46 trang 1 lượt tải

Phương Pháp Giải Toán 9 Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai

2

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình; Bước 2. Quy đồng mẫu thức rồi  khử mẫu thức; Bước 3. Giải phương trình bậc hai vừa nhận được; Bước 4. Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!

Chủ đề: Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn 26 tài liệu

Môn: Toán 9 2.9 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mỹ Châu

8 giờ trước
Danh sách Quiz
/46
Trang 1
Bài 7. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG
▪ Phương trình trùng phương là phương trình có dạng
42
0( 0).ax bx c a+ + =
▪ Cách giải: Đưa phương trình trùng phương về dạng phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn
phụ.
✓ Bước 1. Đặt
2
( 0)t x t=
;
✓ Bước 2. Giải phương trình bậc hai
2
0at bt c+ + =
và tìm nghiệm của phương trình trùng
phương.
2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC
▪ Phương trình chứa ẩn ở mẫu là phương trình có dạng
12
12
()
( ) ( )
0.
( ) ( ) ( )
n
n
fx
f x f x
g x g x g x
+ ++ =
▪ Cách giải:
✓ Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình;
✓ Bước 2. Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thức;
✓ Bước 3. Giải phương trình bậc hai vừa nhận được;
✓ Bước 4. Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình.
3. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
▪ Phương trình tích là phương trình có dạng
12
( ) ( ) ( ) 0.
n
f x f x f x =
▪ Cách giải:
1
2
12
( ) 0
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) 0.
n
n
fx
fx
f x f x f x
fx
=
=
=
=
Để giải một số phương trình trước hết cần đặt ẩn phụ, thu gọn về dạng phương trình bậc hai hoặc
đưa về dạng phương trình tích.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Giải phương trình trùng phương
▪ Bước 1: Đặt
.
▪ Bước 2: Giải phương trình bậc hai
2
0at bt c+ + =
.
▪ Bước 3: Với mỗi
0t ³
, giải phương trình
2
xt=
.
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
a)
42
2 1 0xx− + =
; ĐS:
1S =
.
b)
42
4 3 1 0xx+ − =
; ĐS:
1
2
S

=


.
c)
42
3 10 3 0xx+ + =
; ĐS:
S =
.
d)
42
( 1) 4( 1) 3 0xx− − − + =
. ĐS:
0;2;1 3S =
.
Trang 2
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
a)
42
2 1 0xx+ + =
; ĐS:
S =
.
b)
42
2 6 8 0xx− − =
; ĐS:
2S =
.
c)
42
3 10 7 0xx− + =
; ĐS:
7
1;
3
S


=



.
d)
42
( 1) 4( 1) 3 0xx+ − + + =
. ĐS:
0; 2; 1 3S = − −
.
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
a)
42
12xx+=
; ĐS:
1S =
.
b)
42
23xx−=
; ĐS:
3S =
.
c)
4 2 2
2 3 4 5x x x− = −
; ĐS:
5
1;
2
S


=



.
d)
42
( 1) 4( 1) 3xx− = − −
. ĐS:
0;2;1 3S = +
.
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
a)
4 2 2
31x x x+ = −
; ĐS:
S =
.
b)
42
34xx−=
; ĐS:
2S =
.
c)
4 2 2
3 5 5 7x x x−=−
; ĐS:
7
1;
3
S


=



.
d)
42
( 1) 4( 1) 3xx+ = + −
. ĐS:
2;0; 1 3S = − −
.
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:
a)
42
0,1 0,2 0,1 0xx+ + =
; ĐS:
S =
.
b)
42
6,3 7,3 0xx− − =
; ĐS:
7,3S =
.
c)
42
3 4,1 1,1 0xx− + =
; ĐS:
11
1;
30
S


=



.
d)
2
2
7
8x
x
+=
. ĐS:
1; 7S =
.
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau:
Trang 3
a)
42
0,1 0,2 0,1 0xx− + =
; ĐS:
0,1S =
.
b)
42
6,9 7,9 0xx+ − =
; ĐS:
1S =
.
c)
42
3,3 4,4 1,1 0xx+ + =
; ĐS:
S =
.
d)
2
2
6
5x
x
+=
. ĐS:
1; 6S =
.
Dạng 2: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
▪ Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
▪ Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.
▪ Bước 3: Giải phương trình bậc hai vừa nhận được.
▪ Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình.
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau:
a)
2
22
11
x x x
xx
−
=
++
; ĐS:
0;4S =
.
b)
3 14
1
21
x
xx
+
+=
−−
; ĐS:
9
3;
2
S

=


.
c)
2
31
1 ( 1)( 3)
x x x
x x x
− + −
=
+ + +
. ĐS:
S =
.
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:
a)
2
43
11
x x x
xx
+
=
−−
; ĐS:
1;0S =−
.
b)
4 16
1
21
x
xx
+
+=
−−
; ĐS:
3;5S =
.
c)
2
3 9 14
1 ( 1)( 2)
x x x
x x x
++
=
+ + +
. ĐS:
7
2
S

=


.
Ví dụ 9. Giải các phương trình sau:
a)
12
1
11xx
+=
−+
; ĐS:
0;3S =
.
b)
27
4
12
x
xx
+=
−−
; ĐS:
S =
.
c)
2
2 8 1
( 2)( 3) 3
xx
x x x
+−
=
− + +
; ĐS:
S =
.
d)
2 1 2 3
1 3 ( 1)( 3)
xx
x x x x
+
+=
+ − + −
. ĐS:
3;1S =−
.
Trang 4
Ví dụ 10. Giải các phương trình sau:
a)
14
1
21xx
+=
−+
; ĐS:
1;5S =
.
b)
1
3
2 1 2
x
xx
+=
−−
; ĐS:
11 21
10
S


=



.
c)
2
11
( 2)( 3) 3
xx
x x x
−−
=
− − −
; ĐS:
1S =
.
d)
14
1 2 ( 1)( 2)
xx
x x x x
+
+=
+ + + +
. ĐS:
3;1S =−
.
Ví dụ 11. Giải các phương trình sau:
a)
3 2 2
32
3 4 2 2 3
11
x x x x x
x x x
− + − −
=
− + +
; ĐS:
1;2S =−
.
b)
2
4 3 2
3 4 1
11
xx
x x x x
+−
=
− + + +
. ĐS:
3S =−
.
Ví dụ 12. Giải các phương trình sau:
a)
3 2 2
32
1
11
x x x x x
x x x
+ − − −
=
− + +
; ĐS:
1
3
S

=−


.
b)
22
4 3 2
2
11
x x x
x x x x
+−
=
− + + +
. ĐS:
2S =
.
Dạng 3: Giải phương trình tích
▪ Bước 1: Chuyển phương trình đã cho về dạng
11
( ) ( ) ( ) 0
n
f x f x f x×=L
.
▪ Bước 2: Giải phương trình
1
2
12
( ) 0
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) 0
n
n
fx
fx
f x f x f x
fx
é
=
ê
ê
=
ê
× = Û
ê
ê
ê
=
ê
ë
L
M
.
Ví dụ 13. Giải các phương trình sau:
a)
( 1)( 2)( 3) 0x x x− − − =
; ĐS:
1;2;3S =
.
b)
32
6 11 6 0x x x− + − =
; ĐS:
1;2;3S =
.
c)
32
3 3 1 0x x x− + − =
; ĐS:
1S =
.
d)
32
3 2 6 0x x x+ − − =
. ĐS:
3; 2S = −
.
Ví dụ 14. Giải các phương trình sau:
Trang 5
a)
( 1)( 4) 0x x x− − =
; ĐS:
0;1;4S =
.
b)
32
10x x x− + − =
; ĐS:
1S =
.
c)
32
5 4 0x x x− + =
; ĐS:
0;1;4S =
.
d)
32
3 2 6 0x x x− + − =
. ĐS:
3S =
.
Ví dụ 15. Giải các phương trình sau:
a)
22
( 4)( 3 ) 0x x x x+ + − =
; ĐS:
0;3S =
.
b)
2 2 2
( 2) (2 2) 0x x x− + − + =
; ĐS:
0;3S =
.
c)
2 2 2
( 4 ) 4( 4 )x x x x−=−
; ĐS:
0;4;2 2 2S =
.
d)
2 2 3
( 3) 5 15 0x x x− − + =
; ĐS:
5 37
3;
2
S


=



.
e)
3
( 2) 1 ( 1)( 1)x x x x+ − + = − +
. ĐS:
2S =−
.
Ví dụ 16. Giải các phương trình sau:
a)
22
( 2 1)( 4 ) 0x x x x− + − =
; ĐS:
0;1;4S =
.
b)
2 2 2
( 1) 4 0xx+ − =
; ĐS:
1S =
.
c)
2 2 2
( 5 ) 6( 5 )x x x x+ = +
; ĐS:
6; 5;0;1S = − −
.
d)
2 2 3
(2 3) 10 15 0x x x+ − − =
; ĐS:
3
1;
2
S

=


.
e)
3
( 1) 1 ( 1)( 2)x x x x+ − + = − −
. ĐS:
0S =
.
Dạng 4: Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
▪ Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình (nếu cần).
▪ Bước 2: Đặt ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ và giải phương trình theo ẩn phụ thu được.
▪ Bước 3: Tìm nghiệm ban đầu, đối chiếu với điều kiện (nếu có) và kết luận.
Lưu ý: Nếu điều kiện của ẩn phụ phức tạp thì có thể không cần tìm điều kiện cụ thể nhưng sau
khi tìm được ẩn chính thì cần thử lại.
Ví dụ 17. Giải các phương trình sau:
a)
2
( 1) 3( 1) 2 0xx− − − + =
; ĐS:
2;3S =
.
b)
2 2 2
( 2 3) 5( 2 3) 6 0x x x x− + − − + + =
; ĐS:
0;1;2S =
.
Trang 6
c)
2 2 2
(2 2) 10 5 16 0x x x x+ − + + − =
; ĐS:
3
;1
2
S

=−


.
d)
42
( 1) 4( 1) 3 0xx− − − + =
; ĐS:
0;2;1 3S =
.
e)
22
( 2 1)( 2 2) 2x x x x+ − + − =
; ĐS:
3; 2;0;1S = − −
.
f)
2
2
3
20
( 1) 1
xx
xx
− + =
++
; ĐS:
2S =−
.
g)
31
3 10 0
1
xx
xx
+
+ + =
+
. ĐS:
13
;
44
S

= − −


.
Ví dụ 18. Giải các phương trình sau:
a)
2
( 2) 3( 2) 2 0xx+ − + + =
; ĐS:
1;0S =−
.
b)
2 2 2
( 2 ) 5( 2 ) 6 0x x x x− − − + =
; ĐS:
1 2;1 7S =
.
c)
2 2 2
( 2) 2 2 4 0x x x x+ − + + − =
; ĐS:
2; 1;0;1S = − −
.
d)
42
(2 1) 4(2 1) 3 0xx+ − + + =
; ĐS:
13
1;0;
2
S

−

=−



.
e)
22
( 1)( 1) 3x x x x+ − + + =
; ĐS:
2;1S =−
.
f)
2
2
20
( 1) 1
xx
xx
+ − =
++
; ĐS:
2
3
S

=−


.
g)
21
2 5 0
1
xx
xx
+
+ + =
+
. ĐS:
21
;
33
S

= − −


.
Ví dụ 19. Giải các phương trình sau:
a)
22x x x− = −
; ĐS:
1;4S =
.
b)
2 3 7 0xx− − − =
. ĐS:
4S =
.
Ví dụ 20. Giải các phương trình sau:
a)
26x x x+ = +
; ĐS:
4S =
.
b)
1 7 0xx− − − =
. ĐS:
10S =
.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Giải các phương trình sau:
Trang 7
a)
42
20xx− − =
; ĐS:
2S =
.
b)
42
3 2 0xx− + =
; ĐS:
1; 2S =
.
c)
42
2 5 2 0xx− + =
; ĐS:
1
2;
2
S

=


.
d)
42
( 2) 6( 2) 5 0xx+ − + + =
. ĐS:
1; 3; 2 5S = − − −
.
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
4 2 2
31x x x−=+
; ĐS:
1S =
.
b)
42
2xx+=
; ĐS:
1S =
.
c)
4 2 2
46x x x− = −
; ĐS:
1; 6S =
.
d)
42
( 2) 3( 2) 2xx+ = + −
. ĐS:
1; 2S =
.
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a)
42
0,1 0,8 0,7 0xx− + =
; ĐS:
1; 7S =
.
b)
42
3 4,4 1,4 0xx+ + =
; ĐS:
S =
.
c)
42
3,3 4,3 0xx+ − =
; ĐS:
1S =
.
d)
2
2
1
2x
x
+=
. ĐS:
1S =
.
Bài 4. Giải các phương trình sau:
a)
2
42
2 1 2 1
x x x
xx
+
=
++
; ĐS:
2;0S =−
.
b)
13
2
21
x
xx
+
+=
−+
; ĐS:
5
1;
4
S

=


.
c)
2
2 3 4
1 ( 1)( 3)
x x x
x x x
+−
=
− − +
. ĐS:
2S =
.
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a)
13
1
31xx
+=
++
; ĐS:
7S =
.
b)
21
3
2 1 2
x
xx
+=
−−
; ĐS:
5
1;
4
S

=


.
Trang 8
c)
2
11
( 2)( 5) 5
xx
x x x
−−
=
+ − −
; ĐS:
1;3S =−
.
d)
1 1 3 4
1 2 ( 1)( 2)
xx
x x x x
++
+=
− − − −
. ĐS:
3 37
2
S


=



.
Bài 6. Giải các phương trình sau:
a)
3 2 2
32
1
11
x x x x x
x x x
+ − − +
=
− + +
; ĐS:
1S =−
.
b)
2
4 3 2
21
11
xx
x x x x
+−
=
− + + +
; ĐS:
S =
.
Bài 7. Giải các phương trình sau:
a)
( 3)( 5) 0x x x− − =
; ĐS:
0;3;5S =
.
b)
32
8 15 0x x x− + =
; ĐS:
0;3;5S =
.
c)
32
6 12 8 0x x x− + − =
; ĐS:
2S =
.
d)
32
4 3 2 0x x x+ − − =
. ĐS:
5 17
1;
2
S

−

=



.
Bài 8. Giải các phương trình sau:
a)
22
( )( 3 ) 0x x x x− − =
; ĐS:
0;1;3S =
.
b)
2 2 2
( 2 ) ( 2) 0x x x− − + =
; ĐS:
3 17
2
S


=



.
c)
2 2 2
( 2 ) 3( 2 )x x x x− = −
; ĐS:
1;0;2;3S =−
.
d)
2 2 3
( 1) 5 5 0x x x+ − − =
; ĐS:
5 21
2
S


=



.
e)
3
( 1) 1 ( 1)(2 1)x x x x+ − + = − +
. ĐS:
1S =−
.
Bài 9. Giải các phương trình sau:
a)
2
(3 1) 3(3 1) 2 0xx+ − + + =
; ĐS:
1
0;
3
S

=


.
b)
2 2 2
( ) 5( ) 6 0x x x x+ + + + =
; ĐS:
S =
.
Trang 9
c)
2 2 2
( ) 2 2 3 0x x x x+ + + − =
; ĐS:
15
2
S

−

=



.
d)
42
( 4) 7( 4) 6 0xx+ − + + =
; ĐS:
5; 3; 4 6S = − − −
.
e)
22
( 2 1)( 2 2) 2x x x x+ + + + =
; ĐS:
2;0S =−
.
f)
2
2
3
20
( 1) 1
xx
xx
− + =
++
; ĐS:
2S =−
.
g)
21
20
12
xx
xx
+
+ − =
+
; ĐS:
1S =
.
Bài 10. Giải các phương trình sau:
a)
2 2 3x x x−=−
; ĐS:
1;9S =
.
b)
2 2 2 0xx− − − =
. ĐS:
2;6S =
.
Trang 10
HƯỚNG DẪN GIẢI
Ví dụ 1. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
42
2 1 0xx− + =
; Đáp số
1S =
b).
42
4 3 1 0xx+ − =
; Đáp số
1
2
S

=


c).
42
3 10 3 0xx+ + =
; Đáp số
S =
d).
42
( 1) 4( 1) 3 0xx− − − + =
. Đáp số
0;2;1 3S =
Lời giải.
a).
42
2 1 0xx− + =
.
Đặt
2
tx=
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
2
2 1 0
( 1) 0
1(th?a di?u ki?n).
tt
t
t
− + =
− =
=
•
Với
2
1 1 1t x x= = =
.
Vậy
1S =
.
b).
42
4 3 1 0xx+ − =
.
Đặt
2
tx=
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
1(không th?a dk)
4 3 1 0
1
(th?a dk).
4
t
tt
t
=−
+ − =
=
•
Với
2
1 1 1
4 4 2
t x x= = =
.
Vậy
1
2
S

=


.
c).
42
3 10 3 0xx+ + =
.
Đặt
2
tx=
( 0)t
. Phương trình trở thành
Trang 11
2
1
(không th?a dk)
3 10 3 0
3
3(không th?a dk).
t
tt
t
=−
+ + =
=−
Vậy
S =
.
d).
42
( 1) 4( 1) 3 0xx− − − + =
.
Đặt
2
( 1)tx=−
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
1(th?a dk)
4 3 0
3(th?a dk).
t
tt
t
=
− + =
=
•
Với
2
11
[ ] 1 ( 1) 1
11
2
0.
x
t t x
x
x
x
−=
= − =
− = −
=
=
•
Với
2
13
[ ] 3 ( 1) 3
13
13
1 3.
x
t t x
x
x
x
−=
= − =
− = −
=+
=−
Vậy
0;2;1 3;1 3S = − +
.
Ví dụ 2. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
42
2 1 0xx+ + =
; Đáp số
S =
b).
42
2 6 8 0xx− − =
; Đáp số
2S =
c).
42
3 10 7 0xx− + =
; Đáp số
7
1;
3
S


=



d).
42
( 1) 4( 1) 3 0xx+ − + + =
. Đáp số
0; 2; 1 3S = − −
Lời giải.
a).
42
2 1 0xx+ + =
.
Đặt
2
tx=
( 0)t
. Phương trình trở thành
22
2 1 0 ( 1) 0 1t t t t+ + = + = = −
(không thỏa đk).
Vậy
S =
.
Trang 12
b).
42
2 6 8 0xx− − =
.
Đặt
2
tx=
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
1(không th?a dk)
2 6 8 0
4(th?a dk)
t
tt
t
=−
− − =
=
.
•
Với
2
4 4 2t x x= = =
.
Vậy
2S =
.
c).
42
3 10 7 0xx− + =
.
Đặt
2
tx=
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
1(th?a dk)
3 10 7 0
7
(th?a dk)
3
t
tt
t
=
− + =
=
.
•
Với
2
1 1 1t x x= = =
.
•
Với
2
7 7 7
3 3 3
t x x= = =
.
Vậy
7
1;
3
S


=



.
d).
42
( 1) 4( 1) 3 0xx+ − + + =
.
Đặt
2
( 1)tx=+
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
1(th?a dk)
4 3 0
3(th?a dk)
t
tt
t
=
− + =
=
.
•
Với
2
1 1 0
1 ( 1) 1
1 1 2.
xx
tx
xx
+ = =

= + =

+ = − = −

.
•
Với
2
1 3 3 1
3 ( 1) 3
1 3 3 1.
xx
tx
xx

+ = = −
= + =

+ = − = − −


Vậy
0; 2; 3 1; 3 1S = − − − −
.
Ví dụ 3. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
42
12xx+=
; Đáp số
1S =
Trang 13
b).
42
23xx−=
; Đáp số
3S =
c).
4 2 2
2 3 4 5x x x− = −
; Đáp số
5
1;
2
S


=



d).
42
( 1) 4( 1) 3xx− = − −
. Đáp số
0;2;1 3S = +
Lời giải.
a).
42
12xx+=
.
Đặt
2
tx=
( 0)t
. Phương trình trở thành
2 2 2
1 2 2 1 0 ( 1) 0 1t t t t t t+ = − + = − = =
(thỏa đk).
•
Với
2
1 1 1t x x= = =
.
Vậy
1S =
.
b).
42
23xx−=
.
Đặt
2
tx=
( 0)t
. Phương trình trở thành
22
1(không th?a dk)
2 3 2 3 0
3(th?a dk).
t
t t t t
t
=−
− = − − =
=
•
Với
2
3 3 3t x x= = =
.
Vậy
3S =
.
c).
4 2 2 4 2
2 3 4 5 2 7 5 0x x x x x− = − − + =
.
Đặt
2
tx=
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
1(th?a dk)
2 7 5 0
5
(th?a dk).
2
t
tt
t
=
− + =
=
•
Với
2
1 1 1t x x= = =
.
•
Với
2
5 5 5
2 2 2
t x x= = =
.
Vậy
5
1;
2
S


=



.
d).
42
( 1) 4( 1) 3xx− = − −
.
Trang 14
Đặt
2
( 1)tx=−
( 0)t
. Phương trình trở thành
22
1(th?a dk)
4 3 4 3 0
3(th?a dk).
t
t t t t
t
=
= − − + =
=
•
Với
2
1 ( 1) 1 0, 2t x x x= − = = =
.
•
Với
2
3 ( 1) 3 1 3t x x= − = = +
.
Vậy
0;2;1 3S = +
.
Ví dụ 4. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
4 2 2
31x x x+ = −
; Đáp số
S =
b).
42
34xx−=
; Đáp số
2S =
c).
4 2 2
3 5 5 7x x x−=−
; Đáp số
7
1;
3
S


=



d).
42
( 1) 4( 1) 3xx+ = + −
. Đáp số
2;0; 1 3S = − −
Lời giải.
a).
4 2 2 4 2
3 1 2 1 0x x x x x+ = − + + =
.
Đặt
2
tx=
( 0)t
. Phương trình trở thành
22
2 1 0 ( 1) 0 1t t t t+ + = + = = −
(không thỏa đk).
Vậy
S =
.
b).
42
34xx−=
.
Đặt
2
tx=
( 0)t
. Phương trình trở thành
22
1(không th?a dk)
3 4 0
4(th?a dk).
t
tt
t
=−
− − =
=
•
Với
2
4 4 2t x x= = =
.
Vậy
2S =
.
c).
4 2 2 4 2
3 5 5 7 3 10 7 0x x x x x− = − − + =
.
Đặt
2
tx=
( 0)t
. Phương trình trở thành
Trang 15
2
1(th?a dk)
3 10 7 0
7
(th?a dk).
3
t
tt
t
=
− + =
=
•
Với
2
1 1 1t x x= = =
.
•
Với
2
7 7 7
3 3 3
t x x= = =
.
Vậy
7
1;
3
S


=



.
d).
42
( 1) 4( 1) 3xx+ = + −
.
Đặt
2
( 1)tx=+
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
1(th?a dk)
4 3 0
3(th?a dk).
t
tt
t
=
− + =
=
•
Với
2
1 1 0
1 ( 1) 1
1 1 2
xx
tx
xx
+ = =

= + =

+ = − = −

.
•
Với
2
1 3 1 3
3 ( 1) 3
1 3 1 3.
xx
tx
xx

+ = = − +
= + =

+ = − = − −


Vậy
2;0; 1 3S = − −
.
Ví dụ 5. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
42
0,1 0,2 0,1 0xx+ + =
; Đáp số
S =
b).
42
6,3 7,3 0xx− − =
; Đáp số
7,3S =
c).
42
3 4,1 1,1 0xx− + =
; Đáp số
11
1;
30
S


=



d).
2
2
7
8x
x
+=
. Đáp số
1; 7S =
Lời giải.
a).
42
0,1 0,2 0,1 0xx+ + =
.
Đặt
2
tx=
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
0,1 0,2 0,1 0 1t t t+ + = = −
(không thỏa đk).
Trang 16
Vậy
S =
.
b).
42
6,3 7,3 0xx− − =
.
Đặt
2
tx=
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
1(không th?a dk)
6,3 7,3 0
7,3(th?a dk).
t
tt
t
=−
− − =
=
•
Với
2
7,3 7,3 7,3t x x= = =
.
Vậy
7,3S =
.
c).
42
3 4,1 1,1 0xx− + =
.
Đặt
2
tx=
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
1(th?a dk)
3 4,1 1,1 0
11
(th?a dk).
30
t
tt
t
=
− + =
=
•
Với
2
1 1 1t x x= = =
.
•
Với
2
11 11 11
30 30 30
t x x= = =
.
Vậy
11
1;
30
S


=



.
d).
2
2
7
8x
x
+=
.
Đặt
2
tx=
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
0
0
1 (th?a dk)
7
8
1
7(th?a dk).
8 7 0
7
t
t
t
t
t
t
t
tt
t
=
+ =
=

=
− + =
=
•
Với
2
1 1 1t x x= = =
.
•
Với
2
7 7 7t x x= = =
.
Vậy
1; 7S =
.
Ví dụ 6. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
42
0,1 0,2 0,1 0xx− + =
; Đáp số
0,1S =
Trang 17
b).
42
6,9 7,9 0xx+ − =
; Đáp số
1S =
c).
42
3,3 4,4 1,1 0xx+ + =
; Đáp số
S =
d).
2
2
6
5x
x
+=
. Đáp số
1; 6S =
Lời giải.
a).
42
0,1 0,2 0,1 0xx− + =
.
Đặt
2
tx=
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
0,1 0,2 0,1 0 0,1t t t− + = =
(thỏa đk).
•
Với
2
0,1 0,1 0,1t x x= = =
.
Vậy
0,1S =
.
b).
42
6,9 7,9 0xx+ − =
.
Đặt
2
tx=
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
1(th?a dk)
6,9 7,9 0
7,9(không th?a dk).
t
tt
t
=
+ − =
=−
•
Với
2
1 1 1t x x= = =
.
Vậy
1S =
.
c).
42
3,3 4,4 1,1 0xx+ + =
.
Đặt
2
tx=
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
1(không th?a dk)
3,3 4,4 1,1 0
1
(không th?a dk).
3
t
tt
t
=−
+ + =
=−
Vậy
S =
.
d).
2
2
6
5x
x
+=
.
Đặt
2
tx=
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
0
0
1(th?a dk)
6
5
1
6(th?a dk).
5 6 0
6
t
t
t
t
t
t
t
tt
t
=
+ =
=

=
− + =
=
•
Với
2
1 1 1t x x= = =
.
Trang 18
•
Với
2
6 6 6t x x= = =
.
Vậy
1; 6S =
.
Ví dụ 7. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
2
22
11
x x x
xx
−
=
++
; Đáp số
0;4S =
b).
3 14
1
21
x
xx
+
+=
−−
; Đáp số
9
3;
2
S

=


c).
2
31
1 ( 1)( 3)
x x x
x x x
− + −
=
+ + +
. Đáp số
S =
Lời giải.
a).
2
22
(1)
11
x x x
xx
−
=
++
.
•
Điều kiện
1x −
.
•
Phương trình
(1)
tương đương với
22
[ ] 2 2 4 0
0(th?a dk)
( 4) 0
4(th?a dk).
t x x x x x
x
xx
x
− = − =
=
− =
=
•
Vậy
0;4S =
.
b).
3 14
1 (1)
21
x
xx
+
+=
−−
.
•
Điều kiện
1, 2xx
.
•
Phương trình
(1)
tương đương với
( 3)( 1) ( 1)( 2) 14( 2)
[]
( 1)( 2) ( 1)( 2)
x x x x x
t
x x x x
+ − + − − −
=
− − − −
( 3)( 1) ( 1)( 2) 14( 2)x x x x x + − + − − = −
2
2 15 27 0xx − + =
9
3(th?a dk) (th?a dk).
2
xx
= =
•
Vậy
9
3;
2
S

=


.
Trang 19
c).
2
31
(1)
1 ( 1)( 3)
x x x
x x x
− + −
=
+ + +
.
•
Điều kiện
1, 3xx − −
.
•
Phương trình
(1)
tương đương với
2
2
2
( 3) 3 1
[]
( 1)( 3) ( 1)( 3)
( 3) 3 1
2 1 0(vô nghi?m).
x x x x
t
x x x x
x x x x
x
+ − + −
=
+ + + +
+ = − + −
+ =
•
Vậy
S =
.
Ví dụ 8. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
2
43
11
x x x
xx
+
=
−−
; Đáp số
1;0S =−
b).
4 16
1
21
x
xx
+
+=
−−
; Đáp số
3;5S =
c).
2
3 9 14
1 ( 1)( 2)
x x x
x x x
++
=
+ + +
. Đáp số
7
2
S

=


Lời giải.
a).
2
43
(1)
11
x x x
xx
+
=
−−
.
•
Điều kiện
1x
.
•
Phương trình
(1)
tương đương với
22
[ ] 4 3 0
0(th?a dk)
( 1) 0
1(th?a dk).
t x x x x x
x
xx
x
+ = + =
=
+ =
=−
•
Vậy
1;0S =−
.
b).
4 16
1 (1)
21
x
xx
+
+=
−−
.
•
Điều kiện
1, 2xx
.
•
Phương trình
(1)
tương đương với
Trang 20
2
( 4)( 1) ( 1)( 2) 16( 2)
[]
( 1)( 2) ( 1)( 2)
( 4)( 1) ( 1)( 2) 16( 2)
3(th?a dk)
2 16 30 0
5(th?a dk).
x x x x x
t
x x x x
x x x x x
x
xx
x
+ − + − − −
=
− − − −
+ − + − − = −
=
− + =
=
•
Vậy
3;5S =
.
c).
2
3 9 14
(1)
1 ( 1)( 2)
x x x
x x x
++
=
+ + +
.
•
Điều kiện
1, 2xx − −
.
•
Phương trình
(1)
tương đương với
2
2
2
3 ( 2) 9 14
[]
( 1)( 2) ( 1)( 2)
3 ( 2) 9 14
7
(th?a dk)
2 3 14 0
2
2(không th?a dk).
x x x x
t
x x x x
x x x x
x
xx
x
+ + +
=
+ + + +
+ = + +
=
− − =
=−
•
Vậy
7
2
S

=


.
Ví dụ 9. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
12
1
11xx
+=
−+
; Đáp số
0;3S =
b).
27
4
12
x
xx
+=
−−
; Đáp số
S =
c).
2
2 8 1
( 2)( 3) 3
xx
x x x
+−
=
− + +
; Đáp số
S =
d).
2 1 2 3
1 3 ( 1)( 3)
xx
x x x x
+
+=
+ − + −
. Đáp số
3;1S =−
Lời giải.
a).
12
1 (1)
11xx
+=
−+
.
•
Điều kiện
1x 
.
•
Phương trình
(1)
tương đương với

Tài liệu khác của Toán 9

Preview text:

Bài 7. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG
▪ Phương trình trùng phương là phương trình có dạng 4 2
ax + bx + c = 0(a  0).
▪ Cách giải: Đưa phương trình trùng phương về dạng phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ. ✓ Bước 1. Đặt 2
t = x (t  0) ;
✓ Bước 2. Giải phương trình bậc hai 2
at + bt + c = 0 và tìm nghiệm của phương trình trùng phương.
2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC f (x) f (x) f (x)
▪ Phương trình chứa ẩn ở mẫu là phương trình có dạng 1 2 n + + + = 0. g (x) g (x) g (x) 1 2 n ▪ Cách giải:
✓ Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình;
✓ Bước 2. Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thức;
✓ Bước 3. Giải phương trình bậc hai vừa nhận được;
✓ Bước 4. Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình.
3. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
▪ Phương trình tích là phương trình có dạng f (x)  f (x)  f (x) = 0. 1 2 nf (x) = 0 1  f (x) = 0 ▪ Cách giải: 2
f (x) f (x) f (x) 0    =  1 2 n   f (x) = 0.  n
Để giải một số phương trình trước hết cần đặt ẩn phụ, thu gọn về dạng phương trình bậc hai hoặc
đưa về dạng phương trình tích.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Giải phương trình trùng phương ▪ Bước 1: Đặt 2
t = x (t ³ 0) .
▪ Bước 2: Giải phương trình bậc hai 2
at + bt + c = 0 .
▪ Bước 3: Với mỗi t ³ 0 , giải phương trình 2 x = t .
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: a) 4 2
x − 2x +1 = 0 ;
ĐS: S =   1 .  1  b) 4 2
4x + 3x −1 = 0 ;
ĐS: S =   .  2 c) 4 2
3x +10x + 3 = 0 ; ĐS: S =  . d) 4 2
(x −1) − 4(x −1) + 3 = 0 .
ĐS: S = 0;2;1  3 . Trang 1
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: a) 4 2
x + 2x +1 = 0; ĐS: S =  . b) 4 2
2x − 6x − 8 = 0 ;
ĐS: S =   2 .  7  c) 4 2
3x −10x + 7 = 0 ; ĐS: S =  1  ;  .  3   d) 4 2
(x +1) − 4(x +1) + 3 = 0 . ĐS: S = 0; 2 − ; 1 −  3.
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau: a) 4 2
x +1 = 2x ;
ĐS: S =   1 . b) 4 2
x − 2x = 3;
ĐS: S =   3 .  5  c) 4 2 2
2x − 3x = 4x − 5 ; ĐS: S =  1  ;  .  2   d) 4 2
(x −1) = 4(x −1) − 3.
ĐS: S = 0;2;1+   3 .
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau: a) 4 2 2
x + 3x = x −1; ĐS: S =  . b) 4 2
x − 3x = 4 ;
ĐS: S =   2 .  7  c) 4 2 2
3x − 5x = 5x − 7 ; ĐS: S =  1  ;  .  3   d) 4 2
(x +1) = 4(x +1) − 3 . ĐS: S =  2 − ;0; 1 −  3.
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau: a) 4 2
0,1x + 0, 2x + 0,1 = 0 ; ĐS: S =  . b) 4 2
x − 6,3x − 7,3 = 0 ;
ĐS: S =  7,  3 .  11  c) 4 2
3x − 4,1x +1,1 = 0 ; ĐS: S =  1  ;  .  30   7 d) 2 x + = 8. ĐS: S =  1  ; 7. 2 x
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau: Trang 2 a) 4 2
0,1x − 0, 2x + 0,1 = 0 ;
ĐS: S =  0,  1 . b) 4 2
x + 6,9x − 7,9 = 0 ;
ĐS: S =   1 . c) 4 2
3,3x + 4, 4x +1,1 = 0 ; ĐS: S =  . 6 d) 2 x + = 5. ĐS: S =  1  ; 6 . 2 x
Dạng 2: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
▪ Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
▪ Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.
▪ Bước 3: Giải phương trình bậc hai vừa nhận được.
▪ Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình.
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau: 2 x − 2x 2x a) = ;
ĐS: S = 0;  4 . x +1 x +1 x + 3 14  9  b) +1 = ; ĐS: S = 3;   . x − 2 x −1  2 2 x −x + 3x −1 c) = . ĐS: S =  .
x +1 (x +1)(x + 3)
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau: 2 x + 4x 3x a) = ; ĐS: S =  1 − ;  0 . x −1 x −1 x + 4 16 b) +1 = ;
ĐS: S = 3;  5 . x − 2 x −1 2 3x x + 9x +14 7  c) = .
ĐS: S =   .
x +1 (x +1)(x + 2) 2
Ví dụ 9. Giải các phương trình sau: 1 2 a) + =1;
ĐS: S = 0;  3 . x −1 x +1 2x 7 b) + = 4 ; ĐS: S =  . x −1 2 − x 2 x + 2x − 8 1 c) = ; ĐS: S =  . (x − 2)(x + 3) x + 3 2x 1 2x + 3 d) + = . ĐS: S =  3 −  ;1 . x +1 x − 3 (x +1)(x − 3) Trang 3
Ví dụ 10. Giải các phương trình sau: 1 4 a) + =1;
ĐS: S = 1;  5 . x − 2 x +1 x 1 1  1 21 b) + = 3 ; ĐS: S =  . 2x −1 2 − x  10   2 x − x −1 1 c) = ; ĐS: S =   1 .
(x − 2)(x − 3) x − 3 x 1 x + 4 d) + = . ĐS: S =  3 −  ;1 . x +1 x + 2 (x +1)(x + 2)
Ví dụ 11. Giải các phương trình sau: 3 2 2
x − 3x + 4x − 2 2x − 3x a) = ; ĐS: S =  1 − ;  2 . 3 2 x −1 x + x +1 2 x + 3x − 4 1 b) = .
ĐS: S = −  3 . 4 3 2 x −1
x + x + x +1
Ví dụ 12. Giải các phương trình sau: 3 2 2
x + x − x −1 x − x  1 a) = ;
ĐS: S = −  . 3 2 x −1 x + x +1  3 2 2 x + x − 2 x b) = . ĐS: S =   2 . 4 3 2 x −1
x + x + x +1
Dạng 3: Giải phương trình tích
▪ Bước 1: Chuyển phương trình đã cho về dạng f (x) f
× (x)L f (x) = 0 . 1 1 n fé (x) = 0 ê1 fê (x) = 0
▪ Bước 2: Giải phương trình ê2 f (x) f
× (x)L f (x) = 0 Û . 1 2 n ê êM fêê (x) = 0 n ë
Ví dụ 13. Giải các phương trình sau:
a) (x −1)(x − 2)(x − 3) = 0 ;
ĐS: S = 1;2;  3 . b) 3 2
x − 6x +11x − 6 = 0 ;
ĐS: S = 1;2;  3 . c) 3 2
x − 3x + 3x −1 = 0 ; ĐS: S =   1 . d) 3 2
x + 3x − 2x − 6 = 0 . ĐS: S =  3 − ; 2.
Ví dụ 14. Giải các phương trình sau: Trang 4
a) x(x −1)(x − 4) = 0 ;
ĐS: S = 0;1;  4 . b) 3 2
x − x + x −1 = 0 ; ĐS: S =   1 . c) 3 2
x − 5x + 4x = 0 ;
ĐS: S = 0;1;  4 . d) 3 2
x − 3x + 2x − 6 = 0 . ĐS: S =   3 .
Ví dụ 15. Giải các phương trình sau: a) 2 2
(x + x + 4)(x − 3x) = 0 ;
ĐS: S = 0;  3 . b) 2 2 2
(x − x + 2) − (2x + 2) = 0 ;
ĐS: S = 0;  3 . c) 2 2 2
(x − 4x) = 4(x − 4x) ;
ĐS: S = 0;4;2  2 2.  5  37  d) 2 2 3
(x − 3) − 5x +15x = 0 ;
ĐS: S =  3; .  2   e) 3
(x + 2) − x +1 = (x −1)(x +1) .
ĐS: S = −  2 .
Ví dụ 16. Giải các phương trình sau: a) 2 2
(x − 2x +1)(x − 4x) = 0 ;
ĐS: S = 0;1;  4 . b) 2 2 2
(x +1) − 4x = 0 ;
ĐS: S =   1 . c) 2 2 2
(x + 5x) = 6(x + 5x) ; ĐS: S =  6 − ; 5 − ;0  ;1 .  3 d) 2 2 3
(2x + 3) −10x −15x = 0 ; ĐS: S = 1  ;  .  2 e) 3
(x +1) − x +1 = (x −1)(x − 2) . ĐS: S =   0 .
Dạng 4: Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
▪ Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình (nếu cần).
▪ Bước 2: Đặt ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ và giải phương trình theo ẩn phụ thu được.
▪ Bước 3: Tìm nghiệm ban đầu, đối chiếu với điều kiện (nếu có) và kết luận.
Lưu ý: Nếu điều kiện của ẩn phụ phức tạp thì có thể không cần tìm điều kiện cụ thể nhưng sau
khi tìm được ẩn chính thì cần thử lại.
Ví dụ 17. Giải các phương trình sau: a) 2
(x −1) − 3(x −1) + 2 = 0 ;
ĐS: S = 2;  3 . b) 2 2 2
(x − 2x + 3) − 5(x − 2x + 3) + 6 = 0 ;
ĐS: S = 0;1;  2 . Trang 5  3  c) 2 2 2
(2x + x − 2) +10x + 5x −16 = 0 ;
ĐS: S = − ;1 .  2  d) 4 2
(x −1) − 4(x −1) + 3 = 0 ;
ĐS: S = 0;2;1  3 . e) 2 2
(x + 2x −1)(x + 2x − 2) = 2 ; ĐS: S =  3 − ; 2 − ;0  ;1 . 2 x 3x f) − + 2 = 0;
ĐS: S = −  2 . 2 (x +1) x +1 3x x +1  1 3  g) + 3 +10 = 0 .
ĐS: S = − ;−  . x +1 x  4 4 
Ví dụ 18. Giải các phương trình sau: a) 2
(x + 2) − 3(x + 2) + 2 = 0 ; ĐS: S =  1 − ;  0 . b) 2 2 2
(x − 2x) − 5(x − 2x) + 6 = 0 ;
ĐS: S = 1 2;1 7. c) 2 2 2
(x + x − 2) + 2x + 2x − 4 = 0 ; ĐS: S =  2 − ; 1 − ;0  ;1 .  1 −  3  d) 4 2
(2x +1) − 4(2x +1) + 3 = 0 ; ĐS: S =  1 − ;0; .  2   e) 2 2
(x + x −1)(x + x +1) = 3 ; ĐS: S =  2 −  ;1 . 2 x x  2 f) + − 2 = 0;
ĐS: S = −  . 2 (x +1) x +1  3 2x x +1  2 1 g) + 2 + 5 = 0.
ĐS: S = − ;−  . x +1 x  3 3
Ví dụ 19. Giải các phương trình sau:
a) x − 2 x = x − 2 ;
ĐS: S = 1;  4 .
b) 2x − x − 3 − 7 = 0 . ĐS: S =   4 .
Ví dụ 20. Giải các phương trình sau:
a) x + 2 x = x + 6 ; ĐS: S =   4 .
b) x − x −1 − 7 = 0 . ĐS: S =   10 . C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Giải các phương trình sau: Trang 6 a) 4 2
x − x − 2 = 0 ;
ĐS: S =  2 . b) 4 2
x − 3x + 2 = 0 ; ĐS: S =  1  ; 2.  1  c) 4 2
2x − 5x + 2 = 0 ;
ĐS: S =  2;  .  2  d) 4 2
(x + 2) − 6(x + 2) + 5 = 0 . ĐS: S =  1 − ; 3 − ; 2 −  5.
Bài 2. Giải các phương trình sau: a) 4 2 2
3x − x = x +1;
ĐS: S =   1 . b) 4 2
x + x = 2 ;
ĐS: S =   1 . c) 4 2 2
x − 4x = x − 6 ; ĐS: S =  1  ; 6 . d) 4 2
(x + 2) = 3(x + 2) − 2 . ĐS: S =  1  ; 2.
Bài 3. Giải các phương trình sau: a) 4 2
0,1x − 0,8x + 0, 7 = 0 ; ĐS: S =  1  ; 7. b) 4 2
3x + 4, 4x +1, 4 = 0 ; ĐS: S =  . c) 4 2
x + 3,3x − 4,3 = 0 ;
ĐS: S =   1 . 1 d) 2 x + = 2 .
ĐS: S =   1 . 2 x
Bài 4. Giải các phương trình sau: 2 x + 4x 2x a) = ; ĐS: S =  2 − ;  0 . 2x +1 2x +1 x +1 3  5 b) + 2 = ; ĐS: S = 1  ;  . x − 2 x +1  4 2 x 2x + 3x − 4 c) = .
ĐS: S =   2 .
x −1 (x −1)(x + 3)
Bài 5. Giải các phương trình sau: 1 3 a) + =1;
ĐS: S =  7 . x + 3 x +1 2x 1  5 b) + = 3 ; ĐS: S = 1  ;  . 2x −1 2 − x  4 Trang 7 2 x − x −1 1 c) = ; ĐS: S =  1 − ;  3 . (x + 2)(x − 5) x − 5 x +1 1 3x + 4 3 37  d) + = . ĐS: S =  . x −1 x − 2
(x −1)(x − 2)  2  
Bài 6. Giải các phương trình sau: 3 2 2
x + x − x −1 x + x a) = ;
ĐS: S = −  1 . 3 2 x −1 x + x +1 2 x + x − 2 1 b) = ; ĐS: S =  . 4 3 2 x −1
x + x + x +1
Bài 7. Giải các phương trình sau:
a) x(x − 3)(x − 5) = 0 ;
ĐS: S = 0;3;  5 . b) 3 2
x − 8x +15x = 0 ;
ĐS: S = 0;3;  5 . c) 3 2
x − 6x +12x − 8 = 0 ; ĐS: S =   2 .  5 −  17  d) 3 2
x + 4x − 3x − 2 = 0 . ĐS: S = 1  ;  .  2  
Bài 8. Giải các phương trình sau: a) 2 2
(x − x)(x − 3x) = 0 ;
ĐS: S = 0;1;  3 . 3 17  b) 2 2 2
(x − 2x) − (x + 2) = 0 ; ĐS: S =  .  2   c) 2 2 2
(x − 2x) = 3(x − 2x) ; ĐS: S =  1 − ;0;2;  3 . 5 21 d) 2 2 3
(x +1) − 5x − 5x = 0 ; ĐS: S =   .  2   e) 3
(x +1) − x +1 = (x −1)(2x +1) .
ĐS: S = −  1 .
Bài 9. Giải các phương trình sau:  1 a) 2
(3x +1) − 3(3x +1) + 2 = 0 ;
ĐS: S = 0;  .  3 b) 2 2 2
(x + x) + 5(x + x) + 6 = 0 ; ĐS: S =  . Trang 8  1 −  5  c) 2 2 2
(x + x) + 2x + 2x − 3 = 0 ; ĐS: S =  .  2   d) 4 2
(x + 4) − 7(x + 4) + 6 = 0 ; ĐS: S =  5 − ; 3 − ; 4 −  6. e) 2 2
(x + 2x +1)(x + 2x + 2) = 2 ; ĐS: S =  2 − ;  0 . 2 x 3x f) − + 2 = 0;
ĐS: S = −  2 . 2 (x +1) x +1 2x x +1 g) + − 2 = 0 ; ĐS: S =   1 . x +1 2x
Bài 10. Giải các phương trình sau:
a) x − 2 x = 2 x − 3 ;
ĐS: S = 1;  9 .
b) x − 2 x − 2 − 2 = 0 .
ĐS: S = 2;  6 . Trang 9 HƯỚNG DẪN GIẢI
Ví dụ 1. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: a). 4 2
x − 2x +1 = 0 ; Đáp số S =   1  1  b). 4 2
4x + 3x −1 = 0 ; Đáp số S =    2 c). 4 2
3x +10x + 3 = 0 ;
Đáp số S =  d). 4 2
(x −1) − 4(x −1) + 3 = 0 .
Đáp số S = 0;2;1  3 Lời giải. a). 4 2
x − 2x +1 = 0 . Đặt 2
t = x (t  0) . Phương trình trở thành 2 t − 2t +1 = 0 2  (t −1) = 0
t = 1(th?a di?u ki?n). • Với 2
t = 1  x = 1  x = 1. Vậy S =   1 . b). 4 2
4x + 3x −1 = 0 . Đặt 2
t = x (t  0) . Phương trình trở thành t = 1 − (không th?a dk) 2 4t 3t 1 0  + − =  1 t = (th?a dk).  4 1 1 1 • Với 2 t =
x =  x =  . 4 4 2  1  Vậy S =   .  2 c). 4 2
3x +10x + 3 = 0 . Đặt 2
t = x (t  0) . Phương trình trở thành Trang 10  1
t = − (không th?a dk) 2 3t 10t 3 0  + + =  3  t = 3 − (không th?a dk). Vậy S =  . d). 4 2
(x −1) − 4(x −1) + 3 = 0 . Đặt 2
t = (x −1) (t  0) . Phương trình trở thành t =1(th?a dk) 2
t − 4t + 3 = 0   t = 3(th?a dk). x −1 = 1 2
[t]t = 1  (x −1) = 1  x−1= 1− • Với x = 2  x =0. x −1 = 3 2
[t]t = 3  (x −1) = 3  x−1=− 3 • Với x =1+ 3  x=1− 3.
Vậy S = 0;2;1− 3;1+  3 .
Ví dụ 2. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: a). 4 2
x + 2x +1 = 0; Đáp số S =  b). 4 2
2x − 6x − 8 = 0 ;
Đáp số S =   2  7  c). 4 2
3x −10x + 7 = 0 ;
Đáp số S =  1  ;   3   d). 4 2
(x +1) − 4(x +1) + 3 = 0 .
Đáp số S = 0; 2 − ; 1 −  3 Lời giải. a). 4 2 x + 2x +1 = 0. Đặt 2
t = x (t  0) . Phương trình trở thành 2 2
t + 2t +1 = 0  (t +1) = 0  t = 1 − (không thỏa đk). Vậy S =  . Trang 11 b). 4 2
2x − 6x − 8 = 0 . Đặt 2
t = x (t  0) . Phương trình trở thành t = 1 − (không th?a dk) 2
2t − 6t − 8 = 0   . t = 4(th?a dk) • Với 2
t = 4  x = 4  x = 2 . Vậy S =   2 . c). 4 2
3x −10x + 7 = 0 . Đặt 2
t = x (t  0) . Phương trình trở thành t = 1(th?a dk) 2 3t 10t 7 0  − + =  7  . t = (th?a dk)  3 • Với 2
t = 1  x = 1  x = 1. 7 7 7 • Với 2
t =  x =  x =  . 3 3 3  7  Vậy S =  1  ;  .  3   d). 4 2
(x +1) − 4(x +1) + 3 = 0 . Đặt 2
t = (x +1) (t  0) . Phương trình trở thành t =1(th?a dk) 2
t − 4t + 3 = 0   . t = 3(th?a dk) x +1 =1 x = 0 • Với 2
t = 1  (x +1) = 1    . x 1 1  + = − x = 2 − . x +1 = 3 x = 3 −1 • Với 2
t = 3  (x +1) = 3     x +1 = − 3 x = − 3 −1. Vậy S = 0; 2 − ; 3 −1;− 3 −  1 .
Ví dụ 3. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: a). 4 2
x +1 = 2x ;
Đáp số S =   1 Trang 12 b). 4 2
x − 2x = 3;
Đáp số S =   3  5  c). 4 2 2
2x − 3x = 4x − 5 ;
Đáp số S =  1  ;   2   d). 4 2
(x −1) = 4(x −1) − 3. Đáp số S = 0;2;1+   3 Lời giải. a). 4 2 x +1 = 2x . Đặt 2
t = x (t  0) . Phương trình trở thành 2 2 2
t +1 = 2t t − 2t +1 = 0  (t −1) = 0  t = 1 (thỏa đk). • Với 2
t = 1  x = 1  x = 1. Vậy S =   1 . b). 4 2 x − 2x = 3. Đặt 2
t = x (t  0) . Phương trình trở thành t = 1 − (không th?a dk) 2 2
t − 2t = 3  t − 2t − 3 = 0   t = 3(th?a dk). • Với 2
t = 3  x = 3  x =  3 . Vậy S =   3 . c). 4 2 2 4 2
2x − 3x = 4x − 5  2x − 7x + 5 = 0 . Đặt 2
t = x (t  0) . Phương trình trở thành t = 1(th?a dk) 2 2t 7t 5 0  − + =  5 t = (th?a dk).  2 • Với 2
t = 1  x = 1  x = 1. 5 5 5 • Với 2
t =  x =  x =  . 2 2 2  5  Vậy S =  1  ;  .  2   d). 4 2
(x −1) = 4(x −1) − 3. Trang 13 Đặt 2
t = (x −1) (t  0) . Phương trình trở thành t =1(th?a dk) 2 2
t = 4t − 3  t − 4t + 3 = 0   t = 3(th?a dk). • Với 2
t = 1  (x −1) = 1  x = 0, x = 2 . • Với 2
t = 3  (x −1) = 3  x = 1+  3 .
Vậy S = 0;2;1+   3 .
Ví dụ 4. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: a). 4 2 2
x + 3x = x −1; Đáp số S =  b). 4 2
x − 3x = 4 ;
Đáp số S =   2  7  c). 4 2 2
3x − 5x = 5x − 7 ;
Đáp số S =  1  ;   3   d). 4 2
(x +1) = 4(x +1) − 3 . Đáp số S =  2 − ;0; 1 −  3 Lời giải. a). 4 2 2 4 2
x + 3x = x −1  x + 2x +1 = 0 . Đặt 2
t = x (t  0) . Phương trình trở thành 2 2
t + 2t +1 = 0  (t +1) = 0  t = 1 − (không thỏa đk). Vậy S =  . b). 4 2 x − 3x = 4 . Đặt 2
t = x (t  0) . Phương trình trở thành t = 1 − (không th?a dk) 2 2
t − 3t − 4 = 0   t = 4(th?a dk). • Với 2
t = 4  x = 4  x = 2 . Vậy S =   2 . c). 4 2 2 4 2
3x − 5x = 5x − 7  3x −10x + 7 = 0 . Đặt 2
t = x (t  0) . Phương trình trở thành Trang 14t = 1(th?a dk) 2 3t 10t 7 0  − + =  7 t = (th?a dk).  3 • Với 2
t = 1  x = 1  x = 1. 7 7 7 • Với 2
t =  x =  x =  . 3 3 3  7  Vậy S =  1  ;  .  3   d). 4 2
(x +1) = 4(x +1) − 3 . Đặt 2
t = (x +1) (t  0) . Phương trình trở thành t =1(th?a dk) 2
t − 4t + 3 = 0   t = 3(th?a dk). x +1 =1 x = 0 • Với 2
t = 1  (x +1) =1    . x 1 1  + = − x = 2 − x +1 = 3 x = −1+ 3 • Với 2
t = 3  (x +1) = 3     x +1= − 3 x = −1− 3. Vậy S =  2 − ;0; 1 −  3.
Ví dụ 5. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: a). 4 2
0,1x + 0, 2x + 0,1 = 0 ; Đáp số S =  b). 4 2
x − 6,3x − 7,3 = 0 ;
Đáp số S =  7,  3  11  c). 4 2
3x − 4,1x +1,1 = 0 ;
Đáp số S =  1  ;   30   7 d). 2 x + = 8.
Đáp số S =  1  ; 7 2 x Lời giải. a). 4 2
0,1x + 0, 2x + 0,1 = 0 . Đặt 2
t = x (t  0) . Phương trình trở thành 2
0,1t + 0, 2t + 0,1 = 0  t = 1 − (không thỏa đk). Trang 15 Vậy S =  . b). 4 2
x − 6,3x − 7,3 = 0 . Đặt 2
t = x (t  0) . Phương trình trở thành t = 1 − (không th?a dk) 2
t − 6,3t − 7,3 = 0   t = 7,3(th?a dk). • Với 2
t = 7,3  x = 7,3  x =  7,3 . Vậy S =  7,  3 . c). 4 2
3x − 4,1x +1,1 = 0 . Đặt 2
t = x (t  0) . Phương trình trở thành t =1(th?a dk) 2 3t 4,1t 1,1 0  − + =  11  t = (th?a dk).  30 • Với 2
t = 1  x = 1  x = 1. 11 11 11 • Với 2 t =  x =  x =  . 30 30 30  11  Vậy S =  1  ;  .  30   7 d). 2 x + = 8. 2 x Đặt 2
t = x (t  0) . Phương trình trở thành t   0 7 t   0  t =1 (th?a dk) t + = 8    t =1  • Với 2
t = 1  x = 1  x = 1. 2 tt  −8t + 7 = 0  t = 7(th?a dk). t = 7 • Với 2
t = 7  x = 7  x =  7 . Vậy S =  1  ; 7.
Ví dụ 6. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: a). 4 2
0,1x − 0, 2x + 0,1 = 0 ; Đáp số S =  0,  1 Trang 16 b). 4 2
x + 6,9x − 7,9 = 0 ;
Đáp số S =   1 c). 4 2
3,3x + 4, 4x +1,1 = 0 ; Đáp số S =  6 d). 2 x + = 5.
Đáp số S =  1  ; 6 2 x Lời giải. a). 4 2
0,1x − 0, 2x + 0,1 = 0 . Đặt 2
t = x (t  0) . Phương trình trở thành 2
0,1t − 0, 2t + 0,1 = 0  t = 0,1 (thỏa đk). • Với 2
t = 0,1  x = 0,1  x =  0,1 . Vậy S =  0,  1 . b). 4 2
x + 6,9x − 7,9 = 0 . Đặt 2
t = x (t  0) . Phương trình trở thành t =1(th?a dk) 2
t + 6,9t − 7,9 = 0   t = 7 − ,9(không th?a dk). • Với 2
t = 1  x = 1  x = 1. Vậy S =   1 . c). 4 2
3,3x + 4, 4x +1,1 = 0 . Đặt 2
t = x (t  0) . Phương trình trở thành t = 1 − (không th?a dk) 2 3,3t 4, 4t 1,1 0  + + =  1 
t = − (không th?a dk).  3 Vậy S =  . 6 d). 2 x + = 5. 2 x Đặt 2
t = x (t  0) . Phương trình trở thành t   0 6 t   0  t =1(th?a dk) t + = 5    t =1  • Với 2
t = 1  x = 1  x = 1. 2 tt  − 5t + 6 = 0  t = 6(th?a dk). t = 6 Trang 17 • Với 2
t = 6  x = 6  x =  6 . Vậy S =  1  ; 6 .
Ví dụ 7. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: 2 x − 2x 2x a). =
; Đáp số S = 0;  4 x +1 x +1 x + 3 14  9  b). +1 =
; Đáp số S = 3;   x − 2 x −1  2 2 x −x + 3x −1 c). = .
Đáp số S = 
x +1 (x +1)(x + 3) Lời giải. 2 x − 2x 2x a). = (1) . x +1 x +1
• Điều kiện x  −1.
• Phương trình (1) tương đương với 2 2 [t]
x − 2x = 2x x − 4x = 0
x = 0(th?a dk) • Vậy S = 0;  4 . 
x(x − 4) = 0  x = 4(th?a dk). x + 3 14 b). +1 = (1) . x − 2 x −1
• Điều kiện x  1, x  2 .
• Phương trình (1) tương đương với
(x + 3)(x −1) + (x −1)(x − 2) 14(x − 2) [t] =
(x −1)(x − 2)
(x −1)(x − 2)
 (x + 3)(x −1) + (x −1)(x − 2) = 14(x − 2) 2
 2x −15x + 27 = 0  9
x = 3(th?a dk)x = (th?a dk).   2  9  • Vậy S = 3;   .  2 Trang 18 2 x −x + 3x −1 c). = (1) .
x +1 (x +1)(x + 3)
• Điều kiện x  −1, x  −3 .
• Phương trình (1) tương đương với 2 x(x + 3) −x + 3x −1 [t] = (x +1)(x + 3) (x +1)(x + 3) 2 
x(x + 3) = −x + 3x −1 2  2x +1 = 0(vô nghi?m). • Vậy S =  .
Ví dụ 8. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: 2 x + 4x 3x a). =
; Đáp số S =  1 − ;  0 x −1 x −1 x + 4 16 b). +1 =
; Đáp số S = 3;  5 x − 2 x −1 2 3x x + 9x +14 7  c). = .
Đáp số S =  
x +1 (x +1)(x + 2) 2  Lời giải. 2 x + 4x 3x a). = (1) . x −1 x −1
• Điều kiện x  1.
• Phương trình (1) tương đương với 2 2 [t]
x + 4x = 3x x + x = 0
x = 0(th?a dk) • Vậy S =  1 − ;  0 . 
x(x +1) = 0  x = 1−(th?a dk). x + 4 16 b). +1 = (1) . x − 2 x −1
• Điều kiện x  1, x  2 .
• Phương trình (1) tương đương với Trang 19
(x + 4)(x −1) + (x −1)(x − 2) 16(x − 2) [t] =
(x −1)(x − 2)
(x −1)(x − 2) 
(x + 4)(x −1) + (x −1)(x − 2) = 16(x − 2) • Vậy S = 3;  5 . x = 3(th?a dk) 2 
2x −16x + 30 = 0  x =5(th?a dk). 2 3x x + 9x +14 c). = (1) .
x +1 (x +1)(x + 2)
• Điều kiện x  −1, x  −2 .
• Phương trình (1) tương đương với 2 3x(x + 2) x + 9x +14 [t] = (x +1)(x + 2) (x +1)(x + 2) 2  7 
3x(x + 2) = x + 9x +14
• Vậy S =   . 2   7 x = (th?a dk) 2 2x 3x 14 0   − − =  2  x = 2( − không th?a dk).
Ví dụ 9. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: 1 2 a). +
=1; Đáp số S = 0;  3 x −1 x +1 2x 7 b). +
= 4 ; Đáp số S =  x −1 2 − x 2 x + 2x − 8 1 c). = ;
Đáp số S =  (x − 2)(x + 3) x + 3 2x 1 2x + 3 d). + = .
Đáp số S =  3 −  ;1
x +1 x − 3 (x +1)(x − 3) Lời giải. 1 2 a). + =1 (1) . x −1 x +1
• Điều kiện x  1.
• Phương trình (1) tương đương với Trang 20

Tài liệu liên quan: