Tích phân liên quan đến phương trình hàm ẩn Toán 12

Tích phân liên quan đến phương trình hàm ẩn Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

34 17 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Môn: Toán 12

Thông tin:

27 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 731
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Các tính chất tích phân:
d d d
b c b
a a c
f x x f x x f x x
với
a c b
.
d d 0
b b
a a
k f x x kf x x k
d dx
b a
a b
f x x f x
d
b
b
a
a
f x x F x F b F a
d d d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x
d d d
b b b
a a a
f x x f t t f z z
d
b
b
a
a
f x x f x f b f a
2. Công thức đổi biến số:
. ,f u x u x dx f u du u u x
. ,
u b
b
a u a
f u x u x dx f u du u u x
Phương pháp đổi biến số thường được sử dụng theo hai cách sau đây:
Giả sử cần tính
b
a
g x dx
. Nếu ta viết được
g x
dưới dạng
f u x u x
thì
u b
b
a u a
g x dx f u du
. Vậy bài toán quy về tính
u b
u a
f u du
, trong nhiều trường hợp thì tích phân mới
này đơn giản hơn .
Giả sử cần tính
f x dx
. Đặt
x x t
thỏa mãn
,x a x b
thì
b b
a a
f x dx f x t x t dt g t dt
, trong đó
.g t f x t x t
TÍCH PHÂN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH HÀM ẨN
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 732
BÀI TẬP MẪU
Cho hàm số
f x
liên tục trên
, và thỏa mãn
3 2 10 6
1 2 , .
xf x f x x x x x
Khi đó
0
1
bằng
A.
17
20
. B.
13
4
. C.
17
4
. D.
1
.
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Tính tích phân hàm ẩn.
...................................................................................................................................................................
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Công thức đổi biến số trong tích phân:
( )
( )
( ) . ( ) d ( ) d
u b
b
a u a
f u x u x x f u u
Tính chất tích phân:
( ) d 0
a
a
f x x
( ) d ( ) d ( ) d
b c b
a a c
f x x f x x f x x
( ) d ( ) ( ) ( )
b
x b
x a
a
f x x f x f b f a
...................................................................................................................................................................
3. HƯỚNG GIẢI:
B1: Nhân cả hai vế của phương trình với
x
, rồi sử dụng tích phân hai vế để tính
1
1
d
f x x
.
B2: Nhân cả hai vế của phương trình với
x
, rồi sử dụng tích phân hai vế để tính
1
0
f x dx
.
B3: Kết luận
0
1
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Cách 1 : Dùng vi phân
Ta có:
3 2 10 6
1 2 ,xf x f x x x x x
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 733
2 3 2 11 7 2
1 2 ,x f x xf x x x x x
*
Khi đó:
1 1 1
2 3 2 11 7 2
1 1 1
* d 1 d 2 d ,x f x x xf x x x x x x x
1 0
1 0
1 1 4
d d
3 2 3
f t t f t t
1 1 1
1 1 1
1 4
d 0 d 4 d 4
3 3
f t t f t t f x x
Mặt khác:
1 1 1
2 3 2 11 7 2
0 0 0
* 1 2
x f x dx xf x dx x x x dx
1 0
0 1
1 1 5
d d
3 2 8
f t t f t t
1
0
5 5
d
6 8
f t t
1
0
3
d
4
f t t
1
0
3
4
f x dx
Theo tính chất tích phân ta có:
0 1 1
1 1 0
13
4
f x dx f x dx f x dx
Cách 2: (Tham khảo không giống phân tích ở trên)
Bậc cao nhất vế phải là
10
x
, bậc cao nhất vế phải là
3
.
x f x
. Kết luận:
f x
bậc 3 vì
3
3 10
.
x x x
.
Hệ số của bậc cao nhất vế phải là
1
. Kết luận: Hệ số của bậc cao nhất vế trái là
1
.
Vậy
3 2
f x x ax bx c
.
2
3 10 3 10 7
. . ... ...
x f x x x a x x ax
Vế phải không có
7
x
. Vậy
0
a
Kết luận
3
f x x bx c
.
3
3 2 10 4 2 2
. 1 1 1
x f x f x x bx cx x b x c
10 4 2 4 6 2
1 3 3
x bx cx x x x b bx c
10 6 4 2
3 3 1
x x b x b x cx b c
Đồng nhất hệ số được
3; 2
b c
.
Tóm lại
3
3 2
f x x x
. Suy ra
0
1
13
d
4
f x x
.
Bài tập tương tự và phát triển:
Câu 48.1: Cho hàm số
y f x
liên tục trên
thỏa mãn
2
2 1
3 2 2 1 e 4
x x
f x f x x
.
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 734
Khi đó
2
0
d
I f x x
bằng
A.
e 4
I
. B.
8
I
. C.
2
I
. D.
e 2
I
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2
2 2
2 1
0 0
3 2 d 2 1 e 4 d
x x
f x f x x x x
2
2 2 2 2
2 1
0 0 0 0
3 d 2 d 2 1 e d 4 d
x x
f x x f x x x x x
2
2 2 2
2 1 2
0 0 0
3 d 2 d 2 e d 2 1 8
x x
f x x f x x x x
2
2 2
2
2 1
0
0 0
3 d d e 8
x x
f x x f x x
2
0
4 d 8
f x x
2
0
d 2
f x x
.
Câu 48.2: Cho hàm số
y f x
liên tục trên
0;

thỏa mãn
ln 1 ln
f x f x x
.
Khi đó
1
0
d
I f x x
bằng
A.
1
2
e
. B.
1
2
e
. C.
2
e
. D.
2
1
e
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
ln 1 ln
f x f x x
1 1
ln 1 ln 1
f x f x
x x
Lấy tích phân từ
1
đến
e
cả hai vế của
, ta được
1 1
1 1
ln 1 ln d d
e e
f x f x x x
x x
1 1
1 1
ln d 1 ln d 1
e e
f x x f x x e
x x
1 1
ln d ln 1 ln d 1 ln 1
e e
f x x f x x e
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 735
Đặt
ln
t x
. Đổi cận
1 0
1
x t
x e t
Khi đó
1 1
0 0
d 1 d 1 1
f x x f t t e
1 1
0 0
d d 1
f x x f x x e
1
0
1
d
2
e
f x x
.
Câu 48.3: Cho hàm số
y f x
liên tục trên
\ 0; 1
thỏa mãn
2
1 2ln 2
2 ln 3; ,
1 .
f
f a b a b
x x f x f x x x
.
Tính
2 2
a b
.
A.
25
4
. B.
9
2
. C.
5
2
. D.
13
4
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2
1 .
x x f x f x x x
(1)
Chia cả 2 vế của biểu thức (1) cho
2
1
x
ta được
2
1
.
1 1
1
x x
f x f x
x x
x
.
1 1
x x
f x
x x
, với
\ 0; 1
x
.
.
1
x
f x
x
d
1
x
x
x
. ln 1
1
x
f x x x C
x
1
ln 1
x
f x x x C
x
Mặt khác,
1 2 ln 2
f
2 1 ln 2 2 ln 2
C
1
C
.
Do đó
1
ln 1 1
x
f x x x
x
.
Với
2
x
thì
3 3 3
1 ln 3 ln 3
2 2 2
f x . Suy ra
3
2
a
và
3
2
b
.
Vậy
2 2
9
2
a b
.
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 736
Câu 48.4: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên
. Biết
1 e
f
và
3
2 . .
x f x x f x x
với
x
. Tính
1
0
d
f x x
.
A.
1 2
e 3
. B.
2
e
3
. C.
1
e
e
. D.
2 4
e
e 3
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
3
2 . .
x f x x f x x
3
2
1
xf x x f x
x
2
e
e
x
x
f x
x
2
e
e d e
x
x x
f x
x C
x
2 2
. e
x
f x x C x
Vì
1 e
f
1 .e e
C
1
1
e
C
Do đó
2 2
1
1 . e
e
x
f x x x
Vậy
1 1 1 1
2 2 2 2
0 0 0 0
1 1
d 1 . e d d 1 e d
e e
x x
f x x x x x x x x x
1 1 1
2
0 0 0
1 1 1 1 1 1
1 d e 1 e 2 e d 1 2 1 d e
3 e 3 e 3 e
x x x
x x x e x
.
1
0
2 1 2 1 4 2
2 1 e d 2 1 1
3 e 3 e 3
x
e e x e e e e
e
Câu 48.5: Cho hàm số
y f x
liên tục trên
\ 0
và thỏa mãn
2 15
2 3 3
2
x
f x f
x
,
9
3
d 2019
f x x
. Tính
3
2
1
2
1
d
I f x
x
.
A.
688
3
I
. B.
688
3
I
. C.
886
3
I
. D.
68
3
I
.
Lời giải
Chọn A
Xét
3
2
1
2
1
d
I f x
x
. Đặt
2
t x
1
d d
2
x t
. Đổi cận
1
1
2
3
3
2
x t
x t
.
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 737
Khi đó
3
1
1 2
d
2
I f t
t
.
Mà
2 15
2 3 3
2
x
f x f
x
2 5 2
3
2 3
x
f f x
x
hay
2 5 2
3
2 3
t
f f t
t
Nên
3 3 3 3
1 1 1 1
1 5 2 5 1 1
3 d d 3 d 5 3 d
2 2 3 4 3 3
t
I f t t t t f t t f t t
1
Đặt
3
u t
1
3
dt du
. Đổi cận
1 3
3 9
t u
t u
.
Khi đó
9
3
1 2019 688
5 d 5
9 9 3
I f u u
.
Câu 48.6: Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
\ 0
và thỏa mãn
2
1
2 2
f x f x
x
,
2
1
d 5
xf x x
. Giá trị
2
1
2
d
f x
x
bằng
A.
103
48
. B.
103
24
. C.
103
48
. D.
103
12
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
( )
u x
dv f x dx
( )
du dx
v f x
.
Ta có
2 2
2
1
1 1
. .
x f x dx x f x f x dx
2
1
5 2 2 1
f f f x dx
(1)
Lần lượt thay
1
x
và
1
2
x
vào
2
1
2 2
f x f x
x
ta được
2 2 1 1
1
2 1 2
4
f f
f f
3
2
4
1
1
2
f
f
.
Khi đó
2
1
1 2 2 1 5 4
f x dx f f
1 2
1
1
2
1
2 2
2
f x dx f x dx
.
Lại có
2
1
2 2
f x f x
x
1 1 1
2
1 1 1
2 2 2
1
2 2
f x dx f dx x dx
x
1
1
2
1 7
2.( 2)
24
f dx
x
1
1
2
1 7 103
4
24 24
f dx
x
.
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 738
Đặt
2 2
t x
x t
2
2
dx dt
t
ta có
2 1
2
1 2
2 2
( ).
f dx f t dt
x t
1
2
2
1
2 ( ).
f t dt
t
(2)
Đặt
1 1
u x
x u
2
1
dx du
u
ta có
1 1
2
1
2
2
1 1
( ).
f dx f u du
x u
1
2
2
1 103
( ).
24
f t dt
t
.
Thay vào (2) ta được
2
1
2 103 103
2.
24 12
f dx
x
.
Câu 48.7: Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
đồng thời thỏa mãn
0 9
f
và
2
9 9
f x f x x

. Tính
1 0
T f f .
A.
2 9ln 2
T
. B.
9
T
. C.
1
9 ln 2
2
T
. D.
2 9 ln 2
T
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2
9 9
f x f x x

2
9 1
f x f x x

2
1
1
9
f x
f x x
.
1 1
9
f x x
1 1
d
9
x
f x x
1
9
x
C
f x x
9
9
f x x
x C
Do
0 9
f
nên
1
9
C
9
1
f x x
x
Vậy
1
0
9
1 0 d
1
T f f x x
x
1
2
0
9 ln 1
2
x
x
1
9ln 2
2
.
Câu 48.8: Cho hàm số
f x
nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn
0; 2
. Biết
0 1
f
và
2
2 4
. 2 e
x x
f x f x
, với mọi
0; 2
x
. Tính tích phân
3 2
2
0
3
d
x x f x
I x
f x
.
A.
16
3
I
. B.
16
5
I
. C.
14
3
I
. D.
32
5
I
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2
2 4
. 2 e
x x
f x f x
2
2 4
ln . 2 ln e
x x
f x f x
2
ln ln 2 2 4
f x f x x x
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 739
Mặt khác, với
0
x
, ta có
0 . 2 1
0 1
f f
f
nên
2 1
f
.
Xét
3 2
2 2
3 2
0 0
3
d 3 . d
x x f x
f x
I x x x x
f x f x
2
3 2
0
3 d ln
x x f x
2
2
3 2 2
0
0
3 ln 3 6 .ln d
x x f x x x f x x
2
2
0
3 6 .ln d
x x f x x
2
2
0
6 3 .ln d
x x f x x
1
Đặt
2
d d
x t
. Đổi cận
0 2
2 0
x t
x t
Do đó
0 2
2
2 0
3 2 .ln 2 d 6 3 .ln 2 d
I t t f t t t t f t t
Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên
2
2
0
6 3 .ln 2 d
I x x f x x
2
Cộng 2 vế của
1
và
2
, ta được
2
2
0
2 6 3 . ln ln 2 d
I x x f x f x x
Hay
2
2
0
1
6 3 . ln ln 2 d
2
I x x f x f x x
Thế
vào
, ta có
2
2 2
0
1 16
6 3 . 2 4 d
2 5
I x x x x x
Câu 48.9: Cho hàm số
f x
nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên
0;

thỏa mãn
1
2
15
f
và
2
2 4 0
f x x f x
. Biết
1
0
d ln
2
a c
f x x
b
, với
, ,a b c
. Tính
S a b c
.
A.
3
S
. B.
4
S
. C.
5
S
. D.
6
S
.
Lời giải
Chọn D
Do
0
f x
, với mọi
0;x

nên
2
2 4 0
f x x f x
2
2 4
f x
x
f x
.
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 740
Suy ra
2
1
4
x x C
f x
.
Mặt khác
1
2
15
f
nên
3
C
hay
2
1
4 3
f x
x x
.
Vậy
1 1
2
0 0
d 1 3
d ln
4 3 2 2
x
f x x
x x
1, 2, 3 6
a b c S
Câu 48.10: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm trên
thỏa mãn
0 0 1
3 1
f f
f x y f x f y xy x y
, với
,x y
. Tính
1
0
1 d
f x x
.
A.
1
2
. B.
1
4
. C.
1
4
. D.
7
4
.
Lời giải
Chọn C
Lấy đạo hàm theo hàm số
y
2
3 6
f x y f y x xy
,
x
.
Cho
2
0 0 3
y f x f x
2
1 3
f x x
3
f x f x dx x x C
mà
0 1
f
1
C
. Do đó
3
1
f x x x
.
Vậy
1
0
1 d
f x x
0
1
d
f x x
0
3
1
1
1 d
4
x x x
.
Câu 48.11: Cho hàm số
f x
liên tục trên
và biết
4
0
tan d 4
f x x
,
2
1
2
0
d 2
1
x f x
x
x
.
Giá trị của tích phân
1
0
d
f x x
thuộc khoảng nào dưới đây?
A.
5;9
. B.
3;6
. C.
2;5
. D.
1;4
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
2
2
1
tan d d 1 tan d
cos
x t x t t t
t
Đổi cận
0 0
x t
;
1
4
x t
Khi đó
2 2
1
4 4
2 2
2 2
0 0 0
tan . tan
d tan 1 d tan . tan d
1 tan 1
x f x t f t
x t t t f t t
x t
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 741
4 4 4
2 2
0 0 0
tan
1
1 . tan d d tan d
cos cos
f t
f t t t f t t
t t
.
Suy ra
4
2
0
tan
d 6
cos
f t
t
t
Đặt
2
1
tan d d
cos
x t x t
t
Đổi cận
0 0
t x
;
1
4
t x
.
Khi đó
1
4
2
0 0
tan
d d
cos
f t
t f x x
t
. Vậy
1
0
d 6
f x x
.
Câu 48.12: Cho hàm số
y f x
liên tục, đồng biến, nhận giá trị dương trên
0;

và thỏa mãn
2
3
3
f
và
2
1 .
f x x f x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2
2613 8 2614
f . B.
2
2614 8 2615
f .
C.
2
2618 8 2619
f
. D.
2
2616 8 2617
f
.
Lời giải
Chọn A
Hàm số
y f x
đồng biến trên
0;

nên suy ra
0, 0;f x x

.
Mặt khác
y f x
liên tục, nhận giá trị dương trên
0;

nên
2
1 1
f x x f x f x x f x
,
0;x

1
f x
x
f x
,
0;x

;
1
f x
dx x dx
f x
3
1
1
3
f x x C
;
Từ
2
3
3
f
suy ra
2 8
3 3
C
Như vậy
2
3
1 2 8
1
3 3 3
f x x
Bởi thế:
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 742
2 2
3
1 2 8 2 8
8 8 1 9
3 3 3 3 3
f
4
2
2 8
8 9
3 3
f
.
Câu 48.13: Cho hàm số
y f x
liên tục, không âm trên
thỏa mãn
2
. 2 1
f x f x x f x
và
0 0
f
. Giá trị lớn nhất
M
và giá trị nhỏ nhất
m
của hàm số
y f x
trên đoạn
1;3
lần
lượt là
A.
20
M
;
2
m
. B.
4 11
M ;
3
m .
C.
20
M
;
2
m
. D.
3 11
M
;
3
m
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2
. 2 1
f x f x x f x
2
.
2
1
f x f x
x
f x
.
Lấy nguyên hàm hai vế ta có
2
2
1
f x x C
, do
0 0
f
nên
1
C
.
Vậy
4 2 2
2 2
f x x x x x
trên đoạn
1;3
.
Ta có
2
2
2
2 0
2
x
f x x
x
với mọi
1;3
x
nên
f x
đồng biến trên
1;3
.
Vậy
3 3 11
M f ;
1 3
m f .
Câu 48.14: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên
thỏa mãn
π
sin .cos
2
f x f x x x
,
với mọi
x
và
0 0
f
. Giá trị của tích phân
π
2
0
. d
x f x x
bằng
A.
π
4
. B.
1
4
. C.
π
4
. D.
1
4
.
Lời giải
Chọn D
Bài ra
0 0
f
và
π
sin .cos
2
f x f x x x
nên
π
0 0
2
f f
π
0
2
f
.
Ta có:
π
2
0
. d
I x f x x
π
2
0
d
x f x
π
π
2
2
0
0
d
xf x f x x
Suy ra:
π
2
0
d
I f x x
.
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 743
Mặt khác,
π
sin .cos
2
f x f x x x
2 2 2
0 0 0
1
d d sin .cos d
2 2
f x x f x x x x x
Suy ra:
0
2
0
2
1
d d (*)
2 2
f x x f x x
Đặt
2
t x dt dx
0
2 2
0 0
2
d dt
2
f x x f t f x dx
Nên từ (*)
2
0
1
d
4
f x x
Vậy
π
2
0
1
d
4
I f x x
.
Câu 48.15: Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;1
thỏa mãn
1 0
f
,
1
2
0
d 7
f x x
và
1
2
0
1
d
3
x f x x
. Tích phân
1
0
d
f x x
bằng
A.
7
5
. B.
1
. C.
7
4
. D.
4
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
1
1 1
3 3
2
0 0
0
3 3
x x
x f x dx f x f x dx
. Suy ra
1
3
0
1
3 3
x
f x dx
.
Hơn nữa ta dễ dàng tính được
1
6
0
1
d
9 63
x
x
.
Do đó
1 1 1
3 6
2
2
0 0 0
d 2.21 d 21 d 0
3 9
x x
f x x f x x x
1
2
3
0
7 d 0
f x x x
.
Suy ra
3
7
f x x
, do đó
4
7
4
f x x C
. Vì
1 0
f nên
7
4
C
.
Vậy
1 1
4
0 0
7 7
d 1 d
4 5
f x x x x
.
Câu 48.16: Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;
2
thỏa mãn
0 0
f
,
2 2
2
0 0
d sin d
4
f x x xf x x
. Tích phân
2
0
d
f x x
bằng
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 744
A.
4
. B.
2
. C.
2
. D.
1
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2 2
2
0
0 0
sin . cos . cos .
x f x dx x f x x f x dx
. Suy ra
2
0
cos
4
x f x dx
.
Hơn nữa
2 2
2
2
0 0
0
1 cos 2 2 sin 2
cos
2 4 4
x x x
xdx dx
.
Do đó
2 2 2 2
2 2
2
0 0 0 0
2. cos cos 0 cos 0
f x dx x f x dx xdx f x x dx
.
Suy ra
cos
f x x
, do đó
sin
f x x C
. Vì
0 0
f
nên
0
C .
Ta được
2 2
0 0
sin 1
f x dx xdx
.
Câu 48.17: Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
thỏa mãn
2 3
6
6
3 1
f x x f x
x
.
Giá trị
2
0
1 d
2
x
x f x
bằng
A.
8
5
. B.
4
5
. C.
12
5
. D.
2
5
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
1
2
2 2
u x du dx
x x
dv f dx v f
2
2 2 1
0 0 0
0
1 2 1 . 2 6 1 2 0 4
2 2 2
x x x
x f dx x f f dx f f f u du
;
0 0
1
;
2 1
2 2
x u
x
u du dx
x u
.
1 1 1 1
2 3 2 3 2 3
0 0 0 0
3 6
6 6 6 6 1
3 1 3 1 3 1
dx
f x x f x f x dx x f x dx x f x dx
x x x
*Tính
1
2 3
0
6
x f x dx
.
Đặt
3 2
3 .
t x dt x dx
;
0 0, 1 1
x t x t
.
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 745
1 1 1
2 3
0 0 0
6 2 2
x f x dx f t dt f x dx
(2).
*Tính
1
1 1
0
0 0
1 3 1 2
.2 3 1
3 3 3
3 1 3 1
dx dx
x
x x
(3).
Thay kết quả (2) và (3) vào (1) ta được:
1 1 1
0 0 0
2
2 6. 4
3
f x dx f x dx f x dx
.
Thay lần lượt
0; 1
x x
vào
2 3
6
6
3 1
f x x f x
x
ta được
3
0 6; 1 6 1 3 1
5
f f f f
Vậy
2 1
0 0
3 2
1 6 1 2 0 4 6. 2.6 4. 4
2 5 5
x
x f dx f f f u du
Câu 48.18: Cho hàm số
f x
liên tục trên
, và các tích phân
2
2
0
d
4
f x x
,
2
0
sin . d
4
x f x x
.
Biết rằng
0 0
f
, tính
3
f
.
A.
1
3 2
f
. B.
3
3 2
f
. C.
1
3 2
f
. D.
3
3 2
f
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2
0
sin . d
4
x f x x
.
Đặt
d sin d
u f x
v x x
d d
cos
u f x x
v x
.
Khi đó
2
0
sin . d
4
x f x x
2
2
0
0
cos . cos . d
4
x f x x f x x
2
0
cos . d
4
x f x x
.
Xét
2 2 2 2
2 2
2
0 0 0 0
cos d d 2 cos . d cos d
f x x x f x x x f x x x x
2
0
1 cos 2
2. d
4 4 2
x
x
2
0
sin 2
0
4 2 4
x x
.
2
2
0
cos d 0
f x x x
cos 0
f x x
cos
f x x
.
Suy ra
sin
f x x C
.
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 746
Mà
0 0 0
f C
.
Khi đó
sin
f x x
.
Vậy
3
sin
3 3 2
f
.
Câu 48.19: Cho hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
0; 1
, thỏa mãn
1 1
0 0
d d 1
f x x xf x x
và
1
2
0
d 4
f x x
. Giá trị của tích phân
1
3
0
d
f x x
bằng
A. 1. B. 8. C. 10. D. 80.
Lời giải
Chọn C
Xét
1
2
0
d
f x ax b x
1 1 1
2
2
0 0 0
d 2 . d d
f x x f x ax b x ax b x
1
1 1
3
0 0
0
1
4 2 d 2 d
3
a xf x x b f x x ax b
a
2
2
4 2
3
a
a b ab b
.
Cần xác định
,
a b
để
2
2
2 2 4 0
3
a
b a b b
. (1)
Coi (1) là phương trình bậc hai ẩn
a
.
Ta có:
2 2
4
4 4 2 4
3
b b b b
2
2
0
3
b
2 6
b a
.
Khi đó:
1
2
0
6 2 d 0
f x x x
6 2
f x x
.
Suy ra
1 1
3
3
0 0
d 6 2 d
f x x x x
1
4
0
1
6 2 10
24
x
.
Câu 48.20: Xét hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
và thỏa mãn điều kiện
1 1
f
và
2 4
f
.
Tính
2
2
1
2 1
d
f x f x
J x
x x
.
A.
1 ln 4
J
. B.
4 ln 2
J
. C.
1
ln 2
2
J
. D.
1
ln 4
2
J
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2
2
1
2 1
d
f x f x
J x
x x
2 2 2
2 2
1 1 1
2 1
d d d
f x f x
x x x
x x x x
.
Đặt
2
1 1
d d
d d
u u x
x x
v f x x v f x
.
2
2
1
2 1
d
f x f x
J x
x x
2
2 2 2
2 2 2
1
1 1 1
1 2 1
. d d d
f x f x
f x x x x
x x x x x
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 747
2
1
1 1 1
2 1 2 ln ln 4
2 2
f f x
x
.
Câu 48.21: Cho hàm số
y f x
liên tục trên
thỏa mãn
1
0
10
f x f f x dx
và
0 1, 1 2
f f
. Tích phân
2
1
f x dx
bằng
A.
10
. B.
3
. C.
1
. D.
30
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
; 0 0 1, 1 1 2
t f x dt f x dx x t f x t f
.
Khi đó
1 2
0 1
10
f x f f x dx f t dt
.
Vậy
2
1
10.
f x dx
Câu 48.22: Cho
1
2
0
1 d 10.
x f x x
Tính
2
3
0
cos sin d .
I xf x x
.
A.
5
I
. B.
10
I
. C.
10
I
. D.
5
I
.
Lời giải
Chọn C
2 2
3 2
0 0
cos sin d 1 sin . sin .cos d
I xf x x x f x x x
.
Đặt
sin d cos d
t x t x x
và
0 0; 1
2
x t x t
.
Khi đó
1
2
0
1 d 10
I t f t t
.
Câu 48.23: Cho
1
dx 1
e
f x
và
1
1
dx 2
e
x f x
x
. Tích phân
1
0
dx
x
f e
bằng
A.
3
. B.
1
. C.
1
. D.
3
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
x
t e
dt
dt dx dx dx
x
e t
t
và 0 1; 1
x t x t e
.
Do đó:
1
0 1
dt
dx
e
x
f e f t
t
.
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 748
Mặt khác theo giả thiết có:
1 1 1 1
1 1
2 1 dx dx dx dx
e e e e
x f x x f x f x
f x f x
x x x
.
Vậy
1
0 1
dt
dx 1
e
x
f e f t
t
.
Câu 48.24: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên
. Đồ thị của hàm số
y f x
như hình
vẽ bên dưới
Khi đó tổng
4 2
0 0
2 d 2 df x x f x x
bằng
A.
10
. B.
2
. C.
2
. D.
6
.
Lời giải
Chọn D
Dựa vào đồ thị hàm số có
1 2, 2 2, 4 4f f f .
Đặt
2 dt dxt x
và
4 2
0 2
2 dx dt 2 2 2 2 4f x f t f f
.
Đặt 2 dt dxt x và
2 4
0 2
2 dx dt 4 2 4 2 2f x f t f f
.
Vậy
4 2
0 0
2 dx 2 dx 6f x f x
.
Câu 48.25: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm và liên tục trên . Đồ thị của hàm số
y f x
như
hình vẽ bên dưới
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 749
Khi đó tổng
0 2
2 0
2 1 d 1 df x x f x x
bằng
A.
4
. B.
10
. C.
0
. D.
6
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
2 1 d 2dt x t x
.
Ta có
0 1 1
2 3 3
1 3 2 2
d 1
2 1 d d 2
2 2 2 2
f f
t
f x x f t f t x
.
Đặt
1 d dt x t x
.
Ta có
2 3
0 1
1 d d 3 1 4 2 2f x x f t t f f
.
Vậy
0 2
2 0
2 1 d 1 df x x f x x
2 2 4
.
Câu 48.26: Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn
3
3 1 3 2f x x x
, với mọi
x
.Tích phân
5
1
dxf x x
bằng
A.
31
4
. B.
17
4
. C.
33
4
. D.
49
4
.
Lời giải
Chọn C
Từ giả thiết ta có
3
3 1 3 2f x x x
nên suy ra
1 2f
,
5 5f
.
Suy ra
5 5 5
5
1
1 1 1
d d 23 dI xf x x xf x f x x f x x
.
Đặt
3 2
3 1 d 3 3 dx t t x t t
.
Với 1 0; 5 1x t x t
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 750
Do đó
5 1 1
3 2 2
1 0 0
59
d 3 1 3 3 d 3 2 3 3 d
4
f x x f t t t t t t t
.
Vậy
59 33
23
4 4
I
.
Câu 48.27: Cho hàm số
f x
xác định và liên tục trên
đồng thời thỏa mãn
/ 2
0, x
,
1
0
2
x
f x
f x e f x x
f
. Tính giá trị của
ln 2
f
A.
1
ln 2
4
f
. B.
1
ln 2
3
f
. C.
1
ln 2 ln 2
2
f
. D.
2
1
ln 2 ln 2
2
f
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
/
/ 2
2
x x
f x
f x e f x e
f x
(do
0
f x
)
/
2
1 1
.
x x
x
f x
dx e dx e C f x
f x f x e C
Thay
0
x
ta được
1
0
2
0
1
0 1.
f
f C
e C
Vậy
ln 2
1 1 1 1
ln 2 .
1 1 2 1 3
x
f x f
e e
Câu 48.28: Cho hàm số
( )
y f x
xác định và liên tục trên
thỏa mãn
3
2 ( ) 3 ( ) 5
f x f x x
với
x
. Tính
10
5
( )
I f x dx
.
A.
0
I
. B.
3
I
. C.
5
I
. D.
6
I
Lời giải
Chọn B
Đặt
3 2
( ) 2 3 5 (6 3)
t f x t t x dx t dt
và
3
5 2 3 5 0 0
x t t t
3
10 2 3 5 10 1
x t t t
Vậy
10 1
2
5 0
( ) (6 3) 3
I f x dx t t dt
.
Câu 48.29: Cho hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
0;1
thỏa mãn
1
bf a af b
, với mọi
, 0;1
a b
.
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 751
Tính
1
0
I f x dx
.
A.
2
I
. B.
1
2
I
. C.
4
I
. D.
1
4
I
.
Lời giải
Chọn C
- Đặt
sin cos
x t dx tdt
Với
0
x
thì
0
t
; Với
1
x
thì
2
t
Ta được:
2
0
sin cos
I f t tdt
.
Đặt
cos sin
x t dx tdt
Với
0
x
thì
2
t
; Với
1
x
thì
0
t
Ta được:
0
2
0
2
cos sin cos sin
I f t tdt f t tdt
.
Suy ra:
2 2
0 0
2 sin cos cos sin
2 4
I f t t f t t dt dt I
.
Câu 48.30: Cho hàm số
f x
liên tục trên đoạn
;
a b
thỏa mãn
2 3
6
6 . , ;
3 1
x
f x x f x x a b
x
.
Tính
1
0
d
f x x
A.
2
. B.
4
. C.
1
. D.
6
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2 3
6
6 .
3 1
f x x f x
x
1 1 1
2 3
0 0 0
1
d 2 3 d 6 d
3 1
f x x x f x x x
x
(*)
Đặt
3 2
3
u x du x dx
Với
0 0
x u
và
1 1
x u
Khi đó
1 1 1
2 3
0 0 0
3 d du= d
x f x x f u f x x
thay vào (*), ta được:
1 1 1
0 0 0
1
d 2 d 6 d
3 1
f x x f x x x
x
1 1
0 0
1
d 6 d 4
3 1
f x x x
x
.
Câu 48.31: Cho hàm số
f x
và
g x
có đạo hàm trên
1; 2
thỏa mãn
1 1 0
f g
và
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 752
2
3
2
2017 1
1
, 1; 2 .
2018
1
x
g x x x f x
x
x
x
g x f x x
x
Tính tích phân
1
.
1
x x
I g x f x dx
x x
A.
1
2
. B.
4
. C.
1
. D.
3
2
.
Lời giải
Chọn A
Từ giả thiết ta có
2
3
2
2017 1
1
, 1; 2 .
2018
1
x
g x x x f x
x
x
x
g x f x x
x
Suy ra
/
2 2
1
1 1
1
1
1
x
x
g x g x f x f x
x x x
x
1
1
1
x
x
g x f x
x x
1
.
1
x x
g x f x x C
x x
Mà
2 2
1 1
1 1 1
1 1 0 1 1 .
2
x x
f g C I f x f x dx x dx
x x
Câu 48.32: Cho hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
0;1
và thoả mãn
3
3 4
2
8 0
1
x
f x x f x
x
.
Tích phân
1
0
d
I f x x
có kết quả dạng
2
a b
c
,
, ,a b c
,
a
c
,
b
c
tối giản. Tính
a b c
.
A.
6
. B.
4
. C.
4
. D.
10
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
3
3 4
2
8 0
1
x
f x x f x
x
3
3 4
2
8
1
x
f x x f x
x
.
1 1 1
3
3 4
2
0 0 0
d 8 d d
1
x
I f x x x f x x x
x
1
Xét
1 1
3 4 4 4
0 0
8 d 2
x f x x f x d x
1
0
2 d 2
f x x I
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 753
Xét
1
3
2
0
d
1
x
x
x
. Đặt
2 2 2
1 1
t x t x
d d
t t x x
.
Đổi cận
0 1
x t
,
1 2
x t
.
Nên
2
1 2
3
2
0 1
1 d
d
1
t t t
x
x
t
x
2
3
1
2 2
3 3 3
t
t
Do đó
2 2
1 2
3
I I
2 2
3
I
.Nên
2
a
,
1
b
,
3
c
.
Vậy
6
a b c
.
Câu 48.33: Cho hàm số
f x
liên tục trên đoạn
0;1
thỏa mãn điều kiện
2
2 1 3 6 , 0;1
f x f x x x x
. Tính
1
2
0
1
I f x dx
A.
4
15
I
. B.
1
I
. C.
2
15
I
. D.
2
15
I
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
1 , 0;1 0;1
t x x t
.
Ta có
2
2
2 1 3 6 2 1 3 1 3
f x f x x x f x f x x
2 2
1 2 3 3 2 1 3 3
f t f t t f x f x x
Ta có hệ phương trình
2 2
2 2
2 2
2 1 3 6 2 1 3 6
2 1 3 3 4 2 1 6 6
3 3 6 6 2 2
f x f x x x f x f x x x
f x f x x f x f x x
f x x x f x x x
Khi đó
2
2 2 2 4 2
1 1 2 1 2 4 1
f x x x x x
Suy ra
1 1
2 4 2
0 0
2
1 4 1
15
I f x dx x x dx
.
Câu 48.34: Cho hàm số
y f x
liên tục, nhận giá trị dương trên
0;
và thỏa mãn
1 1
f
, biểu
thức
3 1
f x f x x
, với mọi
0
x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2 5 3
f
. B.
4 5 5
f
. C.
1 5 2
f
. D.
3 5 4
f
.
Lời giải
Chọn D
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 754
Theo giả thiết ta có
1
3 1
f x
f x
x
5 5
1 1
1
d d
3 1
f x
x x
f x
x
5
5
1
1
d 3 1
1
ln
3
3 1
x
f x
x
5
1
2
ln 5 ln 1 3 1
3
f f x
4
ln 5
3
f
4
3
5 3,7937
f e .
Vậy
3 5 4
f
.
Câu 48.35: Cho hàm số
y f x
liên tục trên
thỏa mãn
2019 2020 2
1
f x x f x x
với mọi
x
thuộc
0;1
. Tích phân
1
0
f x dx
bằng:
A.
1020604
. B.
2017
8072
. C.
505
2021
. D.
8076
.
Lời giải
Chọn C
Có
1 1 1
2019 2020 2
0 0 0
1
4
f x dx x f x dx x dx
Đặt
2020 2019
2020.
t x dt x dx
và
1 1 1
2019 2020
0 0 0
1 1
2020 2020
x f x dx f t dt f x dx
Vậy
1 1 1 1
2019 2020
0 0 0 0
2021 505
4 2020 4 2021
f x dx x f x dx f x dx f x dx
.
Câu 48.36: Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
4;8
và
0
f x
4;8
x . Biết rằng
2
8
4
4
dx 1
f x
f x
và
1
4
4
f
,
1
8
2
f
. Tính
6
f
.
A.
5
8
. B.
2
3
. C.
3
8
. D.
1
3
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
8
8
2
4
4
( ) 1 1 1
d 2
( ) ( ) (8) (4)
f x
x
f x f x f f
(1).
Gọi
k
là một hằng số thực, ta sẽ tìm
k
để
2
8
2
4
( )
d 0
( )
f x
k x
f x
Ta có
2
2
8 8 8 8
2
2 2
42 2
4 4 4 4
( )
( ) ( )
d d 2 d d 1 4 4 1 2
( ) ( )
( )
f x
f x f x
k x x k x k x k k k
f x f x
f x
1
2
k
thì
2
8 6 6
2 2 2
4 4 4
( ) 1 ( ) 1 ( ) 1
d 0 d d
( ) 2 ( ) 2 ( ) 2
f x f x f x
x x x
f x f x f x
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 755
6
6
2
4
4
( ) 1 1 1 1 1
1 1 1 4 1 6
( ) ( ) (4) (6) (6) 3
df x
f
f x f x f f f
Chú ý:
0
b
a
f x dx
không được phép suy ra
0
f x
nhưng
2
0 0
b
k
a
f x dx f x
Câu 48.37: Cho hàm số
f x
liên tục trên
0;1
thỏa mãn điều kiện
2 2
4 3 1 1 , 0;1
xf x f x x x
. Khi đó
1
0
d
f x x
bằng
A.
20
. B.
16
. C.
6
. D.
4
.
Lời giải
Chọn A
Vì
f x
liên tục trên
0;1
và
2 2
4 3 1 1 , 0;1
xf x f x x x
nên ta có
1 1 1 1 1
2 2 2 2
0 0 0 0 0
4 . 3 1 d 1 4 . 3 1 1 1
x f x f x x x dx x f x dx f x dx x dx
Lại có
2
1 1 1
2 2 2
0 0 0
4 . 2 2 2
t x
x f x dx f x d x f t dt I
và
1 1 1
1
0 0 0
3 1 3 1 1 3 3 .
u x
f x dx f x d x f u du I
Đồng thời
1
2 2 2
sin
2 2 2
0 0 0 0
1
1 1 sin .cos cos 1 cos 2 .
2 4
x t
x dx t tdt tdt t dt
Vậy
1
0
1 2 3 d
4 20 20
I I I f x x
.
Câu 48.38: Cho
1
0
1
f x dx
và
2
1
2
0
2
1
x f x
dx
x
. Tính
4
0
tan
I f x dx
.
A.
3
I
. B.
1
I
. C.
1
I
. D.
3
I
Lời giải
Chọn B
Đặt
2
tan 1 tan d
t x dt x x
Và
0 0;
x t
1
4
x t
.
Do đó
1 1
4 4
2
2 2 2
0 0 0 0
tan
tan . 1 tan . .
1 tan 1 1
f x f t f x
I f x dx x dx dt dx
x t x
.
Ta có :
2
2
1 1
2 2
0 0
1 1
2 2
1 1
x f x
x f x
dx dx
x x
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 756
1 1
2
0 0
2 1 2 1
1
f x
f x dx dx I I
x
.
Câu 48.39: Cho
f x
liên tục trên
\ 0
thỏa mãn
2 3
1
2 2, \ 0
2
xf x f x x x
x
. Giá
trị của
tích phân
2
1
d
f x x
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
5;6
. B.
3; 4
. C.
1; 2
. D.
2;3
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2 3
1
2 2, \ 0
2
xf x f x x x
x
2 2
2 3
1 1
1
2 2
2
xf x f x dx x dx
x
2
2 2
4
2 2
1 1
1
1 1 1
2 2 ln 2
2 2 4 2
x
f x d x f x d x x x
2
4 4 4 4
2
1 2 1 2
1 1 7 1 1 1 7 1
ln 2 ln 2
2 2 4 2 2 2 4 2
u x
v x
f u du f v dv f x dx f x dx
2 4 4
1 2 2
1 1 7 1
ln 2
2 2 4 2
f x dx f x dx f x dx
2 2
1 1
1 7 1 7
ln 2 ln 2 2.80852819.
2 4 2 2
f x dx f x dx
Câu 48.40: Cho hàm số
f x
liên tục trên
thỏa mãn
16
2
2
1
4
d cot . sin d 1
f x
x x f x x
x
. Tích
phân
1
1
8
4
d
f x
x
x
bằng
A.
5
2
. B.
2
. C.
3
2
. D.
4
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
2
d 2 d
t x t x x t t
. Đổi cận
1 1; 16 4
x t x t
.
Suy ra
16 4 4 4
2
1 1 1 1
1
1 d .2 d 2 d d
2
f x
f t f t f t
x t t t t
x t t t
Đặt
2
2
d d d
sin d 2sin cos d cot d cot .
2sin cos 2 sin 2
t t t
t x t x x x x x x
x x x t
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 757
Đổi cận
1
; 1
4 2 2
x t x t
Do đó
1 1 1
2
2
1 1 1
2 2 2
4
d 1 1
1 cot . sin d . d d
2 2 2
f t f t
t
x f x x f t t t
t t t
.
Đặt
4 d 4d
t x t x
. Đổi cận
1 1
; 1 4
8 2
x t x t
Suy ra
1 4 4 1 4
1 1 1 1
1
8 2 2 2
4 d
d 1 5
. .d d d 2
4 2 2
4
f x x f t f t f t f t
t
t t t
t
x t t t
.
| 1/27
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
TÍCH PHÂN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH HÀM ẨN
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Các tính chất tích phân: b c b
f x dx f x dx f x dx   
với a c b . a a c b b
k f xdx kf x dx k  0   a a b a
f x dx   f x dx   a b b b
f x dx F x  F b  F a  a a b b b
 f x g xdx f xdx g xdx   a a a b b b
f x dx f t  dt f z dz    a a a b b
f  x dx f x  f b  f a  a a
2. Công thức đổi biến số:
f u x.u xdx f udu, u u x   ub bf
 u x.uxdx
f u du, u u x  a ua
Phương pháp đổi biến số thường được sử dụng theo hai cách sau đây: b  Giả sử cần tính
g xdx
. Nếu ta viết được g x dưới dạng f u xu x thì a ub bu b
g xdx
f u du  
. Vậy bài toán quy về tính
f u du
, trong nhiều trường hợp thì tích phân mới a u aua này đơn giản hơn .  Giả sử cần tính
f xdx
. Đặt x x t  thỏa mãn x a, x b thì b b
f xdx f
 xt xtdt g t dt
, trong đó g t   f x t .xt a a Trang 731
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 BÀI TẬP MẪU
Cho hàm số f x liên tục trên  , và thỏa mãn xf  3 x   f  2  x  10 6 1
 x x  2x, x   .  0 Khi đó
f xdx  bằng 1  1  7 1  3 17 A. . B. . C. . D. 1  . 20 4 4
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Tính tích phân hàm ẩn.
...................................................................................................................................................................
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: b u (b)
Công thức đổi biến số trong tích phân: f u(x).u (  x) dx f (u) du   a u( a)  Tính chất tích phân: a
f (x) dx  0  a b c b
f (x) dx
f (x) dx f ( ) x dx    a a c b x bf (
x) dx f (x)
f (b)  f (a)  xa a
................................................................................................................................................................... 3. HƯỚNG GIẢI: 1
B1: Nhân cả hai vế của phương trình với x , rồi sử dụng tích phân hai vế để tính
f x dx  . 1 1
B2: Nhân cả hai vế của phương trình với x , rồi sử dụng tích phân hai vế để tính f xdx  . 0 0 B3: Kết luận
f xdx  . 1 
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B
Cách 1 : Dùng vi phân Ta có: xf  3 x   f  2  x  10 6 1
 x x  2 , x x    Trang 732
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 2  x f  3 x   xf  2  x  11 7 2 1
 x x  2x , x    * 1 1 1 Khi đó: * 2  x f  3
x  dx xf  2
1 x  dx   11 7 2
x x  2x  dx, x       1 1 1 1 0 1 1 4 
f t  dt
f t dt     3 2 3 1  0 1 1 1 1 4 
f t  dt  0   
f t  dt  4 
f x dx  4    3 3 1 1 1 1 1 1 Mặt khác: * 2  x f   3
x dx xf   2
1 x dx   11 7 2
x x  2x dx 0 0 0 1 0 1 1 5 
f t  dt
f t  dt     3 2 8 0 1 1 5 5 1 3 1 3 
f t dt    
f t  dt    
f xdx    6 8 4 4 0 0 0 0 1 1 1  3
Theo tính chất tích phân ta có:
f xdx
f xdx f xdx     4 1  1  0
Cách 2: (Tham khảo không giống phân tích ở trên)
Bậc cao nhất vế phải là 10
x , bậc cao nhất vế phải là  3 .
x f x  . Kết luận: f x bậc 3 vì  3 3 10 . x xx .
Hệ số của bậc cao nhất vế phải là 1. Kết luận: Hệ số của bậc cao nhất vế trái là 1  . Vậy   3 2
f x   x ax bx c .
x f x   x x a x 2 3 10 3 10 7 . .
 ...  x ax  ... Vế phải không có 7
x . Vậy a  0 Kết luận   3
f x  x bx c .
x f x   f   x   x bx cx    x 3 3 2 10 4 2  b  2 . 1 1 1 x   c 10 4 2 4 6 2
 x bx cx 1 3x  3x x b bx c 10 6
 x x  b   4
x    b 2 3 3
x cx b c 1
Đồng nhất hệ số được b  3; c  2  . 0 13
Tóm lại f x 3
 x  3x  2 . Suy ra
f xdx   . 4 1
Bài tập tương tự và phát triển:
Câu 48.1: Cho hàm số y f x liên tục trên  thỏa mãn f xf x  x  2x2x 1 3 2 2 1 e       4 . Trang 733
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 2 Khi đó I
f x dx  bằng 0
A. I  e  4 . B. I  8 . C. I  2 .
D. I  e  2 . Lời giải Chọn C 2 2
Ta có 3 f x  f 2  x dx
2 x   2x2x 1 1 e    4 dx       0 0 2 2 2 2
 3 f x dx
f 2 x dx 2 x  2x2x 1 1 e      dx  4 dx     0 0 0 0 2 2 2 2
 3 f x dx
f 2 x d 2 xx 2 x 1 e      d     2 x  2x   1  8 0 0 0 2 2 2
 3 f x dx f x 2 x 2 x 1 dx e     8   0 0 0 2
 4 f xdx  8 0 2 
f x dx  2  . 0
Câu 48.2: Cho hàm số y f x liên tục trên 0;  thỏa mãn f ln x  f 1 ln x  x . 1 Khi đó I
f x dx  bằng 0 e 1 e 1 e 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 e 1 Lời giải Chọn A 1 1
Ta có f ln x  f 1 ln x  x f ln x 
f 1 ln x  1  x x
Lấy tích phân từ 1 đến e cả hai vế của  , ta được e  1 1 ef ln x 
f 1 ln x dx  dx    x x    1 1 e 1 e 1 
f ln x dx
f 1 ln x dx e 1   x x 1 1 e e
f ln x d ln x  f 1 ln xd 1 ln x  e 1    1 1 Trang 734
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
x  1  t  0
Đặt t  ln x . Đổi cận x e t 1 1 1 Khi đó   
f x dx f 1 t  d 1 t   e 1   0 0 1 1 
f x dx f x dx e 1   0 0 1 e 1 
f x dx   . 2 0  f   1  2 ln 2 
Câu 48.3: Cho hàm số y f x liên tục trên  \ 0;  
1 thỏa mãn  f 2  a b ln 3; a,b   .
xx  1.f x f x 2  x x  Tính 2 2 a b . 25 9 5 13 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4 Lời giải Chọn B
Ta có x x   f  x  f x 2 1 .  x x (1) x 1 x
Chia cả 2 vế của biểu thức (1) cho  x  2 1 ta được
. f   x  f x  2   x 1 x   1 x 1 x    x  . f x    , với x   \ 0;   1 .  x 1    x 1 x x  . f x  dxx 1 x 1 x
. f x  x  ln x 1  C x 1 x 1
f x 
x  ln x 1  Cx
Mặt khác, f 1  2 ln 2  2 1 ln 2  C   2
 ln 2  C  1 . x 1
Do đó f x 
x  ln x 1   1 . x 3 3 3 3 3
Với x  2 thì f x  1 ln 3   ln 3. Suy ra a  và b   . 2 2 2 2 2 9 Vậy 2 2 a b  . 2 Trang 735
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Câu 48.4: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên  . Biết f  
1  e và  x   f x  x f  x 3 2 . .  x 1 với x    . Tính
f xdx  . 0 1 2 2 1 2 4 A.   . B. e  . C. e  . D. e   . e 3 3 e e 3 Lời giải Chọn D
xf  x   x  2 f x
 ex f x 
Ta có:  x   f x  x f  x 3 2 . .  x   1   ex 3   x 2 x   ex f x 
 exdx  ex   C    2     2 2 . ex f x x C x x 1 Vì f  
1  e  1 C.e  e  C  1 e  1  Do đó   2 2    1 . ex f x x x    e  1 1 1 1   1   x  1  Vậy   2 2 2 2 d    1 . e d   d  1 ex f x x x x x x x x dx             e    e  0 0 0 0 1 1 1 1 1     x 1  1  x 1  1 2     1 d    e     1 e  2 e d    1 2 1 d         ex x x x e x . 3  e  3  e  3  e  0  0  0 1 2 1     x 2  1  4 2   e  2 1 e  e dx   e  2 1 e         e   1     e  3 e 3 e       3 e  0   2  15x
Câu 48.5: Cho hàm số y f x liên tục trên  \   0
và thỏa mãn 2 f 3x  3 f     ,  x  2 3 9 2  1 
f x dx  2019  . Tính I f dx    .  x  3 1 2 688 688 886 68 A. I   . B. I  . C. I  . D. I  . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A 3 1 x   t  1 2  1  1 2 Xét I f dx
   . Đặt t  2x  dx  dt . Đổi cận .  x 2 3 1  x   t  3 2 2 Trang 736
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 3 1  2  Khi đó I f dt    . 2  t  1  2  15x  2  5x 2  2  5t 2
Mà 2 f 3x  3 f      f    f   3x hay f    f   3t   x  2  x  2 3  t  2 3 3 3 3 3 1  5t 2  5 1 1 Nên I   
f 3t  dt   t dt
f 3t  dt  5  
f 3t  dt       1 2  2 3    4 3 3 1 1 1 1 1
t  1  u  3
Đặt u  3t dt du . Đổi cận . 3
t  3 u  9 9 1 2019 688 Khi đó I  5 
f u du  5     . 9 9 3 3  1 
Câu 48.6: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên  \  
0 và thỏa mãn 2 f 2x 2  fx   ,  x  2 2  2 
xf  x dx  5  . Giá trị f dx    bằng  x  1 1 103 103 103 103 A.  . B. . C. . D. . 48 24 48 12 Lời giải Chọn D u   xdu dx Đặt    . dv f (  x)dx
v f (x)  2 2 2 2 Ta có .
x f   xdx  .
x f x  f xdx  
 5  2 f 2  f   1 
f xdx  (1) 1 1 1 1 1  1 
Lần lượt thay x  1 và x
vào 2 f 2x 2  fx   ta được 2  x   3
2 f 2  f   1  1 f 2     4  1   . 2 f   1  f 2   1   4 f   1    2 2 1 2 1 Khi đó   1 
f xdx  2 f 2  f   1  5  4  
f 2xdx
f xdx  2   . 2 1 1 1 2 1 1 1 1  1   1   1  7
Lại có 2 f 2x 2  fx 2  
 2 f 2xdx f dx x dx       2.(2)  f dx      x   xx  24 1 1  1 1 2 2 2 2 1  1  7 103  f dx  4       .  x  24 24 1 2 Trang 737
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 2 2 2 2 1 1  2  2 1 Đặt t   x   dx   dt ta có f dx f (t). dt      2 f (t). dt  (2) x t 2 t 2  x t 2 t 1 2 2 1 1 1 1 1  1  1 1 1 103 Đặt u   x   dx   du ta có f dx f (u). du      f (t). dt    . x u 2 u 2  x u 2 t 24 1 2 2 2 2  2   103  103 Thay vào (2) ta được f dx  2.         .  x   24  12 1
Câu 48.7: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 đồng thời thỏa mãn f 0  9 và
f  x   f  x 2 9  x  9  
. Tính T f   1  f 0 . 1
A. T  2  9 ln 2 . B. T  9 . C. T   9 ln 2 .
D. T  2  9 ln 2 . 2 Lời giải Chọn C
f  x 1 1
Ta có f  x   f  x 2 9  x  9   
f  x      f  x 2 9 1  x        .
f  x 2 9  x     1  1 1 1 1 x 9       dx   
C f   x  x
f  x  x 9  
f  x  x 9
f  x  x 9 x  9C 1 9
Do f  0  9 nên C
f  x   x 9 x  1 1 1 2  9   x  1
Vậy T f   1  f 0   x dx     9 ln x 1     9 ln 2  .  x 1  2 2 0   0
Câu 48.8: Cho hàm số f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;2 . Biết f 0  1 và  3 2 2
x  3x f  x     2 2 4 . 2 e x x f x f x   
, với mọi x 0; 2
 . Tính tích phân I  dx  . f x 0   16 16 14 32 A. I   . B. I   . C. I   . D. I   . 3 5 3 5 Lời giải Chọn B Ta có     2 2 4 . 2 e x x f x f x          2 2 4 ln . 2  ln e x x f x f x       f x  f   x 2 ln ln 2
 2x  4x  Trang 738
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 f
 0. f  2  1
Mặt khác, với x  0 , ta có 
nên f 2  1 . f  0  1   3 2 2
x  3x f  x 2 f x Xét I  dx     3 2 x  3x    . dx f x f x 0   0   2   3 2
x  3x  d ln  f x    0 2   2  3 2
x  3x ln  f x      2
3x  6x.ln  f x dx   0 0 2   2
3x  6x.ln f xdx 0 2   2
6x  3x .ln  f x dx     1 0
x  0  t  2
Đặt t  2  x  dx  dt . Đổi cận x  2  t  0 0 2
Do đó I   32  t t.ln  f 2  t  dt       2
6t  3t .ln  f 2  t  dt   2 0 2
Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên I   2
6x  3x .ln  f 2  x dx   2 0 2 Cộng 2 vế của  
1 và 2 , ta được 2I   2
6x  3x .ln  f x  ln  f 2  x     dx 0 2 1 Hay I   2
6x  3x .ln  f x  ln  f 2  x     dx  2 0 2 1 16
Thế  vào  , ta có I   2
6x  3x . 2
2x  4x dx    2 5 0 1
Câu 48.9: Cho hàm số f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên 0; thỏa mãn f 2  và 15 1 a c
f  x   x   2 2
4 f x  0 . Biết f x dx  ln 
, với a,b,c   . Tính S a b c . b 2 0 A. S  3 . B. S  4 . C. S  5 . D. S  6 . Lời giải Chọn D f  x
Do f x  0 , với mọi x  0;  nên f  x   x   2 2
4 f x  0    2x  4 . 2 f x Trang 739
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 1 Suy ra 2
x  4x C . f x 1 1
Mặt khác f 2 
nên C  3 hay f x  . 15 2 x  4x  3 1 1 dx 1 3 Vậy
f x dx   ln  
a  1, b  2, c  3  S  6 2 x  4x  3 2 2 0 0  f
 0  f 0  1
Câu 48.10: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  thỏa mãn  f
  x y   f x   f y   3xy x y  1  1
, với x, y   . Tính
f x  1dx  . 0 1 1 1 7 A. . B.  . C. . D. . 2 4 4 4 Lời giải Chọn C
Lấy đạo hàm theo hàm số y
f   x y  f  y  2
 3x  6 xy , x   .
Cho y   f  x  f   2 0
0  3x f  x 2  1 3x       3 f x f
x dx x x C
mà f 0  1  C  1. Do đó f x 3
x x  1 . 1 0 0 1 Vậy f x   1 dx  
f x dx    3 x x   1 dx   . 4 0 1 1 4 1 2 x f x
Câu 48.11: Cho hàm số f x liên tục trên  và biết f tan xdx  4  , dx  2  . 2 x  1 0 0 1 Giá trị của tích phân
f xdx
thuộc khoảng nào dưới đây? 0 A. 5;9 . B. 3;6 . C.  2;5. D. 1;4 . Lời giải Chọn A 1
Đặt x  tan t  dx  dt   2 1  tan t dt 2  cos t
Đổi cận x  0  t  0 ; x  1  t  4 1 2 x f x 4 2
tan t. f  tan t  4 Khi đó dx
tan t  1 dt  tan t. f tan t dt  2  2  2  2    x  1 tan t  1 0 0 0 Trang 740
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 4 4  1  f tan t  4  1 . f  
tant dt  dt
f  tan t dt 2  2  .  cos t  cos t 0 0 0 4 f tan t  Suy ra dt  6  2 cos t 0 1
Đặt x  tan t  dx  dt 2 cos t
Đổi cận t  0  x  0 ; t   x  1 . 4 4 f tan t  1 1 Khi đó dt
f xdxf x dx  6 2  . Vậy    . cos t 0 0 0
Câu 48.12: Cho hàm số y f x liên tục, đồng biến, nhận giá trị dương trên 0;  và thỏa mãn 2 2 f 3 
và  f   x   x   1 . f x  
. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3 A. 2
2613  f 8  2614 . B. 2
2614  f 8  2615 . C. 2
2618  f 8  2619 . D. 2
2616  f 8  2617 . Lời giải Chọn A
Hàm số y f x đồng biến trên 0;  nên suy ra f  x  0, x  0; .
Mặt khác y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0;  nên
f   x 2    x  
1 f x  f  x   x   1 f x   , x  0;  f  x    x   1 , x  0;  ; f xf  x 1  dx   x   1 dx    f x   x  3 1  C ; f x 3 2 2 8
Từ f 3  suy ra C   3 3 3 2  1  3 2 8
Như vậy f x    x   1     3 3 3    Bởi thế: Trang 741
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 2 2 4  1 2 8   2 8   2 8  f 8  2  8  3 1     9 
   f 8  9   .   3 3 3   3 3        3 3  
Câu 48.13: Cho hàm số y f x liên tục, không âm trên  thỏa mãn f xf  x  x f x2 . 2 1 và
f 0  0 . Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y f x trên đoạn 1;  3 lần lượt là
A. M  20 ; m  2 .
B. M  4 11 ; m  3 .
C. M  20 ; m  2 .
D. M  3 11 ; m  3 . Lời giải Chọn D
f x. f  x
Ta có f xf  x  x f x2 . 2 1   2x .
f x2 1
Lấy nguyên hàm hai vế ta có  f x2 2
1  x C , do f 0  0 nên C  1. Vậy f x 4 2 2 
x  2x x x  2 trên đoạn 1;  3 . 2 x
Ta có f   x 2  x  2 
 0 với mọi x 1; 
3 nên f x đồng biến trên 1;  3 . 2 x  2
Vậy M f 3  3 11 ; m f   1  3 .  π 
Câu 48.14: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f x  fx  sin . x cos x   ,  2  π 2
với mọi x   và f 0  0 . Giá trị của tích phân .
x f   x dx  bằng 0 π 1 π 1 A.  . B. . C. . D.  . 4 4 4 4 Lời giải Chọn D  π   π   π 
Bài ra f 0  0 và f x  fx  sin . x cos x  
nên f 0  f  0    f  0   .  2   2   2  π π π 2 2 π 2 Ta có: I  .
x f  x dx   d
x f x  2 
  xf x 
f x dx    0 0 0 0 π 2
Suy ra: I   f x dx  . 0 Trang 742
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Mặt khác,  π    1
f x  fx  sin . x cos x  2 2 2  
f x dx fx dx  sin .
x cos x dx        2  0 0 0  2  2 0   1
Suy ra: 2 f x dx     f x dx (*)     0  2  2 2 0   Đặt t
x dt  dx 2        f x dx f    t  2 dt
f xdx   2 0 0  2 2  1 Nên từ (*) 2 
f x dx  0 4 π 2 1
Vậy I   f x dx    . 4 0 1 2
Câu 48.15: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;  1 thỏa mãn f   1  0,
f  x dx  7    và 0 1 1 1 2
x f x dx   . Tích phân
f x dx  bằng 3 0 0 7 7 A. . B. 1. C. . D. 4 . 5 4 Lời giải Chọn A 1 1 3 1 3  xx 1 3 x 1 Ta có 2
x f xdx    f x  f    x  dx . Suy ra
f  xdx    . 3 3 3 3 0   0 0 0 1 6 x 1
Hơn nữa ta dễ dàng tính được dx   . 9 63 0 1 1 3 1 6 1 2 x x 2
Do đó  f  x dx  2.21 f  x 2 dx  21 dx  0  3    
  f  x  7x  dx  0  . 3 9   0 0 0 0 7 7
Suy ra f  x 3  7
x , do đó f x 4  
x C . Vì f   1  0 nên C  . 4 4 1 1 7 7 Vậy
f x dx    4 x   1 dx    . 4 5 0 0 
Câu 48.16: Cho hàm số
f x có đạo hàm liên tục trên 0;  thỏa mãn f 0  0, 2    2 2 2
f  x 2
 dx  sin xf x dx      . Tích phân
f xdx  bằng 4 0 0 0 Trang 743
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 A. . B. . C. 2 . D.1. 4 2 Lời giải Chọn D 2 2 2 Ta có sin .
x f xdx  cos . x f x 2   cos .
x f  xdx     . Suy ra cos     x f x dx . 0 4 0 0 0 2 2 2 1  cos 2x
 2x  sin 2 x Hơn nữa 2 cos xdx dx     . 2  4    4 0 0 0 2 2 2 2 2 2
Do đó  f  x dx  2. cos x f  x 2
dx  cos xdx  0   f  x  cos xdx  0         . 0 0 0 0
Suy ra f  x  cos x , do đó f x  sin x C . Vì f 0  0 nên C  0 . 2 2 Ta được
f xdx  sin xdx  1   . 0 0 6 2 3
Câu 48.17: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn0; 
1 thỏa mãn f x  6x f x   . 3x 1 2  x
Giá trị  x   1 f  dx    bằng  2  0 8 4 12 2 A.  . B. . C.  . D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn D u   x 1 du dx   Đặt  x      x dv f dx v  2 f         2    2  2 2 2 1  x   x   x   x   1 f dx  2     x   1 . f  2 f dx  6 f       
1  2 f 0  4 f udu  ;  2   2   2  0 0 0 0  x 1
x  0  u  0  u   du dx;    . 2 2
x  2  u  1    1 1 1 1 3  6  dx f x 2  6x f  3 x    f x 2 dx  6x f    3x 2  dx  6x f    3xdx6   1  3x 1  3x 1  3x 1 0 0 0 0 1 *Tính 2 6x f  3 x dx  . 0 Đặt 3 2
t x dt  3x .dx ; x  0  t  0, x 1  t  1. Trang 744
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 1 1 1 2 6x f   3
x dx  2 f tdt  2 f xdx   (2). 0 0 0 1 1 1 dx 1 3dx 1 2 *Tính   .2 3x 1    (3). 3x 1 3 3x 1 3 3 0 0 0 1 1 1 2
Thay kết quả (2) và (3) vào (1) ta được:
f xdx  2 f xdx  6.  f xdx  4     . 3 0 0 0 6
Thay lần lượt x  0; x  1 vào f x 2  6x f  3 x   ta được 3x 1 3
f 0  6; f   1  6 f   1  3  f   1   5 2 1  x   3  2 Vậy  x   1 f
dx  6 f  
1  2 f 0  4 f udu  6.   2.6  4. 4           2   5  5 0 0 2 2 2
Câu 48.18: Cho hàm số f x liên tục trên  , và các tích phân  f  x dx     , sin .
x f x dx   . 4 4 0 0 
Biết rằng f 0  0 , tính f   .  3    1   3   1   3 A. f    . B. f    . C. f     . D. f     .  3  2  3  2  3  2  3  2 Lời giải Chọn B 2  Ta có sin .
x f x dx   . 4 0 u
  f x 
du f   x dx Đặt    .
dv  sin xdx
v   cos x 2 2 Khi đó sin .
x f x dx     cos .
x f x 2  cos .
x f  x dx   4 0 4 0 0 2  cos .
x f  x dx   . 4 0 2 2 2 2 2 2  Xét
f  x  cos x dx   f  x dx  2 cos . x f   x 2 dx  cos d x x         0 0 0 0 2 1 cos 2x 2 x sin 2x    2.  dx       0   . 4 4 2 4  2 4  0 0 2
  f  x 2
 cos x dx  0   
f  x  cos x  0  f  x  cos x . 0
Suy ra f x  sin x C . Trang 745
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Mà f 0  0  C  0 .
Khi đó f x  sin x .  3 Vậy f  sin    .  3  3 2 1 1
Câu 48.19: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0;  1 , thỏa mãn
f x dx xf x dx  1   và 0 0 1 1 3  f x 2  dx  4    . Giá trị của tích phân
f x dx    bằng 0 0 A. 1. B. 8. C. 10. D. 80. Lời giải Chọn C 1 1 1 1 2 2 2
Xét  f x  ax b dx   
  f x dx  2  f x.ax b dx  ax b dx        0 0 0 0 1 1 1 1 2 a
 4  2a xf xdx  2b f x dx  ax b3  
  a b 2 4 2   ab b . 3a 3 0 0 0 2 a
Cần xác định a, b để    b 2 2
a b  2b  4  0 . (1) 3
Coi (1) là phương trình bậc hai ẩn a . 4 b  2 2 Ta có: 2
  b  4b  4   2
b  2b  4 
 0  b  2  a  6  . 3 3 1 2
Khi đó:  f x  6x  2 dx  0   
f x  6x  2 . 0 1 1 1 3 3 1 Suy ra 4
f x dx  6x  2 dx      6x  2  10 . 24 0 0 0
Câu 48.20: Xét hàm số f x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện f  
1  1 và f 2  4 .
2  f  x  2
f x 1 Tính J   dx   . 2  x x 1   1 1
A. J  1 ln 4 .
B. J  4  ln 2 .
C. J  ln 2  . D. J   ln 4 . 2 2 Lời giải Chọn D
2  f  x  2
f x 1 2 f  x 2 f x 2  2 1  Ta có J   dx   dx  dx   dx . 2      x x 2 2 x xx x  1   1 1 1  1  1 u  du   dx   Đặt 2 x   x  .
dv f  xdx v
  f x  
2  f  x  2
f x 1 2 2 1 f x 2 f x 2  2 1  J   dx    . f x  dx  dx   dx 2      x x 2 2 2 x x xx x  1   1 1 1 1 Trang 746
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 2 1  1  1 
f 2  f   1  2 ln x    ln 4   . 2  x  2 1 1 Câu 48.21:
Cho hàm số y f x liên tục trên  thỏa mãn
f  xf f x dx  10    và 0 2
f 0  1, f 1  2 . Tích phân f xdx  bằng 1 A. 10 . B. 3 . C. 1. D. 30 . Lời giải Chọn A
Đặt t f x  dt f  xdx; x  0  t f 0  1, x  1  t f 1  2 . 1 2 Khi đó 10 
f   xf f x dx f t dt     . 0 1 2 Vậy
f xdx  10. 1 1 2 Câu 48.22: Cho  2
1 x f x dx  10. Tính 3
I  cos xf sin xd . x  . 0 0
A. I  5.
B. I  10. C. I  10 . D. I  5 . Lời giải Chọn C 2 2 3
I  cos xf sin x dx    2
1 sin x. f sin x.cos d x x . 0 0
Đặt t  sin x  dt  cos d
x x và x  0  t  0; x   t  1 . 2 1 Khi đó I   2
1  t f t dt  10 . 0 e e x   1 f x 1 Câu 48.23: Cho
f x dx  1  và dx  2  . Tích phân  x f e  dx bằng x 1 1 0 A. 3 . B. 1  . C. 1. D. 3 . Lời giải Chọn B x dt Đặt x
t e  dt  e dx  tdx  dx 
và x  0  t 1; x  1 t e . t 1 e x dt Do đó: f
 e dx  f t  . t 0 1 Trang 747
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Mặt khác theo giả thiết có: e    1   e e    1   e x f x x f xf x 2 1  dx 
f x dx   f      x dx   dx   . x x x 1 1 1   1 1 e x dt Vậy
f e  dx  f t  1    . t 0 1 Câu 48.24:
Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ bên dưới 4 2 Khi đó tổng
f  x  2 dx f  x  2 dx   bằng 0 0 A. 10 . B. 2  . C. 2 . D. 6 . Lời giải Chọn D
Dựa vào đồ thị hàm số có f  
1  2, f 2  2, f 4  4 . 4 2
Đặt t x  2  dt  dx và f  x  2 dx 
f t  dt  f 2  f  2
   2  2  4   . 0 2  2 4
Đặt t x  2  dt  dx và
f  x  2dx  f t  dt  f 4  f 2  4  2  2   . 0 2 4 2 Vậy
f  x  2 dx  f  x  2 dx  6   . 0 0 Câu 48.25:
Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên  . Đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ bên dưới Trang 748
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 0 2 Khi đó tổng
f 2x   1 dx
f   x   1 dx   bằng 2  0 A. 4 . B. 10 . C. 0 . D. 6 . Lời giải Chọn A
Đặt t  2 x  1  dt  2dx . 0 1 1 dt 1 f   1  f  3   2   2   Ta có
f 2x   1 dx f t  
f t dx    2    . 2 2 2 2 2  3  3 
Đặt t x  1  dt  dx . 2 3 Ta có
f  x   1 dx
f  t dt f 3  f   1  4  2  2   . 0 1 0 2 Vậy
f 2x   1 dx
f  x   1 dx    2  2  4 . 2  0 Câu 48.26:
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f  3 x  3x  
1  3x  2 , với mọi 5
x   .Tích phân xf  xdx  bằng 1 31 17 33 49 A.  . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải Chọn C
Từ giả thiết ta có f  3 x  3x  
1  3x  2 nên suy ra f 1  2 , f 5  5 . 5 5 5 5
Suy ra I xf  x dx xf x  f x dx  23  f xdx    . 1 1 1 1 Đặt 3
x t t   x   2 3 1 d 3t  3dt .
Với x  1 t  0; x  5  t  1 Trang 749
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 5 1 1 59
Do đó f x dx f  3 t  3t   1  2
3t  3dt  3t  2 2
3t  3dt     . 4 1 0 0 59 33 Vậy I  23   . 4 4 Câu 48.27:
Cho hàm số f x xác định và liên tục trên  đồng thời thỏa mãn 
f x  0, x     /  f x x 2
 e f x, x
   . Tính giá trị của f ln 2  1  f 0   2 1 1 1 1
A. f ln 2  .
B. f ln 2  .
C. f ln 2  ln 2  . D. f ln 2 2  ln 2  . 4 3 2 2 Lời giải Chọn B / f x / x 2  
Ta có f x  e f xx
 e (do f x  0 ) 2 f x / f xx 1 x 1 
dx  e dx  
 e C f x  .  2    f xf xx e C 1 f 0 2 1
Thay x  0 ta được f 0   C  1. 0 e C 1 1 1 1
Vậy f x   f    x ln 2 . ln 2 e 1 e 1 2 1 3 Câu 48.28:
Cho hàm số y f (x) xác định và liên tục trên  thỏa mãn  f x 3 2
( )  3 f (x)  5  x với 10 x
   . Tính I f (x)dx  . 5 A. I  0 . B. I  3 . C. I  5 . D. I  6 Lời giải Chọn B Đặt 3 2
t f (x)  2t  3t  5  x dx  (6t  3)dt và 3
x  5  2t  3t  5  0  t  0 3
x 10  2t  3t  5  10  t 1 10 1 Vậy 2 I
f (x)dx t(6t  3)dt  3   . 5 0 Câu 48.29:
Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0; 
1 thỏa mãn bf a  af b  1 , với mọi
a, b  0;  1 . Trang 750
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 1 Tính I
f xdx  . 0 1 1 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 2 2 4 4 Lời giải Chọn C
- Đặt x  sin t dx  cos tdt
Với x  0 thì t  0 ; Với x  1 thì t  2 Ta được: 2 I
f sin t  cos tdt  . 0
Đặt x  cos t dx   sin tdt
Với x  0 thì t
; Với x  1 thì t  0 2 0 Ta được: I   
 f  cos t  2 sin tdt
f cos t sin tdt   . 0 2 Suy ra: 2 2I
f sin t  cost f cos t  2 sin t dt dt   I      . 0 0 2 4 Câu 48.30: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn a;b thỏa mãn 6x f x 2  6x . f  3 x   , x  ; a b. 3x 1 1 Tính
f xdx 0 A. 2 . B. 4 . C. 1  . D. 6 . Lời giải Chọn B 6 1 1 1 1
Ta có: f x 2  6x . f  3 x    f x 2 dx  2 3x f    3 x dx  6  dx  (*) 3x  1 3x 1 0 0 0 Đặt 3 2
u x du  3x dx
Với x  0  u  0 và x  1  u  1 1 1 1 Khi đó 2 3x f   3
x dx f udu= f xdx   thay vào (*), ta được: 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
f xdx  2 f xdx  6 dx    
f xdx  6 dx  4   . 3x 1 3x 1 0 0 0 0 0 Câu 48.31:
Cho hàm số f x và g x có đạo hàm trên 1; 2 thỏa mãn f   1  g   1  0 và Trang 751
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 x
g x  2017 x x 1 f x  2        x   1  , x  1; 2. 3  x
g x  f x 2  2018x   x 1  x x 1  Tính tích phân I g x 
f xdx .  x 1 x    1 3 A. . B. 4 . C. 1  . D. . 2 2 Lời giải Chọn A x
g x  2017 x x 1 f x  2        x   1 Từ giả thiết ta có  , x  1; 2. 3  x
g x  f x 2  2018x   x 1  1 x   x  1 1  /   Suy ra  g x g x   f x f x  1 2        2    x   1 x  1 x x         x   x   1  x x 1  g x  f     x 1   g x 
f x  x C.  x 1  x   x 1 x 2 2  x 1 x 1  1 Mà  f   1  g  
1  0  C  1  I f x 
f xdx   x   1 dx  .    x x    2 1 1 3 x Câu 48.32:
Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0; 
1 và thoả mãn f x 3  8x f  4 x    0 2 x 1 . 1 a b 2 a b Tích phân I
f x dx  có kết quả dạng , a, , b c   ,
, tối giản. Tính a b c . c c c 0 A. 6 . B. 4 . C. 4 . D. 10 . Lời giải Chọn A 3 x 3 x
Ta có: f x 3  8x f  4 x  
 0  f x 3  8x f  4 x   . 2 x 1 2 x 1 1 1 1 3 x I f x 3 dx  8x f    4 x dx  dx    1 2 0 0 0 x 1 1 1 1 Xét 3 8x f   4
x dx  2 f   4 x d  4
x   2 f x dx  2I  0 0 0 Trang 752
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 1 3 x Xét dx  . Đặt 2 2 2 t
x 1  t x 1  tdt xdx . 2 0 x 1
Đổi cận x  0  t  1, x  1  t  2 . 2 3  2 1 2 t   1 tdt x 3  t  2 2 Nên dx      t     2 t 3 3 3 0 x 1 1   1  2  2  2  2 Do đó  
1  I  2I     I  .Nên , , . 
a  2 b  1 c  3 3    3
Vậy a b c  6 . Câu 48.33:
Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;  1 thỏa mãn điều kiện 1
f x  f   x 2 2 1
 3x  6 x, x  0;  1 . Tính I f   2 1 x dx 0 4 2 2 A. I  . B. I  1. C. I   . D. I  . 15 15 15 Lời giải Chọn C
Đặt t  1 x, x 0;  1  t  0;  1 .
Ta có f x  f   x  x x f x  f   x    x2 2 2 1 3 6 2 1 3 1  3
f   t   f t  2  t  
f x  f   x 2 1 2 3 3 2 1  3x  3 Ta có hệ phương trình  f
  x  2 f 1 x 2  3x  6xf
  x  2 f 1 x 2  3x  6x    2 f
x  f 1 x 2  3x  3 4 f  
x  2 f 1 x 2  6x  6   3 f x 2
 3x  6x  6  f x 2
x  2x  2 2 Khi đó f  2  x    2  x    2  x  4 2 1 1 2 1
 2  x  4x 1 1 1 2 Suy ra I f  2
1 x dx   4 2 x  4x   1 dx     . 15 0 0 Câu 48.34:
Cho hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0;    và thỏa mãn f   1  1, biểu
thức f x  f  x 3x 1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 2  f 5  3 .
B. 4  f 5  5 .
C. 1  f 5  2 .
D. 3  f 5  4 . Lời giải Chọn D Trang 753
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 f  x 1 5 f  x 5 1 5 5 1 d 3x   1 Theo giả thiết ta có   dx  dx  
 ln  f x   f x   3x 1 f x 3x 1 1 3 3x 1 1   1 1 5 4 2 4
 ln  f 5  ln  f   1   3x 1 3    
 ln  f 5   
f 5  e  3,7937 . 3 3 1
Vậy 3  f 5  4 . Câu 48.35:
Cho hàm số y f x liên tục trên  thỏa mãn f x 2019  x f  2020 x  2
 1 x với mọi x 1 thuộc 0; 
1 . Tích phân f xdx  bằng: 0 2017 505 A. 1020604. B. . C. . D. . 8072 2021 8076 Lời giải Chọn C 1 1 1 Có f x 2019 dx x f  2020 x  2 dx  1 x dx     4 0 0 0 1 1 1 1 1 Đặt 2020 2019 t x
dt  2020.x dx và 2019  x f  2020 xdx
f t dt f x   dx 2020 2020 0 0 0 1 1 1 1 2021 505 Vậy f x 2019 dx x f  2020 xdx  
f xdx  
f xdx      . 4 2020 4 2021 0 0 0 0 Câu 48.36:
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 4;8 và f x  0 x 4;8 . Biết rằng
f  x 2 8    1 1 dx  1  và f 4 
, f 8  . Tính f 6 .  f x 4 4 2 4    5 2 3 1 A. . B. . C. . D. . 8 3 8 3 Lời giải Chọn D 8 8  f (  x)  1 1 1 Ta có: dx       2  (1). 2  f (x) f (x) f (8) f (4) 4   4 2 8  f (  x) 
Gọi k là một hằng số thực, ta sẽ tìm k để  k dx  0  2  f (x) 4   2  f (  x)   f (x)2 8 8 8 8  f (  x)  2 Ta có 2 2  k dx  dx  2k dx k
dx  1 4k  4k  1 2k  2   4   2     f ( x)   f (x) f (x) 4 4   4   4 2 1 8 6 6  f (  x) 1  f (  x) 1 f (  x) 1  k   thì  dx  0    dx  dx     2 2 2 2 f (x) 2 f (x) 2 f (x) 2 4   4 4 Trang 754
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 6 6 df (x) 1 1 1 1 1   1    1    1  4   1  f 6   2   f (x) f (x) f (4) f (6) f (6) 3 4 4 b b 2k Chú ý:
f xdx  0 
không được phép suy ra f x  0 nhưng  f x dx  0  f x  0    a a Câu 48.37:
Cho hàm số f x liên tục trên 0;  1 thỏa mãn điều kiện 1 xf  2
x   f   x 2 4 3 1
 1 x , x 0;  1 . Khi đó  d  f x x bằng 0 A. . B. . C. . D. . 20 16 6 4 Lời giải Chọn A
Vì f x liên tục trên 0;  1 và xf  2
x   f   x 2 4 3 1
 1 x , x 0;  1 nên ta có 1 1 1 1 1 4 .  x f  2
x   3 f 1 x 2  dx  1 x dx  4 .   x f  2
x dx  3 f 1 x 2 dx  1 x dx   1     0 0 0 0 0 1 1 2 1 t x Lại có 4 x.  f  2
x dx  2 f  2 x d  2
x   2 f t dt  2  I và 0 0 0 1 1 1 u 1 x
3 f 1  x dx  3 f 1  x d 1  x   3 f u du  3I .    0 0 0 1 2 2 2 xsin t 1 Đồng thời 2 2 2 1  x dx
1 sin t .cos tdt  cos tdt
1 cos 2tdt  .     2 4 0 0 0 0 1 Vậy  
1  2I  3I   I  
f xdx   . 4 20 20 0 1 1 2 x f x 4 Câu 48.38: Cho
f xdx  1  và dx  2  . Tính I
f tan xdx 2  . x 1 0 0 0 A. I  3 . B. I  1 . C. I  1. D. I  3 Lời giải Chọn B Đặt t x dt   2 tan
1 tan x dx Và x  0  t  0; x   t  1. 4 4 4 f  tan x 1 1 f t f x Do đó I
f tan xdx  .    2 1 tan x dx  .dt  .dx 2       2  . 2 1 tan x 1 t 1 x 0 0 0 0 1   1  2 2 x  
1 1 f x x f x  Ta có : dx 2     dx  2  2  2 x 1 x 1 0 0 Trang 755
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 1 1 f x 
f xdx
dx  2  1 I  2  I  1    . 2 x  1 0 0 1 Câu 48.39:
Cho f x liên tục trên  \   0 thỏa mãn xf  2
x   f 2x 3  x   2, x    \   0 . Giá 2x trị của 2 tích phân
f x dx
thuộc khoảng nào sau đây? 1 A. 5; 6 . B. 3; 4 . C. 1; 2 . D. 2;3 . Lời giải Chọn D 1 Ta có xf  2
x   f 2x 3  x   2, x    \   0 2x 2 2    xf   1 2
x   f 2x 3 dx x   2 dx       2x  1 1 2 2 2 4 1    f   1 x 1 2 x d  2 x  
f 2xd 2x   ln x  2x    2 2 4 2 1 1   1 2 4 4 4 4 ux 1 1 7 1 1 1 7 1 
f udu
f vdv   ln 2 
f xdx
f xdx   ln 2     v2x 2 2 4 2 2 2 4 2 1 2 1 2 2 4 4 1   1 7 1  f
xdx f xdx f   
xdx   ln 2  2 2 4 2  1 2  2 2 2 1 7 1 7 
f xdx   ln 2  f xdx   ln 2  2.80852819.   2 4 2 2 1 1 f x 16   Câu 48.40:
Cho hàm số f x liên tục trên  thỏa mãn dx  cot . x f  . Tích    2 2 sin xdx 1 1 x 4 1 f  4x  phân dx 1  bằng x 8 5 3 A. . B. 2 . C. . D. 4 . 2 2 Lời giải Chọn A Đặt 2 t
x t x  dx  2 d
t t . Đổi cận x  1  t  1; x  16  t  4 . f x 16   4 f t  4 f t  4 f t  1 Suy ra 1  dx  .2 d t t  2 dt  dt    2   1 1 1 1 x t t t 2 dt dt dt Đặt 2
t  sin x  dt  2 sin x cos d x x  cot d x x  cot . x   2 2 sin x cos x 2 sin x 2t Trang 756
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 1 Đổi cận x   t  ; x   t  1 4 2 2 1 1 dt 1 f t  1 f t 1 2   Do đó 2 1  cot . x f      sin xdx f t . dt dt 1   1 1    . 2t 2 t t 2 4 2 2 2 1 1
Đặt t  4x  dt  4dx . Đổi cận x   t
; x  1  t  4 8 2
1 f  4x dx 4 f t  4 dt f t  1 f t  4 f t  1 5 Suy ra  .  .dt  dt  dt  2   1 1 1 1      . x t 1 4 t t t 2 2 8 2 2 2 4 Trang 757