Toán 9 dạng: Tìm x để biểu thức rút gọn là số nguyên

CHUYÊN ĐỀ 5: TÌM x ĐỂ BIỂU THỨC RÚT GỌN LÀ SỐ NGUYÊN a a
I/ BTRG có dạng A  hoặc A  cx  d c x  d
LOẠI 1: Tìm x  để A a * Nếu A  thì ta làm như sau:
cx  d
+ Lập luận: A  Mẫu thức là Ư(a) + Liệt kê Ư(a)
+ Lập bảng: Mẫu thức bằng Ư(a) tìm ra x a * Nếu A  thì ta làm như sau:
c x  d
+ Với điều kiện của x, ta xét hai trường hợp xảy ra:
+ Trường hợp 1: Nếu x không là số chính phương => c x  d là số vô tỉ => a A 
là số vô tỉ => A  Z (loại trường hợp này)
c x  d
+ Trường hợp 2: Nếu x là số chính phương => a A 
∈ Z  c x  d ∈ Ư(a).
c x  d
Khi đó lập bảng Ư(a) và tìm giá trị x thỏa mãn
Chú ý: Giá trị x  tìm được phải thoả mãn điều kiện của biểu thức rút gọn mới nhận. 3 VD: Cho A 
. Tìm x nguyên để A nguyên. 2 x 1 + Điều kiện x ≥ 0
+ Trường hợp 1: Nếu x không là số chính phương => 2 x 1 là số vô tỉ => 3 A 
là số vô tỉ => A  Z (loại trường hợp này) 2 x 1
+ Trường hợp 2: Nếu x là số chính phương => 3 A 
∈ Z  2 x 1 ∈ Ư(3). 2 x 1 2 x 1 -3 1 1 3 x -2 -1 0 1 x   T/M T/M Trang 1 a
LOẠI 2: Tìm x để A thường áp dụng với biểu thức rút gọn A  . c x  d Phương pháp:
+ Xuất phát từ điều kiện x  0 rồi suy ra miền bị chặn của Am  A  r
+ Chọn các giá trị nguyên a thuộc miền chặn rồi giải phương trình A  a để tìm x . 1 1
+ Kết luận giá trị x thoả mãn. 7 VD1: Cho A 
. Tìm x để A . 2 x  3 ĐK: 7 7
x  0  2 x  3  3   . Do đó 7 0  A 
mà A  A1;  2 2 x  3 3 3 7 Với A  1
1 2 x  3  7  x  4 2 x  3 7 7 1 Với A  2 
 2  2 x  3   x  2 x  3 2 16 5  VD2: Cho A 
. Tìm x để A . 2 x 1 ĐK: 5 
x  0  2 x 1  1   5  2 x 1 Do đó 5
  A  0 mà A  A 5  ; 4  ; 3  ; 2  ;  1 .
Giải phương trình A = giá trị nguyên => Tìm được x a x  b
II/ Biểu thức rút gọn có dạng A  c x  d
Phương pháp tách phần nguyên:
+ Lấy tử chia cho mẫu được thương là số k  và dư số m
k c x  d   m m + Ta có: A   k  c x  d c x  d m
+ Việc tìm x để A nguyên quy về bài toán tìm x để
nguyên như phần I) c x  d 2 x  4 VD1: Cho A 
tìm x  để A x  3 2  x  3  2 2 Ta có A   2  x  3 x  3 2
Với x   A 
  x  3Ư(2) và x là số chính phương  x . x  3 Trang 2 2 x  7 VD2: Cho A 
. Tìm x để A x 1 2  x   1  6 6 6 Ta có A   2  => A   x 1 x 1 x 1 6 6 Với x  0  0   6  1,2,3,4,5,  6  x x 1 x 1
BÀI TẬP VẬN DỤNG 2x 2x x
Bài 1: Cho biểu thức A    2 2 x  3x x  4x  3 x  1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x nguyên để A nguyên. a  2 5 1 a 
Bài 2: Cho biểu thức: P    ĐS: 4 P  a  3 a  a  6 2  a a  2 a/ Rút gọn P
b/ Tìm a ∈ Z để P nguyên.  3 a a 3 1  a   1  . a  b 
Bài 3: Cho biểu thức: P =     :  
a  ab  b a a  b b a  b
2a  2 ab  b 2   a/ Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên     2x  2 x   1 x x 1 x x 1
Bài 4: Cho biểu thức: A =    :   x  x x  x x  1   1) Rút gọn A.
2) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.  x  2 x  2  x  1
Bài 5: Cho biểu thức: Q =   .   , với x > 0 ; x  1. x  2 x  1 x 1 x   2 a) Chứng minh rằng Q = x  1
b) Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị nguyên. Trang 3 2 2 x x
Bài 6: Cho biểu thức: A    x  3 x  4 x  3 x  1 a) Rút gọn A
b) Tìm x Z để biểu thức A nhận giá trị nguyên.  1 1  x 1
Bài 7. Cho biểu thức P = 2  :    x 1
x 1 1 x  x 1 1 a) Rút gọn P .
c) Tìm x để P là một số nguyên  1 1  x  2
Bài 8*: Cho biểu thức A =  .    x  2 x  2  x a) Rút gọn A. 7
c) Tìm tất cả các giá trị của x để B 
A đạt giá trị nguyên. 3 Trang 4