sin cos sin

x xdx t dt C x C

Câu 61: Tìm

nguyên hàm của hàm số



( ) cos sin .f x x x



cos .



cos .



cos .xC



cos .xC

Lời giải

Chọn B

Đặt

   cos sint x dt xdx



     



2 2 3

cos sin cos

x xdx t dt C x C

Câu 62: Tìm

nguyên hàm của hàm số







()

  

( 4) 1 .

x x C

  

( 4) 1 .

x x C





2( 1) 1

  



Lời giải

Chọn B

Đặt

      

1 1 2t x t x tdt dx

 





     







  

2 1 2

2 2 2 2

x t t

dx tdt t dt t C

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

 



       

2 1 1

2 1 4 1

x C x x C

Câu 63: Cho

()Fx

là nguyên hàm của hàm số





()

thỏa mãn



(0) ln 4.

Tìm tập nghiệm

của phương trình

 

  3 ( ) ln 3 2.

F x e

 

 2.S

 

2; 2 .S

 

 2;1 .S

 

2;1 .S

Lời giải

Chọn A

 







()

F x dx dx

Đặt

  

t e dt e dx

 

   





     









  

ln ln 3

1 1 1

3 3 3

dx dt dt C

t t t

   



  

ln ln 3

 



  

ln 3

        

1 ln 4 1

(0) ln 4 ln 4 0

3 3 3

F C C

Ta có:

 







         





ln 3

3 ( ) ln 3 2 3 ln 3 2 2.

F x e e x

Câu 64: Đặt







cos

sin cos

I dx







sin

sin cos

J dx

. Tìm

42T J I

   3ln sin cos .T x x x C

   3ln sin cos .T x x x C

   3 ln sin cos .T x x x C

   2 ln sin cos .T x x x C

Lời giải

Chọn A

Ta có:

   



1.I J dx x C

;



    





cos sin

ln sin cos

sin cos

I J dx x x C

Do đó

   



   

1 2 1 2

ln sin cos ln sin cos

;

2 2 2 2

x x x x x x

C C C C

Suy ra:

42T J I

  3ln sin cosx x x C

Câu 65: Tìm một nguyên hàm của hàm số

 



. ln 1

f x x

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

 



ln 1

 



ln 1

 



ln 1

   



ln 1 ln 1

Lời giải

Chọn A

 





ln 1

F x x dx

. Đặt

      

2 2 2

ln 1 ln 1

t x t x tdt dx

Khi đó

 







    



ln 1

F x t dt C C

Câu 66: Tìm hàm số

 

, biết rằng

 



'1f x x x

và

 

3 0 4f























Lời giải

Chọn A

Ta có

   







       

  

2 2 2

' 1 1 1

f x f x dx x x dx x d x C

Mà

 

3 0 4f

nên

 











   





3 4 1

 









Câu 67: Tìm một nguyên hàm

 

của hàm số

 





 

   

3 2 2

F x x x x

 

   

3 2 2

F x x x x

 

   

3 2 2

F x x x x

 

   

3 2 2

F x x x x

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Lời giải

Chọn A

 





      



   

2 2 2

2 1 2 2 1

F x dx x x x dx x dx x x dx

     

        



3 2 2 3 2 2

2 2 2

1 1 1 1

3 3 3

x x d x x x x C

Câu 68: Hàm số

 



sin

có một nguyên hàm là

 

thoã











. Giá trị của









bằng

C. 3 D. 2

Lời giải

Chọn C

Ta có:

 



     





   

1 1 1 1

tan ln tan

sin 2 2

2sin .cos 2 tan cos tan

2 2 2 2 2

F x dx dx dx d C

x x x x x

Mà











nên



      

ln tan 0 ln ln 3 ln 3

6 3 2

Do đó:











  

ln tan ln3

3 3 2

ln3

e e e

Câu 69: Tìm nguyên hàm

 

của hàm số

 





f x x e

, biết rằng đồ thị của hàm số

 

có

điểm cực tiểu nằm trên trục hoành



32xx





Lời giải

Chọn B

Ta có:

 

   

  

     



3 3 3

2 3 3 3 3

x x x x x x

F x x e dx e d x x e C

Mà:

   

 



      

' 1 0 1

F x f x x e x

 

  



   

3 2 2 3

'' 2 . 1 3 3

x x x x

F x x e x x e

;

   

  '' 1 0; '' 1 0FF

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại

 1x

Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ta có điểm cực tiểu là

 

1,0A

Suy ra

 



      

1 0 0

F e C C

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Do đó

 







ĐÁP ÁN ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN 2

1.A

2.A

3.B

4.C

5.D

6.A

7.A

8.B

9.B

10.B

11.B

12.B

13.D

14.C

15.D

16.C

17.C

18.B

19.B

20.A

21.C

22.B

23.B

24.A

25.A

26.A

27.A

28.A

29.C

30.B

ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN 3 (NHÓM BÀI NÂNG CAO CÓ MẪU VÀ HƯỚNG DẪN)

Câu 70: (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT 2019)Họ nguyên hàm của hàm số

( ) 4 (1 ln )f x x x

là



2 ln 3 .x x x



2 ln .x x x



2 ln 3 .x x x C



2 ln .x x x C

Hướng dẫn: Nhân phân phối và tách ra hai bài nguyên hàm.

Lời giải

Chọn D

Đặt



  



















1 ln

d 4 d

v x x

Khi đó:

       

         



2 2 2 2

d 1 ln 2 2 d 1 ln 2 1 2lnf x x x x x x x x x C x x C

Câu 71: Giả sử



  

   



(2 3)d 1

( 1)( 2)( 3) 1 ( )

x x x x g x

với

là hằng số. Tổng các nghiệm của

phương trình

( ) 0gx

bằng

1.

3.

Hướng dẫn: Dựa vào phương trình

    ( )( )( )( )x a x b x c x d e

với

   ,a b c d

ta sẽ nhóm

        

   

( )( ) . ( )( ) ,x a x d x b x c e

sau đó sẽ đặt

  ( )( ).t x a x d

Cụ thể:

           

( 1)( 2)( 3) 1 ( 3)[( 1)( 2)] ( 3 )( 3 2).x x x x x x x x x x x x

Đặt

    

3 d (2 3)dt x x t x x

là phần còn lại của nguyên hàm.

Lời giải

Chọn D

Ta có:





   



(2 3)d (2 3)d

( 1)( 2)( 3) 1

( 3 2)( 3 ) 1

x x x x

Đặt

 

    

3 d 2 3 dt x x t x x

Khi đó:

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

 

           

  







3 1.

(t 2)t 1 1

dt dt

I C C g x x x

Theo định lý Viet ta thấy phương trình

 

 0gx

có hai nghiệm

;xx

và

  

3.xx

Mẫu 1. Cho hàm số

()fx

xác định trên

\{1}

thỏa







( ) ;

(0) 3f

và

(2) 4.f

Tính giá trị của

biểu thức

  ( 2) (5).P f f

Giải. Ta có:

   



     



  







2ln( 1) khi 1

( ) ( )d d 2ln 1 .

2ln(1 ) khi 1

x C x

f x f x x x x C

x C x

     

     

   

   

       



2ln(1 0) 3 4

(0) 3 2ln( 1) 4 khi 1

( ) .

(2) 4 2ln(2 1) 4 3 2ln(1 ) 3 khi 1

f x x

f C C x x

Khi đó:

 

              



( 2) (5) 2ln[1 ( 2)] 3 2ln(5 1) 4 2ln 3 2ln 4 7.P f f

Câu 72: (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT năm 2018 – Câu 37)Cho hàm số

()fx

xác định trên







thỏa mãn







( ) ;

(0) 1f

và

(1) 2.f

Tính

  ( 1) (3).P f f

4 ln15.P

2 ln15.P

3 ln15.P

 ln15.P

Lời giải

Chọn C

Ta có:



  





     







  







ln(2 1) khi

( ) ( )d d ln 2 1 .

ln(1 2 ) khi

x C x

f x f x x x x C

x C x



  



     





   

   

    







  





ln(2 1) 2 khi

ln(1 0) 1 2

(0) 1

( ) .

(1) 2 ln(2 1) 2 1 1

ln(1 2 ) 1 khi

f C C

Khi đó:

   

        ( 1) (3) ln 3 1 ln5 2 ln15 3.P f f

Câu 73: Cho hàm số

()fx

xác định trên

\{1}

thỏa







( ) ,

(0) 2017,f

(2) 2018.f

Giá trị của biểu thức

       

   

(3) 2018 ( 1) 2017T f f

bằng



1 ln 2

. B.

2ln 2

. C.

ln 2

. D.

Lời giải

Chọn C

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Ta có:

   



     



  







ln( 1) khi 1

( ) ( )d d ln 1

ln(1 ) khi 1

x C x

f x f x x x x C

x C x

     





  

    





ln(1 0) 2017 2018

(0) 2017

(2) 2018 ln(2 1) 2018 2017

f C C

Khi đó:

       

   

(3) 2018 ( 1) 2017T f f

   

 



       



ln 3 1 2018 2018 ln 1 1 2017 2017



ln2.ln2 ln 2

Câu 74: Cho

 ()y f x

xác định trên

\{2}

thỏa mãn







( ) ;



(0) ln6

và



(3) ln 3.

Tính

  ( 7) (11)P f f

 ln162P

. B.

 ln18P

. C.

 2ln3P

. D.

3 ln2P

Lời giải

Chọn A

Ta có:



  





     







  







ln( 2) khi 2

( ) ( )d d ln 2

3 6 3

ln(2 ) khi 2

x C x

f x f x x x x C

x C x

  

    

  



  

  

     

  

  

4 1 4 4

(0) ln 6 ln(2 0) ln 6 ln 3

3 3 3 3

4 1 4 4

(3) ln 3. ln(3 2) ln 3 ln 2 ln 3

3 3 3 3

f C C



  









   





ln( 2) ln 3 khi 2

()

ln(2 ) ln 2 ln 3 khi 2

Khi đó:

   

          





   

1 4 1 4

( 7) (11) ln[2 ( 7)] ln 2 ln 3 ln(11 2) ln 3

3 3 3 3

P f f

  4ln3 ln2 ln162

Câu 75: Cho hàm số

()fx

xác định trên

thỏa mãn





( ) ,fx

( 1) 1,f

(1) 0f

và

(2) 0.f

Giá trị của biểu thức

( 2)f

bằng

1 2ln2

. B.

2 ln2

. C.

3 ln2

. D.

ln 2

Lời giải

Chọn A

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Ta có:

 

    



( ) ( )d df x f x x x C

Suy ra

  



     







( ) ( )d +C d lnf x f x x x x Cx C

   





    



ln khi 0

ln( ) khi 0

x Cx C x

 



    

  

  





        

  

  



    



ln1 . 1 1

ln 2

( 1) 1

(1) 0 ln1 .1 0 1 ln 2

(2) 0

ln 2 .2 0 ln 2

f C C C

C C C

   





     



ln ln 2 ln 2 khi 0

()

ln( ) ln 2 1 ln 2 khi 0

x x x

Khi đó:

       ( 2) ln2 2ln2 1 ln2 1 2ln2f

Câu 76: Cho hàm số

()fx

xác định trên

\{2}

thỏa



( ) 2 4 ,f x x

(1) 1f

và

(3) 2.f

Giá trị của biểu thức

( 1) (4)ff

bằng bao nhiêu?

6

. B.

. C.

14

. D.

Lời giải

Chọn A

Ta có:

 









   















2 4 d khi 2

( ) ( )d 2 4 d

4 2 d khi 2

x x x

f x f x x x x

x x x



  







  





4 khi 2

x x C x



     







  

  

   





4.1 1 1 2

(1) 1

(3) 2 1

3 4.3 C 2



  







  





4 1 khi 2

()

4 2 khi 2

x x x

Khi đó:

   

 



           





( 1) (4) 4. 1 1 2 4 4.4 1 6ff

Câu 77: Xét hàm số

 ()y f x

xác định trên

\{1},

có

(0) 2f

và

(2) 1.f

Biết rằng hàm số









()

ax b

có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Tính giá trị của

( 1) (3).ff

  ( 1) (3) 2ln2ff

. B.

  ( 1) (3) 6ff

   ( 1) (3) 6 2ln2ff

. D.

   ( 1) (3) 3 2ln2ff

Lời giải

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Chọn D

Từ đồ thị hàm số









()

ax b

ta thấy: Đồ thị đi qua gốc tọa độ do đó

 0b







()

Mà







()

có đồ thị như hình vẽ nên

 0a

, suy ra

đồ thị có đường tiệm cận đứng của đồ thị là

xc

và đường tiệm cận ngang là

ya

. Từ đồ

thị ta thấy đồ thị có đường tiệm cận đứng

 1x

; đường tiệm cận ngang

 1y

Suy ra

 1a

và

1c

. Vậy







()

Ta có:





       







  

( ) ( )d d 1 d ln 1

f x f x x x x x x C

    





   



ln( 1) khi 1

ln(1 ) khi 1

x x C x

 



   

  







  



   







0 ln 1 0 2

(0) 2

(2) 1 2

2 ln 2 1 1

 

    





   



ln( 1) 1 khi 1

ln(1 ) 2 khi 1

x x x

Khi đó

 



             



( 1) (3) 1 ln 1 1 2 3 ln 3 1 1 3 2ln 2ff

Mẫu 2. Hàm số

()Fx

liên tục trên

là một nguyên hàm của hàm số

















3 5 khi 0

( ) .

5cos khi 0

Biết

rằng





  





(1) 3.

Giá trị của biểu thức





  





(2) 2

T F F

bằng bao nhiêu?

Lời giải

Ta có:



  















5 khi 0

( ) ( )d .

5sin khi 0

x x C x

F x f x x

x C x

Theo đề



   

            

   

   

2 2 1 2

(1) 2 5sin 1 5.1 3 2

F F C C C C

(1)

Vì hàm số

()Fx

liên tục trên nên liên tục tại điểm

 0,x

tức có:





   

lim ( ) lim ( ) (0)

F x F x F C C

nên kết hợp

  

(1) 1.CC

Suy ra:



  













5 1 khi 0

( ) .

5sin 1 khi 0

x x x

Do đó:





   

         



   

   



(2) 2 2 5.2 1 2 5sin 1 22.

T F F

Câu 78: Biết rằng

()Fx

liên tục trên

là một nguyên hàm của hàm số

















3 2 khi 2

( ) .

4 18 khi 2

Giá trị của biểu thức

( 1) (3)FF

bằng

18.

32.

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Lời giải

Chọn B

Ta có:



  







  







2 khi 2

( ) ( )d .

18 khi 2

x x C x

F x f x x

x x C x

Vì hàm số

()Fx

liên tục trên nên liên tục tại điểm

 2,x

tức có:





          

1 2 1 2

lim ( ) lim ( ) (2) 12 20 32

F x F x F C C C C

Do đó:

     

               

2 1 1 2

( 1) (3) 1 18 27 6 14 14 32 18F F C C C C

Câu 79: Cho hàm số

















2 khi 1

()

3 1 khi 1

có một nguyên hàm là hàm số

()Fx

thỏa mãn

(0) 1F

và

()Fx

liên tục trên

Giá trị của

  ( 1) (2)T F F

bằng

Lời giải

Chọn B

Ta có:











  







khi 1

( ) ( )d .

khi 1

x C x

F x f x x

x x C x

Theo đề

 

  

0 1 1FC

(1)

Vì hàm số

()Fx

liên tục trên nên liên tục tại điểm

 1,x

tức có:





    

lim ( ) lim ( ) (1) 1

F x F x F C C

nên kết hợp











(1)

Suy ra:











  





khi 1

( ) .

1 khi 1

x x x

Do đó:

 

        

( 1) (2) 1 1 1 2 5T F F

Câu 80: Biết rằng

()Fx

liên tục trên

là nguyên hàm của hàm số

  









sin cos khi 0

()

2( 1) khi 0

x x x x

và



  ( ) ( 1) 1.FF

Giá trị của biểu thức



(2 ) ( 5)FF

bằng

17.



2 3.



1.

Lời giải

Chọn A

Ta có:











  







sin khi 0

( ) ( )d .

2 khi 0

x x C x

F x f x x

x x C x

Theo đề

 

  

           

1 2 1 2

( ) ( 1) 1. sin 1 2 1 2F F C C C C

(1)

Vì hàm số

()Fx

liên tục trên nên liên tục tại điểm

 0,x

tức có:

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold





   

lim ( ) lim ( ) (0)

F x F x F C C

nên kết hợp

  

(1) 1.CC

Suy ra:











  





sin 1 khi 0

( ) .

2 1 khi 0

x x x

Do đó:

 

  

        (2 ) ( 5) 2 sin 2 1 25 10 1 17.T F F

Câu 81: Biết

 

liên tục trên , là một nguyên hàm của hàm

 



















khi 0

2 1 khi 0

. Biết

   

  4 1 8FF

. Tính

   

  2 12P F F

. B.

281

. C.

. D.

121

Lời giải

Chọn A

 



















khi 0

2 1 khi 0

 



  















2 1 khi 0

khi 0

x C x

là nguyên hàm của

 

Từ đó suy ra:

   

 



           

1 2 1 2

4 1 8 8 1 8

F F C C C C

Ta có:

   

 



        

2 12 2.12 1 20

P F F C C

Câu 82: Cho hàm số

 

y f x

xác định trên

 

thỏa mãn

   





21xf x x f x

và

 

10f

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

 

y f x

tại giao điểm với trục hoành là

1yx

. B.

22yx

. C.

yx

. D.

yx

Lời giải

Chọn A

Ta có:

   

 

     

 



      

2 2 2 2

2 1 1 1xf x x f x x f x x f x x f x

Lây nguyên hàm hai vế ta được:

 

   





. 1.ddx x x f x x Cx f x

Lại có:

   

      1 0 1. 1 1 1f f C C

Từ đó suy ra:

   



   

x f x x f x

Xét phương trình hoành độ giao điểm:



  

(thỏa mãn).

Ta có:

   





  

' 1 1

f x f

;

 

10f

Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:

    



     1 1 1 1y f x f y x

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Câu 83: Cho hàm số

 

y f x

xác định trên

 

thỏa mãn

   





3f x xf x x

và

 

28f

. Phương

trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

 

y f x

tại giao điểm với trục hoành là

1yx

. B.

24yx

. C.

 4yx

. D.

  6 12yx

Lời giải

Chọn D

Ta có:

           

 





     

2 2 2

3 3 ' 3f x xf x x f x x x f xx f x x x

Lây nguyên hàm hai vế ta được:

 

  







2 3

dd. 3 .x x xf x x Cxf x x

Lại có:

   

        2 8 2. 2 8 2.8 8 8f f C C C

Từ đó suy ra:

   



   

xf x x f x

Xét phương trình hoành độ giao điểm



   

Ta có:

   





    

f x f

;

 

20f

Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:

      



            2 2 2 6 2 6 12y f x f y x y x

Câu 84: Cho hàm số

 

y f x

thỏa mãn

   





.f x f x x

và

 

22f

. Phương trình tiếp tuyến của đồ

thị hàm số

   



g x f x x

tại điểm có hoành độ bằng

là

79yx

. B.

2yx

. C.

44yx

. D.

yx

Lời giải

Chọn A

Ta có:

   





.f x f x x

Lây nguyên hàm hai vế ta được:

       

 



     

  

2 2 2

3 3 3

.d .d .d

f x f x x f x f x C Cxx

 

      

2 8 8

3 3 3 3

C C C

Suy ra:

 

  

f x x

Vậy

   

    

' 2 1g x x x g x x

Ta có:

   

' 3 7; 3 12gg

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng

là:

      



         3 3 3 7 3 12 7 9y g x g y x y x

Câu 85: Cho hàm số

 

y f x

thỏa mãn

   



e

f x f x

và

 

02f

. Phương trình tiếp tuyến của đồ

thị hàm số

   

y x f x

tại giao điểm với trục hoành là

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

2yx

. B.

 



e4yx

. C.

 





e2yx

. D.

yx

Lời giải

Chọn C

Ta có:

   



e

f x f x

Nhân cả 2 vế với



ta được:

     

 

  



   e e 1 e 1

x x x

f x f x f x

Lây nguyên hàm hai vế ta được:

 









e . 1. edd

f x f x x Cxx

   

     0 2 0 0 2f f C C

Suy ra:

         







        

e 2 2 e 3 e

x x x

f x x f x x f x x

Xét phương trình hoành độ giao điểm

 

    2 e 0 2

Ta có:

   





    

2 2 3 e ef

;

 

20f

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng

là:

 





e2yx

Câu 86: THIẾU

Câu 87: Cho hàm số

 

y f x

thỏa mãn

   



   ',

f x f x e x

và

 

02f

. Tất cả các nguyên

hàm của

 

f x e

là

 

  2

x e e C

. B.

 

  

x e e C

 

1

x e C

. D.

 

1

x e C

Lời giải

Chọn D

         

 



         ' . ' 1 . ' 1 .

x x x x x

f x f x e e f x e f x e f x e f x x C

Mà

 

02f

, suy ra

 





     

 



       

    

2 2 2

x x x x x x

f x e dx e dx x e dx x d e x e e dx

   

      21

x x x

x e e C x e C

Câu 88: Cho hàm số

 

y f x

thỏa mãn

       

  

2 . . ' 5 , 0f x x f x f x x f x

và

 

11f

. Phương

trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

 

y f x

tại điểm M có hoành độ

 2x

là

21yx

. B.

4yx

44yx

. D.

yx

Lời giải

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Chọn C

           

    

2 4 2 4

2 . . ' 5 2 4 . . ' 10f x x f x f x x f x x f x f x x

 

    

2 4 2 5

2 . ' 10 2 . 2x f x x x f x x C

Mà

 

     1 1 2.1 2 0f C C

, suy ra

   

  

2 4 2

f x x f x x

   

' 2 , ' 2 4f x x f

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M có hoành độ

 2x

là

   

    4 2 2 4 4y x f x

Câu 89: Cho hàm số

 

y f x

xác định và liên tục trên thỏa mãn các điều kiện

 

  0, ,f x x

   

   

' . ,

f x e f x x

và

 



. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm

có hoành độ



ln 2x

là

   2 9 2ln2 3 0xy

. B.

   2 9 2ln 2 3 0xy

   2 9 2ln2 3 0xy

. D.

   2 9 2ln2 3 0xy

Lời giải

Chọn A

 

  , 0,x f x

   

 



        

x x x

f x e f x e e C

Mà

 



suy ra

1C

và

 





 



  



' ' ln 2

f x f

 



ln 2

Phương trình tiếp tuyến tại hoành độ



ln 2x

là:

 

        

ln 2 2 9 2ln 2 3 0

y x x y

Câu 90: Cho hàm số

 

y f x

liên tục, nhận giá trị dương trên

 

0;

và thỏa mãn

 

11f

   

   ' . 3 1, 0f x f x x x

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

 

2 5 3f

. B.

 

1 5 2f

. C.

 

4 5 5f

. D.

 

3 5 4f

Lời giải

Chọn D

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Vì

 

 0fx

và

   

' . 3 1f x f x x

ta suy ra

 





 



   





1 2 3 1

dx dx f x C

Mà

 

11f

suy ra





và

 





f x e

 



5 3,79fe

Câu 91: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên đoạn





0; 3

thỏa mãn

   

  1, 0 0f x f

, và

   

  

1. ' 2 . 1x f x x f x

. Giá trị của

 

bằng

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

Vì

 

 0fx

và

   

' . 3 1f x f x x

ta suy ra

 





 



   





1 2 3 1

dx dx f x C

Mà

 

11f

suy ra





và

 





f x e

 



5 3,79fe

Câu 92: Cho hai hàm số

 ()y f x

và

 ()y g x

không âm, có đạo hàm trên đoạn

[1; 4]

và thỏa các hệ thức

(1) (1) 4,fg



( ) . ( )g x x f x

và



( ) . ( ).f x x g x

Giá trị của

(4) (4)fg

bằng

. B.

ln 2

. C.

ln 3

. D.

2ln 2

Lời giải

Chọn A

Ta có



( ) . ( )g x x f x

và



( ) . ( )f x x g x

Suy ra

   

 









     



()

( ) . ( )

()

f x g x

f x g x x f x g x

f x g x

Từ đó suy ra

 











     







  

4 4 4

1 1 1

()

ln ln 4

( ) ( )

d f x g x

f x g x

dx dx x

f x g x f x g x

     

         

ln ( ) ln 4 ln 4 (4) ln 1 (1) ln 4f x g x f g f g

         

        ln 4 (4) 0 4 4 1 4 4 1f g f g f g

Câu 93: Cho hàm số

 ()y f x

liên tục trên

{0;\ 1},

thỏa mãn



   

( 1) ( ) ( )x x f x f x x x

với mọi

\{0; 1}x

và

(1) 2ln2.f

Biết

(2) ln3f a b

với

, .ab

Giá trị của tổng



bằng

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

0,5

. B.

0,75

. C.

. D.

4,5

Lời giải

Chọn D

Ta có

 

   



      



( 1) ( ) ( ) 1

x x f x f x x x f x f x

 

     







    



   





1 1 1 1

x x x x

f x f x f x

x x x x

Suy ra

   





     



  





ln 1

1 1 1

x x x

f x dx dx f x x x C

x x x

Mà

   

         

1 2ln2 2ln 2 . 1 ln 2 1

f C C

Do đó

 

  

        

1 1 1 1

1 ln 1 ln 1

x x x

f x x x x x

x x x x

Ta có

    

1 3 3 3

(2) 2 ln 3 ln 3

2 2 2 2

suy ra

    

3 3 9

;

2 2 2

a b a b

Câu 94: Cho hàm số

 ()y f x

có có đạo hàm trên

[1; 2]

thỏa

(1) 4f

và



  

( ) ( ) 2 3 .f x xf x x x

Giá

trị của

(2)f

bằng

. B.

. C.

. D.

15.

Lời giải

Chọn B

Chọn

 

   

f x ax bx cx d

Ta có

 



           

3 2 3 2 2 3 2

( ) ( ) 2 3 3 2 2 3f x xf x x x ax bx cx d x ax bx c x x

Suy ra

    



  















3 2 1

2 3 3

a a a

b b b

c c c

Vậy

 



3f x x x

suy ra

 

2 20f

Câu 95: Cho hàm số

 ()y f x

liên tục trên

(0; )

thỏa mãn





2 ( ) ( ) 3 .xf x f x x x

Biết

(1) 0,5.f

Giá trị của

(4)f

bằng

. B.

. C.

. D.

16.

Lời giải

Chọn D

Ta có

   



    

2 ( ) ( ) 3 .

xf x f x x x f x f x

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

     

 



    

1 3 3

f x x f x x f x

Suy ra

 



   



x f x dx dx x f x C

Mà

   

     

1 0.5 1 0

f f C C

. Do đó

 



. Vậy

(4) 16f

Câu 96: Cho hàm số

 ()y f x

có đạo hàm liên tục trên



   (0) 0, (0) 0, ( 2) 2f f f

và thỏa mãn hệ

thức



     

( ). ( ) 18 (3 ) ( ) (6 1) ( ); .f x f x x x x f x x f x

Giá trị của

( 2)f

bằng

4

. B.

. C.

24

. D.

Lời giải

Chọn D



    



     

( ). ( ) 18 (3 ) ( ) (6 1) ( )

2 ( ). ( ) 36 2(3 ) ( ) 2(6 1) ( )

f x f x x x x f x x f x

 



      

2 ( ). ( ) 2(3 ) ( ) 2(6 1) ( ) 36f x f x x x f x x f x x

 



        



2 2 2 2 2 2

2 3 36 2 3 36f x x x f x x f x x x f x dx x dx

 

    

2 2 3

2 3 12f x x x f x x C

Ta có

 

  0 0 0fC

Vậy

 

     

 





         



  





2 2 3 2

2 24

2 3 12 2 20 2 96

f x x x f x x f f

Vì

 ( 2) 2f

suy ra

 

2 24f

Câu 97: Cho hàm số

 ()y f x

liên tục, không âm trên đoạn



[0; /2]

thỏa mãn

(0) 3f

và





( ). ( ) cos . 1 ( ).f x f x x f x

Tìm giá trị nhỏ nhất

và giá trị lớn nhất

của hàm số

 ()y f x

trên đoạn











;



 22M

. B.



 3M



 3M

. D.

 3,m

 22M

Lời giải

Chọn A

Ta có



   



( ). ( )

( ). ( ) cos . 1 ( ) cos

1 ( )

f x f x

f x f x x f x x

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Suy ra







    



  

( ). ( )

cos 1 ( ) sin

1 ( )

f x f x

dx xdx f x dx x C

   

1 ( ) sinf x x C

. Mà

(0) 3f

suy ra

 2C

Do đó ta có

 

      

2 2 2

1 ( ) sin 2 sin 4sin 3f x x f x x x

. Vì

 

không âm trên



[0; /2]

nên ta có

 

  

sin 4sin 3f x x x

Xét hàm số

 

  

sin 4sin 3f x x x

trên đoạn









;

Đặt

 

   

      

   

   

sin , ;1 4 3, ;1

t x t f t t t t

Có

 

  



   







0, ;1

f t t

suy ra hàm số đồng biến trên







;1 .

 









1 21

; 1 2 2

  

2 2,

Câu 98: Giả sử hàm số

 

y f x

liên tục, dương trên

thỏa mãn

 

01f

và

 







Khi đó

hiệu

 

2 2 2 1T f f

thuộc khoảng

 

2; 3

. B.

 

7;9

. C.

 

0;1

. D.

 

9;12

Lời giải

Chọn C

Ta có

 



      



ln ln ln 1

f x f x x C

Vì

 

01f

nên

 0C

 

     

ln ln 1 1

f x x f x x

Suy ra

 

    2 2 2 1 3 2. 2 0,17T f f

Câu 99: Hàm

 







7 cos 4sin

cos sin

có một nguyên hàm

 

thỏa











Giá trị









bằng







3 11ln 2















3 ln 2

Lời giải

Chọn A

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Ta có

 

   

  

  

7 cos 4sin 3 cos sin 11 sin cos

cos sin 2 cos sin 2 cos sin

x x x x x x

Suy ra

 

   

  

  

  

7 cos 4sin 3 cos sin 11 sin cos

d . d . d

cos sin 2 cos sin 2 cos sin

x x x x x x

F x x x x

x x x x x x

   

3 11

ln cos sin

x x x C

Vì

   



       





3 3 11 3 11

ln 2 ln 2

4 8 8 2 8 4

F C C

Vậy











3 11

ln 2

2 4 4

ĐÁP ÁN ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN 3

1.D

2.D

3.C

4.C

5.A

6.A

7.A

8.D

9.B

10.B

11.A

12.C

13.A

14.D

15.A

16.C

17.C

18.D

19.C

20.A

21.D

22.B

23.A

24.D

25.B

26.D

27.D

28.A

29.C

30.A

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

Preview text:

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” BÀI 1: NGUYÊN HÀM
DẠNG TOÁN 1: TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG BẢNG NGUYÊN HÀM
 Bài toán 1.Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định) n1 n n 1 (ax  1 n x Môû roäng ) b x dx   
C  (ax  ) b dx    C n  1 a n  1
Một số công thức thường sử dụng: m.vn ie   kdx kx C . gh
kf (x)dx  
k . f (x)dx . racn it f ( ) x  ( g ) x dx  f ( ) x dx     (g )xdx . th n
a) Tìm họ nguyên hàm của f x  3
( ) 4x  x  5 ye lu Lời giải s:// ttp 2 h x Ta có: F( ) x   f( ) x dx  3
x  x  dx  4 (4 5) x   5x   C . 2
b) Tìm họ nguyên hàm của f x  2 ( ) 3x  2x Lời giải Ta có: F( ) x   f( ) x dx 
x  x dx  x  x   2 3 2 (3 2 ) C . 1
c) Tìm họ nguyên hàm của f (x)   2 x 5 /vietgold x Lời giải k.com 4 3 x x ceboo Ta có: 
F x  f x x  x    5 2 ( ) ( )d ( x )dx     C . .fa 4 3 1
d) Tìm họ nguyên hàm của f (x)   2 x  1 3 x Lời giải https://www 2 3 x x Ta có: F x f x x     x  x    3 2 ( ) ( )d
1dx    x . 2 3 e) Tính I  x  x x   2 ( 3 )( 1)dx Lời giải 4 x 2 3
Phân phối được: I  x  x   3 2 ( 2 3 ) x dx   3 x  2 x  C 4 3 2 f) Tính I  x  x   2 ( 1)( 2)dx 1
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm Lời giải 4 3 x x
Phân phối được: I 
x  x  x   3 2 ( 2 2)dx    2
x  2x  C 4 3 g) Tính I  x   5 (2
1) dx (công thức mở rộng) Lời giải h ttp 1 (2x  6 I  x  5 x  1) (2 1) d  C s://  2 6 lu ye h) Tính I  x   2020 (2 10) dx n th Lời giải it rac 2021 n 1 (2x  I  x  2020 x  10) (2 10) d  gh  C 2 2021 ie m.vn CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f x  3
( ) 4x  4x  5 thỏa mãn F(1)  3 A. F x  4 x  2 ( ) 2x  5x 1. B. F x  4 x  2 ( )
4x  5x  1 . 1 C. F x  4 x  2 ( )
2x  5x  3 .
D. F(x)  4 x  2 2x  5x  . 2 Lời giải Chọn A http 4 2 s://www
Ta có: F x  f x x  x  x    3 ( ) ( )d (4 4
5)dx  x  2x  5x  C
Theo đề bài, ta có: F(1)  3  4  2 1
2.1  5.1 C  3  C  1 .fa 4 2 ceboo Do đó: ( F )
x  x  2x  5x 1 k.com
Lưu ý. Nếu đề bài yêu cầu tìm F(a) ta chỉ cần thế x  a vào F(x) sẽ tìm được F(a) .
Chẳng hạn, tính F(2) , ta thế x  2 vào F(x) , nghĩa là F  4  2 (2) 2 2.2  5.2 1  17 . /vietgold
Câu 2: Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x  2
3x  2x  5 thỏa mãn F   1  4 .
A. F x  3 x  2
x  5x  3 .
B. F x  3 x  2
x  5x  3 .
C. F x  3 x  2
x  5x  3 .
D. F x  3 x  2
x  5x  3 . Lời giải Chọn B
f x x   x  x   x  x  x  x    2 3 2 d 3 2 5 d 5 C . 2
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” F  
1  4  7  C  4  C  3 .
Vậy F x  3 x  2
x  5x  3 .
Câu 3: Hàm số f x   4 x  2 5
4x  6 có một nguyên hàm F x thỏa F 3  1 . Tính F 3 .
A. F 3  226 .
B. F 3  225 .
C. F 3  451.
D. F 3  225. m.vn ie Lời giải gh Chọn C racn it 4
f x x   x  x    4 2 d 5 4 6dx   5 x  3
x  6x  C . th 3 n ye 5 4 3 lu
F 3  1  225 C  1  C  226  F x  x  x  6x  226 . 3 s:// ttp
Do đó F 3  451. h
Câu 4: Hàm số f x  3
x  3x  2 có một nguyên hàm F x thỏa F 2  14 . Tính F 2 .
A. F 2  6 .
B. F 2  14 .
C. F 2  6 .
D. F 2  14 . Lời giải Chọn A 1 3
f x x  x  x    3 d 3 2dx  4 x  2
x  2x  C . 4 2 /vietgold 1 3 F 2 
 14 C  14  C   F x  4 x  2 x  k.com 14 0   2x . 4 2 ceboo
Do đó F 2  6 . .fa Câu 5:  1   3  3
Hàm số f x  2x  
1 có một nguyên hàm F x thỏa F 
  4 . Tính P  F   .  2   2  A. P  32 . B. P  34 . C. P  18 . D. P  30 . https://www Lời giải Chọn B 4 4  1 2x 1 2x 1 2x  3       1 dx  .  C    C . 2 4 8  4 1  2x  1 F 
  4  2 C  4  C  2  F x     2 .  2  8  3  Do đó F    34 .  2  3
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm Câu 6:  1  2 5
Hàm số f x  1 2x có một nguyên hàm là F x thỏa F     . Tính F   1 .  2  3 A. F   1  10 . B. F   1  5 .
C. F    59 1 .
D. F    71 1 . 12 12 Lời giải Chọn D h 6 ttp 1 1 1 2x 5 F x  1 5   1 2x d 1   .  C . s://
   2x dx    2x 2 2 6 lu 6 ye  1  2 1 1  1 2 n Ta có F       .
 C   C  6. th  2  3 2 6 3 it r 6 a 1 1 c 2x 1 1 71 n
Do đó F x     .  6 nên F   1   .  6  . gh 2 6 2 6 12 ie m.vn Câu 7: 2
Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f x  2x  3 thỏa F    1 0
. Tính giá trị của biểu 3
thức T  log 3F 1 2F 2 . 2      A. T  2 . B. T  4 . C. T  10 . D. T  4 . Lời giải Chọn A 1 2x  33 2 1 ht
F x  2x   3 dx 
2x3 d2x  2 3  .  C . tp 2 2 3 s://www 1   3 0 3 1 Ta có F    1 0  .
 C   C  29 . 3 2 3 3 6 .fa ceboo x  3 1 2 3 Do đó 1 1 29 14 1 1 29 F x     29 . nên F    1  .   ; F 2  .   5 . 2 3 6 2 3 6 3 2 3 6 k.com  14  /v
 T  log 3F 1 2F 2  log 3.  2.5  log 4  2 . 2   2      2 iet  3  gold
Câu 8: Hàm số f x  3
x  3x  2 có một nguyên hàm F x . Biết đồ thị hàm số y  F x đi qua điểm
M 2;10 . Giá trị của F 2 bằng A. 18 . B. 6 . C. 8 . D. 20 . Lời giải Chọn B 4 2 x 3x
F x  x  x   3 3 2dx    2x C . 4 2 4
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” 4 2 2 3.2
Hàm số đi qua M 2;10 do đó 
 2.2 C  10  C  4 . 4 2 4 2 4 2 x 3x 2 3. 2
Do đó F x  
 2x  4  F 2        22  4  6 . 4 2 4 2
 Bài toán 2.Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x (mục đích cho học sinh rèn luyện m.vn
công thức). ie
Làm quen nhóm công thức có mẫu số cơ bản gh x  x   1d ln C  Mô  û roä  ng x  ax  b   1 1 d ln C . racn x ax  b a it th 1 1 1 1 1 n dx     C  Mô  û roä  ng dx   .   C . 2 x x axb2 a ax  b ye lu  1  s:// a) Tìm I  2 3x    2 dx .  x  ttp h Lời giải  1  Ta có: I  2 3x   2 dx  3
x  ln x  2x    C.  x   2 1  b) Tìm I  2 3x    dx . 2   x x  Lời giải /vietgold  2 1  1 Ta có: I  2 3x   dx  3 x  2 ln x    C. 2   x x  x k.com 2 x  3x  1 c) Tìm I   dx . ceboo x .fa Lời giải 2 x  3x  1  1  Ta có: I  dx  x  3  dx  2
x  3x  ln x     C. x  x  https://www 2 2x  6x  3 d) Tìm I   dx . x Lời giải 2 2x  6x  3  3  Ta có: I  dx  2x  6  dx  2
x  6x  3ln x     C. x  x 
e) Tìm I   1 dx. 2x  1 Lời giải 5
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm Ta có: I  x  x    1 1 d ln 2 1 C. 2x  1 2
f) Tìm I   2 dx . 3  4x Lời giải Ta có: I  x 
 x C    x   2 1 1 d 2. .ln 3 4 ln 3 4 C. 3  4x  h 4 2 ttp 1 g) Tìm I  d . x s://  2x 21 lu ye Lời giải n th it 1 1 1 1 r I  dx   .  C   C. a  2 2 2x  1 4x  c  x  2 2 1 n gh   ie 12 2 h) Tìm I     dx m.vn x 2   2x3 1  Lời giải   12 2 12 1 2  I     dx   
x   C  12 . ln 2 3  ln 2x  3   C. x 2   2x3 1 x  1 2 x   1 1 1 i) Tìm I   dx 2 4x  4x  1 http Lời giải s://www 1 1 1 1  I  dx  dx    C  1 .   C. 2  4x  4x  2 1 2 2x  1 4x  2x  2 .fa  1 ceboo 4 j) Tìm I   dx 2 x  6x  9 k.com Lời giải /viet 4 4 4 1 4 gold I  dx  dx   .  C    C. 2  x  6x  9 x32 1 x  3 x  3 2x  1 k) Tìm I    dx x  2 1 Lời giải   2x  2  3 2(x  2 3 I  dx   1)  3    dx   dx   dx 2  2 x    1 x 2 1 x 2 x     1  1 x 1 6
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng”  I  x   3 C  x   3 2 ln 1 2 ln 1  . C x  1 x  1 2x  2 l) Tìm I   dx 2 4x  4x  1 Lời giải   m.vn 2x  2 2x  I  dx   1  3  ie   dx 2  2x    1 2x 2 1 2x 2    1 gh  1 3 racn I  dx    dx 2 it 2x  1 2x 1 th n 1  I  x   3 ln 2 1  C ye 2 22x   1 lu 1 3 s://
I  ln 2x  1  C 2 22x    1 ttp h CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 9: 1
Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x 
và F 2  1. Giá trị F 3 bằng x  1 7 1 A. . B. ln 2  1 . C. . D. ln 2 1. 4 2 Lời giải Chọn B /vietgold F x  x  x    1 d ln 1 c. x  1 k.com
F 2  1  1  c  F x  ln x 1 1  F 3  ln 2 1 . ceboo .fa Câu 10: 1
Biết F x là một nguyên hàm của hàm f x  và F  
1  5 . Giá trị của F 4 bằng 2x  1 1 1 A. ln 7  5 . B. 2 ln7  5. C. ln7  5 . D. ln 7  5 . 2 2 https://www Lời giải Chọn D F x  x  x    1 1 d ln 2 1 c . 2x  1 2
F      c  F x  1
x    F    1 1 5 5 ln 2 1 5 4 ln 7  5 . 2 2 Câu 11: 3
Biết F x là một guyên hàm của hàm số f x  thỏa F  
1  0 . Giá trị của F 2 bằng 2x  1 7
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm 3 A. 4 ln 2 . B. 3ln 2 . C. ln 3 . D. 1 . 2 Lời giải Chọn C F x  x  x    3 3 d ln 2 1 c . 2x  1 2 h ttp
F      c  F x  3
x   F    3 1 0 0 ln 2 1 2 ln 3 . s:// 2 2 lu  e 1 ye Câu 12: 1 3
Nguyên hàm F x của hàm số f x  biết F    là n 2x  1  2  2 th it
A. F x  2ln 2x  1  0,5 .
B. F x  2ln 2x  1  1 . racn 1 gh
C. F x  ln 2x  1  1 .
D. F x  0,5ln 2x  1  0,5 . 2 ie m.vn Lời giải Chọn C F x  x  x    1 1 d ln 2 1 c . 2x  1 2  e 1 F  3  3  1
 c  c   F x  1 ln e 1 ln 2x  1    1 .  2  2 2 2 2 ht Câu 13: b tp
Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x  ax  a ,b , x 0 biết F   1  1 , 2     s://www x F   1  4 và f   1  0 . 2 3x 3 7 2 3x 3 7 .fa
A. F x    .
B. F x    . 4 2x 4 4 2x 4 ceboo 2 3x 3 7 2 3x 3 1 k.com
C. F x    .
D. F x    . 2 4x 4 2 2x 2 /v Lời giải iet gold Chọn A    b    a b F x ax dx  2 x    c . 2   x  2 x 8
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng”  a  3  b c a F 1    1       1 2  2   a  3 2 3x 3 7
Lại có: F 1  4    b  c  4  b   . Nên F x    .  2 2 4 2x 4  f 1     0 a  b  0 c  7     4
 Bài toán 3. Tìm nguyên hàm của hàm số
(giả sử điều kiện được xác định):. m.vn F(x) f (x) ie
Làm quen nhóm công thức nguyên hàm của hàm lượng giác gh x x   x  C  
ax  b x   ax  b    1 sin d cos sin( )d cos( ) C . racn a it th n x x  x  C   ax  b x  ax  b    1 cos d sin cos( )d sin( ) C . ye a lu
 Cần nhớ: sin 2x  2sin xcos x, x  2 x  2 x  2 x    2 cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin . x s:// ttp a) Tìm I  x 
(sin cos )xdx . h Lời giải I  x  x x   x  x 
(sin cos )d . cos sin C . b) Tìm I  x 
(3cos 2sin )xdx. Lời giải I  x  x x  x  x 
(3cos 2sin )d 3sin 2cos C /vietgold c) Tìm I  x 
(2sin2 3cos6 )xdx. k.com ceboo Lời giải .fa I  x  x x   x  x   1 (2 sin 2 3cos 6 )d cos 2 sin 6 C . 2
d) Tìm I  sin xcos d x x . https://www Lời giải I  x x x  1 x x   1 sin cos d sin 2 d cos 2x    C . 2 4  x   e) Tìm I   cos dx .  2 6  Lời giải  x    x   I   dx  2 sin   cos    C .  2 6   2 6  9
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm   x  f) Tìm I   sin dx .  3 3  Lời giải   x    x  I   dx  3cos   sin    C .  3 3   3 3  h g) Tìm I  x   2 (sin cos ) x dx . ttp s:// Lời giải lu ye I  x  2 x x  2 x  x x  2 x x   x x  x  1 (sin cos ) d (sin 2 sin cos cos )d (1 sin 2 )d cos 2x  C n    2 th it . rac h) Tìm I  x  n  2 (cos sin ) x dx . gh ie Lời giải m.vn I  x  2 x x  2 x  x x  2 x x   x x  x  1 sin cos d sin 2 sin cos cos d 1 sin 2 d cos 2x        C 2 . i) Tìm I   x   2 2 cos sin xdx . Lời giải 1 ht I   2 cos x  2
sin xdx  cos 2 d
x x  sin 2x    C . tp 2 s://www j) Tìm I   x   4 4 cos sin xdx . .fa Lời giải ceboo I   4 x  4 x x   2 x  2 x 2 x    2 cos sin d cos sin sin cos xdx k.com 2 2 1 /v
 cos x sin xdx  cos2 d
x x  sin 2x    C iet 2 gold
 Nhóm áp dụng công thức: 1   2      dx x x x x C   1 d (1 cot )d cot cot(ax  ) b   C . 2   2 sin x sin (ax  ) b a 1   2     dx x x x x C  1 d (1 tan )d tan tan(ax  ) b   C . 2   2 cos x cos (ax  ) b a  1 1  k) Tìm I    dx . 2 2 
 cos x sin x  10
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” Lời giải  1 1  I  
dx  tan x  cot x   C . 2 2 
 cos x sin x  6 l) Tìm I   dx . 2 cos 3x m.vn Lời giải ie gh I  6 x  1 d
6. tan 3x  C  2 tan 3x   C . 2 racn cos 3x 3 it th m) Tìm I   2 tan d x . x n ye lu Lời giải s:// 1 ttp I  2 tan d x x  2 tan x 1       1 dx 
1 dx  tan x  x   C . 2  h  cos x  n) Tìm I  x   2 (tan cot ) x dx . Lời giải I
tanx cotx2 dx  2 2 tan x 2 cot x  1 1       dx  
dx  tan x  cot x   C 2 2 
 cos x sin x  . /vietgold  Bậc chẵn 
PP Hạ bậc và lấy công thức nguyên hàm. 1 1 1 1 k.com Công thức hạ bậc: 2 sin x   cos 2x và 2 cos x   cos 2x . 2 2 2 2 ceboo 1 .fa
(Cần nhớ: Mỗi lần hạ bậc xuất hiện hai số
; sin là trừ, cos là cộng, cung góc tăng gấp 2 đôi) o) Tìm I   2 sin d x x . https://www Lời giải  1 1  1 1 Ta có I  2 sin d x x   cos2x dx    x  sin 2x    C .  2 2  2 4 p) Tìm I   2 cos d x x . Lời giải  1 1  1 1 Ta có I  2 cos d x x   cos2x dx    x  sin 2x    C .  2 2  2 4 11
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm q) Tìm I   2 sin 2 d x x . Lời giải  1 1  1 1 Ta có I  2 sin 2 d x x   cos4x dx    x  sin 4x    C .  2 2  2 8 r) Tìm I   2 cos 2 d x x . h ttp Lời giải s:// lu  1 1  1 1 Ta có I  2 cos 2 d x x 
 cos4x dx  x  sin 4x  . ye    C  2 2  2 8 n th it s) Tìm I    2 (2 sin 3 ) x dx . racn Lời giải gh ie 2 m.vn 1 1 Ta có I  x x  2 2 sin 3 d
4 4 sin 3x sin 3x        dx  4  4 sin 3x       cos 6x dx  2 2   9 x  4 x  1 cos 3 sin 6x  C . 2 3 12 t) Tìm I    2 (2 cos 2 ) x dx . Lời giải ht 1 1 Ta có 2 2 I (2 cos 2x) dx
4 4 cos 2x cos 2x dx 4 4 c s o 2x  tp               o c s 4x dx 2 2 s://www    9 x  1
2 sin 2x  sin 4x  C . 2 8 .fa ceboo
 Tích bậc nhất của sin và cos 
PP Áp dụng công thức tích thành tổng. k.com a b  1 sin .cos sin(a  )
b  sin(a  ) b   . 2 /v 1 iet sin .
a sin b   cos(a  )
b  cos(a  ) b   . 2 gold 1 cos . a cos b  cos(a  )
b  cos(a  ) b   . 2
u) Tìm I  sin3xcos d x x . Lời giải 1 1 1
Ta có I  sin 3x cos d x x 
sin4xsin2xdx   cos4x c s o 2x    C . 2 8 4 12
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng”
v) Tìm I  sin4xcos d x x . Lời giải 1 1 1
Ta có I  sin 4x cos d x x 
sin5xsin3xdx   cos5x c s o 3x    C . 2 10 6
w) Tìm I  sin3xsin d x x . m.vn ie gh Lời giải racn 1 1 1 it
Ta có I  sin 3x sin d x x     cos4x o
c s 2xdx   sin 4x  sin 2x  C . 2 8 4 th n ye
x) Tìm I  sin2xsin4 d x x . lu s:// Lời giải ttp h 1 1 1
Ta có I  sin 2x sin 4 d x x     cos6x o
c s 2xdx  
sin 6x  sin 2x  C . 2 12 4
y) Tìm I  cos7xcos d x x . Lời giải 1 1 1
Ta có I  cos7x cos d x x 
cos8xcos6xdx  sin8x sin6x   C . 2 16 12
z) Tìm I  cos9xcos d x x . /vietgold Lời giải k.com ceboo 1 1 1
Ta có I  cos 9x cos d x x  
 cos10xcos8xdx  sin10x s ni8xC . .fa 2 0 2 16 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 14:      
Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x  sin 2x và F 
  1. Tính P  F   .  4   6  https://www A. P  5 . B. P  0 . C. P  1 . D. P  3 . 4 2 4 Lời giải Chọn D
Ta có: F x  x x   x   1 sin 2 d cos 2 C . 2    1    F  1   cos 2.
 C  1  C      1 .  4  2  4  1   1   3
Suy ra F x  
  cos2x 1 P  F   cos 2.  1      . 2  6  2  6  4 13
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm
Câu 15: Tìm một nguyên hàm F xcủa hàm số f x  2xsinx 2cosx thỏa mãn F0  1.
A. F x  2
x  cos x  2 sin x  2 .
B. F x  2
x  cos x  2 sin x .
C. F x  2  cos x  2sin x .
D. F x  2
x  cos x  2 sin x  2 . Lời giải Chọn D h ttp
Ta có: F x   x  x 
x x  x  x  x   2 2 sin 2 cos d cos 2 sin C . s:// F     2 0 1
0  cos 0  2 sin 0  C  1  C  2 . lu ye
Suy ra F x  2
x  cos x  2 sin x  2 . n th it Câu 16: 1    F  2 r
Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x  sin x  thỏa mãn   . a 2 cos x  4  2 cngh
A. F x  cos x  tan x  C .
B. F x  cos x  tan x  2  1 . ie m.vn
C. F x  cos x  tan x  2 1.
D. F x  cos x  tan x  2 1 . Lời giải Chọn D 1
Ta có: F x    sin x 
dx   cos x  tan x   C . 2   cos x     2   2 F 
 cos  tan C   C  2    1. 4 2 4 4 2 ht   tps://www
Suy ra F x  cos x  tan x  2 1 .
Câu 17: Cho F xlà một nguyên hàm của f x  2
4 cos x  5 thỏa mãn F    0 . Tìm F x . .fa 4 3 ceboo
A. F x  3x  sin 2x   3 .
B. F x  sin x  5x   5 . 3 k.com 4 4
C. F x  3
cos x  5x    5 .
D. F x  3x  sin 2x   3 . 3 3 /viet Lời giải gold Chọn A
Ta có: F x   2
4 cos x  5dx  2cos 2x  3dx  sin 2x  3x    C .
F    0  sin  2  
3  C  0  C   3 .
Suy ra F x  3x  sin 2x   3 .
Câu 18: Biết rằng Fx 
x x  ax  b x   2 cos d sin 2
C . Giá trị của 2  2 a b bằng 14
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” 1 5 5 A. . B. . C. 2 . D. . 2 16 4 Lời giải Chọn B 1 1 1
Ta có: F x  2 cos xdx 
1cos2xdx  x sin2x   C . 2 2 4 m.vn ie 1 1 2 2 5 gh Suy ra a  ; b   a  b  . 2 4 16 racn a
it Câu 19: Biết  x 
x x  x  x   2 sin 2 cos 2 d cos 4
C , với a,b là các số nguyên dương, a là th b b n
phân số tối giản và C 
. Giá trị của a  b bằng ye lu A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . s:// Lời giải ttp h Chọn D 2 Ta có: sin 2x  
cos 2x dx   
x x  x  x   1 1 sin 4 d cos 4 C . 4
Suy ra a  1; b  4  a  b  5 .
 Bài toán 4. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định):.
Làm quen nhóm công thức mũ x x axb ax      b x C x  /vietgold   1 e d e e d e C . a k.com x x x a x      a a x C a x    1 d d a  C . ln ln a ceboo .fa aa) Tìm   2 e x I d . x Lời giải  x  1 e d x I x e  https://www  2 2 C . 2 bb) Tìm    1 2 e x I d . x Lời giải  x 1   e d .   e x I x   1 2 1 2 C . 2 cc) Tìm    (2 e x I x )d . x Lời giải 15
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm x      x I x x x e   2 (2 e )d C dd) x     2 e (1 3e x I )d . x Lời giải x  2 e 1 3e x d  x        3 x I x e e dx x    3 x e e  C . h ee) Tìm   x I x ttp  2 (3 e ) d . s:// Lời giải lu ye 2 x x 2x n
I  3  e  dx  9  6e    e dx th it x 1 2x r
 9x  6e  e  C . a 2 cngh 2 ff) Tìm     3 2 e x I  dx ie m.vn Lời giải    x 2 3    3x    6 4 x 1 2 e d 4 4 x I x e
e dx  4  3  6x x e e  C . 3 6 gg) Tìm x I   2 1 2 dx Lời giải 2x ht 1 2x1 1 2 tp I  2 dx  .   C . s://www 2 ln 2 hh) Tìm    1 2 4 x I d . x .fa Lời giải ceboo  1 2x k.com   1 2x I x   1 4 4 d . .   C . 2 ln 4 /v x x iet
ii) Tìm I   3 .5 dx. gold Lời giải x  x x  x I x x    15 3 .5 d 15 d . ln 5 jj) Tìm x x I   1 4 .3 d . x Lời giải 16
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” x x x x I  1 x  12 x  1 12 4 .3 d d .    C . 3 3 ln12 dx kk) Tìm I   . 25 e x Lời giải m.vn dx x 1 x ie I   e dx  e   C . 5x  5 2 5 2 2 e 5 gh dx racn ll) Tìm I   . 32 it 2 x th n Lời giải ye lu dx x 1 x I   2 dx  2   C . 3 2x  2 3 2 3 s://  2 2 ttp h x1 x1 4 .3 mm) Tìm I   d . x 2x Lời giải x1 x1 x x I  4 .3 x  4 12 x  4 x x  4 6 d d 6 d   C . x  x  2 3 2 3 3 ln 6 2x1 x1 4 .6 nn) Tìm I   d . x 3x /vietgold Lời giải k.com 2x1 x1 x x I  4 .6 x  1 96 x  1 32 d d .   C . x  ceboo 3 24 3x 24 ln 32 .fa CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 20: 3  1 
Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số  2 ( ) e x f x thỏa F(0) 
Giá trị của F   bằng 2  2  https://www 1 1 1 1 A. e  2 . B. e  1 . C. 2e  1 . D. e  2 2 2 2 Lời giải Chọn B x 1 Ta có:     x f x dx e dx e    2 2 C 2 3 1 3 * F 0   2.0 .e
 C   C  1 2 2 2 17
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm 1 x 1 1 Vậy F x    2 e  1  F  e    1. 2  2  2
Câu 21: Một nguyên hàm F(x) của hàm số  x f x  2 ( ) 2e 3x thỏa F  9 (0) là 2 x 3 x 5 x 7 x 9 A. 2e  3 x   B. 2e  3 x   C. e  3 x   D. 2e  3 x   2 2 2 2 h Lời giải ttp Chọn B s:// x x lu Ta có:
f xdx   e  x dx  e  x    2 3 2 3 2 C ye n 9 9 5 th * F 0   0 2.e  3 0  C   C  it 2 2 2 rac x 5 n
Vậy F x  2e  3 x   gh 2 ie m.vn Câu 22: 3
Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số ( )  4x f x thỏa F(1) 
 Giá trị của F(2) bằng ln 2 A. F  9 (2) . B. F  3 (2) . C. F  8 (2) . D. F  7 (2) . ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 Lời giải Chọn A x x Ta có: x
f xdx  dx  C     4 4 4 C ht ln 4 2 ln 2 tps://www 3 4 3 1 * F   1    C   C  ln 2 2 ln 2 ln 2 ln 2 x 2 .fa
F x 4  2 F   4      2  9 2 ceboo 2 ln 2 2 ln 2 ln 2 k.com
Câu 23: Họ nguyên hàm của hàm số  2
( ) 2 x.3x.7x f x là 84x 2 2 x.3x.7x /v A.  C . B.
 C . C. 84x C .
D. 84x.ln 84  C . iet ln 84 ln 4.ln 3.ln 7 gold Lời giải Chọn A x 2 x x x x 84 Ta có:
f xdx   2
2 .3 .7 dx  4.3.7 dx  84 dx       C ln 84 Câu 24: e 
Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số  3 1 ( ) e x f x thỏa mãn F(0)   Tính 3 ln 3F(1)  . 3 A. 3 ln 3F(1)    64 . B. 3 ln 3F(1)     8 . C. 3 ln 3F(1)    81 . D. 3 ln 3F(1)    27 . 18
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” Lời giải Chọn A 3x 1 e Ta có: f x  3x dx  1 e dx     C 3 3.0 1 e e e m.vn * F 0   
C   C  0 3 3 3 ie gh   3x1 4   e    e 3 F x F 1 
 3  F   3  4e    4 e   3 ln 3 1 ln ln 4    64 3 3 racn it th Câu 25: 2 x x Biết một nguyên hàm
của hàm số f x  2 3 ( ) 4 .2 thỏa mãn F(0)   Tính giá trị của n F(x) ln 2 ye 3 lu ln 2.F(1)   biểu thức A   10 s:// 2 ttp A. A  1. B. A  8 . C. A  16 . D. A  32 . h Lời giải Chọn B 4x 3 x x x 2 Ta có: f x  2 3 4  dx  4 .2 dx  3 2 dx      C 4 ln 2 4.0 3 2 2 2 * F 0    C   C  0 ln 2 4 ln 2 ln 2 /vietgold  2 3 5 3 ln 2.  4x3 5 2 2 ln 2.F1    ln 2  15 2 k.com
 F x   F   1   A     5 2  32 4 ln 2 ln 2 10 10 10 2 2 2 ceboo .fa https://www 19
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm
DẠNG TOÁN 2: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ (PHÂN SỐ KHÔNG CĂN)
 Bài toán 5. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định): x 
a) Tìm I   3 1d . x x  1 Lời giải 3(x  1)  4  4  Ta có I  dx  3 
 3x  4ln x 1  h   dx . C x  1  x  ttp 1  s:// x  b) Tìm I  lu  2 1d .x x  1 ye n Lời giải th it ra 2x   1  3  3  c Ta có I  dx  2 
dx  2x  4 ln x 1  . C n    x  1  x  1 gh  ie x  m.vn c) Tìm I   3 1 d .x x  2 Lời giải 3x  2  7  7  Ta có I  dx  3   
dx  3x  7 ln x  2  . C x  2  x  2  x  d) Tìm I   4 3 d .x 2x  1 http Lời giải s://www 22x   1  5  5  5 Ta có I  dx  2   
dx  2x  ln 2x 1  C. 2x  1  2x  1  2 .fa ceboo 2 x e) Tìm I   d . x x  k.com 1 Lời giải /viet 2 2 gold (x  1 )  1
(x  1)(x  1)  1  1  Ta có: I    dx  x  1  dx   dx x 1 x  1  x  1  2
 x  x  ln x 1 C. 2 2 x
f) Tìm I    d .x x 1 Lời giải 20
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” 2 x  2 ( 1 )  1
(x  1)(x  1)  1  1  Ta có: I    dx  x  1  dx   dx x 1 x  1  x  1  2
 x  x  ln x 1 C. 2 3 x g) Tìm I   d . x m.vn x  1 ie Lời giải gh 3 3 2 racn (x  1 )  1
(x  1)(x  x  1)  1  1  2 it Ta có: I  dx  dx  x  x  1    dx x  1 x  1  x  1  th n ye 3 2
 x  x  x  ln x  1 C. lu 3 2 s:// 3 x ttp h) Tìm I   d . x h x  2 Lời giải Ta có: 3 (x  3 2 )  8 (x  2
2)(x  2x  4)  8  8  I  dx  dx  2
x  2x  4     dx x  2 x  2  x  2  3  x  2
x  4x  8 ln x  2  C. 3 /vietgold 2 x  x  1 k.com i) Tìm I    d . x x 2 ceboo Lời giải .fa   2 3 x Ta có: I  x  1 dx 
 x  3ln x  2    C.  x  2  2 2 2x  4x  3 https://www j) Tìm I    d . x x 1 Lời giải  9  Ta có: I  2x  6  dx  2
x  6x  9 ln x  1    C.  x  1  2 4x  6x  1 k) Tìm I   x  d . x 2 1 Lời giải 21
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  1  1 Ta có: I  2x  2  dx  2
x  2x  ln 2x  1    C.  2x  1  2 2 3x  2x  1 l) Tìm I    d . x x 1 Lời giải  4  3 h Ta có: I  3x  5  dx  2
x  5x  4 ln x  1  C. ttp    x  1  2 s://  lu  u  Nhớ.
dx  ln u dx  ln u    C ye u n 4x  th 2 m) Tìm I   dx . 2 it x  x  4 racn Lời giải gh ie m.vn 2  2
x  x  4 4x  2 2 2x   1 Ta có: I   dx   dx   dx 2 x  x  4 2 x  x  4 2 x  x  4  x x     x  x  x    2 2 2 ln 4 d 2ln 4 C . 6x 1 n) Tìm I   dx . 2 3x  x  4 Lời giải ht tps://www  2
3x  x  4 6x 1 Ta có: I   dx   dx  x x      2 ln 3 4 dx  2
ln 3x  x  4 C . 2 3x  x  4 2 3x  x  4 .fa ceboo 5x  4 o) Tìm I   dx . 2 2x  x  6 k.com Lời giải /viet Áp dụng f x  2
ax  bx  c  a x  x x  ta được: gold   
x với x , x là hai nghiệm của f x 0 1   2  1 2  5x  4 a   2x  2 5x  4 5x  5x   3  4  4  a  b x   2 với  . 2 2x  x  6
x22x3 x2 2x3 5x  4 2 x 2 3   x    b 1  2   x  2 x  3 2 22
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” 5x    Khi đó, ta có Lời giải 4 sau: I   dx   2 1   dx 2 2x  x  6 x  2 2x   3   x   1 2 ln 2
ln 2x  3 C . 2 p) Tìm I   1  dx . x   1 x  3 m.vn ie Lời giải gh  racn a  1  1 it x   3 4 th 1 a b x 1 Ta có: với  . n
x 1x3   x 1 x  3  1 1 ye b     x  lu 1 4 x   3 s://   ttp Khi đó: I   1 dx   1 1 1 1  
dx  ln x1 ln x 3 C h
x 1x3 4 x 1 x   3  4 1 x   1 ln C . 4 x  3 q) Tìm I   1  dx .
2x  4x  5 Lời giải /vietgold  a  1  1 x  1 a b  5 7 x  2 k.com Ta có:  với  .
2x  4x  5   2x  4 x  5 b 1   1  ceboo 2x  4 14 x   5 .fa   Khi đó: I   1  dx   1 1 1 1   dx 
ln x2 ln x5 C
2x  4x  5 14 x  2 x   5  14 1 x  https://www  2 ln C . 14 x  5 1 r) Tìm I   dx . 2 x  4x Lời giải  a  1   1 1 1 a b x   4 4 x  Ta có:    với  0 . 2 x  4x
x x  4 x x  4 b 1  1  x x  4 4 23
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm   1 x  4
Khi đó: I   1 dx  1 1 1 1 
 dx ln x4 ln x C  ln C . 2 x  4x 4 x   4 x  4 4 x 4x  5 s) Tìm I   dx . 2 x  x  2 Lời giải h  4x  5 ttp a   x  3 2 s:// 4x  5 4x  5 a b  x 1 Ta có:    với  . 2 lu x  x  2
x 1x2 x1 x2  4x  b  5 1 ye  x  1 x  2 n th it 4x  5   r Khi đó: I  dx   3 1  
dx 3ln x1 ln x2 C . a  2 c x  x  2 x 1 x   2  n gh 4x  ie 11 t) Tìm I   dx . m.vn 2 x  5x  6 Lời giải  4x  11 a   x  3 4x  11 4x 11 a b  3 x2 Ta có:    với  2 x  5x  6
x2x3 x2 x3  4x  b  11   1 x  2 x  3 http 1 u) Tìm I  dx . s://www
 2xx 1 Lời giải .fa ceboo  a b c 
Ta có: I     dx 2 x x x   1  k.com d  1   1  /v 1 với a     1; b   1; c  1 iet dx x   1  x   1  2 x x 0 x 0 x 1 gold  1 1 1  1 x 1 1 Nên I    
dx ln x 1 ln x  C ln  C . x   2 1 x x  x x x 2 v) Tìm I    dx .
x  22 x   1 Lời giải 24
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng”     2 1 a b c Ta có: I      2 dx   2     dx   dx . 2 2
x  22 x   1
 x 2 x     x  2 x 1   1  x  2    d  1  1  1  1 c 1  1 với a      ; b    ;  . dx x   1  9 x   1  3  2  x    9 2 x 2 x 2  x1 m.vn ie   Khi đó: 1 1 1 I  2   2    gh   dx  dx 2
x  22 x   1  9x  1
9 x  2 3x  2  racn it 2 2 1 2 x 1 1 th
 ln x 1  ln x 2  C  ln  C . n 9 9 3x  2 9 x  2 3x  2 ye lu
DẠNG TOÁN 3: NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN s://
 Định lý: Nếu hai hàm số u  ux và v  vx có đạo hàm và liên tục trên K thì ttp h
I  ux 
v xdx  uxvx  
vx uxdx hay I  d u v  uv    d v u .
 Vận dụng giải toán:
Nhận dạng: Tích hai hàm nhân khác nhau, ví dụ:  xe sin d x x,  xln d x x,... u  .........
du  ......dx + Đặt    . Suy ra I  d u v  uv    d v u . dv  ......dx v    .........
+ Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv  phần còn lại.
+ Lưu ý: Bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm. /vietgold
+ Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi.
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định): k.com
 Bài toán 6. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định): ceboo
a) Tìm I  x   1sin d x x . .fa Lời giải
u  x 1 
v/ p du  dx Chọn  . https://www
dv  sin xdx 
n/h v    cos x
Suy ra I  x   1 cos x  cos d
x x  x  
1 cos x  sin x  C .
b) Tìm I   xln d x x . Lời giải
u  lnx 
v/ p du  1  dx Chọn  x .
dv  xdx 
n/h v  1 2  x  2 25
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm 1 1 1 1 Suy ra I  2 x ln x   d x x  2 x ln x  2 x  C . 2 2 2 4 c) Tìm   x I xe dx . Lời giải u  x 
v/ p du  dx Chọn  . x n/h x h
dv  e dx  v   e ttp s:// Suy ra  x   x I xe e dx  x  x xe
e  C  x e x   1  C . lu ye d) Tìm    x I xe dx . n th it Lời giải racn u  x 
v/ p du  gh dx Chọn  . x n/h x ie
dv  e dx  v    e m.vn Suy ra x      x I xe e dx x     x xe e C    x e x   1  C . x e) Tìm I   dx . 2 sin x Lời giải u  x 
v/ p du   dx Chọn  1 . ht dv  dx 
n/h v    cot x tp  2 sin x s://www
Suy ra I  x cot x  cot d x x  x x   1 cot
dsin x  xcot x  ln sin x  C . sin x .fa ceboo x f) Tìm I   dx . 2 cos x k.com Lời giải /v v/ p iet u  x
 du  dx gold  Chọn  . v  1 d dx 
n/h v   tan x 2  cos x
Suy ra I  x tan x   tan d x x  x x   1 tan
dcos x  x tan x  ln cos x  C . cos x  Cần nhớ: 1) x x   x  tan d ln cos C . 2) x x  x  cot d ln sin C .
g) Tìm I  ln xdx Lời giải 26
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng”  u  x du  1 ln Đặ dx 1 t    x
 I  xln x  . x
dx  x ln x  x   dv  C.  dx v  x  x
h) Tìm I   x   2 1lnxdx Lời giải m.vn ie  u   x du  1 ln dx gh Đặt  x dv 2x       1 dx v  x   2 x racn it th 2 2 2 1 2 x n
 I  x  xlnx  x  x. dx  x  xlnx  x  C. x 2 ye lu
i) Tìm I   xsin xcosxdx s:// ttp Lời giải h du  dx 1 u  x  Ta có I 
xsin2xdx. Khi đó, đặt    1 . 2 dv   sin 2xdx v    cos 2x  2 1  1 1  1 1 Suy ra I   xcos2x 
cos 2xdx   x cos 2x  sin 2x     C . 2  2 2  4 8
j) Tìm I  x x   2 2 cos 1dx /vietgold Lời giải k.com
Ta có: I  x 
x  xdx   2 1 cos 2
x  xdx    xcos2xdx ceboo .fa du  u  x  dx 3 2 Đặ x x x 1 t     I    sin 2x   dv  sin 2 1 xdx  cos 2xdx v   sin 2x 3 2 2 2  2 3 2 x x x 1 https://www  I  
 sin 2x  cos2x C . 3 2 2 4 k) Tìm   x I e sin xdx Lời giải u  x e du  x e dx Đặt     I   x e cos x  x
e cos xdx   x e cos x   I . dv   sin xdx v    1 cos x u  x e du  x e dx Đặt     I  x e sin x  x
e sin xdx  x
e sin x  I. 1  dv   cos xdx v   sin x 27
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm x
Suy ra:   x cos  x e I e
x e sin x  I  I 
sinxcosxC . 2 l) Tìm   x I e cos xdx Lời giải u  x e du  x e dx Đặt     I  x e sin x  x
e sin xdx  x e sin x   I . 1 h dv   cos xdx v   sin x ttp s:// u  x e du  x e dx x x x lu Đặt   
 I  e cos x  e cos xdx  e cos x  I. 1  dv   sin xdx
v  cos x ye  n th x  x cos  x e I e
x e sin x  I  I 
sin x  cos x  it Suy ra:   C . r 2 acn   gh m) Tìm I   1 1
lnx  x   1 dx ie  2 x  m.vn Lời giải  1 
Đặt t  x  x  dt  1
dx  I  ln1tdt .  2 x  u  t     du  1 ln 1 Đặ dt t t    1 t
 I  t ln1 t  dt  
t ln 1 t  t  ln 1 t  C dv  dt 1  v  t  t http
 I  x xlnx x  
1  x  x lnx  x   1  C . s://www ln  2
4x  8x  3 n) Tìm I   dx 3 .fa x 1 ceboo Lời giải k.com Đặt /v 2 iet ln 4 x 1 1 2 dt
      ln4t 1 gold
t  x  
1  dt  2 x   1 dx  dx  I dx dt . 2x      3   1    2 2 1 t x u  t      du  4 ln 4 1    dt 4t  ln 4t   1 Đặ 1 2 t   1   I     dt dv  dt 1 2t t 4t 1 2     v    2t  2t ln 4t   1  1 1  ln 4t   1 4t   I     dt    1 8 8 ln    C 2t
 4t 1 4t  2t 4t 28
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” ln  2
4x  8x  3 2 4x  8x   I    3 8 ln   C. 2 x  2 1 4 x  2 1 f x
o) Cho F x  ln x là một nguyên hàm của
. Tìm nguyên hàm của f xln x . 3 x Lời giải m.vn ie  f x 1 f x gh
Áp dụng định nghĩa F '( ) x  f ( )
x , Ta có: ln x          2 f x x 3 x 3 x x racn it
Ta tìm I  f   xln d x x . th n  ye 1
u  ln x  du  dx lu Chọn  x dv  f  
xdx  v  f x  2 s:// x ttp h 2   2 x  2 1 x I x .ln x . dx  2
x ln x  xdx  2 x ln x     C x 2 2 x Vậy
f x x x  2 ln d x ln x    C 2 f x
p) Cho F x  ln x là một nguyên hàm của
. Tìm nguyên hàm của f xln x . 2 x Lời giải /vietgold  f x 1 f x
Áp dụng định nghĩa F '( ) x  f ( )
x , Ta có: ln x     
 f x  x k.com 2 x 2 x x ceboo
Ta tìm I  f 
 xlnxdx . .fa  u  1  ln x du  dx Chọn  x dv   f x    dx
v  f x   x https://www
 I  x x  1 ln . x
dx  x ln x  dx  x ln x  x    C . x Vậy
f x x x  x x  x   ln d ln C 1 f x
q) Cho F x  là một nguyên hàm của
. Tìm nguyên hàm của f xln x . 3 x 2 x Lời giải   1  f x 3 f x 3
Áp dụng định nghĩa F '( ) x  f ( ) x , Ta có:     
 f x   3   x  2 x 4 2 x x 2 x 29
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm
Ta tìm I  f   xln d x x . du  1      d ln x u x Chọn  x dv   f x    dx
v  f x     3  2 x   I  3 x 
3 1 x   3 x 1 x   3 x 3 ln . d ln 3 d ln  C . 2  2 2  3 2 2 h x x x x x x 2x ttp s:// 3 3 Vậy
f xln xdx   ln x    C 2 2 lu x 2x ye f x n 1
r) Cho F x  là một nguyên hàm của
. Tìm nguyên hàm của  4 x  3
x  f '(x) . th 2 x x it ra Lời giải c n gh  ie  1  f x 2 f x      f x   2 m.vn
Áp dụng định nghĩa F '( ) x  f ( ) x , Ta có:    2   x  x 3 x x 2 x
Ta tìm I  x 
 4 3x fxdx .  4 3 du   3 4x  2    3x   dx u x x Chọn  dv   2  f x   dx
 v  f x     2 x 2 4 3 2 3 2 2  I   x  x 
. 4x  3x dx  2x  2x  8x  6 dx  ht 2    2     x x tp 2 2 2 s://www
 2x  2x  4x  6x C  2x  4x C
Vậy x  x  f x x   4 3 d 2
2x  4x  C .fa ceboo s) Cho    2 F x
x là một nguyên hàm của 2 ( ). x
f x e . Tìm nguyên hàm của 2x
e . f '(x) . k.com Lời giải /v 2 2 iet
Áp dụng định nghĩa F '( ) x  f ( )
x , Ta có:    ( ). x x f x e   2 2 ( ). x x f x e      2 2 . x f x x e gold x
Ta tìm I  e f 
 2 xdx. u  2x e du  2 2. x e dx Đặt  dv   f x    dx v   f x     2 2 x xe  2x 2x    2x 2x I xe e x e e x  x  x x   2 2 . 4 . . d 2 4 d 2x  2x    C Vậy x
e f x x   x  x   2 2 d 2 2 C 30
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng”
t) Cho     . x F x
x e là một nguyên hàm của 2 ( ). x
f x e . Tìm nguyên hàm của 2x e f '(x) . Lời giải
Áp dụng định nghĩa F '( ) x  Ta có:  . x x e    2x x x x e f x e f ( ) x , f (x).e     2 ( 1) ( ). 
 ( )  ( 1). x f x x e m.vn ie Ta tìm   2x I
e f '(x).dx gh u  2x  e du  2 2 x e dx racn Chọn    it  dv   f '(x)dx
v  f (x)  (x   1). x e th n
Suy ra  (  1) x  2 (  1) x  ( 1) x I x e x e dx x e   2I ye 1 lu s:// Tìm  ( 1) x I x e dx 1  ttp h
u  x 1 du dx 1   Chọn    1 dv   x x e dx v e 1    1
  ( 1) x  2  ( 1) x   2 (  1). x  x   ( 1) x I x e I x e x e e dx x e  C 1    Vậy x   x e f x dx x e   2 '( ). ( 1) C
DẠNG TOÁN 4: NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN SỐ
 Định lí: Cho f u u  F u   ( )d
( ) C và u  ( u )
x là hàm số có đạo hàm liên tục thì /vietgold f  ( u ) x   u ( )
x dx  F  ( u ) x        . C
k.com Có sẵn Tách từ hàm Nhân thêm ceboo
Một số dạng đổi biến thường gặp .fa
I  f(ax  b)n.xdx 
PP t  ax  b  dt   a dx    x m n  PP n I   dx t x 1
dt (n 1) n x dx , với , m n . n 1    1       ax   1  https://www I  2
f (ax  b)n.x dx  PP t  2
ax  b  dt    2ax dx   n I f x f 
 ( ). ( )xdx  PP Đặt n n  n t
f x  t  f x  1 ( ) ( ) nt dt  f ( ) x d . x   1 I  1 
 f(lnx) dx
t  ln x  dt   dx   x  PP Đặt  x    b
I  f (a  1  
b ln x) dx
t  a  b ln x  dt  dx  x  x 31
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm
t  ex  dt  exdx
   (ex).ex I f dx  PP Đặt  
t  a  ex b  dt   ex b dx
t  cos x  dt  sin xdx
 I   f(cos )
x .sin xdx  PP Đặt  
t  a  b cos x  dt    b sin xdx
t  sin x  dt  cos xdx
 I   f(sin )
x .cos xdx  PP Đặt  
t  a  b sin x  dt  b cos xdx h  ttp s://    dx 1 I f (tan x) 
PP Đặt t  tan x  dt  dx  (1 2 tan x)d . x 2 2 lu cos x cos x ye dx PP dx n
 I   f(cot x)
 Đặt t  cot x  dt    (1 2 cot ) x d . x th 2 sin x 2 sin x it r 2 a
t  sin x  dt  sin 2xdx c  I  PP Đặt   n  2 2 f (sin ; x cos )
x .sin 2xdx  2 gh
t  cos x  dt    sin 2xdx ie PP m.vn  I  f x 
 (sin cosx).(sinx cosx)dx  Đặt t  sinxcos .x
 Lưu ý: Sau khi đổi biến và tính nguyên hàm xong, ta cần trả lại biến cũ ban đầu là . x  Nhóm 1.
I   f axbn.xdx
PPt  ax  b  dt   adx   x m n PP n I   dx t ax 1 dt a n 1 n
x dx, khi m, n Z . n 1    1      ht     ax  tp  1   s://www
I   f  n 2
ax  b .xdx  PPt  2
ax  b  dt   2axdx
 Bài toán 7. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định): .fa 2018 ceboo
a) Tìm I  x1  x d . x k.com Lời giải /v
Đặt       / 1 1 v p t x x t
dx  dt ietgold
Khi đó: I    t 2018 t dt  t     2018 1 1 t dt 2020 2019
  2019  2018   t  t t t dt   C 2020 2019
 x2020  x2019 1 1 Suy ra I    C. 2020 2019 2019
b) Tìm I  x1  x d . x 32
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” Lời giải
Đặt       / 1 1 v p t x x t dx  dt
Khi đó: I  t    2019 1 t dt 2021 2020
  2020  2019   t  t t t dt   C m.vn 2021 2020 ie
1 x2021 1 x2020 gh Suy ra I    C. 2021 2020 racn it 5 2 th
c) Tìm I  x x   1 d .x n ye Lời giải lu s:// Đặ dt t t   2 1 x 
v/ pdt  2xdx  xdx  ttp h 2 6 t
Khi đó: I  1  5tdt  C 2 12 x  6 2 1 Suy ra I   C. 12 9 d) Tìm I  2 x x   1 d .x Lời giải /vietgold Đặ v/ p k.com
t t  x 1  x  t  1 dx  dt
Khi đó: I  t  2 9 t dt   11 t  10 t    9 1 2 t  ceboo dt .fa 12 11 10
 t  2t  t  C 12 11 10
x 12 x 11 x 10 1 2 1 1 I     https://www Suy ra C . 12 11 10 xdx e) Tìm I   2 x  2 Lời giải d x x  2x 2 I  dx   . 2  x  2 2 x  2 2x .  1 ln 2 x  2  C 2 33
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm xdx f) Tìm I    x  5 1 Lời giải
Đặt       / 1 1 v p t x x t dx  dt t 
Khi đó: I   1dt 5 h t ttp s://   1  1  C 3 4 lu 3t 4t ye 1 1 n Suy ra I     C . th 3x  3 1 4x  4 1 it ra 5 c x dx n g) Tìm I  . gh  2x 1 ie m.vn Lời giải 5 4 x dx x .xdx Ta có I    2  x  2 1 x  1 Đặ v p 1 t t  2 x  1  2
x  t  1 
/  xdx  dt 2 t  2 1 ( 1) 1  1  Khi đó: I  dt  t  2    dt 2 t 2  t  http 2 s://www t ln t   t   C 4 2 2 2 2 .fa x  1 ln x  1 Suy ra I    2 x     1   C . ceboo 4 2 4 k.com x dx h) Tìm I   . 10 x  4 /viet Lời giải gold Đặ v p 1 t t  5 x  /  4 x dx  dt 5 1 1 1  1 1  Khi đó: I   dt dt 5  
t  2t  2    
20  t  2 t  2  1 t   2 ln  C 20 t  2 34
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” 5 1 x  2 Suy ra I  ln  C . 5 20 x  2 5 x dx i) Tìm I    2 x  1 Lời giải m.vn ie Đặt  2   2 1  1 vp t x x t 2 d x x  dt gh  x x  1 d dt. Khi đó: 2 racn it
I  t 12 1 1 1  1  th  dt  t  2   dt n 2 t 2  t  ye 2 t 1 lu 
 t  ln t  C 4 2 s:// x 12 2 1 ttp    2 x  1  2
ln x  1  C. h 4 2 4 x dx j) Tìm I    10 x  4 Lời giải dt Đặt t  5 x  4 x x  t  4 5 d d x dx  5 Khi đó: /vietgold 1 dt 1  1 1  I     dt 2   5 t  4
20  t  2 t  2  k.com 1 t   2 ln  C 20 t  2 ceboo 5 1 x  .fa  2 ln  C. 5 20 x  2 (x  2017 1) k) Tìm I   d . x (2x  2019 3) https://www Lời giải  x  1 2017 1 Ta có: I     d . x  2x  3  (2x  2 3) x  Đặ 1 1 t t   dt  d . x 2x  3 (2x  2 3) 2018 t Khi đó: I  2017 t dt    C 2018 1  x  1 2018      C. 2018  2x  3  35
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm 5 x dx l) Tìm I    (x  7 1) Lời giải  x 5 1 Ta có: I     d . x
 x  1  (x  2 1) x 1 h Đặt t   dt  d . x ttp x  1 (x  2 1) s:// 6 t Khi đó: I  5 t dt   C lu  6 ye  x 6 1 n    C. th   6  x  1  it ra 99 c (7x  1) dx n m) Tìm I    101 gh (2x  1) ie m.vn Lời giải 99  7x 1  1 Ta có: I     d . x  2x  1  (2x  2 1) 7x  Đặ 1 9 t t   dt  d . x 2x  1 (2x  2 1) 100 t t Khi đó: I  99 d t    C 9 900 100 ht 1  7x 1  tp      C. 900  2x  s://www 1  2001 x dx n) Tìm I    (1  2 1002 x ) .fa ceboo Lời giải k.com  x 1000 2 x Ta có: I   d . x 2   /v x  2 1 (x    2 1) ietgold Đặ dt t t  2 x  dt  2 . x dx  . x dx  2  t 1000 Khi đó:   1 dt I   .  t  1  t  2 2 1 Đặ t 1 t u   du  dt. t  1 (t 2 1) 36
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” 1001   1000 du u I u .    C 2 2002  x 1001 2  2  x   1    C. 2001  Nhóm 2. m.vn
Hai công thức thường được sử dụng là: ie gh dx  2 ax  b   2 C và ax  bdx  axb   3 C . ax  b a 3a racn it
 Bài toán 8. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định): th n a) Tìm I  x x   2 4 3 dx . ye lu Lời giải s:// Đặ 2 2 2 ttp
t t  x  3  t  x  3 . h
 2tdt  2xdx Lúc đó: I  t dt  4 4 t   2 3 c . 3 3 4 4 Vậy I   2 x  3    2 x  3 2 x  3  c . 3 3 b) Tìm I  x   2020 d x x . Lời giải /vietgold Đặt t   x  2 2020
t  2020  x  2 d t t  dx k.com 5 3 2t 4040t
Lúc đó: I   2020  2t .t.2tdt   4 2t  2 4040t dt      c 5 3 ceboo 5 3 .fa 2 2020  x 4040 2020  x Vậy I    c . 5 3 dx c) Tìm I   . 2 https://www x x  4 Lời giải Đặt t  2 x   2 t  2 4 x  4  2 d t t  2 d x x . x 1  1 4 1 8 1 8  I  dx    dt dt 2 2 2  x x  4 t 4      t  t
t  2 t  2    1 t  1 t   1 ln ln 2
ln t  2  c . 4 8 8 1 1 1 Vậy I   2 ln x  4  2 ln x  4  2  2
ln x  4  2  c . 4 8 8 37
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm dx d) Tìm I   . 2 x x  9 Lời giải Đặt t  2 x   2 t  2 9 x  9  2 d t t  2 d x x . x 1  1 9 1 18 1 18  I  dx  dt    dt 2 2 2     h x x  9 t 9t  t t  3 t  3  ttp s://   1 t  1 t   1 ln ln 2
ln t  2  c . lu 9 18 18 ye 1 1 1 Vậy I   2 ln x  9  2 ln x  9  2  2
ln x  9  2  c . n 9 18 18 th it x x r e) Tìm I  e  e x . a  5 d cngh Lời giải ie x 2 x m.vn
Đặt t  5  e  t  5  e  2 d   x t t e dx  x  x I e e
x  t  t x   t t   2 5 d . 2 d 2 d t     2 3 c . 3 3 2
Vậy    5  x I e   c . 3 f) Tìm I  x  sin 2018 cos d x x . 2 ht
Đặt t  2018  cos x  t  2018  cos x tps://www  2 d t t  sin d x x
I  t  t x   t t   2 . 2 d 2 d t    2 3 c . 3 .fa ceboo 3
Vậy I   2018  cos x   c . k.com xdx g) Tìm I   /v x  2 x  1 ietgold Lời giải ( x x  2 x  1)dx Ta có: I   (x  2 x  1)(x  2 x  1) 2 x  2 x x    1 dx 2 x  2 (x  1) 2 x  2 x x    1 dx 2 x  2 (x  1) 38
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng”
 x  x x   2 2 ( 1)dx  2 x dx  2 x x    1dx 3 x   A 3 m.vn Tính A ? ie 2 gh
t  x 1  tdt  xdx racn
x x  dx  t dt  1 t  C  1 1 x  3 2 2 3 2 1  it Ta có     C. 3 3 th n 3 3 x 1 ye Vậy I  
 2x  1 C. lu 3 3 s:// 3 x dx ttp h) Tìm I   h 4 x   2 1 x Lời giải 3 Đặ x dx t I   4 x   2 1 x 3 4
x ( x  1  2   x )dx 4 ( x  1  2 4
x )( x  1  2 x ) /vietgold 3 4 x x  1  5   x dx 4 (x  1)  4 x k.com  x x    3 4 5 ( 1 x )dx ceboo .fa  5 x dx  3 4 x x    1dx 6  x  B 6 https://www Tính B ? Đặt t  4
x   tdt  3 1 2x dx 1 1 1 Ta có x x  1dx 
t dt  t  C  x  1    3 3 4 2 3 4 C . 2 6 6 6 3 x 1 Vậy I  
 4x  1 C 6 6 dx i) Tìm I  
(x  1) x  x x  1 39
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm Lời giải   dx I
(x  1) x  x x  1   dx
x x  1  x 1  x h ttp
 x1 xdx  s://
 x x1 x1 x x1 x lu ye x  1  x dx n   th   x x  it 1 rac dx dx n   gh   x x  1 ie m.vn
 2 x  2 x 1 C . dx j) Tìm I  
x x  3  (x  3) x Lời giải   dx I
x x  3  (x  3) x http  dx s://www 
x x  3  x  x  3 .fa
 x x3dx  ceboo
 x x3 x x3 x x3 k.com 1  x  3   x dx  /v  3 x x  iet 3 gold 1  dx dx       3  x x  3  1  dx dx       3  x x  3  
 1 2 x  2 x   3    C . 3  Nhóm 3. 40
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” 1
+Nếu: I   f ln x. dx Đặt: t  x  dt  1 ln dx x x 1 b
+ Nếu: I  f a  
b ln x. dx Đặt: t  a  bln x  dt  dx x x
 Bài toán 9. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định):  x
a) Tìm I   2 ln dx . m.vn x ie gh Lời giải racn it Đặt: t   x  dt  1 2 ln dx x th n 2 ye t 1
Khi đó: I  tdt 
C  2  ln x2   C . lu 2 2 s:// 2 ln x ttp b) Tìm I   dx . h x Lời giải Đặt t  x  dt  1 ln dx x 3 3 t ln x Suy ra: I  2 t dt   C    C . 3 3  I  x /vietgold c) Tìm  1 ln dx. x k.com Lời giải ceboo Đặt: t  x  dt  1 ln dx .fa x 2 2 t ln x
Suy ra I  1 tdt  t 
C  ln x    C . 2 2 https://www  4 1 ln x d) Tìm I   dx . x Lời giải Đặt: t  x  dt  1 ln dx x 5 5 t ln x
Khi đó: I  1 4t dt  t  C  ln x    C . 5 x x  e) Tìm I   3ln 1 dx . x ln x 41
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm Lời giải  3 1  dx dx d x Ta có: I   dx  3      3dln x   
 3ln x  ln ln x     ln C .  x xln x  x x ln x ln x ln x f) Tìm I    dx . x 2  ln x2 h ttp Lời giải s:// lu Đặt t   x  dt  1 2 ln
dx , ta có: ln x  t  2 x ye n t  2  1 2  th Khi đó: I  dt   dt 
t  2  C   x  2 ln ln 2 ln   C . 2  2  it t  t t  t 2  ln x racn  Nhóm 4. gh
t  ex  dt  x ie e dx Tìm  x x I f x  PP Đặt   m.vn  (e ).e d
t  a  bex  dt   bexdx
 Bài toán 10. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định): x a) Tìm I   d . ex  3 Lời giải
Đặt  x   x    v/ e 3 e 3 pd  ex t t t dx . ht dx exdx tp Khi đó: I    . x  x x s://www e  3 e (e  3) t t  x     e C   d 1 3 1 ln ln C . x .fa t(t  3) 3 t 3 e  3 ceboo x b) Tìm I   d . k.com ex  4 /v Lời giải ietgold
Đặt  x   x    v/ e 4 e 4 pd  ex t t t dx . x Khi đó:  dx   x I . x  e d e  4 ex(ex  4) t t  x     e C   d 1 4 1 ln ln C . t(t  4) 4 t 3 x e  4 x x
c) Tìm I   e d . ex  1 42
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” Lời giải Đặt  x   v/ e 1 pd  ex t t dx . x x
Khi đó: I   e d . ex  1 
t  t C  x e   m.vn  d ln ln 1 C . t ie gh x x
d) Tìm I   e d . ex  8 racn it th Lời giải n ye Đặt  x   v/ e 8 pd  ex t t dx . lu s:// x x
Khi đó: I   e d . ttp ex  8 h 
t  t C  x e    d ln ln 8 C . t x e) Tìm I   d . x  e  2e x  3 Lời giải dx ex dx ex dx Ta có I     . x x  2x x   e  2e  3 e  3e  2
ex  1ex 2 /vietgold x v/ p x k.com
Đặt t  e dt  e dx . x ceboo t t  e  Khi đó: I    C    d 2 2 ln ln C . .fa
t  1(t 2) t  1 x e  1 x x
f) Tìm I   e d . x  e  e x https://www Lời giải x 2 e dx e x dx Ta có I    . x x   e  2 e e x  1 Đặ x v p dt t t  2 e  1  /   2 e xdx . 2 Khi đó:  1 dt I  1 t  C  1 ln ln x e  1   2 C . 2 t 2 2 2 e xdx g) Tìm I   . ex  1 43
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm Lời giải Đặt  ex t 1 . 2  ex 1
v/ p2td  ex t t dx x x x
Khi đó: I   e .e d . ex  1 h ttp  2t  3  x x   1 2tdt  t  e  1 e  1 2  x  s://    2t     1 dt 2
 t  C  2  e 1  C . t 3  3    lu   ye 2x n e dx th h) Tìm I   . 3  x it e racn Lời giải gh ie Đặt  3+ex t . m.vn 2  3  ex 
v/ p2td  ex t t dx x x x
Khi đó: I   e .e d . 3+ex  2t 3 3  x x    2tdt t 2 3+e 3+e 2 t 3      x   
 dt 2  3t C  2  3 3+e C . t 3  3      ht 2x tp e dx i) Tìm I   s://www  ex 1 Lời giải .fa ceboo x Đặ e t t  x e  1  dt  dx ; x e  2 t  1. 2 x e  1 k.com 2 e xd x x e . x e dx 2 /v Ta có: I     t dt . x  x   1.2 iet e  1 e  1 gold 2 3
 I  t  2t  C . 3 3
  2  x 1 2 x I e e  1  C . 3 * Đặt  x   2 1  x t e t e  1  2  x t dt e dx 44
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” x e . x e dx
 2t  1.2tdt  I     t dt x   2  1.2 1 t e 2 e xdx j) Tìm I    3  x e Lời giải m.vn ie x e t  3  x 2 x gh Đặt e  dt=
dx ; t  3  e . 2 3  x e racn it 2 e xd x x e . x e dx Ta có: I     t dt . x  x  2 32 th n 3  e 3  e ye lu  I  2 3
t  6t  C . 3 s:// ttp 3 2 h Vậy
  3 x  6 3 x I e e  C . 3 * Đặt   x  2 3  3  x t e t e  2  x t dt e dx x x  2t 3.2 . t dt e e dx  I     t dt x   2 3.2 3  t e 2 /vietgold  I  3
t  6t  C 3 k.com 3
  2  3 x  6 3 x I e e  C. 3 ceboo .fa  Nhóm 5.
Nhóm đổi biến hàm số lượng giác
 Bài toán 11. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định): a) Tìm I   3 sin xd . x https://www Lời giải I  2 x x x     2 sin .sin d (1 cos ) x sin d x x .
Đặt t  cos x  dt  sin d x x 3 t Ta có: I    2
1 t dt  t    C . 3 1
Vậy: I   cos x  3 cos x  C. 3 45
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm b) Tìm I   3 cos xd . x Lời giải I  2 x x x      2 cos .cos d
1 sin xcos xdx .
Đặt t  sin x  dt  cos xdx . h  I  1 2
t dt  t  1 3 t  ttp   C . 3 s:// 1 lu
Vậy I  sin x  3 sin x  C . ye 3 n th c) Tìm I   2017 cos x sin xd . x it rac Lời giải n gh
Đặt t  cos x  dt  sin d x x ie m.vn  I   t t   1 d t   2017 2018 C . 2018  I   1 2018 cos x  C . 2018 d) Tìm I   2019 sin
x cos xdx . Lời giải ht
Đặt t  sin x  dt  cos xdx . tps://www  I  t t  1 d t   2019 2020 C . 2020 .fa 1 2020 ceboo  I  sin x  C . 2020 k.com e) Tìm I  
(1 2sin )xcosxdx . /viet Lời giải gold
Đặt t  sin x  dt  cos xdx .
 I    t t  t t   2 1 2 d C  I  x  2 sin sin x  C . f) Tìm I   2
sin 2x cos xdx . Lời giải 46
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” Ta có: I  2 x x x  2 x x x x     3 sin 2 cos d 2 sin cos cos d
2 sin xcos xdx .
Đặt t  cos x  dt  sin d x x .
 I   t t   1 2 d t   3 4 C . 2  I   1 4 cos x  C . m.vn 2 ie gh x g) Tìm I   sin dx . 2  cos x racn it Lời giải th n ye
Đặt t  2  cos x  dt  sin d x x lu  t s://  I    t   d ln C . t ttp h
 I  ln 2  cos x C . x h) Tìm I   cos dx . 9  2 sin x Lời giải
Đặt t  9  2sin x  dt  2cos xdx .   I  t   t   1 1 d ln C . /vietgold 2t 2 1 k.com
 I   ln 9  2sin x  C . 2 ceboo cos xdx .fa i) Tìm I    6  5sin x  2 sin x Lời giải
Đặt t  sin x  dt  cos xdx . https://www   dt I  t  2 6 5 t      1  dt
t  2t   3      1 1     dt
 t  3 t  2 
 ln t  3  ln t  2  C
 ln sin x  3  ln sin x  2  C 47
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm x x j) Tìm I    sin d
cos 2x  3cos x  2 Lời giải   sin xdx I
cos 2x  3 cos x  2   sin xdx
Đặt t  cos x  dt  sin xdx . 2 h
2 cos x  1  3 cos x  2 ttp  sin xdx  s://  2
2 cos x  3 cos x  1 lu ye   dt I 2 n 2t  3t  1 th it 1 ra   dt c
2t 1t 1 n gh  2 1     ie  dt
 2t  1 t  1  m.vn
  ln 2t  1  ln t  1  C
  ln 2cos x  1  ln cos x  1  C x k) Tìm I    d cos x Lời giải dx cos . x dx I   . ht   2 cos x cos x tps://www
Đặt t  sin x  dt  cos xdx . dt 1 1  1 1  I   dt   dt .fa  2   1 t
1t1t  
2  1 t 1 t  ceboo 1 k.com
 ln 1 t  ln 1t     C 2 /v 1 iet
 ln 1 sin x  ln 1 sin x     C . gold 2 x l) Tìm I    d sin x Lời giải  dx    sinxdx I . 2 sin x sin x
Đặt t  cos x  dt  sin xdx . 48
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng”   dt  dt I   1 dt 2  2  1 t t  1
t  1t  1 1  1 1     dt
2  t 1 t  1 
 1 ln t 1  ln t  1     C m.vn 2 ie
 1 ln cos1  ln cos1     C gh 2 racn x it m) Tìm I    d sin x  th 3 cos x n ye Lời giải lu s://  dx   1  dx I ttp
sin x  3 cos x 2 1 3 h sin x  cos x 2 2  1  dx 2    sin x     6   1  dx 2  x    x   2 sin  cos       2 12   2 12  /vietgold 1 dx  1  1 2 . k.com 2  x   2  x   tan  cos       2 12   2 12  ceboo .fa   x   d  tan    1   2 12    2  x   tan     2 12  https://www 1  x   = ln tan     C . 2  2 12  x n) Tìm I    d
cos x  3 sin x Lời giải   dx   1  dx I
3 sin x  cos x 2 3 x  1 sin cos x 2 2 49
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm 1 dx 1  x       ln tan    C 2      2  2 12  sin x     6  tan x o) Tìm I   d . x 2 cos x Lời giải h ttp  tan x I x   1 d tan . x dx . 2  2 s:// cos x cos x lu 1 ye
Đặt t  tan x  dt  dx . 2 cos x n th 2 2 it t tan x r I  tdt   C   C . a  2 2 cngh cot x ie p) Tìm I   d . x 2 sin x m.vn Lời giải  cot x I x   1 d cot . x d . x 2  2 sin x sin x Đặ 1
t t  cot x  dt   dx 2 sin x 2 2 t cot x
I   tdt   C    C . ht  2 2 tps://www (1 2 tan x) q) Tìm I   d . x 2 cos x .fa Lời giải ceboo 1 k.com
Đặt t  1 tan x  dt  dx 2 cos x /v 3 3 iet t 1 tan x 2   
 I  t dt  C   C gold  3 3 (2  2 cot x) r) Tìm I   d . x 2 sin x Lời giải Đặ 1
t t  2  cot x  dt  dx 2 sin x 50
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” t 2 cot x 2   3 3
 I  t dt  C    C 3 3 sin 2x s) Tìm I   d . x 1 2 cos x Lời giải m.vn ie
  2sin .xcosx I dx 2 gh 1 cos x Đặ 2 racn
t t  1 cos x  dt  2sin . x cos . x dx it th
 I  1dt  ln t C  ln1 cos x n   2 C t ye lu sin 2x t) Tìm I   d . x s:// 1 2 sin x ttp h Lời giải
   2sin .xcosx I dx 1 2 sin x Đặt t   2
1 sin x  dt  2sin . x cos . x dx 1
 I   dt  ln t C  ln1sin x  2 C t x  x u) Tìm I   sin cos d . x /vietgold
sin x  cos x  2 k.com Lời giải ceboo
Đặt t  sin x  cos x  2  dt  cos x  sin xdx .fa  I  dt  t   1 ln C t
 lnsin x  cos x C https://www x  x v) Tìm I   sin cos d . x
sin x  cos x  3 Lời giải
Đặt t  sin x  cos x  3  dt  sin x cos xdx  I  dt  t   1 ln C t
 lnsin x  cosx  3 C 51
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm x w) Tìm I   cos 2 d . x
sin x  cos x  1 Lời giải 2 cos x  2   sin x I dx
sin x  cos x  1 
cos x  sin xcos x  sin x   dx h
sin x  cos x  1 ttp s://
t 1  sin x   cos x
Đặt t  sin x  cos x  1   lu
dt  cos x   sin xdx ye n t 1  1  th I  dt  1   dt it t  t  ra
 t  ln t  c C n gh
 sin x  cos x 1  lnsin x  cos x 1 C ie m.vn x  x x) Tìm I   sin cos d .x 3  sin 2x Lời giải x    sin cosx I d . x
3  2 sin x cos x
dt  sin x  cosxdx
Đặt t  sin x  cos x  
t  1 2sin xcos x  2sin xcos x  1  2 2 t https://www dt 1  1 1   I     dt 2   4  t
4  t  2 2  t  1 .fa
 ln t  2  ln 2 t C 4 ceboo
 1 ln sin x  cos x  2  ln 2  sin x  cos x  k.com   C . 4 /v ietgold 52
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng”
DẠNG TOÁN 5: TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM & NGUYÊN HÀM CỦA HÀM ẨN
Nhóm 1. Sử dụng định nghĩa F( ) x  f ( ) x .
Câu 1: (THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội năm 2019) Gọi (  2 ) (   ) e . x F x ax bx c là một nguyên hàm của hàm số   2 ( ) ( 1) .ex f x x
. Giá trị của biểu thức S  a  2b  c bằng. A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 4 . m.vn ie Lời giải gh Chọn B racn it
Theo định nghĩa F( ) x  f ( ) x , ta có:    2 ( ) ( ) [(    ).ex f x F x ax bx c ] th n   x  x 2    2     x  2 (2 )e e ( ) [ (2 ) ]e (  2 1)ex ax b ax bx c ax a b x b c x x . ye lu a  1 a  1   s://
Đồng nhất hệ số: 2a  b  2  b  4  S  a  2b  c  1 8  5  2.   ttp b  c  1 c    5 h Câu 2: 2  Biết 2  ( )  (   ).e x F x ax bx c
là một nguyên hàm của hàm số ( )  (2  5  2).e x f x x x trên .
Giá trị của biểu thức f F(0)   bằng. A.   1 e . B. 9e . C. 2 20e . D. 3e . Lời giải Chọn B /vietgold
Theo định nghĩa F( ) x  f ( ) x , ta có: 2  ( )  ( )  [(    ) e . x f x F x ax bx c ] x x 2 2 x 2   (2ax  )
b e  e (ax  bx  c)  [  ax  (2a  )
b x  b  c]e
 (2x  5x  x k.com 2)e . a  2 a  2 ceboo   .fa
Đồng nhất hệ số: 2a  b  5  b  1   b  c  2 c     1 2  ( )  (2  1).e x F x x x  ( F 0)  1 https://www
f F(0)  f (1)    9e 2 Câu 3:
20x  30x  11 Biết F x  2
( ) (ax  bx  c) 2x  3 là một nguyên hàm của hàm số f (x)  trên 2x  3  3  khoảng ;  
. Giá trị của biểu thức T  a  b  c bằng.  2  A. 5 . B. 6 . C. 7 . D. 8 . Lời giải Chọn C
Theo định nghĩa F( ) x  f ( ) x , ta có: 53
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  2
5ax  x 3b 6a c 3b 2    
f (x)  F(x)  (ax  bx  c) 2x   3    2x  3 5a  20 a  4  
Do đó ta có 3b  6a  30  b  2  a  b  c  7   c  3b  11 c    5
Câu 4: Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f x  x 2 x  2 ( ) 2019 (
4)(x  3x  2). Khi đó số điểm h ttp
cực trị của hàm số F(x) là. s:// A. 5 . B. 4 . C. 3 . D. 2 . lu Lời giải ye n th Chọn D it r
Theo định nghĩa F( ) x  f ( ) x , ta có: acn 2 gh   x 2  2 ( ) 0 2019 ( 4)(
 3  2)  0  2019x f x x x x
x2 x2x1  0 ie x  m.vn 2   x    2 x   1
x  2 là nghiệm bội bậc hai nên f x không đổi dấu qua x  2
Vậy hàm số y  F x có hai điểm cực trị. Câu 5: 2
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f ( ) x  x 3 e (x  4x . ) Hàm số 2 F(x  ) x có bao nhiêu điểm cực trị? http A. 5 . B. 4 . C. 3 . D. 2 . s://www Lời giải .fa Chọn A ceboo Ta có 2 k.com  x x F(x
x) 2x 1 f x
x 2x 1  2   e x x3 2 2 2 4  2 x x            /v  2 2 x x 2 2 2 iet  e
2x1x  xx  x2x  x2 gold  2 2 x x  e
2x1xx1x1x2 2x  x2  2 F(x x)   0 có 5 nghiệm đơn Vậy hàm số 2 F(x  )
x có 5 điểm cực trị 54
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng”
Nhóm 2. Sử dụng định nghĩa giải bài toán nguyên hàm của hàm ẩn Vận dụng tính chất f ( )
x dx  f ( )
x  C, f ( )
x dx  f (x)   
C,... vào các dạng sau: (  u v   v u  ) dx  ( . u v  ) dx  uv    . C n1 . . d  ( n  )  n n u u x u dx u    . C   u v   v u  u  u  u  dx  dx    C.
dx  ln u  dx  ln u    C. 2   m.vn v  v  v u ie gh   u  u  1  1 dx  ( u  ) dx  u    C.  dx  dx    C. 2   2 u u  u  u racn it
th Câu 6: (HSG Bắc Ninh năm 2019) Cho hàm số y  f ( )
x có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 2] thỏa mãn n ye
f (1)  4 và f x  xf  x  3 x  2 ( ) ( ) 2
3x . Giá trị của f (2) bằng lu A. 5. B. 10. C. 15. D. 20. s:// ttp Lời giải h Chọn D
Ta có: f x  xf  x  3 x  2
x  xf  x  f x  3 x  2 x  2 ( ) ( ) 2 3 ( ) ( ) 2 3 x (2x  3) 
xf (x)  f ( ) x  f ( ) x    x   dx  f ( ) x 2 3 2x 3 dx x 3x C. 2       2     x  x  x Do f
    C  C   f x  3 x  2 (1) 4 4 1 3 0 ( )
3x  f (2)  20.
/vietgold Câu 7: (THPT Yên Định Thanh Hóa năm 2019) Cho hàm số f(x) thỏa mãn f x f x  5x  2 ( ). ( ) 3 6x
và f (0)  2. Giá trị của 2 f (2) bằng k.com A. 144. B. 64. C. 100. D. 81. ceboo Lời giải .fa Chọn C 2 Ta có: f x f x  5 x  2
x  f x f x  5 x  2
x   f x      5 x  2 ( ). ( ) 3 6 2 ( ). ( ) 6 12 ( ) 6 12x https://www  f x 2 
dx   x  x  x   f x 2 5 2  6 x  3 ( ) 6 12 d ( ) 4x    C
Do f (0)  2  4  C  C  4  2 f (2)  100.
Câu 8: (Đề thi THPT QG năm 2018 – Mã đề 102 – Câu 40) Cho hàm số f(x) thỏa mãn f   1 (2) 3 2 và f ( )
x  x  f ( ) x  
 với mọi x . Giá trị của f (1) bằng 11 2 2 7 A. . B. . C. . D. . 6 3 9 6 55
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm Lời giải Chọn B  2 f ' x   f ( x) 1
Ta có: f 'x  x  0  f x      x       x   2  f x f x    1 1  2   x (x)dx    h  C ttp f x f x 2 s://   2 1 1 2 1 2 lu Do f (2)    3 
 C  3  C  1  f (1)   3 f (2) 2 1 3 ye 1 2 n th it
Câu 9: Cho hàm số f(x) thỏa 2
f x  xf x f  x  4
( ) 2 ( ) ( ) 5x với f (1)  0, f ( )
x  0. Hệ số góc tiếp tuyến rac
k của đồ thị hàm số y  f ( )
x tại điểm có hoành độ x  2 bằng n gh A. k  1. B. k  2. C. k  4. D. k  3. ie m.vn Lời giải Chọn D 2 4 2 
Ta có: f x  xf x f  x  x  xf ( ) x   4 ( ) 2 ( ) ( ) 5   5x 2 
 xf x  dx  
 4x x  2 xf x  5 ( ) 5 d ( ) x    . C Do f
   5 C  C    2 xf x  5 (1) 0 0 1 1 ( ) x 1  http s://www .fa ceboo k.com /vietgold 56
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN 1.
Câu 10: (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT năm 2018)Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x  2 ( ) 3x  1. 3 x A. 3 x  C. . B.  x  C.. C. 6x  . C . D. 3 x  x  . C 3 Lời giải m.vn ie Chọn D gh n1 n x x dx   Áp dụng công thức  n  C. racn 1 it f x dx  
 2x  dx  3 ( ) 3 1 x  x  th Ta có: . C . n ye Câu 11: 1 (Đề lu
thi THPT Quốc Gia năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)   5x  2 s:// A. x  x    1 1 d ln 5 2 . C . B. x   x    1 1 d ln(5 2) C. . ttp 5x  2 5 5x  2 2 h C. x  x    1 d 5ln 5 2 C.. D. x  x    1 d ln 5 2 C. 5x  2 5x  2 Lời giải Chọn A Áp dụng công thức: x  ax  b   1 1 d ln C. ax  b a /vietgold  x  x    1 1 d ln 5 2 C.. 5x  2 5
k.com Câu 12: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số ( )7x f x . ceboo x x x x .fa A. x   7 d 7 ln7 . C . B.  x    1 7 d 7 . C . x x1 x 7 C. x x    7 7 d
C. . D. 7 dx    C. ln 7 x  1 https://www Lời giải Chọn C x a Áp dụng công thức x a x    d C. ln a x  x x    7 7 d C. . ln 7
Câu 13: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017)Tìm nguyên hàm của hàm số f( ) x  cos 3 . x x A. x x  x  cos3 d 3sin3 . C . B. x x    sin 3 cos 3 d C. . 3 57
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm C. x x  x  cos3 d sin3 . C . D. x x  x  cos3 d cos3 . C Lời giải Chọn B Ta có: ax  b x  ax  b   1 cos( )d sin( ) C. a h x ttp  x x    sin 3 cos 3 d C. . 3 s:// lu
Câu 14: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f( ) x  2 sin . x ye A. x x  x  n 2sin d 2cos . C . B. x x  x   2 2 sin d sin . C . th it r C. x x  x  2sin d sin2 . C . D. x x   x  2sin d 2 cos . C a cngh Lời giải ie m.vn Chọn D Ta có: x x   x  sin d cos . C  x x   x  2sin d 2 cos . C .
Câu 15: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 104 câu 28) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số    f ( )
x  sin x  cos x thoả mãn F    2.  2  ht
A. cos x  sin x  3. .
B. cos x  sin x  3. . tps://www
C. sin x  cos x 1..
D. cos x  sin x  1. Lời giải .fa ceboo Chọn D Ta có: k.com
F x  f ( )
x dx  sin x  cos xdx  cos x  sin x    C /vietgold           F  cos  sin  C        2.  2   2   2 
 1C  2  C  1
Vậy F x  cos x  sin x  1. .
Câu 16: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 101 câu 27) Cho hàm số y  f( ) x thỏa mãn f ( )
x  3  5sin x và f (0)  10. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f ( )
x  3x  5cos x  5. . B. f ( )
x  3x  5cos x  2. . 58
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” C. f ( )
x  3x  5cos x  2.. D. f ( )
x  3x  5cos x  15. Lời giải Chọn A
Ta có: f x  f 'xdx  3  5sin xdx  3x  5cos x    C m.vn
f (0)  10  5  C  10  C  5 ie gh Vậy f ( )
x  3x  5cos x  5. .
racn Câu 17: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 103 câu 13)Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm it th x 3 n số f ( )
x  e  2x thỏa mãn F(0)   Tìm F(x). 2 ye lu x 3 x 1 A. e  2 x   . B. 2e  2 x   . s:// 2 2 ttp x 5 x 1 h C. e  2 x   . D. e  2 x   2 2 Lời giải Chọn D   
  x    x F x f x dx x dx e  x    2 ( ) e 2 C F
 3   C  3  C  1 (0) 1 2 2 2 /vietgold x 1 vậy Fx =e  2 x   . k.com 2 Câu 18: ceboo
(Đề thi minh họa – Bộ GD & ĐT 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( ) x  2x 1. .fa 1 1 A.
2x  1  C .
B. (2x  1) 2x  1  C . 2 3 1 2 C. 
2x  1  C . D.
(2x  1) 2x  1  C . 3 3 https://www Lời giải Chọn B 1 3 2 2 Ta có
2x  1dx  2x  2
1 dx  2x  2
1  C  2x   1 2x  1    C . 3 3 Câu 19: 2
(Đề thi minh họa – Bộ GD & ĐT 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)  2 x   2 x 3 x 2 3 x 1 A.   C . B.   C . 3 x 3 x 59
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm 3 x 2 3 x 1 C.   C . D.   C . 3 x 3 x Lời giải Chọn A  2  1 2 Ta có 2 x  dx  3 x    C . 2   x  3 x h ttp
Câu 20: (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh Cụm 6 năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số s://       lu f ( )
x  cos 5xcos x thỏa mãn F    0. Tính F    ye  3   6  n th    3    A. F    . B. F  0 . it    6  12  6  racngh    3    3 C. F    . D. F    . ie  6  8  6  6 m.vn Lời giải Chọn C 1 1 1
Ta có cos 5xcos xdx 
cos4xcos6xdx  sin4x sin6x   C . 2 8 12    F
 0  C  3  F x  1 sin4x  1 sin6x  3   .  3  16 8 12 16 http    1  4 1  6 3 3 s://www F  sin  sin     .  6  8 6 12 6 16 8
Câu 21: (THPT Kim Liên – Hà Nội) Biết  2 ( ) (   )ex F x ax bx c
là một nguyên hàm của hàm số .fa ceboo  2 ( ) .ex f x x . Tìm a, b, . c
A. a  1, b  2, c  2 . B. a  2, b  1, c  2 . k.com
C. a  2, b  2, c  1 . D. a  1, b  2, c  2 . /viet Lời giải gold Chọn D u  2 x du  2 d x x Đặt    . dv   x e dx v   x e Lúc đó:    2 d x   2 x f x x x e xe dx . u  x du dx 2   Đặt    2 . dv   x e d x x v e 2    2 60
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng”    2 x  x  2 d 2 d x  2 x     x f x x x e xe x x e xe e dx  2 x  x  x   2 2 2  2  2 x x e xe e x x e .
Vậy a  1, b  2, c  2.
Cách 2: Ta có    
  x  2    x   2 2
 2      x F x ax b e ax bx c e ax a b x b c e m.vn ie
Do Fx là một nguyên hàm của hàm f x nên Fx  f x ,x gh a  1 a  1 racn 2 x 2 x   it
 ax 2a  bx  b  ce  x e  2a b  0  b  2 . th   b  c  0 c  n   2 ye lu Câu 22: 1
(THPT Lê Lợi – Thanh Hóa) Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)  sin x  2 s:// cos x ttp    2 h
thỏa mãn điều kiện F      4  2 A. ( F )
x  cos x  tan x  C . B. ( F )
x  cos x  tan x  2  1 . C. ( F )
x  cos x  tan x  2 1 . D. ( F )
x  cos x  tan x  2  1 . Lời giải Chọn D 1 /vietgold F x  
 f (x)dx  sin x 
dx   cos x  tan x    c . 2   cos x  k.com    2   Theo đề 2 : F 
 cos  tan  c   c  2    1.  4  2 4 4 2 ceboo .fa Vậy ( F )
x  cos x  tan x  2 1. Câu 23: 1
(Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 103 câu 37) Cho F(x)   là một nguyên hàm 3 3x f (x) của hàm số
 Tìm nguyên hàm của hàm số f ( ) x ln . x x https://www ln x 1 ln x 1 A.   C. B.   C. 3 5 x 5x 3 5 x 5x ln x 1 ln x 1 C.   C. D.    C. 3 3 x 3x 3 3 x 3x Lời giải Chọn C
F x   1  F 1 x 3    4 3x x 61
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm f x f x 1 1 Theo bài ra  Fx    
 f x  . 4 3 x x x x
Xét: I  f 
 ( )xlnxdx.  u  1  ln x du  dx Đặt  x . dv   f x    dx v   f x h ttp Lúc đó: 
x f x  f (x) x  ln x I ln . d  1  C . s://  3 3 x x 3x lu ye
Câu 24: Tìm nguyên hàm của  . x y x e n 2 th A. . x x e  C . B. . x x e  C . C.    1 x x e  C . D.    1 x x e  C . it rac Lời giải n gh Chọn D ie m.vn u  x du  dx Đặt    . dv   x e dx v  x  e Khi đó . xd  x 
xd  x  x      1 x x e x xe e x xe e C x e    C .
Câu 25: Một nguyên hàm của y  xlnx là 2 x 1 1 2 x 1 A. ln x  2 x . B. 2 x ln x  2 x . C. ln x  2 x . D. x x  1 ln x . 2 4 2 2 4 2 http Lời giải s://www Chọn C .fa du  1 u   dx ceboo ln x  Đặ x t    . dv   d x x  2  x v k.com  2 2 2 /v x x x 1 2 iet Khi đó xln d x x  ln x  dx  ln x  x    C . 2 2 2 4 gold
Câu 26: Tìm nguyên hàm của hàm số y  (x 1)cosx
A. (x  1)sin x  cos x  C .
B. (x  1)sin x  cos x  C .
C. (x  1)sin x  cos x  C .
D. (x  1)sin x  cos x  C . Lời giải Chọn B 62
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” u  x 1 du  dx Đặt    . dv  cos d x x v    sin x Khi đó x   1 cos d
x x  x  
1 sin x  sinxdx  x  
1 sin x  cos x    C . Câu 27: x
Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)  2 cos x m.vn
A. x cot x  ln cos x  C .
B. x tan x  ln cos x  C . ie gh
C. x cot x  ln cos x  C .
D. x tan x  ln cos x  C . racn it Lời giải th n Chọn B ye lu u   x du  s:// dx Đặt   1  . dv  dx v  ttp   tan x h  2 cos x Khi đó x
dx  x tan x  tan xdx  x tan x  ln cos x   C . 2  cos x
Câu 28: Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f( )
x  ln x thỏa mãn điều kiện F(1)  3 . Tính giá trị
của biểu thức T  F(e) 2  log 3.log  ( F e) . 4 3   A. T  2 . B. T  8 . C. T  9 D. T  17 . 2 /vietgold Lời giải Chọn D k.com
F x  f xdx   lnxdx . ceboo  .fa    x u x du  d ln Đặt    x dv   dx  . v   x    x  dx F x x ln . x
 xln x  dx  xln x  x    C . x https://www Ta có : (
F 1)  3  1.ln11 C  3  C  4 .
Suy ra : F x  xln x  x  4  F e  e ln e  e  4  4 .
Khi đó: T  F(e) 2  log 3.log  ( F e)  4
2  log 3.log 4  16  1  17 . 4 3   4 3
Câu 29: Xét I  x x   3 4 5 (4 3) d .
x Bằng cách đặt u  4
4x  3 , hỏi khẳng định nào đúng? 1 1 1 A. I   5udu. B. I   5udu. C. I   5udu D. I   5 u du . 4 12 16 Lời giải Chọn C 63
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm Đặ du t u  4
4x  3  du  3 16x dx  3 x dx  . 16  3 4  5  5 du I x x x u    1 (4 3) d  5udu. 16 16 Câu 30: x Xét I  
dx , bằng cách đặt t  4x  1 thì I trở thành 4x  1  3 1 t   3 1 t   3 1 t   3 1 t  A.   t     t     t     t   h C . B. C . C. C D. C . ttp 8  3  4  3  8  3  4  3  s:// Lời giải lu ye Chọn C n 2 th t  Đặ 1 t
t t  4x  1  x   dx  dt . it 4 2 ra 2 2 3 c x t  1 1 t t  1 1  t  n 1 I  x  . . dt  dt  t 
 2 1dt   tC . gh  d   4x  1 4 t 2 8 8 8  3  ie m.vn
Câu 31: Tìm nguyên hàm của hàm số f x  2 cos . x sin . x 1 1 1 A. 3 cos x  C. B.  3 cos x  . C C.  3 cos x  C. D. 3 sin x  C. 3 3 3 Lời giải Chọn C Cách 1: ht
I  f xdx    2 cos . x sin . x dx tps://www
Đặt t  cos x  dt  sin xdx  dt  sin xdx 3 2 t .fa
Khi đó I  t dt     C. 3 ceboo 1 3 k.com
Dẫn đến I   cos x  C. 3 /v Cách 2: ietgold   3  2 x x dx   2 x d
x   cos x f x dx cos .sin . cos . cos     C. 3 Câu 32:   
Biết F x là một nguyên hàm của f x  3 sin .
x cos x và F 0  . Tìm F     2        1    1    A. F      . B. F       C. F     . D. F     .  2   2  4  2  4  2  Lời giải Chọn C 64
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” Cách 1
I  f xdx    3 sin . x cos . x dx
Đặt t  sin x  dt  cos xd . x 4 Khi đó  3  t I t dt   C . 4 m.vn ie 4 sin x
Suy ra F x  I   C. gh 4 racn 4 sin 0 it F 0   
C    C  . th 4 n ye 4 sin x
Dẫn đến F x  . lu 4 s://    1 ttp Vậy F     . h  2  4 Cách 2   4     3 x xdx  3 xd x  sin x F x f x dx sin .cos sin sin     . C 4 4 sin 0 F 0   
C    C  . 4 4  sin x F x  /vietgold Dẫn đến   . 4 k.com    1 Vậy F     .  2  4 ceboo .fa Cách 3   F  F 0       3 2 sin . x cos . x dx  2  0 https://www    1    1
Bấm máy vế phải, ta được F     . Dẫn đến F     .  2  4  2  4
Câu 33: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x  1 và Fe  3. Tính F 2e . x ln x A. 3  2 ln 2. B. 3  ln 2. C. 1 ln 3. D. 3  ln 2. Lời giải Chọn B Cách 1 65
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm
I  f xdx  1 dx     1 1 . d . x x ln x ln x x Đặt t  x  dt  1 ln d . x x Khi đó I  dt  t   1 ln C. t h
Suy ra F x  I  ln ln x  . C ttp s://
F e  3  ln lne  C  3  C  3. lu ye
Dẫn đến F x  I  ln ln x  3. n th it Vậy F  2 e   3  ln 2. racn Cách 2 gh ie e m.vn
F e   F e   2 2 1 dx e x ln x
Bấm máy vế phải, ta được F  2
e   3  0,693... . Dẫn đến F  2
e   3,693... Bấm máy kiểm tra
từng kết quả. Ta chọn được Chọn Câu B. x  10 Câu 34: 2
Tìm nguyên hàm của hàm số f x      x  112  11 11 11 x  11 1 2 1  x  2  1  x  2  1  x  2  A.    C. B.     C. C.    C. D.    C. ht 3  x  1  11  x  1  11  x  1  33  x  1  tps://www Lời giải Chọn D .fa ceboo 10 10 I  f x x2  x  2   dx  dx   1 . d . x 12   x   x  2 k.com   1 1  x   1 /v x  Đặ t 
2  dt  3 dx  1 dt  1 iet t d . x x  1 x  2 3 1 x  2 gold    1 Khi đó I  1 t dt  1 . t   10 11 C. 3 33  x  11 1 2 Vậy I     C. 33  x  1  Câu 35: x
Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x 
và F 0  1. Tính F   1 . 2 x  1 66
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” 1 A. ln 2  1. B. ln 2  1. C. 0. D. ln 2  2. 2 Lời giải Chọn B Cách 1 m.vn ie      x I f x dx dx   1 xd . x 2  x  2 1 x  gh 1 1 racn Đặt t  2
x  1  dt  2xdx  dt  xd . x it 2 th n ye Khi đó I  dt  t  1 1 1 . ln C. t 2 2 lu s:// 1 1
Suy ra F x  I  2
ln x  1  C. F x  I  2
ln x  1  C. ttp 2 2 h F 0  1  1 2
ln 0  1  C  1  C  1. 2 1
Dẫn đến F x  2 ln x  1  1. 2 1 Vậy F   1  ln 2  1. 2 Cách 2 /vietgold   x
F 1  F 0  1 dx 2 0 x  k.com 1
Bấm máy vế phải, ta được F  
1  1  0,346.... Dẫn đến F  
1  1,346... Bấm máy kiểm tra ceboo .fa
từng kết quả. Ta chọn được Chọn Câu B.
Câu 36: Tìm nguyên hàm của hàm số f x  x  2 1 x . 3 1 A. 2 x  2 1 x  . C B.  2 x 1 2 x  C. 3 https://www 3 1 1 C.
 1 2x C. D. 2x 1 2x C. 3 3 Lời giải Chọn C
I  f xdx  x  2 x dx      2 1 1 x xd . x Đặt t  2 x   2 t  2 1
x  1  2tdt  2xdx  tdt  xd . x 67
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm 3 Khi đó  tdt  2 t I t. t dt     C. 3 3 1 Dẫn đến I 
 1 2x C. 3 Câu 37: ln x 1 2
Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x  2
ln x  1 và F  
1   Tính F e   . x 3 2 8 2 8 2 1 2 1 h
A. F e .    
B. F e .    
C. F e .    
D. F e .     ttp 3 9 3 9 s:// Lời giải lu ye Chọn B n th Cách 1 it rac ln x 2 2 ln x n
I  f xdx  ln x  1dx  ln x     1 d . x gh x x ie m.vn Đặ 1 ln x t t  2 ln x  1  2 t  2
ln x  1  2tdt  2 ln . x dx  tdt  dx x x 3 t
Khi đó I  t tdt  2 . t dt     C. 3 3 1
Dẫn đến F x  I   2
ln x  1 C. 3 F   3
 1  1  2   C  1 1 ln 1 1  C  0. 3 3 3 http 3 s://www 1
Dẫn đến F x   2 ln x  1 . 3 3 1 2 2 2 2 8 .fa
Ta tính được F e   ln x1 
. Suy ra F e .     ceboo 3 3 9 Cách 2 k.com
     e lnx F e F 1 ln x  1dx /v  2 1 x ietgold 1 2 8
Bấm máy vế phải, ta được F e   0,609.... Suy ra F e  0.942...Dẫn đến F e .     3 9 Câu 38: x
Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f x 
thỏa mãn F 2  0 . Tìm tổng các  2 8 x
nghiệm của phương trình F x  x . A. 1 3 . B. 2 . C. 1 . D. 1 3 . Lời giải 68
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” Chọn D x 1 1
Ta có F x  dx    d 8 x
 F x    2 8 x  C . 2    2  2 8 x 8  2 x 2
Vì F 2  0  2 C  0  C  2 . Suy ra F x   8  x  2 .
Xét phương trình F x  2 2 8 x 2 x m.vn
x   8  x  2  x     ie gh 2  x   0 x  2 x  2         x  1 3 . 8  2 x  2  2  x
x  2x  2   2 0 x  1  3 racn it th
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng 1 n 3 . ye 9x 10
lu Câu 39: Hàm số f x  
có một nguyên hàm là F x thỏa mãn F  
1  ln 2 . Gọi x , x là 2 6x  11x  3 1 2 s:// x x ttp
hai nghiệm của phương trình F x  x   1 ln 3 1
ln 3 . Giá trị của 1  2 3 3 bằng h 2 730 82 A. 28 . B. 4 . C. . D. . 27 27 Lời giải Chọn A 9x 10 x   x  Ta có F x   
dx  F x       3 2 3 3 1 dx 2 6x  11x  3
2x33x 1 /vietgold 1 F x       3 1 
dx  F x  ln 3x 1  ln 2x  3  C .
 3x 1 2x  k.com 3  2 ceboo 1 Vì F  
1  ln 2  ln 2  C  ln 2  C  0 . Suy ra F x  ln 3x 1  ln 2x  3 . .fa 2
Xét phương trình F x  x   1 ln 3 1
ln 3  ln 2x  3  ln 3  2x  3  3 2 x  3 https://www   1  x x 1  2  3  0 3 3 3 3  28 . x   0 2 Vậy x x 1  2 3 3  28 .
ĐÁP ÁN ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN 1 1.D 2.B 3.C 4.B 5.D 6.D 7.A 8.D 9.B 10.A
11.C 12.D 13.D 14.B 15.D 16.C 17.B 18.B 19.D 20.C
21.C 22.C 23.C 24.B 25.D 26.B 27.C 28.B 29.D 30.A 69
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN 2
Câu 40: (Đề thi THPT QG năm 2019 Mã đề 101) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x  2x  5 là A. 2
x  5x  C . B. 2
2x  5x  C . C. 2 x  5x . D. 2 x  C . Lời giải Chọn A h ttp
Ta có  f x x   x   x  2 d 2 5 d x  5x  s:// C . lu Câu 41: 2 ye
Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x  4cos x  5 thỏa mãn F    0 . Tìm F x n . th it 4 3 r
A. F x  3x  sin 2x   3 .
B. F x   sin x  5x   5 . a 3 cngh 4 4 C. F x  3
cos x  5x   .
D. F x  3x  sin 2x  . ie    5    3 3 3 m.vn Lời giải Chọn A
Ta có F x   x   2 4 cos
5dx  F x   x   2cos2 3dx
 Fx  sin2x  3x C .
Lại có F    0   
3  C  0  C   3 . https://www
Vậy F x  3x  sin2x   3 .
Câu 42: Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x  2x  3 x thỏa mãn F  1  0 . .fa ceboo A. 2 x  3 2 3 x  4 . B. 2 x  3 2 x  3 . C. 2 x  3 2 2 x  3 . D. 2 x  3 3 x  4 . k.com Lời giải /v Chọn B ietgold 2
Ta có F x   x 
 2 3 xdx  Fx  2 d x x  
6 x d x
 F x  2 x  3 2 x  C . Lại có F  
1  0  3  C  0  C   3 .
Vậy F x  2 x  3 2 x  3 .
Câu 43: Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x  2x8sinxcosx thỏa mãn F   2 . 70
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng”
A. F x  2 x  x  2 4 cos 2  2 .
B. F x  2 x  x  2 2 cos 2  4 .
C. F x  2 x  x  2 2 cos 2 .
D. F x  2 x  x  2 4 cos 2  6 . Lời giải Chọn C m.vn  x
 2 8sinxcosxdx   x
x x  x  x   2 2 4 sin 2 d 2 cos 2 C . ie gh
F    2   2  C   C    2 2 2
. Do đó F x  2 x  x  2 2 cos 2 . racn
it Câu 44: Cho hàm số f x thỏa mãn    2x f x
 3 x và f    16 4 . Mệnh đề nào đúng? th ln 2 n x 16 ye
A. f x  2  3 2 x   32 . B.    x f x  3 2 ln 2 x  8 . lu ln 2 x s:// 2 x 16
C. f x  2  3 x   24 .
D. f x   3 2 x  16 . ttp ln 2 ln 2 h Lời giải Chọn D   1 x 3 x  x        x 2 2 f x x x  2 2 3 d 2 3.x dx   2.x C   3 2 2 x  C .   ln 2 ln 2 16 16 2x f    16 4   16 C 
 C  16 . Do đó f x   3 2 x  16 . ln 2 ln 2 ln 2 ln 2
/vietgold Câu 45: Tìm nguyên hàm của hàm số   22x.3x.7x f x . k.com 84x 2 2 x.3x.7x A.  C . B.
 C . C. 84x C .
D. 84x.ln 84  C . ln 84 ln 4.ln 3.ln 7 ceboo .fa Lời giải Chọn A x 2x x x  x x x  84 2 .3 .7 d 84 d  https://www   C . ln 84 Câu 46: 1
Tìm nguyên hàm của hàm số f x   . 2x  2 1 1 1 1 1 A.  C . B.   C . C.  C . D.   C . 2  4x 2x13 4x  2 2x  1 Lời giải Chọn A 71
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  1 1 1 1 dx 2x 1 dx   .  C   C . 2     2 2x 1 2 2x  1 2  4x
Câu 47: Họ nguyên hàm của hàm số    3 f x x là 3 2 3 x 3 3x x 4x 4x A.  C . B.  C . C.  C . D.  C . 4 4 3 3 x 3 2 3 x h Lời giải ttp s:// Chọn B lu 1 4 3 ye 3 x x d x x  3 3 3 3 x dx  3 x  C  3 4 x  C  C . n   4 4 4 th it r
Câu 48: Tìm nguyên hàm của hàm số f x  sin5xcosx . acn 1 cos 4x cos6x gh
A.  cos5x  C . B.    C . ie 5 8 12 m.vn 1 1 1 C. cos5x  C . D. cos 4x  cos6x  C . 5 8 12 Lời giải Chọn B x x x  1  x  x x   1 x  1 sin 5 cos d sin 6 sin 4 d cos6 cos4x    C . 2 12 8 2x  1 ht
Câu 49: (Đề thi THPT QG năm 2019 Mã đề 101) Họ các nguyên hàm của hàm số f(x)  trên tp (x  2 1) s://www khoảng (1; ) là 2 3
A. 2 ln(x  1)   . C
B. 2 ln(x  1)   . C x  1 x  1 .fa ceboo 2 3
C. 2 ln(x  1)   C.
D. 2 ln(x  1)   C. x  1 x  1 k.com Lời giải Chọn B /viet 2x  1 2 3 Ta có f (x)    . gold (x  2 1)
x  1 x  2 1  
 f x x   2  3  x  x   3 d d 2 ln 1   C  .
x  1 x  2    x   1 1
Câu 50: Hàm số F(x) là nguyên hàm của f x   2 ( ) (1 )
x ln(x  1). Hỏi hàm số F(x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải 72
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” Chọn B TXĐ D  .
Ta có F x  f x    x  2 ' 1 ln x   1 . x F 'x 0 1 xln 1 0 2 x         1  0    2 lnx   1  0 m.vn ie x  1 x  gh  1    . x  1  1 x   2  0 racn it th
Phương trình F'x  0 có 1 nghiệm đơn x  1 và nghiệm kép x  0 nên hàm số F(x) có 1 n điểm cực trị. ye lu Câu 51: 1 s://
Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 
là (giả sử hàm số xác định). 2 x  (a  ) b x  ab ttp h x  b 1 x  a A. ln  C. B. ln  C. x  a b  a x  b x  a 1 x  b C. ln  C. D. ln  C. x  b b  a x  a Lời giải Chọn B 1 1 1
Ta có f x   .
x ax b  b ax a     
baxb /vietgold  f x   x    k.com  1 1 d dx
b ax a b ax b       ceboo 1  1 1  .fa     dx
b  a  x  a x  b  1 1 x   a
. ln x  a  ln x  b   C  ln    C . b  a b  a x  b https://www 4 Câu 52: x 22 1
Hàm số f (x) 
có một nguyên hàm là F(x) thỏa F(3) 
 ln 2 Giá trị của (2) eF 2 x  1 3 2 bằng: 2 3 3 3 A.  B.  C. 3. D.  3 2 3 Lời giải Chọn D   4    x F x x   2 x    1 d 1 dx 2  x  1 
x 1x    1  73
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm 3 x 1 x    x  1 ln  C 3 2 x  1 3 x 1 x 1
Trên khoảng 1;  F x      x  ln    C 3 2  x  1  1 3 22 1 3 1 1 22 1 14 Ta có F(3)   ln 2   3  ln C   ln 2  C   . 1 1 3 2 3 2 2 3 2 3 h ttp F x 3 x 1  x 1    x   14 ln , x 1;    . s:// 3 2  x  1 3 lu ye F   1 1 3 F2    e  3 2 ln ln . n 2 3 3 3 th it r 2x 1 F3 a
Câu 53: Hàm số f x  
có 1 nguyên hàm là F x thỏa F    10 ln 2 2 . Tính e . c 2 x  x  n 2 3 gh A. 3 5 2 .5 . B. 3 ln 2 . C. 3 5 2.5 . D. 3 5 ln 4 . ie m.vn Lời giải Chọn C
Sử dụng phương pháp đồng nhất thức. 2x  1 2x  1 A B
A Bx2AB
Có f x   . 2 x  x  2
x 1x2    x  1 x  2
x 1x2  1  A  A  B  2  Suy ra:    3 . 2A  B    1 B  5  ht  3 tps://www
F x  f x    x  .  .
dx  .ln x  1  .ln x  2    1 1 5 1 1 5 d   C .
 3 x 1 3 x  2  3 3 1 5
Trên khoảng 1;  F x  .lnx  
1  .ln x  2  C  .fa 1 3 3 ceboo 1 5 10 ln 2
Mà: F    10 ln 2 2  .ln 2  
1  .ln 2  2  C   C  0 . 3 1 3 3 3 1 k.com
 F x  1 x  5 .ln 1
.ln x  2x1;  . /v 3 3 iet 1 5 gold
Khi đó: F 3  .ln 2  .ln  5 . 3 3 F  1  5 1 5 .ln 2 .ln 5 .ln 2 .ln 5 3 Vậy: e  e  e e  3 5 3 3 3 3 . 2.5 . Câu 54: 1
Hàm số f x 
có một nguyên hàm là F x thỏa F    F    1 1 2 . Tính 2 x x   1 2
F 2  F 3. 1 5 1 5 A. . B.  ln 2 . C.  ln 2 . D. . 3 6 3 6 Lời giải 74
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” Chọn D
Sử dụng phương pháp đồng nhất thức. 1 A B C
AC 2x A Bx B
Có f x  . 2
x x       2 1 x x x  2 1 x x   1 A  C  0 A  1  
Suy ra: A  B  0  B  1 .   m.vn B   1 C   1 ie gh
F x  f x  1 1 1   .dx     .dx 2   x x x  1  racn it F x 1 x     x   x   C  1  1 ln ln 1 ln  C . th x x x n ye
  x  1  1 ln
 C  ,x 0 ; 1        lu   x  x s://   x 1
Khi đó: F x  1 ln
  C  ,x   1 ; 0 2     ttp h   x  x   x 1   1 ln
 C  ,x   ; 1 3   
  x  x 1 1 1
Mà: F    F    1 1 2 ln2 1 C ln C
 C  C  1. 1            3  2  2 2  2 1 3 3 1 2 1 5
Vậy: F 2 F  3     
  ln  C  ln  C   . 1   3   2 2   3 3  6
Câu 55: (Đề thi THPT QG năm 2017 – Mã đề 110) Cho       1 x F x x
e là một nguyên hàm của hàm /vietgold số   2x
f x e . Tìm nguyên hàm của hàm số   2x f x e . 2  x k.com
A.   2 x x e  C . B. x e  C .
C. 2   x x e  C .
D. 4  2  x x e  C . 2 ceboo Lời giải .fa Chọn C
Có: F x là một nguyên hàm của hàm số   2x f x e nên:       2x F x
f x e  x   1 x e   2x  
f xe . https://www
Hay:   2x  x     1 x  . x f x e e x e x e . Xét      2x I f x e dx .   2x u e   2 d 2 x u e dx Đặt    . dv  f   xdx v   f x
Khi đó:    2x    2 2
xd  . x  2.   1 x   2   x I f x e f x e x x e x e C x e   C .
Câu 56: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa lần 2 năm 2017) Cho a , b là các số hữu tỉ thỏa mãn x   d
ax  2 x  2  bx   1
x  1  C . Tính S  3a  b .
x  2  x  1 75
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm
A. S   2 . B. S  1 . C. S  4 . D. S  2 . 3 3 3 3 Lời giải Chọn C dx
x  2  x  1 Có I     dx  x 2 x 1 dx .
x  2  x  1
x2x        1 2 2 Suy ra: I  x  2 x  2  x  1 x  1  h     C . ttp 3 3  s://
Hay: a  2 , b  2 . 3 3 lu ye
Vậy S  a  b  4 3 . n 3 th    it Câu 57: Tìm
F x của hàm số f x  .
x sinx thỏa mãn F  2019. r một nguyên hàm ( )   a  2  cn A. ( F )
x  xsin x  cos x  B. ( F )
x  xcos x  sin x  gh 2019. 2018. ie C. ( F )
x  xsin x  cos x  2019. D. ( F )
x  sin x  xcos x  2018. m.vn Lời giải Chọn B u  x du  dx Đặt    dv   sin xdx v    o c s x x sin dx x
 xcos x   o
c s x  C  xcos x  sinx   C     f ( )   .cos
 sin  C  2019  C  2018 2 2 2 2 http Câu 58:  ( )  s://www
Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số .e x f x x
thỏa mãn F(0)  1. A.  ( 1)e x x 1. B.  ( 1)e x x  2. C.  (  1)e x x 1. D.  (  1)e x x  2. .fa ceboo Lời giải Chọn B k.com u  x du  dx Đặt  /v    dv  e dx  v  e iet  x  x gold F(x)  x x x x   
 e C    x xe dx xe xe e    C (
F 0)  11 C  1  C  2 tan x Câu 59: e
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)   2 cos x A. tan e x  . C B. tan e x  . C C. tan tan .e x x  . C D.  tan e x  . C Lời giải 76
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” Chọn A Đặ 1
t t  tanx  dt  dx 2 cos x tan x e
 t  t   tanx dx e dt e C e   C 2  cos x m.vn Câu 60: ie
Tìm nguyên hàm của hàm số f x  4 ( ) sin x cos . x gh 1 A.  5 sin x  C. B. 5 sin x  . C 5 racn it 1 C. 5 sin x  C. D.  5 sin x  . C th 5 n ye Lời giải lu Chọn C s://
Đặt t  sinx  dt  o c s xdx ttp h 5 4 t
sin x cos xdx  4 t dt   C  1 5 sin x    C 5 5
Câu 61: Tìm nguyên hàm của hàm số f x  2 ( ) cos x sin . x 1 1 A. 3 cos x  C. B.  3 cos x  C. 3 3 C.  3 cos x  . C D. 3 cos x  . C Lời giải /vietgold Chọn B k.com
Đặt t  cos x  dt  sin xdx 3 ceboo t  2
cos x sin xdx   2 t dt  C  1 3 cos x    C .fa 3 3 Câu 62: x  2 Tìm f (x)   nguyên hàm của hàm số x  1 https://www 3 2 A.
(x  4) x  1  C. B. (x  4) x  1  C. 4 3 x 1 C.
 C. D. x 1   C.
2(x  1) x  1 x  1 Lời giải Chọn B
Đặt t  x   2 1
t  x  1  2tdt  dx x  2  2 t  1  3    2t dx  2tdt   2
2t  2dt   2t  C x  1  t  3 77
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm 2x   1 x  1  
x   C  2 2 1
x4 x1C 3 3 Câu 63: 1
Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x)  thỏa mãn F   1 (0) ln 4. Tìm tập nghiệm x e  3 3
S của phương trình 3 ( )  ln  x F x e  3  2. A. S    2 .
B. S  2;  2 .
C. S  2;  1 .
D. S  2;  1 . h Lời giải ttp s:// Chọn A lu 1 x e ye F(x)  dx   dx x  e  3 x x e e  3 n   th it Đặt  x   x t e dt e dx racn x   e t t  gh dx  1 dt   1  1 dt     C x x   ln ln 3 e e  3 t t   3 3t 3 t   ie       3 3 3 m.vn
ln  x  ln x e e  3 ln x  xe 3    C    C 3 3 3 3 F   1
  ln 4  C   1 (0) ln 4 ln 4  C  0 3 3 3  ln x e   3 x
Ta có: 3F(x)  ln  x e  3    2   3 
  ln xe  3  2  x  2.  3 3    http x x s://www
Câu 64: Đặt I   cos dx , J   sin
dx . Tìm T  4J  2I sin x  cos x sin x  cos x
A. T  x  3ln sin x  cos x  . C .fa
B. T  x  3ln sin x  cos x  . C ceboo
C. T  3x  ln sin x  cos x  . C k.com
D. T  2x  ln sin x  cos x  . C /v Lời giải ietgold Chọn A cos x  sin x
Ta có: I  J  1.dx  x  
C ; I  J 
dx  ln sin x  cos x   C 1 sin x  2 cos x
x  ln sin x  cos x C  C
x  ln sin x  cos x C  C Do đó I   1 2 ; J   1 2 2 2 2 2
Suy ra: T  4J  2I = x  3ln sin x  cos x  C Câu 65: ln x
Tìm một nguyên hàm của hàm số f x  2 . ln x  1 . x 78
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng”  3 x  3 2 ln 1  2 ln x  1 A. B. 3 3  3 x  3 ln 1  2 x   2 ln 1 ln x  1 C. D. 3 3 Lời giải m.vn ie Chọn A gh    lnx ln x F x ln x   2
1dx . Đặt t  2 ln x  1  2 t  2
ln x  1  tdt  dx racn x x it ln x 1 2 t  3 2 3   th n
Khi đó F x  t .dt  C    C ye 3 3
lu Câu 66: Tìm hàm số f x, biết rằng f x  x  2 '
1 x và 3 f 0  4 s://  3  2 1 x  ttp  2 1 x h A.  1 B.  1 3 2 3 x  2 2  2 1 x    2 1 x  C. 1 D. 1 3 3 Lời giải Chọn A 1  3 1 2 1 x 2 2 2 
f x  f ' x dx  x 1 x dx  1 2 x d 1 x   /vietgold Ta có           C 2 3  3  k.com   2  1 0        
Mà 3 f 0  4 nên 3
 C  4  C  1 ceboo   3   .fa    3  2 1 x  f x   1 3 https://www Câu 67: 2x
Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x  x  2 x  1 2 2
A. F x  3 x   2 x   2 1 x  1 3 3 2 2
B. F x  3 x   2 x   2 1 x  1 3 3 2 2
C. F x  3 x   2 x   2 1 x  1 3 3 2 2
D. F x  3 x   2 x   2 1 x  1 3 3 79
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm Lời giải Chọn A    2x F x dx   2x x x 1 dx 2x dx 2x x 1dx 2
   2    2  2    x  x  1 1  2 3 x   2 x   d 2 x    2 3 x  2 1 1  2x   2 2 1 x  1   C 3 3 3  2  Câu 68:    F   3  h
Hàm số f x  1 có một nguyên hàm là F x thoã F 
  0 . Giá trị của e bằng ttp sin x  3  s:// 1 1 A. B. lu 3 2 ye C. 3 D. 2 n th it Lời giải rac Chọn C n gh Ta có: ie 1 1 1 1 x x m.vn F x    dx  dx  dx  d tan  ln tan        C sin x x x x 2 x x  2  2 2 sin .cos 2 tan cos tan 2 2 2 2 2     3 1 Mà F    0 nên ln tan
 C  0  C  ln  ln 3  ln 3  3  6 3 2  2   1 F  ln tan  ln3 Do đó:  3  e  3 2 e  ln3 e  3
Câu 69: Tìm nguyên hàm F x của hàm số        3 2 3 1 x x f x x e
, biết rằng đồ thị của hàm số F x có
điểm cực tiểu nằm trên trục hoành ht 3 x 3x2 3 e  tp x  1 A. 3x e  2 e B. s://www 2 3e 3 x 3x 3 e  2 e x 3x e 1 C. D. .fa 3 3 ceboo Lời giải k.com Chọn B 3 x  3 x 1 x  3 2 3 3x 3 1 x 3x /v
Ta có: F x  x   1 e dx  e
d x  3x  e    C iet 3 3 gold 3 Mà:
     2  x     3 ' 1 x F x f x x e  0  x  1   3 x  x    3 3 2 2 x      3 '' 2 . 1 3 3 x F x x e x x e ; F ''  1  0; F ''  1  0 .
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x  1.
Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ta có điểm cực tiểu là A1,0 1 1 Suy ra F    1  0  2
e  C  0  C   2 3 3e 80
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” 3 x 3x 2
Do đó F x   e   1 2 3e
ĐÁP ÁN ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN 2 1.A 2.A 3.B 4.C 5.D 6.A 7.A 8.B 9.B 10.B 11.B 12.B 13.D 14.C 15.D 16.C 17.C 18.B 19.B 20.A m.vn ie 21.C 22.B 23.B 24.A 25.A 26.A 27.A 28.A 29.C 30.B gh racn it ĐỀ th
RÈN LUYỆN LẦN 3 (NHÓM BÀI NÂNG CAO CÓ MẪU VÀ HƯỚNG DẪN) n
ye Câu 70: (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT 2019)Họ nguyên hàm của hàm số f( ) x  4 ( x 1 ln ) x là lu A. 2 2x ln x  2 B. 2 2x ln x  2 2 2 2 2 s:// 3x . x .
C. 2x ln x  3x  .
C D. 2x ln x  x  . C ttp
Hướng dẫn: Nhân phân phối và tách ra hai bài nguyên hàm. h Lời giải Chọn D  u   x du  1 1 ln Đặ dx t    x dv   4 d x x v   2 2x
Khi đó: f x x    x 2 x  x x   x 2 x  2 x  C  2 d 1 ln 2 2 d 1 ln 2
x 1 2ln x    C /vietgold Câu 71: x  x Giả sử     (2 3)d 1
C với C là hằng số. Tổng các nghiệm của (
x x  1)(x  2)(x  3)  1 ( g ) x k.com phương trình ( g ) x  0 bằng ceboo .fa A. 1. B. 1. C. 3. D. 3.
Hướng dẫn: Dựa vào phương trình (x  ) a (x  )
b (x  c)(x  )
d  e với a  b  c  d, ta sẽ nhóm (x  ) a (x  )
d .(x  )
b (x  c)    
 e, sau đó sẽ đặt t  (x  ) a (x  ) d . Cụ thể: https://www x x  x  x    x x  x  x   2 x  2 ( 1)( 2)( 3) 1 ( 3)[( 1)( 2)] ( 3 )
x (x  3x  2). Đặt t  2
x  3x  dt  (2x  3)dx là phần còn lại của nguyên hàm. Lời giải Chọn D (2x  3)dx (2x  3)dx Ta có: I     (
x x  1)(x  2)(x  3)  2 1 (x  3x  2
2)(x  3x)  1 Đặt t  2
x  3x  dt  2x  3dx Khi đó: 81
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  dt  dt I   1  C   1  C    g x x 3x 1. 2 2    2   (t 2) t 1 t   t  1 x  3x  1 1
Theo định lý Viet ta thấy phương trình gx  0 có hai nghiệm x ; x và x  x  3. 1 2 1 2 2
Mẫu 1. Cho hàm số f (x) xác định trên \{1} thỏa f (x) 
; f (0)  3 và f (2)  4. Tính giá trị của x  1
biểu thức P  f (2)  f (5). h ttp 2
2ln(x 1) C khi x  1
Giải. Ta có: f (x) 
f (x)dx 
dx  2 ln x 1  C     1 . s:// x  1
2 ln(1 x)  C khi x   1 2 lu ye  f (0)  3
2ln(1 0) C  3 C  4
2ln(x 1)  4 khi x  1 Do    2   1
 f (x)   . n f (2)  4
2 ln(2 1)  C  4 C  3 2 ln(1 )
x  3 khi x  1 th   1  2  it r
Khi đó: P  f (2)  f (5)  2ln[1(2)] 3  2ln(5 1)  4  2ln 3  2ln 4  a     7. c n gh Câu 72: 1
(Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT năm 2018 – Câu 37)Cho hàm số f (x) xác định trên \ ie   2  m.vn 2
thỏa mãn f (x) 
; f (0)  1 và f (1)  2. Tính P  f (1)  f (3). 2x  1
A. P  4  ln15.
B. P  2  ln15.
C. P  3  ln15. D. P  ln15. Lời giải Chọn C  1 ht
ln(2x  1)  C khi x   2  tp Ta có: f x  f  x x  x  x   C    1  2 ( ) ( )d d ln 2 1 . s://www 2x  1
ln(1 2x)C khi x  1  2 2 .fa
ln(2x1)2 khi x  1  f (0)  1
ln(1 0)  C  1 C   ceboo 2 2 1  Do     
 f (x)   2 f (1)  2 ln(2  1)  C  2 C  .   1 1 1  2
ln(1 2x)1 khi x  k.com  2 /v
Khi đó: P  f (1)  f (3)  ln3  
1  ln 5  2  ln15  3. ietgold Câu 73: 1
Cho hàm số f (x) xác định trên \{1} thỏa f (x)  , f (0)  2017, x  1
f (2)  2018. Giá trị của biểu thức T   f (3)  2018  f (1)  2017     bằng A.  2 1 ln 2 . B. 2 ln 2 . C. 2 ln 2 . D. 1 . Lời giải Chọn C 82
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” 1
ln(x 1) C khi x  1
Ta có: f (x) 
f (x)dx 
dx  ln x  1  C     1 . x  1
ln(1 x)  C khi x   1 2  f (0)  2017
ln(1 0) C  2017 C  2018 Do    2   1 . f (2)  2018
ln(2  1)  C  2018 C    2017 1  2
Khi đó: T   f (3)  2018  f (1)  2017     m.vn  ln3  1  2018  2018   ln1  1   2017   ie 2017 gh   2 ln 2.ln 2 ln 2 . racn it Câu 74: 1 th
Cho y  f ( )
x xác định trên \{2} thỏa mãn f (x)  ; f  4 (0) ln 6 và n 3x  6 3 ye lu f  4 (3)
ln 3. Tính P  f (7)  f (11) . 3 s:// A. P  . B. P  . C. P  . D. P  3  . ttp ln162 ln18 2ln 3 ln 2 h Lời giải Chọn A
1 ln(x2)C khi x   2 1 1 Ta có: f x  f  x x  x  x   C    1 3 ( ) ( )d d ln 2 . 3x  6 3
1 ln(2  x)C khi x  2  2 3  4 1 4  f (0)  ln 6
ln(2  0)  C  ln 6 C  4   ln 3 2   3 3 3  1 /vietgold Do      3  4 1 4  f (3)  ln 3.
ln(3  2)  C  ln 3 C  ln 2  4  ln 3  3  1 3 3  2 k.com  3 1 4 ceboo ln(x  2)  ln 3 khi x   2 .fa  f x  3 3 ( ) . 1  x   4 ln(2 ) ln 2 ln 3 khi x   2 3 3  1 4  1 4 
Khi đó: P  f (7)  f (11) 
ln[2  (7)] ln 2  ln 3  ln(11 2)     ln 3 https://www  3 3  3 3   4ln3 ln2  ln162 . Câu 75: 1
Cho hàm số f (x) xác định trên * thỏa mãn f (x) 
, f (1)  1, f (1)  0 và 2 x
f (2)  0. Giá trị của biểu thức f (2) bằng A. 1 2ln 2 . B. 2  ln 2 . C. 3  ln 2 . D. ln 2 . Lời giải Chọn A 83
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm 1 1
Ta có: f (x)  f  (x)dx  dx      C . 2 x x    Suy ra f x  f  x x 
+C dx   ln x  Cx    1 ( ) ( )d   C  x 
ln x Cx C khi x   0  1  .
ln(x)  Cx  C khi x   0 2  f (1)   1
ln1 C.1 C  1 C   2 ln 2 1 h    ttp
Do  f (1)  0   ln1 C.1 C  0  C 1 ln 2 1       2 s:// f (2)  0
ln 2  C.2  C  0 C    ln 2 1  lu
ln x  xln 2  ln 2 khi x  0 ye
 f (x)   .
ln(x)  x ln 2  1 ln 2 khi x  n  0 th
Khi đó: f (2)  ln 2  2ln 2 1 ln 2  1 2ln 2 . it racn
Câu 76: Cho hàm số f(x) xác định trên \{2} thỏa f (x)  2x  4 , f(1)  1 và f(3)  2. gh ie
Giá trị của biểu thức f (1)  f (4) bằng bao nhiêu? m.vn A. 6 . B. 2 . C. 14 . D. 0 . Lời giải Chọn A Ta có:
2x4dx khi x   2
f (x)  f (x)dx  2x  4 dx    
4  2xdx khi x   2 ht  2 tp
x  4x  C khi x   2 1 s://www  . 4x  2 x  C khi x   2 2  f (1)  1 4.1 2 1  C  1 C  2 Do    2   2 .fa f (3)    2  2 3  4.3  C  2 C   1 1  1 ceboo  2
x  4x  1 khi x  2 k.com
 f (x)   . 4x  2
x  2 khi x   2 2 /v Khi đó:  f f 4.  1         1  2  2 ( 1) (4)   4  4.4   1  6 . iet  gold
Câu 77: Xét hàm số y  f( )
x xác định trên \{1}, có f (0)  2 và f (2)  1. Biết rằng hàm số ax   b f (x) 
có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Tính giá trị của f (1)  f (3). x  c
A. f (1)  f (3)  2 ln 2 . B. f (1)  f (3)  6 .
C. f (1)  f (3)  6  2 ln 2 .
D. f (1)  f (3)  3  2 ln 2 . Lời giải 84
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” Chọn D ax  b ax
Từ đồ thị hàm số f (x) 
ta thấy: Đồ thị đi qua gốc tọa độ do đó b  0  f (x)  . x  c x  c ax Mà f (x) 
có đồ thị như hình vẽ nên a  0 , suy ra x  c
đồ thị có đường tiệm cận đứng của đồ thị là x  c và đường tiệm cận ngang là y  a . Từ đồ
thị ta thấy đồ thị có đường tiệm cận đứng x  1; đường tiệm cận ngang y  1 m.vn ie x
Suy ra a  1 và c  1 . Vậy f (x)  . gh x  1 x  
f x  f  x x  x  1 
dx  x  ln x  1  racn Ta có:    1 ( ) ( )d d   C x  1  x  it 1  th
x  ln(x 1) C khi x  n  1  1 . ye
x  ln(1 x)  C khi x   1 2 lu  f (0)   2 0  
ln 1 0  C  2 C  1
x ln(x 1) 1 khi x 1 s:// Do    2 1
f x         .  f (2) 1 2   ln 2      1  C  1 C  2
x  ln(1 x)  2 khi x   1 1  ttp 2 h
Khi đó f (1)  f (3)  1  ln 1  1    2  3  ln 3   1   1  3     2 ln 2 .  2
3x  5 khi x  0
Mẫu 2. Hàm số F(x) liên tục trên , là một nguyên hàm của hàm số f (x)   . Biết
5cos x khi x   0       rằng F   F(1)   
3. Giá trị của biểu thức T  F(2)  2F    bằng bao nhiêu?  2   6  Lời giải /vietgold  3
x  5x  C khi x  0 Ta có: F(x) 
f (x)dx    1 .
5sin x  C khi x   0 k.com 2       3 ceboo Theo đề F 
 F(1)  2  5sin 
 C 1  5.1 C  3  C C      2 (1)  2   2  2 2 1 2 .fa
Vì hàm số F(x) liên tục trên
nên liên tục tại điểm x  0, tức có: lim F( ) x  lim ( F ) x  (
F 0)  C  C nên kết hợp (1)  C  C  1.   1 2 x x 2 1 0 0 https://www  3
x  5x  1 khi x  0
Suy ra: F(x)   .
5sin x  1 khi x   0         Do đó: T  F  F   3 (2) 2 2  5.2  1 2 5sin  1        22.  6    6    2 3x  2 khi x  Câu 78: 2
Biết rằng F(x) liên tục trên , là một nguyên hàm của hàm số f (x)   .  3
4x  18 khi x   2
Giá trị của biểu thức ( F 1)  ( F 3) bằng A. 7. B. 18. C. 8. D. 32. 85
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm Lời giải Chọn B  3
x  2x  C khi x  2 Ta có: F(x) 
f (x)dx    1 .  4
x  18x  C khi x   2 2
Vì hàm số F(x) liên tục trên
nên liên tục tại điểm x  2, tức có: lim ( F ) x  lim F( )
x  F(2)  12  C  20  C  C C  32 h   x x 1 2 1 2 2 2 ttp s:// Do đó: ( F 1)  (
F 3)  118 C   27  6  C   14  C C   14  32  18 . 2 1 1 2 lu ye
2x khi x  Câu 79: 1
Cho hàm số f (x)  
có một nguyên hàm là hàm số F(x) thỏa mãn F(0)  1 n
3x 1 khi x  1 th  2 it
và F(x) liên tục trên . Giá trị của T  ( F 1)  ( F 2) bằng rac A. 7. B. 5. C. 8. D. 6. n gh Lời giải ie m.vn Chọn B 2 x C khi x  1 Ta có: F(x) 
f (x)dx    1 .  3
x  x  C khi x   1 2
Theo đề F 0  1  C  1 (1) 2
Vì hàm số F(x) liên tục trên
nên liên tục tại điểm x  1, tức có: C  1 2 lim F( ) x  lim F( )
x  F(1)  1 C  C nên kết hợp (1)   ht   x x 1 2 1 1 C   0 1 tps://www  2 x khi x  1
Suy ra: F(x)   .  3
x  x  1 khi x   1 .fa 2 ceboo
Do đó: T  F(1)  F(2)  11  1  2   5 . k.com
sin x  xcos x khi x  Câu 80: 0
Biết rằng F(x) liên tục trên , là nguyên hàm của hàm số f (x)   và 2(x  1) khi x   0 /v F  ( )  ( F 1) 
Giá trị của biểu thức ( F  2 )  ( F  bằng iet 1. 5) gold A. 17. B.  2  3. C. 8. D.   1. Lời giải Chọn A
xsin x C khi x  0 Ta có: F(x) 
f (x)dx    1 .  2
x  2x  C khi x   0 2 Theo đề F  ( )  (
F 1)  1.   sin  C   1 2 C   1  C  C  2 (1) 1 2 1 2
Vì hàm số F(x) liên tục trên
nên liên tục tại điểm x  0, tức có: 86
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” lim F( ) x  lim ( F ) x  (
F 0)  C  C nên kết hợp (1)  C  C  1.   1 2 x x 2 1 0 0
xsin x 1 khi x  0
Suy ra: F(x)   .
x  2x  1 khi x   2 0
Do đó: T  F(  2 )  ( F 5)    2 sin   2    1  25 10   1  17. m.vn  1 khi x  ie 0 Câu 81: 
Biết F x liên tục trên
, là một nguyên hàm của hàm f x   2x  1 . Biết gh
2x13 khi x   0 racn it
F 4  F  
1  8 . Tính P  F 2  F 12 . th n 281 121 A. 20 . B. . C. 27 . D. . ye 16 8 lu Lời giải s:// Chọn A ttp h  1  2x 1 C khi x  khi x   0 1 f x  0   2x 1
 F x  2x14
là nguyên hàm của f x .    C khi x  2x  3 1 khi x   0 0  2 8 2  4 1 39
Từ đó suy ra: F 4  F    
1  8  8  1  C 
 C  8  C C  . 1 2 1 2 8 8 4 4 1
Ta có: P  F 2  F 12    2.12 1 
 C C  20 . 1 2 8
Câu 82: Cho hàm số y  f x xác định trên  \ 
0 thỏa mãn xf x  2 2
x f x  1 và f   1  0 . /vietgold
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f x tại giao điểm với trục hoành là k.com
A. y  x  1.
B. y  2x  2 .
C. y  x .
D. y  x . ceboo Lời giải .fa Chọn A 2 2  2 2 
Ta có: 2xf x  x f x  1  x  f x  x f x  1  x f x  1 .
Lây nguyên hàm hai vế ta được: https://www
 2x f x.dx  1.dx   2
x f x  x  C . Lại có: f  
1  0  1. f  
1  1 C  C  1 . x 1 Từ đó suy ra: 2
x f x x 1 f x      . 2 x x 
Xét phương trình hoành độ 1 giao điểm:
 0  x  1 (thỏa mãn). 2 x 2  x
Ta có: f 'x   f   1  1 ; f   1  0 . 3 x
Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:
y  f   1 x   1  f  
1  y  x  1 . 87
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm
Câu 83: Cho hàm số y  f x xác định trên  \ 
0 thỏa mãn f x  xf x  2
3x và f 2  8 . Phương
trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f x tại giao điểm với trục hoành là
A. y  x  1.
B. y  2x  4 .
C. y  4x .
D. y  6x 12 . Lời giải Chọn D 2 
f x  xf  x  3x  x f x  xf  x  2 3x  f x x '  2 h Ta có:              3x . ttp
Lây nguyên hàm hai vế ta được: s://  3 lu
xf x d.x  3x d.x   2
xf x  x  C . ye
Lại có: f 2  8  2. f 2  8  C  2.8  C  8  C  8 . n th 3 it 3 x 8 r
Từ đó suy ra: xf x x 8 f x      . a x cn 3 x  gh 8
Xét phương trình hoành độ giao điểm  0  x  2 . ie x m.vn 3 2x  8
Ta có: f x   f  2
6 ; f 2  0 . 2     x
Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:
y  f 2x  2  f 2  y  6x  2  y  6x 12 .
Câu 84: Cho hàm số y  f x thỏa mãn fx 2f x  2 .
x và f 2  2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số       2 g x f x
x tại điểm có hoành độ bằng 3 là
A. y  7x  9 .
B. y  x  2 .
C. y  4x  4 .
D. y  x . http Lời giải s://www Chọn A
Ta có: f x 2 f x  2 . x . .fa
Lây nguyên hàm hai vế ta được: ceboo     3 3 3 x f x 2 2 x f x f x .dx x .dx     2 .
f x.df x      C   C . 3 3 3 k.com f f 2 3   3 2  2 
 2  C  8  8 C  C  0 . /v 3 3 3 3 iet 3 3 gold f x x Suy ra: 
 f x  x . 3 3
Vậy g x  2
x  x  g'x  2x  1 .
Ta có: g'3  7; g3  12 .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 3 là: y  
g 3x  3  g3  y  7 x  3  12  y  7x  9 .
Câu 85: Cho hàm số y  f x thỏa mãn      ex f x f x
và f 0  2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số y x  f x tại giao điểm với trục hoành là 88
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng”
A. y  x  2 . B. y  2 e x  4 . C.  y  2 e x  2 .
D. y  x . Lời giải Chọn C    Ta có:     ex f x f x . x x x  Nhân cả 2 vế với  e x ta được:  e f x 
 e f x  1   
e f x  1. m.vn ie
Lây nguyên hàm hai vế ta được: gh
 ex    .dx  1.dx   e x f x
f x  x  C . racn
f 0  2  f 0  0  C  C  it 2 . th x  n x 2 Suy ra: 
e f x  x  2  f x 
 x  2 ex  f  x  x  3 ex . x       ye e lu
Xét phương trình hoành độ giao điểm   2ex x  0  x  2 . s:// Ta có: f     2        2 2 2 3 e
e ; f 2  0 . ttp h
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 3 là:  y  2 e x  2 . Câu 86: THIẾU
Câu 87: Cho hàm số y  f x thỏa mãn   '     x f x f x e ,x 
và f 0  2 . Tất cả các nguyên hàm của   2x f x e là
A.   2 x  x x e e  C . B.    2 2 x  x x e e  C . C.    1 x x e  C . D.    1 x x e  C . /vietgold Lời giải k.com ceboo Chọn D .fa   '   
 x  x.    x '   1  x.  '  1 x f x f x e e f x e f x e f x
e . f x  x C x
Mà f 0  2 , suy ra f x   2 . x e
https://www f x x  2x e dx  2 2x
e dx  x  2 x
e dx  x  2d x
e   x  2 x e       xedx x e
   2 x  x      1 x x e e C x e  C
Câu 88: Cho hàm số y  f x thỏa mãn 2f x x f x f x  4 2 . . '
5x , f x  0 và f   1  1 . Phương
trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f x tại điểm M có hoành độ x  2 là
A. y  2x  1 .
B. y  x  4 .
C. y  4x  4 .
D. y  x . Lời giải 89
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm Chọn C 2
f x  x f x f x  4 x  2
f x  x f x f x  4 2 . . ' 5 2 4 . . ' 10x   2
x f x  4 x  2 x f x  5 2 . ' 10 2 . 2x  C Mà f  
1  1  2.1  2  C  C  0 , suy ra 2    4     2 f x x f x x .
f 'x  2x, f '2  4 . h ttp
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M có hoành độ x  2 là s://
y  4x  2  f 2  4x  4 . lu ye Câu 89: n
Cho hàm số y  f x xác định và liên tục trên thỏa mãn các điều kiện f x  0,x , th it f x   x 2 ' e . f x ,  x  và
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm r     f    1 0 a 2 cn có hoành độ x  là gh ln 2 0 ie
A. 2x  9y  2 ln 2  3  0 .
B. 2x  9y  2 ln 2  3  0 . m.vn
C. 2x  9y  2 ln 2  3  0 .
D. 2x  9y  2 ln 2  3  0 . Lời giải Chọn A f ' x   x x 1
x  , f x  0, f 'x   2
e . f x    x e e C 2
f x    f x    ht 1 tp Mà f    1 0
suy ra C  1 và f x  . x e  s://www 2 1    x e f x f       2 ' ' ln 2 , f    1 ln 2 . x e  2 9 3 .fa  1 ceboo
Phương trình tiếp tuyến tại hoành độ x  ln 2 là: 0 k.com
y   2 x   1 ln 2
 2x  9y  2ln 2  3  0 /v 9 3 ietgold
Câu 90: Cho hàm số y  f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0; và thỏa mãn f   1  1 ,
f x  f 'x. 3x 1, 
x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 2  f 5  3 .
B. 1  f 5  2 .
C. 4  f 5  5 .
D. 3  f 5  4 . Lời giải Chọn D 90
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” f 'x 1
Vì f x  0 và f x  f 'x. 3x  1 ta suy ra .
f x  3x  1 f 'x  1 2 3x 1  dx  dx ln f x      C f x 3x  1 3  2 4 4 3x 1 Mà f  
1  1 suy ra C  4 và f x    3 3 e . f    3 5 e  3,79 . m.vn 3 ie
gh Câu 91: Cho hàm số y  f x liên tục trên đoạn  
0; 3 thỏa mãn f x  1, f 0  0 , và racn 2
x  1. f 'x  2 . x
f x  1 . Giá trị của f  3 bằng it th A. 0 . B. 3 . C. 7 . D. 9 . n ye Lời giải lu s:// Chọn B ttp h f 'x 1
Vì f x  0 và f x  f 'x. 3x  1 ta suy ra .
f x  3x  1 f 'x  1 2 3x 1  dx  dx ln f x      C f x 3x  1 3  2 4 4 3x 1 3 3 3 Mà f  
1  1 suy ra C  4 và f x    e
. f 5  e  3,79 . 3
Câu 92: Cho hai hàm số y  f( ) x và y  ( g )
x không âm, có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa các hệ thức /vietgold f (1)  ( g 1)  4, ( g ) x   . x f ( ) x và f ( ) x   . x  g ( )
x . Giá trị của f (4)  ( g 4) bằng k.com A. 1 . B. ln 2 . C. ln 3 . D. 2 ln 2 . Lời giải ceboo .fa Chọn A Ta có ( g ) x   . x f ( ) x và f ( ) x   . x  g ( ) x
f (x)  g x 1
Suy ra f x  ( g x)   .
x  f (x)  gx    . f x   ( g x) x https://www
4  f (x)  gx  4  4 1
d f x  ( g x) 4 Từ đó suy ra   f x dx  dx    ln x ln 4   ( g x) x f x        1 ( g x) 1 1 1
 ln f x 4 ( g ) x
 ln4  ln f 4 (
g 4)  ln f   1  ( g 1)  ln 4 1  ln f 4  (
g 4)  0  f 4  g4  1  f 4  g4  1 .
Câu 93: Cho hàm số y  f( ) x liên tục trên {
\ 0; 1}, thỏa mãn x x 
f  x  f x  2 ( 1) ( )
( ) x  x với mọi
x  \{0; 1} và f (1)  2ln 2. Biết f (2)  a  bln 3 với a, b . Giá trị của tổng 2  2 a b bằng 91
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm 13 A. 0, 5 . B. 0,75 . C. . D. 4, 5 . 4 Lời giải Chọn D 1 Ta có (
x x  1) f (x)  f (x)  2 x  x  xx
 f x fx 1  1 h  ttp  1 x x x x f x f x f x 2               s:// x  x  1 x  1  x  1  x  1 1 lu  ye  x  x x
Suy ra  f x dx  dx    f x
 x  ln x 1 C n  x  1  x  1 x  1 th it 1 ra Mà f  
1  2 ln 2  2 ln 2.  1 ln 2  C  C  1 . c 2 n gh Do đó x 1 x 1 1 x 1 . ie f x     x 1 ln x  1   x   ln x  1 x x x x m.vn 1 3 3 3 3 3 9 Ta có f (2)  2 
 ln 3   ln 3 suy ra a  ;b   2 a  2 b  . 2 2 2 2 2 2 2
Câu 94: Cho hàm số y  f( )
x có có đạo hàm trên [1; 2] thỏa f (1)  4 và f x  xf  x  3 x  2 ( ) ( ) 2 3x . Giá
trị của f (2) bằng A. 5 . B. 20 . C. 10 . D. 15. Lời giải ht Chọn B tp 3 2 s://www
Chọn f x  ax  bx  cx  d .
Ta có f x  xf  x  3 x  2 x  3 ax  2
bx  cx  d  x  2
ax  bx  c  3 x  2 ( ) ( ) 2 3 3 2 2 3x . .fa
a  3a  2 a  1 ceboo  
b  2b  3 b  3 Suy ra    . k.com c  c c    0 d   0 d    0 /v 3 2 iet
Vậy f x  x  3x suy ra f 2  20 . gold Câu 95:
Cho hàm số y  f ( )
x liên tục trên (0; ) thỏa mãn xf  x  f x  2 2 ( ) ( ) 3x
x. Biết f (1)  0,5.
Giá trị của f (4) bằng A. 24 . B. 14 . C. 4 . D. 16. Lời giải Chọn D 1 3x x
Ta có 2xf (x)  f (x)  2 3x x. 
f x  f x  2x 2 92
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” 2 2  1  
   3x       3x f x x f x x f x 2 x 2 2  2 3 3x x
Suy ra  x f x dx 
dx  x f x     C . 2 2 1 2 x x Mà f   1  0.5  f   1 
 C  C  0 . Do đó f x  . Vậy f (4)  16 . 2 2 m.vn
ie Câu 96: Cho hàm số y  f ( )
x có đạo hàm liên tục trên , f (0)  0, f (0)  0, f (2)  2 và thỏa mãn hệ gh
thức f x f  x  2 x  2 ( ). ( ) 18 (3x  ) x f ( )
x (6x 1) f ( )
x ;  . Giá trị của f (2) bằng racn A. 4 . B. 4 . C. 24 . D. 24 . it th n Lời giải ye Chọn D lu 2 2 s://
f (x). f ( )
x  18x  (3x  x) f ( )
x  (6x  1) f ( ) x ttp
 2 f (x). f ( ) x  2 36x  2
2(3x  x) f ( )
x  2(6x  1) f ( ) x h
 f x f  x  2
x  x f  x  x  f x    2 2 ( ). ( ) 2(3 ) ( ) 2(6 1) ( ) 36x
 2fx  2x x f x 2 x
 2fx  2x x f x        dx     2 2 3 36 2 3 36x dx 2
f x   2
x  x f x   3 2 3 12x  C
Ta có f 0  0  C  0 .  f 2  /vietgold 24 Vậy 2
f x  2 2
3x  x f x   3 12x  2
f 2  20 f 2    96   .
 f 2  4 k.com
Vì f (2)  2 suy ra f 2  24 . ceboo
.fa Câu 97: Cho hàm số y  f( )x liên tục, không âm trên đoạn [0;/2] thỏa mãn f(0) 3 và f x f  x  x  2 ( ). ( ) cos . 1 f ( )
x . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y  f ( ) x    trên đoạn ;    https://www  6 2  A. m  21 , M  2 2 .
B. m  5 , M  3 . 2 2 C. m 
5 , M  3 . D. m  3, M  2 2 . 2 Lời giải Chọn A
f (x). f (x)
Ta có f (x). f (x)  cos . x 1  2 f ( ) x   cos x 1 2 f (x) 93
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm
f (x). f (x) Suy ra
dx  cos xdx   
 1 2f( )x dx sinx C 2    1 f ( ) x   2 1 f ( )
x  sin x  C . Mà f (0)  3 suy ra C  2 . Do đó ta có  2 f x  x   2 f x  2 1 ( ) sin 2
sin x  4 sin x  3 . Vì f x không âm trên
[0; /2] nên ta có f x  2
sin x  4 sin x  3 . h ttp    2 s://
Xét hàm số f x  sin x  4sin x  3 trên đoạn  ;  .  6 2  lu ye 1  1  2 n
Đặt t  sin x,t 
;1  f t  t  4t  3,t     ;  1 . th 2  2  it ra t 2 1  1  c Có
suy ra hàm số đồng biến trên n f t     
 0,t   ;  1  ;  1 . 2 gh t  t  2 4 3  2  ie m.vn  1  21 + f  ; f   1    2 2  M  m  21 2 2 , .  2  2 2 f x Câu 98: x
Giả sử hàm số y  f x liên tục, dương trên , thỏa mãn f 0  1 và Khi đó f x   2 x  1
hiệu T  f 2 2  2 f   1 thuộc khoảng A. 2; 3 . B. 7; 9 . C. 0;1 . D. 9;12 . ht Lời giải tps://www Chọn C f x x  x 1 2 .fa Ta có . f x   ln f x ln f x ln x 1 C 2      2       x  1 x  1 2 ceboo 1 k.com
Vì f 0  1 nên C  0  ln f x  ln 2 x  
1  f x  2 x  1 , 2 /viet
Suy ra T  f 2 2  2 f   1  3  2. 2  0,17 . gold Câu 99: 7 cos x 4 sin x     3   
Hàm f x  
có một nguyên hàm F x thỏa F    
Giá trị F   bằng cos x  sin x  4  8  2   3  11ln 2  3  3  3  ln 2 A.  B.  C.  D.  4 4 8 4 Lời giải Chọn A 94
 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB
“Thành công là nói không với lười biếng” 7 cos x 4 sin x 3 cos x sin x 11 sin x cos x Ta có f x       .  . cos x  sin x
2 cos x  sin x 2 cos x  sin x 7 cos x 4 sin x 3 cos x sin x 11 sin x cos x Suy ra F x      dx  . dx     . dx cos x  sin x
2 cos x  sin x 2 cos x  sin x
 3 x  11 ln cos x  sin x  C 2 2 m.vn ie     3  3 11  3 11 Vì F    ln 2  C   C     ln 2 . gh  4  8 8 2 8 4 racn     it 3 11 Vậy F     ln 2 . th  2  4 4 n ye
ĐÁP ÁN ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN 3 lu s:// 1.D 2.D 3.C 4.C 5.A 6.A 7.A 8.D 9.B 10.B ttp h 11.A 12.C 13.A 14.D 15.A 16.C 17.C 18.D 19.C 20.A 21.D 22.B 23.A 24.D 25.B 26.D 27.D 28.A 29.C 30.A /vietgold k.com ceboo .fa https://www 95
Document Outline

nguyen ham 1
nguyen ham 2

Nguyên hàm và các phương pháp tính nguyên hàm – Nguyễn Hoàng Việt Toán 12

Tài liệu liên quan:

Bảng nguyên hàm đầy đủ | Toán 12

Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay | Toán 12

Công thức tích phân đầy đủ và chi tiết nhất | Toán 12

Chuyên đề nguyên hàm – tích phân Toán 12

Gắn hệ tọa độ Oxyz để giải các bài toán hình học không gian – Phương Nguyễn Toán 12