Phương trình vi phân cơ bản và các cách giải | Toán cao cấp 1 | Đại học Tôn Đức Thắng
Nguyên lí chồng chất nghiệm: Cách tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính: 𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 + 𝑞𝑦 = 𝑓 ′ 1 (𝑥) + 𝑓2 (𝑥) - Tìm nghiệm tổng quát 𝑦0 của phương trình thuần nhất: 𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 + 𝑞𝑦 = 0 ′ - Tìm nghiệm riêng 𝑦1 của phương trình: 𝑦 𝑦 ′′ + 𝑝(𝑥) ′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 𝑓1 (𝑥) - Tìm nghiệm riêng 𝑦2 của phương trình: 𝑦 𝑦 ′′ + 𝑝(𝑥) ′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 𝑓2 (𝑥). Tài liệu được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Toán cao cấp 1 (TCC1) 22 tài liệu
Trường: Đại học Tôn Đức Thắng 4.2 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN A. Khái niệm cơ bản
- Phương trình vi phân cấp n: 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑦(𝑛)) = 0 VD:
𝑦′ − 𝑥 = 0 là phương trình vi phân cấp 1.
(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 − (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦 = 0 là phương trình vi phân cấp 1.
𝑦′′ + 4𝑦′ + 3𝑦 = 𝑒 𝑥 là phương trình vi phân cấp 2.
- Nghiệm của phương trình vi phân: là một hàm số trên khoảng 𝐷 ⊂ 𝑅.
+ Dạng nghiệm tổng quát: 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝐶) → Nghiệm riêng: 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝐶0)
+ Dạng tích phân tổng quát: 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝐶) = 0 + D 𝑥 = 𝑥(𝑡) ạng tham số: { 𝑦 = 𝑦(𝑡) + Nghiệm kì dị
B. Phương trình vi phân cấp 1.
- Dạng: 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦′) = 0 hoặc 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) (∗)
1. Phương trình tách biến.
Dạng: Biến 𝑥 và 𝑦 phân ly → Có thể tách rời mỗi vế 1 biến. Phương pháp:
+ Phân ly 𝑥 và 𝑑𝑥 về một vế, 𝑦 và 𝑑𝑦 về một vế
+ Tích phân 2 vế → Nghiệm.
Ví dụ: Giải phương trình: 𝑦′ − 𝑥𝑦2 = 2𝑥𝑦
Nhận xét: 𝑦 = 0 và 𝑦 = 2 là nghiệm của phương trình (Nghiệm kì dị)
Với 𝑦 ≠ 0, 𝑦 ≠ 2 → 𝑑𝑦 = 2𝑥𝑦 + 𝑥𝑦2 ↔ 𝑑𝑦 = 𝑥(𝑦2 + 2𝑦) ↔ 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑦2+2𝑦 𝑥
↔ ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 ↔ − 1 𝑙𝑛|𝑦 + 2| + 1 𝑙𝑛|𝑦| = 𝑥2 + 𝐶 𝑦2+2𝑦 𝑥 2 2 2
2. Phương trình vi phân đẳng cấp.
Dạng: 𝑦′ = 𝑓 (𝑦 ) (1) 𝑥 Phương pháp:
+ Đổi biến 𝑢 = 𝑦 → 𝑦 = 𝑢𝑥 → 𝑦′ = 𝑢′𝑥 + 𝑢 𝑥
+ Thay vào (1), ta được: 𝑔(𝑥, 𝑢, 𝑢′) = 0
+ Giải (1), tìm 𝑢 → 𝑦.
Lưu ý: Nếu vế trái có dạng 𝑓 (𝑎1𝑥+𝑏1𝑦+𝑐1) 𝑎2𝑥+𝑏2𝑦+𝑐2 𝑥 = 𝑡 + 𝛼 𝑎 Thì ta đặt {
trong đó { 1𝛼 + 𝑏1𝛽 + 𝑐1 = 0 𝑦 = 𝑢 + 𝛽 .
𝑎2𝛼 + 𝑏2𝛽 + 𝑐2 = 0
Ví dụ: Giải phương trình: 𝑦′ = 3𝑥−𝑦+1 𝑥+𝑦+3 3 Gi 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 ải hệ phương trình: 𝑥 = −1 { 𝑥 = 𝑡 − 1 Đặ {
𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 ↔ { 𝑦 = −2 → t: 𝑦 = 𝑢 − 2 3−𝑢 → ( )−( )
𝑢′ = 3 𝑡−1 𝑢−2 +1 = 3𝑡−𝑢 = 𝑡 (𝑡−1)+(𝑢−2)+3 𝑡+𝑢 1+𝑢
Đặt 𝑣 = 𝑢 → 𝑢 = 𝑣𝑡 → 𝑢′ = 𝑠′𝑡 + 𝑠 𝑡 𝑡 → 𝑠′ 3− 𝑡 + 𝑠 =
𝑠 ↔ 𝑠′𝑡 = 3−𝑠 − 𝑠 = 3−2𝑠−𝑠2 1+𝑠 1+𝑠
Nhận xét: 𝑠 = 1, 𝑠 = 3 là nghiệm của phương 1 + tr𝑠ình. 𝑠 = 1 𝑦+2 = 1 → 𝑦 = 𝑥 − 1 [𝑡 ↔ 𝑥+1 ↔ 𝑠 [ [ = 3 𝑦+2 = 3 𝑡 𝑦 = 3𝑥 + 1 𝑥+1
Với 𝑠 ≠ 1, 𝑠 ≠ 3 → 1+𝑠 𝑑𝑠 = 𝑑𝑡 ↔ − ∫ 𝑠+1 𝑑𝑠 = ∫ 𝑑𝑡 −𝑠2−2𝑠+3 𝑡 𝑠2+2𝑠−3 𝑡
↔ − 1 𝑙𝑛|𝑠2 + 2𝑠 − 3| = 𝑙𝑛|𝑡| + 𝐶 2 2
↔ − 1 𝑙𝑛 |(𝑦+2 ) + 2 (𝑦+2 ) − 3| = 𝑙𝑛|𝑥 + 1| + 𝐶 2 𝑥+1 𝑥+1
3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
Dạng: 𝑦′ + 𝑎(𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥) (∗∗) Phương pháp:
+ Giải phương trình: 𝑦′ + 𝑎(𝑥). 𝑦 = 0 → 𝑦 = 𝐶. 𝑓(𝑥)
+ Thay hằng số 𝐶 bằng hàm số 𝐶(𝑥). Tính 𝑦’
+ Thay vào (**) → Nghiệm riêng 𝑦1 = 𝐶(𝑥). 𝑓(𝑥)
+ Nghiệm tổng quát của (*): 𝑦 = 𝐶. 𝑓(𝑥) + 𝐶(𝑥). 𝑓(𝑥)
Ví dụ: Giải phương trình: 𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 𝑥. 𝑒−𝑥2 (2)
Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất:
𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 0 ↔ 𝑑𝑦 = −2𝑥𝑦 𝑑𝑥
Nhận xét: y=0 là nghiệm của phương trình. Với 𝑦 ≠ 0 𝑑𝑦 𝑑𝑦 → = −2𝑥𝑑𝑥 ↔ ∫
= ∫ −2𝑥𝑑𝑥 ↔ 𝑙𝑛|𝑦| = −𝑥2 + 𝐶 ↔ 𝑦 𝑦 𝑦 0 = 𝐶. 𝑒−𝑥2
Chọn 𝐶 = 𝐶(𝑥) → 𝑦 = 𝐶(𝑥). 𝑒−𝑥2 → 𝑦′ = 𝐶′(𝑥). 𝑒−𝑥2 + 2𝑥𝑒−𝑥2. 𝐶(𝑥)
Thay vào phương trình (2), ta có: 𝑥2
𝐶′(𝑥)𝑒−𝑥2 − 2𝑥𝑒−𝑥2. 𝐶(𝑥) + 2𝑥𝑒−𝑥2. 𝐶(𝑥) = 𝑥. 𝑒−𝑥2 → 𝐶′(𝑥) = 𝑥 → 𝐶(𝑥) = 2
→ Nghiệm riêng: 𝑦𝑟 = 𝑥2𝑒−𝑥2 2
Vậy: Nghiệm tổng quát: 𝑦 = 𝑦0 + 𝑦𝑟 = 𝐶𝑒−𝑥2 + 𝑥2 𝑒−𝑥2 2
4. Phương trình vi phân Bernoulli.
Dạng: 𝑦′ + 𝑎(𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥). 𝑦𝛼 với 𝛼 ≠ 0, 𝛼 ≠ 1 (3) Phương pháp:
+ Chia hai vế cho 𝑦𝛼 → (3) ↔ 𝑦′. 𝑦−𝛼 + 𝑎(𝑥). 𝑦1−𝛼 = 𝑏(𝑥)
+ Đặt: 𝑢 = 𝑦1−𝛼 → (3) ↔ 𝑢′ + 𝑎(𝑥). 𝑢 = 𝑏(𝑥) (4)
+ Giải (4) → 𝑢 → 𝑦
Ví dụ: Giải phương trình: 𝑦′ − 2𝑥𝑦 = 4𝑥3𝑦2 (∗∗∗)
Nhận xét: 𝑦 = 0 là nghiệm của phương trình.
Với 𝑦 ≠ 0 → (∗∗∗) ↔ 𝑦′. 𝑦−2 − 2𝑥𝑦−1 = 4𝑥3
Đặt: 𝑢 = 𝑦−1 → 𝑦′ = −𝑦′. 𝑦−2
Ta có: 𝑢′ + 2𝑢𝑥 = −4𝑥3
Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất: 𝑑𝑢 𝑢′ + 2𝑢𝑥 = 0 ↔
= −2𝑢𝑥 ↔ 𝑙𝑛|𝑢| = −𝑥2 + 𝐶 ↔ 𝑢 𝑑𝑥 0 = 𝐶. 𝑒−𝑥2
Chọn 𝐶 = 𝐶(𝑥) → 𝑢 = 𝐶(𝑥). 𝑒−𝑥2 → 𝑢′ = 𝐶′(𝑥). 𝑒−𝑥2 − 2𝑥𝑒−𝑥2. 𝐶(𝑥)
Thay vào (∗∗∗), ta có:
𝐶′(𝑥). 𝑒−𝑥2 − 2𝑥𝑒−𝑥2. 𝐶(𝑥) + 2𝑥𝑒−𝑥2. 𝐶(𝑥) = −4𝑥3
↔ 𝐶′(𝑥) = −4𝑥3𝑒−𝑥2 → 𝐶(𝑥) = − ∫ 4𝑥3𝑒−𝑥2𝑑𝑥 = −2𝑒𝑥2(𝑥2 − 1) Nghiệm riêng: 𝑢 ( −𝑥2 ( ) 2 𝑟 = 𝐶 𝑥). 𝑒
= −2 𝑥2 − 1 = −2𝑥 − 2
Vậy: Nghiệm tổng quát của phương trình: 1 𝑢 = 𝑢 −𝑥2 2 0 + 𝑢 = 𝑟 𝐶. 𝑒 − 2𝑥 − 2 → 𝑦 =
𝐶. 𝑒−𝑥2 − 2𝑥2 − 2
C. Phương trình vi phân cấp 2
Dạng: 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′) = 0 hoặc 𝑦′′ = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦′) (∗)
1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng.
Dạng: 𝑦′′ + 𝑝𝑦′ + 𝑞𝑦 = 0 → Phương trình đặc trưng: 𝑘2 + 𝑝𝑘 + 𝑞 = 0
- Với Δ > 0 → 𝑘1 ≠ 𝑘2 ∈ 𝑅 → 2 nghiệm cơ sở 𝑒𝑘1𝑥, 𝑒𝑘2𝑥
→ 𝑦 = 𝐶1𝑒𝑘1𝑥 + 𝐶2𝑒𝑘2𝑥
- Với Δ = 0 → 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘 ∈ 𝑅 → 2 nghiệm cơ sở 𝑒𝑘𝑥, 𝑥𝑒𝑘𝑥
→ 𝑦 = 𝐶1𝑒𝑘1𝑥 + 𝐶2𝑒𝑘2𝑥 - Với Δ > 0 → 𝑘 𝛼𝑥
1,2 = 𝛼 ± 𝑖𝛽 → 2 nghiệm cơ sở (thực) 𝑒𝛼𝑥𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥, 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥
→ 𝑦 = 𝐶1𝑒𝛼𝑥𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝐶2𝑒𝛼𝑥𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a. 𝑦′′ − 5𝑦′ + 6𝑦 = 0
Xét phương trình đặc trưng: 𝑘2 − 5𝑘 + 6 = 0 → [𝑘 = 2 𝑘 = 3
→ Nghiệm của phương trình: 𝑦 = 𝐶1𝑒2𝑥 + 𝐶2𝑒3𝑥
b. 𝑦′′ + 4𝑦′ + 4𝑦 = 0
Xét phương trình đặc trưng: 𝑘2 + 4𝑘 + 4 = 0 → 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘 = −2
→ Nghiệm của phương trình: 𝑦 = 𝐶1𝑒−2𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒−2𝑥
c. 𝑦′′ − 2𝑦′ + 2𝑦 = 0 𝛼 = 1
Xét phương trình đặc trưng: 𝑘2 − 2𝑘 + 2 = 0 → 𝑘1,2 = 1 ± 𝑖 → { 𝛽 = 1
→ Nghiệm của phương trình: 𝑦 = 𝐶1𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶2𝑒𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥
2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất hệ số hằng.
Dạng: 𝑦′′ + 𝑝𝑦′ + 𝑞𝑦 = 𝜑(𝑥) Phương pháp:
- Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng
𝑦′′ + 𝑝𝑦′ + 𝑞𝑦 = 0 (∗∗) - Xét 𝜑(𝑥)
TH1. 𝜑(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥𝑃𝑛(𝑥)
+ Nếu 𝛼 không là nghiệm của (∗∗) → 𝑦𝑟 = 𝑒𝛼𝑥𝑄𝑛(𝑥)
+ Nếu 𝛼 là nghiệm đơn của (∗∗) → 𝑦𝑟 = 𝑥𝑒𝛼𝑥𝑄𝑛(𝑥)
+ Nếu 𝛼 là nghiệm kép của (∗∗) → 𝑦𝑟 = 𝑥2𝑒𝛼𝑥𝑄𝑛(𝑥)
Lưu ý: Để tìm các hệ số của 𝑄 s nh.
𝑛(𝑥) ta dùng phương pháp hệ ố bất đị
TH2: 𝜑(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥[𝑃 ( (
𝑛 𝑥)𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝑄𝑚 𝑥)𝑠𝑖 𝛽𝑥 𝑛 ] + Nếu 𝛼 ± 𝑖𝛽 k ô
h ng là nghiệm của (∗∗) → 𝑦 𝛼𝑥[ ( 𝑟 = 𝑒
𝑅𝑘 𝑥)𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝐻𝑘𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥]
+ Nếu 𝛼 ± 𝑖𝛽 là nghiệm của (∗∗) → 𝑦 𝛼𝑥[ ( 𝑟 = 𝑥𝑒
𝑅𝑘 𝑥)𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝐻𝑘𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥]
với k là số lớn hơn trong m và n.
Phương pháp biến thiên hằng số Largrange:
- Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:
𝑦0 = 𝐶1𝑦1(𝑥) + 𝐶2𝑦2(𝑥)
- Đặt 𝐶1 = 𝐶1(𝑥), 𝐶2 = 𝐶2(𝑥) → Nghiệm riêng: 𝑦0 = 𝐶1(𝑥)𝑦1 + 𝐶2(𝑥)𝑦2 𝐶′(𝑥)𝑦 (𝑥) { 1 1 + 𝐶2′ 𝑦2 = 0
𝐶′1(𝑥)𝑦1′ + 𝐶2′(𝑥)𝑦2′ = 0
Ví dụ: Giải phương trình: 𝑦′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 𝑒𝑥 (1)
Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất: 𝑦′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 0 𝑘
Xét phương trình đặc trưng: 𝑘2 − 3𝑘 + 2 = 0 → [ 1 = 1 → 𝑦 𝑘
0 = 𝐶1𝑒2𝑥 + 𝐶2𝑒 𝑥 2 = 2
Xét: 𝑉𝑃 = 𝑒𝛼𝑥𝑃 ( và (
𝑚 𝑥) = 𝑒 𝑥 có 𝛼 = 1
𝑃𝑚 𝑥) = 𝑃0(𝑥) = 1
Vì 𝛼 = 1 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng → 𝑦 ′ ( ) ′
𝑟 = 𝑎. 𝑥. 𝑒 𝑥 → 𝑦𝑟 = 𝑎 𝑥 + 1 𝑒𝑥 → 𝑦𝑟 = 𝑎(𝑥 + 2)𝑒𝑥 Thay vào (1), ta có:
𝑎(𝑥 + 2)𝑒𝑥 − 3𝑎(𝑥 + 1)𝑒𝑥 + 2𝑎𝑥𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 ↔ −𝑎 = 1 ↔ 𝑎 = −1
→ Nghiệm riêng: 𝑦𝑟 = −𝑥𝑒𝑥
Vậy: Nghiệm của phương trình là :𝑦 = 𝑦0 + 𝑦𝑟 = 𝐶1𝑒2𝑥 + 𝐶2𝑒𝑥 − 𝑥𝑒𝑥
D. Nguyên lí chồng chất nghiệm:
Cách tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính:
𝑦′ + 𝑝𝑦′ + 𝑞𝑦 = 𝑓1(𝑥) + 𝑓2(𝑥)
- Tìm nghiệm tổng quát 𝑦0 của phương trình thuần nhất:
𝑦′ + 𝑝𝑦′ + 𝑞𝑦 = 0
- Tìm nghiệm riêng 𝑦1 của phương trình:
𝑦′ + 𝑝(𝑥)𝑦′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 𝑓1(𝑥)
- Tìm nghiệm riêng 𝑦2 của phương trình:
𝑦′ + 𝑝(𝑥)𝑦′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 𝑓2(𝑥)
- Tìm nghiệm riêng 𝑦1 của phương trình: 𝑦 = 𝑦0 + 𝑦1 + 𝑦2