Tổng hợp Công thức Toán lớp 9 đầy đủ cả năm

Tổng hợp Công thức Toán lớp 9 đầy đủ cả năm
1. Tóm tắt đầy đủ công thức toán 9 phần Đại số a) căn bậc hai
- Một số công thức căn bậc hai
- Điều kiện để căn thức có nghĩa
- Điều kiện có nghĩa của một số biểu thức
- Tính chất của căn bậc 2
+ Với hai số a và b trong đó a, b > 0, ta có:
- Các công thức biến đổi căn thức
+ Đưa thừa số A2 ra ngoài dấu căn bậc hai ta được:
+ Đưa thừa số vào trong dâu căn bậc hai:
+ Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn bậc hai:
Ta nhân mẫu số với thừa số phụ thích hợp để mẫu số là bình phương:
+ Trục căn thức ở mẫu số
Dạng 1: Mẫu là biểu thức dạng tích các căn thức và các số, ta nhân tử và mẫu với căn thức:
Dạng 2: Mẫu là biểu thức dạng tổng có căn thức, ta nhân tử và mẫu với biểu
thức liên hợp của mẫu.
- Phương trình chứa căn thức bậc 2 b) Căn bậc ba c) Hàm số bậc nhất
- Khái niệm hàm số bậc nhất -
+ Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a,
b là các số cho trước và a ≠ 0 b.
- Tính chất: Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:
+ Đồng biến trên R khi a > 0
+ Nghịch biến trên R khi a < 0
- Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng
+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
+ Song song với đường thẳng y = ax, nếu b ≠ 0, trùng với đường thẳng y = ax, nếu b = 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0)
Bước 1. Cho x = 0 thì y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
Cho y = 0 thì x = -b/ a ta được điểm Q( -b/ a; 0) thuộc trục hoành Ox
Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b d.
- Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’ ≠ 0). Khi đó:
d) Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)
* Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox. - Góc tạo bởi đường thẳng
y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm
của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng y = ax + b
* Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b
- Hệ số a trong phương trình y = ax + b được gọi là hệ số góc của đường thẳng: y = ax + b
e) Một số phương trình đường thẳng
- Đường thẳng đi qua điểm M0(x0; y0) có hệ số góc k: y = k(x – x0) + y0
- Đường thẳng đi qua điểm A(x0, 0) và B(0; y0) với x0.y0 ≠ 0 là x/ x0 + y/ y0 = 1
f) Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Chohai điểm phân biệt A với B với A(xA, yB) và B(xA, yB). Khi đó
- Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức
- Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức
2. Tóm tắt đầy đủ công thức toán 9 phần Hình học
a) Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC có đường cao AH
Đặt BC = a; AC = b; AB = c; AH = h; CH = b';
BH = c' BH, CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC lên BC. Ta có các hệ thức sau: +) b2 = ab' ; c2 = ac' +) h2 = b'c' +) ah = bc
+) a2 = b2 + c2 (Định lý Py-ta-go) +) 1/ h2 = 1/ b2 + 1/ c2
b) Tỉ số lượng giác của góc nhọn - Định nghĩa - Tính chất
- Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt
c) Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
3. Một số bài tập và đáp án chi tiết
Bài 1: Viết các biểu thức sau thành bình phương của biểu thức khác: a) 4 - 2√3 b) 7 + 4√3 c) 13 - 4√3 Hướng dẫn giải:
a) 4 - 2√3 = 3 - 2√3 + 1 = (√3-1)2
b) 7 + 4√3 = 4 + 2.2.√3 + 3 = (2 + √3)2
c) 13 - 4√3 = (2√3)2 - 2.2√3 + 1= (2√3-1)2
Bài 2: Rút gọn biểu thức Hướng dẫn giải: Phân tích: Ta để ý: √60 = 2√15 = 2√5.√3 √140 = 2√35 = 2√5.√7 √84 = 2√21 = 2√7.√3 Và 15 = 3 + 5 + 7.
Ta thấy hình dáng của hằng đẳng thức : a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = a2 + b2 + c2 Giải:
Bài 3: Tìm giá trị của x để biểu thức A dưới đây có giá trị bằng 2
Phương pháp làm bài: Tìm giá trị của x để biểu thức có giá trị thỏa mãn đẳng thức, bất đẳng thức Phương pháp giải
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A < m (hoặc A > m ; A ≥ m; A ≤ m)
+ Tìm điều kiện xác định
+ Rút gọn biểu thức (nếu cần) +
Biến đổi điều kiện A < m để tìm ra x.
Lưu ý: Khi nhân (chia) cả 2 vế của BPT với một biểu thức > 0 thì chiều của biểu thức không đổi.
b) Tìm điều kiện của x để hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
+ Tìm điều kiện xác định
+ Rút gọn biểu thức (nếu cần).
+ Áp dụng các bất đẳng thức dể đánh giá biểu thức ≤ k (tìm giá trị lớn nhất)
hoặc ≥ k (tìm giá trị nhỏ nhất) (k là hằng số)
+ Tìm x để dấu = xảy ra.
Lưu ý: Bất đẳng thức Cô-si: a2 + b2 ≥ 2ab A2 ≥ 0 với mọi A. Hướng dân giải:
Điều kiện xác định: x > 0 hoặc x = 0 Ta có: 3√x = 2√x + 4 ⇔ √x = 4 ⇔ x = 16. Vậy x = 16.
Bài 4: Không dùng máy tính, hãy so sánh: 1, 8 và √65. 2, √15 -1 và √10 3, 3√3 - 2√2 và 2 4, 3√12 và 2√26 5, 4 - 2√2 và 3 - √3 Phương pháp giải:
Dựa vào tính chất: Nếu a,b ≥ 0 thì a < b ⇔ √a < √b Hướng dẫn giải
1, Ta có 8 = √64. Vì √64 < √65 nên 8 < √65 .
2, Ta có √15 - 1 < √16 - 1 = 4 - 1 = 3 √10 > √9 = 3 Vậy √15 - 1 < √10.
3, Ta có 3√3 > 2√2 => 3√3 - 2√2 > 0 và 2 > 0
Giả sử 3√3 - 2√2 > 2 ⇔ (3√3 - 2√2)2 > 22 ⇔ 35 - 12√6 > 4 ⇔ 31 > 12√6 ⇔ √961 > √864.
4, Giả sử 3√12 > 2√26 ⇔ √108 > √104 (bất đẳng thức đúng) Vậy 3√12 > 2√26 5,
Giả sử 4 - 2√2 > 3 - √3
⇔ 4 - 3 > 2√2 - √3 ⇔ 1 > 2√2 - √3
Vì 2√2 = 8 > √3 nên: 2√2 - √3 > 0.
Do đó 12 > (2√2 - √3)2 ⇔ 1 > 11 - 4√6 ⇔ 4√6 > 10
⇔ √96 > √100 (bất đẳng thức sai). Vậy 4 - 2√2 < 3 - √3.
Bài 5: tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính BC biết AB = 15cm, HC = 16cm.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có: AC2 = CH. BC = 16. BC AB2 + AC2 = BC2 ⇔ 152 + 16. BC = BC2 ⇔ BC2 - 16. BC - 225 = 0
⇔ BC2 - 25. BC + 9. BC - 225 = 0
⇔ BC. (BC - 25) + 9. (BC - 25) = 0 ⇔ (BC - 25). (BC + 9) = 0
⇔ BC = 25 hoặc BC = -9 (loại)
=> AC2 = 16.BC = 16. 25 = 400 => AC = 20
+ Xét tam giác vuông ABC có: AH. BC = AB.AC (hệ thức lượng)
Vậy BC = 25 (cm); AC = 20 (cm)
Document Outline

• Tổng hợp Công thức Toán lớp 9 đầy đủ cả năm
  • 1. Tóm tắt đầy đủ công thức toán 9 phần Đại số
  • 2. Tóm tắt đầy đủ công thức toán 9 phần Hình học
  • 3. Một số bài tập và đáp án chi tiết