Bài 3. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. Quy tắc
 Muốn khai phương một tích các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân
các kết quả lại với nhau.
 Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với
nhau rồi khai phương kết quả đó.
Cụ thể: với a, b  0 , a b  a  b . 2. Chú ý
 Với hai biểu thức không âm A và B, ta có A B  A  B .
 Đặc biệt khi A  0 thì  2 2 A  A  A.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Khai phương một tích
 Dựa vào quy tắc khai phương một tích: với a,b  0 , a b  a  b .
 Nhớ chú ý điều kiện áp dụng. Ví dụ 1. Tính: a) 12,1160 ; b) 2500 4,9 0,9 . Ví dụ 2. Tính: a) 2 2 41  40 ;
b) 81 6, 25  2, 25 81 .
Ví dụ 3. Đẳng thức x(1 y) 
x  1 y đúng với những giá trị nào của x và y ?
Dạng 2: Nhân các căn bậc hai
 Dựa vào quy tắc nhân các căn bậc hai: với a,b  0 , a  b  a b . Ví dụ 4. Tính a) 72  50 ; b) 12,8  0, 2 . Ví dụ 5. Tính 2 12 1 a) 40  20  4, 5 ; b)   . 3 25 2
Ví dụ 6. Thực hiện các phép tính:
a)  20  45  5 5 ;
b)  12  3 27  3 ; c)  5  3   1   5   1 . Ví dụ 7. Tính a)   2 7 3 ; b)   2 8 2 ;
c) 5 3  2 7 5 3  2 7  . Trang 1
Dạng 3: Rút gon, tính giá trị của biểu thức
 Trước hết tìm điều kiện của biến để biểu thức có nghĩa (nếu cần).
 Áp dụng quy tắc khai phương một tích, quy tắc nhân các căn bậc hai, các hằng đẳng thức để rút gọn.
 Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn rồi thực hiện các phép tính.
Ví dụ 8. Rút gọn các biểu thức sau: 3x 5x a)  với x  0 ; b) 6 2
x  (x  2) với x  2 . 5 27
Ví dụ 9. Rút gọn các biểu thức sau: 60 a) 3 15x  ; b)  2
16 x  6x  9 . x
Ví dụ 10. Rút gọn biểu thức 2
M  25x x  2 x   1 với 0  x 1.
Ví dụ 11. Rút gọn các biểu thức sau: a) 4  2 3  3 ; b) 8  2 15  3 ; c) 9  4 5  5 .
Ví dụ 12. Rút gọn các biểu thức sau:
a) x  2 x 1 ;
b) x  2  2 x 1 .
Dạng 4: Viết biểu thức dưới dạng tích
Vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử  Đặt nhân tử chung.
 Dùng hằng đẳng thức.  Nhóm hạng tử.  …
Ví dụ 13. Phân tích thành nhân tử (với điều kiện các biểu thức dưới dấu căn đều có nghĩa) a) 3  3 ; b) x  3 xy ;
c) x y  y x ;
d) x  x  xy  y .
Ví dụ 14. Phân tích thành nhân tử (với điều kiện các biểu thức dưới dấu căn đều có nghĩa) a) 3 x  25 x ;
b) 9x  6 xy  y ; c) 3 3 x  y ; d) 2
x  9  2 x  3 .
Dạng 5: Giải phương trình
 Bước 1: tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa.
 Bước 2: Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hoặc các hằng đẳng thức đưa phương
trình đã cho về dạng phương trình đơn giản hơn.
Chú ý: có thể đưa về dạng tích A  0  2
A  0  A  0  ;
A  B  0   ; B  0  3
A  0  A  0 .
Ví dụ 15. Giải phương trình 2
25 (x  5)  15 . Trang 2
Ví dụ 16. Giải phương trình 2
9x  90x  225  6 .
Ví dụ 17. Giải phương trình 2
x  25  2 x  5 .
Ví dụ 18. Giải phương trình 1 1 x  5  9x  45  25x 125  6 . 3 5
Ví dụ 19. Giải phương trình 1 x   2 . x
Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức
Có thể dùng một trong hai cách
 Cách 1: Biến đổi tương đương.
 Cách 2: với a,b  0 thì 2 2
a  b  a  b .
Ví dụ 20. Không dùng máy tính hoặc bảng số, chứng minh rằng: 5  8  6  7 .
Ví dụ 21. Không dùng máy tính hoặc bảng số, chứng minh rằng 3  2  2  3   1 .
Ví dụ 22. Cho a  0 , chứng minh rằng a  9  a  3 .
Ví dụ 23. Cho a , b , c  0 . Chứng minh rằng
a) a  b  2 ab ;
b) a  b  c  ab  bc  ca . 1
Ví dụ 24. Cho a 
, chứng minh rằng 2a 1  a . 2
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính a) 10  40 ; b) 5  45 ; c) 52  13 ; d) 2  162 .
Bài 2. Áp dụng quy tắc khai phương một tích hãy tính a) 45 80 ; b) 75  48 ; c) 90  6, 4 ; d) 2,514, 4 .
Bài 3. Rút gọn rồi tính a) 2 2 6,8  3, 2 ; b) 2 2 21,8 18, 2 ; c) 2 2 117, 5  26, 5 1440 . Bài 4. Tính 5 3 2 2 a) 400  0,81 ; b)  ; c) 2 2 ( 5  ) 3 ;
d) 2  5 2  5 . 27 20
Bài 5. Rút gọn các biểu thức sau: Trang 3 a) 3  8  2 15 ;
b) x 1 2 x  2 .
Bài 6. Phân tích thành nhân tử a) a  5 a ;
b) a  7 với a  0 ;
c) a  4 a  4 ;
d) xy  4 x  3 y 12 .
Bài 7. Giải phương trình a) x  5  3 ; b) x 10  2  ; c) 2x 1  5 ; d) 4  5x  12 ; e)  2
49 1 2x  x   35  0 ; f) 2
x  9  5 x  3  0 .
Bài 8. Rút gọn các biểu thức: a) 2
4(a  3) với a  3; b) 2
9(b  2) với b  2; c) 2 2
a (a 1) với a  0 ; d) 2 2
b (b 1) với b  0 . Bài 9. Tính:
a)  x  3 x  2 ;
b)  x  y  x  y  ;  25 49  c)    3  3   ;
d) 1 3  51 3  5 . 3 3  
Bài 10. Tìm x và y , biết x  y 13  2 2 x  3 y  .
Bài 11. (*) Rút gọn biểu thức ( 14  6) 5  21 .
HD:  14  6  5  21   7  3 2  5  21   7  3 10  2 21 2
  7  3  7  3   7  3 7  3 . ..
Bài 12. (*) Chứng minh rằng 7  3  6  2 .
HD: 7  3  6  2  7  2  6  3 .
Bài 13. (*) Tính giá trị của biểu thức A  7  13  7  13 .
Cách 1: vì 7  13  7  13 nên 7  13  7  13  A  0 .
Bình phương hai vế ta được kết quả rồi tìm A  2 .
Cách 2: A  7  13  7  13  2A  14  2 13  14  2 13 A    2    2 2 13 1 13 1
 13 1  13 1  2 .  A  2 . Trang 4 --- HẾT --- Trang 5