Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm ứng dụng tích phân Toán 12

Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm ứng dụng tích phân Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

17 9 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Môn: Toán 12

Thông tin:

32 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Trang 1/34
CHỦ ĐỀ 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Diện tích hình phẳng
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
()
y fx
liên tục trên đoạn
;ab
, trục hoành và
hai đường thẳng
xa
,
xb
được xác định:
()
b
a
S f x dx
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
()y fx
,
()y gx
liên tục trên đoạn
;ab
và
hai đường thẳng
xa
,
xb
được xác định:
Chú ý:
- Nếu trên đoạn
[;]ab
, hàm số
()fx
không đổi dấu thì:
() ()
bb
aa
f x dx f x dx

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường
()x gy
,
()x hy
và hai đường thẳng
yc
,
yd
được xác định:
() ()
d
c
S g y h y dy
2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay
a) Thể tích vật thể:
Gọi
B
là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b;
()Sx
là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm
x
,
()axb
. Giả sử
()Sx
là hàm số liên tục trên đoạn
[;]ab
.
Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định:
()
b
a
V S x dx
()
b
a
S x dxV
=
∫
x
O
a
b
()
V
S(x)
x
=
=
=
=
11
22
( ): ( )
( ): ( )
()
C y fx
C y fx
H
xa
xb
1
()C
2
()
C
12
() ()
b
a
S f x f x dx= −
∫
a
1
c
y
O
b
x
2
c
=
=
=
=
()
()
y fx
y0
H
xa
xb
a
1
c
2
c
= ()
y fx
y
O
x
3
c
b
()
b
a
S f x dx=
∫
Trang 2/34
b) Thể tích khối tròn xoay:
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
()y fx
, trục
hoành và hai đường thẳng
xa
,
xb
quanh trục Ox:
Chú ý:
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
()x gy
, trục
hoành và hai đường thẳng
yc
,
yd
quanh trục Oy:
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
()y fx
,
()y gx
và hai đường thẳng
xa
,
xb
quanh trục Ox:
22
() ()
b
a
V f x g x dx

c
y
O
d
x
( ): ( )
( ):
=
=
=
=
C x gy
Oy x 0
yc
yd
[ ]
2
()
d
y
c
V g y dy= π
∫
( ): ( )
( ):
=
=
=
=
C y fx
Oxy0
xa
xb
[
]
2
()
b
x
a
V f x dx= π
∫
a
= ()y fx
y
O
b
x
Trang 3/34
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
I- Câu hỏi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Những điểm cần lưu ý:
Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường
( ), ( ), , y fxygxxaxb 
là
.
Phương pháp giải toán
+) Giải phương trình
() ()(1)f x gx
+) Nếu (1) vô nghiệm thì
() ()
b
a
S f x g x dx
.
+) Nếu (1) có nghiệm thuộc .
;ab
. giả sử
thì
() () () ()
b
a
S f x g x dx f x g x dx


Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số
() ()f x gx
trên đoạn
a; b
rồi dựa vào bảng xét dấu để tính
tích phân.
Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường
(), ()y f x y gx
là
. Trong đó
,

là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của
phương trình
() ()f x gx
ab


.
Phương pháp giải toán
Bước 1. Giải phương trình
() ()f x gx
tìm các giá trị
,

.
Bước 2. Tính
như trường hợp 1.
Câu 1. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
()
y fx
,
()y gx
liên tục
trên
[ ; ]ab
và hai đường thẳng
xa
,
xb
()ab
là:
A.
() ().
b
a
S f x g x dx

. B.
( () ())
b
a
S f x g x dx
.
C.
2
( () ()).
b
a
S f x g x dx
. D.
() ().
b
a
S f x g x dx
.
Câu 2. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y fx
, liên tục trên
[ ; ]
ab
trục hoành
và hai đường thẳng
,x ax b a b
cho bởi công thức:
A.
.
b
a
S f x dx
B.
.
b
a
S f x dx
C.
.
b
a
S f x dx
D.
2
.
b
a
S f x dx
Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
32
11 6, 6yx x y x
,
0, 2
xx
. (Đơn vị
diện tích)
A.
4
3
B.
5
2
C.
8
3
D.
18
23
Câu 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
3
, 4
yxy x
là:
A. 8 B. 9 C. 12 D. 13
Câu 5. Cho hàm số
()y fx
liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn
[;]ab
. Diện tích hình thang
cong giới hạn bởi đồ thị của
()y fx
, trục hoành và hai đường thẳng
xa
,
xb
được tính
theo công thức
Trang 4/34
A.
() .
b
a
S f x dx
B.
() .
b
a
S f x dx
C.
2
() .
b
a
S f x dx

D.
2
() .
b
a
S f x dx
Câu 6. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số
()
y fx
liên tục trên đoạn
[;]ab
,
trục hoành và hai đường thẳng
xa
,
xb
được tính theo công thức
A.
() .
b
a
S f x dx
B.
() .
b
a
S f x dx
C.
2
() .
b
a
S f x dx
D.
() .
b
a
S f x dx
Câu 7. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số
()y fx
,
()y gx
liên tục trên
đoạn
[;]ab
, trục hoành và hai đường thẳng
xa
,
xb
được tính theo công thức
A.
2
() () .
b
a
S f x g x dx
B.
[() ()] .
b
a
S f x g x dx
C.
() () .
b
a
S f x g x dx
D.
2
() () .
b
a
S f x g x dx

Câu 8. Cho đồ thị hàm số
()y fx
. Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là
A.
01
20
() ()S f x dx f x dx


B.
1
2
()S f x dx
C.
21
00
() ()S f x dx f x dx


D.
01
20
() ()S f x dx f x dx


Câu 9. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
3
yx
, trục hoành và hai đường thẳng
1x
,
3
x
là
A.
19
B.
18
C.
20
D.
21
Câu 10. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
yx
, trục hoành và hai đường thẳng
1x
,
4x
là
A.
4
B.
14
5
C.
13
3
D.
14
3
Câu 11. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
3
yx
, trục hoành và hai đường thẳng
1
x
,
8x
là
A.
45
2
B.
45
4
C.
45
7
D.
45
8
Câu 12. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
sinyx
, trục hoành và hai đường thẳng
x
,
3
2
x
là
A.
1
B.
1
2
C.
2
D.
3
2
Trang 5/34
Câu 13. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
tanyx
, trục hoành và hai đường
thẳng
6
x
,
4
x
là
A.
3
ln
3
B.
6
ln
3
C.
3
ln
3
D.
6
ln
3
Câu 14. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
2x
ye
, trục hoành và hai đường thẳng
0x
,
3x
là
A.
6
1
22
e
B.
6
1
22
e
C.
6
1
33
e
D.
6
1
33
e
[DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG]
VẬN DỤNG THẤP
Câu 15. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
32
3yx x
, trục hoành và hai đường
thẳng
1x
,
4x
là
A.
53
4
B.
51
4
C.
49
4
D.
25
2
Câu 16. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
42
34yx x

, trục hoành và hai đường
thẳng
0
x
,
3
x
là
A.
142
5
B.
143
5
C.
144
5
D.
141
5
Câu 17. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
1
2
x
y
x
, trục hoành và đường thẳng
2
x
là
A.
3 2ln 2
B.
3 ln 2
C.
3 2ln 2
D.
3 ln 2
Câu 18. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol
2
2yx
và đường thẳng
yx
là
A.
7
2
B.
9
4
C.
3
D.
9
2
Câu 19. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
cos 2yx
, trục hoành và hai đường
thẳng
0,
2
xx

là
A.
2
B.
1
C.
3
D.
4
Câu 20. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
42
34yx x
, trục hoành và hai
đường thẳng
0x
,
3x
là
A.
71
5
B.
73
5
C.
72
5
D.
14
Câu 21. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
1
2
x
y
x
, trục hoành và đường thẳng
2x
là
A.
3 2ln 2
B.
3 ln 2
C.
3 2ln 2
D.
3 ln 2
Câu 22. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol
2
2
yx

và đường thẳng
yx
là
A.
9
2
B.
9
4
C.
3
D.
7
2
Câu 23. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
cos 2yx
, trục hoành và hai đường
thẳng
0,
2
xx

là
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
Trang 6/34
Câu 24. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
yx
và
3
yx
là
A.
1
12
B.
1
13
C.
1
14
D.
1
15
Câu 25. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
32
231yx x

và
32
4 21yx x x
là
A.
37
13
B.
37
12
C.
3
D.
4
Câu 26. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
4yx
, đường thẳng
3x
, trục tung và
trục hoành là
A.
22
3
B.
32
3
C.
25
3
D.
23
3
Câu 27. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
3
4yx x= −
, trục hoành và hai đường thẳng
3, 4xx
=−=
là
A.
202
3
B.
203
4
C.
201
5
D.
201
4
Câu 28. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
lnyxx
, trục hoành và đường thẳng
xe
là
A.
2
1
2
e
B.
2
1
2
e
C.
2
1
4
e
D.
2
1
4
e
Câu 29. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
2
2, 2yx x yx 
và hai đường
thẳng
2; 3xx
. Diện tích của (H) bằng
A.
87
5
B.
87
4
C.
87
3
D.
87
5
Câu 30. Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
1 ,1
x
yexyex 
. Diện tích
của (H) bằng
A.
1
2
e
B.
2
2
e
C.
2
2
e
D.
1
2
e
VẬN DỤNG CẤP ĐỘ CAO
Câu 31. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
2
1, 5yx yx

. Diện tích của (H)
bằng
A.
71
3
B.
73
3
C.
70
3
D.
74
3
Câu 32. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
2
4 3, 3y x x yx 
. Diện tích của
(H) bằng
A.
108
5
B.
109
5
C.
109
6
D.
119
6
Câu 33. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
( ): 3Pyx
, tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ
2x
và trục tung bằng
A.
8
3
B.
4
3
C.
2
D.
7
3
Câu 34. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
2
2 0, 0y yx xy 
là
A.
9
4
B.
9
2
C.
7
2
D.
11
2
Trang 7/34
Câu 35. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số
22
1 27
;;
27
yxy xy
x

bằng
A.
27 ln 2
B.
27 ln3
C.
28ln 3
D.
29ln 3
Câu 36. Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là
A.
8
3
B.
11
3
C.
7
3
D.
10
3
Câu 37. Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng
8,y xy x
và đồ thị hàm số
3
yx
là
a
b
. Khi đó
ab
bằng
A.
68
B.
67
C.
66
D.
65
Câu 38. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
1,y yx
và đồ thị hàm số
2
4
x
y
trong
miền
0, 1xy

là
a
b
. Khi đó
ba
bằng
A.
4
B.
2
C.
3
D.
1
Câu 39. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
, nÕu x 1
2, nÕu x>1
x
y
x

và
2
10
3
y xx
là
a
b
. Khi đó
2ab
bằng
A.
16
B.
15
C.
17
D.
18
Câu 40. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
44
( ):
1
xx
Cy
x

, tiệm cận xiêm của
()C
và hai
đường thẳng
0, ( 0)x x aa
có diện tích bằng
5
Khi đó
a
bằng
A.
5
1 e
B.
5
1 e
C.
5
12e
D.
5
12e
II-Câu hỏi tính tính thể tích vật tròn xoay giới hạn bởi các đường:
Những điểm cần lưu ý:
. Tính thể tích khối tròn xoay:
Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f(x)
,
y0
,
xa
và
x b (a b)
quay quanh trục Ox là
b
2
a
V f (x)dx
.
Trang 8/34
Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
,
xa
và
x b (a b)
quay quanh trục Ox là
b
22
a
V f (x) g (x) dx

.
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu 41. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
= = = =
4
y ,y 0,x 1,x 4
x
quanh trục ox là:
A.
6
π
B.
6
π
C.
12
π
D.
6
π
Câu 42. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
y cos4x, Ox, x = 0, x =
8
=
π
quay xung quanh trục
Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
2
2
π
B.
2
16
π
C.
4
π
D.
1
.
16
π
π
+



Câu 43. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
(), , , yfxOxxaxb= = =
quay xung quanh trục
Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
2
() .
b
a
V f x dx
π
=
∫
B.
2
() .
b
a
V f x dx
π
=
∫
C.
22
. () .
b
a
V f x dx
π
=
∫
D.
2
() .
b
a
V f x dx=
∫
Câu 44. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
1yx= −
; trục Ox và đường thẳng
3=x
quay xung
quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
3
2
π
B.
3
π
C.
2π
D.
π
Câu 45. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
3
y x 1, y 0, x 0, x 1=+= = =
quay xung quanh trục Ox.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
79
63
π
B.
23
14
π
C.
5
4
π
D.
9
π
Câu 46. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
, , (0 )
y xx ax b a b= = = <<
quay xung quanh trục
Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
2
.
b
a
V xdx
π
=
∫
B.
.
b
a
V xdx
π
=
∫
C.
.
b
a
V xdx
π
=
∫
D.
2
.
b
a
V xdx
π
=
∫
Câu 47. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
y x 2x, y 0=−+ =
quay xung quanh trục Ox. Thể tích
của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
496
15
π
B.
4
3
π
C.
64
15
π
D.
16
15
π
Câu 48. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
y 1 x ,y 0=−=
quay xung quanh trục Ox. Thể tích
của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
3
2
π
B.
2
3
π
C.
2
π
D.
4
3
π
Câu 49. Thể tích khối tròn xoay trong không gian Oxyz giới hạn bởi hai mặt phẳng
0;x x
π
= =
và có
thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm
( ;0;0)x
bất kỳ là đường tròn bán kính
sin x
là:
A.
2.=V
B.
.
π
=V
C.
4.
π
=V
D.
2.
π
=V
Trang 9/34
Câu 50. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
y tan x, y 0, x 0, x
3
π
= = = =
quay xung quanh trục
Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
3
3
π
π

= −


V
B.
3
3
π
π

= −


V
C.
3
3
π
π

= −


V
D.
3
3
π
π

= −


V
Câu 51. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
y 1 x, Ox, x = 0, x = 4= +
quay xung quanh trục Ox.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
2
28
3
π
B.
68
.
3
π
C.
28
3
π
D.
2
68
.
3
π
VẬN DỤNG
Câu 52. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường
tròn
22
x y 16
+=
(nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox
ta được thiết diện là hình vuông. Thể tích của vật thể là:
A.
( )
4
2
4
4 16 x dx
−
−
∫
B.
4
2
4
4x dx
−
∫
C.
4
2
4
4 x dx
π
−
∫
D.
( )
4
2
4
4 16 x dx
π
−
−
∫
Câu 53. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường
2
4=
yx
và đường thẳng
4
=x
. Thể tích của khối
tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là:
A.
32
π
B.
64π
C.
16π
D.
4π
Câu 54. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
ln , 0, 2
= = =y xy x
quay xung quanh trục Ox. Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
2
2ln 2 4ln 2 2−+
B.
C.
D.
( )
2ln 2 1
π
−
Câu 55. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
y a.x , y bx (a,b 0)= = ≠
quay xung quanh trục Ox.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
3
3
11
.
35
b
V
a
π

= −


B.
5
3
.
5
π
=
b
V
a
C.
5
3
.
3
π
=
b
V
a
D.
5
3
11
.
35
b
V
a
π

= −


Câu 56. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
22
1
4,
3
=−=y xy x
quay xung quanh trục Ox. Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
24 3
V
5
π
=
B.
28 3
V
5
π
=
C.
28 2
V
5
π
=
D.
24 2
V
5
π
=
Câu 57. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
3 , , 0, 1= = = =y xy xx x
quay xung quanh trục Ox.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
Trang 10/34
A.
8
V.
3
π
=
B.
4
V.
3
π
=
C.
2
V.
3
π
=
D.
V.
= π
Câu 58. Gọi
( )
H
là hình phẳng được tạo bởi hai đường cong
( ) (
)
1
C :y f x=
,
( ) ( )
2
C :y g x=
, hai
đường thẳng
xa=
,
xb=
,
ab<
. Giả sử rằng
(
)
1
C
và
( )
2
C
không có điểm chung trên
[ ]
a,b
và thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay
(
)
H
quanh Ox là
( ) ( )
(
)
b
22
a
V f x g x dx=π−


∫
. Khi đó
( )
( )
( )
[
]
1 : f x g x , x a,b> ∀∈
( ) ( ) (
)
[ ]
2 : f x g x 0, x a, b> ≥ ∀∈
( ) ( ) ( )
[ ]
3 : 0 f x g x , x a,b≤ < ∀∈
Số nhận định đúng trong các nhận định trên là:
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 59. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
. ln , 0,= = =
y x xy x e
quay xung quanh trục Ox. Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
3
4e 1
.
9
+
π
B.
3
4e 1
.
9
−
π
C.
3
2e 1
.
9
+
π
D.
3
2e 1
.
9
−
π
Câu 60. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
32
6 9, 0=−+ =y x x xy
quay xung quanh trục Ox. Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
729
35
π
B.
27
4
π
C.
256608
35
π
D.
7776
5
π
Câu 61. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường
tròn
22
x y 16
+=
(nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox
ta được thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là:
Trang 11/34
y
x
O
A.
256 3
.
3
=V
B.
256
.
3
=V
C.
32 3
.
3
=V
D.
32
.
3
=V
Câu 62. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
22
2, 4= =
y xy x
quay xung quanh trục Ox. Thể tích
của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
88
.
5
V
π
=
B.
9
.
70
V
π
=
C.
4
.
3
V
π
=
D.
6
.
5
V
π
=
BÀI TẬP TỔNG HỢP
( Chỉ có phần đáp số)
Câu 63. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong
22
a;x y ay x= =
(a > 0 cho trước) là:
A.
3
3
a
S =
B.
3
2
a
S =
C.
3
2
3
a
S =
D.
3
4
3
a
S =
Câu 64. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của:
2
2yx x= −
, trục Ox và 2 đường thẳng x = 0,
x = 2 là:
A.
2
3
B.
4
3
C.
1
3
D. 0
Câu 65. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol
2
yx= −
và đường thẳng y = -x - 2
A.
11
2
B.
5
2
C.
9
2
D.
1
2
2
Câu 66. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường: y = sinx, y = cosx và x = 0
A.
22+
B.
22 1+
C.
2
D.
22 1−
Câu 67. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol:
2
1
4
yx
và
2
1
3
2
yx x
là:
A 7 B. 8 C. 9 D. 6.
Câu 68. Diện tích giới hạn bởi 2 đường cong:
22
11 2 2
( ): ( ) 1;(C ): ( ) 2Cyfx x yfx x x==+==−
và
đường thẳng x = -1 và x = 2.
A.
7
B.
11
2
C.
13
2
D.
11
2
Câu 69. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol:
2
22yx x=−+
tiếp tuyến với parabol tại điểm
M(3 ; 5) và trục tung
A. 7 B. 6 C. 5 D. 9
Trang 12/34
Câu 70. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x(x – 1)(x – 2), y = 0
A 1. B.
1
2
C.
1
4
D.
1
3
Câu 71. Cho D là miền kín giới hạn bởi các đường y = 1, y = 2 – x và x = 0. Tính diện tích của miền D
A. 1 B.
1
4
C.
1
2
D.
1
8
Câu 72. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = cosx , y = 0, x=0,
2
x
A
3
2
B. 1 C. 2 D.
1
2
Câu 73. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi:
2
2 ;0y xxy=−=
quay quanh Ox.
A.
14
15
B.
16
15
C.
17
15
D.
48
15
Câu 74. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường
22
;8
yx x y
= =
quay
quanh trục Oy là:
A.
21
15
B.
23
15
C.
24
15
D.
48
5
Câu 75. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và
Parabol
2
( ) y ax x ( 0)Ca=−>
là:
A.
5
30
a
B.
5
20
a
C.
4
5
a
D.
5
10
a
Câu 76. Thể tích khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox, hình phẳng S giới hạn bởi các
đường:
. , 1, 0(0 1)
x
y xe x y x= = = ≤≤
là:
A.
2
( 1)
4
e
π
+
B.
2
( 1)
4
e
π
−
C.
2
( 1)
2
e
π
+
D.
2
1
12
e
Trang 13/34
C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
D
A
B
A
A
A
C
D
C
D
B
A
D
B
B
C
C
D
B
C
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
C
A
A
A
B
D
D
D
C
B
B
C
A
B
C
D
B
D
C
A
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
C
B
B
C
B
C
D
D
D
D
B
A
A
C
D
B
A
A
C
A
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
A
D
A
B
A
D
B
C
B
D
C
D
C
A
D
B
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
()y fx
,
()
y gx
liên tục
trên
[ ; ]ab
và hai đường thẳng
xa
,
xb
()ab
là:
A.
() ().
b
a
S f x g x dx

. B.
( () ())
b
a
S f x g x dx
.
C.
2
( () ()).
b
a
S f x g x dx
. D.
() ().
b
a
S f x g x dx
.
Câu 2. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y fx
, liên tục trên
[ ; ]ab
trục hoành
và hai đường thẳng
,x ax b a b
cho bởi công thức:
A.
.
b
a
S f x dx
B.
.
b
a
S f x dx
C.
.
b
a
S f x dx
D.
2
.
b
a
S f x dx
Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
32
11 6, 6
yx x y x
,
0, 2xx
. (Đơn vị
diện tích)
A.
4
3
B.
5
2
C.
8
3
D.
18
23
Hướng dẫn giải:
Đặt
3 23 2
( ) ( 11 6) 6 6 11 6
hx x x x x x x 
() 0 1 2 3hx x x x
(loại).
Bảng xét dấu
+
-
0
0
2
1
0
h(x)
x
12
32 32
01
6 11 6 6 11 6S x x x dx x x x dx  

12
42 42
33
01
11 11 5
26 26
42 42 2
xx xx
xx xx


 


.
Câu 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
3
, 4yxy x

là:
A. 8 B. 9 C. 12 D. 13
Hướng dẫn giải:
Ta có
3
4 202x xx x x 
Trang 14/34
02
33
20
44S x x dx x x dx


02
44
22
2 28
44
20
xx
xx






.
Vậy
8
S
(đvdt).
Chú ý:Nếu trong đoạn
;

phương trình
() ()f x gx
không còn nghiệm nào nữa thì ta có
thể dùng công thức
() () () ()f x g x dx f x g x dx




.
Câu 5. Cho hàm số
()y fx
liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn
[;]ab
. Diện tích hình thang
cong giới hạn bởi đồ thị của
()y fx
, trục hoành và hai đường thẳng
xa
,
xb
được tính
theo công thức
A.
() .
b
a
S f x dx
B.
() .
b
a
S f x dx
C.
2
() .
b
a
S f x dx
D.
2
() .
b
a
S f x dx
Hướng dẫn giải
Theo công thức (SGK cơ bản) ta có
() .
b
a
S f x dx
Câu 6. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số
()y fx
liên tục trên đoạn
[;]ab
,
trục hoành và hai đường thẳng
xa
,
xb
được tính theo công thức
A.
() .
b
a
S f x dx
B.
() .
b
a
S f x dx
C.
2
() .
b
a
S f x dx
D.
() .
b
a
S f x dx
Hướng dẫn giải
Theo công thức (SGK cơ bản) ta có
() .
b
a
S f x dx
Câu 7. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số
()y fx
,
()y gx
liên tục trên
đoạn
[;]
ab
, trục hoành và hai đường thẳng
xa
,
xb
được tính theo công thức
A.
2
() () .
b
a
S f x g x dx
B.
[() ()] .
b
a
S f x g x dx
C.
() () .
b
a
S f x g x dx

D.
2
() () .
b
a
S f x g x dx

Hướng dẫn giải
Theo công thức (SGK cơ bản) ta có
() () .
b
a
S f x g x dx
Câu 8. Cho đồ thị hàm số
()y fx
. Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là
A.
01
20
() ()S f x dx f x dx


B.
1
2
()S f x dx
Trang 15/34
C.
21
00
() ()S f x dx f x dx


D.
01
20
() ()
S f x dx f x dx


Hướng dẫn giải
Theo định nghĩa ta có
01
20
() ()S f x dx f x dx


Câu 9. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
3
yx
, trục hoành và hai đường thẳng
1
x
,
3x
là
A.
19
B.
18
C.
20
D.
21
Hướng dẫn giải
Ta có
3
0x
trên đoạn
[1; 3]
nên
3
4
33
33
11
1
20
4
x
S x dx x dx 

Câu 10. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
yx
, trục hoành và hai đường thẳng
1
x
,
4x
là
A.
4
B.
14
5
C.
13
3
D.
14
3
Hướng dẫn giải
Ta có
0x
trên đoạn
[1; 4]
nên
4
3
44
2
11
1
2 14
33
S x dx xdx x 

Câu 11. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
3
yx
, trục hoành và hai đường thẳng
1x
,
8x
là
A.
45
2
B.
45
4
C.
45
7
D.
45
8
Hướng dẫn giải
Ta có
3
0x
trên đoạn
[1;8]
nên
8
4
88
33
3
11
1
3 45
44
S x dx xdx x 

Câu 12. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
sinyx
, trục hoành và hai đường thẳng
x
,
3
2
x
là
A.
1
B.
1
2
C.
2
D.
3
2
Hướng dẫn giải
Ta có
sin 0x
trên đoạn
3
;
2




nên
33
3
22
2
sin sin cos 1S x dx xdx x




Câu 13. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
tanyx
, trục hoành và hai đường
thẳng
6
x
,
4
x
là
A.
3
ln
3
B.
6
ln
3
C.
3
ln
3
D.
6
ln
3
Hướng dẫn giải
Ta có
tan 0x
trên đoạn
;
64





nên
44
4
6
66
6
tan tan ln(cos ) ln
3
S x dx xdx x




Trang 16/34
Câu 14. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
2x
ye
, trục hoành và hai đường thẳng
0
x
,
3x
là
A.
6
1
22
e
B.
6
1
22
e
C.
6
1
33
e
D.
6
1
33
e
Hướng dẫn giải
Ta có
2
0
x
e
trên đoạn
[0; 3]
nên
3
6
33
222
00
0
11
2 22
xxx
e
S e dx e dx e 

[DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG]
VẬN DỤNG THẤP
Câu 15. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
32
3yx x
, trục hoành và hai đường
thẳng
1x
,
4
x
là
A.
53
4
B.
51
4
C.
49
4
D.
25
2
Hướng dẫn giải
Ta có
32
3 0 3 [1; 4]xx x 
Khi đó diện tích hình phẳng là
34
44
43 4
32 32 32 3 3
11 3
13
27 51
3 ( 3) ( 3) 6
4 4 44
xx
S x x dx x x dx x x dx x x






Câu 16. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
42
34yx x
, trục hoành và hai đường
thẳng
0x
,
3x
là
A.
142
5
B.
143
5
C.
144
5
D.
141
5
Hướng dẫn giải
Ta có
42
3 4 0 2 [0; 3]xx x

Khi đó diện tích hình phẳng là
32 3
42 42 42
00 2
23
55
33
02
34 (34) (34)
48 96 144
44
5 5 55 5
S x x dx x x dx x x dx
xx
xx xx
  


 



Câu 17. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
1
2
x
y
x
, trục hoành và đường thẳng
2x
là
A.
3 2ln 2
B.
3 ln 2
C.
3 2ln 2
D.
3 ln 2
Hướng dẫn giải
Ta có
10 1xx 
nên
22
2
1
11
11
1 ln 2 3 2ln 2
22
x
S dx dx x x
xx








Câu 18. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol
2
2yx
và đường thẳng
yx
là
A.
7
2
B.
9
4
C.
3
D.
9
2
Hướng dẫn giải
Ta có
2
1
2
2
x
xx
x


và
2
2 , [ 1; 2 ]x xx 
Trang 17/34
Nên
2
23
2
2
1
1
9
(2 ) 2
23 2
xx
S x x dx x





Câu 19. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
cos 2yx
, trục hoành và hai đường
thẳng
0,
2
xx

là
A.
2
B.
1
C.
3
D.
4
Hướng dẫn giải
Ta có
cos2 0 0;
42
xx






Nên
2 42
42
00
0
4
4
11
cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 1
22
S x dx xdx xdx x x








Câu 20. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
42
34yx x
, trục hoành và hai
đường thẳng
0x
,
3x
là
A.
71
5
B.
73
5
C.
72
5
D.
14
Hướng dẫn giải
Ta có
42
3 4 0 2 [0; 3]xx x 
Khi đó diện tích hình phẳng là
32 3
42 42 42
00 2
23
55
33
02
34 (34) (34)
48 96 144
44
5 5 55 5
S x x dx x x dx x x dx
xx
xx xx
  


 



Câu 21. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
1
2
x
y
x
, trục hoành và đường thẳng
2x
là
A.
3 2ln 2
B.
3 ln 2
C.
3 2ln 2
D.
3 ln 2
Hướng dẫn giải
Ta có
10 1xx

nên
22
2
1
11
11
1 ln 2 3 2ln 2
22
x
S dx dx x x
xx








Câu 22. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol
2
2yx
và đường thẳng
yx
là
A.
9
2
B.
9
4
C.
3
D.
7
2
Hướng dẫn giải
Ta có
2
1
2
2
x
xx
x


và
2
2 , [ 1; 2 ]x xx 
Nên
2
23
2
2
1
1
9
(2 ) 2
23 2
xx
S x x dx x





Câu 23. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
cos 2
yx
, trục hoành và hai đường
thẳng
0,
2
xx

là
Trang 18/34
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
Hướng dẫn giải
Ta có
cos2 0 [0; ]
42
xx


Nên
2 42
42
00
0
4
4
11
cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 1
22
S x dx xdx xdx x x








Câu 24. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
yx
và
3
yx
là
A.
1
12
B.
1
13
C.
1
14
D.
1
15
Hướng dẫn giải
Ta có
3
0
1
x
xx
x

Nên
1
11
3
34
33
00
0
23 1
()
3 4 12
S x x dx x x dx x x






Câu 25. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
32
231yx x

và
32
4 21yx x x
là
A.
37
13
B.
37
12
C.
3
D.
4
Hướng dẫn giải
Ta có
32 3 2
2
2 3 1 4 21 0
1
x
xx xxx x
x


Nên
10 1
32 32 32
220
2 ( 2) ( 2)S x x x dx x x x dx x x x dx

  

01
43 43
22
20
37
43 43 12
xx xx
xx


 


Câu 26. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
4yx
, đường thẳng
3x
, trục tung và
trục hoành là
A.
22
3
B.
32
3
C.
25
3
D.
23
3
Hướng dẫn giải
Xét pt
2
40x 
trên đoạn
0;3
có nghiệm
2x
Suy ra
23
22
02
23
44
3
S x dx x dx 

Câu 27. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
3
4yx x= −
, trục hoành và hai đường thẳng
3, 4xx=−=
là
A.
202
3
B.
203
4
C.
201
5
D.
201
4
Hướng dẫn giải
Xét pt
3
40xx
trên đoạn
3; 4
có nghiệm
2; 0; 2x xx
Trang 19/34
Suy ra
20 24
3 333
3 20 2
201
4 444
4
S x x dx x x dx x x dx x x dx



Câu 28. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
lnyxx
, trục hoành và đường thẳng
xe
là
A.
2
1
2
e
B.
2
1
2
e
C.
2
1
4
e
D.
2
1
4
e
Hướng dẫn giải
Xét pt
ln 0xx
trên nữa khoảng
0; e
có nghiệm
1x
Suy ra
2
1
1
ln
4
e
e
S x xdx

Câu 29. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
2
2, 2yx x yx 
và hai đường
thẳng
2; 3xx
. Diện tích của (H) bằng
A.
87
5
B.
87
4
C.
87
3
D.
87
5
Hướng dẫn giải
Xét phương trình
22
( 2) ( 2) 0 4 0 2xx x x x
  
Suy ra
23
22
22
87
44
3
S x dx x dx


Câu 30. Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
1 ,1
x
yexyex 
. Diện tích
của (H) bằng
A.
1
2
e
B.
2
2
e
C.
2
2
e
D.
1
2
e
Hướng dẫn giải
Xét pt
1 10
x
e x ex 
có nghiệm
0, 1xx

Suy ra
11
00
2
2
xx
e
S x e e dx x e e dx


VẬN DỤNG CẤP ĐỘ CAO
Câu 31. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
2
1, 5yx yx 
. Diện tích của (H)
bằng
A.
71
3
B.
73
3
C.
70
3
D.
74
3
Hướng dẫn giải
Xét pt
2
15xx
có nghiệm
3, 3
xx
Suy ra
33
22
-3 0
-1 - 5 2 -1 - 5S x x dx x x dx 

Bảng xét dấu
2
1x
trên đoạn
0;3
x
0 1 3
2
1x
- 0 +
Vậy
13
22
01
73
24 6
3
S x x dx x x dx  

Câu 32. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
2
4 3, 3y x x yx 
. Diện tích của
(H) bằng
Trang 20/34
A.
108
5
B.
109
5
C.
109
6
D.
119
6
Hướng dẫn giải
Xét pt
2
43 3xx x 
có nghiệm
0, 5
xx
Suy ra
13 5
22 2
01 3
109
5365
6
S x x dx x x dx x x dx
 

Câu 33. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
( ): 3Pyx
, tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ
2x
và trục tung bằng
A.
8
3
B.
4
3
C.
2
D.
7
3
Hướng dẫn giải
PTTT của (P) tại
2x
là
43yx
Xét pt
22
0
3 430 4 0
2
x
x x xx
x
 
Suy ra
2
3
22
22 2
00
0
8
44 44 2 4
33
x
S x x dx x x dx x x


 



Câu 34. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
2
2 0, 0y yx xy 
là
A.
9
4
B.
9
2
C.
7
2
D.
11
2
Hướng dẫn giải
Biến đổi về hàm số theo biến số y là
2
2,xy yxy 
Xét pt tung độ giao điểm
2
( 2) 0yy y

có nghiệm
0, 3yy
Vậy
33
22
00
9
33
2
S y y dy y y dy 

Câu 35. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số
22
1 27
;;
27
yxy xy
x

bằng
A.
27 ln 2
B.
27 ln3
C.
28ln 3
D.
29ln 3
Hướng dẫn giải
Xét các pthđgđ
22
22
27 27
00; 03; 09
27 27
xx
xxxx x
xx
  
Suy ra
Trang 21/34
22
39
2
03
27
27 ln3
27 27
xx
S x dx dx
x






Câu 36. Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là
A.
8
3
B.
11
3
C.
7
3
D.
10
3
Hướng dẫn giải
Ta có
2
1
2
2
y
yy
y


, Nên
2
2
0
10
(2 )
3
S y y dy

Câu 37. Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng
8,y xy x
và đồ thị hàm số
3
yx
là
a
b
. Khi đó
ab
bằng
A.
68
B.
67
C.
66
D.
65
Hướng dẫn giải
Ta có
33
0
0
8 0 0;8 0 ; 0
1
22
x
x
xx x xx xx
x
x

  
Trang 22/34
Nên
1 22
3
01
63
88
4
S x x dx x x dx 

Câu 38. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
1,y yx

và đồ thị hàm số
2
4
x
y
trong
miền
0, 1xy
là
a
b
. Khi đó
ba
bằng
A.
4
B.
2
C.
3
D.
1
Hướng dẫn giải
Ta có
22
1 0 1; 0 0; 1 0 2
44
xx
x xx x x  
Trang 23/34
Nên
22
12
01
5
1
4 46
xx
S x dx dx






Câu 39. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
, nÕu x 1
2, nÕu x>1
x
y
x

và
2
10
3
y xx

là
a
b
. Khi đó
2ab
bằng
A.
16
B.
15
C.
17
D.
18
Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
Ta có
2
2
10
0
3
10
23
3
xx x x
xx x x


Nên
13
22
01
10 10 13
2
33 2
S x x x dx x x x dx


 



Câu 40. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
44
( ):
1
xx
Cy
x

, tiệm cận xiêm của
()C
và hai
đường thẳng
0, ( 0)
x x aa
có diện tích bằng
5
Khi đó
a
bằng
A.
5
1 e
B.
5
1 e
C.
5
12e
D.
5
12e
Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
Ta có
:3TCX y x
Nên
0
0
0
11
( ) ln 1 ln(1 )
11
a
a
a
S a dx dx x a
xx







Suy ra
5
ln(1 ) 5 1a ae 
Trang 24/34
II-Câu hỏi tính tính thể tích vật tròn xoay giới hạn bởi các đường:
Những điểm cần lưu ý:
. Tính thể tích khối tròn xoay:
Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f(x)
,
y0
,
xa
và
x b (a b)

quay quanh trục Ox là
b
2
a
V f (x)dx

.
Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
,
xa
và
x b (a b)
quay quanh trục Ox là
b
22
a
V f (x) g (x) dx
.
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu 41. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
= = = =
4
y ,y 0,x 1,x 4
x
quanh trục ox là:
A.
6
π
B.
6
π
C.
12
π
D.
6
π
Hướng dẫn giải
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là:
4
2
1
4
.( ) 12 .V dx
x
ππ
= =
∫
Câu 42. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
y cos4x, Ox, x = 0, x =
8
=
π
quay xung quanh trục
Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
2
2
π
B.
2
16
π
C.
4
π
D.
1
.
16
π
π
+



Hướng dẫn giải
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là:
2
8
2
0
.cos 4 .
16
V xdx
π
π
π
= =
∫
Câu 43. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
(), , , yfxOxxaxb= = =
quay xung quanh trục
Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
2
() .
b
a
V f x dx
π
=
∫
B.
2
() .
b
a
V f x dx
π
=
∫
C.
22
. () .
b
a
V f x dx
π
=
∫
D.
2
() .
b
a
V f x dx=
∫
Hướng dẫn giải
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là:
2
() .
b
a
V f x dx
π
=
∫
Câu 44. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
1yx= −
; trục Ox và đường thẳng
3=x
quay xung
quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
3
2
π
B.
3π
C.
2π
D.
π
Giao điểm của hai đường
1yx= −
và
0y =
là
(1; 0)A
. Vậy thể tích của khối tròn xoay cần
tính là:
3
1
V (x 1)dx 2 .
ππ
= −=
∫
Câu 45. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
3
y x 1, y 0, x 0, x 1=+= = =
quay xung quanh trục Ox.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
Trang 25/34
A.
79
63
π
B.
23
14
π
C.
5
4
π
D.
9
π
Hướng dẫn giải
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là:
1
32
0
23
( 1) .
14
V x dx
π
π
= +=
∫
Câu 46. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
, , (0 )
y xx ax b a b
= = = <<
quay xung quanh trục
Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
2
.
b
a
V xdx
π
=
∫
B.
.
b
a
V xdx
π
=
∫
C.
.
b
a
V xdx
π
=
∫
D.
2
.
b
a
V xdx
π
=
∫
Hướng dẫn giải
Với
[ ]
;x ab∈
thì
2
yx y x=⇔=
.
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là:
.
π
=
∫
b
a
V xd x
Câu 47. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
y x 2x, y 0
=−+ =
quay xung quanh trục Ox. Thể tích
của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
496
15
π
B.
4
3
π
C.
64
15
π
D.
16
15
π
Hướng dẫn giải
Giao điểm của hai đường
22
2y xx=−+
và
0y =
là
(0; 0)O
và
(2; 0)A
. Theo công thức ta có
thể tích của khối tròn xoay cần tính là:
2
22
0
16
( 2) .
15
π
π
= −+ =
∫
V x x dx
Câu 48. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
y 1 x ,y 0=−=
quay xung quanh trục Ox. Thể tích
của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
3
2
π
B.
2
3
π
C.
2
π
D.
4
3
π
Hướng dẫn giải
Giao điểm của hai đường
2
1
yx= −
và
0y =
là
( 1; 0)
B −
và
(1; 0)A
. Theo công thức ta có thể
tích của khối tròn xoay cần tính là:
1
2
1
4
(1 ) .
3
π
π
−
=−=
∫
V x dx
Câu 49. Thể tích khối tròn xoay trong không gian Oxyz giới hạn bởi hai mặt phẳng
0;x x
π
= =
và có
thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm
( ;0;0)x
bất kỳ là đường tròn bán kính
sin x
là:
A.
2.=V
B.
.
π
=V
C.
4.
π
=
V
D.
2.
π
=
V
Hướng dẫn giải
Khối tròn xoay trong đề bài có được bằng cách quay hình phẳng tạo bởi các đường
;i0; ;sn
π
= =
=xyxxOx
quay trục Ox.
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là:
0
sin x 2 .
π
ππ
= =
∫
V dx
Câu 50. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
y tan x, y 0, x 0, x
3
π
= = = =
quay xung quanh trục
Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
3
3
π
π

= −


V
B.
3
3
π
π

= −


V
C.
3
3
π
π

= −


V
D.
3
3
π
π

= −


V
Hướng dẫn giải
Trang 26/34
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là:
3
2
0
tan x 3 .
3
π
π
ππ

= = −


∫
V dx
Câu 51. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
y 1 x, Ox, x = 0, x = 4= +
quay xung quanh trục Ox.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
2
28
3
π
B.
68
.
3
π
C.
28
3
π
D.
2
68
.
3
π
Hướng dẫn giải
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là:
4
2
0
68
.(1 ) .
3
V x dx
π
π
=+=
∫
VẬN DỤNG
Câu 52. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường
tròn
22
x y 16+=
(nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox
ta được thiết diện là hình vuông. Thể tích của vật thể là:
A.
( )
4
2
4
4 16 x dx
−
−
∫
B.
4
2
4
4x dx
−
∫
C.
4
2
4
4 x dx
π
−
∫
D.
( )
4
2
4
4 16 x dx
π
−
−
∫
Hướng dẫn giải
Thiết diện cắt trục Ox tại điểm H có hoành độ bằng x thì cạnh của thiết diện bằng
2
2. 16 − x
.
Vậy thể tích của vật thể bằng
( )
44
2
44
V S(x)dx 4 16 x dx.
−−
= = −
∫∫
Câu 53. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường
2
4=
yx
và đường thẳng
4=x
. Thể tích của khối
tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là:
A.
32π
B.
64π
C.
16π
D.
4π
Hướng dẫn giải
Trang 27/34
Giao điểm của hai đường
2
4=yx
và
4=x
là
(4; 4)−D
và
(4; 4)E
. Phần phía trên Ox của
đường
2
4=yx
có phương trình
2=
yx
. Từ hình vẽ suy ra thể tích của khối tròn xoay cần
tính là:
4
2
0
.(2 ) 32 .= =
∫
ππ
V x dx
Câu 54. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
ln , 0, 2= = =y xy x
quay xung quanh trục Ox. Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
2
2ln 2 4ln 2 2−+
B.
C.
D.
( )
2ln 2 1
π
−
Hướng dẫn giải
Tọa độ giao điểm của hai đường
ln=
yx
và
0=y
là điểm
(1; 0)
C
. Vậy thể tích của khối tròn
xoay cần tính là:
(
)
2
22
1
.ln 2 ln 2 4 ln 2 2 .= = −+
∫
ππ
V xdx
Câu 55. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
y a.x , y bx (a,b 0)
= = ≠
quay xung quanh trục Ox.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
3
3
11
.
35
b
V
a
π

= −


B.
5
3
.
5
π
=
b
V
a
C.
5
3
.
3
π
=
b
V
a
D.
5
3
11
.
35
b
V
a
π

= −


Hướng dẫn giải
Tọa độ giao điểm của hai đường
2
y ax=
và
y bx=
là các điểm
(0; 0)
O
và
2
(; )
bb
A
aa
. Vậy thể
tích của khối tròn xoay cần tính là:
5
22 24
3
00
11
. . . ( ).
35
bb
aa
b
V b x dx a x dx
a
π ππ
=−=−
∫∫
Trang 28/34
Câu 56. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
22
1
4,
3
=−=
y xy x
quay xung quanh trục Ox. Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
24 3
V
5
π
=
B.
28 3
V
5
π
=
C.
28 2
V
5
π
=
D.
24 2
V
5
π
=
Hướng dẫn giải
Tọa độ giao điểm của hai đường
2
4yx= −
và
2
1
3
yx=
là các điểm
( 3;1)A −
và
( 3; 1)
B
.
Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là:
33
24
33
1 28 3
.(4 ) . . .
95
V x dx x dx
π ππ
−−
= −− =
∫∫
Câu 57. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
3 , , 0, 1= = = =y xy xx x
quay xung quanh trục Ox.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
8
V.
3
π
=
B.
4
V.
3
π
=
C.
2
V.
3
π
=
D.
V.= π
Hướng dẫn giải
Tọa độ giao điểm của đường
1x =
với
yx=
và
3yx
=
là các điểm
(1; 1)C
và
(3; 1)
B
. Tọa độ
giao điểm của đường
3yx=
với
yx=
là
(0; 0)O
. Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là:
11
22
00
8
.9 . . .
3
V x dx x dx
π ππ
= −=
∫∫
Câu 58. Gọi
( )
H
là hình phẳng được tạo bởi hai đường cong
( ) (
)
1
C :y f x=
,
( ) ( )
2
C :y g x=
, hai
đường thẳng
xa=
,
xb=
,
ab
<
. Giả sử rằng
( )
1
C
và
( )
2
C
không có điểm chung trên
[
]
a,b
và thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay
( )
H
quanh Ox là
( ) ( )
(
)
b
22
a
V f x g x dx=π−


∫
. Khi đó
( ) ( ) ( )
[ ]
1 : f x g x , x a,b> ∀∈
Trang 29/34
(
) (
)
( )
[ ]
2 : f x g x 0, x a, b> ≥ ∀∈
( ) ( ) ( )
[ ]
3 : 0 f x g x , x a,b≤ < ∀∈
Số nhận định đúng trong các nhận định trên là:
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta suy ra có thể xảy ra một trong hai trường hợp:
( ) ( ) (
)
[ ]
2 : f x g x 0, x a, b> ≥ ∀∈
hoặc
( ) ( ) ( )
[ ]
3 : 0 f x g x , x a,b≤ < ∀∈
.
Do đó số nhận định đúng là không.
Câu 59. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
. ln , 0,= = =y x xy x e
quay xung quanh trục Ox. Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
3
4e 1
.
9
+
π
B.
3
4e 1
.
9
−
π
C.
3
2e 1
.
9
+
π
D.
3
2e 1
.
9
−
π
Hướng dẫn giải
Tọa độ giao điểm của đường
xe=
với
lnyx x=
là điểm
(3; 3)C
. Tọa độ giao điểm của
đường
lnyx x=
với
0y =
là
(1; 0)A
. Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là:
3
2
1
21
. ln . .
9
e
e
V x xdx
ππ
+
= =
∫
Câu 60. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
32
6 9, 0=−+ =y x x xy
quay xung quanh trục Ox. Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
729
35
π
B.
27
4
π
C.
256608
35
π
D.
7776
5
π
Hướng dẫn giải
Trang 30/34
Tọa độ giao điểm của đường
32
69
=−+
yx x x
với
0y =
là các điểm
(; )Cee
và
(3; 0)A
. Vậy
thể tích của khối tròn xoay cần tính là:
( )
3
2
32
0
729
. 6 9 ..
35
V x x x dx
ππ
= −+ =
∫
Câu 61. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường
tròn
22
x y 16
+=
(nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox
ta được thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là:
y
x
O
A.
256 3
.
3
=V
B.
256
.
3
=V
C.
32 3
.
3
=V
D.
32
.
3
=V
Hướng dẫn giải
Giao điểm của thiết diện và Ox là H. Đặt
OH x
=
suy ra cạnh của thiết diện là
2
2 16 x−
.
Diện tích thiết diện tại H là
2
3
( ) 4(16 )
4
Sx x= −
.
Vậy thể tích của vật thể là
4
2
4
256 3
3(16 ) .
3
V x dx
−
= −=
∫
Câu 62. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
22
2, 4= =
y xy x
quay xung quanh trục Ox. Thể tích
của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
88
.
5
V
π
=
B.
9
.
70
V
π
=
C.
4
.
3
V
π
=
D.
6
.
5
V
π
=
Hướng dẫn giải
Với

∈

0; 2x
thì
= ⇔=
2
44y xy x
Trang 31/34
Tọa độ giao điểm của đường
2
2
=yx
với
2
4yx
=
là các điểm
(0; 0)O
và
(1; 2)A
. Vậy thể tích
của khối tròn xoay cần tính là:
11
4
00
6
.4 .4 . .
5
V xdx x dx
πππ
=−=
∫∫
BÀI TẬP TỔNG HỢP
( Chỉ có phần đáp số)
Câu 63. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong
22
a;x y ay x= =
(a > 0 cho trước) là:
A.
3
3
a
S
=
B.
3
2
a
S =
C.
3
2
3
a
S =
D.
3
4
3
a
S =
Câu 64. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của:
2
2yx x= −
, trục Ox và 2 đường thẳng x = 0,
x = 2 là:
A.
2
3
B.
4
3
C.
1
3
D. 0
Câu 65. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol
2
yx= −
và đường thẳng y = -x - 2
A.
11
2
B.
5
2
C.
9
2
D.
1
2
2
Câu 66. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường: y = sinx, y = cosx và x = 0
A.
22
+
B.
22 1+
C.
2
D.
22 1−
Câu 67. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol:
2
1
4
yx
và
2
1
3
2
yx x
là:
A 7 B. 8 C. 9 D. 6.
Câu 68. Diện tích giới hạn bởi 2 đường cong:
22
11 2 2
( ): ( ) 1;(C ): ( ) 2Cyfx x yfx x x==+==−
và
đường thẳng x = -1 và x = 2.
A.
7
B.
11
2
C.
13
2
D.
11
2
Câu 69. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol:
2
22
yx x=−+
tiếp tuyến với parabol tại điểm
M(3 ; 5) và trục tung
A. 7 B. 6 C. 5 D. 9
Câu 70. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x(x – 1)(x – 2), y = 0
A 1. B.
1
2
C.
1
4
D.
1
3
Câu 71. Cho D là miền kín giới hạn bởi các đường y = 1, y = 2 – x và x = 0. Tính diện tích của miền D
A. 1 B.
1
4
C.
1
2
D.
1
8
Câu 72. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = cosx , y = 0, x=0,
2
x
A
3
2
B. 1 C. 2 D.
1
2
Câu 73. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi:
2
2 ;0y xxy=−=
quay quanh Ox.
Trang 32/34
A.
14
15
B.
16
15
C.
17
15
D.
48
15
Câu 74. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường
22
;8yx x y= =
quay
quanh trục Oy là:
A.
21
15
B.
23
15
C.
24
15
D.
48
5
Câu 75. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và
Parabol
2
( ) y ax x ( 0)
Ca=−>
là:
A.
5
30
a
B.
5
20
a
C.
4
5
a
D.
5
10
a
Câu 76. Thể tích khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox, hình phẳng S giới hạn bởi các
đường:
. , 1, 0(0 1)
x
y xe x y x= = = ≤≤
là:
A.
2
( 1)
4
e
π
+
B.
2
( 1)
4
e
π
−
C.
2
( 1)
2
e
π
+
D.
2
1
12
e
.
| 1/32
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:


CHỦ ĐỀ 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Diện tích hình phẳng
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f (x) liên tục trên đoạn  ;a b , trục hoành và b
hai đường thẳng x a , x b được xác định: S  f (x) dx a y y = f (x)
y = f (x)  by = 0 = (H)
S ∫ f (x) dxx =  a a O a c c c b x 1 2 3  x = b
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f (x) , y g(x) liên tục trên đoạn  ;a b và b
hai đường thẳng x a , x b được xác định: S  f (x)  g(x) dx a y
(C ) : y = f (x) (C ) 1  1 1
(C ) : y = f (x) (H) 2 2 x = a (C ) 2 x = b b a c
S = f (x) − O c 1 2 b x ∫
f (x) dx 1 2 a Chú ý: b b
- Nếu trên đoạn [ ;
a b] , hàm số f (x) không đổi dấu thì:  f (x) dx f (x)dx a a
- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x g(y) , x h(y) và hai đường thẳng y c , d
y d được xác định: S g(y)  h(y) dy c
2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay a) Thể tích vật thể:
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b;
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x ,
(a x b) . Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [ ; a b] . ( V ) b x V =
∫ S(x)dx O x a b a S(x) b
Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: V S  (x)dx a Trang 1/34
b) Thể tích khối tròn xoay:
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y f (x) , trục
hoành và hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox: y y = f (x) (
C) : y = f (x) ( 
Ox) : y = 0 bV = π a ∫ f x dx x [ ]2 ( ) O b x x =  a a x = b Chú ý:
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x g(y) , trục
hoành và hai đường thẳng y c , y d quanh trục Oy: y d (  C) : x = ( g y) ( 
Oy) : x = 0 d
V = π∫ g y dy y [ ]2 ( ) y =  c ccy = d O x
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y f (x) ,
y g(x) và hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox: b 2 2
V   f (x)  g (x) dx a Trang 2/34
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
I- Câu hỏi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Những điểm cần lưu ý:
Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các b
đường y f (x), y g(x), x a, x b là S  f (x)  g(x) dx . a
Phương pháp giải toán
+) Giải phương trình f (x)  g(x) (1) b
+) Nếu (1) vô nghiệm thì S  
f (x) g(x )dx . a
+) Nếu (1) có nghiệm thuộc .a; 
b . giả sử  thì  S   b
f (x) g(x )dx  
f (x) g(x )dx a
Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số f (x)  g(x) trên đoạn a; 
b rồi dựa vào bảng xét dấu để tính tích phân.
Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các 
đường y f (x), y g(x) là S  f (x)  g(x) dx . Trong đó ,  là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của 
phương trình f (x)  g(x) a      b .
Phương pháp giải toán
Bước 1. Giải phương trình f (x)  g(x) tìm các giá trị ,  . 
Bước 2. Tính S  f (x)  g(x) dx như trường hợp 1. 
Câu 1. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y f (x), y g(x) liên tục
trên [a ; b] và hai đường thẳng x a , x b (a b) là: A. b
S   f (x)  g(x).dx . B. b
S  ( f (x)  g(x))dx . a a C. b 2
S  ( f (x)  g(x)) .dx. D. b
S  f (x)  g(x).dx . a a
Câu 2. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f  
x , liên tục trên [a ; b] trục hoành
và hai đường thẳng x a, x ba  
b cho bởi công thức: b b b b
A. S  f   x . dx
B. S f   x . dx
C. S   f   x . dx D. 2
S  f   x . dx a a a a
Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2
y x 11x  6, y  6x , x  0, x  2 . (Đơn vị diện tích) A. 4 B. 5 C. 8 D. 18 3 2 3 23
Câu 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3
y x , y  4x là: A. 8 B. 9 C. 12 D. 13
Câu 5. Cho hàm số y f (x) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [ ;
a b] . Diện tích hình thang
cong giới hạn bởi đồ thị của y f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b được tính theo công thức Trang 3/34 b b b b
A. S f (x) . dx
B. S  f (x) . dx C. 2
S  f (x) . dx D. 2
S f (x) . dx a a a a
Câu 6. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f (x) liên tục trên đoạn [ ; a b] ,
trục hoành và hai đường thẳng x a , x b được tính theo công thức b b b b
A. S  f (x) . dx
B. S f (x) . dx C. 2
S  f (x) . dx
D. S  f (x) . dx a a a a
Câu 7. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y f (x), y g(x) liên tục trên đoạn [ ;
a b] , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b được tính theo công thức b b A. 2
S  f (x)  g(x) . dx B. S  [
f (x) g(x)] . dx a a b b
C. S  f (x)  g(x) . dx D. 2
S   f (x)  g(x) . dx a a
Câu 8. Cho đồ thị hàm số y f (x). Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là 0 1 1
A. S f (x)dx f (x)dx
B. S f (x)dx 2 0 2  2 1 0 1
C. S f (x)dx f (x)dx
D. S f (x)dx f (x)dx 0 0 2  0
Câu 9. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 3
y x , trục hoành và hai đường thẳng
x  1, x  3 là A. 19 B. 18 C. 20 D. 21
Câu 10. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x , trục hoành và hai đường thẳng
x  1, x  4 là A. 4 B. 14 C. 13 D. 14 5 3 3
Câu 11. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 3
y x , trục hoành và hai đường thẳng
x  1, x  8 là A. 45 B. 45 C. 45 D. 45 2 4 7 8
Câu 12. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  sin x , trục hoành và hai đường thẳng  x   , 3 x  là 2 A. 1 B. 1 C. 2 D. 3 2 2 Trang 4/34
Câu 13. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  tan x , trục hoành và hai đường  
thẳng x  , x  là 6 4 A. 3 ln B. 6 ln C. 3  ln D. 6  ln 3 3 3 3
Câu 14. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 2x
y e , trục hoành và hai đường thẳng
x  0, x  3 là 6 6 6 6 A. e 1  B. e 1  C. e 1  D. e 1  2 2 2 2 3 3 3 3
[DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG] VẬN DỤNG THẤP
Câu 15. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 2
y x  3x , trục hoành và hai đường
thẳng x  1, x  4 là A. 53 B. 51 C. 49 D. 25 4 4 4 2
Câu 16. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 4 2
y x  3x  4 , trục hoành và hai đường
thẳng x  0, x  3 là A. 142 B. 143 C. 144 D. 141 5 5 5 5 Câu 17.
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số x 1 y
, trục hoành và đường thẳng x  2 x  2 là A. 3 2ln 2 B. 3 ln 2 C. 3 2ln 2 D. 3 ln 2
Câu 18. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol 2
y  2  x và đường thẳng y  x là A. 7 B. 9 C. 3 D. 9 2 4 2
Câu 19. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  cos 2x , trục hoành và hai đường 
thẳng x  0, x  là 2 A. 2 B. 1 C. 3 D. 4
Câu 20. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 4 2
y x  3x  4 , trục hoành và hai
đường thẳng x  0, x  3 là A. 71 B. 73 C. 72 D. 14 5 5 5 Câu 21.
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số x 1 y
, trục hoành và đường thẳng x  2 x  2 là A. 3 2ln 2 B. 3 ln 2 C. 3 2ln 2 D. 3 ln 2
Câu 22. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol 2
y  2  x và đường thẳng y  x là A. 9 B. 9 C. 3 D. 7 2 4 2
Câu 23. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  cos 2x , trục hoành và hai đường 
thẳng x  0, x  là 2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Trang 5/34
Câu 24. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y x và 3 y x là A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 12 13 14 15
Câu 25. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 3 2
y  2x  3x 1 và 3 2
y x  4x  2x 1 là A. 37 B. 37 C. 3 D. 4 13 12
Câu 26. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y  x  4 , đường thẳng x  3 , trục tung và trục hoành là A. 22 B. 32 C. 25 D. 23 3 3 3 3
Câu 27. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 3
y = x − 4x , trục hoành và hai đường thẳng x = 3, − x = 4 là A. 202 B. 203 C. 201 D. 201 3 4 5 4
Câu 28. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y xln x , trục hoành và đường thẳng x e là 2 2 2 2 A. e 1 B. e 1 C. e 1 D. e 1 2 2 4 4
Câu 29. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2
y x x  2, y x  2 và hai đường thẳng x  2;
x  3. Diện tích của (H) bằng A. 87 B. 87 C. 87 D. 87 5 4 3 5
Câu 30. Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số  1 x y
e x, y  1  e x . Diện tích của (H) bằng A. e 1 B. e  2 C. e  2 D. e 1 2 2 2 2
VẬN DỤNG CẤP ĐỘ CAO
Câu 31. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2
y x 1 , y x 5 . Diện tích của (H) bằng A. 71 B. 73 C. 70 D. 74 3 3 3 3
Câu 32. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2
y x  4x 3 , y x 3 . Diện tích của (H) bằng A. 108 B. 109 C. 109 D. 119 5 5 6 6
Câu 33. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2
(P) : y x 3 , tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ
x  2 và trục tung bằng A. 8 B. 4 C. 2 D. 7 3 3 3
Câu 34. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2
y  2y x  0, x y  0 là A. 9 B. 9 C. 7 D. 11 4 2 2 2 Trang 6/34
Câu 35. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số 2 1 2 27
y x ; y x ; y  bằng 27 x A. 27ln 2 B. 27ln 3 C. 28ln 3 D. 29ln 3
Câu 36. Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là A. 8 B. 11 C. 7 D. 10 3 3 3 3
Câu 37. Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng
y  8x, y x và đồ thị hàm số 3
y x là a . Khi đó a b bằng b A. 68 B. 67 C. 66 D. 65 2
Câu 38. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y  1, y x và đồ thị hàm số x y  trong 4
miền x  0, y 1là a . Khi đó b a bằng b A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 x, nÕu x 1
Câu 39. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y  10  và 2 y x x là
x  2, nÕu x>1 3
a . Khi đó a2bbằng b A. 16 B. 15 C. 17 D. 18 2 Câu 40.   
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x 4x 4 (C) : y
, tiệm cận xiêm của (C) và hai x 1
đường thẳng x  0, x a (a  0) có diện tích bằng 5 Khi đó a bằng A. 5 1 e B. 5 1 e C. 5 1 2e D. 5 1 2e
II-Câu hỏi tính tính thể tích vật tròn xoay giới hạn bởi các đường:
Những điểm cần lưu ý:
. Tính thể tích khối tròn xoay:
Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f(x), y  0 , x  a b
và x  b (a  b) quay quanh trục Ox là 2 V   f (x)dx  . a Trang 7/34
Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f(x), y  g(x), b
x  a và x  b (a  b) quay quanh trục Ox là 2 2 V   f (x)  g (x) dx  . a
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu 41. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 4
y = , y = 0 , x = 1, x = 4 quanh trục ox là: x A. 6π B. 6π C. 12π D. 6π π
Câu 42. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = cos4x, Ox, x = 0, x = quay xung quanh trục 8
Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 2 π 2 π π  π + A. B. C. D. 1  .π 2 16 4  16 
Câu 43. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x), Ox, x = a, x = b quay xung quanh trục
Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: b b b b A. 2 V = π f (x) . dx ∫ B. 2
V = π f (x) . dx ∫ C. 2 2
V = π . f (x) . dx ∫ D. 2
V = f (x) . dx ∫ a a a a
Câu 44. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x −1 ; trục Ox và đường thẳng x = 3 quay xung
quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 3 π B. 3π C. 2π D. π 2
Câu 45. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 3
y = x +1, y = 0, x = 0, x =1 quay xung quanh trục Ox.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: π π π A. 79 B. 23 C. 5 D. 9π 63 14 4
Câu 46. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = x, x = a, x = b (0 < a < b) quay xung quanh trục
Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 2 b V = π xd . x ∫ B. b V = π x . dx ∫ C. b V = π xd . x ∫ D. 2 b V = π x . dx ∫ a a a a
Câu 47. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = −x + 2x, y = 0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích
của khối tròn xoay tạo thành bằng: π π π π A. 496 B. 4 C. 64 D. 16 15 3 15 15
Câu 48. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = 1− x , y = 0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích
của khối tròn xoay tạo thành bằng: π π π A. 3 B. 2 C. D. 4 π 2 3 2 3
Câu 49. Thể tích khối tròn xoay trong không gian Oxyz giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0; x = π và có
thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm ( ;0
x ;0) bất kỳ là đường tròn bán kính sin x là: A. V = 2. B. V = π. C. V = 4π. D. V = 2π. Trang 8/34 π
Câu 50. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = tan x, y = 0, x = 0, x = quay xung quanh trục 3
Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: π π π π A. V π  3  = −      B. V = π  3 −   C. V = π  3 −   D. V = π  3 −    3   3   3   3 
Câu 51. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y =1+ x, Ox, x = 0, x = 4 quay xung quanh trục Ox.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 2 28 π B. 68 π. C. 28 π D. 2 68 π . 3 3 3 3 VẬN DỤNG
Câu 52. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn 2 2
x + y =16 (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox
ta được thiết diện là hình vuông. Thể tích của vật thể là: A. 4 4 ∫ ( 2 16 − x )dx B. 4 2 4x dx ∫ C. 4 2 4π x dx ∫ D. 4 4π ∫ ( 2 16 − x )dx 4 − 4 − 4 − 4 −
Câu 53. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường 2
y = 4x và đường thẳng x = 4 . Thể tích của khối
tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là: A. 32π B. 64π C. 16π D. 4π
Câu 54. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ln x, y = 0, x = 2 quay xung quanh trục Ox. Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 2 2ln 2 − 4ln 2 + 2 B. π ( 2 2ln 2 + 4ln 2 − 2) C. π ( 2 2ln 2 − 4ln 2 + 2) D. π (2ln 2 − ) 1
Câu 55. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = a.x , y = bx (a,b ≠ 0) quay xung quanh trục Ox.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 3 5 5 5 A. b  1 1 V π.  = − b b b  1 1    B. V = π. C. V = π. D. V = π. −   3 a  3 5  3 5a 3 3a 3 a  3 5 
Câu 56. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 1 2
y = 4 − x , y = x quay xung quanh trục Ox. Thể 3
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: π π π π A. 24 3 V = B. 28 3 V = C. 28 2 V = D. 24 2 V = 5 5 5 5
Câu 57. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3x, y = x, x = 0, x =1 quay xung quanh trục Ox.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: Trang 9/34 π π π A. 8 V = . B. 4 V = . C. 2 V = . D. V = . π 3 3 3
Câu 58. Gọi (H) là hình phẳng được tạo bởi hai đường cong (C : y = f x , (C : y = g x , hai 2 ) ( ) 1 ) ( )
đường thẳng x = a , x = b , a < b . Giả sử rằng (C và (C không có điểm chung trên [a,b] 2 ) 1 )
và thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay (H) quanh Ox là b
V = π∫(f (x) 2 − g(x) 2     )dx . Khi đó a ( )1: f (x) > g(x), x ∀ ∈[a,b] (2): f (x) > g(x) ≥ 0, x ∀ ∈[a,b] (3): 0 ≤ f (x) < g(x), x ∀ ∈[a,b]
Số nhận định đúng trong các nhận định trên là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 59. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = .x ln x, y = 0, x = e quay xung quanh trục Ox. Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 3 + 3 − 3 + 3 − A. 4e 1 . π B. 4e 1 . π C. 2e 1 . π D. 2e 1 . π 9 9 9 9
Câu 60. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2
y = x − 6x + 9x, y = 0 quay xung quanh trục Ox. Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 729π 27π 256608π 7776π A. B. C. D. 35 4 35 5
Câu 61. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn 2 2
x + y =16 (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox
ta được thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là: Trang 10/34 y x O 256 3 256 32 3 32 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 3 3 3
Câu 62. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2
y = 2x , y = 4x quay xung quanh trục Ox. Thể tích
của khối tròn xoay tạo thành bằng: π π π π A. 88 V = . B. 9 V = . C. 4 V = . D. 6 V = . 5 70 3 5
BÀI TẬP TỔNG HỢP
( Chỉ có phần đáp số)
Câu 63. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong 2 2
ax = y ;ay = x (a > 0 cho trước) là: 3 3 3 3 A. a S = B. a S = C. 2a S = D. 4a S = 3 2 3 3
Câu 64. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của: 2
y = x − 2x , trục Ox và 2 đường thẳng x = 0, x = 2 là: A. 2 B. 4 C. 1 D. 0 3 3 3
Câu 65. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol 2
y = −x và đường thẳng y = -x - 2 A. 11 B. 5 C. 9 D. 1  2 2 2 2 2
Câu 66. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường: y = sinx, y = cosx và x = 0 A. 2 + 2 B. 2 2 +1 C. 2 D. 2 2 −1
Câu 67. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol: 1 2 y x và 1 2
y  3x x là: 4 2 A 7 B. 8 C. 9 D. 6.
Câu 68. Diện tích giới hạn bởi 2 đường cong: 2 2
(C ) : y = f (x) = x +1;(C ) : y = f (x) = x − 2x và 1 1 2 2
đường thẳng x = -1 và x = 2. A. 7 B. 11 C. 13 D. 11  2 2 2
Câu 69. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol: 2
y = x − 2x + 2 tiếp tuyến với parabol tại điểm M(3 ; 5) và trục tung A. 7 B. 6 C. 5 D. 9 Trang 11/34
Câu 70. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x(x – 1)(x – 2), y = 0 A 1. B. 1 C. 1 D. 1 2 4 3
Câu 71. Cho D là miền kín giới hạn bởi các đường y = 1, y = 2 – x và x = 0. Tính diện tích của miền D A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 4 2 8 
Câu 72. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = cosx , y = 0, x=0, x  2 A 3 B. 1 C. 2 D. 1 2 2
Câu 73. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi: 2
y = 2x − x ; y = 0 quay quanh Ox.     A. 14 B. 16 C. 17 D. 48 15 15 15 15
Câu 74. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường 2 2
y = x ;8x = y quay quanh trục Oy là:     A. 21 B. 23 C. 24 D. 48 15 15 15 5
Câu 75. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và Parabol 2
(C) y = ax− x (a > 0) là: 5  5  4  5  A. a B. a C. a D. a 30 20 5 10
Câu 76. Thể tích khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox, hình phẳng S giới hạn bởi các đường: = . x
y x e , x =1, y = 0(0 ≤ x ≤1) là: 2 π + 2 π − 2 π +   2e  1 A. (e 1) B. (e 1) C. (e 1) D. 4 4 2 12 Trang 12/34
C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
D A B A A A C D C D B A D B B C C D B C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
C A A A B D D D C B B C A B C D B D C A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
C B B C B C D D D D B A A C D B A A C A
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76
A D A B A D B C B D C D C A D B
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y f (x), y g(x) liên tục
trên [a ; b] và hai đường thẳng x a , x b (a b) là: A. b
S   f (x)  g(x).dx . B. b
S  ( f (x)  g(x))dx . a a C. b 2
S  ( f (x)  g(x)) .dx. D. b
S  f (x)  g(x).dx . a a
Câu 2. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f  
x , liên tục trên [a ; b] trục hoành
và hai đường thẳng x a, x ba  
b cho bởi công thức: b b b b
A. S  f   x . dx
B. S f   x . dx
C. S   f   x . dx D. 2
S  f   x . dx a a a a
Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2
y x 11x  6, y  6x , x  0, x  2 . (Đơn vị diện tích) A. 4 B. 5 C. 8 D. 18 3 2 3 23 Hướng dẫn giải: Đặt 3 2 3 2
h(x)  (x 11x  6)  6x x  6x 11x  6
h(x)  0 x  1 x  2 x  3 (loại). Bảng xét dấu x 0 1 2 h(x) - 0 + 0 1 S   
x 6x 11x  2 3 2 6 dx   3 2
x 6x 11x 6dx 0 1 1 2 4 2 4 2     x 3 11x x 3 11x 5     2x
 6x   2x   6x   . 4 2   4 2      2 0 1
Câu 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3
y x , y  4x là: A. 8 B. 9 C. 12 D. 13 Hướng dẫn giải: Ta có 3
x  4xx  2 x  0 x  2 Trang 13/34 0 2 0  4   4   S    x  4  2 3 x dx   3
x  4 xdx x 2   x 2 2x 2x           8.     2 0 4 4   2    0 Vậy S  8 (đvdt).
Chú ý:Nếu trong đoạn ;  phương trình f (x)  g(x) không còn nghiệm nào nữa thì ta có  
thể dùng công thức  f (x)  g(x) dx  
f (x) g(x )dx .  
Câu 5. Cho hàm số y f (x) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [ ;
a b] . Diện tích hình thang
cong giới hạn bởi đồ thị của y f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b được tính theo công thức b b b b
A. S f (x) . dx
B. S  f (x) . dx C. 2
S  f (x) . dx D. 2
S f (x) . dx a a a a Hướng dẫn giải b
Theo công thức (SGK cơ bản) ta có S f (x) . dx a
Câu 6. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f (x) liên tục trên đoạn [ ; a b] ,
trục hoành và hai đường thẳng x a , x b được tính theo công thức b b b b
A. S  f (x) . dx
B. S f (x) . dx C. 2
S  f (x) . dx
D. S  f (x) . dx a a a a Hướng dẫn giải b
Theo công thức (SGK cơ bản) ta có S  f (x) . dx a
Câu 7. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y f (x), y g(x) liên tục trên đoạn [ ;
a b] , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b được tính theo công thức b b A. 2
S  f (x)  g(x) . dx B. S  [
f (x) g(x)] . dx a a b b
C. S  f (x)  g(x) . dx D. 2
S   f (x)  g(x) . dx a a Hướng dẫn giải b
Theo công thức (SGK cơ bản) ta có S  f (x)  g(x) . dx a
Câu 8. Cho đồ thị hàm số y f (x). Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là 0 1 1
A. S f (x)dx f (x)dx
B. S f (x)dx 2 0 2 Trang 14/34 2 1 0 1
C. S f (x)dx f (x)dx
D. S f (x)dx f (x)dx 0 0 2  0 Hướng dẫn giải 0 1
Theo định nghĩa ta có S f (x)dx f (x)dx 2  0
Câu 9. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 3
y x , trục hoành và hai đường thẳng
x  1, x  3 là A. 19 B. 18 C. 20 D. 21 Hướng dẫn giải 3 3 3 4 Ta có 3
x  0trên đoạn [1;3] nên 3 3 x
S x dx xdx   20 1 1 4 1
Câu 10. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x , trục hoành và hai đường thẳng
x  1, x  4 là A. 4 B. 14 C. 13 D. 14 5 3 3 Hướng dẫn giải 4 4 4 3
Ta có x  0 trên đoạn [1;4] nên 2 14 2
S  x dx  xdx x  1 1 3 3 1
Câu 11. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 3
y x , trục hoành và hai đường thẳng
x  1, x  8 là A. 45 B. 45 C. 45 D. 45 2 4 7 8 Hướng dẫn giải 8 8 8 4 Ta có 3 45
3 x  0 trên đoạn [1;8] nên 3 3 3
S  x dx  xdx x  1 1 4 4 1
Câu 12. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  sin x , trục hoành và hai đường thẳng  x   , 3 x  là 2 A. 1 B. 1 C. 2 D. 3 2 2 Hướng dẫn giải 3 3    2 2 3
Ta có sin x  0 trên đoạn 3   ;  nên     2 S sin x dx
sin xdx cos x  1  2    
Câu 13. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  tan x , trục hoành và hai đường  
thẳng x  , x  là 6 4 A. 3 ln B. 6 ln C. 3  ln D. 6  ln 3 3 3 3 Hướng dẫn giải       4 4 
Ta có tan x  0 trên đoạn 6  ;  nên 4
S tan x dx  t
an xdx ln(cos x)    ln 6 4    3 6 6 6 Trang 15/34
Câu 14. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 2x
y e , trục hoành và hai đường thẳng
x  0, x  3 là 6 6 6 6 A. e 1  B. e 1  C. e 1  D. e 1  2 2 2 2 3 3 3 3 Hướng dẫn giải 3 3 3 6 Ta có 2x
e  0 trên đoạn [0;3] nên 2x 2x 1 2x e 1 S edx e
dx e   0 0 2 2 2 0
[DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG] VẬN DỤNG THẤP
Câu 15. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 2
y x  3x , trục hoành và hai đường
thẳng x  1, x  4 là A. 53 B. 51 C. 49 D. 25 4 4 4 2 Hướng dẫn giải Ta có 3 2
x  3x  0 x  3[1;4]
Khi đó diện tích hình phẳng là 3 4 4 3 4 4 4     3 2 3 2 3 2 x 3 x 3 27 51
S x  3x dx  (
x 3x )dx  (
x 3x )dx    x     x   6      1 1 3  4   4  4 4 1 3
Câu 16. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 4 2
y x  3x  4 , trục hoành và hai đường
thẳng x  0, x  3 là A. 142 B. 143 C. 144 D. 141 5 5 5 5 Hướng dẫn giải Ta có 4 2
x  3x  4  0 x  2[0;3]
Khi đó diện tích hình phẳng là 3 2 3 4 2 4 2 4 2
S x  3x  4dx  (
x 3x  4)dx  (
x 3x  4)dx 0 0 2 2 3 5 5  x    3 x 3 48 96 144  
x  4x    x  4x     5   5      5 5 5 0 2 Câu 17.
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số x 1 y
, trục hoành và đường thẳng x  2 x  2 là A. 3 2ln 2 B. 3 ln 2 C. 3 2ln 2 D. 3 ln 2 Hướng dẫn giải 2 2   
Ta có x 1  0 x  1  nên x 1 1 S  dx   1  
dx  x  ln x 22  3   2ln 2 1     1  x 2 1  x 2
Câu 18. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol 2
y  2  x và đường thẳng y  x là A. 7 B. 9 C. 3 D. 9 2 4 2 Hướng dẫn giải x   1  Ta có 2
2  x  x  và 2
2  x  x, x  [ 1;2] x   2 Trang 16/34 2 2 2 3   Nên 2 x x 9 S  (2
  xx )dx  2x      1   2 3  2 1 
Câu 19. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  cos 2x , trục hoành và hai đường 
thẳng x  0, x  là 2 A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải    
Ta có cos 2x  0 x   0;   4  2       2 4 2   4   2 Nên 1 1 S  c  os2x dx  c  os2xdx  c
 os2xdx   sin2x   sin2x      1 0 0 2  2    0 4 4
Câu 20. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 4 2
y x  3x  4 , trục hoành và hai
đường thẳng x  0, x  3 là A. 71 B. 73 C. 72 D. 14 5 5 5 Hướng dẫn giải Ta có 4 2
x  3x  4  0 x  2[0;3]
Khi đó diện tích hình phẳng là 3 2 3 4 2 4 2 4 2
S x  3x  4dx  (
x 3x  4)dx  (
x 3x  4)dx 0 0 2 2 3 5 5  x    3 x 3 48 96 144  
x  4x    x  4x     5   5      5 5 5 0 2 Câu 21.
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số x 1 y
, trục hoành và đường thẳng x  2 x  2 là A. 3 2ln 2 B. 3 ln 2 C. 3 2ln 2 D. 3 ln 2 Hướng dẫn giải
Ta có x 1  0 x  1  nên 2 2 x 1  1  S  dx   1  
dx  x  ln x 22  3   2ln 2 1     1  x 2 1  x 2
Câu 22. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol 2
y  2  x và đường thẳng y  x là A. 9 B. 9 C. 3 D. 7 2 4 2 Hướng dẫn giải x   1  Ta có 2
2  x  x  và 2
2  x  x, x  [ 1;2] x   2 2 2 2 3   Nên 2 x x 9 S  (2
  xx )dx  2x      1  2 3  2 1
Câu 23. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  cos 2x , trục hoành và hai đường 
thẳng x  0, x  là 2 Trang 17/34 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải  
Ta có cos 2x  0 x  [0; ] 4 2 Nên      2 4 2   4   2 1 1 S  c  os2x dx  c  os2xdx  c
 os2xdx   sin2x   sin2x      1 0 0 2  2    0 4 4
Câu 24. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y x và 3 y x là A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 12 13 14 15 Hướng dẫn giải x   0 Ta có 3 x x   x  1 1 1 1   Nên 3 3 2 3 3 3 4 1
S  x x dx  (
x x)dx   x x     0 0 3 4  12 0
Câu 25. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 3 2
y  2x  3x 1 và 3 2
y x  4x  2x 1 là A. 37 B. 37 C. 3 D. 4 13 12 Hướng dẫn giải x   2   Ta có 3 2 3 2
2x  3x 1  x  4x  2x 1 x   0 x   1 1 0 1 Nên 3 2 3 2 3 2
S x x  2x dx  (
x x  2x)dx  (
x x  2x)dx 2  2  0 0 1 4 3 4 3  x x    2 x x 2 37     x      x    4 3   4 3      12 2  0
Câu 26. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y  x  4 , đường thẳng x  3 , trục tung và trục hoành là A. 22 B. 32 C. 25 D. 23 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Xét pt 2
x  4  0 trên đoạn 0;  3 có nghiệm x  2 2 3 Suy ra 2 2 23
S x  4 dx x  4 dx  0 2 3
Câu 27. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 3
y = x − 4x , trục hoành và hai đường thẳng x = 3, − x = 4 là A. 202 B. 203 C. 201 D. 201 3 4 5 4 Hướng dẫn giải Xét pt 3
x  4x  0 trên đoạn  3  ;  4 có nghiệm x  2;
x  0; x  2 Trang 18/34 2  0 2 4 Suy ra 3 3 3 3 201
S x  4x dx x  4x dx x  4x dx x  4x dx  3  2 0 2 4
Câu 28. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y xln x , trục hoành và đường thẳng x e là 2 2 2 2 A. e 1 B. e 1 C. e 1 D. e 1 2 2 4 4 Hướng dẫn giải
Xét pt x ln x  0 trên nữa khoảng 0; 
e có nghiệm x  1 e 2  Suy ra e 1 S x  ln xdx  1 4
Câu 29. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2
y x x  2, y x  2 và hai đường thẳng x  2;
x  3. Diện tích của (H) bằng A. 87 B. 87 C. 87 D. 87 5 4 3 5 Hướng dẫn giải Xét phương trình 2 2
(x x  2)  (x  2)  0 x  4  0 x  2 2 3 Suy ra 2 2 87
S x  4 dx x  4 dx  2 2 3
Câu 30. Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số  1 x y
e x, y  1  e x . Diện tích của (H) bằng A. e 1 B. e  2 C. e  2 D. e 1 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Xét pt 1 x
e x 1 
e x  0 có nghiệm x  0, x  1 1 1 
Suy ra S xx
e e dx x   x e e e 2 dx  0 0 2
VẬN DỤNG CẤP ĐỘ CAO
Câu 31. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2
y x 1 , y x 5 . Diện tích của (H) bằng A. 71 B. 73 C. 70 D. 74 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Xét pt 2
x 1  x 5 có nghiệm x  3,  x  3 3 3 Suy ra S   2
x -1 - x  5 2
dx  2 x -1 -x   5 dx -3 0 Bảng xét dấu 2
x 1 trên đoạn 0;  3 x 0 1 3 2 x 1 - 0 + 1 3 Vậy S   2
 x x dx  2
x x  73 2 4 6 dx  0 1 3
Câu 32. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2
y x  4x 3 , y x 3 . Diện tích của (H) bằng Trang 19/34 A. 108 B. 109 C. 109 D. 119 5 5 6 6 Hướng dẫn giải Xét pt 2
x  4x 3  x 3 có nghiệm x  0, x  5 1 3 5 Suy ra S   2
 x  xdx  2
x x dx  2  x   109 5 3 6 5x dx 0 1 3 6
Câu 33. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2
(P) : y x 3 , tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ
x  2 và trục tung bằng A. 8 B. 4 C. 2 D. 7 3 3 3 Hướng dẫn giải
PTTT của (P) tại x  2 là y  4x 3 x   0 Xét pt  2x   3 4x   2
3  0 x  4x  0  x   2 2 2 2 3   Suy ra S   2
x x  dx   2
x x  x 2 8 4 4 4
4 dx    2x  4x    0 0  3  3 0
Câu 34. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2
y  2y x  0, x y  0 là A. 9 B. 9 C. 7 D. 11 4 2 2 2 Hướng dẫn giải
Biến đổi về hàm số theo biến số y là 2
x   y  2y, x   y
Xét pt tung độ giao điểm 2
( y  2y) y  0 có nghiệm y  0, y  3 3 3 Vậy 2
S y y dy   2
 y y 9 3 3 dy 0 0 2
Câu 35. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số 2 1 2 27
y x ; y x ; y  bằng 27 x A. 27ln 2 B. 27ln 3 C. 28ln 3 D. 29ln 3 Hướng dẫn giải 2 2 Xét các pthđgđ 2 x 2 27 x 27 x
 0  x  0; x   0  x  3;   0  x  9 27 x 27 x Suy ra Trang 20/34 3 2   9 2   2 x 27 x S    x dx      dx  27ln3     0  27  3  x 27 
Câu 36. Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là A. 8 B. 11 C. 7 D. 10 3 3 3 3 Hướng dẫn giải y  1  2 Ta có 2
y y  2  , Nên 2 10 S  (
y 2 y )dy  y  2 0 3
Câu 37. Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng
y  8x, y x và đồ thị hàm số 3
y x là a . Khi đó a b bằng b A. 68 B. 67 C. 66 D. 65 Hướng dẫn giải Ta có x   0 x   0 3 3
8x x  0  x  0;8x x  0  
; x x  0   x   2 2 x  1 Trang 21/34 1 2 2 Nên S    x  x dx   3 x x  63 8 8 dx 0 1 4 2
Câu 38. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y  1, y x và đồ thị hàm số x y  trong 4
miền x  0, y 1là a . Khi đó b a bằng b A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 Hướng dẫn giải Ta có 2 2 1  0   1; x   0   0;1 x x x x x   0  x  2 4 4 Trang 22/34 1 2   2 2   Nên x x 5 S    xdx   1    dx      0  4  1  4  6 x, nÕu x 1
Câu 39. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y  10  và 2 y x x là
x  2, nÕu x>1 3
a . Khi đó a2bbằng b A. 16 B. 15 C. 17 D. 18 Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận] Ta có 10 2
x x  x x  0 3 10 2
x x x  2  x  3 3 1 3     Nên 10 2 10 2 13 S  
xx x dx   
xx x2dx      0  3  1  3  2 2 Câu 40.   
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x 4x 4 (C) : y
, tiệm cận xiêm của (C) và hai x 1
đường thẳng x  0, x a (a  0) có diện tích bằng 5 Khi đó a bằng A. 5 1 e B. 5 1 e C. 5 1 2e D. 5 1 2e Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận] Ta có
TCX : y  x 3 0 a     Nên 1 1 S(a)     dx     dx
  ln x 1 a  ln(1     a) 0 a x 1   0 x 1 Suy ra 5
ln(1 a)  5a  1 e Trang 23/34
II-Câu hỏi tính tính thể tích vật tròn xoay giới hạn bởi các đường:
Những điểm cần lưu ý:
. Tính thể tích khối tròn xoay:
Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f(x), y  0 , x  a b
và x  b (a  b) quay quanh trục Ox là 2 V   f (x)dx  . a
Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f(x), y  g(x), b
x  a và x  b (a  b) quay quanh trục Ox là 2 2 V   f (x)  g (x) dx  . a
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu 41. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 4
y = , y = 0 , x = 1, x = 4 quanh trục ox là: x A. 6π B. 6π C. 12π D. 6π Hướng dẫn giải 4
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 4 2
V = π.( ) dx = 12π. ∫ x 1 π
Câu 42. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = cos4x, Ox, x = 0, x = quay xung quanh trục 8
Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 2 π 2 π π  π + A. B. C. D. 1  .π 2 16 4  16  Hướng dẫn giải π 8 2 π
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 2
V = π.cos 4xdx = . ∫ 16 0
Câu 43. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x), Ox, x = a, x = b quay xung quanh trục
Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: b b b b A. 2 V = π f (x) . dx ∫ B. 2
V = π f (x) . dx ∫ C. 2 2
V = π . f (x) . dx ∫ D. 2
V = f (x) . dx ∫ a a a a Hướng dẫn giải b
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 2
V = π f (x) . dx ∫ a
Câu 44. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x −1 ; trục Ox và đường thẳng x = 3 quay xung
quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 3 π B. 3π C. 2π D. π 2
Giao điểm của hai đường y = x − 1 và y = 0 là (
A 1;0) . Vậy thể tích của khối tròn xoay cần 3
tính là: V = π (x −1)dx = 2π. ∫ 1
Câu 45. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 3
y = x +1, y = 0, x = 0, x =1 quay xung quanh trục Ox.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: Trang 24/34 π π π A. 79 B. 23 C. 5 D. 9π 63 14 4 Hướng dẫn giải 1 π
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 3 2 23
V = π (x +1) dx = . ∫ 14 0
Câu 46. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = x, x = a, x = b (0 < a < b) quay xung quanh trục
Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 2 b V = π xd . x ∫ B. b V = π x . dx ∫ C. b V = π xd . x ∫ D. 2 b V = π x . dx ∫ a a a a Hướng dẫn giải Với x ∈[ ; a b] thì 2
y = x ⇔ y = x .
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V = π xd . ∫b x a
Câu 47. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = −x + 2x, y = 0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích
của khối tròn xoay tạo thành bằng: π π π π A. 496 B. 4 C. 64 D. 16 15 3 15 15 Hướng dẫn giải
Giao điểm của hai đường 2 2 y = x
− + 2x và y = 0 là O(0;0) và (
A 2; 0) . Theo công thức ta có 2 π
thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 2 2 16
V = π (−x + 2x) dx = . ∫ 15 0
Câu 48. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = 1− x , y = 0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích
của khối tròn xoay tạo thành bằng: π π π A. 3 B. 2 C. D. 4 π 2 3 2 3 Hướng dẫn giải
Giao điểm của hai đường 2
y = 1 − x và y = 0 là B( 1; − 0)và (
A 1;0) . Theo công thức ta có thể 1 π
tích của khối tròn xoay cần tính là: 2 4
V = π (1− x )dx = . ∫ − 3 1
Câu 49. Thể tích khối tròn xoay trong không gian Oxyz giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0; x = π và có
thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm ( ;0
x ;0) bất kỳ là đường tròn bán kính sin x là: A. V = 2. B. V = π. C. V = 4π. D. V = 2π. Hướng dẫn giải
Khối tròn xoay trong đề bài có được bằng cách quay hình phẳng tạo bởi các đường
x = 0; x = π; y = sin x; Ox quay trục Ox. π
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V = π sin xdx = 2π. ∫ 0 π
Câu 50. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = tan x, y = 0, x = 0, x = quay xung quanh trục 3
Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: π π π π A. V π  3  = −      B. V = π  3 −   C. V = π  3 −   D. V = π  3 −    3   3   3   3  Hướng dẫn giải Trang 25/34 π 3 π
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 2
V π tan xdx π  3  = = − ∫  .  3 0 
Câu 51. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y =1+ x, Ox, x = 0, x = 4 quay xung quanh trục Ox.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 2 28 π B. 68 π. C. 28 π D. 2 68 π . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải 4 π
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 2 68
V = π.(1 + x ) dx = . ∫ 3 0 VẬN DỤNG
Câu 52. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn 2 2
x + y =16 (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox
ta được thiết diện là hình vuông. Thể tích của vật thể là: A. 4 4 ∫ ( 2 16 − x )dx B. 4 2 4x dx ∫ C. 4 2 4π x dx ∫ D. 4 4π ∫ ( 2 16 − x )dx 4 − 4 − 4 − 4 − Hướng dẫn giải
Thiết diện cắt trục Ox tại điểm H có hoành độ bằng x thì cạnh của thiết diện bằng 2 2. 16 − x .
Vậy thể tích của vật thể bằng 4 4 V = S(x)dx = 4 ∫ ∫ ( 2 16 − x )dx. 4 − 4 −
Câu 53. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường 2
y = 4x và đường thẳng x = 4 . Thể tích của khối
tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là: A. 32π B. 64π C. 16π D. 4π Hướng dẫn giải Trang 26/34
Giao điểm của hai đường 2
y = 4x và x = 4 là D(4; 4
− ) và E(4;4) . Phần phía trên Ox của đường 2
y = 4x có phương trình y = 2 x . Từ hình vẽ suy ra thể tích của khối tròn xoay cần 4 tính là: 2 V =
.(2 x ) dx = 32 . ∫π π 0
Câu 54. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ln x, y = 0, x = 2 quay xung quanh trục Ox. Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 2 2ln 2 − 4ln 2 + 2 B. π ( 2 2ln 2 + 4ln 2 − 2) C. π ( 2 2ln 2 − 4ln 2 + 2) D. π (2ln 2 − ) 1 Hướng dẫn giải
Tọa độ giao điểm của hai đường y = ln x và y = 0 là điểm C(1;0) . Vậy thể tích của khối tròn 2 xoay cần tính là: 2 V = .ln xdx = ∫π π ( 2 2 ln 2 − 4 ln 2 + 2). 1
Câu 55. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = a.x , y = bx (a,b ≠ 0) quay xung quanh trục Ox.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 3 5 5 5 A. b  1 1 V π.  = − b b b  1 1    B. V = π. C. V = π. D. V = π. −   3 a  3 5  3 5a 3 3a 3 a  3 5  Hướng dẫn giải 2
Tọa độ giao điểm của hai đường 2 b b
y = ax và y = bx là các điểm O(0;0) và ( A ; ) . Vậy thể a a b b a a 5
tích của khối tròn xoay cần tính là: 2 2 2 4 b 1 1
V = π.b x dx − π.a x dx = π. ( − ). ∫ ∫ 3 a 3 5 0 0 Trang 27/34
Câu 56. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 1 2
y = 4 − x , y = x quay xung quanh trục Ox. Thể 3
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: π π π π A. 24 3 V = B. 28 3 V = C. 28 2 V = D. 24 2 V = 5 5 5 5 Hướng dẫn giải
Tọa độ giao điểm của hai đường 2 1
y = 4 − x và 2
y = x là các điểm (
A − 3;1) và B( 3;1) . 3 3 3
Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 2 1 4 28 3 V =
π.(4 − x )dx − π. x dx = π. . ∫ ∫ 9 5 − 3 − 3
Câu 57. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3x, y = x, x = 0, x =1 quay xung quanh trục Ox.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: π π π A. 8 V = . B. 4 V = . C. 2 V = . D. V = . π 3 3 3 Hướng dẫn giải
Tọa độ giao điểm của đường x = 1 với y = x và y = 3x là các điểm C(1;1) và B(3;1) . Tọa độ
giao điểm của đường y = 3x với y = x là O(0;0) . Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 1 1 2 2 8
V = π.9x dx − π.x dx = π. . ∫ ∫ 3 0 0
Câu 58. Gọi (H) là hình phẳng được tạo bởi hai đường cong (C : y = f x , (C : y = g x , hai 2 ) ( ) 1 ) ( )
đường thẳng x = a , x = b , a < b . Giả sử rằng (C và (C không có điểm chung trên [a,b] 2 ) 1 )
và thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay (H) quanh Ox là b
V = π∫(f (x) 2 − g(x) 2     )dx . Khi đó a ( )1: f (x) > g(x), x ∀ ∈[a,b] Trang 28/34 (2): f (x) > g(x) ≥ 0, x ∀ ∈[a,b] (3): 0 ≤ f (x) < g(x), x ∀ ∈[a,b]
Số nhận định đúng trong các nhận định trên là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta suy ra có thể xảy ra một trong hai trường hợp: (2): f (x) > g(x) ≥ 0, x ∀ ∈[a,b] hoặc (3) : 0 ≤ f (x) < g(x), x ∀ ∈[a,b].
Do đó số nhận định đúng là không.
Câu 59. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = .x ln x, y = 0, x = e quay xung quanh trục Ox. Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 3 + 3 − 3 + 3 − A. 4e 1 . π B. 4e 1 . π C. 2e 1 . π D. 2e 1 . π 9 9 9 9 Hướng dẫn giải
Tọa độ giao điểm của đường x = e với y = x ln x là điểm C(3;3). Tọa độ giao điểm của
đường y = x ln x với y = 0 là (
A 1;0) . Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: e 3 2 2e 1 V π.x ln xdx π + = = . . ∫ 9 1
Câu 60. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2
y = x − 6x + 9x, y = 0 quay xung quanh trục Ox. Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 729π 27π 256608π 7776π A. B. C. D. 35 4 35 5 Hướng dẫn giải Trang 29/34
Tọa độ giao điểm của đường 3 2
y = x − 6x + 9x với y = 0 là các điểm C( ; e e) và ( A 3;0). Vậy 3 2
thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V = π ∫ ( 3 2
x − x + x ) 729 . 6 9 dx = π. . 35 0
Câu 61. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn 2 2
x + y =16 (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox
ta được thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là: y x O 256 3 256 32 3 32 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải
Giao điểm của thiết diện và Ox là H. Đặt OH = x suy ra cạnh của thiết diện là 2 2 16 − x .
Diện tích thiết diện tại H là 3 2 S(x) = 4(16 − x ) . 4 4
Vậy thể tích của vật thể là 2 256 3 V = 3(16 − x )dx = . ∫ 3 4 −
Câu 62. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2
y = 2x , y = 4x quay xung quanh trục Ox. Thể tích
của khối tròn xoay tạo thành bằng: π π π π A. 88 V = . B. 9 V = . C. 4 V = . D. 6 V = . 5 70 3 5 Hướng dẫn giải
Với x ∈ 0;2 2 
 thì y = 4x ⇔ y = 4x Trang 30/34
Tọa độ giao điểm của đường 2 y = 2x với 2
y = 4x là các điểm O(0;0) và (
A 1;2) . Vậy thể tích 1 1
của khối tròn xoay cần tính là: 4 6
V = π.4xdx − π.4x dx = π. . ∫ ∫ 5 0 0
BÀI TẬP TỔNG HỢP
( Chỉ có phần đáp số)
Câu 63. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong 2 2
ax = y ;ay = x (a > 0 cho trước) là: 3 3 3 3 A. a S = B. a S = C. 2a S = D. 4a S = 3 2 3 3
Câu 64. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của: 2
y = x − 2x , trục Ox và 2 đường thẳng x = 0, x = 2 là: A. 2 B. 4 C. 1 D. 0 3 3 3
Câu 65. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol 2
y = −x và đường thẳng y = -x - 2 A. 11 B. 5 C. 9 D. 1  2 2 2 2 2
Câu 66. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường: y = sinx, y = cosx và x = 0 A. 2 + 2 B. 2 2 +1 C. 2 D. 2 2 −1
Câu 67. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol: 1 2 y x và 1 2
y  3x x là: 4 2 A 7 B. 8 C. 9 D. 6.
Câu 68. Diện tích giới hạn bởi 2 đường cong: 2 2
(C ) : y = f (x) = x +1;(C ) : y = f (x) = x − 2x và 1 1 2 2
đường thẳng x = -1 và x = 2. A. 7 B. 11 C. 13 D. 11  2 2 2
Câu 69. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol: 2
y = x − 2x + 2 tiếp tuyến với parabol tại điểm M(3 ; 5) và trục tung A. 7 B. 6 C. 5 D. 9
Câu 70. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x(x – 1)(x – 2), y = 0 A 1. B. 1 C. 1 D. 1 2 4 3
Câu 71. Cho D là miền kín giới hạn bởi các đường y = 1, y = 2 – x và x = 0. Tính diện tích của miền D A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 4 2 8 
Câu 72. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = cosx , y = 0, x=0, x  2 A 3 B. 1 C. 2 D. 1 2 2
Câu 73. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi: 2
y = 2x − x ; y = 0 quay quanh Ox. Trang 31/34     A. 14 B. 16 C. 17 D. 48 15 15 15 15
Câu 74. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường 2 2
y = x ;8x = y quay quanh trục Oy là:     A. 21 B. 23 C. 24 D. 48 15 15 15 5
Câu 75. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và Parabol 2
(C) y = ax− x (a > 0) là: 5  5  4  5  A. a B. a C. a D. a 30 20 5 10
Câu 76. Thể tích khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox, hình phẳng S giới hạn bởi các đường: = . x
y x e , x =1, y = 0(0 ≤ x ≤1) là: 2 π + 2 π − 2 π +   2e  1 A. (e 1) B. (e 1) C. (e 1) D. . 4 4 2 12 Trang 32/34
Document Outline

  • DS_C3_UNG DUNG TICH PHAN
    • A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
    • B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
    • C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM