Tài liệu Toán 9 chủ đề biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

Tài liệu gồm 22 trang, bao gồm kiến thức cần nhớ, các dạng toán và bài tập chủ đề biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai trong chương trình môn Toán 9, có đáp án và lời giải chi tiết. Mời bạn đọc đón xem.

48 24 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Môn: Toán 9

Thông tin:

22 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
1
BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
2
( 0; 0)
( 0)
( 0; 0)
A BA B
AB A B B
A BA B
≥≥
= ≥=
− <≥
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
2
2
( 0; 0)
( 0; 0)
A B khi A B
AB
A B khi A B
≥≥
=
− <≥
3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
( )
2
1
0; 0
A AB
AB B AB
BBB
== ≠≥
4. Trục căn thức ở mẫu
a)
( 0)
A AB
B
B
B
= >
b)
( )
( )
2
2
0;
C AB
C
A AB
AB
AB
−
= ≥≠
−
+
c)
( )
( )
2
2
0;
C AB
C
A AB
AB
AB
+
= ≥≠
−
−
d)
( )
( )
, 0;
CA B
C
AB A B
AB
AB
−
= ≥≠
−
+
e)
( )
( )
, 0;
CA B
C
AB A B
AB
AB
+
= ≥≠
−
−
*) Chú ý: Để trục căn thức ở mẫu, bình thường ta nhân cả tử và mẫu của phân thức với lượng
liên hợp của mãu và cần các hằng đẳng thức sau:
- Các dạng liên hợp cơ bản thường gặp
+)
( )
( )
A B A B AB− +=−
+)
( )
( )
2
ABABAB− +=−
B. Bài tập và các dạng toán
Dạng 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc vào trong dấu căn
Cách giải: Sử dụng kiến thức sau
2
- Cách đưa thừa số
2
A
ra ngoài dấu căn:
2
( 0; 0)
( 0)
( 0; 0)
A BA B
AB A B B
A BA B
≥≥
= ≥=
− <≥
- Cách đưa thừa số vào trong dấu căn:
2
2
( 0; 0)
( 0; 0)
A B khiA B
AB
A B khiA B
≥≥
=
− <≥
Bài 1: Viết gọn các biểu thức sau
a.
25.90
b.
96.125
c.
75.54
d.
245.35
Lời giải
a) Ta có:
25.90 15 10=
b) Ta có:
96.125 16.6.5.25 20 30= =
c) Ta có:
75.54 45 2=
d) Ta có:
245.35 49.5.5.7 35 7= =
Bài 2: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
a.
45 20 245
+−
b.
4 3 27 45 5+−+
c.
6 25+
d.
7 2 10 2−+
Lời giải
a) Ta có:
2 22
45 20 245 3 .5 2 5 7 .5 3 5 2 5 7 5 2 5
+− = + − =+−=−
b) Ta có:
43 27 45 5 43 33 35 5 73 25+ − += + − += −
c) Ta có:
( )
(
)
22
625 5 251 51 51 51+ = + += + = += +
d) Ta có:
( )
2
72102 52 2 52 25225− += − +=−+=−+=
.
Bài 3: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
a.
( )
2
27 0xx≥
b.
( )
2
8 0; 0xy x y≥≤
c.
( )
3
25 0
xx>
d.
( )
4
48 0;xy x y R≥∈
Lời giải
a) Ta có:
( )
( )
2
2
27 3 .3 3 3 3 3 0x x x xx= = = ≥
b) Ta có:
( )
( )
2
2
8 2 .2 2 2 2 2 0; 0xy y x y x y x x y= = =− ≥≤
c) Ta có:
( )
3
25 5 0x xxx= >
3
d) Ta có:
( )
( )
4 22
48 0; 4 3 0xy x y R y x y≥ ∈= ≥
Bài 4: Đưa thừa số vào trong dấu căn
a.
( )
13 0aa≥
b.
(
)
15
0aa
a
−
<
c.
( )
12
0
2
a
a
a
>
d.
(
)
20
aa
≤
Lời giải
a) Ta có:
( )
2
13 13 0a aa= ≥
b) Ta có:
( ) ( )
2
15 15 15
15 0
a
a a aa
a aa
− −−
=−− =− =− − <
c) Ta có:
(
)
12
30
2
a
aa
a
= >
d) Ta có:
( )
2
22 0a aa=−≤
4
Dạng 2: So sánh các căn bậc hai
Cách giải: Đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn rồi so sánh
Bài 1: So sánh các cặp số dưới dây
a)
2 29
và
43
b)
5
2
4
và
33
22
c)
33
và
12
d)
7
và
35
Lời giải
a) Ta có
2
2 29 2 .29 116
2 29 3 13
3 13 117
= =
⇒<
=
b) Ta có:
2
2
5 5 25
2 .2
44 8
5 33
2
4 22
3 3 3 3 27
.
22 2 2 8

= =


⇒<

= =


c) Ta có:
2
3 3 3 .3 27 12
= = >
d) Ta có:
2
3 5 3 .5 45 7= = >
Bài 2: So sánh các cặp số dưới dây
a)
52
và
3 13
b)
51
26
và
1
6
37
a)
1
51
3
và
1
150
5
b)
1
6
2
và
1
6
2
Lời giải
a) Ta có:
5 2 50
43 52
4 3 48
=
→<
=
b) Ta có:
5 1 25
5 1 1 25 36
2 6 24
61
2 6 37 4 37
1 36
6
37 37
=

→ > >>


=
5
c) Ta có:
1 51 17.3 17
51
3 993
1 150
150 6
5 25
= = =
= =
, mà
17 1 1
6 51 150
3 35
<⇒ <
d) Ta có:
2
2
1 1 6 3 1 1 36
6 .6 ;6 6 . 18
2 2 4 22 2 2

= = = = = =


mà
3 11
18 6 6
2 22
>⇒ >
.
Bài 3
Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần:
3 5;2 6; 29;4 2
Lời giải
Ta có:
3 5 45; 2 6 24; 4 2 32= = =
Vậy:
2 6 29 4 2 3 5<<<
Bài 4
Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần:
7 2;2 8; 28;5 2
Lời giải
Ta có:
2842;2827= =
Vậy:
7 2 5 2 2 8 28>>>
6
Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
Cách giải: Đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn rồi rút gọn
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau
a.
125 45 405A
= +−
b.
50 128 162 18B =−+−
c.
63 252 343 175C =−−+
Lời giải
a) Ta có:
125 45 405 25.5 9.5 81.5 5 5 3 5 9 5 5A = +− = + − =+−=−
b) Ta có:
50 128 162 18 25.2 64.2 81.2 9.2 5 2 9 2 8 2 3 2 3 2B =− + −= − + − =+−−=
c) Ta có:
63 252 343 175 7.9 7.36 7.49 7.25 3 7 6 7 7 7 5 7 5 7
C =−−+=−−+=−−+=−
.
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau
a.
200 32 72
A = −+
b.
1
4 20 3 125 5 45 15
5
B =− +−
c.
(283572)(7252022)C = +− − −
d.
2
5 3 29 12 5 5 3 ( 20 3)D = −− − = −− −
e.
5 3 29 6 20E = −− −
f.
6 2 5 13 48F =+−+
g.
4 5 3 48 10 7 4 3G =+ +− +
Lời giải
a) Ta có:
200 32 72 10 2 4 2 6 2 12 2A = −+= −+=
b) Ta có:
1 25
4 20 3 125 5 45 15 4.2 5 3.5 5 5.3 5 3 8 5 15 5 3 5 15 5 5 5
55
B =− +−=−+−=−−+=
c) Ta có:
(2 8 3 5 7 2)( 72 5 20 2 2) (2.2 2 3 5 7 2)(6 2 10 5 2 2) (3 5 3 2)(4 2 10 5)C = +− − − = +− − − = − −
3.2( 5 2)(2 2 5 5) 6(2 10 4 25 5 10) 6(7 10 29)C = − − = −− + = −
d) Ta có:
2
5 3 29 12 5 5 3 ( 20 3) 5 3 ( 20 3) 5 6 20D = −− − = −− − = −− −= −−
2
5 ( 5 1) 5 ( 5 1) 1D = − − = − −=
7
e) Ta có:
22
5329620 53(253) 5(51) 5511E = −− − = −− − = − − = −+=
f) Ta có:
22
6 25 13 48 6 25 (23 1) 6 24 23 6 2(3 1) 4 23 3 1F =+−+ =+− +=+− =+ −=+ =+
g) Ta có:
4 5 3 48 10 7 4 3 4 5 3 5 48 10(2 3) 4 5 3 5(5 3) 9 3G =++−+=++−+=++−==
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau
a.
82
2
. 2 ( 4 4)( 2)
2
A aa a a
a
= −+ ≠
−
b.
3
15 16 2 169
4 25 ( 0)
29 4
uu
Bu u
u
=−− >
c.
3
100 4
5 4 3 ( 0)
94
xx
Cx x
x
=−− >
d.
11
36 54 150 ( 0)
35
D b b bb
=−− + ≥
e)
( )
2
14
96 5 3
33
v
E vv v= + + + + ≤−
f)
(
)
2
3
44 2 2
22
t
F tt t
=+ −+− ≤
Lời giải
a) Ta có:
4
82 8 2
22 2
22
. 2 ( 4 4) . 2 ( 2)
2 22
aa
A aa a aa
a aa
−
= −+= − =
− −−
+) Nếu
4
2 0 22a Aa−>⇒ =
+) Nếu
4
2 0 22a Aa−<⇒ =−
b) Ta có:
3
15 16 2 169
4 25 20 10 13 3 ( 0)
29 4
uu
B u u u u uu
u
= − − = −−=− ≥
c) Ta có:
3
100 4
5 4 3 10 10 2 2
94
xx
C x x xx x
x
= − − = − −=−
d) Ta có:
11 1 1
36 54 150 6 .3. 6 .5. 6 6 6 6 6 ( 0)
35 3 5
D b b bb b bbbbbb=− − + =−− + =−− + =− ≥
e) Ta có:
( ) ( )
2
2
1 4 14
96 5 3 3 5 4
3 3 33
vv
E vv v v v= ++++ ≤−= + ++=+
f) Ta có:
( ) ( )
2
33
44 2 2 2 21 2
22 22
tt
F t t t t tt= + − + − ≤ = + −−=− ≤
8
Dạng 4: Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn bậc hai
Cách giải: Nắm vững cách khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn bậc hai
1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
2
1
( 0; 0)
A AB
AB B AB
BBB
== ≠≥
Bài 1: Khử căn thức ở mẫu số các phân số
a.
7
108
b.
5
6
c.
10
13
d.
4
75
e.
3 22
2
+
f.
5 26
3
−
Lời giải
a) Ta có:
7 7 7 7. 3 21
108 8
36.3 6 3 6 3.3
= = = =
b) Ta có:
555.630
6 66
6
= = =
c) Ta có:
10 10 10. 13 130
13 13 13
13
= = =
d) Ta có:
4 4 2 23 23
75 15
25.3 5 3 5 3. 3
= = = =
e) Ta có:
( )
( )
2
21
2 1. 2
322 322 21 2 2
2 22
2 22
+
+
++ + +
= = = = =
f) Ta có:
( )
2
32
5 26 5 26 3 2 2 2.3 6
11 1
33
3 3 3 3 3. 3
−
−− −
= = = =−=− =−
Bài 2: Khử mẫu của mỗi biểu thức dưới dấu căn bậc hai sau
a.
( )
3
5
0; 0
49
x
xy
y
≥>
b.
( )
3
7 0; 0xy x y
xy
−
<>
Lời giải
9
a) Ta có:
( )
( )
3
2
5 55
0; 0 5 5 0; 0
49 7 7 7 7
x xxxxy x x
x y xy xy x y
y y yy y
≥>= = = = ≥>
b) Ta có:
( )
( )
22
3 37
7 0; 0 7 3 7 3 0; 0
xy xy
xy x y xy xy xy x y
xy x y xy
−−
<>= = −=−− <>
Bài 3: Khử mẫu của mỗi biểu thức dưới dấu căn bậc hai sau
a.
( )
3
5
0, 0
49
b
ab
a
>≥
b.
( )
1 16
0, 0
4
ab a b
ab
−
<<
Lời giải
a)
( ) ( )
3 22
5 15 15 1
0, 0 5 0, 0
49 7 7 7
b b ab
ab abab
a aa aa a
>≥= = = >≥
b)
( )
22
1 16 1
0, 0
4
ab
ab a b ab ab ab
ab ab a b
−
< <=− =− =−
10
Dạng 5: Trục căn thức ở mẫu
Cách giải: Nắm vững cách trục căn thức ở mẫu
1)
.
A AB
B
B
=
2)
m
A
3)
( )
mA B
m
AB
AB
+
=
−
−
Bài 1: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn
a.
1
22 33−
b.
35
35
−
+
Lời giải
a) Ta có:
( )
8 27
1 1 8 27 8 27
8 27 19 19
2 2 3 3 8 27
−+
++
= = = =
−−
−−
b) Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
2
3535 35
35 35
42
35
3 53 5
−− −
−−
= = =
+
+−
Bài 2: Trục căn thức ở mẫu rồi rút gọn
a.
8
53−
b.
23
23
−
+
Lời giải
a) Ta có:
( )
22 5 3
8
10 6
53
53
+
= = +
−
−
b) Ta có:
( )
( )
2
2
2
23
23
23
23
23
−
−
= = −
+
−
Bài 3: Trục căn thức và thực hiện phép tính
a.
( )
15 4 12
6 11
61 62 3 6
A

= +− +

+ −−

b.
5 55 5
11
1515
B

+−
=−−


+−

Lời giải
a) Ta có:
( )
( ) ( ) ( )
15 6 1
15 4 12
3 6 1 ; 2 6 2 ; 4 3 6 115
61
61 62 3 6
A
−
= = − = + = + ⇒=−
−
+ −−
11
b) Ta có:
55 55
5; 5 4
15 15
B
+−
= =− →=
+−
Bài 4: Trục căn thức và thực hiện phép tính
a.
( )
3 23 2 2
23
3 21
A
++
= + −+
+
b.
5 25 5 35
22
25 35
B

−+
=−−


−+

Lời giải
a) Ta có:
( )
3 23 2 2
23 2
3 21
AA
++
= + − + ⇒=
+
b) Ta có:
5 25 5 35
2 21
25 35
BB

−+
= − − ⇒=−


−+

Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau
a.
14 7
22
A
−
=
−
b.
11
7 24 1 7 24 1
B = −
−+ +−
c.
15 4 12
( )( 6 11)
61 62 3 6
C = +− +
+ −−
d.
33
311 311
D = −
+− ++
Lời giải
a) Ta có:
14 7 7( 2 1) 7 7. 2 14
2
2 2 2 ( 2 1) 2 2 . 2
A
−−
= = = = =
−−
b) Ta có:
22
11 11 1 1
7 24 1 7 24 1 7 2 6 1 7 2 6 1 ( 6 1) 1 ( 6 1) 1
B =−=−= −
− + + − − + + − −+ +−
11
0
6 11 6 11
=−=
−+ +−
c) Ta có:
( )
( ) ( ) ( )
( )
15 6 1 4 6 2 12 3 6
15 4 12
6 11 6 11 115
61 62 96
61 62 3 6
C

− ++


= + − += + + +=−


−− −
+ −−


d) Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
311 311
33 2
3 3. 2
3 11
311 311
311 311
D

++ − +−

=−= = =

+−
+− ++
+− ++


12
Bài 6: Trục căn thức ở mẫu
a.
6 14
23 7
A
+
=
−
b.
3 43
625
B
+
=
+−
c.
1
252210
C
=
++ +
d.
31
225
D =
+−
e.
1
10 15 14 21
E =
+++
f.
3 23 2 2
( 2 3)
3 21
F
++
= + −+
+
Lời giải
a.
6 14 2( 3 7)(2 3 7) 2(6 2 21 21 7) 2(13 3 21)
12 5 5
23 7 (23 7)(23 7)
A
+ + + + ++ +
= = = =
−
− −+
b.
3 4 3 (3 4 3)( 6 2 5) (3 4 3)( 6 2 5)
625
625(625)(625) 343
B
+ + ++ + ++
= = = =++
+− +− ++ +
c.
1 1 ( 2 1)( 5 2)
( 2 1)( 5 2)
(2 1)(5 4)
2 5 2 2 10 ( 2 1)( 5 2)
C
−−
= = = =−−
−−
++ + + +
d.
22
31 31( 2 2 5 ) 31(2 2 5 ) 31(2 2 5 )(4 2 1)
(2 2 5)(4 2 1)
2 2 5 (2 2) 5 1 4 2 (4 2) 1
D
++ ++ ++ −
= = = = =++ −
+− + − + −
e.
1 1 ( 3 2)( 7 5)
2
10 15 14 21 ( 2 3)( 5 7)
E
−−
= = =
+++ + +
f.
3 23 2 2
( 2 3) 2
3 21
F
++
= + −+=
+
Bài 7: Chứng minh rằng
a.
2
( ) ( , 0)
aa bb
ab a b a b
ab
+
−=− >
+
b.
( , 0; )
a b ab
ab a b
ab
ab ab
+
− = ≥≠
−
−+
c.
23
( )( ) 2
. ( , 0)
( 2)
a b b a b ab b ab
bab
ab
aa b b
+ + +−
= >
−
++
Lời giải
a) Ta có:
33
2
()()
()
aa bb a b
ab ab a ab b ab a b
ab ab
++
−= −=−+−=−
++
13
b) Ta có:
( )( )
( )( )
a b a a b b a b ab
ab
ab ab abab
+− − +
−= =
−
− + −+
c) Ta có:
22 2
22 2
( )( ) ( )( ) [( a ) 2 ( ) ] ( )
;
a2 () ( )
abbab bababb ab b bab
ab ab
ab b a b
+ + + + −+ −
= =
−−
++ +
()ba b
Cb
ab
−
= ⇒=
+
14
Dạng 6: Sử dụng các phép biến đổi căn thức bậc hai để giải phương trình
Cách giải:
+) Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa:
A
có nghĩa khi
0A ≥
+) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
2
( 0; 0)
( 0)
( 0; 0)
A BA B
AB A B B
A BA B
≥≥
= ≥=
− <≥
+) Rút gọn các căn thức đồng dạng
+) Biến đổi phương trình về dạng:
2
( 0)A B A BB=⇔= ≥
Bài 1: Giải các phương trình sau
a.
2
2
3 4 12 9 81
25 7 7 9 18 0
25 9 81
aa a
a
−− −
− − −+ =
b.
1
18 9 8 4 2 1 4
3
xx x
+− ++ +=
Lời giải
a) Ta có:
2
22
3 4 12 9 81 1
25 7 7 9 18 0 3 9 0
25 9 81 3
aa a
a aa
−− −
− − −+ =⇔ −− −=
Cách 1:
22
2
3
1
3 90 33 9 3
3
3 9( 9)
a
aa a a a
aa
≥
−− −=⇔ −= −⇔ ⇔=
−= −
Cách 2: Điều kiện
3a ≥
2
3( )
11
3 9 0 3( 3) 0
26
33
()
9
a tm
aa a a
a loai
=
−− −=⇔ − − + =⇔
−
=
b) Ta có:
1 2 35
18 9 8 4 2 14 2 14
33 2
xx x x x+− ++ +=⇔ += ⇔ =
Bài 3:
Giải phương trình:
1
18 9 8 4 2 1 4
3
xx x
+− ++ +=
Lời giải
Ta có:
1 2 35
18 9 8 4 2 14 2 14
33 2
xx x x x+− ++ += ↔ += ⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
35
2
x =
Bài 4: Giải các phương trình sau
15
a.
32
4 89 6
2 81
x
x
−
−− =
b.
9 9 4 4 16 16 3 1 16( 1)xx x xx−− −+ − − −= ≥
c.
22
11
2 0( 1; 0)
11 11
xx
xx
− + = ≥− ≠
++ +−
d.
2
36 72 15 4(5 2)( 2)
25
x
x xx
−
−− = +− ≥
e.
1 11
1( 0)
32 211
x
x x x x xx
+ +=≥
+++ +++ ++
Lời giải
a) Ta có:
2
3 23 23 1
4 8 9 6 4( 2) 9 6 .2. 2 9. . 2 6 2 3 11
2 81 2 9 2 9
xx
x x x x xx
−−
−− =⇔ − − =⇔ −= −=⇔ −=⇔=
b) Ta có:
9 9 4 4 16 16 3 1 16 2 1 16 1 8 65( )
x x x x x x x tm−− −+ − − −= ⇔ −= ⇔ −=⇔ =
c) Ta có:
22 2
22
22
11
2 0 ( 1 1) ( 1 1) 2( 1 1)( 1 1) 0
11 11
1 1 1 1 2( 1 1) 0 2 2 0 1( )
x x xx
xx
x x x x x tm
− + = ⇒ +− − ++ + +− ++ =
++ +−
⇔ +−− +−+ +− = ⇔−+ = ⇔ =
d) Ta có:
2
36 72 15 4(5 2) 6 2 3 2 4(5 2) 2 20
25
x
x x x x x x ptvn
−
− − = + − ⇔ −− −= + − ⇔ −=− ⇒
e) Ta có:
1 11
1 3 2 211 1
32 211
x x x xxx
x x x x xx
+ + =⇔ +− + + + − ++ +− =
+++ +++ ++
3 21 1 1x xx x x⇔ += + +⇔ =⇔ =
(thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
1x =
16
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Khẳng định nào sau đây sai
a.
( )
2
. . 0; 0AB A BA B= ≠≥
b.
( )
2
0; 0A B AB A B
= ≥≥
c.
( ) ( )
2
. 0; 0AB A BA B− =− ≥≥
d.
( )
2
. . 0; 0BA B AB A=− <≥
Lời giải
Chọn đáp án C
Giải thích:
Dễ thấy C là hệ thức sai, vì vế trái là số âm, còn vế phải dương
Câu 2: Khẳng định nào sau đây đúng
a.
( )
2
4 3 4 .3−=−
b.
( )
2
3 .5 3 5−=−
c.
2 7 14=
d.
35 1
5 27
5
−−
=
Lời giải
Chọn đáp án D
Giải thích:
A) Sai. Khẳng định đúng là
( )
2
4 3 4 .3− =−−
B) Sai. Khẳng định đúng là
( )
2
3 .5 3 . 5 3 5−=−=
C) Sai. Khẳng định đúng là
2
2 7 2 .7 28= =
D) Đúng. Ta có:
2
2
35 35 1 1
.
5 27 5 27 15
15
− =− =−=−
Câu 3: Kết quả rút gọn
5 5 3 45 2 80 4 20xxxx−+−
là số nào
a.
35x
b.
35x−
c.
45x
d.
45x−
Lời giải
Chọn đáp án D
Giải thích:
17
Ta có:
222
5 5 3 45 2 80 4 20 5 5 3 3 .5 2 4 .5 4 2 .5 4 5x x x xx x x x x−+−=− + − =−
Câu 4: Rút gọn phân số
180 45 80 245
125
+−−
được kết quả nào
a.
1
5
−
b.
2
5
−
c.
3
5
−
d.
4
5
−
Lời giải
Chọn đáp án B
Giải thích:
Ta có:
180 45 80 245 6 5 3 5 4 5 7 5 2
5
300 5 5
−+− +−− −
= =
Câu 5: So sánh nào sai
a.
35 53<
b.
23 32
32 23
>
c.
34 43
45 34
<
d.
72 27>
Lời giải
Chọn đáp án B
Giải thích:
A) Đúng. Ta có:
2
2
3 5 3 .5 45
35 53
5 3 5 .3 75
= =
⇒<
= =
B) Sai. Ta có:
23432
.
23 32
3 2 92 3
32 23
3 2 92 3
.
23432
= =
⇒<
= =
C) Đúng. Ta có:
4 3 16 3 4
.
43 34
3 4 94 3
34 43
3 4 94 3
.
4 3 16 3 4
= =
⇒>
= =
18
D) Đúng. Ta có:
2
2
7 2 7 .2 98
72 27
2 7 2 .7 28
= =
⇒>
= =
.
Câu 6: Nếu
3a =
và
1
2
b =
thì giá trị của biểu thức
22
2
. 44
2
b
a a ab b
ba
+ −+
−
sẽ là số nào
a.
2
b.
3
c.
4
d.
5
Lời giải
Chọn đáp án C
Giải thích:
Ta có:
( )
2
22
22
. 44 . 2
22
bb
a a abb a ab
ba ba
+ −+=+ −
−−
Thay
3a =
và
1
2
b =
ta được:
1
2
11
2
3 .323.4314
1
2 13
23
2
−


−−


=+ − =+ =+=

−
−−


−


Câu 7: Nếu
5 3 4 27 6 12 7 75 120x xxx−+−=−
thì
x
là số nào
a.
16
3
x =
b.
17
3
x =
c.
19
3
x =
d.
20
3
x =
Lời giải
Chọn đáp án A
Giải thích:
Ta có:
5 3 4 27 6 12 7 75 120 5 3 12 3 12 3 35 3 12x xxx xxxx− + − =−⇔ − + − =−
16
3 4 3 16
3
x xx⇔ =⇔ = ⇔=
Câu 8: Giải phương trình
2
2
3
.3
7
x
−

=


thì
x
là số nào
a. Phương trình có ngiệm là
7x = ±
b. Phương trình có nghiệm là
7x = ±
c. Phương trình có nghiệm là
3
7
x = ±
d. Phương trình vô nghiệm
19
Lời giải
Chọn đáp án B
Giải thích:
Ta có:
2
2
7
3 33
.3 3 3 7
7
7 77
x
x x xx
x
=
−−

=⇔ =⇔ =⇔=⇔

= −

Vậy nghiệm của phương trình là:
7
x = ±
Câu 9: Cho hai số
,ab
không âm. Khẳng định nào sau đây đúng
a.
2
ab
ab
+
<
b.
2
ab
ab
+
=
c.
2
ab
ab
+
≥
d.
23
a b ab+
≥
Lời giải
Chọn đáp án C
Giải thích:
Do
a
và
b
không âm nên
a
và
b
xác định
Ta có:
( )
2
02 0 2
2
ab
a b a ab b a b ab ab
+
− ≥⇔− +≥⇔+≥ ⇔ ≥
Câu 10: Với
a
dương. Khẳng định nào sau đây là đúng
a.
1
2a
a
+≥
b.
1
3a
a
+≤
c.
1
4a
a
+≥
d.
1
4a
a
+≤
Lời giải
Chọn đáp án D
Giải thích:
Với
a
dương nên
a
xác định
Ta có:
2
11 1 1 1
0 0 20 2aa a a a
aa
aa a

≥ ⇔ − ≥⇔ − ≥⇔+−≥⇔+ ≥


20
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Đưa thừa số ra ngoài đấu căn:
a)
( )
2
50aa≤
b)
( )
2
18 0aa≥
c)
( )
3
90bb−≤
d)
( )
48
24 ,ab ab R∈
Lời giải
a) Ta có:
( )
( )
2
5 05 5 0aa a a a≤= =− ≤
b) Ta có:
( )
( )
2
18 0 18 3 2 0aa a a a≥= = ≥
c) Ta có:
( )
3
9 03bb b b− ≤=− −
d) Ta có:
( ) ( )
48 24
24 , 2 6 ,ab ab R ab ab R
∈= ∈
Bài 2: Đưa thừa số vào trong đấu căn:
a)
( )
70xx≥
b)
( )
15 0xx≤
c)
( )
1
19 0yy
y
>
d)
( )
2
1 27
0
3
yy
y
≤
Lời giải
a) Ta có:
( )
( )
2
707 0x x xx≥= ≥
b) Ta có:
( )
2
15 0 15xx x≤=−
c) Ta có:
( )
( )
1 19
19 0 0yy y
yy
>= >
d) Ta có:
( )
( )
2
1 27
0 30
3
yy y
y
≤=− ≤
Bài 3: Tìm số lớn hơn trong các cặp số dưới đây
a)
26
và
33
b)
2
6
5
và
71
43
Lời giải
a) Ta có:
2 6 24
26 33
3 3 27
=
⇒<
=
b) Ta có:
2 4 24 7 1 49 1 49 2 7 1 24 49
6.6; . 6 1
5 25 25 4 3 16 3 48 5 4 3 25 48

= = = = ⇒ < <<


21
Bài 4: Tìm số bé hơn trong các cặp số dưới đây
a)
2 23
và
3 10
b)
1
2
5
và
1
21
5
Lời giải
a) Ta có:
2
2 23 4.23 92
2 23 3 10
3 10 3 .10 90
= =
⇒>
= =
b) Ta có:
1 4 1 21 4 21 1 1
2 ; 21 ; 2 21
5 5 5 25 5 25 5 5
= = >⇒ >
Bài 5: Sắp xếp các số
a)
2 5;3 2;5; 23
theo thứ tự tăng dần b)
5 2; 2 13; 4 3; 47
theo thứ tự giảm dần
Lời giải
a) Ta có:
32 25 23 5<<<
b) Ta có:
2 13 5 2 4 3 47>>>
Bài 6: Rút gọn biểu thức
a.
3
25 8 9 4 9
4 ( 0)
4 3 4 3 64
xx x
Ax
x
= −− ≥
b.
2
3 31
14 4 ( )
24 2 2
y
B yy y=+ −+ − ≤
Lời giải
a) Ta có:
3
25 8 9 4 9 11
4 ( 0)
4 3 4 3 64 2
xx x
A xx
x
= − − ≥=
b) Ta có:
2
3 31 3
14 4 ( )
24 2 2 4
y
B yy y y= + − + − ≤ =−−
Bài 7: Thực hiện phép tính
a.
2 3 15 1
.
31 3 2 3 3 35
A

= ++

− −− +

b.
14 7 15 5 1
:
12 13 7 5
B

−−
= +


−− −

Lời giải
a) Ta có:
2 3 15 1 1
( ).
2
31 3 2 3 3 35
A = ++ =
− −− +
22
b) Ta có:
14 7 15 5 1
( ): 2
12 13 7 5
B
−−
=+=−
−− −
Bài 8: Tìm u, biết
a.
51
4 20 3 9 45 4
93
u
uu
−
−+ − −=
b.
21 1
9 9 16 16 27 4
3 4 81
u
uu
−
−− − + =
Lời giải
a) Ta có:
51
4 20 3 9 45 4 2 5 4 9
93
u
u u uu
−
− + − − =⇔ −=⇔=
b) Ta có:
21 1
9 9 16 16 27 4 4 1 4 2
3 4 81
u
u u uu
−
−− − + = ⇔ −= ⇔ =
Bài 9:
Tìm x, y, z biết:
( )
1
1 31
2
x y z xyz++ −+ −= + +
Lời giải
Cách 1:
( )
( ) ( ) ( )
2 22
0
1
1 3 1 11 31 11 0 4
2
2
x
x y z xyz x y z y
z
=
++ −+ −= + + ⇔ +− + −− + −− = ⇒ =
=
Cách 2: Ta có:
( ) ( ) ( )
2 1 12 1; 2 3 12 3; 1 12 1x x x y y y zz z+ = + +≥ + − = − +≥ − = − +≥ −
Cộng vế các bất đẳng thức ta được:
( )
2 1 3 1 0; 4; 2xyz x y z x y z+ + ≥ ++ −+ − ⇔ = = =
Bài 10
Chứng minh rằng:
111 1
... 1
12 23 34 1
n
nn
++++ =−
+ + + −+
Lời giải
Thực hiện trục căn thức ở mẫu với từng thừa số
1 12 1
2 1; 3 2;.....
12
12 23
−
==−=−
−
++
Thực hiện rút gọn ta được:
1VT n VP= −=
| 1/22
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI A. Tóm tắt lý thuyết
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
A B(A ≥ 0;B ≥ 0) 2
A B = A B(B ≥ 0) = 
−A B(A < 0; B ≥ 0)
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn  2
A B(khi A ≥ 0; B ≥ 0) A B =  2
− A B(khi A < 0;B ≥ 0)
3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn A AB 1 = =
AB B ≠ 0; AB ≥ 0 2 ( ) B B B
4. Trục căn thức ở mẫu
C ( A − B C ) a) A A B = (B > 0) b) = ( 2
A ≥ 0; A ≠ B 2 ) B B A + B A − B C ( A + B C )
C ( A − B C ) c) = ( 2
A ≥ 0; A ≠ B d) = ( ,
A B ≥ 0; A ≠ B) 2 ) A − B A − B A + B A − B C ( A + B C ) e) = ( ,
A B ≥ 0; A ≠ B) A − B A − B
*) Chú ý: Để trục căn thức ở mẫu, bình thường ta nhân cả tử và mẫu của phân thức với lượng
liên hợp của mãu và cần các hằng đẳng thức sau: ( − )( + ) 2 2
a b a b = a − b
- Các dạng liên hợp cơ bản thường gặp
+) ( A − B)( A + B) = A− B +) ( − )( + ) 2 A B A
B = A − B
B. Bài tập và các dạng toán
Dạng 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc vào trong dấu căn
Cách giải: Sử dụng kiến thức sau 1  - Cách đưa thừa số
A B(A ≥ 0; B ≥ 0) 2
A ra ngoài dấu căn: 2
A B = A B(B ≥ 0) = 
−A B(A < 0; B ≥ 0)  2
- Cách đưa thừa số vào trong dấu căn:
A B(khiA ≥ 0; B ≥ 0) A B =  2
− A B(khiA < 0;B ≥ 0)
Bài 1: Viết gọn các biểu thức sau
a. 25.90 b. 96.125 c. 75.54 d. 245.35 Lời giải a) Ta có: 25.90 =15 10
b) Ta có: 96.125 = 16.6.5.25 = 20 30 c) Ta có: 75.54 = 45 2
d) Ta có: 245.35 = 49.5.5.7 = 35 7
Bài 2: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn a. 45 + 20 − 245 b. 4 3 + 27 − 45 + 5 c. 6 + 2 5 d. 7 − 2 10 + 2 Lời giải a) Ta có: 2 2 2
45 + 20 − 245 = 3 .5 + 2 5 − 7 .5 = 3 5 + 2 5 − 7 5 = 2 − 5
b) Ta có: 4 3 + 27 − 45 + 5 = 4 3 + 3 3 −3 5 + 5 = 7 3 − 2 5 c) Ta có: + = ( )2 + + = ( + )2 6 2 5 5 2 5 1 5 1 = 5 +1 = 5 +1 d) Ta có: − + = ( − )2 7 2 10 2 5
2 + 2 = 5 − 2 + 2 = 5 − 2 + 2 = 5 .
Bài 3: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn a. 2 27x (x ≥ 0) b. 2
8xy (x ≥ 0; y ≤ 0) c. 3
25x (x > 0) d. 4
48xy (x ≥ 0; y ∈ R) Lời giải a) Ta có: 2
27x = (3x)2 .3 = 3x 3 = 3 3x(x ≥ 0) b) Ta có: 2
8xy = (2y)2 .2x = 2y 2x = 2
− y 2x (x ≥ 0; y ≤ 0) c) Ta có: 3
25x = 5x x (x > 0) 2 d) Ta có: 4
xy (x ≥ y ∈ R) 2 = y x ( 2 48 0; 4 3 y ≥ 0)
Bài 4: Đưa thừa số vào trong dấu căn
a. a 13(a ≥ 0) b. 15
a − (a < 0) a
c. a 12 (a > 0) d. a 2 (a ≤ 0) 2 a Lời giải a) Ta có: 2
a 13 = 13a (a ≥ 0) 2 b) Ta có: 15 − = −(− ) 15 − 15 − a a a = − = − 15
− a (a < 0) a a a
c) Ta có: a 12 = 3a (a > 0) 2 a d) Ta có: 2
a 2 = − 2a (a ≤ 0) 3
Dạng 2: So sánh các căn bậc hai
Cách giải: Đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn rồi so sánh
Bài 1: So sánh các cặp số dưới dây a) 2 29 và 4 3 b) 5 2 và 3 3 4 2 2 c) 3 3 và 12 d) 7 và 3 5 Lời giải  2
a) Ta có 2 29 = 2 .29 = 116  ⇒ 2 29 < 3 13 3  13 = 117  2 5  5  25  2 = .2 =   b) Ta có: 4  4  8 5 3 3  ⇒ 2 < 2 4 2 2 3 3  3  3 27  =   . = 2 2  2  2 8 c) Ta có: 2 3 3 = 3 .3 = 27 > 12 d) Ta có: 2 3 5 = 3 .5 = 45 > 7
Bài 2: So sánh các cặp số dưới dây a) 5 2 và 3 13 b) 5 1 và 1 6 2 6 37 a) 1 51 và 1 150 b) 1 6 và 1 6 3 5 2 2 Lời giải =  a) Ta có: 5 2 50→ 4 3 <5 2 4 3 = 48 5 1 25  =  b) Ta có: 2 6 24  5 1 1  25 36  6  1  → > > >  1 36 2 6 37   4 37  6 = 37 37  4 1 51 17.3 17  51 = = =  c) Ta có: 3 9 9 3 , mà 17 1 1 < 6 ⇒ 51 < 150 1 150 3 3 5 150 6  = = 5 25  2 d) Ta có: 1  1  6 3 1 2 1 36 6 = .6 = = ;6 = 6 . = =   18 2  2  4 2 2 2 2 mà 3 1 1 18 > ⇒ 6 > 6 . 2 2 2 Bài 3
Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: 3 5;2 6; 29;4 2 Lời giải
Ta có: 3 5 = 45;2 6 = 24;4 2 = 32
Vậy: 2 6 < 29 < 4 2 < 3 5 Bài 4
Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần: 7 2;2 8; 28;5 2 Lời giải Ta có: 2 8 = 4 2; 28 = 2 7
Vậy: 7 2 > 5 2 > 2 8 > 28 5
Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
Cách giải: Đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn rồi rút gọn
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau
a. A = 125 + 45 − 405
b. B = 50 − 128 + 162 − 18
c. C = 63 − 252 − 343 + 175 Lời giải
a) Ta có: A = 125 + 45 − 405 = 25.5 + 9.5 − 81.5 = 5 5 + 3 5 −9 5 = − 5
b) Ta có: B = 50 − 128 + 162 − 18 = 25.2 − 64.2 + 81.2 − 9.2 = 5 2 + 9 2 −8 2 −3 2 = 3 2 c) Ta có:
C = 63 − 252 − 343 + 175 = 7.9 − 7.36 − 7.49 + 7.25 = 3 7 − 6 7 − 7 7 + 5 7 = 5 − 7 .
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau a. A = 200 − 32 + 72 b. 1
B = 4 20 − 3 125 + 5 45 −15 5
c. C = (2 8 + 3 5 − 7 2)( 72 −5 20 − 2 2) d. 2
D = 5 − 3− 29 −12 5 = 5 − 3− ( 20 − 3) e. E = 5 − 3− 29 − 6 20
f. F = 6 + 2 5− 13+ 48
g. G = 4 + 5 3 + 48−10 7 + 4 3 Lời giải
a) Ta có: A = 200 − 32 + 72 =10 2 − 4 2 + 6 2 =12 2 b) Ta có: 1 25
B = 4 20 − 3 125 + 5 45 −15
= 4.2 5 − 3.5 5 + 5.3 5 − 3
= 8 5 −15 5 − 3 5 +15 5 = 5 5 5 5 c) Ta có:
C = (2 8 + 3 5 − 7 2)( 72 − 5 20 − 2 2) = (2.2 2 + 3 5 − 7 2)(6 2 −10 5 − 2 2) = (3 5 − 3 2)(4 2 −10 5)
C = 3.2( 5 − 2)(2 2 − 5 5) = 6(2 10 − 4 − 25 + 5 10) = 6(7 10 − 29) d) Ta có: 2
D = 5 − 3− 29 −12 5 = 5 − 3− ( 20 − 3) = 5 − 3− ( 20 − 3) = 5 − 6 − 20 2
D = 5 − ( 5 −1) = 5 − ( 5 −1) =1 6 e) Ta có: 2 2 E = 5 − 3− 29 − 6 20 = 5 − 3− (2 5 − 3) = 5 − ( 5 −1) = 5 − 5 +1 =1 f) Ta có: 2 2
F = 6 + 2 5 − 13 + 48 = 6 + 2 5 − (2 3 +1) = 6 + 2 4 − 2 3 = 6 + 2 ( 3 −1) = 4 + 2 3 = 3 +1 g) Ta có:
G = 4 + 5 3 + 48 −10 7 + 4 3 = 4 + 5 3 + 5 48 −10(2 + 3) = 4 + 5 3 + 5(5 − 3) = 9 = 3
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau 3 a. 2 8 2 A 15 16u 2 169u =
. 2a (a − 4a + 4)(a ≠ 2) b. B = 4 25u − − (u > 0) a − 2 2 9 u 4 3 c. 100x 4 = 5 4 − 3 x C x − (x > 0) d. 1 1 D = − 36b − 54b + 150b(b ≥ 0) 9 x 4 3 5 e) 1 2 4 = 9 + 6 v E v + v + + 5(v ≤ 3 − ) f) t 3 2 F = +
4 − 4t + t − 2(t ≤ 2) 3 3 2 2 Lời giải 4 a) Ta có: 2 2 2 2a a − 2 8 2 8 2 A =
. 2a (a − 4a + 4) = . 2a (a − 2) = a − 2 a − 2 a − 2 +) Nếu 4
a − 2 > 0 ⇒ A = 2 2a +) Nếu 4
a − 2 < 0 ⇒ A = 2 − 2a 3 b) Ta có: 15 16u 2 169 = 4 25 u B u − −
= 20 u −10 u −13 u = 3 − u(u ≥ 0) 2 9 u 4 3 c) Ta có: 100x 4 = 5 4 − 3 x C x −
=10 x −10 x − 2 x = 2 − x 9 x 4 d) Ta có: 1 1 1 1 D = − 36b − 54b + 150b = 6
− b − .3. 6b + .5. 6b = 6
− b − 6b + 6b = 6 − b(b ≥ 0) 3 5 3 5 e) Ta có: 1 2 4v = + + + + ( ≤ − ) 1 = ( + )2 4 9 6 5 3 3 v E v v v v + + 5 = v + 4 3 3 3 3 f) Ta có: t 3 2 F = +
− t + t − (t ≤ ) t 3 4 4 2
2 = + 2 − t − 2 =1− t (t ≤ 2) 2 2 2 2 7
Dạng 4: Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn bậc hai
Cách giải: Nắm vững cách khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn bậc hai
1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn A AB 1 = =
AB(B ≠ 0; AB ≥ 0) 2 B B B
Bài 1: Khử căn thức ở mẫu số các phân số a. 7 b. 5 108 6 c. 10 d. 4 13 75 e. 3+ 2 2 f. 5− 2 6 2 3 Lời giải a) Ta có: 7 7 7 7. 3 21 = = = = 108 36.3 6 3 6 3.3 8 b) Ta có: 5 5 5. 6 30 = = = 6 6 6 6 c) Ta có: 10 10 10. 13 130 = = = 13 13 13 13 d) Ta có: 4 4 2 2 3 2 3 = = = = 75 25.3 5 3 5 3. 3 15 3 2 2 3 2 2 ( + )2 2 1 2 1 ( 2 + + + + )1. 2 e) Ta có: 2 + 2 = = = = = 2 2 2 2 2 2 5 2 6 5 2 6 ( − − − )2 3 2 f) Ta có: 3 − 2 2 2. 3 6 = = = = 1− = 1− = 1− 3 3 3 3 3 3. 3 3
Bài 2: Khử mẫu của mỗi biểu thức dưới dấu căn bậc hai sau 3 a. 5x ( −
x ≥ 0; y > 0) b. 3 7xy
(x < 0; y > 0) 49y xy Lời giải 8 3 a) Ta có: 5x ( ≥ > ) x 5x x 5 0; 0 xy x = = = 5 x x y xy =
5xy x ≥ 0; y > 0 2 ( ) 49y 7 y 7 y 7 y 7y b) Ta có: 3 − ( < > ) 3 − xy 7 7 0; 0 = 7 xy xy x y xy = 3 − xy = 7 − 3
− xy x < 0; y > 0 2 2 ( ) xy x y xy
Bài 3: Khử mẫu của mỗi biểu thức dưới dấu căn bậc hai sau a. 5b a − > 0,b ≥ 0 b. 1 16 ab
(a < 0,b < 0) 3 ( ) 49a 4 ab Lời giải a) 5b 1 5b 1 5ab 1
a > 0,b ≥ 0 = = =
5ab a > 0,b ≥ 0 3 ( ) 2 2 ( ) 49a 7a a 7a a 7a b) 1 − 16 ( < < ) 1 0, 0 ab ab a b = −ab = −ab = − ab 2 2 4 ab ab a b 9
Dạng 5: Trục căn thức ở mẫu
Cách giải: Nắm vững cách trục căn thức ở mẫu m( A + B m ) 1) A . A B = 2) m 3) = B B A A − B A − B
Bài 1: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn a. 1 b. 3− 5 2 2 − 3 3 3+ 5 Lời giải −( 8 + + + 27 1 1 8 27 8 27 ) a) Ta có: = = = = 2 2 − 3 3 8 − 27 8 − 27 19 − 19 3 5 ( − )( − ) ( − − )2 3 5 3 5 3 5 b) Ta có: 3− 5 = = = 3+ 5 (3+ 5)(3− 5) 4 2
Bài 2: Trục căn thức ở mẫu rồi rút gọn a. 8 b. 2 − 3 5 − 3 2 + 3 Lời giải 2 2 ( 5 + 3 8 ) a) Ta có: = = 10 + 6 5 − 3 5 − 3 (2− − 3 2 3 )2 b) Ta có: = = − 2 + 3 2 − ( 3) 2 3 2 2
Bài 3: Trục căn thức và thực hiện phép tính  +  −  a. 15 4 12 A   = + − ( 6 +   ) 11 b. 5 5 5 5 B = 1−  −1  6 +1 6 − 2 3− 6   1 5  1 5  + −    Lời giải 15 15 ( 6 − )1 a) Ta có: = = ( − ) 4 = ( + ) 12 3 6 1 ; 2 6 2 ; = 4(3+ 6) ⇒ A = 115 − 6 +1 6 −1 6 − 2 3− 6 10 b) Ta có: 5+ 5 5 − 5 = 5; = − 5 → B = 4 1+ 5 1− 5
Bài 4: Trục căn thức và thực hiện phép tính  −  +  a. 3 2 3 2 2 A + + = + − ( 2 + 3) b. 5 2 5 5 3 5 B =  − 2 − 2 3 2 +1  2 5  3 5  − +    Lời giải a) Ta có: 3+ 2 3 2 + 2 A = + − ( 2 + 3) ⇒ A = 2 3 2 +1  −  +  b) Ta có: 5 2 5 5 3 5 B =  − 2 − 2 ⇒ B = 1 −  2 5  3 5  − +   
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau a. 14 7 A − = b. 1 1 B = − 2 − 2 7 − 24 +1 7 + 24 −1 c. 15 4 12 C = ( + − )( 6 +11) d. 3 3 D = − 6 +1 6 − 2 3− 6 3 +1 −1 3 +1 +1 Lời giải a) Ta có: 14 7 7( 2 1) 7 7. 2 14 A − − = = = = = 2 − 2 2( 2 −1) 2 2. 2 2 b) Ta có: 1 1 1 1 1 1 B = − = − = − 2 2 7 − 24 +1 7 + 24 −1 7 − 2 6 +1 7 + 2 6 −1 ( 6 −1) +1 ( 6 +1) −1 1 1 = − = 0 6 −1+1 6 +1−1 c) Ta có:  − + +  C   = + − ( 6 + ) 15( 6 )1 4( 6 2) 12(3 6 15 4 12 ) 11 =  + +  ( 6 + ) 11 = 115 −   6 +1 6 − 2 3− 6   6 −1 6 − 2 9 − 6      3 3 ( 3+1+ )1−( 3+1−  )1 d) Ta có:  2 D = − = 3 = =   3 +1 −1 3 +1 +1  ( 3 +1− )1( 3 +1+ ) 3. 2 3 +1−1 1    11
Bài 6: Trục căn thức ở mẫu a. 6 14 A + = b. 3 4 3 B + = 2 3 − 7 6 + 2 − 5 c. 1 C = d. 31 D = 2 + 5 + 2 2 + 10 2 + 2 − 5 e. 1 E = f. 3 2 3 2 2 F + + = + − ( 2 + 3) 10 + 15 + 14 + 21 3 2 +1 Lời giải a. 6 14 2( 3 7)(2 3 7) 2(6 2 21 21 7) 2(13 3 21) A + + + + + + + = = = = 2 3 − 7 (2 3 − 7)(2 3 + 7) 12 − 5 5 b. 3 4 3 (3 4 3)( 6 2 5) (3 4 3)( 6 2 5) B + + + + + + + = = = = 6 + 2 + 5
6 + 2 − 5 ( 6 + 2 − 5)( 6 + 2 + 5) 3+ 4 3 c. 1 1 ( 2 1)( 5 2) C − − = = = = ( 2 −1)( 5 − 2)
2 + 5 + 2 2 + 10 ( 2 +1)( 5 + 2) (2 −1)(5 − 4) d. 31 31(2 2 5) 31(2 2 5) 31(2 2 5)(4 2 1) D + + + + + + − = = = = = (2 + 2 + 5)(4 2 −1) 2 2 2 + 2 − 5 (2 + 2) − 5 1+ 4 2 (4 2) −1 e. 1 1 ( 3 2)( 7 5) E − − = = =
10 + 15 + 14 + 21 ( 2 + 3)( 5 + 7) 2 f. 3 2 3 2 2 F + + = + − ( 2 + 3) = 2 3 2 +1
Bài 7: Chứng minh rằng a. a a + b b 2 +
− ab = ( a − b) (a,b > 0) b. a b a b − =
(a,b ≥ 0;a ≠ b) a + b a − b
a + b a − b 2 3
c. (a b + b)( a + b) ab + b − 2 .
ab = b(a,b > 0) a − b
a(a + 2 b) + b Lời giải 3 3
a) Ta có: a a + b b ( a) + ( b) 2 − ab =
− ab = a − ab + b − ab = ( a − b) a + b a + b 12 b) Ta có: a b
a( a + b) − b( a − b) a + b − = = a − b a + b
( a − b)( a + b) a − b 2 2 2
c) Ta có: (a b + b)( a + b)
b(a + b)( a + b) [(
b a) − 2 ab + ( b) ]
b( a − b) = ; = 2 2 2 a − b a − b a + 2a b + ( b) (a + b)
b( a − b) = ⇒ C = b a + b 13
Dạng 6: Sử dụng các phép biến đổi căn thức bậc hai để giải phương trình Cách giải:
+) Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa: A có nghĩa khi A ≥ 0 
+) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
A B(A ≥ 0; B ≥ 0) 2
A B = A B(B ≥ 0) = 
−A B(A < 0; B ≥ 0)
+) Rút gọn các căn thức đồng dạng
+) Biến đổi phương trình về dạng: 2
A = B ⇔ A = B (B ≥ 0)
Bài 1: Giải các phương trình sau 2 a. a − 3 4a −12 2 9a −81 25 − 7 − 7 a − 9 +18 = 0 b. 1
18x + 9 − 8x + 4 + 2x +1 = 4 25 9 81 3 Lời giải 2 a) Ta có: a − 3 4a −12 2 9a −81 1 2 25 − 7 − 7 a − 9 +18 = 0 ⇔
a − 3 − a − 9 = 0 25 9 81 3  ≥ Cách 1: 1 a 3 2 2
a − 3 − a − 9 = 0 ⇔ a − 3 = 3 a − 9 ⇔  ⇔ a = 3 2 3
a − 3 = 9(a − 9)
Cách 2: Điều kiện a ≥ 3 a = 3(tm) 1 2 1 a 3 a 9 0 a 3( a 3) 0  − − − = ⇔ − − + = ⇔ 26 3 3 a −  = (loai)  9 b) Ta có: 1 2 35
18x + 9 − 8x + 4 + 2x +1 = 4 ⇔
2x +1 = 4 ⇔ x = 3 3 2 Bài 3:
Giải phương trình: 1
18x + 9 − 8x + 4 + 2x +1 = 4 3 Lời giải Ta có: 1 2 35
18x + 9 − 8x + 4 + 2x +1 = 4 ↔
2x +1 = 4 ⇔ x = 3 3 2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 35 x = 2
Bài 4: Giải các phương trình sau 14 a. 3 x 2 4x − −8 − 9
= 6 b. 9x −9 − 4x − 4 + 16x −16 −3 x −1 =16(x ≥1) 2 81 c. 1 1 x − − + 2 = 0(x ≥ 1 − ; x ≠ 0) d. 2 36x − 72 −15
= 4(5 + x − 2)(x ≥ 2) 2 2 x +1 +1 x +1 −1 25 e. 1 1 1 + + =1(x ≥ 0) x + 3 + x + 2 x + 2 + x +1 x +1 + x Lời giải a) Ta có: 3 x − 2 3 x − 2 3 1 4x − 8 − 9 = 6 ⇔ 4(x − 2) − 9
= 6 ⇔ .2. x − 2 = 9. . x − 2 = 6 ⇔ x − 2 = 3 ⇔ x =11 2 2 81 2 9 2 9
b) Ta có: 9x −9 − 4x − 4 + 16x −16 −3 x −1 =16 ⇔ 2 x −1 =16 ⇔ x −1 = 8 ⇔ x = 65(tm) 1 1 2 2 2 −
+ 2 = 0 ⇒ ( x +1 −1) − ( x +1 +1) + 2( x +1 −1)( x +1 +1) = 0 c) Ta có: 2 2 x +1 +1 x +1 −1 2 2
⇔ x +1 −1− x +1 −1+ 2(x +1−1) = 0 ⇔ 2
− + 2x = 0 ⇔ x =1(tm) d) Ta có: x − 2 36x − 72 −15
= 4(5 + x − 2) ⇔ 6 x − 2 − 3 x − 2 = 4(5 + x − 2) ⇔ x − 2 = 20 − ⇒ ptvn 25 e) Ta có: 1 1 1 + +
=1 ⇔ x + 3 − x + 2 + x + 2 − x +1 + x +1 − x =1 x + 3 + x + 2 x + 2 + x +1 x +1 + x
⇔ x + 3 = x + 2 x +1 ⇔ x =1 ⇔ x =1 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =1 15
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Khẳng định nào sau đây sai a. 2
A .B = A . B ( A ≠ 0;B ≥ 0) b. 2
A B = A B ( A ≥ 0; B ≥ 0)
c. −A B = (−A)2 .B ( A ≥ 0;B ≥ 0) d. 2 B .A = − .
B A (B < 0; A ≥ 0) Lời giải Chọn đáp án C Giải thích:
Dễ thấy C là hệ thức sai, vì vế trái là số âm, còn vế phải dương
Câu 2: Khẳng định nào sau đây đúng a. − = (− )2 4 3 4 .3 b. (− )2 3 .5 = 3 − 5 c. − − 2 7 = 14 d. 3 5 1 = 5 27 5 Lời giải Chọn đáp án D Giải thích:
A) Sai. Khẳng định đúng là − = − (− )2 4 3 4 .3
B) Sai. Khẳng định đúng là (− )2 3 .5 = 3 − . 5 = 3 5
C) Sai. Khẳng định đúng là 2 2 7 = 2 .7 = 28 2 D) Đúng. Ta có: 3 5 3 5 1 1 − = − . = − = − 2 5 27 5 27 15 15
Câu 3: Kết quả rút gọn 5 5x −3 45x + 2 80x − 4 20x là số nào a. 3 5x b. 3 − 5x c. 4 5x d. 4 − 5x Lời giải Chọn đáp án D Giải thích: 16 Ta có: 2 2 2
5 5x − 3 45x + 2 80x − 4 20x = 5 5x − 3 3 .5x + 2 4 .5x − 4 2 .5x = 4 − 5x
Câu 4: Rút gọn phân số 180 + 45 − 80 − 245 được kết quả nào 125 a. 1 − b. 2 − 5 5 c. 3 − d. 4 − 5 5 Lời giải Chọn đáp án B Giải thích:
Ta có: 180 − 45 + 80 − 245 6 5 +3 5 − 4 5 −7 5 2 − = = 300 5 5 5
Câu 5: So sánh nào sai a. 3 5 < 5 3 b. 2 3 3 2 > 3 2 2 3 c. 3 4 4 3 < d. 7 2 > 2 7 4 5 3 4 Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: 2 
A) Đúng. Ta có: 3 5 = 3 .5 = 45 ⇒ 3 5 < 5 3 2 5 3 = 5 .3 = 75 2 3 4 3 2  = . =  B) Sai. Ta có: 3 2 9 2 3  2 3 3 2  ⇒ < 3 2 9 2 3 3 2 2 3 .  = = 2 3 4 3 2  4 3 16 3 4  = . =  C) Đúng. Ta có: 3 4 9 4 3  4 3 3 4  ⇒ > 3 4 9 4 3 3 4 4 3 .  = = 4 3 16 3 4  17 2 
D) Đúng. Ta có: 7 2 = 7 .2 = 98 ⇒ 7 2 > 2 7 . 2 2 7 = 2 .7 = 28 Câu 6: Nếu a 2b = 3 và 1
b = thì giá trị của biểu thức 2 2 a +
. a − 4ab + 4b sẽ là số nào 2 2b − a a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: Ta có: 2b 2 2 2 + . − 4 + 4 b a a ab b = a + . (a − 2b)2 2b − a 2b − a  1 2 −    Thay  2   1 −  1 − a = 3 và 1 b = ta được: = 3+ . 3− 2 = 3+ .4 = 3+1 =   4 2  1 −   2  1 − − 3 2 −   3  2 
Câu 7: Nếu 5 3x − 4 27x + 6 12x − 7 75x = 120 − thì x là số nào a. 16 x = b. 17 x = 3 3 c. 19 x = d. 20 x = 3 3 Lời giải Chọn đáp án A Giải thích:
Ta có: 5 3x − 4 27x + 6 12x −7 75x = 120 −
⇔ 5 3x −12 3x +12 3x − 35 3x = 12 − 16
⇔ 3x = 4 ⇔ 3x =16 ⇔ x = 3 2
Câu 8: Giải phương trình  3 −  2 .x =  
3 thì x là số nào  7 
a. Phương trình có ngiệm là x = ± 7
b. Phương trình có nghiệm là x = 7 ±
c. Phương trình có nghiệm là 3 x = ±
d. Phương trình vô nghiệm 7 18 Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: 2 Ta có:  3 −  3 − 3 x = 7 2  .x = 3 ⇔
x = 3 ⇔ x = 3 ⇔ x = 7 ⇔   7  7 7  x = 7 −
Vậy nghiệm của phương trình là: x = 7 ±
Câu 9: Cho hai số a,b không âm. Khẳng định nào sau đây đúng a. a + b + < ab b. a b = ab 2 2
c. a + b ≥ ab d. a + b ab ≥ 2 2 3 Lời giải Chọn đáp án C Giải thích:
Do a và b không âm nên a và b xác định Ta có: ( )2 + − ≥ 0 ⇔ − 2 + ≥ 0 ⇔ + ≥ 2 a b a b a ab b a b ab ⇔ ≥ ab 2
Câu 10: Với a dương. Khẳng định nào sau đây là đúng a. 1 a + ≥ 2 b. 1 a + ≤ 3 a a c. 1 a + ≥ 4 d. 1 a + ≤ 4 a a Lời giải Chọn đáp án D Giải thích:
Với a dương nên a xác định 2 Ta có: 1 1  1  1 1 a ≥ ⇔ a − ≥ 0 ⇔ a −
≥ 0 ⇔ a + − 2 ≥ 0 ⇔ a + ≥   2 a aa a a 19
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Đưa thừa số ra ngoài đấu căn: a) 2 5a (a ≤ 0) b) 2
18a (a ≥ 0) c) 3 9 − b (b ≤ 0) d) 4 8
24a b (a,b∈ R) Lời giải a) Ta có: 2
5a (a ≤ 0) = 5 a = −a 5 (a ≤ 0) b) Ta có: 2
18a (a ≥ 0) =18 a = 3a 2 (a ≥ 0) c) Ta có: 3 9
− b (b ≤ 0) = 3 − b b − d) Ta có: 4 8
a b (a b∈ R) 2 4 24 ,
= 2 6a b (a,b∈ R)
Bài 2: Đưa thừa số vào trong đấu căn: a) x 1 7 (x ≥ 0)
b) x 15 (x ≤ 0) c) 19y ( y > 0) d) 1 27 y y ≤ 0 2 ( ) y 3 y Lời giải
a) Ta có: x (x ≥ ) 2 7
0 = 7x (x ≥ 0) b) Ta có: x (x ≤ ) 2 15 0 = − 15x c) Ta có: 1 y ( y > ) 19 19 0 = ( y > 0) y y d) Ta có: 1 27 y
y ≤ 0 = − 3 y ≤ 0 2 ( ) ( ) 3 y
Bài 3: Tìm số lớn hơn trong các cặp số dưới đây a) 2 6 và 3 3 b) 2 6 và 7 1 5 4 3 Lời giải  a) Ta có: 2 6 = 24  ⇒ 2 6 < 3 3 3  3 = 27 b) Ta có: 2 4 24 7 1 49 1 49 2 7 1  24 49 6 .6 ; . 6  1  = = = = ⇒ < < < 5 25 25 4 3 16 3 48 5 4 3 25 48    20
Bài 4: Tìm số bé hơn trong các cặp số dưới đây a) 2 23 và 3 10 b) 1 2 và 1 21 5 5 Lời giải  = = a) Ta có: 2 23 4.23 92  ⇒ 2 23 > 3 10 2 3  10 = 3 .10 = 90 b) Ta có: 1 4 1 21 4 21 1 1 2 = ; 21 = ; > ⇒ 2 > 21 5 5 5 25 5 25 5 5
Bài 5: Sắp xếp các số
a) 2 5;3 2;5; 23 theo thứ tự tăng dần b) 5 2;2 13;4 3; 47 theo thứ tự giảm dần Lời giải
a) Ta có: 3 2 < 2 5 < 23 < 5
b) Ta có: 2 13 > 5 2 > 4 3 > 47
Bài 6: Rút gọn biểu thức 3 a. 25x 8 9x 4 9 = 4 x A − − (x ≥ 0) b. y 3 2 3 1 B = +
1− 4y + 4y − (y ≤ ) 4 3 4 3x 64 2 4 2 2 Lời giải 3 a) Ta có: 25x 8 9x 4 9x 11 A = 4 − − (x ≥ 0) = x 4 3 4 3x 64 2 b) Ta có: y 3 2 3 1 3 B = +
1− 4y + 4y − (y ≤ ) = −y − 2 4 2 2 4
Bài 7: Thực hiện phép tính  − −  a. 2 3 15 1 A   = + +  . b. 14 7 15 5 1 B =  +  :  3 −1 3 − 2 3− 3  3 + 5  1 2 1 3  − − 7 −   5 Lời giải a) Ta có: 2 3 15 1 1 A = ( + + ). = 3 −1 3 − 2 3− 3 3 + 5 2 21 b) Ta có: 14 7 15 5 1 B − − = ( + ) : = 2 − 1− 2 1− 3 7 − 5 Bài 8: Tìm u, biết a. u − 5 1 4u − 20 + 3 − 9u − 45 = 4 b. 2 1 u 1 9u 9 16u − − − −16 + 27 = 4 9 3 3 4 81 Lời giải a) Ta có: u − 5 1 4u − 20 + 3 −
9u − 45 = 4 ⇔ 2 u − 5 = 4 ⇔ u = 9 9 3 b) Ta có: 2 1 u −1 9u − 9 − 16u −16 + 27
= 4 ⇔ 4 u −1 = 4 ⇔ u = 2 3 4 81 Bài 9: Tìm x, y, z biết: 1
x +1 + y − 3 + z −1 = (x + y + z) 2 Lời giải x = 0 Cách 1: 1 x 1 y 3 z 1 (x y z) ( x 1 )2 1
( y 3 )21 ( z 1 )21 0  + + − + − = + + ⇔ + − + − − + − − = ⇒ y = 4 2 z =  2
Cách 2: Ta có: x + 2 = (x + )
1 +1≥ 2 x +1; y − 2 = ( y −3) +1≥ 2 y −3; z = (z − ) 1 +1≥ 2 z −1
Cộng vế các bất đẳng thức ta được: x + y + z ≥ 2( x +1+ y −3 + z −1) ⇔ x = 0; y = 4;z = 2 Bài 10 Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + +...+ = n −1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 n −1 + n Lời giải
Thực hiện trục căn thức ở mẫu với từng thừa số 1 1 − 2 1 = = 2 −1; = 3 − 2;..... 1 + 2 1− 2 2 + 3
Thực hiện rút gọn ta được: VT = n −1=VP 22