Tóm tắt các dạng toán và bài tập Nguyên hàm – Tích phân – Nguyễn Thanh Sơn Toán 12
Tóm tắt các dạng toán và bài tập Nguyên hàm – Tích phân – Nguyễn Thanh Sơn Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Môn: Toán 12
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
Chuyªn ®Ò: Nguyªn hµm-TÝch ph©n LuyÖn Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng
Nguyªn hµm - tÝch ph©n vµ c¸c øng dông
a.tÝnh tÝch ph©n b»ng ®Þnh nghÜa Ph−¬ng ph¸p:
1. §Ó x¸c ®Þnh nguyªn hµm cña hµm sè f(x), Chóng ta cÇn chØ ra ®−îc hµm sè F(x)
sao cho: F’(x) = f(x).
• ¸p dông b¶ng c¸c nguyªn hµm c¬ b¶n, c¸c hµm sè s¬ cÊp . n
• Neáu gaëp daïng caên thöùc ñöa veà daïng soá muõ phaân theo coâng thöùc: m n m
x = x , (m ≠ 0) • P x
Neáu gaëp daïng ( ) thöïc hieän pheùp chia theo coâng thöùc: n x m m x − x m n 1 = x , (m > n); =
, (m < n) . n n n−m x x x
• Coâng thöùc ñoåi bieán soá (loaïi 2):
Tích phaân daïng: f (g(x)).g '(x)dx ∫
Ñaët g(x) = u => g’(x)dx = du
f (g(x))g '(x)dx = f (u)du ∫ ∫ . 2.
Mét sè d¹ng c¬ b¶n:
1. Sö dông c«ng thøc c¬ b¶n: 1. Daïng : α
(ax + b) dx(α ≠ 1, a ≠ 0) ñaët u = ax + b ⇒ du = adx dx= ∫ ⇒ 1 du a α α + + + α α u (ax b) 1 ! 1
(ax + b) dx = u du = ∫ ∫ ( + = + α + ) C C a a 1 (α +1)a 2. α Daïng : ∫( n ax b) n 1 x − +
dx, (a ≠ 0,α ≠ 1) ñaët n n− n− 1 1 1
u=ax + b ⇒ du = . a . n x dx ⇒ x dx = du an α 1 + n α 1 + α − α u ax + b n n 1 ( 1
(ax + b) x dx = u du = + C = C ∫ ∫ ) + an na(α +1) na(α +1) 3. Daïng: α
a). cos sin xdx(α ≠ −1) ∫ ( Ñaët α α −1 α 1
u = cos x ⇒ du = − sin xdx) ⇒ cos x sin xdx = − u du = cos + x + C ∫ ∫ (α +1) α b). sin c
x os xdx(α ≠ 1 − ) ∫ (Ñaët α α 1 α 1 u sin x du=cos xdx sin x cos xdx u du sin + = ⇒ ⇒ = = x + ∫ ∫ α C +1 4. dx Daïng: 1
= ln ax + b + C(a ≠ 0) ∫ ax + b a
Neáu gaëp : P(x) vôùi baäc P(x) ≥ 1 : laøm baøi toaùn chia. ax + b
GV: NguyÔn Thanh S¬n 1
Chuyªn ®Ò: Nguyªn hµm-TÝch ph©n LuyÖn Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng 5. dx Daïng: ∫ Ñaët 2
cos x(a + btgx) bdx dx 1 dx 1 du 1
u = a + btgx ⇒ du = ⇒ = du; =
= l a + btgx + C ∫ ∫ n 2 2 2 cos x cos x b
co s x(a + btgx) b u b 2. Coâng thöùc: u a u ( x) a u '(x) u dx = a du = + C ∫ ∫ ln a
3. Coâng thöùc ñoåi bieán soá (loaïi 1):
Tích phaân daïng: f (g(x)).g '(x)dx ∫
Ñaët g(x) = u => g’(x)dx = du
f (g(x))g '(x)dx = f (u)du ∫ ∫ 4. Coâng thöùc : du 1 u − a a). = ln + C.(a ≠ 0) ∫ α 2 u − a 2a u + a du 2 b).
= ln u + u + k + C ∫ 2u +k 5. Coâng thöùc : 2 x x + k k 2 2 x + k dx =
+ ln x + x + k + C ∫ 2 2
3. Mét sè d¹ng th−êng gÆp: 1. dx (mx+n)dx dx (mx+n)dx Tích phaân daïng: 1). 2). 3). 4). ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2
ax + bx + c
ax + bx + c
ax + bx + c
ax + bx + c
Tuyø vaøo moãi daïng aùp duïng caùc coâng thöùc tính tích phaân chæ trong baûng sau: Töû soá baäc nhaát Töû soá haèng soá Maãu soá khoâng caên du = 1 − ln u + C ∫ = ln + ∫ du u a C u 2 2 u − a 2a u + a Maãu soá coù caên
du = 2 u + C ∫ 2 = ln + + + ∫ du u u k C u 2 u + k a a 2 2 2
x + ax = (x + ) − ( ) 2 2
Söû duïng haèng ñaúng thöùc: 2 2 ⎡ b b ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2
ax + bx = a ⎢ x + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎝ 2a ⎠ ⎝ 2a ⎠ ⎣ ⎥⎦
GV: NguyÔn Thanh S¬n 2
Chuyªn ®Ò: Nguyªn hµm-TÝch ph©n LuyÖn Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng
4. TÝch ph©n cña c¸c ph©n thøc h÷u tØ: ax + b A B C = + + 3 2
cx + dx + ex x x − m x − n
Giaûi daïng naøy ta coù hai caùch: −
Caùch 1: Ñoàng nhaát hai veá: Cho taát caû caùc heä soá chöùa x cuøng baäc baèng nhau. −
Caùch 2: Gaùn cho x nhöõng giaù trò baát kyø. Thöôøng thì ta choïn giaù trò ñoù laø nghieäm cuûa maãu soá
5. TÝch ph©n cña c¸c hµm sè l−îng gi¸c: 1. Daïng: n n 1 1 n
cos xdx, sin xdx, 1
). cosaxdx= sin ax + C, sinaxdx=- cos ax + C, 2). co s ∫ ∫ ∫ a ∫ a xdx ∫ Phöông phaùp: ⎧ 1+ cos 2x 2 cos x = ⎪ 2 ⎪ ⎪ − 1 cos 2x n = chaün : haï baëc 2 sin ⎨ x = 2 ⎪ ⎪ 1 sin x cos x = sin 2x ⎪⎩ 2 n leõ: Vieát: 2 p 1 + 2 p 2 cos = cos cos = (1− sin )p xdx x xdx x cos dx
Ñaët u = sin x ⇒ du = cos xdx
2. Daïng: sinm cosn u ud ∫ u
a. m,n cung chaün: haï baäc.
b. m,n leû (moät trong hai soá leû hay caû hai cuøng leû).
Neáu m leû: Ta vieát: m m 1 sin u sin − = u sin u thay m 1 − 2 2 m 2 2
sin u = 1− cos u va sin u = (1− cos u) sin u
Neáu m, n leû: laøm nhö treân cho soá muõ naøo beù 3. Daïng: n tg xdx hay ∫ cot n g xdx ∫ Chuù yù: dx dx 2 2 d (tgx) =
= (1+ tg x)dx ⇒
= (1+ tg x)dx = tgx + C ∫ ∫ 2 2 cos x co s x Töông töï: dx dx 2 2 d (cot gx) = −
= −(1+ cotg x)dx ⇒
= (1+ cotg x)dx = −cotgx + C ∫ ∫ 2 2 sin x sin x xdx Ngoaïi tröø: sin tgxdx =
= ln cos x + C (u=cosx) ∫ ∫ cos x Ñeå tính: n tg xdx ∫ Phöông phaùp: Laøm löôïng 2
(tg x +1) xuaát hieän baèng caùch vieát:
GV: NguyÔn Thanh S¬n 3
Chuyªn ®Ò: Nguyªn hµm-TÝch ph©n LuyÖn Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng 2 2 −2 2 2n−4 2 n 1 − 2 * n n tg x = tg
x(tg x +1) − tg
(tg x +1) + ... + ... + (−1)
(tg x +1) + ( 1)n − 1 2 1 − 2 −3 2 2n−5 2 n−2 2 n 1 * n n tg x tg
x(tg x 1) tg (tg x 1) ... ... ( 1)
tgx(tg x 1) ( 1) − = + − + + + + − + + − tgx 4. dx Daïng: 2
(tg x +1)dx hay ∫ ∫ 2 cos n x Ta vieát: 2 2 n 1 − 2
(tg x +1)dx = (tg x +1) (tg x +1)dx ∫ ∫ Ñaët u = tgx 2 2 n 2 ( 1) (tg x+1) dx ( 1)n du tg x dx u − = + ⇒ = + 1 du ∫ ∫ Chuù yù: 1 dx 2 2 = 1+ , = (1 n tg x + tg x) dx ∫ ∫ 2 2n cos x co s x m m 5. tg x cotg x Daïng: dx, or dx ∫ ∫ n n cos x sin x
Phöông phaùp: Neáu n chaün : Thay n m tg n n −2 1 xdx 2 2 m 2 m 2
= (1+ tg x) ; ⇒
= tg x(1+ tgx) dx = tg x(1+ tgx) (tgx +1)dx ∫ ∫ ∫ cosn x cosn x m n Ñaët: tg x −2 2 m 2 2 u = tgx ⇒ du=(1+tg x)dx ⇒
dx = u (1+ u ) ∫ n cos x du ∫ m 1 − tgx tgx tg x tgx Neáu m leû vaø n leû : = . Ñaët 1 u = ⇒ du= dx n 1 cos x cos − x cos x cos x cosx Thay: m 1 − m 1 − 1 tgmx 1 1 tgx 2 n 1 2 2 tgx = −1 ⇒ dx = ( −1) . . dx = (u −1) u − du ∫ ∫ ∫ 2 n 2 n 1 cos x cos x cos x cos − x cos x
6. Daïng: sin mx cos nx ; dx
sinmxsinnxdx ; cosmxcosnxdx ∫ ∫ ∫
Aùp duïng caùc coâng thöùc bieán ñoåi: 1
• sinmxcosnx= [sin(m + n)x + sin(m − n)x] 2 1
• sinmxsinnx= [cos(m − n)x − cos(m + n)x] 21
• cosmxcosnx= [cos(m − n)x + cos(m + n)x] 2
GV: NguyÔn Thanh S¬n 4
Chuyªn ®Ò: Nguyªn hµm-TÝch ph©n LuyÖn Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng I.
TÝnh c¸c tÝch ph©n bÊt ®Þnh.
Bµi 1: Dïng c¸c c«ng thøc c¬ b¶n tÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 1 x − 3 1/ 2 (3x + 2x − )dx ∫ 2/ dx ∫ x 2 x 3 1 3/ 2( x − )dx ∫ 4/ 3 4 (3 x − 4 x + )dx ∫ 4 x x −x e 5/ x e (2 − )dx ∫ 6/ x 2 x 3x 2 .3 4 dx ∫ 3 2 3 x 2 7/
cos x(1+ t gx)dx ∫ 8/ (4sin x − )dx ∫ 2 cos x x dx 9/ 2 2 cos dx ∫ 10/ ∫ 2 2 2 cos x sin x
Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau ®©y: 1 2 1/ 10 x(x −1) dx 2/ ∫ ( − ) ∫ dx 2 x + 1 (x +1) 8x 3/ 2 x x + 9dx ∫ 4/ dx ∫ 2 2 4 (x + 1) 3. x e dx 5/ dx ∫ 6/ ∫ x x 2 ln x 7/ sin 7x.cos 3x.dx 8/ ∫ 4 cos xdx ∫ sin x cos 2x 9/ dx ∫ 10/ dx ∫ 3 cos x 2 2 sin x.cos x
II: TÝnh c¸c tÝch ph©n x¸c ®Þnh sau:
Ph−¬ng ph¸p: b a
f (x)dx = F (x) = F (b) − F (a) ∫ . b a 1. C¸c
ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n.
• ¸p dông b¶ng c¸c nguyªn hµm c¬ b¶n, c¸c hµm sè s¬ cÊp .
• TÝnh tÝch ph©n b»ng ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch.
• TÝnh tÝch ph©n b»ng ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn d¹ng I.
• TÝnh tÝch ph©n b»ng ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn d¹ng II.
• TÝnh tÝch ph©n b»ng ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn d¹ng III.
• TÝnh tÝch ph©n b»ng ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn.
• TÝnh tÝch ph©n b»ng ph−¬ng ph¸p sö dông nguyªn hµm phô.
• Mét sè thñ thuËt ®æi biÕn kh¸c, tÝch ph©n chøa biÓu thøc gi¸ trÞ tuyÖt ®èi... 2.
Chøng minh bÊt ®¼ng thøc tÝch ph©n
GV: NguyÔn Thanh S¬n 5
Chuyªn ®Ò: Nguyªn hµm-TÝch ph©n LuyÖn Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng
§Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc tÝch ph©n , ta th−êng sö dông chñ yÕu 4 tÝnh chÊt
sau: víi c¸c hµm sè f(x), g(x) liªn tôc trªn [a;b] ta cã: b 1.
NÕu f (x) ≥ 0, x ∀ ∈[ ;
a b] th× f (x)dx ≥ 0 ∫a b b 2.
NÕu f (x) ≥ g(x), x ∀ ∈[ ;
a b] th× f (x)dx ≥ g(x)dx ∫ ∫ a a
DÊu ®¼ng thøc chi x¶y ra khi f(x) = g(x), x ∀ ∈[ ; a b] 3.
NÕu m ≤ f (x) ≤ M , x ∀ ∈[ ;
a b] th× b
m(b − a) ≤
f (x)dx ≤ M (b a) ∫ − a b b 4.
f (x)dx ≤ f (x) d . x ∫ ∫ a a
Bµi 1: TÝnh c¸c tÝch ph©n x¸c ®Þnh sau: 2 1 1/ 2 3 4 (3x − 2x + 4x )dx 2/ 3 2 (−x + 3x) dx ∫ ∫ 0 1 − 4 x 2 2 x − 2x 3/ 4 (3x − e )dx ∫ 4/ dx ∫ 3 x 0 1 0 2 x − x − 5 5 dx 5/ dx ∫ 6/ ∫ x − 3 x −1 + x − 2 1 − 2 π 1 2 x e − 4 2 3 4sin x 7/ dx ∫ 8/ dx ∫ x e + 2 1+ cos x 0 0 π π 3 4 2 2tg x + 5 9/ sin x.cos 3xdx ∫ 10/ dx ∫ 2 π sin x 0 6 π π 2 cos 2x 4 π 11/ dx ∫ 12/ 2 sin ( − x)dx ∫ sin x − cos x 4 0 0
Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n cã chøa trÞ tuyÖt ®èi sau: 2 4 1/ x − 1 dx ∫ 2/ 2
x − 6x + 9d ∫ x −2 1 4 1 3/ 2
x − 3x + 2 d ∫ x 4/ x e − 1 d ∫ x −1 −1
GV: NguyÔn Thanh S¬n 6
Chuyªn ®Ò: Nguyªn hµm-TÝch ph©n LuyÖn Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng 3 0 5/ (3 + x )dx ∫ 6/ 2 x x + 1 dx ∫ −3 −2 3π π 4 7/ cos x dx ∫ 8/ cos 2x + 1dx ∫ 0 π 4 π 3 9/ cos x sin xdx ∫ 10/ x 2 − 4 d ∫ x 0 0
Bµi 3: Chøng minh c¸c B§T sau: 3 1 2 x + 4 5 1/ 3 ≤ x + 1dx ≤ ∫ 6 2/ 1 ≤ dx ≤ ∫ 2 2 0 0 π 2 dx 2 π 5π 3/ 1 ≤ ≤ 2 ∫ 4/ 2 ≤ 3 + sin xdx ≤ ∫ 2 x + 1 2 π 4 0 4 3π π 4 π dx π 2 3π π 2 5/ ≤ ≤ ∫ 6/ ≤ tg x + 3dx ≤ ∫ 2 4 − π 3 2sin x 2 4 2 0 4 π 2 π π 2 2 2 sin x + 7/ 2 ≤ e dx ≤ e ∫ 8/ x 1 2x e dx ≤ e dx ∫ ∫ 2 0 1 1 π π π π 2 2 2 2 3 2 9/ sin xdx ≤ sin xdx ∫ ∫ 10/ sin 2xdx ≤ 2 sin xdx ∫ ∫ 0 0 0 0
B: Ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn:
Ph−¬ng ph¸p: 1 1 1
1. Daïng: ( n, m R x x )dx ∫ Ñaët mn mn-1 mn t = x
⇒ x=t ⇒ dx=mnt dt 1 1 2. ⎡ ⎤
Daïng: ∫ ⎢( + )n ,( + )m R ax b ax b ⎥ dx ⎣ ⎦ 1 Ñaët mn mn mn mn-1
t=(ax+b) ⇒ ax+b=t ⇒ dx= t dt a 3. dx dx Daïng : dx R(lnx) ∫
ñaët u = x ⇒ du = ⇒ R(lnx) = x ln x ( ) ∫ x R u du ∫
GV: NguyÔn Thanh S¬n 7
Chuyªn ®Ò: Nguyªn hµm-TÝch ph©n LuyÖn Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng 4. Daïng: x R(e )dx ñaët ∫ x x du x du
u=e ⇒ du=e dx ⇒ dx=
⇒ R(e )dx = R(u) ∫ ∫ u u 5. Daïng : 2
R(x, ax + bx + c )dx ∫ Ñöa tam thöùc 2 2 2 2 2 2
ax + bx + c veà daïng: u +m ,u -m2 hay. m -u
Ñoåi tích phaân thaønh 1 trong caùc daïng sau: 2 2 1). R(u, m -u ) . du ∫ 2 2 2). R(u, m +u )du. ∫ 2 2 3). R(u, m -u )du. ∫
Neáu döôùi daáu tích phaân coù chöùa 2 2 • m -u ñaët 2 2 u=msint ⇒ m -u =mcost 2 2 • m +u ñaët 2 2 m u=mtgt ⇒ m +u = cost 2 2 m • u -m ñaët 2 2 u= ⇒ u -m =mtgt cost dx
6. Daïng : ∫
Gaëp tích phaân naøy ñaët: 1 t= 2
(mx + n) ax + bx + c mx+n
Bµi 1: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau b»ng ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn lo¹i I 1 2x 4 1/ dx ∫ 2/ 2 x x + 9dx ∫ 2 1 + x 0 0 10 dx 1 3/ ∫ 4/ x 1 − xdx ∫ 5x −1 2 0 5 7 x 5/ x. x + 4dx ∫ 6/ dx ∫ 3 x +1 0 0 5 2 2 3x 7/ 3 2 x . x + 4dx ∫ 8/ dx ∫ 3 3 + 0 0 1 x 2 dx 4 dx 9/ ∫ 10/ ∫ x 1 e− − x x.e 1 1 π 4 tgx+2 e e 1 + 3ln x 11/ dx ∫ 12/ dx ∫ 2 cos x x 0 1
GV: NguyÔn Thanh S¬n 8
Chuyªn ®Ò: Nguyªn hµm-TÝch ph©n LuyÖn Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng π e 2 1 + ln x 6 13/ dx ∫ 14/ 1+ 4sin x.cos xdx ∫ x 1 0 π π 4 1 2 15/ cot gx(1 + )dx ∫ 16/ 2 co s x.sin 2xdx ∫ 2 π sin x 0 6 π / 6 π sin 2x / 2 3 cos x.sin x 17/ dx ∫ 18/ dx ∫ 2 2 2sin x + cos x 2 1 + sin x 0 0 8 π 1 / 3 19/ dx ∫ 20/ 3 cos x.sin x.dx ∫ 2 + 3 x x 1 0
Bµi 2 : TÝnh tÝch ph©n b»ng ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn lo¹i II: 3 0 2 1 1/ 2 1− x dx ∫ 2/ dx ∫ 2 3 − 1 − 0 (1 x ) 2 1 dx 3/ 2 2 x 4 − x dx ∫ 4/ ∫ 2 x + 4x + 1 5 − 7 2 4 / 3 2 dx x − 4 5/ ∫ 6/ dx ∫ 2 3 x 0 x + 4 2 −1 dx 6 dx 7/ ∫ 8/ ∫ 2 2 − − − 2 x x 1 2 3 x x 9 6 dx 3 2 9 + 3x 9/ ∫ 10/ dx ∫ 2 + + 2 x 1 − x x 1 1 1/ 2 1+ x 2 x + 2 11/ dx ∫ 12/ dx ∫ 1 − x 2 x −1 1 − 1 dx 3 dx 13/ ∫ 14/ ∫ 2 2 (x + 1)(x + 2) 2 x + 3 0 0
Bµi 3 : TÝnh tÝch ph©n c¸c hµm sè höu tØ: 2 dx 2 dx 1/ ∫ 2/ ∫ x(2x + 1) 2 x − 6x + 9 1 1 2 6x + 7 1 x 3/ dx ∫ 4/ dx ∫ x 4 2 x + x + 1 1 0
GV: NguyÔn Thanh S¬n 9
Chuyªn ®Ò: Nguyªn hµm-TÝch ph©n LuyÖn Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng 4 x + 1 1 xdx 5/ dx ∫ 6/ ∫ 2 x − 3x + 2 2 (x + 1) 3 0 π π 6 sin 2xdx 3 cos x 7/ ∫ 8/ dx ∫ 2 2 2sin x + cos x 2 − + π sin x 5sin x 6 0 6 2 dx 3 2 9 + 3x 9/ ∫ 10/ dx ∫ (x + 1)(x + 2) 2 x 0 1 1/ 2 dx 4 3 2 (x + x − x + 1)dx 11/ ∫ 12/ ∫ 2 4x − 4x − 3 4 x − 1 0 2 2 dx 2001 x dx 13/ ∫ 14/ ∫ (x + 1)(x + 2) 2 2001 (x + 1) 0 1/ 2 dx 1 3dx 15/ ∫ 16/ ∫ 4 2 x − 2x + 1 3 1 + x 0 0
c: Ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn: b b Coâng thöùc: b
u.dv = u.v − . v du ∫ ∫ a a a
• Coâng thöùc cho pheùp thay moät tích phaân udv ∫ phöùc taïp baèng 1
tích phaân vdu ñôn giaûn hôn. ∫
• Coâng thöùc duøng khi haøm soá döôùi daáu tích phaân coù daïng: − Daïng tích soá: − Haøm soá logaric.
− Haøm soá löôïng giaùc. * Daïng n
x f(x) vôùi f(x) laø haøm x
e , ln x, sin x, cos . x • Khi tính choïn:
− Haøm soá phöùc taïp ñaët baèng u.
− Haøm soá cos tích phaân ñöôïc cho trong baûng tích phaân thöôøng duøng laøm dv
Bµi 1: Dïng ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn h·y tÝnh:
GV: NguyÔn Thanh S¬n 10
Chuyªn ®Ò: Nguyªn hµm-TÝch ph©n LuyÖn Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng π 1 1/ x sin xdx 2/ 2 2x (x + 1) e dx ∫ ∫ 0 0 π 4 e 3/ 2 x sin 2xdx ∫ 4/ 2 (x ln x) dx ∫ π 1 6 π π 4 3 xdx 5/ 2 x(2cos x −1)dx ∫ 6/ ∫ 2 π sin x 0 4 e ln x 4 7/ dx ∫ 8/ x e dx ∫ 2 (x +1) 1/ e 1 2 π 4 3 9/ x cos xdx ∫ 10/ 2 ln(x + x +1)dx ∫ 0 0 π 1 2 11/ 2 2 x (x + 1) .e dx 12/ ∫ 2 (x +1).sin x.dx ∫ 0 0 π 2 ln(1+ x) 4 13/ dx ∫ 14/ x.sin x.cos x.dx ∫ 2 x 1 0
Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 2 e e ln x 1/ dx ∫ 2/ x ln xdx ∫ 2 x 1 1 e 2 ⎛ e ln x ⎞ 3/ dx ∫⎜ ⎟ 4/ 2 ln xdx ∫ ⎝ x ⎠ 1 1 π e 2 x 5/ 2 (x ln x) dx 6/ ∫ e (x + sin x)dx ∫ 1 0 π π x 7/ x 2 e sin ( x π )dx 8/ ∫ x e sin dx ∫ 2 0 0 x (1 + sin x)e 2 2 2 1 + x 9/ dx ∫ 10/ dx ∫ 1 + cos x 2 x 3
D: øng dông h×nh häc cña tÝch ph©n
GV: NguyÔn Thanh S¬n 11
Chuyªn ®Ò: Nguyªn hµm-TÝch ph©n LuyÖn Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng
Bµi 1: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng (P): y = x2 - 2x + 2 ;tiÕp tuyÕn (d)
cña nã t¹i ®iÓm M(3;5) vµ Oy.
Bµi 2: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng (P): y = x2 + 2x vµ ®−êng th¼ng (d): y = x + 2. 2
3x − 5x + 5
Bµi 3: Cho hµm sè y = x −
(C) . TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) ; tiÖm 1
cËn cña nã vµ x = 2 ; x= 3.
Bµi 4: Cho hµm sè y = ( + )( − )2 x 1 x
2 (C) . TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ
®−êng th¼ng : x - y + 1 = 0. 4 x 3
Bµi 5: Cho hµm sè y = 2
− x − (C) . TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ trôc 2 2 hoµnh.
Bµi 6: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng (P): y2 = 4x vµ ®−êng th¼ng d : 4x - 3y - 4 = 0 .
Bµi 7: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng (P): y2 + x - 5 = 0 vµ ®−êng th¼ng d : x + y - 3 = 0 .
Bµi 8: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng y = 0 ; y = tgx ; y = cotgx
(0 ≤ x ≤ π) .
Bµi 9: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng (C): x2 + y2 = 8 vµ ®−êng (P): y2 = 2x .
Bµi 10: TÝnh thÓ tÝch h×nh trßn xoay do h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng : y =
4 vµ y = -x + 5 quay quanh Ox. x 2
x + 3x + 3
Bµi 11: Cho hµm sè y = x +
(C) . Gäi (H) lµ phÇn h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) 2
trôc Ox vµ hai ®−êng th¼ng x = -1 , x = 0. TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o thµnh khi (H)
quay mét vßng xung quanh Ox. 2 x + x + 1
Bµi 12: Cho hµm sè y = x +
(C) . Gäi (H) lµ phÇn h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) trôc 1
Ox vµ hai ®−êng th¼ng x = 0, x = 1. TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o thµnh khi (H) quay mét vßng xung quanh Ox.
Bµi 13: TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay ®−îc t¹o thµnh do h×nh ph¼ng (D) giíi h¹n bëi :
y = x , y = 2 - x vµ y = 0 khi ta quay quanh (D) quanh Oy.
Bµi 14: TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay ®−îc t¹o thµnh do h×nh ph¼ng (D) giíi h¹n bëi :
GV: NguyÔn Thanh S¬n 12
Chuyªn ®Ò: Nguyªn hµm-TÝch ph©n LuyÖn Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng y = x
xe , x = 1 vµ y = 0 ( 0 ≤ x ≤ 1 ) khi ta quay quanh (D) quanh Ox.
Bµi 15: TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay ®−îc t¹o thµnh do h×nh ph¼ng (D) giíi h¹n bëi : y = π π sinx , y = cosx , x =
vµ (0 ≤ x ≤
) khi ta quay quanh (D) quanh Ox. 2 2 Bµi 16:
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng sau: 1/ 2
y = 0; y = x − 2x vµ x = -1; x = 2. 2/ 2
y = x − 4x + 3 vµ y = x + 3 2 x 2 x 3/ y = 4 − vµ y = 4 4 2 ln x 4/ y = ; y = 0; x = 1 vµ x = e . 2 x 5/ 2 y = x x +1;Ox vµ x = 1.
E. D¹ng th−êng gÆp trong c¸c k× thi §H-C§
Bµi 1: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 1 3 x dx ln 3 x e dx 1/ ∫ 2/ ∫ 2 x +1 x 3 0 0 (e +1) π 0 2 3/ 2 3 x( x e + x +1) ∫ dx 4/ 6 3 5 1− cos x.sin . x cos . x d ∫ x 1 − 0 2 3 dx 1 5/ ∫ 6/ 3 2 x 1− x dx ∫ 2 5 x x + 4 0 π 4 2 1− 2 sin x ln 5 2 x e dx 7/ dx ∫ 8/ ∫ 1+ 2 sin 2x x 0 ln 2 e −1 ln 5 2 ( x e +1). x e 9/ dx ∫ 10/ 2 (3x − 2 1) x + 3x − ∫ 4 dx x − ln 2 e 1 0 a
Bµi 2: Cho hµm sè: f(x) = + . x bx e 3 (x +1) 1
T×m a, b biÕt f’(0)=-22 vµ f (x)dx = 5 ∫ 0
Bµi 3: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
GV: NguyÔn Thanh S¬n 13
Chuyªn ®Ò: Nguyªn hµm-TÝch ph©n LuyÖn Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng 2 1 1/ 2 x − x dx ∫ 2/ 2 3. x x e dx ∫ 0 0 e 2 x +1 1 3/ ln . x dx ∫ 4/ 3 (cos x + )dx ∫ x x +1 − x 1 π 1 2 x 2 5/ dx ∫ 6/ sin . x sin 2 . x sin 3 . x d ∫ x (x +1) x +1 0 0 π π 2 2 7/ 4 4
cos 2x(sin x + cos x) ∫ dx 8/ 5 cos . x dx ∫ 0 0 3 5 x + 3 2x 1 9/ ∫ dx 10/ 2 3 (1 − x ) dx ∫ 2 0 x + 1 0
Bµi 3: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: π 2 3 7 x 1/ 3 3
( cos x − sin x )dx ∫ 2/ dx ∫ 8 4 1+ x − 2x 0 2 e e ln x 3/ 2 2 x ln xdx ∫ 4/ dx ∫ 3 x 1 1 π
2 4 cos x − 3sin x +1 9 5/ dx ∫ 6/ 3 x 1− xdx ∫
4 sin x + 3cos x + 5 0 1 2 x +1 1 7/ dx ∫ 8/ 2 ( + 2 ) −x x x e dx ∫ 3 3x + 2 0 0 π 6 1 + 4 tg x 3 x − 3 9/ ∫ dx 10/ ∫ dx cos2x 3 x 1 x 3 1 + + + 0 −
Bµi 4: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 2 xdx 2 dx 1/ ∫ 2/ ∫ 2 + x + 2 − x x 2x +1 0 1 π 1 ln(1+ x) 2 sin x 3/ dx ∫ 4/ dx ∫ 2 1+ x sin x + cos x 0 0 π π 2 5 .s x in xdx ∫ 6/ 2 3 sin . x cos . x dx ∫ 0 0
GV: NguyÔn Thanh S¬n 14
Chuyªn ®Ò: Nguyªn hµm-TÝch ph©n LuyÖn Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng e 1+ 3ln x.ln x 3 7/ dx ∫ 8/ 3 2 x 1+ x dx ∫ x 1 0 2 4 x − x + 1 3 7 x 9/ ∫ dx 10/ ∫ dx 2 x + 4 1 + 8 x − 4 2x 0 2
Bµi 5: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 3 5 3 x + 2x 3 3 x +1 1/ dx ∫ 2/ ln . x dx ∫ 2 + x 0 x 1 0 π 1 3 tgx 3/ 2 ( +1) x x e dx ∫ 4/ dx ∫ 2 + 0 π cos x 1 cos x 4 2 2 ⎛ π x −1 ⎞ x sin x 5/ dx ∫⎜ ⎟ 6 dx ∫ ⎝ x + 2 ⎠ 2 1+ cos x 1 − 0 π 1 dx 4 7/ ∫ 8/ 2 . x tg xd x ∫ 1 x + e 0 0 π π 2 4 ⎛ x ⎞ 9/ 4 cos2x(sin x + ∫ 4 cos x)dx 10/ 1 + ∫⎜ tgxtg ⎟sinxdx 2 0 ⎝ ⎠ 0
Bµi 6: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 5 2 2 . x x e 1/
( x + 2 − x − 2 )d ∫ x 2/ dx ∫ 2 − (x + 2) 3 0 4 2 1 3/ dx ∫ 4/ 2 2 (4 − 2 −1). x x x e d ∫ x + + − x 5 4 1 0 2 1 dx 5/ 2 2 x 4 − x dx ∫ 6/ ∫ 2 2x + 5x + 2 0 0 π 2 sin 2x 1 x 7/ dx ∫ 8/ dx ∫ cos x +1 2 (x +1) 0 0 π π 4 2 sin x 9/ (tgx + ∫ sin x e cos x)dx 10/ ∫ dx x 0 2 sin x + 2 0 2 cos x.cos 2
Bµi 7: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
GV: NguyÔn Thanh S¬n 15
Chuyªn ®Ò: Nguyªn hµm-TÝch ph©n LuyÖn Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng π π 2 2004 sin x 2 3 4 sin x 1/ dx ∫ 2/ dx ∫ 2004 2004 sin x + cos x 1+ cos x 0 0 π π 2 sin 2 . x cos x 2 sin 2x + sin x 3/ dx ∫ 4/ dx ∫ 1+ cos x 1+ 3cos x 0 0 π π 2 3 cos x 5/ sin ( x e + cos x) cos . x dx ∫ 6/ dx ∫ 2 − + π sin x 5sin x 6 0 6 π 2xdx 2 cos x 7/ ∫ 8/ dx ∫ 2 x + x −1 7 + cos 2x 0 π 0 3 2 xsin x 9/ ( 2x e + 3 x + 1)dx ∫x 10/ ∫ dx 2 − sin 2x cos x 1 0
Bµi 8: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau. 1 π 1/ 2004 x sin . x dx ∫ 2/ 2 .s x in . x cos . x ∫ dx 1 − 0 π 2π 2 4 cos x 3/ 3 .c x os . x dx ∫ 4/ ∫ 4 4 cos x + sin x 0 0 π 3 x + sin x 1 5/ dx ∫ 6/ 2 . x tg xdx ∫ 2 cos x 0 0 π 2 0 π sin x sin x dx 7/ CM: dx > dx ∫ 8/ CM: ∫ π < < 2π ∫ x 4 4 π x sin x + cos x 0 0 2 π π2 2 4 9/ ∫e3x sin5xdx 10/ ∫ x cos xdx 0 0
Chóc c¸c em lµm bµi tèt !
GV: NguyÔn Thanh S¬n 16
Document Outline
- Nguyªn hµm - tÝch ph©n vµ c¸c øng dông
- Bµi 1: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau b»ng ph¬ng ph¸p ®æi biÕn lo¹