5 trang 6 lượt tải

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 và cấp 2 | Toán cao cấp 1 | Đại học Tôn Đức Thắng

12

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1. - Là phương trình có dạng: 𝑎𝑥𝑘+1 + 𝑏𝑥𝑘 = 𝑓(𝑘) với a và b là hằng số. - Một số bài có thể kí hiệu là 𝑦𝑘 hay 𝑢 . 𝑘 1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất. - Nhận dạng: 𝑎𝑥𝑘+1 + 𝑏𝑥𝑘 = 0 - Cách giải: Xét phương trình đặc trưng: 𝑎𝜆 + 𝑏 = 0 → 𝜆 → 𝑥𝑛 = 𝐶. 𝜆 𝑘 . Ví dụ: a. 𝑥𝑘+1 − 3𝑥𝑘 = 0 Giải: Xét phương trình đặc trưng: 𝜆 − 3 = 0 → 𝜆 = 3 → 𝑥𝑘 = 𝐶. 3 𝑘 . Tài liệu được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Môn: Toán cao cấp 1 (TCC1) 22 tài liệu

Trường: Đại học Tôn Đức Thắng 4.2 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mai Nguyệt

3 tuần trước
Danh sách Quiz
/5
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
I. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1.
- Là phương trình có dạng: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥
𝑘+1 𝑘
=𝑓(𝑘) với a và b là h ng sằ ố.
- M t s bài có th kí hi u là ộ ố ể ệ 𝑦
𝑘
hay . 𝑢
𝑘
1. Phương trình sai phân tuyến tính cấ ầp 1 thu n nh t. ấ
- Nh n d ng: ậ ạ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥
𝑘+1 𝑘
=0
- Cách gi i: ả
Ví d : ụ
a. 𝑥 − 3𝑥 =0
𝑘+1 𝑘
Giải: Xét phương trình đặc trưng: 𝜆 − 3=0→𝜆=3→𝑥 =𝐶.3
𝑘
𝑘
.
b. 4𝑥 − 8𝑥 =0
𝑘+1 𝑘
Giải: Xét phương trình đặc trưng: 4𝜆 − 8=0→𝜆=2→𝑥 =𝐶.2
𝑘
𝑘
.
2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thu n nh t. ầ ấ
- Nh n d ng: ậ ạ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥
𝑘+1 𝑘
=𝑓(𝑘)
- Cách gi i: Công th c nghi m: ả ứ ệ 𝑥 =𝑥 + 𝑥
𝑘 𝑘
𝑘
∗
Bước 1. Tìm 𝑥
𝑘
.
Xét phương trình sai phân tuyến tính c p 1 thuấ ần nhất: 𝑎𝑥
𝑘+1
+ 𝑏𝑥
𝑘
=0
Xét phương trình đặc trưng: 𝑎𝜆 + 𝑏=0→𝜆→𝑥 =𝐶.𝜆
𝑘
𝑘
.
Bước 2. Tìm 𝑥
𝑘
∗
.
- N u:
ế 𝑓
(
𝑘
)
=𝛼 𝑃
𝑘
𝑚
(𝑘) 𝑃 v i ớ
𝑚
(
𝑘
)
là một đa thức bậc m theo k.
+ N u thì ế 𝛼≠𝜆 𝑥
𝑘
∗
=𝛼
𝑘
𝑄
𝑚
(𝑘)
+ N u thì ế 𝛼=𝜆 𝑥
𝑘
∗
=𝑘𝛼
𝑘
𝑄
𝑚
(𝑘)
- N u: :
ế 𝑓
(
𝑘
)
=𝑃
𝑚
(
𝑘
)
cos
(
𝑘𝛽
)
+ 𝑄
𝑚
( (
𝑘
)
sin 𝑘𝛽
)
thì 𝑥
𝑘
∗
=𝑅
𝑚
(
𝑘
)
cos
(
𝑘𝛽
)
+ 𝐻
𝑚
(
𝑘
)
sin
(
𝑘𝛽
)
v
ới 𝑄
𝑚
(
𝑘
)
=𝑎𝑘
𝑚
+ 𝑏𝑘 + ⋯ 𝑥
𝑚−1
. Tìm các h s bệ ố ằng cách thay
𝑘
∗
vào phương
trình ban đầu rồi giải.
Bước 3. Kết lu n: ậ 𝑥
𝑘
=𝑥 + 𝑥
𝑘
𝑘
∗
.
Ví dụ:
a. (1) 𝑥 − 𝑥 =2𝑘
𝑘+1 𝑘
Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nh ất: 𝑥
𝑘+1
− 𝑥 =0
𝑘
Xét phương trình đặc trưng: 𝜆 − 1=0→𝜆=1→𝑥 =𝐶
𝑘
.
Xét: VP =
𝛼
𝑘
𝑃
𝑚
(
𝑘
)
=2𝑘→𝛼=1 𝑃 và
𝑚
(
𝑘
)
=𝑃
1
(
𝑘
)
=2𝑘
Vì
𝛼=𝜆 =1 →𝑥
( )
𝑘
∗
=𝑘 + 𝑏 =𝑎𝑘
(
𝑎𝑘
)
2
+ 𝑏𝑘
→ 𝑥
𝑘+1
∗
=𝑎(𝑘+ 1)
2
+ 𝑏(𝑘 + 1)
Thay 𝑥
𝑘+1
∗
và 𝑥
𝑘
∗
vào phương trình (1), ta có:
𝑎
(
𝑘+ 1
)
2
+ 𝑏 𝑘+1 𝑎𝑘 =2𝑘
( )
−
(
2
+ 𝑏𝑘
)
→2 + 𝑎+ 𝑏=2𝑘𝑎𝑘
→{
2𝑎=2
𝑎+ 𝑏=0
↔{
𝑎=1
𝑏=−1
→𝑥
𝑘
∗
=𝑘
2
− 𝑘
Vậy Nghi m cệ ủa phương trình sai phân là: 𝑥 =𝑥 + 𝑥
𝑘 𝑘
𝑘
∗
=𝐶+ 𝑘
2
− 𝑘.
b. (2) 𝑥 − 2𝑥 =3
𝑘+1 𝑘
𝑘
Xét phương trình sai phân tuyến tính c p 1 thuấ ần nh ất: 𝑥
𝑘+1
− 2𝑥 =0
𝑘
Xét phương trình đặc trưng: 𝜆 − 2=0→𝜆=2→𝑥 =𝐶.2
𝑘
𝑘
.
Xét: VP =
𝛼
𝑘
𝑃
𝑚
(
𝑘
)
=3
𝑘
→𝛼=3 𝑃 và
𝑚
(
𝑘
)
=𝑃
0
(
𝑘
)
=1
Vì
𝛼≠𝜆 3≠2 →𝑥
( )
𝑘
∗
=𝑎.3
𝑘
→ 𝑥
𝑘+1
∗
=𝑎.3
𝑘+1
=3𝑎.3
𝑘
Thay 𝑥
𝑘+1
∗
và 𝑥
𝑘
∗
vào phương trình (1), ta có:
3𝑎.3 − 2𝑎.3 =3
𝑘 𝑘 𝑘
→3𝑎−2𝑎=1→𝑎=1→𝑥
𝑘
∗
=3
𝑘
Vậy Nghi m cệ ủa phương trình sai phân là: 𝑥 =𝑥 + 𝑥
𝑘 𝑘
𝑘
∗
=𝐶.2
𝑘
+ 3
𝑘
c. (3) 𝑥 − 2𝑥 =3.2 + 5.7
𝑘+1 𝑘
𝑘 𝑘
Xét phương trình sai phân tuyến tính c p 1 thuấ ần nh ất: 𝑥
𝑘+1
− 2𝑥 =0
𝑘
Xét phương trình đặc trưng: 𝜆 − 2=0→𝜆=2→𝑥 =𝐶.2
𝑘
𝑘
.
X ình: ét phương tr 𝑥 − 2𝑥 =3.2
𝑘+1 𝑘
𝑘
Xét: VP =
𝛼
𝑘
𝑃
𝑚
(
𝑘
)
=3.2
𝑘
→𝛼=2 𝑃 và
𝑚
(
𝑘
)
=𝑃
0
(
𝑘
)
=3
Vì
𝛼=𝜆 =2 →𝑥
( )
𝑘
∗
=𝑘.𝑎.2
𝑘
→ 𝑥
𝑘+1
∗
=
(
𝑘+ 1 .𝑎.2
)
𝑘+1
=2𝑎 𝑘+ 1 .2
( )
𝑘
Thay 𝑥
𝑘+1
∗
và 𝑥
𝑘
∗
vào phương trình (1), ta có:
2𝑎 𝑘 + 1 .2 − 2 .2 =3.2
( )
𝑘
𝑎𝑘
𝑘 𝑘
→2𝑎=3→𝑎=
3
2
→𝑥
𝑘
∗
=
3
2
.2
𝑘
X ình: ét phương tr 𝑥 − 2𝑥 =5.7
𝑘+1 𝑘
𝑘
Xét: VP =
𝛼
𝑘
𝑃
𝑚
(
𝑘
)
=5.7
𝑘
→𝛼=7 𝑃 và
𝑚
(
𝑘
)
=𝑃
0
(
𝑘
)
=5
Vì
𝛼≠𝜆 2≠7 →𝑥
( )
𝑘
∗∗
=𝑎.7
𝑘
→ 𝑥
𝑘+1
∗∗
=𝑎.7
𝑘+1
=7𝑎.2
𝑘
Thay 𝑥
𝑘+1
∗∗
và 𝑥
𝑘
∗∗
vào phương trình (1), ta có:
7𝑎.2 − 2𝑎.2 =5.7
𝑘 𝑘 𝑘
→5𝑎=5→𝑎=1→𝑥
𝑘
∗
=7
𝑘
Vậy Nghi m cệ ủa phương trình sai phân là: 𝑥 =𝑥 + 𝑥
𝑘 𝑘
𝑘
∗
=𝐶.2
𝑘
+
3
2
.2
𝑘
+ 7
𝑘
II. Phương trình sai phân tuy n tính cế ấp 2.
- Là phương trình có dạng: 𝑎𝑥
𝑘+2
+ 𝑏𝑥
𝑘+1
+ 𝑐𝑥
𝑘
=𝑓(𝑘) với a,b và c là h ng sằ ố.
1. Phương trình sai phân tuyến tính cấ ầp 1 thu n nh t. ấ
- Nh n d ng: ậ ạ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥
𝑘+2 𝑘+1
+ 𝑐𝑥
𝑘
=0
- Cách gi i: ả
Xét phương trình đặc trưng: 𝑎𝜆 + 𝑏𝜆 + 𝑐=0
2
+ N u ế 𝜆
1
≠𝜆
2
→𝑥
𝑛
=𝐶
1
.𝜆
1
𝑘
+ 𝐶
2
.𝜆
2
𝑘
+ N u ế 𝜆
1
=𝜆
2
→𝑥
𝑛
=(𝐶
1
+ 𝑘𝐶
2
)𝜆
𝑘
+ N u ế 𝜆
1,2
=𝑎+ 𝑖𝑏→𝑥
𝑛
=𝑟
𝑘
(𝐶
1
𝑐𝑜𝑠𝑘𝜑+ 𝐶
2
𝑠𝑖𝑛𝑘𝜑)
v
ới 𝑟= + 𝑏√𝑎
2 2
và 𝜑=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝑏
𝑎
Ví dụ:
a. 𝑥 − 5𝑥 + 6𝑥 =0
𝑘+2 𝑘+1 𝑘
X
ét phương trình đặc trưng: 𝜆
2
− 5𝜆+6=0→[
𝜆 =2
1
𝜆
2
=3
→𝑥
𝑘
=𝐶
1
.2
𝑘
+ 𝐶
2
.3
𝑘
b. 𝑥 − 4𝑥 + 4𝑥 =0
𝑘+2 𝑘+1 𝑘
X
ét phương trình đặc trưng: 𝜆
2
− 4𝜆+4=0→𝜆 =2→𝑥 𝐶
1,2 𝑘
=
(
1
+ 𝑘𝐶
2
)
2
𝑘
c. 𝑥 − 2𝑥 + 16𝑥 =0
𝑘+2 𝑘+1 𝑘
X
ét phương trình đặc trưng: 𝜆
2
− 2𝜆+16=0→𝜆 =1 ± 𝑖 3
1,2
√
→{
𝑟=
√
1 + 3=2
𝜑=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
√
3
1
=
𝜋
3
→𝑥 =2 (𝐶
𝑘
𝑘
1
𝑐𝑜𝑠
𝑘𝜋
3
+ 𝐶
2
𝑠𝑖𝑛
𝑘𝜋
3
)
2. Phương trình sai phân tuy n tính cế ấp 2 không thu n nhầ ất.
- Nh n d ậ ạng: 𝑎𝑥
𝑘+2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 =𝑓(𝑘)
𝑘+1 𝑘
- Cách gi i: Công th c nghi m: ả ứ ệ 𝑥 =𝑥 + 𝑥
𝑘 𝑘
𝑘
∗
Bước 1. Tìm 𝑥
𝑘
.
Xét phương trình sai phân tuyến tính c p 1 thuấ ần nhất: 𝑎𝑥
𝑘+2
+ 𝑏𝑥
𝑘+1
+ 𝑐=0
Xét phương trình đặc trưng: 𝑎𝜆 + 𝑏𝜆 + 𝑐=0→𝜆→𝑥
2
𝑘
.
Bước 2. Tìm 𝑥
𝑘
∗
.
- N u:
ế 𝑓
(
𝑘
)
=𝛼 𝑃
𝑘
𝑚
(𝑘) 𝑃 v i ớ
𝑚
(
𝑘
)
là một đa thức bậc m theo k.
+ N u thì ế 𝛼≠𝜆
1,2
𝑥
𝑘
∗
=𝛼
𝑘
𝑄
𝑚
(𝑘)
+ N u ho c thì ế 𝛼=𝜆
1
ặ 𝛼=𝜆
2
𝑥
𝑘
∗
=𝑘𝛼
𝑘
𝑄
𝑚
(𝑘)
+ N u thì ế 𝛼=𝜆
1,2
𝑥
𝑘
∗
=𝑘
2
𝛼
𝑘
𝑄
𝑚
(𝑘)
- N u: :
ế 𝑓
(
𝑘
)
=𝛼 [𝑃
𝑘
𝑚
(
𝑘
)
cos
(
𝑘𝛽
)
+ 𝑄
𝑛
( ( )
𝑘
)
sin 𝑘𝛽 ]
+ N u khác ế 𝑟,𝜑 𝛼,𝛽→𝑥
𝑘
∗
=𝛼
𝑘
[𝑃
𝑖
(
𝑘
)
cos
(
𝑘𝛽
)
+ 𝑄
𝑖
(
𝑘
)
sin
( )
𝑘𝛽 ]
+ N u l t b ng ế 𝑟,𝜑 ần lượ ằ 𝛼,𝛽→𝑥
𝑘
∗
=𝑘𝛼
𝑘
[𝑃
𝑖
(
𝑘
)
cos
(
𝑘𝛽
)
+ 𝑄
𝑖
(
𝑘
)
sin
( )
𝑘 ]
v
ới 𝑄
𝑚
(
𝑘
)
=𝑎𝑘
𝑚
+ 𝑏𝑘 + ⋯ 𝑥
𝑚−1
. Tìm các h s bệ ố ằng cách thay
𝑘
∗
vào phương
trình ban đầu rồi gi i. i là giá tr l n hả ị ớ ơn trong 2 số m và n.
Bước 3. Kết lu n: ậ 𝑥
𝑘
=𝑥 + 𝑥
𝑘
𝑘
∗
.
Ví dụ:
a. (1) 2𝑥 − 5𝑥 + 2𝑥 =−𝑘 − 2𝑘+3
𝑘+2 𝑘+1 𝑘
2
Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nh ất: 2𝑥
𝑘+2
− 5𝑥 + 2𝑥 =0
𝑘+1 𝑘
Xét phương trình đặc trưng:
2𝜆
2
− 5𝜆 + 2=0→[
𝜆
1
=
1
2
𝜆
2
=2
→𝑥
𝑘
=𝐶
1
.(
1
2
)
𝑘
+ 𝐶
2
.2
𝑘
Xét: VP =
𝛼
𝑘
𝑃
𝑚
(
𝑘
)
=−𝑘
2
− 2𝑘+ 3→𝛼=1 𝑃 và
𝑚
(
𝑘
)
=−𝑘
2
− 2𝑘+ 3
Vì
𝛼≠𝜆 1≠(
1
2
,2 →𝑥)
𝑘
∗
=𝑎𝑘
2
+ 𝑏𝑘+ 𝑐
→ 𝑥
𝑘+1
∗
=𝑎(𝑘+ 1)
2
+ 𝑏 𝑘+1 + 𝑐
( )
→ 𝑥
𝑘+2
∗
=𝑎(𝑘+ 2)
2
+ 𝑏 𝑘+2 + 𝑐
( )
Thay 𝑥
𝑘+2
∗
, 𝑥
𝑘+1
∗
và 𝑥
𝑘
∗
vào phương trình (1), ta có:
2
[
𝑎
( )
𝑘+ 2
2
+ 𝑏 𝑘 + 2 + 𝑐 − 5 𝑘+ 1
( ) ] [
𝑎
( )
2
+ 𝑏 𝑘+ 1 + 𝑐 +2𝑎𝑘 + 𝑐)=−𝑘 −2𝑘 + 3
( ) ]
(
2
+ 𝑏𝑘
2
→−𝑎𝑘 2𝑎 + 𝑏 𝑘+ 3𝑎− 𝑏− 𝑐=−𝑘 − 2𝑘+ 3
2
−
( )
2
→{
−𝑎=−1
− 2𝑎 + 𝑏 =−2
( )
3𝑎 −𝑏 − 𝑐=0
→{
𝑎=1
𝑏=0
𝑐=0
→𝑥
𝑘
∗
=𝑘
2
Vậy Nghi m cệ ủa phương trình sai phân là: 𝑥
𝑘
=𝑥 + 𝑥
𝑘
𝑘
∗
=𝐶
1
.(
1
2
)
𝑘
+ 𝐶
2
.2
𝑘
+ 𝑘
2
.
b. (2) 𝑥 − 2𝑥 =2
𝑘+2 𝑘+1
+ 𝑥
𝑘
Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nh ất: 𝑥
𝑘+2
− 2𝑥 + 𝑥 =0
𝑘+1 𝑘
Xét phương trình đặc trưng:
𝜆
2
− 2𝜆+ 1=0→𝜆
1,2
=1→𝑥 =𝐶
𝑘 1
+ 𝑘𝐶
2
Xét: VP =
𝛼
𝑘
𝑃
𝑚
(
𝑘
)
=2→𝛼=1 𝑃 và
𝑚
(
𝑘
)
=𝑃
0
(𝑘)=2
Vì
𝛼=𝜆
1,2
(
=1 →𝑥
)
𝑘
∗
=𝑎𝑘
2
→ 𝑥
𝑘+1
∗
=𝑎(𝑘+ 1)
2
→ 𝑥
𝑘+2
∗
=𝑎(𝑘+ 2)
2
Thay 𝑥
𝑘+2
∗
, 𝑥
𝑘+1
∗
và 𝑥
𝑘
∗
vào phương trình (1), ta có:
𝑎(𝑘 + 2) − 2𝑎 𝑘+ 1
2
( )
2
+ 𝑎𝑘 =2
2
→4𝑎−2𝑎=2
→2𝑎=2→𝑎=1→𝑥
𝑘
∗
=𝑘
2
Vậy Nghi m cệ ủa phương trình sai phân là: 𝑥 =𝑥 + 𝑥
𝑘 𝑘
𝑘
∗
=𝐶
1
+ 𝑘𝐶
2
+ 𝑘
2
.
b.
𝑥 + 4𝑥 =8.2 .𝑐
𝑘+2 𝑘
𝑘
𝑜𝑠
𝑘𝜋
2
(3)
Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nh ất: 𝑥
𝑘+2
+ 4𝑥 =0
𝑘
Xét phương trình đặc trưng:
𝜆
2
+ 4=0→𝜆 =±2𝑖→𝑟=2,𝜑=
1,2
𝜋
2
→𝑥 =2 [𝐶
𝑘
𝑘
1
𝑐𝑜𝑠(
𝑘𝜋
2
) + 𝐶
2
𝑠𝑖𝑛(
𝑘𝜋
2
)]
Xét: VP =
𝛼
𝑘
[𝑃
𝑚
( (
𝑘
)
cos 𝑘𝛽
)
+ 𝑄
𝑛
(
𝑘
)
sin
(
𝑘𝛽 ]=8.2 .𝑐
)
𝑘
𝑜𝑠
𝑘𝜋
2
→𝛼=2, 𝑃
𝑚
(
𝑘
)
=𝑃
0
(𝑘)=8 𝑄 và
𝑛
(
𝑘
)
=𝑄
0
(
𝑘
)
=0
Vì
𝑟=𝛼=2,𝜑=𝛽=
𝜋
2
→𝑥
𝑘
∗
=𝑘.2
𝑘
[𝑎𝑐𝑜𝑠(
𝑘𝜋
2
) + 𝑏𝑠𝑖𝑛(
𝑘𝜋
2
)]
→𝑥
𝑘+2
∗
=(𝑘+ 2).2
𝑘+2
[𝑢𝑐𝑜𝑠 𝑘+ 2
( )
𝜋
2
+ 𝑏 𝑘+ 2𝑠𝑖𝑛
( )
𝜋
2
]
Thay 𝑥
𝑘+2
∗
, 𝑥
𝑘+1
∗
và 𝑥
𝑘
∗
vào phương trình (1), ta có:
( )
𝑘 +2 .2
𝑘+2
[𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑘+ 2
( )
𝜋
2
+ 𝑏𝑠𝑖𝑛 𝑘+ 2
( )
𝜋
2
]
+ 4𝑘.2
𝑘
[
𝑎𝑐𝑜𝑠(
𝑘𝜋
2
) + 𝑏𝑠𝑖𝑛(
𝑘𝜋
2
)
]
=8.2
𝑘
.𝑐𝑜𝑠
𝑘𝜋
2
→
[
−4𝑎 𝑘 + 2 + 4𝑎𝑘
( ) ]
𝑐𝑜𝑠
𝑘𝜋
2
+
[
−4𝑏 𝑘+ 2 + 4
( )
𝑏𝑘
]
𝑠𝑖𝑛
𝑘𝜋
2
=8𝑐𝑜𝑠
𝑘𝜋
2
→{
−8𝑎=8
−8𝑏=0
→{
𝑎=−1
𝑏=0
→𝑥
𝑘
∗
=−𝑘.2
𝑘
𝑐𝑜𝑠
𝑘𝜋
2
Vậy Nghi m cệ ủa phương trình sai phân là:
𝑥 =𝑥 + 𝑥
𝑘 𝑘
𝑘
∗
=2
𝑘
[𝐶
1
𝑐𝑜𝑠(
𝑘𝜋
2
) + 𝐶
2
𝑠𝑖𝑛(
𝑘𝜋
2
)] − 𝑘.2
𝑘
𝑐𝑜𝑠
𝑘𝜋
2
.

Tài liệu khác của Đại học Tôn Đức Thắng

Preview text:

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
I. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1.
- Là phương trình có dạng: 𝑎𝑥𝑘+1 + 𝑏𝑥𝑘 = 𝑓(𝑘) với a và b là hằng số.
- Một số bài có thể kí hiệu là 𝑦𝑘 hay 𝑢 . 𝑘
1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
- Nhận dạng: 𝑎𝑥𝑘+1 + 𝑏𝑥𝑘 = 0 - Cách giải:
Xét phương trình đặc trưng: 𝑎𝜆 + 𝑏 = 0 → 𝜆 → 𝑥 𝑘 𝑛 = 𝐶. 𝜆 . Ví dụ:
a. 𝑥𝑘+1 − 3𝑥𝑘 = 0
Giải: Xét phương trình đặc trưng: 𝜆 − 3 = 0 → 𝜆 = 3 → 𝑥 𝑘 𝑘 = 𝐶. 3 .
b. 4𝑥𝑘+1 − 8𝑥𝑘 = 0
Giải: Xét phương trình đặc trưng: 4𝜆 − 8 = 0 → 𝜆 = 2 → 𝑥 𝑘 𝑘 = 𝐶. 2 .
2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.
- Nhận dạng: 𝑎𝑥𝑘+1 + 𝑏𝑥𝑘 = 𝑓(𝑘)
- Cách giải: Công thức nghiệm: 𝑥 ∗ 𝑘 = 𝑥𝑘 + 𝑥𝑘
Bước 1. Tìm 𝑥𝑘.
Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất: 𝑎𝑥𝑘+1 + 𝑏𝑥𝑘 = 0
Xét phương trình đặc trưng: 𝑎𝜆 + 𝑏 = 0 → 𝜆 → 𝑥 𝑘 𝑘 = 𝐶. 𝜆 .
Bước 2. Tìm 𝑥∗𝑘.
- Nếu: 𝑓(𝑘) = 𝛼𝑘𝑃𝑚(𝑘) với 𝑃𝑚(𝑘) là một đa thức bậc m theo k.
+ Nếu 𝛼 ≠ 𝜆 thì 𝑥∗𝑘 = 𝛼𝑘𝑄𝑚(𝑘)
+ Nếu 𝛼 = 𝜆 thì 𝑥∗𝑘 = 𝑘𝛼𝑘𝑄𝑚(𝑘)
- Nếu: : 𝑓(𝑘) = 𝑃𝑚(𝑘) cos(𝑘𝛽) + 𝑄𝑚(𝑘) sin(𝑘𝛽)
thì 𝑥∗𝑘 = 𝑅𝑚(𝑘) cos(𝑘𝛽) + 𝐻𝑚(𝑘) sin(𝑘𝛽) với 𝑄 𝑚−1 ∗
𝑚(𝑘) = 𝑎𝑘𝑚 + 𝑏𝑘
+ ⋯. Tìm các hệ số bằng cách thay 𝑥𝑘 vào phương
trình ban đầu rồi giải.
Bước 3. Kết luận: 𝑥 ∗
𝑘 = 𝑥𝑘 + 𝑥𝑘 . Ví dụ:
a. 𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 = 2𝑘 (1)
Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất: 𝑥 𝑘+1 − 𝑥𝑘 = 0
Xét phương trình đặc trưng: 𝜆 − 1 = 0 → 𝜆 = 1 → 𝑥𝑘 = 𝐶.
Xét: VP = 𝛼𝑘𝑃𝑚(𝑘) = 2𝑘 → 𝛼 = 1 và 𝑃𝑚(𝑘) = 𝑃1(𝑘) = 2𝑘
Vì 𝛼 = 𝜆(= 1) → 𝑥∗ 2
𝑘 = 𝑘(𝑎𝑘 + 𝑏) = 𝑎𝑘 + 𝑏𝑘
→ 𝑥∗𝑘+1 = 𝑎(𝑘 + 1)2 + 𝑏(𝑘 + 1) Thay 𝑥∗ ∗
𝑘+1 và 𝑥𝑘 vào phương trình (1), ta có:
𝑎(𝑘 + 1)2 + 𝑏(𝑘 + 1) − (𝑎𝑘2 + 𝑏𝑘) = 2𝑘
→ 2𝑎𝑘 + 𝑎 + 𝑏 = 2𝑘 → { 2𝑎 = 2 ∗ 𝑎 + 𝑏 = 0 ↔ { 𝑎 = 1
𝑏 = −1 → 𝑥𝑘 = 𝑘2 − 𝑘
Vậy Nghiệm của phương trình sai phân là: 𝑥 ∗
𝑘 = 𝑥𝑘 + 𝑥𝑘 = 𝐶 + 𝑘2 − 𝑘. b. 𝑥 𝑘 𝑘+1 − 2𝑥𝑘 = 3 (2)
Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất: 𝑥 𝑘+1 − 2𝑥𝑘 = 0
Xét phương trình đặc trưng: 𝜆 − 2 = 0 → 𝜆 = 2 → 𝑥 𝑘 𝑘 = 𝐶. 2 .
Xét: VP = 𝛼𝑘𝑃𝑚(𝑘) = 3𝑘 → 𝛼 = 3 và 𝑃𝑚(𝑘) = 𝑃0(𝑘) = 1
Vì 𝛼 ≠ 𝜆(3 ≠ 2) → 𝑥∗𝑘 = 𝑎. 3𝑘
→ 𝑥∗𝑘+1 = 𝑎. 3𝑘+1 = 3𝑎. 3𝑘 Thay 𝑥∗ ∗
𝑘+1 và 𝑥𝑘 vào phương trình (1), ta có:
3𝑎. 3𝑘 − 2𝑎. 3𝑘 = 3𝑘
→ 3𝑎 − 2𝑎 = 1 → 𝑎 = 1 → 𝑥∗𝑘 = 3𝑘
Vậy Nghiệm của phương trình sai phân là: 𝑥 ∗
𝑘 = 𝑥𝑘 + 𝑥𝑘 = 𝐶. 2𝑘 + 3𝑘 c. 𝑥 𝑘 𝑘
𝑘+1 − 2𝑥𝑘 = 3. 2 + 5. 7 (3)
Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất: 𝑥 𝑘+1 − 2𝑥𝑘 = 0
Xét phương trình đặc trưng: 𝜆 − 2 = 0 → 𝜆 = 2 → 𝑥 𝑘 𝑘 = 𝐶. 2 . Xét phương trình: 𝑥 𝑘 𝑘+1 − 2𝑥𝑘 = 3. 2
Xét: VP = 𝛼𝑘𝑃𝑚(𝑘) = 3. 2𝑘 → 𝛼 = 2 và 𝑃𝑚(𝑘) = 𝑃0(𝑘) = 3
Vì 𝛼 = 𝜆(= 2) → 𝑥∗𝑘 = 𝑘. 𝑎. 2𝑘 → 𝑥∗ 𝑘+1 𝑘 𝑘+1 = (𝑘 + 1). 𝑎. 2 = 2𝑎(𝑘 + 1). 2 Thay 𝑥∗ ∗
𝑘+1 và 𝑥𝑘 vào phương trình (1), ta có:
2𝑎(𝑘 + 1). 2𝑘 − 2𝑎𝑘. 2𝑘 = 3. 2𝑘
→ 2𝑎 = 3 → 𝑎 = 3 → 𝑥∗ = 3 . 2𝑘 2 𝑘 2 Xét phương trình: 𝑥 𝑘 𝑘+1 − 2𝑥𝑘 = 5. 7
Xét: VP = 𝛼𝑘𝑃𝑚(𝑘) = 5. 7𝑘 → 𝛼 = 7 và 𝑃𝑚(𝑘) = 𝑃0(𝑘) = 5
Vì 𝛼 ≠ 𝜆(2 ≠ 7) → 𝑥∗∗𝑘 = 𝑎. 7𝑘 → 𝑥∗∗
𝑘+1 = 𝑎. 7𝑘+1 = 7𝑎. 2𝑘 Thay 𝑥∗∗ ∗∗
𝑘+1 và 𝑥𝑘 vào phương trình (1), ta có:
7𝑎. 2𝑘 − 2𝑎. 2𝑘 = 5. 7𝑘
→ 5𝑎 = 5 → 𝑎 = 1 → 𝑥∗𝑘 = 7𝑘
Vậy Nghiệm của phương trình sai phân là: 𝑥 ∗
𝑘 = 𝑥𝑘 + 𝑥𝑘 = 𝐶. 2𝑘 + 3 . 2𝑘 + 7𝑘 2
II. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2.
- Là phương trình có dạng: 𝑎𝑥𝑘+2 + 𝑏𝑥𝑘+1 + 𝑐𝑥𝑘 = 𝑓(𝑘) với a,b và c là hằng số.
1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
- Nhận dạng: 𝑎𝑥𝑘+2 + 𝑏𝑥𝑘+1 + 𝑐𝑥𝑘 = 0 - Cách giải:
Xét phương trình đặc trưng: 𝑎𝜆2 + 𝑏𝜆 + 𝑐 = 0 + Nếu 𝜆 𝑘 𝑘
1 ≠ 𝜆2 → 𝑥𝑛 = 𝐶1. 𝜆1 + 𝐶2. 𝜆2
+ Nếu 𝜆1 = 𝜆2 → 𝑥𝑛 = (𝐶1 + 𝑘𝐶2)𝜆𝑘
+ Nếu 𝜆1,2 = 𝑎 + 𝑖𝑏 → 𝑥𝑛 = 𝑟𝑘(𝐶1𝑐𝑜𝑠𝑘𝜑 + 𝐶2𝑠𝑖𝑛𝑘𝜑)
với 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2 và 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑏 𝑎 Ví dụ:
a. 𝑥𝑘+2 − 5𝑥𝑘+1 + 6𝑥𝑘 = 0
Xét phương trình đặc trưng: 𝜆2 − 5𝜆 + 6 = 0 → [𝜆1=2
𝜆2=3 → 𝑥𝑘 = 𝐶1. 2𝑘 + 𝐶2. 3𝑘
b. 𝑥𝑘+2 − 4𝑥𝑘+1 + 4𝑥𝑘 = 0
Xét phương trình đặc trưng: 𝜆2 − 4𝜆 + 4 = 0 → 𝜆1,2 = 2 → 𝑥𝑘 = (𝐶1 + 𝑘𝐶2)2𝑘
c. 𝑥𝑘+2 − 2𝑥𝑘+1 + 16𝑥𝑘 = 0
Xét phương trình đặc trưng: 𝜆2 − 2𝜆 + 16 = 0 → 𝜆1,2 = 1 ± 𝑖√3 𝑟 = √1 + 3 = 2 → {
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 √3 = 𝜋 1 3 → 𝑥 𝑘
𝑘 = 2 (𝐶1𝑐𝑜𝑠 𝑘𝜋 + 𝐶 ) 3 2𝑠𝑖𝑛 𝑘𝜋3
2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất. - Nhận dạng: 𝑎𝑥
𝑘+2 + 𝑏𝑥𝑘+1 + 𝑐𝑥𝑘 = 𝑓(𝑘)
- Cách giải: Công thức nghiệm: 𝑥 ∗ 𝑘 = 𝑥𝑘 + 𝑥𝑘
Bước 1. Tìm 𝑥𝑘.
Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất: 𝑎𝑥𝑘+2 + 𝑏𝑥𝑘+1 + 𝑐 = 0
Xét phương trình đặc trưng: 𝑎𝜆2 + 𝑏𝜆 + 𝑐 = 0 → 𝜆 → 𝑥𝑘.
Bước 2. Tìm 𝑥∗𝑘.
- Nếu: 𝑓(𝑘) = 𝛼𝑘𝑃𝑚(𝑘) với 𝑃𝑚(𝑘) là một đa thức bậc m theo k.
+ Nếu 𝛼 ≠ 𝜆 thì ∗ 1,2
𝑥𝑘 = 𝛼𝑘𝑄𝑚(𝑘) + Nếu 𝛼 = 𝜆 ho c thì ∗ 1 ặ 𝛼 = 𝜆2
𝑥𝑘 = 𝑘𝛼𝑘𝑄𝑚(𝑘) + Nếu 𝛼 = 𝜆 thì ∗ 1,2
𝑥𝑘 = 𝑘2𝛼𝑘𝑄𝑚(𝑘)
- Nếu: : 𝑓(𝑘) = 𝛼𝑘[𝑃𝑚(𝑘) cos(𝑘𝛽) + 𝑄𝑛(𝑘) sin(𝑘𝛽)]
+ Nếu 𝑟, 𝜑 khác 𝛼, 𝛽 → 𝑥∗𝑘 = 𝛼𝑘[𝑃𝑖(𝑘) cos(𝑘𝛽) + 𝑄𝑖(𝑘) sin(𝑘𝛽)]
+ Nếu 𝑟, 𝜑 lần lượt bằng 𝛼,𝛽 → 𝑥∗𝑘 = 𝑘𝛼𝑘[𝑃𝑖(𝑘) cos(𝑘𝛽) + 𝑄𝑖(𝑘) sin(𝑘)] với 𝑄 𝑚−1 ∗
𝑚(𝑘) = 𝑎𝑘𝑚 + 𝑏𝑘
+ ⋯. Tìm các hệ số bằng cách thay 𝑥𝑘 vào phương
trình ban đầu rồi giải. i là giá trị lớn hơn trong 2 số m và n.
Bước 3. Kết luận: 𝑥 ∗
𝑘 = 𝑥𝑘 + 𝑥𝑘 . Ví dụ: a. 2𝑥 2
𝑘+2 − 5𝑥𝑘+1 + 2𝑥𝑘 = −𝑘 − 2𝑘 + 3 (1)
Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất: 2𝑥
𝑘+2 − 5𝑥𝑘+1 + 2𝑥𝑘 = 0 𝑘
Xét phương trình đặc trưng: 2𝜆2 − 5𝜆 + 2 = 0 → [𝜆1=12 → 𝑥 ) + 𝐶 𝜆 𝑘 = 𝐶1. (1 2. 2𝑘 2=2 2
Xét: VP = 𝛼𝑘𝑃𝑚(𝑘) = −𝑘2 − 2𝑘 + 3 → 𝛼 = 1 và 𝑃𝑚(𝑘) = −𝑘2 − 2𝑘 + 3
Vì 𝛼 ≠ 𝜆 (1 ≠ 1 , 2) → 𝑥∗ = 𝑎𝑘2 + 𝑏𝑘 + 𝑐 2 𝑘
→ 𝑥∗𝑘+1 = 𝑎(𝑘 + 1)2 + 𝑏(𝑘 + 1) + 𝑐
→ 𝑥∗𝑘+2 = 𝑎(𝑘 + 2)2 + 𝑏(𝑘 + 2) + 𝑐 Thay 𝑥∗ ∗ ∗
𝑘+2, 𝑥𝑘+1 và 𝑥𝑘 vào phương trình (1), ta có:
2[𝑎(𝑘 + 2)2 + 𝑏(𝑘 + 2) + 𝑐] − 5[𝑎(𝑘 + 1)2 + 𝑏(𝑘 + 1) + 𝑐] + 2(𝑎𝑘2 + 𝑏𝑘 + 𝑐) = −𝑘2 − 2𝑘 + 3
→ −𝑎𝑘2 − (2𝑎 + 𝑏)𝑘 + 3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 = −𝑘2 − 2𝑘 + 3 −𝑎 = −1 𝑎 = 1
→ {−(2𝑎 + 𝑏) = −2 → {𝑏 = 0 → 𝑥∗𝑘 = 𝑘2 3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 = 0 𝑐 = 0 𝑘
Vậy Nghiệm của phương trình sai phân là: 𝑥 ∗
𝑘 = 𝑥𝑘 + 𝑥𝑘 = 𝐶1. (1) + 𝐶 2 2. 2𝑘 + 𝑘2.
b. 𝑥𝑘+2 − 2𝑥𝑘+1 + 𝑥𝑘 = 2 (2)
Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất: 𝑥
𝑘+2 − 2𝑥𝑘+1 + 𝑥𝑘 = 0
Xét phương trình đặc trưng: 𝜆2 − 2𝜆 + 1 = 0 → 𝜆1,2 = 1 → 𝑥𝑘 = 𝐶1 + 𝑘𝐶2
Xét: VP = 𝛼𝑘𝑃𝑚(𝑘) = 2 → 𝛼 = 1 và 𝑃𝑚(𝑘) = 𝑃0(𝑘) = 2 Vì 𝛼 = 𝜆 ∗
1,2(= 1) → 𝑥𝑘 = 𝑎𝑘2 → 𝑥∗ ∗ 𝑘+1 = 𝑎(𝑘 + 1)2
→ 𝑥𝑘+2 = 𝑎(𝑘 + 2)2 Thay 𝑥∗ ∗ ∗
𝑘+2, 𝑥𝑘+1 và 𝑥𝑘 vào phương trình (1), ta có:
𝑎(𝑘 + 2)2 − 2𝑎(𝑘 + 1)2 + 𝑎𝑘2 = 2 → 4𝑎 − 2𝑎 = 2
→ 2𝑎 = 2 → 𝑎 = 1 → 𝑥∗𝑘 = 𝑘2
Vậy Nghiệm của phương trình sai phân là: 𝑥 ∗
𝑘 = 𝑥𝑘 + 𝑥𝑘 = 𝐶1 + 𝑘𝐶2 + 𝑘2. b. 𝑥 𝑘
𝑘+2 + 4𝑥𝑘 = 8. 2 . 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝜋 (3) 2
Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất: 𝑥 𝑘+2 + 4𝑥𝑘 = 0
Xét phương trình đặc trưng: 𝜆2 + 4 = 0 → 𝜆 𝜋
1,2 = ±2𝑖 → 𝑟 = 2, 𝜑 = 2 → 𝑥 𝑘
𝑘 = 2 [𝐶1𝑐𝑜𝑠 (𝑘𝜋 ) + 𝐶 )] 2 2𝑠𝑖𝑛 (𝑘𝜋 2 Xét: VP = 𝛼𝑘[𝑃 𝑘
𝑚(𝑘) cos(𝑘𝛽) + 𝑄𝑛(𝑘) sin(𝑘𝛽)] = 8. 2 . 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝜋 2
→ 𝛼 = 2, 𝑃𝑚(𝑘) = 𝑃0(𝑘) = 8 và 𝑄𝑛(𝑘) = 𝑄0(𝑘) = 0
Vì 𝑟 = 𝛼 = 2, 𝜑 = 𝛽 = 𝜋 → 𝑥 ∗ = 𝑘. 2𝑘 [𝑎𝑐𝑜𝑠 (𝑘𝜋) + 𝑏𝑠𝑖𝑛 (𝑘𝜋 )] 2 𝑘 2 2
→ 𝑥∗𝑘+2 = (𝑘 + 2). 2𝑘+2 [𝑢𝑐𝑜𝑠(𝑘 + 2) 𝜋+ 𝑏𝑠𝑖𝑛(𝑘 + 2) 𝜋] 2 2 Thay 𝑥∗ ∗ ∗
𝑘+2, 𝑥𝑘+1 và 𝑥𝑘 vào phương trình (1), ta có: 𝑘𝜋 𝑘𝜋 𝑘𝜋
(𝑘 + 2). 2𝑘+2 [𝑎𝑐𝑜𝑠(𝑘 + 2) 𝜋 ( ) 𝜋
2 + 𝑏𝑠𝑖𝑛 𝑘 + 2 2] + 4𝑘. 2𝑘 [𝑎𝑐𝑜𝑠 ( 2 ) + 𝑏𝑠𝑖𝑛 ( 2 )] = 8. 2𝑘.𝑐𝑜𝑠 2
→ [−4𝑎(𝑘 + 2) + 4𝑎𝑘]𝑐𝑜𝑠 𝑘𝜋+ [−4𝑏(𝑘 + 2) + 4𝑏𝑘]𝑠𝑖𝑛 𝑘𝜋 = 8𝑐𝑜𝑠 𝑘𝜋 2 2 2 → {−8𝑎 = 8 ∗ −8𝑏 = 0 → {𝑎 = −1
𝑏 = 0 → 𝑥𝑘 = −𝑘. 2𝑘𝑐𝑜𝑠 𝑘𝜋2
Vậy Nghiệm của phương trình sai phân là: 𝑥 ∗
𝑘 = 𝑥𝑘 + 𝑥𝑘 = 2𝑘 [𝐶1𝑐𝑜𝑠 (𝑘𝜋) + 𝐶
)] − 𝑘. 2𝑘𝑐𝑜𝑠 𝑘𝜋. 2 2𝑠𝑖𝑛 (𝑘𝜋2 2

Tài liệu liên quan: