Ôn Luyện Bài Tập: Phép Nhân Ma Trận & Hệ Phương Trình Tuyến Tính | Toán cao cấp 1 | Đại học Tôn Đức Thắng

Kiến thức cần nhớ (quan trọng) I) (slide 18) Phép nhân hai ma trận a)
Ví dụ về phép nhân hai ma trận (slide 20)
b) Ví dụ về phép nhân hai ma trận (slide 21) 1
c) Giải Ví dụ về phép nhân hai ma trận (slide 27) VD8:  −  −  + − − + −   −  2 1 1 1 1 1.1 ( 1).0 1.( 1) ( 1).1 1 A = . A A= . = =         0 1  0 1  0.1 + 1.0 0. − ( 1 + ) 1.1   0   −   −  + − − + −   −  3 2 1 2 1 1 1.1 ( 2).0 1.( 1) ( 2).1 1 A = A . A= . = =         0 1 0 1 0.1+ 1.0 0.( − 1) +      1.1  0 1  VD9: −2 1  3 0  2
− .3+ 1.8 − 2.0+ (1.− )1  2 − 1 . A B =  . =     =   1 0 8 −    1  1.3+ 0.8 1.0 + (0.− )1  3 0
 2 −1 0 1  2.0+ (− ) 1 .1 2.1 + (− )1 .2  − 1 0 ABC = = =         3 0  1 2  3.0+ 0.1 3.1+ 0.2  0 3  5  5   −  −  −  D = ( AB )5 1 0 ( ) 1 0 1 0 C = =   =      5 0 3     0 243 0 3    2
d) Giải Ví dụ về phép nhân hai ma trận (slide 30) VD11:  1 1 −   1 1 1  1− 2 2   0 1 − 2     =  0 2 = −   2 0 − 6  ( )T AB  AB =  1 0 −   3   1 0 3  − −       −3 −2 2 − 3 12 1 −      6 12  0 1 −   1 −2 2    1 0 − 3 T T   B A =  1 0  . =  1 0 −   3 −   1 2 −  2   2 − −3 1 −    6 12 Vậy: ( )T T T AB B = A
II) Ma trận khả nghịch (slide 39) 3
a) Ví dụ về ma trận khả nghịch (slide 40-41)
b) Ví dụ về ma trận khả nghịch (slide 43) VD15: 5 −3 −  −   −  A= , 5 ( . − ) 2− ( 3.− ) 1 1 2 3 2 3 3= − 1  A = =        3 −2 −1 −  3 5  3 − 5       =  1 − − = 1 − − − − −  = 1 2 3 4 1 2 7 AX B A AX A B X A B = =     
3 − 5− 2 3 − 2 − 12  4 III) Tính định thức 5
a) Ví dụ về tính định thức (slide 54) VD 2: det A = 3.4 – 1.(-2) = 14 1 2 − 1 1 2 detB = 3 − 2 1 3 − 2 = (  −  ) 2+( ) 4+(− ) 3  −  ( )+ ( 4 ) + ( 1 ) 6  = − −  1 1 = 1− 2 1 1 2 1
b) Ví dụ về tính định thức (slide 55) VD 3: sẽ sửa ở lớp detA = + + + = − 1 a 1 . 1 A1 1 a 2 . 1 A2 1 a 3. 1 A 3 1 a 4 . 1 A4 3. 1 A 3 1 A 4 4 1 − 1 4 1 2 4 1− 1 4 1 + + = 3 (.− )1 3 1 3 1 2− (− ) 1 4 1 3 1 0 = 3. 3 1 2 − 3 1 2 3 5 2 3 3 2 3 5 2 3 4 1 − 1 4 1 2 Tính 3 1 2 và 3 1 0 2 3 5 2 3 3 6 b) Ví dụ về tính đị nh thức (slide 56) 1 3 2 1 2 1 VD 4. 2 2 1 3 2 1 12. 1 1 1 2 1 1 1 3 2 1 3 2 − 2 1 2 − 2 = (  −  )2+ (− )3+ ( )4− 
( )4+ ( ) 1+( ) 6= − −  1 1 =1− −1 1 1 − 1 1 III) (slide 31)
Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 7 − − Hãy kiểm tra 1) 1 A .A= 1 = 3I 2) . A A 3I  0 3 − 2 1 1 2  1 0 0  1 −      A . A= −1 1 0 1 2 2= 0 1 0=      3I      1 −  2 1  1 3 3  0 0 1  1  1 2 0 3 − 2  1 0 0  1 −      . A A = 1 2 2 − 1 1 0 = 0 1 0=      3I      1 3 3 1 −   2 1  0 0 1  8
Hạng của ma trận 9
Hệ Phương Trình Tuyến Tính Phương pháp Gauss 10
Định lý Kronecker - Capelli Hệ AX
B có nghiệm khi và chỉ khi r( ) A r( ) A .
Trong trường hợp hệ AX B có nghiệm thì: ▪ Nếu r( ) A
n : kết luận hệ có nghiệm duy nhất; ▪ Nếu r( ) A
n : kết luận hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào
n r tham số. x 2 y z 1
VD 2. Giải hệ phương trình: y z 3 3 x 2 y z . 1 2 1 −1 1  2 1 − 1 1 ( )     3 d 3 d 1 = 0 1 3 3 d A B → − ⎯⎯⎯⎯⎯ →    0 1 3 3   2 1 1 1  0 0 2 2 − −     Ta có: r( )A 3
= = n(số ẩn), nên ệ
h phương trình có nghiệm duy nhất. Ta có: 2x + y − z= 1  2x+ y− z = 1  2 x + 6 − −( 1) = 1  x = −      y + 3 z= 3   y+ 3.(− 1)= 3  y= 6   y= 6  2z = − 2  z = − 1  z= − 1  z= −     x = −3   = V y 6
ậy nghiệm hệ phương trình đã cho là:  z= −  1 11
VD 3. Giải hệ phương trình tuyến tính: x 5 1 2 x2 5 x3 3 x4 3 4x 3 2 1 1 x2 x3 x4 2x1 7x2 x3 1.  5 −2 5 − 3 3  2 7 − 1 0− 1  (     A B) d d  3 1 = 4 1 3 − 2 1 ⎯⎯⎯⎯ → 4 1 3 −    2 1   2 7 1 0 1  5 2 5 3 3 − − − −      − −   − −  d → d − d 2 7 1 0 1 2 7 1 0 2 2 2 1 d →2d − 5d   d → d− 3d   3 3 1 3 3 2 ⎯⎯⎯⎯⎯→ 0 13 − 5 − 2 3 ⎯⎯⎯⎯⎯→ 0 − 13 5 −    2 3   0 39 15 6 11  0 0 0 0 2  − −     V (0 0 0 0 )
ậy hệ phương đã cho vô nghiệm, vì có 1 dòng: 2
VD 4. Tìm nghiệm của hệ phương trình x 4y 5 z 1 x 2 7 y 11z 2 x 3 1 y 1 6 z . 1 A. x 1 ,5 y ,4 z 0;
B. Hệ có vô số nghiệm; x 15 79 x 15 79 C. y 4 21 D. y 4 21 z . z .  1 4 5 − 1   −  d → d 2 − d 1 4 5 1 (   → −    −  A B) 2 2 1 d d d 1 4 5 3 3 3 1
=  2 7 −11 2 ⎯⎯⎯⎯⎯→   0 − 1 − 21 4⎯⎯ →        0− 1−  21 3 11 − 6 1 0 − 1 −    21 4 Ta có: r( )A 2 =  n 3 = (số ẩn), nên ệ
h phương trình có vô ố s nghiệm và
phụ thuộc 1 tham số. Ta có: 
x + 4y + 5 z= −1  x= − 1− 4(− 4− 21  ) − 5   x= 15 + 7  9 x + 4y + 5z= − 1   
 − y− 21 z= 4   y = − 4− 21    y = − 4 − 2  − y − 21z = 4  z=    z=   z =      12 x =15+ 79  V  = − − 
ậy nghiệm hệ phương trình đã cho là: y 4 21 z=   
VD 7. Giải hệ phương trình tuyến tính sau: x 2 x 3 x 5 x 1 1 2 3 4 x 3 x 13 x 22 x 1 1 2 3 4 3x 5 x x 2 x 5 1 2 3 4 2 1 x 3 2 x 4 3 x 7 4 x 4.  1 2 −3 5 1  −  d →d − d 1 2 3 5 1 2 2 1   d → d−3 d   ( − − → − − −     A B) 3 3 1 1 3 13 22 1 d d d 0 1 10 17 2 4 4 2 1 = ⎯⎯⎯⎯⎯→  3 5 1 − 2 5  0 − 1 10 − 17 2         2 3 4 − 7 4 0 − 1 10 −    17 2   1 2 − 3 5 1    1 2 − 3 5 1  ⎯⎯
→ 0 1 − 10 17− 2⎯⎯ →    0 1− 10 1 −    7 2 0 − 1 10 −  17 2 Ta có: r( ) A 2 =  n 4 = (số ẩn), nên ệ
h phương trình có vô ố s nghiệm và
phụ thuộc 2 tham số. Ta có: 
= − − +  −  +  −   = −  +  1 x 1 2( 2 10 17 ) 3 5 1 x 5 17 29  + − + =  = − +  −   = − +  −  1 x 2 2x 3 3 x 5 4 x 1 2 x 2 10 17 2 x 2 10 1       x − + = − =  =  2 10 3 x 17 4x 2  3 x  3 x  =     =   4 x  4 x  = −  +  1 x 5 17 29
x = −2+ 10 − 17 V 2
ậy nghiệm hệ phương trình đã cho là:  =    3 x  =    4 x 13
VD 8. Giải hệ bằng phương pháp Cramer : x 2 y z 1 y z 3 3 x 2 y z 1. 2 1 − 1 1 1 − 1 2 1 − 1 2 1 1 = 0 1 3= = = = = = x 3 1 3 y 0 3 3 z = 0 1 3 2 1 1 −1 1 1 2 −1 1 2 1 − 1 Suy ra nghiệm: x , y y , z z x = = = 14