Tổng hợp lý thuyết nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Lê Minh Tâm Toán 12

TÀ T I À I L I L Ệ I U Ệ U D À D N À H N H C H C O H O K H K Ố H I Ố 1 2 1
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 Mục lục
 Chủ đề 01. NGUYÊN HÀM
 Dạng 1.1. Nguyên hàm cơ bản ......................................................................................................... 5
 Dạng 1.2. Nguyên hàm đổi biến ....................................................................................................... 7
1.2.1. Đổi biến loại 1 (Lượng giác hóa)............................................................................................................. 7
1.2.2. Đổi biến loại 2............................................................................................................................................. 9
 Dạng 1.3. Nguyên hàm từng phần ................................................................................................ 11
 Dạng 1.4. Nguyên hàm hàm số hữu tỉ .......................................................................................... 13
1.4.1. Bậc tử ≥ Bậc mẫu .................................................................................................................................... 13
1.4.1. Bậc tử < Bậc mẫu ................................................................................................................................... 14
 Dạng 1.5. Nguyên hàm hàm số vô tỉ ............................................................................................ 23
 Dạng 1.6. Nguyên hàm hàm số lượng giác ................................................................................. 23
 Dạng 1.7. Nguyên hàm có điều kiện ............................................................................................. 26
 Chủ đề 02. TÍCH PHÂN
 Dạng 2.1. Tích phân áp dụng tính chất & bảng nguyên hàm cơ bản.................................. 29
 Dạng 2.2. Tích phân từng phần ...................................................................................................... 31
 Dạng 2.3. Tích phân đổi biến loại 1 ................................................................................................ 33
 Dạng 2.4. Tích phân đổi biến loại 2 ............................................................................................... 35
 Dạng 2.5. Tích phân kết hợp đổi biến & từng phần .................................................................. 37
 Dạng 2.6. Tích phân chứa trị tuyệt đối......................................................................................... 39
 Dạng 2.7. Tích phân dựa vào đồ thị .............................................................................................. 41
 Dạng 2.8. Tích phân hàm chẵn lẻ .................................................................................................. 43
 Dạng 2.9. Tích phân hàm cho nhiều công thức .......................................................................... 45
 Dạng 2.10. Tích phân liên quan max – min.................................................................................. 47
 Dạng 2.11. Tích phân hàm “ẩn” ..................................................................................................... 49
2.11.1. Dùng phương pháp đổi biến ................................................................................................................ 49
2.11.2. Dùng phương pháp từng phần ........................................................................................................... 51
 Dạng 2.12. Tích phân liên quan phương trình vi phân ............................................................. 53
2.12.1. Biểu thức đạo hàm ................................................................................................................................ 53
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 1
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
2.12.2. Biểu thức tổng hiệu .............................................................................................................................. 55
2.12.2. Bài toán tổng quát 𝒇′(𝒙) + 𝒑(𝒙). 𝒇(𝒙) = 𝒉(𝒙) ................................................................................. 56
 Dạng 2.13. Bất đẳng thức tích phân ............................................................................................. 58
 Chủ đề 03. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
 Dạng 3.1. Câu hỏi lý thuyết ............................................................................................................. 63
 Dạng 3.2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x), Ox, x=a, x=b ......................................... 65
 Dạng 3.3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x), y=g(x), x=a, x=b .................................. 66
 Dạng 3.4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x), y=g(x), y=h(x) ...................................... 67
 Dạng 3.5. Diện tích hình phẳng dựa vào đồ thị ......................................................................... 68
 Dạng 3.6. Thể tích vật thể ............................................................................................................... 70
 Dạng 3.7. Thể tích hình phẳng giới hạn bởi f(x), Ox, x=a, x=b quay quanh Ox ................. 71
 Dạng 3.8. Thể tích hình phẳng giới hạn bởi f(x), g(x), x=a, x=b quay quanh Ox ............... 72
 Dạng 3.9. Thể tích hình phẳng giới hạn bởi f(y), g(y), y=a, y=b quay quanh Oy ............. 73
 Dạng 3.10. Tính giá trị hàm qua diện tích hình phẳng ............................................................. 74
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 2
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM A. LÝ THUYẾT CHUNG. 1. Định nghĩa:
 Cho hàm số f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng).
Hàm số F x là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu Fx  f x x  K . Ký hiệu: f
 xdx  FxC. 2. Định lý:
 Nếu Fx là một nguyên hàm của f x trên K thì:
● Với mỗi hằng số C , hàm Gx  F x C cũng là một nguyên hàm của f x trên K .
● Mọi nguyên hàm của f x trên K đều có dạng F x C , với C là một hằng số. 
 Do đó FxC,C là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K . 3. Tính chất:   f
 xdx  f x và f
 xdx  f xC . k  f 
xdx  k f
 xdx với k  0.  f
 x gxdx  f 
 xdx  g  xdx 4. Định lí:
 Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 3
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
5. Bảng nguyên hàm cơ bản:
(1). 0dx  C 
(2). dx  x  C  1  1 ax  b (3). 1 x dx x   C     1 1 
(14). ax  b   dx   C ,    1 1 a 1 1 1 1 1 1 (4). dx    C  (15). dx   .  C  2 2 2 x x    a ax b axb 1 dx 1 (5).
dx  ln x  C  (16).
 ln ax  b C  x ax  b a  1 (6). xd x
e x  e  C  (17). ax bd axb e x  e C  a x  1 kxb (7). x a a dx   C  (18). kx b a a dx   C  ln a k ln a 1
(8). cos xdx  sin x  C  (19). cos
 axbdx  sinaxbC a 1
(9). sin xdx  cos x  C  (20). sin
 axbdx   cosaxbC a 1 1 1 (10).
dx  tan x  C  (21).
dx  tan ax  b  C  2 2 cos x
cos ax  b   a 1 1 1 (11).
dx   cot x  C  (22).
dx   cot ax  b  C  2 2 sin x
sin ax  b   a 1 (12).  2
1 tan xdx  tan x  C (23).  2
1 tan ax  bdx  tanax  b  C a 1 (13).  2
1 cot xdx  cotx  C (24).  2
1 cot ax  bdx   cot ax  b C a
6. Bảng nguyên hàm mở rộng: dx 1 x  x  x (1).  arctan C  (8). 2 2 arcsin dx  x arcsin  a  x     C 2 2 a  x a a  a  a dx 1 a  x  x  x (2).  ln  C  (9). 2 2 arccos
dx  x arccos  a  x     C 2 2 a  x 2a a  x  a  a dx  x  x a (3).  ln   2 2
x  x  a  C (10). arctan dx  x arctan  ln   2 2 a  x     C 2 2  x  a  a  a 2 dx x  x  x a (4).  arcsin  C  (11). arc cot dx  x arc cot  ln   2 2 a  x     C 2 2  a a x  a  a 2 dx 1 x dx 1 ax  b (5).  arccos  C  (12).  ln tan  C  2 2  a a
sin ax  b x x a a 2 2 2 dx 1
a  x  a ax e
a cos bx  b sin bx (6).   ln  C  (13). ax e cos  bx   dx  C 2 2  a x x x a 2 2 a  b 2 2 2 ax x a  x a x e
a sin bx  b cos bx (7). 2 2
a  x dx   arcsin  C  (14). ax e sin  bx   dx   C 2 2 a 2 2 a  b
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 4
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 B. CÁC DẠNG BÀI TẬP.
 Dạng 1.1. Nguyên hàm cơ bản
 Áp dụng định nghĩa, tính chất và bảng công thức nguyên hàm cơ bản. Định nghĩa:
Cho hàm số f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng).
Hàm số F x là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu Fx  f x x  K . Ký hiệu: f
 xdx  FxC . Tính chất:   f
 xdx  f x và f
 xdx  f xC . k  f 
xdx  k f
 xdx với k  0.  f
 x gxdx  f 
 xdx  g
 xdx
 Ví dụ 1.1.1 – Áp dụng định nghĩa
Hàm số F x nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số   2 f x  x . x x
A. F x 3  2.
B. F x 3   2 . 3 3 x
C. F x 3   2 . D.   3
F x  x 2 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Ví dụ 1.1.2 – Áp dụng định nghĩa
Nguyên hàm của hàm số   1 f x  là? x 1
A. ln x  C
B. ln x  C .
C. x  C . D. C 2 x Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Ví dụ 1.1.3 – Áp dụng định nghĩa x Nếu f  x 3 d x x 
 e  C thì f x bằng: 3 4 x 4 x A. 2 x x  e B. x  e . C. 2 3 x
x  e . D. x  e 3 12 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 5
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Ví dụ 1.1.4 – Áp dụng bảng nguyên hàm Tính I   2
1 tan xdx
A. I  sin x C
B. I  cos x C .
C. I  tan x C .
D. I  cot x C Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Ví dụ 1.1.5 – Áp dụng tính chất – bảng nguyên hàm
Tìm họ nguyên hàm của hàm số   5x f x  .
A.   d  5x f x x C
B.   d  5x f x x ln5  C . x x C. f  x 5 dx   C . D. f  x 1 5 dx   C ln 5 x 1 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Ví dụ 1.1.6 – Áp dụng tính chất – bảng nguyên hàm 1
Họ nguyên hàm của hàm số f x 2
 x 3x  là: x 1 x 3
A. F x  2x  3 C
B. F x 3 2 
 x  ln x  C . 2 x 3 2 x 3 x 3
C. F x 3 2 
 x  ln x C .
D. F x 3 2 
 x  ln x C 3 2 3 2 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Ví dụ 1.1.7 – Áp dụng tính chất – bảng nguyên hàm
Họ nguyên hàm của hàm số f x 4  5x  2 là 1 A. 5
x  2x  C B. 5
x  2x  C
C. 10x C D. 5 x  2 5 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 6
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 1.2. Nguyên hàm đổi biến
1.2.1. Đổi biến loại 1 (Lượng giác hóa)
 Dấu hiệu để ta dùng phương pháp “Đổi biến loại 01”: Dấu hiệu Cách đặt 2 2 a  x
x  asint , với   t  2 2 2 2ax  x
x  a  asint , với   t  2 2 2 2 a  x
x  a tan t , với   t  2 2 2 2 x  a  a x với   t  và t  0 sin t 2 2 a  x a  x hoặc
x  acos2t , với 0  t  a  x a  x 2
xabx x a b a 2
   sin t , với 0  t  2
Khi đó ta có các bước giải như sau: Bước 1:
Đặt x  t với t có đạo hàm liên tục trên K , được chọn hợp lý. Bước 2:
Lấy vi phân của x theo biến số t , cụ thể là dx  tdt . Bước 3:
Thay cả x  t lẫn dx  tdt vào  f xdx được bài toán mới theo t . Bước 4:
Giải nguyên hàm mới f  t  
tdt được kết quả Ft theo t , sau đó thay
biểu thức x  t vào F t để tìm được nguyên hàm theo biến x .  Ví dụ 1.2.1
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 2  3  x 2 3 x x 1 x 2 3 x 1 x A. arcsin   C B. arcsin   C . 2 3 2 2 3 3 3 x 3 x x x  2
C. arcsin x   C . D. arcsin   C 2 2 2 3 2 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 7
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 1.2.2 1
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x  2 4  x x 3
A. 2arctan2x C B. arctan  C . 2 1 x
C. 2arcsin x C .
D. arctan  C 2 2 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 1.2.3  x
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 2  . 2  x x 2 x 4  x A. 2
 arccos C B. 2arccos  C . 2 2 x x 3 C. 2 2
 arccos  4  x C . D. 2 2  arccos
 4  x  C 2 2 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 8
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
1.2.2. Đổi biến loại 2
 Dấu hiệu để ta dùng phương pháp “Đổi biến loại 02”:  f txtxdx Dấu hiệu Cách đặt tx    dx
Biểu thức cần đặt t là mẫu thức t x t x tx
 f e txdx
Biểu thức cần đặt t là phần số mũ của e
 f txtxdx
Biểu thức cần đặt t là biểu thức chứa trong dấu ngoặc  n f
t x txdx
Đặt căn thức có trong dấu tích phân  dx x  dx f ln
Đặt biểu thức chứa ln x nếu có kèm theo x x
Khi đó ta có các bước giải như sau: Bước 1:
Đặt t  t x . (hoặc đặt t  at x  b tùy vào bài cụ thể). Bước 2:
Lấy vi phân của t theo x , cụ thể dt  txd . x Bước 3:
Thay cả t  t x lẫn dt  txdx vào  f t xtxdx . Bước 4:
Giải nguyên hàm mới  f tdt, được kết quả Ft theo t , sau đó thay
biến vào kết quả để tìm được nguyên hàm theo biến x.  Ví dụ 1.2.4 s in x
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x   1 3cos x 1 1
A.  ln 1 3cos x  C
B. 1 ln 1 3cos x  C . 3 3 1
C.   ln 3cos x  C .
D. 3ln 1 3cos x  C 3 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 9
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 1.2.5
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 1  . 1 x e A. x  ln1 x x e
 e  C B.  ln 1 x x
 e  C . 1 x  e  C. x  ln 1 x e
 e  C . D. x  ln    C 1 x   e  Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 1.2.6 tan x e
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x   2 cos x A. x tan x x  e e C B. tan x x  e
C . C. 1tanx e C . D. tanx e C Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 1.2.7
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x  xx  2018 1 .  2019 2019
x  2020 x  2019 1 1 x 1 x 1 A.   C B.   C . 2020 2019 2018 2020  2020 2019
x  2020 x  2020 1 1 2x 1 2x 1 C.   C . D.   C 2020 2020 2020 2019 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 10
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 1.3. Nguyên hàm từng phần
 Kẻ bảng có dạng:
Tích phân có dạng udv , với u và v là 2 trong 4 loại log – đa – lượng - mũ.
Tính I  udv bằng cách kẻ bảng:
Bước 1: Chọn u đặt vào cột “Đạo hàm”.
Bước 2: Chọn dv đặt vào cột “Nguyên hàm”.
Bước 3: Tính theo tính chất từng cột.
Bước 4: Ta có kết quả I  udv  . u v   vdu.  Quy tắc:
● Trong đó ta chọn u theo qui tắc: Nhất – log; Nhì – đa; Tam – mũ; Tứ – lượng.
● Còn dv là phần còn lại trong dấu  .
● Dấu ở các mũi tên: mũi tên đầu tiên luôn luôn là dấu  và đan xen dấu cho nhau.  Ví dụ 1.2.1
Tìm họ nguyên hàm của hàm số       3 2 1 x f x x e 2  1 x x 2 x x e e 2  1 2 x x e e A.   C B.   C . 3 9 9 9    3x 3 2 1 2 x x e e 3x 3 2 2 x xe xe C.   C . D.   C 3 9 3 9 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 1.2.2
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x  ln x
A. 2xln x  2x C B. 2
x ln x  x C . x
C. ln x  x  C .
D. xln x  x C 2 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 11
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 1.2.3
Tính I  x   1sin2 d x .
x Ta thu được kết quả là: 1 1
A.  x   1 cos2 x  sin2
x  C B. x   1 cos2 x  sin2
x  C . 2 4 x x C.  cos2 x  sin2
x  C . D. c x os2 x  s x in2 x C 2 4 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 1.2.4 f x 1
Cho F x   là một nguyên hàm của
.Tìm nguyên hàm của hàm số 3 3x x
f 'xln x . 3 ln x x ln x 1 A.   C B.   C . 3 x ln x 3 x x ln x 1 ln x 1 C.   C . D.   C 3 x ln x 3 3 x 3x Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 12
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 1.4. Nguyên hàm hàm số hữu tỉ P x
Xét f x là hàm hữu tỉ có dạng f x    . Qx
1.4.1. Bậc tử ≥ Bậc mẫu 
 Chia đa thức được: M là thương, N là dư. P x   N
Khi đó:  f x  
dx    dx  M  . Qx   dx Q x    Ví dụ 1.4.1 x 
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 1  . x 1
A. x  3ln x  C
B. x  ln 2x 1  C .
C. x  2ln x 1  C .
D. 2x  ln x 1  C Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 1.4.2 x 
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 2 2 5  . x 1 A. 2
x  2x  3 ln x 1  C B. 2
x  3 ln x 1  C . C. 2
2  x  ln  x   1  C . D. 2
2x  ln  1 x  C Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 1.4.3 2 x 1 Kết quả của dx  , ta thu được là: x 1 1
A. 2x  B. 2   C . x x 1 2 x
C. x  2ln x  C . D.
 ln x  C 2 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 13
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
1.4.1. Bậc tử < Bậc mẫu
Ta có các trường hợp sau: P x Px   const P x
Loại 2.1. f x    trong đó  thì:  dx  dx ln ax b C Qx
Q x  ax   b Qx     ax  b a  Ví dụ 1.4.4
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 1  5x  2 x 1 x A.  5x  2   d ln C B.  5x  2   d ln C . 5x  2 5 5x  2 x 1 x C.   5x  2   d ln C . D.  5 5x  2   d ln C 5x  2 2 5x  2 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 1.4.5 e
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x  e  2x e
A.  ln e  2x  C
B. ln e  2x  C . 2
C. e ln e  2x  C .
D. 2e ln e  2x  C Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 1.4.6  1 
Tìm nguyên hàm của hàm số f x 1  trên   ;  . 1 2x  2  1 1
A. ln 2x 1  C
B. ln 1 2x  C . 2 2 1
C.  ln 2x 1  C .
D. ln 2x 1  C 2 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 14
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 P x Px   const
Loại 2.2. f x    trong đó 
có các trường hợp sau: Qx Q x 2
 ax  bx   c
2.2.1. Qx có  0 Nhận dạng:  Tử là hằng số.
 Mẫu có hai nghiệm phân biệt.  1 1   dx  dx     
dx với x  x 2
ax  bx  c
ax  x x  x a x  x  x  x x  x  2 1 1   2   2 1 2 1  Ví dụ 1.4.7 1 Tính   dx
x  2x  6 1 1 A. 2
ln x  8x 12  C
B. ln x  6x  2  C . 2 4 1
C. ln x  6  ln x  2  C .
D. ln x  6  ln x  2   C 4 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 1.4.8 1
Tìm nguyên hàm của f x  2 x  3x  2 1 1 A. 2
ln x  3x  2  C
B. ln ln x  2  ln x 1  C . 2 2
C. ln x  2  ln x 1  C . D. 2
ln x  3x  2  C Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 1.4.9 2
Biết F x là nguyên hàm của hàm số f x 
. Tìm F x 2 2x  5x  3 2 3 A.  1 ln x 
 ln x  3 C
B. ln ln x  2  ln x 1  C . 2  7 2
C. ln 2x 1  ln x  3  C . D. 2
2 ln x  5x  3  C Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 15
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
2.2.2. Qx có  0  dx  dx      C . 2
ax  bx  c a a x  x  x x0 2  0  Nhận dạng:  Tử là hằng số.  Mẫu có nghiệm kép.  Ví dụ 1.4.10 1
Tìm nguyên hàm của hàm số f x  . 2 x  2x 1 1 3 1 1 1 A.  C B.   C . C.   C . D.   C x 1 2 x 1 x 2 1 x 1 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 1.4.11 1
Họ nguyên hàm của hàm số f x   là: 2 9x 12x  4 1 1  1  1 1 A.  C B.    C . C.   C . D.   C x 1 3  3x  2  x 2 1 x 1 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................... 1
2.2.3. Qx có  0  dx  dx    Lượng giác hóa. 2
ax  bx  c
a x  x 2 2  k 0  Ví dụ 1.4.12 1
Họ nguyên hàm của hàm số f x  là: 2 x  2x  2
A. arctanx   1  C
B. arctanx  C . C. 2
ln x  2  C . D. 2 tanx   1  C Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 16
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 P x
Px  mx   n
Loại 2.3. f x    trong đó 
có các trường hợp sau: Qx Q x 2
 ax  bx   c
2.3.1. Qx có  0. Nhận dạng:
 Bậc tử  Bậc mẫu.
 Mẫu có hai nghiệm phân biệt. mx  n
C x  x  D x  x   1   2   1 C D Cách 1: I  dx  dx      dx 2
ax  bx  c
ax  x x  x
a  x  x x  x  1   2  2 1  Cách 2: mx  n mx  n Xét I  dx  dx   2
ax  bx  c
ax  x x  x 1   2  mx  n mx  n 1 Khi đó ta có: I  dx  dx 
X ln x  x  Y  ln x  x C   . 2
ax  bx  c
ax  x x  x a 1   2   1 2 
  1 1  m   he sotruoc x X  ?
Đến đây ta chỉ cần tìm X&Y bằng cách giải hệ:      x x n   he sotudo Y   ? 2 1 
 Lưu ý: (1) Cách lấy các “hệ số” bỏ vào hệ ta lấy theo thứ tự từ PHẢI qua TRÁI.
(2) Với tử là hằng số, ta vẫn có thể áp dụng được cách này.
(Áp dụng được cho 2.2.1) 1
Ví dụ: I  dx 
ta xem hệ số m  0 & n 1. 2
ax  bx  c
(3) Khuyết vị trí nào thì xem hệ số đó  0 . n
Ví dụ: I  dx 
khuyết "mx" nên hệ số m  0 . 2
ax  bx  c
(4) Chú ý hệ số a, bài đơn giản thường thấy a 1, bài ít thấy a 1.  Ví dụ 1.4.13 4x 11
Họ nguyên hàm của hàm số f x  . là: 2 x  5x  6
A. 3ln x  2  ln x  3   C
B. ln x  2  ln x  3  C .
C. 3ln x  2  ln x  3   C .
D. ln x  2  ln x  3  C Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 17
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 1.4.14 1 x  b Tính dx  a ln  C 
với a; b . Tính S  a  b. 2 x  3x  2 x 1
A. S  3 B. S  1 
C. S  0
D. S  3 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 1.4.15 x 1  1  Biết rằng dx  a 
bln x  2  c ln x    C với a; b; c là các số hữu tỉ và là 2 2x  x  2 2  
phân số tối giản. Khi đó a  b  c : 1 19 3 2 A. S  B. S  C. S 
D. S   10 10 2 5 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 18
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  
t  x  x  x  t  x 2.3.2. mx n mx n
Qx có  0  dx  dx    Đặt 0 0  . 2
ax  bx  c
ax  x 2  dt dx 0 Nhận dạng:
 Bậc tử  Bậc mẫu.  Mẫu có nghiệm kép.  Ví dụ 1.4.16 x 1 Tính dx 
ta được kết quả nào dưới đây: 2 x  4x  4 1
A. ln x  2   C
B. ln x  2  x  C x  2 1
C. ln x  2  2x  C D. ln x 1   C x 1 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 1.4.17 2 x 1 Tính dx 
ta được kết quả nào dưới đây: 2 x  4x  4 x 3
A. 4ln x  2   C
B. 4ln x  2   x C x  2 x  2
C. 4ln x  2  C
D. ln x  4  x  C Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 19
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
2.3.3. Qx có  0    2
ax  bx  c   2 ax  bx   c mx n   dx  dx  dx      dx . 2 2 2 2
ax  bx  c
ax  bx  c
ax  bx  c
ax  bx  c H K   2
ax  bx  c  Tính H  x   d Đặt 2
t  ax  bx  c  dt   2
ax  bx  c dx. 2
ax  bx  c Tính K  x   d Lượng giác hóa. 2
ax  bx  c  Ví dụ 1.4.18 25x  7 Tính J  dx 
ta được kết quả nào dưới đây: 2 x  2x  7 25 32  x 1 A. ln  2
x  2x  7  arctan    C 2 6  6  1 1  x  B. ln  2
x  2x  7  arctan    C 2 6  6  2
 x  2x  7   x 1 C. ln    arctan    C 2    2   x 1 D. ln  2
x  2x  7  arctan    C  x  Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 20
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Tổng kết phương pháp tính nguyên hàm hàm số hữu tỉ P x
Xét f x là hàm hữu tỉ có dạng f x    . Qx
 Trường hợp 1: Bậc tử ≥ Bậc mẫu 
 Chia đa thức được: M là thương, N là dư. P x   N
Khi đó:  f x  
dx    dx  M  . Qx   dx Q x  
 Trường hợp 2: Bậc tử < Bậc mẫu Ta có các loại sau: P x Px   const P x
Loại 2.1. f x    trong đó  thì:  dx  dx ln ax b C Qx
Q x  ax   b Qx     ax  b a P x Px   const
Loại 2.2. f x    trong đó 
có các trường hợp sau: Qx Q x 2
 ax  bx   c
2.2.1. Qx có  0 Nhận dạng:  Tử là hằng số.
 Mẫu có hai nghiệm phân biệt.  1 1   dx  dx     
dx với x  x 2
ax  bx  c
ax  x x  x a x  x  x  x x  x  2 1 1   2   2 1 2 1
2.2.2. Qx có  0  dx  dx      C . 2
ax  bx  c a a x  x  x x0 2  0  Nhận dạng:  Tử là hằng số.  Mẫu có nghiệm kép. 1
2.2.3. Qx có  0  dx  dx    Lượng giác hóa. 2
ax  bx  c
a x  x 2 2  k 0 Nhận dạng:  Tử là hằng số.  Mẫu vô nghiệm. P x
Px  mx   n
Loại 2.3. f x    trong đó 
có các trường hợp sau: Qx Q x 2
 ax  bx   c
2.3.1. Qx có  0. Nhận dạng:
 Bậc tử  Bậc mẫu.
 Mẫu có hai nghiệm phân biệt. mx  n
C x  x  D x  x   1   2   1 C D Cách 1: I  dx  dx      dx 2
ax  bx  c
ax  x x  x
a  x  x x  x  1   2  2 1    mx n mx n
Cách 2: Xét I  dx  dx   2
ax  bx  c
ax  x x  x 1   2  mx  n mx  n 1 Khi đó ta có: I  dx  dx 
X ln x  x  Y  ln x  x C   . 2
ax  bx  c
ax  x x  x a 1   2   1 2 

 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 21
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  1 1  m   he sotruoc x X  ?
Đến đây ta chỉ cần tìm X&Y bằng cách giải hệ:      x x n   he sotudo Y   ? 2 1 
 Lưu ý: (1) Cách lấy các “hệ số” bỏ vào hệ ta lấy theo thứ tự từ PHẢI qua TRÁI.
(2) Với tử là hằng số, ta vẫn có thể áp dụng được cách này.
(Áp dụng được cho 2.2.1) 1
Ví dụ: I  dx 
ta xem hệ số m  0 & n 1. 2
ax  bx  c
(3) Khuyết vị trí nào thì xem hệ số đó  0 . n
Ví dụ: I  dx 
khuyết "mx" nên hệ số m  0 . 2
ax  bx  c
(4) Chú ý hệ số a, bài đơn giản thường thấy a 1, bài ít thấy a 1.  
t  x  x  x  t  x 2.3.2. mx n mx n
Qx có  0  dx  dx    Đặt 0 0  . 2
ax  bx  c
ax  x 2  dt dx 0 Nhận dạng:
 Bậc tử  Bậc mẫu.  Mẫu có nghiệm kép.
2.3.3. Qx có  0 Nhận dạng:
 Bậc tử  Bậc mẫu.  Mẫu có nghiệm kép.    2
ax  bx  c   2 ax  bx   c mx n   dx  dx  dx      dx . 2 2 2 2
ax  bx  c
ax  bx  c
ax  bx  c
ax  bx  c H K   2
ax  bx  c  Tính H  x   d Đặt 2
t  ax  bx  c  dt   2
ax  bx  c dx. 2
ax  bx  c Tính K  x   d Lượng giác hóa. 2
ax  bx  c
 Chú ý: Một vài cách tách phân thức cần nhớ: ① 1 A B    x  x x  x x  x x  x 1   2  1 2 ② 1 A Bx  C  với 2
 b  4ac  0 x  m   2
ax  bx  c 2 x  m
ax  bx  c ③ 1  A  B  C  D   2  2 xa  2 x    b x a x b x a xb2
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 22
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 1.5. Nguyên hàm hàm số vô tỉ
Xét f x là hàm vô tỉ có dạng f x  Px Qx  f
 xdx  P
 x Qxdx .
Thông thường ở dạng hàm vô tỉ ta sẽ dùng phương pháp đổi biến. 
Và ta nhẩm được Q x  P x. Khi đó:
Bước 1: Đặt t  Qx .
Bước 2: Tính vi phân dt :
Nhưng để vi phận thuận tiện, ta bình phương hai vế 2
t  Qx . 
2t dt  Qxdx  2t dt  Pxdx Px
Bước 3: Khi đó f  x 2
dx  t  2t dt  2t dt  ...    Ví dụ 1.5.1
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 4 2  x 1 x  2  x 2 4 2 2 1 1 x  x 2 2 2 1 A.   C B.  C . 5 5  2  x  4 2 1 1 x 4 2 1 x C.  C . D.  C 5 5 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 1.5.2
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 3
 sin x 1 cos x 5   7 5   1 cos x 2 1 cos x 1 cos x 2 1 cos x A. 2   C 2      B. C . 2 5      7 5   7 5   5 2
C. 2 1 cos x  2 1 cos x   C .
D. 1 cos x  2 1 cos x  C   Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 23
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 1.6. Nguyên hàm hàm số lượng giác ① 2 2 sin  cos 1 ② 1 2 1 tan  ,   k 2 01 cos 2
Công thức cơ bản ③ 1 2 1 cot  ,  k 2 sin ④ k tan .cot 1,  2
① sinab  sin c a osb  sin c b os a 02
② cos a  b 
Công thức cộng 
 cos caosb sinasinb ③ a  b
ab  tan tan tan 1 tan a tan b ① sin2  2sin cos ② 2 2 cos 2  cos  sin 2 2  2cos 11 2sin
03 Công thức nhân đôi     k ③ 2 tan  4 2 tan 2  ,  2 1 tan     k  2 ① 1 2 2  cos sin 2 04 1 2
Công thức hạ bậc ② 2  cos cos 2 ③ 1 cos2 2 tan  ,   k 1 cos2 2 ① 1 cos c
a os b  cosa  b  cosa   b 2 ② 1
sin asin b  cosa  b  cosa   b 05  2
Công thức tích thành tổng ③ 1
sin acos b  sina  b  sina   b 2 ④ 1
cos asin b  sina  b  sina   b 2  Ví dụ 1.6.1 Tìm nguyên hàm 3x 5 sin cos d x x 1 1 A. 
cos8x  cos 2x  C
B. 2cos8x  2cos 2x  C . 16 4 1
C. 2cos8x  2cos 2x  C . D. 
cos10x  C 16 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 24
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 1.6.2 1 Tìm nguyên hàm  dx 4 2
4cos x  4cos x 1 cot x A. 2 2
sin x  2sin x  C B.  C . 2 tan 2x C. 2 2
cos x  2cos x  C . D. C 2 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 1.6.3 cos x 
Tìm nguyên hàm của hàm số f x 2  . 1 cos x A. 2
sin x  3tan x C B. 2
x 3tan x C . x x 3x
C. x  3tan  C . D.  tan  C 2 2 2 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 1.6.4 Tính nguyên hàm 2 cot d x x .
A. 2cot x C
B. cot x  x C . x
C. x cot x C .
D.  cot x  C 2 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 1.6.5 2  
Biết F x là một nguyên hàm của f x  2x  3cos x và F   
. Tính F x .  2  4 A. 2  3 B. 2  . C. 2 . D. 2 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 25
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 1.7. Nguyên hàm có điều kiện Bài toán 01:
Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f x  .... Tính F x biết F a  b .
Bước 1: Dùng các phương pháp tính nguyên hàm để tìm được F  ; x C .
Bước 2: Xử lý F a  b bằng cách thay vào F ;
x C . Ta được F  ;
a C  b  C  ?
Bước 3: Khi đó ta được F x có cụ thể hằng số C .  Ví dụ 1.7.1  
Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x  sin x  cos x thoả mãn F  2   .  2 
A. F x  cos x  sin x  3
B. F x  cos x  sin x 1.
C. F x  cos x  sin x 1.
D. F x  cos x  sin x  3 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 1.7.2
Cho F x là một nguyên hàm của   x
f x  e  2x thỏa mãn F   3 0 
. Tìm F x 2 1 5
A. F x x 2
 e  x 
B. F x x 2
 e  x  . 2 2 3 1
C. F x x 2
 e  x  .
D. F x x 2
 2e  x  2 2 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 1.7.3
Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số     e x f x x
. Tính F x biết F 0 1. A.    1     e x F x x  2 B.    1    e x F x x 1. C.    1    e x F x x  2 . D.    1     e x F x x 1 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 26
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 Bài toán 02:
Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f x  .... Tính F c biết F a  b .
Bước 1: Dùng các phương pháp tính nguyên hàm để tìm được F  ; x C .
Bước 2: Xử lý F a  b bằng cách thay vào F ;
x C . Ta được F  ;
a C  b  C  ?
Bước 3: Khi đó ta được F x có cụ thể hằng số C và tính F c .
Bên cạnh đó, ta có thể dùng cách “Tích phân” để xử lý bài toán:
Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f x  .... Tính F c biết F a  b . Lời giải
Ta có: F x  f  xdx c c
Xét a  c , khi đó: f
 xdx  Fx c  F c F a  F c  f x x F a  a        d   a a  Ví dụ 1.7.4
Biết F x là một nguyên hàm của   2  x f x
e và F 0  0. Giá trị của F ln3 bằng
A. F ln3  2
B. F ln3  6 . C. F ln3  8 . D. F ln3  4 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 1.7.5   2  
Biết F x là một nguyên hàm của hàm f x  cos3x và F    . Tính F   .  2  3  9  3  2 3  2  3  2 3  6 A. B. . C. . D. 6 6 6 6 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
----------Hết----------
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 27
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. LÝ THUYẾT CHUNG. 1. Định nghĩa:
 Cho hàm số f x xác định và liên tục trên đoạn a;b 
 và F x là một nguyên
hàm của f x trên đoạn a;b   .
Khi đó hiệu số F b  F a được gọi là tích phân từ a b. b      b f x x F x
 F b   d
F a . a a
2. Ý nghĩa hình học: b
 Nếu hàm số f x liên tục và không âm trên đoạn a;b 
 thì tích phân  f xdx a
là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f x , trục Ox
và hai đường thẳng x  a; x  b. b
Vậy diện tích hình thang cong: S   f xdx . a 3. Tính chất. a 1
 f xdx  0 (Tích phân có hai cận giống nhau thì bằng 0). a b b 2
f xdx   
 f xdx (Tích phân đảo cận thêm dấu trừ). a a b b 3
. f xdx  
 f xdx với  . a a b b b 4 
 f x gxdx   f xdx  
gxdx. a a a b c b 5
Trong đoạn a; b 
 , tồn tại c a;b 
 thì f xdx  f xdx   
 f xdx . a a c a a 6
Nếu f x là hàm chẵn  f x  f x thì  f xdx  2 f xdx . a 0 a 7
Nếu f x là hàm lẻ  f x   f x thì  f xdx  0 . a
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 28
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 B. CÁC DẠNG BÀI TẬP.
 Dạng 2.1. Tích phân áp dụng tính chất & bảng nguyên hàm cơ bản
 Áp dụng định nghĩa, tính chất và bảng công thức nguyên hàm cơ bản. a 1
 f xdx  0 (Tích phân có hai cận giống nhau thì bằng 0). a b b 2
f xdx   
 f xdx (Tích phân đảo cận thêm dấu trừ). a a b b 3
. f xdx  
 f xdx với  . a a b b b 4 
 f x gxdx   f xdx  
gxdx. a a a b c b 5
Trong đoạn a; b 
 , tồn tại c a;b 
 thì f xdx  f xdx   
 f xdx . a a c a a 6
Nếu f x là hàm chẵn  f x  f x thì  f xdx  2 f xdx . a 0 a 7
Nếu f x là hàm lẻ  f x   f x thì  f xdx  0 . a  Ví dụ 2.1.1
Khẳng định nào sau đây sai? 3 3 3 2 3 A. 2 f
 xdx  2 f
 xdx B. f
 xdx  f
 xdx f  xdx . 1 1 1 1 2 2 2 2 2 C. f
 xdx   f
 xdx. D. f
 xdx  f
 udu 1 1 1 1 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.1.2 2 2 2
Biết  f xdx  2 và  gxdx  6, khi đó   f x 
g xdx bằng 1 1 1 A. 8 B. 4  . C. 4 . D. 8  Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.1.3 2 4 4
Cho  f xdx 1, f t t  4   d
. Tính  f ydy 2  2  2
A. I  5 B. I  3  .
C. I  3. D. I  5  Lời giải
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 29
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.1.4
Cho hàm số f x liên tục, có đạo hàm trên  1
 ;2 , f  
1  8; f 2  1    . Tích phân 2 f 
 xdx bằng 1  A. 1. B. 7.. C. 9  .. D. 9. Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.1.5 3
Cho f , g là hai hàm liên tục trên đoạn 1  ;3   thoả 
 f x3gxdx 10  , 1 3 3 2
 f x gxdx  6  . Tính   f x 
g xdx . 1 1 A. 7 B. 6 C. 8 D. 9 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 30
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 2.2. Tích phân từng phần
 Kẻ bảng có dạng:
Tích phân có dạng udv , với u và v là 2 trong 4 loại log – đa – lượng - mũ.
Tính I  udv bằng cách kẻ bảng:
Bước 1: Chọn u đặt vào cột “Đạo hàm”.
Bước 2: Chọn dv đặt vào cột “Nguyên hàm”.
Bước 3: Tính theo tính chất từng cột.
Bước 4: Ta có kết quả I  udv  . u v   vdu.  Quy tắc:
● Trong đó ta chọn u theo qui tắc: Nhất – log; Nhì – đa; Tam – mũ; Tứ – lượng.
● Còn dv là phần còn lại trong dấu  .
● Dấu ở các mũi tên: mũi tên đầu tiên luôn luôn là dấu  và đan xen dấu cho nhau.  Ví dụ 2.2.1 e
Tính tích phân I   xln xdx 1 2 1 1 2  2 2 1 A.  e I B. I  . C.  e I . D.  e I 4 2 2 4 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.2.2 1
Biết rằng tích phân  2 +  1 ex I x dx = a + . b e    a ;b  , tích a.b bằng 0 A. 15  B. 1. C. 1. D. 20 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 31
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 2.2.3 1 1
Cho hàm số f x thỏa mãn x  
1 f xdx  10 và 2 f  
1  f 0  2. Tính  f xdx . 0 0
A. I  1 B. I  8  C. I  12 
D. I  8 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.2.4 1 1
Biết x cos 2xdx  
asin2bcos2c với a,b,c . Khẳng định nào sau đây đúng ? 4 0
A. a  b  c 1
B. a b  c  0.
C. 2a  b  c  1 
D. a  2b  c 1 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.2.5 a
Tích phân I  3x  2 2 2 cos x dx 
 b với a,b . Tính S  ab 4 0
A. S 1 B. S  4
C. S  5
D. S 10 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 32
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 2.3. Tích phân đổi biến loại 1 b
Tính tích phân J   x. xdx a f x
Bước 1: Đặt t  x, trong đó x là hàm số mà ta nhẩm được x.dx .
x  a  t   a
Bước 2: Tính vi phân dt  'xdx và đổi cận  .
x  b  t   b
Bước 3: Biểu thị f xdx theo t và dt . b b 
Bước 4: Khi đó J   x. xdx  f  tdt . a f x a ① Nếu 2 2
a  x đặt x  asint hoặc x  a cost ② a a Nếu 2 2
x  a đặt x  hoặc x  sin t cos t ③ a  x a  x Nếu hoặc
thì đặt x  acos2t a  x a  x
④ Nếu x  ab x,a  b đặt x a b a 2    sin t ⑤ Nếu 2 2
x  a đặt x  a tan t hoặc x  a cost  Ví dụ 2.3.1 1 2 x   Tính tích phân I  dx 
bằng cách đặt x  2sint , t   ;   2   2 2  0 4 x 3 3 A. B.  . C.  . D. 6 3 2 3 2 3 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.3.2 3 2   Tính tích phân 2 2 x 1 x dx 
bằng cách đặt x  2sint , t   ;    2 2  2 2 1  3  3 1  3  A.    B. . C.  . D.    8  12 8      12 12 8 8 12 8   Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 33
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 2.3.3 2 Khi tính 2 I  4  x dx 
, bằng phép đặt x  2sint thì được 0 2 2 2 2 A. 2
 1cos2tdt B. cos2tdt  . C. 2 4 cos t dt  . D. 2 2 cos t dt  0 0 0 0 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.3.4 3 a a Giá trị của 2 9  x dx  
trong đó a, b  và là phân số tối giản. Tính giá trị b b 0
của biểu thức T  ab .
A. T  35 B. T  24 .
C. T  12 .
D. T  36 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 34
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 2.4. Tích phân đổi biến loại 2 b
Tính tích phân J   x. xdx a f x
Bước 1: Đặt t  x, trong đó x là hàm số mà ta nhẩm được x.dx .
x  a  t   a
Bước 2: Tính vi phân dt  'xdx và đổi cận  .
x  b  t   b
Bước 3: Biểu thị f xdx theo t và dt . b b 
Bước 4: Khi đó J   x. xdx  f  tdt . a f x a  Ví dụ 2.4.1 21 dx Cho
 aln3 bln5  c ln 7 
, với a,b,c là các số hữu tỉ. Tính S  a  b  c .  5 x x 4 1 1 3 1 A.  B. . C.  . D. 2 2 2 4 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.4.2 2 Tính 2
I  2x x 1dx  bằng cách đặt 2
u  x 1, mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 3 2 3 1 2 A. I  u du  B. I  u du  . C. I  2 u du  . D. I  u du  2 0 1 0 1 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.4.3 e ln x Biết
dx  a  b 2 
với a,b là các số hữu tỷ. Tính S  a  b.  1 x 1 ln x 1 3 2
A. S 1 B. S  . C. S  . D. S  2 4 3 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 35
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 2.4.4 2 2 Xét tích phân  .ex I x dx 
. Sử dụng phương pháp đổi biến số với 2
u  x , tích phân I 1
được biến đổi thành dạng nào sau đây: 2 2 1 2 1 2 A.  2 eu I du  B.  eu I du  . C.  eu I du  . D.  2 eu I du  2 2 1 1 1 1 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.4.5 4 2 1 x f x
Cho hàm số f x liên tục trên và các tích phân f
 tanxdx  4 và dx  2  2x 1 0 0 1
, tính tích phân I  f  xdx. 0 A. 2 B. 6 . C. 3 . D. 1 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 36
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 2.5. Tích phân kết hợp đổi biến & từng phần
 Trường hợp 1: Từng phần – Đổi biến: b b b Tính I  f
 xgxdx, áp dụng “Từng phần” ta được I  hx  p  xdx. a a a b
Lúc này ta áp dụng “Đổi biến” để tính p xdx  . a
 Trường hợp 2: Đổi biến – Từng phần:
tub b Tính I  f
 xgxdx, áp dụng “Đổi biến” ta được I  k
 xpxdx. a
tua
tub
Lúc này ta áp dụng “Từng phần” để tính k
 xpxdx.
tua  Ví dụ 2.5.1 2 Cho tích phân 2 I  x.sin d x x  a  b 
a, b , Mệnh đề nào sau đây đúng? 0 a a A.  3  B. 2 a  b  4  . C.  1
 ;0 D. ab  6 b b Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.5.2 4
Biết I  x ln
  2x 9dx  aln5bln3c với a,b,c là các số thực. Tính T abc là 0
A. T 11. B. T  9.
C. T 10.
D. T  8. Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 37
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 2.5.3 e e cos a  s 1 in 1
Biết I  cos ln x   dx  
với a,b là các số tự nhiên. Tính a  b b 1 A. 7 B. 3 C. 5 D. 13 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.5.4 2
Cho hàm số f x liên tục, có đạo hàm trên , f 2 16 và f
 xdx  4. Tính 0 4    x H xf dx bằng 2  0 A. 144 B. 12 C. 56 D. 112 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 38
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 2.6. Tích phân chứa trị tuyệt đối  Cách 1:
 Cho f x  0 tìm nghiệm  a;b 
 giả sử các nghiệm đó là x ; x ;...x  ; a b 1 2 n   x x x 1 2 3 b  Khi đó I  f
 x dx f
 x dx f
 x dx ... f  x dx a x x x 1 2 n x x x 1  I  f  x 2 b dx  f  x 3 dx  f
 xdx ... f  xdx a x x x 1 2 n
 Tính mỗi tích phân thành phần  Cách 2:
 Cho f x  0 tìm nghiệm  a;b   .
 Xét dấu f x trên a;b   . A khi A  0 b
 Áp dụng A    
để phá trị tuyệt đối trong ... .  A khi A  0 a
 Tính mỗi tích phân thành phần  Ví dụ 2.6.1 2
Tính tích phân I  x 1dx  ta được kết quả : 0 A. 1 B. 2 . C. 3 D. 4 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.6.2 1 a Tính tích phân 3 2 I 
x  x  x 1 dx 
ta được kết quả I  , khi đó tổng a  b là: b 1  A. 7 B. 3 . C. 5 D. 9 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 39
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 2.6.3 3 1
 x  3x  2 Tích phân I  dx  có giá trị là:   x 1 2 7 17 7 17
A. I   B. I  C. I  D. I   6 6 6 6 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.6.4 0 2 x  x  2 Tính tích phân I  dx     
ta được kết quả I
a bln2 c ln3(với a,b,c là các  x 1 2
số nguyên). Khi đó giá trị của biểu thức 3
T  2a  3b  4c là: A. T  20  B. T  3
C. T  22
D. T  6 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 40
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 2.7. Tích phân dựa vào đồ thị
Áp dụng ý nghĩa hình học: b
 Nếu hàm số f x liên tục trên đoạn a;b 
 thì tích phân f xdx 
là diện tích S của hình a
thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f x , trục Ox và hai đường thẳng x  a; x  b.  Ví dụ 2.7.1
Cho hàm số y  f x liên tục trên 0; 4 
 và có đồ thị như hình 4
bên. Tích phân f xdx  bằng 0 A. 1 B. 2 . C. 3 D. 4 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.7.2
Cho hàm số y  f x liên tục trên  3  ;5   và có đồ thị như
hình bên (phần cong của đồ thị là một phần của Parabol 3 2
y  ax  bx  c ). Tích phân f
 xdx bằng 2  1 97 A. B. 2 6 C. 1 D. 6  Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.7.3
Cho hàm số y  f x liên tục trên  2  ; 2 
 và có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ như 0 2 hình bên. Biết f
 xdx  2. Tích phân f xdx  bằng 2  0 A. 2  . B. 0. C. 3 D. 4 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 41
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 2.7.4
Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên  1  ; 2.   Đồ thị của
hàm số y  f x được cho như hình bên. Diện tích các hình phẳng  5 8
K , H lần lượt là
và . Biết f   19 1  , tính f 2. 12 3 12 A. f   2 2   . B. f   2 2  . 3 3 C. f   11 2  .
D. f 2  3. 6 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.7.5
Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị như 1
hình bên. Đặt K  . x f
 x.fxdx, khi đó K thuộc khoảng nào 0 sau đây?  3   3 2   2  A.  3  ;  2. B. 2  ;   . C.  ;   . D.   ; 0 .  2   2 3   3  Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 42
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 2.8. Tích phân hàm chẵn lẻ Định nghĩa:
Cho hàm số f x xác định trên miền D .  x
  D  x  D
Hàm số f x được gọi là hàm số chẵn nếu thỏa  . x   D : f  x   f x  x
  D  x  D
Hàm số f x được gọi là hàm số lẻ nếu thỏa  . x   D : f  x    f x Khi đó, trong dấu  : a   f  x a dx  2 f  xdx   Nếu hàm 
f x CHẴN thì, a 0  . a f  x 1 a dx  f x x    x  d 1  c 2 a 0 a
 Nếu hàm f x LẺ thì, f
 xdx  0 a  Ví dụ 2.8.1 2
Cho y  f x là hàm số chẵn, liên tục trên  6  ;6   . Biết rằng f
 xdx 8; 1  3 6 f   2
 xdx  3. Giá trị của I  f
 xdx là 1 1 
A. I  5 B. I  2
C. I  14
D. I  11 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.8.2 2 2 f x
Hàm số f x là hàm số chẵn liên tục trên và f
 xdx 10 . Tính I  dx  . 2x 1 0 2  10
A. I 10 B. I 
C. I  20
D. I  5 3 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 43
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 2.8.3 0
Cho hàm số y  f x là hàm lẻ và liên tục trên  4  ; 4   biết f
 xdx  2 và 2  2 4 f   2
 xdx  4 . Tính I  f  xdx. 1 0 A. I  10  B. I  6 
C. I  6
D. I 10 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 44
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 2.9. Tích phân hàm cho nhiều công thức  Bài toán 1: g x khi x   b c
Cho hàm số f x    
liên tục trên D . Tính J  f  xdx. h
 x khi x   b a Xét b  ; a c   .
 Bước 1. Kiểm tra hàm số f x có liên tục tại x  b ?
Tức là kiểm tra lim f x  lim f x  f b  lim gx  lim hx  f b      x b  x b  x b  xb c b c
 Bước 2. Tách cận: J  f
 xdx  g
 xdx h  xdx. a a b I I 1 2
 Bước 3. Tính các tích phân I ; I bằng các phương pháp đã học. 1 2  Bài toán 2: g x; m khi x   b c
Cho hàm số f x    
liên tục trên D . Tính J  f  xdx. h
 x; m khi x   b a Xét b  ; a c   .
 Bước 1. Kiểm tra hàm số f x có liên tục tại x  b ? Tức là kiểm tra:
lim f x  lim f x  f b  lim gx; m  m li
h x; m       f b xb xb x b  x b  c b c
 Bước 2. Tách cận: J  f
 xdx  g
 xdx h  xdx. a a b I I 1 2
 Bước 3. Tính các tích phân I ; I bằng các phương pháp đã học. 1 2  Ví dụ 2.9.1  x khi 0  x  2
Cho hàm số f x 2 3 1  
. Tính f xdx  4  
x khi 1  x  2 0 7 5 3 A. B. 1 C. D. 2 2 2 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 45
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 2.9.2 2x khi x  0  1
Cho số thực a và hàm số f x   liên tục trên . Tính f  xdx a   2
x  x  khi x  0 1  a 2a a 2a A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 6 3 6 3 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.9.3
ex  m khi x  0 1
Cho hàm số f x   liên tục trên và f
 xdx  e
a  b 3  c , 2 2
 x 3  x khi x  0 1 
a,b,cQ. Tổng ab3c bằng A. 15 B. 10  C. 19  D. 17  Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 46
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 2.10. Tích phân liên quan max – min b b
 Bài toán: Tính I  min 
f x;gxdx hoặc I  max 
f x;gxdx . a a b Ta xét I  min 
f x;gxdx: a
 Bước 1. Giải phương trình f x  gx  x ; a b 
 thì nhận nghiệm đó.
Giả sử ta được x  m  ; a b   .
 Bước 2. Xét hiệu f x  gx, giả sử:
● Trên a; m : f  
x gx  0  minf x;gx  gx.
● Trên m; b : f  
x gx  0  minf x;gx  f x . b m b
 Bước 3. Khi đó I  min 
f x;gxdx  g
 xdx f  xdx. a a m b Khi đó I  max 
f x;gxdx ta áp dụng tương tự. a  Ví dụ 2.10.1 3
Tính tích phân I  max   3 2 x ; 4x  3  x dx 0 117 275 A. I  B. I 
C. I 19
D. I  27 2 12 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.10.2 3 Tính tích phân  min  ex;ex I dx 1  2 2 2 2 A. I   2 B. I   2
C. I  2  D. I  e e e e Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 47
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 2.10.3 2
Biết rằng I  minsinx; cos 
x dx  a  b 2  ; a b  
. Tính S ab 0 A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.10.4 x
Xét hàm số F x  f
 tdt trong đó hàm số y  f t có 2
đồ thị như hình vẽ bên. Trong các giá trị dưới đây, giá trị nào là lớn nhất? A. F   1 B. F 2
C. F 3
D. F 0 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 48
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 2.11. Tích phân hàm “ẩn”
2.11.1. Dùng phương pháp đổi biến b b b b
Dạng 1: Cho u
 x.f u
 x dx 
, tính f xdx 
hoặc f xdx  , tính u
 x.f u
 x dx  . a a a a
Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến t  ux b b b  Lưu ý : f
 tdt  f
 xdx  f  udu a a a b
Dạng 2: Tính f xdx 
, biết f x thỏa: .
A f x  .
B u . f u .
C f a  b  x g x. a
Đối với loại bài tập này, trước khi lấy tích phân hai về ta cần chú ý rằng :
 Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A, , B C . b b
 Nếu f x liên tục trên a;b   thì f
 abxdx  f  xdx a a ua   a b b  1 Với  thì f
 xdx  g  xdx. u  b   b
A  B  C a a ua   b b b  1 Với  thì f
 xdx  g  xdx. u  b   a
A  B  C a a  Ví dụ 2.11.1 4 2 Cho f
 xdx 16 . Tính f 2xdx  0 0 A. 16 B. 4 C. 32 D. 8 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.11.2 1 2
Cho f là hàm số liên tục thỏa f
 xdx  7 . Tính I  cos .xf  sinxdx . 0 0 A. 6 B. 36 C. 2 D. 7 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 49
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 2.11.3 6 1
Cho hàm số f x liên tục trên 0;1 
 thỏa f x 2  6x f  3 x  
. Tính f xdx  3x 1 0 A. 2 B. 4 C. 1 D. 6 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.11.4 2
Cho hàm số f x liên tục trên 0; 2 
 và thỏa f x  f 2  x  2x. Tính I  f  xdx . 0 1 4 A. I  4  B. I 
C. I 
D. I  2 2 3 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 50
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
2.11.2. Dùng phương pháp từng phần 
Xuất phát từ đạo hàm hàm số tích, ta có: u
 x.vx  u 
x.vxvx.ux
Lấy tích phân hai vế ta được: b  u  x b
.v x dx  u 
 x.vxvx.uxdx  a a b     b b
u x d vx  uxvx  v
 xdux a a a b b b Hay u
 x.vxdx  uxvx  v
 x.uxdx a a a  Ví dụ 2.11.5
Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn 1  ; 2   . 2 67 2 Biết F  
1  1, F 2  4 , G   3 1 
, G2  2 và f xGxdx  
. Tính F x gxdx  2 12 1 1 11 145 11 145 A. B.  C.  D. 12 12 12 12 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.11.6 5
Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên 0;5 
 và f 5 10 , xf 
 xdx  30. 0 5
Tính f xdx  . 0 A. 20 B. 30  C. 20  D. 70 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 51
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Tổng kết phương pháp tính tích phân hàm “ẩn”
2.11.1. Dùng phương pháp đổi biến b b b b
Dạng 1: Cho u
 x.f u
 x dx 
, tính f xdx 
hoặc f xdx  , tính u
 x.f u
 x dx  . a a a a
Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến t  ux b b b  Lưu ý : f
 tdt  f
 xdx  f  udu a a a b
Dạng 2: Tính f xdx 
, biết f x thỏa: .
A f x  .
B u . f u .
C f a  b  x g x. a
Đối với loại bài tập này, trước khi lấy tích phân hai về ta cần chú ý rằng :
 Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A, , B C . b b
 Nếu f x liên tục trên a;b   thì f
 abxdx  f  xdx a a ua   a b b  1 Với  thì f
 xdx  g  xdx. u  b   b
A  B  C a a ua   b b b  1 Với  thì f
 xdx  g  xdx. u  b   a
A  B  C a a
2.11.2. Dùng phương pháp từng phần 
Xuất phát từ đạo hàm hàm số tích, ta có: u
 x.vx  u 
x.vxvx.ux
Lấy tích phân hai vế ta được: b  u  x b
.v x dx  u 
 x.vxvx.uxdx  a a b     b b
u x d vx  uxvx  v
 xdux a a a b b b Hay u
 x.vxdx  uxvx  v
 x.uxdx a a a
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 52
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 2.12. Tích phân liên quan phương trình vi phân
2.12.1. Biểu thức đạo hàm
ux. f x  ux f x
(1) . ux f x  ux f x  hx (2).  h x 2 f x  
Phương pháp giải:    u 
uv  v u 
Áp dụng các công thức: uv  u v   v u  và    2  v  v 
(1). ux f x  ux f x  h x  u
 x f x  h 
x  ux f x  h  xdx 
ux f x  ux f x  u x  u x (2).  h x     h x   h x dx  2 f x      f  x      f  x    Ví dụ 2.12.1
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 2 
 thỏa mãn f 0  3 và
 x  fx f x 2 2 3 2
 4x 3x . Tính f 2 bằng 9 1 1 A. 1 B. C. D. 7 5 7 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.12.2
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1  ; 4 
 thỏa mãn f   1  2 và f x  . x f x 4 2
 3x  4x . Tính giá trị f 4 A. 2  B. 196  C. 48  D. 193  Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 53
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 2.12.3  
Cho hàm số y  f x liên tục trên đoạn 0;   . Biết rằng  3    3
f x.cos x  f x.s inx  1, x   0; 
 và f (0) 1. Tính tích phân I  f  xdx  3  0 3 1 3 1 1 1 A. I  B. I  C. I  D. I   2 2 2 2 3 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.12.4  
Cho hàm số y  f x liên tục và có đạo hàm tại mọi x  0
 ;  , đồng thời thỏa mãn  2  x    
hệ thức f x  tan .
x f x  . Biết rằng 3 f  f  a 3      b ln 3 trong đó 3 cos x  3   6  a,b
. Tính giá trị của biểu thức P  a  b 14 4 7 2 A. P  B. P   C. P 
D. P   9 9 9 9 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 54
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
2.12.2. Biểu thức tổng hiệu
(1) . f x  f x  hx
(2). f x  f x  hx
Phương pháp giải:
(1). Biến đổi:          ex   x     x f x f x h x f x e
f x  e .hx  x       x       x     x e f x e h x e
f x  e  h  xdx
(2). Biến đổi:          ex   x     x f x f x h x f x e
f x  e .hx   x       x       x     x e f x e h x e
f x  e  h  xdx  Ví dụ 2.12.5
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 2 
 thỏa mãn f x  f x  x 1.
Biết f 0  9. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. f   2 2 9e  B. f   2 2  9 e C. f   2 2  2 e D. f   2 2  1   9e Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.12.6
Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên . Biết rằng f 0  3 và
f x  f x  2x 1. Giá trị của f   1 thuộc đoạn A. 0; 2   B. 4; 6   C. 2; 4   D. 6;8   Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 55
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
2.12.2. Bài toán tổng quát 𝑓′(𝑥) + 𝑝(𝑥). 𝑓(𝑥) = ℎ(𝑥)
Phương pháp giải: p  xdx p  xdx p x dx p x dx   Nhân 2 vế với e ta được: e . f x    e
 px f x    e  hx  p
  xdx 
      pxdx e f x h x .e     p  xdx  
f x  h
 x pxdx e . .e dx  Ví dụ 2.12.7
Cho f x có đạo hàm trên 2; 4 
 , f 2  6 ;  2
x   f x  f x 2 1
 x  x . Tính f 4 A. 2  5 B. 5  5 C. 5  15 D. 2  15 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.12.8
Cho f x có đạo hàm trên 0;1 
 , biết f   13 0  ;  2
x   f x  xf x 3 1
 x  4x . Khi đó: 3
A. 0  f   1  2
B. 2  f   1  4
C. 4  f  
1  5 D. f   1  5 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 56
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Tổng kết phương pháp tính tích phân liên quan PTVP
2.12.1. Biểu thức đạo hàm
ux. f x  ux f x
(1) . ux f x  ux f x  hx (2).  h x 2 f x  
Phương pháp giải:    u 
uv  v u 
Áp dụng các công thức: uv  u v   v u  và    2  v  v 
(1). ux f x  ux f x  h x  u
 x f x  h 
x  ux f x  h  xdx 
ux f x  ux f x  u x  u x (2).  h x     h x   h x dx  2 f x      f  x      f  x  
2.12.2. Biểu thức tổng hiệu
(1) . f x  f x  hx
(2). f x  f x  hx
Phương pháp giải:
(1). Biến đổi:          ex   x     x f x f x h x f x e
f x  e .hx  x       x       x     x e f x e h x e
f x  e  h  xdx
(2). Biến đổi:          ex   x     x f x f x h x f x e
f x  e .hx   x       x       x     x e f x e h x e
f x  e  h  xdx
2.12.2. Bài toán tổng quát 𝒇′(𝑥) + 𝒑(𝑥). 𝒇(𝑥) = 𝒉(𝒙)
Phương pháp giải: p  xdx p  xdx p x dx p x dx   Nhân 2 vế với e ta được: e . f x    e
 px f x    e  hx  p
  xdx 
      pxdx e f x h x .e     p  xdx  
f x  h
 x pxdx e . .e dx p  xdx p x dx 
Tổng quát: e
. f x  h  x   .e dx
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 57
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 2.13. Bất đẳng thức tích phân  Tính chất 01:
Cho hàm số y  f x và y  gx có đạo hàm liên tục trên a;b   . Khi đó: b b
 Nếu f x  gx x   ; a b   thì f
 xdx  g  xdx. a a b b
 Nếu f x  0 x   ; a b   thì f
 xdx  0 . Hệ quả 2f
 xdx  0  f x  0 a a b b  f
 xdx  f
 x dx . a a  Tính chất 02:
Cho hàm số y  f x và y  gx có đạo hàm liên tục trên a;b 
 , gx  0. Khi đó: 2 b b b  
 Bất đẳng thức Holder (Cauchy – Schwarz):  f
 xgx 2 x   f  x 2 d dx  g  xdx   .  a  a a
Đẳng thức xảy ra  f x  .
k g x với k 2 b b     f
 x x  ba 2 d  f  xdx   .  a  a
 Bài toán: Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên a;b 
 thỏa mãn các điều kiện: b b
(1) f m  n (2)  f 
 x 2 dx  A  (3) g
 x.f xdx  B a a
Với g x là hàm số đã biết và liên tục trên a;b   b Tính I  f  xdx. a b b
 Lời giải: Tính tích phân g
 x.f xdx  B bằng phương pháp từng phần h
 x.fxdx  B a a  Hướng 1:  Hướng 2:
 Bước 1. Mặt khác b 2 b
 Bước 1. Giả sử tính được h
 xdx  C
h x f x b
x  h x b x   
 fx2 2 . d d dx a a a a
 Bước 2. Tìm thỏa: casio giathiet b b b 2   f 
 x dx h 
 x.fx 2 2 2 dx  h  x
Bước 2. Dấu “=” xảy ra  f x  k  hx . dx  0 a a a
Nguyên hàm 2 vế  f  ; x k;C  ? A B C        
Bước 3. Dùng f m  n  C k  ? A 2 B C 0 ? . b b
 f x  .h x 2  
Bước 4. Dùng h
 x.fxdx  B (Ở bước 1)
 Bước 3. Lúc này     dx 0 a a  k  ?
 f x  .hx  0  f x  .hx 
 Cuối cùng có đủ x; k;C  f x hoàn chỉnh
 Bước 4. Nguyên hàm 2 vế  f  ; x C  ?  YCBT.
Dùng f m  n  C  ? 
 f x hoàn chỉnh
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 58
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 2.13.1
Cho hàm số y  f x liên tục trên 0; 2 
 , thỏa các điều kiện f 2 1 và 2 2 f x  f   x 2 2  dx  f  x 2 dx    . Giá trị của dx  . 3 2 x 0 0 1 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 4 5 7 Lời giải Chọn B 1 u
  f x d
 u  f xdx
Tính: I  1. f
 xdx; đặt:    . d  v 1.dx v  x 0 2 1 1  I  .
x f x 2  . x f x 2 dx 
  xf xdx 
 x . f x 4 2 dx     . 0 3 3 0 0 0 hx 2 2 2 2 2 2 4 8 1 Tìm :  f   2
 x dx  2 xf    x 2 dx 
x dx  0  2. .   0   . 3 3 3 2 0 0 0 2 4 8    3 3 3 2 2  1  1 1
Lúc này  f x  x dx  0  f x  .x  0  f x  x .  2  2 2 0 1 1
Nguyên hàm 2 vế: f 
 xdx  xdx  f  x 2  x C . 2 4 1 1 Lại có f 2 2 11  2 .
C  C  0  f x 2  x . 4 4   1 2 2 2 x f x 1 Vậy 4 dx  dx    . 2 2 x x 4 1 1  Ví dụ 2.13.2 1 2
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 
 thỏa mãn f   1  4 ,  f 
 x dx  20  0 1 1 và . x f
 xdx 1. Tích phân f xdx  bằng 0 0 1 2 3 A. B. C. D. 4 6 3 2 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 59
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 2.13.3
Cho hàm số f x có đạo hàm dương liên tục trên 0;1 
 thỏa mãn f 0 1 và 1     1 3 f 
 x.f x 1 1 2  dx  2 f   
x.f x dx 3  
. Tích phân f xdx  bằng 9    0 0 0 1 5 3 7 A. B. C. D. 12 4 2 6 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
--------------------Hết--------------------
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 60
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. LÝ THUYẾT CHUNG.
1. Hình phẳng giới hạn bởi đường cong & trục hoành:
 Hàm số f x liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn a;b   .
Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị f x , Ox và hai đường thẳng x  a , x  b . b
Khi đó diện tích hình thang cong được tính: S  f  xdx. a
 Trường hợp f x  0 trên a;b 
 , ta có  f x  0 .
S hình thang cong aABb  S hình thang cong aA B  b  . ( aA B  b
 là hình đối xứng của hình thang đã cho qua trục hoành). b Do đó: S  S  S     f x x  aABb aA B b   d a  Tổng quát:
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số f x liên tục, trục hoành và hai đường thẳng
x  a , x  b được tính: b S  f  x dx a
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong:
 Cho hàm số y  f x và y  gx liên tục trên đoạn a;b   .
Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và đường thẳng x  a , x  b .
Xét trường hợp f x  gx x   ; a b   .
Gọi S ;S là diện tích hai hình thang cong giới hạn bởi 1 2 Ox  
x  a và y  f x ; y  gx . x  b  b
Khi đó diện tích: S  S  S   f x  g x  dx  . 1 2      a  Tổng quát:
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f x và g x và hai đường thẳng
x  a , x  b được tính: b S  f
 x gx dx a
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 61
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
3. Thể tích vật thể:
 Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm
a và b, Sx là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
Ox tại điểm x, (a  x  b).
Giả sử Sx là hàm số liên tục trên đoạn a;b   b
Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: V  S  xdx . a
4. Thể tích khối tròn xoay:
 Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới
hạn bởi các đường y  f x , trục hoành và hai đường thẳng
x  a, x  b quanh trục Ox : b 2 V  f  xdx a
 Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới
hạn bởi các đường x  g y , trục tung và hai đường thẳng y  c,
y  d quanh trục Oy : b 2 V  g  ydy a
 Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng
giới hạn bởi các đường y  f x , y  gx (cùng nằm
một phía so với Ox) và hai đường thẳng x  a, x  b quanh trục Ox : b 2 V  f  x 2
 g x dx a
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 62
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 3.1. Câu hỏi lý thuyết
 Diện tích hình phẳng:
y  f x
y  f x   b Ox 
y  gx b (1) Giới hạn:   S  f  x dx. (2) Giới hạn:   S  f
 x gx dx . x   a   a x a a x   b x   b
 Thể tích vật thể:
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc trục Ox tại các điểm a và b,
Sx là diện tích thiết diện vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc trục Ox tại điểm x, (a  x  b). b
Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: V  S
 xdx . a
 Thể tích khối tròn xoay:
y  f x Ox  b (1) Giới hạn: 
và quay quanh trục Ox 2  V  f  xdx. x   a a x   b
y  f x 
y  g x b (2) Giới hạn: 
và quay quanh trục Ox 2  V  f  x 2
 g x dx. x  a a x   b
x  gy Oy  b (3) Giới hạn: 
và quay quanh trục Oy 2  V  g  ydy . x   a a x   b  Ví dụ 3.1.1
Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị của hàm số f x và f x liên tục trên 2   1    ; a b 
 và đường thẳng x  a , x  b . Công thức tính diện tích của hình H là y f x 1   f x 2   O a c c x 1 2 b b b A. S 
f x  f x dx 
B. S   f x  f x dx 1   2   1   2   a a b b b C. S 
f x  f x dx 
D. S  f x dx  f x dx   2   1   1   2   a a a Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 63
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 3.1.2
Cho hàm số y  f x liên tục và có đồ thị như hình bên. Gọi D là
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho và trục Ox . Quay
hình phẳng D quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích V
được xác định theo công thức 3 3 2 2 1 A. 2 V   f
 x dx  B. V   f
 x dx  3 1 1 3 3 2 2
C. V   f
 x dx  D. V   f
 x dx  1 1 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 3.1.3
Gọi S là diện tích miền hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên. Công thức tính S là 1 2 A. S  f
 xdx f
 xdx 1  1 2 B. S  f  xdx 1  1 2 C. S  f
 xdx f
 xdx 1  1 2
D. S   f
 xdx 1  Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 3.1.4
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x , trục Ox và hai
đường thẳng x 1; x  4 khi quay quanh trục hoành được tính bởi công thức nào? 4 4 A. V  d x x  B. V  x dx  1 1 4 4 C. 2 V  d x x  D. V  d x x  1 1 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 64
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 3.2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x), Ox, x=a, x=b
y  f x  b   Ox
Diện tích hình phẳng giới hạn:   S  f  x dx. x   a a x   b
Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:
Bước 1: Giải f x  0 tìm nghiệm x ,x ,...,x  ;ab a  x  x  ...  x  b . 1 2 n  1 2 n   x x 1 2 b
Bước 2: Tính S  f
 x dx f
 x dx... f  x dx a x x 1 n x x 1  f  x 2 b dx  f
 xdx ... f  xdx a x x 1 n
 Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.  Ví dụ 3.2.1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  2 2 1, trục hoành và hai
đường thẳng x 1, x  2 bằng 2 3 1 7 A. B. C. D. 3 2 3 3 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 3.2.2
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi 2
y  x  2x , y  0 , x  4  , x 1
A. S 15 B. S  23
C. S  9
D. S  38 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 65
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 3.3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x), y=g(x), x=a, x=b
y  f x 
y  gx b
 Diện tích hình phẳng giới hạn:   S  f
 x gx dx . x  a a x   b
Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:
Bước 1: Giải f x  gx tìm nghiệm x ,x ,...,x  ;ab a  x  x  ...  x  b . 1 2 n  1 2 n   x x 1 2 b
Bước 2: Tính S  f
 x gx dx f
 x gx dx... f
 x gx dx a x x 1 n x x 1
  f x gx 2 b
dx    f x  gxdx ...   f x  gxdx a x x 1 n
 Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.  Ví dụ 3.3.1
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi 2
y  2  x và đường thẳng y  x  là 7 9 9 A. B. C. 3 D. 2 4 2 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 3.3.2
Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y  x1 x và 3
y  x  x có diện tích bằng 37 5 8 9 A. B. C. D. 12 12 3 4 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 66
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 3.4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x), y=g(x), y=h(x)
y  f x  
Diện tích hình phẳng giới hạn: y  g x .  y   h  x
Bước 1: Giải f x  gx có nghiệm x . 1
Giải g x  hx có nghiệm x . 2
Giải g x  hx có nghiệm x . 3
Giả sử x  x  x được biểu diễn như hình. 1 2 3 x x 2 3
Bước 2: Khi đó S  g
 x f x dx h
 x f x dx x x 1 2 x x 2
  gx f x 3
dx   hx  f xdx x x 1 2  Ví dụ 3.4.1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y  x  3x; y  x 1; y  x  4 bằng 1 1 1 1 A. B. C. D. 12 6 4 3 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 3.4.1 2 x 54
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y  2x ; y  ; y  bằng 4 x 63 63 63 A.  54ln 2 B. 54ln 2 C. D.   54ln 2 2 4 2 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 67
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 3.5. Diện tích hình phẳng dựa vào đồ thị y   f x b
● Trường hợp 1: 
diện tích hình phẳng cần tìm là S  f
 x gx dx . y   g  x a
Bước 1: Quan sát đồ thị thấy f x gx  0  x  c;c ;ab   .
Bước 2: Xét hiệu f x gx trên các đoạn  ;ac; c;b     . 
 a; c : f  
x gx  0 Giả sử trên  .
c; b : f  
x gx  0 b Bước 3: Khi đó S  f
 x gx dx a c
  f x gx b
dx  gx  f xdx a c
y  f x b
● Trường hợp 2: 
 diện tích hình phẳng cần tìm là S  f
 x0 dx . O
 x : y  0 a Bước 1:
Quan sát đồ thị thấy f x  0  0  x  c ;c  ; a b   . Bước 2:
Xét hiệu f x  0 trên các đoạn  ;
a c ; c; b     .
a;c : f   x0  0 Giả sử trên  .
c; b : f   x0  0 b c b Bước 3: Khi đó S  f
 x0 dx   f x0dx 0 f xdx. a a c  Ví dụ 3.5.1
Gọi S là diện tích hình phẳng H giới hạn bởi các đường
y  f x , trục hoành và hai đường thẳng x  1  , x  2. Đặt 0 2 a  f
 xdx,b  f
 xdx, Khi đó S  1  0
A. b  a
B. b  a C. b   a D. b   a Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 3.5.2
Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được
tính theo công thức nào dưới đây? 2 2 A.   2
 x  2dx
B.  2x  2dx 1  1  2 2 C.   2
2x  2x  4dx D.   2 2
 x  2x  4dx 1  1 
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 68
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 3.5.3 Cho hàm số y
f x liên tục trên . Gọi S là diện tích hình y=f(x)
phẳng giới hạn bởi cá đường y  f x , y  0, x  2  và
x  3 (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 3 x
A. S   f
 xdx f
 xd .x 2 2  1 O 1 3 1 3 B. S  f
 xdx f  xd .x 2  1 1 3 1 3
C. S   f
 xdx f  xd .x D. S  f
 xdx f
 xd .x 2  1 2  1 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 3.5.4
Cho hình thang cong H giới hạn bởi các đường x
y  e , y  0 ,
x  0 , x  ln4. Đường thẳng x  k 0  k  ln 4 chia H thành
hai phần có diện tích là S và S như hình vẽ bên. Tìm k để 1 2 S  2S . 1 2 2 A. k  ln 4 B. k  ln 2 3 8 C. k  ln
D. k  ln3 3 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 69
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 3.6. Thể tích vật thể
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông
góc với trục Ox tại các điểm a và b, Sx là diện tích thiết
diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
Ox tại điểm x, a  x  b
Giả sử Sx là hàm số liên tục trên đoạn a;b   b
Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: V  S  xdx . a  Ví dụ 3.6.1
Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 1 và x  3, biết rằng khi cắt
vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 1 x  3
thì được thiết diện là hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và x . 2178 2178 A. B. 26 C. 26 D. 5 5 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 3.6.2
Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  0 và x  , biết rằng thiết
diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x
0 x   là một tam giác đều cạnh 2 sinx .
A. V  3 B. V  3 C. V  2 3
D. V  2 3 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 3.6.3
Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 1 và x  3, biết rằng
khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 1
(  x  3) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và 2 3x  2. 124 124
A. V  32  2 15. B. V   C. V  
D. V  32  5 . 3 3 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 70
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 3.7. Thể tích hình phẳng giới hạn bởi f(x), Ox, x=a, x=b quay quanh Ox
Bước 1: Giải phương trình f x  0  x  c;c ;ab   . b
Bước 2: Khi đó V   f x2 dx . a  Ví dụ 3.7.1
Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y  x  4x  3 , trục hoành và hai
đường thẳng x  1, x  3 . Quay H xung quanh trục hoành được khối tròn xoay có thể tích là 3 3 2 A. 2
V  x  4x  3dx  B. 2
V  x  4x  3 dx  1 1 3 3 2
C. V   2
x  4x  3 dx D. 2 V 
x  4x  3dx  1 1 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 3.7.2
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số π
y  tan x , trục hoành và các đường thẳng x  0 , x  quanh trục hoành là 4 π π ln 2 2 π π A. V  B. V  C. V  D. V  4 2 4 4 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 3.7.3
Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y  x  2
2 , y  0 , x  0 , x  2 . Khối tròn
xoay tạo thành khi quay D quạnh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? 32 32 32 A. V  B. V  C. V 
D. V  32 5 5 5 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 71
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 3.8. Thể tích hình phẳng giới hạn bởi f(x), g(x), x=a, x=b quay quanh Ox
Bước 1: Giải phương trình f x  gx  x  c;c ;ab   . c b Bước 2: Khi đó 2 V  f  x 2  g x 2 x  f  x 2 d
 g x dx . a c  Ví dụ 3.8.1
Công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol P 2
: y  x và đường thẳng d : y  2x quay xung quanh Ox là 2 2 2 A.  2
2x  x dx B.  2
x  2x dx 0 0 2 2 2 2 C. 2 4 4x dx  x dx   D. 2 4 4x dx  x dx   0 0 0 0 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 3.8.2
Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y  x , y  x và x  4 . Thể tích của
khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục hoành nhận giá trị nào sau đây: 40 38 41 41 A. V  B. V  C. V  D. V  3 3 3 2 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 72
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 3.9. Thể tích hình phẳng giới hạn bởi f(y), g(y), y=a, y=b quay quanh Oy
Bước 1: Giải phương trình f y  gy  y  c;ca;b   . c b Bước 2: Khi đó 2 V  f  y 2  g y 2 y  f  y 2 d
 g y dy. a c  Ví dụ 3.9.1
Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường xy  4, x  0 , y 1 và y  4. Thể tích V
của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục tung là
A. V 12π B. V 16π
C. V 10π
D. V  8π Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 3.9.2
Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường 2
x  y  3 , x  0 , y  0 , y  2 . Gọi V là
thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Oy . Mệnh
đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 2 2
A. V   2
y  3dy B. V   2
y dy C. V  3 dy D. V   2
y  3 dy 0 0 0 0 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 3.9.3
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y
x  e , trục tung và các đường thẳng
y  0 , y 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục tung có thể tích V bằng bao nhiêu?  2e  1 2 2 e   e 1 2 e 1 A. V  B. V  C. V  D. V  2 2 3 2 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 73
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 3.10. Tính giá trị hàm qua diện tích hình phẳng b b
Áp dụng định nghĩa tích phân: f
 xdx  Fx  FbFa. a a
Thì lúc này đề bài yêu cầu so sánh F b; F a. Bài toán:
Cho hàm số y  f x liên tục có đồ thị như hình. F x là nguyên
hàm của f x trên a;c   .
So sánh F a; F c; F x  x   ; a c i i   .
Bước 1: So sánh Fa; Fb . b b Trên  ;
a b : f x  0    f
 x dx  f
 xdx  FbFa a a b Mà f
 xdx  0 FbFa  0  Fb  Fa. a
Bước 2: Tương tự so sánh Fb;Fc.
y  f x
y  f x  
Bước 3: Ta thấy diện tích hình phẳng giới hạn bởi Ox  lớn hơn Ox  .  
x  a; x  b 
x  b; x  c  b f  x c dx  f
 x dx  FbFa  FcFb  Fa  FcFa Fc. a b  Ví dụ 3.10.1 y
Cho hàm số y  f x xác định, liên tục và có một nguyên
hàm là F x trên  2  ;1 
 đồng thời f x có đồ thị như hình 2
vẽ bên. Hỏi số nào sau đây là số dương?
A. F 2  F  2   B. F  2    F  1 x -2 O 1 2
C. F 2  F   1
D. F 2  F 0 -1 y = f (x) Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 74
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 3.10.2
Cho hàm số f x có đạo hàm trên , đồ thị hàm số
y  f x như trong hình vẽ bên.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. f a  f c
B. f b  f c
C. f a  f b
D. f a  f c Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................  Ví dụ 3.10.3
Cho hàm số y  f x có đồ thị trên đoạn  4  ; 4 
 như hình vẽ. Gọi F x là một
nguyên hàm của hàm số f x , tính giá trị của S  F 4  F  4  . y 4
y = f(x) 2 x -4 -2 O 2 4
A. S  6  2
B. S 14  2
C. S 14
D. S 14  4 Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 75 TÀ T I À I L I L Ệ I U Ệ U D À D N À H N H C H C O H O K H K ỐI Ố I12 1 Mục lục
 Chủ đề 01. NGUYÊN HÀM
 Dạng 1.1. Nguyên hàm cơ bản ......................................................................................................... 5
 Dạng 1.2. Nguyên hàm đổi biến ....................................................................................................... 7
1.2.1. Đổi biến loại 1 (Lượng giác hóa)............................................................................................................. 7
1.2.2. Đổi biến loại 2............................................................................................................................................. 9
 Dạng 1.3. Nguyên hàm từng phần ................................................................................................ 11
 Dạng 1.4. Nguyên hàm hàm số hữu tỉ .......................................................................................... 13
1.4.1. Bậc tử ≥ Bậc mẫu .................................................................................................................................... 13
1.4.1. Bậc tử < Bậc mẫu ................................................................................................................................... 14
 Dạng 1.5. Nguyên hàm hàm số vô tỉ ............................................................................................ 23
 Dạng 1.6. Nguyên hàm hàm số lượng giác ................................................................................. 24
 Dạng 1.7. Nguyên hàm có điều kiện ............................................................................................. 26
 Chủ đề 02. TÍCH PHÂN
 Dạng 2.1. Tích phân áp dụng tính chất & bảng nguyên hàm cơ bản.................................. 29
 Dạng 2.2. Tích phân từng phần ...................................................................................................... 31
 Dạng 2.3. Tích phân đổi biến loại 1 ................................................................................................ 33
 Dạng 2.4. Tích phân đổi biến loại 2 ............................................................................................... 35
 Dạng 2.5. Tích phân kết hợp đổi biến & từng phần .................................................................. 37
 Dạng 2.6. Tích phân chứa trị tuyệt đối......................................................................................... 39
 Dạng 2.7. Tích phân dựa vào đồ thị .............................................................................................. 41
 Dạng 2.8. Tích phân hàm chẵn lẻ .................................................................................................. 43
 Dạng 2.9. Tích phân hàm cho nhiều công thức .......................................................................... 45
 Dạng 2.10. Tích phân liên quan max – min.................................................................................. 47
 Dạng 2.11. Tích phân hàm “ẩn” ..................................................................................................... 49
2.11.1. Dùng phương pháp đổi biến ................................................................................................................ 49
2.11.2. Dùng phương pháp từng phần ........................................................................................................... 51
 Dạng 2.12. Tích phân liên quan phương trình vi phân ............................................................. 53
2.12.1. Biểu thức đạo hàm ................................................................................................................................ 53
2.12.2. Biểu thức tổng hiệu .............................................................................................................................. 55
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
2.12.2. Bài toán tổng quát 𝒇′(𝒙) + 𝒑(𝒙). 𝒇(𝒙) = 𝒉(𝒙) ................................................................................. 56
 Dạng 2.13. Bất đẳng thức tích phân ............................................................................................. 58
 Chủ đề 03. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
 Dạng 3.1. Câu hỏi lý thuyết ............................................................................................................. 63
 Dạng 3.2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x), Ox, x=a, x=b ......................................... 65
 Dạng 3.3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x), y=g(x), x=a, x=b .................................. 66
 Dạng 3.4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x), y=g(x), y=h(x) ...................................... 67
 Dạng 3.5. Diện tích hình phẳng dựa vào đồ thị ......................................................................... 68
 Dạng 3.6. Thể tích vật thể ............................................................................................................... 70
 Dạng 3.7. Thể tích hình phẳng giới hạn bởi f(x), Ox, x=a, x=b quay quanh Ox ................. 71
 Dạng 3.8. Thể tích hình phẳng giới hạn bởi f(x), g(x), x=a, x=b quay quanh Ox ............... 72
 Dạng 3.9. Thể tích hình phẳng giới hạn bởi f(y), g(y), y=a, y=b quay quanh Oy ............. 73
 Dạng 3.10. Tính giá trị hàm qua diện tích hình phẳng ............................................................. 74
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 2
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM A. LÝ THUYẾT CHUNG. 1. Định nghĩa:
 Cho hàm số f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng).
Hàm số F x là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu Fx  f x x  K . Ký hiệu: f
 xdx  FxC. 2. Định lý:
 Nếu Fx là một nguyên hàm của f x trên K thì:
● Với mỗi hằng số C , hàm Gx  F x C cũng là một nguyên hàm của f x trên K .
● Mọi nguyên hàm của f x trên K đều có dạng F x C , với C là một hằng số. 
 Do đó FxC,C là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K . 3. Tính chất:   f
 xdx  f x và f
 xdx  f xC . k  f 
xdx  k f
 xdx với k  0.  f
  x gxdx  f 
 xdx  g  xdx 4. Định lí:
 Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 3
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
5. Bảng nguyên hàm cơ bản:
(1). 0dx  C 
(2). dx  x  C  1  1 ax  b (3). 1 x dx x   C     1 1 
(14). ax  b   dx   C ,    1 1 a 1 1 1 1 1 1 (4).    dx    C  (15). dx . C  2 2 2 x x    a ax b axb 1 dx 1 (5).
dx  ln x  C  (16).
 ln ax  b C  x ax  b a  1 (6). xd x
e x  e  C  (17). ax bd axb e x  e C  a x  1 kxb (7). x a a dx   C  (18). kx b a a dx   C  ln a k ln a 1
(8). cos xdx  sin x  C  (19). cos
 axbdx  sinaxbC a 1
(9). sin xdx  cos x  C  (20). sin
 axbdx   cosaxbC a 1 1 1 (10).
dx  tan x  C  (21).
dx  tan ax  b  C  2 2 cos x
cos ax  b   a 1 1 1 (11).
dx   cot x  C  (22).
dx   cot ax  b  C  2 2 sin x
sin ax  b   a 1 (12).  2
1 tan xdx  tan x  C (23).  2
1 tan ax  bdx  tanax  b  C a 1 (13).  2
1 cot xdx  cotx  C (24).  2
1 cot ax  bdx   cot ax  b  C a
6. Bảng nguyên hàm mở rộng: dx 1 x  x  x (1).  arctan C  (8). 2 2 arcsin dx  x arcsin  a  x     C 2 2 a  x a a  a  a dx 1 a  x  x  x (2).  ln  C  (9). 2 2 arccos
dx  x arccos  a  x     C 2 2 a  x 2a a  x  a  a dx  x  x a (3).  ln   2 2
x  x  a  C (10). arctan dx  x arctan  ln   2 2 a  x     C 2 2  x  a  a  a 2 dx x  x  x a (4).  arcsin  C  (11). arc cot dx  x arc cot  ln   2 2 a  x     C 2 2  a a x  a  a 2 dx 1 x dx 1 ax  b (5).  arccos  C  (12).  ln tan  C  2 2  a a
sin ax  b x x a a 2 2 2 dx 1
a  x  a ax e
a cos bx  b sin bx (6).   ln  C  (13). ax e cos  bx   dx  C 2 2  a x x x a 2 2 a  b 2 2 2 ax x a  x a x e
a sin bx  b cos bx (7). 2 2
a  x dx   arcsin  C  (14). ax e sin  bx   dx   C 2 2 a 2 2 a  b
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 4
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 B. CÁC DẠNG BÀI TẬP.
 Dạng 1.1. Nguyên hàm cơ bản
 Áp dụng định nghĩa, tính chất và bảng công thức nguyên hàm cơ bản. Định nghĩa:
Cho hàm số f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng).
Hàm số F x là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu Fx  f x x  K . Ký hiệu: f
 xdx  FxC. Tính chất:   f
 xdx  f x và f
 xdx  f xC . k  f 
xdx  k f
 xdx với k  0.  f
  x gxdx  f 
 xdx  g
 xdx
 Ví dụ 1.1.1 – Áp dụng định nghĩa
Hàm số F x nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số   2 f x  x . x x
A. F x 3  2.
B. F x 3   2 . 3 3 x
C. F x 3   2 . D.   3
F x  x 2 Lời giải Chọn A  3  x  3 x Vì 2    x nên 2 x dx   C  3   3
 Ví dụ 1.1.2 – Áp dụng định nghĩa
Nguyên hàm của hàm số   1 f x  là? x 1
A. ln x  C
B. ln x  C .
C. x  C . D. C 2 x Lời giải Chọn B  1 1
Ta có ln x   x  0 nên
dx  ln x  C  . x x
 Ví dụ 1.1.3 – Áp dụng định nghĩa x Nếu f  x 3 d x x 
 e  C thì f x bằng: 3 4 x 4 x A. 2 x x  e B. x  e . C. 2 3 x
x  e . D. x  e 3 12 Lời giải Chọn A  3 3 x  x  Ta có f  xd x x 
 e  C  f x x 2 x
   e C   x  e . 3 3  
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 5
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Ví dụ 1.1.4 – Áp dụng bảng nguyên hàm Tính I   2
1 tan xdx
A. I  sin x C
B. I  cos x C .
C. I  tan x C .
D. I  cot x C Lời giải Chọn C 1 Vì I   2
1 tan xdx 
dx  tan x  C  2 cos x
 Ví dụ 1.1.5 – Áp dụng tính chất – bảng nguyên hàm
Tìm họ nguyên hàm của hàm số   5x f x  .
A.   d  5x f x x C
B.   d  5x f x x ln5  C . x x C. f  x 5 dx   C . D. f  x 1 5 dx   C ln 5 x 1 Lời giải Chọn C x
Từ công thức nguyên hàm x a a dx   C  . ln a 5x Ta có 5x dx   C  . ln 5
 Ví dụ 1.1.6 – Áp dụng tính chất – bảng nguyên hàm 1
Họ nguyên hàm của hàm số f x 2
 x 3x  là: x 1 x 3
A. F x  2x  3 C
B. F x 3 2 
 x  ln x  C . 2 x 3 2 x 3 x 3
C. F x 3 2 
 x  ln x C .
D. F x 3 2 
 x  ln x C 3 2 3 2 Lời giải Chọn B 3 2  1  x 3x Ta có 2 x  3x  dx    ln x    C .  x  3 2
 Ví dụ 1.1.7 – Áp dụng tính chất – bảng nguyên hàm
Họ nguyên hàm của hàm số f x 4  5x  2 là 1 A. 5
x  2x  C B. 5
x  2x  C
C. 10x C D. 5 x  2 5 Lời giải Chọn A Ta có: f
 xdx   4x   5 5
2 dx  x  2x  C .
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 6
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 1.2. Nguyên hàm đổi biến
1.2.1. Đổi biến loại 1 (Lượng giác hóa)
 Dấu hiệu để ta dùng phương pháp “Đổi biến loại 01”: Dấu hiệu Cách đặt 2 2 a  x
x  asint , với   t  2 2 2 2ax  x
x  a  asint , với   t  2 2 2 2 a  x
x  a tan t , với   t  2 2 2 2 x  a  a x với   t  và t  0 sin t 2 2 a  x a  x hoặc
x  acos2t , với 0  t  a  x a  x 2
xabx x a b a 2
   sin t , với 0  t  2
Khi đó ta có các bước giải như sau: Bước 1:
Đặt x  t với t có đạo hàm liên tục trên K , được chọn hợp lý. Bước 2:
Lấy vi phân của x theo biến số t , cụ thể là dx  tdt . Bước 3:
Thay cả x  t lẫn dx  tdt vào  f xdx được bài toán mới theo t . Bước 4:
Giải nguyên hàm mới f  t  
tdt được kết quả Ft theo t , sau đó thay
biểu thức x  t vào F t để tìm được nguyên hàm theo biến x .  Ví dụ 1.2.1
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 2  3  x 2 3 x x 1 x 2 3 x 1 x A. arcsin   C B. arcsin   C . 2 3 2 2 3 3 3 x 3 x x x  2
C. arcsin x   C . D. arcsin   C 2 2 2 3 2 Lời giải Chọn A Xét f x 2 dx  3    x dx * .  
Đặt x  3 sin t   t  
 thì dx  3 costdt và cost  0 .  2 2  Thay vào * : 3 1 2t 3 3 2 2   I  3  3 t 3 t t  3 t t  I  t  t  2t     cos sin cos d cos d d sin C 2 2 4 2   3  x 2 2x 3  x 2
x  3 sin t   t 
 cost  1 sin t   
 sin 2t  2sint cost  .  2 2  3 3 3 x x 1 x
Vậy I  f x 2 2 dx  3  x dx  arcsin     C . 2 3 2
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 7
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 1.2.2 1
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x  2 4  x x 3
A. 2arctan2x C B. arctan  C . 2 1 x
C. 2arcsin x C .
D. arctan  C 2 2 Lời giải Chọn D 1
Xét  f xdx   dx * . 2   4  x  
Đặt x  2 tan t   t    thì dx   2
2 1 tan t dt .  2 2  1 1 1
Thay vào * ta được I   2. 2
1 tan t dt  dt  t   C 2  4  4 tan t 2 2 2   3  x Ta có 2
x  3 sin t   t 
 cost  1 sin t     2 2  3 1 1 x Vậy I  f
 xdx 
dx  arctan  C  . 2 4  x 2 2  Ví dụ 1.2.3  x
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 2  . 2  x x 2 x 4  x A. 2
 arccos C B. 2arccos  C . 2 2 x x 3 C. 2 2
 arccos  4  x C . D. 2 2  arccos
 4  x  C 2 2 Lời giải Chọn C  x
Xét họ nguyên hàm I   f x 2 dx   d . x 2  x  
Đặt x  2 cos 2t 0  t    thì dx  4
 sin2tdt và sint  0;cost  0.  2  2 x 1 Ngoài ra, 2 2
sin 2t  1 cos 2t  1  4  x . 4 2 2  2cos 2t sin t Như vậy I     4   2 2 sin 2t dt  4 
sin 2tdt  8   sin tdt 2 2  2 cos 2t cos t    x I  cos t 2 1 2 dt  4
 t  2sin 2t C  2
 arccos  4  x C 2
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 8
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
1.2.2. Đổi biến loại 2
 Dấu hiệu để ta dùng phương pháp “Đổi biến loại 02”:  f txtxdx Dấu hiệu Cách đặt tx    dx
Biểu thức cần đặt t là mẫu thức t x t x tx
 f e txdx
Biểu thức cần đặt t là phần số mũ của e
 f txtxdx
Biểu thức cần đặt t là biểu thức chứa trong dấu ngoặc  n f
t x txdx
Đặt căn thức có trong dấu tích phân  dx x  dx f ln
Đặt biểu thức chứa ln x nếu có kèm theo x x
Khi đó ta có các bước giải như sau: Bước 1:
Đặt t  t x . (hoặc đặt t  at x  b tùy vào bài cụ thể). Bước 2:
Lấy vi phân của t theo x , cụ thể dt  txd . x Bước 3:
Thay cả t  t x lẫn dt  txdx vào  f t xtxdx . Bước 4:
Giải nguyên hàm mới  f tdt, được kết quả Ft theo t , sau đó thay
biến vào kết quả để tìm được nguyên hàm theo biến x.  Ví dụ 1.2.4 s in x
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x   1 3cos x 1 1
A.  ln 1 3cos x  C
B. 1 ln 1 3cos x  C . 3 3 1
C.   ln 3cos x  C .
D. 3ln 1 3cos x  C 3 Lời giải Chọn A x
Xét họ nguyên hàm I   f x x   sin d d . x 1 3cos x 1
Đặt t 13cos x thì dt  3
 sin xdx   dt  sin xd . x 3 1 dt 1 1 Như vậy I     t  C   1 3 x   ln ln cos . C 3 t 3 3 sin x 1 3  sin x 1 d 1 3cos x 1 Ta có dx   dx  
  ln 1 3cos x C    1 3cos x 3 1 3cos x 3 1 3cos x 3
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 9
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 1.2.5
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 1  . 1 x e A. x  ln1 x x e
 e  C B.  ln 1 x x
 e  C . 1 x  e  C. x  ln 1 x e
 e  C . D. x  ln    C 1 x   e  Lời giải Chọn B  x e  x e
Ta có I   f x 1 dx  dx   x x x x 1 d   x  d 1 e 1 e 1   x e x e Xét  d .
x Đặt  1 x t e thì d  x t e d . x 1 x e x e t Từ đó x   t  C  1 x e  C    d d ln ln ln 1 x e C x  . 1 e t
Vậy họ nguyên hàm của hàm số f x 1 
là   d   ln1 x f x x x  e  C 1 x e  Ví dụ 1.2.6 tan x e
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x   2 cos x A. x tan x x  e e C B. tan x x  e
C . C. 1tanx e C . D. tanx e C Lời giải Chọn D tan x e
Xét họ nguyên hàm I   d . x 2 cos x x
Đặt t  tan x ta có t  d d . Từ đó  t  t   x I e t e C e   tan d C. 2 cos x  Ví dụ 1.2.7
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x  xx  2018 1 .  2019 2019
x  2020 x  2019 1 1 x 1 x 1 A.   C B.   C . 2020 2019 2018 2020  2020 2019
x  2020 x  2020 1 1 2x 1 2x 1 C.   C . D.   C 2020 2020 2020 2019 Lời giải Chọn A
Xét họ nguyên hàm I  xx   2018 1 d . x t t
Đặt t  x 1 thì dt  d .
x Khi đó I  t  t dt  t  t  2020 2019 2018 2019 2018 1 dt      C. 2020 2019 2020 2019 x 1 x 1 Vậy f x     x     d C. 2020 2019
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 10
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 1.3. Nguyên hàm từng phần
 Kẻ bảng có dạng:
Tích phân có dạng udv , với u và v là 2 trong 4 loại log – đa – lượng - mũ.
Tính I  udv bằng cách kẻ bảng:
Bước 1: Chọn u đặt vào cột “Đạo hàm”.
Bước 2: Chọn dv đặt vào cột “Nguyên hàm”.
Bước 3: Tính theo tính chất từng cột.
Bước 4: Ta có kết quả I  udv  . u v   vdu.  Quy tắc:
● Trong đó ta chọn u theo qui tắc: Nhất – log; Nhì – đa; Tam – mũ; Tứ – lượng.
● Còn dv là phần còn lại trong dấu  .
● Dấu ở các mũi tên: mũi tên đầu tiên luôn luôn là dấu  và đan xen dấu cho nhau.  Ví dụ 1.2.1
Tìm họ nguyên hàm của hàm số       3 2 1 x f x x e 2  1 x x 2 x x e e 2  1 2 x x e e A.   C B.   C . 3 9 9 9    3x 3 2 1 2 x x e e 3x 3 2 2 x xe xe C.   C . D.   C 3 9 3 9 Lời giải Chọn C   u   2x 1 du 2dx  x x x  e e Đặt:  , ta có  . Do đó: f  x   3 3 2 1 2 dx    C . 3 1 d x  v  e x v   e 3 9  3  Ví dụ 1.2.2
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x  ln x
A. 2xln x  2x C B. 2
x ln x  x C . x
C. ln x  x  C .
D. xln x  x C 2 Lời giải Chọn D
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 11
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  1 u   ln x d  u  dx Đặt:  , ta có  x . Vậy: f
 xdx  xlnx dx  xlnxxC  . dv   dx v   x  Ví dụ 1.2.3
Tính I  x   1sin2 d x .
x Ta thu được kết quả là: 1 1
A.  x   1 cos2 x  sin2
x  C B. x   1 cos2 x  sin2
x  C . 2 4 x x C.  cos2 x  sin2
x  C . D. c x os2 x  s x in2 x C 2 4 Lời giải Chọn A du     dx u x 1  Đặt    1 dv  sin 2  d x x v    cosx  2
I  x   1 sin d
x x   x   1 1 cos x  cos d
x x   x   1 1 2 1 2 2 1 cos2 x  sin2 x    C . 2 2 2 4  Ví dụ 1.2.4 f x 1
Cho F x   là một nguyên hàm của
.Tìm nguyên hàm của hàm số 3 3x x
f 'xln x . 3 ln x x ln x 1 A.   C B.   C . 3 x ln x 3 x x ln x 1 ln x 1 C.   C . D.   C 3 x ln x 3 3 x 3x Lời giải Chọn D f x    1  1 1 Từ giả thiết, ta có
 Fx     
. Suy ra f x  . 3 4 x  3x  x 3 x  1 u    ln x d  u  dx Dễ tính f 
 xlnxdx , dùng tích phân từng phần với    x . dv   f  
xdx v  f  x  f 
 x x x  f x x f  x 1 ln d .ln . dx x 1 1 1    1 1 ln x 1 ln x 1 .ln x  . dx   .ln x  dx     C       C 3 3 x x x 3 4 3 3 3 3 x x x  3x  x 3x
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 12
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 1.4. Nguyên hàm hàm số hữu tỉ P x
Xét f x là hàm hữu tỉ có dạng f x    . Qx
1.4.1. Bậc tử ≥ Bậc mẫu 
 Chia đa thức được: M là thương, N là dư. P x   N
Khi đó:  f x  
dx    dx  M  . Qx   dx Q x    Ví dụ 1.4.1 x 
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 1  . x 1
A. x  3ln x  C
B. x  ln 2x 1  C .
C. x  2ln x 1  C .
D. 2x  ln x 1  C Lời giải Chọn C x  x    x  Ta có f x 1 1 1 1 1 2 2     1 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1  2  2 dx  1 dx  1dx 
dx  x  2ln x 1     C.   x 1  x 1  x 1  Ví dụ 1.4.2 x 
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 2 2 5  . x 1 A. 2
x  2x  3 ln x 1  C B. 2
x  3 ln x 1  C . C. 2
2  x  ln  x   1  C . D. 2
2x  ln  1 x  C Lời giải Chọn A x  Ta có f x 2 2 5 3   2x  2  . x 1 x 1 2 2x  5  3  3 2 dx  2x  2 
dx  2x dx  2dx 
dx  x  2x  3 ln x 1     C.    x 1  x 1  x 1  Ví dụ 1.4.3 2 x 1 Kết quả của dx  , ta thu được là: x 1 1
A. 2x  B. 2   C . x x 1 2 x
C. x  2ln x  C . D.
 ln x  C 2 Lời giải Chọn D 2 2 2 x 1  x 1   1  x Ta có: dx  
  dx  x dx  ln x C. x  x x   x  2
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 13
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
1.4.1. Bậc tử < Bậc mẫu
Ta có các trường hợp sau: P x Px   const P x
Loại 2.1. f x    trong đó  thì:  dx  dx ln ax b C Qx
Q x  ax   b Qx     ax  b a  Ví dụ 1.4.4
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 1  5x  2 x 1 x A.  5x  2   d ln C B.  5x  2   d ln C . 5x  2 5 5x  2 x 1 x C.   5x  2   d ln C . D.  5 5x  2   d ln C 5x  2 2 5x  2 Lời giải Chọn A x 1 x 1 Áp dụng công thức  ax  b   d ln
C a  0 ta được  5x  2   d ln C . ax  b a 5x  2 5  Ví dụ 1.4.5 e
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x  e  2x e
A.  ln e  2x  C
B. ln e  2x  C . 2
C. e ln e  2x  C .
D. 2e ln e  2x  C Lời giải Chọn A e 1 e dx  e
dx   ln e  2x  C   . e  2x e  2x 2  Ví dụ 1.4.6  1 
Tìm nguyên hàm của hàm số f x 1  trên   ;  . 1 2x  2  1 1
A. ln 2x 1  C
B. ln 1 2x  C . 2 2 1
C.  ln 2x 1  C .
D. ln 2x 1  C 2 Lời giải Chọn C Ta có f  x 1 1 dx 
dx   ln 2x 1  C  . 1 2x 2  1 
Ta thấy 2x 1  0 x    
;  nên 2x 1  2x   1  1 2x  2  1 1 Vậy f
 xdx   ln 2x1 C   ln12xC 2 2
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 14
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 P x Px   const
Loại 2.2. f x    trong đó 
có các trường hợp sau: Qx Q x 2
 ax  bx   c
2.2.1. Qx có  0 Nhận dạng:  Tử là hằng số.
 Mẫu có hai nghiệm phân biệt.  1 1   dx  dx     
dx với x  x 2
ax  bx  c
ax  x x  x a x  x  x  x x  x  2 1 1   2   2 1 2 1  Ví dụ 1.4.7 1 Tính   dx
x  2x  6 1 1 A. 2
ln x  8x 12  C
B. ln x  6x  2  C . 2 4 1
C. ln x  6  ln x  2  C .
D. ln x  6  ln x  2   C 4 Lời giải Chọn D 1 1  1 1  1 Ta có   dx   dx  
ln x6 ln x2    C
x  2x  6
6  2  x  6 x  2  4  Ví dụ 1.4.8 1
Tìm nguyên hàm của f x  2 x  3x  2 1 1 A. 2
ln x  3x  2  C
B. ln ln x  2  ln x 1  C . 2 2
C. ln x  2  ln x 1  C . D. 2
ln x  3x  2  C Lời giải Chọn C 1   Ta có f
 xdx  dx  1 1  
dx  ln x  2  ln x 1    C 2 x  3x  2
 x  2 x 1  Ví dụ 1.4.9 2
Biết F x là nguyên hàm của hàm số f x 
. Tìm F x 2 2x  5x  3 2 3 A.  1 ln x 
 ln x  3  C
B. ln ln x  2  ln x 1  C . 2  7 2
C. ln 2x 1  ln x  3  C . D. 2
2 ln x  5x  3  C Lời giải Chọn A 2 1 Ta có f
 xdx  dx  2 dx   2 2x  5x  3 2 1 x  x  2   3   1     1 1 1 2 1    dx   dx  
ln x   ln x  3   C 1     x  x  1 1 x x 3 7 2    2   3 3  2  2
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 15
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
2.2.2. Qx có  0  dx  dx      C . 2
ax  bx  c a a x  x  x x0 2  0  Nhận dạng:  Tử là hằng số.  Mẫu có nghiệm kép.  Ví dụ 1.4.10 1
Tìm nguyên hàm của hàm số f x  . 2 x  2x 1 1 3 1 1 1 A.  C B.   C . C.   C . D.   C x 1 2 x 1 x 2 1 x 1 Lời giải Chọn D
Thấy rằng x  x   x  2 2 2 1 1 1 1 1 Nên f
 xdx  dx  dx    C   2 x  2x 1 x 2 x 1 1  Ví dụ 1.4.11 1
Họ nguyên hàm của hàm số f x   là: 2 9x 12x  4 1 1  1  1 1 A.  C B.    C . C.   C . D.   C x 1 3  3x  2  x 2 1 x 1 Lời giải Chọn B Thấy rằng x 
x    x  2 2 9 12 4 3 2  1  1 1  1  Nên f
 xdx   dx   dx        C 2
 9x 12x  4  3x22 3  3x  2  1
2.2.3. Qx có  0  dx  dx    Lượng giác hóa. 2
ax  bx  c
a x  x 2 2  k 0  Ví dụ 1.4.12 1
Họ nguyên hàm của hàm số f x  là: 2 x  2x  2
A. arctanx   1  C
B. arctanx  C . C. 2
ln x  2  C . D. 2 tanx   1  C Lời giải Chọn A Thấy rằng 2
x  2x  2 có   2 2  4 1 . 2 .  4   0 1 1 1 Nên f
 xdx  dx  dx  dx    2 2 x  2x  2
x  2x 11 x 2 1 1 1
Đặt x 1  tant  dx 
dt  dx   2 1 tan t dt 2  cos t 1 1  dx     2
1 tan t dt  1dt  t  C  arctan x 1  C  2 2    x 1 1 tant 1
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 16
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 P x
Px  mx   n
Loại 2.3. f x    trong đó 
có các trường hợp sau: Qx Q x 2
 ax  bx   c
2.3.1. Qx có  0. Nhận dạng:
 Bậc tử  Bậc mẫu.
 Mẫu có hai nghiệm phân biệt. mx  n
C x  x  D x  x   1   2   1 C D Cách 1: I  dx  dx      dx 2
ax  bx  c
ax  x x  x
a  x  x x  x  1   2  2 1  Cách 2: mx  n mx  n Xét I  dx  dx   2
ax  bx  c
ax  x x  x 1   2  mx  n mx  n 1 Khi đó ta có: I  dx  dx 
X  ln x  x  Y  ln x  x C   . 2
ax  bx  c
ax  x x  x a 1   2   1 2 
  1 1  m   he sotruoc x X  ?
Đến đây ta chỉ cần tìm X&Y bằng cách giải hệ:      x x n   he sotudo Y   ? 2 1 
 Lưu ý: (1) Cách lấy các “hệ số” bỏ vào hệ ta lấy theo thứ tự từ PHẢI qua TRÁI.
(2) Với tử là hằng số, ta vẫn có thể áp dụng được cách này.
(Áp dụng được cho 2.2.1) 1
Ví dụ: I  dx 
ta xem hệ số m  0 & n 1. 2
ax  bx  c
(3) Khuyết vị trí nào thì xem hệ số đó  0 . n
Ví dụ: I  dx 
khuyết "mx" nên hệ số m  0 . 2
ax  bx  c
(4) Chú ý hệ số a, bài đơn giản thường thấy a 1, bài ít thấy a 1.  Ví dụ 1.4.13 4x 11
Họ nguyên hàm của hàm số f x  . là: 2 x  5x  6
A. 3ln x  2  ln x  3   C
B. ln x  2  ln x  3  C .
C. 3ln x  2  ln x  3   C .
D. ln x  2  ln x  3  C Lời giải Chọn A A  B  A 
Ta có 4x 11  Ax  
3  Bx  2  A  B x  3A  4 3 2B     3A  2B  11 B  1   4x 11 3 3 Do dó   . 2 x  5x  6 x  2 x  3 4x 11  3 3  Vậy dx    
dx  3 ln x  2  ln x  3  C . 2   x  5x  6
 x  2 x  3 
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 17
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 1.4.14 1 x  b Tính dx  a ln  C 
với a; b . Tính S  a  b. 2 x  3x  2 x 1
A. S  3 B. S  1 
C. S  0
D. S  3 Lời giải Chọn A 1 1 Ta có dx 
dx  X  ln x 1  Y  ln x  2  C   2 x  3x  2
x2x 1
1 1 0  he socuax X  1 
Khi đó ta tìm X&Y bằng cách giải hệ:         Y  1 2 1 1  he so tudo      f  x 1 x 2 a 1 dx  dx  1
 ln x 1 1ln x  2  C  ln  C    . 2 x  3x  2 x 1 b  2  Ví dụ 1.4.15 x 1  1  Biết rằng dx  a 
bln x  2  c ln x    C với a; b; c là các số hữu tỉ và là 2 2x  x  2 2  
phân số tối giản. Khi đó a  b  c : 1 19 3 2 A. S  B. S  C. S 
D. S   10 10 2 5 Lời giải Chọn B x 1 x 1 1 x 1 Ta có dx  dx  dx    2 2x  x  2  1  2  
2 x  x  2 1
 x  x  2  2   2  x 1 1 Xét
dx  X  ln x 
 Y ln x  2  C   1 
 x  x  2 2  2   1 1 1   he socua x  1 X    
Khi đó ta tìm X&Y bằng cách giải hệ: 5   1       6 2 1 he sotudo Y    2  5 x 1 1 1 6 
dx    ln x 
 ln x  2  C   1 
 x  x  2 5 2 5  2   1 a   2  x 1 1  1 1 6   6 9 1 Vậy dx  
  ln x   ln x  2   C  b   S  . 2 2x  x  2 2 5 2 5 5 0 1     1 c   5
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 18
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  
t  x  x  x  t  x 2.3.2. mx n mx n
Qx có  0  dx  dx    Đặt 0 0  . 2
ax  bx  c
ax  x 2  dt dx 0 Nhận dạng:
 Bậc tử  Bậc mẫu.  Mẫu có nghiệm kép.  Ví dụ 1.4.16 x 1 Tính dx 
ta được kết quả nào dưới đây: 2 x  4x  4 1
A. ln x  2   C
B. ln x  2  x  C x  2 1
C. ln x  2  2x  C D. ln x 1   C x 1 Lời giải Chọn A x 1 x 1 d  u  dx
Thấy x  x   x  2 2 4 4 2 , nên dx  dx  
, đặt u  x  2   2 x  4x  4 x22 x  u  2 x 1 u 21 u 1  1 1  1           dx du du    du ln u C x  22 u2 2 2 u  u u  u x 1 1 
dx  ln x  2   C  . 2 x  4x  4 x  2  Ví dụ 1.4.17 2 x 1 Tính dx 
ta được kết quả nào dưới đây: 2 x  4x  4 x 3
A. 4ln x  2   C
B. 4ln x  2   x C x  2 x  2
C. 4ln x  2  C
D. ln x  4  x  C Lời giải Chọn B
 2x 4x4 2  4x 5 x 1 4x  5 dx   dx  1dx  dx    2 x  4x  4 2 2 x  4x  4 x  4x  4 I J
Xét 1dx  x  C  4x  5 Xét dx  2 x  4x  4 4x  5 4x  5 d  u  dx
Thấy x  x   x  2 2 4 4 2 , nên dx  dx  
, đặt u  x  2   2 x  4x  4 x22 x  u  2 4x  5 4 u  2  5 4u  3  4 3  3           dx du du    du ln u C . x  2 4 2 u2 2 2 u  u u  u 2 x 1 3 
dx  I  J  4 ln x  2   x  C  2 x  4x  4 x  2
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 19
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
2.3.3. Qx có  0    2
ax  bx  c   2 ax  bx   c mx n   dx  dx  dx      dx . 2 2 2 2
ax  bx  c
ax  bx  c
ax  bx  c
ax  bx  c H K   2
ax  bx  c  Tính H  x   d Đặt 2
t  ax  bx  c  dt   2
ax  bx  c dx. 2
ax  bx  c Tính K  x   d Lượng giác hóa. 2
ax  bx  c  Ví dụ 1.4.18 25x  7 Tính J  dx 
ta được kết quả nào dưới đây: 2 x  2x  7 25 32  x 1 A. ln  2
x  2x  7  arctan    C 2 6  6  1 1  x  B. ln  2
x  2x  7  arctan    C 2 6  6  2
 x  2x  7   x 1 C. ln    arctan    C 2    2   x 1 D. ln  2
x  2x  7  arctan    C  x  Lời giải Chọn A 25 2x 232 25x  7
25 2x  2dx dx Đặt 2 J  dx  dx  dx  32     2 2 2 2 x  2x  7 x  2x  7 2 x  2x  7 x  2x  7 I I 1 2 2x2dx Xét I  dx  , đặt 2
t  x  2x  7  dt  2x  2dx 1 2 x  2x  7 dt 2  I 
 ln t C  ln x  2x  7 C  ln 2
x  2x  7  C  2
do x  2x  7  0 x    1  t dx dx Xét I    
, đặt u  x 1 du  dx 2 2 x  x  x 2 2 7 1  6 1 1  u  1  x 1  I  du  arctan     C  arctan    C 2 2 u  6 6  6  6  6  25x  7 25 32  x 1 Vậy J  dx  ln 
 2x 2x7  arctan   C 2  x  2x  7 2 6  6 
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 20
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Tổng kết phương pháp tính nguyên hàm hàm số hữu tỉ P x
Xét f x là hàm hữu tỉ có dạng f x    . Qx
 Trường hợp 1: Bậc tử ≥ Bậc mẫu 
 Chia đa thức được: M là thương, N là dư. P x   N
Khi đó:  f x  
dx    dx  M  . Qx   dx Q x  
 Trường hợp 2: Bậc tử < Bậc mẫu Ta có các loại sau: P x Px   const P x
Loại 2.1. f x    trong đó  thì:  dx  dx ln ax b C Qx
Q x  ax   b Qx     ax  b a P x Px   const
Loại 2.2. f x    trong đó 
có các trường hợp sau: Qx Q x 2
 ax  bx   c
2.2.1. Qx có  0 Nhận dạng:  Tử là hằng số.
 Mẫu có hai nghiệm phân biệt.  1 1   dx  dx     
dx với x  x 2
ax  bx  c
ax  x x  x a x  x  x  x x  x  2 1 1   2   2 1 2 1
2.2.2. Qx có  0  dx  dx      C . 2
ax  bx  c a a x  x  x x0 2  0  Nhận dạng:  Tử là hằng số.  Mẫu có nghiệm kép. 1
2.2.3. Qx có  0  dx  dx    Lượng giác hóa. 2
ax  bx  c
a x  x 2 2  k 0 Nhận dạng:  Tử là hằng số.  Mẫu vô nghiệm. P x
Px  mx   n
Loại 2.3. f x    trong đó 
có các trường hợp sau: Qx Q x 2
 ax  bx   c
2.3.1. Qx có  0. Nhận dạng:
 Bậc tử  Bậc mẫu.
 Mẫu có hai nghiệm phân biệt. mx  n
C x  x  D x  x   1   2   1 C D Cách 1: I  dx  dx      dx 2
ax  bx  c
ax  x x  x
a  x  x x  x  1   2  2 1    mx n mx n
Cách 2: Xét I  dx  dx   2
ax  bx  c
ax  x x  x 1   2  mx  n mx  n 1 Khi đó ta có: I  dx  dx 
X ln x  x  Y  ln x  x C   . 2
ax  bx  c
ax  x x  x a 1   2   1 2 

 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 21
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  1 1  m   he sotruoc x X  ?
Đến đây ta chỉ cần tìm X&Y bằng cách giải hệ:      x x n   he sotudo Y   ? 2 1 
 Lưu ý: (1) Cách lấy các “hệ số” bỏ vào hệ ta lấy theo thứ tự từ PHẢI qua TRÁI.
(2) Với tử là hằng số, ta vẫn có thể áp dụng được cách này.
(Áp dụng được cho 2.2.1) 1
Ví dụ: I  dx 
ta xem hệ số m  0 & n 1. 2
ax  bx  c
(3) Khuyết vị trí nào thì xem hệ số đó  0 . n
Ví dụ: I  dx 
khuyết "mx" nên hệ số m  0 . 2
ax  bx  c
(4) Chú ý hệ số a, bài đơn giản thường thấy a 1, bài ít thấy a 1.  
t  x  x  x  t  x 2.3.2. mx n mx n
Qx có  0  dx  dx    Đặt 0 0  . 2
ax  bx  c
ax  x 2  dt dx 0 Nhận dạng:
 Bậc tử  Bậc mẫu.  Mẫu có nghiệm kép.
2.3.3. Qx có  0 Nhận dạng:
 Bậc tử  Bậc mẫu.  Mẫu có nghiệm kép.    2
ax  bx  c   2 ax  bx   c mx n   dx  dx  dx      dx . 2 2 2 2
ax  bx  c
ax  bx  c
ax  bx  c
ax  bx  c H K   2
ax  bx  c  Tính H  x   d Đặt 2
t  ax  bx  c  dt   2
ax  bx  c dx. 2
ax  bx  c Tính K  x   d Lượng giác hóa. 2
ax  bx  c
 Chú ý: Một vài cách tách phân thức cần nhớ: ① 1 A B    x  x x  x x  x x  x 1   2  1 2 ② 1 A Bx  C  với 2
 b  4ac  0 x  m   2
ax  bx  c 2 x  m
ax  bx  c ③ 1  A  B  C  D   2  2 xa  2 x    b x a x b x a xb2
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 22
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 1.5. Nguyên hàm hàm số vô tỉ
Xét f x là hàm vô tỉ có dạng f x  Px Qx  f
 xdx  P
 x Qxdx .
Thông thường ở dạng hàm vô tỉ ta sẽ dùng phương pháp đổi biến. 
Và ta nhẩm được Qx  P x. Khi đó:
Bước 1: Đặt t  Qx .
Bước 2: Tính vi phân dt :
Nhưng để vi phận thuận tiện, ta bình phương hai vế 2
t  Qx . 
2t dt  Qxdx  2t dt  Pxdx Px
Bước 3: Khi đó f  x 2
dx  t  2t dt  2t dt  ...    Ví dụ 1.5.1
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 4 2  x 1 x  2  x 2 4 2 2 1 1 x  x 2 2 2 1 A.   C B.  C . 5 5  2  x  4 2 1 1 x 4 2 1 x C.  C . D.  C 5 5 Lời giải Chọn A Đặt 4 2 4 2 3 3
t  1 x  t  1 x  4t dt  2  d
x x  2t dt   d x x . 2 1 x 1 2  x t 4 2 3  22 4 2 5
Khi đó x 1 x dx   t 2 . t dt    C      C . 5 5  Ví dụ 1.5.2
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 3
 sin x 1 cos x 5   7 5   1 cos x 2 1 cos x 1 cos x 2 1 cos x A. 2   C 2      B. C . 2 5      7 5   7 5   5 2
C. 2 1 cos x  2 1 cos x   C .
D. 1 cos x  2 1 cos x  C   Lời giải Chọn B Đặt 2
u  1 cos x  u 1 cos x  2 d u u  sin d x x . Khi đó 2 sin . x sin x  cos d x x    2 1
1 cos x.sin x 1 cos d x x    u   2 2    1 1 u 2    . d u u 7 5      u u   cos x   cos x u
2u 2u du  2u  2u  7 5 2 1 2 1 4 2 2 6 4 du  2    C  2   C 7 5  7 5     
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 23
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 1.6. Nguyên hàm hàm số lượng giác ① 2 2 sin  cos 1 ② 1 2 1 tan  ,   k 2 01 cos 2
Công thức cơ bản ③ 1 2 1 cot  ,  k 2 sin ④ k tan .cot 1,  2
① sinab  sin c a osb  sin c b os a 02
② cos a  b 
Công thức cộng 
 cos caosb sinasinb ③ a  b
ab  tan tan tan 1 tan a tan b ① sin2  2sin cos ② 2 2 cos 2  cos  sin 2 2  2cos 11 2sin
03 Công thức nhân đôi     k ③ 2 tan  4 2 tan 2  ,  2 1 tan     k  2 ① 1 2 2  cos sin 2 04 1 2
Công thức hạ bậc ② 2  cos cos 2 ③ 1 cos2 2 tan  ,   k 1 cos2 2 ① 1 cos c a os b 
cosa bcosa   b 2 ② 1
sin asin b  cosa  b  cosa   b 05  2
Công thức tích thành tổng ③ 1
sin acos b  sina  b  sina   b 2 ④ 1
cos asin b  sina  b  sina   b 2  Ví dụ 1.6.1 Tìm nguyên hàm 3x 5 sin cos d x x 1 1 A. 
cos8x  cos 2x  C
B. 2cos8x  2cos 2x  C . 16 4 1
C. 2cos8x  2cos 2x  C . D. 
cos10x  C 16 Lời giải Chọn A 1 sin c x os d x x 
sin xsin x 1 1 3 5 8 2 dx  
cos8x  cos 2x    C . 2 16 4
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 24
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 1.6.2 1 Tìm nguyên hàm  dx 4 2
4cos x  4cos x 1 cot x A. 2 2
sin x  2sin x  C B.  C . 2 tan 2x C. 2 2
cos x  2cos x  C . D. C 2 Lời giải Chọn D 1 1 1 2    x x x x     tan d d d C . 4 2
4cos x  4cos x 1  2 2cos x   2 1 cos 2x 2  Ví dụ 1.6.3 cos x 
Tìm nguyên hàm của hàm số f x 2  . 1 cos x A. 2
sin x  3tan x C B. 2
x  3tan x C . x x 3x
C. x  3tan  C . D.  tan  C 2 2 2 Lời giải Chọn C   cos x  2  3   3  x Ta có: dx   1 dx  1
dx  x  3tan  C . 1 cos x 1 cos x 2 x 2    2  cos   2   Ví dụ 1.6.4 Tính nguyên hàm 2 cot d x x .
A. 2cot x C
B. cot x  x C . x
C. x  cot x C .
D.  cot x  C 2 Lời giải Chọn B Ta có: 2 cot xdx   2
cot x   dx   2 1 1 cot x  
1 dx  1dx   cot x  x      C  Ví dụ 1.6.5 2  
Biết F x là một nguyên hàm của f x  2x  3cos x và F   
. Tính F x .  2  4 A. 2  3 B. 2  . C. 2 . D. 2 Lời giải Chọn A
Ta có F x  2x 3cosxdx 2
 x 3sinx C 2 2 2  
Theo giả thiết ta có F    3  C   C  3   .  2  4 4 4 Vậy F x 2
 x  sin x   F  2 3 3   3 .
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 25
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 1.7. Nguyên hàm có điều kiện Bài toán 01:
Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f x  .... Tính F x biết F a  b .
Bước 1: Dùng các phương pháp tính nguyên hàm để tìm được F  ; x C .
Bước 2: Xử lý F a  b bằng cách thay vào F ;
x C . Ta được F  ;
a C  b  C  ?
Bước 3: Khi đó ta được F x có cụ thể hằng số C .  Ví dụ 1.7.1  
Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x  sin x  cos x thoả mãn F  2   .  2 
A. F x  cos x  sin x  3
B. F x  cos x  sin x 1.
C. F x  cos x  sin x 1.
D. F x  cos x  sin x  3 Lời giải Chọn C
Có F x  f xdx  sin x  cos xdx  cos x  sin x    C   Do F
  cos  sin  C  2  1 C  2  C 1  
 Fx  cosx  sinx 1.  2  2 2  Ví dụ 1.7.2
Cho F x là một nguyên hàm của   x
f x  e  2x thỏa mãn F   3 0 
. Tìm F x 2 1 5
A. F x x 2
 e  x 
B. F x x 2
 e  x  . 2 2 3 1
C. F x x 2
 e  x  .
D. F x x 2
 2e  x  2 2 Lời giải Chọn A
Ta có F x   x e  x x 2 2
dx  e  x  C 3 1 1
Theo bài ra ta có: F 0 1 C   C   F x x 2
 e  x  . 2 2 2  Ví dụ 1.7.3
Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số     e x f x x
. Tính F x biết F 0 1. A.    1     e x F x x  2 B.    1    e x F x x 1. C.    1    e x F x x  2 . D.    1     e x F x x 1 Lời giải Chọn A u  x du  dx Đặt    . x  dv   e dx v    e x Do đó x x  e d   e   e x x x x dx x    e  e x x C  F ; x C . F   0 1 0
 e C 1 C  2 . Vậy    1     e x F x x  2 .
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 26
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 Bài toán 02:
Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f x  .... Tính F c biết F a  b .
Bước 1: Dùng các phương pháp tính nguyên hàm để tìm được F  ; x C .
Bước 2: Xử lý F a  b bằng cách thay vào F ;
x C . Ta được F  ;
a C  b  C  ?
Bước 3: Khi đó ta được F x có cụ thể hằng số C và tính F c .
Bên cạnh đó, ta có thể dùng cách “Tích phân” để xử lý bài toán:
Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f x  .... Tính F c biết F a  b . Lời giải
Ta có: F x  f  xdx c c
Xét a  c , khi đó: f
 xdx  Fx c  F c F a  F c  f x x F a  a        d   a a  Ví dụ 1.7.4
Biết F x là một nguyên hàm của   2  x f x
e và F 0  0. Giá trị của F ln3 bằng
A. F ln3  2
B. F ln3  6 . C. F ln3  8 . D. F ln3  4 Lời giải Chọn D   1 1 1 1 2x 2   x 
0  0      2  x F x e x e C F C F x e   d ; . 2 2 2 2 1 1 Khi đó F ln3 2ln3  e   4 . 2 2  Ví dụ 1.7.5   2  
Biết F x là một nguyên hàm của hàm f x  cos3x và F    . Tính F   .  2  3  9  3  2 3  2  3  2 3  6 A. B. . C. . D. 6 6 6 6 Lời giải Chọn C 2   cos d x x  F 
F  F  2  cos d x x  F   3 2 2 3 3     . 2 9 9 2 6 3 9 9     Vậy F   3 2 2 3 2    . 9 6 3 6
----------Hết----------
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 27
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. LÝ THUYẾT CHUNG. 1. Định nghĩa:
 Cho hàm số f x xác định và liên tục trên đoạn a;b 
 và F x là một nguyên
hàm của f x trên đoạn a;b   .
Khi đó hiệu số F b  F a được gọi là tích phân từ a b. b      b f x x F x
 F b   d
F a . a a
2. Ý nghĩa hình học: b
 Nếu hàm số f x liên tục và không âm trên đoạn a;b 
 thì tích phân  f xdx a
là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f x , trục Ox
và hai đường thẳng x  a; x  b. b
Vậy diện tích hình thang cong: S   f xdx . a 3. Tính chất. a 1
 f xdx  0 (Tích phân có hai cận giống nhau thì bằng 0). a b b 2
f xdx   
 f xdx (Tích phân đảo cận thêm dấu trừ). a a b b 3
. f xdx  
 f xdx với  . a a b b b 4 
 f x gxdx   f xdx  
gxdx. a a a b c b 5
Trong đoạn a; b 
 , tồn tại c a;b 
 thì f xdx  f xdx   
 f xdx . a a c a a 6
Nếu f x là hàm chẵn  f x  f x thì  f xdx  2 f xdx . a 0 a 7
Nếu f x là hàm lẻ  f x   f x thì  f xdx  0 . a
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 28
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 B. CÁC DẠNG BÀI TẬP.
 Dạng 2.1. Tích phân áp dụng tính chất & bảng nguyên hàm cơ bản
 Áp dụng định nghĩa, tính chất và bảng công thức nguyên hàm cơ bản. a 1
 f xdx  0 (Tích phân có hai cận giống nhau thì bằng 0). a b b 2
f xdx   
 f xdx (Tích phân đảo cận thêm dấu trừ). a a b b 3
. f xdx  
 f xdx với  . a a b b b 4 
 f x gxdx   f xdx  
gxdx. a a a b c b 5
Trong đoạn a; b 
 , tồn tại c a;b 
 thì f xdx  f xdx   
 f xdx . a a c a a 6
Nếu f x là hàm chẵn  f x  f x thì  f xdx  2 f xdx . a 0 a 7
Nếu f x là hàm lẻ  f x   f x thì  f xdx  0 . a  Ví dụ 2.1.1
Khẳng định nào sau đây sai? 3 3 3 2 3 A. 2 f
 xdx  2 f
 xdx B. f
 xdx  f
 xdx f  xdx . 1 1 1 1 2 2 2 2 2 C. f
 xdx   f
 xdx. D. f
 xdx  f
 udu 1 1 1 1 Lời giải Chọn C 2 1 2 2 Ta có: f
 xdx   f
 xdx nên f
 xdx   f
 xdx sai. 1 2 1 1  Ví dụ 2.1.2 2 2 2
Biết  f xdx  2 và  gxdx  6 , khi đó   f x 
g xdx bằng 1 1 1 A. 8 B. 4  . C. 4 . D. 8  Lời giải Chọn B 2 2 2 Ta có: 
 f x gxdx   f xdxgxdx  26  4    . 1 1 1  Ví dụ 2.1.3 2 4 4
Cho  f xdx 1, f t t  4   d
. Tính  f ydy 2  2  2
A. I  5 B. I  3  .
C. I  3. D. I  5  Lời giải Chọn D
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 29
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 4 4 4 4 Ta có:
f tdt  
 f xdx, f ydy  
 f xdx . 2  2  2 2 2 4 4 Khi đó:
f xdx  f xdx   
 f xdx. 2  2 2  4 4  f x 4 dx  f x 2 dx 
f xdx  4  1  5    
. Vậy f y y  5   d . 2 2  2  2  Ví dụ 2.1.4
Cho hàm số f x liên tục, có đạo hàm trên  1
 ; 2 , f  
1  8; f 2  1    . Tích phân 2 f 
 xdx bằng 1  A. 1. B. 7.. C. 9  .. D. 9. Lời giải Chọn C 2 2 Ta có
f xdx  f x  f 2  f   1  1  8  9   ' . 1  1   Ví dụ 2.1.5 3
Cho f , g là hai hàm liên tục trên đoạn 1  ;3   thoả 
 f x3gxdx 10  , 1 3 3 2
 f x gxdx  6  . Tính   f x 
g xdx . 1 1 A. 7 B. 6 C. 8 D. 9 Lời giải Chọn B 3 
 f x3gx 3  dx 10    f x 3
dx  3 gxdx 10   1 . 1 1 1 3 2
 f x gx 3 dx  6  2   f x 3
dx   gxdx  6 2 . 1 1 1 3 3
Đặt X   f xdx , Y   gxdx . 1 1
X  3Y 10 X  4 Từ  
1 và 2 ta có hệ phương trình:    . 2X  Y  6 Y  2   3 3 3
Do đó ta được:  f xdx  4 và  gxdx  2. Vậy 
 f x gxdx  42  6  . 1 1 1
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 30
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 2.2. Tích phân từng phần
 Kẻ bảng có dạng:
Tích phân có dạng udv , với u và v là 2 trong 4 loại log – đa – lượng - mũ.
Tính I  udv bằng cách kẻ bảng:
Bước 1: Chọn u đặt vào cột “Đạo hàm”.
Bước 2: Chọn dv đặt vào cột “Nguyên hàm”.
Bước 3: Tính theo tính chất từng cột.
Bước 4: Ta có kết quả I  udv  . u v   vdu.  Quy tắc:
● Trong đó ta chọn u theo qui tắc: Nhất – log; Nhì – đa; Tam – mũ; Tứ – lượng.
● Còn dv là phần còn lại trong dấu  .
● Dấu ở các mũi tên: mũi tên đầu tiên luôn luôn là dấu  và đan xen dấu cho nhau.  Ví dụ 2.2.1 e
Tính tích phân I   xln xdx 1 2 1 1 2  2 2 1 A.  e I B. I  . C.  e I . D.  e I 4 2 2 4 Lời giải Chọn D  1 du  dx e e u   ln x  2 e 2 2 e 2 2 2 x 1 x e 1 e x e 1 Đặt x     I  ln x  . dx   d x x      . 2 dv   xdx  x 2 x 2 2 2 2 4 4 v  0 0  0 0  2  Ví dụ 2.2.2 1
Biết rằng tích phân  2 +  1 ex I x dx = a + . b e    a ;b  , tích a.b bằng 0 A. 15  B. 1. C. 1. D. 20 Lời giải Chọn D
u  2x 1 du  2dx 1 1 1 a = 1 Đặt   
 I  2x + 
1 ex  2 exdx = 
2x 1ex =1+e   . dv   exdx v   ex 0 0 b = 1 0 Vậy tích a.b =1.
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 31
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 2.2.3 1 1
Cho hàm số f x thỏa mãn x  
1 f xdx  10 và 2 f  
1  f 0  2. Tính  f xdx . 0 0
A. I  1 B. I  8  C. I  12 
D. I  8 Lời giải Chọn B u  x 1 du    dx 1 1 Đặt 
. Khi đó I  x  
1 f x   f xdx . dv   f x    dx v    f x 0 0 1 1 1
Suy ra 10  2 f  
1  f 0  f xdx  f xdx  1  0  2  8   
. Vậy f x x  8   d . 0 0 0  Ví dụ 2.2.4 1 1
Biết x cos 2xdx  
asin2bcos2c với a,b,c . Khẳng định nào sau đây đúng ? 4 0
A. a  b  c 1
B. a b  c  0.
C. 2a  b  c  1 
D. a  2b  c 1 Lời giải Chọn B   1 du dx u   x 
Đặt I  x cos 2 d x x  Đặt    1 . dv   cos2 d x x v   sin 2x 0  2 1 1 1 1 1  1 1 1 I  x sin 2x  sin 2 d x x 
 sin 2  cos2x  2sin2 cos2 
1  a  b  c  0 . 2 2 2 4 4 0 0 0  Ví dụ 2.2.5 a
Tích phân I  3x  2 2 2 cos x dx 
 b với a,b . Tính S  ab 4 0
A. S 1 B. S  4
C. S  5
D. S 10 Lời giải Chọn B 1 1   1 I 
3x 21cos2xdx  3x2dx 3x2cos2xdx  I  I . 1 2  2 2   2 0 0 0   3  3 I  3x  2 dx   2 2  x  2x   2  . 1    2  2 0 0 d  u  3dx u   3x  2  I 
3x  2 cos 2x dx  . Đặt    . 2   1 d
 v  cos 2xdx v  sin 2x 0  2 1 3 3 Khi đó I 
3x  2 sin 2x  sin 2xdx 
 0  cos2x  0 . 2   2 2 4 0 0 0 1  3  3 Vậy 2 2 I   2     . 2  2  4
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 32
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 2.3. Tích phân đổi biến loại 1 b
Tính tích phân J   x. xdx a f x
Bước 1: Đặt t  x, trong đó x là hàm số mà ta nhẩm được x.dx .
x  a  t   a
Bước 2: Tính vi phân dt  'xdx và đổi cận  .
x  b  t   b
Bước 3: Biểu thị f xdx theo t và dt . b b 
Bước 4: Khi đó J   x. xdx  f  tdt . a f x a ① Nếu 2 2
a  x đặt x  asint hoặc x  a cost ② a a Nếu 2 2
x  a đặt x  hoặc x  sin t cos t ③ a  x a  x Nếu hoặc
thì đặt x  acos2t a  x a  x
④ Nếu x  ab x,a  b đặt x a b a 2    sin t ⑤ Nếu 2 2
x  a đặt x  a tan t hoặc x  a cost  Ví dụ 2.3.1 1 2 x   Tính tích phân I  dx 
bằng cách đặt x  2sint , t   ;   2   2 2  0 4 x 3 3 A. B.  . C.  . D. 6 3 2 3 2 3 Lời giải Chọn B  
Đặt x  2 sin t; t   ;
 dx  2cost dt   .  2 2 
x  0  t  0  Đổi cận :  .
x  1  t   6 6 2 6 6 8sin t cost 3 2 I 
dt  4sin t dt  2  
 1cos2tdt  2t sin2t 6   . 2 0 3 2  0 4 4 sin t 0 0  Ví dụ 2.3.2 3 2   Tính tích phân 2 2 x 1 x dx 
bằng cách đặt x  2sint , t   ;    2 2  2 2 1  3  3 1  3  A.    B. . C.  . D.    8  12 8      12 12 8 8 12 8   Lời giải
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 33
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 Chọn D    2 x   t  
Đặt x  sin t; t   ;  dx  cos d t t   . Đổi cận: 2 4   2 2   3 x   t   2 3 3 2 2
I  sin t 1 sin t cos d t t  4 3 3 3 1 1 3 1  1  1  3  2 2 2  sin t cos d t t  sin 2 d t t   
 1cos4tdt  t  sin4t      . 4 8 8 4 8  12 8      4 4 4 4  Ví dụ 2.3.3 2 Khi tính 2 I  4  x dx 
, bằng phép đặt x  2sint thì được 0 2 2 2 2 A. 2
 1cos2tdt B. cos2tdt  . C. 2 4 cos t dt  . D. 2 2 cos t dt  0 0 0 0 Lời giải Chọn A
Đặt x  2sint  dx  2cos d t t
Đổi cận: x  0  t  0 ; x  2  t  2 2 2 Khi đó 2 2 I  4  4 sin t.2cos d t t  4cos d t t   . 0 0  Ví dụ 2.3.4 3 a a Giá trị của 2 9  x dx  
trong đó a, b  và là phân số tối giản. Tính giá trị b b 0
của biểu thức T  ab .
A. T  35 B. T  24 .
C. T  12 .
D. T  36 Lời giải Chọn D
x  0  t  0 
Đặt x  3sint  dx  3cos d t t . Đổi cận:  .
x  3  t   2 2  I  9  
3sint2 3.costdt 0 2 2 1 cos 2t 2 9 9  1  9 2  2 9 cos d t t  9. dt  
 1cos2tdt  t  sin2t    2 2 2  2  4 0 0 0 0
Vậy T  9.4  36 .
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 34
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 2.4. Tích phân đổi biến loại 2 b
Tính tích phân J   x. xdx a f x
Bước 1: Đặt t  x, trong đó x là hàm số mà ta nhẩm được x.dx .
x  a  t   a
Bước 2: Tính vi phân dt  'xdx và đổi cận  .
x  b  t   b
Bước 3: Biểu thị f xdx theo t và dt . b b 
Bước 4: Khi đó J   x. xdx  f  tdt . a f x a  Ví dụ 2.4.1 21 dx Cho
 aln3 bln5  c ln 7 
, với a,b,c là các số hữu tỉ. Tính S  a  b  c .  5 x x 4 1 1 3 1 A.  B. . C.  . D. 2 2 2 4 Lời giải Chọn A
x  5  t  3
Đặt t  x  4  2t dt  dx . Với  ;
x  21 t  5 21 dx 5 dt 1 Ta có   2
 ln t 2 ln t  1 1 1
2  5  ln3 ln5  ln7 . 2 t  4 3 2 2 2 2 5 x x  4 3 1 1 1 1
Khi đó a  ; b  ; c    S  a  b  c   2 2 2 2  Ví dụ 2.4.2 2 Tính 2
I  2x x 1dx  bằng cách đặt 2
u  x 1, mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 3 2 1 3 2 A. I  u du  B. I  u du  . C. I  2 u du  . D. I  u du  2 0 1 0 1 Lời giải Chọn A 3 Đặt 2
u  x 1 du  2 d
x x . Đổi cận x 1 u  0 ; x  2  u  3. Nên I  u du  0  Ví dụ 2.4.3 e ln x Biết
dx  a  b 2 
với a,b là các số hữu tỷ. Tính S  a  b.  1 x 1 ln x 1 3 2
A. S 1 B. S  . C. S  . D. S  2 4 3 Lời giải Chọn D
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 35
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 dx
x 1 t 1 Đặt 2
1 ln x  t  ln x  t 1
 2tdt . Đổi cận  x
x  e  t  2 e ln t x   2 2 2 2 3 1  t  4 2 Vậy dx  2 d t t  2  
  2t  1dt  2 t   2 x 1 x t 3 3 3   1 ln 1 1 1 4 2 2
Suy ra a  ; b    S  a  b  3 3 3  Ví dụ 2.4.4 2 2 Xét tích phân  .ex I x dx 
. Sử dụng phương pháp đổi biến số với 2
u  x , tích phân I 1
được biến đổi thành dạng nào sau đây: 2 2 1 2 1 2 A.  2 eu I du  B.  eu I du  . C.  eu I du  . D.  2 eu I du  2 2 1 1 1 1 Lời giải Chọn C Đặt 2
u  x  du  1 2 d x x  d
x x  du . Với x 1 u 1 và x  2  u  2 . 2 2 1 Khi đó  eu I du  . 2 1  Ví dụ 2.4.5 4 2 1 x f x
Cho hàm số f x liên tục trên và các tích phân f
 tanxdx  4 và dx  2  2x 1 0 0 1
, tính tích phân I  f  xdx. 0 A. 2 B. 6 . C. 3 . D. 1 Lời giải Chọn B 4 4 f tan x Xét I  f  tanx   dx    2 1 tan x dx . 2  1 tan x 0 0
x  0  u  0 
Đặt u  tan x  du   2
1 tan xdx . Khi  .
x   u 1  4 1 f u 1 f x 1 f x Nên I  du  dx   dx  4    . 2 2 2 1 u 1 x 1 x 0 0 0     1 x f x 1  2 2 x 1 1 f x 1 1 f x  Mặt khác dx 
dx  f x dx  dx     . 2 2     2 x 1 x 1 1 x 0 0 0 0 1 1 Do đó 2  f
 xdx4  f
 xdx  6 . 0 0
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 36
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 2.5. Tích phân kết hợp đổi biến & từng phần
 Trường hợp 1: Từng phần – Đổi biến: b b b Tính I  f
 xgxdx, áp dụng “Từng phần” ta được I  hx  p  xdx. a a a b
Lúc này ta áp dụng “Đổi biến” để tính p xdx  . a
 Trường hợp 2: Đổi biến – Từng phần:
tub b Tính I  f
 xgxdx, áp dụng “Đổi biến” ta được I  k
 xpxdx. a
tua
tub
Lúc này ta áp dụng “Từng phần” để tính k
 xpxdx.
tua  Ví dụ 2.5.1 2 Cho tích phân 2 I  x.sin d x x  a  b 
a, b , Mệnh đề nào sau đây đúng? 0 a a A.  3  B. 2 a  b  4  . C.  1
 ;0 D. ab  6 b b Lời giải Chọn C
x  0  t  0 Đặt x  t 2
 x  t dx  2 d t t . Đổi cận:  2 x   t  2 u   2t d  u  4 d t t 2 
 I  2t sint dt  , đặt    . d  v  sin d t t v  cost 0       u 4t du 4dt 2 I  2
 t cost  4t cos d t t  , đặt 1 1    . 0 dv  cos d t t v    sin t 0 1 1     a 2 2 I  2
 t cost  4t sint  4sin d t t   2   2   2
 4cost  2 8   . 0 0 0 b  8  0 a
Do đó a  2; b  8    1  ;0. b  Ví dụ 2.5.2 4
Biết I  x ln
  2x 9dx  aln5bln3c với a,b,c là các số thực. Tính T abc là 0
A. T 11. B. T  9.
C. T 10.
D. T  8. Lời giải Chọn D 1
x  0  t  9 Đặt 2
x  9  t  2 d x x  dt  d
x x  dt . Đổi cận:  2
x  4  t  25   25 u x      1 du dx
I  . ln t.dt  , đặt:  1   . 2 d  v  dx v  tan x 9 2  cos x
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 37
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 25   1 1 25 1
I  . ln t.dt 
 t.lnt t
 25ln25 259ln99  25ln59ln38  2 2 9 2 9 a  25    b  9
  T  a  b  c  25 9 8  8 . c  8    Ví dụ 2.5.3 e e cos a  s 1 in 1
Biết I  cos ln x   dx  
với a,b là các số tự nhiên. Tính a  b b 1 A. 7 B. 3 C. 5 D. 13 Lời giải Chọn B dx
x 1 t  0
Đặt t  ln x  dt   d t
x  e dt . Đổi cận:  x
x  e  t 1 1 t t       u e du e dt t
I  e cos t dt  , đặt    . d
 v  costdt v  sint 0 1 t t       1 u e du e dt t I  e sint t  e sintdt  , đặt    . 0 d  v  sin d t t v  cost 0 J 1 1 1   1 t   cos t  cos d    .co 1s1.cos0 t  cos d   1 .cos 1 t J e t e t t e e t t e
 e costdt  0 0 0 0 1     1 e t t co 1s sin 1 1 
 I  e sint 1 .eco 1
s  e cost dt    I 
 a  b  3   0 2  0   Ví dụ 2.5.4 2
Cho hàm số f x liên tục, có đạo hàm trên , f 2 16 và f
 xdx  4. Tính 0 4    x H xf dx bằng 2  0 A. 144 B. 12 C. 56 D. 112 Lời giải Chọn C u   x d  u  dx   Đặt    .   d    x d  x v f x v f 2      2 4    x d  x  x H xf x xf f dx  . f  I  . 2   2 4 4  2 4 2 1 0 0 0 4        x x 0 t 0 I f dx  . Đặt  x 1 t  dt  dx . Đổi cận:  . 1  2 2 2
x  4  t  2 0 2 2 
 I  2 f t dt  2 f x dx  2 4 .  8   . 1     0 0 4 Vậy    x H xf dx416.856. 2 0
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 38
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 2.6. Tích phân chứa trị tuyệt đối  Cách 1:
 Cho f x  0 tìm nghiệm  a;b 
 giả sử các nghiệm đó là x ; x ;...x  ; a b 1 2 n   x x x 1 2 3 b  Khi đó I  f
 x dx f
 x dx f
 x dx ... f  x dx a x x x 1 2 n x x x 1  I  f  x 2 b dx  f  x 3 dx  f
 xdx ... f  xdx a x x x 1 2 n
 Tính mỗi tích phân thành phần  Cách 2:
 Cho f x  0 tìm nghiệm  a;b   .
 Xét dấu f x trên a;b   . A khi A  0 b
 Áp dụng A    
để phá trị tuyệt đối trong ... .  A khi A  0 a
 Tính mỗi tích phân thành phần  Ví dụ 2.6.1 2
Tính tích phân I  x 1dx  ta được kết quả : 0 A. 1 B. 2 . C. 3 D. 4 Lời giải Chọn A Cách 1:
Cho x 1 0  x 1 ( thỏa mãn) 1 2 1 2 2 2  x   x 
Khi đó : I  x  
1 dx  x   1 dx     x    x = 1 2 2     0 1 0 1 Cách 2:
Cho x 1 0  x 1 (thỏa mãn) 2 1 2
Khí đó I  x 1dx  x 1dx  x 1dx    0 0 1 1 2 1 2 2         x x 1 1 x   2
1 dx  x   
1dx   x   x  1   1 1   2 2 2      2  0 1 0 1  Ví dụ 2.6.2 1 a Tính tích phân 3 2 I 
x  x  x 1 dx 
ta được kết quả I  , khi đó tổng a  b là: b 1  A. 7 B. 3 . C. 5 D. 9 Lời giải Chọn A
Do x  x  x   x  x  2 3 2 1 1 1  0, x    1  ;1  
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 39
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 1 1 4 3 2  x x x  4
Khi đó I     3 2
x  x  x   1 dx     
 x   a  4,b  3 a  b  7 4 3 2 3   1  1  Ví dụ 2.6.3 3 1
 x  3x  2 Tích phân I  dx  có giá trị là:   x 1 2 7 17 7 17
A. I   B. I  C. I  D. I   6 6 6 6 Lời giải Chọn C 2 Ta có: 3
x  3x  2  0  x  
1 x  2  0  x  1 x  2  . f x 1  1  3 1  x  3x  2   I  dx     1 1 7 2 x  x  2 3 2 dx 
x  x  2x    .   x 1  3 2  6 2 2  2   Ví dụ 2.6.4 0 2 x  x  2 Tính tích phân I  dx     
ta được kết quả I a bln2 c ln3(với a,b,c là các  x 1 2
số nguyên). Khi đó giá trị của biểu thức 3
T  2a  3b  4c là: A. T  20  B. T  3
C. T  22
D. T  6 Lời giải Chọn C 2 x  x  2
x 1x2 x  1  Cho  0   0   , do x   2  ;0   nên x  1  x 1 x 1 x  2 1  2 0 2
 x  x  2 
 x  x  2 
Khi đó I     dx    dx     x 1    x 1  2 1 1  0  2   2    x  dx  x      dx       x 1  x 1 2 1 1  0 2 2  x   x   
 2ln x 1   
 2ln x 1  1 4ln22ln3  a 1,b  4,c  2  2 2     2  1  3
T  2a 3b  4c  22
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 40
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 2.7. Tích phân dựa vào đồ thị
Áp dụng ý nghĩa hình học: b
 Nếu hàm số f x liên tục trên đoạn a;b 
 thì tích phân f xdx 
là diện tích S của hình a
thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f x , trục Ox và hai đường thẳng x  a; x  b.  Ví dụ 2.7.1
Cho hàm số y  f x liên tục trên 0; 4 
 và có đồ thị như hình 4
bên. Tích phân f xdx  bằng 0 A. 1 B. 2 . C. 3 D. 4 Lời giải Chọn B 4 2 4 Ta có: f
 xdx  f
 xdx f
 xdx S S . ABCO CDE 0 0 2 2 2 .
Diện tích hình tam giác CDE là: S   2 CDE 2 2.1 2
Diện tích hình thang ABCO là: S   3. ABCO 2 4 Vậy f
 xdx  32 1 0  Ví dụ 2.7.2
Cho hàm số y  f x liên tục trên  3  ;5   và có đồ thị như
hình bên (phần cong của đồ thị là một phần của Parabol 3 2
y  ax  bx  c ). Tích phân f
 xdx bằng 2  1 97 A. B. 2 6 C. 1 D. 6  Lời giải Chọn D 3 0 1 3  4  97
Dựa vào đồ thị hàm số: f
 xdx  x  4 dx  
4xdx  2
4x  x dx    .  3  6 2  2  0 1  Ví dụ 2.7.3
Cho hàm số y  f x liên tục trên  2  ; 2 
 và có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ như 0 2 hình bên. Biết f
 xdx  2. Tích phân f xdx  bằng 2  0 A. 2  . B. 0. C. 3 D. 4 Lời giải Chọn A
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 41
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Vì đồ thị hàm số y  f x đối xứng qua gốc tọa độ nên hàm số y  f x là hàm số lẻ. 2
Áp dụng tính chất hàm lẻ, ta có f
 xdx  0. 2  2 0 2 2 Mà f
 xdx  f
 xdx f
 xdx  0. Suy ra f
 xdx  2  . 2  2  0 0  Ví dụ 2.7.4
Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên  1  ; 2.   Đồ thị của
hàm số y  f x được cho như hình bên. Diện tích các hình phẳng  5 8
K , H lần lượt là
và . Biết f   19 1  , tính f 2. 12 3 12 A. f   2 2   . B. f   2 2  . 3 3 C. f   11 2  .
D. f 2  3. 6 Lời giải Chọn A 2 0 2 5 8 9
Dựa vào đồ thị ta thấy: f 
 xdx  f
 xdx f
 xdx     . 12 3 4 1  1  0 2 2 19 Mặt khác:
f xdx  f x  f 2  f   1  f 2     f   9 19 2 2      . 1  12 4 12 3 1   Ví dụ 2.7.5
Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị như 1
hình bên. Đặt K  . x f
 x.fxdx, khi đó K thuộc khoảng nào 0 sau đây?  3   3 2   2  A.  3  ;  2. B. 2  ;   . C.  ;   . D.   ; 0 .  2   2 3   3  Lời giải Chọn C d  u  dx u    x  Đặt     v  f 
x fx 2 f x . d . dx v   2 1 2 1 1 1 x f x 1 1 1 Khi đó K  . x f
 x.fx   2 dx   f  x 2 dx   f
 xd .x 2 2 2 2 0 0 0 0 Từ đồ thị, ta thấy: 2 2 2 1 1 1 f x 2  x 7 1 f x 2 ● f x        2  x, x   0;1  dx  dx   K   dx   .      2 2 6 2 2 3 0 0 0 2 2 1 1 1 f x 1 f x 3 ● f x      2, x   0;1 
dx  2dx  2  K   dx   .      2 2 2 2 0 0 0
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 42
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 2.8. Tích phân hàm chẵn lẻ Định nghĩa:
Cho hàm số f x xác định trên miền D .  x
  D  x  D
Hàm số f x được gọi là hàm số chẵn nếu thỏa  . x   D : f  x   f x  x
  D  x  D
Hàm số f x được gọi là hàm số lẻ nếu thỏa  . x   D : f  x    f x Khi đó, trong dấu  : a   f  x a dx  2 f  xdx   Nếu hàm 
f x CHẴN thì, a 0  . a f  x 1 a dx  f x x    x  d 1  c 2 a 0 a
 Nếu hàm f x LẺ thì, f
 xdx  0 a  Ví dụ 2.8.1 2
Cho y  f x là hàm số chẵn, liên tục trên  6  ;6   . Biết rằng f
 xdx 8; 1  3 6 f   2
 xdx  3. Giá trị của I  f
 xdx là 1 1 
A. I  5 B. I  2
C. I  14
D. I  11 Lời giải Chọn C 3 3
Ta có y  f x là hàm số chẵn, suy ra f  2
 x  f 2x  f   2
 xdx  f
 2xdx  3 1 1 3 1
x 1 t  2
Xét I  f 2x dx 
, đặt t  2x  dt  2dx  dt  dx . Đổi cận:  ; . 1   2
x  3  t  6 1 6 6 6 6   1 1
I  f t . dt 
f t dt 3  f t dt  6     f
 xdx 6 . 1       2 2 2 2 2 2 6 2 6 Vậy I  f
 xdx  f
 xdx f
 xdx 86 14. 1  1  2  Ví dụ 2.8.2 2 2 f x
Hàm số f x là hàm số chẵn liên tục trên và f
 xdx 10 . Tính I  dx  . 2x 1 0 2  10
A. I 10 B. I 
C. I  20
D. I  5 3 Lời giải Chọn A x  2   t  2
Đặt t  x  dt  d
 x. Đổi cận:  .
x  2  t  2  
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 43
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 2 f t 2 2t 2 2x I  dt   f t t   f x x  x  d t  d 2t 1 2 1 2 1 2  2  2  2 f x 2 2x 2 0 2 0  2I  dx  f x x    f
 xdx  f
 xdx f
 xdx  f
 xdx10 x x  d 2 1 2 1 2  2  2  2  0 2 
Mặt khác do f x là hàm số chẵn nên f x  f x . 0 Xét J  f
 xdx, đặt t  x  dt  d  x 2  2 2 2
 J  f  t   dt  f
 xdx  f
 xdx 10 2I 20 I 10. 0 0 0  Ví dụ 2.8.3 0
Cho hàm số y  f x là hàm lẻ và liên tục trên  4  ; 4   biết f
 xdx  2 và 2  2 4 f   2
 xdx  4 . Tính I  f  xdx. 1 0 A. I  10  B. I  6 
C. I  6
D. I 10 Lời giải Chọn B 0 x  2   t  2 Xét f
 xdx  2; đặt x  t dx  d
 t ; đổi cận: 
x  0  t  0 2  0 0 2 2 2   f
 xdx  f
 tdt  f
 tdt  f
 tdt  2  f
 xdx  2. 2  2 0 0 0
Do hàm số y  f x là hàm số lẻ nên f  2
 x   f 2x . 2 2 2   f   2
 xdx   f
 2xdx  f 2xdx  4   . 1 1 1 2
x 1 t  2
Xét f 2xdx  ; đặt 2x  1
t  dx  dt ; đổi cận:  2
x  2  t  4 1 2 4 4 4   f  x 1 2 dx 
f tdt  4   
 f tdt  8  
 f xdx  8   . 2 1 2 2 2 4 2 4   I  f
 xdx  f
 xdx f
 xdx  28 6  . 0 0 2
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 44
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 2.9. Tích phân hàm cho nhiều công thức  Bài toán 1: g x khi x   b c
Cho hàm số f x    
liên tục trên D . Tính J  f  xdx. h
 x khi x   b a Xét b  ; a c   .
 Bước 1. Kiểm tra hàm số f x có liên tục tại x  b ?
Tức là kiểm tra lim f x  lim f x  f b  lim gx  lim hx  f b      x b  x b  x b  xb c b c
 Bước 2. Tách cận: J  f
 xdx  g
 xdx h  xdx. a a b I I 1 2
 Bước 3. Tính các tích phân I ; I bằng các phương pháp đã học. 1 2  Bài toán 2: g x; m khi x   b c
Cho hàm số f x    
liên tục trên D . Tính J  f  xdx. h
 x; m khi x   b a Xét b  ; a c   .
 Bước 1. Kiểm tra hàm số f x có liên tục tại x  b ? Tức là kiểm tra:
lim f x  lim f x  f b  lim g x; m  m li
h x; m       f b xb xb x b  x b  c b c
 Bước 2. Tách cận: J  f
 xdx  g
 xdx h  xdx. a a b I I 1 2
 Bước 3. Tính các tích phân I ; I bằng các phương pháp đã học. 1 2  Ví dụ 2.9.1  x khi 0  x  2
Cho hàm số f x 2 3 1  
. Tính f xdx  4  
x khi 1  x  2 0 7 5 3 A. B. 1 C. D. 2 2 2 Lời giải Chọn A lim f    
x lim4 x 3  Ta có x 1  x 1   , và f   1  3 . lim f    x lim 2 3x  3 x 1  x 1 
Vì hàm số đã cho liên tục trên
nên liên tục tại x 1.
Suy ra lim f x  lim f x  f .    1 x 1  x 1  2 1 2 1 2 2  x   1  7 Khi đó f  x 2
dx  3x dx   4x 3 dx  x
 4x   1 8 2 4    2    2  2 0 0 1 0 1
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 45
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 2.9.2 2x khi x  0  1
Cho số thực a và hàm số f x   liên tục trên . Tính f  xdx a   2
x  x  khi x  0 1  a 2a a 2a A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 6 3 6 3 Lời giải Chọn A lim f     
x lima 2 x x  0 Ta có x0 x0  , và f 0  0. lim f   
x lim2x 0 x0 x0
Vì hàm số đã cho liên tục trên
nên liên tục tại x  0 . 1 0 0 Khi đó f
 xdx  f
 xdx f  xdx 1  1  0 1 0 1 2 3 0      x x 1 a 2 d x x  a    2
x  x dx   2 x   a    1 a  1   . 1  2 3    6  6 1  0 0  Ví dụ 2.9.3
ex  m khi x  0 1
Cho hàm số f x   liên tục trên và f
 xdx  e
a  b 3  c , 2 2
 x 3  x khi x  0 1 
a,b,cQ. Tổng ab3c bằng A. 15 B. 10  C. 19  D. 17  Lời giải Chọn C lim f     
x limex m m 1    Ta có x 0 x 0 
, và f 0  m 1. lim f     x lim x x  x x  2 2 3 0 0 0 
Vì hàm số đã cho liên tục trên
nên liên tục tại x  0 .
Suy ra lim f x  lim f x  f
hay m1 0  m  1  .   0 x0 x0 1 0 1 Khi đó   2 d  2 3  d  ex f x x x x x     1dx 1  1  0 0  3  d 3  1 2 2  ex x x    1dx 1  0 2 22 = 3  0 3   ex x x  x1 22 2 2  e  2 3  
 a 1, b  2, c   . 0 3 3 3 1 
Vậy tổng a  b  3c  1  9.
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 46
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 2.10. Tích phân liên quan max – min b b
 Bài toán: Tính I  min 
f x;gxdx hoặc I  max 
f x;gxdx . a a b Ta xét I  min 
f x;gxdx: a
 Bước 1. Giải phương trình f x  gx  x ; a b 
 thì nhận nghiệm đó.
Giả sử ta được x  m  ; a b   .
 Bước 2. Xét hiệu f x  gx, giả sử:
● Trên a; m : f  
x gx  0  minf x;gx  gx.
● Trên m; b : f  
x gx  0  minf x;gx  f x . b m b
 Bước 3. Khi đó I  min 
f x;gxdx  g
 xdx f  xdx. a a m b Khi đó I  max 
f x;gxdx ta áp dụng tương tự. a  Ví dụ 2.10.1 3
Tính tích phân I  max   3 2 x ; 4x  3  x dx 0 117 275 A. I  B. I 
C. I 19
D. I  27 2 12 Lời giải Chọn C x  0 Xét phương trình 3 2 3 2
x  4x  3x  x  4x  3x  0  
x 1; x  3 Trên 3  ;   x   
 2x  x   max 3 2 x ; x   3 0 1 4 3 0 4 3x  x Trên 3 2
 ;   x  ( x  x)   max    3 2 x ; x   2 1 3 4 3 0 4
3x  4x  3x 1 3 275 Vậy 3
I  x dx   2
4x  3xdx    . 12 0 1  Ví dụ 2.10.2 3 Tính tích phân  min  ex;ex I dx 1  2 2 2 2 A. I   2 B. I   2
C. I  2  D. I  e e e e Lời giải Chọn C  1 Xét phương trình ex x x x  e  e 
 e 1 x  0 x e Trên 1; 0 x x     0  min  
 x; x x e e e e  e Trên 1  ;3 x x     0  min  
 x; x x e e e e  e
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 47
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 0 3  2 Vậy  ex d x I
x  e dx  2    .  e 1 0  Ví dụ 2.10.3 2
Biết rằng I  minsinx; cos 
x dx  a  b 2  ; a b  
. Tính Sab 0 A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 Lời giải Chọn C  
Xét phương trình sinx  cos x  0  sin x   0  x     4  4   Trên 0;
 sinx  cos x  0  min   sinx;cos  x  sin x  4    Trên 0;
 sinx  cos x  0  min   sinx;cos  x  cos x  4  4 2 a  2
Vậy I  s inx dx  cos x dx  2  2      S  3 . b  1 0 4  Ví dụ 2.10.4 x
Xét hàm số F x  f
 tdt trong đó hàm số y  f t có 2
đồ thị như hình vẽ bên. Trong các giá trị dưới đây, giá trị nào là lớn nhất? A. F   1 B. F 2
C. F 3
D. F 0 Lời giải Chọn B  x  
Ta có Fx   f
 tdt  f x   .  2  Xét trên đoạn 0; 3 
 , ta thấy Fx  0  f x  0  x  2.
Dựa vào đồ thị, ta thấy trên 0; 2 
 hàm số F x đồng biến nên F 0  F 2 .
Dựa vào đồ thị, ta thấy trên 2;3 
 hàm số F x nghịch biến nên F   3  F 2 .
Vậy F 2 là giá trị lớn nhất.
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 48
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 2.11. Tích phân hàm “ẩn”
2.11.1. Dùng phương pháp đổi biến b b b b
Dạng 1: Cho u
 x.f u
 x dx 
, tính f xdx 
hoặc f xdx  , tính u
 x.f u
 x dx  . a a a a
Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến t  ux b b b  Lưu ý : f
 tdt  f
 xdx  f  udu a a a b
Dạng 2: Tính f xdx 
, biết f x thỏa: .
A f x  .
B u . f u .
C f a  b  x g x. a
Đối với loại bài tập này, trước khi lấy tích phân hai về ta cần chú ý rằng :
 Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A, , B C . b b
 Nếu f x liên tục trên a;b   thì f
 abxdx  f  xdx a a ua   a b b  1 Với  thì f
 xdx  g  xdx. u  b   b
A  B  C a a ua   b b b  1 Với  thì f
 xdx  g  xdx. u  b   a
A  B  C a a  Ví dụ 2.11.1 4 2 Cho f
 xdx 16 . Tính f 2xdx  0 0 A. 16 B. 4 C. 32 D. 8 Lời giải Chọn D Đặt 2x  1
t  dx  dt . Khi x  0 thì t  0 ; khi x  2 thì t  4 . 2 2 4 1 4 1 1 Do đó f
 2xdx  f
 tdt  f
 xdx  16 .  8. 2 2 2 0 0 0  Ví dụ 2.11.2 1 2
Cho f là hàm số liên tục thỏa f
 xdx  7 . Tính I  cos .xf  sinxdx . 0 0 A. 6 B. 36 C. 2 D. 7 Lời giải Chọn D
Đặt t  sin x  dt  cos d
x x . Đổi cận x  0  t  0 , x   t 1. 2 2 1 1 Ta có I  cos . x f 
sinxdx  f
 tdt  f
 xdx  7. 0 0 0
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 49
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 2.11.3 6 1
Cho hàm số f x liên tục trên 0;1 
 thỏa f x 2  6x f  3 x  
. Tính f xdx  3x 1 0 A. 2 B. 4 C. 1 D. 6 Lời giải Chọn B
Cách 1: (Dùng công thức) 6 6
Biến đổi f x 2  6x f  3 x    f x 2  2 3 . x . f  3 x   
với A  1, B  2  . 3x 1 3x 1 1 1 1 6
Áp dụng công thức ta có: f
 xdx  dx  4  . 1 2   0   0 3x 1
Cách 2: (Biến đổi) 6 1 1 1 1 Từ f x 2  6x f  3 x    f  x 2 dx  2 3x f 
 3xdx  6  dx  3x 1  0 0 0 3x 1
x  0  u  0 Đặt 3 2
u  x  du  3x dx ; Với  .
x 1 u  1 1 1 1 Khi đó 2 3x f 
 3xdx  f udu f xdxthay vào *, 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 Ta được: f
 xdx2 f
 xdx  6  dx   f
 xdx  6 dx  4  .   0 0 0 3x 1 0 0 3x 1  Ví dụ 2.11.4 2
Cho hàm số f x liên tục trên 0; 2 
 và thỏa f x  f 2  x  2x. Tính I  f  xdx . 0 1 4 A. I  4  B. I 
C. I 
D. I  2 2 3 Lời giải Chọn D
Cách 1: (Dùng công thức) 2 2 2 2 1 x
Với f x  f 2  x  2x ta có A  1; B  1  I  f  xdx 2x dx   2  11 2 0 0 0
Cách 2: (Biến đổi) 2 2 2
Từ f x  f 2  x  2x  f
 xdx f
 2xdx  2xdx  4 (*) 0 0 0
x  0 u  2
Đặt u  2  x  du   dx ; Với  .
x  2  u  0 2 2 2 Suy ra f
 2xdx  f
 udu  f  xdx . 0 0 0 2 2
Thay vào (*), ta được 2 f
 xdx  4  f
 xdx  2. 0 0
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 50
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
2.11.2. Dùng phương pháp từng phần 
Xuất phát từ đạo hàm hàm số tích, ta có: u
 x.vx  u 
x.vxvx.ux
Lấy tích phân hai vế ta được: b  u  x b
.v x dx  u 
 x.vxvx.uxdx  a a b     b b
u x d vx  uxvx  v
 xdux a a a b b b Hay u
 x.vxdx  uxvx  v
 x.uxdx a a a  Ví dụ 2.11.5
Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn 1  ; 2   . 2 67 2 Biết F  
1  1, F 2  4 , G   3 1 
, G2  2 và f xGxdx  
. Tính F x gxdx  2 12 1 1 11 145 11 145 A. B.  C.  D. 12 12 12 12 Lời giải Chọn A
u  F x du   
f xdx Đặt    dv  g  xdx v    G  x 2 2
F x g xdx 
 F 2G2  F  1 G   1  f
 xGxdx 1 1   3 67
F xGx 2 2  f
 xGxdx  4 2.1.  11  . 1 2 12 12 1  Ví dụ 2.11.6 5
Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên 0;5 
 và f 5 10 , xf 
 xdx  30. 0 5
Tính f xdx  . 0 A. 20 B. 30  C. 20  D. 70 Lời giải Chọn A u   x d  u    dx Đặt    dv  f   xdx v    f  x 5 . x f  
xdx   .xf x 5 5  f  xdx 0 0 0 5
 30  5 f 5 5  f
 xdx  f
 xdx  5f 530  20 . 0 0
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 51
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Tổng kết phương pháp tính tích phân hàm “ẩn”
2.11.1. Dùng phương pháp đổi biến b b b b
Dạng 1: Cho u
 x.f u
 x dx 
, tính f xdx 
hoặc f xdx  , tính u
 x.f u
 x dx  . a a a a
Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến t  ux b b b  Lưu ý : f
 tdt  f
 xdx  f  udu a a a b
Dạng 2: Tính f xdx 
, biết f x thỏa: .
A f x  .
B u . f u .
C f a  b  x g x. a
Đối với loại bài tập này, trước khi lấy tích phân hai về ta cần chú ý rằng :
 Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A, , B C . b b
 Nếu f x liên tục trên a;b   thì f
 abxdx  f  xdx a a ua   a b b  1 Với  thì f
 xdx  g  xdx. u  b   b
A  B  C a a ua   b b b  1 Với  thì f
 xdx  g  xdx. u  b   a
A  B  C a a
2.11.2. Dùng phương pháp từng phần 
Xuất phát từ đạo hàm hàm số tích, ta có: u
 x.vx  u 
x.vxvx.ux
Lấy tích phân hai vế ta được: b  u  x b
.v x dx  u 
 x.vxvx.uxdx  a a b     b b
u x d vx  uxvx  v
 xdux a a a b b b Hay u
 x.vxdx  uxvx  v
 x.uxdx a a a
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 52
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 2.12. Tích phân liên quan phương trình vi phân
2.12.1. Biểu thức đạo hàm
ux. f x  ux f x
(1) . ux f x  ux f x  hx (2).  h x 2 f x  
Phương pháp giải:    u 
uv  v u 
Áp dụng các công thức: uv  u v   v u  và    2  v  v 
(1). ux f x  ux f x  h x  u
 x f x  h 
x  ux f x  h  xdx 
ux f x  ux f x  u x  u x (2).  h x     h x   h x dx  2 f x      f  x      f  x    Ví dụ 2.12.1
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 2 
 thỏa mãn f 0  3 và
 x  fx f x 2 2 3 2
 4x 3x . Tính f 2 bằng 9 1 1 A. 1 B. C. D. 7 5 7 Lời giải Chọn B 
Ta có:  x   f x  f x 2
 x  x   x   f x 2 2 3 2 4 3 2 3
  4x  3x 
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:  x   f x   2 x  x  2 3 2 3 4 3
dx  2x  x  C
Do f 0  3  3 f 0  C  C  9
Thay x   f       f   9 2 7 2 8 8 9 2  . 7  Ví dụ 2.12.2
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1  ; 4 
 thỏa mãn f   1  2 và f x  . x f x 4 2
 3x  4x . Tính giá trị f 4 A. 2  B. 196  C. 48  D. 193  Lời giải Chọn B f x  . x f  x .
x f x  f x
Ta có f x  . x f x 4 2     2
 3x  4x   3x  4 2   3  x  4 (*). 2 x 2 x  .
x f x  f x  f x Mặt khác    2 x  x   f x
Lấy nguyên hàm 2 vế của (*) ta có: 3
 x  4x  C x f 1 Do f     1  2   1
  4  C  C  1
  f x 4 2
 x  4x  x . Khi đó f 4  1  96. 1
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 53
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 2.12.3  
Cho hàm số y  f x liên tục trên đoạn 0;   . Biết rằng  3    3
f x.cos x  f x.s inx  1, x   0; 
 và f (0) 1. Tính tích phân I  f  xdx  3  0 3 1 3 1 1 1 A. I  B. I  C. I  D. I   2 2 2 2 3 Lời giải Chọn A    f  x x  f x x  f x 
f x .cos x  f x  .cos  .sin 1   1 .s inx  1       2 2 2 cos x cos x cos x   cos x  f x
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:
 tan x  C . Theo giả thiết f 0 1 C 1 cos x 3 3 3 3 1
Khi đó I  f xdx  tanx  
1 cosx dx  sinx  cosxdx  cos x  sinx 3     0 2 0 0 0  Ví dụ 2.12.4  
Cho hàm số y  f x liên tục và có đạo hàm tại mọi x  0
 ;  , đồng thời thỏa mãn  2  x    
hệ thức f x  tan .
x f x  . Biết rằng 3 f  f  a 3      b ln 3 trong đó 3 cos x  3   6  a,b
. Tính giá trị của biểu thức P  a  b 14 4 7 2 A. P  B. P   C. P 
D. P   9 9 9 9 Lời giải Chọn A   x x  x f x  tan .
x f x   cos .
x f x  sin .
x f x   sin . x f x   2    3  cos x 2 cos x cos x x
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: sin . x f x  dx  2 cos x u   x  d  u  dx x Đặt  dx    sin . x f x 
dx  x tan x  tan xdx   2 d  v  v  tan x cos x 2  cos x  sin .
x f x  x tan x  ln cos x     3 f    f    3   6  1 3 5 3 Do đó  3  ln   ln   ln 3 2 3 2 6 3 2 18  5     5 3 a  4  Suy ra 3 f    f     ln 3  
9  a  b  .  3   6  9 9 b  1  
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 54
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
2.12.2. Biểu thức tổng hiệu
(1) . f x  f x  hx
(2). f x  f x  hx
Phương pháp giải:
(1). Biến đổi:          ex   x     x f x f x h x f x e
f x  e .hx  x       x       x     x e f x e h x e
f x  e  h  xdx
(2). Biến đổi:          ex   x     x f x f x h x f x e
f x  e .hx   x       x       x     x e f x e h x e
f x  e  h  xdx  Ví dụ 2.12.5
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 2 
 thỏa mãn f x  f x  x 1.
Biết f 0  9. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. f   2 2 9e  B. f   2 2  9 e C. f   2 2  2 e D. f   2 2  1   9e Lời giải Chọn A
Ta có:       1 x  .   x  .   x f x f x x e f x
e f x  e x   1  x   .   x      1  ex .   x e f x e x
f x  e x     1dx u   x 1 d  u  dx Đặt x     e x 
x  x  e  e x  x  e  C   x x  1d  1 x xd  2 x d
 v  e dx v  e x  2 x e  C
Do đó ex . f x  x  2 x
e  C  f x    x e x  2 x e  9 9
Lại có f 0  2
  C  7  C  9  f x     f  . x 2 2 e e  Ví dụ 2.12.6
Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên . Biết rằng f 0  3 và
f x  f x  2x 1. Giá trị của f   1 thuộc đoạn A. 0; 2   B. 4; 6   C. 2; 4   D. 6;8   Lời giải Chọn D
Ta có :       2 1 x    x  .   x f x f x x e f x e
f x  e 2x   1  Mặt khác x  .    x   .     x e f x e
f x  e f x
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: x  .   x e
f x  e 2x   1dx u   2x 1 d  u  2dx Đặt x     e x  x  e x   e x   x x 2 1d x 2 1 2 xd d
 v  e dx v  e x   .   x   2  3 x   .    ex e f x e x C e f x 2x3C 1
Do f 0  4 nên 4  3 C  C 1 f x  2x  3
 f x  2x 3 x  e x e  f  
1  5  e  6;8   .
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 55
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
2.12.2. Bài toán tổng quát 𝑓′(𝑥) + 𝑝(𝑥). 𝑓(𝑥) = ℎ(𝑥)
Phương pháp giải: p  xdx p  xdx p x dx p x dx   Nhân 2 vế với e ta được: e . f x    e
 px f x    e  hx  p
  xdx 
      pxdx e f x h x .e     p  xdx  
f x  h
 x pxdx e . .e dx  Ví dụ 2.12.7
Cho f x có đạo hàm trên 2; 4 
 , f 2  6 ;  2
x   f x  f x 2 1
 x  x . Tính f 4 A. 2  5 B. 5  5 C. 5  15 D. 2  15 Lời giải Chọn D f x x Ta có:  2 x  
1 f x  f x 2
 x  x  f x     với x  2; 4 2   x 1 x 1 dx dx  x 
Áp dụng công thức nhanh 2.11.2 ta có f x 2 2 x 1  x 1 .e  .e  dx  (*) x 1 dx 1 x 1   ln x 1 Lại có 2 x 1  2 x 1 e  e   x 1 d d  2x x x x x x    1 1 1 1
Do đó (*)  f x 2 .  dx    x 1 C    2 2 x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1    f x x 1  C
 x   f    C    f x 3x 3 1 2 3 3 6 
 x 1  f 4  5 5 x 1 x 1  Ví dụ 2.12.8
Cho f x có đạo hàm trên 0;1 
 , biết f   13 0  ;  2
x   f x  xf x 3 1
 x  4x . Khi đó: 3
A. 0  f   1  2
B. 2  f   1  4
C. 4  f  
1  5 D. f   1  5 Lời giải Chọn C x x  4x Ta có : x  
1 f x  xf x  x  4x  f x  f x 3 2 3  2 2 x 1 x 1 x 3 x dx  x  4 dx x 
Áp dụng công thức nhanh 2.11.2 ta có f x 2 2 x 1  x 1 .e  .e  dx  (*) 2 x 1 x 1 dx  ln 2 x 1  2  Ta tính:  2 x 1 2 e  e  x 1 x  2 x  4 x  4x
(*)  x 1. f x 3 2 2  x 1dx  2  x 1dx  2 x 1 2 x 1 1  3     x 10 C x   d   x   1 1 1  x  3 2 2 2 2 1
 3 x 1  C  f x 2   2 2 3  x 1  2 3 x 1 10 13 11 1
Mặt khác f 0   C 
 C 1 f   1    4  f   1  5 . 3 3 3 2
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 56
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Tổng kết phương pháp tính tích phân liên quan PTVP
2.12.1. Biểu thức đạo hàm
ux. f x  ux f x
(1) . ux f x  ux f x  hx (2).  h x 2 f x  
Phương pháp giải:    u 
uv  v u 
Áp dụng các công thức: uv  u v   v u  và    2  v  v 
(1). ux f x  ux f x  h x  u
 x f x  h 
x  ux f x  h  xdx 
ux f x  ux f x  u x  u x (2).  h x     h x   h x dx  2 f x      f  x      f  x  
2.12.2. Biểu thức tổng hiệu
(1) . f x  f x  hx
(2). f x  f x  hx
Phương pháp giải:
(1). Biến đổi:          ex   x     x f x f x h x f x e
f x  e .hx  x       x       x     x e f x e h x e
f x  e  h  xdx
(2). Biến đổi:          ex   x     x f x f x h x f x e
f x  e .hx   x       x       x     x e f x e h x e
f x  e  h  xdx
2.12.2. Bài toán tổng quát 𝒇′(𝑥) + 𝒑(𝑥). 𝒇(𝑥) = 𝒉(𝒙)
Phương pháp giải: p  xdx p  xdx p x dx p x dx   Nhân 2 vế với e ta được: e . f x    e
 px f x    e  hx  p
  xdx 
      pxdx e f x h x .e     p  xdx  
f x  h
 x pxdx e . .e dx p  xdx p x dx 
Tổng quát: e
. f x  h  x   .e dx
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 57
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 2.13. Bất đẳng thức tích phân  Tính chất 01:
Cho hàm số y  f x và y  gx có đạo hàm liên tục trên a;b   . Khi đó: b b
 Nếu f x  gx x   ; a b   thì f
 xdx  g  xdx. a a b b
 Nếu f x  0 x   ; a b   thì f
 xdx  0 . Hệ quả 2f
 xdx  0  f x  0 a a b b  f
 xdx  f
 x dx . a a  Tính chất 02:
Cho hàm số y  f x và y  gx có đạo hàm liên tục trên a;b 
 , gx  0. Khi đó: 2 b b b  
 Bất đẳng thức Holder (Cauchy – Schwarz):  f
 xgx 2 x   f  x 2 d dx  g  xdx   .  a  a a
Đẳng thức xảy ra  f x  .
k g x với k 2 b b     f
 x x  ba 2 d  f  xdx   .  a  a
 Bài toán: Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên a;b 
 thỏa mãn các điều kiện: b b
(1) f m  n (2)  f 
 x 2 dx  A  (3) g
 x.f xdx  B a a
Với g x là hàm số đã biết và liên tục trên a;b   b Tính I  f  xdx. a b b
 Lời giải: Tính tích phân g
 x.f xdx  B bằng phương pháp từng phần h
 x.fxdx  B a a  Hướng 1:  Hướng 2:
 Bước 1. Mặt khác b 2 b
 Bước 1. Giả sử tính được h
 xdx  C
h x f x b
x  h x b x   
 fx2 2 . d d dx a a a a
 Bước 2. Tìm thỏa: casio giathiet b b b 2 2 2   f 
 x dx2 h 
 x.fxdx h  x
Bước 2. Dấu “=” xảy ra  f x  k  hx . dx  0 a a a
Nguyên hàm 2 vế  f  ; x k;C  ? A B C        
Bước 3. Dùng f m  n  C k  ? A 2 B C 0 ? . b b
 f x  .h x 2  
Bước 4. Dùng h
 x.fxdx  B (Ở bước 1)
 Bước 3. Lúc này     dx 0 a a  k  ?
 f x  .hx  0  f x  .hx 
 Cuối cùng có đủ x; k;C  f x hoàn chỉnh
 Bước 4. Nguyên hàm 2 vế  f  ; x C  ?  YCBT.
Dùng f m  n  C  ? 
 f x hoàn chỉnh
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 58
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 2.13.1
Cho hàm số y  f x liên tục trên 0; 2 
 , thỏa các điều kiện f 2 1 và 2 2 f x  f   x 2 2  dx  f  x 2 dx    . Giá trị của dx  . 3 2 x 0 0 1 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 4 5 7 Lời giải Chọn B 1 u
  f x d
 u  f xdx
Tính: I  1. f
 xdx; đặt:    . d  v 1.dx v  x 0 2 1 1  I  .
x f x 2  . x f x 2 dx 
  xf xdx 
 x . f x 4 2 dx     . 0 3 3 0 0 0 hx 2 2 2 2 2 2 4 8 1 Tìm :  f   2
 x dx  2 xf    x 2 dx 
x dx  0  2. .   0   . 3 3 3 2 0 0 0 2 4 8    3 3 3 2 2  1  1 1
Lúc này  f x  x dx  0  f x  .x  0  f x  x .  2  2 2 0 1 1
Nguyên hàm 2 vế: f 
 xdx  xdx  f  x 2  x C . 2 4 1 1 Lại có f 2 2 11  2 .
 C  C  0  f x 2  x . 4 4   1 2 2 2 x f x 1 Vậy 4 dx  dx    . 2 2 x x 4 1 1  Ví dụ 2.13.2 1 2
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 
 thỏa mãn f   1  4 ,  f 
 x dx  20  0 1 1 và . x f
 xdx 1. Tích phân f xdx  bằng 0 0 1 2 3 A. B. C. D. 4 6 3 2 Lời giải Chọn C d
 u  f  x dx 1 u
  f x    Tính: I  . x f
 xdx ; đặt:    1 2 d
 v  xdx   0 v x  2 1 1 1  1 1 1 1 2 I 
x . f x 2  x f   xdx 2  1  2  x f x 2 dx 
 x f xdx  2     2 0 2 2 0 0 0 1 1 1 2 2 1 Mặt khác 2 x . f  
xdx   2x dx fx dx  2.0  4 5 0 0 0 1 20  5
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 59
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Dấu “=” xảy ra    2
f x  k  x . k
Nguyên hàm 2 vế: f   x 2
dx  k x dx  f  x 3  x C . 3 k k k k
Theo giả thiết: f   3
   . C  C    f x 3 1 4 4 1 4  x  4  . 3 3 3 3 1 1 1 Từ  : 2 x f   x 2 2 4
dx  2  x .k.x dx  2  k x dx  2  k  10   . 0 0 0 1 1 10 10 10 2 10 2  3 Khi đó:   3   4     3       3 d   d casio f x x f x x f x x x x     3 3 3 3  3 3  2 0 0  Ví dụ 2.13.3
Cho hàm số f x có đạo hàm dương liên tục trên 0;1 
 thỏa mãn f 0 1 và 1     1 3 f 
 x.f x 1 1 2  dx  2 f   
x.f x dx 3  
. Tích phân f xdx  bằng 9    0 0 0 1 5 3 7 A. B. C. D. 12 4 2 6 Lời giải Chọn D 2 1 1 1  
Theo bất đẳng thức Holder: f  x 2
. f xdx     1dx    f  
x.f x .1dx     . 0 0  0  1 1 1 Do đó:   2 f  
x.f x dx  3  f  x 2
. f x dx          3 0 0 2 1      f  
x.f x 1  3 dx       3  0  2 1 1   1 1 Hay     3 f  
x.f x dx   0 f  
x.f x dx        . 3  4  0  0 1    f 
x.f x 1   dx    1
Dấu “=” ở  xảy ra, tức là ta có:  3    0 k  f 
x.f x 3  k  3 1 x  3  x 3  7
Từ đó  f x 3 3     dx   . 3  3  6 0  
--------------------Hết--------------------
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 60
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 A. LÝ THUYẾT CHUNG.
1. Hình phẳng giới hạn bởi đường cong & trục hoành:
 Hàm số f x liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn a;b   .
Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị f x , Ox và hai đường thẳng x  a , x  b . b
Khi đó diện tích hình thang cong được tính: S  f  xdx. a
 Trường hợp f x  0 trên a;b 
 , ta có  f x  0 .
S hình thang cong aABb  S hình thang cong aA B  b  . ( aA B  b
 là hình đối xứng của hình thang đã cho qua trục hoành). b Do đó: S  S  S     f x x  aABb aA B b   d a  Tổng quát:
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số f x liên tục, trục hoành và hai đường thẳng
x  a , x  b được tính: b S  f  x dx a
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong:
 Cho hàm số y  f x và y  gx liên tục trên đoạn a;b   .
Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và đường thẳng x  a , x  b .
Xét trường hợp f x  gx x   ; a b   .
Gọi S ;S là diện tích hai hình thang cong giới hạn bởi 1 2 Ox  
x  a và y  f x ; y  gx . x  b  b
Khi đó diện tích: S  S  S   f x  g x  dx  . 1 2      a  Tổng quát:
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f x và g x và hai đường thẳng
x  a , x  b được tính: b S  f
 x gx dx a
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 61
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
3. Thể tích vật thể:
 Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm
a và b, Sx là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
Ox tại điểm x, (a  x  b).
Giả sử Sx là hàm số liên tục trên đoạn a;b   b
Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: V  S  xdx . a
4. Thể tích khối tròn xoay:
 Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới
hạn bởi các đường y  f x , trục hoành và hai đường thẳng
x  a, x  b quanh trục Ox : b 2 V  f  xdx a
 Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới
hạn bởi các đường x  g y , trục tung và hai đường thẳng y  c,
y  d quanh trục Oy : b 2 V  g  ydy a
 Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng
giới hạn bởi các đường y  f x , y  gx (cùng nằm
một phía so với Ox) và hai đường thẳng x  a, x  b quanh trục Ox : b 2 V  f  x 2
 g x dx a
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 62
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 3.1. Câu hỏi lý thuyết
 Diện tích hình phẳng:
y  f x
y  f x   b Ox 
y  gx b (1) Giới hạn:   S  f  x dx. (2) Giới hạn:   S  f
 x gx dx . x   a   a x a a x   b x   b
 Thể tích vật thể:
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc trục Ox tại các điểm a và b,
Sx là diện tích thiết diện vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc trục Ox tại điểm x, (a  x  b). b
Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: V  S
 xdx . a
 Thể tích khối tròn xoay:
y  f x Ox  b (1) Giới hạn: 
và quay quanh trục Ox 2  V  f  xdx. x   a a x   b
y  f x 
y  g x b (2) Giới hạn: 
và quay quanh trục Ox 2  V  f  x 2
 g x dx. x  a a x   b
x  gy Oy  b (3) Giới hạn: 
và quay quanh trục Oy 2  V  g  ydy . x   a a x   b  Ví dụ 3.1.1
Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị của hàm số f x và f x liên tục trên 2   1    ; a b 
 và đường thẳng x  a , x  b . Công thức tính diện tích của hình H là y f x 1   f x 2   O a c c x 1 2 b b b A. S 
f x  f x dx 
B. S   f x  f x dx 1   2   1   2   a a b b b C. S 
f x  f x dx 
D. S  f x dx  f x dx   2   1   1   2   a a a Lời giải Chọn A b Ta có: S 
f x  f x dx  1   2   a
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 63
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 3.1.2
Cho hàm số y  f x liên tục và có đồ thị như hình bên. Gọi D là
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho và trục Ox . Quay
hình phẳng D quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích V
được xác định theo công thức 3 3 2 2 1 A. 2 V   f
 x dx  B. V   f
 x dx  3 1 1 3 3 2 2
C. V   f
 x dx  D. V   f
 x dx  1 1 Lời giải Chọn D 3 2
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng D quanh trục Ox : V   f
 x dx  1  Ví dụ 3.1.3
Gọi S là diện tích miền hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên. Công thức tính S là 1 2 A. S  f
 xdx f
 xdx 1  1 2 B. S  f  xdx 1  1 2 C. S  f
 xdx f
 xdx 1  1 2
D. S   f
 xdx 1  Lời giải Chọn B 2 S  f  x 1 dx   f   x 2
 0 dx  0  f   x 1  dx  f   x 2 dx  f  xdx . 1  1  1 1  1  Ví dụ 3.1.4
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x , trục Ox và hai
đường thẳng x 1; x  4 khi quay quanh trục hoành được tính bởi công thức nào? 4 4 A. V  d x x  B. V  x dx  1 1 4 4 C. 2 V  d x x  D. V  d x x  1 1 Lời giải Chọn A
Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x , trục Ox , x 1 và x  4 được 4 4 2
tính bởi công thức V   x dx  d x x  . 1 1
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 64
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 3.2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x), Ox, x=a, x=b
y  f x  b   Ox
Diện tích hình phẳng giới hạn:   S  f  x dx. x   a a x   b
Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:
Bước 1: Giải f x  0 tìm nghiệm x ,x ,...,x  ;ab a  x  x  ...  x  b . 1 2 n  1 2 n   x x 1 2 b
Bước 2: Tính S  f
 x dx f
 x dx... f  x dx a x x 1 n x x 1  f  x 2 b dx  f
 xdx ... f  xdx a x x 1 n
 Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.  Ví dụ 3.2.1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  2 2 1, trục hoành và hai
đường thẳng x 1, x  2 bằng 2 3 1 7 A. B. C. D. 3 2 3 3 Lời giải Chọn A x 
Xét phương trình x  2 1 2 1  0   . x  3 2 2 2 2 2
Ta có: S  x  2 2
1 dx  x  4x  3 dx   2
x  4x  3dx     . 3 1 1 1  Ví dụ 3.2.2
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi 2
y  x  2x , y  0 , x  4  , x 1
A. S 15 B. S  23
C. S  9
D. S  38 Lời giải Chọn D x  0
Xét ơhương trình hoành độ giao điểm: 2
x  2x  0   . x  2 Diện tích cần tìm: 0 1 1 0 3 3  x   x  S 
x  2x dx  
 x 2x 1 2 2 dx   2
x  2xdx 2 2
   x     x   38 . 3 3     4  4  0 4 0
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 65
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 3.3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x), y=g(x), x=a, x=b
y  f x 
y  gx b
 Diện tích hình phẳng giới hạn:   S  f
 x gx dx . x  a a x   b
Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:
Bước 1: Giải f x  gx tìm nghiệm x ,x ,...,x  ;ab a  x  x  ...  x  b . 1 2 n  1 2 n   x x 1 2 b
Bước 2: Tính S  f
 x gx dx f
 x gx dx... f
 x gx dx a x x 1 n x x 1
  f x gx 2 b
dx    f x  gxdx ...   f x  gxdx a x x 1 n
 Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.  Ví dụ 3.3.1
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi 2
y  2  x và đường thẳng y  x  là 7 9 9 A. B. C. 3 D. 2 4 2 Lời giải Chọn D x  1  Ta có 2
2  x  x   và 2
2  x  x, x  [ 1;2] x  2 2 2 2 3  x x  9 Nên 2
S  (2  x  x )dx    2x     . 2 3 2   1  1   Ví dụ 3.3.2
Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y  x1 x và 3
y  x  x có diện tích bằng 37 5 8 9 A. B. C. D. 12 12 3 4 Lời giải Chọn A x  0  x 1 x 3 3 2
 x  x  x  x  2x  0  x  2   x 1 
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y  x1 x và 3
y  x  x . 1 0 1 Khi đó 3 2 3 2 3 2 S 
x  x  2x dx 
x  x  2x dx  x  x  2x dx    2  2  0 0
 x  x  2x 1 8 5 37 3 2 dx   3 2
x  x  2xdx      ( đvdt). 3 12 12 2  0
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 66
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 3.4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x), y=g(x), y=h(x)
y  f x  
Diện tích hình phẳng giới hạn: y  g x .  y   h  x
Bước 1: Giải f x  gx có nghiệm x . 1
Giải g x  hx có nghiệm x . 2
Giải g x  hx có nghiệm x . 3
Giả sử x  x  x được biểu diễn như hình. 1 2 3 x x 2 3
Bước 2: Khi đó S  g
 x f x dx h
 x f x dx x x 1 2 x x 2
  gx f x 3
dx   hx  f xdx x x 1 2  Ví dụ 3.4.1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y  x  3x; y  x 1; y  x  4 bằng 1 1 1 1 A. B. C. D. 12 6 4 3 Lời giải Chọn A 2 2
–x  3x  x 1  –x  2x –1  0  x 1. 2 2
–x  3x  –x  4  –x  4x – 4  0  x  2 .
x 1 –x  4  2x – 3  0  x  32. 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 S 
–x  3x – x –1 dx 
–x  3x  x – 4 dx    x –  1 dx 
x – 22 dx    . 12 1 3 1 3 2 2  Ví dụ 3.4.1 2 x 54
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y  2x ; y  ; y  bằng 4 x 63 63 63 A.  54ln 2 B. 54ln 2 C. D.   54ln 2 2 4 2 Lời giải Chọn B 2 x 54 2 x 54 2 2x   x  0. 2 2x   x  3.   x  6 . 4 x 4 x 3 2 6 2 3 2 6 2 x 54 x  x   54 x  2 2 S  2x  dx   dx   
2x  dx    dx 54ln2. 4 x 4 4    x 4  0 3 0 3
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 67
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 3.5. Diện tích hình phẳng dựa vào đồ thị y   f x b
● Trường hợp 1: 
diện tích hình phẳng cần tìm là S  f
 x gx dx . y   g  x a
Bước 1: Quan sát đồ thị thấy f x gx  0  x  c;c ;ab   .
Bước 2: Xét hiệu f x gx trên các đoạn  ;ac; c;b     . 
 a; c : f  
x gx  0 Giả sử trên  .
c; b : f  
x gx  0 b Bước 3: Khi đó S  f
 x gx dx a c
  f x gx b
dx  gx  f xdx a c
y  f x b
● Trường hợp 2: 
 diện tích hình phẳng cần tìm là S  f
 x0 dx . O
 x : y  0 a Bước 1:
Quan sát đồ thị thấy f x  0  0  x  c ;c  ; a b   . Bước 2:
Xét hiệu f x  0 trên các đoạn  ;
a c ; c; b     .
a;c : f   x0  0 Giả sử trên  .
c; b : f   x0  0 b c b Bước 3: Khi đó S  f
 x0 dx   f x0dx 0 f xdx. a a c  Ví dụ 3.5.1
Gọi S là diện tích hình phẳng H giới hạn bởi các đường
y  f x , trục hoành và hai đường thẳng x  1  , x  2. Đặt 0 2 a  f
 xdx,b  f
 xdx, Khi đó S  1  0
A. b  a
B. b  a C. b   a D. b   a Lời giải Chọn A 2 0 2 Ta có: S  f
 x dx  f
 x dx f
 x dx . 1  1  0 0 2
Ta thấy f x  0 x  0;2 ; f   x  0 x   1  ;0 
  S   f
 xdx f
 xdx  ab 1  0  Ví dụ 3.5.2
Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được
tính theo công thức nào dưới đây? 2 2 A.   2
 x  2dx
B.  2x  2dx 1  1  2 2 C.   2
2x  2x  4dx D.   2 2
 x  2x  4dx 1  1 
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 68
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 Lời giải Chọn D 2
S   x  3 x  2x   2 2 2 2 2 1 dx  2
 x  2x  4 dx    2 2
 x  2x  4dx. 1  1  1   Ví dụ 3.5.3 Cho hàm số y
f x liên tục trên . Gọi S là diện tích hình y=f(x)
phẳng giới hạn bởi cá đường y  f x , y  0, x  2  và
x  3 (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 3 x
A. S   f
 xdx f
 xd .x 2 2  1 O 1 3 1 3 B. S  f
 xdx f  xd .x 2  1 1 3 1 3
C. S   f
 xdx f  xd .x D. S  f
 xdx f
 xd .x 2  1 2  1 Lời giải Chọn B 3 1 3 Ta có S  f
 x dx S  f
 x dx f
 x d .x 2  2  1 1 3
Do f x  0 với x   2  ;1 
 và f x  0 với x   1  ;3   nên S  f
 xdx f
 xd .x 2  1  Ví dụ 3.5.4
Cho hình thang cong H giới hạn bởi các đường x
y  e , y  0 ,
x  0 , x  ln4. Đường thẳng x  k 0  k  ln 4 chia H thành
hai phần có diện tích là S và S như hình vẽ bên. Tìm k để 1 2 S  2S . 1 2 2 A. k  ln 4 B. k  ln 2 3 8 C. k  ln
D. k  ln3 3 Lời giải Chọn D k ln 4 k ln 4 Ta có x  d x k S e x  e  e 1  và x S  e d x x  e  4 k  e  1 0 2 k 0 k Ta có  2 k  1  2 4 k S S e
 e  k  ln3 . 1 2  
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 69
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 3.6. Thể tích vật thể
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông
góc với trục Ox tại các điểm a và b, Sx là diện tích thiết
diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
Ox tại điểm x, a  x  b
Giả sử Sx là hàm số liên tục trên đoạn a;b   b
Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: V  S  xdx . a  Ví dụ 3.6.1
Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 1 và x  3, biết rằng khi cắt
vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 1 x  3
thì được thiết diện là hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và x . 2178 2178 A. B. 26 C. 26 D. 5 5 Lời giải Chọn C 3 V  S  x 3 2
dx  3x dx  6 2  . 1 1  Ví dụ 3.6.2
Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  0 và x  , biết rằng thiết
diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x
0 x   là một tam giác đều cạnh 2 sinx .
A. V  3 B. V  3 C. V  2 3
D. V  2 3 Lời giải Chọn D V  S
 xdx   3 2 sin x 2 dx  2 3 . 4 0 0  Ví dụ 3.6.3
Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 1 và x  3, biết rằng
khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 1
(  x  3) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và 2 3x  2. 124 124
A. V  32  2 15. B. V   C. V  
D. V  32  5 . 3 3 Lời giải Chọn C 3 Ta có 2
V  3x 3x  2dx  ; đặt 2 2 2
t  3x  2  t  3x  2  2 d t t  6 d x x  d t t  3 d x x . 1
Đổi cận: x 1 t 1, x  3  t  5 . 5 5  1  124 Khi đó 3
V  t.t.dt  t     .  3  3 1 1
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 70
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 3.7. Thể tích hình phẳng giới hạn bởi f(x), Ox, x=a, x=b quay quanh Ox
Bước 1: Giải phương trình f x  0  x  c;c ;ab   . b
Bước 2: Khi đó V   f x2 dx . a  Ví dụ 3.7.1
Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y  x  4x  3 , trục hoành và hai
đường thẳng x  1, x  3 . Quay H xung quanh trục hoành được khối tròn xoay có thể tích là 3 3 2 A. 2
V  x  4x  3dx  B. 2
V  x  4x  3 dx  1 1 3 3 2
C. V   2
x  4x  3 dx D. 2 V 
x  4x  3dx  1 1 Lời giải Chọn C 3 3 2 2
Thể tích cần tìm là : V   2
x  4x 3 dx   2
x  4x  3 dx . 1 1  Ví dụ 3.7.2
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số π
y  tan x , trục hoành và các đường thẳng x  0 , x  quanh trục hoành là 4 π π ln 2 2 π π A. V  B. V  C. V  D. V  4 2 4 4 Lời giải Chọn B π π 4 4 sin x π π ln
Thể tích khối tròn xoay cần tính là V  π tan d x x   π dx  4  π  2 ln cos x  . cos x 0 2 0 0  Ví dụ 3.7.3
Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y  x  2
2 , y  0 , x  0 , x  2 . Khối tròn
xoay tạo thành khi quay D quạnh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? 32 32 32 A. V  B. V  C. V 
D. V  32 5 5 5 Lời giải Chọn B 2 x2 2 5
V  x  24 dx  32 .  . 5 5 0 0
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 71
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 3.8. Thể tích hình phẳng giới hạn bởi f(x), g(x), x=a, x=b quay quanh Ox
Bước 1: Giải phương trình f x  gx  x  c;c ;ab   . c b Bước 2: Khi đó 2 V  f  x 2  g x 2 x  f  x 2 d
 g x dx . a c  Ví dụ 3.8.1
Công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol P 2
: y  x và đường thẳng d : y  2x quay xung quanh Ox là 2 2 2 A.  2
2x  x dx B.  2
x  2x dx 0 0 2 2 2 2 C. 2 4 4x dx  x dx   D. 2 4 4x dx  x dx   0 0 0 0 Lời giải Chọn C x  0
Xét phương trình hoành độ giao điểm của P và d là 2 x  2x   . x  2 Vì trên 0; 2 ta có 2 2x  x 2 2
Nên công thức tính thể tích của khối tròn xoay là: 2 4 V  4x dx  x dx   . 0 0  Ví dụ 3.8.2
Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y  x , y  x và x  4 . Thể tích của
khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục hoành nhận giá trị nào sau đây: 40 38 41 41 A. V  B. V  C. V  D. V  3 3 3 2 Lời giải Chọn C x  0
Phương trình hoành độ giao điểm: x  x    x  0. 2 x  x 4
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là 2 V 
x  x dx  . Ox 0 x  0 Xét phương trình 2
x  x  0   . x 1 1 4 1 4 Do đó 2 2 V 
x  x dx 
x  x dx     2
x  xdx   2x  xdx. Ox 0 1 0 1 1 4 3 2 3 2  x x   x x  41
         (đvtt). 3 2 3 2 3     0 1
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 72
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 3.9. Thể tích hình phẳng giới hạn bởi f(y), g(y), y=a, y=b quay quanh Oy
Bước 1: Giải phương trình f y  gy  y  c;ca;b   . c b Bước 2: Khi đó 2 V  f  y 2  g y 2 y  f  y 2 d
 g y dy. a c  Ví dụ 3.9.1
Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường xy  4, x  0 , y 1 và y  4. Thể tích V
của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục tung là
A. V 12π B. V 16π
C. V 10π
D. V  8π Lời giải Chọn A 2 4 4  4  4 16  16 
Ta có thể tích V của khối tròn xoay là V  π  dy  π dy   π  12π .  y  2 y  y  1 1 1  Ví dụ 3.9.2
Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường 2
x  y  3 , x  0 , y  0 , y  2 . Gọi V là
thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Oy . Mệnh
đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 2 2
A. V   2
y  3dy B. V   2
y dy C. V  3 dy D. V   2
y  3 dy 0 0 0 0 Lời giải Chọn D Phương trình 2
y  3  0 vô nghiệm do 2 y  3  0 y   2 2
Thể tích của khối tròn xoay là: V   2
y  3 dy . 0  Ví dụ 3.9.3
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y
x  e , trục tung và các đường thẳng
y  0 , y 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục tung có thể tích V bằng bao nhiêu?  2e  1 2 2 e   e 1 2 e 1 A. V  B. V  C. V  D. V  2 2 3 2 Lời giải Chọn D Phương trình y
e  0 vô nghiệm do y e  0 y   1 e y e  y  2 1 2 1 2 
Thể tích của khối tròn xoay là: V  e dy    2 2 0 0
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 73
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
 Dạng 3.10. Tính giá trị hàm qua diện tích hình phẳng b b
Áp dụng định nghĩa tích phân: f
 xdx  Fx  FbFa. a a
Thì lúc này đề bài yêu cầu so sánh F b; F a. Bài toán:
Cho hàm số y  f x liên tục có đồ thị như hình. F x là nguyên
hàm của f x trên a;c   .
So sánh F a; F c; F x  x   ; a c i i   .
Bước 1: So sánh Fa; Fb . b b Trên  ;
a b : f x  0    f
 x dx  f
 xdx  FbFa a a b Mà f
 xdx  0 FbFa  0  Fb  Fa. a
Bước 2: Tương tự so sánh Fb;Fc.
y  f x
y  f x  
Bước 3: Ta thấy diện tích hình phẳng giới hạn bởi Ox  lớn hơn Ox  .  
x  a; x  b 
x  b; x  c  b f  x c dx  f
 x dx  FbFa  FcFb  Fa  FcFa Fc. a b  Ví dụ 3.10.1 y
Cho hàm số y  f x xác định, liên tục và có một nguyên
hàm là F x trên  2  ;1 
 đồng thời f x có đồ thị như hình 2
vẽ bên. Hỏi số nào sau đây là số dương?
A. F 2  F  2   B. F  2    F  1 x -2 O 1 2
C. F 2  F   1
D. F 2  F 0 -1 y = f (x) Lời giải Chọn A y 1 S
 f xdx  F  F    nên loại B CIB  1  2 0 2  2 B 2 S
  f xdx  F  F   nên loại C IDA  1 2 0 1 1 f  x 2 dx   f  xdx C I D 0 1 x O  -2 1 2 F  
1  F 0  F  
1  F 2  F 0  F 2 nên loại D -1 A 1 2 Mặt khác ta có S  S  f
 xdx   f  xdx CIB DIA y = f (x) 2  1  F  1  F  2    F 
1  F 2  F  2
   F2  F2 F 2    0
Vậy F 2  F  2   là số dương.
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 74
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024  Ví dụ 3.10.2
Cho hàm số f x có đạo hàm trên , đồ thị hàm số
y  f x như trong hình vẽ bên.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. f a  f c
B. f b  f c
C. f a  f b
D. f a  f c Lời giải Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f b  f c, f a  f b nên loại phương án B, C b c Mặt khác f 
 x dx  f  x dx a b
 f x b   f x c  f b f a   f c f b  f a  f c a b
Vậy f a  f c là mệnh đề đúng.  Ví dụ 3.10.3
Cho hàm số y  f x có đồ thị trên đoạn  4  ; 4 
 như hình vẽ. Gọi F x là một
nguyên hàm của hàm số f x , tính giá trị của S  F 4  F  4  . y 4
y = f(x) 2 x -4 -2 O 2 4
A. S  6  2
B. S 14  2
C. S 14
D. S 14  4 Lời giải Chọn B 
S  F 4  F  4   4  f  x 2 dx  f  x 2 dx  f  x 4 dx  f  xdx 4  4  2  2 2  2 1 4 f  x 1 dx  2 . 2 .  2 ; f  x 2 dx  2 4 .  2 .  8  2 ; f
 xdx  2 2.  4 2 2 4  2  2 Vậy S 14  2 .
 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 75