Phương pháp giải 35 dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số – Đỗ Minh Tuấn
Phương pháp giải 35 dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số – Đỗ Minh Tuấn được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 375 tài liệu
Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
Đỗ Minh Tuấn
35 DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 1: Cho hàm số y f (x, m) có tập xác định D. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên D Cách giải
Hàm số đồng biến trên D ' y 0, x D
Hàm số nghịch biến trên D ' y 0, x D Chú ý: a a Nếu ' 2
y ax bx c thì: ' 0
y 0, và ' 0
y 0, 0 0
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f (x, m) đơn điệu trên một khoảng (a;b) Cách giải
Hàm số đồng biến trên '
(a;b) y 0, x (a;b)
Hàm số nghịch biến trên '
(a;b) y 0, x (a;b) Sử dụng kiến thức:
m f (x),x ( ;
a b) m max f (x) và m f (x),x ( ;
a b) m min f (x) ( ; a b) ( ; a b)
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f x m 3 ax 2 ( , )
bx cx d đơn điệu trên một khoảng
có độ dài bằng k cho trước. Cách giải Ta có: ' 2
y 3ax 2bx c a 0
Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1 x ; 2 x ) PT: '
y 0 có hai nghiệm phân biệt 1 x và 2 x (1) 0
Biến đổi x x k 1 2 thành 2 2 ( 1 x 2 x ) 4 1 x 2 x k (2)
Sử dụng định lý Viet, đưa phương trình (2) thành phương trình theo m
Giải phương trình, kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f (x, m) có cực trị Cách giải Đối với hàm số: 3 2 y ax
bx cx d . Khi đó, ta có: ' 2
y 3ax 2bx c
Hàm số có cực trị Hàm số có CĐ và CT PT: ' 2
y 3ax 2bx c 0 có hai nghiệm phân biệt 2
ax bx c 2
amx 2anx (bn ) cm g(x)
Đối với hàm số: y . Khi đó, ta có: ' y mx n 2 2 (mx n) (mx n)
Hàm số có cực trị Hàm số có CĐ và CT n PT: 2
g( x) amx 2anx (bn cm) 0 có hai nghiệm phân biệt khác m Trang 1
Đỗ Minh Tuấn
Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số
Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f (x, m) đạt cực trị tại điểm 0 x Cách giải
Hàm số đạt cực trị tại điểm 0 x thì: ' y ( 0 x )
0 . GPT này ta tìm được giá trị của m
Thử lại các giá trị của m vừa tìm được xem có thỏa mãn hay không?
Nếu y B3 hoặc y B4 thì vận dụng kiến thức: ' y ( 0 x ) 0 0 x là điểm CĐ ' y ( 0 x ) 0 0 x là điểm CT B2 Nếu y
thì kiểm tra bằng cách lập bảng biến thiên B1
Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f ( ,
x m) có cực trị tại hai điểm 1 x , 2
x và các điểm cực
trị đó thỏa mãn một hệ thức (I) nào đó. Cách giải
Tìm điều kiện của m để hàm số có cực trị (1)
Vận dụng định lý Viet, ta có hệ thức liên hệ giữa 1 x và 2 x
Biến đổi hệ thức (I) đã cho và vận dụng định lý Viet để tìm được m
Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả
Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số y f (x) Cách giải Đối với hàm số 3 2
y ax bx cx d :
Thực hiện phép chia đa thức y cho '
y và viết hàm số dưới dạng: '
y u( x).y Mx N Gọi ( A 1 x ; 1 y ) và B( 2 x ; 2
y ) là hai điểm cực trị. Khi đó: 1 y M 1 x N và 2 y M 2 x N
Do đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng: y Mx N 2
ax bx c
Đối với hàm số y : mx n ' u(x) ' y (x ) 0 u (x )
Chứng minh bổ đề: Nếu hàm số y có 0 0 thì y(x ) v(x) 0 ' v( 0 x ) 0 v (x ) 0 Áp dụng bổ đề: 2ax b 2ax b Gọi ( A 1 x ; 1 y ) và B( 2 x ; 2
y ) là hai điểm cực trị. Khi đó: 1 1 y và 2 y2 m m 2a b
Do đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng: y x m m
Dạng 8: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y f ( ,
x m) có các điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục tung Cách giải
Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị 1 x và 2 x (1)
Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa 1 x và x (2) 2 Trang 2
Đỗ Minh Tuấn
Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số
A và B nằm về hai phía đối với trục Oy (sử dụng hệ thức (2)) 1 x 2 x 0
Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả
Dạng 9: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y f (x, m) có các điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành Cách giải
Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị 1 x và x2 (1)
Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa 1 x và x2 (2) Tính các giá trị 1
y và y (tính giống như ở D 2 ạng 7)
Các điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục Oy (sử dụng hệ thức (2)) 1 y y2 0
Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả
Dạng 10: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y f (x, m) có các điểm cực trị nằm về hai phía đối
với đường thẳng d : Ax By C 0 cho trước Cách giải
Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị 1 x và 2 x (1)
Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa 1 x và 2 x (2) Tính các giá trị 1 y và 2
y (tính giống như ở Dạng 7) Tọa độ các điểm cực trị: ( A 1 x ; 1 y ) , B( 2 x ; 2 y )
A và B nằm về hai phía đối với d ( 1 Ax 1 By
C)( Ax2 By2 C) 0 kết quả
Dạng 11: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y f (x, m) có các điểm CĐ và CT đối xứng với
nhau qua đường thẳng d : Ax By C 0 Cách giải
Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị 1 x và x2 (1)
Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa 1 x và x2 (2) Tính các giá trị 1
y và y2 (tính giống như ở Dạng 7) Tọa độ các điểm cực trị: ( A 1 x ; 1 y ) , B( 2 x ; y2 ) AB d
A và B đối xứng với nhau qua d giá trị m I d
trong đó I là trung điểm của AB
Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả
Dạng 12: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y f (x, m) có các điểm CĐ và CT cách đều đường
thẳng d : Ax By C 0 Cách giải
Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị 1 x và x2 (1)
Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa 1 x và x2 (2) Tính các giá trị 1
y và y2 (tính giống như ở Dạng 7) Tọa độ các điểm cực trị: ( A 1 x ; 1 y ) , B( 2 x ; y2 ) AB d
A và B cách đều đường thẳng giá trị m I d
trong đó I là trung điểm của AB
Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả Trang 3
Đỗ Minh Tuấn
Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số
Dạng 13: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y f (x, m) có các điểm cực trị A và B thỏa mãn
một hệ thức nào đó (VD: AB k, AB ngắn nhất, OA 2OB …) Cách giải
Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị 1 x và 2 x (1)
Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa 1 x và x (2) 2 Tính các giá trị , 1
y và y (tính giống như ở D 2
ạng 7) Tọa độ các điểm cực trị: ( A 1 x ; 1 y ) B( 2 x ; y2 )
Từ hệ thức liên hệ giữa các điểm A, B ta tìm được giá trị của m
Dạng 14: Tìm điểm M thuộc đường thẳng d : Ax By C 0 sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến hai
điểm cực trị của đồ thị hàm số y f (x) là nhỏ nhất Cách giải
Tìm các điểm cực trị ( A 1 x ; 1 y ) và B( 2 x ; 2
y ) của ĐTHS y f (x)
Viết phương trình đường thẳng AB
Kiểm tra xem A va B nằm về cùng một phía hay nằm về hai phía đối với đường thẳng d + Nếu: ( A 1 x B 1
y C)( Ax2 By2 C) 0 A và B nằm về hai phía đối với d
Khi đó: MA MB AB . Do đó: MA MB nhỏ nhất M là giao điểm của AB với đường thẳng d + Nếu: ( A 1 x B 1
y C)( Ax2 By2 C) 0 A và B nằm về cùng một phía đối với d
- Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d - Khi đó: ' '
MA MB MA MB A B . Do đó: MA MB nhỏ nhất M là giao điểm của A’B với đường thẳng d B d d A* *M A *M M 0 H *B A’ A, B nằm về hai phía
A, B nằm về cùng một phía
Dạng 15: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y f (x, m) có các điểm CĐ, CT và đường thẳng đi
qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng d : Ax By C 0 một góc bằng α Cách giải
Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị (1)
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
d k k d
Khi đó: d k .k 1 giá trị của m d k k
taïo vôùi d goùc α d tanα 1 k k d
Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả Trang 4
Đỗ Minh Tuấn
Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số
Dạng 16: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số 4 2
y ax bx c có các điểm CĐ, CT tạo thành một tam giác vuông cân. Cách giải
Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị (1)
Tìm tọa độ các điểm cực trị A, B, C của ĐTHS
Xác định xem ABC cân tại điểm nào, giả sử cân tại A
Khi đó: ABC vuông cân O .
A OB 0 giá trị của m
Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả
Chú ý: ĐTHS trùng phương có trục đối xứng là trục Oy và ĐTHS có các điểm CĐ, CT ĐTHS có ba điểm cực trị 2
ax bx c
Dạng 17: Tìm giá trị của m để tiệm cận xiên của ĐTHS y
chắn trên hai trục tọa độ một tam mx n
giác có diện tích bằng k. Cách giải y
Tìm đường tiệm cận xiên của ĐTHS
Tìm tọa độ giao điểm ( A x ;0) A và B(0; y )
B của TCX với các trục tọa độ B 1 1
Khi đó: OA xA và OB y S O . A OB x . B OAB A y B 2 2 A x O
Từ đó, suy ra kết quả của m ax b
Dạng 18: Tìm các điểm M trên đồ thị (C): y
sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến giao điểm của cx d
hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. Cách giải
Tìm các đường tiệm cận của ĐTHS Giao điểm A và B của hai đường tiệm cận q
Sử dụng phương pháp chia đa thức, viết lại hàm số đã cho dưới dạng: y p
(với p, q ) cx d q Gọi M ; m p (C)
. Tính khoảng cách từ điểm M đến các đường tiệm cận cm d
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm kết quả
Ax By C
Chú ý: - Khoảng cách từ điểm M ( 0 x ; 0
y ) đến đường thẳng : Ax By C 0 là: 0 0 d(M ;) 2 2 A B
- Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm A và B: A B 2 AB . Dấu “=” xảy ra A B 2
ax bx c
- Đối với hàm số dạng y
cách làm hoàn toàn tương tự mx n
Dạng 19: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) : y f (x) tại điểm M ( 0 x ; 0 y ) Cách giải Xác định 0 x và 0 y Trang 5
Đỗ Minh Tuấn
Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số Tính ' y . Từ đó suy ra: ' y ( 0 x )
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: ' y y ( 0 x )(x 0 x ) 0 y
Dạng 20: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) : y f (x) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng k Cách giải Xác định k Tính '
f (x) và giải phương trình '
f (x) k để tìm hoành độ tiếp điểm 0 x . Từ đó suy ra: 0 y f ( 0 x )
PT tiếp tuyến cần tìm: y k(x 0 x ) 0 y
Dạng 21: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) : y f (x) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm ( A x ; y ) A A Cách giải
Gọi là đường thẳng đi qua điểm ( A x ; y ) A
A và có hệ số góc k PT : y k(x x ) A yA (*)
f (x) k(x x ) y (1) A A
là tiếp tuyến của (C) HPT: có nghiệm '
k f (x) (2)
Thay k từ (2) vào (1) ta được: '
f (x) f (x)(x x ) y (3) A A
Giải phương trình (3) ta được x k (thay vào (2)) PT tiếp tuyến cần tìm (thay vào (*))
Dạng 22: Tìm các điểm M sao cho từ điểm M có thể kẻ được n tiếp tuyến tới đồ thị (C) : y f ( x) Cách giải Giả sử: M (
. Phương trình đường thẳng qua M và có hệ số góc k có dạng: 0 x ; 0 y )
y k (x 0 x ) y0
f (x) k(x 0 x ) y0 (1)
là tiếp tuyến của (C) HPT: có nghiệm '
k f (x) (2)
Thay k từ (2) vào (1) ta được: '
f (x) f (x)(x 0 x ) y0 (3)
Khi đó, từ M kẻ được n tiếp tuyến đến (C) PT (3) có n nghiệm phân biệt kết quả
Dạng 23: Tìm các điểm M sao cho từ điểm M có thể kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) : y f ( x) và hai tiếp
tuyến đó vuông góc với nhau. Cách giải Giả sử: M ( 0 x ; 0
y ) . Phương trình đường thẳng qua M và có hệ số góc k có dạng: y k(x 0 x ) y0
f (x) k(x 0 x ) y0 (1)
là tiếp tuyến của (C) HPT: có nghiệm '
k f (x) (2)
Thay k từ (2) vào (1) ta được: '
f (x) f (x)(x 0 x ) y0 (3)
Khi đó, qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) PT (3) có 2 nghiệm phân biệt 1 x và 2 x
Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau ' ' f ( 1 x ). f ( 2 x ) 1 kết quả
Chú ý: Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía đối với trục hoành
(3) coù 2 nghieäm phaân bieät
f (x ).f (x ) 0 1 2 Trang 6
Đỗ Minh Tuấn
Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số
Dạng 24: Tìm các giá trị của m để đồ thị ( 1 C ) : y f ( , x )
m cắt đồ thị ( 2 C ) : y
g(x) tại n điểm phân biệt Cách giải ( 1 C ) cắt ( 2
C ) tại n điểm phân biệt PT: f ( , x ) m
g(x) có n nghiệm phân biệt
Tìm m bằng một số cách: dựa vào điều kiện có nghiệm của PT bậc hai, dựa vào bảng biến thiên, dựa
vào đồ thị … kết quả
Dạng 25: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: F ( , x ) m 0 Cách giải
Biến đổi phương trình F ( , x )
m 0 về dạng: f (x) g(m) , trong đó đồ thị y f (x) đã vẽ đồ thị
Số nghiệm của PT đã cho chính là số giao điểm của đồ thị (C) : y f ( x) với đường thẳng
d : y g ( ) m
Dựa vào số giao điểm của d với (C) kết quả ax b
Dạng 26: Tìm giá trị của m để đường thẳng d : y px q cắt đồ thị (C) : y
tại hai điểm phân biệt cx d
M, N sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất. Cách giải ax b
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt PT:
px q có hai nghiệm phân biệt cx d d PT: 2
Ax Bx C 0 (1) có hai nghiệm phân biệt khác c điều kiện của m (*)
Khi đó, d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M ( 1 x ; 1 y ) và N ( 2 x ; 2
y ) . Theo định lý Viet ta có mối liên hệ giữa 1 x và x ( 2 1 x và 2
x là hai nghiệm của pt (1)) Tính: 2 2 2 MN ( 2 x 1 x ) ( 2 y 1 y )
kết quả của m để MN là nhỏ nhất Chú ý: - Khi tính 1 y và 2 y ta thay 1 x và 2
x vào phương trình của đường thẳng d
- OMN vuông OM .ON 0 1 x 2 x 1 y y2 0 2
ax bx c
- Đối với đồ thị của hàm số (C) : y
cách làm hoàn toàn tương tự mx n ax b
Dạng 27: Tìm giá trị của m để đường thẳng d : y px q cắt đồ thị (C) : y
tại hai điểm phân biệt cx d
thuộc cùng một nhánh của (C). Cách giải
Xác định tiệm cận đứng của (C)
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C) ax b PT:
px q có hai nghiệm phân biệt nằm về cùng một phía đối với TCĐ cx d d PT: 2
Ax Bx C 0 (1) có hai nghiệm phân biệt khác
và nằm về cùng một phía với TCĐ c
kết quả của m (vận dụng điều kiện để hai điểm nằm cùng một phía đối với đường thẳng) Trang 7
Đỗ Minh Tuấn
Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số
Dạng 28: Tìm giá trị của m để đường thẳng đồ thị 3 2
(C) : y ax bx cx d cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Cách giải Điều kiện cần:
Hoành độ các giao điểm 1 x , 2 x , 3
x là nghiệm của PT: 3 2
ax bx cx d 0 (1) b
Theo định lý Viet, ta có: 1 x 2 x 3 x (2) a b Do 1 x , 2 x , 3
x lập thành một cấp số cộng, nên: 1 x 3 x 2 2
x . Thay vào (2) ta được: x2 3a
Thay vào (1), ta được giá trị của m
Điều kiện đủ: Thử lại các giá trị của m vừa tìm được xem PT đã cho có 3 nghiệm hay không
Kết luận: Đưa ra giá trị của m
Dạng 29: Tìm giá trị của m để đường thẳng đồ thị 3 2
(C) : y ax bx cx d cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
có hoành độ lập thành một cấp số nhân. Cách giải Điều kiện cần:
Hoành độ các giao điểm 1 x , 2 x , 3
x là nghiệm của PT: 3 2
ax bx cx d 0 (1) d
Theo định lý Viet, ta có: 1 x 2 x 3 x (2) a d Do 1 x , 2 x , 3
x lập thành một cấp số nhân, nên: 2 1 x 3 x 2
x . Thay vào (2) ta được: 3 x2 a
Thay vào (1), ta được giá trị của m
Điều kiện đủ: Thử lại các giá trị của m vừa tìm được xem PT đã cho có 3 nghiệm hay không
Kết luận: Đưa ra giá trị của m
Dạng 30: Cho họ đường cong ( ) :
( , ) , với m là tham số. Tìm điểm cố định mà họ đường cong trên m C y f x m
đi qua với mọi giá trị của m. Cách giải Gọi ( A 0
x ; y0) là điểm cố định của họ ( ) m C . Khi đó ta có: 0 y f ( 0 x , m), m
Am B 0, m A 0 và 0 x o
y điểm cố định A B 0
Kết luận các điểm cố định mà họ ( ) m C luôn đi qua
Dạng 31: Cho họ đường cong ( ) : ( , ) m C y
f x m , với m là tham số. Tìm các điểm mà họ đường cong trên
không đi qua với mọi giá trị của m. Cách giải Gọi ( A 0
x ; y0) là điểm mà họ ( ) m C không đi qua m .
Khi đó phương trình ẩn m: 0 y f ( 0
x , m) vô nghiệm điều kiện của 0 x và 0 y Trang 8
Đỗ Minh Tuấn
Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số
Dạng 32: Cho đồ thị (C) : y f (x) . Vẽ đồ thị của hàm số y f x Cách giải
Vẽ đồ thị của hàm số (C) : y f ( x) f (x) nếu x 0
Ta có: y f x f (x) nếu x 0
Do đó, đồ thị của hàm số y f x là hợp của hai phần:
Phần 1: là phần của đồ thị (C) nằm ở bên phải trục Ox
Phần 2: là phần đối xứng với phần 1 qua trục Ox
Dạng 33: Cho đồ thị (C) : y f (x) . Vẽ đồ thị của hàm số y f (x) Cách giải
Vẽ đồ thị của hàm số (C) : y f ( x) f ( x)
nếu f (x) 0
Ta có: y f (x) f (x)
nếu f (x) 0
Do đó, đồ thị của hàm số y f (x) là hợp của hai phần:
Phần 1: là phần của đồ thị (C) bên trên trục Ox
Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị (C) ở bên dưới trục Ox qua trục Ox
Dạng 34: Cho đồ thị (C) : y f (x) . Vẽ đồ thị của hàm số y f (x) Cách giải
Vẽ đồ thị của hàm số (C) : y f ( x) f (x) 0
Ta có: y f (x) y f (x) y f (x)
Do đó, đồ thị của hàm số y f (x) là hợp của hai phần:
Phần 1: là phần của đồ thị (C) nằm bên trên trục Ox
Phần 2: là phần đối xứng với phần 1 qua trục Ox
Dạng 35: Cho đồ thị (C) : y f (x) . Vẽ đồ thị của hàm số y f (x) u(x) . ( v x) Cách giải
Vẽ đồ thị của hàm số (C) : y f ( x) ( u x). ( v x)
nếu u(x) 0 Ta có: y
u(x).v(x) nếu u(x) 0
Do đó, đồ thị của hàm số y f (x) u(x) . (
v x) là hợp của hai phần:
Phần 1: là phần của đồ (C) trên miền u(x) 0
Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị (C) trên miền u(x) 0 qua trục Ox Trang 9
Document Outline
- www.vnmath.com