41 trang 7 lượt tải

Tóm tắt lý thuyết đo độ và tích phân | Lý thuyết Độ đo và tích phân | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

14

Tài liệu được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF với mục đích hỗ trợ học tập và tham khảo. Nội dung tài liệu được trình bày rõ ràng, dễ tiếp cận, phù hợp cho việc ôn tập và củng cố kiến thức trong quá trình học đại học. Đây sẽ là nguồn tư liệu hữu ích giúp các bạn sinh viên chuẩn bị tốt hơn cho các buổi học, đồng thời mở rộng thêm hiểu biết về môn học. Hy vọng tài liệu này sẽ mang lại nhiều giá trị và hỗ trợ các bạn trong hành trình học tập. Mời bạn đọc cùng tham khảo!

Môn: Lý thuyết Độ đo và tích phân 10 tài liệu

Trường: Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội 867 tài liệu

Tác giả:

Profile

Mai Nguyệt

3 ngày trước
Danh sách Quiz
/41
Môc lôc
1 §é ®o 2
1.1 TËp hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 C¸c kh¸i niÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Giíi h¹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 §¹i sè vµ σ - ®¹i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 §¹i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 σ - ®¹i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 σ - ®¹i sè tÝch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Hµm tËp vµ ®é ®o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Hµm tËp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 §é ®o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 TËp kh«ng ®¸ng kÓ ( - kh«ng ®¸ng kÓ) - Kh«ng gian cã ®é ®o ®ñ . . . . 13µ
1.3.4 §é ®o ngoµi - §é ®o trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.5 §é ®o Lebesgue - Stieltjes vµ Hµm ph©n phèi . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.6 §é ®o cã dÊu (®é ®o suy réng) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 TÝch ph©n Lebesgue 24
2.1 Hµm ®o ®−îc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 TÝnh tuyÖt ®èi liªn tôc cña ®é ®o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.2 §Þnh lý Radon - Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1
Ch−¬ng 1
§é ®o
1.1 TËp hîp
1.1.1 C¸c kh¸i niÖm
Gi¶ sö kh«ng gian .Ω = ∅
PhÇn tö: Nh÷ng ®iÓm thuéc Ω ®−îc gäi lµ c¸c phÇn tö cña .Ω
Ký hiÖu: ω, ω
1
, ω
2
, . . . , ω
n
∈ Ω.
TËp con: A ®−îc gäi lµ tËp con cña .Ω
Ký hiÖu: .A ⊂ Ω ⇔ ∀ω ω∈ A ⇒ ∈ Ω
TËp b»ng nhau: A A= B ⇔ ⊂ B, B ⊂ A.
Líp c¸c tËp: TËp mµ c¸c phÇn tö cña nã lµ tËp hîp gäi lµ líp c¸c tËp.
Ký hiÖu: A B, , C, . . .
D·y c¸c tËp: Lµ líp gåm mét sè ®Õm ®−îc c¸c tËp.
Ký hiÖu: {A
n
}
n∈N
, {B
n
}
n∈N
, . . .
1.1.2 C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp
1.Hîp
C = A ∪ B := {ω ω ω∈ Ω : ∈ A hay ∈ B}.
C =
∞
n=1
A
n
:= {ω ∈ Ω : ∃ n
0
∈ ∈N, ω A
n
0
}.
2.Giao
A ∩ B := {ω ω ω∈ Ω : ∈ A vµ ∈ B}.
∞
n=0
A
n
:= {ω ∈ Ω : ω ∈ A
n
, ∀n}.
3.HiÖu hai tËp hîp
A\B A:= {ω ω∈ Ω : ∈ vµ ω /∈ B}.
2
4.HiÖu ®èi xøng hai tËp hîp
A AB := ( \B B) ∪ ( \A).
Chó ý: Khi A ∩ B = ∅ th× .A A∪ B = + B
5.PhÐp lÊy phÇn bï (trªn )Ω
Ký hiÖu: B (hay B
c
) := Ω\B = {ω ∈ Ω : ω /∈ B}.
6.Ph©n ho¹ch
Líp
C gåm c¸c tËp rêi nhau ®−îc gäi lµ mét ph©n ho¹ch trªn Ω nÕu Ω =
C ∈ C
C.
TÝnh chÊt 1.1.1.
1.Giao ho¸n
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
AB = BA.
2.KÕt hîp
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
3.Ph©n phèi
A ∪ (B ∩ C) = (A A∪ B) ∩ ( ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A A∩ B) ∪ ( ∩ C)
(*)A ∩ (BC) = (A ∩ B)(A ∩ C)
(*)C«ng thøc De Morgan
∞
n=1
A
n
=
∞
n=1
A
n
∞
n=1
A
n
=
∞
n=1
A
n
1.1.3 Giíi h¹n
1.D·y t¨ng (gi¶m)
Cho dQy {A
n
} trªn Ω, ta nãi {A
n
} lµ dQy t¨ng nÕu A
1
⊂ A
2
⊂ . . .
Ký hiÖu: A
n
↑
n
.
{A
n
} lµ dQy gi¶m theo n nÕu A
1
⊃ A
2
⊃ . . .
Ký hiÖu: A
n
↓
n
.
2.Giíi h¹n trªn (lim
n
)
Cho {A
n
}
n∈N
trªn Ω
lim
n
A
n
= inf
n1
sup
kn
A
k
=
∞
n=1
∞
k=n
A
k
3.Giíi h¹n d−íi (lim
n
)
3
lim
n
A
n
= sup
n1
inf
kn
A
k
=
∞
n=1
∞
k=n
A
k
Ta nãi dQy {A
n
} cã giíi h¹n (khi n → ∞) nÕu ta cã lim
n
A
n
= lim
n
A
n
vµ khi ®ã giíi h¹n cña
dQy {A
n
} chÝnh lµ lim vµ còng lµ lim .
Ký hiÖu: lim
n
A
n
= lim
n
A
n
= lim
n
A
n
.
Bµi tËp 1: Chøng minh mäi dQy ®¬n ®iÖu th× héi tô, h¬n n÷a
A
n
↑
n
, A =
∞
n=1
A
n
th× A
n
↑ A.
A
n
↓
n
, A =
∞
n=1
A
n
th× A
n
↓ A.
Bµi tËp 2: (LÊy phÇn bï)
lim
n
A
n
= lim
n
A
n
.
1.2 §¹i sè vµ σ - ®¹i sè
1.2.1 §¹i sè
§Þnh nghÜa 1.2.1. Cho kh«ng gian Ω = ∅, F
0
lµ líp c¸c tËp con trªn Ω. F
0
®−îc gäi lµ ®¹i sè nÕu
nã tháa:
1. Ω ∈ F
0
2. ∀A ∈ F
0
th× A ∈ F
0
3. A, B ∈ F
0
th× A ∪ B ∈ F
0
.
VÝ dô.
- (Ω, ∅) lµ ®¹i sè trªn Ω vµ ®−îc gäi lµ ®aÞ sè tÇm th−êng.
- Líp c¸c tËp con trªn Ω, ký hiÖu 2
Ω
lµ ®¹i sè trªn Ω (®aÞ sè lín nhÊt).
- σ(A) = {Ω, ∅, A, A} lµ ®¹i sè bÐ nhÊt chøa .A
-
C =
n
i=1
[a
i
, b
i
) : −∞ < a
i
b
i
<
+∞
lµ ®¹i sè trªn .R
Ω = {1 4, 2 3, , }.
F
0
= {∅, {1 2} {, , 3 4, }, Ω} lµ ®¹i sè trªn Ω.
TÝnh chÊt 1.2.1.
1. ∅ ∈ F
0
2. ∀A, B ∈ F
0
⇒ A ∩ B, A\B, AB ∈ F
0
3. ∀{A
i
}
i ,n=1
⊂ F
0
⇒
n
i=1
A
i
∈ F
0
.
Chøng minh.
1. Suy trùc tiÕp tõ ®Þnh nghÜa.
2. Ta cã A ∩ B = ( )A ∪ B
4
V× A, B ∈ F
0
nªn A, B ∈ F
0
. Suy ra(A ∪ B) ∈ F
0
(theo tiªn ®Ò (3)).
Do vËy, víi mäi A, B ∈ F
0
th× (A ∪ B) ∈ F
0
hay A ∩ B ∈ F
0
.
A\B B= A ∩ ∈ F
0
v× A, B ∈ F
0
.
A AB = ( \ \B) ∪ (B A) ∈ F
0
v× ( )A\B , (B\A) ∈ F
0
.
3. Dïng quy n¹p.
Víi n = 2 ta cã A
1
∪ A
2
∈ F
0
theo tiªn ®Ò (3).
Gi¶ sö ®óng cho tr−êng hîp n = k, ta cã
k+1
i=1
A
i
=
k
i=1
A
i
∪A
k+1
∈ F
0
v×
k
i=1
A
i
∈ F
0
(theo gi thiÕt quy n¹p) vµ A
k+1
∈ F
0
.
VËy
n
i=1
A
i
∈ F
0
.
1.2.2 σ - ®¹i sè
§Þnh nghÜa 1.2.2. Cho kh«ng gian - ®¹i sè trªnΩ, ta nãi F lµ σ Ω nÕu tháa mQn c¸c tiªn ®Ò sau:
1. Ω ∈ F
2. ∀A A∈ F th× ∈ F
3. ∀{A
n
}
n∈N
⊂ F ta cã
∞
n=1
A
n
∈ F.
TÝnh chÊt 1.2.2.
1. ∅ ∈ F
2. σ - ®¹i sè lµ ®¹i sè.
3. ∀{A
n
}
n∈N
⊂ F ⇒
∞
n=1
A
n
∈ F.
Chøng minh.
1. HiÓn nhiªn.
2. ∀A, B A∈ F ®Æt
1
= A, A
2
= B, A
n
= ∅ ∀n = 3, ∞.
⇒ A ∪ B =
∞
n=1
A
n
∈ F (do tiªn ®Ò 3).
3. ∀{A
n
}
n∈N
⊂ F ⇒ {A
n
}
n∈N
⊂ F (tiªn ®Ò 2).
Theo tiªn ®Ò 3 ⇒
∞
n=1
A
n
∈ F.
Sö dông tiªn ®Ò 2 vµ c«ng thøc DeMorgan
∞
n=1
A
n
=
∞
n=1
A
n
∈ F.
Kh«ng gian ®o ®−îc
Cho kh«ng gian - ®¹i sè trªnΩ vµ F lµ σ Ω. Khi ®ã:
- (Ω, F) ®−îc gäi lµ kh«ng gian ®o ®−îc.
- A ∈ F ta gäi A lµ ®o ®−îc.
5
σ - ®¹i sè sinh
§Þnh nghÜa 1.2.3. Cho C lµ líp c¸c tËp trªn Ω. Ta nãi σ - ®¹i sè sinh bëi C lµ σ - ®¹i sè bÐ nhÊt
chøa C. Ký hiÖu: .σ(C)
σ - ®¹i sè Borel trªn R
σ σ- ®¹i sè Borel trªn R lµ - ®¹i sè bÐ nhÊt chøa mäi kho¶ng ®ãng trªn .R
Ký hiÖu: B hay hayB(R) B
1
.
Gäi C lµ líp tËp cã d¹ng C = {[a, b] : −∞ < a b < +∞}. Khi ®ã .σ(C) = B
Bµi tËp:Cho a b, a, b ∈ R. XÐt c¸c tËp sau:
1.(a, b)
2.[a, b)
3.(−∞, a)
4.(−∞, a]
5.(a, +∞)
6.[a, +∞)
Gäi C lµ líp c¸c tËp cã d¹ng nh− trong 1 2 6, , . . . , . CMR .σ(C) = B
Líp ®¬n ®iÖu
§Þnh nghÜa 1.2.4. Cho Ω, M lµ líp c¸c tËp trªn Ω. Ta nãi M lµ líp ®¬n ®iÖu nÕu nã chøa tÊt c¶
c¸c giíi h¹n cña dQy ®¬n ®iÖu trong M
{A
n
}
n∈N
⊂ M , A
n
↑
n
A (hay A
n
↓
n
A) ⇒ A ∈ M.
Líp ®¬n ®iÖu sinh bëi C
Lµ líp ®¬n ®iÖu bÐ nhÊt chøa C. Ký hiÖu: .M(C)
§Þnh lý 1.2.1. Cho F lµ líp c¸c tËp trªn Ω. Khi ®ã ta cã:
F Flµ σ - ®¹i sè trªn Ω ⇔ lµ ®¹i sè, ®¬n ®iÖu.
Chøng minh.
[⇒] Gi¶ sö F lµ σ - ®¹i sè ⇒ F lµ ®¹i sè.
Chøng minh F ®¬n ®iÖu.
Cho ∀{A
n
}
n∈N
⊂ F, A
n
↑
n
A, ta chøng minh A ∈ F.
Ta cã: A
n
↑
n
A A⇒ =
∞
n=1
A
n
(t¨ng vÒ sup).
Theo tiªn ®Ò (3) cña σ - ®¹i sè ta cã A =
∞
n=1
A
n
∈ F.
6
A
n
↓
n
A A⇒ =
∞
n=1
A
n
∈ F (theo tÝnh chÊt (3) cña - ®¹i sè).σ
VËy F ®¬n ®iÖu.
[⇐] ∀{A
n
}
n∈N
⊂ F ta cÇn chøng minh
∞
n=1
A
n
∈ F.
§Æt B
n
=
n
k=1
A
k
∈ F (v× cã tÝnh chÊt ®¹i sè).
MÆt kh¸c B
n
↑
n
∞
k=1
A
k
∈ F.
VËy F lµ σ - ®¹i sè.
§Þnh lý 1.2.2. Cho F
0
lµ ®¹i sè trªn Ω khi ®ã ta cã σ(F
0
) = M(F
0
) (σ - ®¹i sè sinh bëi F
0
còng
lµ líp ®¬n ®iÖu sinh bëi F
0
).
Chøng minh.
[⇐] σ(F
0
) ⊃ M(F
0
)
Ta cã σ(F
0
) lµ líp ®¬n ®iÖu chøa F
0
nªn nã chøa líp ®¬n ®iÖu bÐ nhÊt chøa F
0
. Nãi kh¸c ®i
σ(F
0
) ⊃ M(F
0
).
[⇒] σ(F
0
) ⊂ M(F
0
)
∀A ∈ M(F
0
) ®Æt M
A
= {B ∈ M(F
0
) : A\B, B A, A\ ∪ B ∈ M(F
0
)}.
Víi c¸ch ®Æt M
A
nh− trªn ta ®−îc:
1. M
A
lµ líp ®¬n ®iÖu.
2. B ∈ M
A
⇔ A ∈ M
B
(do tÝnh chÊt ®èi xøng ®Æt trªn M
A
).
Thùc vËy, ta cã ∀A ∈ M(F
0
), M
A
= ∅ v× A ∈ M
A
.
Ta chøng minh (1). XÐt {B
n
} ⊂ M
A
, B
n
↑
n
B ta chØ ra B ∈ M
A
.
Do M(F
0
) lµ líp ®¬n ®iÖu vµ {B
n
} ⊂ M(F
0
) (v× {B
n
} ⊂ M
A
) nªn suy ra B ∈ M F(
0
).
Ta cã {A\B
n
} ⊂ M(F
0
) vµ (A\B
n
) ↓
n
( )A\B , suy ra A\B ∈ M(F
0
).
Hoµn toµn t−¬ng tù ta suy ra B\A, A ∪ B ∈ M(F
0
).
VËy B ∈ M
A
.
ViÖc chøng minh cho mét dQy B
n
↓
n
B, B{
n
} ⊂ M
A
hoµn toµn t−¬ng tù.
VËy M
A
lµ líp ®¬n ®iÖu.
XÐt A ∈ F
0
bÊt kú. Víi c¸ch x©y dùng M
A
nh− trªn th× M
A
⊂ M(F
0
). MÆt kh¸c,
∀B ∈ F
0
⊂ M F(
0
), A B, B A, A\ \ ∪ B ∈ F
0
⊂ M (F
0
) (v× F
0
lµ ®¹i sè).
VËy B ∈ M
A
. Suy ra F
0
⊂ M
A
.
Do M
A
lµ líp ®¬n ®iÖu chøa F
0
nªn nã sÏ chøa M F(
0
).
KÕt qu¶ trªn cho ta M
A
= M (F
0
), ∀A ∈ F
0
.
XÐt B ∈ M(F
0
) bÊt kú. Theo trªn ∀A ∈ F
0
, M
A
= M(F
0
) nªn B ∈ M
A
, ∀A ∈ F
0
.
Sö dông tÝnh chÊt (2) cña M
A
ta cã ∀A ∈ F
0
, A ∈ M
B
. VËy nªn F
0
⊂ M
B
.
VËy M
B
= M (F
0
) (, ∀B ∈ M F
0
).
B©y giê ta chØ ra M(F
0
) lµ ®¹i sè. §iÒu nµy lµ hiÓn nhiªn:
- Ω ∈ M(F
0
) (v× Ω ∈ F
0
⊂ M (F
0
)).
- ∀A ∈ M(F
0
) (, A = Ω\A ∈ M F
0
) (v× Ω ∈ M
A
).
7
- ∀A, B ∈ M(F
0
) (, A ∪ B ∈ M F
0
) (v× B ∈ M
A
).
M(F
0
) lµ ®¹i sè vµ lµ líp ®¬n ®iÖu nªn M(F
0
) lµ σ - ®¹i sè chøa F
0
.
Tõ ®ã ta ®−îc σ(F
0
) ⊂ M(F
0
).
1.2.3 σ - ®¹i sè tÝch
Kh«ng gian tÝch
Cho hai kh«ng gian ®o ®−îc (Ω
1
, F
1
), (Ω
2
, F
2
) víi A
1
⊂ Ω
1
, A
2
⊂ Ω
2
. Ta ®Þnh nghÜa tÝch Descartes:
A
1
× A
2
= {(ω
1
, ω
2
) : ω
1
∈ A
1
, ω
2
∈ A
2
}.
§Æc biÖt khi A
1
= Ω
1
, A
2
= Ω
2
th× Ω
1
× Ω
2
gäi lµ tÝch cña 2 kh«ng gian Ω
1
, Ω
2
.
NÕu A
1
∈ F
1
, A
2
∈ F
2
th× A
1
× A
2
gäi lµ h×nh ch÷ nhËt.
Nãi chung: Líp tÊt c¶ c¸c h×nh ch÷ nhËt kh«ng ph¶i lµ - ®¹i sè bÐ nhÊt lµmσ - ®¹i sè. Khi ®ã σ
cho tÊt c¶ c¸c h×nh ch÷ nhËt ®ã ®o ®−îc (chøa tÊt c¶ c¸c h×nh ch÷ nhËt) ®−îc gäi lµ σ - ®¹i sè tÝch.
(Ω
1
× Ω
2
, F
1
⊗ F
2
) gäi lµ kh«ng gian tÝch cña 2 kh«ng gian (Ω
1
, F
1
), (Ω
2
, F
2
).
1.3 Hµm tËp vµ ®é ®o
1.3.1 Hµm tËp
Cho C lµ líp c¸c tËp con trªn Ω. Hµm ϕ x¸c ®Þnh trªn C vµ nhËn gi¸ trÞ sè
ϕ : C −→ R
∀ ∃A ∈ C, ! x ∈ R : ϕ(A) = x
®−îc gäi lµ hµm tËp víi gi¸ trÞ sè.
- Hµm tËp ϕ ®−îc gäi lµ h÷u h¹n khi .ϕ(A) < ∞, ∀A ∈ C
- Hµm tËp ϕ ®−îc gäi lµ kh«ng ©m nÕu .ϕ(A) 0, ∀A ∈ C
- Hµm tËp ϕ ®−îc gäi lµ céng tÝnh h÷u h¹n nÕu:
∀{A
i
}
i ,n=1
⊂ C, A
i
∩ A
j
= =∅ víi i j; i, j = 1, n vµ
n
i=1
A
i
∈ C, ta cã
ϕ(
n
i=1
A
i
) =
n
i=1
ϕ(A
i
).
- Hµm tËp ϕ ®−îc gäi lµ céng tÝnh ®Õm ®−îc (σ - céng tÝnh) nÕu:
∀{A
n
}
n∈N
⊂ C : A
i
∩ A
j
= =∅ víi i j; i, j = 1, ∞ vµ
∞
i=1
A
i
∈ C, ta cã
ϕ(
∞
i=1
A
i
) =
∞
i=1
ϕ(A
i
).
- Hµm tËp ϕ ®−îc gäi lµ σ - h÷u h¹n nÕu ta cã:
∀C ∈ C th× ∃ {C
k
}
k∈N
⊂ C :
∞
k=1
C
k
= C vµ ϕ(C
k
) h÷u h¹n ∀k = 1, ∞.
8
1.3.2 §é ®o
§Þnh nghÜa 1.3.1. Cho kh«ng gian ®o ®−îc x¸c ®Þnh trªn(Ω, F) vµ mét hµm µ F vµ nhËn gi¸
trÞ trong [0, ∞] . µ ®−îc gäi lµ ®é ®o nÕu µ lµ σ - céng tÝnh (∀{A
n
}
n∈N
⊂ F : A
i
∩ A
j
= ∅ víi
i = j; i, j = 1, ∞ th× µ(
∞
i=1
A
i
) =
∞
i=1
µ A(
i
)).
- µ ®−îc gäi lµ h÷u h¹n (ký hiÖu µ < ∞) nÕu: .µ(Ω) < ∞
- µ ®−îc gäi lµ céng tÝnh h÷u h¹n nÕu:
∀{A
i
}
i ,n=1
⊂ F, A
i
∩ A
j
= ∅ víi i = j; i, j = 1, n, ta cã:
µ(
n
i=1
A
i
) =
n
i=1
µ A(
i
).
-µ lµ σ - h÷u h¹n nÕu: ∃{A
n
}
n∈N
⊂ F :
∞
n=1
A
n
= Ω vµ µ(A
n
) < ∞, ∀n = 1, n.
Cho kh«ng gian ®o ®−îc lµ mét ®é ®o trªn(Ω, F) vµ µ (Ω, F). Khi ®ã (Ω, F, µ) ®−îc gäi lµ mét
kh«ng gian cã ®é ®o (hay kh«ng gian ®o).
§Æc biÖt: Khi µ(Ω) = 1 th× (Ω, F, µ) ®−îc gäi lµ kh«ng gian x¸c suÊt.
TÝnh chÊt 1.3.1.
a) NÕu ∃A ∈ F sao cho µ(A) < ∞ (µ(A) h÷u h¹n) th× .µ(∅) = 0
b) TÝnh céng tÝnh h÷u h¹n cña ®é ®o.
c) NÕu A, B ∈ F vµ A ⊂ B th× .µ(A) µ(B)
d) Gi¶ sö µ < ∞, A, B ∈ F vµ A ⊂ B th× µ(B\A) = µ(B) − µ(A).
e) NÕu µ < ∞ th× ∀A, B ∈ F ta cã: .µ(A ∪ B) = µ(A) + µ( ( )B) − µ A ∩ B
f) ∀{A
n
}
n
⊂ F ta cã µ(
∞
n=1
A
n
)
∞
n=1
µ A(
n
) (BÊt ®¼ng thøc Boole).
Chøng minh.
a) Ta cã A ∈ F : A = A + + +∅ ∅ . . .
⇒ µ(A µ) = (A + ∅ ∅+ + . . .) = (µ
∞
n=1
A
n
) trong ®ã A
1
= A, A
i
= ∅ ∀i 2.
V× µ lµ σ - céng tÝnh nªn µ(
∞
n=1
A
n
) =
∞
n=1
µ(A
n
) = µ(A) +
∞
n=2
µ A(
n
)
V× µ(A) < ∞ suy ra 0 = µ(A) − µ(A) =
∞
n=2
µ A(
n
) = (µ
∞
n=2
A
n
) = µ( )∅ .
b) Ta cã
n
i=1
A
i
=
∞
i=1
A
i
, A
i
= ∅ ∀i = n + 1, ∞.
⇒ µ(
n
i=1
A
i
) = (µ
∞
i=1
A
i
) =
∞
i=1
µ A(
i
) =
n
i=1
µ A(
i
) (do tÝnh σ - céng tÝnh).
9
c) V× A ⊂ B suy ra .B = B\A + A
V× µ céng tÝnh h÷u h¹n nªn µ(B) = µ(B\A + A) = µ(B\A) + µ(A). V× A, B ∈ F nªn B\A ∈ F
suy ra µ A(B\ ) ) 0. ⇒ µ(B µ(A).
d) Sö dông kÕt qu¶ ë c©u c) vµ thªm tÝnh chÊt µ < ∞ ta cã µ A µ µ A(B\ ) = (B) − ( ).
e) Ta cã A ∪ B A= A + B\ vµ .B = B\A + B ∩ A
Sö dông tÝnh céng tÝnh h÷u h¹n sÏ ®−îc µ(A B∪ ) = µ(A)+µ(B\A) vµ µ( ( ( )B) = µ B\A)+µ B∩A .
MÆt kh¸c do µ < ∞ vµ A, B ∈ F nªn ta cã kÕt qu¶ µ A(A ∪ B) = µ( ) + µ(B) − µ( )A ∩ B .
f) §Æt B
1
= A
1
B
2
= A
2
\(A
2
∩ A
1
)
B
3
= A
3
\(A
3
∩ (A
1
∪ A
2
))
.
.
.
B
k
= A
k
\(A
k
∩ (
k−1
i=1
A
i
))
Lóc nµy,
∞
n=1
A
n
=
∞
i=1
B
i
vµ B
i
∩ B
j
= =∅ víi i j; i, j = 1, ∞.
B
i
⊂ A
i
∀ i = 1, ∞.
Ta cã:
µ(
∞
n=1
A
n
) = (µ
∞
n=1
B
n
) =
∞
n=1
µ B(
n
)(do tÝnh σ - céng tÝnh).
Vµ
∞
n=1
µ(B
n
)
∞
n=1
µ(A
n
) (v× B
n
⊂ A
n
, ∀n).
Tõ ®ã cho ra kÕt qu¶.
§Þnh lý 1.3.1 (Sù liªn tôc cña ®é ®o).
1. NÕu A
n
↑
n
A th× µ A(
n
) ↑
n
µ(A) (tÝnh liªn tôc d−íi).
2. NÕu A
n
↓
n
A vµ µ A(
1
) < ∞ th× µ(A
n
) ↓
n
µ(A) (tÝnh liªn tôc trªn).
Chøng minh. Cho kh«ng gian ®o (Ω, F, µ) vµ {A
n
}
n∈N
lµ dQy c¸c tËp trong F ®o ®−îc tháa mQn:
1. A
n
↑
n
A A⇒ =
∞
n=1
A
n
.
§Æt B
1
= A
1
, B
n
= A
n
\A
n−1
vµ do A
n
↑
n
A nªn cã thÓ viÕt
A = A
1
+ (A
2
\A
1
) + (A
3
\A
2
) + . . . = B
1
+ B
2
+ . . .
MÆt kh¸c µ(A) = µ(
∞
n=1
A
n
) = (µ
∞
n=1
B
n
)
Do tÝnh σ - céng tÝnh suy ra µ(A) =
∞
n=1
µ B(
n
) = lim
n
[
n
i=1
µ B(
i
)] = lim
n
µ A(
n
).
VËy µ(A
n
) ↑
n
µ(A).
2. Ta cã A
n
↓
n
A ⇒ (A
1
\A
n
) ↑
n
(A
1
\A)
⇒ µ(A
1
\A
n
) ↑
n
µ A(
1
\A) (do tÝnh liªn tôc d−íi cña ®é ®o)
⇒ [µ(A
1
)\µ(A
n
)] ↑
n
[µ(A
1
) ( (\µ A)] (v× µ A
1
) < ∞)
10
⇒ −µ A(
n
) ↑
n
−µ(A)
⇒ µ(A
n
) ↓
n
µ(A).
§Þnh lý 1.3.2. Cho F lµ σ - ®¹i sè, µ lµ hµm tËp, µ : F → [0, ∞]. µ céng tÝnh h÷u h¹n. Khi ®ã:
a) NÕu µ liªn tôc d−íi th× µ lµ σ - céng tÝnh.
b) NÕu µ liªn tôc t¹i ∅ th× µ lµ σ - céng tÝnh.
(Ta nãi µ liªn tôc t¹i ∅ nÕu A
n
↓
n
∅ th× µ(A
n
) ↓
n
0).
Chøng minh.
a) Cho A =
∞
n=1
A
n
, {A
n
}
n∈N
⊂ F, A
i
∩ A
j
= =∅,i j. Chøng minh µ(A) =
∞
n=1
µ A(
i
).
Ta cã
n
k=1
A
k
↑
n
A. V× µ liªn tôc d−íi nªn µ(
n
k=1
A
k
) ↑
n
µ(A).
MÆt kh¸c v× µ lµ céng tÝnh h÷u h¹n nªn µ(
n
k=1
A
k
) =
n
k=1
µ(A
k
) ↑
n
µ A( ).
⇒ µ(A) =
∞
n=1
µ A(
n
) (do tÝnh duy nhÊt cña giíi h¹n).
b) Gi¶ sö A =
∞
n=1
A
n
, {A
n
}
n∈N
⊂ F, A
i
∩ A
j
= =∅,i j.
§Æt B
n
= (A\
n
k=1
A
k
) ↓
n
∅, do vËy A = B
n
+
n
k=1
A
k
.
⇒ µ(A µ B) = (
n
) +
n
k=1
µ(A
k
) (do µ céng tÝnh h÷u h¹n).
Cho n → ∞ th× µ(B
n
) + (µ
n
k=1
A
k
) → 0 +
∞
n=1
µ A(
n
).
VËy µ(A) =
∞
n=1
µ A(
n
).
§Þnh lý 1.3.3 (B§T Fatou d−íi d¹ng ®é ®o).
Cho kh«ng gian ®o (Ω, F, µ) vµ {A
n
}
n∈N
®o ®−îc. Khi ®ã ta cã:
1. µ(lim
n
A
n
) lim
n
µ A(
n
).
2. NÕu µ(
∞
n=1
A
n
) < ∞ th× lim
n
µ A(
n
) µ(lim
n
A
n
).
Chøng minh.
1. Ta cã lim
n
A
n
=
∞
n=1
∞
k=n
A
k
.
∀ n ®Æt B
n
=
∞
k=n
A
k
({B
n
}
n∈N
lµ dQy t¨ng theo n).
B
n
= (
∞
k=n
A
k
) ↑
n
∞
n=1
B
n
= lim
n
A
n
.
Tõ tÝnh liªn tôc d−íi cña µ ta cã µ B(
n
) ↑
n
µ(lim
n
A
n
).
11
MÆt kh¸c B
n
⊂ A
n
, ∀ n ⇒ µ B(
n
) µ(A
n
)∀ n.
⇒ lim
n
µ B(
n
) lim
n
µ A(
n
).
Hay µ(lim
n
A
n
) lim
n
µ A(
n
).
2. Ta cã lim
n
µ A(
n
) =
∞
n=1
∞
k=n
A
k
§Æt B
n
=
∞
k=n
A
k
↓
n
∞
n=1
B
n
= lim
n
A
n
.
MÆt kh¸c B
1
=
∞
n=1
A
n
⇒ µ B(
1
) = (µ
∞
n=1
A
n
) < ∞.
Tõ ®Þnh lý vÒ sù liªn tôc ta cã: µ(B
n
) ↓
n
µ(lim
n
A). (1)
L¹i cã A
n
⊂ B
n
∀n ⇒ µ A(
n
) µ(B
n
), ∀n.
⇒ lim
n
µ A(
n
) lim
n
µ(B
n
).
KÕt hîp víi (1) suy ra lim
n
µ(A
n
) µ(lim
n
A
n
).
HÖ qu¶. Cho kh«ng gian ®o .(Ω, F, µ), µ < ∞
NÕu A
n
→ A khi n → ∞ th× ta cã µ A(
n
) → µ( )A .
Chøng minh.
V× A
n
→ A khi n → ∞ nªn µ A( ) = µ(lim
n
A
n
) = µ(lim
n
A
n
) = µ(lim
n
A
n
).
Sö dông B§T Fatou ta cã:
µ(A) = µ(lim
n
A
n
) lim
n
µ A(
n
) lim
n
µ(A
n
) µ(lim
n
A
n
) = µ(A) (do µ < ∞).
VËy lim
n
µ A(
n
) = µ( )A .
§Þnh lý 1.3.4 (§Þnh lý Borel - Cantelli).
Cho kh«ng gian (Ω, F, µ), {A
n
}
n∈N
⊂ F. NÕu
∞
n=1
µ A(
n
) < ∞ th× µ(lim
n
A
n
) = 0.
Chøng minh.
Ta cã lim
n
A
n
=
∞
n=1
∞
k=n
A
k
Víi B
n
=
∞
k=n
A
k
↓
n
lim
n
A
n
.
MÆt kh¸c B
1
=
∞
k=1
A
k
⇒ µ(B
1
) = (µ
∞
k=1
A
k
).
Sö dung B§T Boole µ B(
1
) = (µ
∞
k=1
A
k
)
∞
k=1
µ(A
k
) < ∞ (theo gi thiÕt).
Tõ ®Þnh lý liªn tôc ⇒ µ(B
n
) ↓
n
µ(lim
n
A
n
).
L¹i cã 0 µ B(
n
) = (µ
∞
k=n
A
k
)
∞
k=n
µ A(
k
) (B§T Boole), .∀n
Cho n → ∞ th× 0 µ(lim
n
A
n
) 0
hay µ(lim
n
A
n
) = 0.
12
1.3.3 TËp kh«ng ®¸ng kÓ (µ - kh«ng ®¸ng kÓ) - Kh«ng gian cã ®é ®o ®ñ
Cho kh«ng gian (Ω, F, µ) vµ tËp A ⊂ Ω. Ta nãi A lµ tËp kh«ng ®¸ng kÓ (µ - kh«ng ®¸ng kÓ, hay
µ - kh«ng) nÕu ∃B ∈ F sao cho A ⊂ B vµ .µ(B) = 0
Gäi N lµ líp c¸c tËp N ⊂ Ω lµ tËp kh«ng ®¸ng kÓ.
N = {N ⊂ Ω : N lµ µ - kh«ng ®¸ng kÓ .}
VËy trong kh«ng gian cã ®é ®o ®ñ, c¸c tËp kh«ng ®¸ng kÓ ®Òu ®o ®−îc.
TÝnh chÊt 1.3.2.
1. NÕu N
1
⊂ N vµ N lµ tËp kh«ng ®¸ng kÓ th× N
1
kh«ng ®¸ng kÓ.
2. TËp N ∈ F vµ µ(N) = 0 th× N lµ kh«ng ®¸ng kÓ.
3. Hîp ®Õm ®−îc c¸c tËp kh«ng ®¸ng kÓ lµ kh«ng ®¸ng kÓ.
Chøng minh.
1. V× N lµ kh«ng ®¸ng kÓ nªn
∃B ∈ F sao cho N ⊂ B, µ(B) = 0.
V× N
1
⊂ N nªn N
1
⊂ B.
⇒ N
1
lµ µ - kh«ng ®¸ng kÓ.
2. HiÓn nhiªn.
3. XÐt {N
i
}
i∈N
⊂ F, N
i
lµ µ - kh«ng .∀i
⇒ ∃{B
i
}
i∈N
⊂ F, N
i
⊂ B
i
vµ µ(B
i
) = 0, ∀i.
⇒
∞
i=1
N
i
⊂
∞
i=1
B
i
vµ µ(
∞
i=1
B
i
)
∞
i=1
µ(B
i
) = 0.
VËy
∞
i=1
N
i
lµ µ - kh«ng.
§Þnh lý 1.3.5 (Lµm ®Çy ®ñ kh«ng gian cã ®é ®o).
Cho kh«ng gian lµ líp c¸c tËp kh«ng ®¸ng kÓ ((Ω, F, µ) vµ N µ - kh«ng).
a) NÕu F = {A ∪ N : A ∈ F, N ∈ N} th× .F = σ(F ∪ N)
b) µ : F → [0, ∞] ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau:
∀(A ∪ N) ∈ F, µ(A ∪ N) = µ(A).
∀A ∈ F, µ(A) = µ( )A .
Khi ®ã µ lµ ®é ®o níi réng duy nhÊt cña µ lªn F (µ|
F
= µ).
c) (Ω, F, µ) lµ kh«ng gian cã ®é ®o ®ñ.
Chó ý:
Cho kh«ng gian ch−a ®ñ. Lµm ®Çy ®ñ kh«ng gian cã ®é ®o(Ω, F, µ) (Ω, F, µ) nghÜa lµ ®i x©y
dùng (Ω, F, µ). Khi ®ã F ®−îc gäi lµ σ - ®¹i sè bæ sung cho σ - ®¹i sè F, µ gäi lµ ®é ®o ®ñ.
13
Chøng minh.
Ta cÇn chøng minh c¸c ®iÒu sau:
1. F = σ( )F ∪ N .
2. KiÓm chøng µ lµ ¸nh x¹.
3. µ lµ ®é ®o.
4. µ lµ duy nhÊt.
5. µ lµ ®é ®o ®ñ.
1. F = σ(F ∪ N)
∀B ∈ F ⇒ B = A ∪ N, A ∈ F, N ∈ ∈N ⇒ B σ(F ∪ N) ⇒ F ⊂ σ(F ∪ N).
MÆt kh¸c: ∀B ∈ (F ∪ N) ta cã .B = A ∪ N, A , N∈ F ∈ N ⇒ B ∈ F
Do vËy .( ( )F ∪ N) ⊂ F ⊂ σ F ∪ N
Ta chøng minh F lµ σ - ®¹i sè.
- Ω Ω∈ F ⇒ Ω = Ω ∪ N(N ∈ N) ∈ F ⇒ ∈ F.
- ∀B ∈ F, B = A ∪ N, A ∈ F, N ∈ N.
Do N ∈ N nªn ∃N
1
∈ F, N ⊂ N
1
vµ µ(N
1
) = 0.
Ta cã B = A ∪ N = (A ∪ N
1
)

∈ F
∪ ((A ∪ ∩N) N
1
)

⊂ N
1
vµ µ N(
1
)=0
.
V× thÕ ((A ∪ N) ∩ N
1
) lµ tËp µ - kh«ng. Suy ra .B ∈ F
- Cho {B
n
}
n∈N
⊂ F ta chøng minh
∞
n=1
B
n
∈ F.
V× {B
n
}
n∈N
⊂ F ⇒ B
n
= A
n
∪ N
n
. Trong ®ã:
A
n
∈ F, N
n
∈ N, ∀n.
⇒
∞
n=1
B
n
=
∞
n=1
(A
n
∪ N
n
) = (
∞
n=1
A
n
)

∈ F
∪ (
∞
n=1
N
n
)

∈ N
∈ F.
VËy F lµ σ - ®¹i sè.
Sö dông tÝnh chÊt cña σ - ®¹i sè cho ta .σ σ(F ∪ N) ⊂ F ⊂ ( )F ∪ N
2. µ lµ ¸nh x¹
Gi¶ sö A
1
∪ N
1
= A
2
∪ N
2
(A
i
∈ F, N
i
∈ N) .
⇒ (A
1
∪ N
1
)\A
2
⊂ N
2
(A
2
∪ N
2
)\A
1
⊂ N
1
MÆt kh¸c ta cã: A
1
\A
2
⊂ A
1
∪ N
1
\N
2
A
2
\A
1
⊂ A
2
∪ N
2
\N
1
Tõ ®ã suy ra A
1
\A
2
⊂ N
2
vµ A
2
\A
1
⊂ N
1
⇒ A
1
A
2
= (A
1
\A
2
) ∪ (A
2
\A
1
) ⊂ (N
1
∪ N
2
).
Do N
1
, N
2
lµ tËp µ - kh«ng nªn N
1
∪ N
2
còng lµ tËp µ - kh«ng, nghÜa lµ ∃B ∈ F, N
1
∪ N
2
⊂
B, µ(B) = 0
14
⇒ µ(A
1
A
2
) µ( B) = 0
⇒ µ(A
1
A
2
) = 0
⇒ µ(A
1
) = µ(A
2
).
Theo ®Þnh nghÜa µ: µ(A
1
) = µ(A
1
∪ N
1
)
µ A(
2
) = µ(A
2
∪ N
2
)
⇒ µ(A
1
∪ N
1
) = µ(A
2
∪ N
2
)
VËy µ lµ ¸nh x¹.
3. µ lµ ®é ®o
Chøng minh - céng tÝnh.µ lµ σ
XÐt {B
n
}
n∈N
⊂ F, B
i
∩ B
j
= =∅ vµ i j.
Ph¶i chøng minh µ(
∞
n=1
B
n
) =
∞
n=1
µ B(
n
).
Ta cã:
{B
n
}
n∈N
⊂ F ⇒ B
n
= A
n
∪ N
n
, A
n
∈ F, N
n
∈ N, ∀n
⇒
∞
n=1
B
n
=
∞
n=1
(A
n
∪ N
n
) = (
∞
n=1
A
n
) ∪ (
∞
n=1
N
n
)
⇒ µ(
∞
n=1
B
n
) = µ[(
∞
n=1
A
n
) ∪ (
∞
n=1
N
n
)] = (µ
∞
n=1
A
n
) (theo ®Þnh nghÜa).
MÆt kh¸c A
i
∩ A
j
= ∅ nªn µ(
∞
n=1
A
n
) =
∞
n=1
µ A(
n
).
Còng vËy, dùa vµo ®Þnh nghÜa cña µ th×
∞
n=1
µ A(
n
) =
∞
n=1
µ A(
n
∪ N
n
) =
∞
n=1
µ(B
n
).
VËy µ lµ σ - céng tÝnh, hay lµ ®é ®o trªn .µ F
4. µ lµ duy nhÊt
Gi¶ sö µ
1
còng lµ mét níi réng cña . Ta chøng minhµ µ
1
chÝnh lµ .µ
Thùc vËy,
∀B ∈ F ⇒ B = A ∪ N, A ∈ F, N ∈ N
⇒ µ(B) = µ µ(A) =
1
(B) (theo ®Þnh nghÜa cña ®é ®o níi réng)
⇒ ∀B ∈ F : µ(B) = µ
1
( )B , hay µ = µ
1
.
VËy µ lµ duy nhÊt.
5. µ lµ ®é ®o ®ñ
µ lµ ®é ®o ®ñ ⇔ (Ω, F, µ) lµ kh«ng gian ®ñ
⇔ F chøa tÊt c¶ c¸c tËp µ - kh«ng.
V× F = σ(F ∪ N) nªn tÊt c¶ c¸c tËp - kh«ng ®Òu chøa trong .µ F
SÏ chøng minh mäi tËp µ - kh«ng ®Òu lµ tËp µ - kh«ng.
ThËt vËy, víi M lµ tËp µ - kh«ng bÊt kú ⇒ M ⊂ B ∈ F vµ .µ(B) = 0
V× .B ∈ F ⇒ B = A ∪ N, A , N∈ F ∈ N
15
Do N ∈ N nªn ∃N
1
∈ F, N ⊂ N
1
vµ µ(N
1
) = 0.
MÆt kh¸c µ A(B) = µ( ) = 0, B = A A∪ N ⊂ ∪ N
1
vµ µ(A ∪ N
1
) µ( (A) + µ N
1
) = 0.
VËy ∃(A ∪ N
1
) ∈ F, M ⊂ ⊂B (A ∪ N
1
) vµ µ(A ∪ N
1
) = 0.
V× thÕ M lµ µ - kh«ng.
1.3.4 §é ®o ngoµi - §é ®o trong
§é ®o ngoµi
Cho kh«ng gian (Ω, F, µ). µ
∗
: 2
Ω
→ [0, ∞] ®−îc gäi lµ ®é ®o ngoµi nÕu nã x¸c ®Þnh víi mäi
A ∈ 2
Ω
: µ
∗
( (A) = inf{µ B) : B ∈ F, B ⊃ A}.
§é ®o trong
µ
∗
: 2
Ω
→ [0, ∞] ®−îc gäi lµ ®é ®o trong nÕu nã x¸c ®Þnh víi mäi A ∈ 2
Ω
: µ
∗
( (A) = sup{µ B) :
B ∈ F, B ⊂ A}.
Bæ ®Ò. Cho (Ω, F, µ), A ⊂ Ω. Khi ®ã ∃ A
, A
∈ F:
A
⊂ ⊂A A
vµ: µ
∗
( (A) = µ A
)
µ
∗
( (A) = µ A
)
Chøng minh.
Ta cã µ
∗
(A) = inf{µ(B) : B ∈ F, B ⊃ A}
⇒ ∃{B
n
}
n∈N
⊂ F : µ(B
n
) ↓
n
µ
∗
( )A .
§Æt A
=
∞
n=1
B
n
⇒ A ⊂ A
⊂ B
n
, ∀n (do A ⊂ B
n
)
⇒ µ
∗
( (A) µ A
) µ(B
n
), ∀n (BT: Gi¶i thÝch sù tån t¹i cña µ(A
)).
Cho n → ∞ ⇒ µ
∗
( (A) µ A
) µ
∗
(A) ⇒ µ
∗
( (A) = µ A
).
µ
∗
( (A) = sup{µ B) : B ∈ F, B ⊂ A}
⇒ ∃{B
n
}
n∈N
⊂ F : µ(B
n
) ↑
n
µ
∗
( )A .
§Æt A
=
∞
n=1
B
n
⇒ B
n
⊂ A
⊂ A, ∀n (do B
n
⊂ A).
∀n, µ B(
n
) µ(A
) µ
∗
( )A .
Cho n → ∞ : µ
∗
( (A) µ A
) µ
∗
( )A . Nãi kh¸c ®i µ
∗
( (A) = µ A
).
Nh¾c l¹i .F = {A ∪ N : A ∈ F, N ∈ N} = σ( )F ∪ N
§Þnh lý 1.3.6. Cho (Ω, F, µ), µ < ∞. Khi ®ã:
a) F = {A ⊂ Ω : µ
∗
(A) = µ
∗
( )A }.
b) µ
∗
(A) = µ
∗
( ( )A) = µ A , ∀A ∈ F.
16
Chøng minh.
a) [⇒]
XÐt A ∈ F bÊt kú. Do vËy .A B= ∪ N, B , N∈ F ∈ N
Ta chøng minh µ
∗
(A) = µ
∗
( )A) = µ(A .
ThËt vËy,
V× N ∈ N ⇒ ∃N
1
∈ F : N ⊂ N
1
vµ µ(N
1
) = 0.
XÐt A
∗
= B ∪ N
1
∈ F.
Râ rµng A
∗
⊃ A vµ µ(A
∗
) = µ(B) = )µ(A
⇒ µ
∗
( ( )A) µ A .
MÆt kh¸c, ∀C ∈ F, C ⊃ ⊃A ⇒ C B ⇒ µ µ(C) (B)
⇒ µ
∗
( ( )A) µ A .
KÕt hîp víi trªn ta sÏ cã µ
∗
( )A) = µ(A .
ViÖc chøng minh cho µ
∗
(A) lµ hoµn toµn t−¬ng tù.
VËy, F ⊂ {A ⊂ Ω : µ
∗
(A) = µ
∗
(A)}.
[ ]⇐
∀A ∈ vÕ ph¶i ⇒ A ⊂ Ω.
Theo bæ ®Ò ∃ A
, A
∈ F : A
⊂ ⊂A A
, µ
∗
( (A) = µ A
), µ
∗
( (A) = µ A
).
V× A ∈ vÕ ph¶i nªn µ
∗
(A) = µ
∗
( )A .
⇒ ∃ A
, A
∈ F : A
⊂ ⊂A A
, µ A(
) = µ(A
).
⇒ µ(A
\A
) = 0 (do µ < ∞).
§Æt N = A\A
⊂ A
\A
∈ ∈F ⇒ N N (do µ(A
\A
) = 0).
VËy A = A
∪ N, A
∈ F, N ∈ N ⇒ A ∈ F.
b) Theo kÕt qu¶ ë c©u a), µ
∗
(A) = µ
∗
( (A) = µ A) .
§Þnh lý 1.3.7 (XÊp xØ).
Cho (Ω, F, µ), F
0
lµ ®¹i sè trªn Ω, σ(F
0
) = F vµ µ < ∞. Khi ®ã,
∀ ∀ε > 0, A ∈ F, ∃ B
ε
∈ F
0
: µ(AB
ε
) < ε.
Chøng minh.
§Æt F
∗
= {A ∈ σ(F
0
) : (∀ε > 0, ∃ B
ε
∈ F
0
: µ(A B
ε
) < ε)}.
CÇn chøng minh F
∗
= σ(F
0
) = F.
Theo c¸ch x©y dùng F
∗
ta cã F
∗
⊂ σ(F
0
).
MÆt kh¸c ta cã ∀ ∀ε > 0 , A ∈ F
0
, ∃ B
ε
= A ∈ F
0
: µ(A B
ε
) < ε ⇒ A ∈ F
∗
.
VËy F
0
⊂ F
∗
⊂ σ(F
0
).
V× thÕ ta chØ cÇn chøng minh F
∗
lµ σ - ®¹i sè.
- Ta cã Ω ∈ F
∗
(v× F
0
⊂ F
∗
).
- ∀A ∈ F
∗
⇒ ∀ε > 0, ∃ B
ε
∈ F
0
: µ(AB
ε
) < ε.
Thªm vµo ®ã µ B(A
ε
) = µ(AB
ε
).
⇒ ∀ε > 0, ∃ B
ε
∈ F
0
: µ(A B
ε
) < ε ⇒ A ∈ F
∗
.
- ∀{A
n
}
n∈N
⊂ F
∗
chøng minh
∞
n=1
A
n
∈ F
∗
.
17
§Æt A =
∞
k=1
A
k
.
Ta cã
n
k=1
A
k
↑ A ⇒ µ(
n
k=1
A
k
) ↑ µ( A) < ∞ (do tÝnh liªn tôc).
Suy ra ∃ N ∈ N kh¸ lín sao cho µ(
N
k=1
A
k
) ≈ µ( )A .
V× {A
n
}
n∈N
⊂ F
∗
⇒ ∃ {B
n
}
n∈N
⊂ F
0
: µ(A
n
B
n
)
<
ε
2
n+1
.
Víi N kh¸ lín l¹i cã
µ(A
N
k=1
B
k
) µ(A
N
k=1
A
k
) + (µ
N
k=1
B
k
N
k=1
A
k
)
ε
2
+
N
k=1
µ(B
k
A
k
)
ε
2
+
ε
2
.
N
k=1
ε
2
k+1
=
ε
2
.
N
k=1
1
2
k
=
ε
2
.
1
2
.
1
− (
1
2
)
N
1
−
1
2
<
ε
2
.
Tãm l¹i: ∀ε > 0, ∃ N > 0 sao cho B
ε
=
N
k=1
B
k
∈ F
0
vµ µ(AB
ε
) < ε.
⇒ A ∈ F
∗
.
VËy F
∗
lµ σ - ®¹i sè.
§Þnh lý 1.3.8 (Níi réng).
Cho (Ω, F); µ, ν lµ ®é ®o h÷u h¹n trªn (Ω, F) , F
0
lµ ®¹i sè trªn Ω, σ(F
0
) = F.
NÕu µ = ν trªn F
0
th× µ = ν trªn .F
Chøng minh.
§Æt η = {A ∈ F : µ A(A) = ν( )}. CÇn chøng minh .η = F
Theo c¸ch x©y dùng η ta cã .η ⊂ F
Theo gi¶ thiÕt µ = ν trªn F
0
⇔ ∀A ∈ F
0
ta ®−îc µ(A) = ν(A)
⇒ ⇒A ∈ η F
0
⊂ η.
Do vËy ta chØ cÇn chøng minh lµ líp ®¬n ®iÖu.η
∀{A
n
}
n
⊂ η, A
n
↑
n
A ⇒ µ(A) ↑
n
µ A(
n
) = ν(A
n
) ↑
n
ν(A).
⇒ µ(A) = ν(A) ⇒ A ∈ η.
T−¬ng tù,
∀{A
n
}
n
⊂ η, A
n
↓
n
A ⇒ µ(A) ↓
n
µ A(
n
) = ν(A
n
) ↓
n
ν(A) (v× µ, ν < ∞).
⇒ µ(A) = ν(A) ⇒ A ∈ η.
V× thÕ σ(F
0
) = M(F
0
) ⊂ η ⊂ F = σ(F
0
).
VËy .η = F
§Þnh lý 1.3.9 (§Þnh lý CarathÐodory).
Cho ®¹i sè F
0
trªn Ω. µ
0
lµ hµm tËp.
µ
0
: F
0
→ [0, ∞] tho¶:
1. µ
0
lµ σ - h÷u h¹n trªn F
0
.
18
2. µ
0
lµ σ - céng tÝnh trªn F
0
.
Khi ®ã ta cã thÓ níi réng µ
0
thµnh ®é ®o µ duy nhÊt lªn σ(F
0
).
1.3.5 §é ®o Lebesgue - Stieltjes vµ Hµm ph©n phèi
§é ®o Lebesgue - Stieltjes
§Þnh nghÜa 1.3.2.
Cho ( )R, B . Khi ®ã hµm tËp µ : B → [0, ∞] ®−îc gäi lµ ®é ®o Lebesgue - Stieltjes nÕu:
µ I(
k
) < ∞, ∀ I
k
lµ kho¶ng giíi néi trong .R
Hµm ph©n phèi
F ®−îc gäi lµ hµm ph©n phèi nÕu F : R → R tho¶:
1. F lµ hµm kh«ng gi¶m trªn .R
2. F lµ hµm liªn tôc tr¸i .∀x ∈ R
§Þnh lý 1.3.10 (T−¬ng øng 1-1 gi÷a ®é ®o Lebesgue - Stieltjes vµ hµm ph©n phèi).
a. Cho ®é ®o Lebesgue - Stieltjes µ. Khi ®ã hµm F : R → R ®−îc x¸c ®Þnh bëi:
F F(b) − (a) = µ[a, b a, b , a), ∀ ∈ R b lµ hµm ph©n phèi.
b. Ng−îc l¹i, cho hµm ph©n phèi F. Khi ®ã µ ®−îc ®Þnh nghÜa bëi (1) (2), , (3) nh− sau:
(1) µ[a, b) = F (b) − F (a)
(2) µ(−∞, a) = )F(a) − F (−∞
µ[a, +∞) = F (+∞) − F (a)
(3) §Æt F
0
lµ líp c¸c tËp cã d¹ng tæng h÷u h¹n c¸c kho¶ng nöa hë bªn ph¶i. ∀A ∈ F
0
, A =
n
k=1
I
k
, trong ®ã I
k
lµ mét kho¶ng nöa hë bªn ph¶i.
µ(A) =
n
k=1
µ(I
k
)
th× µ lµ ®é ®o Lebesgue - Stieltjes trªn σ(F
0
) = B.
Chøng minh.
a. Chøng minh lµ hµm kh«ng gi¶m, liªn tôc tr¸i.F
- Gi¶ sö a < b ta cã F F(b) − (a) = 0µ[a, b)
⇒ F (a) F(b). VËy F lµ hµm kh«ng gi¶m.
- Cho x
n
↑
n
x ta chøng minh F (x
n
) ↑
n
F (x).
Thùc vËy,
x
n
↑
n
x ⇒ [ x
n
, x) ↓
n
∅
⇒ µ[x
n
, x) ↓
n
µ(∅) = 0.
L¹i cã F F(x) − (x
n
) = µ[x
n
, x) ↓
n
0
⇒ −F(x
n
) ↓
n
−F (x) (. Nãi kh¸c ®i F x
n
) ↑
n
F(x). V× thÕ F liªn tôc tr¸i.
19
VËy F lµ hµm ph©n phèi.
b. Chøng minh lµ ®é ®o Lebesgue - Stieltjes.µ
Víi F
0
=
n
i=1
[a
i
, b
i
) : −∞ < a
i
b
i
<
+∞
th× F
0
lµ ®¹i sè trªn R, σ(F
0
) = B.
V× µ(
n
k=1
I
k
) =
n
k=1
µ(I
k
) ⇒ µ céng tÝnh h÷u h¹n trªn F
0
.
L¹i cã µ[−n, n) = F (n) − F(−n) < ∞ vµ R =
∞
n=1
[−n, n) nªn µ lµ σ - h÷u h¹n trªn ®¹i sè F
0
.
NÕu thªm ®iÒu kiÖn - céng tÝnh trªnµ lµ σ F
0
th× theo ®Þnh lý CarathÐodory ta cã thÓ níi réng µ
thµnh ®é ®o duy nhÊt lªn σ(F
0
).
VËy ®Ó kÕt thóc chøng minh ®Þnh lý ta chØ ra - céng tÝnh. Cã 2 tr−êng hîp:µ lµ σ
1. F (+∞) − F (−∞) < ∞
2. F (+∞) − F (−∞ ∞) =
1. F (+∞) − F (−∞) < ∞
Ta cã µ(R) = µ(−∞, +∞) = F (+∞) − F (−∞) < ∞ nªn .µ < ∞
V× thÕ viÖc chøng minh µ lµ σ - céng tÝnh t−¬ng ®−¬ng víi viªc chøng minh liªn tôc t¹i .µ ∅
Ta cÇn lµm viÖc trªn kh«ng gian compac .R
§Þnh nghÜa F : R → R nhê biÓu thøc F(±∞) = lim
x→±∞
F (x).
∀{A
n
}
n
⊂ F
0
(hay {A
n
}
n
⊂ F = σ(F
0
)) theo ®Þnh lý xÊp xØ
∃ {B
n
}
n
⊂ F
0
, B
n
⊂ A
n
, ∀n tho¶ mQn µ(A
n
B
n
)
<
ε
2
n
. Trong ®ã B
n
lµ bao ®ãng cña B
n
trong
R.
Do A
n
↓
n
∅, ⇒
∞
n=1
A
n
= ∅.
V× B
n
⊂ A
n
, ,∀n = 1 ∞
⇒
∞
n=1
B
n
= ∅.
MÆt kh¸c R lµ compact⇒ ∃ N kh¸ lín sao cho
N
k=1
B
k
= ∅.
H¬n n÷a
A
n
= A
n
\
N
k=1
B
k
+
N
k=1
B
k
⇒ µ(A
n
) = µ(A
n
\
N
k=1
B
k
) + (µ
N
k=1
B
k
)
= µ(
N
k=1
A
n
\B
k
) + (µ
N
k=1
B
k
).
V× A
n
↓
n
⇒ A
1
⊃ A
2
. . . ⊃ A
n
⇒ ∀n > N ta cã:
20

Tài liệu khác của Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

Preview text:

Môc lôc 1 §é ®o 2 1.1
TËp hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1
C¸c kh¸i niÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2
C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3
Giíi h¹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2
§¹i sè vµ σ - ®¹i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1
§¹i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2
σ - ®¹i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3
σ - ®¹i sè tÝch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3
Hµm tËp vµ ®é ®o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1
Hµm tËp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2
§é ®o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.3
TËp kh«ng ®¸ng kÓ (µ - kh«ng ®¸ng kÓ) - Kh«ng gian cã ®é ®o ®ñ . . . . 13 1.3.4
§é ®o ngoµi - §é ®o trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.5
§é ®o Lebesgue - Stieltjes vµ Hµm ph©n phèi . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.6
§é ®o cã dÊu (®é ®o suy réng) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 TÝch ph©n Lebesgue 24 2.1
Hµm ®o ®−îc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2
TÝch ph©n Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3
§Þnh lý Radon - Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.1
TÝnh tuyÖt ®èi liªn tôc cña ®é ®o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.2
§Þnh lý Radon - Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1 Ch−¬ng 1 §é ®o 1.1 TËp hîp 1.1.1 C¸c kh¸i niÖm
Gi¶ sö kh«ng gian Ω = ∅.
PhÇn tö: Nh÷ng ®iÓm thuéc Ω ®−îc gäi lµ c¸c phÇn tö cña Ω.
Ký hiÖu: ω, ω1, ω2, . . . , ωn ∈ Ω.
TËp con: A ®−îc gäi lµ tËp con cña Ω.
Ký hiÖu: A ⊂ Ω ⇔ ∀ω ∈ A ⇒ ω ∈ Ω.
TËp b»ng nhau: A = B ⇔ A ⊂ B, B ⊂ A.
Líp c¸c tËp: TËp mµ c¸c phÇn tö cña nã lµ tËp hîp gäi lµ líp c¸c tËp. Ký hiÖu: A, B, C, . . .
D·y c¸c tËp: Lµ líp gåm mét sè ®Õm ®−îc c¸c tËp.
Ký hiÖu: {An}n∈N, {Bn}n∈N , . . .
1.1.2 C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp 1.Hîp
C = A ∪ B := {ω ∈ Ω : ω ∈ A hay ω ∈ B}. ∞ C =  A N n := {ω ∈ Ω : ∃ n0 ∈ , ω ∈ An }. 0 n=1 2.Giao
A ∩ B := {ω ∈ Ω : ω ∈ A vµ ω ∈ B}. ∞
 An := {ω ∈ Ω : ω ∈ An,∀n}. n=0 3.HiÖu hai tËp hîp
A\B := {ω ∈ Ω : ω ∈ A vµ ω / ∈ B}. 2
4.HiÖu ®èi xøng hai tËp hîp AB := (A\B) ∪ (B\A).
Chó ý: Khi A ∩ B = ∅ th× A ∪ B = A + B.
5.PhÐp lÊy phÇn bï (trªn Ω)
Ký hiÖu: B (hay Bc) := Ω\B = {ω ∈ Ω : ω / ∈ B}. 6.Ph©n ho¹ch
Líp C gåm c¸c tËp rêi nhau ®−îc gäi lµ mét ph©n ho¹ch trªn Ω nÕu Ω =  C. C ∈ C TÝnh chÊt 1.1.1. 1.Giao ho¸n A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A AB = BA. 2.KÕt hîp
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 3.Ph©n phèi
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(*)A ∩ (BC) = (A ∩ B)(A ∩ C) (*)C«ng thøc De Morgan ∞ ∞     An = An n=1 n=1 ∞ ∞     An = An n=1 n=1 1.1.3 Giíi h¹n 1.D·y t¨ng (gi¶m)
Cho dQy {An} trªn Ω, ta nãi {An} lµ dQy t¨ng nÕu A1 ⊂ A2 ⊂ . . . Ký hiÖu: An ↑n.
{An} lµ dQy gi¶m theo n nÕu A1 ⊃ A2 ⊃ . . . Ký hiÖu: An ↓n. 2.Giíi h¹n trªn (lim n) Cho {An}n∈N trªn Ω ∞ ∞ lim   n An = infn1 supk A n Ak = k n=1 k=n 3.Giíi h¹n d−íi (lim n) 3 ∞ ∞ lim   n An = supn A 1 infkn Ak = k n=1 k=n
Ta nãi dQy {An} cã giíi h¹n (khi n → ∞) nÕu ta cã lim nAn = lim nAn vµ khi ®ã giíi h¹n cña
dQy {An} chÝnh lµ lim vµ còng lµ lim .
Ký hiÖu: limn An = lim nAn = lim nAn.
Bµi tËp 1: Chøng minh mäi dQy ®¬n ®iÖu th× héi tô, h¬n n÷a ∞ A  n ↑ n, A = An th× An ↑ A. n=1 ∞ A  n ↓ n, A = An th× An ↓ A. n=1 Bµi tËp 2: (LÊy phÇn bï) lim nAn = limnAn. 1.2 §¹i sè vµ σ - ®¹i sè 1.2.1 §¹i sè
§Þnh nghÜa 1.2.1. Cho kh«ng gian Ω = ∅, F0 lµ líp c¸c tËp con trªn Ω. F0 ®−îc gäi lµ ®¹i sè nÕu nã tháa: 1. Ω ∈ F0 2. ∀A ∈ F0 th× A ∈ F0
3. A, B ∈ F0 th× A ∪ B ∈ F0. VÝ dô.
- (Ω, ∅) lµ ®¹i sè trªn Ω vµ ®−îc gäi lµ ®aÞ sè tÇm th−êng.
- Líp c¸c tËp con trªn Ω, ký hiÖu 2Ω lµ ®¹i sè trªn Ω (®aÞ sè lín nhÊt).
- σ(A) = {Ω, ∅, A, A} lµ ®¹i sè bÐ nhÊt chøa A.  n  - C =  [a R
i, bi) : −∞ < ai  bi < +∞ lµ ®¹i sè trªn . i=1 Ω = {1, 2, 3, 4}.
F0 = {∅, {1}, {2, 3, 4}, Ω} lµ ®¹i sè trªn Ω. TÝnh chÊt 1.2.1. 1. ∅ ∈ F0
2. ∀A, B ∈ F0 ⇒ A ∩ B, A\B, AB ∈ F0 n 3. ∀{A  i }i=1,n ⊂ F0 ⇒ Ai ∈ F0. i=1 Chøng minh.
1. Suy trùc tiÕp tõ ®Þnh nghÜa. 2. Ta cã A ∩ B = (A ∪ B) 4
V× A, B ∈ F0 nªn A, B ∈ F0. Suy ra(A ∪ B) ∈ F0 (theo tiªn ®Ò (3)).
Do vËy, víi mäi A, B ∈ F0 th× (A ∪ B) ∈ F0 hay A ∩ B ∈ F0.
A\B = A ∩ B ∈ F0 v× A, B ∈ F0. AB = A
( \B) ∪ (B\A) ∈ F0 v× (A\B), (B\A) ∈ F0. 3. Dïng quy n¹p.
Víi n = 2 ta cã A1 ∪ A2 ∈ F0 theo tiªn ®Ò (3).
Gi¶ sö ®óng cho tr−êng hîp n = k, ta cã k+1  k   k   A   i = Ai ∪Ak+1 ∈ F0 v×
Ai ∈ F0 (theo gi¶ thiÕt quy n¹p) vµ Ak+1 ∈ F0. i=1 i=1 i=1 n VËy  Ai ∈ F0. i=1 1.2.2 σ - ®¹i sè
§Þnh nghÜa 1.2.2. Cho kh«ng gian Ω, ta nãi F lµ σ - ®¹i sè trªn Ω nÕu tháa mQn c¸c tiªn ®Ò sau: 1. Ω ∈ F 2. ∀A ∈ F th× A ∈ F ∞ 3. ∀{A  n }n∈ ⊂ F ta cã N An ∈ F. n=1 TÝnh chÊt 1.2.2. 1. ∅ ∈ F
2. σ - ®¹i sè lµ ®¹i sè.∞ 3. ∀{A  n }n∈N ⊂ F ⇒ An ∈ F. n=1 Chøng minh. 1. HiÓn nhiªn.
2. ∀A, B ∈ F ®Æt A 1 = A, A2 = B, An = ∅ ∀n = 3, ∞. ∞
⇒ A ∪ B =  An ∈ F (do tiªn ®Ò 3). n=1 3. ∀{An}n∈ ⊂ F (tiªn ®Ò 2). N ⊂ F ⇒ {An}n∈N ∞
Theo tiªn ®Ò 3 ⇒  An ∈ F. n=1
Sö dông tiªn ®Ò 2 vµ c«ng thøc DeMorgan ∞  ∞   A  n = An ∈ F. n=1 n=1 Kh«ng gian ®o ®−îc
Cho kh«ng gian Ω vµ F lµ σ - ®¹i sè trªn Ω. Khi ®ã:
- (Ω, F) ®−îc gäi lµ kh«ng gian ®o ®−îc.
- A ∈ F ta gäi A lµ ®o ®−îc. 5 σ - ®¹i sè sinh
§Þnh nghÜa 1.2.3. Cho C lµ líp c¸c tËp trªn Ω. Ta nãi σ - ®¹i sè sinh bëi C lµ σ - ®¹i sè bÐ nhÊt chøa C. Ký hiÖu: σ(C). σ - ®¹i sè Borel trªn R
σ - ®¹i sè Borel trªn R lµ σ - ®¹i sè bÐ nhÊt chøa mäi kho¶ng ®ãng trªn R. Ký hiÖu: B hay B(R) hay B1.
Gäi C lµ líp tËp cã d¹ng C = {[a, b] : −∞ < a  b < +∞}. Khi ®ã σ(C) = B.
Bµi tËp:Cho a  b, a, b ∈ R. XÐt c¸c tËp sau: 1.(a, b) 2.[a, b) 3.(−∞, a) 4.(−∞, a] 5.(a, +∞) 6.[a, +∞)
Gäi C lµ líp c¸c tËp cã d¹ng nh− trong 1, 2, . . . , 6. CMR σ(C) = B. Líp ®¬n ®iÖu
§Þnh nghÜa 1.2.4. Cho Ω, M lµ líp c¸c tËp trªn Ω. Ta nãi M lµ líp ®¬n ®iÖu nÕu nã chøa tÊt c¶
c¸c giíi h¹n cña dQy ®¬n ®iÖu trong M
{An}n∈N ⊂ M, An ↑n A (hay An ↓n A) ⇒ A ∈ M. Líp ®¬n ®iÖu sinh bëi C
Lµ líp ®¬n ®iÖu bÐ nhÊt chøa C. Ký hiÖu: M(C).
§Þnh lý 1.2.1. Cho F lµ líp c¸c tËp trªn Ω. Khi ®ã ta cã:
F lµ σ - ®¹i sè trªn Ω ⇔ F lµ ®¹i sè, ®¬n ®iÖu. Chøng minh.
[⇒] Gi¶ sö F lµ σ - ®¹i sè ⇒ F lµ ®¹i sè. Chøng minh F ®¬n ®iÖu.
Cho ∀{An}n∈N ⊂ F, An ↑n A, ta chøng minh A ∈ F. ∞ Ta cã: A  n ↑n A ⇒ A = An (t¨ng vÒ sup). n=1 ∞
Theo tiªn ®Ò (3) cña σ - ®¹i sè ta cã A =  An ∈ F. n=1 6 ∞ A  n ↓n A ⇒ A =
An ∈ F (theo tÝnh chÊt (3) cña σ - ®¹i sè). n=1 VËy F ®¬n ®iÖu. ∞ [⇐] ∀{A 
n }n∈N ⊂ F ta cÇn chøng minh An ∈ F. n=1 n §Æt B  n =
Ak ∈ F (v× cã tÝnh chÊt ®¹i sè). k=1 ∞ MÆt kh¸c B  n ↑n Ak ∈ F. k=1 VËy F lµ σ - ®¹i sè.
§Þnh lý 1.2.2. Cho F lµ ®¹i sè trªn còng 0
Ω khi ®ã ta cã σ(F0) = M(F0) (σ - ®¹i sè sinh bëi F0
lµ líp ®¬n ®iÖu sinh bëi F0). Chøng minh. [⇐] σ(F0 ) ⊃ M(F0 )
Ta cã σ(F0) lµ líp ®¬n ®iÖu chøa F0 nªn nã chøa líp ®¬n ®iÖu bÐ nhÊt chøa F0. Nãi kh¸c ®i σ(F 0) ⊃ M(F0). [⇒] σ(F0 ) ⊂ M(F0 )
∀A ∈ M(F0) ®Æt MA = {B ∈ M(F 0) : A\B, B\A, A ∪ B ∈ M(F0)}.
Víi c¸ch ®Æt MA nh− trªn ta ®−îc: 1. MA lµ líp ®¬n ®iÖu.
2. B ∈ MA ⇔ A ∈ MB (do tÝnh chÊt ®èi xøng ®Æt trªn MA).
Thùc vËy, ta cã ∀A ∈ M(F0), M A = ∅ v× A ∈ MA.
Ta chøng minh (1). XÐt {Bn} ⊂ MA, Bn ↑n B ta chØ ra B ∈ MA .
Do M(F0) lµ líp ®¬n ®iÖu vµ {Bn} ⊂ M(F0 ) (v× {Bn} ⊂ MA) nªn suy ra B ∈ M(F0).
Ta cã {A\Bn} ⊂ M(F0) vµ (A\Bn ) ↓n (A\B), suy ra A\B ∈ M(F0).
Hoµn toµn t−¬ng tù ta suy ra B\A, A ∪ B ∈ M(F0 ). VËy B ∈ MA .
ViÖc chøng minh cho mét dQy Bn ↓n B, {Bn} ⊂ MA hoµn toµn t−¬ng tù. VËy MA lµ líp ®¬n ®iÖu.
XÐt A ∈ F0 bÊt kú. Víi c¸ch x©y dùng MA nh− trªn th× MA ⊂ M(F0 ). MÆt kh¸c,
∀B ∈ F0 ⊂ M(F0), A\B, B\A, A ∪ B ∈ F0 ⊂ M(F0) (v× F0 lµ ®¹i sè).
VËy B ∈ MA . Suy ra F0 ⊂ MA.
Do MA lµ líp ®¬n ®iÖu chøa F0 nªn nã sÏ chøa M(F0).
KÕt qu¶ trªn cho ta M A = M(F0), ∀A ∈ F 0.
XÐt B ∈ M(F0) bÊt kú. Theo trªn ∀A ∈ F0, MA = M(F 0) nªn B ∈ MA, ∀A ∈ F0.
Sö dông tÝnh chÊt (2) cña MA ta cã ∀A ∈ F0, A ∈ M B. VËy nªn F0 ⊂ MB. VËy M F B = M(F0 ), ∀B ∈ M( 0 ).
B©y giê ta chØ ra M(F0 ) lµ ®¹i sè. §iÒu nµy lµ hiÓn nhiªn:
- Ω ∈ M(F0) (v× Ω ∈ F0 ⊂ M(F0)).
- ∀A ∈ M(F0), A = Ω\A ∈ M(F0) (v× Ω ∈ MA). 7
- ∀A, B ∈ M(F0 ), A ∪ B ∈ M(F0) (v× B ∈ M A).
M(F0) lµ ®¹i sè vµ lµ líp ®¬n ®iÖu nªn M(F 0) lµ σ - ®¹i sè chøa F 0.
Tõ ®ã ta ®−îc σ(F0) ⊂ M(F0 ). 1.2.3 σ - ®¹i sè tÝch Kh«ng gian tÝch
Cho hai kh«ng gian ®o ®−îc (Ω1, F1), (Ω2, F2) víi A 1 ⊂ Ω1, A2 ⊂ Ω2. Ta ®Þnh nghÜa tÝch Descartes:
A1 × A2 = {(ω1, ω2) : ω1 ∈ A1, ω2 ∈ A2}.
§Æc biÖt khi A1 = Ω1, A2 = Ω2 th× Ω1 × Ω2 gäi lµ tÝch cña 2 kh«ng gian Ω1, Ω2.
NÕu A1 ∈ F1 , A2 ∈ F2 th× A 1 × A2 gäi lµ h×nh ch÷ nhËt.
Nãi chung: Líp tÊt c¶ c¸c h×nh ch÷ nhËt kh«ng ph¶i lµ σ - ®¹i sè. Khi ®ã σ - ®¹i sè bÐ nhÊt lµm
cho tÊt c¶ c¸c h×nh ch÷ nhËt ®ã ®o ®−îc (chøa tÊt c¶ c¸c h×nh ch÷ nhËt) ®−îc gäi lµ σ - ®¹i sè tÝch.
(Ω1 × Ω2, F1 ⊗ F2) gäi lµ kh«ng gian tÝch cña 2 kh«ng gian (Ω1, F 1), (Ω2, F2). 1.3 Hµm tËp vµ ®é ®o 1.3.1 Hµm tËp
Cho C lµ líp c¸c tËp con trªn Ω. Hµm ϕ x¸c ®Þnh trªn C vµ nhËn gi¸ trÞ sè ϕ : C −→ R
∀A ∈ C, ∃! x ∈ R : ϕ(A) = x
®−îc gäi lµ hµm tËp víi gi¸ trÞ sè.
- Hµm tËp ϕ ®−îc gäi lµ h÷u h¹n khi ϕ(A) < ∞, ∀A ∈ C.
- Hµm tËp ϕ ®−îc gäi lµ kh«ng ©m nÕu ϕ(A)  0, ∀A ∈ C.
- Hµm tËp ϕ ®−îc gäi lµ céng tÝnh h÷u h¹n nÕu: n ∀{A  i} ⊂ C, A ∅ víi i  j; i, j = 1, n vµ i=1,n i ∩ Aj = = Ai ∈ C, ta cã i=1 n n ϕ( A  i) = ϕ(Ai). i=1 i=1
- Hµm tËp ϕ ®−îc gäi lµ céng tÝnh ®Õm ®−îc (σ - céng tÝnh) nÕu: ∞ ∀{A 
n} n∈N ⊂ C : Ai ∩ A j = ∅ víi i =  j; i, j = 1, ∞ vµ Ai ∈ C, ta cã i=1 ∞ ∞ ϕ( A  i) = ϕ(Ai). i=1 i=1
- Hµm tËp ϕ ®−îc gäi lµ σ - h÷u h¹n nÕu ta cã: ∞ ∀C ∈ C th× ∃ {C  k}k∈N ⊂ C :
Ck = C vµ ϕ(Ck ) h÷u h¹n ∀k = 1, ∞. k=1 8 1.3.2 §é ®o
§Þnh nghÜa 1.3.1. Cho kh«ng gian ®o ®−îc (Ω, F) vµ mét hµm µ x¸c ®Þnh trªn F vµ nhËn gi¸
trÞ trong [0, ∞]. µ ®−îc gäi lµ ®é ®o nÕu µ lµ σ - céng tÝnh (∀{An}n∈N ⊂ F : Ai ∩ Aj = ∅ víi ∞ ∞
i = j; i, j = 1, ∞ th× µ( A  i) = µ(Ai)). i=1 i=1
- µ ®−îc gäi lµ h÷u h¹n (ký hiÖu µ < ∞) nÕu: µ(Ω) < ∞.
- µ ®−îc gäi lµ céng tÝnh h÷u h¹n nÕu:
∀{A i}i=1,n ⊂ F, Ai ∩ Aj = ∅ víi i = j; i, j = 1, n, ta cã: n  n  µ( Ai) = µ(Ai). i=1 i=1 ∞
-µ lµ σ - h÷u h¹n nÕu: ∃{A  n}n∈N ⊂ F :
An = Ω vµ µ(An) < ∞, ∀n = 1, n. n=1
Cho kh«ng gian ®o ®−îc (Ω, F) vµ µ lµ mét ®é ®o trªn (Ω, F). Khi ®ã (Ω, F, µ) ®−îc gäi lµ mét
kh«ng gian cã ®é ®o (hay kh«ng gian ®o).
§Æc biÖt: Khi µ(Ω) = 1 th× (Ω, F, µ) ®−îc gäi lµ kh«ng gian x¸c suÊt. TÝnh chÊt 1.3.1.
a) NÕu ∃A ∈ F sao cho µ(A) < ∞ (µ(A) h÷u h¹n) th× µ(∅) = 0.
b) TÝnh céng tÝnh h÷u h¹n cña ®é ®o.
c) NÕu A, B ∈ F vµ A ⊂ B th× µ(A)  µ(B).
d) Gi¶ sö µ < ∞, A, B ∈ F vµ A ⊂ B th× µ(B\A) = µ(B) − µ(A).
e) NÕu µ < ∞ th× ∀A, B ∈ F ta cã: µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∩ B). ∞ ∞ f) ∀{A   n}n ⊂ F ta cã µ( An) 
µ(An) (BÊt ®¼ng thøc Boole). n=1 n=1 Chøng minh.
a) Ta cã A ∈ F : A = A + ∅ + ∅ + . . . ∞
⇒ µ(A) = µ(A + ∅ + ∅ + . . .) = µ(  An) trong ®ã A1 = A, Ai = ∅ ∀i  2. n=1 ∞ ∞ ∞
V× µ lµ σ - céng tÝnh nªn µ(  A   n ) = µ(An) = µ(A) + µ(An) n=1 n=1 n=2 ∞ ∞
V× µ(A) < ∞ suy ra 0 = µ(A) − µ(A) =  µ(A  n ) = ( µ An) = µ(∅). n=2 n=2 n ∞ b) Ta cã  A  i =
Ai, Ai = ∅ ∀i = n + 1, ∞. i=1 i=1 n ∞ ∞ n ⇒ µ( A    i) = µ( Ai) = µ(Ai) =
µ(A i) (do tÝnh σ - céng tÝnh). i=1 i=1 i=1 i=1 9
c) V× A ⊂ B suy ra B = B\A + . A
V× µ céng tÝnh h÷u h¹n nªn µ(B) = µ(B\A + A) = µ(B\A) + µ(A). V× A, B ∈ F nªn B\A ∈ F
suy ra µ(B\A)  0. ⇒ µ(B)  µ(A).
d) Sö dông kÕt qu¶ ë c©u c) vµ thªm tÝnh chÊt µ < ∞ ta cã µ(B\A) = µ(B) − µ(A).
e) Ta cã A ∪ B = A + B\A vµ B = B\A + B ∩ . A
Sö dông tÝnh céng tÝnh h÷u h¹n sÏ ®−îc µ(A∪B) = µ(A)+µ(B\A) vµ µ(B) = ( µ B\A)+µ(B∩ ) A .
MÆt kh¸c do µ < ∞ vµ A, B ∈ F nªn ta cã kÕt qu¶ µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∩ B). f) §Æt B1 = A1 B2 = A2\(A2 ∩ A1) B3 = A3\(A3 ∩ (A1 ∪ A2)) ... k−1 B  k = Ak\(Ak ∩ ( Ai)) i=1 Lóc nµy, ∞ ∞  A  n =
Bi vµ Bi ∩ Bj = ∅ víi i =  j; i, j = 1, ∞. n=1 i=1 Bi ⊂ Ai ∀ i = 1, ∞. Ta cã: ∞ ∞ ∞ µ(  A   n) = ( µ Bn) =
µ(Bn)(do tÝnh σ - céng tÝnh). n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ Vµ  µ(B  n )  µ(An) (v× Bn ⊂ An, ∀n). n=1 n=1 Tõ ®ã cho ra kÕt qu¶.
§Þnh lý 1.3.1 (Sù liªn tôc cña ®é ®o).
1. NÕu An ↑n A th× µ(An) ↑n µ(A) (tÝnh liªn tôc d−íi).
2. NÕu An ↓n A vµ µ(A1) < ∞ th× µ(An) ↓n µ(A) (tÝnh liªn tôc trªn).
Chøng minh. Cho kh«ng gian ®o (Ω, F, µ) vµ {An}n∈N lµ dQy c¸c tËp trong F ®o ®−îc tháa mQn: ∞ 1. A  n ↑n A ⇒ A = An. n=1
§Æt B1 = A1 , Bn = An\An−1 vµ do An ↑n A nªn cã thÓ viÕt
A = A1 + (A2 \A1 ) + (A3\A2) + . . . = B1 + B2 + . . . ∞ ∞ MÆt kh¸c µ(A) = µ(  A  n ) = ( µ Bn) n=1 n=1 ∞ n
Do tÝnh σ - céng tÝnh suy ra µ(A) =  µ(B  n ) = limn[ µ(Bi)] = limn µ(An). n=1 i=1 VËy µ(An) ↑n µ(A).
2. Ta cã An ↓n A ⇒ (A1\An) ↑n (A1\A)
⇒ µ(A1\An) ↑n µ(A1\A) (do tÝnh liªn tôc d−íi cña ®é ®o)
⇒ [µ(A1 )\µ(An)] ↑n [µ(A1)\µ(A)] (v× ( µ A1) < ∞) 10 ⇒ −µ(An) ↑n −µ(A) ⇒ µ(An) ↓n µ(A).
§Þnh lý 1.3.2. Cho F lµ σ - ®¹i sè, µ lµ hµm tËp, µ : F → [0, ∞]. µ céng tÝnh h÷u h¹n. Khi ®ã:
a) NÕu µ liªn tôc d−íi th× µ lµ σ - céng tÝnh.
b) NÕu µ liªn tôc t¹i ∅ th× µ lµ σ - céng tÝnh.
(Ta nãi µ liªn tôc t¹i ∅ nÕu An ↓n ∅ th× µ(An) ↓n 0). Chøng minh. ∞ ∞ a) Cho A =  A  n, {An }n∈ ⊂ F, A ∅  N i ∩ Aj = , i = j. Chøng minh µ(A) = µ(Ai). n=1 n=1 n n Ta cã  A 
k ↑ n A. V× µ liªn tôc d−íi nªn µ( Ak) ↑ n µ(A). k=1 k=1 n n
MÆt kh¸c v× µ lµ céng tÝnh h÷u h¹n nªn µ(  A  k) = µ(Ak) ↑n µ(A). k=1 k=1 ∞
⇒ µ(A) =  µ(An) (do tÝnh duy nhÊt cña giíi h¹n). n=1 ∞
b) Gi¶ sö A =  An, {An}n∈ ∅  N ⊂ F, A i ∩ Aj = , i = j. n=1 n n §Æt B   n = (A\ Ak) ↓n ∅, do vËy A = Bn + Ak . k=1 k=1 n ⇒ µ(A) = µ(B  n ) +
µ(Ak) (do µ céng tÝnh h÷u h¹n). k=1 n ∞ Cho n → ∞ th× µ(B   n) + µ( Ak ) → 0 + µ(A n). k=1 n=1 ∞ VËy µ(A) =  µ(An). n=1
§Þnh lý 1.3.3 (B§T Fatou d−íi d¹ng ®é ®o).
Cho kh«ng gian ®o (Ω, F, µ) vµ {An}n∈ ®o ®−îc. Khi ®ã ta cã: N 1. µ(limnAn)  lim nµ(An). ∞
2. NÕu µ(  An) < ∞ th× lim nµ(An)  µ(lim nAn). n=1 Chøng minh. ∞ ∞ 1. Ta cã lim   n An = Ak. n=1k=n ∞ ∀ n ®Æt B  n =
Ak ({Bn }n∈N lµ dQy t¨ng theo n). k=n ∞ ∞ B   n = ( Ak) ↑n Bn = lim n An. k=n n=1
Tõ tÝnh liªn tôc d−íi cña µ ta cã µ(Bn) ↑n µ(lim nAn). 11
MÆt kh¸c Bn ⊂ An, ∀ n ⇒ µ(Bn )  µ(An)∀ n.
⇒ lim nµ(Bn)  lim nµ(An).
Hay µ(lim nAn)  lim nµ(An). ∞ ∞ 2. Ta cã lim   n µ(An ) = Ak n=1 k=n ∞ ∞ §Æt B   n = Ak ↓n Bn = lim nAn. k=n n=1 ∞ ∞ MÆt kh¸c B   1 = An ⇒ µ(B1) = µ( An) < ∞. n=1 n=1
Tõ ®Þnh lý vÒ sù liªn tôc ta cã: µ(Bn) ↓n µ(lim nA). (1)
L¹i cã An ⊂ Bn∀n ⇒ µ(An)  µ(Bn), ∀n.
⇒ lim nµ(An)  lim nµ(Bn).
KÕt hîp víi (1) suy ra lim nµ(An)  µ(limnAn).
HÖ qu¶. Cho kh«ng gian ®o (Ω, F, µ), µ < ∞.
NÕu An → A khi n → ∞ th× ta cã µ(An ) → µ(A). Chøng minh.
V× An → A khi n → ∞ nªn µ(A) = µ(limn An) = µ(lim nAn) = µ(lim nAn). Sö dông B§T Fatou ta cã:
µ(A) = µ(lim nAn)  lim nµ(An)  lim nµ(An)  µ(lim nAn) = µ(A) (do µ < ∞). VËy limn µ(An) = µ(A).
§Þnh lý 1.3.4 (§Þnh lý Borel - Cantelli). ∞ Cho kh«ng gian (Ω,  F, µ), {An}n∈N ⊂ F. NÕu
µ(An) < ∞ th× µ(lim nAn) = 0. n=1 Chøng minh. ∞ ∞ Ta cã lim   nAn = Ak n=1 k=n ∞ Víi B  n = Ak ↓n lim nAn. k=n ∞ ∞ MÆt kh¸c B   1 = Ak ⇒ µ(B1) = ( µ Ak ). k=1 k=1 ∞ ∞ Sö dung B§T Boole µ(B   1) = µ( Ak ) 
µ(Ak) < ∞ (theo gi¶ thiÕt). k=1 k=1
Tõ ®Þnh lý liªn tôc ⇒ µ(Bn) ↓n µ(lim nAn). ∞ ∞ L¹i cã 0    µ(Bn) = ( µ Ak)  µ(Ak) (B§T Boole), ∀n. k=n k=n
Cho n → ∞ th× 0  µ(lim nAn)  0 hay µ(lim nAn ) = 0. 12
1.3.3 TËp kh«ng ®¸ng kÓ (µ - kh«ng ®¸ng kÓ) - Kh«ng gian cã ®é ®o ®ñ
Cho kh«ng gian (Ω, F, µ) vµ tËp A ⊂ Ω. Ta nãi A lµ tËp kh«ng ®¸ng kÓ (µ - kh«ng ®¸ng kÓ, hay
µ - kh«ng) nÕu ∃B ∈ F sao cho A ⊂ B vµ µ(B) = 0.
Gäi N lµ líp c¸c tËp N ⊂ Ω lµ tËp kh«ng ®¸ng kÓ.
N = {N ⊂ Ω : N lµ µ - kh«ng ®¸ng kÓ}.
NÕu N ⊂ F th× (Ω, F, µ) ®−îc gäi lµ kh«ng gian cã ®é ®o ®ñ. Khi ®ã µ ®−îc gäi lµ ®é ®o ®ñ.
VËy trong kh«ng gian cã ®é ®o ®ñ, c¸c tËp kh«ng ®¸ng kÓ ®Òu ®o ®−îc. TÝnh chÊt 1.3.2.
1. NÕu N1 ⊂ N vµ N lµ tËp kh«ng ®¸ng kÓ th× N1 kh«ng ®¸ng kÓ.
2. TËp N ∈ F vµ µ(N) = 0 th× N lµ kh«ng ®¸ng kÓ.
3. Hîp ®Õm ®−îc c¸c tËp kh«ng ®¸ng kÓ lµ kh«ng ®¸ng kÓ. Chøng minh.
1. V× N lµ kh«ng ®¸ng kÓ nªn
∃B ∈ F sao cho N ⊂ B, µ(B) = 0. V× N1 ⊂ N nªn N1 ⊂ B.
⇒ N1 lµ µ - kh«ng ®¸ng kÓ. 2. HiÓn nhiªn.
3. XÐt {Ni}i∈N ⊂ F, Ni lµ µ - kh«ng ∀i. ⇒ ∃{Bi}i∈ ⊂ F, N
Ni ⊂ Bi vµ µ(Bi) = 0, ∀i. ∞ ∞ ∞ ∞ ⇒  N    i ⊂ Bi vµ µ( Bi )  µ(Bi) = 0. i=1 i=1 i=1 i=1 ∞ VËy  Ni lµ µ - kh«ng. i=1
§Þnh lý 1.3.5 (Lµm ®Çy ®ñ kh«ng gian cã ®é ®o).
Cho kh«ng gian (Ω, F, µ) vµ N lµ líp c¸c tËp kh«ng ®¸ng kÓ (µ - kh«ng).
a) NÕu F = {A ∪ N : A ∈ F, N ∈ N} th× F = σ(F ∪ N).
b) µ : F → [0, ∞] ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau:
∀(A ∪ N) ∈ F, µ(A ∪ N ) = µ(A). ∀A ∈ F, µ(A) = µ(A).
Khi ®ã µ lµ ®é ®o níi réng duy nhÊt cña µ lªn F (µ|F = µ).
c) (Ω, F, µ) lµ kh«ng gian cã ®é ®o ®ñ. Chó ý:
Cho kh«ng gian (Ω, F, µ) ch−a ®ñ. Lµm ®Çy ®ñ kh«ng gian cã ®é ®o (Ω, F, µ) nghÜa lµ ®i x©y
dùng (Ω, F, µ). Khi ®ã F ®−îc gäi lµ σ - ®¹i sè bæ sung cho σ - ®¹i sè F, µ gäi lµ ®é ®o ®ñ. 13 Chøng minh.
Ta cÇn chøng minh c¸c ®iÒu sau: 1. F = σ(F ∪ N).
2. KiÓm chøng µ lµ ¸nh x¹. 3. µ lµ ®é ®o. 4. µ lµ duy nhÊt. 5. µ lµ ®é ®o ®ñ. 1. F = σ(F ∪ N)
∀B ∈ F ⇒ B = A ∪ N, A ∈ F, N ∈ N ⇒ B ∈ σ(F ∪ N) ⇒ F ⊂ σ(F ∪ N).
MÆt kh¸c: ∀B ∈ (F ∪ N) ta cã B = A ∪ N, A ∈ F, N ∈ N ⇒ B ∈ F .
Do vËy (F ∪ N) ⊂ F ⊂ σ(F ∪ N).
Ta chøng minh F lµ σ - ®¹i sè.
- Ω ∈ F ⇒ Ω = Ω ∪ N(N ∈ N) ∈ F ⇒ Ω ∈ F.
- ∀B ∈ F, B = A ∪ N, A ∈ F, N ∈ N.
Do N ∈ N nªn ∃N1 ∈ F, N ⊂ N1 vµ µ(N1) = 0.
Ta cã B = A ∪ N = (A ∪ N1) ∪ ((A ∪ N) ∩ N1).       ∈ F ⊂ N vµ 1 µ(N 1)=0
V× thÕ ((A ∪ N ) ∩ N1) lµ tËp µ - kh«ng. Suy ra B ∈ F. ∞ - Cho {B  n }n∈N ⊂ F ta chøng minh Bn ∈ F. n=1
V× {Bn}n∈N ⊂ F ⇒ Bn = An ∪ Nn. Trong ®ã: An ∈ F, Nn ∈ N, ∀n. ∞ ∞ ∞ ∞   ⇒  B  n = (An∪ Nn) = ( An) ∪ ( Nn) ∈ F. n=1 n=1 n=1 n=1       ∈ F ∈ N VËy F lµ σ - ®¹i sè.
Sö dông tÝnh chÊt cña σ - ®¹i sè cho ta σ(F ∪ N) ⊂ F ⊂ σ(F ∪ N). 2. µ lµ ¸nh x¹
Gi¶ sö A1 ∪ N1 = A2 ∪ N2(Ai ∈ F, Ni ∈ N). ⇒ (A1 ∪ N1)\A2 ⊂ N2 (A2 ∪ N2)\A1 ⊂ N1
MÆt kh¸c ta cã: A1\A2 ⊂ A1 ∪ N1 \N2 A2\A1 ⊂ A2 ∪ N 2\N1
Tõ ®ã suy ra A1\A2 ⊂ N2 vµ A2\A1 ⊂ N1
⇒ A1A 2 = (A1\A2) ∪ (A2\A1) ⊂ (N1 ∪ N 2).
Do N1, N 2 lµ tËp µ - kh«ng nªn N1 ∪ N2 còng lµ tËp µ - kh«ng, nghÜa lµ ∃B ∈ F, N1 ∪ N2 ⊂ B, µ(B) = 0 14 ⇒ µ(A1A2 )  µ(B) = 0 ⇒ µ(A1A2 ) = 0 ⇒ µ(A1) = µ(A2).
Theo ®Þnh nghÜa µ: µ(A1) = µ(A1 ∪ N1) µ(A2) = µ(A 2 ∪ N2)
⇒ µ(A1 ∪ N1) = µ(A2 ∪ N2) VËy µ lµ ¸nh x¹. 3. µ lµ ®é ®o
Chøng minh µ lµ σ - céng tÝnh.
XÐt {Bn}n∈N ⊂ F, Bi ∩ B j = ∅ vµ i =  j. ∞ ∞ Ph¶i chøng minh µ(  B  n) = µ(Bn). n=1 n=1 Ta cã:
{Bn}n∈N ⊂ F ⇒ Bn = An ∪ Nn , An ∈ F, Nn ∈ N, ∀n ∞ ∞ ∞ ∞ ⇒  B    n = (An∪ Nn) = ( An) ∪ ( Nn) n=1 n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ ∞ ⇒ µ( B    n) = µ[( An) ∪ ( Nn)] = ( µ An) (theo ®Þnh nghÜa). n=1 n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ MÆt kh¸c A   i ∩ Aj = ∅ nªn µ( An) = µ(An). n=1 n=1 ∞ ∞ ∞
Còng vËy, dùa vµo ®Þnh nghÜa cña µ th×  µ(A   n) = µ(An ∪ Nn) = µ(Bn). n=1 n=1 n=1
VËy µ lµ σ - céng tÝnh, hay µ lµ ®é ®o trªn F. 4. µ lµ duy nhÊt
Gi¶ sö µ1 còng lµ mét níi réng cña .
µ Ta chøng minh µ1 chÝnh lµ . µ Thùc vËy,
∀B ∈ F ⇒ B = A ∪ N, A ∈ F, N ∈ N
⇒ µ(B) = µ(A) = µ1(B) (theo ®Þnh nghÜa cña ®é ®o níi réng)
⇒ ∀B ∈ F : µ(B) = µ (B), hay µ = µ . 1 1 VËy µ lµ duy nhÊt. 5. µ lµ ®é ®o ®ñ
µ lµ ®é ®o ®ñ ⇔ (Ω, F, µ) lµ kh«ng gian ®ñ
⇔ F chøa tÊt c¶ c¸c tËp µ - kh«ng.
V× F = σ(F ∪ N) nªn tÊt c¶ c¸c tËp µ - kh«ng ®Òu chøa trong F.
SÏ chøng minh mäi tËp µ - kh«ng ®Òu lµ tËp µ - kh«ng.
ThËt vËy, víi M lµ tËp µ - kh«ng bÊt kú ⇒ M ⊂ B ∈ F vµ µ(B) = 0.
V× B ∈ F ⇒ B = A ∪ N, A ∈ F, N ∈ N. 15
Do N ∈ N nªn ∃N1 ∈ F, N ⊂ N1 vµ µ(N1) = 0.
MÆt kh¸c µ(B) = µ(A) = 0, B = A ∪ N ⊂ A ∪ N1 vµ µ(A ∪ N1)  µ(A) + ( µ N1) = 0.
VËy ∃(A ∪ N1) ∈ F, M ⊂ B ⊂ (A ∪ N1) vµ µ(A ∪ N1) = 0. V× thÕ M lµ µ - kh«ng.
1.3.4 §é ®o ngoµi - §é ®o trong §é ®o ngoµi
Cho kh«ng gian (Ω, F, µ). µ∗ : 2 Ω → [0, ∞] ®−îc gäi lµ ®é ®o ngoµi nÕu nã x¸c ®Þnh víi mäi
A ∈ 2Ω: µ∗(A) = inf{µ(B) : B ∈ F, B ⊃ A}. §é ®o trong
µ∗ : 2Ω → [0, ∞] ®−îc gäi lµ ®é ®o trong nÕu nã x¸c ®Þnh víi mäi A ∈ 2Ω: µ∗(A) = sup{ ( µ B) : B ∈ F, B ⊂ A}.
Bæ ®Ò. Cho (Ω, F, µ), A ⊂ Ω. Khi ®ã ∃ A, A ∈ F:
A ⊂ A ⊂ A vµ: µ∗(A) = µ(A) µ∗(A) = ( µ A) Chøng minh.
Ta cã µ∗(A) = inf{µ(B) : B ∈ F, B ⊃ A} ⇒ ∃{Bn }n∈ ⊂ F : µ(B N n) ↓n µ∗ ( ) A . ∞
§Æt A =  Bn ⇒ A ⊂ A ⊂ Bn, ∀n (do A ⊂ Bn) n=1
⇒ µ∗(A)  µ(A)  µ(Bn), ∀n (BT: Gi¶i thÝch sù tån t¹i cña µ(A)).
Cho n → ∞ ⇒ µ∗(A)  (
µ A )  µ∗(A) ⇒ µ∗ (A) = ( µ A).
µ∗(A) = sup{µ(B) : B ∈ F, B ⊂ A}
⇒ ∃{Bn }n∈N ⊂ F : µ(B n) ↑n µ∗( ) A . ∞
§Æt A =  Bn ⇒ Bn ⊂ A ⊂ A, ∀n (do Bn ⊂ A). n=1
∀n, µ(Bn)  µ(A)  µ∗( ) A . Cho n → ∞ : µ∗(A)  ( µ A )  µ∗ ( )
A . Nãi kh¸c ®i µ∗(A) = µ(A).
Nh¾c l¹i F = {A ∪ N : A ∈ F, N ∈ N} = σ(F ∪ N).
§Þnh lý 1.3.6. Cho (Ω, F, µ), µ < ∞. Khi ®ã:
a) F = {A ⊂ Ω : µ∗ (A) = µ∗ (A)}. b) µ∗(A) = µ∗(A) = ( µ A), ∀A ∈ F. 16 Chøng minh. a) [⇒]
XÐt A ∈ F bÊt kú. Do vËy A = B ∪ N, B ∈ F, N ∈ N.
Ta chøng minh µ∗ (A) = µ∗ (A) = µ(A). ThËt vËy,
V× N ∈ N ⇒ ∃N1 ∈ F : N ⊂ N1 vµ µ(N1) = 0. XÐt A∗ = B ∪ N1 ∈ F.
Râ rµng A∗ ⊃ A vµ µ(A∗) = µ(B) = µ(A) ⇒ µ∗(A)  µ( ) A .
MÆt kh¸c, ∀C ∈ F, C ⊃ A ⇒ C ⊃ B ⇒ µ(C)  µ(B) ⇒ µ∗(A)  µ( ) A .
KÕt hîp víi trªn ta sÏ cã µ∗(A) = µ(A).
ViÖc chøng minh cho µ∗(A) lµ hoµn toµn t−¬ng tù.
VËy, F ⊂ {A ⊂ Ω : µ∗ (A) = µ∗(A)}. [⇐]
∀A ∈ vÕ ph¶i ⇒ A ⊂ Ω.
Theo bæ ®Ò ∃ A, A ∈ F : A ⊂ A ⊂ A, µ∗ (A) = (
µ A), µ∗(A) = µ(A).
V× A ∈ vÕ ph¶i nªn µ∗ (A) = µ∗( ) A .
⇒ ∃ A , A ∈ F : A  ⊂ A ⊂ A , µ(A) = µ(A).
⇒ µ(A\A) = 0 (do µ < ∞).
§Æt N = A\A ⊂ A\A ∈ F ⇒ N ∈ N (do µ(A\A) = 0).
VËy A = A ∪ N, A  ∈ F, N ∈ N ⇒ A ∈ F.
b) Theo kÕt qu¶ ë c©u a), µ∗(A) = µ∗(A) = ( µ A) . §Þnh lý 1.3.7 (XÊp xØ).
Cho (Ω, F, µ), F0 lµ ®¹i sè trªn Ω, σ(F0) = F vµ µ < ∞. Khi ®ã,
∀ε > 0, ∀A ∈ F, ∃ Bε ∈ F0 : µ(ABε) < ε. Chøng minh.
§Æt F∗ = {A ∈ σ(F0) : (∀ε > 0, ∃ Bε ∈ F0 : µ(ABε) < ε)}.
CÇn chøng minh F ∗ = σ(F 0) = F.
Theo c¸ch x©y dùng F∗ ta cã F∗ ⊂ σ(F0).
MÆt kh¸c ta cã ∀ε > 0, ∀A ∈ F0 , ∃ Bε = A ∈ F0 : µ(ABε) < ε ⇒ A ∈ F∗. VËy F 0 ⊂ F∗ ⊂ σ(F0).
V× thÕ ta chØ cÇn chøng minh F∗ lµ σ - ®¹i sè.
- Ta cã Ω ∈ F∗ (v× F0 ⊂ F∗).
- ∀A ∈ F∗ ⇒ ∀ε > 0, ∃ Bε ∈ F0 : µ(ABε ) < ε.
Thªm vµo ®ã µ(ABε) = µ(ABε).
⇒ ∀ε > 0, ∃ Bε ∈ F0 : µ(ABε) < ε ⇒ A ∈ F∗ . ∞ - ∀{A  n }n∈N ⊂ F∗ chøng minh An ∈ F∗. n=1 17 ∞ §Æt A =  Ak. k=1 n n Ta cã  A  k ↑ A ⇒ µ(
Ak ) ↑ µ(A) < ∞ (do tÝnh liªn tôc). k=1 k=1 N
Suy ra ∃ N ∈ N kh¸ lín sao cho µ(  Ak) ≈ µ( ) A . k=1 ε
V× {An}n∈N ⊂ F∗ ⇒ ∃ {Bn}n∈N ⊂ F0 : µ(AnBn) < . 2 n+1 Víi N kh¸ lín l¹i cã N N N N N ε  ε ε µ(A  B    k )  µ(A Ak) + ( µ Bk Ak)  + µ(B k Ak)  + . k=1 k=1 k=1 k=1 2 2 2 k=1 1  N N 1 − ( )N  ε ε  1 ε 1 ε  = . = . . 2 < . 2 k+1 2 2k 2 2 1 2 k=1 k=1 1 − 2 N
Tãm l¹i: ∀ε > 0, ∃ N > 0 sao cho B  ε =
Bk ∈ F0 vµ µ(ABε) < ε. k=1 ⇒ A ∈ F∗. VËy F ∗ lµ σ - ®¹i sè. §Þnh lý 1.3.8 (Níi réng).
Cho (Ω, F); µ, ν lµ ®é ®o h÷u h¹n trªn (Ω, F) , F0 lµ ®¹i sè trªn Ω, σ(F0) = F. NÕu µ = ν trªn F th× F 0 µ = ν trªn . Chøng minh.
§Æt η = {A ∈ F : µ(A) = ν(A)}. CÇn chøng minh η = F.
Theo c¸ch x©y dùng η ta cã η ⊂ F.
Theo gi¶ thiÕt µ = ν trªn F0 ⇔ ∀A ∈ F0 ta ®−îc µ(A) = ν(A) ⇒ A ∈ η ⇒ F0 ⊂ η.
Do vËy ta chØ cÇn chøng minh η lµ líp ®¬n ®iÖu.
∀{An}n ⊂ η, An ↑n A ⇒ µ(A) ↑n µ(An) = ν(An) ↑n ν(A).
⇒ µ(A) = ν(A) ⇒ A ∈ η. T−¬ng tù,
∀{An}n ⊂ η, A n ↓n A ⇒ µ(A) ↓n µ(An) = ν(An) ↓n ν(A) (v× µ, ν < ∞).
⇒ µ(A) = ν(A) ⇒ A ∈ η.
V× thÕ σ(F0) = M(F0) ⊂ η ⊂ F = σ(F0). VËy η = F.
§Þnh lý 1.3.9 (§Þnh lý CarathÐodory).
Cho ®¹i sè F 0 trªn Ω. µ0 lµ hµm tËp. µ0 : F0 → [0, ∞] tho¶:
1. µ0 lµ σ - h÷u h¹n trªn F0 . 18 2. µ lµ . 0 σ - céng tÝnh trªn F0
Khi ®ã ta cã thÓ níi réng µ0 thµnh ®é ®o µ duy nhÊt lªn σ(F 0).
1.3.5 §é ®o Lebesgue - Stieltjes vµ Hµm ph©n phèi §é ®o Lebesgue - Stieltjes §Þnh nghÜa 1.3.2.
Cho (R, B). Khi ®ã hµm tËp µ : B → [0, ∞] ®−îc gäi lµ ®é ®o Lebesgue - Stieltjes nÕu:
µ(Ik ) < ∞, ∀ Ik lµ kho¶ng giíi néi trong R. Hµm ph©n phèi
F ®−îc gäi lµ hµm ph©n phèi nÕu F : R → R tho¶:
1. F lµ hµm kh«ng gi¶m trªn R.
2. F lµ hµm liªn tôc tr¸i ∀x ∈ R.
§Þnh lý 1.3.10 (T−¬ng øng 1-1 gi÷a ®é ®o Lebesgue - Stieltjes vµ hµm ph©n phèi).
a. Cho ®é ®o Lebesgue - Stieltjes µ. Khi ®ã hµm F : R → R ®−îc x¸c ®Þnh bëi:
F (b) − F (a) = µ[a, b), ∀a, b ∈ R, a  b lµ hµm ph©n phèi.
b. Ng−îc l¹i, cho hµm ph©n phèi F . Khi ®ã µ ®−îc ®Þnh nghÜa bëi (1), (2), (3) nh− sau: (1) µ[a, b) = F (b) − F (a)
(2) µ(−∞, a) = F (a) − F (−∞)
µ[a, +∞) = F (+∞) − F (a)
(3) §Æt F lµ líp c¸c tËp cã d¹ng tæng h÷u h¹n c¸c kho¶ng nöa hë bªn ph¶i. 0 ∀A ∈ F0, A = n  I , trong ®ã
lµ mét kho¶ng nöa hë bªn ph¶i. k Ik k=1 n µ(A) =  µ(Ik ) k=1
th× µ lµ ®é ®o Lebesgue - Stieltjes trªn σ(F0) = B. Chøng minh.
a. Chøng minh F lµ hµm kh«ng gi¶m, liªn tôc tr¸i.
- Gi¶ sö a < b ta cã F (b) − F (a) = µ[a, b)  0
⇒ F (a)  F (b). VËy F lµ hµm kh«ng gi¶m.
- Cho xn ↑n x ta chøng minh F (xn) ↑n F (x). Thùc vËy,
xn ↑n x ⇒ [xn , x) ↓n ∅
⇒ µ[xn, x) ↓n µ(∅) = 0.
L¹i cã F (x) − F (xn) = µ[xn , x) ↓n 0
⇒ −F (xn) ↓ n −F (x). Nãi kh¸c ®i F (xn ) ↑n F (x). V× thÕ F liªn tôc tr¸i. 19 VËy F lµ hµm ph©n phèi.
b. Chøng minh µ lµ ®é ®o Lebesgue - Stieltjes.  n  Víi F  0 =
[ai, bi) : −∞ < ai  bi < +∞ th× F0 lµ ®¹i sè trªn R, σ(F 0) = B. i=1 n n V× µ( I  k ) =
µ(Ik) ⇒ µ céng tÝnh h÷u h¹n trªn F0 . k=1 k=1 ∞
L¹i cã µ[−n, n) = F (n) − F (−n) < ∞ vµ R =  [−n, n) nªn µ lµ σ - h÷u h¹n trªn ®¹i sè F0. n=1
NÕu thªm ®iÒu kiÖn µ lµ σ - céng tÝnh trªn F0 th× theo ®Þnh lý CarathÐodory ta cã thÓ níi réng µ
thµnh ®é ®o duy nhÊt lªn σ(F0).
VËy ®Ó kÕt thóc chøng minh ®Þnh lý ta chØ ra µ lµ σ - céng tÝnh. Cã 2 tr−êng hîp:
1. F (+∞) − F (−∞) < ∞
2. F (+∞) − F (−∞) = ∞
1. F (+∞) − F (−∞) < ∞
Ta cã µ(R) = µ(−∞, +∞) = F (+∞) − F (−∞) < ∞ nªn µ < ∞.
V× thÕ viÖc chøng minh µ lµ σ - céng tÝnh t−¬ng ®−¬ng víi viªc chøng minh µ liªn tôc t¹i ∅.
Ta cÇn lµm viÖc trªn kh«ng gian compac R.
§Þnh nghÜa F : R → R nhê biÓu thøc F (±∞) = lim F (x). x→±∞
∀{An}n ⊂ F 0 (hay {An} n ⊂ F = σ(F0)) theo ®Þnh lý xÊp xØ ε
∃ {Bn }n ⊂ F0, Bn ⊂ An, ∀n tho¶ mQn µ(AnBn ) < . Trong ®ã B 2n n lµ bao ®ãng cña Bn trong R. ∞ Do A  n ↓n ∅, ⇒ An = ∅. n=1 V× Bn ⊂ An, ∀n = 1, ∞ ∞ ⇒  Bn = ∅. n=1 N
MÆt kh¸c R lµ compact⇒ ∃ N kh¸ lín sao cho  Bk = ∅. k=1 H¬n n÷a N N A   n = An \ Bk + Bk k=1 k=1 N N ⇒ µ(A   n) = µ(An\ Bk) + ( µ Bk) k=1 k=1 N N = µ(  A  n \Bk) + ( µ Bk ). k=1 k=1
V× An ↓n⇒ A1 ⊃ A2 . . . ⊃ An ⇒ ∀n > N ta cã: 20

Tài liệu liên quan: