Phương pháp giải một số dạng bài tập khảo sát hàm số trong kì thi tuyển sinh Đại học

Phương pháp giải một số dạng bài tập khảo sát hàm số trong kì thi tuyển sinh Đại học là một tài liệu hay, có chất lượng với hệ thống kiến thức đầy đủ, chắc chắn phần hàm số với cách trình bày cực kì chi tiết và dễ hiểu

32 16 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Môn: Toán 12

Thông tin:

49 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
2
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG KỲ THI TSĐH
Phần một: Các bài toán liên quan đến điểm cực đại cực tiểu
A) Cực đại c ực tiểu h à m s ố bậc 3:
3 2
axy bx cx d
* ) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu là: y’=0 có 2 nghiệm phân biệt
* ) Hoành độ điểm cực đại cực tiểu kí hiệu là
1 2
,
x x
khi đó
1 2
,
x x
l à 2 n g h i ệm của phương trì n h
y ’ = 0
* ) Để tính tung độ điểm cực đại cực tiểu ta nên dùng phương pháp tách đạo hàm để tính phương
trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
+ Cơ sở của phương pháp này là: nếu hàm số bậc 3 đạt cực đại c ực tiểu tại
1 2
,
x x
t hì
1 2
' ( ) ' ( ) 0f x f x
+ Phân tích
' ( ) . ( ) ( )y f x p x h x
. Từ đ ó ta suy ra tại
1 2
,
x x
t hì
1 1 2 2
( ); ( ) ( )y h x y h x y h x
l à đường thẳng đi q u a đi ểm c ực đại c ực tiểu
+ Kí hiệu k là hệ số góc của đường thẳng đi q u a điểm c ực đại cực tiểu
* ) Các câu hỏi t h ường gặp liên quan đến đi ểm c ực đại c ực tiểu hàm số bậc 3 là:
1) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu của hà m s ố song song vớ i
đường thẳng y=ax+b
+ Đi ều kiện l à : y ’ = 0 c ó 2 n g h i ê m p h â n b i ệt
+ Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
+ Giải đi ều kiện k = a
2) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường thẳng
y=ax+b
+ Đi ều kiện l à : y ’ = 0 c ó 2 n g h i ê m p h â n b i ệt
+ Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
+ Giải đi ều kiện k =
1
a
Ví dụ 1) Tìm m để
3 2
7 3f x x mx x
có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông
góc với đường thẳng y=3x-7.
Giải: h à m s ố có cực đại, cực tiểu
2
' ( ) 3 2 7 0f x x mx có 2 nghiệm p h â n b i ệt
2
21 0 21m m
. Thực hiện p h é p c h i a f ( x ) c h o f
’
(x) ta có:
2
1 1 2 7
. 21 3
3 9 9 9
m
f x x m f x m x
. Với
21m
t hì f
’
(x)=0 có 2 nghiệm x
1,
x
2
phân biệt và hàm số f(x) đạt cực trị t ại x
1
,x
2
.
3
Do
1
2
( ) 0
( ) 0
f x
f x
nên
2
1 1
2
2 2
2 7
(21 ) 3
9 9
2 7
(21 ) 3
9 9
m
f x m x
m
f x m x
.
Suy ra đường thẳng đi q u a C Đ, CT có phươn g t r ì n h
2
2 7
: 21 3
9 9
m
y m x
Ta có
2 2 2
21
21 21
3 7
2 3 45
21 .3 1
21
9
2 2
m
m m
y x
m
m m
3 10
2
m
3) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điể m c ự c đ ạ i c ự c t i ể u t ạ o v ớ i t r ụ c O x m ộ t g ó c
+ Đi ều kiện l à : y ’ = 0 c ó 2 n g h i ê m p h â n b i ệt
+ Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
+ Giải đi ều kiện
tank
Ví dụ 1) Cho hàm số 23
23
mxxxy (1) với m là tham số thực
Tìm m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.
Giải:
Hàm số có cực trị khi và chỉ k h i y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
' 9 3 0 3m m
3 2
1 2
3 2 ( 1 ) . ' ( 2) 2
3 3 3
m m
y x x mx x y x
Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trì n h
3
2)2
3
2
(
m
x
m
y
Đường thẳng này cắt 2 trục Ox và Oy lần lượt tai
3
6
;0,0;
)3(2
6 m
B
m
m
A
Tam giác OAB cân khi và chỉ k h i
OA OB
6 6
2( 3 ) 3
9 3
6 ; ;
2 2
m m
m
m m m
Với m = 6 thì
OBA
so với điều kiện ta nhận
2
3
m
Chú ý: Ta có thể giải bài toán theo cách: Đường thẳng qua CĐ, CT tạo với 2 trục tọa độ
tam giác cân nên hệ số góc của đường thẳng là
9
( )
2
2
tan45 1 2 1
3
3
( )
2
m L
m
k
m TM
4
4) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu tạo với đường thẳng y=ax+b
một góc
+ Đi ều kiện l à : y ’ = 0 c ó 2 n g h i ê m p h â n b i ệt
+ Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực ti ểu
+ Giải đi ều kiện
tan
1
k a
ka
Ví dụ ) Tìm m để
3 2 2
3 ( 1 ) (2 3 2) ( 1 )f x x m x m m x m m
có đường thẳng đi qua
CĐ, CT tạo với
1
5
4
y x
một góc 45
0
.
Giải: G ọi h ệ số góc của đường thẳng đi q u a C Đ, CT là k, khi đó từ đi ê u k i ện b à i t o á n s u y r a :
0
1
1 5 3
1
1
4
4 4 4 4
45 1 1
1
1 3 5
4 4
1 .
1
4
4 4 4 4
k k
k
k
k
tg k
k k
k
k
3
5
5
3
k
k
Hàm số có CĐ, CT
2 2
( ) 3 6( 1 ) (2 3 2) 0f x x m x m m
có 2 nghiệm p h â n b i ệt
2
3 5 3 5
3 ( 3 1 ) 0
2 2
m m m m
(*)
Thực hiện p h é p c h i a f ( x ) c h o ) f ’ ( x t a c ó
2
1 2
( ) ( 1 ) . ( ) 3 1 ( 1 )
3 3
f x x m f x m m x m
v ới m t h o ả mãn đi ều kiện ( * ) t h ì f ’ ( x ) = 0 c ó 2 n g h i ệm p h â n b i ệt x
1
, x
2
và hàm số đạt ccực trị t ại
x
1,
x
2
.
Do
1
2
( ) 0
( ) 0
f x
f x
nên
2
1 1
2
2 2
2
( 3 1 ) 1
3
2
3 1 1
3
f x m m x m
f x m m x m
Suy ra đường thẳng đi q u a C Đ, CT có phươn g t r ì n h
2
2
: 3 1 1
3
y m m x m
Ta có
tạ o với
1
5
4
y x
góc 45
0
2
2
3 1 1
3
m
m
kết hợp với đi ều kiện ( * ) t a c ó
3 15
2
m
5) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại A,B sao
cho tam giác OAB có diện tích cho trước
+ Đi ều kiện l à : y ’ = 0 c ó 2 n g h i ê m p h â n b i ệt
+ Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
+ Tìm các giao đi ểm v ới c á c t r ục toạ đ ộ : Với t r ục Ox:Giải y = 0 t ì m x . V ới t r ục Oy giải x = 0 t ì m y .
+
/
1
.
2
MAB M AB
S d AB
Từ đ ó tính toạ đ ộ A, B sau đ ó giải đi ều kiện t h e o g i ả thiết
5
Ví dụ 1) Tìm m để đường thẳng qua cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số
3
3 2y x mx
cắt
đường tròn tâm I(1;1) bán kính bằng 1 tại A,B mà diện tích tam giác IAB lớn nhât.
Giải: C ó :
2
' 3 3y x m
có 2 nghiệm phân biệt khi
0m
. Khi đó tọa độ hai điểm cực trị của đồ
thị h àm số là
;22 , ;22M m m x N m m x
- Phương trì n h đường thẳng MN là:
2 2 0mx y
- Đường thẳng MN cắt đường tròn tâm I tại A,B mà tam giác IAB có
ˆ
2. . .sin 1
IAB
S IAI B AIB
,
dấu bằng xảy ra khi
0
ˆ
90A I B
, lúc đó khoảng cách từ I đến MN bằng
1
2
Do vậy ta có pt:
2
2 1
1 1 3 3
, 1 ; 1
2 2
2 2
4 1
m
d I MN m m
m
Ví dụ 2 ) Cho hàm số
3
3 2y x mx
Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác IAB có diện
tích bằng 18 , trong đó
1 ; 1I
Lời giải: Ta có
2 2
' 3 3 3y x m x m
. Để hàm số có CĐ và CT
0m
Gọi A, B là 2 cực trị thì
;22 ; ;22A m m m B m m m
PT đường thẳng đi qua AB là:
4
2 2 2 2
2
m m
y m m x m y mx
m
Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB là
2
2 1
;
4 1
m
d I AB
m
độ dài đoạn
3
4 16AB m m
Mà diện tích tam giác IAB là
3
2
2 1
1
18 4 16 18
2
4 1
m
S m m
m
2 2
3 2
3 2 2
4 16 2 1 4 1 4.18 2 1 18
4 4 18 0 2 4 4 9 0 2
m m m m m m
m m m m m m m
6) Tìm điều kiện để điểm cực đại cực tiểu cách đều điểm M cho trước:
+ Đi ều kiện l à : y ’ = 0 c ó 2 n g h i ê m p h â n b i ệt
+ Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trì n h để tính
giá trị
1 2
;y y )
+ Giả sử đi ểm đi ểm c ực đại cực tiểu là A, B thì đi ều kiện l à M A = M B
7) Điều kiện để điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=ax+b
+ Đi ều kiện l à : y ’ = 0 c ó 2 n g h i ê m p h â n b i ệt
+ Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trì n h để tính
giá trị
1 2
;y y )
+ Giả sử đi ểm đi ểm c ực đại cực tiểu là A, B thì đi ều kiện l à : Đường thẳng đi q u a đi ểm c ực đại
cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = a x + b v à t r u n g đi ểm c ủa AB thuộc đường thẳng y=ax+b
6
Ví dụ 1) Tìm m để hàm số
3 2 2
( ) 3f x x x m x m có CĐ và CT đối xứng nhau qua
1 5
:
2 2
y x
.
Giải: Hàm số có CĐ, CT
3 2
6 0f x x x m
có 2 nghiệm p h â n b i ệt
2 2
9 3 0 3 3m m m
.
thực hiện p h é p c h i a f ( x ) c h o f ’ ( x ) t a c ó :
2
2
1 2
( ) 1 ( ) 3
3 3 3
m
f x x f x m x m
v ới
3m
t hì f’
(x)
=0 có 2 nghiệm p h â n b i ệt x
1
, x
2
và hàm số f
(x)
đạt cực trị t ại x
1
, x
2
.
Do
1
2
0
0
f x
f x
nên
2
2
1 1 1
2
2
2 2 2
2
3
3 3
2
3
3 3
m
y f x m x m
m
y f x m x m
. Suy ra đường thẳng đi q u a C Đ, CT
có phươn g t r ì n h
2
2
2
: 3
3 3
m
d y m x m
Các đi ểm c ực trị
1 1 2 2
; , ;A x y B x y
đ ố i x ứng nhau qua
1 5
:
2 2
y x d
và trung
đi ểm I c ủa AB phải t h u ộc (d)
2
2
2
2
3 2 ; 1
0
3
0
( 1 ) 0
2 1 5
3 .1 .1
3 3 2 2
I
m x
m
m
m m
m
m m
Ví dụ 2 ) Cho hàm số
3 2
3 2
m
y x x mx C
Tìm m để hàm số(C
m
) có cực đại và c ực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số
cách đều đường thẳng
: 1 0d x y
Giải:
Ta có
2 2
' 3 6 ; ' 0 3 6 0y x x m y x x m (1)
Hàm số (C
m
) có cực đại, cực tiểu khi và chỉ k h i p h ư ơ n g t r ì n h ( 1 ) c ó 2 n g h i ệm phân biệt
3m
Giả sử
1 1 2 2
; , ;A x y B x y
là hai điểm cực trị của hàm số (C
m
), (
1 2
,
x
x là 2 nghiệm của (1)).
Vì
1
'. 2 1 2
3 3 3 3
m m
y y x
và
1 2
' ' 0y x y x
nên phương trì n h đường thẳng đi
qua A,B là
2 1 2 '
3 3
m m
y x d
. Do đó các điểm A,B cách đều đường thẳng (d) trong 2
trường hợp sau:
TH1: (d’) cùng phương với (d)
9
2 1 1
3 2
m
m
(không thỏa mãn)
TH2: Trung điểm I của AB nằm trên (d). Do I là trung điểm của AB nên tọa độ I là:
7
1 2
1 2
1
2
2
x x
x
y y
y m
. Vì I nằm trên (d) nên ta có
1 1 0 0m m
(thỏa mãn).
Chú ý: Cần phân biệt rõ 2 khái niệm cách đều và đối xứng qua một đường thẳng.
8) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu và k h o ảng cách giữa điểm cực đại cực tiểu max,
min
+ Đi ều kiện l à : y ’ = 0 c ó 2 n g h i ê m p h â n b i ệt
+ Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trì n h để tính
giá trị
1 2
;y y )
+ Giả sử đi ểm đi ểm c ực đại c ực tiểu là A, B. Tính độ dài AB theo tham số. Dùng phươn g p h á p
đạo hàm để tìm max, min
Ví dụ 1) Tìm m để hàm số
3 2
1
( ) 1
3
f x x mx x m
có khoảng cách giữa các điểm CĐ,
CT là nhỏ nhất.
Giải: D o
2
2 1 0f x x mx
có
2
1 0m
nên f’
(x)
=0 có 2 nghiệm phân b i ệt x
1
, x
2
và
h à m s ố đạt cực trị t ại x
1
, x
2
với c á c đi ểm c ực trị l à .
1 1 2 2
; , ;A x y B x y
Thực hiện p h é p c h i a f ( x )
cho f’(x)
ta có:
2
1 2 2
( ) . ( ) 1 1
3 3 3
f x x m f x m x m
Do
1
2
( ) 0
( ) 0
f x
f x
nên
2
1 1 1
2
2 2 2
2 2
( ) 1 1
3 3
2
2
( ) 1 1
3 3
y f x m x m
y f x m x m
Ta có
2
2 2 2 2
2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
4
1
9
AB x x y y x x m x x
2
2
2
2 1 1 2
2
2 2
4
4 1 1
9
4 4 2 13
4 4 1 1 4 1
9 9 3
x x x x m
m m AB
Min AB=
2 13
3
xảy r a
m = 0
9) Tìm điều kiện để hoành độ điểm cực đại cực tiểu thoả mã n m ột hệ thức cho trước
+ Đi ều kiện l à : y ’ = 0 c ó 2 n g h i ê m p h â n b i ệt
+ Phân tích hệ rhức để áp dụng định l ý v i é t (
1 2
,
x
x là hai nghiệm c ủa phương trình y’=0
Ví dụ 1) Tìm m để hàm số
3 2
1
( ) 1
3
f x x mx mx
đạt cực trị tại x
1
, x
2
thoả mãn
1 2
8x x
8
Giải: Hàm số có CĐ, CT
2
( ) 2 0f x x mx m
có 2 nghiệm p h â n b i ệt
2
0 0 1m m m m
v ới đi ều kiện n à y t h ì f ’ ( x ) = 0 c ó 2 n g h i ệm p h â n b iệt x
1,
x
2
và hàm số đạt cực trị t ại x
1
, x
2
với
x
1
+x
2
=2m và x
1
x
2
=m.
Ta có BPT:
2
1 2 1 2
8 64x x x x
2
2 2
1 2 1 2
4 4 4 64 16 0
1 65 1 65
2 2
x x x x m m m m
m m
thoả mãn đi ều kiện
0 1m m
Ví dụ 2) Cho hàm số 13
23
mxxxy
Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và k h o ảng cách từ điểm
)
4
11
;
2
1
(I
đến đường thẳng nối
điểm cực đại và cực tiểu là lớn nhất
Giải: Ta có mxxy 63'
2
. Hàm số có cực đại cực tiểu khi y’=0 có 2 nghiệm phân biệt
30' m
(0,25 điểm)
- Chia đa thức y cho y’ ta có
1
3
)2
3
2
()
3
1
3
('
m
x
mx
yy
. Lập luận suy ra đường thẳng đi
qua cực đại cực tiểu là
1
3
)2
3
2
(
m
x
m
y
. Dễ dàng tìm được điểm cố định mà đường
thẳng cực đại cực tiểu luôn đi qua là
)2;
2
1
(A
(0,25 điểm)
- Hệ số góc của đường thẳng IA là
4
3
k
. Hạ IH vuông góc với
ta có
4
5
/
IAdIH
I
Đẳng thức xảy ra khi
IA
(0,25 điểm)
- Suy ra
3
41
2
3
2
k
m
1 m
(0,25 điểm)
Ví dụ 3 ) C h o h à m s ố
3 2 2 3
3 3 ( 1 ) 4 1y x mx m x m m (C)
Tìm m để hàm số có hai cực trị là A, B cùng với gốc O tạo thành tam giác vuông tại O
Giải:Điều kiện để hàm số có 2 cực trị là y’=0 có hai nghiệm phân biệt:
2 2
1
' 3 6 3 ( 1 ) ' 9 0
1
x m
y x mx m
x m
(0,25 điểm)
Ta có
1 1
' ( ) 2 3 1
3 3
y y x m x m
Gọi A, B là 2 điểm cực trị thì
( 1 ; 3 ) ; ( 1 ; 1 )A m m B m m
(0,25 điểm)
Suy ra
2
1
( 1 ; 3 ) ; ( 1 ; 1 ) 2 2 4 0
2
m
OA m m OB m m m m
m
(0, 25 điểm)
K ết luận: Có hai giá trị của m cần tì m l à m = - 1 h o ặc m=2
9
Ví dụ 4 ) T ì m c á c g i á t r ị của m để hàm số
3 2 2
1 1
. 3
3
y x m x m x
2
có cự c đ ạ i
1
x
, cực
tiểu
2
x
đồng thời
1 2
;
x
x là độ dài các cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông có độ dài cạnh
huyền bằng
5
2
.
Giải:
Cách 1: Miền xác định:
D R
có
2 2 2 2
' 3 ; ' 0 3 0y x mx m y x mx m
Hàm số có cực đại
1
x
, cực tiểu
2
x
thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ k h i P T
' 0y
có 2
n g h i ệm dương phân biệt, triệt tiêu và đổi dấu qua 2 nghiệm đó.
2
2
0 4 0 2 2
0 0 0 3 2
0
3 3
3 0
m m
S m m m
P
m m
m
(*)
Theo Viet ta có:
1 2
2
1 2
3
x
x m
x x m
. Mà
2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
5 14
2 4 5 2 4 3 5
2 2
x x x x x x m m m
Đối chiếu ĐK(*) ta có giá trị
14
2
m
t hỏa yêu cầu bài toán.
B) Cực đại c ực tiểu h à m s ố bậc b ốn:
4 2
axy bx c .
*) Đi ều kiện để hàm số bậc bốn c ó 3 c ực đại cực tiểu là y’=0 có 3 nghiệm p h â n b i ệt
+ Ta thấy h à m s ố bậc bốn t h ì y ’ = 0 l u ô n c ó m ột nghiệm x = 0 , để y’=0 có 3 nghiệm p h â n b i ệt sau
khi tính đạo hàm ta cần t ì m đi ều kiện để phần phương trì n h b ậc 2 còn lại c ó 2 n g h i ệm p h â n b i ệt
khác không.
VD:
4 2
2 2 2y x mx thì
3 2
' 4 4 ' 0 0y x mx y x x m đi ều kiện l à m < 0
*) Khi hàm số bậc bốn c ó 3 c ực trị l à A ( 0 ; c ) ,
1 1 2 1
( ; ); ( ; )B x y C x y thì đi ều đặc biệt là tam giác
A B C l u ô n c â n t ại A ( H ọc sinh cần n ắm c h ắc đi ều này để vận d ụng trong giải t o á n )
*) Các câu hỏi t h ườn g g ặp trong phần n à y l à :
1) Tìm đi ều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân, hoặc đều
+ Tìm đi ều kiện để y’=0 có 3 nghiệm p h â n b i ệt
+ Tính toạ đ ộ 3 đi ểm c ực đại cực tiểu A, B,C. Lập luận c h ỉ r a t a m g i á c A B C l u ô n c â n t ại A . T í n h
các véc tơ:
, ,
AB AC BC
+ Tam giác ABC vuông cân
. 0 AB AC
+ Tam giác ABC đều
AB BC
2) Tìm đi ều kiện để hàm số có 3 đi ểm c ực đại cực tiểu tạo thành tam giác có diện t í c h c h o t r ước
+ Tìm đi ều kiện để y’=0 có 3 nghiệm p h â n b i ệt
+ Tính toạ đ ộ 3 đi ểm c ực đại cực tiểu A, B,C. Lập luận c h ỉ r a t a m g i á c A B C l u ô n c â n t ại A .
Tính các véc tơ:
, ,AB AC BC
10
+ Kẻ đường cao AH.
+
1
.
2
A B C
S AH BC
+ Giải đi ều kiện
Ví dụ 1) Tìm m để f(x)=
4 2 4
2 2
x
mx m m
có CĐ, CT lập thành tam giác đều
Giải: f ’ ( x ) =
2 2
4 0 0
x
x m x x m
Hàm số có CĐ, CT
f’( x )=0 có 3 n ghiệm p h â n b i ệt
m > 0
Với m > 0 t h ì f ’ ( x ) = 0
4 2
1
4
2
4 2
3
; 2
0 0 ; 2
; 2
x
m B m m m m
x A m m
x m C m m m m
Suy ra BBT của hàm số y=f(x)
A B C đều
2 2
2 2
0
0
m
m
AB A C A B AC
AB BC
A B BC
4 4
3
3
4
0
0
3
3 0
4
m
m
m m m m m
m m
m m m
Ví dụ 2) Cho hàm số
4 2 2
2 2 4y x mx m
, m là tham số thực. Xác định m để hàm số có
3 cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1.
Giải: Mxđ:
D R
. Có
3
' 4 4y x mx
3 2
' 0 4 4 0 0y x mx x x m
. Hàm số có 3 cực trị
0m
(*)
Gọi
2 2 2
0 ; 2 4 , ; 4 , ; 4A m B m m C m m
là 3 điểm cực trị
Nhận x é t t h ấy B,C đối xứng qua Oy và A thuộc Oy nên tam giác ABC cân tại A
K ẻ
AH BC
có
2
1
. 2 2 2 2 . 1
2
A B C B A B
S AH BC y y x m m m
. Đối chiếu
v ới điều kiện (*) có
1m
là giá trị c ầ n t ì m .
Ví dụ 3) Cho hàm số
4 2 2
2 1 1.y x m x m
Tìm m để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị
và ba điểm cực trị này tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất.
Giải:
3 2 2 2
' 4 4 1 0 0, 1y x x m x x m
h à m s ố có 3 cực trị
1 1m
. Khi đó tọa độ điểm cực đại là
0 ; 1A m
, tọa độ hai điểm
cực tiểu là
2 2 2 2
1 ; 1 , 1 ; 1B m m C m m
diện tích tam giác ABC là
2
2
1
; . 1 1
2
ABC
S d A BC BC m
. Dấu “=” xày ra khi
0m
ĐS:
0m
11
Ví dụ 4) Cho hàm số
4 2
2 2y x mx
có đồ thị (C
m
). Tìm tấ t c ả c á c g i á t r ị c ủ a t h a m s ố m
để đồ thị (C
m
) có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua
5 5
3 9
;D
Giải: C ó
3
' 4 4 0 0 ; 0y x mx x x m m
. Vậy các điểm thuộc đường tròn (P)
n g o ại tiếp các điểm cực trị là
2 2
3 9
0 ; 2 , ; 2 , ; 2 , ;
5 5
A B m m C m m D
.
Gọi
;I x y
là tâm đường tròn (P)
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2 2
3 1 0
2 2 0 ; 1 ; 0( ), 1
2 2
x y
IA ID
IB IC x y x m x y m L m
IB IA
x m y m x y
Vậy
1m
là giá trị c ầ n t ì m.
Phần hai: Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến v à cá c đường tiệm cận
*) Xét hàm số
( )y f x
.Giả sử
0 0
( ; )M x y là tiếp đi ểm k h i đó tiếp tuyến t ại M c ó d ạng
0 0 0
' ( )( )y f x x x y (1) ( Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát ta thường biểu diễn
0
y theo
dạng
0
( )f x )
Ví dụ: Xét đi ểm M b ất kỳ t h u ộc đ ồ thị h à m s ố
2 1
1
x
y
x
khi đ ó đi ểm M c ó t o ạ đ ộ là
0
0
0
2 1
( ; )
1
x
M x
x
*) Ta gọi h ệ số góc của tiếp tuyến t ại t i ếp đi ểm M l à
0
' ( )k f x
*) Đường thẳng
bất kỳ c ó h ệ số góc k đi q u a
0 0
( ; )M x y có dạ n g
0 0
( )y k x x y . Đi ều kiện
để
là tiếp tuyến c ủa hàm số y=f(x) là hệ phương trì n h s a u c ó n g h i ệm
0 0
( ) ( )
' ( )
k x x y f x
k f x
Khi đó số nghiệm của hệ cũng chính là số tiếp tuyến kẻ được từ đi ểm M đến đồ thị h à m s ố
y = f ( x )
*) Mọi b à i t o á n v i ết phương trì n h t i ếp tuyến đều quy về việc tìm tiếp đi ểm s a u đó viết phương
trình theo (1)
*) Các dạng câu hỏi t h ường gặp trong phần n à y l à
1) Viết phương trình tiếp tuyến biết t i ếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b:
+ Xét hàm số y=f(x). Gọi
0 0
( ; )M x y là tiếp đi ểm, suy ra tiếp tuyến tại M c ó d ạng
0 0 0
' ( )( )y f x x x y (1). Tiếp tuyến tại M c ó h ệ số góc là
0
' ( )k f x
+ Tiếp tuy ến song song với đường thẳng y=ax+b nên
0
' ( )k f x a . Giải phương trì n h t ì m
0
x
sau đó viết phương trì n h t i ếp tuyến theo (1)
12
Chú ý: Điều kiện cần để tiếp tuyến tại A song song với tiếp tuyến tại B là
' ( ) ' ( )
A B
A B
f x f x
x x
Ví dụ 1) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) biết tiếp tuyến
cách đều hai điểm A(2;4), B(-4;-2)
Giải : G ọi
0
x
là hoành độ tiếp điểm
0
( 1 )x , PTTT là
0
2
0
0 0
2 1
1
1
1
x
y
x
x x x
Vì tiếp tuyến cách đều 2 điểm A,B nên tiếp tuyến đi qua trung điểm I của AB hoặc song song với
A B h o ặc trùng với AB.
Nếu tiếp tuyến đi qua trung điểm I(-1;1) của AB thì t a c ó :
0
0 0
2
0
0
2
1
1 1 1
1
1
x
x x
x
x
Suy ra phương trì n h t i ếp tuyến là
1
4
5
y
4
x
Nếu tiếp tuyến song song với AB hoặc trùng với AB thì t i ếp tuyến có hệ số góc là
0
2
0
0
0
2 ( 4) 1
1 1
2
4 ( 2)
1
x
k
x
x
Với
0
0x ta có PTTT là
1y x
; v ới
0
2x ta có PTTT là
5y x
Vậy có 3 PTTT thỏa mãn
1 5
; 1 ; 5
4
y x y x y x
4
Ví dụ 2) Cho hàm số
1
2
x
y
x
Tìm trên đồ thị (C) 2 điểm A và B s a o c h o 8AB , tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A và B
song song với nhau.
Giải : Giả sử điểm cần tì m l à
1 1
; , ;
2 2
a b
A a B b
a b
theo giả thiết ta có hệ:
2
2
' '
4
1 1
8
1
1 8
1 1
2 4
a b
f a f b
a b
a b
a b
a b
a b
ab a b
13
4
4
1
16 4 1 8 1
4
a b
a b
ab ab
ab
t ừ đó tì m được A,B
Ví dụ 3 ) Cho hàm số
2
(3 1 )
y
m x m m
x
m
(Cm)
Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm) với trục Ox song song với đường thẳng
(d):
1y x
Giải :
Ta có
2
2
4
'
( )
m
y
x
m
Giao điểm của (Cm) và trục Ox là
2
( ;0)
3 1
m m
A
m
. Tiếp tuyến tại A của (Cm) song song với
2
2
1
3 1
1 ' 1 1
1
3 1 2
5
m
m m m
y x y
m m
m
Khi m=1. Phương trì n h t i ếp tuyến là
1y x
(loại) vì t i ếp tuyến trùng với đường thẳng (d)
Khi
1
5
m
. Phương trì n h t i ếp tuyến là :
3
5
y x
(TMĐK)
KL :
1
5
m
Qua ví dụ này các em học sinh cần lưu ý : K i ểm tra điều kiện đủ khi tìm ra giá trị tham số,
Đây là sai lầm hay mắc phải của học sinh khi giải toán.
Ví dụ 4) Cho hàm số
3
3 2y x x
(C)
Tìm trên (C) các điểm A,B phân biệt sao cho các tiếp tuyến với (C) tại A,B có cùng hệ số
góc đồng thời đường thẳng đi qua A và B v u ô n g g ó c v ới đường thẳng d:
5 0x y
Giải :
Giả sử các tiếp tuyến với (C) tại A,B có cùng hệ số góc k. Để tồn tại hai tiếp tuyến tại A,B phân
biệt thì p h ương trì n h
2
' 3 3y x k
phải có hai nghiệm phân biệt
3k
Ta có tọa độ các điểm A,B thỏa mãn hệ:
2
3
2
2
3 3 2 2
3 2
3
3 3
3 3
x
y x x
y x x
x k
x k
2 2
2 2 2 2 2 2
3 3 3
3 3 3 3
k x k k
y x x y x
x k x k
phương trì n h đường thẳng AB:
2 2
3
k
y x
. Để
2 1 9
3
k
AB dk
(t hỏa mãn)
14
Vậy tọa độ các điểm A,B thỏa mãn:
3
3
2
3 2
3 2
2;4 , 2;0
2
3 3 9
y x x
y x x
A B
x
x
Ví dụ 5) Cho hàm số
3 2
1 1 1y x m x m x
(1)
Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt Ox ở 3 điểm phân biệt A(1;0), B, C sao cho các
tiếp tuyến tại B,C song song nhau.
Giải:
Xét phương trình
2 2
0 1 1 0( ) : 1 0y x x mx gt pt x mx
có 2 nghiệm phân
biệt khác 1
2
0
4 0
m
m
. Gọi ,
B C
x
x là nghiệm đó
B C
x
x và
B C
x
x m .
Yêu cầu bài toán
' '
B C
y x y x
2 2
3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 0
2 1
2
3
B B C C B C B C
B C
x m x m x m x m x x x x m
m
x x m m
Ví dụ 6) Cho hàm số
2 2 1
1
m
x m
y C
x
m
Cho A(1;2). Tìm các giá trị của m sao cho tồn tại đường thẳng qua A cắt đồ thị C
m
tại hai
điểm phân biệt M,N mà các tiếp tuyến tại M,N của đồ thị song song với nhau.
Giải:
Ta có:
2
3
'
1
y
x m
. Giả sử
1 1 2 2 1 2
; , ;
m
M x y N x y C x x
. Tiếp tuyến tại M và N song
song
1 2 1 2
2 2
1 2
3 3
1 1 2 2
1 1
x m x m x x m
x m x m
(1)
Ta thu được
1 1 2 2
1 1 1 1x x m x x m
và chú ý
1 2 1 2 1 2
1 ( 1) 1 1 2x m x m x x x x
. Cùng với (1)
0m
2) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b
+ Xét hàm số y=f(x). Gọi
0 0
( ; )M x y là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng
0 0 0
'( )( )y f x x x y (1). Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là
0
'( )k f x
+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b nên
0
1
'( )k f x
a
. Giải phương trình tìm
0
x
sau đó viết phương trình tiếp tuyến theo (1)
+ Chú ý : Điều kiện cần để tiếp tuyến tại A vuông góc với tiếp tuyến tại B là:
'( ). '( ) 1
A B
A B
f x f x
x x
Ví dụ 1) Cho C(m):
3 2
( ) 3 1y f x x x mx
a) Tìm m để C(m) cắt đường thẳng y=1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D, E.
b) Tìm m để các tiếp tuyến với C(m) tại D và E vuông góc với nhau.
15
Giải: a) Xét
1Cm y
với p h ươn g t r ì n h t ì m h o à n h độ giao đi ểm
3 2 2
2
0
3 1 1 3 0 (0;1)
( ) 3 0
x
x x mx x x x m C
g x x x m
Yêu cầu bài toán ,
D E
x x
là 2 nghiệm p h â n b i ệt khác 0 của g(x)=0
9
9 4 0
9
0
4
(0) 0 4
0
m
m
m
g m
m
(*)
b ) Đạo hàm:
2
( ) 3 6y x x x m
.
Với đi ều kiện
9
0
4
m
thì các tiếp tuyến t ại D v à E v u ô n g g ó c v ới n h a u .
2 2
1 ( ). ( ) 3 6 3 6
D E D D E E
y x y x x x m x x m
2 2 2
3 3 2 3 3 2 3 2 3 2
9 6 4 9 6 . 3 4 4 9
D D E D D E
D E D E
g x x m g x x m x m x m
x x m x x m m m m m
2
9 65
4 9 1 0
8
m m m
t ho ả mãn đi ều kiện ( * )
Cho hàm số
3 2
2 5
1 3 2
3 3
y x m x m x
có đồ thị (C
m
), m là tham số.
Ví dụ 2) Tìm m để trên (C
m
) có 2 điểm phân biệt
1 1 1 2 2 2
; , ;M x y M x y
thỏa mãn
1 2
. 0x x
và tiếp tuyến của (C
m
) tại mỗi điểm đó vuông góc với đường thẳng
: 3 1 0d x y
Giải: Ta có hệ số góc của
: 3 1 0d x y
là
1
3
d
k
. Do đó
1 2
,
x x
là nghiệm của phương trì n h
y ’ = - 3 H a y
2 2
2 2 1 3 2 3 2 2 1 3 1x m x m x m x m
(1)
Yêu cầu bài toán
phương trì n h ( 1 ) c ó h a i n g h i ệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
.
x x
>0
2
3
' 1 2 3 1 0
1
3 1
1
0
3
2
m
m m
m
m
Vậy kết quả bài toán là
3m
và
1
1
3
m
.
Ví dụ 3) Cho hàm số
3
2
2 3
3
x
y x
(C) và đường thẳng (d) có hệ số góc k đi qua A(0;3)
Tìm k để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt sao cho các tiếp tuyến tại 3
giao điểm đó cắt nhau tạo thà n h m ột tam giác vuông.
Giải:
Hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d) là
3
2 2
2 3 3 6 3 0
3 3
x
x
x kx x x k
2
0
( ) 6 3 0
x
g x x x k
. Điều kiện là phương
16
trình
2
( ) 6 3 0g x x x k
có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
' 0 9 3 0 3
(0) 3 0 (0) 3 0 0
k k
g k g k k
Tại x=0 tiếp tuyến song song với trục Ox do đó để 3 tiếp tuyến cắt nhau tạo thành một tam giác
v u ô n g t h ì điều kiện là
2
( ) 6 3 0g x x x k
có 2 nghiệm
1 2
;
x x
sao cho
1 2
' ( ) . ' ( ) 1f x f x
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4 4 1 4 ( ) 16 1 0x x x x x x x x x x x x
Theo định lý Viets ta có
1 2
1 2
6
. 3
x x
x x k
Thay vào ta có:
2 2
4 15
9 72 48 1 0 9 24 1 0
3
k k k k k k
K ết hợp điều kiện suy ra
4 15
3
k
3) Viết phương trình tiếp tuyến biết t i ếp tuyến đi qua ( ; )
M M
M x y
+ Gọi k l à h ệ số góc của đường thẳng
đi qua M . Phương trì n h c ủa
là ( )
M M
y k x x y
+ Đi ều kiện để
là tiếp tuyến của y=f(x) là hệ sau có nghiệm
( ) ( )
' ( )
M M
k x x y f x
k f x
. Giải h ệ
tìm x ta có hoành độ của các tiếp đi ểm s a u đó viết phương trì n h t i ếp tuyến
Ví dụ 1) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua
19
;4
12
A
đến
3 2
: ( ) 2 3 5C y f x x x
Giải: Đường thẳng đi q u a
19
;4
12
A
với h ệ số góc k có phươn g t r ì n h
19
4
12
y k x
t iếp xúc
v ới
: ( )C y f x
19
( ) 4
12
( )
f x k x
f x k
có nghiệm
3 2
19 19
( ) ( ) 4 2 3 5 6 1 4
12 12
f x f x x x x x x x
2
1 1
1
2 2
2
3 3
3
19 17
1 2 1 6 1 1 4 1 0
12 2
19
1 : 4 4
12
19
2 : 4 12 15
12
1 19 21 19
: 4 4
8 12 32 12
x x x x x x x x
x t y y x y
x t y y x y x
x t y y x y x
4)Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo v ới trục Ox một g ó c
17
+ Xét hàm số y=f(x). Gọi
0 0
( ; )M x y là tiếp đi ểm, suy ra tiếp tuyến tại M c ó d ạng
0 0 0
' ( )( )y f x x x y (1). Tiếp tuyến tại M c ó h ệ số góc là
0
' ( )k f x
+ Tiếp tuyến tạo với t r ục Ox một góc
0
0
0
' ( ) tan
' ( ) tan
' ( ) tan
f x
f x
f x
Giải t ì m
0
x
sau
đó viết phương trì n h t i ếp tuyến theo (1).
Ví dụ 1 ) Ch o ( C ) :
3 2
1
x
y
x
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với trục hoành góc
45
0
Giải: D o t i ếp tuyến của (C) tạo với O x g ó c 4 5
0
nên hệ số góc k của tiếp tuyến t h o ả mãn
0
45 1 1k tg k
. Vì
2
1
( ) 0 1
1
y x x
x
nên k=-1. hoành độ tiếp đi ểm l à n g h i ệm
của phương trì n h
1 1
2
2 2
0 2
1
( ) 1 1
2 4
1
x y
y x
x y
x
Phương trì n h t i ếp tuyến t ại x
1
=0 là y=-1(x-0)+2=-x+2
Phương trì n h t i ếp tuyến t ại x
2
=2 là y=-1(x-2)+4=-x+6.
Ví dụ 2 ) Cho hàm số
3
2( 1 )
x
y
x
có đồ thị là (H).Viết phương trình tiếp tuyến tại M trên
(H) sao cho tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại A, B và đường trung trực của AB đi qua gốc tọa độ
Giải: D o t a m g i á c O A B v u ô n g t ại O và trung trực của AB đi qua gốc tọa độ nên tam giác OAB
v u ô n g c â n t ại O suy ra tiếp tuyến tạo với Ox góc 45
0
Suy ra
0 0 0
2
0
4
' ( ) 1 0 à 2
4 1
f x x v x
x
Từ đó viết được 2 phương trì n h t i ếp tuyến là
3
2
y
x
và
5
2
y x
5) Viết phương trình tiếp tuyến biết t i ếp tuyến tạo v ới đường thẳng y=ax+b một góc
+ Xét hàm số y=f(x). Gọi
0 0
( ; )M x y là tiếp đi ểm, suy ra tiếp tuyến tại M c ó d ạng
0 0 0
' ( )( )y f x x x y (1). Tiếp tuyến tại M c ó h ệ số góc là
0
' ( )k f x
+ Tiếp tuyến t ạ o với đường thẳng y=ax+b một góc
tan
1
tan
1
tan
1
k a
k a
ka
k a
ka
ka
(Với
0
' ( )k f x ) Giải t ì m
0
x
sau đó viết phương trì n h t i ếp tuyến theo (1).
Ví dụ 1) Cho (C):
4 3
1
x
y
x
. Viết phương trình tiếp tuyến tạo với
:
y=3x góc 45
0
.
Giải: Giả sử tiếp tuyến c ó h ệ số góc k, khi đó do tiếp tuyến t ạ o với
:y=3x góc 45
0
nên
18
0
2
3 1 3
3
45 1
1
3 1 3
1 .3
2
k
k k
k
tg
k k
k
k
* Với k = - 2 , x é t đường thẳng y=-2x+m tiếp xúc (C)
4 3
2
1
x
x
m
x
hay 4x-3=(-2x+m)(x-1) có nghiệm k é p
2
2
2
2 2 3 0 2 8 3 0
12 28 0 6 2 2
x m x mm m
m m m
* Với k =
1
2
xét đường thẳng
1
2
y x m
tiếp xúc (C)
4 3 1
1 2
x
x
m
x
hay 2(4x-3)=(-x+2m)(x-1) có nghiệm k é p
2
2
2 7 2 6 0 2 7 4 2 6 0x x x m m m
2
4 36 73 0m m
vô nghiệm.
Vậy c h ỉ c ó 2 t i ếp tuyến
2 6 2 2y x
tạ o với y = 3 x g ó c 4 5
0
.
6) Viết phương trình tiếp tuyến biết t i ếp tuyến cắt h a i t r ục toạ độ t ại A, B sao cho tam giác
OAB vuông cân hoặc tam giác OAB có diện tích bằng một số cho trước.
+ Xét hàm số y=f(x). Gọi
0 0
( ; )M x y là tiếp đi ểm, suy ra tiếp tuyến tại M c ó d ạng
0 0 0
' ( )( )y f x x x y (1). Tiếp tuyến tại M c ó h ệ số góc là
0
' ( )k f x
+ Tiếp tuyến c ắt 2 trục Ox, Oy tại A , B t h ì t a m g i á c O A B l u ô n v u ô n g , để OAB là tam giác
v u ô n g c â n t h ì t i ếp tuyến p h ải tạo với O x m ột góc
0
45
và tiếp tuyến k h ô n g đi q u a g ốc toạ đ ộ
+ Viết phương trì n h t i ếp tuyến theo dạng (4). Sau đó chỉ c h ọn n h ững tiếp tuyến không đi q u a g ốc
toạ đ ộ
+ Nếu yêu cầu là tiếp tuyến c ắt Ox, Oy tạ o thành tam giác có diện t í c h c h o t r ước thì ta tìm các
giao đi ểm A , B s a u đó ta tính diện t í c h t a m g i á c v u ô n g O A B t h e o c ô n g t h ức
1
.
2
OAB
S O A O B
Ví dụ 1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
2
x
y
x
biết tiếp tuyến cắt
,Ox Oy
lần lượt tại A,B mà tam giác OAB thỏa mãn:
2AB OA
.
Giải:
Cách 1: G ọi
0 0 0
; ,M x y x
thuộc đồ thị hàm số. PTTTd tại M có dạng:
0
0
2
0
0
2
4
2
2
x
y x x
x
x
.
Do tiếp tuyến cắt trục
,Ox Oy
tại các điểm A,B và tam giác OAB có
2AB OA
nên tam giác
OAB vuông cân tại O. Lúc đó tiếp tuyến d vuông góc với 1 trong hai đường phân giác
y x
h o ặc
y x
+TH1: d vuông góc với đường phân giác
y x
có:
0 0
2
0
4
1 0 4
2
x x
x
19
Với
0
0 :
x
d y x (loại)
Với
0
4 : 8
x
d y x
+TH2: : d vuông góc với đường phân giác
y x
có:
2
0
4
1
2x
PT vô nghiệm
Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán
: 8d y x
Cách 2: Nhận xét tam giác AOB vuông tại O nên ta có:
1
sin sin
4
2
OA
ABO
AB
nên tam
giác AOB vuông cân tại O. PTTT của (C) tại
0 0
;M x y
có dạng:
0
0
2
0
0
2
4
2
2
x
y x x
x
x
. Dễ dàng tính được
2
0
;0
2
x
A
và
2
0
2
0
2
0 ;
2
x
B
x
Yêu cầu bài toán lúc này tương đương với việc tì m
0
x
l à n g h i ệm của phương trì n h :
2
0
2
3
0
0 0
2
0
2
4 0
2
2
x
x
x x
x
Với
0
0x ta có PTTT là:
0y x
Với
0
4x thì PTTT là:
4y x
Ví dụ 2) Cho hàm số
3 2
4 1
(2 1 ) ( 2)
3 3
y x m x m x
(Cm)
Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm) với trục tung cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại A,
B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
1
18
Ta có
1
(0; )
3
B
t iếp tuyến tại B của (Cm) là
1
(y m 2)
3
x
(d) . Đường thẳng (d) cắt trục Ox tại
1
(
3 6
;0)A
m
Diện tích tam giác OAB là
1
1 1 11 1
. . . 2 1
3
2 2 33 6 18
m
S OAOB m
m
m
7) Viết phương trình tiếp tuyến biết t i ếp tuyến b i ế t tiếp tuyến cắt 2 đường t i ệ m cận t ạo thành
một t a m g i á c c ó d i ện t í c h c h o t r ước hoặc tạo thà n h m ột góc cho trước.
+ Xét hàm số y=f(x). Gọi
0 0
( ; )M x y là tiếp đi ểm, suy ra tiếp tuyến tại M c ó d ạng
0 0 0
' ( )( ) ( )y f x x x f x .
+ Tìm các giao đi ểm c ủa tiếp tuyến v ới c á c đường tiệm c ận s a u đó căn c ứ vào đi ều kiện để giải
quyết
+ Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt 2 tiệm c ận n g a n g v à t i ệm c ận đứng tại A , B m à t a m g i á c I A B
v u ô n g c â n ( V ới I l à g i a o đi ểm 2 t i ệm c ận) thì ta quy về việc viết phương trì n h t i ếp tuyến biết
tiếp tuyến tạo với t i ệm c ận n g a n g m ột góc
0
45
) Chú ý rằng tiếp tuyến k h ô n g được đi q u a g i a o
đi ểm 2 đươn g t i ệm c ận v ì k h i đó sẽ không hình thành một tam giác)
20
+ Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt tiệm c ận đứng và tiệm c ận n g a n g t ại A , B t ạo thành tam giác IAB
có diện t í c h c h o t r ước thì ta tìm các giao đi ểm A , B s a u đó dùng công thức
1
.
2
OAB
S IA IB
+ Chú ý: Góc tạ o b ở i t i ế p t u y ế n v à đ ư ờ n g t i ệ m n g a n g h o ặ c t i ệ m c ậ n đ ứ n g c ũ n g c h í n h l à góc tạ o
b ởi tiếp tuyến và các trục Ox, Oy
Ví dụ 1 ) Cho hà số
2 3mx
y
x
m
. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm m để t i ế p t u y ế n
bất kỳ của hàm số cắt hai tiệm cận tại A,B sao cho diện tích tam giác IAB bằng
64.
Giải: Dễ thấy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là đường thẳng
x
m
và đường
tiệm cận ngang là
2y m
. Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là:
,2I m m
Gọi
0
0
0
2 3
;
mx
M x
x
m
(với
0
x
m
) là điểm bất kỳ thuộc đồ thị hàm số đã cho.
PTTT của đồ thị hàm số tại điểm này là
2
0
0
2
0
0
2 3
2 3
mx
m
y x x
x
m
x m
Tiếp tuyến này cắt tiệm cận đứng tại
2
0
0
2 2 6
;
m x m
A m
x m
và cắt tiệm cận ngang tại
0
2 ;2B x m m
. Ta có
2
2
0
0 0
0 0
2 2 6 4 6
2 ; 2 2
mx m m
IA m IB x m m x m
x m x m
Nên diện tích tam giác IAB là
2
1
. 4 6
2
S IAIB m
Bởi vậy yêu cầu bài toán tương đương:
2
58
4 6 64
2
m m
Ví dụ 2 ) Cho hàm số
.
1
x
y
x
Viết PTTT của đồ thị (H) của hàm số đã c h o b i ết tiếp tuyến
tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bằng
2 2 2
.
Giải:
Cách 1: Đường tiệm cận c ủa đồ thị là
1 , 1
x
y
. Gọi PTTT của (H) tại
0 0
;M x y
là:
0
0
2
0
0
1
1
1
x x
x
y
x
x
Khi
0 0
0 0
1 1
1 1 ;
1 1
x x
x y A
x x
. Khi
0 0
1 2 1 2 1 ; 1 ; 1 ; 1y x x B x I
21
2
2
0 0
0 0
0 0
2 4
0 0 0
0
2
2
0 0
1 1
1 2 2 2 2 1 2 2 2
1 1
2 2 1 1 4 2 2 2 1
1 0
2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 0
ABC
x x
P IA IB AB x x
x x
x x x
x L
x x
Cách 2: Phương trì n h t iệm cận đứng
1
x
, phương trì n h t i ệm cận ngang
1y
Gọi
;
1
a
M a
a
, PTTT tại
2
1
:
1
1
a
M y x a
a
a
Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận đứng là
1
1 ;
1
a
A
a
Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang là
2 1 ; 1B a
Chu vi tam giác IAB là
2
2
2 1
2 1 2 1 4 2 2
1
1
C IA IB AB a a
a
a
Dấu “=” xảy ra khi
1 1a
tức
0 ; 2a a
.
Với
0a y x
Với
2 4a y x
KL:
; 4y x y x
là 2 tiếp tuyến cần tì m .
Ví dụ 3) Cho hàm số
3 2
1
x
y C
x
. Gọi I là giao của 2 đường tiệm cận của đồ thị. Viết
PTTT d của đồ thị hàm số biết d cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B
thỏa mãn:
5
ˆ
cos
26
BA I
Giải: Xét điểm
0 0 0
; , 1M x y x C
là tiếp điểm của tiếp tuyến d.
PTTT tại d có dạng:
0
0
2
0
0
3 2
5
1
1
x
y x x
x
x
Do tiếp tuyến d cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt tại A và B và
I AB
có
5
ˆ
cos
26
BA I
nên
2
2
1 1 1
ˆ ˆ
ˆ
tan 1 tan tan 5
ˆ
25 5
cos
B A I B A I ABI
B A I
Lại có
ˆ
tan A BI
là hệ số góc của tiếp tuyến d mà
0
2
0
5
' 0
2
y x
x
nên
2
0 0 0
2
0
5
5 1 1 0 2
1
x x x
x
Với
0
0x có PTTT d:
5 2y x
22
Với
0
2x có PTTT d:
5 2y x
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán có pt như trên.
Ví dụ 4 ) Cho hàm số :
2x 1
y
x 1
có đồ thị là
C
.
Gọi
I
l à giao điểm của hai đường tiệm cận của
C
.Tìm trên đồ thị
C
điểm
M
có hoành
độ dương sao cho tiếp tuyến tại
M
với đồ thị
C
cắt hai đường tiệm cận tại
A
và
B
thoả
m ã n :
2 2
40IA I B
Giải:
TCĐ
1
d
:
1x
,TCN
2
: 2d y
1 ; 2I
.Gọi
0
0
0
2 1
;
1
x
M x
x
0
, 0C x
Phương trì n h t i ếp tuyến với
C
tại
0
0
2
0
0
2 1
3
: :
1
1
x
M y x x
x
x
0
1 2 0
0
2 4
1 ; , 2 1 ; 2
1
x
d A d B x
x
2
4 2
0
2
2 2
0 0
0
0
0
36
4 1 40
1 10 1 9 0
1
40
0
0
x
x x
x
IA IB
x
x
0
x 2
0
y 1
2 ; 1M
.
8) Viết phương trình tiếp tuyến biết t i ếp tuyến cắt t i ệ m cận đứng, t iệ m cận ngang tại A , B m à
chu vi tam giác IAB nhỏ n h ất
*) Để giải q u y ết dạng bài tập này học sinh cần n ắm được một kế t quả quan trọng sau: (Trong
h à m s ố phân thức bậc nhất trên bậc nhất tiếp tuyến bất kỳ c ắt 2 tiệm c ận t ại A , B t h ì d i ện t í c h t a m
giác IAB không đổi). Vận d ụng kết quả này ta có
2 2
2 . 2 . (2 2).
IAB
C IA IA AB IA IB IA IB IA IB IA IB IAIB
. Vì diện t í c h
tam giác IAB không đổi s u y r a I A . I B k h ô n g đổi. Từ đó ta có Chu vi tam giác IAB min khi
IA=IB. Giải đi ều kiện t ì m M s a u đó viết phương trì n h t iếp tuyến
Ví dụ 1 ) Cho hàm số
2
1
x
y
x
. Viế t P T T T c ủ a đ ồ t h ị b i ế t t i ế p t u y ế n c ắ t 2 t i ệ m c ậ n t ạ i A , B
sao cho bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất. với I là giao 2 tiệm cận.
Giải: Đ ồ t h ị h àm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng
1x
và tiệm cận ngang là đường
thẳng
1y
. Giao điểm hai đường tiệm cận
1 ; 1I
. Giả sử tiếp tuyến cần lập tiếp xúc với đồ thị
tại điểm có hoành độ
0
x
, PTTT có dang:
0
0
2
0
0
2
3
1
1
x
y x x
x
x
Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng
1x
tại điểm
0
0
5
1 ;
1
x
A
x
và cắt tiệm cận đứng tại điểm
23
0
2 1 ; 1B x
. Ta có:
0
0 0
0 0
5
6
1 ; 2 1 1 2 1
1 1
x
IA I B x x
x x
Nên
0
0
6
. .2 1 12
1
IAIB x
x
. Do vậy diện tích tam giác IAB là
1
. 6
2
S IAI B
Gọi p là nửa chu vi tam giác IAB, thì b á n k í n h đường tròn nội tiếp tam giác này là
6S
r
p p
Bởi vậy, r lớn nhất khi và chỉ k h i p n h ỏ n h ấ t , m ặ t k h á c t a m g i á c I A B v u ô n g t ạ i I n ên:
2 2
2 2 2 . 4 3 2 6p I A IB AB I A I B IA IB IA I B IA IB
Dấu “=” xảy ra khi
2
0
1 3 1 3IA IB x x
Với 1 3x t a có t iếp tuyến
1
: 2 1 3d y x
Với 1 3x t a có t iếp tuy ến
2
: 2 1 3d y x
Ví dụ 2 ) Cho Hypebol (C):
2 1
1
x
y
x
và điểm M bất kỳ thuộc (C). Gọi I là giao điểm của
tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B.
a) CMR: M là trung điểm của AB
b) CMR: dt
onstIAB c
c) Tìm M để chu vi
IAB
nhỏ nhất.
Giải:
TCĐ: x=1
TCN: y=2
Giao đi ểm 2 t iệm c ận l à I ( 1 ; 2 )
y =
2 1 1
2
1 1
x
x
x
,2
1
Gọi M
1
m
m
(c).
Tiếp tuyến t ại M l à ( t ) : y =
,
y (m) (x-m) + y(m)
2
1 1
( ): ( ) 2
( 1 ) 1
t y x m
m m
* (t)
(TCĐ: x =1) = A
2
1 , 2
1m
; ( t )
(TCN: y = 2) = B(2m – 1, 2)
Ta có :
2
A B
M
x x
m x
và A,M,B thẳng hàng nên M là trung đi ểm A B
* dt(
IAB)=
1
2
IA . IB =
1
2
A I B I
y y x x
1 2 1 2
2( 1 ) . 2( 1 ) 2
2 1 2 1
m m
m m
(đv d t )
Ta có IA . IB = 4 ;
Chu vi (
IAB) = IA + IB + AB=
2 2
2 . 2 . 2(2 2)IA IB I A IB I A I B IAIB
24
Dấu bằng xảy r a
IA = IB = 2
1 1m
1
2
0 (0, 1 )
2 (2,3)
m M
m M
9) Tìm điều k i ện để q u a điể m
;
M M
M x y
cho trước kẻ được n tiếp tuyến đến đồ t h ị y = f ( x )
+ Xét đường thẳng
có hệ số góc k đi q u a đi ểm M
( ):PT
( )
M M
y k x x y
+ Điều kiện để
là tiếp tuyến của y=f(x) là hệ sau có nghiệm
( ) ( )
' ( )
M M
k x x y f x
k f x
(*)
+ Để qua đi ểm M k ẻ được n tiếp tuyến đến đồ thị t h ì h ệ (*) phải c ó n n g h i ệm t h ế phương trì n h
(2) vào (1) dùng phươn g p h á p h à m s ố để tìm đi ều kiện
+ Chú ý: Trong việc xác định t o ạ đ ộ M học s i n h c ần l i n h h o ạt VD: Đi ểm M t h u ộc đường thẳng
y = 2 x + 1 t h ì M
( ;21 )a a
, Đi ểm M t h u ộc đường thẳng y=2
( ;2) M a
……
Ví dụ 1 ) C h o đ ồ t h ị h àm số (C):
4 2
1y f x x x
. Tìm các điểm A
Oy kẻ được 3 tiếp
tuyến đến đồ thị (C).
Giải: L ấy b ất kỳ A ( 0 ; a )
(C). Đường thẳng đi q u a A ( 0 ; a ) v ới h ệ số góc k có phương trì n h
y = k x + a t i ếp xúc với đồ thị ( C )
( )
( )
f x kx a
f x k
có nghiệm ( * )
Đi ều kiện c ần: Để ý rằng
( ) ( ) ( )f x f x x R f x
là hàm chẵn
đồ thị ( C )
nhận O y l à m t r ục đ ố i x ứng. Do A(0;a)
trục đối xứng Oy nên nếu từ A(0;a) kẻ được bao nhiêu
tiếp tuyến đến n h á n h b ê n t r á i c ủa (C) thì cũng kẻ được bấy n h i ê u t i ếp tuyến d ến n h á n h b ê n p h ải
của (C). Suy ra tổng số các tiếp tuyến c ó h ệ số góc k
0 luôn là 1 số chẵn. Vậy d ể từ A(0;a) kẻ
được 3 tiếp tuyến d ến ( C ) t h ì đi ều kiện c ần l à h ệ phương trì n h ( * ) c ó n g h i ệm k = 0 .
Thế k=0 vào hệ (*)
4 2
2
3
0 ; 1
1 1
1 3
;
4 2 0
2 4
x a
x x kx
x a
x x
Đi ều kiện đủ:
Nếu a=1 thì (*)
4 2 3
4 2
3
3
2 2
2
2
4 2
1 1
4 2
4 2
0 ; 0
0 ; 0
3 1 0
1 2
;
1 2
;
3 3 3
2 1
3 3
1 2
;
3 3 3
x x x x x
x x kx
x x k
x x k
x k
x k
x x
x k
x
x k
k x x
x k
Vậy t ừ A(0;1) kẻ được 3 tiếp tuyến đến ( C )
25
Nếu
3
4
a
thì (*)
4 2 4 2 3
3 3
4 2 4
2
2 2
3 3
1 1 4 2
4 4
4 2 4 2
1 1
1
3 0
4 2
2
2 1 2 1
0
x x kx x x x x x
x x k k x x
x x x
x
k x x k x x
k
Vậy t ừ
3
0 ;
4
A
chỉ k ẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến ( C ) .
K ết luận: Từ các đi ều kiện c ần v à đủ
Đáp số: A ( 0 ; 1 )
Ví dụ 2) Tìm trên đường thẳng y=2x+1 các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến
(C):
3
1
x
y
x
.
Giải: L ấy b ất kỳ A ( a ; 2 a + 1 )
y = 2 x + 1 . Đường thẳng đi q u a A ( a ; 2 a + 1 ) v ới h ệ số góc k có phương
trình y=k(x-a)+2a+1 tiếp xúc với
3 3
: 2 1
1 1
x x
C y k x a a
x
x
h a y
2 1 1 3kx ak a x x
có nghiệm k é p
2
1 2 2 4 0kx a k a x ak a
có nghiệm k é p
0k
v à
2
1 2 4 2 4 0a k a k ak a
0k
v à
2
2 2 2
( ) 1 . 4 4 . 4 0g k a k a a k a
Qua A(a;2a+1) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)
( ) 0 g k
có đúng 1 nghiệm k é p k
0
2 2
2 2
0
32 2 0 ; (0) 4 0
1
32 2 0 ; (0) 4 0
2
1
1
1 0 16 4 0
4
a
a a g a
a
a a g a
a
a
a k k
v ậy c ó 4 đi ểm
1 2 3 4
1 ; 1 , 0 ; 1 , 1 ; 3 , 2 ; 5A A A A
n ằm t r ê n d ường thẳng y=2x+1 và kẻ được
đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) .
Ví dụ 3) Cho hàm số
3 2
2 ( 1 ) 2y x x m x m (Cm)
Tìm m để từ điểm M(1;2) kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (Cm)
Giải:
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ta có phương trì n h t i ếp tuyến là(d) :
( 1 ) 2y k x
. Vì (d) là
tiếp tuyến nên hệ phương trì n h s a u c ó n g h i ệm
3 2
2
( 1 ) 2 2 ( 1 ) 2
3 4 ( 1 )
y k x x x m x m
k x x m
3 2
2 5 4 3 ( 1 ) 0x x x m
Để qua M kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (Cm) thì p h ương trì n h
3 2
( ) 2 5 4 3 ( 1 ) 0f x x x x m (*) có đúng hai nghiệm phân biệt. Ta có
26
2
1
' ( ) 6 10 4 ' ( ) 0
2
3
x
f x x x f x
x
. Từ đó tính được hai điểm cực trị của hàm số là
2 109
1 ; 4 3 , ; 3
3 27
A m B m
. Ta thấy phương trì n h ( * ) c ó đúng hai nghiệm phân biệt khi một
trong hai điểm cực trị nằm trên trục hoành. Từ đó tìm được
4
3
m
hoặc
109
81
m
Ví dụ 4 ) Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) .
3
3 2y x x
Giải: Lấy bất kỳ A(a;0)
Ox. Đường thẳng đi qua A(a;0) với hệ số góc k có phương trì n h
y = a ( x - a ) t i ếp xúc với (C):y=f(x)
Hệ phương trì n h
( )
( )
f x k x a
f x k
có nghiệm
3 2
2
( ) ( )
( ) ( ) 0 2 3 a x 3 2 0
1 2 3 2 3 2 0 1 ( ) 0
f x f x x a
f x f x x a x a
x x a x a x g x
Từ điểm A(a;0) kẻ được 3 tiếp tuyến đến ( C )
g(x)=0 có 2 nghiệm p h â n b i ệt và khác (-1)
2
3 2 3 6 0
2
1
( 1 ) 6 1 0
3
a
a a
a
g a
Phần ba: Các bài toán về sự tư ơ ng giao của 2 đ ồ thị
1) Các bài tập liên quan đến phép biến đổi đồ thị
+ Từ đ ồ thị y = f ( x ) s u y r a đồ thị y = | f ( x ) | b ằng cách: Giữ nguyên phần đồ thị c ủa y=f(x) nằm t r ê n
trục O x ; L ấy đối x ứng của phần đồ thị y = f ( x ) n ằm d ưới t r ục Ox qua trục Ox.
+ Từ đ ồ thị y = f ( x ) s u y r a đồ thị y = f ( | x | ) b ằng cách: Giữ nguyên phần đồ thị y = f ( x ) n ằm b ê n p h ải
trục O y , L ấy đối x ứng của phần đồ thị b ê n p h ải O y q u a t r ục O y ( C h ú ý y = f ( | x | ) l à h à m c h ẵn n ê n
nhận t r ục Oy làm trục đ ố i x ứng)
+ Từ đ ồ thị y = f ( x ) s u y r a đồ thị y = | h ( x ) | . g ( x ) v ới h ( x ) . g ( x ) = f ( x ) b ằng cách.
+ Ta thấy
( ) ( ) 0
| ( )|. ( )
( ) ( ) 0
f x khih x
y h x g x
f x khi x
Từ đ ó ta suy ra cách vẽ đồ thị h à m s ố
| ( )|. ( )y h x g x
như sau:Lấy p h ần đồ thị y = f ( x ) k h i
( ) 0h x
. Lấy đối x ứng qua trục O x p h ần đồ
thị y = f ( x ) k h i
( ) 0h x
2) Tìm điều k i ện để h à m s ố y=f(x) tiếp xúc vớ i y=g(x)
+ Đi ều kiện để hàm số y=f(x) tiếp xúc với đồ thị y = g ( x ) l à h ệ phương trì n h s a u c ó n g h i ệm
( ) ( )
' ( ) ' ( )
f x g x
f x g x
+ Đi ều kiện để hàm số y=f(x) tiếp xúc với t r ục Ox là hệ sau có nghiệm
( ) 0
' ( ) 0
f x
f x
27
3) Điều kiện t ương giao của hàm số bậc 3: y=ax
3
+bx
2
+cx+d
* Khi giải các bài tập về tương giao đường thẳng y=mx+n và đồ thị hà m s ố y=ax
3
+bx
2
+cx+d
ta thường sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm tách phương trình tạo dạng tích:
0
( ). ( ) 0x x G x trong đó G(x) là tam thức bậc 2 theo x. Từ đó ta biện luận theo pt G(x)=0.
Tuy nhiên trong mộ t s ố b ài toán ta không thể n h ẩ m đ ư ợ c n g h i ệ m . K h i đ ó t a c ầ n s ử d ụ n g c á c
điều kiệ tương giao sau để giải toán.
+ Hàm số : y=ax
3
+bx
2
+cx+d cắt trục Ox tại đúng một điể m khi và chỉ khi hàm số luôn đồng
biến hoặc luôn nghịch biến h o ặc hàm số có cực đại và cực tiểu c ù n g d ấu
Tức là
' ( )
' ( ) 0
0
' ( ) 0
f x
f x x
f x x
hoặc
' ( )
1 2
1 2
0
' ( ) 0
. 0
( ). ( ) 0
f x
CD C T
f x x x x x
f f
f x f x
+ Hàm số : y=ax
3
+bx
2
+cx+d cắt trục Ox tại 2 điể m phân biệt khi và chỉ k h i f ’ ( x ) c ó 2 n g h i ệ m
phân biệt
1 2
;
x
x và
1 2
( ) ( ) 0f x f x
+ Hàm số : y=ax
3
+bx
2
+cx+d cắt trục Ox tại 3 điể m phân biệt khi hàm số có cực đại, cực t i ểu
và giá trị cực đại, cực tiểu trái dấu nhau
' ( ) 0 f x
có 2 nghiệm p h â n b i ệt
1 2
;
x
xv à
1 2
( ). ( ) 0f x f x
+ Trong trường hợp các nghiệm của phương trình kèm theo điều kiện khác thì ta cần phác
họa dạng đồ thị để kết luận cho chính xác.
Ví dụ 1 ) Cho hàm số
3 2 2 2
3 3 ( 1 ) ( 1 )y x mx m x m (Cm)
Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ dương
Giải:
Ta có
2 2
' 3 6 3 ( 1 )y x mx m
Để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương thì điều kiện là hàm số có 2 điểm cực trị
n ằm về hai phía trục Ox , f(0)<0 và x
CĐ
>0
Ta có:(1)
2 2
' 0 9 9 9 0 9 0m m
đúng với mọi m.
Khi đó
2
1
1
' 0
1
x m
y
x m
Ta có:
2
2
2
2
1
2 2 2
1 2
1 2 1
1 1
' . 2 1 1
3 3
1 3
. 1 3 2 1
y m m m
y f x x m x m m
y m m
y y m m m m
2 2
1 D
2 2
0 1 0 1 0
0 1
3 2 1 0(*)
C
f m m
x x m
m m m
Lập bảng xét dấu (*) kết hợp điều kiện
1m
Suy ra tập hợp giá trị m thỏa mãn là 3 1 2m
28
Ví dụ 2) Chứ n g m i n h r ằ n g p h ư ơ ng trình
3 2 2 3
3 ( 1 ) 3 ( 1 ) 1 0x m x m x m
luôn có
nghiệm duy nhất.
Giải ;
Xem phương trì n h
3 2 2 3
3 ( 1 ) 3 ( 1 ) 1 0x m x m x m
là phương trì n h h o à n h độ giao điểm
của
3 2 2 3
3 ( 1 ) 3 ( 1 ) 1y x m x m x m
và trục hoành.
Ta có
3 2
1 1
'. 2
3 3
m
y y x mx m m
suy ra đường thẳng qua hai c ực trị là
3 2
2y m x m m
Để phương trì n h c ó n g h i ệm duy nhất thì đồ thị hàm số
3 2 2 3
3 ( 1 ) 3 ( 1 ) 1y x m x m x m
cắt trục Ox tại một điểm duy nhất.Tức là
3 2 3 2
18 8 0
' 0
18 8 0
' 0 (**)
. 0 2 2 0
CD CT CD CT
m
m
y y mx m m x m m
Theo định lý viet:
2
2( 1 )
. 1
CD CT
CD CT
x x m
x x m
Thay vào (**) ta có
2 2 2 3
2
2
9
9
2
2
9
9
4 ( 1 ) ( 1 ) (4 1 ) 0
m
m
m
m
m
m m m m m
Vậy với mọi m phương trì n h l u ô n c ó n g h i ê m d u y n h ất.
Ví dụ 3) Giả s ử đ ồ t h ị h àm số
3 2
6 9y x x x d
cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
1 2 3
x
x x . Chứng minh
1 2 3
0 1 3 4x x x
Giải: Phươ ng tr ì n h h o à n h độ giao điểm của hàm số với trục Ox là :
3 2
6 9 0x x x d
(*)
Điều kiện (*) có 3 nghiệm phân biệt là đường thẳng y=d cắt đồ thị hàm số
3 2
6 9y x x x
Tại 3 điểm phân biệt, vẽ đồ thị ta suy ra điều kiện
4 0d
Đặt
3 2
( ) 6 9f x x x x d
với
4 0d
Ta có
(0) 0 ; ( 1 ) 4 0 ; (3) 0 ; (4) 4 0f d f d f d f d
. Hàm số f(x) liên tục trên R
suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 4) Cho hàm số
4
2
5
3
2 2
x
y x
có đồ thi (C) và điểm
A C
với
A
x
a . Tìm các
giá trị thực của a biết tiếp tuyến của (C) tại A cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt B,C
khá c A s ao ch o
3AC AB
(B nằm giữa A và C)
Giải:
Cách 1: Xét
4
2
5
; 3
2 2
a
A a a
thuộc đồ thị (C)
29
PTTT tại A:
4 4
2 3 2 2
5 3 5
3 2 6 2 3 3
2 2 4 2
a a
y a a a x a y a a x a
Phương trì n h h o à n h độ giao điểm của (C) và tiếp tuyến tại A:
4 4
2
2 2 2 2 2
5 3 5
3 2 3 3 2 3 6 0
2 2 2 2
x a
x a a x a x a x ax a
2 2
2 3 6 0 1
x a
f x x ax a
Để tiếp tuyến tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt B,C khác A thì p t ( 1 ) c ần có 2 nghiệm phân biệt
,
B C
x
x khác a
2 2
2
' 3 6 0
3 3 3
(*)
1
6 6 0
a a
a
f a a
Do
3 3 3 2
C B
AB AC AB AC x x a
(2)
Theo Viet có
2
2 3
3 6 4
B C
B C
x x a
x x a
Từ (2) và (3) 0
C
x và 2
C
x
a t hế vào (4) có:
2
3 6 0 2a a
(thỏa (*))
Kiểm tra:
+ Với
2a
có
3 5 21
2; , 0 ; , 2 2; 3
2 2 2
A B C AC AB
+ Với
2a
có
3 5 21
2; , 0 ; , 2 2; 3
2 2 2
A B C AC A B
Vậy
2a
là các giá trị c ầ n t ì m c ủa a.
Cách 2: Phương trì n h t iếp tuyến của đồ thị (C) hàm số đã cho tại điểm A với
A
x
a là:
4
3 2
5
2 6 3
2 2
a
y a a x a a
Phương trì n h h o à n h độ giao điểm của tiếp tuyến này với đồ thị (C):
4 4
2
2 3 2 2 2
5 5
3 2 6 3 2 3 6 0
2 2 2 2
x a
x a a x a x x a x ax a
Để có 3 giao điểm A,B,C thì p h ư ơ n g t r ì n h :
2 2
2 3 6 0x ax a
(*) có 2 nghiệm phân biệt
khác a
3 3
1
a
a
Khi đó hoành độ B,C là hai nghiệm của PT(*) nên
2
2
3 6
B C
B C
x
x a
x x a
Mặt khác AC=3AB (B nằm giữa A và C)
3 3 2
C B
AC AB x x a
30
Ta có hệ
2 2
3 2 0
2 2 2
. 3 6 3 6 0
C B B
B C C
B C
x x a x
x x a x a a
x x a a
t hỏa mãn điều kiện
Vậy giá trị cần tì m c ủa m là:
2a
Ví dụ 5) Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị
3
: 3 2C x x
tại 3 điểm phân biệt
A,B,C sao cho 2
A
x và
2 2BC
Giải: Giao của (C) và (d) có hoành độ là nghiệm của phương trì n h :
3 2 2
4 6 1 1 4 6 1 0x m x x x x mx
.
Để PT có 3 nghiệm phân biệt thì
2
4 6 1 0x mx
có 2 nghiệm phân biệt
2
2 2
' 9 4 0 ;
3 3
m m m
Gọi
1 1 2 2
; 1 , ; 1B x x C x x
. Để B và C đối xứng với nhau qua đường phân giác thứ nhất
thì:
1 2 1 2
1 2
1 2 2 1
1
3 2
1 1
1 2 3
x y x x
x x m m
y x x x
So sánh với ĐK, thấy không tì m được m thỏa mãn.
Ví dụ 6 ) C h o h à m s ố
3 2
3 4y x x
Gọi
k
d là đường thẳng đi qua điểm
1 ; 0A
với hệ số góc
k
k
. Tì m
k
để đường
thẳng
k
d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm
,B C
(
B
và
C
khác
A
) cùng
với gốc toạ độ
O
tạo thành một tam giác có diện tích bằng
1
.
Giải:
:
k
d y kx k (hay
0k x y k
).
Pt hoành độ giao điểm của
k
d và (C):
2
3 2
3 4 1 2 0 1x x k x k x x k x
hoặc
2
2
x
k
k
d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
0
9
k
k
(d) cắt (C)
tại
1 ; 0 , 2 ;3 , 2 ;3A B k k k k C k k k k
.
2
2
2 1 , , ,
1
k
k
BC k k d O B C d O d
k
2 3
2
1
. . 2 . 1 1 1 1 1
2
1
O B C
k
S k k k k k k
k
Ví dụ 7) Cho hàm số
3 2
2 3 ( 1 ) 2y x mx m x (1), m là tham số thực
Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng
: 2y x
tại 3 điểm phân biệt
(0;2)A
; B; C
sao cho tam giác
MBC
có diện tích
2 2
, với
(3;1).M
Giải:
31
Phương trì n h h o à n h độ giao điểm của đồ thị với
( )
l à :
3 2
2 3 ( 1 ) 2 2x mx m x x
2
0 2
( ) 2 3 2 0(2)
x y
g x x mx m
Đường thẳng
( )
cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;2), B, C
Phương trì n h ( 2 ) c ó h a i n g h i ệm phân biệt khác 0
2
2
' 0
3 2 0
1
(0) 0
3 2 0
2
3
m
m m
m
g
m
m
Gọi
1 1
;B x y
và
2 2
;C x y
, trong đó
1 2
,
x
x là nghiệm của (2);
1 1
2y x và
1 2
2y x
Ta có
3 1 2
;()
2
h d M
2 2.2 2
4
2
MBC
BC
S
h
Mà
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 1 2
( ) ( ) 2 ( ) 4BC x x y y x x x x
=
2
8 ( 3 2)m m
Suy ra
2
8 ( 3 2)m m =16
0m
(t ho ả mãn) hoặc
3m
(thoả m ãn)
4) Điều kiện để hàm số bậc 3 c ó 3 n g h i ệ m lập thành cấp số cộng
Xét phương trì n h
3 2
ax 0bx cx d
. Giả sử phương trì n h c ó 3 n g h i ệm l ập thành cấp số cộng
l à
1 2 3
; ;
x
x x khi đó:
3 2 3 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
ax ( )( )( ) [ x ( ) ( ) ]bx cx d a x x x x x x a x x x x x x x x x x x x x
Vì 3 nghiệm l ập thành cấp số cộng nên
1 3 2 2
2
3
b
x x x x
a
là nghiệm. Thế vào phương
trình ta suy ra đi ều kiện c ần t ì m .
Ví dụ 1) Cho
3 2 2
: 3 2 4 9C m y f x x mx m m x m m
. Tìm m để C(m) cắt Ox tại
3 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Giải:
Điều kiện cần: Giả sử (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt là
1 2 3
, ,
x
x x .
Khi đó:
3 2 2
3 2 4 9 0x mx m m x m m
có 3 nghiệm phân biệt
1 2 3
, ,
x
x x
3 2 2
1 2 3
3 2 4 9
x
mx m m x m m x x x x x x x
3 2 2 3 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
3 2 4 9
x
mx m m x m m x x x x x x x x x x x x x x x x
Suy ra
1 2 3 1 3 2 2 2
3 3m x x x x x x x x m
Thế
2
x
m vào
2
( ) 0 0 0f x m m m hoặc
1m
Điều kiện đủ: Với m = 0 t h ì
3
1 2 3
( ) 0 0f x x x x x
(loại)
Với m = 1 t h ì
3 2
( ) 3 6 8 0f x x x x
2
1 2 3
1 2 8 0 2 ; 1 ; 4x x x x x x
Kết luận: Đáp số m=1.
5) Điều kiện h à m b ậc 3 có 3 nghiệ m lập thành cấ p số nhân
32
Xét phương trì n h
3 2
ax 0bx cx d
. Giả sử phương trì n h c ó 3 n g h i ệm l ập thành cấp số cộng
l à
1 2 3
; ;
x
x x khi đó:
3 2 3 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
ax ( )( )( ) [ x ( ) ( ) ]bx cx d a x x x x x x a x x x x x x x x x x x x x
Vì 3 nghiệm l ập thành cấp số nhân nên
2 3
3
1 3 2 1 2 3 2 2
ax
d
x x x d x x x x
a
thay vào
phương trì n h t a s u y r a đi ều kiện c ần tì m
Ví dụ 1 ) Cho
3 2
: 3 1 5 4 8.Cm y f x x m x m x
Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3
điểm phân biệt lập thà n h 1 c ấp số nhân.
Giải:
Điều kiện cần: Giả sử (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
1 2 3
, ,
x
x x
Khi đó:
3 2
3 1 5 4 8 0x x x x x
có 3 nghiệm phân biệt
1 2 3
, ,
x
x x
3 2
1 2 3
3 1 5 4 8
x
x x m x x x x x x x x
3 2 3 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
3 1 5 4 8
x
x x m x x x x x x x x x x x x x x x x
Suy ra:
3
1 2 3 2 2
8 2x x x x x
Thế
2
2x vào
0 4 2 0 2f x m m
Điều kiện đủ: Với m = 2 t h ì
3 2
1 2 3
7 14 8 0 1 2 4 0 1 ; 2 ; 4f x x x x x x x x x x
Kết luận: Đáp số m=2.
6) Điều kiện để hàm số bậc b ốn có 4 nghiệm lập t h à n h c ấp số cộng
Xét phương trì n h
4 2
ax 0bx c
(1) Đặt
2
( 0)t x t để phương trì n h ( 1 ) c ó 4 n g h i ệm l ập
thành cấp số cộng thì phương trì n h
2
0at bt c
(2) phải c ó 2 n g h i ệm d ươn g p h â n b i ệt
1 2
,t t .
Giả sử (
1 2
)t t khi đó 4 nghiệm c ủa (1) là
2 1 1 2
, , ,t t t t
vì 4 nghiệm l ập thành cấp số cộng
n ê n
2 1 1 1 2 1
9t t t t t t
. Áp dụng định l ý v i é t cho phương trì n h ( 2 ) t a c ó
1 2
1 2
1 2
9
b
t t
a
c
t t
a
t t
Giải đi ều kiện t h e o h ệ phương trì n h .
Ví dụ 1) Cho
4 2
: 2 1 2 1.C m y x m x m
Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt
l ập thành 1 cấp số cộng.
Giải: Xét phương trì n h :
4 2
2 1 2 1 0(1)x m x m
Đặt
2 2
; 2 1 2 1 0(2)t x f t t m t m
Yêu cầu bài toán
0f t
có 2 nghiệm
2 1
0t t sao cho (1) có sơ đồ nghiệm
33
Ta có
4 3 3 2 2 1 4 3 3 2
x
x x x x x x x x x
2 1 1 1 2 1 2 1
3 9 0t t t t t t t t
Yêu cầu bài toán
2
2 1
2 1
1 2 2 1
2
2
1
1 2
1
1
1
0 , 9 0
2
2
9
. 2 1 0 9
9 2 1
2 1 0
1
9 2 1
5 1
5
m
m
m t t
t t
t t m t t
t m
t t m
m
m
t m
2 1
2
1
4
2
9
4
9
9 32 16 0
m
m
t t
m
m m
Ví dụ 2 ) ( B à i t o á n t ư ơ n g g i a o h à m bậc 4) Tìm m sao cho đồ thị hàm số
4 2
4y x x m
cắt
trục hoành tại 4 điể phân biệt sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) trục hoành có
phần trên bằng phần dưới
Giải:
Phương trì n h h o à n h độ giao điểm của đồ thị (C) và
4 2
: 4 0Ox x x m
(1)
Đặt
2
0t x
. Lúc đó có PT:
2
4 0t t m
(2)
Để (C) cắt
Ox
tại 4 điểm phân biệt khi pt (1) có 4 nghiệm phân biệt
(2) có 2 nghiệm phân
biệt
' 4 0
0 4 0 4
0
m
t S m i
P m
Gọi
1 2 1 2
, 0t t t t
là 2 nghiệm của pt(2). Lúc đó pt(1) có 4 nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng
dần là:
1 2 2 1 3 1 4 2
; ; ;
x
t x t x t x t
Do tính đối xứng của đồ thị (C) nên có:
3 4
3
45
4 2 4 2 4 2
3
4
4 4 4
0
4
4 4 0 3 20 15 0
5 3
x x
x
x
x
x x m dx x x m dx mx x x m
Từ đó có
4
x
là nghiệm của hệ
4 2
4 4
4 2
4 4
4 0 3
3 20 15 0 4
x x m
x x m
1
x
2
t
2
x
3
x
4
x
1
t
1
t
2
t
34
Lấy (3).(4)-(4)
2
4
3
2
m
x
thay
2
4
3
2
m
x
vào (3) có:
2
9 20
5 0 0
4 9
m
m m m
Đối chiếu với điều kiện (i) có
20
9
m
là giá trị c ầ n t ì m .
7) Điều kiện tương giao của đồ thị hà m s ố
ax b
y
cx d
(H) v à đ ư ờ n g t h ẳ n g
y mx n
Phương trì n h h o à n h độ giao điểm
ax b
mx n
cx d
. Biến đổi về dạng
2
( ) 0g x Ax bx c
. Số
giao điểm tùy thuộc số nghiệm khác
d
c
của phương trì n h
( ) 0g x
TH 1:
0
Hoặc
0
0
d
g
c
đường thẳng không cắt đồ thị (H)
TH 2:
0
0
d
g
c
hoặc
0
0
d
g
c
đường thẳng cắt đồ thị (H) tại một điểm
TH 3:
0
0
d
g
c
đường thẳng cắt đồ thị (H) tại 2 điểm phân biệt A, B khi đó ta có
1 1 2 2
( ; ); ( ; )A x mx n B x mx n với x
1;
x
2
là hai nghiệm của g(x)=0
Ví dụ 1 ) Cho hàm số
3
2
x
y
x
có đồ thị (H). Tìm m để đường thẳng
: 1d y x m
tại
hai điểm phân biệt A,B sao cho
ˆ
A O B
nhọn.
Giải:
Giao của (H) và d có hoành độ là nghiệm của PT
2
3
1 2 2 5 0
2
x
x m x m x m
x
Để pt trên có 2 nghiệm phân biệt thì
0 ; 2x
2
2
4 16 0
?
2 2 2 2 5 0
m m
m
m m
Gọi
1 1 2 2
; 1 , ; 1A x x m B x x m
là hai giao điểm của (H) và d.
Để
ˆ
A O B
nhọn thì :
2 2 2
2 2 2
2 1 1 2
2
1 2 1 2
2 1 1
2 1 1 0 3
AB OA AB x x x m x m
x x m x x m m
K ết hợp với đk ban đầu ta suy ra được giá trị của m.
35
Ví dụ 2 ) Cho hàm số
2
1
x
m
y
mx
(1). Chứng minh với mọi
0m
đồ thị hàm số (1) cắt
: 2 2d y x m
tại 2 điểm phân biệt A,B thuộc 1 đường (Hipebol) cố định. Đường thẳng
(d) cắ t c á c t r ụ c
,Ox Oy
lần lượt tại các điểm M,N. Tìm m để 3
OAB OMN
S S
Giải: Phương trì n h h o à n h độ của giao điểm của đồ thị hàm số (1) và đường thẳng (d):
2 2
2 1
2 2 2 2 0 ,
1
x m
x m mx m x m x
mx m
(2)
Do
0m
nên (2)
2
1
2 2 1 0 ,f x x mx x
m
(*)
Để tồn tại 2 điểm A,B thì p t ( * ) p h ải có 2 nghiệm phân biệt:
2
2
' 2 0
1
, 0
1 2
1 0
A B
m
x x m
m
f
m
m
Mặt khác có
1
.
2
A B
x x
nên A,B luôn thuộc một đường (Hipebol) cố định
K ẻ
,
2
5
O d
m
OH AB OH d
. Lại có 2 2 ; 2 2
A A B B
AB d y x m y x m
Theo Viet ta có:
1
2
A B
A B
x
x m
x x
Có
2 2 2 2
2
5 5 20 5 10
A B A B A B A B A B
AB x x y y x x x x x x AB m
Vì M,N là giao điểm của d với
,Ox Oy
nên
;0, 0 ; 2M m N m
Theo giả thiết
2
2
3 . 3 . . 5 10 3
5
OAB OMN M N
m
S S OH AB OM ON m x y
2 2 2 2
2
1
. 5 10 3 2 2 3 2 9
2
5
m
m m m m m m m m
Vậy với
1
2
m
là các giá trị c ầ n t ì m .
Ví dụ 3) Tìm trên (H):
1
2
x
y
x
các điểm A,B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng 4 và
đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng
y x
Giải: D o
: :AB d y x ptAB y x m
Phương trì n h h o à n h độ giao điểm của (H) và đường thẳn g A B :
2
1
3 2 1 0 2
2
x
x m g x x m x m x
x
(1)
Để tồn tại 2 điểm A,B thì p t ( 1 ) c ần có 2 nghiệm phân biệt ,
A B
x
x và khác 2
36
2
2
2
0
3 4 2 1 0
1 4 0 ;
2 0
4 3 2 2 1 0
g x
m m
m m
g
m m
Theo Viet ta có:
3
2 1
A B
A B
x x m
x x m
. Lại có ;
A A B B
y x y x m
Mà:
2 2 2
2
2 2
2
4 16 16 8
4 8 3 4 2 1 0 2 3 0 1 3
B A B A B A
B A A B
AB A B x x y y x x
x x x x m m m m m m
+ Với
3m
thay vào pt (1) có:
2
6 7 0 3 2 2x x x y
. Lúc này tọa độ 2 điểm
A , B l à :
3 2; 2 , 3 2; 2A B
hoặc
3 2; 2 , 3 2; 2B A
.
+ Với
1m
thay vào pt (1) có:
2
2 1 0 1 2 2 2x x x y
. Lúc này tọa độ 2
điểm A,B là
1 2;2 2 , 1 2;2 2A B
h o ặc
1 2;2 2 , 1 2;2 2B A
Vậy A,B là các điểm như trên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 4 ) Cho hàm số
3
2
x
y
x
có đồ thị là (H). Tìm m để đường thẳng d:
2 3y x m
cắt
(H) tại hai điểm phân biệt sao cho
. 4OA OB
với O là gốc tọa độ
Giải: Xét pt:
2
3
2 3 2 3 1 6 3 0
2
x
x m x m x m
x
(1) có 2 nghiệm phân biệt khác (-2)
Khi
2
9 30 33 0m m
điều này xảy ra với mọi m.
Gọi 2 n g h i ệm của pt (1) là
1 2
,
x
x t hì
1 1 2 2
;2 3 , ;2 3A x x m B x x m
Có
1 2 1 2
12 15 7
. 4 . 2 3 2 3 4 4
2 12
m
OAOB x x x m x m m
Ví dụ 5 ) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng d:
y x m
cắt (C)
tại hai điểm phân b i ệt A,B, sao cho
2 2AB
Giải: Phương trì n h h o à n h độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:
2
2 1
1 1 0
1
x
x m f x x m x m
x
(1)
1x
Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B thì p t ( 2 ) c ó 2 n g h i ệm phân biệt , 1
A B
x x
2
1 4 1 0
1 1 1 1 0
m m
f m m
(*) Theo Viet ta
có:
2
2
1
1
; , ; 1 4( 1 ) 4
1 7
A B
A A B B
A B
x x m
m
A B d y x m y x m AB m m
x x m m
37
Ví dụ 6 ) Gọi D là đường thẳng đi qua A(1;0) và c ó h ệ số góc k. Tìm k để D cắt đồ thị
2
1
x
y
x
tại hai điểm phân biệt M,N thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị và AM=2AN
Giải: D o D l à đ ư ờ n g t h ẳ n g đ i q u a A ( 1 ; 0 ) v à có hệ số góc k nên pt D:
1y k x
Phương trì n h h o à n h độ giao điểm của D và đồ thị hàm số đã cho là:
2
2
1 2 1 2 0 1
1
x
k x kx k x x
x
(1)
Đặt
1 1t x x t
. Lúc đ ó p t ( 1 ) t h à n h :
2
2
1 2 1 1 2 0 3 0k t k t k k t t
(2)
Để D cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm M,N thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị thì p t ( 1 )
phải có 2 nghiệm
1 2
,
x
x thỏa
1 2
1 (2)
x
x pt có 2 nghiệm
1 2
,t t thỏa
1 2
0 3 0 0(*)t t k k
Vì điểm A luôn nằm trong đoạn MN và
1 2
2 2 2 3AM AN AM AN x x
(3)
Theo Viet ta có:
1 2
1 2
2 1
4
2
5
k
x x
k
k
x x
k
. Từ (3) và (4)
2 1
1 2
;
k k
x x
k k
Thay
1 2
,
x
x vào pt (5) có:
2
2 1
2
2
3 2 0
3
k k
k
k k
k
k
Đối chiếu ĐK (*) có
2
3
k
là giá trị c ầ n t ì m .
Phần bốn: Các bài toán về khoảng cách
Để giaỉ quyết tố t các dạng b à i t ập trong phần này học sinh cần nắ m chắc các vấn đề sau:
*) Khoảng cách giữa hai đi ểm (; ); ( ; )
M M N N
M x y N x y là
2 2
N M N M
MN x x y y
*) Khoảng cách từ đi ểm
0 0
( ; )M x y đến đường thẳng
:ax+by+c=0
là
0 0
/
2 2
ax
M
by c
d
a b
Các trường hợp đặc biệt:
+ Nếu
là đường thẳng x=a thì
/ 0M
d x a
+ Nếu
là đường thẳng y=b thì
/ 0M
d y b
+ Tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ Ox, Oy là d=
0 0
x
y
*) Khoảng cách giữa đường thẳng và đường cong
Cho đường thẳng
và đường cong ( C) . Lấy đi ểm M b ất kỳ t h u ộc đường cong ( C) và đi ểm N
thuộc đường thẳng
Khi đó
( /( ))
min
C
d MN
. Từ đ ó ta có cách tính khoảng cách từ đường
thẳng
:ax+by+c=0
đến đường cong ( C) y=f(x) như sau:
38
+ Cách 1: Lấy đi ểm M
0 0
;
x
y
bất kỳ t h u ộc ( C)
0 0
( ; ( ))M x f x . Ta có
0 0
/
2 2
ax
M
by c
d
a b
Sau đó tì m m i n d t h e o x
0
+ Cách 2: Viết phương trì n h t i ếp tuyến t của đường cong ( C) và tiếp tuyến đó song song với
.
Sau đ ó tìm tiếp đi ểm M
0 0
;
x
y
của tiếp tuyến và đường cong. K h i đó khoảng cách giữa đường
thẳng
và đường cong ( C) cũng bằng khoảng cách giữa M và đường thẳng
là
0 0
/
2 2
ax
M
by c
d
a b
Ví dụ 1) Cho đồ thị
2 1
:
1
x
C y
x
và điểm A(-2;5). Xác định đường thẳng (D) cắt (C) tại 2
điểm B, C sao cho
ABC đều.
Giải:
2 1
1
x
y
x
: 1
: 2
TCD x
TCN y
phân giác của góc tạ o bởi 2 t i ệm c ận ( 1 ) :
3y x
2
3
0
1
y
x
h à m s ố nghị c h b i ến
đồ thị ( C ) c ó d ạng như hình vẽ.
Do A(-2;5)
( 1 ) : 3y x
là trục đ ố i x ứng của (C) nên đường thẳng (D) cần t ì m p h ải v u ô n g
góc với ( 1 ) v à ( D ) c ó phương trì n h : y = x + m .
Xét phương trì n h :
2
2 1
3 1 0
1
x
x m g x x m x m
x
Ta có
2 2
3 4 1 1 12 0g m m m
n ê n ( D ) l u ô n c ắt (C) tại B , C p h â n b i ệt và do
tính đối x ứng
ABC cân tại A .
Giả sử
( 1 )D
2
2
3 3 7
; 2
2 2 2
m m m
I I AI
Gọi
2 21 1
1 1
2
1 2 1 2 1 2
2 2
2 2
,
2 2 4
,
B x y
y x m
BC x x x x x x
y x m
C x y
2
2 2
2 3 4 1 2 2 13BC m m m m
Ta có
A B C đều
2
2 2 2
4
3 2 13 7BC AI m m m
3
1
2
2
: 1
1
4 5 0
5
: 5
D y x
m
m m
m
D y x
Ví dụ 2) Cho
3 5
:
2
x
H y
x
. Tìm M
(H) để tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của
(H) là nhỏ n h ấ t .
Giải:
Ta có TCĐ: x=2
TCN: y=3
39
3 5 1
3
2 2
x
y
x
x
Lấy
1
;3
2
M m H
m
Tổng khoảng cách từ M đến c á c đường tiệm
cận l à
1
2 3 2 2
2
M M M
d x y m
m
( Theo bất đẳng thức Cauchy)
1 ( 1 ; 2 )
1
mi n 2 2
3 (3; 4)2
m M
d m
m Mm
Ví dụ 3) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị
4 9
:
3
x
C y
x
các điểm cách M
1
,M
2
để độ dài
1 2
,M M
là nhỏ nhất.
Giải:
: 34 3 3
4 9 3
4
: 4
3 3 3
TCD xx
x
y
TCN y
x x x
Gọi
1 1 1
2 2 2
,
,
M x y
M x y
(M
1
thuộc n h á n h t r á i c ủa (C); M
2
thuộc nhánh phải c ủa (C))
Đặt
1
1
2
2
3
3
4
3
3
4
, 0
x
y
x
y
2 2
2
1 2 2 1 2 1
M M x x y y
=
2
2
2 2
2
9
3 3
c o s
2
2
2 2
9 9 9
1 2 1 4
i
Mà
cos
9 9
4 4 2. 24
i
1 2
0
min 24 2 6 3
9
M M
toạ đ ộ
1 2
3 3;4 3 , 3 3;4 3M M
Ví dụ 4) Tìm điểm M trên đồ thị hàm số
2 1
( )
1
x
y H
x
sao cho khoảng cách từ M đến
đường thẳng (
):
4 8 0x y
là nhỏ nhất
Giải:
Ta có
2
1
'
1
y
x
. Xét đường thẳng d là tiếp tuyến c ủa (H) và d song song với (
)
40
Từ đ ó viết được 2 phương trì n h t i ếp tuyến l à
1
5
:
4 4
x
d y
và
2
13
:
4 4
x
d y
Hai tiếp đi ểm t ươn g ứng là
1 2
3 5
1 ; ; 3 ;
2 2
M M
Dễ dàng tính được
1 2
/ /d M d M
1
M là đi ểm c ần t ì m
Chú ý: Ngoài cách lập luận n h ư trên ta có thể giải b à i t o á n t h e o c á c h k h á c g i ả sử
2 1
( ; )
1
x
M x
x
Sau đ ó tính khoảng cách từ M đến
. Và tìm min theo phương pháp hàm s ố với b i ến x
Cho hàm số
1
x
y
x
và điểm A(-1;1)
Ví dụ 5 ) Tìm m để đường thẳng
1y mx m
cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N sao cho
2 2
AM AN
đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Xét phương trì n h t ương giao:
2
2 1 0mx mx m
. Để cắt tại hai điểm thì p h ương trì n h p h ải có
2 nghiệm phân biệt khác 1.
2
2 1 0
0
' 1 0
m m m
m
m m m m
Để ý thấy trung điểm MN là I và I(1;-1) cố định.
Sử dụng chèn điểm ta có:
2 2 2 2 2
2AM AN AI IM IN
(do
0IM I N
)
Ta có IA cố định, IM=IN. Ta thấy biểu thức đó min khi và chỉ k h i M N m i n
Tính MN:
2 2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
4
1 4 . 1 4NM x x m x x x x m m
m
Do m<0 nên đặt
; 0t m t
.
2
4
4 8MN t
t
. Vậy m=-1
Ví dụ 6) Tìm m để đường thẳng y=mx-m+2 cắt (C)
2
1
x
y
x
tại 2 điểm phâ n b i ệ t A , B s a o
cho độ dà i A B n h ỏ n h ấ t .
Giải:
Đường thẳng y=mx-m+2 cắt (C) tại 2 đi ểm p h â n b i ệt khi phương trì n h
2
2
1
x
mx m
x
có 2
n g h i ệm p h â n b i ệt khác 1.
2
( ) 2 2 0g x mx mx m có 2 nghiệm p h â n b i ệt khác 1
0
0
( 1 ) 0
m
g
0m
. Ta có
1 1 2 2
( ; 2); ( ; 2A x mx m B x mx m )
2 2 2
2 1 2 1 2 1
; ( ) ( ) ( 1 )AB x x m x x AB x x m
2
2 2
1 2 1 2
4 ( 1 )AB x x x x m
Vì x
1
;x
2
là 2 nghiệm c ủa g(x)=0 nên ta có
1 2 1 2
2
2 ;
m
x x x x
m
2
1
8( ) 16 mi n 4 1AB m AB m
m
41
Phần năm: Các bài tập về KSHS
CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Phần một: CÁC BÀI TẬP L I Ê N Q U A N ĐIỂM CỰC ĐẠI V À CỰC TIỂU HÀM SỐ
Câu 1) Cho hàm số
1
3
1
23
mxmxxy
a) Khảo sát và vẽ đồ thị h à m s ố khi m=1
b ) Tìm m để hàm số có cực đại c ực tiểu và khoảng cách giữa đi ểm c ực đại v à c ực tiểu là
nhỏ nhất
Câu 2) Cho hàm số
1
3
1
23
mxmxxy
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b ) Tìm m để hàm số đạt cực trị t ại
21
;xx
t ho ả mãn
8
21
xx
Câu 3) Cho hàm số 37
23
xmxxy
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= -8
b ) Tìm m để hàm số có đường thẳng đi q u a đi ểm c ực đại cực tiểu vuông góc với đường
thẳng y=3x-7
Câu 4) Cho hàm số )1()232()1(3
223
mmxmmxmxy
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b ) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và đường thẳng đi q u a c ực đại cực tiểu tạo với
đường thẳng
5
4
1
xy
một góc 45
0
Câu 5) Cho hàm số mxmxxy
223
3
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 0
5
b ) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đối x ứng qua đường thẳng
22
1
xy
Câu 6) Cho hàm số 13)1(33
2223
mxmxxy
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b ) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu cách đều gốc toạ đ ộ O.
Câu 7) Cho hàm số 12
224
xmxy
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b ) Tìm m để hàm số có 3 đi ểm c ực trị l à 3 đỉnh c ủa tam giác vuông cân
Câu 8) Cho hàm số 11292
223
xmmxxy
42
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b ) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời
CT
CD
xx
2
Câu 9) Cho hàm số
424
22 mmmxxy
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b ) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu lập thành một tam giác đều
Phần hai: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUY ẾN VÀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN
Câu 1) Cho hàm số 1
3
mmxxy (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 3
b ) Tìm m để tiếp tuyến t ại g i a o đi ểm c u ả (Cm) với t r ục Oy chắn t r ê n h a i t r ục toạ đ ộ một tam
giác có diện t í c h b ằng 8
Câu 2) Cho hàm số 13
23
mxxxy (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 0
b ) Tìm m để đường thẳng y=1 cắt (Cm) tại 3 đi ểm p h â n b i ệt C(0;1), D,E và các tiếp tuyến
tại D v à E c ủa (Cm) vuông góc với n h a u .
Câu 3) Cho hàm số xxy 3
3
(C ) và đường thẳng y=m(x+1)+2 (d)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b ) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (C ) tại m ột đi ểm c ố định A . T ì m m để đường
thẳng (d) cắt (C ) tại 3 đi ểm A , M , N m à t i ếp tuyến t ại M v à N v u ô n g g ó c v ới n h a u \
Câu 4) Cho hàm số
)(
1
23
H
x
x
y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H)
b ) Viết phương trì n h t i ếp tuyến c ủa (H) biết tiếp tuyến t ạo với O x g ó c 4 5
0
c) Viết phương trì n h t i ếp tuyến c ủa (H) biết tiếp tuyến t ạo với 2 t r ục toạ đ ộ một tam giác
cân
d) Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận. Tiếp tuyến t ạ i M b ất kỳ t h u ộc (H) cắ t 2 tiệm c ận t ại
A , B . C h ứng minh M là trung đi ểm A B
e) Chứng minh diện t í c h t a m g i á c I A B k h ô n g đổi
f ) Tìm vị t r í M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất
Câu 5) Cho hàm số
)(
2
Hm
x
mx
y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 3
b ) Tìm m để từ A(1;2) kẻ được 2 tiếp tuyến AB,AC đến ( H m ) s a o c h o A B C l à t a m g i á c đều
(A,B là các tiếp đi ểm)
Câu 6) Cho hàm số
)(
32
Hm
m
x
mx
y
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1
2) Tìm m để tiếp tuyến bất kỳ của hàm số (Hm) cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam
giác có diện tích bằng 8
43
Câu 7) Cho hàm số
)(
1
12
H
x
x
y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H)
b ) Viết phương trì n h đường thẳng cắt (H) tại B , C s a o c h o B , C c ù n g v ới đi ểm
)5;2(A
tạ o
thành tam giác đều
Câu 8) Cho hàm số
)(
1
2
H
x
x
y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b ) Tìm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến tại M c ủa (H) cắt 2 trục O x , O y t ại A , B s a o c h o t a m
giác OAB có diện t í c h b ằng
4
1
Câu 9) Cho hàm số
)(
1
12
H
x
x
y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b ) Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm c ận c ủa (H). Tìm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến của (H)
tại M v u ô n g g ó c v ới đường thẳng IM.
Câu 10) Cho hàm số
)(
2
2
H
x
x
y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H)
b ) Viết phương trì n h t i ếp tuyến c ủa (H) biết khoảng cách từ tâm đối x ứng của đồ thị h à m s ố
(H) đến t i ếp tuyến l à l ớn n h ất.
Câu 11) Cho hàm số )(123
23
Cxxxy
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b ) Tìm hai đi ểm A , B t h u ộc đ ồ thị s a o c h o t i ếp tuyến c ủa (C ) tại A , B s o n g s o n g v ới n h a u v à
độ dài AB nhỏ nhất
Câu 12) Viết các phương trì n h t i ếp tuyến k ẻ từ đi ểm
4;
12
19
A
đến đồ thị h à m s ố
532
23
xxy
Câu 13) Tìm đi ểm M t h u ộc đ ồ thị h à m s ố 23
23
xxy mà qua đó chỉ k ẻ được một tiếp
tuyến đến đồ thị
Câu 14) Tìm những đi ểm t h u ộc đường thẳng y=2 mà từ đ ó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ
thị h s
23
3xxy
Câu 15) Tìm những đi ểm t h u ộc trục tung qua đ ó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị h s
12
24
xxy
44
Câu 16) Tìm những đi ểm t h u ộc đường thẳng x=2 từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị h s
xxy 3
3
Câu 17) Tìm những đi ểm t h u ộc trục Oy qua đó chỉ k ẻ được một tiếp tuyến đến đồ thị h s
1
1
x
x
y
Câu 18) Cho hàm số
1
x
mx
y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1
b ) Với g i á t r ị n à o c ủa m đồ thị h à m s ố cắt đường thẳng y=2x+1 tại 2 đi ểm p h â n b iệt sao cho
các tiếp tuyến với đồ thị t ại 2 đi ểm đó song song với n h a u .
Phần ba: CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO 2 Đ Ồ THỊ
Câu 1) Cho hàm số
2223
4)14(2 mxmmxy
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1
b ) Tìm m để đồ thị h s t i ếp xúc với t r ục Ox
Câu 2) Cho hàm số
2324
2 mmmxxy
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1
b ) Tìm m để đồ thị h s t i ếp xúc với t r ục Ox tại 2 đi ểm p hâ n b iệt
Câu 3) Cho hàm số
2
5
3
2
2
4
x
x
y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b ) Tìm để phương trì n h s a u c ó 8 n g h i ệm p h â n b iệt
mmxx 256
224
Câu 4) Cho hàm số mxmxxy 63
23
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1/4
b ) Biện l u ận s ố nghiệm
04634
2
3
axxx
Câu 5) Cho hàm số xxy 34
3
(C )
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C )
45
b ) Tìm m để phương trì n h
mmxx 4434
33
có 4 nghiệm p h â n b i ệt
Câu 6) Cho hàm số )1()1(33
2223
mxmmxxy
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b ) Tìm m để hàm số cắt Ox tại 3 đi ểm p h â n b i ệt có hoành độ dươn g
Câu 7) Cho hàm số )5(2)75()21(2
23
mxmxmxy
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 5/7
b ) Tìm m để đồ thị h s c ắt Ox tại 3 đi ểm c ó h o à n h độ nhỏ hơn 1 .
Câu 8) Tìm m để đồ thị h s mmxmmmxxy
223
9)4(23 cắt trục Ox tại 3 đi ểm t ạo
thành 1 cấp số cộng
Câu 9) Tìm m để hàm số 8)45()13(
23
xmxmxy cắt Ox tại 3 đi ểm l ập thành cấp số
nhân
Câu 10) Tìm m để hàm số 12)1(2
24
mxmxy Cắt Ox tại 4 đi ểm t ạo thành cấp số cộng
Câu 11) Chứng minh rằng đồ thị h s
1
12
x
x
y
có 2 trục đ ố i x ứng
Câu 12) Tìm m để hàm số 818)3(32
23
mxxmxy có đ ồ thị t i ếp xúc với t r ục Ox
Câu 13) Cho hàm số 23
24
xxy
a) Khảo sát và vẽ đồ thị h s
b ) Biện l u ận s ố nghiệm phương trì n h
mxx )1(2
22
Câu 14) Cho hàm số 33
23
xxxy
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b ) Biện l u ận t h e o m s ố nghiệm phương trì n h
12)
3
3
(1
2
m
x
x
Phần bốn: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH
Câu 1) Tìm M thuộc (H)
2
53
x
x
y
để tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm c ận c ủa H là
nhỏ nhất
46
Câu 2) Tìm M thuộc (H) :
1
1
x
x
y
để tổng khoảng cách từ M đến 2 t r ục toạ đ ộ là nhỏ nhất
Câu 3) Tìm trên mỗi n h á n h c ủa đồ thị h à m s ố (H):
3
94
x
x
y
các đi ểm M 1 , M 2 để
21
MM
nhỏ
nhất
Câu 4) Tìm trên mỗi n h á n h c ủa đồ thị h à m s ố
1
52
2
x
xx
y
các đi ểm M , N để đ ộ dài MN
nhỏ nhất
Câu 5) Tìm trên đồ thị h à m s ố
1
22
2
x
xx
y
đi ểm M s a o c h o M I n h ỏ nhất với I l à g i a o đi ểm
2 đường tiệm c ận
Câu 6) Tìm m để hàm số y=-x+m cắt đồ thị h à m s ố
2
12
x
x
y
tại 2 đi ểm A , B m à độ dài AB
nhỏ nhất
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TỔNG HỢP KHÁC
Câu 1) Cho hàm số
4 2
2 1y x mx m (1) , với
m
là tham số thực.
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1m
.
2)Xác định
m
để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành
m ột tam giác có diện tích bằng
4 2
.
Câu 2) Cho hàm số
4 2
2 1y x mx m (1) , với
m
là tham số thực.
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1m
.
2)Xác định
m
để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị
t ạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
1
.
Câu 3) Cho hàm số
4 2 2
2y x mx m m (1) , với
m
là tham số thực.
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
2m
.
2) Xác định
m
để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành
m ột tam giác có góc bằng
120
.
Câu 4) Cho hàm số
4 2
2y x mx (1), với
m
là tham số thực.
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
1m
.
2)Tìm
m
để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực tiểu và hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và
đường thẳng đi qua hai điểm cực tiểu ấy có diện tích bằng 1.
Câu 5) Cho hàm số
4 2 2
2 2 5 5y f x x m x m m
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số với
m
= 1
2/ Tìm các giá trị c ủ a m đ ể ®å thÞ hµm sè c ó c á c đ i ể m c ự c đ ạ i , c ự c t i ể u t ạ o t h ành một tam giác
v u ô n g c â n .
Câu 6) Cho hàm số
3 2
1
2 3
3
y x x x
(1)
47
1).Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) .
2)Gọi
,A B
lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị h à m s ố (1). Tì m điểm
M
thuộc trục
h o à n h s a o c h o t a m g i á c
MAB
có diện tích bằng 2.
Câu 7) Cho hàm số
3 2
6 9 4y x x x (1)
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2)Xác định
k
sao cho tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) có cùng hệ số góc
k
. Gọi hai
tiếp điểm là
1 2
,M M . Viết phương trì n h đường thẳng qua
1
M và
2
M theo
k
.
Câu 8) Cho hàm số
3 2
3 4y x x (1)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2. Giả sử
, ,A B C
là ba điểm thẳng hàng thuộc đồ thị (C), tiếp tuyến với (C) tại
, ,A B C
t ương
ứng cắt lại (C) tại
' ' '
, ,A B C . Chứng minh rằng ba điểm
' ' '
, ,A B C thẳng hàng.
Câu 9) Cho hàm số
3
3 1y x x (1)
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2)Đường thẳng (
):
1y mx
cắt (C) tại ba điểm. Gọi A và B là hai điểm có hoành độ khác 0
trong ba điểm nói ở trên; gọi D là điểm cực tiểu của (C). Tì m
m
để góc ADB là góc vuông.
Câu 10) Cho hàm số
3 2 2 2
3 3 1 3 1y x x m x m
(1), với
m
là tham số thực.
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
1m
.
2. Tìm
m
để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với
gốc toạ độ
O
tạ o t h ành một tam giác vuông tại
O
.
Câu 11) Cho hàm số
2
2 2 1y x x
(1)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2.Tìm
m
để đồ thị (C) có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng
y mx
. Giả sử
,M N
là các
tiếp điểm. Hãy chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng
MN
là một điểm cố định (khi
m
biến thiên)
Câu 12) Cho hàm số
3 2
3 4y x x (1)
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2)Gọi
k
d là đường thẳng đi qua điểm
1 ; 0A
với hệ số góc
k
k R
. Tìm
k
để đường thẳng
k
d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm
,B C
(
B
và
C
khác
A
) cùng với gốc toạ
độ
O
tạ o t h ành một tam giác có diện tích bằng
1
.
Câu 13) Cho hàm số
3 2
3 4y x x (1)
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2)Cho điểm
1 ; 0I
. Xác định giá trị của tham số thực
m
để đường thẳng
:d y mx m
cắt đồ
thị ( C ) t ạ i b a đ i ể m p h â n b i ệ t
, ,I A B
sao cho
2 2A B
.
Câu 14) Cho hàm số:
3 2 2 2
2( 1 ) ( 4 1 ) 2( 1 )y x m x m m x m
1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=0
2.Tìm m để hàm số có cực trị , đồng thời các điểm cực trị
1 2
;
x
xthoả m ãn :
1 2
1 2
1 1 1
( )
2
x
x
x x
Câu 15) Cho hàm số y = 2x
3
+ 9mx
2
+ 12m
2
x + 1 , t r o n g đ ó m l à t h a m s ố .
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = - 1.
48
2)Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại x
CĐ
, cực tiểu tại x
CT
thỏa mãn: x
2
CĐ
= x
CT
.
Câu 16
Cho hàm số
3 2
y (m 2)x 3 x m x 5
, m là tham số
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = 0
2)Tìm các giá trị c ủ a m đ ể c á c đ i ể m c ự c đ ạ i , c ự c t i ể u c ủ a đ ồ t h ị h àm số đã cho có hoành độ là
các số dương.
Câu 17) Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
(1)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
H
của hàm số (1) .
2.Chứng minh rằng đồ thị
H
có vô số cặp tiếp tuyến song song, đồng thời các đường thẳng
n ối tiếp điểm của các cặp tiếp tuyến này luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 18) Cho hàm số
x
x
xf
1
12
( H )
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số
2/ Gọi (∆) là tiếp tuyến tại điểm M( 0; 1 ) với đồ thị (H). Hãy tìm trên (H) những điểm có hoành
độ x > 1 mà khoảng cách từ đó đến (∆) là ngắn nhất.
Câu 19) Cho hàm số
2
m x
y
x
(Hm). Tìm m để đường thẳng d:2x+2y-1=0 cắt (Hm) tại 2 điểm
phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
3
8
Câu 20) Cho hàm số
2 3
2
x
y
x
. Tìm những điểm M thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại M cắt
h a i t i ệm cận tại A, B sao cho vòng tròn ngoại tiếp tam giác IAB có bán kính nhỏ nhất. Với I là
giao điểm của hai đường tiệm cận
Câu 21) Tìm m để hàm số
3
2y x mx cắt Ox tại một điểm duy nhất
Câu 22) Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
(C). Tìm hai điểm M, N thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M, N
song song với nhau và khoảng cách giữa hai tiếp tuyến là lớn nhất
Câu 23) Cho hàm số
2 4
1
x
y
x
(H). Gọi d là đường thẳng có hệ số góc k đi qua M(1; 1 ) . T ì m k
để d cắt (H) tại A, B mà 3 10AB
Câu 24) Tìm m để đồ thị hàm số
3 2
2y x mx m cắ t t r ụ c O x t ạ i m ộ t đ i ể m d u y n h ấ t
Câu 25) Cho hàm số:
2
1
x
y
x
(C)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) h à m s ố
2) Cho điểm A( 0; a) Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương
ứng nằm về 2 phía của trục hoành
Câu 26) Cho hàm số
3
3 2y x x (C)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt (C) ở N mà 2 6MN
49
Câu 27) Cho hàm số
2
( )
m x
y H
x
m
và A(0;1)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1
2) Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận . Tì m m để trên đồ thị tồn tại điểm B sao cho tam
giác IAB vuông cân tại A.
Câu 28) Cho hàm số
4 2
2y x x (C)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2) Lấy trên đồ thị hai điểm A, B có hoành độ lần lươt là a, b.Tì m điều kiện a và b để tiếp tuyến
tại A và B song song với nhau.
Câu 29) Cho hàm số
2
2 2
x
y
x
(H)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H).
2) Tìm m để đường thẳng (d): y=x+m cắt đồ thị hàm số (H) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
2 2
37
2
OA OB
Câu 30) Cho hàm số y
3 2
2 ( 1 )y x x m x m (1), m l à t h a m s ố thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1.
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
; ;
x
x xthoả
m ã n điều kiện
2 2 2
1 2 3
4x x x
Câu 31) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
Tìm m để đường thẳn g y = - 2 x + m c ắt đồ thị tại hai điểm phân
biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3
Câu 32) Cho hàm số
1
23
x
x
y
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
2) Viết phương trì n h đường thẳng đi qua M(1;3) cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A, B
sao cho 32AB .
Câu 33) Cho hàm số
3 2
3 3 (1 ) 1 3y x x m x m (Cm). Tìm m để hàm số có cực đại c ực
tiểu đồng thời c á c đi ểm c ực trị c ù n g v ới g ốc toạ đ ộ tạo thành tam giác có diện t í c h b ằng 4
Câu 34) Cho hàm số
3 1
( )
1
x
y H
x
và đường thẳng
( 1 ) 2y m x m
(d) Tìm m để đường
thẳng (d) cắt (H) tại A , B s a o c h o t a m g i á c O A B c ó d i ện t í c h b ằng
3
2
Câu 35) Cho hàm số
1
( )
1
x
y H
x
. Tìm đi ểm M t h u ộc (H) để t ổng khoảng cách từ M đến 2 t r ục
toạ đ ộ là nhỏ nhất.
Câu 36) Cho hàm số y =
1
2
x
x
(H)Tìm các giá trị c ủ a m đ ể đ ư ờ n g t h ẳ n g y = m x – m + 2 cắt đồ
thị ( H ) t ạ i h a i đ i ể m p h â n b i ệ t A , B v à đ o ạ n A B c ó đ ộ d ài nhỏ nhất.
Câu 37) Cho hàm số
1
12
x
x
y
viết phươn g t r ì n h t i ếp tuyến c u ả HS biết tiếp tuyến t ạo với 2
trục t ọa đ ộ tam giác có diện t í c h b ằng 8
50
Câu 38) Cho hàm số
xmmxxy )3(
2
1
3
1
223
1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
2) Tìm m để hàm số có CĐ, CT và hoành độ CĐ, CT là độ dài các cạnh góc vuông của tam giác
v u ô n g c ó c ạnh huyền bằng
2
5
Câu 39) Tìm hai đi ểm A , B t h u ộc đ ồ thị h à m s ố
3 2
3 1y x x sao cho tiếp tuyến t ại A , B s o n g
song với n h a u v à
4 2AB
Câu 40) Tìm m để hàm số
3 2
(2 1 ) 2y x m x m x m cắt Ox tại 3 đi ểm p h â n b i ệt có hoành
độ dươn g
Câu 41) Tìm m để đường thẳng y=x+4 cắt đồ thị h à m s ố
3 2
2 ( 3 ) 4y x mx m x tại 3 đi ểm
phân biệt A, B,C sao cho tam giác MBC có diện t í c h b ằng 4. (Đi ểm B , C c ó ho à n h độ khác 0,
M(1;3))
| 1/49
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG KỲ THI TSĐH
Phần một: Các bài toán liên quan đến điểm cực đại cực tiểu
A) Cực đại cực tiểu hàm số bậc 3: 3 2
y  ax  bx cx d
* ) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu là: y’=0 có 2 nghiệm phân biệt
* ) Hoành độ điểm cực đại cực tiểu kí hiệu là x , x khi đó x , x là 2 nghiệm của phương trình 1 2 1 2 y’=0
* ) Để tính tung độ điểm cực đại cực tiểu ta nên dùng phương pháp tách đạo hàm để tính phương
trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
+ Cơ sở của phương pháp này là: nếu hàm số bậc 3 đạt cực đại cực tiểu tại x , x thì 1 2
f '(x )  f '(x )  0 1 2
+ Phân tích y f '(x).p(x)  h(x) . Từ đó ta suy ra tại x , x thì y h(x ); y h(x )  y h(x) 1 2 1 1 2 2
là đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
+ Kí hiệu k là hệ số góc của đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
* ) Các câu hỏi thường gặp liên quan đến điểm cực đại cực tiểu hàm số bậc 3 là:
1) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu của hàm số song song với đường thẳng y=ax+b
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Giải điều kiện k=a
2) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=ax+b
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu 1 + Giải điều kiện k=  a
Ví dụ 1) Tìm m để f x 3 2
x mx  7x  3 có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông
góc với đường thẳng y=3x-7.
Giải: hàm số có cực đại, cực tiểu  2
f '(x)  3x  2mx  7  0 có 2 nghiệm phân biệt 2
   m  21  0  m  21 . Thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta có: 1 1  2 7m f x  x
m . f  x 2 
21 m x  3   . Với m
21 thì f’(x)=0 có 2 nghiệm x1, x2 3 9    9   9
phân biệt và hàm số f(x) đạt cực trị tại x1,x2. 2  2 7m
f x  (21 m )x  3  1  2  f (  x )  0 1   9 9 Do 1  nên  . f (  x )  0  2 7m 2  f x  2 
(21 m )x  3  2 2   9 9 2 7m
Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT có phương trình  : y   2
21 m x  3  9 9  m  21  m  21  m  21    3 10
Ta có   y  3x  7  2       m     3 45 2 21 m  2 2 .3  1  21 m  m  2 9  2  2
3) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu tạo với trục Ox một góc
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
+ Giải điều kiện k  tan
Ví dụ 1) Cho hàm số 3 y x  3 2
x mx  2 (1) với m là tham số thực
Tìm m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân. Giải:
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt 1 2m m
  '  9  3m  0  m  3  3 2
y x  3x mx  2 
(x 1).y ' (  2)x  2  3 3 3
Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình 2m m y  (  2)x  2  3 3  m  6   6  m
Đường thẳng này cắt 2 trục Ox và Oy lần lượt tai  A 0 ; , B ; 0     2(m  ) 3   3 
Tam giác OAB cân khi và chỉ khi OA OB m  6 6  m   2(m  3) 3 9 3
m  6; m   ; m   2 2 3
Với m = 6 thì A B O so với điều kiện ta nhận m   2
Chú ý: Ta có thể giải bài toán theo cách: Đường thẳng qua CĐ, CT tạo với 2 trục tọa độ
tam giác cân nên hệ số góc của đường thẳng là  9 m   (L) 2m   2 k   tan 45  1    2  1    3 3
m   (TM )  2 3
4) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu tạo với đường thẳng y=ax+b một góc
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu k a + Giải điều kiện  tan 1 ka
Ví dụ ) Tìm m để f x 3 2 2
x  3(m 1)x  (2m  3m  2)x m(m 1) có đường thẳng đi qua 1 
CĐ, CT tạo với y
x  5 một góc 450. 4
Giải: Gọi hệ số góc của đường thẳng đi qua CĐ, CT là k, khi đó từ điêu kiện bài toán suy ra:  1   1 k  5k 3  3 k   k   1    k  4 1 k      0 4 4 4 4 5
tg 45  1  k   1        1  4 4 1 k 3k 5 5  1 k. k 1           k   4    4 4  4 4  3 Hàm số có CĐ, CT 2 2  f (
x)  3x  6(m 1)x  (2m  3m  2)  0 có 2 nghiệm phân biệt  3  5   3  5  2
   3(m  3m  1)  0   m     m   (*)  2   2      1 2
Thực hiện phép chia f(x) cho) f’(x ta có f (x)  x  (m 1). f (  x)   2 m  3m  
1 x  (m 1) 3 3
với m thoả mãn điều kiện (*) thì f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số đạt ccực trị tại x1,x2.  2 f x  2 
(m  3m  1)  x m 1  1 1    f (  x )  0  3   Do 1  nên  f (  x )  0  2  2
f x    2
m  3m 1  x m 1  2  2   3    2 
Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT có phương trình  : y   2 m  3m  
1 x  m   1  3   1  2 
Ta có  tạo với y x  5 góc 450   2 m  3m   1  1  4 3 3  15
kết hợp với điều kiện (*) ta có m  2
5) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại A,B sao
cho tam giác OAB có diện tích cho trước
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
+ Tìm các giao điểm với các trục toạ độ: Với trục Ox:Giải y=0 tìm x.Với trục Oy giải x=0 tìm y. 1 + SMAB dM / . AB AB 2
Từ đó tính toạ độ A, B sau đó giải điều kiện theo giả thiết 4
Ví dụ 1) Tìm m để đường thẳng qua cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số 3
y x  3mx  2 cắt
đường tròn tâm I(1;1) bán kính bằng 1 tại A,B mà diện tích tam giác IAB lớn nhât. Giải: Có: 2
y '  3x  3m có 2 nghiệm phân biệt khi m  0 . Khi đó tọa độ hai điểm cực trị của đồ
thị hàm số là M m;2  2m x , N  m;2  2m x
- Phương trình đường thẳng MN là: 2mx y  2  0
- Đường thẳng MN cắt đường tròn tâm I tại A,B mà tam giác IAB có ˆ 2.SI . A I .
B sin AIB  1, IAB 1 dấu bằng xảy ra khi 0 ˆ
AIB  90 , lúc đó khoảng cách từ I đến MN bằng 2 1 2m 1 1 3 3
Do vậy ta có pt: d I , MN      m  1 ; m  1 2 2 2 2 2 4m  1
Ví dụ 2) Cho hàm số 3
y x  3mx  2
Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác IAB có diện
tích bằng 18 , trong đó I 1;  1 Lời giải: Ta có 2
y x m   2 ' 3 3
3 x m . Để hàm số có CĐ và CT  m  0
Gọi A, B là 2 cực trị thì A m;2  2m m ; Bm;2  2m m  4  m m
PT đường thẳng đi qua AB là: y  2  2m m  
x m  y  2 2mx 2 m 2m 1
Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB là d I; AB  độ dài đoạn 3 AB  4m 16m 2 4m 1 1 2m 1
Mà diện tích tam giác IAB là 3 S  18  4m 16m  18 2 2 4m 1
 4m 16m 2m  2 1  4m  
1 4.18  m 2m  2 3 2 1  18 3 2
 4m  4m m 18  0  m  2 2
4m  4m  9  0  m  2
6) Tìm điều kiện để điểm cực đại cực tiểu cách đều điểm M cho trước:
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính
giá trị y ; y ) 1 2
+ Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B thì điều kiện là MA=MB
7) Điều kiện để điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=ax+b
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính
giá trị y ; y ) 1 2
+ Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B thì điều kiện là: Đường thẳng đi qua điểm cực đại
cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=ax+b và trung điểm của AB thuộc đường thẳng y=ax+b 5
Ví dụ 1) Tìm m để hàm số 3 2 2
f (x)  x  3x m x m có CĐ và CT đối xứng nhau qua 1 5
 : y x . 2 2
Giải: Hàm số có CĐ, CT  f  x 3 2
x  6x m  0 có 2 nghiệm phân biệt 2 2
   9  3m  0  3  m m  3 . 2 1 2 m
thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta có: f (x)  x   1 f (  x)   2 m  3 x   m 3 3 3
với m  3 thì f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số f(x) đạt cực trị tại x1, x2. 2  2 m 2  f y f x m  3 x   m  1  1     x  0 1 1   3 3 Do  nên 
. Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT f  2   x  0 2 m 2  
y f x    2 m  3 x   m 2 2  2   3 3 2 2 m
có phương trình d  : y   2 m  3 x   m 3 3 1 5
Các điểm cực trị A x ; y , B x ; y đối xứng nhau qua  : y x
d   và trung 1 1   2 2  2 2  2   2 m  3  2  ; x  1  3 Im  0
điểm I của AB phải thuộc (d)      m  0 2 2   m 1 5 m(m 1)  0 2  m  3.1  m  .1   3 3 2 2
Ví dụ 2) Cho hàm số 3 2
y x  3x mx  2C m
Tìm m để hàm số(Cm) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số
cách đều đường thẳng d : x y 1  0 Giải: Ta có 2 2
y '  3x  6x  ;
m y '  0  3x  6x m  0 (1)
Hàm số (Cm) có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt  m  3
Giả sử A x ; y , B x ; y là hai điểm cực trị của hàm số (C
x , x là 2 nghiệm của (1)). 1 1   2 2  m), ( 1 2  x 1   mm Vì y y '.   2 1 x  2     
và y ' x y ' x  0 nên phương trình đường thẳng đi 1   2   3 3   3  3  mm qua A,B là y  2 1 x  2   
d ' . Do đó các điểm A,B cách đều đường thẳng (d) trong 2  3  3 trường hợp sau:  m  9
TH1: (d’) cùng phương với (d)  2 1  1  m    (không thỏa mãn)  3  2
TH2: Trung điểm I của AB nằm trên (d). Do I là trung điểm của AB nên tọa độ I là: 6  x x 1 2 x   1  2 
. Vì I nằm trên (d) nên ta có 1 m 1 0  m  0 (thỏa mãn). y y 1 2  y   m   2
Chú ý: Cần phân biệt rõ 2 khái niệm cách đều và đối xứng qua một đường thẳng.
8) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách giữa điểm cực đại cực tiểu max, min
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính
giá trị y ; y ) 1 2
+ Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B. Tính độ dài AB theo tham số. Dùng phương pháp
đạo hàm để tìm max, min 1
Ví dụ 1) Tìm m để hàm số 3 2 f (x) 
x mx x m  1 có khoảng cách giữa các điểm CĐ, 3 CT là nhỏ nhất.
Giải: Do f  x 2
x  2mx 1  0 có 2
  m 1  0 nên f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và
hàm số đạt cực trị tại x1, x2 với các điểm cực trị là . Ax ; y , B x ; y 1 1   2 2  1 2  2  Thực hiện phép chia f(x) 2
cho f’(x) ta có: f ( x) 
x m. f (x)  m   1 x m 1   3 3  3   2   
y f (x )    2 2 m  1 x m 1 1 1     f (  x )  0 1  3  3  Do 1  nên  f (  x )  0  2   2 2 
y f (x )   2 m 1 x m 1 2 2  2    3   3  2 2 2 2 4 2 Ta có 2
AB   x x    y y    x x    2 m 1 x x 2 1 2 1 2 1   2 1 9 2  4    x x 2 4x x     1     2 m 1 2 1 1 2   9   2  4   4  2 13 2  4m  4 1     2 m   1  4 1  AB      9   9  3 2 13 Min AB= xảy ra  m=0 3
9) Tìm điều kiện để hoành độ điểm cực đại cực tiểu thoả mãn một hệ thức cho trước
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Phân tích hệ rhức để áp dụng định lý viét( x , x là hai nghiệm của phương trình y’=0 1 2 1
Ví dụ 1) Tìm m để hàm số 3 2 f (x) 
x mx mx 1 đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn 3 x x  8 1 2 7
Giải: Hàm số có CĐ, CT 2  f (
x)  x  2mx m  0 có 2 nghiệm phân biệt 2
   m m  0  m  0  m   1
với điều kiện này thì f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số đạt cực trị tại x1, x2 với x1+x2=2m và x1x2=m. 2
Ta có BPT: x x  8  x x  64 1 2 1 2
  x x 2 2 2
 4x x  4m  4m  64  m m 16  0 1 2 1 2  1 65   1 65    m     m    2   2     
thoả mãn điều kiện m  0  m   1
Ví dụ 2) Cho hàm số 3 y x  3 2 x mx  1 1 11
Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách từ điểm I ( ;
) đến đường thẳng nối 2 4
điểm cực đại và cực tiểu là lớn nhất
Giải: Ta có y'  3x 2  6x m . Hàm số có cực đại cực tiểu khi y’=0 có 2 nghiệm phân biệt
 '  0  m  3 (0,25 điểm) x 1 2m m
- Chia đa thức y cho y’ ta có y y'(  )  (  2)x
 1 . Lập luận suy ra đường thẳng đi 3 3 3 3 2m m
qua cực đại cực tiểu là  y  (  2)x
 1 . Dễ dàng tìm được điểm cố định mà đường 3 3 1
thẳng cực đại cực tiểu luôn đi qua là (
A  ;2) (0,25 điểm) 2 3 5
- Hệ số góc của đường thẳng IA là k
. Hạ IH vuông góc với  ta có IH dIA  4 I /  4
Đẳng thức xảy ra khi IA   (0,25 điểm) 2m 1 4 - Suy ra  2    
m  1 (0,25 điểm) 3 k 3
Ví dụ 3) Cho hàm số 3 2 2 3
y x  3mx  3(m 1)x m  4m 1 (C)
Tìm m để hàm số có hai cực trị là A, B cùng với gốc O tạo thành tam giác vuông tại O
Giải:Điều kiện để hàm số có 2 cực trị là y’=0 có hai nghiệm phân biệt:  x m 1 2 2
y '  3x  6mx  3(m 1)   '  9  0   (0,25 điểm) x m 1  1 1
Ta có y y '( x
m)  2x  3m 1 Gọi A, B là 2 điểm cực trị thì 3 3 (
A m 1; m  3); B(m 1; m  1) (0,25 điểm)   m  1  Suy ra 2 (
OA m  1; m  3);OB(m 1; m  1)  2m  2m  4  0   (0, 25 điểm) m  2 
Kết luận: Có hai giá trị của m cần tìm là m=-1 hoặc m=2 8 1 1
Ví dụ 4) Tìm các giá trị của m để hàm số 3 2 y x  . m x   2
m  3 x có cực đại 1 x , cực 3 2 tiểu 2
x đồng thời 1 x ; 2
x là độ dài các cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông có độ dài cạnh 5 huyền bằng . 2 Giải:
Cách 1: Miền xác định: D R có 2 2 2 2
y '  x mx m  3; y '  0  x mx m  3  0 Hàm số có cực đại 1 x , cực tiểu 2
x thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi PT y '  0 có 2
nghiệm dương phân biệt, triệt tiêu và đổi dấu qua 2 nghiệm đó. 2   0 4  m  0  2   m  2   
 S  0  m  0  m  0  3  m  2 (*)   2 P 0    m  3  0
m   3  m  3     1 x  2 x m Theo Viet ta có:  . Mà 2   1 x 2 x m  3 2 2 5 14 x x
 2  x x 2 2
 4x x  5  2m  4  2 1 2 1 2 1 2
m  3  5  m   2 2 14
Đối chiếu ĐK(*) ta có giá trị m
thỏa yêu cầu bài toán. 2
B) Cực đại cực tiểu hàm số bậc bốn: 4 2
y  ax  bx c .
*) Điều kiện để hàm số bậc bốn có 3 cực đại cực tiểu là y’=0 có 3 nghiệm phân biệt
+ Ta thấy hàm số bậc bốn thì y’=0 luôn có một nghiệm x=0, để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt sau
khi tính đạo hàm ta cần tìm điều kiện để phần phương trình bậc 2 còn lại có 2 nghiệm phân biệt khác không. VD: 4 2
y  2x  2mx  2 thì 3 2
y '  4x  4mx y '  0  x  0  x  m  điều kiện là m<0
*) Khi hàm số bậc bốn có 3 cực trị là A(0;c), B(x ; y );C(x ; y ) thì điều đặc biệt là tam giác 1 1 2 1
ABC luôn cân tại A( Học sinh cần nắm chắc điều này để vận dụng trong giải toán)
*) Các câu hỏi thường gặp trong phần này là:
1) Tìm điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân, hoặc đều
+ Tìm điều kiện để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt
+ Tính toạ độ 3 điểm cực đại cực tiểu A, B,C. Lập luận chỉ ra tam giác ABC luôn cân tại A.Tính
  
các véc tơ: AB, AC, BC  
+ Tam giác ABC vuông cân  A . B AC  0
+ Tam giác ABC đều AB BC
2) Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực đại cực tiểu tạo thành tam giác có diện tích cho trước
+ Tìm điều kiện để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt
+ Tính toạ độ 3 điểm cực đại cực tiểu A, B,C. Lập luận chỉ ra tam giác ABC luôn cân tại A.
  
Tính các véc tơ: AB, AC, BC 9 + Kẻ đường cao AH. 1 + SAH .BCABC 2 + Giải điều kiện
Ví dụ 1) Tìm m để f(x)= 4 2 4
x  2mx  2m m có CĐ, CT lập thành tam giác đều
Giải: f’(x)= x  2 x m 2 4
 0  x  0  x m
Hàm số có CĐ, CT  f’(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt  m>0 Với m>0 thì f’(x)=0
x   m B 4 2
m; m m  2m 1   
x  0  A 4 0; m  2m 2  
x m C   4 2
m; m m  2m 3  
Suy ra BBT của hàm số y=f(x) m  0 m  0    ABC đều 2 2
 AB AC  AB AC   2 2 AB BCAB BC  m  0 m  0   4 4 3
 m m m m    m  3 m    3 m  3  0 4  m m 4m    
Ví dụ 2) Cho hàm số 4 2 2
y x  2mx  2m  4 , m là tham số thực. Xác định m để hàm số có
3 cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1.
Giải: Mxđ: D R . Có 3
y '  4x  4mx 3 2
y '  0  4x  4mx  0  x  0  x m . Hàm số có 3 cực trị  m  0 (*) Gọi A  2 m   B  2
m m   C  2 0; 2 4 , ; 4 ,
m; m  4 là 3 điểm cực trị
Nhận xét thấy B,C đối xứng qua Oy và A thuộc Oy nên tam giác ABC cân tại A 1
Kẻ AH BC có 2 S
AH .BC  2  y y 2x
 2  2m . m m  1 ABC B A B . Đối chiếu 2
với điều kiện (*) có m  1 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3) Cho hàm số 4 y x   2  m  2 2 1
x m 1. Tìm m để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị
và ba điểm cực trị này tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất. Giải: 3
y x x  2  m  2 2 ' 4 4 1
 0  x  0, x  1 m
hàm số có 3 cực trị  1  m  1. Khi đó tọa độ điểm cực đại là A 0;1 m , tọa độ hai điểm cực tiểu là B  2 2   mm C  2 2 1 ; 1 ,
1 m ; 1 m  1
diện tích tam giác ABC là Sd A BC BC   m
 . Dấu “=” xày ra khi m  0 ABC  ; . 1 2 2 1 2 ĐS: m  0 10
Ví dụ 4) Cho hàm số 4 2
y x  2mx  2 có đồ thị (Cm). Tìm tất cả các giá trị của tham số m
để đồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua  3 9  D ;    5 5  Giải: Có 3
y '  4x  4mx  0  x  0; x   m m  0 . Vậy các điểm thuộc đường tròn (P)  3 9 
ngoại tiếp các điểm cực trị là A0; 2, B  2
m; m  2,C  2
m; m  2, D ;   .  5 5  Gọi I  ;
x y  là tâm đường tròn (P)  2 2 IA ID
3x y 1  0   2 2 
 IB IC  2x y  2  x m
x  0; y  1; m  0(L), m  1  2 2  IB IA  
x m2  y m  22  x  y  22 2 2 
Vậy m  1 là giá trị cần tìm.
Phần hai: Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến và các đường tiệm cận
*) Xét hàm số y f (x) .Giả sử M (x ; y ) là tiếp điểm khi đó tiếp tuyến tại M có dạng 0 0
y f '(x )(x x )  y (1) ( Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát ta thường biểu diễn y theo 0 0 0 0 dạng f (x ) ) 0 2x 1
Ví dụ: Xét điểm M bất kỳ thuộc đồ thị hàm số y
khi đó điểm M có toạ độ là x 1 2x 1 0 M (x ; ) 0 x  1 0
*) Ta gọi hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm M là k f '(x ) 0
*) Đường thẳng  bất kỳ có hệ số góc k đi qua M (x ; y ) có dạng y k (x x )  y . Điều kiện 0 0 0 0
để  là tiếp tuyến của hàm số y=f(x) là hệ phương trình sau có nghiệm
k(x x )  y f (x) 0 0 
k f '(x) 
Khi đó số nghiệm của hệ cũng chính là số tiếp tuyến kẻ được từ điểm M đến đồ thị hàm số y=f(x)
*) Mọi bài toán viết phương trình tiếp tuyến đều quy về việc tìm tiếp điểm sau đó viết phương trình theo (1)
*) Các dạng câu hỏi thường gặp trong phần này là
1) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b:
+ Xét hàm số y=f(x). Gọi M (x ; y ) là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng 0 0
y f '(x )(x x )  y (1). Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k f '(x ) 0 0 0 0
+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b nên k f '(x )  a . Giải phương trình tìm x 0 0
sau đó viết phương trình tiếp tuyến theo (1) 11
f '(x )  f '(x )
Chú ý: Điều kiện cần để tiếp tuyến tại A song song với tiếp tuyến tại B là A BxA xB 2x  1
Ví dụ 1) Cho hàm số y
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) biết tiếp tuyến x  1
cách đều hai điểm A(2;4), B(-4;-2) 1 2x 1
Giải : Gọi x là hoành độ tiếp điểm (x  1  ) , PTTT là 0 y   0 0  x  2
1  x x x 1 0 0 0
Vì tiếp tuyến cách đều 2 điểm A,B nên tiếp tuyến đi qua trung điểm I của AB hoặc song song với AB hoặc trùng với AB. 1 2x
Nếu tiếp tuyến đi qua trung điểm I(-1;1) của AB thì ta có:1  1   x   x  1 2  0  0  x   0 1 x  1 0 0 1 5
Suy ra phương trình tiếp tuyến là y x  4 4
Nếu tiếp tuyến song song với AB hoặc trùng với AB thì tiếp tuyến có hệ số góc là 2  ( 4)  1  x  0 0 k   1   1   4  ( 2)   x  2 1 x  2  0 0
Với x  0 ta có PTTT là y x 1; với x  2
 ta có PTTT là y x  5 0 0 1 5
Vậy có 3 PTTT thỏa mãn y x
; y x 1; y x  5 4 4 x 1
Ví dụ 2) Cho hàm số y x  2
Tìm trên đồ thị (C) 2 điểm A và B sao cho AB  8 , tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A và B song song với nhau.  a 1   b 1 
Giải : Giả sử điểm cần tìm là A a; , B b;   
 theo giả thiết ta có hệ:  a  2   b  2  a b
f 'a  f 'b
a b  4      a 1 b 1   
 a b2    8     1    a 1 b 1 
a b2 1   8   ab 2a b 4        12 a b  4  
a b  4   1  từ đó tìm được A,B    16  4ab 1  8 ab  1       ab  4  2
(3m 1)x m m
Ví dụ 3) Cho hàm số y (Cm) x m
Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm) với trục Ox song song với đường thẳng
(d): y x 1 Giải : 2 4m Ta có y '  2 (x m) 2 m m
Giao điểm của (Cm) và trục Ox là ( A
; 0) . Tiếp tuyến tại A của (Cm) song song với 3m 1 2 m  1 2  m m   3m 1  y x 1 y ' 1 1             1 3m 1    2m   m    5
Khi m=1. Phương trình tiếp tuyến là y x 1 (loại) vì tiếp tuyến trùng với đường thẳng (d) 1 3 Khi m  
. Phương trình tiếp tuyến là : y x  (TMĐK) 5 5 1 KL : m   5
Qua ví dụ này các em học sinh cần lưu ý: Kiểm tra điều kiện đủ khi tìm ra giá trị tham số,
Đây là sai lầm hay mắc phải của học sinh khi giải toán.
Ví dụ 4) Cho hàm số 3
y x  3x  2 (C)
Tìm trên (C) các điểm A,B phân biệt sao cho các tiếp tuyến với (C) tại A,B có cùng hệ số
góc đồng thời đường thẳng đi qua A và B vuông góc với đường thẳng d: x y  5  0 Giải :
Giả sử các tiếp tuyến với (C) tại A,B có cùng hệ số góc k. Để tồn tại hai tiếp tuyến tại A,B phân biệt thì phương trình 2
y '  3x  3  k phải có hai nghiệm phân biệt  k  3  x 3 
y x  3x  2 y    2
3x  3  2x  2
Ta có tọa độ các điểm A,B thỏa mãn hệ:   3  2 3
x  3  k 2 
3x  3  k   kxk    ky   2x  2   2 x  2 y   2 x  2        3   3     3   2  2 3x  3  k 3x  3  k    kk
 phương trình đường thẳng AB: y   2 x  2  
. Để AB d
 2  1  k  9 (thỏa mãn)  3  3 13 3 3 
y x  3x  2 
y x  3x  2
Vậy tọa độ các điểm A,B thỏa mãn:   
A2;4, B  2;  0 2 3  x  3  9 x  2   
Ví dụ 5) Cho hàm số 3
y x  m   2
1 x  m   1 x 1 (1)
Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt Ox ở 3 điểm phân biệt A(1;0), B, C sao cho các
tiếp tuyến tại B,C song song nhau. Giải:
Xét phương trình y    x   2 x mx   2 0 1
1  0(gt)  pt : x mx 1  0 có 2 nghiệm phân m  0 biệt khác 1  
. Gọi x , x là nghiệm đó  x x và x x m . 2 B C B C B C   m  4  0 
Yêu cầu bài toán  y 'x   y ' x BC  2  x m
x m   x m
x m   x xx xm    B   2 3 2 1 1 3 2 B C   1 1 CB C  3 B C  2  1 0   2m   1  x x
m m  2 B C 3 2x  2m  1
Ví dụ 6) Cho hàm số y  C x m 1 m
Cho A(1;2). Tìm các giá trị của m sao cho tồn tại đường thẳng qua A cắt đồ thị Cm tại hai
điểm phân biệt M,N mà các tiếp tuyến tại M,N của đồ thị song song với nhau. Giải: 3 Ta có: y ' 
. Giả sử M x ; y , N x ; y C x x
. Tiếp tuyến tại M và N song 1 1   2 2  m  1 2 
x m  2 1 3 3 song  
x m 1  x m 1  x x  2m  2 (1)  x m 1 x m 1 1 2  2 2 1 2 1 2
Ta thu được  x 1 x m 1  x 1 x m 1 1  1   2  2 
và chú ý x m 1  (x m 1)  x 1   x 1  x x  2 . Cùng với (1)  m  0 1 2 1  2  1 2
2) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b
+ Xét hàm số y=f(x). Gọi M (x ; y ) là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng 0 0
y f '(x )(x x )  y (1). Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k f '(x ) 0 0 0 0 1
+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b nên k f '(x )   . Giải phương trình tìm 0 a
x sau đó viết phương trình tiếp tuyến theo (1) 0
+ Chú ý : Điều kiện cần để tiếp tuyến tại A vuông góc với tiếp tuyến tại B là:
f '(x ). f '(x )  1 A B  xA xB Ví dụ 1) Cho C(m): 3 2
y f (x)  x  3x mx  1
a) Tìm m để C(m) cắt đường thẳng y=1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D, E.
b) Tìm m để các tiếp tuyến với C(m) tại D và E vuông góc với nhau. 14
Giải: a) Xét Cm   y  
1 với phương trình tìm hoành độ giao điểm x  0 3 2
x  3x mx 1  1  x  2
x  3x m  0   C(0;1)  2
g(x)  x  3x m  0 
Yêu cầu bài toán  x , x là 2 nghiệm phân biệt khác 0 của g(x)=0 D E  9
  9  4m  0 m  9     4  0  m  (*) g(0)  m  0 4  m  0  b) Đạo hàm: 2 y (
x)  3x  6x m . 9
Với điều kiện 0  m
thì các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau. 4
   yx yx   2 x
x m 2 1 ( ). ( ) 3 6 3x  6x m D E D D E E   3g x
x m   g xx m   x m x m D  3 2 D  3  E  3 2 D  3 2 D 3 2 E     
 9x x  6m x x
m m m   m m D ED E  2 4 9 6 . 3 2 2 4 4 9 9  65 2
 4m  9m 1  0  m
thoả mãn điều kiện (*) 8 2 5 Cho hàm số 3 y  
x  m   2
1 x  3m  2 x  có đồ thị (Cm), m là tham số. 3 3
Ví dụ 2) Tìm m để trên (Cm) có 2 điểm phân biệt M x ; y , M x ; y
thỏa mãn x .x  0 1  1 1  2  2 2  1 2
và tiếp tuyến của (Cm) tại mỗi điểm đó vuông góc với đường thẳng d : x  3y 1  0 1
Giải: Ta có hệ số góc của d : x  3y 1  0 là k
. Do đó x , x là nghiệm của phương trình d 3 1 2 y’=-3 Hay 2
x  m   2 2 2
1 x  3m  2  3  2x  2 m  
1 x  3m 1 (1)
Yêu cầu bài toán  phương trình (1) có hai nghiệm x , x thỏa mãn x .x >0 1 2 1 2
 '  m  2 1  2 3m   1  0 m  3        1 3  m 1 1  0   m      3  2 1
Vậy kết quả bài toán là m  3 và 1   m   . 3 3 x
Ví dụ 3) Cho hàm số 2 y
 2x  3 (C) và đường thẳng (d) có hệ số góc k đi qua A(0;3) 3
Tìm k để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt sao cho các tiếp tuyến tại 3
giao điểm đó cắt nhau tạo thành một tam giác vuông. Giải:
Hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d) là 3 xx  0 2 x
x   kx    2 2 3 3
x  6x  3k   0   . Điều kiện là phương 3 3 2
g(x)  x  6x  3k  0  15 trình 2
g(x)  x  6x  3k  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0.  '  0 9   3k  0 k  3       g(0)  3  k  0 g(0)  3  k  0 k  0   
Tại x=0 tiếp tuyến song song với trục Ox do đó để 3 tiếp tuyến cắt nhau tạo thành một tam giác
vuông thì điều kiện là 2
g(x)  x  6x  3k  0 có 2 nghiệm x ; x sao cho f '(x ). f '(x )  1 1 2 1 2   2
x  4x  2 x  4x  2 2  1   x x
 4x x (x x ) 16x x 1  0 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x  6  Theo định lý Viets ta có 1 2 x .x  3  k  1 2   Thay vào ta có: 2 2 4 15
9k  72k  48k 1  0  9k  24k 1  0  k  3 4  15
Kết hợp điều kiện suy ra k  3
3) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua M (x ; y ) M M
+ Gọi k là hệ số góc của đường thẳng  đi qua M . Phương trình của  là y k(x x )  y M M
k(x x )  yf (x)
+ Điều kiện để  là tiếp tuyến của y=f(x) là hệ sau có nghiệm M M  . Giải hệ
k f '(x) 
tìm x ta có hoành độ của các tiếp điểm sau đó viết phương trình tiếp tuyến  19 
Ví dụ 1) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A ; 4 
đến C  3 2
: y f (x)  2x  3x  5  12   19   19 
Giải: Đường thẳng đi qua A ; 4 
 với hệ số góc k có phương trình y k x   4   tiếp xúc  12   12    19 
f (x)  k x   4  
với C  : y f (x)    12  có nghiệm
f (x)  k   19   19 3 2 
f (x)  f (  x) x
 4  2x  3x  5  6x    x   1 x   4    12   12   19   17    x   1 2x  
1  6x x   1 x      x   2 1 4x x 1  0    12   2    19 
x  1  t : y yx   4  y  4  1  1    1    12     19 
x  2  t : y yx
 4  y  12x 15  2  2  2    12    1  19  21   19   x
t : y yx   4  y x   4 3  3  3     8   12  32  12 
4)Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc 16
+ Xét hàm số y=f(x). Gọi M (x ; y ) là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng 0 0
y f '(x )(x x )  y (1). Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k f '(x ) 0 0 0 0
f '(x )  tan
+ Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc 0
f '(x )  tan  Giải tìm x sau 0
f '(x )   tan 0  0
đó viết phương trình tiếp tuyến theo (1). 3x  2
Ví dụ 1) Cho (C): y
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với trục hoành góc x 1 450
Giải: Do tiếp tuyến của (C) tạo với Ox góc 450 nên hệ số góc k của tiếp tuyến thoả mãn 1  0
k tg 45  1  k  1  . Vì y (  x)   0 x
  1 nên k=-1. hoành độ tiếp điểm là nghiệm  x  2 1 1 
x  0  y  2 của phương trình 1 1 y (  x)  1   1    x  2 1
x  2  y  4  2 2
Phương trình tiếp tuyến tại x1=0 là y=-1(x-0)+2=-x+2
Phương trình tiếp tuyến tại x2=2 là y=-1(x-2)+4=-x+6. x  3
Ví dụ 2) Cho hàm số y
có đồ thị là (H).Viết phương trình tiếp tuyến tại M trên 2(x 1)
(H) sao cho tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại A, B và đường trung trực của AB đi qua gốc tọa độ
Giải: Do tam giác OAB vuông tại O và trung trực của AB đi qua gốc tọa độ nên tam giác OAB
vuông cân tại O suy ra tiếp tuyến tạo với Ox góc 450 4 
Suy ra f '(x )   1  x  0 à v x  2 0 0 0 4  x  2 1 0 3 5
Từ đó viết được 2 phương trình tiếp tuyến là y   x
và y   x  2 2
5) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng y=ax+b một góc
+ Xét hàm số y=f(x). Gọi M (x ; y ) là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng 0 0
y f '(x )(x x )  y (1). Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k f '(x ) 0 0 0 0
k a  tan k a   1 ka
+ Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y=ax+b một góc   tan   1 ka k a    tan 1 ka
(Với k f '(x ) ) Giải tìm x sau đó viết phương trình tiếp tuyến theo (1). 0 0 4x  3
Ví dụ 1) Cho (C): y
. Viết phương trình tiếp tuyến tạo với  :y=3x góc 450. x 1
Giải: Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k, khi đó do tiếp tuyến tạo với  :y=3x góc 450 nên 17 k  2 k  3
k  3  1 3k 0 tg 45 1       1 1 k.3
k  3  1 3kk    2
* Với k=-2, xét đường thẳng y=-2x+m tiếp xúc (C) 4x  3 
 2x m hay 4x-3=(-2x+m)(x-1) có nghiệm kép x 1
 2x  2  mx m  3  0    2  m2 2
 8m  3  0 2
   m 12m  28  0  m  6  2 2 1  1  * Với k=
xét đường thẳng y
x m tiếp xúc (C) 2 2 4x  3 1   
x m hay 2(4x-3)=(-x+2m)(x-1) có nghiệm kép x 1 2
x   x   x m       m  2 2 2 7 2 6 0 2 7
 4 2m  6  0 2
   4m  36m  73  0 vô nghiệm.
Vậy chỉ có 2 tiếp tuyến y  2x  6  2 2 tạo với y=3x góc 450.
6) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến cắt hai trục toạ độ tại A, B sao cho tam giác
OAB vuông cân hoặc tam giác OAB có diện tích bằng một số cho trước.
+ Xét hàm số y=f(x). Gọi M (x ; y ) là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng 0 0
y f '(x )(x x )  y (1). Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k f '(x ) 0 0 0 0
+ Tiếp tuyến cắt 2 trục Ox, Oy tại A, B thì tam giác OAB luôn vuông, để OAB là tam giác
vuông cân thì tiếp tuyến phải tạo với Ox một góc 0
 45 và tiếp tuyến không đi qua gốc toạ độ
+ Viết phương trình tiếp tuyến theo dạng (4). Sau đó chỉ chọn những tiếp tuyến không đi qua gốc toạ độ
+ Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích cho trước thì ta tìm các 1
giao điểm A,B sau đó ta tính diện tích tam giác vuông OAB theo công thức SO . A OBOAB 2 2x
Ví dụ 1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
biết tiếp tuyến cắt x  2
Ox,Oy lần lượt tại A,B mà tam giác OAB thỏa mãn: AB OA 2 . Giải:
Cách 1: Gọi M  0 x ; 0 y , 0
x  thuộc đồ thị hàm số. PTTTd tại M có dạng: 2 0 x 4 y    x  0 x  . x  2  x  22 0 0
Do tiếp tuyến cắt trục Ox,Oy tại các điểm A,B và tam giác OAB có AB OA 2 nên tam giác
OAB vuông cân tại O. Lúc đó tiếp tuyến d vuông góc với 1 trong hai đường phân giác y x
hoặc y   x 4 
+TH1: d vuông góc với đường phân giác y x có:  1   0 x  0  0 x  4  x  22 0 18 Với 0
x  0  d : y  x (loại) Với 0
x  4  d : y  x  8 4
+TH2: : d vuông góc với đường phân giác y   x có:  1  PT vô nghiệm  x  22 0
Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán d : y  x  8 OA 1
Cách 2: Nhận xét tam giác AOB vuông tại O nên ta có: sin  ABO    sin nên tam AB 2 4
giác AOB vuông cân tại O. PTTT của (C) tại M   0 x ; 0 y  có dạng: 4 2x 2  x   2 2xy    x x  0 0 0    0 
. Dễ dàng tính được A   ;0  và B 0;    2 x  22   0 x  2 2   0 x  2 0   
Yêu cầu bài toán lúc này tương đương với việc tìm 0
x là nghiệm của phương trình: x2 2 2x 0 0 3   0 x  0 x  4  0 2  x  22 0 Với 0
x  0 ta có PTTT là: y x  0 Với 0
x  4 thì PTTT là: y  x  4 4 1
Ví dụ 2) Cho hàm số 3 2 y
x  (2m 1)x  (m  2)x (Cm) 3 3
Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm) với trục tung cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại A, 1
B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 18 1 1
Ta có B(0; ) tiếp tuyến tại B của (Cm) là y  (m  2)x
(d) . Đường thẳng (d) cắt trục Ox tại 3 3 1 ( A ; 0) 3m  6 1 1 1 1 1 m  1
Diện tích tam giác OAB là S  . OA OB  . . 
m  2  1   2 2 3 3m  6 18 m  3 
7) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến biết tiếp tuyến cắt 2 đường tiệm cận tạo thành
một tam giác có diện tích cho trước hoặc tạo thành một góc cho trước.
+ Xét hàm số y=f(x). Gọi M (x ; y ) là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng 0 0
y f '(x )(x x )  f (x ) . 0 0 0
+ Tìm các giao điểm của tiếp tuyến với các đường tiệm cận sau đó căn cứ vào điều kiện để giải quyết
+ Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt 2 tiệm cận ngang và tiệm cận đứng tại A, B mà tam giác IAB
vuông cân ( Với I là giao điểm 2 tiệm cận) thì ta quy về việc viết phương trình tiếp tuyến biết
tiếp tuyến tạo với tiệm cận ngang một góc 0
45 ) Chú ý rằng tiếp tuyến không được đi qua giao
điểm 2 đương tiệm cận vì khi đó sẽ không hình thành một tam giác) 19
+ Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang tại A, B tạo thành tam giác IAB 1
có diện tích cho trước thì ta tìm các giao điểm A, B sau đó dùng công thức SI . A IB OAB 2
+ Chú ý: Góc tạo bởi tiếp tuyến và đường tiệm ngang hoặc tiệm cận đứng cũng chính là góc tạo
bởi tiếp tuyến và các trục Ox, Oy 2mx  3
Ví dụ 1) Cho hà số y
. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm m để tiếp tuyến x m
bất kỳ của hàm số cắt hai tiệm cận tại A,B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 64.
Giải: Dễ thấy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x m và đường
tiệm cận ngang là y  2m . Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là: I m, 2m  2mx  3  Gọi 0 M  0 x ;
 (với x m ) là điểm bất kỳ thuộc đồ thị hàm số đã cho. 0  0 x m  2 2m  3 2mx  3
PTTT của đồ thị hàm số tại điểm này là y    x x  0 0  x m2 0 x m 0 2 
2mx  2m  6 
Tiếp tuyến này cắt tiệm cận đứng tại 0 A ; m
 và cắt tiệm cận ngang tại   0 x m   2 2 2mx  2m  6 4m  6 B 2 0 0 x  ;
m 2m . Ta có IA   2m  ; IB  2 0
x m m  2 0 x m 0 x m 0 x m 1
Nên diện tích tam giác IAB là 2 S I .
A IB  4m  6 2
Bởi vậy yêu cầu bài toán tương đương: 2 58
4m  6  64  m   2 x
Ví dụ 2) Cho hàm số y
. Viết PTTT của đồ thị (H) của hàm số đã cho biết tiếp tuyến x 1
tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bằng 22  2  . Giải:
Cách 1: Đường tiệm cận của đồ thị là x  1, y  1 . Gọi PTTT của (H) tại M x ; y là: 0 0  1
  x x0  x0 y    x  2 x 1 1 0 0 x 1  x 1  Khi 0 0
x  1  y   A 1; 
 . Khi y  1  x  2x 1  B 2x 1;1 ; I 1;1 0  0    x 1 x 1 0  0  20 2 x 1  x 1   P
IA IB AB  1 2x  2  x      ABC 2 22 0 0 1 2 2 2 0 0       x 1 x 1 0  0 
 2  2  x  2 1   x  4 1  4  2 2  2 x 1 0 0   0 
x 1  0 L 0      21 2  2  x  2 1  2  2
x 1  2 2  2  0 0    0    
Cách 2: Phương trình tiệm cận đứng x  1 , phương trình tiệm cận ngang y  1  a  1  a Gọi M a; 
 , PTTT tại M : y
x a   a 1  a  2 a 1 1  a 1 
Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận đứng là A 1;    a 1 
Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang là B 2a 1;  1 2 2 1
Chu vi tam giác IAB là C IA IB AB
 2 a 1  2 a   1   4  2 2 a 1 a  2 1
Dấu “=” xảy ra khi a 1  1 tức a  0; a  2 .
Với a  0  y  x
Với a  2  y  x  4 KL: y   ;
x y  x  4 là 2 tiếp tuyến cần tìm. 3x  2
Ví dụ 3) Cho hàm số y
C. Gọi I là giao của 2 đường tiệm cận của đồ thị. Viết x 1
PTTT d của đồ thị hàm số biết d cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B thỏa mãn: 5 ˆ cos BAI 26
Giải: Xét điểm M x ; y , x  1
  C là tiếp điểm của tiếp tuyến d. 0 0  0   3x  2 5 PTTT tại d có dạng: 0 y    x x 0  x  1  x  2 0 1 0
Do tiếp tuyến d cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt tại A và B và IAB có 5 ˆ 1 1 1 cos BAI  nên 2 ˆ ˆ ˆ tan BAI  1   tan BAI   tan ABI  5 26 2 ˆ cos BAI 25 5 5 Lại có ˆ
tan ABI là hệ số góc của tiếp tuyến d mà y ' x   0 nên 0   x  22 0 5
 5   x  2 1
 1  x  0  x  2  0 0 0  x  2 1 0
Với x  0 có PTTT d: y  5x  2 0 21
Với x  2 có PTTT d: y  5x  2 0
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán có pt như trên. 2x 1
Ví dụ 4) Cho hàm số : y 
có đồ thị là C  . x 1
Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của C  .Tìm trên đồ thị C  điểm M có hoành
độ dương sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị C  cắt hai đường tiệm cận tại A và B thoả mãn : 2 2
IA IB  40 Giải:  2x 1 
TCĐ d : x  1
 ,TCN d : y  2  I 1; 2 .Gọi 0 M x ;
 C , x  0 0  2  1   0  x 1  0  3 2x 1
Phương trình tiếp tuyến với C  tại M :  : y x x  2  0  0  x   1 x 1 0 0    2x  4        d  0  A 1  ;  ,   dB 2x 1; 2 1    2    0  x  1    0    36  4 x 1  40   2  0 2
x 1 10 x  1  9  0 2 2  0 4  0 2
IA IB  40   x 1  0    x  0  0 x  0  0
x  2  y  1  M 2;  1 . 0  0
8) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang tại A, B mà
chu vi tam giác IAB nhỏ nhất
*) Để giải quyết dạng bài tập này học sinh cần nắm được một kết quả quan trọng sau: (Trong
hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất tiếp tuyến bất kỳ cắt 2 tiệm cận tại A,B thì diện tích tam
giác IAB không đổi). Vận dụng kết quả này ta có 2 2 C
IA IA AB IA IB IA IB  2 I . A IB  2I .
A IB  (2  2 )I .
A IB . Vì diện tích IAB
tam giác IAB không đổi suy ra IA.IB không đổi. Từ đó ta có Chu vi tam giác IAB min khi
IA=IB. Giải điều kiện tìm M sau đó viết phương trình tiếp tuyến x  2
Ví dụ 1) Cho hàm số y
. Viết PTTT của đồ thị biết tiếp tuyến cắt 2 tiệm cận tại A,B x 1
sao cho bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất. với I là giao 2 tiệm cận.
Giải: Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng x  1
 và tiệm cận ngang là đường
thẳng y  1. Giao điểm hai đường tiệm cận I 1; 
1 . Giả sử tiếp tuyến cần lập tiếp xúc với đồ thị 3 x  2
tại điểm có hoành độ 0
x , PTTT có dang: y   x x  0 0   x  2 1 0 x  1 0  x  5 
Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng x  1  tại điểm 0 A 1  ; 
 và cắt tiệm cận đứng tại điểm  0 x 1  22 x  5 6 B 2 0 0 x 1;  1 . Ta có: IA  1  ; IB  2 0 x 1   1  2 0 x 1 0 x 1 0 x 1 6 1 Nên I . A IB  .2 0
x 1  12 . Do vậy diện tích tam giác IAB là S I . A IB  6 0 x  1 2 S 6
Gọi p là nửa chu vi tam giác IAB, thì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác này là r   p p
Bởi vậy, r lớn nhất khi và chỉ khi p nhỏ nhất, mặt khác tam giác IAB vuông tại I nên: 2 2
2 p IA IB AB IA IB IA IB  2 IA IB  2I . A IB  4 3  2 6
Dấu “=” xảy ra khi IA IB   x  2 0 1
 3  x  1 3
Với x  1 3 ta có tiếp tuyến 1
d : y x  21 3
Với x  1 3 ta có tiếp tuyến d
2 : y x  2 1 3  2x 1
Ví dụ 2) Cho Hypebol (C): y
và điểm M bất kỳ thuộc (C). Gọi I là giao điểm của x 1
tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B.
a) CMR: M là trung điểm của AB b) CMR: dt IAB   o c nst
c) Tìm M để chu vi IABnhỏ nhất. Giải: TCĐ: x=1 TCN: y=2
Giao điểm 2 tiệm cận là I(1;2) 2x 1 1 y =  2  x 1 x 1  1  Gọi M , m 2     (c).  m 1 
Tiếp tuyến tại M là (t): y = , y (m) (x-m) + y(m) 1 1  (t) : y  (x  ) m  2  2 (m 1) m 1  2 
* (t)  (TCĐ: x =1) = A 1, 2  
 ;(t)  (TCN: y = 2) = B(2m – 1, 2)  m 1  x x Ta có : A
B m x và A,M,B thẳng hàng nên M là trung điểm AB 2 M 1 1 1 2 1 2 * dt(  IAB)= IA . IB = y y x x  2(m 1) 
.2(m 1)  2 (đvdt) 2 2 A I B I 2 m 1 2 m 1 Ta có IA . IB = 4 ;
Chu vi (  IAB) = IA + IB + AB= 2 2
IA IB IA IB  2 I . A IB  2I . A IB  2(2  2 ) 23
m  0  M (0, 1)
Dấu bằng xảy ra  IA = IB = 2  m 1  1  1
m  2  M (2,3)  2
9) Tìm điều kiện để qua điểm M x ; y
cho trước kẻ được n tiếp tuyến đến đồ thị y=f(x) M M
+ Xét đường thẳng  có hệ số góc k đi qua điểm M  PT () : y k(x x )  y M M
k(x x )  yf (x)
+ Điều kiện để  là tiếp tuyến của y=f(x) là hệ sau có nghiệm M M  (*)
k f '(x) 
+ Để qua điểm M kẻ được n tiếp tuyến đến đồ thị thì hệ (*) phải có n nghiệm thế phương trình
(2) vào (1) dùng phương pháp hàm số để tìm điều kiện
+ Chú ý: Trong việc xác định toạ độ M học sinh cần linh hoạt VD: Điểm M thuộc đường thẳng y=2x+1 thì M ( ;
a 2a 1) , Điểm M thuộc đường thẳng y=2  M ( ; a 2) ……
Ví dụ 1) Cho đồ thị hàm số (C): y f x 4 2
x x 1. Tìm các điểm A Oy kẻ được 3 tiếp
tuyến đến đồ thị (C).
Giải: Lấy bất kỳ A(0;a)(C). Đường thẳng đi qua A(0;a) với hệ số góc k có phương trình
f (x)  kx a
y=kx+a tiếp xúc với đồ thị (C)   có nghiệm (*) f (  x)  k
 Điều kiện cần: Để ý rằng f (x)  f (x) x
  R f (x) là hàm chẵn  đồ thị (C)
nhận Oy làm trục đối xứng. Do A(0;a)trục đối xứng Oy nên nếu từ A(0;a) kẻ được bao nhiêu
tiếp tuyến đến nhánh bên trái của (C) thì cũng kẻ được bấy nhiêu tiếp tuyến dến nhánh bên phải
của (C). Suy ra tổng số các tiếp tuyến có hệ số góc k  0 luôn là 1 số chẵn. Vậy dể từ A(0;a) kẻ
được 3 tiếp tuyến dến (C) thì điều kiện cần là hệ phương trình (*) có nghiệm k=0. 4 2
x  0; a  1 
x x 1  kx  1 
Thế k=0 vào hệ (*)     1 3 3 2
4x  2x  0 x  ; a     2 4  Điều kiện đủ: 4 2 4 2 
x x  1  kx 1 x x    3
4x  2xx     3 3
4x  2x k
4x  2x k    Nếu a=1 thì (*) x  0; k  0 2  x   2 x  
x  0; k  0 3 1  0  1 2     1 2   x  ; k x    2   2 2  x  ; 1 k k x x    3 3 3   3 3   1 2  x  ; k    3 3 3
Vậy từ A(0;1) kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) 24  3  3 4 2 4 2
x x  1  kx
x x 1   3
4x  2xx    4   4 3 3   3
4x  2x k
k  4x  2x   Nếu a  thì (*) 4  1  1 4 2 4  1 2 3x x   0 x    x   4   2    2 k 2x  2 x  1 k 2x  2 x  1      k  0     3  Vậy từ A 0; 
 chỉ kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C).  4 
Kết luận: Từ các điều kiện cần và đủ  Đáp số: A(0;1)
Ví dụ 2) Tìm trên đường thẳng y=2x+1 các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến x  3 (C): y . x 1
Giải: Lấy bất kỳ A(a;2a+1)y=2x+1. Đường thẳng đi qua A(a;2a+1) với hệ số góc k có phương x  3 x  3
trình y=k(x-a)+2a+1 tiếp xúc với C  : y
k x a  2a 1  x 1 x 1
hay kx  ak  2a   1   x   1  x  3   có nghiệm kép 2  kx    a  
1 k  2ax  ak  2a  4  0     có nghiệm kép 2
k  0 và   a  
1 k  2a  4k ak  2a  4  0     2
k  0 và g k  a   2 k   2 a a   2 ( ) 1 . 4
4 .k  4a  0
Qua A(a;2a+1) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)  g(k)  0 có đúng 1 nghiệm kép k  0     2 a a   2 a  0 32
2  0; g(0)  4a  0 a  1     32 2 a a  2 2
 0; g(0)  4a  0  a  2 1
a 1  0  16k  4  0  k   a  1 4 vậy có 4 điểm A 1
 ; 1 , A 0;1 , A 1;3 , A 2;5 nằm trên dường thẳng y=2x+1 và kẻ được 1   2   3   4  
đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Ví dụ 3) Cho hàm số 3 2
y x  2x  (m 1)x  2m (Cm)
Tìm m để từ điểm M(1;2) kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (Cm) Giải:
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ta có phương trình tiếp tuyến là(d) : y k(x 1)  2 . Vì (d) là 3 2 
y k(x 1)  2  x  2x  (m 1)x  2m
tiếp tuyến nên hệ phương trình sau có nghiệm   2
k  3x  4x  (m 1)  3 2
2x  5x  4x  3(m 1)  0
Để qua M kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (Cm) thì phương trình 3 2
f (x)  2x  5x  4x  3(m 1)  0 (*) có đúng hai nghiệm phân biệt. Ta có 25 x  1 2 f '(x) 6x 10x 4 f '(x) 0       
2 . Từ đó tính được hai điểm cực trị của hàm số là x   3  2 109 
A1; 4  3m, B ;  3m
 . Ta thấy phương trình (*) có đúng hai nghiệm phân biệt khi một  3 27  4 109
trong hai điểm cực trị nằm trên trục hoành. Từ đó tìm được m  hoặc m  3 81
Ví dụ 4) Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). 3
y   x  3x  2
Giải: Lấy bất kỳ A(a;0) Ox. Đường thẳng đi qua A(a;0) với hệ số góc k có phương trình 
f (x)  k x a
y=a(x-a) tiếp xúc với (C):y=f(x)  Hệ phương trình  có nghiệm  f (  x)  k
f (x)  f (
x)  x a
f (x)  f (
x)  x a 3 2
 0  2x  3ax  3a  2  0   x   2
1 2x  3a  2 x  3a  2  0   x   1 g(x)  0  
Từ điểm A(a;0) kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)  g(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt và khác (-1)     
a   a     a 2 3 2 3 6 0      2 g( 1  )  6  a   1  0 1   a     3
Phần ba: Các bài toán về sự tương giao của 2 đồ thị
1) Các bài tập liên quan đến phép biến đổi đồ thị
+ Từ đồ thị y=f(x) suy ra đồ thị y=|f(x)| bằng cách: Giữ nguyên phần đồ thị của y=f(x) nằm trên
trục Ox; Lấy đối xứng của phần đồ thị y=f(x) nằm dưới trục Ox qua trục Ox.
+ Từ đồ thị y=f(x) suy ra đồ thị y=f(|x|) bằng cách: Giữ nguyên phần đồ thị y=f(x) nằm bên phải
trục Oy, Lấy đối xứng của phần đồ thị bên phải Oy qua trục Oy( Chú ý y=f(|x|) là hàm chẵn nên
nhận trục Oy làm trục đối xứng)
+ Từ đồ thị y=f(x) suy ra đồ thị y=|h(x)|.g(x) với h(x).g(x)=f(x) bằng cách.
f (x)khih(x)  0 + Ta thấy y |
h(x) | .g(x)  
Từ đó ta suy ra cách vẽ đồ thị hàm số
f (x)khi(x)  0  y |
h(x) | .g(x) như sau:Lấy phần đồ thị y=f(x) khi (
h x)  0 . Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị y=f(x) khi ( h x)  0
2) Tìm điều kiện để hàm số y=f(x) tiếp xúc với y=g(x)
+ Điều kiện để hàm số y=f(x) tiếp xúc với đồ thị y=g(x) là hệ phương trình sau có nghiệm
f (x)  g(x)
f '(x)  g '(x) 
+ Điều kiện để hàm số y=f(x) tiếp xúc với trục Ox là hệ sau có nghiệm  f (x)  0  f '(x)  0  26
3) Điều kiện tương giao của hàm số bậc 3: y=ax3+bx2+cx+d
* Khi giải các bài tập về tương giao đường thẳng y=mx+n và đồ thị hàm số y=ax3+bx2+cx+d
ta thường sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm tách phương trình tạo dạng tích: (x  0
x ).G(x)  0 trong đó G(x) là tam thức bậc 2 theo x. Từ đó ta biện luận theo pt G(x)=0.
Tuy nhiên trong một số bài toán ta không thể nhẩm được nghiệm. Khi đó ta cần sử dụng các
điều kiệ tương giao sau để giải toán.
+ Hàm số : y=ax3+bx2+cx+d cắt trục Ox tại đúng một điểm khi và chỉ khi hàm số luôn đồng
biến hoặc luôn nghịch biến hoặc hàm số có cực đại và cực tiểu cùng dấu
f '(x)  0 x
f '(x)  0  x x x x   0 1 2  f '(x) Tức là     0 hoặc   '( )  f '(x)  0 f x x   f . f  0   f x f xCD CT ( ). ( ) 0  1 2
+ Hàm số : y=ax3+bx2+cx+d cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi f’(x) có 2 nghiệm
phân biệt x ; x và 1 2
f (x ) f (x )  0 1 2
+ Hàm số : y=ax3+bx2+cx+d cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt khi hàm số có cực đại, cực tiểu
và giá trị cực đại, cực tiểu trái dấu nhau
f '(x)  0 có 2 nghiệm phân biệt x ; x và f (x ). f (x )  0 1 2 1 2
+ Trong trường hợp các nghiệm của phương trình kèm theo điều kiện khác thì ta cần phác
họa dạng đồ thị để kết luận cho chính xác.
Ví dụ 1) Cho hàm số 3 2 2 2
y x  3mx  3(m 1)x  (m 1) (Cm)
Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ dương Giải: Ta có 2 2
y '  3x  6mx  3(m 1)
Để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương thì điều kiện là hàm số có 2 điểm cực trị
nằm về hai phía trục Ox , f(0)<0 và xCĐ>0 Ta có:(1) 2 2
  '  0  9m  9m  9  0  9  0 đúng với mọi m.  x m 1 Khi đó 2
y '  0  x m1  1 Ta có:
y  m   1  1 1    2 m  2m 1 2 
y f ' x. x m  2x    m   1  2 m   1    3 3 
y   m   1  2 m  3 1  
y .y   2 m   1  2 m  3 2 m  2m 1 1 2  f 0    2 m   2
1  0  m 1  0 x x  0  m  1 1 D C   2 m  3 2 m  2m   1  0(*)
Lập bảng xét dấu (*) kết hợp điều kiện m  1
Suy ra tập hợp giá trị m thỏa mãn là 3  m  1 2 27
Ví dụ 2) Chứng minh rằng phương trình 3 2 2 3
x  3(m  1)x  3(m 1)x m 1  0 luôn có nghiệm duy nhất. Giải ; Xem phương trình 3 2 2 3
x  3(m  1)x  3(m 1)x m 1  0 là phương trình hoành độ giao điểm của 3 2 2 3
y x  3(m  1)x  3(m 1)x m 1 và trục hoành.  1 m 1  Ta có 3 2 y y '. x
 2mx m m  
suy ra đường thẳng qua hai cực trị là  3 3  3 2
y  2mx m m
Để phương trình có nghiệm duy nhất thì đồ thị hàm số 3 2 2 3
y x  3(m  1)x  3(m 1)x m 1
cắt trục Ox tại một điểm duy nhất.Tức là 18  m  8  0  '  0   18  m  8  0  '  0   (**)    y .y  0   3 2 2mx
m m  3 2 2  x
m m   0 CD CT CD CT  xx  2(m  1)  CD CT Theo định lý viet:  Thay vào (**) ta có 2 x .xm 1  CD CT  2 m    2 9 m    9  2    mm   2  9 m    2 2 2 3  9 
 4m (m 1)  (m 1) m (4m 1)  0 
Vậy với mọi m phương trình luôn có nghiêm duy nhất.
Ví dụ 3) Giả sử đồ thị hàm số 3 2
y x  6x  9x d cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
x x x . Chứng minh 0  x  1  x  3  x  4 1 2 3 1 2 3
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số với trục Ox là : 3 2
x  6x  9x d  0 (*)
Điều kiện (*) có 3 nghiệm phân biệt là đường thẳng y=d cắt đồ thị hàm số 3 2
y   x  6x  9x
Tại 3 điểm phân biệt, vẽ đồ thị ta suy ra điều kiện 4   d  0 Đặt 3 2
f (x)  x  6x  9x d với 4   d  0
Ta có f (0)  d  0; f (1)  d  4  0; f (3)  d  0; f (4)  d  4  0 . Hàm số f(x) liên tục trên R
suy ra điều phải chứng minh. 4 x
Ví dụ 4) Cho hàm số 2 5 y   3x
có đồ thi (C) và điểm A  C với x a . Tìm các 2 2 A
giá trị thực của a biết tiếp tuyến của (C) tại A cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt B,C
khác A sao cho AC  3AB (B nằm giữa A và C) Giải: 4  aCách 1: Xét 2 5 Aa;  3a   thuộc đồ thị (C) 2 2   28 4 4  a 5  3a 5 PTTT tại A: 2 y    3a     3
2a  6a  x a  y  2a  2 a  3 2 x   3a  2 2 4 2  
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và tiếp tuyến tại A: 4 4 x 5  x
a a   3a 5 3 2 3 x   3a
  x a2 2 2 2  2 2
x  2ax  3a  6  0 2 2 2 2 x a   f   x 2 2
x  2ax  3a  6  0  1 
Để tiếp tuyến tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt B,C khác A thì pt(1) cần có 2 nghiệm phân biệt 2  '  a    2 3a  6  0   3  3  3
x , x khác a     (*) B Cf a 2    a  1 6a 6 0    
Do AB  3AC AB  3AC x  3x  2a (2) C Bx x  2  aB C 3 Theo Viet có  2 x x  3a  6   B C 4
Từ (2) và (3) x  0 và x  2a thế vào (4) có: 2
3a  6  0  a   2 (thỏa (*)) C C Kiểm tra:  3   5   21 
+ Với a  2 có A 2;  , B 0; , C 2 2;  AC  3AB        2   2   2   3   5   21 
+ Với a   2 có A  2;  , B 0; , C 2 2;  AC  3AB        2   2   2 
Vậy a   2 là các giá trị cần tìm của a.
Cách 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) hàm số đã cho tại điểm A với x a là: A 4 a y   3
a a x a 2 5 2 6   3a  2 2
Phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến này với đồ thị (C): 4 4 x 5  x
  a aa 5 3 2 6
x a   3x
  x a2 2 3 2  2 2
x  2ax  3a  6  0 2 2 2 2
Để có 3 giao điểm A,B,C thì phương trình: 2 2
x  2ax  3a  6  0 (*) có 2 nghiệm phân biệt   3  a  3
khác a  a  1   x x  2  aB C
Khi đó hoành độ B,C là hai nghiệm của PT(*) nên   2
x x  3a  6  B C  
Mặt khác AC=3AB (B nằm giữa A và C)  AC  3AB x  3x  2  a C B 29
x  3x  2  ax  0 C B B  
Ta có hệ x x  2
a  x  2
a a   2 thỏa mãn điều kiện B C C  2  2
x .x  3a  6 3a  6  0  B C
Vậy giá trị cần tìm của m là: a   2
Ví dụ 5) Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị C  3
: x  3x  2 tại 3 điểm phân biệt
A,B,C sao cho x  2 A
và BC  2 2
Giải: Giao của (C) và (d) có hoành độ là nghiệm của phương trình: 3 2
x mx   x   x  2 4 6 1 1
4x  6mx   1  0 .
Để PT có 3 nghiệm phân biệt thì 2
4x  6mx 1  0 có 2 nghiệm phân biệt 2 2 2
  '  9m  4  0  m  ; m   3 3 Gọi B  1 x ;  1 x   1 , C  2 x ;  2 x  
1 . Để B và C đối xứng với nhau qua đường phân giác thứ nhất x y
x   x 1 3 2 thì: 1 2 1 2     1 x  2 x  1 
m  1  m   1 y  2 x  2 x   1 x 1 2 3
So sánh với ĐK, thấy không tìm được m thỏa mãn.
Ví dụ 6) Cho hàm số 3 2
y x  3x  4
Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A 1;0 với hệ số góc k k   . Tìm k để đường k
thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm B, C ( B và C khác A ) cùng k
với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1. Giải:
d : y kx k (hay kx y k  0 ). k
Pt hoành độ giao điểm của d và (C): k x x
kx k   x    x  2 3 2 3 4 1 2
k   0  x  1 hoặc  x  2 2  k   k  0
d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt  (d) cắt (C) kk  9  tại A 1
 ;0, B 2  k ;3k k k ,C 2  k ;3k k k  . k 2
BC  2 k 1 k , d O, BC   d  , O dk  2 1 k 1 k 2 3 S  .
.2 k . 1 k  1  k k  1  k  1  k  1 OBC 2 2 1 k
Ví dụ 7) Cho hàm số 3 2
y x  2mx  3(m 1)x  2 (1), m là tham số thực
Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng  : y   x  2 tại 3 điểm phân biệt ( A 0; 2) ; B; C
sao cho tam giác MBC có diện tích 2 2 , với M (3;1). Giải: 30
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với () là: 3 2
x  2mx  3(m 1)x  2  x  2
x  0  y  2   2
g(x)  x  2mx  3m  2  0(2) 
Đường thẳng () cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;2), B, C 
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 m  2 2  ' 0  m 3m 2 0         m  1        g(0)  0  3m  2  0   2 m    3
Gọi B x ; y và C x ; y , trong đó x , x là nghiệm của (2); y  x  2 và y  x  2 2 2  1 1  1 2 1 1 1 2 3 1 2 2S 2.2 2
Ta có h d M ;()  MBCBC    4 2 h 2 Mà 2 2 2 2
BC  (x x )  ( y y )  2 (x x )  4x x m m  2 1 2 1 2 1 1 2   = 2 8( 3 2) Suy ra 2
8(m  3m  2) =16  m  0 (thoả mãn) hoặc m  3 (thoả mãn)
4) Điều kiện để hàm số bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng Xét phương trình 3 2
ax  bx cx d  0 . Giả sử phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng
là x ; x ; x khi đó: 1 2 3 3 2 3 2
ax  bx cx d a(x x )(x x )(x x )  [
a x  (x x x )x  (x x x x x x )  x x x ] 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 b
Vì 3 nghiệm lập thành cấp số cộng nên x x  2x x  
là nghiệm. Thế vào phương 1 3 2 2 3a
trình ta suy ra điều kiện cần tìm.
Ví dụ 1) Cho C my f x 3 2
x mx m m   2 : 3 2
4 x  9m m . Tìm m để C(m) cắt Ox tại
3 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng. Giải:
Điều kiện cần: Giả sử (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt là x , x , x . 1 2 3 Khi đó: 3 2
x mx m m   2 3 2
4 x  9m m  0 có 3 nghiệm phân biệt x , x , x 1 2 3 3 2
x  3mx  2m m  4 2
x  9m m   x x x x x x x  1   2   3  3 2
x  3mx  2m m  4 2 3
x  9m m x   x x x  2
x x x x x x x x x x x x  1 2 3  1 2 2 3 3 1  1 2 3
Suy ra 3m x x x x x x  3x x m 1 2 3  1 3  2 2 2
Thế x m vào 2
f (x)  0  m m  0  m  0 hoặc m  1 2
Điều kiện đủ: Với m=0 thì 3
f (x)  x  0  x x x  0 (loại) 1 2 3 Với m=1 thì 3 2
f (x)  x  3x  6x  8  0   x   1  2
x  2x  8  0  x  2; x 1; x  4 1 2 3
Kết luận: Đáp số m=1.
5) Điều kiện hàm bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân 31 Xét phương trình 3 2
ax  bx cx d  0 . Giả sử phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng
là x ; x ; x khi đó: 1 2 3 3 2 3 2
ax  bx cx d a(x x )(x x )(x x )  [
a x  (x x x )x  (x x x x x x )  x x x ] 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 d
Vì 3 nghiệm lập thành cấp số nhân nên 2 3 3
x x x d   x x x  ax  x  thay vào 1 3 2 1 2 3 2 2 a
phương trình ta suy ra điều kiện cần tìm
Ví dụ 1) Cho Cmy f x 3
x   m   2 : 3
1 x  5m  4 x  8. Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3
điểm phân biệt lập thành 1 cấp số nhân. Giải:
Điều kiện cần: Giả sử (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt   x , x , x 1 2 3 Khi đó: 3
x   x   2 3
1 x  5x  4 x  8  0 có 3 nghiệm phân biệt x , x , x 1 2 3 3
x  3x   2
1 x  5m  4 x  8   x x x x x x x  1   2   3  3
x  3x   2
1 x  5m  4 3
x  8  x   x x x  2
x x x x x x x x x x x 1 2 3  1 2 2 3 3 1  1 2 3 Suy ra: 3
8  x x x xx  2 1 2 3 2 2
Thế x  2 vào f x  0  4  2m  0  m  2 2
Điều kiện đủ: Với m=2 thì f x 3 2
x  7x 14x  8  0   x  
1  x  2 x  4  0    x  1; x  2; x  4 1 2 3
Kết luận: Đáp số m=2.
6) Điều kiện để hàm số bậc bốn có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng Xét phương trình 4 2
ax  bx c  0 (1) Đặt 2
t x (t  0) để phương trình (1)có 4 nghiệm lập
thành cấp số cộng thì phương trình 2
at bt c  0 (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt t ,t . 1 2
Giả sử ( t t ) khi đó 4 nghiệm của (1) là  t ,  t , t , t vì 4 nghiệm lập thành cấp số cộng 1 2 2 1 1 2
nên t t t   t
t  9t . Áp dụng định lý viét cho phương trình (2) ta có 2 1 1  1  2 1  b t t   1 2  a   c tt
Giải điều kiện theo hệ phương trình. 1 2 at   9t 1 2  
Ví dụ 1) Cho C m 4
y x  m   2 : 2
1 x  2m 1. Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt
lập thành 1 cấp số cộng.
Giải: Xét phương trình: 4
x  m   2 2
1 x  2m 1  0(1) Đặt 2 t x f t  2 ;
t  2 m  
1 t  2m 1  0(2)
Yêu cầu bài toán  f t   0 có 2 nghiệm t t  0 sao cho (1) có sơ đồ nghiệm 2 1 32 x x x x 1 2 3 4  t t t t 2 1 1 2
Ta có x x x x x x x x x x 4 3 3 2 2 1 4 3 3 2
t t t   t
t  3 t t  9t  0 2 1 1  1  2 1 2 1 1   1 m   2   m  
  m  0,t  9t  0 2 2 1  2     Yêu cầu bài toán t  9   .  2 1  0 t t t m  2 1   t   9t 1 2 2 1   
t t  m   2 2 9t  2m  1 2 1  0 1 1 2   m 1   9   2m  1 5  t m 1      1    5   1 m    2 m  4  t 9t     2 1 4 m    2
9m  32m 16  0  9  
Ví dụ 2) (Bài toán tương giao hàm bậc 4) Tìm m sao cho đồ thị hàm số 4 2
y x  4x m cắt
trục hoành tại 4 điể phân biệt sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) trục hoành có
phần trên bằng phần dưới Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và 4 2
Ox : x  4x m  0 (1) Đặt 2
t x  0 . Lúc đó có PT: 2
t  4t m  0 (2)
Để (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt khi pt (1) có 4 nghiệm phân biệt  (2) có 2 nghiệm phân
 '  4  m  0 
biệt t  0  S  4 
 0  m  4 i P m  0  Gọi 1
t , t2 0  1
t t2  là 2 nghiệm của pt(2). Lúc đó pt(1) có 4 nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng dần là: 1 x   t2 ; 2 x   1 t ; 3 x  1 t ; 4 x t2
Do tính đối xứng của đồ thị (C) nên có: 3 x 4 x 5 4   4 2 x x
x  4x mdx    4 2
x  4x m 4 4 3 4 2 dx  
mx  0  3x  20x 15m  0 4 4 4 5 3 0 3 x 4 2   4 x  4 4
x m  0 3 Từ đó có 4
x là nghiệm của hệ  4 2 3   4 x  20 4
x 15m  0 4 33 3m 3m 2 9m 20 Lấy (3).(4)-(4) 2  4 x  thay 24 x  vào (3) có:
 5m  0  m  0  m  2 2 4 9 20
Đối chiếu với điều kiện (i) có m  là giá trị cần tìm. 9 ax b
7) Điều kiện tương giao của đồ thị hàm số y
(H) và đường thẳng y mx n cx d ax b
Phương trình hoành độ giao điểm
mx n . Biến đổi về dạng 2
g(x)  Ax bx c  0 . Số cx d d
giao điểm tùy thuộc số nghiệm khác 
của phương trình g(x)  0 c   0 
TH 1:   0 Hoặc   d
đường thẳng không cắt đồ thị (H) g   0      c    0   0   TH 2:   d  hoặc   d
đường thẳng cắt đồ thị (H) tại một điểm g   0    g   0      c    c    0  TH 3:   d
đường thẳng cắt đồ thị (H) tại 2 điểm phân biệt A, B khi đó ta có g   0      c  ( A x1; 1
mx n); B(x 2 ; 2
mx n) với x1; x2 là hai nghiệm của g(x)=0 x  3
Ví dụ 1) Cho hàm số y
có đồ thị (H). Tìm m để đường thẳng d : y  x m 1 tại x  2
hai điểm phân biệt A,B sao cho ˆ AOB nhọn. Giải: x  3
Giao của (H) và d có hoành độ là nghiệm của PT 2
  x m 1  x  m  2 x  2m  5  0 x  2 2
m  4m 16  0 
Để pt trên có 2 nghiệm phân biệt thì   0; x  2    m  ? 2 2  2 
m  2  2m  5  0 
Gọi A x ;x m 1 , B x ; x m 1 là hai giao điểm của (H) và d. 1 1   2 2  Để ˆ AOB nhọn thì:
AB OA AB  2 x x 2  x m  2 1
 x m  2 2 2 2 1 2 1 1 2
 2x x  m  
1  x x   m  2 1  0  m  3  1 2 1 2
Kết hợp với đk ban đầu ta suy ra được giá trị của m. 34 2x m
Ví dụ 2) Cho hàm số y
(1). Chứng minh với mọi m  0 đồ thị hàm số (1) cắt mx 1
d  : y  2x  2m tại 2 điểm phân biệt A,B thuộc 1 đường (Hipebol) cố định. Đường thẳng
(d) cắt các trục Ox,Oy lần lượt tại các điểm M,N. Tìm m để S  3S OAB OMN
Giải: Phương trình hoành độ của giao điểm của đồ thị hàm số (1) và đường thẳng (d): 2x m 2 2  1 
 2x  2m  2mx  2m x m  0, x     (2) mx 1  m   
Do m  0 nên (2)  f x 2 1
 2x  2mx 1  0, x     (*)  m
Để tồn tại 2 điểm A,B thì pt (*) phải có 2 nghiệm phân biệt: 2
 '  m  2  0 1  x , x      m   0 A B  1  2 m f    1  0    2   m m 1
Mặt khác có x .x
nên A,B luôn thuộc một đường (Hipebol) cố định A B 2 2m
Kẻ OH AB OH d 
. Lại có AB d y  2x  2m; y  2x  2m O,d A A B B 5
x x m A B  Theo Viet ta có:  1 x x   A B  2 2 2 2 2
Có AB   x x    y y  
x x    x x  2 5 5
 20x x AB  5m 10 A B A B A B A B A B
Vì M,N là giao điểm của d với Ox,Oy nên M  ;
m 0, N 0; 2m 2  m Theo giả thiết 2 S  3S
OH.AB  3OM .ON
. 5m 10  3 x y OAB OMN M N 5 2  m 2 2 2 2 1 
. 5m 10  3 m 2m
m  2  3 m m  2  9m m   5 2 1 Vậy với m  
là các giá trị cần tìm. 2 x  1
Ví dụ 3) Tìm trên (H): y
các điểm A,B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng 4 và x  2
đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y x
Giải: Do AB d : y x ptAB : y  x m
Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và đường thẳng AB:
x 1  x m g x 2
x  m  3 x  2m 1  0 x  2 (1) x  2
Để tồn tại 2 điểm A,B thì pt (1) cần có 2 nghiệm phân biệt x , x và khác 2 A B 35 2     gx 0
m  3  4 2m   1  0      m  2 1  4  0; mg   2  0 
4  m  32 2  2m 1  0 
x x m  3 Theo Viet ta có: A B
. Lại có y  x ; y   x m x x  2m 1 A A B BA B Mà:
AB  4  AB  16   x xy y   x xB A 2  B A 2 16  B A 2 2 8   x x
x x   m   m  
m m  
m    m B A 2 4 8 A B  32 42  2 1 0 2 3 0 1 3
+ Với m  3 thay vào pt (1) có: 2
x  6x  7  0  x  3  2  y   2 . Lúc này tọa độ 2 điểm
A,B là: A3 2; 2 , B 3 2; 2  hoặc B 3 2; 2 , A3 2; 2 .
+ Với m  1 thay vào pt (1) có: 2
x  2x 1  0  x  1 2  y  2  2 . Lúc này tọa độ 2
điểm A,B là A1 2; 2
  2 , B 1 2; 2
  2  hoặc B 1 2; 2
  2 , A1 2; 2   2 
Vậy A,B là các điểm như trên thỏa mãn yêu cầu bài toán. x  3
Ví dụ 4) Cho hàm số y
có đồ thị là (H). Tìm m để đường thẳng d: y  2x  3m cắt x  2  
(H) tại hai điểm phân biệt sao cho O .
A OB  4 với O là gốc tọa độ x  3 Giải: Xét pt: 2
 2x  3m  2x  31 mx  6m  3  0 (1) có 2 nghiệm phân biệt khác (-2) x  2 Khi 2
  9m  30m  33  0 điều này xảy ra với mọi m.
Gọi 2 nghiệm của pt (1) là x , x thì A x ;2x  3m , B x ;2x  3m 1 1   2 2  1 2   12m 15 7 Có . OA OB  4
  x .x  2x  3m 2x  3m  4    4  m  1 2  1  2  2 12 2x 1
Ví dụ 5) Cho hàm số y
có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng d: y x m cắt (C) x 1
tại hai điểm phân biệt A,B, sao cho AB  2 2
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:
2x 1  x m f x 2
x  m  
1 x m 1  0 (1)  x    1 x 1
Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B thì pt(2) có 2 nghiệm phân biệt x , x  1 A B
  m  2 1  4 m   1  0   (*) Theo Viet ta  f   
1  1 m 1 m  1  0  có:
x x  1 mm  1  A B  ; ,
A B d y x  ;
m y x m AB   mm    A A B B 1 2 2 4( 1) 4  x x m 1 m  7  A B  36
Ví dụ 6) Gọi D là đường thẳng đi qua A(1;0) và có hệ số góc k. Tìm k để D cắt đồ thị x  2 y
tại hai điểm phân biệt M,N thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị và AM=2AN x 1
Giải: Do D là đường thẳng đi qua A(1;0) và có hệ số góc k nên pt D: y k x   1
Phương trình hoành độ giao điểm của D và đồ thị hàm số đã cho là:
x  2  k x   2
1  kx  2k  
1 x  2  0 x   1 (1) x 1
Đặt t x 1  x t  1. Lúc đó pt (1) thành:
k t  2   k  t   2 1 2 1
1  k  2  0  kt t  3  0 (2)
Để D cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm M,N thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị thì pt(1)
phải có 2 nghiệm x , x thỏa x  1  x pt(2) có 2 nghiệm t ,t thỏa 1 2 1 2 1 2
t  0  t  3
k  0  k  0(*) 1 2  
Vì điểm A luôn nằm trong đoạn MN và AM  2 AN AM  2
AN x  2x  3 (3) 1 2  2k 1 x x  4 1 2     k k 1 k  2 Theo Viet ta có: 
. Từ (3) và (4)  x  ; x k  2 2 1  k k x x  5 1 2     k
k  2k   1 k  2 2
Thay x , x vào pt (5) có: 
 3k  2  0  k  1 2 2 k k 3 2
Đối chiếu ĐK (*) có k  là giá trị cần tìm. 3
Phần bốn: Các bài toán về khoảng cách
Để giaỉ quyết tốt các dạng bài tập trong phần này học sinh cần nắm chắc các vấn đề sau: 2 2
*) Khoảng cách giữa hai điểm M (x ; y ); N (x ; y ) là MN   x xy y N M   N M M M N N ax  by c
*) Khoảng cách từ điểm M (x ; y ) đến đường thẳng  : ax+by+c=0 là 0 0 d  0 0 M /  2 2 a b
Các trường hợp đặc biệt:
+ Nếu  là đường thẳng x=a thì dx a M /  0
+ Nếu  là đường thẳng y=b thì dy b M /  0
+ Tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ Ox, Oy là d= x y 0 0
*) Khoảng cách giữa đường thẳng và đường cong
Cho đường thẳng  và đường cong ( C) . Lấy điểm M bất kỳ thuộc đường cong ( C) và điểm N
thuộc đường thẳng  Khi đó d
 min MN . Từ đó ta có cách tính khoảng cách từ đường ( /(C ))
thẳng  : ax+by+c=0 đến đường cong ( C) y=f(x) như sau: 37 ax  by c
+ Cách 1: Lấy điểm M  x ; y bất kỳ thuộc ( C)  M (x ; f (x )) . Ta có 0 0 d  0 0  0 0 M /  2 2 a b Sau đó tìm min d theo x0
+ Cách 2: Viết phương trình tiếp tuyến t của đường cong ( C) và tiếp tuyến đó song song với  .
Sau đó tìm tiếp điểm M  x ; y của tiếp tuyến và đường cong. Khi đó khoảng cách giữa đường 0 0 
thẳng  và đường cong ( C) cũng bằng khoảng cách giữa M và đường thẳng  là ax  by c 0 0 dM /  2 2 a b 2x  1
Ví dụ 1) Cho đồ thị C  : y
và điểm A(-2;5). Xác định đường thẳng (D) cắt (C) tại 2 x 1
điểm B, C sao cho ABC đều. 2x  1 TCD : x  1 Giải: y    x 1 TCN : y  2 
 phân giác của góc tạo bởi 2 tiệm cận (1): y  x  3 3  y 
 0  hàm số nghịch biến  x  2 1
 đồ thị (C) có dạng như hình vẽ.
Do A(-2;5)  (1) : y  x  3 là trục đối xứng của (C) nên đường thẳng (D) cần tìm phải vuông
góc với (1) và (D) có phương trình: y=x+m. 2x 1 Xét phương trình:
x m g x 2
x  m  3 x  m   1  0 x 1 2 2 Ta có g
  m  3  4m   1  m  
1 12  0 nên (D) luôn cắt (C) tại B, C phân biệt và do
tính đối xứng   ABC cân tại A. 2
 3  m 3  m   7  m
Giả sử  D  (1) 2  I I ;  AI  2      2 2   2  B   x , y    1 1  y x m 1 1 2 2 Gọi 2   BC 2 x x 2  x x 4x x         1 2   1 2  C   x , y y x m     2 2  1 2  2 2  2 2 BC m  m        2 2 3 4 1
2 m  2m 13   4
Ta có  ABC đều  BC
AI  3m  2m 13  7  m2 2 2 2 3 m  1
 D : y x 1 1  2
m  4m  5  0    m  5  
 D : y x  5 2   3x  5
Ví dụ 2) Cho H  : y
. Tìm M(H) để tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của x  2 (H) là nhỏ nhất. Giải: Ta có TCĐ: x=2 TCN: y=3 38 3x  5 1  1  y   3  Lấy M ; m 3   H  
Tổng khoảng cách từ M đến các đường tiệm x  2 x  2  m  2  1 cận là d
x  2  y  3  m  2 
 2 ( Theo bất đẳng thức Cauchy) M M M m  2 1 m  1 M (1; 2)
d min  2  m  2      m  2 m  3 M (3; 4)   4x  9
Ví dụ 3) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị C  : y
các điểm cách M1,M2 để độ dài x  3
M , M là nhỏ nhất. 1 2 4x  9 4 x  3  3 3 TCD : x  3 Giải: y    4    x  3 x  3 x  3 TCN : y  4  M x , y  1  1 1  Gọi 
(M1 thuộc nhánh trái của (C); M2 thuộc nhánh phải của (C)) M x , y  2  2 2    3
x  3  1 y  4  1   
Đặt x  3   2  3   y  4 , 0   2     M M
  x x 2   y y 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2  3 3  2
9 2
=   
        2 cosi   2 9  9   9 
 2 1     2  1     4   2     
  
2         Mà cos i    0  9   9   4    4   2  .
  24  M M min  24  2 6  
9   3   1 2        
 toạ độ M 3  3; 4  3 , M 3  3; 4  3 1   2   2x 1
Ví dụ 4) Tìm điểm M trên đồ thị hàm số y
(H ) sao cho khoảng cách từ M đến x 1
đường thẳng ( ): x  4 y  8  0 là nhỏ nhất Giải: 1 Ta có y ' 
. Xét đường thẳng d là tiếp tuyến của (H) và d song song với (  )  x  2 1 39 x 5 x 13
Từ đó viết được 2 phương trình tiếp tuyến là d : y   và d : y   1 4 4 2 4 4  3   5 
Hai tiếp điểm tương ứng là M 1; ; M 3  ; 1   2    2   2 
Dễ dàng tính được d M /   d M /   M là điểm cần tìm 1   2  1 2x 1
Chú ý: Ngoài cách lập luận như trên ta có thể giải bài toán theo cách khác giả sử M ( ; x ) x 1
Sau đó tính khoảng cách từ M đến  . Và tìm min theo phương pháp hàm số với biến x x Cho hàm số y  và điểm A(-1;1) 1 x
Ví dụ 5) Tìm m để đường thẳng y mx m 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N sao cho 2 2
AM AN đạt giá trị nhỏ nhất. Giải:
Xét phương trình tương giao: 2
mx  2mx m 1  0 . Để cắt tại hai điểm thì phương trình phải có
m  2m m 1  0 
2 nghiệm phân biệt khác 1.   m  0 2
 '  m m  m   1  m  0 
Để ý thấy trung điểm MN là I và I(1;-1) cố định.   
Sử dụng chèn điểm ta có: 2 2 2 2 2
AM AN  2AI IM IN (do IM IN  0 )
Ta có IA cố định, IM=IN. Ta thấy biểu thức đó min khi và chỉ khi MN min Tính MN: 4 NMx
x 2 1 m2  x x 2 2 4x .x         2
m 1  4m  1 2 1 2 1 2    m 4
Do m<0 nên đặt t   ; m t  0 . 2 MN  4t   8 . Vậy m=-1 t 2x
Ví dụ 6) Tìm m để đường thẳng y=mx-m+2 cắt (C) y
tại 2 điểm phân biệt A,B sao x 1
cho độ dài AB nhỏ nhất. Giải: 2x
Đường thẳng y=mx-m+2 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi phương trình
mx m  2 có 2 x 1
nghiệm phân biệt khác 1. 2
g(x)  mx  2mx m  2  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 m  0    0  m  0 . Ta có g(1)  0   (
A x ; mx m  2); B(x ; mx m  2 )  AB   x x ;m(x x )  AB  (x x ) (1 m ) 2 1 2 1  2 2 2 1 1 2 2 2 1
AB  x x 2 2  4x x  2 (m 1) Vì x 1 2 1 2
1;x2 là 2 nghiệm của g(x)=0 nên ta có m  2 1
x x  2; x x  2
AB  8(m
)  16  AB min  4  m  1 1 2 1 2 m m 40
Phần năm: Các bài tập về KSHS
CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Phần một: CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐIỂM CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU HÀM SỐ 1 Câu 1) Cho hàm số 3 2 y
x mx x m  1 3
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1
b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách giữa điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất 1 Câu 2) Cho hàm số 3 2 y
x mx mx  1 3
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x ; x thoả mãn x x  8 1 2 1 2 Câu 3) Cho hàm số 3 2
y x mx  7x  3
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= -8
b) Tìm m để hàm số có đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=3x-7 Câu 4) Cho hàm số 3 y x  ( 3 m  ) 1 2 x  (2 2
m  3m  2)x m(m  ) 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại cực tiểu tạo với  1 đường thẳng y x  5 một góc 450 4
Câu 5) Cho hàm số y x3  3x2  m2 x m
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 0 1 5
b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y x  2 2 Câu 6) Cho hàm số 3
y  x  3 2 x  ( 3 2 m  ) 1 x  3 2 m  1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu cách đều gốc toạ độ O. Câu 7) Cho hàm số 4
y x  2 2 2 m x  1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b) Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam giác vuông cân
Câu 8) Cho hàm số y  2 3 x  9 2 mx  12 2 m x  1 41
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời x 2CD xCT Câu 9) Cho hàm số 4 2 4
y x  2mx  2m m
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu lập thành một tam giác đều
Phần hai: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN VÀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN Câu 1) Cho hàm số 3
y x mx m  1 (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 3
b) Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm cuả (Cm) với trục Oy chắn trên hai trục toạ độ một tam
giác có diện tích bằng 8 Câu 2) Cho hàm số 3 y x  3 2
x mx  1 (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 0
b) Tìm m để đường thẳng y=1 cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D,E và các tiếp tuyến
tại D và E của (Cm) vuông góc với nhau.
Câu 3) Cho hàm số y x3  3x (C ) và đường thẳng y=m(x+1)+2 (d)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (C ) tại một điểm cố định A. Tìm m để đường
thẳng (d) cắt (C ) tại 3 điểm A,M,N mà tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau\ 3x  2
Câu 4) Cho hàm số y  (H ) x  1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến tạo với Ox góc 450
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến tạo với 2 trục toạ độ một tam giác cân
d) Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận. Tiếp tuyến tại M bất kỳ thuộc (H) cắt 2 tiệm cận tại
A,B. Chứng minh M là trung điểm AB
e) Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi
f) Tìm vị trí M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất x m
Câu 5) Cho hàm số y  (Hm) x  2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 3
b) Tìm m để từ A(1;2) kẻ được 2 tiếp tuyến AB,AC đến (Hm) sao cho ABC là tam giác đều (A,B là các tiếp điểm) 2mx  3
Câu 6) Cho hàm số y  (Hm) x m
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1
2) Tìm m để tiếp tuyến bất kỳ của hàm số (Hm) cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam
giác có diện tích bằng 8 42 2x  1
Câu 7) Cho hàm số y  (H ) x  1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H)
b) Viết phương trình đường thẳng cắt (H) tại B, C sao cho B, C cùng với điểm ( A  ) 5 ; 2 tạo thành tam giác đều 2x
Câu 8) Cho hàm số y  (H ) x  1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b) Tìm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến tại M của (H) cắt 2 trục Ox, Oy tại A, B sao cho tam 1
giác OAB có diện tích bằng 4 2x  1
Câu 9) Cho hàm số y  (H ) x  1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận của (H). Tìm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến của (H)
tại M vuông góc với đường thẳng IM. 2x
Câu 10) Cho hàm số y  (H ) x  2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị hàm số
(H) đến tiếp tuyến là lớn nhất. Câu 11) Cho hàm số 3 y x  3 2 x  2x  ( 1 C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm hai điểm A,B thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến của (C ) tại A, B song song với nhau và độ dài AB nhỏ nhất  19 
Câu 12) Viết các phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm  A
;4 đến đồ thị hàm số  12  y  2 3 x  3 2 x  5
Câu 13) Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số 3
y  x  3 2
x  2 mà qua đó chỉ kẻ được một tiếp tuyến đến đồ thị
Câu 14) Tìm những điểm thuộc đường thẳng y=2 mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hs 3 2
y x  3x
Câu 15) Tìm những điểm thuộc trục tung qua đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hs 4 y x  2 2 x  1 43
Câu 16) Tìm những điểm thuộc đường thẳng x=2 từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hs
y x3  3x
Câu 17) Tìm những điểm thuộc trục Oy qua đó chỉ kẻ được một tiếp tuyến đến đồ thị hs x  1 y x  1 x m
Câu 18) Cho hàm số y x  1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1
b) Với giá trị nào của m đồ thị hàm số cắt đường thẳng y=2x+1 tại 2 điểm phân biệt sao cho
các tiếp tuyến với đồ thị tại 2 điểm đó song song với nhau.
Phần ba: CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO 2 ĐỒ THỊ Câu 1) Cho hàm số 3 2 2 2
y  2mx  (4m  ) 1 x  4m
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1
b) Tìm m để đồ thị hs tiếp xúc với trục Ox Câu 2) Cho hàm số 4 2 3 2
y x  2mx m m
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1
b) Tìm m để đồ thị hs tiếp xúc với trục Ox tại 2 điểm phân biệt 4 x 2 5
Câu 3) Cho hàm số y   3x  2 2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm để phương trình sau có 8 nghiệm phân biệt x 4  6x 2  5  m2  2m
Câu 4) Cho hàm số y x3  mx 3 2  6mx
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1/4 3
b) Biện luận số nghiệm 4 x  3 2
x  6 x  4a  0
Câu 5) Cho hàm số y  4x3  3x (C )
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C ) 44
b) Tìm m để phương trình 4 x3  3 x  4m3  4m có 4 nghiệm phân biệt Câu 6) Cho hàm số 3 y x  3 2 mx  ( 3 2 m  ) 1 x  ( 2 m  ) 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b) Tìm m để hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương Câu 7) Cho hàm số 3 y x  2 1 (  2m) 2 x  5
(  7m)x  2(m  ) 5
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 5/7
b) Tìm m để đồ thị hs cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.
Câu 8) Tìm m để đồ thị hs y x3  mx 2 3
 2m(m  4)x  9m 2  m cắt trục Ox tại 3 điểm tạo thành 1 cấp số cộng
Câu 9) Tìm m để hàm số 3 y x  3 ( m  ) 1 2 x  5
( m  4)x  8 cắt Ox tại 3 điểm lập thành cấp số nhân
Câu 10) Tìm m để hàm số 4
y x  2(m  ) 1 2
x  2m  1 Cắt Ox tại 4 điểm tạo thành cấp số cộng 2x  1
Câu 11) Chứng minh rằng đồ thị hs y  có 2 trục đối xứng x  1
Câu 12) Tìm m để hàm số y  2 3 x  ( 3 m  ) 3 2
x  18mx  8 có đồ thị tiếp xúc với trục Ox Câu 13) Cho hàm số 4 y x  3 2 x  2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hs
b) Biện luận số nghiệm phương trình x 2  2 (x 2  ) 1  m Câu 14) Cho hàm số 3 y x  3 2 x x  3
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số x  2 3
b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x  1( )  2m  1 3
Phần bốn: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH 3x  5
Câu 1) Tìm M thuộc (H) y
để tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của H là x  2 nhỏ nhất 45 x  1
Câu 2) Tìm M thuộc (H) : y
để tổng khoảng cách từ M đến 2 trục toạ độ là nhỏ nhất x  1 4x  9
Câu 3) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị hàm số (H): y
các điểm M1, M2 để M M nhỏ x  3 1 2 nhất 2
x  2x  5
Câu 4) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị hàm số y
các điểm M, N để độ dài MN x 1 nhỏ nhất 2 x  2x  2
Câu 5) Tìm trên đồ thị hàm số y
điểm M sao cho MI nhỏ nhất với I là giao điểm x 1 2 đường tiệm cận 2x  1
Câu 6) Tìm m để hàm số y=-x+m cắt đồ thị hàm số y
tại 2 điểm A,B mà độ dài AB x  2 nhỏ nhất
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TỔNG HỢP KHÁC Câu 1) Cho hàm số 4 2
y x  2mx m 1 (1) , với m là tham số thực.
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m  1.
2)Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành
một tam giác có diện tích bằng 4 2 . Câu 2) Cho hàm số 4 2
y x  2mx m 1 (1) , với m là tham số thực.
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m  1.
2)Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị
tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. Câu 3) Cho hàm số 4 2 2
y x  2mx m m (1) , với m là tham số thực.
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m  2  .
2) Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành
một tam giác có góc bằng 120 . Câu 4) Cho hàm số 4 2
y x  2mx (1), với m là tham số thực.
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  1.
2)Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực tiểu và hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và
đường thẳng đi qua hai điểm cực tiểu ấy có diện tích bằng 1.
Câu 5) Cho hàm số y f x 4
x  m   2 2 2
2 x m  5m  5
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 1
2/ Tìm các giá trị của m để ®å thÞ hµm sè có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác vuông cân. 1 Câu 6) Cho hàm số 3 2 y
x  2x  3x (1) 3 46
1).Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) . 2)Gọi ,
A B lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1). Tìm điểm M thuộc trục
hoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2. Câu 7) Cho hàm số 3 2
y x  6x  9x  4 (1)
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2)Xác định k sao cho tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) có cùng hệ số góc k . Gọi hai
tiếp điểm là M , M . Viết phương trình đường thẳng qua M và M theo k . 1 2 1 2 Câu 8) Cho hàm số 3 2
y   x  3x  4 (1)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 2. Giả sử ,
A B, C là ba điểm thẳng hàng thuộc đồ thị (C), tiếp tuyến với (C) tại , A B, C tương ứng cắt lại (C) tại ' ' '
A , B , C . Chứng minh rằng ba điểm ' ' '
A , B , C thẳng hàng. Câu 9) Cho hàm số 3
y x  3x 1 (1)
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2)Đường thẳng (  ): y mx 1 cắt (C) tại ba điểm. Gọi A và B là hai điểm có hoành độ khác 0
trong ba điểm nói ở trên; gọi D là điểm cực tiểu của (C). Tìm m để góc ADB là góc vuông. Câu 10) Cho hàm số 3 2
y   x x   2 m   2 3 3
1 x  3m 1 (1), với m là tham số thực.
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  1.
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với
gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O . 2
Câu 11) Cho hàm số y   x  2 2x   1 (1)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2.Tìm m để đồ thị (C) có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng y mx . Giả sử M , N là các
tiếp điểm. Hãy chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng MN là một điểm cố định (khi m biến thiên) Câu 12) Cho hàm số 3 2
y x  3x  4 (1)
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2)Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A 1
 ; 0 với hệ số góc k k R . Tìm k để đường thẳng k
d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm B, C ( B và C khác A ) cùng với gốc toạ k
độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1. Câu 13) Cho hàm số 3 2
y x  3x  4 (1)
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2)Cho điểm I 1;0 . Xác định giá trị của tham số thực m để đường thẳng d : y mx m cắt đồ
thị (C) tại ba điểm phân biệt I , ,
A B sao cho AB  2 2 . Câu 14) Cho hàm số: 3 2 2 2
y x  2(m 1)x  (m  4m 1)x  2(m 1)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=0
2.Tìm m để hàm số có cực trị , đồng thời các điểm cực trị x ; x thoả mãn : 1 2 1 1 1   (x x ) 1 2 x x 2 1 2
Câu 15) Cho hàm số y = 2x3 + 9mx2 + 12m2x + 1, trong đó m là tham số.
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = - 1. 47
2)Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x2CĐ= xCT. Câu 16 Cho hàm số 3 2
y  (m  2)x  3x  mx  5 , m là tham số
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = 0
2)Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương. 2x 1
Câu 17) Cho hàm số y  (1) x  2
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  H  của hàm số (1) .
2.Chứng minh rằng đồ thị  H  có vô số cặp tiếp tuyến song song, đồng thời các đường thẳng
nối tiếp điểm của các cặp tiếp tuyến này luôn đi qua một điểm cố định. 2x  1
Câu 18) Cho hàm số f x  ( H ) 1  x
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số
2/ Gọi (∆) là tiếp tuyến tại điểm M( 0; 1 ) với đồ thị (H). Hãy tìm trên (H) những điểm có hoành
độ x > 1 mà khoảng cách từ đó đến (∆) là ngắn nhất. m x
Câu 19) Cho hàm số y
(Hm). Tìm m để đường thẳng d:2x+2y-1=0 cắt (Hm) tại 2 điểm x  2 3
phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 8 2x  3
Câu 20) Cho hàm số y
. Tìm những điểm M thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại M cắt x  2
hai tiệm cận tại A, B sao cho vòng tròn ngoại tiếp tam giác IAB có bán kính nhỏ nhất. Với I là
giao điểm của hai đường tiệm cận
Câu 21) Tìm m để hàm số 3
y x mx  2 cắt Ox tại một điểm duy nhất 2x  1
Câu 22) Cho hàm số y
(C). Tìm hai điểm M, N thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M, N x  2
song song với nhau và khoảng cách giữa hai tiếp tuyến là lớn nhất 2x  4
Câu 23) Cho hàm số y
(H). Gọi d là đường thẳng có hệ số góc k đi qua M(1;1). Tìm k 1 x
để d cắt (H) tại A, B mà AB  3 10
Câu 24) Tìm m để đồ thị hàm số 3 2
y x mx  2m cắt trục Ox tại một điểm duy nhất x  2
Câu 25) Cho hàm số: y  (C) x 1
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số
2) Cho điểm A( 0; a) Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương
ứng nằm về 2 phía của trục hoành Câu 26) Cho hàm số 3
y x  3x  2 (C)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt (C) ở N mà MN  2 6 48 2m x
Câu 27) Cho hàm số y  (H ) và A(0;1) x m
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1
2) Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận . Tìm m để trên đồ thị tồn tại điểm B sao cho tam
giác IAB vuông cân tại A. Câu 28) Cho hàm số 4 2
y x  2x (C)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2) Lấy trên đồ thị hai điểm A, B có hoành độ lần lươt là a, b.Tìm điều kiện a và b để tiếp tuyến
tại A và B song song với nhau. x  2
Câu 29) Cho hàm số y  (H) 2x  2
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H).
2) Tìm m để đường thẳng (d): y=x+m cắt đồ thị hàm số (H) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 37 2 2 OA OB  2
Câu 30) Cho hàm số y  3 2
y x  2x  (1 m)x m (1), m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1.
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x ; x ; x thoả 1 2 3 mãn điều kiện 2 2 2
x x x  4 1 2 3 2x  1
Câu 31) Cho hàm số y
Tìm m để đường thẳng y=-2x+m cắt đồ thị tại hai điểm phân x  1
biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 3x  2
Câu 32) Cho hàm số y  (1) x  1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
2) Viết phương trình đường thẳng đi qua M(1;3) cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB  2 3 . Câu 33) Cho hàm số 3 2
y x  3x  3(1 m)x  1 3m (Cm). Tìm m để hàm số có cực đại cực
tiểu đồng thời các điểm cực trị cùng với gốc toạ độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 4 3x 1
Câu 34) Cho hàm số y
(H ) và đường thẳng y  (m 1)x m  2 (d) Tìm m để đường x 1 3
thẳng (d) cắt (H) tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 2 x 1
Câu 35) Cho hàm số y
(H ) . Tìm điểm M thuộc (H) để tổng khoảng cách từ M đến 2 trục x 1 toạ độ là nhỏ nhất. 2x
Câu 36) Cho hàm số y =
(H)Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = mx – m + 2 cắt đồ x  1
thị ( H ) tại hai điểm phân biệt A,B và đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. 2x  1
Câu 37) Cho hàm số y
viết phương trình tiếp tuyến cuả HS biết tiếp tuyến tạo với 2 x  1
trục tọa độ tam giác có diện tích bằng 8 49 1 3 1
Câu 38) Cho hàm số y x
mx 2  (m2  ) 3 x 3 2
1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
2) Tìm m để hàm số có CĐ, CT và hoành độ CĐ, CT là độ dài các cạnh góc vuông của tam giác 5
vuông có cạnh huyền bằng 2
Câu 39) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số 3 2
y x  3x  1 sao cho tiếp tuyến tại A, B song
song với nhau và AB  4 2
Câu 40) Tìm m để hàm số 3 2
y x mx  (2m 1)x m  2 cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương
Câu 41) Tìm m để đường thẳng y=x+4 cắt đồ thị hàm số 3 2
y x  2mx  (m  3)x  4 tại 3 điểm
phân biệt A, B,C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4. (Điểm B, C có hoành độ khác 0, M(1;3)) 50
Document Outline

  • Ebooktoan.com