Tuyển chọn bài tập trắc nghiệm nguyên hàm có đáp án và lời giải chi tiết Toán 12

Tuyển chọn bài tập trắc nghiệm nguyên hàm có đáp án và lời giải chi tiết Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

91 46 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Môn: Toán 12

Thông tin:

111 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Trang 1
TUYỂNCHỌNBÀITẬPTRẮCNGHIỆMNGUYÊNHÀM
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐https://toanmath.com/‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
PHẦNA.BÀITẬPTRẮCNGHIỆMCÓLỜIGIẢICHITIẾT.
DẠNG1.ÁPDỤNGCÔNGTHỨCNGUYÊNHÀMCƠBẢN.
Câu1:Chohàmsố 2sin2 cos 1yxxcónguyênhàm ()fxthỏamãn
22
f



.
Khẳngđịnhnàosauđâylàsai?
A.
()fxcóhệsốtựdobằng0. B. ()fxcóhệsốtựdobằng2.
C.
(1) cos 2 sin 1 1fx
. D.
() 1f

.
Câu2:Chohàmsố
3
34yxxcónguyênhàm ()fxsaocho () 7fx Tínhgiátrịcủa
biểuthức
(0) (64)ff
.
A.1796 B.1792 C.1945 D.2016
Câu3:TìmmộtnguyênhàmI củahàmsố
2
21 4yx xxdx .
A.

2
2
1
42
2
Ixx
B.

2
2
1
432
3
Ixx

C.

2
2
1
43
4
Ixx x
 D.

2
2
3
49
2
Ixx
Câu4:Chohàmsố

2
2
3
1x
fx
x
.MộtnguyênhàmF (x)củaf (x)thỏamãn (1) 4F 
là:
A.
2
2
2
2ln 4
2
x
x
x

 B.
2
2
2
2ln 4
22
x
x
x

C.
2
2
19
2ln
222
x
x
x

D.
2
2
2
2ln 2
2
x
x
x

Câu5:MộtnguyênhàmF(x)củahàmsố

2
1
x
x
e
fx e
x




thỏamãn
1Fe là:
A.

1
1
x
Fx e
x
 B.

1
1
x
Fx e
x

C.

1
1
x
Fx e
x

 D.

1
1
x
Fx e
x


Câu6:Tìmnguyênhàm

Fxcủahàmsố
2
sin 2fx x và
816
F



.
A.

11 1
sin 4
28 8
Fx x x
 B.

11 1
sin 4
28 8
Fx x x

C.

11 1
sin 4
28 8
Fx x x
 D.

11 1
sin 4
28 8
Fx x x

Câu7:TìmmộtnguyênhàmF (x)củahàmsố
2
() tanfx x biết 1
4
F



Kếtquảlà:
A.

tan
4
Fx x x
 B.

tan
4
Fx x x

C.

tan
4
Fx x x

 D.

tan
4
Fx x x


Câu8:TìmmộtnguyênhàmF(x)củahàmsố

2
21xx
fx
x

biết

1
1
2
F
.Kếtquả
là:
A.

2
2ln 2
2
x
Fx x x
 B.

2
2ln2
2
x
Fx x x
C.

2
1
2ln
22
x
Fx x x
 D.

2
1
2ln
22
x
Fx x x
Câu9:TìmmộtnguyênhàmF (x)củahàmsố

34fx xbiết
02F .Kếtquảlà:
A.
3
22
() (3 4)
99
Fx x
 B.
3
22
() (3 4)
99
Fx x

C.
3
210
() (3 4)
33
Fx x
 D.
3
210
() (3 4)
33
Fx x

Câu10:Mộtnguyênhàmcủahàmsố
32
35fx x x là:
A.
2
36xx
 B.
2
36xxC

C.
2
3
5
4
x
xxC D.
43
5xx xC
Câu11:Mộtnguyênhàmcủahàmsố
42
546gx x x là:
A.
53
4
6
3
xxxC
 B.
3
20 8xxC
C.
3
20 8xx D.
53
4
3
xxC

Câu12:Mộtnguyênhàmcủahàmsố

1
1fx
x

là:
A.
2
1
x
 B. lnxx  C.
2
1
x
x
 D.
2
11
2
x
x




Câu13:Tính
()sinx cosx dx
là:
A.
cosx sinx C B. cosx sinx C C.cosx sinx C D.cosx sinx C
Trang 3
Câu14:Tính
2
32()
1
xdx
x

là:
A.
3
2
3
x
ln x x C
 B.
3
2
1
2xxC
x

C.
3
xlnxC D.
3
2xlnx xC
Câu15:Mộtnguyênhàmcủahàmsố

2
2
cos
fx
x
là:
A.2tanx C  B. 2cotx C  C.2sinx C  D.2cosx C 
Câu16:Tính
11
2
dx
x



là:
A.
22
xx
C
 B. 2
2
x
xC C.
11
2
2
xC
x

 D.
2
2
x
C
x

Câu17:Tính
(4)
x
dxe
là:
A.
4
x
exC
 B.
1
4
x
xC
e
 C.
x
eC
 D. 4
x
exC

Câu18:Mộtnguyênhàmcủahàmsố

2
1
3
sin
fx
x

là:
A.
3xtanxC
 B.
3x tanx C
 C.
3xcotxC
 D.
3xcotxC

Câu19:Cho
32
32fx x x x
.MộtnguyênhàmF (x)củaf (x)thỏamãn
12F
là:
A.
2
32
1
44
x
xx
 B.
2
32
1
44
x
xx

C.
2
32
9
44
x
xx
 D.
2
32
9
44
x
xx

Câu20:Tính
31
2
1
x
edx
x



là:
A.
31
11
3
x
eC
x
 B.
31
1
3
x
eC
x
 C.
31
1
3
x
eC
x
 D.
31
11
3
x
eC
x

Câu21:Cho
f x sinx cosx.MộtnguyênhàmF(x)củaf(x)thỏamãn 0
4
F



là:
A. 2cosx sinx B.
2
2
cosx sinx
C.
2cosx sinx D.
2
2
cosx sinx
Câu22:Chohàmsố
22fx x sinx cosx .Một nguyên hàm F(x) củaf(x)thỏamãn
01F là:
A.
2
2xcosx sinx  B.
2
22xcosx sinx
C.
22cosx sinx
 D.
2
22xcosxsinx
Câu23:Mộtnguyênhàmcủahàmsố
35
2
x
y
x
là:
A.
34 2Fx x lnx C
 B.
32Fx x lnx C

C.
2(3)Fx x lnx C  D.
32Fx x lnx C 
Câu24:Mộtnguyênhàmcủahàmsố

1
x
fx
x
là:
A.
ln 1x
 B.
ln 1xx
C.
ln 1xx
D.
2ln 1x
Câu25:Mộtnguyênhàmcủahàmsố
2
fx tanx là:
A.
3
tan
3
x
 B.
3
2
tan 1
.
3cos
x
x
 C.
tan xx
D.
3
2sin
cos
x
x
Câu26:Mộtnguyênhàmcủahàmsố
44
fx cosx sinxlà:
A.
2cos x  B.
1
2
2
sin x
 C.22sin x  D.
2
cos x 
Câu27:Mộtnguyênhàmcủahàmsố
2
23fx sinx x
là:
A.
26
F
xcosxx
 B.

1
26
2
F
xcosxx
C.

3
1
2
2
xcosxx
 D.

3
1
2
2
F
xcosxx
Câu28:Cácmệnhđềsau,mệnhđềnàosai?
A.
() () ( )kf x dx k f x dx k

B. ().() () . ()f x g x dx f x dx g x dx

C.
() () () ()f x g x dx f x dx g x dx

D.
1
()
() '()
1
m
m
fx
fxfxdx C
m


Câu29:Hàmsốnàosauđâylànguyênhàmcủahàmsố

22fx sinx ?là:
A.
2
Fx sinx  B.
22Fx cosx 
C.

1
2
2
Fx cosx
 D.
2
F
xcosx 
Câu30:Mộtnguyênhàmcủahàmsố
2
93
x
fx x là:
A.
3
9()
x
Fx x B.
3
9() 9
x
Fx ln x
C.

9
6
ln 9
x
Fx x D.

3
9
ln 9
x
Fx x
Trang 5
HƯỚNGDẪNGIẢICHITIẾT
Câu1:Tacó
2sin cos 1 sin2 (2 ) cos cos2 sinydx x x dx xd x xdx dx x x x C


Mà.
2
(cos2 sin ) 2 2
22 2 22
x
fxxxCCC


 


ChọnB.
Câu2:Tacó

34
33
23
34 3 4 23ydx x x dx xdx xdx x x C


Mà
34
23
(1) 7 2 3 7 2
1
fxxC C
x




.Dođó
2 1792 17964 60 Cff .
ChọnA.
Câu3:Tacó


2
2
222
4
21 4 4 4
2
xx
xxxdxxxdxxx C

  


ChọnA.
Câu4:Tacó
2
2
42
2
33 3 2
1
21 21 1
() () 2ln
2
x
xx
F x f x dx dx dx x dx x x C
xx xx x







Mà
2
2
119
(1) 4 2 ln 4 4
21 2 2
FxxC CC
xx

   


.ChọnC.
Câu5: Tacó
22
11
() () 1
x
xxx
e
F x f x dx e dx e dx e C
xxx









Mà
11
(1) 1 1 ( ) 1
1
x x
Fee C eCe eC Fxe
xx x




ChọnC
Câu7:Tacó
22
2
22 2
sin 1 cos 1
( ) ( ) tan 1 tan
cos cos cos
xx
Fx f xdx xdx dx dx dx x x C
xx x






Mà

1tan 1 1 1
444
4
FxxCCC
x


 


ChọnA.
Câu8:Ta có
22
21 1
() () 2 2 ln
2
xx x
Fx f xdx dx x dx x x C
xx







Mà.
2
11
(1) 2 ln 2
22 12
x
FxxCC
x




ChọnA.
Câu9: Tacó
  
13
3
22
22
() () 34 34 34 34
99
F x f x dx x dx x dx x C x C

Mà
 
3 3
216222
(0) 2 3 4 2 2 ( ) 3 4
909999
FxCCCFxx
x




. 
ChọnA.
Câu10:Tacó

4
32 3
() () 3 5 5
4
x
F x f x dx x x dx x x C

ChọnC.
Câu11: Tacó

42 5 3
4
() () 5 4 6 6
3
F
xfxdx xx dxxxxC

ChọnA.
Câu12:Tacó
1
() () 1 lnF x f x dx dx x x C
x





.ChọnB.
Câu13:Có
sin cos sin cos (cos ) (sin ) sin cosx x dx xdx xdx d x d x x x C

.
ChọnA.
Câu14:Tacó
22 3
1
323 2 ln2
dx
x dx x dx dx x x x C
xx





.ChọnD.
Câu15:Tacó
2
2
() 2 (tan ) 2tan
cos
f x dx dx d x x C
x


.ChọnA.
Câu16:Tacó

11 1 1 1
22
22 22
x
dx dx dx d x dx x C
xx





.ChọnB.
Câu17:Tacó
44()44
xx x x
e dx e dx dx d e dx e x C



.ChọnD.
Câu18:
22
1
333cot
sin sin
dx
dx dx x x C
xx





.ChọnC.
Câu19:

4
32 3 2 32
() 3 2 3 2
4
x
F x x x x dx x dx x dx xdx x x C  

4
32
19
(1) 2 1 1 2
44
FCC 
.ChọnC.
Câu20:

31
31 31 31 2
22
11 1
33
x
xx x
dx e
edxedx dexdx C
xx x






.ChọnD.
Câu21:
( ) sin cos sin cos cos sin
F
xxxdxxdxxdxxxC

.
Trang 7
0cos sin 0 2
444
FCC

  
 
  
  
ChọnA.
Câu22:
2
( ) 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos cos 2 sin
F
x x x x dx xdx xdx xdx x x x C

.
2
01 0cos02sin0 1 2FCC  ChọnB.
Câu23:
2
35 1
33 3ln2
22 2
dx
x
dx dx dx x x C
xx x






.ChọnC.
Câu24:
1
1
1ln1
11 1
dx
x
dx dx dx x x C
xx x






. ChọnC.
Câu25: .
2
22
1
tan 1 tan
cos cos
dx
xdx dx dx x x C
xx





ChọnC.
Câu26:

44 22
1sin2
cos sin cos sin cos 2 cos2 2
22
x
x x dx x x dx xdx xd x C

.ChọnB
Câu27:

223
1cos2
sin 2 3 sin 2 2 3
22
x
x x dx xd x x dx x C

.ChọnC.
Câu28:TừcáctinhchấtcủanguyênhàmtadễdàngchọnđượcđápánB.Chọn
B
Câu29:
2sin 2 sin 2 2 cos2xdx xd x x C

.ChọnD
Câu30:

223
9
93 9 3
ln 9
x
xx
xdx dx xdx x C

.ChọnD
DẠNG2.PPĐỔIBIẾNSỐTÌMNGUYÊNHÀM(PHẦN1)
Câu1:Họnguyênhàmcủahàmsố
3
cos
()
1sin
x
fx
x
sauphépđặt sintx là
A.
2
()
2
t
Ft t C
 B.
2
()
2
t
Ft t C
C.
23
()
23
tt
Ft C
 D.
23
()
23
tt
Ft C
Câu2:Họnguyênhàmcủahàmsố
23
()
23
x
fx
xx

sauphépđặt
3tx
là
A. () 4 ln 1 9ln 3Ft t t t C  B. () 4 ln 1 9ln 3Ft t t t C
C. () 4 ln 1 9ln 3Ft t t t C D. () 4 ln 1 9ln 3Ft t t t C
Câu3:Họnguyênhàmcủahàmsố
2
()
64 2
x
fx
xx

sauphépđặt
2tx
là
A.
4
() 4ln 2
2
F
tt t C
t

 B.
8
() 2 8ln 2
2
F
tt t C
t

C.
4
() 2 4ln 2
2
F
tt t C
t

D.
8
() 2 8ln 2
2
F
tt t C
t


Câu4:Chonguyênhàm
41
x
Idx
x
.Giảsửđăt 41txthìtađươc:
A.
3
1
83
t
ItC




 B.
3
1
43
t
ItC




C.
3
1
83
t
ItC




 D.
3
1
43
t
ItC




Câu5:Chonguyênhàm

2
1
11
x
xx
e
IdxatC
t
ee





với 1
x
te,giátricủaa
bằng
A.‐ 2 B. 2 C.‐ 1 D. 1.
Câu6:Nguyênhàmcủahàmsố
32
1yx xlà:
A.

3
22
1
31 1
15
xx C
 B.

3
22
1
32 1
15
xxC
C.

3
22
1
11
5
xx C
D.

3
22
1
34 1
15
xxC
Câu7:Nguyênhàmcủahàmsô
1
2
x
y
x
bằng:
Trang 9
A.

3
12
2
xxC
 B.

2
12
3
xxC
C.

2
12
3
xxC
 D.

4
12
3
xxC
Câu8:Nguyênhàmcủahàmsố
2
11
.
2( 2)
x
y
xx

bằng:
A.
3
21
92
x
C
x



 B.
3
21
32
x
C
x



C
3
21
92
x
C
x




D.
3
21
92
x
C
x




Câu9:Nguyênhàmcủahàmsô
1
7
x
y
x
bằng:
A.

2
31 7
3
xxC
 B.

2
31 7
3
xxC
C.

2
311 7
3
xxC
D.

1
21 7
3
xxC
Câu10:Chonguyênhàmsau
10
1
dx
I
xx
.Khiđặt
10
1txtađược:
A.
(1)
dt
I
tt
 B.
2
1
10 1
dt
I
t
C.
32
1
10
dt
I
tt
D.
2
1
51
dt
I
t
Câu11:Giảsử
Fxlàmộtnguyênhàmcủahàmsố
1
11
y
x

.Biết
13F .Vậy
()2
F
bằng:
A.
52ln C
 B.
52ln
 C.
5212n
 D.
5212nC
Câu12:Nguyênhàmcủahàmsố

2
11
x
y
x

là:
A.
414ln 11xx x C
 B.
14ln 11xxC
C.
12 12ln 11xx x D.
412ln 11xx x C
Câu13:GiảsửF(x)làmộtnguyênhàmcủahàmsố
2
1
x
y
x
.Biết 4(10) 0F .Vậy

2F
bằng:
A.
10
3
 B.
32
3
C.
20
3
D. 4
Câu14:Hàmsốnàosauđâylànguyênhàmcủahàmsố
1
()
12ln
fx
xx
.
A.
22ln 1x
B.
12lnx
C.
12ln
4
x
D.
12ln
2
x

Câu15:Hàmsốnàosauđâylànguyênhàmcủahàmsố
3
2
()
1
x
fx
x
A.

22
21
3
xx
 B.
22
11
3
xx
C.
22
11
3
xx
 D.
22
21
3
xx
Câu16:Tìmnguyênhàmcủahàmsố
3
4
()
5
x
fx
x
:
A.
4
1
5
8
xC
 B.
4
1
5
4
xC
 C.
4
1
45
C
x
 D.
4
1
85
C
x
Câu17:Tìmnguyênhàmcủahàmsố
3
()
3
x
fx
x
,khiđặt
3tx
:
A.
42
69tt C B.
42
21218tt C
C.
53
2
418
5
tt tC
 D.
53
1
29
5
tttC
Câu18:Tìmnguyênhàmcủahàmsố
2
3
ln
()
2ln
x
fx
xx

:
A.
3
2
2ln
3
xC
 B.
3
1
2ln
3
xC
C.
3
2
2ln
3
xC
 D.
3
1
2ln
3
xC
Trang 11
HƯỚNGDẪNGIẢICHITIẾT
Câu1:Đặt
sin costxdt xdx
khiđótacó

22
32
2
1sin sin 1
cos cos cos 1
1
1sin 1sin 1sin 1 2
xd x t dt
xdx x xdx
tdt t t C
xx x t





. ChọnA.
Câu2:Đặt
2
332tx tx tdtdx
khiđótacó

2
2
423 391
23 2.2
23 3 1
23
19
44ln193
13
tt t t
xttdt
dx dt
tt t t
xx
dt t t t C
tt










ChọnA.
Câu3:Đặt
2
222tx tx tdtdx khiđótacó

2
22
2
2 448 28
2.2
44 44
64 2
88 8
228ln2
22
2
tt t
xttdt
dx dt
tt tt
xx
dt t t C
tt
t


 







ChọnB.
Câu4:Đặt
2
41 412 4 2t x t x tdt dx t dt dxkhiđótacó

2
23
1
.
111
42
1
883
41
ttdt
x
dx t dt t t C
t
x





ChọnC.
Câu5:Đặt
22
2
2
112 2(1)
1
xx x
tdt
t e t e tdt e dx tdt t dx dx
t

khiđóta
có


2
2
2
2
32 2
2
1.
1
11
1
2212 2
tdt
t
t
t
IdtdttCa
tt tt





ChọnB.
Câu6:Tacó
 
 
32 22 2 2 2 2 2
5
3
3
2
22 22
2
11
1111111
22
12 2 1
11 321
25 3 15
xx dx xx dx x x x dx
xxCxxC









.
ChọnB.
Câu7:Tacó


3
2
112 2
222212
33
22
x
dx x dx x x x x C
xx






.ChọnC.
Câu8:Đặt

2
22
11 3 2
2
22 3
22
x x dx dx
tt tdt tdt
xx
xx




khiđótacó

3
23
2
122221
.
233992
2
xdx x
ttdt tdt tC C
xx
x


  





Chọ n C.
Câu9:Tacó


3
2
162 2
77127117
33
77
x
dx x dx x x x x C
xx







ChọnB.
Câu10:Đặt
10 2 10 9
9
11210
5
tdt
t x t x tdt x dx dx
x

khiđótacó

2
2
10 10 10
1
51
51
15 1
dx tdt tdt dt
t
tt
xx x x




ChọnD.
Câu11:
1
12
() ()
1
11
xt
t
Fx dx Fx dt
t
x




2
() 2 2 2ln 1
1
Fx dx t t C
t

 


212ln 11 212ln1 2xxCx xC 
Bàira (1) 3 0 2 ln1 3 3 (2) 2 2 ln 2 3 5 2 ln 2FCCF     .ChọnC
Câu12:




2
1
2
222
11.2
1
() () 1
11
11
xt
tt t
xt
Fx dx Fx dt
tt
x






2
122
2
() 2 2 2 2
11 1
tt
tt
F x dt dt t dt
tt t








2
() 2 2 2ln 1 1 4 1 4ln1 1
2
t
Fx t t C x x x C




ChọnA
Trang 13
Câu13:
 
22
1
22
233
() () 3 .2 2 3
1
xt
xtt
Fx dx Fx d t tdt t dt
tt
x





3
3
2
() 2 3 1 6 1
33
t
Fx t C x x C




Bàira
3
2232
(10) 40 9 6 9 40 4 (2) 6 4
333
FCCF 
.ChọnB
Câu14:
  
1111
ln 1 2 ln 1 2 ln
2
12ln 12ln 12ln
Fx dx d x d x x C
xx x x



.
ChọnB
Câu15:
 
2
32 2
1
22
22
111
() () 1
22
11
xt
xx t
Fx dx d x Fx d t
t
xx

 


 
 
23
22
11 1
.2 1 3
233
tt
Fx tdt t dt t C t t C
t



22
22
21
1
131
33
xx
xxC C


.ChọnD
Câu16:

3
44
44
11 1
55
48
54
x
dx d x x C
xx



ChọnA
Câu17:



22
22
5
2423
33
3.2269229
5
tt
t
Hdt tdtttdtttC
tt


 



ChọnC
Câu18:


22
3
33 3
ln ln 1 1
ln ln
3
2ln 2ln 2ln
xx
dx d x d x
xx x x





33
3
11 2
2ln 2ln
33
2ln
dx xC
x
 
.ChọnA
DẠNG3.PH ƯƠNGPHÁPĐỔIBI ẾNSỐTÌMNGUYÊNHÀMPHẦN2.
Câu1:Xétnguyênhàm
2
4Ixdx
vớiphépđặt 2sin
x
t .Khiđó
A.
21 cos2Itdt
 B.
21 cos3Itdt

C.
24 cos2Itdt
 D.
21 2cos2Itdt

Câu2:Sửdụngphépđặt
tan
x
t thì
2
1
x
J
dx
x
lànguyênhàmnàosauđây
A.
tan
J
tdt
 B. tan 2
J
tdt
 C.
1
tan 2
2
J
tdt
 D.
2
1
tan
2
J
tdt

Câu3:Tìmnguyênhàmcủahàmsố

2
1
1
fx
x

A.
tanIxC
 B.
cotIxC
 C.
arctanIxC
 D.
arccotIxC

Câu4:Tìmnguyênhàmcủahàmsố

2
1
f
xx
A.

2
arcsin 1
2
xx x
f
xdx C


 B.

2
arcsin 1
2
xx x
f
xdx C



C.

2
2arcsin 1
2
xx x
f
xdx C


 D.

2
2arcsin 1
2
xx x
f
xdx C



Câu5:Tìmmộtnguyênhàmcủahàmsố

2
2
1
x
fx
x

A.

2
arcsin 1
2
2
xx x
fxdx


 B.

2
arcsin 1
2
xx x
f
xdx C



C.

2
2arcsin 1
2
xx x
f
xdx C


 D.

2
2arcsin 1
2
2
xx x
f
xdx x



Câu6:Tínhnguyênhàmcủahàmsố

22
9
f
xx xkhiđặt 3sin
x
t 
A.
81 81
sin 4
832
t
tC
 B.
1
sin 4
28
t
tC
 C.
1
sin 4
4
ttC
 D.
1
2sin4
2
ttC

Câu7:Tínhnguyênhàmcủahàmsố

2
2
1
x
fx
x

A.
2
arcsin 1
x
xxC B.
2
arcsin 1
1
22
x
x
xC

C.
arcsin
2
x
C
 D.
2
arcsin 1
1
22
x
x
xC

Câu8:Chonguyênhàm
22
4Ix xdx
.Nếuđổibiếnsố 2sin
x
t với ;
22
t




thì
A.
cos 4
2
2
t
It C

 B.
sin 8
2
4
t
It C


C.
cos 4
2
2
t
It C
  D.
sin 4
2
2
t
It C
 
Câu9:Nguyênhàm
1sin
dx
x
vớiphépđặt tan
2
x
t trởthành
A.

2
2
1
dt
t
 B.

3
2
1
dt
t
 C.

2
31
dt
t
 D.

2
2
31
dt
t

Câu10:Sửdụngphépđặt
sin
x
t ,tìmbiểudiễncủanguyênhàm
2
1Ixdt 
A.
2cos cosIttdt
 B.
2
2sin cosIttdt

Trang 15
C. cos cosIttdt
 D. 4sin cosIttdt

Câu11:Chonguyênhàm
2
4Ixdx
.Khiđặt
2sin ;
22
xtt







tađược:
A.
2sin2It tC  B. 2sin2It tC  C. sin 2It tC  D. 42sin2It tC 
Câu12:Đểtínhnguyênhàm
2
2
1 x
Idx
x

.BạnAlàmnhưsau:
Bước1:Đặt
sin ; ; 0 cos
22
x
tt t dx tdt









Bước2:Khiđó
22
22
1sin .cos cos
sin sin
x
tdt t
Idt
tt



Bước3:
33
2
cot cot
cot
33
tx
Itdt CI C

(với sin )tx 
VậybạnAlàmđúnghaysai?
A.BạnAlàmsaibước1 B.BạnAlàmsaibước2
C.BạnAlàmsaibước3 D.BạnAlàmhoàntoànđúng
Câu13:Chonguyênhàm

2
4
dx
Fx
x
.Biếtrằng

0
8
F
.Vậy

2F cógiátrịbằng
A.

2
8
F
 B.

2
2
F
 C.

2
4
F
 D.
20F 
Câu14:Họnguyênhàmcủahàmsố

22
1
1
fx
x
x
sauphépđặt
sin
x
t
,với

;0\
22
t





là
A.
tanFt t C
 B.
cotFt t C

C.

tanFt t C D.

cotFt t C
Câu15:Họnguyênhàmcủahàmsố

2
2
9
x
fx
x
sauphépđặt 3sin
x
t ,với

;0\
22
t





là
A.

2
9
9cot
2
t
Ft t C
  B.
9cot 9Ft t t C 
C.

2
cot
2
t
Ft t C
 D.
cotFt t t C 
Đápán
1‐A 2‐A 3‐C 4‐B 5‐A 6‐A 7‐B 8‐D 9‐A 10‐C
11‐B 12‐C 13‐C 14‐B 15‐D
LỜIGIẢICHITIẾT
Câu1:ĐápánA
2sin
x
t với ;2cos
22
tdxtdt







22
4 4 cos cos 4 cos 2 1 cos 2I x dx t t dt tdt t dt

.
Câu2:ĐápánA
22
tan tan
cos 1
dt xdx
x
tdx J tdt
tx



Câu3:ĐápánC
22
tan arctan
cos 1
dt dx
x
tdx dttC xC
tx



Câu4:ĐápánB
sin
x
t với ;cos
22
tdxtdt






22
1sin2
1 cos cos cos 1 cos 2
224
tt
x
dx t t dt tdt t dt C

2
arcsin sin .cos arcsin 1
22
xtt xxx
CC



Câu5:ĐápánA
sin
x
t với
;cos
22
tdxtdt






22
2
2
sin cos 1
sin 1 cos 2
cos 2
1
xdx t tdt
tdt t dt
t
x


2
sin cos arcsin 1
22
ttt xxx
CC



Câu6:ĐápánA
3sin
x
t
với
;3cos
22
tdxtdt





22 2
981sincoscos
x
xdx t t tdt


2
81 81 81 81sin 4
sin 2 1 cos 4
48 832
tt
tdt t dt C


.
Câu7:ĐápánB
sin
x
t với ;cos
22
tdxtdt






22
2
2
sin cos 1
sin 1 cos 2
cos 2
1
xdx t tdt
tdt t dt
t
x


2
sin cos arcsin 1
22
ttt xxx
CC



Câu8:ĐápánD
2sin
x
t với
;2cos
22
tdxtdt





Trang 17
22 2
416sincoscos
x
xdx t t tdt


2
sin 4
4sin2 2 1 cos4 2
2
t
tdt t dt t C



Câu9:ĐápánA
2
2
tan 1 tan
222
2cos
2
x
dx dx x
tdt
x





2
2
2
1
21
dx dt
tdx
t


Mặtkhác


2
2
22
1
2
sin 1 1 2
111sin
1
t
tdxdt
x
tt x
t
 



Câu10:ĐápánC
2
sin cos 1
x
t dx tdt I x dt
2
cos 1 sin cos cost tdt t t dt


Câu11:ĐápánB
2sin ; 2cos
22
x
tt dx tdt










22
44cos21cos2I x dx tdt t dt

2sin2ttC

Câu12:ĐápánC
Bước3saivì
22
22 2
cos 1 sin 1
1
sin sin sin
tt
Idt dt
tt t





cot ttC 
Câu13:ĐápánC

22
2
2tan
cos 4
dt dx
xtdx Fx
tx

arctan
1
2
22 2
x
t
dt C C

 
02
88 4
FCF

 
Câu14:ĐápánB
2
22
cos
cos
sin cos
1
dx tdt
dx tdt
tt
xx


2
cot
sin
dt
tC
t


Câu15:ĐápánD
2
22
cos
9
3cos cos
sin
t
x
dx tdt dx tdt
xt


2
22
cos 1
1cot
sin sin
t
dt dt t t C
tt






DẠNG4.PHƯƠNGPHÁPTỪNGPHÂNĐỂTÌMNGUYÊNHÀM
Câu1:Nguyênhàm
ln 1Ixxdx
bằng
A.

22
1
ln 1
242
xxx
x
C
 
 B.

22
12
ln 1
24
xxx
x
C



C.

22
1
ln 1
24
xx
x
xC

 D.

22
ln 1
242
xxx
x
C 
Câu2:Gọi

F
x làmộtnguyênhàmcủahàmsố
ln 1fx x x .Biết
01F ,vậy
Fx
bằng:
A.

2
2
1ln 1 1
2
xx
xx

 B.

2
2
ln 1 1
2
xx
xx


C.

2
1ln 1 1
2
xx
xx

 D.


2
2
2
1ln 1 1
2
xx
xx


Câu3:Nguyênhàmcủahàmsố

2
ln 2x
y
x
bằng:
A.
ln 2 ln 2
2
xx x
C
x


 B.
ln 2 ln 2
2
xx x
C
xx



C.
ln
2ln 2
22
x
xx
C
x


 D.
ln
ln 2
2
x
x
C
x


Câu4:Giảsử

Fxlàmộtnguyênhàmcủahàmsố

1
ln
f
xx x
x




.Biết

10F .
Vậy
Fxbằng:
A.
22 2
2ln ln 1
424
xxx x

 B.
22 2
2ln ln 1
424
xxx x


C.
22 2
2ln ln 1
424
xxx x

 D.
22 2
2ln ln 1
424
xxx x


Câu5:Hàmsố
x
f
xxe
cócácnguyênhàmlà:
A.
xx
F
xxeeC B.
2 x
F
xxeC
C.

1
1
1
x
Fx x e C
x


 D.
1
x
Fx e x C
Câu6:Hàmsố
1sin
f
xx x cócácnguyênhàmlà:
A.
1cos sinFx x x x C  B.
1cos sinFx x x x C 
C.
1cos sinFx x x x C  D.
1cos sinFx x x x C 
Câu7:Hàmsố
ln
f
xx cócácnguyênhàmlà:
A.
ln 1Fx x x C B.

1
Fx C
x

C.

2
ln
2
x
Fx C
 D.
ln 1Fx x x C
Câu8:Gọihàmsố
Fxlàmộtnguyênhàmcủa
cos 3
f
xx x ,biết
01F .Vậy
Fxlà:
A.

11
sin 3 cos3
39
Fx x x x C
 B.

11
sin 3 cos 3 1
39
Fx x x x

Trang 19
C.

2
1
sin 3
6
Fx x x
 D.

118
sin 3 cos3
399
Fx x x x


Câu9:Nguyênhàm
Fxc ủa
x
f
xxe
thỏamãn
01F là:
A.
11
x
Fx x e

 B.
12
x
Fx x e


C.
11
x
Fx x e
  D.
12
x
Fx x e
 
Câu10:Kếtquảnàosaitrongcáck ếtquảsau?
A.
.cos
sin
2
xx
x
xdx C

 B. sin cos sin
x
xdx x x C

C.
cos sin cos
x
xdx x x x C
 D.
.cos2 1
sin 2 sin 2
24
xx
x
xdx x C


Câu11:Kếtquảnàosaitrongcáck ếtquảsau?
A.
3
33
1
38
x
xx
xe
x
edx e C
 B.
.
xxx
x
edx xe e C

C.
2
.
2
xx
x
x
edx e C
 D.
1
xxx
xx
dx C
eee


Câu12:Tìmnguyênhàmcủahàmsố
2
1
x
f
xx e 
A.

2
1
x
f
xdx x e C
 B.

1
x
f
xx eC
 
C.


2
22
x
f
xdx x x e C
 D.
2
22
x
f
xdx x x e C

Câu13:Tìmnguyênhàmcủahàmsố
2
3.ln 1fx x x
A.

3
11
.ln
3
f
xdx x C
x




 B.

3
1
ln
3
f
xdx x x C





C.

3
.ln
f
xdx x x C
 D.

3
1
.ln
f
xdx x C
x


Câu14:Họnguyênhàmcủahàmsố

ln
x
fx
x
quaphépđặttx là
A.
2
2ln 4Ft t t t C B.
2
2ln 4Ft t t t C
C.
2
2ln 4tt tC D.
2
2ln 4tt tC
Câu15:Họnguyênhàmcủahàmsố

2
ln 1
x
fx
x
là:
A.
21ln1 2Fx x x x C  B.
21ln1Fx x x x C 
C.
 
1
.ln 1 ln
x
Fx x x C
x

 D.
 
1
.ln 1 ln
x
Fx x x C
x


Câu16:TìmnguyênhàmHcủahàmsố
2
31ln
f
xx x 
A.

3
2
1ln
3
x
Hxx x xC  B.
3
3
ln
3
x
Hx x xC
C.

3
2
1ln
3
x
Hxx x C  D.
3
3
ln
3
x
Hx x C
Câu17:Họnguyênhàmcủahàmsố
cos
f
xx sauphépđặt
0txxlà:
A.
2cos 2sinFt t t t C B.
2sin 2cosFt t t t C
C.
2cos 2sinFt t t t C  D.
2sin 2cosFt t t t C
Câu18:Nguyênhàmcủahàmsố
3
sin
cos
x
x
y
x
bằng
A.
2
tan
2cos 2
xx
C
x

 B.
2
tan
2cos 2
xx
C
x


C.
2
tan
2cos
x
x
C
x

 D.
2
tan
2cos
x
x
C
x


Câu19:TìmnguyênhàmHcủahàmsố
ln
f
xxx 
A.
3ln 2
9
xxx
HC

 B.
2ln 3
9
xxx
HC


C.
6ln 4
9
xxx
HC

 D.
4ln 6
9
xxx
HC


Đápán
1‐A 2‐A 3‐C 4‐B 5‐D 6‐B 7‐A 8‐D 9‐A 10‐A
11‐A 12‐A 13‐C 14‐D 15‐C 16‐A 17‐B 18‐B 19‐C
Trang 21
LỜIGIẢICHITIẾT
Câu1:ĐápánA
Tacó
 

 

22 2
111
ln 1 ln 1 ln 1 ln 1
222
xx dx x dx x x xd x


 
2
22
11111
ln 1 ln 1 1
221221
x
x
xdxxxxdx
xx

 




  
22
22
111 1
ln 1 ln 1 ln 1
222 242
xxx
x
xxxx x C




.
Câu2:ĐápánA
Tacó


  

22
11
ln 1 ln 1 ln 1 ln 1
22
F x x x dx x x dx x x x xd x



  
22
11
ln 1 ln 1 ln 1
212
x
xxx dx xxx x x
x
 

2
1ln 1
2
xx
x
xC


Câu3:ĐápánC
Tacó



2
ln 2 ln 2
11
ln 2 ln 2
xx
dx x d d x
xxxx


 




ln 2
2
x
dx
xxx




ln 2 2 ln 2
111
ln ln 2
22 22
xxxx
dx x x C
xxx x

 
ln 2 ln 2
2
xx x
C
xx



Câu4:ĐápánB
Tacó


2
1ln1
ln ln ln ln ln
2
x
x
xdx x dx dx xd x xd x
xx







22 222
11 1111
ln ln ln ln ln
22 2222
x
xxdx xxx xxdx 


22 2
222
1 1 1 2 ln ln
ln ln
224 4 2
xxx x
x
xxx C



Mà
 
22 2
1 2 ln ln
10
442
xxx x
FCFx C



Câu5:ĐápánD
Tacó
xxxxxx
x
edx xd e xe edx xe e C


Câu6:ĐápánB
Tacó
1 sin sin sin cos cos
x
xdx x xdx xdx xd x x

cos cos cos
x
xxdxx
cos sin cos 1 cos sin
x
x x xC x x xC 

Câu7:ĐápánA
Tacó
ln ln ln ln ln
x
dx x x xd x x x dx x x x C 

ln 1
x
xC
Câu8:ĐápánD
Tacó

111
cos3 sin 3 sin 3 sin 3
333
x
xdx xd x x x xdx

11
sin 3 cos3
39
x
xxC

Do
 
8118
01 sin3 cos3
9399
FCFxxxx

.
Câu9:ĐápánA
Tacó:
xxxx
x
edx xde xe edx

 

1
xx x
x
eeC xeC

  
Mà
01 1 1 1
x
FCFxxe
  
Câu10:ĐápánA
Tacó
sin cos cos cos cos sin
x
xdx xd x xx xdxxx xC  

.
Câu11:ĐápánA
Tacó

333333
11111
33339
xxxxxx
x
edx xde xe edx xe e C


Câu12:ĐápánA
Đặt
2
2
1
x
x
du xdx
ux
vedx
dv e dx


.Suyra


2
12.
xx
f
xdx x e xedx


Đặt
22
xx
u x du dx
dv edx v edx




Suyra

22
12. 12.2.
xx xxx
f
xdx x e xedx x e xe edx 


2
2
12.2. 1
xxx x
x
exeeCx eC .
Cáchkhác:Đốivớinguyênhàmtừngphầndạng
. . . . ... .
xxxxx
f
xedx fxe fxe fxe ke C
.
22 2
1122. 21.
xxxx x
x
edxx exe eCxxeC

Câu13:ĐápánC
Đặt
2
3
3
3ln 1
3
du dx
ux
x
dv x dx
x
v






Suyra
 
333
22
3.ln 1 . 3ln 1 . 3ln 1
333
xxx
x
xdxxxdxxC

3
.ln
x
xC

Câu14:ĐápánD
Đặt
2tx tdtdx 
Suyra
 
2
ln
.2 4 ln. 4ln 4 . ln 4ln 4
t
f
x dx tdt t dt t t t d t t t dt
t
 

4ln 4tt tC

QuansátcácđápántathấyDđúng,vì
2
2ln 4 4ln 4tt tC tt tC .
Câu15:ĐápánC
Đặt

2
1
ln 1
1
1
11
1
du dx
ux
x
x
dv dt
v
x
x
x




 

Trang 23
Suyra
  
111
.ln 1 ln 1 ln
xx
Fx x dx x x C
x
xx

 

Câu16:ĐápánA
Đặt


2
32
1
ln
31
1
ux
du dx
x
dv x dt
vx xxx





Suyra

  
3
222
1ln 1 1ln
3
x
Fx xx x x dx xx x x C 

Câu17:ĐápánB
Đặt
2tx tdtdx
.Suyra
2cosFt t tdt

Đặt

22
2sin 2cos
cos sin
u t du dt
Ft t t t C
dv tdt v t







Câu18:ĐápánB
Đặt

2
33
cos
1
sin
2.cos
cos cos
ux
du dx
dx
x
v
dv dx
x
xx






Suyra

22 2
11 tan
2cos 2 cos 2cos 2
xxx
Fx dx C
x
xx
 

Câu19:ĐápánC
Đặt
1
ln
2
3
du dx
ux
x
dv xdx
vxx




2224
ln ln
3339
Hxxx xdxxxxxxC
6ln 4
9
xxx
C


DẠNG5.TÌMNGUYÊNHÀMCỦAHÀMSỐHỮUTỈ.
Câu1:Tìmnguyênhàmcủahàmsố

1
1
x
fx
x

A.
2ln 1
f
xdx x x C
 B.
2ln 1
f
xdx x x C

C.
2ln 1
f
xdx x x C
 D.
2ln 1
f
xdx x x C

Câu2:Tìmnguyênhàmcủahàmsố

2
4
3
xx
fx
x


A.

2
2
10ln 3
2
xx
f
xdx x C

 B.

2
4
10ln 3
2
xx
f
xdx x C


C.

2
2
10ln 3
2
xx
f
xdx x C

 D.

2
4
10ln 3
2
xx
f
xdx x C


Câu3:Tìmmộtnguyenhàmcủahàmsố

2
5
32
x
fx
x
x


A.


2
3
ln
1
x
fxdx
x
 B.


2
3
ln
1
x
f
xdx C
x


C.


2
3
ln
1
x
f
xdx C
x

 D.


2
3
ln
1
x
f
xdx C
x


Câu4:Cho

2
23
dx
IfxC
x
x


,giátrịbiểuthức
2f bằng:
A.

1
2ln4
3
f 
 B.

1
2ln4
3
f
 C.

1
2ln3
4
f 
 D.

1
2ln3
4
f

Câu5:Chonguyênhàm
2
21
441
x
Idx
xx

,nếuđổibiếnsố 21txthì
A.
11
ln
2
ItC
t

 B.
11
ln
2
ItC
t

 C.
1
lnIt C
t

 D.
1
lnIt C
t


Câu6:Họnguyênhàmcủahàmsố


3
2
1
x
fx
x
là
A.


2
21
1
1
Fx C
x
x

 B.


2
21
1
1
Fx C
x
x


C.


4
11
1
41
Fx C
x
x

 D.


4
11
1
41
Fx C
x
x


Câu7:Họnguyênhàmcủahàmsố


2
2
1
x
x
fx
x
là
A.


2
32
1
1
1
Fx x C
x
x

 B.

2
13ln 1
1
Fx x x C
x


C.


2
32
1
1
1
Fx x C
x
x

 D.

2
13ln 1
1
Fx x x C
x


Câu8:Họnguyênhàmcủahàmsố
 
22
1
0fx a
x
a

là:
A.

1
ln
2
ax
Fx C
aax

 B.

1
ln
2
xa
Fx C
xa


Trang 25
C.

1
ln
2
xa
Fx C
xa

 D.

1
ln
2
xa
Fx C
axa


Câu9:Họnguyênhàmcủahàmsố


1
fx
x
axb

là
A.

1
ln
xa
Fx C
ba xb


 B.

1
ln
xb
Fx C
ab xa



C.

1
ln
xa
Fx C
ab xb


 D.

1
ln
xa
Fx C
ab xb



Câu10:Họnguyênhàmcủahàmsố

2
43
32
x
fx
xx

là
A.

1
4ln 2 ln
2
x
Fx x C
x

 B.

1
4ln 2 ln
2
x
Fx x C
x


C.

2
4ln 2 ln
1
x
Fx x C
x

 D.

2
4ln 2 ln
1
x
Fx x C
x


Câu11:Tìm
2
32
dx
xx
là
A.
11
ln ln
21
C
x
x


 B.
2
ln
1
x
C
x

C.
1
ln
2
x
C
x
 D.

ln 2 1
x
xC
Câu12:Tìmnguyênhàmcủahàmsố
35
2
x
y
x
là
A.
34ln 2
F
xx x C
 B.
3ln 2
F
xxxC

C.
3ln 2Fx x x C  D.
3ln 2Fx x x C 
Câu13:Mộtnguyênhàmcủahàmsố

1
x
fx
x
là:
A.
ln 1Fx x B.
ln 1Fx x x 
C.
ln 1Fx x x  D.
2ln 1Fx x
Câu14:Nguyênhàm
Fx
của

2
2
21
21
x
x
fx
x
x


,thỏamãn
10F
là:
A.

2
2
1
Fx x
x

 B.

2
2
1
Fx x
x


C.

2
2ln 1Fx x x  D.

2
2
1
Fx x
x


Câu15:Nếumộtnguyênhàmcủa
f
x là

1
1
x
Fx
x
thì
1fx là:
A.
2
2
x
 B.
2
2
x
 C.
2
1
ln
x
x

 D.

2
2
1x

Câu16:Tính
2
23
dx
x
x

A.
11
ln
43
x
C
x

 B.
13
ln
41
x
C
x

 C.
13
ln
41
x
C
x
 D.
11
ln
43
x
C
x

Câu17:Nguyênhàmcủahàmsố
2
23
21
x
Idx
x
x

là:
A.

25
ln 2 1 ln 1
33
Fx x x C
 B.

25
ln 2 1 ln 1
52
Fx x x C

C.

25
ln 2 1 ln 1
33
Fx x x C
 D.

25
ln 2 1 ln 1
33
Fx x x C  

Câu18:Gọi
Fxlàtậphợptấtcảcácnguyênhàmcủahàmsố

1
12
fx
x
thì
Fx
là:
A.

1
ln 1 2
2
Fx x C

 B.

1
ln 1 2
2
Fx x C

C.
ln 1 2
F
xxC
 D.

2
x
Fx C
xx


Câu19:Nguyênhàmcủahàmsố

3
1
1
x
fx
x
là:
A.

32
2ln 1
32
xx
Fx x x C
 B.

32
2ln 1
32
xx
Fx x x C

C.

32
ln 1
32
xx
Fx x x C  D.

32
2ln 1
32
xx
Fx x x C 
Câu20:Chohàmsố


2
2
3
1x
fx
x
.Mộtnguyênhàm
Fxcủa

f
x thỏamanãn
14F  là:
A.
2
2
2
2ln
24
x
x
x

 B.
2
2
1
2ln 4
22
x
x
x


C.
2
2
2
2ln 4
2
x
x
x

 D.
2
2
2
2ln 4
2
x
x
x


Đápán
1‐C 2‐D 3‐A 4‐C 5‐B 6‐A 7‐B 8‐D 9‐C 10‐B
11‐B 12‐C 13‐C 14‐A 15‐B 16‐D 17‐D 18‐A 19‐B 20 ‐C
Trang 27
LỜIGIẢICHITIẾT
Câu1:ĐápánC
Tacó:
12
12ln1
11
x
dx dx x x C
xx







Câu2:ĐápánD
Tacó
2
2
4101
2210ln3
332
xx
dx x dx x x x C
xx








Câu3:ĐápánA
Tacó

2
321
512
32 31 1 3
xx
x
dx dx dx
xx x x x x







2ln 3 ln 1
x
xC


2
2
3
ln 3 ln 1 ln
1
x
x
xC C
x


Câu4:ĐápánC
Tacó

2
13
ln
23 3 14 1
dx dx x
C
xx x x x



 
13 1
ln 2 ln 3
41 4
x
fx f
x
 

Câu5:ĐápánB
Đặt
22
121 1 1
21 ln
22 2
tdtdt
tx I dt t C
ttt t



Câu6:ĐápánA
Tacó



 
33 322
221
22212
1
11 11 1
x
x
dx dx dx C
x
xx xxx









Câu7:ĐápánB
Tacó




2
2
22 2
13 12
32 2
13ln1
11
11 1
xx
xx
dx dx dx x x C
xx
xx x










Câu8:ĐápánD
Tacó

22
111
ln
2
xa
dx dx C
xa xaxa axa




Câu9:ĐápánC
Tacó


11 1
ln
xb xa
xa
dx dx C
xaxb ab xaxb ab xb


 


Câu10:ĐápánB
Tacó

2
51 2
43 2
5ln 2 ln 1 4 ln 2 ln
32 1 2 1
xx
xx
dx dx x x x C
xx x x x


 



Câu11:ĐápánB
Tacó

2
111
32 2 1
fx
x
xxx



Suyra
2
111 2
ln 2 ln 1 ln
32 2 1 1
x
dx dx x x C C
xx x x x







Câu12:ĐápánC
Tacó
35 1
3
22
x
y
x
x



Suyra

35 1
33ln2
22
x
F x dx dx x x C
xx







Câu13:ĐápánC
Tacó

1
1
11
x
fx
x
x



Suyra

1
1ln1
11
x
Fx dx dx x x C
xx







Câu14:ĐápánA
Tacó


2
2
2
21 2
1
21
1
xx
fx
xx
x




Suyra


2
2
2
21 2 2
1
21 1
1
xx
F x dx dx x C
xx x
x









Mà

2
10 2 0 2 2
1
FCCFxx
x
 

Câu15:ĐápánB
Tacó
  


'
2
2
1122
'1
11
1
xx
Fx fx F x fx
x
xx
x







Câu16:ĐápánD
Tacó

2
1111
234 1 3
fx
xx x x






Suyra

2
11 1
23 4 1 3
dx
f
xdx
xx x x






11
ln
43
x
C
x


Câu17:ĐápánD
Tacó


2
23 5 4
2131321
x
fx
xx x x




2
23 5 4
2131321
x
Idx dx
xx x x







52
ln 1 ln 2 1
33
x
xC 
Câu18:ĐápánA
Tacó
11
ln 1 2
12 2
dx x C
x


Câu19:ĐápánB
Tacó

3
2
12
1
11
x
fx x x
x
x



Suyra

3
2
12
1
11
x
F x dx x x dx
xx






32
2ln 1
32
xx
x
xC

Trang 29
Câu20:ĐápánC
Tacó

2
2
33
1
12
x
fx x
x
xx


Suyra

2
2
33
1
12
x
Fx dx x dx
xxx





2
2
1
2ln
22
x
x
C
x


Mà

2
2
1
14 4 2ln 4
22
x
FCFx x
x
 
DẠNG6.TÌMNGUYÊNHÀMCỦAHÀMSỐLƯỢNGGIÁC
Câu1:Nguyênhàm
Fxc ủahàmsố
2
tan
f
xx thỏa
03F là:
A.
tan 3
f
xxx B.
tan 3
f
xxx
C.
tan 3
f
xxx D.
tan 3
f
xxx
Câu2:Nếu

2
'cos
4
fx x




và

13
0
4
f
thì:
A.

11
cos 2 3
2
fx x x
x




 B.

7
sin
2
fx x


C.

1
cos 2 4
2
fx x x
  D.

1
cos 2 3
2
f
xx
Câu3:Cho
Fxlàmộtnguyênhàmcủahàmsố
2
tan
f
xx .Giátrịcủa

0
4
FF



bằng:
A.
4
 B.
1
4
 C.
1
4
 D.
3
4

Câu4:Nguyênhàmcủahàmsố
2
cos .sin .
x
xdx
bằng:
A.
3sin sin3
12
xx
C
 B.
3cos cos3
12
xx
C

C.
3
sin
x
C
 D.
2
sin .cos
x
xC

Câu5:Kếtquảnàosaitrongcáckếtquảsau?
A.
2
1
cos 2 sin 4
28
x
x
dx x C
 B.
2
1
sin 2 sin 4
28
x
x
dx x C

C.
1
cos 4 sin 4
4
x
dx x C
 D.
22
sin 2 cos 2
x
dx x C

Câu6:Kếtquảnàosaitrongcáckếtquảsau?
A.
sin .cos cos .sin
x
xdx x x C
 B.
1
sin .cos cos 2
4
x
xdx x C

C.
3
2
cos
cos .sin
3
x
x
xdx C
 D.
2
2
sin
sin .cos
3
x
x
xdx C

Câu7:Kếtquảnàosaitrongcáckếtquảsau?
A.
11 1
cos3 .cos sin4 sin2
24 2
x
xdx x x C





B.
11 1
sin 3 .cos cos 4 sin 2
24 2
x
xdx x x C





C.
11 1
sin 3 .cos cos 4 cos 2
24 2
x
xdx x x C





D.
cos 2
sin .cos
4
x
x
xdx C


Câu8:Tìmnguyênhàm

2
1sin
x
dx
thì:
A.
2sin2
2cos
34
xx
x
C
 B.
2sin2
2cos
34
xx
x
C

C.
3sin2
2cos
24
xx
x
C D.
3sin2
2cos
24
xx
x
C
Câu9:Nguyênhàmcủahàmsố
2
sin .cosyxx là:
Trang 31
A.
2
cos
x
C
 B.
3
1
cos
3
x
C
 C.
3
1
sin
3
x
C
 D.
3
tan
x
C

Câu10:Nguyênhàmcủahàmsố:
23
sin .cosyxx là:
A.
35
11
sin sin
35
x
xC
 B.
35
11
sin sin
35
x
xC

C.
35
sin sin
x
xC D.Đápánkhác
Câu11:Nguyênhàmcủahàmsố:
2
cos .sinyxx
là:
A.
3
1
cos
3
x
C
 B.
3
cos
x
C
 C.
3
1
sin
3
x
C
 D.Đápánkhác
Câu12:Mộtnguyênhàmcủahàmsố:
sin 5 .cos 3yxx
là:
A.
1 cos 6 cos 2
28 2
x
x




 B.
1 cos 6 cos 2
28 2
x
x




C.
cos8 cos 2
x
x  D.Đápánkhác
Câu13:Nguyênhàmcủahàmsố:
5
cos
1sin
x
ydx
x
là:
A.
34
2
sin cos
cos sin
34
xx
x
xC  B.
34
2
sin cos
sin sin
34
xx
x
xC 
C.
43 2
sin sin cos
sin
432
xx x
x
C
 D.
Câu14:Tìmmộtnguyênhàmcủahàmsố
4
sinyx 
A.
3 sin 4 sin 2
43 4
x
xx
 B.
3 sin 4 sin 2
832 4
x
xx

C.
3sin8sin2
432 4
x
xx

 D.
1 sin 8 sin 2
432 4
x
x


Câu15:Nguyênhàmcủahàmsố:
22
cos 2
sin .cos
x
ydx
x
x
là:
A.
cos sin
F
xxxC  B.
cos sin
F
xxxC
C.
cot tanFx x x C
 D.
cot tanFx x x C

Câu16:Nguyênhàmcủahàmsố
33
sin cosyxxx bằng:
A.
4
sin 2
12
x
C
 B.
45
cos cos
45
xx
C

C.
46
cos cos
45
xx
C

 D.
4
cos 2
24
x
C

Câu17:Nguyênhàmcủahàmsố
1
sin
y
x
bằng
A.
11cos
ln
21cos
x
C
x
 B.
11cos
ln
21cos
x
C
x
 C.
1cos
ln
1cos
x
C
x
 D.
1cos
ln
1cos
x
C
x

Câu18:Tìmmộtnguyênhàmcủahàmsố
cos
4sin 9
x
y
x

A.

1
ln 16sin 36
4
x
 B.
1
ln 4 sin 9
4
x

C.

1
ln 15sin 36
4
x
 D.

1
ln 4sin 32 6
4
x

Câu19:Tìmmộtnguyênhàmcủahàmsố
2
cos
3cos 3sin
x
y
x
x


A.
3sin 2
ln 4 3
sin 1
x
x
 B.
sin 2
ln 4
sin 1
x
x

C.
3sin 2
ln 4 3
2sin 1
x
x
 D.
3sin 2
ln 4 3
8sin 1
x
x

Câu20:Tìmmộtnguyênhàmcủahàmsố
22
2
sin cos
3
yxx

A.
sin 4
12 48
x
x
 B.
sin 2
cos
12 24
xx
x

 C.
sin 2
12 24
x
x
 D.
3
1
sin 2
18
x

Câu21:Tìmmộtnguyênhàmcủahàmsố
2
4sin 5 sin10yxx

A.
11
2sin10cos10
10 5
x
xx B.
12
2sin10cos10
10 5
x
xx
C.
11
2sin10 cos10
510
x
xx
 D.
32
2sin10cos10
10 5
x
xx

Câu22:Tìmmộtnguyênhàmcủahàmsố
2sin4 cos2yxx 
A.
11
cos 6 cos 2 6
62
xx

 B.
13
cos 6 cos 2 6
62
xx


C.
13
cos 6 cos 2 8
62
x
x
 D.
15
cos 6 sin 2 8
62
x
x

Đápán
1‐A 2‐A 3‐C 4‐A 5‐D 6‐A 7‐C 8‐D 9‐C 10‐A
11‐D 12‐D 13‐C 14‐B 15‐D 16‐C 17‐A 18‐A 19‐B 20‐A
21‐C 22‐A
Trang 33
LỜIGIẢICHITIẾT
Câu1:ĐápánA
Tacó
2
tanFx fxdx xdx

22
22 2
sin 1 cos 1
1
cos cos cos
xx
dx dx dx
xx x






2
tan
cos
dx
dx x x C
x


.Mà
0
03tan 3 3
x
FxxCC

.
Câu2:ĐápánA

2
1
cos . 1 cos 2
42 2
f
xxdx xdx










111
.1sin2 cos2
222
x
dx x x C





0
13 1 1 13 1 13
cos 2 3
42 2 4 44
x
xxC C C





Câu3:ĐápánC
Tacó
 
2
2
2
sin
tan
cos
x
Fx fxdx xdx dx
x


2
22
1cos 1
1
cos cos
x
dx dx
xx





2
tan .
cos
dx
dx x x C
x


Mà

0tan 1
4
44
0
FF xxC





Câu4:ĐápánA
Tacó
22
cos .sin . sin sin
x
xdx xd x

3
sin 3sin sin 3
312
xxx
CC


Câu5:ĐápánD
Dựavàocácđápán,tacócácnhậnxétsau:
2
1cos4 1
cos 2 sin 4
228
xx
x
dx dx x C



2
1cos4 1
sin 2 sin 4
228
xx
x
dx dx x C




11
cos 4 sin 4 sin 4
44
x
dx d x x C


Câu6:ĐápánA
Dựavàocácđápán,tacócácnhậnxétsau:
sin .cos sin sin sin
x
xdx xd x x C


1cos2
sin .cos sin 2
24
x
x
xdx xdx C


3
22
cos
cos .sin cos cos
3
x
x
xdx xd x C 



3
22
sin
sin .cos sin sin
3
x
x
xdx xd x C


Câu7:ĐápánC
Dựavàocácđápán,tacócácnhậnxétsau:

1111
cos3 .cos cos 4 cos 2 sin 4 sin 2
2242
x
xdx x x dx x x C







1111
sin 3 .cos sin 4 sin 2 cos 4 cos 2
2242
x
xdx x x dx x x C








2
34
3sin 1
sin 3 .cos 3sin 4sin sin sin cos3 .sin
23
x
x
xdx x x d x x C x x C



1cos2
sin .cos sin 2
24
x
x
xdx xdx C


Câu8:ĐápánD
Tacó


2
2
1cos2
1 sin 1 2sin sin 2 sin
2
x
x
dx x x dx dx xdx dx


313sin2
2sin cos2 2cos
2224
x
dx xdx xdx x x C



Câu9:ĐápánC
Tacó

3
22
sin
sin .cos sin sin
3
x
x
xdx xd x C


Câu10:ĐápánA
Tacó
23 22 2 2
sin .cos sin .cos sin sin 1 sin sin
x
xdx x xd x x x d x



35
24
sin sin
sin sin sin
35
xx
x
xd x C

Câu11:ĐápánD
Tacó

3
22
cos
cos .sin cos cos
3
x
x
xdx xd x C 


Câu12:ĐápánD
Tacó
 
1 1 cos8 cos 2
sin 5 .cos 3 sin8 sin 2
2282
xx
f
xdx x xdx x xdx C






Câu13:ĐápánC


22
22
5
1sin cos 1sin
cos
sin
1sin 1sin 1sin
xx x
x
F x dx dx d x
xx x





Đặt


2
2
432
32
1
sin 1
1432
t
ttt
txFt dt tttdt tC
t
 



432
sin sin sin
sin
432
xxx
Fx x C
 
Câu14:ĐápánB
Tacó



2
2
42 2
11
sin sin 1 cos 2 1 2 cos 2 cos 2
44
x
dx x dx x dx x x dx


1 1 3 cos 2 cos 4 3 sin 2 sin 4
12cos2 1cos4
42 8288432
xxxxx
x
xdx dx C






Câu15:ĐápánD
Trang 35

22
22 22 2 2
cos 2 cos sin 1 1
sin .cos sin .cos sin cos
xxx
F x dx dx dx
xx xx x x





cot tan
x
xC

Câu16:ĐápánC
Tacó:
33 3 2
sin cos cos . 1 cos .sinFx x xdx x x xdx



46
35
cos cos
cos cos cos
46
xx
x
xd x C 

Câu17:ĐápánA
Tacó:

22
cos
1sin 1cos1
ln
sin 1 cos cos 1 2 cos 1
dx
xx
F x dx dx C
xxxx




Câu18:ĐápánA
Tacó:

4sin 9
cos 1 1
ln 4 sin 9
4sin 9 4 4sin 9 4
dx
x
Fx dx x C
xx




Chúý:

11 11
ln 16sin 36 ln 4 4 sin 9 ln 4 sin 9 ln 4
44 44
xxx
 

,tức
1
ln 4
4
C

Câu19:ĐápánB
Tacó:

22
cos cos cos
3 cos 3sin sin 3sin 2 sin 1 sin 2
xx x
y
xxxx x x

 



2
sin
cos sin 2
ln
3 cos 3sin sin 2 sin 1 sin 1
dx
xx
Fx dx C
xx x x x




Câu20:ĐápánA
Tacó:
 
22
21 sin4
sin cos 1 cos 4
312 1248
xx
Fx x xdx xdx C



Câu21:ĐápánC
Tacó:




2
sin10 cos10
4sin 5 sin10 2 1 cos10 sin10 2
510
xx
F x x x dx x x dx x C



Câu22:ĐápánA
Tacó:

cos 6 cos 2
2sin 4 cos 2 sin 6 sin 2
62
xx
F x x xdx x x dx C



DẠNG7.PHƯƠNGPHÁPVIPHÂNNGUYÊNHÀM
Câu1:
5
1
.ln
dx
xx
bằng:
A.
4
ln
4
x
C

 B.
4
4
ln
C
x

 C.
4
1
4ln
C
x
 D.
4
1
4ln
C
x

Câu2:
5
sin
cos
x
dx
x
bằng:
A.
4
1
4cos
C
x
 B.
4
1
4cos
C
x
C.
4
1
4sin
C
x
D.
4
1
4sin
C
x
Câu3:
sin cos
sin cos
xx
dx
xx
bằng:
A.
ln sin cosxxC B. ln sin cosxxC
C.
ln sin cosxxC
 D.
ln sin cosxxC
Câu4:
3
(tan tan )xxdx
bằng:
A.
2
tan
2
x
C
 B.
2
2tan xC 
C.
2
2tan xC
 D.
2
tan
2
x
C
Câu5:
2
23
(1)
xx
xe dx

bằng:
A.
2
2
23
2
xx
x
xe C





 B.

32
1
3
3
1
xx x
xe C


C.
2
2
1
2
xx
eC
 D.
2
23
1
2
xx
eC

Câu6:
2
41
425
x
dx
xx

bằng:
A.
2
1
425
C
xx

 B.
2
1
425
C
xx



C.
2
ln 4 2 5xx C D.
2
1
ln 4 2 5
2
xx C

Câu7:
3cos
2sin
x
dx
x
bằng:
A.
3ln(2 sin )xC B. 3ln 2 sinxC
C.

2
3sin
2sin
x
C
x
 D.

3sin
ln 2 sin
x
C
x

Trang 37
Câu8:TìmnguyênhàmHcủahàmsố
2
3
()
1
x
fx
x
.
A.

3
1
31
HC
x

 B.
3
1
ln 1
3
HxC

C.
3
1
1
HC
x

 D.
3
ln 1Hx C
Câu9:TìmnguyênhàmH củahàmsố
24
() (1 )fx x x .
A.
5
2
1
10
x
HC

 B.
5
2
1
5
x
HC

C.
5
2
1
2
x
HC

 D.
5
2
1Hx C
Câu10:TìmnguyênhàmH củahàmsố
2
()
1
x
fx
x
.
A.
2
1
1
2
Hx C
 B.
2
1
1
4
HxC

C.
2
1Hx C
 D.
2
21Hx C
Câu11:TìmnguyênhàmHcủahàmsố
sin
()
2
x
fx
cosx
.
A.
ln cos 2HxC B.
1
cos 2
HC
x

C.
ln cos 2HxC
D.
1
cos 2
HC
x

Câu12:TìmnguyênhàmHcủahàmsố
4
sin cos sin cosfx x x x x .
A.
4
sin cos
4
xx
HC
 B.
4
sin cos
4
xx
HC

C.
5
sin cos
5
xx
HC
 D.
5
sin cos
5
xx
HC

Câu13:TìmnguyênhàmH củahàmsố
2
ln
()
x
fx
x
.
A.
3
lnHxC  B.
3
lnHxC
C.
3
ln
3
x
HC
  D.
3
ln
3
x
HC

Câu14:TìmnguyênhàmH củahàmsố
sin
() cos
x
fx xe .
A.
sin x
He C B.
cos x
He C
C.
sin
sin
x
HxeC D.
cos
cos
x
HxeC
Câu15:TìmnguyênhàmH củahàmsố
tan
2
()
cos
x
e
fx
x
.
A.
tan x
He C  B.
tan x
He C
C.
tan
sin
x
HxeC
 D.
tan
sin
x
HxeC
Câu16:TìmnguyênhàmH củahàmsố
cot
2
()
sin
x
e
fx
x
.
A.
tco x
He C
 B.
tco x
He C

C.
t
cos
co x
HxeC
 D.
t
cos
co x
HxeC

Câu17:TìmnguyênhàmH củahàmsố
() tan ln(cos)
f
xxx .
A.
ln(cos )HxC  B. ln(cos )HxC
C.
2
ln (cos )
2
x
HC

 D.
2
ln (cos )
2
x
HC

Câu18:Tínhnguyênhàmcủahàmsố
2
3
()
1
x
fx
x
.
A.
3
ln( 1)x  B.
3
ln( 1)xC
C.
3
1
ln( 1)
3
xC

 D.
3
1
ln 1
3
xC

Câu19:Tínhnguyênhàmcủahàmsố
2 2016
() ( 1)fx xx.
A.

2016
2
1
1
2
xC

 B.

2017
2
1
1
2017
xC


C.

2017
2
1
1
4034
xC
 D.

2016
2
1
1
2
x
Câu20:Giảsửnguyênhàmcủahàmsố
2
()
1
x
fx
x
là
Fx.Tìm
Fxbiết (0)
4
F

A.
2
() 1 1
4
Fx x
 B.
2
() 1 1
4
Fx x


B.
2
() 1 1
4
Fx x
 D.
2
2
() 1
4
11
x
Fx
x


Câu21:Tìmnguyênhàmcủahàmsố

3
1
()
35
fx
x

A.

4
11
.
5
35
C
x
 B.

4
11
.
10
35
C
x
Trang 39
C.

2
11
.
10
35
C
x
 D.

2
11
.
2
35
C
x
Câu22:Tìmnguyênhàmcủahàmsố
2016
ln
()
x
fx
x

A.
2016
1
ln
2016
xC
 B.
2015
1
ln
2015
xC
C.
2017
1
ln
2017
xC
D.
2017
ln xC
Câu23:Tìmnguyênhàmcủahàmsố
5
6
5
()
ln 5
x
fx
x
A.

4
6
5
5
ln 5
24
xC

 B.

4
6
5
5
ln 5
4
xC


C.

4
6
5
5
ln 5
24
xC

D.

4
6
5
5
ln 5
4
xC

Câu 24: Giả sử nguyên hàm của hàm số
5
() sin cosfx x x là F (X) . Tìm F (X) biết
(0) ln2
2
F

A.
6
1
sin ln 2
6
x
 B.
6
1
sin ln 2
62
x

C.
6
sin ln 2
2
x

D.
6
sin
2
x
Câu25:Tìmnguyênhàmcủahàmsố
() cos sinfx x x
A.
3
2
cos
3
xC
 B.
3
3
cos
2
xC
C.
3
3
cos
2
xC
 D.
3
3
sin
2
xC

Câu26:Tìmnguyênhàmcủahàmsố
cos
()
x
fx
x
A.
sin xC  B. cos xC C.2sin xC D. 2cos xC
Câu27:Tìmnguyênhàmcủahàmsố
2ln 3x
e
x

A.
2ln 3x
eC
 B.
2ln 3
2
x
eC
C.
2ln 3
1
2
x
eC
D.
2ln 3
1
2
x
eC

Câu28:TìmmộtnguyênhàmIcủahàmsố
cos sin
sin cos
xx
y
xx
.
A.
ln sin cos ln 8Ixx B.
cos sin
2
sin cos
xx
I
xx

C.
2
cos sin
2
sin cos
xx
I
xx

D.
ln sin cos ln 17Ixx
Câu29:TìmmộtnguyênhàmIcủahàmsố
2
23
32
x
y
xx

.
A.
2
ln 10 : 3 2Ixx B.
2
ln 10 3 2Ixx
C.
2
31
ln
32
I
xx




 D.
ln 2 3 ln 3Ix
Câu30:TìmmộtnguyênhàmI củahàmsố
2
tan(tn)1ayxx.
A.
2
1
tan 7
2
Ix

 B.
2
1
tan sin
2
Ixx

C.
2
1
tan 3sin cos
2
Ixxx
 D.
2
1
tan 4sin
2
Ixx

Câu31:Xétcácmệnhđề
 
23
1
44
3
xdxx C


 
23
22
1
44
3
xdxx C

2
3
3
1
ln 3
33
xdx
xC
x

4
5
5
1
ln 3
3
x
dx x C
x

Sốlượngmệnhđềđúnglà
A.1mệnhđề B.2mệnhđề C.4mệnhđề D.3mệnhđề
Câu32:Hàmsố
5
sin cosyxxdx có
1
sin cos
6
nm
IxxClàmộtnguyênhàm,vớim vàn
làcácsốnguyên.Tínhtổngm +n
A.6 B.5 C.7 D.4
Trang 41
HƯỚNGDẪNGIẢICHITIẾT
Câu1:
4
54
1ln 1
(ln )
ln 4 4 ln
x
dx C C
xx

.ChọnD.
Câu2:
4
55 4
sin (cos ) cos 1
cos cos 4 4 cos
xdx x
dx C C
xx x


.ChọnB.
Câu3:
sin cos (sin cos )
ln sin cos
sin cos sin cos
xx dxx
dx x x C
xx xx

 


ChọnD.
Câu4:

2
3
2
tan tan
tan tan tan ( tan )
cos 2
xdx x
xxdx xdx C
x


.ChọnD
Câu5:


2
222
23
23 23 23
1
1
22
xx
xx xx xx
e
xe dx e de C

  


.ChọnD
Câu6:
2
2
22
425
ln 4 2 5
41 1
425 2425 2
dx x
xx
x
dx C
xx xx



 

. Chọ n D
Câu7:
3cos (sin 2)
33lnsin2
2sin 2sin
xdx
dx x C
xx



. Chọ n A
Câu8:
3
23
33
ln 1
1( 1)
131 3
x
xdx
dx C
xx



.ChọnB
Câu9:
 
5
2
44
222
1
1
111
210
x
xxdx xdx C


.ChọnA
Câu10:



1
22
2
1
22 2
2
22
11
11 1
11 1
1
22 2
11
2
dx x
x
dx x d x C x C
xx




.
ChọnC.
Câu11:
sin (cos 2)
ln cos 2
cos2 cos2
xdx d x
xC
xx
 


.ChọnC.
Câu12:

5
44
sin cos
sin cos sin cos sin cos sin cos
5
xx
xxxxdx xxdxx C
 

.
ChọnD.
Câu13:
23
2
ln ln
ln (ln )
3
xdx x
xd x C
x


.ChọnD.
Câu14:
sin sin sin
cos (sin )
xx x
xe dx e d x e C

.ChọnA.
Câu15:
tan
tan tan
2
(tan )
cos
x
xx
e
dx e d x e C
x


.ChọnB.
Câu16:
cot
cot cot
2
(cot )
sin
x
xx
e
dx e d x e C
x
 

.ChọnB.
Câu17:Tacó
ln(cos )
tan ln(cos ) ln(cos ) (ln(cos ))
2
x
xxdx xd x C 

.ChọnC.
Câu19:Tacó
 
2017
2
2016 2016
222
1
1
111
2 4034
x
xx dx x dx C


.ChọnC.
Câu20:Tacó

22
22
11
() 1 1
2
11
x
Fx dx d x x C
xx




Mà
(0) 1 1
444
FCC


.ChọnA.
Câu21:Tacó



2
3
3 2
35
11
() 3 5
10
35 1035
x
Fx dx x dx C C
xx



ChọnC.
Câu22:Tacó

2016 2017
2016
ln ln
( ) ln ln
2017
xx
Fx dx xd x C
x


.ChọnC.
Câu23:tacó


14
5
66 6
55
6
5
6
5
155
ln 5 ln 5 ln 5
624
ln 5
24 ln 5
x
dx x d x x C C
x
x
 

.
ChọnB.
Câu24:Tacó
6
55
sin
sin cos sin (sin )
6
x
xxdx xdx C

Mà
(0) ln 2 ln2
22
FC

.ChọnB.
Câu25:Tacó
3
2
cos sin cos (cos ) cos
3
xxdx xd x xC 

.ChọnA.
Câu26:Tacó
cos
2cos ( ) 2sin
x
dx xd x x C
x


.ChọnC.
Câu27:Tacó
2ln 3
2ln 3 2ln 3
11
(2 ln 3)
22
x
xx
e
dx e d x e C
x



.ChọnC.
Câu28:Tacó
cos sin 1
(sin cos ) ln sin cos
sincos sincos
xx
dx d x x x x C
xx xx



.ChọnA.
Câu29:Tacó

2
2
23 23 1 1
ln 3 2
32 1 2 1 2
xx
dx dx dx x x C
xx x x x x







ChọnB.
Trang 43
Câu30:Tacó
 
222
1
tan 1 tan tan tan 1 tan
2
xxdxxdx xC

.ChọnA.
Câu31:Tacó
 
22 3
1
)4 4 4 4
3
xdxxdx x C

.Đúng


3
2
2
1
)4 4
3
xdxx C
.Saivì
 

32
2
22
1
4424
3
xCxxdxxdx

3
2
3
33
3
11
)ln3
33 3 3
dx
xdx
xC
xx



.Đúng
4
5
5
1
)ln3
3
x
dx x C
x

.Saivì
44
5
55
51
ln 3
33
xx
x C dx dx
xx



ChọnB.
Câu32:Tacó

55 660
6
11
sin cos sin sin sin sin cos
66 5
n
xxdx xd x xC x xC
m


ChọnA
PHẦNB.BÀITẬPTRẮCNGHIỆMCÓĐÁPÁN.
NGUYÊNHÀMVÀPHƯƠNGPHÁPTÌMNGUYÊNHÀM
Kháiniệmnguyênhàmvàtínhchất
1.Kháiniệmnguyênhàm
—Chohàmsố
()
f
x
xácđịnhtrên
.K
Hàmsố
()Fx
đượcgọilànguyênhàmcủa
hàmsố
()
f
x
trên
K
nếu:
() (), .Fx fx x K
¢
="Î
—Nếu
()Fx
làmộtnguyênhàmcủa
()
f
x
trên
K
thìhọnguyênhàmcủahàmsố
()
f
x
trên
K
là:
() () , .f x dx F x C const C⋅= + =Î
ò
2.Tínhchất:Nếu
(), ()
f
xgx
là2hàmsốliêntụctrên
K
và
0k ¹
thìtaluôncó:
·
() () .fxdx fx C
¢
=+
ò

·
() () .kf x dx k f x dx=
òò

·
() () () ()fx gxdx fxdx gxdx
éù
=
êú
ëû
òòò
Bảngnguyênhàmcủamộtsốhàmthườnggặp(vớiClàhằngsốtùyý)

1
1
x
xdx C
a
a
a
+
⋅= +
+
ò
1
1( )
()
1
n
n
ax b
ax b dx C
an
+
+
+⋅=⋅ +
+
ò

1
lndx x C
x
⋅= +
ò
11
lndx ax b C
ax b a
⋅=⋅ ++
+
ò

2
11
dx C
x
x
⋅=-+
ò
2
111
()
dx C
aax b
ax b
⋅=-⋅ +
+
+
ò
 sin cosxdx x C⋅=- +
ò
1
sin( ) cos( )ax b dx ax b C
a
+=- ++
ò

cos sinxdx x C⋅= +
ò
1
cos( ) sin( )ax b dx ax b C
a
+⋅ =⋅ ++
ò

2
1
cot
sin
dx x C
x
⋅=- +
ò
2
11
cot( )
sin ( )
dx ax b C
a
ax b
=- + +
+
ò

2
1
tan
cos
dx x C
x
⋅= +
ò
2
11
tan( )
cos ( )
dx ax b C
a
ax b
=++
+
ò

xx
edx e C⋅=+
ò
1
ax b ax b
edx e C
a
++
⋅=⋅ +
ò

ln
x
x
a
adx C
a
⋅= +
ò
22
1
ln
2
dx x a
C
axa
xa
-
=⋅ +
+
-
ò
♦Nhậnxét.Khithayx bằng
()ax b+
thìlấynguyênhàmnhânkếtquảthêm
1
a
⋅
Mộtsốlưuý
1. Cầnnắmvữngbảngnguyênhàm.
2. Nguyênhàmcủamộttích(thương)củanhiềuhàmhàmsốkhôngbaogiờbằng
Trang 45
tích(thương)củacácnguyênhàmcủanhữnghàmthànhphần.
3. Muốntìmnguyênhàmcủamộthàmsố,taphảibiếnđổihàmsốnàythànhmột
tổng hoặc hiệu của những
hàm số tìmđược nguyên hàm (dựa vào bảng
nguyênhàm).
Dạngtoán1.TÍNHNGUYÊNHÀMBẰNGBẢNGNGUYÊNHÀM
A–PHƯƠNGPHÁPGIẢITOÁN
1. Tíchcủađathứchoặclũythừa
PP
¾¾¾
khaitriển.
2. Tíchcáchàmmũ
PP
¾¾¾
khaitriểntheocôngthứcmũ.
3. Chứacăn
PP
¾¾¾
chuyểnvềlũythừa.
4. Tíchlượnggiácbậcmộtcủasinvàcosin
PP
¾¾¾
khaitriểntheocôngthứctích
thànhtổng.
· 
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
ax bx a b x a b x
éù
=++-
êú
ëû
· 
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
ax bx a b x a b x
éù
=--+
êú
ëû
·

1
cos . cos cos( ) cos( )
2
ax bx a b x a b x
éù
=++-
êú
ëû
5. Bậcchẵncủasinvàcosin
PP
¾¾¾
Hạbậc.
B‐BÀITẬPVẬNDỤNG
BT1. Tìmnguyênhàmcủacáchàmsốsau(giảsửđiềukiệnđượcxácđịnh):
Phươngpháp:Dựavàobảngnguyênhàmcủacáchàmsốvàvậndụngcáctínhchất
nguyênhàm.
a)
2
() 3
2
a
fa a=+⋅
ĐS:
2
3
() .
4
a
Fa a C=++
……………………………………………………………………………………………………………
………….
b)
3
() 2 5 7.fb b b=-+ĐS:
42
5
() 7 .
22
bb
Fb b C=- ++
……………………………………………………………………………………………………………
………….
c)
532
() 6 12 8.fc c c c=- +-
ĐS:
3
64
() 3 8 .
3
c
Fx c c c C=- +-+
……………………………………………………………………………………………………………
………….
d)
2
() ( 3)( 1)fx x x x=-⋅+⋅ĐS:
432
23
() .
43 2
xxx
Fx C=- - +
……………………………………………………………………………………………………………
………….
e)
3
() (3 ).fx x=-
ĐS:
4
(3 )
() .
4
x
Fx C
-
=- +
……………………………………………………………………………………………………………
………….
f)
2
2
11
()
3
fx x
x
=--⋅
ĐS:
3
1
() .
33
xx
Fx C
x
=- - - +
……………………………………………………………………………………………………………
………….
g)
2
() 10.
x
fx = ĐS:
2
10
() .
2ln10
x
Fx C=+
……………………………………………………………………………………………………………
………….
h)
3
3
() 4fx x x
x
=-+⋅
ĐS:
4
2
() 2 3.ln .
4
x
Fx x x C=+ + +
……………………………………………………………………………………………………………
………….
i)
4
22
()
t
ft
t
2
+
=⋅
ĐS:
3
22
() .
3
Ft t C
t
=⋅-+
……………………………………………………………………………………………………………
………….
j)
2
1
()
x
fx
x
-
=⋅
ĐS:
1
() ln .Fx x C
x
=++
……………………………………………………………………………………………………………
………….
k)
2
() 2sin
2
x
fx =⋅
ĐS:
() sin .Fx x x C=+ +
……………………………………………………………………………………………………………
………….
l)
2
() cos .fx x= ĐS:
11
() sin2 .
24
Fx x x C=+ +
……………………………………………………………………………………………………………
………….
m)
2
() tan .fx x= ĐS:
() tan .Fx x x C=-+
……………………………………………………………………………………………………………
………….
n)
22
1
()
sin .cos
fx
xx
=⋅
ĐS:
2
2
() .
sin 2
Fx C
x
=- +
……………………………………………………………………………………………………………
………….
o)
() 2sin3 cos2.
f
xxx=
ĐS:
1
( ) cos 5 cos .
5
Fx x x C=- - +
Trang 47
……………………………………………………………………………………………………………
………….
p) () .( 1).
xx
fx e e=-ĐS:
2
1
() .
2
xx
Fx e e C=-+
……………………………………………………………………………………………………………
………….
q)
2
() 2
cos
x
x
e
fx e
x
-
æö
÷
ç
÷
=⋅+ ⋅
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ĐS: () 2 tan .
x
Fx e x C=+ +
……………………………………………………………………………………………………………
………….
r)
3
().Ixxdx=+⋅
ò
ĐS:
2
3
3
.
2
IxC=⋅ +
……………………………………………………………………………………………………………
………….
s)
2
3
2
1
2Ix dx
x
æö
÷
ç
÷
ç
=+⋅⋅
÷
ç
÷
÷
ç
èø
ò
ĐS:
3
3
2
3.
3
Ix xC=++
2
2.Ix C
x
=-+
……………………………………………………………………………………………………………
………….
t)
35
135
2
Idx
xxx
=++⋅⋅
ò
ĐS:
35
24
925
() .
24
Fx x x x C=+ + +
……………………………………………………………………………………………………………
………….
u)
2
4sin .Ixdx=⋅
ò
ĐS:
2sin2 .Ix xC=- +
……………………………………………………………………………………………………………
………….
v)
1cos4
.
2
x
Idx
+
=⋅
ò
ĐS:
sin 4
.
28
xx
IC=+ +
……………………………………………………………………………………………………………
………….
w)
1
(3 cos 3 )
x
Ixdx
-
=-⋅⋅
ò
ĐS:
1
3
3sin .
ln 3
x
Ix C
-
=-+
……………………………………………………………………………………………………………
………….
x)
2
(tan 2cot ) . .Ixxdx=-
ò
ĐS: tan 4 cot 9 .Ix xxC=- -+
……………………………………………………………………………………………………………
………….
y)
3
.( 4). .Iuudu=-
ò
ĐS:
33
74
3
3.
7
IuuC=-+
……………………………………………………………………………………………………………
………….
BT2. Chứngminh
()Fx
làmộtnguyênhàmcủahàmsố
()
f
x
trongcáctrườnghợpsau:
Phươngpháp:Để
()Fx
làmộtnguyênhàm củahàmsố
(),
f
x
tacầnchứngminh:
() ().Fx fx
¢
=
a)
32
( ) 5 4 7 120Fx x x x=+-+
và
2
() 15 8 7.fx x x=+-
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
b)
2
() ln( 3)Fx x x=++
và
2
1
() .
3
fx
x
=
+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
c)
() (4 5)
x
Fx x e=-⋅
và
() (4 1) .
x
fx x e=-⋅
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
d)
4
() tan 3 5Fx x x=+-
và
53
( ) 4 tan 4 tan 3.fx x x=++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
e)
2
2
4
() ln
3
x
Fx
x
æö
+
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
+
èø
và

22
2
() .
(4)(3)
x
fx
xx
-
=
+⋅ +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
f)
2
2
21
() ln
21
xx
Fx
xx
-+
=
++
và

2
4
22( 1)
() .
1
x
fx
x
-
=
+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
BT3. Tìmnguyênhàmcủacáchàmsốthỏamãnđiềukiệnchotrướctrongcáctrường
hợpsau:
Phươngpháp:Tìmnguyênhàmcủahàmsố
(),
f
x
tứcđitính
() () .fx dx Fx C⋅= +
ò
Rồisauđóthế ()
o
Fx C+=⋅⋅⋅đểtìmhằngsố
.C
a)
3
() 4 5, (1) 3.fx x x F=-+ =ĐS:
4
2
5
() 5
44
x
Fx x x=-+-⋅
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
b)
() 3 5cos , () 2.
f
xxFp=- =
ĐS:
() 3 5sin 2 3.Fx x x p=- +-
Trang 49
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
c)
2
35
() , () 1.
x
fx Fe
x
-
==
ĐS:
22
55
() 3ln 2.
22
xe
Fx x=-+-
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
d)
2
13
() , (1)
2
x
fx F
x
+
==⋅
ĐS:
2
() ln 1.
2
x
Fx x=+ +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
e)
1
() , (1) 2.fx x x F
x
=+ =-
ĐS:
5
222
() 2
55
Fx x x=+-⋅
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
f)
sin 2 .cos . ,Ixxdx=
ò
biết
0.
3
F
p
æö
÷
ç
¢
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ĐS:
11 7
() cos cos
6212
Fx x x=- - + ⋅
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
g)
43
2
325
,
xx
Idx
x
-+
=⋅
ò
biết
(1) 2.F =
ĐS:
32
5
() 7.Fx x x
x
=--+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
h)
32
2
337
,
(1)
xxx
Idx
x
++-
=⋅
+
ò
biết
(0) 8.F =
ĐS:
2
8
()
21
x
Fx x
x
=++ ⋅
+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
i)
2
sin ,
2
x
Idx=⋅
ò
biết
24
F
pp
æö
÷
ç
÷
=⋅
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ĐS:
sin 1
()
222
xx
Fx =+ -⋅
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
j)
1
,Ixx dx
x
æö
÷
ç
÷
=⋅+⋅
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
biết
7
(1)
2
F =⋅
ĐS:
2
1
() 3 3ln 1.
2
x
Fx x x
x
-+ + + +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
k)
2
2
2cos 1
,
cos
x
Idx
x
-
=⋅
ò
biết
42
F
pp
æö
÷
ç
÷
=⋅
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ĐS:
() 2 tan 1.Fx x x=- +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
BT4. Tìmđiềukiệncủathamsốmhoặca,b,cđể
()Fx
làmộtnguyênhàmcủahàmsố
():
f
x

Phươngpháp:Để
()Fx
làmộtnguyênhàmcủahàmsố
() () ().fx F x fx
¢
=
Từđó,
tasửdụngđồngnhấtthứcđểtìmrathamsốcầntìm.
a)
32
2
() (3 2) 4 3
() 3 10 4
Fx mx m x x
fx x x
ì
ï
=++-+
ï
ï
⋅
í
ï
=+-
ï
ï
î
ĐS:
1.m =
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
b)
2
2
() ln 5
23
()
35
Fx x mx
x
fx
xx
ì
ï
=-+
ï
ï
ï
⋅
í
+
ï
=
ï
ï
++
ï
î
ĐS:
3.m =-
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
c)
2
() ( )
() ( 3)
x
x
Fx ax bx c e
fx x e
ì
ï
=++⋅
ï
ï
⋅
í
ï
=-⋅
ï
ï
î
ĐS:
0, 1, 4.abc===-
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
d)
22
22
() ( )
() (2 8 7)
x
x
Fx ax bx c e
fx x x e
-
-
ì
ï
=++⋅
ï
ï
⋅
í
ï
=- - + ⋅
ï
ï
î
ĐS:
1, 3, 2 .ab c==-=
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
e)
2
2
() ( )
() ( 3 2)
x
x
Fx ax bx c e
fx x x e
-
-
ì
ï
=++⋅
ï
ï
⋅
í
ï
=-+⋅
ï
ï
î
ĐS:
1, 1, 1 .abc=- = =-
........ ................................................................................................................................................................................
Trang 51
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
f)
( ) ( 1)sin sin 2 sin 3
23
() cos
bc
Fx a x x x
fx x
ì
ï
ï
=+ + +
ï
ï
⋅
í
ï
ï
=
ï
ï
î
ĐS:
0.abc===
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
g)
2
2
() ( ) 2 3
20 30 7
()
23
Fx ax bx c x
xx
fx
x
ì
ï
=++⋅-
ï
ï
ï
⋅
í
-+
ï
=
ï
ï
-
ï
î
ĐS:
4, 2, 1.ab c==-=
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
h)
2
() 3 , ( 3)
() ( ) 3
fx x x x
Fx ax bx c x
ì
ï
=- £
ï
ï
⋅
í
ï
=++⋅-
ï
ï
î
ĐS:
2212
; ;
55 5
ab c==-=-⋅
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
C‐BÀITẬPTRẮCNGHIỆM
NHÓM1:DÙNGBẢNGNGUYÊNHÀM
Câu1. Nguyênhàmcủahàmsố
()
3
32fx x x=++
làhàmsốnàotrongcáchàmsố
sau?
A.
()
42
3
2
42
xx
Fx x C=+ ++
. B.
()
4
2
32
3
x
Fx x x C=+ ++.
C.
()
42
2
42
xx
Fx x C=+++. D.
()
2
33Fx x x C=++.
Câu2. Hàm số
()
32
5 4 7 120Fx x x x C=+-++
là họ nguyên hàm của hàm số nào
sauđây?
A.
()
2
15 8 7fx x x=+-
. B.
()
2
547fx x x=++
.
C.
()
232
547
432
xxx
fx=+-
. D.
()
2
547fx x x=+-
.
Câu3. Họnguyênhàmcủahàmsố:
2
1
3yx x
x
=-+
là
A.
()
3
2
3
ln
32
x
Fx x x C=- + +
. B.
()
3
2
3
ln
32
x
Fx x x C=- + +
.
C.
()
3
2
3
ln
32
x
Fx x x C=+ + +
. D.
()
2
1
23Fx x C
x
=--+
.
Câu4. Tìmnguyênhàmcủahàmsố
() ( )( )
12fx x x=+ +
A.
()
3
2
3
2
32
x
Fx x x C=+ ++
. B.
()
3
2
2
2
33
x
Fx x x C=+ ++
.
C.
()
23Fx x C=++
. D.
()
3
2
2
2
33
x
Fx x x C=- ++
.
Câu5. Nguyênhàm
()
Fxcủahàmsố
()
2
223
52
fx
xx
x
=++
-
làhàmsốnào?
A.
()
3
ln 5 2 2 lnFx x x C
x
=- - + - +
. B.
()
3
ln 5 2 2 lnFx x x C
x
=- - + + +
.
C.
()
3
ln 5 2 2 lnFx x x C
x
=-+ -+
. D.
()
3
ln 5 2 2 lnFx x x C
x
=- - - + +
.
Câu6. Mộtnguyênhàmcủahàmsố
32
() 3 5fx x x=- +
là
A.
2
36xx- B.
2
36xxC-+ C.
4
3
5
4
x
xxC-++
D.
43
5xx xC-++
Câu7. Mộtnguyênhàmcủahàmsố
42
() 5 4 6gx x x=- + - là:
A.
53
4
6
3
xxxC-+ - +
B.
3
20 8xxC-++ C.
3
20 8xx-+ D.
53
4
3
xxC-+ +
Câu8. Mộtnguyênhàmcủahàmsố
()
4
() 3fx x=-
là
A.
()
4
3
4
x -
B.
()
3
43x -
C.
()
5
3
5
x -
D.
()
3
3
3
x -
Câu9. Mộtnguyênhàmcủahàmsố
32
() 3 5fx x x=- +là
A.
2
36xx- B.
2
36xxC-+ C.
4
3
5
4
x
xxC-++ D.
43
5xx xC-++
Câu10. Mộtnguyênhàmcủahàmsố
42
() 5 4 6gx x x=- + - là:
A.
53
4
6
3
xxxC-+ - +
B.
3
20 8xxC-++ C.
3
20 8xx-+ D.
53
4
3
xxC-+ +
Trang 53
Câu11. Mộtnguyênhàmcủahàmsố
()
4
() 3fx x=-
là:
A.
()
4
3
4
x -
B.
()
3
43x -
C.
()
5
3
5
x -
D.
()
3
3
3
x -
Câu12. Tính
2
1
32xdx
x
æö
÷
ç
÷
+-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
A.
3
ln 2
3
x
xxC+-+
B.
3
2
1
2xxC
x
--+
C.
3
lnxxC++
D.
3
ln 2xxxC+-+
Câu13. Cho
32
() 3 2fx x x x=- + -
.Mộtnguyênhàm
()Fx
của
()fx
thỏa
()
10F =
là:
A.
4
32
1
44
x
xx-+-+
B.
4
32
1
44
x
xx-+--
C.
4
32
1
4
x
xx-+-- D.
4
32
1
4
x
xx-+-+
Câu14. Gọi
()Fx
làtậphợptấtcảcácnguyênhàmcủahàmsố
2
() 3 2 1fx x x=-+
thì
()Fx là:
A.
32
() 3 2Fx x x x C=-++ B.
32
() 1Fx x x C=-++
C.
2
() ( 1)Fx xx x C=-++ D.
32
11
()
32
Fx x x x C=-++
Câu15. Kếtquảcủa
()
2
1xx dx+
ò
bằng:
A.
()
3
2
1
()
3
x
Fx C
+
=+
B.
()
3
2
1
()
6
x
Fx C
+
=+
C.
23
()
23
xx
Fx x C
æö
÷
ç
÷
=++
ç
÷
ç
÷
ç
èø
D.
()
2
3
2
() 1
6
x
Fx x C=++
Câu16. Mộtnguyênhàm
()
Fx
củahàmsố
1
()fx
x
=
là:
A.
2
1
()Fx
x
=-
B.
2
1
()Fx
x
=
C.
() lnFx x=
D.
1
()Fx
x
=-
Câu17. Tìmhọnguyênhàm
()
Fx
củahàmsố
2
() 3sinfx x
x
=+
,tađượckếtquảlà:
A.
() 3cos 2lnFx x x C=++ B. () 3cos 2lnFx x x C=- + +
C.
() 3cos 2lnFx x x C=-+
D.
( ) 3cos 2lnFx x x C=- - +
Câu18. Tìmhọnguyênhàm
()
Fx
củahàmsố
()
2
3– 3
x
fx x=
,tađượckếtquảlà:
A.
3
3
()
ln 3
x
Fx x C=- + B.
3
3
()
ln 3
x
Fx x C=+ +
C.
3
3
()
3ln3
x
x
Fx C=- +
D.
3
3
()
3ln3
x
x
Fx C=+ +
Câu19. Tính
()
9
1 xdx-
ò
,tađượckếtquảlà:
A.
()
10
1
() 1
10
Fx x C=-+
B.
()
10
1
() 1
10
Fx x C=- - +
C.
()
10
1
() 1
10
Fx x C=++
D.
()
10
1
() 1
10
Fx x C=- + +
Câu20. Tìmnguyênhàm
()
Fx
củahàmsố
() ( )
2
2fx xx=+
,tađượckếtquảlà:
A.
4
32
4
() 2
43
x
Fx x x C=+ + +
B.
4
2
() 2
4
x
Fx x C=+ +
C.
3
2
() 2
3
x
Fx x C=+ + D.Kếtquảkhác.
Câu21. Họnguyênhàmcủa
2
() 2 1fx x x=-+là:
A.
3
1
() 2
3
Fx x x C=-++
B. () 2 2Fx x C=-+
C.
32
1
()
3
Fx x x x C=-++
D.
32
1
() 2
3
Fx x x x C=-++
Câu22. Nguyênhàmcủahàmsố
3
() (2 1)fx x=+là:
A.
4
1
(2 1)
2
xC++
B.
4
(2 1)xC++
C.
4
2(2 1)xC++
D.Kếtquả
khác
Câu23. Nguyênhàmcủahàmsố
5
() (1 2)fx x=- là:
A.
6
1
(1 2 )
12
xC--+
B.
6
(1 2 )xC-+ C.
6
5(1 2 )xC-+ D.
4
5(1 2 )xC-+
Câu24. Nguyênhàmcủahàmsốf(x)= 
2
3
2x
x
+
là:
A.
2
3
xC
x
-+
B.
2
2
3
xC
x
++
C.
22
3lnxxC++ D.Kếtquả
khác
Câu25. Tìmhàmsố
(
)
fx
biếtrằng
(
)
’21fx x=+
và
(
)
15f =
A.
2
3xx++ B.
2
3xx+- C.
2
xx+ D.Kếtquả
khác
Câu26. Tìmhàmsố
()yfx= biết
2
() ( )( 1)fx x xx
¢
=- +và (0) 3f =
A.
42
() 3
42
xx
yfx==-+ B.
42
() 3
42
xx
yfx==--
C.
42
() 3
42
xx
yfx==++
D.
2
() 3 1yfx x==-
Trang 55
Câu27. Cho
2
() 3 2 3fx x x=+-
cómộtnguyênhàmtriệttiêukhi
1x =
.Nguyênhàm
đólàkếtquảnàosauđây?
A.
32
() 3Fxxx x=+- B.
32
() 3 1Fxxx x=+-+
C.
32
() 3 2Fx x x x=+-+
D.
32
() 3 1Fx x x x=+--
Câu28. Tìmhàmsố
(
)
fx
biếtrằng
2
'( ) , '(1) 0, (1) 4, ( 1) 2
b
fx ax f f f
x
=+ = = -=
A.
2
15
22
x
x
++
B.
2
15
22
x
x
-+
C.
2
15
22
x
x
+-
D.Kếtquả
khác
Câu29. Mộtnguyênhàmcủahàmsố
()
2
3
2fx x x
x
=+-
là
A.
()
3
3
4
3ln
33
x
Fx x x=+ -
 C.
()
3
3
3
3ln
34
x
Fx x x=+ -

B.
()
3
3
34
33
x
Fx x
x
=-+
 D.
()
3
3
4
3ln
33
x
Fx x x=+ +

Câu30. Mộtnguyênhàmcủahàmsố
() ( )
4
3fx x=-
là:
A.
()
4
3
()
4
x
Fx
-
=
B.
()
3
() 4 3Fx x=-
C.
()
5
3
()
5
x
Fx
-
=
D.
()
3
3
()
3
x
Fx
-
=
Câu31. Nguyênhàm
()
Fx
của
()
32
32fx x x x-+ -
thỏamãn
()
10F =
là:
A.
()
4
32
1
44
x
Fx x x=- + - +
B.
()
4
32
1
44
x
Fx x x=- + - -

C.
()
4
32
1
4
x
Fx x x=- + - - D.
()
4
32
1
4
x
Fx x x=- + - +
NHÓM2:HÀMSỐVÔTỶ(CHỨACĂN)
Câu32. Nguyênhàmcủahàmsố
1
()
2x 1
fx =
-
là
A.
()
x2x1fxd C=-+
ò
. B.
(
)
x22x1fxd C=-+
ò
.
C.
()
2x 1
x
2
fxd C
-
=+
ò
. D.
()
x22x1fxd C=- - +
ò
.
Câu33. Tìmnguyênhàmcủahàmsố
1
()
3
fx
x
=
-
.
A.
(
)
x23fxd x C=- - +
ò
. B.
(
)
x3fxd x C=- - +
ò
.
C.
()
x23fxd x C=-+
ò
. D.
(
)
x33fxd x C=- - +
ò
.
Câu34. Tìmnguyênhàmcủahàmsố
() 2x 1fx =+
.
A.
() ()
1
x2x12x1
3
fxd C=+ ++
ò
. B.
() ()
2
x2x12x1
3
fxd C=+ ++
ò
.
C.
()
1
x2x1
3
fxd C=- + +
ò
. D.
()
1
x2x1
2
fxd C=++
ò
.
Câu35. Tìmnguyênhàmcủahàmsố
() 5 3xfx =-
.
A.
() ()
2
x53x53x
9
fxd C=- - - +
ò
. B.
() ()
2
x53x53x
3
fxd =- - -
ò
.
C.
() ()
2
x53x53x
9
fxd =- -
ò
. D.
()
2
x53x
3
fxd C=- - +
ò
.
Câu36. Tìmnguyênhàmcủahàmsố
3
() 2fx x=-
.
A.
() ()
3
3
x22
4
fxd x x C=- -+
ò
. B.
() ()
3
3
x22
4
fxd x x C=- - - +
ò
.
C.
() ()
2
x22
3
fxd x x=- -
ò
. D.
() ()
2
3
1
x2
3
fxd x C
-
=-+
ò
.
Câu37. Tìmnguyênhàmcủahàmsố
3
() 1 3xfx =-.
A.
() ()
3
1
x13x13x
4
fxd C=- - - +
ò
. B.
() ()
3
3
x13x13x
4
fxd C=- - - +
ò
.
C.
() ()
3
1
x13x13x
4
fxd C=- -+
ò
. D.
(
)
(
)
2
3
x13xfxd C
-
=- - +
ò
.
Câu38. Hàmsố
() ( )
2
1 1 2016Fx x x=+ ++
làmộtnguyênhàmcủahàmsốnàosau
đây?
A.
() ()
5
11
2
fx x x=+ +
B.
() ()
5
11
2
fx x x C=+ ++
C.
() ()
2
11
5
fx x x=+ +
D.
(
)
(
)
11fx x x C=+ ++
Câu39. Biết một nguyên hàm của hàm số
()
1
1
13
fx
x
=+
-
là hàm số
()
Fxthỏa
mãn
()
2
1
3
F -=
.Khiđó
()
Fx
làhàmsốnàosauđây?
A.
()
2
13x 3
3
Fx x=- - +
B.
()
2
13x 3
3
Fx x=- - -
C.
()
2
13x 1
3
Fx x=- - +
D.
()
2
413x
3
Fx =- -
Trang 57
Câu40. Biết
() 6 1Fx x=-
làmộtnguyênhàmcủahàmsố
()
1
a
fx
x
=
-
.Khiđógiá
trịcủa
a
bằng
A.
3- . B.3 . C.6 . D.
1
6
.
Câu41. Tính
11
2
dx
x
æö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
A.
22
xx
C-+
B.
2
2
x
xC-+
C.
11
2
2
xC
x
-+
D.
2
2
x
C
x
-+
Câu42. Chohàmsố
()
1
1fx
x
=+
.Khiđó:
A.
()
2
1
fxdx C
x
=- +
ò
B.
()
lnfxdx x x C=+ +
ò
C.
()
2
1
fxdx x C
x
=- +
ò
D.
()
2
11
1
2
fxdx
x
æö
÷
ç
÷
=+
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
Câu43. Gọi
()Fx
làtậphợptấtcảcácnguyênhàmcủahàmsố
1
()
12
fx
x
=
-
thì
()Fx
là:
A.
1
() ln1 2
2
Fx x C
-
=-+
B.
1
() ln1 2
2
Fx x C=-+

C.
() ln1 2Fx x C=-+
D.
2
()
x
Fx C
xx
=+
-
Câu44. Tìmmộtnguy ênhàmF(x)củahàmsố
() 3 4fx x=+
biết (0) 2F = .Kếtquả
là:
A.
()
3
22
() 3 4
99
Fx x=++
B.
()
3
22
() 3 4
99
Fx x=+-
C.
()
3
210
() 3 4
33
Fx x=++
D.
()
3
210
() 3 4
33
Fx x=+-
Câu45. Tìmnguyênhàm
3
2
4
xdx
x
æö
÷
ç
÷
+
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
A.
3
5
5
4ln
3
xxC++
B.
3
5
3
4ln
5
xxC-+ +
C.
3
5
3
4ln
5
xxC-+
D.
3
5
3
4ln
5
xxC++
Câu46. Hàm số nào sauđây là một nguyên hàm của hàm số
2
()fx x k=+
với
0?k ¹
A.
22
() ln
22
xk
fx x k x x k=++++
B.
22
1
() ln
22
x
fx x k x x k=++++
C.
2
() ln
2
k
fx x x k=++
D.
2
1
()fx
xk
=
+
Câu47. Trongcáchàmsốsau:
(I)
2
() 1fx x=+
(II)
2
() 1 5fx x=++

(III)
2
1
()
1
fx
x
=
+
(IV)
2
1
() -2
1
fx
x
=
+
Hàmsốnàocómộtnguyênhàmlàhàmsố
2
() ln 1Fx x x=++
A.Chỉ(I) B.Chỉ(III) C.Chỉ(II) D.Chỉ(III)
và(IV)
Câu48. Mộtnguyênhàmcủahàmsố
2
3
1
()fx x
x
æö
÷
ç
÷
=+
ç
÷
ç
÷
ç
èø
làhàmsốnàosauđây:
A.
36
25
312
() ln
55
Fx x x x x=++
B.
3
3
11
()
3
Fx x
x
æö
÷
ç
÷
=+
ç
÷
ç
÷
ç
èø
C.
()
2
3
()Fx x x x=+ D.
35
26
312
() ln
55
Fx x x x x=++
Câu49. Nguyênhàm
()
2017x
xx e dx+
ò
=
A.
2017
2
5
2 2017
x
e
xx C++
B.
2017
3
2
5 2017
x
e
xx C++
C.
2017
2
3
5 2017
x
e
xx C++
D.
2017
2
2
5 2017
x
e
xx C++
NHÓM3:HÀMSỐLƯỢNGGIÁC
Câu50. Tìmnguyênhàmcủahàmsố
() cos3
6
fx x
æö
÷
ç
÷
=+
ç
÷
ç
÷
ç
èø
p
.
A.
1
() sin3
36
fxdx x C
æö
÷
ç
÷
=++
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
p
. B.
(). sin3
6
fx dx x C
æö
÷
ç
÷
=++
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
p
.
C.
1
() sin3
36
fxdx x C
æö
÷
ç
÷
=- + +
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
p
. D.
1
() sin3
66
fxdx x C
æö
÷
ç
÷
=++
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
p
.
Câu51. Tìmnguyênhàmcủahàmsố
2
1a)
2
(tnfx
x
+=
.
A.
() 2tan
2
x
fxdx C=+
ò
. B.
() tan
2
x
fxdx C=+
ò
.
C.
1
() tan
22
x
fxdx C=+
ò
. D.
() 2tan
2
x
fxdx C=- +
ò
.
Trang 59
Câu52. Tìmnguyênhàmcủahàmsố
2
1
()
sin
3
fx
x
=
æö
÷
ç
÷
+
ç
÷
ç
÷
ç
èø
p
.
A.
() cot
3
fxdx x C
æö
÷
ç
÷
=- + +
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
p
. B.
1
() cot
33
fxdx x C
æö
÷
ç
÷
=- + +
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
p
.
C.
() cot
3
fxdx x C
æö
÷
ç
÷
=++
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
p
. D.
1
() cot
33
fxdx x C
æö
÷
ç
÷
=++
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
p
.
Câu53. Tính
()
sin cosxxdx-
ò
A.
cos sinxxC--+
B.
cos sinxxC-++
C.
cos sinxxC-+
D.
cos sinxxC++
Câu54. Mộtnguyênhàmcủahàmsố
2
2
()
cos
fx
x
=
là:
A.
2tanxC+
B.
2cotxC+
C.
2sinxC+
D.
2cosxC+
Câu55. Mộtnguyênhàmcủahàmsố
2
1
() 3
sin
fx
x
=-
là:
A.
3tanxxC-+
B.
3tanxxC++
C.
3cotxxC++
D.
3cotxxC-+
Câu56. Cho
() sin cosfx x x=-.Mộtnguyênhàm ()Fx của ()fxthỏa
0
4
F
æö
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
p
là:
A.
cos sin 2xx--+
B.
2
cos sin
2
xx--+
C.cos sin 2xx-+ D.
2
cos sin
2
xx-+
Câu57. Cho hàm số
() 2 sin 2cosfx x x x=+ + . Một nguyên hàm ()Fx của ()fxthỏa
(0) 1F = là:
A.
2
cos 2 sinxx x-+ B.
2
cos 2 sin 2xxx++ +
C.
2cos 2sinxx++
D.
2
cos 2 sin 2xxx++ -
Câu58. Mộtnguyênhàmcủahàmsố
2
() tanfx x= là:
A.
3
tan
3
x
B.
3
2
tan 1
.
3
cos
x
x
C.tan xx- D.
3
2sin
cos
x
x
Câu59. Mộtnguyênhàmcủahàmsố
44
() cos sinfx x x=-là:
A.
cos 2x
B.
1
sin 2
2
x
C.
2sin2x
D.
2
cos x
Câu60. Hàmsốnàodướiđâylàmộtnguyênhàmcủahàmsố
44
() sin cosfx x x=+?
A.
1
sin 4
4
xx+
B.
1
sin 4
4
xx+
C.
31
sin 4
416
xx+
D.
31
cos 4
44
xx-
Câu61. Mộtnguyênhàmcủahàmsố
()
2
sin 2 3fx x x=+
là:
A.
(
)
cos 2 6Fx x x=+
B.
()
1
cos 2 6
2
Fx x x=+

C.
()
3
1
cos 2
2
Fx x x=- +
D.
()
3
1
cos 2
2
Fx x x=- -
Câu62. Hàmsốnàosauđâylànguyênhàmcủahàmsố
()
2sin2fx x=
?
A.
(
)
2
sinFx x=
B.
()
2cos2Fx x=
C.
()
1
cos2
2
Fx x=
D.
(
)
cos2Fx x=-
Câu63. Hàmsố () sinfx x= cómộtnguyênhàmlà:
A.
() cosFx x C=+ B. () sinFx x C=+
C.
() cos 1Fx x=- +
D.
() sinFx x C=- +
Câu64. Biết
()
2
() 1 tanFx x dx=+
ò
khiđó
()Fx
là:
A.
2
1
()
cos
Fx C
x
=+
B. () tanFx x C=+
C.
() tanFx x C=- +
D.
() cotFx x C=+
Câu65. Gọi
()Fx làtậphợptấtcảcácnguyênhàmcủahàmsố () sin2fx x= thì ()Fx là:
A.
() cos2Fx x C=+ B. () sin2Fx x C=+
C.
() cos2Fx x C=- + D. () sin2Fx x C=- +
Câu66. Gọi
1
()Fxlà nguyên của hàm số
2
1
() sinfx x=
thỏa mãn
1
(0) 0F = và
2
()Fxlà
nguyên của hàm số
2
2
() sinfx x=
thỏa mãn
2
(0) 0F = . Khiđó phương trình
12
() ()Fx Fx= cónghiệmlà:
A.
,
2
xkkZ=+ Î
p
p
B.
,
2
xkkZ=Î
p
C. ,xkkZ=Îp D.
2,xkkZ=Îp
Câu67. Nguyênhàmcủahàmsố:
2
cos .sinyxx=
là:
A.
3
1
cos
3
xC+
B.
3
cos xC-+ C.
3
1
sin
3
xC+
D.Đápán
khác.
Câu68. Mộtnguyênhàmcủahàmsố:
cos 5 .cosyxx= là:
A.
()
cos 6Fx x=
B.
()
sin 6Fx x=
C.
11 1
sin 6 sin 4
26 4
xx
æö
÷
ç
÷
+
ç
÷
ç
÷
ç
èø
D.
1 sin 6 sin 4
26 4
xx
æö
÷
ç
÷
-+
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Câu69. Mộtnguyênhàmcủahàmsố: sin 5 .cos 3yxx= là:
Trang 61
A.
1 cos 6 cos2
28 2
xx
æö
÷
ç
÷
-+
ç
÷
ç
÷
ç
èø
B.
1 cos 6 cos2
28 2
xx
æö
÷
ç
÷
+
ç
÷
ç
÷
ç
èø
C.
cos 8 cos 2xx+
D.Đápánkhác.
Câu70. Tìmhọnguyênhàm
()
Fx
củahàmsố
()
cosfx x=
,tađượckếtquảlà:
A.
(
)
sinFx x C=+ B.
()
sin
Fx x C=- +
C.
()
cosFx x C=+
D.
(
)
cosFx x C=- +
Câu71. Kếtquảnàosauđâylàmộtnguyênhàmcủahàmsố
()
cosfx x=
biếtnguyên
hàmnàytriệttiêukhi
2
x =
p
?
A.
()
sin
Fx x=
B.
(
)
sin
Fx x=-
C.
()
sin 1
Fx x=+
D.
()
sin 1Fx x=-
Câu72. Tính
()
2
1
cos 3 1
dx
x -
ò
,tađượckếtquảlà:
A.
(
)
(
)
tan 3 – 1Fx x C=+
B.
() ( )
cot 3 – 1Fx x C=+
C.
() ()
1
tan 3 – 1
3
Fx x C=+
D.
() ()
1
cot 3 – 1
3
Fx x C=+
Câu73. TìmmộtnguyênhàmF(x)củahàmsố
()
2
tanfx x=
biết
1
4
F
æö
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
p
.Kếtquảlà:
A.
() tan
4
Fx x x=-+
p
B.
() tan
4
Fx x x=--
p

C.
() tan
4
Fx x x=- +
p
D.
() tan
4
Fx x x=- -
p
Câu74. Tính
sin(3 1)xdx-
ò
,kếtquảlà:
A.
1
cos(3 1)
3
xC--+
B.
1
cos(3 1)
3
xC-+
C. cos(3 1)xC--+ D.Kếtquả
khác
Câu75. Tìm
(cos 6 cos 4 )xxdx-
ò
là:
A.
11
sin 6 sin 4
64
xxC-+ +
B.
6sin6 5sin4xxC-+
C.
11
sin 6 sin 4
64
xxC-+
D.
6 sin 6 sin 4xxC-++
Câu76. Trongcáchàmsốsau:
(I)
2
() tan 2fx x=+ (II)
2
2
()
cos
fx
x
=
(III)
2
() tan 1fx x=+
Hàmsốnàocómộtnguyênhàmlàhàmsốg(x)=tanx
A.(I),(II),(III) B.Chỉ(II),(III) C.Chỉ(III) D.Chỉ(II)
Câu77. Nguyênhàmcủahàmsố
()
2sin3 cos2fx x x=
A.
1
cos 5 cos
5
xxC--+
B.
1
cos 5 cos
5
xxC++
C.
5 cos 5 cosxxC++
D.Kếtquảkhác
Câu78. Lựachọnphươngánđúng:
A.
cot ln sinxdx x C=+
ò
B.
sin cosxdx x C=+
ò

C.
2
11
dx C
x
x
=+
ò
D. cos sinxdx x C=- +
ò
Câu79. Tìmnguyênhàm
2
(1 sin )xdx+
ò
A.
21
2cos sin2
34
xx xC+- +
B.
21
2cos sin2
34
xx xC-+ +
C.
21
2cos2 sin2
34
xxxC--+
D.
21
2cos sin2
34
xx xC-- +
Câu80. Trongcácmệnhđềsauđây,mệnhđềnàosai?
23
2
2
11
( ) sin sin 3 (sin 2 - sin 4 )
42
1
() tan tan
3
11
() ln( 2 3)
2
23
Ixxdx x xC
II xdx x C
x
III dx x x C
xx
=+
=+
+
=+++
++
ò
ò
ò
A.Chỉ(I)và(II) B.Chỉ(III) C.Chỉ(II)và(III) D.Chỉ(II)
Câu81. Tìm
3
(sin 1) cosxxdx+
ò
là:
A.
4
(cos 1)
4
x
C
+
+
B.
4
sin
4
x
C+
C.
4
(sin 1)
4
x
C
+
+
D.
3
4(sin 1)xC++
Câu82. Xétcácmệnhđề
(I)
() cosFx x x=+ làmộtnguyênhàmcủa
2
() sin -cos
22
xx
fx
æö
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
(II)
4
() 6
4
x
Fx x=+
làmộtnguyênhàmcủa
3
3
()fx x
x
=+
(III)
() tanFx x= làmộtnguyênhàmcủa () -lncosfx x=
Mệnhđềnàosai?
A.(I)và(II) B.Chỉ(III) C.Chỉ(II) D.Chỉ(I)và
(III)
Câu83. Tìm
3
sin
2
x
dx
ò
.
A.
23
() cos
32
x
Fx C=- +
B.
23
() cos
32
x
Fx C=+
C.
33
() cos
22
x
Fx C=- +
D.
33
() cos
22
x
Fx C=+
Câu84. Nguyênhàmcủahàmsố
3
sin .cosyxx= là:
Trang 63
A.
4
1
() sin
4
Fx x C=+
B.
4
1
() sin
4
Fx x C=- +
C.
4
1
() cos
4
Fx x C=+
D.
4
1
() cos
4
Fx x C=- +
Câu85. Nguyênhàm
()
Fx
củahàmsố
(
)
2
tanfx x=
thỏamãn
()
03F =
là:
A.
()
tan 3fx x x=-+
B.
()
tan 3fx x x=--
C.
()
tan 3fx x x=++
D.
()
tan 3fx x x=+-
Câu86. Nếu
()
2
cos
4
fx x
æö
÷
ç
¢
÷
=+
ç
÷
ç
÷
ç
èø
p
và
()
13
0
4
f =
thì:
A.
()
11
cos 2 3
22
fx x x
æö
÷
ç
÷
=+ +
ç
÷
ç
÷
ç
èø
B.
()
1
cos 2 4
2
fx x x=- +
C.
()
7
sin
2
fx x=+
 D.
()
1
cos 2 3
2
fx x=+

Câu87. Nguyênhàmcủahàmsố
(
)
sin cos 1yfx x x==+-
là:
A.
(
)
sin cosFx x x C=-+
B.
()
sin cosFx x x x C=--+
C.
()
cos sinFx x x x C=+-+
D.
()
sin cosFx x x x C=+-+
Câu88. Kếtquảnàosaitrongcáckếtquảsau?
A.
sin .cos cos .sinxxdx xxC=- +
ò
B.
1
sin .cos cos 2
2
xxdx xC
-
=+
ò
C.
3
2
cos
cos .sin
3
x
xxdx C
-
=+
ò
D.
3
2
sin
sin .cos
3
x
xxdx C=+
ò
Câu89. Kếtquảnàosaitrongcáckếtquảsau?
A.
11 1
cos 3 .cos sin 4 sin 2
24 2
xxdx x xC
æö
÷
ç
÷
=++
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò

B.
11 1
sin 3 .cos cos 4 cos 2
24 2
xxdx x xC
æö
-
÷
ç
÷
=++
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
C.
1
sin3 .cos cos3 .sin
3
xxdx xxC
-
=+
ò

D.
cos 2
sin .cos
4
x
xxdx C
-
=+
ò
Câu90. Nguyênhàmcủahàmsố:y=
22
cos 2
sin .cos
x
dx
xx
ò
là:
A.
(
)
cos – sin
Fx x x C=- +
B.
(
)
cos sin
Fx x x C=++
C.
()
cot – tan
Fx x x C=+
D.
(
)
cot – tan
Fx x x C=- +
Câu91. Tìmnguyênhàm 2sin3 cos2 .xxdx
ò
?
A.
()
1
cos 5 cos
5
xxFx C--+=
B.
()
11
cos 5 cos
32
FxxxC--=+
C.
()
11
cos 5 cos
23
xCFxx =- - +
D.
()
1
cos 5 cos
5
xxCFx =-+
Câu92. Tìmnguyênhàm:
2
sin 2xdx
ò
A.
11
sin 4
28
xxC++
B.
3
1
sin 2
3
xC+
C.
11
sin 4
28
xxC-+
D.
11
sin 4
24
xxC-+
Câu93. Tìmnguyênhàm
22
1
sin . cos
dx
xx
ò
=
A.
2tan2xC+
B.2
cot2xC+
C.4
cot2xC+
D.2
cot2xC+
Câu94. Kếtquảnàosaitrongcáckếtquảsau?
A.
2
1
cos 2 sin 4
28
x
xdx x C=+ +
ò
B.
2
1
sin 2 sin 4
28
x
xdx x C=- +
ò
C.
1
cos 4 sin 4
4
xdx x C=+
ò
D.
22
sin 2 cos 2xdx x C=- +
ò
Câu95. Kếtquảnàosaitrongcáckếtquảsau?
A.
2
cot cotxdx x x C=- - +
ò
B.
2
tan tanxdx x x C=-+
ò
C.
3
2
tan
tan
3
x
xdx C=+
ò
D.
2
1sin2
sin
22
x
xdx x C
æö
÷
ç
÷
=- +
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
Câu96. Tìmhàmsố
(
)
fx
biết
(
)
'sincosfx x x=-
và
0
4
f
æö
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
p
.
A.
()
cos sin 2fx x x=- - +
` B.
()
cos sin 2fx x x=-+
C.
()
2
cos sin
2
fx x x=-+
 D.
()
2
cos sin
2
fx x x=--
Câu97. Tìmnguyênhàm
(
)
2
1sinxdx+
ò
A.
2sin2
2cos
34
xx
xC--+
B.
2sin2
2cos
34
xx
xC+-+
C.
2sin2
2cos
34
xx
xC-++
D.
2sin2
2cos2
34
xx
xC--+
NHÓM4:HÀMSỐMŨ,LOGARIT
Câu98. Tìmnguyênhàmcủahàmsố
()
xx
fx e e
-
=-
.
A.
()
x
xx
fxd e e C
-
=+ +
ò
. B.
(
)
x
xx
fxd e e C
-
=- + +
ò
.
C.
()
x
xx
fxd e e C
-
=- +
ò
. D.
()
x
xx
fxd e e C
-
=- - +
ò
.
Câu99. Tìmnguyênhàmcủahàmsố
2x
() 2.3
x
fx
-
= .
Trang 65
A.
()
21
x.
9ln2ln9
x
fxd C
æö
÷
ç
÷
=+
ç
÷
ç
÷
ç
-
èø
ò
. B.
()
91
x.
2ln2ln9
x
fxd C
æö
÷
ç
÷
=+
ç
÷
ç
÷
ç
-
èø
ò
.
C.
()
21
x.
3ln2ln9
x
fxd C
æö
÷
ç
÷
=+
ç
÷
ç
÷
ç
-
èø
ò
. D.
()
21
x.
9ln2ln9
x
fxd C
æö
÷
ç
÷
=+
ç
÷
ç
÷
ç
+
èø
ò
.
Câu100. Họnguyênhàmcủahàmsố
() (3 )
xx
fx e e
-
=+là
A.
() 3
x
Fx e x C=++. B. () 3 ln
xxx
Fx e e e C=+ +.
C.
1
() 3
x
x
Fx e C
e
=-+. D. () 3
x
Fx e x C=-+.
Câu101. Hàmsố
()
7tan
x
Fx e x=-
làmộtnguyênhàmcủahàmsốnàosauđây?
A.
()
2
7
cos
x
x
e
fx e
x
-
æö
÷
ç
÷
=-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
. B.
()
2
1
7
cos
x
fx e
x
=+ .
C.
(
)
2
7tan1
x
fx e x=+ -
. D.
()
2
1
7
cos
x
fx e
x
æö
÷
ç
÷
=-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
.
Câu102. Tìmnguyênhàmcủahàmsố
4x 2
()fx e
-
=
.
A.
()
2x 1
1
x
2
fxd e C
-
=+
ò
. B.
(
)
2x 1
xfxd e C
-
=+
ò
.
C.
()
4x 2
1
x
2
fxd e C
-
=+
ò
. D.
()
2x 1
1
x
2
fxd e C
-
=+
ò
.
Câu103. Tính
(
)
4
x
edx
-
+
ò
A.
4
x
exC
-
++ B.
1
4
x
xC
e
-
++
C.
x
eC
-
-+ D.
4
x
exC
-
-++
Câu104. Tính
31
2
1
x
edx
x
-
æö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
A.
31
11
3
x
eC
x
-
-+
B.
31
1
3
x
eC
x
-
++
C.
31
1
3
x
eC
x
-
-+
D.
31
11
3
x
eC
x
-
++
Câu105. Mộtnguyênhàmcủahàmsố
()
2
93
x
fx x=+
là
A.
()
3
9
x
Fx x=+ B.
(
)
3
9ln9
x
Fx x=+
C.
()
3
9
9
x
Fx x=+ D.
()
3
9
ln 9
x
Fx x=+
Câu106. Mộtnguyênhàm
()
Fx
củahàmsố
()
2
1
x
x
e
fx e
x
-
æö
÷
ç
÷
=-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
thỏa
()
1Fe=
là
A.
()
1
1
x
Fx e
x
=--
B.
()
1
1
x
Fx e
x
=-+

C.
()
1
1
x
Fx e
x
=+-
D.
()
1
1
x
Fx e
x
=++
Câu107. Hàmsố
1
()
x
fx e
-
= cótấtcảcácnguyênhàmlà:
A.
1
()
x
Fx e C
-
=+
B.
1
()
x
Fx e
-
=-

C.
2
1
()
2
x
Fx e C
x
-
=+
-
D.
1
()
x
Fx e C
-
=- +
Câu108. Gọi ()Fx làtậphợptấtcảcácnguyênhàmcủahàmsố
1
() 3
x
fx
+
= thì ()Fx là:
A.
1
() 3
x
Fx C
+
=+ B. () 3ln3.3
x
Fx C=+
C.
1
() 3ln3.3
x
Fx C
+
=+ D.
1
3
()
ln 3
x
Fx C
+
=+
Câu109. Gọi ()Fx làtậphợptấtcảcácnguyênhàmcủahàmsố () 2
x
fx e=-thì ()Fx là:
A.
() 2
x
Fx e C=-+ B. () 2
x
Fx e x C=-+
C.
1
() 2
x
Fx e x C
+
=-+ D.
1
1
() 2
1
x
Fx e x C
x
+
=-+
+
Câu110. Nguyênhàmcủahàms ố
2
()
xx
fx e e=-là:
A.
2
1
2
xx
eeC-+
B.
2
2
xx
eeC-+ C. ()
xx
ee x C-+ D.Kếtquả
khác
Câu111. Nguyênhàmcủahàms ố
2
1
() 2
cos
x
fx e
x
=+ là:
A.
2 tan
x
exC++ B.
2
2
cos
x
x
e
x
ex
-
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
ç
èø
-
÷
C. tan
x
exC++ D.Kếtquả
khác
Câu112. Tính
(3 cos 3 )
x
xdx-
ò
,kếtquảlà:
A.
3
3sin
ln 3
x
xC-+
B.
3
3sin
ln 3
x
xC-++
C.
3
3sin
ln 3
x
xC++ D.
3
3sin
ln 3
x
xC--+
Câu113. Hàmsố
()
tan
x
Fx e x C=+ +
lànguyênhàmcủahàmsố
()fx
nào?
A.
2
1
()
sin
x
fx e
x
=- B.
2
1
()
sin
x
fx e
x
=+ C.
2
1
()
cos
x
fx e
x
=+ D.Kếtquả
khác
Câu114. Nếu
() sin2
x
fxdx e x C=+ +
ò
thì ()fxbằng
A.
cos 2
x
ex+ B. cos 2
x
ex- C. 2cos2
x
ex+ D.
1
cos 2
2
x
ex+
Trang 67
Câu115. Tìmnguyênhàmcủahàmsố
()
24
xx
fx=-
.
A.
(
)
2
2
2
()
ln 2 ln2
x
x
Fx C=- + B.
()
1
2
() 1 2
ln 2
x
x
Fx C
-
=-+
C.
24
() 1
ln 2 ln 2
xx
Fx C
æö
÷
ç
÷
=-+
ç
÷
ç
÷
ç
èø
D.
()
2
() 1 2
2ln2
x
x
Fx C=-+
.
Câu116. Tìm
31
2
1
x
edx
x
-
æö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
.
A.
31
11
()
3
x
Fx e C
x
-
=-+
B.
31
1
() 3
x
Fx e C
x
-
=++
C.
31
1
() 3
x
Fx e C
x
-
=-+
D.
31
11
()
3
x
Fx e C
x
-
=++
Câu117. Tìm
5
2
3
x
x
e
xe
æö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
.
A.
4
1
() 3
2
x
Fx e C
x
=+ +
B.
4
1
() 3
2
x
Fx e C
x
=- - +
C.
4
1
() 3
2
x
Fx e C
x
=- + D.
4
1
() 3
2
x
Fx e C
x
=- + +
Câu118. Nguyênhàmcủahàms ố
()
23
21
x
yfx e x
+
==-+
là:
A.
(
)
23 2x
Fx e x x C
+
=-++
B.
()
23
2
2
x
e
Fx x C
+
=-+
C.
()
23
2
2
x
e
Fx x x C
+
=-++ D.
(
)
23 2
2
x
Fx e x x C
+
=-++
Câu119. Nguyênhàmcủahàms ố
()
321
24
xx
yfx
+
==+
là
A
()
321
24
2.ln 8 4.ln16
xx
Fx C
+
=+ + B.
()
321
24
ln2 ln 4
xx
Fx C
+
=+ +
C.
()
321
24
ln 8 ln16
xx
Fx C
+
=+ + D.
()
321
3.2 2.4
ln 2 ln 4
xx
Fx C
+
=+ +
Câu120. Kếtquảnàosaitrongcáckếtquảsau?
A.
()
22
xx xx
edxe C+=++
ò
B.
()
2
2
ln 2
x
xx x
edxe C+=++
ò
C.
()
()
3
2
1
1
3
x
xx
e
ee dx C
+
+= +
ò
D.
11
xx
xdx C
ee
-
=+
ò
Câu121. Tìmnguyênhàm
()
2
3
2
x
edx+
ò
A.
36
4
3
36
xx
ee
xC+++
B.
36
4
4
36
xx
ee
xC+++

C.
36
45
4
36
xx
ee
xC+++
D.
36
4
4
36
xx
ee
xC+-+

Dạngtoán2.TÍNHNGUYÊNHÀMCỦAHÀMSỐHỮUTỶ
A–PHƯƠNGPHÁPGIẢITOÁN
Bàitoántổngquát:Tínhnguyênhàm
()
,
()
Px
Idx
Qx
=⋅
ò
với
()Px
và
()Qx
làcácđa
thứckhôngcăn.
Phươngphápgi ải:
— Nếubậccủatửsố
()Px ³
bậccủamẫusố
()Qx
PP
¾¾¾
Chiađathức.
— Nếubậccủatửsố
()Px <
bậccủamẫusố
()Qx
PP
¾¾¾
Xemxétmẫusốvàkhi
đó:
+Nếumẫusốphântíchđượcthànhtíchsố,tasẽsửdụngđồngnhấtthứcđể
đưavềdạngtổngcủacácphânsố.
Mộtsốtrườnghợ
pđồngnhấtthứcthườnggặp:
11
()()
ab
ax m bx n an bm ax m bx n
æö
÷
ç
÷
·=⋅-⋅
ç
÷
ç
÷
ç
+⋅+ - + +
èø
()( )
()() ()()
AB m
mx n A B A B x Ab Ba
Ab Ba
xa xb xa xb xa xb
ì
ï
+=
++⋅-+
ï
·=+=
í
ï
+=
-
-⋅- - - -⋅-
ï
î
22
1
,
()( )
ABxC
xm
xmax bxc ax bxc
+
·=+
-
-⋅ ++ ++
với
2
40.bacD= - <
22 2 2
1
()() () ()
ABCD
xa xb
xa xb xa xb
·=+++⋅
--
-⋅- - -
+Nếumẫusốkhôngphântíchđượcthànhtíchsố(biếnđổivàđưavềdạng
lượnggiác).
B‐BÀITẬPVẬNDỤNG
BT5. Tínhcácnguyênhàmsau:
a)
21
1
x
Idx
x
+
=⋅⋅
-
ò
ĐS:
23ln 1 .Ix x C=+ -+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
b)
31
2
x
Idx
x
+
=⋅⋅
-
ò
ĐS:
37ln 2 .Ix x C=+ -+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
c)
3
31
(1)
x
Idx
x
+
=⋅⋅
+
ò
ĐS:
2
31
.
1
(1)
IC
x
x
=- + +
+
+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
Trang 69
d)
1
23
x
Idx
x
+
=⋅⋅
+
ò
ĐS:
1
ln 2 3 .
24
x
IxC=- ++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
e)
42
2
321xxx
Idx
x
-+-
=⋅⋅
ò
ĐS:
3
1
32ln .
3
x
IxxC
x
=-+ ++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
f)
2
1
2
xx
Idx
x
++
=⋅⋅
+
ò
ĐS:
2
3ln 2 .
2
x
IxxC=-+ ++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
g)
2
461
21
xx
Idx
x
++
=⋅⋅
+
ò
ĐS:
2
1
2ln21.
2
Ix x x C=+- ++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
h)
32
441
21
xx
Idx
x
+-
=⋅⋅
+
ò
ĐS:
32
21
ln 2 1 .
3222
xxx
IxC=+-- ++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
i)
(1)
dx
I
xx
=⋅
⋅+
ò
ĐS: ln .
1
x
IC
x
=+
+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
j)
2
4
dx
I
x
=⋅
-
ò
ĐS:
12
ln .
42
x
IC
x
-
=+
+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
k)
2
69
dx
I
xx
=⋅
-+
ò
ĐS:
1
.
3
IC
x
=- +
-
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
l)
2
65
dx
I
xx
=⋅
-+
ò
ĐS:
15
ln .
41
x
IC
x
-
=+
-
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
m)
2
23
dx
I
xx
=⋅
+-
ò
ĐS:
11
ln .
52 3
x
IC
x
-
=+
+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
n)
2
275
dx
I
xx
=⋅
-+
ò
ĐS:
12 5
ln .
31
x
IC
x
-
=+
-
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
o)
2
45
2
x
Idx
xx
-
=⋅⋅
--
ò
ĐS:
ln 2 3 ln 1 .Ix x C=-+ ++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
p)
2
411
56
x
Idx
xx
+
=⋅⋅
++
ò
ĐS:
3ln 2 ln 3 .Ix xC=++++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
q)
2
1
6
x
Idx
xx
+
=⋅⋅
--
ò
ĐS:
1
ln 2 4 ln 3 .
5
Ix xC=++-+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
r)
2
53
32
x
Idx
xx
-
=⋅⋅
--
ò
ĐS:
2ln 1 7ln 2 .Ix xC=- - + - +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
s)
2
12
2
x
Idx
xx
-
=⋅⋅
-
ò
ĐS:
13
ln ln 2 .
22
IxxC=- - - +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
t)
2
2
712
xdx
I
xx
=⋅
-+
ò
ĐS:
16 ln 4 9 ln 3 .Ix x x C=+ -- -+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
u)
2
2
1
1
x
Idx
x
+
=⋅⋅
-
ò
ĐS:
1
ln .
1
x
Ix C
x
-
=+ +
+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
v)
2
2
x
Idx
x
=⋅⋅
+
ò
ĐS:
2
1
24ln 2 .
2
Ixx x C=-+ ++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
w)
2
32
441
x
Idx
xx
+
=⋅⋅
-+
ò
ĐS:
37
ln 2 1 .
44(21)
Ix C
x
=-- +
-
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
Trang 71
x)
24
2
3
2
xx
Idx
x
-
=⋅⋅
-
ò
ĐS:
3
2
ln .
32
xx
Ix C
x
-
=- - - +
+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
y)
2
2
(2)
xx
Idx
x
+
=⋅⋅
+
ò
ĐS:
2
3ln 2 .
2
Ix x C
x
=- +- +
+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
z)
2
22
.
(1 )
xdx
I
x
=⋅
-
ò
ĐS:
1111
ln .
4111
x
IC
xxx
æö
-
÷
ç
÷
=ç - - +
÷
ç
÷
÷
ç
+-+
èø
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
BT6. Tínhcácnguyênhàmsau:
a)
2
32
253
2
xx
Idx
xx x
--
=⋅⋅
+-
ò
ĐS:
35
ln 2 ln 1 ln 2 .
22
Ixx xC=--+-+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
b)
2
32
2810
44
xx
Idx
xx x
-+
=⋅⋅
+--
ò

ĐS:
12017
ln 2 ln 1 ln 2 .
63 2
Ix x xC=-- ++ ++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
c)
3
32
1
56
x
Idx
xxx
+
=⋅⋅
-+
ò

ĐS:
19 28
ln ln 2 ln 3 .
62 3
Ix x x x C=+ - -+ -+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
d)
2
3
333
32
xx
Idx
xx
++
=⋅⋅
-+
ò
ĐS:
3
2ln 1 ln 2 .
1
Ix x C
x
=-++-+
-
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
e)
3
(1)
dx
I
xx
=⋅
⋅+
ò
ĐS:
3
1
ln ln( 1) .
3
Ix x C=- ++

........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
C‐BÀITẬPTRẮCNGHIỆM
Câu122. Mộtnguyênhàmcủahàmsố
35
2
x
y
x
+
=
+
là:
A.
() 3 4ln 2Fx x x C=+ ++
B.
() 3 ln 2Fx x x C=- + + +
C.
() 3 ln 2Fx x x C=- ++
D.
() 3 ln 2Fx x x C=+ ++
Câu123. Mộtnguyênhàmcủahàmsố ()
1
x
fx
x
=
+
là:
A.
ln 1x +
B.
ln 1xx++
C.
ln 1xx-+
D.
2ln 1x +
Câu124. Chohàmsố
2
2
21
()
21
xx
fx
xx
+-
=
++
.Mộtnguyênhàm ()Fx của ()fxthỏa (1) 0F =
là:
A.
2
2
1
x
x
+-
+
B.
2
2
1
x
x
++
+
C.
()
2
2ln 1xx-+
D.
2
2
1
x
x
-+
+
Câu125. Hàmsốnàosauđâykhônglànguyênhàmcủahàmsố
()
()
()
2
2
1
xx
fx
x
+
=
+
?
A.
2
1
1
xx
x
--
+
B.
2
1
1
xx
x
++
+
C.
2
1
x
x +
D.
2
1
1
xx
x
+-
+
Câu126. Cho hàm số
()
(
)
2
2
3
1x
fx
x
+
=
. Một nguyên hàm
()
Fx
của
()
fx
thỏa
()
14F =- là:
A.
2
2
2
2ln 4
2
x
x
x
+-+
B.
2
2
1
2ln 4
2
2
x
x
x
+-+
C.
2
2
2
2ln 4
2
x
x
x
+--
D.
()
3
2Fx x x C=-+
Câu127. Nguyênhàmcủahàms ố
()
3
1
1
x
fx
x
-
=
+
là:
A.
()
32
2ln 1
32
xx
Fx x x C=-++ ++
B.
Trang 73
()
32
2ln 1
32
xx
Fx x x C=-+- ++
C.
()
32
ln 1
32
xx
Fx x x C=-+- ++
D.
()
32
2ln 1
32
xx
Fx x x C=--- ++
Câu128. Gọi hàm số
()Fx là một nguyên hàm của
32
2
331
()
21
xxx
fx
xx
++-
=
++
, biết
1
(1)
3
F =
.Vậy
()Fx
là:
A.
2
213
()
216
x
Fx x
x
=++ -
+
B.
2
213
()
216
x
Fx x
x
=++ +
+
C.
2
1
()
21
x
Fx x C
x
=++ +
+
D.
2
2
()
21
x
Fx x
x
=++
+
Câu129. TìmmộtnguyênhàmF(x) củahàms ố
2
21
()
xx
fx
x
-+
=
biết
1
(1)
2
F =
.Kết
quảlà:
A.
2
() 2 ln 2
2
x
Fx x x=-+ + B.
2
() 2 ln 2
2
x
Fx x x=-+ -
C.
2
1
() 2 ln
22
x
Fx x x=-+ +
D.
2
1
() 2 ln
22
x
Fx x x=-+ -
Câu130. Tacó:
()
2
32
3
333
() 2
12
32
1
1
A
xx A B C
fx B
xx
xx
x
C
ì
ï
=
ï
ï
++
ï
==++=
í
ï
--
-+
ï
-
=
ï
ï
î
.
Tính
() ()fxdx Fx C=+
ò
,tađượckếtquảlà:
A.
(
)
2
321
()
12
1
Fx C
xx
x
=+ ++
-+
-

B.
3
() 2ln 1 ln 2
1
Fx x x C
x
=- + - + - +
-
C.
2
() 3ln 1 ln 2
1
Fx x x C
x
=--+-+
-

D.
1
( ) 3ln 1 2ln 2
1
Fx x x C
x
=- - + + - +
-
Câu131. Nguyênhàmcủahàms ố
2
11
()fx
x
x
=-
là:
A.
2
ln lnxxC-+ B.
1
ln xC
x
-+
C.
1
ln xC
x
++
D.Kếtquả
khác
Câu132. Tínhnguyênhàm
1
21
dx
x +
ò
tađượckếtquảsau:
A.
1
ln 2 1
2
xC++
B.
ln 2 1xC-++
C.
1
ln 2 1
2
xC-++
D.
ln 2 1xC++
Câu133. Nguyênhàmcủahàms ố
()
fx
=
4
2
23x
x
+
là:
A.
3
23
3
x
C
x
-+
B.
3
2
23
3
x
C
x
-+
C.
3
2
2
3ln
3
x
xC-+
D.Kếtquả
khác
Câu134. Kếtquảcủa
2
1
x
dx
x-
ò
là:
A.
2
1 xC-+ B.
2
1
1
C
x
-
+
-
C.
2
1
1
C
x
+
-
D.
2
1 xC-- +
Câu135. Mộtnguyênhàmcủahàmsố
()
1
x
fx
x
=
+
là:
A.
() ln 1Fx x=+
B.
() ln 1Fx x x=+ +

C.
() ln 1Fx x x=- +
D.
() 2ln 1Fx x=+
Câu136. Hàmsốnàodướiđâylàmộtnguyênhàmcủahàmsố
(
)
44
sin cosfx x x=+
?
A.
1
() sin4
4
Fx x x=+
B.
1
() sin4
4
Fx x x=+

C.
31
() sin4
416
Fx x x=+
D.
31
() cos4
44
Fx x x=-
Câu137. MộtnguyênhàmF(x)củahàmsố
()
1
25
fx
x
=
+
là
A.
1
( ) ln 2 5 2016
2
Fx x=++
B. F(x) ln 2 5x=+
C.
(
)
2
2
()
25
Fx
x
=-
+
D.
(
)
2
1
()
25
Fx
x
=-
+
Câu138. Nguyênhàmcủahàms ố
()
()
2
1
12
yfx
x
==
+
là:
A.
()
11
.
21 2
Fx C
x
-
=+
+
B.
(
)
(
)
2
ln 1 2Fx x C=++
C.
()
11
.
21 2
Fx C
x
=+
+
D.
()
1
12
Fx C
x
-
=+
+
Câu139. Nguyênhàmcủahàms ố
()
1
sin 2
43
yfx x
x
== +
-
là:
A.
()
11
.cos2 .ln 4 3
24
Fx x x C=+-+
B.
Trang 75
()
11
.cos2 .ln 4 3
24
Fx x x C
-
=+-+
C.
()
1
cos2 .ln 4 3
4
Fx x x C=+ -+
D.
()
1
.cos2 ln 4 3
2
Fx x x C
-
=+-+
Câu140. Kếtquảnàosaitrongcáckếtquảsau?
A.
4
4ln 2 1
21
dx x C
x
=-+
-
ò
B.
21
2ln
x
dx x x C
x
+
=+ +
ò
C.
2
ln 2 1
21
dx x C
x
=-+
-
ò
D.
21
2ln 1
1
x
dx x x C
x
+
=- ++
+
ò
Câu141. Kếtquảnàosaitrongcáckếtquảsau?
A.
21 5
ln 3 4
34 2 8
xx
dx x C
x
+-
=- -+
-
ò
B.
1
2ln 1
1
x
dx x x C
x
+
=+ -+
-
ò
C.
2
2ln 1
1
dx x C
x
=-+
-
ò
D.
()
6
3ln 2 3
23
dx x C
x
=++
+
ò
Câu142. Nguyênhàmcủahàms ố:
3
1
x
ydx
x
=
-
ò
là:
A.
32
11
ln 1
32
xxxx C+++-+
B.
32
11
ln 1
32
xxxx C+++++
C.
32
11
ln 1
62
xxxx C+++-+
D.
32
11
ln 1
34
xxxx C+++-+
Câu143. Nguyênhàmcủahàms ố
2
.
23
21
I
x
dx
xx
=
+
ò
--
là:
A.F(x)=
25
ln 2 1 ln 1
33
xxC+- -+
B.F(x)=
25
ln 2 1 ln 1
52
xxC=++-+
C.F(x)=
25
ln 2 1 ln 1
33
xxC=- + + - +
D.F(x)=
25
ln 2 1 ln 1
33
xxC--+-+
Câu144. Nguyênhàmcủahàms ố
()
2
2
3
1x
dx
x
-
=
ò
A.
3
2
1
2ln
3
2
x
xC
x
-++
B.
3
2
1
2ln
3
x
xC
x
--+

C.
3
2
1
2ln
3
2
x
xC
x
--+
D.
3
2
1
2ln
3
3
x
xC
x
--+
Câu145. Hàmsốnàosauđâykhôngphảilànguyênhàmcủahàmsố
()
()
()
2
2
1
xx
fx
x
+
=
+
A.
()
2
1
1
xx
Fx
x
--
=
+
B.
()
2
1
1
xx
Fx
x
+-
=
+

C.
()
2
1
1
xx
Fx
x
++
=
+
D.
()
2
1
x
Fx
x
=
+
Trang 77
Dạngtoán3.TÍNHNGUYÊNHÀMBẰNG
PHƯƠNGPHÁPĐỔIBIẾNSỐ
A–PHƯƠNGPHÁPGIẢITOÁN
Địnhlý:Cho
() ()fudu Fu C=+
ò
và
()uux=
làhàmsốcóđạohàmliêntụcthì
() () () .fux u x dx Fux C
éù éù
¢
⋅⋅= +
êú êú
ëû ëû
ò
1.Đổibiếnsốdạng1:đặt
().txj=
·

1
1
22
() .
1(1).,
1
() 2.
PP
n
m
n
PP
nn
n
PP
n
I f ax b xdx t ax b dt a dx
x
Idxtxdtnxdx
ax
I f ax b xdx t ax b dt ax dx
+
+
é
=+⋅¾¾¾= + =
ê
ê
æö
ê
÷
ç
ê
÷
=⋅¾¾¾= + = +
ç
÷
ç
ê
÷
ç
+
èø
ê
ê
=+⋅¾¾¾= + =
ê
ë
ò
ò
ò
với
, .mnÎ
·

() ()
n
Ifxfxdx
¢
=⋅⋅
ò
PP
¾¾¾
Đặt
(),
n
tfx=
trừmộtsốtrườnghợpđổi
biếndạng2.
· 
1
(ln )
1
(ln)
Ifxdx
x
Ifabxdx
x
é
ê
=⋅⋅
ê
ê
ê
=+⋅⋅
ê
ë
ò
ò
PP
¾¾¾
Đặt
ln
ln
tx
tabx
é
=
ê
⋅
ê
=+
ê
ë
· 
()
xx
Ifeedx=⋅⋅
ò
PP
¾¾¾
Đặt
.
x
te=
·  (cos ) sinIfxxdx=⋅
ò
PP
¾¾¾
Đặt
cos sin .txdt xdx==-
·  (sin ) cosIfxxdx=⋅
ò
PP
¾¾¾
Đặt
sin cos .txdtxdx==
·
2
1
(tan )
cos
Ifx dx
x
=⋅
ò
PP
¾¾¾
Đặt
2
2
1
tan (1 tan ) .
cos
t x dt dx x dx
x
== =+
·
2
1
(cot )
sin
Ifx dx
x
=⋅
ò
PP
¾¾¾
Đặt
2
2
1
cot (1 cot ) .
sin
t x dt dx x dx
x
==- ⋅=-+
·

22
(sin ;cos ) sin2Ifxx xdx=⋅
ò
PP
¾¾¾
Đặt
2
2
sin sin2
cos sin 2
txdtxdx
txdt xdx
é
==
ê
⋅
ê
==-
ê
ë
·  (sin cos ) (sin cos )Ifx x x xdx=⋅ ⋅
ò
PP
¾¾¾
Đặt
sin cos .txx=
2.Đổibiếnsốdạng2:đặt
().xtj=
· 
222
()
n
Ifaxxdx=-⋅
ò
PP
¾¾¾
Đặt
.sin .cos . .xa t dxa tdt==
· 
222
()
n
Ifxaxdx=+⋅
ò
PP
¾¾¾
Đặt
2
.tan
cos
adt
xa t dx
t
==⋅
· 
222
()
n
Ifxaxdx=-⋅
ò
PP
¾¾¾
Đặt
2
sin
cos
cos
aat
xdxdt
t
t
== ⋅⋅
·

2
().
n
dx
I
xa ax bxc
=
-++
ò
PP
¾¾¾
Đặt
2
1 dt
xa dx
t
t
-= =- ⋅
·
1
,...,
k
nn
I R ax b ax b dx
éù
=++⋅
êú
ëû
ò
PP
¾¾¾
Đặt
n
taxb=+
với
{}
12
. . . ; ;...;
k
nBCNNnn n=⋅
· 
()()
dx
I
xaxb
=
++
ò
PP
¾¾¾
Đặt
0
khi
0
0
khi
0
xa
txaxb
xb
xa
txaxb
xb
ì
ì
ï
ï
+>
ï
ï
ï
=+++
í
ï
ï
+>
ï
ï
ï
î
⋅
í
ì
ï
ï
+<
ï
ï
ï
=--+--
í
ï
ï
+<
ï
ï
ï
î
î
B‐BÀITẬPVẬNDỤNG
BT7. Tínhcácnguyênhàmsau:
a)
2015
(1 )Ixxdx=⋅- ⋅⋅
ò
ĐS:
2016 2017
(1 ) (1 )
.
2016 2017
xx
IC
--
=- + +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
b)
23
(1)Ixx dx=⋅+ ⋅
ò
ĐS:
4
2
(1)
.
8
x
IC
+
=+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
c)
29
(1)Ixx dx=⋅-⋅⋅
ò
ĐS:
12 11 10
(1) 2(1) (1)
.
12 11 10
xxx
IC
---
=+ ++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
d)
328
(2 3 )Ix xdx=⋅-⋅⋅
ò
ĐS:
210 29
(2 3 ) (2 3 )
.
180 81
xx
IC
--
=-+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
Trang 79
e)
2
2
xdx
I
x
=⋅
+
ò
ĐS:
2
1
ln 2 .
2
IxC=++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
f)
2
2
(1)
x
Idx
x
=⋅
+
ò
ĐS:
2
2ln 1 .
1
Ix C
x
=+++
+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
g)
5
(1)
x
Idx
x
=⋅⋅
+
ò
ĐS:
3
1111
.
413
(1)
IC
x
x
æö
÷
ç
÷
=⋅⋅-+
ç
÷
ç
÷
ç
+
+
èø
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
h)
3
2
1
x
Idx
x
æö
÷
ç
÷
=⋅
ç
÷
ç
÷
ç
+
èø
ò
ĐS:
222
11
.
2(1)4(1)
IC
xx
=- + +
++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
i)
3
2
11
1Idx
x
x
æö
÷
ç
÷
=+⋅⋅⋅
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
ĐS:
43 2
1131
.
42
IC
x
xx x
=- - - - +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
j)
2
(1)
xdx
I
x
=⋅
+
ò
ĐS:
1
ln 1 .
1
Ix C
x
=+- +
+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
k)
3
(2 1)
xdx
I
x
=⋅
+
ò
ĐS:
2
11 1
.
22(21)
4(2 1)
IC
x
x
éù
êú
=⋅ - +
êú
+
+
ëû
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
l)
5
2
1
x
Idx
x
=⋅⋅
+
ò
ĐS:
42
2
1
ln( 1) .
422
xx
IxC=-+ ++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
m)
4
10
4
x
Idx
x
=⋅
-
ò
ĐS:
5
5
12
ln .
20
2
x
IC
x
-
=+
+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
n)
3
1
xdx
I
x
=⋅
+
ò
ĐS:
32
ln 1 .
32
xx
IxxC=-+- ++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
BT8. Tínhcácnguyênhàmsau:
a)
2
(1)
24
xdx
I
xx
+
=⋅
+-
ò
ĐS:
2
24 .Ixx C=+-+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
b)
2
.2 . .Ixxdx=-
ò
ĐS:
23
(2 )
.
3
x
IC
-
=- +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
c)
2
3
2
4
xdx
I
x
=⋅
+
ò
ĐS:
22
3
3
(4) .
2
Ix C=++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
d)
2
1
xdx
I
x
=⋅
-
ò
ĐS:
2
2(3 4 8) 1
.
15
xx x
IC
++ -
=- +
Trang 81
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
e)
3
2
5.1 . .Ixxdx=-
ò
ĐS:
4
2
3
15
(1 ) .
8
IxC=- - +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
f)
522
3
.(1 2 ). .Ix xdx=-
ò
ĐS:
42 22
3(20 4 3). (1 2 )
.
320
xx x
IC
-- -
=+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
g)
41
.
212
x
Idx
x
-
=
++
ò
ĐS:
214215ln212 .Ix x x C=+- ++ +++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
h)
3
2
.
4
x
Idx
x
=
-
ò
ĐS:
23
2
(4 )
44 .
3
x
IxC
-
=--+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
i)
2
4
dx
I
xx
=⋅
+
ò
ĐS:
2
2
142
ln .
4
42
x
IC
x
+-
=+
++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
j)
32
2
23
.
1
xxx
Idx
xx
-+
=
-+
ò
ĐS:
23
2
2( 1)
21.
3
xx
IxxC
-+
=--++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
k)
3
sin . cos . .Ixxdx=
ò
ĐS:
3
2
(cos 7 cos ) cos .
21
IxxxC=- +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
l)
1
x
dx
I
e
=⋅
+
ò
ĐS:
11
ln .
11
x
x
e
IC
e
+-
=+
++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
m)
2
ln . 1 3 ln
dx
I
xx x
=⋅
+
ò
ĐS:
2
2
113ln 1
ln .
2
13ln 1
x
IC
x
+-
=+
++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
n)
2
1
xdx
I
xx
=⋅
+-
ò
ĐS:
23
3
(1)
.
33
x
x
IC
-
=+ +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
BT9. Tínhcácnguyênhàmsau:
a)
2
1
lnIxdx
x
=⋅⋅
ò
ĐS:
3
ln
.
3
x
IC=+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
b)
3ln 1
ln
x
Idx
xx
+
=⋅
ò
ĐS:
3ln ln ln .Ix xC=+ +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
c)
1
(1 ln )Ixdx
x
=+⋅⋅
ò
ĐS:
2
(1 ln )
.
2
x
IC
+
=+
Trang 83
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
d)
ln 1
1ln
x
Idx
x
x
=⋅⋅
+
ò
ĐS:
3
2(1 ln)
21 ln .
3
x
IxC
+
=-++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
e)
2
3
ln . 2 lnxxdx
I
x
+
=⋅
ò
ĐS:
24
3
3
(2 ln ) .
8
IxC=+ +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
f)
3
2
2
log
13ln
x
Idx
xx
=⋅⋅
+
ò
 ĐS:
23
2
3
(1 3 ln )
1
13ln .
3
9ln 2
x
IxC
æö
÷
+
ç
÷
ç
÷
=-++
ç
÷
ç
÷
ç
÷
èø
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
BT10. Tínhcácnguyênhàmsau:
a)
1
x
dx
I
e
=⋅
-
ò
ĐS:
1
ln .
x
x
e
IC
e
-
=+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
b)
2
x
dx
I
e
=⋅
+
ò
ĐS:
1
ln .
2
2
x
x
e
IC
e
=+
+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
c)
23
xx
dx
I
ee
-
=⋅
+-
ò
ĐS:
2
ln .
1
x
x
e
IC
e
-
=+
-
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
d)
x
xx
e
Idx
ee
-
=⋅⋅
+
ò
ĐS:
2
1
ln 1 .
2
x
Ie C=++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
e)
4.
xx
dx
I
ee
-
=⋅
-
ò
ĐS:
12
ln .
4
2
x
x
e
IC
e
-
=+
+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
f)
3
(1 )
x
x
e
Idx
e
+
=⋅⋅
ò
ĐS:
2
(1 ) 1
2(1 ) 3 .
2
x
x
x
e
IexC
e
+
=+++-+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
g)
2
2
3
32
xx
xx
ee
Idx
ee
+
=⋅⋅
++
ò
ĐS:
2
131
ln( 3 2) ln .
22
2
x
xx
x
e
Iee C
e
+
=+++ +
+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
h)
2
1
x
x
e
Idx
e
=⋅⋅
-
ò
ĐS:
3
2( 1)
1.
3
x
x
e
IeC
-
=+-+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
i)
xx
dx
I
ee
=⋅
-
ò
ĐS:
22
2ln1.
xx
Ie e C
--
æö
÷
ç
÷
ç
=+++
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
j)
1
x
dx
I
e
=⋅
+
ò
ĐS:
2ln .
1
x
x
e
IC
e
=+
+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
Trang 85
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
BT11. Tínhcácnguyênhàmsau:
a)
cos
1sin
xdx
I
x
=⋅
+
ò
ĐS:
ln 1 sin .IxC=+ +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
b)
(2 sin 3) cos
2sin 1
xx
Idx
x
-
=⋅⋅
+
ò
ĐS:
1
(2 sin 1) 4 ln 2 sin 1 .
2
Ix xC=+- ++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
c)
2
3cos
(1 sin )
xdx
I
x
=⋅
-
ò
ĐS:
3
.
1sin
IC
x
=+
-
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
d)
2cos
32sin
xdx
I
x
=⋅
+
ò
ĐS:
3
ln sin .
2
IxC
æö
÷
ç
÷
=++
ç
÷
ç
÷
ç
èø
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
e)
23
sin .cos . .Ixxdx=
ò
ĐS:
35
sin sin
.
35
xx
IC=-+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
f)
2
12sin
1sin2
x
Idx
x
-
=⋅⋅
+
ò
ĐS:
1
ln 1 sin 2 .
2
IxC=+ +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
g)
3
2
cos
sin
x
Idx
x
=⋅⋅
ò
ĐS:
1
sin .
sin
IxC
x
=- - +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
h)
2
sin 2
(2 sin )
x
Idx
x
=⋅⋅
+
ò
ĐS:
4
2ln(2 sin ) .
2sin
Ix C
x
=++ +
+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
i)
sin
.cos . .
x
Ie xdx=
ò
ĐS:
sin
.
x
Ie C=+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
j)
32
(cos 1).cos . .Ixxdx=-
ò
ĐS:
53
sin 2 sin 2 sin 2
sin .
53 4
xx x
IxC
x
=- ++++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
k)
2
cos
65sin sin
xdx
I
xx
=⋅
-+
ò
ĐS:
3sin
ln .
2sin
x
IC
x
æö
-
÷
ç
÷
=+
ç
÷
ç
÷
ç
-
èø
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
l)
2
cos
11 7 sin cos
xdx
I
xx
=⋅
--
ò
ĐS:
15sin
ln .
32sin
x
IC
x
-
=+
-
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
BT12. Tínhcácnguyênhàmsau:
a)
sin
1cos
xdx
I
x
=⋅
+
ò
ĐS:
ln 1 cos .IxC=- + +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
b)
3
4sin
1cos
x
Idx
x
=⋅⋅
+
ò
ĐS:
2
2(1 cos ) .IxC=- + +
Trang 87
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
c)
23
cos sinIxxdx=
ò
ĐS:
53
cos cos
.
53
xx
IC=-+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
d)
sin 2 cos
1cos
xx
Idx
x
=⋅⋅
+
ò
ĐS:
2
cos
cos ln cos 1 .
2
x
IxxC=- - ++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
e)
2
sin 4
1cos
x
Idx
x
=⋅⋅
+
ò
ĐS:
6 ln(3 cos2 ) 2 cos2 6 .IxxC=+ - -+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
f)
sin sin 3
cos 2
xx
Idx
x
+
=⋅⋅
ò
ĐS:
22cos1
ln 2 cos .
2
2cos 1
x
IxC
x
+
=-+
+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
g)
3
tan .sin .(1 sin )
42
cos
x
xx
Idx
x
p
æö
÷
ç
÷
+-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
=⋅⋅
ò
ĐS:
1
.
cos
IC
x
=+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
h)
3
4
sin
cos
x
Idx
x
=⋅⋅
ò
ĐS:
3
11
.
cos
3cos
IC
x
x
=-+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
BT13. Tínhcácnguyênhàmsau:
a)
2
tan
cos
x
Idx
x
=⋅⋅
ò
ĐS:
2
tan
.
2
x
IC=+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
b)
4
6
sin
cos
x
Idx
x
=⋅⋅
ò
ĐS:
5
tan
.
5
x
IC=+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
c)
4
tan
cos 2
x
Idx
x
=⋅⋅
ò
ĐS:
3
tan 1 tan 1
tan ln .
32tan1
xx
Ix C
x
-
=- - - +
+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
d)
22
5cos 8sin cos 3sin
dx
I
xxx x
=⋅
-+
ò
ĐS:
13tan 5
ln .
2tan1
x
IC
x
-
=+
-
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
e)
34
(1 sin 2 )
2sin cos cos
xdx
I
xx x
+⋅
=⋅
+
ò
ĐS:
2
tan 3 tan 1
ln 2 tan 1 .
448
xx
IxC=+ + ++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
f)
42
cos sin
dx
I
xx
=⋅
ò
ĐS:
3
tan 1
2tan .
3tan
x
IxC
x
=+-+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
g)
cos cos
4
dx
I
xx
p
=⋅
æö
÷
ç
÷
+
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
ĐS: 2ln1 tan .IxC=- - +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
Trang 89
........ ................................................................................................................................................................................
h)
tan
4
cos2
x
Idx
x
p
æö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
=⋅
ò
ĐS:
1
.
1tan
IC
x
=+
+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
BT14. Tínhcácnguyênhàmsau:
a)
2
4
cos
sin
x
Idx
x
=⋅⋅
ò
ĐS:
3
1
cot .
3
IxC=- +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
b)
2
8
cos
sin
x
Idx
x
=⋅⋅
ò
ĐS:
753
15 cot 42 cot 35 cot
.
105
xxx
IC
++
=+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
c)
4
2
sin cot
dx
I
xx
=⋅
⋅
ò
ĐS:
4
3
4
cot .
3
IxC=- +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
d)
3
cos sin
dx
I
xx
=⋅
ò
ĐS:
2
1
ln cot cot .
2
IxxC=- - +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
e)
sin sin
6
dx
I
xx
p
=⋅
æö
÷
ç
÷
+
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
ĐS:
2ln cot .IxC=- +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
f)
3
sin .
(sin cos )
xdx
I
xx
=⋅
+
ò
ĐS:
2
1
.
2(1 cot )
IC
x
=+
+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
BT15. Tínhcácnguyênhàmsau:
a)
sin cos
sin cos
xx
Idx
xx
-
=⋅⋅
+
ò
ĐS:
ln sin cos .IxxC=- + +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
b)
cos2
sin cos 2
xdx
I
xx
=⋅
++
ò
ĐS:
sin cos 2 2 ln sin cos 2Ixx xx=++- ++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
c)
3
cos2
(sin cos 2)
xdx
I
xx
⋅
=⋅
++
ò
ĐS:
2
11
.
sin cos 2
(sin cos 2)
IC
xx
xx
=-+
++
++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
d)
23
sin 2 .(1 sin ) . .Ixxdx=+
ò
ĐS:
24
(1 sin )
.
4
x
IC
+
=+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
BT16. Tínhcácnguyênhàmsau:
a)
2
1
dx
I
x
=⋅
-
ò
ĐS:
2
.
1
x
IC
x
=+
-
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
b)
22
9
dx
I
xx
=⋅
-
ò
ĐS:
2
9
.
9
x
IC
x
-
=- +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
Trang 91
c)
23
(1)
dx
I
x
=⋅
+
ò
ĐS:
2
.
1
x
IC
x
=+
+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
d)
22
25
dx
I
xx
=⋅
-
ò
ĐS:
2
25
.
25
x
IC
x
-
=- +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
e)
3
2
1
x
Idx
x
=⋅
+
ò
ĐS:
22
1
(2)1 .
3
Ix xC=-++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
f)
2
4
1 x
Idx
x
-
=⋅
ò
ĐS:
3
2
2
3
(1 )
.
3
x
IC
x
-
=- +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
g)
2
4
dx
I
x
=⋅
-
ò
ĐS:
2
ln 4 .Ixx C=+-+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
C‐BÀITẬPTRẮCNGHIỆM
Câu146. Tính
2
1
25
x
dx
xx
-
-+
ò
A.
2
22
25
x
C
xx
-
+
-+
B.
2
225xx C-++
C.
2
25
2
xx
C
-+
+
D.
2
25xx C-++
Câu147. Họnguyênhàmcủahàmsố
()
2
1
x
fx
x
=
+
là
A.
()
2
ln 1Fx x C=++
B.
()
2
1Fx x C=++
C.
(
)
2
21Fx x C=++
D.
()
(
)
2
2
31
Fx C
x
=+
+
Câu148. Mộtnguyênhàmcủahàmsố
(
)
sin
cos .
x
fx xe=
là
A.
()
sin x
Fx e= B.
()
cos x
Fx e= C.
(
)
sin x
Fx e
-
= D.
()
sin
sin .
x
Fx xe=
Câu149. Chohàmsố
(
)
(
)
2016
2
1fx xx=+.Khiđó:
A.
()
(
)
2017
2
1
4034
x
fxdx C
+
=+
ò
B.
()
()
2016
2
1
4032
x
fxdx
+
=
ò
C.
()
()
2016
2
1
2016
x
fxdx
+
=
ò
D.
()
()
2017
2
1
2017
x
fxdx
+
=
ò
Câu150. Hàmsố
()
2
x
Fx e= lànguyênhàmcủahàmsố
A.
()
2
2
x
fx xe= B.
()
2x
fx e=
C.
()
2
2
x
e
fx
x
=
D.
(
)
2
2
1
x
fx xe=-
Câu151. Họcácnguyênhàmcủahàmsố
() tanfx x= là:
A.
2
1
()
cos
Fx C
x
=+
B.
2
1
()
sin
Fx C
x
=+

C.
() lncosFx x C=+
D.
() lncosFx x C=- +
Câu152. Kếtquảcủa
cos s in 1xxdx+
ò
bằng:
A.
(
)
3
2
() sin 1
3
Fx x C=++
B.
()
3
2
() sin 1
3
Fx x C=- + +
C.
()
2
() sin 1
3
Fx x C=++
D.
()
3
2
() sin 1
3
Fx x C=++
Câu153. Kếtquảcủa
3
x
x
e
dx
e +
ò
bằng:
A.
() 3
x
Fx e C=++
B.
() 2 3
x
Fx e C=++
C. () 3
x
Fx e C=++ D. ()
3
x
x
e
Fx C
ex
=+
+
Câu154. Hàmsố
ln
()
x
fx
x
=
cócácnguyênhàmlà:
A.
2
() lnFx x C=+ B.
1
() ln
2
Fx x C=+

C.
2
1
() ln
2
Fx x C=+
D.
2
1
()
.
Fx C
xx
=+
Trang 93
Câu155. Hàmsố
1
() ln ( )
ln
x
fx x
xx
=+
cócácnguyênhàmlà:
A.
22
() lnFx x x C=++ B.
22
ln
()
2
xx
Fx C
+
=+
C.
2
2
ln
()
2
x
Fx x C=++
D.
2
() ln (ln )
2ln
x
Fx x x C
x
=++
Câu156. Gọi hàm số
()Fx là một nguyên hàm của
1
()
sin
fx
x
=
, biết
1
2
F
æö
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
p
. Vậy
()Fx là:
A.
11cos
() ln 1
21cos
x
Fx
x
+
=+
-
B.
11cos
() ln
21cos
x
Fx
x
+
=
-
C.
1cos
() ln 1
1cos
x
Fx
x
+
=+
-
D.
11cos
() ln 1
21cos
x
Fx
x
-
=+
+
Câu157. Gọi
()Fx là nguyên của hàm số
2
()
8
x
fx
x
=
-
thỏa mãn (2) 0F = . Khiđó
phươngtrình
()Fx x= cónghiệmlà:
A.
0x = B.
1x =
C.
1x =-
D.
13x =-
Câu158. Nguyênhàmcủahàms ố:y =sin
2
x.cos
3
xlà:
A.
35
11
sin sin
35
xxC-+
B.
35
11
sin sin
35
xxC-++

C.sin
3
xsin
5
x+C D.Đápánkhác.
Câu159. Mộtnguyênhàmcủahàmsố:
3
2
2
x
y
x
=
-
là:
A.
2
() 2Fx x x=-
B.
()
22
1
42
3
xx-+ -
C.
22
1
2
3
xx--
D.
()
22
1
42
3
xx---
Câu160. Hàmsốnàodướiđâylàmộtnguyênhàmcủahàmsố:
2
1
4
y
x
=
+
A.
()
2
() ln 4Fx x x=- - +
B.
()
2
() ln 4Fx x x=++
C.
2
() 2 4Fx x=+
D.
2
() 2 4Fx x x=+ +
Câu161. Mộtnguyênhàmcủahàmsố:
2
() sin 1fx x x=+là:
A.
22 2
() 1 cos 1 sin 1Fx x x x=- + + + + 
B.
22 2
() 1 cos 1 sin 1Fx x x x=- + + - +
C.
22 2
() 1 cos 1 sin 1Fx x x x=+ ++ +
D.
22 2
() 1 cos 1 sin 1Fx x x x=+ +- +
Câu162. Mộtnguyênhàmcủahàmsố:
2
() 1fx x x=+
là:
A.
(
)
2
2
1
() 1
2
Fx x=+
B.
()
3
2
1
() 1
3
Fx x=+

C.
()
2
2
2
() 1
2
x
Fx x=+ D.
(
)
2
2
1
() 1
3
Fx x=+
Câu163. TìmnguyênhàmF(x)củahàmsố
() ( )
2015
1fx x x=-
,tađượckếtquảlà:
A.
() ()
2017 2016
11
() 1 1
2017 2016
Fx x x C=-+-+

B.
() ()
2017 2016
11
() 1 1
2017 2016
Fx x x C=---+
C.
() ()
2017 2016
11
() 1 1
2017 2016
Fx x x C=- - + - +

D.
() ()
2017 2016
11
() 1 1
2017 2016
Fx x x C=- - - - +
Câu164. Tìmnguyênhàm
()
Fx
biết
2
2
()
1
x
fx
xx
=
+-
.Kếtquảlà:
A.
()
32 2
22
() 1 1
33
Fx x x x=- - -
B.
()
32 2
22
() 1 1
33
Fx x x x=+ - -
C.
()
32 2
22
() 1 1
33
Fx x x x=- + -
D.
()
32 2
22
() 1 1
33
Fx x x x=+ + -
Câu165. Tính:
2
1x
Pdx
x
+
=
ò
A.
2
1Pxx xC=+-+
B.
()
22
1ln 1Px xx C=++ +++
C.
2
2
11
1ln
x
Px C
x
++
=++ +
D.Đápánkhác.
Câu166. Tìmnguyênhàm
()
Fx
biết
sin
()
sin cos
x
fx
xx
=
+
.Kếtquảlà:
A.
(
)
1
() lnsin cos
2
Fx x x x C=- + +
B.
()
1
() lnsin cos
2
Fx x x x C=+ + +
C.
()
1
() lnsin cos
2
Fx x x x C=- - +
D.
()
1
() lnsin cos
2
Fx x x x C=+ - +
Câu167. Tìmnguyênhàm
()
Fx
biết
()
cos cos 2 sin 4fx x x x=
.Kếtquảlà:
A.
1111
( ) cos 7 cos 5 cos 3 cos
28 20 12 4
Fx x x x x C=- - - - +
Trang 95
B.
1111
( ) cos7 cos5 cos3 cos
28 20 12 4
Fx x x x x C=- - + + +
C.
1111
( ) cos 7 cos 5 cos 3 cos
28 20 12 4
Fx x x x x C=+--+
D.
1111
( ) cos 7 cos 5 cos 3 cos
28 20 12 4
Fx x x x x C=- + - + +
Câu168. Tìmnguyênhàm
()
Fx
biết
() sinfx x x=
.Kếtquảlà:
A.
( ) 2 cos 4 sin 4 cosFx x x x x x C=- + + +

B.
( ) 2 cos 4 sin 4 cosFx x x x x x C=- - + +
C.
( ) 2 cos 4 sin 4 cosFx x x x x x C=- + - +

D.
( ) 2 cos 4 sin 4 cosFx x x x x x C=+ ++
Câu169. Tínhnguyênhàm
2
1x
xe dx
+
ò
,tađược:
A.
2
1
1
()
2
x
Fx e C
+
=+
B.
2
1
1
()
2
x
Fx e C
-
=+

C.
2
1
1
()
2
x
Fx e C
+
=- +
D.
2
1
()
2
x
Fx e C=+
Câu170. Tính
ln 2
2
x
dx
x
ò
.Kếtquảsailà:
A.
()
() 22 1
x
Fx C=-+
B.
(
)
() 22 1
x
Fx C=++

C.
() 2
x
Fx C=+ D.
1
() 2
x
Fx C
+
=+
Câu171. Hàmsốnàodướiđâylàmộtnguyênhàmcủa
2
1
()
1
fx
x
=
+
?
A.
2
()
1
x
Fx
x
=-
+
B.
2
() ln 1Fx x=+

C.
(
)
2
() ln 1Fx x x=++
D.
(
)
2
() ln 1Fx x x=-+
Câu172. Nguyênhàmcủahàms ố
2
()
1
x
fx
x
=
+
là
A.
(
)
2
1
() ln 1
2
Fx x C=++
B.
(
)
2
() ln 1Fx x C=++
C. () 2Fx x C=+ D.
11
() ln
21
x
Fx C
x
-
=+
+
Câu173. Tìm
20
cos
sin
x
dx
x
ò
.
A.
19
1
()
19 sin
Fx C
x
=- +
B.
19
1
()
19 sin
Fx C
x
=+
C.
19
1
()
19 cos
Fx C
x
=- +
D.
19
1
()
19 cos
Fx C
x
=+
Câu174. Hàmsố
() lnsin 3cosFx x x=-
làmộtnguyênhàmcủahàmsốnàosauđây?
A.
cos 3 sin
()
sin 3 cos
xx
fx
xx
+
=
-
B.
cosx 3 sin
()
sin 3 cos
x
fx
xx
--
=
-

C. () cos 3sinfx x x=+ D.
sin 3 cos
()
cos 3 sin
xx
fx
xx
-
=
+
Câu175. Tìm
2
1
25
x
dx
xx
-
-+
ò
.
A.
2
22
25
x
C
xx
-
+
-+
B.
2
225xx C-++

C.
2
25
2
xx
C
-+
+
D.
2
25xx C-++
Câu176. Nguyênhàm
()
Fx
củahàmsố
23
() sin2.cos2fx x x=
thỏa
0
2
F
æö
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
p
là
A.
()
35
11
sin 2 sin 2
610
Fx x x=+
B.
()
35
11
sin 2 sin 2
610
Fx x x=-
C.
()
35
11 4
sin 2 sin 2
61015
Fxxx=+ +
D.
()
35
11 1
sin 2 sin 2
61015
Fx x x=- +
Câu177. Mộtnguyênhàm
()Fx
củahàmsố ()
2
x
x
e
fx
e
=
+
thỏa
()
0ln3F =-
là
A.
(
)
() ln 2 ln3
x
Fx e=++ B.
()
() ln 2 ln3
x
Fx e=+-
C.
()
( ) ln 2 2 ln 3
x
Fx e=++
D.
()
() ln 2 2ln3
x
Fx e=+-
Câu178. Nguyênhàmcủahàms ố
()
2
3
1
x
yfx
x
==
+
là
A.
()
33
1
3
xx
Fx C
+
=+
B.
()
3
1
3
x
Fx C
+
=+

C.
()
3
21
3
x
Fx C
+
=+
D.
()
3
21
3
x
Fx C
-+
=+
Câu179. 0034:Kếtquảnàosaitrongcáckếtquảsau?
A.
(
)
22
2
11
1
3
xx
xxdx C
++
+= +
ò
B.
()
()
4
2
3
2
1
21
4
x
xxdx C
+
+= +
ò
C.
()
()
4
2
3
22
1
21 .
4
x
xxdxx C
+
+= +
ò
D.
()
2
2
ln 1
2
1
x
x
dx C
x
+
=+
+
ò
Câu180. Kếtquảnàosaitrongcáckếtquảsau?
Trang 97
A.
2
ln
ln
x
dx x C
x
=+
ò
B.
2
ln ln
2
xx
dx C
x
=+
ò
C.
()()
53
3 2 ln 3 2 ln
ln 3 2 ln
10 2
xx
xx
dx C
x
++
+
=-+
ò
D.
23
ln ln
3
xx
xdx C
x
=+
ò
Câu181. Nguyênhàmcủahàms ố
(
)
23
2
xx
yfx e x= =++
là
A.
()
232
2
2ln22
xx
ex
Fx C=+ ++
B.
()
232
2
2ln82
xx
ex
Fx C=+ ++
C.
()
32
2
2
ln 8 2
x
x
x
Fx e C=+ ++
D.
()
23
2
1
2ln8
xx
e
Fx C=+ ++
Câu182. Hàmsố
(
)
ln sin 3 cosFx x x=-
làmộtnguyênhàmcủahàmsốnàotrongcác
hàmsốsauđây:
A.
()
cos 3 sin
sin 3 cos
xx
fx
xx
+
=
-
B.
()
cos 3 sinfx x x=+

C.
()
cos 3 sin
sin 3 cos
xx
fx
xx
--
=
-
D.
()
sin 3 cos
cos 3 sin
xx
fx
xx
-
=
+
Câu183. Tính
ln 2
2.
x
dx
x
ò
,kếtquảsailà:
A.
()
22 1
x
C++ B.
()
22 1
x
C-+ C.
1
2
x
C
+
+ D.2
x
C+
Câu184. Kếtquảnàosaitrongcáckếtquảsau:
A.
()
()
()
ln ln ln
ln .ln ln
dx
xC
xx x
=+
ò
B.
2
22
111
ln
2
111
dx x
C
xx x
+-
=+
+++
ò
C.
1
tan
1cos 2 2
dx x
C
x
=+
+
ò
D.
2
2
1
ln 3 2
4
32
xdx
xC
x
-
=-+
-
ò
Câu185. Tìmnguyênhàmcủahàmsố
3cos
() .sin
x
fx e x=
A.
3cos
1
() .cos
3
x
fxdx e x C=+
ò
B.
3cos
() 3
x
fxdx e C=+
ò
C.
3cos
1
()
3
x
fxdx e C=- +
ò
D.
3cos
() 3 .cos
x
fxdx e x C=+
ò
Câu186. Tìmnguyênhàmcủahàmsố
ln
()
2
x
fx
x
=
A.
2
ln
()
4
x
fxdx C=+
ò
B.
2
ln
()
2
x
fxdx C=+
ò

C.
2
ln
()
4
x
fxdx C
x
=+
ò
D.
2
1
()
2
fxdx C
x
=+
ò
Câu187. Nguyênhàmcủahàms ố:
3
1.Ixxdx=-
ò
là:
A.F(x)=
() () () ()
432
2562
11111
9753
xxxxxC
éù
êú
-+ -+ -+ - -+
êú
ëû
B.F(x)=
() () () ()
432
2662
11111
9753
xxxxxC
éù
êú
-+ -+ -+ - -+
êú
ëû
C.F(x)=
() () () ()
432
2662
11111
9773
xxxxxC
éù
êú
-+ -+ -+ - -+
êú
ëû
D.F(x)=
() () () ()
432
2661
11111
9753
xxxxxC
éù
êú
-+ -+ -+ - -+
êú
ëû
Câu188. Nguyênhàmcủahàms ố:
x
2x 1 4
d
I =⋅
-+
ò
là:
A.F(x)=
()
2x 1 4 ln 2x 1 4 C-- -+ +
B.F(x)=
(
)
2x 1 4 ln 2x 1 4 C+- ++ +
C.F(x)=
(
)
2x 1 4 ln 2x 1 4 C-+ ++ + D.F(x)=
(
)
7
2x 1 ln 2x 1 4
2
C-- -+ +
Câu189. Nguyênhàmcủahàms ố:
5
cos
1sin
x
ydx
x
=
-
ò
là:
A.
34
sin cos
cos
34
xx
xC--+
B.
34
sin 3 cos 4
sin
34
xx
xC--+
C.
34
sin cos
sin
34
xx
xC--+
D.
34
sin cos
sin
94
xx
xC--+
Câu190. Nguyênhàmcủahàms ố:
2
()
x
x
xxe
ydx
xe
-
+
=
+
ò
là:
A.F(x)=
1ln 1
xx
xe xe C+- + +
B.F(x)=
1ln 1
xx
exeC+- + +
C.F(x)= 1ln 1
xx
xe xe C
-
+- + + D.F(x)= 1ln 1
xx
xe xe C++ + +
Câu191. Nguyênhàmcủahàms ố:
22
dx
y
xa
=
-
ò
là:
A.
1
ln
2
xa
axa
-
+
+C B.
1
ln
2
xa
axa
+
-
+C C.
1
ln
xa
axa
-
+
+C D.
1
ln
xa
axa
+
-
+C
Câu192. Nguyênhàmcủahàms ố:
22
dx
y
ax
=
-
ò
là:
Trang 99
A.
1
ln
2
ax
aax
-
+
+C B.
1
ln
2
ax
aax
+
-
+C C.
1
ln
xa
axa
-
+
+C D.
1
ln
xa
axa
+
-
+C
Câu193. Nguyênhàmcủahàms ố:
47dxyxx=+
ò
là:
A.
() ()
53
22
12 2
47 747
20 5 3
xxC
éù
êú
+-⋅ + +
êú
ëû
B.
() ()
53
22
12 2
47 747
18 5 3
xxC
éù
êú
+-⋅ + +
êú
ëû
C.
() ()
53
22
12 2
47 747
14 5 3
xxC
éù
êú
+-⋅ + +
êú
ëû
D.
() ()
53
22
12 2
47 747
16 5 3
xxC
éù
êú
+-⋅ + +
êú
ëû
Dạngtoán4.TÍNHNGUYÊNHÀMBẰNGPHƯƠNGPHÁP
NGUYÊNHÀMTỪNGPHẦN
A–PHƯƠNGPHÁPGIẢITOÁN
Địnhlý:Nếuhaihàmsố
()uux=
và
()vvx=
cóđạohàmvàliêntụctrên
K
thì
() () () () () ()I uxvxdx uxvx uxvxdx
¢¢
=⋅⋅=⋅- ⋅⋅
òò
hay
Iudvuvvdu==-⋅
òò
Vậndụnggiảitoán:
— Nhậndạng:Tích2hàmkhácloạinhânnhau,chẳnghạn:mũnhânlượnggiác
.sin . ,....
x
exdx
ò
— Đặt:
Vi phân
Nguyên ha m
ududx
dv dx v
ì
ï
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ¾¾¾¾ =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
ï
ï
⋅
í
ï
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ¾¾¾¾¾ =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
ï
ï
î
Suyra:
.Iudvuvvdu==-
òò
— Thứtựưutiênchọnu:log–đa–lượng–mũvà
dv =
phầncònlại.Nghĩalà
nếucólnhay
log
a
x thìchọn
lnu =
hay
1
log .ln
ln
a
ux x
a
==
và
dv =
cònlại.
Nếukhôngcó
ln; log
thìchọnu = đathứcvà
dv =
cònlại.Nếukhôngcólog,
đathức,tachọn
u = lượnggiác,….
— Lưuýrằngbậccủađathứcvàbậccủalntươngứngvớisốlầnlấynguyênhàm.
— Dạngmũnhânlượnggiáclàdạngnguyênhàmtừngphầ
nluânhồi.
B‐BÀITẬPVẬNDỤNG
BT17. Tínhcácnguyênhàmsau:
a) sinIxxdx=⋅ ⋅⋅
ò
ĐS:
sin cos .IxxC=-+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
b) (1 2 )
x
Ixedx=-⋅⋅⋅
ò
ĐS: (3 2 ) .
x
IxeC=- ⋅+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
c) cos
x
Ie xdx=⋅⋅⋅
ò
ĐS: (sin cos ) .
2
x
e
IxxC=++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
d) (2 1) lnIx xdx=-⋅⋅⋅
ò
ĐS:
2
2
()ln .
2
x
Ixxx xC=- -++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
e)
3x
Ixedx=⋅⋅⋅
ò
ĐS:
33
.
39
xx
xe e
IC=-+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
f)
2
ln 2Ixxdx=⋅⋅⋅
ò
ĐS:
33
ln 2
.
39
xxx
IC=-+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
g) lnIxdx=⋅⋅
ò
ĐS:
ln .IxxxC=-+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
Trang 101
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
h) (1)sin2Ix xdx=+⋅ ⋅⋅
ò
ĐS:
11
cos 2 sin 2 .
24
x
IxxC
+
=- + +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
i)
x
Ixedx
-
=⋅⋅⋅
ò
ĐS: (1 ) .
x
IxeC
-
=- + ⋅ +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
j) sin
x
Iexdx=⋅⋅⋅
ò
ĐS:
(sin cos )
.
2
x
exx
IC
⋅-
=+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
k) cosIxxdx=⋅ ⋅⋅
ò
ĐS:
sin cos .Ix x xC=++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
l)
sin
2
x
Ix dx=⋅ ⋅⋅
ò
ĐS:
2cos 4sin .
22
xx
Ix C=- + +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
m)
x
Ixedx=⋅⋅⋅
ò
ĐS: .
xx
Ixe e C=-+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
n) ln(1 )Ix xdx=⋅-⋅⋅
ò
ĐS:
22
ln(1 ) (1 )
ln(1 ) .
224
xxx
Ix C
-+
=-- - +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
o)
2
sinIxxdx=⋅ ⋅⋅
ò
ĐS:
2
sin 2 cos 2
.
44 8
xx x x
IC=- - +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
p)
2
ln( 1 )Ixxdx=++⋅⋅
ò
ĐS:
22
ln( 1 ) 1 .Ixx x x C=++-++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
q)
1
ln
1
x
Ix dx
x
+
=⋅ ⋅⋅
-
ò
ĐS:
2
11
ln .
21
xx
Ix C
x
-+
=+ +
-
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
r)
3
ln x
Idx
x
=⋅⋅
ò
ĐS:
22
ln 1
.
24
x
IC
xx
=- - +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
s) sin cosIxxxdx=⋅ ⋅ ⋅⋅
ò
ĐS:
11
cos 2 sin 2 .
48
Ixx xC=- + +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
t)
2
cos 3
x
Ie xdx
-
=⋅⋅⋅
ò
ĐS:
2
1
(3 sin 3 2 cos 3 ) .
13
x
Ie x xC
-
=-+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
u)
1cos2
xdx
I
x
⋅
=⋅
+
ò
ĐS:
11
tan ln cos .
22
Ixx xC=+ +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
v)
2
(2 cos 1)Ix xdx=⋅ -⋅⋅
ò
ĐS:
1
sin 2 cos 2 .
24
x
IxxC=⋅ + +
Trang 103
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
w)
3
lnIxxdx=⋅⋅⋅
ò
ĐS:
44
ln
.
416
xxx
IC=-+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
x)
2
sin
x
Idx
x
=⋅⋅
ò
ĐS:
cot ln sin .Ixx xC=- + +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
y)
2
(2)
x
Ixedx=-⋅⋅⋅
ò
ĐS:
22
11
(2) .
24
xx
Ixe eC=- - +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
z)
2
ln( 1)Ixx dx=⋅ +⋅⋅
ò
ĐS:
222
(1)ln(1) 1.Ix x x C=+ +--+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
BT18. Tínhcácnguyênhàmsau:
a)
2
2
1
ln
x
Ixdx
x
-
=⋅⋅⋅
ò
ĐS:
11
ln .Ix xx C
xx
æö
÷
ç
÷
=+⋅ -++
ç
÷
ç
÷
ç
èø
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
b)
cosIxdx=⋅⋅
ò
ĐS:
2sin 2cos .Ixx xC=-+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
c)
sinIxdx=⋅⋅
ò
ĐS: 2cos 2sin .Ixx xC=- + +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
d)
2
3
(8 2 )
x
Ixxedx=-⋅⋅⋅
ò
ĐS:
22
2
(4 1) 4 .
xx
Ix eeC=-⋅-+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
e)
2
3
.
x
Ixedx=⋅⋅
ò
ĐS:
22
2
11
.
22
xx
Ixe eC=-+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
f)
3
5 x
Ixedx=⋅⋅⋅
ò
ĐS:
33
3
11
.
33
xx
Ixe eC=-+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
g)
sin
sin 2
x
Ie xdx=⋅⋅⋅
ò
ĐS:
sin sin
2sin . 2 .
xx
IxeeC=-+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
h)
x
Ixedx=⋅⋅⋅
ò
ĐS: 24 4 .
xxx
Ixe xe eC=- ++
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
i)
2
ln( 1)Ixx dx=⋅ +⋅⋅
ò
ĐS:
222
1
(1)ln(1) .
2
Ix x xxC=+ +--+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
j)
2
1ln( 1)x
Idx
x
++
=⋅⋅
ò
ĐS:
11
ln 1 ln .
1
x
Ix C
xx x
=- - + + +
+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
Trang 105
k) ln( 1)
xx
Iee dx=⋅+⋅⋅
ò
ĐS: (1)ln(1) .
xxx
Ie e eC=+ +-+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
l)
2
3
ln(4 8 3)
(1)
xx
Idx
x
++
=⋅⋅
+
ò
ĐS:
2
2
2
483
ln 4 8 3 4 ln 1 .
2( 1)
xx
xx x C
x
++
++- ++
+
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
m)
1
1ln(1)
2
Ixxdx
x
æö
÷
ç
÷
=+ ⋅+-⋅⋅
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
ĐS:
(1)ln 1 .Ix x x x x xC=+ - + --- +
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
........ ................................................................................................................................................................................
C‐BÀITẬPTRẮCNGHIỆM
Câu194. Mộtnguyênhàmcủahàmsố
()
x
fx xe= là:
A.
x
eC+ B.
(
)
1
x
ex C-+
C.
(
)
1
x
ex C++
D.
2
2
x
x
eC+
Câu195. Mộtnguyênhàmcủahàmsố
2
() ( 2).
x
fx x x e=+
là:
A.
(2 2).
x
xe+ B.
2 x
xe C.
2
().
x
xxe+ D.
2
(2).
x
xxe-
Câu196. Chohàmsố
() .
x
fx xe
-
= .Mộtnguyênhàm ()Fx của ()fxthỏa (0) 1F = là:
A.
(1) 1
x
xe
-
-+ + B. (1) 2
x
xe
-
-+ + C.(1) 1
x
xe
-
++ D.
(1) 2
x
xe
-
++
Câu197. Cho
() sinfx x x= .Nguyênhàmcủa ()fxlà:
A.
cosxxC-+
B.
sin cosxx xC++

C.
sin cosxx xC++
D.
cos sinxx xC-++
Câu198. Nguyênhàmcủahàms ố
2
()
x
fx xe=
làhàmsố:
A.
2
() 2
x
Fx e=
B.
2
1
()
2
x
Fx e=
C.
2
2
() 2
x
Fx xe=
D.
22
()
xx
Fx e xe=+
Câu199. Cho
0
() ln
x
fx tdt=
ò
.Đạohàm '( )fxlàhàmsốnàodướiđây?
A.
1
x
B.
lnx
C.
2
ln x D.
2
1
ln
2
x
Câu200. Mộtnguyênhàmcủa
3
()
x
fx xe=
là:
A.
32
(366)
x
xxxe-+- B.
3
(66)
x
xxe-+
C.
32
(36)
x
xx e+- D.
2
3
x
xe
Câu201. Mộtnguyênhàmcủahàmsố
()
2
.
x
fx xe= là:
A.
()
2
2
x
Fx e=
B.
(
)
2
2
2
x
Fx xe=
C.
()
2
1
2
x
Fx e=
D.
()
22
xx
Fx xe e=+
Câu202. Hàmsố
() ( 1)sinfx x x=+ cócácnguyênhàmlà:
A.
() ( 1)cos sinFx x x x C=+ + + B.
() ( 1)cos sinFx x x x C=- + + +
C.
() ( 1)cos sinFx x x x C=- + - + D. () ( 1)cos sinFx x x x C=+ - +
Câu203. Hàmsố
() lnfx x= cócácnguyênhàmlà:
A.
() (ln 1)Fx x x C=-+ B.
1
()Fx C
x
=+
C.
2
ln
()
2
x
Fx C=+
D.
() (ln 1)Fx x x C=++
Câu204. Hàmsố
1
() cos
cos
fx x x
x
æö
÷
ç
÷
=+
ç
÷
ç
÷
ç
èø
cócácnguyênhàmlà:
A.
2
1
() sin
sin 2
x
Fx x x C
x
æö
÷
ç
÷
=++
ç
÷
ç
÷
ç
èø
B. () (1 sin ) cosFx x x x C=+ - +
C.
() (1 sin ) cosFx x x x C=+ + + D. () (1 sin ) cosFx x x x C=- + +
Câu205. Gọi hàm số ()Fx là một nguyên hàm của () cos3fx x x= , biết (0) 1F = . Vậy
()Fx
là:
A.
11
() sin3 cos3
39
Fx x x x C=++
B.
11
() sin3 cos3 1
39
Fx x x x=++
C.
2
1
() sin3
6
Fx x x=
D.
118
() sin3 cos3
399
Fx x x x=++
Câu206. Tính
x
xe dx
ò
,tađượckếtquảlà:
A.
()
–
xx
Fx e xe C=+
B.
()
xx
Fx e xe C+=+
C.
()
–
xx
Fx e xe C=- +
D.
()
xx
Fx e xe C+=- +
Câu207. Tính cosxxdx
ò
,tađượckếtquảlà:
A.
()
sin cosFx x x x C=++
B.
(
)
sin cosFx x x x C=-+
C.
()
sin cosFx x x x C=- + +
D.
()
sin cosFx x x x C=- - +
Câu208. Tìm
cos2xxdx
ò
là:
A.
11
sin 2 cos2
24
xx xC++
B.
11
sin 2 cos 2
22
xx xC++
Trang 107
C.
2
sin 2
4
xx
C+
D.
sin 2xC+
Câu209. Mộtnguyênhàmcủahàmsố
()
2
() 2
x
fx x xe=+
là
A.
() (2 2).
x
Fx x e=+ B.
2
()
x
Fx xe=
C.
2
() ( ).
x
Fx x x e=+
D.
2
() ( 2).
x
Fx x x e=-
Câu210. Mộtnguyênhàmcủa
2
()
x
fx xe=
là
A.
2
() ( 2 2)
x
Fx x x e=-+
B.
3
()
3
x
x
Fx e=
C.
2
() ( 2 2)
x
Fx x x e=-- D. () 2
x
Fx xe=
Câu211. Nguyênhàm
()
Fx
của ()
x
fx xe
-
= thỏa
()
01F =
là
A.
(
)
() 1 1
x
Fx x e
-
=- + +
B.
(
)
(
)
12
x
Fx x e
-
=- + +
C.
()
() 1 1
x
Fx x e
-
=+ +
D.
(
)
() 1 2
x
Fx x e
-
=+ +
Câu212. Kếtquảnàosaitrongcáckếtquảsau?
A.
2
.cos
sin
2
xx
xxdx C
-
=+
ò
B.
sin cos sinxxdx xx xC=- + +
ò
C.
cos sin cosxxdxxx xC=++
ò
D.
cos 2 1
sin 2 sin2
24
xx
xxdx xC
-
=++
ò
Câu213. Kếtquảnàosaitrongcáckếtquảsau?
A.
3
33
1
39
x
xx
xe
xe dx e C=-+
ò
B.
xxx
xe dx xe e C=-+
ò
C.
2
.
2
xx
x
xe dx e C=+
ò
D.
1
xxx
xx
dx C
eee
-
=-+
ò
Câu214. Kếtquảnàosaitrongcáckếtquảsau?
A.
ln lnxdx x x x C=-+
ò
B.
1
ln xdx C
x
=+
ò
C.
22
ln ln
24
xx
xxdx x C=-+
ò
D.
33
2
ln .ln
39
xx
xxdx x C=-+
ò
Câu215. Kếtquảnàosaitrongcáckếtquảsau?
A.
()
22
ln ln 2 lnxdx x x x x x C=- -+
ò
B.
3
2
ln
ln
3
x
xdx C=+
ò
C.
2
ln ln 1xx
dx C
xx
x
-
=-+
ò
D.
322
ln ln 1
24
xx
dx C
xxx
-
=-+
ò
Câu216. Kếtquảnàosaitrongcáckếtquảsau?
A.
222
1
24
xxx
xx
dx C
eee
-
=-+
ò
B.
xxx
xe dx xe e C
---
=- - +
ò
C.
3
33
1
39
x
xx
xe
xe dx e C=-+
ò
D.
2
22
.
2
xx
x
xe dx e C=+
ò
Câu217. Kếtquảnàosaitrongcáckếtquảsau?
A.
3
2
1
ln .
3
x
xxdx C
x
=+
ò
B.
33
2
ln .ln
39
xx
xxdx x C=-+
ò
C.
()()
222
ln 1 ln 1 1xxdxxxx xC++ = ++ -++
ò
D.
()
sin cos
sin
2
x
x
ex x
exdx C
-
=+
ò
Câu218. Tìmnguyênhàmcủahàmsố
()
() .sin2 1fx x x=+
A.
() ()
1
( ) .cos 2 1 .sin 2 1
24
x
fxdx x x C=- ++ ++
ò
B.
()
2
() .cos2 1
4
x
fxdx x C=- + +
ò
C.
() ()
1
( ) .cos 2 1 .sin 2 1
24
x
fxdx x x C=+-++
ò
D.
() ()
1
() .cos2 1 .sin2 1
22
x
fxdx x x C=- ++ ++
ò
Câu219. Tìmnguyênhàmcủahàmsố
(
)
() .ln1fx x x=+
A.
2
()
2( 1)
x
fxdx C
x
=+
+
ò
B.
()
2
3
1
() ln1 ln(1 )
26
x
fxdx x x x C=+- ++
ò
C.
()
()
22
11
() 1.ln1
242
x
fxdx x x x C=- +-++
ò
D.
()
2
2
11
() ln1 ln( 1)
2422
xx
fxdx x x x C=+--+++
ò
Câu220. Nguyênhàmcủahàms ố:
cos2 .ln(sin cos )Ixxxdx=+
ò
là:
A.F(x)=
()()
11
1 sin2 ln 1 sin2 sin2
24
xxxC++-+
B.F(x)=
()()
11
1 sin 2 ln 1 sin 2 sin 2
42
xxxC++-+
C.F(x)=
()()
11
1 sin2 ln 1 sin2 sin2
44
xxxC++-+
D.F(x)=
()()
11
1 sin2 ln 1 sin2 sin2
44
xxxC++++
Câu221. Nguyênhàmcủahàms ố:
()
2sin3Ix xdx=-
ò
là:
Trang 109
A.F(x)=
()
2cos3
1
sin 3
39
xx
xC
-
-++
B.F(x)=
()
2cos3
1
sin 3
39
xx
xC
-
++
C.F(x)=
()
2cos3
1
sin 3
39
xx
xC
+
-++
D.F(x)=
()
2cos3
1
sin 3
33
xx
xC
-
-++
BÀITẬPTRẮCNGHIỆM–DẠNGTOÁNKHÁC(ĐỌCTHÊM)
Câu222. Trongcácmệnhđềsau,mệnhđềnàosai?
A.Hàmsố
2
61
()
23
xx
Fx
x
++
=
-
và
2
10
()
23
x
Gx
x
+
=
-
lànguyênhàmcủacùngmột
hàmsố.
B.Hàmsố
2
() 5 2sinFx x=+ và () 1 cos2Gx x=- lànguyênhàmcủacùng
mộthàmsố.
C.Hàmsố
2
() 2 2Fx x x=-+lànguyênhàmcủahàmsố
2
1
()
22
x
fx
xx
-
=
-+
.
D.Hàmsố
() sinFx x=
lànguyênhàmcủahàmsố
() cosfx x=
.
Câu223. Cácmệnhđềsau,mệnhđềnàoSAI?
A.
() () ( )
kf x dx k f x dx k R=Î
òò

B.
() () () ()
..f x g x dx f x dx g x dx=
òòò
C.
() () () ()
f x g x dx f x dx g x dx
éù
+= +
êú
ëû
òòò
D.
() ()
()
1
1
m
m
fx
fxfxdx C
m
+
¢
=+
+
ò
Câu224. Để
() ( )
sin cos
x
Fx a x b xe=+ làmộtnguyênhàmcủa
()
cos .
x
fx xe= thìgiátrị
của
a ,
b
là:
A.
1, 0ab==
B.
0, 1ab==
C.
1ab==
D.
1
2
ab==
Câu225. Chohàmsố
()
fx
xácđịnhtrênK .Hàmsố
()
Fx
đượcgọilànguyênhàmcủa
hàmsố
()
fx
trên
K
nếu:
A.
() ()
’,Fx fx x K="Î
B.
() ()
’,Fx fx x K¹"Î
C.
() ()
,fx Fx x K="Î
D.
() ()
,fx Fx x K¹"Î
Câu226. Cáctínhchấtnguyênhàmsauđâytínhchấtnàosai?
A.
'( ) ( )fxdx fx C=+
ò
B.
()
() () 0Kf x dx K f x dx K=¹
òò
C.
() () () ()f x g x dx f x dx g x dx
éù
=
êú
ëû
òòò
D. () ()Fxdx fx C=+
ò
Câu227. Trongcácmệnhđềsau,tìmmệnhđềsai
A.
3
2
()
'( ) ( )
3
fx
fxfxdx C=+
ò
B.
().() () . ()f x g x dx f x dx g x dx
éù
=
êú
ëû
òòò
C.
() () () ()f x g x dx f x dx g x dx
éù
+= +
êú
ëû
òòò
D. () ()kf x dx k f x dx=
òò
(
k
là
hằngsố)
Câu228. Nếu
2
() ( )2 1fx ax bx c x=++ -là một nguyên hàm của hàm số
2
10 7 2
()
21
xx
gx
x
-+
=
-
trênkhoảng
1
;
2
æö
÷
ç
÷
+¥
ç
÷
ç
÷
ç
èø
thì
abc++
cógiátrịlà
A.3 B.0 C.4 D.2
Câu229. Xácđịnha ,
b
,c saocho
2
() ( )2 3gx ax bx c x=++ -
làmộtnguyênhàmcủa
hàmsố
2
20 30 7
()
23
xx
fx
x
-+
=
-
trongkhoảng
3
;
2
æö
÷
ç
÷
+¥
ç
÷
ç
÷
ç
èø
A.
4, 2, 2abc=== B. 1, 2, 4ab c==-=
C.
2, 1, 4abc=- = = D. 4, 2, 1ab c==-=
Câu230. Tìm nguyên hàm
22
() ( tan tan )
x
Fx e a x b x c=++
là một nguyên hàm của
23
() tan
x
fx e x=
trênkhoản
;
22
æö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
pp
A.
22
122
() tan tan
222
x
Fx e x x
æö
÷
ç
÷
ç
=-+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
B.
22
121
() tan tan
222
x
Fx e x x
æö
÷
ç
÷
ç
=-+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
C.
22
121
() tan tan
222
x
Fx e x x
æö
÷
ç
÷
ç
=++
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
D.
22
122
() tan tan
222
x
Fx e x x
æö
÷
ç
÷
ç
=--
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Câu231. Nếu
()
2
()
x
Fx ax bx ce
-
=++ là một nguyên hàm của hàm số
()
()
2
274
x
fx x x e
-
=- + - thì
(
)
;;abc
bằngbaonhiêu?
A.
()
2; 3;1-
B.
()
1; 3; 2
C.
()
1; 1; 1-
D.
()
2; 7; 4--
Câu232. Cho
(
)
(
)
fxdx Fx C=+
ò
.Khiđó,với 0a ¹ ,tacó
()
fax bdx+
ò
bằng
A.
()
1
2
Fax b C
a
++
B.
()
1
Fax b C
a
++
Trang 111
C.
()
Fax b C++
D.
()
.aF ax b C++
Câu233. Cho
()
sin
cos . ; 0
1
;0
1
x
xe x
fx
x
x
ì
ï
"<
ï
ï
ï
=
í
ï
"³
ï
ï
+
ï
î
.Nhậnxétnàosauđâyđúng?
A.
()
sin
;0
21 1; 0
x
ex
Fx
xx
ì
ï
"<
ï
ï
=
í
ï
+-"³
ï
ï
î
làmộtnguyênhàmcủa
()
fx
B.
()
cos
;0
21 1; 0
x
ex
Fx
xx
ì
ï
"<
ï
ï
=
í
ï
+-"³
ï
ï
î
làmộtnguyênhàmcủa
()
fx
C.
()
sin
;0
21 ; 0
x
ex
Fx
xx
ì
ï
"<
ï
ï
=
í
ï
+"³
ï
ï
î
làmộtnguyênhàmcủa
()
fx
D.
()
cos
;0
21 ; 0
x
ex
Fx
xx
ì
ï
"<
ï
ï
=
í
ï
+"³
ï
ï
î
làmộtnguyênhàmcủa
()
fx
Câu234. Kết Một nguyên hàm
()
()
cos 3
sin 3
2sin3 2017
xa x
x
xxdx
bc
-
-=- ++
ò
thì
tổng
.Sabc=+
bằng
A.
15S =
B.
14S =
C.
3S =
D.
10S =
Câu235. Cho các hàm số
() ()
()
2
2
20 30 7
;23
23
xx
fx Fx ax bx c x
x
-+
==++-
-
với
3
2
x >
.Đểhàmsố
()
Fx
làmộtnguyênàmcủahàmsố
()
fx
thìcácgiátrịcủa
,,abclà
A.
4; 2; 1abc===- B. 4; 2; 1abc===
C.
4; 2; 1ab c==-=-
D.
4; 2; 1ab c==-=
| 1/111
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TUYỂN CHỌN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ https://toanmath.com/ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
PHẦN A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT.
DẠNG 1. ÁP DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN.    
Câu 1: Cho hàm số y  2 sin 2x  cos x  1 có nguyên hàm f (x) thỏa mãn f    .  2  2
Khẳng định nào sau đây là sai ?
A. f (x) có hệ số tự do bằng 0.
B. f (x) có hệ số tự do bằng 2.
C. f (1)   cos 2x  sin1 1 .
D. f ( )   1 . Câu 2: Cho hàm số 3
y  3 x  4 x có nguyên hàm f (x) sao cho f (x)  7 Tính giá trị của
biểu thức f (0)  f (64) . A.1796 B.1792 C.1945 D.2016
Câu 3: Tìm một nguyên hàm I của hàm số y   x   2 2
1 x x  4 dx . 1 1
A. I   x x  42 2  2
B. I   x x  42 2  3 2 2 3 1 3
C. I   x x  42 2  3x
D. I   x x  42 2  9 4 2 x 12 2
Câu 4: Cho hàm số f x 
. Một nguyên hàm F (x) của f (x) thỏa mãn F(1)  4  3 x là: 2 x 2 2 x 2 A.  2 ln x   4 B.  2 ln x   4 2 2 x 2 2 2x 2 x 1 9 2 x 2 C.  2 ln x   D.  2 ln x   2 2 2 2x 2 2 2 xxe
Câu 5: Một nguyên hàm F (x) của hàm số f xxe 1
 thỏa mãn F 1  e là: 2 x  
A. F xx 1  e  1
B. F xx 1  e  1 x x
C. F xx 1  e  1
D. F xx 1  e  1 x x    
Câu 6: Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x 2
 sin 2x và F    .  8  16
A. F x 1 1 1
x  sin 4x
B. F x 1 1 1
x  sin 4x  2 8 8 2 8 8 Trang 1
C. F x 1 1 1
x  sin 4x
D. F x 1 1 1
x  sin 4x  2 8 8 2 8 8   
Câu 7: Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số 2
f (x)  tan x biết F  1   Kết quả là:  4   
A. F x  tan x x
B. F x  tan x x  4 4  
C. F x  x  tan x
D. F x  x  tan x  4 4 x x
Câu 8: Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f x 2 2 1  biết F   1 1  . Kết quả x 2 là: x x
A. F x 2 
 2x  ln x  2
B. F x 2 
 2x  ln x  2 2 2 x x
C. F x 2 1 
 2x  ln x
D. F x 2 1 
 2x  ln x  2 2 2 2
Câu 9: Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f x  3x  4 biết F 0  2 . Kết quả là: 2 2 2 2 A. 3 F(x)  (3x  4)  B. 3 F(x)  (3x  4)  9 9 9 9 2 10 2 10 C. 3 F(x)  (3x  4)  D. 3 F(x)  (3x  4)  3 3 3 3
Câu 10: Một nguyên hàm của hàm số f x  3 2
x  3x  5 là: A. 2 3x  6x B. 2
3x  6x C 2 x C. 3
x  5x C D. 4 3
x x  5x C 4
Câu 11: Một nguyên hàm của hàm số g x 4 2  5
x  4x  6 là: 4 A. 5 3
x x  6x C B. 3 20
x  8x C 3 4 C. 3 20  x  8x D. 5 3
x x C 3
Câu 12: Một nguyên hàm của hàm số f x 1  1 là: x 2 1  1 1  1  A.
B. x  ln x C. x D. x    2 x 2 x 2  x
Câu 13: Tính (sinx cosx)dx  là:
A. cosx sinx C
B.cosx sinx C
C. cosx sinx C
D. cosx sinx C 1 Câu 14: Tính 2 3 ( x   2)dx  là: x 3 x 1 A.
ln x  2x C B. 3 x   2x C 3 2 x C. 3
x ln x C D. 3
x ln x  2x C 2
Câu 15: Một nguyên hàm của hàm số f x  là: 2 cos x
A. 2tanx C
B. 2cotx C
C. 2sinx C
D. 2cosx C  1 1  Câu 16: Tính  dx   là:  x 2  x x x 1 1 2 x A.   C B. 2 x   C C.x C D.   C 2 2 2 2 x 2 x 2
Câu 17: Tính ( x e  4)dx  là: 1 A. x e  4x C B.  4x C C.xe C D. x
e  4x C x e 1
Câu 18: Một nguyên hàm của hàm số f x  3  là: 2 sin x
A. 3x tanx C
B. 3x tanx C
C. 3x cotx C
D. 3x cotx C
Câu 19: Cho f x 3 2
 x  3x  2x . Một nguyên hàm F (x) của f (x) thỏa mãn F 1  2 là: 2 x 1 2 x 1 A. 3 2   x x B. 3 2   x x  4 4 4 4 2 x 9 2 x 9 C. 3 2   x x D. 3 2   x x  4 4 4 4   x  1 Câu 20: Tính 3 1 edx   là: 2  x  1  1  1 1 x  1 x  1 A. 3 1 e   C B. 3 1 3 x e   C C. 3 1 3 x e   C D. 3 1 e   C 3 x x x 3 x   
Câu 21: Cho f x  sinx cosx . Một nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn F  0   là:  4  2
A. cosx sinx  2
B.cosx sinx  2 2
C. cosx sinx  2
D. cosx sinx  2
Câu 22: Cho hàm số f x  2x sinx  2cosx . Một nguyên hàm F(x) của f (x) thỏa mãn F 0  1 là: Trang 3 A. 2
x cosx  2sinx B. 2
x cosx  2sinx  2
C. 2  cosx  2sinx D. 2
x cosx  2sinx  2 3x  5
Câu 23: Một nguyên hàm của hàm số y x  là: 2
A. F x  3x  4ln x  2  C
B. F x  3
x ln x  2  C
C. F(x)  3x ln x  2  C
D. F x  3x ln x  2  C x
Câu 24: Một nguyên hàm của hàm số f x  x  là: 1 A. ln x  1
B. x  ln x  1 C. x  ln x  1 D. 2 ln x  1
Câu 25: Một nguyên hàm của hàm số   2
f x tan x là: 3 tan x 3 tan x 1 2 sin x A. B. .
C. tan x x D. 3 2 3 cos x 3 cos x
Câu 26: Một nguyên hàm của hàm số   4 4
f x cos x sin x là: 1
A. cos2x
B. sin2x
C. 2sin2x D. 2 cos x 2
Câu 27: Một nguyên hàm của hàm số f x 2
sin2x  3x là:
A. F x  cos2x  6x
B. F x 1
cos2x  6x 2 1 1
C. F x 3
  cos2x x
D. F x 3
  cos2x x 2 2
Câu 28: Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
A. kf (x)dx k f (x)dx (k  )   
B. f (x).g(x)dx f (x)dx . g(x)dx    m1 f x m ( )
C. f (x)  g(x)dx f (x)dx g(x)dx   
D. f (x) f '(x)dx   Cm  1
Câu 29: Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số f x  2sin2x ? là: A.   2 F x sin x
B. F x  2cos2x
C. F x 1  cos2x
D. F x  cos2x 2
Câu 30: Một nguyên hàm của hàm số f xx 2  9  3x là: A. x 3
F(x)  9  x B. x 3
F(x)  9 ln9  x x 9x
C. F x 9   6x
D. F x 3   x ln 9 ln 9
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Ta có ydx  
2sin x cosx 1dx  sin2xd(2x) cosxdx dx  cos2x sin x x C           Mà. f
  ( cos2x  sin x x C)   C  2    C  2    Chọn B.  2  2 x  2 2 2 2
C â u 2 : T a c ó ydx  
 x x  3 4 3 3 2 3 3 4 dx  3 xdx  4
xdx  2x  3x C   3 4   Mà 2 3
f (1)  7   2x  3x C
 7  C  2 .Do đó f 0  f 64  2C 1792  1796 . x  1   Chọn A. x x  4
C â u 3 : T a c ó 2x 1x x  4dx  x x  4dx x x  4  2 2 2 2 2   C 2 Chọn A. Câu 4:Ta có x 12 2 4 2 x  2x  1  2 1  1 2 F(x) 
f (x)dx dx dx x  
dx x  2 ln x   C      3 3 3 2 x xx x  2x  1  1 9 M à 2 F(1)  4
  x  2 ln x   C  4   C   4   C     .Chọn C. 2  2xx  1 2 2 xe    x x 1 x 1
C â u 5 : T a c ó F(x)  f (x)dx e   1 dx e dx e   C   2 2 x    x x   x 1 x 1
Mà F(1)  e e   C
e C e 1  e C  1
  F(x)  e  1   C h ọ n C xx  1 x Câu 7: Ta có 2 2 sin x 1  cos x  1  2 F(x) 
f (x)dx  tan xdx dx dx
1 dx  tan x x C       2 2 2 cos x cos x  cos x       Mà F
 1  tan x x C
  1  C 1  1  C     4  x  4 4 4 Chọn A. 2 2 x  2x  1  1  x
Câu 8: Ta có F(x)  f (x)dx dx x   2 dx
 2x  ln x C     xx  2 2 1  x  1 Mà. F(1) 
   2x  ln x C
  C  2 Chọn A. 2 2 x    1 2 Trang 5 C â u 9 : T a c ó F x f x dx x dx     x  1 2 dx   x  3 2 ( ) ( ) 3 4 3 4 3 4  C  3x  43 2 2  C 9 9 M à  2  F    x  3 16 2 2  C   C
  C   F x   x  3 2 (0) 2 3 4 2 2 ( ) 3 4    .  9  x  0 9 9 9 9 Chọn A. x
C â u 1 0 : T a c ó F x f x dx  
x x   4 3 2 3 ( ) ( ) 3 5 dx
x  5x C 4 Chọn C. 4
C â u 1 1 : T a c ó F(x)  f (x)dx    4 2 5
x  4x  6 5 3 dx  x
x  6x C Chọn A. 3  1 
Câu 12: Ta có F(x)  f (x)dx  1 
dx x  ln x C    . Chọn B.x Câu 13: Có
sin x cosxdx  sin xdx  cosxdx   d(cosx) d(sin x) sin x cosx C     . Chọn A.  1  dx Câu 14: Ta có 2 2 3 3x
 2 dx  3x dx
 2 dx x  ln x  2x C      . Chọn D.xx 2
Câu 15: Ta có f (x)dx
dx  2 d(tan x)  2 tan x C    .Chọn A. 2 cos x  1 1  1 1 1 x Câu 16: Ta có  dx dx dx d    
 2 x  dx  2 x  C  . Chọn B.x 2  x 2 2 2
Câu 17: Ta có  x  4 x   4   ( x ) 4 x e dx e dx dx d e dx  e  4x C     .Chọn D.  1  dx Câu 18: 3  dx  3dx
 3x  cot x C     . Chọn C. 2 2  sin x  sin x x
Câu 19: F x  x x x 4 3 2 3 2 3 2 ( ) 3 2
dx   x dx  3 x dx  2 xdx  
x x C    4 4 1 9 3 2 F(1)  2  
1 1  C  2  C  . Chọn C. 4 4   1   dx 1 x   e x x x 1 Câu 20: edx e dx   d      e  3 1 3 1 3 1 3 1 2  x dx    C  . Chọn D. 2 2  x x 3 3 x C â u 2 1 :
F(x)  sin x  cos xdx  sin xdx  cos xdx  cos x sin x C   .          F  0   cos  sin
C  0  C  2       Chọn A.  4   4   4  C â u 2 2 :
F x   x x x  2 ( ) 2 sin 2 cos
dx  2 xdx  sin xdx  2 cos xdx x  cos x  2 sin x C    . F   2
0  1  0  cos 0  2 sin 0  C  1  C  2 Chọn B.  3x  5   1  d x  2 Câu 23: dx  3  dx  3 dx
 3x  ln x  2  C       .Chọn C.x  2   x  2  x  2 x  1  d x 1 C â u 2 4 : dx  1  dx dx
x  ln x 1  C      . Chọn C. x  1  x  1  x  1  1  dx C â u 2 5 : . 2 tan xdx  1 dx
dx  tan x x C      Chọn C. 2 2  cos x  cos x 1 sin 2x Câu 26:  4 4
cos x  sin x dx   2 2
cos x  sin x dx  cos2xdx  cos 2xd2x   C   2 2 .Chọn B 1 cos 2x Câu 27:  2
sin 2x  3x  2 3 dx
sin 2xd2x  3 x dx    x C   .Chọn C. 2 2
Câu 28: Từ các tinh chất của nguyên hàm ta dễ dàng chọn được đáp án B. Chọn B
Câu 29: 2 sin 2xdx  sin 2xd  
2x cos2x C . Chọn D x x 9x Câu 30:  2 9  3x  2 3
dx  9 dx  3 x dx   x C   . Chọn D ln 9 Trang 7
DẠNG 2. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM (PHẦN 1) 3 cos x
Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số f (x)  t x là 1  sau phép đặt sin sin x 2 t 2 t
A. F(t)  t   C
B. F(t)  t   C 2 2 2 3 t t 2 3 t t
C . F(t)    C
D . F(t)     C 2 3 2 3 2 x  3
Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 
sau phép đặt t x  3 là 2 x  3  x
A. F(t)  4t  ln t 1  9 ln t  3  C
B. F(t)  4t  ln t  1  9 ln t  3  C
C. F(t)  4t  ln t 1  9 ln t  3  C
D. F(t)  4t  ln t  1  9 ln t  3  C x  2
Câu 3: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 
sau phép đặt t x  2 là
x  6  4 x  2 4 8
A. F(t)  t  4 ln t  2   C
F(t)  2t  8 ln t  2   C t B. 2 t  2 4 8
C . F(t)  2t  4 ln t  2   C
D. F(t)  2t  8 ln t  2   C t  2 t  2 x
Câu 4: Cho nguyên hàm I dx
. Giả sử đăt t  4x  1 thì ta đươc : 4x  1 3 1  t  3 1  t
A. I    t   C
B. I    t   C 8  3  4  3  3 1  t  3 1  t
C. I    t   C
D. I    t   C 8  3  4  3  2 x e  1 
Câu 5: Cho nguyên hàm I   xdx a t   C  
với t e  1 , giá tri của a
x  1 x 1  t e e  bằng A . ‐ 2 B . 2 C . ‐ 1 D . 1 .
Câu 6: Nguyên hàm của hàm số 3 2 y x x  1 là: 1 1 A.
3x 1 x 13 2 2  C B.
3x 2 x 13 2 2  C 15 15 1 1
C.x 1  x 13 2 2  C D.
3x 4 x 13 2 2  C 5 15 x 1
Câu 7: Nguyên hàm của hàm sô y  bằng: x  2 3 2
A.x 1 x  2  C
B.x 1 x  2  C 2 3 2 4 C .
x 1 x 2  C D .
x 1 x 2  C 3 3 x  1 1
Câu 8: Nguyên hàm của hàm số y  . 2 x  2 (x bằng: 2) 3 3 3 2  x  1  2  x  1  2   x 1  A.C   B.C   C  C   D. 9  x  2  3  x  2  9  x  2  3 2 
x 1  C   9  x  2  x  1
Câu 9: Nguyên hàm của hàm sô y  bằng: x  7 2 2
A. 3x 1 x  7  C
B. 3x 1 x  7  C 3 3 2 1
C. 3x 11 x  7  C
D. 2x 1 x  7  C 3 3 dx
Câu 10: Cho nguyên hàm sau I   . Khi đặt 10 t
x  1 ta được: 10 x x  1 dt 1 dt 1 dt 1 dt A. I   B. I   C. I   D. I   t(t  1) 2 10 t 1 3 2 10 t t 2 5 t 1 1
Câu 11: Giả sử F x là một nguyên hàm của hàm số y
.Biết F 1  3 . Vậy 1  x  1 F(2) bằng:
A. 5  ln2  C B. 5  ln2 C. 5  21n2
D. 5  21n2  C x
Câu 12: Nguyên hàm của hàm số y   là:   x 2 1 1
A. x  4 x  1  4 ln  x 1 1  C
B. x  1  4 ln  x 1 1  C
C. x  1  2 x  1  2 ln  x 1 1
D. x  4 x  1  2 ln  x 1 1  C x  2
Câu 13: Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số y
. Biết F(10)  40 . Vậy F 2 x  1 bằng: 10 32 20 A. B. C. D. 4 3 3 3 Trang 9 1
Câu 14: Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số f (x)  . x 1  2 ln x 1  2 ln x 1  2 ln x
A. 2 2 ln x  1
B. 1  2 ln x C. D. 4 2 3 x
Câu 15: Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số f (x)  2 1  x  2x   2 2 1  x  2x   2 1 1  x A. B.  3 3  2x   2 1 1  x  2x   2 2 1  x C. D. 3 3 3 x
Câu 16: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)  : 4 x  5 1 1 1 1 A. 4 x  5  C B. 4 x  5  C C. C D. C 8 4 4 4 x  5 4 8 x  5 3 x
Câu 17: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 
, khi đặt t  3  x : 3  x A. 4 2
t  6t  9  C B. 4 2 2
t 12t 18  C 2 1 C. 5 3
t  4t 18t C D. 5 3
t  2t  9t C 5 5 2 ln x
Câu 18: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)  : 3 x 2  ln x 2 1 A. 3 
2  ln x C B. 3 
2  ln x C 3 3 2 1 C . 3
2  ln x C D . 3
2  ln x C 3 3
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đặt t  sin x dt  cos xdx khi đó ta có  2
1  sin x d sin x  2 3 2 1 cos cos cos  t dt xdx x xdx         1t 1 2 dt t t C 1  sin x 1  sin x 1  sin x 1  t 2 . Chọn A. Câu 2: Đặt 2 t
x  3  t x  3  2tdt dx khi đó ta có  4 x t tdt
 2t 2t 3t 39t 1 2 3 2 .2  dx   dt    2 2 x  3  x t  2t  3
t 3t 1  1 9   4  
dt  4t  ln t 1  9 t  3  C    t  1 t  3  Chọn A. Câu 3: Đặt 2 t
x  2  t x  2  2tdt dx khi đó ta có  2 x t tdt
 2t 4t 48t 28 2 .2 dx   dt    2 2
x  6  4 x  2 t  4t  4 t  4t  4   8 8 8  2    dt t t    C  t2  t  2 2 8 ln 2 2  t  2  Chọn B. Câu 4: Đặt 2 t
4x  1  t  4x  1  2tdt  4dx tdt  2dx khi đó ta có 2 t  1 tdt . x 1   dx      1 1 4 2 2 t 1 3 dt
t t C   4x  1 t 8 8  3  Chọn C. tdt x x x 2 Câu 5: Đặt 2 2
t e  1  t e  1  2tdt e dx  2tdt  (t  1)dx dx  khi đó ta 2 t  1 có
t  2 tdt 2 2 1 .   2  2 t 1  1   1 t 1  I   2 dt  2 1  dt  2 t
C a  2       3 2 2 t tt   t Chọn B. Câu 6: Ta có 1 1 3 2 2 2 x x 1dx x x 1d  
 2x 1  2x 1 2 2 x 1 x 1          d  2 x  1 2 2   . 1  2    2  1 2 x  15   2
x  13   C   2 3x  2  2 2 x  13 2  C 2 5 3  15   Trang 11 Chọn B. Câu 7: Ta có x 1  1  2 dx x  2  dx      x23 2
2  2 x  2   x 1 x  2  C . Chọn C. x  2  x  2  3 3 x  1 x  1 3  dx dx 2 Câu 8: Đặt 2 t   t   2tdt  
  tdt khi đó ta có x  2 x  2 x 22 x 22 3 3 x  1 dx  2  2 2 2  x  1  2 3
t t dt  
t dt   t C    C       
x  2  x  2 . 2  3  3 9 9  x  2  C h ọ n C . Câu 9: Ta có x  1  6  2 dx x  7  dx      x73 2
2  12 x  7   x 11 x  7  C x  7  x  7  3 3 Chọn B. tdt Câu 10: Đặt 10 2 10 9 t
x  1  t x  1  2tdt  10x dx dx  khi đó ta có 9 5x dx tdt tdt 1 dt        x x  1 5x x  1 5  2 10 10 10 t  1 2 t 5 t 1 Chọn D. Câu 11: 1   t x t 2 1 F(x) 
dx  F(x)  dt   1  x  1 1  t  2   F(x)  2 
dx  2t  2 ln t  1  C    t  1 
 2 x 1  2 ln x 1 1  C  2 x 1  2 ln 1 x 2 C
Bài ra F(1)  3  0  2 ln1  C  3  C  3  F(2)  2  2 ln 2  3  5  2 ln 2 . Chọn C 2 x      t t t t x t 1 1 1 .2 Câu 12: 1 F(x) 
dx  F(x)  d    2t 1   2 2        x 1 t t 1 1 1 2 2 t t
t 1t 2 2  2   F(x)  2 dt  2 dt  2 t  2  dt     t  1 t  1  t  1  2  t
F(x)  2  2t  2ln t 1   C x 1 4 x 1  4ln1 x 1 C  2  Chọn A 2 2 x  2   t t x t 3 3 Câu 13: 1 F(x) 
dx  F(x)  d    2t 3  .2tdt  2 
 2t 3dt x  1 t t 3  t  2
F(x)  2  3t   C
x 13  6 x 1  C  3  3 2 2 32 Bài ra 3 F(10)  40 
9  6 9  C  40  C  4  F(2)   6  4  . Chọn B 3 3 3 Câu 14: F x  1 1  dx d    x 1 1 ln  d
1 2ln x  1 2ln x C . x 1  2 ln x 1  2 ln x 2 1  2 ln x Chọn B 3 2 2 2 x 1 x    t x t 1 1
Câu 15: F(x)  dx d    2x 1   F(x)  d   2 1  t  2 2  2  2 1 1 t x x    2 1 1  t t F x  .   2
tdt  t 1 3 1 2 dt
t C   2t 3t C 2 t 3 3    xx 1  x  3  2 2  2 1 1 2 2
1  x C  
C . Chọn D 3 3 3 x 1 1 1 Câu 16: dx d    4x 5 4 
x  5  C Chọn A 4 4  4  8 x 5 x 4 Câu 17: 3t 2 2 2     ttH d 3  t   2 3   .   2  tdt  2
 t 6t 9 5 2 4 2 3 dt  2
   2t  9t   C t t  5  Chọn C 2 2 ln x ln x 1 1 Câu 18: dx d   ln x  d   3 ln x  3 3 3   3 x 2 ln x 2 ln x 2  ln x 1 1   d   2 3 2  ln x  3  
2  ln x C . Chọn A 3 3  3 2 ln x Trang 13
DẠNG 3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM PHẦN 2.
Câu 1: Xét nguyên hàm 2 I  4  x dx
với phép đặt x  2sin t . Khi đó A. I  2
 1cos2tdt B. I  2
 1cos3tdt C. I  2
 4cos2tdt D. I  2
 12cos2tdt x
Câu 2: Sử dụng phép đặt x  tan t thì J dx
là nguyên hàm nào sau đây 2 1 x 1 1
A. J  tan tdt
B. J  tan 2tdtC. J  tan 2tdtD. 2 J  tan tdt  2 2 1
Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số f x  2 x  1
A. I  tan x C
B. I  cot x C
C. I  arctan x C
D. I  arccot x C
Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số f x 2  1 x 2
arcsin x x 1 x 2
arcsin x x 1 x A. f
 xdx   C B. f
 xdx   C 2 2 2
2 arcsin x x 1 x 2
2arcsin x x 1 x C. f
 xdx   C D. f
 xdx   C 2 2 2 x
Câu 5: Tìm một nguyên hàm của hàm số f x  2 1 x 2
arcsin x x 1 x 2
arcsin x x 1 x A. f
 xdx   2 B. f
 xdx   C 2 2 2
2 arcsin x x 1 x 2
2arcsin x x 1 x C. f
 xdx   C D. f
 xdx   2x 2 2
Câu 6: Tính nguyên hàm của hàm số f x 2 2
x 9  x khi đặt x  3sin t 81t 81 t 1 1 1 A.
sin 4t C B.  sin 4t C
C. t  sin 4t C
D. 2t  sin 4t C 8 32 2 8 4 2 2 x
Câu 7: Tính nguyên hàm của hàm số f x  2 1 x arcsin x 1 A. 2
arcsin x x 1 x C B. 2
x 1 x C 2 2 x arcsin x 1
C. arcsin  C D. 2
x 1 x C 2 2 2    
Câu 8: Cho nguyên hàm 2 2 I x 4  x dx
. Nếu đổi biến số x  2sin t với t   ;  thì 2 2    cos 4t sin 8t
A. I  2t   C
B. I  2t   C 2 4 cos 4t sin 4t
C. I  2t   C
D. I  2t   C 2 2 dx x
Câu 9: Nguyên hàm 
với phép đặt t  tan trở thành 1 sin x 2 2dt 2dt dt 2dt A.   B.C.D.  1 t 2 1t3  t2 3 1 31 t2
Câu 10: Sử dụng phép đặt x  sin t , tìm biểu diễn của nguyên hàm 2
I  1 x dt
A. I  2 cos t cos tdtB. 2
I  2 sin t cos tdt
C. I  cos t cos tdt
D. I  4 sin t cos tdt       
Câu 11: Cho nguyên hàm 2 I  4  x dx
. Khi đặt x  2sin t t   ;   ta được:   2 2    
A. I  2t  sin 2t C B. I  2t  sin 2t C C. I t  sin 2t C D. I  4t  2sin 2t C 2 1 x
Câu 12: Để tính nguyên hàm I  dx
. Bạn A làm như sau: 2 x      
Bước 1: Đặt x  sin t t   ;
;t  0  dx  costdt     2 2     2 2
1 sin x.cos tdt cos t
Bước 2: Khi đó I   dt   2 2 sin t sin t 3 3 cot t cot x Bước 3: 2
I  cot tdt   C I   C
(với t  sin x) 3 3
Vậy bạn A làm đúng hay sai?
A. Bạn A làm sai bước 1
B. Bạn A làm sai bước 2
C. Bạn A làm sai bước 3
D. Bạn A làm hoàn toàn đúng dx
Câu 13: Cho nguyên hàm F x  
. Biết rằng F 0 
. Vậy F 2 có giá trị bằng 2 x  4 8   
A. F 2  B. F 2  C. F 2 
D. F 2  0 8 2 4 1
Câu 14: Họ nguyên hàm của hàm số f x 
sau phép đặt x  sin t , với 2 2 x 1 x     t   ; \     0 là  2 2 
A. F t    tan t C
B. F t    cot t C
C. F t   tan t C
D. F t   cot t C 2 9  x
Câu 15: Họ nguyên hàm của hàm số f x 
sau phép đặt x  3sin t , với 2 x     t   ; \     0 là  2 2  2 9t
A. F t   9c  ot t   C
B. F t   9c
 ot t  9t C 2 2 t
C. F t   cot t   C
D. F t    cot t t C 2 Đáp án 1‐A 2‐A 3‐C 4‐B 5‐A 6‐A 7‐B 8‐D 9‐A 10‐C 11‐B 12‐C 13‐C 14‐B 15‐D Trang 15
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án A    
x  2sin t với t   ;
dx  2costdt  2 2    2 2  I
4  x dx  4 cost cost dt  4 cos tdt  2   
1cos2tdt .
Câu 2: Đáp án A  tan dt xdx x t dx   J   tan tdt   2 2 cos t 1 x
Câu 3: Đáp án C  tan dt dx x t dx  
dt t C  arctan x C   2 2 cos t x 1
Câu 4: Đáp án B    
x  sin t với t   ;
dx  costdt  2 2    1 t sin 2 2 2  1  cos cos  cos     1cos2  t x dx t t dt tdt t dt    C 2 2 4 2
arcsin x  sin t.cos t
arcsin x x 1 x   C   C 2 2
Câu 5: Đáp án A    
x  sin t với t   ;
dx  costdt  2 2    2 2 x dx sin t cos tdt 1 2    sin tdt    
1cos2tdt 2 1 cost 2 x 2
t  sin t cos t
arcsin x x 1 x   C   C 2 2
Câu 6: Đáp án A    
x  3sin t với t   ;
dx  3costdt  2 2 2
x 9  x dx  81 sin t cost cost dt   2 2    81 81 81t 81sin 4 2  sin 2   1cos4  t tdt t dt    C . 4 8 8 32
Câu 7: Đáp án B    
x  sin t với t   ;
dx  costdt    2 2  2 2 x dx sin t cos tdt 1 2    sin tdt    
1cos2tdt 2 1 cos t 2 x 2
t  sin t cos t
arcsin x x 1 x   C   C 2 2
Câu 8: Đáp án D    
x  2sin t với t   ;
dx  2costdt  2 2    2 2 2  sin 4t x
4  x dx  16 sin t cost cost dt   2  4 sin 2tdt  2 
1cos4tdt  2t   C 2
Câu 9: Đáp án A x dx dx dx 2 2   tan    1 tan x dt t dt     2
1 t   dx  2 2 2 x 2  2 2cos  2 1 t 2 2tt  2 1 dx dt
Mặt khác sin x 1  1    2   2 2 t 1 t 1 1 sin x 1t2
Câu 10: Đáp án C 2
x  sin t dx  cos tdt I  1 x dt  2
 cost 1 sin tdt  cost cost dt  
Câu 11: Đáp án B      
x  2sin t t   ;
dx  2costdt     2 2     2 2  I
4  x dx  4 cos tdt  2  
1cos2tdt  2t sin2t C
Câu 12: Đáp án C 2 2 cos t 1 sin t  1  Bước 3 sai vì I dt dt  1   
  cot t t C 2 2  2  sin t sin t  sin t
Câu 13: Đáp án C x 2 arctan  1 2 tan dt dx t 2 x t dx   F x    dt   C   C  2   2 cos t x  4 2 2 2    F 0 
C   F 2  8 8 4
Câu 14: Đáp án B dx cos  cos tdt dt dx tdt     
  cot t C  2 2 2 1 sin t cos t 2 x x sin t
Câu 15: Đáp án D 2 9  x cos t 2 cos t  1 
dx  3cos tdt dx  cos tdt    dt
1 dt   cot t t C   2 2   x sin t 2 2 sin t  sin t Trang 17
DẠNG 4. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHÂN ĐỂ TÌM NGUYÊN HÀM
Câu 1: Nguyên hàm I x ln  x   1dx bằng 2 2 x 1 x x 2 2 x 1 x  2x A. ln  x   1    C B. ln  x   1   C 2 4 2 2 4 2 2 x 1 x 2 2 x x x C. ln  x   1   x C D. ln  x   1    C 2 4 2 4 2
Câu 2: Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f x  x  ln  x  
1 . Biết F 0 1 , vậy
F x bằng: 2 x  2x 2 x  2x A.  x   1 ln  x   1 1 B.
x ln x   1 1 2 2 2 x x 2 x  2x C.  x   1 ln  x   1 1 D.   2 x   1 ln  x   1 1 2 2 ln  x  2
Câu 3: Nguyên hàm của hàm số y  bằng: 2 x ln x
x  2lnx  2 ln x
x  2lnx  2 A.   C B.   C 2 x 2x x ln x
x  2lnx  2 ln x ln  x  2 C.   C D.   C 2 2x 2 x  
Câu 4: Giả sử F x là một nguyên hàm của hàm số f x 1  x  ln x   . Biết F   1  0 .  x
Vậy F x bằng: 2 2 2
x  2x ln x ln x 1 2 2 2
x  2x ln x ln x 1 A.   B.   4 2 4 4 2 4 2 2 2
x  2x ln x ln x 1 2 2 2
x  2x ln x ln x 1 C.   D.   4 2 4 4 2 4
Câu 5: Hàm số   x
f x xe có các nguyên hàm là: A.   x x
F x xe e C B.   2 x
F x x e C  1
C. F xx 1 x e    C D.   x
F x e x   1  C x 1
Câu 6: Hàm số f x   x  
1 sin x có các nguyên hàm là:
A. F x   x  
1 cos x  sin x C
B. F x   x  
1 cos x  sin x C
C. F x    x  
1 cos x  sin x C
D. F x    x  
1 cos x  sin x C
Câu 7: Hàm số f x  ln x có các nguyên hàm là:
A. F x  x ln x   1  C B.   1 F x   C x 2 ln x
C. F x   C
D. F x  x ln x   1  C 2
Câu 8: Gọi hàm số F x là một nguyên hàm của f x  x cos 3x , biết F 0  1 . Vậy F x là:
A. F x 1 1
xsin 3x  cos3x C
B. F x 1 1
xsin 3x  cos3x 1 3 9 3 9 1
C. F x 2  x sin 3x
D. F x 1 1 8
xsin 3x  cos3x  6 3 9 9
Câu 9: Nguyên hàm F x của   x f x xe 
thỏa mãn F 0  1 là: A.     1 x F x x e    1 B.     1 x F x x e     2 C.     1 x F x x e   1 D.     1 x F x x e    2
Câu 10: Kết quả nào sai trong các kết quả sau?  .c x os x
A. x sin xdx   C
B. x sin xdx   cos x  sin x C  2  .c x os 2x 1
C. x cos xdx x sin x  cos x C
D. x sin 2xdx   sin 2x C  2 4
Câu 11: Kết quả nào sai trong các kết quả sau? 3x xe x 1 A. 3 3x xe dx   e CB. x  . x x xe dx
x e e C  3 8 2 x xx 1 C. x xe dx  . x e CD. dx    C  2 x x x e e e
Câu 12: Tìm nguyên hàm của hàm số     2   1 x f x x e
A.       2 1 x f x dx x e C
B.       1 x f x x e C
C.      2  2  2 x f x dx x x e C
D.      2  2  2 x f x dx x x e C
Câu 13: Tìm nguyên hàm của hàm số f x 2
x 3.ln x   1  1 1   1  A. f  x 3 dx x . ln   C   B. f  x 3 dx x ln x   C    x 3   3  1 C. f  x 3
dx x .ln x C D. f  x 3 dx x .ln  C x
Câu 14: Họ nguyên hàm của hàm số   ln x f x
qua phép đặt t x là x
A. F t  2
 2t ln t  4t C
B. F t  2
 2t ln t  4t C C. 2
2t ln t  4t C D. 2
2t ln t  4t C ln 1 x
Câu 15: Họ nguyên hàm của hàm số f x    là: 2 x
A. F x  2 x  
1 ln 1 x  2x C
B. F x  2  x  
1 ln 1 x  x C 1 x 1 x
C. F x  
.ln 1 x  ln x C
D. F x 
.ln 1 x  ln x C x x
Câu 16: Tìm nguyên hàm H của hàm số f x   2 3x   1 ln x x 3 x
A. H x x   3 2 1 ln x   x C B. 3
H x ln x   x C 3 3 x 3 x
C. H x x   3 2 1 ln x   C D. 3
H x ln x   C 3 3
Câu 17: Họ nguyên hàm của hàm số f x  cos x sau phép đặt t x x  0 là:
A. F t   2t cos t  2sin t C
B. F t   2t sin t  2 cos t C
C. F t   2t cos t  2sin t C
D. F t   2t sin t  2cos t C x sin x
Câu 18: Nguyên hàm của hàm số y  bằng 3 cos x Trang 19 x tan x x tan x A.   C B.   C 2 2 cos x 2 2 2 cos x 2 xx C.
 tan x C D.
 tan x C 2 2 cos x 2 2 cos x
Câu 19: Tìm nguyên hàm H của hàm số f x  x ln x
3ln x  2 x x
2ln x 3 x x A. H   C B. H   C 9 9
6ln x  4 x x
4ln x 6 x x C. H   C D. H   C 9 9 Đáp án 1‐A 2‐A 3‐C 4‐B 5‐D 6‐B 7‐A 8‐D 9‐A 10‐A 11‐A 12‐A 13‐C 14‐D 15‐C 16‐A 17‐B 18‐B 19‐C
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án A 1 1 1
Ta có x ln  x   1 dx  ln  x   1 d  2 x  2
x ln x   2 1 
x d ln  x     1 2 2 2 2 1 1 x 1 1  1 2 
x ln x   2 1  dx x ln  x  1  x 1 dx   2 2 x 1 2 2  x 1  2 2 1 1  1  x 1 2  ln    2 1    ln     1  ln     1 x x x x x x x x    C . 2 2  2  2 4 2
Câu 2: Đáp án A 1 1
Ta có F x   x  ln  x   1  2 dx
x  ln  x   2
1 dx x x ln  x  
1  xd ln  x     1 2 2 1 x 1 x  2 2  x
x x ln  x   2 1  dx x x ln 
x  1  x  lnx  1   x   1 ln  x   1  C 2 x 1 2 2
Câu 3: Đáp án C ln  x  2  1  ln x  2 1 Ta có
dx   ln x  2 d    d ln x  2    2          xx x x  ln x  2 dx    x x x  2
ln  x  2 1  x  2  x ln  x  2 1 1    dx    x x   Cx 2 x x  2 ln ln  2 x 2 2 ln x
x  2lnx  2    C x 2x
Câu 4: Đáp án B  1  ln x 1 Ta có x
ln xdx x ln dx dx  ln xd     
 2x ln xd  ln x  x x 2 1 1 1 1 1 1 2 2  x ln x x d  ln x 2 2 2
 ln x x ln x  ln x xdx  2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1
x  2x ln x ln 2 2 2  ln  ln x x x x x    C 2 2 4 4 2 2 2 2 1
x  2x ln x ln x Mà F  
1  0  C   F x    C 4 4 2
Câu 5: Đáp án D Ta có x     xx x x x xe dx xd e
xe e dx xe e C
Câu 6: Đáp án B Ta có x  
1 sin xdx x sin xdx  sin xdx   xd  
 cos xcos x  xcos x cos xdxcos x
 x cos x  sin x  cos x C  x  
1 cos x  sin x C
Câu 7: Đáp án A
Ta có ln xdx x ln x xd
 ln x  xln xdx xln xxC
x ln x   1  C
Câu 8: Đáp án D Trang 21 1 1 1 1 1
Ta có x cos 3xdx xd
 sin3x  xsin3x sin3xdx
x sin 3x  cos 3x C 3 3 3 3 9 8 1 1 8
Do F 0  1 C   F x  x sin 3x  cos 3x  . 9 3 9 9
Câu 9: Đáp án A Ta có:  x      x  xx xe dx xd e
 xe e dx   xx         1 x xe e C x eC Mà 0 1 1     1 x F C F x x e        1
Câu 10: Đáp án A
Ta có x sin xdx   xd
 cos x  xcos x cos xdx  xcos xsin xC  .
Câu 11: Đáp án A x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Ta có 3     3  3 3 3 3x xe dx xd exe e dx xe e C  3 3 3 3 9
Câu 12: Đáp án A 2 u x 1 du  2xdx Đặt   
. Suy ra      2   1 x  2 . x f x dx x e x e dxx xdv e dxv e dxu  2xdu  2dx Đặt    x x dv e dx   v e dx
Suy ra      2   x x     2 1 2 .  
1 x  2 . x  2. x f x dx x e x e dx x e x e e dx       x x x       2 2 1 2 . 2. 1 x x e x e e C x e C .
Cách khác: Đối với nguyên hàm từng phần dạng
  . x   . x   . x   . x ... . x f x e dx f x e f x e f x e k e C .
 2   x   2   x x x      2 1 1 2 2.  2   1 . x x e dx x e xe e C x x e C
Câu 13: Đáp án C   3    3ln 1 du dx u x  x Đặt    2 3 dv x dx x   v    3 3 3 3 x x x Suy ra 2 x   x   dx   x   2 3.ln 1 . 3ln 1  x dx  . 
3ln x  1  C 3
x .ln x C 3 3 3
Câu 14: Đáp án D
Đặt t x  2tdt dx 2 ln t Suy ra f
 xdx  . 
2tdt  4 lnt.dt  4t lnt  4 t.d
 lnt  4tlnt 4 dt
  4tlnt 4t C t
Quan sát các đáp án ta thấy D đúng, vì 2
2t ln t  4t C  4t ln t  4t C .
Câu 15: Đáp án C
u    x 1 ln 1 du dx    1 x Đặt  1   dv dt 1 1 x  2   v   1 x    x x 1 x 1 1 x
Suy ra F x   .ln 1 x  dx   ln 
1 x  ln x C x x x
Câu 16: Đáp án A  1  u  ln x du dx   Đặt    dv    x 2 3x   1dt 3
v x x x 2x   1 x
Suy ra F x  x x   x  x  dx xx   3 2 2 2 1 ln 1 1 ln x   x C 3
Câu 17: Đáp án B
Đặt t x  2tdt dx . Suy ra F t   2t cos tdt   u  2tdu  2dt Đặt   
F t  2t sin t  2cost C dv  costdtv  sin t
Câu 18: Đáp án B u xdu dx   Đặt  sin x
d cos x   1 dv dx   v   3 3  2  cos x cos x  2.cos x x 1 1 x tan x
Suy ra F x   dx    C  2 2 2 2 cos x 2 cos x 2cos x 2
Câu 19: Đáp án C   1   ln du dx u x    x Đặt    dv xdx 2  v x x   3 2 2 2 4 6ln x  4  x x H x x ln x xdx x x ln x x x C    C 3 3 3 9 9 Trang 23
DẠNG 5. TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ. x
Câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f x 1  x 1 A. f
 xdx  x2ln x1 C B. f
 xdx  x2ln x1 C C. f
 xdx x 2ln x1 C D. f
 xdx x2ln x1 C 2 x x  4
Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f x  x  3 2 x  2x 2 x  4x A. f
 xdx
10ln x  3  C B. f
 xdx
10ln x  3  C 2 2 2 x  2x 2 x  4x C. f
 xdx
10ln x  3  C D. f
 xdx
10ln x  3  C 2 2 5  x
Câu 3: Tìm một nguyen hàm của hàm số f x  2 3  2x x x x A. f  x  2 3 dx  ln B. f  x  2 3 dx   ln  C x 1 x 1 x x C. f  x  2 3 dx  ln  C D. f  x  2 3 dx   ln  C x 1 x 1 dx
Câu 4: Cho I   f x C
, giá trị biểu thức f 2 bằng: 2   x  2x  3 A. f   1 2   ln 4 B. f   1 2  ln 4 C. f   1 2   ln 3 D. f   1 2  ln 3 3 3 4 4 2x 1
Câu 5: Cho nguyên hàm I dx
, nếu đổi biến số t  2x 1 thì 2 4x  4x 1 1 1 1 1 1 1
A. I  ln t   C B. I  ln t   C C. I  ln t   C
D. I  ln t   C 2 t 2 t t t 2x
Câu 6: Họ nguyên hàm của hàm số f x   là 1 x3 2 1 2 1
A. F x    C
B. F x    C x 1 x  2 1 x 1 x  2 1 1 1 1 1
C. F x    C
D. F x    C
1 x 41 x4
1 x 41 x4 2 x x
Câu 7: Họ nguyên hàm của hàm số f x   là x  2 1 3 2
A. F x  x 1         
B. F x 2 x 1 3ln x 1 C x   C 2 1 x 1 x 1 3 2
C. F x  x 1         
D. F x 2 x 1 3ln x 1 C x   C 2 1 x 1 x 1 1
Câu 8: Họ nguyên hàm của hàm số f x  a  0 là: 2 2   x a a x x a
A. F x 1   ln  C F x   C 2a a B.   1 ln x 2 x a x a x a
C. F x 1  ln  C
D. F x 1  ln  C 2 x a 2a x a 1
Câu 9: Họ nguyên hàm của hàm số f x   là
x a x b   A.   1  ln x a F xC   b a x B.   1 ln x b F x C b a b x a   C.   1  ln x a F xC D.   1   ln x a F xC a b x b a b x b 4x  3
Câu 10: Họ nguyên hàm của hàm số f x  2 x  3x  là 2 x x
A. F x 1  4ln x  2  ln  C F x x    C x B.   1 4 ln 2 ln 2 x  2 x x
C. F x 2  4  ln x  2  ln  C
D. F x 2  4ln x  2  ln  C x 1 x 1 dx Câu 11: Tìm  là 2 x  3x  2 1 1 x  2 A. ln  ln  C B. ln  C x  2 x 1 x 1 x 1 C. ln  C
ln x  2 x 1  C x D.    2 3x  5
Câu 12: Tìm nguyên hàm của hàm số y  là x  2
A. F x  3x  4 ln x  2  C
B. F x  3
x  ln x  2  C
C. F x  3x  ln x  2  C
D. F x  3x  ln x  2  C x
Câu 13: Một nguyên hàm của hàm số f x  là: x 1
A. F x  ln x 1
B. F x  x  ln x 1
C. F x  x  ln x 1
D. F x  2 ln x 1 2 x  2x 1
Câu 14: Nguyên hàm F x của f x 
, thỏa mãn F   1  0 là: 2 x  2x 1
A. F x 2  x   2
B. F x 2  x   2 x 1 x 1
C. F x  x  x  2 2ln 1
D. F x 2  x   2 x 1 x
Câu 15: Nếu một nguyên hàm của f x là F x 1 
thì f x   1 là: x 1 2 2 2 A. 2 2x B. C. x 1 D. 2 x ln xx  2 1 dx Câu 16: Tính  2 x  2x  3 1  x 1 1  x  3 1 x  3 1 x 1 A. ln  C B. ln  C C. ln  C D. ln  C 4 x  3 4 x 1 4 x 1 4 x  3 2x  3
Câu 17: Nguyên hàm của hàm số I dx  là: 2 2x x 1 Trang 25
A. F x 2 5
 ln 2x 1  ln x 1  C
B. F x 2 5
 ln 2x 1  ln x 1  C 3 3 5 2
C. F x 2 5
  ln 2x 1  ln x 1  C
D. F x 2 5
  ln 2x 1  ln x 1  C 3 3 3 3
Câu 18: Gọi F x là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số f x 1 
thì F x 1 2x là: 
A. F x 1 
ln 1 2x C
B. F x 1
 ln 1 2x C 2 2 x
C. F x  ln 1 2x C
D. F x   C 2 x x 3 x 1
Câu 19: Nguyên hàm của hàm số f x  là: x 1 3 2 x x 3 2 x x
A. F x  
x  2ln x 1  C
B. F x  
x  2ln x 1  C 3 2 3 2 3 2 x x 3 2 x x
C. F x  
x  ln x 1  C
D. F x  
x  2ln x 1  C 3 2 3 2 x  2 2 1
Câu 20: Cho hàm số f x 
. Một nguyên hàm F x của f x thỏa manãn 3 x F   1  4  là: 2 x 2 2 x 1 A.  2ln x B.  2ln x   4 2 2 x  4 2 2 2x 2 x 2 2 x 2 C.  2ln x   4 D.  2ln x   4 2 2 x 2 2 x Đáp án 1‐C 2‐D 3‐A 4‐C 5‐B 6‐A 7‐B 8‐D 9‐C 10‐B 11‐B 12‐C 13‐C 14‐A 15‐B 16‐D 17‐D 18‐A 19‐B 20‐C
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án C x 1  2  Ta có : dx  1
dx x  2 ln x 1  C    x 1  x 1 
Câu 2: Đáp án D 2 x x  4  10  1 Ta có 2 dx x  2  dx
x  2x 10 ln x  3  C    x  3  x  3  2
Câu 3: Đáp án A 5  x
x 3  21 x  1 2  Ta có dx dx   dx   
 2 ln x  3  ln x 1  C 2   3  2x x
x 31 x 1 x x  3     x   x 2 2 3 ln
3  ln x 1  C  ln  C x 1
Câu 4: Đáp án C dx dx 1 x  3 1 x  3 1 Ta có   ln  C  
f x  ln
f 2   ln3 2 x  2x  3
x 3x   1 4 x 1 4 x  1 4
Câu 5: Đáp án B 1 t  2 1 dt dt 1 1
Đặt t  2x 1  I dt  
 ln t   C    2 2 2 t 2 t t 2 t
Câu 6: Đáp án A 2x 2  21 x  2 2  1 2 Ta có           dx dx dx C   1 x3 1 x3
 1 x3 1 x2  x    2 1 x 1
Câu 7: Đáp án B Ta có x xx  2 2 1  3 x   1  2  3 2  2 dx dx  1 
dx x  3ln x 1       x   C 2 1 x  2 1  x 1 x   2 1  x 1 
Câu 8: Đáp án D 1 1 1 x a Ta có dx dx  ln  C   2 2 x a
x ax a 2a x a
Câu 9: Đáp án C 1 1
x b x a 1 x a Ta có   
    dx  
     dx  ln  C x a x b a b x a x b a b x b
Câu 10: Đáp án B 4x  3 5 x   1   x  2 x  2 Ta có dx
dx  5 ln x  2  ln x 1  4 ln x  2  ln  C   2 x  3x  2
x  1x  2 x 1
Câu 11: Đáp án B 1 1 1
Ta có f x    2 x  3x  2 x  2 x 1 Trang 27 1  1 1  x  2 Suy ra dx  
dx  ln x  2  ln x 1  C  ln  C   2   x  3x  2
x  2 x 1 x 1
Câu 12: Đáp án C 3x  5 1 Ta có y   3  x  2 x  2 x   
Suy ra F x 3 5 1  dx  3 
dx  3x  ln x  2  C    x  2  x  2 
Câu 13: Đáp án C x
Ta có f x 1  1 x 1 x 1 x  
Suy ra F x 1  dx  1
dx x  ln x 1  C    x 1  x 1 
Câu 14: Đáp án A 2 x  2x 1 2
Ta có f x  1 2 x  2x 1 x  2 1 2 x 2x 1  2    2
Suy ra F x  dx  1  dx x   C   2 x  2x 1  x   2 1  x 1 
Mà F      C   C    F x 2 1 0 2 0 2  x   2 x 1
Câu 15: Đáp án B ' x 1  x 1 2 2
Ta có F x 
f x  F 'x    f x 1    2   x 1  x 1 x   2 1 x
Câu 16: Đáp án D 1 1  1 1 
Ta có f x    2   x  2x  3
4  x 1 x  3  dx 1  1 1  1 x 1 Suy ra  f x   dx    ln  C 2     x  2x  3
4  x 1 x  3  4 x  3
Câu 17: Đáp án D 2x  3 5 4
Ta có f x    2
2x x 1 3 x   1 32x   1 2x  3  5 4  5 2 I dx    
dx  ln x 1  ln 2x 1  C 2 2x x 1
 3x 1 32x 1        3 3
Câu 18: Đáp án A 1 1 Ta có dx   ln 1 2x C  1 2x 2
Câu 19: Đáp án B 3 x 1 2
Ta có f x 2 
x x 1 x 1 x  1 3 x 1  2  3 2 x x
Suy ra F x 2  dx x x 1 dx     
x  2ln x 1  C x 1  x 1  3 2
Câu 20: Đáp án C x  2 2 1 1 2
Ta có f x   x   3 3 x x xx  2 2 1  1 2  2 x 1
Suy ra F x  dx x   dx    
 2ln x C 3  3  xx x  2 2 2x 2 x 1 Mà F   1  4   C  4
  F x   2ln x   4 2 2 2x Trang 29
DẠNG 6. TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Câu 1: Nguyên hàm F x của hàm số f x 2
 tan x thỏa F 0  3 là:
A. f x  tan x x  3
B. f x  tan x x  3
C. f x  tan x x  3
D. f x  tan x x  3   
Câu 2: Nếu f x 2 '  cos x    và f   13 0  thì:  4  4  
A. f x 1 1  x  cos 2x  3  
B. f x 7  sin x  2  x  2
C. f x 1
x  cos 2x  4
D. f x 1  cos 2x  3 2 2
Câu 3: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x 2
 tan x . Giá trị của    FF   0 bằng:  4     A. B. 1 C. 1 D. 3  4 4 4 4
Câu 4: Nguyên hàm của hàm số 2 cos . x sin . x dx  bằng:
3sin x  sin 3x 3cos x  cos3x A.C B.C 12 12 C. 3 sin x C D. 2 sin .
x cos x C
Câu 5: Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? x 1 x 1 A. 2
cos 2xdx   sin 4x CB. 2
sin 2xdx   sin 4x C  2 8 2 8 1
C. cos 4xdx  sin 4x CD. 2 2
sin 2xdx   cos 2x C  4
Câu 6: Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? 1 A. sin .
x cos xdx   cos .
x sin x CB. sin .
x cos xdx   cos 2x C  4 3 cos x 2 sin x C. 2 cos .
x sin xdx    CD. 2 sin . x cos xdx   C  3 3
Câu 7: Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? 1  1 1  A. cos 3 . x cos xdx
sin 4x  sin 2x C    2  4 2  1   1 1  B. sin 3 . x cos xdx
cos 4x  sin 2x C    2  4 2  1   1 1  C. sin 3 . x cos xdx
cos 4x  cos 2x C    2  4 2  cos 2x D. sin . x cos xdx   C  4
Câu 8: Tìm nguyên hàm    2 1 sin x dx thì: 2x sin 2x 2x sin 2x A.  2cos x   C B.  2cos x   C 3 4 3 4 3x sin 2x 3x sin 2x C.  2cos x   C D.  2cos x   C 2 4 2 4
Câu 9: Nguyên hàm của hàm số 2 y  sin . x cos x là: 1 1 A. 2 cos x C B. 3 cos x C C. 3 sin x C D. 3 tan x C 3 3
Câu 10: Nguyên hàm của hàm số: 2 3 y  sin . x cos x là: 1 1 1 1 A. 3 5
sin x  sin x C B. 3 5
 sin x  sin x C 3 5 3 5 C. 3 5
sin x  sin x C D. Đáp án khác
Câu 11: Nguyên hàm của hàm số: 2 y  cos . x sin x là: 1 1 A. 3 cos x C B. 3 cos x C C. 3 sin x C D. Đáp án khác 3 3
Câu 12: Một nguyên hàm của hàm số: y  sin 5 . x cos 3x là:
1  cos 6x cos 2x
1  cos 6x cos 2x A.     B.    2  8 2  2  8 2 
C. cos8x  cos 2x D. Đáp án khác 5 cos x
Câu 13: Nguyên hàm của hàm số: y dx  là: 1 sin x 3 4 sin x cos x 3 4 sin x cos x A. 2
cos x  sin x    C B. 2
sin x  sin x    C 3 4 3 4 4 3 2
sin x sin x cos x C.   
 sin x C D. 4 3 2
Câu 14: Tìm một nguyên hàm của hàm số 4 y  sin x
3x sin 4x sin 2x
3x sin 4x sin 2x A.   B.   4 3 4 8 32 4
3x sin 8x sin 2x 1 sin 8x sin 2x C.   D.   4 32 4 4 32 4 cos 2x
Câu 15: Nguyên hàm của hàm số: y dx  là: 2 2 sin . x cos x
A. F x   cos x  sin x C
B. F x  cos x  sin x C
C. F x  cot x  tan x C
D. F x   cot x  tan x C
Câu 16: Nguyên hàm của hàm số 3 3
y  sin x cos x x bằng: 4 sin 2x 4 5 cos x cos x A.C B.   C 12 4 5 4 6  cos x cos x 4 cos 2x C.   C D.C 4 5 24 1
Câu 17: Nguyên hàm của hàm số y  bằng sin x 1 1 cos x 1 1 cos x 1 cos x 1 cos x A. ln  C B. ln  C C. ln  C D. ln  C 2 1 cos x 2 1 cos x 1 cos x 1 cos x cos x
Câu 18: Tìm một nguyên hàm của hàm số y  4sin x  9 1 1
A. ln 16sin x  36
B. ln 4sin x  9 4 4 1 1
C. ln 15sin x  36
D. ln 4sin x  32  6 4 4 cos x
Câu 19: Tìm một nguyên hàm của hàm số y  2 3  cos x  3sin x Trang 31 3sin x  2 sin x  2 A. ln  4 3 ln  4 sin x B. 1 sin x  1 3sin x  2 3sin x  2 C. ln  4 3 ln  4 3 2sin x D. 1 8sin x  1 2
Câu 20: Tìm một nguyên hàm của hàm số 2 2 y  sin x cos x 3 x sin 4x x sin 2x x sin 2x 1 A.B.   cos x C.D. 3 sin 2x 12 48 12 24 12 24 18
Câu 21: Tìm một nguyên hàm của hàm số 2
y  4 sin 5x  sin10x 1 1 1 2 A. 2x
sin10x  cos10x B. 2x
sin10x  cos10x 10 5 10 5 1 1 3 2
C. 2x  sin10x  cos10x D. 2x
sin10x  cos10x 5 10 10 5
Câu 22: Tìm một nguyên hàm của hàm số y  2sin 4x cos 2x 1 1 1 3
A.  cos 6x  cos 2x  6
B.  cos 6x  cos 2x  6 6 2 6 2 1 3 1 5
C.  cos 6x  cos 2x  8
D.  cos 6x  sin 2x  8 6 2 6 2 Đáp án 1‐A 2‐A 3‐C 4‐A 5‐D 6‐A 7‐C 8‐D 9‐C 10‐A 11‐D 12‐D 13‐C 14‐B 15‐D 16‐C 17‐A 18‐A 19‐B 20‐A 21‐C 22‐A
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án A 2 2 sin x 1 cos x  1 
Ta có F x  f  x 2 dx  tan xdx   dx dx  1 dx    2 2  2  cos x cos x  cos xdx
dx  tan x x C  
. Mà F 0  3  tan x x C  3  C  3 . 2 cos x0 x
Câu 2: Đáp án A        1 1  1  f x 1 2  cos x dx  . 1 cos 2x dx      
 .1sin 2xdx x  cos 2x C   4 2  2      2 2  2  13 1  1  13 1 13  x  cos 2x C   C    C  3   x0 4 2  2  4 4 4
Câu 3: Đáp án C 2 sin x 2 1 cos x  1 
Ta có F x  f  x 2
dx  tan xdx dx    dx  1 dx   2   cos x 2 2 cos x  cos x   dx     
dx  tan x x C.   Mà FF  
0  tan x x C 4 1 2 cos x  4  4 0
Câu 4: Đáp án A 3 sin x
3sin x  sin 3x Ta có 2 2 cos . x sin . x dx  sin xd   sin x   C   C 3 12
Câu 5: Đáp án D
Dựa vào các đáp án, ta có các nhận xét sau:   1 cos 4x x 1 2 cos 2xdx dx   sin 4x C   2 2 8   1 cos 4x x 1 2 sin 2xdx dx   sin 4x C   2 2 8  1 1 cos 4xdx d
 sin4x  sin4xC 4 4
Câu 6: Đáp án A
Dựa vào các đáp án, ta có các nhận xét sau:  sin .
x cos xdx  sin xd  
sin x  sin x C  1 cos 2 sin .cos  sin 2 x x xdx xdx    C   2 4 3  cos 2 2 cos .sin   cos   cos  x x xdx xd x    C 3 3  sin 2 2 sin .cos  sin   sin  x x xdx xd x   C 3
Câu 7: Đáp án C Trang 33
Dựa vào các đáp án, ta có các nhận xét sau:  1 1  1 1  cos3 . x cos xdx  
cos4xcos2xdx
sin 4x  sin 2x C   2 2  4 2    1 1 1 1  sin 3 . x cos xdx  
sin4xsin2xdx
cos 4x  cos 2x C   2 2  4 2  2   3sin x 1 sin 3 . x cos xdx    3
3sin x  4sin xd sin x 4 
 sin x C  cos3 .
x sin x C 2 3  1 cos 2 sin .cos  sin 2 x x xdx xdx    C   2 4
Câu 8: Đáp án D 2 1 cos 2x
Ta có 1 sin xdx   2
1 2sin x  sin xdx dx  2 sin xdx dx    2 3 1 3 sin 2   2 sin  cos 2   2cos x dx xdx xdx x x   C    2 2 2 4
Câu 9: Đáp án C 3 sin x Ta có 2 2 sin .
x cos xdx  sin xd   sin x   C 3
Câu 10: Đáp án A Ta có 2 3 2 2 x xdx x xd    x 2  x   2 sin .cos sin .cos sin sin
1 sin xd sin x  sin sin  3 5 sin x sin 2 4 sin  x x x d x    C 3 5
Câu 11: Đáp án D 3 cos x Ta có 2 2 cos .
x sin xdx   cos xd   cos x    C 3
Câu 12: Đáp án D 1
1  cos8x cos 2x  Ta có f
 xdx  sin5 .xcos3xdx  
sin8xsin2xdx     C   2 2  8 2 
Câu 13: Đáp án C cos
1sin x2 cosx 1sin x x 2 2 2 5 F x  dx dx d    sin x 1 sin x 1 sin x 1 sin x 1t 2 2 4 3 2 t t t
Đặt t  sin x F t   dt    3 2 t
  t t   1 dt      t C 1 t 4 3 2 4 3 2  
sin x sin x sin x F x    
 sin x C 4 3 2
Câu 14: Đáp án B 2 1 2 1 Ta có 4 sin xdx    2
sin xdx  1cos2xdx   2
1 2 cos 2x  cos 2xdx 4 4 1  1       
 3 cos 2x cos 4x  3x sin 2x sin 4 1 2 cos 2 1 cos 4 x x x dx    dx     C    4  2   8 2 8  8 4 32
Câu 15: Đáp án D 2 2    F x cos 2x cos x sin x 1 1  dx dx   dx   
  cot x  tan x C 2 2 2 2  2 2  sin . x cos x sin . x cos x
 sin x cos x
Câu 16: Đáp án C
Ta có: F x 3 3 3  x xdx x    2 sin cos
cos . 1 cos x.sin xdx  cos cos  4 6 cos x cos 3 5 cos  x x x d x     C 4 6
Câu 17: Đáp án A 1 sin x d cos x 1 cos x 1
Ta có: F x    dx dx   ln  C    2 2 sin x 1 cos x cos x 1 2 cos x 1
Câu 18: Đáp án A cos x 1 d 4sin x  9 1
Ta có: F x    dx
 ln 4sin x  9  C   4sin x  9 4 4sin x  9 4 1 1 1 1 1
Chú ý: ln 16sin x  36  ln 4
 4sin x  9  ln 
4sin x 9  ln 4, tức C  ln 4 4 4 4 4 4
Câu 19: Đáp án B cos x cos x cos x Ta có: y    2 2
3  cos x  3sin x
sin x  3sin x  2 sin x   1 sin x  2  F x cos x d sin x sin x 2  dx   ln  C   2
3  cos x  3sin x
sin x  2sin x  1 sin x 1
Câu 20: Đáp án A 2 1 x sin 4x
Ta có: F x 2 2 
sin x cos xdx  
1cos4xdx    C 3 12 12 48
Câu 21: Đáp án C Ta có:     sin10x cos10 2
4sin 5  sin10   21cos10  sin10   2 x F x x x dx x x dx x    C 5 10
Câu 22: Đáp án A x x
Ta có: F x  x xdx    x x cos 6 cos 2 2sin 4 cos 2 sin 6 sin 2 dx     C 6 2 Trang 35
DẠNG 7. PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN NGUYÊN HÀM 1 Câu 1: dx  bằng: 5 x. ln x 4 ln x 4 1 1 A.   C B.   C C.C D.   C 4 4 ln x 4 4 ln x 4 4 ln x sin x Câu 2: dx  bằng: 5 cos x 1  1 1 1  A.C B.C C.C D.C 4 4 cos x 4 4 cos x 4 4 sin x 4 4 sin x sin x  cos x Câu 3: dx  bằng: sin x  cos x
A. ln sin x  cos x C
B.  ln sin x  cos x C
C. ln sin x  cos x C
D.  ln sin x  cos x C Câu 4: 3
(tan x  tan x)dx  bằng: 2 tan x A.   C B. 2 2 tan x C 2 2 tan x C. 2 2
 tan x C D. C 2 2 Câu 5: 2 3 (  1) x x x e dx  bằng: 2   1 2 x
x x 3 x A. x 2 x 3   x eC B.x   3 2 3 1 eC  2  2 1 2 1 C. x 2 x eC D. x 2 x 3 eC 2 2 4x  1 Câu 6: dx  bằng: 2 4x  2x  5 1 1 A.C   C 2 4x  2x B. 5 2 4x  2x  5 1 C. 2
 ln 4x  2x  5  C D. 2
ln 4x  2x  5  C 2 3 cos x Câu 7: dx  bằng: 2  sin x
A. 3 ln(2  sin x)  C B. 3
 ln 2  sin x C 3sin x 3sin x C.     C D. C 2  sin x 2 ln 2  sin x 2 x
Câu 8: Tìm nguyên hàm H của hàm số f (x)  3 1  . x 1 1 A. H   C B. 3 H
ln x  1  C 3 3 x  1 3 1 C. H   C H x   C 3 x D. 3 ln 1 1
Câu 9: Tìm nguyên hàm H của hàm số 2 4
f (x)  x(1  x ) . x  5 2 1 x  5 2 1 A. H   C B. H   C 10 5 x  5 2 1 C. H   C
D. H   x  5 2 1  C 2 x
Câu 10: Tìm nguyên hàm H của hàm số f (x)  . 2 x  1 1 1 A. 2 H x  1  C B. 2 H x  1  C 2 4 C. 2 H
x  1  C D. 2
H  2 x  1  C sin x
Câu 11: Tìm nguyên hàm H của hàm số f (x)  cosx . 2 1
A. H  ln cos x  2  C B. H   C cos x  2 1
C. H   ln cos x  2  C D. H    C cos x  2
Câu 12: Tìm nguyên hàm H của hàm số f x   x x  x x 4 sin cos sin cos .  x x 4 sin cos  x x 4 sin cos A. H   C B. H    C 4 4  x x 5 sin cos  x x 5 sin cos C. H   C D. H    C 5 5 2 ln x
Câu 13: Tìm nguyên hàm H của hàm số f (x)  . x A. 3
H   ln x C B. 3
H  ln x C 3 ln x 3 ln x C. H    C D. H   C 3 3
Câu 14: Tìm nguyên hàm H của hàm số sin ( )  cos x f x xe . A. sin x H eC B. cos x H eC Trang 37 C. sin  sin x H xeC D. cos  cos x H xeC tan x e
Câu 15: Tìm nguyên hàm H của hàm số f (x)  . 2 cos x A. tan x H  eC B. tan x H eC C. tan  sin x H xeC D. tan  sin x H xeC cot x e
Câu 16: Tìm nguyên hàm H của hàm số f (x)  . 2 sin x A. co t x H eC B. co t x H  eC C. t  cos co x H xeC D. t   cos co x H xeC
Câu 17: Tìm nguyên hàm H của hàm số f (x)  tan x ln(cos x) .
A. H   ln(cos x)  C
B. H  ln(cos x)  C 2 ln (cos x) 2 ln (cos x) C. H    C D. H   C 2 2 2 x
Câu 18: Tính nguyên hàm của hàm số f (x)  3 x . 1 A. 3 ln(x  1) B. 3
ln(x  1)  C 1 1 C. 3
ln(x  1)  C D. 3
ln x  1  C 3 3
Câu 19: Tính nguyên hàm của hàm số 2 2016
f (x)  x(x  1) . 1 1
A.x 12016 2  C B.x 12017 2  C 2 2017 1 1 C.x 12017 2  C
D.x 12016 2 4034 2 x
Câu 20: Giả sử nguyên hàm của hàm số f (x) 
là F x . Tìm F x biết F(0)  2 x  1 4   A. 2 F(x)  x  1  1 B. 2 F(x)  x  1  1  4 4  2 xB. 2 F(x)  x  1  1
D. F(x)   1 4 2   4 x 1 1 1
Câu 21: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)   3  5x 3 1 1 1 1 A. .  C B. .  C 5 3  5x4 10 3  5x4 1 1 1 1 C. .  C D. .  C 10 3  5x2 2 3  5x2 2016 ln x
Câu 22: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)  x 1 1 1 A. 2016 ln x C B. 2015 ln x C C. 2017 ln x C D. 2017 ln x C 2016 2015 2017 5 x
Câu 23: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)  5 6 ln 5  x 5 5 A. ln5 x 4 6 5  C B. ln5 x 4 6 5  C 24 4 5 5 C.  ln5 x 4 6 5  C D.  ln5 x 4 6 5  C 24 4
Câu 24: Giả sử nguyên hàm của hàm số 5
f (x)  sin x cos x là F (X) . Tìm F (X) biết  F(0)  ln 2  2 1 1    A. 6 sin x  ln 2 B. 6 sin x  ln 2  C. 6 sin x  ln 2  D. 6 sin x  6 6 2 2 2
Câu 25: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)  cos x sin x 2 3 3 3 A. 3  cos x C B. 3 cos x C C. 3  cos x C D. 3 
sin x C 3 2 2 2 cos x
Câu 26: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)  x
A. sin x C
B. cos x C
C. 2 sin x C
D. 2 cos x C 2 ln x 3 e
Câu 27: Tìm nguyên hàm của hàm số x 1 1 A. 2lnx3 eC B. 2 ln 3 2 x eC C. 2 ln x 3 eC D. 2 ln x 3  eC 2 2 cos x  sin x
Câu 28: Tìm một nguyên hàm I của hàm số y  sin x . cos x cos x  sin x
A. I  ln sin x  cos x  ln 8 B. I   2 sin x cos xx x2 cos sin C. I   2 I x x  sin x D. ln sin cos ln 17 cos x 2x  3
Câu 29: Tìm một nguyên hàm I của hàm số y  2 x  3x  . 2 A. I   2
ln 10 : x  3x  2  B. I   2
ln 10 x  3x  2  Trang 39  31  C. I  ln  
D. I  ln 2x  3  ln 3 2
x  3x  2 
Câu 30: Tìm một nguyên hàm I của hàm số 2 y  tan ( x  ) 1 t n a x . 1 1 A. 2 I  tan x  7 B. 2 I
tan x  sin x 2 2 1 1 C. 2 I
tan x  3sin x cos x D. 2 I
tan x  4 sin x 2 2
Câu 31: Xét các mệnh đề  x  2 1 4 dx
x  43  C 3  x  2 1 4 dx  x 43 2 2  C 3 2  x dx 1 3
 ln x  3  C  3 x  3 3 4   x 1 5
dx  ln x  3  C  5 x  3
Số lượng mệnh đề đúng là A. 1 mệnh đề B. 2 mệnh đề C.4 mệnh đề D. 3 mệnh đề 1 Câu 32: Hàm số 5
y  sin x cos xdx có  sinn cosm I x
x C là một nguyên hàm, với m và n 6
là các số nguyên. Tính tổng m + n A. 6 B. 5 C. 7 D. 4
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 4 1 ln x 1 Câu 1: d(ln x)   C    C  .Chọn D. 5 4 ln x 4  4 ln x 4 sin x d(cos x) cos x 1 Câu 2: dx    C   C   . Chọn B. 5 5 4 cos x cos x 4  4 cos x sin x  cos x
d(sin x  cos x) Câu 3: dx  
  ln sin x  cos x C   Chọn D. sin x  cos x sin x  cos x tan xdx tan x
Câu 4: tan x  tan x 2 3 dx
 tan x(d tan x)   C   . Chọn D 2 cos x 2 x 2 x 3       e x x 1
Câu 5: x 1 2 3 x 2 x 3 e dx e d   x 2x 3 e  2 2 2 2 
C . Chọn D 2 2  d x  2
4x  2x  5 2
ln 4x  2x  5 4 1 1 Câu 6: dx    C   . C h ọ n D 2 2 4x  2x  5 2 4x  2x  5 2 3 cos x d(sin x  2) Câu 7: dx  3
 3ln sin x  2  C   . C h ọ n A 2  sin x 2  sin x 3 2 3  ln 1 1 ( 1)  x x d x Câu 8: dx    C   . Chọn B 3 3 1  x 3 1  x 3 1 1  x Câu 9: x
 1 x dx  1 x d1 x   5 2 4 4 2 2 2 
C . Chọn A 2 10 d 1 x  1 1 1 1 1  x x Câu 10: dx      2
1  x d  2 1  x   1 2 2 2 2 2 
C x 1  C . 2 2  2  2 2 1 x 1 x 1 2 Chọn C. sin xdx d(cos x  2) Câu 11:  
  ln cos x  2  C   . Chọn C. cos x  2 cos x  2 Câu 12:   x x  x
x dx   x x d x x   x x 5 4 4 sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos    C . 5 Chọn D. 2 3 ln xdx ln x Câu 13: 2
  ln xd(ln x)   C   . Chọn D. x 3 Câu 14: sin x sin x sin cos  (sin ) x xe dx e d x eC   . Chọn A. tan x e Câu 15: tan x tan dx e d(tan x) xeC   . Chọn B. 2 cos x Trang 41 cot x e Câu 16: cot x cot dx   e d(cot x) x  eC   . Chọn B. 2 sin x ln(cos x)
Câu 17: Ta có tan x ln(cos x)dx   ln(cos x)d(ln(cos x))    C   . Chọn C. 2 x  1 1
Câu 19: Ta có x
 x 1 dx  x 1 dx 1  2017 2 2016 2016 2 2 2 
C . Chọn C. 2 4034 x 1 1
Câu 20: Ta có F(x)  dx d    2x 1 2
x 1  C 2 2  2 x 1 x  1    Mà F(0)   1 C
C  1 . Chọn A. 4 4 4 2 1   3 3 5x 1
Câu 21: Ta có F(x)  dx  3  5x dx   C   C   3     35x 10 10 3  5x 2 Chọn C. 2016 2017 ln x ln x Câu 22: Ta có 2016 F(x)  dx  ln xd   ln x 
C . Chọn C. x 2017 Câu 23: ta có 5 x 1   dx     5 5 6
ln 5  x  1 d  6 ln 5  x     6 5
ln 5  x 45  C   C . 5 6  6 24 ln 5 x 24  6 5 ln 5  x Chọn B. 6 sin x Câu 24: Ta có 5 5
sin x cos xdx  sin xd(sin x)   C   6   Mà F(0)  ln 2 
C  ln 2  . Chọn B. 2 2 2 Câu 25: Ta có 3
cos x sin xdx  
cos xd(cos x)   cos x C   . Chọn A. 3 cos x Câu 26: Ta có
dx  2 cos xd( x )  2 sin x C   . Chọn C. x 2 ln x 3 e 1 x  1 Câu 27: Ta có 2 ln 3 2 ln x 3 dx e
d(2 ln x  3)  eC   . Chọn C. x 2 2 cos x  sin x 1 Câu 28: Ta có dx
d(sin x  cos x)  ln sin x  cos x C   . Chọn A. sin x  cos x sin x  cos x 2x  3 2x  3  1 1  Câu 29: Ta có 2 dx dx  
dx  ln x  3x  2  C     2 x  3x  2
x 1x 2
x 1 x  2  Chọn B. 1
Câu 30: Ta có  2
tan x  1 tan xdx  tan xd   2 tan x  1 2
 tan x C . Chọn A. 2 Câu 31: Ta có
 x  2 dx  x  2 dx   1 ) 4 4 4 
x  43  C . Đúng 3   3 2 1 2 x   1 ) 4 dx  x 43 2 2  C . Sai vì  2
x  4  C   2
x  4 2xdx x  4 dx 3 3 d x dx  3 2 x  3 1  1 3 ) 
 ln x  3  C   . Đúng 3 3 x  3 3 x  3 3 4 x  1 4 4 5x x  1 5 )
dx  ln x  3  C  . Sai vì 5
ln x  3  C dx dx   5 x  3 5 5 x  3 x  3 Chọn B. 1 1 n  6 Câu 32: Ta có 5 5
sin x cos xdx  sin xd   sin x 6 6 0
 sin x C  sin x cos x C   6 6 m  5 Chọn A Trang 43
PHẦN B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÓ ĐÁP ÁN.
NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Khái niệm nguyên hàm và tính chất
1. Khái niệm nguyên hàm
— Cho hàm số f (x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của
hàm số f (x) trên K nếu: F (
¢ x) = f(x), "x Î K.
— Nếu F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên K thì họ nguyên hàm của hàm số
f (x) trên K là:
f (x) ⋅ dx = F(x) +C, const = C Î . ò 
2. Tính chất: Nếu f (x), g(x) là 2 hàm số liên tục trên K và k ¹ 0 thì ta luôn có: · f (
¢ x)dx = f (x) +C. ò ·
kf (x)dx = k f (x)dx. ò ò
· éf (x) g(x)dù  x =
f (x)dx g(x)dx ò êë úû ò ò
Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý) a 1 + n 1 + + a x ax b n 1 ( )  x ⋅ dx = +C ò
(ax + b) ⋅ dx = ⋅ +C ò a + 1 a n + 1 1 1 1 
⋅ dx = ln x +C ò
⋅dx = ⋅ ln ax +b +C ò x ax + b a 1 1 1 1 1  ⋅dx = - +C ò ⋅dx = - ⋅ +C ò 2 x x 2 (ax + b) a ax + b
sin x ⋅dx = -cos x +C ò 1
sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) +C ò a
cosx ⋅dx = sin x +C ò 1
cos(ax + b) ⋅ dx =
⋅ sin(ax + b) +C ò a 1 1 1 
⋅dx = -cotx +C ò
dx = - cot(ax + b) +C ò 2 sin x 2 sin (ax + b) a 1 1 1 
⋅dx = tan x +C ò dx =
tan(ax + b) +C ò 2 cos x 2 cos (ax + b) ax x
e ⋅ dx = e +C ò ax b + 1 ax b e dx e + ⋅ = ⋅ +C ò a x a dx 1 x -ax a ⋅dx = +C ò = ⋅ ln +C ò lna 2 2 x -a 2a x + a 1
♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax + b) thì lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm ⋅ a Một số lưu ý
1. Cần nắm vững bảng nguyên hàm.
2. Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm hàm số không bao giờ bằng
tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm thành phần.
3. Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số này thành một
tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm (dựa vào bảng nguyên hàm).
Dạng toán 1. TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG BẢNG NGUYÊN HÀM
A – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP ¾¾ ¾  khai triển. 2. Tích các hàm mũ PP ¾¾ ¾
 khai triển theo công thức mũ. 3. Chứa căn PP ¾¾ ¾
 chuyển về lũy thừa.
4. Tích lượng giác bậc một của sin và cosin PP ¾¾ ¾
 khai triển theo công thức tích thành tổng. 1 · sinax.cosbx
ésin(a b)x sin(a b)xù = + + - 2 êë úû 1 · sinax.sinbx
écos(a b)x cos(a b)xù = - - + 2 êë úû 1 · cosax.cosbx
écos(a b)x cos(a b)xù = + + - 2 êë úû
5. Bậc chẵn của sin và cosin PP ¾¾ ¾  Hạ bậc.
B ‐ BÀI TẬP VẬN DỤNG
BT 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau (giả sử điều kiện được xác định):
Phương pháp: Dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số và vận dụng các tính chất nguyên hàm. a 2 a a) 2
f (a) = 3a + ⋅ ĐS: 3
F(a) = a + +C. 2 4
…………………………………………………………………………………………………………… …………. 4 2 b 5b b) 3
f (b) = 2b - 5b + 7. ĐS: F(b) = - + 7b +C. 2 2
…………………………………………………………………………………………………………… …………. 3 c c) 5 3 2
f (c) = 6c - 12c + c - 8. ĐS: 6 4
F(x) = c - 3c + - 8c +C. 3
…………………………………………………………………………………………………………… …………. 4 3 2 x 2x 3x d) 2
f (x) = (x - 3x)⋅ (x + 1)⋅ ĐS: F(x) = - - +C. 4 3 2 Trang 45
…………………………………………………………………………………………………………… …………. 4 (3 - x) e) 3
f (x) = (3 - x) . ĐS: F(x) = - +C. 4
…………………………………………………………………………………………………………… …………. 1 1 3 1 x x f) 2 f (x) = - x - ⋅ ĐS: F(x) = - - - +C. 2 x 3 x 3 3
…………………………………………………………………………………………………………… …………. 2 10 x g) 2 ( ) 10 x f x = . ĐS: F(x) = +C. 2 ln10
…………………………………………………………………………………………………………… …………. 3 4 x h) 3
f (x) = x - 4x + ⋅ ĐS: 2 F(x) =
+ 2x + 3.ln x +C. x 4
…………………………………………………………………………………………………………… …………. 4 2t + 2 2 2 i) f (t) = ⋅ ĐS: 3
F(t) = ⋅ t - +C. t2 3 t
…………………………………………………………………………………………………………… …………. x - 1 1 j) f (x) = ⋅
ĐS: F(x) = ln x + +C. 2 x x
…………………………………………………………………………………………………………… …………. x k) 2 f (x) = 2 sin ⋅
ĐS: F(x) = x + sin x + C . 2
…………………………………………………………………………………………………………… …………. 1 1 l) 2
f (x) = cos x. ĐS: F(x) =
x + sin 2x +C. 2 4
…………………………………………………………………………………………………………… …………. m) 2
f (x) = tan x.
ĐS: F(x) = tan x - x + C .
…………………………………………………………………………………………………………… …………. 1 2 n) f (x) = ⋅ ĐS: F(x) = - +C. 2 2 sin x.cos x 2 sin 2x
…………………………………………………………………………………………………………… …………. 1
o) f (x) = 2 sin 3x cos 2x.
ĐS: F(x) = - cos 5x - cos x + C . 5
…………………………………………………………………………………………………………… …………. 1 p) ( ) x = .( x f x e e - 1). ĐS: 2 ( ) x x
F x = e -e +C. 2
…………………………………………………………………………………………………………… …………. æ x e- ö ç ÷ q) f (x) x = e ⋅ 2 ç + ÷ ⋅ x ç ÷
ĐS: F(x) = 2e + tan x +C. 2 çè cos x ÷ø
…………………………………………………………………………………………………………… …………. 2 3 r) 3 I =
( x + x ) ⋅ dx. ò ĐS: 3
I = ⋅ x +C. 2
…………………………………………………………………………………………………………… …………. æç 1 ö÷ 2 2 s) 2 I = 2 ç x + ÷ ò 3 ç ÷⋅dx ⋅ ĐS: 3
I = x + 3 x +C. I = 2 x - +C. 3 2 çè x ÷ø 3 x
…………………………………………………………………………………………………………… …………. 1 3 5 9 25 t) I = + + ⋅dx ⋅ ò ĐS: 3 2 5 4
F(x) = x + x + x +C. 3 5 2 x x x 2 4
…………………………………………………………………………………………………………… …………. u) 2 I = 4 sin x ⋅ dx. ò
ĐS: I = 2x - sin 2x +C.
…………………………………………………………………………………………………………… …………. 1 + cos 4x x sin 4x v) I = ⋅dx. ò ĐS: I = + +C. 2 2 8
…………………………………………………………………………………………………………… …………. x 1 3 - w) x 1 I (3 cos x 3 - = - ) ⋅dx ⋅ ò
ĐS: I = 3 sin x - +C. ln 3
…………………………………………………………………………………………………………… …………. x) 2 I =
(tan x - 2 cotx) .dx. ò
ĐS: I = tan x - 4 cotx - 9x +C.
…………………………………………………………………………………………………………… …………. 3 y) 3 I =
u.(u - 4).du. ò ĐS: 3 7 3 4 I =
u - 3 u + C . 7
…………………………………………………………………………………………………………… ………….
BT 2. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trong các trường hợp sau: Trang 47
Phương pháp: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x), ta cần chứng minh: F (
¢ x) = f (x). a) 3 2
F(x) = 5x + 4x - 7x + 120 và 2
f (x) = 15x + 8x - 7.
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 1 b) 2
F(x) = ln(x + x + 3) và f (x) = . 2 x + 3
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ c) ( ) = (4 - 5) x F x x
⋅e và ( ) = (4 - 1) x f x x ⋅e .
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ d) 4
F(x) = tan x + 3x - 5 và 5 3
f (x) = 4 tan x + 4 tan x + 3.
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ æ 2 x 4ö + ç ÷ -2x e) F(x) = lnç ÷ ç ÷ và f (x) = . 2 çèx + 3÷ø 2 2
(x + 4) ⋅ (x + 3)
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2 x - x 2 + 1 2 2 2(x - 1) f) F(x) = ln và f (x) = . 2 x + x 2 + 1 4 x + 1
.................................................................................................... ....................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
BT 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước trong các trường hợp sau:
Phương pháp: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x), tức đi tính
f (x) ⋅ dx = F(x) +C. ò
Rồi sau đó thế F(x ) +C = ⋅ ⋅ ⋅ để tìm hằng số C . o 4 x 5 a) 3
f (x) = x - 4x + 5, F(1) = 3. ĐS: 2 F(x) = - x + 5x - ⋅ 4 4
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
b) f (x) = 3 - 5 cos x, F(p) = 2.
ĐS: F(x) = 3x - 5 sin x + 2 - 3 . p
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2 3 - 5x 2 2 5x 5e c) f (x) = , F(e) = 1.
ĐS: F(x) = 3 ln x - + - 2. x 2 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2 x + 1 3 2 x d) f (x) = , F(1) = ⋅ ĐS: F(x) = + ln x + 1. x 2 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 1 2 22
e) f (x) = x x + , F(1) = -2. ĐS: 5 F(x) = x + 2 x - ⋅ x 5 5
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ æpö ç ÷ 1 1 7 f) I =
sin 2x.cos x.dx, ò biết F ¢ç ÷ = 0. ç
F(x) = - cos x - cos x + ⋅ ç ĐS: è 3 ÷÷ø 6 2 12
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 4 3 3x - 2x + 5 5 g) I = ⋅dx, ò biết F(1) = 2. ĐS: 3 2
F(x) = x - x - + 7. 2 x x
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 3 2
x + 3x + 3x - 7 2 x 8 h) I = ⋅ dx, ò biết F(0) = 8. ĐS: F(x) = + x + ⋅ 2 (x + 1) 2 x + 1
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ x æpö ç ÷ p x sin x 1 i) 2 I = sin ⋅dx, ò biết F ç ÷ = ⋅ ĐS: F(x) = + - ⋅ 2 çè2÷÷ø 4 2 2 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ æ 1ö ç ÷ 7 2 1 x j) I = x ⋅ x ç + ÷⋅dx, ò ç F(1) = ⋅ F(x) - + 3x + + 3 ln x + 1. ç biết ĐS: è x ÷÷ø 2 x 2
........................................................................................................................................................................................ Trang 49
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2 2 cos x - 1 æpö ç ÷ p k) I = ⋅dx, ò biết F ç ÷ = ⋅
ĐS: F(x) = 2x - tan x + 1. 2 ç ÷ cos x çè4÷ø 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
BT 4. Tìm điều kiện của tham số m hoặc a, b, c để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) :
Phương pháp: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x)  F (
¢ x) = f (x). Từ đó,
ta sử dụng đồng nhất thức để tìm ra tham số cần tìm. ì 3 2 F
ï (x) = mx + (3m + 2)x - 4x + 3 ï a) í ⋅ ĐS: m = 1. 2
ïf (x) = 3x + 10x - 4 ïïî
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ ì 2 F
ïï (x) = ln x -mx + 5 ïï b) í 2x + 3 ⋅ m = - ï ĐS: 3. ïf (x) = 2 ïïî x + 3x + 5
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ ì 2 F
ï (x) = (ax + bx + c) x ⋅e ï c) í ⋅ a = b = c = - ï ĐS: 0, 1, 4.
f (x) = (x - 3) x ⋅e ïïî
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ ì 2 2 F
ï (x) = (ax +bx + c) - x ⋅e ï d) í ⋅ ĐS: a = 1, b = -3, c = 2. 2 2 ïf (x) = (
- 2x - 8x + 7) - x ⋅e ïïî
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ ì 2 F
ï (x) = (ax + bx + c) x ⋅e- ï e) í ⋅ ĐS: a = -1, b = 1, c = -1. 2
ïf (x) = (x - 3x + 2) x ⋅e- ïïî
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ ìï b c F
ïï (x) = (a +1)sinx + sin2x + sin 3x f) ïí 2 3 ⋅
a = b = c = ï ĐS: 0.
ïf (x) = cos x ïî
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ ì 2 F
ïï (x) = (ax +bx +c)⋅ 2x - 3 ï g) ï 2 í 20x - 30x + 7 ⋅ a = b = - c = ï ĐS: 4, 2, 1. ïf (x) = ïïî 2x - 3
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
ìïïf(x) = x 3 -x, (x £ 3) 2 2 12 h) ïí ⋅ ĐS: a = ; b = - ; c = - ⋅ 2 F
ïï (x) = (ax +bx +c)⋅ 3 - x 5 5 5 ïî
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
C ‐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
NHÓM 1 : DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM Câu 1.
Nguyên hàm của hàm số f (x) 3
= x + 3x + 2 là hàm số nào trong các hàm số sau? x x x A. F (x) 4 2 3 = + + 2x +C . B. F (x ) 4 2 =
+ 3x + 2x +C . 4 2 3 x x C. F (x ) 4 2 = + + 2x +C . D. F (x ) 2
= 3x + 3x +C . 4 2 Câu 2. Hàm số F (x ) 3 2
= 5x + 4x - 7x + 120 +C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây? A. f (x) 2
= 15x + 8x - 7 . B. f (x ) 2 = 5x + 4x + 7 . x x x C. f (x ) 2 3 2 5 4 7 = + - . D. f (x ) 2 = 5x + 4x - 7 . 4 3 2 1 Câu 3.
Họ nguyên hàm của hàm số: 2
y = x - 3x + là x Trang 51 x 3 x 3 A. F (x) 3 2 =
- x + ln x +C . B. F (x ) 3 2 =
- x + ln x +C . 3 2 3 2 x 3 1 C. F (x ) 3 2 =
+ x + ln x +C .
D. F (x ) = 2x - 3 - +C . 3 2 2 x Câu 4.
Tìm nguyên hàm của hàm số f (x ) = (x + ) 1 (x + 2) x 3 x 2 A. F (x ) 3 2 =
+ x + 2x +C . B. F (x ) 3 2 =
+ x + 2x +C . 3 2 3 3 x 2
C. F (x ) = 2x + 3 +C . D. F (x ) 3 2 =
- x + 2x +C . 3 3 2 2 3 Câu 5.
Nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x) = + + là hàm số nào? 2 5 - 2x x x A. F (x ) 3
= -ln 5 - 2x + 2 ln x - +C . B. x F (x) 3
= -ln 5 - 2x + 2 ln x + +C . x C. F (x ) 3
= ln 5 - 2x + 2 ln x - +C . D. x F (x) 3
= -ln 5 - 2x - 2 ln x + +C . x Câu 6.
Một nguyên hàm của hàm số 3 2
f (x) = x - 3x + 5 là 4 x A. 2 3x - 6x B. 2
3x - 6x +C C. 3
- x + 5x +C D. 4 4 3
x - x + 5x +C Câu 7.
Một nguyên hàm của hàm số 4 2 g(x) = 5
- x + 4x - 6 là: 4 A. 5 3 x
- + x - 6x +C B. 3 20
- x + 8x +C C. 3 3 4 20 - x + 8x D. 5 3 x - + x +C 3 Câu 8.
Một nguyên hàm của hàm số f x = (x - )4 ( ) 3 là (x - )4 3 (x - )5 3 (x - )3 3 A. B. (x - )3 4 3 C. D. 4 5 3 Câu 9.
Một nguyên hàm của hàm số 3 2
f (x) = x - 3x + 5 là 4 x A. 2 3x - 6x B. 2
3x - 6x +C C. 3
- x + 5x +C D. 4 4 3
x - x + 5x +C
Câu 10. Một nguyên hàm của hàm số 4 2 g(x) = 5
- x + 4x - 6 là: 4 A. 5 3 x
- + x - 6x +C B. 3 20
- x + 8x +C C. 3 3 4 20 - x + 8x D. 5 3 x - + x +C 3
Câu 11. Một nguyên hàm của hàm số f x = (x - )4 ( ) 3 là: (x - )4 3 (x - )5 3 (x - )3 3 A. B. (x - )3 4 3 C. D. 4 5 3 æ 1 ö ç ÷ Câu 12. Tính 2 ç3x + - 2 d ÷ x ò ç è x ÷÷ø 3 x 1 A.
+ ln x - 2x +C B. 3 x -
- 2x +C C. 3
x + ln x +C D. 3 2 x 3
x + ln x - 2x + C Câu 13. Cho 3 2 f (x) = x
- + 3x - 2x . Một nguyên hàm F(x) của f (x) thỏa F ( ) 1 = 0 là: 4 x 1 4 x 1 A. 3 2 -
+ x - x + B. 3 2 - + x - x - C. 4 4 4 4 4 x 4 x 3 2 - + x - x - 1 D. 3 2 - + x - x + 1 4 4
Câu 14. Gọi F(x) là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số 2
f (x) = 3x - 2x + 1 thì F(x) là: A. 3 2
F(x) = 3x - 2x + x +C B. 3 2
F(x) = x - x + 1 +C 1 1 C. 2
F(x) = x(x - x + 1) +C D. 3 2
F(x) = x - x + x +C 3 2
Câu 15. Kết quả của x ( 2 x + ò )1dx bằng: (x + )3 2 1 (x + )3 2 1 A. F(x) = +C B. F(x) = +C 3 6 2 æ 3 x x ö ç ÷ 2 3 x C. F(x) = ç + x÷ +C 2 ç ÷ D. F(x) = (x + )1 +C 2 çè 3 ÷ø 6 1
Câu 16. Một nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x) = là: x 1 1
A. F(x) = - B. F(x) =
C. F(x) = ln x D. 2 x 2 x 1 F(x) = - x 2
Câu 17. Tìm họ nguyên hàm F (x )của hàm số f (x) = 3 sin x + , ta được kết quả là: x
A. F(x) = 3 cos x + 2 ln x +C
B. F(x) = -3 cos x + 2 ln x + C
C. F(x) = 3 cos x - 2 ln x + C
D. F(x) = -3 cos x - 2 ln x +C
Câu 18. Tìm họ nguyên hàm F (x ) của hàm số ( ) 2 = 3 – 3x f x x
, ta được kết quả là: 3x 3x A. 3
F(x) = x - +C B. 3
F(x) = x + +C ln 3 ln 3 Trang 53 3 3x x 3 3x x C. F(x) = - +C D. F(x) = + +C 3 ln 3 3 ln 3 Câu 19. Tính ( - ò )9
1 x dx , ta được kết quả là: 1 1 A. F(x) = (1-x)10 +C
B. F(x) = - (1-x)10 +C 10 10 1 1 C. F(x) = (1 + x)10 +C
D. F(x) = - (1 + x)10 +C 10 10
Câu 20. Tìm nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x) = x (x + )2
2 , ta được kết quả là: 4 x 4 4 x A. 3 2 F(x) =
+ x + 2x +C B. 2 F(x) = + 2x +C 4 3 4 3 x C. 2 F(x) = + 2x +C D. Kết quả khác. 3
Câu 21. Họ nguyên hàm của 2
f (x) = x - 2x + 1 là: 1 A. 3
F(x) = x - 2 + x +C
B. F(x) = 2x - 2 +C 3 1 1 C. 3 2
F(x) = x - x + x +C D. 3 2
F(x) = x - 2x + x +C 3 3
Câu 22. Nguyên hàm của hàm số 3
f (x) = (2x + 1) là: 1 A. 4 (2x + 1) + C B. 4 (2x + 1) +C C. 4 2(2x + 1) +C D. Kết quả 2 khác
Câu 23. Nguyên hàm của hàm số 5
f (x) = (1 - 2x) là: 1 A. 6 -
(1 - 2x) + C B. 6 (1 - 2x) +C C. 6 5(1 - 2x) +C D. 12 4 5(1 - 2x) +C 3
Câu 24. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + là : 2 x 3 3 A. 2 x - +C B. 2 x + +C C. 2 2
x + 3 ln x +C D. Kết quả x 2 x khác
Câu 25. Tìm hàm số f (x) biết rằng f ’(x ) = 2x + 1 và f ( ) 1 = 5 A. 2 x + x + 3 B. 2 x + x - 3 C. 2 x + x D. Kết quả khác
Câu 26. Tìm hàm số y = f (x) biết 2 f (
¢ x) = (x - x)(x + 1) và f (0) = 3 4 2 x x 4 2 x x
A. y = f (x) = - + 3
B. y = f (x) = - - 3 4 2 4 2 4 2 x x
C. y = f (x) = + + 3 D. 2
y = f (x) = 3x - 1 4 2 Câu 27. Cho 2
f (x) = 3x + 2x - 3 có một nguyên hàm triệt tiêu khi x = 1 . Nguyên hàm
đó là kết quả nào sau đây? A. 3 2
F(x) = x + x - 3x B. 3 2
F(x) = x + x - 3x + 1 C. 3 2
F(x) = x + x - 3x + 2 D. 3 2
F(x) = x + x - 3x - 1 b
Câu 28. Tìm hàm số f (x) biết rằng f '(x) = ax +
, f '(1) = 0, f (1) = 4, f (-1) = 2 2 x 2 x 1 5 2 x 1 5 2 x 1 5 A. + + B. - + C. + - D. Kết quả 2 x 2 2 x 2 2 x 2 khác 3
Câu 29. Một nguyên hàm của hàm số f (x ) 2
= x + - 2 x là x x 4 x 3 A. F (x) 3 3 = + 3 ln x - x C. F (x) 3 3 = + 3 ln x - x 3 3 3 4 x 3 4 x 4 B. F (x ) 3 3 = - + x D. F (x ) 3 3 = + 3 ln x + x 3 x 3 3 3
Câu 30. Một nguyên hàm của hàm số f (x ) = (x - )4 3 là: (x - )4 3 (x - )5 3 A. F(x) =
B. F x = (x - )3 ( ) 4
3 C. F(x) = D. 4 5 (x - )3 3 F(x) = 3
Câu 31. Nguyên hàm F (x ) của f (x ) 3 2
- x + 3x - 2x thỏa mãn F ( ) 1 = 0 là: x 1 x 1 A. F (x ) 4 3 2 = - + x - x + B. F (x ) 4 3 2 = - + x - x - 4 4 4 4 x x C. F (x ) 4 3 2 = - + x - x - 1 D. F (x ) 4 3 2 = - + x - x + 1 4 4
NHÓM 2: HÀM SỐ VÔ TỶ ( CHỨA CĂN) 1
Câu 32. Nguyên hàm của hàm số f (x) = là 2x - 1 A. f
ò (x)dx = 2x -1 +C . B. f
ò (x)dx = 2 2x -1 +C . - C. f ò (x) 2x 1 dx = +C . D. f
ò (x)dx = -2 2x -1 +C . 2 1
Câu 33. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = . 3 - x A. f
ò (x)dx = -2 3 -x +C . B. f
ò (x)dx = - 3 -x +C . C. f
ò (x)dx = 2 3 -x +C . D. f
ò (x)dx = -3 3 -x +C .
Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 1 . Trang 55 1 A. f
ò (x)dx = (2x + )1 2x +1 +C . B. 3 f ò (x) 2 dx = (2x + ) 1 2x + 1 +C . 3 C. f ò (x) 1 dx = - 2x + 1 +C . D. f ò (x) 1 dx = 2x + 1 +C . 3 2
Câu 35. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 5 - 3x . 2 A. f
ò (x)dx = - (5 - 3x) 5 - 3x +C . B. 9 f ò (x) 2
dx = - (5 - 3x) 5 - 3x . 3 2 C. f
ò (x)dx = (5 - 3x) 5 - 3x . D. f ò (x) 2 dx = - 5 - 3x +C . 9 3
Câu 36. Tìm nguyên hàm của hàm số 3
f (x) = x - 2 . 3 A. f
ò (x)dx = (x -2) 3 x -2 +C . B. 4 f ò (x) 3
dx = - (x - 2) 3 x - 2 +C . 4 2 2 1 - C. f
ò (x)dx = (x - 2) x -2 . D. f ò (x) x d = (x - ) 3 2 +C . 3 3
Câu 37. Tìm nguyên hàm của hàm số 3
f (x) = 1 - 3x . 1 A. f
ò (x)dx = - (1- 3x) 3 1- 3x +C . B. 4 f ò (x) 3
dx = - (1 - 3x) 3 1 - 3x +C . 4 1 2 - C. f
ò (x)dx = (1- 3x) 3 1- 3x +C . D. f
ò (x)d = -( - ) 3 x 1 3x +C . 4
Câu 38. Hàm số F (x ) = (x + )2 1
x + 1 + 2016 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? 5 5
A. f (x ) = (x + ) 1 x + 1
B. f (x ) = (x + ) 1 x + 1 +C 2 2 2
C. f (x ) = (x + ) 1 x + 1
D. f (x ) = (x + ) 1 x + 1 +C 5
Câu 39. Biết một nguyên hàm của hàm số f (x) 1 =
+ 1 là hàm số F (x) thỏa 1 - 3x mãn F (- ) 2
1 = . Khi đó F (x) là hàm số nào sau đây? 3 A. F (x ) 2 = x - 1 - 3x + 3 B. F (x) 2 = x - 1 - 3x - 3 3 3 C. F (x) 2 = x - 1 - 3x + 1 D. F (x ) 2 = 4 - 1 - 3x 3 3 a
Câu 40. Biết F(x) = 6 1 - x là một nguyên hàm của hàm số f (x) = . Khi đó giá 1 - x trị của a bằng 1 A. 3 - . B. 3 . C. 6 . D. . 6 æ 1 1ö ç ÷ Câu 41. Tính ç - dx ÷ ò ç ÷ ç è x 2÷ø x x x 1 1 A. - +C B. 2 x - +C C. - x +C D. 2 2 2 x 2 2 2 x - +C x 2
Câu 42. Cho hàm số f (x ) 1 = 1 + . Khi đó : x 1 A. f
ò (x)dx = - +C B. f
ò (x)dx = x + ln x +C 2 x 2 1 1 æ 1ö ç ÷ C. f
ò (x)dx = x - +C D. f
ò (x)dx = 1ç + ÷ 2 x 2 çè x ÷÷ø 1
Câu 43. Gọi F(x) là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = thì F(x) 1 - 2x là: 1 - 1 A. F(x) = ln 1 - 2x +C B. F(x) = ln 1 - 2x +C 2 2 x
C. F(x) = ln 1 - 2x +C D. F(x) = +C 2 x - x
Câu 44. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = 3x + 4 biết F(0) = 2 . Kết quả là: 2 2 2 2 A. F(x) = (3x + 4)3 + B. F(x) = (3x + 4)3 - 9 9 9 9 2 10 2 10 C. F(x) = (3x + 4)3 + D. F(x) = (3x + 4)3 - 3 3 3 3 æ 4ö ç ÷
Câu 45. Tìm nguyên hàm 3 2 ç x + d ÷ x ò ç è x ÷÷ø 5 3 A. 3 5
x + 4 ln x + C B. 3 5 -
x + 4 ln x +C 3 5 3 3 C. 3 5
x - 4 ln x +C D. 3 5
x + 4 ln x +C 5 5
Câu 46. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số 2
f (x) = x + k với k ¹ 0 ? Trang 57 x k A. 2 2 f (x) =
x + k + ln x + x + k B. 2 2 1 x 2 2 f (x) =
x + k + ln x + x + k 2 2 k 1 C. 2
f (x) = ln x + x + k
D. f (x) = 2 2 x + k
Câu 47. Trong các hàm số sau: (I) 2
f (x) = x + 1 (II) 2
f (x) = x + 1 + 5 1 1 (III) f (x) = (IV) f (x) = - 2 2 x + 1 2 x + 1
Hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số 2
F(x) = ln x + x + 1 A. Chỉ (I) B. Chỉ (III) C. Chỉ (II) D. Chỉ (III) và (IV) 2 æ ö ç ÷
Câu 48. Một nguyên hàm của hàm số 3 1
f (x) = ç x + ÷ ç ÷ ç
là hàm số nào sau đây: è x ÷ø 3 3 12 1 æ 1 ö ç ÷ A. 3 2 6 5
F(x) = x x + x + ln x B. 3
F(x) = ç x + ÷ ç ÷ 5 5 3 çè x ÷ø 3 12
C. F x = (x x + x )2 3 ( ) D. 3 2 5 6
F(x) = x x + ln x + x 5 5
Câu 49. Nguyên hàm ò ( 2017x x x + e )dx = 2017 5 x e 2017 2 x e A. 2 x x + +C B. 3 x x + +C 2 2017 5 2017 2017 3 x e 2017 2 x e C. 2 x x + +C D. 2 x x + +C 5 2017 5 2017
NHÓM 3: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC æ ö ç p÷
Câu 50. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = cosç3x + ÷ ç . è 6 ÷÷ø 1 æ ö ç ÷ æ ö ç ÷ A.
f (x)dx = sinç3x + ÷ +C ò p . B.
f (x).dx = sinç3x + ÷ +C ò p . 3 çè 6 ÷÷ø çè 6 ÷÷ø 1 æ ö ç ÷ 1 æ ö ç ÷ C.
f (x)dx = - sinç3x + ÷ +C ò p . D.
f (x)dx = sinç3x + ÷ +C ò p . 3 çè 6 ÷÷ø 6 çè 6 ÷÷ø x
Câu 51. Tìm nguyên hàm của hàm số 2 f (x) = 1 + tan . 2 x x A.
f (x)dx = 2 tan +C ò . B.
f (x)dx = tan +C ò . 2 2 1 x x C.
f (x)dx = tan +C ò . D.
f (x)dx = -2 tan +C ò . 2 2 2 1
Câu 52. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = æ ö . p 2 sin x ç ÷ ç + ÷ çè 3 ÷÷ø æ ö ç ÷ 1 æ ö ç ÷ A.
f (x)dx = -cot x ç + ÷ +C ò p ç
f (x)dx = - cot x ç + ÷ +C ç . B. ò p . è 3 ÷÷ø 3 çè 3 ÷÷ø æ ö ç ÷ 1 æ ö ç ÷ C.
f (x)dx = cot x ç + ÷ +C ò p ç
f (x)dx = cot x ç + ÷ +C ç . D. ò p . è 3 ÷÷ø 3 çè 3 ÷÷ø
Câu 53. Tính ò (sinx - cosx)dx
A. - cos x - sin x + C
B. - cos x + sin x + C
C. cos x - sin x + C
D. cos x + sin x + C 2
Câu 54. Một nguyên hàm của hàm số f (x) = là: 2 cos x
A. 2 tan x + C
B. 2 cot x + C
C. 2 sin x + C D. 2 cos x +C 1
Câu 55. Một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3 - là: 2 sin x
A. 3x - tan x + C
B. 3x + tan x + C
C. 3x + cotx + C D.
3x - cotx + C æ ö çp÷
Câu 56. Cho f (x) = sin x - cos x . Một nguyên hàm F(x) của f (x) thỏa F ç ÷ = 0 ç là: è 4 ÷÷ø 2
A. -cos x - sin x + 2
B. -cos x - sin x + 2 2
C. cos x - sin x + 2
D. cos x - sin x + 2
Câu 57. Cho hàm số f (x) = 2x + sin x + 2 cos x . Một nguyên hàm F(x) của f (x) thỏa F(0) = 1 là: A. 2
x - cos x + 2 sin x B. 2
x + cos x + 2 sin x + 2
C. 2 + cos x + 2 sin x D. 2
x + cos x + 2 sin x - 2
Câu 58. Một nguyên hàm của hàm số 2
f (x) = tan x là: 3 tan x 3 tan x 1 2 sin x A. B. .
C. tan x - x D. 3 2 3 cos x 3 cos x
Câu 59. Một nguyên hàm của hàm số 4 4
f (x) = cos x - sin x là: 1 A. cos 2x B. sin 2x C. 2 sin 2x D. 2 cos x 2
Câu 60. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số 4 4
f (x) = sin x + cos x ? 1 1 3 1 A. x + sin 4x
B. x + sin 4x C. x + sin 4x D. 4 4 4 16 Trang 59 3 1 x - cos 4x 4 4
Câu 61. Một nguyên hàm của hàm số f (x ) 2
= sin 2x + 3x là:
A. F (x ) = cos 2x + 6x B. F (x ) 1 = cos 2x + 6x 2 1 1 C. F (x ) 3 = - cos 2x + x D. F (x ) 3 = - cos 2x - x 2 2
Câu 62. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số f (x) = 2 sin 2x ? A. F (x ) 2 = sin x
B. F (x ) = 2 cos 2x C. F (x ) 1 = cos 2x
D. F (x ) = -cos 2x 2
Câu 63. Hàm số f (x) = sin x có một nguyên hàm là:
A. F(x) = cos x +C
B. F(x) = sin x +C
C. F(x) = -cos x + 1
D. F(x) = -sin x +C
Câu 64. Biết F x = ò ( 2 ( )
1 + tan x)dx khi đó F(x) là: 1 A. F(x) = +C
B. F(x) = tan x +C 2 cos x
C. F(x) =- tan x +C
D. F(x) = cotx +C
Câu 65. Gọi F(x) là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàmsố f (x) = sin 2x thì F(x) là:
A. F(x) = cos 2x +C
B. F(x) = sin 2x +C
C. F(x) = -cos 2x +C
D. F(x) = -sin 2x +C
Câu 66. Gọi F (x) là nguyên của hàm số 2
f (x) = sin x thỏa mãn F (0) = 0 và F (x) là 1 1 1 2 nguyên của hàm số 2
f (x) = sin x thỏa mãn F (0) = 0 . Khi đó phương trình 2 2
F (x) = F (x) có nghiệm là: 1 2 p p A. x = + k ,
p k Î Z B. x = k,k Î Z
C. x = k , p k Î Z D. 2 2 x = k2 , p k Î Z
Câu 67. Nguyên hàm của hàm số: 2
y = cos x.sin x là: 1 1 A. 3 cos x +C B. 3 -cos x +C C. 3 sin x +C D. Đáp án 3 3 khác.
Câu 68. Một nguyên hàm của hàm số: y = cos 5x.cos x là:
A. F (x) = cos 6x
B. F (x) = sin 6x 1 æ1 1 ö ç ÷ 1 æsin 6x sin 4x ö ç ÷ C. ç sin 6x + sin 4x÷ D. - ç + ÷ 2 çè6 4 ÷÷ø 2 çè 6 4 ÷÷ø
Câu 69. Một nguyên hàm của hàm số: y = sin 5x.cos 3x là: 1 æcos 6x cos 2x ö ç ÷ 1 æcos 6x cos 2x ö ç ÷ A. - ç + ÷ B. ç + ÷ 2 çè 8 2 ÷÷ø 2 çè 8 2 ÷÷ø
C. cos 8x + cos 2x D. Đáp án khác.
Câu 70. Tìm họ nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x ) = cos x , ta được kết quả là:
A. F (x ) = sin x +C
B. F (x ) = -sin x +C
C. F (x) = cos x +C
D. F (x ) = -cos x +C
Câu 71. Kết quả nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f (x ) = cos x biết nguyên p
hàm này triệt tiêu khi x = ? 2
A. F (x) = sin x
B. F (x ) = -sin x
C. F (x ) = sin x + 1
D. F (x ) = sin x - 1 1 Câu 72. Tính dx ò
, ta được kết quả là: 2 cos (3x - ) 1
A. F (x ) = tan(3x – ) 1 +C
B. F (x ) = cot(3x – ) 1 +C 1 1
C. F (x) = tan(3x – ) 1 +C
D. F (x ) = cot(3x – ) 1 +C 3 3 æ ö çp÷
Câu 73. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x ) 2
= tan x biết F ç ÷ = 1 ç . Kết quả là: è 4 ÷÷ø p p
A. F(x) = tan x - x +
B. F(x) = tan x - x - 4 4 p p
C. F(x) = x - tan x +
D. F(x) = x - tan x - 4 4 Câu 74. Tính sin(3x - 1)dx ò , kết quả là: 1 1
A. - cos(3x - 1) + C B. cos(3x - 1) +C C. -cos(3x - 1) +C D. Kết quả 3 3 khác Câu 75. Tìm
(cos 6x - cos 4x)dx ò là: 1 1 A. - sin 6x + sin 4x + C
B. 6 sin 6x - 5 sin 4x + C 6 4 1 1
C. sin 6x - sin 4x +C
D. -6 sin 6x + sin 4x + C 6 4
Câu 76. Trong các hàm số sau: 2 (I) 2
f (x) = tan x + 2 (II) f (x) = (III) 2
f (x) = tan x + 1 2 cos x
Hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số g(x) = tanx A. (I), (II), (III) B. Chỉ (II), (III) C. Chỉ (III) D. Chỉ (II)
Câu 77. Nguyên hàm của hàm số f (x ) = 2 sin 3x cos 2x Trang 61 1 1
A. - cos 5x - cos x + C
B. cos 5x + cos x + C 5 5
C. 5 cos 5x + cos x + C D. Kết quả khác
Câu 78. Lựa chọn phương án đúng: A.
cotxdx = ln sin x +C ò B.
sin xdx = cos x +C ò 1 1 C. dx = +C ò D.
cos xdx = -sin x +C ò 2 x x
Câu 79. Tìm nguyên hàm 2 (1 + sin x) dx ò 2 1 2 1
A. x + 2 cos x - sin 2x + C
B. x - 2 cos x + sin 2x + C 3 4 3 4 2 1 2 1
C. x - 2 cos 2x - sin 2x +C
D. x - 2 cos x - sin 2x + C 3 4 3 4
Câu 80. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai ? 1 1
(I ) sin x sin 3xdx = (sin 2x - sin 4x) +C ò 4 2 1 2 3 (II ) tan xdx = tan x +C ò 3 x + 1 1 2 (III )
dx = ln(x + 2x + 3) +C ò 2 x + 2x + 3 2 A. Chỉ (I) và (II) B. Chỉ (III)
C. Chỉ (II) và (III) D. Chỉ (II) Câu 81. Tìm 3
(sin x + 1) cos xdx ò là: 4 (cos x + 1) 4 sin x 4 (sin x + 1) A. +C B. +C C. +C D. 4 4 4 3
4(sin x + 1) +C
Câu 82. Xét các mệnh đề 2 æ x x ö ç ÷
(I) F(x) = x + cos x là một nguyên hàm của f (x) = çsin - cos ÷ ç è 2 2÷÷ø 4 x 3 (II) F(x) =
+ 6 x là một nguyên hàm của 3
f (x) = x + 4 x
(III) F(x) = tan x là một nguyên hàm của f (x) = - ln cos x Mệnh đề nào sai ? A. (I) và (II) B. Chỉ (III) C. Chỉ (II) D. Chỉ (I) và (III) 3x Câu 83. Tìm sin dx ò . 2 2 3x 2 3x
A. F(x) = - cos +C B. F(x) = cos +C 3 2 3 2 3 3x 3 3x
C. F(x) = - cos +C D. F(x) = cos +C 2 2 2 2
Câu 84. Nguyên hàm của hàm số 3
y = sin x.cos x là: 1 1 A. 4
F(x) = sin x +C B. 4
F(x) = - sin x +C 4 4 1 1 C. 4 F(x) = cos x +C D. 4
F(x) = - cos x + C 4 4
Câu 85. Nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x ) 2
= tan x thỏa mãn F (0) = 3 là:
A. f (x ) = tan x - x + 3
B. f (x ) = tan x - x - 3
C. f (x ) = tan x + x + 3
D. f (x ) = tan x + x - 3 æ ö ç p÷
Câu 86. Nếu f ¢(x ) 2 = cos x ç + ÷ ç f = ç và ( ) 13 0 thì: è 4 ÷÷ø 4 æ ö ç ÷ A. f (x ) 1 1 = x ç + cos 2x÷ + 3 B. f (x ) 1
= x - cos 2x + 4 2 çè 2 ÷÷ø 2 C. f (x ) 7 = sin x + D. f (x ) 1 = cos 2x + 3 2 2
Câu 87. Nguyên hàm của hàm số y = f (x ) = sin x + cos x - 1 là:
A. F (x ) = sin x - cos x +C
B. F (x ) = sin x - cos x - x +C
C. F (x ) = cos x + sin x - x +C
D. F (x ) = sin x + cos x - x +C
Câu 88. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? -1 A.
sin x.cos xdx = -cos x.sin x +C ò B. sin x.cos xdx = cos 2x +C ò 2 3 -cos x 3 sin x C. 2 cos x.sin xdx = +C ò D. 2 sin x.cos xdx = +C ò 3 3
Câu 89. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? 1 æ1 1 ö ç ÷ A.
cos 3x.cos xdx = ç sin 4x + sin 2x÷ +C ò ç ÷ ç ÷ 2 è4 2 ø 1æ1 1 ö - ç ÷ B. sin 3x.cos xdx =
ç cos 4x + cos 2x÷ +C ò 2 çè4 2 ÷÷ø -1 C. sin 3x.cos xdx =
cos 3x.sin x +C ò 3 -cos 2x D. sin x.cos xdx = +C ò 4 cos 2x
Câu 90. Nguyên hàm của hàm số: y = dx ò là: 2 2 sin x.cos x
A. F (x ) co
=- s x – sin x +C
B. F (x ) = cos x + sin x +C
C. F (x ) = cotx – tan x +C
D. F (x ) co
=- tx – tan x +C
Câu 91. Tìm nguyên hàm
2 sin 3x cos 2x.dx ò ? A. F (x ) 1
= - cos 5x - cos x +C B. F (x ) 1 1
= - cos 5x - cos x +C 5 3 2 Trang 63 C. F (x ) 1 1
= - cos 5x - cos x +C D. F (x ) 1
= cos 5x - cos x +C 2 3 5
Câu 92. Tìm nguyên hàm: 2 sin 2xdx ò 1 1 1 1 1 A. x +
sin 4x +C B. 3 sin 2x +C
C. x - sin 4x + C D. 2 8 3 2 8 1 1
x - sin 4x +C 2 4 1
Câu 93. Tìm nguyên hàm dx ò = 2 2 sin x.cos x
A. 2 tan 2x + C
B. 2 cot 2x + C
C. 4 cot 2x + C D. 2 cot2x + C
Câu 94. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? x 1 x 1 A. 2 cos 2xdx = + sin 4x +C ò B. 2 sin 2xdx = - sin 4x +C ò 2 8 2 8 1 C. cos 4xdx = sin 4x +C ò D. 2 2
sin 2xdx = -cos 2x +C ò 4
Câu 95. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? A. 2
cot xdx = -cotx - x +C ò B. 2
tan xdx = tan x - x +C ò 3 tan x 1 æ sin 2x ö ç ÷ C. 2 tan xdx = +C ò D. 2 sin xdx = x ç - ÷ +C ò 3 2 çè 2 ÷÷ø æ ö çp÷
Câu 96. Tìm hàm số f (x) biết f '(x ) = sin x - cos x và f ç ÷ = 0 ç . è 4 ÷÷ø
A. f (x) = -cos x - sin x + 2 `
B. f (x ) = cos x - sin x + 2 C. f (x) 2
= cos x - sin x + D. f (x ) 2
= cos x - sin x - 2 2
Câu 97. Tìm nguyên hàm ( + ò )2 1 sin x dx 2x sin 2x 2x sin 2x A. - 2 cos x - +C B. + 2 cos x - +C 3 4 3 4 2x sin 2x 2x sin 2x C. - 2 cos x + +C D. - 2 cos 2x - +C 3 4 3 4
NHÓM 4: HÀM SỐ MŨ, LOGARIT
Câu 98. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) x x f x e e- = - . A. ò ( ) x x x f x d e e- = + +C . B. ò ( ) x x x f x d e e- = - + +C . C. ò ( ) x x x f x d e e- = - +C . D. ò ( ) x x x f x d e e- = - - +C .
Câu 99. Tìm nguyên hàm của hàm số x -2x f (x) = 2 .3 . x æ ö x ç ÷ æ ö ç ÷ A. f ò (x) 2 1 dx = ç ÷ . +C ç f x d = ç ÷ +C ç . B. ò ( ) 9 1 x . è9÷÷ø ln 2 - ln 9 çè2÷÷ø ln2 - ln9 . x æ ö ç ÷ C. f ò (x) 2 1 dx = ç ÷ . +C ç . D. è3÷÷ø ln 2 - ln 9 x æ ö f ò (x) 2 ç ÷ 1 dx = ç ÷ . +C ç . è9÷÷ø ln 2 + ln 9
Câu 100. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) x (3 x f x e e- = + ) là A. ( ) = 3 x F x
e + x +C . B. ( ) = 3 x x + ln x F x e e e +C . 1
C. F(x) = 3 x e - +C . D. ( ) = 3 x F x
e - x +C . x e
Câu 101. Hàm số ( ) = 7 x F x
e - tan x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? æ x e- ö ç ÷ x 1 A. f (x) x = e 7 ç - ÷ ç ÷.
B. f (x ) = 7e + . 2 çè cos x ÷ø 2 cos x æ ö ç x 1 ÷ C. f (x ) x 2
= 7e + tan x - 1 .
D. f (x) = 7 e ç - ÷ ç . 2 ÷ çè cos x ÷ø
Câu 102. Tìm nguyên hàm của hàm số 4x 2 f (x) e - = . 1 A. f ò (x) 2x 1 dx e - = +C . B. f ò (x) 2x 1 dx e - = +C . 2 1 1 C. f ò (x) 4x 2 dx e - = +C . D. f ò (x) 2x 1 dx e - = +C . 2 2
Câu 103. Tính ò ( x e- + 4)dx 1 A. x
e- + 4x +C B. + 4x +C C. x e- - +C D. x e- x e- - + 4x +C æ ö ç x- 1 ÷ Câu 104. Tính 3 1 e ç - d ÷ x ò ç 2 ÷ çè x ÷ø 1 - 1 - 1 x- 1 A. 3 1 e - +C B. 3 1 3 x e + +C C. 3 1 3 x e - +C D. 3 x x x 1 x- 1 3 1 e + +C 3 x
Câu 105. Một nguyên hàm của hàm số f (x ) x 2 = 9 + 3x là A. ( ) 3 = 9x F x + x B. F (x ) x 3 = 9 ln 9 + x 9x 9x C. F (x) 3 = + x D. F (x ) 3 = + x 9 ln 9 æ x e- ö ç ÷
Câu 106. Một nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x) x = e 1 ç - ÷ ç ÷ thỏa F ( ) 1 = e là 2 çè x ÷ø Trang 65 A. F (x ) x 1 = e - - 1 B. F (x ) x 1 = e - + 1 x x C. F (x ) x 1 = e + - 1 D. F (x ) x 1 = e + + 1 x x Câu 107. Hàm số 1 ( ) x f x e - =
có tất cả các nguyên hàm là: A. 1 ( ) x F x e - = +C B. 1 ( ) x F x e - = - 1 C. 2 ( ) x F x e - = +C D. 1 ( ) x F x e - = - +C 2 - x
Câu 108. Gọi F(x) là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số 1 ( ) 3x f x + = thì F(x) là: A. 1 ( ) 3x F x + = +C
B. ( ) = 3 ln 3.3x F x +C x 1 3 + C. 1 ( ) 3 ln 3.3x F x + = +C D. F(x) = +C ln 3
Câu 109. Gọi F(x) là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) x
f x = e - 2 thì F(x) là: A. ( ) x
F x = e - 2 +C B. ( ) x
F x = e - 2x +C 1 C. x 1 F(x) e + = - 2x +C D. x 1 F(x) e + = - 2x +C x + 1
Câu 110. Nguyên hàm của hàm số 2 ( ) x x
f x = e -e là: 1 A. 2x x e -e +C B. 2 2 x x e -e +C C. x ( x
e e - x) +C D. Kết quả 2 khác x 1
Câu 111. Nguyên hàm của hàm số f (x) = 2e + là: 2 cos x æ x e- ö ç ÷ A. 2 x
e + tan x +C B. x e 2 ç x - ÷ x ç ÷ e + x +C D. Kết quả 2 çè cos x ø÷ C. tan khác Câu 112. Tính (3 cos - 3x x )dx ò , kết quả là: 3x 3x A. 3 sin x - +C B. 3 - sin x + +C C. ln 3 ln 3 3x 3x 3 sin x + +C D. 3 - sin x - +C ln 3 ln 3 Câu 113. Hàm số ( ) x
F x = e + tan x +C là nguyên hàm của hàm số f (x)nào? x 1 x 1 x 1
A. f (x) = e -
B. f (x) = e +
C. f (x) = e + D. Kết quả 2 sin x 2 sin x 2 cos x khác Câu 114. Nếu ( ) x
f x dx = e + sin 2x +C ò
thì f (x) bằng A. x e + cos 2x B. x e - cos 2x C. x e + 2 cos 2x D. x 1 e + cos 2x 2
Câu 115. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2x 4x f x = - . ( x x )2 2 2 2x A. F(x) = - +C B. F(x) ( x 1 1 2 - = - )+C ln 2 ln 2 ln 2 2x æ 4x ö ç ÷ 2x C. F(x) = 1 ç - ÷ +C x ç ÷ D. F(x) = (1-2 )+C . ln 2 çè ln 2÷ø 2 ln 2 æ ö ç x- 1 ÷ Câu 116. Tìm 3 1 e ç - d ÷ x ò ç . 2 ÷ çè x ÷ø 1 - 1 x- 1 A. 3 1 F(x) = e - +C B. 3 1 ( ) = 3 x F x e + +C 3 x x - 1 1 x- 1 C. 3 1 ( ) = 3 x F x e - +C D. 3 1 F(x) = e + +C x 3 x æ ö x 2 ç ÷ Câu 117. Tìm e ç3 - ÷ ò ç . 5 x ÷ çè x e ÷ø x 1 x 1
A. F(x) = 3e + +C
B. F(x) = 3 - e - +C 4 2x 4 2x x 1 x 1
C. F(x) = 3e - +C
D. F(x) = -3e + +C 4 2x 4 2x
Câu 118. Nguyên hàm của hàm số y = f (x ) 2x +3 = e - 2x + 1 là: x e + A. F (x ) 2x +3 2 = e
- x + x +C B. F (x ) 2 3 = - 2x +C 2 x e + C. F (x ) 2 3 2 =
- x + x +C D. ( ) 2 +3 2 = 2 x F x e
- x + x +C 2
Câu 119. Nguyên hàm của hàm số y f (x) 3x 2x 1 2 4 + = = + là x x + x x + A F (x ) 3 2 1 2 4 = + +C B.F (x ) 3 2 1 2 4 = + +C 2.ln 8 4.ln16 ln 2 ln 4 x x + x x + C. F (x ) 3 2 1 2 4 = + +C D. F (x ) 3 2 1 3.2 2.4 = + +C ln 8 ln16 ln 2 ln 4
Câu 120. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? x
A. ò ( x + 2x ) x = + 2x e dx e +C B. ò ( x x e + ) x 2 2 dx = e + +C ln 2 ( xe + )3 2 1 1 1 - C. x e
ò ( xe + )1 dx = +C D. xdx = +C ò 3 x x e e
Câu 121. Tìm nguyên hàm ( + ò )2 3 2 x e dx 3x 6 4 x e e 3x 6 4 x e e A. 3x + + +C B. 4x + + +C 3 6 3 6 3x 6 4 5 x e e 3x 6 4 x e e C. 4x + + +C D. 4x + - +C 3 6 3 6 Trang 67
Dạng toán 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ
A – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN P(x)
Bài toán tổng quát: Tính nguyên hàm I = ⋅dx, ò
với P(x) và Q(x ) là các đa Q(x) thức không căn.
Phương pháp giải:
— Nếu bậc của tử số P(x) ³ bậc của mẫu số Q(x ) PP ¾¾ ¾  Chia đa thức.
— Nếu bậc của tử số P(x) < bậc của mẫu số Q(x ) PP ¾¾ ¾
 Xem xét mẫu số và khi đó:
+ Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để
đưa về dạng tổng của các phân số.
Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp: 1 1 æ a b ö · ç ÷ = ⋅ ç - ÷ ⋅
(ax + m) ⋅ (bx + n)
an -bm çèax + m bx + n ÷÷ø mx + n A B
(A + B) ⋅ x - (Ab + Ba) A ìï + B = m ï · = + =  í
(x -a) ⋅ (x -b) x - a x -b
(x - a) ⋅ (x -b) Ab ï + Ba = - ïî 1 A Bx +C · = + , với 2
D = b - 4ac < 0. 2 2
(x - m) ⋅ (ax + bx + c) x - m
ax + bx + c 1 A B C D · = + + + ⋅ 2 2 2 2
(x - a) ⋅ (x -b) x - a (x - a) x -b (x -b)
+ Nếu mẫu số không phân tích được thành tích số (biến đổi và đưa về dạng lượng giác).
B ‐ BÀI TẬP VẬN DỤNG
BT 5. Tính các nguyên hàm sau: 2x + 1 a) I = ⋅ dx ⋅ ò
ĐS: I = 2x + 3 ln x - 1 +C. x - 1
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 3x + 1 b) I = ⋅ dx ⋅ ò
ĐS: I = 3x + 7 ln x - 2 + C. x - 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 3x + 1 3 1 c) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: I = - + +C. 3 (x + 1) 2 x + 1 (x + 1)
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ x + 1 x 1 d) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: I = - ln 2x + 3 +C. 2x + 3 2 4
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 4 2
x - 3x + 2x - 1 3 x 1 e) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: I =
- 3x + 2 ln x + +C. 2 x 3 x
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2 x + x + 1 2 x f) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: I =
- x + 3 ln x + 2 +C. x + 2 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2 4x + 6x + 1 1 g) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: 2
I = x + 2x - ln 2x + 1 +C. 2x + 1 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 3 2 4x + 4x - 1 3 2 2x x x 1 h) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: I = +
- - ln 2x + 1 +C. 2x + 1 3 2 2 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ dx x i) I = ⋅ ò ĐS: I = ln +C. x ⋅ (x + 1) x + 1
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ dx 1 x - 2 j) I = ⋅ ò ĐS: I = ln +C. 2 x - 4 4 x + 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ dx 1 k) I = ⋅ ò ĐS: I = - +C. 2 x - 6x + 9 x - 3
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ dx 1 x - 5 l) I = ⋅ ò ĐS: I = ln +C. 2 x - 6x + 5 4 x - 1
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ dx 1 x - 1 m) I = ⋅ ò ĐS: I = ln +C. 2 2x + x - 3 5 2x + 3
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ Trang 69 dx 1 2x - 5 n) I = ⋅ ò ĐS: I = ln +C. 2 2x - 7x + 5 3 x - 1
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 4x - 5 o) I = ⋅dx ⋅ ò
ĐS: I = ln x - 2 + 3 ln x + 1 +C. 2 x - x - 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 4x + 11 p) I = ⋅dx ⋅ ò
ĐS: I = 3 ln x + 2 + ln x + 3 + C . 2 x + 5x + 6
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ x + 1 1 q) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: I =
ln x + 2 + 4 ln x - 3 +C. 2 x - x - 6 5
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 5x - 3 r) I = ⋅dx ⋅ ò
ĐS: I = -2 ln x - 1 + 7 ln x - 2 + C. 2 x - 3x - 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 1 - 2x 1 3 s) I = ⋅dx ⋅ ò
ĐS: I = - ln x - ln x - 2 + C. 2 x - 2x 2 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2 x dx t) I = ⋅ ò
ĐS: I = x + 16 ln x - 4 - 9 ln x - 3 +C. 2 x - 7x + 12
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2 x + 1 x - 1 u) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: I = x + ln +C. 2 x - 1 x + 1
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2 x 1 v) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: 2
I = x - 2x + 4 ln x + 2 +C. x + 2 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 3x + 2 3 7 w) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: I = ln 2x - 1 - +C. 2 4x - 4x + 1 4 4(2x - 1)
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2 4 3x - x 3 x x - 2 x) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: I = - - x - ln +C. 2 x - 2 3 x + 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2 x + x 2 y) I = ⋅dx ⋅ ò
ĐS: I = x - 3 ln x + 2 - +C. 2 (x + 2) x + 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2 x .dx 1 æç x 1 1 1 ö - ÷ z) I = ⋅ ò ĐS: I = çln - - ÷ +C. ç ÷ 2 2 (1 - x ) 4 çè x + 1 x - 1 x + 1÷ø
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
BT 6. Tính các nguyên hàm sau: 2 2x - 5x - 3 3 5 a) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: I =
ln x - 2 ln x - 1 + ln x - 2 +C. 3 2
x + x - 2x 2 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2 2x - 8x + 10 1 20 17 b) I = ⋅ dx ⋅ ò ĐS: I = ln x - 2 - ln x + 1 + ln x + 2 +C. 3 2
x + x - 4x - 4 6 3 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 3 x + 1 1 9 28 c) I = ⋅dx ⋅ ò
ĐS: I = x + ln x - ln x - 2 + ln x - 3 +C. 3 2
x - 5x + 6x 6 2 3
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2 3x + 3x + 3 3 d) I = ⋅dx ⋅ ò
ĐS: I = 2 ln x - 1 + ln x + 2 - +C. 3 x - 3x + 2 x - 1
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ Trang 71 dx 1 e) I = ⋅ ò ĐS: 3
I = ln x - ln(x + 1) + C. 3 x ⋅ (x + 1) 3
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
C ‐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 3x + 5
Câu 122. Một nguyên hàm của hàm số y = là: x + 2
A. F(x) = 3x + 4 ln x + 2 + C
B. F(x) = -3x + ln x + 2 + C
C. F(x) = 3x - ln x + 2 +C
D. F(x) = 3x + ln x + 2 + C x
Câu 123. Một nguyên hàm của hàm số f (x) = là: x + 1 A. ln x + 1
B. x + ln x + 1
C. x - ln x + 1 D. 2 ln x + 1 2 x + 2x - 1
Câu 124. Cho hàm số f (x) =
. Một nguyên hàm F(x) của f (x) thỏa F(1) = 0 2 x + 2x + 1 là: 2 2 A. x + - 2 B. x + + 2 C. x - (x + )2 2 ln 1 D. x + 1 x + 1 2 x - + 2 x + 1 x (2 + x)
Câu 125. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số f (x ) = ? (x + )2 1 2 x - x - 1 2 x + x + 1 2 x A. B. C. D. x + 1 x + 1 x + 1 2 x + x - 1 x + 1 (x + )2 2 1
Câu 126. Cho hàm số f (x ) =
. Một nguyên hàm F (x ) của f (x ) thỏa 3 x F ( ) 1 = -4 là : 2 x 2 2 x 1 A. + 2 ln x - + 4 B. + 2 ln x - + 4 2 2 x 2 2 2x 2 x 2 C. + 2 ln x - - 4 D. F (x ) 3
= x - 2x +C 2 2 x x -
Câu 127. Nguyên hàm của hàm số f (x ) 3 1 = là: x + 1 x x A. F (x ) 3 2 = -
+ x + 2 ln x + 1 +C B. 3 2 ( ) 3 2 x x F x = -
+ x - 2 ln x + 1 +C 3 2 x x C. F (x ) 3 2 = -
+ x - ln x + 1 +C D. 3 2 ( ) 3 2 x x F x = -
- x - 2 ln x + 1 +C 3 2 3 2
x + 3x + 3x - 1
Câu 128. Gọi hàm số F(x) là một nguyên hàm của f (x) = , biết 2 x + 2x + 1 1 F(1) =
. Vậy F(x) là: 3 2 x 2 13 2 x 2 13 A. F(x) = + x + - B. F(x) = + x + + 2 x + 1 6 2 x + 1 6 2 x 1 2 x 2 C. F(x) = + x + +C D. F(x) = + x + 2 x + 1 2 x + 1 2 x - 2x + 1 1
Câu 129. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = biết F(1) = . Kết x 2 quả là: 2 x 2 x A. F(x) = - 2x + ln x + 2 B. F(x) = - 2x + ln x - 2 2 2 2 x 1 2 x 1 C. F(x) = - 2x + ln x + D. F(x) = - 2x + ln x - 2 2 2 2 A ìï = 3 ï 2 3x + 3x + 3 A B C ïï
Câu 130. Ta có: f (x) = = + +  B í = 2 . 3 x - 3x + 2
(x - )2 x -1 x -2 1 ïC ïï = 1 ïî Tính
f (x)dx = F(x) +C ò
, ta được kết quả là: 3 2 1 A. F(x) = + + +C x - 1 (x - )2 x + 2 1 3
B. F(x) = -
+ 2 ln x - 1 + ln x - 2 +C x - 1 2
C. F(x) = 3 ln x - 1 - + ln x - 2 +C x - 1 1
D. F(x) = -3 ln x - 1 + 2 ln x + 2 - +C x - 1 1 1
Câu 131. Nguyên hàm của hàm số f (x) = - là : 2 x x 1 1 A. 2
ln x - ln x +C B. ln x - +C C. ln x + +C D. Kết quả x x khác 1
Câu 132. Tính nguyên hàm dx ò ta được kết quả sau: 2x + 1 Trang 73 1 1
A. ln 2x + 1 +C
B. -ln 2x + 1 + C
C. - ln 2x + 1 +C D. 2 2 ln 2x + 1 +C 4 2x + 3
Câu 133. Nguyên hàm của hàm số f (x ) = là : 2 x 3 2x 3 3 2x 3 3 2x A. - +C B. - +C C. 2
- 3 ln x +C D. Kết quả 3 x 2 3 x 3 khác x
Câu 134. Kết quả của dx ò là: 2 1 - x -1 1 A. 2 1 - x +C B. +C C. +C D. 2 1 - x 2 1 - x 2 - 1 - x +C x
Câu 135. Một nguyên hàm của hàm số f (x ) = là: x + 1
A. F(x) = ln x + 1
B. F(x) = x + ln x + 1
C. F(x) = x - ln x + 1
D. F(x) = 2 ln x + 1
Câu 136. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f (x ) 4 4
= sin x + cos x ? 1 1
A. F(x) = x + sin 4x B. F(x) = x + sin 4x 4 4 3 1 3 1 C. F(x) = x + sin 4x D. F(x) = x - cos 4x 4 16 4 4
Câu 137. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x ) 1 = là 2x + 5 1 A. F(x) = ln 2x + 5 + 2016
B. F(x) = ln 2x + 5 2 2 1
C. F(x) = -
D. F(x) = - (2x + 5)2 (2x + 5)2 1
Câu 138. Nguyên hàm của hàm số y = f (x ) = là: (1 + 2x)2 - A. F (x ) 1 1 = . +C
B. F (x ) = ( + x)2 ln 1 2 +C 2 1 + 2x - C. F (x ) 1 1 = . +C D. F (x ) 1 = +C 2 1 + 2x 1 + 2x
Câu 139. Nguyên hàm của hàm số y = f (x ) 1 = sin 2x + là: 4x - 3 A. F (x) 1 1
= .cos 2x + .ln 4x - 3 +C B. 2 4 - F (x) 1 1 =
.cos 2x + .ln 4x - 3 +C 2 4 C. F (x ) 1
= cos 2x + .ln 4x - 3 +C D. 4 - F (x) 1 =
.cos 2x + ln 4x - 3 +C 2
Câu 140. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? 4 2x + 1 A.
dx = 4 ln 2x - 1 +C ò B.
dx = 2x + ln x +C ò 2x - 1 x 2 C.
dx = ln 2x - 1 + C ò D. 2x - 1
2x + 1dx = 2x - ln x +1 +C ò x + 1
Câu 141. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? 2x + 1 x - 5 x + 1 A. dx = - ln 3 - 4x +C ò B.
dx = x + 2 ln x - 1 + C ò 3 - 4x 2 8 x - 1 2 6 C.
dx = 2 ln x - 1 + C ò D. dx = 3 ln ò (2x + ) 3 +C x - 1 2x + 3 3 x
Câu 142. Nguyên hàm của hàm số: y = dx ò là: x - 1 1 1 1 1 A. 3 2
x + x + x + ln x - 1 +C B. 3 2
x + x + x + ln x + 1 +C 3 2 3 2 1 1 1 1 C. 3 2
x + x + x + ln x - 1 +C D. 3 2
x + x + x + ln x - 1 +C 6 2 3 4 2x + 3
Câu 143. Nguyên hàm của hàm số I = ò dx. 2 2x - x - là: 1 2 5
A. F(x) = ln 2x + 1 - ln x - 1 +C B. F(x) = 3 3 2 5
= ln 2x + 1 + ln x - 1 +C 5 2 2 5
C. F(x) = = - ln 2x + 1 + ln x - 1 +C D. F(x) = 3 3 2 5
- ln 2x - 1 + ln x - 1 +C 3 3 (x - )2 2 1
Câu 144. Nguyên hàm của hàm số dx = ò 3 x 3 x 1 3 x 1 A. - 2 ln x + +C B. - 2 ln x - +C 2 3 2x 2 3 x 3 x 1 3 x 1 C. - 2 ln x - +C D. - 2 ln x - +C 2 3 2x 2 3 3x Trang 75 x (2 + x)
Câu 145. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f (x ) = (x + )2 1 x - x - x + x - A. F (x) 2 1 = B. F (x) 2 1 = x + 1 x + 1 x + x + x C. F (x) 2 1 = D. F (x ) 2 = x + 1 x + 1
Dạng toán 3. TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
A – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Định lý: Cho
f (u)du = F(u) +C ò
và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì f u
é (x)ù ⋅u (¢x)⋅dx = F ué(x)ù +C. ò êë úû êë úû
1. Đổi biến số dạng 1: đặt t = ( j x).
éI = f(ax +b)n ⋅ xdx PP ¾¾¾ 
t = ax + b dt = a.dx ê ò ê m ê æ n x ö · ê ç ÷ PP n 1 I = ç ÷ ⋅dx ¾¾¾
t = x + + 1  dt = (n + 1) n x .dx , ê ò ç ÷ với n 1 çèax + + 1÷ø ê ê 2 n PP 2 I =
f (ax + b) ⋅ xdx ¾¾¾ 
t = ax + b dt = 2ax.dx ê ò ë m, n Î .  · n I =
f (x) ⋅ f ( ¢ x)⋅dx ò PP ¾¾ ¾  Đặt n
t = f (x), trừ một số trường hợp đổi biến dạng 2. é 1 êI =
f (ln x) ⋅ ⋅ dx ò té = ln x · ê x ê PP ¾¾ ¾  Đặt ê ⋅ ê 1
tê = a + b ln x I =
f (a + b ln x) ⋅ ⋅ dx ê ò êë ë x · = ( x ) x I
f e ⋅e ⋅dx ò PP ¾¾ ¾  Đặt x t = e . · I =
f (cos x)⋅ sin xdx ò PP ¾¾ ¾
 Đặt t = cosx dt = -sinxdx. · I =
f (sin x) ⋅ cos xdx ò PP ¾¾ ¾
 Đặt t = sinx dt = cosxdx. 1 · I = f (tan x) ⋅ dx ò PP ¾¾ ¾  Đặt 2 cos x 1 2
t = tan x dt =
dx = (1 + tan x)dx. 2 cos x 1 · I = f (cotx) ⋅ dx ò PP ¾¾ ¾  Đặt 2 sin x 1 2
t = cotx dt = - ⋅dx = ( - 1 + cot x)dx. 2 sin x é 2
t = sin x dt = sin 2xdx · ê 2 2 I =
f (sin x;cos x)⋅ sin 2xdx ò PP ¾¾ ¾  Đặt ⋅ ê 2
t = cos x dt = -sin 2xdx êë · I =
f (sin x  cos x) ⋅ (sin x cos x) ⋅dx ò  PP ¾¾ ¾
 Đặt t = sin x  cos x.
2. Đổi biến số dạng 2: đặt x = ( j t). · 2 2 2 = ( - ) n I f a x ⋅ x dx ò PP ¾¾ ¾
 Đặt x = a.sint dx = a.cost.dt. adt · 2 2 2 = ( + ) n I f x a ⋅ x dx ò PP ¾¾ ¾
 Đặt x = a.tant dx = ⋅ 2 cos t Trang 77 a a sint · 2 2 2 = ( - ) n I f x a ⋅ x dx ò PP ¾¾ ¾  Đặt x =  dx = ⋅dt ⋅ 2 cost cos t dx 1 dt · I = ò PP ¾¾ ¾
 Đặt x -a =  dx = - ⋅ n 2
(x -a) . ax + bx + c 2 t t · én n ù 1 I = R
ò ê ax +b,..., k ax +bú ⋅dx PP ¾¾ ¾  Đặt n
t = ax + b với ë û
n = B.C .N .N {n ;n ;...;n ⋅ 1 2 k } dx · I = ò PP ¾¾ ¾  Đặt
(x + a)(x + b) ìï x ìï + a > 0 t ï x a x b khi ï ï = + + + ï í ï x ï + b > 0 ï ïî í ⋅ ï x ìï + a < 0 t ï x a x b khi ï ï = - - + - - í ïï x ï + b < 0 ï ï î î
B ‐ BÀI TẬP VẬN DỤNG
BT 7. Tính các nguyên hàm sau: 2016 2017 (1 - x) (1 - x) a) 2015 I = x ⋅ (1 - x) ⋅dx ⋅ ò ĐS: I = - + +C. 2016 2017
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 4 2 (x + 1) b) 2 3 I =
x ⋅ (x + 1) dx ⋅ ò ĐS: I = +C. 8
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 12 11 10 (x - 1) 2(x - 1) (x - 1) c) 2 9 I =
x ⋅ (x - 1) ⋅dx ⋅ ò ĐS: I = + + +C. 12 11 10
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2 10 2 9 (2 - 3x ) (2 - 3x ) d) 3 2 8 I =
x ⋅ (2 - 3x ) ⋅dx ⋅ ò ĐS: I = - +C. 180 81
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ xdx 1 e) I = ⋅ ò ĐS: 2
I = ln x + 2 +C. 2 x + 2 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2x 2 f) I = dx ⋅ ò
ĐS: I = 2 ln x + 1 + +C. 2 (x + 1) x + 1
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ x 1 æ1 1 1ö ç ÷ g) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: I = ⋅ ç ⋅ - ÷ +C. 5 ç ÷ (x + 1) 3
(x + 1) çè4 x + 1 3÷ø
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 3 æ x ö ç ÷ 1 1 h) I = ç ÷ dx ⋅ ò ç ĐS: I = - + +C. 2 ÷ çè1 + x ÷ø 2 2 2 2(1 + x ) 4(1 + x )
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 3 æ 1ö ç ÷ 1 1 1 3 1 i) I = 1 ç + ÷ ⋅ ⋅dx ⋅ ò ç ÷ ĐS: I = - - - - +C. 2 çè x ÷ø x 4 3 2 4x x 2x x
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ xdx 1 j) I = ⋅ ò
ĐS: I = ln x + 1 - +C. 2 (x + 1) x + 1
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ xdx 1 é 1 1 ù k) I = ⋅ ò ĐS: I = ⋅ ê - ú +C. 3 (2x + 1) ê 2 2 4(2x + 1) 2(2x 1)ú + ë û
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ Trang 79
........................................................................................................................................................................................ 5 x 4 2 x x 1 l) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: 2 I = - + ln(x + 1) +C. 2 x + 1 4 2 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 4 x 5 1 x - 2 m) I = dx ⋅ ò ĐS: I = ln +C. 10 x - 4 5 20 x + 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 3 x dx 3 2 x x n) I = ⋅ ò ĐS: I = -
+ x - ln x + 1 +C. x + 1 3 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
BT 8. Tính các nguyên hàm sau: (x + 1)dx a) I = ⋅ ò ĐS: 2
I = x + 2x - 4 + C . 2 x + 2x - 4
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2 3 (2 - x ) b) 2 I =
x. 2 - x .dx. ò ĐS: I = - +C. 3
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2xdx 3 c) I = ⋅ ò ĐS: 3 2 2 I = (x + 4) +C. 3 2 x + 4 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2 x dx 2
2(3x + 4x + 8) 1 - x d) I = ⋅ ò ĐS: I = - +C. 1 - x 15
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 4 15 e) 3 2 I =
5x. 1 - x .dx. ò ĐS: 2 3 I = - (1 - x ) +C. 8
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 4 2 2 2
3(20x - 4x - 3). (1 - 2x ) f) 5 3 2 2 I =
x . (1 - 2x ) .dx. ò ĐS: I = +C. 320
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 4x - 1 g) I = dx. ò ĐS: 2x + 1 + 2
I = 2x + 1 - 4 2x + 1 + 5 ln 2x + 1 + 2 + C.
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 3 x 2 3 (4 - x ) h) I = dx. ò ĐS: 2 I = - 4 4 - x +C. 2 4 - x 3
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ dx 2 1 x + 4 - 2 i) I = ⋅ ò ĐS: I = ln +C. 2 x x + 4 2 4 x + 4 + 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 3 2
2x - 3x + x 2 3 2 (x - x + 1) j) I = dx. ò ĐS: 2 I =
- 2 x - x + 1 +C. 2 x - x + 1 3
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ Trang 81
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2 k) 3 I =
sin x. cos x .dx. ò ĐS: 3 I =
(cos x - 7 cos x) cos x +C. 21
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ dx 1 x + e - 1 l) I = ⋅ ò ĐS: I = ln +C. 1 x + e 1 x + e + 1
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ dx 2 1 1 + 3 ln x - 1 m) I = ⋅ ò ĐS: I = ln +C. 2
x ln x. 1 + 3 ln x 2 2 1 + 3 ln x + 1
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ xdx 3 2 3 x (x - 1) n) I = ⋅ ò ĐS: I = + +C. 2 x + x - 1 3 3
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
BT 9. Tính các nguyên hàm sau: 1 3 ln x a) 2 I = ln x ⋅ dx ⋅ ò ĐS: I = +C. x 3
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 3 ln x + 1 b) I = dx ⋅ ò
ĐS: I = 3 ln x + ln ln x +C. x ln x
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 1 2 (1 + ln x) c) I =
(1 + ln x) ⋅ dx ⋅ ò ĐS: I = +C. x 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ ln x 1 3 2 (1 + ln x) d) I = ⋅ dx ⋅ ò ĐS: I =
- 2 1 + ln x +C. 1 + ln x x 3
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 3 2 ln x. 2 + ln xdx 3 e) I = ⋅ ò ĐS: 3 2 4 I = (2 + ln x) +C. x 8
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 3 log x æ 2 3 ö 1 ç (1 + 3 ln x) ÷ f) 2 I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: 2 I ç = ç
- 1 + 3 ln x ÷÷ + C. ç ÷ 2 x 1 + 3 ln x 3 9 ln 2 3 ÷ ç ÷ è ø
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
BT 10. Tính các nguyên hàm sau: dx x e - 1 a) I = ⋅ ò ĐS: I = ln +C. x e - 1 x e
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ dx 1 x e b) I = ⋅ ò ĐS: I = ln +C. x e + 2 2 x e + 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ dx x e - 2 c) I = ⋅ ò ĐS: I = ln +C. x e + 2 x e- - 3 x e - 1
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ Trang 83
........................................................................................................................................................................................ x e 1 d) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: 2 = ln x I e + 1 +C. x x e + e- 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ dx 1 x e - 2 e) I = ⋅ ò ĐS: I = ln +C. x e - 4. x e- 4 x e + 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ x 3 (1 + e ) x 2 (1 + e ) x 1 f) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: I =
+ 2(1 + e ) + 3x - +C. x e 2 x e
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2x e + 3 x e 1 3 x e + x x 1 g) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: 2
I = ln(e + 3e + 2) + ln +C. 2x e + 3 x e + 2 2 2 x e + 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2x e x 3 2 (e - 1) h) I = ⋅ dx ⋅ ò ĐS: x I = + e - 1 +C. x e - 1 3
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ dx æ x x ö - - ç ÷ i) I = ⋅ ò ĐS: 2 2 I = 2 e ç + ln e + 1÷ ç ÷ +C. x x ç ÷ e - e ç ÷ è ø
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ dx x e j) I = ⋅ ò ĐS: I = 2 ln +C. x e + 1 x e + 1
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
BT 11. Tính các nguyên hàm sau: cos xdx a) I = ⋅ ò
ĐS: I = ln 1 + sin x + C . 1 + sin x
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
(2 sin x - 3)cos x 1 b) I = ⋅dx ⋅ ò
ĐS: I = (2 sin x + 1) - 4 ln 2 sin x + 1 +C. 2 sin x + 1 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 3 cos xdx 3 c) I = ⋅ ò ĐS: I = +C. 2 (1 - sin x) 1 - sin x
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2 cos xdx æ 3ö ç ÷ d) I = ⋅ ò
ĐS: I = ln çsin x + ÷ +C. 3 + 2 sin x çè 2÷÷ø
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 3 5 sin x sin x e) 2 3 I =
sin x.cos x.dx. ò ĐS: I = - +C. 3 5
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2 1 - 2 sin x 1 f) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: I =
ln 1 + sin 2x +C. 1 + sin 2x 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 3 cos x 1 g) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: I = - - sin x +C. 2 sin x sin x
........................................................................................................................................................................................ Trang 85
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ sin 2x 4 h) I = ⋅dx ⋅ ò
ĐS: I = 2 ln(2 + sin x) + +C. 2 (2 + sin x) 2 + sin x
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ i) sin x I = e .cos x.dx. ò ĐS: sin x I = e +C.
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 5 3 sin x 2 sin x 2 sin 2x j) 3 2 I =
(cos x - 1).cos x.dx. ò ĐS: I = - + sin x + + +C. 5 3 x 4
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ cos xdx æ3 sinx ö - ç ÷ k) I = ⋅ ò ĐS: I = ln ç ÷ +C. 2 ç ÷
6 - 5 sin x + sin x çè2 - sinx ÷ø
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ cos xdx 1 5 - sin x l) I = ⋅ ò ĐS: I = ln +C. 2
11 - 7 sin x - cos x 3 2 - sin x
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
BT 12. Tính các nguyên hàm sau: sin xdx a) I = ⋅ ò
ĐS: I = - ln 1 + cos x + C . 1 + cos x
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 3 4 sin x b) I = ⋅ dx ⋅ ò ĐS: 2
I = -2(1 + cos x) +C. 1 + cos x
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 5 3 cos x cos x c) 2 3 I = cos x sin xdx ò ĐS: I = - +C. 5 3
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ sin 2x cos x cos x d) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: 2 I =
- cos x - ln cos x + 1 +C. 1 + cos x 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ sin 4x e) I = ⋅dx ⋅ ò
ĐS: I = 6 ln(3 + cos 2x) - 2 cos 2x - 6 + C . 2 1 + cos x
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ sin x + sin 3x 2 2 cos x + 1 f) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: I = ln - 2 cos x +C. cos 2x 2 2 cos x + 1
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ æp x ö tanç ÷
ç + ÷.sin x.(1 - sin x) çè4 2÷÷ø 1 g) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: I = +C. 3 cos x cos x
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 3 sin x 1 1 h) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: I = - +C. 4 cos x 3 3 cos x cos x
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
BT 13. Tính các nguyên hàm sau: Trang 87 tan x 2 tan x a) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: I = +C. 2 cos x 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 4 sin x 5 tan x b) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: I = +C. 6 cos x 5
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 4 tan x 3 tan x 1 tan x - 1 c) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: I = - - tan x - ln +C. cos 2x 3 2 tan x + 1
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ dx 1 3 tan x - 5 d) I = ⋅ ò ĐS: I = ln +C. 2 2
5 cos x - 8 sin x cos x + 3 sin x 2 tan x - 1
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
(1 + sin 2x) ⋅dx 2 tan x 3 tan x 1 e) I = ⋅ ò ĐS: I = +
+ ln 2 tan x + 1 +C. 3 4
2 sin x cos x + cos x 4 4 8
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ dx 3 tan x 1 f) I = ⋅ ò ĐS: I = + 2 tan x - +C. 4 2 cos x sin x 3 tan x
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ dx g) I = ⋅ ò I = - - x +C æ ĐS: 2 ln 1 tan . pö cos x cos x ç ÷ ç + ÷ çè 4 ÷÷ø
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ æ p ö tan x ç ÷ ç - ÷ çè 4 ÷÷ø 1 h) I = dx ⋅ ò ĐS: I = +C. cos 2x 1 + tan x
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
BT 14. Tính các nguyên hàm sau: 2 cos x 1 a) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: 3
I = - cot x +C. 4 sin x 3
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2 cos x 7 5 3
15 cot x + 42 cot x + 35 cot x b) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: I = +C. 8 sin x 105
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ dx 4 c) I = ⋅ ò ĐS: 4 3 I = - cot x +C. 2 4 sin x ⋅ cotx 3
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ dx 1 d) I = ⋅ ò ĐS: 2
I = -ln cotx - cot x +C. 3 cos x sin x 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ dx e) I = ⋅ ò I = - x +C æ ĐS: 2 ln cot . pö sin x sin x ç ÷ ç + ÷ çè 6 ÷÷ø
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ sin x.dx 1 f) I = ⋅ ò ĐS: I = +C. 3 (sin x + cos x) 2 2(1 + cotx) Trang 89
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
BT 15. Tính các nguyên hàm sau: sin x - cos x a) I = ⋅dx ⋅ ò
ĐS: I = -ln sin x + cos x +C. sin x + cos x
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ cos 2xdx b) I = ⋅ ò
ĐS: I = sin x + cos x + 2 - 2 ln sin x + cos x + 2
sin x + cos x + 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ cos 2x ⋅ dx 1 1 c) I = ⋅ ò ĐS: I = - +C. 3
(sin x + cos x + 2) 2
(sin x + cos x + 2)
sin x + cos x + 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2 4 (1 + sin x) d) 2 3 I =
sin 2x.(1 + sin x) .dx. ò ĐS: I = +C. 4
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
BT 16. Tính các nguyên hàm sau: dx x a) I = ⋅ ò ĐS: I = +C. 2 1 - x 2 1 - x
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ dx 2 9 - x b) I = ⋅ ò ĐS: I = - +C. 2 2 x 9 - x 9x
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ dx x c) I = ⋅ ò ĐS: I = +C. 2 3 (x + 1) 2 x + 1
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ dx 2 25 - x d) I = ⋅ ò ĐS: I = - +C. 2 2 x 25 - x 25x
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 3 x 1 e) I = dx ⋅ ò ĐS: 2 2
I = (x - 2) 1 + x +C. 2 1 + x 3
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 3 2 1 - x 2 2 (1 - x ) f) I = dx ⋅ ò ĐS: I = - +C. 4 x 3 3x
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ dx g) I = ⋅ ò ĐS: 2
I = ln x + x - 4 +C. 2 x - 4
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
C ‐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM x - 1 Câu 146. Tính dx ò 2 x - 2x + 5 2x - 2 A. +C B. 2
2 x - 2x + 5 + C 2 x - 2x + 5 2 x - 2x + 5 C. +C D. 2
x - 2x + 5 +C 2 x
Câu 147. Họ nguyên hàm của hàm số f (x ) = là 2 x + 1 Trang 91 A. F (x ) 2 = ln x + 1 +C B. F (x ) 2 = x + 1 +C 2 C. F (x ) 2 = 2 x + 1 +C
D. F (x ) = +C 3( 2 x + ) 1
Câu 148. Một nguyên hàm của hàm số ( ) sin = cos . x f x x e là A. ( ) sin x F x = e B. ( ) cos x F x = e C. ( ) sin x F x e- = D. ( ) sin = sin . x F x x e
Câu 149. Cho hàm số f (x ) = x (x + )2016 2 1 . Khi đó : (x + )2017 2 1 (x + )2016 2 1 A. f ò (x)dx = +C B. f (x)dx = ò 4034 4032 (x + )2016 2 1 (x + )2017 2 1 C. f (x)dx = ò D. f (x)dx = ò 2016 2017 Câu 150. Hàm số ( ) 2 x
F x = e là nguyên hàm của hàm số 2 x e A. ( ) 2 = 2 x f x xe B. ( ) 2x f x = e
C. f (x ) = D. 2x ( ) 2 2 x f x = x e - 1
Câu 151. Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) = tan x là: 1 1 A. F(x) = +C B. F(x) = +C 2 cos x 2 sin x
C. F(x) = ln cos x + C
D. F(x) = -ln cos x +C
Câu 152. Kết quả của
cos x s inx + 1dx ò bằng: A. F x = ( x + )3 2 ( ) s in 1 +C B. F x = - ( x + )3 2 ( ) s in 1 +C 3 3 2 C. F(x) = (sinx + )1 +C D. F x = ( x + )3 2 ( ) s in 1 + C 3 3 x e
Câu 153. Kết quả của dx ò bằng: x e + 3 A. ( ) x
F x = e + 3 + C B. ( ) = 2 x F x e + 3 +C x e C. ( ) x
F x = e + 3 +C D. F(x) = +C x e + 3x ln x
Câu 154. Hàm số f (x) = có các nguyên hàm là: x 1 A. 2
F(x) = ln x +C B. F(x) = ln x +C 2 1 1 C. 2
F(x) = ln x +C D. F(x) = +C 2 2 x.x 1 x
Câu 155. Hàm số f (x) = ln x( + ) có các nguyên hàm là: x ln x 2 2 ln x + x A. 2 2
F(x) = ln x + x +C B. F(x) = +C 2 2 ln x 2 x C. 2 F(x) = + x +C
D. F(x) = ln x(ln x + ) +C 2 2 ln x 1 æ ö çp÷
Câu 156. Gọi hàm số F(x) là một nguyên hàm của f (x) =
, biết F ç ÷ = 1 . Vậy s inx çè2÷÷ø F(x) là: 1 1 + cos x 1 1 + cos x A. F(x) = ln + 1 B. F(x) = ln 2 1 - cos x 2 1 - cos x 1 + cos x 1 1 - cos x
C. F(x) = ln + 1 D. F(x) = ln + 1 1 - cos x 2 1 + cos x x
Câu 157. Gọi F(x) là nguyên của hàm số f (x) =
thỏa mãn F(2) = 0 . Khi đó 2 8 - x
phương trình F(x) = x có nghiệm là: A. x = 0 B. x = 1 C. x = 1 - D. x = 1 - 3
Câu 158. Nguyên hàm của hàm số: y = sin2x.cos3x là: 1 1 1 1 A. 3 5
sin x - sin x +C B. 3 5
- sin x + sin x +C 3 5 3 5
C. sin3x sin5x + C D. Đápán khác. 3 x
Câu 159. Một nguyên hàm của hàm số: y = là: 2 2 - x 1 A. 2
F(x) = x 2 - x B. - ( 2 x + 4) 2 2 - x 3 1 1 C. 2 2 - x 2 - x D. - ( 2 x - 4) 2 2 - x 3 3 1
Câu 160. Hàm số nào dướiđây là một nguyên hàm của hàm số: y = 2 4 + x A. F x = - ( 2 ( ) ln x - 4 + x ) B. F x = ( 2 ( ) ln x + 4 + x ) C. 2
F(x) = 2 4 + x D. 2
F(x) = x + 2 4 + x
Câu 161. Một nguyên hàm của hàm số: 2
f (x) = x sin 1 + x là: A. 2 2 2
F(x) = - 1 + x cos 1 + x + sin 1 + x B. 2 2 2
F(x) = - 1 + x cos 1 + x - sin 1 + x C. 2 2 2
F(x) = 1 + x cos 1 + x + sin 1 + x D. 2 2 2
F(x) = 1 + x cos 1 + x - sin 1 + x Trang 93
Câu 162. Một nguyên hàm của hàm số: 2
f (x) = x 1 + x là: 1 1
A. F(x) = ( 1 + x )2 2
B. F(x) = ( 1 + x )3 2 2 3 2 2 x 1 C. F x = ( 2 ( ) 1 + x ) D. F(x) = ( 1+x )22 2 3
Câu 163. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = x ( - x )2015 1
, ta được kết quả là: 1 2017 1 2016 A. F(x) = (1-x) + (1- x) +C 2017 2016 1 2017 1 2016 B. F(x) = (1- x) - (1- x) +C 2017 2016 1 2017 1 2016
C. F(x) = - (1-x) + (1-x) +C 2017 2016 1 2017 1 2016
D. F(x) = - (1- x) - (1-x) +C 2017 2016 2x
Câu 164. Tìm nguyên hàm F (x ) biết f (x) = . Kết quả là: 2 x + x - 1 2 2 2 2 A. 3
F(x) = x - ( 2 x - ) 2 1 x - 1 B. 3
F(x) = x + ( 2 x - ) 2 1 x - 1 3 3 3 3 2 2 2 2 C. 3
F(x) = x - ( 2 x + ) 2 1 x - 1 D. 3
F(x) = x + ( 2 x + ) 2 1 x - 1 3 3 3 3 2 x + 1
Câu 165. Tính: P = dx ò x A. 2
P = x x + 1 - x + C B. 2 P = x + + ( 2 1
ln x + x + 1) +C 2 1 + x + 1 C. 2 P = x + 1 + ln +C D. Đápán khác. x sin x
Câu 166. Tìm nguyên hàm F (x ) biết f (x) = . Kết quả là: sin x + cos x 1
A. F(x) = (x - ln sin x + cos x ) +C B. 2 1
F(x) = (x + ln sinx + cosx ) +C 2 1
C. F(x) = (x - ln sin x - cosx ) +C D. 2 1
F(x) = (x + ln sinx - cosx ) +C 2
Câu 167. Tìm nguyên hàm F (x ) biết f (x ) = cos x cos 2x sin 4x . Kết quả là: 1 1 1 1
A. F(x) = - cos 7x - cos 5x -
cos 3x - cos x +C 28 20 12 4 1 1 1 1
B. F(x) = - cos 7x - cos 5x +
cos 3x + cos x +C 28 20 12 4 1 1 1 1 C. F(x) = cos 7x + cos 5x -
cos 3x - cos x +C 28 20 12 4 1 1 1 1
D. F(x) = - cos 7x + cos 5x -
cos 3x + cos x +C 28 20 12 4
Câu 168. Tìm nguyên hàm F (x ) biết f (x) = x sin x . Kết quả là:
A. F(x) = -2x cos x + 4 x sin x + 4 cos x + C
B. F(x) = -2x cos x - 4 x sin x + 4 cos x + C
C. F(x) = -2x cos x + 4 x sin x - 4 cos x + C
D. F(x) = 2x cos x + 4 x sin x + 4 cos x + C 2
Câu 169. Tính nguyên hàm x 1 xe + dx ò , ta được: 1 2 1 2 A. x 1 F(x) e + = +C B. x 1 F(x) e - = +C 2 2 1 2 1 2 C. x 1 F(x) e + = - +C D. ( ) x
F x = e +C 2 2 ln 2 Câu 170. Tính 2 x dx ò . Kết quả sai là: x A. ( ) = 2(2 x F x - ) 1 +C B. ( ) = 2(2 x F x + ) 1 +C C. ( ) = 2 x F x +C D. 1 ( ) 2 x F x + = + C 1
Câu 171. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của f (x) = ? 2 1 + x x
A. F(x) = - B. 2
F(x) = ln 1 + x 2 1 + x C. F x = ( 2 ( ) ln x + 1 + x ) D. F x = ( 2 ( ) ln x - 1 + x ) x
Câu 172. Nguyên hàm của hàm số f (x) = là 2 x + 1 1 A. F(x) = ln ( 2 x + ) 1 +C B. F x = ( 2 ( ) ln x + ) 1 +C 2 1 x - 1
C. F(x) = 2x +C D. F(x) = ln +C 2 x + 1 cos x Câu 173. Tìm dx ò . 20 sin x 1 1
A. F(x) = - +C B. F(x) = +C 19 19 sin x 19 19 sin x 1 1
C. F(x) = - +C D. F(x) = +C 19 19 cos x 19 19 cos x Trang 95
Câu 174. Hàm số F(x) = ln sin x - 3 cos x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? cos x + 3 sin x -cosx- 3 sin x
A. f (x) =
B. f (x) = sin x - 3 cos x sin x - 3 cos x sin x - 3 cos x
C. f (x) = cos x + 3 sin x
D. f (x) = cos x + 3 sin x x - 1 Câu 175. Tìm dx ò . 2 x - 2x + 5 2x - 2 A. +C B. 2
2 x - 2x + 5 + C 2 x - 2x + 5 2 x - 2x + 5 C. +C D. 2
x - 2x + 5 +C 2 æ ö çp÷
Câu 176. Nguyên hàm F (x ) của hàm số 2 3
f (x) = sin 2x.cos 2x thỏa F ç ÷ = 0 ç là è 2 ÷÷ø 1 1 1 1 A. F (x ) 3 5 = sin 2x + sin 2x B. F (x ) 3 5 = sin 2x - sin 2x 6 10 6 10 1 1 4 C. F (x ) 3 5 = sin 2x + sin 2x + D. 6 10 15 F (x) 1 1 1 3 5 = sin 2x - sin 2x + 6 10 15 x e
Câu 177. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
thỏa F (0) = -ln 3 là x e + 2 A. ( ) = ln ( x F x e + ) 2 + ln 3 B. ( ) = ln( x F x e + ) 2 - ln 3 C. ( ) = ln( x F x e + ) 2 + 2 ln 3 D. ( ) = ln( x F x e + ) 2 - 2 ln 3 x
Câu 178. Nguyên hàm của hàm số y = f (x) 2 = là 3 x + 1 x x + x + A. F (x ) 3 3 1 = +C B. F (x ) 3 1 = +C 3 3 x + - x + C. F (x) 3 2 1 = +C D. F (x ) 3 2 1 = +C 3 3
Câu 179. 0034: Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? 1 + x 1 + x 2 ( 2 ) 2 A. x 1 + x dx = +C ò B. 3 3 (1+x )4 2 2x ò ( 2 1 + x ) dx = +C 4 1 + x ln ( 2 1 + x x ) 2 2 ( )4 2 3 C. 2x
ò (1+ x ) dx = x . +C D. dx = +C ò 4 2 1 + x 2
Câu 180. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? ln x A. 2
dx = ln x +C ò x 2 ln x ln x B. dx = +C ò x 2 + ( + x )5 ( + x x x )3 3 2 ln 3 2 ln ln 3 2 ln C. dx = - +C ò x 10 2 2 3 ln x ln x D. xdx = +C ò x 3
Câu 181. Nguyên hàm của hàm số = ( ) 2x 3 = + 2 x y f x e + x là x x e x x x e x A. F (x) 2 3 2 2 = + + +C B. F (x) 2 3 2 2 = + + +C 2 ln 2 2 2 ln 8 2 x x x e x 2 x C. F (x ) 3 2 2 = e + + +C D. F (x ) 2 3 2 = + + 1 +C ln 8 2 2 ln 8
Câu 182. Hàm số F (x ) = ln sin x - 3 cos x là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau đây: x + x A. f (x ) cos 3 sin =
B. f (x) = cos x + 3 sin x sin x - 3 cos x - x - x x - x C. f (x ) cos 3 sin = D. f (x ) sin 3 cos = sin x - 3 cos x cos x + 3 sin x x ln 2 Câu 183. Tính 2 . dx ò , kết quả sai là: x A. 2(2 x + ) 1 +C B. 2(2 x - ) 1 +C C. 1 2 + x +C
D. 2 x +C
Câu 184. Kết quả nào sai trong các kết quả sau: dx A. = ln ò (ln(lnx) +C B.
x ln x.ln(ln x) 2 dx 1 x + 1 - 1 = ln +C ò 2 2 2 x x + 1 x + 1 + 1 dx 1 x xdx 1 - C. = tan +C ò D. 2 = ln 3 - 2x +C ò 1 + cos x 2 2 2 3 - 2x 4
Câu 185. Tìm nguyên hàm của hàm số 3 cos ( ) x f x = e .sin x 1 A. 3 cos ( ) x f x dx = e .cos x + C ò B. 3 cos ( ) = 3 x f x dx e +C ò 3 1 C. 3 cos ( ) x f x dx = - e +C ò D. 3 cos ( ) = 3 x f x dx e .cos x +C ò 3 ln x
Câu 186. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x 2 ln x 2 ln x A. f (x)dx = +C ò B. f (x)dx = +C ò 4 2 Trang 97 2 ln x 1 C. f (x)dx = +C ò D. f (x)dx = +C ò 4x 2 2x
Câu 187. Nguyên hàm của hàm số: 3 I = x x - 1dx. ò là: é2 4 5 3 6 2 2 ù
A. F(x) = ê (x - ) 1 + (x - ) 1 + (x - ) 1 + (x - ) 1 ú x - 1 +C ê 9 7 5 3 ú ë û é2 4 6 3 6 2 2 ù
B. F(x) = ê (x - ) 1 + (x - ) 1 + (x - ) 1 + (x - ) 1 ú x - 1 +C ê 9 7 5 3 ú ë û é2 4 6 3 6 2 2 ù
C. F(x) = ê (x - ) 1 + (x - ) 1 + (x - ) 1 + (x - ) 1 ú x - 1 +C ê 9 7 7 3 ú ë û é2 4 6 3 6 2 1 ù
D. F(x) = ê (x - ) 1 + (x - ) 1 + (x - ) 1 + (x - ) 1 ú x - 1 +C ê 9 7 5 3 ú ë û dx
Câu 188. Nguyên hàm của hàm số: I = ⋅ ò là: 2x - 1 + 4
A. F(x) = 2x - 1 - 4 ln( 2x -1 + 4) +C B. F(x) =
2x + 1 - 4 ln( 2x + 1 + 4) +C
C. F(x) = 2x - 1 + 4 ln( 2x + 1 + 4) +C D. F(x) = 7
2x - 1 - ln ( 2x -1 + 4) +C 2 5 cos x
Câu 189. Nguyên hàm của hàm số: y = dx ò là: 1 - sin x 3 4 sin x cos x 3 4 sin 3x cos 4x A. cos x - - +C B. sin x - - +C 3 4 3 4 3 4 sin x cos x 3 4 sin x cos x C. sin x - - +C D. sin x - - +C 3 4 9 4 2 (x + x) x e
Câu 190. Nguyên hàm của hàm số: y = dx ò là: x x + e- A. F(x) = x + 1 - ln x xe xe + 1 +C
B. F(x) = x + 1 - ln x e xe + 1 +C C. F(x) = x 1 ln x xe xe- + - + 1 +C D. F(x) = x + 1 + ln x xe xe + 1 +C dx
Câu 191. Nguyên hàm của hàm số: y = ò là: 2 2 x - a 1 x -a 1 x + a 1 x - a A. ln +C B. ln +C C. ln +C D. 2a x + a 2a x -a a x + a 1 x + a ln +C a x - a dx
Câu 192. Nguyên hàm của hàm số: y = ò là: 2 2 a - x 1 a - x 1 a + x 1 x - a A. ln +C B. ln +C C. ln +C D. 2a a + x 2a a - x a x + a 1 x + a ln +C a x - a
Câu 193. Nguyên hàm của hàm số: y = x 4x + 7 dx ò là: é 5 3 1 2 2 ù A.
ê (4x + 7)2 - 7 ⋅ (4x + 7)2 ú +C B. 20 ê5 3 ú ë û 1 é2 ù ê ( x + )5 2 4 7 - 7 ⋅ (4x + 7)3 2 2 ú + C 18 ê5 3 ú ë û é 5 3 1 2 2 ù C.
ê (4x + 7)2 - 7 ⋅ (4x + 7)2 ú +C D. 14 ê5 3 ú ë û 1 é2 ù ê ( x + )5 2 4 7 - 7 ⋅ (4x + 7)3 2 2 ú + C 16 ê5 3 ú ë û
Dạng toán 4. TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP
NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
A – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Định lý: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm và liên tục trên K thì I = ( u x)⋅ v (
¢ x)⋅dx = u(x)⋅ v(x) - u (¢x)⋅ v(x)⋅dx ò ò hay I = udv = uv - vdu ⋅ ò ò
Vận dụng giải toán:
— Nhận dạng: Tích 2 hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác x
e .sin x.dx,.... ò ì Vi u
ï = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ phân
⋅⋅ ¾¾¾¾ du = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅dx ï — Đặt: í ⋅ Suy ra: Nguyên dv ï
= ⋅⋅⋅⋅⋅⋅dx ha m
¾¾¾¾¾ v = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ïïî I = udv = uv - vdu. ò ò
— Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv = phần còn lại. Nghĩa là 1
nếu có ln hay log x thì chọn u = ln hay u = log x =
.ln x và dv = còn lại. a a lna
Nếu không có ln; log thì chọn u = đa thức và dv = còn lại. Nếu không có log,
đa thức, ta chọn u = lượng giác,….
— Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm.
— Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi. Trang 99
B ‐ BÀI TẬP VẬN DỤNG
BT 17. Tính các nguyên hàm sau: a) I =
x ⋅ sin x ⋅dx ⋅ ò
ĐS: I = sin x - cos x +C.
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ b) = (1 - 2 ) x I
x ⋅e ⋅ dx ⋅ ò ĐS: = (3 - 2 ) x I
x ⋅e +C.
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ x e c) x I =
e ⋅ cos x ⋅dx ⋅ ò ĐS: I =
(sin x + cos x) +C. 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2 x d) I =
(2x - 1)⋅ ln x ⋅dx ⋅ ò ĐS: 2
I = (x - x)ln x - + x +C. 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 3x 3x xe e e) 3x I =
x ⋅e ⋅ dx ⋅ ò ĐS: I = - +C. 3 9
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 3 3 x ln 2x x f) 2 I =
x ⋅ ln 2x ⋅dx ⋅ ò ĐS: I = - +C. 3 9
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ g) I = ln x ⋅ dx ⋅ ò
ĐS: I = x ln x - x +C.
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ x + 1 1 h) I =
(x + 1)⋅ sin 2x ⋅dx ⋅ ò ĐS: I = -
cos 2x + sin 2x +C. 2 4
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ i) x I x e- = ⋅ ⋅dx ⋅ ò ĐS: (1 ) x I x e- = - + ⋅ +C.
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ x
e ⋅ (sin x - cos x) j) x I =
e ⋅ sin x ⋅ dx ⋅ ò ĐS: I = +C. 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ k) I =
x ⋅ cos x ⋅ dx ⋅ ò
ĐS: I = x sin x + cos x +C.
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ x x x l) I =
x ⋅ sin ⋅ dx ⋅ ò ĐS: I = -2x cos + 4 sin +C. 2 2 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ m) x I =
x ⋅e ⋅ dx ⋅ ò ĐS: x x
I = xe -e +C.
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2 2 x ln(1 - x) (1 + x) n) I =
x ⋅ ln(1 - x)⋅dx ⋅ ò ĐS: I = ln(1 - x) - - +C. 2 2 4
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ Trang 101 2 x x sin 2x cos 2x o) 2 I =
x ⋅ sin x ⋅dx ⋅ ò ĐS: I = - - +C. 4 4 8
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ p) 2 I =
ln(x + 1 + x )⋅dx ⋅ ò ĐS: 2 2
I = x ln(x + 1 + x ) - 1 + x +C.
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 1 + x 2 x - 1 1 + x q) I = x ⋅ ln ⋅ dx ⋅ ò ĐS: I = x + ln +C. 1 - x 2 1 - x
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ ln x ln x 1 r) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: I = - - +C. 3 x 2 2 2x 4x
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 1 1 s) I =
x ⋅ sin x ⋅ cos x ⋅dx ⋅ ò
ĐS: I = - x cos 2x + sin 2x +C. 4 8
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 1 t) 2 - x I = e
⋅ cos 3x ⋅dx ⋅ ò ĐS: -2x I = e
(3 sin 3x - 2 cos 3x) +C. 13
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ x ⋅dx 1 1 u) I = ⋅ ò ĐS: I =
x tan x + ln cos x + C . 1 + cos 2x 2 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ x 1 v) 2 I =
x ⋅ (2 cos x - 1)⋅dx ⋅ ò ĐS: I =
⋅ sin 2x + cos 2x +C. 2 4
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 4 4 x ln x x w) 3 I =
x ⋅ ln x ⋅dx ⋅ ò ĐS: I = - +C. 4 16
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ x x) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: I = x
- cotx + ln sin x +C. 2 sin x
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 1 x 1 y) 2 = ( - 2) x I x ⋅e ⋅dx ⋅ ò ĐS: 2 2 = ( - 2) x I x
e - e +C. 2 4
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ z) 2 I =
x ⋅ ln(x + 1)⋅dx ⋅ ò ĐS: 2 2 2
I = (x + 1)ln(x + 1) - x - 1 +C.
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
BT 18. Tính các nguyên hàm sau: 2 x - 1 æ 1ö ç ÷ 1 a) I =
⋅ ln x ⋅dx ⋅ ò ĐS: I = x
ç + ÷⋅ ln x - x + +C. 2 ç ÷ x çè x ÷ø x
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ b) I = cos x ⋅ dx ⋅ ò
ĐS: I = 2 x sin x - 2 cos x +C.
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ c) I = sin x ⋅ dx ⋅ ò
ĐS: I = -2 x cos x + 2 sin x +C.
........................................................................................................................................................................................ Trang 103
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2 2 d) 2 3 = (8 - 2 ) x I x
x ⋅e ⋅dx ⋅ ò ĐS: 2 = (4 - 1) x ⋅ - 4 x I x e e +C.
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 1 2 x 1 2 e) 2 3 = . x I x e ⋅ dx ⋅ ò ĐS: 2 x
I = x e - e + C . 2 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 1 3 x 1 3 f) 3 5 x I =
x ⋅e ⋅ dx ⋅ ò ĐS: 3 x
I = x e - e + C. 3 3
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ g) sin x I = e
⋅ sin 2x ⋅dx ⋅ ò ĐS: sin x sin = 2 sin . - 2 x I x e e +C.
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ h) x I = x ⋅e ⋅ dx ⋅ ò ĐS: = 2 x - 4 x + 4 x I xe xe e +C.
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 1 i) 2 I =
x ⋅ ln(x + 1)⋅dx ⋅ ò ĐS: 2 2 2
I = (x + 1)ln(x + 1) - x - x + C . 2
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 1 + ln(x + 1) 1 1 x j) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: I = - - ln x + 1 + ln +C. 2 x x x x + 1
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ k) x = ⋅ ln( x I e e + 1)⋅ dx ⋅ ò
ĐS: = ( x + 1)ln( x + 1) x I e e -e +C.
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ 2 ln(4x + 8x + 3) 2 4x + 8x + 3 l) I = ⋅dx ⋅ ò ĐS: 2
ln 4x + 8x + 3 - 4 ln x + 1 +C. 3 (x + 1) 2 2(x + 1)
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................ æ 1 ö ç ÷ m) I = 1 ç +
÷⋅ ln(x + x - 1)⋅dx ⋅ ò ç ÷
I = x + x -
x + x - - x - x +C ç ĐS: ( 1)ln 1 . è 2 x ÷ø
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
C ‐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 194. Một nguyên hàm của hàm số ( ) x f x = xe là: 2 x A. x e +C B. x e (x - ) 1 +C C. x e (x + ) 1 +C D. x e +C 2
Câu 195. Một nguyên hàm của hàm số 2 ( ) = ( + 2 ). x f x x x e là: A. (2 + 2). x x e B. 2 x x e C. 2 ( + ). x x x e D. 2 ( - 2 ). x x x e
Câu 196. Cho hàm số ( ) . x f x x e- =
. Một nguyên hàm F(x) của f (x) thỏa F(0) = 1 là: A. ( 1) x x e- - + + 1 B. ( 1) x x e- - + + 2 C. ( 1) x x e- + + 1 D. ( 1) x x e- + + 2
Câu 197. Cho f (x) = x sin x . Nguyên hàm của f (x) là: A. x - cos x + C
B. x sin x + cos x + C
C. sin x + x cos x + C D. x
- cos x + sin x + C 2
Câu 198. Nguyên hàm của hàm số ( ) x
f x = xe là hàm số: 2 1 2 2 A. ( ) = 2 x F x e B. ( ) x F x = e C. 2 ( ) = 2 x F x x e D. 2 2 2 ( ) x x
F x = e + xe x
Câu 199. Cho f (x) = lntdt ò
. Đạo hàm f '(x) là hàm số nào dưới đây? 0 1 1 A. B. ln x C. 2 ln x D. 2 ln x x 2 Trang 105
Câu 200. Một nguyên hàm của 3 ( ) x f x = x e là: A. 3 2 ( - 3 + 6 - 6) x x x x e B. 3 ( - 6 + 6) x x x e C. 3 2 ( + 3 - 6) x x x e D. 2 3 x x e
Câu 201. Một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 = . x f x x e là : 1 A. ( ) 2 = 2 x F x e B. ( ) 2 2 = 2 x F x x e C. ( ) 2 x F x = e D. 2 ( ) 2 2 x x
F x = xe + e
Câu 202. Hàm số f (x) = (x + 1)sin x có các nguyên hàm là:
A. F(x) = (x + 1)cos x + s inx +C B. F(x) = (
- x + 1)cos x + s inx +C
C. F(x) = (
- x + 1)cos x - s inx +C
D. F(x) = (x + 1)cos x - s inx +C
Câu 203. Hàm số f (x) = ln x có các nguyên hàm là: 1
A. F(x) = x(ln x - 1) +C B. F(x) = +C x 2 ln x C. F(x) = +C
D. F(x) = x(ln x + 1) +C 2 æ 1 ö ç ÷
Câu 204. Hàm số f (x) = cos x ç + x÷ ç có các nguyên hàm là: ècos x ÷÷ø æ x 1 ö ç ÷ A. 2
F(x) = sin x ç + x ÷ +C ç F x = x + x - x +C ç B. ( ) (1 sin ) cos èsin x 2 ÷÷ø
C. F(x) = x(1 + sin x) + cos x +C
D. F(x) = x(1 - sin x) + cos x +C
Câu 205. Gọi hàm số F(x) là một nguyên hàm của f (x) = x cos 3x , biết F(0) = 1 . Vậy F(x) là: 1 1 1 1 A. F(x) =
x sin 3x + cos 3x +C B. F(x) =
x sin 3x + cos 3x + 1 3 9 3 9 1 1 1 8 C. 2
F(x) = x sin 3x D. F(x) =
x sin 3x + cos 3x + 6 3 9 9 Câu 206. Tính x xe dx ò
, ta được kết quả là: A. ( ) x = – x F x e xe +C B. ( ) x x
F x = e + xe +C C. ( ) x = - – x F x e xe +C D. ( ) x x F x = e - + xe +C Câu 207. Tính x cos xdx ò
, ta được kết quả là:
A. F (x) = x sin x + cos x +C
B. F (x ) = x sin x - cos x +C
C. F (x ) = x
- sin x + cos x +C
D. F (x ) = x
- sin x - cos x +C Câu 208. Tìm x cos 2xdx ò là: 1 1 1 1
A. x sin 2x + cos 2x +C
B. x sin 2x + cos 2x +C 2 4 2 2 2 x sin 2x C. +C
D. sin 2x + C 4
Câu 209. Một nguyên hàm của hàm số = ( 2 ( ) + 2 ) x f x x x e là
A. ( ) = (2 + 2). x F x x e B. 2 ( ) x F x = x e C. 2 ( ) = ( + ). x F x x x e D. 2 ( ) = ( - 2 ). x F x x x e
Câu 210. Một nguyên hàm của 2 ( ) x f x = x e là 3 x A. 2 ( ) = ( - 2 + 2) x F x x x e B. F(x) x = e 3 C. 2 ( ) = ( - 2 - 2) x F x x x e D. ( ) = 2 x F x xe
Câu 211. Nguyên hàm F (x ) của ( ) x f x xe- = thỏa F (0) = 1 là A. ( ) ( ) 1 x F x x e- = - + + 1 B. ( ) ( )1 x F x x e- = - + + 2 C. ( ) ( )1 x F x x e- = + + 1 D. ( ) ( ) 1 x F x x e- = + + 2
Câu 212. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? 2 x - .cos x A. x sin xdx = +C ò B. 2
x sin xdx = x
- cos x + sin x +C ò C.
x cos xdx = x sin x + cos x +C ò D. x - cos 2x 1 x sin 2xdx = + sin 2x +C ò 2 4
Câu 213. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? 3x xe x 1 A. 3 3x xe dx = - e +C ò B. x x x
xe dx = xe -e +C ò 3 9 2 x x x - 1 C. x xe dx = . x e +C ò D. dx = - +C ò 2 x x x e e e
Câu 214. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? 1 A.
ln xdx = x ln x - x +C ò B. ln xdx = +C ò x 2 2 x x 3 3 x x C. x ln xdx = ln x - +C ò D. 2 x ln xdx = .ln x - +C ò 2 4 3 9
Câu 215. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? 3 ln x A. 2 2
ln xdx = x ln x - 2 ò
(x lnx -x)+C B. 2 ln xdx = +C ò 3 ln x -ln x 1 ln x -ln x 1 C. dx = - +C ò D. dx = - +C ò 2 x x x 3 2 2 x 2x 4x
Câu 216. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? x x - 1 A. dx = - +C ò B. x - x - x xe dx xe e- = - - +C ò 2x 2x 2 e 2e 4 x e Trang 107 3x xe 2 x x 1 C. 3 3x xe dx = - e +C ò D. 2x 2 xe dx = . x e +C ò 3 9 2
Câu 217. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? 3 x 1 A. 2 x ln xdx = . +C ò 3 x 3 3 x x B. 2 x ln xdx = .ln x - +C ò 3 9 C. ò ( 2 x +
+ x )dx = x ( 2 x + + x ) 2 ln 1 ln 1 - 1 + x +C x e x - x x (sin cos ) D. e sin xdx = +C ò 2
Câu 218. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x.sin (2x + ) 1 x 1 A.
f (x)dx = - .cos ò
(2x + )1+ .sin(2x + )1+C 2 4 2 x B.
f (x)dx = - .cos ò (2x + )1+C 4 x 1 C.
f (x)dx = .cos ò
(2x + )1- .sin(2x + )1+C 2 4 x 1 D.
f (x)dx = - .cos ò
(2x + )1+ .sin(2x + )1+C 2 2
Câu 219. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x. ln (1 + x ) 2 x A. f (x)dx = +C ò 2(x + 1) 2 x 1 B. f (x)dx = ln ò (1+ x) 3
- x ln(1 + x) +C 2 6 1 1 x C. f (x)dx = ò
( 2x - )1.ln(1+ x) 2 - x + +C 2 4 2 2 x 1 x 1 D. f (x)dx = ln ò (1+ x) 2
- x - + ln(x + 1) +C 2 4 2 2
Câu 220. Nguyên hàm của hàm số: I =
cos 2x.ln(sin x + cos x)dx ò là: 1 1
A. F(x) = (1 + sin 2x )ln(1 + sin 2x ) - sin 2x +C 2 4 1 1
B. F(x) = (1 + sin 2x )ln(1 + sin 2x ) - sin 2x +C 4 2 1 1
C. F(x) = (1 + sin 2x )ln(1 + sin 2x ) - sin 2x +C 4 4 1 1
D. F(x) = (1 + sin 2x )ln(1 + sin 2x ) + sin 2x +C 4 4
Câu 221. Nguyên hàm của hàm số: I = ò (x - 2)sin 3xdx là: (x -2)cos3x 1 A. F(x) = - + sin 3x +C B. F(x) = 3 9 (x -2)cos3x 1 + sin 3x +C 3 9 (x + 2)cos3x 1 C. F(x) = - + sin 3x +C D. F(x) = 3 9 (x -2)cos3x 1 - + sin 3x +C 3 3
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM – DẠNG TOÁN KHÁC ( ĐỌC THÊM )
Câu 222. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 2 x + 6x + 1 2 x + 10
A. Hàm số F(x) = và G(x) =
là nguyên hàm của cùng một 2x - 3 2x - 3 hàm số. B. Hàm số 2
F(x) = 5 + 2 sin x và G(x) = 1 - cos 2x là nguyên hàm của cùng một hàm số. C. Hàm số 2
F(x) = x - 2x + 2 là nguyên hàm của hàm số x - 1 f (x) = . 2 x - 2x + 2
D. Hàm số F(x) = sin x là nguyên hàm của hàm số f (x) = cos x .
Câu 223. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào SAI? A. kf
ò (x)dx = k f
ò (x)dx (k Î R) B. f
ò (x).g(x)dx = f
ò (x)dx. g ò (x)dx C. éf
ò ê (x) g(x)ù + dx = f ë ú
ò (x)dx + g ò (x)dx û m 1 f + x m ( ) D. f
ò (x)f ¢(x)dx = +C m + 1
Câu 224. Để ( ) = ( sin + cos ) x F x a x b
x e là một nguyên hàm của ( ) = cos . x f x x e thì giá trị
của a , b là : 1
A. a = 1,b = 0
B. a = 0,b = 1
C. a =b = 1 D. a =b = 2
Câu 225. Cho hàm số f (x ) xác định trên K . Hàm số F (x ) được gọi là nguyên hàm của
hàm số f (x ) trên K nếu:
A. F’(x ) = f (x ), "x Î K
B. F’(x ) ¹ f (x ), "x Î K
C. f (x) = F (x ), "x Î K
D. f (x) ¹ F (x ), "x Î K
Câu 226. Các tính chất nguyên hàm sau đây tính chất nào sai? A.
f '(x)dx = f (x) +C ò B. Trang 109
Kf (x)dx = K f (x)dx ò ò (K ¹ 0) C.
éf(x) g(x)dx ù  =
f (x)dx g(x)dx ò êë úû ò ò D.
F(x)dx = f (x) +C ò
Câu 227. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai 3 f (x) A. 2
f '(x)f (x)dx = +C ò B. 3
éf(x).g(x)ùdx = f(x)dx. g(x)dx ò êë úû ò ò C.
éf(x) g(x)ù +
dx = f (x)dx + g(x)dx ò êë úû ò ò D.
kf (x)dx k = f (x)dx ò ò (k là hằng số) Câu 228. Nếu 2
f (x) = (ax + bx + c) 2x - 1 là một nguyên hàm của hàm số 2 10x - 7x + 2 æ1 ö g(x) = ç ÷ trên khoảng ç ; ÷ +¥ ç
÷ thì a + b + c có giá trị là 2x - 1 çè2 ÷ø A. 3 B. 0 C. 4 D. 2
Câu 229. Xác định a , b , c sao cho 2
g(x) = (ax + bx + c) 2x - 3 là một nguyên hàm của 2 20x - 30x + 7 æ3 ö ç ÷
hàm số f (x) = trong khoảng ç ; ÷ +¥ ç ÷ 2x - 3 çè2 ÷ø A. a = 4, 2 b = , c = 2 B. a = 1, b = 2 - , c = 4 C. a = 2, - 1 b = , c = 4 D. a = 4, 2 b = - , c = 1
Câu 230. Tìm nguyên hàm x 2 2 F(x) = e
(a tan x + b tan x + c) là một nguyên hàm của æ ö p p x 2 3 f (x) = e tan x ç ÷ trên khoản - ç ; ÷ ç è 2 2 ÷÷ø æ ö ç ÷ x 1 2 2 A. 2 2 F(x) = e ç tan x - tan x ÷ + ç ÷ ç B. ç2 2 2 ÷÷ è ø æ ö ç ÷ x 1 2 1 2 2 F(x) = e ç tan x - tan x ÷ + ç ÷ ç ç2 2 2÷÷ è ø æ ö ç ÷ x 1 2 1 C. 2 2 F(x) = e ç tan x + tan x ÷ + ç ÷ ç D. ç2 2 2÷÷ è ø æ ö ç ÷ x 1 2 2 2 2 F(x) = e ç tan x - tan x ÷ - ç ÷ ç ç2 2 2 ÷÷ è ø Câu 231. Nếu ( 2 ( ) ) x F x ax bx c e- = + + là một nguyên hàm của hàm số ( ) ( 2 2 7 4) x f x x x e- = - + - thì (a; ;
b c) bằng bao nhiêu? A. (2;-3; ) 1 B. (1;3;2) C. (1;-1; ) 1 D. (-2;7;-4) Câu 232. Cho f
ò (x)dx = F (x)+C . Khi đó, với a ¹ 0 , ta có f
ò (ax +b)dx bằng 1 1 A.
F (ax +b) +C
B. F (ax + b) +C 2a a
C. F (ax + b) +C
D. a.F (ax + b) +C ì sin cos ï . x x e ; "x < 0 ïïï
Câu 233. Cho f (x ) = í 1 ï
. Nhận xét nào sau đây đúng ? ; "x ³ 0 ïïï 1+x î ì sinx e ï ; "x < 0 ï
A. F (x ) = í
là một nguyên hàm của f (x ) 2
ï 1 + x -1; "x ³ 0 ïïî ì cosx e ï ; "x < 0 ï
B. F (x ) = í
là một nguyên hàm của f (x ) 2
ï 1 + x -1; "x ³ 0 ïïî ì sinx e ï ; "x < 0 ï
C. F (x ) = í
là một nguyên hàm của f (x ) 2
ï 1 + x; "x ³ 0 ïïî ì cosx e ï ; "x < 0 ï
D. F (x ) = í
là một nguyên hàm của f (x ) 2
ï 1 + x; "x ³ 0 ïïî
(x -a)cos3x sin3x
Câu 234. Kết Một nguyên hàm ò (x - 2)sin 3xdx = - + + 2017 thì b c
tổng S = a.b + c bằng A. S = 15 B. S = 14 C. S = 3 D. S = 10 2 20x - 30x + 7
Câu 235. Cho các hàm số f (x ) = ;F (x) = ( 2
ax + bx + c) 2x - 3 với 2x - 3 3
x > . Để hàm số F (x) là một nguyên àm của hàm số f (x)thì các giá trị của 2 a, , b c là
A. a = 4;b = 2;c = -1
B. a = 4;b = 2;c = 1
C. a = 4;b = -2;c = -1
D. a = 4;b = 2 - ;c = 1 Trang 111