Chương 1
Bài 1-2. CĂN BẬC HAI – CĂN THỨC BẬC HAI HẰNG ĐẲNG THỨC 2 A = A
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Căn bậc hai số học
 Với số dương a , số a được gọi là căn bậc hai số học của a .
 Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0. x  0
 Với số a không âm, ta có a  x   . 2 x  a
2. So sánh hai căn bậc hai số học
 Với hai số a và b không âm, ta có a  b  a  b .
3. Căn thức bậc hai
 Với A là biểu thức đại số, ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức
lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn. 
A xác định (hay có nghĩa) khi và chỉ khi A  0 .  Aneu A0  Hằng đẳng thức 2 A  A  
Aneu A  0.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tìm căn bậc hai số học của một số x 0
 Dựa vào định nghĩa căn bậc hai số học của một số a  x   2 x  . a
Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai số học rồi tìm căn bậc hai của 2  2  9 a) 121; b)    ; c) 0, 25 ; d) 1 .  5  16
Ví dụ 2. Tính giá trị của biểu thức: 0, 09  7  0,36  3 2, 25 .  9 9 
Ví dụ 3. Giá trị của biểu thức sau là số vô tỷ hay hữu tỷ:  1  18   ? 16 16  
Dạng 2: So sánh các căn bậc hai số học
 Dựa vào tính chất: Với hai số a và b không âm, ta có a  b  a  b .
Ví dụ 4. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh 8 và 65 . Trang 1
Ví dụ 5. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh 15 1 và 10 .
Ví dụ 6. Với a  0 thì số nào lớn hơn trong hai số a và 2  a ?
Dạng 3: Giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc hai Với a  0 , ta có  2
x  a  x   a ;  2
x  a  x  a ;  2
x  a  0  x  a ;  2
x  a  x  a .
Ví dụ 7. Giải phương trình: 2 3x  0, 75 .
Ví dụ 8. Giải phương trình: 2 3x  12 . 1
Ví dụ 9. Tìm số x không âm, biết: 5x  10 . 2
Ví dụ 10. Giải phương trình: 2
x  6x  9  7x  13 .
Ví dụ 11. Tính tổng các giá trị của x thỏa mãn đẳng thức 2 x  25  13 .
Dạng 4: Tìm điều kiện để A có nghĩa 
A có nghĩa khi và chỉ khi A  0 .  A
có nghĩa khi và chỉ khi B  0 . B A 0 A 0
 Lưu ý: A B  0   hoặc  . B  0 B  0 A  0 A  0
A B  0   hoặc  . B  0 B  0
Ví dụ 12. Tìm x để các căn thức sau có nghĩa 1 a) 2x  6 ; b) 5  2x ; c) . x 1 1
Ví dụ 13. Tìm x để căn thức có nghĩa. 2 x  4x  4
Dạng 5: Rút gọn biểu thức có chứa 2 A  Aneu A0
 Vận dụng hằng đẳng thức: 2 A  A  
Aneu A  0.
Ví dụ 14. Rút gọn biểu thức 2 A 
x  6x  9 .
Ví dụ 15. Rút gọn biểu thức 4 6 B  x  x . Trang 2
Ví dụ 16. Tính giá trị của biểu thức C  3  2 2  6  4 2 .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh 1 3 1 a) 26  3 và 63 ; b) và . 2 2
Bài 2. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức a)  4 5 2  ; b) 6 4  ( 3  ) ; c) 8 ( 5  ) ; d) 6 8 2 ( 5  )  3 ( 2  ) .
Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau a)   2 4 2 ; b)   2 3 3 ; c)   2 4 17 ; d)    2 2 3 2 3 .
Bài 4. Chứng minh các đẳng thức sau a)     2 9 4 5 5 2 ; b) 9  4 5  5  2  ; c)   2 4 7  238 7 ; d) 23  8 7  7  4 .
Bài 5. Tìm x không âm, biết: a) 2 5x  80 ; b) 2 x  1 ; c) x  3 ; d) x  5 ; c) x  0 ; e) x  2  ; f) 3x  6 .
Bài 6. Tìm x để các căn thức bậc hai sau có nghĩa: 2 a) ; b) 2 x  2x 1 ; c) 2 x  4x . 9  x
Bài 7. Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa: 1 1 x a) 2 9  x ; b) ; c)  . 2 x  4 x  2 x  3
Bài 8. Rút gọn các biểu thức sau: a)   2 3 10 ; b) 9  4 5 ; c) 2
3x  x  2x 1 .
Bài 9. Giải phương trình: a) 2
x 10x  25  2 ; b) 2
x  3x  2 ; c) 2
4x 12x  9  x  7 . Trang 3
Bài 10. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. a) 2 x  7 ; b) 2
x  2 2x  2 ; c) 2
x 13  2 13x .
Bài 11. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
D  4x  4x 1  3 .
Bài 12. Cho biểu thức: 2
Q  2x  x  2x 1 .
a) Rút gọn biểu thức Q ;
b) Tính giá trị của x khi Q  7 .
Bài 13. (*) Tìm các giá trị của x sao cho x  x .
HDG: Điều kiện x  0 . Ta có 2 2 x  x  x 
x  x  x  x 1 x  0 x  0 x  0 TH1:     0  x  1. 1   x  0 x  1 x  0 x  0 TH2:     x  . 1   x  0 x  1
Vậy với 0  x 1 thì x  x .
Bài 14. (*) Với giá trị nào của x thì biểu thức 2 25  x có nghĩa? HDG: Biểu thức 2
25  x có nghĩa khi và chỉ khi 2
25  x  0  5  x5  x0 . 5   x 0 x   5 x 5 TH1:       5   x 5 . 5   x  0 x   5 x   5 5   x 0 x  5  x  5 TH2:       x  . 5   x  0 x  5 x   5 Vậy với 5   x  5 thì 2 25  x có nghĩa.
Bài 15. (*) Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức M 
x  4  2  x có nghĩa?
HDG: Biểu thức M 
x  4  2  x có nghĩa khi và chỉ khi x  4 0 x   4 x  4        4 x  2 . 2  x  0 x   2 x  2
Mà x là số nguyên nên x  4  ; 3  ; 2  ; 1  ;0;1;  2 .
Vậy có 7 giá trị của x thỏa yêu cầu đề bài. --- HẾT --- Trang 4