Tổng ôn tập TN THPT 2020 môn Toán: Tích phân

Tổng ôn tập TN THPT 2020 môn Toán: Tích phân được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

16 8 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Môn: Toán 12

Thông tin:

59 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
A. ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
a) Định nghĩa:
b
a
b
a
f x dx F x F b F a
với
F x
là một nguyên hàm của
f x
trên
;
a b
.
b) Tính chất:
0
a
a
f x dx
b a
a b
f x dx f x dx
b b
a a
kf x dx k f x dx
(k là hằng số)
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
c b c
a a b
f x dx f x dx f x dx
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du
Nếu
0, ;f x x a b
thì
0.
b
a
f x dx
Nếu
, ;f x g x x a b
thì
.
b b
a a
f x dx g x dx
Đặc biệt:
 Nếu hàm
y f x
là hàm số lẻ trên
;a a
thì
0.
a
a
f x dx
 Nếu hàm
y f x
là hàm số chẵn trên
;a a
thì
0
2
a a
a
f x dx f x dx
.
Câu 1. Nếu
2
1
d 2f x x
và
3
2
d 1f x x
thì
3
1
df x x
bằng
A.
3
. B.
1
. C.
1
. D.
3
.
Câu 2. Nếu
1
0
d 4f x x
thì
1
0
2 df x x
bằng
A.
16
. B.
4
. C.
2
. D.
8
.
Câu 3. Cho
1
0
d 2
f x x
và
1
0
d 5
g x x
khi đó
1
0
2 d
f x g x x
bằng
A.
3
. B.
12
. C.
8
. D.
1
.
Câu 4. Biết
2
1
d 2f x x
và
2
1
d 6g x x
, khi đó
2
1
df x g x x
bằng
A.
4
. B.
8
. C.
8
. D.
4
.
Câu 5. Biết tích phân
1
0
3f x dx
và
1
0
4g x dx
. Khi đó
1
0
f x g x dx
bằng
A.
7
. B.
7
. C.
1
. D.
1
.
Câu 6. Cho hàm số
f x
có đạo hàm trên đoạn
1;2
,
1 1f
và
2 2f
. Tính
2
1
.I f x dx
A.
1.I
B.
1.I
C.
3.I
D.
7
.
2
I
TÍCH PHÂN
Vấn đề 14
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 7. Cho
5
0
f x x
. Tích phân
5
2
0
4 3 df x x x
bằng
A.
133
. B.
120
. C.
130
. D.
140
.
Câu 8. Cho
1 1
0 0
3, 2
f x dx g x dx
. Tính giá trị của biểu thức
1
0
2 3
I f x g x dx
A.
12
. B.
9
. C.
6
. D.
6
y
.
Câu 9. Biết rằng
2
0
1
d
2
f x x
, tính
2
0
2 1 dI f x x
.
A.
3
I
. B.
1I
. C.
2I
. D.
3
2
I
.
Câu 10. Cho hàm số
f x
liên tục trên
và
2
2
0
3 d 10
f x x x
. Tính
2
0
( )df x x
.
A.
18
. B.
2
. C.
18
. D.
2
.
Câu 11. Cho
2
1
d 2
f x x
và
4
2
d 1
f x x
. Tích phân
4
1
df x x
bằng
A.
3
. B.
3
. C.
1
. D.
1
.
Câu 12. Cho
2
1
( ) 2
f x dx
và
2
1
( ) 1
g x dx
, khi đó
2
1
2 ( ) 3 ( )x f x g x dx
bằng
A.
5
2
B.
7
2
C.
17
2
D.
11
2
Câu 13. Cho hàm số
f x
liên tục trên
và thỏa mãn
6 10 6
0 3 3
d 7, d 3, d 1f x x f x x f x x
.
Tính giá trị của
10
0
df x x
.
A.
4
. B.
10
. C.
9
. D.
8
.
Câu 14. Cho hàm số
cos ln .f x x
Tính tích phân
1
d .
e
I f x x
A.
2.
I
B.
2.
I
C.
2 .
I
D.
2 .
I
Câu 15. Cho
5
1
( ) 4
h x dx
và
7
1
( ) 10
h x dx
, khi đó
7
5
( )h x dx
bằng
A.
7
. B.
2
. C.
6
. D.
5
.
Câu 16. Cho hai tích phân
5
2
d 8
f x x
và
5
2
d 3
g x x
. Tính
5
2
4 1 dI f x g x x
A.
13
I
. B.
27
I
. C.
11I
. D.
3
I
.
Câu 17. Cho
f x
là một hàm số liên tục trên
2;5
và
5 3
2 1
dx 8, dx 3
f x f x
. Tính
1 5
2 3
dx dx
P f x f x
.
A.
5
P
. B.
11P
. C.
11P
. D.
5
P
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Câu 18. Cho hàm số
f x
liên tục, có đạo hàm trên đoạn
1;2
, biết tích phân
2
1
9
f x dx
và
1 8
f
. Tính
2 .
f
A.
2 1.
f
B.
2 1.
f
C.
2 3.
f
D.
2 16.
f
Câu 19. Cho
2
2
d 1f x x
,
4
2
d 4
f t t
. Tính
4
2
dI f y y
.
A.
5
I
. B.
3
I
. C.
3
I
. D.
5
I
.
Câu 20. Cho
2
1
d 2
f x x
và
2
1
d 1
g x x
. Tính
2
1
2 3 dI x f x g x x
.
A.
11
2
I
B.
17
2
I
C.
5
2
I
D.
7
2
I
Câu 21. Cho
,
f x g x
là các hàm số liên tục trên
1;3
và thỏa
mãn
3
1
3 d 10
f x g x x
3
1
2 d 6
f x g x x
. Tính
3
1
dI f x g x x
bằng
A.
7
I
. B.
6
I
. C.
8
I
. D.
9
I
.
B. TÍCH PHÂN CƠ BẢN(THÔNG QUA BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM)
Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)
0d .x C

d .k x kx C
1
d .
1
n
n
x
x x C
n

1
1 ( )
( ) d .
1
n
n
ax b
ax b x C
a n
1
d ln .x x C
x

1 1
d ln .x ax b C
ax b a
2
1 1
d .x C
x
x

2
1 1 1
d .
( )
x C
a ax b
ax b
sin d cos .x x x C

1
sin( )d cos( ) .ax b x ax b C
a
cos d sin .x x x C

1
cos( )d sin( ) .ax b x ax b C
a
2
1
d cot .
sin
x x C
x

2
d 1
cot( ) .
sin ( )
x
ax b C
a
ax b
2
1
d tan .
cos
x x C
x

2
d 1
tan( ) .
cos ( )
x
ax b C
a
ax b
d .
x x
e x e C

1
d .
ax b ax b
e x e C
a
d .
ln
x
x
a
a x C
a

1
d .
ln
x
x
a
a x C
a
♦ Nhận xét. Khi thay
x
bằng
( )ax b
thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm
1
a
Một số nguyên tắc tính cơ bản
Tích của đa thức hoặc lũy thừa
PP
khai triễn.
Tích các hàm mũ
PP
khai triển theo công thức mũ.
Bậc chẵn của sin và cosin
Hạ bậc:
2 2
1 1 1 1
sin cos2 , cos cos2 .
2 2 2 2
a a a a
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Chứa tích các căn thức của
x
PP
chuyển về lũy thừa.
MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu 22.
2
1
2 3
dx
x
bằng
A.
7
2ln
5
. B.
1
ln 35
2
. C.
7
ln
5
. D.
1 7
ln
2 5
.
Câu 23. Tích phân
2
0
3
dx
x
bằng
A.
16
225
B.
5
log
3
C.
5
ln
3
D.
2
15
Câu 24. Tính tích phân
5
1
d
1 2
x
I
x
A.
ln9I
. B.
ln9I
. C.
ln3I
. D.
ln3I
.
Câu 25. Tính tích phân
2
1
1
d
x
I x
x
.
A.
1 ln 2I
. B.
7
4
I
. C.
2ln 2I
. D.
1 ln 2I
.
Câu 26. Biết rằng tích phân
1
0
2 d .
x
x e x a b e
với
,a b
. Khi đó, tính
a b
bằng
A.
15
. B.
1
. C.
20
. D.
1
.
Câu 27. Giá trị của tích phân
6
0
os2I c xdx
bằng
A.
1
.
4
B.
3
.
4
C.
1
.
2
D.
3
.
2
Câu 28. Cho
1
0
1 1
d ln 2 ln 3
1 2
x a b
x x
với ,a b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2a b
B.
2 0a b
C.
2a b
D.
2 0a b
Câu 29. Cho . Tính .
A. B. C. D. .
Câu 30.
2
3 1
1
d
x
e x
bằng:
A.
5 2
1
3
e e
. B.
5 2
1
3
e e
. C.
5 2
e e
. D.
5 2
1
3
e e
.
Câu 31. Cho
2
0
3 2 1 d 6
m
x x x
. Giá trị của tham số
m
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
1;2
. B.
;0
. C.
0;4
. D.
3;1
.
Câu 32. Giả sử
2
1
d
ln ,
3
x a
x b
với
,a b
là các số tự nhiên có ước chung lớn nhất bằng 1. Khẳng định nào
sau đây đúng?
2
0
d 5
f x x
2
0
2sin dI f x x x
7
I
5
2
I
3
I
5I
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
A.
2.
a b
B.
2 2
41.
a b
C.
2 14.
a b
D.
3 12.
a b
Câu 33. Cho số thực
a
và hàm số
2
2 khi 0
khi 0.
x x
f x
a x x x
Tính
1
1
.f x dx
A.
1.
6
a
B.
2
1.
3
a
C.
1.
6
a
D.
2
1.
3
a
Câu 34. Tính tích phân
ln2
4
0
1 .
x
I e dx
.
A.
15
ln 2.
4
I
B.
4 ln2.
I
C.
17
ln 2.
4
I
D.
15
ln 2.
2
I
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 35. Cho hàm số
f x
. Biết
0 4
f
và
2
' 2sin 1, f x x x
, khi đó
4
0
df x x
bằng
A.
2
15
.
16
B.
2
16 16
.
16
C.
2
16 4
.
16
D.
2
4
.
16
Câu 36. Cho hàm số
( )f x
.Biết
(0) 4
f
và
2
( ) 2cos 3,f x x x
, khi đó
4
0
( )f x dx
bằng?
A.
2
2
8
. B.
2
8 8
8
. C.
2
8 2
8
. D.
2
6 8
8
.
Câu 37. Cho hàm số
f x
. Biết
0 4
f
và
2
2sin 3f x x
,
x R
, khi đó
4
0
df x x
bằng
A.
2
2
8
. B.
2
8 8
8
. C.
2
8 2
8
. D.
2
3 2 3
8
.
Câu 38. Cho hàm số
f x
. Biết
0 4
f
và
2
2cos 1, ,
f x x x
khi đó
4
0
df x x
bằng
A.
2
4
16
. B.
2
14
16
. C.
2
16 4
16
. D.
2
16 16
16
.
C. TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỶ
1. Công thức thường áp dụng
1 1
d ln .x ax b C
ax b a
2
1 1 1
d .
( )
x C
a ax b
ax b
ln ln ln( ).a b ab
ln ln ln
a
a b
b
ln ln .
n
a n a
ln1 0.
2. Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ
( )
d .
( )
P x
I x
Q x
Nếu bậc của tử số
( )P x
bậc của mẫu số
( )Q x
PP
Chia đa thức.
Nếu bậc của tử số
( )P x
bậc của mẫu số
( )Q x
PP
phân tích mẫu
( )Q x
thành tích số, rồi sử dụng
phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01.
Nếu mẫu không phân tích được thành tích số
PP
thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng
cách đặt
tan ,X a t
nếu mẫu đưa được về dạng
2 2
.X a
Câu 39. Biết
4
2
3
d
ln 2 ln 3 ln 5,
x
I a b c
x x
với
, ,a b c
là các số nguyên. Tính
.S a b c
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
A.
6
S
. B.
2
S
. C.
2
S
. D.
0.
S
Câu 40. Cho
1
2
0
d
ln 2 ln 3
2
x x
a b c
x
với
a
,
b
,
c
là các số hữu tỷ. Giá trị của
3
a b c
bằng
A.
2
. B.
1
. C.
2
. D.
1
.
Câu 41. Biết
4
3 2
2
1
7 3
d ln5
3
x x x a
x c
x x b
với
,a
,b
c
là các số nguyên dương và
a
b
là phân số tối
giản. Tính giá trị của
2 3
P a b c
.
A.
5
. B.
3
. C.
6
. D.
4
.
Câu 42. Cho
3
2
1
1
dx ln3 ln 5
2
a b
x x
, với
,a b
là các số hữu tỉ. Tính
4a b
A.
4 1
a b
. B.
4 1
a b
. C.
4 3
a b
. D.
4 3
a b
.
Câu 43. Biết
2
2
1
2 5
ln ln
1
x x
I dx b c a,b,c
x a
. Tính giá trị biểu thức
S a b c
A.
7
S
. B.
3
S
. C.
3
S
. D.
1
S
.
Câu 44. Cho
3
2
1
3
d ln 2 ln3 ln5
3 2
x
x a b c
x x
với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c
bằng
A.
0.
B.
2.
C.
3.
D.
1.
Câu 45. Cho
4
0
16
d .
3
f x x
Tính
4
2
0
5
3 d .
1
I f x x
x
A.
12I
. B.
0
I
. C.
20
I
. D.
1I
.
Câu 46. Cho
3
2
d
ln 2 ln 3 ln 5
1 2
x
a b c
x x
với
, ,a b c
là các số hữu tỉ. Giá trị của
2 3
a b c
bằng
A.
3
. B.
6
. C.
5
. D.
4
.
Câu 47. Biết
2
2
2
0
5 2
d ln3 ln5
4 3
x x
x a b c
x x
,
, ,a b c
. Giá trị của
abc
bằng
A.
8
. B.
10
. C.
12
. D.
16
.
D. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1. Đổi biến số với một số hàm thường gặp
( ) d .
PPn
f ax b x x t ax b 
( ) ( )d ( ).
b
PP
n n
a
f x f x x t f x
1
(ln ) d ln .
b
PP
a
f x x t x
x
( ) d .
b
PP
x x x
a
f e e x t e
(sin )cos d sin .
b
PP
a
f x x x t x
(cos )sin d cos .
b
PP
a
f x x x t x
2
1
(tan ) d tan .
cos
b
PP
a
f x x t x
x
(sin cos ).(sin cos )d sin cos .
b
a
f x x x x x t x x
2 2 2
( ) d sin .
PPn
f a x x x x a t
2 2 2
( ) d tan .
PPm n
f x a x x x a t
d cos2 .
PP
a x
f x x a t
a x
d
.
( )( )
x
t ax b cx d
ax b cx d
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
1
,., d .
k
s s
n
R ax b ax b x t ax b
d 1
( )
PP
n nn
x
x
t
a bx a bx
2. Đổi biến số với hàm ẩn
Nhận dạng tương đối: Đề cho
( ),f x
yêu cầu tính
( )f x
hoặc đề cho
( ),f x
yêu cầu tính
( ).f x
Phương pháp: Đặt
( ).t x
Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận và ở trên đã sử dụng tính chất: “Tích phân không phụ thuộc vào biến số,
mà chỉ phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa là
( )d ( )d ( )d
b b b
a a a
f u u f t t f x x
MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT THÔNG HIỂU
Câu 48. Xét
2
2
0
e d
x
x x
, nếu đặt
2
u x
thì
2
2
0
e d
x
x x
bằng
A.
2
0
2 e d
u
u
. B.
4
0
2 e d
u
u
. C.
2
0
1
e d
2
u
u
. D.
4
0
1
e d
2
u
u
.
Câu 49. Tính tích phân
3
0
cos .sin dI x x x
.
A.
4
1
4
I
B.
4
I
C.
0
I
D.
1
4
I
Câu 50. Cho
21
5
ln 3 ln 5 ln 7
4
dx
a b c
x x
, với
, ,a b c
là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2a b c
. B.
a b c
. C.
a b c
. D.
2a b c
.
Câu 51. Cho hàm số
f x
liên tục trên
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
1 2
0 0
1
2
f x dx f x dx
. B.
1
1
0
f x dx
.
C.
1 1
0 0
1
f x dx f x dx
. D.
1 1
1 0
2
f x dx f x dx
.
Câu 52. Giả sử
16
1
d 2020,
f x x
khi đó giá trị của
2
3 4
1
. d
x f x x
bằng
A.
4
2020 .
B.
4
2020.
C.
8080.
D.
505.
Câu 53. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
1
0
2 2
f x dx
. Tích phân
2
0
f x dx
bằng:
A.
8
. B.
1
. C.
2
. D.
4
.
Câu 54. Cho
2
1
d 2
f x x
. Khi đó
4
1
d
f x
x
x
bằng
A.
1
. B.
4
. C.
2
. D.
8
.
Câu 55. Cho
2
0
2 3 d 6
f x g x x
,
2
0
d 2
g x x
. Tính
1
0
2 dI f x x
A.
6
I
. B.
12I
. C.
6
I
. D.
3
I
.
Câu 56. Cho
4
0
1 2 d
I x x x
và
2 1 u x
. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
3
5 3
1
1
2 5 3
u u
I
. B.
3
2 2
1
1 d
I u u u
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
C.
3
2 2
1
1
1 d
2
I x x x
. D.
3
2 2
1
1
1 d
2
I u u u
.
Câu 57. Cho
3
2
0
sin cos ,I x xdx
khẳng định nào sau đây đúng?
A.
1
0
3
I
. B.
1 1
3 2
I
. C.
1 2
2 3
I
. D.
2
1
3
I
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 58. Cho hàm số
f x
có
3 3
f
và
1 1
x
f x
x x
,
0
x
. Khi đó
8
3
df x x
bằng
A.
7
. B.
197
6
. C.
29
2
. D.
181
6
.
Câu 59. Cho hàm số
f x
có
0 0
f
và
2
cos cos 2 ,
f x x x R
. Khi đó
0
df x x
bằng
A.
1042
225
. B.
208
225
. C.
242
225
. D.
149
225
.
Câu 60. Biết
2
1
( 1) 1
dx
dx a b c
x x x x
với
, ,a b c
là các số nguyên dương. Tính
P a b c
A.
24P
B.
12P
C.
18
P
D.
46
P
Câu 61. Cho
1
0
d 1
ln
1 2
x
x e
a b
e
, với
,a
b
là các số hữu tỉ. Tính
3 3
S a b
.
A.
2
S
. B.
2
S
. C.
0
S
. D.
1
S
.
Câu 62. Cho hàm số
2
, khi 0
2 3 , khi 0
x
e m x
f x
x x x
liên tục trên
và
1
1
d 3
f x x ae b c
,
, ,a b c
. Tổng
T 3a b c
bằng
A.
T 15
. B.
T 10
. C.
T 19
. D.
T 17
.
Câu 63. Cho hàm số
f x
liên tục trên
và thỏa
2
2
2
5 d 1,
f x x x
5
2
1
d 3.
f x
x
x
Tính
5
1
d .f x x
A. -15. B. -2. C. -13. D. 0.
Câu 64. Biết rằng tích phân
1
0
d
ln 2 ln3 ln5
3 5 3 1 7
x
a b c
x x
với
, ,a b c
là các số hữu tỉ. Giá trị
của
a b c
bằng
A.
10
3
. B.
5
3
. C.
10
3
. D.
5
3
.
Câu 65. Cho
3
0
ln 2 ln 3
3
4 2 1
x a
dx b c
x
, với
, ,a b c
là các số nguyên. Giá trị của
a b c
bằng
A. 2. B. 9. C. 7. D. 1.
Câu 66. Biết
1
ln
d e
e
x
x a b
x
với
, a b
. Tính
.P a b
A.
4P
. B.
8
P
. C.
8
P
. D.
4P
.
Câu 67. Giả sử
64
3
1
d 2
ln
3
x
I a b
x x
với
,a b
là các số nguyên. Khi đó giá trị
a b
là
A.
17
. B.
5
. C.
-5
. D.
17
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
Câu 68. Biết rằng
2
0
sin cos d
x x x a b
với
,
a b R
.Tính
a b
.
A.
. B.
4
. C.
2
. D.
2
.
Câu 69. Biết tích phân
ln6
0
e
d ln 2 ln3
1 e 3
x
x
x a b c
với
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Tính
T a b c
.
A.
0
T
. B.
2T
. C.
1T
. D.
1T
.
Câu 70. Biết
2
2
0
cos
ln 2 ln3
sin 3sin 2
x
dx a b
x x
với
, ,a b c
là các số nguyên. Tính
2 .P a b
A.
3
. B.
7
. C.
5
.
D.
1
.
Câu 71. Cho biết
3
2
0
sin tan d ln
8
b
x x x a
với
,a b
là các số nguyên. Giá trị của biểu thức
3 2M a b
bằng
A.
12
. B.
0
. C.
1
. D.
3
.
Câu 72. Cho hàm số
f x
liên tục trên tập hợp
và thỏa mãn
ln3
0
3 d 1
x
f e x
,
6
4
2 1
d 3
3
x f x
x
x
. Giá trị của
6
4
df x x
bằng
A.
10
. B.
5
. C.
4
. D.
12
.
Câu 73. Biết rằng
1
4ln 1
d
6
e
x a b
x
x
với
*
,a b
. Giá trị của
3 1a b
bằng
A.
125
. B.
120
. C.
124
. D.
123
.
Câu 74. Cho hàm số
( )y f x
có đạo hàm trên
và thỏa mãn
3
( ) 2 ( ) 1
x f x f x
, với
x
. Giá
trị của
1
2
( )f x dx
bằng
A.
5
2
. B.
5
4
. C.
7
4
. D.
7
2
.
Câu 75. Biết
1
3 ln
.d
3
e
x a b c
x
x
, trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương và
10
c
. Giá trị của
a b c
bằng
A.
19
. B.
13
. C.
28
. D.
25
.
Câu 76. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
0;1
và thỏa mãn
2 3
6
6
3 1
f x x f x
x
. Tính
1
0
df x x
.
A.
1
. B. 4. C. 2. D. 6.
E. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
1. Định lí: Nếu
( )u u x
và
( )v v x
là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn
[ ; ]a b
thì
( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d
b b
b
a
a a
I u x v x x u x v x u x v x x
hay
d d .
b b
b
a
a a
I u v uv v u
2. Phương pháp thực hành:
Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhận nhau, chẳng hạn: đa thức nhân lôga, mũ nhân lượng
giác…
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Đặt
Vi phân
NH
d d
d d
u u x
v x v
Suy ra:
d d .
b b
b
a
a a
I u v uv v u
Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và
dv
phần còn lại.
Lưu ý: Tùy vào bài toán mà ta cần chọn
u
và
dv
sao cho
d
b
a
v u
đơn giản nhất. Cần nhớ rằng
bậc của đa thức và bậc của lnx tương ứng với số phần lấy tích phân từng phần.
3. Tính chất của nguyên hàm và tích phân
Nếu
( )F x
là một nguyên hàm của hàm số
( )f x
thì
( ) ( ).F x f x
( )d ( ) .f x x f x C
( )d ( ) ( ) ( ).
b
b
a
a
f x x f x f b f a
Tích phân không phụ thuộc vào biến mà chỉ phụ thuộc vào
2
cận, như
( )d ( )d ....
b b
a a
f t t f x x
Câu 77. Tính tích phân
1
ln
e
I x xdx
A.
1
2
I
B.
2
2
2
e
I
C.
2
1
4
e
I
D.
2
1
4
e
I
Câu 78. Cho
e
2
1
1 ln d e ex x x a b c
với
a
,
b
,
c
là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
a b c
B.
a b c
C.
a b c
D.
a b c
Câu 79. Cho
2
0
2 ln(1 )d lnx x x a b
với
*
;a b
và b là số nguyên tố. Tính
3 4a b
.
A.
42
. B.
21
. C.
12
. D.
32
.
Câu 80. Cho
f x
là một nguyên hàm của
g x
trên
, thỏa mãn
2
0
1 1
, d
2 2 2
f xg x x
và
2
0
d ,f x x a b
trong đó
,a b
là các số hữu tỉ. Tính
4P a b
.
A.
3
2
P
. B.
7
4
P
. C.
5
2
P
. D.
1
2
P
.
Câu 81.
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
2 1
x
f x x e
thỏa
0 0
F
. Tính
1
F
A.
2
1 2F e
. B.
2
1
2
e
F
. C.
2
1
F e
. D.
2
1
2
3e
F
.
Câu 82. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
1
0
1 d 10
x f x x
và
2 1 0 2
f f
. Tính
1
0
df x x
.
A.
12I
B.
8
I
C.
1I
D.
8
I
Câu 83. Biết
4
2
0
ln sin cos
d ln 2
cos
x x
a
x
x b c
, với
, ,a b c
là các số nguyên. Khi đó,
bc
a
bằng
A.
6
. B.
8
3
. C.
6
. D.
8
3
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
Câu 84. Biết tích phân
4
0
d ln 2
1 cos2
x
I x a b
x
với
,a b
là các số hữu tỷ. Tính
16 8T a b
?
A.
4T
. B.
5
T
. C.
2T
. D.
2T
.
Câu 85. Cho hàm số
f x
liên tục và có đạo hàm trên đoạn
0;5
thỏa mãn
5
0
d 8
f x
xf x e x
;
5 ln5
f
. Tính
5
0
d .
f x
I e x
A.
33
. B.
33
. C.
17
. D.
17
.
Câu 86. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;2
và thỏa mãn
0 2
f
,
2
0
2 4 ' d 4
x f x x
. Tính tích phân
2
0
dI f x x
.
A.
2I
. B.
2I
. C.
6
I
. D.
6
I
.
Câu 87. Cho
2
2
1
ln 1 2
d ln 5 ln3 ln 2
2
x
a
x b c
x
, với
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Giá trị của
2
a b c
là:
A. 0. B. 9. C. 3. D. 5.
Câu 88. Tích phân
2
2 2
1
ln
ln 2 ln3 ln 5
( 1)
x xdx
a b c
x
( với
, ,a b c
là các số hữu tỉ). Tính tổng
.a b c
A.
2
5
. B.
9
10
. C.
9
10
. D.
2
5
.
Câu 89. Cho hàm số
( )f x
có
'
( )f x
và
''
( )f x
liên tục trên
1;3
. Biết
(1) 1, (3) 81, (1) 4, (3) 108
f f f f
. giá trị của
3
1
4 2 ( )x f x dx
bằng
A.
64
. B.
48
. C.
64
. D.
48
.
Câu 90. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm
'
f x
liên tục trên
,
4 8
f
và
4
0
d 6
f x x
. Giá trị
của
2
'
0
2 dxf x x
bằng
A.
13
. B.
13
2
. C.
10
. D.
13
4
.
Câu 91. Biết
2 2
1
3 e d e 2 , ,
x x
x x x n C m n
m
. Giá trị của
2 2
m n
bằng
A.
10
. B.
65
. C.
5
. D.
41
.
F. TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Câu 92. Cho hàm số
( )f x
liên tục và có đạo hàm trên
1 1
;
2 2
thỏa mãn
1
2
2
1
2
109
( ) 2 ( )(3 )
12
f x f x x dx
. Tính
1
2
2
0
( )
x
1
f x
d
x
A.
7
ln
9
. B.
2
ln
9
. C.
5
ln
9
. D.
8
ln
9
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 93. Cho hàm số
( )y f x
là hàm số lẻ và liên tục trên
4;4
biết
0
2
( )d 2
f x x
và
2
1
( 2 )d 4
f x x
. Tính
4
0
I= ( )df x x
.
A.
I 10.
B.
I 10.
C.
I 6.
D.
I 6.
.
Câu 94. Cho hàm số
f x
liên tục trên
thảo mãn
3 2 10 6
1 2 ,xf x f x x x x x
. Khi đó
0
1
df x x
?
A.
17
20
. B.
13
4
. C.
17
4
. D.
1
.
Câu 95. Cho hàm số
( )y f x
liên tục trên đoạn
2
;e e
.
Biết
2 2 2
( ) ln ( ) ln 0, ;x f x x xf x x x e e
và
1
( )f e
e
. Tính tích phân
2
( )d
e
e
I f x x
.
A.
2I
. B.
3
2
I
. C.
3
I
. D.
ln 2I
.
Câu 96. Cho hàm số
f x
có đạo hàm trên
4;2
, thỏa mãn
3
0
' 2 4 8
xf x dx
và
2 2
f
.
Tính
1
2
2
I f x dx
.
A.
10
I
B.
5
I
C.
5
I
D.
10
I
Câu 97. Cho hàm số
( )f x
liên tục trên
và có
3
0
( ) 8
f x dx
và
5
0
( ) 4
f x dx
. Tính
1
1
( 4 1)f x dx
A.
9
4
. B.
11
4
. C.
3
. D.
6
.
Câu 98. Cho hàm số
f x
liên tục trên
1;1
và
2019 e
x
f x f x
,
1;1
x
. Tính
1
1
df x x
.
A.
2
e 1
e
. B.
2
e 1
2020e
. C. 0. D.
2
e 1
2019e
.
Câu 99. Cho hàm số
f x
liên tục trên
0;1
thỏa mãn
2 3
6
1 6
3 1
f x x f x
x
. Khi đó
1
0
df x x
bằng
A.
4
. B.
1
. C.
2
. D.
6
.
Câu 100. Cho hàm số
f x
xác định và liên tục trên
\ 0
thỏa mãn
2 2 '
2 1 1
x f x x f x xf x
,
với mọi
\ 0
x
đồng thời thỏa
1 2
f
. Tính
2
1
df x x
A.
ln 2
1
2
. B.
1
ln 2
2
. C.
3
ln 2
2
. D.
ln 2 3
2 2
.
Câu 101. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm trên
0;4
và thỏa đẳng thức sau đây
2019 2020 4 6059
2
x
f x f x
. Tính tích phân
4
0
df x x
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 102. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
,
0 0, 0 0f f
và thỏa mãn hệ
thức
2 2
. 18 3 6 1 ,f x f x x x x f x x f x x
.
Biết
1
2
0
1 d .
f x
x e x a e b
, với
;a b
. Giá trị của
a b
bằng.
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D.
2
3
.
Câu 103. Cho hàm số
f x
liên tục trên
thỏa mãn
2 3 5 3 2
1 3 3
1 4 5 7 6,
4 4 2
f x x f x x x x x x x
. Tích phân
2
1
df x x
bằng
A.
1
7
. B.
1
3
. C.
7
. D.
19
3
.
Câu 104. Cho hàm số
f x
xác định và có đạo hàm
f x
liên tục trên đoạn
1;3
,
0f x
với mọi
1;3x
, đồng thời
2
2 2
1 1f x f x f x x
và
1 1f
.
Biết rằng
3
1
d ln3f x x a b
,
,a b
, tính tổng
2
.S a b
A.
0S
. B.
1S
. C.
2S
. D.
4S
.
Câu 105. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
thỏa mãn
1 1f
và
2
2 6 4 2
4 6 1 . 40 44 32 4, 0;1f x x f x x x x x
. Tích phân
1
0
f x dx
bằng?
A.
23
15
. B.
13
15
. C.
17
15
. D.
7
15
.
Câu 106. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn và
. Tích phân bằng
A. . B. . C. . D.
Câu 107. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên
2;4
và
0, 2;4f x x
. Biết
3
3 3
7
4 , 2;4 , 2
4
x f x f x x x f
. Giá trị của
4f
bằng
A.
40 5 1
2
. B.
20 5 1
4
. C.
20 5 1
2
. D.
40 5 1
4
.
Câu 108. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;2
và thỏa
1 0f
,
2
2
4 8 32 28f x f x x x
với mọi
x
thuộc
0;2
. Giá trị của
1
0
df x x
bằng
A.
5
3
. B.
4
3
. C.
2
3
. D.
14
3
.
( )f x
(0) 3
f
2
( ) (2 ) 2 2,f x f x x x x
2
0
( )dxf x x
4
3
2
3
5
3
10
3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 109. Cho hàm số
f x
liên tục trên
0;1
và
2
2 3
1
1
x x
f x f x
x
,
0;1
x
. Tính
1
0
df x x
A.
3
2ln 2
4
. B.
3 ln 2
. C.
3
ln2
4
. D.
3
2ln 2
2
.
Câu 110. Cho hàm số
( )y f x
liên tục trên thỏa mãn
2
2 1
3 2 2 1 e 4
x x
f x f x x
. Tính tích
phân
2
0
dI f x x
ta được kết quả:
A.
e 4
I
. B.
8
I
. C.
2I
. D.
e 2
I
.
Câu 111. Cho hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên
0;2
và thỏa mãn:
2
2
3
( 4) 4 ( ) ( )
5
x xf x f x
và
1
(0)
20
f
. Khi đó
2
0
( )df x x
bằng
A.
203
30
. B.
163
30
. C.
11
30
. D.
157
30
Câu 112. Cho hàm số
f x
liên tục trên
thỏa mãn
5 4 11 8 6 4
1 3 3,xf x f x x x x x x x
. Khi đó
0
1
df x x
bằng
A.
35
6
. B.
15
4
. C.
7
24
. D.
5
6
.
Câu 113. Cho hàm số
f x
liên tục trên
2
;1
5
 
 
 
 
và thỏa mãn
 
2 2
2 5 3 , ;1
5 5
f x f x x
x
   


 
   




 
 
 
. Khi đó
 
1
3
2
15
ln 3 . ' 3
I x f x dx


bằng:
A.
1 2 3
ln
5 5 35

. B.
1 5 3
ln
5 2 35

. C.
1 5 3
ln
5 2 35
 
. D.
1 2 3
ln
5 5 35
 
.
Câu 114. Cho hàm số
f x
liên tục trên
và thỏa mãn
2 7 3
2 2 3 1f x xf x x x x
với
x
.
Tính tích phân
1
0
dxf x x
.
A.
1
4
. B.
5
4
. C.
3
4
. D.
1
2
.
Câu 115. Cho hàm số
f x
liên tục trên
thỏa mãn
4 3
2
2 2 4 4
1 2 , 0, 1
x x x x
x f x f x x
x x
. Khi đó
1
1
d
f x x
có giá trị là
A.
0
. B.
1
. C.
1
2
. D.
3
2
.
Câu 116. Xét hàm số
f x
liên tục trên đoạn
0;1
và thỏa mãn điều kiện
2 3 1 1
f x f x x x
.
Tính tích phân
1
0
dI f x x
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
A.
4
1
5
B.
4
1
5
C.
2
5
D.
1
Câu 117. Cho
hàm số
f
x
liên
tục trên
thỏa
mãn
2 3 5 3 2
1
3 3
1 4 5 7 6,
4 4 2
f x x f x x x x x x x
. T
ích phân
2
1
df x x
bằng
A.
1
7
. B.
1
3
. C.
7
. D.
1
9
3
.
----------------- HẾT -----------------
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 1
A. ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
a) Định nghĩa:
b
a
b
a
f x dx F x F b F a
với
F x
làmộtnguyênhàmcủa
f x
trên
;a b
.
b) Tính chất:
0
a
a
f x dx
b a
a b
f x dx f x dx
b b
a a
kf x dx k f x dx
(klàhằngsố)
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
c b c
a a b
f x dx f x dx f x dx
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du
Nếu
0, ;f x x a b
thì
0.
b
a
f x dx
Nếu
, ;f x g x x a b
thì
.
b b
a a
f x dx g x dx
Đặc biệt:
Nếuhàm
y f x
làhàm số lẻtrên
;a a
thì
0.
a
a
f x dx
Nếuhàm
y f x
làhàm số chẵntrên
;a a
thì
0
2
a a
a
f x dx f x dx
.
Câu 1. Nếu
2
1
d 2f x x
và
3
2
d 1f x x
thì
3
1
df x x
bằng
A.
3
. B.
1
. C.
1
. D.
3
.
Lời giải
Chọn B
Tacó
3 2 3
1 1 2
d d d 2 1 1f x x f x x f x x
.
Câu 2. Nếu
1
0
d 4f x x
thì
1
0
2 df x x
bằng
A.
16
. B.
4
. C.
2
. D.
8
.
Lời giải
Chọn D
Tacó:
1 1
0 0
2 d 2 d 2.4 8f x x f x x
.
Câu 3. Cho
1
0
d 2
f x x
và
1
0
d 5
g x x
khiđó
1
0
2 d
f x g x x
bằng
A.
3
. B.
12
. C.
8
. D.
1
.
Lời giải
Chọn C.
Tacó
1
0
d 5
g x x
1
0
2 d 10
g x x
1
0
2 d 10
g x x
TÍCH PHÂN
Vấn đề 14
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Xét
1
0
2 d
f x g x x
1 1
0 0
d 2 d
f x x g x x
2 10 8
.
Câu 4. Biết
2
1
d 2
f x x
và
2
1
d 6
g x x
,khiđó
2
1
df x g x x
bằng
A.
4
. B.
8
. C.
8
. D.
4
.
Lời giải
Chọn D
Tacó:
2 2 2
1 1 1
d d d 2 6 4
f x g x x f x x g x x
.
Câu 5. Biếttíchphân
1
0
3
f x dx
và
1
0
4
g x dx
.Khiđó
1
0
f x g x dx
bằng
A.
7
. B.
7
. C.
1
. D.
1
.
Lời giải
Chọn C
Tacó
1 1 1
0 0 0
3 4 1
f x g x dx f x dx g x dx
.
Biết
1
0
( )d 2
f x x
và
1
0
( )d 4
g x x
,khiđó
1
0
( ) ( ) d
f x g x x
bằng
A.
6
. B.
6
. C.
2
. D.
2
.
Lời giải
Chọn C
1 1 1
0 0 0
( ) ( ) d ( )d g( )d 2 ( 4) 2
f x g x x f x x x x
.
Câu 6. Chohàmsố
f x
cóđạohàmtrênđoạn
1;2
,
1 1
f
và
2 2
f
.Tính
2
1
.I f x dx
A.
1.
I
B.
1.
I
C.
3.
I
D.
7
.
2
I
Lời giải
Chọn A
Tacó
2
2
1
1
2 1 2 1 1.
I f x dx f x f f
Câu 7. Cho
5
0
f x x
.Tíchphân
5
2
0
4 3 df x x x
bằng
A.
133
. B.
120
. C.
130
. D.
140
.
Lời giải
Chọn A
5 5 5
5
2 2 3
0
0 0 0
4 3 d 4 d 3 d 4. 2 8 125 133
f x x x f x x x x x
.
Câu 8. Cho
1 1
0 0
3, 2
f x dx g x dx
.Tínhgiátrịcủabiểuthức
1
0
2 3
I f x g x dx
A.
12
. B.
9
. C.
6
. D.
6
y
.
Lời giải
Chọn A
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Tacó
1 1 1
0 0 0
2 3 2 3 2.3 3. 2 12
I f x g x dx f x dx g x dx
.
Câu 9. Biếtrằng
2
0
1
d
2
f x x
,tính
2
0
2 1 dI f x x
.
A.
3
I
. B.
1I
. C.
2I
. D.
3
2
I
.
Lời giải
Chọn A
Tacó
2 2 2
2
0
0 0 0
1
2 1 d 2 d 1d 2. 1 2 3
2
I f x x f x x x x
.
Câu 10. Chohàmsố
f x
liêntụctrên
và
2
2
0
3 d 10
f x x x
.Tính
2
0
( )df x x
.
A.
18
. B.
2
. C.
18
. D.
2
.
Lời giải
Chọn D
Tacó:
2 2 2
2 2 3
0 0 0
2
3 d 10 d 10 3 d 10 2
0
f x x x f x x x x x
.
Câu 11. Cho
2
1
d 2
f x x
và
4
2
d 1
f x x
.Tíchphân
4
1
df x x
bằng
A.
3
. B.
3
. C.
1
. D.
1
.
Lời giải
Chọn C
Tacó
4 2 4
1 1 2
d d d 2 1 1
f x x f x x f x x
.
Câu 12. Cho
2
1
( ) 2
f x dx
và
2
1
( ) 1
g x dx
,khiđó
2
1
2 ( ) 3 ( )x f x g x dx
bằng
A.
5
2
B.
7
2
C.
17
2
D.
11
2
Lời giải
Chọn A
Tacó
2 2 2 2
1 1 1 1
3 5
2 ( ) 3g(x) 2 ( ) 3 ( ) 4 3
2 2
x f x dx xdx f x dx g x dx
Câu 13. Chohàmsố
f x
liêntụctrên
vàthỏamãn
6 10 6
0 3 3
d 7, d 3, d 1f x x f x x f x x
.Tính
giátrịcủa
10
0
df x x
.
A.
4
. B.
10
. C.
9
. D.
8
.
Lời giải
Chọn C
Tacó
3 6 6 10 3 10
0 0 3 0 0 3
d d d 7 1 6 d d d 6 3 9
f x x f x x f x x f x x f x x f x x
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 14. Chohàmsố
cos ln .f x x
Tínhtíchphân
1
d .
e
I f x x
A.
2.
I
B.
2.
I
C.
2 .
I
D.
2 .
I
Lời giải
Chọn A
1
1
d 1 cos ln cos ln1
cos cos0 2.
e
e
I f x x f x f e f e
Câu 15. Cho
5
1
( ) 4
h x dx
và
7
1
( ) 10
h x dx
,khiđó
7
5
( )h x dx
bằng
A.
7
. B.
2
. C.
6
. D.
5
.
Lời giải
Chọn C
7 5 7
1 1 5
( ) ( ) ( )h x dx h x dx h x dx
nên
7 7 5
5 1 1
( ) ( ) ( ) 10 4 6
h x dx h x dx h x dx
Câu 16. Chohaitíchphân
5
2
d 8
f x x
và
5
2
d 3
g x x
.Tính
5
2
4 1 dI f x g x x
A.
13
I
. B.
27
I
. C.
11I
. D.
3
I
.
Lời giải
Chọn A
Tacó:
5 5 5 5
2 2 2 2
4 1 d d 4 d d 8 4. 3 7 13
I f x g x x f x x g x x x
.
Câu 17. Cho
f x
là một hàm số liên tục trên
2;5
và
5 3
2 1
dx 8, dx 3
f x f x
. Tính
1 5
2 3
dx dx
P f x f x
.
A.
5
P
. B.
11P
. C.
11P
. D.
5
P
.
Lời giải
Chọn C
5 1 3 5
2 2 1 3
dx dx+ dx dx
f x f x f x f x
.
1 5
2 12
5 3
3
dx+ dx dx dx 11
f x f x f x f x
.
Câu 18. Cho hàm số
f x
liên tục, có đạo hàm trên đoạn
1;2
, biết tích phân
2
1
9
f x dx
và
1 8
f
.Tính
2 .
f
A.
2 1.
f
B.
2 1.
f
C.
2 3.
f
D.
2 16.
f
Lời giải
Chọn A
Tacó:
2
2
1
1
9 9 2 1 9 2 9 1 9 8 1.
f x dx f x f f f f
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Vậy
2 1.
f
Câu 19. Cho
2
2
d 1f x x
,
4
2
d 4
f t t
.Tính
4
2
dI f y y
.
A.
5
I
. B.
3
I
. C.
3
I
. D.
5
I
.
Lời giải
Chọn D
Dotíchphânkhôngphụthuộcvàobiếnsốnên
4 4
2 2
d d 4
f t t f x x
.
Tacó
4 4 4 2
2 2 2 2
d d d d 4 1 5
I f y y f x x f x x f x x
.
Câu 20. Cho
2
1
d 2
f x x
và
2
1
d 1
g x x
.Tính
2
1
2 3 dI x f x g x x
.
A.
11
2
I
B.
17
2
I
C.
5
2
I
D.
7
2
I
Lời giải
Chọn B
Tacó:
2
1
2 3 dI x f x g x x
2
2 2
2
1 1
1
2 d 3 d
2
x
f x x g x x
3
2.2 3 1
2
17
2
.
Câu 21. Cho
,
f x g x
là các hàm số liên tục trên
1;3
và thỏa
mãn
3
1
3 d 10
f x g x x
3
1
2 d 6
f x g x x
.Tính
3
1
dI f x g x x
bằng
A.
7
I
. B.
6
I
. C.
8
I
. D.
9
I
.
Lời giải
Chọn B
Tacó:
3 3 3 3
1 1 1 1
3 3 3 3
1 1 1 1
3 d 10 d 3 d 10 d 4
2 d 6 2 d d 6 d 2
f x g x x f x x g x x f x x
f x g x x f x x g x x g x x
.
Vậy
3 3 3
1 1 1
d d d 4 2 6
I f x g x x f x x g x x
.
B. TÍCH PHÂN CƠ BẢN(THÔNG QUA BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM)
Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)
0d .x C

d .k x kx C
1
d .
1
n
n
x
x x C
n

1
1 ( )
( ) d .
1
n
n
ax b
ax b x C
a n
1
d ln .x x C
x

1 1
d ln .x ax b C
ax b a
2
1 1
d .x C
x
x

2
1 1 1
d .
( )
x C
a ax b
ax b
sin d cos .x x x C

1
sin( )d cos( ) .ax b x ax b C
a
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
cos d sin .x x x C

1
cos( )d sin( ) .ax b x ax b C
a
2
1
d cot .
sin
x x C
x

2
d 1
cot( ) .
sin ( )
x
ax b C
a
ax b
2
1
d tan .
cos
x x C
x

2
d 1
tan( ) .
cos ( )
x
ax b C
a
ax b
d .
x x
e x e C

1
d .
ax b ax b
e x e C
a
d .
ln
x
x
a
a x C
a

1
d .
ln
x
x
a
a x C
a
♦ Nhận xét. Khi thay
x
bằng
( )ax b
thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm
1
a
Một số nguyên tắc tính cơ bản
Tích của đa thức hoặc lũy thừa
PP
khai triễn.
Tích các hàm mũ
PP
khai triển theo công thức mũ.
Bậc chẵn của sin và cosin
Hạ bậc:
2 2
1 1 1 1
sin cos2 , cos cos2 .
2 2 2 2
a a a a
Chứa tích các căn thức của
x
PP
chuyển về lũy thừa.
MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu 22.
2
1
2 3
dx
x
bằng
A.
7
2ln
5
. B.
1
ln35
2
. C.
7
ln
5
. D.
1 7
ln
2 5
.
Lời giải
Tacó
2
2
1
1
1 1 1 7
ln 2 3 ln 7 ln5 ln
2 3 2 2 2 5
dx
x
x
.
Câu 23. Tíchphân
2
0
3
dx
x
bằng
A.
16
225
B.
5
log
3
C.
5
ln
3
D.
2
15
Lời giải
Chọn C
2
2
0
0
5
ln 3 ln
3 3
dx
x
x
Câu 24. Tínhtíchphân
5
1
d
1 2
x
I
x
A.
ln9
I
. B.
ln9
I
. C.
ln3
I
. D.
ln3
I
.
Lời giải
Chọn C
Tacó
5
1
d
1 2
x
I
x
5
1
1
ln 1 2
2
x
1
ln9 ln1
2
ln3
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
Câu 25. Tínhtíchphân
2
1
1
d
x
I x
x
.
A.
1 ln 2I
. B.
7
4
I
. C.
2ln 2I
. D.
1 ln 2I
.
Lời giải
Chọn D
+Tacó
2 2
2
1
1 1
1 1
d 1 d ln 2 ln 2 1 1 ln 2
x
I x x x x
x x
.
Câu 26. Biếtrằngtíchphân
1
0
2 d .
x
x e x a b e
với
,a b
.Khiđó,tính
a b
bằng
A.
15
. B.
1
. C.
20
. D.
1
.
Lời giải
Chọn D
Tacó:
1
1
2
0
0
2 d 1 1
x x
x e x x e e e
suyra
0; 1a b
.
Khiđó
1a b
.
Câu 27. Giátrịcủatíchphân
6
0
os2I c xdx
bằng
A.
1
.
4
B.
3
.
4
C.
1
.
2
D.
3
.
2
Lời giải
Chọn B
6 6
6
0
0 0
1 1 3
os2 os2 2 sin 2 .
2 2 4
I c xdx c xd x x
Câu 28. Cho
1
0
1 1
d ln 2 ln 3
1 2
x a b
x x
với
,a b
làcácsốnguyên.Mệnhđềnàodướiđâyđúng?
A.
2a b
B.
2 0a b
C.
2a b
D.
2 0a b
Lời giải
Chọn B
1
1
0
0
1 1
d ln 1 ln 2 2 ln 2 ln 3
1 2
x x x
x x
;dođó
2; 1a b
Câu 29. Cho .Tính .
A. B. C. D. .
Lời giải
Chọn A
Tacó
2
2 2
0 0 0
2sin dx= dx +2 sinx dxI f x x f x
2
0
d 5
f x x
2
0
2sin dI f x x x
7
I
5
2
I
3
I
5I
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
2
0
dx 2cosx 5 2 0 1 7
2
0
I f x
.
Câu 30.
2
3 1
1
d
x
e x
bằng:
A.
5 2
1
3
e e
. B.
5 2
1
3
e e
. C.
5 2
e e
. D.
5 2
1
3
e e
.
Lời giải
Tacó:
2
3 1
1
d
x
e x
2
3 1
1
1
3
x
e
5 2
1
3
e e
.
Câu 31. Cho
2
0
3 2 1 d 6
m
x x x
.Giátrịcủathamsố
m
thuộckhoảngnàosauđây?
A.
1;2
. B.
;0

. C.
0;4
. D.
3;1
.
Lời giải
Chọn C
Tacó:
2 3 2 3 2
0
0
3 2 1 d
m
m
x x x x x x m m m
.
2
0
3 2 1 d 6
m
x x x
3 2
6 0 2 0;4
m m m m
.
Vậy
2 0;4
m
.
Câu 32. Giảsử
2
1
d
ln ,
3
x a
x b
với
,a b
làcácsốtựnhiêncóướcchunglớnnhấtbằng1.Khẳngđịnhnàosau
đâyđúng?
A.
2.
a b
B.
2 2
41.
a b
C.
2 14.
a b
D.
3 12.
a b
Lời giải
Chọn D
Tacó:
2 2
2
1
1 1
d 3
d 5
ln ln 3 ln
3 3 4
x
a x
x
b x x
Suyra:
5
3 15 4 11 12
a
a b
b
.
Câu 33. Chosốthực
a
vàhàmsố
2
2 khi 0
khi 0.
x x
f x
a x x x
Tính
1
1
.f x dx
A.
1.
6
a
B.
2
1.
3
a
C.
1.
6
a
D.
2
1.
3
a
Lời giải
Chọn A
Tacó
1 0 1 0 1
2 3
2 2 0 1
1 0
1 1 0 1 0
2
2 3
x x
f x dx f x dx f x dx x dx a x x dx x a
1
6
a
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
Câu 34. Tínhtíchphân
ln2
4
0
1 .
x
I e dx
.
A.
15
ln 2.
4
I
B.
4 ln2.
I
C.
17
ln 2.
4
I
D.
15
ln 2.
2
I
Lời giải
Chọn A
ln2
ln2 ln 2 ln2
ln2
4 4 4 4ln 2 0
0
0
0 0 0
1 1 1 15
1 . ln 2 ln 2.
4 4 4 4
x x x
I e dx e dx dx e x e e
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 35. Chohàmsố
f x
.Biết
0 4
f
và
2
' 2sin 1, f x x x
,khiđó
4
0
df x x
bằng
A.
2
15
.
16
B.
2
16 16
.
16
C.
2
16 4
.
16
D.
2
4
.
16
Lời giải
Chọn C
Tacó
2
1
2sin 1 d 2 cos 2 d 2 sin 2 .
2
f x x x x x x x C
Vì
0 4 4
f C
Hay
1
2 sin 2 4.
2
f x x x
Suyra
4 4
0 0
1
d 2 sin 2 4 d
2
f x x x x x
2 2
2
4
0
1 1 16 4
cos2 4 .
4 16 4 16
x x x
Câu 36. Chohàmsố
( )f x
.Biết
(0) 4
f
và
2
( ) 2cos 3,f x x x
,khiđó
4
0
( )f x dx
bằng?
A.
2
2
8
. B.
2
8 8
8
. C.
2
8 2
8
. D.
2
6 8
8
.
Lời giải
Chọn C
Tacó
,
2
( ) ( ) (2cos 3)f x f x dx x dx
1 cos2
(2. 3)
2
x
dx
(cos 2 4)x dx
=
1
sin 2 4
2
x x C
do
(0) 4 4
f C
.
Vậy
1
( ) sin 2 4 4
2
f x x x
nên
4 4
0 0
1
( ) ( sin 2 4 4)
2
f x dx x x dx
2
4
0
1
( cos 2 2 4 )
4
x x x
2
8 2
8
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 37. Chohàmsố
f x
.Biết
0 4
f
và
2
2sin 3f x x
,
x R
,khiđó
4
0
df x x
bằng
A.
2
2
8
. B.
2
8 8
8
. C.
2
8 2
8
. D.
2
3 2 3
8
.
Lời giải
Chọn C
2
1
d 2sin 3 d 1 cos2 3 d 4 cos2 d 4 sin 2
2
f x x x x x x x x x x C
.
Tacó
0 4
f
nên
1
4.0 sin0 4 4
2
C C
.
Nên
1
4 sin 2 4
2
f x x x
.
4 4
2
0 0
1 1
d 4 sin2 4 d 2 cos2 4
4
2 4
0
f x x x x x x x x
2
8 2
8
.
Câu 38. Chohàmsố
f x
.Biết
0 4
f
và
2
2cos 1, ,
f x x x
khiđó
4
0
df x x
bằng
A.
2
4
16
. B.
2
14
16
. C.
2
16 4
16
. D.
2
16 16
16
.
Lời giải
Chọn C
Tacó
2
1
d 2cos 1 d 2 cos 2 d sin 2 2
2
f x f x x x x x x x x C
Vì
1
0 4 4 sin 2 2 4
2
f C f x x x
.
Vậy
2
4 4
4
2
0 0
0
1 1 16 4
d sin 2 2 4 d cos2 4 .
2 4 16
f x x x x x x x x
C. TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỶ
1. Công thức thường áp dụng
1 1
d ln .x ax b C
ax b a
2
1 1 1
d .
( )
x C
a ax b
ax b
ln ln ln( ).a b ab
ln ln ln
a
a b
b
ln ln .
n
a n a
ln 1 0.
2. Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ
( )
d .
( )
P x
I x
Q x
Nếu bậc của tử số
( )P x
bậc của mẫu số
( )Q x
PP
Chia đa thức.
Nếu bậc của tử số
( )P x
bậc của mẫu số
( )Q x
PP
phân tích mẫu
( )Q x
thành tích số, rồi sử dụng
phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01.
Nếu mẫu không phân tích được thành tích số
PP
thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng cách
đặt
tan ,X a t
nếu mẫu đưa được về dạng
2 2
.X a
Câu 39. Biết
4
2
3
d
ln 2 ln 3 ln 5,
x
I a b c
x x
với
, ,a b c
làcácsốnguyên.Tính
.S a b c
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
A.
6
S
. B.
2
S
. C.
2
S
. D.
0.
S
Lời giải
Chọn B
Tacó:
2
1 1 1 1
.
( 1) 1
x x x x x x
Khiđó:
4 4
2
3 3
4
d 1 1
d ln ln( 1) (ln 4 ln 5) (ln 3 ln 4)
3
1
4ln 2 ln 3 ln 5.
x
I x x x
x x x x
Suyra:
4, 1, 1.
a b c
Vậy
2.
S
Câu 40. Cho
1
2
0
d
ln 2 ln3
2
x x
a b c
x
với
a
,
b
,
c
làcácsốhữutỷ.Giátrịcủa
3
a b c
bằng
A.
2
. B.
1
. C.
2
. D.
1
.
Lời giải
Chọn B.
1 1 1 1
2 2 2
0 0 0 0
2 2
d d 2d
d
2
2 2 2
x
x x x x
x
x
x x x
1
1
1
0
0
2
2 1
ln 2 2. ln3 ln 2 1 ln 2 ln3
1 3 3
x
x
.
Vậy
1
; 1; 1 3 1
3
a b c a b c
.
Câu 41. Biết
4
3 2
2
1
7 3
d ln5
3
x x x a
x c
x x b
với
,a
,b
c
làcácsốnguyêndươngvà
a
b
làphânsốtốigiản.
Tínhgiátrịcủa
2 3
P a b c
.
A.
5
. B.
3
. C.
6
. D.
4
.
Lời giải
Chọn D
Tacó
4 4
3 2
2 2
1 1
3 2 1
7 3
d 2 d
3 3
x
x x x
x x x
x x x x
4
2
2
1
2 3ln 3
2
x
x x x
27
3ln 5
2
.
Vậy
2 3
4
P a b c
.
Câu 42. Cho
3
2
1
1
dx ln3 ln5
2
a b
x x
,với
,a b
làcácsốhữutỉ.Tính
4a b
A.
4 1
a b
. B.
4 1
a b
. C.
4 3
a b
. D.
4 3
a b
.
Lời giải
Chọn C
Tacó
3 3 3
2
1 1 1
1 1 1 1 1
dx dx dx
2 2 2 2x x x x x x
3
1
1 1 1
ln ln 2 ln3 ln 5
2 2 2
x x
.
Vậy
4 3
a b
Câu 43. Biết
2
2
1
2 5
ln ln
1
x x
I dx b c a,b,c
x a
.Tínhgiátrịbiểuthức
S a b c
A.
7
S
. B.
3
S
. C.
3
S
. D.
1
S
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Lời giải
Chọn B
Tacó
2
2
2 2 2 2
2
1 1 1 1
2 1 1
1 1
2 1
1
1 1 1 1
x x
x
x x
I dx dx dx x dx
x x x x
2
2
1
5
ln 1 ln2 ln3
2 2
x
x x
|
.Suyra
2 2 3 2 2 3 3
a ,b ,c S
.
Câu 44. Cho
3
2
1
3
d ln 2 ln3 ln5
3 2
x
x a b c
x x
vớia, b,clàcácsốnguyên.Giátrịcủaa + b + cbằng
A.
0.
B.
2.
C.
3.
D.
1.
Lời giải
Chọn B
3 3 3
2
1 1 1
3
3 3 2 1
d d d 2ln( 1) ln( 2)
1
3 2 ( 2)( 1) 1 2
2ln 4 ln 5 2ln 2 ln 3 2ln 2 ln 3 ln 5.
x x
x x x x x
x x x x x x
Vậya + b + c=
2 1 1 2.
Câu 45. Cho
4
0
16
d .
3
f x x
Tính
4
2
0
5
3 d .
1
I f x x
x
A.
12I
. B.
0
I
. C.
20
I
. D.
1I
.
Lời giải
Chọn A
Tacó:
4 4 4
1
2 2
0 0 0
5 5
3 d d 3 d 16
1 1
I f x x x f x x I
x x
4
4
1
2
0
0
5 5
d 4
1
1
I x
x
x
.
Vậy
4 16 12
I
.
Câu 46. Cho
3
2
d
ln 2 ln 3 ln 5
1 2
x
a b c
x x
với
, ,a b c
làcácsốhữutỉ.Giátrịcủa
2 3
a b c
bằng
A.
3
. B.
6
. C.
5
. D.
4
.
Lời giải
Chọn B
Tacó
3 3
2 2
d 1 1
1 2 1 2
x
dx
x x x x
3
2
1
ln
2
x
x
4 3
ln ln
5 4
4ln 2 ln3 ln 5
.
Suyra
4, 1, 1
a b c
.Vậy
2 3
6
a b c
.
Câu 47. Biết
2
2
2
0
5 2
d ln3 ln5
4 3
x x
x a b c
x x
,
, ,a b c
.Giátrịcủa
abc
bằng
A.
8
. B.
10
. C.
12
. D.
16
.
Lời giải
Chọn C
Tacó:
2 2 2
2
2 2
0 0 0
5 2 1 1 2
d 1 d 1 d
4 3 4 3 1 3
x x x
x x x
x x x x x x
2
0
ln 1 2ln 3 2 2ln5 3ln3 ln3 ln5
x x x a b c
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
2
3 . . 12
2
a
b a b c
c
.
D. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1. Đổi biến số với một số hàm thường gặp
( ) d .
PPn
f ax b x x t ax b 
( ) ( )d ( ).
b
PP
n n
a
f x f x x t f x
1
(ln ) d ln .
b
PP
a
f x x t x
x
( ) d .
b
PP
x x x
a
f e e x t e
(sin )cos d sin .
b
PP
a
f x x x t x
(cos )sin d cos .
b
PP
a
f x x x t x
2
1
(tan ) d tan .
cos
b
PP
a
f x x t x
x
(sin cos ).(sin cos )d sin cos .
b
a
f x x x x x t x x
2 2 2
( ) d sin .
PPn
f a x x x x a t
2 2 2
( ) d tan .
PPm n
f x a x x x a t
d cos2 .
PP
a x
f x x a t
a x
d
.
( )( )
x
t ax b cx d
ax b cx d
1
,., d .
k
s s
n
R ax b ax b x t ax b
d 1
( )
PP
n nn
x
x
t
a bx a bx
2. Đổi biến số với hàm ẩn
Nhận dạng tương đối: Đề cho
( ),f x
yêu cầu tính
( )f x
hoặc đề cho
( ),f x
yêu cầu tính
( ).f x
Phương pháp: Đặt
( ).t x
Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận và ở trên đã sử dụng tính chất: “Tích phân không phụ thuộc vào biến số, mà
chỉ phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa là
( )d ( )d ( )d
b b b
a a a
f u u f t t f x x
MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT THÔNG HIỂU
Câu 48. Xét
2
2
0
e d
x
x x
,nếuđặt
2
u x
thì
2
2
0
e d
x
x x
bằng
A.
2
0
2 e d
u
u
. B.
4
0
2 e d
u
u
. C.
2
0
1
e d
2
u
u
. D.
4
0
1
e d
2
u
u
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
2
d
d 2 d d
2
u
u x u x x x x
.
Khi
0 0
x u
,khi
2 4
x u
.
Dođó
2
2 4
0 0
1
e d e d
2
x u
x x u
.
Câu 49. Tínhtíchphân
3
0
cos .sin dI x x x
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
A.
4
1
4
I
B.
4
I
C.
0
I
D.
1
4
I
Lời giải
Chọn C
Tacó:
3
0
cos .sin
I x xdx
.Đặt
cos sin sin
t x dt xdx dt xdx
Đổicận:Với
0 1x t
;với
1
x t
.
Vậy
1
4
1 1
4 4
3 3
1 1
1
1
1
0
4 4 4
t
I t dt t dt
.
Câu 50. Cho
21
5
ln 3 ln5 ln 7
4
dx
a b c
x x
,với
, ,a b c
làcácsốhữutỉ.Mệnhđềnàosauđâyđúng?
A.
2a b c
. B.
a b c
. C.
a b c
. D.
2a b c
.
Lời giải
Đặt 4 2
t x tdt dx
.
Với
5 3x t
;
21 5x t
Tacó
21
5
4
dx
x x
5
2
3
2
4
dt
t
5
3
1
ln 2 ln 2
2
t t
1 1 1
ln 2 ln 5 ln 7
2 2 2
.
Câu 51. Chohàmsố
f x
liêntụctrên
.Mệnhđềnàosauđâyđúng?
A.
1 2
0 0
1
2
f x dx f x dx
. B.
1
1
0
f x dx
.
C.
1 1
0 0
1
f x dx f x dx
. D.
1 1
1 0
2
f x dx f x dx
.
Lời giải
Chọn C
C. Đặt
1
t x dt dx
.Đổicận:
1 0
0 1
x t
x t
.
Tacó:
1 0 1
0 1 0
1
f x dx f t dt f t dt
.
Vậy
1 1
0 0
1
f x dx f x dx
.
Câu 52. Giảsử
16
1
d 2020,
f x x
khiđógiátrịcủa
2
3 4
1
. d
x f x x
bằng
A.
4
2020 .
B.
4
2020.
C.
8080.
D.
505.
Lời giải
Chọn D
Đặt
4 3
4
t x dt x dx
1 1x t
2 16
x t
2 16 16
3 4
1 1 1
1 1
. d d .2020 505
4 4 4
dt
I x f x x f t f x x
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
Câu 53. Chohàmsố
f x
thỏamãn
1
0
2 2
f x dx
.Tíchphân
2
0
f x dx
bằng:
A.
8
. B.
1
. C.
2
. D.
4
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
2 2t x dt dx
.
0 0
1 2
x t
x t
1 2 2
0 0 0
1
2 2 2 4
2
f x dx f t dt f t dt
.
Dođó
2
0
4
f x dx
.
Câu 54. Cho
2
1
d 2
f x x
.Khiđó
4
1
d
f x
x
x
bằng
A.
1
. B.
4
. C.
2
. D.
8
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
x t
1
d d
2
x t
x
1
d 2dx t
x
.Khi
1x
thì
1t
;
4
x
thì
2t
.
Suyra
4 2 2
1 1 1
d .2d 2 d 2.2
f x
x f t t f t t
x
4
.
Vậy
4
1
d 4
f x
x
x
.
Câu 55. Cho
2
0
2 3 d 6
f x g x x
,
2
0
d 2
g x x
.Tính
1
0
2 dI f x x
A.
6
I
. B.
12I
. C.
6
I
. D.
3
I
.
Lời giải
Chọn D
Tacó
2
0
2 3 d 6
f x g x x
2 2
0 0
2 d 3 d 6
f x x g x x
2
0
2 d 3.2 6
f x x
2
0
d 6
f x x
Đặt
2 d =2dx t x t
Đổicận
x
0
2
t
0
1
Khiđó
2
0
d 6
f x x
1
0
2 2 d 6f t t
1
0
2 d 3
f x x
Vậy
3
I
.
Câu 56. Cho
4
0
1 2 d
I x x x
và
2 1 u x
.Mệnhđềnàodướiđâysai?
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
A.
3
5 3
1
1
2 5 3
u u
I
. B.
3
2 2
1
1 d
I u u u
.
C.
3
2 2
1
1
1 d
2
I x x x
. D.
3
2 2
1
1
1 d
2
I u u u
.
Lời giải
Chọn B
Tính
4
0
1 2 d
I x x x
.
+Đặt
2
2
1
2 1 2 1 .
2
u
u x u x x
2 d 2d d d u u x u u x
Đổicận
0 1
x u
4 3
x u
3
4 3 3 3
2 2 5 3
2 2
0 1 1 1
1
1 1 1 1
1 2 d . . d . . d 1 d
2 2 2 2 5 3
u u u u
I x x x u u u u u u I u u u .
A,C,Dđúng;Bsai.
Câu 57. Cho
3
2
0
sin cos ,I x xdx
khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
1
0
3
I
. B.
1 1
3 2
I
. C.
1 2
2 3
I
. D.
2
1
3
I
Lời giải
Chọn A
Đặt
cos sin
t x dt xdx
Đổicận:
0 1
1
3 2
x t
x t
Vậy
1
1
1
3
2
2 2
1
1
1
2
2
7
3 24
t
I t dt t dt
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 58. Chohàmsố
f x
có
3 3
f
và
1 1
x
f x
x x
,
0
x
.Khiđó
8
3
df x x
bằng
A.
7
. B.
197
6
. C.
29
2
. D.
181
6
.
Lời giải
Chọn B
Xét
d d
1 1
x
f x x x
x x
.Đặt
2 2
1 1 1 d 2 dt x x t x t x t t
.
Khiđó,
2
2
1 . 1
1
d d 2 d 2 d 2 2 d
. 1
1 1
t t
x t
f x x x t t t t t t
t t t t
x x
2
2 1 2 1
t t C x x C
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
Mà
3 3 3 1 2 3 1 3 5
f C C
.
1 2 1 5 2 1 4
f x x x x x
.
8
8 8
2
3
3 3
3
4 19 197
d 2 1 4 d 1 4 36
2 3 6 6
x
f x x x x x x x
.
Câu 59. Chohàmsố
f x
có
0 0
f
và
2
cos cos 2 ,
f x x x R
.Khiđó
0
df x x
bằng
A.
1042
225
. B.
208
225
. C.
242
225
. D.
149
225
.
Lời giải
Chọn C
Tacó
2
d cos cos 2 df x f x x x x x
2
2
cos 1 2sin dx x x
.
Đặt
sin d cos dt x t x x
.
2
2
1 2 df x t t
2 4
1 4 4 dt t t
3 5 3 5
4 4 4 4
sin sin sin
3 5 3 5
t t t C x x x C
.
Mà
0 0 0
f C
.
Dođó
3 5
4 4
sin sin sin
3 5
f x x x x
2 4
4 4
sin 1 sin sin
3 5
x x x
.
2
2 2
4 4
sin 1 1 cos 1 cos
3 5
x x x
.
Tacó
2
2 2
0 0
4 4
d sin 1 1 cos 1 cos d
3 5
f x x x x x x
.
Đặt
cos d sin dt x t x x
Đổicận
0 1; 1
x t x t
.
Khiđó,
1
2
2 2
0 1
4 4
d 1 1 1 d
3 5
f x x t t t
1
2 4
1
7 4 4
d
15 15 5
t t t
1
3 4
1
7 4 4
15 45 5
t t t
=
242
225
.
Câu 60. Biết
2
1
( 1) 1
dx
dx a b c
x x x x
với
, ,a b c
làcácsốnguyêndương.Tính
P a b c
A.
24P
B.
12P
C.
18
P
D.
46
P
Lời giải
Chọn D
Cách 1
2 2 2
2
1 1 1
1
( 1) 1
( 1) 1
( 1) 1
dx dx x x
dx dx
x x x x
x x x x
x x x x
Đăt
1 1 1
1 2
2 1 2 ( 1)
x x
t x x dt dx dt dx
x x x x
Khiđó
2 3
2 3
2
1 2
1 2
2 2
2 3 4 2 2 32 12 2
I dt
t t
32 12 2 46.
P a b c
Cách 2
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
2 2 2
1 1 1
2 2
1
1 1
2
2 2 1 2 2 2 2 3 2 2
1 1
( 1) 1
( 1) 1 ( 1) 1
1 1 1
( 1
12 2
)
32
1
x x x x
dx dx
dx dx
x x x x
x x x x x x x x
x
x
x
dx dx
x x x x
x
Câu 61. Cho
1
0
d 1
ln
1 2
x
x e
a b
e
,với
,a
b
làcácsốhữutỉ.Tính
3 3
S a b
.
A.
2
S
. B.
2
S
. C.
0
S
. D.
1
S
.
Lời giải
Chọn C
Cách 1.Đặt
d d
x x
t e t e x
.Đổicận:
0 1; 1
x t x t e
1 1
1
0 0 1 1
d d d 1 1
d ln ln 1 1 ln 1 ( ln 2)
1 1 1
1
e e
x
e
x
x x
x e x t
t t t e
e t t t t
e e
3 3
1
2 1
1 ln 1 ln 0
1
1 2
a
e
S a b
b
e
.
Cách 2.
1 1 1 1
1
1
0
0
0 0 0 0
1 d 1
d 1
d d ln 1 1 ln
1 1 1 2
x x x
x
x x x
e e e
x e
x x x e
e e e
.
Suyra
1
a
và
1
b
.Vậy
3 3
0
S a b
.
Câu 62. Cho hàm số
2
,  khi 0
2 3 ,  khi 0
x
e m x
f x
x x x
liên tục trên
và
1
1
d 3
f x x ae b c
,
, ,a b c
.Tổng
T 3a b c
bằng
A.
T 15
. B.
T 10
. C.
T 19
. D.
T 17
.
Lời giải
Chọn C
TXĐ:
D
0 0
lim lim 1
x
x x
f x e m m
;
2
0 0
lim lim 2 3 0
x x
f x x x
;
0 1
f m
Hàmsốliêntụctrên
Hàmsốliêntụctại
0
x
0 0
lim lim 0
x x
f x f x f
1 0 1
m m
Tacó
1 0 1
2
1 1 0
d 2 3 d 1 d
x
f x x x x x e x
0 1
1
2 2
2
1 0
3 d 3 1 d
x
x x e x
0
3
1
2
2
0
1
2
3
3
x
x e x
22
2 3
3
e
Nên
22
1; 2;
3
a b c
T 19
.
Câu 63. Chohàmsố
f x
liêntụctrên
vàthỏa
2
2
2
5 d 1,
f x x x
5
2
1
d 3.
f x
x
x
Tính
5
1
d .f x x
A. -15. B. -2. C. -13. D. 0.
Lời giải
Chọn C
Đặt:
2
2
2
5 1 5
5 d d
2 2 2
t
t x x x x t
t t
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
Tacó:
5 5 5
2 2
1 1 1
1 5 1 5
1 d d d
2 2 2 2
f t
f t t f t t t
t t
5 5
2
1 1
1 5 5 13
d 1 d 1 .3
2 2 2 2
f t
f t t t
t
5
1
d 13
f t t
Câu 64. Biếtrằngtíchphân
1
0
d
ln 2 ln3 ln5
3 5 3 1 7
x
a b c
x x
với
, ,a b c
làcácsốhữutỉ.Giátrịcủa
a b c
bằng
A.
10
3
. B.
5
3
. C.
10
3
. D.
5
3
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
2
2
1 2
3 1 3 1 d
3 3
t
t x t x x t t dx
Đổicận:
0 1; 1 2
x t x t
.
2
1 2 2
2
1
0 1 1
d 2 2 2 3 2
d d 2ln 2 3ln 3
3 5 6 3 2 3 3
3 5 3 1 7
x t
t t t t
t t t t
x x
20 4
ln 2 ln 3 2ln5 ln 2 ln3 ln 5
3 3
a b c
.
20 4 10
; ; 2
3 3 3
a b c a b c
.
Câu 65. Cho
3
0
ln 2 ln 3
3
4 2 1
x a
dx b c
x
,với
, ,a b c
làcácsốnguyên.Giátrịcủa
a b c
bằng
A. 2. B. 9. C. 7. D. 1.
Lời giải
Chọn D
Đặt
3
0
4 2 1
x
I dx
x
.
Đặt
2
1 1 2
t x t x tdt dx
Đổicận
0 1
3 2
x t
x t
Khiđó
2 2 2
2 3
2
1 1 1
1 6
2 2 3
4 2 2 2
t t t
I tdt dt t t dt
t t t
2
3 2
1
1
3 6ln 2
3
t t t t
8 1
4 6 6ln 4 1 3 6ln 3
3 3
7
12ln 2 6ln 3
3
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Suyra
7
12
6
a
b
c
Vậy
1a b c
.
Câu 66. Biết
1
ln
d e
e
x
x a b
x
với
, a b
.Tính
.P a b
A.
4P
. B.
8
P
. C.
8
P
. D.
4P
.
Lời giải
Chọn B
Xéttíchphân
e
1
ln
d
x
I x
x
.Đặt
2
d 2 .dt x t x x t t
Với
1 1x t
.với
Khiđó
e
2
1 1 1
ln ln
d 2 .dt 4 ln dt 4
e e
x t
x t t M
t
x
,với
1
ln dt
e
M t
Đặt
1
ln
du d
d d
u x
x
x
v x
v x
.
Khiđó
e e
1 1
1e
ln dt ln d e ln e e 1 1 e
2
1
M t x x x
Vậy
e
4 4 1 4 2 e
2
I M
.Suyra
2; 4
a b
.Vậy
8
P ab
.
Câu 67. Giảsử
64
3
1
d 2
ln
3
x
I a b
x x
với
,a b
làcácsốnguyên.Khiđógiátrị
a b
là
A.
17
. B.
5
. C.
-5
. D.
17
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
6 5
6
d 6 d .
t x t x x t t
Với
x=1 t=1
x=64 t=2
Dođó
2 2 2 2
5 5 3
2
3 2 3 2
1 1 1 1
6 d 6 d 6 d 6
6 6 6 d
1 1
t t t t t t
I t t t
t t
t t t t
2
3 2
1
2
2 3 6 6ln 1 6ln 11.
3
t t t t
Suyra
6; 11.
a b
Vậy
5.
a b
Câu 68. Biếtrằng
2
0
sin cos d
x x x a b
với
,
a b R
.Tính
a b
.
A.
. B.
4
. C.
2
. D.
2
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
2
2tdt d t x t x x
Đổicận:
2
0 0
x t
x t
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21
2
0 0
sin cos d 2 sin cos dt
I x x x t t t
Đặt
2
2
sin cos
sin cos
u t
du dt
dv t t dt
v t t
0 0
0
2 sin cos 2 sin cos 2 2 cos sin 4 2
I t t t t t dt t t
.
Câu 69. Biếttíchphân
ln6
0
e
d ln 2 ln 3
1 e 3
x
x
x a b c
với
a
,
b
,
c
làcácsốnguyên.Tính
T a b c
.
A.
0
T
. B.
2T
. C.
1T
. D.
1T
.
Lời giải
Chọn A
Đặt:
e
1 e 3 d d
2 e 3
x
x
x
t t x
e d 2 1 d
x
x t t
.
Đổicận:
0 3x t
ln 6 4x t
ln6 4
0 3
4
2 1
e
d d 2 ln
3
1 e 3
x
x
t
x t t t
t
2 4 ln 4 3 ln3 2 4ln 2 2ln3
.
Dođó:
2
a
;
4
b
;
2
c
.
Vậy
0
T a b c
.
Câu 70. Biết
2
2
0
cos
ln 2 ln3
sin 3sin 2
x
dx a b
x x
với
, ,a b c
làcácsốnguyên.Tính
2 .P a b
A.
3
. B.
7
. C.
5
.
D.
1
.
Lời giải
Chọn A
2 2
2
0 0
cos 1
d d sin
sin 3sin 2 sin 1 sin 2
x
x x
x x x x
2
2
0
0
1 1
sin ln sin 1 ln sin 2
sin 1 sin 2
d x x x
x x
ln 2 ln1 ln3 ln 2 2ln 2 ln3
.
Suyra
2, 1 2 3.
a b a b
Câu 71. Cho biết
3
2
0
sin tan d ln
8
b
x x x a
với
,a b
làcácsố nguyên.Giá trịcủa biểuthức
3 2M a b
bằng
A.
12
. B.
0
. C.
1
. D.
3
.
Lời giải
Chọn B
Xét
2
3 3 3
2 2
0 0 0
1 cos sin
sin
sin tan d sin . d d
cos cos
x x
x
I x x x x x x
x x
.
Đặt
cos d sin dt x t x x
Với
0 1x t
;
1
3 2
x t
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Dođó
1 1
2 2
1
2
2 1
1 1
1
2 2
1
1 d 1 d
1 3
d ln ln 2
1
2 8
2
t t t t
t
I t t t
t t t
.
Suyra
2, 3
a b
.
Vậy
3 2 3.2 2.3 0
M a b
.
Câu 72. Chohàmsố
f x
liêntụctrêntậphợp
vàthỏamãn
ln3
0
3 d 1
x
f e x
,
6
4
2 1
d 3
3
x f x
x
x
.
Giátrịcủa
6
4
df x x
bằng
A.
10
. B.
5
. C.
4
. D.
12
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
ln3
1
0
3 d 1
x
I f e x
.
Đặt
3 3 d d
3
x x x
dt
e t e t e x dt x
t
Đổicận:
0 4x t
,
ln3 6
x t
.
Khiđó:
6 6
1
4 4
d d
1
3 3
f t t f x x
I
t x
.
Tacó
6 6 6 6
4 4 4 4
2 1 2 6 5
d d 2 d 5 d 3
3 3 3
x f x x f x f x f x
x x f x x x
x x x
.
6 6
4 4
2 d 5 3 d 4
f x x f x x
.
Câu 73. Biếtrằng
1
4ln 1
d
6
e
x a b
x
x
với
*
,a b
.Giátrịcủa
3 1a b
bằng
A.
125
. B.
120
. C.
124
. D.
123
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
2
1 1
4ln 1 4ln 1 d d
2
x t x t x t t
x
.
Với
1 1; 5
x t x e t
.
5
2
1 1
4ln 1 1 125 1
d d = 125; 1
2 6 6
e
x a b
x t t a b
x
.
3 1 123
a b
.
Câu 74. Chohàmsố
( )y f x
cóđạohàmtrên
vàthỏamãn
3
( ) 2 ( ) 1
x f x f x
,với
x
.Giátrị
của
1
2
( )f x dx
bằng
A.
5
2
. B.
5
4
. C.
7
4
. D.
7
2
.
Lời giải
Chọn C
Tacó
3
( ) 2 ( ) 1
x f x f x
.
3
( ) 2. ( ) 1f x f x x
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23
Đặt
( )t f x
Suyra
3
2 1t t x
.
2
3 2 d dt t x
.(1)
Với
3
2 2 3 1x t t t
.
Với
3
1 2 0 0x t t t
.
Từ(1)tacó
1 0 1
2 2
2 1 0
( )d 3 2 .d 3 2 df x x t t t t t t
.
1
4 2
0
3 7
4 4
t t
.Vậy
1
2
7
( )d
4
f x x
.
Câu 75. Biết
1
3 ln
.d
3
e
x a b c
x
x
, trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương và
10
c
. Giá trị của
a b c
bằng
A.
19
. B.
13
. C.
28
. D.
25
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
2
1
3 ln 3 ln 2 .d .dt x t x t t x
x
.
2
3
2
3
1
3
3 ln 2 16 16 6 3
.d .2 .d 2 3
3 3 3
|
e
x t
x t t t
x
.
Suyra:
16
a
,
6
b
,
3
c
.
Vậy
25
a b c
.
Câu 76. Chohàmsố
y f x
liêntụctrên
0;1
vàthỏamãn
2 3
6
6
3 1
f x x f x
x
.Tính
1
0
df x x
.
A.
1
. B. 4. C. 2. D. 6.
Lời giải
Chọn B
1 1 1
2 3
0 0 0
6
d 6 d d
3 1
f x x x f x x x
x
1
2 3
0
6 d 4
x f x x
.
Đặt
3 2
dt=3 dt x x x
.
Tacó:
1 1 1
2 3
0 0 0
6 d 2 dt 2 dx f x x f t f x x
.
Vậynên
1 1
0 0
d 2 d 4
f x x f x x
1
0
d 4
f x x
.
E. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
1. Định lí: Nếu
( )u u x
và
( )v v x
là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn
[ ; ]a b
thì
( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d
b b
b
a
a a
I u x v x x u x v x u x v x x
hay
d d .
b b
b
a
a a
I u v uv v u
2. Phương pháp thực hành:
Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhận nhau, chẳng hạn: đa thức nhân lôga, mũ nhân lượng giác…
Đặt
Vi phân
NH
d d
d d
u u x
v x v
Suy ra:
d d .
b b
b
a
a a
I u v uv v u
Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và
dv
phần còn lại.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Lưu ý: Tùy vào bài toán mà ta cần chọn
u
và
dv
sao cho
d
b
a
v u
đơn giản nhất. Cần nhớ rằng bậc
của đa thức và bậc của lnx tương ứng với số phần lấy tích phân từng phần.
3. Tính chất của nguyên hàm và tích phân
Nếu
( )F x
là một nguyên hàm của hàm số
( )f x
thì
( ) ( ).F x f x
( )d ( ) .f x x f x C
( )d ( ) ( ) ( ).
b
b
a
a
f x x f x f b f a
Tích phân không phụ thuộc vào biến mà chỉ phụ thuộc vào
2
cận, như
( )d ( )d ....
b b
a a
f t t f x x
Câu 77. Tínhtíchphân
1
ln
e
I x xdx
A.
1
2
I
B.
2
2
2
e
I
C.
2
1
4
e
I
D.
2
1
4
e
I
Lời giải
Chọn C
1
ln
e
I x xdx
.Đặt
2
1
ln
2
du dx
u x
x
dv xdx
x
v
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0
0 0
1 1 1 1
ln .
2 2 2 2 2 4 2 4 4 4
e e
e e
x x e e x e e e
I x dx xdx
x
Câu 78. Cho
e
2
1
1 ln d e ex x x a b c
với
a
,
b
,
c
làcácsốhữutỷ.Mệnhđềnàodướiđâyđúng?
A.
a b c
B.
a b c
C.
a b c
D.
a b c
Lờigiải
ChọnC
Tacó
e
1
1 ln dx x x
e e
1 1
1.d ln dx x x x
e
1
e 1 ln dx x x
.
Đặt
2
1
ln d d
d .d
2
u x u x
x
x
v x x v
Khiđó
e
1
ln dx x x
e
2
e
1
1
1
ln d
2 2
x
x x x
2
e
2
1
e 1
2 4
x
2 2
e e 1
2 4 4
2
e 1
4 4
.
Suyra
e
1
1 ln dx x x
2
e 1
e 1
4 4
2
e 3
e
4 4
nên
1
4
a
,
1b
,
3
4
c
.
Vậy
a b c
.
Câu 79. Cho
2
0
2 ln(1 )d lnx x x a b
với
*
;a b
vàblàsốnguyêntố.Tính
3 4a b
.
A.
42
. B.
21
. C.
12
. D.
32
.
Lời giải
Chọn B
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25
Xéttíchphân:
2
0
2 ln(1 )dI x x x
.
Đặt
2
1
ln(1 ) d d
1
2 d d
u x u x
x
x x v v x
2 2 2
2 2
2
0 0 0
2 2
2
0 0
2
1 1
2 ln(1 )d ln(1 ) 4ln 3
0
1 1
2 2
1
4ln3 ( 1) 4ln3 ( ) ln 1
0 0
1 2
x dx x
I x x x x x dx
x x
x
x dx dx x x
x
4ln 3 ln 3 3ln 3
.Vậy
3; 3
a b
và
3 4 21.
a b
Câu 80. Cho
f x
là một nguyên hàm của
g x
trên
, thỏa mãn
2
0
1 1
, d
2 2 2
f xg x x
và
2
0
d ,f x x a b
trongđó
,a b
làcácsốhữutỉ.Tính
4P a b
.
A.
3
2
P
. B.
7
4
P
. C.
5
2
P
. D.
1
2
P
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
d d
d d
u x u x
v g x x v f x
Khiđó
2 2 2
2
0
0 0 0
1
d d . d
2 2
xg x x xf x f x x f x x
2 2 2
0 0 0
1 1 1
d d d
2 4 2 4 2
1 1 1 1
; 1
2 4 2 2
xg x x f x x f x x
a b P
Câu 81.
F x
làmộtnguyênhàmcủahàmsố
2
2 1
x
f x x e
thỏa
0 0
F
.Tính
1
F
A.
2
1 2F e
. B.
2
1
2
e
F
. C.
2
1
F e
. D.
2
1
2
3e
F
.
Lời giải
Chọn C
F x
làmộtnguyênhàmcủahàmsố
2
2 1
x
f x x e
suyra
1
2 1
0
0
2 1 1 0
x
x e dx F x | F F
.
Tính
1
2
0
2 1
x
I x e dx
.Đặt
2
2
2
2 1
1
2
x
x
du dx
u x
v e
dv e dx
.
Suyra
1
2 1 2 2 2 1 2 2 2
0 0
0
1 3 1 1 3 1 1
2 1 1
2 2 2 2 2 2 2
x x x
I x e | e dx e e | e e e
.
Suyra
2
1 0
F F e
,mặtkhác
0 0
F
suyra
2
1
F e
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 82. Chohàmsố
f x
thỏamãn
1
0
1 d 10
x f x x
và
2 1 0 2
f f
.Tính
1
0
df x x
.
A.
12I
B.
8
I
C.
1I
D.
8
I
Lời giải
Chọn D
Đặt
1 d d
d d
u x u x
v f x x v f x
.Khiđó
1
1
0
0
1 dI x f x f x x
Suyra
1 1
0 0
10 2 1 0 d d 10 2 8
f f f x x f x x
Vậy
1
0
d 8
f x x
.
Câu 83. Biết
4
2
0
ln sin cos
d ln 2
cos
x x
a
x
x b c
,với
, ,a b c
làcácsốnguyên.Khiđó,
bc
a
bằng
A.
6
. B.
8
3
. C.
6
. D.
8
3
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
2
d
ln sin cos ;d
cos
x
u x x v
x
cos sin
d
sin cos
x x
u
x x
vàchọn
sin cos
tan 1
cos
x x
v x
x
.
Khiđó
4 4
2
0 0
ln sin cos
cos sin
d tan 1 .ln sin cos d
4
cos cos
0
x x
x x
I x x x x x
x x
.
4 4
0 0
d cos
2 3
ln 2 d ln 2 ln cos ln 2 ln ln 2
4
cos 4 4 2 2 4
0
x
I x x
x
.
Vậy
8
3; 2; 4
3
bc
a b c
a
.
Câu 84. Biếttíchphân
4
0
d ln 2
1 cos2
x
I x a b
x
với
,a b
làcácsốhữutỷ.Tính
16 8T a b
?
A.
4T
. B.
5
T
. C.
2T
. D.
2T
.
Lời giải
Chọn A
Tacó
4
2
0
d
2cos
x
I x
x
.
Đặt
2
1
d d
2
2
1
tan
d d
cos
x
u
u x
v x
v x
x
4 4 4
4 4
0 0
0 0 0
d cos
1 1 sin 1 1
tan tan d d ln cos
2 2 8 2 cos 8 2 cos 8 2
x
x x
I x x x x x
x x
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27
1 2 1
ln ln 2
8 2 2 8 4
suyra
1 1
a , 2 2 4
8 4
b T
VậychọnA
Câu 85. Cho hàm số
f x
liên tục và có đạo hàm trên đoạn
0;5
thỏa mãn
5
0
d 8
f x
xf x e x
;
5 ln5
f
.Tính
5
0
d .
f x
I e x
A.
33
. B.
33
. C.
17
. D.
17
.
Lời giải
Chọn C
Đặt:
; d d
f x
u x v f x e x
suyra
d du x
,chọn
.
f x
v e
Dođó
5 5
5
5
0
0 0
d d 5
f x f x f x f
xf x e x xe e x e I
8 25 17
I I
.
Câu 86. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;2
và thỏa mãn
0 2
f
,
2
0
2 4 ' d 4
x f x x
.Tínhtíchphân
2
0
dI f x x
.
A.
2I
. B.
2I
. C.
6
I
. D.
6
I
.
Lời giải
Chọn A
Xét
2
0
2 4 ' dK x f x x
.Đặt
2 4 d 2d
.
' d d
x u u x
f x x v v f x
2
0
2
0
2 4 2 d 2.2 4 2 2.0 4 0 2 .K x f x f x x f f I
4 0 2 4.2 2 8 2 .f I I I
Mà
4 2.
K I
Câu 87. Cho
2
2
1
ln 1 2
d ln 5 ln3 ln 2
2
x
a
x b c
x
,với
a
,
b
,
c
làcácsốnguyên.Giátrịcủa
2
a b c
là:
A. 0. B. 9. C. 3. D. 5.
Lời giải
Chọn D
Ápdụngphươngpháptíchphântừngphần:
Đặt:
2
2
d d
ln 1 2
2 1
1
2 1
1
d d
chän 2
u x
u x
x
x
v x
v
x
x x
.
2
2 2
2
1 1
1
ln 1 2 2 1
2
d ln 1 2 d
x x
x x x
x x x
2
1
5
ln5 3ln3 2ln
2
x
5
ln5 3ln 3 2ln 2
2
.
5
a
,
3
b
,
2
c
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Vậy
2 5
a b c
.
Câu 88. Tíchphân
2
2 2
1
ln
ln 2 ln3 ln 5
( 1)
x xdx
a b c
x
(với
, ,a b c
làcácsốhữutỉ).Tínhtổng
.a b c
A.
2
5
. B.
9
10
. C.
9
10
. D.
2
5
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
2 2
2
ln
1
( 1)
2 1
dx
du
u x
x
x
dv dx
v
x
x
Tacó
2 2
2
2 2
2 2
1
1 1
ln ln ln 2
( 1) 10
2 1 2 1
I
x xdx x dx
I
x
x x x
.
Tính
2
2
1
2 1
dx
I
x x
đặt
2
1 2
t x dt xdx
,với
1 2; 2 5x t x t
.
Suyra
2 2 5 5 5
5 5
2 2 2
2 2
1 1 2 2 2
1 1 1 1 1
ln 1 ln
4 ( 1) 4 1 4 4 4
2 1 2 1
dx xdx dt dt dt
I t t
t t t t
x x x x
5 5
2 2
1 1 1 1 1 3 1
ln 1 ln ln 4 ln 5 ln 2 ln 2 ln 5
4 4 4 4 4 4 4
t t
.
Vậy
2
2 2
1
ln ln 2 3 1 13 1
ln 2 ln5 ln 2 ln 5
( 1) 10 4 4 20 4
x xdx
x
.Từđótacó
13 1
; 0;
20 4
a b c
.
Suyra
13 1 9
0 .
20 4 10
a b c
Câu 89. Cho hàm số
( )f x
có
'
( )f x
và
''
( )f x
liên tục trên
1;3
. Biết
(1) 1, (3) 81, (1) 4, (3) 108
f f f f
.giátrịcủa
3
1
4 2 ( )x f x dx
bằng
A.
64
. B.
48
. C.
64
. D.
48
.
Lời giải
Chọn A
+)
4 2 2
( )dx ( )
u x du dx
dv f x v f x
Dođó
3 3
3 3
1 1
1 1
4 2 ( ) 4 2 ( ) 2 ( ) 2. (3) 2. (1) 2
x f x dx x f x f x dx f f f x

2.108 2.4 2.81 2.1 64
.
Câu 90. Chohàmsố
y f x
cóđạohàm
'
f x
liêntụctrên
,
4 8
f
và
4
0
d 6
f x x
.Giátrịcủa
2
'
0
2 dxf x x
bằng
A.
13
. B.
13
2
. C.
10
. D.
13
4
.
Lời giải
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29
Chọn B
Đặt
'
1
2
2
2
du dx
u x
dv f x dx
v f x
Suyra
2
2 2 4
'
0
0 0 0
1 1 1 6 13
2 d 2 2 d 4 dt 8
2 2 4 4 2
xf x x xf x f x x f f t
Câu 91. Biết
2 2
1
3 e d e 2 , ,
x x
x x x n C m n
m
.Giátrịcủa
2 2
m n
bằng
A.
10
. B.
65
. C.
5
. D.
41
.
Lời giải
Chọn B
Đặt:
3 d d u x u x
,
2 2
1
d e d e
2
x x
v x v
.
Tacó:
2 2 2
1 1
3 e d e 3 e d
2 2
x x x
x x x x
.
2 2 2
1 1
3 e d e 3 e
2 4
x x x
x x x C
.
2 2
1
3 e d e 2 7
4
x x
x x x C
.
Vậy,tacó
2 2
4, 7 65
m n m n .
F. TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Câu 92. Cho hàm số
( )f x
liên tục và có đạo hàm trên
1 1
;
2 2
thỏa mãn
1
2
2
1
2
109
( ) 2 ( )(3 )
12
f x f x x dx
.Tính
1
2
2
0
( )
x
1
f x
d
x
A.
7
ln
9
. B.
2
ln
9
. C.
5
ln
9
. D.
8
ln
9
.
Lời giải
Chọn B
Tacó
1
2
2
1
2
109
(3 )
12
x dx
.
Dođó
1 1 1
2 2 2
2 2
2
1 1 1
2 2 2
( ) 2 ( )(3 ) 3 x ( ) (3 ) x 0
f x f x x dx x d f x x d
Suyra
( ) 3
f x x
.
1 1 1
1
2 2 2
2
2 2
0
0 0 0
( ) 3 1 2 1 3 2
x x ( ) x= ln 1 2ln 1 ln 2ln ln
1 1 1 1 2 2 9
f x x
d d d x x
x x x x
Câu 93. Chohàmsố
( )y f x
làhàmsốlẻvàliêntụctrên
4;4
biết
0
2
( )d 2
f x x
và
2
1
( 2 )d 4
f x x
.
Tính
4
0
I= ( )df x x
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
A.
I 10.
B.
I 10.
C.
I 6.
D.
I 6.
.
Lời giải
Chọn D
Do
( )f x
làhàmlẻnên
( ) ( )f x f x
với
4;4
x
.
Xét
0
2
A= ( )f x dx
.Đặt
d d .t x t x
Đổicận:
2 2
.
0 0
x t
x t
Khiđó
0 2 2
2 0 0
A d d d .f t t f t t f x x
Xét
2 2
1 1
B 2 d 2 d .f x x f x x
Đặt
2 d 2d .u x u x
Đổicận:
1 2
.
2 4
x u
x u
Khiđó
4 4 4
2 2 2
1 1
B d d d 2B 2.4 8.
2 2
f u u f x x f x x
Vậy
4 2 4
0 0 2
I d d d 2 8 6.
f x x f x x f x x
Câu 94. Cho hàm số
f x
liên tục trên
thảo mãn
3 2 10 6
1 2 ,xf x f x x x x x
. Khi đó
0
1
df x x
?
A.
17
20
. B.
13
4
. C.
17
4
. D.
1
.
Lời giải
Chọn B
Tacó
3 2 10 6 2 3 2 11 7 2
1 2 1 2xf x f x x x x x f x xf x x x x
.
Lấytíchphânhaivếcậntừ
0
đến
1
tađược:
1 1 1
2 3 2 11 7 2
0 0 0
1 1
3 3 2 2
0 0
1 0
0 1
1 1
0 0
1
0
1
0
d 1 d 2 d
1 1 5
d 1 d 1
3 2 8
1 1 5
d d
3 2 8
1 1 5
d d
3 2 8
5 5
d
6 8
3
d
4
x f x x x f x x x x x x
f x x f x x
f t t f t t
f t t f t t
f t t
f t t
.
Suyra
1
0
3
d
4
f x x
.
Lấytíchphânhaivếcậntừ
1
đến
0
tađược:
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31
0 0 0
2 3 2 11 7 2
1 1 1
0 0
3 3 2 2
1 1
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
d 1 d 2 d
1 1 17
d 1 d 1
3 2 24
1 1 17
d d
3 2 24
1 1 17
d d
3 2 24
1 17 1
d d
3 24 2
x f x x x f x x x x x x
f x x f x x
f t t f t t
f t t f t t
f t t f t t
0 1
1 0
0
1
1 17 1 17 1 3 13
d d .
3 24 2 24 2 4 12
13
d
4
f x x f x x
f x x
.
Câu 95. Chohàmsố
( )y f x
liêntụctrênđoạn
2
;e e
.
Biết
2 2 2
( ) ln ( ) ln 0, ;x f x x xf x x x e e
và
1
( )f e
e
.Tínhtíchphân
2
( )d
e
e
I f x x
.
A.
2I
. B.
3
2
I
. C.
3
I
. D.
ln 2I
.
Lời giải
Chọn B
Tacó:
2 2 2
( ) ln ( ) ln 0, ;x f x x xf x x x e e
2 2 2
1
( ) ln . ( )
1 ( ) 1
ln ln
f x x f x
f x
x
x x x x
Lấynguyênhàmhaivếtađược:
( ) 1
ln
f x
C
x x
theođềbàitacó
1
( ) 0
f e C
e
suyra
2 2
3
( )d
ln ln
( ) d
2
e e
e e
x x
f x
x x
I f x x I x
.
Câu 96. Chohàmsố
f x
cóđạohàmtrên
4;2
,thỏamãn
3
0
' 2 4 8
xf x dx
và
2 2
f
.
Tính
1
2
2
I f x dx
.
A.
10
I
B.
5
I
C.
5
I
D.
10
I
Lời giải
Chọn A
Đặt
1
' 2 4
2 4
2
du dx
u x
dv f x dx
v f x
Suyra:
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
3
3 3 3
0
0 0 0
3
0
1 1 3 1
8 ' 2 4 2 4 2 4 2 2 4
2 2 2 2
2 4 10.
xf x dx xf x f x dx f f x dx
f x dx
Đặt
2 2 4
t x dt dx
.
Đổicận:
0 2
x t
,
3 1x t
.
Suyra:
3 1 1
0 2 2
10 2 4 2 2
f x dx f t dt f x dx
.
Câu 97. Chohàmsố
( )f x
liêntụctrên
vàcó
3
0
( ) 8
f x dx
và
5
0
( ) 4
f x dx
.Tính
1
1
( 4 1)f x dx
A.
9
4
. B.
11
4
. C.
3
. D.
6
.
Lời giải
Chọn C
Tacó:
1
1 1
4
1
1 1
4
( 4 1) ( 4 1) (4 1)f x dx f x dx f x dx
.
Tính:
1
4
1
( 4 1)A f x dx
.Đặt
1
4 1
4
t x dt dx
0 5
5 0
1 1
( ) ( ) 1
4 4
A f t dt f t dt
Tính:
1
1
4
(4 1)B f x dx
.Đặt
1
4 1
4
t x dt dx
3
0
1
( ) 2
4
B f t dt
.
Vậy
1
1
( 4 1) 3
f x dx A B
.
Câu 98. Chohàmsố
f x
liêntụctrên
1;1
và
2019 e
x
f x f x
,
1;1
x
.Tính
1
1
df x x
.
A.
2
e 1
e
. B.
2
e 1
2020e
. C. 0. D.
2
e 1
2019e
.
Lời giải
Chọn B
Cách1:Tìmhàm
f x
Theogiảthiết:
2019 e
x
f x f x
1
.
Đặt
x t
thì
1
trởthành:
2019 e
t
f t f t
hay
2019 e
x
f x f x
2
.
Từ
1
và
2
tađượchệphươngtrình:
2019 e
2019 e
x
x
f x f x
f x f x
.
Giảihệ,tađược:
2
2019e e
2019 1
x x
f x
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33
1
1 1
2 2
1 1
1
2019e e 2019e e
d d
2019 1 2019 1
x x x x
f x x x
1 1
2
2
1
2018 e
2019e e 2019e e
e 1
e
2019 1 2018.2020 2020e
.
Vậy
1
2
1
e 1
d
2020e
f x x
.
Cách2:Tínhtíchphântrựctiếp
Đặt
1
1
dI f x x
.
Theogiảthiết:
2019 e
x
f x f x
.Lấytíchphânhaivếtừ
1
đến
1
,tađược:
1 1 1
1 1 1
d 2019 d e d
x
f x x f x x x
*
.
Tacó:
1 1 1
1 1 1
d d d
f x x f x x f x x I
,
1
1
1
1
1
e d e e
e
x x
x
.
Thayvàophươngtrình
*
,tađược:
2 2
1 e 1 e 1
2019 e 2020
e e 2020e
I I I I
.
Vậy
1
2
1
e 1
d
2020e
f x x
.
Câu 99. Cho hàm số
f x
liêntụctrên
0;1
thỏamãn
2 3
6
1 6
3 1
f x x f x
x
.Khiđó
1
0
df x x
bằng
A.
4
. B.
1
. C.
2
. D.
6
.
Lời giải
Chọn A
Tacó
2 3
6
1 6
3 1
f x x f x
x
2 3
6
1 6
3 1
f x x f x
x
1 1 1
2 3
0 0 0
6
1 d 6 d d
3 1
f x x x f x x x
x
*
.
Tacó
1 1 0 1
1
0 0 1 0
1 d 1 d 1 d d
u x
f x x f x x f u u f x x
.
Và
3
1 1 1 1
2 3 3 3
0 0 0 0
6 d 2 d 2 d 2 d
u x
x f x x f x x f u u f x x
.
Tacó
1 1 1 1 1
0 0 0 0 0
1 1
* d 2 d 6 d d 6 d 4
3 1 3 1
f x x f x x x f x x x
x x
.
Vậy
1
0
d 4
f x x
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 100. Chohàmsố
f x
xácđịnhvàliêntụctrên
\ 0
thỏamãn
2 2 '
2 1 1
x f x x f x xf x
,
vớimọi
\ 0
x
đồngthờithỏa
1 2
f
.Tính
2
1
df x x
A.
ln 2
1
2
. B.
1
ln 2
2
. C.
3
ln 2
2
. D.
ln 2 3
2 2
.
Lời giải
Chọn D
Tacó
2 '
2 2 '
2 1 1 1
x f x xf x xf x f x xf x xf x
Dođó
' '
2 2
1 1
1
1 1
1
1 1
xf x xf x
dx dx x c
xf x
xf x xf x
1
1xf x
x c
Mặtkhác
1 2
f
nên
2
1 1 1 1
2 1 0 1
1
c xf x f x
c x x x
Vậy
2 2
2
1
2
1 1
1 1 1 1
d ln | ln 2
2
f x x dx x
x x x
.
Câu 101. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm trên
0;4
và thỏa đẳng thức sau đây
2019 2020 4 6059
2
x
f x f x
.Tínhtíchphân
4
0
df x x
.
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Chọn B
Tacó
4
4
0
0
d 4 0
f x x f x f f
.
Với
0
x
và
4
x
tacóhệphươngtrình
2019 0 2020 4 6059 0 1
2020 0 2019 4 6058 4 2
f f f
f f f
.
Dođó
4
0
d 4 0 2 1 1
f x x f f
.
Câu 102. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
,
0 0, 0 0
f f
và thỏa mãn hệ
thức
2 2
. 18 3 6 1 ,f x f x x x x f x x f x x
.
Biết
1
2
0
1 d .
f x
x e x a e b
,với
;a b
.Giátrịcủa
a b
bằng.
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D.
2
3
.
Lời giải
Chọn A
Tacó
2 2
. 18 3 6 1
f x f x x x x f x x f x
2 2
. 18 d 3 6 1 df x f x x x x x f x x f x x
2 3 2
1
6 d 3 d
2
f x x x x x f x x
2 3 2
1
6 3
2
f x x x x f x C
,với
C
làhằngsố.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35
Mặtkhác:theogiảthiết
0 0
f
nên
0
C
.
Khiđó
2 3 2
1
6 3 1 ,
2
f x x x x f x x
.
2 3 2
1 12 6 2
f x x x x f x
2
2 6 0
f x x f x x
2
2
6
f x x
f x x
.
Trườnghợp1:Với
2
6 ,f x x x
,tacó
0 0
f
(loại).
Trườnghợp2:Với
2 ,f x x x
,tacó:
1
2
1 1 1
2
2 2
0 0 0
0
1
3 1
1 d 1 d d
2 2 4 4
x
x
f x
x
x e
e
x e x x e x x e
3
4
1
1
4
a
a b
b
.
Câu 103. Cho hàm số
f x
liên tục trên
thỏa mãn
2 3 5 3 2
1 3 3
1 4 5 7 6,
4 4 2
f x x f x x x x x x x
.Tíchphân
2
1
df x x
bằng
A.
1
7
. B.
1
3
. C.
7
. D.
19
3
.
Lời giải
Mặtkhác:
2 2 2
2 3 5 3 2
1 1 1
1 3 3
(*) d 1 d 4 5 7 6 d
4 4 2
f x x x f x x x x x x x x
2 2
3 3
1 1
4 1 3 3 1 3 3 1
d d
3 4 4 2 4 4 2 3
f x x f x x x x
2 2 2
1 1 1
4 1 1
d d d
3 3 7
f x x f x x f x x
.
Câu 104. Cho hàm số
f x
xác định và có đạo hàm
f x
liên tục trên đoạn
1;3
,
0
f x
với mọi
1;3
x
,đồngthời
2
2 2
1 1
f x f x f x x
và
1 1
f
.
Biếtrằng
3
1
d ln3
f x x a b
,
,a b
,tínhtổng
2
.S a b
A.
0
S
. B.
1
S
. C.
2
S
. D.
4
S
.
Lời giải
Chọn B
Tacó:
2
2 2
1 1
f x f x f x x
2
2
4
1
1
f x f x
x
f x
.
Lấynguyênhàm2vếtađược:
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
2
2
4
1
d 1
f x f x
x x dx
f x
2
2
4
1 2
d 1
f x f x f x
x x dx
f x
3
4 3 2
1
1 1 1
2 d
3
x
f x C
f x f x f x
3
3 2
1
1 1 1
3 3
x
C
f x f x f x
3
2
3
1 3 3 1
3 3
f x f x x
C
f x
Mà
1 1
f
nên
1 3 3 1
3 3
C C
.
Suyra:
3
2
3
1 3 3 1
1
3 3 3
f x f x x
f x
3
2
3
1 3 3 1
1
3 3 3
f x f x x
f x
3
3
3
1
1
f x
x
f x
3
3
1
1 1
x
f x
1
f x
x
.
Vậy:
3
3 3
1 1
1
1
d d ln ln 3
f x x x x
x
.Suyra
1; 0
a b
hay
2
1
a b
.
Câu 105. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
thỏa mãn
1 1
f
và
2
2 6 4 2
4 6 1 . 40 44 32 4, 0;1
f x x f x x x x x
.Tíchphân
1
0
f x dx
bằng?
A.
23
15
. B.
13
15
. C.
17
15
. D.
7
15
.
Lời giải
Chọn B
2
2 6 4 2
4 6 1 . 40 44 32 4
f x x f x x x x
1 1 1
2
2 6 4 2
0 0 0
4 6 1 . 40 44 32 4 . 1
f x dx x f x dx x x x dx
Xét
1 1
2 2
0 0
4 6 1 . 24 4
I x f x dx x f x dx
.
Đặt
2
3
24 4
8 4
u f x
du f x dx
dv x dx
v x x
.
1 1
1
3 3 3
0
0 0
8 4 . 8 4 . =4 2 4 2 . .I x x f x x x f x dx x x f x dx
Dođó:
1 1 1 1
2
2
3 3 6 4 2
0 0 0 0
1 2 4 2 . 4 2 56 60 36 8 .f x dx x x f x dx x x dx x x x dx
1
2
3 3 4 2
0
4 2 0 4 2 .f x x x dx f x x x f x x x c
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37
Mà
1 1 1f c
4 2
1.f x x x
Dođó
1 1
4 2
0 0
13
1 .
15
f x dx x x dx
Câu 106. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn và
.Tíchphân bằng
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Chọn D
Cách 1.
Ápdụngcôngthứctíchphântừngphần,tacó: .
Từ
Thay
vào tađược .
Xét
Đặt ,đổicận:
Khiđó
Dođótacó
Vậy
Cách 2.
Từ
Thay
vào tađược .
Xéthàmsố từgiảthiếttrêntacó
.
Vậy suyra .
Câu 107. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên
2;4
và
0, 2;4f x x
. Biết
3
3 3
7
4 , 2;4 , 2
4
x f x f x x x f
.Giátrịcủa
4f
bằng
A.
40 5 1
2
. B.
20 5 1
4
. C.
20 5 1
2
. D.
40 5 1
4
.
Lời giải
( )f x
(0) 3
f
2
( ) (2 ) 2 2,f x f x x x x
2
0
( )dxf x x
4
3
2
3
5
3
10
3
2 2
2
0
0 0
( )d ( ) ( )dxf x x xf x f x x
2
( ) (2 ) 2 2, 1
f x f x x x x
0
x
1
(0) (2) 2 (2) 2 (0) 2 3 1
f f f f
2
0
( )dI f x x
2
x t dx dt
0 2
2 0
x t
x t
0 2 2
2 0 0
(2 ) (2 ) (2 )I f t dt f t dt I f x dx
2 2 2 2
2
0 0 0 0
8 4
( ) (2 ) d 2 2 d 2 ( )d ( )d .
3 3
f x f x x x x x f x x f x x
2 2
2
0
0 0
4 10
( )d ( ) ( )d 2.( 1) .
3 3
xf x x xf x f x x
2
( ) (2 ) 2 2 1
(0) 3
f x f x x x
f
0; 1x x
1
1
(2) 1; (1)
2
f f
2
( )
f x ax bx c
3 3
1 1
2 2
4 2 1 3
c c
a b c a
a b c b
2
1
( ) 3 3 ( ) 3
2
f x x x f x x
2 2
0 0
10
( )d 3 d
3
xf x x x x x
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Chọn D
Ta có:
0, 2;4
f x x
nên hàm số
y f x
đồng biến trên
2;4
2
f x f
mà
7
2
4
f
.Dođó:
0, 2;4
f x x
.
Từgiảthiếttacó:
3 3
3 3 3
4 4 1
x f x f x x x f x f x
3
3
. 4 1
4 1
f x
x f x f x x
f x
.
Suyra:
2
3 3
d 4 1
1
d d
4 2
4 1 4 1
f x
f x
x
x x x C
f x f x
2
2
3
3
4 1
8 2
x
f x C
.
7 3 1
2 2
4 2 2
f C C
.
Vậy:
3
2
4
1 1
3
4
x
f x
40 5 1
4
4
f
.
Câu 108. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;2
và thỏa
1 0
f
,
2
2
4 8 32 28
f x f x x x
vớimọi
x
thuộc
0;2
.Giátrịcủa
1
0
df x x
bằng
A.
5
3
. B.
4
3
. C.
2
3
. D.
14
3
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
2
1
2 dI f x x
.
Dùngtíchphântừngphần,tacó:
d 2d
u f x
v x
d d
2 4
u f x x
v x
.
2 2
2
1
1 1
2 4 2 4 d 2 4 dI x f x x f x x x f x x
.
Tacó
2
2
4 8 32 28
f x f x x x
2 2
2
1 1
d 2 2 df x x f x x
2
2
1
8 32 28 dx x x
2 2 2
2
2
1 1 1
d 2 2 4 d 2 4 df x x x f x x x x
2 2
2
2
1 1
8 32 28 d 2 4 dx x x x x
2
2
1
2 4 d 0
f x x x
2 4f x x
2
4
f x x x C
,
C
.
Mà
1 0 3
f C
2
4 3f x x x
1 1
2
0 0
4
d 4 3 d
3
f x x x x x
.
Câu 109. Chohàmsố
f x
liêntụctrên
0;1
và
2
2 3
1
1
x x
f x f x
x
,
0;1
x
.Tính
1
0
df x x
A.
3
2ln 2
4
. B.
3 ln 2
. C.
3
ln 2
4
. D.
3
2ln 2
2
.
Lời giải
Chọn C
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39
Theo giả thiết, ta có:
2
2 3
1
1
x x
f x f x
x
,
0;1
x
và
f x
liên tục trên
0;1
nên
1 1
2
0 0
2 3
1 d d
1
x x
f x f x x x
x
2
1 1 1
0 0 0
1 2
d 1 d d
1
x
f x x f x x x
x
(1)
Đặt
1
x t
thì
d dx t
,với
0 1x t
,với
1 0x t
Dođó:
1 0 1 1
0 1 0 0
1 d d d df x x f t t f t t f x x
1 1 1
0 0 0
d 1 d 2 df x x f x x f x x
(2).
Lạicó
1
2
1 1
2
0 0
0
1 2
2 3
d 1 d 2ln 1 2ln 2
1 1 2 2
x
x
x x x x x
x x
(3)
Từ(1),(2)và(3)suyra
1 1
0 0
3 3
2 d 2ln 2 d ln 2
2 4
f x x f x x
.
Câu 110. Cho hàm số
( )y f x
liên tục trên thỏa mãn
2
2 1
3 2 2 1 e 4
x x
f x f x x
. Tính tích
phân
2
0
dI f x x
tađượckếtquả:
A.
e 4
I
. B.
8
I
. C.
2I
. D.
e 2
I
.
Lời giải
Chọn C
Theogiảthuyếttacó
2
2 2
2 1
0 0
3 2 d 2 1 e 4 d *
x x
f x f x x x x
.
Tatính
2 2 2
0 0 0
2 d 2 d 2 df x x f x x f x x
.
Vìvậy
2 2
0 0
3 2 d 4 df x f x x f x x
.
Hơnnữa
2 2 2
2 2
2
2 1 2 1 2 2 1
0
0 0
2 1 d e d 2 1 e 0
x x x x x x
x e x x x
và
2
0
4d 8
x
.
Suyra
2 2
0 0
4 d 8 d 2
f x x f x x
.
Câu 111. Cho hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên
0;2
và thỏa mãn:
2
2
3
( 4) 4 ( ) ( )
5
x xf x f x
và
1
(0)
20
f
.Khiđó
2
0
( )df x x
bằng
A.
203
30
. B.
163
30
. C.
11
30
. D.
157
30
Lời giải
Chọn A
Từgiảthiết
2
2
3
( 4) 4 ( ) ( )
5
x xf x f x
Tacó:
2 2
2
2
0 0
3
( 4) 4 ( ) d ( ) d
5
x xf x x f x x
2 2
2
2
0 0
262
2 ( )d( 4) ( ) d
15
f x x f x x
(1)
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Đặt
2
2
0
( )d( 4)
I f x x
Đặt
2 2
( ) d ( )d
d d( 4) 4
u f x u f x x
v x v x
Khiđó
2
2
2 2
0
0
4 ( ) 4 ( )dI x f x x f x x
2
2
0
1
4 ( )d
5
x f x x
(2)
Thay(2)vào(1)có:
2 2
2
2
0 0
262 1
2 4 ( )d ( ) d
15 5
x f x x f x x
2 2 2
2
2
2 2
0 0 0
( ) d 2 4 ( )d 4 df x x x f x x x x
2
2
2
0
262 2
4 d
15 5
x x
2 2 2
2
2
2 2
0 0 0
( ) d 2 4 ( )d 4 d 0
f x x x f x x x x
2
2
2
0
( ) 4 d 0
f x x x
Do
2
2 2
2 2
0
( ) 4 0 ( ) 4 d 0
f x x f x x x
mà
2
2
2
0
( ) 4 d 0
f x x x
nên
2
2
( ) 4 0
f x x
2
( ) 4
f x x
3
( ) 4
3
x
f x x C
.
Vì
3
1 1 1
(0) ( ) 4
20 20 3 20
x
f C f x x
Vậy
2
0
203
( )d
30
f x x
.
Câu 112. Chohàmsố
f x
liêntụctrên
thỏamãn
5 4 11 8 6 4
1 3 3,xf x f x x x x x x x
.
Khiđó
0
1
df x x
bằng
A.
35
6
. B.
15
4
. C.
7
24
. D.
5
6
.
Lời giải
Chọn D
Với
x
tacó:
5 4 11 8 6 4
1 3 3xf x f x x x x x x
4 5 3 4 14 11 9 7 4 3
1 3 3 (*)
x f x x f x x x x x x x
1 1 1
4 5 3 4 14 11 9 7 4 3
0 0 0
d 1 d 3 3 dx f x x x f x x x x x x x x x
1 1
5 5 4 4
0 0
1 1 33
d 1 d 1
5 4 40
f x x f x x
1 1 1
0 0 0
1 1 33 11
d d d
5 4 40 6
f x x f x x f x x
Mặtkhác:
0 0 0
4 5 3 4 14 11 9 7 4 3
1 1 1
(*) d 1 d 3 3 dx f x x x f x x x x x x x x x
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 41
0 0
5 5 4 4
1 1
1 1 7
(*) d 1 d 1
5 4 24
f x x f x x
0 1 0
1 0 1
1 1 7 7 1 11 5
d d d 5 .
5 4 24 24 4 6 6
f x x f x x f x x
.
Câu 113. Cho hàm số
f x
liên tục trên
2
;1
5
 
 
 
 
và thỏa mãn
 
2 2
2 5 3 , ;1
5 5
f x f x x
x
   


 
   




 
 
 
. Khi đó
 
1
3
2
15
ln 3 . ' 3
I x f x dx


bằng:
A.
1 2 3
ln
5 5 35

. B.
1 5 3
ln
5 2 35

. C.
1 5 3
ln
5 2 35
 
. D.
1 2 3
ln
5 5 35
 
.
Lời giải
Chọn B
Cách 1:TựLuận
Tacó:
 
2 2
2 5 3 , ;1 (1)
5 5
f x f x x
x
   


 
   




 
 
 
 
2
2
5
2 5 3, ;1
5
f
f x
x
x
x x
 






 
 
 
    
 
 
 
1 1 1
2 2 2
5 5 5
2
9
5
2 5 3 (2)
5
f
f x
x
dx dx dx
x x
 






 
   
  
Xét
1
1
2
5
2
5
5
f
x
I dx
x
 






 


đặt
2 2
2 2 2
5 5 5
du
u du dx dx
x x u
      
.
Đổicận:
2
1
5
2
1
5
x u
x u



  






  




     
2
1 1
5
1
2 2
1
5 5
5 5 5
f u f u f x
I du du dx
u u x
    
  
Từ(2)suyra,
   
1 1
2 2
5 5
9
2 5
5
f x f x
dx dx
x x
 
 
 
1
2
5
9
35
f x
dx
x
 

Tính
 
1
3
2
15
ln 3 . ' 3
I x f x dx


.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Đặt
1
3 3
3
t x dt dx dt dx
    
.Đổicận:
2 2
15 5
1
1
3
x t
x t



  






  




 
1
2
5
1
ln . '
3
I t f t dt
 

Đặt:
1
ln
'( )
( )
u t
du dt
t
dv f t
v f t










 
 







1
1
2
5
2
5
1 1 ( ) 1 2 2 3
(ln . ( )) ln . ( )
3 3 3 5 5 35
f t
I t f t dt f
t
    

Tính
 
2 2
2 5 3 , ;1
5 5
f x f x x
x
   


 
   




 
 
 
Cho
2
1;
5
x x
 
vào(1)tacóhệphươngtrìnhsau:
 
 
2
2 1 5 3
(1) 0
5
2 3
2 6
2 5 1
5 5
5 5
f f
f
f
f f

 





 









 




 
 


 
  


 
 


   
 







 


Suyra,
1 3 2 3 1 5 3
. ln ln
3 5 5 35 5 2 35
I     
.
Câu 114. Chohàmsố
f x
liêntụctrên
vàthỏamãn
2 7 3
2 2 3 1f x xf x x x x
với
x
.Tính
tíchphân
1
0
dxf x x
.
A.
1
4
. B.
5
4
. C.
3
4
. D.
1
2
.
Lời giải
Chọn B
Ápdụngcôngthứctíchphântừngphần,tacó:
1 1
0 0
1
d d *
0
xf x x xf x f x x
Từ
2 7 3
2 2 3 1 1
f x xf x x x x
Thay
1x
vào
1
tađược
1 2 1 3 1 1 2
f f f
Mặtkháctừ
1
tacó
1 1 1
2 7 3
0 0 0
d 2 d 2 3 1 df x x xf x x x x x x
1 1 1 1
2 2
0 0 0 0
1 1 1
d d 2 d d 3
2 2 4
f x x f x x f x x f x x
Thay
2 , 3
vào
*
tađược
1
0
1 5
d 1
4 4
xf x x
Câu 115. Chohàmsố
f x
liêntụctrên
thỏamãn
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 43
4 3
2
2 2 4 4
1 2 , 0, 1
x x x x
x f x f x x
x x
.Khiđó
1
1
d
f x x
cógiátrịlà
A.
0
. B.
1
. C.
1
2
. D.
3
2
.
Lời giải
Chọn A
Từgiảthiếtsuyra
4 3
2 3
2 2 2 4 4
1
x x x x
f x f
x x x
Tacó:
2 2 2
4 3
2 3
1 1 1
2 2 2 4 4
1 d . d d
x x x x
f x x f x x
x x x
2 2 2
2 3
1 1 1
2 2 2 2 4 4
1 d 1 d 1 d
x x
f x x f x x
x x x x
1 1
2
2
0 0
2
4 2
d d
1
2
x
f t t f t t x
x x
0 1
1 0
d d 0
f t t f t t
1
1
d 0
f t t
.
Vậy
1
1
d 0
f x x
.
Cách trắc nghiệm
Tacó:
4 3
2
2 2 4 4
1 2 , 0, 1
x x x x
x f x f x x
x x
4 3
2
2 2 4 4
1 2 , 0, 1
x x x x
x f x f x x
x x x
2 2
2 2 2 2
1 2 1 2 , 0, 1
x x
x f x f x x x x
x x
Chọn
1 1
1 1
.d .d 0
f x x f x x x x
.
Câu 116. Xéthàmsố
f x
liêntụctrênđoạn
0;1
vàthỏamãnđiềukiện
2 3 1 1
f x f x x x
.Tính
tíchphân
1
0
dI f x x
.
A.
4
15
B.
4
15
C.
2
5
D.
1
Lời giải
Chọn B
Do
2 3 1 1
f x f x x x
1 2
1 1 1
0 0 0
2 d 3 1 d 1 d 1
I I
f x x f x x x x x
.
+Xét
1
1
0
3 1 dI f x x
:
Đặt
1 d dt x x t
.Khi
0 1; 1 0
x t x t
.
Khiđó
1
1
0
3 d 3I f t t I
.
N
GUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
+
Xét
1
2
0
1
dI x x x
.Đặ
t
2
1
1 d 2 dtt x x t x t
.
Với
0
1; 1 0
x
t x t
.
Khiđó
0
0
5
3
2
2
1
1
2
2 4
1
2 d
5
3 15
t
t
I t t t t
.
Thay
vào
4
4
1
: 2 3
15
15
I
I I
.
Câu 117. Cho
hàm số
f
x
l
iên tục trên
thỏa
mãn
2
3 5 3 2
1
3 3
1 4 5 7 6,
4 4 2
f x x f x x x x x x x
.T
íchphân
2
1
df x x
bằng
A
.
1
7
. B.
1
3
. C.
7
. D.
1
9
3
.
Lờ
i giải
Chọn
C
Với
x
ta
có:
2
3 5 3 2
1
3 3
1
4 5 7 6(*)
4
4 2
f x x f x x x x x x
1
1 1
2 3 5 3 2
2 2 2
1
3 3
d
1 d 4 5 7 6 d
4 4 2
f
x x x f x x x x x x x x
1
1
3 3
2 2
4
1 3 3 1 3 3 35
d
d
3
4 4 2 4 4 2 3
f
x x f x x x x
1
1 1
2 2 2
4
35
d
d d 5
3
3
f x x f x x f x x
Mặ
tkhác:
2
2 2
2 3 5 3 2
1 1 1
1 3 3
(*) d 1 d 4 5 7 6 d
4
4 2
f x x x f x x x x x x x x
2
2
3 3
1 1
4
1 3 3 1 3 3 1
d
d
3 4 4 2 4 4 2 3
f
x x f x x x x
2
1 2
1 2 1
4
1 1 4
d d d . 5 7
3
3 3 3
f x x f x x f x x
.
----------------- HẾT -----------------
| 1/59
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:


TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Vấn đề 14 TÍCH PHÂN
A. ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN b b a) Định nghĩa:
f xdx F x  F b  F a 
với F x là một nguyên hàm của f x trên  ; a b . a a b) Tính chất: a b a
f xdx  0 
f xdx  
f xdx   a a b b b b b b
kf x dx k
f x dx   (k là hằng số)
f x  g x dx
f xdx
g xdx      a a a a a c b c b b b
f xdx
f xdx
f xdx   
f xdx
f t dt
f u du    a a b a a a b
Nếu f x  0, x   ; a b thì
f xdx  0.  a b b
Nếu f x  g x, x   ; a b thì
f xdx
g xd . x   a a Đặc biệt: a
Nếu hàm y f x là hàm số lẻ trên  ; a a thì
f xdx  0.   a a a
Nếu hàm y f x là hàm số chẵn trên  ; a a thì
f x dx  2
f x dx   .  a 0 2 3 3 Câu 1. Nếu
f x dx  2   và
f x dx  1  thì
f x dx  bằng 1 2 1 A. 3  . B. 1. C. 1. D. 3 . 1 1 Câu 2. Nếu
f x dx  4 
thì 2 f x dx  bằng 0 0 A. 16 . B. 4 . C. 2 . D. 8 . 1 1 1 Câu 3. Cho  d  2  f x x và  d  5  g x x
khi đó  f x  2g x d    x bằng 0 0 0 A. 3 . B. 12 . C. 8 . D. 1. 2 2 2 Câu 4. Biết
f x dx  2 
và g x dx  6 
, khi đó  f x  g x dx    bằng 1 1 1 A. 4 . B. 8 . C. 8 . D. 4  . 1 1 1 Câu 5. Biết tích phân
f xdx  3 
và g xdx  4  
. Khi đó  f x  g x dx    bằng 0 0 0 A. 7 . B. 7 . C. 1. D. 1. 2 Câu 6.
Cho hàm số f x có đạo hàm trên đoạn 1; 2, f  
1  1 và f 2  2 . Tính I f  x . dx  1 7 A. I  1. B. I  1  . C. I  3. D. I  . 2
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 5 5 Câu 7. Cho
f xdx  2  
. Tích phân 4 f x 2  3x  dx    bằng 0 0 A. 1  33 . B. 120  . C. 130  . D. 1  40 . 1 1 1 Câu 8. Cho
f xdx  3,
g xdx  2  
. Tính giá trị của biểu thức I  2 f x  3g x dx    0 0 0 A. 12 . B. 9 . C. 6 . D. y  6 . 2 1 2 Câu 9. Biết rằng
f xdx  
, tính I  2 f x    1 dx . 2 0 0 3 A. I  3 . B. I  1. C. I  2 . D. I  . 2 2 2
Câu 10. Cho hàm số f x liên tục trên  và  f x 2
 3x  dx  10 . Tính f (x)dx  . 0 0 A. 1  8 . B. 2 . C. 18 . D. 2 . 2 4 4 Câu 11. Cho
f xdx  2  và
f xdx  1   . Tích phân
f xdx  bằng 1 2 1 A. 3 . B. 3 . C. 1. D. 1  . 2 2 2 Câu 12. Cho
f (x)dx  2  và
g(x)dx  1  
, khi đó x  2 f (x)  3g(x)dx  bằng 1 1 1 5 7 17 11 A. B. C. D. 2 2 2 2 6 10 6
Câu 13. Cho hàm số f x liên tục trên  và thỏa mãn
f x dx  7,
f x dx  3,
f x dx  1    . 0 3 3 10 Tính giá trị của
f x dx  . 0 A. 4 . B. 10 . C. 9 . D. 8 . e
Câu 14. Cho hàm số f x  cos  ln x. Tính tích phân I f  x d . x 1 A. I  2  . B. I  2. C. I  2 . D. I  2  . 5 7 7
Câu 15. Cho h(x)dx  4 
và h(x)dx  10  , khi đó ( h x)dx  bằng 1 1 5 A. 7 . B. 2 . C. 6 . D. 5 . 5 5 5
Câu 16. Cho hai tích phân
f x dx  8  và
g x dx  3   . Tính I
f x  4g x 1 d  x    2  2 2  A. I  13 . B. I  27 . C. I  11  . D. I  3 . 5 3
Câu 17. Cho f x là một hàm số liên tục trên  2  ;  5 và
f x dx  8, f x dx  3   . Tính 2 1 1 5 P
f x dx  f x dx   . 2 3 A. P  5 . B. P  11. C. P  11 . D. P  5 .
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 2
Câu 18. Cho hàm số f x liên tục, có đạo hàm trên đoạn 1; 2, biết tích phân
f   xdx  9  và 1 f  
1  8 . Tính f 2.
A. f 2  1.
B. f 2  1.
C. f 2  3.
D. f 2  16. 2 4 4 Câu 19. Cho
f x dx  1  ,
f t dt  4   . Tính I
f y dy  . 2  2 2 A. I  5 . B. I  3 . C. I  3  . D. I  5  . 2 2 2 Câu 20. Cho
f xdx  
2 và g xdx   
1 . Tính I  x  
2 f x  3g x   dx . 1 1 1 11 17 5 7 A. I B. I C. I D. I  2 2 2 2 Câu 21. Cho
f x, g x là các hàm số liên tục trên 1;  3 và thỏa 3 3 3
mãn  f x  3g x dx  10   
2 f x  g x dx  6   
. Tính I   f x  g x dx    bằng 1 1 1 A. I  7 . B. I  6 .
C. I  8 . D. I  9 .
B. TÍCH PHÂN CƠ BẢN(THÔNG QUA BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM)
Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý) 0dx C.  
k dx kx C.  n 1 x n 1 ax b   n 1 ( )  n x dx  C. 
 (ax b) dx  C.  n  1 a n  1 1 1 1 
dx  ln x C.   dx
ln ax b C.  x ax b a 1 1 1 1 1  dx   C.   dx    C.  2 x x 2 (ax b) a ax b
sin x dx  cos x C.  1 
sin(ax b)dx   cos(ax b) C.  a
cosx dx  sin x C.  1 
cos(ax b)dx  sin(ax b) C.  a 1 dx 1 
dx  cotx C.  
  cot(ax b) C.  2 sin x 2 sin (ax b) a 1 dx 1 
dx  tan x C.  
 tan(ax b) C.  2 cos x 2 cos (ax b) ax d x
e x e C.  ax b  1  ax be dx eC.  a x a a  x 1 xx a dx  C.   a dx  C.  lna lna 1
♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm a
Một số nguyên tắc tính cơ bản
Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP   khai triễn.
Tích các hàm mũ PP 
khai triển theo công thức mũ. 1 1 1 1  2 2
Bậc chẵn của sin và cosin Hạ bậc: sin a   cos2 ,
a cos a   cos2a. 2 2 2 2
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Chứa tích các căn thức của x PP 
chuyển về lũy thừa.
MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU 2 dx Câu 22.  bằng 2x  3 1 7 1 7 1 7 A. 2 ln . B. ln 35 . C. ln . D. ln . 5 2 5 2 5 2 dx
Câu 23. Tích phân  bằng x  3 0 16 5 5 2 A. B. log C. ln D. 225 3 3 15 5 dx
Câu 24. Tính tích phân I   1 2x 1
A. I   ln 9 . B. I  ln 9 .
C. I   ln 3. D. I  ln 3 . 2 x  1
Câu 25. Tính tích phân I  dx  . x 1 7
A. I  1  ln 2 . B. I  .
C. I  2 ln 2 .
D. I  1  ln 2 . 4 1
Câu 26. Biết rằng tích phân 2 x
x e dx a  .
b e với a, b   . Khi đó, tính a b bằng 0 A. 1  5 . B. 1  . C. 20 . D. 1.  6
Câu 27. Giá trị của tích phân I  os c 2xdx  bằng 0 1 3 1 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 2 2 1  1 1  Câu 28. Cho  
dx a ln 2  
b ln 3 với a,b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?  x  1 x  2  0
A. a b  2
B. a  2b  0
C. a b  2
D. a  2b  0   2 2 Câu 29. Cho
f x dx  5 . Tính I   f x  2sin x dx .       0 0  A. I  7 B. I  5  C. I  3
D. I  5   . 2 2 Câu 30. 3x 1 e  dx  bằng: 1 1 1 1 A.  5 2 e e  . B. 5 2 e e . C. 5 2 e e . D.  5 2 e e  . 3 3 3 m Câu 31. Cho  2
3x  2x  
1 dx  6 . Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây? 0
A. 1; 2 .
B. ;0 . C. 0; 4 . D. 3  ;1 . 2 dx a Câu 32. Giả sử  ln , 
với a,b là các số tự nhiên có ước chung lớn nhất bằng 1. Khẳng định nào x  3 b 1 sau đây đúng?
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
A. a b  2. B. 2 2
a b  41.
C. a  2b  14.
D. 3a b  12. 2x khi x  0 1 
Câu 33. Cho số thực a và hàm số f x   Tính f x . dxa   2 x x  khi x  0.  1  a 2a a 2a A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 6 3 6 3 ln 2
Câu 34. Tính tích phân   4x I e    1 d . x . 0 15 17 15 A. I   ln 2.
B. I  4  ln 2. C. I   ln 2. D. I   ln 2. 4 4 2
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG  4
Câu 35. Cho hàm số f x . Biết f 0  4 và f x 2 '
 2sin x 1, x
   , khi đó f x dx  bằng 0 2  15 2  16 16 2  16  4 2   4 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16  4
Câu 36. Cho hàm số f (x) .Biết f (0)  4 và 2 f (
x)  2cos x  3, x    , khi đó f (x)dx  bằng? 0 2   2 2   8  8 2   8  2 2   6  8 A. . B. . C. . D. . 8 8 8 8  4
Câu 37. Cho hàm số f x . Biết f 0  4 và f  x 2
 2sin x  3, x   R , khi đó
f xdx  bằng 0 2   2 2   8  8 2   8  2 2 3  2  3 A. . B. . C. . D. . 8 8 8 8  4
Câu 38. Cho hàm số f x . Biết f 0  4 và f  x 2
 2 cos x 1, x   , khi đó
f xdx  bằng 0 2   4 2  14 2  16  4 2  16 16 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16
C. TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỶ
1. Công thức thường áp dụng 1 1 1 1 1  dx
ln ax b C .   dx    C.  ax b a 2 (ax b) a ax b a
 lna  lnb  ln(ab).  lna  lnb  ln  b  ln n
a n lna.  ln1  0. P(x)
2. Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ I  dx.  Q(x)
Nếu bậc của tử số P(x)  bậc của mẫu số Q(x) PP   Chia đa thức.
Nếu bậc của tử số P(x)  bậc của mẫu số Q(x) PP 
phân tích mẫu Q(x) thành tích số, rồi sử dụng
phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01.
Nếu mẫu không phân tích được thành tích số PP 
thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng
cách đặt X a tant, nếu mẫu đưa được về dạng 2 2
X a . 4 dx
Câu 39. Biết I
a ln 2  b ln 3  c ln 5, 
với a, b, c là các số nguyên. Tính S a b  . c 2 x x 3
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
A. S  6 .
B. S  2 . C. S  2  . D. S  0. 1 d x x Câu 40. Cho
a b ln 2  c ln 3 
với a , b , c là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a b c bằng  x  22 0 A. 2  . B. 1  . C. 2 . D. 1. 4 3 2
x x  7x  3 a a Câu 41. Biết dx   c ln 5 
với a, b, c là các số nguyên dương và là phân số tối 2 x x  3 b b 1
giản. Tính giá trị của 2 3
P a b c . A. 5  . B. 3  . C. 6 . D. 4  . 3 1 Câu 42. Cho
dx  a ln 3 b ln 5 
, với a, b là các số hữu tỉ. Tính a  4b 2 x  2x 1
A. a  4b  1 .
B. a  4b  1.
C. a  4b  3 .
D. a  4b  3 . 2 2 x  2x 5
Câu 43. Biết I dx
 lnb  lnc a,b,c  
 . Tính giá trị biểu thức S a b c x 1 a 1 A. S  7 . B. S  3. C. S  3  . D. S  1. 3 x  3 Câu 44. Cho
dx a ln 2  b ln 3  c ln 5 
với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c 2 x  3x  2 1 bằng A. 0. B. 2. C. 3. D. 1. 4 16 4  5  Câu 45. Cho
f x dx  .  Tính I    3 f x  d . x 2   3  x 1 0   0    A. I  1  2 .
B. I  0 . C. I  20  .
D. I 1. 3 dx Câu 46. Cho
a ln 2  b ln 3  c ln 5 
với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của 2 3
a b c x 1 x  2 2    bằng A. 3 . B. 6 . C. 5 . D. 4 . 2 2 x  5x  2 Câu 47. Biết
dx a b ln 3  c ln 5 
, a,b, c   . Giá trị của abc bằng 2 x  4x  3 0 A. 8 . B. 10 . C. 12  . D. 16 .
D. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1. Đổi biến số với một số hàm thường gặp b  (  )n f ax b xdx PP 
t ax  . b f (x)f (  x)d PP n n x 
t f (x).  a b 1 bf (ln x) d PP x  t  ln x.  f ( x e ) x e d PP x x  t e .  x a a b b
f (sin x)cos x d PP x  t  sin x. 
f (cos x)sin x d PP x  t  cos x.  a a b 1 bf (tan x) d PP x  t  tan x. 
f(sinx cos ) x .(sinx c  os ) x dx t  sinx cos . x 2 cos x a a 2 2 2  (  ) n f a x x d PP x 
x a sint.     2 2 m   2 ( ) n f x a x d PP x 
x a tant.  a x    dxf     d PP x 
x a cos 2t. 
t ax b cx d. 
a x    (ax  )
b (cx d)
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 s s  dx PP 1 1     ,., k   d n R ax b ax
b x t ax  . b    x      n n n t
(a bx ) a bx
2. Đổi biến số với hàm ẩn
Nhận dạng tương đối: Đề cho f (x), yêu cầu tính f ( x) hoặc đề cho f( x), yêu cầu tính f (x).
Phương pháp: Đặt t  ( x).
Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận và ở trên đã sử dụng tính chất: “Tích phân không phụ thuộc vào biến số, b b b
mà chỉ phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa là
f (u)du
f (t)dt     
f (x)dx        a a a
MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT THÔNG HIỂU 2 2 2 2 Câu 48. Xét ex x dx  , nếu đặt 2 u x thì ex x dx  bằng 0 0 2 4 2 1 4 1 A. 2 eudu  . B. 2 eudu  . C. eudu  . D. eudu  . 2 2 0 0 0 0 
Câu 49. Tính tích phân 3 I  cos . x sin d x x  . 0 1 1 A. 4 I    B. 4 I    C. I  0 D. I   4 4 21 dx Câu 50. Cho
a ln 3  b ln 5  c ln 7 
, với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng? x x  4 5
A. a b  2  c .
B. a b c .
C. a b c  .
D. a b  2  c .
Câu 51. Cho hàm số f x liên tục trên  . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 2 1 1 A.
f xdx
f xdx   . B.
f xdx  0  . 2 0 0 1  1 1 1 1 C.
f xdx f 1 xdx   . D.
f xdx  2 f xdx   . 0 0 1  0 16 2 Câu 52. Giả sử  d  2020,  f x x khi đó giá trị của 3.  4 d  x f x x bằng 1 1 A. 4 2020 . B. 4 2020. C. 8080. D. 505. 1 2
Câu 53. Cho hàm số f x thỏa mãn f 2xdx  2  . Tích phân
f xdx  bằng: 0 0 A. 8 . B. 1. C. 2 . D. 4 . 2 4 f x Câu 54. Cho
f xdx  2  . Khi đó dx  bằng x 1 1 A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 8 . 2 2 1
Câu 55. Cho  2 f x  3g x d  x  6  
,  g xdx  2 . Tính I   f 2xdx 0 0 0 A. I  6  . B. I  12 . C. I  6. D. I  3 . 4
Câu 56. Cho I x 1  2x d  x và u
2x 1 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 0 3 5 3 1  u u  3 A. I   2 2   .
B. I u u    1 du . 2 5 3   1 1
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 3 1 3 1 C. 2 I x  2 x    1 dx . D. 2 I u  2 u    1 du . 2 2 1 1  3 Câu 57. Cho 2
I  sin x cos xdx, 
khẳng định nào sau đây đúng? 0 1 1 1 1 2 2 A. 0  I  . B. I  . C. I  . D. I  1 3 3 2 2 3 3
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG x 8
Câu 58. Cho hàm số f x có f 3  3 và f  x  , x   0 . Khi đó
f x dx  bằng x 1 x 1 3 197 29 181 A. 7 . B. . C. . D. . 6 2 6 
Câu 59. Cho hàm số f x có f 0  0 và f  x 2
 cos x cos 2x, R . Khi đó
f x dx  bằng 0 1042 208 242 149 A. . B. . C. . D. . 225 225 225 225 2 dx Câu 60. Biết dx
a b c
với a, b, c là các số nguyên dương. Tính
(x 1) x x x  1 1
P a b c A. P  24 B. P  12 C. P  18 D. P  46 1 dx 1 e 3 3 Câu 61. Cho  a b ln 
, với a, b là các số hữu tỉ. Tính S a b . x e 1 2 0 A. S  2 . B. S  2  . C. S  0 . D. S  1. xe  , m khi x  0 1 
Câu 62. Cho hàm số f x   liên tục trên  và
f x dx ae b 3  c  , 2
2x 3  x , khi x  0  1  a, ,
b c   . Tổng T  a b  3c bằng A. T  15 . B. T  1  0 . C. T  1  9 . D. T  1  7 . 2 5 f x 5
Câu 63. Cho hàm số f x liên tục trên  và thỏa f   2
x  5  xdx 1, dx  3. 
Tính f xd . x 2  x 2 1 1 A. -15. B. -2. C. -13. D. 0. 1 dx
Câu 64. Biết rằng tích phân
a ln 2  b ln 3  c ln 5  với , a ,
b c là các số hữu tỉ. Giá trị
3x  5 3x 1  7 0
của a b c bằng 10 5 10 5 A.  . B.  . C. . D. . 3 3 3 3 3 x a Câu 65. Cho dx
b ln 2  c ln 3 
, với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a b c bằng 4  2 x 1 3 0 A. 2. B. 9. C. 7. D. 1. e ln x Câu 66. Biết
dx a e  b
với a, b   . Tính P  . a b x 1 A. P  4 . B. P  8  . C. P  8 . D. P  4  . 64 dx 2
Câu 67. Giả sử I   a ln  
b với a, b là các số nguyên. Khi đó giá trị a b là 3 x x 3 1 A. 17  . B. 5 . C. -5 . D. 17 .
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 2  Câu 68. Biết rằng sin cos d    x x x
a b với a,b R .Tính a b . 0 A.  . B. 4 . C. 2 . D. 2 . ln 6 ex
Câu 69. Biết tích phân
dx a b ln 2  c ln 3 
với a , b , c là các số nguyên. Tính x 0 1  e  3
T a b c . A. T  0 . B. T  2 . C. T  1 . D. T  1 .  2 cos x Câu 70. Biết
dx a ln 2  b ln 3 
với a, b, c là các số nguyên. Tính P  2a  . b 2
sin x  3sin x  2 0 A. 3 . B. 7 . C. 5 . D. 1.  3 b Câu 71. Cho biết 2 sin x tan d x x  ln a  
với a, b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức M  3a  2b 8 0 bằng A. 12 . B. 0 . C. 1. D. 3 . ln 3 Câu 72. Cho hàm số
f x liên tục trên tập hợp  và thỏa mãn   x
f e  3 dx  1, 0 6 2x   1 f x 6 dx  3  . Giá trị của
f x dx  bằng x  3 4 4 A. 10 . B. 5 . C. 4 . D. 12 . e 4 ln x 1 a b Câu 73. Biết rằng dx   với *
a, b   . Giá trị của a  3b 1 bằng x 6 1 A. 125 . B. 120 . C. 124 . D. 123 .
Câu 74. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên  và thỏa mãn x   f x 3
( )  2 f (x)  1 , với x   . Giá 1 trị của f (x)dx  bằng 2 5 5 7 7 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 2 e 3  ln x a b c Câu 75. Biết .dx  
, trong đó a , b , c là các số nguyên dương và c  10 . Giá trị của x 3 1
a b c bằng A. 19 . B. 13 . C. 28 . D. 25 . 6
Câu 76. Cho hàm số y f x liên tục trên 0 
;1 và thỏa mãn f x 2  6x f  3 x   . Tính 3x 1 1
f x dx  . 0 A. 1  . B. 4. C. 2. D. 6.
E. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
1. Định lí: Nếu u u(x) và v v(x ) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a;b] thì b b b b b b I u(x)v (
x)dx u
 (x)v(x)  u (x)v(x)dx     hay I
udv uv vdu.   a a a a a a
2. Phương pháp thực hành:
Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhận nhau, chẳng hạn: đa thức nhân lôga, mũ nhân lượng giác…
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Vi phân u
    du   dxb bb Đặt   Suy ra: I
udv uv vdu. NH   d
v   dx 
v          a  a a
Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv phần còn lại. b
Lưu ý: Tùy vào bài toán mà ta cần chọn u và dv sao cho vdu
đơn giản nhất. Cần nhớ rằng a
bậc của đa thức và bậc của lnx tương ứng với số phần lấy tích phân từng phần.
3. Tính chất của nguyên hàm và tích phân
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) thì F (
x)  f(x). b b f (
x)dx f(x) C.  f (
x)dx f (x)  f (b)  f (a).  a a
Tích phân không phụ thuộc vào biến mà chỉ phụ thuộc vào 2 cận, như b b
f (t)dt
f (x)dx  ....   a a e
Câu 77. Tính tích phân I x ln xdx  1 1 2 e  2 2 e 1 2 e 1 A. I B. I C. I D. I  2 2 4 4 e
Câu 78. Cho 1 x ln x 2 dx  e a  e b c  
với a, b, c là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1
A. a b c
B. a b c
C. a b c
D. a b c  2
Câu 79. Cho 2x ln(1  x)dx a ln b  với * ;
a b   và b là số nguyên tố. Tính 3a  4b . 0 A. 42 . B. 21 . C. 12 . D. 32 .  2    1 1
Câu 80. Cho f x là một nguyên hàm của g x trên  , thỏa mãn f
, xg x dx     và  2  2 2 0  2
f x dx a b ,  trong đó ,
a b là các số hữu tỉ. Tính P a  4b . 0 3 7 5 1 A. P   . B. P   . C. P  . D. P  . 2 4 2 2
Câu 81. F x là một nguyên hàm của hàm số       2 2 1 x f x x
e thỏa F 0  0 . Tính F   1 2 e 2 3e A. F   2 1  2e . B. F   1  . C. F   2 1  e . D. F   1  . 2 2 1 1
Câu 82. Cho hàm số f x thỏa mãn  x  
1 f  x dx  10  và 2 f  
1  f 0  2 . Tính f xdx  . 0 0 A. I  12 B. I  8
C. I  1 D. I  8  
4 ln sin x  cos xabc Câu 83. Biết dx  ln 2   , với a, ,
b c là các số nguyên. Khi đó, bằng 2 cos x b c a 0 8 8 A. 6 . B. . C. 6 . D.  . 3 3
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  4 x
Câu 84. Biết tích phân I
dx a  b ln 2 
với a, b là các số hữu tỷ. Tính T  16a  8b ? 1 cos 2x 0 A. T  4 . B. T  5 . C. T  2 . D. T  2  . 5
Câu 85. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên đoạn 0;5 thỏa mãn xf  xf xe dx  8  ; 0 5
f 5  ln 5 . Tính f xI e d . x 0 A. 3  3 . B. 33 . C. 17 . D. 17 .
Câu 86. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;2 và thỏa mãn f 0  2 , 2 2
2x  4 f ' xdx  4 
. Tính tích phân I
f x dx  . 0 0 A. I  2 . B. I  2 . C. I  6 . D. I  6  . 2 ln 1 2xa Câu 87. Cho dx
ln 5  b ln 3  c ln 2 
, với a , b , c là các số nguyên. Giá trị của 2 x 2 1
a  2b c là: A. 0. B. 9. C. 3. D. 5. 2 x ln xdx Câu 88. Tích phân
a ln 2  b ln 3  c ln 5  ( với a, ,
b c là các số hữu tỉ). Tính tổng a b  . c 2 2 (x 1) 1 2 9 9 2 A. . B. . C.  . D. . 5 10 10 5 Câu 89. Cho hàm số f (x) có ' f (x) và '' f (x) liên tục trên 1;  3 . Biết 3
f (1)  1, f (3)  81, f (  1)  4, f (
 3)  108 . giá trị của 4  2xf  (  x)dx  bằng 1 A. 6  4 . B. 4  8 . C. 64 . D. 48 . 4
Câu 90. Cho hàm số y f x có đạo hàm '
f x liên tục trên  , f 4  8 và f x dx  6  . Giá trị 0 2 của '
xf 2x dx  bằng 0 13 13 A. 13 . B. . C. 10 . D. . 2 4  x 1 Câu 91. Biết   2 2 3 e d e    x x x
2x n  C,  , m n     . Giá trị của 2 2 m n bằng m A. 10 . B. 65 . C. 5 . D. 41 .
F. TÍCH PHÂN HÀM ẨN  1  1  Câu 92. Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên ;  thỏa mãn 2 2    1 1 2 1  09 2 f (x) 2
f (x)  2 f (x)(3  x) dx     . Tính x d 12 2 x 1 1  0 2 7 2 5 8 A. ln . B. ln . C. ln . D. ln . 9 9 9 9
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 0
Câu 93. Cho hàm số y f (x) là hàm số lẻ và liên tục trên  4  ; 4 biết
f (x)dx  2  và 2 2 4
f (2x)dx  4 
. Tính I= f (x)dx  . 1 0 A. I  1  0. B. I  10. C. I  6. D. I  6  . .
Câu 94. Cho hàm số f x liên tục trên  thảo mãn xf  3 x   f  2  x  10 6 1
 x x  2x, x    . Khi đó 0
f xdx  ? 1 17  13  17 A. . B. . C. . D. 1  . 20 4 4
Câu 95. Cho hàm số y f (x) liên tục trên đoạn 2 e; e    . 2 1 e Biết 2  2 2
x f (x)  ln x xf (x)  ln x  0, x   ; e e f ( ) e I f ( ) x dx   và . Tính tích phân  . e e 3 A. I  2 . B. I  . C. I  3 . D. I  ln 2 . 2 3
Câu 96. Cho hàm số f x có đạo hàm trên  4
 ; 2, thỏa mãn xf '2x  4 dx  8  và f 2  2 . 0 1 Tính I
f 2xdx  . 2  A. I  1  0 B. I  5 
C. I  5 D. I  10 3 5 1
Câu 97. Cho hàm số f (x) liên tục trên  và có
f (x)dx  8  và
f (x)dx  4  . Tính
f ( 4x 1)dx 0 0 1  9 11 A. . B. . C. 3 . D. 6 . 4 4
Câu 98. Cho hàm số f x liên tục trên  1;   1 và
   2019    ex f x f x , x   1  ;  1 . Tính 1
f x dx  . 1 2 e 1 2 e 1 2 e 1 A. . B. . C. 0. D. . e 2020e 2019e 6 1
Câu 99. Cho hàm số f x liên tục trên 0; 
1 thỏa mãn f 1 x 2  6x f  3 x   . Khi đó
f xdx  3x 1 0 bằng A. 4. B. 1  . C. 2. D. 6 .
Câu 100. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên  \   0 thỏa mãn 2 2
x f x   x   f x ' 2 1
xf x 1, 2
với mọi x   \  
0 đồng thời thỏa f   1  2  . Tính
f xdx  1 ln 2 1 3 ln 2 3 A.  1. B.  ln 2  . C.  ln 2  . D.   . 2 2 2 2 2
Câu 101. Cho hàm số
y f x có đạo hàm trên 0; 4 và thỏa đẳng thức sau đây 4 x
2019 f x  2020 f 4  x  6059  . Tính tích phân
f  x dx  . 2 0
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 102. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên  , f 0  0, f 0  0 và thỏa mãn hệ
thức f xf  x 2  x   2 . 18
3x xf  x  6x  
1 f x,x   . 1
Biết  x   f x 2 1 e dx  . a e b
, với a;b   . Giá trị của a b bằng. 0 2 A. 1. B. 2 . C. 0 . D. . 3 Câu 103. Cho hàm số f x liên tục trên  thỏa mãn 2  1 3 3 
f x   2 x   3 5 3 2 1 f x x
x  4x  5x  7x  6, x    
 . Tích phân f xdx  bằng  4 4 2  1 1 1 19 A. . B. . C. 7 . D.  . 7 3 3
Câu 104. Cho hàm số f x xác định và có đạo hàm f  x liên tục trên đoạn 1; 
3 , f x  0 với mọi 2 2 2 x 1; 
3 , đồng thời f x1 f x
 f x x  1      và f   1  1  .   3 Biết rằng
f xdx a ln 3  b  , ,
a b  , tính tổng 2
S a b . 1
A. S  0 . B. S  1  .
C. S  2 . D. S  4 .
Câu 105. Cho hàm số
f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0 
;1 thỏa mãn f   1  1 và 1
f x2   2
x   f x 6 4 2 4 6 1 .
 40x  44x  32x  4, x  0;  1 . Tích phân
f xdx  bằng? 0 23 13 17 7 A. . B. . C.  . D.  . 15 15 15 15
Câu 106. Cho hàm số f ( )
x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f (0)  3 và 2 2
f (x)  f (2  x)  x  2x  2, x
   . Tích phân xf (
x)dx bằng 0 4 2 5 10 A. . B. . C. . D. 3 3 3 3
Câu 107. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 2; 
4 và f  x  0, x  2;4 . Biết 7
4x f x   f  x 3 3 3   x , x
 2; 4, f 2   
. Giá trị của f 4 bằng 4 40 5 1 20 5 1 20 5 1 40 5 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 4 Câu 108. Cho hàm số
f x có đạo hàm liên tục trên 0; 2 và thỏa f   1  0 , 1
f x2  f x 2 4
 8x  32x  28 với mọi x thuộc 0; 2 . Giá trị của f x dx  bằng 0 5 4 2 14 A.  . B. . C.  . D.  . 3 3 3 3
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2 x  2x  3
Câu 109. Cho hàm số f x liên tục trên 0; 
1 và f x  f 1 x  , x  0  ;1 . Tính x 1 1
f x dx 0 3 3 3 A.  2 ln 2 . B. 3  ln 2 . C.  ln 2 . D.  2 ln 2 . 4 4 2
Câu 110. Cho hàm số y f ( x) liên tục trên  thỏa mãn f xf x  x  2x2x 1 3 2 2 1 e       4 . Tính tích 2 phân I
f x dx
ta được kết quả: 0
A. I  e  4 .
B. I  8 .
C. I  2 .
D. I  e  2 . 3
Câu 111. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên 0;2 và thỏa mãn:  ( x  4)  4xf ( x)   f (x)2 2 và 5 2 1 f (0) 
. Khi đó f (x)dx  bằng 20 0 203 163 11 157 A. . B. . C. . D. 30 30 30 30 Câu 112. Cho hàm số f x liên tục trên  thỏa mãn 0 xf  5 x   f  4  x  11 8 6 4 1
x x x  3x x  3, x    . Khi đó
f x dx  bằng 1  35 15 7 5 A. . B.  . C.  . D. . 6 4 24 6  2     
Câu 113. Cho hàm số f x liên tục trên  ;1 và thỏa mãn f x 2 2 2  5 f   
  3x,  x  ;1 . Khi đó  5     5x  5    1 3 I  ln 3 .
x f '3xdx  bằng: 2 15 1 2 3 1 5 3 1 5 3 1 2 3 A. ln  . B. ln  . C.  ln  . D.  ln  . 5 5 35 5 2 35 5 2 35 5 5 35
Câu 114. Cho hàm số f x liên tục trên  và thỏa mãn f x  xf  2 x  7 3 2
 2x  3x x 1 với x   . 1
Tính tích phân xf  xdx  . 0 1 5 3 1 A. . B. . C. . D.  . 4 4 4 2
Câu 115. Cho hàm số f x liên tục trên  thỏa mãn 4 3  2x  2 
x x  4x  4 1 2
x f 1 x  2 f
,x  0, x  1   . Khi đó  d
f x x có giá trị là  xx 1  1 3 A. 0 . B. 1. C. . D. . 2 2
Câu 116. Xét hàm số f x liên tục trên đoạn 0; 
1 và thỏa mãn điều kiện 2 f x  3 f 1 x  x 1 x . 1 Tính tích phân I
f x dx  . 0
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 4 4 2 A. B. C. D. 1 15 15 5 Câu 117. Cho hàm số f x liên tục trên  thỏa mãn 2  1 3 3 
f x   2 x   3 5 3 2 1 f x x
x  4x  5x  7x  6, x    
 . Tích phân f xdx  bằng  4 4 2  1 1 1 19 A. . B. . C. 7 . D.  . 7 3 3
----------------- HẾT -----------------
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Vấn đề 14 TÍCH PHÂN
A. ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN b b a) Định nghĩa:
f xdx F x  F b  F a 
với F x là một nguyên hàm của f x trên  ; a b . a a b) Tính chất: a b a
f xdx  0 
f xdx  
f xdx   a a b b b b b b
kf x dx k
f xdx   (k là hằng số)
f x  g x dx
f xdx
g xdx      a a a a a c b c b b b
f xdx
f xdx
f xdx   
f xdx
f t dt
f u du    a a b a a a b
Nếu f x  0, x   ; a b thì
f xdx  0.  a b b
Nếu f x  g x, x   ; a b thì
f xdx
g xdx.   a a Đặc biệt: a
Nếu hàm y f x là hàm số lẻ trên  ; a a thì
f x dx  0.   a a a
Nếu hàm y f x là hàm số chẵn trên  ; a a thì
f xdx  2
f xdx   .  a 0 2 3 3 Câu 1. Nếu
f x dx  2   và
f x dx  1  thì
f x dx  bằng 1 2 1 A. 3  . B. 1. C. 1. D. 3 . Lời giải Chọn B 3 2 3 Ta có
f xdx f xdx f xdx  2  1  1     . 1 1 2 1 1 Câu 2. Nếu
f x dx  4 
thì 2 f x dx  bằng 0 0 A. 16 . B. 4 . C. 2 . D. 8 . Lời giải Chọn D 1 1
Ta có: 2 f x dx  2 f x dx  2.4  8   . 0 0 1 1 1 Câu 3. Cho  d  2  f x x và  d  5  g x x
khi đó  f x  2g x d    x bằng 0 0 0 A. 3 . B. 12 . C. 8 . D. 1. Lời giải Chọn C. 1 1 1 Ta có  d  5  g x x  2  d 10  g x x  2   d  10  g x x 0 0 0
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 1 1
Xét  f x  2g x d    x
f x dx  2g x d  
x  2 10  8 . 0 0 0 2 2 2 Câu 4. Biết
f x dx  2 
và g x dx  6 
, khi đó  f x  g x dx    bằng 1 1 1 A. 4 . B. 8 . C. 8 . D. 4  . Lời giải Chọn D 2 2 2
Ta có:  f x  g x dx f x dx g x dx  2  6  4      . 1 1 1 1 1 1 Câu 5. Biết tích phân
f xdx  3 
và g xdx  4  
. Khi đó  f x  g x dx    bằng 0 0 0 A. 7 . B. 7 . C. 1. D. 1. Lời giải Chọn C 1 1 1
Ta có  f x  g x dx f xdx g xdx  3  4  1      . 0 0 0 1 1 1 Biết ( )d  2  f x x và ( )d  4   g x x , khi đó  ( )  ( )d  f x g x x bằng 0 0 0 A. 6 . B. 6  . C. 2 . D. 2 . Lời giải Chọn C 1 1 1
f (x)  g(x)dx
f (x)dx
g(x)dx  2  ( 4  )  2     . 0 0 0 2 Câu 6.
Cho hàm số f x có đạo hàm trên đoạn 1; 2, f  
1  1 và f 2  2 . Tính I f  x . dx  1 7 A. I  1. B. I  1  . C. I  3. D. I  . 2 Lời giải Chọn A 2 2 Ta có I
f  xdx f x  f 2  f   1  2 1  1.  1 1 5 5 Câu 7. Cho
f xdx  2  
. Tích phân 4 f x 2  3x  dx    bằng 0 0 A. 133  . B. 120  . C. 130  . D. 1  40 . Lời giải Chọn A 5 5 5 5 4 f x 2
 3x  dx  4 f x 2
dx  3 x dx  4. 2          3 x   8
 125  133 . 0 0 0 0 1 1 1 Câu 8. Cho
f xdx  3,
g xdx  2  
. Tính giá trị của biểu thức I  2 f x  3g x dx    0 0 0 A. 12 . B. 9 . C. 6 . D. y  6  . Lời giải Chọn A
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 1 1 1
Ta có I  2 f x  3g x dx  2 f xdx  3 g xdx  2.3  3.2  12      . 0 0 0 2 1 2 Câu 9. Biết rằng
f xdx  
, tính I  2 f x    1 dx . 2 0 0 3 A. I  3 . B. I  1. C. I  2 . D. I  . 2 Lời giải Chọn A 2 2 2 1 2
Ta có I  2 f x  
1 dx  2 f xdx  1dx  2.  x 1 2  3   . 0 2 0 0 0 2 2
Câu 10. Cho hàm số f x liên tục trên  và  f x 2
 3x  dx 10 . Tính f (x)dx  . 0 0 A. 1  8 . B. 2 . C. 18 . D. 2 . Lời giải Chọn D 2 2 2 2
Ta có:  f x 2
 3x dx  10  f x 2 3
dx  10  3x dx  10  x  2   . 0 0 0 0 2 4 4 Câu 11. Cho
f xdx  2  và
f xdx  1   . Tích phân
f xdx  bằng 1 2 1 A. 3 . B. 3 . C. 1. D. 1  . Lời giải Chọn C 4 2 4 Ta có
f xdx f xdx f xdx  2    1  1    . 1 1 2 2 2 2 Câu 12. Cho
f (x)dx  2  và
g(x)dx  1  
, khi đó x  2 f (x)  3g(x)dx  bằng 1 1 1 5 7 17 11 A. B. C. D. 2 2 2 2 Lời giải Chọn A 2 2 2 2 3 5
Ta có x  2 f (x)  3g(x)dx xdx  2 f (x)dx  3 g(x)dx   4  3      2 2 1 1 1 1  6 10 6
Câu 13. Cho hàm số f x liên tục trên  và thỏa mãn
f x dx  7,
f x dx  3,
f x dx  1    . Tính 0 3 3 10 giá trị của
f x dx  . 0 A. 4 . B. 10 . C. 9 . D. 8 . Lời giải Chọn C Ta có 3 6 6 10 3 10
f x dx f x dx
f x dx  7 1  6 
f x dx f x dx
f x dx  6  3  9       . 0 0 3 0 0 3
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 e
Câu 14. Cho hàm số f x  cos ln x. Tính tích phân I f  x d . x 1 A. I  2  . B. I  2. C. I  2 . D. I  2  . Lời giải Chọn A e    e I f
x dx f x  f e  f  
1  cos  ln e  cos  ln  1  1 1  cos  cos 0  2  . 5 7 7
Câu 15. Cho h(x)dx  4 
và h(x)dx  10 
, khi đó h(x)dx  bằng 1 1 5 A. 7 . B. 2 . C. 6 . D. 5 . Lời giải Chọn C 7 5 7 7 7 5
h(x)dx h(x)dx h(x)dx   
nên h(x)dx h(x)dx h(x)dx  10  4  6    1 1 5 5 1 1 5 5 5
Câu 16. Cho hai tích phân
f x dx  8  và
g x dx  3   . Tính I
f x  4g x 1 d  x    2  2  2  A. I  13 . B. I  27 . C. I  11  . D. I  3 . Lời giải Chọn A 5 5 5 5 Ta có: I
f x  4g x 1 d  x
f x dx  4 g x dx  dx  8  4.3  7  13       . 2 2 2  2 5 3
Câu 17. Cho f x là một hàm số liên tục trên  2  ;  5 và
f x dx  8, f x dx  3   . Tính 2 1 1 5 P
f x dx  f x dx   . 2 3 A. P  5 . B. P  11. C. P  11 . D. P  5 . Lời giải Chọn C 5 1 3 5
f x dx  f x dx + f x dx  f x dx     . 2  2  1 3 1 5 5 3 
f x dx + f x dx 
f x dx  f x dx  11     . 2  3 2  1 2
Câu 18. Cho hàm số f x liên tục, có đạo hàm trên đoạn 1; 2, biết tích phân
f   xdx  9  và 1 f  
1  8 . Tính f 2.
A. f 2  1.
B. f 2  1.
C. f 2  3.
D. f 2  16. Lời giải Chọn A Ta có: 2
f   xdx  9  f x 2  9  f 2  f  
1  9  f 2  9  f   1  9  8  1.  1 1
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Vậy f 2  1. 2 4 4 Câu 19. Cho
f x dx  1  ,
f t dt  4   . Tính I
f y dy  . 2  2 2 A. I  5 . B. I  3 . C. I  3  . D. I  5  . Lời giải Chọn D 4 4
Do tích phân không phụ thuộc vào biến số nên
f t dt
f xdx  4   . 2 2 4 4 4 2 Ta có I
f y dy f x dx
f x dx
f x dx  4 1  5      . 2 2 2  2 2 2 2 Câu 20. Cho
f xdx  
2 và g xdx   
1 . Tính I  x  
2 f x  3g x   dx . 1 1 1 11 17 5 7 A. I B. I C. I D. I  2 2 2 2 Lời giải Chọn B 2 2 2 2 2 x 3 17
Ta có: I  x  
2 f x  3g x  2.2  3    dx
 2 f xdx  
3 gxdx   1  . 2 2 2 1  1 1   1 Câu 21. Cho
f x, g x là các hàm số liên tục trên 1;  3 và thỏa 3 3 3
mãn  f x  3g x dx  10   
2 f x  g x dx  6   
. Tính I   f x  g x dx    bằng 1 1 1 A. I  7 . B. I  6 .
C. I  8 . D. I  9 . Lời giải Chọn B 3 3 3 3     f
x  3g x dx 10 f    
xdx  3 g xdx 10 f     xdx  4     Ta có: 1 1 1 1      . 3 3 3 3
 2 f xg xdx 6
2 f xdx
g x dx 6     
g x dx  2         1  1 1 1 3 3 3
Vậy I   f x  g x dx f x dx g x dx  4  2  6      . 1 1 1
B. TÍCH PHÂN CƠ BẢN(THÔNG QUA BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM)
Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý) 0dx C.  
k dx kx C.  n 1 x n 1 ax b   n 1 ( )  n x dx  C. 
 (ax b) dx  C.  n  1 a n  1 1 1 1 
dx  ln x C.   dx
ln ax b C.  x ax b a 1 1 1 1 1  dx   C.   dx    C.  2 x x 2 (ax b) a ax b
sin x dx  cos x C.  1 
sin(ax b)dx   cos(ax b) C.  a
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
cosx dx  sin x C.  1 
cos(ax b)dx  sin(ax b) C.  a 1 dx 1 
dx  cotx C.  
  cot(ax b) C.  2 sin x 2 sin (ax b) a 1 dx 1 
dx  tan x C.  
 tan(ax b) C.  2 cos x 2 cos (ax b) ax d x
e x e C.  ax b  1  ax be dx eC.  a x a a  x 1 xx a dx  C.   a dx  C.  lna lna 1
♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm a
Một số nguyên tắc tính cơ bản
Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP   khai triễn.
Tích các hàm mũ PP 
khai triển theo công thức mũ. 1 1 1 1  2 2
Bậc chẵn của sin và cosin Hạ bậc: sin a   cos2 ,
a cos a   cos2a. 2 2 2 2
Chứa tích các căn thức của x PP 
chuyển về lũy thừa.
MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU 2 dx Câu 22.  bằng 2x  3 1 7 1 7 1 7 A. 2 ln . B. ln 35 . C. ln . D. ln . 5 2 5 2 5 Lời giải 2 2 dx 1 1 1 7 Ta có  ln 2x  3  ln 7  ln 5  ln  . 2x  3 2 2 2 5 1 1 2 dx
Câu 23. Tích phân  bằng x  3 0 16 5 5 2 A. B. log C. ln D. 225 3 3 15 Lời giải Chọn C 2 dx 5 2  ln x  3  ln 0  x  3 3 0 5 dx
Câu 24. Tính tích phân I   1 2x 1
A. I   ln 9 . B. I  ln 9 .
C. I   ln 3 . D. I  ln 3 . Lời giải Chọn C 5 5 dx 1 1 Ta có I     ln 1 2x   ln 9  ln  1   ln 3 . 1 2x 2 2 1 1
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 2 x  1
Câu 25. Tính tích phân I  dx  . x 1 7
A. I  1  ln 2 . B. I  .
C. I  2 ln 2 .
D. I  1 ln 2 . 4 Lời giải Chọn D 2 2 2 x  1  1  + Ta có I  dx  1  dx     
x  ln x   2  ln 2 1  1  ln 2 . 1 xx  1 1 1
Câu 26. Biết rằng tích phân 2 x
x e dx a  .
b e với a, b   . Khi đó, tính a b bằng 0 A. 1  5 . B. 1  . C. 20 . D. 1. Lời giải Chọn D 1 1 Ta có: 2 x  d   2 x x e x
x e   1 e 1  e suy ra a  0; b  1. 0 0
Khi đó a b  1.  6
Câu 27. Giá trị của tích phân I  os c 2xdx  bằng 0 1 3 1 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 2 2 Lời giải Chọn B   6 6 1 1  3 I  os c 2xdx  os c 2xd 2x 6  sin 2x  .   0 2 2 4 0 0 1  1 1  Câu 28. Cho  
 dx a ln 2  
b ln 3 với a,b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?  x  1 x  2  0
A. a b  2
B. a  2b  0
C. a b  2
D. a  2b  0 Lời giải Chọn B 1  1 1  1  
 dx  ln x  1  ln x  2   2 ln 2  
ln 3 ; do đó a  2; b  1 0  x  1 x  2  0   2 2 Câu 29. Cho
f x dx  5 . Tính I   f x  2sin x dx .       0 0  A. I  7 B. I  5  C. I  3
D. I  5   . 2 Lời giải Chọn A Ta có    2 2 2
I   f x  2sin x dx= f xdx +2 sinx dx      0 0 0
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   2 I
f xdx  2cosx 2  5  20   1  7  . 0 0 2 Câu 30. 3x 1 e  dx  bằng: 1 1 1 1 A.  5 2 e e  . B. 5 2 e e . C. 5 2 e e . D.  5 2 e e  . 3 3 3 Lời giải 2 2 1 1 Ta có: 3x 1 e  dx  3x 1 e     5 2 e e  . 1 3 3 1 m Câu 31. Cho  2
3x  2x  
1 dx  6 . Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây? 0 A.  1;  2 .
B.  ;0 . C. 0; 4 . D. 3  ;1 . Lời giải Chọn C m m Ta có:  2
3x  2x   1 dx   3 2
x x x 3 2
m m m . 0 0 m  2
3x  2x   1 dx  6 3 2
m m m  6  0  m  2 0; 4 . 0
Vậy m  2  0; 4 . 2 dx a Câu 32. Giả sử  ln , 
với a,b là các số tự nhiên có ước chung lớn nhất bằng 1. Khẳng định nào sau x  3 b 1 đây đúng?
A. a b  2. B. 2 2
a b  41.
C. a  2b  14.
D. 3a b  12. Lời giải Chọn D 2 2 a dx d  x  3 2 5 Ta có: ln  
 ln  x  3  ln   1 b x  3 x  3 4 1 1 a  5 Suy ra: 
 3a b  15  4  11  12 . b   2x khi x  0 1 
Câu 33. Cho số thực a và hàm số f x   Tính f x . dxa   2 x x  khi x  0.  1  a 2a a 2a A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 6 3 6 3 Lời giải Chọn A 1 0 1 0 1 2 3  x x  Ta có
f xdx
f x dx f xdx  2x dx a       2 x x  2 0 1 dx xa 1    0 2 3 1 1 0 1  0   a  1 . 6
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 ln 2
Câu 34. Tính tích phân   4x I e    1 d . x . 0 15 17 15 A. I   ln 2.
B. I  4  ln 2. C. I   ln 2. D. I   ln 2. 4 4 2 Lời giải Chọn A ln 2 ln 2 ln 2 ln 2   I    x e   x 1 ln 2 x 1 1 15 4 4 4 4ln 2 0 1 . dx e dx dx exee  ln 2   ln 2.   0   4  4 4  4 0 0 0 0
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG  4
Câu 35. Cho hàm số f x . Biết f 0  4 và f x 2 '
 2sin x 1, x    , khi đó
f x dx  bằng 0 2  15 2  16 16 2  16  4 2   4 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16 Lời giải Chọn C 1
Ta có f x   2 2 sin x  
1 dx  2  cos 2x dx  2x  sin 2x C.  2
Vì f 0  4  C  4 1
Hay f x  2x  sin 2x  4. 2   4 4  1  Suy ra
f x dx  2x  sin 2x  4 dx      2  0 0  2 2 1  1  16  4 2  x
cos 2x  4x 4      . 4 16 4 16 0  4
Câu 36. Cho hàm số f (x) .Biết f (0)  4 và 2 f (
x)  2cos x  3, x    , khi đó f (x)dx  bằng? 0 2   2 2   8  8 2   8  2 2   6  8 A. . B. . C. . D. . 8 8 8 8 Lời giải Chọn C , 1 cos 2x Ta có 2 f (x) 
f (x)dx  (2 cos x  3)dx    (2.  3)dx  2 1
 (cos 2x  4)dx
= sin 2x  4x C do f (0)  4  C  4 . 2   1 4 4 1 Vậy f (x) 
sin 2x  4x  4 nên
f (x)dx  ( sin 2x  4x  4)dx   2 2 0 0  2 4 1   8  2 2
 ( cos 2x  2x  4x)  . 4 8 0
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  4
Câu 37. Cho hàm số f x . Biết f 0  4 và f  x 2
 2sin x  3, x
  R , khi đó f xdx  bằng 0 2   2 2   8  8 2   8  2 2 3  2  3 A. . B. . C. . D. . 8 8 8 8 Lời giải Chọn C 1
f  xdx    2
2sin x  3 dx  1 cos 2x  3 dx  4  cos 2x dx  4x  sin 2x C   . 2 1
Ta có f 0  4 nên 4.0  sin 0  C  4  C  4 . 2 1
Nên f x  4x  sin 2x  4 . 2    4 4  1   1  2   8  2 f x 2 dx
4x  sin 2x  4 dx  2x  cos 2x  4x 4       .  2   4  8 0 0 0  4
Câu 38. Cho hàm số f x . Biết f 0  4 và f  x 2
 2 cos x 1, x   , khi đó
f xdx  bằng 0 2   4 2  14 2  16  4 2  16 16 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16 Lời giải Chọn C 1
Ta có f x  f  x dx   2 2 cos x  
1 dx  2  cos 2x dx  sin 2x  2x     C 2 1
Vì f 0  4  C  4  f x  sin 2x  2x  4 . 2    4 4 2 4  1   1   16  4 Vậy f x 2 dx
sin 2x  2x  4 dx  
cos2x x  4x  .        2   4  16 0 0 0
C. TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỶ
1. Công thức thường áp dụng 1 1 1 1 1  dx
ln ax b C .   dx    C.  ax b a 2 (ax b) a ax b a
 lna  lnb  ln(ab).  lna  lnb  ln  b  ln n
a n lna.  ln1  0. P(x)
2. Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ I  dx.  Q(x)
Nếu bậc của tử số P(x)  bậc của mẫu số Q(x) PP   Chia đa thức.
Nếu bậc của tử số P(x)  bậc của mẫu số Q(x) PP 
phân tích mẫu Q(x) thành tích số, rồi sử dụng
phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01.
Nếu mẫu không phân tích được thành tích số PP 
thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng cách
đặt X a tant, nếu mẫu đưa được về dạng 2 2
X a . 4 dx
Câu 39. Biết I
a ln 2  b ln 3  c ln 5, 
với a, b, c là các số nguyên. Tính S a b  . c 2 x x 3
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
A. S  6 .
B. S  2 . C. S  2  . D. S  0. Lời giải Chọn B 1 1 1 1 Ta có:    . 2 x x x(x 1) x x 1 4 4 dx  1 1  4 I   
dx  ln x  ln(x 1)
 (ln 4  ln 5)  (ln 3  ln 4)  2      Khi đó: x xx x  1  3 3 3  4 ln 2  ln 3  ln 5.
Suy ra: a  4, b  1, c  1. Vậy S  2. 1 d x x Câu 40. Cho
a b ln 2  c ln 3 
với a , b , c là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a b c bằng  x  22 0 A. 2 . B. 1  . C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn B. 1 1 d x xx  2 1 1  2 dx 2dx  dx        x  22  x  22 x  2  x  22 0 0 0 0 1  1  x  2 1 2 1
 ln  x  2  2.  ln 3  ln 2 
1    ln 2  ln 3 . 0 1  3 3 0 1
Vậy a   ;b  1
 ; c  1  3a b c  1  . 3 4 3 2
x x  7x  3 a a Câu 41. Biết dx   c ln 5 
với a, b, c là các số nguyên dương và là phân số tối giản. 2 x x  3 b b 1 Tính giá trị của 2 3
P a b c . A. 5  . B. 3  . C. 6 . D. 4  . Lời giải Chọn D 4 3 2 4 4
x x  7x  3  32x   1  2  x  27 Ta có dx x  2  dx    2x  3ln   2 x x  3   3ln 5 . 2  2   x x  3 x x  3 2 2 1 1    1  Vậy 2 3
P a b c  4 . 3 1 Câu 42. Cho
dx  a ln 3 b ln 5 
, với a,b là các số hữu tỉ. Tính a  4b 2 x  2x 1
A. a  4b  1 .
B. a  4b  1.
C. a  4b  3 .
D. a  4b  3 . Lời giải Chọn C 3 3 3 1 1 1 1 1  Ta có dx  dx         dx 2 x  2xx  2x 2  x x 2 1 1 1 3 1 1    x  x   1 ln ln 2   ln 3 ln 5  . 2 2  2 1
Vậy a  4b  3 2 2 x  2x 5
Câu 43. Biết I dx
 lnb  lnc a,b,c  
 . Tính giá trị biểu thức S a b c x 1 a 1 A. S  7 . B. S  3. C. S  3  . D. S  1.
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Chọn B 2 x  2x  2 2 2 x  2x   2 1 1  x  2 2 1 1  1  Ta có I dx dx dx x 1 dx      x 1 x 1 x 1  x 1  1 1 1 1 2  x  5   x  ln   x   2 1   ln2  ln3 |
. Suy ra a  2,b  2,c  3  S  2  2  3  3 . 1 2 2   3 x  3 Câu 44. Cho
dx a ln 2  b ln 3  c ln 5 
với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c bằng 2 x  3x  2 1 A. 0. B. 2. C. 3. D. 1. Lời giải Chọn B 3 3 3 x  3 x  3  2 1 3  dx  dx  
dx  2 ln(x 1)  ln(x  2)  2      x  3x  2
(x  2)(x 1)  x 1 x  2  1 1 1 1
 2 ln 4  ln 5  2 ln 2  ln 3  2 ln 2  ln 3  ln 5.
Vậy a + b + c = 2 11  2. 4 16 4  5  Câu 45. Cho
f x dx  .  Tính I    3 f x  d . x 2   3 0   x   1 0    A. I  1  2 .
B. I  0 . C. I  20  .
D. I 1. Lời giải Chọn A 4 4 4  5  5 Ta có: I  
 3 f x  dx
dx  3 f x dx I 16  2    2    0   x   1  0  x   1 1 0   4 4 5 5  I  dx   4 1  .  x  2 1 x 1 0 0
Vậy I  4 16  1  2 . 3 dx Câu 46. Cho
a ln 2  b ln 3  c ln 5 
với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của 2 3
a b c bằng x 1 x  2 2    A. 3 . B. 6 . C. 5 . D. 4 . Lời giải Chọn B 3 3 3 dx  1 1  x 1 4 3 Ta có   dx      ln  ln  ln  4ln 2  ln 3  ln 5. x 1 x  2  x 1 x  2  x  2 5 4 2    2 2
Suy ra a  4, b  1, c  1 . Vậy 2 3
a b c  6 . 2 2 x  5x  2 Câu 47. Biết
dx a b ln 3  c ln 5 
, a,b, c   . Giá trị của abc bằng 2 x  4x  3 0 A. 8 . B. 10 . C. 12  . D. 16 . Lời giải Chọn C Ta có: 2 2 2 2 x  5x  2  x 1   1  2  dx  1 dx  1  dx  2  2    x  4x  3 
x  4x  3   x 1 x  3  0 0 0
  x  ln x 1  2ln x  3  2  2  2ln 5  3ln 3  a b ln 3  c ln 5. 0
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020a  2   b   3  . a . b c  12  . c  2 
D. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1. Đổi biến số với một số hàm thường gặp b  (  )n f ax b xdx PP 
t ax  . b f (x)f (  x)d PP n n x 
t f (x).  a b 1 bf (ln x) d PP x  t  ln x.  f ( x e ) x e d PP x x  t e .  x a a b b
f (sin x)cos x d PP x  t  sin x. 
f (cos x)sin x d PP x  t  cos x.  a a b 1 bf (tan x) d PP x  t  tan x. 
f(sinx cos )
x .(sinx cos ) x dx t  sinx cos . x 2 cos x a a 2 2 2  (  ) n f a x x d PP x 
x a sint.     2 2 m   2 ( ) n f x a x d PP x 
x a tant.  a x    dxf     d PP x 
x a cos 2t. 
t ax b cx d. 
a x    (ax  )
b (cx d) s s   dx PP 1 1     ,., k   d n R ax b ax
b x t ax  . b    x      n n n t
(a bx ) a bx
2. Đổi biến số với hàm ẩn
Nhận dạng tương đối: Đề cho f (x), yêu cầu tính f ( x) hoặc đề cho f( x), yêu cầu tính f (x).
Phương pháp: Đặt t  ( x).
Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận và ở trên đã sử dụng tính chất: “Tích phân không phụ thuộc vào biến số, mà b b b
chỉ phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa là
f (u)du
f (t)dt     
f (x)dx        a a a
MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT THÔNG HIỂU 2 2 2 2 Câu 48. Xét ex x dx  , nếu đặt 2 u x thì ex x dx  bằng 0 0 2 4 2 1 4 1 A. 2 eudu  . B. 2 eudu  . C. eudu  . D. eudu  . 2 2 0 0 0 0 Lời giải Chọn D du Đặt 2
u x  du  2 d x x  d x x  . 2
Khi x  0  u  0 , khi x  2  u  4 . 2 4 2 x 1 Do đó e d  eu x x du   . 2 0 0 
Câu 49. Tính tích phân 3 I  cos . x sin d x x  . 0
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 1 A. 4 I    B. 4 I    C. I  0 D. I   4 4 Lời giải Chọn C  Ta có: 3 I  cos . x sin xdx
. Đặt t  cos x dt   sin xdx  dt  sin xdx 0
Đổi cận: Với x  0  t  1; với x    t  1. 1  t 1 1  3 3  4 1 1 4 4
Vậy I   t dt t dt     0   . 4 4 4 1 1 1 21 dx Câu 50. Cho
a ln 3  b ln 5  c ln 7 
, với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng? x x  4 5
A. a b  2  c .
B. a b c .
C. a b  c .
D. a b  2  c . Lời giải Đặt t
x  4  2tdt dx .
Với x  5  t  3 ; x  21 t  5 21 dx 5 dt 1 1 1 1 Ta có   2 
ln t  2  ln t  2  5  ln 2  ln 5  ln 7 . x x  4 2 t  4 3 2 2 2 2 5 3
Câu 51. Cho hàm số f x liên tục trên  . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 2 1 1 A.
f xdx
f xdx   . B.
f xdx  0  . 2 0 0 1  1 1 1 1 C.
f xdx f 1 xdx   . D.
f xdx  2 f xdx   . 0 0 1  0 Lời giải Chọn C
x  1  t  0
C. Đặt t  1 x dt  dx . Đổi cận:  .
x  0  t  1  1 0 1 Ta có:
f 1 xdx   f t dt f t dt    . 0 1 0 1 1 Vậy
f 1 xdx f xdx   . 0 0 16 2 Câu 52. Giả sử  d  2020,  f x x khi đó giá trị của 3.  4 d  x f x x bằng 1 1 A. 4 2020 . B. 4 2020. C. 8080. D. 505. Lời giải Chọn D Đặt 4 3
t x dt  4x dx
x  1  t  1
x  2  t  16 2 16 16 3 I x f   4 x dt 1 1 . dx f t  
f xdx  .2020  505   4 4 4 1 1 1
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 1 2
Câu 53. Cho hàm số f x thỏa mãn f 2xdx  2  . Tích phân
f xdx  bằng: 0 0 A. 8 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn D
Đặt t  2x dt  2dx .
x  0  t  0
x  1  t  2 1 2 2 1
f 2xdx  2 
f t dt  2  f t dt  4    . 2 0 0 0 2 Do đó
f xdx  4  . 0 2 4 f x Câu 54. Cho
f xdx  2  . Khi đó dx  bằng x 1 1 A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 8 . Lời giải Chọn B 1 1
Đặt x t  dx  dt
dx  2dt . Khi x  1 thì t  1; x  4 thì t  2 . 2 x x 4 f x  2 2 Suy ra dx
f t .2dt  2 f t dt  2.2     4 . x 1 1 1 4 f x  Vậy dx  4  . x 1 2 2 1
Câu 55. Cho  2 f x  3g x d  x  6  
,  g xdx  2 . Tính I   f 2xdx 0 0 0 A. I  6  . B. I  12 . C. I  6. D. I  3 . Lời giải Chọn D Ta có 2 2 2
 2 f x  3g x d  x  6  
 2 f xdx  3 g xdx  6 0 0 0 2 2
 2 f xdx  3.2  6   f xdx  6 0 0
Đặt x  2t  dx=2dt Đổi cận x 0 2 t 0 1 2 1 1
Khi đó  f xdx  6  2 f 2t dt  6   f 2xdx  3 0 0 0 Vậy I  3 . 4
Câu 56. Cho I x 1  2x d  x và u
2x 1 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 0
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 3 5 3 1  u u  3 A. I   2 2   .
B. I u u    1 du . 2 5 3   1 1 3 1 3 1 C. 2 I x  2 x    1 dx . D. 2 I u  2 u    1 du . 2 2 1 1 Lời giải Chọn B 4
Tính I x 1 2x d  x . 0 2 u 1 + Đặt 2
u  2x 1  u  2x 1  x  . 2
 2udu  2dx udu  dx Đổi cận
x  0  u  1
x  4  u  3 3 4 3 2 3 2 3 5 3 u 1 u 1 1 1  u u  2
I x 1 2x dx  . . u d u u  . . u d u u I     u  2 u   1 du     . 2 2 2 2 5 3 0 1 1 1   1
 A, C, D đúng; B sai.  3 Câu 57. Cho 2
I  sin x cos xdx, 
khẳng định nào sau đây đúng? 0 1 1 1 1 2 2 A. 0  I  . B. I  . C. I  . D. I  1 3 3 2 2 3 3 Lời giải Chọn A
Đặt t  cos x dt   sin xdx
x  0  t  1 Đổi cận:  1 x   t  3 2 1 1 2 1 3 t 7 Vậy 2 2
I   t dt t dt     3 1 24 1 1 2 2
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG x 8
Câu 58. Cho hàm số f x có f 3  3 và f  x  , x   0 . Khi đó
f x dx  bằng x 1 x 1 3 197 29 181 A. 7 . B. . C. . D. . 6 2 6 Lời giải Chọn B x Xét
f  x dx  dx   . Đặt 2 2 t
x 1  x 1  t x t 1  dx  2tdt . x 1 x 1 2 x t 1 t   1 .t   1 Khi đó,
f  x dx  dx   2tdt   2tdt  2t  2 dt    2    
x 1  x 1 t t t.t   1 2
t  2t C   x  
1  2 x 1  C .
Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Mà f 3  3  3  
1  2 3 1  C  3  C  5  .
f x   x  
1  2 x 1  5  x  2 x 1  4 . 8 8 8 2  x 4  19 197 
f x dx  
 x  2 x 1  4dx    x  3 1  4x  36     . 2 3 6 6 3 3   3 
Câu 59. Cho hàm số f x có f 0  0 và f  x 2
 cos x cos 2x, R . Khi đó f xdx  bằng 0 1042 208 242 149 A. . B. . C. . D. . 225 225 225 225 Lời giải Chọn C
Ta có f x  f  x 2
dx  cos x cos 2 d x x    x    x2 2 cos 1 2sin dx .
Đặt t  sin x  dt  cos d x x . 4 4 4 4
f x    t 2 2 1 2 dt   2 4
1  4t  4t  dt 3 5 3 5  t t
t C  sin x  sin x  sin x C . 3 5 3 5
Mà f 0  0  C  0 . 4 4  4 4 
Do đó f x 3 5  sin x  sin x  sin x 2 4  sin x 1 sin x  sin x   . 3 5  3 5   4   x     x 4 sin 1 1 cos  1 cos x2 2 2 . 3 5       4 4  Ta có
f x dx  sin x 1   
1 cos x  1 cos x2 2 2 dx . 3 5    0 0
Đặt t  cos x  dt   sin d x x
Đổi cận x  0  t  1; x    t  1 .  1 1 2  4 4   7 4 4  Khi đó,
f x dx  1   2 4   2 1 t    2
1 t  dt   t t dt    3 5     15 15 5  0 1  1 1  7 4 4 3 4  242  t t t   = .  15 45 5  225 1  2 dx Câu 60. Biết dx
a b c
với a, b, c là các số nguyên dương. Tính P a b c
(x 1) x x x  1 1 A. P  24 B. P  12 C. P  18 D. P  46 Lời giải Chọn D Cách 1 2 2 2 dx dx x x 1 dx   dx   
(x 1) x x x 1
x(x 1)  x 1  x
x(x 1)  x x 12 1 1 1  1 1  x 1  x Đăt t
x 1  x dt   dx  2dt dx    2 x 1 2 x x(x 1) 2  3 2  3 2  2   Khi đó I dt   2 
3  4 2  2  32  12  2  2   tt  1 2 1 2
P a b c  32 12  2  46. Cách 2
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2 2
2  x 1  x  x 1  x dx dxdx   dx   
(x 1) x x x 1 1 1
x(x 1)  x 1  x  1
x(x 1)  x 1  x  2 2 x 1  x  1 1   dx   dx    
x x   2 2 2 1
 2 2  2  2 3  2 2  32  12  2 1 x(x 1)  x x 1 1 1  1 dx 1 e 3 3 Câu 61. Cho  a b ln 
, với a, b là các số hữu tỉ. Tính S a b . x e 1 2 0 A. S  2 . B. S  2  . C. S  0 . D. S  1. Lời giải Chọn C Cách 1. Đặt x   d x t e
t e dx . Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t e 1 1 d x x e d e x d e t  1 1 e      dt t t     e    x    x x   ln ln 1  1 ln 1  ( ln 2) e 1 e e   1 t t   1 1  t t 1  0 0 1 1 2 1 ea  1 3 3  1 ln  1 ln  
S a b  0 . 1 e 2 b  1  1 1 x x x d e   1 1 1  e d e x   1 1 1  e x 1 Cách 2.  dx  dx
x  ln e 1  1 ln  xx   . x 0 0 e 1 e 1 e 1 2 0 0 0 0
Suy ra a  1 và b  1  . Vậy 3 3
S a b  0 . xe  , m khi x  0 1 
Câu 62. Cho hàm số f x   liên tục trên  và
f x dx ae b 3  c  , 2
2x 3  x , khi x  0  1  a, ,
b c   . Tổng T  a b  3c bằng A. T  15 . B. T  1  0 . C. T  1  9 . D. T  1  7 . Lời giải Chọn C TXĐ: D  
lim f x  lim   
; lim f x  lim xx
; f 0 1 m x     2 2 3 0 x 0 0     x e m 1 m x0 x0
Hàm số liên tục trên   Hàm số liên tục tại x  0
 lim f x  lim f x  f 0  1 m  0  m  1  x 0 x 0   1 0 1 0 1 1 Ta có   2 d  2 3  d   x f x x x x x e      1 dx   2 3   d 2 2 3     x x x e     1 dx 1 1  0 1 0 0 3 2  22    3   1 2 2 x x
 e x     e  2 3  0 3   3 1 22
Nên a  1;b  2; c    T  1  9 . 3 2 5 f x 5
Câu 63. Cho hàm số f x liên tục trên  và thỏa f   2
x  5  x dx 1, dx  3. 
Tính f xd . x 2  x 2 1 1 A. -15. B. -2. C. -13. D. 0. Lời giải Chọn C 2 5  t  1 5  Đặt: 2 t
x  5  x x   dx    dt  . 2  2t  2 2t
Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 5 5 5  1 5  1 5 f t  Ta có: 1  f t   dt f t dt  dt   2      2  2 2t  2 2 t 1 1 1 5 5 1 5 f t  5 13 
f t dt  1 dt  1 .3     2 2 2 t 2 2 1 1 5 
f t dt  1  3  1 1 dx
Câu 64. Biết rằng tích phân
a ln 2  b ln 3  c ln 5  với , a ,
b c là các số hữu tỉ. Giá trị của
3x  5 3x 1  7 0
a b c bằng 10 5 10 5 A.  . B.  . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A 2 t 1 2 Đặt 2
t  3x 1  t  3x 1  x  
tdt dx 3 3
Đổi cận: x  0  t  1; x  1 t  2 . 1 2 2 2 dx 2 t 2  2 3  2   dt   dt  2
 ln t  2  3ln t  3   2    
3x  5 3x 1  7 3 t  5t  6
3  t  2 t  3  3 0 1 1 1 20 4   ln 2 
ln 3  2 ln 5  a ln 2  b ln 3  c ln 5 . 3 3 20 4 10  a   ;b
; c  2  a b c   . 3 3 3 3 x a Câu 65. Cho dx
b ln 2  c ln 3 
, với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a b c bằng 4  2 x 1 3 0 A. 2. B. 9. C. 7. D. 1. Lời giải Chọn D 3 x Đặt I dx  . 4  2 x 1 0 Đặt 2
t x 1  t x 1 2tdt dx
x  0  t  1 Đổi cận 
x  3  t  2  2 2 2 3 2 t 1 t t  6  Khi đó 2 I  2tdt dt
t  2t  3  dt     4  2t 2  tt  2  1 1 1 2  1 3 2  
t t  3t  6 ln t  2    3  1  8   1    4  6  6 ln 4  1 3  6 ln 3      3   3  7  12 ln 2  6 ln 3 . 3
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489a  7  Suy ra b   12  c  6 
Vậy a b c  1. e ln x Câu 66. Biết
dx a e  b
với a, b   . Tính P  . a b x 1 A. P  4 . B. P  8  . C. P  8 . D. P  4  . Lời giải Chọn B e ln x Xét tích phân I  dx  . Đặt 2 t
x t x  dx  2t.dt x 1
Với x  1 t  1. với x e t e e e 2 ln ln e x t e Khi đó dx
2t.dt  4 ln tdt  4M    , với M  ln tdt  x t 1 1 1 1  1 u   ln x du  dx Đặt    x . dv  dx  v x  e e e 1 Khi đó M
ln tdt  x ln x  dx  e ln e     e  1 1 e 1 2 1 1  e 
Vậy I  4M  41
  4  2 e . Suy ra a  2
 ; b  4 . Vậy P ab  8  .  2    64 dx 2
Câu 67. Giả sử I   a ln  
b với a, b là các số nguyên. Khi đó giá trị a b là 3 x x 3 1 A. 1  7 . B. 5 . C. -5 . D. 17 . Lời giải Chọn C Đặt 6 6 5 t
x t x  dx  6t dt. Với x=1  t=1 x=64  t=2 2 5 2 5 2 3 2 6t dt 6t dt 6t dt  6  Do đó 2 I    
6t  6t  6  d  t 3 2  3 2    t t t t t  1  t  1  1 1 1 1   2
2t  3t  6t  6 ln t   1  2 3 2  6 ln  11. 1 3
Suy ra a  6;b  11. Vậy a b  5  . 2  Câu 68. Biết rằng sin  cos d    x x x
a b với a,b R .Tính a b . 0 A.  . B. 4 . C. 2 . D. 2 . Lời giải Chọn C Đặt 2 t
x t x  2tdt  dx 2
x    t   Đổi cận: 
x  0  t  0 
Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 2  
I   sin x  cos x dx  2t sin t  costdt  0 0 u   2t  du  2dt Đặt    dv  
sin t  cost dt
v  sin t  cos t     
I  2t sin t  cos t   2 sin t  cos t dt  2  2cos t  sin t   4  2  . 0 0 0 ln 6 ex
Câu 69. Biết tích phân
dx a b ln 2  c ln 3 
với a , b , c là các số nguyên. Tính T a b c . x 0 1  e  3 A. T  0 . B. T  2 . C. T  1 . D. T  1 . Lời giải Chọn A x ex
Đặt: t  1 e  3  dt
dx  exdx  2t   1 dt . 2 ex  3
Đổi cận: x  0  t  3
x  ln 6  t  4 ln 6 x 4 e 2 t   1 4 dx
dt  2 t  ln t   
 24  ln 4  3  ln 3  2  4ln 2  2ln 3 . x t 3 0 1  e  3 3
Do đó: a  2 ; b  4 ; c  2 .
Vậy T a b c  0 .  2 cos x Câu 70. Biết
dx a ln 2  b ln 3 
với a, b, c là các số nguyên. Tính P  2a  . b 2
sin x  3sin x  2 0 A. 3 . B. 7 . C. 5 . D. 1. Lời giải Chọn A   2 2 cos x 1 dx  d sin x  2 
sin x  3sin x  2
sin x 1 sin x  2 0 0     2 1 1      d  
 sin x  ln sin x 1  ln sin x  2  2 0  sin x 1 sin x  2  0
 ln 2  ln1 ln 3 ln 2  2ln 2  ln 3.
Suy ra a  2, b  1 2a b  3.  3 b Câu 71. Cho biết 2 sin x tan d x x  ln a  
với a, b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức M  3a  2b 8 0 bằng A. 12 . B. 0 . C. 1. D. 3 . Lời giải Chọn B     2 3 3 3 1 cos x s in s in x x 2 2 
Xét I  sin x tan d x x  sin . x dx  dx    . cosx cosx 0 0 0
Đặt t  cosx  dt   sin d x x  1
Với x  0  t  1; x   t  . 3 2
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 1 1 2  2
1 t dt  1  2 1 t  1 2 dt  1   t  3 Do đó I   
t dt  ln t      1  ln 2    . t tt  2 8 1 1 1   2 2 2
Suy ra a  2, b  3 .
Vậy M  3a  2b  3.2  2.3  0 . ln 3 6 2x   1 f x
Câu 72. Cho hàm số f x liên tục trên tập hợp  và thỏa mãn   x
f e  3 dx  1, dx  3  . x  3 0 4 6 Giá trị của
f x dx  bằng 4 A. 10 . B. 5 . C. 4 . D. 12 . Lời giải Chọn C ln 3 Đặt x I
f e  3 dx  1. 1    0 dt Đặt x e  3 x
t e t  3 x
e dx dt  dx t  3
Đổi cận: x  0  t  4 , x  ln 3  t  6 . 6 f t 6 dt
f x dx Khi đó: I    1 1   . t  3 x  3 4 4 6 2x   1 f x
6 2x  6 f x  5 f x 6 6 f x Ta có dx
dx  2 f x dx  5 dx  3     . x  3 x  3 x  3 4 4 4 4 6 6
 2 f x dx  5  3  f x dx  4    . 4 4 e 4 ln x 1 a b Câu 73. Biết rằng dx   với *
a, b   . Giá trị của a  3b 1 bằng x 6 1 A. 125 . B. 120 . C. 124 . D. 123 . Lời giải Chọn D 1 1 Đặt 2
4 ln x 1  t  4 ln x 1  t  dx tdt . x 2
Với x  1  t  1; x e t  5 . e 5 4 ln x 1 1 125 1 a b 2  dx t dt = 
a  125;b  1   . x 2 6 6 1 1
a  3b 1  123 .
Câu 74. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên  và thỏa mãn x   f x 3
( )  2 f (x)  1 , với x   . Giá trị 1 của f (x)dx  bằng 2 5 5 7 7 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 2 Lời giải Chọn C
Ta có x   f x 3
( )  2 f (x)  1 .   f x 3
( )  2. f (x)  1  x .
Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Đặt t f (x) Suy ra 3
t  2t  1  x . 2
  3t  2 dt  dx   . (1) Với 3
x  2  t  2t  3  t  1. Với 3
x  1  t  2t  0  t  0 . 1 0 1 Từ (1) ta có 2 2
f (x)dx   3t  2 t.dt  3t  2 tdt        . 2 1 0 1 1  3  7 7 4 2  t t    . Vậy
f (x)dx   .  4  4 4 0 2  e 3  ln x a b c Câu 75. Biết .dx  
, trong đó a , b , c là các số nguyên dương và c  10 . Giá trị của x 3 1
a b c bằng A. 19 . B. 13 . C. 28 . D. 25 . Lời giải Chọn D 1 Đặt 2 t
3  ln x t  3  ln x  2t.dt  .dx . x e 2 3 2 3  ln x 2t 16 16  6 3 .dx
t.2t.dt    2 3 |    . 3 x 3 3 3 1 3
Suy ra: a  16 , b  6 , c  3.
Vậy a b c  25 . 6 1
Câu 76. Cho hàm số y f x liên tục trên 0; 
1 và thỏa mãn f x 2  6x f  3 x  
. Tính f x dx  . 3x 1 0 A. 1  . B. 4. C. 2. D. 6. Lời giải Chọn B 1 1 1 6 1 f   x 2 dx  6x f   3 x  dx  dx  2  6x f   3
x  dx  4 . 0 0 0 3x 1 0 Đặt 3 2
t x  dt = 3x dx . 1 1 1 Ta có: 2 6x f   3
x dx  2 f
t dt  2 f
  xdx . 0 0 0 1 1 1 Vậy nên f
  xdx  2 f
  xdx  4  f
  xdx  4 . 0 0 0
E. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
1. Định lí: Nếu u u(x) và v v(x ) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a;b] thì b b b b b b I u(x)v (
x)dx u
 (x)v(x)  u (x)v(x)dx     hay I
udv uv vdu.   a a a a a a
2. Phương pháp thực hành:
Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhận nhau, chẳng hạn: đa thức nhân lôga, mũ nhân lượng giác…  Vi phân u
    du   dxb bb Đặt   Suy ra: I
udv uv vdu. NH   d
v   dx 
v          a  a a
Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv phần còn lại.
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 b
Lưu ý: Tùy vào bài toán mà ta cần chọn u và dv sao cho vdu
đơn giản nhất. Cần nhớ rằng bậc a
của đa thức và bậc của lnx tương ứng với số phần lấy tích phân từng phần.
3. Tính chất của nguyên hàm và tích phân
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) thì F (
x)  f (x). b b f (
x)dx f(x) C.  f (
x)dx f (x)  f (b)  f (a).  a a b b
Tích phân không phụ thuộc vào biến mà chỉ phụ thuộc vào 2 cận, như
f (t)dt
f (x)dx  ....   a a e
Câu 77. Tính tích phân I x ln xdx  1 1 2 e  2 2 e 1 2 e 1 A. I B. I C. I D. I  2 2 4 4 Lời giải Chọn C  1 du dx eu ln   xx
I x ln xdx  . Đặt    2 dv xdx x 1  v    2 e e 2 e 2 2 e 2 2 2 2 2 x 1 x e 1 e x e e 1 e 1  I  ln x  . dx   xdx         2 x 2 2 2 2 4 2 4 4 4 0 0 0 0 e
Câu 78. Cho 1 x ln x 2 dx  e a  e b c  
với a, b, c là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1
A. a b c
B. a b c
C. a b c
D. a b cLời giải Chọn C e e e e
Ta có 1 x ln x dx  
 1.dx x ln x dx   
 e 1 x ln x dx   . 1 1 1 1  1
u  ln x  du  dx   x Đặt  2 x dv  .
x dx v    2 e 2 e 2 2 2 e x 1 2 e e 1 e e 1 e 1
Khi đó x ln x dx    ln xx dx  2   x      . 2 2 2 4 2 4 4 4 4 1 1 1 1 e 2 e 1 2 e 3 1 3
Suy ra 1 x ln x dx    e 1    
e  nên a  , b 1, c   . 4 4 4 4 4 4 1
Vậy a b c . 2
Câu 79. Cho 2x ln(1  x)dx a ln b  với *
a;b   và b là số nguyên tố. Tính 3a  4b . 0 A. 42 . B. 21 . C. 12 . D. 32 . Lời giải Chọn B
Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 2
Xét tích phân: I  2x ln(1 x)dx  . 0  1 u
  ln(1 x)  du  dx Đặt  1 x 2  2 d
x x  dv v x  2 2 2 2 2 2 x dx x 11 2
I  2x ln(1 x)dx x ln(1 x)   4 ln 3  dx    0 1 x 1 x 0 0 0 2 2 2 1 x 2 2
 4 ln 3  (x 1)dx dx  4 ln 3  (  x)  ln 1 x  1 x 2 0 0 0 0
 4 ln 3  ln 3  3ln 3 . Vậy a  3; b  3 và 3a  4b  21.  2    1 1
Câu 80. Cho f x là một nguyên hàm của g x trên  , thỏa mãn f
, xg x dx     và  2  2 2 0  2
f x dx a b ,  trong đó ,
a b là các số hữu tỉ. Tính P a  4b . 0 3 7 5 1 A. P   . B. P   . C. P  . D. P  . 2 4 2 2 Lời giải Chọn D u x  du  dx  Đặt    dv g   x dx v f    x     2  2 2  1
Khi đó xg x dx xf x 2  f x dx  .  f x d    x 0 2 2 0 0 0    2 2 2 1  1  1
xg x dx   
f x dx  
f x dx      2 4 2 4 2 0 0 0 1 1 1 1
a   ;b   P   1  2 4 2 2
Câu 81. F x là một nguyên hàm của hàm số       2 2 1 x f x x
e thỏa F 0  0 . Tính F   1 2 e 2 3e A. F   2 1  2e . B. F   1  . C. F   2 1  e . D. F   1  . 2 2 Lời giải Chọn C
F x là một nguyên hàm của hàm số       2 2 1 x f x x e suy ra 1 2   2 1 x x
e dx F x 1|F 1  F 0 0      . 0 1 du  2dx u   2x 1  Tính  2   2 1 x I x e dx  . Đặt    1 . 2 x 2 x dv e dx v e 0    2 1 1 x x 3 1 1 x 3 1 1
Suy ra I  2x   2 1 2 2 2 1 2 1 e | e dx e   e | e     2 e   2 1  e . 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0
Suy ra F    F   2 1
0  e , mặt khác F 0  0 suy ra F   2 1  e .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 1
Câu 82. Cho hàm số f x thỏa mãn  x  
1 f  x dx  10  và 2 f  
1  f 0  2 . Tính f x dx  . 0 0 A. I  12 B. I  8
C. I  1 D. I  8  Lời giải Chọn D u   x 1  du  dx  1 1 Đặt   
. Khi đó I   x  
1 f x  f x dx  dv f    xdx v f 0    x  0 1 1
Suy ra 10  2 f  
1  f 0  f x dx f x dx  10  2  8    0 0 1 Vậy
f x dx  8  . 0 
4 ln sin x  cos xabc Câu 83. Biết dx  ln 2   , với , a ,
b c là các số nguyên. Khi đó, bằng 2 cos x b c a 0 8 8 A. 6 . B. . C. 6 . D.  . 3 3 Lời giải Chọn D dx cos x  sin x sin x  cos x
Đặt u  ln sin x  cos x; dv   du
và chọn v  tan x 1  . 2 cos x sin x  cos x cos x   
4 ln sin x  cos x
4 cos x  sin x Khi đó I
dx  tan x 1 .ln sin x  cos x 4  dx  2      . cos x cos x 0 0 0    4 4 d cos x   2 3 
I  ln 2  dx   ln 2 
 ln cos x 4  ln 2   ln  ln 2    . cos x 4 4 2 2 4 0 0 0 bc 8
Vậy a  3; b  2; c  4     . a 3  4 x
Câu 84. Biết tích phân I
dx a  b ln 2 
với a, b là các số hữu tỷ. Tính T  16a  8b ? 1 cos 2x 0 A. T  4 . B. T  5 . C. T  2 . D. T  2 . Lời giải Chọn A  4 x Ta có I  dx  . 2 2 cos x 0  x u   1   2 du  dx Đặt    2 1 dv  dxv  tan x 2    cos x      4 4 4 4 x 1  1 sin x  1 d cos x 4  1 I  tan x  tan d x x   dx     ln cos x    2 2 8 2 cos x 8 2 cos x 8 2 0 0 0 0 0
Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  1 2  1 1 1    ln   ln 2 suy ra a  , b
T  2  2  4 8 2 2 8 4 8 4 Vậy chọn A 5
Câu 85. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên đoạn 0;5 thỏa mãn
xf  xf xe dx  8  ; 0 5
f 5  ln 5 . Tính f xI e d . x 0 A. 3  3 . B. 33 . C. 17 . D. 17 . Lời giải Chọn C Đặt: u x
v f  xf x ; d e
dx suy ra du  dx , chọn f xv e . 5 5 5
Do đó xf  xf xf xf xf 5 e dx xee dx  5eI  
 8  25  I I  17 . 0 0 0 Câu 86. Cho hàm số
f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 2 và thỏa mãn f 0  2 , 2 2
2x  4 f ' xdx  4 
. Tính tích phân I
f x dx  . 0 0 A. I  2 . B. I  2 . C. I  6 . D. I  6  . Lời giải Chọn A 2
2x  4  u du  2dx  
Xét K  2x  4 f ' x dx  . Đặt    . f ' 
xdx  dv v f    x 0  2 2
K  2x  4 f x  2 f x dx  2.2  4 f 2  2.0  4 f 0  2I.    0 0
 4 f 0  2I  4.2  2I  8  2I.
Mà K  4  I  2. 2 ln 1 2xa Câu 87. Cho dx
ln 5  b ln 3  c ln 2 
, với a , b , c là các số nguyên. Giá trị của a  2b c 2 x 2 1 là: A. 0. B. 9. C. 3. D. 5. Lời giải Chọn D
Áp dụng phương pháp tích phân từng phần: 2
u  ln 1 2x du   dx   2x  1 Đặt:   1  . dv  dx 1  2x    1 2
chän v    2   x   x x ln 1 2x  2x   2 2 2 1 2  dx   ln 1 2x  dx  2    x x x 1 1 1  5 2 
  ln 5  3ln 3  2 ln x   1  2  5  ln 5  3ln 3  2 ln 2 . 2  a  5
 , b  3 , c  2 .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Vậy a  2b c  5 . 2 x ln xdx Câu 88. Tích phân
a ln 2  b ln 3  c ln 5  ( với a, ,
b c là các số hữu tỉ). Tính tổng a b  . c 2 2 (x 1) 1 2 9 9 2 A. . B. . C.  . D. . 5 10 10 5 Lời giải Chọn B dx u   ln x du   x   Đặt  x   1 dv dx 2 2  ( 1) v x      2  2 x   1  2 2   2 x ln xdx ln x dx ln 2 Ta có         I  . 2 2  (x 1)  2  2 x   1  2x  2 1 x 1 10 1 1     I 2 dx Tính I   đặt 2
t x 1  dt  2xdx , với x  1  t  2; x  2  t  5 . 2x  2 x 1 1  2 2 5 5 5 5 5 dx xdx 1 dt 1 dt 1 dt 1 1 Suy ra I       ln t 1  ln t      2x  2 x   2 1 2x  2 x   2 2 1 4 t(t 1) 4 t 1 4 t 4 4 1 1 2 2 2 5 5 1 1 1 1 1 3 1  ln t 1  ln t  ln 4  ln 5  ln 2  ln 2  ln 5 . 2 2 4 4 4 4 4 4 4 2 x ln xdx ln 2 3 1 13 1 13 1 Vậy    ln 2  ln 5  ln 2  ln 5 
. Từ đó ta có a
; b  0; c   . 2 2 (x 1) 10 4 4 20 4 20 4 1 13 1 9
Suy ra a b c   0   . 20 4 10 Câu 89. Cho hàm số f (x) có ' f (x) và '' f (x) liên tục trên 1;  3 . Biết 3
f (1)  1, f (3)  81, f (  1)  4, f (3
 )  108 . giá trị của 4  2xf  (  x)dx  bằng 1 A. 6  4 . B. 4  8 . C. 64 . D. 48 . Lời giải Chọn A
u  4  2xdu  2  dx +)    dv f  (  x) dx v f (  x)   3 3 3 3
Do đó 4  2xf  (
x)dx  4  2xf (  x)  2 f (
x)dx  2. f (3  )  2. f (
 1)  2 f x   1 1 1 1  2.
 108  2.4  2.81 2.1  6  4 . 4
Câu 90. Cho hàm số y f x có đạo hàm '
f x liên tục trên  , f 4  8 và f x dx  6  . Giá trị của 0 2 '
xf 2x dx  bằng 0 13 13 A. 13 . B. . C. 10 . D. . 2 4 Lời giải
Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Chọn B du dxu x  Đặt   ' 
dv f x 1 2 dx v f  2x   2 2 2 2 4 1 1 1 6 13 Suy ra '
xf 2x dx xf 2x 
f 2x dx f 4 
f t dt  8      2 2 4 4 2 0 0 0 0  x 1 Câu 91. Biết   2 2 3 e d e    x x x
2x n  C,  , m n     . Giá trị của 2 2 m n bằng m A. 10 . B. 65 . C. 5 . D. 41 . Lời giải Chọn B x 1
Đặt: u x  3 du  dx , 2 2 d e d e     x v x v . 2  x 1  x 1 Ta có:  3 2 2 e d e  3 2 e      x x x x d   x . 2 2  1  1  3 2 2 e d e  3 2 e        x x x x x x C . 2 4  1  3 2 2 e d e    2  7   x x x x x C . 4 Vậy, ta có 2 2
m  4, n  7  m n  65 .
F. TÍCH PHÂN HÀM ẨN  1  1  Câu 92. Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên ;  thỏa mãn 2 2    1 1 2 1  09 2 f (x) 2
f (x)  2 f (x)(3  x) dx     . Tính x d 12 2 x 1 1  0 2 7 2 5 8 A. ln . B. ln . C. ln . D. ln . 9 9 9 9 Lời giải Chọn B 1 2 109 Ta có 2 (3  x) dx   . 12 1  2 1 1 1 2 2 2 2 2 Do đó 2
f (x)  2 f (x)(3  x) dx  3  x x d
f (x)  (3 x) x d  0      1  1  1  2 2 2
Suy ra f (x)  3  x . 1 1 1 2 2 2 1 f (x) 3  x 1 2 x d  x d  (  ) x d =   
ln x 1  2ln x 1 1 3 2 2  ln  2 ln  ln 2 2 0 x 1 x 1 x 1 x 1 2 2 9 0 0 0 0 2
Câu 93. Cho hàm số y f (x) là hàm số lẻ và liên tục trên  4  ; 4 biết
f (x)dx  2  và f ( 2  x)dx  4  . 2 1 4
Tính I= f (x)dx  . 0
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A. I  1  0. B. I  10. C. I  6. D. I  6  . . Lời giải Chọn D
Do f (x) là hàm lẻ nên f ( x)   f (x) với x   4  ; 4. 0
x  2  t  2   Xét A=
f (x)dx
. Đặt t  x  dt  d  . x Đổi cận:  . 
x  0  t  0  2  0 2 2 Khi đó A  
f tdt
f tdt f xd . x    2 0 0 2 2  Xét B  f  2
xdx   f 2xd . x  
Đặt u  2x  du  2d . x 1 1
x 1 u  2  Đổi cận:  . 
x  2  u  4  4 4 4 1 1 Khi đó B  
f udu  
f xdx
f xdx  2  B  2.4  8  .    2 2 2 2 2 4 2 4 Vậy I 
f xdx
f xdx
f xdx  28  6  .    0 0 2
Câu 94. Cho hàm số f x liên tục trên  thảo mãn xf  3 x   f  2  x  10 6 1
 x x  2x, x    . Khi đó 0
f xdx  ? 1 17  13  17 A. . B. . C. . D. 1. 20 4 4 Lời giải Chọn B Ta có xf  3 x   f  2  x  10 6 2
 x x x x f  3 x   xf  2  x  11 7 2 1 2 1
 x x  2x .
Lấy tích phân hai vế cận từ 0 đến 1 ta được: 1 1 1 2 x f   3
x dx x f   2
1 x  dx   11 7 2
x x  2x dx 0 0 0 1 1 1  f   1 5 3 x d  3 x   f   2 1 x d  2 1 x    3 2 8 0 0 1 0 1 1 5 
f t  dt
f t  dt     3 2 8 0 1 . 1 1 1 1 5 
f t  dt
f t  dt     3 2 8 0 0 1 5 5 
f t  dt    6 8 0 1 3 
f t  dt    4 0 1 3 Suy ra
f x dx    . 4 0
Lấy tích phân hai vế cận từ 1 đến 0 ta được:
Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 0 0 0 2 x f   3
x  dx x f   2
1 x dx    11 7 2
x x  2x dx 1 1 1 0 0 1  f   1 17 3 x d  3 x   f   2 1 x d  2 1 x    3 2 24 1  1  0 1 1 1 17 
f t  dt
f t  dt     3 2 24 1 0 0 1 1 1 17 
f t  dt
f t  dt     3 2 24 1  0 0 1 1 17 1 
f t  dt   
f t  dt   3 24 2 1  0 0 1 1 17 1 17 1 3 13 
f x dx  
f x dx   .     3 24 2 24 2 4 12 1 0 . 0 13  
f x dx   4 1 
Câu 95. Cho hàm số y f ( )
x liên tục trên đoạn 2 e; e    . 2 1 e Biết 2  2 2
x f (x)  ln x xf (x)  ln x  0, x   ; e e f ( ) e I f ( ) x dx   và . Tính tích phân  . e e 3 A. I  2 . B. I  . C. I  3 . D. I  ln 2 . 2 Lời giải Chọn B Ta có: 2  2 2
x f (x)  ln x xf (x)  ln x  0, x   ; e e     1
f (x)  ln x  . f (x) 1 f (x)    1 x       2 2   2 ln x x  ln x x f (x) 1 1
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:   C f ( )
e   C  0 ln x x theo đề bài ta có e 2 2 ln e e x ln x 3 suy ra f (x)   I
f (x)dx I  dx    . x x 2 e e 3
Câu 96. Cho hàm số f x có đạo hàm trên  4
 ; 2, thỏa mãn xf '2x  4 dx  8  và f 2  2 . 0 1 Tính I
f 2xdx  . 2  A. I  10  B. I  5 
C. I  5 D. I  10 Lời giải Chọn A du dx u   x   Đặt    dv f   x   1 ' 2 4 dx v f   2x  4  2 Suy ra:
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 3 3 3 3 1 1 3 1
8  xf '2x  4 dx
xf 2x  4 
f 2x  4 dx f 2 
f 2x  4 dx    2 2 2 2 0 0 0 0 3 
f 2x  4 dx  10.  0
Đặt 2t  2x  4  dt dx .
Đổi cận: x  0  t  2
 , x  3  t  1 . 3 1 1 Suy ra: 10 
f 2x  4 dx
f 2t dt
f 2xdx    . 0 2 2 3 5 1
Câu 97. Cho hàm số f (x) liên tục trên  và có
f (x)dx  8  và
f (x)dx  4  . Tính
f ( 4x 1)dx 0 0 1  9 11 A. . B. . C. 3 . D. 6 . 4 4 Lời giải Chọn C 1 1 4 1 Ta có:
f ( 4x 1)dx
f (4x 1)dx
f (4x 1)dx    . 1 1  1 4 1 4 1 Tính: A f ( 4  x 1)dx  . Đặt t  4  x 1   dt dx 4 1  0 5 1 1  A  
f (t)dt
f (t)dt  1   4 4 5 0 1 1 Tính: B
f (4x 1)dx
. Đặt t  4x 1  dt dx 4 1 4 3 1  B
f (t)dt  2  . 4 0 1 Vậy
f ( 4x 1)dx A B  3  . 1 1
Câu 98. Cho hàm số f x liên tục trên  1;   1 và
   2019    ex f x f x , x   1  ;  1 . Tính
f x dx  . 1 2 e 1 2 e 1 2 e 1 A. . B. . C. 0. D. . e 2020e 2019e Lời giải Chọn B
Cách 1: Tìm hàm f x Theo giả thiết:
   2019    ex f x f x   1 . Đặt x t  thì   1 trở thành:
  2019   e t f t f t     hay   2019   e x f x f x     2 .  f
 x  2019 f x  ex Từ  
1 và 2 ta được hệ phương trình:  . 2019 f
x  f x  ex  2019ex  ex
Giải hệ, ta được: f x  . 2 2019 1
Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 1 1
1 2019ex  ex
 2019ex  ex  
f x dx  dx    2  2  2019 1 2019 1 1  1   1   1   1  2019e  e    1 2019e  e 2018 e   2  e  e 1    . 2 2019 1 2018.2020 2020e 1 2 e 1 Vậy
f x dx   . 2020e 1 
Cách 2: Tính tích phân trực tiếp 1 Đặt I
f x dx  . 1 Theo giả thiết:
   2019    ex f x f x
. Lấy tích phân hai vế từ 1 đến 1, ta được: 1 1 1  d  2019  d  ex f x x f x x dx    * . 1  1  1 1 1 1 1 1 x x 1 Ta có:
f x dx   f x d x 
f x dx I   
, e dx  e   e   . 1  e 1 1 1 1 2 2 1 e 1 e 1
Thay vào phương trình * , ta được: I  2019I  e   2020I   I  . e e 2020e 1 2 e 1 Vậy
f x dx   . 2020e 1  6 1
Câu 99. Cho hàm số f x liên tục trên 0; 
1 thỏa mãn f 1 x 2  6x f  3 x   . Khi đó
f xdx  3x 1 0 bằng A. 4. B. 1  . C. 2. D. 6 . Lời giải Chọn A 6 6
Ta có f 1 x 2  6x f  3 x  
f 1 x 2  6x f  3 x    3x 1 3x 1 1 1 1 6  f 1 x 2 dx  6x f    3 x dx   dx  * . 3x 1 0 0 0 1 1 0 1 u 1   x Ta có
f 1 x dx   f 1 x d 1 x   f u du f x dx     . 0 0 1 0 1 1 3 1 1 u x Và 2 6x f   3
x dx  2 f   3 x  d 3
x   2 f u du  2 f xdx   . 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
Ta có *  f x dx  2 f x dx   6 dx
f x dx  6 dx  4      . 3x 1 3x 1 0 0 0 0 0 1 Vậy
f x dx  4  . 0
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 100. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên  \   0 thỏa mãn 2 2
x f x   x   f x ' 2 1
xf x 1, 2
với mọi x   \  
0 đồng thời thỏa f   1  2  . Tính
f xdx  1 ln 2 1 3 ln 2 3 A.  1. B.  ln 2  . C.  ln 2  . D.   . 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn D 2 ' Ta có 2 2
x f x  xf x ' 2
1  xf x  f x   xf x   1
  xf x   1
xf x  ' 1
xf x  ' 1 1 1 Do đó  1 
dx  1dx    x c  
xf x 1       2     2 xf x xf x xf x  1 1 1 x c 1 1 1 1 Mặt khác f   1  2  nên 2  1  
c  0  xf x 1    f x    2 1 c x x x 2 2  1 1   1  1 Vậy f x 2 dx   
dx   ln x  |   ln 2    . 2    1  x x   x  2 1 1
Câu 101. Cho hàm số
y f x có đạo hàm trên 0; 4 và thỏa đẳng thức sau đây 4 x
2019 f x  2020 f 4  x  6059  . Tính tích phân
f  x dx  . 2 0 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Chọn B 4 4 Ta có
f  x dx f x  f 4  f 0  . 0 0 2019 f
0  2020 f 4  6059  f  0  1
Với x  0 và x  4 ta có hệ phương trình    . 2020 f
0  2019 f 4  6058 f   4  2  4 Do đó
f  x dx f 4  f 0  2 1  1  . 0
Câu 102. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên  , f 0  0, f 0  0 và thỏa mãn hệ
thức f xf  x 2  x   2 . 18
3x xf  x  6x  
1 f x,x   . 1
Biết  x   f x 2 1 e dx  . a e b
, với a; b   . Giá trị của a b bằng. 0 2 A. 1. B. 2 . C. 0 . D. . 3 Lời giải Chọn A
Ta có f xf  x 2  x   2 . 18
3x xf  x  6x   1 f x
  f xf  x 2  x x        2 . 18 d
3x xf  x  6x   1 f x d  x    1  2    f x 3  6x dx        2
3x x f x dx 2     1 2  f x 3  6x   2
3x xf x  C , với C là hằng số. 2
Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Mặt khác: theo giả thiết f 0  0 nên C  0 . 1 Khi đó 2 f x 3  6x   2
3x xf x  1 , x    . 2
f x  2x   2  f x 3  x   2 1 12
6x  2xf x   f x  x  f x 2 2  6x   0       .  f x 2  6x
Trường hợp 1: Với f x 2  6x , x
   , ta có f 0  0 (loại).
Trường hợp 2: Với f x  2x, x    , ta có : 1 1 1  x 1 x x e f x e x 3 1 2   2 1 2  x     1 e
dx   x   2 1 e dx   dx e       2 2 4 4 0 0   0 0  3 a    4  
a b  1. 1 b      4 Câu 103. Cho hàm số f x liên tục trên  thỏa mãn 2  1 3 3 
f x   2 x   3 5 3 2 1 f x x
x  4x  5x  7x  6, x    
 . Tích phân f xdx  bằng  4 4 2  1 1 1 19 A. . B. . C. 7 . D.  . 7 3 3 Lời giải 2 2 2  1 3 3  Mặt khác : (*) 
f x dx    2 x   3 1 f x x  dx     5 3 2
x  4x  5x  7x  6 dx  4 4 2  1 1 1 2 2 4  1 3 3   1 3 3  1  f x 3 3 dx f x x  d x x         3  4 4 2   4 4 2  3 1 1 2 2 2 4 1 1 
f x dx
f x dx  
f x dx     . 3 3 7 1 1 1
Câu 104. Cho hàm số f x xác định và có đạo hàm f  x liên tục trên đoạn 1; 
3 , f x  0 với mọi 2 2 2 x 1; 
3 , đồng thời f x1 f x
 f x x  1      và f   1  1  .   3 Biết rằng
f xdx a ln 3  b  , ,
a b  , tính tổng 2
S a b . 1
A. S  0 . B. S  1  .
C. S  2 . D. S  4 . Lời giải Chọn B 2 2
f  x1 f x 2 2 2
Ta có: f x1 f x
 f x x  1        x 1 . 4     f x
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
f  x1 f x2
1 2 f x 2
f x f  x
dx   x  2 1 dx   dx x 1 dx  4  2 4   f xf x  1 1 1   x  3 1    2   d f x   C  4 3 2     f xf xf x  3   1 1 1  x  3 1       C 3 3 f x 2 f xf x 3
1  3 f x  3 f x  x  3 2 1     C 3 3 f x 3 1  3  3 1 Mà f   1  1  nên   C C  . 3 3
1  3 f x   3 f x  x  3 2 1 1
1  3 f x  3 f x 1  x 13 2 Suy ra:        3 3 f x 3 3 3 3 f x 3 3  3
1 f x3  1  3 1    x  3 1  1
  1 x  f x  . 3 f x  f x    x 3 3 3 1 Vậy:
f x  dx  dx   ln x   ln 3   . Suy ra a  1  ;b  0
a b   . x hay 2 1 1 1 1
Câu 105. Cho hàm số
f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0  ;1 thỏa mãn f   1  1 và 1
f x2   2
x   f x 6 4 2 4 6 1 .
 40x  44x  32x  4, x  0  ;1 . Tích phân
f xdx  bằng? 0 23 13 17 7 A. . B. . C.  . D.  . 15 15 15 15 Lời giải Chọn B
f x2   2
x   f x 6 4 2 4 6 1 .
 40x  44x  32x  4 1 1 1
  f  x2 dx  4   2 6x  
1 . f xdx   6 4 2
40x  44x  32x  4 . dx   1 0 0 0 1 1 Xét I  4   2 6x  
1 . f xdx   2
24x  4 f xdx . 0 0
u f x du f     xdx Đặt    . dv    2 x   3 24 4 dx
v  8x  4x   1 1
I  8x  4x 1 3
. f x   3
8x  4x. f  xdx = 4  2 3
4x  2x. f  xd . x 0 0 0 Do đó: 1 1 1 1 2 2  
1   f  x dx  2 3
4x  2x. f  xdx   3
4x  2xdx   6 4 2
56x  60x  36x  8 . dx 0 0 0 0 1 2
  f  x    3
4x  2x dx  0  f  x 3
 4x  2x f x 4 2
x x  . c   0
Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Mà f  
1  1  c  1  f x 4 2
x x 1. 1 1 13 Do đó
f xdx    4 2 x x   1 dx  . 15 0 0
Câu 106. Cho hàm số f ( )
x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f (0)  3 và 2 2
f (x)  f (2  x)  x  2x  2, x
   . Tích phân xf (
x)dx bằng 0 4 2 5 10 A. . B. . C. . D. 3 3 3 3 Lời giải Chọn D Cách 1. 2 2 2
Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có: xf (
x)dx xf (x)  f (x)dx .  0  0 0 Từ 2
f (x)  f (2  x)  x  2x  2, x      1
Thay x  0 vào  
1 ta được f (0)  f (2)  2  f (2)  2  f (0)  2 3  1  . 2 Xét I f (x)dx 0
x  0  t  2
Đặt x  2  t dx  dt , đổi cận: 
x  2  t  0  0 2 2
Khi đó I   f (2  t)dt
f (2  t)dt I
f (2  x)dx    2 0 0 2 2 2 2 8 4
Do đó ta có  f (x)  f (2  x) dx    2
x  2x  2 dx  2 f (x)dx   f (x)dx  .   3 3 0 0 0 0 2 2 2 4 10 Vậy xf (
x)dx xf (x)  f (x)dx  2.( 1  )    .  0  3 3 0 0 Cách 2. 2
f (x)  f (2  x)  x  2x  2   1 Từ  f (0)  3  1
Thay x  0; x  1 vào  
1 ta được f (2)  1  ; f (1)  . 2  c  3  c  3    1  1 Xét hàm số 2
f (x)  ax bx c từ giả thiết trên ta có  a b c    a  . 2 2  
4a  2b c  1  b   3    1 2 2 10 Vậy 2 f (x) 
x  3x  3  f (
x)  x  3 suy ra xf (
x)dx x x  3 dx   .   2 3 0 0
Câu 107. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 2; 
4 và f  x  0, x  2;  4 . Biết 7
4x f x   f  x 3 3 3   x , x
 2; 4, f 2   
. Giá trị của f 4 bằng 4 40 5 1 20 5 1 20 5 1 40 5 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 4 Lời giải
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn D
Ta có: f  x  0, x  2; 
4 nên hàm số y f x đồng biến trên 2; 
4  f x  f 2 mà 7 f 2 
. Do đó: f x  0, x  2; 4. 4 3 3 Từ giả thiết ta có: 3
x f x   f  x 3 3 4
  x x 4 f x 1   f  x       f  x 3  .
x 4 f x 1  f  x   x .
3 4 f x 1 f  x
1 d 4 f x 2 1 2   x 3 2 x Suy ra: dx  d x x    C    3 
4 f x 1   C   .
3 4 f x 1 4
3 4 f x 1 2 8 2 7 3 1 f 2  
 2  C C   . 4 2 2 3  4   2  x   1 1 3    40 5 1
Vậy: f x   f 4  . 4 4 Câu 108. Cho hàm số
f x có đạo hàm liên tục trên 0;2 và thỏa f   1  0 , 1
f  x2  f x 2 4
 8x  32x  28 với mọi x thuộc 0; 2 . Giá trị của f xdx  bằng 0 5 4 2 14 A.  . B. . C.  . D.  . 3 3 3 3 Lời giải Chọn B 2
Đặt I  2 f x dx  . 1 
u f x 
du f  x  dx
Dùng tích phân từng phần, ta có:    . dv  2dx
v  2x  4  2 2
I  2x  4 f x 2  2x  4 f  x dx   2x  4 f  x dx   . 1 1 1 2 2 2 2 2
Ta có  f  x  f x 2 4
 8x  32x  28   f x dx  2 2 f xdx    2
8x  32x  28dx 1 1 1 2 2 2 2 2 2
  f x2dx  2 2x  4 f xdx  2x  42dx     2
8x  32x  28dx  2x  4 dx  1 1 1 1 1 2
  f  x  2x  4 2  dx  0   
f  x  2x  4  f x 2
x  4x C , C   . 1 1 1 4 Mà f  
1  0  C  3  f x 2
x  4x  3 
f x dx   2
x  4x  3dx    . 3 0 0 2 x  2x  3 1
Câu 109. Cho hàm số f x liên tục trên 0; 
1 và f x  f 1 x  , x  0 
;1 . Tính f x dx x 1 0 3 3 3 A.  2 ln 2 . B. 3  ln 2 . C.  ln 2 . D.  2 ln 2 . 4 4 2 Lời giải Chọn C
Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 2 x  2x  3
Theo giả thiết, ta có: f x  f 1 x  , x  0 
;1 và f x liên tục trên 0;  1 nên x 1 1 1 2 x  2x  3  x  2 1 1 1 1  2
f x  f 1 x dx  dx     
f x dx f 1 x dx  dx    (1) x 1 x 1 0 0 0 0 0
Đặt 1  x t thì dx  dt , với x  0  t  1, với x  1  t  0 1 0 1 1 1 1 1 Do đó:
f 1 x dx   f t  dt f t  dt f x dx     
f x dx f 1 x dx  2 f x dx    (2). 0 1 0 0 0 0 0 1  x  2 1 1 2 1  2  2   x  3 Lại có dx x 1 dx
x  2 ln x 1   2 ln 2      (3) x 1  x 1  2 2 0 0   0 1 1 3 3
Từ (1), (2) và (3) suy ra 2 f x dx   2 ln 2  f x dx   ln 2   . 2 4 0 0
Câu 110. Cho hàm số y f ( x) liên tục trên  thỏa mãn f xf x  x  2x2x 1 3 2 2 1 e       4 . Tính tích 2 phân I
f x dx
ta được kết quả: 0
A. I  e  4 .
B. I  8 .
C. I  2 .
D. I  e  2 . Lời giải Chọn C 2 2 2
Theo giả thuyết ta có 3 f x  f 2  x dx
2 x   x 2x 1 1 e    4 dx   *     .   0 0 2 2 2 Ta tính
f 2  x dx   f 2  x d 2  x  f x dx    . 0 0 0 2 2
Vì vậy 3 f x  f 2  x dx  4 f x dx     . 0 0 2 2 2 2 2 2 2 Hơn nữa 2  xx 2x 1 x 2 x 1 1 e dx e  d    2 x 2xx 2 x 1 1 e        0 và 4dx  8  . 0 0 0 0 2 2
Suy ra 4 f x dx  8  f x dx  2   . 0 0 3
Câu 111. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên 0;2 và thỏa mãn:
 ( x  4)  4 xf ( x)   f ( x)2 2 và 5 2 1 f (0) 
. Khi đó f (x)dx  bằng 20 0 203 163 11 157 A. . B. . C. . D. 30 30 30 30 Lời giải Chọn A 3 Từ giả thiết
 ( x  4)  4 xf ( x)   f ( x)2 2 5 Ta có: 2 2  3 
 (x  4)  4xf (x) dx   f (  x)2 2 dx    5    0 0 2 2 262 
 2 f (x)d(x  4)   f (  x)2 2 dx   (1) 15 0 0
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2 Đặt 2 I
f (x)d(x  4)  0
u f ( x) du f (  x)dx Đặt    2 2
dv  d(x  4) v x  4   Khi đó
I   x  4 2 2 2 f ( ) x    2
x  4 f ( ) x dx 0 0 2 1     2
x  4 f (x)dx (2) 0 5 Thay (2) vào (1) có: 2 2 262  1   2
  x  4 f (x)dx     f (x)2 2 dx  15 5  0  0 2 2 2 2 2 2 262 2   f (
x)2dx  2    2
x  4 f (x)dx    2
x  4 dx      2 x  4 dx 15 5 0 0 0 0 2 2 2 2 2   f (
x) dx  2 
  x  4f (x)dx   x  42 2 2 2 dx  0 2   f (
x)  x  4 dx  0    0 0 0 0 2 2 2 2 2 Do 2 2  f (
x)  x  4  0   f (
x)  x  4 dx  0 2      mà  f (
x)  x  4 dx  0    nên 0 0 3 x 2 2
f ( x)  x  4  0 2  f ( ) x   4x C .  
f ( x )   x  4 3 3 1 1 x 1 Vì f (0)   C   f ( ) x   4x  20 20 3 20 2 203 Vậy
f ( x)dx   . 30 0
Câu 112. Cho hàm số f x liên tục trên  thỏa mãn xf  5 x   f  4  x  11 8 6 4 1
x x x  3x x  3, x    . 0 Khi đó
f x dx  bằng 1  35 15 7 5 A. . B.  . C.  . D. . 6 4 24 6 Lời giải Chọn D
Với x   ta có : xf  5 x   f  4  x  11 8 6 4 1
x x x  3x x  3 4  x f  5 x  3  x f  4  x  14 11 9 7 4 3 1
x x x  3x x  3x (*) 1 1 1 4  x f   5 x  3 dx x f   4
1 x dx   14 11 9 7 4 3
x x x  3x x  3x dx 0 0 0 1 1 1  f  1 33 5 x d 5 x   f  4 1 x d 4 1 x     5 4 40 0 0 1 1 1 1 1 33 11 
f x dx
f x dx  
f x dx     5 4 40 6 0 0 0 0 0 0 Mặt khác : 4 (*)  x f   5 x  3 dx x f   4
1 x dx    14 11 9 7 4 3
x x x  3x x  3x dx 1  1  1 
Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 0 0 1 (*)  f  1 7 5 x d  5 x   f  4 1 x d  4 1 x      5 4 24 1  1  0 1 0 1 1 7  7 1 11  5 
f x dx
f x dx   
f xdx  5   .       . 5 4 24  24 4 6  6 1  0 1   2     
Câu 113. Cho hàm số f x liên tục trên  ;1 và thỏa mãn f x 2 2 2  5 f   
  3x,  x  ;1 . Khi đó  5     5x  5    1 3 I  ln 3 .
x f '3xdx  bằng: 2 15 1 2 3 1 5 3 1 5 3 1 2 3 A. ln  . B. ln  . C.  ln  . D.  ln  . 5 5 35 5 2 35 5 2 35 5 5 35 Lời giải Chọn B
Cách 1: Tự Luận    
Ta có: f x 2 2 2  5 f      3 ,
x x  ;1 (1)   5x  5     2     f   f x  5x  2   2  5
  3, x  ;1 x x  5     2   1   f x 1 f 1  5x 9  2 dx  5 dx  3dx  (2)    x x 5 2 2 2 5 5 5  2   1 f    5x 2 2 2 du Xét I  5 dx u   du    dxdx . 1  đặt x 2 2 5x 5x 5 u 2 5  2  x   u  1  5  Đổi cận:  2  x   1 u   5 2 5 f u 1 f u 1 f x  I  5 du  5 du 5 dx 1    u u x 1 2 2 5 5 1 f x 1 f x 9 Từ (2) suy ra, 2 dx  5 dx   x x 5 2 2 5 5 1 f x 9  dx   x 35 2 5 1 3 Tính I  ln 3 .
x f '3xdx  . 2 15
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 41
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  2 2
x   t  1  15 5 
Đặt t  3xd
t 3dx dt dx . Đổi cận:  3  1  x     t 1  3 1 1  I
ln t. f 'tdt  3 2 5  1  u  lntdu dt   Đặt:    t
dv f '(t)    v   f (t)  1 1 1 1 f (t) 1 2 2 3 I
(ln t. f (t)) 2 dt  ln . f ( )   3 5 3 t 3 5 5 35 2 5     Tính f x 2 2 2  5 f   
  3x,  x  ;1   5x  5    2
Cho x  1; x
vào (1) ta có hệ phương trình sau: 5     f    2 2 1  5 f      3  f (1)  0   5        2 3   2          f     f   6 f 2 5 1      5 5      5 5  1 3 2 3 1 5 3 Suy ra, I   . ln   ln  . 3 5 5 35 5 2 35
Câu 114. Cho hàm số f x liên tục trên  và thỏa mãn f x  xf  2 x  7 3 2
 2x  3x x 1 với x   . Tính 1
tích phân xf  xdx  . 0 1 5 3 1 A. . B. . C. . D.  . 4 4 4 2 Lời giải Chọn B 1 1 1
Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có: xf  xdx xf x  f xdx *   0 0 0
Từ f x  xf  2 x  7 3 2
 2x  3x x 1   1
Thay x  1 vào   1 ta được f   1  2 f   1  3  f   1  1 2 1 1 1 Mặt khác từ   1 ta có
f x dx  2xf  2
x dx   7 3
2x  3x x      1 dx 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 
f x dx f    2 x d  2
x     2 f xdx    f xdx   3   2 2 4 0 0 0 0 1 1 5
Thay 2, 3 vào * ta được xf  xdx  1   4 4 0
Câu 115. Cho hàm số f x liên tục trên  thỏa mãn
Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 4 3  2x  2 
x x  4x  4 1 2
x f 1 x  2 f
,x  0, x  1   . Khi đó  d
f x x có giá trị là  xx 1  1 3 A. 0 . B. 1. C. . D. . 2 2 Lời giải Chọn A 4 3 2  2x  2 
x x  4x  4
Từ giả thiết suy ra f 1 x  f  2   3 xxx 2 2 2 4 3  2x  2  2
x x  4x  4 Ta có:
f 1 x dx f . dx  dx     2  3  xx x 1 1 1 2 2 2
 2x  2   2x  2   4 4 f    
1 x d 1 x  f d  x 1  d        x 2 3   x   x   x x  1 1 1 1  1 2  x 4 2  2  
f t  dt f t  dt    x      2  2 x x 1 0 0   0 1 1 
f t  dt f t dt  0     d  0  f t t . 1  0 1  1 Vậy  d  0  f x x . 1  Cách trắc nghiệm 4 3  2x  2 
x x  4x  4 Ta có: 2
x f 1 x  2 f  , x   0, x  1    xx 4 3  2x  2   x x 4x  4 2
x f 1 x  2 f  
, x  0, x  1    xx x  2x  2   2x  2 2 
x f 1 x 2  2 fx   1 x  2 , x   0, x  1    x   x  1 1
Chọn f x  x
f x.dx  . x dx  0   . 1  1 
Câu 116. Xét hàm số f x liên tục trên đoạn 0; 
1 và thỏa mãn điều kiện 2 f x  3 f 1 x  x 1 x . Tính 1 tích phân I
f x dx  . 0 4 4 2 A. B. C. D. 1 15 15 5 Lời giải Chọn B 1 1 1
Do 2 f x  3 f 1 x  x 1 x  2 f x dx  3 f 1 x dx x 1 xdx   1    . 0 0 0
  I I 1 2 1
+ Xét I  3 f 1 x dx 1    : 0
Đặt t  1 x  dx  dt . Khi x  0  t  1; x  1 t  0 . 1
Khi đó I  3 f t dt  3I 1    . 0
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 43
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1
+ Xét I x 1 xdx t
x x   t x   t . 2  . Đặt 2 1 1 d 2 dt 0
Với x  0  t  1; x  1 t  0 . 0 0 5 3  2t 2t  4 Khi đó I   2 1 t t 2  t dt    . 2      5 3 15 1   1 4 4 Thay vào  
1 : 2I  3I   I   . 15 15 Câu 117. Cho hàm số f x liên tục trên  thỏa mãn 2  1 3 3 
f x   2 x   3 5 3 2 1 f x x
x  4x  5x  7x  6, x    
 . Tích phân f xdx  bằng  4 4 2  1 1 1 19 A. . B. . C. 7 . D.  . 7 3 3 Lời giải Chọn C  1 3 3 
Với x   ta có : f x   2 x   3 5 3 2 1 f x x
x  4x  5x  7x  6 (*)    4 4 2  1 1 1  1 3 3   
f x dx     2 x   3 1 f x x  dx      5 3 2
x  4x  5x  7x  6 dx  4 4 2  2 2 2 1 1 4   1 3 3   1 3 3  35  f x 3 3 dx f x x  d x x          3  4 4 2   4 4 2  3 2  2  1  1  1 4 35 
f x dx
f x dx   
f x dx  5    3 3 2 2  2 2 2 2  1 3 3  Mặt khác : (*) 
f x dx    2 x   3 1 f x x  dx     5 3 2
x  4x  5x  7x  6 dx  4 4 2  1 1 1 2 2 4  1 3 3   1 3 3  1  f x 3 3 dx f x x  d x x         3  4 4 2   4 4 2  3 1 1 2 1 2 4 1 1 4 
f x dx
f x dx  
f x dx   .5  7    . 3 3 3 3 1 2  1
----------------- HẾT -----------------
Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/