Toàn tập nguyên hàm, tích phân vận dụng cao (chuyên đề tính toán) Toán 12

Toàn tập nguyên hàm, tích phân vận dụng cao (chuyên đề tính toán) Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Môn:

Toán 12 3.8 K tài liệu

Thông tin:
114 trang 1 năm trước
Tác giả:
Student
Mai Nguyệt
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Toàn tập nguyên hàm, tích phân vận dụng cao (chuyên đề tính toán) Toán 12

Toàn tập nguyên hàm, tích phân vận dụng cao (chuyên đề tính toán) Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

79 40 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 199 tài liệu

Môn: Toán 12 3.8 K tài liệu

Thông tin:

114 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
1
THÂN TẶNG QUÝ THẦY CÔ VÀ CÁC EM HỌC SINH TOÀN QUỐC
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHUYÊN ĐỀ
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO
LỚP 12 THPT
CREATED BY GIANG SƠN; TEL 0333275320
TOÀN TẬP
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
VẬN DỤNG CAO
(CHUYÊN ĐỀ TÍNH TOÁN)
PHIÊN BẢN 2021
2
TOÀN TẬP
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO
(CHUYÊN ĐỀ TÍNH TOÁN)
__________________________________________________________________________________________________
A: TỪNG PHẦN, VI PHÂN (A1 ĐẾN A8)
B: NGUYÊN HÀM NÂNG CAO (B1 ĐẾN B8)
C: THAM SỐ, GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN MAX, HÀM SỐ CHẴN LẺ (C1 ĐẾN C8)
D: HÀM ẨN TỔNG HỢP (D1 ĐẾN D8)
E: TÍCH PHÂN HAI VẾ, ĐỔI BIẾN, XÁC ĐỊNH HÀM (E1 ĐẾN E8)
F: HẰNG ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN (F1 ĐẾN F8)
G: TÍCH PHÂN THUẦN NÂNG CAO (G1 ĐẾN G8)
3
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG TỪNG PHẦN, VI PHÂN – A1)
__________________________________________________
Câu 1. Cho
f x
liên tục trên R thỏa mãn
3 2
4 2
f x dx x x x
. Tính
2
1
I f x dx
.
A. 1 B. – 1 C. 4 D. 2
Câu 2. Cho hàm số
f x
liên tục thỏa mãn
3
( ) 4 2
f x dx x x C
. Tính
2
( )xf x dx
.
A.
6 2
2
B.
10 6
x x
C.
6 2
4 2
x x C
D.
6 2
6 2
x x C
Câu 3. Cho
f x
liên tục trên R và
2
2
f x dx x x
. Tính
2
1
1I f x dx
.
A.
65
6
B. 4 C. 5 D. 6
Câu 4. Cho
2
(4 ) 3
f x dx x x C
. Tính a + b biết rằng
2
( 2)
f x dx ax bx C
.
A. 5,5 B. 4,25 C. 4,5 D. 2
Câu 5. Cho hàm số
f x
liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn
3 2
2
f x dx x x
. Giá trị của
2
2
1
1I xf x dx
gần nhất với giá trị nào ?
A. 83 B. 38 C. 120 D. 70
Câu 6. Cho
f x
liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn
2
1 2
f x dx x
. Tính
2
1
3 2 1I f x dx
.
A. 6 B. 10 C. 4,5 D. 3
Câu 7. Cho
(2 ) cos2 sin 1f x dx x x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
( )f x dx
là
A. 2 B. – 1 C. – 2 D. 0
Câu 8. Cho
f x
liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn
2
2 1 2f x dx x x
. Tính
2
1
6 2I f x dx
.
A. 39 B. 25 C. 40 D. 45
Câu 9. Cho
f x
liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn
2 4 2
( ) cos( ) 3
xf x dx x x C
. Tính a + b biết rằng
2 2
( ) cos( ) ( 1)
f x dx a x b x C
.
A. 7 B. 8 C. 4 D. 10
Câu 10. Cho
f x
liên tục, có đạo hàm trên [0;5] thỏa mãn
2
3 3
f x dx x x
. Tính
1
2
0
2 3I xf x dx
.
A. 2 B. 1 C. – 3,5 D. – 5
Câu 11. Hàm số
f x
liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
3 8f x dx x
. Tính
2
2
1
( )I xf x dx
.
A. 12,25 B. 14,5 C. 13,5 D. 23,25
Câu 12. Cho hàm số
f x
liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn
3
f x dx x
. Biết hàm số
f x
đạt
cực trị tại x = 6. Tính
2
2
1
( 1)I xf x dx
.
A. 10 B. 6 C. 3 D. 21
Câu 13. Cho hàm số
f x
liên tục và có đạo hàm trên
\ 0
thỏa mãn
( 1) 4
f x dx x
. Khi đó giá trị của
tích phân
2
2
1
1 1
1I f dx
x x
nằm trong khoảng nào ?
A. (3;4) B. (1;3) C. (– 6;– 2) D. (– 3;0)
Câu 14. Hàm số
f x
liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
4 3
1 8 3 2020
f x dx x x
. Ký hiệu
4
8
3
(8 3)M f x dx
. Hỏi M có bao nhiêu ước nguyên dương ?
A. 28 B. 20 C. 30 D. 18
Câu 15. Cho hàm số
f x
liên tục và có đạo hàm trên đoạn [1;3] thỏa mãn điều kiện
3 5, 1;3
f x x
.
Giả sử tồn tại hai số thực a và b sao cho
3 1 , 1;3
a f f b x
. Tính giá trị của tổng
S a b
.
A. 16 B. 15 C. 17 D. 8
Câu 16. Hàm số
f x
liên tục trên R thỏa mãn
6
1
4
f x dx
. Tính tích phân
1,5
1
3 4
0 0,5
1 4
I x f x dx f x dx
.
A. 4 B. 0,5 C. 2 D. 1
Câu 17. Cho hàm số
f x
liên tục, có đạo hàm trên đoạn [2;4] thỏa mãn điều kiện
2 4 , 2;4
x f x x x
.
Giả sử tồn tại hai số thực a và b sao cho
4 2 , 2;4
a f f b x
. Tính giá trị của tổng
S a b
.
A. 36 B. 40 C. 50 D. 15
Câu 18. Cho
f x
liên tục trên R, có đạo hàm trên đoạn [1;2] và
3 3
2 1 3
f f
. Tính
2
2
1
.
I f x f x dx
.
A. 4 B. 0,5 C. 2 D. 1
Câu 19. Cho hàm số
f x
liên tục trên R, có đạo hàm trên [0;3] thỏa mãn
3
1
6
f x dx
. Tính tích phân
1 4
2
0 2
(2 1) 1 2 ( 2)I x f x x dx f x dx
.
A. 12 B. 18 C. 6 D. 2
Câu 20. Cho hàm số
f x
liên tục và có đạo hàm trên R có
2
(3 1) 9 6 1f x dx x x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
hàm số
( 1) ( )f x dx f x
.
A. – 8 B. – 9 C. 2 D. 1
Câu 21. Cho hàm số
f x
liên tục trên R thỏa mãn
2
0
cos . (sin ) 4
x f x dx
. Tính giá trị của tích phân
1 4
3 4
0 3
1
1 4 1 ( 2)
4
I x f x x dx f x dx
.
A. 4 B. 0,5 C. 2 D. 1
Câu 22. Cho hàm
f x
liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn
5
2
6f x dx a
. Tính
1
2
0
3 2
xf x dx
.
A. a B. 0,5a C. 2a D. 4a
Câu 23. Cho hàm
f x
liên tục trên R thỏa mãn
4
2
0
(2cos 1) (sin 2 )
2
a
x f x dx
. Tính
1
2
0
(4 1) (2 )x f x x dx
.
A. a B. 0,5a C. 2a D. 4a
_________________________________
5
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG TỪNG PHẦN, VI PHÂN – A2)
__________________________________________________
Câu 1. Cho
,
f x g x
là các hàm số liên tục trên R và có đạo hàm trên đoạn [1;4] thỏa mãn đồng thời các điều
kiện
4
1
1 . 1 1; 4 . 4 5; 2
f g f g g x f x dx
. Tính
4
1
.
g x f x dx
.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 2. Cho các hàm
,
f x g x
liên tục trên R và có đạo hàm trên đoạn [1;3] thỏa mãn đồng thời các điều kiện
3 3
1 1
1 . 1 1; 3 . 3 3; 4
f g f g g x f x dx g x f x dx
. Tính
3 3
1 1
3 4
S g x f x dx g x f x dx
.
A. 5 B. 11 C. 12 D. 13
Câu 3. Cho hàm số
f x
liên tục trên R sao cho
10 3
1 1
6; (2 1) 2
f x dx f x dx
. Tính
ln11
ln6
( 1)
x x
e f e dx
.
A. 8 B. 2 C. 6 D. 4
Câu 4. Hàm số
f x
liên tục trên R:
8 4
0 0
6; 4 3
f x dx f x dx
. Tính
1 π
0 π
4 4 9 sin . (6 cos )f x dx x f x dx
A. 4 B. 19 C. 75 D. 3
Câu 5. Cho hàm số
f x
liên tục trên R sao cho
10 2 1
0 0 0
6; 5 1; 7 1
f x dx f x dx f x
. Tính tích phân
5 10
0 8
T f x dx f x dx
.
A. 9 B. 6 C. 4 D. 5
Câu 6. Cho hàm số
f x
liên tục trên R sao cho
8
3
( 3) ( ) 25
x f x dx
và
33 (8) 18 (3) 83
f f
. Tính
8
3
( )f x dx
.
A. 83 B. 38 C.
8
3
D.
83
3
Câu 7. Cho hàm số
f x
liên tục trên R sao cho
2
0
sin . ( ) 4; 3
2
x f x dx f
. Tính
2
0
cos . ( )x f x dx
.
A. 7 B. – 1 C. 4 D. – 2
Câu 8. Cho
f x
liên tục trên R sao cho
(0) (1) 1
f f
. Tính
1
0
( ) ( )
x
e f x f x dx
.
A. 2e B. e – 1 C. 2e + 1 D. e + 1
Câu 9. Cho
f x
liên tục trên R;
3
0
3 1 2; 10 3 0 11
x f x dx f f
. Tính
1 9
0 0
3
3
x
K f x dx f
.
A. 10 B. 3 C. – 2 D. 12
Câu 10. Cho
f x
liên tục trên R sao cho
(1) (0)f f e
. Khi đó
1
2 2
0
( ) 2 ( )
x x
e f x e f x dx
thuộc khoảng
A. (14;18) B. (0;4) C. (5;10) D. (10;15)
Câu 11. Cho
f x
liên tục trên R sao cho
2
0
1 14;3 2 0 10
x f x dx f f
. Tính
4
0
2
x
f dx
.
A. – 4 B. 3 C. – 8 D. – 2
Câu 12. Cho
f x
liên tục trên R sao cho
3
0
3 6; 2 3 0 1
x f x dx f f
. Tính
1
0
3
f x dx
.
A. – 1 B. – 3 C. – 2 D. 2
Câu 13. Cho
f x
sao cho
π
4
0
(tan 1) ( ) 2
x f x dx
và
π
2 (0) 3
4
f f
. Tính
π
4
2
0
(tan 1) ( )x f x dx
.
6
A. 2 B. 1 C. 3 D. 1,5
Câu 14. Cho
f x
thỏa mãn
3
1
( )
4; (1) 1; (3) 3
3 1
f x
dx f f
x
. Tính
3
1
ln(3 1) ( )x f x dx
.
A. 8ln2 – 12 B. 8ln2 C. 6ln2 – 12 D. 2ln8 + 4
Câu 15. Cho
f x
thỏa mãn
4
0
2 1. ( ) 5
x f x dx
và
3 (4) (0) 4
f f
. Tính
3
2
1
1
2
x
f dx
.
A. 2 B. 1 C. – 1 D. – 2
Câu 16. Cho
f x
liên tục trên R;
1
2
0
4 1; 5 1 4 0 3
x f x dx f f
. Tính
1
0
( )K f x dx
.
A. 1 B. 0,5 C. – 2 D. 2
Câu 17. Cho
f x
liên tục trên R;
1
3
0
4 5 8; 2 1 0 8
x x f x dx f f
. Tính
1
2
0
(3 4)
Q x f x dx
.
A. 14 B. 32 C. 69 D. 21
Câu 18. Cho
f x
liên tục trên R sao cho
4
1
1 1; 3 4 2 1 10
x f x dx f f
. Tính
4
1
f x
Z dx
x
.
A. 18 B. 13 C. 41 D. 23
Câu 19. Cho
f x
liên tục trên R sao cho
4
2 8 2
1
( 4 ) 1; ( 8) (4) ( 4) (0) 3
x
e x f x dx e f e f
.
Tính tích phân
4
2
1
1
( ) ( )
x
e f x dx
x
.
A. 1 B. 0,5 C. 2 D. 3
Câu 20. Cho
f x
liên tục trên R sao cho
12
0
2 1 4; 17 12 0 10
x x f x dx f f
.
Tính tích phân
12
0
1
1
2 1
I f x dx
x
.
A. 18 B. 6 C. 41 D. 23
Câu 21. Cho
f x
liên tục trên R;
2
2
1
( 1) 3; (2) 4x f x dx f e
. Khi đó
2
3
1
( 1) ( )x f x dx
thuộc khoảng
A. (0;1) B. (1;2) C. (3;5) D. (6;10)
Câu 22. Hàm số
f x
thỏa mãn
2
3
1
( 2 ) 5; 8 2 3 1 5
f x d x x f f
. Tính
2
3
1
2 4
x x f x dx
.
A. 3 B. 2 C. 4 D. 0
Câu 23. Cho
f x
liên tục và có đạo hàm trên đoạn [1;4] thỏa mãn điều kiện
3 1, 1;4
x f x x x
.
Giả sử tồn tại hai số thực a và b sao cho
4 1 , 1;4
a f f b x
. Tính giá trị của tổng
S a b
.
A.
65
3
B.
65
4
C. 5 D.
2
3
__________________________________________
7
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG TỪNG PHẦN, VI PHÂN – A3)
__________________________________________________
Câu 1. Hàm số
y f x
thỏa mãn
π
2
2
0
sin 2 . ( ) 4
x x f x
và
2
π
(0) 12
4
f f
. Tính
π
2
2
0
cos2 . ( )x f x
.
A. 4 B. 2 C. 6 D. 3
Câu 2. Hàm số
y f x
thỏa mãn
5
2
( ) 4; (5) 3; (2) 2
f x f f
. Tính
2
3 2
1
( 1)x f x dx
.
A. 3 B. 4 C. 1 D. 6
Câu 3. Hàm số
y f x
thỏa mãn
2017 2018
( ) 2018 ( ) 2018.
x
f x f x x e
. Tính f (1).
A. 2019
2018
e
B. 2018
2018
e
C. 2017
2018
e
D. 2018
2018
e
Câu 4. Cho hàm số liên tục f (x) và g (x) có nguyên hàm tương ứng là F (x) và G (x) trên đoạn [1;2].
Biết rằng F (1) = 1; F (2) = 4, G (1) = 1,5; G (2) = 2 và
2
1
67
( ) ( )
12
f x G x dx
. Tính
2
1
( ) ( )g x F x dx
.
A.
11
12
B.
145
12
C.
145
12
D.
11
12
Câu 5. Hàm số
y f x
liên tục trên R thỏa mãn
3
( ) (1 ) (1 )f x f x x x
và f (0) = 0. Tính
2
0
2
x
.
A. – 0,1 B. 0,05 C. 0,1 D. – 0,05
Câu 6. Hàm số
y f x
liên tục trên R thỏa mãn
1
0
1
(1 ) ( )
2
xf x f x dx
. Tính f (0).
A. – 1 B. 0,5 C. – 0,5 D. 1
Câu 7. Hàm số
y f x
liên tục trên R thỏa mãn f (4) = 1 và
1
0
(4 ) 1xf x dx
. Tính
4
2
0
( )x f x dx
.
A. 15,5 B. – 16 C. 8 D. 14
Câu 8. Hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn
1
0
1f x dx
. Tính
4
2
0
tan 1 tan
x f x dx
.
A. 1 B. – 1 C.
4
D. –
4
Câu 9. Hàm số
y f x
liên tục trên R thỏa mãn
3
0
(2 4) 8; (2) 2
xf x dx f
. Tính
1
2
(2 )f x dx
.
A. – 5 B. – 10 C. 5 D. 10
Câu 10. Hàm số
y f x
liên tục trên [1;2] và
2
1
( 1) ( )
x f x dx a
. Tính
2
1
( )f x dx
theo a và b biết f (2) = b.
A. b – a B. a – b C. a + b D. – a – b
Câu 11. Hàm số
y f x
thỏa mãn
1
0
(3 1) ( ) 2019; 4 (1) (0) 2020
x f x dx f f
. Tính
1
3
0
(3 )f x dx
.
A. 3 B. 1 C.
1
9
D.
1
3
Câu 12. Hàm số
y f x
liên tục trên R thỏa mãn f (2) = 16 và
2
0
( ) 4
f x dx
. Tính
1
0
.
A. 13 B. 12 C. 20 D. 7
8
Câu 13. Hàm số
y f x
liên tục trên R thỏa mãn
2
0
sin ( ) (0) 1
xf x dx f
. Tính
2
0
cos ( )xf x dx
.
A. 1 B. 0 C. 2 D. – 1
Câu 14. Hàm số
y f x
liên tục trên
0;
4
thỏa mãn
4 4
0 0
( )
3; 1; sin .tan . ( ) 2
4 cos
f x
f dx x x f x dx
x
.
Tính
4
0
sin ( )xf x dx
.
A. 4 B. 6 C.
3 2
1
2
D.
1 3 2
2
Câu 15. Hai hàm số
( ); ( )y f x y g x
liên tục trên R thỏa mãn
(0). (2) 0; ( ) ( ) ( 2)
x
f f g x f x x x e
.
Tính giá trị tích phân
2
0
( ) ( )g x f x dx
.
A. – 4 B. e – 2 C. 4 D. 2 – e
Câu 16. Hàm số
y f x
liên tục trên R thỏa mãn f (3) = 21 và
2
1
( 1) 9
f x dx
. Tính
1
0
(3 )xf x dx
.
A. 15 B. 12 C. 9 D. 6
Câu 17. Hàm số
y f x
liên tục trên R thỏa mãn
2
1
( 1) ( ) 9
x f x dx
và f (2) + f (0) = 3. Tính
2
0
( )f x dx
.
A. 12 B. – 12 C. – 6 D. 6
Câu 18. Cho
f x
liên tục trên R sao cho
3
0
2 3 3;3 3 0 3
x f x dx f f
. Tính
1
2
0
6
I f x dx
A. – 1 B. 3 C. 0,5 D. 2
Câu 19. Cho
f x
liên tục trên R;
1
2
0
2 3 1; 2 1 0 1
x x f x dx f f
. Tính
1
2
0
1
2
T f x d x x
.
A. 1 B. 0,5 C. – 2 D. 2
Câu 20. Cho
f x
thỏa mãn
1
2
0
3 4 1; 2 1 0 3
x x f x dx f f
. Tính
1
0
2 3
K x f x dx
.
A. 11 B. 5 C. – 20 D. 21
Câu 21. Hàm số
f x
thỏa mãn
3
2
2
1 26 7
5; 3 1 10
3 2
x f x dx f f
x
. Tính
3
2
2
1
2
F x f x dx
x
.
A. – 5 B. 5 C. 1 D. 4
Câu 22. Cho tích phân
2
0
cos sin 8
xf x dx
. Tính
2
0
sin . cos
x f x dx
.
A. – 8 B. 4 C. 8 D. 16
___________________________________
9
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG TỪNG PHẦN, VI PHÂN – A4)
__________________________________________________
Câu 1. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
thỏa mãn
3
3 1 2 3f x x x
. Tính
5
1
f x dx
.
A. 24,5 B. 30,5 C. 16,5 D. 8,5
Câu 2. Hàm số
y f x
liên tục trên
thỏa mãn
3
( 1) 2
f x x
. Tính
ln9
0
( ).
x x
f e e dx
A. 28 B. 25 C. 15 D. 10
Câu 3. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
thỏa mãn
3
3 7 3f x x x
. Tính
21
11
f x dx
.
A. 30,15 B. 12,25 C. 47,25 D. 8,25
Câu 4. Hàm số
y f x
liên tục trên
thỏa mãn
( sin )
f x x x
. Tính a + b biết
2
2
0
( )
f x dx b
a
.
A. a + b = 9 B. a + b = 3 C. a + b = 6 D. a + b = 5
Câu 5. Cho hàm số
y f x
thỏa mãn
3
5 5f x x x
. Tính tích phân
6
0
2 1
K x f x dx
.
A. 4,5 B. 3,5 C. 4,25 D. 10
Câu 6. Cho hàm số
y f x
thỏa mãn
3
4 7 4
f x x x
. Tính tích phân
12
7
4 3
I x f x
.
A. 20 B. 83 C. 34 D. 50
Câu 7. Hàm số
y f x
thỏa mãn
3 2
3 5 3f x x x x
. Giá trị
2
2
1
( 1)xf x dx
gần nhất với
A. 2 B.
C. 2
D. 3e
Câu 8. Hàm số
y f x
liên tục trên
thỏa mãn
5
1 2
f x x x
. Tính
33 37
1 5
4
f x dx f x dx
.
A. 696 B. 200 C. 236 D. 120
Câu 9. Hàm số
y f x
liên tục trên
thỏa mãn
2
( )
x x
f xe e
. Tính a + b biết
3
0
( )
9
e
ae b
f x dx
, a và b
nguyên dương.
A. a + b = 9 B. a + b = 7 C. a + b = 10 D. a + b = 12
Câu 10. Hàm số
y f x
liên tục trên
thỏa mãn
5
4 1 1f x x x
. Tính
39
4
x f x dx
.
A. 420 B. 846 C. 250 D. 137
Câu 11. Hàm số
y f x
thỏa mãn
( 2 1) 1f x x x
. Tính a + b biết
8
2
( )
a
f x dx
b
với b nguyên tố, a
và b nguyên dương.
A. a + b = 73 B. a + b = 19 C. a + b = 45 D. a + b = 32
Câu 12. Hàm số
y f x
liên tục trên
1;

thỏa mãn
2
3
3
1
1
x
f x x
x
. Khi đó
27
7
f x dx
gần nhất
với giá trị nào sau đây
A. 43 B. 28 C. 50 D. 36
Câu 13. Hàm số
y f x
liên tục trên
\ 0
thỏa mãn
3
4
( 5) 2
f x x
x
. Khi đó
58
1
( )f x dx
gần nhất
với
A. 321 B. 296 C. 184 D. 157
10
Câu 14. Cho hàm số
y f x
thỏa mãn
3
3 1 3 2f x x x
. Tính tích phân
5
1
I xf x dx
.
A.
5
4
B.
17
4
C.
33
4
D. – 1761
Câu 15. Cho hàm số
y f x
thỏa mãn
2
( ) 4
x
f e x
. Biết
2
1
(7 ) 7
( )
e
a
e a
f x dx
b
, hỏi a – b gần nhất
giá trị nào ?
A. 0 B. 13,8 C. 10,5 D. 11,3
Câu 16. Cho hàm số
y f x
thỏa mãn
3
6 1 5 1f x x x
. Tính tích phân
8
1
4
xf x dx
.
A. 30 B. 85 C. – 20 D. – 17
Câu 17. Cho hàm số
y f x
thỏa mãn
(sin ) 1f x x
. Tính
1
2
0
(4 1) (2 )x f x x dx
.
A. 0,5
B.
C. 2
D. 0,25
Câu 18. Cho hàm số
y f x
thỏa mãn
3 2
4 7 5 2
f x x x x
. Tính tích phân
13
7
12
xf x dx
.
A. 575 B. 830 C. 200 D. 325
Câu 19. Cho hàm số
y f x
thỏa mãn
( tan )
x
f x x e
. Hỏi
1
4
0
( )f x dx
gần nhất giá trị nào sau đây
A. – 1,57 B. 2,78 C. – 6,24 D. – 5,67
Câu 20. Cho hàm số
y f x
thỏa mãn
3
( )
x
f x x e
. Tính
2
0
(3 1) ( )x f x dx
.
A. e + 10 B. 13 – 4e C. 20 – 5e D. 3e + 4
Câu 21. Cho hàm số
y f x
thỏa mãn
3
(3 2 1) cosf x x x
. Khi đó
39
2
( 1) ( )x f x dx
gần nhất giá trị nào
sau đây ?
A. 4,06 B. 1,23 C. – 6,11 D. – 4,75
Câu 22. Cho hàm
y f x
thỏa mãn điều kiện
3 2
4 7 4 7
f x x x x
. Tính
12
7
15 1
I x f x dx
.
A. 820 B. 701 C. 49 D. 250
Câu 23. Hàm số
y f x
thỏa mãn
2 2
(2 2 1) cosf x x x x
.
Xét tích phân
47
1
(2 1) ( ) cos5 cos1x f x dx a b c
. Khi đó a + b + c – 1010 gần nhất giá trị nào ?
A. 96 B. 69 C. 821 D. 1993
_________________________________
11
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG TỪNG PHẦN, VI PHÂN – A5)
__________________________________________________
Câu 1. Cho
2017
0
( ) 2
f x dx
. Tính
2017
1
2
2
0
ln( 1)
1
e
x
f x dx
x
.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 2. Cho
1
0
( ) 12
f x dx
. Tính
8
0
(tan 2 )
1 4cos4
f x
dx
x
.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 2
Câu 3. Cho
2
1
( ) 10
f x dx
. Tính
1
0
( 3 1)
3 1
f x
dx
x
.
A.
20
3
B.
10
3
C.
8
3
D.
40
3
Câu 4. Cho
2
0
( ) 4
f x dx
. Tính
12
2
0
(2tan3 )
cos 3
f x
dx
x
.
A.
1
3
B.
2
3
C.
4
3
D.
8
3
Câu 5. Hàm số f (x) liên tục trên [1;2] và
2
1
1
x f x dx a
. Tính
2
1
f x dx
theo a và f (2).
A. a – f (2) B. f (2) – a C. a + f (2) D. – f (2) – a
Câu 6. Hàm số f (x) liên tục trên R và
3
2
1 0
ln
7; cos .sin 3
e
f x
dx f x xdx
x
. Tính
3
1
2
f x x dx
.
A. 12 B. 15 C. 10 D. – 10
Câu 7. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (1) = 1 và
1
0
1
3
f t
. Tính
2
0
sin 2 . sin
x f x dx
.
A.
1
3
B.
2
3
C.
2
3
D.
4
3
Câu 8. Tính đạo hàm của hàm số f (x) nếu
0
x
f t f x
te dt e
.
A.
f x x
B.
2
1
f x x
C.
1
f x
x
D.
1
1
f x
x
Câu 9. Cho
2
0
(1 2 ) ( ) 3 ( ) (0) 2016
x f x f x f
. Tính
1
0
(2 )f x dx
.
A. 4032 B. 1008 C. 0 D. 2016
Câu 10. Hàm f (x) có đạo hàm trên R thỏa mãn
1
0
(2 1) ( ) 10; (1) (0) 8
x f x dx f f
. Tính
1
0
( )f x dx
.
A. 2 B. 1 C. – 1 D. – 2
Câu 11. Cho
f x
liên tục trên R sao cho
10 2 9
0 1 0
10; 2 1 3; 3
3
x
f x dx f x dx f dx
. Tính
5
2,5
2
M f x dx
.
A. – 1 B. – 2 C. 1,5 D. 4
Câu 12. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
10 5 5 1
0 0 4 0
10; 1 9; 2 8; 1 7
f x dx f x dx f x dx f x dx
.
12
Tính
10
7
T f x dx
.
A. – 14 B. – 12 C. 10 D. 6
Câu 13. Hàm số f (x) thỏa mãn f (0) = f (1) = 1 và
1
0
x
e f x f x dx ex b
. Tính
2018 2018
Q a b
.
A. Q = 8 B. Q = 6 C. Q = 4 D. Q = 2
Câu 14. Hàm số f (x) liên tục trên
0;

và thỏa mãn
2
0
( ) cos
x
f t dt x x
. Tính f (4).
A. 123 B. 0,75 C. 0,25 D. 1
Câu 15. Hàm số f (x) thỏa mãn
( )
2
0
cos
f x
t dt x x
. Tính f (4).
A. – 1 B.
3
12
C. 0,5 D.
2 3
Câu 16. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;2] và
2
0
( ) 1 (2)x f x dx f
. Tính
2
0
( )f x dx
.
A. 1 B. 2 C. – 1 D. – 2
Câu 17. Cho hàm số
2
1
( ) sin
x
F x t dt
với x > 0. Tính
( )F x
.
A. sinx B.
sin
2
x
x
C.
2sin x
x
D.
sin
x
Câu 18. Biết
2
0
cos , 0
x
f t dt x x x x
. Tính f (4).
A. 1 B. – 0,25 C. – 1 D. 0,25
Câu 19. Hai hàm số f (x), g (x) có đạo hàm trên [1;4] và thỏa mãn
1 1 1 1
. ; .f x g x
g x f x
x x x x
,
ngoài ra f (1) = 2g(1) = 2. Tính
4
1
( ). ( )f x g x dx
.
A. 4ln2 B. 4 C. 2ln2 D. 2
Câu 20. Hàm f (x) xác định trên
\ 0
và
2 4
cos
2017 2018
x
f x
x x
; f (2) = a; f (– 6) = b. Tính f (– 2) – f (6).
A. 2017a – 2018b B. b – a C. a – b D. – a – b
Câu 21. Hàm số f (x) liên tục, tồn tại đạo hàm cấp 2 trên R và
1
2
0
2,5
x x f x dx
.
Biết rằng f (0) = 0, f (1) = 1,5 và
1 5
f
. Tính
1
0
f x dx
.
A. – 5 B. – 1,5 C. – 1 D. 0,5
Câu 22. Hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn f (2) = – 2;
2
0
1f x dx
. Tính
4
0
f x dx
.
A. – 10 B. – 5 C. 0 D. – 18
_________________________________
13
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG TỪNG PHẦN, VI PHÂN – A6)
__________________________________________________
Câu 1. Hàm số f (x) liên tục, nhận giá trị dương trên R thỏa mãn f (0) = 1 và
2
1
f x
x
f x x
. Khi đó giá trị của
biểu thức
2 2 1f f
thuộc khoảng
A. (2;3) B. (7;9) C. (0;1) D. (9;12)
Câu 2. Cho hàm số
4 3 2
4 2 1f x x x x x
. Tính tích phân
1
2
0
f x f x dx
.
A. 2 B. – 2 C.
2
3
D. –
2
3
Câu 3. Hàm số y = f (x) dương có đạo hàm trên
0; 3
thỏa mãn
2
1. 0
f x x f x
và
3
.
Tính tích phân
3
0
ln
f x dx
.
A.
2 3
B.
7
3 3
3
C.
7
3 3
3
D.
3 3 2
Câu 4. Hàm số f (x) liên tục trên
0;

và
2
0
sin
x
f t dt x x
. Tính f (4).
A.
4
2
f
B.
4
4
f
C.
1
4
4
f
D.
1
4
2
f
Câu 5. Hàm số f (x) liên tục trên [0;1] và
f x
liên tục trên [0;1], f (1) = 4. Tính
3
1
2
0
3
x f x
x f x dx
.
A. – 1 B. 1 C.
1
3
D.
4
3
Câu 6. Hàm số f (x) liên tục trên R và f (2) = 16,
2
0
4
f x dx
. Tính
4
0
2
x
xf dx
.
A. 12 B. 112 C. 28 D. 144
Câu 7. Cho
f x
liên tục trên R;
3
2
1 8 3
20; 3 1 10
3 2
x f x dx f f
x
. Tính
3
2
2
1
1
S f x dx
x
.
A. – 20 B. – 10 C. 15 D. 12
Câu 8. Cho các hàm số
,
f x g x
liên tục trên R, có đạo hàm trên đoạn [1;3] thỏa mãn đồng thời các điều kiện
2 2
3 3
1 1
1 . 1 1; 3 . 3 3; 2
f g f g g x f x dx g x f x dx
.
Tính tích phân
3 3
1 1
3 4
S g x f x dx g x f x dx
.
A. 10 B. 7 C. 6 D. 5
Câu 9. Tính
3
1
.
g x f x dx
, trong đó
,
f x g x
là các hàm số liên tục trên R và có đạo hàm trên đoạn [1;3]
thỏa mãn đồng thời các điều kiện
3
1
1 . 1 1; 3 . 3 3; 2
f g f g g x f x dx
.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 10. Hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (1) = 4,
2
1
1 3
f x dx
. Tính
1
3 2
0
x f x dx
.
A. – 0,5 B. 0,5 C. – 1 D. 1
14
Câu 11. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn
9
1
4
f x
dx
x
và
2
0
sin cos 2
f x xdx
. Tính
3
0
f x dx
.
A. 2 B. 6 C. 10 D. 4
Câu 12. Hàm f (x) liên tục trên R thỏa mãn
1
2
4
2
0 0
( )
(tan ) 4; 2
1
x f x
f x dx dx
x
. Khi đó
1
0
( )f x dx
thuộc khoảng
A. (5;9) B. (3;6) C. (1;4) D.
( 2;5)
Câu 13. Hàm số y = f (x) xác định trên khoảng
0;
2
có
0
4
f
và đạo hàm cấp hai
2
1
cos
f x
x
.
Tính giá trị biểu thức
3 6
f f
.
A.
3
6
B.
ln 3
6
C.
3
2
D.
2 3
3
Câu 14. Hai hàm số f (x), g (x) có đạo hàm trên [1;4] thỏa mãn đồng thời
;
g x xf x f x xg x
,
ngoài ra f (1) + g (1) = 4. Tính
4
1
( )f x g x dx
.
A. 3ln2 B. 6ln2 C. 4ln2 D. 8ln2
Câu 15. Hàm số y = f (x) liên tục trên R sao cho
2
2
4
0
( ) 1
x
x
f x dt e x
với mọi x. Tính f (4).
A.
4
e
+ 4 B. 4
4
e
C.
4
e
+ 8 D. 1
Câu 16. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (1) = 1,
1
0
f x dx
= 2. Tính
1
0
f x dx
.
A. 3 B. – 2 C. 1 D. 4
Câu 17. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn
1
2
0
( ) 12; 2 (1) (0) 2
x f x dx f f
.
Tính
1
0
f x dx
.
A. 10 B. 14 C. 8 D. 5
Câu 18. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn
3
( )
0
( ) 8; (3) ln3
f x
xf x e dx f
. Tính
3
( )
0
f x
e dx
.
A. 1 B. 11 C. 8 – ln3 D. 8 + ln3
Câu 19. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn
( ) 4
b
a
xf x dx
và a, b là các số thực dương.
Biết rằng
( ) 2; ( ) 3; ( ) ( )f a f b f a f b
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
4 9
3 1 2 3
a b
P
a a
.
A.
23
20
B. 2 C.
25
6
D. 2,5
_________________________________
15
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG TỪNG PHẦN, VI PHÂN – A7)
__________________________________________________
Câu 1. Hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên R. Biết
( )g x
là một nguyên hàm của hàm số
2
( )
x
y
x g x
sao
cho
2
1
( ) 1; 2 (2) (1) 2
g x dx g g
. Tính tích phân
2
2
2
1
( )
x
dx
x g x
.
A. 1,5 B. 1 C. 3 D. 2
Câu 2. Cho hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1
2
0
1
(1) 0; ( )
3
f x f x dx
. Tính
1
3
0
.
A. 1 B. – 1 C. 3 D. – 3
Câu 3. Tính
1
2
3
2
0
( )
4 9 ( ) 1993
x
d x
x f x
biết hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên R. Biết
( )g x
là một nguyên
hàm của hàm số
2
2
4 9 ( ) 1993
x
x f x
thỏa mãn điều kiện
1
0
4 9
( ) ; (1)
9 4
xg x g
.
A. 49 B.
49
12
C.
5
7
D.
49
13
Câu 4. Cho hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên
0;
2
thỏa mãn
2
2
0
( )cos 10; (0) 3
f x xdx f
.
Tính tích phân
2
0
( )sin 2
f x xdx
.
A. – 13 B. 13 C. 7 D – 7
Câu 5. Cho hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn
1
2
2
0 0
(2 1) 12; (sin ).sin 2 3
f x dx f x xdx
.
Tính tích phân
3
0
( )f x dx
.
A. 26 B. 22 C. 27 D. 15
Câu 6. Hàm số
( )f x
thỏa mãn
(1) 1; (2) 4
f f
. Tính
2
2
1
( ) 2 ( ) 1f x f x
dx
x x
.
A. ln4 + 1 B. 4 – ln2 C. ln2 – 0,5 D. ln4 + 0,5
Câu 7. Hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn
2
1
( )ln( ( )) 1; (1) 1, (2) 1
f x f x dx f f
.
Tính f (2).
A. 2 B. 3 C. e D. e
2
Câu 8. Hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên R,
( )
2 3
f x
f x e x
; f (0) = ln2. Tính
2
1
( )f x dx
.
A. 6ln2 + 2 B. 6ln2 – 2 C. 6ln2 – 3 D. 6ln2 + 3
Câu 9. Hàm f (x) có đạo hàm liên tục trên [1;2],
2 2
1 1
( )
0, 1;2 ; ( ) 10; ln 2
( )
f x
f x x f x dx
f x
. Tính f (2).
A. – 10 B. 20 C. 10 D. – 20
Câu 10. Hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn
3
(2 ) 1f x x x
. Tính
3
0
( )f x dx
.
A. 1 B. – 1 C. 0 D. 2
16
Câu 11. Hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn
3
( 2)f x x x
. Tính
8
0
( )f x dx
.
A. 7 B. 14 C. 12,75 D. 3104
Câu 12. Hàm số f (x) thỏa mãn
1
0
( )
1; (1) 2 (0) 2
1
f x
dx f f
x
. Tính tính phân
1
2
0
( )
( 1)
f x
dx
x
.
A. 0 B. 3 C. 1 D. – 1
Câu 13. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
2
1
( 1) 3; (1) 4
f x dx f
. Tính
1
3 2
0
( )x f x dx
.
A. – 1 B. 0,5 C. – 0,5 D. 1
Câu 14. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn
1
2
0
( ) 12; 2 (1) (1) 2
x f x dx f f
.
Tính tích phân
1
0
( )f x dx
.
A. 10 B. 14 C. 8 D. 5
Câu 15. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn
1
0
(3) 1; (3 ) 1f xf x dx
. Tính
3
2
0
( )x f x dx
.
A. 3 B. 7 C. – 9 D.
25
3
Câu 16. Hàm số G (x) thỏa mãn
2
0
( ) cos
x
G x tdt
với x > 0. Tính
( )G x
.
A.
2
( ) cosG x x x
B.
( ) cosG x x
C.
( ) 2 cosG x x x
D.
( ) cos 1G x x
Câu 17. Hàm số G (x) thỏa mãn
2
1
( ) 1
x
G x t dt
. Khi đó
(1) (2)
G G
gần nhất giá trị nào ?
A. 1,6 B. 2,5 C. 3,8 D. 5,2
Câu 18. Hàm số G (x) thỏa mãn
0
( ) cos( )
x
G x t x t dt
. Tính
2
G
.
A. – 1 B. 1 C. 0 D. 2
Câu 19. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn
1
2
0
(0) 0; (1) ; ( ) 1f f a xf x dx a
.
Tính tích phân
1
0
(2 1) ( )x f x dx
theo a.
A. – a – 4 B. 2a + 1 C.
3 1
2
a
D.
5 1
2
a
Câu 20. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn
(1) (1) 0; (0) 2018
f f f
.
Tính tích phân
1
0
( ).(1 )f x x dx
.
A. 2018 B. – 2018 C. – 1 D. 1
_________________________________
17
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG TỪNG PHẦN, VI PHÂN – A8)
__________________________________________________
Câu 1. Hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên
thỏa mãn f (5) = 1 và
1
0
(5 ) 1xf x dx
. Tính
1
2
0
( ) 1x f x dx
.
A. – 25 B. 15 C. 24,6 D. 23
Câu 2. Hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên liên tục trên
(0; )
thỏa mãn
1
0
(1) 5; (0) 1; ( ) 3
f f f x dx
.
Tính tích phân
1
1 ln
. (ln )
e
x
f x dx
x
.
A. e + 1 B. e – 1 C. 6 D. 8
Câu 3. Hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên
thỏa mãn
2
0
(2) 2; ( ) 1f f x dx
. Tính
4
0
( )f x dx
.
A. – 10 B. – 5 C. 0 D. – 18
Câu 4. Hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên
thỏa mãn
2
0
(0) 1; (2) 3; ( ) 3
f f f x dx
. Tính
1
0
.
A. 2 B. 0,75 C. 0,25 D. 1
Câu 5. Hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên
thỏa mãn
3
2
0
1
(3) ; ( ) 5
3
f x f x dx
. Tính
3
3
0
.
A. 5 B. 6 C. – 5 D. – 6
Câu 6. Hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên
và
2
2
( 2) 5; (4) 1
xf x dx f
. Tính
4
2
0
( ) 4 ( )x f x f x dx
.
A. – 6 B. 4 C. – 10 D. 6
Câu 7. Hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên
và
2
0
( )
3; (2) 2 (0) 4
2
f x
dx f f
x
. Tính
1
2
0
(2 )
( 1)
f x
dx
x
.
A. – 0,5 B. 0 C. – 2 D. 4
Câu 8. Hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên
thỏa mãn
3
1
(2) 3; ( 1) 4
f f x dx
. Tính
2
2
0
( )x f x dx
.
A. 8 B. 4 C. 10 D. 6
Câu 9. Hàm số
( )f x
liên tục trên
thỏa mãn
2 3 2
( 1) (4 1) 3 2x f x f x x x
. Khi đó
9
1
( )f x dx
gần nhất
giá trị nào ?
A. 17,14 B. 20,57 C. 1385,1 D. 2,4
Câu 10. Hàm số
( )f x
liên tục trên
thỏa mãn
2 5 3
4
( 2 6) 4 2f x f x x x
x
. Tính
4
2
( )f x dx
.
A. 24 B. – 24 C. 9 D. – 9
Câu 11. Hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên
(0; )
thỏa mãn
( )
( )ln 2
f x
f x x x
x
. Tính f (e).
A. e + 1 B. 2e – 3 C. e
2
– 1 D. 2e
2
– 7
Câu 12. Hàm số
( )f x
liên tục trên
(0; )
thỏa mãn
10
( 1) 12
3
x
f x x f x
. Tính
3
2
( )xf x dx
.
A. – 84 B. – 155,2 C. – 71,2 D. 50,5
Câu 13. Hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên
thỏa mãn
2 3 4 2
( ) ( ) 1
xf x x f x x
. Tính
1
0
( )f x dx
.
18
A. 1 B.
4
3
C.
16
9
D.
9
16
Câu 14. Hàm số
( )f x
liên tục trên
(0; )
thỏa mãn
2
(3 )
( 2) 4 2
f x
f x x x
x
. Tính
6
3
( )f x dx
.
A.
18
7
B. – 1,8 C. – 1,2 D. – 0,6
Câu 15. Hàm số
( )f x
liên tục trên
thỏa mãn
2 3
(3 1) ( 1) 2 (2 1)x f x x f x x
. Tính
11
1
( )f x dx
.
A. 60 B. 1,5 C. 4 D. 5
Câu 16. Hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên
(0; )
thỏa mãn
(2 1) (2 1)
2
x
x f x f x
x
.
Tính tích phân
3
1
( )f x dx
.
A. 2 – ln2 B. 2 + ln2 C. 1 – ln2 D. 3
Câu 17. Hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên
(0; )
thỏa mãn
2 2
1
( 3) (3 1) 4 3f x f x x x
x
. Khi đó
tích phân
7
4
( )xf x dx
gần nhất giá trị nào ?
A. 62,26 B. 72,12 C. – 332,8 D. – 2335,3
Câu 18. Hàm số
( )f x
liên tục trên
thỏa mãn
2 3 2
( 1) (7 7) 3x f x f x x x
. Tính
7
0
( )f x dx
.
A. – 4,55 B. – 2,68 C. – 8,25 D. – 5
Câu 19. Hàm số
( )f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
2 2 3 2
( ) 2 ( ) 3 ( ) 1
f x xf x x f x x
. Tính
1
0
( )f x dx
.
A.
4
B.
24
C.
36
D.
12
Câu 20. Hàm số
( )f x
liên tục trên
và
2 3 4 2
2 ( 1) 3 ( 1) 3 2 6 4
f x xf x x x x
. Tính
2
1
( )f x dx
.
A. 1,5 B. 1 C. 2 D. 2,5
Câu 21. Hàm số
( )f x
liên tục trên
thỏa mãn
3 2 10 6
( ) (1 ) 2xf x f x x x x
. Tính
0
1
( )f x dx
.
A. – 0,85 B. – 3,25 C. – 1 D. 4,25
Câu 22. Hàm số
( )f x
liên tục trên
( 2; ) 
và
1 1
(2 1) (3 8) ln( 2)
3 2
f x f x x x
. Tính
14
1
( )f x dx
.
A. 2,25 B. 3 C. 14,5 D.
10
3
_________________________________
19
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM NÂNG CAO – B1)
__________________________________________________
Câu 1. Giả sử hàm số
y f x
liên tục, đồng biến và nhận giá trị dương trên miền
0;

và thỏa
mãn điều kiện
2
4
2 ; 2
9
f f x x f x
. Giá trị của
8f
nằm trong khoảng nào sau đây ?
A. (130;150) B. (120;130) C. (200;250) D. (69;96)
Câu 2. Giả sử hàm số
y f x
liên tục, đồng biến và nhận giá trị dương trên
0;

và thỏa mãn
điều kiện
2
25
1 ; 3
4
f f x x f x
. Giá trị của
6f
nằm trong khoảng nào sau đây ?
A. (150;160) B. (120;130) C. (180;280) D. (69;96)
Câu 3. Giả sử hàm số
y f x
liên tục, đồng biến và nhận giá trị dương trên
0;

đồng thời thỏa
mãn điều kiện
1 1; 3 1f f x f x x
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. 1 < f (5) < 2 B. 2 < f (5) < 3 C. 3 < f (5) < 4 D. 4 < f (5) < 5
Câu 4. Giả sử hàm số
y f x
liên tục, nhận giá trị dương trên
0;

đồng thời thỏa mãn điều kiện
2 1; 4 1f f x f x x
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. 1 < f (5) < 2 B. 2 < f (5) < 3 C. 3 < f (5) < 4 D. 4 < f (5) < 5
Câu 5. Giả sử hàm số
y f x
liên tục, nhận giá trị dương trên
0;

đồng thời thỏa mãn điều kiện
4 1; 6 1f f x f x x
. Giá trị biểu thức
6 9
f f
nằm trong khoảng nào ?
A. (3;4) B. (10;16) C. (6;9) D. (23;32)
Câu 6. Giả sử hàm số
y f x
liên tục, nhận giá trị dương trên
0;

đồng thời thỏa mãn điều
kiện
2 2
2 5 ; 2 1
f e xf x x f x
. Giá trị biểu thức
6 9
f f
nằm trong khoảng nào ?
A. (69;96) B. (690;960) C. (200;450) D. (500;650)
Câu 7. Giả sử hàm số
y f x
liên tục, nhận giá trị dương trên
0;

đồng thời thỏa mãn điều
kiện
7 2
1 ; 2 1 2
f e x f x f x x x
. Giá trị
0,69
f
nằm trong khoảng nào ?
A. (69;96) B. (200;400) C. (400;600) D. (600;800)
Câu 8. Giả sử hàm số
y f x
liên tục, nhận giá trị dương trên
0;

đồng thời thỏa mãn điều kiện
2
2
2 4;
f f x x f x
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A.
6 9 350
f f
B.
2
100 100
f
C.
10 675
f
D.
2
f x x
Câu 9. Giả sử hàm số
y f x
liên tục, đồng biến, nhận giá trị dương trên
0;

và thỏa mãn điều
kiện
2
2
1
3 9; 1
1
f x
f
f x x
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A.
15 9 6 16
f f
B.
16 9 6 17
f f
C.
17 9 6 18
f f
D.
18 9 6 19
f f
Câu 10. Hàm số
y f x
liên tục trên
0;

và
2 5
2
1
; 2 1
2
f x
f x f e
f x
x
. Khi đó
A.
2
1258 3 1288
f
B.
2
1226 3 1236
f
C.
2
1010 3 1225
f
D.
2
1428 3 1527
f
Câu 11. Tính
4
f
nếu hàm số
y f x
liên tục, đồng biến trên
0;

và thỏa mãn điều kiện
1
1 ; 2 5
ln3
f x x f x f
.
A.
1
5
ln5
B.
1
5
ln 4
C.
1
6
ln 4
D.
1
7
ln 4
20
Câu 12. Giả sử hàm số
y f x
liên tục trên
và
2 2
2 1
. ; 2 3
3 3
f x f x x x f
. Mệnh đề
nào sau đây đúng ?
A.
3
69 4 96
f
B.
3
87 4 120
f
C.
3
140 5 160
f
D.
3
170 5 190
f
Câu 13. Giả sử hàm số
y f x
liên tục trên
và
2 3
3
. ; 1 3
f x f x x x f
. Giá trị của biểu
thức
3 3
2 3
f f
nằm trong khoảng nào ?
A.
3 3
140 2 3 160
f f
B.
3 3
170 2 3 190
f f
C.
3 3
190 2 3 270
f f
D.
3 3
300 2 3 360
f f
Câu 14. Cho hàm số
y f x
liên tục và nhận giá trị không âm trên
1;

thỏa mãn
2
2
2
1 0; 4 4 1
f x
f e f x x x
với mọi x thuộc
1;

.
Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A.
1 4 0
f
B.
0 4 1
f
C.
1 4 2
f
D.
2 4 3
f
Câu 15. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm, liên tục trên đoạn [1;2] và thỏa mãn
0, 1;2
f x x
.
Biết rằng
2
1
10
f x dx
và
2
1
ln 2
f x
dx
f x
. Tính f (2).
A. – 20 B. – 10 C. 10 D. 20
Câu 16. Hàm số
y f x
có đạo hàm, liên tục trên đoạn [– 1;1] và thỏa mãn
0,f x x
đồng
thời
2 0
f x f x
. Biết rằng
1 1
f
, tính
1
f
.
A. e
– 2
B. e
3
C. e
4
D. 3
Câu 17. Giả sử hàm số
y f x
liên tục, nhận giá trị dương trên miền
0;

và thỏa mãn đồng thời
2
2 3 0
f x x f x
;
1
1
6
f
. Tính
1 1 2 ... 2018
P f f f
.
A.
1009
2020
B.
2019
2020
C.
3029
2020
D.
4029
2020
Câu 18. Giả sử hàm số
y f x
có đồ thị (C), liên tục trên miền
0;

và thỏa mãn đồng thời
2
1; 0 0; 1 2 1
f x f f x x x f x
.
Tính hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
A. 4 B. 2 C. 1 D. 5
Câu 19. Giả sử hàm số
y f x
có đồ thị (C), liên tục và đồng biến trên [1;4], đồng thời thỏa mãn
2
3
2 ; 1
2
x xf x f x f
.
Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3 gần nhất giá trị nào sau đây ?
A. 5,9 B. 4,2 C. 8,3 D. 10,7
_________________________________
21
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM NÂNG CAO – B2)
__________________________________________________
Câu 1. Hàm số f (x) xác định trên
\ 1
thỏa mãn
1
( )
1
f x
x
và f (0) = 2017, f (2) = 2018.
Tính f (3) – f (– 1).
A. 1 B. ln2 C. ln4035 D. 4
Câu 2. Hàm số f (x) xác định trên
1
\
2
thỏa mãn
2
( )
2 1
f x
x
và f (0) = 1. Tính f (– 1) + f (3).
A. 4 + ln15 B. 3 + ln15 C. 2 + ln15 D. ln15
Câu 3. Hàm số f (x) xác định trên R sao cho
( ) 2 1f x x
và f (1) = 5. Biết rằng phương trình f (x) = 5 có hai
nghiệm a và b. Tính giá trị biểu thức
2 2
log log
a b
.
A. 1 B. 2 C. 0 D. 4
Câu 4. Hàm số f (x) xác định trên
1
\
3
thỏa mãn
3
( )
3 1
f x
x
và f (0) = 1,
2
2
3
f
. Tính f (– 1) + f (3).
A. 3 + 5ln2 B. 5ln2 – 2 C. 4 + 5ln2 D. 2 + 5ln2
Câu 5. Hàm số f (x) xác định trên
\ 0
thỏa mãn
2
3
3 1
x
f x
x x
và f (– 1) = 0, f (1) = 2. Tính f (– 2) – f (2).
A. 2 B. 2 + 2ln5 C. 2ln5 – 2 D. – 2
Câu 6. Hàm số f (x) xác định trên
\ 0;1
thỏa mãn
1
( 1)
f x
x x
;f (– 1) + f (2) = 0 và f (0,5) = 2.
Tính giá trị biểu thức
1
2 3
4
f f f
.
A. ln3 + 2 B. ln1,5 + 2 C.
2
ln 2
3
D. ln2 + 3
Câu 7. Hàm số f (x) xác định trên
0; \ e
thỏa mãn
1
(ln 1)
f x
x x
;
2
1
ln6
f
e
;
2
3
f e
.
Giá trị biểu thức
3
1
f f e
e
là
A. 3(ln2 + 1) B. 2ln2 C. 3ln2 + 1 D. ln2 + 3
Câu 8. Hàm số f (x) xác định trên
\ 2;2
thỏa mãn
2
4
( )
4
f x
x
và f – 3) = 0, f (0) = 1; f (3) = 2.
Tính giá trị biểu thức f (– 4) + f (– 1) + f (4).
A.
3
3 ln
25
B. 3 + ln3 C.
5
2 ln
3
D.
5
2 ln
3
Câu 9. Hàm số f (x) xác định trên
\ 1;5
thỏa mãn
2
1
4 5
f x
x x
; f (1) = 1;
ln 2
7
3
f
.
Giá trị biểu thức f (0) + f (– 3) gần nhất số nào sau đây ?
A. 1,38 B. 0,38 C. 3,31 D. 32,22
Câu 10. Hàm số f (x) xác định trên
\ 2;1
thỏa mãn
2
1
( )
2
f x
x x
và
1
( 3) (3) 0; (0)
3
f f f
.
Tính f (– 4) + f (– 1) – f (4).
A.
ln(2 )
3
e
B. 1 + ln80 C.
1 4
1 ln 2 ln
3 5
D.
1 8
1 ln
3 5
Câu 11. Hàm số f (x) xác định trên
\ 1;1
thỏa mãn
2
1
(1)
1
f
x
và f (– 3) + f (3) = 0,
1 1
2
2 2
f f
.
Tính f (0) + f (4).
A.
3
2 ln
5
B.
3
1 ln
5
C.
1 3
1 ln
2 5
D.
1 3
ln
2 5
Câu 12. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn
6
( ). ( ) 12 13
f x f x x
và f (0) = 2. Phương trình f (x) = 3 khi đó có
bao nhiêu nghiệm ?
22
A. 2 B. 3 C. 7 D. 1
Câu 13. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn
1
( ) 2; (0) 5; ln 0
4
x x
f x e e f f
.
Tính giá trị biểu thức f (– ln16) + f (ln4).
A. 15,5 B. 4,5 C. 2,5 D. 2
Câu 14. Hàm số f (x) xác định trên
\ 0
thỏa mãn
3 5
1
( )f x
x x
và f (1) = a; f (– 2) = b. Tính f (– 1) + f (2).
A. – a – b B. a – b C. a + b D. b – a
Câu 15. Hàm số f (x) xác định trên
\ 1;2
thỏa mãn
2
1
( )
3 2
f x
x x
và
3 45 1 3
(3) ln 6; 2 (3) (0) ln ; (0) ln 20
2 2 2 2
f f f f f f
.
Giá trị biểu thức
4 (3) 9 (0) 1993
f f
gần nhất số nào sau đây ?
A. 2019 B. 2015 C. 2018 D. 2020
Câu 16. Hàm số f (x) xác định trên
\ 0
thỏa mãn
2 4
1
( )f x
x x
và f (1) = a; f (– 2) = b. Tính f – 1) – f (2).
A. b – a B. a + b C. a – b D. – a – b
Câu 17. Hàm f (x) xác định trên
\ 0;2
thỏa mãn
2
1
( )
2
f x
x x
và
1 3
( 2) (4) 0; 2018
2 2
f f f f
.
Tính f (– 1) + f (1) + f (5).
A.
1
ln5 1009
2
B.
1 9
ln 1009
2 5
C.
1 9
ln 2018
2 5
D.
1 9
ln
2 5
Câu 18. Hàm số f (x) xác định trên
\ 2
thỏa mãn
3 1
( )
2
x
f x
x
và
(0) 1; ( 4) 2
f f
.Tính f (2) + f (– 3).
A. 12 B. ln2 C. ln2 + 10 D. 3 – 20ln2
Câu 19. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số
4 3
2 1
( )
2
x
f x
x x x
trên
0;

và F (1) = 0,5.
Tính giá trị biểu thức
(1) (2) ... (2019)
S F F F
.
A.
2019
2020
B.
2019.2021
2020
C.
1
2018
2020
D.
2019
2020
Câu 20. Hàm số f (x) xác định trên
3
\
e
và thỏa mãn
1
( )
(ln 3)
f x
x x
và
7 2
( ) 2ln 4; ( ) ln3
f e f e
.
Tính
8
( ) 2 ( )f e f e
.
A.
5
ln
9
B. ln2 C.
2
ln
7
D. 2ln2
Câu 21. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn
2 2
14 5
( ) 2; (ln3) ; ( ln 2)
3 2
x x
f x e e f f
.
Tính giá trị biểu thức
(ln5) ( ln 4)
f f
.
A. 11,55 B. 12,25 C. 10 D. 14,25
_________________________________
23
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM NÂNG CAO – B3)
__________________________________________________
Câu 1. Tính
ln 2
f
khi hàm số
y f x
xác định và liên tục trên tập số thực đồng thời thỏa mãn
2
1
0, ; , ; 0
2
x
f x x f x e f x x f
A. 0,25 B. ln2 + 0,5 C.
1
3
D.
2
1
ln 2
2
Câu 2. Tính
2
f
khi hàm số
y f x
liên tục, không âm trên miền
0;
2
và thỏa mãn đồng thời
2
. cos 1 ; 0 3
f x f x x f x f
.
A. 1 B.
2
C.
2 2
D.
2
2
Câu 3. Cho
y f x
liên tục, không âm trên [0;3], thỏa mãn
2
. 2 1 ; 0 0
f x f x x f x f
.
Tính
3f
.
A. 0 B.
7
C. 1 D.
3 11
Câu 4. Giả sử hàm số
y f x
thỏa mãn điều kiện
0,f x x
và
2
0 1;
1
f x
x
f
f x x
. Khi đó
giá trị
2 2 1f f
nằm trong khoảng nào ?
A. (2;3) B. (7;9) C. (0;1) D. (9;12)
Câu 5. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
và thỏa mãn
3
2 1 ; 0 1
x f x f x f
.
Tính tích phân
1
0
f x dx
.
A.
1
4
B.
5
6
C.
1
3
D.
2
3
Câu 6. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;4], đồng biến trên đoạn [1;4] và thỏa mãn đẳng
thức
2
2 , 1;4
x xf x f x x
. Biết rằng
3
1
2
f
, tính
4
1
f x dx
.
A.
1186
45
I
B.
1174
45
I
C.
1222
45
I
D.
1201
45
I
Câu 7. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm, liên tục trên đoạn [4;8], và thỏa mãn
0, 4;8
f x x
. Biết rằng
2
8
4
4
1 1
1; 4 ; 8
8 2
f x
f f
f x
. Tính
6f
.
A. 2 B.
2
3
C.
5
8
D.
1
3
Câu 8. Tính tích phân
1
0
f x dx
khi hàm số
y f x
có đạo hàm, đồng biến trên
và thỏa mãn các điều
kiện
2
0 1;
x
f f x e f x
.
A. e – 2 B. e – 1 C. e
2
– 1 D. e
2
– 2
Câu 9. Giả sử hàm số
y f x
có đồ thị (C), liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn đồng thời các điều kiện
2
9 9; 0 9
f x f x x f
. Tính
1 0
f f
.
24
A.
2 9ln 2
B.
1
9ln 2
2
C. 9 D.
2 9ln 2
Câu 10. Giả sử hàm số
y f x
, liên tục trên đoạn [0;2] và thỏa mãn đồng thời
2
3 3 9; 0 3
f x f x x f
.
Tính giá trị biểu thức
2 0
f f
.
A.
6 ln 27
B.
16 ln 4
C.
2 5ln5
D.
4 ln18
Câu 11. Giả sử hàm số
y f x
, liên tục trên đoạn [0;2] và thỏa mãn đồng thời
2
8 2 3 12
f x f x x
và
0 2
f
.
Tính giá trị biểu thức
2 0
f f
.
A.
16 ln 4
B. 3 C.
ln 4
D.
2 ln 6
Câu 12. Tính tích phân
3
1
f x dx
khi hàm số
y f x
liên tục trên
thỏa mãn điều kiện
2
2
1 2 1 2 ,
1
x
f x f x x
x
.
A.
2
2
I
B.
1
4
I
C.
1
2 8
I
D.
4
I
Câu 13. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm không âm trên [0;1],
0, 0;1 ; 0 2
f x x f
và thỏa mãn
2
4 2 3
. 1 1
f x f x x f x
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. 1,5 < f (1) < 2 B. 3 < f (1) < 3,5 C. 2,5 < f (1) < 3 D. 2 < f (1) < 2,5
Câu 14. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm không âm trên [0;3],
0, 0;3 ; 0 2
f x x f
và thỏa mãn
2
4 2 3
. 1 8
f x f x x f x
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A.
3
36 3 38
f
B.
3
38 3 40
f
C.
3
40 3 43
f
D.
3
42 3 44
f
Câu 15. Cho
y f x
có đạo hàm không âm trên
0;

;
0 1
f
và thỏa mãn
4
2
3
2 1 cos2 9
8
x f x
f x
f x
.
Biết rằng
3 2
sin sin
f x a x b x c
với a, b, c là các số nguyên. Tính a + 2b + 3c.
A. 10 B. 16 C. 20 D. 14
Câu 16. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
0;

thỏa mãn điều kiện
3
2 6
xf x f x x x
. Biết
1
f a
, tính giá trị của
4
f
theo a.
A.
2 126a
B.
4 252a
C.
2 63a
D.
3 26a
Câu 16. Cho hàm số
y f x
liên tục trên thỏa mãn
( ) 2
( ). 3( 1) ; (2) 2
f x
f x e x f
.
Khi đó
( )f e
gần nhất giá trị nào sau đây ?
A. 1,44 B. 2,43 C. 3,56 D. 4,72
Câu 17. Hàm số
( )f x
liên tục trên [– 1;1] thỏa mãn
2
2 ( )
4 ( ) 9 9
f x
f x x
x
và
(1) 2
f
.
Khi đó
(1) ( 1)
f f
gần nhất giá trị nào sau đây ?
A. 1,18 B. 4,9 C. 19,93 D. 2,93
_________________________________
25
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM HÂNG CAO – B4)
__________________________________________________
C
C
â
â
u
u
1
1
.
.
C
C
h
h
o
o
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
f x
t
t
h
h
ỏ
ỏ
a
a
m
m
ã
ã
n
n
2
4
. 15 12 ,f x f x f x x x x
v
v
à
à
0 0 1
f f
.
.
G
G
i
i
á
á
t
t
r
r
ị
ị
c
c
ủ
ủ
a
a
2
1
f
b
b
ằ
ằ
n
n
g
g
A
A
.
.
8
8
B
B
.
.
4
4
,
,
5
5
C
C
.
.
1
1
0
0
D
D
.
.
2
2
,
,
5
5
C
C
â
â
u
u
2
2
.
.
C
C
h
h
o
o
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
f x
t
t
h
h
ỏ
ỏ
a
a
m
m
ã
ã
n
n
2
2
. 54 18 7,f x f x f x x x x
;
;
0 0 1
f f
.
.
G
G
i
i
á
á
t
t
r
r
ị
ị
c
c
ủ
ủ
a
a
1
3
f
b
b
ằ
ằ
n
n
g
g
A
A
.
.
1
1
B
B
.
.
7
7
C
C
.
.
2
2
D
D
.
.
6
6
C
C
â
â
u
u
3
3
.
.
C
C
h
h
o
o
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
f x
t
t
h
h
ỏ
ỏ
a
a
m
m
ã
ã
n
n
2
2
. 96 24 9,f x f x f x x x x
;
;
0 0 1
f f
.
.
G
G
i
i
á
á
t
t
r
r
ị
ị
n
n
h
h
ỏ
ỏ
n
n
h
h
ấ
ấ
t
t
c
c
ủ
ủ
a
a
f x
l
l
à
à
A
A
.
.
1
1
B
B
.
.
1
6
C
C
.
.
15
16
D
D
.
.
13
25
C
C
â
â
u
u
4
4
.
.
C
C
h
h
o
o
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
f x
t
t
h
h
ỏ
ỏ
a
a
m
m
ã
ã
n
n
2
2
. 150 30 11,f x f x f x x x x
;
;
0 0 1
f f
.
.
G
G
i
i
á
á
t
t
r
r
ị
ị
c
c
ủ
ủ
a
a
t
t
í
í
c
c
h
h
p
p
h
h
â
â
n
n
2
1
2
f x dx
l
l
à
à
A
A
.
.
1
1
0
0
B
B
.
.
15
2
C
C
.
.
69
5
D
D
.
.
73
6
C
C
â
â
u
u
5
5
.
.
C
C
h
h
o
o
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
f x
t
t
h
h
ỏ
ỏ
a
a
m
m
ã
ã
n
n
2
2
. 24 12 3,f x f x f x x x x
;
;
0 0 1
f f
.
.
G
G
i
i
á
á
t
t
r
r
ị
ị
c
c
ủ
ủ
a
a
t
t
í
í
c
c
h
h
p
p
h
h
â
â
n
n
2
1
1
f x dx
l
l
à
à
A
A
.
.
–
–
2
2
B
B
.
.
1
3
C
C
.
.
5
6
D
D
.
.
2
3
C
C
â
â
u
u
6
6
.
.
C
C
h
h
o
o
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
f x
t
t
h
h
ỏ
ỏ
a
a
m
m
ã
ã
n
n
đ
đ
ồ
ồ
n
n
g
g
t
t
h
h
ờ
ờ
i
i
2
6 3 2
. 28 20 12 1,f x f x f x x x x x
;
;
0 0 1
f f
.
.
H
H
ệ
ệ
s
s
ố
ố
g
g
ó
ó
c
c
t
t
i
i
ế
ế
p
p
t
t
u
u
y
y
ế
ế
n
n
c
c
ủ
ủ
a
a
đ
đ
ồ
ồ
t
t
h
h
ị
ị
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
f x
t
t
ạ
ạ
i
i
đ
đ
i
i
ể
ể
m
m
c
c
ó
ó
h
h
o
o
à
à
n
n
h
h
đ
đ
ộ
ộ
b
b
ằ
ằ
n
n
g
g
2
2
l
l
à
à
A
A
.
.
3
3
1
1
B
B
.
.
1
1
7
7
C
C
.
.
2
2
2
2
D
D
.
.
3
3
6
6
C
C
â
â
u
u
7
7
.
.
C
C
h
h
o
o
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
f x
t
t
h
h
ỏ
ỏ
a
a
m
m
ã
ã
n
n
2
2
. 6 ,f x f x f x x x
;
;
0 0 1
f f
.
.
H
H
ệ
ệ
s
s
ố
ố
g
g
ó
ó
c
c
t
t
i
i
ế
ế
p
p
t
t
u
u
y
y
ế
ế
n
n
c
c
ủ
ủ
a
a
đ
đ
ồ
ồ
t
t
h
h
ị
ị
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
f x
t
t
ạ
ạ
i
i
đ
đ
i
i
ể
ể
m
m
c
c
ó
ó
h
h
o
o
à
à
n
n
h
h
đ
đ
ộ
ộ
b
b
ằ
ằ
n
n
g
g
3
3
g
g
ầ
ầ
n
n
n
n
h
h
ấ
ấ
t
t
v
v
ớ
ớ
i
i
g
g
i
i
á
á
t
t
r
r
ị
ị
n
n
à
à
o
o
đ
đ
â
â
y
y
?
?
A
A
.
.
3
3
,
,
4
4
2
2
B
B
.
.
1
1
,
,
7
7
2
2
C
C
.
.
2
2
,
,
9
9
6
6
D
D
.
.
5
5
,
,
8
8
6
6
C
C
â
â
u
u
8
8
.
.
C
C
h
h
o
o
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
f x
t
t
h
h
ỏ
ỏ
a
a
m
m
ã
ã
n
n
2
. 1,f x f x f x x
;
;
0 0 4
f f
.
.
T
T
ồ
ồ
n
n
t
t
ạ
ạ
i
i
b
b
a
a
o
o
n
n
h
h
i
i
ê
ê
u
u
s
s
ố
ố
n
n
g
g
u
u
y
y
ê
ê
n
n
x
x
t
t
h
h
ỏ
ỏ
a
a
m
m
ã
ã
n
n
5
f x
.
.
A
A
.
.
2
2
0
0
B
B
.
.
1
1
3
3
C
C
.
.
2
2
6
6
D
D
.
.
1
1
6
6
C
C
â
â
u
u
9
9
.
.
C
C
h
h
o
o
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
f x
t
t
h
h
ỏ
ỏ
a
a
m
m
ã
ã
n
n
2
. 1,f x f x f x x
;
;
0 0 9
f f
.
.
T
T
ì
ì
m
m
g
g
i
i
á
á
t
t
r
r
ị
ị
n
n
h
h
ỏ
ỏ
n
n
h
h
ấ
ấ
t
t
c
c
ủ
ủ
a
a
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
2
69 96
S f x x
.
.
A
A
.
.
3
3
0
0
B
B
.
.
69
2
C
C
.
.
195
2
D
D
.
.
113
2
C
C
â
â
u
u
1
1
0
0
.
.
C
C
h
h
o
o
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
f x
t
t
h
h
ỏ
ỏ
a
a
m
m
ã
ã
n
n
2
2
. 6 ,f x f x f x x x
;
;
0 0 4
f f
.
.
M
M
ệ
ệ
n
n
h
h
đ
đ
ề
ề
n
n
à
à
o
o
s
s
a
a
u
u
đ
đ
â
â
y
y
l
l
à
à
đ
đ
ú
ú
n
n
g
g
?
?
A
A
.
.
2 2
1 2 22
f f
B
B
.
.
2
6 9
f
C
C
.
.
2
3 108
f
D
D
.
.
4 2 73
f
26
C
C
â
â
u
u
1
1
1
1
.
.
C
C
h
h
o
o
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
f x
t
t
h
h
ỏ
ỏ
a
a
m
m
ã
ã
n
n
2
4 3 2
. 15 20 6 6 2,f x f x f x x x x x x
đ
đ
ồ
ồ
n
n
g
g
t
t
h
h
ờ
ờ
i
i
0 0 1
f f
.
.
T
T
í
í
n
n
h
h
3
1
f
.
.
A
A
.
.
4
4
B
B
.
.
8
8
C
C
.
.
2
2
7
7
D
D
.
.
1
1
0
0
C
C
â
â
u
u
1
1
2
2
.
.
C
C
h
h
o
o
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
f x
t
t
h
h
ỏ
ỏ
a
a
m
m
ã
ã
n
n
đ
đ
ồ
ồ
n
n
g
g
t
t
h
h
ờ
ờ
i
i
2
2
. 54 18 7, ; 0 0 0 1
f x f x f x x x x f f f
.
.
G
G
i
i
á
á
t
t
r
r
ị
ị
b
b
i
i
ể
ể
u
u
t
t
h
h
ứ
ứ
c
c
6 9
f f
b
b
ằ
ằ
n
n
g
g
A
A
.
.
3
3
2
2
0
0
B
B
.
.
1
1
5
5
8
8
C
C
.
.
5
5
6
6
0
0
D
D
.
.
4
4
9
9
4
4
C
C
â
â
u
u
1
1
3
3
.
.
C
C
h
h
o
o
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
f x
t
t
h
h
ỏ
ỏ
a
a
m
m
ã
ã
n
n
đ
đ
ồ
ồ
n
n
g
g
t
t
h
h
ờ
ờ
i
i
2
2
. 54 36 16, ; 0 0 0 2
f x f x f x x x x f f f
.
.
T
T
í
í
n
n
h
h
t
t
ổ
ổ
n
n
g
g
g
g
i
i
á
á
t
t
r
r
ị
ị
n
n
h
h
ỏ
ỏ
n
n
h
h
ấ
ấ
t
t
v
v
à
à
g
g
i
i
á
á
t
t
r
r
ị
ị
l
l
ớ
ớ
n
n
n
n
h
h
ấ
ấ
t
t
c
c
ủ
ủ
a
a
b
b
i
i
ể
ể
u
u
t
t
h
h
ứ
ứ
c
c
6 9K f x x
t
t
r
r
ê
ê
n
n
m
m
i
i
ề
ề
n
n
[
[
1
1
;
;
3
3
]
]
.
.
A
A
.
.
7
7
2
2
B
B
.
.
6
6
9
9
C
C
.
.
5
5
6
6
D
D
.
.
8
8
4
4
C
C
â
â
u
u
1
1
4
4
.
.
C
C
h
h
o
o
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
f x
t
t
h
h
ỏ
ỏ
a
a
m
m
ã
ã
n
n
đ
đ
ồ
ồ
n
n
g
g
t
t
h
h
ờ
ờ
i
i
2
2
. 54 36 16, ; 0 0 0 2
f x f x f x x x x f f f

.
.
K
K
ý
ý
h
h
i
i
ệ
ệ
u
u
A
A
,
,
B
B
l
l
à
à
h
h
a
a
i
i
đ
đ
i
i
ể
ể
m
m
c
c
ự
ự
c
c
t
t
r
r
ị
ị
c
c
ủ
ủ
a
a
đ
đ
ồ
ồ
t
t
h
h
ị
ị
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
y f x f x
.
.
T
T
u
u
n
n
g
g
đ
đ
ộ
ộ
t
t
r
r
u
u
n
n
g
g
đ
đ
i
i
ể
ể
m
m
I
I
c
c
ủ
ủ
a
a
A
A
B
B
b
b
ằ
ằ
n
n
g
g
A
A
.
.
146
27
B
B
.
.
4
9
C
C
.
.
5
6
D
D
.
.
11
25
C
C
â
â
u
u
1
1
5
5
.
.
T
T
í
í
n
n
h
h
10
2
f x dx
k
k
h
h
i
i
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
f x
c
c
ó
ó
đ
đ
ạ
ạ
o
o
h
h
à
à
m
m
,
,
l
l
i
i
ê
ê
n
n
t
t
ụ
ụ
c
c
,
,
f x
n
n
h
h
ậ
ậ
n
n
g
g
i
i
á
á
t
t
r
r
ị
ị
d
d
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
t
t
r
r
ê
ê
n
n
[
[
2
2
;
;
1
1
0
0
]
]
v
v
à
à
2 3
1
f x x f x
.
.
A
A
.
.
4
4
,
,
5
5
+
+
l
l
n
n
2
2
B
B
.
.
4
4
+
+
0
0
,
,
5
5
l
l
n
n
2
2
C
C
.
.
3
3
,
,
5
5
+
+
l
l
n
n
3
3
D
D
.
.
3
3
+
+
2
2
l
l
n
n
3
3
C
C
â
â
u
u
1
1
6
6
.
.
C
C
h
h
o
o
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
f x
t
t
h
h
ỏ
ỏ
a
a
m
m
ã
ã
n
n
2
2
. 6 6 3,f x f x f x x x x
;
;
0 0 1
f f
.
.
G
G
i
i
á
á
t
t
r
r
ị
ị
c
c
ủ
ủ
a
a
2
f
n
n
ằ
ằ
m
m
t
t
r
r
o
o
n
n
g
g
k
k
h
h
o
o
ả
ả
n
n
g
g
n
n
à
à
o
o
?
?
A
A
.
.
(
(
4
4
;
;
5
5
)
)
B
B
.
.
(
(
6
6
;
;
9
9
)
)
C
C
.
.
(
(
1
1
0
0
;
;
1
1
7
7
)
)
D
D
.
.
(
(
2
2
0
0
;
;
4
4
0
0
)
)
C
C
â
â
u
u
1
1
7
7
.
.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
f x
x
x
á
á
c
c
đ
đ
ị
ị
n
n
h
h
v
v
à
à
l
l
i
i
ê
ê
n
n
t
t
ụ
ụ
c
c
t
t
r
r
ê
ê
n
n
R
R
,
,
đ
đ
ồ
ồ
n
n
g
g
t
t
h
h
ờ
ờ
i
i
t
t
h
h
ỏ
ỏ
a
a
m
m
ã
ã
n
n
min
0 1
f x f
;
;
4 ln
f x xf x ef x
v
v
ớ
ớ
i
i
m
m
ọ
ọ
i
i
x
x
t
t
h
h
u
u
ộ
ộ
c
c
R
R
.
.
T
T
í
í
n
n
h
h
t
t
ổ
ổ
n
n
g
g
c
c
á
á
c
c
n
n
g
g
h
h
i
i
ệ
ệ
m
m
c
c
ủ
ủ
a
a
p
p
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h
2
ln
f x m
.
.
A
A
.
.
–
–
m
m
B
B
.
.
–
–
2
2
C
C
.
.
m
m
D
D
.
.
0
0
C
C
â
â
u
u
1
1
8
8
.
.
Hàm số
f x
x
x
á
á
c
c
đ
đ
ị
ị
n
n
h
h
v
v
à
à
l
l
i
i
ê
ê
n
n
t
t
ụ
ụ
c
c
t
t
r
r
ê
ê
n
n
R
R
c
c
ó
ó
0, ; 0 1; 2 2
f x
f x x f x
f x
.
.
T
T
ì
ì
m
m
t
t
ấ
ấ
t
t
c
c
ả
ả
c
c
á
á
c
c
g
g
i
i
á
á
t
t
r
r
ị
ị
m
m
đ
đ
ể
ể
p
p
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h
m
f x e
c
c
ó
ó
đ
đ
ú
ú
n
n
g
g
m
m
ộ
ộ
t
t
n
n
g
g
h
h
i
i
ệ
ệ
m
m
t
t
h
h
ự
ự
c
c
.
.
A
A
.
.
m
m
=
=
0
0
B
B
.
.
m
m
=
=
1
1
C
C
.
.
m
m
=
=
–
–
1
1
D
D
.
.
K
K
h
h
ô
ô
n
n
g
g
c
c
ó
ó
m
m
C
C
â
â
u
u
1
1
9
9
.
.
T
T
í
í
n
n
h
h
2 2
1 2
f f
k
k
h
h
i
i
hàm số
f x
x
x
á
á
c
c
đ
đ
ị
ị
n
n
h
h
,
,
l
l
i
i
ê
ê
n
n
t
t
ụ
ụ
c
c
v
v
à
à
l
l
u
u
ô
ô
n
n
n
n
h
h
ậ
ậ
n
n
g
g
i
i
á
á
t
t
r
r
ị
ị
d
d
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
t
t
r
r
ê
ê
n
n
[
[
0
0
;
;
2
2
]
]
,
,
đ
đ
ồ
ồ
n
n
g
g
t
t
h
h
ờ
ờ
i
i
0 1; 0 2
f f
;
;
2
2
.
2
f x
f x f x f x
x
.
.
A
A
.
.
2
2
0
0
B
B
.
.
1
1
0
0
C
C
.
.
1
1
5
5
D
D
.
.
2
2
5
5
_________________________________
27
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM NÂNG CAO – B5)
__________________________________________________
Câu 1. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm, lấy giá trị dương trên
(0; )
thỏa mãn
2
2
( ) ( ); (1)
3
f x xf x f
a
.
Ngoài ra
(2) 0,25
f
. Tổng tất cả các giá trị nguyên a thỏa mãn là
A. – 14 B. 1 C. 0 D. – 2
Câu 2. Tính giá trị f (2) khi hàm số
( )y f x
luôn nhận giá trị khác 0 trên
(0; )
và thỏa mãn các điều kiện
2
2 2 2
( 1) ( ) ( ) ( 1); (1) 2
x f x f x x f
.
A. 0,4 B. – 0 ,4 C. – 2,5 D. 2,5
Câu 3. Hàm số
( )y f x
thỏa mãn
2 2 2
(1) 2; ( ) 0; ( 1) ( ) ( ).( 1)
f f x x f x f x x
với
0x
. Tính
(2)f
.
A. 0,4 B. – 0,4 C. – 2,5 D. 2,5
Câu 4. Hàm số
( )y f x
thỏa mãn
2
3
( ) ( ). ( ) 4 2f x f x f x x x
và
(0) 0
f
. Tính
2
(1)
f
.
A. 2,5 B. 4,5 C.
16
15
D.
8
15
Câu 5. Hàm số
( )y f x
thỏa mãn
( 1) 2( 1 3)
5
1
f x x
dx C
x
x
. Nguyên hàm của hàm số
(2 )f x
là
A.
2
3
2( 4)
x
C
x
B.
2
3
4( 1)
x
C
x
C.
2
3
8( 1)
x
C
x
D.
2
3
4
x
C
x
Câu 6. Hàm số
( )y f x
liên tục, không âm trên R thỏa mãn
2
. 2 ( ) 1
f x f x x f x
và f (0) = 0. Giá trị
lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = f (x) trên đoạn [1;3] là
A. M = 20, m = 2 B. M = 4
11
, m =
3
C. M = 20, m =
2
D. M = 3
11
, m =
3
Câu 7. Biết F (x) là nguyên hàm của hàm số
2
cos
( )
x x
f x
x
. Đồ thị hàm số F (x) có bao nhiêu điểm cực trị
A. Vô số B. 0 C. 1 D. 2
Câu 8. Biết F (x) là nguyên hàm của hàm số
2
1
( ) cos 1
2
f x x x
. Đồ thị hàm số F (x) có bao nhiêu điểm
cực trị ?
A. Vô số B. 0 C. 1 D. 2
Câu 9. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số
2
2cos 1
( )
x
f x
x
trên
(0; )
. Biết giá trị lớn nhất của F (x)
trên
(0; )
bằng
3
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A.
3 3 4
6
F
B.
2 3
3 2
F
C.
3
3
F
D.
5
3 3
6
F
Câu 10. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số
2
3
( ) ( 4 )
x
f x e x x
. Tìm số cực trị của hàm số
2
( )F x x
.
A. 6 B. 3 C. 4 D. 5
Câu 11. Biết rằng
2
( ) ( )
x
F x ax bx c e
là một nguyên hàm của hàm số
2
( ) (2 5 2)
x
F x x x e
. Tính giá
trị biểu thức
( (0))
f F
.
A. 3e B. 9e C.
2
20e
D.
1
e
Câu 12. Biết rằng
x
xe
là một nguyên hàm của hàm số
( )f x
. Khi đó gọi F (x) là nguyên hàm của hàm số
( ).
x
f x e
thỏa mãn điều kiện F (0) = 1. Tính
( 1)
F
.
A. 3,5 B.
5
2
e
C.
7
2
e
D. 2,5
28
Câu 13. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số
1
( )
3
x
f x
e
thỏa mãn
1
(0) ln 4
3
F
. Tìm tập hợp
nghiệm của phương trình
3
3 ( ) ln( 3) 2
F x x
.
A. {2} B. {– 2;2} C. {1;2} D. {– 2;1}
Câu 14. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số
1
( )
2
f x
x
thỏa mãn F (3) = 1, F (1) = 2. Tính F (0) + F (4).
A. 2ln2 + 3 B. 2ln2 + 2 C. 2ln2 + 4 D. 2ln2
Câu 15. Tính giá trị biểu thức
(2)f
khi hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn
3 4
6
( ) 27 ( ) 1 0
x f x f x
;
(1) 0
f
.
A. 1 B. – 1 C. 7 D. – 7
Câu 16. Biết rằng
2
( ) ( ) 2 1F x ax bx c x
là một nguyên hàm của
2
10 7 2
( )
2 1
x x
f x
x
trên
1
;
2

.
Tính giá trị biểu thức a + b + c.
A. 3 B. 0 C. – 6 D. – 2
Câu 17. Biết
2
( ) ( ) 2 3
F x ax bx c x
là một nguyên hàm của
2
20 30 7
( )
2 3
x x
f x
x
trên
3
;
2

.
Tính giá trị biểu thức abc.
A. 0 B. 3 C. 4 D. – 8
Câu 18. Biết rằng F (x) là nguyên hàm của hàm số
2
2 2
5 8 4
( 1)
x x
x x
trên (0;1) thỏa mãn
1
2
F
. Giá trị nhỏ
nhất của hàm số F (x) bằng
A. 24 B. 20 C. 25 D. 26
Câu 19. Biết
1
( ) 2 ln(3 1) , ;
3
f x dx x x C x

. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A.
(3 ) 6 ln(9 1)
f x dx x x C
B.
(3 ) 6 ln(3 1)
f x dx x x C
C.
(3 ) 2 ln(9 1)
f x dx x x C
D.
(3 ) 3 ln(9 1)
f x dx x x C
Câu 20. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên – 1;1] thỏa mãn
( ) 0; ( ) 2 ( ) 0
f x f x f x
. Biết f (1) =
1, tính giá trị biểu thức
( 1)
f
.
A.
2
1
e
B. e
3
C. e
4
D. 3
Câu 21. Biết rằng xsinx là một nguyên hàm của hàm số
( )f x
trên R và F (x) là một nguyên hàm của hàm số
( ) ( ) cosf x f x x
thỏa mãn điều kiện
(0) 0
F
. Tính
4
F
.
A.
B. 0,25
C. 0 D. 0,5
Câu 22. Hàm số
( )y f x
liên tục trên [0;4] thỏa mãn
2
2
3
( )
( ). ( ) ( )
(2 1)
f x
f x f x f x
x
và thỏa mãn điều
kiện
( ) 0, 0;4
f x x
. Biết rằng
(0) (0) 1
f f
. Tính f (4).
A. e B. 2e C. e
3
D. e
2
+ 1
_________________________________
29
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM NÂNG CAO – B6)
__________________________________________________
Câu 1. Cho hàm số đa thức
( )y f x
thỏa mãn
2
( ) 2 ( ) 5 3f x xf x x x
và
(1) 2
f
. Tính
2
2
1
( )x f x dx
A.10 B. 9,95 C. 7,5 D. 8,25
Câu 2. Cho hàm số
0
f x
với mọi
x
,
0 1
f
và
1.
f x x f x
với mọi
x
. Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A.
2
f x
B.
2 4
f x
C.
6
f x
D.
4 6
f x
Câu 3. Hai hàm số
2 2
( ) ( ) ; ( ) ( 3 6)
x x
F x ax bx c e G x x x e
. Tính a + b để
( )F x
là một nguyên hàm
của
G x
A.8 B. – 8 C. 6 D. – 6
Câu 4. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
2
2
1 1 .
xf x x f x f x
với mọi
x
dương. Biết
1 1 1
f f
. Giá trị
2
2
f
bằng
A.
2
2 2ln 2 2
f
. B.
2
2 2ln 2 2
f
.
C.
2
2 ln 2 1
f
. D.
2
2 ln 2 1
f
.
Câu 5. Cho hàm số
( )f x
thỏa mãn
2 3
( '( )) ( ). ''( ) 2 ,
f x f x f x x x x R
và
(0) '(0) 1
f f
. Tính giá trị
của
2
(2)
T f
A.
43
30
B.
16
15
C.
43
15
D.
26
15
Câu 6. Hai hàm số
f x
và
g x
có đạo hàm trên đoạn
1; 4
và thỏa mãn hệ thức
1 1 4
. ; .
f g
g x x f x f x x g x
.
Tính
4
1
dI f x g x x
.
A.
8ln 2
. B.
3ln 2
. C.
6ln 2
. D.
4ln2
.
Câu 7. Hàm số
y f x
liên tục trên
\ 0; 1
thỏa mãn điều kiện
1 2ln2
f
và
2
1 .
x x f x f x x x
. Giá trị
2 ln3
f a b
, với
,a b
. Tính
2 2
a b
.
A.
25
4
. B.
9
2
. C.
5
2
. D.
13
4
.
Câu 8. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên
2;4
và
0, 2;4
f x x
. Biết
3
3 3
7
4 , 2;4 , 2
4
x f x f x x x f
. Giá trị của
4
f
bằng
A.
40 5 1
2
. B.
20 5 1
4
. C.
20 5 1
2
. D.
40 5 1
4
.
Câu 9. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
1 2
f
và
2
2
2 2
1 1
x f x f x x
với mọi
x
. Giá trị của
2
f
bằng
A.
2
5
B.
2
5
C.
5
2
D.
5
2
Câu 10. Cho hàm số
0
f x
,
4 2
2
2
3 1x x
f x f x
x
và
1
1
3
f
. Tính
1 2 80
...f f f
.
A.
3240
6481
. B.
6480
6481
. C.
6480
6481
. D.
3240
6481
.
Câu 11. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
e ,
x
f x f x x
và
0 2
f
. Tất cả các nguyên hàm của
2
e
x
f x
là
30
A.
2 e e
x x
x C
. B.
2
2 e e
x x
x C
.
C.
1 e
x
x C
. D.
1 e
x
x C
.
Câu 12. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm trên
0;
thỏa mãn
2 2xf x f x x
0;x
,
1 1
f
. Giá trị của biểu thức
4
f
là:
A.
25
6
. B.
25
3
. C.
17
6
. D.
17
3
.
Câu 13. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên
và thỏa mãn điều kiện
3 4
6
27 1 0,x f x f x x
và
1 0
f
. Giá trị của
2
f
bằng
A.
1
. B.
1
. C.
7
. D.
7
.
Câu 14. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên
1;
và thỏa mãn
3
2 .ln
xf x f x x x f x
,
1;x
; biết
3
e 3e
f
. Giá trị
2
f
thuộc khoảng nào dưới đây?
A.
25
12;
2
. B.
27
13;
2
. C.
23
;12
2
. D.
29
14;
2
.
Câu 15. Hai hàm số
( ), ( )f x g x
liên tục và có nguyên hàm số lần lượt là
2
( ) 2019; ( ) 2020
F x x F x x
. Khi
đó
( )H x
của hàm số
( ) (x).g(x)
h x f
thỏa mãn
(1) 3
H
. Tính H (2).
A.11 B. 9 C. 10 D. 6
Câu 16. Biết
2
( ) ( )
x
F x ax bx c e
là một nguyên hàm của hàm số
2
( ) x
x
f x e
. Tính abc.
A.1 B. – 4 C. 5 D. – 3
Câu 17. Hàm số
( )y f x
đồng biến và có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn
2
( ).
x
f x f x e
và
(0) 2
f
.
Khi đó
2
f
thuộc khoảng nào
A.(12;13) B. (9;10) C. (11;12) D. (13;14)
Câu 18. Tính
1
2
0
( )x f x dx
khi hàm số đa thức
( )y f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn điều kiện
2
3 2
( ) ( ). ( ) 2 7 5 1; (0) 0
f x f x f x x x x f
.
A. 3 B.
5
6
C.
2
3
D.
11
3
Câu 19. Cho hàm số đa thức
( )y f x
thỏa mãn
2
2
( ) 2 ( ). ( ) 8 8 1; (0) 0; (1) 2
f x f x f x x x f f
.
Khi đó
1
2
0
( )x f x dx
gần nhất giá trị nào sau đây
A. 0,9 B. 0,7 C. 0,5 D. 0,4
Câu 20. Tính
1
0
( 2)xf x dx
khi
( )y f x
là hàm số đa thức thỏa mãn điều kiện
2
5 3 2
( ) 2 ( ). ( ) 6 12 36 2 ; (0) 0
f x f x f x x x x x f
.
A. 11,25 B. 0,75 C. 6,25 D. 15,5
Câu 21. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm trên [0;2] thỏa mãn
2
1
( ) ; (2) 1
3 ( ) 1
f x f
f x
. Tính
2
2
0
( )f x dx
.
A. 1 B.
1
3
C.
14
15
D.
11
12
Câu 22. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
\ 1;0
thỏa mãn
1 2ln 2 1
f
,
1 2 1
x x f x x f x x x
,
\ 1;0
x
. Biết
2 ln3
f a b
, với
a
,
b
là hai số hữu tỉ. Tính
2
T a b
.
A.
3
16
T
. B.
21
16
T
. C.
3
2
T
. D.
0
T
.
_________________________________
31
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM NÂNG CAO – B7)
__________________________________________________
Câu 1. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm trên [0;1] thỏa mãn
2
4 1
( )
3 ( ) 2
x
f x
f x
. Khi đó
1
3
0
( )xf x dx
gần nhất với
A. 0,52 B. 0,19 C. 0,12 D. 1,25
Câu 2. Cho hàm số
y f x
thỏa mãn
0, 0
f x x
và có đạo hàm
f x
liên tục trên khoảng
0;
thỏa mãn
2
2 1 , 0
f x x f x x
và
1
1
2
f
. Giá trị của biểu thức
1 2 ... 2020
f f f
bằng
A.
2020
2021
. B.
2015
2019
. C.
2019
2020
. D.
2016
2021
.
Câu 3. Hàm số
y f x
liên tục trên
0;

thỏa mãn
2
2 3
xf x f x x x
. Biết
1
1
2
f
. Tính
4
f
?
A.
24
. B.
14
. C.
4
. D.
16
.
Câu 4. Cho
( )f x
là hàm số liên tục trên
thỏa mãn
,f x f x x x
và
0 1
f
. Tính
1f
.
A.
2
e
. B.
1
e
. C.
e
. D.
e
2
.
Câu 5. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm trên [0;1] thỏa mãn
2
2 2
( ) ; (1) 1
6 ( ) 1
x
f x f
f x
.
Tích phân
1
2
0
( )xf x dx
gần nhất với giá trị nào ?
A. 0,314 B. 0,968 C. 0,722 D. 0,542
Câu 6. Cho hàm số
f x
liên tục và có đạo hàm trên
0;
2
, thỏa mãn
3
tan .
cos
x
f x x f x
x
. Biết rằng
3 3 ln 3
3 6
f f a b
trong đó
,a b
. Giá trị của biểu thức
P a b
bằng
A.
14
9
B.
2
9
C.
7
9
D.
4
9
Câu 7. Cho hàm số
y f x
đồng biến trên
0;

;
y f x
liên tục, nhận giá trị dương trên
0;

và
thỏa mãn
4
3
9
f
và
2
' 1 .
f x x f x
. Tính
8f
.
A.
8 49
f
. B.
8 256
f
. C.
1
8
16
f
. D.
49
8
64
f
.
Câu 8. Cho hàm số
f x
liên tục trên
R
thỏa mãn các điều kiện:
0 2 2,
f
0,
f x
x
và
2
. 2 1 1 ,
f x f x x f x
x
. Khi đó giá trị
1f
bằng
A.
26
. B.
24
. C.
15
. D.
23
.
Câu 9. Hàm số
f x
thỏa mãn
2
2
. 2 1f x f x f x x x
,
x
và
0 0 3
f f
. Tính
2
1
f
A.
28
. B.
22
. C.
19
2
. D.
10
.
Câu 10. Hàm số
f x
có đạo hàm trên
thỏa mãn
3 2
1
2
2
3 .e 0
f x x
x
f x
f x
với
x
. Biết
0 1
f
,
tính tích phân
7
0
. dx f x x
.
A.
11
2
. B.
15
4
. C.
45
8
. D.
9
2
.
Câu 11. Hàm số
( )f x
thỏa mãn
(1) 4
f
và
3 2
( ) ( ) 2 3f x xf x x x
với mọi
0
x
. Giá trị của
(2)f
bằng
A.
5
. B.
10
. C.
20
. D.
15
.
32
Câu 12. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
\ 0; 1
thỏa mãn điều kiện
1 2ln 2
f
và
2
1 .
x x f x f x x x
. Giá trị
2 ln 3
f a b
, với
,a b
. Tính
2 2
a b
.
A.
25
4
. B.
9
2
. C.
5
2
. D.
13
4
.
Câu 13. Cho hàm số
f x
đồng biến có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn
0;2
và thỏa mãn
2 2
. 0
f x f x f x f x
. Biết
0 1
f
,
6
2 e
f
. Khi đó
1f
bằng
A.
3
2
e
. B.
3
e
. C.
5
2
e
. D.
2
e
.
Câu 14. Cho
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
3
4x
x
f x e x
. Hàm số
2
F x x
có bao nhiêu
điểm cực trị?
A.
6
. B.
5
. C.
3
. D.
4
.
Câu 15. Cho hàm số
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
2cos 1
sin
x
f x
x
trên khoảng
0;
. Biết rằng giá
trị lớn nhất của
F x
trên khoảng
0;
là
3
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A.
3 3 4
6
F
B.
2 3
3 2
F
C.
3
3
F
D.
5
3 3
6
F
Câu 16. Biết
F x
là nguyên hàm của hàm số
2
cos sinx x x
f x
x
. Hỏi đồ thị của hàm số
y F x
có bao
nhiêu điểm cực trị trên khoảng
0;4
?
A.
2
. B.
1
. C.
3
. D.
0
.
Câu 17. Cho hàm số
( )f x
liên tục trên
thỏa mãn
8
3
3
2
0 1
( )
tan . (cos )d d 6
f x
x f x x x
x
. Tính
2
2
1
2
( )
d
f x
x
x
A.
4
. B.
6
. C.
7
. D.
10
.
Câu 18. Hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
0; 1
, thỏa mãn
1 1
0 0
d d 1f x x xf x x
và
1
2
0
d 4
f x x
.
Giá trị của tích phân
1
3
0
df x x
bằng
A.
1
. B.
8
. C.
10
. D.
80
.
Câu 19. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn
0
f x
khi
1,2
x
. Biết
2
1
' 10
f x dx
và
2
1
'
ln 2
f x
dx
f x
. Tính
2
f
.
A.
2 10
f
. B.
2 20
f
. C.
2 10
f
. D.
2 20
f
.
Câu 20. Hàm số
2
f x a x bx c
thỏa mãn
1 2
0 0
7
d , d 2,
2
f x x f x x
3
0
13
d
2
f x x
, ,a b c
.
Tính giá trị của biểu thức
P a b c
A.
3
4
P
. B.
4
3
P
. C.
3
8
P
. D.
3
4
P
.
Câu 21. Cho hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên
thỏa mãn
2 3 2
. ( ). '( ) 4 ( ) 3 ,
x f x f x f x x x
và có
(2) 1
f
. Tích phân
2
3
0
( )df x x
có giá trị là :
A.
3
2
B.
4
3
. C.
2
. D.
4
.
Câu 22. Cho hàm số
( )f x
có
(0) 1
f
và
'( ) 2e sin
x
f x x
,
x
. Khi đó
0
( ) x
x
e f x d
bằng
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D.
1
.
33
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM NÂNG CAO – B8)
__________________________________________________
Câu 1. Cho hàm số
f x
xác định trên
0;
2
thỏa mãn
2
2
0
2
2 2 sin d
4 2
f x f x x x
. Tích
phân
2
0
df x x
bằng
A.
4
. B.
0
. C.
1
. D.
2
.
Câu 2. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
đồng thời thỏa mãn
0 9
f
và
2
9 9
f x f x x

. Tính
1 0
T f f
.
A.
2 9ln 2
T
. B.
9
T
. C.
1
9ln 2
2
T
. D.
2 9ln 2
T
.
Câu 3. Cho hàm số
y f x
thỏa mãn
4
2
19
f
và
3 2
f x x f x x
. Giá trị của
1f
bằng
A.
2
3
. B.
1
2
. C.
1
. D.
3
4
.
Câu 4. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
\ 1;0
thỏa mãn điều kiện:
1 2ln 2
f
và
2
. 1 .
x x f x f x x x
. Biết
2 .ln 3
f a b
(
a
,
b
). Giá trị
2 2
2
a b
là
A.
27
4
. B.
9
. C.
3
4
. D.
9
2
.
Câu 5. Cho hs
y f x
thỏa mãn
2
y xy
và
1 1
f
thì giá trị
2
f
là
A.
2
e
. B.
2e
. C.
1e
. D.
3
e
.
Câu 6. Cho hàm số
y f x
liên tục và không âm trên
thỏa mãn
2
. 2 1
f x f x x f x
và
0 0
f
.
Gọi
,M m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y f x
trên đoạn
1;3
. Biết rằng giá trị
của biểu thức
2
P M m
có dạng
11 3 , , ,a b c a b c
. Tính
a b c
A.
7
a b c
. B.
4
a b c
. C.
6
a b c
. D.
5
a b c
.
Câu 7. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
0;
thỏa mãn
2 2
3 . . 2
x f x x f x f x
, với
0, 0;f x x
và
1
1
3
f
. Gọi
,M m
lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y f x
trên đoạn
1;2
. Tính
M m
.
A.
9
10
. B.
21
10
. C.
5
3
. D.
7
3
.
Câu 8. Cho
2
4
1 cos sin cot
sin
x x x
F x dx
x
và
S
là tổng tất cả các nghiệm của phương trình
2
F x F
trên khoảng
0;4
. Tổng
S
thuộc khoảng
A.
6 ;9
. B.
2 ;4
. C.
4 ;6
. D.
0;2
.
Câu 9. Cho
( )F x
là một nguyên hàm của hàm số
4 3 2
2 1
2
x
f x
x x x
trên khoảng
0;

thỏa mãn
1
1
2
F
. Giá trị của biểu thức
1 2 3 2019
S F F F F
bằng
A.
2019
2020
. B.
2019.2021
2020
. C.
1
2018
2020
. D.
2019
2020
.
Câu 10. Giả sử
2 3 d
1
1 2 3 1
x x
C
x x x x g x
(
C
là hằng số).
34
Tính tổng các nghiệm của phương trình
0
g x
.
A.
1
. B.
1
. C.
3
. D.
3
.
Câu 11. Biết hàm số
(1 )
x
f x x x e
có một nguyên hàm
2
x
F x ax bx c e
. Tính A = 2a + b + 3c.
A. A = 3 B. A = 8 C. A = 9 D. A = 6
Câu 12. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và
2
1
x
f x f x x e
với mọi x, f (0) = – 1. Tính f (3).
A.
3
6 3e
B.
2
6 2e
C.
2
3 1e
D.
3
9 1e
Câu 13. Cho hàm số
f x
xác định trên
\ 1;1
R
thỏa mãn
2
1
'
1
f x
x
. Biết
3 3 4
f f
và
1 1
2
3 3
f f
. Giá trị của biểu thức
5 0 2
f f f
bằng
A.
1
5 ln 2
2
. B.
1
6 ln2
2
. C.
1
5 ln 2
2
. D.
1
6 ln 2
2
.
Câu 14. Cho
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
1
cos
f x
x
. Biết
4
F k k
với mọi
k
. Tính
0 ... 10
F F F F
.
A. 55. B. 44. C. 45. D. 0.
Câu 15. Cho hàm số
f x
liên tục, không âm trên
0;2 ,
thỏa
3
2
4
x f x
f x
f x
với mọi
0;2
x
và
0 0.
f
Giá trị của
2f
bằng
A.
11
. B.
3
121
. C.
21
. D.
3
21
.
Câu 16. Cho hàm số
f x
liên tục trên
. Biết
3
sin x
là một nguyên hàm của hàm số
cosf x x
, họ tất cả
các nguyên hàm của hàm số
sinf x x
là
A.
3
4sin
x C
. B.
3
3sin
x C
. C.
3
2sin
x C
. D.
3
2sin
x C
.
Câu 17. Cho hàm số
f x
có
4
0
15
f
và
3 2
' . 2 1,f x f x x x x x
. Khi đó,
2
3
f
bằng
A.
272
15
. B.
136
15
. C.
68
15
. D.
34
15
.
Câu 18. Cho
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
tan
cos 1 cos
x
f x
x a x
với
a
là số thực dương. Biết
0 2, 3
4
F F
. Tính
3 6
F F
.
A.
5 21
3
. B.
3 5 21
3
. C.
21 3 5
3
. D.
21 5
3
.
Câu 19. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
,
thỏa mãn
5
2 2
1 25 1
x f x xf x x x
và
0 5; 0 1.
f f
Giá trị của
3 3
f f
bằng
A.
3126
. B.
724.
. C.
1.
. D.
194.
Câu 20. Cho hàm số
( )f x
xác định và liên tục trên
\ 0
thỏa mãn:
2 2
. '( ) . ( ) (2 1). ( ) 1
x f x x f x x f x
với
\ 0
x
đồng thời
(1) 2
f
. Tính
1
2
f
.
A.5 B. – 6 C. 1 D. – 2
Câu 21. Cho hàm số xác định và liên tục trên
\ 0
và thỏa mãn
2 2
2 1 1
x f x x f x xf x
vợi mọi
\ 0
x
và
1 2
f
. Tính
2
1
f x x
d
.
A.
1
ln 2
2
. B.
ln 2
1
2
. C.
3
ln 2
2
. D.
3 ln 2
2 2
35
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ, DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN MAX, HÀM SỐ CHẴN LẺ – C1)
__________________________________________________
Câu 1. Cho hàm số
y f x
liên tục trên [0;9] và
8 9
0 0
5; 4
f x dx f x dx
. Tính
2
2
4 1
f x dx
A. 6 B. 21 C. 4 D. 2
Câu 2. Cho hàm số
y f x
liên tục trên R thỏa mãn
1 2
0 0
(2 ) 2; (6 ) 14
f x dx f x dx
. Tính
2
2
5 2
f x dx
.
A. 30 B. 32 C. 34 D. 36
Câu 3. Cho hàm số
y f x
liên tục trên [0;20] và thỏa mãn
77 5
0 0
4; 20
f x dx f x dx
. Tính tích phân
6
2
6
3 6 5
x f x x dx
.
A. 24 B. 30 C. 10 D. 8
Câu 4. Cho hàm số
y f x
liên tục trên [0;29] và
29 29
0 19
20; 10
f x dx f x dx
. Tính
3
3
8 5
f x dx
.
A.
17
2
B. 4 C.
15
4
D. 2
Câu 5. Tính T =
2
2
2
min ;
x x x dx
.
A. T = 1 B. T = 2 C. T = 4 D. T =
4
3
Câu 6. Tính
4
2
2
min ; 2
L x x x dx
.
A. L = 3 B. L = 1 C. L = 1,5 D. L = 2
Câu 7. Cho hàm số
y f x
liên tục trên R thỏa mãn
2 4
0 0
1; 3
f x dx f x dx
. Tính
1
1
3 1
f x dx
.
A. 4 B. 2 C. 1 D.
4
3
Câu 8. Hàm số
y f x
liên tục trên R thỏa mãn
0 1
1 0
1; 6
f x dx f x dx
. Tính
ln3
0
( 2 )
x x
e f e dx
.
A. 5 B. 4 C. 2,5 D. 2
Câu 9. Cho hàm số
y f x
liên tục trên [0;20] và thỏa mãn
20 2
0 0
5; 10
f x dx f x dx
. Tính tích phân
3
2
3
2 3 3 2
x f x x dx
.
A. 10 B. 2 C. 5 D. 12
Câu 10. Cho hàm số
y f x
liên tục trên R thỏa mãn
1 3
0 0
4; 6
f x dx f x dx
. Tính
1
1
2 1
f x dx
.
A. 3 B. 5 C. 6 D. 4
Câu 11. Tính
9
1
( )
f x
dx
x
biết rằng hàm số
y f x
liên tục trên R thỏa mãn
0 0
2 2
2
1 1
1
3 1 3 1 2
3
3 1
x
f x x dx f x x dx
x
.
A. 10 B. 12 C. 14 D. 8
36
Câu 12. Hàm số
y f x
liên tục trên R và
1
1
2 2
1
0 0
2
sin . ( 2cos 1) 2; ( ) ; ( )
x f x dx f x dx a f x dx b
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2S b a
.
A. – 9 B. 7 C. – 6 D. 3
Câu 13. Cho hàm số
y f x
liên tục trên [0;41] và
41 37
0 0
13; 26
f x dx f x dx
. Tính
3
3
13 2
f x dx
.
A.
2
7
B. 3 C.
10
7
D. 2
Câu 14. Cho hàm số
y f x
liên tục trên R thỏa mãn
2
0
(3cos 4sin ) ( 3sin 4cos 5 ) 1x x f x x dx
.
Tính tích phân
2
2
1
( 1) ( 2 1)x f x x dx
.
A. – 2 B. – 4 C. 1 D. – 0,5
Câu 15. Cho hàm số
y f x
liên tục trên [0;20] và thỏa mãn
1
2
5
0 0
6; 4
f x dx f x dx
. Tính tích phân
2
3
2
2
2
2
3
3 2
3 2 3
1
1
x x
x x
f dx
x
x
.
A. 24 B. 30 C. 10 D. 8
Câu 16. Cho hàm số
y f x
liên tục trên R thỏa mãn
2
( ) ( 3) ( ) 3f x x f x x
.
Giá trị tích phân
2
4 2
0
9 ( )f x x d x
gần nhất số nào sau đây
A. 9,6 B. 10,2 C. 11,5 D. 8,3
Câu 17. Biết
4
3 2 2
1
min 12 2;7 8
Z x x x x x dx abc
, tính a + b + c.
A. 17 B. 21 C. 16 D. 10
Câu 18. Tính tích phân
2
1
min ; ;2 1I x x x dx
.
A. 4 B. 2 C. 5,5 D. 7,5
Câu 19. Hàm số
f x
là hàm số chẵn, liên tục trên [– a;a]. Tính
a
a
f x dx
theo tích phân
0
( )
1
a
x
f x
M dx
b
.
A. M B. M C. M – 1 D. – M
Câu 20. Tính tích phân
2
0
f x dx
khi
f x
là hàm số chẵn trên R thỏa mãn
1
1
(2 )
8
1 5
x
f x
dx
.
A. 8 B. 2 C. 1 D. 16
Câu 21. Tính
4
3
3
min ; 3
G x x x dx
.
A. G = – 6,75 B. G = 7,25 C. G = 4 D. G = 1,25
Câu 22. Cho tham số dương k thỏa mãn
1
1
2
1
0
2
1 ( )
cos .ln 1
1 1
k
x
x f kx
x dx dx
x e
. Tính
1
0
f x dx
theo k.
A. k B. 2k C. 3k D. 4k
_________________________________
37
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ, GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN MAX, HÀM SỐ CHẴN LẺ – C2)
__________________________________________________
Câu 1. Tính M =
2
3
0
;
max x x dx
.
A. M = 4,25 B. M = 3 C. M = 2 D. M = 1
Câu 2. Tính I =
2
2
0
min ;1x dx
.
A. I = 3 B. I = 5 C. I = 8 D. I =
4
3
Câu 3. Tính Q =
3
2
0
;
max x x dx
.
A. Q = 4 B. Q = 2 C. Q =
55
6
D. Q =
11
6
Câu 4. Tính K =
3
4
0
;
max x x dx
.
A. K = 15,5 B. K = 2,6 C. K = 48,9 D. K = 11,2
Câu 5. Tính F =
3
2
2
min ; 3x x dx
.
A. F =
5 3 13
3 7
B. F =
5 3 13
2 6
C. F =
5 3 13
2 8
D. F = 2
Câu 6. Tính T =
2
2
2
min ;
x x x dx
.
A. T = 1 B. T = 2 C. T = 4 D. T =
4
3
Câu 7. Tính
4
2
2
min ; 2
L x x x dx
.
A. L = 3 B. L = 1 C. L = 1,5 D. L = 2
Câu 8. Tính
4
3
3
min ; 3
G x x x dx
.
A. G = – 6,75 B. G = 7,25 C. G = 4 D. G = 1,25
Câu 9. Tính
5
4
3
min ; 7
S x x x dx
.
A. S = 3 B. S = 2 C. S = – 1,6 D. S = – 2,25
Câu 10. Tính
3
2
2
min ;4 3E x x dx
.
A. E = 1 B. E =
11
3
C. E =
19
3
D. E =
25
4
Câu 11. Tính
π
2
0
min sin ;cos
P x x dx
.
A. P = 1 B. P =
3 2 2
C. P =
2 2
D. P =
4 2
Câu 12. Tính
5
2
0
4 5
min ; 4
1
x x
Q x dx
x
.
A. Q = 2,5 + ln8 B. Q = 29,5 + ln9 C. Q = 20 + ln3 D. Q = 19 + ln4
38
Câu 13. Giá trị tích phân
4
1
7
min ;2 1
1
x
T x dx
x
gần số nào nhất trong các số sau ?
A. 10 B. 12 C. 7 D. 19
Câu 14. Giá trị
3
2
0
5
min ;
5
x
I x dx
x
gần nhất giá trị nào sau đây ?
A. 2 B. 6 C. 10 D. 3
Câu 15. Giá trị
2
0
min 3 1;2
I x x dx
gần nhất với giá trị nào sau đây ?
A. 4,5 B. 3,3 C. 2,7 D. 7,1
Câu 16. Biết
3
0
min 8 1;3 ; ,
a
I x x dx a b
b
và phân số đạt tối giản. Tính a + b.
A. 40 B. 16 C. 32 D. 11
Câu 17. Tính
1
0
min ;3 1Z x x x dx
.
A. 3 B. 1 C. 2,5 D. 0,5
Câu 18. Biết
2
0
min sin 2 ;cos ; ,
a
I x x dx a b
b
và phân số đạt tối giản. Tính 5a + 4b.
A. 31 B. 40 C. 20 D. 16
Câu 19. Tích phân
2
1
2
1
1;2
K max x dx
x
gần nhất giá trị nào sau đây ?
A. 30 B. 6 C. 4 D. 9
Câu 20. Tích phân
ln 4
2
1
ln
2
2;3
x x
K max e e dx
gần nhất với giá trị nào sau đây ?
A. 14,17 B. 12,14 C. 19,69 D. 20,72
Câu 21. Tính tích phân
2
1
; 2; 3I max x x x dx
.
A. 6 B. 3,5 C. 4,5 D. 1
Câu 22. Biết
4
3 2 2
1
min 12 2;7 8
Z x x x x x dx abc
, tính a + b + c.
A. 17 B. 21 C. 16 D. 10
Câu 23. Tính tích phân
2
1
min ; ;2 1I x x x dx
.
A. 4 B. 2 C. 5,5 D. 7,5
Câu 24. Giá trị
2
4 2
1
min 8 ;2 ;
I x x x dx
gần nhất giá trị nào sau đây ?
A. 40,5 B. 49,6 C. 69,6 D. 24,5
Câu 25. Hàm số
f x
là hàm số lẻ, liên tục trên [– 6;6] và
0 2
3 1
6; 3 3
f x dx f x dx
. Tính
6
0
f x dx
.
A. – 6 B. 2 C. 3 D. – 3
Câu 26. Tính tích phân
2
0
f x dx
khi
f x
là hàm số chẵn trên R thỏa mãn
1
1
2 . (2 )
9
2 18
x
x x
f x
dx
.
A. 4,5 B. 9 C. 1 D. 18
_________________________________
39
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ, DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN MAX, HÀM SỐ CHẴN LẺ – C3)
__________________________________________________
Câu 1. Cho hàm số
( )y f x
thỏa mãn
1
( ) , 0; (1) 1
f x x x f
x
. Giá trị nhỏ nhất của f (2) là
A. 2,5 + ln2 B. 2 + 2ln2 C. 3 – ln2 D. 3ln2 – 1
Câu 2. Với tham số m thuộc [0;3], tính a + b khi a, b lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tích phân
2
3 2 2 3
4 5 2
m
m
S x mx m x m dx
.
A. 1 B. 2 C. 5,25 D.
41
6
Câu 3. Cho a + b = ab + 4 và a < b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
( ) ( )
b
a
x a x b dx
.
A. 12 B. 0 C.
64
3
D.
49
3
Câu 4. Cho
2 2 2 2
( ) ( ) 4
a b a b
và a < b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
( )
b
a
x a b x ab dx
.
A.
16
9
B.
19
6
C.
3
4
D.
4
3
Câu 5. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên [– 1;1] thỏa mãn
1
2
1
( ) 1; ( ) 0
f x f x dx
. Khi đó giá trị nhỏ
nhất của tích phân
1
2
1
( )x f x dx
là
A. – 0,5 B. – 0,25 C. – 1 D.
2
3
Câu 6. Gọi a, b là hai điểm cực đại và cực tiểu của hàm số
2
( ) ( ln )
x
x
e
e
f x t t dt
. Tính a + b.
A. ln2 + 1 B. ln2 C. – ln2 D. 0
Câu 7. Cho
f x
liên tục trên R và có đạo hàm trên đoạn [0;m]. Giá trị lớn nhất của
2
0
1 5 3
m
I x x dx
gần
nhất với giá trị nào ?
A. – 87 B. – 96 C. 0 D. – 69
Câu 8. Hàm số y = f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn
2018
af b bf a
với mọi a, b thuộc [0;1]. Tìm giá trị
lớn nhất của tích phân
1
0
f x dx
.
A. 1009 B.
1009
C.
2018
D. 504,5
Câu 9. Đoạn [m;n] gồm tất cả các giá trị a để
0
1
2( 1) 1
2
x
t a dt
nghiệm đúng với mọi x. Tính n – m.
A. 1 B. 2 C. 1,5 D. 2,5
Câu 10. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên dương k sao cho
1
ln 2
e
k
dx e
x
.
A. 4 B. 5 C. 3 D. 7
Câu 11. Tính tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình
2
0
3 8 4 0
x
t t dt x x
.
40
A. 6 B. 4 C. 7 D. 5
Câu 12. Hàm số f (x) có đạo hàm trên
1;

thỏa mãn f (1) = 1,
2
1 3 2 5f x x
trên
1;

. Tìm số
nguyên dương lớn nhất m sao cho
3;10
min ( )
f x m
với mọi hàm số số f (x) thỏa mãn đề bài.
A. m = 15 B. m = 20 C. m = 25 D. m = 30
Câu 13. Hàm số
f x
liên tục trên R có đạo hàm trên đoạn [0;m]. Giá trị lớn nhất của
2
0
5 3
m
I x x dx
nằm
trong khoảng giá trị nào ?
A. (2;3) B. (4;5) C. (0;1) D. (10;14)
Câu 14. Hàm số
f x
liên tục và có đạo hàm trên đoạn [2;4] thỏa mãn điều kiện
3 1, 2;4
x f x x x
.
Giả sử tồn tại hai số thực a và b sao cho
4 2 , 2;4
a f f b x
. Tính giá trị của tổng
S a b
.
A. 26 B. 27 C. 28 D. 29
Câu 15. Hàm f (x) liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn
(0) (3) 1
f f
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
3
0
( )f x dx
.
A. – 1 B. – 3 C. – 2 D. 0
Câu 16. Tìm giá trị lớn nhất của
2
1
( ) ( )
x
G x t t dt
trên [– 1;1].
A. 2 B.
5
6
C.
5
6
D.
1
6
Câu 17. Biết rằng F (x) là một nguyên hàm của hàm số
2 2018
2017
( )
( 1)
x
f x
x
sao cho F (1) = 0. Tìm giá trị nhỏ
nhất của hàm số F (x).
A.
2017
2018
1 2
2
B. 1 C.
2017
2018
1 2
2
D. 2
Câu 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
2
0
S x ax dx
với a là tham số,
0;1
a
.
A.
2 2
6
B.
2 2
3
C.
2 1
3
D.
2 1
6
Câu 19. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
(2 ) 2
b
a
I x m x dx
trong đó a, b là hai nghiệm của phương
trình
2
(2 ) 2 0
x m x
, trong đó a < b.
A. 8 B.
8 2
3
C.
128
9
D.
2 2
Câu 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
3
0
S x ax dx
với a là tham số,
0;1
a
.
A. 0,25 B. 0,125 C.
2 2
8
D.
2 2
6
Câu 21. Tính tích phân
3
0
f x dx
khi
f x
là hàm số chẵn trên R thỏa mãn
1
1
(3 )
2
1 8
x
f x
dx
.
A. 3 B. 2 C. 1 D. 6
Câu 22. Hàm số
f x
là hàm số chẵn liên tục trên [– 1;1] và
1
1
2
f x dx
. Tính
1
1
( )
1
x
f x
dx
e
.
A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
Câu 23. Hàm số
f x
là hàm số chẵn trên [– 2;2] và
8
8
16
f x dx
. Tính
2
2
(4 )
1
x
f x
dx
.
A. 10 B. 8 C. 12 D. 6
41
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ, DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN MAX, HÀM SỐ CHẴN LẺ – C4)
__________________________________________________
Câu 1. Cho hàm số
( )y f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
2
( ) (1 ) 1
f x f x
. Tìm giá trị lớn nhất của tích
phân
1
0
(1 ). ( )x f x dx
.
A. 0,125 B.
12
C.
1
6
D.
6
Câu 2. Cho hai số thực a, b thỏa mãn
0 1a b
. Tính m + n trong đó
m
n
là giá trị lớn nhất (dạng phân số tối
giản) của biểu thức
2
( ; ) (2 3 )
b
a
f a b x x dx
.
A. 49 B. 71 C. 67 D. 179
Câu 3. A là tập hợp các hàm số f liên tục trên [0;1] và nhận giá trị không âm trên [0;1]. Xác định số thực c nhỏ
nhất sao cho
1 1
2018
0 0
( ) ( )f x dx c f x dx
với mọi f thuộc A.
A. 2018 B. 1 C.
1
2018
D.
2018
Câu 4. Biết giá trị nhỏ nhất của
2
2 2
2 2 3
2
2( 1) 4
m
m
S x m m x m m dx
là phân số tối giản
a
b
. Tính a + b.
A. 7 B. 337 C. 25 D. 91
Câu 5. Với m là tham số thực thuộc [1;3]. Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2 2
( 2 ) ( )
m
m
P x m x m dx
.
A. 31 B. 36 C.
122
15
D.
121
4
Câu 6. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên
thỏa mãn
( ) ( ) 1
f x f x
và
(0) 0
f
. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
(1)f
.
A.
1e
e
B.
2 1e
e
C. e – 1 D. 2e – 1
Câu 7. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
2018
3 ( ) ( )
f x xf x x
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của tích phân
1
0
( )f x dx
.
A.
1
2021.2022
B.
1
2021.2018
C.
1
2019.2018
D.
1
2019.2021
Câu 8. Cho
3
;
2 2
a
và
2
0
cos sin
a
x a dx a
. Giá trị của
2
5a a
gần nhất giá trị nào ?
A. – 6,25 B. – 2,45 C. – 1,82 D. – 5,61
Câu 9. Cho
2
0
cos
n
I xdx
, n nguyên dương và n > 1. Tìm mệnh đề đúng
A.
1
1
n n
n
I I
n
B.
2
2
n n
n
I I
n
C.
2
1
n n
n
I I
n
D.
2
2
n n
I I
42
Câu 10. Số hữu tỉ dương m thỏa mãn
2
0
2
cos
2
m
x mxdx
. Hỏi số m thuộc khoảng nào trong các khoảng sau
A.
7
;2
4
B.
1
0;
4
C.
6
1;
5
D.
5 8
;
6 7
Câu 11. Biết rằng với mỗi số thực t không âm thì phương trình
3
8 0x tx
có nghiệm dương duy nhất
0
x
(tính theo t), với
0
x
là hàm số liên tục biến t trên nửa khoảng
0;

. Tính
7
2
0
0
x dt
.
A.
343
3
B. 7 C. 15,5 D. Đáp số khác
Câu 12. Cho
4
( ) 0
n m
n m
f x dx m
. Tính
2
2
1
( )xf nx m dx
theo m và n.
A. mn B. 2mn C.
2
m
n
D.
3
2
m
n
Câu 13. Có hai giá trị của số thực a là
1 2
,a a
(
1 2
a a
) thỏa mãn
1
(2 3) 0
a
x dx
. Tính
1 2
4 1 2
2 2 log
a a
a a
.
A. 6.5 B. 14 C. 20 D. 56
Câu 14. Phương trình
2
2 2
0
2
log 2log
t x dt
x
có nghiệm là
A. x = 1 B. x > 0 C. x = 1; x = 4 D. x = 1; x = 2
Câu 15. Có bao nhiêu số nguyên m < 100 để phương trình
2
0
(2 1) 3 4
m
x dx x x
có hai nghiệm phân biệt ?
A. 98 B. 96 C. 97 D. 95
Câu 16. Hỏi a thuộc khoảng nào sau đây thì
2 4
2 3
1 2
(4 4 ) 4 2
a a x x dx xdx
.
A. [1;5) B.
; 3
C. [– 3;1) D.
5;

Câu 17. Cho f (x) liên tục trên [0;3] thỏa mãn
2
1
( ) 4
f x dx
và
2
1
( ) 1
mx f x dx
. Tìm m.
A. m = – 1 B. m = – 2 C. m = 2 D. m = 7
Câu 18. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn
( ) ( ) 0
f x f x
với mọi
0;1
x
.
Tìm giá trị lớn nhất của tích phân
1
0
1
( )
dx
f x
.
A.
1
(0)f
B.
1
(1)f
C.
1 1
(0) (1)f f
D.
1 1
2 (0) 2 (1)f f
Câu 19. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
0
( ) (2 3cos2 2sin 2 )
t
f t x x dx
với t > 0.
A. 3
3
B. 2
3
C. 3 D. 2
Câu 20. Cho hàm số
f x
là hàm số chẵn trên [– 6;6] và
2 3
1 1
6; 2 5
f x dx f x dx
. Tính
6
1
f x dx
.
A. 11 B. 17 B. 8 D. 16
Câu 21. Tính tích phân
6
6
f x dx
khi
f x
là hàm số chẵn trên R thỏa mãn
1
1
4 . (6 )
7
4 5
x
x x
f x
dx
.
A. 84 B. 28 C. 42 D. 14
43
_________________________________
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ, DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN MAX, HÀM SỐ CHẴN LẺ – C5)
__________________________________________________
Câu 1. Có bao nhiêu số
0;20
a
sao cho
5
0
2
sin sin 2
7
a
x xdx
?
A. 20 B. 19 C. 9 D. 10
Câu 2. Hàm số
f x
liên tục trên R có đạo hàm trên đoạn [0;m]. Tìm m
2 3
0
2 3
m
I x x dx
đạt giá trị lớn nhất.
A.
1
3
m
B.
2
3
m
C.
1,5
m
D.
1
m
Câu 3. Cho số thực m thỏa mãn
1
2 1 1
m
mx dx
. Tham số m thu được thuộc khoảng nào sau đây
A. (4;6) B. (2;4) C. (3;5) D. (1;3)
Câu 4. Tính a + b biết rằng
2
0
3 1 3
max ;2 ln
2 2
x
x dx a b
x
, a và b là số thực dương.
A. 0,5 B. 1 C. 0,25 D. 1,5
Câu 5. Biết rằng
4
2
2 1
3. 4 3 31. 1
m
x x dx mx dx
. Khi đó
2
1
(2 )
m
x x dx
gần nhât với số nào
A. 14 B. 13 C. 17 D. 18
Câu 6. Biết rằng
4
2
0 2
72. max 2 1; 1 83. 2 3
m
x x x dx mx dx
, giá trị tham số m thu được thuộc khoảng
nào sau đây
A. (2;4) B. (4;7) C. (7;12) D. (12;15)
Câu 7. Biết rằng
4 4
2
0 0
max 1;4 2
2 1 1
ax
dx x x dx
x
. Giá trị tham số a thu được thuộc khoảng
A. (2;4) B. (4;7) C. (7;12) D. (12;15)
Câu 8. Biết rằng
1 4
2 2
0 2
( ) max ;4 3
x
x a e dx x x dx
, giá trị a thu được gần nhất với số nào sau đây
A. – 8,5 B. – 7,7 C. – 2,5 D. – 9,2
Câu 9. Tìm số nguyên dương n sao cho
6
0
1
sin cos
64
n
x xdx
.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Câu 10. Tính tích phân
2
4
0
1 2 sin
1 sin 2
a x
dx
x
theo tham số a thu được kết quả là
A. a B.
ln2
2
a
C.
2
2
a
D.
ln
2
a
Câu 11. Hàm số
f x
liên tục trên R có đạo hàm trên [0;m]. Tìm m để
2
0
4 3
m
I x x dx
đạt giá trị lớn nhất.
A.
1
3
m
B.
3
4
m
C.
2
m
D.
1
m
Câu 12. Tham số thực âm m thỏa mãn điều kiện
4 1
3 2 2
0 0
2 2
x x xdx x x m dx
. Khi đó giá trị nhỏ nhất
của
2
( ) 2 9
f x x x m
gần nhất với số nào
44
A.
2
3
B. 1 C.
5
6
D.
7
12
Câu 13. Cho hàm số
3
1
4 8
x
f x t t dt
. Biết trên đoạn [0;6] thì
m f x M
. Tính M – m.
A. 18 B. 12 C. 16 D. 9
Câu 14. Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho
1
0
0
2
dx
x k
.
A. k = 3 B. k = 4 C. k = 1 D. k = 2
Câu 15. Tìm điều kiện tham số m để
1I
với
1
0
; 0
2
dx
I m
x m
.
A.
1
0
4
m
B. m > 0,25 C.
1 1
8 4
m
D. m > 0
Câu 16. Đặt
2
0
sin
n
n
I xdx
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A.
1
n n
I I
B.
1
n n
I I
C.
1
n n
I I
D.
1
n n
I I
Câu 17. Hàm số f (x) có đạo hàm
f x
liên tục trên R và
1;1 , 0;2
f x x
. Biết f (0) = f (2) = 1. Đặt
2
0
I f x dx
, phát biểu nào sau đây đúng ?
A.
0I
B.
0 1I
D. 0 < I < 1 D.
1I
Câu 18. Biết rằng
2
0 2
1 37 2 5
m
x x dx mx dx
. Tính tích phân
0
2
m
x dx
.
A. 7 B. 2 C. 4 D. 6,5
Câu 19. Hàm số
f x
là hàm số chẵn trên [– 4;4]. Biết
2
2
16
f x dx
và
2
1
2 28
f x dx
. Tính
4
0
f x dx
.
A. 64 B. 30 C. 10 D. 68
Câu 20. Tính tích phân
4
4
f x dx
khi
f x
là hàm số chẵn trên R thỏa mãn
1
1
2 . (4 )
5
2 3
x
x x
f x
dx
.
A. 40 B. 20 C. 10 D. 5
Câu 21. Cho
1
1
1
2020
mx
mx
e m dx
e
. Tính
0,5
2
2
0
1
mx
mx
e m dx
e
.
A. 2020 B. 2040 C. 1010 D. 4040
Câu 22. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm trên R thỏa mãn
4
2
2
( ) 2f x x x
x
với
0x
và
(1) 1
f
. Mệnh đề
nào sau đây đúng ?
A. Phương trình
( ) 0
f x
có một nghiệm trên (0;1).
B. Phương trình
( ) 0
f x
có đúng ba nghiệm trên
(0; )
.
C. Phương trình
( ) 0
f x
có một nghiệm trên (1;2)
D. Phương trình
( ) 0
f x
có một nghiệm trên (2;5).
Câu 23. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm trên R thỏa mãn
2
2
2
( ) 2
f x x
x
với
0x
và
2
(1) 3
f m
.
Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. Phương trình
( ) 0
f x
có một nghiệm trên (0;1).
B. Phương trình
( ) 0
f x
có đúng ba nghiệm trên
(0; )
.
C. Phương trình
( ) 0
f x
có một nghiệm trên (1;2)
D. Phương trình
( ) 0
f x
có một nghiệm trên (2;5).
45
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ, DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN MAX, HÀM SỐ CHẴN LẺ – C6)
__________________________________________________
Câu 1. Cho hàm số
f x
liên tục trên
và
1 3
0 0
d 8; d 10
f x x f x x
. Giá trị của
1
1
2 1 df x x
bằng
A.
1.
B.
1.
C.
9.
D.
9.
Câu 2. Số thực a > 1 thỏa mãn
0
1 1
a
x dx
, tính
5
2
a
x dx
.
A.39 B. 25 C. 10 D. 2
Câu 3. Tham số thực m thỏa mãn
2
2 3
0 0
( ) ;
m
x mx dx max x x
. Giá trị m thu được gần nhất với
A.0,4 B. – 3 C. 2,5 D. – 2,5
Câu 4.
Cho số thực a > 1, tìm giá trị nhỏ nhất của
0
1
a
x dx
A.0,5 B. 1 C. 0,25 D. 1,5
Câu 5. Tìm m để
3
0
10
(3 )
9
m
x x dx f
với
15
( ) lnf x x
.
A.m = 4 B. m = 20 C. m = 5 D. m = 3
Câu 6. Có bao nhiêu số thực
2017;2017
a
thỏa mãn
cos 3
d
2
1 2017
a
x
a
x
x
A.
641
. B.
642
. C.
1284
. D.
1282
.
Câu 7. Có bao nhiêu số nguyên
m
thỏa mãn
0
4 cos
d 4 cos d
1 2017
x
m x
x m x x
?
A.
4
. B.
5
. C.
9
. D. Vô số.
Câu 8. Hai số thực dương
,a b
thỏa mãn
6
a b
và
ln 9
d 1
ln 9 ln 3
b
a
x
x
x x
.
Tính tích phân
sin d
2
b
a
x
x x
A.
12
. B.
0
. C.
12
. D.
6 2
.
Câu 9. Có bao nhiêu số nguyên dương
m
để
1
3 2
0
(2 3 ) 0?
m
x x x dx
A. 1. B. 0. C. vô số. D. 2
Câu 10. Có bao nhiêu số nguyên dương
n
để
1
( 1)( 2)...( ) 0
n
x x x n dx
.
A. 1. B. 0. C. Vô số. D. 2
Câu 11. Hàm số y = f (x) luôn nhận giá trị dương và liên tục trên [1;3],
1;3 1;3
1
2,min
2
max f x f x
và biểu
thức
3 3
1 1
1
.
S f x dx dx
f x
đạt giá trị lớn nhất, tính
3
1
f x dx
.
A. 3,5 B. 2,5 C. 1,4 D. 0,6
Câu 12. Cho
3
2
0
1
f x dx a
. Tính
10
1
( )xf x dx
theo a.
A. 2a B. a C. 3a D. a + 2
Câu 13. Biết rằng tham số
0;1
a
thỏa mãn
1
3
0
1
8
x ax dx
. Tính
2
0
( )
a
x ax dx
.
46
A.
5
48
B.
3
11
C.
9
47
D.
1
3
Câu 14. Giá trị
3
4
0
sin ;cos 1
max x x dx
gần nhất với số nào sau đây
A.0,2 B. 1 C. 1,5 D. 2,5
Câu 15. Tính tổng các giá trị x sao cho
0
2 4 5
b
x dx
.
A. – 2 B. – 4 C. 2 D. 0
Câu 16. Tính tổng các giá trị m để
0
2 5 6
m
x dx
.
A. – 4 B. – 2 C. – 5 D. 1
Câu 17. Tích phân
4
2
0
1;max x x
gần nhất giá trị nào
A.9,3 B. 8,6 C. 5,2 D. 7,4
Câu 18. Tìm m > 0 sao cho
0
4 ln 2 2 ln 2 12
m
x x
dx
.
A. m = 4 B. m = 3 C. m = 1 D. m = 2
Câu 19. Có bao nhiêu số thực
1
a
để
1
2
0
1 1 1
ln
2
2
dx
x a
a
?
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D. Vô số.
Câu 20. Biết rằng
1 1
2
2
0 0
3
;1 (2 )
2 4
x x
max x x m dx
x x
, giá trị m thu được gần nhất với
A.0,2 B. – 0,1 C. – 0,5 D. 0,6
Câu 21. Hai số thực dương
,a b
thỏa mãn
2018
a b
và
10
2018
b
a
x
dx
x x
. Tính
sin
3
b
a
x
dx
A.
3 3
2
. B.
3 3
2
. C.
9
2
. D.
9
2
.
Câu 22. Cho hàm số
( )y f x
liên tục trên
. Tập hợp các số thực
m
thỏa mãn
0 0
( ) ( )
m m
f x dx f m x dx
là
A.
(0; )
. B.
( ;0)
. C.
\{0}
. D.
.
Câu 23. Với mọi số thực
a
, tích phân
1
2
1
(1 ) 1
ax
dx
x e
bằng
A.
4
. B.
1
4
. C.
8
. D.
1
8
.
Câu 24. Gọi S là tổng các giá trị a thỏa mãn
1
2
0
1
3
x ax dx
,
0;1
a
. S gần nhất với số nào
A.0,86 B. 0,45 C. 0,23 D. 0,14
Câu 25. Với tham số dương m, tính tổng các giá trị m thỏa mãn
2
3 2 2 3 3
4 5 2
m
m
x mx m x m dx m
A.12 B. 1 C. 10 D. 8
Câu 26. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
(3 ) 4
b
a
I x m x dx
trong đó a, b là hai nghiệm của phương
trình
2
(3 ) 4
x m x
, trong đó a < b.
A.10 B.
32
3
C.
8 2
3
D.
5 2
3
_________________________________
47
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ, DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN MAX, HÀM SỐ CHẴN LẺ – C7)
__________________________________________________
Câu 1. Cho
1 1 1 1
0 0 0 0
( ) 3; ( ) 1; ( ) ( ) 13; 2 ( ) ( ) 6
f x dx g x dx mf x ng x dx mf x ng x dx
.
Tính 3m + n.
A.0,5 B. – 0,5 C.
1
3
D.
1
3
Câu 2. Giá trị của tích phân
1
2
0
1
min ;1 2
2 2 5
x
x
x x
gần nhất với
A.0,7 B. 0,8 C. 0,9 D. 0,4
Câu 3. Tính tích phân
2
cos
1 3
x
x
x
nếu
2
cos
1 3
x
x
x m
.
A.
– m B. 0,25
+ m C.
+ m D. 0,25
– m
Câu 4. Hàm số
2
y f x
là hàm số chẵn trên đoạn
;
2 2
và
sin cos
2
f x f x x x
. Tính
tích phân
2
0
f x dx
.
A. 0 B. 1 C. – 1 D. 0,5
Câu 5. Cho
( ) 6; ( ) 5; ( ) ( ) 24
b b b
a a a
f x dx g x dx mf x ng x dx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2
2m n
.
A.17 B.
1152
49
C.
1152
97
D.
2932
37
Câu 6. Biết
2
0
min sin ;cos
x x dx a b
với a, b nguyên dương. Tính 2a + b.
A.5 B. 4 C. 6 D. 12
Câu 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
(3 ) 6
b
a
I x m x dx
trong đó a, b là hai nghiệm của phương trình
2
(3 ) 6
x m x
, trong đó a < b.
A.
8 6
B.
12 2
C.
128
9
D.
2 2
Câu 8. Tính
8
8
(4 )
1 3
x
f x
dx
khi hàm số
f x
là hàm chẵn liên tục trên R thỏa mãn
1 2
0 1
1
2
3
f x dx f x dx
.
A. 16 B. 8 C. 4 D. 32
Câu 9. Cho hàm số
2
2 2 1
1
x khi x
y f x
a ax khi x
và
2
0
dI f x x
. Số phần tử của
a
nguyên dương để
10 0
I
A.
20
. B.
21
. C.
22
. D.
23
Câu 10. Có tất cả bao nhiêu số thực dương m thỏa mãn
1
0
2
m
x m dx
A.2 B. 1 C. 0 D. 3
Câu 11. Hàm số
0
( ) 1
x
f x x t dt
có tất cả bao nhiêu cực trị
A.0 B. 3 C. 1 D. 2
48
Câu 12. Tính giá trị đạo hàm tại x = 1 của hàm số
2 1
0
x
tx
e dt
.
A.
3
2e e
B.
3
2 1
e
C.
3
4 1
e
D.
3
e
Câu 13. Tính giá trị đạo hàm tại x = 2 của hàm số
2
0
1
x
dt
xt
với x > 0.
A.
3 ln3
2
B.
1
9
C.
2 ln 3
3 2
D.
1
ln3
3
Câu 14. Hàm số
f x
liên tục và xác định trên
1;1
và
1
1
( 1) 2
x f x dx
. Tính
1
0
( )f x dx
.
A.1 B. – 1 C. 2 D. – 2
Câu 15. Hàm số
f x
liên tục và xác định trên
3;3
và
1 1
3 0
3; (2 1) 1
f x dx f x dx
. Tính
1
0
( )f x dx
.
A.0,75 B. 2,5 C. – 0,5 D.
4
3
Câu 16. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
0;

và thoả mãn
2
0
d .sin
3
x
x
f t t x
. Tính
9f
.
A.
9
6
f
. B.
9 6
f
. C.
9
6
f
. D.
9f
.
Câu 17. Hàm số
f x
chẵn và liên tục trên R thỏa mãn
3
0
( ) 6
f x dx
. Tính
2
2
cos (3sin )x f x dx
.
A. 0 B. 4 C. 3 D. 6
Câu 18. Cho hàm số
,
f x g x
liên tục trên đoạn
0;2
, thỏa mãn
2
mf x nf x g x
với
,m n
là các
số thực khác
0
và
2 2
0 0
d d 1.
f x x g x x
Tính
m n
A.
0
m n
. B.
1
2
m n
. C.
1m n
. D.
2
m n
.
Câu 19. Tồn tại bao nhiêu số nguyên dương k thỏa mãn
1
4
1
4
4 1
x
kx
dx
.
A. 18 B. 19 C. 20 D. 8
Câu 20. Cho hàm số
f x
liên tục trên
;a

với
0a
và thỏa mãn
2
6 2
x
a
f t
dt x
t
với mọi
x a
. Tính
giá trị của
9
f
.
A.
9 27
f
. B.
9 9
f
. C.
9 18
f
. D.
9 36
f
.
Câu 21. Cho hàm số
( )f x
,
g x
liên tục trên đoạn
[0;1]
và thỏa mãn
. 2021 . 1 ( )m f x n f x g x
với
,m n
là số thực khác 0 và
1 1
0 0
( )d ( )d 2
g x x f x x
. Tính
2021m n
.
A.
2020
. B.
2
. C.
1
. D.
2021
.
Câu 22. Biết rằng
2
0
3 ( ) 2; 2
1 1
a a
a
g x
dx g a xg x dx
x x
. Số thực a nằm trong khoảng nào
A.
3
0;
2
B.
5
;4
2
C.
3 5
;
2 2
D.
11
4;
2
_________________________________
49
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ, DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN MAX, HÀM SỐ CHẴN LẺ – C8)
__________________________________________________
Câu 1. Tính
2
2
( )
1 3
x
f x
dx
khi hàm số
f x
là hàm chẵn liên tục trên R thỏa mãn
1 2
0 1
1
1
2
f x dx f x dx
.
A. 1 B. 6 C. 4 D. 3
Câu 2. Cho hàm số
f x
là hàm số lẻ và liên tục trên [– 1;1]. Tính
1
2
1
1
1
f x
dx
x
.
A.
B. 0 C. 0,5
D. 0,25
Câu 3. Cho hàm số
y f x
liên tục trên [0;13] và
11 13
0 11
12; 6
f x dx f x dx
. Tính
2
2
6 1
f x dx
.
A. 5 B. 6 C. 4 D. 2
Câu 4. Biết
2
0
min sin 2 ;cos ; ,
a
I x x dx a b
b
và phân số đạt tối giản. Tính 5a + 4b.
A. 31 B. 40 C. 20 D. 16
Câu 5. Hàm số
y f x
liên tục trên R và
3 35
0 0
30; 6
f x dx f x dx
. Tính
4
2
4
2 4 3
x f x x dx
.
A. 4 B. 12 C. 6 D. 18
Câu 6. Hàm số
f x
là hàm số chẵn, liên tục trên R thỏa mãn
1
0
( ) 2018
f x dx
, hàm số
( )g x
là hàm số liên
tục trên R thỏa mãn
( ) ( ) 1
g x g x
. Tính tích phân
1
1
( ) ( )f x g x dx
.
A. 2018 B. 504,5 C. 4036 D. 1008
Câu 7. Tích phân
2
1
2
1
1;2
K max x dx
x
gần nhất giá trị nào sau đây ?
A. 30 B. 6 C. 4 D. 9
Câu 8. Hàm số
f x
là hàm số chẵn, liên tục trên R và đồ thị hàm số đi qua điểm
1
;4
2
M
, đồng thời thỏa
mãn
1
2
0
( ) 3f t dt
. Tính tích phân
0
6
sin 2 (sin )xf x dx
.
A. 10 B. – 2 C. 1 D. – 1
Câu 9. Hàm số
f x
là hàm số chẵn, có đạo hàm trên [– 6;6] thỏa mãn
2 3
1 1
8; 2 3
f x dx f x dx
. Tính
giá trị biểu thức
6
1
f x dx
.
A.11 B. 5 C. 2 D. 14
Câu 10. Cho hàm số
f x
chẵn liên tục trên đoạn
thỏa mãn
1
1
2
8
1 2
x
f x
dx
. Tích phân
2
0
I f x dx
bằng
A.
2
. B.
4
. C.
8
. D.
16
.
Câu 11. Hàm số
f x
chẵn liên tục trên đoạn
. Biết
1 2
0 1
1
1
2
f x dx f x dx
. Tính
2
1
2
3 1
x
f x
I dx
A.
3
. B.
1
. C.
4
. D.
6
.
50
Câu 12. Cho hàm số
y f x
liên tục trên R thỏa mãn
1 3
0 0
2; 6
f x dx f x dx
. Tính
1
1
2 1
f x dx
.
A.
2
3
B. 4 C. 1,5 D. 6
Câu 13. Hàm số
y f x
liên tục trên
1;

và
0 1
1 0
2; 6
f x dx f x dx
.
Tính tích phân
8
0
1
( 1 2 )
1
f x dx
x
.
A. 2 B. 4 C. 1 D. 3
Câu 14. Hàm số
f x
là hàm số lẻ, liên tục trên [– a;a]. Tính tích phân
a
a
f x dx
.
A. 1 B. 0 C. a D. – 1
Câu 15. Tính
π
2
0
min sin ;cos
P x x dx
.
A. P = 1 B. P =
3 2 2
C. P =
2 2
D. P =
4 2
Câu 16. Tính
5
2
0
4 5
min ; 4
1
x x
Q x dx
x
.
A. Q = 2,5 + ln8 B. Q = 29,5 + ln9 C. Q = 20 + ln3 D. Q = 19 + ln4
Câu 17. Hàm số
f x
là hàm số chẵn, liên tục trên [– a;a]. Tính
a
a
f x dx
theo tích phân
0
a
M f x dx
.
A. 2M B. M C. M – 1 D. – M
Câu 18. Tính
1
0
min ;3 1Z x x x dx
.
A. 3 B. 1 C. 2,5 D. 0,5
Câu 19. Tính tích phân
3
0
f x dx
khi
f x
là hàm số chẵn trên R thỏa mãn
1
1
(3 )
2
1 8
x
f x
dx
.
A. 3 B. 2 C. 1 D. 6
Câu 20. Tính tích phân
6
6
f x dx
khi
f x
là hàm số chẵn trên R thỏa mãn
1
1
4 . (6 )
7
4 19
x
x x
f x
dx
.
A. 84 B. 28 C. 42 D. 14
Câu 21. Biết rằng
2020
11 9 7 5
2020
(11 9 5 )
x x x x x dx k
. Tìm số nghiệm của phương trình
5
( 1) 2022
x k x
.
A.4 B. 3 C. 2 D. 1
Câu 22. Hàm số
f x
là hàm số chẵn, liên tục trên [– a;a]. Tính
a
a
f x dx
theo tích phân
0
( )
10 1
a
ex
f x
M dx
.
A. M B. M C. M – 1 D. – M
Câu 23. Tính
6
1
f x dx
khi
f x
là hàm số chẵn, có đạo hàm trên [– 6;6] và
2 3
1 1
8; 2 3
f x dx f x dx
.
A. 14 B. 5 C. 11 D. 2
Câu 24. Cho
2
0
3 2 1 d 6
m
x x x
. Giá trị của tham số
m
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
1;2
. B.
;0

. C.
0;4
. D.
3;1
.
_________________________________
51
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HÀM ẨN TỔNG HỢP – D1)
__________________________________________________
Câu 1. Hàm số
( )f x
thỏa mãn
( ). ( ) 1
f x f x
. Tính
2
1
( )
x
dx
f x
biết rằng
2
1
( ) ; (1) ; (2)f x dx a f b f c
.
A. 2c – b – a B. 2a – b – c C. 2c – b + a D. 2a – b + c
Câu 2. Cho hàm số
( )f x
thỏa mãn
( 1). (2 3) 2
f x f x
. Tính
2
2
1
2
( 1)
x
dx
f x
biết
2
1
(2 3) 2 (7)xf x dx f
.
A. – 2f (5) B. 3f (5) C. f (5) D. f (4)
Câu 3. Cho hàm số
( )f x
thỏa mãn
1
2
2
1
2
109
( ) 2 ( ).(3 )
12
f x f x x dx
. Tính
1
2
2
0
( )
1
f x
dx
x
.
A.
7
ln
9
B.
2
ln
9
C.
5
ln
9
D.
8
ln
9
Câu 4. Cho hàm số
( )f x
thỏa mãn
1
2
0
28
( ) 4 ( ).(2 )
3
f x f x x dx
. Tính
1
0
(2 1)xf x dx
.
A.
5
3
B. 2 C.
2
3
D.
7
6
Câu 5. Hàm số
( )f x
liên tục trên
0;
2
và
2
2
0
( ) 2 ( )(sin cos ) 1
2
f x f x x x dx
. Tính
2
0
( )f x dx
.
A. – 1 B. 1 C. 2 D. 0
Câu 6. Cho hàm số
( )f x
thỏa mãn
2
2 1
2
2
( ) ( ) ( 1)
x x
f x f x x e
và f (1) = e. Tính f (5).
A. 3e
12
– 1 B. 5e
17
C. 5e
17
– 1 D. 3e
12
Câu 7. Hàm số f (x) có đạo hàm trên R thỏa mãn
3 2
( ) 1
2
2
3 ( ). 0
( )
f x x
x
f x e
f x
, f (0) = 1. Tính
7
1
( )xf x dx
.
A.
2 7
3
B.
15
4
C.
45
8
D.
5 7
4
Câu 8. Cho hàm số
y f x
liên tục và có đạo hàm trên
(0; )
thỏa mãn
3
2
2
( )sin 4; ( ) (sin ( )) cosf x xdx f x x x f x x
.
Khi đó
f
thuộc khoảng giá trị nào
A. (11;12) B. (5;6) C. (6;7) D. (12;13)
Câu 9. Cho hàm số
y f x
nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên [0;2].
Biết rằng f (0) = 1 và
2
2 4
( ). (2 )
x x
f x f x e
với mọi x thuộc [0;2]. Tính
2
3 2
0
( 3 ) ( )
( )
x x f x
dx
f x
.
A.
14
3
B.
32
5
C.
16
3
D.
16
5
Câu 10. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
(0; )
và thỏa mãn
5
( ) ( ) 2 1f x xf x x x
;
(1) 2,25
f
.
Tính
( )f e
.
A.
4
0,5
e
B.
5
4
4
e
C.
4
4
3
e
D.
1
5
e
52
Câu 11. Hàm số
y f x
nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên [0;1] và
2
(1) 1; ( ). (1 )
x x
f f x f x e
.
Tính tích phân
1
3 2
0
(2 3 ) ( )
( )
x x f x
dx
f x
.
A.
1
60
B.
1
60
C.
1
10
D. –
1
10
Câu 12. Hàm số f (x) có đạo hàm trên R ;
( 3) ( 2) 0
x
x f x x f x e
và
3
0
8
f
. Tính f (2).
A.
2
17
3
e
B.
2
11
16
e
C.
2
14
3
e
D.
2
7
16
e
Câu 13. Cho hàm số f (x) có đạo hàm, liên tục, luôn dương trên [1;3] và
2
2
.
f x f x f x x f x
và
1 1 1
f f
. Giá trin ln [f (x)] thuộc khoảng nào sau đây ?
A. (1;6) B. (7;12) C. (0;1) D. (12;15)
Câu 14. Hàm số f (x) liên tục trên R, có đạo hàm đến cấp hai trên R và thỏa mãn điều kiện
2
3
4 . ,
x
f x f x f x f x e x
; f (0) = 0.
Giá trị tích phân
5ln 2
5
0
f x dx
gần nhất với giá trị nào ?
A. 107,64 B. 4,31 C. – 18,42 D. – 460,16
Câu 15. Hàm số f (x) có đạo hàm, liên tục trên R và
1
f x f x
, f (0) = 1. Tìm giá trị lớn nhất của f (1).
A.
1
2
e
B.
1
1
e
C. e – 1 D. 2e – 1
Câu 16. Hàm số f (x) liên tục trên
0;

thỏa mãn
3
2 6
xf x f x x x
. Tìm f (4) theo a biết f (1) = a.
A. 2a + 126 B. 4a + 252 C. 2a + 63 D. 2a + 63
Câu 17. Hàm số f (x) liên tục trên R, f (x) > 0 với mọi x, ngoài ra
2
2
ln ( ) ( ) 1 ln 1
x
f x f x x e
. Tính tích
phân
1
0
( )xf x dx
.
A. – 12 B. 8 C. 12 D. 0,75
Câu 18. Hàm số f (x) có đạo hàm không âm trên [0;1] thỏa mãn
4 2 3
2
( ) . ( ) 1 1 ( ) ; ( ) 0, 0;1
f x f x x f x f x x
.
Biết f (0) = 2, hãy chọn khẳng định đúng
A. 2 < f (1) < 2,5 B. 2,5 < f (x) < 3 C. 1,5 < f (x) < 2 D. 3 < f (x) < 3,5
Câu 19. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn
3
cot . 2cosx f x f x x
với mọi
x k
và
9 2
4 4
f
. Hỏi giá trị
3
f
thuộc khoảng nào sau đây ?
A. (1;4) B. (6;10) C. (3;5) D. (4;8)
Câu 20. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và
2
( ) ( )
x
xf x x e f x
; f (1) = e. Tính
2
1
( )f x dx
.
A. e B.
2
3 2e e
C.
2
2e e
D.
2
e
_____________________________________
53
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HÀM ẨN TỔNG HỢP – D2)
__________________________________________________
Câu 1. Tính f (0) khi hàm số
( )y f x
có đạo hàm trên
( 1; ) 
thỏa mãn
2
2
2
( 1)
2 ( ) ( 1) ( )
3
x x
f x x f x
x
.
A.
3 3
B.
2 3
C.
3
D. 2
Câu 2. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên
(1; )
và
3
3
( ) 2 ( ) .ln ( ); ( ) 3xf x f x x x f x f e e
.
Khi đó giá trị f (2) gần nhất giá trị nào ?
A. 11,5 B. 12,5 C. 13,5 D. 9,2
Câu 3. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên
0;
2
thỏa mãn
2
2
0
( )cos 10
f x xdx
và f (0) = 3.
Tính
2
0
( )sin 2
f x xdx
.
A. 13 B. – 13 C. 7 D. – 7
Câu 4. Hàm số
( )y f x
luôn nhận giá trị khác 0 thỏa mãn
( ) 2 ( ) ( )
x
f x xf x e f x
và f (0) = 1. Tính
(1)f
.
A. e + 1 B. e
e – 2
C. e – 1 D. e
e + 1
Câu 5. Trên miền
(1; )
àm số
( )y f x
thỏa mãn
2
( )ln ( ) 2xf x x f x x
và
2
( )
f e e
. Tính
2
( )
e
e
x
dx
f x
.
A. 1,5 B. 0,5 C. 2 D.
5
3
Câu 6. Tính
3
2
f x
dx
x
khi
( )y f x
thỏa mãn
( ) 0, 2;3
f x x
;
2
2 0; 2 4
f x f x xf x f
.
A.
7
ln
2
B.
1 8
ln
2 3
C.
1 7
ln
2 2
D.
8
ln
3
Câu 7. Hàm số f (x) có đạo hàm không âm trên [0;1] thỏa mãn
2 2
2
2
( ) ( )
1 ( )
x
f x f x
f x
e
; f (0) = 1 và f (x)
nhận giá trị dương với mọi x thuộc [0;1]. Mệnh đề nào sau đây đúng
A. 2,5 < f (1) < 3 B. 3 < f (1) < 3,5 C. 2 < f (1) < 2,5 D. 1,5 < f (1) < 2
Câu 8. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1], thỏa mãn f (0) = 0; f (1) = 1 và
2
1
0
1
1
x
f x
dx
e e
. Khi đó
giá trị tích phân
1
0
f x dx
là
A.
2
1
e
e
B. 1 C.
1
( 1)( 2)
e e
D.
1
2
e
e
Câu 9. Tính f (1) khi hàm số y = f (x) liên tục trên
0;

thỏa mãn điều kiện
2
3
2 0
f x f x f x xf x
;
0 0; 0 1; 0, 0
f f f x x
.
A. 1,5 B.
2
3
C.
7
6
D.
6
7
Câu 10. Hai hàm số f (x), g (x) đều có đạo hàm trên R thỏa mãn
3 2 2
(2 ) 2 (2 3 ) ( ) 36 0
f x f x x g x x
.
Tính giá trị
3 2 4 2
f f
.
A. 11 B. 13 C. 14 D. 10
Câu 11. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn
2 ( ) 1
f x
f x x
với mọi x.
54
Tính a + b biết
2
0
( )
2 ln 2
a b
f x dx
, trong đó a và b hữu tỉ.
A. 4 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 12. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn
3 2
( ) 1
2
2
3 ( ). 0
( )
f x x
x
f x e
f x
và f (0) = 1. Tính
7
0
( )xf x dx
.
A. 4,5 B. 5,625 C. 5,5 D. 3,75
Câu 13. Hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm cấp n trên R thỏa mãn
2
(1 ) ( ) 2f x x f x x
. Tính
1
0
( )xf x dx
.
A. – 1 B. 1 C.
1
3
D. –
1
3
Câu 14. Hàm số
( )y f x
xác định trên
\ 0
thỏa mãn
2
( ) 1; ( ) 1 ( ) ( ) 0
xf x xf x xf x f x
.
Tính tích phân
1
( )
e
f x dx
.
A.
1
2
e
B.
1
2
e
C. –
1
e
D.
1
e
– 1
Câu 15. Hàm số
( )y f x
xác định trên
\ 0
thỏa mãn
2
( ) (2 1) ( ) ( ) 1
xf x x f x xf x
và
(1) 2
f
.
Tích phân
2
1
( )f x dx
gần nhất giá trị nào ?
A. – 1,84 B. – 1,19 C. – 1,34 D. – 2,19
Câu 16. Tính tích phân
1
0
( )f x dx
khi hàm số
( )y f x
không âm, liên tục trên [0;1] thỏa mãn
2
2 ( ) 1 ( ) 2 1 ( ) ; (1) 1
f x x f x x f x f
.
A. 1 B. 2 C. 1,5 D.
1
3
Câu 17. Tính
2 2
(1) (2)
f f
khi hàm số
( )y f x
nhận giá trị dương, liên tục trên [0;2] và thỏa mãn
2
2
( )
(0) 1; (0) 2; ( ). ( ) ( )
2
f x
f f f x f x f x
x
A. 20 B. 10 C. 15 D. 25
Câu 18. Tính
3
f
khi hàm số
( )y f x
nhận giá trị dương, liên tục trên
0;
3
và thỏa mãn đồng thời
2
2
( )
(0) 0; (0) 1; ( ). ( ) ( )
cos
f x
f f f x f x f x
x
.
A.
3
2
B.
3
4
C. 0,75 D. 0,5
Câu 19. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm cấp hai thỏa mãn
2
( ) 2 ( ) 8
x
f x f x xe
và
(0) 0; (0) 2
f f
. Khi
đó giá trị f (1) gần nhất với số nào sau đây
A. 1,13 B. 8,38 C. 9,38 D. 0
_______________________________
55
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HÀM ẨN TỔNG HỢP – D3)
__________________________________________________
Câu 1. Cho hàm số
( )f x
có đạo hàm đến cấp hai thỏa mãn
2 2
(1 ) ( 3) ( 1)
f x x f x
.
Tính tích phân
2
0
(2 1) ( )x f x dx
biết rằng
( ) 0,f x x
.
A. 8 B. 0 C. – 4 D. 4
Câu 2. Cho hàm số
( )f x
có đạo hàm đến cấp hai thỏa mãn
2 4 2
(1 ) ( 1). ( 1)
f x x x f x
. Tính
1
0
( )f x dx
.
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
Câu 3. Hàm số
( )y f x
liên tục trên
thỏa mãn
2 2
2 ( ). ( ) 108 (8 9) ( ) (4 9 ) ( )f x f x x x f x x x f x
.
Tính
1
0
4 ( ) 9 ( )f x f x dx
biết rằng đồ thị hàm số
( )y f x
đi qua gốc tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị luôn cắt
trục hoành.
A. 99 B. 100 C. 49 D. 1993
Câu 4. Tính
1
2
0
( 1)f x dx
khi hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên
thỏa mãn
2 2
(0) 0; (0) 0; ( ). ( ) 18 (3 ) ( ) (6 1) ( )f f f x f x x x x f x x f x
.
A. 3 B.
8
3
C. 2 D.
7
6
Câu 5. Tính giá trị gần đúng của
3
0
( )f x dx
biết hàm số
( )y f x
liên tục trên [1;3] thỏa mãn
2
2 2
( ). 1 ( ) ( ).( 1) ; (1) 1; ( ) 0, 0;3
f x f x f x x f f x x
.
A. – 1,09 B. – 2,56 C. – 6,25 D. 4,16
Câu 6. Tính
2
1
( )f x dx
khi hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên
và thỏa mãn
2 2
( 1) ( ) (1 ) ( )x x f x x f x x
.
A. 0,25 B. 0,75 C. 0,5 D. 1
Câu 7. Hàm số
( )y f x
liên tục và nhận giá trị không âm trên [0;1]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1
0 0
2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) ( )M f x x f x dx f x x xf x dx
.
A.
1
24
B. – 0,125 C.
1
12
D.
1
6
Câu 8. Hàm số
( )y f x
liên tục và có đạo hàm trên [1;e] thỏa mãn
2
1 1
(1) ; ( ) ( ) 3 ( )
2
f xf x xf x f x
x
.
Tính giá trị biểu thức f (e).
A.
3
2e
B.
4
3e
C.
3
4e
D.
2
3e
Câu 9. Hàm số
( )y f x
thỏa mãn
2
2
( ) 3 2 1 4 ( )f x x x xf x
và
3
1
( ) 12
f x dx
. Tính
2
0
( )f x dx
.
A. 6 B. 7 C. 8 D. 5
Câu 10. Hàm số
( )y f x
thỏa mãn
2
3 2 2
( ) ( )
3 1 2 3
f x f x
x x x x x
và
2
(0)
4ln 3 3
f
. Tính f (1).
56
A.
1
2ln 6 3
B.
1
4ln 6 3
C.
3ln6 1
2
D. 3ln6 – 6
Câu 11. Hàm số
( )y f x
xác định trên R thỏa mãn
3 3 6 4 2
( 1) ( 1) 6 12 6 2
f x x f x x x x x
.
Tính tích phân
1
3
( )f x dx
.
A. 32 B. 4 C. – 36 D. – 20
Câu 12. Hàm số
( )y f x
xác định trên R thỏa mãn
2
( ) ( ) 2 1f x f x x
và
(1) 2
f
. Tính
1
2
0
24 ( )xf x dx
.
A. 5 B. 10 C. 20 D. 1
Câu 13. Hàm số
( )y f x
xác định trên [0;2] thỏa mãn
2 3
(2 ) 2 ( ) 2 4 1f x xf x x x
. Tính
4
0
( )xf x dx
.
A. 8 B. – 8 C. 4 D. – 4
Câu 14. Hàm số
( )y f x
thỏa mãn
2
2
( ) 1 1 ( ). ( ) ; (1) (1) 1
xf x x f x f x f f
. Tính
2
(2)
f
.
A. 2ln2 + 2 B. 2ln2 + 1 C. ln2 + 1 D. ln2 + 2
Câu 15. Tính giá trị gần đúng của
0
( )f x dx
khi hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên
0;
thỏa mãn
cos
( ) sin . ( ) cos . ; (0) 2
x
f x x f x x e f e
.
A. 6,55 B. 17,3 C. 10,31 D. 16,91
Câu 16. Hàm số
( )y f x
liên tục trên
\ 0; 1
thỏa mãn
2 2
( ) ( ) ( ) ; (1) 2ln 2
x x f x f x x x f
.
Tính
2 2
a b
khi f (2) = a + bln3.
A. 6,25 B. 3,25 C. 2,5 D. 4,5
Câu 17. Hàm số
( )y f x
liên tục trên R sao cho
( ) (1 )f x f x
và
(0) (1) 5
f f
. Tính
ln 2
0
( 1)
x x
e f e dx
.
A. 2,5 B. 1,5 C. 5 D. 3
Câu 18. Tính
2
2019
1
2019
(2019 )f x dx
khi
ln 2 2
0 1
1
( ) 1; ( )(3 ) 2019
x
f e dx f x dx
x
.
A.
2018
6057
B.
2018
2019
C.
2019
2018
D. 2019
Câu 19. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn
3 2
2 ( ) 2 1
3 ( ). ( ) 4 . 1; (0) 1
f x x x
f x f x x e f
.
Tính tích phân
1 4089
4
0
( )f x dx
.
A. 3071,25 B. 1345,5 C. 3472,5 D. 2412,5
Câu 20. Hàm số
( )y f x
thỏa mãn
( 3) ( ) ( 2)( ( ) ) 0
x
x f x x f x e
và
3
(0)
8
f
. Khi đó f (2) gần nhất
giá trị nào sau đây
A. 41,87 B. 5,08 C. 34,48 D. 3,23
_________________________________
57
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HÀM ẨN TỔNG HỢP – D4)
__________________________________________________
Câu 1. Tính
1
0
( )f x dx
khi hàm số
( )y f x
liên tục trên [0;1], thỏa mãn
2 4
( ) (1 ) 2
x f x f x x x
.
A.
2
3
B. 1 C. 2 D.
4
3
Câu 2. Hàm số
( )y f x
liên tục, có đạo hàm dương trên [2;4] thỏa mãn
3
3 3
7
4 ( ) ( ) ; (2)
4
x f x f x x f
.
Giá trị
(4)f
gần nhất giá trị nào sau đây
A. 44,22 B. 10,93 C. 5,36 D. 22,11
Câu 3. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên [0;2] và
2
0
( ) 1 (2)x f x dx f
. Tính
2
0
( )f x dx
.
A. 1 B. 2 C. – 1 D. – 2
Câu 4. Trên [1;2] , hàm số
( )y f x
có
( ) 5f x x
thỏa mãn
2
2 ( ) 5 5 ( ); (1) 6
x f x x f x f
.
Tính giá trị biểu thức
(2) (1)f f
.
A. 5 B. 8 C. 7 D. 6
Câu 5. Trên
(0; )
, hàm số
( )y f x
có
2
. ( ) ( ) 1
x x
x x f e f e
. Tính tích phân
ln . ( )
e
e
x f x
dx
x
.
A.
1
8
B.
2
3
C.
1
12
D.
3
8
Câu 6. Trên
(0; )
hàm số
( )y f x
có
4 4
( ) 3 ( ) ln ( ) ; ( ) 2xf x f x x f x x f e e
.
Khi đó giá trị tích phân
3
2
( )f x dx
gần nhất giá trị nào ?
A. 92 B. 93 C. 18 D. 23
Câu 7. Hàm số
( )y f x
thỏa mãn
4 2
3 ( )
3 ( ). ( ). (2 1) ; (0) 1
f x x x
f x f x e x e f
.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
5
0
( ) ( )f x dx f x
gần nhất giá trị nào sau đây
A. 0,94 B. 1,72 C. 3,65 D. 2,34
Câu 8. Trên [0;1], hàm số
( )y f x
thỏa mãn
3 5
1. 4 (1 ) ( )
x xf x f x x
. Khi đó
1
0
( )f x dx
có giá trị gần
nhất số nào sau đây ?
A. 0,0434 B. 0,0548 C. 0,5482 D. 0,1873
Câu 9. Hàm số
( )y f x
thỏa mãn
2 2
1
( ).ln ( ) ln ( ) 0; ( )x f x x xf x x f e
e
. Tính
2
( )
e
e
f x dx
.
A. 2 B. 1,5 C. 3 D. 2,5
Câu 10. Hàm số
( )y f x
liên tục trên R thỏa mãn
( )
2 ( ) 1
f x
f x x
. Tính a + b biết a, b là các số hữu tỉ
thỏa mãn đẳng thức
2
0
( )
2 ln 2
a b
f x dx
.
A. 4 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 11. Hàm số
( )y f x
liên tục trên R thỏa mãn
2
2
4
0
( ) 1
x
x
f t dt e x
. Tính
(4)f
.
A.
4
e
+ 4 B. 4
4
e
C.
4
e
+ 8 D. 1
Câu 12. Hàm số
( )y f x
xác định trên R thỏa mãn
2 2
( ) 2 ( ) 5 15 (2 5) ( ); (2) 4
f x f x x x x x f x f
.
58
Khi đó
1
0
ln( ( ) 2)x f x dx
gần nhất giá trị nào sau đây
A. 0,45 B. 0,93 C. 2,51 D. 1,32
Câu 13. Tính tích phân
3
2
( )f x dx
khi hàm số
( )y f x
xác định trên R thỏa mãn
2 2 2
2 ( 1) 2( 1) ( ) ( 1) 2 ( ) ( ); (1) 3
x x x f x x f x f x f
.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
Câu 14. Tính tích phân
1
0
( )f x dx
khi hàm số
( )y f x
liên tục trên R thỏa mãn
2
2 2 2 2 2
2 ( ). ( ) ( ). ( ) 8( 2 4)( 1) 2( 2 4) ; (0) 4; (0) 2
f x f x f x f x x x x x x f f
.
A. 1 B.
17
6
C.
16
3
D.
1
3
Câu 15. Tính tích phân
2
2
3
1
( )
f x
dx
x
khi hàm số
( )y f x
liên tục trên R thỏa mãn
2
3
( ) ( ). ( ) 4 2 ; (0) (0) 0
f x f x f x x x f f
.
A. 2 B. 2,5 C. 1,6 D. 3
Câu 16. Tính
2
3;4
2
( ) min ( )f x dx f x
khi hàm số
( )y f x
thỏa mãn
3
2 2
0
( ) 2(2 1) ( ) 3 2 ; ( ) 3
f x x f x x x f x dx
.
A. 2 B. 8 C. 4 D. 6
Câu 17. Tính
(1) 2020 (1)f f
khi hai h
àm số
( ), ( )y f x y g x
có đạo hàm trên R thỏa mãn
3 2 2
(3 1) (2 1) . (4 9) 1993 0
f x f x x g x x
.
A. 30 B. 17 C. 27 D. 7
Câu 18. Hai hàm số
( ), ( )y f x y g x
xác định và có đạo hàm trên [1;2] thỏa mãn
4 ( ) 3 ( ) 0; 3 ( ) ( ) 0
2 (1) 3 (1) 2 2 (1) 3 (1) 4
f x xg x g x xf x
f g f g
Tính tích phân
2
1
[2 ( ) 3 ( )]x f x g x dx
.
A. 2ln2 B. ln2 C. ln3 D. 3ln2 – 1
Câu 19. Tích phân
3
2
( )f x dx
gần nhất giá trị nào khi hàm số
( )y f x
xác định thỏa mãn
4 2 2
2 ( ) ( ) 2 ( ) 8 ( ) 8; (1) 1
f x xf x x f x x f x f
.
A. 0,38 B. – 1,26 C. 2,19 D. – 1,56
_________________________________
59
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HÀM ẨN TỔNG HỢP – D5)
__________________________________________________
Câu 1. Cho hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên
, nhận giá trị dương trên [0;a] và
( ). ( ) 1
f x f a x
.
Tính tích phân
0
1
1 ( )
a
dx
f x
theo a.
A. 0,5a B. 2a C. 0,25a D.
3
a
Câu 2. Cho hàm số
( )y f x
xác định và có đạo hàm liên tục trên
, nhận giá trị dương trên [a;b] và thỏa mãn
điều kiện
2
( ). ( )
f x f a b x k
.Tính tích phân
1
( )
b
a
dx
k f x
theo a, b, k.
A.
3
b a
k
B.
2
b a
k
C.
b a
k
D. k(b – a)
Câu 3. Cho hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên
, nhận giá trị dương trên [0;1] và
( ). (1 ) 1
f x f x
.
Tính tích phân
1
0
1
1 ( )
dx
f x
.
A. 1,5 B. 0,5 C. 1 D. 2
Câu 4. Cho hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên
, nhận giá trị dương trên [0;2018] và thỏa mãn điều
kiện
( ). (2018 ) 1
f x f x
. Tính tích phân
2018
0
1
1 ( )
dx
f x
.
A. 2018 B. 4016 C. 0 D. 1009
Câu 5. Cho hàm số
( )y f x
xác định và có đạo hàm liên tục trên
, nhận giá trị dương trên [1;2018] và thỏa
mãn điều kiện
( ). (2019 ) 4
f x f x
. Tính tích phân
2018
1
1
2 ( )
dx
f x
.
A. 406 B. 504,25 C. 1004,5 D. 505,5
Câu 6. Hàm
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên
, nhận giá trị dương trên [0;2020] và
( ). (2020 ) 9
f x f x
.
Tính tích phân
2018
2
1
3 ( )
dx
f x
.
A. 938 B. 336 C. 968 D. 542
Câu 7. Cho hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên
, nhận giá trị dương trên [0;9] và
( ). (9 ) 4
f x f x
.
Tính tích phân
7
2
1
2 ( )
dx
f x
.
A. 1,5 B. 1,25 C. 2,25 D. 2,5
Câu 8. Cho hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên
, nhận giá trị dương trên [0;10] và
( ). (10 ) 5
f x f x
.
Tích phân
8
2
1
5 ( )
dx
f x
có giá trị gần số nào nhất ?
A. 5 B. 1,34 C. 2,27 D. 3,12
Câu 9. Cho hàm số
( )y f x
xác định và có đạo hàm liên tục trên
, nhận giá trị dương trên [a;b] và thỏa mãn
điều kiện
( ). ( ) 4
f x f a b x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
1
( ) 8 2020
2 ( )
b
a
T b a dx
f x
.
A. 2019 B. 2020 C. 2016 D. 2004
Câu 10. Cho hàm số
( )y f x
xác định và có đạo hàm liên tục trên
, nhận giá trị dương trên [a;b] và thỏa
mãn điều kiện
( ). ( ) 9
f x f a b x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
1
( ) 36 2019
3 ( )
b
a
T b a dx
f x
.
A. 2019 B. 2010 C. 2016 D. 2015
60
Câu 11. Cho hàm số
( )y f x
xác định và có đạo hàm liên tục trên
, nhận giá trị dương trên [a;2a] và thỏa
mãn điều kiện
2
( ). (3 )
f x f a x k
với k > 0. Tính a + k biết rằng
2
1
2; 2 12
( )
a
a
dx a k
k f x
.
A. 10 B. 12 C. 16 D. 14
Câu 12. Cho hàm số
( )y f x
xác định và có đạo hàm liên tục trên
, nhận giá trị dương trên [a;8a] và thỏa
mãn điều kiện
2
(2 ). (5 2 ) 4f x f a x k
với k > 0. Tính 2a + k biết rằng
8
2
1
1; 11
2 ( )
a
a
dx a k
k f x
.
A. 10 B. 18 C. 15 D. 19
Câu 13. Cho hàm số
( )y f x
xác định và có đạo hàm liên tục trên
, nhận giá trị dương trên [2;7] và thỏa
mãn điều kiện
( 1). (7 ) 9
f x f x
. Tính
7
3
1
3 ( )
dx
f x
.
A. 1 B.
2
3
C.
1
6
D.
5
6
Câu 14. Cho hàm số
( )y f x
xác định và có đạo hàm liên tục trên
, nhận giá trị dương trên [2;10] và thỏa
mãn điều kiện
( 2). (8 ) 1
f x f x
. Tính
10
4
1
1 ( )
dx
f x
.
A. 4 B. 3 C.
1
6
D.
5
6
Câu 15. Cho hàm số
( )y f x
xác định và có đạo hàm liên tục trên
, nhận giá trị dương trên [2;7] và thỏa
mãn điều kiện
2 2
( 3). (1 ) 4
f x f x
. Tính
11
2
3
2 ( 2)
x
dx
f x
.
A. 1 B. 0,5 C.
1
6
D. 2
Câu 16. Cho hàm số
( )y f x
xác định và có đạo hàm liên tục trên
, nhận giá trị dương trên [a + 1;2a + 1] và
thỏa mãn điều kiện
2
( ). (3 2 )
f x f a x k
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
20k a
khi
2 1
1
1
3
( )
a
a
dx
k f x
.
A. 11 B. 4 C. 16 D. 10
Câu 17. Cho hàm số
( )y f x
xác định và có đạo hàm liên tục trên
, nhận giá trị dương trên [a;4a + 8] và
thỏa mãn điều kiện
2
(2 ). (3 4 2 )
f x f a x k
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
8 10P a k
khi
4 8
2
1
2
( )
a
a
dx
k f x
.
A. 6,25 B. 5,75 C. 4,25 D. 8,25
Câu 18. Cho hàm số
( )y f x
xác định và có đạo hàm liên tục trên
, nhận giá trị dương trên [2;73] và thỏa
mãn điều kiện
(4 9). (9 4 ) 4
f x f x
. Tính
73
17
1
2 ( )
dx
f x
.
A. 1,25 B. 0,875 C.
1
6
D. 3
_________________________________
61
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HÀM ẨN TỔNG HỢP – D6)
__________________________________________________
Câu 1. Tính
1
2
0
( )x f x dx
khi hàm số đa thức
( )y f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn điều kiện
2
3 2
( ) ( ). ( ) 2 7 5 1; (0) 0
f x f x f x x x x f
.
A. 3 B.
5
6
C.
2
3
D.
11
3
Câu 2. Cho hàm số đa thức
( )y f x
thỏa mãn
2
2
( ) 2 ( ). ( ) 8 8 1; (0) 0; (1) 2
f x f x f x x x f f
.
Khi đó
1
2
0
( )x f x dx
gần nhất giá trị nào sau đây
A. 0,9 B. 0,7 C. 0,5 D. 0,4
Câu 3. Tính
1
0
( 2)xf x dx
khi
( )y f x
là hàm số đa thức thỏa mãn điều kiện
2
5 3 2
( ) 2 ( ). ( ) 6 12 36 2 ; (0) 0
f x f x f x x x x x f
.
A. 11,25 B. 0,75 C. 6,25 D. 15,5
Câu 4. Tính
2
1
( 1)xf x dx
khi
( )y f x
là hàm số đa thức thỏa mãn điều kiện
3 2
( 2) ( 1) 4 18 28 15; (1) 1
f x f x x x x f
.
A. 103,8 B. 195,4 C. 142,8 D. 128,8
Câu 5. Tính
2
1
( 1)xf x dx
khi
( )y f x
là hàm số đa thức thỏa mãn điều kiện
2 2 2
( 2) ( 1) 5( 3 ) 25( 3 ) 31; (1) 2
f x f x x x x x f
.
A. 968 B. 595 C. 722 D. 938
Câu 6. Tính
1
0
( 3)xf x dx
khi
( )y f x
là hàm số đa thức thỏa mãn điều kiện
3
( ) 2 ( 1) ( 2) ( 2) 17 3f x f x f x x x
.
A. 29 B. 4 C. 2020 D. 11
Câu 7. Đa thức bậc bốn
( )y f x
đạt cực trị tại
1; 2x x
và
0
2 ( )
lim 2
2
x
x f x
x
. Tính
1
0
( )f x dx
.
A. 1,5 B. 0,25 C. 0,75 D. 1
Câu 8. Đa thức bậc bốn
( )y f x
đạt cực trị tại
2; 3x x
và
0
2 ( )
lim 4
5
x
x f x
x
. Tính
1
0
( )f x dx
.
A. 2,25 B. 2,75 C. 4,75 D. 5,5
Câu 9. Đa thức bậc bốn
( )y f x
đạt cực trị tại
1; 2x x
và
0
6 (2 )
lim 3
6
x
x f x
x
. Tính
1
0
( )f x dx
.
A. 2 B. 2,5 C. 0,75 D. 4
Câu 10. Đa thức bậc bốn
( )y f x
đạt cực trị tại
2; 3x x
và
2
0
2 ( )
lim 2; (0) 1
5
x
x f x x
f
x
. Tính tích
phân
1
0
( )f x dx
.
A.
11
6
B.
34
15
C. 1,75 D.
4
29
Câu 11. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm trên [0;1] thỏa mãn
2
(1) 1; 2 ( ) 1 ( ) 2 1 ( )f f x x f x x f x
.
62
Tính tích phân
1
0
( )f x dx
.
A. 1 B. 2 C. 1,5 D.
1
3
Câu 12. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm trên [0;2] thỏa mãn
2
1
( ) ; (2) 1
3 ( ) 1
f x f
f x
. Tính
2
2
0
( )f x dx
.
A. 1 B.
1
3
C.
14
15
D.
11
12
Câu 13. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm trên [0;1] thỏa mãn
2
4 1
( )
3 ( ) 2
x
f x
f x
. Khi đó
1
3
0
( )xf x dx
gần nhất với
A. 0,52 B. 0,19 C. 0,12 D. 1,25
Câu 14. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm trên [0;1] thỏa mãn
2
2 2
( ) ; (1) 1
6 ( ) 1
x
f x f
f x
.
Tích phân
1
2
0
( )xf x dx
gần nhất với giá trị nào ?
A. 0,314 B. 0,968 C. 0,722 D. 0,542
Câu 15. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm trên [0;1] thỏa mãn
1
4
4
4
0
10 1
( ) ; 15. ( ) (1) 1
5 ( ) 2
x
f x f x dx f
f x
.
Tính
1
4 4
0
( )x f x dx
.
A.
14
15
B.
14
45
C.
4
45
D.
13
15
Câu 16. Hàm số
( )y f x
xác định và liên tục trên
0;

thỏa mãn
2
1
1
( ) ( )f x xf x dx
x
. Tính
1
( )
e
f x dx
.
A. 2e B. 1 – 2e C. 3 – 2e D. 2 + 2e
Câu 17. Hàm số
( )y f x
xác định và liên tục trên
0;

thỏa mãn
2
1
1995
5 ( ) 4 ( )f x xf x dx
x
. Khi đó tích
phân
5
4
(1995 )f x dx
gần nhất với số nào sau đây
A. – 1995 B. – 1596 C. 1995 D. – 2020
Câu 18. Hàm số
( )y f x
xác định, liên tục trên R thỏa mãn
2
2
3 sin
(2cos 1) cos (1 sin )
2 cos
x
f x xf x
x
.
Tính
0
1
( )f x
.
A.3 B. 1,5 C. 2,5 D. 5
Câu 19. Hàm số
( )y f x
xác định, liên tục trên R thỏa mãn
3
0
2 ln( 1) ( ) 0
x x xf x dx
và
(3) 1
f
. Tính a +
b biết rằng
3
0
ln 2
( )
2
a b
f x dx
.
A.35 B. 29 C. 11 D. 7
Câu 20. Tính tích phân
1
0
( )f x dx
khi hàm số
( )y f x
có đạo hàm trên [0;1] thỏa mãn
(1) 1; (0) 0
f f
và
2
( ) 2 ( ) 4 1 ( ) 2 ( ) 1 2 ( ) 1
f x f x x f x f x x f x
.
A. 1 B. 2 C. 1,5 D.
1
3
63
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HÀM ẨN TỔNG HỢP – D7)
__________________________________________________
Câu 1. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm xác định trên
thỏa mãn
3 2 2 3
3 . (3 1). 0
f x x f x x f x x
.
Tính giá trị
2
0
( )f x dx
.
A.1,25 B. 0,75 C. – 1,25 D. 1,25
Câu 2. Tính
2
0
( )f x dx
biết hàm số
( )y f x
liên tục trên [0;2] thỏa mãn
(2) 1
f
và
2 ln3
0 0
3 1
.ln( 1) 1 ln 3; ( 1) ( 1) ln3
2 2
x x
f x x dx e f e dx
.
A.3ln3 + 1 B. 2ln3 – 1 C. 1 D. 2
Câu 3. Hàm số
( )y f x
thỏa mãn
3 1; 3 3 ( 1)
x
f xf x f x x e
. Biết rằng
3
1
( )
f x dx ae b
với a, b là
số nguyên. Tính a – b.
A.2 B. – 2 C. 4 D. – 4
Câu 4. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm xác định trên
và nhận giá trị dương trên
0;

, đồng thời thỏa mãn
điều kiện
( ) ln ( ) 1f x f x x
. Giá trị tích phân
0
( )
e
f x dx
nằm trong khoảng
A. (4;5) B. (0;2) C. (2;4) D. (5;6)
Câu 5. Hàm số
( )y f x
thỏa mãn
2
(2) 1; 3 (1 3 )
5
x
f f x x f x
x
. Tính
2
2
1
( )
5 2
f x
dx
x
.
A.
1 2
ln
3 5
B.
1 5
ln
3 2
C.
3
ln
2
D.
1
ln10
3
Câu 6. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm cấp hai liên tục trên R thỏa mãn
2 2 4 2
( 4 2) (2 4 ) ; 1
x
x f x x x f x x x e f e
Biết
1
0
xf x dx a be
với a, b nguyên. Tính a + b
A.23 B. 11 C. – 21 D. – 15
Câu 7. Hàm số
f x
liên tục trên
thỏa mãn
3 2 10 6
1 2 ,xf x f x x x x x
. Tính
0
1
df x x
A.
17
20
. B.
13
4
. C.
17
4
. D.
1
.
Câu 8. Cho hàm số
f x
liên tục trên
thỏa mãn
3
3 2
4 14 6 16, .
f x f x x x x
Giá trị của tích
phân
1
5
df x x
thuộc khoảng
A.
2; 1
. B.
1
1;
2
. C.
1 1
;
2 2
. D.
1
;
2

.
Câu 9. Hàm số
( )y f x
thỏa mãn
3 2
2
2
2
2 ( 1) , 1
3
x x x
f x x f x x
x
. Khi đó
2
f
gần nhất với giá
trị nào
A.0,268 B. 0,251 C. 0,342 D. 0,215
Câu 10. Hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
và thỏa mãn
2
2 4, 0;1
f x xf x f x x x
.
Biết
1 3
f
, tích phân
1
2
0
I f x dx
bằng
A.
13
3
. B.
19
. C.
13
. D.
19
3
.
64
Câu 11. Hàm số
( )y f x
liên tục trên
0;

thỏa mãn
1
2 3 3 4
1
2
1
( ) 2;f x dx x f x x x f x
x
. Tính
1f
.
A.3 B. 1 C. 0 D. 2
Câu 12. Hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
thỏa mãn
2
3 1 3 ,
x
f x f x e x
và
11
0
3
f
.
Giá trị của
1
ln6
2
f
bằng
A.
8
9 6
. B.
5
3 6
. C.
20
3 6
. D.
32
5 6
.
Câu 13. Tính
3
2 2
0
'
1 3
xf x
dx
f x f x
khi hàm số
( )f x
có đạo hàm
'( )f x
liên tục trên
0;3
thoả mãn
( ). (3 ) 1
f x f x
và
( ) 1
f x
với mọi
1
0;3 ; 0
2
x f
.
A.
1
2
. B.
1
. C.
1
4
. D.
3
4
.
Câu 14. Cho hàm số
f x
liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn
0;1
thỏa mãn
1 1 2020, 0;1 .
f x f x f x f x x
Tích phân
1
0
ln 1 .df x x
bằng
A.
ln2021
. B.
ln 2020
. C.
ln 2021
. D.
ln2020
Câu 15. Cho hàm số
f x
liên tục trên
thỏa mãn
3
3 2
3 sin 2 3 , .
f x f x x x x x
Khi đó giá
trị tích phân
1
0
.df x x
thuộc khoảng nào dưới đây?
A.
2; 1
. B.
3; 2
. C.
1;1
. D.
1;2
Câu 16. Cho hàm số
f x
liên tục trên
thỏa mãn
2 2 1, ; (0) 1
f x f x x x f
. Tính
1
0
f x dx
A.
2
1
1
2e
B.
2
1
1
2e
C.
2
1
2e
D.
2
1
2e
Câu 17. Tính
2
2
e f
khi hàm số
f x
liên tục trên
thỏa mãn
0; 1;2
f x x
đồng thời
1
1f
e
và
2
( 1) 3
x
xf x x f x x e
.
A.8 B. 1 C. 4 D. 2
Câu 18. Hàm số
f x
liên tục trên
thỏa mãn
3 2 9 7 5 3
1 4 6 2 1, .
f x x xf x x x x x x x
Tích phân
2
2
df x x
thuộc khoảng nào dưới đây?
A.
0;3
. B.
3;5
. C.
5;7
. D.
7;

.
Câu 19. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
2; 2 \ 0
thỏa mãn
' 2 0
f x
f x
x
f x x e
e
.
Biết rằng
1 0
f
, giá trị của
1
2
f
bằng
A.
ln 7
. B.
ln5
. C.
ln 6
. D.
ln3
.
Câu 20. Cho hàm số
f x
có đạo hàm xác định trên
và thỏa mãn
2
2019
' 4 6 0
x f x
f x x xe
và
0 2019
f
. Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình
7
f x
là
A.
91
. B.
46
. C.
45
. D.
44
.
65
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HÀM ẨN TỔNG HỢP – D8)
__________________________________________________
Câu 1. Hàm số
f x
xác định và có đạo hàm
f x
liên tục trên đoạn
1;3
,
0
f x
với mọi
1;3
x
, đồng
thời
2
2 2
1 1
f x f x f x x
và
1 1
f
. Biết rằng
3
1
ln3
f x x a b
d
,
;a b
. Tính
2
S a b
:
A.
4
S
. B.
0
S
. C.
2
S
. D.
1
S
.
Câu 2. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
và
1
2 3
0
( ) 4
f x x x xf x dx
. Khi đó
1
0
f x dx
có giá trị
thuộc khoảng nào sau đây
A.(2;4) B. (4;6) C. (6;10) D. (10;15)
Câu 3. Cho hàm số
f x
liên tục trên
thỏa mãn
4 3
2
2 2 4 4
(1 ) 2 ,
x x x x
x f x f
x x
0, 1x x
.
Khi đó
1
1
d
f x
x
có giá trị là
A.
0
. B.
1
. C. 0,5. D. 1,5.
Câu 4. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;
. Biết
0 2f e
và
f x
luôn thỏa mãn đẳng thức
. . , 0;
cosx
f x sinx f x cosx e x
. Tính
0
I f x dx
(làm tròn đến phần trăm)
A.
6,55
. B.
17,30
. C.
10,31
. D.
16,91
.
Câu 5. Cho hàm số
f x
liên tục trên R và
2
0
( ) sin 2 sin . ( )f x x x f x dx
. Tính
2
0
sin
xdx
.
A.
2
1
4
B.
2
1
4
C.
2
1
2
D.
2
1
2
Câu 6. Cho hàm số
f x
liên tục trên R và
1
4
0
( ) ( )f x x x f x dx
. Tính
1
2
0
( )x f x dx
.
A.0,4 B.
17
35
C.
17
70
D.
2
3
Câu 7. Tính tích phân
1
0
f x dx
khi hàm số
f x
có đạo hàm xác định trên đoạn
1;1
thỏa mãn
1 0
f
và
2
2
4 8 16 8, 1;1
f x f x x x x
.
A.
5
3
. B.
1
3
. C.
2
3
. D.
4
3
.
Câu 8. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
và
f x
nhận giá trị dương trên
thỏa mãn
2 cos2
0 ;2sin 2 . ' 0, .
x
f e x f x e f x f x x
Khi đó
2
3
f
thuộc khoảng nào dưới đây?
A.
1;2
. B.
2;3
. C.
3;4
. D.
0;1
Câu 9. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
và
1
3 3 2
0
( ) ( )f x x x f x dx
. Tính
1
0
f x dx
.
A.0,65 B. 0,25 C.
23
60
D.
4
15
Câu 10. Cho hàm số
f x
có đạo hàm cấp hai liên tục trên [0;1] thỏa mãn
(1) (0); (0) 2022
f f f
.
Tính tích phân
1
0
(1 )
x f x dx
.
66
A.1 B. – 1 C. 2022 D. – 2022
Câu 11. Với mọi
0;x
hàm số
f x
liên tục nhận giá trị dương, thỏa mãn
3 2
2 'f x x f x xf x
và
1
1
2
f
. Giá trị của
3
2
f x dx
bằng
A.
9
ln
2
. B.
9
ln
8
. C.
1 9
ln
2 2
. D.
1 9
ln
2 8
Câu 12. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
thỏa mãn
0 2
f
và
4 2 3
2
. ' . 1 1 , 0;1
f x f x x f x x
. Biết
' 0, 0, 0;1
f x f x x
. Mệnh đề nào dưới đây
là đúng?
A.
2 1 3
f
. B.
3 1 4
f
. C.
4 1 5
f
. D.
5 1 6
f
.
Câu 13. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
thỏa mãn
1 1
f
và
2
2 6 4 2
' 4 6 1 40 44 32 4, 0;1
f x x f x x x x x
. Tích phân
1
0
f x dx
bằng
A.
23
15
. B.
17
15
. C.
13
15
. D.
7
15
.
Câu 14. Hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
thỏa mãn
0
f x
và
1 ' ,
2
f x
x f x x
x
và
2
ln 2
0
2
f
. Giá trị
3f
A.
2
1
4ln 2 ln5
2
. B.
2
4 4ln2 ln5
. C.
2
1
4ln 2 ln5
4
. D.
2
2 4ln2 ln5
.
Câu 15. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm trên
0;

thỏa mãn:
2 3 2
. 2
x f x f x x x
,
0
x
. Biết
rằng
1 0
f
. Tính giá trị của
0,5
f
.
A.
e
I
. B.
1
e
4
I
. C.
1
4
I
. D.
1
e
4
I
.
Câu 16. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
1;1
thỏa mãn
1
1
( ) 1 ( ) (t)dt
t
f x x e f
. Tính
1
1
x
e f x dx
.
A.
2
3
3
e
e e
B.
2
3
3
e
e e
C.
2
2
3
3
e
e e
D.
2
2
3
e
e e
Câu 17. Biết
0 2, ' 0, 0, 0;1
f f x f x x
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.
5
1 2;
2
f
. B.
5
1 ;3
2
f
. C.
7
1 3;
2
f
. D.
7
1 ;4
2
f
.
Câu 18. Cho hàm số
f x
nhận giá trị không âm có đạo hàm liên tục trên đoạn
1;2
thỏa mãn
1 3
f
và
2 3 1 . ' 3 1 , 1;2
f x x f x f x x
. Tích phân
2
1
f x dx
bằng
A.
9
2
. B.
7
2
. C.
15
2
. D.
5
2
.
Câu 19. Cho hàm số
f x
liên tục trên R thỏa mãn
3 2
(3 ) ( ) 26 32f x f x x x
. Tính
1
0
xf x dx
.
A.
23
12
B.
23
12
C.
11
12
D.
11
12
Câu 20. Cho hàm số
f x
liên tục trên
[0;4]
thoả mãn
4 , [0;4]
f x f x x
và
4
0
10
x f x dx
.
Tích phân
4
0
f x dx
bằng
A.
5
. B. 20. C. 2,5. D. 40.
_________________________________
67
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN LẤY TÍCH PHÂN HAI VẾ, ĐẶT ẨN PHỤ, XÁC ĐỊNH HÀM SỐ – E1)
__________________________________________________
Câu 1. Hàm số y = f (x) liên tục trên R, thỏa mãn
2018
x
f x f x e
. Tính
1
1
I f x dx
.
A.
2
1
2019
e
I
e
B.
2
1
2018
e
I
e
C. I = 0 D.
2
1
e
I
e
Câu 2. Hàm số
f x
liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn
2 3 2 3 1f x f x x
. Tính
2
0
f x dx
.
A.
8
5
B. 2 C.
2
3
D.
3
7
Câu 3. Hàm số bậc hai
f x
trên R thỏa mãn
( 2) ( ) 4 10; (0) 1
f x f x x f
. Tính
1
0
( ) ( ) 1f x f x dx
.
A. 7,5 B. 2 C. – 1 D.
2
3
Câu 4. Hàm số
f x
liên tục trên R và thỏa mãn
2
,f x f x x x
. Tính
1
1
I f x dx
.
A.
2
3
I
B.
1I
C.
2I
D.
1
3
I
Câu 5. Hàm số đa thức
f x
liên tục trên R thỏa mãn
2
(2 ) ( ) 9 3f x f x x x
. Tính
2
1
( )
x
e f x dx
.
A. 2e
2
+ 5e B. 9e
2
– 3e C. 4e
2
+ e D. 7e
2
– 2e
Câu 6. Hàm số
f x
liên tục trên R, thỏa mãn
3
1,f x f x x x
. Tính
3
0
2 3
2
1
I x f x dx
.
A.
2
3
I
B.
1I
C.
1
9
I
D.
1
3
I
Câu 7. Hàm số đa thức
f x
liên tục trên R thỏa mãn
3
(4 ) ( ) 4 2 ; (0) 2
f x f x x x f
. Tính
1
0
63 ( )f x dx
.
A. 148 B. 150 C. 167 D. 69
Câu 8. Cho hàm số
f x
liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn
2
2 3 1 1
f x f x x
. Tính
1
0
f x dx
.
A.
4
B.
6
C.
20
D.
16
Câu 9. Cho hàm số
f x
liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn
2 1 3f x f x x
. Tính
1
0
f x dx
.
A. 1,5 B. 2 C. 0,5 D. 2
Câu 10. Hàm số đa thức
f x
liên tục trên R và
3 3
(2 1) ( 1) 8( 1)
f x x f x x
. Tính
1
0
( 1) ( )x f x
.
A. 11,25 B. 12,35 C. 16 D. 4,75
Câu 11. Cho hàm số
f x
liên tục trên R, thỏa mãn
2 cosf x f x x
. Tính tích phân
2
2
I f x dx
.
A.
2
3
I
B.
4
3
I
C.
1
3
I
D.
1I
68
Câu 12. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn
2 2cos2 ,f x f x x x
. Tính
3
2
3
2
f x dx
.
A. – 6 B. 0 C. – 2 D. 6
Câu 13. Cho hàm số
f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
2 3
6
( ) 6 ( )
3 1
f x x f x
x
. Tính
1
0
f x dx
.
A. 2 B. 4 C. – 1 D. 6
Câu 14. Cho hàm số
f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
2 2
4 ( ) 3 (1 ) 1
xf x f x x
. Tính
1
0
f x dx
.
A.
4
B.
6
C.
20
D.
16
Câu 15. Hàm số bậc hai
f x
liên tục trên [1;2] thỏa mãn
2
(0) 1; ( ) (2 ) 2 4 2
f f x f x x x
. Tính
theo a giá trị tích phân
2
1
(2 ) ( )x a f x dx
.
A. 2a – 1 B.
2
3
a
C.
10
3
a
D.
4
2
3
a
Câu 16. Hàm số đa thức
f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
(3 ) ( ) 2 ; (1) 2
f x f x x f
. Tính
1
2
0
( )f x dx
.
A.
7
3
B. 2 C.
17
3
D.
4
3
Câu 17. Cho hàm số
f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
2 ( ) 3 (1 ) 1
f x f x x x
. Tính
1
0
f x dx
.
A.
1
25
B.
4
15
C.
1
15
D.
4
75
Câu 18. Hàm số
f x
liên tục trên [– 1;2] thỏa mãn
2 3
( ) 2 ( 2) 3 (1 ) 4f x xf x f x x
. Tính
2
1
( )f x dx
.
A. 5 B. 2,5 C. 3 D. 15
Câu 19. Hàm số
f x
liên tục trên [– 1;2] thỏa mãn
2
( ) 2 (3 )f x x xf x
. Tính
2
1
( )f x dx
.
A.
14
3
B. 2 C.
28
3
D.
4
3
Câu 20. Hàm số bậc ba
f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
3 2
(3 1) ( ) 26 27 11 2
f x f x x x x
. Tính giá
trị tích phân
1
0
[ ( ) 1]
x
e f x dx
.
A. e + 5 B. 2e + 1 C. 3e – 1 D. e + 1
Câu 21. Hàm số
f x
liên tục trên [0;4] sao cho
2 2
4 ( ) 6 (2 ) 4
xf x f x x
. Tính
4
0
( )f x dx
.
A.
5
B.
6
C.
20
D.
16
_________________________________
69
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN LẤY TÍCH PHÂN HAI VẾ, ĐẶT ẨN PHỤ, XÁC ĐỊNH HÀM SỐ – E2)
__________________________________________________
Câu 1. Hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn
2
1
( ) (1 ) 3 (1 )
1
f x xf x f x
x
. Tính
1
0
f x dx
.
A.
9
ln2
2
B. 4ln2 C.
2
ln2
9
D. 1,5
Câu 2. Hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn
3
3 4
2
( ) 8 ( ) 0
1
x
f x x f x
x
. Khi đó
1
0
f x dx
gần nhất
A. 0,65 B. 0,19 C. 0,45 D. 0,37
Câu 3. Hàm số bậc hai f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn
2
3 ( 2) (3 )
f x f x x x
. Tính
1
0
4 ( )
x
e f x dx
.
A. 3 – e B. 2e + 1 C. 4e – 3 D. e + 2
Câu 4. Tính
1
0
( )f x dx
khi hàm f (x) liên tục, có đạo hàm trên [0;1] và
2 2 3 2
( ) 2 ( ) 3 ( ) 1 , 0;1
f x xf x x f x x x
A.
4
B.
24
C.
36
D.
12
Câu 5. Hàm số đa thức
f x
liên tục trên [0;3] thỏa mãn
2
2 8 3 1f x f x x x
. Tính
3
0
f x dx
.
A. 0,1 B. 2 C. 1,65 D.
11
6
Câu 6. Hàm số y = f (x) liên tục thỏa mãn
1 1
2 3 , ;2
2
f x f x x
x
. Tính
2
1
2
f x
dx
x
.
A. 1,5 B. 4,5 C. – 4,5 D. 3
Câu 7. Cho hàm số f (x) thỏa mãn
2
( ) 4 ( ) 3f x xf x x
. Tính tích phân
1
0
( )f x dx
.
A. 0,5 B. 2 C. 1 D. 1,5
Câu 8. Tính
1
0
( )f x dx
khi hàm số f (x) thỏa mãn
2 3 4
( ) 2 ( ) 3 ( ) 5f x xf x x f x x
.
A. 1 B.
10
11
C.
1
11
D.
7
11
Câu 9. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (0) = 0 và
( ) sin cos
2
f x f x x x
. Tính
2
0
( )xf x dx
.
A. – 0,25
B. 0,25 C. 0,25
D. – 0,25
Câu 10. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn
2
2
(1 2 ) (1 2 )
1
x
f x f x
x
. Tính
3
1
( )f x dx
.
A. 2 – 0,5
B. 1 – 0,25
C. 0,5 – 0,125
D. 0,25
Câu 11. Hàm số f (x) liên tục trên
\ 0
thỏa mãn
2 15
2 (3 ) 3
2
x
f x f
x
và
9
3
( )
f x dx k
.
Tính
3
2
1
2
1
f dx
x
theo k.
70
A.
45
9
k
B.
45
9
k
C.
45
9
k
D.
45 2
9
k
Câu 12. Hàm số f (x) liên tục trên
\ 0
và thỏa mãn các điều kiện
3 14
3 2 2
3
x
f x f
x
;
12
6
f x dx k
.
Tính tích phân
2
1
1
f dx
x
theo k.
A.
42
4
k
B.
42 3
4
k
C.
21
2
k
D.
21
4
k
Câu 13. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn
( ) 2018 ( ) 2 sinf x f x x x
. Tính
2
2
2019 ( )f x dx
.
A. 4 B. 2 C. 1 D. 3
Câu 14. Hàm số f (x) liên trục trên [0;1] thỏa mãn
2 2
4 3 1 1
xf x f x x
. Tính
1
0
f x dx
.
A.
20
B.
6
C.
16
D.
4
Câu 15. Hàm số f (x), f (– x) liên tục trên R thỏa mãn
2
1
2 3
4
f x f x
x
. Tính
2
2
f x dx
.
A.
10
B. –
10
C. –
20
D.
20
Câu 16. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn
sinf x f x x
với mọi x, f (0) = 1. Tính
e f
.
A.
1
2
e
B.
1
2
e
C.
3
2
e
D.
1
2
Câu 17. Hàm f (x) liên tục trên
0;

và
1
f x x
x
với mọi x > 0 và f (1) = 1. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A.
5
2 2ln2
2
f
B.
5
2 ln 2
2
f
C.
2
f
5 D.
2
f
4
Câu 18. Trên đoạn [– 1;1], hàm số f (x) liên tục và
2019 2
x
f x f x
. Tính
1
1
I f x dx
.
A.
1
2009ln2
B. 0 C.
3
4040ln2
D.
5
2018ln 2
Câu 19. Tính
1
0,5
I f x dx
nếu hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên
1
;2
2
và
2 2
1 1 1 1
2 f x f
x x x x
.
A. – 1 B.
1 2ln2
2 3
C.
ln 2
1
4
D.
2
1e e
Câu 20. Hàm số f (x) có đạo hàm và liên tục trên R thỏa mãn
2
x
f x xf x xe
và f (0) = 1. Tính f (1).
A. e B.
1
e
C.
2
e
D. –
2
e
_________________________________
71
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN LẤY TÍCH PHÂN HAI VẾ, ĐẶT ẨN PHỤ, XÁC ĐỊNH HÀM SỐ – E3)
__________________________________________________
Câu 1. Cho
f x
liên tục trên R sao cho
3
( ) ( )f x f x x
. Tính
2
0
( )f x dx
.
A. 2 B. 1,25 C. 0,5 D. 1,5
Câu 2. Cho
f x
liên tục trên R sao cho
3 2
2 ( ) 3 ( ) 6 ( )
f x f x f x x
. Tính
5
0
( )f x dx
.
A. 1,25 B. 2,5 C.
5
3
D.
5
12
Câu 3. Cho
f x
liên tục trên R sao cho
3 2
3 ( ) ( ) 4f x f x x
. Tính
1
0
( )xf x dx
.
A.
11
32
B. 1 C.
15
32
D.
13
12
Câu 4. Cho hàm số
f x
liên tục trên R sao cho
3
( ) 2 ( ) 1
x f x f x
. Tính
1
2
( )f x dx
.
A. 1,75 B. 1,25 C. – 1,75 D. 3,5
Câu 5. Cho hàm số
f x
liên tục trên R sao cho
7 5 3
( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 10f x f x f x f x x
. Hỏi giá trị tích phân
1
2 3
0
( ) ( )f x d x
gần nhất với giá trị nào sau đây ?
A. 0,17 B. 0,27 C. 0,45 D. 0,56
Câu 6. Cho
f x
liên tục trên R sao cho
7 5 2
( ) ( ) 2f x f x x
. Tính
1
2
0
( ) ( )f x d x
.
A.
13
12
B.
41
48
C.
5
6
D.
7
3
Câu 7. Cho
f x
liên tục trên R sao cho
3 2 3
( ) 2 ( ) 10 ( ) 9f x f x f x x
. Tính
1
3
0
( ) ( )f x d x
.
A.
53
108
B.
13
12
C.
11
120
D.
5
36
Câu 8. Cho
f x
liên tục trên R sao cho
5 2 2
( ) 2 ( ) 10 ( ) 10
f x f x f x x x
. Tính
1
0
(20 1) ( )x f x dx
.
A. 4 B. 2,5 C. 4,5 D. 6,25
Câu 9. Cho
f x
thỏa mãn
( ) 1,f x x
và
4 3
( ) ( ) 2
2
( ) 1
f x f x
x
f x
. Tính
2
4
( )f x dx
.
A. 4 B. 2 C. 1 D. 3
Câu 10. Cho hàm số
f x
nhận giá trị không âm và liên tục trên R sao cho
2
( ) 2 ( ) 3 ( )
f x f x f x x
. Tính
tích phân
13
1
( 1)f x dx
.
A. 45 B. 34 C. 23 D. 12
Câu 11. Cho hàm số
f x
có đạo hàm khác 0 thỏa mãn
3
( ( )) ( ( )) 2f f x f f x x
. Tính
1
0
1
( )
dx
f x
.
A. 0,25 B. 1 C. 2 D. 1,5
Câu 12. Cho
f x
liên tục trên R sao cho
5 5
( ) 2 2 ( )f x x x f x
. Tính
1
4 2
0
(10 1) ( )x f x dx
.
72
A.
29
21
B. 1 C.
22
3
D.
11
3
Câu 13. Cho
f x
không nhận giá trị 0 sao cho
2
3
8 2
11 20
( ) ( )
x x
f x f x
. Tính
2
1
(2 11) ( )
( )
x f x
dx
f x
.
A. 6,375 B. 7,25 C. 5,75 D. 8.125
Câu 14. Cho
f x
nhận giá trị không âm và liên tục trên R sao cho
3
3
( ) ( ) 514f x f x x
. Khi đó
1
0
( )f x dx
gần nhất giá trị nào sau đây
A. 2,4 B. 3,5 C. 6 D. 5,5
Câu 15. Cho
f x
nhận giá trị không âm và liên tục trên R sao cho
3
( ) 4 ( ) 72f x f x x
. Khi đó
1
0
( )f x dx
gần nhất giá trị nào sau đây
A. 2,4 B. 4,3 C. 1,6 D. 5,5
Câu 16. Cho hàm số
f x
liên tục trên R sao cho
3
2 ( ) 5 ( ) 7f x f x x
. Tính
1
2
0
( )f x dx
.
A. 1 B.
1
7
C.
43
105
D.
22
105
Câu 17. Cho hàm số
f x
liên tục trên R sao cho
3 2
( ) ( ) 4 ( )f x f x f x x
. Tính
4
0
( )f x dx
.
A. 1,25 B.
25
12
C.
5
12
D.
5
3
Câu 18. Cho hàm số
f x
liên tục trên R sao cho
3
( ) 3 ( ) 4
x x
f e f e x
. Tính
1
0
( ) ( )
x
f e d x
.
A. 2 B.
3
4
C.
9
16
D.
3
4
Câu 19. Hàm số
f x
nhận giá trị không âm và liên tục trên R sao cho
3
4 ( ) 9 ( ) 1993 ( ) 2006f x f x f x x
.
Giá trị tích phân
1
0
( )f x dx
gần nhất với giá trị nào sau đây ?
A. 0,25 B. 0,75 C. 1 D. 1,25
Câu 20. Cho hàm số
f x
nhận giá trị không âm và liên tục trên
0;

sao cho
( ) ( ) 2f x f x x
.
Tính tích phân
1
0
( )f x dx
.
A. 1 B.
5
24
C.
5
12
D.
5
6
Câu 21. Cho hàm số
f x
nhận giá trị không âm và liên tục trên
1;

sao cho
2
( 1) ( 1) 3
f x f x x x
.
Tính tích phân
1
0
(6 1) ( 1)x f x dx
.
A.
5
36
B.
5
24
C.
5
12
D.
5
6
_________________________________
73
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN LẤY TÍCH PHÂN HAI VẾ, ĐẶT ẨN PHỤ, XÁC ĐỊNH HÀM SỐ – E4)
__________________________________________________
Câu 1. Hàm số
( )f x
liên tục trên R sao cho
(4 ) ( )f x f x
. Tính
3
1
( )f x dx
nếu
3
1
( ) 5
xf x dx
.
A. 2,5 B. 3,5 C. 4,5 D. 5,5
Câu 2. Hàm số
( )f x
liên tục trên [1;2] sao cho
( ) (3 )f x f x
và
ln 2
2
0
( ) 1
x x
e f e dx
. Tính
4
1
( )
2
f x
dx
x
.
A. 2 B. 1 C.
2
3
D.
3
2
Câu 3. Hàm số
( )f x
liên tục trên R sao cho
5
1
(6 ) ( ); ( ) 6
f x f x xf x dx
. Tính
5
1
( )f x dx
.
A. 6 B. 5 C. 1 D. 3
Câu 4. Hàm số
( )f x
liên tục trên R sao cho
3
1
(6 ) ( 2); ( 2) 4
f x f x f x dx
. Tính
3
1
( 2)xf x dx
.
A. 6 B. 8 C. 2 D. 10
Câu 5. Hàm số
( )f x
liên tục trên R sao cho
2
2
4
2
0
(ln )
tan . (cos ) 2; 2
ln
e
e
f x
x f x dx dx
x x
. Tính
2
1
4
(2 )f x
dx
x
.
A. 0 B. 1 C. 4 D. 8
Câu 6. Hàm số
( )f x
liên tục trên R sao cho
8
3
3
2
0 1
( )
tan . (cos ) 6
f x
x f x dx dx
x
. Tính
2
2
1
2
( )
f x
dx
x
.
A. 4 B. 6 C. 7 D. 10
Câu 7. Hàm số
( )f x
liên tục trên
0;

và
6
2
2
0 1
(ln )
(cos )sin 2 2; 6
e
f x
f x xdx dx
x
.
Tính tích phân
3
1
( ( ) 2)f x dx
.
A. 16 B. 9 C. 5 D. 10
Câu 8. Hàm số
( )f x
liên tục trên [1;4] thỏa mãn
(2 1) ln
( )
f x x
f x
x
x
. Tính
4
3
( )f x dx
.
A.
2
3 2ln 2
B. 2ln2 C.
2
ln 2
D.
2
2ln 2
Câu 9. Hàm số
( )f x
liên tục trên R sao cho
2 5
2
2
2 1
( )
( 5 ) 1; 3
f x
f x x dx dx
x
. Tính
5
1
( )f x dx
.
A. – 15 B. – 2 C. – 13 D. 0
Câu 10. Hàm số
( )f x
liên tục trên R sao cho
3 8
2
2
0 4
( )
( 16 ) 2019; 1
f x
f x x dx dx
x
. Tính
8
4
( )f x dx
.
A. 2019 B. 4022 C. 2020 D. 4038
Câu 11. Hàm số
( )f x
liên tục trên R sao cho
1 7
2
1 1
1
( 9 7 3 ) 5; ( ) 6
f x x dx f x d
x
. Tính
7
1
( )f x dx
.
A. 72 B. – 12 C. 10 D. 28
Câu 12. Tồn tại hai hàm số
( )f x
liên tục trên
1;

sao cho
2 7
2
2
1 1
. ( )
( 2 1 ) 1; 2
2 1
x f x
f x x dx dx
x
.
74
Biết rằng
2
0
( )f x dx
có thể nhận hai giá trị M hoặc N. Tính M + N.
A. 6 B. – 2 C. 2 D. – 1
Câu 13. Hàm số
( )f x
liên tục trên
0;

thỏa mãn
16
2
1 0
( )
6; (sin )cos 3
f x
dx f x xdx
x
. Tính
4
0
( )f x dx
.
A. – 2 B. 6 C. 9 D. 2
Câu 14. Hàm số
( )f x
liên tục trên
0;

thỏa mãn
8
3
2
3
0
(ln ) ( 4 1)
3; 1
4 1
e
e
f x f x
dx dx
x
x
.
Tính tích phân
2
2
1
( 1) ( 2 3)x f x x dx
.
A. 0,5 B. 2 C. 1 D. 1,5
Câu 15. Tính
1
1
8
4
f x
dx
x
khi hàm số
y f x
liên tục trên
0;

và thỏa mãn điều kiện
16
2
2
1
4
cot . sin 1
f x
x f x dx
x
.
A. 3 B. 1,5 C. 2 D. 2,5
Câu 16. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
và
1 3
2
1 1
( 3 ) ( ) 1f x x dx f x dx
. Tính
3
2
1
( )
f x
dx
x
.
A. 1 B. 0,5 C.
1
3
D.
2
3
Câu 17. Tồn tại hai hàm số
y f x
liên tục trên
1;

và
2 13 2
2
2
1 1
. ( )
( 3 1 ) 4; 2
3 2
x f x
f x x dx dx
x
.
Tích phân
13 2
1
( )f x dx
có thể nhận hai giá trị A, B với A > B. Tính 2A + B.
A. 14 B. 6 C. 18 D. 7
Câu 18. Hàm số
y f x
liên tục trên
thỏa mãn
3 2
( 1) ( 2) ( 2) ( 1) 2 7 7 2
x f x x f x x x x
.
Tính tích phân
2
1
( )xf x dx
.
A. 3 B.
19
6
C.
11
6
D.
2
3
Câu 19. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
thỏa mãn
2 2
( 3) ( 1). (4 )f x x x f x
.
Tính tích phân
1
0
( 2) ( ) ( )x f x f x dx
.
A. 1 B.
77
6
C.
7
6
D.
17
3
_________________________________
75
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN LẤY TÍCH PHÂN HAI VẾ, ĐẶT ẨN PHỤ, XÁC ĐỊNH HÀM SỐ – E5)
__________________________________________________
Câu 1. Hàm số y = f (x) liên tục trên
1
;1
2
thỏa mãn
1
( ) 2 3f x f x
x
. Tính
2
1
2
( )
f x
dx
x
.
A. 1,5 B. 1 C. 0,5 D. – 1
Câu 2. Hàm số y = f (x) liên tục trên
1
;3
3
thỏa mãn
1
( )
1
x
f x xf
x x
. Tính
3
2
1
3
( )
f x
dx
x x
.
A. 0,5 B. 0,25 C. 1 D. 0,2
Câu 3. Hàm số y = f (x) liên tục trên
1
;3
3
thỏa mãn
3
1
( )
f x xf x x
x
. Tính
3
2
1
3
( )
f x
dx
x x
.
A.
8
9
B.
2
3
C.
3
4
D.
16
9
Câu 4. Hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn
( ) 2018 ( )
x
f x f x e
. Tính
1
1
( )f x dx
.
A.
2
1
2019
e
e
B.
2
1
2018
e
e
C. 0 D.
2
1
e
e
Câu 5. Hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn
2
( ) (2 ) 6 3f x f x x x
. Tính
2
0
( )f x dx
.
A. 2 B. 1 C. 2,5 D. 4
Câu 6. Hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn
(2 ) 3 ( )f x f x
. Tính
2
1
( )f x dx
nếu
1
0
( ) 1f x dx
.
A. 5 B. 3 C. 8 D. 2
Câu 7. Hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn
2
0
(2) 2; ( ) 1f f x dx
. Tính
4
0
( )f x dx
.
A. – 10 B. – 5 C. 0 D. – 18
Câu 8. Hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn
2
( ) 4 . ( ) 2 1f x x f x x
. Tính
1
0
( )xf x dx
.
A. – 2 B. – 1 C. 2 D. 1
Câu 9. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn
2
5 ( ) 7 (1 ) 3( 2 )f x f x x x
. Biết
1
0
( )
a
xf x dx
b
(phân số
tối giản). Tính 8a – 3b.
A. 1 B. 0 C. 16 D. – 16
Câu 10. Hàm số f (x) liên tục trên
2
;1
3
thỏa mãn
2
2 ( ) 3 5
3
f x f x
x
. Hỏi giá trị
1
2
3
ln . ( )x f x dx
gần nhất
giá trị nào sau đây ?
A. 0,34 B. 0,24 C. 0,26 D. 0,52
Câu 11. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn
10
3 ( ) 2 ( )
f x f x x
. Tính
1
0
( )f x dx
.
A. 55 B.
1
11
C. 11 D.
1
55
Câu 12. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn
2
( ) 2 ( ) ; (0) 0
x
f x xf x e f
. Tính f (1).
76
A.
2
e
B.
2
1
e
C.
1
e
D.
1
e
Câu 13. Hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn
2 ( ) 3 (1 ) 1
f x f x x x
. Tính
2
0
2
x
xf dx
.
A.
4
75
B.
4
25
C.
16
75
D.
16
25
Câu 14. Hàm số f (x) liên tục trên R và
2
( ) (2 )
x
f x f x xe
. Tính
2
0
( )f x dx
.
A.
2 1
2
e
B.
4
1
4
e
C.
4
e
– 2 D.
4
e
– 1
Câu 15. Hàm số f (x) liên tục trên
1
;2
2
thỏa mãn
2
2
1 1
( ) 2
f x f x
x x
. Tính
2
2
1
2
( )
1
f x
dx
x
.
A. 1,5 B. 2 C. 2,5 D. 3
Câu 16. Hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn
2018 sinf x f x x x
. Tính
2
2
f x dx
.
A.
1
1009
B.
2
2019
C.
1
2019
D.
1
2018
Câu 17. Hàm số đa thức y = f (x) thỏa mãn
2
(2 1) ( 3) 3 3 6f x f x x x
. Tính
1
0
( ). ( 1)f x f x dx
.
A.
1
3
B.
49
1993
C.
3
4
D.
16
9
Câu 18. Hàm số đa thức f (x) liên tục trên R thỏa mãn
2
2 ( 1) ( 1) 5f x f x x x
. Tồn tại bao nhiêu số
thực a sao cho
1
0 0
( 1) ( 1)
a a
f x dx f x dx
.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
Câu 19. Hàm số y = f (x) có đạo hàm, liên tục trên nửa khoảng
0;

thỏa mãn
2
3 1
x
f x f x e
.
Khi đó giá trị biểu thức
3
1 0
e f f
gần nhất với giá trị nào ?
A. – 0,15 B. 10,73 C. – 0,07 D. 21,46
Câu 20. Hàm số đa thức f (x) liên tục trên R thỏa mãn
3 2
(2 ) ( ) 7 6 2 ; (1) 13
f x f x x x x f
.
Tìm số nghiệm x tối đa của phương trình
1
0
( ( )) ( ) ( )
f f x f x f x dx m
với
0;1
m
.
A. 1 B. 6 C. 3 D. 5
Câu 21. Hàm số đa thưc f (x) liên tục trên R thỏa mãn
3 2
(2 1) ( ) 7 9 5 3; (1) 7
f x f x x x x f
.
Tìm số nghiệm dương của phương trình
1
0
( ) (2 ) 11
f x dx f x
.
A. 3 B. 2 C. 0 D. 1
_________________________________
77
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN LẤY TÍCH PHÂN HAI VẾ, ĐẶT ẨN PHỤ, XÁC ĐỊNH HÀM SỐ – E6)
__________________________________________________
Câu 1. Hàm số
( )y f x
xác định trên [– 1;2] thỏa mãn
2
( ) 2 . (3 )f x x x f x
. Tính
ln 4
0
( 2)
x x
e f e dx
.
A. – 2 B. 3 C.
14
3
D.
28
3
Câu 2. Hàm số
( )y f x
xác định trên R thỏa mãn
( ) 2 ( ) 3sinf x f x x
. Tính
0
( )f x dx
.
A. 18 B. 6 C. 2 D. 3
Câu 3. Hàm số
( )y f x
xác định trên R thỏa mãn
2
( ) ( 2) 2 1f x f x x x
. Tính
5
1
( )f x dx
.
A. 12 B.
37
3
C.
43
3
D.
44
3
Câu 4. Hàm số
( )y f x
xác định trên R thỏa mãn
2 4 11 9 4 3
( ) (1 ) 2 3 5 2 3f x x f x x x x x x
.
Tính tích phân
0
1
( )f x dx
.
A.
11
3
B.
41
12
C.
41
15
D. 4
Câu 5. Hàm số
( )y f x
xác định trên R thỏa mãn
3 3 2
4 ( ) 14 ( ) 6 16
f x f x x x
. Tính
1
5
( )f x dx
.
A. – 1 B. 0 C. 1 D. 4
Câu 6. Hai hàm số
( ), ( )f x g x
xác định trên R thỏa mãn
2 2
(0) (0) 1
f g
và
( ) ( ); ( ) ( )f x g x g x f x
.
Tính tích phân
1
2 2
( ) ( )f x g x dx
.
A. 1 B. 2 C. 0 D. – 1
Câu 7. Tính tích phân
0
2
( )f x dx
biết hàm số
( )y f x
xác định trên R thỏa mãn điều kiện
( 2) ( ); ( ) ( ), ; ( ) , 2;3
f x f x f x f x x f x x x
.
A. – 1 B. 2 C. 3 D. 5
Câu 8. Hàm số
( )y f x
xác định trên R thỏa mãn
2 3 4 2
2 ( 1) 3 ( 2) 3 2 9 4
f x xf x x x x
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
2
0
( 2) ( ) ( 1)
x f x dx f x
.
A. 2,5 B. 3 C. 4 D. 4,5
Câu 9. Hàm số
( )y f x
xác định và nhận giá trị dương trên R thỏa mãn
4 2 2
( 1) ( 1). (2 )f x x x f x
.
Khi đó
1
0
( )f x dx
gần nhất giá trị nào
A. 1,33 B. 1,78 C. 2,87 D. 3,31
Câu 10. Hàm số bậc hai
( )y f x
xác định trên R thỏa mãn
2
( 1) ( 2) 2 2 1f x f x x x
.
Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình
1
0
( ) ( ( ))
f x dx f f x m
có tối thiểu ba nghiệm thực ?
A. 3 B. 4 C. 5 D. 2
Câu 11. Hàm số bậc hai
( )y f x
xác định trên R thỏa mãn
3 2
(3 ) (1 ) ( ) 8f x x f x x x
.
78
Tính tổng các hệ số của đa thức
0
( ) (2 ( ) 1)
m
P m f f x dx
với m là tham số dương.
A. 3 B.
47
15
C.
43
5
D.
17
3
Câu 12. Hàm số bậc hai
( )y f x
xác định trên R thỏa mãn
( 2) ( 1) 2 4
f x f x x
.
Tính tổng các hệ số của đa thức
0
( ) [ ( ) ( )]
m
Q m f x f x dx
với m là tham số dương.
A. 2 B.
17
3
C.
35
6
D.
11
3
Câu 13. Hàm số
( )y f x
xác định trên R thỏa mãn
2 2
( ) 2 ( ) 5 15 (2 5) ( ); (2) 4
f x f x x x x x f x f
.
Khi đó
1
0
ln( ( ) 2)x f x dx
gần nhất giá trị nào sau đây
A. 0,45 B. 0,93 C. 2,51 D. 1,32
Câu 14. Tính tích phân
3
2
( )f x dx
khi hàm số
( )y f x
xác định trên R thỏa mãn
2 2 2
2 ( 1) 2( 1) ( ) ( 1) 2 ( ) ( ); (1) 3
x x x f x x f x f x f
.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
Câu 15. Hai hàm số
( ), ( )y f x y g x
xác định và có đạo hàm trên [1;2] thỏa mãn
( ) ( ) 0; 4 ( ) ( ) 0
(1) 2 (1) 3
f x xg x g x xf x
f g
Tính tích phân
2
1
[ ( ) 2 ( )]f x g x dx
.
A. 3 B. 1,5 C. 2,5 D. 2
Câu 16. Hàm số
( )y f x
xác định trên (0;2] thỏa mãn
2
1
( ) ( ) ( ) ; (1) 1
xf x xf x f x f
x
. Khi đó giá trị
(2)f
gần nhất số nào sau đây ?
A. – 3 B. – 1 C. 2 D. – 1,5
Câu 17.
Hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
2
2
( ) 4 ( ) 8 16 8; (1) 0
f x f x x x f
.
Tính tích phân
1
0
( )f x dx
.
A.
5
3
B.
1
3
C.
2
3
D.
1
5
Câu 18. Hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
2
2
2 ( ) 3 ( ) 11 22 14; (1) 5
f x f x x x f
.
Khi đó tích phân
1
0
4 ( ) 9 ( ) 1993
f x f x dx
gần nhất số nào
A. 2030 B. 2020 C. 2033 D. 2026
_________________________________
79
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN LẤY TÍCH PHÂN HAI VẾ, ĐẶT ẨN PHỤ, XÁC ĐỊNH HÀM SỐ – E7)
__________________________________________________
Câu 1. Tính
4
5
( 4)f x dx
khi hàm số
( )y f x
là hàm số đa thức thỏa mãn
3 4 9 6 3
2 ( ) 3 (1 ) 3 4 6 6f x xf x x x x x
.
A.
208
51
B.
13
3
C.
134
3
D.
11
6
Câu 2. Tính
0
1
( )f x dx
khi hàm số
( )y f x
là hàm số đa thức thỏa mãn
2 2 4 6 2
( ) 2 (1 ) 2 5 2
f x x f x x x
.
A. 1,5 B. 1 C. 2 D. 2,5
Câu 3. Hàm số
( )y f x
liên tục trên R thỏa mãn
2 ( ) 3 ( 1)cosf x f x x x
. Tính
0
( )f x dx
.
A.0,2 B. – 0,4 C. – 0,6 D. – 0,8
Câu 4. Hàm số
( )y f x
liên tục trên R thỏa mãn
2 5 3 2
( ) 3 ( ) 3 3 2 1f x xf x x x x x
. Tính
0
1
( )f x dx
A.
16
3
B.
7
12
C.
8
3
D.
11
6
Câu 5. Hàm số
( )y f x
liên tục trên R thỏa mãn
2 3
1
( ) (2 ) 2, 0
2
xf x f x x x
x
. Khi đó
2
1
( )f x dx
có giá
trị thuộc khoảng nào
A.(5;6) B. (3;4) C. (1;2) D. (2;3)
Câu 6. Hàm số
( )y f x
liên tục trên R thỏa mãn
( ) 2 ( ) ( 1)sinf x f x x x
. Tính
0
( )f x dx
A.
1
2
B.
2
3
C.
2
D. 0
Câu 7. Hàm số
( )y f x
liên tục thỏa mãn
2
1
2
0
ln
(1) 2; 6; (2 ln ) 3
e
e
x
f x f x dx f x dx
x
. Tính
1
0
( )f x dx
A.1 B. 2,5 C. 0,5 D.
2
3
Câu 8. Hàm số
( )y f x
liên tục trên R sao cho
3 4 9 6 4 3
(1 ) ( ) 4 2 3f x xf x x x x x x
. Tính
0
1
( )f x dx
A.0,75 B.
4
3
C.
4
21
D.
1
9
Câu 8. Hàm số
( )y f x
liên tục trên R sao cho
3 2 9 7 5 3
( ) ( 1) 4 6 2 1f x x xf x x x x x x
.
Tính tích phân
2
2
( )f x dx
A.4 B. 2 C. – 3 D. – 2
Câu 9. Hàm số
( )y f x
liên tục trên R thỏa mãn
2
2 1
3 ( ) 2 (2 ) 2( 1) 4
x x
f x f x x e
. Tính
2
0
( )f x dx
.
A.e + 4 B. 8 C. e + 2 D. 2
Câu 10. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên
\ 0
thỏa mãn
2
1
2 2
f x f x
x
và
2
1
5
xf x dx
.
Khi đó tích phân
2
1
2
f dx
x
gần nhất giá trị nào
A.1,25 B. – 2,14 C. – 3,25 D. – 1,67
80
Câu 11. Cho hàm số
( )y f x
liên tục trên đoạn
1
;3
3
thỏa mãn
3
1 1
( ) , ;3 .
3
f x xf x x x
x
Tích phân
3
2
1
3
( )
f x
dx
x x
bằng:
A.
8
9
. B.
16
9
. C.
2
3
. D.
3
4
.
Câu 12. Hàm số
( )y f x
liên tục trên R sao cho
(ln ) (1 ln )
f x f x x
. Tính
1
0
( )f x dx
.
A.
1
2
e
B.
1
2
e
C.
2
e
D.
2
1e
Câu 13. Cho hàm số
f x
nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục trên đoạn
[0;1]
thoả män
f x
.
2
1 , [0;1]
x x
f x e x
và
1 1
f
. Tích phân
3 2
1
0
2 3x x f x
dx
f x
bằng
A.
1
60
. B.
1
10
. C.
1
10
. D.
1
60
.
Câu 14. Tính
(ln 2022)
f
biết rằng
1
0
( ) ( )
x
f x e xf x dx
.
A.2022 B. 2021 C. 2023 D. 2024
Câu 15. Tính tích phân
1
0
I x f x dx
khi hàm
f x
có đạo hàm cấp 2 trên
thỏa mãn
1 1
f
và
2 2
1 3 2 1,f x x f x x x x

.
A.
1I
. B.
2I
. C.
1
3
I
. D.
2
3
I
.
Câu 16. Hàm số
f x
liên tục trên
[0;1]
thoả mãn
2
2 3
1 , [0;1]
1
x x
f x f x x
x
. Tính
1
0
f x dx
A.
3
2ln 2
4
. B.
3 ln 2
. C.
3
ln 2
4
. D.
3
2ln 2
2
.
Câu 17. Cho hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
[1;3]
, thỏa mãn
4 , [1;3]
f x f x x
và
3
1
2
x f x dx
. Giá trị của
3
1
2
f x dx
bằng
A. 1. B. 2. C.
1
. D.
2
.
Câu 18. Cho hàm số
f x
liên tục trên đoạn
[0;1]
thoả mãn
2 3 1 1
f x f x x x
, với mọi
[0;1]
x
.
Tích phân
2
0
2
x
x f dx
bằng
A.
4
75
. B.
4
25
. C.
16
75
. D.
16
25
.
Câu 19. Cho hàm số
f x
liên tục trên R thỏa mãn
3 2 7 6 5
( 3 2) (2 2 ) 6 9xf x x f x x x x
.
Biết rằng
2 2 0 8
f f
. Tính
2
0
f x dx
.
A.
17
6
B.
16
3
C.
176
21
D. – 1
Câu 20. Hàm số
f x
liên tục trên R, nhận giá trị dương với x > 0, thỏa mãn
2
2
1 1;
( )
x
f f x
f x
. Tính giá
trị của
3f
.
A.34 B. 3 C.
3
20
D.
3
34
_________________________________
81
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN LẤY TÍCH PHÂN HAI VẾ, ĐẶT ẨN PHỤ, XÁC ĐỊNH HÀM SỐ – E8)
_________________________________________________
Câu 1. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
4
4
3
f
và
1
1 , 0
f x x f x x
x
. Khi đó
4
1
dxf x x
bằng
A.
1283
30
. B.
157
30
. C.
157
30
. D.
1283
30
.
Câu 2. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên
0;

và thỏa mãn các điều kiện
1 3
f
và
2
2 3 4
2
1 8 8
, 0
f x
f x f x x
x
x x x
. Tính
4
2
df x x
A. 6 – 2ln2. B. 6 + 4ln2. C. 6 + 2ln2. D. 8 + 4ln2.
Câu 3. Biết
4
2
0
tan . cos 1x f x dx
và
2
2
ln
2
ln
e
e
f x
dx
x x
. Khi đó
4
1
2
f x
dx
x
bằng
A.
2
. B.
4
. C.
6
. D.
3
.
Câu 4. Hàm số
f x
nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên
0;2
.
Biết
0 1
f
và
2
2 4
2
x x
f x f x e
với mọi
0;2
x
. Tính tích phân
3 2
2
0
3x x f x
I dx
f x
.
A.
32
5
I
. B.
16
3
I
. C.
16
5
I
. D.
14
3
I
.
Câu 5. Hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
và thỏa mãn
0 3
f
và
2
2 2 2,f x f x x x x
.
Tích phân
2
0
dxf x x
bằng
A.
4
3
. B.
2
3
. C.
5
3
. D.
10
3
.
Câu 6. Tính
2
1
2
.f x dx
khi hàm số
f x
liên tục trên khoảng
0;
và thỏa mãn
1
2
f x xf x
x
;
0
x
.
A.
7
12
. B.
7
4
. C.
9
4
. D.
3
4
.
Câu 7. Hàm số
f x
có đạo hàm cấp hai trên
thỏa mãn:
2 2
1 3 . 1
f x x f x
.
Biết rằng
0,f x x
, tính
2
0
2 1 dI x f x x
.
A.
4
. B.
8
. C.
0
. D.
4
.
Câu 8. Hàm số
( )f x
xác định và liên tục trên
thỏa mãn
1
0
2 ( ) 3 (1 ) 1f x f x dx
. Tính
1
0
( )f x dx
A.
1
2
. B.
1
3
. C.
1
5
. D.
1
6
.
Câu 9. Tính
2
1
2
( )f x dx
khi hàm số
( )f x
liên tục trên đoạn
1
;2
2
thỏa mãn
1 1 1
( ) 2, ;2 .
2
xf x f x
x x
A.
2ln 2
. B.
4ln 2
. C.
8ln 2
. D.
1
ln 2
2
.
Câu 10. Cho hàm số
( )y f x
liên tục trên đoạn
1;1
thỏa mãn
1
( ) ( )
2 3
f x f x
x
. Tính
1
1
( )f x dx
bằng
A.
1
ln 5
2
I
. B.
2ln 5
I
. C.
ln 5
I
. D.
1
ln 5
4
82
Câu 11. Cho hàm số
( )f x
xác định và liên tục trên
thỏa mãn
( ) ( ) 2 2sin , .f x f x x x
Tính
2
2
( ) .f x dx
A.
0
I
. B.
4I
. C.
2I
. D.
1I
.
Câu 12. Hàm số
( )f x
xác định và liên tục trên
thỏa mãn
( ) 3 (1 ) (e 1), .
x
f x f x x x
Tính
1
0
( ) .f x dx
A.
1
2
I
. B.
1
8
I
. C.
1
8
I
. D.
1
2
I
.
Câu 13. Cho hàm số
( )f x
liên tục trên đoạn
0;1
thỏa mãn
2
2 ( ) 3 (1 ) 1 .f x f x x
Tính
1
0
( )f x dx
A.
8
. B.
24
. C.
12
. D.
20
.
Câu 14. Tính
2
2
( ) .f x dx
khi hàm số
( )y f x
liên tục trên
thỏa mãn
2016 2
( ) ( ) 2017 3 4, .
f x f x x x x
A.
2016
2
. B.
2018
2
. C.
2017
2
. D.
2020
.
Câu 15. Cho hàm số
( )f x
liên tục trên
thỏa mãn
( ) 2 ( ) cos .f x f x x
Tính
2
2
( ) .f x dx
A.
2
3
I
. B.
4
3
I
. C.
1
3
I
. D.
1I
Câu 16. Tính
2
2
( )f x dx
khi hàm số
( )f x
xác định và liên tục trên
thỏa mãn
( ) 2 ( ) 1 cosf x f x x
.
A.
4( 2 1)
3
. B.
4( 2 1)
. C.
12( 2 1)
. D.
8( 2 1)
3
Câu 17. Cho
9
1
d 10
f x x
và
1
f x f x
với mọi
x
. Tích phân
8
0
df x x
bằng
A.
10
. B.
9
. C.
18
. D.
2
.
Câu 18. Tính
0
( )f x dx
khi hàm số
( )f x
liên tục trên
thỏa mãn
( ) ( ) 2(1 sin 2 ), .
f x f x x x
A.
4I
. B.
2I
. C.
2I
. D.
0
I
Câu 19. Tính
2
2
( )f x dx
khi hàm số
( )y f x
liên tục trên
thỏa mãn
( ) ( ) 3 2cos ,f x f x x x
.
A.
2
2
I
. B.
3
2
2
I
. C.
1
3
I
. D.
1
2
I
Câu 20. Cho hàm số
( )y f x
thỏa mãn
( ) 2 (1 ) (2 1) ,
x
f x f x x e x
. Tích phân
3
0
(3 )f x dx
bằng:
A.
1
3
e
. B.
1e
. C.
1
9
e
. D.
3( 1)
e
.
Câu 21. Hàm số
( )y f x
xác định trên
và
'( ) '(1 ),f x f x x
và
(0) 1, (1) 2019
f f
. Tính
1
0
( )f x dx
A. 2020. B. 2019. C. 2010. D.
2019
Câu 22. Hàm số
f x
liên tục trên
thoả mãn
2
2 2,f x f x x x x
. Tính
3
3
2
f x dx
bằng
A. 58. B. 42. C. 60. D. 87.
_________________________________
83
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN – F1)
__________________________________________________
Câu 1.
Hàm số
( )f x
liên tục trên [0;6] thỏa mãn
6 6
2
0 0
( ) ( ) 72
f x dx xf x dx
. Tính
3
1
( )f x dx
.
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
Câu 2.
Hàm số
( )f x
liên tục trên R thỏa mãn
3 3
2
0 0
( ) 36; ( ) 18
f x dx xf x dx
. Tính
1
0
( 1)f x dx
.
A. 3 B. 2,5 C. 4 D. 2
Câu 3.
Hàm số
( )f x
liên tục trên [0;2] và
2 2
4 2
0 0
10 3
( ) 4; ( ) ; (1)
3 2
f x dx xf x dx f
. Tính
2
2
0
( 2)f x dx
.
A. 5 B. 4 C. 6 D. 3
Câu 4.
Hàm số
( )f x
liên tục trên R thỏa mãn
1 1
2
0 0
16 4
( ) ; ( )
3 3
f x dx xf x dx
. Tính
1
2
0
(2 ( ) )f f x x dx
.
A. 14 B. 15 C.
100
3
D. 21
Câu 5.
Tính
1
3
0
( )f x dx
khi hàm số
( )f x
liên tục trên [0;1] và
1 1
0 0
( ) ( ) 1f x dx xf x dx
và
1
2
0
( ) 4
f x dx
.
A. 1 B. 8 C. 10 D. 80
Câu 6.
Hàm số
( )f x
luôn nhận giá trị dương trên R thỏa mãn
2 4 2
( ) 4( 1) ( ) 4 8 4
f x x f x x x x
.
Tính tích phân
1
0
3 ( ( ))f f x dx
.
A. 6 B. 52 C. 10 D. 5
Câu 7.
Hàm số
( )f x
có liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
0 0
( ) ( ) 1xf x dx x f x dx
và
1
2
0
( ) 5
f x dx
.
Tính tích phân
1
3
0
( )f x dx
.
A. 1,2 B. 8 C. 10 D.
5
6
Câu 8.
Hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1 1
3 2 2
0 0 0
1
( ) ( ) ( )
4
f x dx x f x dx xf x dx
.
Tính tích phân
1
2
0
3 ( ( ))f f x dx
.
A. 1 B. 6 C. 8 D. 4
Câu 9. Hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2 2
0 0
1
( ) ( )
16
xf x dx x f x dx
. Tính
1
0
( )f x dx
.
A. 0,2 B. 0,25 C. 0,4 D. 1
Câu 10. Cho hàm số
( )f x
thỏa mãn
1
2
0
28
( ) 4 ( ).(2 )
3
f x f x x dx
. Tính
1
0
(2 1)xf x dx
.
A.
5
3
B. 2 C.
2
3
D.
7
6
Câu 11. Hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (1) = 0,
1 1
2
2
0 0
1
( 1)
4
x
e
f x dx x e f x dx
.
84
Tính tích phân
1
0
f x dx
.
A. 2 – e B. 0,5(e – 1) C. 0,5e D. e – 2
Câu 12.
Hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
2
0 0
1
(1) 0; ( ) 7; ( )
3
f f x dx x f x dx
.
Tính tích phân
1
0
( )f x dx
.
A. 1,4 B. 1 C. 1,75 D. 4
Câu 13. Hàm f (x) có đạo hàm trên [0;1] có f (0) = 1;
1 1
2
0 0
1 1
( ) ; (2 1) ( )
30 30
f x x f x dx
. Tính
1
0
( )f x dx
.
A.
1
30
B.
11
30
C.
11
4
D.
11
12
Câu 14.
Hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
0 0
9 1
(1) 1; ( ) ; ( )
5 5
f f x dx xf x dx
.
Tính tích phân
1
0
( )f x dx
.
A. 1 B. 0,25 C.
2
3
D.
5
6
Câu 15.
Hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên [0;2] thỏa mãn
2 2
2
2
0 0
1
(2) 3; ( ) 4; ( )
3
f f x dx x f x dx
.
Khi đó
2
0
( )f x dx
gần nhất giá trị nào sau đây ?
A. 4,88 B. 5,62 C. 2,17 D. 3,71
Câu 16.
Hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
0 0
1
(1) 4; ( ) 5; ( )
2
f f x dx xf x dx
.
Tính tích phân
1
0
( )f x dx
.
A. 3,75 B. 2 C. 2,25 D. 4,5
Câu 17.
Hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên [1;2] và
2 2
2
2
1 1
1
(2) 0; ( ) 7; ( 1) ( )
3
f f x dx x f x dx
.
Tính tích phân
2
1
( )f x dx
.
A. – 1,4 B. 2,4 C. – 0,7 D. – 0,2
Câu 18. Hàm số
( )f x
liên tục trên [1;2] trên thỏa mãn
2 2
2
1 1
37
( ) ( 2) ( )
3
xf x dx x x f x dx
.
Khi đó
2
1
( 1)f x dx
gần nhất giá trị nào
A. 4,56 B. 2,85 C. 5,67 D. 2,89
_____________________________________
85
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN – F2)
__________________________________________________
Câu 1. Hàm số
( )f x
liên tục trên [0;2] thỏa mãn
2 2
2
1 1
1 1
(2) 0; ( 1) ( ) ; ( )
30 45
f x f x dx f x dx
.
Tính tích phân
2
1
( )f x dx
.
A.
1
36
B.
1
15
C.
1
12
D.
1
12
Câu 2. Hàm số
( )f x
liên tục trên [0;2] thỏa mãn
2 2
2
0 0
2
(2) 1; ( ) ( )
3
f f x dx f x dx
. Tính
2
2
1
( )f x
dx
x
.
A. 1 B. 2 C. 0,25 D.
1
3
Câu 3. Tính
1
0
( )f x dx
biết hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [– 1;1] và
2
2
( ) 4 ( ) 8 16 8f x f x x x
.
A.
5
3
B.
2
3
C.
1
5
D.
1
3
Câu 4. Tính
1
0
( )f x dx
nếu hàm số
( )f x
liên tục trên R thỏa mãn
(1) 1
f
và
2
2 6 4 2
( ) 4(6 1) ( ) 40 44 32 4
f x x f x x x x
.
.
A.
23
15
B.
13
15
C.
17
15
D.
7
15
Câu 5. Tính giá trị xấp xỉ của
1
0
( )
1
f x
dx
x
biết rằng hàm số
( )f x
liên tục trên R thỏa mãn
(1) 1
f
và
2
4 3 2
( ) (12 4) ( ) 21 28 8f x x f x x x x
.
A. 0,64 B. 2,25 C. 3,25 D. 4,15
Câu 6. Tính tích phân
1
0
( 1)f x dx
khi hàm số
( )f x
liên tục trên R thỏa mãn
(1) 2
f
và
2
4 3 2
( ) 2 ( ).(6 1) 21 56 32 24 16
f x f x x x x x x
.
A.
7
3
B.
13
12
C.
1
6
D.
5
6
Câu 7. Tính
1
0
( 1)xf x dx
biết rằng hàm số
( )f x
liên tục trên R thỏa mãn
(1) (0) 0
f f
và
2
2
( ) 8 ( ) 32 32 4
f x f x x x
.
A. 0,5 B. 0,4 C. 0,6 D. 0,25
Câu 8. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (2) = 2,
2
2
0
512
9
f x
;
16
4
0
224
9
f x
.
Tính tích phân
2
0
( )f x dx
.
A.
20
3
B.
32
9
C.
32
15
D.
108
5
86
Câu 9. Tính
1
0
( 1) ( )x f x dx
biết hàm số
( )f x
liên tục trên R thỏa mãn
(1) 1
f
và
2
4
( ) 12 ( ) 21f x xf x x
.
A. 0,45 B. 2,5 C. 0,5 D. 0,75
Câu 10. Hàm số f (x) liên tục, có đạo hàm đến cấp 2 trên R;
1
2
0
4 39
f x
;
2
2
1
( ) 2,5
x x f x x
và
thỏa mãn f (0) = 0,
1 4,5
f
. Tính
2
0
f x dx
.
A.
14
3
B.
7
3
C. 14 D. 7
Câu 11. Tính
2018
f
khi hàm f (x) liên tục thỏa mãn
2
2 2
0; ; cos
2 4 4
f f x dx xf x dx
.
A. – 1 B. 0 C. 0,5 D. 1
Câu 12. Tính
8
1
( )f x dx
khi hàm f (x) liên tục trên [1;2] sao cho
2 2 8
2
3 3
1 1 1
2 38
( ) 2 ( ) ( )
3 15
f x dx f x dx f x dx
.
A.
8ln 2
27
B. 1,5 C.
ln 2
27
D.
5ln 2
27
Câu 13. Tính
(2)f
nếu hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
5
0 0
11 4
(1) 1; ( ) ; ( )
78 13
f x f x dx f x dx
.
A.
261
7
B.
13
7
C. 2 D.
100
7
Câu 14. Tính
1
0
( )f x dx
biết rằng hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] sao cho
1 1
2
2
0 0
1
(1) 0; ( ) ; cos ( )
8 2 2
x
f f x dx f x dx
.
A. 0,5
B.
C.
1
D.
2
Câu 15. Tính
1
0
( )f x dx
khi hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
0 0
9 3
(0) 0; ( ) ; ( )cos
2 2 4
x
f f x dx f x dx
.
A. 6 B. 2 C. 4 D. 1
Câu 16. Tính
1
0
( )f x dx
khi hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
0 0
1
(0) (1) 0; ( ) ; ( )cos( )
2 2
f f f x dx f x x dx
.
A.
2
B. 1 C. 2 D. 3
___________________________
87
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN – F3)
__________________________________________________
Câu 1. Hàm số
( )f x
liên tục trên [0;3] thỏa mãn
2
2
(3) 4; ( ) 8 20 4 ( )f f x x f x
. Tính
(6)f
.
A. 8 B. 36 C. 31 D. 41
Câu 2. Hàm số
( )f x
liên tục trên [0;2] thỏa mãn
2 2
2
2
0 0
1
(1) 4; ( ) ; ( ) 36
5
f x f x dx f x dx
.
Tính tích phân
2
0
( )f x dx
.
A.
5
6
B.
3
2
C. 4 D.
2
3
Câu 3. Hàm số
( )f x
liên tục trên R thỏa mãn
2
2
(1) 1; ( ) 4 ( ) 8 16 4
f f x f x x x
.
Tìm số nghiệm của phương trình
1
0
( ( )) ( ) 2020
f f x f x dx
.
A. 3 B. 4 C. 2 D. 1
Câu 4. Hàm số
( )f x
liên tục trên [0;2] thỏa mãn
2 2
2
2
0 0
17
(2) 6; ( ) ; ( ) 7
2
f x f x dx f x dx
.
Tính
2
0
( )f x dx
.
A. 8 B. 6 C. 7 D. 5
Câu 5. Tìm số nghiệm của phương trình
1
0
4 (9( ( )) 1993 ( )f f x f x dx
khi hàm số
( )f x
liên tục trên R thỏa
mãn
2
4 3 2
(1) 8; ( ) (12 8) ( ) 21 56 122 32 7
f f x x f x x x x x
.
A. 1 B. 8 C. 9 D. 15
Câu 6. Tính
1
0
( )f x dx
khi hàm số
( )f x
liên tục trên [0;1] và
1 1
2
0 0
9 2
(1) 1; ( ) ; ( )
5 5
f f x dx f x dx
.
A. 0,2 B. 0,25 C. 0,75 D. 0,5
Câu 7. Hàm số
( )f x
liên tục trên
0;
thỏa mãn
2
2
0 0
2
( )sin 1; ( )f x xdx f x dx
. Tính
0
( )f x dx
.
A. 2 B. 4 C. – 4 D. 6
Câu 8. Hàm số
( )f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
2
0 0
( ) 3
(0) 1; ( ) 3 2ln 2; 2ln 2
( 1) 2
f x
f f x dx dx
x
.
Tính
1
0
( )f x dx
.
A.
1 2ln 2
2
B.
3 2ln 2
2
C.
3 4ln 2
2
D.
1 ln 2
2
Câu 9. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (1) = 0,
1
2
0
80
f x dx
,
1
0
2
xf x dx
.
Tính tích phân
1
0
f x dx
.
A. – 5 B. 2,5 C. – 2,5 D. 5
Câu 10. Tìm số nghiệm của phương trình
1
0
4 ( ( ) 9) ( )f f x f x dx
khi hàm
( )f x
liên tục trên R thỏa mãn
88
2
4 3 2
(1) 1; ( ) (12 4) ( ) 21 28 27 8 1f f x x f x x x x x
.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 11. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên
0;
4
và
8
4
2
0 0
0; ( ) ; ( ).sin 2
4 8 4
f f x dx f x xdx
.
Tính tích phân
8
0
(2 )f x dx
.
A. 1 B. 0,5 C. 2 D. 0,25
Câu 12. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;3] thỏa mãn
3 3
2
2
0 0
154
(3) 6; ( ) 2; ( )
3
f f x dx x f x dx
.
Khi đó
3
0
( )f x dx
gần nhất giá trị nào sau đây
A. 10,6 B. 5,85 C. 30,6 D. 2,6
Câu 13. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
3
0 0
(1) 2; ( ) 10; ( ) 8
f x f x dx f x dx
.
Khi đó
1
0
a
f x dx
b
(phân số tối giản). Tính a + b.
A. 283 B. 289 C. 173 D. 869
Câu 14. Tìm giá trị gần nhất với tích phân
2
1
( )f x dx
khi hàm số
( )f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
2 2
2
2
1 1
5 2 ( ) 5 3
(2) 0; ( ) ln ; ln
12 3 ( 1) 12 2
f x
f f x dx dx
x
.
A. – 0,06 B. – 0,4 C. 1,56 D. 0,78
Câu 15. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
3
0 0
1
(1) 1; ( ) ; ( ) 9
2
f x f x dx f x dx
.
Tính tích phân
1
0
f x dx
.
A.
2
3
B. 2,5 C. 1,75 D. 1,2
Câu 16. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] sao cho
1 1
2
4
0 0
1 1
(1) 0; ( ) ; ( )
55 11
f x f x dx f x dx
.
Tính tích phân
1
0
f x dx
.
A.
1
7
B.
1
7
C.
1
55
D.
1
11
_________________________________
89
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN – F4)
__________________________________________________
Câu 1. Cho hàm số
( )f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2 2
0 0
1
( ) ( )
3
f x dx f x dx
. Tính
1
0
( )f x dx
.
A. 1 B.
2
3
C.
5
3
D. 3
Câu 2. Cho hàm số
( )f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2 4
0 0
7 ( ) 2 ( ) 14
f x dx f x dx
. Tính
1
0
( )f x dx
.
A. 4 B. 2 C. 7 D. 5
Câu 3. Cho hàm số
( )f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2 3 2 6
0 0
33 ( ) ( ) 11
x f x dx f x dx
. Tính
1
0
( )f x dx
.
A. 4 B. 2 C. 7 D. 5
Câu 4. Tính tích phân
1
0
( ( ))f f x dx
khi hàm số
( )f x
liên tục và đồng biến trên [0;1] thỏa mãn
1 1
5
5
0 0
16 7
(1) 2; ( ) ; ( )
3 24
f f x dx x f x dx
.
A. 4 B. 9 C.
43
15
D.
41
13
Câu 5. Cho hàm số
( )f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
(1) 2018 (0)f f
. Tính a + 1 với 2lna là giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
1 1
2
2
0 0
1
( )
( )
dx f x dx
f x
.
A.2019 B. 1,2 C. 0,6 D.
2
3
Câu 6. Hàm số
( )y f x
dương và liên tục trên [1;3], có giá trị lớn nhất bằng 2, giá trị nhỏ nhất bằng
1
3
.
Ngoài ra
3 3
1 1
1
( ) .
( )
f x dx dx
f x
đạt giá trị lớn nhất. Tính
8
0
1
1
f x
dx
x
.
A.
7
3
B.
7
6
C.
7
12
D.
14
3
Câu 7. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm dương trên [1;2] và
3
2
4
1
( )
22 7
(1) 1; (2) ;
15 375
f x
f f dx
x
.
Tính
2
1
( )f x dx
.
A. 0,2 B. 0,6 C. 1,4 D. 0,8
Câu 8. Hàm số
( )y f x
xác định, liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1
0;1
0
( ) 6; (x) 6
xf x dx max f
. Tìm giá trị lớn
nhất của
1
4
0
( )x f x dx
A.
2
4
B.
3(4 2)
10
C.
4 2
20
D.
2
24
Câu 9. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên [4;8] và
0, 4;8
f x x
,
2
8
4
4
1
f x
dx
f x
;
1 1
4 ; 8
8 2
f f
. Tính
6
f
.
90
A.
5
8
B.
1
3
C.
2
3
D.
3
8
Câu 10. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;
thỏa mãn
2
0 0
2
sin 1;f x xdx f x dx
.
Tính
0
( )xf x dx
.
A.
2
B.
4
C.
2
D.

Câu 11. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và
1 1
0 0
( ) ( ) 1f x dx xf x dx
;
1
2
0
( ) 4
f x dx
.
Tính tích phân
1
3
0
( )f x dx
.
A.10 B. 1 C. 80 D. 8
Câu 12. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
0 0
( ) 5; ( ) 7
xf x dx f x dx
và
1 6
f
.
Tính
1
0
( )f x dx
.
A.6 B. 7 C.
103
16
D.
79
12
Câu 13. Hàm số
( )y f x
nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 0
f ef
và
1 1
2
2
0 0
1
( ) 2
( )
dx f x dx
f x
.
Khi đó
1f
gần nhất giá trị nào
A.1,77 B. 0,83 C. 2,93 D. 0,91
Câu 14. A là tập hợp các hàm số liên tục trên [0;1]. Tìm
1 1
2 2018
0 0
min ( ) ( )
f A
m xf x dx x f x dx
.
A.
1
2019
B.
1
16144
C.
2017
2018
D.
1
16140
Câu 15. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
0 0
367
( ) ; ( ) 7
30
xf x dx f x dx
và
2 6
f
. Tính
1
0
( )f x dx
.
A.6,75 B. 1,25 C.
27
28
D.
5
28
Câu 16. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên [0;2] thỏa mãn
2 2
2
2
0 0
3383
( ) ; ( ) 7
70
x f x dx f x dx
và
2 6
f
. Tính
2
0
( )f x dx
.
A.44 B. 45 C. 20 D. 15
Câu 17. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên [0;3] thỏa mãn
3 3
2
2
0 0
( ) 8,5; ( ) 91
x f x dx f x dx
và
3 6
f
. Tính
3
0
( )f x dx
.
A.16 B. – 14,4 C. – 22,4 D. 30,6
__________________________
91
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN – F5)
__________________________________________________
Câu 1. Hàm số
( )f x
liên tục trên [0;2] thỏa mãn
2 2
2
2
0 0
1
(2) 3; ( ) ; ( ) 4
3
f x f x dx f x dx
. Tính
2
0
( )f x dx
.
A.
2
115
B.
297
115
C.
562
115
D.
266
115
Câu 2. Hàm
( )f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
2
0 0
1
(1) 4; ( ) ; ( ) 5
2
f x f x dx f x dx
. Tính
1
0
( )f x dx
.
A.
15
19
B.
17
4
C.
15
4
D.
17
18
Câu 3. Hàm số
( )f x
liên tục trên [0;1] sao cho
1 1 1
2 2
0 0 0
19 49
(1) 5; ( ) 3; ( ) ; ( )
15 5
f f x dx x f x dx f x dx
.
Tính tích phân
1
0
( 1)f x dx
.
A. 7 B. 9 C. 4 D. 10
Câu 4. Hàm số
( )f x
liên tục trên
(0; )
sao cho
2 2
2 2 3
1 1
89
( ) ( ) ( ) ; (1) 1
30
x f x dx x x f x dx f
. Tồn tại
bao nhiêu số nguyên m < 2040 để phương trình
3
2
4 ( ) 9 ( ) 1993
m f x xf x dx
có nghiệm trên
(0; )
.
A. 10 B. 20 C. 6 D. 20
Câu 5. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và
1 1
2018
0 0
( ) ( ) 1f x dx x f x dx
; Tính
1
2
0
( )f x dx
.
A.4036 B. 4038 C. 4034 D. 4032
Câu 6. Hàm số
( )f x
liên tục trên [0;2] thỏa mãn
2 2
2
2
0 0
(2) 2; ( ) 16; ( ) 4
f x f x dx f x dx
. Khi đó giá trị tích
phân
2
0
f x dx
gần nhất giá trị nào
A.2,5 B. 3,2 C. 5,1 D. 4,5
Câu 7. Hàm
( )f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
7 4
0 0
(1) 4; ( ) 5,575; ( ) 5
f x f x dx f x dx
. Tính
1
0
( )f x dx
.
A.4,25 B. 6,25 C. 5 D. 7,75
Câu 8. Hàm số
( )f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
(0) 0; (1) 1
f f
và
1
2
2
0
1
1
ln(1 2)
f x x dx
.
Giá trị
1
2
0
1
f x
dx
x
gần nhất số nào sau đây
A.0,44 B. 0,96 C. 0,26 D. 0,69
Câu 9. Hàm số
( )f x
liên tục trên [0;2] thỏa mãn
2 2
2
0 0
(2) 6; ( ) 8,5; ( ) 7
f xf x dx f x dx
. Tính
2
0
f x dx
.
A.8 B. 6 C. 7 D. 5
Câu 10. Hàm số
( )f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
3 2
0 0
( ) 0,5 4
f x dx x f x dx
. Tính
1
3
0
( )f x dx
biết rằng
2 5
f
.
A.1 B.
19
6
C.
3
7
D.
11
3
92
Câu 11. Hàm số
( )f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
9 5
0 0
(1) 6; ( ) 1,9275; ( ) 7
f x f x dx f x dx
.
Khi đó
1
0
( )f x dx
có giá trị gần nhất với
A.7,1 B. 8,2 C. 2,2 D. 10,1
Câu 12. Hàm số
( )f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
3 2 2
0 0
(1) 1; (8 6 ) (2 ) 5,8; ( ) 2
f x x x f x x dx f x dx
.
Tính
1
0
( )f x dx
.
A.1,25 B. 1,75 C. 2,25 D. 2
Câu 13. Tính
2
0
f x dx
khi hàm số
( )f x
liên tục trên [0;2] thỏa mãn
2 2
2
2 2 2
0 0
1129
(2) 6; ( 2 ) ( 1) (3 6 ) ; ( ) 7
1008
f x x x f x x dx f x dx
.
A.37,6 B. 13 C. 21 D. 42,5
Câu 14. Tính
2
0
f x dx
khi hàm số
( )f x
liên tục trên [0;2] thỏa mãn
2 2
2
2 2 2
0 0
4405
(2) 5; (2 1)( ) ( ) ; ( ) 6
84
f x x x f x x dx f x dx
.
A.35,6 B. 42,5 C. 40,5 D. 45,5
Câu 15. Hàm số
( )y f x
dương và liên tục trên [1;3], có giá trị lớn nhất bằng 2, giá trị nhỏ nhất bằng
1
3
.
Ngoài ra
3 3
1 1
1 1
( ) .
3 ( )
f x dx dx
f x
đạt giá trị lớn nhất. Tính
8
0
1
1
f x
dx
x
.
A.6 B. 4 C. 8 D. 12
Câu 16. Tính
2
0
f x dx
khi hàm số
( )f x
liên tục trên [1;2] thỏa mãn
(1) 2; (2) 1
f f
và
2
2
1
2
xf x dx
.
Tính tích phân
2
1
( )
f x xf x dx
.
A.1 B. – 1 C. 2 D. – 2
Câu 17. Tính
1
3
0
( )f x dx
khi hàm số
( )f x
có đạo hàm dương, liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
0 0
1
3 2 ; 0 1
9
f x f x dx f x f x dx f
A.1,5 B. 1,25 C.
5
6
D.
7
6
Câu 18. Hàm số
( )f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
5 2
0 0
2
( ) 8
3
f x dx x f x dx
. Tính
1
3
0
( )f x dx
.
A.2 B.
8
7
C.
11
3
D. 4
Câu 19. Hàm số
( )f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
0 0
(1) 2; ( ) 20; ( ) 8
f xf x dx f x dx
. Khi đó
1
0
( )f x dx
có giá trị gần nhất với
A.2 B. 2,4 C. 3,5 D. 4,1
93
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN – F6)
__________________________________________________
Câu 1. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
0 0
766
( ) ; ( ) 8
7
xf x dx f x dx
và
2 7
f
. Tính
1
0
( )f x dx
.
A.26,2 B. 26,8 C. 27,4 D. 12,2
Câu 2. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
0 0
3
( ) ; ( ) 1
10
xf x dx f x dx
.
Tính
1
0
( )f x dx
.
A.1,25 B. 0,8 C. 1,2 D. 1,4
Câu 3. Hàm số
( )y f x
xác định, liên tục trên [0;1] thỏa mãn
0
( ) 1 ( )
x
g x f t dt
. Biết
g x f x
.
Tìm giá trị lớn nhất của
1
0
dx
g x
.
A.1 B. 0,5 C.
2
2
D.
1
3
Câu 4. Hàm số
( )y f x
xác định, liên tục trên [0;1] thỏa mãn
0
( ) 1 2 ( )
x
g x f t dt
. Biết
3
g x f x
.
Tìm giá trị lớn nhất của
1
2
3
0
g x dx
.
A.4 B. 5 C.
4
3
D.
5
3
Câu 5. Hàm số
( )y f x
xác định, liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1
0;1
0
0; (x) 1
xf x dx max f
. Khi đó giá trị tích
phân
1
0
( )
x
e f x dx
thuộc khoảng nào
A.
5 3
;
4 2
B.
3
;2
2
C. (2;3) D. (3;4)
Câu 6. Hàm số
( )y f x
xác định, liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1
2
0;1
0
0; (x) 6
x f x dx max f
. Giá trị lớn nhất
của
1
3
0
( )x f x dx
gần nhất với
A.0,3 B. 0,2 C. 0,1 D. 0,4
Câu 7. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
0 0
84
( ) ; ( ) 4
5
xf x dx f x dx
.
Tính
1
0
( )f x dx
.
A.3,25 B. 1,25 C. 0,8 D. 1,2
Câu 8. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
8 8
f x
với mọi
0;1
x
.
Tìm giá trị lớn nhất của
1
3
0
( )x f x dx
biết rằng
1
0
( ) 3
xf x dx
.
A.2 B.
4
3
C.
31
16
D. 2,125
94
Câu 9. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
2
0 0
( ) 0,4; ( ) 7
x f x dx f x dx
và
1 6
f
.
Tính
1
0
( )f x dx
.
A.
7
36
B.
20
9
C. 5 D.
73
36
Câu 10. Hàm số
( )y f x
dương và liên tục trên [1;3], có giá trị lớn nhất bằng 2, giá trị nhỏ nhất bằng 0,5.
Ngoài ra
3 3
1 1
1
( ) .
( )
f x dx dx
f x
đạt giá trị lớn nhất. Tính
3
1
f x dx
.
A.3,5 B. 2,5 C. 1,4 D. 0,6
Câu 11. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
2 2
2
2
0 0
409
( ) ; ( ) 2
21
x f x dx f x dx
.
Tính
2
0
( )f x dx
.
A.21,2 B. 21 C. 18 D. 16,5
Câu 12. Hàm số
( )y f x
xác định, liên tục trên [0;1] thỏa mãn
0
( ) 1 3 ( )
x
g x f t dt
. Biết
2
g x f x
.
Tìm giá trị lớn nhất của
1
0
f x dx
.
A.2,5 B. 2,25 C. 1,8 D.
4
3
Câu 13. Hàm số
( )y f x
xác định, liên tục trên [0;1] thỏa mãn
0
( ) 1 ( )
x
g x f t dt
. Biết
2
2
g x xf x
. Tìm
giá trị lớn nhất của
1
0
g x dx
.
A.2 B. 3 C. 4 D. 1
Câu 14. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục, nhận giá trị dương trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
0 0
1
3 . 2
9
f x f x f x f x dx
.
Tính tích phân
1
3
0
f x dx
.
A.1,5 B. 1,25 C.
5
6
D.
7
6
Câu 15. Hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
2
1
0
(1) ; (0) 1; 1
f x
f e f dx
f x
.
Khi đó
1
2
f
gần nhất giá trị nào
A.7,38 B. 1,64 C. 0,18 D. 2,16
Câu 16. Tính
1
2
0
( )f x dx
khi hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (1) = 1,5 và
1 1
2
0 0
5 1
( ) ; ( 1) 1 ( )
6 2 3
x
f x dx x f x dx
x
.
A.
7
3
B.
8
15
C.
53
60
D.
203
60
_________________________________
95
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN – F7)
__________________________________________________
Câu 1. Tính
1f
khi
hàm số
f x
liên tục trên [0;1], có đạo hàm dương trên [0;1] và thỏa mãn
1 1
2
2 2
0 0
4 0 1
f x f x x dx xf x f x dx f
.
A.2 B. 1 C. 4 D.
3
4
Câu 2. Hàm số
( )y f x
dương và liên tục trên [1;3], có giá trị lớn nhất bằng 2, giá trị nhỏ nhất bằng 1.
Ngoài ra
3 3
1 1
1
( ) .
( )
f x dx dx
f x
đạt giá trị lớn nhất. Tính
3
1
( )f x dx
.
A.
7
3
B. 1,5 C. 0,5 D. 1
Câu 3. Tính
1
3
0
( )f x dx
khi hàm số
( )f x
có đạo hàm dương, liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
0 0
1
5 2 ; 0 1
25
f x f x dx f x f x dx f
A.0,5 B. 1,25 C. 1,06 D.
25
33
Câu 4. Hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1
2
2
0
1
( )
4
e
f x dx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của tích
phân
1
0
( 1) ( )
x
x e f x dx
.
A.e – 2 B.
2
1
4
e
C.
2
1
2
e
D.
1
4
e
Câu 5. Hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên
0;
thỏa mãn
0 0
( ) ( )cos 1f x dx f x xdx
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của tích phân
2
0
( )f x dx
.
A.
3
2
B.
2
C.
3
D.
4
Câu 6. Tính
2
36 2022 . 2022
f f
khi hàm số
( )f x
có đạo hàm dương, liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
0 0
1
6 2
36
f x f x dx f x f x dx
A.4 B. 1 C. 2 D. 0,5
Câu 7. Cho hàm số
f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1
2
0
( ) 7
f x dx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
1
3
0
.
A.0,4 B. 0,6 C. 0,5 D. – 1
Câu 8. Cho hàm số
f x
liên tục trên [1;2] thỏa mãn
2
2 2
1
1
( )
2
x f x dx
. Tìm giá trị lớn nhất của
2
1
( )f x dx
.
A.0,5 B. 0,2 C. 1 D. 0,25
Câu 9. Hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
2
0
( ) 3
f x dx
. Tìm giá trị lớn nhất của
0
( )cos
f x xdx
A.2 B. – 1 C.
D.
2
96
Câu 10. Tính
2
2 2022 . 2022
f f
khi hàm số
( )f x
có đạo hàm dương, liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
0 0
1
4 4
4
f x f x dx f x f x dx
A.4 B. 1 C. 3 D. 0,5
Câu 11. Cho hàm số
f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1
2
1
2
x
x
f x dx
. Giá trị nhỏ nhất của
1
2
0
( )
f x dx
nằm
trong khoảng nào sau đây
A.
3
1;
2
B.
1
0;
2
C.
1
;1
2
D.
3
;2
2
Câu 12. Cho hàm số
f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1
2
0
( ) 0,8
f x dx
. Tìm giá trị lớn nhất của
1
2
0
( )x f x dx
.
A.0,4 B. 0,6 C. 0,5 D. 0,2
Câu 13. Cho hàm số
f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1
2
0
( ) 0,8
f x dx
;
1
3
0
( )x f x dx
có giá trị nhỏ nhất thuộc
khoảng nào sau đây
A.0,8 B. 0,5 C. 1 D. 0,2
Câu 14. Hàm số
( )f x
có đạo hàm dương, liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
0 0
9
4 6 ; (2) 2
16
f x f x dx f x f x dx f
Khi đó
1
0
f x dx
có giá trị gần nhất với
A.0,85 B. 1,32 C. 3,45 D. 0,52
Câu 15. Cho hàm số
f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1
2
0
( ) 0,8
f x dx
. Tìm giá trị lớn nhất của
1
5 2
0
( )x f x dx
.
A.0,4 B. 0,6 C. 0,5 D. 0,2
Câu 16. Cho hàm số
f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1
2
0
9
( )
7
f x dx
. Tìm giá trị lớn nhất của
1
5 2
0
( )x f x dx
.
A.0,4 B. 0,6 C. 0,5 D. 0,2
Câu 17. Tìm giá trị lớn nhất của
1
0
f x f x dx
khi hàm số
( )f x
có đạo hàm dương, liên tục trên [0;1] thỏa
mãn
1
2
0
(2) (0) 2; ( ) 4
f f f x dx
A.
2 2
B. 1 C.
2
D. 0,5
Câu 18. Cho hàm số
f x
liên tục trên [1;2] thỏa mãn
2
4 2
1
( ) 0,75
x f x dx
. Tìm giá trị lớn nhất của
2
1
( )xf x dx
.
A.1,5 B. 0,5 C. 1 D. 1,25
Câu 19. Cho hàm số
f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1
2
0
( ) 7
f x dx
. Tìm giá trị lớn nhất của
1
8 3
0
( )x f x dx
.
A.
(1) 1
3
f
B.
(1) 1
9
f
C.
(1) 1
3
f
D.
(1) 1
6
f
Câu 20. Tính
1
3
0
( )f x dx
khi hàm số
( )f x
có đạo hàm dương, liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
0 0
1 2 ; 0 2
f x f x dx f x f x dx f
A.3,75 B. 7,5 C. 8,5 D. 9,5
____________________________________
97
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN – F8)
__________________________________________________
Câu 1. Cho hàm số
( )f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
. Tồn tại bao nhiêu số nguyên dương k để giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1
2
2
0 0
1
4 ( )
( )
dx f x dx
f x
nhỏ hơn ln1992
A.5 B. 4 C. 6 D. 7
Câu 2. Cho hàm số
( )f x
liên tục trên [1;2] thỏa mãn
3 3
2
, , 1;2 ,
3
b
a
b a
f x dx a b a b
. Tìm giá trị lớn
nhất của tích phân
2
1
( )f x dx
.
A.0,5 B. 2,5 C. 1,5 D.
5
3
Câu 3. Cho hàm số
( )f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
. Tồn tại bao nhiêu số nguyên dương k để giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1
2
2
0 0
1
9 4 ( )
( )
dx f x dx
f x
nhỏ hơn ln1999
A.5 B. 4 C. 2 D. 1
Câu 4. Cho hàm số
( )f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
và
1 1
2
2
0 0
1
4 9 ( ) 12ln
( )
dx f x dx k
f x
. Để
2
2 4
f
thì giá trị thực dương k thu được thuộc khoảng nào
A.(0;3) B. (3;6) C. (6;10) D. (10;17)
Câu 5. Cho hàm số
( )f x
liên tục trên [0;1] thỏa mãn
và
1 1
2
2
0 0
1
25 9 ( ) 30ln
( )
dx f x dx k
f x
. Để
2
2 8
f
thì giá trị thực dương k thu được thuộc khoảng nào
A.(0;3) B. (3;6) C. (6;10) D. (10;17)
Câu 6. Hàm số
( )y f x
dương và liên tục trên [1;3], có giá trị lớn nhất bằng 3, giá trị nhỏ nhất bằng
1
3
.
Giá trị lớn nhất của
3 3
1 1
1
( ) .
( )
f x dx dx
f x
thuộc khoảng nào sau đây
A.(1;3) B. (3;6) C. (6;10) D. (10;14)
Câu 7. Hàm số
( )y f x
dương và liên tục trên [1;3], có giá trị lớn nhất bằng k, giá trị nhỏ nhất bằng
1
k
với k là
số thực dương. Khi
3 3
1 1
1
( ) .
( )
f x dx dx
f x
đạt giá trị lớn nhất bằng 27,04 thì giá trị k thu được thuộc khoảng
A.(1;3) B. (3;6) C. (6;10) D. (10;14)
Câu 8. Gọi A là tập hợp các hàm số
( )f x
liên tục trên [0;1] và nhận giá trị không âm trên [0;1]. Tìm giá trị thực
m nhỏ nhất sao cho
1 1
1999
0 0
( )f x dx m f x dx
.
A.1999 B. 2000 C. 25 D. 999
Câu 9. Gọi A là tập hợp các hàm số
( )f x
liên tục trên [0;1] và nhận giá trị không âm trên [0;1]. Tìm giá trị thực
m nhỏ nhất sao cho
1 1
1995
0 0
( )f x dx m f x dx
.
A.1999 B. 2000 C. 1995 D. 999
Câu 10. Tìm số gần nhât với
1
3
0
( )f x dx
khi hàm số
( )f x
có đạo hàm dương, liên tục trên [0;1] thỏa mãn
1 1
2
0 0
1
6 2 ; 0 2
36
f x f x dx f x f x dx f
98
A.8,5 B. 7,25 C. 9,25 D. 10,5
Câu 11. Hàm
( )f x
có đạo hàm dương trên [1;2] và
22
(1) 2; (2)
15
f f
. Giá trị nhỏ nhất của
3
2
4
1
f x
dx
x
có
giá trị là phân số tối giản
a
b
, với a, b nguyên dương. Tính a + b.
A.382 B. 300 C. 256 D. 285
Câu 12. Hàm
( )f x
có đạo hàm dương trên [1;2] và
13 10
(1) ; (2)
6 3
f f
. Giá trị nhỏ nhất của
3
2
2
1
f x
dx
x
có
giá trị là phân số tối giản
a
b
, với a, b nguyên dương. Tính a + b.
A.19 B. 17 C. 15 D. 27
Câu 13. Hàm
( )f x
có đạo hàm dương trên [1;2] và
17
(1) 1,5; (2)
8
f f
. Giá trị nhỏ nhất của
3
2
2
1
( 1)
f x
dx
x
có
giá trị là phân số tối giản
a
b
, với a, b nguyên dương. Tính a + b.
A.133 B. 120 C. 145 D. 156
Câu 14. Hàm số
( )f x
liên tục, có đạo hàm trên đoạn
0;2
. Biết
(2) 7
f
và
2
4
( ) 21 12 12 ( )f x x x xf x
với
0;2
x
. Tính tích phân
2
0
( )I f x dx
A.
1
2
I
. B.
1
ln 2
2
I
. C.
1
3
I
. D.
2
.
Câu 15. Cho hàm số
( )f x
liên tục, có đạo hàm trên đoạn
0;1
. Biết
1
2
0
1
( )
5
f x dx
và
1
0
2
. ( )
5
x f x dx
.
Tính tích phân
1
0
( )I f x dx
A.
1
2
. B.
1
4
. C.
1
5
. D.
1
3
.
Câu 16. Hàm số
( )y f x
xác định, liên tục trên [0;1] thỏa mãn
0
( ) 4 3 ( )
x
g x f t dt
. Biết
2
g x f x
.
Tìm giá trị lớn nhất của
1
0
f x dx
.
A.2,75 B. 2,25 C. 1,8 D. 2,25
Câu 17. Hàm số
( )y f x
xác định, liên tục trên [0;1] thỏa mãn
0
( ) 9 4 ( )
x
g x f t dt
. Biết
2
g x f x
.
Tìm giá trị lớn nhất của
1
0
f x dx
.
A.2,75 B. 2,25 C. 4 D. 5,25
Câu 18. Hàm số
( )y f x
xác định, liên tục trên [0;1] thỏa mãn
0
( ) ( ) , 0
x
g x a b f t dt a b
.
Biết
2
g x f x
. Tìm giá trị lớn nhất của
1
0
f x dx
theo a và b.
A.
0,25
b a
B.
0,5
b a
C.
0,5 2b a
D.
0,25
b a
_________________________________
99
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TÍCH PHÂN THUẦN NÂNG CAO – G1)
__________________________________________________
Câu 1. Biết
3
2
1
3 ln
ln ln
1
x a a
dx c d
b b
x
với
, , ,a b c d
và d nhỏ nhất. Tính
M a b c d abcd
.
A.
3
M
B.
84
M
C.
40
M
D.
58
M
Câu 2. Cho hàm số
2
+1 khi 2
4 3 khi 2
x x
f x
x x
. Tích phân
ln5
2
0
d
x x
I e f e x
bằng
A.
126
. B.
84
. C.
63
. D.
42
.
Câu 3. Cho hàm số
2
2 1 khi 0
1 khi 0
x x
f x
x x x
. Tích phân
2
2
2 dI x f x x
bằng
A.
13
24
. B.
50
3
. C.
19
24
. D.
11
6
.
Câu 4. Cho hàm số
f x
có
4
2
f
và
2
2
1, 0;
sin
f x x
x
. Khi đó
3
4
4
d
f x x
bằng
A.
2
2
. B.
2
. C.
2
8
2
. D.
2
2
2
.
Câu 5. Tính
2
0
5 3 7
f x dx
nếu
5
1
15
f x dx
.
A. 15 B. 19 C. 27 D. 37
Câu 6. Tính
1
1
lim
1
n
x
x
n
dx
e

.
A. – 1 B. 1 C. e D. 0
Câu 7. Biết
3
2
2
3 1 ln 3 2 1 ln34 ln17 ; ,
a
x x x dx a c a b
b
. Tính
2 4S a b c
.
A.
55
S
B.
42
S
C.
72
S
D.
30
S
Câu 8. Biết
2
1
3
0
ln 2 4 1
ln ln ; , ,
1
x x
a
dx a c c a b c
b
x
. Mệnh đề nào sau đây sai ?
A.
16
a b c
B.
2 3 30
a b c
C.
2 2 2
111
a b c
D.
105
abc
Câu 9. Biết
2
2
1
ln 2 3 ln ln ; , , ,
a c
x x dx a c d a b c d
b b
. Tính
2 3 4
a b c d
Q
a b c d
.
A.
13
29
Q
B.
11
13
Q
C.
17
15
Q
D.
28
31
Q
Câu 10. Nghiệm dương a của phương trình
2
1
(2 1)ln ( )ln 9
a
x xdx a a a
thuộc khoảng nào sau đây ?
A. (1;3) B. (3;5) C. (5;7) D. (7;10)
Câu 11. Tính tích phân
2
2018
2
1
1
2019log
ln 2
x x dx
.
A.
2017
2
B.
2019
2
C.
2018
2
D.
2020
2
Câu 12. Biết rằng
2
1
1
( )ln
e
x xdx ae b
x
với a, b là các số hữu tỉ. Tính 4a + 3b.
A. 6,5 B. – 6,5 C. 3,25 D. – 3,25
Câu 13. Biết rằng
3
1
3 1
ln
e
a
e
x xdx
b
. Tìm khẳng định đúng
100
A. ab = 64 B. ab = 46 C. a – b = 12 D. a – b = 4
Câu 14. Giả sử
1
2017
0
ln(2 1) ln 3
b
x x dx a
c
, trong đó
b
c
tối giản. Tính b + c.
A. 6057 B. 6059 C. 6058 D. 6056
Câu 15. Tính a + b + c biết rằng a, b, c tự nhiên thỏa mãn
1
2
0
1 ln 2 ln3
ln( 2)
2 4
a bc c
x x dx
x
.
A. 13 B. 15 C. 17 D. 11
Câu 16. Cho hàm số
2
2
1 2
2 3 2
x khi x
f x
x x khi x
. Tích phân
2
0
2sin 1 cos
f x xdx
bằng
A.
23
3
. B.
23
6
. C.
17
6
. D.
17
3
.
Câu 17. Hàm số
f x
liên tục trên
và thỏa mãn
5 ,f x f x x
;
3
2
2
f x dx
. Tính tích phân
3
2
I xf x dx
A.
20
I
. B.
10
I
. C.
15
I
. D.
5
I
.
Câu 18. Cho hàm số
f x
liên tục trên
4;
và
5
0
4 d 8
f x x
. Tính
3
2
. dI x f x x
.
A.
8
I
. B.
16
I
. C.
4I
. D.
4I
.
Câu 19. Cho hàm số
f x
thõa mãn
0 4
f
và
e
x
f x x
,
x
. Khi đó
1
0
df x x
bằng
A.
6e+13
6
. B.
6e+25
6
. C.
6e+25
3
. D.
6e+19
6
.
Câu 20. Hàm số
2
1 1 0
cos 0
x x khi x
f x
x khi x
. Biết
1
2
2f x dx a b
(
,a b
là các số hữu tỉ). Tính
a b
A.
1
. B.
7
3
. C.
1
3
. D.
2
.
Câu 21. Cho
0 0
1 sin
;
tan sin cos
x
I dx J dx
t x x x
với
0;
4
, tìm khẳng định sai
A.
0
cos
sin cos
x
I dx
x x
B.
ln sin cosI J x x
C.
ln 1 tan
I
D.
I J
Câu 22. Cho hàm số
f x
liên tục trên R có đạo hàm trên đoạn [0;m]. Tìm số thực dương m để tích phân
3 5
0
2 7
m
I x x dx
đạt giá trị lớn nhất.
A.
1
3
m
B.
2
7
m
C.
7
2
m
D.
7
2
m
Câu 23. Cho
f x
liên tục trên R, có đạo hàm trên đoạn [0;m]. Tìm giá trị gần nhất với giá trị lớn nhất
max
I
với
2
0
4 5
m
I x x dx
.
A. 0,4 B. 1,96 C. 0,69 D. 0,2
Câu 24. Tính 3
1
2
0
1
x
x
dx
e
nếu
1
2
0
1
x
x
dx a
e
.
A. 1 – 3a B. 2 – a C. 4 – 5a D. 3 – 2a
_________________________________
101
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TÍCH PHÂN THUẦN NÂNG CAO – G2)
__________________________________________________
Câu 1. Biết rằng
1
2
0
3 4 5 8
ln ; , ,
(2 1) (5 3)
x
dx b a b c
x x a c
. Tính a + b + c.
A. 12 B. 23 C. 17 D. 20
Câu 2. Cho
3
1
x
a
f x bxe
x
thỏa mãn
1
0
0 22; 5
f f x dx
. Khi đó tổng a + b bằng bao nhiêu ?
A.
146
13
B. – 1 C.
26
11
D.
16
13
Câu 3. Biết rằng
4
2
0
ln(sin 2cos )
ln 2 ln 2 ; , ,
sin
x x
dx a b c a b c
x
. Tính abc.
A.
15
8
B.
5
8
C.
5
4
D.
17
8
Câu 4. Biết
e 1
1
2
2
ln 1
d ,
1
x
x a be a b
x
, chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A.
2
2 3 4
a b
. B.
2
2 3 8
a b
. C.
2
2 3 8
a b
. D.
2
2 3 8
a b
.
Câu 5. Cho
0
7
3
b
x
x
e
dx
e
với b là số thập phân. Tìm chữ số hàng thập phân thứ hai của b.
A. 3 B. 2 C. 4 D. 5
Câu 6. Biết rằng
4 2
2
1
(2 ln )
4
e
ae be c
x x x dx
với a, b, c là các ước nguyên của 4. Tính a + b + c.
A. 2 B. 4 C. 3 D. 1
Câu 7. Biết
ln2
0
d 1
ln ln ln
e 3e 4
x x
x
I a b c
c
với
,a b
là các số nguyên dương và
c
là số nguyên tố.
Tính
2 .P a b c
?
A.
3.
P
B.
1P
. C.
4P
. D.
3
P
.
Câu 8. Cho hàm số
2
2
1 khi 2
2 3 khi 2
x x
f x
x x x
. Tích phân
2
0
2sin 1 cos df x x x
bằng:
A.
23
3
. B.
23
6
. C.
17
6
. D.
17
3
.
Câu 9. Biết
2 3
2
5
1
d ln5 ln3
4
x a b
x x
với
,a b
là các số hữu tỉ. Tính
a b
A.
1
4
. B.
0
. C.
1
2
. D.
1
2
.
Câu 10. Họ các nguyên hàm của hàm số
2
ln
1
x x
f x
x
trên khoảng
0;

là
A.
1
ln ln
1
x x x C
x
. B.
1
ln ln
1
x x x C
x
.
C.
1
ln ln
1
x x x C
x
. D.
1
ln ln
1
x x x C
x
.
Câu 11. Cho hàm số
2
2
1 neáu 0
.
2 1 neáu 0
x x
f x
x x
Tích phân
e
1
e
ln ln
d
f x x
x
x
bằng
A.
14
.
3
B.
4
.
3
C.
4.
D.
2.
102
Câu 12. Giả sử
2017
1 1
1
a b
x x
x x dx C
a b
với a, b là các số nguyên dương. Tính 2a – b bằng
A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020
Câu 13. Tính
3
0
sin 2 cos 2
3 3
f x x dx
biết
3
2
0
2
f x dx
.
A. 2 B. – 2 C. 1 D. – 1
Câu 14. Tính a + b + c biết a, b, c tự nhiên thỏa mãn
3
2
0
1 ln 2 ln5
ln( 1)
1 4
abc b c
x x dx
x
.
A. 13 B. 15 C. 10 D. 11
Câu 15. Cho hàm số
2
1 khi 2
( )
1 khi 2
x x
f x
x x
. Giá trị của tích phân
e
1
1 2ln
d
f x
x
x
bằng
A.
31
6
. B.
47
12
. C.
47
6
. D.
79
12
.
Câu 16. Có bao nhiêu số thực
0;7
b
thỏa mãn điều kiện
2020
0
1
sin sin 2 d
1011
b
x x x
?
A.
6
số. B.
4
số. C.
7
số. D.
5
số.
Câu 17. Cho
4
1
( )
4
f x
dx
x
và
2
2
0
1 4sin sin 2 5
f x xdx
. Tích phân
5
2
f x dx
bằng
A.
18
. B.
22
. C.
12
. D.
1
.
Câu 18. Cho hàm số
f x
có
1
1
3
f
và
2
ln
ln 1.
x
f x x
x
với
0
x
. Khi đó
2
2
1
d
ln 1
f x
x
x x
bằng:
A.
3
ln 2 ln 2 1
3
. B.
ln 2 ln 2 1
3
. C.
2
ln 2 ln 2 3
9
. D.
ln 2 ln 2 3
9
.
Câu 19. Cho
2
2
0
cos 4
ln
sin 5sin 6
x
dx a b
x x c
, với
*
, ,a b c
. Tính tổng
S a b c
.
A.
1
S
. B.
0
S
. C.
4
S
. D.
3
S
.
Câu 20. Biết
1
2
0
2 2 d log 3
x x
f x
. Khi đó
2
1
df x x
bằng
A.
ln3
. B.
3
log e
. C.
2
log 9
. D.
2
log 3
.
Câu 21. Biết
1
0
1 2
x f x dx
và
0 3
f
. Khi đó
1
0
f x dx
bằng
A.
5
. B. 1. C.
1
. D. 5.
Câu 22. Biết
1
2
0
ln 1 ln
a c
x x dx
b d
. Tính
2
b d ac
P
a c bd
.
A.
6
P
B.
11
2
P
C.
12P
D.
25
2
P
Câu 23. Cho
1
1
2
0 0
7
2 ( ) 3 (2 ) ; 3 (2 ) 2 (4 ) 2
2
f x g x dx g x g x dx
. Tính
1 1
0 0
( ) 2 ( )f t dt g t dt
.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 2
Câu 24. Biết rằng
2
2
4
ln(sin cos )
ln ; , ,
sin
x x
dx b c a b c
x a
. Tính a + b + c.
A. 10 B. 9 C. 8 D. 5
_________________________________
103
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TÍCH PHÂN THUẦN NÂNG CAO – G3)
__________________________________________________
Câu 1. Cho hàm số
1
2
2 khi 1
,
3 khi < 1
x
e x
f x a
a x x x
nếu
4
3
2
0
ln 1 3
f x x dx
thì
a
bằng
A.
3
6 3 2ln3
e
. B.
3
6 6 2ln3
e
.
C.
3
6 3 2ln3
e
. D.
3
6 6 2ln3
e
.
Câu 2. Cho hàm số
2
2 1 0
3 2 1 0
x khi x
f x
x x khi x
. Tích phân
2
0
(2sin 1)cos
f x xdx
bằng
A.
3
2
. B.
3
2
. C.
1
2
. D.
1
2
.
Câu 3. Hàm số f (x) liên tục trên [0;1], hàm số
f x
liên tục trên [0;1] và f (1) – f (0) = 2. Biết rằng
0 2 2f x x
với mọi x thuộc đoạn [0;1]. Giá trị của tích phân
1
2
0
f x dx
thuộc khoảng nào ?
A. (2;4) B.
13 14
;
3 3
C.
10 13
;
3 3
D. (1;3)
Câu 4. Biết rằng
3
2
0
ln( 16) ln5 ln 2
2
c
x x dx a b
, trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính a + b + c.
A. – 2 B. 16 C. 2 D. – 16
Câu 5. Tích phân
2018
cos 2018
0
1
d
1
x
I x
e
bằng:
A.
1009
. B.
4036
. C.
2018
. D.
2
.
Câu 6. Cho hàm số
2
2
1, 0
2 1, 0
x x
f x
x x
. Tích phân
1
ln ln
e
e
f x x
dx
x
bằng
A.
14
3
. B.
4
3
. C.
4
. D.
2
.
Câu 7. Biết rằng
2
1
ln 2
1 1
1
e
x a
dx b c
e e
x
với a, b, c nguyên. Tính a + b + c.
A. – 1 B. 1 C. 3 D. 2
Câu 8. Hàm số f (x) liên tục và nhận giá trị dương trên R, hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, các đường x = 1,
x = 2 và đường cong
2
( 1) 2 1
y x f x x
có diện tích bằng 5. Tính
1
0
f x dx
.
A. 10 B. 20 C. 5 D. 9
Câu 9. Cho hàm số
2
2sin3 cos 3 2cosf x x x x x
. Tính
4
6
0
f x dx
.
A.
14 2
B.
14 2
C.
2008 2
D.
2008 2
Câu 10. Cho hàm số
2
2
1 2
2 3 2
x khi x
f x
x x khi x
. Tích phân
2
0
2sin 1 df x cos x x
bằng:
A.
23
3
. B.
23
6
. C.
17
6
. D.
17
3
.
104
Câu 11. Tích phân
4
0
ln
ln 1 tan d
a
x x
b
với
a
là số nguyên tố và
b
nguyên dương. Giá trị biểu thức
a b
bằng
A.
10
. B.
6
. C.
11
. D.
7
.
Câu 12. Hàm số y = f (x) liên tục trên R và thỏa mãn f (4 – x) = f (x). Biết
3
1
5
xf x dx
, tính
3
1
f x dx
.
A. 2,5 B. 3,5 C. 4,5 D. 5,5
Câu 13. Cho hàm số
2
3 khi 1
5 khi 1
x x
f x
x x
. Khi đó
12
2
0 0
2 sin cos d 3 3 2 df x x x f x x
bằng
A.
32
3
. B.
31
. C.
71
6
. D.
32
.
Câu 14. Cho hàm số
f x
liên tục
thỏa mãn
1 ,f x f x x
. Mệnh đề nào sau đây đúng
A.
2017 1
0 0
d 2017 df x x f x x
. B.
2017 1
0 0
d 2016 df x x f x x
.
C.
2017 1
0 0
d 2016 df x x f x x
. D.
2017 1
0 0
d 2017 df x x f x x
.
Câu 15. Tích phân
2018
0
1 cos 2 dx x
bằng:
A.
4036 2
. B.
2018 2
. C.
4036 2
. D.
2018 2
.
Câu 16. Biết
4
2
0
ln
sin tan
2 4
a b
x xdx
với a, b là các số tự nhiên. Khi đó
A.
2 2
5
a b
B.
2
a b
C.
a b
D.
4
a b
Câu 17. Biết rằng
1
2
0
ln( 2) ln3 ln 2x x dx a b c
với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính a + b + c.
A. 1,5 B. 1 C. 0 D. 2
Câu 18. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
thỏa mãn
4 ,f x f x x
và
4
0
d 5
f x x
,
2
1
3 5 d 3
f x x
. Tính tích phân
7
0
df x x
A.
6
. B.
14
. C.
4
. D.
7
.
Câu 19. Đẳng thức nào dưới đây đúng?
A.
3 3
2017 2017
2 2
1 1
3 2 d dx x x x x x
. B.
3 3
2017 2017
2 2
1 1
3 2 d dx x x x x x
.
C.
3 3
2017 2017
2 2
1 1
3 2 d dx x x x x x
. D.
3 3
2017 2017
2 2
1 1
3 2 d dx x x x x x
.
Câu 20. Biết
4
4
2
6
1
3
sin cot
dx a b
x x
với a, b hữu tỷ. Khẳng định nào sau đây đúng
A.
2 2
2 0
a b
B.
0
a b
C.
2 0
a b
D.
2
1
a b
Câu 21. Cho
1
2017
( )
x
t
x
f x t e dt
với x > 1. Tính
0
f
.
A.
0 2f e
B.
0
f e
C.
2017
0
f e
D.
2
0
f e
_________________________________
105
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TÍCH PHÂN THUẦN NÂNG CAO – G4)
__________________________________________________
Câu 1. Biết
1
2
0
ln 3 1 ln 2
b
x x dx a
c
(a hữu tỷ, b và c nguyên dương, phân số tối giản). Tính abc.
A.6 B. 3 C.
8
3
D.
4
3
Câu 2. Biết rằng
2
2 sin
0
2cos cos ( 1)
2
x
x
I x x e dx e a b
. Giá trị
2 2
a b
gần nhất giá trị nào
A.3,46 B. 4,25 C. 5,17 D. 8,14
Câu 3. Tính
0
(sin )f x dx
khi
0
(sin ) 2
xf x dx
.
A. 1 B. 4 C.
D. 2
Câu 4. Biết
4
0
ln(1 tan ) ln
a
x dx c
b
với a, b, c nguyên dương và
a
b
tối giản. Giá trị a + 2b – c thuộc khoảng nào
trong các khoảng sau
A.(17;19) B. (25;27) C. (31;33) D. (41;43)
Câu 5. Cho
f x
liên tục và có đạo hàm trên đoạn [1;2] thỏa mãn
4 1f x dx x
. Tính
2
3
1
I f x dx
.
A.
969
13
B.
911
28
C.
129
35
D. 1
Câu 6. Cho hàm số
f x
liên tục và có đạo hàm trên đoạn [1;2] thỏa mãn điều kiện
2 1f x dx x

. Giá trị
của tích phân
2
1
2 1I f x dx
nằm trong khoảng nào ?
A. (30;35) B. (10;20) C. (40;50) D. (– 20;10)
Câu 7. Hàm số f (x) liên tục và nhận giá trị dương trên
0;
4
thỏa mãn
tan . ; 0 1
f x x f x f
với mọi x
thuộc miền
0;
4
. Tính tích phân
4
0
( )f x dx
.
A.
1
4
B.
4
C. ln
1
4
D. 0
Câu 8. Hàm số f (x) liên tục trên R và
( ) 0; ( ). (2018 ) 1, 0;2018
f x f x f x x
. Tính
2018
0
1
1 ( )
dx
f x
.
A. 2018 B. 0 C. 1009 D. 4016
Câu 9. Tìm số nghiệm của phương trình
3 2
3 4 0
x x x I
biết rằng
2017
2
2017 2017
0
sin
sin cos
x
I
x x
.
A.2 B. 4 C. 3 D. 1
Câu 10. Tìm chữ số tận cùng của
2
2016
2
2017
1
x
x
dx
e
.
A.4 B. 2 C. 6 D. 8
Câu 11. Cho
3
2 3; 2
( )
4 1; 2
x x
f x
x x
. Giả sử
F x
là nguyên hàm của hàm số đã cho và
0 3
F
.
106
Tính
3 5 5
F F
.
A.12 B. 16 C. 13 D. 7
Câu 12. Cho hàm số
f x
liên tục trên [a;b] thỏa mãn
( ) 7
b
a
f x dx
. Tính
(a b )
b
a
f x dx
.
A.7 B. a + b – 7 C. 7 – a – b D. a + b + 7
Câu 13. Cho hàm số
2 3 3
; 0
( )
( 1) ; 0
x
e m x
f x
x x x
(m là tham số).
Biết
1
1
( )
b
f x dx ae
c
với a, b, c tự nhiên;
b
c
tối giản. Tính a + b + c + m.
A.13 B. 35 C. – 11 D. 36
Câu 14. Biết rằng
1
( 1)lnx 2 1
ln
1 ln
e
x e
dx ae b
x x e
trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính
a
b
.
A.0,5 B. 1 C. 3 D. 2
Câu 15. Biết rằng
4
2
2 ( 2)
dx
a b c
x x x x
với b < c. Tính a + 2b + c.
A.14 B. 18 C. 10 D. 16
Câu 16. Cho
f x
liên tục và có đạo hàm trên đoạn [2;4] thỏa mãn điều kiện
2 3
, 2;4
1 1
f x x
x x
.
Giả sử tồn tại hai số thực a và b:
4 2 , 2;4
a f f b x
. Giá trị tổng
S a b
gần nhất với giá trị nào ?
A. 2,55 B. 3,21 C. 4,25 D. 8,34
Câu 17. Cho hàm số
2
1; 0
( )
2 2; 0
x
e x
f x
x x x
. Biết rằng
2
1
(ln 1)
e
e
f x a
dx ce
x b
với a, b, c nguyên và
a
b
tối
giản. Tính giá trị biểu thức a + b + c.
A.35 B. 29 C. 36 D. 27
Câu 18. Cho
0
(sin ) 2
f x dx
. Tính
0
(sin )xf x dx
.
A. 1 B. 4 C.
D. 2
Câu 19. Cho hàm số
2
2
3 ln( 1); 0
( )
2 3 1; 0
x x x
f x
x x x
. Biết rằng
1
(ln )
3 2
e
e
f x
dx a b c
x
với a, b, c hữu tỷ.
Tính giá trị của biểu thức a + b + 6c.
A.35 B. – 14 C. 18 D. – 27
Câu 20. Biết rằng
1
3 3
0
2 2 1 1
.ln
.2 ln
x x
x
x ex e
dx p
e m e n e
với m, n, p là các số nguyên dương. Tính giá
trị biểu thức m + n + p.
A.5 B. 6 C. 8 D. 7
Câu 21. Cho hàm số
2
2 ; 1
( )
3 ; 1
x a x
f x
x b x
thỏa mãn
2
0
( ) 13
f x dx
. Tính a + b – ab.
A.1 B. – 11 C. – 5 D. – 1
Câu 22. Cho hàm số
2
2sin 1 ; 0
( )
2 ; 0
x
x x
f x
x
và có nguyên hàm
F x
thỏa mãn
2
1
ln 2
F
. Khi đó
F
gần nhất với giá trị nào
A.-4,84 B. – 4,58 C. – 6,28 D. – 7,72
Câu 23. Biết
2
2
2
0
(2 cos )cosx 1 sinx
ln
cos
x x x c
I dx a b
x x
; với a, b, c là các số hữu tỷ. Tính
3
ac b
.
A.3 B. 1,25 C. 1,5 D. 2
_________________________________
107
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TÍCH PHÂN THUẦN NÂNG CAO – G5)
__________________________________________________
Câu 1. Cho
1
2
0
ln 2
ln
d
1 1
x
a
x
b
x
với
a
là số nguyên tố và
b
nguyên dương. Giá trị của biểu thức
a b
bằng
A.
10
. B.
6
. C.
11
. D.
7
.
Câu 2. Hai số thực
, 0;
2
a b
thỏa mãn
4
a b
và
ln 2
ln 1 tan d
24
b
a
x x
. Tính
sin 12 d
b
a
x x x
bằng
A.
48
. B.
48
. C.
1
72
. D.
1
72
.
Câu 3. Cho
2018 sin
2
2018
0
2018 cos
ln d ln ln 1
2018 sin
x
x
x a a b b
x
với
,a b
là các số nguyên dương. Giá trị của biểu
thức
a b
bằng
A.
2015
. B.
4030
. C.
4037
. D.
2025
.
Câu 4. Cho
2
0
sin
d
3 cos
a
x x
x
x
b c
với
, ,a b c
nguyên dương và
,a c
là các số nguyên tố. Giá trị của biểu thức
a b c
bằng
A.
16
. B.
19
. C.
11
. D.
17
.
Câu 5. Hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
;a b
thỏa mãn
f x f a b x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
d d
2
b b
a a
a b
xf x x f x x
. B.
d d
b b
a a
xf x x a b f x x
.
C.
d d
2
b b
a a
a b
xf x x f x x
. D.
d d
b b
a a
xf x x a b f x x
.
Câu 6. Tích phân
2018
0
1 cos 2 1 sin 2 dx x x
bằng
A.
4036 2
. B.
2018 2
. C.
8072 2
. D.
8072 2
.
Câu 7. Tích phân
2018
2018
2
1
2
1 cos 2
I xdx
bằng
A.
2 2
. B.
0
. C.
2018
2 2
. D.
2019
2 2
.
Câu 8. Tổng tích phân
2018
2 2
0 0 0
1 cos 2 1 cos 2 ... 1 cos 2
xdx xdx xdx
bằng
A.
2019
2 2 2
. B.
2018
2 1 2
. C.
2019
2 1 2
. D.
2020
2 2 2
.
Câu 9. Biết rằng
2
0
cos3
ln 2
sin 1
x
dx a b
x
với a, b là các số hữu tỷ. Tính
2 2
2a b
.
A.6 B. 9 C. 22 D. 11
Câu 10. Tổng tích phân
2
4 2018
0 0 0
1 cos 2 1 cos 2 ... 1 cos 2
xdx xdx xdx
bằng
A.
2
2018.2019
2 2
2
. B.
1009.2019.4037 2
3
.
C.
2
2018.2019
2
2
. D.
2018.2019.4037 2
3
.
Câu 11. Cho hàm số
( )f x
chẵn liên tục trên
thoả mãn
4
4
2016
f x dx
. Tích phân
1
0
4
f x dx
bằng
A.
126
. B.
252
. C.
504
. D.
8064
108
Câu 12. Biết
4
2
0
tan
ln3 ln 2
(sin 2cos )
x
dx a b c
x x
với a, b, c hữu tỷ. Tính a + b + c.
A.
7
3
B.
7
3
C.
1
3
D.
7
4
Câu 13. Biết
2
1
( 1) 1
dx
a b c
x x x x
với a, b, c nguyên dương. Tính a + b + c.
A.24 B. 12 C. 18 D. 46
Câu 14. Biết rằng
3 2
2
0
cos sin
sin 1
x x x x b
dx
x a c
với a, b, c là số nguyên dương,
b
c
là phân số tối giản. Tính giá
trị a + b + c.
A.5 B. 7 C. 10 D. 11
Câu 15. Cho
2018
2018 2018
0
sin
(sin cos )
a
x x
dx
x x b
, với
,a b
là các số nguyên dương. Giá trị biểu thức
2 3
2 3a b
bằng
A.
32
. B.
194
. C.
200
. D.
100
.
Câu 16. Các hàm
,
f x g x
liên tục trên R và có đạo hàm trên đoạn [1;3] thỏa mãn đồng thời các điều kiện
3 3
1 1
1 . 1 1; 3 . 3 3; . 1f g f g g x f x dx g x f x dx
. Tính
3 3
1 1
S g x f x dx g x f x dx
.
A. 1 B. 0 C. – 1 D. 2
Câu 17. Cho hàm số
f x
liên tục trên
1;

và
3
0
1 8
f x dx
. Tính tích phân
2
1
xf x dx
.
A. 2 B. 8 C. 4 D. 16
Câu 18. Biết rằng
64
3
1
1 2
ln
3
dx a b
x x
với a, b là các số nguyên. Tính a – b.
A.5 B. – 17 C. – 5 D. 17
Câu 19. Biết rằng
4
0
1 2
ln
5
2
cot tan
12 6
a
dx b
c
x x
với a, b, c nguyên dương. Khi đó
2 2 2
a b c
có
giá trị thuộc khoảng nào
A.(45;50) B. (16;20) C. (30;35) D. (35;40)
Câu 20. Cho hàm số
f x
liên tục và có đạo hàm trên đoạn [2;4] thỏa mãn điều kiện
1 3
, 2;4
f x x
x x
.
Giả sử tồn tại hai số thực a và b sao cho
4 2 , 2;4
a f f b x
. Giá trị tổng
S a b
gần nhất với giá
trị nào ?
A. 2,77 B. 4,25 C. 9,31 D. 10,62
Câu 21. Biết rằng
2
0
3sin cos 11
ln 2 ln3
2sin 3cos 13
x x
dx b c
x x
với b hữu tỷ, c là số thực. Khi đó b:c gần nhất với
A.7,3 B. 23 C. 2,3 D. 0,54
Câu 22. Biết
4
0
sin 2 .ln(tan 1) ln 2x x dx a b c
với a, b, c hữu tỷ. Tính
1 1
c
a b
.
A.2 B. 4 C. 6 D. – 4
Câu 23. Tổng tích phân
3
8 2018
0 0 0
1 cos 2 1 cos 2 ... 1 cos2
xdx xdx xdx
bằng
A.
2
2018.2019
2 2
2
. B.
1009.2019.4037 2
3
.
C.
2
2018.2019
2
2
. D.
2018.2019.4037 2
3
.
109
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TÍCH PHÂN THUẦN NÂNG CAO – G6)
__________________________________________________
Câu 1. Hai hàm số liên tục
,
f x g x
có nguyên hàm lần lượt là
,
F x G x
trên đoạn [1;2] thỏa mãn
2
1
3 67
1 1; 2 4; 1 ; 2 2; ( ) ( )
2 12
F F G G f x G x dx
.
Tính
2
1
( ) ( )G x g x dx
A.
11
12
B.
145
12
C.
11
12
D.
145
12
Câu 2. Cho
1
3
2
0
1
ln3 ln 2
3 2
x
dx a b c
x x
với a hữu tỷ, b và c là số nguyên. Tính b + c.
A.9 B. – 4 C. 7 D. 8
Câu 3. Cho
2
2
3 2
1
2( 1)
ln3 ln 2
3 2
x
dx a b c
x x x
với a hữu tỷ, b và c nguyên. Tính b + c.
A.3 B. 4 C. 6 D. 5
Câu 4. Cho
2
12cos 5sin 10
ln 2 ln 7
2sin 3cos 5
x x
I dx a b c
x x
, với a, b, c nguyên dương. Tính a + b + c.
A.8 B. 7 C. 9 D. 12
Câu 5. Cho hàm số
3
4 3 1
2 2 1
x khi x
y f x
a ax khi x
và
2
0
dI f x x
. Số phần tử của
a
nguyên dương để
I
A.
2019
. B.
2020
. C.
2022
. D.
2021
.
Câu 6. Cho
2
sin cos 1 1
ln 2 ln
( sin 1) 4
x x x
I dx a b
x x x
; với a, b, c nguyên dương. Tính
2 2
3a ab b
.
A.8 B. 9 C. 10 D. 11
Câu 7. Cho hàm số
( )f x
xác định trên
thỏa mãn
1
1
. 1
x
khi x
f x
x
x e khi x
. Giá trị của
0
1
( )f x dx
là:
A.
2
1
e
B.
2
e
C.
2
e
D.
2
e
e
Câu 8. Cho
ln2
0
ln 2 ln ln 2 0,5
x
xdx
I a b
x e
với a, b là những số nguyên dương. Tính
2 2
3
a ab b
A.5 B. 6 C. 7 D. 9
Câu 9. Cho tích phân
1
4
4 3 2
0
ln5 ln13 ln3 ln 2
4 12 24 34
x dx
I a b c
x x x x
với a, b, c nguyên dương.
Tính giá trị biểu thức a + b + c.
A.5 B. 6 C. 7 D. 8
Câu 10. Cho
2
2
3 2
1
2
ln 2 ln( 6) ln( 2)
x x
x
xe e x
dx a b e c e
x x xe
với a, b, c nguyên Tính a + b + c.
A.3 B. – 1 C. 5 D. 2
Câu 11. Hàm số
2
e khi 0
2 3 khi 0
x
m x
f x
x x x
liên tục trên
và
1
1
d = e 3
f x x a b c
,
, ,
a b c Q
.
Tổng
3a b c
bằng
A.
15
. B.
10
. C.
19
. D.
17
.
Câu 12. Cho
1
3
0
cos
2 ( 1)
x x a b
dx
x c
với a, b, c là những số nguyên dương và phân số tối giản. Tính giá
110
trị biểu thức a + b + c.
A.9 B. 8 C. 11 D. 12
Câu 13. Cho hàm số
y f x
liên tục, có đạo hàm trên R và có đồ
thị như hình vẽ bên. Tính
1
0
(5 3)f x dx
.
A. 2 B. 3 C. 9 D. 1,8
Câu 14. Cho
1
2
3
0
2
ln 2
( 1)
x b
dx a
x c
với a, b, c là những số nguyên dương và phân số tối giản. Tính a + b + c.
A.13 B. 10 C. 12 D. 11
Câu 15. Hai hàm số liên tục
,
f x g x
có nguyên hàm lần lượt là
,
F x G x
trên đoạn [0;2] thỏa mãn
2
0
0 0; 2 1; 0 2; 2 1; ( ) ( ) 3
F F G G F x g x dx
Tính
2
0
( ) ( )f x G x dx
A.3 B. 0 C. – 2 D. – 4
Câu 16. Biết
2
2
1
1
d ln ln
ln
x
x a b
x x x
với
, a b
là các số nguyên dương. Tính
2 2
P a b ab
?
A.
10
. B.
8
. C.
12
. D.
6
.
Câu 17. Cho
12
1
1
12
1
1 d
c
x
x d
a
I x e x e
x b
, trong đó
, , , a b c d
là các số nguyên dương và các phân số
,
a c
b d
là tối giản. Tính
bc ad
?
A. 12. B. 1. C. 24. D. 64.
Câu 18. Cho hàm số
2
2 1
3 1
x khi x
y f x
x khi x
. Tính
2
0
df x x
.
A.
7
6
. B.
17
6
. C.
13
6
. D.
2
Câu 19. Cho
1
2
2
0
2
ln3 ln 2
( 1)( 1)
x c
dx a b
x x d
với a, b, c, d là những số nguyên dương và phân số tối giản.
Tính giá trị biểu thức a + b + c + d.
A.8 B. 10 C. 12 D. 14
Câu 20. Cho
2
2
1
sin(ln )
e
e a
x dx
b
với a, b nguyên dương. Tính giá trị a + b.
A.3 B. 5 C. 7 D. 9
Câu 21. Biết rằng
2
2 2
0
3
( 2 4) 2 4
dx a b
c c
x x x x
với a, b, c nguyên dương và phân số tối giản. Tính giá
trị biểu thức a + b + c.
A.6 B. 7 C. 5 D. 8
Câu 22. Biết rằng
2
4 2
3
0
( 4 3) 29
2 6 1
x x x a c
dx
b b
x x
với a, b, c nguyên dương và phân số tối giản. Tính a + b + c.
A.35 B. 29 C. 31 D. 23
_________________________________
111
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TÍCH PHÂN THUẦN NÂNG CAO – G7)
__________________________________________________
Câu 1. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
2
1
( )f x
x a
.
A.
2
ln
x x a C
B.
2
ln
x x a C
C.
2
ln
x a C
D.
2
ln 2
x a x C
Câu 2. Cho hàm số
2
3 1 1
ln 2 1
x khi x
y f x
x khi x
. Tính
3
0
df x x
.
A.
ln 27 2
. B.
ln27 2
. C.
ln 27 6
. D.
ln 27 6
Câu 3. Cho
3
2
0
10 ln(3 10)
1
a
x dx
b c
với a, b, c nguyên dương và phân số
a
b
tối giản. Tính a + b + c.
A.5 B. 4 C. 3 D. 7
Câu 4. Cho hàm số
2 0
ln 1 0
x khi x
y f x
x x khi x
. Tính
1
2
1
e
d
e
a b
T f x x
c
. Tích
abc
bằng
A.
28
. B.
12
. C.
12
. D.
28
.
Câu 5. Cho
1
2 2
0
2
( 2) 2
dx a b
I
c c
x x x x
;a, b, c nguyên dương;phân số
a
c
tối giản. Tính
2 3
a b c
.
A.17 B. 18 C. 23 D. 30
Câu 6. Cho hàm số
2 0
ln 1 0
x khi x
y f x
x khi x
. Tính
1
1
df x x
.
A.
ln 4 2
. B.
ln 4 2
. C.
ln 4 6
. D.
ln 4 6
Câu 7. Tính tích phân
2
2019
2021
1
(3 2)x
dx
x
.
A.
2020
4 1
2020
B.
2019
2 1
4038
C.
2020
2 1
4040
D.
2021
2 1
4042
Câu 8. Cho hàm số
2
3 2 1
2 1
x x khi x
y f x
x khi x
. Tính
2
0
df x x
.
A.
1
2
. B.
1
2
. C.
1
4
. D.
2
Câu 9. Cho
2
3
3
2 3
1
196
2
dx a c
b d
x x x
với a, b, c, d nguyên dương; phân số tối giản. Tính a + b + c + d.
A.25 B. 27 C. 24 D. 26
Câu 10. Cho
2 2
1
(1 ln )
ln
ln
e
x dx e b
a
x x e c
với a;b;c là những số nguyên dương. Tính a + b + c.
A.6 B. 5 C. 4 D. 3
Câu 11. Biết rằng
1
3
3
3 2 3 2
0
4 3
( 3 3 9) 3 3 9
dx
a b
x x x x x x
với a, b nguyên dương.
Tính
2 3
( ) ( )a b a b
.
A.35 B. 10496 C. 2112 D. 62450
Câu 12. Cho hàm số
3
3 2 khi 1
( )
3 2 khi 1
x x x
f x
x x
. Biết
2
1
3
2 2
0
4
ln 1
(tan )
cos 1
e
x f x
f x a
I dx dx
x x b
với
a
b
là
phân số tối giản. Giá trị của tổng
a b
bằng
A.
75
. B.
76
. C.
77
. D.
78
.
112
Câu 13. Biết rằng
ln 2
2 2
0
( 1) ln 2
ln
ln 2
x
x
e x a b
dx
x e c
với a, b, c nguyên dương. Tính a + b + c.
A.3 B. 6 C. 5 D. 7
Câu 14. Biết rằng
2 2
2
3 2 2
6
sin 2 2sin
ln
sin
x x x a
dx
x x x b
với a, b nguyên dương. Tính
2 2
a ab b
.
A.53 B. 61 C. 42 D. 28
Câu 15. Tính tích phân
2
2 2019
4041
1
(5 4)x
dx
x
.
A.
2020
4 1
2020
B.
2020
2 1
8080
C.
4040
2 1
16160
D.
2020
4 1
4040
Câu 16. Biết rằng
2
2
1
ln ln 2
ln
(ln 1 ) 2 2
e
x x e b
dx a
x x x e e c
với a, b, c nguyên dương. Tính a + b + c.
A.6 B. 7 C. 8 D. 9
Câu 17. Cho
1
ln 2 2
ln3 ln 2 ln
(ln 1)(ln 2 1) 2
e
x e
I dx a b c
x x x x e
với a, b, c nguyên. Tính a + b + c.
A.1 B. – 1 C. 0 D. 5
Câu 18. Cho
2
2 2
1
ln
(2ln 1) ( 3)
e
x x e b
dx
x x a e c
với a, b, c nguyên dương và phân số tối giản. Tính a + b + c.
A.11 B. 12 C. 13 D. 14
Câu 19. Tính tích phân
2
3 2 2019
1
(8 36 56 30)
x x x dx
.
A.
2019
2 1
2020
B. Không xác định C. 0 D.
2019
2 1
2020
Câu 20. Biết
1
3
2
0
d
15
1
x a b c
x
x x
với
, ,a b c
là các số nguyên và
0
b
. Tính
2
P a b c
?
A.
3
P
. B.
7
P
. C.
7
P
. D.
5
P
.
Câu 21. Cho
2
1
0
e
d .e ln e
e
x
x
x x
x a b c
x
, với
, , a b c
. Tính
2
P a b c
?
A.
1P
. B.
1P
. C.
0
P
. D.
2P
.
Câu 22. Biết
2
2
1
1 2
ln(1 2)
1
dx a
b c
x x
với a, b, c nguyên dương và phân số tối giản. Tính a + b + c.
A.7 B. 11 C. 5 D. 13
Câu 23. Cho
1
0
5 3
3
4 3
dx a b c
x x
với a, b, c nguyên dương. Tính a + b + c.
A.54 B. 52 C. 49 D. 48
Câu 24. Cho
3
2
3
1
1
ln 2 ln3
( 1)
a c
I dx
x x b d
;a, b, c, d nguyên dương;các phân số tối giản. Tính a + b + c + d.
A.9 B. 10 C. 11 D. 12
Câu 25. Tính tích phân
3
3 2 2019
1
( 3 5)
x x x dx
.
A.0 B. Không xác định C.
2019
3 1
2020
D.
2019
3 1
2020
Câu 26.
2
1
( )
2
F x
x
là một nguyên hàm của hàm số
( )f x
x
và
2
1
( )
2
f e
e
. Tính
ln
1
'( ).ln dx
e
x
e
I f x x
x
A.
1 e
. B.
1e
. C.
2
1
1
2e
. D.
1
2
e
.
113
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TÍCH PHÂN THUẦN NÂNG CAO – G8)
__________________________________________________
Câu 1. Biết rằng
2
2 2
0
4 2 ln 1 2
x x dx a b
với a, b là những số nguyên dương. Tính
2 3
3 3a ab b
.
A.72 B. 86 C. 62 D. 56
Câu 2. Cho hàm số
2
1 0
2cos 3 0
x x
y f x
x x
. Tích phân
2
0
2cos 1 sin dI f x x x
bằng
A.
0
. B.
2
3
. C.
1
3
. D.
1
3
.
Câu 3. Biết
1
2
0
5 2 1 2 5
2 2 ln
2
1 2
a c
x x x dx
b d
với a, b, c, d nguyên dương và các phân số tối giản.
Tính giá trị biểu thức a + b + c + d.
A.2 B. 1,2 C. 2,5 D. 1,25
Câu 4. Cho tích phân
2
3 2
3 2
0
3 4 20
d
5 3
x x x
I x
x x x
có dạng
ln
a
I c d
b
với
, , ,a b c d
và
,a b
nguyên tố cùng
nhau. Tính
2 3a b c d
A.
23
. B.
6
. C.
31
. D.
11
.
Câu 5. Tính tích phân
2
3
0
sin
(sin cos )
x
dx
x x
.
A.1 B. 0,5 C. 0 D. Kết quả khác
Câu 6. Tính tích phân
2
2020
0
(sin cos )
x x dx
.
A.1 B. Không xác định C.
1
2021
D.
2021
2 1
2
Câu 7. Cho hàm số
2 1
1
( ) 1
x
t
g x e dt
, đạo hàm của hàm số bằng
A.
2 1
2 1
x
e
B.
2 1
2 1 1
x
e e
C.
2 1
2 1
x
e
D.
2 1
(2 1) 2 1
x
x e x
Câu 8. Tính
a
a
f g x dx
khi hai hàm số
( ), ( )f x g x
liên tục và xác định trên đoạn
;a a
và thỏa mãn
( ) ( ); ( ) ( ), ;f x f x g x g x x a a
.
A.
0
a
f g x dx
B.
0
2
a
f g x dx
C. 0 D.
0
4
a
f g x dx
Câu 9. Tính
2018
2019 2020
2018
( )x f x dx
.
A.1 B. 2018 C. 0 D.
2019
2020
Câu 10. Cho tích phân
7
2
3 2
4
6 22 18
d
6 11 6
x x
I x
x x x
có dạng
ln2 ln 3 ln5
I a b c
với
, ,a b c
. Tính
2 3a b c
A.
11
. B.
9
. C.
13
. D.
7
.
Câu 11. Tính tích phân
2
2019
2
2019
sin
3 3
x
x
dx
x
A.0 B. Không xác định C.
2020
2.3
D.
2019
3 1
2
114
Câu 12. Tính tích phân
2019
2019
2
2
2
ln( 1)x x dx
.
A.0 B. 1 C.
2019
2
D.
2019
2 1
Câu 13. Hàm số
f x
xác định và liên tục trên R và
1
0
6
f x dx
. Tính
2
1
1
1
x
x
f x x e
dx
e
.
A.2 B. 8 C. 4 D. 1
Câu 14. Cho hàm số
2
2 1 khi 0
1 khi 0
x x
f x
x x x
. Tích phân
2
2
sin 2 sin dx f x x
bằng
A.
13
3
. B.
5
3
. C.
19
3
. D.
11
3
.
Câu 15. Cho hàm số
2 1 khi 3
3 7 khi 3
x x
f x
ax a x
(
a
là tham số thực). Nếu
1
2
0
1
x x
f e e dx e
thì
a
bằng
A.
2
3 4 6
1
e e
e
. B.
6 6e
C.
6 6e
D.
6 6e
Câu 16. Biết
2
3
0
1 cos , ,
18
a b c
x x dx a b c
. Giá trị của
2 3
P a c a b
bằng
A.
54
. B.
81
. C.
162
. D.
0
.
Câu 17. Tính đạo hàm của hàm số
2
2
1
1
ln( 1)
x
x
t dt
.
A.
2 ln ln( 1)
x x x
B.
2
ln( 1) lnx x x
C.
(4 1)lnx x
D.
2
2 ln( 1) ln( 1)
x x x
Câu 18. Biết
2
4 4
0
sin cos d .
4 4
x x
x a b
. Tính T =
a b
?
A.
1
.
8
B.
3
.
8
C.
1
.
8
D.
1
.
4
Câu 19. Biết
3 2
2
0
cos sin
d
1 cos
x x x x b
I x
x a c
với
, ,a b c
là các số nguyên dương và
b
c
là các số tối giản.
Tính
2 2 2
T a b c
?
A.59. B. 69. C. 60. D. 79.
Câu 20.
2
4
2
2
1 ln 2 2
1
d ln ln
2 2 4
c c
x x x
I x a b
x x
với
, ,a b c
là các số nguyên dương. Tính
a b c
.
A.
3
. B.
22
. C.
14
. D.
20
.
Câu 21.
3
3
3
9
4
cos
2 3
1
6
1
sin d
x
b c
I x x e x e e
a
với
, ,a b c
là các số dương. Tính
2 2
a b c
A.
5
4
. B.
15
4
. C.
17
4
. D.
29
4
.
Câu 22. Cho hàm số
2
4 4 9 khi 0
4 tan khi 0
x x x
f x
a x x
, đồng thời
4
4
50
3
I f x dx
. Tính
a
.
A.
1.
a
B.
1
.
2
a
C.
3
.
4
a
D.
1
.
4
a
__________________________________________________________
| 1/114

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:


THÂN TẶNG QUÝ THẦY CÔ VÀ CÁC EM HỌC SINH TOÀN QUỐC
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHUYÊN ĐỀ
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO LỚP 12 THPT
CREATED BY GIANG SƠN; TEL 0333275320 TOÀN TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
VẬN DỤNG CAO
(CHUYÊN ĐỀ TÍNH TOÁN) PHIÊN BẢN 2021 1 TOÀN TẬP
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO
(CHUYÊN ĐỀ TÍNH TOÁN)
__________________________________________________________________________________________________
A: TỪNG PHẦN, VI PHÂN (A1 ĐẾN A8)
B: NGUYÊN HÀM NÂNG CAO (B1 ĐẾN B8)
C: THAM SỐ, GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN MAX, HÀM SỐ CHẴN LẺ (C1 ĐẾN C8)
D: HÀM ẨN TỔNG HỢP (D1 ĐẾN D8)
E: TÍCH PHÂN HAI VẾ, ĐỔI BIẾN, XÁC ĐỊNH HÀM (E1 ĐẾN E8)
F: HẰNG ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN (F1 ĐẾN F8)
G: TÍCH PHÂN THUẦN NÂNG CAO (G1 ĐẾN G8) 2
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG TỪNG PHẦN, VI PHÂN – A1)
__________________________________________________ 2
Câu 1. Cho f x liên tục trên R thỏa mãn f  x 3 2
dx x  4x x  2  . Tính I
f  xdx  . 1 A. 1 B. – 1 C. 4 D. 2
Câu 2. Cho hàm số f x liên tục thỏa mãn 3
f (x)dx  4x  2x C  . Tính 2 xf (x )dx  . 10 6 x x A. 6 2
2x x C B.   C C. 6 2
4x  2x C D. 6 2
6x  2x C 10 6 2
Câu 3. Cho f x liên tục trên R và f x 2
dx x x  2  . Tính I f x   1 dx  . 1 65 A. B. 4 C. 5 D. 6 6 Câu 4. Cho 2
f (4x)dx x  3x C  . Tính a + b biết rằng 2
f (x  2)dx ax bx C  . A. 5,5 B. 4,25 C. 4,5 D. 2
Câu 5. Cho hàm số f x liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn f x 3 2
dx x x  2  . Giá trị của 2 I xf  2 x   
1 dx gần nhất với giá trị nào ? 1 A. 83 B. 38 C. 120 D. 70 2
Câu 6. Cho f x liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn f x   2 1 dx x  2 
. Tính I  3 f 2x   1 dx  . 1 A. 6 B. 10 C. 4,5 D. 3 Câu 7. Cho
f (2x)dx  cos 2x  sin x 1 
. Tìm giá trị nhỏ nhất của f (x)dx  là A. 2 B. – 1 C. – 2 D. 0 2
Câu 8. Cho f x liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn f x   2 2
1 dx x  2x
. Tính I  6 f x  2dx  . 1 A. 39 B. 25 C. 40 D. 45
Câu 9. Cho f x liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn 2 4 2
xf (x )dx  cos(x )  3x C  . Tính a + b biết rằng 2 2
f (x)dx a cos(x )  (b 1)x C  . A. 7 B. 8 C. 4 D. 10 1
Câu 10. Cho f x liên tục, có đạo hàm trên [0;5] thỏa mãn f   x 2 3
dx  3x x  . Tính I xf   2 2x  3dx . 0 A. 2 B. 1
C. – 3,5 D. – 5 2
Câu 11. Hàm số f x liên tục trên R thỏa mãn điều kiện f  xdx  3x  8  . Tính 2 I xf (  x )dx  . 1
A. 12,25 B. 14,5
C. 13,5 D. 23,25
Câu 12. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn f  xdx  3  x
. Biết hàm số f x đạt 2
cực trị tại x = 6. Tính 2 I xf (  x 1)dx  . 1 A. 10 B. 6 C. 3 D. 21
Câu 13. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên  \   0 thỏa mãn f (
x 1)dx x  4  . Khi đó giá trị của 2 1  1  tích phân I f 1 dx  nằm trong khoảng nào ? 2   xx  1 A. (3;4) B. (1;3)
C. (– 6;– 2) D. (– 3;0)
Câu 14. Hàm số f x liên tục trên R thỏa mãn điều kiện f x   4 3
1 dx  8x  3x  2020  . Ký hiệu 3 8 M f  (  8x  3)dx
. Hỏi M có bao nhiêu ước nguyên dương ? 3 A. 28 B. 20 C. 30 D. 18
Câu 15. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên đoạn [1;3] thỏa mãn điều kiện 3  f  x  5, x  1;  3 .
Giả sử tồn tại hai số thực a và b sao cho a f 3  f   1  , b x  1; 
3 . Tính giá trị của tổng S a b . A. 16 B. 15 C. 17 D. 8 6 1 1,5
Câu 16. Hàm số f x liên tục trên R thỏa mãn f xdx  4  . Tính tích phân 3 I x f   4 x   1 dx
f 4xdx  . 1 0 0,5 A. 4 B. 0,5 C. 2 D. 1
Câu 17. Cho hàm số f x liên tục, có đạo hàm trên đoạn [2;4] thỏa mãn điều kiện 2x f  x  4x, x  2; 4.
Giả sử tồn tại hai số thực a và b sao cho a f 4  f 2  , b x
 2; 4 . Tính giá trị của tổng S a b . A. 36 B. 40 C. 50 D. 15 2
Câu 18. Cho f x liên tục trên R, có đạo hàm trên đoạn [1;2] và 3 f   3 2  f   1  3 . Tính I f  x 2
. f xdx  . 1 A. 4 B. 0,5 C. 2 D. 1 3
Câu 19. Cho hàm số f x liên tục trên R, có đạo hàm trên [0;3] thỏa mãn f xdx  6  . Tính tích phân 1 1 4
I  (2x 1) f   2 x x  
1 dx  2 f (x  2)dx  . 0 2 A. 12 B. 18 C. 6 D. 2
Câu 20. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên R có 2
f (3x 1)dx  9x  6x 1 
. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
f (x 1)dx f (x)  . A. – 8 B. – 9 C. 2 D. 1  2
Câu 21. Cho hàm số f x liên tục trên R thỏa mãn cos .
x f (sin x)dx  4 
. Tính giá trị của tích phân 0 1 4 I   1 3 x   1 f  4 x  4x   1 dx
f (x  2)dx  . 4 0 3 A. 4 B. 0,5 C. 2 D. 1 5 1
Câu 22. Cho hàm f x liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn f xdx  6a  . Tính xf   2 3x  2dx . 2 0 A. a
B. 0,5a C. 2a D. 4a  4 a 1
Câu 23. Cho hàm f x liên tục trên R thỏa mãn 2
(2 cos x 1) f (sin 2x)dx   . Tính 2
(4x 1) f (2x x) dx  . 2 0 0
A. a B. 0,5a C. 2a D. 4a
_________________________________ 4
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG TỪNG PHẦN, VI PHÂN – A2)
__________________________________________________
Câu 1. Cho f x, g x là các hàm số liên tục trên R và có đạo hàm trên đoạn [1;4] thỏa mãn đồng thời các điều 4 4 kiện f   1 .g  
1  1; f 4.g 4  5; g xf  xdx  2 
. Tính g x. f xdx  . 1 1 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 2. Cho các hàm f x, g x liên tục trên R và có đạo hàm trên đoạn [1;3] thỏa mãn đồng thời các điều kiện 3 3 3 3 f   1 .g  
1  1; f 3.g 3  3; g xf  xdx g xf xdx  4  
. Tính S  3 g xf  xdx  4 g xf xdx   . 1 1 1 1 A. 5 B. 11 C. 12 D. 13 10 3 ln11
Câu 3. Cho hàm số f x liên tục trên R sao cho f xdx  6; f (2x 1)dx  2   . Tính x ( x e f e 1)dx  . 1 1 ln 6 A. 8 B. 2 C. 6 D. 4 8 4 1 π
Câu 4. Hàm số f x liên tục trên R: f xdx  6; f x  4 dx  3  
. Tính 4 f 4xdx  9 sin .
x f (6  cos x)dx   0 0 0  π A. 4 B. 19 C. 75 D. 3 10 2 1
Câu 5. Cho hàm số f x liên tục trên R sao cho
f xdx  6; f x  5 dx  1; f x  7  1    . Tính tích phân 0 0 0 5 10 T
f xdx f xdx   . 0 8 A. 9 B. 6 C. 4 D. 5 8 8
Câu 6. Cho hàm số f x liên tục trên R sao cho (x  3) f (  x)dx  25 
và 33 f (8) 18 f (3)  83 . Tính f (x)dx  . 3 3 8 83 A. 83 B. 38 C. D. 3 3   2    2
Câu 7. Cho hàm số f x liên tục trên R sao cho sin . x f (
x)dx  4; f  3    . Tính cos . x f (x)dx  .  2  0 0 A. 7 B. – 1 C. 4 D. – 2 1
Câu 8. Cho f x liên tục trên R sao cho f (0)  f (1)  1. Tính x
e f (x)  f (  x)dx  . 0 A. 2e B. e – 1 C. 2e + 1 D. e + 1 3 1 9  x
Câu 9. Cho f x liên tục trên R; 3x  
1 f  xdx  2; 10 f 3  f 0  11  . Tính K
f 3xdx f     .  3  0 0 0 A. 10 B. 3 C. – 2 D. 12 1
Câu 10. Cho f x liên tục trên R sao cho f (1)  f (0)  e . Khi đó 2 x 2  (  )  2 x e f x
e f (x) dx    thuộc khoảng 0 A. (14;18) B. (0;4) C. (5;10) D. (10;15) 2 4  x
Câu 11. Cho f x liên tục trên R sao cho  x  
1 f  xdx  14;3 f 2  f 0  10  . Tính f dx    .  2  0 0 A. – 4 B. 3 C. – 8 D. – 2 3 1
Câu 12. Cho f x liên tục trên R sao cho  x  3 f  xdx  6; 2 f 3  f 0  1  . Tính
f 3xdx  . 0 0 A. – 1 B. – 3 C. – 2 D. 2 π π 4  π  4
Câu 13. Cho f x sao cho (tan x 1) f (  x)dx  2  và 2 ff (0)  3 2  
. Tính (tan x 1) f (x)dx  .  4  0 0 5 A. 2 B. 1 C. 3 D. 1,5 3 f (x) 3
Câu 14. Cho f x thỏa mãn
dx  4; f (1)  1; f (3)  3 
. Tính ln(3x 1) f (  x)dx  . 3x 1 1 1 A. 8ln2 – 12 B. 8ln2 C. 6ln2 – 12 D. 2ln8 + 4 4 3 2  x 1
Câu 15. Cho f x thỏa mãn 2x 1. f (  x)dx  5 
và 3 f (4)  f (0)  4 . Tính f dx    . 2 0 1   A. 2 B. 1 C. – 1 D. – 2 1 1
Câu 16. Cho f x liên tục trên R;  2
x  4 f  xdx  1; 5 f  
1  4 f 0  3 . Tính K f ( x) dx  . 0 0 A. 1 B. 0,5 C. – 2 D. 2 1 1
Câu 17. Cho f x liên tục trên R;  3
x  4x  5 f  xdx  8; 2 f  
1  f 0  8 . Tính 2
Q  (3x  4) f xdx  . 0 0 A. 14 B. 32 C. 69 D. 21 4 4 f x
Câu 18. Cho f x liên tục trên R sao cho  x  
1 f  xdx  1; 3 f 4  2 f   1  10 . Tính Z dx  . x 1 1 A. 18 B. 13 C. 41 D. 23 4
Câu 19. Cho f x liên tục trên R sao cho 2 ( x e
 4 x ) f  x 8 2
dx  1; (e  8) f (4)  (e  4) f (0)  3  . 1 4 x 1 Tính tích phân 2 (e  ) f (x)dx  . x 1 A. 1 B. 0,5 C. 2 D. 3 12
Câu 20. Cho f x liên tục trên R sao cho  x  2x 1 f xdx  4; 17 f 12  f 0 10 . 0 12  1  Tính tích phân I  1 f     xdx .  2x 1 0  A. 18 B. 6 C. 41 D. 23 2 2
Câu 21. Cho f x liên tục trên R; 2
(x 1) f xdx  3; f (2)  4e  . Khi đó 3 (x 1) f (  x)dx  thuộc khoảng 1 1 A. (0;1) B. (1;2)
C. (3;5) D. (6;10) 2 2
Câu 22. Hàm số f x thỏa mãn f x 3
d (x  2x)  5;
8 f 2  3 f   1  5  . Tính  3
x  2x  4 f  xdx . 1 1 A. 3 B. 2 C. 4 D. 0
Câu 23. Cho f x liên tục và có đạo hàm trên đoạn [1;4] thỏa mãn điều kiện x f  x  3 x 1, x  1; 4 .
Giả sử tồn tại hai số thực a và b sao cho a f 4  f   1  , b x
 1; 4. Tính giá trị của tổng S a b . 65 65 2 A. B. C. 5 D. 3 4 3
__________________________________________ 6
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG TỪNG PHẦN, VI PHÂN – A3)
__________________________________________________ π π 2 2  π  2
Câu 1. Hàm số y f x thỏa mãn 2 x sin 2 . x f (  x )  4  và ff (0)  12 2   . Tính cos 2 . x f (x )  . 4 0   0 A. 4 B. 2 C. 6 D. 3 5 2
Câu 2. Hàm số y f x thỏa mãn f (x)  4; f (5)  3; f (2)  2  . Tính 3 2 x f (  x 1)dx  . 2 1 A. 3 B. 4 C. 1 D. 6
Câu 3. Hàm số y f x thỏa mãn 2017 2018 (  )  2018 ( )  2018. x f x f x x e . Tính f (1). A. 2019 2018 e B. 2018 2018 e C. 2017 2018 e D. 2018 2018 e
Câu 4. Cho hàm số liên tục f (x) và g (x) có nguyên hàm tương ứng là F (x) và G (x) trên đoạn [1;2]. 2 67 2
Biết rằng F (1) = 1; F (2) = 4, G (1) = 1,5; G (2) = 2 và
f (x)G(x)dx  
. Tính g(x)F (x)dx  . 12 1 1 11 145 145 11 A. B.  C. D. 12 12 12 12 2  x
Câu 5. Hàm số y f x liên tục trên R thỏa mãn 3
f (x)  f (1 x)  x (1 x) và f (0) = 0. Tính xf dx    .  2  0 A. – 0,1 B. 0,05 C. 0,1 D. – 0,05 1 1
Câu 6. Hàm số y f x liên tục trên R thỏa mãn xf (
 1  x)  f (x)dx   . Tính f (0). 2 0 A. – 1 B. 0,5 C. – 0,5 D. 1 1 4
Câu 7. Hàm số y f x liên tục trên R thỏa mãn f (4) = 1 và xf (4x)dx  1  . Tính 2 x f (  x)dx  . 0 0 A. 15,5 B. – 16 C. 8 D. 14  1 4
Câu 8. Hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn
f xdx  1  . Tính  2 tan x   
1 f tan xdx . 0 0   A. 1 B. – 1 C. D. – 4 4 3 1
Câu 9. Hàm số y f x liên tục trên R thỏa mãn xf (
 2x  4)dx  8; f (2)  2  . Tính f (2x)dx  . 0 2  A. – 5 B. – 10 C. 5 D. 10 2 2
Câu 10. Hàm số y f x liên tục trên [1;2] và (x 1) f (
x)dx a  . Tính f (x)dx
theo a và b biết f (2) = b. 1 1 A. b – a B. a – b C. a + b D. – a – b 1 1 3
Câu 11. Hàm số y f x thỏa mãn (3x 1) f (
x)dx  2019; 4 f (1)  f (0)  2020  . Tính f (3x)dx  . 0 0 1 1 A. 3 B. 1 C. D. 9 3 2 1
Câu 12. Hàm số y f x liên tục trên R thỏa mãn f (2) = 16 và f (x)dx  4  . Tính xf (  2x)dx  . 0 0 A. 13 B. 12 C. 20 D. 7 7   2 2
Câu 13. Hàm số y f x liên tục trên R thỏa mãn sin xf (x)dx f (0)  1  . Tính cos xf (  x)dx  . 0 0 A. 1 B. 0 C. 2 D. – 1      4 4    f (x)
Câu 14. Hàm số y f x liên tục trên 0;  thỏa mãn f  3; dx  1; sin . x tan .
x f (x)dx  2     . 4     4  cos x 0 0  4 Tính sin xf (  x)dx  . 0 3 2 1 3 2 A. 4 B. 6 C. 1  D. 2 2
Câu 15. Hai hàm số y f (x); y g(x) liên tục trên R thỏa mãn (  0). (  2)  0; ( ) (  )  (  2) x f f g x f x x x e . 2
Tính giá trị tích phân g (
x) f (x)dx  . 0 A. – 4 B. e – 2 C. 4 D. 2 – e 2 1
Câu 16. Hàm số y f x liên tục trên R thỏa mãn f (3) = 21 và
f (x 1)dx  9  . Tính xf (3  x)dx  . 1  0 A. 15 B. 12 C. 9 D. 6 2 2
Câu 17. Hàm số y f x liên tục trên R thỏa mãn (x 1) f (  x)dx  9  và f (2) + f (0) = 3. Tính f (x)dx  . 1 0 A. 12 B. – 12 C. – 6 D. 6 1 3 2
Câu 18. Cho f x liên tục trên R sao cho 2x  3 f  xdx  3;3 f 3  f 0  3  . Tính I
f 6xdx  0 0 A. – 1 B. 3 C. 0,5 D. 2 1 1  1 
Câu 19. Cho f x liên tục trên R;  2
x  2x  3 f  xdx  1; 2 f  
1  f 0  1. Tính T f x 2 d x x    .  2  0 0 A. 1 B. 0,5 C. – 2 D. 2 1 1
Câu 20. Cho f x thỏa mãn  2
x  3x  4 f  xdx  1; 2 f  
1  f 0  3 . Tính K  2x  3 f xdx  . 0 0 A. 11 B. 5 C. – 20 D. 21 3 3  1  26 7  1 
Câu 21. Hàm số f x thỏa mãn 2 x f   
xdx  5; f 3  f   1  10 . Tính F  2x f    xdx . 2  x  3 2  x  2 2 A. – 5 B. 5 C. 1 D. 4   2 2
Câu 22. Cho tích phân cos xf sin xdx  8  . Tính sin .
x f cos xdx  . 0 0 A. – 8 B. 4 C. 8 D. 16
___________________________________ 8
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG TỪNG PHẦN, VI PHÂN – A4)
__________________________________________________ 5
Câu 1. Cho hàm số y f x liên tục trên  thỏa mãn f  3 x  3x  
1  2x  3. Tính f xdx  . 1 A. 24,5 B. 30,5 C. 16,5 D. 8,5 ln 9
Câu 2. Hàm số y f x liên tục trên  thỏa mãn 3
f (x  1)  x  2 . Tính ( x ). x f e e dx  0 A. 28 B. 25 C. 15 D. 10 21
Câu 3. Cho hàm số y f x liên tục trên  thỏa mãn f  3
x  3x  7  3x . Tính f xdx  . 11 A. 30,15 B. 12,25 C. 47,25 D. 8,25  2 2 
Câu 4. Hàm số y f x liên tục trên  thỏa mãn f (x sin x)  x . Tính a + b biết f (x)dx   b  . a 0 A. a + b = 9 B. a + b = 3 C. a + b = 6 D. a + b = 5 6
Câu 5. Cho hàm số y f x thỏa mãn f  3
x  5x  x  5. Tính tích phân K  2x  
1 f  xdx  . 0 A. 4,5 B. 3,5 C. 4,25 D. 10 12
Câu 6. Cho hàm số y f x thỏa mãn f  3
x  4x  7  x  4 . Tính tích phân I  4x  3 f  x  . 7 A. 20 B. 83 C. 34 D. 50 2
Câu 7. Hàm số y f x thỏa mãn f  3 2
x x  3x  5  x  3 . Giá trị 2
xf (x 1)dx  gần nhất với 1 A. 2 B.  C. 2 D. 3e 33 37
Câu 8. Hàm số y f x liên tục trên  thỏa mãn f  5 x x   1  x  2 . Tính
f xdx
f x  4 dx   . 1 5 A. 696 B. 200 C. 236 D. 120 e 3 ae b
Câu 9. Hàm số y f x liên tục trên  thỏa mãn x 2 ( ) x f xe
e . Tính a + b biết
f (x)dx   , a và b 9 0 nguyên dương. A. a + b = 9 B. a + b = 7 C. a + b = 10 D. a + b = 12 39
Câu 10. Hàm số y f x liên tục trên  thỏa mãn f  5 x  4x  
1  x 1. Tính x f x dx    . 4 A. 420 B. 846 C. 250 D. 137 8 a
Câu 11. Hàm số y f x thỏa mãn f (x  2x 1)  x 1. Tính a + b biết f (x)dx   với b nguyên tố, a b 2 và b nguyên dương. A. a + b = 73 B. a + b = 19 C. a + b = 45 D. a + b = 32 27  x  3 
Câu 12. Hàm số y f x liên tục trên 1; thỏa mãn f x    x    2 3 1 . Khi đó
f xdx  gần nhất  x 1  7
với giá trị nào sau đây A. 43 B. 28 C. 50 D. 36 4 58
Câu 13. Hàm số y f x liên tục trên  \   0 thỏa mãn 3 f (x
 5)  x  2 . Khi đó f (x)dx  gần nhất x 1 với A. 321 B. 296 C. 184 D. 157 9 5
Câu 14. Cho hàm số y f x thỏa mãn f  3 x  3x  
1  3x  2 . Tính tích phân I xf  xdx  . 1 5 17 33 A. B. C. D. – 1761 4 4 4 2 e a
e (7  a)  7
Câu 15. Cho hàm số y f x thỏa mãn 2 ( x
f e )  x  4 . Biết
f (x)dx   , hỏi a – b gần nhất b 1 giá trị nào ? A. 0 B. 13,8 C. 10,5 D. 11,3 8
Câu 16. Cho hàm số y f x thỏa mãn f  3 x  6x  
1  5x 1. Tính tích phân 4 xf  xdx  . 1 A. 30 B. 85 C. – 20 D. – 17 1
Câu 17. Cho hàm số y f x thỏa mãn f (sin x)  x 1. Tính 2
(4x 1) f (2x x)dx  . 0 A. 0,5 B.  C. 2 D. 0,25 13
Câu 18. Cho hàm số y f x thỏa mãn f  3 2
x x  4x  7  5x  2 . Tính tích phân 12 xf  xdx  . 7 A. 575 B. 830 C. 200 D. 325  1  4
Câu 19. Cho hàm số y f x thỏa mãn (  tan ) x f x x e . Hỏi f (x)dx
gần nhất giá trị nào sau đây 0 A. – 1,57 B. 2,78 C. – 6,24 D. – 5,67 2
Câu 20. Cho hàm số y f x thỏa mãn 3 (  ) x f x
x e . Tính (3x 1) f (  x)dx  . 0 A. e + 10 B. 13 – 4e C. 20 – 5e D. 3e + 4 39
Câu 21. Cho hàm số y f x thỏa mãn 3
f (3x  2x 1)  cos x . Khi đó (x 1) f (  x)dx  gần nhất giá trị nào 2 sau đây ? A. 4,06 B. 1,23 C. – 6,11 D. – 4,75 12
Câu 22. Cho hàm y f x thỏa mãn điều kiện f  3 x x   2 4
7  x  4x  7 . Tính I  15x  
1 f  xdx  . 7 A. 820 B. 701 C. 49 D. 250
Câu 23. Hàm số y f x thỏa mãn 2 2
f (2x  2x 1)  x  cos x . 47 Xét tích phân (2x 1) f (
x)dx a cos5  b cos1 c
. Khi đó a + b + c – 1010 gần nhất giá trị nào ? 1 A. 96 B. 69 C. 821 D. 1993
_________________________________ 10
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG TỪNG PHẦN, VI PHÂN – A5)
__________________________________________________ 2017 2017 e 1  x Câu 1. Cho
f (x)dx  2  . Tính 2
f ln(x 1) dx  . 2 x 1    0 0 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4  1 8 f (tan 2x) Câu 2. Cho
f (x)dx  12  . Tính dx  . 1  4cos 4x 0 0 A. 3 B. 4 C. 5 D. 2 2 1 f ( 3x 1) Câu 3. Cho
f (x)dx  10  . Tính dx  . 3x 1 1 0 20 10 8 40 A. B. C. D. 3 3 3 3  2 12 f (2 tan 3x) Câu 4. Cho
f (x)dx  4  . Tính dx  . 2 cos 3x 0 0 1 2 4 8 A. B. C. D. 3 3 3 3 2 2
Câu 5. Hàm số f (x) liên tục trên [1;2] và  x  
1 f  xdx a  . Tính
f xdx  theo a và f (2). 1 1 A. a – f (2) B. f (2) – a C. a + f (2) D. – f (2) – a  3 e f ln x 2 3
Câu 6. Hàm số f (x) liên tục trên R và
dx  7; f cos x.sin xdx  3  
. Tính  f x  2xdx  . x   1 0 1 A. 12 B. 15 C. 10 D. – 10  1 1 2
Câu 7. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (1) = 1 và f t    . Tính sin 2 .
x f sin xdx  . 3 0 0 1 2 2 4 A. B.  C. D. 3 3 3 3 x f t f x
Câu 8. Tính đạo hàm của hàm số f (x) nếu te dt e  . 0 1 1
A. f  x  x B. f  x 2  x 1
C. f  x 
D. f  x  x 1 x 2 1
Câu 9. Cho (1  2x) f (
x)  3 f (x)  f (0)  2016  . Tính f (2x)dx  . 0 0 A. 4032 B. 1008 C. 0 D. 2016 1 1
Câu 10. Hàm f (x) có đạo hàm trên R thỏa mãn (2x 1) f (
x)dx  10; f (1)  f (0)  8  . Tính f (x)dx  . 0 0 A. 2 B. 1 C. – 1 D. – 2 10 2 9 5  x
Câu 11. Cho f x liên tục trên R sao cho f xdx  10; f 2x   1 dx  3; f dx  3      . Tính M
f 2xdx  .  3  0 1 0 2,5 A. – 1 B. – 2 C. 1,5 D. 4 10 5 5 1
Câu 12. Cho hàm số f x thỏa mãn f xdx  10; f x  
1 dx  9; f x  2 dx  8; f x   1 dx  7     . 0 0 4 0 11 10 Tính T
f xdx  . 7 A. – 14 B. – 12 C. 10 D. 6 1
Câu 13. Hàm số f (x) thỏa mãn f (0) = f (1) = 1 và x
e f x  f  x dx ex b    . Tính 2018 2018 Q ab . 0 A. Q = 8 B. Q = 6 C. Q = 4 D. Q = 2 2 x
Câu 14. Hàm số f (x) liên tục trên 0;  và thỏa mãn
f (t)dt x cos x  . Tính f (4). 0 A. 123 B. 0,75 C. 0,25 D. 1 f ( x)
Câu 15. Hàm số f (x) thỏa mãn 2
t dt x cos x  . Tính f (4). 0 A. – 1 B. 3 12 C. 0,5 D. 2 3 2 2
Câu 16. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;2] và xf (  x)   1 dx f (2)  . Tính f (x)dx  . 0 0 A. 1 B. 2 C. – 1 D. – 2 x Câu 17. Cho hàm số 2 F (x)  sin t dt
với x > 0. Tính F (  x) . 1 sin x 2sin x A. sinx B. C. D. sin x 2 x x 2 x Câu 18. Biết
f t dt x cos x x, x   0  . Tính f (4). 0 A. 1 B. – 0,25 C. – 1 D. 0,25 1 1 1 1
Câu 19. Hai hàm số f (x), g (x) có đạo hàm trên [1;4] và thỏa mãn f  x  .
; g x  . , x x g xx x f x 4
ngoài ra f (1) = 2g(1) = 2. Tính  f (x).g(x)dx  . 1 A. 4ln2 B. 4 C. 2ln2 D. 2 cos x
Câu 20. Hàm f (x) xác định trên  \  
0 và f  x 
; f (2) = a; f (– 6) = b. Tính f (– 2) – f (6). 2 4 2017x  2018x A. 2017a – 2018b B. b – a C. a – b D. – a – b 1
Câu 21. Hàm số f (x) liên tục, tồn tại đạo hàm cấp 2 trên R và  2
x xf  xdx  2,5 . 0 1
Biết rằng f (0) = 0, f (1) = 1,5 và f  
1  5 . Tính f xdx  . 0 A. – 5 B. – 1,5 C. – 1 D. 0,5 2 4
Câu 22. Hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn f (2) = – 2;
f xdx  1  . Tính f
  x dx . 0 0 A. – 10 B. – 5 C. 0 D. – 18
_________________________________ 12
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG TỪNG PHẦN, VI PHÂN – A6)
__________________________________________________ f  xx
Câu 1. Hàm số f (x) liên tục, nhận giá trị dương trên R thỏa mãn f (0) = 1 và  . Khi đó giá trị của f x 2 x 1
biểu thức f 2 2   f   1 thuộc khoảng A. (2;3) B. (7;9) C. (0;1) D. (9;12) 1
Câu 2. Cho hàm số f x 4 3 2
x  4x  2x x 1. Tính tích phân 2
f xf  xdx  . 0 2 2 A. 2 B. – 2 C. D. – 3 3
Câu 3. Hàm số y = f (x) dương có đạo hàm trên 0; 3 thỏa mãn f  x 2
x 1. f x  0 và f   3 3  e .   3 Tính tích phân
ln  f xdx  . 0 7 7 A. 2 3 B. 3 3  C. 3 3  D. 3 3  2 3 3 2 x
Câu 4. Hàm số f (x) liên tục trên 0;  và
f t dt x sin  x  . Tính f (4). 0    1 1 A. f 4  B. f 4  C. f 4  D. f 4  2 4 4 2 1 3  x f x  2  
Câu 5. Hàm số f (x) liên tục trên [0;1] và f  x liên tục trên [0;1], f (1) = 4. Tính x f    x  dx  . 3 0   1 4 A. – 1 B. 1 C. D. 3 3 2 4  x
Câu 6. Hàm số f (x) liên tục trên R và f (2) = 16,
f xdx  4  . Tính xf dx    .  2  0 0 A. 12 B. 112 C. 28 D. 144 3 3  1  8 3  1 
Câu 7. Cho f x liên tục trên R; x f   
xdx  20; f 3  f   1  10 . Tính S  1 f    xdx . 2  x  3 2  x  2 2 A. – 20 B. – 10 C. 15 D. 12
Câu 8. Cho các hàm số f x, g x liên tục trên R, có đạo hàm trên đoạn [1;3] thỏa mãn đồng thời các điều kiện 2 2 3 3     f   1 .g  
1  1; f 3.g 3  3; g
xf  xdx g   
xf xdx  2   .  1   1  3 3
Tính tích phân S  3 g xf  xdx  4 g xf xdx   . 1 1 A. 10 B. 7 C. 6 D. 5 3
Câu 9. Tính g x. f xdx
, trong đó f x, g x là các hàm số liên tục trên R và có đạo hàm trên đoạn [1;3] 1 3
thỏa mãn đồng thời các điều kiện f   1 .g  
1  1; f 3.g 3  3; g xf  xdx  2  . 1 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2 1
Câu 10. Hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (1) = 4, f x   1 dx  3  . Tính 3 x f    2 x dx . 1 0 A. – 0,5 B. 0,5 C. – 1 D. 1 13  9 f x  2 3
Câu 11. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn dx  4  và
f sin xcos xdx  2  . Tính
f xdx  . x 1 0 0 A. 2 B. 6 C. 10 D. 4  4 1 2 x f (x) 1
Câu 12. Hàm f (x) liên tục trên R thỏa mãn
f (tan x)dx  4; dx  2   . Khi đó f (x)dx 2  thuộc khoảng x 1 0 0 0 A. (5;9) B. (3;6) C. (1;4) D. ( 2;5)       1
Câu 13. Hàm số y = f (x) xác định trên khoảng 0;   có f   0  
và đạo hàm cấp hai f  x  . 2  2   4  cos x      
Tính giá trị biểu thức ff     .  3   6    3 2 3 A.   3 B. ln 3  C. D. 6 6 2 3
Câu 14. Hai hàm số f (x), g (x) có đạo hàm trên [1;4] thỏa mãn đồng thời g x  xf  x; f x  xg x , 4
ngoài ra f (1) + g (1) = 4. Tính ( f x  g x)dx  . 1 A. 3ln2 B. 6ln2 C. 4ln2 D. 8ln2 2 x 2
Câu 15. Hàm số y = f (x) liên tục trên R sao cho x 4
f (x)dt e x 1  với mọi x. Tính f (4). 0 A. 4 e + 4 B. 4 4 e C. 4 e + 8 D. 1 1 1
Câu 16. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (1) = 1,
f xdx  = 2. Tính f
  x dx . 0 0 A. 3 B. – 2 C. 1 D. 4 1
Câu 17. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn 2 x f  (
x)dx  12; 2 f (1)  f (  0)  2  . 0 1 Tính
f xdx  . 0 A. 10 B. 14 C. 8 D. 5 3 3
Câu 18. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn f ( x) xf (  x)e
dx  8; f (3)  ln 3  . Tính f ( x) e dx  . 0 0 A. 1 B. 11 C. 8 – ln3 D. 8 + ln3 b
Câu 19. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn xf  (  x)dx  4 
và a, b là các số thực dương. a 2 2 4a 9b Biết rằng f (  a)  2  ; f (
b)  3; f (a)  f (b) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P   . 3a 1 2a  3 23 25 A. B. 2 C. D. 2,5 20 6
_________________________________ 14
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG TỪNG PHẦN, VI PHÂN – A7)
__________________________________________________ x
Câu 1. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R. Biết g(x) là một nguyên hàm của hàm số y  sao 2
x g (x) 2 2 2 x
cho g(x)dx  1; 2g(2)  g(1)  2  . Tính tích phân dx  . 2
x g (x) 1 1 A. 1,5 B. 1 C. 3 D. 2 1 1 1
Câu 2. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn 2
f (1)  0; x f (x)dx   . Tính 3 x f (  x)dx  . 3 0 0 A. 1 B. – 1 C. 3 D. – 3 1 2 x Câu 3. Tính 3 d (x ) 
biết hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R. Biết g(x) là một nguyên 2
4x  9 f (x) 1993 0 2 x 1 4 9 hàm của hàm số
thỏa mãn điều kiện xg(x)  ; g(1)  2  .
4x  9 f (x) 1993 9 4 0 49 5 49 A. 49 B. C. D. 12 7 13     2
Câu 4. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên 0; 2   thỏa mãn
f (x) cos xdx  10; f (0)  3  . 2    0  2 Tính tích phân
f (x)sin 2xdx  . 0 A. – 13 B. 13 C. 7 D – 7  1 2
Câu 5. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn 2
f (2x 1)dx  12;
f (sin x).sin 2xdx  3   . 0 0 3 Tính tích phân f (x)dx  . 0 A. 26 B. 22 C. 27 D. 15
2  f (x)  2 f (x) 1 
Câu 6. Hàm số f (x) thỏa mãn f (1)  1; f (2)  4 . Tính  dx  . 2   x x  1 A. ln4 + 1 B. 4 – ln2 C. ln2 – 0,5 D. ln4 + 0,5 2
Câu 7. Hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn f (
x) ln( f (x))dx  1; f (1)  1, f (2)  1  . 1 Tính f (2). A. 2 B. 3 C. e D. e2 2
Câu 8. Hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên R, f  x  f ( x)  e
2x  3 ; f (0) = ln2. Tính f (x)dx  . 1 A. 6ln2 + 2 B. 6ln2 – 2 C. 6ln2 – 3 D. 6ln2 + 3 2 2 f (  x)
Câu 9. Hàm f (x) có đạo hàm liên tục trên [1;2], f x  0, x  1;2; f (  x)dx  10;  ln 2   . Tính f (2). f (x) 1 1 A. – 10 B. 20 C. 10 D. – 20 3
Câu 10. Hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn 3
f (2x x)  x 1. Tính f (x)dx  . 0 A. 1 B. – 1 C. 0 D. 2 15 8
Câu 11. Hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn 3
f (x x  2)  x . Tính f (x)dx  . 0 A. 7 B. 14 C. 12,75 D. 3104 1 f (  x) 1 f (  x)
Câu 12. Hàm số f (x) thỏa mãn
dx  1; f (1)  2 f (0)  2  . Tính tính phân dx  . x 1 2 (x 1) 0 0 A. 0 B. 3 C. 1 D. – 1 2 1
Câu 13. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
f (x 1)dx  3; f (1)  4  . Tính 3 2 x f (  x )dx  . 1 0 A. – 1 B. 0,5 C. – 0,5 D. 1 1
Câu 14. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn 2 x f  (
x)dx  12; 2 f (1)  f (  1)  2   . 0 1 Tính tích phân f (x)dx  . 0 A. 10 B. 14 C. 8 D. 5 1 3
Câu 15. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn f (3)  1;
xf (3x)dx  1  . Tính 2 x f (  x)dx  . 0 0 25 A. 3 B. 7 C. – 9 D. 3 2 x
Câu 16. Hàm số G (x) thỏa mãn G(x)  cos tdt
với x > 0. Tính G (  x) . 0 A. 2 G (
x)  x cos x B. G (
x)  cos x C. G (
x)  2x cos x D. G (
x)  cos x 1 x
Câu 17. Hàm số G (x) thỏa mãn 2 G(x)  1 t dt  . Khi đó G (  1)  G (
 2) gần nhất giá trị nào ? 1 A. 1,6 B. 2,5 C. 3,8 D. 5,2 x   
Câu 18. Hàm số G (x) thỏa mãn G(x)  t cos(x t)dt  . Tính G  .  2  0 A. – 1 B. 1 C. 0 D. 2 1
Câu 19. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn 2
f (0)  0; f (1)  ; a
xf (x )dx a 1  . 0 1 Tính tích phân (2x 1) f (  x)dx  theo a. 0 3a 1 5a 1 A. – a – 4 B. 2a + 1 C. D. 2 2
Câu 20. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn f (1)  f (1)  0; f (  0)  2018 . 1 Tính tích phân f  (
x).(1 x)dx  . 0 A. 2018 B. – 2018 C. – 1 D. 1
_________________________________ 16
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG TỪNG PHẦN, VI PHÂN – A8)
__________________________________________________ 1 1
Câu 1. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f (5) = 1 và xf (5x)dx  1  . Tính 2 x f (  x)dx  1  . 0 0 A. – 25 B. 15 C. 24,6 D. 23 1
Câu 2. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên liên tục trên (0; ) thỏa mãn f (1)  5; f (0)  1;
f (x)dx  3  . 0 e 1 ln x Tính tích phân . f (  ln x)dx  . x 1 A. e + 1 B. e – 1 C. 6 D. 8 2 4
Câu 3. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f (2)  2
 ; f (x)dx  1  . Tính f (  x )dx  . 0 0 A. – 10 B. – 5 C. 0 D. – 18 2 1
Câu 4. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f (0)  1; f (2)  3;
f (x)dx  3  . Tính xf (  2x)dx  . 0 0 A. 2 B. 0,75 C. 0,25 D. 1 3 1 3
Câu 5. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn 2
f (3)  ; x f (x)dx  5  . Tính 3 x f (  x)dx  . 3 0 0 A. 5 B. 6 C. – 5 D. – 6 2 4
Câu 6. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên  và
xf (x  2)dx  5; f (4)  1  . Tính 2 x f (
x)  4 f (x) dx    . 2  0 A. – 6 B. 4 C. – 10 D. 6 2 f (  x) 1 f (  2x)
Câu 7. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên  và
dx  3; f (2)  2 f (0)  4  . Tính dx  . x  2 2 (x 1) 0 0 A. – 0,5 B. 0 C. – 2 D. 4 3 2
Câu 8. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f (2)  3;
f ( x 1)dx  4  . Tính 2 x f (  x)dx  . 1  0 A. 8 B. 4 C. 10 D. 6 9
Câu 9. Hàm số f (x) liên tục trên  thỏa mãn 2 3 2
x f (x  1)  f (4x  1)  3x  2x . Khi đó f (x)dx  gần nhất 1 giá trị nào ? A. 17,14 B. 20,57 C. 1385,1 D. 2,4 4  4 
Câu 10. Hàm số f (x) liên tục trên  thỏa mãn 2 5 3 f
x f (2x  6)  4x  2x   . Tính f (x)dx  .  x  2 A. 24 B. – 24 C. 9 D. – 9 f (x)
Câu 11. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên (0; ) thỏa mãn f (  x) ln x   2x . Tính f (e). x A. e + 1 B. 2e – 3 C. e2 – 1 D. 2e2 – 7 3  10  x
Câu 12. Hàm số f (x) liên tục trên (0; ) thỏa mãn f ( x  1)  x f  12x   . Tính xf (  x)dx  .  3  2 A. – 84 B. – 155,2 C. – 71,2 D. 50,5 1
Câu 13. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn 2 3 4 2
xf (x )  x f (x )  x  1. Tính f (x)dx  . 0 17 4 16 9 A. 1 B. C. D. 3 9 16 f (3 x ) 6
Câu 14. Hàm số f (x) liên tục trên (0; ) thỏa mãn 2
f (x  2)  x  4x  2 . Tính f (x)dx  . x 3 18 A.  B. – 1,8 C. – 1,2 D. – 0,6 7 11
Câu 15. Hàm số f (x) liên tục trên  thỏa mãn 2 3
(3x 1) f (x x 1)  2 f (2x 1)  x . Tính f (x)dx  . 1 A. 60 B. 1,5 C. 4 D. 5 x
Câu 16. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên (0; ) thỏa mãn
x f (2x 1)  f (2 x 1)  . x  2 3 Tính tích phân f (x)dx  . 1 A. 2 – ln2 B. 2 + ln2 C. 1 – ln2 D. 3 1
Câu 17. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên (0; ) thỏa mãn 2 2 f (x  3) 
f (3x 1)  4x  3x . Khi đó x 7 tích phân xf (  x)dx
gần nhất giá trị nào ? 4 A. 62,26 B. 72,12 C. – 332,8 D. – 2335,3 7
Câu 18. Hàm số f (x) liên tục trên  thỏa mãn 2 3 2
x f (x 1)  f (7x  7)  x  3x . Tính f (x)dx  . 0 A. – 4,55 B. – 2,68 C. – 8,25 D. – 5 1
Câu 19. Hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn 2 2 3 2
f (x)  2xf (x )  3x f (x )  1  x . Tính f (x)dx  . 0     A. B. C. D. 4 24 36 12 2
Câu 20. Hàm số f (x) liên tục trên  và 2 3 4 2
2 f (x  1)  3xf (x 1)  3x  2x  6x  4 . Tính f (x)dx  . 1 A. 1,5 B. 1 C. 2 D. 2,5 0
Câu 21. Hàm số f (x) liên tục trên  thỏa mãn 3 2 10 6
xf (x )  f (1  x )  x x  2x . Tính f (x)dx  . 1  A. – 0,85 B. – 3,25 C. – 1 D. 4,25 1 1 14
Câu 22. Hàm số f (x) liên tục trên ( 2  ; ) và f (2x 1) 
f (3x  8)  x ln(x  2) . Tính f (x)dx  . 3 2 1  10 A. 2,25 B. 3 C. 14,5 D. 3
_________________________________ 18
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM NÂNG CAO – B1)
__________________________________________________
Câu 1. Giả sử hàm số y f x liên tục, đồng biến và nhận giá trị dương trên miền 0;  và thỏa 4 2
mãn điều kiện f 2  ;  f  x   x  2 f x
f 8 nằm trong khoảng nào sau đây ? 9   . Giá trị của   A. (130;150) B. (120;130) C. (200;250) D. (69;96)
Câu 2. Giả sử hàm số y f x liên tục, đồng biến và nhận giá trị dương trên 0;  và thỏa mãn 25 2
điều kiện f   1 
;  f  x   x  3 f x
f 6 nằm trong khoảng nào sau đây ? 4   . Giá trị của   A. (150;160) B. (120;130) C. (180;280) D. (69;96)
Câu 3. Giả sử hàm số y f x liên tục, đồng biến và nhận giá trị dương trên 0;  đồng thời thỏa
mãn điều kiện f  
1  1; f x  f  x 3x 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. 1 < f (5) < 2 B. 2 < f (5) < 3 C. 3 < f (5) < 4 D. 4 < f (5) < 5
Câu 4. Giả sử hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0;  đồng thời thỏa mãn điều kiện
f 2  1; f x  f  x 4x 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. 1 < f (5) < 2 B. 2 < f (5) < 3 C. 3 < f (5) < 4 D. 4 < f (5) < 5
Câu 5. Giả sử hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0;  đồng thời thỏa mãn điều kiện
f 4  1; f x  f  x 6x 1 . Giá trị biểu thức f 6  f 9 nằm trong khoảng nào ? A. (3;4) B. (10;16) C. (6;9) D. (23;32)
Câu 6. Giả sử hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0;  đồng thời thỏa mãn điều kiện f   2  e
xf x   2 2 5 ; 2 x  
1 f  x . Giá trị biểu thức f 6  f 9 nằm trong khoảng nào ? A. (69;96) B. (690;960) C. (200;450) D. (500;650)
Câu 7. Giả sử hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0;  đồng thời thỏa mãn điều kiện f   7
e x   f x  f  x 2 1 ; 2 1
x x  2 . Giá trị f 0,69 nằm trong khoảng nào ? A. (69;96) B. (200;400) C. (400;600) D. (600;800)
Câu 8. Giả sử hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0;  đồng thời thỏa mãn điều kiện f   
f  x 2 2 2 4;
  x f x  
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. f 6  f 9  350 B. f   2 100  100 C. f 10  675 D.   2 f x x
Câu 9. Giả sử hàm số y f x liên tục, đồng biến, nhận giá trị dương trên 0;  và thỏa mãn điều 2  f x  1 kiện f  3   9;    
 1. Mệnh đề nào sau đây đúng ? f x 2 x 1
A. 15  f 9  f 6  16
B. 16  f 9  f 6  17
C. 17  f 9  f 6  18
D. 18  f 9  f 6  19 2 f  x 1
Câu 10. Hàm số y f x liên tục trên 0;  và  f x 2  ; f 2 5  e 1. Khi đó x  2 f x A. 2
1258  f 3  1288 B. 2
1226  f 3  1236 C. 2
1010  f 3  1225 D. 2
1428  f 3  1527
Câu 11. Tính f 4 nếu hàm số y f x liên tục, đồng biến trên 0;  và thỏa mãn điều kiện 1
f x   x  
1 f  x; f 2    5 . ln 3 1 1 1 1 A.   5 B.   5 C.   6 D.   7 ln 5 ln 4 ln 4 ln 4 19 2 1
Câu 12. Giả sử hàm số y f x liên tục trên  và 2
f x. f  x 2  x
x  ; f 2  3. Mệnh đề 3 3 nào sau đây đúng ? A. 3
69  f 4  96 B. 3
87  f 4  120 C. 3
140  f 5  160 D. 3
170  f 5  190
Câu 13. Giả sử hàm số y f x liên tục trên  và 2
f xf  x 3
x x f   3 . ;
1  3 . Giá trị của biểu thức 3 f   3
2  f 3 nằm trong khoảng nào ? A. 3  f   3 140
2  f 3  160 B. 3  f   3 170
2  f 3  190 C. 3  f   3 190
2  f 3  270 D. 3  f   3 300
2  f 3  360
Câu 14. Cho hàm số y f x liên tục và nhận giá trị không âm trên 1; thỏa mãn f   f x  e
f  x 2 2 2 1 0;
  4x  4x  1  
với mọi x thuộc 1; .
Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. 1
  f 4  0
B. 0  f 4  1
C. 1  f 4  2
D. 2  f 4  3
Câu 15. Cho hàm số y f x có đạo hàm, liên tục trên đoạn [1;2] và thỏa mãn f x  0, x  1;2 . 2 2 f  x Biết rằng
f  xdx  10  và dx  ln 2  . Tính f (2). f x 1   1 A. – 20 B. – 10 C. 10 D. 20
Câu 16. Hàm số y f x có đạo hàm, liên tục trên đoạn [– 1;1] và thỏa mãn f x  0, x    đồng
thời f  x  2 f x  0 . Biết rằng f  
1  1, tính f   1 . A. e– 2 B. e3 C. e4 D. 3
Câu 17. Giả sử hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương trên miền 0;  và thỏa mãn đồng thời 1
f  x   x   2 2
3 f x  0 ; f   1 
. Tính P  1 f  
1  f 2  ...  f 2018. 6 1009 2019 3029 4029 A. B. C. D. 2020 2020 2020 2020
Câu 18. Giả sử hàm số y f x có đồ thị (C), liên tục trên miền 0;  và thỏa mãn đồng thời
f x   f    f  x 2 1; 0 0;
x 1  2x f x 1 .
Tính hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2. A. 4 B. 2 C. 1 D. 5
Câu 19. Giả sử hàm số y f x có đồ thị (C), liên tục và đồng biến trên [1;4], đồng thời thỏa mãn
x xf x   f  x 2 3 2  ; f   1    . 2
Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3 gần nhất giá trị nào sau đây ? A. 5,9 B. 4,2 C. 8,3 D. 10,7
_________________________________ 20
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM NÂNG CAO – B2)
__________________________________________________ 1
Câu 1. Hàm số f (x) xác định trên  \   1 thỏa mãn f (  x) 
và f (0) = 2017, f (2) = 2018. x 1 Tính f (3) – f (– 1). A. 1 B. ln2 C. ln4035 D. 4  1  2
Câu 2. Hàm số f (x) xác định trên  \   thỏa mãn f (  x) 
và f (0) = 1. Tính f (– 1) + f (3).  2  2x 1 A. 4 + ln15 B. 3 + ln15 C. 2 + ln15 D. ln15
Câu 3. Hàm số f (x) xác định trên R sao cho f (
x)  2x 1và f (1) = 5. Biết rằng phương trình f (x) = 5 có hai
nghiệm a và b. Tính giá trị biểu thức log a  log b . 2 2 A. 1 B. 2 C. 0 D. 4 1  3  2 
Câu 4. Hàm số f (x) xác định trên  \   thỏa mãn f (  x)  và f (0) = 1, f  2   . Tính f (– 1) + f (3). 3 3x 1  3  A. 3 + 5ln2 B. 5ln2 – 2 C. 4 + 5ln2 D. 2 + 5ln2 2 3x 1
Câu 5. Hàm số f (x) xác định trên  \  
0 thỏa mãn f  x 
và f (– 1) = 0, f (1) = 2. Tính f (– 2) – f (2). 3 x x A. 2 B. 2 + 2ln5 C. 2ln5 – 2 D. – 2 1
Câu 6. Hàm số f (x) xác định trên  \ 0; 
1 thỏa mãn f  x 
;f (– 1) + f (2) = 0 và f (0,5) = 2. x(x 1)  1 
Tính giá trị biểu thức f  2    ff   3 .  4  2 A. ln3 + 2 B. ln1,5 + 2 C. ln  2 D. ln2 + 3 3 1  1 
Câu 7. Hàm số f (x) xác định trên 0;  \  
e thỏa mãn f  x  ; f  ln 6 2  
; f e   3. x(ln x 1) 2  e   1 
Giá trị biểu thức ff    3 e  là  e  A. 3(ln2 + 1) B. 2ln2 C. 3ln2 + 1 D. ln2 + 3 4
Câu 8. Hàm số f (x) xác định trên  \  2  ;  2 thỏa mãn f (  x) 
và f – 3) = 0, f (0) = 1; f (3) = 2. 2 x  4
Tính giá trị biểu thức f (– 4) + f (– 1) + f (4). 3 5 5 A. 3  ln B. 3 + ln3 C. 2  ln D. 2  ln 25 3 3 1 ln 2
Câu 9. Hàm số f (x) xác định trên  \  1  ; 
5 thỏa mãn f  x 
; f (1) = 1; f 7   . 2 x  4x  5 3
Giá trị biểu thức f (0) + f (– 3) gần nhất số nào sau đây ? A. 1,38 B. 0,38 C. 3,31 D. 32,22 1 1
Câu 10. Hàm số f (x) xác định trên  \ 2  ;1 thỏa mãn f (  x)  và f ( 3
 )  f (3)  0; f (0)  . 2 x x  2 3
Tính f (– 4) + f (– 1) – f (4). ln(2e) 1 4 1 8 A. B. 1 + ln80 C. 1 ln 2  ln D. 1 ln 3 3 5 3 5 1  1   1 
Câu 11. Hàm số f (x) xác định trên  \  1   ;1 thỏa mãn f (  1) 
và f (– 3) + f (3) = 0, f   f  2 . 2     x 1  2   2  Tính f (0) + f (4). 3 3 1 3 1 3 A. 2  ln B. 1 ln C. 1 ln D. ln 5 5 2 5 2 5
Câu 12. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn 6
f (x). f (
x)  12x 13 và f (0) = 2. Phương trình f (x) = 3 khi đó có bao nhiêu nghiệm ? 21 A. 2 B. 3 C. 7 D. 1 xx  1 
Câu 13. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (
x)  e e  2; f (0)  5; f ln  0   .  4 
Tính giá trị biểu thức f (– ln16) + f (ln4). A. 15,5 B. 4,5 C. 2,5 D. 2 1
Câu 14. Hàm số f (x) xác định trên  \   0 thỏa mãn f (  x) 
và f (1) = a; f (– 2) = b. Tính f (– 1) + f (2). 3 5 x x A. – a – b B. a – b C. a + b D. b – a
Câu 15. Hàm số f (x) xác định trên  \ 1;  2 thỏa mãn 1  3  45 1  3  f (  x)  và f (3)  f
 ln 6; 2 f (3)  f (0)  ln ; ff (0)  ln 20 . 2     x  3x  2  2  2 2  2 
Giá trị biểu thức 4 f (3)  9 f (0) 1993 gần nhất số nào sau đây ? A. 2019 B. 2015 C. 2018 D. 2020 1
Câu 16. Hàm số f (x) xác định trên  \   0 thỏa mãn f (  x) 
và f (1) = a; f (– 2) = b. Tính f – 1) – f (2). 2 4 x x A. b – a B. a + b C. a – b D. – a – b 1  1   3 
Câu 17. Hàm f (x) xác định trên  \ 0;  2 thỏa mãn f (  x)  và f ( 2) 
f (4)  0; ff  2018 . 2     x  2x  2   2 
Tính f (– 1) + f (1) + f (5). 1 1 9 1 9 1 9 A. ln 5 1009 B. ln 1009 C. ln  2018 D. ln 2 2 5 2 5 2 5 3x 1
Câu 18. Hàm số f (x) xác định trên  \   2  thỏa mãn f (  x) 
và f (0)  1; f ( 4) 
 2 .Tính f (2) + f (– 3). x  2 A. 12 B. ln2 C. ln2 + 10 D. 3 – 20ln2 2x 1
Câu 19. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) 
trên 0;  và F (1) = 0,5. 4 3
x  2x x
Tính giá trị biểu thức S F (1)  F (2)  ...  F (2019) . 2019 2019.2021 1 2019 A. B. C. 2018  D.  2020 2020 2020 2020 1
Câu 20. Hàm số f (x) xác định trên   3
\ e  và thỏa mãn f (x)  và 7 2
f (e )  2 ln 4; f (e )  ln 3. x(ln x  3) Tính 8
f (e )  2 f (e) . 5 2 A. ln B. ln2 C. ln D. 2ln2 9 7 xx 14 5
Câu 21. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn 2 2 f (
x)  e e  2; f (ln 3)  ; f ( ln 2)  . 3 2
Tính giá trị biểu thức f (ln 5)  f ( ln 4) . A. 11,55 B. 12,25 C. 10 D. 14,25
_________________________________ 22
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM NÂNG CAO – B3)
__________________________________________________
Câu 1. Tính f ln 2 khi hàm số y f x xác định và liên tục trên tập số thực đồng thời thỏa mãn x 1
f x  0, x
  ; f  x 2
 e f x, x
  ; f 0  2 1 1 A. 0,25 B. ln2 + 0,5 C. D. 2 ln 2  3 2      
Câu 2. Tính f   khi hàm số y f x liên tục, không âm trên miền 0; 
 và thỏa mãn đồng thời  2   2 
f xf  x 2 .
 cos x 1 f x; f 0  3 . 2 A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 2
Câu 3. Cho y f x liên tục, không âm trên [0;3], thỏa mãn f xf  x 2 .
 2x 1 f x; f 0  0 . Tính f 3 . A. 0 B. 7 C. 1 D. 3 11 f  xx
Câu 4. Giả sử hàm số y f x thỏa mãn điều kiện f x  0, x
   và f 0  1;  . Khi đó f x 2 x 1
giá trị f 2 2   f   1 nằm trong khoảng nào ? A. (2;3) B. (7;9) C. (0;1) D. (9;12) 3
Câu 5. Cho hàm số y f x liên tục trên  và thỏa mãn 2x 1
  f x   f  x ; f 0  1      . 1 Tính tích phân
f xdx  . 0 1 5 1 2 A. B.  C. D.  4 6 3 3
Câu 6. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;4], đồng biến trên đoạn [1;4] và thỏa mãn đẳng 4 2 3
thức x  2xf x   f  x , x    
1;4 . Biết rằng f   1  , tính
f xdx  . 2 1 1186 1174 1222 1201 A. I  B. I  C. I  D. I  45 45 45 45
Câu 7. Cho hàm số y f x có đạo hàm, liên tục trên đoạn [4;8], và thỏa mãn f x  0, x  4;  8 . Biết rằng
f  x 2 8    1 1
 1; f 4  ; f 8   . Tính f 6 . 4     8 2
4  f x   2 5 1 A. 2 B. C. D. 3 8 3 1
Câu 8. Tính tích phân
f xdx
khi hàm số y f x có đạo hàm, đồng biến trên  và thỏa mãn các điều 0 2 kiện 0  1;   x f f
x   e f x   . A. e – 2 B. e – 1 C. e2 – 1 D. e2 – 2
Câu 9. Giả sử hàm số y f x có đồ thị (C), liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn đồng thời các điều kiện
f  x   f  x 2 9
x  9; f 0  9   . Tính f   1  f 0 . 23 1 A. 2  9 ln 2 B.  9ln 2 C. 9 D. 2  9 ln 2 2
Câu 10. Giả sử hàm số y f x , liên tục trên đoạn [0;2] và thỏa mãn đồng thời
f  x   f  x 2 3
 3x  9; f 0  3   .
Tính giá trị biểu thức f 2  f 0 . A. 6  ln 27 B. 16  ln 4 C. 2  5ln 5 D. 4  ln18
Câu 11. Giả sử hàm số y f x , liên tục trên đoạn [0;2] và thỏa mãn đồng thời
f  x   f  x 2 8 2  3x  12  
và f 0  2 .
Tính giá trị biểu thức f 2  f 0 . A. 16  ln 4 B. 3 C. ln 4 D. 2  ln 6 3
Câu 12. Tính tích phân
f xdx
khi hàm số y f x liên tục trên  thỏa mãn điều kiện 1  2 x
f 1 2x  f 1 2x  , x    . 2 x 1   1   A. I  2  B. I  1  C. I   D. I  2 4 2 8 4
Câu 13. Cho hàm số y f x có đạo hàm không âm trên [0;1], f x  0, x  0; 
1 ; f 0  2 và thỏa mãn
f x  f  x 2 4     2 x   3 .
1  1 f x . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. 1,5 < f (1) < 2 B. 3 < f (1) < 3,5 C. 2,5 < f (1) < 3 D. 2 < f (1) < 2,5
Câu 14. Cho hàm số y f x có đạo hàm không âm trên [0;3], f x  0, x  0; 
3 ; f 0  2 và thỏa mãn
f x  f  x 2 4     2 x   3 .
1  8  f x . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. 3
36  f 3  38 B. 3
38  f 3  40 C. 3
40  f 3  43 D. 3
42  f 3  44
Câu 15. Cho y f x có đạo hàm không âm trên 0;  ; f 0  1và thỏa mãn 21 cos 2x 4 9 f x  .    2 3 f   x f x   8   Biết rằng 3 f x 2
a sin x bsin x c với a, b, c là các số nguyên. Tính a + 2b + 3c. A. 10 B. 16 C. 20 D. 14
Câu 16. Cho hàm số y f x liên tục trên 0;  thỏa mãn điều kiện xf  x  f x 3 2  6x x . Biết f  
1  a , tính giá trị của f 4 theo a. A. 2a  126 B. 4a  252 C. 2a  63 D. 3a  26
Câu 16. Cho hàm số y f x liên tục trên thỏa mãn f ( x) 2 f (  x).e
 3(x 1) ; f (2)  2 .
Khi đó f (e) gần nhất giá trị nào sau đây ? A. 1,44 B. 2,43 C. 3,56 D. 4,72 2 f  (  x)
Câu 17. Hàm số f (x) liên tục trên [– 1;1] thỏa mãn 2 4 f (
x)  9x  9  và f (  1)  2 . x
Khi đó f (1)  f (1) gần nhất giá trị nào sau đây ? A. 1,18 B. 4,9 C. 19,93 D. 2,93
_________________________________ 24
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM HÂNG CAO – B4)
__________________________________________________ 2
Câu 1. Cho hàm số f x thỏa mãn  f  x  f  xf  x 4 .
 15x 12x, x    
 và f 0  f 0  1. Giá trị của 2 f   1 bằng A. 8 B. 4,5 C. 10 D. 2,5 2
Câu 2. Cho hàm số f x thỏa mãn  f  x  f  xf  x 2 .
 54x 18x  7, x    
 ; f 0  f 0  1.  1  Giá trị của f    bằng  3  A. 1 B. 7 C. 2 D. 6 2
Câu 3. Cho hàm số f x thỏa mãn  f  x  f  xf  x 2 .
 96x  24x  9, x    
 ; f 0  f 0  1.
Giá trị nhỏ nhất của f x là 1 15 13 A. 1 B. C. D. 6 16 25 2
Câu 4. Cho hàm số f x thỏa mãn  f  x  f  xf  x 2 .
 150x  30x 11, x    
 ; f 0  f 0  1. 2
Giá trị của tích phân  f x  2 dx    là 1 15 69 73 A. 10 B. C. D. 2 5 6 2
Câu 5. Cho hàm số f x thỏa mãn  f  x  f  xf  x 2 .
 24x 12x  3, x    
 ; f 0  f 0  1  . 2 Giá trị của tích phân f x   1 dx  là 1 1 5 2 A. – 2 B.C.D. 3 6 3
Câu 6. Cho hàm số f x thỏa mãn đồng thời
f  x 2
  f  xf  x 6 3 2 .
 28x  20x 12x 1, x    
 ; f 0  f 0  1  .
Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x tại điểm có hoành độ bằng 2 là A. 31 B. 17 C. 22 D. 36 2
Câu 7. Cho hàm số f x thỏa mãn  f  x  f  xf  x 2 .  6x , x    
 ; f 0  f 0  1. Hệ số góc tiếp
tuyến của đồ thị hàm số f x tại điểm có hoành độ bằng 3 gần nhất với giá trị nào đây ? A. 3,42 B. 1,72 C. 2,96 D. 5,86 2
Câu 8. Cho hàm số f x thỏa mãn  f  x  f  x. f  x  1, x    
 ; f 0  f 0  4 . Tồn tại bao
nhiêu số nguyên x thỏa mãn f x  5 . A. 20 B. 13 C. 26 D. 16 2
Câu 9. Cho hàm số f x thỏa mãn  f  x  f  x. f  x  1, x    
 ; f 0  f 0  9 . Tìm giá trị nhỏ 2
nhất của hàm số S
f x  69x  96 . 69 195 113 A. 30 B. C. D. 2 2 2 2 2
Câu 10. Cho hàm số f x thỏa mãn  f  x  f  x. f  x  6x , x    
 ; f 0  f 0  4 . Mệnh đề nào sau đây là đúng ? 2 2 2 2 A. f   1  f 2  22
B. f 6  9
C. f 3  108
D. f 4  2 73 25 2
Câu 11. Cho hàm số f x thỏa mãn  f  x  f  xf  x 4 3 2 .
 15x  20x  6x  6x  2, x      đồng 3
thời f 0  f 0  1. Tính f   1 . A. 4 B. 8 C. 27 D. 10
Câu 12. Cho hàm số f x thỏa mãn đồng thời
f  x 2
  f  xf  x 2 .
 54x 18x  7, x
  ; f 0  f 0  f 0  1    .
Giá trị biểu thức f 6  f 9 bằng A. 320 B. 158 C. 560 D. 494
Câu 13. Cho hàm số f x thỏa mãn đồng thời
f  x 2
  f  xf  x 2 .
 54x  36x 16, x
  ; f 0  f 0  f 0  2    .
Tính tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức K f  x  6x  9 trên miền [1;3]. A. 72 B. 69 C. 56 D. 84
Câu 14. Cho hàm số f x thỏa mãn đồng thời
f  x 2
  f  xf  x 2 .
 54x  36x 16, x
  ; f 0  f 0  f 0  2    .
Ký hiệu A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x  f  x . Tung độ trung điểm I của AB bằng 146 4 5 11 A. B. C.D. 27 9 6 25 10 Câu 15. Tính
f xdx
khi hàm số f x có đạo hàm, liên tục, f x nhận giá trị dương trên [2;10] và 2     2      3 1 f x x f x      . A. 4,5 + ln2 B. 4 + 0,5ln2 C. 3,5 + ln3 D. 3 + 2ln3 2
Câu 16. Cho hàm số f x thỏa mãn  f  x  f  xf  x 2 .
 6x  6x  3, x    
 ; f 0  f 0  1. Giá
trị của f 2 nằm trong khoảng nào ? A. (4;5) B. (6;9) C. (10;17) D. (20;40)
Câu 17. Hàm số f x xác định và liên tục trên R, đồng thời thỏa mãn f x
f 0  1 ; f  x  4xf x ln ef x min   với mọi x thuộc R.
Tính tổng các nghiệm của phương trình   2 ln f x m . A. – m B. – 2 C. m D. 0 f  x
Câu 18. Hàm số f x xác định và liên tục trên R có f x  0, x
  ; f 0  1;
 2  2x . Tìm tất cả f x
các giá trị m để phương trình   m
f x e có đúng một nghiệm thực. A. m = 0 B. m = 1 C. m = – 1 D. Không có m 2 2
Câu 19. Tính f  
1  f 2 khi hàm số f x xác định, liên tục và luôn nhận giá trị dương trên [0;2], đồng thời  f x 2  2
f 0  1; f 0  2 ; f x. f  x 
  f  x   . x 2      A. 20 B. 10 C. 15 D. 25
_________________________________ 26
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM NÂNG CAO – B5)
__________________________________________________ 2
Câu 1. Hàm số y f (x) có đạo hàm, lấy giá trị dương trên (0; ) thỏa mãn 2 f (
x)  xf (x); f (1)  . a  3
Ngoài ra f (2)  0, 25 . Tổng tất cả các giá trị nguyên a thỏa mãn là A. – 14 B. 1 C. 0 D. – 2
Câu 2. Tính giá trị f (2) khi hàm số y f (x) luôn nhận giá trị khác 0 trên (0; ) và thỏa mãn các điều kiện x
f x   f x 2 2 2 2 ( 1) ( )
( ) (x 1); f (1)  2 . A. 0,4 B. – 0 ,4 C. – 2,5 D. 2,5
Câu 3. Hàm số y f (x) thỏa mãn 2 2 2
f (1)  2; f (x)  0; (x 1) f (
x)  f (x).(x 1) với x  0 . Tính f (2) . A. 0,4 B. – 0,4 C. – 2,5 D. 2,5
Câu 4. Hàm số y f (x) thỏa mãn  f x 2 3 ( )
f (x). f  (
x)  4x  2x và f (0)  0 . Tính 2 f (1) . 16 8 A. 2,5 B. 4,5 C. D. 15 15 f ( x 1) 2( x 1  3)
Câu 5. Hàm số y f (x) thỏa mãn dx   C
. Nguyên hàm của hàm số f (2x) là x 1 x  5 x  3 x  3 x  3 x  3 A.  C B.  C C.  C D.  C 2 2(x  4) 2 4(x 1) 2 8(x 1) 2 x  4
Câu 6. Hàm số y f (x) liên tục, không âm trên R thỏa mãn f xf  x 2 .
 2x f (x) 1 và f (0) = 0. Giá trị
lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = f (x) trên đoạn [1;3] là A. M = 20, m = 2 B. M = 4 11 , m = 3 C. M = 20, m = 2 D. M = 3 11 , m = 3 x  cos x
Câu 7. Biết F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) 
. Đồ thị hàm số F (x) có bao nhiêu điểm cực trị 2 x A. Vô số B. 0 C. 1 D. 2 1
Câu 8. Biết F (x) là nguyên hàm của hàm số 2
f (x)  cos x
x 1. Đồ thị hàm số F (x) có bao nhiêu điểm 2 cực trị ? A. Vô số B. 0 C. 1 D. 2 2 cos x 1
Câu 9. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) 
trên (0; ) . Biết giá trị lớn nhất của F (x) 2 x
trên (0; ) bằng 3 . Mệnh đề nào sau đây đúng ?     2  3     5  A. F  3 3  4   B. F    C. F   3   D. F  3  3    6   3  2  3   6  2
Câu 10. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số x 3
f (x)  e (x  4x) . Tìm số cực trị của hàm số 2
F (x x) . A. 6 B. 3 C. 4 D. 5 Câu 11. Biết rằng 2 ( ) ( ) x F x ax bx c e   
là một nguyên hàm của hàm số 2 ( ) (2 5 2) x F x x x e    . Tính giá
trị biểu thức f (F (0)) . 1 A. 3e B. 9e C. 2 20e D.  e Câu 12. Biết rằng x
xe là một nguyên hàm của hàm số f (x) . Khi đó gọi F (x) là nguyên hàm của hàm số (  ). x
f x e thỏa mãn điều kiện F (0) = 1. Tính F (1) . 5  e 7  e A. 3,5 B. C. D. 2,5 2 2 27 1 1
Câu 13. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) 
thỏa mãn F (0)   ln 4 . Tìm tập hợp x e  3 3
nghiệm của phương trình 3
3F (x)  ln(x  3)  2 . A. {2} B. {– 2;2} C. {1;2} D. {– 2;1} 1
Câu 14. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) 
thỏa mãn F (3) = 1, F (1) = 2. Tính F (0) + F (4). x  2 A. 2ln2 + 3 B. 2ln2 + 2 C. 2ln2 + 4 D. 2ln2
Câu 15. Tính giá trị biểu thức f (2) khi hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn
x f x 3   f x  4 6 ( ) 27
( ) 1  0 ; f (1)  0 . A. 1 B. – 1 C. 7 D. – 7 2 10x  7x  2  1  Câu 16. Biết rằng 2
F (x)  (ax bx c) 2x 1 là một nguyên hàm của f (x)  trên ;    . 2x 1  2 
Tính giá trị biểu thức a + b + c. A. 3 B. 0 C. – 6 D. – 2 2
20x  30x  7  3  Câu 17. Biết 2
F (x)  (ax bx c) 2x  3 là một nguyên hàm của f (x)  trên ;    . 2x  3  2 
Tính giá trị biểu thức abc. A. 0 B. 3 C. 4 D. – 8 2 5x  8x  4  1 
Câu 18. Biết rằng F (x) là nguyên hàm của hàm số
trên (0;1) thỏa mãn F  26 . Giá trị nhỏ 2 2   x (x 1)  2 
nhất của hàm số F (x) bằng A. 24 B. 20 C. 25 D. 26  1  Câu 19. Biết
f (x)dx  2x ln(3x 1)  C, x   ;   
 . Mệnh đề nào sau đây đúng ?  3  A.
f (3x)dx  6x ln(9x 1)  C  B.
f (3x)dx  6x ln(3x 1)  C  C.
f (3x)dx  2x ln(9x 1)  C  D.
f (3x)dx  3x ln(9x 1)  C
Câu 20. Hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên – 1;1] thỏa mãn f (x)  0; f (
x)  2 f (x)  0 . Biết f (1) =
1, tính giá trị biểu thức f ( 1  ) . 1 A. B. e3 C. e4 D. 3 2 e
Câu 21. Biết rằng xsinx là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên R và F (x) là một nguyên hàm của hàm số     f (  x)  f (
   x)cos x thỏa mãn điều kiện F(0)  0. Tính F   .  4  A.  B. 0,25 C. 0 D. 0,5  f (x)2 2
Câu 22. Hàm số y f (x) liên tục trên [0;4] thỏa mãn f  (
x). f (x)    f (
x) và thỏa mãn điều 3 (2x 1)
kiện f (x)  0, x
 0;4 . Biết rằng f (
 0)  f (0)  1. Tính f (4). A. e B. 2e C. e3 D. e2 + 1
_________________________________ 28
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM NÂNG CAO – B6)
__________________________________________________ 2
Câu 1. Cho hàm số đa thức y f (x) thỏa mãn 2
f (x)  2xf (
x)  5x  3x và f (1)  2 . Tính 2 x f (x)dx  1 A.10 B. 9,95 C. 7,5 D. 8,25
Câu 2. Cho hàm số f x  0 với mọi x   , f 0  1 và f x  x 1. f  x với mọi x   . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f x  2
B. 2  f x  4
C. f x  6
D. 4  f x  6 Câu 3. Hai hàm số 2  x 2 ( )  (   ) ; ( )  (  3  6) x F x ax bx c e G x x x
e . Tính a + b để F (x) là một nguyên hàm
của G x A.8 B. – 8 C. 6 D. – 6 2 Câu 4. Cho hàm số
f x thỏa mãn xf  x 2  1  x 1
  f x. f   x   
 với mọi x dương. Biết f   1  f   1  1 . Giá trị 2 f 2 bằng A. 2
f 2  2 ln 2  2 . B. 2
f 2  2 ln 2  2 . C. 2
f 2  ln 2 1. D. 2
f 2  ln 2 1 .
Câu 5. Cho hàm số f (x) thỏa mãn 2 3
( f '(x))  f (x). f ' (x)  x  2x, x
  R và f (0)  f '(0)  1. Tính giá trị của 2 T f (2) 43 16 43 26 A. B. C. D. 30 15 15 15
Câu 6. Hai hàm số f x và g x có đạo hàm trên đoạn 1; 4 và thỏa mãn hệ thức  f    1  g   1  4  . g   x   .
x f  x; f x   . x g x  4
Tính I   f x  g x dx    . 1 A. 8ln 2 . B. 3ln 2 . C. 6 ln 2 . D. 4ln 2 . Câu 7. Hàm số
y f x liên tục trên  \0;   1 thỏa mãn điều kiện f   1  2  ln 2 và
xx   f  x  f x 2 1 .
x x . Giá trị f  
2  a bln3, với a , b   . Tính 2 2 a b . 25 9 5 13 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4
Câu 8. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 2; 4 và f  x  0, x  2; 4 . Biết 7
4x f x   f  x 3 3 3   x , x
 2; 4, f 2   
. Giá trị của f 4 bằng 4 40 5 1 20 5 1 20 5 1 40 5 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 4 2 2
Câu 9. Cho hàm số f x thỏa mãn f   1  2 và  2
x   f  x   f x  2 1 x    
1 với mọi x   . Giá trị của f 2 bằng 2 2 5 5 A. B.  C.  D. 5 5 2 2 4 2 3x x 1 1
Câu 10. Cho hàm số f x   0 , f  x 2  f x và f  
1   . Tính f  
1  f 2  ...  f 80 . 2   x 3 3240 6480 6480 3240 A.  . B. . C.  . D. . 6481 6481 6481 6481
Câu 11. Cho hàm số f x thỏa mãn
      ex f x f x , x
   và f 0  2 . Tất cả các nguyên hàm của   2 e x f x là 29
A.   2 ex  ex xC . B.    2 2 e x  ex xC . C.    1 ex xC . D.    1 ex xC .
Câu 12. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên 0;   thỏa mãn 2xf  x  f x  2x x  0;   , f  
1  1. Giá trị của biểu thức f 4 là: 25 25 17 17 A. . B. . C. . D. . 6 3 6 3 Câu 13. Cho hàm số
y f x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện
x f  x 3    f x 4 6 27 1  0 , x        và f  
1  0 . Giá trị của f 2 bằng A. 1. B. 1. C. 7 . D. 7 . Câu 14. Cho hàm số
y f x có đạo hàm liên tục trên
1;  và thỏa mãn
xf x  f x 3 2
.ln x x f x , x
 1;   ; biết f  3 e   3e . Giá trị f 2 thuộc khoảng nào dưới đây?  25   27   23   29  A. 12;   . B. 13;   . C. ;12   . D. 14;   .  2   2   2   2 
Câu 15. Hai hàm số f (x), g(x) liên tục và có nguyên hàm số lần lượt là 2
F (x)  x  2019; F (x)  x  2020 . Khi
đó H (x) của hàm số h(x)  f (x).g(x) thỏa mãn H (1)  3 . Tính H (2). A.11 B. 9 C. 10 D. 6 Câu 16. Biết 2 ( )  (   ) x F x ax
bx c e là một nguyên hàm của hàm số 2 ( )  x x f x e . Tính abc. A.1 B. – 4 C. 5 D. – 3
Câu 17. Hàm số y f (x) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn    2   ( ). x f x f x e   và f (0)  2 .
Khi đó f 2 thuộc khoảng nào A.(12;13) B. (9;10) C. (11;12) D. (13;14) 1 Câu 18. Tính 2 x f (  x)dx
khi hàm số đa thức y f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn điều kiện 0  f x 2 3 2 ( )  f (
x). f (x)  2x  7x  5x 1; f (0)  0 . 5 2 11 A. 3 B. C. D. 6 3 3
Câu 19. Cho hàm số đa thức y f (x) thỏa mãn  f x 2 2 ( )  2 f  (
x). f (x)  8x  8x 1; f (0)  0; f (1)  2 . 1 Khi đó 2 x f (  x )dx
gần nhất giá trị nào sau đây 0 A. 0,9 B. 0,7 C. 0,5 D. 0,4 1
Câu 20. Tính xf (  x  2)dx
khi y f (x) là hàm số đa thức thỏa mãn điều kiện 0
f  x 2 5 3 2 ( )  2 f (
x). f (x)  6x 12x  36x  2 ; x f (0)  0 . A. 11,25 B. 0,75 C. 6,25 D. 15,5 1 2
Câu 21. Hàm số y f (x) có đạo hàm trên [0;2] thỏa mãn f (  x)  ; f (2)  1. Tính 2 f (x)dx 2  . 3 f (x) 1 0 1 14 11 A. 1 B. C. D. 3 15 12 Câu 22. Cho hàm số
y f x liên tục trên  \ 1  ;  0 thỏa mãn f   1  2 ln 2 1 , x x  
1 f  x   x  2 f x  x x  
1 , x   \ 1 
;0 . Biết f 2  a b ln 3, với a , b là hai số hữu tỉ. Tính 2
T a b . 3 21 3 A. T  . B. T  . C. T  . D. T  0 . 16 16 2
_________________________________ 30
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM NÂNG CAO – B7)
__________________________________________________ 4x 1 1
Câu 1. Hàm số y f (x) có đạo hàm trên [0;1] thỏa mãn f (  x)  . Khi đó 3 xf (x)dx 2  gần nhất với 3 f (x)  2 0 A. 0,52 B. 0,19 C. 0,12 D. 1,25
Câu 2. Cho hàm số y f x thỏa mãn f x  0, x
  0 và có đạo hàm f  x liên tục trên khoảng 0;   1
thỏa mãn f  x   x   2 2
1 f x, x   0 và f   1  
. Giá trị của biểu thức f  
1  f 2  ... f 2020 bằng 2 2020 2015 2019 2016 A.  . B.  . C.  . D.  . 2021 2019 2020 2021 1
Câu 3. Hàm số y f x liên tục trên 0;  thỏa mãn xf  x  f x 2 2  3x
x . Biết f   1  . Tính f 4 ? 2 A. 24 . B. 14 . C. 4 . D. 16 .
Câu 4. Cho f (x) là hàm số liên tục trên  thỏa mãn f x  f  x  x, x
   và f 0  1. Tính f   1 . 2 1 e A. . B. . C. e . D. . e e 2 2x  2
Câu 5. Hàm số y f (x) có đạo hàm trên [0;1] thỏa mãn f (  x)  ; f (1)  1. 2 6 f (x) 1 1 Tích phân 2 xf (x)dx
gần nhất với giá trị nào ? 0 A. 0,314 B. 0,968 C. 0,722 D. 0,542    x
Câu 6. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên 0; 
 , thỏa mãn f x  tan .
x f  x  . Biết rằng 3  2  cos x       3 ff
a 3  b ln 3     trong đó ,
a b  . Giá trị của biểu thức P a b bằng  3   6  14 2 7 4 A. B.  C. D.  9 9 9 9
Câu 7. Cho hàm số y f x đồng biến trên 0;  ; y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0;  và 4 2
thỏa mãn f 3 
và  f ' x   x   1 . f xf 8 . 9   . Tính   1 49 A. f 8  49 . B. f 8  256 . C. f 8  . D. f 8  . 16 64
Câu 8. Cho hàm số f x liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện: f 0  2 2, f x  0, x   và
f xf  x   x   2 . 2 1
1 f x, x  . Khi đó giá trị f   1 bằng A. 26 . B. 24 . C. 15 . D. 23 . 2
Câu 9. Hàm số f x thỏa mãn  f  x  f xf  x 2 .
 2x x  1   , x
   và f 0  f 0  3. Tính  f   2 1    19 A. 28 . B. 22 . C. . D. 10 . 2 3 2 f x x  2x
Câu 10. Hàm số f x có đạo hàm trên thỏa mãn 3 f  x   1 .e 
 0 với x   . Biết f 0  1, 2 f x 7 tính tích phân .
x f x dx  . 0 11 15 45 9 A. . B. . C. . D. . 2 4 8 2
Câu 11. Hàm số f (x) thỏa mãn f (1)  4 và 3 2
f (x)  xf (
x)  2x  3x với mọi x  0 . Giá trị của f (2) bằng A. 5 . B. 10 . C. 20 . D. 15 . 31
Câu 12. Cho hàm số y f x liên tục trên  \ 0;  
1 thỏa mãn điều kiện f   1  2 ln 2 và
x x   f  x  f x 2 1 .
x x . Giá trị f 2  a b ln 3 , với a,b   . Tính 2 2 a b . 25 9 5 13 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4
Câu 13. Cho hàm số f x đồng biến có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn 0; 2 và thỏa mãn  f x 2
  f xf  x   f  x 2 .   0    
. Biết f 0  1, f   6
2  e . Khi đó f   1 bằng 3 5 A. 2 e . B. 3 e . C. 2 e . D. 2 e . 2
Câu 14. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số    x f x e  3
x  4x . Hàm số F  2
x x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 6 . B. 5 . C. 3 . D. 4 . 2cos x 1
Câu 15. Cho hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số f x 
trên khoảng 0;  . Biết rằng giá 2 sin x
trị lớn nhất của F x trên khoảng 0;  là 3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.     2  3     5  A. F  3 3  4   B. F    C. F   3   D. F  3  3    6   3  2  3   6 
x cos x  sin x
Câu 16. Biết F x là nguyên hàm của hàm số f x 
. Hỏi đồ thị của hàm số y F x có bao 2 x
nhiêu điểm cực trị trên khoảng 0; 4  ? A. 2 . B. 1. C. 3. D. 0 .  3 8 3 f ( x ) 2 2 f (x )
Câu 17. Cho hàm số f (x) liên tục trên  thỏa mãn 2 tan .
x f (cos x)dx  dx  6   . Tính d  x x x 0 1 1 2 A. 4 . B. 6 . C. 7 . D. 10 . 1 1 1 2
Câu 18. Hàm số y f x liên tục trên đoạn 0; 
1 , thỏa mãn f x dx xf x dx  1  
và  f x  dx  4    . 0 0 0 1 3
Giá trị của tích phân  f x dx    bằng 0 A. 1. B. 8. C. 10 . D. 80 .
Câu 19. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn f x  0 khi x1,  2 . Biết 2 2 f '  x
f ' xdx  10  và dx  ln 2  . Tính f   2 . f x 1   1 A. f   2  1  0. B. f   2  20. C. f   2 10 . D. f   2  2  0. 1 2 3 7 13 Câu 20. Hàm số   2
f x a x bx c thỏa mãn
f x dx   ,
f x dx  2,  
f x dx  
a,b,c   . 2 2 0 0 0
Tính giá trị của biểu thức P a b c 3 4 3 3 A. P   . B. P   . C. P  . D. P  . 4 3 8 4
Câu 21. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn 2 3 2 .
x f (x). f '(x)  4 f (x)  3x ,x   và có 2
f (2)  1. Tích phân 3 f (x)dx  có giá trị là : 0 3 4 A. B. . C. 2 . D. 4 . 2 3 
Câu 22. Cho hàm số f (x) có f (0)  1 và '( )  2ex f x sin x , x    . Khi đó  x e f (x)dx  bằng 0 A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 1. 32
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM NÂNG CAO – B8)
__________________________________________________     2     2  
Câu 1. Cho hàm số f x xác định trên 0; 2  thỏa mãn
f x   2 2 f x  sin x  d x  . Tích 2        4     2 0   2 phân
f x d x  bằng 0   A. . B. 0. C. 1. D. . 4 2
Câu 2. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 đồng thời thỏa mãn f  0  9 và
f   x   f  x 2 9  x  9  
. Tính T f 1  f 0 . 1
A. T  2  9 ln 2 . B. T  9 . C. T   9 ln 2 .
D. T  2  9 ln 2 . 2 4
Câu 3. Cho hàm số y f x thỏa mãn f 2   và   3 2 f
x x f xx
   . Giá trị của f   1 bằng 19 2 1 3 A.  . B.  . C. 1  . D.  . 3 2 4
Câu 4. Cho hàm số y f x liên tục trên  \ 1  ; 
0 thỏa mãn điều kiện: f   1  2  ln 2 và
x x   f  x  f x 2 . 1 .
x x . Biết f 2  a  .
b ln 3 ( a , b  ). Giá trị  2 2
2 a b  là 27 3 9 A. . B. 9 . C. . D. . 4 4 2
Câu 5. Cho hs y f x thỏa mãn 2
y  xy và f  
1  1 thì giá trị f 2 là A. 2 e . B. 2e . C. e 1. D. 3 e .
Câu 6. Cho hàm số y f x liên tục và không âm trên  thỏa mãn f xf  x 2 .
 2x f x 1 và f 0  0.
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên đoạn 1;  3 . Biết rằng giá trị
của biểu thức P  2M m có dạng a 11  b 3  c , a ,b , c  . Tính a b c
A. a b c  7 .
B. a b c  4 .
C. a b c  6 .
D. a b c  5 .
Câu 7. Cho hàm số y f x liên tục trên 0;   2 2 thỏa mãn 3 .
x f x  x . f  x  2 f x , với 1
f x  0, x
 0;   và f   1 
. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3
y f x trên đoạn 1; 2 . Tính M m . 9 21 5 7 A. . B. . C. . D. . 10 10 3 3  2
1 cos xsin x  cot x
Câu 8. Cho F x  dx
và S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình 4 sin x   
F x  F   trên khoảng 0;4  . Tổng S thuộc khoảng  2  A. 6 ;9  . B. 2;4  . C. 4 ;6  . D. 0;2  . 2x  1
Câu 9. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f x 
trên khoảng 0; thỏa mãn 4 3 2
x  2x x 1 F   1 
. Giá trị của biểu thức S F  
1  F 2  F 3    F 2019 bằng 2 2019 2019.2021 1 2019 A. . B. . C. 2018 . D.  . 2020 2020 2020 2020 2x  3dx 1 Câu 10. Giả sử    
C ( C là hằng số). x x  
1  x  2 x  3 1 g x33
Tính tổng các nghiệm của phương trình g x  0 . A. 1  . B. 1. C. 3 . D. 3 .
Câu 11. Biết hàm số   (1 ) x f x x x e   có một nguyên hàm    2  x F x ax bx c e    . Tính A = 2a + b + 3c. A. A = 3 B. A = 8 C. A = 9 D. A = 6
Câu 12. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và      2 x f x
f x x e 1với mọi x, f (0) = – 1. Tính f (3). A. 3 6e  3 B. 2 6e  2 C. 2 3e 1 D. 3 9e 1 1
Câu 13. Cho hàm số f x xác định trên R \  1  ; 
1 thỏa mãn f ' x 
. Biết f 3  f  3    4 và 2 x 1  1   1   ff  2    
. Giá trị của biểu thức f  5
   f 0  f 2 bằng  3   3  1 1 1 1 A. 5  ln 2 . B. 6  ln 2 . C. 5  ln 2 . D. 6  ln 2 . 2 2 2 2 1   
Câu 14. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x  . Biết F
k  k với mọi k  . Tính 2   cos x  4 
F 0  F    F  
   ... F 10  . A. 55. B. 44. C. 45. D. 0. 3
x 4  f x
Câu 15. Cho hàm số f x liên tục, không âm trên 0; 2, thỏa f x 
với mọi x  0; 2 và 2 f x
f 0  0. Giá trị của f 2 bằng A. 11 . B. 3 121 . C. 21 . D. 3 21 .
Câu 16. Cho hàm số f x liên tục trên  . Biết 3
sin x là một nguyên hàm của hàm số f x cos x , họ tất cả
các nguyên hàm của hàm số f  xsin x là A. 3 4 sin x C . B. 3 3sin x C . C. 3
2 sin x C . D. 3 2 sin x C . 4
Câu 17. Cho hàm số f x có f 0 
và f xf x   3 x x 2 ' . 2 x 1, x    . Khi đó, 2 f  3 bằng 15 272 136 68 34 A. . B. . C. . D. . 15 15 15 15 tan x
Câu 18. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x 
với a là số thực dương. Biết 2
cos x 1 a cos x         
F 0  2, F  3   . Tính FF     .  4   3   6  5  21 3 5  21 21  3 5 21  5 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 19. Cho hàm số y f x liên tục trên , thỏa mãn   x f   x  xf  x 
xx  5 2 2 1 25 1 và
f 0  5; f 0  1. Giá trị của f  3  f  3 bằng A. 3126 . B. 724. . C. 1. . D. 194.
Câu 20. Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên  \   0 thỏa mãn: 2 2 .
x f '(x)  x . f (x)  (2x 1). f (x) 1 với  1  x    \  
0 đồng thời f (1)  2 . Tính f   .  2  A.5 B. – 6 C. 1 D. – 2
Câu 21. Cho hàm số xác định và liên tục trên  \   0 và thỏa mãn 2 2
x f x  2x  
1 f x  xf  x 1 vợi mọi f   1  2  2 x   \   0 và . Tính
f x x  d . 1 1 ln 2 3 3 ln 2 A.   ln 2 . B. 1 . C.   ln 2 . D.   2 2 2 2 2 34
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ, DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN MAX, HÀM SỐ CHẴN LẺ – C1)
__________________________________________________ 8 9 2
Câu 1. Cho hàm số y f x liên tục trên [0;9] và f xdx  5; f xdx  4   . Tính f
  4x 1dx 0 0 2  A. 6 B. 21 C. 4 D. 2 1 2 2
Câu 2. Cho hàm số y f x liên tục trên R thỏa mãn f (2x)dx  2; f (6x)dx  14   . Tính f
 5 x  2dx. 0 0 2  A. 30 B. 32 C. 34 D. 36 77 5
Câu 3. Cho hàm số y f x liên tục trên [0;20] và thỏa mãn
f xdx  4; f xdx  20   . Tính tích phân 0 0 6  x  3 f
 2x  6x  5 dx. 6  A. 24 B. 30 C. 10 D. 8 29 29 3
Câu 4. Cho hàm số y f x liên tục trên [0;29] và
f xdx  20; f xdx  10   . Tính f
  8x  5 dx . 0 19 3  17 15 A. B. 4 C. D. 2 2 4 2 Câu 5. Tính T = min 2 ; x x    x dx . 2  4 A. T = 1 B. T = 2 C. T = 4 D. T =  3 4
Câu 6. Tính L  min   2 ; x x  2  x dx . 2 A. L = 3 B. L = 1 C. L = 1,5 D. L = 2 2 4 1
Câu 7. Cho hàm số y f x liên tục trên R thỏa mãn f xdx  1; f xdx  3   . Tính f
  3x 1dx . 0 0 1  4 A. 4 B. 2 C. 1 D. 3 0 1 ln 3
Câu 8. Hàm số y f x liên tục trên R thỏa mãn
f xdx  1; f xdx  6   x x . Tính
e f ( e  2 )dx  . 1  0 0 A. 5 B. 4 C. 2,5 D. 2 20 2
Câu 9. Cho hàm số y f x liên tục trên [0;20] và thỏa mãn
f xdx  5; f xdx  10   . Tính tích phân 0 0 3 2x  3 f
 2x 3x  2 dx . 3  A. 10 B. 2 C. 5 D. 12 1 3 1
Câu 10. Cho hàm số y f x liên tục trên R thỏa mãn f xdx  4; f xdx  6   . Tính f
  2x 1dx . 0 0 1  A. 3 B. 5 C. 6 D. 4 9 f ( x) Câu 11. Tính dx
biết rằng hàm số y f x liên tục trên R thỏa mãn x 1 0 0 x f   1 2
3x 1  x dx f   2
3x 1  x dx  2 . 2  3 1  3x 1 1  A. 10 B. 12 C. 14 D. 8 35  1 2 1 2
Câu 12. Hàm số y f x liên tục trên R và sin .
x f ( 2 cos x 1)dx  2;
f (x)dx a;
f (x)dx b    0 1 0 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
S b  2a . A. – 9 B. 7 C. – 6 D. 3 41 37 3
Câu 13. Cho hàm số y f x liên tục trên [0;41] và
f xdx  13; f xdx  26   . Tính f
 13x  2 dx . 0 0 3  2 10 A. B. 3 C. D. 2 7 7  2
Câu 14. Cho hàm số y f x liên tục trên R thỏa mãn (3cos x  4sin x) f ( 3sin x  4 cos x  5 )dx  1  . 0 2 Tính tích phân 2
(x 1) f (x  2x 1)dx  . 1 A. – 2 B. – 4 C. 1 D. – 0,5 1 2 5
Câu 15. Cho hàm số y f x liên tục trên [0;20] và thỏa mãn f xdx  6
 ; f xdx  4   . Tính tích phân 0 0 2 3 2
x  3x  2 3x  2x  3  f   dx  .     x  2 2 2 x 1 3 1   A. 24 B. 30 C. 10 D. 8
Câu 16. Cho hàm số y f x liên tục trên R thỏa mãn 2
f (x)  (x  3) f (x)  3x . 2 Giá trị tích phân f   4
x  9  x  2
d (x ) gần nhất số nào sau đây 0 A. 9,6 B. 10,2 C. 11,5 D. 8,3 4
Câu 17. Biết Z  min   3 2 2
x x 12x  2;7x x  
8 dx abc , tính a + b + c. 1 A. 17 B. 21 C. 16 D. 10 2
Câu 18. Tính tích phân I  min ; x x; 2x    1 dx . 1 A. 4 B. 2 C. 5,5 D. 7,5 a a f (x)
Câu 19. Hàm số f x là hàm số chẵn, liên tục trên [– a;a]. Tính
f xdx  theo tích phân M dx  . x b 1 a 0 A. M B. M C. M – 1 D. – M 2 1 f (2x)
Câu 20. Tính tích phân
f xdx
khi f x là hàm số chẵn trên R thỏa mãn dx  8  . 1 5x 0 1  A. 8 B. 2 C. 1 D. 16 4
Câu 21. Tính G  min   3 ; x x  3  x dx . 3 A. G = – 6,75 B. G = 7,25 C. G = 4 D. G = 1,25 1 1 2 1 kx f (kx) 1
Câu 22. Cho tham số dương k thỏa mãn cos . x ln dx 1  dx   . Tính
f xdx  theo k. 1 x 1 xe 1 0 0  2 A. k B. 2k C. 3k D. 4k
_________________________________ 36
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ, GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN MAX, HÀM SỐ CHẴN LẺ – C2)
__________________________________________________ 2
Câu 1. Tính M = max 3 x ;  x dx  . 0 A. M = 4,25 B. M = 3 C. M = 2 D. M = 1 2
Câu 2. Tính I = min 2 x ;  1 dx  . 0 4 A. I = 3 B. I = 5 C. I = 8 D. I = 3 3
Câu 3. Tính Q = max 2 x ;  x dx  . 0 55 11 A. Q = 4 B. Q = 2 C. Q = D. Q = 6 6 3
Câu 4. Tính K = max 4 x ;  x dx  . 0 A. K = 15,5 B. K = 2,6 C. K = 48,9 D. K = 11,2 3 Câu 5. Tính F = min 2 ; x x    3 dx . 2  5 3 13 5 3 13 5 3 13 A. F =  B. F =  C. F =  D. F = 2 3 7 2 6 2 8 2 Câu 6. Tính T = min 2 ; x x    x dx . 2  4 A. T = 1 B. T = 2 C. T = 4 D. T =  3 4
Câu 7. Tính L  min   2 ; x x  2  x dx . 2 A. L = 3 B. L = 1 C. L = 1,5 D. L = 2 4
Câu 8. Tính G  min   3 ; x x  3  x dx . 3 A. G = – 6,75 B. G = 7,25 C. G = 4 D. G = 1,25 5
Câu 9. Tính S  min   4 ; x x  7  x dx . 3 A. S = 3 B. S = 2 C. S = – 1,6 D. S = – 2,25 3
Câu 10. Tính E  min 2 x ; 4x    3 dx . 2  11 19 25 A. E = 1 B. E =  C. E =  D. E =  3 3 4 π 2
Câu 11. Tính P  minsin ; x cos  x dx  . 0 A. P = 1 B. P = 3 2  2 C. P = 2  2 D. P = 4  2 5 2
x  4x  5 
Câu 12. Tính Q  min  ; x  4 dx   . x 1 0   A. Q = 2,5 + ln8 B. Q = 29,5 + ln9 C. Q = 20 + ln3 D. Q = 19 + ln4 37 4  x  7 
Câu 13. Giá trị tích phân T  min  ; 2x 1 dx  
gần số nào nhất trong các số sau ?  x 1  1 A. 10 B. 12 C. 7 D. 19 3 2  x  5 
Câu 14. Giá trị I  min  ; x dx  
gần nhất giá trị nào sau đây ? x  5 0   A. 2 B. 6 C. 10 D. 3 2
Câu 15. Giá trị I  min   3x 1;2 
x dx gần nhất với giá trị nào sau đây ? 0 A. 4,5 B. 3,3 C. 2,7 D. 7,1 3 a
Câu 16. Biết I  min 8x 1;3  x dx  ; a,b  
 và phân số đạt tối giản. Tính a + b. b 0 A. 40 B. 16 C. 32 D. 11 1
Câu 17. Tính Z  minx x;3x    1 dx . 0 A. 3 B. 1 C. 2,5 D. 0,5  2 a
Câu 18. Biết I  minsin 2 ; x cos  x dx  ; a,b  
 và phân số đạt tối giản. Tính 5a + 4b. b 0 A. 31 B. 40 C. 20 D. 16 2 1 
Câu 19. Tích phân K max  1;2x dx  
gần nhất giá trị nào sau đây ?  x 1  2 A. 30 B. 6 C. 4 D. 9 ln 4 Câu 20. Tích phân    2x  2;3 x K max e
e dx gần nhất với giá trị nào sau đây ? 1 ln 2 A. 14,17 B. 12,14 C. 19,69 D. 20,72 2
Câu 21. Tính tích phân I max ;
x x  2; x   3 dx  . 1 A. 6 B. 3,5 C. 4,5 D. 1 4
Câu 22. Biết Z  min   3 2 2
x x 12x  2;7x x  
8 dx abc , tính a + b + c. 1 A. 17 B. 21 C. 16 D. 10 2
Câu 23. Tính tích phân I  min ; x x; 2x    1 dx . 1 A. 4 B. 2 C. 5,5 D. 7,5 2
Câu 24. Giá trị I  min   4 2 8x ; 2x ; 
x dx gần nhất giá trị nào sau đây ? 1 A. 40,5 B. 49,6 C. 69,6 D. 24,5 0 2 6
Câu 25. Hàm số f x là hàm số lẻ, liên tục trên [– 6;6] và
f xdx  6; f  3
xdx  3   . Tính
f xdx  . 3  1 0 A. – 6 B. 2 C. 3 D. – 3 2 1 2 .x f (2x)
Câu 26. Tính tích phân
f xdx
khi f x là hàm số chẵn trên R thỏa mãn dx  9  . 2x 18x 0 1  A. 4,5 B. 9 C. 1 D. 18
_________________________________ 38
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ, DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN MAX, HÀM SỐ CHẴN LẺ – C3)
__________________________________________________ 1
Câu 1. Cho hàm số y f (x) thỏa mãn f (
x)  x  , x
  0; f (1)  1. Giá trị nhỏ nhất của f (2) là x A. 2,5 + ln2 B. 2 + 2ln2 C. 3 – ln2 D. 3ln2 – 1
Câu 2. Với tham số m thuộc [0;3], tính a + b khi a, b lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tích phân 2m 3 2 2 3 S
x  4mx  5m x  2m dx  . m 41 A. 1 B. 2 C. 5,25 D. 6 b
Câu 3. Cho a + b = ab + 4 và a < b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
(x a) (x b) dx  . a 64 49 A. 12 B. 0 C. D. 3 3 b Câu 4. Cho 2 2 2 2
(a b)  (a b )  4 và a < b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2
x  (a b)x ab dx  . a 16 19 3 4 A. B. C. D. 9 6 4 3 1
Câu 5. Hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên [– 1;1] thỏa mãn 2 f (x)  1;
f (x)dx  0  . Khi đó giá trị nhỏ 1  1 nhất của tích phân 2 x f (x)dx  là 1  2 A. – 0,5 B. – 0,25 C. – 1 D.  3 2 x e
Câu 6. Gọi a, b là hai điểm cực đại và cực tiểu của hàm số f (x) 
(t ln t)dt  . Tính a + b. x e A. ln2 + 1 B. ln2 C. – ln2 D. 0 m
Câu 7. Cho f x liên tục trên R và có đạo hàm trên đoạn [0;m]. Giá trị lớn nhất của I   2
1 5x  3x dx gần 0
nhất với giá trị nào ? A. – 87 B. – 96 C. 0 D. – 69 2018
Câu 8. Hàm số y = f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn af b  bf a 
với mọi a, b thuộc [0;1]. Tìm giá trị  1
lớn nhất của tích phân
f xdx  . 0 1009 2018 A. 1009 B. C. D. 504,5   x 1 
Câu 9. Đoạn [m;n] gồm tất cả các giá trị a để
t  2(a 1) dt  1   
nghiệm đúng với mọi x. Tính n – m. 2    0 A. 1 B. 2 C. 1,5 D. 2,5 e k
Câu 10. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên dương k sao cho ln dx e  2  . x 1 A. 4 B. 5 C. 3 D. 7 x
Câu 11. Tính tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình  2
3t  8t  4dt xx  0 . 0 39 A. 6 B. 4 C. 7 D. 5
Câu 12. Hàm số f (x) có đạo hàm trên 1; thỏa mãn f (1) = 1, f   2
1  3x  2x  5 trên 1; . Tìm số
nguyên dương lớn nhất m sao cho min f (x)  m với mọi hàm số số f (x) thỏa mãn đề bài. 3;10 A. m = 15 B. m = 20 C. m = 25 D. m = 30 m
Câu 13. Hàm số f x liên tục trên R có đạo hàm trên đoạn [0;m]. Giá trị lớn nhất của I   2
5x  3x dx nằm 0
trong khoảng giá trị nào ? A. (2;3) B. (4;5) C. (0;1) D. (10;14)
Câu 14. Hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên đoạn [2;4] thỏa mãn điều kiện x f  x  3x 1, x  2; 4 .
Giả sử tồn tại hai số thực a và b sao cho a f 4  f 2  b, x
 2; 4 . Tính giá trị của tổng S a b . A. 26 B. 27 C. 28 D. 29 3
Câu 15. Hàm f (x) liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn f (0)  f (3)  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của f (  x)dx  . 0 A. – 1 B. – 3 C. – 2 D. 0 x
Câu 16. Tìm giá trị lớn nhất của 2
G(x)  (t t)dt  trên [– 1;1]. 1 5 5 1 A. 2 B.  C. D. 6 6 6 2017x
Câu 17. Biết rằng F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) 
sao cho F (1) = 0. Tìm giá trị nhỏ 2 2018 (x 1) nhất của hàm số F (x). 2017 1 2 2017 1  2 A. B. 1 C. D. 2 2018 2 2018 2 1
Câu 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 S x ax dx
với a là tham số, a 0;  1 . 0 2  2 2  2 2 1 2 1 A. B. C. D. 6 3 3 6 b
Câu 19. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 I x  (2  ) m x  2 dx
trong đó a, b là hai nghiệm của phương a trình 2
x  (2  m)x  2  0 , trong đó a < b. 8 2 128 A. 8 B. C. D. 2 2 3 9 1
Câu 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 S x ax dx
với a là tham số, a 0;  1 . 0 2  2 2  2 A. 0,25 B. 0,125 C. D. 8 6 3 1 f (3x)
Câu 21. Tính tích phân
f xdx
khi f x là hàm số chẵn trên R thỏa mãn dx  2  . 1 8x 0 1  A. 3 B. 2 C. 1 D. 6 1 1 f (x)
Câu 22. Hàm số f x là hàm số chẵn liên tục trên [– 1;1] và
f xdx  2  . Tính dx  . 1 xe 1  1  A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 8 2 f (4x)
Câu 23. Hàm số f x là hàm số chẵn trên [– 2;2] và
f xdx  16  . Tính dx  . 1 x   8  2  A. 10 B. 8 C. 12 D. 6 40
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ, DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN MAX, HÀM SỐ CHẴN LẺ – C4)
__________________________________________________
Câu 1. Cho hàm số y f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn f x f  2 ( ) (1 
x )   1. Tìm giá trị lớn nhất của tích 1 phân (1 
x ). f (x)dx  . 0  1  A. 0,125 B. C. D. 12 6 6 m
Câu 2. Cho hai số thực a, b thỏa mãn 0  a b  1. Tính m + n trong đó
là giá trị lớn nhất (dạng phân số tối n b giản) của biểu thức 2 f ( ;
a b)  (2  x  3x )dx  . a A. 49 B. 71 C. 67 D. 179
Câu 3. A là tập hợp các hàm số f liên tục trên [0;1] và nhận giá trị không âm trên [0;1]. Xác định số thực c nhỏ 1 1 nhất sao cho 2018 f (
x )dx c f (x)dx   với mọi f thuộc A. 0 0 1 A. 2018 B. 1 C. D. 2018 2018 2 2m 2 a
Câu 4. Biết giá trị nhỏ nhất của 2 2 3 S
x  2(m m 1)x  4m m dx  là phân số tối giản . Tính a + b. b 2m A. 7 B. 337 C. 25 D. 91
Câu 5. Với m là tham số thực thuộc [1;3]. Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2m 2 2 P
(x  2m) (x m) dx  . m 122 121 A. 31 B. 36 C. D. 15 4
Câu 6. Hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f (x)  f (
x)  1 và f (0)  0 . Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức f (1) . e 1 2e 1 A. B. C. e – 1 D. 2e – 1 e e
Câu 7. Hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn 2018
3 f (x)  xf (  x)  x
. Tìm giá trị nhỏ nhất 1 của tích phân f (x)dx  . 0 1 1 1 1 A. B. C. D. 2021.2022 2021.2018 2019.2018 2019.2021 a  3 
Câu 8. Cho a  ; 2  và cos 
x a dx  sin a . Giá trị của 2
a  5a gần nhất giá trị nào ? 2 2    0 A. – 6,25 B. – 2,45 C. – 1,82 D. – 5,61  2 Câu 9. Cho  cosn I xdx
, n nguyên dương và n > 1. Tìm mệnh đề đúng 0 n 1 n  2 n 1 A. I I B. I I C. I I D. I  2I n n 1 nn n 2 nn n 2 nn n2 41  2m   2
Câu 10. Số hữu tỉ dương m thỏa mãn x cos mxdx  
. Hỏi số m thuộc khoảng nào trong các khoảng sau 2 0  7   1   6   5 8  A. ; 2   B. 0;   C. 1;   D. ;    4   4   5   6 7 
Câu 11. Biết rằng với mỗi số thực t không âm thì phương trình 3
x tx  8  0 có nghiệm dương duy nhất 7
x (tính theo t), với x là hàm số liên tục biến t trên nửa khoảng 0; . Tính 2 x dt . 0 0 0    0 343 A. B. 7 C. 15,5 D. Đáp số khác 3 4nm 2 Câu 12. Cho
f (x)dx m  0  . Tính 2
xf (nx m)dx  theo m và n. nm 1 m 3m A. mn B. 2mn C. D. 2n 2n a
Câu 13. Có hai giá trị của số thực a là a , a ( a a ) thỏa mãn (2x  3)dx  0 a a 1 2 2  2  log a a . 1 2 1 2  . Tính 4  1 2  1 A. 6.5 B. 14 C. 20 D. 56 2 2
Câu 14. Phương trình t  log x dt  2log 2  2  có nghiệm là x 0 A. x = 1 B. x > 0 C. x = 1; x = 4 D. x = 1; x = 2 m
Câu 15. Có bao nhiêu số nguyên m < 100 để phương trình 2
(2x 1)dx x  3x  4 
có hai nghiệm phân biệt ? 0 A. 98 B. 96 C. 97 D. 95 2 4
Câu 16. Hỏi a thuộc khoảng nào sau đây thì 2 3
a  (4  4a)x  4x dx  2xdx     . 1 2 A. [1;5) B.  ;  3   C. [– 3;1) D. 5;  2 2
Câu 17. Cho f (x) liên tục trên [0;3] thỏa mãn
f (x)dx  4 
và mx f (x)dx  1   . Tìm m. 1 1 A. m = – 1 B. m = – 2 C. m = 2 D. m = 7
Câu 18. Hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f (
x)  f (x)  0 với mọi x 0  ;1 . 1 1
Tìm giá trị lớn nhất của tích phân dx  . f (x) 0 1 1 1 1 1 1 A. B. C.  D.  f (0) f (1) f (0) f (1) 2 f (0) 2 f (1) t
Câu 19. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (t)  (2 3 cos 2x  2sin 2x)dx  với t > 0. 0 A. 3 3 B. 2 3 C. 3 D. 2 2 3 6
Câu 20. Cho hàm số f x là hàm số chẵn trên [– 6;6] và
f xdx  6; f 2xdx  5   . Tính
f xdx  . 1  1 1  A. 11 B. 17 B. 8 D. 16 6
1 4x. f (6x)
Câu 21. Tính tích phân
f xdx
khi f x là hàm số chẵn trên R thỏa mãn dx  7  . 4x  5x 6  1  A. 84 B. 28 C. 42 D. 14 42
_________________________________
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ, DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN MAX, HÀM SỐ CHẴN LẺ – C5)
__________________________________________________ a 2
Câu 1. Có bao nhiêu số a  0;20  sao cho 5
sin x sin 2xdx   ? 7 0 A. 20 B. 19 C. 9 D. 10 m
Câu 2. Hàm số f x liên tục trên R có đạo hàm trên đoạn [0;m]. Tìm m I   2 3
2x  3x dx đạt giá trị lớn nhất. 0 1 2 A. m  B. m
C. m  1,5 D. m  1 3 3 m
Câu 3. Cho số thực m thỏa mãn
2mx 1 dx  1 
. Tham số m thu được thuộc khoảng nào sau đây 1 A. (4;6) B. (2;4) C. (3;5) D. (1;3) 2 3x 1  3
Câu 4. Tính a + b biết rằng max 
; 2  xdx a bln 
, a và b là số thực dương.  x  2  2 0 A. 0,5 B. 1 C. 0,25 D. 1,5 4 m m Câu 5. Biết rằng 2 3.
x  4x  3 dx  31. mx 1 dx   . Khi đó 2
(2x x)dx  gần nhât với số nào 2  1 1 A. 14 B. 13 C. 17 D. 18 4 m
Câu 6. Biết rằng 72. max   2
x  2x 1; x  
1 dx  83. 2mx  3dx
, giá trị tham số m thu được thuộc khoảng 0 2 nào sau đây A. (2;4) B. (4;7) C. (7;12) D. (12;15) 4 4 ax Câu 7. Biết rằng dx  max    2
x 1; 4x  
2 dx . Giá trị tham số a thu được thuộc khoảng 2x 1 1 0 0 A. (2;4) B. (4;7) C. (7;12) D. (12;15) 1 4 Câu 8. Biết rằng 2 (  ) x x a e dx  max 2 x ; 4x    
3 dx , giá trị a thu được gần nhất với số nào sau đây 0 2 A. – 8,5 B. – 7,7 C. – 2,5 D. – 9,2  6 n 1
Câu 9. Tìm số nguyên dương n sao cho sin x cos xdx   . 64 0 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6  4 2 1  2a sin x
Câu 10. Tính tích phân dx
theo tham số a thu được kết quả là 1 sin 2x 0 a ln 2 a 2 ln a A. a B. C. D. 2 2 2 m
Câu 11. Hàm số f x liên tục trên R có đạo hàm trên [0;m]. Tìm m để I   2
4x  3x dx đạt giá trị lớn nhất. 0 1 3 A. m  B. m
C. m  2 D. m  1 3 4 4 1
Câu 12. Tham số thực âm m thỏa mãn điều kiện 3 2 2
x  2x xdx
x  2x m dx  
. Khi đó giá trị nhỏ nhất 0 0 của 2
f (x)  x  2x m  9 gần nhất với số nào 43 2 5 7 A. B. 1 C. D. 3 6 12 x
Câu 13. Cho hàm số f x    3
4t  8t dt . Biết trên đoạn [0;6] thì m f x  M . Tính M – m. 1 A. 18 B. 12 C. 16 D. 9 1 dx
Câu 14. Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho  0  . 2x k 0 A. k = 3 B. k = 4 C. k = 1 D. k = 2 1 dx
Câu 15. Tìm điều kiện tham số m để I  1với I  ; m  0  . 2x m 0 1 1 1 A. 0  m  B. m > 0,25 C.  m  D. m > 0 4 8 4  2
Câu 16. Đặt I  sinn xdx n
. Mệnh đề nào sau đây đúng ? 0 A. II B. II C. II D. II n 1  n n 1  n n 1  n n 1  n
Câu 17. Hàm số f (x) có đạo hàm f  x liên tục trên R và f  x 1;  1 , x
  0; 2 . Biết f (0) = f (2) = 1. Đặt 2 I
f xdx
, phát biểu nào sau đây đúng ? 0 A. I  0 B. 0  I  1 D. 0 < I < 1 D. I  1 2 m m
Câu 18. Biết rằng x 1  x dx  37  2mx  5 dx   . Tính tích phân x  2 dx  . 0 2 0 A. 7 B. 2 C. 4 D. 6,5 2 2 4
Câu 19. Hàm số f x là hàm số chẵn trên [– 4;4]. Biết
f xdx  16  và
f 2xdx  28  . Tính
f xdx  . 2  1 0 A. 64 B. 30 C. 10 D. 68 4
1 2x. f (4x)
Câu 20. Tính tích phân
f xdx
khi f x là hàm số chẵn trên R thỏa mãn dx  5  . 2x  3x 4  1  A. 40 B. 20 C. 10 D. 5 1 0,5   mx 1 mx 1   Câu 21. Cho e   m dx  2020  2  . Tính e   m dx . mx    2mx   e   e  1  0 A. 2020 B. 2040 C. 1010 D. 4040 2
Câu 22. Hàm số y f (x) có đạo hàm trên R thỏa mãn 4 f (  x)  x
 2x với x  0 và f (1)  1. Mệnh đề 2 x nào sau đây đúng ?
A. Phương trình f (x)  0 có một nghiệm trên (0;1).
B. Phương trình f (x)  0 có đúng ba nghiệm trên (0; ) .
C. Phương trình f (x)  0 có một nghiệm trên (1;2)
D. Phương trình f (x)  0 có một nghiệm trên (2;5). 2
Câu 23. Hàm số y f (x) có đạo hàm trên R thỏa mãn 2 f (  x)  x
 2 với x  0 và 2
f (1)  m  3. 2 x
Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. Phương trình f (x)  0 có một nghiệm trên (0;1).
B. Phương trình f (x)  0 có đúng ba nghiệm trên (0; ) .
C. Phương trình f (x)  0 có một nghiệm trên (1;2)
D. Phương trình f (x)  0 có một nghiệm trên (2;5). 44
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ, DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN MAX, HÀM SỐ CHẴN LẺ – C6)
__________________________________________________ 1 3 1
Câu 1. Cho hàm số f x liên tục trên và f x dx  8; f x dx  10   . Giá trị của f
  2x 1dx bằng 0 0 1  A. 1. B. 1. C. 9. D. 9. a 5
Câu 2. Số thực a > 1 thỏa mãn 1 x dx  1  , tính 2 x dx  . 0 a A.39 B. 25 C. 10 D. 2 m 2
Câu 3. Tham số thực m thỏa mãn 2
(x mx)dx max    3 x ; 
x . Giá trị m thu được gần nhất với 0 0 A.0,4 B. – 3 C. 2,5 D. – 2,5 a
Câu 4. Cho số thực a > 1, tìm giá trị nhỏ nhất của 1 x dx  0 A.0,5 B. 1 C. 0,25 D. 1,5 3 m  10 
Câu 5. Tìm m để x(3  x) dx   f     với 15
f (x)  ln x .  9  0 A.m = 4 B. m = 20 C. m = 5 D. m = 3 a cos x 3
Câu 6. Có bao nhiêu số thực a  2  017; 2017 thỏa mãn dx   1  2017x 2 a A. 641 . B. 642 . C. 1284 . D. 1282 .  4  m cos x
Câu 7. Có bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn dx
4  mcos xdx   ? 1  2017x  0 A. 4 . B. 5 . C. 9 . D. Vô số. b ln 9  x
Câu 8. Hai số thực dương a, b thỏa mãn a b  6 và dx  1  . a
ln 9  x  ln  x  3 bx Tính tích phân x sin dx  2 a 12  12 6  2 A. . B. 0 . C. . D. .    1
Câu 9. Có bao nhiêu số nguyên dương m để 3 2 (2  3  )m x x x dx  0?  0 A. 1. B. 0. C. vô số. D. 2 n
Câu 10. Có bao nhiêu số nguyên dương n để (x 1)(x  2)...(x n)dx  0  . 1 A. 1. B. 0. C. Vô số. D. 2 1
Câu 11. Hàm số y = f (x) luôn nhận giá trị dương và liên tục trên [1;3], max f x  2, min f x  và biểu 1  ;3 1  ;3 2 3 3 1 3 thức S f x . dx dx  
đạt giá trị lớn nhất, tính
f xdx  . f x 1 1   1 A. 3,5 B. 2,5 C. 1,4 D. 0,6 3 10 Câu 12. Cho f   2
x 1dx a . Tính xf (x)dx  theo a. 0 1 A. 2a B. a C. 3a D. a + 2 1 1 a
Câu 13. Biết rằng tham số a 0;  1 thỏa mãn 3 x ax dx   . Tính 2
(x ax)dx  . 8 0 0 45 5 3 9 1 A. B. C. D. 48 11 47 3 3 4 Câu 14. Giá trị maxsin ; x cos x   1 dx
gần nhất với số nào sau đây 0 A.0,2 B. 1 C. 1,5 D. 2,5 b
Câu 15. Tính tổng các giá trị x sao cho 2x  4 dx  5  . 0 A. – 2 B. – 4 C. 2 D. 0 m
Câu 16. Tính tổng các giá trị m để 2x  5 dx  6  . 0 A. – 4 B. – 2 C. – 5 D. 1 4
Câu 17. Tích phân max
 2x 1; xgần nhất giá trị nào 0 A.9,3 B. 8,6 C. 5,2 D. 7,4 m
Câu 18. Tìm m > 0 sao cho 4x ln 2  2x ln 2dx 12. 0 A. m = 4 B. m = 3 C. m = 1 D. m = 2 1 1 1 1
Câu 19. Có bao nhiêu số thực a  1 để dx  ln  ? 2 x a 2 a 2 0 A. 1. B. 2 . C. 0 . D. Vô số. 1 2 1
x x  3 
Câu 20. Biết rằng max  ;1
x   (2x m)dx  2 
, giá trị m thu được gần nhất với 2x x  4 0   0 A.0,2 B. – 0,1 C. – 0,5 D. 0,6 b x b   x
Câu 21. Hai số thực dương a, b thỏa mãn a b  2018 và dx  10  . Tính sin dx    a x  2018  x a  3  3 3 3 3 9 9 A. . B.  . C. . D.  . 2 2 2 2 m m
Câu 22. Cho hàm số y f (x) liên tục trên  . Tập hợp các số thực m thỏa mãn
f (x)dx
f (m x)dx   là 0 0 A. (0; ) . B. ( ;  0) . C.  \ {0} . D.  . 1 dx
Câu 23. Với mọi số thực a , tích phân  bằng 2 (1 x ) 1 axe 1       A. . B. 1 . C. . D. 1 . 4 4 8 8 1 1
Câu 24. Gọi S là tổng các giá trị a thỏa mãn 2 x ax dx   , a 0; 
1 . S gần nhất với số nào 3 0 A.0,86 B. 0,45 C. 0,23 D. 0,14 2m
Câu 25. Với tham số dương m, tính tổng các giá trị m thỏa mãn 3 2 2 3 3
x  4mx  5m x  2m dx mm A.12 B. 1 C. 10 D. 8 b
Câu 26. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 I
x  (3  m)x  4 dx
trong đó a, b là hai nghiệm của phương a trình 2
x  (3  m)x  4 , trong đó a < b. 32 8 2 5 2 A.10 B. C. D. 3 3 3
_________________________________ 46
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ, DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN MAX, HÀM SỐ CHẴN LẺ – C7)
__________________________________________________ 1 1 1 1 Câu 1. Cho
f (x)dx  3;
g(x)dx  1  ;
mf (x)  ng(x)dx 13; 2mf (x)  ng(x)dx  6     . 0 0 0 0 Tính 3m + n. 1 1 A.0,5 B. – 0,5 C.  D. 3 3 1  x 1 
Câu 2. Giá trị của tích phân min  ;1 2 x   gần nhất với 2 0
 2x  2x  5  A.0,7 B. 0,8 C. 0,9 D. 0,4  2 cos x  2 cos x
Câu 3. Tính tích phân x  nếu x m  . 1 3x 1 3x   A.  – m B. 0,25 + m C.  + m D. 0,25 – m          
Câu 4. Hàm số y f x  
 là hàm số chẵn trên đoạn  ; 
 và f x  f x
 sin x  cos x   . Tính  2   2 2   2   2 tích phân
f xdx  . 0 A. 0 B. 1 C. – 1 D. 0,5 b b b Câu 5. Cho
f (x)dx  6;
g(x)dx  5;
mf (x)  ng(x)dx  24   
. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 m  2n . a a a 1152 1152 2932 A.17 B. C. D. 49 97 37  2
Câu 6. Biết min sin ; x cos 
x dx a b
với a, b nguyên dương. Tính 2a + b. 0 A.5 B. 4 C. 6 D. 12 b
Câu 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 I
x  (3  m)x  6 dx
trong đó a, b là hai nghiệm của phương trình a 2
x  (3  m)x  6 , trong đó a < b. 128 A. 8 6 B. 12 2 C. D. 2 2 9 8 f (4x) 1 2 1 Câu 8. Tính dx
khi hàm số f x là hàm chẵn liên tục trên R thỏa mãn f xdx
f xdx  2   . 1 3x 3 8  0 1 A. 16 B. 8 C. 4 D. 32 2
2x  2 khi x  1 2
Câu 9. Cho hàm số y f x   và I
f x dx
. Số phần tử của a nguyên dương để a ax khi x  1  0 I 10  0 A. 20 . B. 21 . C. 22 . D. 23 m 1 
Câu 10. Có tất cả bao nhiêu số thực dương m thỏa mãn x m dx  2  0 A.2 B. 1 C. 0 D. 3 x
Câu 11. Hàm số f (x)  x t 1 dt
có tất cả bao nhiêu cực trị 0 A.0 B. 3 C. 1 D. 2 47 2 x 1 
Câu 12. Tính giá trị đạo hàm tại x = 1 của hàm số tx e dt  . 0 A. 3 e e  2 B. 3 2e 1 C. 3 4e 1 D. 3 e 2 x dt
Câu 13. Tính giá trị đạo hàm tại x = 2 của hàm số  với x > 0. xt 1 0 3  ln 3 1 2 ln 3 1 A. B. C.  D.  ln 3 2 9 3 2 3 1 1
Câu 14. Hàm số f x liên tục và xác định trên 1 
;1 và (x 1) f
x dx  2 . Tính f (x)dx  . 1 0 A.1 B. – 1 C. 2 D. – 2 1 1 1
Câu 15. Hàm số f x liên tục và xác định trên 3;  3 và
f x dx  3;
f (2x 1)dx  1    . Tính f (x)dx  . 3  0 0 4 A.0,75 B. 2,5 C. – 0,5 D. 3 2 x   x
Câu 16. Cho hàm số y f x liên tục trên 0;  và thoả mãn
f t  dt  . x sin  
 . Tính f 9 .  3  0   A. f 9  . B. f 9  6  . C. f 9   . D. f 9    . 6 6  3 2
Câu 17. Hàm số f x chẵn và liên tục trên R thỏa mãn f (x)dx  6  . Tính
cos x f (3sin x)dx  . 0   2 A. 0 B. 4 C. 3 D. 6
Câu 18. Cho hàm số f x, g x liên tục trên đoạn 0; 2 , thỏa mãn mf x  nf 2  x  g x với , m n là các 2 2 số thực khác 0 và
f x dx g x dx  1.   Tính m n 0 0 1
A. m n  0 . B. m n  .
C. m n  1.
D. m n  2 . 2 1 4 kx
Câu 19. Tồn tại bao nhiêu số nguyên dương k thỏa mãn dx  4  . 4x 1 1  A. 18 B. 19 C. 20 D. 8 x f t
Câu 20. Cho hàm số f x liên tục trên  ; a  
 với a  0 và thỏa mãn dt  6  2 x
với mọi x a . Tính 2 t a
giá trị của f 9 . A. f 9  27 . B. f 9  9 . C. f 9  18 . D. f 9  36 .
Câu 21. Cho hàm số f (x) , g x  liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn m. f x  2021n. f 1  x   g (x) với 1 1
m, n là số thực khác 0 và g(x)dx
f (x)dx  2  
. Tính m  202 1n . 0 0 A. 2020 . B. 2 . C. 1. D. 20 2 1 . a g x a Câu 22. Biết rằng
dx  3g(a)  2;
xg xdx  2  
. Số thực a nằm trong khoảng nào 2  a x  1  x 1 0  3   5   3 5   11 A. 0;   B. ; 4   C. ;   D. 4;    2   2   2 2   2 
_________________________________ 48
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ, DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN MAX, HÀM SỐ CHẴN LẺ – C8)
__________________________________________________ 2 f (x) 1 2 1 Câu 1. Tính dx
khi hàm số f x là hàm chẵn liên tục trên R thỏa mãn f xdx
f xdx  1   . 1 3x 2 2  0 1 A. 1 B. 6 C. 4 D. 3 1 f x 1
Câu 2. Cho hàm số f x là hàm số lẻ và liên tục trên [– 1;1]. Tính dx  . 2 x 1 1  A.  B. 0 C. 0,5 D. 0,25 11 13 2
Câu 3. Cho hàm số y f x liên tục trên [0;13] và f xdx  12; f xdx  6   . Tính f
  6x 1dx . 0 11 2  A. 5 B. 6 C. 4 D. 2  2 a
Câu 4. Biết I  minsin 2 ; x cos  x dx  ; a,b  
 và phân số đạt tối giản. Tính 5a + 4b. b 0 A. 31 B. 40 C. 20 D. 16 3 35 4
Câu 5. Hàm số y f x liên tục trên R và f xdx  30; f xdx  6   . Tính  x  2 f
 2x  4x  3 dx. 0 0 4  A. 4 B. 12 C. 6 D. 18 1
Câu 6. Hàm số f x là hàm số chẵn, liên tục trên R thỏa mãn f (x)dx  2018 
, hàm số g(x) là hàm số liên 0 1
tục trên R thỏa mãn g(x)  g(x)  1. Tính tích phân
f (x)g(x)dx  . 1  A. 2018 B. 504,5 C. 4036 D. 1008 2 1 
Câu 7. Tích phân K max  1;2x dx  
gần nhất giá trị nào sau đây ?  x 1  2 A. 30 B. 6 C. 4 D. 9  1 
Câu 8. Hàm số f x là hàm số chẵn, liên tục trên R và đồ thị hàm số đi qua điểm M  ; 4   , đồng thời thỏa  2  1 2 0 mãn
f (t)dt  3  . Tính tích phân sin 2xf (  sin x)dx  . 0   6 A. 10 B. – 2 C. 1 D. – 1 2 3
Câu 9. Hàm số f x là hàm số chẵn, có đạo hàm trên [– 6;6] thỏa mãn f xdx  8;
f 2xdx  3   . Tính 1 1 6 giá trị biểu thức
f xdx  . 1 A.11 B. 5 C. 2 D. 14 1 f 2x 2
Câu 10. Cho hàm số f x chẵn liên tục trên đoạn  thỏa mãn dx  8  . Tích phân I f x  dx bằng 1 2x 1 0 A. 2 . B. 4 . C. 8 . D. 16 . 1 2 1 2 f x
Câu 11. Hàm số f x chẵn liên tục trên đoạn  . Biết f xdx
f xdx  1   . Tính I   dx 2 1 3x 1 0 1 2  A. 3 . B. 1. C. 4 . D. 6 . 49 1 3 1
Câu 12. Cho hàm số y f x liên tục trên R thỏa mãn f xdx  2; f xdx  6   . Tính f
  2x 1dx. 0 0 1  2 A. B. 4 C. 1,5 D. 6 3 0 1
Câu 13. Hàm số y f x liên tục trên  1
 ;  và f xdx  2; f xdx  6   . 1  0 8 1 Tính tích phân
f ( x 1  2 )dx  . x 1 0 A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 a
Câu 14. Hàm số f x là hàm số lẻ, liên tục trên [– a;a]. Tính tích phân
f xdx  . a A. 1 B. 0 C. a D. – 1 π 2
Câu 15. Tính P  minsin ; x cos  x dx  . 0 A. P = 1 B. P = 3 2  2 C. P = 2  2 D. P = 4  2 5 2
x  4x  5 
Câu 16. Tính Q  min  ; x  4 dx   . x 1 0   A. Q = 2,5 + ln8 B. Q = 29,5 + ln9 C. Q = 20 + ln3 D. Q = 19 + ln4 a a
Câu 17. Hàm số f x là hàm số chẵn, liên tục trên [– a;a]. Tính
f xdx  theo tích phân M
f xdx  . a 0 A. 2M B. M C. M – 1 D. – M 1
Câu 18. Tính Z  minx x;3x    1 dx . 0 A. 3 B. 1 C. 2,5 D. 0,5 3 1 f (3x)
Câu 19. Tính tích phân
f xdx
khi f x là hàm số chẵn trên R thỏa mãn dx  2  . 1 8x 0 1  A. 3 B. 2 C. 1 D. 6 6 1 4 .x f (6x)
Câu 20. Tính tích phân
f xdx
khi f x là hàm số chẵn trên R thỏa mãn dx  7  . 4x 19x 6  1 A. 84 B. 28 C. 42 D. 14 2020 Câu 21. Biết rằng 11 9 7 5
(11x  9x x  5x x)dx k
. Tìm số nghiệm của phương trình 5
x  (k 1)x  2022 . 20  20 A.4 B. 3 C. 2 D. 1 a a f (x)
Câu 22. Hàm số f x là hàm số chẵn, liên tục trên [– a;a]. Tính
f xdx  theo tích phân M dx  . 10ex 1 a 0 A. M B. M C. M – 1 D. – M 6 2 3 Câu 23. Tính
f xdx
khi f x là hàm số chẵn, có đạo hàm trên [– 6;6] và
f xdx  8; f  2
xdx  3   . 1  1  1 A. 14 B. 5 C. 11 D. 2 m Câu 24. Cho  2
3x  2x  
1 dx  6 . Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây? 0 A.  1  ; 2 . B. ;0 . C. 0; 4 . D.  3  ;  1 .
_________________________________ 50
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HÀM ẨN TỔNG HỢP – D1)
__________________________________________________ 2 x 2
Câu 1. Hàm số f (x) thỏa mãn f (x). f (x)  1. Tính dx  biết rằng
f (x)dx  ; a f (1)  ; b f (2)  c  . f (x) 1 1 A. 2c – b – a B. 2a – b – c C. 2c – b + a D. 2a – b + c 2 2 2x 2
Câu 2. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (x  1). f (
 2x  3)  2 . Tính dx
biết xf (2x  3)dx  2 f (7)  . f (x 1) 1 1 A. – 2f (5) B. 3f (5) C. f (5) D. f (4) 1 1 2 109 2 f (x)
Câu 3. Cho hàm số f (x) thỏa mãn 2
f (x)  2 f (x).(3  x) dx       . Tính dx  . 12 2 x 1 1 0  2 7 2 5 8 A. ln B. ln C. ln D. ln 9 9 9 9 1 28 1
Câu 4. Cho hàm số f (x) thỏa mãn 2
f (x)  4 f (x).(2  x) dx      
. Tính xf (2x 1)dx  . 3 0 0 5 2 7 A. B. 2 C. D. 3 3 6      2  2
Câu 5. Hàm số f (x) liên tục trên 0; 2 
và  f (x)  2 f (x)(sin x  cos x) dx  1   . Tính f (x)dx  . 2      2 0 0 A. – 1 B. 1 C. 2 D. 0 2 x 2 x 1 
Câu 6. Cho hàm số f (x) thỏa mãn 2 2 f (
x)  f (x)  (x 1)e và f (1) = e. Tính f (5). A. 3e12 – 1 B. 5e17 C. 5e17 – 1 D. 3e12 7 3 2   x f x x 2
Câu 7. Hàm số f (x) có đạo hàm trên R thỏa mãn ( ) 1 3 f (  x).e   0 , f (0) = 1. Tính xf (x)dx 2  . f (x) 1 2 7 15 45 5 7 A. B. C. D. 3 4 8 4
Câu 8. Cho hàm số y f x liên tục và có đạo hàm trên (0; ) thỏa mãn 3 2
f (x)sin xdx  4; f (x)  x(sin x f (
x))  cos x  .  2
Khi đó f   thuộc khoảng giá trị nào A. (11;12) B. (5;6) C. (6;7) D. (12;13)
Câu 9. Cho hàm số y f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên [0;2]. 2 3 2 2
(x  3x ) f (  x) Biết rằng f (0) = 1 và 2 4 ( ). (2 ) x x f x f x e   
với mọi x thuộc [0;2]. Tính dx  . f (x) 0 14 32 16 16 A.  B.  C.  D.  3 5 3 5
Câu 10. Cho hàm số y f x liên tục trên (0;) và thỏa mãn 5
f (x)  xf (
x)  x  2x 1; f (1)  2, 25 . Tính f (e) . 5 e  4 4 e  4 1 A. 4 e  0,5 B. C. D. 5  4 3 e 51 2
Câu 11. Hàm số y f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên [0;1] và (1) 1; ( ). (1 ) x x f f x f x e     . 1 3 2
(2x  3x ) f (  x) Tính tích phân dx  . f (x) 0 1 1 1 1 A.  B. C. D. – 60 60 10 10 3
Câu 12. Hàm số f (x) có đạo hàm trên R ; (  3)    (  2)    x x f x x f
x e   0  
và f 0  . Tính f (2). 8 17 11 14 7 A. 2 e B. 2 e C. 2 e D. 2 e 3 16 3 16 2
Câu 13. Cho hàm số f (x) có đạo hàm, liên tục, luôn dương trên [1;3] và f  xf x   f  x 2 .
  x f x   và f   1  f  
1  1. Giá trin ln [f (x)] thuộc khoảng nào sau đây ? A. (1;6) B. (7;12) C. (0;1) D. (12;15)
Câu 14. Hàm số f (x) liên tục trên R, có đạo hàm đến cấp hai trên R và thỏa mãn điều kiện       2 3 4    .   x f x f x f x f x    e , x      ; f (0) = 0.   5 ln 2 Giá trị tích phân 5
f xdx
gần nhất với giá trị nào ? 0 A. 107,64 B. 4,31 C. – 18,42 D. – 460,16
Câu 15. Hàm số f (x) có đạo hàm, liên tục trên R và f x  f  x  1, f (0) = 1. Tìm giá trị lớn nhất của f (1). 1 1 A. 2  B. 1  C. e – 1 D. 2e – 1 e e
Câu 16. Hàm số f (x) liên tục trên 0; thỏa mãn xf  x  f x 3 2  6x
x . Tìm f (4) theo a biết f (1) = a. A. 2a + 126 B. 4a + 252 C. 2a + 63 D. 2a + 63
Câu 17. Hàm số f (x) liên tục trên R, f (x) > 0 với mọi x, ngoài ra   2 2 ln ( ) ( ) 1 ln 1 x f x f x x e      . Tính tích   1
phân xf (x)dx  . 0 A. – 12 B. 8 C. 12 D. 0,75
Câu 18. Hàm số f (x) có đạo hàm không âm trên [0;1] thỏa mãn
f x 4  f x 2  x      f x 3 2 ( ) . ( ) 1 1
( ) ; f (x)  0, x  0;  1 .
Biết f (0) = 2, hãy chọn khẳng định đúng A. 2 < f (1) < 2,5 B. 2,5 < f (x) < 3 C. 1,5 < f (x) < 2 D. 3 < f (x) < 3,5
Câu 19. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn
x f  x  f x 3 cot .
 2cos x với mọi x k và    9 2    f   
. Hỏi giá trị f   thuộc khoảng nào sau đây ?  4  4  3  A. (1;4) B. (6;10) C. (3;5) D. (4;8) 2
Câu 20. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và 2 (  ) x
xf x x e f (x) ; f (1) = e. Tính f (x)dx  . 1 A. e B. 2 3e  2e C. 2 e  2e D. 2 e
_____________________________________ 52
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HÀM ẨN TỔNG HỢP – D2)
__________________________________________________ 2 x(x  1)
Câu 1. Tính f (0) khi hàm số y f (x) có đạo hàm trên (1; ) thỏa mãn 2
2 f (x)  (x 1) f (  x)  . 2 x  3 A. 3  3 B. 2  3 C.  3 D. 2
Câu 2. Hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên (1; ) và xf x f x  3 3
( ) 2 ( ) .ln x x f (x); f ( e)  3e .
Khi đó giá trị f (2) gần nhất giá trị nào ? A. 11,5 B. 12,5 C. 13,5 D. 9,2     2
Câu 3. Hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên 0; 2   thỏa mãn
f (x) cos xdx  10  và f (0) = 3. 2    0  2 Tính
f (x)sin 2xdx  . 0 A. 13 B. – 13 C. 7 D. – 7
Câu 4. Hàm số y f (x) luôn nhận giá trị khác 0 thỏa mãn (  )  2 ( ) x f x
xf x e f (x) và f (0) = 1. Tính f (1) . A. e + 1 B. ee – 2 C. e – 1 D. ee + 1 2 e x
Câu 5. Trên miền (1; ) àm số y f (x) thỏa mãn 2 xf (
x)ln x f (x)  2x và 2
f (e)  e . Tính dx  . f (x) e 5 A. 1,5 B. 0,5 C. 2 D. 3 3 f xCâu 6. Tính dx
khi y f (x) thỏa mãn f (x)  0, x  2;  3 ; 2
f x  2 f x  xf  x  0; f 2  4. x 2 7 1 8 1 7 8 A. ln B. ln C. ln D. ln 2 2 3 2 2 3
f (x)2  f (x)2 2
Câu 7. Hàm số f (x) có đạo hàm không âm trên [0;1] thỏa mãn
 1  f (x) ; f (0) = 1 và f (x) 2 x   e
nhận giá trị dương với mọi x thuộc [0;1]. Mệnh đề nào sau đây đúng A. 2,5 < f (1) < 3 B. 3 < f (1) < 3,5 C. 2 < f (1) < 2,5 D. 1,5 < f (1) < 2
f  x 2 1  1  
Câu 8. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1], thỏa mãn f (0) = 0; f (1) = 1 và dx   . Khi đó x e e 1 0 1 giá trị tích phân
f xdx  là 0 e  2 1 e 1 A. B. 1 C. D. e 1
(e 1)(e  2) e  2
Câu 9. Tính f (1) khi hàm số y = f (x) liên tục trên 0;  thỏa mãn điều kiện
f  xf x   f  x 2 3 2
  xf x  0  
; f 0  0; f 0  1; f x  0, x   0 . 2 7 6 A. 1,5 B. C. D. 3 6 7
Câu 10. Hai hàm số f (x), g (x) đều có đạo hàm trên R thỏa mãn 3 2 2
f (2  x)  2 f (2  3x)  x g(x)  36x  0 .
Tính giá trị 3 f 2  4 f 2 . A. 11 B. 13 C. 14 D. 10 f x
Câu 11. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn 2
f (x)  x  1 với mọi x. 53 2 a b Tính a + b biết
f (x)dx   
, trong đó a và b hữu tỉ. 2 ln 2 0 A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 7 3 2   x f x x 2
Câu 12. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn ( ) 1 3 f (  x).e   0 và f (0) = 1. Tính xf (x)dx 2  . f (x) 0 A. 4,5 B. 5,625 C. 5,5 D. 3,75 1
Câu 13. Hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm cấp n trên R thỏa mãn 2
f (1 x)  x f  (
x)  2x . Tính xf (  x)dx  . 0 1 1 A. – 1 B. 1 C. D. – 3 3
Câu 14. Hàm số y f (x) xác định trên  \  
0 thỏa mãn xf x   xf x  2 ( ) 1; ( ) 1  xf (
x)  f (x)  0 . e Tính tích phân f (x)dx  . 1 1 1 1 1 A.  2 B. 2  C. – D. – 1 e e e e
Câu 15. Hàm số y f (x) xác định trên  \  
0 thỏa mãn xf x 2 ( )
 (2x 1) f (x)  xf (
x) 1và f (1)  2  . 2 Tích phân f (x)dx
gần nhất giá trị nào ? 1 A. – 1,84 B. – 1,19 C. – 1,34 D. – 2,19 1
Câu 16. Tính tích phân f (x)dx
khi hàm số y f (x) không âm, liên tục trên [0;1] thỏa mãn 0 2
2 f (x) 1 x f (
x)  2x1 f (x); f (1)  1   . 1 A. 1 B. 2 C. 1,5 D. 3 Câu 17. Tính 2 2
f (1)  f (2) khi hàm số y f (x) nhận giá trị dương, liên tục trên [0;2] và thỏa mãn 2  f (x)  f (
 0)  1; f (0)  2; f  (
x). f (x)    f (  x)2   x 2   
A. 20 B. 10 C. 15 D. 25      
Câu 18. Tính f   khi hàm số y f (x) nhận giá trị dương, liên tục trên 0; 
 và thỏa mãn đồng thời  3   3  2  f (x)  f (
 0)  0; f (0)  1; f  (
x). f (x)    f (  x)2  . cos x    3 3 A. B. C. 0,75 D. 0,5 2 4
Câu 19. Hàm số y f (x) có đạo hàm cấp hai thỏa mãn 2  (  )  2 (  )  8 x f x f x xe và f (
 0)  0; f (0)  2 . Khi
đó giá trị f (1) gần nhất với số nào sau đây A. 1,13 B. 8,38 C. 9,38 D. 0
_______________________________ 54
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HÀM ẨN TỔNG HỢP – D3)
__________________________________________________
Câu 1. Cho hàm số f (x) có đạo hàm đến cấp hai thỏa mãn 2 2
f (1 x)  (x  3) f (x 1) . 2
Tính tích phân (2x 1) f  (  x)dx
biết rằng f (x)  0,x   . 0 A. 8 B. 0 C. – 4 D. 4
Câu 2. Cho hàm số f (x) có đạo hàm đến cấp hai thỏa mãn 2 4 2
f (1 x)  (x x 1). f (x 1) . Tính 1 f  (  x)dx  . 0 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
Câu 3. Hàm số y f (x) liên tục trên  thỏa mãn 2 2
2 f (x). f (
x) 108x  (8x  9) f (x)  (4x  9x) f (  x) . 1
Tính 4 f (x)  9 f (  x)dx
biết rằng đồ thị hàm số y f (x) đi qua gốc tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị luôn cắt 0 trục hoành. A. 99 B. 100 C. 49 D. 1993 1 Câu 4. Tính 2
f (x 1)dx
khi hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn 0 2 2 f (0)  0; f (
 0)  0; f (x). f (
x) 18x  (3x x) f (
x)  (6x 1) f (x) . 8 7 A. 3 B. C. 2 D. 3 6 3
Câu 5. Tính giá trị gần đúng của f (x)dx
biết hàm số y f (x) liên tục trên [1;3] thỏa mãn 0
f x   f x 2 2 2 ( ). 1 ( )
f (x).(x 1) ; f (1)  1
 ; f (x)  0, x  0;  3 .
A. – 1,09 B. – 2,56 C. – 6,25 D. 4,16 2 Câu 6. Tính f (x)dx
khi hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn 1 2 2
x(x 1) f (
x)  (1 x ) f (x)  x . A. 0,25 B. 0,75 C. 0,5 D. 1
Câu 7. Hàm số y f (x) liên tục và nhận giá trị không âm trên [0;1]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1
M  2 f (x)  3xf (x)dx  4 f (x)  xxf (x)dx   . 0 0 1 1 1 A.  B. – 0,125 C.  D.  24 12 6 1 1
Câu 8. Hàm số y f (x) liên tục và có đạo hàm trên [1;e] thỏa mãn 2 f (1)  ; xf (
x)  xf (x)  3 f (x)  . 2 x
Tính giá trị biểu thức f (e). 3 4 3 2 A. B. C. D. 2e 3e 4e 3e 3 2
Câu 9. Hàm số y f (x) thỏa mãn  f x 2 2 ( )
 3x  2x 1  4xf (x) và
f (x)dx  12  . Tính f (x)dx  . 1  0 A. 6 B. 7 C. 8 D. 5 2 f (  x) f (x) 2
Câu 10. Hàm số y f (x) thỏa mãn  và f (0)  . Tính f (1). 3 2 2
x  3x x 1 x  2x  3 4 ln 3  3 55 1 1 3ln 6 1 A. B. C. D. 3ln6 – 6 2 ln 6  3 4 ln 6  3 2
Câu 11. Hàm số y f (x) xác định trên R thỏa mãn 3 3 6 4 2
f (x x 1)  f (x x 1)  6
x 12x  6x  2 . 1 Tính tích phân f (x)dx  . 3  A. 32 B. 4 C. – 36 D. – 20 1
Câu 12. Hàm số y f (x) xác định trên R thỏa mãn 2 f (
x)  f (x )  2x 1và f (1)  2 . Tính 2
24xf (x )dx  . 0 A. 5 B. 10 C. 20 D. 1 4
Câu 13. Hàm số y f (x) xác định trên [0;2] thỏa mãn 2 3
f (2x)  2xf (x )  2x  4x 1. Tính xf (  x)dx  . 0 A. 8 B. – 8 C. 4 D. – 4 2
Câu 14. Hàm số y f (x) thỏa mãn xf x  2 ( )
 1  x 1 f (  x). f  (
x); f (1)  f (  1)  1. Tính 2 f (2) .
A. 2ln2 + 2 B. 2ln2 + 1 C. ln2 + 1 D. ln2 + 2 
Câu 15. Tính giá trị gần đúng của f (x)dx
khi hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên 0;  thỏa mãn 0 cos (  )  sin . ( )  cos . x f x x f x x e
; f (0)  2e .
A. 6,55 B. 17,3 C. 10,31 D. 16,91
Câu 16. Hàm số y f (x) liên tục trên  \ 0;  1 thỏa mãn 2 2
(x x) f (
x)  f (x)  x x; f (1)  2ln 2 . Tính 2 2
a b khi f (2) = a + bln3. A. 6,25 B. 3,25 C. 2,5 D. 4,5
Câu 17. Hàm số y f (x) liên tục trên R sao cho f (  x)  f (
 1  x) và f (0)  f (1)  5 . Tính ln 2 x ( x e f e 1)dx  . 0 A. 2,5 B. 1,5 C. 5 D. 3 2 2019 ln 2 2 x 1 Câu 18. Tính
f (2019x)dx  khi
f (e )dx  1
 ; f (x)(3  )dx  2019   . x 1 0 1 2019 2018 2018 2019 A. B. C. D. 2019 6057 2019 2018 3 2
Câu 19. Hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn 2
f ( x)2 x x 1
3 f (x). f (x) 4 . x e     1; f (0)  1. 1   4089 4 Tính tích phân f (x)dx  . 0
A. 3071,25 B. 1345,5 C. 3472,5 D. 2412,5 3
Câu 20. Hàm số y f (x) thỏa mãn (  3) ( )  (  2)( (  ) x x f x x
f x e )  0 và f (0)  . Khi đó f (2) gần nhất 8 giá trị nào sau đây A. 41,87 B. 5,08 C. 34,48 D. 3,23
_________________________________ 56
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HÀM ẨN TỔNG HỢP – D4)
__________________________________________________ 1 Câu 1. Tính f (x)dx
khi hàm số y f (x) liên tục trên [0;1], thỏa mãn 2 4
x f (x)  f (1 x)  2x x . 0 2 4 A.  B. 1 C. 2 D.  3 3 7
Câu 2. Hàm số y f (x) liên tục, có đạo hàm dương trên [2;4] thỏa mãn 4x f (x)   f (  x)3 3 3
x ; f (2)  . 4
Giá trị f (4) gần nhất giá trị nào sau đây A. 44,22 B. 10,93 C. 5,36 D. 22,11 2 2
Câu 3. Hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;2] và xf (  x)   1 dx f (2)  . Tính f (x)dx  . 0 0 A. 1 B. 2 C. – 1 D. – 2
Câu 4. Trên [1;2] , hàm số y f (x) có f (
x)  5x thỏa mãn xf x x2 2 ( ) 5  5  f  (  x); f (  1)  6 .
Tính giá trị biểu thức f (2)  f (1) . A. 5 B. 8 C. 7 D. 6 e ln . x f (x)
Câu 5. Trên (0; ) , hàm số y f (x) có 2  . ( x )  ( x x x f e
f e )  1. Tính tích phân dx  . x e 1 2 1 3 A.  B.  C. D. 8 3 12 8
Câu 6. Trên (0; ) hàm số y f (x) có xf x f x  4 4
( ) 3 ( ) ln x f (x)  x ; f (e)  2e . 3
Khi đó giá trị tích phân f (x)dx
gần nhất giá trị nào ? 2 A. 92 B. 93 C. 18 D. 23 4 2
Câu 7. Hàm số y f (x) thỏa mãn 3 f ( x) 3 ( ). (  ). x x f x f x e  (2x 1) ; e f (0)  1. 1
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5
f (x)dx f (x) 
gần nhất giá trị nào sau đây 0 A. 0,94 B. 1,72 C. 3,65 D. 2,34 1
Câu 8. Trên [0;1], hàm số y f (x) thỏa mãn 3
x   xf   x f x  5 1. 4 (1 )
( )  x . Khi đó f (x)dx  có giá trị gần 0 nhất số nào sau đây ? A. 0,0434 B. 0,0548 C. 0,5482 D. 0,1873 2 1 e
Câu 9. Hàm số y f (x) thỏa mãn 2 2 x f (
x).ln x xf (x)  ln (x)  0; f (e)  . Tính f (x)dx  . e e A. 2 B. 1,5 C. 3 D. 2,5
Câu 10. Hàm số y f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (x) 2
f (x)  x 1. Tính a + b biết a, b là các số hữu tỉ 2 a b thỏa mãn đẳng thức
f (x)dx    . 2 ln 2 0 A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 2 x 2
Câu 11. Hàm số y f (x) liên tục trên R thỏa mãn x 4
f (t)dt e x 1  . Tính f (4) . 0 A. 4 e + 4 B. 4 4 e C. 4 e + 8 D. 1
Câu 12. Hàm số y f (x) xác định trên R thỏa mãn 2 2 f (
x) 2 f (x)  x  5x 15x  (2x  5) f (x); f (2)  4   . 57 1
Khi đó x ln( f (x)  2)dx
gần nhất giá trị nào sau đây 0 A. 0,45 B. 0,93 C. 2,51 D. 1,32 3
Câu 13. Tính tích phân f (  x)dx
khi hàm số y f (x) xác định trên R thỏa mãn 2 2 2 2
2x  (x 1)  2(x 1) f (x)  (x 1)  2 f (x) f (
x); f (1)  3   . A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 1
Câu 14. Tính tích phân f (x)dx
khi hàm số y f (x) liên tục trên R thỏa mãn 0
f x f x 2 2 2 2 2 2 2 ( ). ( )
f (x). f  (
x)  8(x  2x  4)(x 1)  2(x  2x  4) ; f (0)  4; f (  0)  2 . 17 16 1 A. 1 B. C. D. 6 3 3 2 2 f (x)
Câu 15. Tính tích phân dx
khi hàm số y f (x) liên tục trên R thỏa mãn 3 x 1  f x 2 3 ( )
f (x). f  (
x)  4x  2 ; x f (0)  f (  0)  0 . A. 2 B. 2,5 C. 1,6 D. 3 2 Câu 16. Tính
f (x)dx  min f (x) 
khi hàm số y f (x) thỏa mãn 3;4 2  3 2 2
f (x)  2(2x 1) f (x)  3x  2 ; x
f (x)dx  3  . 0 A. 2 B. 8 C. 4 D. 6
Câu 17. Tính f (
 1)  2020 f (1) khi hai hàm số y f (x), y g(x) có đạo hàm trên R thỏa mãn 3 2 2
f (3x 1)  f (2x 1)  x .g(4x  9) 1993x  0 . A. 30 B. 17 C. 27 D. 7
Câu 18. Hai hàm số y f (x), y g (x) xác định và có đạo hàm trên [1;2] thỏa mãn
4 f (x)  3xg (
x)  0; 3g(x)  xf (  x)  0  
2 f (1)  3g(1)  2  2 f (1)  3g(1)  4  2 Tính tích phân [
x 2 f (x)  3g(x)]dx  . 1 A. 2ln2 B. ln2 C. ln3 D. 3ln2 – 1 3 Câu 19. Tích phân f (x)dx
gần nhất giá trị nào khi hàm số y f (x) xác định thỏa mãn 2 4 2 2
2 f (x)  xf (
x)  2x f (x)  8x f (x)  8; f (1)  1. A. 0,38 B. – 1,26 C. 2,19 D. – 1,56
_________________________________ 58
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HÀM ẨN TỔNG HỢP – D5)
__________________________________________________
Câu 1. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên  , nhận giá trị dương trên [0;a] và f (x). f (a x)  1. a 1 Tính tích phân dx  theo a. 1 f (x) 0 a A. 0,5a B. 2a C. 0,25a D. 3
Câu 2. Cho hàm số y f (x) xác định và có đạo hàm liên tục trên  , nhận giá trị dương trên [a;b] và thỏa mãn b 1 điều kiện 2
f (x). f (a b x)  k .Tính tích phân dx  theo a, b, k.
k f (x) a b a b a b a A. B. C. D. k(b – a) 3k 2k k
Câu 3. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên  , nhận giá trị dương trên [0;1] và f (x). f (1  x)  1. 1 1 Tính tích phân dx  . 1 f (x) 0 A. 1,5 B. 0,5 C. 1 D. 2
Câu 4. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên  , nhận giá trị dương trên [0;2018] và thỏa mãn điều 2018 1
kiện f (x). f (2018  x)  1. Tính tích phân dx  . 1 f (x) 0 A. 2018 B. 4016 C. 0 D. 1009
Câu 5. Cho hàm số y f (x) xác định và có đạo hàm liên tục trên  , nhận giá trị dương trên [1;2018] và thỏa 2018 1
mãn điều kiện f (x). f (2019  x)  4 . Tính tích phân dx  . 2  f (x) 1 A. 406 B. 504,25 C. 1004,5 D. 505,5
Câu 6. Hàm y f (x) có đạo hàm liên tục trên  , nhận giá trị dương trên [0;2020] và f (x). f (2020  x)  9 . 2018 1 Tính tích phân dx  . 3  f (x) 2 A. 938 B. 336 C. 968 D. 542
Câu 7. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên  , nhận giá trị dương trên [0;9] và f (x). f (9  x)  4 . 7 1 Tính tích phân dx  . 2  f (x) 2 A. 1,5 B. 1,25 C. 2,25 D. 2,5
Câu 8. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên  , nhận giá trị dương trên [0;10] và
f (x). f (10  x)  5 . 8 1 Tích phân dx
có giá trị gần số nào nhất ? 5  f (x) 2 A. 5 B. 1,34 C. 2,27 D. 3,12
Câu 9. Cho hàm số y f (x) xác định và có đạo hàm liên tục trên  , nhận giá trị dương trên [a;b] và thỏa mãn b 1
điều kiện f (x). f (a b x)  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2
T  (b a)  8 dx  2020  . 2  f (x) a A. 2019 B. 2020 C. 2016 D. 2004
Câu 10. Cho hàm số y f (x) xác định và có đạo hàm liên tục trên  , nhận giá trị dương trên [a;b] và thỏa b 1
mãn điều kiện f (x). f (a b x)  9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2
T  (b a)  36 dx  2019  . 3  f (x) a A. 2019 B. 2010 C. 2016 D. 2015 59
Câu 11. Cho hàm số y f (x) xác định và có đạo hàm liên tục trên  , nhận giá trị dương trên [a;2a] và thỏa 2a 1 mãn điều kiện 2
f (x). f (3a x)  k với k > 0. Tính a + k biết rằng
dx  2; a  2k  12  .
k f (x) a A. 10 B. 12 C. 16 D. 14
Câu 12. Cho hàm số y f (x) xác định và có đạo hàm liên tục trên  , nhận giá trị dương trên [a;8a] và thỏa 8a 1 mãn điều kiện 2
f (2x). f (5a  2x)  4k với k > 0. Tính 2a + k biết rằng
dx  1; a k  11  .
2k f (x) 2a A. 10 B. 18 C. 15 D. 19
Câu 13. Cho hàm số y f (x) xác định và có đạo hàm liên tục trên  , nhận giá trị dương trên [2;7] và thỏa 7 1
mãn điều kiện f (x 1). f (7  x)  9 . Tính dx  . 3  f (x) 3 2 1 5 A. 1 B. C. D. 3 6 6
Câu 14. Cho hàm số y f (x) xác định và có đạo hàm liên tục trên  , nhận giá trị dương trên [2;10] và thỏa 10 1
mãn điều kiện f (x  2). f (8  x)  1. Tính dx  . 1 f (x) 4 1 5 A. 4 B. 3 C. D. 6 6
Câu 15. Cho hàm số y f (x) xác định và có đạo hàm liên tục trên  , nhận giá trị dương trên [2;7] và thỏa 11 x mãn điều kiện 2 2
f (x  3). f (1 x )  4 . Tính dx  . 2
2  f (x  2) 3 1 A. 1 B. 0,5 C. D. 2 6
Câu 16. Cho hàm số y f (x) xác định và có đạo hàm liên tục trên  , nhận giá trị dương trên [a + 1;2a + 1] và 2a 1  1 thỏa mãn điều kiện 2
f (x). f (3a  2  x)  k . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2
k a  20 khi dx  3  .
k f (x) a 1  A. 11 B. 4 C. 16 D. 10
Câu 17. Cho hàm số y f (x) xác định và có đạo hàm liên tục trên  , nhận giá trị dương trên [a;4a + 8] và thỏa mãn điều kiện 2
f (2x). f (3a  4  2x)  k . 4a8 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của 2
P a  8k 10 khi dx  2  .
k f (x) 2a A. 6,25 B. 5,75 C. 4,25 D. 8,25
Câu 18. Cho hàm số y f (x) xác định và có đạo hàm liên tục trên  , nhận giá trị dương trên [2;73] và thỏa 73 1
mãn điều kiện f (4x  9). f (9  4x)  4 . Tính dx  . 2  f (x) 17 1 A. 1,25 B. 0,875 C. D. 3 6
_________________________________ 60
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HÀM ẨN TỔNG HỢP – D6)
__________________________________________________ 1 Câu 1. Tính 2 x f (  x)dx
khi hàm số đa thức y f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn điều kiện 0  f x 2 3 2 ( )  f (
x). f (x)  2x  7x  5x 1; f (0)  0 . 5 2 11 A. 3 B. C. D. 6 3 3
Câu 2. Cho hàm số đa thức y f (x) thỏa mãn  f x 2 2 ( )  2 f  (
x). f (x)  8x  8x 1; f (0)  0; f (1)  2 . 1 Khi đó 2 x f (  x )dx
gần nhất giá trị nào sau đây 0 A. 0,9 B. 0,7 C. 0,5 D. 0,4 1
Câu 3. Tính xf (  x  2)dx
khi y f (x) là hàm số đa thức thỏa mãn điều kiện 0
f  x 2 5 3 2 ( )  2 f (
x). f (x)  6x 12x  36x  2 ; x f (0)  0 . A. 11,25 B. 0,75 C. 6,25 D. 15,5 2
Câu 4. Tính xf (  x 1)dx
khi y f (x) là hàm số đa thức thỏa mãn điều kiện 1 3 2
f (x  2)  f (x 1)  4x 18x  28x 15; f (1)  1. A. 103,8 B. 195,4 C. 142,8 D. 128,8 2
Câu 5. Tính xf  (  x 1)dx
khi y f (x) là hàm số đa thức thỏa mãn điều kiện 1 2 2 2
f (x  2)  f (x  1)  5(x  3x)  25(x  3x)  31; f (1)  2 . A. 968 B. 595 C. 722 D. 938 1
Câu 6. Tính xf  (  x  3)dx
khi y f (x) là hàm số đa thức thỏa mãn điều kiện 0 3
f (x)  2 f (
x 1)  f  (
x  2)  (x  2) 17x  3. A. 29 B. 4 C. 2020 D. 11 2x f (  x) 1
Câu 7. Đa thức bậc bốn y f (x) đạt cực trị tại x  1; x  2 và lim  2 . Tính f (  x)dx  . x0 2x 0 A. 1,5 B. 0,25 C. 0,75 D. 1 2x f (  x) 1
Câu 8. Đa thức bậc bốn y f (x) đạt cực trị tại x  2; x  3 và lim
 4 . Tính f (x)dx  . x0 5x 0 A. 2,25 B. 2,75 C. 4,75 D. 5,5 6x f (  2x) 1
Câu 9. Đa thức bậc bốn y f (x) đạt cực trị tại x  1; x  2 và lim  3 . Tính f (  x)dx  . x0 6x 0 A. 2 B. 2,5 C. 0,75 D. 4 2 2x f (  x x)
Câu 10. Đa thức bậc bốn y f (x) đạt cực trị tại x  2; x  3và lim
 2; f (0)  1. Tính tích x0 5x 1 phân f (x)dx  . 0 11 34 4 A. B. C. 1,75 D. 6 15 29
Câu 11. Hàm số y f (x) có đạo hàm trên [0;1] thỏa mãn 2
f (1)  1; 2 f (x) 1 x f (
x)  2x1 f (x)   . 61 1 Tính tích phân f (x)dx  . 0 1 A. 1 B. 2 C. 1,5 D. 3 1 2
Câu 12. Hàm số y f (x) có đạo hàm trên [0;2] thỏa mãn f (  x)  ; f (2)  1. Tính 2 f (x)dx 2  . 3 f (x) 1 0 1 14 11 A. 1 B. C. D. 3 15 12 4x 1 1
Câu 13. Hàm số y f (x) có đạo hàm trên [0;1] thỏa mãn f (  x)  . Khi đó 3 xf (x)dx 2  gần nhất với 3 f (x)  2 0 A. 0,52 B. 0,19 C. 0,12 D. 1,25 2x  2
Câu 14. Hàm số y f (x) có đạo hàm trên [0;1] thỏa mãn f (  x)  ; f (1)  1. 2 6 f (x) 1 1 Tích phân 2 xf (x)dx
gần nhất với giá trị nào ? 0 A. 0,314 B. 0,968 C. 0,722 D. 0,542 4 1 10x 1
Câu 15. Hàm số y f (x) có đạo hàm trên [0;1] thỏa mãn 4 f (  x) 
; 15. f (x)dx f (1)  1 4  . 5 f (x)  2 0 1 Tính 4 4 x f (x)dx  . 0 14 14 4 13 A. B. C. D. 15 45 45 15 2 1 e
Câu 16. Hàm số y f (x) xác định và liên tục trên 0;  thỏa mãn f (x) 
xf (x)dx  . Tính f (x)dx  . x 1 1 A. 2e B. 1 – 2e C. 3 – 2e D. 2 + 2e 2 1995
Câu 17. Hàm số y f (x) xác định và liên tục trên 0;  thỏa mãn 5 f (x) 
 4 xf (x)dx  . Khi đó tích x 1 5 phân
f (1995x)dx
gần nhất với số nào sau đây 4 A. – 1995 B. – 1596 C. 1995 D. – 2020 2 3  sin x
Câu 18. Hàm số y f (x) xác định, liên tục trên R thỏa mãn 2
f (2 cos x 1)  cos xf (1 sin x)  . 2  cos x 0 Tính f (x)  . 1  A.3 B. 1,5 C. 2,5 D. 5 3
Câu 19. Hàm số y f (x) xác định, liên tục trên R thỏa mãn 2x ln(x 1)  xf (
x)dx  0 
và f (3)  1 . Tính a + 0 3 a b ln 2 b biết rằng
f (x)dx   . 2 0 A.35 B. 29 C. 11 D. 7 1
Câu 20. Tính tích phân f (x)dx
khi hàm số y f (x) có đạo hàm trên [0;1] thỏa mãn f (1)  1; f (  0)  0 và 0
f x f x x   2 ( ) 2 ( ) 4 1  f  (
x) 2 f (x)  x 1  2 f (x)   1   . 1 A. 1 B. 2 C. 1,5 D. 3 62
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HÀM ẨN TỔNG HỢP – D7)
__________________________________________________
Câu 1. Hàm số y f (x) có đạo hàm xác định trên  thỏa mãn 3 f x 2  x f x 2  x f x 3 3 . (3 1).  x  0 . 2 Tính giá trị f (x)dx  . 0 A.1,25 B. 0,75 C. – 1,25 D. 1,25 2 Câu 2. Tính f (x)dx
biết hàm số y f (x) liên tục trên [0;2] thỏa mãn f (2)  1 và 0 2 ln 3 3 x x 1
f  x.ln(x 1)dx  1 ln 3;
(e 1) f (e 1)dx  ln 3   . 2 2 0 0 A.3ln3 + 1 B. 2ln3 – 1 C. 1 D. 2 3
Câu 3. Hàm số y f (x) thỏa mãn
3  1; 3 3      ( 1) x f xf x f x x e . Biết rằng
f (x)dx ae b  với a, b là 1 số nguyên. Tính a – b. A.2 B. – 2 C. 4 D. – 4
Câu 4. Hàm số y f (x) có đạo hàm xác định trên  và nhận giá trị dương trên 0;  , đồng thời thỏa mãn e
điều kiện f (x)  ln  f (x)  x 1. Giá trị tích phân f (x)dx  nằm trong khoảng 0 A. (4;5) B. (0;2) C. (2;4) D. (5;6) x 2 f (x)
Câu 5. Hàm số y f (x) thỏa mãn f (2)  1; 3 f x  (1 3x) f  x  . Tính dx  . 2 x  5 2 1 x  5  2 1 2 1 5 3 1 A. ln B. ln C. ln D. ln10 3 5 3 2 2 3
Câu 6. Hàm số y f (x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên R thỏa mãn 2   2      4 2 ( 4 2)  (2  4 ) x x f x x x f x x x e ; f   1  e 1
Biết xf xdx a be
với a, b nguyên. Tính a + b 0 A.23 B. 11 C. – 21 D. – 15 0
Câu 7. Hàm số f x liên tục trên  thỏa mãn xf  3 x   f  2  x  10 6 1
 x x  2 , x x    . Tính
f x dx  1 17 13 17 A.  . B.  . C. . D. 1  . 20 4 4 3
Câu 8. Cho hàm số f x liên tục trên  thỏa mãn  f x  f x 3 2 4 14
x  6x 16, x   .  Giá trị của tích 1 phân
f x dx  thuộc khoảng 5   1   1 1   1  A. 2;   1 . B. 1;    . C.  ;   . D. ;    .  2   2 2   2  3 2
x  2x x
Câu 9. Hàm số y f (x) thỏa mãn 2 f x 2
 (x 1) f  x  , x
  1 . Khi đó f 2 gần nhất với giá 2 x  3 trị nào A.0,268 B. 0,251 C. 0,342 D. 0,215
Câu 10. Hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0  ;1 và thỏa mãn 2
f x  xf xf  x  2x  4, x  0;  1 . 1 Biết f   1  3 , tích phân 2 I
f xdx  bằng 0 13 19 A. . B. 19 . C. 13 . D. . 3 3 63 1 1
Câu 11. Hàm số y f (x) liên tục trên 0;  thỏa mãn 2
f (x)dx  2; x f  3 x  3 4
x x f x   . Tính f   1 . x 1 2 A.3 B. 1 C. 0 D. 2 11
Câu 12. Hàm số f x có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn      2 3  1 3  x f x f x e , x
   và f 0  . 3  1  Giá trị của f ln 6   bằng  2  8 5 20 32 A. . B. . C. . D. . 9 6 3 6 3 6 5 6 3 xf ' xCâu 13. Tính dx  khi hàm số f ( )
x có đạo hàm f '(x) liên tục trên 0;  3 thoả mãn
1 f 3 x2  f x2 0 1
f (x). f (3  x)  1 và f (x)  1
 với mọi x 0;  3 ; f 0  . 2 1 1 3 A. . B. 1. C. . D. . 2 4 4
Câu 14. Cho hàm số f x liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn 0  ;1 thỏa mãn
f x  f 1 x  f xf 1 x  2020, x  0;  1 . 1 Tích phân ln
 1 f x.dx bằng 0 A. ln 2021. B. ln 2020 . C. ln 2021 . D. ln 2020 3
Câu 15. Cho hàm số f x liên tục trên  thỏa mãn  f x  f x   3 2 3
sin 2x  3x x, x   .  Khi đó giá 1 trị tích phân
f x.dx
thuộc khoảng nào dưới đây? 0 A.  2  ;   1 . B.  3  ; 2   . C.  1  ;  1 . D. 1; 2 1
Câu 16. Cho hàm số f x liên tục trên  thỏa mãn 2 f x  f  x  2x 1,x  ; f (0)  1. Tính f xdx  0 1 1 1 1 A. 1 B. 1 C. D.  2 2e 2 2e 2 2e 2 2e 1 Câu 17. Tính 2
e f 2 khi hàm số f x liên tục trên  thỏa mãn f  x  0; x
 1; 2 đồng thời f   1  và e     2 ( 1) 3 x xf x x f x x e     . A.8 B. 1 C. 4 D. 2
Câu 18. Hàm số f x liên tục trên  thỏa mãn f  3
x x  xf  2 x   9 7 5 3
1  x  4x  6x  2x x 1, x   .  2 Tích phân
f x dx
thuộc khoảng nào dưới đây? 2 A. 0;3 . B. 3;5 . C. 5; 7 . D. 7;   . x
Câu 19. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên  2; 2 \ 
0 thỏa mãn f ' xf x  x e  2   0 . f xe  1  Biết rằng f  
1  0 , giá trị của f   bằng  2  A. ln 7 . B. ln 5 . C. ln 6 . D. ln 3 . 2
Câu 20. Cho hàm số f x có đạo hàm xác định trên  và thỏa mãn f xx f x 2019 ' 4x 6xe      0 và f 0  20 
19 . Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình f x  7 là A. 91. B. 46 . C. 45 . D. 44 . 64
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HÀM ẨN TỔNG HỢP – D8)
__________________________________________________
Câu 1. Hàm số f x xác định và có đạo hàm f  x liên tục trên đoạn 1; 
3 , f x  0 với mọi x 1;  3 , đồng 2 3 2 2
thời f x1 f x
 f x x  1      và f   1  1
 . Biết rằng f xx a ln 3  b a b   . Tính    d , ; 1 2
S a b : A. S  4 . B. S  0 . C. S  2 . D. S  1  . 1 1
Câu 2. Cho hàm số f xcó đạo hàm liên tục trên  và 2
f (x)  4x x xf   3
x dx . Khi đó f xdx  có giá trị 0 0
thuộc khoảng nào sau đây A.(2;4) B. (4;6) C. (6;10) D. (10;15) 4 3  2x  2 
x x  4x  4
Câu 3. Cho hàm số f x liên tục trên  thỏa mãn 2
x f (1  x)  2 f  ,   x   0, x  1.  xx 1 Khi đó
f x dx  có giá trị là 1 A. 0 . B. 1. C. 0,5. D. 1,5.
Câu 4. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; . Biết f 0  2e và f x luôn thỏa mãn đẳng thức     .    . cosx f x sinx f x cosx e , x
 0; . Tính I f xdx
(làm tròn đến phần trăm) 0 A. 6,55 . B. 17, 30 . C. 10,31. D. 16,91.   2 2
Câu 5. Cho hàm số f x liên tục trên R và f (x)  sin x  2 sin . x f (x)dx  . Tính sin xdx  . 0 0 2  2  2  2  A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 4 4 2 2 1 1
Câu 6. Cho hàm số f x liên tục trên R và 4
f (x)  x x f (x)dx  . Tính 2 x f (x)dx  . 0 0 17 17 2 A.0,4 B. C. D. 35 70 3 1
Câu 7. Tính tích phân
f xdx
khi hàm số f x có đạo hàm xác định trên đoạn  1  ;  1 thỏa mãn f   1  0 và 0
f x2  f x 2 4
 8x 16x  8, x   1   ;1 . 5 1 2 4 A.  . B.  . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 8. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên  và f x nhận giá trị dương trên  thỏa mãn   2 2     cos 2  0 ; 2sin 2 x f e x f x e
. f x  f 'x  0, x   .        Khi đó f   
thuộc khoảng nào dưới đây?  3  A. 1; 2 . B. 2;  3 . C. 3;  4 . D. 0;  1 1 1
Câu 9. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên  và 3 3 2
f (x)  x x f (x )dx  . Tính
f xdx  . 0 0 23 4 A.0,65 B. 0,25 C. D. 60 15
Câu 10. Cho hàm số f x có đạo hàm cấp hai liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (1)  f (0); f (  0)  2022 . 1
Tính tích phân (1 x) f  xdx  . 0 65 A.1 B. – 1 C. 2022 D. – 2022
Câu 11. Với mọi x  0; 
 hàm số f xliên tục nhận giá trị dương, thỏa mãn f x 3 2
 2x f x xf 'x 3 và f   1 1  . Giá trị của
f xdx  bằng 2 2 9 9 1 9 1 9 A. ln . B. ln . C. ln . D. ln 2 8 2 2 2 8 Câu 12. Cho hàm số
f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  1 thỏa mãn f 0  2 và  f x 4
  f x 2    
   x     f x 3 2 . ' . 1 1  , x     0; 
1 . Biết f ' x  0, f x  0, x  0 
;1 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. 2  f   1  3. B. 3  f   1  4 . C. 4  f   1  5 . D. 5  f   1  6 . Câu 13. Cho hàm số
f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  1 thỏa mãn f   1  1 và 1  f x 2      2
x   f x 6 4 2 ' 4 6 1
 40x  44x  32x  4, x  0  ;1 . Tích phân
f xdx  bằng 0 23 17 13 7 A. . B.  . C. . D.  . 15 15 15 15 f x
Câu 14. Hàm số f x có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f x  0 và  x  
1 f ' x  , x   và x  2 2  ln 2  f 0  
 . Giá trị f 3  2  1 1 A. 4ln 2  ln52 . B.   2 4 4ln 2 ln 5 . C. 4ln 2  ln52 . D.   2 2 4ln 2 ln 5 . 2 4
Câu 15. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên 0;  thỏa mãn: 2
x f  x  f x 3 2 .
 2x x , x  0 . Biết rằng f  
1  0 . Tính giá trị của f 0,5 . 1 1 1 A. I  e . B. I  e  . C. I  . D. I   e . 4 4 4 1 1
Câu 16. Cho hàm số y f x liên tục trên  1  ;  1 thỏa mãn ( ) 1  ( t f x
x e ) f (t) dt  . Tính x
e f xdx  . 1  1 e  3 e  3 2 e  3 2  e A. B. C.  D. 2 e e  3 2 e e  3 2 e e  3 2 e e  3
Câu 17. Biết f 0  2, f ' x  0, f x  0, x  0; 
1 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?  5   5   7   7  A. f   1  2;   . B. f   1  ;3   . C. f   1  3;   . D. f   1  ; 4   .  2   2   2   2 
Câu 18. Cho hàm số f x nhận giá trị không âm có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn f   1  3 và 2
2 f x  3x 1. f ' x  3 1
  f x , x  1;2     . Tích phân
f xdx  bằng 1 9 7 15 5 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 1
Câu 19. Cho hàm số f x liên tục trên R thỏa mãn 3 2
f (3x)  f (x)  26x  32x . Tính xf  xdx  . 0 23 23 11 11 A. B.  C. D.  12 12 12 12 4
Câu 20. Cho hàm số f x liên tục trên [0; 4] thoả mãn f x  f 4  x, x  [0; 4] và
x f xdx  10  . 0 4 Tích phân
f xdx  bằng 0 A. 5 . B. 20. C. 2,5. D. 40.
_________________________________ 66
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN LẤY TÍCH PHÂN HAI VẾ, ĐẶT ẨN PHỤ, XÁC ĐỊNH HÀM SỐ – E1)
__________________________________________________ 1
Câu 1. Hàm số y = f (x) liên tục trên R, thỏa mãn    2018   x f x
f x e . Tính I
f xdx  . 1  2 e 1 2 e 1 2 e 1 A. I  B. I  C. I = 0 D. I  2019e 2018e e 2
Câu 2. Hàm số f x liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn 2 f x  3 f 2  x  3x 1. Tính f xdx  . 0 8 2 3 A. B. 2 C. D. 5 3 7 1
Câu 3. Hàm số bậc hai f x trên R thỏa mãn f (x  2)  f (x)  4x 10; f (0)  1. Tính f (x) f (  x)   1 dx  . 0 2 A. 7,5 B. 2 C. – 1 D.  3 1
Câu 4. Hàm số f x liên tục trên R và thỏa mãn f x  f x 2  x , x
   . Tính I
f xdx  . 1  2 1 A. I  B. I  1 C. I  2 D. I  3 3 2
Câu 5. Hàm số đa thức f x liên tục trên R thỏa mãn 2
f (2x)  f (x)  9x  3x . Tính x e f (  x)dx  . 1 A. 2e2 + 5e B. 9e2 – 3e C. 4e2 + e D. 7e2 – 2e 0
Câu 6. Hàm số f x liên tục trên R, thỏa mãn f x  f x 3  x 1, x    . Tính 2 I x f  3 x    1 dx . 3  2 2 1 1 A. I  B. I  1 C. I  D. I  3 9 3 1
Câu 7. Hàm số đa thức f x liên tục trên R thỏa mãn 3
f (4x)  f (x)  4x  2x; f (0)  2 . Tính 63 f (x)dx  . 0 A. 148 B. 150 C. 167 D. 69 1
Câu 8. Cho hàm số f x liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f x  f   x 2 2 3 1
 1 x . Tính f xdx  . 0     A. B. C. D. 4 6 20 16 1
Câu 9. Cho hàm số f x liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f x  2 f 1  x  3x . Tính f xdx  . 0 A. 1,5 B. 2 C. 0,5 D. 2 1
Câu 10. Hàm số đa thức f x liên tục trên R và 3 3
f (2x 1)  x f (x 1)  8(x 1) . Tính (x 1) f (  x)  . 0 A. 11,25 B. 12,35 C. 16 D. 4,75  2
Câu 11. Cho hàm số f x liên tục trên R, thỏa mãn f x  2 f x  cos x . Tính tích phân I
f xdx  .   2 2 4 1 A. I  B. I  C. I  D. I  1 3 3 3 67 3 2
Câu 12. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f x  f x  2  2cos 2x, x    . Tính
f xdx  . 3  2 A. – 6 B. 0 C. – 2 D. 6 6 1
Câu 13. Cho hàm số f x liên tục trên [0;1] thỏa mãn 2 3
f (x)  6x f (x )  . Tính
f xdx  . 3x 1 0 A. 2 B. 4 C. – 1 D. 6 1
Câu 14. Cho hàm số f x liên tục trên [0;1] thỏa mãn 2 2
4xf (x )  3 f (1 x)  1  x . Tính f xdx  . 0     A. B. C. D. 4 6 20 16
Câu 15. Hàm số bậc hai f x liên tục trên [1;2] thỏa mãn 2 f (0)  1
 ; f (x)  f (2  x)  2x  4x  2 . Tính 2
theo a giá trị tích phân (2x a) f (  x)dx  . 1 2 10 4 A. 2a – 1 B. a  C.  a D. 2a  3 3 3 1
Câu 16. Hàm số đa thức f x liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (3x)  f (x)  2 ; x f (1)  2 . Tính 2 f (x)dx  . 0 7 17 4 A. B. 2 C. D. 3 3 3 1
Câu 17. Cho hàm số f x liên tục trên [0;1] thỏa mãn 2 f (x)  3 f (1  x)  x 1 x . Tính f xdx  . 0 1 4 1 4 A. B.  C.  D. 25 15 15 75 2
Câu 18. Hàm số f x liên tục trên [– 1;2] thỏa mãn 2 3
f (x)  2xf (x  2)  3 f (1 x)  4x . Tính f (x)dx  . 1  A. 5 B. 2,5 C. 3 D. 15 2
Câu 19. Hàm số f x liên tục trên [– 1;2] thỏa mãn 2 f (x) 
x  2  xf (3  x ) . Tính f (x)dx  . 1  14 28 4 A. B. 2 C. D. 3 3 3
Câu 20. Hàm số bậc ba f x liên tục trên [0;1] thỏa mãn 3 2
f (3x 1)  f (x)  26x  27x 11x  2 . Tính giá 1 trị tích phân x e [ f  (  x) 1]dx  . 0 A. e + 5 B. 2e + 1 C. 3e – 1 D. e + 1 4
Câu 21. Hàm số f x liên tục trên [0;4] sao cho 2 2
4xf (x )  6 f (2x) 
4  x . Tính f (x)dx  . 0     A. B. C. D. 5 6 20 16
_________________________________ 68
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN LẤY TÍCH PHÂN HAI VẾ, ĐẶT ẨN PHỤ, XÁC ĐỊNH HÀM SỐ – E2)
__________________________________________________ 1 1
Câu 1. Hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn 2
f (x)  xf (1 x )  3 f (1 x)  . Tính
f xdx  . x 1 0 9 2 A. ln 2 B. 4ln2 C. ln 2 D. 1,5 2 9 3 x 1
Câu 2. Hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn 3 4
f (x)  8x f (x ) 
 0 . Khi đó f xdx  gần nhất 2 x  1 0 A. 0,65 B. 0,19 C. 0,45 D. 0,37 1
Câu 3. Hàm số bậc hai f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn 2
3 f (x  2)  f (3  x)  x x . Tính 4 x e f (  x)dx  . 0 A. 3 – e B. 2e + 1 C. 4e – 3 D. e + 2 1 Câu 4. Tính f (x)dx
khi hàm f (x) liên tục, có đạo hàm trên [0;1] và 0 2 2 3 2
f (x)  2xf (x )  3x f (x )  1  x , x  0;  1     A. B. C. D. 4 24 36 12 3
Câu 5. Hàm số đa thức f x liên tục trên [0;3] thỏa mãn f x  f   x 2 2 8 3
x x 1. Tính f xdx  . 0 11 A. 0,1 B. 2 C. 1,65 D. 6 2  1   1  f x
Câu 6. Hàm số y = f (x) liên tục thỏa mãn 2 f x  f  3x, x   ; 2   . Tính dx  . x  2      x 1 2 A. 1,5 B. 4,5 C. – 4,5 D. 3 1
Câu 7. Cho hàm số f (x) thỏa mãn 2
f (x)  4xf (x )  3x . Tính tích phân f (x)dx  . 0 A. 0,5 B. 2 C. 1 D. 1,5 1 Câu 8. Tính f (x)dx
khi hàm số f (x) thỏa mãn 2 3 4
f (x)  2xf (x )  3x f (x )  5x . 0 10 1 7 A. 1 B. C. D. 11 11 11     2
Câu 9. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (0) = 0 và f (x)  f
x  sin x cos x   . Tính xf (  x)dx  .  2  0 A. – 0,25 B. 0,25 C. 0,25 D. – 0,25 2 x 3
Câu 10. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (1  2x)  f (1  2x)  . Tính f (x)dx 2  . x  1 1  A. 2 – 0,5 B. 1 – 0,25 C. 0,5 – 0,125 D. 0,25 9  2  15x
Câu 11. Hàm số f (x) liên tục trên  \  
0 thỏa mãn 2 f (3x)  3 f     và
f (x)dx k  .  x  2 3 3 2  1  Tính f dx    theo k.  x 1  2 69 45  k 45  k 45  k 45  2k A.  B. C. D. 9 9 9 9 12  3  14x
Câu 12. Hàm số f (x) liên tục trên  \  
0 và thỏa mãn các điều kiện 3 f 2x  2 f    ;
f xdx k  .  x  3 6 2  1  Tính tích phân f dx    theo k.  x  1 42  k 42  3k 21 k 21 k A. B. C. D. 4 4 2 4  2
Câu 13. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (x)  2018 f (x)  2x sin x . Tính 2019 f (x)dx  .   2 A. 4 B. 2 C. 1 D. 3 1
Câu 14. Hàm số f (x) liên trục trên [0;1] thỏa mãn xf  2
x   f   x 2 4 3 1
 1  x . Tính f xdx  . 0     A. B. C. D. 20 6 16 4 1 2
Câu 15. Hàm số f (x), f (– x) liên tục trên R thỏa mãn 2 f x  3 f x  . Tính
f xdx 2  . 4  x 2      A. B. – C. – D. 10 10 20 20
Câu 16. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f x  f  x  sin x với mọi x, f (0) = 1. Tính ef   . e 1 e 1 e  3  1 A. B. C. D. 2 2 2 2 1
Câu 17. Hàm f (x) liên tục trên 0; và f  x  x
với mọi x > 0 và f (1) = 1. Mệnh đề nào sau đây đúng ? x 5 5 A. f 2   2ln 2 B. f 2   ln 2 C. f 2  5 D. f 2  4 2 2 1
Câu 18. Trên đoạn [– 1;1], hàm số f (x) liên tục và
   2019    2x f x f x . Tính I
f xdx  . 1  1 3 5 A. B. 0 C. D. 2009ln 2 4040ln 2 2018ln 2 1  1  1  1  1 1
Câu 19. Tính I
f xdx
nếu hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên ; 2 
và 2 f x  f     . 2  2 2   xx x x 0,5 1 2 ln 2 ln 2 A. – 1 B.  C. 1  D. 2 e e 1 2 3 4
Câu 20. Hàm số f (x) có đạo hàm và liên tục trên R thỏa mãn     2 x f x xf x xe    và f (0) = 1. Tính f (1). 1 2 2 A. e B. C. D. – e e e
_________________________________ 70
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN LẤY TÍCH PHÂN HAI VẾ, ĐẶT ẨN PHỤ, XÁC ĐỊNH HÀM SỐ – E3)
__________________________________________________ 2
Câu 1. Cho f x liên tục trên R sao cho 3
f (x)  f (x)  x . Tính f (x)dx  . 0 A. 2 B. 1,25 C. 0,5 D. 1,5 5
Câu 2. Cho f x liên tục trên R sao cho 3 2
2 f (x)  3 f (x)  6 f (x)  x . Tính f (x)dx  . 0 5 5 A. 1,25 B. 2,5 C. D. 3 12 1
Câu 3. Cho f x liên tục trên R sao cho 3 2
3 f (x)  f (x)  4x . Tính xf (x)dx  . 0 11 15 13 A. B. 1 C. D. 32 32 12 1
Câu 4. Cho hàm số f x liên tục trên R sao cho 3
x f (x)  2 f (x)  1. Tính f (x)dx  . 2  A. 1,75 B. 1,25 C. – 1,75 D. 3,5
Câu 5. Cho hàm số f x liên tục trên R sao cho 7 5 3
f (x)  2 f (x)  3 f (x)  4 f (x)  10x . Hỏi giá trị tích phân 1 2 3
f (x)d (x ) 
gần nhất với giá trị nào sau đây ? 0 A. 0,17 B. 0,27 C. 0,45 D. 0,56 1
Câu 6. Cho f x liên tục trên R sao cho 7 5 2
f (x)  f (x)  2x . Tính 2
f (x)d (x )  . 0 13 41 5 7 A. B. C. D. 12 48 6 3 1
Câu 7. Cho f x liên tục trên R sao cho 3 2 3
f (x)  2 f (x) 10 f (x)  9x . Tính 3
f (x)d (x )  . 0 53 13 11 5 A. B. C. D. 108 12 120 36 1
Câu 8. Cho f x liên tục trên R sao cho 5 2 2
f (x)  2 f (x) 10 f (x)  10x x . Tính (20x 1) f (x)dx  . 0 A. 4 B. 2,5 C. 4,5 D. 6,25 4 3
f (x)  f (x)  2 2 
Câu 9. Cho f x thỏa mãn f (x)  1, x    và  x  2 . Tính f (x)dx  . f (x) 1 4  A. 4 B. 2 C. 1 D. 3
Câu 10. Cho hàm số f x nhận giá trị không âm và liên tục trên R sao cho 2
f (x)  2 f (x)  3 f (x)  x . Tính 13 tích phân
f (x 1)dx  . 1 A. 45 B. 34 C. 23 D. 12 1 1
Câu 11. Cho hàm số f x có đạo hàm khác 0 thỏa mãn 3
f ( f (x))  f ( f (x))  2x . Tính dx  . f (  x) 0 A. 0,25 B. 1 C. 2 D. 1,5 1
Câu 12. Cho f x liên tục trên R sao cho 5 5
f (x)  2x x  2 f (x) . Tính 4 2
(10x 1) f (x)dx  . 0 71 29 22 11 A. B. 1 C. D. 21 3 3 8 2
2 (2x 11) f (x)
Câu 13. Cho f x không nhận giá trị 0 sao cho 2 
x 11x  20 . Tính dx 3  . f (x) f (x) f (  x) 1 A. 6,375 B. 7,25 C. 5,75 D. 8.125 1
Câu 14. Cho f x nhận giá trị không âm và liên tục trên R sao cho 3 3 f (x) 
f (x)  514x . Khi đó f (x)dx  0
gần nhất giá trị nào sau đây A. 2,4 B. 3,5 C. 6 D. 5,5 1
Câu 15. Cho f x nhận giá trị không âm và liên tục trên R sao cho 3
f (x)  4 f (x)  72x . Khi đó f (x)dx  0
gần nhất giá trị nào sau đây A. 2,4 B. 4,3 C. 1,6 D. 5,5 1
Câu 16. Cho hàm số f x liên tục trên R sao cho 3
2 f (x)  5 f (x)  7x . Tính 2 f (x)dx  . 0 1 43 22 A. 1 B. C. D. 7 105 105 4
Câu 17. Cho hàm số f x liên tục trên R sao cho 3 2
f (x)  f (x)  4 f (x)  x . Tính f (x)dx  . 0 25 5 5 A. 1,25 B. C. D. 12 12 3 1
Câu 18. Cho hàm số f x liên tục trên R sao cho 3( x )  3 ( x f e
f e )  4x . Tính ( x
f e )d (x)  . 0 3 9 3 A. 2 B. C. D. 4 16 4
Câu 19. Hàm số f x nhận giá trị không âm và liên tục trên R sao cho 3
4 f (x)  9 f (x) 1993 f (x)  2006x . 1 Giá trị tích phân f (x)dx
gần nhất với giá trị nào sau đây ? 0 A. 0,25 B. 0,75 C. 1 D. 1,25
Câu 20. Cho hàm số f x nhận giá trị không âm và liên tục trên 0;  sao cho f ( x ) 
f ( x )  2x . 1 Tính tích phân f ( x )dx  . 0 5 5 5 A. 1 B. C. D. 24 12 6
Câu 21. Cho hàm số f x nhận giá trị không âm và liên tục trên 1;  sao cho 2 f ( x 1) 
f ( x 1)  3x x . 1
Tính tích phân (6x 1) f ( x 1)dx  . 0 5 5 5 5 A. B. C. D. 36 24 12 6
_________________________________ 72
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN LẤY TÍCH PHÂN HAI VẾ, ĐẶT ẨN PHỤ, XÁC ĐỊNH HÀM SỐ – E4)
__________________________________________________ 3 3
Câu 1. Hàm số f (x) liên tục trên R sao cho f (4  x)  f (x) . Tính f (x)dx
nếu xf (x)dx  5  . 1 1 A. 2,5 B. 3,5 C. 4,5 D. 5,5 ln 2 4 f ( x)
Câu 2. Hàm số f (x) liên tục trên [1;2] sao cho f (x)  f (3  x) và 2 x ( x e f e )dx  1  . Tính dx  . 2 x 0 1 2 3 A. 2 B. 1 C. D. 3 2 5 5
Câu 3. Hàm số f (x) liên tục trên R sao cho f (6  x)  f (x); xf (x)dx  6  . Tính f (x)dx  . 1 1 A. 6 B. 5 C. 1 D. 3 3 3
Câu 4. Hàm số f (x) liên tục trên R sao cho f (6  x)  f (x  2);
f (x  2)dx  4 
. Tính xf (x  2)dx  . 1 1 A. 6 B. 8 C. 2 D. 10  2 4 e 2 f (ln x) 2 f (2x)
Câu 5. Hàm số f (x) liên tục trên R sao cho 2 tan .
x f (cos x)dx  2; dx  2   . Tính dx  . x ln x x 0 e 1 4 A. 0 B. 1 C. 4 D. 8  3 8 3 f ( x ) 2 2 f (x )
Câu 6. Hàm số f (x) liên tục trên R sao cho 2 tan .
x f (cos x)dx dx  6   . Tính dx  . x x 0 1 1 2 A. 4 B. 6 C. 7 D. 10  6 2 e f (ln x )
Câu 7. Hàm số f (x) liên tục trên 0;  và 2
f (cos x)sin 2xdx  2; dx  6   . x 0 1 3
Tính tích phân ( f (x)  2)dx  . 1 A. 16 B. 9 C. 5 D. 10 f (2 x 1) ln x 4
Câu 8. Hàm số f (x) liên tục trên [1;4] thỏa mãn f (x)   . Tính f (x)dx  . x x 3 A. 2 3  2 ln 2 B. 2ln2 C. 2 ln 2 D. 2 2ln 2 2 5 f (x) 5
Câu 9. Hàm số f (x) liên tục trên R sao cho 2
f ( x  5  x)dx  1; dx  3   . Tính f (x)dx 2  . x 2  1 1 A. – 15 B. – 2 C. – 13 D. 0 3 8 f (x) 8
Câu 10. Hàm số f (x) liên tục trên R sao cho 2
f ( x 16  x)dx  2019; dx  1   . Tính f (x)dx 2  . x 0 4 4 A. 2019 B. 4022 C. 2020 D. 4038 1 7 7  1 
Câu 11. Hàm số f (x) liên tục trên R sao cho 2
f ( 9x  7  3x)dx  5; f (x)d 6     . Tính f (x)dx  .  x  1  1 1 A. 72 B. – 12 C. 10 D. 28 2 7 . x f (x)
Câu 12. Tồn tại hai hàm số f (x) liên tục trên 1; sao cho 2
f ( 2x  1  x)dx  1; dx 2   . 2 1 1 2x 1 73 2 Biết rằng f (x)dx
có thể nhận hai giá trị M hoặc N. Tính M + N. 0 A. 6 B. – 2 C. 2 D. – 1  16 2 f ( x ) 4
Câu 13. Hàm số f (x) liên tục trên 0;  thỏa mãn
dx  6; f (sin x) cos xdx  3   . Tính f (x)dx  . x 1 0 0 A. – 2 B. 6 C. 9 D. 2 8 e 2 3 f (ln x ) f ( 4x 1)
Câu 14. Hàm số f (x) liên tục trên 0;  thỏa mãn dx  3; dx  1   . x 3 4x 1 e 0 2 Tính tích phân 2
(x 1) f (x  2x  3)dx  . 1 A. 0,5 B. 2 C. 1 D. 1,5 1 f 4xCâu 15. Tính dx
khi hàm số y f x liên tục trên 0;  và thỏa mãn điều kiện x 1 8  2 16 f x 2   cot . x f
sin xdx   1  . x  1 4 A. 3 B. 1,5 C. 2 D. 2,5 1 3 3 f (x)
Câu 16. Cho hàm số y f x liên tục trên  và 2
f ( x  3  x)dx
f (x)dx  1   . Tính dx  . 2 x 1  1 1 1 2 A. 1 B. 0,5 C. D. 3 3 2 132 . x f (x)
Câu 17. Tồn tại hai hàm số y f x liên tục trên 1; và 2
f ( 3x  1  x)dx  4; dx 2   . 2 1 1 3x  2 132 Tích phân f (x)dx
có thể nhận hai giá trị A, B với A > B. Tính 2A + B. 1 A. 14 B. 6 C. 18 D. 7
Câu 18. Hàm số y f x liên tục trên  thỏa mãn 3 2
(x 1) f (x  2)  (x  2) f (x 1)  2x  7x  7x  2 . 2 Tính tích phân xf (  x)dx  . 1 19 11 2 A. 3 B. C. D. 6 6 3
Câu 19. Cho hàm số y f x liên tục trên  thỏa mãn 2 2
f (x  3)  (x x 1). f (4  x) . 1
Tính tích phân (x  2) f (
x)  f  (  x)dx  . 0 77 7 17 A. 1 B.  C.  D.  6 6 3
_________________________________ 74
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN LẤY TÍCH PHÂN HAI VẾ, ĐẶT ẨN PHỤ, XÁC ĐỊNH HÀM SỐ – E5)
__________________________________________________ 2  1   1  f (x)
Câu 1. Hàm số y = f (x) liên tục trên ;1 
thỏa mãn f (x)  2 f  3x   . Tính dx  . 2     x x 1 2 A. 1,5 B. 1 C. 0,5 D. – 1 3 1   1  x f (x)
Câu 2. Hàm số y = f (x) liên tục trên ;3 
thỏa mãn f (x)  xf    . Tính dx  . 3  2    x x 1 x x 1 3 A. 0,5 B. 0,25 C. 1 D. 0,2 3 1   1  f (x)
Câu 3. Hàm số y = f (x) liên tục trên ;3  thỏa mãn 3
f (x)  xfx x   . Tính dx  . 3  2    x x x 1 3 8 2 3 16 A. B. C. D. 9 3 4 9 1
Câu 4. Hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn ( )  2018 ( ) x f x
f x e . Tính f (x)dx  . 1  2 e 1 2 e 1 2 e 1 A. B. C. 0 D. 2019e 2018e e 2
Câu 5. Hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn 2
f (x)  f (2  x)  6x  3x . Tính f (x)dx  . 0 A. 2 B. 1 C. 2,5 D. 4 2 1
Câu 6. Hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (2x)  3 f (x) . Tính f (x)dx  nếu
f (x)dx  1  . 1 0 A. 5 B. 3 C. 8 D. 2 2 4
Câu 7. Hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (2)  2
 ; f (x)dx  1  . Tính f (  x )dx  . 0 0 A. – 10 B. – 5 C. 0 D. – 18 1
Câu 8. Hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn 2 f (x)  4 .
x f (x )  2x 1. Tính xf (  x)dx  . 0 A. – 2 B. – 1 C. 2 D. 1 1 a
Câu 9. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn 2
5 f (x)  7 f (1 x)  3(x  2x) . Biết xf (  x)dx    (phân số b 0
tối giản). Tính 8a – 3b. A. 1 B. 0 C. 16 D. – 16 1  2   2 
Câu 10. Hàm số f (x) liên tục trên ;1  
thỏa mãn 2 f (x)  3 f  5x   . Hỏi giá trị ln . x f (x)dx  gần nhất 3     3x  2 3 giá trị nào sau đây ? A. 0,34 B. 0,24 C. 0,26 D. 0,52 1
Câu 11. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn 10
3 f (x)  2 f (x)  x . Tính f (x)dx  . 0 1 1 A. 55 B. C. 11 D. 11 55 2
Câu 12. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn (  )  2 ( )  x f x xf x e
; f (0)  0 . Tính f (1). 75 1 1 1 A. 2 e B. C. D.  2 e e e 2  x
Câu 13. Hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn 2 f (x)  3 f (1  x)  x 1  x . Tính xf dx    .  2  0 4 4 16 16 A.  B.  C.  D.  75 25 75 25 2 2
Câu 14. Hàm số f (x) liên tục trên R và ( )  (2  ) x f x f
x xe . Tính f (x)dx  . 0 2e 1 4 e 1 A. B. C. 4 e – 2 D. 4 e – 1 2 4 2  1   1  1 f (x)
Câu 15. Hàm số f (x) liên tục trên ; 2  thỏa mãn 2
f (x)  fx   2   . Tính dx  . 2  2 2    x x x 1 1 2 A. 1,5 B. 2 C. 2,5 D. 3  2
Câu 16. Hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn f x  2018 f x  x sin x . Tính
f xdx  .   2 1 2 1 1 A. B. C. D. 1009 2019 2019 2018 1
Câu 17. Hàm số đa thức y = f (x) thỏa mãn 2
f (2x 1)  f (x  3)  3x  3x  6 . Tính f (
x). f (x 1)dx  . 0 1 49 3 16 A. B. C. D. 3 1993 4 9
Câu 18. Hàm số đa thức f (x) liên tục trên R thỏa mãn 2
2 f (x 1)  f (x 1)  x  5x . Tồn tại bao nhiêu số a a 1  thực a sao cho
f (x 1)dx f (  x 1)dx   . 0 0 A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
Câu 19. Hàm số y = f (x) có đạo hàm, liên tục trên nửa khoảng 0;  thỏa mãn      2 3  1 x f x f xe  .
Khi đó giá trị biểu thức 3 e f  
1  f 0 gần nhất với giá trị nào ? A. – 0,15 B. 10,73 C. – 0,07 D. 21,46
Câu 20. Hàm số đa thức f (x) liên tục trên R thỏa mãn 3 2
f (2x)  f (x)  7x  6x  2 ; x f (1)  13. 1
Tìm số nghiệm x tối đa của phương trình f ( f (x))   f (
x)  f (x)dx m  với m 0;  1 . 0 A. 1 B. 6 C. 3 D. 5
Câu 21. Hàm số đa thưc f (x) liên tục trên R thỏa mãn 3 2
f (2x  1)  f (x)  7x  9x  5x  3; f (1)  7 . 1
Tìm số nghiệm dương của phương trình f (
x)dx f (2x) 11  . 0 A. 3 B. 2 C. 0 D. 1
_________________________________ 76
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN LẤY TÍCH PHÂN HAI VẾ, ĐẶT ẨN PHỤ, XÁC ĐỊNH HÀM SỐ – E6)
__________________________________________________ ln 4
Câu 1. Hàm số y f (x) xác định trên [– 1;2] thỏa mãn 2 f (x)  x  2  .
x f (3  x ) . Tính x ( x e f e  2)dx  . 0 14 28 A. – 2 B. 3 C. D. 3 3 
Câu 2. Hàm số y f (x) xác định trên R thỏa mãn f (  x)  2 f (x)  3sin x . Tính f (x)dx  . 0 A. 18 B. 6 C. 2 D. 3 5
Câu 3. Hàm số y f (x) xác định trên R thỏa mãn 2
f (x)  f (x  2)  x  2x 1. Tính f (x)dx  . 1 37 43 44 A. 12 B. C. D. 3 3 3
Câu 4. Hàm số y f (x) xác định trên R thỏa mãn 2 4 11 9 4 3
f (x)  x f (1  x )  2x  3x x  5x  2x  3 . 0 Tính tích phân f (x)dx  . 1  11 41 41 A. B. C. D. 4 3 12 15 1
Câu 5. Hàm số y f (x) xác định trên R thỏa mãn 3 3 2
4 f (x) 14 f (x)  x  6x 16 . Tính f (x)dx  . 5  A. – 1 B. 0 C. 1 D. 4
Câu 6. Hai hàm số f (x), g(x) xác định trên R thỏa mãn 2 2
f (0)  g (0)  1và f (
x)  g(x); g (
x)  f (x) . 1 Tính tích phân 2 2
f (x)  g (x) dx    .  A. 1 B. 2 C. 0 D. – 1 0
Câu 7. Tính tích phân f (x)dx
biết hàm số y f (x) xác định trên R thỏa mãn điều kiện 2 
f (x  2)  f (x); f (x)  f (x), x   ;
f (x)  x, x  2;  3 . A. – 1 B. 2 C. 3 D. 5
Câu 8. Hàm số y f (x) xác định trên R thỏa mãn 2 3 4 2
2 f (x 1)  3xf (x  2)  3x  2x  9x  4 . 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 (x  2) f (
x)dx f (x 1)  . 0 A. 2,5 B. 3 C. 4 D. 4,5
Câu 9. Hàm số y f (x) xác định và nhận giá trị dương trên R thỏa mãn 4 2 2
f (x 1)  (x x 1). f (2  x) . 1 Khi đó f (x)dx  gần nhất giá trị nào 0 A. 1,33 B. 1,78 C. 2,87 D. 3,31
Câu 10. Hàm số bậc hai y f (x) xác định trên R thỏa mãn 2
f (x 1)  f (x  2)  2x  2x 1. 1
Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình f (
x)dx f ( f (x))  m
có tối thiểu ba nghiệm thực ? 0 A. 3 B. 4 C. 5 D. 2
Câu 11. Hàm số bậc hai y f (x) xác định trên R thỏa mãn 3 2
f (3x)  (1  x) f (x)  x  8x . 77 m
Tính tổng các hệ số của đa thức P(m) 
f (2 f (x) 1)dx
với m là tham số dương. 0 47 43 17 A. 3 B. C. D. 15 5 3
Câu 12. Hàm số bậc hai y f (x) xác định trên R thỏa mãn f (x  2)  f (x  1)  2x  4 . m
Tính tổng các hệ số của đa thức Q(m)  [ f  (  x)  f (  x)]dx
với m là tham số dương. 0 17 35 11 A. 2 B. C. D. 3 6 3
Câu 13. Hàm số y f (x) xác định trên R thỏa mãn 2 2 f (
x) 2 f (x)  x  5x 15x  (2x  5) f (x); f (2)  4   . 1
Khi đó x ln( f (x)  2)dx
gần nhất giá trị nào sau đây 0 A. 0,45 B. 0,93 C. 2,51 D. 1,32 3
Câu 14. Tính tích phân f (  x)dx
khi hàm số y f (x) xác định trên R thỏa mãn 2 2 2 2
2x  (x 1)  2(x 1) f (x)  (x 1)  2 f (x) f (
x); f (1)  3   . A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
Câu 15. Hai hàm số y f (x), y g (x) xác định và có đạo hàm trên [1;2] thỏa mãn
f (x)  xg (
x)  0; 4g(x)  xf (  x)  0 
f (1)  2g(1)  3  2
Tính tích phân [ f (x)  2g(x)]dx  . 1 A. 3 B. 1,5 C. 2,5 D. 2 1
Câu 16. Hàm số y f (x) xác định trên (0;2] thỏa mãn 2 xf (
x)  xf (x)  f (x)  ; f (1)  1. Khi đó giá trị x
f (2) gần nhất số nào sau đây ? A. – 3 B. – 1 C. 2 D. – 1,5
Câu 17. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn  f x 2 2 ( )
 4 f (x)  8x  16x  8; f (1)  0 . 1 Tính tích phân f (x)dx  . 0 5 1 2 1 A.  B.  C. D. 3 3 3 5
Câu 18. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn  f x 2 2 2 ( )
 3 f (x)  11x  22x 14; f (1)  5 . 1
Khi đó tích phân 4 f (x)  9 f (
x)dx 1993  gần nhất số nào 0 A. 2030 B. 2020 C. 2033 D. 2026
_________________________________ 78
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN LẤY TÍCH PHÂN HAI VẾ, ĐẶT ẨN PHỤ, XÁC ĐỊNH HÀM SỐ – E7)
__________________________________________________ 4  Câu 1. Tính
f (x  4)dx
khi hàm số y f (x) là hàm số đa thức thỏa mãn 5  3 4 9 6 3
2 f (x )  3xf (1 x )  3x x  4x  6x  6 . 208 13 134 11 A. B. C. D. 51 3 3 6 0 Câu 2. Tính f (x)dx
khi hàm số y f (x) là hàm số đa thức thỏa mãn 1  2 2 4 6 2
f (x )  2x f (1  x )  2x  5x  2 . A. 1,5 B. 1 C. 2 D. 2,5 
Câu 3. Hàm số y f (x) liên tục trên R thỏa mãn 2 f (x)  3 f   x  (x 1) cos x . Tính f (x)dx  . 0 A.0,2 B. – 0,4 C. – 0,6 D. – 0,8 0
Câu 4. Hàm số y f (x) liên tục trên R thỏa mãn 2 5 3 2
f (x)  3xf (x )  3x  3x x  2x 1. Tính f (x)dx  1  16 7 8 11 A. B. C. D. 3 12 3 6 1 2
Câu 5. Hàm số y f (x) liên tục trên R thỏa mãn 2 3
xf (x )  f (2x)  x   2, x   0 . Khi đó f (x)dx  có giá 2x 1 trị thuộc khoảng nào A.(5;6) B. (3;4) C. (1;2) D. (2;3) 
Câu 6. Hàm số y f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (x)  2 f (  x)  (x 1) sin x . Tính f (x)dx  0  2   A. 1 B. C. 2   D. 0 2 3 2 1 e ln x 1
Câu 7. Hàm số y f (x) liên tục thỏa mãn 2 f (1)  2;
x f  xdx  6;
f (2  ln x)dx  3   . Tính f (x)dxx 0 e 0 2 A.1 B. 2,5 C. 0,5 D.  3 0
Câu 8. Hàm số y f (x) liên tục trên R sao cho 3 4 9 6 4 3
f (1 x )  xf (x )  x x  4x  2x  3x . Tính f (x)dx  1  4 4 1 A.0,75 B. C. D. 3 21 9
Câu 8. Hàm số y f (x) liên tục trên R sao cho 3 2 9 7 5 3
f (x x)  xf (x 1)  x  4x  6x  2x x 1. 2 Tính tích phân f (x)dx  2 A.4 B. 2 C. – 3 D. – 2 2 2
Câu 9. Hàm số y f (x) liên tục trên R thỏa mãn x 2 x 1 3 f (x) 2 f (2 x) 2(x 1)e        4 . Tính f (x)dx  . 0 A.e + 4 B. 8 C. e + 2 D. 2 2  1 
Câu 10. Hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên  \  
0 thỏa mãn 2 f 2x 2  fx  
và xf  xdx  5  .  x  1 2  2  Khi đó tích phân f dx
   gần nhất giá trị nào  x  1 A.1,25 B. – 2,14 C. – 3,25 D. – 1,67 79 1   1  1 
Câu 11. Cho hàm số y f (x) liên tục trên đoạn ;3  thỏa mãn 3
f (x)  xfx  , x x   ;3 .   3       x  3  3 f (x) Tích phân dx  bằng: 2 x x 1 3 8 16 2 3 A. . B. . C. . D. . 9 9 3 4 1
Câu 12. Hàm số y f (x) liên tục trên R sao cho f (ln x)  f (1 ln x)  x . Tính f (x)dx  . 0 e 1 e 1 e 2 A. B. C. D. 2 2 2 e 1
Câu 13. Cho hàm số f x nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thoả män f x .  3 2 1
2x  3x f  x    2 1 x x f x e , x
 [0;1] và f   1  1. Tích phân dx  bằng f x 0   1 1 1 1 A.  . B. . C.  . D. . 60 10 10 60 1
Câu 14. Tính f (ln 2022) biết rằng ( ) x
f x e xf (x)dx  . 0 A.2022 B. 2021 C. 2023 D. 2024 1
Câu 15. Tính tích phân I
x f  xdx
khi hàm f x có đạo hàm cấp 2 trên  thỏa mãn f   1  1 và 0 f   x 2
x f  x 2 1
 3x  2x 1, x    . 1 2 A. I  1. B. I  2 . C. I  . D. I  . 3 3 2 x  2x  3 1
Câu 16. Hàm số f x liên tục trên [0;1] thoả mãn f x  f 1 x  , x  [0;1] . Tính
f xdxx 1 0 3 3 3 A.  2 ln 2 . B. 3  ln 2 . C.  ln 2 . D.  2 ln 2 . 4 4 2
Câu 17. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn [1;3] , thỏa mãn f 4  x  f x, x  [1;3] và 3 3
x f xdx  2   . Giá trị của 2
f xdx  bằng 1 1 A. 1. B. 2. C. 1  . D. 2 .
Câu 18. Cho hàm số f x liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn 2 f x  3 f 1 x  x 1 x , với mọi x [0;1]. 2  x  Tích phân x f dx    bằng 0  2  4 4 16 16 A.  . B.  . C.  . D.  . 75 25 75 25
Câu 19. Cho hàm số f x liên tục trên R thỏa mãn 3 2 7 6 5
xf (x  3x  2)  f (
 2  2x)  x  6x  9x . 2
Biết rằng 2 f 2  f 0  8  . Tính
f xdx  . 0 17 16 176 A.  B.  C. D. – 1 6 3 21 2 x
Câu 20. Hàm số f x liên tục trên R, nhận giá trị dương với x > 0, thỏa mãn f  
1  1; f  x  . Tính giá 2 f (x)
trị của f 3 . A.34 B. 3 C. 3 20 D. 3 34
_________________________________ 80
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN LẤY TÍCH PHÂN HAI VẾ, ĐẶT ẨN PHỤ, XÁC ĐỊNH HÀM SỐ – E8)
_________________________________________________ 4 4  1 
Câu 1. Cho hàm số f x thỏa mãn f 4 
và f x  x 1  f    x , x   0 
. Khi đó xf xdx  bằng 3  x  1 1283 157 157 1283 A. . B.  . C. . D.  . 30 30 30 30
Câu 2. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 0;  và thỏa mãn các điều kiện f   1  3 và 2 2 f x 4  1 8  8   f    x 
f  x,x  0 . Tính f x dx 2 3 4  xx x x 2 A. 6 – 2ln2. B. 6 + 4ln2. C. 6 + 2ln2. D. 8 + 4ln2.  2 4 e f  2 ln x 4 f xCâu 3. Biết tan . x f   2
cos xdx  1 và dx  2  . Khi đó dx  bằng x ln x x 0 e 1 2 A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 3 .
Câu 4. Hàm số f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên 0;2 .  3 2 2
x  3x f  x
Biết f 0  1 và     2 2 4 2 x x f x f x e   
với mọi x 0;2 . Tính tích phân I dx  . 0 f x 32 16 16 14 A. I   . B. I   . C. I   . D. I   . 5 3 5 3
Câu 5. Hàm số f x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f 0  3 f x f
x x x x    và     2 2 2 2, . 2
Tích phân xf  x dx  bằng 0 4 2 5 10 A.  . B. . C. . D.  . 3 3 3 3 2  1  Câu 6. Tính
f xd . x
khi hàm số f x liên tục trên khoảng 0; và thỏa mãn 2 f x  xfx   ; x  0 .  x 1  2 7 7 9 3 A. . B. . C. . D. . 12 4 4 4
Câu 7. Hàm số f x có đạo hàm cấp hai trên  thỏa mãn: 2
f   x   2 1
x  3. f x   1 . 2
Biết rằng f x  0, x
   , tính I  2x  
1 f  x dx  . 0 A. 4  . B. 8 . C. 0 . D. 4 . 1 1
Câu 8. Hàm số f (x) xác định và liên tục trên  thỏa mãn 2 f (x)  3 f (1 x)dx  1  . Tính f (x)dx  0 0 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 5 6 2  1  1  1   1  Câu 9. Tính f (x)dx
khi hàm số f (x) liên tục trên đoạn ; 2 
thỏa mãn xf (x)  f  2, x   ; 2 .      2  xx   2 1   2 1 A. 2 ln 2 . B. 4 ln 2 . C. 8 ln 2 . D. ln 2 . 2 1 1
Câu 10. Cho hàm số y f (x) liên tục trên đoạn  1  ; 
1 thỏa mãn f (x)  f (x)  . Tính f (x)dx  bằng 2x  3 1  1 1 A. I  ln 5 . B. I  2 ln 5 . C. I  ln 5 . D. ln 5 2 4 81  2
Câu 11. Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên  thỏa mãn f (x)  f (x)  2  2 sin x, . x Tính f (x) . dx    2 A. I  0 . B. I  4 . C. I  2 . D. I  1. 1
Câu 12. Hàm số f (x) xác định và liên tục trên  thỏa mãn ( )  3 (1 )  (ex f x f x x 1), . x Tính f (x) . dx  0 1 1 1 1 A. I  . B. I  . C. I   . D. I   . 2 8 8 2 1
Câu 13. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn 0  ;1 thỏa mãn 2
2 f (x)  3 f (1 x)  1 x . Tính f (x)dx  0     A. . B. . C. . D. . 8 24 12 20 2 Câu 14. Tính f (x) . dx
khi hàm số y f (x) liên tục trên  thỏa mãn 2016 2
f (x)  f (x)  2017x  3x  4, x   .  2 A. 2016 2 . B. 2018 2 . C. 2017 2 . D. 2020 .  2
Câu 15. Cho hàm số f (x) liên tục trên  thỏa mãn f (x)  2 f (x)  cos . x Tính f (x) . dx    2 2 4 1 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  1 3 3 3  2 Câu 16. Tính f (x)dx
khi hàm số f (x) xác định và liên tục trên  thỏa mãn f (x)  2 f (x)  1 cos x .   2 4( 2 1) 8( 2 1) A. . B. 4( 2 1) . C. 12( 2 1) . D. 3 3 9 8 Câu 17. Cho
f x dx  10 
và f x  f x  
1 với mọi x   . Tích phân f xdx  bằng 1 0 A. 10 . B. 9 . C. 18 . D. 2 .  Câu 18. Tính f (x)dx
khi hàm số f (x) liên tục trên  thỏa mãn f (x)  f (  x)  2(1 sin 2x), x   .  0 A. I  4 . B. I  2 . C. I  2 . D. I  0  2 Câu 19. Tính f (x)dx
khi hàm số y f (x) liên tục trên  thỏa mãn f (x)  f (x)  3  2 cos x, x   .   2  3  1  1 A. I   2 . B. I   2 . C. I  . D. I  2 2 3 2 3
Câu 20. Cho hàm số y f (x) thỏa mãn ( )  2 (1 )  (2 1) x f x f x x
e , x   . Tích phân f (3x)dx  bằng: 0 e 1 e 1 A. . B. e  1. C. . D. 3(e 1) . 3 9 1
Câu 21. Hàm số y f (x) xác định trên  và f '(x)  f '(1 x), x   và f (0)  1, f (1)  2019 . Tính f (x)dx  0 A. 2020. B. 2019. C. 2010. D. 2019 3
Câu 22. Hàm số f x liên tục trên  thoả mãn f x  f x 2
x  2x  2, x    . Tính
f 2xdx  bằng 3  A. 58. B. 42. C. 60. D. 87.
_________________________________ 82
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN – F1)
__________________________________________________ 6 6 3
Câu 1. Hàm số f (x) liên tục trên [0;6] thỏa mãn 2
f (x)dx xf (x)dx  72   . Tính f (x)dx  . 0 0 1 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3 3 1
Câu 2. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn 2
f (x)dx  36; xf (x)dx  18   . Tính
f (x 1)dx  . 0 0 0 A. 3 B. 2,5 C. 4 D. 2 2 2 10 3 2
Câu 3. Hàm số f (x) liên tục trên [0;2] và 4 2
f (x)dx  4; xf (x)dx  ; f (1)    . Tính 2
f (x  2)dx  . 3 2 0 0 0 A. 5 B. 4 C. 6 D. 3 1 1 16 4 1
Câu 4. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn 2
f (x)dx
; xf (x)dx    . Tính 2 f (2 f (
x) x )dx  . 3 3 0 0 0 100 A. 14 B. 15 C. D. 21 3 1 1 1 1 Câu 5. Tính 3 f (x)dx
khi hàm số f (x) liên tục trên [0;1] và
f (x)dx xf (x)dx  1   và 2
f (x)dx  4  . 0 0 0 0 A. 1 B. 8 C. 10 D. 80
Câu 6. Hàm số f (x) luôn nhận giá trị dương trên R thỏa mãn 2 4 2
f (x)  4(x  1) f (x)  x  4x  8x  4 . 1
Tính tích phân 3 f ( f (  x))dx  . 0 A. 6 B. 52 C. 10 D. 5 1 1 1
Câu 7. Hàm số f (x) có liên tục trên [0;1] thỏa mãn xf (x)dx
x f (x)dx  1   và 2
f (x)dx  5  . 0 0 0 1 Tính tích phân 3 f (x)dx  . 0 5 A. 1,2 B. 8 C. 10 D. 6 1 1 1 1
Câu 8. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn 3 2 2
f (x)dx x f (x)dx xf (x)dx     . 4 0 0 0 1 Tính tích phân 2
3 f ( f (x))dx  . 0 A. 1 B. 6 C. 8 D. 4 1 1 1 1
Câu 9. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn 2 2
xf (x)dx x f (x)dx    . Tính f (x)dx  . 16 0 0 0 A. 0,2 B. 0,25 C. 0,4 D. 1 1 28 1
Câu 10. Cho hàm số f (x) thỏa mãn 2
f (x)  4 f (x).(2  x) dx      
. Tính xf (2x 1)dx  . 3 0 0 5 2 7 A. B. 2 C. D. 3 3 6 1 1 2 2 e x 1
Câu 11. Hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (1) = 0,  f  x dx  (x 1)e f xdx      . 4 0 0 83 1 Tính tích phân
f xdx  . 0 A. 2 – e B. 0,5(e – 1) C. 0,5e D. e – 2 1 1 2 1
Câu 12. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (1)  0;  f (x) 2 dx  7;
x f (x)dx    . 3 0 0 1 Tính tích phân f (x)dx  . 0 A. 1,4 B. 1 C. 1,75 D. 4 1 1 1 2 1 1
Câu 13. Hàm f (x) có đạo hàm trên [0;1] có f (0) = 1;  f (  x) 
; (2x 1) f (x)dx     . Tính f (x)dx  . 30 30 0 0 0 1 11 11 11 A. B. C. D. 30 30 4 12 1 1 2 9 1
Câu 14. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (1)  1;
f (x) dx  ; xf (x)dx    . 5 5 0 0 1 Tính tích phân f (x)dx  . 0 2 5 A. 1 B. 0,25 C. D. 3 6 2 2 2 1
Câu 15. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;2] thỏa mãn f (2)  3;  f (x) 2 dx  4;
x f (x)dx    . 3 0 0 2 Khi đó f (x)dx
gần nhất giá trị nào sau đây ? 0 A. 4,88 B. 5,62 C. 2,17 D. 3,71 1 1 2 1
Câu 16. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (1)  4;  f (
x) dx  5; xf (x)dx     . 2 0 0 1 Tính tích phân f (x)dx  . 0 A. 3,75 B. 2 C. 2,25 D. 4,5 2 2 2 1
Câu 17. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [1;2] và f (2)  0;  f (  x) 2
dx  7; (x 1) f (x)dx     . 3 1 1 2 Tính tích phân f (x)dx  . 1 A. – 1,4 B. 2,4 C. – 0,7 D. – 0,2 2 2 37
Câu 18. Hàm số f (x) liên tục trên [1;2] trên thỏa mãn 2
xf (x)dx  (x  2) x f (x)dx    . 3 1 1 2 Khi đó
f (x 1)dx  gần nhất giá trị nào 1 A. 4,56 B. 2,85 C. 5,67 D. 2,89
_____________________________________ 84
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN – F2)
__________________________________________________ 2 2 1 2 1
Câu 1. Hàm số f (x) liên tục trên [0;2] thỏa mãn f (2)  0; (x 1) f (x)dx   ;  f (  x) dx    . 30 45 1 1 2 Tính tích phân f (x)dx  . 1 1 1 1 1 A.  B.  C.  D. 36 15 12 12 2 2 2 2 2 f (x)
Câu 2. Hàm số f (x) liên tục trên [0;2] thỏa mãn f (2)  1;
f (x)dx   f (  x) dx    . Tính dx  . 3 2 x 0 0 1 1 A. 1 B. 2 C. 0,25 D. 3 1 Câu 3. Tính f (x)dx
biết hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [– 1;1] và  f x 2 2 ( )
 4 f (x)  8x 16x  8 . 0 5 2 1 1 A.  B. C. D.  3 3 5 3 1 Câu 4. Tính f (x)dx
nếu hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (1)  1 và 0  f x 2 2 6 4 2
( )  4(6x 1) f (x)  40x  44x  32x  4 . . 23 13 17 7 A. B. C.  D.  15 15 15 15 1 f (x)
Câu 5. Tính giá trị xấp xỉ của dx
biết rằng hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (1)  1 và x 1 0  f x 2 4 3 2
( )  (12x  4) f (x)  21x  28x  8x . A. 0,64 B. 2,25 C. 3,25 D. 4,15 1
Câu 6. Tính tích phân
f (x 1)dx
khi hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (1)  2 và 0  f x 2 4 3 2 ( )
 2 f (x).(6x 1)  21x  56x  32x  24x 16 . 7 13 1 5 A. B. C. D. 3 12 6 6 1
Câu 7. Tính xf (  x 1)dx
biết rằng hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (  1)  f (  0)  0 và 0
f  x 2 2 ( )  8 f (
x)  32x  32x  4 . A. 0,5 B. 0,4 C. 0,6 D. 0,25 2 16 2 512 224
Câu 8. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (2) = 2,  f  x   4   ;
f x     . 9 9 0 0 2 Tính tích phân f (x)dx  . 0 20 32 32 108 A.  B. C.  D. 3 9 15 5 85 1
Câu 9. Tính (x  1) f (x)dx
biết hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (1)  1và  f x 2 4
( ) 12xf (x)  21x . 0 A. 0,45 B. 2,5 C. 0,5 D. 0,75 1 2 2
Câu 10. Hàm số f (x) liên tục, có đạo hàm đến cấp 2 trên R; 4  f  x  39  2  
; (x x) f  xx  2,5  và 0 1 2
thỏa mãn f (0) = 0, f  
1  4,5 . Tính f xdx  . 0 14 7 A. B. C. 14 D. 7 3 3     2   
Câu 11. Tính f 2018  khi hàm f (x) liên tục thỏa mãn f
 0;  f  x dx
; cos xf xdx      . 2     4 4   2 2 A. – 1 B. 0 C. 0,5 D. 1 8 2 2 8 2 2 38 Câu 12. Tính f (x)dx
khi hàm f (x) liên tục trên [1;2] sao cho 3 3
f (x ) dx  2 f (x )dx
f (x)dx       . 3 15 1 1 1 1 8ln 2 ln 2 5ln 2 A. B. 1,5 C. D. 27 27 27 1 1 11 4
Câu 13. Tính f (2) nếu hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn 5
f (1)  1; x f (x)dx  ; f (  x)dx    . 78 13 0 0 261 13 100 A. B. C. 2 D. 7 7 7 1 Câu 14. Tính f (x)dx
biết rằng hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] sao cho 0 1 2 1    x  1 f (1)  0;
f (x)2dx  ; cos
f (x)dx      . 8  2  2 0 0 1 2 A. 0,5  B.  C. D.   1 Câu 15. Tính f (x)dx
khi hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn 0 1 1 9  x 3 2 f (0)  0;
f (x)dx  ; f (  x) cos dx    . 2 2 4 0 0 A. 6 B. 2 C. 4 D. 1 1 Câu 16. Tính f (x)dx
khi hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn 0 1 1 1  2
f (0)  f (1)  0;
f (x)dx  ; f (
x) cos( x)dx    . 2 2 0 0 A. 2  B. 1 C. 2 D. 3
___________________________ 86
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN – F3)
__________________________________________________
Câu 1. Hàm số f (x) liên tục trên [0;3] thỏa mãn f   f x 2 2 (3) 4; ( )
 8x  20  4 f (x) . Tính f (6) . A. 8 B. 36 C. 31 D. 41 2 2 1 2
Câu 2. Hàm số f (x) liên tục trên [0;2] thỏa mãn 2 f (1)  4;
x f (x)dx  ;
f (x) dx  36   . 5 0 0 2 Tính tích phân f (x)dx  . 0 5 3 2 A. B. C. 4 D. 6 2 3
Câu 3. Hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f    f x 2 2 (1) 1;
( )  4 f (x)  8x 16x  4 . 1
Tìm số nghiệm của phương trình f ( f (x)) 
f (x)dx  2020  . 0 A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 2 2 17 2
Câu 4. Hàm số f (x) liên tục trên [0;2] thỏa mãn 2 f (2)  6;
x f (x)dx  ;
f (x) dx  7   . 2 0 0 2 Tính f (x)dx  . 0 A. 8 B. 6 C. 7 D. 5 1
Câu 5. Tìm số nghiệm của phương trình 4 f (9( f (x))  1993 f (x)dx
khi hàm số f (x) liên tục trên R thỏa 0 mãn f   f x 2 4 3 2 (1) 8;
( )  (12x  8) f (x)  21x  56x 122x  32x  7 . A. 1 B. 8 C. 9 D. 15 1 1 1 2 9 2 Câu 6. Tính f (x)dx
khi hàm số f (x) liên tục trên [0;1] và f (1)  1;
f (x) dx  ; f ( x)dx    . 5 5 0 0 0 A. 0,2 B. 0,25 C. 0,75 D. 0,5  2 2 
Câu 7. Hàm số f (x) liên tục trên 0;  thỏa mãn 2 f (
x)sin xdx  1  ;
f (x)dx    . Tính  f (x)dx  .  0 0 0 A. 2 B. 4 C. – 4 D. 6 1 1 2 f (x) 3
Câu 8. Hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (0)  1;  f (
x) dx  3  2ln 2; dx  2 ln 2    . 2 (x 1) 2 0 0 1 Tính f (x)dx  . 0 1 2ln 2 3  2ln 2 3  4ln 2 1 ln 2 A. B. C. D. 2 2 2 2 1 1 2
Câu 9. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (1) = 0,
f x dx  80    ,
xf xdx  2   . 0 0 1 Tính tích phân
f xdx  . 0 A. – 5 B. 2,5 C. – 2,5 D. 5 1
Câu 10. Tìm số nghiệm của phương trình 4 f ( f (x)  9)  f (  x)dx
khi hàm f (x) liên tục trên R thỏa mãn 0 87 f   f x 2 4 3 2 (1) 1; ( )
 (12x  4) f (x)  21x  28x  27x  8x 1. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4    Câu 11. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên 0;  và 4      4 8      2 f  0;
f (x)dx  ; f (
x).sin 2xdx       .  4  8 4 0 0  8 Tính tích phân f (2x)dx  . 0 A. 1 B. 0,5 C. 2 D. 0,25 3 3 2 154
Câu 12. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;3] thỏa mãn f (3)  6;  f (x) 2 dx  2;
x f (x)dx    . 3 0 0 3 Khi đó f (x)dx
gần nhất giá trị nào sau đây 0 A. 10,6 B. 5,85 C. 30,6 D. 2,6 1 1 2
Câu 13. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn 3 f (1)  2;
x f (x)dx  10;
f (x) dx  8   . 0 0 1 a Khi đó
f xdx  
(phân số tối giản). Tính a + b. b 0 A. 283 B. 289 C. 173 D. 869 2
Câu 14. Tìm giá trị gần nhất với tích phân f (x)dx
khi hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn 1 2 2 5 2 f (x) 5 3
f (2)  0;  f (
x)2 dx   ln ; dx    ln   . 2 12 3 (x 1) 12 2 1 1 A. – 0,06 B. – 0,4 C. 1,56 D. 0,78 1 1 1 2
Câu 15. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn 3 f (1)  1;
x f (x)dx  ;
f (x) dx  9   . 2 0 0 1 Tính tích phân
f xdx  . 0 2 A. B. 2,5 C. 1,75 D. 1,2 3 1 1 1 2 1
Câu 16. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] sao cho 4 f (1)  0;
x f (x)dx   ;
f (x) dx    . 55 11 0 0 1 Tính tích phân
f xdx  . 0 1 1 1 1 A.  B. C.  D. 7 7 55 11
_________________________________ 88
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN – F4)
__________________________________________________ 1 1 1 1
Câu 1. Cho hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn 2 2
f (x)dx
f (x )dx    . Tính f (x)dx  . 3 0 0 0 2 5 A. 1 B. C. D. 3 3 3 1 1 1
Câu 2. Cho hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn 2 4
7 f (x)dx  2 f (x )dx 14   . Tính f (x)dx  . 0 0 0 A. 4 B. 2 C. 7 D. 5 1 1 1
Câu 3. Cho hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn 2 3 2 6
33 x f (x )dx
f (x )dx 11   . Tính f (x)dx  . 0 0 0 A. 4 B. 2 C. 7 D. 5 1
Câu 4. Tính tích phân
f ( f (x))dx
khi hàm số f (x) liên tục và đồng biến trên [0;1] thỏa mãn 0 1 1 f (1)  2;  f (x)5 16 7 5 dx  ;
x f (x)dx    . 3 24 0 0 43 41 A. 4 B. 9 C. D. 15 13
Câu 5. Cho hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (1)  2018 f (0) . Tính a + 1 với 2lna là giá trị nhỏ nhất 1 1 1 2 của biểu thức dx f (  x) dx  2    . f (x) 0 0 2 A.2019 B. 1,2 C. 0,6 D. 3 1
Câu 6. Hàm số y f (x) dương và liên tục trên [1;3], có giá trị lớn nhất bằng 2, giá trị nhỏ nhất bằng . 3 3 3 1
8 f x 1 Ngoài ra f (x) . dx dx  
đạt giá trị lớn nhất. Tính dx  . f (x) x 1 1 1 0 7 7 7 14 A. B. C. D. 3 6 12 3 22  f (x)3 2 7
Câu 7. Hàm số y f (x) có đạo hàm dương trên [1;2] và f (1)  1; f (2)  ; dx   . 4 15 x 375 1 2 Tính f (x)dx  . 1 A. 0,2 B. 0,6 C. 1,4 D. 0,8 1
Câu 8. Hàm số y f (x) xác định, liên tục trên [0;1] thỏa mãn
xf (x) dx  6; max f (x)  6  . Tìm giá trị lớn 0;  1 0 1 nhất của 4 x f (x)dx  0 2 3(4  2) 4  2 2 A. B. C. D. 4 10 20 24
f x2 8
Câu 9. Hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên [4;8] và f x  0, x  4;8 , dx  1  ;  f x 4 4    1 1
f 4  ; f 8  . Tính f 6 . 8 2 89 5 1 2 3 A. B. C. D. 8 3 3 8   2
Câu 10. Hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; thỏa mãn f  x 2 sin xdx  1;
f xdx    .  0 0 
Tính xf (x)dx  . 0  4 2 A.  B.  C.  D.  2   1 1 1
Câu 11. Hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và
f (x)dx xf (x)dx  1   ; 2
f (x)dx  4  . 0 0 0 1 Tính tích phân 3 f (x)dx  . 0 A.10 B. 1 C. 80 D. 8 1 1 2
Câu 12. Hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn xf (x)dx  5;  f (
x) dx  7   và f   1  6 . 0 0 1 Tính f (x)dx  . 0 103 79 A.6 B. 7 C. D. 16 12
Câu 13. Hàm số y f (x) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn f   1  ef 0 và 1 1 1 dx   f (
x)2 dx  2  2  . f (x) 0 0 Khi đó f  
1 gần nhất giá trị nào A.1,77 B. 0,83 C. 2,93 D. 0,91 1 1  
Câu 14. A là tập hợp các hàm số liên tục trên [0;1]. Tìm 2 2018
m  min  xf (x)dx x
f (x)dx   . f A 0 0  1 1 2017 1 A.  B.  C.  D.  2019 16144 2018 16140 1 1 367 2
Câu 15. Hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
xf (x)dx  ;  f (
x) dx  7   và 30 0 0 1
f 2  6 . Tính f (x)dx  . 0 27 5 A.6,75 B. 1,25 C. D. 28 28 2 2 3383 2
Câu 16. Hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;2] thỏa mãn 2
x f (x)dx  ;  f (
x) dx  7   và 70 0 0 2
f 2  6 . Tính f (x)dx  . 0 A.44 B. 45 C. 20 D. 15 3 3 2
Câu 17. Hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;3] thỏa mãn 2
x f (x)dx  8,5;  f (
x) dx  91   và 0 0 3
f 3  6 . Tính f (x)dx  . 0 A.16 B. – 14,4 C. – 22,4 D. 30,6
__________________________ 90
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN – F5)
__________________________________________________ 2 2 1 2 2
Câu 1. Hàm số f (x) liên tục trên [0;2] thỏa mãn 2 f (2)  3;
x f (x)dx  ;
f (x) dx  4   . Tính f (x)dx  . 3 0 0 0 2 297 562 266 A. B. C. D. 115 115 115 115 1 1 1 1 2
Câu 2. Hàm f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn 2 f (1)  4;
x f (x)dx   ;
f (x) dx  5   . Tính f (x)dx  . 2 0 0 0 15 17 15 17 A. B. C. D. 19 4 4 18 1 1 1 19 49
Câu 3. Hàm số f (x) liên tục trên [0;1] sao cho 2 2 f (1)  5;
f (x)dx  3; x f (x)dx  ;
f (x)dx     . 15 5 0 0 0 1 Tính tích phân f (  x 1)dx  . 0 A. 7 B. 9 C. 4 D. 10 2 2 89
Câu 4. Hàm số f (x) liên tục trên (0; ) sao cho 2 2 3
x f (x)dx
 (x x) f (x) ; dx f (1)  1   . Tồn tại 30 1 1 3
bao nhiêu số nguyên m < 2040 để phương trình m  4 f (x)  9 xf (x)dx  1993 
có nghiệm trên (0; ) . 2 A. 10 B. 20 C. 6 D. 20 1 1 1
Câu 5. Hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và 2018
f (x)dx x
f (x)dx  1   ; Tính 2 f (x)dx  . 0 0 0 A.4036 B. 4038 C. 4034 D. 4032 2 2 2
Câu 6. Hàm số f (x) liên tục trên [0;2] thỏa mãn 2 f (2)  2;
x f (x)dx  16;
f (x) dx  4   . Khi đó giá trị tích 0 0 2 phân
f xdx  gần nhất giá trị nào 0 A.2,5 B. 3,2 C. 5,1 D. 4,5 1 1 1 2
Câu 7. Hàm f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn 7 4 f (1)  4;
x f (x )dx  5, 575;
f (x) dx  5   . Tính f (x)dx  . 0 0 0 A.4,25 B. 6,25 C. 5 D. 7,75 1 2 1
Câu 8. Hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (0)  0; f (1)  1 và  f  x 2  1 x dx     . ln(1 2) 0 1 f x Giá trị dx
gần nhất số nào sau đây 2 0 1 x A.0,44 B. 0,96 C. 0,26 D. 0,69 2 2 2 2
Câu 9. Hàm số f (x) liên tục trên [0;2] thỏa mãn f (2)  6;
xf (x)dx  8,5;
f (x) dx  7   . Tính
f xdx  . 0 0 0 A.8 B. 6 C. 7 D. 5 1 1 1 2
Câu 10. Hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn  f (  x) 3
dx  0,5  4 x f     2
x dx . Tính 3 f (x)dx  biết rằng 0 0 0 f 2  5. 19 3 11 A.1 B. C. D. 6 7 3 91 1 1 2
Câu 11. Hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn 9 5 f (1)  6;
x f (x )dx  1,9275;
f (x) dx  7   . 0 0 1 Khi đó f (x)dx
có giá trị gần nhất với 0 A.7,1 B. 8,2 C. 2,2 D. 10,1 1 1 2
Câu 12. Hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn 3 2 2
f (1)  1; (8x  6x x) f (2x x)dx  5,8;
f (x) dx  2   . 0 0 1 Tính f (x)dx  . 0 A.1,25 B. 1,75 C. 2,25 D. 2 2 Câu 13. Tính
f xdx
khi hàm số f (x) liên tục trên [0;2] thỏa mãn 0 2 2 1129
f (2)  6; (x  2x) (x 1) f (3x  6x)dx  ;  f (x)2 2 2 2 dx  7   . 1008 0 0 A.37,6 B. 13 C. 21 D. 42,5 2 Câu 14. Tính
f xdx
khi hàm số f (x) liên tục trên [0;2] thỏa mãn 0 2 2 4405
f (2)  5; (2x 1)(x x) f (x x)dx  ;  f (x)2 2 2 2 dx  6   . 84 0 0 A.35,6 B. 42,5 C. 40,5 D. 45,5 1
Câu 15. Hàm số y f (x) dương và liên tục trên [1;3], có giá trị lớn nhất bằng 2, giá trị nhỏ nhất bằng . 3 3 3 8  1  1 f x 1 Ngoài ra f (x)  . dx dx   
đạt giá trị lớn nhất. Tính dx  . 3   f (x) x 1 1 1 0 A.6 B. 4 C. 8 D. 12 2 2 2 Câu 16. Tính
f xdx
khi hàm số f (x) liên tục trên [1;2] thỏa mãn f (1)  2  ; f (2)  1
 và xf  x dx  2    . 0 1 2
Tính tích phân  f  x  xf (x) dx    . 1 A.1 B. – 1 C. 2 D. – 2 1 Câu 17. Tính 3 f (x)dx
khi hàm số f (x) có đạo hàm dương, liên tục trên [0;1] thỏa mãn 0 1 1  1  3 f  x 2 f x 
dx  2 f xf x ; dx f 0  1    9    0 0 5 7 A.1,5 B. 1,25 C. D. 6 6 1 1 1 2 2
Câu 18. Hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn  f (x) 5 dx   8 x f    2
x dx . Tính 3 f (x)dx  . 3 0 0 0 8 11 A.2 B. C. D. 4 7 3 1 1 2
Câu 19. Hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (1)  2;
xf ( x )dx  20;
f (x) dx  8   . Khi đó 0 0 1 f (x)dx
có giá trị gần nhất với 0 A.2 B. 2,4 C. 3,5 D. 4,1 92
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN – F6)
__________________________________________________ 1 1 766 2
Câu 1. Hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn
xf (x)dx  ;  f (
x) dx  8   và 7 0 0 1
f 2  7 . Tính f (x)dx  . 0 A.26,2 B. 26,8 C. 27,4 D. 12,2 1 1 3 2
Câu 2. Hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn xf (x)dx  ;  f (
x) dx  1   . 10 0 0 1 Tính f (x)dx  . 0 A.1,25 B. 0,8 C. 1,2 D. 1,4 x
Câu 3. Hàm số y f (x) xác định, liên tục trên [0;1] thỏa mãn g(x)  1 f (t)dt
. Biết g x  f x . 0 1 dx
Tìm giá trị lớn nhất của  . g x 0   2 1 A.1 B. 0,5 C. D. 2 3 x
Câu 4. Hàm số y f (x) xác định, liên tục trên [0;1] thỏa mãn g(x)  1 2 f (t)dt  . Biết       3 g x f x    . 0 1 2
Tìm giá trị lớn nhất của 3  g x dx    . 0 4 5 A.4 B. 5 C. D. 3 3 1
Câu 5. Hàm số y f (x) xác định, liên tục trên [0;1] thỏa mãn xf xdx  0; max f (x)  1  . Khi đó giá trị tích 0;  1 0 1 phân x e f (x)dx  thuộc khoảng nào 0  5 3   3  A.  ;   B. ; 2   C. (2;3) D. (3;4)  4 2   2  1
Câu 6. Hàm số y f (x) xác định, liên tục trên [0;1] thỏa mãn 2
x f xdx  0; max f (x)  6  . Giá trị lớn nhất 0;  1 0 1 của 3 x f (x)dx  gần nhất với 0 A.0,3 B. 0,2 C. 0,1 D. 0,4 1 1 84 2
Câu 7. Hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn xf (x)dx  ;  f (
x) dx  4   . 5 0 0 1 Tính f (x)dx  . 0 A.3,25 B. 1,25 C. 0,8 D. 1,2
Câu 8. Hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn 8  f x  8 với mọi x 0;  1 . 1 1
Tìm giá trị lớn nhất của 3 x f (x)dx
biết rằng xf (x)dx  3  . 0 0 4 31 A.2 B. C. D. 2,125 3 16 93 1 1 2
Câu 9. Hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn 2
x f (x)dx  0, 4;  f (
x) dx  7   và f   1  6 . 0 0 1 Tính f (x)dx  . 0 7 20 73 A. B. C. 5 D. 36 9 36
Câu 10. Hàm số y f (x) dương và liên tục trên [1;3], có giá trị lớn nhất bằng 2, giá trị nhỏ nhất bằng 0,5. 3 3 1 3 Ngoài ra f (x) . dx dx  
đạt giá trị lớn nhất. Tính
f xdx  . f (x) 1 1 1 A.3,5 B. 2,5 C. 1,4 D. 0,6 2 2 409 2
Câu 11. Hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn 2
x f (x)dx  ;  f (
x) dx  2   . 21 0 0 2 Tính f (x)dx  . 0 A.21,2 B. 21 C. 18 D. 16,5 x
Câu 12. Hàm số y f (x) xác định, liên tục trên [0;1] thỏa mãn g(x)  1 3 f (t)dt  . Biết       2 g x f x    . 0 1
Tìm giá trị lớn nhất của
f xdx  . 0 4 A.2,5 B. 2,25 C. 1,8 D. 3 x
Câu 13. Hàm số y f (x) xác định, liên tục trên [0;1] thỏa mãn g(x)  1 f (t)dt
. Biết g x  xf  2 2 x  . Tìm 0 1
giá trị lớn nhất của g xdx  . 0 A.2 B. 3 C. 4 D. 1
Câu 14. Hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục, nhận giá trị dương trên [0;1] thỏa mãn 1 1  1  3 f  x 2 . f x 
 2 f xf  xdx    . 9    0 0 1 Tính tích phân 3
f xdx  . 0 5 7 A.1,5 B. 1,25 C. D. 6 6 2
1  f  x 
Câu 15. Hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (1)  ; e f (0)  1;   dx  1  .  f x  0      1 
Khi đó f   gần nhất giá trị nào  2  A.7,38 B. 1,64 C. 0,18 D. 2,16 1 Câu 16. Tính 2 f (x)dx
khi hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (1) = 1,5 và 0 1 1 5 x 1
f (x)dx  ; (x 1) 1 
f (x)2dx     . 6 x  2 3 0 0 7 8 53 203 A. B. C. D. 3 15 60 60
_________________________________ 94
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN – F7)
__________________________________________________
Câu 1. Tính f  
1 khi hàm số f x liên tục trên [0;1], có đạo hàm dương trên [0;1] và thỏa mãn 1 1 2
 f x 2
f x  x 
dx  4  xf  x 2
f xdx f 0  1       .   0 0 A.2 B. 1 C. 4 D. 3 4
Câu 2. Hàm số y f (x) dương và liên tục trên [1;3], có giá trị lớn nhất bằng 2, giá trị nhỏ nhất bằng 1. 3 3 1 3 Ngoài ra f (x) . dx dx  
đạt giá trị lớn nhất. Tính f (x)dx  . f (x) 1 1 1 7 A. B. 1,5 C. 0,5 D. 1 3 1 Câu 3. Tính 3 f (x)dx
khi hàm số f (x) có đạo hàm dương, liên tục trên [0;1] thỏa mãn 0 1 1  1  5 f  x 2 f x 
dx  2 f xf  xdx; f 0  1    25    0 0 25 A.0,5 B. 1,25 C. 1,06 D. 33 1 2 2 e 1
Câu 4. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn  f (  x) dx  
. Tìm giá trị nhỏ nhất của tích 4 0 1 phân ( 1) x x e f (x)dx  . 0 2 e 1 2 e 1 e 1 A.e – 2 B. C. D. 4 2 4  
Câu 5. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên 0; thỏa mãn f (x)dx f (x) cos xdx  1  
. Tìm giá trị nhỏ nhất 0 0  của tích phân 2 f (x)dx  . 0 3 2 3 4 A. B. C. D. 2    Câu 6. Tính 2
36 f 2022. f 2022 khi hàm số f (x) có đạo hàm dương, liên tục trên [0;1] thỏa mãn 1 1  1  6 f  x 2 f x 
dx  2 f xf  xdx    36    0 0 A.4 B. 1 C. 2 D. 0,5 1 1 2
Câu 7. Cho hàm số f x liên tục trên [0;1] thỏa mãn  f (
x) dx  7 
. Tìm giá trị nhỏ nhất của 3
x f  xdx  . 0 0 A.0,4 B. 0,6 C. 0,5 D. – 1 2 1 2
Câu 8. Cho hàm số f x liên tục trên [1;2] thỏa mãn 2 2
x f (x)dx  
. Tìm giá trị lớn nhất của f (x)dx  . 2 1 1 A.0,5 B. 0,2 C. 1 D. 0,25 
Câu 9. Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn 2
f (x)dx  3 
. Tìm giá trị lớn nhất của 0  f (
x) cos xdx  0  A.2 B. – 1 C.  D. 2 95 Câu 10. Tính 2
2 f 2022. f 2022 khi hàm số f (x) có đạo hàm dương, liên tục trên [0;1] thỏa mãn 1 1  1  4 f  x 2 f x 
dx  4 f xf  xdx    4    0 0 A.4 B. 1 C. 3 D. 0,5 1 2 1 x 1 2
Câu 11. Cho hàm số f x liên tục trên [0;1] thỏa mãn f xdx  
. Giá trị nhỏ nhất của  f (x) dx  nằm 2 x 0 trong khoảng nào sau đây  3   1   1   3  A. 1;   B. 0;   C. ;1   D. ; 2    2   2   2   2  1 1
Câu 12. Cho hàm số f x liên tục trên [0;1] thỏa mãn 2
f (x)dx  0,8 
. Tìm giá trị lớn nhất của 2 x f (x)dx  . 0 0 A.0,4 B. 0,6 C. 0,5 D. 0,2 1 1
Câu 13. Cho hàm số f x liên tục trên [0;1] thỏa mãn 2
f (x)dx  0,8  ; 3 x f (  x)dx
có giá trị nhỏ nhất thuộc 0 0 khoảng nào sau đây A.0,8 B. 0,5 C. 1 D. 0,2
Câu 14. Hàm số f (x) có đạo hàm dương, liên tục trên [0;1] thỏa mãn 1 1  9  4 f  x 2 f x 
dx  6 f xf  x ; dx f (2)  2    16    0 0 1 Khi đó
f xdx
có giá trị gần nhất với 0 A.0,85 B. 1,32 C. 3,45 D. 0,52 1 1
Câu 15. Cho hàm số f x liên tục trên [0;1] thỏa mãn 2
f (x)dx  0,8 
. Tìm giá trị lớn nhất của 5 2
x f (x )dx  . 0 0 A.0,4 B. 0,6 C. 0,5 D. 0,2 1 9 1
Câu 16. Cho hàm số f x liên tục trên [0;1] thỏa mãn 2
f (x)dx  
. Tìm giá trị lớn nhất của 5 2
x f (x )dx  . 7 0 0 A.0,4 B. 0,6 C. 0,5 D. 0,2 1
Câu 17. Tìm giá trị lớn nhất của
f xf  xdx
khi hàm số f (x) có đạo hàm dương, liên tục trên [0;1] thỏa 0 1 2
mãn f (2)  f (0)  2;
f (x) dx  4  0 A. 2 2 B. 1 C. 2 D. 0,5 2 2
Câu 18. Cho hàm số f x liên tục trên [1;2] thỏa mãn 4 2
x f (x)dx  0, 75 
. Tìm giá trị lớn nhất của xf (x)dx  . 1 1 A.1,5 B. 0,5 C. 1 D. 1,25 1 1 2
Câu 19. Cho hàm số f x liên tục trên [0;1] thỏa mãn  f (
x) dx  7 
. Tìm giá trị lớn nhất của 8 3
x f (x )dx  . 0 0 f (1) 1 f (1) 1 f (1) 1 f (1) 1 A. B. C. D. 3 9 3 6 1 Câu 20. Tính 3 f (x)dx
khi hàm số f (x) có đạo hàm dương, liên tục trên [0;1] thỏa mãn 0 1 1
f  x 2
f x 1 dx  2 f xf  x ; dx f 0  2     0 0 A.3,75 B. 7,5 C. 8,5 D. 9,5
____________________________________ 96
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN – F8)
__________________________________________________
Câu 1. Cho hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (1)  kf (0) . Tồn tại bao nhiêu số nguyên dương k để giá 1 1 1 2
trị nhỏ nhất của biểu thức dx  4 f (  x) dx  2    nhỏ hơn ln1992 f (x) 0 0 A.5 B. 4 C. 6 D. 7 b 3 3 b a
Câu 2. Cho hàm số f (x) liên tục trên [1;2] thỏa mãn 2
f xdx  , a
 , b 1; 2, a b  . Tìm giá trị lớn 3 a 2 nhất của tích phân f (x)dx  . 1 5 A.0,5 B. 2,5 C. 1,5 D. 3
Câu 3. Cho hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (1)  kf (0) . Tồn tại bao nhiêu số nguyên dương k để giá 1 1 1 2
trị nhỏ nhất của biểu thức 9 dx  4 f (  x) dx  2    nhỏ hơn ln1999 f (x) 0 0 A.5 B. 4 C. 2 D. 1 1 1 1 2
Câu 4. Cho hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (1)  kf (0) và 4 dx  9 f (
x) dx  12 ln k  2    . Để f (x) 0 0 2
f 2  4 thì giá trị thực dương k thu được thuộc khoảng nào A.(0;3) B. (3;6) C. (6;10) D. (10;17) 1 1 1 2
Câu 5. Cho hàm số f (x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (1)  kf (0) và 25 dx  9 f (
x) dx  30 ln k  2    . Để f (x) 0 0 2
f 2  8 thì giá trị thực dương k thu được thuộc khoảng nào A.(0;3) B. (3;6) C. (6;10) D. (10;17) 1
Câu 6. Hàm số y f (x) dương và liên tục trên [1;3], có giá trị lớn nhất bằng 3, giá trị nhỏ nhất bằng . 3 3 3 1 Giá trị lớn nhất của f (x) . dx dx  
thuộc khoảng nào sau đây f (x) 1 1 A.(1;3) B. (3;6) C. (6;10) D. (10;14) 1
Câu 7. Hàm số y f (x) dương và liên tục trên [1;3], có giá trị lớn nhất bằng k, giá trị nhỏ nhất bằng với k là k 3 3 1 số thực dương. Khi f (x) . dx dx  
đạt giá trị lớn nhất bằng 27,04 thì giá trị k thu được thuộc khoảng f (x) 1 1 A.(1;3) B. (3;6) C. (6;10) D. (10;14)
Câu 8. Gọi A là tập hợp các hàm số f (x) liên tục trên [0;1] và nhận giá trị không âm trên [0;1]. Tìm giá trị thực 1 1 m nhỏ nhất sao cho f
 1999 x dx m f (x)dx  . 0 0 A.1999 B. 2000 C. 25 D. 999
Câu 9. Gọi A là tập hợp các hàm số f (x) liên tục trên [0;1] và nhận giá trị không âm trên [0;1]. Tìm giá trị thực 1 1 m nhỏ nhất sao cho f
 1995 x dx m f (x)dx  . 0 0 A.1999 B. 2000 C. 1995 D. 999 1
Câu 10. Tìm số gần nhât với 3 f (x)dx
khi hàm số f (x) có đạo hàm dương, liên tục trên [0;1] thỏa mãn 0 1 1  1  6 f  x 2 f x 
dx  2 f xf  x ; dx f 0  2    36    0 0 97 A.8,5 B. 7,25 C. 9,25 D. 10,5 22
f  x 3 2   
Câu 11. Hàm f (x) có đạo hàm dương trên [1;2] và f (1)  2; f (2) 
. Giá trị nhỏ nhất của dx  có 15 4 x 1 a
giá trị là phân số tối giản
, với a, b nguyên dương. Tính a + b. b A.382 B. 300 C. 256 D. 285 13 10
f  x 3 2   
Câu 12. Hàm f (x) có đạo hàm dương trên [1;2] và f (1)  ; f (2) 
. Giá trị nhỏ nhất của dx  có 6 3 2 x 1 a
giá trị là phân số tối giản
, với a, b nguyên dương. Tính a + b. b A.19 B. 17 C. 15 D. 27 17
f  x 3 2   
Câu 13. Hàm f (x) có đạo hàm dương trên [1;2] và f (1)  1,5; f (2) 
. Giá trị nhỏ nhất của dx  có 8 2 (x 1) 1 a
giá trị là phân số tối giản
, với a, b nguyên dương. Tính a + b. b A.133 B. 120 C. 145 D. 156
Câu 14. Hàm số f (x) liên tục, có đạo hàm trên đoạn 0; 2 . Biết f (2)  7 và  f x 2 4 ( )
 21x 12x 12xf (x) 2
với x  0; 2 . Tính tích phân I f (x)dx  0 1 1 1 A. I  . B. I   ln 2 . C. I  . D. 2 . 2 2 3 1 1 2 1 2
Câu 15. Cho hàm số f (x) liên tục, có đạo hàm trên đoạn 0; 
1 . Biết  f (x) dx   và
x. f ( x )dx   . 5 5 0 0 1 Tính tích phân I f (x)dx  0 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 5 3 x
Câu 16. Hàm số y f (x) xác định, liên tục trên [0;1] thỏa mãn g(x)  4  3 f (t)dt  . Biết       2 g x f x    . 0 1
Tìm giá trị lớn nhất của
f xdx  . 0 A.2,75 B. 2,25 C. 1,8 D. 2,25 x
Câu 17. Hàm số y f (x) xác định, liên tục trên [0;1] thỏa mãn g(x)  9  4 f (t)dt  . Biết       2 g x f x    . 0 1
Tìm giá trị lớn nhất của
f xdx  . 0 A.2,75 B. 2,25 C. 4 D. 5,25 x Câu 18. Hàm số
y f (x) xác định, liên tục trên [0;1] thỏa mãn g(x)  a b f (t)dt a,b  0  . 0 1 Biết       2 g x f x  
 . Tìm giá trị lớn nhất của
f xdx  theo a và b. 0
A. 0, 25b a B. 0, 5b a
C. 0, 5b  2 a
D. 0, 25b a
_________________________________ 98
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TÍCH PHÂN THUẦN NÂNG CAO – G1)
__________________________________________________ 3 3  ln x a a Câu 1. Biết dx   ln c  ln d
với a,b, c, d   và d nhỏ nhất. Tính M a b c d abcd .  x  2 b b 1 1 A. M  3 B. M  84 C. M  40 D. M  58 2
x +1 khi x  2 ln 5
Câu 2. Cho hàm số f x  2 x x  . Tích phân I e f  
e dx bằng
4x  3 khi x  2  0 A. 126 . B. 84 . C. 63 . D. 42 .  2x 1 khi x  0 2
Câu 3. Cho hàm số f x   . Tích phân I
x f 2xdx 2  bằng
x x 1 khi x  0  2 13 50 19 11 A. . B. . C. . D. . 24 3 24 6 3    2 4
Câu 4. Cho hàm số f x có f  4  
và f  x 
 1, x  0; . Khi đó  d 2    f x x bằng  2  sin x  4 2  2 8   2   2 A. . B. 2 . C. . D. . 2 2 2 2 5
Câu 5. Tính  f 5  3x  7 dx    nếu
f xdx  15  . 0 1  A. 15 B. 19 C. 27 D. 37 n 1  1 Câu 6. Tính lim dx  .  1 x xe n A. – 1 B. 1 C. e D. 0 3 a
Câu 7. Biết 3x   1 ln  2
3x  2x  
1 dx a ln 34  ln17  ; c a,b  
 . Tính S a  2b  4c . b 2 A. S  55 B. S  42 C. S  72 D. S  30 ln  2 1
2x  4x   1 a Câu 8. Biết dx  ln a c ln ; c a, , b c  
 . Mệnh đề nào sau đây sai ?  x  3 b 0 1
A. a b c  16
B. a  2b  3c  30 C. 2 2 2
a b c  111 D. abc  105 2 a c
a b c d
Câu 9. Biết x ln  2
2x  3 dx  ln a  ln c d; a, , b c, d    . Tính Q  . b b
a  2b  3c  4d 1 13 11 17 28 A. Q  B. Q  C. Q  D. Q  29 13 15 31 a
Câu 10. Nghiệm dương a của phương trình 2
(2x 1) ln xdx  (a a) ln a  9 
thuộc khoảng nào sau đây ? 1 A. (1;3) B. (3;5) C. (5;7) D. (7;10) 2  1 
Câu 11. Tính tích phân 2018 2019log x x dx  . 2   ln 2  1 A. 2017 2 B. 2019 2 C. 2018 2 D. 2020 2 e 1 Câu 12. Biết rằng 2
(x  ) ln xdx ae b
với a, b là các số hữu tỉ. Tính 4a + 3b. x 1 A. 6,5 B. – 6,5 C. 3,25 D. – 3,25 e 3 a e 1 Câu 13. Biết rằng 3 x ln xdx   . Tìm khẳng định đúng b 1 99 A. ab = 64 B. ab = 46 C. a – b = 12 D. a – b = 4 1 b b Câu 14. Giả sử 2017 x ln(2x 1) dx a  ln 3  , trong đó tối giản. Tính b + c. c c 0 A. 6057 B. 6059 C. 6058 D. 6056 1 2  1 
a ln 2  bc ln 3  c
Câu 15. Tính a + b + c biết rằng a, b, c tự nhiên thỏa mãn x ln(x  2)  dx    .  x 2    4 0 A. 13 B. 15 C. 17 D. 11  2 
x 1 khi x  2 2
Câu 16. Cho hàm số f x   . Tích phân
f 2sin x   1 cos xdx 2  bằng
x  2x  3 khi x  2  0 23 23 17 17 A. . B. . C. . D. . 3 6 6 3 3
Câu 17. Hàm số f x liên tục trên  và thỏa mãn f x  f 5  x, x    ;
f xdx  2  . Tính tích phân 2 3
I xf xdx  2 A. I  20 . B. I  10 . C. I  15 . D. I  5 . 5 3
Câu 18. Cho hàm số f x liên tục trên 4;   và f
  x  4dx  8. Tính I  .x f xdx  . 0 2 A. I  8 . B. I  16 . C. I  4  . D. I  4 . 1
Câu 19. Cho hàm số f x thõa mãn f 0  4 và     ex f x x , x    . Khi đó
f x dx  bằng 0 6e+13 6e+25 6e+25 6e+19 A. . B. . C. . D. . 6 6 3 6 2 1 1 
  x x 1 khi x  0
Câu 20. Hàm số f x   . Biết f
  xdx a b 2 ( a,b là các số hữu tỉ). Tính a b  cos x khi x  0    2 7 1 A. 1. B. . C. . D. 2 . 3 3  1  sin x   
Câu 21. Cho I  ; dx J dx   với   0; 
 , tìm khẳng định sai t  tan x sin x  cos x  4  0 0  cos x A. I dx
B. I J  ln sin x  cos x sin x  cos x 0
C. I  ln 1  tan D. I J  
Câu 22. Cho hàm số f x liên tục trên R có đạo hàm trên đoạn [0;m]. Tìm số thực dương m để tích phân m I   3 5
2x  7x dx đạt giá trị lớn nhất. 0 1 2 7 7 A. m  B. m  C. m  D. m  3 7 2 2
Câu 23. Cho f x liên tục trên R, có đạo hàm trên đoạn [0;m]. Tìm giá trị gần nhất với giá trị lớn nhất I với max m I   2
4x  5x dx . 0 A. 0,4 B. 1,96 C. 0,69 D. 0,2 1 2 x 1 2 x Câu 24. Tính 3 dx  nếu dx a  . 1 xe 1 xe 0 0 A. 1 – 3a B. 2 – a C. 4 – 5a D. 3 – 2a
_________________________________ 100
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TÍCH PHÂN THUẦN NÂNG CAO – G2)
__________________________________________________ 1 3x  4 5 8 Câu 1. Biết rằng dx   b ln ; a, , b c    . Tính a + b + c. 2
(2x 1) (5x  3) a c 0 A. 12 B. 23 C. 17 D. 20 a 1
Câu 2. Cho f xx
bxe thỏa mãn f 0  22 
; f xdx  5 
. Khi đó tổng a + b bằng bao nhiêu ?  x  3 1 0 146 26 16 A. B. – 1 C.  D.  13 11 13 
4 ln(sin x  2 cos x) Câu 3. Biết rằng
dx a ln 2  b ln 2  c ; a, , b c    . Tính abc. 2 sin x 0 15 5 5 17 A. B. C. D. 8 8 4 8 e 1  ln  x   1 Câu 4. Biết 1
dx a bea, b  
 , chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 2   2  x   1 A. 2
2a  3b  4 . B. 2
2a  3b  8 . C. 2
2a  3b  8 . D. 2
2a  3b  8 . b x e Câu 5. Cho dx  7 
với b là số thập phân. Tìm chữ số hàng thập phân thứ hai của b. x 0 e  3 A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 e 4 2
ae be c Câu 6. Biết rằng 2
x(2x  ln x)dx  
với a, b, c là các ước nguyên của 4. Tính a + b + c. 4 1 A. 2 B. 4 C. 3 D. 1 ln 2 dx 1
Câu 7. Biết I   
ln a  ln b  ln c với ,
a b là các số nguyên dương và c là số nguyên tố. xx   c 0 e 3e 4
Tính P  2a b  . c ? A. P  3.  B. P  1. C. P  4 . D. P  3 .  2  x 1 khi x  2 2
Câu 8. Cho hàm số f x   . Tích phân
f 2sin x   1 cos d x x  bằng: 2
x  2x  3 khi x  2  0 23 23 17 17 A. . B. . C. . D. . 3 6 6 3 2 3 1 Câu 9. Biết
dx a ln 5  b ln 3 
với a, b là các số hữu tỉ. Tính a b 2 5 x x  4 1 1 1  A. . B. 0 . C. . D. . 4 2 2 x  ln x
Câu 10. Họ các nguyên hàm của hàm số f x 
trên khoảng 0;  là  x  2 1 1 1 A.
x  ln x  ln x C . B. 
x  ln x  ln x C . x 1 x 1 1 1 C.
x  ln x  ln x C . D. 
x  ln x  ln x C . x 1 x 1 2  x 1 neáu x  0
e f ln x ln x
Câu 11. Cho hàm số f x   . Tích phân dx 2  bằng
2x 1 neáu x  0  x 1 e 14 4 A. . B.  . C. 4  . D. 2. 3 3 101 a b 2017 1 x 1 x
Câu 12. Giả sử x 1 xdx    C
với a, b là các số nguyên dương. Tính 2a – b bằng a b A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020  3 3         2 Câu 13. Tính f sin 2x  cos 2x dx        biết
f xdx  2  .   3    3  0 0 A. 2 B. – 2 C. 1 D. – 1 3  1 
abc ln 2  b ln 5  c
Câu 14. Tính a + b + c biết a, b, c tự nhiên thỏa mãn x ln(x  1)  dx    . 2  x 1   4 0 A. 13 B. 15 C. 10 D. 11 x 1 khi x  2
e f 1 2ln x
Câu 15. Cho hàm số f (x)  
. Giá trị của tích phân dx 2  bằng
x 1 khi x  2  x 1 31 47 47 79 A. . B. . C. . D. . 6 12 6 12 b 1
Câu 16. Có bao nhiêu số thực b 0;7  thỏa mãn điều kiện 2020 sin x sin 2 d x x   ? 1011 0 A. 6 số. B. 4 số. C. 7 số. D. 5 số.  4 f ( x) 2 5 Câu 17. Cho dx  4  và f   2
1 4sin xsin 2xdx  5 . Tích phân f xdxx bằng 1 0 2 A. 18 . B. 22 . C. 12 . D. 1. 1 ln x 2 f x
Câu 18. Cho hàm số f x có f   1 
và f  x 2  ln x  1.
với x  0 . Khi đó dx  bằng: 3 x 2 1 x ln x  1  3 ln 2 ln 2   1 2 ln 2 ln 2   1 ln 2 ln 2  3 ln 2 ln 2  3 A. . B. . C. . D. . 3 3 9 9  2 cos x 4 *   Câu 19. Cho dx a ln  b  , với a, b  , c
. Tính tổng S a b c . 2
sin x  5sin x  6 c 0 A. S  1. B. S  0 . C. S  4 . D. S  3. 1 2
Câu 20. Biết 2x  2x f
dx  log 3. Khi đó f xdx 2  bằng 0 1 A. ln 3 . B. log e . C. log 9 . D. log 3 . 3 2 2 1 1
Câu 21. Biết 1 xf  xdx  2 
và f 0  3 . Khi đó f xdx  bằng 0 0 A. 5  . B. 1. C. 1. D. 5. 1 a c b 2d ac
Câu 22. Biết x ln  2
1 x dx  ln   . Tính P    . b d a c bd 0 11 25 A. P  6 B. P  C. P  12 D. P  2 2 1 1 2 7 1 1
Câu 23. Cho 2 f (x)  3g(2x)dx  ; 3g(2x)  2g(4x)dx  2   . Tính
f (t)dt  2 g(t)dt   . 2 0 0 0 0 A. 3 B. 4 C. 5 D. 2 
2 ln(sin x  cos x)  Câu 24. Biết rằng dx  
b ln c; a, , b c    . Tính a + b + c. 2 sin x a  4 A. 10 B. 9 C. 8 D. 5
_________________________________ 102
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TÍCH PHÂN THUẦN NÂNG CAO – G3)
__________________________________________________ 4 x 1 e    2 khi x  1  3
Câu 1. Cho hàm số f x  2 
,a   nếu f
 lnx x 1dx  3 thì abằng a   2
x x  3 khi x < 1  0  3   3  A. 6  3 2ln 3   . B. 6 6   2ln 3   .  e   e   3   3  C. 6  3 2ln 3   . D. 6  6   2ln 3   .  e   e  
2x 1 khi x  0 2
Câu 2. Cho hàm số f x   . Tích phân
f (2 sin x 1) cos xdx 2  bằng
3x  2x 1 khi x  0  0 3 3 1 1 A. . B.  . C.  . D. . 2 2 2 2
Câu 3. Hàm số f (x) liên tục trên [0;1], hàm số f  x liên tục trên [0;1] và f (1) – f (0) = 2. Biết rằng 1 2
0  f  x  2 2x với mọi x thuộc đoạn [0;1]. Giá trị của tích phân  f x dx    thuộc khoảng nào ? 0  13 14   10 13  A. (2;4) B. ;   C. ;   D. (1;3)  3 3   3 3  3 c Câu 4. Biết rằng 2
x ln(x 16)dx a ln 5  b ln 2  
, trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính a + b + c. 2 0 A. – 2 B. 16 C. 2 D. – 16  2018 1
Câu 5. Tích phân I  dx  bằng: cos 2018 1 xe 0     A. . B. . C. . D. . 1009 4036 2018 2 2 x 1, x  0  e
f  ln x ln x
Câu 6. Cho hàm số f x   . Tích phân dx  bằng 2
2x 1, x  0  x 1 e 14 4 A. . B.  . C. 4  . D. 2 . 3 3 e ln x a 2 Câu 7. Biết rằng dx   bc
với a, b, c nguyên. Tính a + b + c.  x  2 1 e 1 e 1 1 A. – 1 B. 1 C. 3 D. 2
Câu 8. Hàm số f (x) liên tục và nhận giá trị dương trên R, hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, các đường x = 1, 1
x = 2 và đường cong y x f  2 ( 1) x  2x  
1 có diện tích bằng 5. Tính f xdx  . 0 A. 10 B. 20 C. 5 D. 9 4 6
Câu 9. Cho hàm số f x 2
 2sin 3x cos x  3x  2cos x . Tính  f x dx    . 0 A. 14  2 B. 14  2 C. 2008  2 D. 2008  2  2 
x 1 khi x  2 2
Câu 10. Cho hàm số f x   . Tích phân
f 2sin x  
1 cos x dx bằng: 2 
x  2x  3 khi x  2  0 23 23 17 17 A. . B. . C. . D. . 3 6 6 3 103  4  ln a Câu 11. Tích phân
ln 1 tan x dx  
với a là số nguyên tố và b nguyên dương. Giá trị biểu thức b 0 a b bằng A. 10 . B. 6 . C. 11. D. 7 . 3 3
Câu 12. Hàm số y = f (x) liên tục trên R và thỏa mãn f (4 – x) = f (x). Biết xf xdx  5  , tính
f xdx  . 1 1 A. 2,5 B. 3,5 C. 4,5 D. 5,5  2
x  3 khi x  1 2 12
Câu 13. Cho hàm số f x  
. Khi đó 2 f sin x cos d
x x  3 f 3  2x dx   bằng
5  x khi x  1  0 0 32 71 A. . B. 31. C. . D. 32 . 3 6
Câu 14. Cho hàm số f x liên tục  thỏa mãn f x  
1  f x, x
 . Mệnh đề nào sau đây đúng 2017 1 2017 1 A.
f x dx  2017 f x dx   . B.
f x dx   f x  2016 dx   . 0 0 0 0 2017 1 2017 1 C.
f x dx f x  2016 dx   . D.
f x dx  2
 017 f x dx   . 0 0 0 0 2018 Câu 15. Tích phân 1  cos 2xdx  bằng: 0 A. 4036 2 . B. 2018 2 . C. 4036 2 . D. 2018 2 .  4 ln a b Câu 16. Biết 2
sin x tan xdx   
với a, b là các số tự nhiên. Khi đó 2 4 0 A. 2 2 a b  5
B. a b  2 C. a b
D. a b  4 1 Câu 17. Biết rằng 2
x ln(x  2)dx a ln 3  b ln 2  c
với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính a + b + c. 0 A. 1,5 B. 1 C. 0 D. 2 4
Câu 18. Cho hàm số y f x liên tục trên  thỏa mãn f x  f x  4, x    và
f x dx  5  , 0 2 7
f 3x  5 dx  3  . Tính tích phân
f x dx  1 0 A. 6 . B. 14 . C. 4 . D. 7 .
Câu 19. Đẳng thức nào dưới đây đúng? 3 3 3 3 2017 2017 2017 2017 A.   2
x  3x  2 dx    2 x x dx . B.   2
x  3x  2 dx    2 x x dx . 1  1 1  1 3 3 3 3 2017 2017 2017 2017 C.   2
x  3x  2 dx    2 x x dx . D.   2
x  3x  2 dx    2 x x dx . 1 1 1 1  4 1 Câu 20. Biết 4
dx a b 3 
với a, b hữu tỷ. Khẳng định nào sau đây đúng 2  sin x cot x 6 A. 2 2 a  2b  0
B. a b  0
C. 2a b  0 D. 2 a b  1 x 1  Câu 21. Cho 2017 f (x) tt e dt
với x > 1. Tính f 0 . x
A. f 0  2e
B. f 0  e C. f   2017 0  e D. f   2 0  e
_________________________________ 104
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TÍCH PHÂN THUẦN NÂNG CAO – G4)
__________________________________________________ 1 b Câu 1. Biết 2
x ln 3x 1dx a ln 2  
(a hữu tỷ, b và c nguyên dương, phân số tối giản). Tính abc. c 0 8 4 A.6 B. 3 C. D. 3 3  2  xCâu 2. Biết rằng 2 sin I  2 cos  x cos x x e
dx e(a 1)  b   . Giá trị 2 2
a b gần nhất giá trị nào  2  0 A.3,46 B. 4,25 C. 5,17 D. 8,14   Câu 3. Tính
f (sin x)dx
khi xf (sin x)dx  2  . 0 0 A. 1 B. 4 C.  D. 2  4 a a
Câu 4. Biết ln(1 tan x)dx  ln c
với a, b, c nguyên dương và
tối giản. Giá trị a + 2b – c thuộc khoảng nào b b 0 trong các khoảng sau A.(17;19) B. (25;27) C. (31;33) D. (41;43) 2
Câu 5. Cho f x liên tục và có đạo hàm trên đoạn [1;2] thỏa mãn f  xdx  4x 1  . Tính I f   3 x dx . 1 969 911 129 A. B. C. D. 1 13 28 35
Câu 6. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên đoạn [1;2] thỏa mãn điều kiện f  xdx  2x 1  . Giá trị 2 của tích phân I
f 2x   1 dx  nằm trong khoảng nào ? 1
A. (30;35) B. (10;20) C. (40;50) D. (– 20;10)   
Câu 7. Hàm số f (x) liên tục và nhận giá trị dương trên 0;  
thỏa mãn f x  tan .
x f x; f 0  1với mọi x 4        4 thuộc miền 0;  . Tính tích phân f (x)dx  . 4    0 1   1  A. B. C. ln D. 0 4 4 4 2018 1
Câu 8. Hàm số f (x) liên tục trên R và f (x)  0; f (x). f (2018  x)  1, x  0;2018 . Tính dx  . 1 f (x) 0 A. 2018 B. 0 C. 1009 D. 4016  2 2017 sin x
Câu 9. Tìm số nghiệm của phương trình 3 2
x  3x  4x I  0 biết rằng I   . 2017 2017 sin x  cos x 0 A.2 B. 4 C. 3 D. 1 2 2016 x
Câu 10. Tìm chữ số tận cùng của 2017 dx  . x e 1 2 A.4 B. 2 C. 6 D. 8 2x  3; x  2
Câu 11. Cho f (x)  
. Giả sử F x là nguyên hàm của hàm số đã cho và F 0  3. 3 4x 1; x  2  105
Tính F 3  5F  5   . A.12 B. 16 C. 13 D. 7 b b
Câu 12. Cho hàm số f x liên tục trên [a;b] thỏa mãn f (x)dx  7  . Tính
f (a b x)dx  . a a A.7 B. a + b – 7 C. 7 – a – b D. a + b + 7 x  e  ; m x  0
Câu 13. Cho hàm số f (x)   (m là tham số). 2 3 3
x (x 1) ; x  0  1 b b Biết
f (x)dx ae   với a, b, c tự nhiên;
tối giản. Tính a + b + c + m. c c 1 A.13 B. 35 C. – 11 D. 36
e (x 1) lnx 2 e 1 a Câu 14. Biết rằng
dx ae b ln 
trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính . 1 x ln x e b 1 A.0,5 B. 1 C. 3 D. 2 4 dx Câu 15. Biết rằng
a b c
với b < c. Tính a + 2b + c.
x x  2  (x  2) x 2 A.14 B. 18 C. 10 D. 16 2 3
Câu 16. Cho f x liên tục và có đạo hàm trên đoạn [2;4] thỏa mãn điều kiện
f  x  , x  2; 4 . x 1 x 1
Giả sử tồn tại hai số thực a và b: a f 4  f 2  , b x
 2; 4 . Giá trị tổng S a b gần nhất với giá trị nào ? A. 2,55 B. 3,21 C. 4,25 D. 8,34 x 2  ee 1; x  0 f (ln x 1) a a
Câu 17. Cho hàm số f (x)   . Biết rằng dx   ce  với a, b, c nguyên và tối 2
x  2x  2; x  0  x b b 1 e
giản. Tính giá trị biểu thức a + b + c. A.35 B. 29 C. 36 D. 27   Câu 18. Cho
f (sin x)dx  2 
. Tính xf (sin x)dx  . 0 0 A. 1 B. 4 C.  D. 2 2 3
x ln(x 1); x  0 ef (ln x)
Câu 19. Cho hàm số f (x)   . Biết rằng
dx a 3  b 2  c  với a, b, c hữu tỷ. 2
2x x  3 1; x  0  x 1 e
Tính giá trị của biểu thức a + b + 6c. A.35 B. – 14 C. 18 D. – 27 1 3 x 3
x  2  ex 2x 1 1  eCâu 20. Biết rằng dx   .ln p   
 với m, n, p là các số nguyên dương. Tính giá   . e 2x m e ln ne    0
trị biểu thức m + n + p. A.5 B. 6 C. 8 D. 7 2x  ; a x  1 2
Câu 21. Cho hàm số f (x)   thỏa mãn
f (x)dx  13 2  . Tính a + b – ab. 3x  ; b x  1  0 A.1 B. – 11 C. – 5 D. – 1 2  2 sin x 1 ; x  0 2
Câu 22. Cho hàm số f (x)  
và có nguyên hàm F x thỏa mãn F   1  . Khi đó 2x ; x  0  ln 2
F   gần nhất với giá trị nào A.-4,84 B. – 4,58 C. – 6,28 D. – 7,72  2 2
x  (2x  cos x) cosx1 sinx c Câu 23. Biết 2 I
dx a  b  ln 
; với a, b, c là các số hữu tỷ. Tính 3 ac b . x  cos x  0 A.3 B. 1,25 C. 1,5 D. 2
_________________________________ 106
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TÍCH PHÂN THUẦN NÂNG CAO – G5)
__________________________________________________ 1 ln 2  x  ln a Câu 1. Cho dx  
với a là số nguyên tố và b nguyên dương. Giá trị của biểu thức a b bằng 1 1 x2 b 0 A. 10 . B. 6 . C. 11. D. 7 . b b      ln 2
Câu 2. Hai số thực a,b  0; 
 thỏa mãn a b
và ln 1 tan x dx  
. Tính x sin 12x dx  bằng  2  4 24 a a   1 1 A.  . B. . C.  . D. . 48 48 72 72    x 2018 cos x2018 sin 2   Câu 3. Cho ln 
 dx a ln a b ln b 1 
với a, b là các số nguyên dương. Giá trị của biểu
 2018  sin x2018 0   
thức a b bằng A. 2015 . B. 4030 . C. 4037 . D. 2025 .  sin a x xCâu 4. Cho dx  
với a, b, c nguyên dương và a, c là các số nguyên tố. Giá trị của biểu thức 2 3  cos x b c 0
a b c bằng A. 16 . B. 19 . C. 11. D. 17 .
Câu 5. Hàm số y f x liên tục trên đoạn  ;
a b thỏa mãn f x  f a b x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? b b a b b b
A. xf x dx
f x dx   .
B. xf x dx  a bf x dx   . 2 a a a a b b a b b b
C. xf x dx  
f x dx   .
D. xf x dx   a bf xdx   . 2 a a a a 2018 Câu 6. Tích phân
 1 cos 2x  1 sin 2x  dx  bằng   0 A. 4036 2 . B. 2018 2 . C. 8072 2 . D. 8072 2 . 2018 2 
Câu 7. Tích phân I  1  cos 2xdx bằng 1 2018 2 A. 2 2 . B. 0 . C. 2018 2 2 . D. 2019 2 2 . 2018  2 2 
Câu 8. Tổng tích phân 1 cos 2xdx
1 cos 2xdx  ...  1 cos 2    xdx bằng 0 0 0 A.  2019 2  2  2 . B.  2018 2  1 2 . C.  2019 2  1 2 . D.  2020 2  2  2 .  2 cos 3x Câu 9. Biết rằng
dx a b ln 2 
với a, b là các số hữu tỷ. Tính 2 2 a  2b . sin x 1 0 A.6 B. 9 C. 22 D. 11 2  4 2018 
Câu 10. Tổng tích phân 1 cos 2xdx
1  cos 2xdx  ...  1 cos 2    xdx bằng 0 0 0 2  2018.2019  1009.2019.4037 2 A. 2 2   . B. .  2  3 2  2018.2019  2018.2019.4037 2 C. 2   . D. .  2  3 4 1
Câu 11. Cho hàm số f (x) chẵn liên tục trên  thoả mãn
f xdx  2016  . Tích phân
f 4xdx  bằng 4  0 A. 126 . B. 252 . C. 504 . D. 8064 107  4 tan x Câu 12. Biết
dx a ln 3  b ln 2  c
với a, b, c hữu tỷ. Tính a + b + c. 2
(sin x  2 cos x) 0 7 7 1 7 A. B.  C.  D.  3 3 3 4 2 dx Câu 13. Biết
a b c
với a, b, c nguyên dương. Tính a + b + c.
(x 1) x x x 1 1 A.24 B. 12 C. 18 D. 46  2 3 2
x  cos x x sin xb b Câu 14. Biết rằng dx   
với a, b, c là số nguyên dương,
là phân số tối giản. Tính giá sin x 1 a c c 0 trị a + b + c. A.5 B. 7 C. 10 D. 11  2018 sin a x xCâu 15. Cho dx  
, với a, b là các số nguyên dương. Giá trị biểu thức 2 3
2a  3b bằng 2018 2018 (sin x  cos x) b 0 A. 32 . B. 194 . C. 200 . D. 100 .
Câu 16. Các hàm f x, g x liên tục trên R và có đạo hàm trên đoạn [1;3] thỏa mãn đồng thời các điều kiện 3 3 3 3 f   1 .g  
1  1; f 3.g 3  3; g xf  x .
dx g xf xdx  1  
. Tính S g xf  xdx g xf xdx   . 1 1 1 1 A. 1 B. 0 C. – 1 D. 2 3 2
Câu 17. Cho hàm số f x liên tục trên 1;  và f
  x 1dx  8 . Tính tích phân xf xdx  . 0 1 A. 2 B. 8 C. 4 D. 16 64 1 2 Câu 18. Biết rằng dx a ln  b
với a, b là các số nguyên. Tính a – b. 3 x x 3 1 A.5 B. – 17 C. – 5 D. 17  4 1 2  aCâu 19. Biết rằng dx  ln b  
với a, b, c nguyên dương. Khi đó 2 2 2
a b c có  5     2 c 0 cot  x tan  x      12   6 
giá trị thuộc khoảng nào A.(45;50) B. (16;20) C. (30;35) D. (35;40) 1 3
Câu 20. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên đoạn [2;4] thỏa mãn điều kiện
f  x  , x  2;4. x x
Giả sử tồn tại hai số thực a và b sao cho a f 4  f 2  , b x
 2; 4 . Giá trị tổng S a b gần nhất với giá trị nào ? A. 2,77 B. 4,25 C. 9,31 D. 10,62  2 3sin x  cos x 11 Câu 21. Biết rằng dx  
ln 2  b ln 3  c
với b hữu tỷ, c là số thực. Khi đó b:c gần nhất với
2sin x  3cos x 13 0 A.7,3 B. 23 C. 2,3 D. 0,54  4 1 1 Câu 22. Biết sin 2 .
x ln(tan x 1)dx a  b ln 2  c
với a, b, c hữu tỷ. Tính   c . a b 0 A.2 B. 4 C. 6 D. – 4 3  8 2018 
Câu 23. Tổng tích phân 1  cos 2xdx
1  cos 2xdx  ...  1 cos 2    xdx bằng 0 0 0 2  2018.2019  1009.2019.4037 2 A. 2 2   . B. .  2  3 2  2018.2019  2018.2019.4037 2 C. 2   . D. .  2  3 108
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TÍCH PHÂN THUẦN NÂNG CAO – G6)
__________________________________________________
Câu 1. Hai hàm số liên tục f x, g x có nguyên hàm lần lượt là F x,G x trên đoạn [1;2] thỏa mãn 2 3 67 F  
1  1; F 2  4;G   1  ;G 2  2;
f (x)G(x)dx   . 2 12 1 2
Tính G(x)g(x)dx  1 11 145 11 145 A. B.  C.  D. 12 12 12 12 1 3 x 1 Câu 2. Cho
dx a b ln 3  c ln 2 
với a hữu tỷ, b và c là số nguyên. Tính b + c. 2 x  3x  2 0 A.9 B. – 4 C. 7 D. 8 2 2 2(x 1) Câu 3. Cho
dx a b ln 3  c ln 2 
với a hữu tỷ, b và c nguyên. Tính b + c. 3 2
x  3x  2x 1 A.3 B. 4 C. 6 D. 5
 12cos x  5sin x 10
Câu 4. Cho I
dx a  b ln 2  c ln 7 
, với a, b, c nguyên dương. Tính a + b + c.
2 sin x  3cos x  5  2 A.8 B. 7 C. 9 D. 12 3 4x  3 khi x  1 2
Câu 5. Cho hàm số y f x   và I
f x dx
. Số phần tử của a nguyên dương để
2a  2ax khi x  1  0 2019  I  0 A. 2019 . B. 2020 . C. 2022 . D. 2021.
 sin x x cos x 1  1
Câu 6. Cho I
dx a ln 2  b ln 
; với a, b, c nguyên dương. Tính 2 2
a ab  3b .
x(x  sin x 1)   4  2 A.8 B. 9 C. 10 D. 11  1 khi x 1 0 
Câu 7. Cho hàm số f (x) xác định trên  thỏa mãn f x   x . Giá trị của f (x)dx  là:  . x x e khi x  1 1  2 2 2 2  e A. 1 B. C.  D. e e e e ln 2 xdx
Câu 8. Cho I
a ln 2  b ln ln 2  0,5 
với a, b là những số nguyên dương. Tính 2 2
a  3ab b xx e 0 A.5 B. 6 C. 7 D. 9 1 4 x dx
Câu 9. Cho tích phân I
a  ln 5  ln13  b ln 3  c ln 2 
với a, b, c nguyên dương. 4 3 2
x  4x 12x  24x  34 0
Tính giá trị biểu thức a + b + c. A.5 B. 6 C. 7 D. 8 2 x xe  2 x e x Câu 10. Cho 2
dx a ln 2  b ln(e  6)  c ln(e  2) 
với a, b, c nguyên Tính a + b + c. 3 2 x
x x xe 1 A.3 B. – 1 C. 5 D. 2
ex m khi x  0  1
Câu 11. Hàm số f x  
liên tục trên và
f xdx= e
a b 3  c  , a, , b c Q . 2
2x 3  x khi x  0  1
Tổng a b  3c bằng A. 15 . B. 1  0 . C. 1  9 . D. 1  7 . 1   x xa b Câu 12. Cho cos  dx    
với a, b, c là những số nguyên dương và phân số tối giản. Tính giá 3  2 (x 1)  c 0   109
trị biểu thức a + b + c. A.9 B. 8 C. 11 D. 12
Câu 13. Cho hàm số y f x liên tục, có đạo hàm trên R và có đồ 1
thị như hình vẽ bên. Tính f (5  x  3) dx  . 0 A. 2 B. 3 C. 9 D. 1,8 1 2 x  2 b Câu 14. Cho
dx a ln 2  
với a, b, c là những số nguyên dương và phân số tối giản. Tính a + b + c. 3 (x 1) c 0 A.13 B. 10 C. 12 D. 11
Câu 15. Hai hàm số liên tục f x, g x có nguyên hàm lần lượt là F x,G x trên đoạn [0;2] thỏa mãn 2
F 0  0; F 2  1;G 0  2  ;G 2  1;
F (x)g(x)dx  3  0 2 Tính
f (x)G(x)dx  0 A.3 B. 0 C. – 2 D. – 4 2 x 1 Câu 16. Biết
dx  ln ln a b
với a, b là các số nguyên dương. Tính 2 2
P a b ab ? 2  
x x ln x 1 A. 10 . B. 8 . C. 12 . D. 6 . 12 1 1 c x   a a c
Câu 17. Cho I  1 xx e d d x e   
, trong đó a, b, c, d là các số nguyên dương và các phân số ,  x b b d 1 12
là tối giản. Tính bc ad ? A. 12. B. 1. C. 24. D. 64. 2 2x khi x  1 2
Câu 18. Cho hàm số y f x   . Tính
f x dx  . 3  x khi x  1  0 7 17 13 A. . B. . C. . D. 2 6 6 6 1 2 x  2 c Câu 19. Cho
dx a ln 3  b ln 2  
với a, b, c, d là những số nguyên dương và phân số tối giản. 2 (x 1)(x 1) d 0
Tính giá trị biểu thức a + b + c + d. A.8 B. 10 C. 12 D. 14   2 e 2 e a Câu 20. Cho sin(ln x)dx  
với a, b nguyên dương. Tính giá trị a + b. b 1 A.3 B. 5 C. 7 D. 9 2 dx a 3 b Câu 21. Biết rằng   
với a, b, c nguyên dương và phân số tối giản. Tính giá 2 2 c c 0 ( x
 2x  4) x  2x  4
trị biểu thức a + b + c. A.6 B. 7 C. 5 D. 8 2 4 2
x(x  4x  3) a 29 c Câu 22. Biết rằng dx   
với a, b, c nguyên dương và phân số tối giản. Tính a + b + c. 3 b b 0 2x  6x 1 A.35 B. 29 C. 31 D. 23
_________________________________ 110
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TÍCH PHÂN THUẦN NÂNG CAO – G7)
__________________________________________________ 1
Câu 1. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x)  . 2 x a A. 2
ln x x a C B. 2 ln x
x a C C. 2 ln
x a C D. 2 ln
x a  2x C 2 3
x 1 khi x  1 3
Câu 2. Cho hàm số y f x   . Tính
f x dx  .
ln x  2 khi x  1  0 A. ln 27  2 . B. ln 27  2 . C. ln 27  6 . D. ln 27  6 3 a 10 ln(3  10) a Câu 3. Cho 2 x 1dx   
với a, b, c nguyên dương và phân số
tối giản. Tính a + b + c. b c b 0 A.5 B. 4 C. 3 D. 7 2x khi x  0 e 1   2 e ab
Câu 4. Cho hàm số y f x   . Tính T
f x dx   . Tích abc bằng x ln   x   1 khi x  0  c 1 A. 28 . B. 12 . C. 12  . D. 2  8 . 1 dx a b 2 a
Câu 5. Cho I    
;a, b, c nguyên dương;phân số tối giản. Tính 2 3
a b c . 2 2 c c c 0 ( x
x  2) x x  2 A.17 B. 18 C. 23 D. 30 2x khi x  0  1
Câu 6. Cho hàm số y f x   . Tính
f x dx  . ln   x   1 khi x  0  1 A. ln 4  2 . B. ln 4  2 . C. ln 4  6 . D. ln 4  6 2 2019 (3x  2)
Câu 7. Tính tích phân dx  . 2021 x 1 2020 4 1 2019 2 1 2020 2 1 2021 2 1 A. B. C. D. 2020 4038 4040 4042 2 3
x  2x khi x  1 2
Câu 8. Cho hàm số y f x   . Tính
f x dx  . 2  x khi x  1  0 1 1 1 A. . B.  . C. . D. 2 2 2 4 2 3 dx a 196 c Câu 9. Cho   
với a, b, c, d nguyên dương; phân số tối giản. Tính a + b + c + d. 2 3 3 b d 1 x 2x x A.25 B. 27 C. 24 D. 26
e (1 ln x)dx e b Câu 10. Cho  a ln 
với a;b;c là những số nguyên dương. Tính a + b + c. 2 2 x  ln x e c 1 A.6 B. 5 C. 4 D. 3 1 3 3 dx 4 3 Câu 11. Biết rằng    với a, b nguyên dương. 3 2 3 2 a b 0 ( x
 3x  3x  9) x  3x  3x  9 Tính 2 3
(a b)  (a b) . A.35 B. 10496 C. 2112 D. 62450  2 3 3  x  2x khi x  1 3 e 1
x f ln  x f x   1 (tan )  a a
Câu 12. Cho hàm số f (x)   . Biết I dx dx    với là 3x  2 khi x  1 2 2  cos x x 1 b b  0 4
phân số tối giản. Giá trị của tổng a b bằng A. 75 . B. 76 . C. 77 . D. 78 . 111 ln 2 x e (x 1) a b ln 2 Câu 13. Biết rằng dx  ln 
với a, b, c nguyên dương. Tính a + b + c. 2 2 x x e c  ln 2 0 A.3 B. 6 C. 5 D. 7  2 2 2
x sin 2x  2 sin x   a Câu 14. Biết rằng dx  ln 
với a, b nguyên dương. Tính 2 2
a ab b . 3 2 2
x x sin x   b  6 A.53 B. 61 C. 42 D. 28 2 2 2019 (5x  4)
Câu 15. Tính tích phân dx  . 4041 x 1 2020 4 1 2020 2 1 4040 2 1 2020 4 1 A. B. C. D. 2020 8080 16160 4040 e 2 ln x  ln x 2 e b Câu 16. Biết rằng dx a ln   
với a, b, c nguyên dương. Tính a + b + c. 2
x(ln x 1 x) e  2 e  2 c 1 A.6 B. 7 C. 8 D. 9 e ln x 2e  2
Câu 17. Cho I
dx a ln 3  b ln 2  c ln 
với a, b, c nguyên. Tính a + b + c.
(ln x x 1)(ln x  2x 1) e  2 1 A.1 B. – 1 C. 0 D. 5 e 2 x ln x e b Câu 18. Cho dx   
với a, b, c nguyên dương và phân số tối giản. Tính a + b + c. 2 2
(2 ln x x 1) a(e  3) c 1 A.11 B. 12 C. 13 D. 14 2
Câu 19. Tính tích phân 3 2 2019
(8x  36x  56x  30) dx  . 1 2019 2 1 2019 2 1 A. B. Không xác định C. 0 D. 2020 2020 1 3 x a b c Câu 20. Biết dx   với a, ,
b c là các số nguyên và b  0 . Tính 2
P a b c ? 2 15 0 x  1 x A. P  3 . B. P  7 . C. P  7  . D. P  5 .  2 1
x xex Câu 21. Cho dx  . a e  b ln  c  , với a, ,
b c . Tính P a  2b c ?  x e  x  e 0 A. P  1 . B. P  1  . C. P  0 . D. P  2  . 2 dx a 1 2 Câu 22. Biết  ln(1 2)  
với a, b, c nguyên dương và phân số tối giản. Tính a + b + c. 2 b c 1 x x 1 A.7 B. 11 C. 5 D. 13 1 dx
a 5  b 3  c Câu 23. Cho  
với a, b, c nguyên dương. Tính a + b + c.
x  4  x  3 3 0 A.54 B. 52 C. 49 D. 48 3 2 1 a c
Câu 24. Cho I dx  ln 2  ln 3 
;a, b, c, d nguyên dương;các phân số tối giản. Tính a + b + c + d. 3 x(x 1) b d 1 A.9 B. 10 C. 11 D. 12 3
Câu 25. Tính tích phân 3 2 2019
(x  3x x  5) dx  . 1 2019 3 1 2019 3 1 A.0 B. Không xác định C. D. 2020 2020 1 f ( x) 1 e ln xe
Câu 26. F ( x) 
là một nguyên hàm của hàm số và f (e)  . Tính I
f '( x).ln x  dx 2    2 x x 2 2e x 1   1 1 A. 1  e . B. e  1 . C. 1 . D. e  . 2 2e 2 112
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TÍCH PHÂN THUẦN NÂNG CAO – G8)
__________________________________________________ 2 Câu 1. Biết rằng 2 2 x
x  4dx a 2  b ln 
1 2với a, b là những số nguyên dương. Tính 2 3
a  3ab  3b . 0 A.72 B. 86 C. 62 D. 56  2 x 1   x  0 2
Câu 2. Cho hàm số y f x   . Tích phân I f
  2cos x 1 sin d x x bằng 2 cos x  3   x  0  0 2  1 1  A. 0 . B. . C. . D. . 3 3 3 1 a 5 c 2 1 2  5 Câu 3. Biết 2
x x  2x  2dx    ln 
với a, b, c, d nguyên dương và các phân số tối giản. b d 2 1 2 0
Tính giá trị biểu thức a + b + c + d. A.2 B. 1,2 C. 2,5 D. 1,25 2 3 2
x  3x  4x  20 a
Câu 4. Cho tích phân I  dx  có dạng I
c ln d với a, , b , c d   và ,
a b nguyên tố cùng 3 2
x x  5x  3 b 0
nhau. Tính a b  2c  3d A. 23 . B. 6 . C. 31 . D. 11 .  2 sin x
Câu 5. Tính tích phân dx  . 3
(sin x  cos x) 0 A.1 B. 0,5 C. 0 D. Kết quả khác  2
Câu 6. Tính tích phân 2020
(sin x  cos x) dx  . 0 1 2021 2 1 A.1 B. Không xác định C. D. 2021 2 2 x 1 
Câu 7. Cho hàm số ( ) t g x e 1dt
, đạo hàm của hàm số bằng 1 A. 2 x 1 2 e  1 B. 2 x 1
2 e  1  e 1 C. 2 x 1 2 e  1 D. 2 x 1 (2x 1) e    2x 1 a Câu 8. Tính f
 g xdx khi hai hàm số f (x), g(x) liên tục và xác định trên đoạn  ; a avà thỏa mãn a
f (x)  f (x); g(x)  g(x), x   ; a a . a a a A.
f g x dx
B. 2 f g x dx  C. 0
D. 4 f g x dx  0 0 0 2018 Câu 9. Tính 2019 2020 x f (x )dx  . 2018 A.1 B. 2018 C. 0 D. 2019 2020 7 2 6x  22x 18
Câu 10. Cho tích phân I  dx
có dạng I a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a, , b c   . Tính 3 2
x  6x 11x  6 4
a  2b  3c A. 11. B. 9 . C. 13 . D. 7 . 2019 sin x
Câu 11. Tính tích phân dx 2  x 2 2019 3  x  3 2019 3 1 A.0 B. Không xác định C. 2020 2.3 D. 2 113 2019 2
Câu 12. Tính tích phân 2 ln(x x 1)dx  . 2019 2 A.0 B. 1 C. 2019 2 D. 2019 2 1 1 f  2 1 x x x e
Câu 13. Hàm số f x xác định và liên tục trên R và f xdx  6  . Tính dx  . x e 1 0 1 A.2 B. 8 C. 4 D. 1   2x 1 khi x  0 2
Câu 14. Cho hàm số f x   . Tích phân
sin 2x f sin x dx 2  bằng
x x 1 khi x  0    2 13 5 19 11 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
2x 1 khi x  3 1
Câu 15. Cho hàm số f x  x x 2 
( a là tham số thực). Nếu f  e  
1 e dx e thì a bằng
ax  3a  7 khi x  3  0 2 3e  4e  6 A. . B. 6e  6 C. 6e  6 D. 6  e  6 e 1  3 2
  a b  c
Câu 16. Biết x 1 cos xdx  a, , b c     . Giá trị của 2 3
P a c a b bằng 18 0 A. 54. B. 81 . C. 162 . D. 0 . 2 x 1 
Câu 17. Tính đạo hàm của hàm số ln(t 1)dt  . 2 x 1 
A. 2x ln x  ln(x 1) B. 2
x ln(x 1)  ln x
C. (4x 1) ln x D. 2
2x ln(x 1)  ln(x 1)  2  x x Câu 18. Biết 4 4 sin  cos dx  . a   b   
. Tính T = a b ?  4 4  0 1 3 1 1 A. . B. . C.  . D.  . 8 8 8 4  2 3 2
x x cos x  sin xb b
Câu 19. Biết I  dx   
với a, b, c là các số nguyên dương và là các số tối giản. 1 cos x a c c 0 Tính 2 2 2
T a b c ? A.59. B. 69. C. 60. D. 79.  x   1 ln  2 4
x  2x  2 1 Câu 20. I  dx  lnc a  lnc b  với a, ,
b c là các số nguyên dương. Tính a b c . 2   x  2x  2 4 2 A. 3 . B. 22 . C. 14 . D. 20 . 9 3 4 3 cos  x 1 Câu 21. 2  sin   3    d   b c I x x e x
e e  với , a ,
b c là các số dương. Tính 2 2
a b c a 1 3 6 5 1  5 17 29 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4  4
4x  4x  9 khi x  0 50
Câu 22. Cho hàm số f x   , đồng thời I
f xdx   . Tính a . 2 4a  tan x khi x  0  3   4 1 3 1 A. a  1. B. a  . C. a  . D. a  . 2 4 4
__________________________________________________________ 114