1 1 1 0 1  
Câu 1: Cho hai ma trận A  
 và B  2 1 
. Khẳng định nào sau đây là đúng? 0 1 2   0 0  
a) AB và BA đều xác định.
b) AB xác định nhưng BA không xác định.
c) BA xác định nhưng AB không xác định.
d) AB và BA đều không xác định. HD : A .B =C m×n n×p m×p 1 2 3 1  1  1     
Câu 2 : Cho hai ma trận A  1 1 1   và B  1 1  1  
 . Khi đó ma trận tích BA 1 1 1      1 1  1   là  1  2 3  1  2 3  0 0 6 0 0 6          a) 1  0 1   b) 1  0 1   c) 1 0 1   d) 1 1 3    1 2 3           1  2  4   1  2  3   0 0 4    1 1
Câu 3 : Cho ma trận A  
 . Khi đó, ma trận B thỏa 3 B  A là 0 1   1 3  3 3  1 1 a) B   . b) B  A. c) B  . d) B  . 0 1       0 3  0 1  8 6    1 2 3 4   2 2     T
Câu 4: Cho A ; B      
. Ma trận X thỏa 2X  A  B l à : 5   1 6 7   1 0    3 5   T HD :    T 1 2   2     ( T X A B X A B X
B  A) 2  9 1  2 2   9 1   9 1   2  2       1  9 4 4 1 4  1 2   a) 2 2   .b)    .c) .d)  2  . 1  1   1  1 6  2   4 6    3 1     2 3    2 2  1  2       1    1    2   1 7  9 2  3    Câu 5 : Cho   C  0 4 ; D  4    . Ma trận X thỏa 5     3  5 1   3    2 T T C X
 X  D l à : HD :  2 T T     2 ( T   )T T     2 T T C X X D C X X D X D C
X   X  D  X  C  D    8  2   1  0 1  2     8  2 8    10 2 2 a) 2 1    . b)   . c)   . d) 2 5  .  2  3 7    1   2 5 5  7    2 5    8      3  1 1  0   m 3 m1    2 3 m 
Câu 6 : Cho A   , B  0 1 2  và C  . Khi đó, 1 0 1          1   4 0  2 3 0   
AB  C khi và chỉ khi: a) m . b) m  0. c) 3 m  . d) m  6  . 2  1 1
Câu 7:Cho ma trận A   . Ma trận n
A ,n  N là ma trận nào sau đây: 0 1   1 n  1 0   1 0 0 1  a)  . b)   . c)  . d)   . 0 1  n 1   0 1 1 0  HD: 0 1 2 3 2 1 , , . , . , ... k k A I A A A A A A A A A A       A .
Tính đến A3 có thể dự đoán cho An. 1 1 1  
Câu 8 : Cho ma trận A  1 1 1   . Khi đó ma trận 10
A là ma trận nào sau đây? 1 1 1   9 9 9  3 3 3  1 1 1 a) 10  9 9 9    A  3 3 3   . b) 10 A  1 1 1   . 9 9 9  3 3 3      1 1 1 10 10 10 3 3 3  10 10 10 c) 10  10 10 10    A  3 3 3   . d) 10 A  10 10 10   . 10 10 10 3 3 3      10 10 10    2  1   1  1 1    5 4 3 1 
Câu 9: Cho A  ;B  2  1   , C  
 . Khi đó X là ma 2 0 1      7  8  7   3 1 0   trận nào sau đây để T ABX  C : HD: T T 1  1  1  1  1 ( ) (        )T ABX C X AB C B A C X B A C 5 4   5 4       4 2 5 4 3 1  4  2 a)  
. c) Không tồn tại ma trận X. d)    . b) 3 1    4 2 1 0   3 1      1 0  1   0  1  0 0   2 2 0     
Câu 10 : Cho A  0 1 0 ; B  0 0 0   
 . Khi đó, A giao hoán với B khi 3 1 2  3  m 6 m 6 m     và chỉ khi:
HD : A, B giao hoán khi và chỉ khi AB = BA a) m R. b) m .
c) m 1 hoặc m  3 hoặc m  0 . d) m 1 ; m  3 và m  0 . 2 m 4
Câu 11: Cho định thức   m 0
0 , giá trị m để   0 l à 1 1 m a) m  2
 , m  0, m  2. b) m  2  ,m  0 . c) m  2  ,m  2.
d) m  2,m  0 . 2 m 4 m 4 HD: 2 1 2   m 0 0  a 21c21  m ( 1  )  m  (m  4) 1 m 1 1 m  5 10 5  1 2 3     
Câu 12 : Cho A  0 2 0 ;B  0 0 3     . Khi đó, det(A )
B là kết quả nào sau  0 0 3  4 1 2       
đây? HD : Det(AB) = detA.detB a) 8  10 . b) 810. c) 801. d) 108 . 2 1 m   
Câu 13: Cho ma trận A  3 7 0 
 , khẳng định nào sau đây đúng? 1 0 0   
HD: A khả nghịch khi và chỉ khi detA khác 0.
a) A khả nghịch khi và chỉ khi m  0. b) A luôn khả nghịch. c) A có hạng bằng 3.
d) A có hạng bằng 3 khi và chỉ khi m  0 . 1 0 m
Câu 14:Cho định thức   2 1
2m 2 , giá trị m để   0 là : 1 0 2
a) m  2 . b) m  0 . c) m  2. d) m  1. 1  1 3   
Câu 15:Cho ma trận C  1 2 m 
. Khi đó, det(C)  0 khi và chỉ khi: 1  1  m   1 1 3  1 1 3   1 1
HD: det C  det 1 2 m  1 2 m
(R3  R3  1 R )  (m 3)  m  3   1 2 1 1  m 0 0 m  3   a) m  3 b) m  3 c) m  2 d) m  2
Câu 16:Số nghiệm phân biệt của phương trình 1 x 1 1 2 1 x 1 1  0 0 1 1 1 0 2 0 2 là: a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 .
HD: tính det bằng cách biến đổi thay cột 2 bằng cột 2 trừ cột 4 1 x 1 1 1 x  1 1 1 1 x  1 1 2 2 1 x       1 1 x 1 1 1 x 1 1 1 2 2   44 a 44 c  2 1 x 1 1   2.1.  2(x  x) 2 0 1 1 1 0 0 1 1 1 x 1 0 0 1 0 2 0 2 0 0 0 2 1  2 3 4   0 0 0 4  1     m 1 0 0 0 3 0 Câu 17: Cho A   ;B     . Đặt  , khi đó det(C)  0  C AB 3 4 5 12   0 2 0 0      0 4 m 0   m 0 0 0  khi và chỉ khi:
a) 0  m  8. b) m  0 hoặc m  8.
c) m . d) m R . HD: Det C = detA.detB 1 2 3
4  0 0 0 4   4m 6 6 4  1     m 1 0 0 0 3 0 0 2 3m 4 AB        3 4 5 12  0 2 0 0  1  2m 10 12 12      
0 4 m 0  m 0 0 0   0 2m 12 0  4m 6 6 4 2 3m 4 0 2 3m 4 8 6 det(AB) 
 4m 8 6 0  4m.4
 16m(12m  96) 0 8  6  0 2m 12 2m 12 0 0 2m 12 0
Câu 18: Cho hai định thức 1 x 2 a 1 x 2 2x  2a 2 y 1 3b 2 y 1  2 y 6b 1   và   . 3 2 z 3 c 3 z 3 2 z  2c 1  t 1 2d 1  t 1 2t 4 d
Khẳng định nào sau đây đúng? a)   2   .   2 .   4 .   4   . 2 1 b) 2 1 c) 2 1 d) 2 1 HD:   ến đổ
2 có được từ 1 qua hai phép bi i:
1)Nhân cột 4 với -2, làm định thức nhân lên -2 lần
2)Thay cột 4 bằng cột 4 cộng 2 lần cột 2, không thay đổi định thức Câu 19: Cho ma trận 0 0 2    A  0 1  0 .   1  2 1    T Khi đó, giá trị của    A 1 det 2  là:   1 1 1 a) . b) 2  . c)  . d) . 16 16 9 HD: det( T )  det ; ( ) n A
A Det aA  a .det A; với n là cấp của ma trận A.  1 T    A    A 1 3 1 3 1 det 2 det 2  2 det A  2   det A 1 2x 1  1  1 x 1  1 
Câu 20: Số nghiệm phân biệt r của phương trình  0 là 3 1 1 1 0 2 0 2 a) r 1 . b)r  2 . c) r  3. d) r  4 . HD: 1 2x 1  1  1 2x 1  0 1 x 1  1  1 x 1  0
C 4 : C4  C3  a44c44 3 1 1 1 3 1 1 0 0 2 0 2 0 2 0 2 1 2 x 1  0 x 0 4 4 1 2 1 1   2( 1  ) 1 x 1  2 1 x 1   2x( 1  )  8x 3 1 3 1 1 3 1 1 m  1 1 3  
Câu 21 : Cho ma trận A = 2 m  2 0 
 , khi đó giá trị m để ma trận A khả  2  m 1 3   nghịch là
a) m  1,m  2  . b) m 1. c) m  2  . d) m  1  .
HD: A khả nghịch khi và chỉ khi detA khác 0.(Lấy dòng 1 trừ dòng 3 để tạo số 0).  1 2   0 2
Câu 22 :Cho hai ma trận A   và B 
. Ma trận X thỏa AX  B là: 3 5         1 0 2 10  2 1  0  a) X   . b) X  . 1 6      1 6     2  1  0  c) X   .
d) Không tồn tại ma trận X . 1 6     HD: 1  X  A B 1 1  1  1 3  
Câu 23:Cho hai ma trận A   và B 
. Ma trận X thỏa XA  B là: 3 2      0 1 7   
a) Không tồn tại ma trận X . T
2 1 1
 2 1 1 2 1  1  b) X    . c) X    . d) X    . 3 2 2 3 2  2     3 2  2    HD : 1 X BA  1 2  1  3
Câu 24:Cho hai ma trận A  ,B  
. Khi đó, ma trận X thỏa 2 A X  AB là 3 5  2 1      9  13 9 13   9 13 a) X   . b) X  . c) X  . 5 8         5 8   5 8  
d)Không có ma trận X . HD: 2 1 A X AB X A   
B (Nhân bên trái hai vế cho 1 2 (A ) ).  1 2 0 1     3 2 1 4
Câu 25: Hạng của ma trận A    là :  5 3 2 1    2  7   1 1  a) 3. b) 1. c) 4. d) 2.
HD: đưa A về dạng bậ thang B và RankA = số dòng khác không trong B.  1 2 1  0    1 6 0 2 
Câu 26: Hạng của ma trận A    là :  3  2 5 4     2 0 2   2  a) 3. b) 1. c) 2. d) 4.  1 0 3 2   2 1 7 1 
Câu 27: Ma trận A   
có hạng bằng 3 với giá trị:  3 1  10 m  4    4 2 10 m  a) m  4. b) m  2. c) m  3  . d) m  5. HD: 1 0 3 2  1 0 3 2 (2): (2) 2(1);    (3): (3)3(1); 2 1 7 1   (4): (4) 2(2) 0 1 1 3  A       3 1  10 m  4  0 1  1 m  2      4 2 10 m 0 0 4  m  2     1  0 3 2  1 0 3 2      (3):(3)(2) 0 1 1 3 (4):(4)2(3) 0 1 1 3        0 0 2 m 5  0 0 2 m 5      0 0 4 m  2  0 0 0 3m   12
RankA =3 khi và chỉ khi 3m - 12 = 0 hay m = 4. 1 1  1 2  3 1 4 5 
Câu 28: Ma trận A   
có hạng bằng 2 với giá trị: 3 5 5 m 1   3 9 6 m  a) m  3. b) m  4  . c) m  2. d) m  5.
Câu 29:Cho hệ phương trình tuyến tính
 x y 2z  1; 2
 x  2 y 5z  2  ; 3
 x 3y 6z  3   .
Hãy chọn phát biểu đúng:
a) Hệ trên có vô số nghiệm với họ nghiệm x  1 , y  , z  0,
b) Hệ trên có nghiệm duy nhất z 1, y  1  , z  8.
c) Hệ trên có vô số nghiệm với họ nghiệm x  1 , y  0, z  ;  
d)Hệ trên có vô số nghiệm với họ nghiệm x  9(  ), y  , z  ;  , 
Câu 30: Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 
x  y  z  0   y  2 2
 x 3y 2z   2. là:
a) x  2 , y  2, z  ; 
b) x  2 3, y  2 4, z  5; 
c) x  2 , y  , z  2; 
d) x  2 , y  2, z  ; 
Câu 31: Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
 x  y  z  2t  0;   y  2t  2;
2x 3y 2z t 2;   3 
x 6 y 3 z  6t  0  là: a) x  2
  , y  2, z  ,t  0;  . b) x  2
  , y  2, z  ,t  0; 
c) x  2 , y  2, z  ,t  0; 
d) x  2 , y  , z  2,t  0; 
Câu 32: Cho hệ phương trình tuyến tính 3
 x  4y  3z  2; 4 
 x  7 y  4z  6; 
2 x 3 y  2z  2;
2x6y2z 8. 
Hãy chọn phát biểu đúng:
a) Hệ trên có vô số nghiệm với họ nghiệm x  2 , y  2, z  ,; 
b) Hệ trên có vô số nghiệm với họ nghiệm x  2 , y  2, z  ; 
c) Hệ trên có vô số nghiệm với họ nghiệm x  2 , y  2, z  3; 
d)Hệ trên có vô số nghiệm với họ nghiệm x  2 , y  , z  2; 
Câu 33:Cho hệ phương trình tuyến tính
x  3y  7z  3t  7 
x  2y  4z  4t  3
y 4z 2t  3  . 
Hãy chọn phát biểu đúng:
a) Hệ trên có vô số nghiệm với họ nghiệm x  7  4, y  7  2, z 1 , t   ;  
b) Hệ trên có vô số nghiệm với họ nghiệm x  7  4, y  7 2, z 1 , t   ;  
c) Hệ trên có vô số nghiệm với họ nghiệm x  7 4, y  7 2, z 1 , t  ;  
d)Hệ trên có vô số nghiệm với họ nghiệm x  7  4, y  7 2, z 1  ,  t   ;  
Câu 34: Hệ phương trình tuyến tính m  
1 x  m   1 y  1;  x  my   0.
vô nghiệm khi và chỉ khi: a) m 1. b) m  1  . c) m  1  .
d) m 1 hay m  1  .  1 m 0 1 m 0 HD: (2): (  2) (  m 1  )(1) A      (bậc thang). 2  m 1 m 1 1 0 (  m 1) 1    
Hệ VN khi và chỉ khi m = 1.
Câu 35: Giá trị m để hệ phương trình  x 
2 y  2 z  2; 3  x  7y  z  5; 2
 x (m 4) y  mz  7 có vô số nghiệm là: a) Không có . m b) m  1. c) m  1.
d) m 1 hay m  3  . HD:  1 2 2 2  1 2 2 2   1 2 2 2  (2):(2) 3(1) (   (3):(3)2(1)   (3):(3)   m ( 2) A  3 7 1  5   0 1 5 1    0 1 5 1         2 m 4 m 7  0 m m 4 3   0 0 4(1 ) m 3 2m          
Hệ có VSN khi và chì khi 4(1-m) = 3 -2m =0 (không có m).
Lưu ý: Rank(A) = Rank(A mở rộng) < n thì hệ có VSN Câu 36: Hệ phương trình
x  2y  2z  2; 3
 x  7 y  z  5; 2
 x 3y mz   7
có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi a) m  9  . b) m  9. c) m  9
 . d) m  9 và m  9  .  1 2 2 2  1 2 2 2   1 2 2 2  (2):(2)3(1) (   (3):(3)2(1)   (3):(3)(2)   A  3 7 1 5   0 1 5 1  0 1 5 1        2 3 m 7  0 1 m 4 3   0 0 m 9 2          
Hệ có NDN khi và chỉ khi m  9  0  m  9  .
----------------------------------------./------------------------------------------- 1 2 3 1 3 0
Bài 37: Cho hai ma trận A 3 2 4; B 10 2 7 2 1 0 10 7 8 a) Tìm ma trận AB
b) Chứng minh ma trận A khả nghịch và Tìm các ma trận X ,Y và Z th a ỏ AX
và 2A  3Z  I . 3
HD: A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) khác 0. AX ; 1
2A  3Z  I  Z  I  2 3  3 A 3
c) Chứng minh rằng với ma trận C nếu T C C
thì C là ma trận đối xứng và n C T
Hướng dẫn: A là ma trận đối xứ ế
ng n u A  A và ( )T T T AB  B A
Ta có T  ( T )T T  ( T )T T C C C C C  C C  C i . Suy ra C đố x ng. ứ Mặt khác C 
d) Tìm ma trận D biết rằng 1  T D  AB . HD :    1 T D AB   1 e) Cho biết 1 A.A  I . Ch ng m ứ inh 1 det( A )  . Áp d ng t ụ ìm 1 det(A ) . n det( ) A HD:det( 1  1 det(A.A ) det(   I  A Det A  (suy ra đpcm) n ) det( ). ( ) 1
f) Chứng minh rằng nếu ma trận vuông C thỏa 2 C thì C
với I là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trận C . HD: 2 suy ra đpcm
Bài 38: Một nhà máy sản xuất 2 loại sản phẩm A và B. Để xuất khẩu được 1 sản phẩm loại
A nhà máy phải chi 4500 đồng vật tư; 2500 đồng tiền lương và 1500 đồng cho các chi phí
khác. Tương tự, để xuất khẩu được 1 sản phẩm loại B nhà máy phải chi 4000 đồng vật tư;
3000 đồng tiền lương và 1500 đồng cho các chi phí khác. Sử dụng phép nhân ma trận, nếu
muốn sản xuất được 1000 sản phẩm loại A và 2000 sản phẩm loại B thì nhà máy phải chuẩn
bị bao nhiêu tiền cho từng hạng mục trên? Giải: Đặt 4500 4000 4500 4000  1250000   1000    1000   A  2500 3000 , B     
. Ta có AB  2500 3000 .    850000       2000    2000 1500 1500     1500 1500 450000    
KL: Cần chuẩn bị 1250 000 đ vật tư, 8500 000đ tiền lương và 450 000đ chi phí khác.
Bài 39: Một cơ sở sản xuất 4 loại mặt hàng X, Y, Z, T và có 3 cửa hàng A, B và C bán các
loại mặt hàng trên. Lượng hàng bán được (đơn vị: trăm sản phẩm) ở các cửa hàng trong năm qua cho bởi ma trận A B C X Y Z T
Biết rằng giá của mỗi sản phẩm X, Y, Z, T (đơn vị: nghìn đồng) lần lượt là 200, 400, 500
và 300. Sử dụng phép nhân ma trận, tìm doanh thu của mỗi cửa hàng trong năm qua. 40 60 20    80 100 40 HD: Đặt A   
, B   200 400 500 30  0 , BA  ? 60 20 10     7 10 8 
Bài 40:Giả sử một nền kinh tế có ba ngành: X, Y và Z với ma trận kỹ thuật X Y Z A
a) Nêu ý nghĩa con số 0,1.
b) Để sản xuất 100 đơn vị sản phẩm ngành X, ta cần bao nhiêu đơn vị sản phẩm ngành X?
c) Giả sử rằng quốc gia này muốn có cầu cuối là 50 đơn vị ngành X, 100 đơn vị
ngành Y và 50 đơn vị ngành Z. Hãy xác định ma trận tổng cầu.
d) Giả sử ngành X tiết kiệm được 15% nguyên liệu lấy từ ngành Y, ngành Y tiết
kiệm được 10% nguyên liệu từ ngành Z, còn cầu cuối ố
đ i với 3 ngành không đổi.
Khi đó, tìm ma trận tổng cầu. HD:
a)a  0,1: Ngành Z muốn làm ra 1 đvSP thì nó phải mua của ngành X 0,1 đvSP làm 13 yếu tố đầu vào.
b)a  0,3: Ngành X muốn làm ra 100 đvSP thì nó phải mua của ngành X 30 đvSP 11 làm yếu tố đầu vào. a b  1   a b   c) A  ,I  A      c d c     1 d  1  X  (I  ) A B , với  50 
1 0 0  0,3 0,2 0,2   0,7 0  ,2 0  ,2         
B  100 ,I  A  0 1 0  0,2 0,3 0, 4  0  ,2 0,7 0  ,4          50 
0 0 1  0,2 0,2 0,3   0,2 0,2 0,7            d)Ta có '
a  a  0,15a  0,85.0,2  0,17; 21 21 21
. Có ma trận hệ số kỹ thuật mới và làm tương tự ' a
 a 0,1a 0,9.0,2 0,18; 32 32 32 câu c).