Nội dung ôn tập học kì 2 Toán 11 năm 2023 – 2024 trường THPT Trần Phú – Hà Nội

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 11 tài liệu đề cương hướng dẫn nội dung ôn tập học kì 2 môn Toán 11 năm học 2023 – 2024 trường THPT Trần Phú, quận Hoàn Kiếm, thành phố Hà Nội.

Chủ đề:

Tài liệu chung Toán 11 319 tài liệu

Môn:

Toán 11 3.3 K tài liệu

Thông tin:
40 trang 1 năm trước
Tác giả:
K
Kim Oanh
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Nội dung ôn tập học kì 2 Toán 11 năm 2023 – 2024 trường THPT Trần Phú – Hà Nội

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 11 tài liệu đề cương hướng dẫn nội dung ôn tập học kì 2 môn Toán 11 năm học 2023 – 2024 trường THPT Trần Phú, quận Hoàn Kiếm, thành phố Hà Nội.

83 42 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 11 319 tài liệu

Môn: Toán 11 3.3 K tài liệu

Thông tin:

40 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ-HOÀN KIẾM
NỘI DUNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2
NĂM HỌC 2023-2024
MÔN: TOÁN 11
Nội dung: 1. Một số yếu tố thống kê và xác suất.
2. Hàm số mũ và hàm số lôgarit.
3. Đạo hàm.
4. Quan hệ vuông góc trong không gian. Phép chiếu vuông góc.
CHƯƠNG V. MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
I. TỰ LUẬN
Bài 1: Điều tra điểm thi đánh giá năng lực của học sinh THPT đợt 1 trên 40 học sinh của trường X
82
99
71
92
67
78
96
92
86
77
75
89
91
87
66
75
89
95
92
88
93
99
83
84
74
82
86
75
88
94
66
79
84
88
69
87
89
75
92
86
a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên, các nhóm có độ dài bằng nhau, trong đó có nhóm
[90;100]; thêm cột “giá trị đại diện” và cột “tần số tích lũy”.
b) Tính số trung bình, tìm trung vị, tứ phân vị. Mốt của mẫu số liệu trên.
Bài 2: Điều tra khoảng cách từ nhà đến trường của một số học sinh trường X (đơn vị: mét)
Nhóm
Tần số
Tần số
tích lũy
[0;500)
80
[500;1000)
180
[1000;1500)
140
[1500;2000)
112
[2000;2500)
150
[2500;3000)
90
n =
a) Kích thước của mẫu số liệu trên? Điền giá trị đó
vào bảng. Độ dài các nhóm trong bảng trên là
bao nhiêu?
b) Điền số và cột Giá trị đại diện và tần số tích lũy.
Tính số trung bình của mẫu số liệu.
c) Tìm nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn
hoặc bằng n/2
d) Tìm trung vị, tứ phân vị, mốt của mẫu số liệu
trên.
Bài 3: Gieo đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Gọi A
1
là biến cố “Lần 1 được mặt ngửa” và A
2
là
biến cố “Lần 2 được mặt ngửa”.
a) Tính xác suất P(A
1
), P(A
2
)
b) Hai biến cố A
1
, A
2
là hai biến cố xung khắc, đối nhau hay độc lập? Giải thích.
c) Gọi biến cố A: “Hai đồng xu cùng ngửa”; B: “Hai đồng xu cùng sấp”, C: “có ít nhất 1 đồng xu ngửa”
Biểu diễn A, B, C theo A
1
; A
2
. Tính các xác suất P(A), P(B), P(C).
Bài 4: Gieo con xúc sắc cân đối và đồng chất 2 lần liên tiếp. Gọi A
1
là biến cố “Lần 1 được số chấm chẵn”; B
1
là biến cố “Lần 1 đươc số chấm lẻ” và A
2
là biến cố “Lần 2 được số chấm chẵn”
a) Ttrong các biến cố A
1
, A
2
, B
1
; hai biến cố nào là xung khắc, đối nhau hay độc lập? Giải thích.
b) Biến cố C: “Lần 1 được số chấm >4”. Biến cố C; A
1
; A
2
có độc lập hay xung khắc?
c) Viết theo A
1
, A
2
các biến cố A: “Cả hai lần đều được số chấm chẵn”, B: “Ít snhất 1 lần được chấm
chẵn”. Tính xác suất P(A), P(B).
Bài 5: Hai xạ thủ An và Bình cùng bắn vào 1 bia đích. Gọi biến cố xạ thủ An bắn trúng đích là A có P(A) = 0,8.
Biến cố để xạ thủ Bình bắn trúng là B có P(B) = 0,6
a) Biến cố xạ thủ An bắn trượt, xạ thủ Bình bắn trượt được kí hiệu thế nào? Xác suất của chúng?
b) Biểu diễn các biến cố sau theo các biến cố trên
- Biến cố E: “Cả hai xạ thủ cùng bắn trúng”
- Biến cố F: “Có đúng 1 xạ thủ bắn trúng”
- Biến cố P: “Cả hai xạ thủ cùng bắn trượt”
- Biến cố Q: “Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng”
c) Tính xác suất các biến cố ở câu b.
Bài 6: Cho tập hợp S = {1; 2; 3; 4; ….. ; 31}.
a) Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập S, Tính xác suất các biến cố A, B và
AB
biết A: “Lấy được số
chẵn”, B: “Lấy được số lớn hơn 7”
Gọi C là biến cố “Lấy được số chấm lẻ”. Biến cố C quan hệ thế nào với biến cố A (xung khắc, đối nhau
hay độc lập)
Gọi M: “Số lấy ra chi hết cho 2”; N: “Số lấy ra chia hết cho 3”. Tính xác suất các biến cố
; M N M N
b) Lấy ngẫu nhiên hai số thuộc tập S. Tính xác suất để lấy được hai số có tổng là một số lẻ.
Bài 7: Trường X chọn ra 30hs (20 nam và 10 nữ), trong đó có 10 học sinh mỗi khối 10, 11, 12.
a) Lấy ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để trong đó có 2 nữ.
b) Lẫy ngâu nhiên 18 học sinh, Tính xác suất để trong đó có học sinh nữ.
c) Lấy ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để có học sinh đủ 3 khối
d) Lấy ngẫu nhiên 5 học sinh. Tính xác suất để có học sinh đủ 3 khối
II. TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Nếu hai biến cố
A
và
B
xung khắc thì xác suất của biến cố
( )
P A B
bằng:
A.
( ) ( )
1 P A P B−−
. B.
( ) ( )
.P A P B
.
C.
( ) ( ) ( ) ( )
.P A P B P A P B−−
. D.
( ) ( )
P A P B+
.
Câu 2. Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất
P
để hiệu số chấm trên các mặt
xuất hiện của hai con súc sắc bằng 2.
A.
1
3
. B.
2
9
. C.
1
9
. D.
1
.
Câu 3. Một nhóm học sinh có học sinh nam và học sinh nữ. Từ nhóm học sinh này ta chọn ngẫu nhiên
học sinh. Tính xác suất để trong ba học sinh được chọn có cả nam và nữ.
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách.
Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra có ít nhất một quyển là toán.
A.
3
4
. B.
37
42
. C.
10
21
. D.
2
7
.
Câu 5. Một chiếc máy có 2 động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I chạy tốt và
động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7. Tính xác suất để có ít nhất 1 động cơ chạy tốt là.
A. 0,56. B. 0,06. C. 0,83. D. 0,94
Câu 6. Một đề trắc nghiệm có 50 câu hỏi gồm 20 câu mức độ nhận biết, 20 câu mức độ vận dụng và 10 câu
mức độ vận dụng cao. Xác suất để bạn An làm hết 20 câu mức độ nhận biết là
0,9
; 20 câu mức độ vận
dụng là
0,8
; và 10 câu mức độ vận dụng cao là
0,6
. Xác suất để bạn An làm trọn vẹn 50 câu là
A.
0,432
. B.
0,008
. C.
0,228
. D.
1
.
Câu 7. Một đề thi môn toán có
50
câu trắc nghiệm khách quan, mỗi câu có
4
phương án trả lời, trong đó có
đúng một phương án là đáp án. Học sinh Chọn đúng đáp án được
0.2
điểm, Chọn sai đáp án không
6
7
3
3
7
3
13
1
C
C
−
3
6
3
13
1
C
C
−
2 1 2 1
6 7 7 6
3
13
C C C C
C
+
33
67
3
13
CC
C
+
được điểm. Một học sinh làm đề thi đó, Chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời từ tất cả
50
câu. Xác
xuất để học sinh đó được
5,0
điểm bằng
A.
25 25
50
3
( ) .C
4
. B.
25 25
50
100
C .3
4
. C.
1
2
. D.
1
16
.
Câu 8. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là
0,6
. Người đó bắn hai
viên một cách độc lập. Xác suất để một viên trúng và một viên trượt mục tiêu là
A.
0,48.
B.
0,4.
C.
0,24.
D.
0,45.
Câu 9. Ba người A, B, C đi săn độc lập với nhau cùng nổ súng bắn vào mục tiêu. Biết rằng xác suất bắn trúng
mục tiêu của A, B, C tương ứng là
0,7
;
0,6
;
0,5
. Tính xác suất để có nhiều nhất hai xạ thủ bắn trúng
mục tiêu.
A.
0,73
. B.
0,79
. C.
0,21
. D.
0,94
.
Câu 10. Cho tập hợp
A 2,3,4,5,6,7,8=
. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau
được lập thành từ các chữ số của tập
A
. Chon ngẫu nhiên một số từ S. Xác suất để số được chọn mà
trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ là
A.
1
5
.
B.
18
35
. C.
17
35
. D.
3
35
.
Câu 11. Xác suất sút bóng thành công tại chấm
11
mét của hai cầu thủ Quang Hải và Văn Đức lần lượt là
0,8
và
0,7
. Biết mỗi cầu thủ sút một quả tại chấm
11
mét và hai người sút độc lập. Tính xác suất để ít
nhất một người sút bóng thành công.
A.
0,44
. B.
0,94
. C.
0,38
. D.
0,56
.
Câu 12. Gieo ngẫu nhiên con xúc xắc cân đối và đồng chất 2 lần. Tính xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện ít nhất
1 lần.
A.
25
36
. B.
11
36
. C.
1
6
. D.
1
36
.
Câu 13. Cho tập A = {1; 2; 3; …; 11}. Chọn ngẫu nhiên sáu số thuộc tập A. Biến cố “Tổng các số chọn ra là
một số lẻ” có xác suất bằng:
A.
. B.
332640
224
. C.
332640
236
. D. .
Câu 14. Gieo con súc sắc cân đối và đồng chất 5 lần độc lập. Biến cố “Không lần nào xuất hiện mặt có số
chấm là một số lẻ” có xác suất bằng:
A.
1
64
. B.
1
32
. C.
1
16
. D.
1
8
.
Câu 15. Một hộp đựng 9 thẻ đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên hai thẻ. Biến cố “Tích hai số trên thẻ là một số
chẵn” có xác suất bằng:
A.
18
13
. B.
18
11
. C.
18
10
. D.
18
9
.
Câu 16. Người ta sử dụng
7
cuốn sách Toán,
8
cuốn sách Vật lí,
9
cuốn sách Hóa học (các cuốn sách cùng
loại giống nhau) để làm phần thưởng cho
12
học sinh, mỗi học sinh được
2
cuốn sách khác loại.
Trong số
12
học sinh trên có hai bạn Thảo và Hiền. Tính xác suất để hai bạn Thảo và Hiền có phần
thưởng giống nhau.
A.
1
22
. B.
5
18
. C.
19
66
. D.
1
11
.
Câu 17. Hai người ngang tài ngang sức tranh chức vô địch của một cuộc thi cờ tướng. Người giành chiến thắng
là người đầu tiên thắng được năm ván cờ. tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng
4
ván và ngưởi
chơi thứ hai mới thắng
2
ván, tính xác suất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng.
A.
4
5
. B.
7
8
. C.
1
2
. D.
3
4
.
462
224
462
236
Câu 18. Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng
giải Câu tập. Xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ là
A.
4651
.
5236
B.
4615
.
5236
C.
4610
.
5236
D.
4615
.
5263
Câu 19. Trong kì thi X có môn thi bắt buộc là môn Tiếng Anh. Môn thi này thi dưới hình thức trắc nghiệm với
bốn phương án trả lời A, B, C, D. Mỗi câu trả lời đúng được cộng 0,2 điểm; mỗi câu trả lời sai bị trừ
0,1 điểm. Bạn Hoa vì học rất kém môn Tiếng Anh nên chọn ngẫu nhiên cả 50 câu trả lời. Tính xác suất
để bạn Hoa đạt được 4 điểm môn Tiếng Anh trong kì thi trên.
A.
5
1,8.10
−
. B.
7
1,3.10
−
. C.
7
2,2.10
−
. D.
6
2,5.10
−
.
Câu 20. Trong một trò chơi điện tử, xác suất Tùng thắng một ván là 0,3. Hỏi Tùng phải chơi loạt trận tối thiểu
bao nhiêu ván để xác suất Tùng thắng ít nhất một ván lớn hơn 0,8?
A.
7
. B.
5
. C.
6
. D.
4
.
Câu 21. Điều tra thời gian tự học trong một ngày của học sinh được mẫu số liệu cho trong bảng sau
Số phút
[0 ;30)
[30 ;60)
[60 ;90)
[90 ;120)
[120 ;150)
[150 ;180)
Số học sinh
75
80
70
135
60
50
Gọi các nhóm theo thứ tự thời gian tăng dần là nhóm 1 ; nhóm 2 ; … ; nhóm 6
21.1. Khẳng định đúng về độ dài d của mỗi nhóm là :
A. d = 30. B. d < 30
C. d > 30 D. độ dài các nhóm không bằng nhau
21.2. Kích thước của mẫu số liệu là (mẫu số liệu có bao nhiêu số liệu?):
A. 135. B. 75 C. 50 D. 470
21.3. Tần số của nhóm 3 là:
A. 60. B. 90 C. 70 D. 60+90+70
21.4. Tần số tích lũy của nhóm 3 là:
A. 470. B. 90 C. 225 D. 60+90+70
21.5. Giá trị đại diện của nhóm 4 là:
A. 90. B. 105 C. 120 D. 210
21.6. Số trung bình của mẫu số liệu gần nhất với:
A. 135. B. 105 C. 86,17 D. 235
21.7. Trung vị của mẫu số liệu gần nhất với::
A. 92,2. B. 90 C. 105 D. 120
21.8. Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với:
A. 30. B. 45,9 C. 45 D. 60
21.9. Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với:
A. 105. B. 120 C. 135 D. 104
CHƯƠNG VI. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
I. TỰ LUẬN
Bài 1: Tính:
a)
2
1
5
−



; b)
3
2
4
; c)
2
3
1
8
−



; d)
0.75
1
16
−



.
Bài 2: Thực hiện phép tính:
a)
2
0.75 0.5
3
27 81 25+−
; b)
2 3 7 2 7
48
−
.
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
52
3
( , 0)
−
=
xy
A x y
xy
b)
( )
23
3
14
( , 0)
−
−
−
=
xy
B x y
xy
c)
( )
( )
5 1 3 5
31
31
.
0
aa
Ca
a
−−
−
+
=
d)
( )
( )
12
21
5 1 3 5
0
.
a
Da
aa
+
−
−−
=
.
Bài 4: Cho
x,y
là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:
11
33
6
6
)
+
=
+
x y y x
aA
xy
31
3 3 1
2
31
)
+
−−
−
−

=



xx
bB
y
y
Bài 5: Không sử dụng máy tinh cầm tay, hãy so sánh:
a)
63
5
và
36
5
; b)
4
3
1
2
−



và
2
3
22
.
Bài 6: Nếu một khoản tiền gốc
P
được gửi ngân hàng với lăi suất hằng năm
r
(
r
được biểu thị dưới dạng số
thập phân), được tính lãi
n
lần trong một năm, thỉ tồng số tiền
A
nhận được (cả vốn lẫn läi) sau
N
kì gửi cho
bởi công thức sau:
1 .

=+


N
r
AP
n
Hỏi nếu bác An gửi tiết kiệm số tiền 120 triệu đồng theo kì hạn 6 tháng với lãi suất không đồi là
5%
một năm,
thì số tiền thu được (cả vốn lẫn läi) của bác An sau 2 năm là bao nhiêu?
Bài 7: Năm 2021, dân số của một quốc gia ở châu Á là 19 trệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc
gia này sẽ tăng gấp đôi sau 30 năm nữa. Khi đó dân số
A
(triệu ngưởi) của quốc gia đó sau t năm kể từ năm
2021 được ước tính bằng công thức
30
19 2=
t
A
. Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau 20 năm nữa dân số
của quốc gia này sẻ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu).
Bài 8. Tính:
a)
2
1
log
8
; b)
3
log 9
. c)
13
2
log 2
−
; d)
2
lne
;
e)
88
log 16 log 2−
; f)
26
log 6 log 8
. g)
3
log 3 3
; h)
1
2
log 32
.
Bài 9. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
44
log 2 log 32+
; b)
22
log 80 log 5−
.
c)
2 3 4 5 6 7
log 3.log 4.log 5.log 6.log 7.log 8
; d)
2 2 2
log 2.log 4...log 2
n
.
Bài 10. Viết mỗi biểu thức sau thành lôgarit của một biểu thức (giả thiết các biểu thứ c đều có nghĩa):
a)
( )
2
1
ln ln ln 1
1
xx
Ax
xx
+
= + − −
−
b)
( )
2
3
3 3 3
21log log 9 log 9B x x= + −
.
Bài 11. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
19
3
3
1
log 5 2log 25 log
5
A = + −
; b)
2
24
log log
a
a
B M M=+
.
c)
( )
3
2 2 2
log log ( 1) log ( 1)( 1)C x x x x x= − − + − −
Bài 12. Biết rằng khi độ cao tăng lên, áp suất không khí sẽ giảm và công thức tính áp suất dựa trên độ cao
là:
( )
15500 5 logap=−
, trong đó
a
là độ cao so với mực nước biển (tính bằng mét) và
p
là áp suất không
khí (tính bằng pascal). Tính áp suất không khí ở đỉnh Everest có độ cao
8850 m
so với mực nước biển.
Bài 13. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a)
3
x
y =
;
b)
1
3
x
y

=


. a)
log ; yx=
b)
1
3
logyx=
.
Bài 14. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a)
2
log ( 8)yx=+
b)
3
log (2 5)yx=+
c)
( )
2
ln 4yx=−
d)
( )
2
1
3
log 32y xx+= −−
e)
2
log(2 15 13)y x x= − +
f)
log 3yx=+
g)
log(3 | 2 1|)yx= − −
h)
2
25
1+log
7
x
yx
x
+
=−
−
Bài 15. Trong một nghiên cứu, một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và
được kiểm tra lại xem họ còn nhớ bao nhiêu phần trăm danh sách đó sau mỗi tháng. Giả sử sau
t
tháng, khả
năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó được tính theo công thức
( ) ( )
75 20ln 1 ,0 12M t t t= − +
(đơn vị:
%). Hãy tính khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó sau 6 tháng.
Bài 16. Giải các phương trình sau
a)
1
3 27
−
=
x
. b)
22
2 3 2 18
100 0,1
−−
=
xx
. c)
3
31=
x
e
. d)
21
53
−
=
xx
.
e)
1
12
1
3.
3
x
x
+
−
=
f)
1
10 2022.
x−
=
g)
31
1
1
2;
2
x
x
−
=
=
h)
2
2 5.
x
e =
Bài 17. Giải các phương trình sau
a)
( )
log 1 2+=x
. b)
( )
42
2log log 3 2+ − =xx
.
c)
( )
ln ln 1 ln4+ − =x x x
. d)
( )
( )
2
33
log 3 2 log 2 4− + = −x x x
.
e)
( )
4 3log 2 16.x+=
f)
( )
( )
2
33
log 1 log 1 .xx+ = −
g)
( )
4 log 3 3;x− − =
h)
( ) ( )
22
log 2 log 1 1.xx+ + − =
Bài 18. Giả các bất phương trình sau
a)
2 4 2
0,1 0,1
−−
xx
. b)
21
2.5 3
+
x
. c)
1
16 .
8
x
d)
2 1 2
0,1 0,1 ;
xx−−
e)
1
3.2 1.
x+
g)
( )
3
log 7 1+ −x
. h)
( ) ( )
0,5 0,5
log 7 log 2 1+ −xx
.
i)
( ) ( )
0,3 0,3
log 1 log 2 1 .xx+ −
k)
( ) ( )
17
7
log 1 log 2+ −xx
. m)
( )
2log 2 1 3+x
.
Bài 19. Bác Minh gửi tiết kiệm 500 triệu đồng ở một ngân hàng với lãi suất không đổi 7,5% một năm theo thể
thức lãi kép kì hạn 12 tháng. Tổng số tiền bác Minh thu được (cả vốn lẫn lãi) sau
n
năm là
( )
500 1 0,075=+
n
A
(triệu đồng). Tính thời gian tối thiểu gửi tiết kiệm để bác Minh thu được ít nhất 800 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi).
Bài 20. Số lượng vi khuẩn ban đầu trong một mẻ nuôi cấy là 500 con. Người ta lấy một mẫu vi khuẩn trong mẻ
nuôi cấy đó, đếm số lượng vi khuẩn và thấy rằng tỉ lệ tăng trưởng vi khuẩn là 40% mỗi giời. Khi đó số lượng vi
khuẩn
( )
Nt
sau
t
giờ nuôi cấy được ước tính bằng công thức
( )
0,4
500=
t
N t e
. Hỏi sau bao nhiêu giờ nuôi câu,
số lượng vi khuẩn vượt mức
80000
con?
II. TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho
a
là số thực dương,
,mn
tùy ý. Phát biểu nào sau đây là phát biểu sai?
A.
m n m n
a a a
+
+=
. B.
m
m
m
aa
bb

=


. C.
m
mn
n
a
a
a
−
=
. D.
( )
.
n
m m n
aa=
.
Câu 2. Cho
0a
là một số thực dương, biểu thức
3
3
4
.P a a=
bằng
A.
4
9
a
. B.
9
4
a
. C.
9
8
a
. D.
1
2
a
.
Câu 3. Cho
,x
y
là hai số thực dương và
,m
n
là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?
A.
.
m n m n
x x x
+
=
. B.
( )
.
n
m m n
xx=
. C.
( )
..
n
nn
x y x y=
. D.
( )
n
n
mm
xx=
.
Câu 4. Cho biểu thức
2
4
3
P x x=
,
( )
0x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
7
12
Px=
. B.
8
12
Px=
. C.
6
12
Px=
. D.
9
12
Px=
.
Câu 5. Cho biểu thức
( )
7 1 2 7
22
22
.aa
P
a
+−
+
−
=
với
0a
. Rút gọn biểu thức
P
được kết quả
A.
5
Pa=
. B.
4
Pa=
. C.
3
Pa=
. D.
Pa=
.
Câu 6. Cho
a
,
b
là các số thực dương. Rút gọn biểu thức
(
)
4
32
4
3
12 6
.
.
ab
P
ab
=
được kết quả là
A.
22
ab
. B.
ab
. C.
2
ab
. D.
2
ab
.
Câu 7. Cho số thực dương
0a
và khác
1
. Hãy rút gọn biểu thức
1
15
3
22
1 7 19
4 12 12
a a a
P
a a a

−


=

−


.
A.
1Pa=+
. B.
1P =
. C.
Pa=
. D.
1Pa=−
.
Câu 8. Biểu thức
( )
,0a a a
được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
A.
3
4
a
. B.
3
2
a
. C.
1
2
a
. D.
2
3
a
.
Câu 9. Cho
,ab
là các số thực dương thỏa
2
5
b
a =
. Tính
6
2a 4
b
K =−
.
A.
226K =
. B.
202K =
. C.
246K =
. D.
242K =
.
Câu 10. Với những giá trị nào của
a
thì
( ) ( )
21
33
11aa
−−
− −
?
A.
12a
. B.
2a
. C.
1a
. D.
01a
.
Câu 11. Cho
a
thuộc khoảng
2
0;
e



,
và
là những số thực tuỳ ý. Khẳng định nào sau đây là sai?
A.
( )
.
b
aa
=
. B.
a a a

. C.
.a a a
+
=
. D.
aa


.
Câu 12. Cho
,ab
là các số thực thỏa điều kiện
34
45
aa
và
4
5
3
4
bb
. Chọn khẳng định đúng trong các
khẳng định sau?
A.
0a
và
1b
. B.
0a
và
01b
. C.
0a
và
01b
. D.
0a
và
1b
.
Câu 13. Nếu
( )
1
7 4 3 7 4 3
a−
+ −
thì
A.
1a
. B.
1a
. C.
0a
. D.
0a
.
Câu 14. Tập tất cả các giá trị của
a
để
7
52
21
aa
là
A.
0a
. B.
01a
.
C.
1a
. D.
52
21 7
a
.
Câu 15. Cho các số thực
,xy
thỏa mãn
23
x
=
,
34
y
=
. Tính giá trị biểu thức
89
xy
P =+
.
A.
43
. B.
17
. C.
24
. D.
34
.
Câu 16. Tính giá trị của biểu thức
( ) ( )
2024 2023
7 4 3 7 4 3P = + −
.
A.
1P =
. B.
7 4 3P =−
. C.
7 4 3P =+
. D.
( )
2023
7 4 3P =+
.
Câu 17. Một người gửi tiền vào ngân hàng với lãi suất không thay đổi là
8%
/năm. Biết rằng nếu không rút tiền
ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi
kép). Người đó định gửi tiền trong vòng
3
năm, sau đó rút tiền ra để mua ô tô trị giá
500
triệu đồng.
Hỏi số tiền ít nhất người đó phải gửi vào ngân hàng để có đủ tiền mua ô tô (kết quả làm tròn đến hàng
triệu) là bao nhiêu?
A.
395
triệu đồng. B.
394
triệu đồng. C.
397
triệu đồng. D.
396
triệu đồng.
Câu 18. Tích
( )
1 2 2017
1 1 1
2017 ! 1 1 ... 1
1 2 2017
+ + +
được viết dưới dạng
b
a
, khi đó
( )
, ab
là cặp nào trong
các cặp sau?
A.
( )
2018; 2017
. B.
( )
2019; 2018
. C.
( )
2015; 2014
. D.
( )
2016; 2015
.
Câu 19. Cho các số thực
,,abm
và
0 1, 0ab
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A.
log
m
a
b m a b= =
. B.
log .
a
b m b m a= =
.
C.
log
a
b m a mb= =
. D.
log
m
a
b m b a= =
.
Câu 20. Biểu thức
3
2024
log 2024
có giá trị bằng
A.
3
. B.
3
2024
. C.
3
. D.
3
2024
.
Câu 21. Với
a
và
b
là các số thực dương tùy ý,
a
khác 1 thì
( )
7
log
a
ab
bằng
A.
7log
a
b
. B.
7 log
a
b−
. C.
1 7log
a
b+
. D.
7 log
a
b+
.
Câu 22. Biểu thức
32 32
1
log 8 log
4
−
có giá trị bằng
A.
1
5
. B.
3
2024
. C.
1
. D.
3
2024
.
Câu 23. Biểu thức
32
log 128
có giá trị bằng
A.
7
5
. B.
5
7
. C.
35
. D.
2
.
Câu 24. Số nào trong các số sau lớn hơn
1
:
A.
0,5
1
log
8
. B.
0,2
log 125
. C.
1
6
log 36
. D.
0,5
1
log
2
.
Câu 25. Cho
a
là số thực dương khác
1
. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
log 2
1
2
a
a
−
=
. B.
3
log 3
a
a =
. C.
3
log
3
a
a=
. D.
2
log 2
a
a =
.
Câu 26. Cho
a
là số thực dương khác
1
. Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số dương
, xy
?
A.
log log log
a a a
x
xy
y
=−
B.
( )
log log
aa
x
xy
y
=−
C.
log log log
a a a
x
xy
y
=+
D.
log
log
log
a
a
a
x
x
yy
=
Câu 27. Với
,ab
là hai số thực dương tùy ý,
2 7 5
ln( . . )e a b
bằng:
A.
2 5ln 7lnab++
B.
7ln 5lnab+
C.
2 7ln 5lnab++
D.
5ln 7lnab+
Câu 28. Với a,b là các số thực dương tùy ý và
1a
,
3
log
a
b
bằng
A.
3 log
a
b+
B.
3log
a
b
C.
1
3
log
a
b+
D.
1
3
log
a
b
Câu 29. Cho
, , , 0a b c d
. Rút gọn biểu thức
S ln ln ln ln
a b c d
b c d a
= + + +
ta được
A.
1.S =
B.
S 0.=
C.
ln .
a b c d
S
b c d a

= + + +


D.
( )
ln .S abcd=
Câu 30. Với các số thực dương
,ab
bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
3
2 2 2
2
log 1 3log log .
a
ab
b

= + −


B.
3
2 2 2
21
log 1 log log .
3
a
ab
b

= + −


C.
3
2 2 2
2
log 1 3log log .
a
ab
b

= + +


D.
3
2 2 2
21
log 1 log log .
3
a
ab
b

= + +


Câu 31. Đặt
3
log 2a =
, khi đó
6
log 48
bằng
A.
31
1
a
a
−
−
B.
31
1
a
a
+
+
C.
41
1
a
a
−
−
D.
41
1
a
a
+
+
Câu 32. Số thực x thỏa mãn:
1
log log3 2log 3log
2
x a b c= − +
(a, b, c là các số thực dương). Hãy biểu diễn x
theo a, b, c.
A.
3
2
3
.
ac
x
b
=
B.
23
3
.
a
x
bc
=
C.
3
2
3.
.
ac
x
b
=
D.
2
3
.
ac
x
b
=
Câu 33. Đặt
25
log 3, log 3.ab==
Hãy biểu diễn
6
log 45
theo
a
và
b
.
A.
2
6
22
log 45
a ab
ab
−
=
B.
6
2
log 45
a ab
ab b
+
=
+
C.
2
6
22
log 45
a ab
ab b
−
=
+
D.
6
2
log 45
a ab
ab
+
=
Câu 34. Cho
942
log 5 ; log 7 ; log 3a b c= = =
. Biết
24
log 175
mb nac
pc q
+
=
+
. Tính giá trị của biểu thức
2 3 4A m n p q= + + +
.
A.
27
B.
25
C.
23
D.
29
Câu 35. Với các số
,0ab
thỏa mãn
22
6a b ab+=
, biểu thức
( )
2
log ab+
bằng
A.
( )
22
1
3 log log
2
ab++
. B.
( )
22
1
1 log log
2
ab++
.
C.
( )
22
1
1 log log
2
ab++
. D.
( )
22
1
2 log log
2
ab++
.
Câu 36. Cho
2
6
2
log 5
log 45
log 3
b
a
c
+
=+
+
,
,,abc
. Tính tổng
abc++
.
A.
4−
B.
2
C.
0
D.
1
Câu 37. Tính giá trị của biểu thức
2 3 2024
1 1 1
...
log log log
A
x x x
= + + +
khi
2024!x =
A.
2024A =
. B.
1A =−
. C.
2024A =−
. D.
1A =
.
Câu 38. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số mũ?
A.
( )
3
x
y =
. B.
3
x
y
−
=
. C.
1
2
x
y =
. D.
3
yx
−
=
.
Câu 39. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số logarit có cơ số bằng
2
?
A.
2
logyx=
. B.
ln2yx=
. C.
2
log 3yx=
. D.
2
3
logyx=
.
Câu 40. Cho hàm số
x
ya=
. Khẳng định nào sai?
A. Hàm số đồng biến trên khi
1a
.
B. Hàm số nghịch biến trên khi
01a
.
C. Tập xác định của hàm số là
( )
0;+
.
D. Đồ thị của hàm số luôn nằm phía trên trục hoành và đi qua các điểm
(0;1), (1; )A B a
.
Câu 41. Cho hàm số
log
a
yx=
. Khẳng định nào sai?
A. Hàm số đồng biến trên khi
1a
.
B. Hàm số nghịch biến trên khi
01a
.
C. Tập xác định của hàm số là
( )
0;+
.
D. Đồ thị của hàm số luôn nằm bên phải trục tung và đi qua các điểm
(0;1),(1; )a
.
Câu 42. Tìm tập xác định
D
của hàm số
13 .
x
y =
A.
( )
;0 .D = −
B.
( )
0; .D = +
C.
( )
;.D = − +
D.
( )
; \ 0 .D = − +
Câu 43. Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ dưới đây?
.
A.
2
2yx=
. B.
2
x
y =
. C.
3
x
y =
. D.
4
x
y =
.
Câu 44. Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ dưới đây?
A.
3
x
y =
. B.
1
2
x
y

=


. C.
1
3
x
y

=


. D.
( )
2
x
y =
.
Câu 45. Đồ thị sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A.
2
x
y =
. B.
2
x
y
−
=
. C.
lnyx=
. D.
lnyx=−
.
Câu 46. Hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó?
A.
1
.
2
x
y

=


B.
2.
x
y =
C.
0,5
log .yx=
D.
log .
e
yx
=
Câu 47. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?
A.
2
3
x
y

=


. B.
( )
0,5
x
y =
. C.
1
x
y

=


. D.
( )
3
x
y =
.
Câu 48. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng
( )
0;+
?
A.
2
log .yx=
B.
3
log .yx=
C.
log .
e
yx
=
D.
log .yx
=
Câu 49. Tìm tập xác định
D
của hàm số
( )
log 2 .yx=−
x
y
O
1
A.
( )
2; .D = +
B.
( )
;2 .D = −
C.
\ 2 .D =
D.
( )
;.D = − +
Câu 50. Tìm tập xác định
D
của hàm số
2
log 12.y x x= − −
A.
( )
3;4 .D =−
B.
3;4 .D =−
C.
(
)
; 3 4; .D = − − +
D.
( ) ( )
; 3 4; .D = − − +
Câu 51. Tìm tập xác định
D
của hàm số
( )
2
2
log 2 3 .y x x= − −
A.
( )
1; 3 .D =−
B.
1; 3 .D =−
C.
(
)
; 1 3; .D = − − +
D.
( ) ( )
; 1 3; .D = − − +
Câu 52. Tìm tập xác định
D
của hàm số
( )
2
1
log 1 2 .
x
y x x= − +
A.
( )
0; .D = +
B.
( )
1; .D = +
C.
)
0; .D = +
D.
( )
0; \ 1 .D = +
Câu 53. Khẳng định nào sai?
A.
2 1,5
1,3 1,3 .
B.
32
0,9 0,9 .
−−
C.
0,25 0,5
log 4 log 20.
D.
33
log 5 3log 2.
Câu 54. Cho ba số thực dương
,,abc
khác
1
. Đồ thị các hàm số
x
ya=
,
x
yb=
,
x
yc=
được cho trong hình
vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
c a b
. B.
abc
. C.
b c a
. D.
a c b
.
Câu 55. Kết quả thống kê cho biết ở thời điểm năm
2013
dân số Việt Nam là
90
triệu người, tốc độ tăng dân
số là
1,1% /
năm. Nếu mức tăng dân số ổn định như vậy thì dân số Việt Nam sau
t
năm kể từ năm
2013 được tính bởi công thức
( ) 90(1 1,1%)
t
Pt =+
(triệu người). Hỏi đến năm 2077 dân số Việt Nam
là bao nhiêu?
A.
181
. B.
179
. C.
180
. D.
182
.
Câu 56. Cho
,,abc
là ba số thực dương và khác
1
. Đồ thị các hàm số
log
a
yx=
,
log
b
yx=
và
log
c
yx=
được cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
A.
abc
. B.
c a b
. C.
b c a
. D.
c b a
.
Câu 57. Biết rằng năm
2001
, dân số Việt Nam là
78.685.800
người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là
1,7%
. Cho
biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức
.
Nr
S Ae=
(trong đó
A
là dân số của năm lấy làm
mốc tính,
S
là số dân sau
N
năm,
r
là tỉ lệ tăng dân số hằng năm). Nếu dân số vẫn tăng với tỉ lệ như
vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức
120
triệu người?
A.
2022
. B.
2025
. C.
2020
. D.
2026
.
Câu 58. Tìm tập nghiệm
S
của phương trình
2 1 5
22
xx++
=
.
A.
1=S
. B.
1=−S
. C.
4=S
. D.
2=S
.
Câu 59. Tập nghiệm
S
của phương trình
1
28
+
=
x
là
A.
1=S
. B.
1=−S
. C.
4=S
. D.
2=S
.
Câu 60. Tập nghiệm
S
của phương trình
1
9
3
x

=


là
A.
3S =
. B.
2S =−
. C.
2S =
. D.
1S =−
.
Câu 61. Tập nghiệm
S
của phương trình
( )
3
log 1 2x −=
là:
A.
10S =
. B.
S =
. C.
7S =
. D.
6S =
.
Câu 62. Nghiệm của bất phương trình
2 1 3
33
xx+−
là:
A.
2
3
x −
. B.
2
3
x
. C.
2
3
x
. D.
3
2
x
.
Câu 63. Bất phương trình
24
x
là
A.
( )
2;T = +
. B.
( )
0;2T =
. C.
( )
;2T = −
. D.
T =
.
Câu 64. Nếu
log 243 5
x
=
thì
x
bằng
A.
3
. B.
2
. C.
4
. D.
5
.
Câu 65. Tập nghiệm của bất phương trình
( )
2
log 1 3x −
là
A.
( )
10; +
. B.
( )
1; +
. C.
( )
9; +
. D.
( )
4; +
.
Câu 66. Cho phương trình
( )
2
2
2
log log 8 3 0xx+ − =
. Khi đặt
2
logtx=
, phương trình đã cho trở thành
phương trình nào dưới đây?
A.
2
8 2 6 0tt+ − =
. B.
2
40tt+=
. C.
2
4 3 0tt+ − =
. D.
2
8 2 3 0tt+ − =
.
Câu 67. Tập nghiệm của phương trình
2
1
4
2
x
xx−

=


là
A.
2
0;
3



. B.
1
0;
2



. C.
0;2
. D.
3
0;
2



.
Câu 68. Tìm tập nghiệm
S
của phương trình
1
2
4 5.2 2 0
x
x
+
− + =
.
A.
1;1S =−
. B.
1S =−
. C.
1S =
. D.
( )
1;1S =−
.
Câu 69. Phương trình
22
log log ( 1) 1xx+ − =
có tập nghiệm là:
A.
1;3−
. B.
1;3
. C.
2
. D.
1
.
Câu 70. Số nghiệm nguyên của bất phương trình
( ) ( )
31
13
10 3 10 3
xx
xx
−+
−+
− +
là
A.
1
. B.
0
. C.
3
. D.
2
.
Câu 71. Tìm tập nghiệm
S
của phương trình
2
22
log 5log 4 0xx− +
A.
(
)
;2 16;S = − +
. B.
(
)
0;2 16;S = +
. C.
(
)
;1 4;S = − +
. D.
2;16S =
.
Câu 72. Cho hàm số
( )
2
3 .4
xx
fx=
. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
( )
2
3
9 2 log 2 2f x x x +
. B.
( )
9 2 log3 log4 log9f x x x +
.
C.
( )
2
22
9 log 3 2 2log 3f x x x +
. D.
( )
2
9 ln3 ln4 2ln3f x x x +
.
Câu 73. Cho phương trình
9 3.3 2 0
xx
− + =
có hai nghiệm
12
,xx
( )
12
xx
. Tính giá trị của
12
23A x x=+
.
A.
3
3log 2A =
. B.
2A =
. C.
0A =
. D.
2
4log 3A =
.
Câu 74. Phương trình
2
1
1
3 .4 0
3
xx
x
+
−=
có hai nghiệm
12
,xx
. Tính
1 2 1 2
T x x x x= + +
.
A.
2T =
. B.
3
log 4T =−
. C.
1T =
. D.
1T =−
.
Câu 75. Bất phương trình
( ) ( )
22
ln 2 3 ln 1x x ax+ + +
nghiệm đúng với mọi số thực
x
khi:
A.
2 2 2 2a−
. B.
0 2 2a
. C.
02a
. D.
22a−
.
Câu 76. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
m
để bất phương trình
22
3 3 2 2 3
9 2.3 3
x x m x x m x x− + − + − + −
+
có nghiệm?
A.
6
. B.
4
. C.
9
. D.
1
.
Câu 77. Cho
x
,
y
là các số thực dương thỏa mãn
25 15 9
log log log
24
x x y
y
+
==
và
2
x a b
y
−+
=
, với
a
,
b
là
các số nguyên dương, tính
ab+
.
A.
14ab+=
. B.
3ab+=
. C.
21ab+=
. D.
34ab+=
.
CHƯƠNG VII. ĐẠO HÀM
I. TỰ LUẬN
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số
( )
y f x=
tại điểm
0
x
bằng định nghĩa :
a)
( )
3
21y f x x x= = + −
tại
0
0x =
b)
( )
2
1
1
y f x
xx
==
++
tại
0
2x =−
c)
2
( ) 1=+f x x
tại
=
0
x1
d)
32
11
, khi 0
()
0 , khi 0
xx
x
fx
x
x
+ + −
=
=
tại
0
0x =
Bài 2: Tìm
a
để hàm số
( )
2
1
khi 1
1
khi 1
x
x
fx
x
ax
−
=
−
=
có đạo hàm tại
1x =
.
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số
( )
y f x=
tại điểm x bất kì bằng định nghĩa :
a)
( )
2
31y f x x x= = − +
b)
( )
3
2y f x x x= = −
c)
( )
43y f x x= = +
Bài 4: Cho hàm số
2
24y x x= + −
có đồ thị
( )
C
a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm có hoành độ
0
1x =
thuộc
( )
C
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
0
0x =
thuộc
( )
C
.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ
0
1y =−
thuộc
( )
C
.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
4−
.
e) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó song song với đưởng thẳng
13yx=−
.
Bài 5: Một chất điểm chuyển động thẳng biến đổi đều với phương trình
( )
2
2 1 s t t m= + −
. Tìm vận tốc tức thời
của vật tại thời điểm
2ts=
.
Bài 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1)
2
1
4y x x
x
= − +
4)
( )( )( )
1 1 2 1 3y x x x= − − −
7)
( )
( )
2
1y x x x x= + + +
10)
( )
3
2
4y x x=+
11)
2
11
1yx
xx
= − −
15)
( )
( )
3
32y x x x= + −
18)
2
y
x
=
2)
2
21
x
y
x
+
=
−
5)
2
41
23
xx
y
x
+−
=
+
8)
3
21
y
x
=
−
12)
2
2
1
1
xx
y
xx
+−
=
−+
16)
2
1
=
++
x
y
xx
19)
5sin 3cosy x x=−
.
21)
( )
2
sin 3 2y x x= − +
.
3)
cos 3
3
yx

=−


6)
3
cos 4yx=
9)
1 2tanyx=+
.
10)
tan3 cot3y x x=−
.
13)
14)
17)
20)
22)
2
sin3 siny x x=+
( )
2
2
x
y x x e=+
x
y xe
−
=
2
2
cos
x
y e x
−
=
tan
cos .
x
y x e=
23)
21
2
log (2 1) 3
x
yx
−+
= + +
.
24)
1
2
x
x
y
+
=
25)
( )
2
ln 2
1
x
yx
x
+
=+
−
Bài 7:
a) Cho hàm số
32
2 3 5y x x= − −
. Tìm
x
để
0y
=
b) Cho hàm số
( )
32
1
3 2 18 7.
3
f x x x x= − + −
Tìm
x
để
( )
0fx
c) Cho hàm số
( )
1f x x=+
. Tính
( ) ( ) ( )
33 3 .f x f
+−
d) Cho
( )
22
cos sinf x x x=−
. Tính
4
f



e) Cho hàm số
1
sin
32
yx

=−


. Giải phương trình
0y
=
.
f) Cho hàm số
( )
2
.
x
f x x e
−
=
Giải bất phương trình
( )
0fx
Bài 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị mỗi hàm số sau:
a)
32
34y x x= − +
tại điểm có hoành độ
0
2x =
;
b)
lnyx=
tại điểm có hoành độ
0
xe=
;
c)
x
ye=
tại điểm có hoành độ
0
0x =
.
Bài 9: Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu
0
196 m/ sv =
(bỏ qua
sức cản của không khí). Tìm thời điểm tại đó tốc độ của viên đạn bằng 0 . Khi đó viên đạn cách mặt đất bao
nhiêu mét (lấy
2
9,8 m/sg =
)?
Bài 10: Cho mạch điện như Hình 5. Lúc đầu tụ điện có điện tích
0
Q
.
Khi đóng khoá
K
, tụ điện phóng điện qua cuộn dây; điện tích
q
của tụ
điện phụ thuộc vào thời gian
t
theo công thức
0
( ) sinq t Q t
=
, trong đó
là tốc độ góc. Biết rằng cường độ
()It
của dòng điện tại thời điểm
t
được tính theo công thức
( ) ( )I t q t
=
. Cho biết
8
0
10 (C)Q
−
=
và
6
10 (rad / s)

=
. Tính cường độ của dòng điện tại thời điểm
6( s)t =
(tính chính xác đến
)
5
10 ( mA)
−
.
Bài 11:
a) Cho
( ) ( )
6
3f x x=−
. Tính
( )
2f

.
b) Cho
( )
in3sfx x=
. Tính
2
f


−


,
( )
0f

,
18
f




.
Bài 12: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a)
o2sin5 c sxy x=
b)
2
21
2
x
y
xx
+
=
+−
c )
2
siny xx=
d)
2
1y x x=+
Bài 13: a) Cho hàm số
( )
32
11
12 1.
32
f x x x x= + − −
Giải
( )
'' 0fx
b) Cho hàm số
x3
y.
x4
−
=
+
Tính
( ) ( )
2
M 2 y 1 y .y .
= + −
c) Hàm số
3
32
()
1
++
=
−
xx
fx
x
có
( )
32
3
()
1
+ + +

=
−
ax bx cx d
fx
x
. Tính
2= − + −S a b c d
.
Bài 14: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
32
39S t t t= − + +
, trong đó
t
tính bằng giây và
S
tính
bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.
Bài 15: Một chuyển động xác định bởi phương trình
( )
32
3 9 2S t t t t= − − +
. Trong đó
t
được tính bằng giây,
S
được tính bằng mét. Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm
3st =
?
II. TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm tại điểm
0
x
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A.
( )
( ) ( )
0
0
0
0
lim
xx
f x f x
fx
xx
→
−
=
−
. B.
( )
( ) ( )
0
0
0
0
lim
xx
f x f x
fx
xx
→
+
=
−
.
C.
( )
( ) ( )
0
0
0
0
lim
xx
f x f x
fx
xx
→
−
=
+
. D.
( )
( ) ( )
0
0
0
0
lim
xx
f x f x
fx
xx
→
+
=
+
.
Câu 2. Cho hàm số
( )
y f x=
xác định trên thỏa mãn
( ) ( )
3
3
lim 2
3
x
f x f
x
→
−
=
−
. Kết quả đúng là
A.
( )
23f
=
. B.
( )
2fx
=
. C.
( )
3fx
=
. D.
( )
32f
=
.
Câu 3. Cho hàm số
()y f x=
có đạo hàm thỏa mãn
( )
6 2.f
=
Giá trị của biểu thức
( ) ( )
6
6
lim
6
x
f x f
x
→
−
−
bằng
A.
12.
B.
2
. C.
1
.
3
D.
1
.
2
Câu 4. Cho hàm số
( )
fx
xác định bởi
( )
2
41
,khi 0
0 ,khi
1
0
x
x
fx
x
x
−
=
+
=
. Giá trị
( )
0f
bằng
A.
2
. B.
0
. C.
1
2
. D. Không tồn tại.
Câu 5. Cho hàm số
( )
3
1
x
fx
x
=
+
. Tính
( )
0f
.
A.
( )
00f
=
. B.
( )
01f
=
. C.
( )
1
0
3
f
=
. D.
( )
03f
=
.
Câu 6. Cho hàm số
( )
khi
khi
xx
x
x
fx
x
+−
−
=
−
=
3 1 2
1
1
5
1
4
. Tính
( )
'f 1
.
A. Không tồn tại. B.
0
C.
7
50
−
. D.
9
64
−
.
Câu 7. Cho hàm số
( )
2
1, 1
2 , 1.
xx
y f x
xx
+
==
. Mệnh đề sai là
A.
( )
12f
=
. B.
f
không có đạo hàm tại
0
1.x =
C.
( )
0 2.f
=
D.
( )
2 4.f
=
Câu 8. Cho hàm số
2
khi 1
()
2 1 khi 1
ax bx x
fx
xx
+
=
−
. Để hàm số đã cho có đạo hàm tại
1x =
thì
2ab+
bằng:
A.
2
. B.
5
. C.
2−
. D.
5−
.
Câu 9. Cho hàm số
( )
2
1, 0
1, 0
ax bx x
fx
ax b x
+ +
=
− −
. Khi hàm số
( )
fx
có đạo hàm tại
0
0x =
. Hãy tính
2T a b=+
A.
4T =−
. B.
0T =
. C.
6T =−
. D.
4T =
.
Câu 10. Cho hàm số
( )
34
khi 0
4
1
khi 0
4
x
x
fx
x
−−
=
=
. Khi đó
( )
0f
là kết quả nào sau đây?
A.
1
4
. B.
1
16
. C.
1
32
. D. Không tồn tại.
Câu 11. Tính đạo hàm của hàm số
( )( ) ( )
1 2 ... 2021y x x x x= − − −
tại điểm
0x =
.
A.
( )
00f
=
. B.
( )
0 2021!f
=
. C.
( )
0 2021f
=
. D.
( )
0 2021!f
=−
.
Câu 12. Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm tại điểm
0
2x =
. Tìm
( ) ( )
2
22
lim
2
x
f x xf
x
→
−
−
.
A.
0
. B.
( )
2f
. C.
( ) ( )
2 2 2ff
−
. D.
( ) ( )
2 2 2ff
−
.
Câu 13. Cho hàm số
( )
( )
2
2
10
0
x khi x
fx
x khi x
−
=
−
có đạo hàm tại điểm
0
0x =
là?
A.
( )
00f
=
. B.
( )
01f
=
. C.
( )
02f
=−
. D. Không tồn tại.
Câu 14. Cho hàm số
2
32
khi 2
8 10 khi 2
x ax b x
y
x x x x
+ +
=
− − +
. Biết hàm số có đạo hàm tại điểm
2x =
. Giá trị của
22
ab+
bằng
A.
20
. B.
17
. C.
18
. D.
25
.
Câu 15. Cho hàm số
( )
32
1
2 2 8 1
3
f x x x x= − + −
, có đạo hàm là
( )
fx
. Tập hợp những giá trị của
x
để
( )
0fx
=
là:
A.
2 2 .−
B.
2; 2 .
C.
4 2 .−
D.
2 2 .
Câu 16. Cho hàm số
32
31y x x= + +
, có đạo hàm là
y
. Để
0y
thì
x
nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?
A.
2
;0 .
9

−


B.
9
;0 .
2

−


C.
)
9
; 0; .
2

− − +

D.
)
2
; 0; .
9

− − +

Câu 17. Tính đạo hàm của hàm số
( )
4 3 2
4 3 2 1f x x x x x= − + − + +
tại điểm
1x =−
.
A.
( )
1 4.f
−=
B.
( )
1 14.f
−=
C.
( )
1 15.f
−=
D.
( )
1 24.f
−=
Câu 18. Cho hàm số
( )
32
1
2 1 4
3
y x m x mx= − + − −
có đạo hàm là
y
. Tìm tất cả các giá trị của
m
để
0y
với
x
.
A.
1
1; .
4
m

− −


B.
1
1; .
4
m

− −


C.
(
1
; 1 ; .
4
m

− − − +

D.
1
1; .
4
m

−


Câu 19. Cho hàm số
( )
32
1
13
3
y mx m x mx= − + − − +
có đạo hàm là
y
. Tìm tất cả các giá trị của
m
để phương
trình
0y
=
có hai nghiệm phân biệt là
12
,xx
thỏa mãn
22
12
6xx+=
.
A.
12m = − +
;
1 2.m = − −
B.
1 2.m = − −
C.
12m =−
;
1 2.m =+
D.
1 2.m = − +
Câu 20. Tính đạo hàm của của hàm số
( )
2
32
2y x x=−
.
A.
( )
5 4 3
6 20 16 .f x x x x
= − +
B.
( )
53
6 16 .f x x x
=+
C.
( )
5 4 3
6 20 4 .f x x x x
= − +
D.
( )
5 4 3
6 20 16 .f x x x x
= − −
Câu 21. Tính đạo hàm của hàm số
( )
( )
2
2 2 1y x x= − −
.
A.
4.yx
=
B.
2
3 6 2.y x x
= − +
C.
2
2 2 4.y x x
= − +
D.
2
6 2 4.y x x
= − −
Câu 22. Tính đạo hàm của hàm số
( ) ( )( ) ( )
1 2 ... 2018f x x x x x= − − −
tại điểm
0x =
.
A.
( )
0 0.f
=
B.
( )
0 2018!.f
=−
C.
( )
0 2018!.f
=
D.
( )
0 2018.f
=
Câu 23. Tính đạo hàm của hàm số
( )
2
1
x
fx
x
=
−
tại điểm
1x =−
.
A.
( )
1 1.f
−=
B.
( )
1
1.
2
f
− = −
C.
( )
1 2.f
− = −
D.
( )
1 0.f
−=
Câu 24. Tính đạo hàm của hàm số
2
23
.
2
xx
y
x
+−
=
+
A.
( )
2
3
1.
2
y
x
=+
+
B.
( )
2
2
67
.
2
xx
y
x
++
=
+
C.
( )
2
2
45
.
2
xx
y
x
++
=
+
D.
( )
2
2
81
.
2
xx
y
x
++
=
+
Câu 25. Tính đạo hàm của hàm số
( )
1f x x=−
tại điểm
1x =
.
A.
( )
1
1.
2
f
=
B.
( )
1 1.f
=
C.
( )
1 0.f
=
D. Không tồn tại.
Câu 26. Tính đạo hàm của hàm số
23
4.y x x=−
A.
2
23
6
.
4
xx
y
xx
−
=
−
B.
23
1
.
24
y
xx
=
−
C.
2
23
12
.
24
xx
y
xx
−
=
−
D.
2
23
6
.
24
xx
y
xx
−
=
−
Câu 27. Tính đạo hàm của hàm số
( )
.f x x x=
A.
( )
1
.
2
f x x
=
B.
( )
3
.
2
f x x
=
C.
( )
1
.
2
x
fx
x
=
D.
( )
.
2
x
f x x
=+
Câu 28. Tính đạo hàm của hàm số
( )
2
2 1 .y x x x= − +
A.
2
2
2
41
2.
2
x
y x x
xx
−
= + −
+
B.
2
2
2
41
2.
x
y x x
xx
−
= + +
+
C.
2
2
2
41
2.
2
x
y x x
xx
−
= + +
+
D.
2
2
2
41
2.
2
x
y x x
xx
+
= + +
+
Câu 29. Tính đạo hàm của hàm số
2
1
.
1
y
x
=
+
A.
22
.
( 1) 1
x
y
xx
=
++
B.
22
.
( 1) 1
x
y
xx
=−
++
C.
22
.
2( 1) 1
x
y
xx
=
++
D.
2
2
( 1)
.
1
xx
y
x
+
=−
+
Câu 30. Tính đạo hàm của hàm số
2
1
.
1
x
y
x
−
=
+
A.
2
2
.
1
x
y
x
=
+
B.
23
1
.
( 1)
x
y
x
+
=
+
C.
23
2( 1)
.
( 1)
x
y
x
+
=
+
D.
2
23
1
.
( 1)
xx
y
x
−+
=
+
Câu 31. Tính đạo hàm của hàm số
21
.
2
x
y
x
−
=
+
A.
( )
2
52
..
21
21
x
y
x
x
+
=
−
−
B.
( )
2
1 5 2
. . .
2 2 1
21
x
y
x
x
+
=
−
−
C.
12
..
2 2 1
x
y
x
+
=
−
D.
( )
2
1 5 2
. . .
2 2 1
2
x
y
x
x
+
=
−
+
Câu 32. Tính đạo hàm của hàm số
( )
2
32
3 2 1
2 3 2 1
xx
fx
xx
++
=
++
tại điểm
0.x =
A.
( )
0 0.f
=
B.
( )
1
0.
2
f
=
C. Không tồn tại. D.
( )
0 1.f
=
Câu 33. Tính đạo hàm của hàm số
3
22
a
y
ax
=
−
(
a
là hằng số).
A.
( )
3
2 2 2 2
.
ax
y
a x a x
=
−−
B.
3
22
.
ax
y
ax
=
−
C.
( )
3
2 2 2 2
.
2
ax
y
a x a x
=
−−
D.
( )
( )
32
2 2 2 2
32
.
2
a a x
y
a x a x
−
=
−−
Câu 34. Tính đạo hàm của hàm số
( )
2
sin 3 2y x x= − +
.
A.
( )
2
cos 3 2 .y x x
= − +
B.
( )
( )
2
2 3 .sin 3 2 .y x x x
= − − +
C.
( )
( )
2
2 3 .cos 3 2 .y x x x
= − − +
D.
( )
( )
2
2 3 .cos 3 2 .y x x x
= − − − +
Câu 35. Tính đạo hàm của hàm số
2
tany x x x=+
.
A.
1
2 tan .
2
y x x
x
=+
B.
1
2 tan .y x x
x
=+
C.
2
2
1
2 tan .
cos
2
x
y x x
x
x
= + +
D.
2
2
1
2 tan .
cos
x
y x x
x
x
= + +
Câu 36. Tính đạo hàm của hàm số
2
2cosyx=
.
A.
2
2sin .yx
=−
B.
2
4 cos .y x x
=−
C.
2
2 sin .y x x
=−
D.
2
4 sin .y x x
=−
Câu 37. Tính đạo hàm của hàm số
1
tan
2
x
y
+
=
.
A.
2
1
.
1
2cos
2
y
x
=
+
B.
2
1
.
1
cos
2
y
x
=
+
C.
2
1
.
1
2cos
2
y
x
=−
+
D.
2
1
.
1
cos
2
y
x
=−
+
Câu 38. Tính đạo hàm của hàm số
2
sin 2yx
.
A.
2
2
22
cos 2
2
x
yx
x
. B.
2
2
cos 2 .
2
x
yx
x
C.
2
2
cos 2 .
2
x
yx
x
D.
2
2
1
cos 2 .
2
x
yx
x
Câu 39. Tính đạo hàm của hàm số
cos 2 1yx
.
A.
sin 2 1
.
21
x
y
x
B.
sin 2 1
.
21
x
y
x
C.
sin 2 1.yx
D.
sin 2 1
.
2 2 1
x
y
x
Câu 40. Tính đạo hàm của hàm số
2
cot 1yx=+
.
A.
2 2 2
.
1.sin 1
x
y
xx
=−
++
B.
2 2 2
.
1.sin 1
x
y
xx
=
++
C.
22
1
.
sin 1
y
x
=−
+
D.
22
1
.
sin 1
y
x
=
+
Câu 41. Tính đạo hàm của hàm số
( )
sin sin .yx=
A.
( )
cos sin .yx
=
B.
( )
cos cos .yx
=
C.
( )
cos .cos sin .y x x
=
D.
( )
cos .cos cos .y x x
=
Câu 42. Tính đạo hàm của hàm số
2
2sin cos2y x x x= − +
.
A.
4sin sin2 1.y x x
= + +
B.
4sin2 1.yx
=+
C.
4cos 2sin2 1.y x x
= + +
D.
4sin 2sin2 1.y x x
= − +
Câu 43. Tính đạo hàm của hàm số
( )
3
cos 2 1yx=−
.
A.
( ) ( )
3sin 4 2 cos 2 1 .y x x
= − − −
B.
( ) ( )
2
3cos 2 1 sin 2 1 .y x x
= − −
C.
( ) ( )
2
3cos 2 1 sin 2 1 .y x x
= − − −
D.
( ) ( )
2
6cos 2 1 sin 2 1 .y x x
= − −
Câu 44. Tính đạo hàm của hàm số
3
tan cot2y x x=+
.
A.
2
3tan .cot 2tan2 .y x x x
=+
B.
2
22
3tan 2
.
cos sin 2
x
y
xx
= − +
C.
2
2
1
3tan .
sin 2
yx
x
=−
D.
2
22
3tan 2
.
cos sin 2
x
y
xx
=−
Câu 45. Tính đạo hàm của hàm số
sin cos
sin cos
xx
y
xx
+
=
−
.
A.
( )
2
sin 2
.
sin cos
x
y
xx
−
=
−
B.
( )
22
2
sin cos
.
sin cos
xx
y
xx
−
=
−
C.
( )
2
2 2sin 2
.
sin cos
x
y
xx
−
=
−
D.
( )
2
2
.
sin cos
y
xx
−
=
−
Câu 46. Tính đạo hàm của hàm số
( )
2
tan 1 2
y
x
=−
−
.
A.
( )
2
4
.
sin 1 2
x
y
x
=
−
B.
( )
4
.
sin 1 2
y
x
−
=
−
C.
( )
2
4
.
sin 1 2
x
y
x
−
=
−
D.
( )
2
4
.
sin 1 2
y
x
−
=
−
Câu 47. Tính đạo hàm của hàm số
5sin 3cosf x x x
tại điểm
2
x
.
A.
3.
2
f
B.
3.
2
f
C.
5.
2
f
D.
5.
2
f
Câu 48. Hàm số
( )
sin cos 1f x a x b x= + +
có đạo hàm là
( )
fx
. Để
( )
1
0
2
f
=
và
1
4
f

−=


thì giá trị của
a
và
b
bằng bao nhiêu?
A.
2
2
ab==
. B.
22
;
22
ab= = −
. C.
11
;
22
ab= = −
. D.
1
2
ab==
.
Câu 49. Cho hàm số
( )
cos sin cos2f x x x x= − + −
. Phương trình
( )
1fx
=
tương đương với phương trình nào sau
đây?
A.
sin 0x =
. B.
sinx 1 0.−=
C.
( )( )
sinx 1 cosx 1 0.− − =
D.
cosx 0.=
Câu 50. Hàm số
( )
2
1
8 6 3 ln2
++
=+
xx
yx
là đạo hàm của hàm số nào sau đây?
A.
2
1
8
++
=
xx
y
B.
2
1
2
++
=
xx
y
C.
2
3 3 1
2
++
=
xx
y
D.
2
3 3 1
8
++
=
xx
y
Câu 51. Đạo hàm của hàm số
1
9
x
x
y
+
=
A.
( )
2
1 2 1 ln3
'.
3
x
x
y
−+
=
B.
( )
2
1 1 ln3
'.
3
x
x
y
−+
=
C.
( )
1 2 1 ln9
'.
3
x
x
y
−+
=
D.
( )
1 2 1 ln3
'.
3
x
x
y
−+
=
Câu 52. Cho hàm số
3
log (2 1)yx=+
, ta có:
A.
1
21
y
x
=
+
. B.
1
(2 1)ln3
y
x
=
+
. C.
2
(2 1)ln3
y
x
=
+
. D.
2
21
y
x
=
+
.
Câu 53. Đạo hàm của hàm số
2
1
log
y
x
=
là:
A.
'
2
ln2
.
ln
y
xx
=−
B.
'
2
ln2
.
ln
y
xx
=
C.
'
2
2
ln2
.
log
x
y
x
=−
D.
'
2
2
ln2
.
log
x
y
x
=
Câu 54. Kết quả tính đạo hàm nào sau đây sai?
A.
( )
3 3 ln3
=
xx
B.
( )
10 10 ln10
xx
=
C.
( )
3
1
log
ln3
=x
x
D.
( )
22
=
xx
ee
Câu 55. Đạo hàm của hàm số
( ) ( )
2 1 ln 1y x x= + −
là.
A.
( )
21
2ln 1
1
x
x
x
+
−−
−
. B.
( )
2 ln 1xx−
. C.
21
2
1
x
x
x
+
+
−
. D.
( )
21
2ln 1
1
x
x
x
+
−+
−
.
Câu 56. Cho hàm số
1
lny
x
=
. Hệ thức nào sau đây đúng?
A.
'0
y
ey+=
B.
'0
y
ey−=
C.
. ' 0
y
ey=
D.
2
1
.'
y
ey
x
=
Câu 57. Cho
( )
3
f x x=
. Tính
( )
1f

.
A.
( )
13f

=
. B.
( )
12f

=
. C.
( )
16f

=
. D.
( )
11f

=
.
Câu 58. Cho hàm số
( ) ( )
5
37f x x=−
. Tính
( )
2f

.
A.
( )
20f

=
. B.
( )
2 20f

=
. C.
( )
2 180f

=−
. D.
( )
2 30f

=
.
Câu 59. Cho hàm số
( )
1
21
fx
x
=
−
. Tính
( )
1f −
.
A.
8
27
−
B.
2
9
. C.
8
27
D.
4
27
−
.
Câu 60. Cho hàm số
2
3
x
y
x
−
=
+
. Tính
y

.
A.
( )
3
5
3
y
x
−

=
+
. B.
( )
2
10
3
y
x

=
+
. C.
( )
3
10
3
y
x
−

=
+
. D.
( )
3
5
3
y
x

=
+
.
Câu 61. Đạo hàm cấp hai của hàm số
63
4 2 2022y x x x= − + +
với
x
là
A.
4
30 24 2y x x

= − +
. B.
4
30 24y x x

=−
. C.
52
6 12 2y x x

= − +
. D.
52
6 12y x x

=−
.
Câu 62. Cho hàm số
.cosy x x=
. Tìm hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
A.
sin 2 cosy y x x x

+ = +
. B.
2siny y x

+=
.
C.
sin cosy y x x x

+ = − +
. D.
2siny y x

+ = −
.
Câu 63. Cho hàm số
sin2yx=
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
( )
2
2'
4yy+=
. B.
'
.tan2y y x=
. C.
''
40yy−=
.D.
''
40yy+=
.
Câu 64. Cho hàm số
3
sinyx=
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
9 sin 0.y y x

+ − =
B.
9 6sin 0.y y x

+ − =
C.
9 6cos 0.y y x

+ − =
D.
9 6sin 0.y y x

+ + =
Câu 65. Cho hàm số
54
31y x x x= − + +
với
x
. Đạo hàm
y

của hàm số là
A.
32
5 12 1y x x

= − +
. B.
43
5 12y x x

=−
.
C.
23
20 36y x x

=−
. D.
32
20 36y x x

=−
.
Câu 66. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số
3cosyx=−
tại điểm
0
2
x
=
.
A.
3
2
y


=−


. B.
5
2
y


=


. C.
0
2
y


=


. D.
3
2
y


=


.
Câu 67. Cho
2
2y x x=−
, tính giá trị biểu thức
3
.A y y

=
.
A.
1
. B.
0
. C.
1−
. D. Đáp án khác.
Câu 68. Đạo hàm cấp hai của hàm số
2
cosyx=
là
A.
2cos2yx

=−
. B.
2sin2yx

=−
. C.
2cos2yx

=
. D.
2sin2yx

=
.
Câu 69. Cho hàm số
1
.y
x
=−
Đạo hàm cấp hai của hàm số là
A.
3
2
.y
x

=
B.
2
2
.y
x
−

=
C.
3
2
.y
x
−

=
D.
2
2
.y
x

=
Câu 70. Cho hàm số
2
13y x x= + −
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
( )
2
.1y y y
+ = −
. B.
( )
2
2 . 1y y y
+=
. C.
( )
2
.1y y y
−=
. D.
( )
2
.1y y y
+=
.
Câu 71. Cho hàm số
sin2yx=
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
( )
2
2
4yy
+=
. B.
40yy

−=
. C.
40yy

+=
. D.
'tan2y y x=
.
Câu 72. Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu thị bởi công thức
( )
23
4 2 4 2S t t t t= − + +
, trong
đó
0t
và
t
tính bằng giây
( )
s
,
( )
St
tính bằng mét
( )
m
. Tìm gia tốc
a
của chất điểm tại thời điểm
( )
5ts=
.
A.
( )
2
68 /=a m s
. B.
( )
2
115 /=a m s
.C.
( )
2
100 /=a m s
.D.
( )
2
225 /=a m s
.
Câu 73. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
32
( ) 2 3 4 ,s t t t t
trong đó t được tính bằng giây
và
s
được tính bằng mét. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm gia tốc bằng không là
A.
2,5 / .ms
B.
4 / .ms
C.
2,5 / .ms
D.
8,5 / .ms
CHƯƠNG VIII. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC
I. TỰ LUẬN
Bài 1: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành, tam giác
SAD
là tam giác đều và
M
là trung
điểm của cạnh
AD
. Tính góc giữa hai đường thẳng
BC
và
;SA BC
và
SM
.
Bài 2: Cho hình chóp
S ABCD
có đáy là hình vuông tâm
O
và tất cả các cạnh của hình chóp đều bằng
a
. Gọi
,MN
lần lượt là trung điểm các cạnh
,SA AB
.
a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
MN
và
;SD MO
và
SB
.
b) Tính tang của góc giữa hai đường thẳng
SN
và
BC
.
Bài 3: Cho hình chóp
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
, 3,a SA a SA BC=⊥
.
Gọi
,IJ
lần lượt là trung điểm của
,SA SC
. Tính góc giữa các cặp đường thẳng:
a)
IJ
và
BD
.
b)
SD
và
BC
.
Bài 4: Cho hình hộp
ABCD A B C D
có đáy là hình vuông.
a) Chứng minh rằng
AB A D

⊥
và
AC B D

⊥
.
b) Tính góc giữa hai đường thẳng
AC
và
AB

.
Bài 5: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông
ABCD
cạnh bằng
a
và các cạnh bên đều bằng
a
. Gọi
,MN
lần lượt là trung điểm của
,AD SD
. Chứng minh rằng
MN SC⊥
.
Bài 6: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là một hình vuông và
()SA ABCD⊥
. Chứng minh rằng:
a)
()BC SAB⊥
; b)
()BD SAC⊥
.
Bài 7: Cho hình hộp
ABCD A B C D
có
()AA ABCD
⊥
. Chứng minh rằng:
a)
( )
AA A B C D
⊥
; b)
()BB ABCD
⊥
.
Bài 8: Cho hình chóp
.S ABC
có
SA
vuông góc với mặt phẳng
()ABC
và đáy là tam giác
ABC
vuông tại
B
.
Kẻ
AM
vuông góc với
SB
tại
M
và
AN
vuông góc với
SC
tại
N
. Chứng minh rằng:
a)
()BC SAB⊥
; b)
()AM SBC⊥
; c)
()SC AMN⊥
.
Bài 9: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình thoi,
O
là giao điểm của hai đường chéo,
,SA SC SB SD==
.
a) Chứng minh rằng
()SO ABCD⊥
.
b) Gọi
,IJ
lần lượt là trung điểm của
,BA BC
. Chứng minh rằng
()IJ SBD⊥
.
c) Chứng minh rằng
()BD SAC⊥
.
Bài 10: Cho hình tứ diện đều
ABCD
. Chứng minh
AB CD⊥
.
Bài 11: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông và
()SA ABCD⊥
. Gọi
,,H I K
lần lượt là hình
chiếu vuông góc của điểm
A
trên các cạnh
, SB SC
và
SD
. Chứng minh rằng:
a)
BC ⊥
(SAB),
CD ⊥
(SAD),
()BD SAC⊥
.
b)
()SC AHK⊥
và điểm
I
thuộc mặt phẳng
()AHK
.
c)
()HK SAC⊥
và
HK AI⊥
.
Bài 12: Cho tứ diện
ABCD
có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng
a
. Tính côsin của góc giữa đường thẳng
AB
và mặt phẳng
()BCD
.
Bài 13: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh bằng
, ( )a SA ABCD⊥
,
2SA a=
.
a) Tính góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
()ABCD
.
b) Tính tang của góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
()SAB
.
Bài 14: Cho hình chóp
.S ABC
có
()SA ABC⊥
, đáy là tam giác
ABC
vuông cân tại
B
, biết
,6AB a SA a==
a) Tính tang của góc giữa đường thẳng
SB
và mặt phẳng
()SAC
.
b) Tính sin của góc giữa đường thẳng
AC
và mặt phẳng
()SBC
.
Bài 15: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông tâm
O
và các cạnh đều bằng
a
.
a) Chứng minh rằng
()SO ABCD⊥
.
b) Tính góc giữa đường thẳng
SA
và mặt phẳng
()SBD
.
c) Gọi
M
là trung điểm của cạnh
SC
và
là góc giữa đường thẳng
OM
và mặt phẳng
()SBC
. Tính
sin
.
Bài 16: Cho hình chóp
.S ABCD
có
( ), , 3SA ABCD AB AD SA AD a⊥ ⊥ = =
,
AB a=
. Tính số đo của:
a) Góc giữa đường thẳng
SB
và mặt phẳng
()ABCD
.
b) Góc giữa đường thẳng
SD
và mặt phẳng
()SAB
.
Bài 17: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh a, biết
( ) ( )SAB ABCD⊥
,
( ) ( )SAD ABCD⊥
và
SA a=
. Tính côsin của số đo góc nhị diện
[ , , ]S BD C
và góc nhị diện
[ , , ]B SC D
.
Bài 18: Cho hình chóp
.S ABC
có
3
( ), , 120 ,
2
a
SA ABC AB AC a BAC SA
⊥ = = = =
. Tính số đo của góc
phẳng nhị diện
[ , , ]S BC A
Bài 19: Cho tứ diên
ABCD
có
,AC BC AD BD==
. Gọi
M
là trung điểm của
AB
. Chứng minh rằng
( ) ( )CDM ABC⊥
và
( ) ( )CDM ABD⊥
.
Bài 20: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi tâm
O
, cạnh bằng
a
, góc
BAD
bằng
60
. Kẻ
OH
vuông góc với
SC
tại
H
. Biết
()SA ABCD⊥
và
6
2
a
SA =
. Chứng minh rằng:
a)
( ) ( )SBD SAC⊥
; b)
( ) ( )SBC BDH⊥
; c)
( ) ( )SBC SCD⊥
.
Bài 21: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi tâm
O
. Các tam giác
SAC
và
SBD
cân tại
S
.
Chứng minh rằng:
a)
()SO ABCD⊥
; b)
( ) ( )SAC SBD⊥
.
Bài 22: Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
và
()SA ABC⊥
.
a) Chứng minh rằng
( ) ( )SBC SAB⊥
.
b) Gọi
M
là trung điểm của
AC
. Chứng minh rằng
( ) ( )SBM SAC⊥
.
Bài 23: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông tâm
O
. Hai mặt phẳng
()SAB
và
()SAD
cùng
vuông góc với mặt phẳng
()ABCD
. Gọi
H
và
K
lần lượt là hình chiếu của
A
trên
SB
và
SD
. Chứng minh
rằng:
a)
( ) ( )SBC SAB⊥
; b)
( ) ( )SCD SAD⊥
; c)
( ) ( )SBD SAC⊥
; d)
( ) ( )SAC AHK⊥
.
Bài 24: Cho hình chóp
.S ABC
có
()SA ABC⊥
, đáy là tam giác
ABC
vuông tại
B
, biết
SA AB BC a= = =
.
Tính theo a khoảng cách:
a) Từ điểm
B
đến đường thẳng
SC
.
b) Từ điểm
A
đến mặt phẳng
()SBC
.
c) Giữa hai đường thẳng chéo nhau
AB
và
SC
.
Bài 25: Cho hình lập phương
ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
. Tính theo
a
khoảng cách:
a) Từ điểm
A
đến mặt phẳng
( )
BDA
.
b) Giữa hai đường thẳng song song
BC
và
AD

.
c) Giữa hai đường thẳng chéo nhau
AB
và
BC
.
Bài 26: Cho hình lập phương
ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
. Tính theo
a
khoảng cách:
a) Giữa hai đường thẳng
AB
và
CD

.
b) Giữa đường thẳng
AC
và mặt phẳng
( )
A B C D
.
c) Từ điểm
A
đến đường thẳng
BD

.
d) Giữa hai đường thẳng
AC
và
BD

.
Bài 27: Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác
ABC
đều cạnh bằng
, ( )a SA ABC⊥
và
2SA a=
. Tính theo
a
khoảng cách:
a) Từ điểm
B
đến mặt phẳng
()SAC
.
b) Từ điểm
A
đến mặt phẳng
()SBC
.
c) Giữa hai đường thẳng
AB
và
SC
.
Bài 28: Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
, góc
ABC
bằng
60
, biết tam giác
SBC
đều cạnh
a
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
()ABC
. Tính theo
a
khoảng cách:
a) Từ điểm
S
đến mặt phẳng
()ABC
.
b) Từ điểm
B
đến mặt phẳng
()SAC
.
c) Giữa hai đường thẳng
AB
và
SC
.
Bài 29: Cho hình hộp chữ nhật
ABCD A B C D
có
, 2, 3AB a AD a AA a
= = =
. Tính theo
a
khoảng cách:
a) Từ điểm
A
đến mặt phẳng
( )
BDD B

.
b) Giữa hai đường thẳng
BD
và
CD
.
Bài 30: Cho hình lăng trụ đứng
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
và
AB AC AA a
= = =
.
Tính theo
a
khoảng cách:
a) Từ điểm
A
đến đường thẳng
BC

.
b) Giữa hai đường thẳng
BC
và
AB
.
Bài 31: Cho hình chóp tứ giác
.S ABCD
, đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
;3AB a AD a==
, tam giác
SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
H
là trung điểm
AB
. Tính khoảng cách:
a) từ
A
tới mặt phẳng
( )
SBD
.
b) giữa hai đường
SH
và
CD
.
c) giữa hai đường
SH
và
AC
.
d) giữa hai đường
SB
và
CD
.
e) giữa hai đường
BC
và
SA
.
f) giữa hai đường
SC
và
BD
.
Bài 32: Cho khối chóp đều
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh bằng
a
, góc giữa đường thẳng
SA
và
mặt phẳng
()ABCD
bằng
60
. Tính theo
a
thể tích khối chóp
.S ABCD
.
Bài 33: Cho khối lăng trụ tam giác
ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh bằng
a
, cạnh
AA a
=
và hình
chiếu vuông góc
H
của
A
trên mặt phẳng
()ABC
là trung điểm của
BC
. Tính theo
a
thể tích khối lăng trụ
ABC A B C
.
Bài 34: Cho hình chóp cụt đều
ABCD A B C D
có đáy lớn
ABCD
là hình vuông cạnh bằng
2a
, đáy nhỏ
A B C D
là hình vuông cạnh bằng
2
2
a
, các cạnh bên bằng nhau và bằng
a
. Tính theo
a
thể tích khối chóp
cụt
ABCD A B C D
.
Bài 35: Cho hình chóp
.S ABC
có
( ); ; 2SA ABC AB a AC a⊥ = =
và
60SBA
=
,
45BAC
=
. Tính theo
a
thể
tích khối chóp
.S ABC
.
Bài 36: Cho khối chóp đều
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh bằng
a
, góc giữa mặt phẳng
()SCD
và mặt phẳng
()ABCD
bằng
60
. Tính theo
a
thể tích khối chóp
.S ABCD
.
Bài 37: Cho hình lăng trụ
ABC A B C
có
A B C
và
AAC

là hai tam giác đều cạnh
a
. Biết
( ) ( )
ACC A A B C
⊥
. Tính theo
a
thể tích khối lăng trụ
.ABC A B C
.
Bài 38: Cho hình chóp
.S ABC
có
( ),SA ABC SA⊥=
a, đáy
ABC
là tam giác vuông tại
,,A AB a=
3AC a=
.
Kẻ
AM
vuông góc với
SB
tại
,M AN
vuông góc với
SC
tại
N
. Tính theo
a
thể tích khối chóp
.S AMN
.
II. TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Trong không gian, cho đường thẳng
d
và điểm
O
. Qua
O
có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với
đường thẳng
d
?
A. 3. B. vô số. C. 1. D. 2.
Câu 2. Trong không gian cho trước điểm
M
và đường thẳng
. Các đường thẳng đi qua
M
và vuông góc
với
thì:
A. vuông góc với nhau. B. song song với nhau.
C. cùng vuông góc với một mặt phẳng. D. cùng thuộc một mặt phẳng.
Câu 3. Trong không gian, cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
A. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì vuông góc với đường
thẳng còn lại.
B. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau
C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường
thẳng còn lại.
D. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Câu 4. Trong không gian, cho
3
đường thẳng
,,abc
phân biệt và mặt phẳng
( )
P
. Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A. Nếu
ac⊥
và
( )
Pc⊥
thì
( )
//aP
.
B. Nếu
ac⊥
và
bc⊥
thì
//ab
.
C. Nếu
ab⊥
và
bc⊥
thì
ac⊥
.
D. Nếu
ab⊥
thì
a
và
b
cắt nhau hoặc chéo nhau.
Câu 5. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Qua một điểm
O
cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
B. Qua một điểm
O
cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng
cho
trước.
C. Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ một mặt phẳng chứa
đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
D. Qua một điểm
O
cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho
trước.
Câu 6. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai
A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
Câu 7. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song
với nhau.
B. Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
C. Trong không gian hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D. Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
Câu 8. Trong hình hộp
.
ABCD A B C D
có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề
nào sai?
A.
⊥BB BD
. B.

⊥A C BD
. C.

⊥A B DC
. D.

⊥BC A D
.
Câu 9. Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng
BC
?
A.
AD
. B.
AC
. C.
BB
. D.
AD
.
Câu 10. Cho hình lập phương
. ' ' ' '.ABCD A B C D
Tính góc giữa hai đường thẳng
AC
và
'.AB
A.
60
B.
45
C.
75
D.
90
Câu 11. Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
. Góc giữa hai đường thẳng
BA
và
CD
bằng:
A.
45
. B.
60
. C.
30
. D.
90
.
Câu 12. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
2AB a=
,
BC a=
. Các cạnh bên của
hình chóp cùng bằng
2a
. Tính góc giữa hai đường thẳng
AB
và
SC
.
A.
45
. B.
30
. C.
60
. D.
arctan2
.
Câu 13. Cho hình chóp
.S ABCD
có tất cả các cạnh đều bằng
a
. Gọi
I
và
J
lần lượt là trung điểm của
SC
và
BC
. Số đo của góc
( )
, IJ CD
bằng:
A.
30
. B.
60
. C.
45
. D.
90
.
Câu 14. Cho tứ diện
OABC
có
;OA OB OC a
,,OA OB OC
vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi
I
là trung điểm
BC
. Tính góc giữa hai đường thẳng
AB
và
OI
.
A.
45
. B.
30
. C.
90
. D.
60
.
Câu 15. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình thoi cạnh
a
,
3SA a=
và
SA BC⊥
. Góc giữa hai đường
thẳng
SD
và
BC
bằng
A.
90
. B.
60
. C.
45
. D.
30
.
Câu 16. Cho hai đường thẳng phân biệt
,ab
và mặt phẳng
( )
P
, trong đó
( )
aP⊥
. Chọn mệnh đề sai.
A. Nếu
//ba
thì
( )
//bP
. B. Nếu
//ba
thì
( )
bP⊥
.
C. Nếu
( )
bP⊥
thì
//ba
. D. Nếu
( )
//bP
thì
ba⊥
.
Câu 17. Qua điểm
O
cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng
cho trước?
A. Vô số. B.
2
. C.
3
. D.
1
.
Câu 18. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu đường thẳng
d
vuông góc với mặt phẳng
( )
thì
d
vuông góc với hai đường thẳng trong
mặt phẳng
( )
.
B. Nếu đường thẳng
d
vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng
( )
thì
d
vuông góc
với mặt phẳng
( )
.
C. Nếu đường thẳng
d
vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng
( )
thì
d
vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng
( )
.
D. Nếu
( )
d
⊥
và đường thẳng
( )
//a
thì
da⊥
.
Câu 19. Trong không gian, khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc
đôi một song song với nhau.
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song
với đường thẳng kia.
Câu 20. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau đây?
A. Góc giữa đường thẳng
a
và mặt phẳng
( )
P
bằng góc giữa đường thẳng
a
và mặt phẳng
( )
Q
thì
mặt phẳng
( )
P
song song hoặc trùng với mặt phẳng
( )
Q
.
B. Góc giữa đường thẳng
a
và mặt phẳng
( )
P
bằng góc giữa đường thẳng
b
và mặt phẳng
( )
P
thì
đường thẳng
a
song song với đường thẳng
b
.
C. Góc giữa đường thẳng
a
và mặt phẳng
( )
P
bằng góc giữa đường thẳng
b
và mặt phẳng
( )
P
thì
đường thẳng
a
song song hoặc trùng với đường thẳng
b
.
D. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt
phẳng đã cho.
Câu 21. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:
A. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
B. Cho hai đường thẳng chéo nhau
a
và
b
đồng thời
ab⊥
. Luôn có mặt phẳng
( )
chứa
a
và
( )
b
⊥
.
C. Cho hai đường thẳng
a
và
b
vuông góc với nhau. Nếu mặt phẳng
( )
chứa
a
và mặt phẳng
( )
chứa
b
thì
( ) ( )

⊥
.
D. Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng khác.
Câu 22. Cho hai đường thẳng phân biệt
,ab
và mặt phẳng
( )
P
. Chọn khẳng định đúng?
A. Nếu
( )
//aP
và
ba⊥
thì
( )
bP⊥
. B. Nếu
( )
//aP
và
( )
bP⊥
thì
ba⊥
.
C. Nếu
( )
aP⊥
và
ba⊥
thì
( )
//bP
. D. Nếu
( )
aP
và
( )
bP
thì
ba
.
Câu 23. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình bình hành tâm
O
,
,SA SC SB SD==
. Trong các khẳng định
sau khẳng định nào đúng?
A.
( )
SA ABCD⊥
. B.
( )
SO ABCD⊥
. C.
( )
SC ABCD⊥
. D.
( )
SB ABCD⊥
.
Câu 24. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông, cạnh bên
SA
vuông góc với đáy
()ABCD
.
Khẳng định nào sau đây sai?
A.
()CD SBC⊥
. B.
()SA ABC⊥
. C.
()BC SAB⊥
. D.
()BD SAC⊥
.
Câu 25. Cho tứ diện
ABCD
có hai mặt
ABC
và
ABD
là hai tam giác đều. Gọi
M
là trung điểm của
AB
.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
( )
CM ABD⊥
. B.
( )
AB MCD⊥
. C.
( )
AB BCD⊥
. D.
( )
DM ABC⊥
.
Câu 26. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông và
SA
vuông góc đáy. Mệnh đề nào sau đây
sai?
A.
( )
BC SAB⊥
. B.
( )
AC SBD⊥
. C.
( )
BD SAC⊥
. D.
( )
CD SAD⊥
.
Câu 27. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật tâm
I
, cạnh bên
SA
vuông góc với đáy.
Gọi
H
,
K
lần lượt là hình chiếu của
A
lên
SC
,
SD
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
( )
AH SCD⊥
. B.
( )
BD SAC⊥
. C.
( )
AK SCD⊥
. D.
( )
BC SAC⊥
.
Câu 28. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông,
( )
SA ABCD⊥
. Gọi
M
là hình chiếu của
A
trên
SB
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
AM SD⊥
. B.
( )
AM SCD⊥
. C.
AM CD⊥
. D.
( )
AM SBC⊥
.
Câu 29. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Mệnh đề nào sau
đây đúng?
A.
( )
BA SAD⊥
. B.
( )
BA SAC⊥
. C.
( )
BA SBC⊥
. D.
( )
BA SCD⊥
.
Câu 30. Cho hình chóp
.S ABC
tam giác
ABC
vuông tại
B
cạnh bên
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy
( ).ABC
Gọi
H
là hình chiếu của
A
trên
SB
. Mệnh đề nào sau đây SAI?
A. Các mặt bên của hình chóp các tam giác vuông
B.
SBC
vuông.
C.
AH SC⊥
D. Góc giữa đường thẳng
SC
với mặt phẳng
( )
ABC
là góc
SCB
Câu 31. Cho hình chóp
.S ABC
có
SA SB SC==
và tam giác
ABC
vuông tại
C
. Gọi
H
là hình chiếu vuông
góc
S
lên mặt phẳng
( )
ABC
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.
H
là trung điểm của cạnh
AB
. B.
H
là trọng tâm tam giác
ABC
.
C.
H
là trực tâm tam giác
ABC
. D.
H
là trung điểm của cạnh
AC
.
Câu 32. Cho hình chóp
.S ABC
có
( )
SA ABC⊥
; tam giác ABC đều cạnh
a
và
SA a=
(tham khảo hình vẽ
bên). Tìm góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
( )
ABC
.
A.
o
60
. B.
o
45
. C.
o
135
. D.
o
90
.
A
C
B
S
H
S
A
B
C
Câu 33. Cho hình chóp
.S ABC
có cạnh
SA
vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng
SB
và mặt phẳng đáy
là góc giữa hai đường thẳng nào dưới đây?
A.
SB
và
AB
. B.
SB
và
SC
. C.
SA
và
SB
. D.
SB
và
BC
.
Câu 34. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
cạnh
a
, SA vuông góc với đáy và
3SA a=
. Góc giữa
đường thẳng
SD
và mặt phẳng
()ABCD
bằng:
A.
3
arcsin
5
. B.
0
45
. C.
0
60
. D.
0
30
.
Câu 35. Cho hình chóp
.S ABCD
đáy là hình vuông cạnh
( )
, , 2.a SA ABCD SA a⊥=
Tính góc giữa
SC
và mặt
phẳng
( )
.ABCD
A.
0
30
. B.
0
45
. C.
0
60
. D.
0
90
.
Câu 36. Cho hình lăng trụ đều
.ABC A B C
có
3AB =
và
1AA
=
. Góc tạo bởi giữa đường thẳng
AC
và
( )
ABC
bằng
A.
o
45
. B.
o
60
. C.
o
30
. D.
o
75
.
Cho hình chóp
.S ABC
có
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABC
,
2SA a
, tam giác
ABC
vuông tại
B
,
AB a
và
3BC a
(minh họa như hình vẽ bên).
.
Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
ABC
bằng
A.
90
. B.
30
. C.
60
. D.
45
.
Câu 37. Cho hình chóp
.S ABC
có
SA
vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
.
2SA a=
. Tam giác
ABC
vuông
cân tại B và
AB a=
( minh họa như hình vẽ bên).
Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
( )
ABC
bằng
A.
0
45
. B.
0
60
. C.
0
30
. D.
0
90
.
Câu 38. Cho hình chóp
.S ABC
có
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy,
AB a=
và
2SB a=
. Góc giữa đường
thẳng
SB
và mặt phẳng đáy bằng.
A.
0
60
. B.
0
45
. C.
0
30
. D.
0
90
.
Câu 39. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
2SA a=
. Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng đáy bằng
A.
45
. B.
60
. C.
30
. D.
90
.
Câu 40. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật có
,2AB a AD a==
,
SA
vuông góc với
mặt phẳng
( )
ABCD
,
3SA a=
. Gọi
là góc giữa
SC
và
( )
ABCD
( tham khảo hình vẽ bên). Khi đó
tan
bằng
A.
5
5
. B.
3
5
. C.
5
3
. D.
35
5
.
Câu 41. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
a
. Hình chiếu vuông góc của điểm
S
lên
mặt phẳng
( )
ABC
trùng với trung điểm
H
của cạnh
BC
. Biết tam giác
SBC
là tam giác đều. Gọi
là số đo của góc giữa đường thẳng
SA
và mặt phẳng
( )
ABC
. Tính
tan
.
A. 1. B.
3
. C. 0. D.
1
3
.
Câu 42. Cho lăng trụ đều
.ABC A B C
có tất cả các cạnh bằng
a
. Góc giữa đường thẳng
AB
và mặt phẳng
( )
ABC
bằng
A.
60 .
B.
45 .
C.
30 .
D.
90 .
Câu 43. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác đều cạnh bằng
a
,
( )
SA ABC⊥
,
3SA a=
. Tính góc giữa
đường thẳng
SB
và mặt phẳng
( )
ABC
.
A.
75
. B.
45
. C.
60
. D.
30
.
Câu 44. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Đường thẳng
SA
vuông góc với mặt
phẳng đáy và
2SA a=
Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
ABCD
là
α
. Khi đó
tanα
bằng
A.
2
. B.
2
3
. C.
2
. D.
22
.
Câu 45. Cho hình chóp
.S ABCD
với đáy
ABCD
là hình vuông có cạnh
2a
,
6SA a=
và vuông góc với
đáy. Góc nhị diện
,,S BD A
?
A.
0
90
. B.
0
30
. C.
0
45
. D.
0
60
.
Câu 46. Cho tứ diện
.S ABC
có các cạnh
SA
,
SB
;
SC
đôi một vuông góc và
1SA SB SC= = =
. Tính
cos
,
trong đó
là góc nhị diện
,,S BC A
A.
1
cos
2
=
. B.
1
cos
23
=
. C.
1
cos
32
=
. D.
1
cos
3
=
.
Câu 47. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
A
và
2AB a=
. Biết
( )
SA ABC⊥
và
SA a=
. Góc nhị diện
,,S BC A
A.
30
. B.
45
. C.
60
. D.
90
.
Câu 48. Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
,A
AB AA a
==
(tham
khảo hình vẽ bên). Tính tang của góc giữa đường thẳng
BC
và mặt phẳng
( )
ABB A

.
A.
2
2
. B.
6
3
. C.
2
. D.
3
3
.
Câu 49. Cho hình hộp
.ABCD A B C D
có
M
,
N
,
P
lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB

,
AD

,
CD

.
Góc giữa đường thẳng
CP
và mặt phẳng
( )
DMN
bằng?
A.
0
. B.
45
. C.
30
. D.
60
.
Câu 50. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
C. Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 0
0
.
D. Hai đường thẳng trong không gian cắt nhau khi và chỉ khi góc giữa chúng lớn hơn 0
0
và nhỏ hơn
90
0
.
Câu 51. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng tùy ý nằm trong mỗi mặt phẳng.
B. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
C. Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn.
D. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vec tơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt vuông
góc với hai mặt phẳng đó.
Câu 52. Cho các đường thẳng
,ab
và các mặt phẳng
( ) ( )
,

. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A.
( )
( )
( ) ( )
a
a

⊥
⊥
. B.
( )
( )
//
ab
b
a
⊥
⊥
.
C.
( )
( )
( ) ( )
ab
a
b
⊥
⊥
. D.
( ) ( )
( )
( )
a a b
b

⊥
⊥
.
Câu 53. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
A
B
C
D
A
B
C
D
M
N
P
A. Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau, nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông
góc với giao tuyến của hai mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng kia.
B. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước
C. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song
với nhau.
D. Đường thẳng
d
là đường vuông góc chung của hai đườngthẳng chéo nhau
,ab
khi và chỉ khi
d
vuông góc với cả
a
và
.b
Câu 54. Cho đường thẳng
a
không vuông góc với mặt phẳng
( )
. có bao nhiêu mặt phẳng chứa
a
và vuông
góc với
( )
.
A.
2
. B.
0
. C. Vô số. D.
1
.
Câu 55. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng
vuông góc nhau.
B. Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
C. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều vuông
góc với mặt phẳng kia.
D. Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì chúng vuông góc với nhau.
Câu 56. Cho đường thẳng
a
không vuông góc với mặt phẳng
( )
. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa
a
và vuông
góc với
( )
?
A.
2
. B.
0
. C. Vô số. D.
1
.
Câu 57. Trong không gian cho hai đường thẳng
,ab
và mặt phẳng
()P
, xét các phát biểu sau:
(I). Nếu
//ab
mà
()aP⊥
thì luôn có
()bP⊥
.
(II). Nếu
()aP⊥
và
ab⊥
thì luôn có
/ /( )bP
.
(III). Qua đường thẳng
a
chỉ có duy nhất một mặt phẳng
()Q
vuông góc với mặt phẳng
()P
.
(IV). Qua đường thẳng
a
luôn có vô số mặt phẳng
()Q
vuông góc với mặt phẳng
()P
.
Số khẳng định đúng trong các phát biểu trên là
A.
1
. B.
4
. C.
2
. D.
3
.
Câu 58. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai?
A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B. Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với
đường thẳng còn lại.
C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D. Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một
đường thẳng thì song song với nhau.
Câu 59. Cho hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
song song với nhau và một điểm
M
không thuộc
( )
P
và
( )
Q
. Qua
M
có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với
( )
P
và
( )
Q
.
A.
3
. B. Vô số. C.
1
. D.
2
.
Câu 60. Cho hình chóp
.S ABCD
đều. Gọi
H
là trung điểm của cạnh
AC
. Tìm mệnh đề sai?
A.
( ) ( )
SAC SBD⊥
. B.
( )
SH ABCD⊥
. C.
( ) ( )
SBD ABCD⊥
. D.
( )
CD SAD⊥
.
Câu 61. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành tâm
O
và
,SA SC=
SB SD=
. Mệnh đề
nào sau đây sai?
A.
( )
SC SBD⊥
. B.
( )
SO ABCD⊥
. C.
( ) ( )
SBD ABCD⊥
. D.
( ) ( )
SAC ABCD⊥
.
Câu 62. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác
ABC
vuông tại
B
và cạnh bên
SA
vuông góc với mặt
phẳng
( )
ABC
. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
SA BC⊥
. B.
AB BC⊥
. C.
AB SC⊥
. D.
SB BC⊥
.
Câu 63. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông, hai mặt bên
( )
SAB
và
( )
SAD
vuông góc với
mặt đáy.
AH
,
AK
lần lượt là đường cao của tam giác
SAB
,
SAD
. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A.
BC AH⊥
. B.
SA AC⊥
. C.
HK SC⊥
. D.
AK BD⊥
.
Câu 64. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi và
SB
vuông góc với mặt phẳng
( )
ABCD
. Mặt
phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng
( )
SBD
?
A.
( )
SBC
. B.
( )
SAD
. C.
( )
SCD
. D.
( )
SAC
.
Câu 65. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác cân tại
B
, cạnh bên
SA
vuông góc với đáy,
I
là
trung điểm
AC
,
H
là hình chiếu của
I
lên
SC
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
( ) ( )
BIH SBC⊥
. B.
( ) ( )
SAC SAB⊥
. C.
( ) ( )
SBC ABC⊥
. D.
( ) ( )
SAC SBC⊥
.
Câu 66. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, tam giác
SAB
đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính sin của góc tạo bởi đường
MD
và mặt phẳng
( )
SBC
.
A.
13
5
. B.
13
3
. C.
15
5
. D.
15
3
.
Câu 67. Cho hình chóp
.S ABC
có
SA ABC
,
2SA AB a
, tam giác
ABC
vuông tại
B
(tham khảo hình
vẽ). Khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
SBC
bằng
A.
3a
. B.
a
. C.
2a
. D.
2a
.
Câu 68. Cho hình chóp
SABC
có đáy là tam giác vuông tại
A
,
AB a=
,
3AC a=
,
SA
vuông góc với mặt
phẳng đáy và
2SA a=
. Khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
( )
SBC
bằng
A.
57
19
a
. B.
2 57
19
a
. C.
23
19
a
. D.
2 38
19
a
.
Câu 69. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác vuông cân tại
B
,
22SA AC a==
và
SA
vuông góc với
đáy. Khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )
SBC
là
A.
26
3
a
. B.
43
3
a
. C.
6
3
a
. D.
3
3
a
.
Câu 70. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
và cạnh bên
SB
vuông góc với mặt
phẳng đáy. Biết
3 , 4 , 2SB a AB a BC a= = =
. Khoảng cách từ
B
đến mặt phẳng
()SAC
bằng
A. . B.
3 14
14
a
. C.
4
5
a
. D.
12 29
29
a
.
12 61
61
a
Câu 71. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác vuông đỉnh
B
,
AB a=
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy
và
2SA a=
. Khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )
SBC
bằng
A.
25
5
a
. B.
5
3
a
. C.
22
3
a
. D.
5
5
a
.
Câu 72. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
3a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA a=
. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( )
SBC
bằng
A.
5
3
a
. B.
3
2
a
. C.
6
6
a
. D.
3
3
a
.
Câu 73. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác vuông cân tại
,C BC a=
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy
và
SA a=
. Khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )
SBC
bằng
A.
2a
. B.
2
2
a
. C.
2
a
. D.
3
2
a
.
Câu 74. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình vuông tâm
O
,
SA
vuông góc với mặt đáy. Hỏi mệnh đề nào
sau đây là sai?
A.
( )
( )
( )
( )
2d B, SCD d O, SCD .=
B.
( )
( )
( )
( )
d A, SBD d B, SAC .=
C.
( )
( )
( )
( )
d C, SAB d C, SAD .=
D.
( )
( )
d S, ABCD SA.=
Câu 75. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông tâm
O
,
( )
SA ABCD⊥
. Gọi
I
là trung điểm
của
SC
. Khoảng cách từ
I
đến mặt phẳng
( )
ABCD
bằng độ dài đoạn thẳng nào?
A.
IB
. B.
IC
. C.
IA
. D.
IO
.
Câu 76. Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
. Gọi
M
là trung điểm của
SD
.
Khoảng cách từ
M
đến mặt phẳng
( )
SAC
bằng
A.
2
2
a
. B.
2
4
a
. C.
2
a
. D.
4
a
.
Câu 77. Cho tứ diện đều
.S ABCD
có tất cả các cạnh đều bằng
2a
, gọi
M
là điểm thuộc cạnh $AD$ sao cho
2DM MA=
. Tính khoảng cách từ
M
đến mặt phẳng
( )
BCD
.
A.
26
9
a
. B.
6a
. C.
46
9
a
. D.
26
3
a
.
Câu 78. Cho tứ diện đều
ABCD
có cạnh bằng
a
. Khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )
BCD
bằng:
A.
3
4
a
. B.
3
3
a
. C.
6
3
a
. D.
6
2
a
.
Câu 79. Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
BB
và
AC
bằng
A.
2a
. B.
a
. C.
3a
. D.
2
2
a
.
Câu 80. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh bằng
a
,
SA ABCD
,
3SA a
. Gọi
M
là trung điểm
SD
. Tính khoảng cách giữa đường thẳng
AB
và
CM
.
A.
23
3
a
. B.
3
2
a
. C.
3
4
a
. D.
3
4
a
.
Câu 81. Cho lập phương
.ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
( tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai
đường thẳng
BD
và
AC

bằng
A.
3a
. B.
a
. C.
3
2
a
. D.
2a
.
Câu 82. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
A. Hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau.
B. Hình chóp tứ giác đều có các cạnh bên bằng nhau.
C. Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông.
D. Hình chóp tứ giác đều có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên đáy trùng với tâm của đáy.
Câu 83. Mảnh bìa phẳng nào sau đây có thể xếp thành lăng trụ tứ giác đều?
A. B.
C. D.
Câu 84. Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
i) Hình hộp đứng có đáy là hình vuông là hình lập phương
ii) Hình hộp chữ nhật có tất cả các mặt là hình chữ nhật
iii) Hình lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc với đáy
iv) Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau là hình lập phương
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 85. Cho khối chóp
.S ABC
có chiều cao bằng
3
, đáy
ABC
có diện tích bằng
10
. Thể tích khối chóp
.S ABC
bằng
A.
2
. B.
15
. C.
10
. D.
30
.
Câu 86. Cho khối chóp
.S ABC
có chiều cao bằng
3
, đáy
ABC
có diện tích bằng
10
. Thể tích khối chóp
.S ABC
bằng
A.
15
. B.
10
. C.
2
. D.
30
.
Câu 87. Cho khối chóp
.S ABC
có chiều cao bằng 5 , đáy
ABC
có diện tích bằng
6
. Thể tích khối chóp
.S ABC
bằng
A.
11
. B.
10
. C.
15
. D.
30
.
Câu 88. Cho khối chóp
.S ABC
có chiều cao bằng
5,
đáy
ABC
có diện tích bằng
6.
Thể tích khối chóp
.S ABC
bằng
A.
30
. B.
10
. C.
15
. D.
11
.
Câu 89. Cho khối chóp có diện tích đáy
7B =
và chiều cao
6h =
. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
42
. B.
126
. C.
14
. D.
56
.
Câu 90. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy
B
và chiều cao
h
. Thể tích
V
của khối lăng trụ đã cho được tính
theo công thức nào dưới đây?
A.
1
3
V Bh=
. B.
4
3
V Bh=
. C.
6V Bh=
. D.
V Bh=
.
Câu 91. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy là
2
3a
và chiều cao
2.a
Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A.
3
a
. B.
3
6a
. C.
3
3a
. D.
3
2a
.
Câu 92. Thể tích khối lập phương cạnh
2
bằng
A.
6
. B.
8
. C.
4
. D.
2
.
Câu 93. Cho khối hộp chữ nhật có 3 kích thước
3;4;5
. Thể tích của khối hộp đã cho bằng?
A.
10
. B.
20
. C.
12
. D.
60
.
Câu 94. Tính thể tích
V
của khối lập phương
.ABCD A B C D
, biết
3AC a
=
.
A.
3
Va=
B.
3
36
4
a
V =
C.
3
33Va=
D.
3
1
3
Va=
Câu 95. Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng 3. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
A.
27 3
.
4
B.
93
.
2
C.
93
.
4
D.
27 3
.
2
.
Câu 96. Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy là tam giác vuông cân tại
B
,
AB a
và
3A B a
.
Thể tích khối lăng trụ
.ABC A B C
là
A.
3
3
2
a
B.
3
6
a
C.
3
2
a
D.
3
2
2
a
Câu 97. Cho khối chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
,
( )
, 2 ,AB a AC a SA ABC= = ⊥
và
SA a=
. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
3
3
3
a
. B.
3
3
6
a
. C.
3
3
a
. D.
3
2
3
a
.
Câu 98. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
và
2AB a=
. Tam giác
SAB
đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích
V
của khối chóp
.S ABC
A.
3
3
4
a
V =
B.
3
3
3
a
V =
C.
3
3
12
a
V =
D.
3
23
3
a
V =
Câu 99. Cho khối chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
2a
, tam giác
SAC
vuông tại
S
và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên
SA
tạo với đáy góc
60
. Tính thể tích
V
của khối chóp
.S ABCD
.
A.
3
3
12
a
V =
. B.
3
3
3
a
V =
. C.
3
6
12
a
V =
. D.
3
2
12
a
V =
.
Câu 100. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh bằng
2a
. Mặt bên
( )
SAB
là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
( )
ABCD
. Thể tích của khối chóp
.S ABCD
là
A.
3
43a
. B.
3
3
2
a
. C.
3
3
4
a
. D.
3
43
3
a
.
Câu 101. Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
có
BB a
=
, đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
, 2B AC a=
.
Tính thể tích lăng trụ
A.
3
3
a
. B.
3
6
a
. C.
3
a
. D.
3
2
a
.
Câu 102. Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' ' 'ABCD A B C D
, đáy là hình thang vuông tại
A
và
D
, có
2 , 2, ' 2AB CD AD CD a AA a= = = =
. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A.
3
12a
. B.
3
6a
. C.
3
2a
. D.
3
4a
.
Câu 103. Tính thể tích khối lăng trụ đứng
.ABC A B C
biết
2 ; 3 ; 4AA a AB a AC a
= = =
và
AB AC⊥
.
A.
3
12a
. B.
3
4a
. C.
3
24a
. D.
3
8a
.
Câu 104. Cho hình lăng trụ đứng
.ABCD A B C D
, có
ABCD
là hình vuông cạnh
2a
, cạnh
23AC a
.Thể
tích khối lăng trụ
.ABC A B C
bằng
A.
3
4a
. B.
3
3a
. C.
3
2a
. D.
3
a
.
Câu 105. Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
, tâm của đáy là
O
. Gọi
M
và
N
lần lượt
là trung điểm của
SA
và
BC
. Biết góc giữa đường thẳng
MN
và mặt phẳng
( )
ABCD
bằng
0
60
.
Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
.
A.
3
10
6
a
B.
3
30
2
a
C.
3
30
6
a
D.
3
10
3
a
Câu 106. Cho khối chóp tứ giác đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
. Biết
90ASC
, tính thể tích
V
của khối
chóp đó.
A.
3
3
a
V
. B.
3
2
3
a
V
. C.
3
2
6
a
V
. D.
3
2
12
a
V
.
Câu 107. Cho khối chóp đều
.S ABCD
có cạnh đáy là
a
, các mặt bên tạo với đáy một góc
60
. Tính thể tích
khối chóp đó.
A.
3
3
2
a
. B.
3
3
12
a
. C.
3
3
6
a
. D.
3
3
3
a
.
Câu 108. Cho khối chóp tứ giác đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
0
60
.
Thể tích
V
của khối chóp
.S ABCD
bằng
A.
3
3
2
a
V =
B.
3
2
2
a
V =
C.
3
3
6
a
V =
D.
3
2
6
a
V =
Câu 109. Cho hình chóp cụt tam giác, trong đó 2 mặt đáy là 2 tam giác đều có cạnh lần lượt là
4 cm
và
2 cm
,
chiều cao hình chóp là
6 cm
. Yêu cầu hãy tính thể tích của hình chóp cụt đó.
A.
14 3
B.
23
C.
33
D.
83
Câu 110. Tính thể tích của hình chóp cụt đều có đáy lớn là hình vuông, cạnh
6 cm
, đáy nhỏ là hình vuông cạnh
3 cm
và chiều cao của hình chóp cụt là
4 cm
.
A.
84
B.
32
C.
12
D.
96
Câu 111. Cho một chậu nước hình chóp cụt đều (hình vẽ) có chiều cao bằng
3dm
, đáy là lục giác đều, độ dài
cạnh đáy lớn bằng
2dm
và độ dài cạnh đáy nhỏ bằng
1dm
. Tính thể tích của chậu nước
A.
3
21 3
2
dm
. B.
3
21 2
4
dm
. C.
3
21
2
dm
. D.
3
21 6
4
dm
.
………………… Hết ………………..
| 1/40

Tài liệu khác của Toán 11

Preview text:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
NỘI DUNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ-HOÀN KIẾM NĂM HỌC 2023-2024 MÔN: TOÁN 11
Nội dung: 1. Một số yếu tố thống kê và xác suất.
2. Hàm số mũ và hàm số lôgarit. 3. Đạo hàm.
4. Quan hệ vuông góc trong không gian. Phép chiếu vuông góc.
CHƯƠNG V. MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT I. TỰ LUẬN
Bài 1: Điều tra điểm thi đánh giá năng lực của học sinh THPT đợt 1 trên 40 học sinh của trường X 82 99 71 92 67 78 96 92 86 77 75 89 91 87 66 75 89 95 92 88 93 99 83 84 74 82 86 75 88 94 66 79 84 88 69 87 89 75 92 86
a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên, các nhóm có độ dài bằng nhau, trong đó có nhóm
[90;100]; thêm cột “giá trị đại diện” và cột “tần số tích lũy”.
b) Tính số trung bình, tìm trung vị, tứ phân vị. Mốt của mẫu số liệu trên.
Bài 2: Điều tra khoảng cách từ nhà đến trường của một số học sinh trường X (đơn vị: mét) Nhóm Giá trị Tần số Tần số
a) Kích thước của mẫu số liệu trên? Điền giá trị đó đại diện tích lũy
vào bảng. Độ dài các nhóm trong bảng trên là [0;500) 80 bao nhiêu? [500;1000) 180
b) Điền số và cột Giá trị đại diện và tần số tích lũy. [1000;1500) 140
Tính số trung bình của mẫu số liệu. [1500;2000) 112
c) Tìm nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn [2000;2500) 150 hoặc bằng n/2 [2500;3000) 90
d) Tìm trung vị, tứ phân vị, mốt của mẫu số liệu n = trên.
Bài 3: Gieo đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Gọi A1 là biến cố “Lần 1 được mặt ngửa” và A2 là
biến cố “Lần 2 được mặt ngửa”.
a) Tính xác suất P(A1), P(A2)
b) Hai biến cố A1, A2 là hai biến cố xung khắc, đối nhau hay độc lập? Giải thích.
c) Gọi biến cố A: “Hai đồng xu cùng ngửa”; B: “Hai đồng xu cùng sấp”, C: “có ít nhất 1 đồng xu ngửa”
Biểu diễn A, B, C theo A1; A2. Tính các xác suất P(A), P(B), P(C).
Bài 4: Gieo con xúc sắc cân đối và đồng chất 2 lần liên tiếp. Gọi A1 là biến cố “Lần 1 được số chấm chẵn”; B1
là biến cố “Lần 1 đươc số chấm lẻ” và A2 là biến cố “Lần 2 được số chấm chẵn”
a) Ttrong các biến cố A1, A2, B1; hai biến cố nào là xung khắc, đối nhau hay độc lập? Giải thích.
b) Biến cố C: “Lần 1 được số chấm >4”. Biến cố C; A1; A2 có độc lập hay xung khắc?
c) Viết theo A1, A2 các biến cố A: “Cả hai lần đều được số chấm chẵn”, B: “Ít snhất 1 lần được chấm
chẵn”. Tính xác suất P(A), P(B).
Bài 5: Hai xạ thủ An và Bình cùng bắn vào 1 bia đích. Gọi biến cố xạ thủ An bắn trúng đích là A có P(A) = 0,8.
Biến cố để xạ thủ Bình bắn trúng là B có P(B) = 0,6
a) Biến cố xạ thủ An bắn trượt, xạ thủ Bình bắn trượt được kí hiệu thế nào? Xác suất của chúng?
b) Biểu diễn các biến cố sau theo các biến cố trên
- Biến cố E: “Cả hai xạ thủ cùng bắn trúng”
- Biến cố F: “Có đúng 1 xạ thủ bắn trúng”
- Biến cố P: “Cả hai xạ thủ cùng bắn trượt”
- Biến cố Q: “Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng”
c) Tính xác suất các biến cố ở câu b.
Bài 6: Cho tập hợp S = {1; 2; 3; 4; ….. ; 31}.
a) Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập S, Tính xác suất các biến cố A, B và AB biết A: “Lấy được số
chẵn”, B: “Lấy được số lớn hơn 7”
Gọi C là biến cố “Lấy được số chấm lẻ”. Biến cố C quan hệ thế nào với biến cố A (xung khắc, đối nhau hay độc lập)
Gọi M: “Số lấy ra chi hết cho 2”; N: “Số lấy ra chia hết cho 3”. Tính xác suất các biến cố
M N; M N
b) Lấy ngẫu nhiên hai số thuộc tập S. Tính xác suất để lấy được hai số có tổng là một số lẻ.
Bài 7: Trường X chọn ra 30hs (20 nam và 10 nữ), trong đó có 10 học sinh mỗi khối 10, 11, 12.
a) Lấy ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để trong đó có 2 nữ.
b) Lẫy ngâu nhiên 18 học sinh, Tính xác suất để trong đó có học sinh nữ.
c) Lấy ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để có học sinh đủ 3 khối
d) Lấy ngẫu nhiên 5 học sinh. Tính xác suất để có học sinh đủ 3 khối II. TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất của biến cố P ( A B) bằng:
A. 1− P ( A) − P ( B) .
B. P ( A).P ( B) .
C. P ( A).P ( B) − P ( A) − P (B) .
D. P ( A) + P ( B) .
Câu 2. Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất P để hiệu số chấm trên các mặt
xuất hiện của hai con súc sắc bằng 2. 1 2 1 A. . B. . C. . D. 1. 3 9 9
Câu 3. Một nhóm học sinh có 6 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Từ nhóm học sinh này ta chọn ngẫu nhiên 3
học sinh. Tính xác suất để trong ba học sinh được chọn có cả nam và nữ. 3 C 3 C 2 1 2 1 C C + C C 3 3 C + C A. 7 1− . B. 6 1− . C. 6 7 7 6 . D. 6 7 . 3 C 3 C 3 C 3 C 13 13 13 13
Câu 4. Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách.
Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra có ít nhất một quyển là toán. 3 37 10 2 A. . B. . C. . D. . 4 42 21 7
Câu 5. Một chiếc máy có 2 động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I chạy tốt và
động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7. Tính xác suất để có ít nhất 1 động cơ chạy tốt là. A. 0,56. B. 0,06. C. 0,83. D. 0,94
Câu 6. Một đề trắc nghiệm có 50 câu hỏi gồm 20 câu mức độ nhận biết, 20 câu mức độ vận dụng và 10 câu
mức độ vận dụng cao. Xác suất để bạn An làm hết 20 câu mức độ nhận biết là 0, 9 ; 20 câu mức độ vận
dụng là 0,8 ; và 10 câu mức độ vận dụng cao là 0, 6 . Xác suất để bạn An làm trọn vẹn 50 câu là A. 0, 432 . B. 0, 008 . C. 0, 228 . D.1.
Câu 7. Một đề thi môn toán có 50 câu trắc nghiệm khách quan, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó có
đúng một phương án là đáp án. Học sinh Chọn đúng đáp án được 0.2 điểm, Chọn sai đáp án không
được điểm. Một học sinh làm đề thi đó, Chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời từ tất cả 50 câu. Xác
xuất để học sinh đó được 5, 0 điểm bằng 3 25 25 C .3 1 1 A. 25 25 ( ) .C . B. 50 . C. . D. . 50 4 100 4 2 16
Câu 8. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0, 6 . Người đó bắn hai
viên một cách độc lập. Xác suất để một viên trúng và một viên trượt mục tiêu là A. 0, 48. B. 0, 4. C. 0, 24. D. 0, 45.
Câu 9. Ba người A, B, C đi săn độc lập với nhau cùng nổ súng bắn vào mục tiêu. Biết rằng xác suất bắn trúng
mục tiêu của A, B, C tương ứng là 0, 7 ; 0, 6 ; 0,5 . Tính xác suất để có nhiều nhất hai xạ thủ bắn trúng mục tiêu. A. 0, 73 . B. 0, 79 . C. 0, 21 . D. 0, 94 .
Câu 10. Cho tập hợp A = 2,3, 4,5,6,7, 
8 . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau
được lập thành từ các chữ số của tập A . Chon ngẫu nhiên một số từ S. Xác suất để số được chọn mà
trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ là 1 18 17 3 A. . B. . C. . D. . 5 35 35 35
Câu 11. Xác suất sút bóng thành công tại chấm 11 mét của hai cầu thủ Quang Hải và Văn Đức lần lượt là 0,8
và 0, 7 . Biết mỗi cầu thủ sút một quả tại chấm 11 mét và hai người sút độc lập. Tính xác suất để ít
nhất một người sút bóng thành công. A. 0, 44 . B. 0, 94 . C. 0, 38 . D. 0, 56 .
Câu 12. Gieo ngẫu nhiên con xúc xắc cân đối và đồng chất 2 lần. Tính xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần. 25 11 1 1 A. . B. . C. . D. . 36 36 6 36
Câu 13. Cho tập A = {1; 2; 3; …; 11}. Chọn ngẫu nhiên sáu số thuộc tập A. Biến cố “Tổng các số chọn ra là
một số lẻ” có xác suất bằng: 224 224 236 236 A. . B. . C. . D. . 462 332640 332640 462
Câu 14. Gieo con súc sắc cân đối và đồng chất 5 lần độc lập. Biến cố “Không lần nào xuất hiện mặt có số
chấm là một số lẻ” có xác suất bằng: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 64 32 16 8
Câu 15. Một hộp đựng 9 thẻ đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên hai thẻ. Biến cố “Tích hai số trên thẻ là một số
chẵn” có xác suất bằng: 13 9 A. . B. 11 . C. 10 . D. . 18 18 18 18
Câu 16. Người ta sử dụng 7 cuốn sách Toán, 8 cuốn sách Vật lí, 9 cuốn sách Hóa học (các cuốn sách cùng
loại giống nhau) để làm phần thưởng cho 12 học sinh, mỗi học sinh được 2 cuốn sách khác loại.
Trong số 12 học sinh trên có hai bạn Thảo và Hiền. Tính xác suất để hai bạn Thảo và Hiền có phần
thưởng giống nhau. 1 5 19 1 A. . B. . C. . D. . 22 18 66 11
Câu 17. Hai người ngang tài ngang sức tranh chức vô địch của một cuộc thi cờ tướng. Người giành chiến thắng
là người đầu tiên thắng được năm ván cờ. tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và ngưởi
chơi thứ hai mới thắng 2 ván, tính xác suất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng. 4 7 1 3 A. . B. . C. . D. . 5 8 2 4
Câu 18. Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng
giải Câu tập. Xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ là 4651 4615 4610 4615 A. . B. . C. . D. . 5236 5236 5236 5263
Câu 19. Trong kì thi X có môn thi bắt buộc là môn Tiếng Anh. Môn thi này thi dưới hình thức trắc nghiệm với
bốn phương án trả lời A, B, C, D. Mỗi câu trả lời đúng được cộng 0,2 điểm; mỗi câu trả lời sai bị trừ
0,1 điểm. Bạn Hoa vì học rất kém môn Tiếng Anh nên chọn ngẫu nhiên cả 50 câu trả lời. Tính xác suất
để bạn Hoa đạt được 4 điểm môn Tiếng Anh trong kì thi trên. A. 5 1,8.10− . B. 7 1,3.10− . C. 7 2, 2.10− . D. 6 2,5.10− .
Câu 20. Trong một trò chơi điện tử, xác suất Tùng thắng một ván là 0,3. Hỏi Tùng phải chơi loạt trận tối thiểu
bao nhiêu ván để xác suất Tùng thắng ít nhất một ván lớn hơn 0,8? A. 7 . B. 5 . C. 6 . D. 4 .
Câu 21. Điều tra thời gian tự học trong một ngày của học sinh được mẫu số liệu cho trong bảng sau Số phút [0 ;30) [30 ;60) [60 ;90) [90 ;120) [120 ;150) [150 ;180) Số học sinh 75 80 70 135 60 50
Gọi các nhóm theo thứ tự thời gian tăng dần là nhóm 1 ; nhóm 2 ; … ; nhóm 6
21.1. Khẳng định đúng về độ dài d của mỗi nhóm là : A. d = 30. B. d < 30 C. d > 30
D. độ dài các nhóm không bằng nhau
21.2. Kích thước của mẫu số liệu là (mẫu số liệu có bao nhiêu số liệu?): A. 135. B. 75 C. 50 D. 470
21.3. Tần số của nhóm 3 là: A. 60. B. 90 C. 70 D. 60+90+70
21.4. Tần số tích lũy của nhóm 3 là: A. 470. B. 90 C. 225 D. 60+90+70
21.5. Giá trị đại diện của nhóm 4 là: A. 90. B. 105 C. 120 D. 210
21.6. Số trung bình của mẫu số liệu gần nhất với: A. 135. B. 105 C. 86,17 D. 235
21.7. Trung vị của mẫu số liệu gần nhất với:: A. 92,2. B. 90 C. 105 D. 120
21.8. Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với: A. 30. B. 45,9 C. 45 D. 60
21.9. Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với: A. 105. B. 120 C. 135 D. 104
CHƯƠNG VI. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT I. TỰ LUẬN Bài 1: Tính: − 2 2  − −0.75 1  3 3  1   1  a)   ; b) 2 4 ; c) ; d)   .    5   8  16 
Bài 2: Thực hiện phép tính: 2 − a) 0.75 0.5 3 27 + 81 − 25 ; b) 2 3 7 2 7 4 8 .
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau: ( + a − )1 2 2 1 5 2 − − x y 2 3 x y 5 1 − 3− 5 a .a a) A = (x, y  0) b) B =
(x, y  0) c) C = (a  0) d) D = (a  0) . 3 − x y ( − 3 1 − 5 1 − 3− 5 x y ) 3 1 4 ( 3 1 a + ) a .a
Bài 4: Cho x, y là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau: 1 1 3 1 + 3 3 x y + y x 3 − 3 1 −   x x a) A = b) B =    6  − −  6 x + y 2 3 1  yy
Bài 5: Không sử dụng máy tinh cầm tay, hãy so sánh: 4 − 2 3  1  a) 6 3 5 và 3 6 5 ; b)   và 3 2  2 .  2 
Bài 6: Nếu một khoản tiền gốc P được gửi ngân hàng với lăi suất hằng năm r ( r được biểu thị dưới dạng số
thập phân), được tính lãi n lần trong một năm, thỉ tồng số tiền A nhận được (cả vốn lẫn läi) sau N kì gửi cho bởi công thức sau:  r N A = P 1+ .    n
Hỏi nếu bác An gửi tiết kiệm số tiền 120 triệu đồng theo kì hạn 6 tháng với lãi suất không đồi là 5% một năm,
thì số tiền thu được (cả vốn lẫn läi) của bác An sau 2 năm là bao nhiêu?
Bài 7: Năm 2021, dân số của một quốc gia ở châu Á là 19 trệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc
gia này sẽ tăng gấp đôi sau 30 năm nữa. Khi đó dân số A (triệu ngưởi) của quốc gia đó sau t năm kể từ năm t
2021 được ước tính bằng công thức 30
A = 19  2 . Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau 20 năm nữa dân số
của quốc gia này sẻ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu). Bài 8. Tính: 1 a) log ; b) log 9 . c) 13 log 2− ; d) 2 ln e ; 2 8 3 2 e) log 16 − log 2 ; f) log 6 log 8. g) log 3 3 ; h) log 32 . 8 8 2 6 3 1 2
Bài 9. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) log 2 + log 32 ; b) log 80 − log 5 . 4 4 2 2
c) log 3.log 4.log 5.log 6.log 7.log 8 ;
d) log 2.log 4...log 2n . 2 3 4 5 6 7 2 2 2
Bài 10. Viết mỗi biểu thức sau thành lôgarit của một biểu thức (giả thiết các biểu thứ c đều có nghĩa):  x   x +1 a) A = ln + ln − ln ( 2 x −     )1 b) 3 B = 21log x + log 9x − log 9 . 3 3 ( 2 )  3 x −1   x
Bài 11. Rút gọn các biểu thức sau: 1
a) A = log 5 + 2 log 25 − log ; b) 2 4
B = log M + log M . 1 9 3 2 5 a a 3 c) C = log ( 3
x − x − log (x +1) − log (x −1)(x  1) 2 ) 2 2
Bài 12. Biết rằng khi độ cao tăng lên, áp suất không khí sẽ giảm và công thức tính áp suất dựa trên độ cao
là: a = 15500(5 − log p) , trong đó a là độ cao so với mực nước biển (tính bằng mét) và p là áp suất không
khí (tính bằng pascal). Tính áp suất không khí ở đỉnh Everest có độ cao 8850 m
so với mực nước biển.
Bài 13. Vẽ đồ thị của các hàm số sau: x  1  a) 3x y = ;
b) y =   . a) y = log ;
x b) y = log x .  3  1 3
Bài 14. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y = log (x + 8)
b) y = log (2x + 5) c) y = ( 2 ln 4 − x ) d) y = log ( 2 −x + 3x − 2 1 ) 2 3 3 2x + 5 e) 2
y = log(2x −15x +13) f) y = log x + 3
g) y = log (3− | 2x −1|) h) y = x −1+log2 7− x
Bài 15. Trong một nghiên cứu, một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và
được kiểm tra lại xem họ còn nhớ bao nhiêu phần trăm danh sách đó sau mỗi tháng. Giả sử sau t tháng, khả
năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó được tính theo công thức M (t) = 75 − 20ln (t + )
1 , 0  t  12 (đơn vị:
%). Hãy tính khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó sau 6 tháng.
Bài 16. Giải các phương trình sau x− 2 2 a) 1 3 = 27 . b) 2 x −3 2 x 1 − 8 100 = 0,1 . c) 3 3 x e = 1. d) x 2 x 1 5 3 − = . x− 1 x+ 1 − e) 1 3 = . f) x 1 10 = 2022. g) 3 1 2 = ; h) 2 2 x e = 5. 1−2 3 x x 1 2 =
Bài 17. Giải các phương trình sau a) log ( x + ) 1 = 2 . b) 2 log x + log x − 3 = 2 . 4 2 ( )
c) ln x + ln ( x − ) 1 = ln 4x . d) log ( 2
x − 3x + 2 = log 2x − 4 . 3 ) 3 ( ) e) 4 + 3log (2x) =16. f) log ( x + ) 1 = log ( 2 x −1 . 3 3 )
g) 4 − log (3 − x) = 3; h) log x + 2 + log x −1 = 1. 2 ( ) 2 ( )
Bài 18. Giả các bất phương trình sau − x 1 x − x+ − − a) 2 4 2 0,1  0,1 x . b) 2 1 2.5  3 . c) 16  . d) 2x 1 2 0,1  0,1 x; 8 + e) x 1 3.2
1. g) log x + 7  1 − . h) log x + 7  log 2x −1 . 0,5 ( ) 0,5 ( ) 3 ( ) i) log x +1  log 2x −1 . k) log x +1  log
2 − x . m) 2 log (2x + ) 1  3 . 1 ( ) 7 ( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 7
Bài 19. Bác Minh gửi tiết kiệm 500 triệu đồng ở một ngân hàng với lãi suất không đổi 7,5% một năm theo thể
thức lãi kép kì hạn 12 tháng. Tổng số tiền bác Minh thu được (cả vốn lẫn lãi) sau n năm là = 500(1+ n A 0, 075)
(triệu đồng). Tính thời gian tối thiểu gửi tiết kiệm để bác Minh thu được ít nhất 800 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi).
Bài 20. Số lượng vi khuẩn ban đầu trong một mẻ nuôi cấy là 500 con. Người ta lấy một mẫu vi khuẩn trong mẻ
nuôi cấy đó, đếm số lượng vi khuẩn và thấy rằng tỉ lệ tăng trưởng vi khuẩn là 40% mỗi giời. Khi đó số lượng vi
khuẩn N (t ) sau t giờ nuôi cấy được ước tính bằng công thức ( ) 0,4 = 500 t N t e
. Hỏi sau bao nhiêu giờ nuôi câu,
số lượng vi khuẩn vượt mức 80 000 con? II. TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho a là số thực dương, ,
m n tùy ý. Phát biểu nào sau đây là phát biểu sai? m m aa m a − n A. m n m n a a a + + = . B. =   . C. m n = a . D. ( m ) m.n a = a . m bb n a 3
Câu 2. Cho a  0 là một số thực dương, biểu thức 3 4
P = a . a bằng 4 9 9 1 A. 9 a . B. 4 a . C. 8 a . D. 2 a . Câu 3. Cho ,
x y là hai số thực dương và ,
m n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai? n n n A. m. n m n x x x + = . B. ( m ) m.n x = x . C. ( . ) n = . n x y x y . D. ( m ) n m x = x .
Câu 4. Cho biểu thức 4 2 3 P = x
x , ( x  0) . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 7 8 6 9 A. 12 P = x . B. 12 P = x . C. 12 P = x . D. 12 P = x . 7 1 + 2− 7 a .a
Câu 5. Cho biểu thức P = (
với a  0 . Rút gọn biểu thức P được kết quả + a − ) 2 2 2 2 A. 5 P = a . B. 4 P = a . C. 3 P = a .
D. P = a . (4 a .b )4 3 2
Câu 6. Cho a , b là các số thực dương. Rút gọn biểu thức P =
được kết quả là 3 12 6 a .b A. 2 2 a b . B. ab . C. 2 ab . D. 2 a b . 1 1 5   3 2 2
a a − a   
Câu 7. Cho số thực dương a  0 và khác 1. Hãy rút gọn biểu thức P = . 1 7 19   4 12 12
a a − a   
A. P = 1+ a . B. P =1 .
C. P = a .
D. P = 1− a .
Câu 8. Biểu thức a a (
, a  0) được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là 3 3 1 2 A. 4 a . B. 2 a . C. 2 a . D. 3 a .
Câu 9. Cho a, b là các số thực dương thỏa 2b a = 5 . Tính 6 2a b K = − 4 . A. K = 226 . B. K = 202 . C. K = 246 . D. K = 242 . 2 1 − −
Câu 10. Với những giá trị nào của a thì (a − ) 3  (a − ) 3 1 1 ?
A. 1  a  2 . B. a  2 . C. a  1.
D. 0  a  1.  2 
Câu 11. Cho a thuộc khoảng 0; 
 ,  và  là những số thực tuỳ ý. Khẳng định nào sau đây là sai? e b     A. (    a ) . = a .
B. a a a   . C.    + a .a = a .
D. a a     . a a  3   4  5 4
Câu 12. Cho a, b là các số thực thỏa điều kiện      và 4 3
b b . Chọn khẳng định đúng trong các  4   5  khẳng định sau?
A. a  0 và b  1.
B. a  0 và 0  b  1.
C. a  0 và 0  b  1.
D. a  0 và b  1. a− Câu 13. Nếu ( + ) 1 7 4 3  7 − 4 3 thì A. a  1. B. a  1. C. a  0 . D. a  0 .
Câu 14. Tập tất cả các giá trị của a để 21 5 7 2 a a là 5 2 A. a  0 .
B. 0  a  1. C. a  1. D. a  . 21 7
Câu 15. Cho các số thực ,
x y thỏa mãn 2x = 3 , 3y = 4 . Tính giá trị biểu thức 8x 9y P = + . A. 43. B. 17 . C. 24 . D. 34 . 2024 2023
Câu 16. Tính giá trị của biểu thức P = (7 + 4 3) (7−4 3) .
A. P =1 .
B. P = 7 − 4 3 .
C. P = 7 + 4 3 . D. P = ( + )2023 7 4 3 .
Câu 17. Một người gửi tiền vào ngân hàng với lãi suất không thay đổi là 8% /năm. Biết rằng nếu không rút tiền
ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi
kép). Người đó định gửi tiền trong vòng 3 năm, sau đó rút tiền ra để mua ô tô trị giá 500 triệu đồng.
Hỏi số tiền ít nhất người đó phải gửi vào ngân hàng để có đủ tiền mua ô tô (kết quả làm tròn đến hàng triệu) là bao nhiêu?
A. 395 triệu đồng.
B. 394 triệu đồng.
C. 397 triệu đồng.
D. 396 triệu đồng. 1 2 2017  1   1   1 
Câu 18. Tích (2017)! 1+ 1+ ... 1+      
được viết dưới dạng b
a , khi đó (a, b) là cặp nào trong  1   2   2017  các cặp sau? A. (2018; 2017) . B. (2019; 2018) . C. (2015; 2014) . D. (2016; 2015) .
Câu 19. Cho các số thực , a ,
b m và 0  a  1, b  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. log m
b = m a = b .
B. log b = m b = . m a . a a
C. log b = m a = mb . D. log m
b = m b = a . a a Câu 20. Biểu thức 3 log 2024 có giá trị bằng 2024 A. 3 . B. 3 2024 . C. 3 . D. 3 2024 .
Câu 21. Với a và b là các số thực dương tùy ý, a khác 1 thì ( 7 log a b bằng a )
A. 7 log b .
B. 7 − log b .
C. 1+ 7 log b . D. 7 + log b . a a a a 1
Câu 22. Biểu thức log 8 − log có giá trị bằng 32 32 4 1 A. . B. 3 2024 . C. 1. D. 3 2024 . 5
Câu 23. Biểu thức log 128 có giá trị bằng 32 7 5 A. . B. . C. 35 . D. 2 . 5 7
Câu 24. Số nào trong các số sau lớn hơn 1: 1 1 A. log . B. log 125 . C. log 36 . D. log . 0,5 8 0,2 1 0,5 2 6
Câu 25. Cho a là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào dưới đây sai? − 1 A. log 2 log a a = .
B. log a = 3 . C. 3 3 a = a . D. 2 log a = 2 . 3 2 a a
Câu 26. Cho a là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số dương , x y ? x x A. log
= log x − log y B. log
= log x − y a a ( ) a a a y y x x log x C. log
= log x + log y D. log a = a a a y a y log y a
Câu 27. Với a, b là hai số thực dương tùy ý, 2 7 5
ln(e .a .b ) bằng:
A. 2 + 5ln a + 7 ln b
B. 7 ln a + 5ln b
C. 2 + 7 ln a + 5ln b
D. 5ln a + 7 ln b
Câu 28. Với a,b là các số thực dương tùy ý và a  1, log b bằng 3 a 1 1
A. 3 + log b
B. 3log b
C. + log b D. log b a a 3 a 3 a a b c d
Câu 29. Cho a, , b ,
c d  0 . Rút gọn biểu thức S = ln
+ ln + ln + ln ta được b c d aa b c d
A. S = 1. B. S = 0. C. S = ln + + + .  
D. S = ln (abcd ). b c d a
Câu 30. Với các số thực dương ,
a b bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng? 3  2a  3  2a  1 A. log 
 =1+ 3log a − log . b B. log   =1+ log a − log . b 2 2 2  b  2 2 2  b  3 3  2a  3  2a  1 C. log   =1+ 3log a + log . b D. log   =1+ log a + log . b 2 2 2  b  2 2 2  b  3
Câu 31. Đặt a = log 2 , khi đó log 48 bằng 3 6 3a −1 3a +1 4a −1 4a +1 A. B. C. D. a −1 a +1 a −1 a +1 1
Câu 32. Số thực x thỏa mãn: log x =
log 3a − 2 log b + 3log c (a, b, c là các số thực dương). Hãy biểu diễn x 2 theo a, b, c. 3 3ac 3a 3 3a.c 3ac A. x = . B. x = . C. x = . D. x = . 2 b 2 3 b c 2 b 2 b
Câu 33. Đặt a = log 3,b = log 3. Hãy biểu diễn log 45 theo a và b . 2 5 6 2 2a − 2ab a + 2ab 2 2a − 2ab a + 2ab A. log 45 = B. log 45 = C. log 45 = D. log 45 = 6 ab 6 ab + b 6 ab + b 6 ab mb + nac Câu 34. Cho log 5 = ; a log 7 = ;
b log 3 = c . Biết log 175 = 9 4 2 24 pc +
. Tính giá trị của biểu thức q
A = m + 2n + 3 p + 4q . A. 27 B. 25 C. 23 D. 29
Câu 35. Với các số a, b  0 thỏa mãn 2 2
a + b = 6ab , biểu thức log a + b bằng 2 ( ) 1 1
A. (3 + log a + log b .
B. (1+ log a + log b . 2 2 ) 2 2 ) 2 2 1 1
C. 1+ (log a + log b .
D. 2 + (log a + log b . 2 2 ) 2 2 ) 2 2 log 5 + b Câu 36. Cho 2 log 45 = a + , a, , b c
. Tính tổng a + b + c . 6 log 3 + c 2 A. 4 − B. 2 C. 0 D. 1 1 1 1
Câu 37. Tính giá trị của biểu thức A = + +...+ khi x = 2024! log x log x log x 2 3 2024
A. A = 2024 . B. A = 1 − . C. A = 2024 − . D. A =1 .
Câu 38. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số mũ? x 1
A. y = ( 3) . B. 3 x y − = . C. y = . D. 3 y x− = . 2x
Câu 39. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số logarit có cơ số bằng 2 ?
A. y = log x .
B. y = ln 2x .
C. y = x log 3 . D. 2 y = log x . 2 2 3 Câu 40. Cho hàm số x
y = a . Khẳng định nào sai?
A. Hàm số đồng biến trên khi a  1.
B. Hàm số nghịch biến trên
khi 0  a  1.
C. Tập xác định của hàm số là (0; +) .
D. Đồ thị của hàm số luôn nằm phía trên trục hoành và đi qua các điểm (
A 0;1), B(1; a) .
Câu 41. Cho hàm số y = log x . Khẳng định nào sai? a
A. Hàm số đồng biến trên khi a  1.
B. Hàm số nghịch biến trên
khi 0  a  1.
C. Tập xác định của hàm số là (0; +) .
D. Đồ thị của hàm số luôn nằm bên phải trục tung và đi qua các điểm (0;1), (1; a) .
Câu 42. Tìm tập xác định D của hàm số 13 . x y = A. D = (− ;  0).
B. D = (0; +). C. D = (− ;  +). D. D = (− ;  +) \  0 .
Câu 43. Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ dưới đây? . A. 2 y = 2x . B. 2x y = . C. 3x y = . D. 4x y = .
Câu 44. Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ dưới đây? xx 1   1  x A. 3x y = . B. y =   .
C. y =   . D. y = ( 2 ) .  2   3 
Câu 45. Đồ thị sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây? y O x 1 A. 2x y = . B. 2 x y − = .
C. y = ln x .
D. y = − ln x .
Câu 46. Hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó? x  1  A. y = .   B. 2 . x y = C. y = log . x D. y = log . x  2  0,5 e
Câu 47. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó? xx 2  x  1  x
A. y =   .
B. y = (0,5) .
C. y =   . D. y = ( 3) .  3    
Câu 48. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng (0; +) ? A. y = log . x B. y = log . x C. y = log . x D. y = log . x 2  3 e
Câu 49. Tìm tập xác định D của hàm số y = log (2 − x).
A. D = (2;+). B. D = (− ;  2). C. D = \   2 . D. D = (− ;  +).
Câu 50. Tìm tập xác định D của hàm số 2
y = log x − x −12. A. D = ( 3 − ;4). B. D =  3 − ;4. C. D = (− ;  −  3 4; +). D. D = (− ;  3 − ) (4;+).
Câu 51. Tìm tập xác định D của hàm số y = log ( 2
x − 2x − 3 . 2 ) A. D = ( 1 − ; 3). B. D =  1 − ;  3 . C. D = (− ;  −  1 3; + ). D. D = (− ;  − ) 1  (3; + ).
Câu 52. Tìm tập xác định D của hàm số y = log ( 2
1− 2x + x . 1 ) x
A. D = (0; +).
B. D = (1; +).
C. D = 0; +).
D. D = (0; +) \   1 .
Câu 53. Khẳng định nào sai? − − A. 2 1,5 1,3  1,3 . B. 3 2 0,9  0,9 . C. log 4  log 20.
D. log 5  3log 2. 0,25 0,5 3 3
Câu 54. Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số x y = a , x y = b , x
y = c được cho trong hình
vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. c a b .
B. a b c .
C. b c a .
D. a c b .
Câu 55. Kết quả thống kê cho biết ở thời điểm năm 2013 dân số Việt Nam là 90 triệu người, tốc độ tăng dân
số là 1,1% / năm. Nếu mức tăng dân số ổn định như vậy thì dân số Việt Nam sau t năm kể từ năm
2013 được tính bởi công thức ( ) 90(1 1,1%)t P t = +
(triệu người). Hỏi đến năm 2077 dân số Việt Nam là bao nhiêu? A. 181. B. 179 . C. 180 . D. 182 .
Câu 56. Cho a, b, c là ba số thực dương và khác 1. Đồ thị các hàm số y = log x , y = log x và y = log x a b c
được cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
A. a b c .
B. c a b .
C. b c a .
D. c b a .
Câu 57. Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là 78.685.800 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1, 7% . Cho
biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức = . Nr S
A e (trong đó A là dân số của năm lấy làm
mốc tính, S là số dân sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm). Nếu dân số vẫn tăng với tỉ lệ như
vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người? A. 2022 . B. 2025 . C. 2020 . D. 2026 .
Câu 58. Tìm tập nghiệm + +
S của phương trình 2x 1 x 5 2 = 2 . A. S =   1 .
B. S = −  1 . C. S =   4 . D. S =   2 . x+
Câu 59. Tập nghiệm S của phương trình 1 2 = 8 là A. S =   1 .
B. S = −  1 . C. S =   4 . D. S =   2 . x  1 
Câu 60. Tập nghiệm S của phương trình = 9   là  3  A. S =   3 .
B. S = −  2 . C. S =   2 .
D. S = −  1 .
Câu 61. Tập nghiệm S của phương trình log x −1 = 2 là: 3 ( ) A. S =   10 .
B. S =  . C. S =   7 . D. S =   6 . + −
Câu 62. Nghiệm của bất phương trình 2x 1 3 3  3 x là: 2 2 2 3 A. x  − . B. x  . C. x  . D. x  . 3 3 3 2
Câu 63. Bất phương trình 2x  4 là
A. T = (2; +) .
B. T = (0; 2) . C. T = (− ;  2) . D. T =  .
Câu 64. Nếu log 243 = 5 thì x bằng x A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 5 .
Câu 65. Tập nghiệm của bất phương trình log
x −1  3 là 2 ( )
A. (10; + ) . B. (1; + ) . C. (9; + ) . D. (4; + ) .
Câu 66. Cho phương trình 2 log x + log
x 8 − 3 = 0 . Khi đặt t = log x , phương trình đã cho trở thành 2 2 ( ) 2
phương trình nào dưới đây? A. 2
8t + 2t − 6 = 0 . B. 2
4t + t = 0 . C. 2
4t + t − 3 = 0 . D. 2
8t + 2t − 3 = 0 . x −  
Câu 67. Tập nghiệm của phương trình 2 x x 1 4 =   là  2   2  1   3 A. 0;  . B. 0;  . C. 0;  2 . D. 0;  .  3  2  2 1 x+
Câu 68. Tìm tập nghiệm S của phương trình 2 4
− 5.2x + 2 = 0 . A. S =  1 −  ;1 .
B. S = −  1 . C. S =   1 . D. S = ( 1 − ) ;1 .
Câu 69. Phương trình log x + log (x −1) = 1 có tập nghiệm là: 2 2 A.  1 − ;  3 . B. 1;  3 . C.   2 . D.   1 . 3−x x 1 +
Câu 70. Số nghiệm nguyên của bất phương trình ( − )x 1−  ( + )x+3 10 3 10 3 là A. 1. B. 0 . C. 3 . D. 2 .
Câu 71. Tìm tập nghiệm S của phương trình 2
log x − 5log x + 4  0 2 2 A. S = (− ;
 216;+) . B. S = (0;216;+) . C. S = (− 
;1 4;+) . D. S = 2;16 . Câu 72. Cho hàm số ( ) 2 3x .4x f x =
. Khẳng định nào sau đây sai? A. f ( x) 2
 9  x + 2x log 2  2 .
B. f ( x)  9  2x log 3 + x log 4  log 9 . 3 C. f ( x) 2
 9  x log 3+ 2x  2log 3 . D. f ( x) 2
 9  x ln 3+ x ln 4  2ln 3. 2 2
Câu 73. Cho phương trình 9x 3.3x −
+ 2 = 0 có hai nghiệm x , x (x x . Tính giá trị của A = 2x +3x . 1 2 ) 1 2 1 2
A. A = 3log 2 .
B. A = 2 .
C. A = 0 . D. A = 4log 3 . 3 2 x x+ 1
Câu 74. Phương trình 2 1 3 .4 −
= 0 có hai nghiệm x , x . Tính T = x x + x + x . 3x 1 2 1 2 1 2
A. T = 2 .
B. T = − log 4 .
C. T = 1. D. T = 1 − . 3
Câu 75. Bất phương trình ( 2x + )  ( 2 ln 2 3 ln x + ax + )
1 nghiệm đúng với mọi số thực x khi: A. 2
− 2  a  2 2 .
B. 0  a  2 2 .
C. 0  a  2 . D. 2 −  a  2.
Câu 76. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình 2 2 x −3x+m
x −3x+m −2+ x 2 x−3 9 + 2.3  3 có nghiệm? A. 6 . B. 4 . C. 9 . D. 1. x x + y x −a + b
Câu 77. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn log = log y = log và =
, với a , b là 25 15 9 2 4 y 2
các số nguyên dương, tính a + b .
A. a + b = 14 .
B. a + b = 3 .
C. a + b = 21.
D. a + b = 34 .
CHƯƠNG VII. ĐẠO HÀM I. TỰ LUẬN
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số y = f ( x) tại điểm x bằng định nghĩa : 0
a) y = f ( x) 3
= 2x + x −1 tại x = 0 0 1
b) y = f ( x) = x = 2 − 2 x + x + tại 1 0 c) 2 f (x) = x +1 tại x = 0 1  3 2 x + x +1 −1   d) , khi x 0 f (x) =  x tại x =  0 0 0 , khi x = 0  2 x − 1   Bài 2: Tìm khi x 1
a để hàm số f (x) =  x − 1
có đạo hàm tại x = 1 . a khi x =  1
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số y = f ( x) tại điểm x bất kì bằng định nghĩa :
a) y = f ( x) 2
= x − 3x +1
b) y = f ( x) 3
= x − 2x
c) y = f ( x) = 4x + 3 Bài 4: Cho hàm số 2
y = x + 2x − 4 có đồ thị (C )
a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của (C ) tại điểm có hoành độ x = 1 thuộc (C ) . 0
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 0 thuộc (C ) . 0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y = 1 − thuộc (C). 0
d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 4 − .
e) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó song song với đưởng thẳng y = 1− 3x .
Bài 5: Một chất điểm chuyển động thẳng biến đổi đều với phương trình 2
s = 2t + t −1 (m) . Tìm vận tốc tức thời
của vật tại thời điểm t = 2s .
Bài 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1 x + 2    1) 2
y = 4x − x + 2) y = 3) y = cos − 3x   x 2x − 1  3 
4) y = (1− x)(1− 2x)(1− 3x) 2 x + 4x −1 = 5) y = 6) 3 y cos 4x 2x + 3
7) y = (x + x )( 2 x + x + ) 1
9) y = 1+ 2 tan x . 3 8) y =
10) y = tan 3x − cot 3x .
10) y = x ( x + )3 2 4 2x − 1 y = ( 2 x + 2x) x  2 13) e 1  1  1+ x − x 11) y = 1− x −    12) y = 2 2  x  x  1− x + x 14) x y xe− = x 2 15) y = ( 3
x + 3x)(2 − x) 16) y = 17) x −2 y = e cos x 2 x + x +1 2 tan 20) = cos . x y x e 18) y =
19) y = 5sin x − 3cos x . x 22) 2
y = sin 3x + sin x 21) y = ( 2
sin x − 3x + 2) . 23) 2 1 log (2 1) 3 x y x − + = + + . x +1 x + 2 2 24) y = 25) y = ln ( x + 2) 2x x −1 Bài 7: 3 2 = − − a) Cho hàm số y 2x 3x 5 . Tìm y = x để 0 1
b) Cho hàm số f ( x) 3 2
= x − 3 2x +18x − 7. Tìm x để f (x)  0 3
c) Cho hàm số f ( x) = 1+ x . Tính f (3) + ( x − 3). f (3)    d) Cho f ( x) 2 2
= cos x − sin x . Tính f    4    1 
e) Cho hàm số y = sin − x
 . Giải phương trình y = 0 .  3 2  f) Cho hàm số ( ) 2 x f x x e− =
. Giải bất phương trình f ( x)  0
Bài 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị mỗi hàm số sau: a) 3 2
y = x − 3x + 4 tại điểm có hoành độ x = 2 ; 0
b) y = ln x tại điểm có hoành độ x = e ; 0 c) x
y = e tại điểm có hoành độ x = 0 . 0
Bài 9: Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu v = 196 m / s (bỏ qua 0
sức cản của không khí). Tìm thời điểm tại đó tốc độ của viên đạn bằng 0 . Khi đó viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét (lấy 2 g = 9,8 m / s )?
Bài 10: Cho mạch điện như Hình 5. Lúc đầu tụ điện có điện tích Q . 0
Khi đóng khoá K , tụ điện phóng điện qua cuộn dây; điện tích q của tụ
điện phụ thuộc vào thời gian t theo công thức q(t) = Q sin t  , trong đó 0
 là tốc độ góc. Biết rằng cường độ I(t) của dòng điện tại thời điểm t
được tính theo công thức I (t) = q (  t) . Cho biết 8 Q 10− = (C) và 0 6
 =10 (rad / s) . Tính cường độ của dòng điện tại thời điểm t = 6( s) (tính chính xác đế − n 5 10 ( mA)) . Bài 11:
a) Cho f ( x) = ( x − )6 3 . Tính f  (2) .      
b) Cho f ( x) = in
s 3x . Tính f  − 
 , f  (0) , f    .  2  18 
Bài 12: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: 2x +1 a) y = sin 5x o c s2x b) y = y = x x d) 2
y = x 1+ x 2 x + x − c ) 2 sin 2 1 1
Bài 13: a) Cho hàm số f ( x) 3 2
= x + x −12x −1. Giải f ' (x)  0 3 2 x − 3 2 b) Cho hàm số y =
. Tính M = 2(y) + (1− y).y. x + 4 3 x + 3x + 2 3 2
ax + bx + cx + d
c) Hàm số f (x) = có f (  x) =
. Tính S = a − b + c − 2d . x −1 (x − )3 1
Bài 14: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2 S = t
− + 3t + 9t , trong đó t tính bằng giây và S tính
bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.
Bài 15: Một chuyển động xác định bởi phương trình S (t ) 3 2
= t − 3t − 9t + 2. Trong đó t được tính bằng giây, S
được tính bằng mét. Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3s ? II. TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm tại điểm x . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau 0 f x − f x f x + f x
A. f ( x = lim .
B. f ( x = lim . 0 ) ( ) ( 0) 0 ) ( ) ( 0) x→x − x→x − 0 x x 0 x x 0 0 f x − f x f x + f x
C. f ( x = lim .
D. f ( x = lim . 0 ) ( ) ( 0) 0 ) ( ) ( 0) x→x + x→x + 0 x x 0 x x 0 0
f ( x) − f (3)
Câu 2. Cho hàm số y = f ( x) xác định trên thỏa mãn lim = 2 . Kết quả đúng là x 3 → x − 3
A. f (2) = 3 .
B. f ( x) = 2 .
C. f ( x) = 3 .
D. f (3) = 2 .
f ( x) − f (6)
Câu 3. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm thỏa mãn f (6) = 2. Giá trị của biểu thức lim bằng x→6 x − 6 1 1 A. 12. B. 2 . C. . D. . 3 2 2  4x +1 −1  , khi x  0
Câu 4. Cho hàm số f ( x) xác định bởi f ( x) =  x
. Giá trị f (0) bằng  0 , khi x = 0 1 A. 2 . B. 0 . C. . D. Không tồn tại. 2 x
Câu 5. Cho hàm số f ( x) 3 = . Tính f (0) . 1+ x
A. f (0) = 0 .
B. f (0) = 1. C. f ( ) 1 0 = .
D. f (0) = 3 . 3  3x +1 − 2x  khi x   − 1 Câu 6. Cho hàm số ( ) x f x =  1 . Tính f '(1) . −  5 khi x =  1 4 7 9
A. Không tồn tại. B. 0 C. − . D. − . 50 64 2 x +1, x 1
Câu 7. Cho hàm số y = f ( x) =  . Mệnh đề sai là 2 , x x  1. A. f ( ) 1 = 2 .
B. f không có đạo hàm tại x = 1. 0
C. f (0) = 2.
D. f (2) = 4. 2
ax + bx khi x 1
Câu 8. Cho hàm số f (x) = 
. Để hàm số đã cho có đạo hàm tại x = 1 thì 2a + b bằng:
2x −1 khi x 1 A. 2 . B. 5 . C. 2 − . D. 5 − . 2
ax + bx +1, x  0
Câu 9. Cho hàm số f ( x) = 
. Khi hàm số f ( x) có đạo hàm tại x = 0 . Hãy tính T = a + 2b  0
ax − b −1, x  0 A. T = 4 − . B. T = 0 . C. T = 6 − . D. T = 4 . 3− 4 − x  khi x  0 
Câu 10. Cho hàm số f ( x) 4 = 
. Khi đó f (0) là kết quả nào sau đây? 1  khi x = 0 4 1 1 1 A. . B. . C. . D. Không tồn tại. 4 16 32
Câu 11. Tính đạo hàm của hàm số y = x ( x − )
1 ( x − 2)...( x − 202 )
1 tại điểm x = 0 .
A. f (0) = 0 .
B. f (0) = 2021! .
C. f (0) = 2021. D. f (0) = 2 − 021!.
2 f ( x) − xf (2)
Câu 12. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm tại điểm x = 2 . Tìm lim . 0 x→2 x − 2 A. 0 . B. f (2) .
C. 2 f (2) − f (2) .
D. f (2) − 2 f (2) .
 x −1 khi x  0
Câu 13. Cho hàm số f ( x) ( )2 = 
có đạo hàm tại điểm x = 0 là? 0 2 −x khi x  0
A. f (0) = 0 .
B. f (0) = 1. C. f (0) = 2 − . D. Không tồn tại. 2
x + ax + b khi x  2
Câu 14. Cho hàm số y = 
. Biết hàm số có đạo hàm tại điểm x = 2 . Giá trị của 3 2
x − x −8x +10 khi x  2 2 2 a + b bằng A. 20 . B. 17 . C. 18 . D. 25 . 1
Câu 15. Cho hàm số f ( x) 3 2
= x − 2 2x + 8x −1, có đạo hàm là f (x) . Tập hợp những giá trị của x để 3
f ( x) = 0 là: A.  2 − 2. B. 2; 2. C.  4 − 2. D. 2 2. Câu 16. Cho hàm số 3 2
y = 3x + x +1, có đạo hàm là y . Để y  0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?  2   9   9   2  A. − ; 0 .  
B. − ; 0 . C. − ;  −   0;+  ). D. − ;  −   0;+  ).    9   2   2   9 
Câu 17. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) 4 3 2
= −x + 4x − 3x + 2x +1 tại điểm x = 1 − . A. f (− ) 1 = 4. B. f (− ) 1 = 14. C. f (− ) 1 = 15. D. f (− ) 1 = 24. 1 Câu 18. Cho hàm số 3 y = x − (2m + ) 2
1 x − mx − 4 có đạo hàm là y . Tìm tất cả các giá trị của m để y  0 với 3 x   .  1   1     1  A. m  1 − ;− .   B. m  1 − ;−
. C. m (− −  1 ; 1  − ; + .   D. m 1 − ; .      4   4   4   4  1 Câu 19. Cho hàm số 3
y = − mx + (m − ) 2
1 x − mx + 3 có đạo hàm là y . Tìm tất cả các giá trị của m để phương 3
trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt là x , x thỏa mãn 2 2 x + x = 6 . 1 2 1 2 A. m = 1 − + 2 ; m = 1 − − 2. B. m = 1 − − 2.
C. m = 1− 2 ; m = 1+ 2. D. m = 1 − + 2.
Câu 20. Tính đạo hàm của của hàm số y = ( x − x )2 3 2 2 .
A. f ( x) 5 4 3
= 6x − 20x +16x .
B. f ( x) 5 3 = 6x +16x .
C. f ( x) 5 4 3
= 6x − 20x + 4x .
D. f ( x) 5 4 3
= 6x − 20x −16x .
Câu 21. Tính đạo hàm của hàm số y = ( 2
x − 2)(2x − ) 1 . A. y = 4 . x B. 2
y = 3x − 6x + 2. C. 2
y = 2x − 2x + 4. D. 2
y = 6x − 2x − 4.
Câu 22. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) = x ( x − )
1 ( x − 2)...( x − 2018) tại điểm x = 0 .
A. f (0) = 0. B. f (0) = 2 − 018!.
C. f (0) = 2018!.
D. f (0) = 2018. x
Câu 23. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) 2 = x = − . x − tại điểm 1 1 A. f (− ) 1 = 1. B. f (− ) 1 1 = − . C. f (− ) 1 = 2 − . D. f (− ) 1 = 0. 2 2 x + 2x − 3
Câu 24. Tính đạo hàm của hàm số y = . x + 2 3 2 x + 6x + 7 2 x + 4x + 5 2 x + 8x +1 A. y = 1+  =  =  = ( B. y . C. y . D. y . 2 2 2 x + 2) . 2 (x + 2) (x + 2) (x + 2)
Câu 25. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) = x −1 tại điểm x =1. A. f ( ) 1 1 = . B. f ( ) 1 = 1. C. f ( ) 1 = 0. D. Không tồn tại. 2
Câu 26. Tính đạo hàm của hàm số 2 3 y = x − 4x . 2 x − 6x 2 2 1 x −12x x − 6x A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . 2 3 x − 4x 2 3 2 x − 4x 2 3 2 x − 4x 2 3 2 x − 4x
Câu 27. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) = x x. x x
A. f ( x) 1 = x.
B. f ( x) 3 = x.
C. f ( x) 1 = .
D. f ( x) = x + . 2 2 2 x 2
Câu 28. Tính đạo hàm của hàm số y = ( x − ) 2 2 1 x + x. 2 4x −1 2 4x −1 A. 2
y = 2 x + x − . B. 2
y = 2 x + x + . 2 2 x + x 2 x + x 2 4x −1 2 4x +1 C. 2
y = 2 x + x + . D. 2
y = 2 x + x + . 2 2 x + x 2 2 x + x 1
Câu 29. Tính đạo hàm của hàm số y = . 2 x +1 x x A. y = . B. y = − . 2 2 (x +1) x +1 2 2 (x +1) x +1 x 2 x(x +1) C. y = . D. y = − . 2 2 2(x +1) x +1 2 x +1 x −1
Câu 30. Tính đạo hàm của hàm số y = . 2 x +1 2x 1+ x 2(x +1) 2 x − x +1 A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . 2 x +1 2 3 (x +1) 2 3 (x +1) 2 3 (x +1) 2x −1
Câu 31. Tính đạo hàm của hàm số y = . x + 2 5 x + 2 1 5 x + 2 A. y =  = ( B. y . . . 2x − ) . . 2 1 2x −1 2 (2x − )2 1 2x −1 1 x + 2 1 5 x + 2 C. y = . . D. y = . . . 2 2x −1 2 ( x + 2)2 2x −1 3x + 2x +1
Câu 32. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) 2 = tại điểm x = 0. 3 2 2 3x + 2x +1
A. f (0) = 0. B. f ( ) 1 0 = . C. Không tồn tại.
D. f (0) = 1. 2 3 a
Câu 33. Tính đạo hàm của hàm số y =
( a là hằng số). 2 2 a − x 3 a x 3 a x A. y =  ( . B. y = . 2 2 2 2 a − x ) 2 2 a − x a − x 3 2 3
a (3a − 2x) a x C. y = D. y = . 2 ( . 2 2 a − x ) 2 2 a − x 2 ( 2 2 a − x ) 2 2 a − x
Câu 34. Tính đạo hàm của hàm số y = ( 2
sin x − 3x + 2) . A. y = ( 2
cos x − 3x + 2).
B. y = ( x − ) ( 2 2
3 .sin x − 3x + 2).
C. y = ( x − ) ( 2 2
3 .cos x − 3x + 2).
D. y = − ( x − ) ( 2 2
3 .cos x − 3x + 2).
Câu 35. Tính đạo hàm của hàm số 2
y = x tan x + x . 1 1
A. y = 2x tan x + .
B. y = 2x tan x + . 2 x x 2 x 1 2 x 1
C. y = 2x tan x + + .
D. y = 2x tan x + + . 2 cos x 2 x 2 cos x x
Câu 36. Tính đạo hàm của hàm số 2 y = 2cos x . A. 2 y = 2 − sin x . B. 2 y = 4 − xcos x . C. 2 y = 2 − xsin x . D. 2 y = 4 − xsin x . x +1
Câu 37. Tính đạo hàm của hàm số y = tan . 2 1 1 1 1 A. y = . y = . y = − . y = − . x + B. 1 x + C. 1 x + D. 1 x + 1 2 2 cos 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 2 2 2
Câu 38. Tính đạo hàm của hàm số 2 y sin 2 x . 2x 2 x A. 2 y cos 2 x . B. 2 y cos 2 x . 2 2 x 2 2 x x x 1 C. 2 y cos 2 x . D. 2 y cos 2 x . 2 2 x 2 2 x
Câu 39. Tính đạo hàm của hàm số y cos 2x 1 . sin 2x 1 sin 2x 1 sin 2x 1 A. y . B. y . C. y sin 2x 1. D. y . 2x 1 2x 1 2 2x 1
Câu 40. Tính đạo hàm của hàm số 2 y = cot x +1 . x x A. y = − . B. y = . 2 2 2 x +1.sin x +1 2 2 2 x +1.sin x +1 1 1 C. y = − . D. y = . 2 2 sin x +1 2 2 sin x +1
Câu 41. Tính đạo hàm của hàm số y = sin (sin x).
A. y = cos (sin x).
B. y = cos (cos x). C. y = cos . x cos (sin x). D. y = cos .
x cos (cos x).
Câu 42. Tính đạo hàm của hàm số 2
y = 2sin x − cos 2x + x .
A. y = 4sin x + sin 2x +1.
B. y = 4sin 2x +1.
C. y = 4 cos x + 2sin 2x +1.
D. y = 4sin x − 2sin 2x +1.
Câu 43. Tính đạo hàm của hàm số 3
y = cos (2x − ) 1 . A. y = 3
− sin (4x − 2)cos(2x − ) 1 . B. 2
y = 3cos (2x − ) 1 sin (2x − ) 1 . C. 2 y = 3 − cos (2x − ) 1 sin (2x − ) 1 . D. 2
y = 6 cos (2x − ) 1 sin (2x − ) 1 .
Câu 44. Tính đạo hàm của hàm số 3
y = tan x + cot 2x . 2 3 tan x 2 A. 2 y = 3tan .
x cot x + 2 tan 2 . x B. y = − + . 2 2 cos x sin 2x 1 2 3 tan x 2 C. 2
y = 3 tan x − . D. y = − . 2 sin 2x 2 2 cos x sin 2x sin x + cos x
Câu 45. Tính đạo hàm của hàm số y = sin x − . cos x −sin 2x 2 2 sin x − cos x 2 − 2sin 2x 2 − A. y =  =  =  = ( B. y . C. y . D. y . 2
sin x − cos x) . 2 (sin x −cos x)
(sin x −cos x)2
(sin x −cos x)2 2
Câu 46. Tính đạo hàm của hàm số y = − . tan (1− 2x) 4x 4 − 4 − x 4 − A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . 2 sin (1− 2x) sin (1− 2x) 2 sin (1− 2x) 2 sin (1− 2x)
Câu 47. Tính đạo hàm của hàm số f x 5sin x
3cos x tại điểm x . 2 A. f 3. B. f 3. C. f 5. D. f 5. 2 2 2 2   
Câu 48. Hàm số f ( x) = a sin x + b cos x +1 có đạo hàm là f ( x) . Để f ( ) 1 0 = và f − =1   thì giá trị của 2  4 
a và b bằng bao nhiêu? 2 2 2 1 1 1
A. a = b = . B. a = ; b = − . C. a = ; b = − .
D. a = b = . 2 2 2 2 2 2
Câu 49. Cho hàm số f ( x) = −cos x + sin x − cos2x . Phương trình f ( x) =1 tương đương với phương trình nào sau đây?
A. sin x = 0 .
B. sinx −1= 0. C. (sinx − ) 1 (cosx − ) 1 = 0. D. cosx = 0. 2 x + x+ Câu 50. Hàm số 1 y = 8
(6x +3)ln 2 là đạo hàm của hàm số nào sau đây? 2 2 2 2 A. 1 8 + + = x x y B. 1 2 + + = x x y C. 3 3 1 2 + + = x x y D. 3 3 1 8 + + = x x y x +1
Câu 51. Đạo hàm của hàm số y = 9x 1− 2( x + ) 1 ln 3 1− ( x + ) 1 ln 3 A. y ' = . B. y ' = . 2 3 x 2 3 x 1− 2( x + ) 1 ln 9 1− 2( x + ) 1 ln 3 C. y ' = . D. y ' = . 3x 3x
Câu 52. Cho hàm số y = log (2x +1) , ta có: 3 1 1 2 2 A. y = y = y = y = 2x + . B. 1 (2x + . C. 1) ln 3 (2x + . D. 1) ln 3 2x + . 1 1
Câu 53. Đạo hàm của hàm số y = là: log x 2 ln 2 ln 2 x ln 2 x ln 2 A. ' y = − . B. ' y = . C. ' y = − . D. ' y = . 2 x ln x 2 x ln x 2 log x 2 log x 2 2
Câu 54. Kết quả tính đạo hàm nào sau đây sai?  1 x x  
A. (3 ) = 3x ln 3
B. (10x ) = 10x ln10 C. (log x = D. ( 2 ) 2 = x e e 3 ) xln3
Câu 55. Đạo hàm của hàm số y = (2x + ) 1 ln (1− x) là. x + 2x +1 x + A. ( − x) 2 1 2 ln 1 −
2x ln x −1 . C. + 2x − x + 1− . B. ( ) x 1− . D. ( ) 2 1 2 ln 1 x 1− . x 1
Câu 56. Cho hàm số y = ln . Hệ thức nào sau đây đúng? x y 1 A. y e + y ' = 0 B. y e − y ' = 0 C. y e .y ' = 0
D. e .y ' = 2 x Câu 57. Cho ( ) 3
f x = x . Tính f ( ) 1 . A. f ( ) 1 = 3 . B. f ( ) 1 = 2 . C. f ( ) 1 = 6 . D. f ( ) 1 = 1 .
Câu 58. Cho hàm số f ( x) =( x − )5 3 7 . Tính f  (2) .
A. f  (2) = 0 .
B. f  (2) = 20 .
C. f  (2) = −180 .
D. f  (2) = 30 .
Câu 59. Cho hàm số f ( x) 1 = f − . 2x − . Tính ( )1 1 8 2 8 4 A. − B. . C. D. − . 27 9 27 27 x − 2
Câu 60. Cho hàm số y = x + . Tính y. 3 5 − 10 10 − 5 A. y =  =  =  = ( . B. y . C. y . D. y . x + 3)3 (x +3)2 (x +3)3 (x +3)3
Câu 61. Đạo hàm cấp hai của hàm số 6 3
y = x − 4x + 2x + 2022 với x  là A. 4
y = 30x − 24x + 2 . B. 4
y = 30x − 24x . C. 5 2
y = 6x −12x + 2 . D. 5 2
y = 6x −12x .
Câu 62. Cho hàm số y = .
x cosx . Tìm hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
A. y + y = sin x + 2x cos x .
B. y + y = 2sin x .
C. y + y = − sin x + x cos x .
D. y + y = 2 − sin x .
Câu 63. Cho hàm số y = sin 2x . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. y + ( y )2 2 ' = 4 . B. '
y = y .tan 2x . C. ''
4 y − y = 0 .D. '' 4 y + y = 0 . Câu 64. Cho hàm số 3
y = sin x . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. y + 9 y − sin x = 0.
B. y + 9 y − 6sin x = 0. C. y + 9 y − 6 cos x = 0. D. y + 9 y + 6sin x = 0. 5 4
Câu 65. Cho hàm số y = x − 3x + x + 1 với x
. Đạo hàm y của hàm số là 3 2 4 3
A. y = 5x −12x + 1.
B. y = 5x −12x . 2 3 3 2
C. y = 20x − 36x .
D. y = 20x − 36x . 
Câu 66. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = 3
− cos x tại điểm x = . 0 2             A. y = 3 −   . B. y = 5   . C. y = 0   . D. y = 3   .  2   2   2   2  Câu 67. Cho 2 y =
2x − x , tính giá trị biểu thức 3
A = y .y . A. 1. B. 0 . C. 1 − . D. Đáp án khác.
Câu 68. Đạo hàm cấp hai của hàm số 2 y = cos x là A. y = 2 − cos 2x . B. y = 2 − sin 2x .
C. y = 2 cos 2x .
D. y = 2sin 2x . 1
Câu 69. Cho hàm số y = − . Đạo hàm cấp hai của hàm số là x 2 2 − 2 − 2 A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . 3 x 2 x 3 x 2 x Câu 70. Cho hàm số 2
y = 1+ 3x − x . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. ( y)2 + . y y = −1.
B. ( y)2 + 2 . y y = 1 .
C. y y − ( y)2 . =1. D. ( y)2 + . y y = 1.
Câu 71. Cho hàm số y = sin 2x . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. y + ( y)2 2 = 4 .
B. 4 y − y = 0 .
C. 4 y + y = 0 .
D. y = y ' tan 2x .
Câu 72. Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu thị bởi công thức S (t ) 2 3
= 4 − 2t + 4t + 2t , trong
đó t  0 và t tính bằng giây (s) , S (t) tính bằng mét (m) . Tìm gia tốc a của chất điểm tại thời điểm
t = 5(s) . A. a = ( 2
68 m / s ). B. a = ( 2
115 m / s ) .C. a = ( 2
100 m / s ).D. a = ( 2
225 m / s ) .
Câu 73. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2 s(t) 2t 3t
4t, trong đó t được tính bằng giây
và s được tính bằng mét. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm gia tốc bằng không là A. 2,5m / . s B. 4m / . s C. 2,5m / . s D. 8,5m / . s
CHƯƠNG VIII. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC I. TỰ LUẬN
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, tam giác SAD là tam giác đều và M là trung
điểm của cạnh AD . Tính góc giữa hai đường thẳng BC và S ; A BC và SM .
Bài 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông tâm O và tất cả các cạnh của hình chóp đều bằng a . Gọi
M , N lần lượt là trung điểm các cạnh S , A AB .
a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: MN và S ; D MO và SB .
b) Tính tang của góc giữa hai đường thẳng SN và BC .
Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = a 3, SA ⊥ BC .
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của ,
SA SC . Tính góc giữa các cặp đường thẳng: a) IJ và BD . b) SD và BC .    
Bài 4: Cho hình hộp ABCD A B C D có đáy là hình vuông.
a) Chứng minh rằng AB AD ⊥ và AC BD ⊥ .
b) Tính góc giữa hai đường thẳng AC và AB .
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a . Gọi
M , N lần lượt là trung điểm của AD, SD . Chứng minh rằng MN ⊥ SC .
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông và SA ⊥ ( ABCD) . Chứng minh rằng:
a) BC ⊥ (SAB) ; b) BD ⊥ (SAC) . 
Bài 7: Cho hình hộp ABCD ABCD 
có AA ⊥ ( ABCD) . Chứng minh rằng:      
a) AA ⊥ ( A B C D ) ; b) BB ⊥ (ABCD) .
Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC) và đáy là tam giác ABC vuông tại B .
Kẻ AM vuông góc với SB tại M và AN vuông góc với SC tại N . Chứng minh rằng:
a) BC ⊥ (SAB) ; b) AM ⊥ (SBC) ; c) SC ⊥ ( AMN ) .
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, O là giao điểm của hai đường chéo, SA = SC, SB = SD .
a) Chứng minh rằng SO ⊥ (ABCD) .
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của B ,
A BC . Chứng minh rằng IJ ⊥ (SBD) .
c) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC) .
Bài 10: Cho hình tứ diện đều ABCD . Chứng minh AB ⊥ CD .
Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ⊥ ( ABCD) . Gọi H , I , K lần lượt là hình
chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD . Chứng minh rằng:
a) BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC) .
b) SC ⊥ ( AHK ) và điểm I thuộc mặt phẳng ( AHK ) .
c) HK ⊥ (SAC) và HK ⊥ AI .
Bài 12: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a . Tính côsin của góc giữa đường thẳng AB
và mặt phẳng (BCD) .
Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA ⊥ ( ABCD) , SA = a 2 .
a) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) .
b) Tính tang của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) .
Bài 14: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC) , đáy là tam giác ABC vuông cân tại B , biết AB = , a SA = a 6
a) Tính tang của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) .
b) Tính sin của góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC) .
Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và các cạnh đều bằng a .
a) Chứng minh rằng SO ⊥ (ABCD) .
b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) .
c) Gọi M là trung điểm của cạnh SC và  là góc giữa đường thẳng OM và mặt phẳng (SBC) . Tính sin .
Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABC )
D , AB ⊥ A ,
D SA = AD = a 3 , AB = a . Tính số đo của:
a) Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) .
b) Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB) .
Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết (SAB) ⊥ ( ABCD) ,
(SAD) ⊥ ( ABCD) và SA = a . Tính côsin của số đo góc nhị diện [S, BD,C] và góc nhị diện [B, SC, D] .  a 3
Bài 18: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC), AB = AC = a, BAC = 120 , SA = . Tính số đo của góc 2
phẳng nhị diện [S, BC, ] A
Bài 19: Cho tứ diên ABCD có AC = BC, AD = BD . Gọi M là trung điểm của AB . Chứng minh rằng
(CDM ) ⊥ ( ABC) và (CDM ) ⊥ ( ABD) .
Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh bằng a , góc BAD bằng 60 . Kẻ a 6
OH vuông góc với SC tại H . Biết SA ⊥ ( ABCD) và SA = . Chứng minh rằng: 2
a) (SBD) ⊥ (SAC) ; b) (SBC) ⊥ (BDH ) ; c) (SBC) ⊥ (SCD) .
Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Các tam giác SAC và SBD cân tại S . Chứng minh rằng:
a) SO ⊥ ( ABCD) ; b) (SAC) ⊥ (SBD) .
Bài 22: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và SA ⊥ ( ABC) .
a) Chứng minh rằng (SBC) ⊥ (SAB) .
b) Gọi M là trung điểm của AC . Chứng minh rằng (SBM ) ⊥ (SAC) .
Bài 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O . Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD . Chứng minh rằng:
a) (SBC) ⊥ (SAB) ;
b) (SCD) ⊥ (SAD) ;
c) (SBD) ⊥ (SAC) ;
d) (SAC) ⊥ ( AHK ) .
Bài 24: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC) , đáy là tam giác ABC vuông tại B , biết SA = AB = BC = a . Tính theo a khoảng cách:
a) Từ điểm B đến đường thẳng SC .
b) Từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) .
c) Giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SC .    
Bài 25: Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh bằng a . Tính theo a khoảng cách:
a) Từ điểm A đến mặt phẳng (BDA ) .
b) Giữa hai đường thẳng song song   BC và A D .
c) Giữa hai đường thẳng chéo nhau 
AB và B C .    
Bài 26: Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh bằng a . Tính theo a khoảng cách:
a) Giữa hai đường thẳng AB   và C D .
b) Giữa đường thẳng AC và mặt phẳng ( ABCD ).
c) Từ điểm A đến đường thẳng BD .
d) Giữa hai đường thẳng   AC và B D .
Bài 27: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng a, SA ⊥ ( ABC) và SA = 2a . Tính theo a khoảng cách:
a) Từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) .
b) Từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) .
c) Giữa hai đường thẳng AB và SC .
Bài 28: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , góc ABC bằng 60 , biết tam giác SBC
đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Tính theo a khoảng cách:
a) Từ điểm S đến mặt phẳng (ABC) .
b) Từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) .
c) Giữa hai đường thẳng AB và SC .    
Bài 29: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có AB a, AD a 2, AA = =
= a 3 . Tính theo a khoảng cách:
a) Từ điểm A đến mặt phẳng (BDDB ).
b) Giữa hai đường thẳng BD và CD .    
Bài 30: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = AC = AA = a .
Tính theo a khoảng cách: a) Từ điểm A  
đến đường thẳng B C .
b) Giữa hai đường thẳng BC và AB .
Bài 31: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = ;
a AD = a 3 , tam giác SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm AB . Tính khoảng cách:
a) từ A tới mặt phẳng (SBD).
b) giữa hai đường SH và CD .
c) giữa hai đường SH và AC .
d) giữa hai đường SB và CD .
e) giữa hai đường BC và SA .
f) giữa hai đường SC và BD .
Bài 32: Cho khối chóp đều S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , góc giữa đường thẳng SA và
mặt phẳng (ABCD) bằng 60 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD .    
Bài 33: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh AA = a và hình
chiếu vuông góc H của A trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC . Tính theo a thể tích khối lăng trụ
ABC ABC  .    
Bài 34: Cho hình chóp cụt đều ABCD A B C D có đáy lớn ABCD là hình vuông cạnh bằng a 2 , đáy nhỏ a
ABCD là hình vuông cạnh bằng
2 , các cạnh bên bằng nhau và bằng a . Tính theo a thể tích khối chóp 2
cụt ABCD ABCD  .  
Bài 35: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC); AB = ;
a AC = a 2 và SBA = 60 , BAC = 45 . Tính theo a thể
tích khối chóp S.ABC .
Bài 36: Cho khối chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , góc giữa mặt phẳng (SCD)
và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD .        
Bài 37: Cho hình lăng trụ ABC A B C có A B C và AA C là hai tam giác đều cạnh a . Biết (   
ACCA ) ( ABC ⊥
). Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.ABC .
Bài 38: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC), SA = a, đáy ABC là tam giác vuông tại ,
A AB = a, AC = a 3 .
Kẻ AM vuông góc với SB tại M , AN vuông góc với SC tại N . Tính theo a thể tích khối chóp S.AMN . II. TRẮC NGHIỆM Câu 1.
Trong không gian, cho đường thẳng d và điểm O . Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với đường thẳng d ? A. 3. B. vô số. C. 1. D. 2. Câu 2.
Trong không gian cho trước điểm M và đường thẳng  . Các đường thẳng đi qua M và vuông góc với  thì:
A. vuông góc với nhau.
B. song song với nhau.
C. cùng vuông góc với một mặt phẳng.
D. cùng thuộc một mặt phẳng. Câu 3.
Trong không gian, cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
A. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
B. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau
C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
D. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau. Câu 4.
Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, c phân biệt và mặt phẳng ( P) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu a ⊥ c và ( P) ⊥ c thì a // ( P) .
B. Nếu a ⊥ c và b ⊥ c thì a // b .
C. Nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì a ⊥ c .
D. Nếu a ⊥ b thì a và b cắt nhau hoặc chéo nhau. Câu 5.
Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
B. Qua một điểm O cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng  cho trước.
C. Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ một mặt phẳng chứa
đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
D. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. Câu 6.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai
A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. Câu 7.
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
B. Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
C. Trong không gian hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D. Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau. Câu 8. Trong hình hộp AB . CD
A BCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. B B ⊥ BD . B.A C ⊥ BD . C.A B ⊥ DC . D. BC ⊥  A D . Câu 9.
Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  . Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng BC ? A. A D  . B. AC . C. BB . D. AD .
Câu 10. Cho hình lập phương ABC .
D A' B 'C ' D '. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và A' . B A. 60 B. 45 C. 75 D. 90
Câu 11. Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  . Góc giữa hai đường thẳng BA và CD bằng: A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 .
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a , BC = a . Các cạnh bên của
hình chóp cùng bằng a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC . A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. arctan 2 .
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC
và BC . Số đo của góc ( IJ , CD) bằng: A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 .
Câu 14. Cho tứ diện OABC có OA OB OC ; a O ,
A OB,OC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi I
là trung điểm BC . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và OI . A. 45 . B. 30 . C. 90 . D. 60 .
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , SA = a 3 và SA ⊥ BC . Góc giữa hai đường
thẳng SD và BC bằng A. 90 . B. 60 . C. 45 . D. 30 .
Câu 16. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng ( P) , trong đó a ⊥ ( P) . Chọn mệnh đề sai.
A. Nếu b // a thì b // ( P) .
B. Nếu b // a thì b ⊥ ( P) .
C. Nếu b ⊥ ( P) thì b // a .
D. Nếu b // (P) thì b ⊥ a .
Câu 17. Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng  cho trước? A. Vô số. B. 2 . C. 3 . D. 1.
Câu 18. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ) thì d vuông góc với hai đường thẳng trong mặt phẳng ( ) .
B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( ) thì d vuông góc với mặt phẳng ( ) .
C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng ( ) thì d
vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng ( ) .
D. Nếu d ⊥ ( ) và đường thẳng a // ( ) thì d ⊥ a .
Câu 19. Trong không gian, khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc
đôi một song song với nhau.
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Câu 20. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau đây?
A. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( P) bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q) thì
mặt phẳng (P) song song hoặc trùng với mặt phẳng (Q) .
B. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng ( P) thì
đường thẳng a song song với đường thẳng b .
C. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng ( P) thì
đường thẳng a song song hoặc trùng với đường thẳng b .
D. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.
Câu 21. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:
A. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
B. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b đồng thời a ⊥ b . Luôn có mặt phẳng ( ) chứa a và ( ) ⊥ b .
C. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. Nếu mặt phẳng ( ) chứa a và mặt phẳng (  )
chứa b thì ( ) ⊥ ( ) .
D. Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng khác.
Câu 22. Cho hai đường thẳng phân biệt a,b và mặt phẳng ( P) . Chọn khẳng định đúng?
A. Nếu a / / ( P) và b ⊥ a thì b ⊥ ( P) .
B. Nếu a / / ( P) và b ⊥ ( P) thì b ⊥ a .
C. Nếu a ⊥ ( P) và b ⊥ a thì b / / ( P) .
D. Nếu a (P) và b ( P) thì b a .
Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, SA = SC, SB = SD . Trong các khẳng định
sau khẳng định nào đúng?
A. SA ⊥ ( ABCD) .
B. SO ⊥ ( ABCD) .
C. SC ⊥ ( ABCD) .
D. SB ⊥ ( ABCD) .
Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy ( ABCD) .
Khẳng định nào sau đây sai?
A. CD ⊥ (SBC) .
B. SA ⊥ ( ABC) .
C. BC ⊥ (SAB) .
D. BD ⊥ (SAC) .
Câu 25. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là hai tam giác đều. Gọi M là trung điểm của AB .
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. CM ⊥ ( ABD) .
B. AB ⊥ (MCD) . C. AB ⊥ ( BCD) .
D. DM ⊥ ( ABC ) .
Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc đáy. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. BC ⊥ (SAB) .
B. AC ⊥ (SBD) .
C. BD ⊥ (SAC) .
D. CD ⊥ (SAD) .
Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I , cạnh bên SA vuông góc với đáy.
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SC , SD . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AH ⊥ (SCD) .
B. BD ⊥ (SAC) .
C. AK ⊥ (SCD) .
D. BC ⊥ (SAC) .
Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ ( ABCD) . Gọi M là hình chiếu của A
trên SB . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. AM ⊥ SD .
B. AM ⊥ (SCD) .
C. AM ⊥ CD .
D. AM ⊥ (SBC ) .
Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. BA ⊥ (SAD) .
B. BA ⊥ (SAC ) .
C. BA ⊥ (SBC ) .
D. BA ⊥ (SCD) .
Câu 30. Cho hình chóp S.ABC tam giác ABC vuông tại B cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy
( ABC). Gọi H là hình chiếu của
A trên SB . Mệnh đề nào sau đây SAI? S H C A B
A. Các mặt bên của hình chóp các tam giác vuông B. SBC vuông.
C. AH ⊥ SC
D. Góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng ( ABC) là góc SCB
Câu 31. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và tam giác ABC vuông tại C . Gọi H là hình chiếu vuông
góc S lên mặt phẳng ( ABC) . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. H là trung điểm của cạnh AB .
B. H là trọng tâm tam giác ABC .
C. H là trực tâm tam giác ABC .
D. H là trung điểm của cạnh AC .
Câu 32. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) ; tam giác ABC đều cạnh a và SA = a (tham khảo hình vẽ
bên). Tìm góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC). S A C B o o o o A. 60 . B. 45 . C. 135 . D. 90 .
Câu 33. Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy
là góc giữa hai đường thẳng nào dưới đây?
A. SB và AB .
B. SB và SC .
C. SA và SB .
D. SB và BC .
Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD cạnh a , SA vuông góc với đáy và SA = a 3 . Góc giữa
đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bằng: 3 0 0 0 A. arcsin . B. 45 . C. 60 . D. 30 . 5
Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD), SA = a 2. Tính góc giữa SC và mặt phẳng ( ABCD). 0 0 0 0 A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 .
Câu 36. Cho hình lăng trụ đều AB . C A BC
  có AB = 3 và AA =1. Góc tạo bởi giữa đường thẳng AC và (ABC) bằng A. o 45 . B. o 60 . C. o 30 . D. o 75 .
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , SA
2a , tam giác ABC vuông tại B , AB a và BC
3a (minh họa như hình vẽ bên). .
Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC bằng A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 .
Câu 37. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . SA = 2a . Tam giác ABC vuông
cân tại B và AB = a ( minh họa như hình vẽ bên).
Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC) bằng A. 0 45 . B. 0 60 . C. 0 30 . D. 0 90 .
Câu 38. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB = a và SB = 2a . Góc giữa đường
thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng. A. 0 60 . B. 0 45 . C. 0 30 . D. 0 90 .
Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =
2a . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 .
Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = 2a , SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) , = . Gọi  SA 3a
là góc giữa SC và ( ABCD) ( tham khảo hình vẽ bên). Khi đó tan bằng 5 3 5 3 5 A. . B. . C. . D. . 5 5 3 5
Câu 41. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm S lên
mặt phẳng ( ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều. Gọi
 là số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ABC). Tính tan . 1 A. 1. B. 3 . C. 0. D. . 3
Câu 42. Cho lăng trụ đều ABC.A BC
  có tất cả các cạnh bằng a . Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ( AB C  ) bằng A. 60 .  B. 45 .  C. 30 .  D. 90 . 
Câu 43. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , SA ⊥ ( ABC ) , SA = a 3 . Tính góc giữa
đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABC) . A. 75 . B. 45 . C. 60 . D. 30 .
Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA = 2a Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD là α . Khi đó tan α bằng 2 A. 2 . B. . C. 2 . D. 2 2 . 3
Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình vuông có cạnh = ABCD 2a , SA
a 6 và vuông góc với
đáy. Góc nhị diện S, BD,  A ? A. 0 90 . B. 0 30 . C. 0 45 . D. 0 60 .
Câu 46. Cho tứ diện S.ABC có các cạnh SA , SB ; SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = 1 . Tính cos ,
trong đó  là góc nhị diện S, BC,  A 1 1 1 1 A. cos = . B. cos = . C. cos = . D. cos = . 2 2 3 3 2 3
Câu 47. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a 2 . Biết SA ⊥ ( ABC )
và SA = a . Góc nhị diện S, BC,  A A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 .
Câu 48. Cho hình lăng trụ đứng AB . C A BC
  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại ,
A AB = AA = a (tham
khảo hình vẽ bên). Tính tang của góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng ( ABB A  ) . 2 6 3 A. . B. . C. 2 . D. . 2 3 3
Câu 49. Cho hình hộp ABC . D A BCD
  có M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh A B   , A D  , C D   .
Góc giữa đường thẳng CP và mặt phẳng (DMN ) bằng? AN DM P BCA D B C A. 0 . B. 45 . C. 30 . D. 60 .
Câu 50. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
C. Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 00.
D. Hai đường thẳng trong không gian cắt nhau khi và chỉ khi góc giữa chúng lớn hơn 00 và nhỏ hơn 900.
Câu 51. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng tùy ý nằm trong mỗi mặt phẳng.
B. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
C. Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn.
D. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vec tơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt vuông
góc với hai mặt phẳng đó.
Câu 52. Cho các đường thẳng a, b và các mặt phẳng ( ),( ) . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau a ⊥  ( ) a ⊥ bA.   ( ) ⊥ ( ) . B.   b//  . a   ( ) a ⊥  ( ) ( ) a ⊥ b (   ) ⊥ ( )  
C.a  ( )  ( ) ⊥ ( ) .
D.a  ( )  a ⊥ b .   b   ( ) b   ( )
Câu 53. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
A. Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau, nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông
góc với giao tuyến của hai mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng kia.
B. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước
C. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
D. Đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đườngthẳng chéo nhau a, b khi và chỉ khi d
vuông góc với cả a và . b
Câu 54. Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( ) . có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và vuông góc với ( ) . A. 2 . B. 0 . C. Vô số. D. 1 .
Câu 55. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng vuông góc nhau.
B. Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
C. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều vuông
góc với mặt phẳng kia.
D. Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì chúng vuông góc với nhau.
Câu 56. Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( ) . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và vuông góc với ( ) ? A. 2 . B. 0 . C. Vô số. D. 1.
Câu 57. Trong không gian cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P) , xét các phát biểu sau:
(I). Nếu a / / b mà a ⊥(P) thì luôn có b ⊥ (P) .
(II). Nếu a ⊥ (P) và a ⊥b thì luôn có b / / (P) .
(III). Qua đường thẳng a chỉ có duy nhất một mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P) .
(IV). Qua đường thẳng a luôn có vô số mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P) .
Số khẳng định đúng trong các phát biểu trên là A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 3 .
Câu 58. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai?
A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B. Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D. Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một
đường thẳng thì song song với nhau.
Câu 59. Cho hai mặt phẳng ( P) và (Q) song song với nhau và một điểm M không thuộc ( P) và (Q) . Qua
M có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với ( P) và (Q) . A. 3 . B. Vô số. C. 1. D. 2 .
Câu 60. Cho hình chóp S.ABCD đều. Gọi H là trung điểm của cạnh AC . Tìm mệnh đề sai?
A. (SAC ) ⊥ (SBD) .
B. SH ⊥ ( ABCD) .
C. (SBD) ⊥ ( ABCD) . D. CD ⊥ (SAD) .
Câu 61. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và SA = SC, SB = SD . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. SC ⊥ (SBD) .
B. SO ⊥ ( ABCD) . C. (SBD) ⊥ ( ABCD) . D. (SAC) ⊥ ( ABCD) .
Câu 62. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng ( ABC) . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. SA ⊥ BC .
B. AB ⊥ BC .
C. AB ⊥ SC .
D. SB ⊥ BC .
Câu 63. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, hai mặt bên ( SAB) và (SAD) vuông góc với
mặt đáy. AH , AK lần lượt là đường cao của tam giác SAB , SAD . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. BC ⊥ AH .
B. SA ⊥ AC .
C. HK ⊥ SC .
D. AK ⊥ BD .
Câu 64. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và SB vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) . Mặt
phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng (SBD)?
A. (SBC ) . B. (SAD) . C. (SCD) . D. (SAC ) .
Câu 65. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B , cạnh bên SA vuông góc với đáy, I là
trung điểm AC , H là hình chiếu của I lên SC . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ( BIH ) ⊥ (SBC) .
B. (SAC ) ⊥ (SAB) .
C. (SBC ) ⊥ ( ABC ) . D. (SAC) ⊥ (SBC ) .
Câu 66. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính sin của góc tạo bởi đường MD và mặt phẳng (SBC) . 13 13 15 15 A. . B. . C. . D. . 5 3 5 3
Câu 67. Cho hình chóp S.ABC có SA ABC , SA AB
2a , tam giác ABC vuông tại B (tham khảo hình
vẽ). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng A. a 3 . B. a . C. 2a . D. a 2 .
Câu 68. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại A , AB = a , AC = a 3 , SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA = 2a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng a 57 2a 57 2a 3 2a 38 A. . B. . C. . D. . 19 19 19 19
Câu 69. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , 2SA = AC = 2a và SA vuông góc với
đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là 2a 6 4a 3 a 6 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 70. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và cạnh bên SB vuông góc với mặt
phẳng đáy. Biết SB = 3a, AB = 4a, BC = 2a . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) bằng 12 61a 3 14a 4a 12 29a A. . B. . C. . D. . 61 14 5 29
Câu 71. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B , AB = a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy
và SA = 2a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC ) bằng 2 5a 5a 2 2a 5a A. . B. . C. . D. . 5 3 3 5
Câu 72. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA = a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng 5a 3a 6a 3a A. . B. . C. . D. . 3 2 6 3
Câu 73. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C, BC = a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy
và SA = a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC ) bằng 2a a 3a A. 2a . B. . C. . D. . 2 2 2
Câu 74. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O , SA vuông góc với mặt đáy. Hỏi mệnh đề nào sau đây là sai?
A. d (B,(SCD)) = 2d (O,(SCD)).
B. d ( A,(SBD)) = d (B,(SAC)).
C. d (C,(SAB)) = d (C,(SAD)).
D. d (S ,( ABCD)) = SA.
Câu 75. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA ⊥ ( ABCD) . Gọi I là trung điểm
của SC . Khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng nào? A. IB . B. IC . C. IA . D. IO .
Câu 76. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi M là trung điểm của SD .
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAC) bằng a 2 a 2 a a A. . B. . C. . D. . 2 4 2 4
Câu 77. Cho tứ diện đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng 2a , gọi M là điểm thuộc cạnh $AD$ sao cho
DM = 2MA . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( BCD) . 2a 6 4a 6 2a 6 A. . B. a 6 . C. . D. . 9 9 3
Câu 78. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( BCD) bằng: a 3 a 3 a 6 a 6 A. . B. . C. . D. . 4 3 3 2
Câu 79. Cho hình lập phương ABC .
D A B C D có cạnh bằng a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB và A C bằng a 2 A. a 2 . B. a . C. a 3 . D. . 2
Câu 80. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , SA ABCD , SA a 3 . Gọi
M là trung điểm SD . Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và CM . 2a 3 a 3 3a a 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 4
Câu 81. Cho lập phương ABC . D A BCD
  có cạnh bằng a ( tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai
đường thẳng BD và A C   bằng 3a A. 3a . B. a . C. . D. 2a . 2
Câu 82. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
A. Hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau.
B. Hình chóp tứ giác đều có các cạnh bên bằng nhau.
C. Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông.
D. Hình chóp tứ giác đều có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên đáy trùng với tâm của đáy.
Câu 83. Mảnh bìa phẳng nào sau đây có thể xếp thành lăng trụ tứ giác đều? A. B. C. D.
Câu 84. Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
i) Hình hộp đứng có đáy là hình vuông là hình lập phương
ii) Hình hộp chữ nhật có tất cả các mặt là hình chữ nhật
iii) Hình lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc với đáy
iv) Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau là hình lập phương A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 85. Cho khối chóp S.ABC có chiều cao bằng 3 , đáy ABC có diện tích bằng 10 . Thể tích khối chóp S.ABC bằng A. 2 . B. 15 . C. 10 . D. 30 .
Câu 86. Cho khối chóp S.ABC có chiều cao bằng 3 , đáy ABC có diện tích bằng 10 . Thể tích khối chóp
S.ABC bằng A. 15 . B. 10 . C. 2 . D. 30 .
Câu 87. Cho khối chóp S.ABC có chiều cao bằng 5 , đáy ABC có diện tích bằng 6 . Thể tích khối chóp S.ABC bằng A. 11. B. 10 . C. 15 . D. 30 .
Câu 88. Cho khối chóp S.ABC có chiều cao bằng 5, đáy ABC có diện tích bằng 6. Thể tích khối chóp S.ABC bằng A. 30 . B. 10 . C. 15 . D. 11.
Câu 89. Cho khối chóp có diện tích đáy B = 7 và chiều cao h = 6 . Thể tích khối chóp đã cho bằng A. 42 . B. 126 . C. 14 . D. 56 .
Câu 90. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h . Thể tích V của khối lăng trụ đã cho được tính
theo công thức nào dưới đây? 1 4 A. V = Bh . B. V = Bh .
C. V = 6Bh .
D. V = Bh . 3 3
Câu 91. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy là 2 3a và chiều cao 2 .
a Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng A. 3 a . B. 3 6a . C. 3 3a . D. 3 2a .
Câu 92. Thể tích khối lập phương cạnh 2 bằng A. 6 . B. 8 . C. 4 . D. 2 .
Câu 93. Cho khối hộp chữ nhật có 3 kích thước 3; 4;5 . Thể tích của khối hộp đã cho bằng? A. 10 . B. 20 . C. 12 . D. 60 .
Câu 94. Tính thể tích V của khối lập phương ABC . D A BCD
  , biết AC = a 3 . 3 3 6a 1 A. 3 V = a B. V = C. 3
V = 3 3a D. 3 V = a 4 3
Câu 95. Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng 3. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng: 27 3 9 3 9 3 27 3 A. . B. . C. . D. .. 4 2 4 2
Câu 96. Cho hình lăng trụ đứng AB .
C A B C có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB a và A B a 3 .
Thể tích khối lăng trụ AB . C A B C là 3 a 3 3 a 3 a 3 a 2 A. B. C. D. 2 6 2 2
Câu 97. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a, AC = 2a, SA ⊥ ( ABC ) và
SA = a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 a 3 3 a 3 3 a 3 2a A. . B. . C. . D. . 3 6 3 3
Câu 98. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AB = 2a . Tam giác SAB đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 2a 3 A. V = B. V = C. V = D. V = 4 3 12 3
Câu 99. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a 2 , tam giác SAC vuông tại S và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc 60 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 3 a 3 3 a 3 3 a 6 3 a 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 3 12 12
Câu 100. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a . Mặt bên (SAB) là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) . Thể tích của khối chóp S.ABCD là 3 a 3 3 a 3 3 4a 3 A. 3 4a 3 . B. . C. . D. . 2 4 3
Câu 101. Cho hình lăng trụ đứng AB . C A BC
  có BB = a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại ,
B AC = a 2 . Tính thể tích lăng trụ 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. 3 a . D. . 3 6 2
Câu 102. Cho hình lăng trụ đứng ABC .
D A' B 'C ' D ' , đáy là hình thang vuông tại A và D , có AB = 2C ,
D AD = CD = a 2, AA' = 2a . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng A. 3 12a . B. 3 6a . C. 3 2a . D. 3 4a .
Câu 103. Tính thể tích khối lăng trụ đứng AB . C A BC
  biết AA = 2 ; a AB = 3 ;
a AC = 4a và AB ⊥ AC . A. 3 12a . B. 3 4a . C. 3 24a . D. 3 8a .
Câu 104. Cho hình lăng trụ đứng ABC .
D A B C D , có ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh AC 2a 3 .Thể
tích khối lăng trụ AB . C A B C bằng A. 3 4a . B. 3 3a . C. 3 2a . D. 3 a .
Câu 105. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , tâm của đáy là O . Gọi M và N lần lượt
là trung điểm của SA và BC . Biết góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ( ABCD) bằng 0 60 .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD . 3 a 10 3 a 30 3 a 30 3 a 10 A. B. C. D. 6 2 6 3
Câu 106. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a . Biết ASC
90 , tính thể tích V của khối chóp đó. 3 a 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 6 12
Câu 107. Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy là a , các mặt bên tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích khối chóp đó. 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 12 6 3
Câu 108. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 0 60 .
Thể tích V của khối chóp S.ABCD bằng 3 a 3 3 a 2 3 a 3 3 a 2 A. V = B. V = C. V = D. V = 2 2 6 6
Câu 109. Cho hình chóp cụt tam giác, trong đó 2 mặt đáy là 2 tam giác đều có cạnh lần lượt là 4 cm và 2 cm ,
chiều cao hình chóp là 6 cm . Yêu cầu hãy tính thể tích của hình chóp cụt đó. A. 14 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 8 3
Câu 110. Tính thể tích của hình chóp cụt đều có đáy lớn là hình vuông, cạnh 6 cm , đáy nhỏ là hình vuông cạnh
3 cm và chiều cao của hình chóp cụt là 4 cm . A. 84 B. 32 C. 12 D. 96
Câu 111. Cho một chậu nước hình chóp cụt đều (hình vẽ) có chiều cao bằng 3dm , đáy là lục giác đều, độ dài
cạnh đáy lớn bằng 2dm và độ dài cạnh đáy nhỏ bằng 1dm . Tính thể tích của chậu nước 21 3 21 2 21 21 6 A. 3 dm . B. 3 dm . C. 3 dm . D. 3 dm . 2 4 2 4
………………… Hết ………………..