Tổng hợp kiến thức Ôn tập giữa kỳ HK 221 môn Giải tích 1 | Trường Đại học sư phạm kỹ thuật TP Hồ Chí Minh

GIẢI TÍCH HCMUT - GIẢI TÍCH 1 ĐẶNG TIẾN QUANG ÔN TẬP GIỮA KỲ HK 221 STT Nội dung 1
Giới hạn dãy số (0-1 câu) 2
Tập xác định, tập giá trị (1 câu) 3
Giới hạn hàm số (1 câu) 4 VCB - VCL (1 câu) 5 Hàm liên tục (1 câu) 6
Tiệm cận hàm y = f(x) (1 câu) 7
Tiệm cận hàm x(t), y(t) (1 câu) 8
Đạo hàm, ý nghĩa và đơn vị tính. (1 câu) 9
Đạo hàm hàm hợp (1-2 câu) 10
Đạo hàm hàm tham số (1 câu) 11
Đạo hàm hàm ngược (1 câu) 12
Đạo hàm hàm ẩn (0-1 câu) 13 Đạo hàm cấp cao (1 câu) 14
Đồ thị hàm và đồ thị đạo hàm (0-1 câu) 15 Ứng dụng vi phân (1 câu) 16 Công thức Taylor (1 câu) 17
Cực trị hàm y = f(x) (1 câu) 18 GTLN - GTNN (1 câu) 19
Điểm uốn, ý nghĩa điểm uốn (1 câu) 20
Cực trị hàm tham số (1 câu)
h Fanpage: www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Trang 1
GIẢI TÍCH HCMUT - GIẢI TÍCH 1 ĐẶNG TIẾN QUANG 1 Tiệm cận hàm y = f(x) - Tiệm cận đứng (TCĐ):
• Nếu lim f (x) = +∞ hoặc lim f (x) = −∞ hoặc lim f (x) = +∞ hoặc lim f (x) = −∞ x→a− x→a− x→a+ x→a+
thì x = a là được gọi là TCĐ. - Tiệm cận ngang (TCN): • Nếu
lim f (x) = a thì y = a được gọi là TCN phía bên phải. x→+∞ • Nếu
lim f (x) = b thì y = b được gọi là TCN phía bên trái. x→−∞ - Tiệm cận xiên (TCX): • Nếu
lim f (x) = ±∞ thì không có TCN phía bên phải =⇒ có thể có TCX. x→+∞  f (x)  a = lim = c 6= 0 • Nếu x→+∞ x
thì y = ax + b được gọi là TCX phía bên phải.   b = lim f (x) − ax x→+∞ f (x) h∞ • Nếu a = lim =
thì không có TCX phía bên phải. x→+∞ x 0
• Tương tự, ta cũng có thể có một TCX phía trên trái, độc lập với TCX phía bên phải.
2 Tiệm cận hàm tham số x = x(t), y = y(t)
- Khi t → t0 (có thể hữu hạn hoặc vô cùng) mà x(t) hoặc y(t) hoặc cả hai dần đến vô cùng thì hàm có thể có tiệm cận: ( lim y(t) = ±∞ t→t0 • Nếu thì hàm có TCĐ là x = a. lim x(t) = a t→t0 ( lim x(t) = ±∞ t→t0 • Nếu thì hàm có TCN là y = b lim y(t) = b t→t0 ( lim x(t) = ±∞ t→t0 • Nếu thì hàm có thể có TCX. lim y(t) = ±∞ t→t0 ( lim x(t) = ±∞ - Khi t→t0 : lim y(t) = ±∞ t→t0 y(t)  • Nếu a = lim
= c 6= 0 và b = lim y(t) − ax(t) thì hàm có TCX là y = ax + b. t→t0 x(t) t→t0 y(t) h∞ • Nếu a = lim = thì hàm không có TCX. t→t0 x(t) 0
h Fanpage: www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Trang 2
GIẢI TÍCH HCMUT - GIẢI TÍCH 1 ĐẶNG TIẾN QUANG 3 Đạo hàm hàm tham số  Cho hàm x = x(t)
y = y(x) được cho dưới dạng phương trình tham số y = y(t) - Đạo hàm cấp 1: y′(t) y′(x) = x′(t) - Đạo hàm cấp 2:
y′′(t).x′(t) − x′′(t).y′(t) y′′(x) = (x′(t))3
4 Tiếp tuyến hàm tham số
- Tiếp tuyến của một đường cong (C) : y = f(x) tại điểm (x0, f(x0)) có dạng:
y − f (x0) = f ′(x0)(x − x0) ∆y
• hệ số góc tiếp tuyến = độ dốc = f ′(x) = tan α = ∆x d − b
• đường thẳng đi qua 2 điểm A(a, b), B(c, d) thì hsg tại A là tan α = c − a  - Nếu x = x(t)
(C) được cho dưới dạng tham số
thì tiếp tuyến của (C) tại t = t y = y(t) 0 có dạng: y′(t y − y(t 0) 0) = (x − x(t x 0)) ′ (t0) 5 Đạo hàm hàm ngược
Cho y = f(x) là hàm 1 − 1. Khi đó tồn tại hàm ngược f−1(x). Nếu y0 = f(x0) và f′(x0) 6= 0 thì ta có đẳng thức: 1 (f −1)′(y0) = f′(x0)
h Fanpage: www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Trang 3
GIẢI TÍCH HCMUT - GIẢI TÍCH 1 ĐẶNG TIẾN QUANG 6 Đạo hàm cấp cao
- Công thức đạo hàm cấp cao của một số hàm:  •
sin(ax + b)(n) = an. sin(ax + b + nπ )
 cos(ax + b)(n) = an. cos(ax + b + nπ) 2 2  n ax • eax(n) = a .e  x(n) x • a = a .(ln a)n   n •
(ax + b)α (n) = a .α(α − 1)...(α − n + 1).(ax + b)α−n  1 (n) (−1)n.n!.an • = ax + b (ax + b)n+1 (−1)n−1.(n − 1)!.an  • ln(ax + b)(n) = (ax + b)n
- Đạo hàm cấp cao hàm tích - Công thức Leibniz: n (n) P • (f.g) =
Ck.f (k).g(n−k) = C0f.g(n) + C1 f ′.g(n−1) 2
+ C f ′′.g(n−2) + ... + Cnf (n).g n n n n n k=0
- Đạo hàm cấp cao tại x = 0: f (n)(0)
• hệ số của xn trong khai triển Maclaurin là
=⇒ f (n)(0) = hệ số của xn ∗ n! n! 7 Hàm liên tục
Hàm y = f(x) được gọi là liên tục tại điểm x = a nếu lim f (x) = lim f (x) = f (a) x→a− x→a+ 8 Hàm khả vi
- Khả vi = có đạo hàm = tồn tại đạo hàm: f (x) − f (a) f (a + ∆x) − f (a) ∆f df f ′(a) = lim = lim = lim = x→a x − a ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x dx
- Hàm khả vi khi và chỉ khi đạo hàm trái = đạo hàm phải:
∃f ′(a) ⇐⇒ f ′ (a) = f ′ − +(a)
- Nếu hàm khả vi tại x = a thì hàm liên tục tại x = a:
∃f ′(a) =⇒ lim f (x) = lim f (x) = f (a) x→a− x→a+
- Những vị trí không khả vi trên đồ thị hàm số:
• đồ thị bị gãy, gấp (nhọn, không trơn)
• đồ thị không liền nét (hàm không liên tục)
• có tiếp tuyến thẳng đứng ( lim f ′(x) = ±∞) x→x0
h Fanpage: www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Trang 4
GIẢI TÍCH HCMUT - GIẢI TÍCH 1 ĐẶNG TIẾN QUANG 9 Công thức Taylor f (n)(x - Hệ số của (x − x 0)
0)n trong khai triển Taylor là n!
- Công thức khai triển Maclaurin một số hàm sơ cấp: x2 xn 1. x3 ex = 1 + x + + + ... + + o(xn) 2! 3! n! x2 x3 xn 2. ln(1 + x) = x − + + ... + (−1)n−1 + o(xn) 2 3 n x3 x5 x2n+1 3. sin x = x − + + ... + (−1)n. + o(x2n+1) 3! 5! (2n + 1)! x3 4. x5 x2n+1 sinh x = x + + + ... + + o(x2n+1) 3! 5! (2n + 1)! x2 x4 x2n 5. cos x = 1 − + + ... + (−1)n. + o(x2n) 2! 4! (2n)! x2 x4 x2n 6. cosh x = 1 + + + ... + + o(x2n) 2! 4! (2n)! 1 7.
= 1 + x + x2 + x3 + ... + xn + o(xn) 1 − x 1 8.
= 1 − x + x2 − x3 + ... + (−1)nxn + o(xn) 1 + x x2 xn
9. (1 + x)α = 1 + αx + α(α − 1)
+ ... + α(α − 1)...(α − n + 1) + o(xn) 2! n! x3 x5 x2n+1 10. arctan x = x − + + ... + (−1)n. + o(x2n+1) 3 5 (2n + 1) x3 2x5 17x7 11. tan x = x + + + + o(x7) 3 15 315 x3 12. 3x5 5x7 arcsin x = x + + + + o(x7) 6 40 112
- Đối với dạng hàm f(x)g(x) thì chuyển thành eg(x). ln f(x) rồi sử dụng công thức số 1.
h Fanpage: www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Trang 5