Tóm tắt lý thuyết và công thức hỗ trợ chuyên đề hàm số – Nguyễn Nhanh Tiến Toán 12

Tóm tắt lý thuyết và công thức hỗ trợ chuyên đề hàm số – Nguyễn Nhanh Tiến Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

13 7 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Môn: Toán 12

Thông tin:

17 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 1
HÀM SỐ
TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC HỖ TRỢ
Tiến Nhanh biên soạn và sưu tầm
Bản demo soạn bằng LATEX
1. Nhắc lại kiến thức
1.1. Quy tắc và công thức tính đạo hàm.
Cho u = u(x); v = (x); k là hằng số.
• Tổng, hiệu:
(u ±v)
0
= u
0
±v
0
• Tích:
(u.v)
0
= u
0
.v + u.v
0
• Thương:
u
v
0
=
u
0
.v −u.v
0
v
2
; (v 6= 0) ⇒
k
v
0
= −
k
v
2
• Hàm hợp: Nếu y = y(u); u = u(x) ⇒ y
0
x
= y
0
u
.u
0
x
.
• Bảng công thức đạo hàm.
Đạo hàm của hàm sơ cấp
Đạo hàm của hàm hợp
C
0
= 0 (C là hằng số)
(x
α
)
0
= α.x
α−1
(u
α
)
0
= α.u
α−1
.u
0
1
x
0
= −
1
x
2
,(x 6= 0)
1
u
0
= −
u
0
u
2
,(u 6= 0)
(
√
x)
0
=
1
2
√
x
(
√
u)
0
=
u
0
2
√
u
(sin x)
0
= cos x (sin u)
0
= u
0
.cos u
(cos x)
0
= −sin x (cos u)
0
= −u
0
.sin u
(tan x)
0
=
1
cos
2
x
= tan
2
x + 1
(tan u)
0
=
u
0
cos
2
u
(cot x)
0
= −
1
sin
2
x
= −
cot
2
x + 1
(cot u)
0
= −
u
0
sin
2
u
(e
x
)
0
= e
x
(e
u
)
0
= u
0
.e
u
(a
x
)
0
= a
x
.ln(a) (a
u
)
0
= u
0
.a
u
.ln(a)
(ln
|
x
|
)
0
=
1
x
(ln
|
u
|
)
0
=
u
0
u
(log
a
|
x
|
)
0
=
1
x.ln(a)
(log
a
|
u
|
)
0
=
u
0
u.ln(a)
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 2
• Đạo hàm cấp 2: f
00
(x) = [ f
0
(x)]
0
.
Ý nghĩa: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f (t) tại thời điểm t
o
là a(t
o
) = f
00
(t
o
)
• Công thức tính nhanh đạo hàm của hàm phân thức
ax + b
cx + d
0
=
ad −bc
(cx + d)
2
;
ax
2
+ bx + c
dx
2
+ ex + f
0
=
(ae −bd).x
2
+ 2(a f −dc).x + (b f −ce)
(dx
2
+ ex + f )
2
1.2. Dấu của tam thức bậc 2.
Cho tam thức bậc 2: y = ax
2
+ bx + c với a 6= 0. Ta cần nhớ các kết quả sau:
1. f (x) > 0,∀x ∈ R khi và chỉ khi:
a > 0
∆ < 0
2. f (x) > 0,∀x ∈ (α; +∞) khi và chỉ khi:
a > 0
"
f (x) = 0 vô nghiệm
f (x) = 0 có nghiệm x
1
≤ x
2
≤ α
⇔
(
a > 0
∆ < 0
hoặc
a > 0
∆ ≥ 0
a f (α) ≥ 0
S/2 ≤ α
3. f (x) > 0,∀x ∈ (−∞; α) khi và chỉ khi:
a > 0
"
f (x) = 0 vô nghiệm
f (x) = 0 có nghiệm α ≤ x
1
≤ x
2
⇔
(
a > 0
∆ < 0
hoặc
a > 0
∆ ≥ 0
a f (α) ≥ 0
S/2 ≥ α
Tương tự cho điều kiện f (x) < 0, f (x ) ≥ 0,...
2. Tính đơn điệu của hàm số.
2.1. Định nghĩa
.
Hàm số y = f (x) xác định trên (a; b)
• y = f (x) đồng biến (tăng) trên (a; b) ⇔ ∀x
1
< x
2
∈ (a; b) ⇒ f (x
1
) < f (x
2
).
• y = f (x) nghịch biến (giảm) trên (a; b) ⇔ ∀x
1
< x
2
∈ (a; b) ⇒ f (x
1
) > f (x
2
).
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 3
2.2. Định lí
Hàm số y = f (x) xác định trên (a; b)
• y = f (x) đồng biến trên (a; b) ⇔ f
0
(x) ≥ 0,∀x ∈ (a; b). Dấu ” = ” xảy ra tại một số hữu hạn
điểm ∈ (a; b).
• y = f (x) nghịch biến trên (a; b) ⇔ f
0
(x) ≤ 0,∀x ∈ (a; b). Dấu ” = ” xảy ra tại một số hữu
hạn điểm ∈ (a; b).
• Nếu y = f (x) đồng biến trên [a; b] thì Min
[a;b]
f (x) = f (a) và Max
[a;b]
f (x) = f (b).
• Nếu y = f (x) nghịch biến trên [a; b] thì Min
[a;b]
f (x) = f (b) và Max
[a;b]
f (x) = f (a).
2.3. Chú ý:
Dấu của đa thức bậc n:
f (x) = a
n
x
n
+ ... + a
1
x + a
0
• Mỗi đa thức chỉ đổi dấu tại nghiệm đơn và bội lẻ. Tại các nghiệm bội chẵn đa thức không
đổi dấu.
• Dấu vùng cuối cùng (là vùng từ nghiệm lớn nhất đến +∞) luôn cùng dấu với hệ số bậc cao
nhất a
n
.
2.4. Bài toán: Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu.
∇. Tìm m để hàm số đồng biến ( tương tự nghịch biến) trên (a; b).
Ta có: hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b) ⇔
f
0
(x) ≥ 0,∀x ∈ (a; b)
Dấu ” = ” xảy ra tại hữu hạn điểm.
Đối với hàm đa thức bậc n liên tục trên (a; b)
• Bỏ điều kiện dấu "="
• Giải điều kiện y
0
≥ 0
– Dùng tam thức bậc 2, (∗)
– Hoặc giải bất phương trình nghiệm
– Hoặc rút m về một vế, xét hàm số( áp dụng cho tất cả các loại hàm số mà có m đồng bậc). . .
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 4
Hàm số bậc 3
Hàm số y = f (x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d,(a 6= 0) ⇒ f
0
(x) = 3ax
2
+ 2bx + c
Hàm số đồng biến trên R Hàm số nghịch biến trên R
⇔ f
0
(x) ≥ 0 ⇔
a > 0
4 ≤ 0
⇔ f
0
(x) ≤ 0 ⇔
a < 0
4 ≤ 0
Tìm m để hàm số bậc ba đơn điệu trên một khoảng có độ dài l xác định:
• Bước 1: Tính y
0
= f
0
(x; m) = 3ax
2
+ bx + c
• Bước 2: Hàm số đơn điệu trên khoảng (x
1
; x
2
) ⇔ y
0
= 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔
∆ > 0
a 6= 0
(∗)
• Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài l: ⇔
|
x
1
−x
2
|
= l ⇔ (x
1
+ x
2
)
2
−4x
1
x
2
= l
2
⇔
S
2
+ 4P = l
2
(∗∗).
• Bước 4: Giải (∗) và (∗∗) ta được giá trị m cần tìm.
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 5
3. Cực trị của hàm số.
3.1. Định nghĩa
.
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên K và x
o
∈ K.
• Nếu có (a; b) ∈ K và x
o
∈ (a; b) sao cho ∀x ∈ (a; b) : x 6= x
o
⇒ f (x) < f (x
o
) thì hàm f đạt
cực đại tại x
o
. Lúc đó:
+ x
o
gọi là điểm cực đại của hàm f .
+ f (x
o
) gọi là giá trị cực đại của hàm f .Kí hiệu f (x
o
) = y
max
(6= Max y)
+ Điểm (x
o
; f (x
o
) gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
• Nếu thay f (x) < f (x
o
) thành f (x) > f (x
o
) thì ta có khái niệm cực tiểu.
• Điểm cực đại, điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số.
• Nhắc lại:
– Ta có: f
0
(x
o
) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f tại điểm có hoành độ x
o
.
– Đồ thị của hàm f bị đứt tại điểm nào thì hàm f gián đoạn tại hoành độ của điểm đó.
– Đồ thị của hàm f bị gãy tại điểm nào thì hàm f không có đạo hàm tại hoành độ của điểm đó.
Suy ra:
Nếu hàm f đạt cực trị tại x
o
thì
f
0
(x
o
) = 0
f
0
(x
o
) không tồn tại
3.2. Định lí 1:
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x
o
. Nếu hàm f đạt cực trị tại x
o
thì f
0
(x
o
) = 0.
Nếu f
0
(x
o
) = 0 thì chưa chắc hàm f đạt cực trị tại x
o
.
3.3. Định lí 2:
Cho hàm y = f (x) liên tục trong (a; b) và x
o
∈ (a; b):
• Khi x qua x
o
hàm f đổi dấu từ dương sang âm thì hàm f đạt cực đại tại x
o
.
• Khi x qua x
o
hàm f đổi dấu từ âm sang dương thì hàm f đạt cực tiểu tại x
o
.
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 6
3.4. Cực trị của hàm đa thức bậc ba
Hàm số y = f (x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d,(a 6= 0) ⇒ f
0
(x) = 3ax
2
+ 2bx + c
• Nếu ∆
0
= b
2
−3ac > 0 thì hàm số có hai điểm
cực trị
• Nếu ∆
0
= b
2
−3ac ≤ 0 thì hàm số không có
cực trị.
• Hàm số có hai cực trị trái dấu:
⇔ phương trình y
0
= 0 có hai nghiệm phân biệt
trái dấu ⇔
ac < 0
• Hàm số có hai cực trị cùng dấu:
⇔ phương trình y
0
= 0 có hai nghiệm phân biệt
cùng dấu ⇔
∆
0
y
0
= b
2
−3ac > 0
P = x
1
x
2
=
c
a
> 0
• Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương:
⇔phương trình y
0
có hai nghiệm phân biệt cùng
dấu dương ⇔
∆
0
y
0
= b
2
−3ac > 0
S = x
1
+ x
2
= −
b
a
> 0
P = x
1
x
2
=
c
a
> 0
• Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm:
⇔phương trình y
0
có hai nghiệm phân biệt cùng
dấu âm ⇔
∆
0
y
0
= b
2
−3ac > 0
S = x
1
+ x
2
= −
b
a
< 0
P = x
1
x
2
=
c
a
> 0
• Hàm số có hai cực trị x
1
; x
2
thỏa α < x
1
< x
2
⇔
(x
1
−α)(x
2
−α) > 0
x
1
+ x
2
> 2α
⇔
x
1
x
2
−α(x
1
+ x
2
) + α
2
> 0
x
1
+ x
2
> 2α
• Hàm số có hai cực trị x
1
; x
2
thỏa x
1
< x
2
< α
⇔
(x
1
−α)(x
2
−α) > 0
x
1
+ x
2
< 2α
⇔
x
1
x
2
−α(x
1
+ x
2
) + α
2
> 0
x
1
+ x
2
< 2α
• Hàm số có hai cực trị x
1
; x
2
thỏa x
1
< α < x
2
⇔ (x
1
−α)(x
2
−α) < 0
⇔ x
1
x
2
−α(x
1
+ x
2
) + α
2
< 0
•Phương trình bậc 3 có ba nghiệm lập thành
1 cấp số cộng khi có 1 nghiệm x =
−b
3a
, có 3
nghiệm lập thành 1 cấp số nhân khi x = −
3
r
d
a
• Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba:
g(x) =
2c
3
−
2b
2
9a
x + d −
bc
9a
• Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành ít nhất tai 1 điểm và nhận điểm uốn (x
o
; y(x
o
)) làm tâm đối xứng,
với y
00
(x
o
) = 0
• Điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị nằm cùng phía, khác phía với một đườn thẳng.
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 7
Tổng quát: Cho đường thẳng d : ax + by + c = 0 hai điểm A(x
A
; y
A
),B(x
B
,y
B
).
• Nếu (ax
A
+ by
A
+ c)(ax
B
+ by
B
+ c) > 0 thì hai điểm A,B nằm cùng phía so với d.
• Nếu (ax
A
+ by
A
+ c)(ax
B
+ by
B
+ c) < 0 thì hai điểm A,B nằm hai phía so với d...
• Hai điểm cực trị nằm một phía đối với Oy
⇔ Hàm số có hai cực trị cùng dấu.
• Hai điểm cực trị nằm hai phía đối với Oy
⇔ Hàm số có hai cực trị trái dấu.
• Hai điểm cực trị nằm một phía đối với Ox
⇔ Hàm số có hai cực trị và y
CĐ
.y
CT
> 0.
• Hai điểm cực trị nằm hai phía đối với Ox
⇔ Hàm số có hai cực trị và y
CĐ
.y
CT
< 0
• Hai điểm cực trị cùng nằm phía trên của trục
Ox
⇔ Hàm số có hai cực trị và
y
CĐ
.y
CT
> 0
y
CĐ
+ y
CT
> 0
• Hai điểm cực trị cùng nằm phía dưới của trục
Ox
⇔ Hàm số có hai cực trị và
y
CĐ
.y
CT
> 0
y
CĐ
+ y
CT
< 0
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 8
3.5. Cực trị của hàm bậc bốn trùng phương.
Hàm số y = f (x) = ax
4
+ bx
2
+ c,(a 6= 0) ⇒ f
0
(x) = 4ax
3
+ 2bx
• Hàm số có 1 cực trị ⇔ ab ≥ 0 • Hàm số có 3 cực trị ⇔ ab < 0
• Hàm số có 1 cực trị và cực trị là cực tiểu
⇔
a > 0
b ≥ 0
• Hàm số có 1 cực tiểu và 2 cực đại
⇔
a < 0
b > 0
• Hàm số có 1 cực trị và cực trị là cực đại
⇔
a < 0
b ≤ 0
• Hàm số có 2 cực tiểu và 1 cực đại
⇔
a > 0
b < 0
Gọi A,B,C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số và A ∈ Oy, ( Với ab < 0. Tam giác ABC luôn cân tại A.)
Với A(0; c),B
−
r
−
b
2a
; −
∆
4a
!
,C
r
−
b
2a
; −
∆
4a
!
• Gọi
d
BAC = α, ta có cos α =
b
3
−8a
b
3
+ 8a
• Diện tích tam giác ABC là S =
r
−
b
5
32a
3
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
là R =
b
3
−8a
8|a|b
• Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác tam
giác ABC là r =
b
2
4|a|
1 +
r
a −
b
3
8a
!
• B,C ∈ Ox dùng công thức b
2
−4ac = 0 • BC = m
0
dùng công thức am
2
0
+ 2b = 0
• AB = AC = n
0
dùng công thức: 16a
2
n
2
0
−b
4
+ 8ab = 0
• BC = kAB = kAC
dùng công thức: b
3
k
2
−8a
k
2
−4
= 0
3.6. Cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
∇ Bài toán: Tìm cực trị hàm số
Để tìm cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối ta thực hiện theo các bước sau:
∗ Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số
∗ Bước 2: Biến đổi hàm số về dạng:
y =
f
1
(x) với x ∈ D
1
...
f
k
(x) với x ∈ D
k
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 9
∗ Bước 3: Đạo hàm:
y
0
=
f
0
1
(x) với x ∈ D
1
\
{
x|f
1
(x) = 0
}
...
f
0
k
(x) với x ∈ D
k
\
{
x|f
k
(x) = 0
}
,y
0
= 0 ⇒ Nghiệm (nếu có).
∗ Bước 4: Lập BBT rồi kết luận.
∇ Bài toán: Điều kiện để hàm số có cực trị
Thực hiện phép xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối đưa bài toán về các trường hợp riêng.
3.7. Cực trị của hàm lượng giác
∇ Bài toán: Tìm cực trị hàm số
Để tìm cực trị hàm số lượng giác ta thực hiện theo các bước sau:
∗ Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số
∗ Bước 2: Tính y
0
, giải phương trình y
0
= 0, giả sử có nghiệm x = x
0
∗ Bước 3: Ta xác định:
- Tính đạo hàm y
00
- Tính y
00
(x
o
) rồi đưa ra kết luận
∇ Bài toán: Điều kiện để hàm số có cực trị
Để thực hiện các yêu cầu về điều kiện có cực trị của hàm số lượng giác, ta thực hiện theo các bước sa:
∗ Bước 1: Ta có:
– Miền xác định D
– Đạo hàm y
0
và y
00
∗ Bước 2: Với các yêu cầu:
a. Hàm số có cực trị ⇔ hệ sau có nghiệm thuộc D:
y
0
= 0
y
00
6= 0
b. Hàm số có cực tiểu ⇔ hệ sau có nghiệm thuộc D:
y
0
= 0
y
00
> 0
c. Hàm số có cực đại ⇔ hệ sau có nghiệm thuộc D:
y
0
= 0
y
00
< 0
Chú ý: Nếu xét được dấu y
0
, ta nên sử dụng điều kiện có cực trị dựa trên sự thay đổi dấu của y
0
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 10
4. Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số
4.1. Định nghĩa:
Cho hàm số y = f (x) xác định trên D
• Nếu
f (x) ≤ M,∀x ∈ D
∃ x
o
∈ D sao cho f (x
o
) = M
thì Max
x∈D
f (x) = M(GT LN)
• Nếu
f (x) ≥ m,∀x ∈ D
∃ x
o
∈ D sao cho f (x
o
) = m
thì Min
x∈D
f (x) = m(GT NN)
4.2. Định lý
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trong [a; b]:
• Max
[a;b]
f (x) = Max f (a), f (b), f (x
0
) với
f
0
(x
o
) = 0
x
o
∈ [a; b]
• Min
[a;b]
f (x) = Min f (a), f (b), f (x
o
) với
f
0
(x
o
) = 0
x
o
∈ [a; b]
4.3. Chú ý
• Với yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thì ta lập BBT rồi kết luận.
• Hàm số y =
ax + b
cx + d
xét trên R\
−
d
c
thì không tồn tại GTLN-GTNN.
• Hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d với a 6= 0 xét trên R thì không tồn tại GTLN-GTNN.
• Hàm trùng phương y = ax
4
+ bx
2
+ c trên R:
– Khi a < 0 thì hàm số đạt GTLN bằng Giá trị cực đại của hàm số.
– Khi a > 0 thì hàm số đạt GTNN bằng Giá trị cực tiểu của hàm số.
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 11
5. Tiệm cận của đồ thị hàm số
5.1. Định nghĩa
• Đường thẳng x = a là TCĐ của đồ thị hàm số y = f (x) nếu một trong các điều kiện sau được thỏa
mãn: lim
x→a
+
y = ±∞ hoặc lim
x→a
−
y = ±∞.
• Đường thẳng y = b là TCN của đồ thị hàm số y = f (x) nếu một trong các điệu kiện sau thỏa mãn:
lim
x→+∞
y = b hoặc lim
x→−∞
y = b
5.2. Chú ý
• Đối với hàm phân thức y =
ax + b
cx + d
luôn có TCĐ x = −
d
c
và TCN y =
a
c
.
• Hàm phân thức có bậc tử nhỏ hơn hoặc bằng bậc mẫu thì có TCN.
• Hàm phân thức có nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử thì có TCĐ.
• Hàm căn thức dạng: y =
p
f (x) −
p
g(x) hoặc y =
p
f (x) −g(x).. có TCN. (Dùng liên hợp)
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 12
6. Khảo sát hàm số
6.1. Hàm số bậc ba
Hàm số y = f (x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d,(a 6= 0)
Trường hợp a > 0 a < 0
Phương trình
y
0
= 0 có hai
nghiệm phân biệt
x
y
O
x
y
O
Phương trình y
0
= 0
có nghiệm kép
x
y
O
x
y
O
Phương trình
y
0
= 0 vô nghiệm
x
y
O
x
y
O
Nhận xét: Đồ thị hàm số luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 13
6.2. Hàm số bậc bốn trùng phương
Hàm số y = f (x) = ax
4
+ bx
2
+ c,(a 6= 0)
Trường hợp a > 0 a < 0
Phương trình
y
0
= 0 có ba
nghiệm phân biệt
x
y
O
x
y
O
Phương trình y
0
= 0
có một nghiệm
x
y
O
x
y
O
Nhận xét: Đồ thị hàm số luôn nhận Oy làm trục đối xứng.
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 14
6.3. Hàm số bất biến
Hàm số y = f (x) =
ax + b
cx + d
,(c 6= 0,ad −bc 6= 0)
ad −bc > 0 ad −bc < 0
x
y
O
x
y
O
Nhận xét: Đồ thị của hàm số là một hyperbol nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
6.4. Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
• Dạng 1: Từ đồ thị (C) : y = f (x) vẽ đồ thị (C
0
) : y =
|
f (x)
|
.
Ta có:
y =
|
f (x)
|
=
f (x) nếu f (x) ≥ 0
−f (x ) nếu f (x) < 0
Cách vẽ đồ thị (C
0
) từ đồ thị (C ):
• Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của (C) : y = f (x)
• Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới Ox qua Ox, bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C)
• Dạng 2: Từ đồ thị (C) : y = f (x) vẽ đồ thị (C
0
) : y = f (
|
x
|
).
Ta có:
y = f (
|
x
|
) =
f (x) nếu x ≥ 0
f (−x) nếu x < 0
Cách vẽ đồ thị (C
0
) từ đồ thị (C ):
• Giữ nguyên phần đồ thị phía bên phải Oy của (C) : y = f (x)
• Bỏ phần đồ thị phía bên trái Oy của (C), lấy đối xứng phần đồ thị phía bên phải Oy qua Oy,
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 15
7. Tương giao đồ thị
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C
1
) và g(x) có đồ thị (C
2
). Phương trình f (x) = g(x) (∗) được gọi là
phương trình hoành độ giao điểm của C
1
và C
2
.
Ta có:
• Số giao điểm của (C
1
) và (C
2
) bằng với số nghiệm phương trình (∗).
– Phương trình (∗) vô nghiệm ⇒ (C) không cắt (C
0
).
– Phương trình (∗) có n nghiệm (đơn phân biệt) ⇒ (C) cắt (C
0
) tại n điểm.
– Phương trình (∗) có nghiệm kép ⇒ (C) tiếp xúc (C
0
) tại điểm có hoành độ x
o
• Nghiệm x
o
của phương trình (∗) là hoành độ x
o
của giao điểm.
• Tung độ y
o
của giao điểm là f (x
o
) hoặc g(x
o
).
• Điểm M (x
o
; y
o
) là giao điểm của (C
1
) và (C
2
)
7.1. Chú ý
∇. Giao điểm của hàm bậc ba:
Cho hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d với a 6= 0 chứa tham số m có đồ thị (C). (C) cắt Ox tại 3 điểm
phân biệt ⇔ ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0,(1) có 3 nghiệm phân biệt.
• Tìm nghiệm đặc biệt x
o
của phương trình. Khi đó phương trình có dạng (x −x
o
)
Ax
2
+ Bx +C
=
0 (∗)
(∗) có 3 nghiệm phân biêt ⇔ Ax
2
+ Bx +C = 0 có 2 nghiệm phân biệt 6= x
o
• (1) không có nghiệm đặc biệt mà có m đồng bậc thì rút m để đưa (1) về dạng m = g(x).
Lập BBT ⇒ điều kiện để y = m cắt g(x) tại 3 điểm phân biệt.
• (1) không có nghiệm đặc biệt và không có m đồng bậc. (Hàm số bậc 3 không đầy đủ)
(1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔
y có hai cực trị
y
Max
.y
Min
< 0
∇. Giao điểm của hàm số y =
ax + b
cx + d
Giả sử d : y = kx + m cắt đồ thị y =
ax + b
cx + d
tại hai điểm M,N. Với kx + b =
ax + b
cx + d
cho ta phương trình có
dạng Ax
2
+ Bx +C = 0,(cx + d 6= 0) có ∆ = B
2
−4AC
∗ MN =
r
k
2
+ 1
A
2
.∆, MN ngắn nhất khi tồn tại Min∆ và k = const
∗ 4OMN cân tại O: (x
1
+ x
2
)
1 + k
2
+ 2km = 0
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 16
8. Sự tiếp xúc của hai đồ thị
8.1. Điều kiện tiếp xúc
Cho hai đồ thị hàm số (C) : y = f (x) và (C
0
) : y = g(x).
• Đồ thị (C) và (C
0
) tiếp xúc ⇔
f (x) = g(x)
f
0
(x) = g
0
(x)
• (C) và (C
0
) tiếp xúc tại M ⇒ M là tiếp điểm.
• Nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm.
• Số nghiệm của hệ là số tiếp điểm.
8.2. Các dạng tiếp tuyến
• Tiếp tuyến tại 1 điểm M(x
o
; y
o
)
y = f
0
(x
o
)(x −x
o
) + y
o
• Tiếp tuyến đi qua 1 điểm:
y = k (x −x
o
) + y
o
,
k ẩn
• Tiếp tuyến tiếp xúc với (C)
f (x) = k (x −x
o
) + y
o
f
0
(x) = k
Có nghiệm
Với k = f
0
(x
o
) là hệ số góc của tiếp tuyến. Các dạng biểu diễn của hệ số góc k:
• Dạng trực tiếp k = ±1,±2,... ±
1
2
,...
• Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc α ⇒ k = tan α
• Tiếp tuyến song song với đường thẳng δ : y = ax + b ⇒ k = a
• Tiếp tuyến tạo với đường thẳng δ : y = ax + b góc α ⇒
k −a
1 + ka
= tan α
9. Bài toán tìm điểm cố định.
∇. Bài toán: Tìm điều kiện để đồ thị (C
m
) : y = f (x; m) đi qua một điểm A(x
o
; y
o
) cho trước.
• Giả sử (C
m
) đi qua A (x
o
; y
o
) ⇔ y
o
= f (x
o
; m) (1)
• Để (C
m
) đi qua A thì (1) phải có nghiệm. Từ đó suy ra điều kiện cần tìm.
∇. Bài toán: Cho (C
m
) là đồ thị của hàm số y = f (x; m). Hãy tìm điểm cố định của họ đường (C
m
)
• Giả sử A (x
o
; y
o
) là một điểm cố định của (C
m
):
• Ta có: y = f (x; m) ⇔ y
o
= f (x
o
; m),∀m
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 17
⇔ αm + β = 0,∀m
hoặc αm
2
+ β m + γ = 0,∀m
⇔
α = 0
β = 0
(∗) hoặc
α = 0
β = 0
γ = 0
(∗)
• Giải hệ (∗) tìm ra điểm cố định của (C
m
).
10. Tâm và trục đối xứng
• Đối xứng qua trục tung: Đồ thị (C) nhận trục tung làm trục đối xứng khi và chỉ khi trên miền xác
định của nó, hàm f (x) là một hàm chẵn f (−x) = f (x)
• Đối xứng qua trục hoành: Hàm số chẵn theo y thì đồ thị đối xứng qua trục hoành,
• Đối xứng qua gốc tọa độ: Đồ thị (C) của hàm số y = f (x) đối xứng qua gốc tọa độ O khi và chỉ khi
trên miền xác định của nó, f (x) là một hàm lẽ: f (−x) = −f (x)
| 1/17
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 1 HÀM SỐ
TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC HỖ TRỢ
Tiến Nhanh biên soạn và sưu tầm Bản demo soạn bằng LATEX
1. Nhắc lại kiến thức
1.1. Quy tắc và công thức tính đạo hàm.
Cho u = u(x); v = (x); k là hằng số. • Tổng, hiệu: (u ± v)0 = u0 ± v0 • Tích: (u.v)0 = u0.v + u.v0 • Thương: 0 u 0 u0.v − u.v0 k k = ; (v 6= 0) ⇒ = − v v2 v v2
• Hàm hợp: Nếu y = y(u); u = u(x) ⇒ y0x = y0u.u0x.
• Bảng công thức đạo hàm.
Đạo hàm của hàm sơ cấp
Đạo hàm của hàm hợp C0 = 0 (C là hằng số) (xα )0 = α.xα−1 (uα )0 = α.uα−1.u0 1 0 1 1 0 u0 = − , (x 6= 0) = − , (u 6= 0) x x2 u u2 √ 0 1 √ u0 ( x) = √ 0 ( u) = √ 2 x 2 u (sin x)0 = cos x (sin u)0 = u0. cos u (cos x)0 = − sin x (cos u)0 = −u0. sin u 1 u0 (tan x)0 = = tan2 x + 1 (tan u)0 = cos2x cos2u 1 u0 (cot x)0 = − = − cot2 x + 1 (cot u)0 = − sin2x sin2u (ex)0 = ex (eu)0 = u0.eu (ax)0 = ax.ln(a) (au)0 = u0.au.ln(a) 1 u0 (ln |x|)0 = (ln |u|)0 = x u 1 u0 (loga |x|)0 = (log x.ln(a) a |u|)0 = u.ln(a)
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 2
• Đạo hàm cấp 2: f 00(x) = [ f 0(x)]0.
Ý nghĩa: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f (t) tại thời điểm to là a(to) = f 00(to)
• Công thức tính nhanh đạo hàm của hàm phân thức 0 ax + b 0 ad − bc ax2 + bx + c
(ae − bd).x2 + 2(a f − dc).x + (b f − ce) = ; = cx + d (cx + d)2 dx2 + ex + f (dx2 + ex + f )2
1.2. Dấu của tam thức bậc 2.
Cho tam thức bậc 2: y = ax2 + bx + c với a 6= 0. Ta cần nhớ các kết quả sau:
1. f (x) > 0, ∀x ∈ R khi và chỉ khi: a > 0 ∆ < 0
2. f (x) > 0, ∀x ∈ (α; +∞) khi và chỉ khi:   a > 0 a > 0  (    " a > 0 ∆ ≥ 0 f (x) = 0 vô nghiệm ⇔ hoặc a f (  ∆ < 0  α ) ≥ 0  f (x) = 0 có nghiệm x  1 ≤ x2 ≤ α  S/2 ≤ α
3. f (x) > 0, ∀x ∈ (−∞; α) khi và chỉ khi:   a > 0 a > 0  (    " a > 0 ∆ ≥ 0 f (x) = 0 vô nghiệm ⇔ hoặc a f (  ∆ < 0  α ) ≥ 0 
f (x) = 0 có nghiệm α ≤ x  1 ≤ x2  S/2 ≥ α
Tương tự cho điều kiện f (x) < 0, f (x) ≥ 0,...
2. Tính đơn điệu của hàm số. 2.1. Định nghĩa .
Hàm số y = f (x) xác định trên (a; b)
• y = f (x) đồng biến (tăng) trên (a; b) ⇔ ∀x1 < x2 ∈ (a; b) ⇒ f (x1) < f (x2).
• y = f (x) nghịch biến (giảm) trên (a; b) ⇔ ∀x1 < x2 ∈ (a; b) ⇒ f (x1) > f (x2).
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 3 2.2. Định lí
Hàm số y = f (x) xác định trên (a; b)
• y = f (x) đồng biến trên (a; b) ⇔ f 0(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b). Dấu ” = ” xảy ra tại một số hữu hạn điểm ∈ (a; b).
• y = f (x) nghịch biến trên (a; b) ⇔ f 0(x) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b). Dấu ” = ” xảy ra tại một số hữu hạn điểm ∈ (a; b).
• Nếu y = f (x) đồng biến trên [a; b] thì Min f (x) = f (a) và Max f (x) = f (b). [a;b] [a;b]
• Nếu y = f (x) nghịch biến trên [a; b] thì Min f (x) = f (b) và Max f (x) = f (a). [a;b] [a;b] 2.3. Chú ý:
Dấu của đa thức bậc n: f (x) = anxn + ... + a1x + a0
• Mỗi đa thức chỉ đổi dấu tại nghiệm đơn và bội lẻ. Tại các nghiệm bội chẵn đa thức không đổi dấu.
• Dấu vùng cuối cùng (là vùng từ nghiệm lớn nhất đến +∞) luôn cùng dấu với hệ số bậc cao nhất an.
2.4. Bài toán: Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu.
∇. Tìm m để hàm số đồng biến ( tương tự nghịch biến) trên (a; b). f 0(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b)
Ta có: hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b) ⇔
Dấu ” = ” xảy ra tại hữu hạn điểm.
Đối với hàm đa thức bậc n liên tục trên (a; b)
• Bỏ điều kiện dấu "="
• Giải điều kiện y0 ≥ 0
– Dùng tam thức bậc 2, (∗)
– Hoặc giải bất phương trình nghiệm
– Hoặc rút m về một vế, xét hàm số( áp dụng cho tất cả các loại hàm số mà có m đồng bậc). . .
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 4 Hàm số bậc 3
Hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, (a 6= 0) ⇒ f 0(x) = 3ax2 + 2bx + c
Hàm số đồng biến trên R
Hàm số nghịch biến trên R      a > 0  a < 0   ⇔ f 0(x) ≥ 0 ⇔ ⇔ f 0(x) ≤ 0 ⇔    4 ≤  4 ≤  0  0
Tìm m để hàm số bậc ba đơn điệu trên một khoảng có độ dài l xác định:
• Bước 1: Tính y0 = f 0(x; m) = 3ax2 + bx + c ∆ > 0
• Bước 2: Hàm số đơn điệu trên khoảng (x1; x2) ⇔ y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ (∗) a 6= 0
• Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài l: ⇔ |x1 − x2| = l ⇔ (x1 + x2)2 − 4x1x2 = l2 ⇔ S2 + 4P = l2(∗∗).
• Bước 4: Giải (∗) và (∗∗) ta được giá trị m cần tìm.
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 5
3. Cực trị của hàm số. 3.1. Định nghĩa .
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên K và xo ∈ K.
• Nếu có (a; b) ∈ K và xo ∈ (a; b) sao cho ∀x ∈ (a; b) : x 6= xo ⇒ f (x) < f (xo) thì hàm f đạt
cực đại tại xo. Lúc đó:
+ xo gọi là điểm cực đại của hàm f .
+ f (xo) gọi là giá trị cực đại của hàm f .Kí hiệu f (xo) = ymax (6= Max y)
+ Điểm (xo; f (xo) gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
• Nếu thay f (x) < f (xo) thành f (x) > f (xo) thì ta có khái niệm cực tiểu.
• Điểm cực đại, điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số. • Nhắc lại:
– Ta có: f 0(xo) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f tại điểm có hoành độ xo.
– Đồ thị của hàm f bị đứt tại điểm nào thì hàm f gián đoạn tại hoành độ của điểm đó.
– Đồ thị của hàm f bị gãy tại điểm nào thì hàm f không có đạo hàm tại hoành độ của điểm đó. Suy ra: f 0(x
Nếu hàm f đạt cực trị tại x o) = 0 o thì f 0(xo) không tồn tại 3.2. Định lí 1:
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm tại xo. Nếu hàm f đạt cực trị tại xo thì f 0(xo) = 0.
Nếu f 0(xo) = 0 thì chưa chắc hàm f đạt cực trị tại xo. 3.3. Định lí 2:
Cho hàm y = f (x) liên tục trong (a; b) và xo ∈ (a; b):
• Khi x qua xo hàm f đổi dấu từ dương sang âm thì hàm f đạt cực đại tại xo.
• Khi x qua xo hàm f đổi dấu từ âm sang dương thì hàm f đạt cực tiểu tại xo.
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 6
3.4. Cực trị của hàm đa thức bậc ba
Hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, (a 6= 0) ⇒ f 0(x) = 3ax2 + 2bx + c • Nếu 0 0
∆ = b2 − 3ac > 0 thì hàm số có hai điểm
• Nếu ∆ = b2 − 3ac ≤ 0 thì hàm số không có cực trị cực trị.
• Hàm số có hai cực trị trái dấu:
• Hàm số có hai cực trị cùng dấu:
⇔ phương trình y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ phương trình y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt  trái dấu ⇔  0  ac < 0  ∆y0 = b2 − 3ac > 0 cùng dấu ⇔ c   P = x >  1x2 = 0 a
• Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương:
• Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm:
⇔ phương trình y0 có hai nghiệm phân biệt cùng
⇔ phương trình y0 có hai nghiệm phân biệt cùng    0  0    ∆  ∆  y0 = b2 − 3ac > 0  y0 = b2 − 3ac > 0       dấu dương ⇔ b b S = x dấu âm ⇔ 1 + x2 = − > 0 S = x1 + x2 = − < 0  a  a      c  c    >  >  P = x1x2 = 0  P = x1x2 = 0 a a
• Hàm số có hai cực trị x1; x2 thỏa α < x1 < x2
• Hàm số có hai cực trị x1; x2 thỏa x1 < x2 < α      (x  (x  1 − α )(x2 − α ) > 0  1 − α )(x2 − α ) > 0 ⇔ ⇔    x  x  1 + x2 > 2α  1 + x2 < 2α    2  2  x > 0  x > 0  1x2 − α (x1 + x2) + α  1x2 − α (x1 + x2) + α ⇔ ⇔    x  x  1 + x2 > 2α  1 + x2 < 2α
• Hàm số có hai cực trị x1; x2 thỏa x1 < α < x2
•Phương trình bậc 3 có ba nghiệm lập thành ⇔ (x −b 1 − α )(x2 − α ) < 0
1 cấp số cộng khi có 1 nghiệm x = , có 3 ⇔ x 2 1x2 − α (x1 + x2) + α < 0 3a rd
nghiệm lập thành 1 cấp số nhân khi x = − 3 a
• Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba: 2c 2b2 bc g(x) = − x + d − 3 9a 9a
• Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành ít nhất tai 1 điểm và nhận điểm uốn (xo; y(xo)) làm tâm đối xứng, với y00(xo) = 0
• Điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị nằm cùng phía, khác phía với một đườn thẳng.
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 7
Tổng quát: Cho đường thẳng d : ax + by + c = 0 hai điểm A(xA; yA), B(xB, yB).
• Nếu (axA + byA + c) (axB + byB + c) > 0 thì hai điểm A, B nằm cùng phía so với d.
• Nếu (axA + byA + c) (axB + byB + c) < 0 thì hai điểm A, B nằm hai phía so với d...
• Hai điểm cực trị nằm một phía đối với Oy
• Hai điểm cực trị nằm hai phía đối với Oy
⇔ Hàm số có hai cực trị cùng dấu.
⇔ Hàm số có hai cực trị trái dấu.
• Hai điểm cực trị nằm một phía đối với Ox
• Hai điểm cực trị nằm hai phía đối với Ox
⇔ Hàm số có hai cực trị và yCĐ.yCT > 0.
⇔ Hàm số có hai cực trị và yCĐ.yCT < 0
• Hai điểm cực trị cùng nằm phía trên của trục
• Hai điểm cực trị cùng nằm phía dưới của trục Ox Ox      y  y  CĐ.yCT > 0  CĐ.yCT > 0
⇔ Hàm số có hai cực trị và
⇔ Hàm số có hai cực trị và    y  y  CĐ + yCT > 0  CĐ + yCT < 0
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 8
3.5. Cực trị của hàm bậc bốn trùng phương.
Hàm số y = f (x) = ax4 + bx2 + c, (a 6= 0) ⇒ f 0(x) = 4ax3 + 2bx
• Hàm số có 1 cực trị ⇔ ab ≥ 0
• Hàm số có 3 cực trị ⇔ ab < 0
• Hàm số có 1 cực trị và cực trị là cực tiểu
• Hàm số có 1 cực tiểu và 2 cực đại      a > 0  a < 0   ⇔ ⇔    b ≥  b >  0  0
• Hàm số có 1 cực trị và cực trị là cực đại
• Hàm số có 2 cực tiểu và 1 cực đại      a < 0  a > 0   ⇔ ⇔    b ≤  b <  0  0
Gọi A, B,C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số và A ∈ Oy, ( Với ab < 0. Tam giác ABC luôn cân tại A.) r ! r ! b ∆ b ∆ Với A(0; c), B − − ; − ,C − ; − 2a 4a 2a 4a r b3 − 8a b5 • Gọi d BAC = α, ta có cos α =
• Diện tích tam giác ABC là S = − b3 + 8a 32a3
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
• Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác tam b3 − 8a b2 là R = giác ABC là r = 8|a|b r ! b3 4|a| 1 + a − 8a
• B,C ∈ Ox dùng công thức b2 − 4ac = 0
• BC = m0 dùng công thức am2 + 2b = 0 0 • AB = AC = n0 • BC = kAB = kAC
dùng công thức: 16a2n2 − b4 + 8ab = 0
dùng công thức: b3k2 − 8a k2 − 4 = 0 0
3.6. Cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
∇ Bài toán: Tìm cực trị hàm số
Để tìm cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối ta thực hiện theo các bước sau:
∗ Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số
∗ Bước 2: Biến đổi hàm số về dạng:  f1 (x) với x ∈ D1  y = ...  fk (x) với x ∈ Dk
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 9
∗ Bước 3: Đạo hàm: 
f 0 (x) với x ∈ D1\ {x| f1 (x) = 0}  1 y0 = ...
, y0 = 0 ⇒ Nghiệm (nếu có).  f 0 (x) với x ∈ D k k\ {x| fk (x) = 0}
∗ Bước 4: Lập BBT rồi kết luận.
∇ Bài toán: Điều kiện để hàm số có cực trị
Thực hiện phép xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối đưa bài toán về các trường hợp riêng.
3.7. Cực trị của hàm lượng giác
∇ Bài toán: Tìm cực trị hàm số
Để tìm cực trị hàm số lượng giác ta thực hiện theo các bước sau:
∗ Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số
∗ Bước 2: Tính y0, giải phương trình y0 = 0, giả sử có nghiệm x = x0
∗ Bước 3: Ta xác định: - Tính đạo hàm y00
- Tính y00 (xo) rồi đưa ra kết luận
∇ Bài toán: Điều kiện để hàm số có cực trị
Để thực hiện các yêu cầu về điều kiện có cực trị của hàm số lượng giác, ta thực hiện theo các bước sa: ∗ Bước 1: Ta có:
– Miền xác định D
– Đạo hàm y0 và y00
∗ Bước 2: Với các yêu cầu: y0 = 0
a. Hàm số có cực trị ⇔ hệ sau có nghiệm thuộc D: y00 6= 0 y0 = 0
b. Hàm số có cực tiểu ⇔ hệ sau có nghiệm thuộc D: y00 > 0 y0 = 0
c. Hàm số có cực đại ⇔ hệ sau có nghiệm thuộc D: y00 < 0
Chú ý: Nếu xét được dấu y0, ta nên sử dụng điều kiện có cực trị dựa trên sự thay đổi dấu của y0
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 10
4. Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số 4.1. Định nghĩa:
Cho hàm số y = f (x) xác định trên D f (x) ≤ M, ∀x ∈ D • Nếu thì Max f (x) = M(GT LN)
∃ xo ∈ D sao cho f (xo) = M x∈D f (x) ≥ m, ∀x ∈ D • Nếu thì Min f (x) = m(GT NN)
∃ xo ∈ D sao cho f (xo) = m x∈D 4.2. Định lý
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trong [a; b]: f 0(x
• Max f (x) = Max f (a), f (b), f (x o) = 0 0) với [a;b] xo ∈ [a; b] f 0(x
• Min f (x) = Min f (a), f (b), f (x o) = 0 o) với [a;b] xo ∈ [a; b] 4.3. Chú ý
• Với yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thì ta lập BBT rồi kết luận. ax + b d • Hàm số y = xét trên R\ −
thì không tồn tại GTLN-GTNN. cx + d c
• Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d với a 6= 0 xét trên R thì không tồn tại GTLN-GTNN.
• Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c trên R:
– Khi a < 0 thì hàm số đạt GTLN bằng Giá trị cực đại của hàm số.
– Khi a > 0 thì hàm số đạt GTNN bằng Giá trị cực tiểu của hàm số.
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 11
5. Tiệm cận của đồ thị hàm số 5.1. Định nghĩa
• Đường thẳng x = a là TCĐ của đồ thị hàm số y = f (x) nếu một trong các điều kiện sau được thỏa
mãn: lim y = ±∞ hoặc lim y = ±∞. x→a+ x→a−
• Đường thẳng y = b là TCN của đồ thị hàm số y = f (x) nếu một trong các điệu kiện sau thỏa mãn: lim y = b hoặc lim y = b x→+∞ x→−∞ 5.2. Chú ý ax + b d a
• Đối với hàm phân thức y = luôn có TCĐ x = − và TCN y = . cx + d c c
• Hàm phân thức có bậc tử nhỏ hơn hoặc bằng bậc mẫu thì có TCN.
• Hàm phân thức có nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử thì có TCĐ.
• Hàm căn thức dạng: y = p f (x) − pg(x) hoặc y = p f (x) − g(x).. có TCN. (Dùng liên hợp)
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 12
6. Khảo sát hàm số 6.1. Hàm số bậc ba
Hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, (a 6= 0) Trường hợp a > 0 a < 0 y y Phương trình y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt O x O x y y Phương trình y0 = 0 có nghiệm kép O x O x y y O x O x Phương trình y0 = 0 vô nghiệm
Nhận xét: Đồ thị hàm số luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 13
6.2. Hàm số bậc bốn trùng phương
Hàm số y = f (x) = ax4 + bx2 + c, (a 6= 0) Trường hợp a > 0 a < 0 y y Phương trình y0 = 0 có ba nghiệm phân biệt O x O x y y Phương trình y0 = 0 có một nghiệm O x O x
Nhận xét: Đồ thị hàm số luôn nhận Oy làm trục đối xứng.
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 14
6.3. Hàm số bất biến ax + b Hàm số y = f (x) = , (c 6= 0, ad − bc 6= 0) cx + d ad − bc > 0 ad − bc < 0 y y x O x O
Nhận xét: Đồ thị của hàm số là một hyperbol nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
6.4. Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
• Dạng 1: Từ đồ thị (C) : y = f (x) vẽ đồ thị (C0) : y = | f (x)|. Ta có: f (x) nếu f (x) ≥ 0 y = | f (x)| = − f (x) nếu f (x) < 0
Cách vẽ đồ thị (C0) từ đồ thị (C):
• Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của (C) : y = f (x)
• Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới Ox qua Ox, bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C)
• Dạng 2: Từ đồ thị (C) : y = f (x) vẽ đồ thị (C0) : y = f (|x|). Ta có: f (x) nếu x ≥ 0 y = f (|x|) = f (−x) nếu x < 0
Cách vẽ đồ thị (C0) từ đồ thị (C):
• Giữ nguyên phần đồ thị phía bên phải Oy của (C) : y = f (x)
• Bỏ phần đồ thị phía bên trái Oy của (C), lấy đối xứng phần đồ thị phía bên phải Oy qua Oy,
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 15
7. Tương giao đồ thị
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C1) và g(x) có đồ thị (C2). Phương trình f (x) = g(x) (∗) được gọi là
phương trình hoành độ giao điểm của C1 và C2. Ta có:
• Số giao điểm của (C1) và (C2) bằng với số nghiệm phương trình (∗).
– Phương trình (∗) vô nghiệm ⇒ (C) không cắt (C0).
– Phương trình (∗) có n nghiệm (đơn phân biệt) ⇒ (C) cắt (C0) tại n điểm.
– Phương trình (∗) có nghiệm kép ⇒ (C) tiếp xúc (C0) tại điểm có hoành độ xo
• Nghiệm xo của phương trình (∗) là hoành độ xo của giao điểm.
• Tung độ yo của giao điểm là f (xo) hoặc g (xo).
• Điểm M (xo; yo) là giao điểm của (C1) và (C2) 7.1. Chú ý
∇. Giao điểm của hàm bậc ba:
Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d với a 6= 0 chứa tham số m có đồ thị (C). (C) cắt Ox tại 3 điểm
phân biệt ⇔ ax3 + bx2 + cx + d = 0, (1) có 3 nghiệm phân biệt.
• Tìm nghiệm đặc biệt xo của phương trình. Khi đó phương trình có dạng (x − xo) Ax2 + Bx +C = 0 (∗)
(∗) có 3 nghiệm phân biêt ⇔ Ax2 + Bx +C = 0 có 2 nghiệm phân biệt 6= xo
• (1) không có nghiệm đặc biệt mà có m đồng bậc thì rút m để đưa (1) về dạng m = g(x).
Lập BBT ⇒ điều kiện để y = m cắt g(x) tại 3 điểm phân biệt.
• (1) không có nghiệm đặc biệt và không có m đồng bậc. (Hàm số bậc 3 không đầy đủ) y có hai cực trị
(1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ yMax.yMin < 0 ax + b
∇. Giao điểm của hàm số y = cx +d ax + b ax + b
Giả sử d : y = kx + m cắt đồ thị y =
tại hai điểm M, N. Với kx + b = cho ta phương trình có cx + d cx + d
dạng Ax2 + Bx +C = 0, (cx + d 6= 0) có ∆ = B2 − 4AC r k2 + 1 ∗ MN =
.∆, MN ngắn nhất khi tồn tại Min∆ và k = const A2
∗ 4OMN cân tại O: (x1 + x2) 1 + k2 + 2km = 0
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 16
8. Sự tiếp xúc của hai đồ thị
8.1. Điều kiện tiếp xúc
Cho hai đồ thị hàm số (C) : y = f (x) và (C0) : y = g(x). f (x) = g(x)
• Đồ thị (C) và (C0) tiếp xúc ⇔ f 0(x) = g0(x)
• (C) và (C0) tiếp xúc tại M ⇒ M là tiếp điểm.
• Nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm.
• Số nghiệm của hệ là số tiếp điểm.
8.2. Các dạng tiếp tuyến
• Tiếp tuyến tại 1 điểm M(xo; yo) y = f 0(xo) (x − xo) + yo
• Tiếp tuyến đi qua 1 điểm: y = k (x − xo) + yo, k ẩn
• Tiếp tuyến tiếp xúc với (C)
f (x) = k (x − xo) + yo Có nghiệm f 0(x) = k
Với k = f 0(xo) là hệ số góc của tiếp tuyến. Các dạng biểu diễn của hệ số góc k: 1
• Dạng trực tiếp k = ±1, ±2, ... ± , ... 2
• Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc α ⇒ k = tan α
• Tiếp tuyến song song với đường thẳng δ : y = ax + b ⇒ k = a k − a
• Tiếp tuyến tạo với đường thẳng δ : y = ax + b góc α ⇒ = tan α 1 + ka
9. Bài toán tìm điểm cố định.
∇. Bài toán: Tìm điều kiện để đồ thị (Cm) : y = f (x; m) đi qua một điểm A (xo; yo) cho trước.
• Giả sử (Cm) đi qua A (xo; yo) ⇔ yo = f (xo; m) (1)
• Để (Cm) đi qua A thì (1) phải có nghiệm. Từ đó suy ra điều kiện cần tìm.
∇. Bài toán: Cho (Cm) là đồ thị của hàm số y = f (x; m). Hãy tìm điểm cố định của họ đường (Cm)
• Giả sử A (xo; yo) là một điểm cố định của (Cm):
• Ta có: y = f (x; m) ⇔ yo = f (xo; m) , ∀m
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 17
⇔ αm + β = 0, ∀m hoặc αm2 + β m + γ = 0, ∀m  α = 0  ⇔ α = 0 (∗) hoặc β = 0 (∗) β = 0  γ = 0
• Giải hệ (∗) tìm ra điểm cố định của (Cm).
10. Tâm và trục đối xứng
• Đối xứng qua trục tung: Đồ thị (C) nhận trục tung làm trục đối xứng khi và chỉ khi trên miền xác
định của nó, hàm f (x) là một hàm chẵn f (−x) = f (x)
• Đối xứng qua trục hoành: Hàm số chẵn theo y thì đồ thị đối xứng qua trục hoành,
• Đối xứng qua gốc tọa độ: Đồ thị (C) của hàm số y = f (x) đối xứng qua gốc tọa độ O khi và chỉ khi
trên miền xác định của nó, f (x) là một hàm lẽ: f (−x) = − f (x)
Document Outline

  • 1 Nhắc lại kiến thức
    • 1.1 Quy tắc và công thức tính đạo hàm.
    • 1.2 Dấu của tam thức bậc 2.
  • 2 Tính đơn điệu của hàm số.
    • 2.1 Định nghĩa
    • 2.2 Định lí
    • 2.3 Chú ý:
    • 2.4 Bài toán: Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu.
  • 3 Cực trị của hàm số.
    • 3.1 Định nghĩa
    • 3.2 Định lí 1:
    • 3.3 Định lí 2:
    • 3.4 Cực trị của hàm đa thức bậc ba
    • 3.5 Cực trị của hàm bậc bốn trùng phương.
    • 3.6 Cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
    • 3.7 Cực trị của hàm lượng giác
  • 4 Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số
    • 4.1 Định nghĩa:
    • 4.2 Định lý
    • 4.3 Chú ý
  • 5 Tiệm cận của đồ thị hàm số
    • 5.1 Định nghĩa
    • 5.2 Chú ý
  • 6 Khảo sát hàm số
    • 6.1 Hàm số bậc ba
    • 6.2 Hàm số bậc bốn trùng phương
    • 6.3 Hàm số bất biến
    • 6.4 Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
  • 7 Tương giao đồ thị
    • 7.1 Chú ý
  • 8 Sự tiếp xúc của hai đồ thị
    • 8.1 Điều kiện tiếp xúc
    • 8.2 Các dạng tiếp tuyến
  • 9 Bài toán tìm điểm cố định.
  • 10 Tâm và trục đối xứng