Ôn kiến thức, luyện kỹ năng bài giảng đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Tài liệu gồm 44 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Đặng Công Đức (Giang Sơn), tuyển chọn các bài tập trắc nghiệm ôn kiến thức, luyện kỹ năng bài giảng đường tiệm cận của đồ thị hàm số môn Toán 12 THPT (kết hợp ba bộ sách giáo khoa Toán 12 chương trình mới: Cánh Diều, Chân Trời Sáng Tạo, Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống). Mời bạn đọc đón xem!

23 12 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Môn: Toán 12

Thông tin:

44 trang 1 tháng trước

Tác giả:

Profile Lê Phương
1
T
T
À
À
I
I
L
L
I
I
Ệ
Ệ
U
U
T
T
H
H
A
A
M
M
K
K
H
H
Ả
Ả
O
O
T
T
O
O
Á
Á
N
N
H
H
Ọ
Ọ
C
C
P
P
H
H
Ổ
Ổ
T
T
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Ô
Ô
N
N
K
K
I
I
Ế
Ế
N
N
T
T
H
H
Ứ
Ứ
C
C
T
T
O
O
Á
Á
N
N
1
1
2
2
T
T
H
H
P
P
T
T
B
B
À
À
I
I
G
G
I
I
Ả
Ả
N
N
G
G
Đ
Đ
Ư
Ư
Ờ
Ờ
N
N
G
G
T
T
I
I
Ệ
Ệ
M
M
C
C
Ậ
Ậ
N
N
C
C
Ủ
Ủ
A
A
Đ
Đ
Ồ
Ồ
T
T
H
H
Ị
Ị
H
H
À
À
M
M
S
S
Ố
Ố
(
(
K
K
Ế
Ế
T
T
H
H
Ợ
Ợ
P
P
3
3
B
B
Ộ
Ộ
S
S
Á
Á
C
C
H
H
G
G
I
I
Á
Á
O
O
K
K
H
H
O
O
A
A
)
)
T
T
H
H
Â
Â
N
N
T
T
Ặ
Ặ
N
N
G
G
T
T
O
O
À
À
N
N
T
T
H
H
Ể
Ể
Q
Q
U
U
Ý
Ý
T
T
H
H
Ầ
Ầ
Y
Y
C
C
Ô
Ô
V
V
À
À
C
C
Á
Á
C
C
E
E
M
M
H
H
Ọ
Ọ
C
C
S
S
I
I
N
N
H
H
T
T
R
R
Ê
Ê
N
N
T
T
O
O
À
À
N
N
Q
Q
U
U
Ố
Ố
C
C
C
C
R
R
E
E
A
A
T
T
E
E
D
D
B
B
Y
Y
G
G
I
I
A
A
N
N
G
G
S
S
Ơ
Ơ
N
N
(
(
F
F
A
A
C
C
E
E
B
B
O
O
O
O
K
K
)
)
G
G
A
A
C
C
M
M
A
A
1
1
4
4
3
3
1
1
9
9
8
8
8
8
@
@
G
G
M
M
A
A
I
I
L
L
.
.
C
C
O
O
M
M
(
(
G
G
M
M
A
A
I
I
L
L
)
)
;
;
T
T
E
E
L
L
0
0
3
3
9
9
8
8
0
0
2
2
1
1
9
9
2
2
0
0
T
T
H
H
À
À
N
N
H
H
P
P
H
H
Ố
Ố
T
T
H
H
Á
Á
I
I
B
B
Ì
Ì
N
N
H
H
–
–
T
T
H
H
Á
Á
N
N
G
G
7
7
/
/
2
2
0
0
2
2
4
4
2
Ô
Ô
N
N
K
K
I
I
Ế
Ế
N
N
T
T
H
H
Ứ
Ứ
C
C
T
T
O
O
Á
Á
N
N
1
1
2
2
T
T
H
H
P
P
T
T
Đ
Đ
Ư
Ư
Ờ
Ờ
N
N
G
G
T
T
I
I
Ệ
Ệ
M
M
C
C
Ậ
Ậ
N
N
C
C
Ủ
Ủ
A
A
Đ
Đ
Ồ
Ồ
T
T
H
H
Ị
Ị
H
H
À
À
M
M
S
S
Ố
Ố
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
DUNG
LƯỢNG
NỘI DUNG
1 FILE
XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TIỆM CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
1 FILE
XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TIỆM CẬN CÁC HÀM SỐ PHỨC TẠP
1 FILE
CÁC BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ
3
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ LỚP 12 THPT
LÝ THUYẾT ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Đường tiệm cận ngang
Đường thẳng
0
y y
được gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số
y f x
nếu:
0
lim
x
f x y

hoặc
0
lim
x
f x y

.
Nhận xét: Giả sử đường thẳng
0
y y
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
y f x
. Lấy điểm
;M x y
thuộc
đồ thị hàm số. Gọi
MH
là khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
0
y y
. Khi đó, độ dài
MH
tiến tới
0
khi
x 
(hình
a
) hay khi
x 
(hình
b
)
2. Đường tiệm cận đứng
Đường thẳng
0
x x
được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số
y f x
nếu ít
nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
0 0 0 0
lim ; lim ; lim ; lim
x x x x x x x x
f x f x f x f x
   
Nhận xét: Giả sử đường thẳng
0
x x
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y f x
. Lấy điểm
;M x y
thuộc
đồ thị hàm số. Gọi
MH
là khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
0
x x
. Khi đó, độ dài
MH
tiến tới
0
khi
0
x x
(hình
,a c
) hay khi
0
x x
(hình
,b d
)
Lưu ý:
i) Hàm
ax b
y
cx d
(với
0, 0
ad bc c
)
có tiệm cận đứng
d
x
c
; tiệm cận ngang
a
y
c
.
ii) Hàm
f x
y
g x
với
,
f x g x
là những hàm đa thức
+) Nếu bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì có tiệm cận ngang
0
y
.
4
+) Nếu bậc tử bằng bậc mẫu thì có tiệm cận ngang
n
n
a
y
b
với
,
n n
a b
là hệ số của lũy thừa cao nhất trên tử và
dưới mẫu.
+) Nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu thì không có tiệm cận ngang.
+)
0
x x
là tiệm cận đứng
0
0 0
0 0
0; 0
0
lim
x x
g x f x
g x f x
f x
g x

.
3. Đường tiệm cận xiên
Đường thẳng
y ax b
, (
0
a
) được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số
( )y f x
nếu:
lim [ ( ) ( )] 0
x
f x ax b

hoặc
lim [ ( ) ( )] 0
x
f x ax b

.
Nhận xét: Giả sử đường thẳng
y ax b
, (
0
a
) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
( )y f x
. Lấy điểm
M
thuộc đồ thị hàm số
( )y f x
và điểm
N
thuộc đường thẳng
y ax b
có cùng hoành độ
x
. Khi đó, độ dài
MN
tiến tới
0
khi
x 
(Hình 16a) hay khi
x 
(Hình 16b).
Chú ý: Để xác định hệ số
a
,
b
của đường tiệm cận xiên
y ax b
của đồ thị hàm số
( )y f x
, ta có thể áp
dụng công thức sau:
( )
lim
x
f x
a
x

và
lim [ ( ) ]
x
b f x ax

hoặc
( )
lim
x
f x
a
x

và
lim [ ( ) ]
x
b f x ax

.
(Khi
0
a
thì ta có tiệm cận ngang
y b
).
5
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ LỚP 12 THPT
ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA CÁC ĐỒ THỊ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
_____________________________________
QUAN SÁT ĐỒ THỊ HÀM SỐ, BẢNG BIẾN THIÊN XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TIỆM CẬN
Bài toán 1. Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có
bao
nhiêu đường tiệm cận?
A.
1
. B.
3
. C.
2
. D.
4
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta có :
2
lim
x
f x


, suy ra đường thẳng
2x
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
0
lim
x
f x

, suy ra đường thẳng
0
x
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
lim 0
x
f x

, suy ra đường thẳng
0
y
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.
Bài toán 2. Hàm số
y f x
xác định trên
\ 1
, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên:
Khẳng định nào dưới đây sai?
A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là
1y
và
1
y
.
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
1
x
.
C. Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là
1x
và
1
x
.
Bài toán 3. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình sau
Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y f x
là
A.
3
. B.
2
. C.
4
. D.
1
.
Lời giải
Vì
lim 4, lim 1
x x
y y
 
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là
1
y
và
4
y
.
1 1
lim , lim
x x
y y
 

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
1
x
.
1 1
lim , lim
x x
y y
 
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
1x
.
Nên đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.
Bài toán 4. Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên như sau:
6
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng có phương trình:
A.
1
x
. B.
1
y
. C.
2
y
. D.
2
x
.
Lời giải
Ta thấy:
2
lim
x
f x

và
2
lim
x
f x

.
Vậy tiệm cận đứng của hàm số đã cho là
2
x
.
Bài toán 5. Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:
A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.
Lời giải
Chọn B
Nhìn bảng biến thiên ta thấy x=0 hàm số không xác định nên x=0 là TCĐ của đồ thị hàm số
lim 3 3
x
f x y

là TCN của đồ thị hàm số
lim 1 1
x
f x y

là TCN của đồ thị hàm số
Vậy đồ thị hàm số có 3 tiệm cận
Bài toán 6. Cho hàmsố
( )f x
có bảng biến thiên như sau
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A.
4
. B.
1
. C.
3
. D.
2
.
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có:
lim ( ) 0 0
x
f x y

là một tiệm cận ngang
lim ( ) 5 5
x
f x y

là một tiệm cận ngang
1
lim ( ) 1
x
f x x

là một tiệm cận đứng
Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận là 3.
Bài toán 7. Cho hàm số
( )y f x
có bảng biến thiên như sau
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
7
A.
4
. B.
1
. C.
3
. D.
2
.
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có:
lim ( ) 2 2
x
f x y

là một tiệm cận ngang
1
lim ( ) 1
x
f x x

là một tiệm cận đứng
Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận là
2
.
Bài toán 8. Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên như sau
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho bằng
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D.
3
.
Lời giải
Ta có
2
lim 2
x
y x

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
0
lim 0
x
y x

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
lim 0 0
x
y y

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có tổng đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là
3
.
Bài toán 9. Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên như sau
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A.
4
. B.
2
. C.
3
. D.
1
.
Lời giải
Ta có:
lim ( ) 0
x
f x

nên đường thẳng
0y
là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
y f x
.
lim ( )
x
f x


nên đồ thị hàm số
y f x
không có tiệm cận ngang khi
x 
.
2
lim ( )
x
f x
,
2
lim ( )
x
f x
nên đường thẳng
2x
là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y f x
.
2
lim ( )
x
f x

,
2
lim ( )
x
f x

nên đường thẳng
2x
là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y f x
.
Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là 3 tiệm cận.
8
XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TIỆM CẬN CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Bài toán 1. Cho hàm số
( )y f x
có
lim ( ) 1
x
f x

và
lim ( ) 1
x
f x

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định
đúng?
A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng
1x
và
1
x
.
B. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng
1y
và
1
y
.
Lời giải
Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ta thấy đồ thị có đúng 1 tiệm cận ngang.
Bài toán 2. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
là
A.
2
y
. B.
1y
. C.
1
x
. D.
2
x
.
Lời giải
Ta có
2
lim 1
1
x
x
x

và
2
lim 1
1
x
x
x

Suy ra
1y
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Bài toán 3. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
1
3
x
y
x
là
A.
3
x
. B.
1
x
. C.
1x
. D.
3
x
.
Lời giải.
3
1
lim
3
x
x
x

. Suy ta tiệm cận đứng là đường thẳng
3
x
.
Bài toán 4. Tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
1
1
y x
x
.
A.
y x
B.
1y x
C.
2
y x
D.
3y x
Lời giải
1
lim lim 0
1
x x
f x x
x
 
nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên
y x
.
Bài toán 5. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2 1
1
x
y
x
là:
A.
1
2
y
. B.
1
y
. C.
1y
. D.
2
y
.
Lời giải
Ta có
1
2
2 1
lim lim 2
1
1
1
x x
x
x
x
x
 
. Suy ra đồ thị hàm số có tiệmcận ngang là
2
y
.
Bài toán 6. Tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
2
1
1
y x
x
.
A.
y x
B.
1y x
C.
2
y x
D.
3y x
Lời giải
2
lim 1 lim 0
1
x x
f x x
x
 
nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên
1y x
.
Bài toán 7. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
3 2
2
x
y
x
là tập hợp tất cả các điểm có hoành độ bằng bao nhiêu
A.
2
x
. B.
1
x
. C.
3
x
. D.
2
x
.
Lời giải
Ta có
2 2
3 2
lim lim
2
x x
x
y
x

,
2 2
3 2
lim lim
2
x x
x
y
x

nên suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
2
x
. Đây là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng tọa độ có hoành độ bằng 2.
Bài toán 8. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
4 1
1
x
y
x
đi qua điểm nào sau đây
9
A.
1;3
A
. B.
2; 4
B
. C.
6;1
C
. D.
4; 2
D
.
Lời giải
Tiệm cận ngang
4
lim lim 4
1
x x
y y
 
. Tiệm cận ngang là đường thẳng
4
y
.
Bài toán 9. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2 1
1
x
y
x
là đường thẳng có phương trình
A.
2
x
. B.
1x
. C.
1
2
x
. D.
1
x
.
Lời giải
Ta có
1
2 1
lim
1
x
x
x

và
1
2 1
lim
1
x
x
x

nên
1x
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bài toán 10. Tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
5
3
3
y x
x
.
A.
y x
B.
1y x
C.
2
y x
D.
3y x
Lời giải
5
lim 3 lim 0
3
x x
f x x
x
 
nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên
3y x
.
Bài toán 11. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
1
2
x
y
x
là đường thẳng có phương trình
A.
1
x
. B.
2
x
. C.
2
x
. D.
1
x
.
Lời giải
Ta có:
2 2
1
lim lim
2
x x
x
y
x

(hoặc
2 2
1
lim lim
2
x x
x
y
x

).
Vậy
2
x
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bài toán 12. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2 1
2 4
x
y
x
là đường thẳng có phương trình
A.
2
y
. B.
2
x
. C.
1x
. D.
1y
.
Lời giải
Ta có
2 1
lim lim 1
2 4
 
x x
x
y
x
và
2 1
lim lim 1
2 4
 
x x
x
y
x
.
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng có phương trình
1y
.
Bài toán 13. Tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
4
3
1
y x
x
.
A.
y x
B.
1y x
C.
2
y x
D.
3y x
Lời giải
4
lim 3 lim 0
1
x x
f x x
x
 
nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên
3y x
.
Bài toán 14. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
3 1
1
x
y
x
là:
A.
1
3
y
. B.
3
y
. C.
1
y
. D.
1y
.
Lời giải
Ta có :
3 1
lim lim 3
1
x x
x
y
x
 
và
3 1
lim lim 3
1
x x
x
y
x
 
nên
3
y
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Bài toán 15. Cho hàm số
y f x
có đồ thị
C
và
lim


x
f x
,
lim 2

x
f x
. Số tiệm cận ngang của
C
là
A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.
Lời giải
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng
2
y
.
Bài toán 16. Tiệm cận xiên của đồ thì hàm số
1
1
x
y x
x
là đường thẳng có phương trình:
A.
y x
B.
1y x
C.
2
y x
D.
3y x
Lời giải
10
1 2 2
1 lim 1 lim 0
1 1 1
x x
x
y x x f x x
x x x
 
.
Ta có suy ra tiệm cận xiên của đồ thị là đường thẳng
1y x
.
Bài toán 17. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2 2
1
x
y
x
là
A.
2
x
. B.
1x
. C.
1
x
. D.
2
x
.
Lời giải
Ta có
1 1
2 2
lim lim
1
x x
x
y
x
 

và
1 1
2 2
lim lim
1
x x
x
y
x
 

nên đường thẳng
1
x
là tiệm cận đứng
của đồ thị hàm số.
Bài toán 18. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2 2
1
x
y
x
là
A.
2
x
. B.
2
x
. C.
1.
x
D.
1
x
.
Lời giải
Tập xác định
\ 1
D
.
Ta có
1 1
lim ; lim
x x
y y
, suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là
1x
.
Bài toán 19. Tìm giá trị
m
để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2 2
x
y
x m
là đường thẳng
1.
x
A.
2
m
. B.
1
m
. C.
1
m
. D.
2
m
.
Lời giải
Tập xác định
\ 1
D
.
Với
1
m
ta có
1 1
lim ; lim
x x
y y
, suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là
1x
.
Bài toán 20. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2 2
1
x
y
x
cách trục tung một khoảng lớn hơn
A.2 B. 1 C.
2
2
D.
7
2
Lời giải
Ta có
1 1
2 2
lim lim
1
x x
x
y
x
 

và
1 1
2 2
lim lim
1
x x
x
y
x
 

nên đường thẳng
1
x
là tiệm cận đứng
của đồ thị hàm số. Khoảng cách từ đường này đến trục tung bằng 1, lớn hơn
2
2
.
Bài toán 21. Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
14
3
1
y x
x
đi qua điểm nào sau đây
A.
1;4
A
. B.
2;4
B
. C.
6;1
C
. D.
4;2
D
.
Lời giải
14
lim 3 lim 0
1
x x
f x x
x

nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên
3y x
.
Đường thẳng này đi qua điểm
1;4
A
.
Bài toán 22. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2
2
5 4 1
1
x x
y
x
là
A.
0.
B.
1.
C.
2.
D.
3.
Lời giải
Tiệm cận ngang:
Ta có:
2
2
2
2
2
2
2
2
4 1
4 1
5
5
5 4 1
lim lim lim lim 5
1
1
1
1
1
x x x x
x
x x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
   
nên đồ thị hàm số có một tiệm
cận ngang
5
y
.
Tiệm cận đứng:
Cho
2
1
1
1
x
x
x
11
Ta có:
2
2
1 1 1 1
5 1 1
5 4 1 5 1 6
lim lim lim lim 3
1 1 1 2
1
x x x x
x x
x x x
y
x x x
x
nên
1x
không là tiệm cận đứng.
2 2 2
2
1 1 1 1
5 4 1 5 4 1 1 5 4 1
lim lim lim lim .
1 1 1 1
1
x x x x
x x x x x x
y
x x x x
x

vì
1
2
1
1
lim
1
5 4 1
lim 4 0
1
x
x
x
x x
x

.
Khi đó, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng
1
x
.
Tổng cộng đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.
Bài toán 23. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
5 1
1
x
y
x
cách trục hoành một khoảng bằng
A.4 B. 2 C. 5 D. 6
Lời giải
Ta có
5 1
lim lim 5
1
5 1
lim lim 5
1
x x
x x
x
y
x
x
y
x
 
 
5
y
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Đường thẳng này cách trục hoành một khoảng bằng 5.
Bài toán 24. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng?
A.
2
3 2
1
x x
y
x
B.
2
2
1
x
y
x
C.
2
1
y x
D.
1
x
y
x
Lời giải
Ta có
1 1
lim , lim
1 1
 
x x
x x
x x
nên đường thẳng
1
x
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bài toán 25. Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số
2
2
5 4
1
x x
y
x
.
A.
2
B.
3
C.
0
D.
1
Lời giải
Tập xác định:
\ 1
D
Ta có:
2
2
2
2
5 4
1
5 4
lim lim lim 1
1
1
1
x x x
x x
x x
y
x
x
  
1y
là đường tiệm cận ngang.
Mặc khác:
2
2
1 1
1 1
1 4 4
5 4 3
lim lim lim lim
1 1 1 1 2
x x
x x
x x x
x x
y
x x x x
1x
không là đường tiệm cận đứng.
2
2
1
1 1 1
1 4 4
5 4
lim lim lim lim
1 1 1 1
x
x x x
x x x
x x
y
x x x x

2
2
1 1 1 1
1 4 4
5 4
lim lim lim lim
1 1 1 1
x x x x
x x x
x x
y
x x x x
1
x
là đường tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận
Bài toán 26. Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số:
2
2
3 4
16
x x
y
x
A.
2
B.
3
C.
1
D.
0
Lời giải
Ta có
2
2
3 4 1
4
16
x x x
y
x
x
(với điều kiện xác định), do đó đồ thị hàm có 1 tiệm cận đứng.
12
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ LỚP 12 THPT
ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA CÁC ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHỨC TẠP
_____________________________________
XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA CÁC HÀM SỐ CHỨA CĂN
Bài toán 1. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2
4 2
x
y
x x
là
A.
3
. B.
0
. C.
1
. D.
2
.
Lời giải
TXĐ:
4; \ 1;0
D 
.
Ta có:
2
1 1
4 2
lim lim
x x
x
y
x x

Nên đường thẳng
1
x
là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
2
0 0 0 0
4 2 4 2
4 2 1 1
lim lim lim lim
4
1 4 2 1 4 2
x x x x
x x
x
y
x x
x x x x x
Nên đường thẳng
0
x
không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng
1
x
.
Bài toán 2. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
4 6 2
2
x x
y
x
là?
A.
1
B.
3
C.
2
D.
4
Lời giải
6 2
4
4 6 2
lim lim 2
2
2
1
x x
x x
x x
x
x
 
và
6 2
4
4 6 2
lim lim 2
2
2
1
x x
x x
x x
x
x
 
2 2 2
4 6 2
2 4 2
4 2 5
lim lim lim
2 2
4 6 2
2 4 6 2
x x x
x x
x x
x
x
x x
x x x
 
Vậy hàm số có hai tiệm cận ngang
2
y
.
Bài toán 3. Hàm số
2
3
1x x x
y
x x
có bao nhiêu đường tiệm cận?
A.
1
B.
3
C.
2
D.
4
Lời giải
TXĐ:
\ 0
D
2
2
2
3
2
2
1 1
1 1
1 1
1 1
1
lim lim lim . 0
1
1
1
1
x x x
x
x x
x x
y
x
x
x
x
  
2
2
2
3
2
2
1 1
1 1
1 1
1 1
1
lim lim lim . 0
1
1
1
1
x x x
x
x x
x x
y
x
x
x
x
  
TCN:
0
y
0
lim
x
y

TCĐ:
0
x
.
Bài toán 4. Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2
2 1
3 2
x
y
x x
là
A.
4
B.
1
C.
3
D.
2
13
Lời giải
Đkxđ:
2
2 0
2
2
2, 1
3 2 0
x
x
x
x x
x x
Ta có:
2
2
2 1
lim
3 2

x
x
x x
nên đường thẳng
2
x
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
2
2 1
lim 0
3 2

x
x
x x
nên đường thẳng
0
y
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Bài toán 5. Cho hàm số
2
3
5 6 12
4 3 1
x x
y
x x
có đồ thị
C
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị
C
của hàm số không có tiệm cận.
B. Đồ thị
C
của hàm số chỉ có một tiệm cận ngang
0
y
.
C. Đồ thị
C
của hàm số có một tiệm cận ngang
0
y
và hai tiệm cận đứng
1
1;
2
x x
.
D. Đồ thị
C
của hàm số chỉ có một tiệm cận ngang
0
y
và một tiện cận đứng
1x
Lời giải
TXĐ:
1
\ 1;
2
D R
Ta có:
1 1
lim ; lim
x x
y y
 
Đồ thị hàm số có một TCĐ là
1x
lim 0
x
y

Đồ thị hàm số có một TCN là
0y
Bài toán 6. Đồ thị hàm số
2
2
3 1
x x x
y
x
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
A.
2
. B.
3
. C.
0
. D.
1
.
Lời giải
Xét hàm số
2
2
3 1
x x x
y
x
có tập xác định
1
;0 1; \
3
D
 
.
Ta có
2
1
3
2
lim
3 1
x
x x x
x
2
1
2
3
3
lim
3 1 2
x
x x
x x x x

1
2
3
lim
2
x
x
x x x
1
4
;
2
0
2
lim 0
3 1
x
x x x
x
và
2
1
2 1
lim
3 1 2
x
x x x
x
nên đồ thị không có tiệm cận đứng.
2
1 1
3 3
1 1
2 1 2 1
2 1
lim lim lim
1
3 1 3 1 3
3
x
x x
x x
x x x
x x
x x
x


,
và
2
1 1
3 3
1 1
2 1 2 1
2
lim lim lim 1
1
3 1 3 1
3
x
x x
x x
x x x
x x
x x
x

nên đồ thị có hai tiệm cận ngang là
1
3
y
và
1y
.
Vậy đồ thị hàm số có tất cả hai đường tiệm cận.
Bài toán 7. Gọi
,n d
lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
1
1
x
y
x x
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
0, 2
n d
. B.
1
n d
. C.
1, 2
n d
. D.
0, 1
n d
.
Lời giải
Tập xác định:
0;1
D
.
Từ tập xác định suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
0
n
.
14
+)
0 0 0
1 1
lim lim lim
1 1
x x x
x
y
x x x x
+)
1 1 1
1 1
lim lim lim
1 1
x x x
x
y
x x x x
Suy ra đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng,
2
d
.
Bài toán 8. Đồ thị hàm số
2
5 1 1
2
x x
y
x x
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Tập xác định của hàm số là
1;0 2;D

. Ta có
2
2
0 0 0
25 9 25 9 9
lim lim lim
4
2 5 1 1 2 5 1 1
x x x
x x x
y
x x x x x x x
.
2
lim
x
y

.
2 3 4
5 1 1 1
lim lim 0
2
1
x x
x x x x
y
x
 
.
Vậy đồ thị của hàm số có hai đường tiệm cận có phương trình
2
x
và
0
y
.
Bài toán 9. Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
1
4 3 1 3 5
x
y
x x
.
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
0
.
Lời giải
Tập xác định:
1
; \ 1
3
D

+ Ta có:
2
1 1 1
1 4 3 1 3 5
1 4 3 1 3 5
lim lim lim
9 1
4 3 1 3 5
9 1
x x x
x x x
x x x
x
x x
x

do đó đường thẳng
1x
là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
+
2
1
1
1 1
lim lim
3
4 3 1 3 5 3 1 5
4 3
x x
x
x
x x
x x x
 
do đó đường thẳng
1
3
y
là đường
tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Bài toán 10. Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2 2
2
4 1 3 2
x x
y
x x
là
A.
1.
B.
3.
C.
4.
D.
2.
Lời giải
Tập xác định
1 1
; ;1 1;
2 2
D
 
Ta có
2 2
2 2
2
1 1 2
4 3
4 1 3 2
lim lim lim 3
1
1
x x x
x x
x x x
y
x x
x
  
2 2
2 2
2
1 1 2
4 3
4 1 3 2
lim lim lim 3
1
1
x x x
x x
x x x
y
x x
x
  
Do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng
3
y
là tiệm cận ngang.
15
2 2
2
1 1
4 1 3 2
lim lim
x x
x x
y
x x

Do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng
1x
là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có
1
tiệm cận đứng và
1
tiệm cận ngang.
Bài toán 11. Tìm số đường tiệm cận của đường cong
6 1 5 3 2
3 8 3 3 2
x x
y
x x
.
A. 1 tiệm cận. B. 2 tiệm cận. C. 3 tiệm cận. D. 4 tiệm cận.
Lời giải. Biến đổi
6 1 5 3 2
2(3 2) 5 3 2 2
3 8 3 3 2 3 2 3 3 2 10
3 2 2 2 3 2 1
2 3 2 1
3 2 5
3 2 2 3 2 5
x x
x x
y
x x x x
x x
x
y
x
x x
Tập xác định
2
; lim 2
3
x
y


. Tiệm cận ngang
2y
.
Đồ thị không có tiệm cận đứng.
Bài toán 12. Tìm số đường tiệm cận của đường cong
2
2
2 4 3 3 1 3
3
x x x x
y
x x x
.
A. 1 tiệm cận. B. 2 tiệm cận. C. 3 tiệm cận. D. 4 tiệm cận.
Lời giải.
2
2
2
0
2 4 3 3 1 3
3 (3 3) 3 2 3
3
3
lim
3 2 3 3
2 3 3
lim 2
3
x
x
x x x x
x x x x x
y
x x x
x x x
x x x x
x x
y
y
x
x x x


Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Bài toán 13. Tìm số đường tiệm cận của đường cong
6 6 1
4 4 1
x x
y
x x
.
A. 1 tiệm cận. B. 2 tiệm cận. C. 3 tiệm cận. D. 4 tiệm cận.
Lời giải
1 5 1 1
6 6 1 1 6 1 5 1 5
4 4 1 1 4 1 3 1 3
1 3 1 1
x x
x x x x x
y y
x x x x x
x x
.
Khi đó
2
lim ; lim 1 2; 1
x x
y y x y


lần lượt là tiệm cận đứng, tiệm cận ngang.
Bài toán 14. Tìm số đường tiệm cận của đường cong
2
2
3 1 1 3 5 2
1
x x x x
y
x x
.
A. 1 tiệm cận. B. 2 tiệm cận. C. 3 tiệm cận. D. 4 tiệm cận.
Lời giải
2 2
2 2
2 2
2
2
2
3 1 1 3 5 2 1 2 1 3 5 2
1 1
1 1
1 1
1
2 1 3 5 2
1
1
2 1 3 5 2
x x x x x x x x x
y
x x x x
x x x x
x x
x x x
y
x x
x x
x x x
lim 0 0
x
y

là tiệm cận ngang.
16
XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ HỢP, HÀM SỐ LIÊN KẾT
Bài toán 1. Cho hàm số
y f x
có đồ thị như hình vẽ bên. Xác định số
tiệm cận của đồ thị hàm số
2
2
1
( ) ( )
x
y
f x f x
.
A. 5 B. 6 C. 3 D. 4
Lời giải
Xét
2
0
0 1 0
1
f x
f x f x f x f x
f x
Phương trình thứ nhất có nghiệm đơn – 2 và nghiệm kép bằng 1.
Phương trình thứ hai có 3 nghiệm a, b, c khác các nghiệm phương trình thứ nhất.
Như vậy
2 2
2
2
1 1
( ) ( )
1 2
1
1 2
x x
y
f x f x
k x x x a x b x c
x
k x x x a x b x c
Ngoài ra
2
2
1
lim 0 0
( ) ( )
x
x
y
f x f x

là tiệm cận ngang.
Ta thu được 6 đường tiệm cận.
Bài toán 2. Hàm số
y f x
có bảng biến thiên như
hình vẽ bên. Tìm số tiệm cận của đường cong
2
( 4 ) 4
x
y
f x x
.
A. 3 B. 4 C. 2 D. 1
Lời giải
Xét
2 2 2
( 4 ) 4 0 ( 4 ) 4 4 2
f x x f x x x x a
, thu được 2 nghiệm x.
Lại có
2
lim 0
( 4 ) 4
x
x
f x x

nên ta có tiệm cận ngang
0y
.
Tổng cộng 3 tiệm cận.
Bài toán 3. Cho hàm số
y f x
có đồ thị như hình vẽ
bên. Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
2
2
3
( ) 6 ( ) 5
x
y
f x f x
.
A. 5 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải
17
Giải
2
1
( ) 6 ( ) 5 0
5
f x
f x f x
f x
ta có thể viết
2 2
3 3
1 5
x x
y
k x a x b x c x d
f x f x
.
Lại có
2
2
3
lim 0 0
( ) 6 ( ) 5
x
x
y
f x f x

là tiệm cận ngang.
Ta thu được 5 đường tiệm cận.
Bài toán 4. Cho
y f x
là hàm bậc
4
và có bảng biến thiên như hình vẽ sau:
Đồ thị hàm số
2
2
2
3 4
x
g x
f x f x
có mấy đường tiệm cận đứng?
A.
5
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Đặt
4 3 2
, 0
f x ax bx cx dx e a
.
Ta có
3 2
4 3 2
f x ax bx cx d
.
Đồ thị hàm số có các điểm cực trị:
0; 3 , 2;1 , 2;1
A B C
nên ta có hệ sau:
0 0
0
1
0 3
3
0
2 0 8 2 6 2 2 0 4
0
8 2 6 2 2 0
2 0
3
4 2 2 2 2 1
2 1
f
d
a
f
e
b
f a b c c
d
a b c
f
e
a b c d e
f
.
Vậy
4 2
4 3
f x x x
.
Khi đó
2 2
4 2 4 2
2 2
1 4
4 4 4 1
x x
g x
f x f x
x x x x
2 4 2
1
2 4 1
x x x
.
Do phương trình
2 4 2
2 4 1 0
x x x
có 4 nghiệm phân biệt:
2; 2 5
x x
nên đồ thị hàm số đã
cho có bốn đường tiệm cận đứng.
Bài toán 5. Hàm số bậc bốn
y f x
có bảng biến thiên
như hình vẽ bên. Xác định số tiệm cận của đồ thị hàm số
3 2
3 2
( 4 )
( ) 2 ( ) 3 ( )
x x
y
f x f x f x
.
A. 6 B. 8 C. 3 D. 7
Lời giải
3 2 3 2
3 2
( 4 ) ( 4 )
( ) 2 ( ) 3 ( )
1 3
x x x x
y
f x f x f x
f x f x f x
18
Quan sát bảng biến thiên ta thấy
2
2 2
1
3 2 2
f x A x a x b x c x d
f x Bx x m x n
f x C x x
Dẫn đến
3 2
2 2 2
2 2
2
2 2
2
( 4 )
2 2
2 2
2 2
1
x x
y
k x a x b x c x d x e x m x n x x
x x x
y
k x a x b x c x d x x m x n x x
y
k x a x b x c x d x m x n
Như vậy ta có 6 tiệm cận đứng. Do
3 2
3 2
( 4 )
lim 0
( ) 2 ( ) 3 ( )
x
x x
f x f x f x

nên có 1 tiệm cận ngang
0y
.
B
B
à
à
i
i
t
t
o
o
á
á
n
n
6
6
.
.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
b
b
ậ
ậ
c
c
b
b
a
a
y f x
l
l
i
i
ê
ê
n
n
t
t
ụ
ụ
c
c
t
t
r
r
ê
ê
n
n
,
,
đ
đ
ồ
ồ
t
t
h
h
ị
ị
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
n
n
h
h
ư
ư
h
h
ì
ì
n
n
h
h
v
v
ẽ
ẽ
b
b
ê
ê
n
n
.
.
T
T
ì
ì
m
m
s
s
ố
ố
đ
đ
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
t
t
i
i
ệ
ệ
m
m
c
c
ậ
ậ
n
n
đ
đ
ứ
ứ
n
n
g
g
c
c
ủ
ủ
a
a
đ
đ
ồ
ồ
t
t
h
h
ị
ị
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
3
2 6 3
4
x x
y
f x f x
.
.
A
A
.
.
3
3
B
B
.
.
6
6
C. 4 D. 5
Lời giải
Điều kiện
1
2
x
. Chú ý rằng
2 2
( 2) (6 3) ( 1)
( 2 6 3) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( 2 6 3) ( ) ( ) 2 ( ) 2
x x x
y
x x f x f x f x x x f x f x f x
Xét
0
f x
thu được ba nghiệm
0; 0; 0
x m x x n
, trong đó
2
m
.
Xét
2
f x
thu được nghiệm kép
1; 2
x x
(đơn).
Xét
2
f x
thu được nghiệm kép
1; 2
x x
(đơn).
Như vậy
2
2 2
2
( 1)
( )( )( 1) ( 1) ( 2)( 2)( 2 6 3)
1
( )( )( 1) ( 2)( 2)( 2 6 3)
x
y
x x m x n x x x x x x
x x m x n x x x x x
Đối chiếu điều kiện xác định ta thu được 5 tiệm cận đứng.
B
B
à
à
i
i
t
t
o
o
á
á
n
n
7
7
.
.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
b
b
ậ
ậ
c
c
b
b
a
a
y f x
l
l
i
i
ê
ê
n
n
t
t
ụ
ụ
c
c
t
t
r
r
ê
ê
n
n
,
,
đ
đ
ồ
ồ
t
t
h
h
ị
ị
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
n
n
h
h
ư
ư
h
h
ì
ì
n
n
h
h
v
v
ẽ
ẽ
b
b
ê
ê
n
n
.
.
T
T
ì
ì
m
m
s
s
ố
ố
đ
đ
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
t
t
i
i
ệ
ệ
m
m
c
c
ậ
ậ
n
n
đ
đ
ứ
ứ
n
n
g
g
c
c
ủ
ủ
a
a
đ
đ
ồ
ồ
t
t
h
h
ị
ị
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
3
4
x
y
f x f x
.
.
A
A
.
.
2
2
B
B
.
.
4
4
C. 1 D. 3
Lời giải
19
Điều kiện
0
x
. Chú ý
3
2
( ) 0
( ) 0
( ) 4 ( ) 0 ( ) 2
( ) 4
( ) 2
f x
f x
f x f x f x
f x
f x
Xét
0
f x
thu được ba nghiệm
0; 0; 0
x m x x n
.
Xét
2
f x
thu được hai nghiệm
0; 2
x p x
.
Xét
2
f x
thu được hai nghiệm
0; 2 0
x q x
.
Như vậy ta có tổng cộng các tiệm cận đứng
; 0; 2;
x n x x x q
, 4 tiệm cận đứng.
B
B
à
à
i
i
t
t
o
o
á
á
n
n
8
8
.
.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
b
b
ậ
ậ
c
c
b
b
ố
ố
n
n
y f x
l
l
i
i
ê
ê
n
n
t
t
ụ
ụ
c
c
t
t
r
r
ê
ê
n
n
,
,
đ
đ
ồ
ồ
t
t
h
h
ị
ị
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
n
n
h
h
ư
ư
h
h
ì
ì
n
n
h
h
v
v
ẽ
ẽ
b
b
ê
ê
n
n
.
.
T
T
ì
ì
m
m
s
s
ố
ố
đ
đ
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
t
t
i
i
ệ
ệ
m
m
c
c
ậ
ậ
n
n
đ
đ
ứ
ứ
n
n
g
g
c
c
ủ
ủ
a
a
đ
đ
ồ
ồ
t
t
h
h
ị
ị
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
2
2
2 5 4 2 1
11 28
x x x x
y
f x f x
A
A
.
.
4
4
B
B
.
.
2
2
C
C
.
.
5
5
D
D
.
.
3
3
Lời giải
Sử dụng phép liên hợp ta có
2
2
(2 5) 16(2 1)
(2 5 4 2 1)
( ) 4 ( ) 7
( ) 4 ( ) 7 2 5 4 2 1
(2 3)
( ) 4 ( ) 7 2 5 4 2 1
x x x
x x x
y
f x f x
f x f x x x
x x
f x f x x x
Dựa theo đồ thị hàm số f (x) ta có
+
( ) 4 6; 0; 12
f x x x x m
trong đó x = 6 là nghiệm kép.
+
( ) 7 1,5; (6;12); 12
f x x x n x p
trong đó x = 1,5 là nghiệm kép.
Như vậy
2
1
( 6) ( )( )( ) 2 5 4 2 1
y
x x m x n x p x x
. Kết luận 4 tiệm cận đứng.
Bài toán 9. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên
và có bảng biến thiên như hình vẽ:
Số đường tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số
2
1
1 4 4
y
f x x
là
A.
5
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Điều kiện:
2
2 2
4 0
1 4
1 4
x x
x
f x
f x
Xét
1 2;0
1 1;1
1 4 1 2 1
1 4;
1 3;
x l
x
f x x x l
x
x n


Khi đó:
20
+/
2
lim
x
y


,
2
lim
x
y

,
1 1
lim , lim
x x
y y
 
nên đồ thị hàm số có 3 tiệm cận đứng.
+/
lim 0
x
y

,
lim 0
x
y

nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang.
Bài toán 10. Hàm số bậc bốn
y f x
liên tục trên
, đồ thị
hàm số như hình vẽ bên. Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị
hàm số
2
2 4 4
4
x x x
u x
f x f x
A. 4 B. 2
C. 5 D. 3
Lời giải
+
( ) 0 2; 12
f x x a x b
.
+
( ) 4 6; 0; 12
f x x x x m
trong đó x = 6 là nghiệm kép.
Như vậy
2
2 4 4
(2 12)
( )
( ). ( ) 4
( 6) ( )( )( ) 2 4 4
2
( 6)( )( )( ) 2 4 4
x x
x x
u x
f x f x
x x x m x a x b x
x x m x a x b x
Như vậy, đối chiếu điều kiện xác định ta thu được 4 tiệm cận đứng.
| 1/44
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:


TÀI LIỆU THAM KHẢO TOÁN HỌC PHỔ THÔNG
______________________________________________________________
------------------------------------------------------------------------------------------
ÔN KIẾN THỨC TOÁN 12 THPT BÀI GIẢNG
ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
(KẾT HỢP 3 BỘ SÁCH GIÁO KHOA)
THÂN TẶNG TOÀN THỂ QUÝ THẦY CÔ VÀ CÁC EM HỌC SINH TRÊN TOÀN QUỐC
CREATED BY GIANG SƠN (FACEBOOK)
GACMA1431988@GMAIL.COM (GMAIL); TEL 0398021920
THÀNH PHỐ THÁI BÌNH – THÁNG 7/2024 1
ÔN KIẾN THỨC TOÁN 12 THPT
ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
__________________________ DUNG NỘI DUNG LƯỢNG 1 FILE
XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TIỆM CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 1 FILE
XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TIỆM CẬN CÁC HÀM SỐ PHỨC TẠP 1 FILE
CÁC BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ 2
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ LỚP 12 THPT
LÝ THUYẾT ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Đường tiệm cận ngang
Đường thẳng y y được gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y f x nếu: 0
lim f x  y hoặc lim f x  y . 0 0 x x
Nhận xét: Giả sử đường thẳng y y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x . Lấy điểm M  ; x y thuộc 0
đồ thị hàm số. Gọi MH là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng y y . Khi đó, độ dài MH tiến tới 0 khi 0
x   (hình a ) hay khi x   (hình b )
2. Đường tiệm cận đứng
Đường thẳng x x được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y f x nếu ít 0
nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim f x   ;
 lim f x   ;
 lim f x   ;
 lim f x   x      0 x x 0 x x 0 x x 0 x
Nhận xét: Giả sử đường thẳng x x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x . Lấy điểm M  ; x y thuộc 0
đồ thị hàm số. Gọi MH là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng x x . Khi đó, độ dài MH tiến tới 0 khi 0 x x 
(hình a, c ) hay khi x x  (hình , b d ) 0 0  Lưu ý: ax b i) Hàm y
(với ad bc  0, c  0 ) cx d d a
có tiệm cận đứng x  
; tiệm cận ngang y  . c c f x ii) Hàm y
với f x, g x là những hàm đa thức g x
+) Nếu bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì có tiệm cận ngang y  0 . 3 a
+) Nếu bậc tử bằng bậc mẫu thì có tiệm cận ngang n y
với a , b là hệ số của lũy thừa cao nhất trên tử và b n n n dưới mẫu.
+) Nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu thì không có tiệm cận ngang.
g x  0; f x  0 0   0   g
x f x  0 0   0 
+) x x là tiệm cận đứng  . 0    f x  lim    xx0  g x  
3. Đường tiệm cận xiên
Đường thẳng y ax b , ( a  0 ) được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số
y f (x) nếu:
lim [ f (x)  (ax b)]  0 hoặc lim [ f (x)  (ax b)]  0 . x x
Nhận xét: Giả sử đường thẳng y ax b , ( a  0 ) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y f (x) . Lấy điểm M
thuộc đồ thị hàm số y f (x) và điểm N thuộc đường thẳng y ax b có cùng hoành độ x . Khi đó, độ dài
MN tiến tới 0 khi x   (Hình 16a) hay khi x   (Hình 16b).
Chú ý: Để xác định hệ số a , b của đường tiệm cận xiên y ax b của đồ thị hàm số y f (x) , ta có thể áp dụng công thức sau: f (x) f (x) a  lim
và b  lim [ f (x)  ax] hoặc a  lim
và b  lim [ f (x)  ax] . x x x x x x
(Khi a  0 thì ta có tiệm cận ngang y b ). 4
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ LỚP 12 THPT
ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA CÁC ĐỒ THỊ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
_____________________________________
QUAN SÁT ĐỒ THỊ HÀM SỐ, BẢNG BIẾN THIÊN XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TIỆM CẬN
Bài toán 1. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao
nhiêu đường tiệm cận? A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 4 Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta có :
lim f x   , suy ra đường thẳng x  2
 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x 2 
lim f x   , suy ra đường thẳng x  0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x 0 
lim f x  0, suy ra đường thẳng y  0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.
Bài toán 2. Hàm số y f x xác định trên  \   1 
, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên:
Khẳng định nào dưới đây sai?
A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là y  1 và y  1  .
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1  .
C. Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là x  1 và x  1  .
Bài toán 3. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình sau
Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x là A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 1. Lời giải
Vì lim y  4, lim y  1
  Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y  1 và y  4 . x x
lim y  , lim y    Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1  . x 1 x 1  
lim y   , lim y    Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1. x 1 x 1  
Nên đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.
Bài toán 4. Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau: 5
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng có phương trình: A. x   1 . B. y  1  . C. y  2  . D. x   2 . Lời giải
Ta thấy: lim f x   và lim f x   . x 2  x 2 
Vậy tiệm cận đứng của hàm số đã cho là x   2 .
Bài toán 5. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là: A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. Lời giải Chọn B
Nhìn bảng biến thiên ta thấy x=0 hàm số không xác định nên x=0 là TCĐ của đồ thị hàm số
lim f x  3  y  3 là TCN của đồ thị hàm số x
lim f x  1 y  1là TCN của đồ thị hàm số x
Vậy đồ thị hàm số có 3 tiệm cận
Bài toán 6. Cho hàmsố f ( )
x có bảng biến thiên như sau
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 4 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có:
lim f (x)  0  y  0 là một tiệm cận ngang x
lim f (x)  5  y  5 là một tiệm cận ngang x
lim f (x)    x  1 là một tiệm cận đứng x 1 
Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận là 3.
Bài toán 7. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như sau
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là 6 A. 4 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có:
lim f (x)  2  y  2 là một tiệm cận ngang x
lim f (x)    x  1 là một tiệm cận đứng x 1 
Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận là 2 .
Bài toán 8. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho bằng A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 3 . Lời giải Ta có
lim y    x  2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. x 2 
lim y    x  0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. x 0 
lim y  0  y  0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. x
Vậy đồ thị hàm số đã cho có tổng đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là 3 .
Bài toán 9. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1. Lời giải Ta có:
lim f (x)  0 nên đường thẳng y  0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x . x
lim f (x)   nên đồ thị hàm số y f x không có tiệm cận ngang khi x   . x
lim f ( x)   , lim f ( x)   nên đường thẳng x  2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x 2  x 2 
y f x .
lim f (x)   , lim f (x)   nên đường thẳng x  2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x 2  x 2 
y f x .
Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là 3 tiệm cận. 7
XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TIỆM CẬN CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Bài toán 1. Cho hàm số y f (x) có lim f (x)  1và lim f (x)  1
 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định x x đúng?
A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x  1 và x  1  .
B. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y  1 và y  1. Lời giải
Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ta thấy đồ thị có đúng 1 tiệm cận ngang. x  2
Bài toán 2. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là x 1 A. y  2  . B. y  1. C. x  1  . D. x  2 . Lời giải x  2 x  2 Ta có lim  1 và lim  1
x x  1
x x  1
Suy ra y  1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x 1
Bài toán 3. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là x  3 A. x  3 . B. x  1 . C. x  1 . D. x  3 . Lời giải. x 1 lim
  . Suy ta tiệm cận đứng là đường thẳng x  3 . x 3  x  3 1
Bài toán 4. Tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y x  . x 1 A. y x B. y x 1
C. y x  2
D. y x  3 Lời giải  1 
lim  f x  x  lim  0    
nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên y x . x
x  x 1 2x 1
Bài toán 5. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là: x 1 1 A. y  . B. y  1. C. y  1. D. y  2 . 2 Lời giải 1 2  2x 1 Ta có lim  lim
x  2 . Suy ra đồ thị hàm số có tiệmcận ngang là y  2. x x 1 x 1 1 x 2
Bài toán 6. Tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y x 1 . x 1 A. y x B. y x 1
C. y x  2
D. y x  3  2 
Lời giải lim  f x   x   1   lim  0    
nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên y x 1. x
x  x 1  3x  2
Bài toán 7. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y
là tập hợp tất cả các điểm có hoành độ bằng bao nhiêu x  2 A. x  2 . B. x  1  . C. x  3 . D. x  2  . Lời giải 3x  2 3x  2 Ta có lim y  lim
  , lim y  lim
  nên suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là x 2 x 2   x  2 x 2 x 2   x  2
x  2 . Đây là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng tọa độ có hoành độ bằng 2. 4x 1
Bài toán 8. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y
đi qua điểm nào sau đây x 1 8 A. A1;3 . B. B 2; 4 . C. C 6;  1 . D. D 4; 2 . Lời giải 4
Tiệm cận ngang lim y  lim y
 4 . Tiệm cận ngang là đường thẳng y  4 . x x 1 2x 1
Bài toán 9. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y
là đường thẳng có phương trình x 1 1 A. x  2 . B. x  1. C. x   . D. x  1  . 2 Lời giải 2x 1 2x 1 Ta có lim   và lim
  nên x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x 1  x 1 x 1  x 1 5
Bài toán 10. Tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y x  3  . x  3 A. y x B. y x 1
C. y x  2
D. y x  3  5 
Lời giải lim  f x   x  3  lim  0    
nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên y x  3 . x
x  x  3  x 1
Bài toán 11. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y
là đường thẳng có phương trình x  2 A. x  1  . B. x  2 . C. x  2 . D. x  1 . Lời giải x 1 x 1 Ta có: lim y  lim
  (hoặc lim y  lim   ). x 2 x 2   x  2 x 2 x 2   x  2
Vậy x  2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 2x 1
Bài toán 12. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y
là đường thẳng có phương trình 2x  4 A. y  2 . B. x  2  . C. x  1 . D. y  1. Lời giải 2x 1 2x 1 Ta có lim y  lim  1 và lim y  lim  1 . x
x 2x  4 x
x 2x  4
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng có phương trình y  1. 4
Bài toán 13. Tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y x  3  . x 1 A. y x B. y x 1
C. y x  2
D. y x  3  4 
Lời giải lim  f x   x  3  lim  0    
nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên y x  3 . x
x  x 1 3x 1
Bài toán 14. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là: x 1 1 A. y  . B. y  3 . C. y  1  . D. y  1. 3 Lời giải 3x 1 3x 1 Ta có : lim y  lim  3 và lim y  lim
 3 nên y  3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x
x x 1 x
x x 1
Bài toán 15. Cho hàm số y f x có đồ thị C  và lim f x   , lim f x  2
 . Số tiệm cận ngang của x x C là A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. Lời giải
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng y  2  . x 1
Bài toán 16. Tiệm cận xiên của đồ thì hàm số y x
là đường thẳng có phương trình: x 1 A. y x B. y x 1
C. y x  2
D. y x  3 Lời giải 9 x 1 2   2   y x   x 1
 lim  f x   x   1   lim  0     . x 1 x 1 x
x  x 1
Ta có suy ra tiệm cận xiên của đồ thị là đường thẳng y x 1. 2x  2
Bài toán 17. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là x 1 A. x  2  . B. x  1. C. x  1  . D. x  2 . Lời giải 2x  2 2x  2 Ta có lim y  lim
  và lim y  lim
  nên đường thẳng x  1  là tiệm cận đứng x 1 x 1   x 1 x 1 x 1   x 1 của đồ thị hàm số. 2x  2
Bài toán 18. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là x 1 A. x  2 . B. x  2 . C. x  1. D. x  1 . Lời giải
Tập xác định D   \   1 .
Ta có lim y   ; lim y    , suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là x  1 . x 1 x 1   2x  2
Bài toán 19. Tìm giá trị m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y
là đường thẳng x  1. x m A. m  2  . B. m  1. C. m  1. D. m  2 . Lời giải
Tập xác định D   \   1 .
Với m  1ta có lim y   ; lim y    , suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là x  1 . x 1 x 1   2x  2
Bài toán 20. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y
cách trục tung một khoảng lớn hơn x 1 2 7 A.2 B. 1 C. D. 2 2 Lời giải 2x  2 2x  2 Ta có lim y  lim
  và lim y  lim
  nên đường thẳng x  1  là tiệm cận đứng x 1 x 1   x 1 x 1 x 1   x 1 2
của đồ thị hàm số. Khoảng cách từ đường này đến trục tung bằng 1, lớn hơn . 2 14
Bài toán 21. Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y x  3 
đi qua điểm nào sau đây x 1 A. A1; 4 . B. B 2; 4 . C. C 6;  1 . D. D 4; 2 .  14 
Lời giải lim  f x   x  3  lim  0    
nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên y x  3 . x
x  x 1 
Đường thẳng này đi qua điểm A1; 4 . 2 5x  4x 1
Bài toán 22. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là 2 x 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Tiệm cận ngang: 2  4 1  4 1 2 x 5   5    2  2 5x  4x 1  x x x Ta có: lim  lim  lim  lim x y
 5 nên đồ thị hàm số có một tiệm 2 x x x 1 x 2  1  x 1 x 1 1  2  2  x x cận ngang y  5 . Tiệm cận đứng: x  Cho 2 1 x  1   x  1   10 2 5x  4x 1 5x   1  x   1 5x 1 6 Ta có: lim y  lim  lim  lim 
 3 nên x  1 không là tiệm cận đứng. 2 x 1  x 1  x 1 x 1   x   1  x   1 x 1  x 1 2 2 2 2 5x  4x 1 5x  4x 1  1
5x  4x 1  lim y  lim  lim  lim  .          x     x     2 1 1 x 1 x     1  x   1  x   1 x     1 x 1 x 1    1 lim     x      1 x 1 vì  . 2 5x  4x 1  lim  4   0  x     1 x 1 
Khi đó, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng x  1 .
Tổng cộng đồ thị hàm số có 2 tiệm cận. 5x 1
Bài toán 23. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y
cách trục hoành một khoảng bằng x 1 A.4 B. 2 C. 5 D. 6 Lời giải  5x 1 lim y  lim  5 x x  x 1 Ta có 
y  5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 5x 1  lim y  lim  5 x x  x 1
Đường thẳng này cách trục hoành một khoảng bằng 5.
Bài toán 24. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng? 2 x  3x  2 2 x x A. y  B. y  C. 2 y x 1 D. y x 1 2 x 1 x  1 Lời giải x x Ta có lim  , lim
  nên đường thẳng x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x 1 x 1 x 1    x  1 2 x  5x  4
Bài toán 25. Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số y  . 2 x 1 A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 Lời giải
Tập xác định: D   \   1 5 4 2 1  2 x  5x  4 Ta có: lim  lim  lim x x y
 1  y  1 là đường tiệm cận ngang. 2 x x x 1 x 1 1 2 x Mặc khác: 2 x  5x  4  x   1  x  4  x  4 3 lim y  lim  lim  lim   2 x 1  x 1  x 1 x 1   x   1  x   x 1 1   x   1 2
x 1 không là đường tiệm cận đứng. 2 x  5x  4  x   1  x  4  x  4 lim y  lim  lim  lim     2   x  1 x  1 x 1 x 1   x   1  x   1 x  1  x   1 2 x  5x  4  x   1  x  4  x  4 lim y  lim  lim  lim     2   x  1 x  1 x 1 x  1  x   1  x   1 x  1  x   1  x  1
 là đường tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận 2 x  3x  4
Bài toán 26. Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: y  2 x  16 A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 Lời giải 2 x  3x  4 x  1 Ta có y  
(với điều kiện xác định), do đó đồ thị hàm có 1 tiệm cận đứng. 2 x  16 x  4 11
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ LỚP 12 THPT
ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA CÁC ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHỨC TẠP
_____________________________________
XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA CÁC HÀM SỐ CHỨA CĂN x  4  2
Bài toán 1. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là 2 x x A. 3. B. 0 . C. 1. D. 2 . Lời giải TXĐ: D   4  ;  \  1  ;  0 . x  4  2 Ta có: lim y  lim     2 x  1 x  1 x x
Nên đường thẳng x  1 là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. x  
x  4  2 x  4  2 4 2  1 1 lim y  lim  lim  lim  2 x0 x0 x0 x x x x   1  x  4  2
x0  x  
1  x  4  2 4
Nên đường thẳng x  0 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng x  1 .
x 4x  6  2
Bài toán 2. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là? x  2 A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 Lời giải 6 2 6 2 x x  4 4 6 2      4   x x
x 4x  6  2 x x lim  lim  2 và lim  lim  2  x x  2 x 2 x x  2 x 2 1 1 x x
x 4x  6  2
x  24x  2 4x  2 5 lim  lim  lim  x 2 x 2 x  2     
x  2 x4x  6  2 x 2 x4x  6  2 2
Vậy hàm số có hai tiệm cận ngang y  2 . 2 x x x 1
Bài toán 3. Hàm số y
có bao nhiêu đường tiệm cận? 3 x x A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 Lời giải
TXĐ: D   \   0  1 1   1 1 x 1 1     2   1 1  2 x x 1    x x lim y  lim  lim  .   0 2 x x  1 x   x 1 3  x 1 1  2  2 xx       1 1   1 1 x 1 1     2   1 1  2 x x 1    x x lim y  lim  lim  .   0 2 x x  1 x   x 1 3  x 1 1  2  2 xx       TCN: y  0
lim y    TCĐ: x  0 . x 0  x  2 1
Bài toán 4. Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là 2 x  3x  2 A. 4 B. 1 C. 3 D. 2 12 Lời giải x  2  0 x  2 Đkxđ:     x  2 2
x  3x  2  0 x  2, x  1    x  2 1  Ta có: lim 
   nên đường thẳng x  2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.  2 x2  x 3x 2       x  2 1  lim 
  0 nên đường thẳng y  0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 2 x  x 3x 2      2
5 x  6  x 12
Bài toán 5. Cho hàm số y
có đồ thị C  . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 3 4x  3x 1
A. Đồ thị C  của hàm số không có tiệm cận.
B. Đồ thị C  của hàm số chỉ có một tiệm cận ngang y  0 . 1
C. Đồ thị C  của hàm số có một tiệm cận ngang y  0 và hai tiệm cận đứng x  1; x   . 2
D. Đồ thị C  của hàm số chỉ có một tiệm cận ngang y  0 và một tiện cận đứng x  1 Lời giải  1   TXĐ: D R\ 1  ;    2   Ta có: lim y  ;
 lim y    Đồ thị hàm số có một TCĐ là x  1 x 1 x 1  
lim y  0  Đồ thị hàm số có một TCN là y  0 x 2 2x x x
Bài toán 6. Đồ thị hàm số y
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? 3x 1 A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1 . Lời giải 2 2x x x  1  Xét hàm số y
có tập xác định D   ;
 01;  \   . 3x 1  3 Ta có 2 2x x x 2 3x x x 1 lim  lim  lim  ; 1 1 2 1 2 x 3x 1 x
3x 1 2x x x x
2x x x 4 3    3 3 2 2x x x 2 2x x x 1 lim  0 và lim 
nên đồ thị không có tiệm cận đứng. x 0  3x 1 x 1  3x 1 2 1 1 2 2x x 1 2  1
2x x x x x 1 lim  lim  lim  , x 1 1 3x 1 x 3x 1 1 x 3 3 3 3  x 1 1 2 2x x 1 2  1 2x x x 1 và x x lim  lim  lim
 1 nên đồ thị có hai tiệm cận ngang là y  và y  1. x 1 1 3x 1 x 3x 1 1 x 3 3 3 3  x
Vậy đồ thị hàm số có tất cả hai đường tiệm cận. Bài toán 7. Gọi ,
n d lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 1 x y
. Khẳng định nào sau đây là đúng? x  1 x
A. n  0, d  2 .
B. n d 1 .
C. n  1, d  2 .
D. n  0, d  1 . Lời giải
Tập xác định: D  0;  1 .
Từ tập xác định suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. n  0 . 13 1 x 1 +) lim y  lim  lim      x0 x0 x  x0 1 x 1 x x 1 x 1 +) lim y  lim  lim      x 1  x 1  x   x 1 1 x  1 x x
Suy ra đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng, d  2 .
5x 1 x 1
Bài toán 8. Đồ thị hàm số y
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? 2 x  2x A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3. Lời giải
Tập xác định của hàm số là D   1
 ;0  2; . Ta có 2 25x  9x 25x  9 9 lim y  lim  lim   . x 0   x 0    2
x  2x5x 1 x 1 x 0
   x  25x 1 x 1 4 lim y   . x2 5 1 1 1    2 3 4 lim  lim x x x x y  0 . x x 2 1 x
Vậy đồ thị của hàm số có hai đường tiệm cận có phương trình x  2 và y  0 . x 1
Bài toán 9. Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  .
4 3x 1  3x  5 A. 2 . B. 3. C. 1. D. 0 . Lời giải  1 
Tập xác định: D   ;  \     1  3   x   1 x
4 3x 13x 5 1 
4 3x 1  3x  5 + Ta có: lim  lim  lim   x
 4 3x 1  3x  5 x  9   x  2 1 1 x 1 1     9   x   1
do đó đường thẳng x  1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 1 1 x 1 1 1 + lim  lim x
  do đó đường thẳng y   là đường
x 4 3x 1  3x  5 x 3 1 5 3 3 4   3  2 x x x
tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận. 2 2
4x 1  3x  2
Bài toán 10. Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là 2 x x A. 1. B. 3. C. 4. D. 2. Lời giải  1   1 
Tập xác định D   ;    ;1  1;        2   2  Ta có 1 1 2 2 2 4   3  2 2
4x 1  3x  2  x x x lim y  lim  lim  3 2 x x x x x  1 1 x 1 1 2 2 2  4   3  2 2
4x 1  3x  2  x x x lim y  lim  lim  3 2 x x x x x  1 1 x
Do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng y  3 là tiệm cận ngang. 14 2 2
4x 1  3x  2  lim y  lim     2 x 1  x 1  x x
Do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng x  1 là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang. 6 x   1  5 3x  2
Bài toán 11. Tìm số đường tiệm cận của đường cong y  .
3x  8  3 3x  2 A. 1 tiệm cận. B. 2 tiệm cận. C. 3 tiệm cận. D. 4 tiệm cận.
Lời giải. Biến đổi 6 x   1  5 3x  2
2(3x  2)  5 3x  2  2 y  
3x  8  3 3x  2
3x  2  3 3x  2 10 
3x  2  22 3x  2   1 2 3x  2 1 y  
 3x  2  2 3x  2  5 3x  2  5  2  Tập xác định 
;   lim y  2  
. Tiệm cận ngang y  2 .  3 x 
Đồ thị không có tiệm cận đứng. 2
2x  4x  3  3 x   1 x  3
Bài toán 12. Tìm số đường tiệm cận của đường cong y  . 2 x x x  3 A. 1 tiệm cận. B. 2 tiệm cận. C. 3 tiệm cận. D. 4 tiệm cận. Lời giải. 2
2x  4x  3  3 x   2 1 x  3
x  3  (3x  3) x  3  2x  3x y   2 x x x  3
x x x  3
x x  32x  3 x  3 lim  
2x  3  x  3  x0 y    
x x x  3 x lim y  2  x
Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
x  6  6 x 1
Bài toán 13. Tìm số đường tiệm cận của đường cong y  .
x  4  4 x 1 A. 1 tiệm cận. B. 2 tiệm cận. C. 3 tiệm cận. D. 4 tiệm cận. Lời giải x x x x
x 1 5 x 1         1 6 6 1 1 6 1 5 x 1  5 y   y    .
x  4  4 x 1
x 1 4 x 1  3
x 1 3 x 1  1 x 1  3
Khi đó lim y   ;
 lim y  1  x  2; y  1lần lượt là tiệm cận đứng, tiệm cận ngang. x2 x 2
3x 1 x 1  3x  5x  2
Bài toán 14. Tìm số đường tiệm cận của đường cong y  . 2 x x 1 A. 1 tiệm cận. B. 2 tiệm cận. C. 3 tiệm cận. D. 4 tiệm cận. Lời giải 2 2 3x 1
x 1  3x  5x  2
x x 1  2x 1  3x  5x  2 y   2 2 x x 1 x x 1 2 2 x x 1 x x 1  2 x x 1
2x 1 3x  5x  2 1 1 y    2 2 x x 1 x x 1
2x 1 3x  5x  2
lim  0  y  0 là tiệm cận ngang. x 15
XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ HỢP, HÀM SỐ LIÊN KẾT
Bài toán 1. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Xác định số 2 x 1
tiệm cận của đồ thị hàm số y  . 2
f (x)  f (x) A. 5 B. 6 C. 3 D. 4 Lời giải
f x  0 Xét 2
f x  f x  0  f x  f x 1  0    
f x  1 
Phương trình thứ nhất có nghiệm đơn – 2 và nghiệm kép bằng 1.
Phương trình thứ hai có 3 nghiệm a, b, c khác các nghiệm phương trình thứ nhất. Như vậy 2 2 x 1 x 1 y   2
f (x)  f (x) k x  2
1  x  2 x a x b x cx 1
kx  1x  2x ax bx c 2 x 1 Ngoài ra lim
 0  y  0 là tiệm cận ngang. 2
x f (x)  f (x)
Ta thu được 6 đường tiệm cận.
Bài toán 2. Hàm số y f x có bảng biến thiên như
hình vẽ bên. Tìm số tiệm cận của đường cong x y  . 2
f (x  4x)  4 A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 Lời giải Xét 2 2 2
f (x  4x)  4  0  f (x  4x)  4  x  4x a  2 , thu được 2 nghiệm x. x Lại có lim
 0 nên ta có tiệm cận ngang y  0 . 2
x f (x  4x)  4
Tổng cộng 3 tiệm cận.
Bài toán 3. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ
bên. Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2 x  3 y  . 2
f (x)  6 f (x)  5 A. 5 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải 16
f x  1  Giải 2
f (x)  6 f (x)  5  0   ta có thể viết
f x  5   2 2 x  3 x  3 y   .
f x 1  f x  5
k x a x b x c x d      2 x  3 Lại có lim
 0  y  0 là tiệm cận ngang. 2
x f (x)  6 f (x)  5
Ta thu được 5 đường tiệm cận.
Bài toán 4. Cho y f x là hàm bậc 4 và có bảng biến thiên như hình vẽ sau: 2 x  2
Đồ thị hàm số g x 
có mấy đường tiệm cận đứng? 2
f x  3 f x  4 A. 5 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải
 Đặt f x 4 3 2
ax bx cx dx  , e a  0 .
Ta có f  x 3 2
 4ax  3bx  2cx d .
 Đồ thị hàm số có các điểm cực trị: A0; 3  , B 2  ;1 ,C  2  ;1 nên ta có hệ sau:   f 0  0 d  0 a  1    f  0  3  e  3    b  0    
f  2   0  8 
2a  6b  2 2c  0  c  4 .      f   d 0
8 2a  6b  2 2c  0 2  0     e  3
4a  2 2b  2c  2d e  1     f  2 1  Vậy f x 4 2
 x  4x  3 . 2 2 x  2 x  2 1
 Khi đó g x    . 
f x  
1  f x  4  4 2
x  4x  4 4 2 x  4x   1  2 x  2 4 2 x  4x   1 Do phương trình  2 x   4 2
2 x  4x  
1  0 có 4 nghiệm phân biệt: x   2; x   2  5 nên đồ thị hàm số đã
cho có bốn đường tiệm cận đứng.
Bài toán 5. Hàm số bậc bốn y f x có bảng biến thiên
như hình vẽ bên. Xác định số tiệm cận của đồ thị hàm số 3 2 (x  4x) y  . 3 2
f (x)  2 f (x)  3 f (x) A. 6 B. 8 C. 3 D. 7 Lời giải 3 2 3 2 (x  4x) (x  4x) y   3 2
f (x)  2 f (x)  3 f (x)
f x  f x 1  f x  3     17
Quan sát bảng biến thiên ta thấy
f x  Ax a x b x c x d f x 2
1  Bx x m x n
f x  3  C x  22  x  22 Dẫn đến 3 2 (x  4x)
y kxaxbxcxdxe2xmxnx22x22
x x  22  x  22 2 y
k x a x b x c x d x x m x n x  22  x  22 2 1
y k x ax bx cx dx mx n 3 2 (x  4x)
Như vậy ta có 6 tiệm cận đứng. Do lim
 0 nên có 1 tiệm cận ngang y  0 . 3 2
x f (x)  2 f (x)  3 f (x)
Bài toán 6. Hàm số bậc ba y f x liên tục trên  , đồ thị
hàm số như hình vẽ bên. Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ
x  2  6x  3 thị hàm số y  . 3
f x  4 f x A. 3 B. 6 C. 4 D. 5 Lời giải 1
Điều kiện x   . Chú ý rằng 2 2 2
(x  2)  (6x  3) (x 1) y  
(x  2  6x  3) f (x) f (x)  2 f (x)  2
(x  2  6x  3) f (x) f (x)  2 f (x)  2
Xét f x  0 thu được ba nghiệm x m  0; x  0; x n  0 , trong đó m  2  .
Xét f x  2 thu được nghiệm kép x  1; x  2 (đơn).
Xét f x  2
 thu được nghiệm kép x  1; x  2 (đơn). Như vậy 2 (x 1) y  2 2
x(x m)(x n)(x 1) (x 1) (x  2)(x  2)(x  2  6x  3) 1  2
x(x m)(x n)(x 1) (x  2)(x  2)(x  2  6x  3)
Đối chiếu điều kiện xác định ta thu được 5 tiệm cận đứng.
Bài toán 7. Hàm số bậc ba y f x liên tục trên  , đồ thị hàm số
như hình vẽ bên. Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x y  . 3
f x  4 f x A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 Lời giải 18  f (x)  0  f (x)  0 
Điều kiện x  0 . Chú ý 3
f (x)  4 f (x)  0   f (x)  2  2 f (x) 4     f (x)  2  
Xét f x  0 thu được ba nghiệm x m  0; x  0; x n  0 .
Xét f x  2 thu được hai nghiệm x p  0; x  2 .
Xét f x  2
 thu được hai nghiệm x q  0; x  2   0 .
Như vậy ta có tổng cộng các tiệm cận đứng x  ;
n x  0; x  2; x q , 4 tiệm cận đứng.
Bài toán 8. Hàm số bậc bốn y f x liên tục trên  , đồ thị hàm
số như hình vẽ bên. Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm 2
2x  5x  4x 2x 1 số y  2
f x 11 f x  28 A. 4 B. 2 C. 5 D. 3 Lời giải
Sử dụng phép liên hợp ta có 2
x (2x  5) 16(2x 1)
x(2x  5  4 2x 1)    y  
f (x)  4 f (x)  7  f (x)  4 f (x)  72x  5 4 2x 1   2 x(2x  3)
  f (x)4 f (x)72x54 2x1  
Dựa theo đồ thị hàm số f (x) ta có
+ f (x)  4  x  6; x  0; x m  12 trong đó x = 6 là nghiệm kép.
+ f (x)  7  x  1, 5; x n  (6;12); x p  12 trong đó x = 1,5 là nghiệm kép. 1 Như vậy y
. Kết luận 4 tiệm cận đứng. 2
(x  6) (x m)(x n)(x p) 2x  5  4 2x 1  
Bài toán 9. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ: 1
Số đường tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số y  là
f x   1  4 2 x  4 A. 5 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải 2 x  4  0 
x  2  x  2  Điều kiện:    f   x   1  4 f   x   1  4  
x 1     1  ;  1
x   1  2  ; 0 l  
Xét f x  
1  4  x 1  2  x  1   l
x 1   4;
x   13;   n  Khi đó: 19
+/ lim y   , lim y   , lim y   , 
lim y   nên đồ thị hàm số có 3 tiệm cận đứng. x 2  x 2    x      1 x      1
+/ lim y  0 , lim y  0 nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang. x x
Bài toán 10. Hàm số bậc bốn y f x liên tục trên  , đồ thị
hàm số như hình vẽ bên. Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị
x 2x  4  4x
hàm số u x  2
f x  4 f x A. 4 B. 2 C. 5 D. 3 Lời giải
+ f (x)  0  x a  2
 ; x b  12 .
+ f (x)  4  x  6; x  0; x m  12 trong đó x = 6 là nghiệm kép. Như vậy
x  2x  4  4 x(2x 12) u(x)  
f (x). f (x)  4 2
x(x  6) (x m)(x a)(x b)  2x  4  4 2 
(x  6)(x m)(x a)(x b)  2x  4  4
Như vậy, đối chiếu điều kiện xác định ta thu được 4 tiệm cận đứng. 20