Phương Pháp Tìm GTLN Và GTNN Của Biểu Thức Rút Gọn Toán 9

CHUYÊN ĐỀ 6: TÌM GTLN – GTNN CỦA BIỂU THỨC RÚT GỌN
I/ Biểu thức rút gọn có dạng A = ax + b x + c (có thể khuyết c ) Phương pháp:
+ Biến đổi A về dạng: = ( + )2 A e x f  d . + Dựa vào ( + )2 e x
f để lập luận tìm ra GTLN, GTNN của A.
VD: Cho A = x − x . Tìm GTNN của A 2 Ta có:  1 1  1  1  1
A = x − 2. . x + − = x − −      2 4  4  2  4 2 Vì  1  1 x −  0 x   0  A  −    2  4 Dấu “=” xảy ra 1 1  x =  2 4 1 1
 A = −  x = . min 4 4
II/ Biểu thức rút gọn có dạng a A =
(với c,d cùng dấu) c x + d
+ Nếu c,d mang dấu dương thì: 1 1
c x + d  d x   0   c x + d d
Lúc này A hay A tuỳ thuộc vào dấu của tử số a. max min
+ Nếu c,d mang dấu âm thì đổi dấu âm lên tử và làm như trên. VD1: Cho 3 A = . Tìm GTLN của A 2 x + 5 Ta có 5 − 3 2 x + 5  5 x   0   3  A
=  x = 0  x = 0. 2 x + 5 5 max 5 VD2: Cho 5 − A = . Tìm GTNN của A. 3 x + 7 Ta có 5 − 5 − 5 − 3 x + 7  7 x     A =
 x = 0  x = 0. 3 x + 7 7 min 7
III/ Biểu thức rút gọn có dạng a A =
bx + c x + d Phương pháp:
+ Đặt f (x) = bx + c x + d đưa f (x) về dạng ( ) =  ( + )2 f x k e x f + h Trang 1
 f (x)  h + Lập luận  ( + )2 k e x f rồi suy ra   f  ( x)  h  a A  
+ Từ đó nghịch đảo biểu thức f (x) rồi h   . a A   h
+ Từ đó tìm được A , A . max min VD: Cho biểu thức 2 A = . Tìm GTNN của A. −x + x +1 2 Ta có: f (x)  1 1  1  1  3
= −x + x +1 = − x − 2. . x + − +1 = − x − +      2 4  4  2  4 2 Vì  1  x −  x
   f (x) 3 0 0     2  4 2 8 8 1 1  A =   =  − =  = f ( x) A x 0 x . min 3 3 2 4
IV/ Biểu thức rút gọn có dạng a x A =
(với b,c,d cùng dấu)
bx + c x + d
Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho x được a A = d b x + + c x
Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho d b x +  2 bd x
Từ đó suy ra A , A . max min
BÀI TẬP VẬN DỤNG  2 x x
3x + 3   2 x − 2 
Bài 1: Cho biểu thức: P = + −  :  −      1  x + 3 x − 3
x − 9   x − 3  a/ Rút gọn P
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P 2
Bài 2: Cho biểu thức: P = a + a 2a + − a +1 a − a +1 a a/ Rút gọn P
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P Trang 2 3 3    + + +
Bài 3: Cho biểu thức: P = 1 1 2 1 1 x y x x y y  + .  + +  :   3 3  x y x + y x y    x y + xy  a/ Rút gọn P
b/ Cho x.y =16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất
Bài 4: Cho biểu thức 1 5 x − 2 P = − −
x + 2 x − x − 6 3 − x a/ Rút gọn P b/ Tìm GTLN của P.  + − 
Bài 5: Cho biểu thức: P = x y x y 
x + y + 2xy   +  : 1+    1− xy 1+ xy     1− xy  a/ Rút gọn P b/ Tìm GTLN của P. 2 x x − ( x −3 3 ) +
Bài 6: Cho biểu thức: P = x 3 − + x − 2 x − 3 x +1 3 − x a/ Rút gọn P
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P 2  − +  −
Bài 7: Xét biểu thức x 2 x 2 (1 x) P =  −   .  x −1 x + 2 x +1 2   a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị lơn nhất của P. 2
Bài 8: Xét biểu thức a + a 2a + a A = − +1. a − a +1 a a) Rút gọn A.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. −
Bài 9: Cho biểu thức x 3 P = x −1 − 2 a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị nhỏ nhất của P.  1 
Bài 10: Cho biểu thứ A = x x  + : với x>0 x x  +1 x + x   a) Rút gọn A.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A Trang 3