ÔN TẬP TOÁN KINH TẾ
Công thức cơ bản: -Lãi đơn: S = P(1 + rt) mt -Lãi kép: (1 )n  r S P i P 1       m   -Lãi kép liên tục: rt S Pe.
-Chuỗi tiền tệ đều chi trả cuối mỗi chu kỳ: (1 i )n 1 1 (1 i      )n S  R ; A R . n i i
-Chuỗi tiền tệ đều chi trả đầu mỗi chu kỳ: (1 i )n 1 1 (1 i      )n S  R (1 i); A  R (1 i. ( n , du ) e ( , n du)e i i
Bài 1: a)Tìm giá trị tương lai của 2000 đô la được đầu tư trong 5 năm vào một tài khoản
có lãi suất 8% theo phương thức tính lãi đơn.
HD: S = P(1 + rt) = 2000(1+0,08.5) = ?
b)Tìm khoản tiền lời kiếm được nếu đầu tư 5000 đôla trong 3 năm với lãi suất 12% theo
phương thức lãi kép với chu kỳ tính lãi theo quý. mt 4.3 n r 0,12 HD: S (1 P )i 1 P  5000 1          m  4      Tiền lời: I = S – P = ?
c)Nếu 2000 đôla được đầu tư vào cuối mỗi quý trong một tài khoản kiếm lãi s ấ u t 6% theo
phương thức tính lãi kép hàng quý. Hỏi ầ
c n đầu tư bao lâu để tài kh ả o n đạt 50 000 đôla? mt HD: (1 )n r S P i P 1       P ?  m  
d)Tìm lãi suất theo năm mà ngân hàng đã tính trên khoản vay 100 000 000 đồng trong 2 năm, biết t ề
i n lãi là 20 000 000 đồng được tính theo phương thức lãi kép hàng quý. mt HD: (1 )n r S P i P 1       . Tiền lãi: I = S – P =
20 triệu đồng, tìm r = ? m  
e)Đầu tư 100 000 000 đồng vào ngân hàng theo phương thức lãi kép liên tục , lãi suất
6%. Tìm số tiền có được sau 5 năm đầu tư. HD: rt S Pe=?
f)Mỗi năm bạn gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng trong 8 năm. Biết lãi suất của hai năm
đầu là 6,5%; ba năm kế t ế
i p là 6,8% và ba năm còn lại là 5,5%. Tìm số tiền bạn có sau 8 năm đầu tư.
HD: Đây là chuỗi tiền không đều, được tính vào 3 giai đoạn:
-Giá trị của chuỗi tiền phát sinh hai năm đầu: n 2 1 (1 i ) 1 (1 0,065) 1 1 S  R 100  ? 1 i 0,065 1
Sau 6 năm tiếp theo, giá trị này trở thành ' 3 ' 3 S (1 S  0,06  8) ?;  S (1 S 0,0  55) 1 1 2 1
-Giá trị của chuỗi tiền phát sinh 3 năm kế: n 3 2 (1 i ) 1 (1 0,068) 1 2 S  R 100  ? 3 i 0,068 2
Sau 3 năm cuối, giá trị này trở thành 3 S (1 S 0 ,055)  4 3
-Giá trị của chuỗi tiền phát sinh 3 cuối: n 3 3 (1 i )  1 (1 0,055) 1 3 S  R  100  5 i 0,055 3
Số tiền có được sau 8 năm là: S S S  S? 2 4 5
g)hai người bạn rủ nhau thực hiện một kế hoạch tiết k ệ
i m vốn trong năm năm để làm ăn.
Với khả năng của mỗi người khác nhau nên kế hoạch tích lũy vốn khác nhau:
-Bạn A: Gửi tiền vào ngân hàng vào cuối mỗi năm 120 000.
-Bạn B: Gửi tiền với năm đầu 100 000 000 đồng, hai năm kế mỗi năm 150 000 000, hai
năm cuối mỗi năm 100 000 000 đồng.
Giả sử phương thức tính lãi là lãi kép theo năm với lãi suất 6,8%. Tìm số tiền tích lũy của mỗi người sau 5 năm.
HD: Bạn A: dung chuỗi tiền tệ
Bạn B: tính tương tự f) So sánh và kết luận. 2 x
Bài 2: Hàm cầu của một loại hàng hóa cho bở p i 8000 8x 
, với x là số đvsp và p 3 40000
(đôla) là đơn giá. Hàm chi phí trung bình cho bởi (C )x  10 x  1600. x
a)Tìm hàm tổng lợi nhuận.
b)Tìm mức sản xuất để lợi nhuận đạt tối đa?Giả sử sản phẩm làm ra đều bán hết. 3 x HD: a)Hàm doanh thu 2 ( R x)  . x p 8  000x 8  x  . 3 Hàm chi phí 2 ( ) C x . (x  ) C 4 x 00  00 10 x 160  Hàm lợi nhuận (P ) x (R  ) x ( ) C x b)Bài toán cực trị
Bài 3: hàm chi phí biên và doanh thu biên (đơn vị tính đầu là nghìn đô la) của một doanh nghiệp cho bởi ( MC )x 3 0 2 x 1 và ( MR )x  x 1 .
Biết chi phí cô định là FC = 10. Tìm hàm lợi nhuận. 2 x HD: Hàm doanh thu ( R ) x  ( x 1 ) dx   x C 
. Ta có R(0) = 0, ruy ra C1 = 0. 1 2 2 x Vậy ( R )x   x 2 Hàm chi phí 3 ( ) C x 30  2 1 x  d 1 x 0  (2 x 1)   
. Ta có C(0) = 10, suy ra C2 = 0. 2 Vậy 3 (C )x 10  (2 x 1 ). Hàm lợi nhuận (P ) x (R  ) x ( ) C x
Bài 4: Hàm chi phí của một xí nghiệp sản xuất cho bởi: 2 (C )x 0, 1 x 0,  3 x 5 0Với x là số đơn vị sản phẩm. a)Tìm hàm chi phí biên M ( C )x . Tính M (
C 50)và giải thích ý nghĩa.
b)Tìm hàm chi phí trung bình C( ) x . Tính (
C100)và giải thích ý nghĩa.
c)Biết chi phí cố định là 10.000 đôla. Tìm hàm lợi nhuận. Doanh nghiệp phải sản xuất
bao nhiêu sản phẩm để đạt lợi nhuận tối đa? HD: a)Hàm chi phí biên ( MC )x ' (C )x 0,  2 x 0, . ( M 5 C0) 10  0, 3 1
 0,: Khi đã sản xuất 50 đvsp, nếu sx them 1 đvsp nữa thì tổng chi
phí tăng xấp xỉ 10,3 đvtt. ( C x ) 50 b)Hàm chi phí trung bình ( C ) x   0,1x 0,3 . x x (
C100) ?: khi sản xuất 100 đvsp thì chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm là….
c)Tương tự các bài trước
Bài 5: Hàm chi phí biên và doanh thu biên của một xí nghiệp cho bởi 2 0,05 ( MC )x 1, 05( x 180) và ( MR ) x  2,8. 0,05 x 4
Với x(nghìn sản phẩm) là sản lượng và doanh thu, chi phí tính theo đơn vị là nghìn đô la.
Biết chi phí cố định là 150 nghìn đôla, và giới hạn sản xuất ở mức tối đa 200 nghìn sản phẩm . a)Tìm hàm lợi nhuận.
b)Xác định mức sản xuất ể
đ xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. HD: a) làm tương tự
b)Bài toán cực trị trên miền đóng, xem lại các bài đã làm trước kia.
Bài 6: Một công ty sản xuất và bán hai loại sản phẩm A và B với giá bán tương ứng 180
và 210 (ngàn đồng). Khi sản xuất x sản phẩm A và y sản phẩm B cho bởi 2 2 (C , ) x 1 y 20  1 x 60  2 y  x x 0 y ,5  .
a)Tìm hàm tổng lợi nhuận.
b)Xác định mức sản xuất để công ty đạt lợi nhuận tối đa.
HD: a)Hàm tổng doanh thu:(R ,x )y 180  x 210  . Hàm tổng chi phí: 2 2 (C , ) x 1 y 20  1 x 60  2 y  x x 0 y ,5  .
Hàm tổng lợi nhuận: (P,x) y ( , R  ) x y ( , C ) x y
b)Cực trị hàm hai biến.
Bài 7: Một công ty có hàm sản xuất ngắn hạn cho bở z i 0,7 0,3 2
00 x y . Với x là số giờ
công lao động và y là số vốn đầu tư(nghìn đô la) trong khoảng thời gian xác định và z là
giá trị sản xuất(nghìn đôla).
a)Giả sử vốn hiện có là 20 nghìn đôla, và tổng giờ công lao động là 1600 giờ. Tìm giá trị sản xuất.
b)Tính z (1600,20),z (1600,2và nếu ý nghĩa. x y HD: a) 0,7 0,3 z200.  20 .1600  0,3 y 0,3 1600 b) 0,3  0,3 z  200.y .0,7.x  140 ;  0,3 z (1600,20) 140  140.80 521,. x 0,3 x x  20   
Khi đầu tư 1600 giờ công lao động và 20 nghìn đô la vốn, nếu bạn tiếp tục đầu tư thêm 1
giờ công lao động nữa, cố định vốn thì tổng giá trị sản xuất tăng xấp xỉ 521,26(nghìn đô la).
Tương tự cho z (1600, 20). y