Tuyển chọn các câu hàm số mức độ VD – VDC Toán 12

Tuyển chọn các câu hàm số mức độ VD – VDC Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

25 13 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Môn: Toán 12

Thông tin:

96 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 1
MỤC LỤC
DẠNG 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ THỊ ........................................ 2
DẠNG 2: TÌM THAM SỐ M ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU ......................................................................... 12
DẠNG 3: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀO PT, BPT, HPT, BĐT ................................................... 21
DẠNG 4: CÂU HỎI LÝ THUYẾT VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU ...................................................................... 26
DẠNG 5: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC ....................................................... 28
DẠNG 6: TÌM CỰC TRỊ DỰA VÀO BBT, ĐỒ THỊ ............................................................................... 37
DẠNG 7: TÌM M ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ TẠI 1 ĐIỂM X0 CHO TRƯỚC .................................. 42
DẠNG 8: TÌM M ĐỂ HÀM SỐ, ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN ..
.............................................................................................................................................. 44
DẠNG 9: TÌM M ĐỂ HÀM SỐ, ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐK
.............................................................................................................................................. 49
DẠNG 10: TÌM M ĐỂ HÀM SỐ, ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÁC HÀM SỐ KHÁC CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN
ĐIỀU KIỆN .............................................................................................................................................. 52
DẠNG 11: GTLN, GTNN TRÊN ĐOẠN ................................................................................................. 56
DẠNG 12: GTLN, GTNN TRÊN KHOẢNG ............................................................................................ 63
DẠNG 13: SỬ DỤNG CÁC ĐÁNH GIÁ, BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN .............................................. 64
DẠNG 14: ỨNG DỤNG GTNN, GTLN TRONG BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG
TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH .................................................................................................................. 65
DẠNG 15: GTLN, GTNN HÀM NHIỀU BIẾN ....................................................................................... 69
DẠNG 16: BÀI TOÁN ỨNG DỤNG, TỐI ƯU, THỰC TẾ ..................................................................... 73
DẠNG 17: CÂU HỎI LÝ THUYẾT VỀ MAX MIN ................................................................................ 81
DẠNG 18: BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ (KHÔNG CHỨA
THAM SỐ) HOẶC BIẾT BBT, ĐỒ THỊ ................................................................................................... 83
DẠNG 19: BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ CÓ CHỨA THAM SỐ .
.............................................................................................................................................. 84
DẠNG 20: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN ............ 87
DẠNG 21: NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ ........................................................................................................... 87
DẠNG 22: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH DỰA VÀO ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN
THIÊN .............................................................................................................................................. 90
TUYỂN CHỌN CÁC CÂU HÀM SỐ MỨC ĐỘ VD-VDC
PHÂN TÍCH DẠNG TOÁN VÀ HƯỚNG SUY LUẬN
(PH
Ầ
N 1)
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 2 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
DẠNG 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ THỊ
Câu 1. (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số có bảng xét dấu
của đạo hàm như sau
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán xét tính đơn điệu của hàm số tổng dựa vào bảng biến thiên.
2. Hướng giải: Xét
B1: Tính đạo hàm của của hàm số
' .g x
B2: Lập bảng xét dấu của
'g x
từ đó suy ra khoảng đồng biến (nghịch biến).
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Xét .
Ta có , .
Dựa vào bảng xét dấu của , ta có bảng xét dấu của :
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng .
Câu 2. (SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Cho hàm số bậc bốn
có đồ thị của hàm số như hình vẽ bên.
Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán xét tính đơn điệu của hàm số tổng dựa vào đồ thị.
2. Hướng giải: Vì
y f x
là hàm số bậc bốn nên có dạng
và
y f x
2 2019
y f x
4;2
1;2
2; 1
2;4
2 2019
y g x f x
2 2019
y g x f x
2 2019 2
g x f x f x
2
1
0
2
4
x
x
g x
x
x
f x
g x
y g x
1;2
( )
y f x
( )
y f x
x
y
O
-4
-2 2-3
-3
1
-1
-2
3 2
3 ( ) 6 9
y f x x x x
0;2
1;1
1;

2;0
4 3 2
( ) ,( 0)
f x ax bx cx dx e a
3 2
( ) 4 3 2
f x ax bx cx d
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 3
B1: Hàm số
'f x
đi qua bốn điểm nên xác định được công thức của hàm số.
B2: Khi đó, để xét tính đồng biến của hàm số cần tìm, ta tính đạo hàm và lập bảng xét dấu.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
Hàm số ; .
Đồ thị hàm số đi qua các điểm nên ta có:
Do đó hàm số
. Hàm số đồng biến trên các khoảng và .
Câu 3. Cho là
hàm đa thức bậc , có đồ thị hàm số như hình vẽ. Hàm số
đồng biến trong khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán xét tính đơn điệu của hàm số hợp dựa vào đồ thị.
2. Hướng giải:
B1: Dựa vào đồ thị hàm số
'f x
, có hai điểm đặc biệt trên đồ thị (2 điểm cực trị ) có hoành độ
1 2
, .x x
Khi đó

1 2
''f x a x x x x
nên
'f x
chính là nguyên hàm của hàm số
'' .f x
Từ
đây, ta tìm được công thức của hàm số
' .f x
B2: Tính đạo hàm của hàm số
'g x
dựa vào hàm số
' .f x
B3: Lập bảng xét dấu, từ đồ thị suy ra khoảng đồng biến (nghịch biến).
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
4 3 2
( ) ,( 0)
f x ax bx cx dx e a
3 2
( ) 4 3 2
f x ax bx cx d
( )
y f x
( 4;0),( 2;0),(0; 3),(2;1)
5
96
256 48 8 0
7
32 12 4 0
24
3
7
32 12 4 1
24
3
a
a b c d
a b c d
b
d
c
a b c d
d
3 2 2 3 2
5 15 55
3 ( ) 6 9 ; 3 ( ) 4 3 3
24 8 12
y f x x x x y f x x x x x x
11
0 0
2
x
y x
x
( 11;0)
2;

y f x
4
y f x
2
5 2 4 10
y f x x x
5
3
1
2
1
y
x
O
3;4
5
2;
2
3
;2
2
3
0;
2
2
5 2 4 10
g x f x x x
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 4 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
Từ đồ thị của ta suy ra có hai điểm cực trị .
Ta có , do đó .
Thay tọa độ các điểm vào ta được hệ: .
Vậy .
Đặt hàm có TXĐ .
Đạo hàm ,
Ta có bảng xét dấu của
Từ BBT ta chọn đáp án B.
Câu 4. (SỞ GD&ĐT CẦN THƠ NĂM 2018-2019) Cho hàm số liên tục trên R và có đồ thị
hàm số như hình vẽ dưới.
Hàm số nghịch biến trên khoảng
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán xét tính đơn điệu của hàm số tổng dựa vào đồ thị.
2. Hướng giải: Đặt .
B1: Tính đạo hàm của hàm số
'g x
B2: Số nghiệm của phương trình chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
và đường thẳng
B3: Nếu trên khoảng đồ thị hàm nằm hoàn toàn phía trên đường thẳng
thì .
Nếu trên khoảng đồ thị hàm nằm hoàn toàn phía dưới đường thẳng
thì .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
y f x
y f x
0;1 , 2;5
A B
2
2 2
f x ax x ax ax
3
2
1
3
ax
y f x ax b
,
A B
1
1
8
4 5
3
b
a
a b
1
3
b
a
3 2
3 1
f x x x
2
5 2 4 10
g x f x x x
3 2
2 5 2 4 5 4 4 24 43 22
g x f x x x x x
2
0
4 5
2
x
g x
x
g x
( )
y f x
( )
y f x
2
( ) 2
y f x x x
( 1;2)
(1;3)
(0;1)
( ;0)

2
( ) ( ) 2
y g x f x x x
( ) 0
g x
( )
f x
( ) : 2 2
y x
( ; )
a b
( )
f x
( ) : 2 2
y x
( ) 0 ( ; )
g x x a b
( ; )
a b
( )
f x
( ) : 2 2
y x
( ) 0 ( ; )
g x x a b
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 5
Chọn C
Đặt .
Ta có: .
.
Số nghiệm của phương trình chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và
đường thẳng (như nhình vẽ dưới).
Dựa vào đồ thị ta thấy
Dấu của trên khoảng được xác định như sau:
Nếu trên khoảng đồ thị hàm nằm hoàn toàn phía trên đường thẳng
thì .
Nếu trên khoảng đồ thị hàm nằm hoàn toàn phía dưới đường thẳng
thì .
Dựa vào đồ thị ta thấy trên đồ thị hàm nằm hoàn toàn phía dưới đường thẳng
nên .
Do đó hàm số nghịch biến trên mà nên hàm số nghịch
biến trên .
Câu 5. (SỞ GD&ĐT CÀ MAU NĂM 2018-2019) Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ
sau
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán xét tính đơn điệu của hàm số hợp dựa vào đồ thị.
2. Hướng giải: Đặt .
B1: Tính đạo hàm của hàm số .
B2: Dựa vào đồ thị, giải phương trình
' 0g x
.
2
( ) ( ) 2
y g x f x x x
2
( ) ( ( ) 2 ) ( ) 2 2
g x f x x x f x x
( ) 0 ( ) 2 2
g x f x x
( ) 0
g x
( )
f x
( ) : 2 2
y x
1
0 1
3
x
g x x
x
( )
g x
( ; )
a b
( ; )
a b
( )
f x
( ) : 2 2
y x
( ) 0 ( ; )
g x x a b
( ; )
a b
( )
f x
( ) : 2 2
y x
( ) 0 ( ; )
g x x a b
( 1;1)
( )
f x
( ) : 2 2
y x
( ) 0 ( 1;1)
g x x
2
( ) 2
y f x x x
( 1;1)
(0;1) ( 1;1)
(0;1)
y f x
f x
2
2
g x f x
1;3
3; 1
0;1
4;
2
( ) ( ) 2
y g x f x x x
2
2
g x f x
2 2
2 . 2
x f x
2
2 . 2
x f x
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 6 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
B3: Lập bảng xét dấu của x,
2
' 2f x
và
'g x
. Từ đó tìm được khoảng nghịch biến.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
.
.
, .
Bảng xét dấu của :
Vậy nghịch biến trên khoảng .
Câu 6. (Sở GD&ĐT Quảng Bình năm 2018-2019) Cho hàm số
y f x
có bảng xét dấu đạo hàm
như hình bên. Hàm số
3 2 1 2
3
f x f x
y e
đồng biến trên khoảng nào dưới đây.
A.
1;
B.
; 2
. C.
1;3
. D.
2;1
.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Xét sự biến thiên của hàm số
mf u x n cf u x d
g x a b
khi biết bảng xét dấu
đạo hàm của hàm số
y f x
.
Phương pháp giải: Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm của hàm số
y f x
, xét dấu của hàm số
y g x
, từ đó kết luận khoảng đồng biến của hàm số
mf u x n cf u x d
g x a b
.
2. Hướng giải:
B1: Tính đạo hàm của hàm số
mf u x n cf u x d
g x a b
;
'. ln '. ln
mf u x n cf u x d
g x mf u x n a a cf u x d b b
.
B2: Tìm tất cả các giá trị của biến
x
để
0g x
.
B3: Đối chiếu với các phương án và kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
2
2
g x f x
2 2
2 . 2
x f x
2
2 . 2
x f x
2
2
2
0
0
2 0
0 2 1 1
2 0
2
2 2
x
x
x
g x x x
f x
x
x
2 2
2
2 0 2 2
2
x
f x x
x
2 2
2 0 2 2 2 2
f x x x
g x
g x
0;1
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 7
Từ bảng đạo hàm ta thấy
1
' 0
1 4
x
f x
x
.
3 2 1 2
3
f x f x
y e
3 2 1 2
' 3. ' 2 ' 2 .3 .ln 3
f x f x
y f x e f x
3 2 1 2
' ' 2 3 3 .ln 3
f x f x
y f x e
.
Để hàm số đồng biến thì
3 2 1 2
' ' 2 3 3 .ln 3 0
f x f x
y f x e
' 2 0f x
(vì
3 2 1 2
3 3 .ln3 0
f x f x
e
)
2 1 3
' 2 0
1 2 4 2 1
x x
f x
x x
.
Đối chiếu các đáp án, chọn
x
thuộc khoảng
2;1
.
Câu 7. (Sở GD&ĐT Phú Thọ năm 2018-2019 lần 1) Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên
.
Đồ thị của hàm số
'y f x
như hình vẽ
Hàm số
2 1 1 2 4g x f x x x
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
1
2;
2
. B.
; 2
. C.
1
;
2

. D.
1
;2
2
.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Xét sự biến thiên của hàm số
g x f u x v x
khi biết đồ thị hàm số
y f x
.
Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số
y f x
xét dấu của hàm số
y g x
, từ đó kết
luận tính biến thiên của hàm số
g x f u x v x
.
2. Hướng giải:
B1: Tính đạo hàm của hàm số
g x f u x v x
;
. 'g x u x f u v x
.
B2: Đặt
2 1t x
, tìm các giá trị t để
' 2 ' 2 2 ' 0y f t t t f t
, suy ra tất cả các
giá trị của biến
x
để
0g x
.
B3: Đối chiếu với các phương án và kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 8 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
Ta có
2
2 1 1 2 4 2 1 2 2 4y g x f x x x f x x x
.
' 2 ' 2 1 4 2y f x x
.
Đặt
2 1 2 1t x x t
. Khi đó
' 2 ' 2 1 4 2y f x x
trở thành
' 2 ' 2 2 'y f t t t f t
Xét
' 2 ' 2 2 ' 0 'y f t t t f t t f t
2
3 2 1 3
1
2 5 2 2 1 5
2
2
x
t x
t x
x
.
Vậy hàm số
2 1 1 2 4g x f x x x
đồng biến trên các khoảng
1
2; , 2; .
2
Câu 8. (Sở GD&ĐT Bình Phước năm 2018-2019 lần 1) Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên
như sau
Hàm số
2
2y f x
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
2;
. B.
0;2
. C.
; 2
. D.
2;0
.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Xét sự biến thiên của hàm số
g x f u x
khi biết bảng biến thiên của hàm
số
y f x
.
Phương pháp giải: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số
y f x
xét dấu của hàm số
,y g x
từ đó kết luận tính biến thiên của hàm số
g x f u x
.
2. Hướng giải:
B1: Tính đạo hàm của hàm số
g x f u x
;
.g x u x f u
.
B2: Giải phương trình
0g x
.
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 9
B3: Xét dấu hàm số
y g x
(dựa vào dấu của
u x
và
f u
) và kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Ta có
2
' 2 . ' 2y x f x
.
2
2
2
2
0
0
0
2 2
' 0 2
' 2 0
2 0
2
2 2
x
x
x
x
y x
f x
x
x
x
.
Do các nghiệm của phương trình
' 0y
đều là nghiệm bội lẻ, mà
' 3 6 ' 7 0y f
nên ta
có
bảng xét dấu
'y
Vậy hàm số
2
2y f x
nghịch biến trên khoảng
2;
.
Câu 9. (Sở GD&ĐT Lào Cai năm 2019) Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên
. Đồ thị
hàm số
y f x
như hình vẽ.
Số điểm cực trị của hàm số
2017 2018 2019y f x x
là
A. 1. B. 3. C. 2. D. 0.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Tìm số điểm cực trị của hàm số
F x f u x g x
khi biết đồ thị hàm số
y f x
.
Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số
y f x
tìm số nghiệm của phương trình
0F x
và xét dấu hàm số
y F x
, từ đó suy ra số cực trị của hàm số
F x f u x g x
.
2. Hướng giải:
B1: Đặt
2017t x
. Đưa hàm số đã cho về hàm số
y f t
.
B2: Tính đạo hàm của hàm số
y f t
. Giải phương trình
0f t
(dựa vào đồ thị hàm số
y f x
).
B3: Xét sự đổi dấu của hàm số
y f t
và kết luận số cực trị.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 10 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
Lời giải
Chọn A
Đặt
2017 2017t x x t
, ta được hàm số
2018 2017 2019y f t t
2018 2018.2017 2019y f t t
.
Khi đó:
2018y f t
.
0 2018y f t
Từ đồ thị ta thấy đường thẳng
2018y
cắt đồ thị hàm số
y f x
tại một điểm duy nhất
nên phương trình
0y
có nghiệm duy nhất
0
t .
Với
0
t t , ta có:
0y t
.
Với
0
t t , ta có:
0y t
.
Vậy hàm số đã cho có 1 điểm cực trị.
Câu 10. (Sở GD&ĐT Bà Rịa Vũng Tàu năm 2018-2019) Cho hàm số
y f x
có đạo hàm trên
.
Đồ thị hàm số
y f x
như hình vẽ.
Hỏi hàm số
2
y f x
nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A.
1;0
. B.
;1
. C.
1;4
. D.
4;
.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Xét sự biến thiên của hàm số
g x f u x
khi biết đồ thị hàm số
.y f x
Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số
y f x
xét dấu của hàm số
y g x
, từ đó kết
luận tính biến thiên của hàm số
g x f u x
.
2. Hướng giải:
B1: Tính đạo hàm của hàm số
g x f u x
;
.g x u x f u
.
B2: Giải phương trình
0g x
.
B3: Xét dấu hàm số
y g x
(dựa vào dấu của
u x
và
f u
) và kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Đặt
2
g x f x
. Ta có:
2
2g x xf x
.
Từ đồ thị hàm số
y f x
ta có:
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 11
+) .
+)
2
2
2
1 2 1
0
1 2
1 4
x x
f x
x
x
.
+)
2
2
2
1 1
1 1
0 2
4
2
x
x
f x x
x
x
.
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số
2
y f x
nghịch biến trên khoảng
1;0
.
Câu 11. (Sở GD-ĐT Nam Định 2018-2019) Cho hàm số
f x
liên tục trên
và có đạo hàm
f x
thỏa mãn
1 2 2018f x x x g x
với
0,g x x
. Hàm số
1 2018 2019y f x x
nghịch biến trên khoảng nào ?
A.
1;
. B.
0;3
. C.
;3
. D.
4;
.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm hợp.
2. Hướng giải:
B1: Tìm đạo hàm của hàm hợp đề bài cho theo công thức
.f u u f u
B2: Đề bài có yếu tố
1f x
nên thay
x
bằng
1 x
. Đề bài yêu cầu tìm khoảng nghịch biến
nên tiến hành giải bất phương trình
0y
.
Từ đó ta có lời giải cụ thể như sau :
Lời giải
Chọn D
Đặt:
1 2018 2019y h x f x x
.
Ta có:
1 2018 3 1h x f x x x g x
.
Xét
0 3 0h x x x
(vì
1 0,g x x
)
0 3x
.
Vậy hàm số
h x
nghịch biến trên
0;3
nên đáp án đúng là đáp án B.
2
2 2
2
1
1
0 1
2
4
x
x
f x x
x
x
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 12 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
DẠNG 2: TÌM THAM SỐ M ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU
Câu 12. (Sở GD&ĐT Bắc Ninh năm 2018-2019 lần 01) Tập tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm
số
3 2
3 3 1
y x mx x
đồng biến trên
là:
A.
1;1
m
. B.
; 1 1;m

.
C.
; 1 1;m

. D.
1;1
m
.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Tìm tham số để hàm số bậc ba đơn điệu trên một khoảng
D
cho trước.
2. Hướng giải:
B1: Liên quan tới tính đơn điệu nên đầu tiên ta đi tính đạo hàm của hàm đã cho.
B2: Đề bài yêu cầu hàm đồng biến trên
nên
0y x
. Sau đó ta triển khai theo
2
hướng.
Hướng 1. Nếu cô lập được
D
sang
1
vế, vế còn lại đặt là
h x
thì so sánh
m
với
h x
trên
D
.
Nếu
min
x D x D
m h x x D m h x
, nếu
max
x D x D
m h x x D m h x
.
Hướng 2. Nếu không cô lập được
m
thì ta dùng tính chất của hàm bậc ba hoặc dấu tam thức
bậc hai.
Từ đó ta có lời giải chi tiết sau:
Lời giải
Chọn A
Ta có
2
3 6 3
y x mx
Hàm số đồng biến trên
0,y x
.
Đạo hàm là hàm bậc hai, nên:
0,y x
2
2
3 0
1 0 1;1
36 1 0
y
m m
m
.
Câu 13. (Sở GD&ĐT Quảng Ninh năm 2018-2019 lần 01) Cho hàm số
2
x m
y
x
. Tập hợp tất cả các
giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng
0;

là
A.
2;

. B.
;2

. C.
;2

. D.
2;

.
Phân tích hướng dẫn giải.
1. Dạng toán: Tìm tham số để hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất đơn điệu trên một khoảng
D cho trước.
2. Hướng giải:
B1: Liên quan tới tính đơn điệu nên đầu tiên ta đi tính đạo hàm của hàm đã cho.
Cách tính nhanh :
2
ax b ad bc
cx d
cx d
B2: Hàm số có tập xác định
K
. Hàm số chỉ đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác
định nên trước hết phải đảm bảo
D K
.
B3: Đạo hàm của hàm
u
v
số có dạng
2
m
v
; trong đó
2
0,
v x K
nên chỉ cần xét dấu của
.
m
Nếu hàm đồng biến thì
0;
m
hàm nghịch biến thì
0
m
. (lưu ý, không xảy ra dấu “=”)
Từ đó ta có lời giải chi tiết như sau:
Lời giải
Chọn B
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 13
TXĐ:
\ 2D
.
Như vậy
0; D
Ta có
2
2
2
m
y
x
.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
0; 0, 0;y x
 
.
2 0 2m m
hay
;2m 
.
Câu 14. (Sở GD&ĐT Hà Tính năm 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
m
để
hàm số
4 2
y x mx
đồng biến trên khoảng
2;
.
A.
4
. B.
8
. C.
9
. D.
7
.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Tìm tham số để hàm trùng phương đơn điệu trên một khoảng
D
cho trước.
2. Hướng giải:
B1: Liên quan tới tính đơn điệu nên đầu tiên ta đi tính đạo hàm của hàm đã cho.
B2: Đề bài yêu cầu hàm đồng biến trên
2;
nên
0 2;y x

. Theo tính chất hàm
trùng phương, phương trình
0y
luôn có
1
nghiệm bằng
0
. Tách
x
ra còn hàm bậc hai. Sử
dụng dấu tam thức bậc hai hoặc lập bảng biến thiên để xét dấu đạo hàm.
Từ đó ta có lời giải chi tiết sau:
Lời giải
Chọn B
+ TXĐ:
D
. Ta có
3
4 2y x mx
.
Hàm số đồng biến trên
2; 0, 2;y x
 
.
3
2
2
4 2 0, 2;
2 2 0
x
x mx x
x x m

2 2 2
2;
2 0 2; 2 2; min 2x m x m x x m x


Lập bảng biến thiên của hàm bậc hai
2
2y x và xét trên khoảng
2;
ta được :
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra:
8m
.
Vì m
nguyên dương nên
1;2;3;4;5;6;7;8m
.
Vậy số giá trị nguyên dương của tham số
m
thỏa mãn YCBT:
8
.
Câu 15. (Sở GD&ĐT Điện Biên năm 2018-2019) Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm
số
3 2
1
2 2 3 4
3
y x x m x
đồng biến trên khoảng
1; 
.
A.
0;
. B.
1
;
2

. C.
1
;
2

. D.
;0
.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Tìm tham số để hàm số bậc ba đơn điệu trên một khoảng
D
cho trước.
2. Hướng giải:
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 14 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
B1: Liên quan tới tính đơn điệu nên đầu tiên ta đi tính đạo hàm của hàm đã cho.
B2: Đề bài yêu cầu hàm đồng biến trên khoảng
1; 
nên
0 1;y x

. Sau đó ta
triển khai theo
2
hướng.
Hướng 1. Nếu cô lập được
m
sang
1
vế, vế còn lại đặt là
h x
thì so sánh m với
h x
trên
D
.
Nếu
min
x D x D
m h x m h x
, nếu
max
x D x D
m h x m h x
.
Hướng 2. Nếu không cô lập được
m
thì ta dùng tính chất của hàm bậc ba hoặc tính chất của
hàm đạo hàm.
Từ đó ta có lời giải chi tiết sau:
Lời giải
Chọn D
Ta có
2
4 2 3y x x m
Hàm số đồng biến trên khoảng
1; 0, 1;y x
 
.
2
4 2 3 0, 1;x x m x 
.
2 2
1;
2 4 3, 1; 2 min 4 3 *m x x x m x x

.
Đặt
2
4 3g x x x
.
2 4g x x
;
0 2g x x
.
Lập bảng biến thiên của
g x
ta được:
Dựa vào bảng biến thiên,
* 2 1 0m g m
.
Câu 16. (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham
số thuộc đoạn để hàm số nghịch biến trên khoảng
?
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán định
m
để hàm số đồng nghịch trên khoảng cho trước .
PP chung: Trước tiên ta đạo hàm hàm số.
Sau đó tùy thuộc vào dữ kiện đề bài ta sẽ biện luận tham số
m
2. Hướng giải:
B1: Tìm TXĐ, tính đạo hàm .
B2: Xét phương trình có .
B3: Biện luận
theo tham số
m
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
m
10;10
3 2
3 3 2019
y x x mx
1;2
10
20
11
21
2
3 2
y x x m
2
2 0
x x m
1
m
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 15
Hàm số .
Tập xác định: .
Ta có .
Xét phương trình có .
*Với ta có nên do đó hàm số luôn đồng biến (không thỏa mãn)
*Với ta có nên có hai nghiệm phân biệt , ( ).Ta có bảng
biến thiên của hàm số
Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi
Kết hợp yêu cầu bài toán ta có .
Câu 17. (SỞ GD&ĐT KIÊN GIANG NĂM 2018-2019) Cho hàm số (
là tham số). Gọi là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số để hàm số đã cho
đồng biến trên khoảng . Tính số phần tử của biết rằng .
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán định
m
để hàm số đồng nghịch trên khoảng cho trước .
PP chung: Trước tiên ta đạo hàm hàm số.
Sau đó tùy thuộc vào dữ kiện đề bài ta sẽ biện luận tham số
m
( độc lập tham số
m
nếu được)
2. Hướng giải:
B1: Tìm TXĐ, tính đạo hàm .
B2: Độc lập tham số
m
:
B3: Đặt
f x
là biểu thức độc lập tham số
m
.Khi đó ta sẽ tìm
min , 6;f x x 
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi .
.
.
3 2
3 3 2019
y f x x x mx
D
2
3 2
y x x m
2
2 0
x x m
1
m
1
m
0
0,f x x
1
m
0
0
f x
1
x
2
x
1 2
x x
y f x
y f x
1;2
1 2
3. 1 0
1 0
1 2 0
0
3. 2 0
f
m
x x m
m
f
10; 9;...; 1;0
m
4 3 2
2019
4 3 2
x mx x
y mx
m
S
m
6;
S
2020
m
4041
2027
2026
2015
3 2 3 2
1 0, 6;y x mx x m x m x x x
6;
0, 6;y x
3 2 3 2
1 0, 6;y x mx x m x m x x x
3
2
, 6;
1
x x
m x x
x
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 16 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
Đặt thì .
.
Mà nên , có
phần tử. Ta chọn B.
Câu 18. Do câu 18 trùng với câu 16 nên không làm lại câu này ạ.
Câu 19. (SỞ GD&ĐT CÀ MAU NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
để hàm số đồng biến trên khoảng .
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán định
m
để hàm số đồng nghịch trên khoảng cho trước đối với
hàm nhất biến .
PP chung: Tìm tập xác đinh,đạo hàm hàm số.
Sau đó tùy thuộc vào dữ kiện đề bài ta sẽ biện luận tham số
m
, và nghiệm mẫu
nằm ngoài khoảng đồng biến hoặc nghịch biến mà đề yêu cầu.
2. Hướng giải:
B1: Tìm TXĐ, tính đạo hàm .
B2: Để hàm số đồng biến trên khoảng
B3: Giải và giao nghiệm để tìm ra tham số
m
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
Tập xác định .
Ta có .
Để hàm số đồng biến trên khoảng
. Vì nguyên dương nên .
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 20. (SỞ GD&ĐT LẠNG SƠN NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để
hàm số đồng biến trong khoảng ?
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán định
m
để hàm số đồng nghịch trên khoảng cho trước .
PP chung: Trước tiên ta đạo hàm hàm số.
Sau đó tùy thuộc vào dữ kiện đề bài ta sẽ biện luận tham số
m
( độc lập tham số
m
nếu được)
2. Hướng giải:
B1: Tìm TXĐ, tính đạo hàm .
f x x
, 6; min , 6;m f x x m f x x
6
m
2020
m
2020; 2019;...,6
m
2027
m
1
mx
y
x m
; 3

4
1
3
2
2
2
1
m
y
x m
; 3

2
1 0
; 3
m
m

\
D m
2
2
1
m
y
x m
; 3

2
1 0
; 3
m
m

1
1
3
m
m
m
; 1 1;3
m
m
2;3
m
m
3 2 2
3 2 3 4 1
y x m x m m x
0;1
1
3
2
4
2 2
3 6 2 3 4
y x m x m m
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 17
B2: Do bài này việc độc lập tham số
m
phức tạp nên ta dự đoán nghiệm của bài toán
B3: Ta lập bảng biến thiên dụa vào nghiệm vừa tìm được và so sánh với khoảng đề bài cho để
tìm được tham số
m
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
Ta có
Bảng biến thiên:
Để hàm số đồng biến trên khoảng thì .
Vì nguyên nên . Vậy có 4 giá trị nguyên của m.
Câu 21. (CỤM 1 SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi
S
là tập hợp các số nguyên
m
để hàm số
2 3
3 2
x m
y f x
x m
đồng biến trên khoảng
; 14

. Tính tổng
T
của
các phần tử trong
S
?
A.
10T
. B.
9T
. C.
6T
. D.
5T
.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm điều kiện của tham số để hàm số phân thức hữu tỉ bậc nhất
trên bậc nhất đơn điệu trên một khoảng cho trước (cố gắng đưa ra phương pháp chung cho dạng
toán này nếu được)
2. Hướng giải:
B1: Tìm tập xác định
\ 3 2D m
B2: Tính đạo hàm
2
5 5
3 2
m
f x
x m
B3: Hàm số đồng biến trên
; 14

khi và chỉ khi hàm số liên tục trên
; 14

và
0 ; 14f x x

(
0f x
tại hữu hạn điểm thuộc
; 14

.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Tập xác định
\ 3 2D m
.
0
4
x m
y
x m
3 2 2
3 2 3 4 1
y x m x m m x
2 2
3 6 2 3 4
y x m x m m
2
3 2 2 4
x m x m m
0
4
x m
y
x m
0;1
0 1 4
m m
3 0
m
m
3; 2; 1;0
m
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 18 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
Ta có
2
5 5
3 2
m
f x
x m
.
Hàm số đồng biến trên
; 14

5 5 0
1
3 2 ; 14
3 2 14
m
m
m
m

1
4 1
4
m
m
m
.
Vậy
4; 3; 2; 1;0S
4 3 2 1 10T
.
Câu 22. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
y f x
liên tục trên
và có đạo hàm
2 2
2 6f x x x x x m
với mọi
x
. Có bao nhiêu số nguyên
m
thuộc đoạn
2019;2019
để hàm số
1g x f x
nghịch biến trên khoảng
; 1

?
A.
2012
. B.
2009
. C.
2011
. D.
2010
.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm điều kiện của tham số để hàm số hợp đơn điệu trên một
khoảng cho trước (cố gắng đưa ra phương pháp chung cho dạng toán này nếu được)
2. Hướng giải:
B1: Tính đạo hàm của hàm số
1g x f x
là
1g x f x
2 2
1 1 1 6 1x x x x m
2
2
1 1 4 5x x x x m
B2: Hàm số
g x
nghịch biến trên khoảng
; 1

0, 1 *g x x
, (dấu
" "
xảy ra tại hữu hạn điểm).
B3: Đánh giá với
1x
thì
2
1 0x
và
1 0x
nên
2
* 4 5 0, 1x x m x
2
4 5, 1m x x x
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
2 2
1 1 1 1 6 1g x f x x x x x m
2
2
1 1 4 5x x x x m
.
Hàm số
g x
nghịch biến trên khoảng
; 1

0, 1 *g x x
, (dấu
" "
xảy ra tại hữu hạn điểm).
Với
1x
thì
2
1 0x
và
1 0x
nên
2
* 4 5 0, 1x x m x
2
4 5, 1m x x x
.
Xét hàm số
2
4 5y x x
trên khoảng
; 1

, ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra 9m
.
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 19
Kết hợp với
m
thuộc đoạn
2019;2019
và
m
nguyên nên
9;10;11;...;2019m
.
Vậy có
2011
số nguyên
m
thỏa mãn đề bài.
Câu 23. (SỞ GD&ĐT YÊN BÁI NĂM 2018-2019) Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên
và hàm số
y f x
có đồ thị như hình vẽ.
Xét hàm số
2
5g x f x
. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số
g x
nghịch biến trên khoảng
; 2

.
B. Hàm số
g x
đồng biến trên khoảng
2;0
.
C. Hàm số
g x
đồng biến trên khoảng
2;

.
D. Hàm số
g x
nghịch biến trên khoảng
2;2
.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán xét tính đơn điệu của hàm số hợp (cố gắng đưa ra phương pháp
chung cho dạng toán này nếu được)
2. Hướng giải:
B1: Tính đạo hàm
2
2 5g x x f x
.
B2: Giải phương trình
0g x
.
B3: Xét dấu đạo hàm
g x
, từ đó suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Ta có
2
2 5g x x f x
;
2
0
0
5 0
x
g x
f x
.
Từ đồ thị ta suy ra
2
2
0
0
5 1 2
5 2
7
x
x
x x
x
x
.
Bảng biến thiên
+
+
+
++
++
0
0
0
0
0
0
0
7
f '
x
2
-5
x
2
0
0
0
+∞∞
+
0
2
7
g
g'
x
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 20 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số
g x
đồng biến trên khoảng
2;0
.
Câu 24. (SỞ GD&ĐT ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019) Cho hàm số
y f x
liên tục trên
và có
bảng xét dấu
f x
như hình vẽ
Giá trị của tham số
m
để hàm số
2 2
1
1
1
y g x f x
x mx m
chắc chắn luôn
đồng biến trên
3;0
.
A.
2; 1m
. B.
; 2m

. C.
1;0m
. D.
0;

.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm điều kiện của tham số để hàm số hợp đơn điệu trên một
khoảng cho trước (cố gắng đưa ra phương pháp chung cho dạng toán này nếu được)
2. Hướng giải:
B1: Tìm điều kiện xác định:
2 2
1 0x mx m
B2: Tính đạo hàm
2
2 2
2
1
1
x m
g x f x
x mx m
B3: Đặt ẩn phụ
1 ; 3;0t x x
,
1;4t
.
Hàm số đồng biến trên khoảng
3;0
khi và chỉ khi
0 3;0g x x
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
Điều kiện:
2 2
1 0x mx m
(luôn đúng vì
2
2
2 2
3
1 1 0
2 4
m m
x mx m x
)
2
2 2
2
1
1
x m
g x f x
x mx m
.
Đặt
1 ; 3;0t x x
1;4 1 , 3;0t f x x
chính là
, 1;4f t t
. Do
đó từ bảng biến thiên suy ra
0, 1;4 1 0, 3;0f t t f x x
Ycbt
2
2 2
2
0, 3;0
1
x m
x
x mx m
2 0, 3;0x m x
3;0
2 , 3;0 min 2 0m x m x m
.
Vậy
0;m

.
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 21
DẠNG 3: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀO PT, BPT, HPT, BĐT
Câu 25. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho phương trình
2
ln 1 2 ln 1 2 0 1
m x x m x x
. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số
m
để
phương trình
1
có hai nghiệm phân biệt thoả mãn
1 2
0 2 4
x x
là khoảng
;a

.
Khi đó
a
thuộc khoảng
A.
3,8;3,9
. B.
3,6;3,7
. C.
3,7;3,8
. D.
3,5;3,6
.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn
điều kiện cho trước bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số (cố gắng đưa ra phương pháp
chung cho dạng toán này nếu được)
2. Hướng giải:
B1: Tìm điều kiện:
1
x
.
B2: Biến đổi phương trình tương đương với
2
2
ln 1
1
1 0
x
m
x
x
e
B3: Xét hàm số
2
ln 1
x
f x
x
trên khoảng
0;

, lập bảng biến thiên. Từ đó kết luận về
điều kiện của
m
để thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
Điều kiện:
1
x
.
Vì
0
x
không thỏa mãn phương trình nên ta có
1 ln 1 2 ln 1 1 0
m x x x
ln 1 2
ln 1 1
m x x
x
2
2
ln 1
1
1
x
m
x
x
e
.
Do nghiệm
1
1 0
x
e
nên phương trình
1
có hai nghiệm thoả mãn
1 2
0 2 4
x x
khi
và chỉ khi phương trình
2
có hai nghiệm phân biệt sao cho
1 2
0 2 4
x x
.
Xét hàm số
2
ln 1
x
f x
x
trên khoảng
0;
ta có
2
2
ln 1
1
ln 1
x
x
x
f x
x
.
2
0 ln 1 0 3
1
x
f x x
x
.
Xét hàm số
2
ln 1
1
x
h x x
x
có
2
1 1
0 0
1
1
h x x
x
x
, nên
h x
đồng
biến trên
0;
do đó phương trình
0
f x
có không quá một nghiệm.
Mà
2 4 0
f f
và
f x
là hàm số liên tục trên
2;4
suy ra phương trình
3
có duy
nhất một nghiệm
0
2;4
x
. Từ đó ta có bảng biến thiên
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 22 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
Từ bảng biến thiên ta có phương trình
1
có hai nghiệm phân biệt thoả mãn
1 2
0 2 4x x
khi và chỉ khi
6 6
;
ln 5 ln 5
m m

.
Vậy
6
3,7;3,8
ln5
a
.
Câu 26. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
( )y f x
có bảng biến
thiên như sau:
Giá trị lớn nhất của
m
để phương trình:
3 2
13 3
2 ( ) ( ) 7 ( )
2 2
f x f x f x
e m
có nghiệm trên đoạn
0;2
.
A.
5
e
. B.
15
13
e
. C.
3
e
. D.
4
e
.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm tham số
m
để phương trình có nghiệm
2. Hướng giải:
B1: Lập bảng biến thiên
B2: Dựa vào bảng biến thiên tìm GTLN và GTNN của hàm số
3 2
13 3
2 ( ) ( ) 7 ( )
2 2
f x f x f x
y e
trên
0;2
.
B3: Kết luận về giá trị lớn nhất của
m
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
Ta có:
3 2
13 3
2 ( ) ( ) 7 ( )
2 2
f x f x f x
e m
3 2
13 3
2 ( ) ( ) 7 ( ) ln
2 2
f x f x f x m
.
Đặt
3 2
13 3
( ) 2 ( ) ( ) 7 ( )
2 2
g x f x f x f x
.
2
( ) ( ) 6 ( ) 13 ( ) 7g x f x f x f x
.
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 23
Ta có
( ) 0 1; 3
( ) 0 ( ) 1 1; 3
7 0
( )
6
f x x x
g x f x x x a
x b
f x
.
Bảng biến thiên trên đoạn
0;2
:
Giá trị lớn nhất của để phương trình có nghiệm trên đoạn
0;2
là:
4
ln 4m m e
.
Câu 27. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số để phương trình
2 2
3
3
4 1 4
sin 2019 sin 2019
2 3 2 3
m
m x x
có nghiệm
thực?
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm tham số
m
để phương trình có nghiệm. Tuy nhiên bài toán
không thể cô lập được tham số ngay mà sau khi đặt ẩn phụ đưa về được dạng
( ) ( )f t f a
, với
( )f t
là hàm đơn điệu.
2. Hướng giải:
B1: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình.
B2: Từ hệ phương trình ta suy ra được
( ) ( )f t f a
, với
( )f t
là hàm đơn điệu. Dựa vào bảng
biến thiên tìm GTLN và GTNN của hàm số
( )f t
.
B3: Kết luận về giá trị lớn nhất của
m
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Đặt
2
sin 2019x a
1;1a
Phương trình đã cho
3
3
4 1 4
2 3 2 3
m
m a a
Đặt
3
1 4
2 3
m a t
3
3
3
3
1 4
1 4
2 3
2 3
1 4
1 4
2 3
2 3
m a t
m a t
m t a
m t a
3 3
4 4
3 3
a a t t
Xét hàm
3
4
( )
3
f t t t
với
t
. Ta có
2
4
( ) 3 0
3
f t t
với
t
.
m
m
3
2
7
6
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 24 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
3
4
( )
3
f t t t
đồng biến trên . Từ (*) suy ra
( ) ( )f t f a t a
.
Do đó
3 3
1 4 8
2
2 3 3
m a a m a a
với
1;1a
. Đặt
3 2
8 8
( ) 2 ; ( ) 6
3 3
g a a a g a a
.
Ta có
2
2
8
3
( ) 6 0
2
3
3
a
g a a
a
(thỏa mãn)
Khi đó:
2 2 2 32 2 32
(1) ; ( 1) ; ;
3 3 3 27 3 27
g g g g
Phương trình có nghiệm khi
1;1
1;1
32 32
min ( ) max ( ) 1;0;1
27 27
m
g a m g a m
m
Câu 28. Có bao nhiêu giá trị âm của tham số để phương trình
2 2
2019 2019m m x x
có hai
nghiệm thực phân biệt?
A. . B. . C. Vô số. D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm tham số
m
để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt.
Tuy nhiên ta không thể cô lập được tham số ngay mà sau khi đặt ẩn phụ đưa về được dạng
( ) ( )f t f a
, với
( )f t
là hàm đơn điệu.
2. Hướng giải:
B1: Đưa phương trình về dạng
( ) ( )f t f a
với
( )f t
là hàm đơn điệu suy ra
( ) ( )f t f a t a
B2: Từ phương trình
( ) ( )t a g x h m
. Lập bảng biến thiên của hàm số
( )g x
.
B3: Kết luận về giá trị lớn nhất của
m
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Điều kiện
2
2019 0m x
.
Phương trình
2 2 2 4
2019 2019 2019 2019m m x x m m x x
2 2 4 2
2019 2019m x m x x x
(1).
Xét hàm số
2
( )f t t t
trên
0;
, ta có
( ) 2 1 0, 0f t t t
suy ra
( )f t
luôn đồng
biến trên
0;
.
Khi đó (1)
2 2 2 2 4 2
2019 2019 2019f m x f x m x x m x x
.
Xét hàm số
4 2
( )g x x x
có
3
( ) 4 2g x x x
;
0
1
( ) 0
2
1
2
x
g x x
x
m
1
0
2
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 25
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm
1
1
2019
8076
4
2019 0 0
m
m
m m
.
Vì
m
âm nên
1
8076
m
. Vậy có giá trị cần tìm.
1
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 26 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
DẠNG 4: CÂU HỎI LÝ THUYẾT VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU
Câu 29. (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số
3 2
y ax bx cx d
có
đồ thị như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng
A.
2
0
3 0
a
b ac
. B.
2
0
3 0
a
b ac
. C.
2
0
3 0
a
b ac
. D.
2
0
3 0
a
b ac
.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán nhận dạng đồ thị hàm số bậc ba.
2. Hướng giải:
B1: Dựa vào hình dạng đồ thị hàm số suy ra mối quan hệ giữa các hệ số
, , ,a b c d
B2: Kết luận
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị ta có
lim
x
y

suy ra
0a
Từ đồ thị ta suy ra
0,y x
2
3 2 0,ax bx c x
2
3 0b ac
.
Vậy
2
0
3 0
a
b ac
.
Câu 30. (SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM NĂM 2018-2019) Tập hợp tất cả các giá trị của
tham số thực
m
để hàm số
3 2
6 4 2 2y x x m x
nghịch biến trên khoảng
;0
là
A.
1
;
2

. B.
5
;
2
. C.
1
;
2
. D.
5
;
2

.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm tham số
m
để hàm số nghịch biến trên một khoảng
2. Hướng giải:
B1: Tìm đạo hàm
( ) 0f x
cô lập . Tìm GTLN và GTNN của
( )g x
trên khoảng theo yêu cầu
bài toán.
B3: Kết luận về giá trị của
m
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
Ta có
2
3 12 4 2y x x m
.
Hàm số nghịch biến trên khoảng
;0
khi
2
3 12 4 2 0, ;0y x x m x
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 27
2
4 3 12 2, ;0m x x x 
. Đặt
2
( ) 3 12 2, ;0f x x x x 
.
( ) 6 12 0 2f x x x
. Ta có bảng biến thiên của
( )f x
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
2
4 3 12 2, ;0m x x x 
4 10m
5
2
m
Vậy
5
;
2
m

hàm số nghịch biến trên khoảng
;0
.
Câu 31. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số
3 2
, , ,y x bx cx d b c d
có đồ thị như hình vẽ
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
0, 0, 0.b c d
B.
0, 0, 0.b c d
C.
0, 0, 0.b c d
D.
0, 0, 0.b c d
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán đồ thị của hàm số bậc 3.
2. Hướng giải: Dựa vào các dấu hiệu như: tính đơn điệu; cực trị; giao của đồ thị với các trục
tọa độ; … để tìm dấu của các hệ số
, ,b c d
. Cụ thể:
B1: Từ vị trí giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung ta tìm được dấu hệ số
.d
B2: Từ vị trí hai điểm cực trị của đồ thị ta suy ra phương trình
0y
phải có hai nghiệm
1 2
;x x
thỏa mãn
1 2 1 2 1 2 1 2
0 ; . 0; 0.x x x x x x x x
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
Ta có:
2
3 2 .y x bx c
Nhìn vào đồ thị hàm số ta thấy:
- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung nằm phía trên trục hoành ta kết luận được
0.d
- Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục tung đồng thời khoảng cách từ
điểm cực đại tới trục tung nhỏ hơn khoảng cách từ điểm cực tiểu tới trục tung nên phương trình
0y
phải có hai nghiệm
1 2
;x x
thỏa mãn:
1 2 1 2 1 2 1 2
2
0 ; . 0; 0 3 0; 0 0; 0
3
b
x x x x x x x x c b c
.
Vậy
0, 0, 0.b c d
+
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 28 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
DẠNG 5: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC
Câu 32. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
f x
có
2 3
3 2 , .f x x x x x
Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
A.
3.
B.
1.
C.
5.
D.
2.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán cực trị của hàm số - tìm số cực trị của hàm số khi cho công
thức của
.f x
2. Hướng giải: Từ công thức của
f x
ta suy ra bảng xét dấu của
f x
rồi kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2 3
0
0 3 2 0 3.
2
x
f x x x x x
x
Ta có bảng xét dấu của
f x
như sau:
Vậy hàm số đã cho có điểm cực tiểu
Câu 33. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Hàm số nào sau đây không có điểm cực
trị?
A.
3
3 1.y x x
B.
3
3 1.y x x
C.
4 2
4 1.y x x
D.
2
2 .y x x
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán cực trị của hàm số - tìm số cực trị của hàm số khi cho công
thức của hàm số
.y f x
2. Hướng giải: Từ công thức của hàm số
y f x
ta tính
y f x
rồi suy ra bảng xét dấu
của
f x
và kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
- Với hàm số
3
3 1y x x
là hàm số bậc 3; có tập xác định:
D
; có đạo hàm
2
3 3; 0 1y x y x
nên hàm số có 2 điểm cực trị.
- Với hàm số
3
3 1y x x
là hàm số bậc 3; có tập xác định:
D
; có đạo hàm
2
3 3 0,y x x
nên hàm số không có cực trị.
- Với hàm số
4 2
4 1y x x
là hàm số bậc 4 trùng phương; có tập xác định:
D
; có đạo
hàm
3
4 8 ; 0 0y x x y x
nên hàm số có 1 điểm cực trị.
1
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 29
- Với hàm số
2
2y x x
là hàm số bậc 2; có tập xác định:
D
; có đạo hàm
2 2; 0 1y x y x
nên hàm số có 1 điểm cực trị.
Câu 34. (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Hàm số
3 2
1
3 1
3
y x x x
đạt cực
tiểu tại điểm
A.
1.x
B.
1.x
C.
3.x
D.
3.x
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán cực trị của hàm số - tìm cực trị của hàm số bậc 3 .
2. Hướng giải: Từ công thức của hàm số
y f x
ta tính
y f x
rồi suy ra bảng xét dấu
của
f x
và kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Hàm số
3 2
1
3 1
3
y x x x
là hàm số bậc 3; có tập xác định:
D
; có đạo hàm
2
3
2 3; 0 .
1
x
y x x y
x
Bảng xét dấu đạo hàm:
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm
1.x
Câu 35. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
f x
có
2 3 4
1 2 3 4 , .f x x x x x x
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A.
3.
B.
5.
C.
2.
D.
4.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán cực trị của hàm số - tìm số cực trị của hàm số khi cho công
thức của
.f x
2. Hướng giải: Từ công thức của
f x
ta suy ra bảng xét dấu của
f x
rồi kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
Ta có:
2 3 4
1
2
0 1 2 3 4 0 .
3
4
x
x
f x x x x x
x
x
Ta có bảng xét dấu của
f x
như sau:
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 30 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
Vậy hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.
Câu 36. (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ ) Cho hàm số
y f x
có đạo hàm .
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. . B.
5
. C.
2
. D.
1
.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm số cực trị của hàm số khi biết đạo hàm.
2. Hướng giải:
B1: Giải phương trình
0f x
tìm các nghiệm.
B2: Lập bảng biến thiên hàm số
f x
.
B3: Dựa vào bảng biến thiên kết luận
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
Ta có .
Bảng biến thiên.
Do đó hàm số có 2 điểm cực trị.
Câu 37. (SỞ GD&ĐT LÀO CAI 2019) Cho hàm số
f x
có đạo hàm
f x
trên khoảng , đồ thị
hàm số
f x
trên khoảng như hình vẽ.
Hàm số
f x
có bao nhiêu điểm cực trị?
2
2
4
' , 0
3
x
f x x
x
3
' 0 2
f x x
K
K
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 31
A.
0
. B.
1
. C.
4
. D.
2
.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm số cực trị của hàm số khi biết đồ thị hàm
f x
.
2. Hướng giải:
B1: Từ đồ thị hàm
f x
lập bảng biến thiên hàm số
f x
, đồ thị hàm nằm dưới trục
Ox
thì
0f x
,đồ thị hàm nằm trên trục
Ox
thì
0f x
.
B2: Dựa vào bảng biến thiên tìm số cực trị của hàm số.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số
f x
có
điểm cực trị.
Câu 38. Cho hàm số
y f x
liên tục trên , có đạo hàm
2
3
1 2f x x x x
. Hỏi hàm số
y f x
có bao nhiêu điểm cực trị?
A.
2
. B.
0
. C.
1
. D.
3
.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm số cực trị của hàm số khi biết đạo hàm.
2. Hướng giải:
B1: Giải phương trình
0f x
tìm nghiệm.
B2: Lập bảng biến thiên hàm số
f x
.
B3: Dựa vào bảng biến thiên kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Ta có:
2
3
0
0 1 2 0 1
2
x
f x x x x x
x
Ta thấy
f x
chỉ đổi dấu khi đi qua
0x
và
2x
nên hàm số
y f x
có điểm cực
trị.
Câu 39. (SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong các khẳng định sau về hàm số
2
1
x
y
x
khẳng định nào đúng?
A. Đồng biến trên
. B. Đồng biến trên từng khoảng xác định.
C. Có duy nhất một cực trị. D. Nghịch biến trên
.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán xét chiều biến thiên của hàm số bậc nhất trên bậc nhất.
2. Hướng giải:
f x
f x
1
2
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 32 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
B1: Tìm tập xác định, tính
y
, ta thấy
0,y x
TXĐ.
B2: Tính giới hạn hàm số khi
x 
và tại các điểm không thuộc tập xác định của hàm số
B3: Lập bảng biến thiên và kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Tập xác định của hàm số:
\ 1D
.
Ta có:
2
3
0,
1
y x D
x
.
1 1 1 1
2 2 2
lim lim 1; lim lim ; lim lim
1 1 1
x x
x x x x
x x x
y y y
x x x
 
 
.
Từ đó ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng
; 1
và
1; 
.
Vậy khẳng định đúng là B.
Câu 40. (SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số
3
3y x x
có giá trị cực
đại và cực tiểu lần lượt là
1 2
,y y
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
1 2
2 6y y
. B.
1 2
4y y
. C.
1 2
2 6y y
. D.
1 2
4y y
.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm cực trị của hàm số bậc
3
2. Hướng giải:
B1: Tìm tập xác định, tính
y
. Giải phương trình
0y
.
B2: Lập bảng biến thiên tìm các cực trị của hàm số.
B3: Kiểm tra xem đẳng thức nào trong các đáp án đưa ra là phù hợp.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Tập xác định: . Ta có:
3 2
3 3 3y x x x
suy ra
2
1
0 3 3 0
1
x
y x
x
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra: .
D
1 2
2; 2
đ tc c
y y y y
1 2
2 2.2 2 6
y y
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 33
Câu 41. (SỞ GD&ĐT CẦN THƠ NĂM 2018-2019) Cho hàm số
y f x
xác định trên
\ 0
và
có
2
2 1x x
f x
x
,
0x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại.
B. Hàm số có ba điểm cực trị.
C. Hàm số có hai điểm cực tiểu.
D. Hàm số có hai điểm cực đại.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán cực trị của hàm số.
+ Để tìm số cực trị của hàm số
y f x
, ta cần tìm được số lần đổi dấu của hàm số
f x
trên tập xác định.
+ Để xác định cực đại, cực tiểu của hàm số, ta cần lập được bảng xét dấu của hàm số
f x
trên tập xác định (bảng biến thiên của hàm số
f x
). Ở một số bài ta có thể kiểm tra thông qua
f x
.
2. Hướng giải:
B1: Lập bảng biến thiên của hàm số
f x
trên tập xác định.
B2: Xác định số điểm cực đại, số điểm cực tiểu của hàm số
y f x
.
B3: Chọn mệnh đề đúng.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
Hàm số đã cho xác định trên
\ 0
.
Ta có
2
1
2 1
0
2
1
x
x x
f x
x
x
.
Bảng biến thiên của hàm số
y f x
Vậy hàm số có hai điểm cực tiểu. Chọn đáp án C.
Câu 42. (SỞ GD&ĐT KIÊN GIANG NĂM 2018-2019) Cho hàm số
f x
có đạo hàm
2
2 2
9 3f x x x x
,
x
. Gọi
T
là giá trị cực đại của hàm số đã cho. Chọn khẳng
định đúng.
A.
0T f
. B.
9T f
. C.
3T f
. D.
3T f
.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm giá trị cực trị của hàm số.
+ Để xác định giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số, ta cần lập được bảng xét dấu của hàm số
f x
hoặc bảng biến thiên của hàm số
f x
trên tập xác định của hàm số.
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 34 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
2. Hướng giải:
B1: Lập bảng biến thiên của hàm số
f x
trên tập xác định.
B2: Xác định giá trị cực đại của hàm số
y f x
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
Ta có
0f x
2
2 2
9 3 0x x x
3
0
x
x
.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số là
3T f
.
Câu 43. (SỞ GD&ĐT CÀ MAU NĂM 2018-2019) Cho hàm số
f x
có đạo hàm
2 3
1 2 2 3f x x x x
,
x
. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
A. 2. B. 6. C. 1. D. 3.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán xác định số điểm cực trị của hàm số.
+ Để tìm số cực trị của hàm số
y f x
, ta cần tìm được số lần đổi dấu của hàm số
f x
trên tập xác định.
2. Hướng giải:
B1: Giải phương trình
0f x
.
B2: Xác định số nghiệm bội lẻ của phương trình
0f x
.
B3: Kết luận về số điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Từ công thức đạo hàm của hàm số
f x
ta có:
0f x
2 3
1 2 2 3 0x x x
1
2
3
2
x
x
x
.
Phương trình
0f x
có 1 nghiệm bội lẻ là và 1 nghiệm đơn , còn nghiệm
là nghiệm bội chẵn ( kép) nên số điểm cực trị của hàm số là 2.
Câu 44. (CỤM 1 SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU NĂM 2018-2019 LẦN 01) Điểm cực tiểu của hàm số
3 2
3 9 2y x x x
.
A.
11x
. B.
3x
. C.
7x
. D.
1x
.
2
x
3
2
x
1
x
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 35
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán xác định điểm cực trị của hàm số.
+ Để xác định điểm cực đại, cực tiểu của hàm số, ta cần lập được bảng xét dấu của hàm số
f x
hoặc bảng biến thiên của hàm số
f x
trên tập xác định của hàm số.
+ Có thể sử dụng việc xét dấu của
f x
tại các nghiệm của phương trình
0f x
thỏa mãn
0
0f x
.
2. Hướng giải:
Cách 1:
B1: Lập bảng biến thiên của hàm số
f x
trên tập xác định.
B2: Xác định điểm cực tiểu của hàm số
y f x
.
Cách 2:
B1: Giải phương trình
0
i
f x x x
.
B2: Xét dấu
i
f x
. Nếu
0
i
f x
thì
i
x
là điểm cực đại. Nếu
0
i
f x
thì
i
x
là điểm
cực tiểu.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Cách 1:
Ta có
2
3 6 9y x x
.
1
0
3
x
y
x
.
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại
3x
.
Cách 2:
Ta có
2
3 6 9y x x
.
1
0
3
x
y
x
.
6 6y x
.
1 12 0y
;
3 12 0y
.
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại
3x
.
Câu 45. (CỤM 1 SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU NĂM 2018-2019 LẦN 01) Giá trị cực tiểu của hàm số
4 2
2 3y x x
là:
A.
3
CT
y
. B.
3
CT
y
. C.
4
CT
y
. D.
4
CT
y
.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm giá trị cực trị của hàm số.
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 36 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
+ Để xác định giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số, ta cần lập được bảng xét dấu của hàm số
f x
hoặc bảng biến thiên của hàm số
f x
trên tập xác định của hàm số.
2. Hướng giải:
B1: Lập bảng biến thiên của hàm số
f x
trên tập xác định.
B2: Xác định giá trị cực đại của hàm số
y f x
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
Tập xác định
D
.
3
4 4y x x
.
0
0
1
x
y
x
.
Bảng biến thiên
Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là
4
CT
y
.
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 37
DẠNG 6: TÌM CỰC TRỊ DỰA VÀO BBT, ĐỒ THỊ
Câu 46. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số có đồ thị
như hình vẽ sau
Đồ thị hàm số có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?
A. B. C. D.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm số cực trị của hàm ẩn chứa dấu giá trị tuyệt đối.
2. Hướng giải: Đặt
2
2h f x x
.
B1: Giải phương trình
0.h x
B2: Lập bảng biến thiên của
.h x
B3: Từ BBT của
h x
ta suy ra BBT của
g x
sao cho có nhiều cực trị nhất.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Xét hàm số .
Từ đồ thị ta thấy .
Bảng biến thiên
y f x
y f x
2
2
g x f x x
7
5
6
3
2
2 ' 2 ' 2
h x f x x h x f x x
' 0 ' 2 2 4
h x f x x x x x
2 4
2 2
2 4
2 2
2 ' 2 2 2 ' 0
2 2 4 2 4 2
f x x dx x f x dx
h x h x h h h h h h
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 38 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
Vậy có tối đa 7 cực trị.
Câu 47. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 02)Cho hàm số có bảng biến thiên
như hình vẽ
Xét hàm số . Số điểm cực trị của hàm số bằng
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm số cực trị của hàm ẩn chứa dấu giá trị tuyệt đối.
2. Hướng giải:
B1: Vẽ BBT hàm số
4y f x
bằng cách dời đồ thị qua phải 4 đơn vị.
B2: Vẽ BBT hàm số
4y f x
bằng cách lấy đối xứng qua trục
4.x
B3: Từ BBT hàm số
4y f x
ta suy ra số điểm cực trị của hàm số
.
Lời giải
Chọn A
Gọi là đồ thị của hàm số .
Khi đó hàm số có đồ thị với là ảnh của qua phép tịnh tiến sang
phải đơn vị.
Từ bảng biến thiên của hàm suy ra bảng biến thiên của hàm số là :
Từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số là
2
2
g x f x x
( )
y f x
2019
( ) 4 2018
y g x f x
( )
g x
5
1
9
2
2019
( ) 4 2018
y g x f x
( )
C
( )
y f x
4
y f x
( ')
C
( ')
C
( )
C
4
( )
y f x
4
y f x
4
y f x
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 39
Vậy hàm số cho có 5 cực trị.
Do đó hàm số có 5 cực trị.
Câu 48. (CỤM 1 SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hàm số có đạo hàm
có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số đạt cực đại tại điểm nào?
A.
B. C. D.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm số cực trị của hàm ẩn.
2. Hướng giải:
B1: Giải phương trình
0.g x
B2: Từ đồ thị của
g x
ta lập bảng biến thiên của
.g x
B3: Từ BBT của
g x
ta suy ra điểm cực đại.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C.
Ta có: .
( Như hình vẽ ).
4
y f x
2019
( ) 4 2018
y g x f x
( )
f x
( )
f x
3
2
( ) ( ) 2
3
x
g x f x x x
2
x
0
x
1
x
1
x
2
' ' 2 1
g x f x x x
' 0
g x
2
' 2 1
f x x x
0
1
2
x
x
x
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 40 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
Bảng xét dấu của :
Từ bảng xét dấu của ta suy ra hàm số đạt cực đại tại .
Câu 49. (SỞ GD&ĐT BÀ RỊA VŨNG TÀU NĂM 2018-2019)Cho hàm số có đạo hàm trên
. Hàm số có đồ thị như hình vẽ.
Số điểm cực trị của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm số cực trị của hàm ẩn.
2. Hướng giải:
B1: Giải phương trình
0g x
bằng cách xét giao điểm của đường thẳng
2018y f x
và đường thẳng
2019y
.
B2: Từ đồ thị của
g x
ta lập bảng biến thiên của
.g x
B3: Từ BBT của
g x
ta suy ra số điểm cực trị.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
'
g x
'
g x
g x
1
x
y f x
y f x
2018 2019 2020
g x f x x
2
1
3
4
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 41
Lời giải
Chọn B
Ta có ,
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và
đường thẳng
Đồ thị được vẽ bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số về bên phải
2018 đơn vị theo phương của trục Do đó, số nghiệm của phương trình bằng số nghiệm
của phương trình
Từ đồ thị hàm số suy ra đường thẳng cắt đồ thị hàm số
tại một điểm duy nhất, tức là phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Phương trình không có nghiệm bội chẵn nên hàm số đổi dấu một lần.
Vậy hàm số có một điểm cực trị.
2018 2019
g x f x
0 2018 2019 1
g x f x
1
2018
y f x
2019.
y
2018
y f x
y f x
.
Ox
1
2019.
f x
y f x
2019
y
2018
y f x
0
g x
y g x
2018 2019 2020
g x f x x
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 42 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
DẠNG 7: TÌM M ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ TẠI 1 ĐIỂM X0 CHO TRƯỚC
Câu 50. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hàm số có bảng biến thiên
như sau
Số điểm cực tiểu của hàm số là
A. B. C. D.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm số cực trị của hàm ẩn.
2. Hướng giải:
B1:Giải phương trình
0g x
B2:Lập bảng biến thiên của
.g x
B3: Từ BBT của
g x
ta suy ra số điểm cực trị.
Lời giải
Chọn C
Ta có .
Dựa vào bảng biến thiên suy ra
.
Khi đó ta có bảng xét dấu của là
Do đó hàm số có điểm cực tiểu.
DẠNG 7: ..................................
Câu 51. ( Sở GDĐT Vĩnh Phúc năm 2018 - 2019 lần 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm
số đạt cực trị tại thỏa mãn .
y f x
3 2
2 4 1
g x f x f x
4
9
5
3
2
6 . 8 . 0
g x f x f x f x f x
0
0
4
3
f x
f x
f x
1
2
1
0
0 , 0 ,
1 1
x x
x
f x f x
x x x
1
2
; 1
1;0
4
3
0;1
1;
x a x
x b
f x
x c
x d x
g x
x
1
x
a
1
b
0
c
1
d
2
x
g x
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
m
3 2 3
1
3 4 3
3
y x m x m x m m
1 2
x ,x
1 2
1
x x
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 43
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc 3 có các điểm cực trị
thỏa mãn điều kiện cho trước.
2. Hướng giải:
B1: Tính
y
. Tìm điều kiện để
y
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
sao cho
1 2
1 x x .
B2:
Cách 1: Đặt ẩn phụ
1 1t x x t
đưa ra phương trình ẩn t và tìm đk để phương trình đó
có 2 nghiệm dương phân biệt.
Cách 2: Dùng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai.
Cách 3: Cô lập
m
với phương trình
0y
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Ta có
Đặt . Khi đó
Hàm số đạt cực trị tại thỏa mãn có hai
nghiệm phân biệt thỏa mãn có hai nghiệm
phân biệt dương. Điều này tương đương với
.
Cách 2
Ta có
Hàm số đạt cực trị tại thỏa mãn có hai
nghiệm phân biệt thỏa mãn . Điều này tương đương với
. Chọn B.
3 1
m
7
3
2
m
3
1
m
m
7
2
2
m
2
2 3 4 3
y x m x m
1 1
t x x t
2
2 2 2 7
y t m t m
1 2
x ,x
1 2
1
x x
2
2 3 4 3 0
x m x m
1 2
x ,x
1 2
1
x x
2
2 2 2 7 0
t m t m
2
3
12 3 0
7
2 2 0 2 3
2
7
2 7 0
2
m
mm m
S m m m
P m
m
2
2 3 4 3
y f (x) x m x m
1 2
x ,x
1 2
1
x x
2
2 3 4 3 0
x m x m
1 2
x ,x
1 2
1
x x
0
. ( 1) 0
1
2
a f
S
2
2 3 0
1 2( 3) 4( 3) 0
2( 3)
1
2
m m
m m
m
3
1
7
2
3
m
m
m
m
7
3
2
m
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 44 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
DẠNG 8: TÌM M ĐỂ HÀM SỐ, ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN
ĐIỀU KIỆN
Câu 52. ( Sở GDĐT Quảng Ninh năm 2018 - 2019 lần 1) Cho hàm số
với là tham số, gọi là đồ thị của hàm số đã cho. Biết rằng, khi thay đổi, điểm cực
đại của đồ thị luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Xác định hệ số góc của
đường thẳng .
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc 3 có các điểm
cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước.
2. Hướng giải:
B1: Tính
y
. Tìm điều kiện để
y
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
.
B2: Lập BBT để tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số là
1; 3 2M m m
.
B3:Khi đó, tìm mối quan hệ giữa hoành độ và tung độ điểm
M
suy ra phương trình đường
thẳng
d
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Ta có:
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy điểm cực đại của đồ thị là điểm .
Nhận xét:
Vậy: khi thay đổi, điểm cực đại của đồ thị luôn nằm trên một đường thẳng cố định
có phương trình: .
Vậy đường thẳng có hệ số góc .
Câu 53. ( Sở GDĐT Ninh Bình năm 2018 - 2019 lần 1) Cho hàm số . Tìm
tất cả các giá trị thực của tham số sao cho hàm số có hai điểm cực trị , thỏa
mãn .
A.
7
2
. B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
3 2 2 3
3 3( 1)
y x mx m x m
m
C
m
C
d
k
d
3
k
1
3
k
3
k
1
3
k
2 2 2 2
3 6 3( 1) 3( 2 1)
y x mx m x mx m
2 2
1
0 2 1
1
x m
y x mx m
x m
C
1; 3 2
M m m
3 2 3( 1) 1 3 1 : 3 1, .
M M
y m m x M d y x m
m
C
d
3 1
y x
d
3
k
3 2
2 2 5 1
y x m x x
m
1
x
2
x
1 2
x x
1 2
2
x x
1
1
2
5
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 45
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc 3 có các điểm cực trị
thỏa mãn điều kiện cho trước.
2. Hướng giải:
B1: Tính
y
. Tìm điều kiện để
y
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
.
B2: Khi đó, nhận xét về dấu các nghiệm của phương trình
0y
là
1 2
0x x nên
Từ đó sử dụng định lý Viet với phương trình
0y
và tìm được
7
2
m
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Tính được: .
Khi đó nên hàm số luôn có hai điểm cực trị , .
Nhận xét nên
Suy ra:
.
Câu 54. Cho hàm số với là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị
của để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trong khoảng .
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc 3 có các điểm cực trị
thỏa mãn điều kiện cho trước.
2. Hướng giải:
B1: Tính
y
. Tìm điều kiện để
y
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
là
3m
.
B2: Khi đó, nhận xét phương trình
0y
có các nghiệm là
1 2
1; 2x x m nên có
hai nghiệm phân biệt nằm trong khoảng thì
2 2 3m
.
Từ đó tìm được
m
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Ta có .
.
Để hàm số có điểm cực đại cực tiểu nằm trong khoảng thì có hai nghiệm phân
biệt nằm trong khoảng .
Câu 55. ( Sở GDĐT Quảng Nam năm 2018 - 2019) Có bao nhiêu giá trị thực của tham số để đồ thị
hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng ?
1 2
2
x x
1 2
2
x x
2
3 4 2 5
y x m x
2
4 2 15 0
m
1
x
2
x
1 2
x x
. 0
a c
1 2
0
x x
1 2
2
x x
1 2
2
x x
2
b
a
4 2
2
3
m
7
2
m
3 2
2 3 1 6 2 1
y x m x m x
m
m
2;3
1;4 \ 3
m
3;4
m
1;3
m
1;4
m
0
y
2;3
2
6 6 1 6 2
y x m x m
2
1
0 1 2 0
2
x
y x m x m
x m
2;3
0
y
2;3
2 1 3
2 2 3 1 4
m m
m m
m
3 2 3
3 1
2 2
y x mx m
y x
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 46 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
A. B. C. D.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc 3 có các điểm
cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước.
2. Hướng giải:
B1: Tính
y
. Tìm điều kiện để
y
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
.
B2: Tìm điểm cực trị của đồ thị hàm số là , . .
B3:Khi đó, tìm điều kiện để hai điểm cực trị
,A B
đối xứng nhau qua đường thẳng . Từ
đó tìm
m
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Ta có ;
Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi có hai nghiệm phân biệt .
Với điều kiện , giả sử hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là , .
và là trung điểm của đoạn thẳng .
Yêu cầu bài toán
Đối chiếu điều kiện ta được .
Câu 56. (SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tìm tất cả các giá trị của
m
để đường
thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số
3
3 2y x mx cắt đường tròn tâm
1;1I
, bán kính
1R
tại hai điểm phân biệt
,A B
sao cho diện tích tam giác
IAB
đạt giá trị lớn
nhất?
A.
1 3
2
m
. B.
2 3
2
m
. C.
1 5
2
m
. D.
1 3
3
m
.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm giá trị của tham số thỏa điều kiện cho trước
2. Hướng giải:
B1:Tìm điều kiện (1) của tham số
m
để hàm số có cực đại, cực tiểu. Viết phương trình đường
thẳng đi qua cực đại và cực tiểu .
B2:
1
. . .sin
2
IAB
S IB IB AIB
. Với
0 sin 1 AIB .
Khi đó
IAB
S đạt giá trị lớn nhất khi
sin 1AIB Tam giác
IAB
vuông cân tại
I
.
B3:Khi đó
2 2
,
2 2
IA
d I
. Từ đó tìm giá trị tham số
m
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
1
3
2
0
3
1
0;
2
A m
;0
B m
y x
2
' 3 3
y x mx
0
' 0
x
y
x m
' 0
y
0
m
0
m
3
1
0;
2
A m
;0
B m
3
1
;
2
AB m m
3
;
2 4
m m
I
AB
3
3
1
0
. 0
2
2
0
2 4
d
m m
AB u
m
m m
m
I d
2
m
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 47
Ta có
3 2
3 2 3 3y x mx y x m
.
Hàm số
3
3 2y x mx có 2 điểm cực trị
phương trình
2
3 3 0y x m
có hai nghiệm phân biệt
0 1m
.
Ta có
1
. 2 2
3
y x y mx
.
Suy ra phương trình đường thẳng
đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là
2 2 2 2 0y mx mx y
.
Đường thẳng
cắt đường tròn tâm
1;1I
, bán kính
1R
tại hai điểm phân biệt
,A B
2
2 1
( , ) 1 4 0
4 1
m
d I R m
m
luôn đúng do
0m
.
Ta có
1 1 1
. . .sin sin
2 2 2
IAB
S IB IB AIB AIB
.
Dấu bằng xảy ra
sin 1 90AIB AIB .
Khi đó tam giác
IAB
vuông cân tại
I
có
1IA
nên
2
2 2 3
, 4 8 1 0
2 2
d I m m m
thỏa mãn đk (1).
Vậy diện tích tam giác
IAB
đạt giá trị lớn nhất khi
2 3
2
m
.
Câu 57. (CỤM 1 SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
3 2
1
1 3 4
3
y f x x m x m x m
. Tìm
m
để hàm số
y f x
có 5 điểm cực trị?
A.
3 1m
. B.
1m
. C.
4m
. D.
0m
.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm số điểm cực trị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Số điểm cực trị của hàm số
f x
bằng
2 1n
với
n
là số cực trị dương của hàm số
f x
.
2. Hướng giải: Hàm số
3 2
0 y f x ax bx cx d a
.
B1:Hàm số
y f x
có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi
f x
có hai điểm cực trị dương.
B2:Khi đó phương trình
0
f x
có hai nghiệm dương phân biệt.
B3:Thiết lập hệ bất phương trình theo tham số
m
. Giải hệ tìm
m
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 48 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
Chọn B
Có
y f x
là hàm số chẵn. Nên đồ thị nhận trục
Oy
làm trục đối xứng
Xét
3 2
1
1 3 4
3
y f x x m x m x m
.
Hàm số
y f x
có 5 điểm cực trị
y f x
có 2 điểm cực trị phân biệt có hoành độ
dương.
0
f x
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
0; 0
x x
. Có
2
2 1 3
f x x m x m
2
1 2
1 2
0 2 0
0 1 0 1
3 0
. 0
m m
x x m m
m
x x
.
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 49
DẠNG 9: TÌM M ĐỂ HÀM SỐ, ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG CÓ CỰC TRỊ
THỎA MÃN ĐK
Câu 58. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Biết tất cả các điểm cực trị của hàm số là
với .
Số điểm cực trị của hàm số là:
A. . B. . C. . D. .
Lờigiải
Chọn C
.
.
.
Ta xét bảng biến thiên của hàm số:
y f x
y f x
2; 0; 2; ; 6
a
4 6
a
y
=
f
(
x
)
y
x
a
O
6
2
-2
6 2
3
y f x x
8
11
9
7
6 2
( ) 3
g x f x x
6 2 6 2 6 2 5 6 2
6 2
5
5 6 2 6 2
6 2
6 2
6 2
6 2
' 3 ' 3 '. ' 3 6 6 ' 3 .
0
1
3 2 1
6 6 0
' 0 6 6 ' 3 0 3 0 2 .
' 3 0
3 2 3
3 4
3 6 5
g x f x x x x f x x x x f x x
x
x
x x
x x
y x x f x x x x
f x x
x x
x x a
x x
6 2 6 2 2
3 2 1 3 2 0 1 1.
x x x x x x
2
6 2
4
4
0
0 *
3 0 2
3
3
x
x
x x
x
x
6 2 6 2 2
3 2 3 3 2 0 2 2
x x x x x x
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 50 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
Từ bảng biến thiên ta suy ra phương trình có một nghiệm biệt khác
và khác nghiệm của phương trình
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác và khác nghiệm của
phương trình . Ta có thể lấy nghiệm gần đúng như sau:
Vậy có:
+) nghiệm bằng không là điểm cực trị.
+) nghiệm bằng không là điểm cực trị.
+) nghiệm bằng là điểm cực trị.
+) nghiệm bằng là điểm cực trị.
+) nghiệm bằng là điểm cực trị.
+) nghiệm bằng là điểm cực trị.
+) nghiệm bằng là điểm cực trị.
+) nghiệm bằng là điểm cực trị.
+) nghiệm bằng là điểm cực trị.
+) nghiệm và là điểm cực trị.
+) nghiệm và là điểm cực trị.
Vậy có tất cả 9 điểm cực trị.
Câu 59. (SỞ GD&ĐT LẠNG SƠN NĂM 2018-2019) Để đồ thị hàm số
4 2
2 1y x mx m có ba
điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2, giá trị của tham số
m
thuộc khoảng nào
sau đây?
A.
2;3
. B.
1;0
. C.
0;1
. D.
1;2
.
6 2
5
3
0 0 0
' ' 6 6 0 1 1 2
1 1 2
y h x x x
x h
y h x x x x h
x h
6 2
3 4
x x a
0; 1;1
2 ; 3
6 2
3 6 5
x x
0; 1;1
2 ; 3 ; 4
6 2 6 2 2
2,355
3 6 5 3 6 0 , 5,547, 5;6
2,355
x m x
x x x x x m m m
x
x m
2
6 2
4
6 2
4
3 4
4 3 6 2,195
4 6
2,355
n x m
m x n
x x a
x x n
a
n x m
m
' ' 0
y g x
2
1 1
x x
2
1 1
x x
3
0 0
x x
1
1
4 4
3 3
x x
1
1
4 4
3 3
x x
1
1
x m x m
1
1
x m x m
1
1
2 2
x x
1
1
2 2
x x
1
1
1
x
1 1
;
x m n x
1
1
2
x
2 2
;
x n m x
1
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 51
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương.
Hàm số
4 2
0
y f x ax bx c a
.
Nếu
0
2
b
a
thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lần lượt là
0;
A c
, ;
2 2
b b
B f
a a
,
;
2 2
b b
C f
a a
. tạo thành tam giác cân tại
A
.
2. Hướng giải:
B1:Tìm điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị. Tìm tạo độ các điểm cực trị đó.
B2:Các điểm cực trị đó tạo thành tam giác cân. Tính diện tích tam giác cân đó.
B3:Từ điều kiện bài toán suy ra giá trị tham số
m
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
3
4 4
y mx mx
. Xét
0
0
x
y
x m
với
0
m
.
Tọa độ ba điểm cực trị là:
0; 1
A m
,
2
; 1
B m m m
,
2
; 1
C m m m
.
Gọi
H
là trung điểm của cạnh
BC
, ta có
2
, 2
AH m BC m
.
2
5
1
. . 2 4 1;2
2
ABC
S AH BC m m m
.
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 52 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
DẠNG 10: TÌM M ĐỂ HÀM SỐ, ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÁC HÀM SỐ KHÁC CÓ CỰC
TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN
Câu 60. (SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số
m
để hàm số
4 3 2 2
3 4 12y x x x m
có đúng 5 điểm cực trị?
A.
5
. B.
7
. C.
6
. D.
4
.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm số điểm cực trị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Số điểm cực trị của hàm số
f x
bằng tổng số cực trị của hàm số
f x
và số nghiệm đơn và
nghiệm bội lẻ của phương trình
0f x
.
2. Hướng giải:
B1:Xác định số điểm cực trị của hàm số
y f x
trong dấu giá trị tuyệt đối. Hàm này có
3
điểm cực trị.
B2:Suy ra số nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ của phương trình
0f x
là
2
.
B3:Bài toán quy về tìm
m
để phương trình
4 3 2 2
3 4 12 0 x x x m
có hai nghiệm phân biệt.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số
4 3 2 2
3 4 12f x x x x m
;
3 2
12 12 24f x x x x
0 0, 1, 2f x x x x
. Suy ra, hàm số
y f x
có 3 điểm cực trị.
Hàm số
4 3 2 2
3 4 12y x x x m
có 5 điểm cực trị khi đồ thị hàm số
y f x
cắt trục
hoành tại 2 điểm phân biệt
4 3 2 2
3 4 12 0x x x m
có 2 nghiệm phân biệt.
Phương trình
4 3 2 2 4 3 2 2
3 4 12 0 3 4 12x x x m x x x m
(1).
Xét hàm số
4 3 2
3 4 12g x x x x
;
3 2
12 12 24g x x x x
.
Bảng biến thiên:
Phương trình (1) cớ 2 nghiệm phân biệt
2
2
0
5 32
5 32
m
m
m
.
Vậy
5; 4; 3;3;4;5m
.
Câu 61. (SỞ GD QUẢNG NAM 2019) Cho hai hàm đa thức
,y f x y g x
có đồ thị là hai
đường cong ở hình vẽ bên. Biết rằng đồ thị hàm số
y f x
có đúng một điểm cực trị là
B
,
đồ thị hàm số
y g x
có đúng một điểm cực trị là
A
và
7
4
AB
. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số
m
thuộc khoảng
5;5
để hàm số
y f x g x m
có đúng
5
điểm cực trị?
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 53
A.
1
. B.
3
. C.
4
. D.
6
.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm số điểm cực trị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Số điểm cực trị của hàm số
f x
bằng tổng số cực trị của hàm số
f x
và số nghiệm đơn và
nghiệm bội lẻ của phương trình
0f x
.
2. Hướng giải:
B1:Xác định số điểm cực trị của hàm số
f x g x
trong dấu giá trị tuyệt đối. Hàm này có
1
điểm cực trị là
0
x .
Xác định số nghiệm của phương trình
f x g x
. Phương trình này có hai nghiệm phân biệt.
Suy ra hàm số
f x g x
có
1 2 3
điểm cực trị.
B2:Suy ra số nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ của phương trình
0f x g x m
là
2
. Lập
bảng biến thiên tìm
m
.
B3:Kết hợp với điều kiện
5;5 m
và
m
nguyên suy ra kết quả.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Gọi là điểm cực trị của
f x
và
g x
. Dựa vào đồ thị ta có bảng dấu của
f x
và
g x
.
Đặt
h x f x g x
; . Lúc đó,
0
0h x f x g x x x
.
Ta có BBT của
h x
là:
Dựa vào BBT của
h x
, phương trình
0h x
có hai nghiệm phân biệt
a
và
b
(
a b
).
0
x
x
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 54 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
Lúc đó, ta có BBT của hàm số
y h x
như sau:
Dựa vào BBT hàm số
y h x
thì hàm số
y f x g x m
có 5 cực trị khi và chỉ khi
7
4
m
.
Vì
5;5m
và
m
nên
2,3,4m
.
Vậy có 3 giá trị
m
thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 62. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH 2018-2019) Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
3 2
3 9 5
2
m
y x x x
có
5
điểm cực trị?
A.
62
. B.
63
. C.
64
. D.
65
.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán khảo sát đồ thị hàm số
( )y f x
Cho hàm số
y f x có đồ thị
C
. Hàm số
0
0
f x khi f x
y f x
f x khi f x
có đồ thị
C
bằng cách:
Giữ nguyên phần đồ thị
C
nằm trên
2; 3A
.
Lấy đối xứng phần đồ thị
C
nằm dưới
1ax
y
cx d
qua
2 1
1
x
y
x
và bỏ phần đồ thị
C
nằm dưới
2 1
;
1
x
y
x
.
2. Hướng giải:
B1: Khảo sát và lập bảng biến thiên hàm số
3 2
3 9 5
2
m
g x x x x
.
B2: Hàm số
y g x
có
5
điểm cực trị Đồ thị hàm số
g x
cắt trục hoành tại ba điểm
phân biệt
B3: Giải bất phương trình
min max
0y y tìm
m
thỏa yêu cầu
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số
3 2
3 9 5
2
m
g x x x x
.
Ta có:
2
1
3 6 9 ; 0
3
x
g x x x g x
x
.
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 55
Ta có:
1 , 3 32
2 2
m m
g g
.
Bảng biến thiên của hàm số
g x
:
Hàm số
g x
có giá trị cực tiểu là
3 32
2
m
g
và giá trị cực đại là
1
2
m
g
.
Hàm số
3 2
3 9 5
2
m
y x x x
có
5
điểm cực trị
Đồ thị hàm số
3 2
3 9 5
2
m
g x x x x
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
32 0 0 64
2 2
m m
m
.
Vì
m
là số nguyên nên có
63
giá trị
m
thỏa mãn bài toán.
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 56 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
DẠNG 11: GTLN, GTNN TRÊN ĐOẠN
Câu 63. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Có bao nhiêu giá trị của tham số
m
để
giá trị lớn nhất của hàm số
2
2
x m
y
x m
trên đoạn
0;4
bằng
1
.
A.
0
. B.
2
. C.
3
. D.
1
.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
ax b
y
cx d
trên đoạn
;
a b
.
2. Hướng giải:
B1: Hàm số xác định và liên tục trên đoạn
;
a b
. Tính
'
y
, kiểm tra
' 0
y
hay
' 0
y
trên
;
a b
.
B2: Nếu
' 0
y
thì hàm số đồng biến trên
;
a b
;
;
max , min
a b
a b
y y b y y a
.
Nếu
' 0
y
thì hàm số nghịch biến trên
;
a b
;
;
max , min
a b
a b
y y a y y b
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
Điều kiện:
x m
.
Hàm số đã cho xác định trên
0;4
khi
0;4 *
m
.
Ta có
2
2
2 2
1 7
2
2 4
0
m
m m
y
x m x m
với
0;4
x
.
Hàm số đồng biến trên đoạn
0;4
nên
2
0;4
2
max 4
4
m
y y
m
.
2
2
0;4
2
2
max 1 1 6 0
3
4
m
m
y m m
m
m
.
Kết hợp với điều kiện (*) ta được
3
m
. Do đó có một giá trị của
m
thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 64. Cho hàm số
4 2
2 2
y x x m
đồ thị
C
. Gọi
S
là tập các giá trị
m
sao cho đồ thị
C
có
đúng một tiếp tuyến song song với trục
Ox
. Tổng tất cả các phần tử của
S
là:
A.
5
. B.
3
. C.
2
. D.
8
.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Tiếp tuyến của hàm số trùng phương
4 2
y ax bx c
có đồ thị
C
.
Kiểm tra hàm số
4 2
y ax bx c
có bao nhiêu cực trị.
Nếu hàm số có
1
điểm cực trị thì
C
có đúng
1
tiếp tuyến song song hoặc trùng
Ox
.
Nếu hàm số có
3
điểm cực trị thì
C
có đúng
2
tiếp tuyến song song hoặc trùng
Ox
.
2. Hướng giải:
B1: Kiểm tra hàm số có
3
điểm cực trị
0; 2 , 1; 3 , 1; 3
A m B m C m
.
B2: Viết được 2 phương trình tiếp tuyến
1
: 2
d y m
và
2
: 3
d y m
.
B3: Yêu cầu của bài toán có đúng
1
tiếp tuyến song song với
Ox
nên
1
2
d Ox
d Ox
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 57
Lời giải
Chọn A
Ta có
3
4 4
y x x
,
1
0 0
1
x
y x
x
.
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị.
Giả sử
0; 2 , 1; 3 , 1; 3
A m B m C m
là ba điểm cực trị của đồ thị
C
.
Tiếp tuyến của đồ thị
C
tại điểm
0; 2
A m
là
1
: 2
d y m
.
Tiếp tuyến của đồ thị
C
tại điểm
1; 3
B m
và
1; 3
C m
là
2
: 3
d y m
.
Đồ thị
C
có đúng một tiếp tuyến song song với trục
Ox
khi và chỉ khi
1
d
hoặc
2
d
trùng với
trục
Ox
, hay
2
m
hoặc
3
m
.
Vậy
2;3
S
, suy ra tổng tất cả các phần tử của
S
là
5
.
Câu 65. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tổng giá trị lớn nhất
M
và giá trị
nhỏ nhất
m
của hàm số
2
6 4
f x x x
trên đoạn
0;3
có dạng
a b c
với
a
là số
nguyên và
,
b c
là các số nguyên dương. Tính
S a b c
.
A.
4
. B.
2
. C.
22
. D.
5
.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y f x
trên đoạn
;
a b
.
2. Hướng giải:
B1: Hàm số xác định và liên tục trên đoạn
;
a b
. Tính
y
và cho
0
y
tìm các giá trị
;
i
x a b
.
B2: Tính
, ,
i
y a y b y x
.
B3: Khi đó
;
min min , ,
i
a b
y y a y b y x
và
;
max max , ,
i
a b
y y a y b y x
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Hàm số
2
6 4
f x x x
xác định và liên tục trên đoạn
0;3
.
2
2
2 2
2 6 4
4 6 .
4 4
x x x
f x x x
x x
.
1 0;3
0
2 0;3
x
f x
x
.
0 12, 1 5 5 , 2 8 2 , 3 3 13
f f f f .
Suy ra
0;3
max 3 13
y M
và
0;3
min 12
y m
.
3 13 12
M m a b c
với
a
là số nguyên và
,
b c
là các số nguyên dương nên
12, 3, 13
a b c
. Do đó
4
S a b c
.
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 58 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
Câu 66. (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
2
x
f x x e
trên đoạn
1;1
.
A.
1;1
ln 2 1
max
2
y
. B.
2
1;1
max 1
y e
.
C.
2
1;1
max 1
y e
. D.
1;1
ln 2 1
max
2
y
.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y f x
trên
đoạn
;
a b
.
2. Hướng giải:
B1: Hàm số xác định và liên tục trên đoạn
;
a b
. Tính
y
và cho
0
y
tìm các giá trị
;
i
x a b
.
B2: Tính
, ,
i
y a y b y x
.
B3: Khi đó
;
min min , ,
i
a b
y y a y b y x
và
;
max max , ,
i
a b
y y a y b y x
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Hàm số
2
x
f x x e
xác định và liên tục trên đoạn
1;1
.
2
1 2
x
f x e
.
1 1
0 ln 1;1
2 2
f x x
.
2 2
1 1 1 1
1 1 , ln ln 2 , 1 1
2 2 2 2
f e f f e
.
Vậy
1;1
ln 2 1
max
2
y
.
Câu 67. Cho hàm số
2
8
x m
f x
x
với
m
là tham số thực. Giả sử
0
m
là giá trị dương của tham số
m
để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn
0;3
bằng
3
. Giá trị
0
m
thuộc khoảng nào trong các
khoảng cho dưới đây ?
A.
20; 25
. B.
5;6
. C.
6;9
. D.
2;5
.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Bài toán tham số về Max-Min (cụ thể của hàm phân thức trên đoạn
;
a b
).
2. Hướng giải:
Xét hàm số phân thức bậc nhất
;
y f x m
tham số
m
, trên đoạn
;
a b
.
B1: Tính
( ; )
y f x m
. Do hàm số là phân thức bậc nhất, lại có đạo hàm đặc biệt, nên dễ thấy
( ; ) 0
f x m
hoặc
( ; ) 0, ;
f x m x a b
.
B2: Tính được
;
;
max , min
a b
a b
f x f x
chứa tham số
m
.
B3: YCĐB Pt tham số
m
tham số
m
cần tìm.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 59
Chọn D
Xét hàm số
2
8
x m
f x
x
trên đoạn
0;3
.
Ta có:
2
2
8
0,
8
0;3
m
f x x
x
hàm số
2
8
x m
f x
x
đồng biến trên đoạn
0;3
.
2
0;3
min 0
8
m
f x f .
Theo giả thiết, ta có:
2
0;3
2 6
min 3 3
8
2 6
m
m
f x
m
.
Mà
0 0
0 2 6 2;5
m m .
Câu 68. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hai số thực
,
x y
thỏa mãn
2 2 2 2
4 6 4 6 10 6 4
x y x y y y x x
. Gọi
,
M m
lần lượt là giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
T x y a
. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn
10;10
của tham số
a
để
2
M m
?
A.
17
. B.
15
. C.
18
. D.
16
.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Bài toán tham số về Max-Min của biểu thức nhiều biến (cụ thể biểu thức
2
biến).
2. Hướng giải:
Chuyển về bài toán Max-Min của đoạn thẳng dễ giải hơn, trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
.
B1: Ta có :
2 2
T x y a OA a
, với
2 2
OA x y
,
; , O 0;0
A x y
,
a
tham số.
B2: Trong đó:
2 2 2 2
; : 4 6 4 6 10 6 4
A x y C x y x y y y x x
.
Sử dụng pp hàm số, rút gọn phương trình
C
→
C
là phương trình đường tròn.
Suy ra, GTLN – GTNN của
OA
.
B3: Biện luận theo
a
, tìm được GTLN
M
- GTNN
m
của
T
dựa vào GTLN–GTNN của
OA
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
Ta có
2 2 2 2
4 6 4 6 10 6 4
x y x y y y x x
2 2 2 2
6 10 6 10 6 4 6 4
y y y y x x x x
(*).
Xét hàm số
2
f t t t
, có
2 1 0, 0
f t t t
.
Nên
2
f t t t
đồng biến trên
0;
, mà
2 2
6 10 0; , 6 4 0;y y x x
(*)
2 2
6 10 6 4
f y y f x x
2 2
6 10 6 4
y y x x
2 2
2 2
6 10 6 4 2 3 9.
y y x x x y
Xét điểm
;
A x y
thuộc đường tròn
C
có phương trình
2 2
2 3 9
x y
.
Ta có
2 2
OA x y
.
Đường tròn
C
có tâm
2; 3
I
, bán kính
3
R
nên điểm
0;0
O
nằm ngoài
C
.
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 60 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
Gọi
1 2
,A A
là giao điểm của đường thẳng
OI
với đường tròn
C
.
1 2
; :A x y OA OA AC O
với
1
13 3OA OI R
và
2
13 3.OA OI R
Tức là ta có :
2 2
13 3 13 3x y
2 2
13 3 13 3 .a x y a a
Th1:
13 3 0 13 3 1a a
.
Khi đó:
13 3 13 3a T a
13 3 , 13 3m a M a
.
Để
2 13 3 2 13 3 13 9 *M m a a a .
Mà
a
nguyên, thuộc đọan
10;10
, kết hợp (1), (*)
5; 4; 3; 2; 1;0 .a
Th2:
13 3 0 13 3 2 .a a
Khi đó,
13 3 13 3a T a
13 3, 13 3.M a m a
2 13 3 2 13 3 13 9 ** .M m a a a
Mà
a
nguyên, thuộc đọan
10;10
, kết hợp
2 ; ** 7;8;9;10 .a
Th3:
13 3 0
13 3 13 3 3 .
13 3 0
a
a
a
Khi đó,
0M
và
0m
ta luôn có
2M m
.
Mà
a
nguyên, thuộc đọan
10;10
, kết hợp
3 1; 2;3;4;5;6a
.
Vậy
5; 4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 .a
Câu 69. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
f x
. Biết hàm số
'y f x
có đồ thị như hình bên. Trên đoạn
4;3
, hàm số
2
2 1g x f x x
đạt giá
trị nhỏ nhất tại điểm.
A.
0
1x . B.
0
3x . C.
0
4x . D.
0
3x .
Phân tích hướng dẫn giải
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 61
1.Dạng toán: Đây là dạng toán về hàm số
g x
mà cho sẵn đồ thị hàm số
f x
.
2. Hướng giải:
B1: Tính
g x
. Cho
0g x f x h x
.
B2: Vẽ đồ thị hàm số
y h x
lên hệ trục tọa độ có sẵn đồ thị hàm số
f x
. Dựa vào đó xét
được dấu
g x
.
B3: Lập bảng biến thiên hàm số
g x
và kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Ta có
2
( ) 2 ( ) (1 ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 2 ( ) (1 )g x f x x g x f x x f x x
.
4
( ) 0 ( ) 1 1
3
x
g x f x x x
x
.
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, suy ra
g x
đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn
4;3
tại
0
1x .
Ta có:
2
( ) 2 ( ) (1 ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 2 ( ) (1 )g x f x x g x f x x f x x
.
Vì trong đoạn
4; 1
đồ thị hàm số
y f x
nằm phía dưới đồ thị hàm số
1y x
( ) 1 , [ 4; 1] ( ) 0, [ 4; 1] ( )f x x x g x x g x
nghịch biến trên
4; 1
( 4) ( 3) ( 1)g g g
*
.
Vì trong đoạn
1;3
đồ thị hàm số
y f x
nằm phía trên đồ thị hàm số
1y x
( ) 1 , [ 1;3] ( ) 0, [ 1;3] ( )f x x x g x x g x
đồng biến trên
1;3
(3) ( 1)g g
**
.
Từ
*
và
**
suy ra
g x
đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn
4;3
tại
0
1x .
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 62 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
Câu 70. (SỞ GD&ĐT CẦN THƠ NĂM 2018-2019) Cho hàm số
y f x
nghịch biến trên
và
thỏa mãn
6 4 2
3 2 ,f x x f x x x x x
. Gọi
M
và
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của hàm số
y f x
trên đoạn
1;2
. Giá trị của 3
M m
bằng
A.
4
. B.
28
. C.
3
. D.
33
.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán cho một phương trình về hàm số
f x
(phương trình hàm) sau
đó hỏi một vấn đề về hàm số
f x
.
2. Hướng giải:
B1: Từ phương trình đề cho biến đổi thành hằng đẳng thức để tìm
f x
(có thể kết hợp thêm
điều kiện đề cho để xác định
f x
).
B2: Đã xác định được hàm số
f x
, ta tính toán trả lời yêu cầu bài toán.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Ta có:
6 4 2 2 6 4 2
3 2 3 2
f x x f x x x x f x xf x x x x
2 6 4 2 2 2 6 4 2
4 4 4 12 8 4 4 4 12 9
f x xf x x x x f x xf x x x x x
3 3
2
2
3
3 3
2 2 3 2
2 2 3
2 2 3
f x x x x f x x x
f x x x x
f x x x x f x x x
.
Với
3 2
2 3 2 0,f x x x f x x x
nên
f x
đồng biến trên
.
Với
3 2
3 1 0,f x x x f x x x
nên
f x
nghịch biến trên
.
Suy ra:
3
f x x x
. Vì
f x
nghịch biến trên
nên
1;2
max 1 2
M f x f
và
1;2
min 2 10
m f x f
.
Từ đây, ta suy ra:
3 3. 2 10 4
M m
.
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 63
DẠNG 12: GTLN, GTNN TRÊN KHOẢNG
Câu 71. (SỞ GD&ĐT ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Giá trị lớn nhất của hàm số
2
2 3
y x x
trên
đoạn
0;3
.
A.
18
. B.
3
. C.
6
. D.
2
.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y f x
liên
tục trên đoạn
;
a b
.
2. Hướng giải:
B1: Tìm các điểm
1 2
, ,...,
n
x x x
trên khoảng
;
a b
, tại đó
f x
bằng 0 hoặc không xác định.
B2: Tính
1 2
, , ,..., ,
n
f a f x f x f x f b
.
B2: Tìm số
M
lớn nhất, số
m
nhỏ nhất trong các số trên. Ta có:
;
;
max , min .
a b
a b
f x M f x m
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Ta có
2 2 ; 0 1 0;3
y x y x
.
0 1 ; 3 18
f f
.
Suy ra
0;3
max 3 18
f x f
.
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 64 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
DẠNG 13: SỬ DỤNG CÁC ĐÁNH GIÁ, BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN
Câu 72. (CỤM 1 SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU NĂM 2018-2019 LẦN 01) Để giá trị lớn nhất của hàm số
2
2 3 4y x x m
đạt giá trị nhỏ nhất thì
m
thỏa
A.
3
2
m
. B.
1
2
m
. C.
4
3
m
. D.
5
3
m
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán :Đây là dạng toán cực trị của hàm giá trị tuyệt đối
2. Hướng giải:
B1: Từ hàm số đề bài đã cho , dùng cách đặt ẩn phụ
2
2t x x
.Tìm miền xác định của ẩn
phụ t
B2 :Vì hàm
3 4f t t m
luôn tăng nên
0;1
0 1
max max 0 ; 1
2
t
f f
f t f f
.
B3: Sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt
A B A B
.
Lời giải
Chọn A
Gọi . Ta đặt
2
2
2 1 1t x x t x
do đó
0 1t
Khi đó hàm số được viết lại là
3 4y t m
với suy ra
0;1
3 4 5 3
max 3 4 max 3 4 ; 5 3
2
m m
A t m m m
Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có:
0;1
3 4 5 3
max 3 4 max 3 4 ; 5 3
2
3 4 5 3 3 4 5 3
1
2 2 2
m m
A t m m m
m m m m
Do đó . Đẳng thức xảy ra .
max
A y
0;1
t
1
2
A
3 4 5 3
3 4 5 3 0
m m
m m
3
2
m
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 65
DẠNG 14: ỨNG DỤNG GTNN, GTLN TRONG BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Câu 73. (SỞ GD&ĐT ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019) Cho hàm số . Hàm số có
bảng biến thiên như sau:
Bất phương trình đúng với mọi khi và chỉ khi
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán :Đây là dạng toán ứng dụng giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất
2. Hướng giải:
B1: Cô lập
m
. Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng
1;1
, 1;1 max
x
m g x x m g x
.
B2 : Khảo sát hàm số
g x
trên
1;1
nhằm tìm
1;1
max
x
g x
.
B3 : Kết luận về
m
.
Lời giải
Chọn C
.
Xét ,
1;1x
vì
Hàm số nghịch biến trên .
, .
đúng với mọi .
Câu 74. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH 2018-2019) Số các giá trị nguyên của tham số thuộc đoạn
2019;2019
để phương trình
2 3
2 4 1 4x m x m x x
có nghiệm là
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán :Đây là dạng toán kết hợp biện luận số nghiệm của phương trình và tìm giá trị
lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
2. Hướng giải:
B1. Biến đổi phương trình đã cho nhằm tìm ra các biểu thức giống nhau dẫn đến dặt ẩn phụ để
bài toán đơn giản . Đăt
2
4x
t
x
.
B2. Từ điều kiện xác định của ẩn
x
, tìm điều kiện chính xác của ẩn phụ t .
B3. Cô lập tham số
m
, ta thu được phương trình hoành độ giao điểm :
m f t
.
y f x
y f x
x

2
1


0
y
2

3
f x x m
1;1
x
1
m f x
1 1
m f
1 1
m f
1 1
m f
3 3
f x x m m f x x
1
3
g x f x x
2
3 0, 1;1
g x f x x x
2
1 0, 1;1
3 0, 1;1
f x f x
x x
y g x
1;1
1 1
g g x g
1;1
x
1
1;1
x
1 1 1
m g f
m
2011
2012
2013
2014
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 66 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
B4. Khảo sát hàm
y f t
. Dựa vào bảng biến thiên , tìm điều kiện của tham số
m
thỏa yêu
cầu đề bài .
Lời giải
Chọn C
Điều kiện : .
*) Nhận thấy không là nghiệm của phương trình.
*) Với chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
Đặt . Vậy với .
Phương trình trở thành:
.
Xét hàm số trên .
Bảng biến thiên của hàm số :
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình có nghiệm .
Từ bảng biến thiên ta thấy . Kết hợp là số nguyên và suy ra có
2013 giá trị .
Câu 75. (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Số giá trị nguyên của tham số nằm
trong khoảng để phương trình có nghiệm là
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán : Đây là dạng toán cực trị của hàm giá trị tuyệt đối
2. Hướng giải:
B1. Xét hàm
1 2019f x x x
. Phá dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét dấu biểu thức.
B2.Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số của hàm bên trong dấu trị tuyệt .
B3. Sử dụng tính chất hàm trị tuyệt đối toàn phần để suy ra được giá trị lớn nhất của hàm số
1 2019f x x x
.
B4. Vậy phương trình có nghiệm khi
min 2020 maxf x m f x
.
Lời giải
3
4 0 0
x x x
0
x
0
x
3
4
x x
2
2
4
2 1. 1
4
x x
m m
x x
2
4 4 4
2. . 2
x
t x x
x x x
2
t
0
x
1
2
2
2 4
1 2 0 2 ( 2) 2
1 1
t t
t m t m m m t t
t t
4
2
1
f t t
t
2;

2
2 2
3 2;
4 2 3
1 ; 0
1 2;
1 1
t
t t
f t f t
t
t t


f t
2
2;t

7
m
m
2019; 2019
m
m
m
0;2020
1 2019 2020
x x m
2020
2021
2019
2018
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 67
Chọn D
Ta có .
Vì hàm số là hàm số đồng biến trên đoạn nên ta có
Suy ra và .Do đó, ta có và .
Vì vậy, phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi .
Suy ra có 2018 giá trị nguyên của nằm trong khoảng .
Câu 76. (SỞ GD&ĐT ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019) Gọi là tập tất cả các giá trị của tham số để
bất phương trình
4
2 4 2
1 4 5 6x x x m m m thỏa mãn với mọi giá trị của .
Tính tổng các giá trị của
A.
1
. B.
3
. C.
5
.
D.
2
.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán : Đây là dạng toán kết hợp biện luận số nghiệm của phương trình và tìm giá trị
lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
2. Hướng giải:
B1.Cô lập tham số
m
để dẫn đến
, minf m g x x f m g x
.
B2. Khảo sát hàm số
g x
để tìm ra
min g x
.
B3. Giải bất phương trình
minf m g x
để tìm ra giá trị tham số
m
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
4
2
1 4 5f x x x x .
3 2
3 2
' 4 1 2 4 4 12 14 2 3 3
' 0 0
f x x x x x x x x
f x x
Xét
4 2 3
6 ' 4 2 6
' 0 1
f m m m m f m m m
f m m
4 2
min 6 1f x m m m m
2018, 1;2019
1 2019
2 2020 , 1;2019
x
f x x x
x x
( ) 2x 2020
h x
[1;2019]
[1;2019]
[1;2019]
max ( ) max (1), (2019) 2018, min ( ) min (1), (2019
) 2018
h x h h h x h h
1;2019
min 0
f x
1;2019
max 2018
f x
min 0
f x
max 2018
f x
0 2020 2018 2 2020
m m
m
0;2020
S
m
x
.
S
f(x)
f '(x)
0
-∞
+∞
-
+∞
0
-4
+∞
+
x
f(m)
f '(m)
0
-∞
+∞
-
+∞
1
-4
+∞
+
m
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 68 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
vậy tổng các giá trị của là
Câu 77. (SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH NĂM 2018 - 2019) Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên
dương của tham số để bất phương trình sau nghiệm đúng
với mọi . Tổng tất cả các phần tử của
S
bằng:
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Biện luận nghiệm của BPT chứa tham số dựa vào phương pháp hàm số
Xét BPT
1f u f v
xác định trên khoảng
.K
- Nếu hàm số
f
đồng biến trên khoảng
K
thì ta có
1 .u v
- Nếu hàm số
f
nghịch biến trên khoảng
K
thì ta có
1 .u v
2. Hướng giải:
B1: Biến đổi BPT đã cho về dạng
3
3
2 2
1 1x x mx mx
để từ đó ta xét hàm số
đặc trưng
3
f t t t
là hàm số luôn đồng biến trên khoảng
;

.
B2: Khi đó BPT đã cho tương đương với
2
1x mx
.
Bài toán trở thành tìm
m
để BPT
2
1x mx
nghiệm đúng với mọi
2
1
1; 3 , 1; 3 .
x
x m x
x
B3: Xét hàm số
2
1
, 1; 3
x
g x x
x
. Bài toán được thỏa mãn nếu
1; 3
minm g x
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Ta có:
Xét hàm đặc trưng
Bài toán trở thành tìm để bất phương trình nghiệm đúng với mọi .
2
1;3
1
1 0, 1; 3 min 1 2.g x x g x g
x
Vậy để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi
1; 3x
thì 2.m
Vì
m
nguyên dương nên
1; 2S
có 2 phần tử. Tổng các phần tử bằng 3.
1
.
m
6 4 3 3 2
3 4 2 0
x x m x x mx
1;3
x
3
2
1
4
6 4 3 3 2 6 4 2 3 3
3 4 2 0 3 4 2
x x m x x mx x x x m x mx
3
3
2 2
1 1 1
x x mx mx
3 2
' 3 1 0
f t t t f t t
2 2
1 1 1
f x f mx x mx
m
2
1
x mx
1;3
x
2
2
1
1 , 1;3
x
x mx m g x x
x
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 69
DẠNG 15: GTLN, GTNN HÀM NHIỀU BIẾN
Câu 78. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH 2018 - 2019) Cho thỏa mãn
1x y
và
2 2
1x y xy x y
. Gọi
,M m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
xy
P
x y
. Tính
M m
.
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán GTLN, GTNN của biểu thức nhiều biến.
Phương pháp: Biến đổi biểu thức đã cho về dạng hàm phụ thuộc một biến số (chú ý xác định
điều kiện cho biến số phụ) và đưa về bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số một biến trên tập
hợp đã xác định được (khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn).
2. Hướng giải:
B1: Thế điều kiện của giả thiết vào vế trái của
,P
ta có
2 2
xy
P
x y xy
B2: Ta nhận thấy rằng tử và mẫu của
P
là hai biểu thức đẳng cấp bậc hai đối với hai ẩn
, .x y
- Ta tính giá trị của
P
khi
0y
.
- Khi
0,y
chia cả tử và mẫu của
P
cho
2
y , ta biến đổi
P
trở thành biểu thức phụ thuộc
một biến số
x
t
y
.
B3: Khi đó bài toán đưa về tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
, .
1
t
f t t
t t
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Với điều kiện ta có : .
- Nếu thì . Khi đó .
- Nếu thì . Đặt . Ta có: , .
Xét , . ; .
2
2
1
lim lim lim 0.
1 1
1
1
t t t
t
t
f t
t t
t t
  
Ta có bảng biến thiên của hàm số
f t
:
,x y
1
3
2
3
1
2
1
3
2 2
1; 1
x y x y xy x y
2 2
xy
P
x y xy
0
y
2
1
1 5
2
1 0
x
x
x x
0
P
0
y
2
1
x
y
P
x x
y y
x
t
y
2
1
t
P
t t
t
2
1
t
f t
t t
t
2
2
2
1
1
t
f t
t t
0 1
f t t
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 70 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
Từ bảng biến thiên:
tại .
tại
Vậy
Câu 79. (SỞ GD&ĐT ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019) Cho thỏa mãn và
hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ. Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất của . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán GTLN, GTNN của biểu thức nhiều biến.
Phương pháp: Biến đổi biểu thức đã cho về dạng hàm phụ thuộc một biến số (chú ý xác định
điều kiện cho biến số phụ) và đưa về bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số một biến trên tập
hợp đã xác định được (khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn).
2. Hướng giải:
B1: Đặt
2 2
2 2
2
2 4
x y
t
x y xy
, ta thế điều kiện của giả thiết, tìm được miền giá trị của ẩn t .
B2: Bài toán đưa về dựa vào đồ thị của hàm số để xác định GTLN, GTNN của hàm số trên một
miền cho trước.
B3: Kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
1
3
M
2
2 2
1
1
1
1
3 2 1 0
1
1
3
3
x y
x
x y
x y
x
y
x y
x x
x y xy x y
x
1
m
2
2 2
1
1
1
1
1 0
1
1
1
1
x
x y
x
y
x y
y
x
x
x
x
x y xy x y
y
2
.
3
M m
,
x y
2 2
5 6 5 16
x xy y
y f x
,
M m
2 2
2 2
2
2 4
x y
P f
x y xy
2 2
M m
4 2 2
4
3
2
1
1
2
3
0
1
-1
2 2
4
M m
2 2
1
M m
2 2
25
M m
2 2
2
M m
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 71
Đặt . Vì
nên
Do đó với .
Dựa vào đồ thị, ta có
3
3
0;
0;
2
2
max 0 0; min 1 2.M P f m P f
Suy ra: .
Câu 80. (SỞ GD QUẢNG NAM - 2019) Cho hai số thực dương , thỏa mãn
1
2
2 2 log 2
y y
y x x
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x
P
y
bằng
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán GTLN, GTNN của biểu thức nhiều biến.
Phương pháp: Biến đổi biểu thức đã cho về dạng hàm phụ thuộc một biến số (chú ý xác định
điều kiện cho biến số phụ) và đưa về bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số một biến trên tập
hợp đã xác định được (khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn).
2. Hướng giải:
B1: Từ điều kiện của giả thiết, ta có
1
Đặt
2
log 2 2
y
t x
, ta biến đổi
1
về phương trình dạng
f u f v
, với hàm số
f
luôn
đơn điệu trên khoảng
; .

B2: Khi đó ta rút được t theo
y
và suy được
x
theo
y
.
B3: Biến đổi
P
trở thành hàm một ẩn
y
và tính GTNN của hàm số trên một khoảng bằng cách
lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng đó.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
Có .
Đặt .
2 2
2 2
2
2 4
x y
t
x y xy
P f t
2 2
5 6 5 16
x xy y
2 2 2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2 2 2
1
5 6 5
3 6
3
8
.
1
18 2 4
2 16
2 5 6 5
4
x y x xy y
x y xy
x y
t
x y xy
x y x
x y xy x xy y
3
0
2
t P f t
3
0;
2
t
4 2 2
4
3
2
1
1
2
3
0
1
-1
2 2
4
M m
x
y
ln 2
2
e
ln 2
2
e
ln 2
2
e
2ln 2
e
1
2
2 2 log 2
y y
y x x
2
2 2 log 2 2 1
y y
y x x
1
2
2 2 log 2
y y
y x x
2
2 2 log 2 2 1
y y
y x x
1
2
log 2 2
y
t x
2 2 2
y t
x
2 2 2
t y
x
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 72 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
trở thành: .
Xét hàm số nên hàm số
luôn đồng biến trên . Kết hợp với ta có:
.
Khi đó .
Cho .
Bảng biến thiên:
Vậy khi và .
1
2 2 2 1
y t y
y t
1
2 1 2
y t
y t
2
2 ,
x
f x x x
2 ln 2 1 0,
x
f x x
2
x
f x x
2
1
t y
2
log 2 2 1
y
x y
1
2 2 2
y y
x
1
2
y
x
x
P
y
1
2
y
y
1 1
2
2 ln 2 2
y y
y
P
y
0 ln 2 1 0
P y
1
ln 2
y
min
ln 2
2
e
P
2
e
x
1
ln 2
y
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 73
DẠNG 16: BÀI TOÁN ỨNG DỤNG, TỐI ƯU, THỰC TẾ
Câu 81. (SỞ GD&ĐT BÀ RỊA VŨNG TÀU NĂM 2018-2019) Một công ty bất động sản có 40 căn hộ
cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 3.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ
đều có người thuê và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng một tháng (theo qui
định trong hợp đồng) thì sẽ có một căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì công
ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng.
A. đồng. B. đồng. C. đồng. D. đồng.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán ứng dụng, tối ưu, thực tế.
2. Hướng giải:
B1: Xác định số căn phòng bị bỏ trống khi tăng giá cho thuê thêm
x
đồng là
100.000
x
(phòng).
Suy ra số căn phòng còn lại có người thuê là:
40
100.000
x
B2: Tính số tiền công ty thu được trong một tháng (bằng số phòng có người thuê nhân với giá
tiền thuê phòng), ta được hàm số một ẩn
x
.
B3: Bài toán đưa về tìm điểm
0
x để hàm số đạt GTLN tại
0
x trên một khoảng cho trước.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Theo bài cứ tăng thêm 100.000 đồng trên một căn thì có 1 căn trống.
Do đó nếu tăng
x
đồng trên một căn thì có căn trống.
Số tiền thu nhập một tháng khi cho thuê căn hộ là
Do là một hàm bậc hai với hệ số số nên đạt giá trị lớn nhất khi
đ.
Vậy khi đó giá thuê mỗi căn là đồng.
Câu 82. (Sở GD Quảng Nam 2019 ) Cho nửa đường tròn đường kính
AB
và hai điểm
,C D
thay đổi
trên nửa đường tròn đó sao cho
ABCD
là hình thang. Diện tích lớn nhất của hình thang
ABCD
bằng
A.
1
2
. B.
3 3
4
. C.
1
.
D.
3 3
2
.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm MAX- MIN của bài toán có yếu tố hình học.
Phương pháp: - Tìm cách đặt biên chuyển về phương trình hàm.
- Lập bảng biến thiên thiên và suy ra giá trị MAX- MIN
2. Hướng giải:
3.700.000
3.500.000
3.900.000
4.000.000
100.000
x
2
(3000.000 )(40 ) 10x 120.000.000 ( )
100.000 100.000
x x
x f x
( )
f x
0
a
( )
f x
500.000
x
3.500.000
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 74 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
B1: Đặt
OH x
0 1x
. Ta có
2
2 2 1CD CH x
2 2
.
1
2
AB CD OH
S x x x
.
B2: Lập bảng biến thiên:
2
1f x x x x
, với
0;1x
.
B3: Vậy diện tích lớn nhất của hình thang
ABCD
là
3 3
4
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Gọi
H
là trung điểm của
CD
. Đặt
OH x
0 1x
. Ta có
2
2 2 1CD CH x
.
Diện tích hình thang là:
2 2
.
1
2
AB CD OH
S x x x
Xét hàm số
2 2
1f x x x x
, với
0;1x
.
Ta có
2
2 2
2
1 2 3
1 ; 0 1 2 1
2
1
x
f x f x x x x
x
Bảng biến thiên:
Vậy diện tích lớn nhất của hình thang
ABCD
là
3 3
4
.
Câu 83. (Sở GD& ĐT Cà Mau Năm 2018-2019) Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể
tích
3
18V m
, biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng và bể không có
1
x
H
O
D
C
B
A
1
x
H
O
D
C
B
A
ABCD
3
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 75
nắp. Hỏi cần xây bể có chiều cao
h
bằng bao nhiêu mét để nguyên vật liệu xây dựng là ít nhất
(biết nguyên vật liệu xây dựng các mặt là như nhau)?
A.
2 m
. B.
5
2
m
. C.
1 m
D.
3
2
m
.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm MAX- MIN của các yếu tố hình học.
Phương pháp: - Tìm cách đặt biên chuyển về phương trình hàm.
- Lập bảng biến thiên thiên và suy ra giá trị MAX- MIN
2. Hướng giải:
B1: Đặt
0x x
là chiều rộng hình chữ nhật đáy bể, suy ra chiều dài hình chữ nhật đáy bể là
3x
: . ,
Nguyên vật liệu ít nhất khi nhỏ nhất.
B2: Lập bảng biến thiên : , .
B3: Suy ra vật liệu ít nhất khi .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
Gọi là chiều rộng hình chữ nhật đáy bể, suy ra chiều dài hình chữ nhật đáy bể là
.
,
Gọi là diện tích xung quanh cộng với diện tích một đáy bể của hình hộp chữ nhật.
Nguyên vật liệu ít nhất khi nhỏ nhất.
1
x
H
O
D
C
B
A
2
. .3 .3 18
V h x x h x
0
x
2 2
18 6
3
h
x x
P
2 2 2
2 2
6 6 48
2 2. .3 3 2. . 2. .3 3 3 .
P hx h x x x x x x
x x x
2
48
3
f x x
x
0
x
2
6 6 3
4 2
h m
x
x
0
x
3 .
x
2
. .3 .3 18
V h x x h x
0
x
2 2
18 6
3
h
x x
P
P
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 76 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
Đặt , .
Ta có , .
Bảng biến thiên:
Suy ra vật liệu ít nhất khi .
Câu 84. (Cụm 1 Sở GD& ĐT Bạc Liêu Năm 2018-2019) Người ta muốn xây một bể chứa nước dạng
hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích 200m
3
. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi
chiều rộng. Giá thuê nhân công xây bể là 300.000 đồng/m
2
. Chi phí thuê công nhân thấp nhất là
A. 51 triệu đồng. B. 75 triệu đồng. C. 46 triệu đồng. D. 36 triệu đồng.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm MAX- MIN của các yếu tố hình học.
Phương pháp: - Tìm cách đặt biến chuyển về một biểu thức.
- Sử dụng bất dẳng thức COSI tìm giá trị MAX- MIN
2. Hướng giải:
B1: Gọi chiều rộng, chiều dài của đáy lần lượt là x và 2x, chiều cao là y
Diện tích các mặt bên và mặt đáy là
Thể tích là .
B2: .
B3: Khi đóchi phí thấp nhất là triệu
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Gọi chiều rộng, chiều dài của đáy lần lượt là x và 2x, chiều cao là y
Diện tích các mặt bên và mặt đáy là
Thể tích là .
Vậy chi phí thấp nhất là triệu
Câu 85. (Sở GD & ĐT Ninh Bình lần 01 Năm 2018-2019) Một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật có
thể tích bằng và chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chất liệu làm đáy và mặt bên của hộp có
2 2 2
2 2
6 6 48
2 2. .3 3 2. . 2. .3 3 3 .
P hx h x x x x x x
x x x
2
48
3
f x x
x
0
x
2
48
6
f x x
x
3
2
48
0 6 0 8 2
f x x x x
x
2
6 6 3
4 2
h m
x
2
6 2
S xy x
2
100
2 200V x y xy
x
2 2 2
3
3
600 300 300 300 300
2 2 3 . .2 30 180
S x x x
x x x x x
3
30 180.300000d 51
T
2
6 2
S xy x
2
100
2 200V x y xy
x
2 2 2
3
3
600 300 300 300 300
2 2 3 . .2 30 180
S x x x
x x x x x
3
30 180.300000d 51
T
48
4
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 77
giá thành gấp ba lần giá thành của chất liệu làm nắp hộp. Gọi là chiều cao của hộp để giá
thành của hộp là thấp nhất. Biết với , là các số nguyên dương nguyên tố cùng
nhau. Tổng là
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm MAX- MIN của các yếu tố hình học.
Phương pháp: - Tìm cách đặt biên chuyển về biểu thức.
- Áp dụng bất đẳng thức COSI tìm giá trị MAX- MIN
2. Hướng giải:
B1: Gọi chiều dài, chiều rộng của hộp là và . Khi đó, ta có thể tích của cái hộp là
Do giá thành làm đáy và mặt bên hộp là giá thành làm nắp hộp là nên giá thành làm hộp là
B2: Do giá thành làm đáy và mặt bên hộp là giá thành làm nắp hộp là nên giá thành làm
hộp là
B3: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho ba số không âm, ta được
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
Gọi chiều dài, chiều rộng của hộp là và . Khi đó, ta có thể tích của cái hộp là
Do giá thành làm đáy và mặt bên hộp là giá thành làm nắp hộp là nên giá thành làm hộp là
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho ba số không âm, ta được
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy , và .
h
m
h
n
m
n
m n
12
13
11
10
2
x
x
( 0)
x
2 2 2
2 . 2 . 48 . 24
V x h x h x h
3,
1
2 2
3 2 2 4 2
L x xh xh x
3,
1
2 2
3 2 2 4 2
L x xh xh x
2
8 9 9
L x xh xh
3
2
3 8 .9 .9
x xh xh
2
2
3
3 648 216
x h
2
x
x
( 0)
x
2 2 2
2 . 2 . 48 . 24
V x h x h x h
3,
1
2 2
3 2 2 4 2
L x xh xh x
2
8 9 9
L x xh xh
3
2
3 8 .9 .9
x xh xh
2
2
3
3 648 216
x h
2
2
8 9
24
x xh
x h
2
3
2
9
8
9
. 24
8
h
x
h
3
8
3
x
h
8
m
3
n
11
m n
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 78 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
Câu 86. (Sở GD & ĐT Quảng Bình Năm 2018-2019) Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol
có kích thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng m, m. Người ta thiết kế
cửa đi là một hình chữ nhật (với ; ), phần còn lại (phần tô đậm)
dùng để trang trí. Biết chi phí để trang trí phần tô đậm là đồng/ . Hỏi số tiền ít
nhất dùng để trang trí phần tô đậm gần với số tiền nào dưới đây?
A. đồng. B. đồng. C. đồng. D. đồng.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm MAX- MIN của các yếu tố hình học.
Phương pháp: - Tìm cách đặt biên chuyển về phương trình hàm.
- Tính diện tích hình học bằng công thức thông thường hoặc bằng tích phân.
Từ đó suy ra giá trị MAX- MIN
2. Hướng giải:
B1:
Phương trình của
Xét đường thẳng qua : (với ).
Khi đó và là giao điểm của và đường thẳng .
* Yêu cầu của bài toán đạt được khi diện tích hình chữ nhật phải lớn nhất.
Ta có:
B2: Đặt (với )
P
4
4
AB
CDEF
,
C F AB
,
D E P
1.000.000
2
m
4.450.000
4.605.000
4.505.000
4.509.000
2
: 4
P y x
,
E D
y m
0 4
m
4 ;
E m m
4 ;
D m m
P
y m
CDEF
. 2 4 .
CDEF
S ED EF m m
4
t m
2 2
4 4
t m m t
0 2
t
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 79
Khi đó: - Lập bảng biến thiên.
* Mặt khác diện tích của chiếc cổng: ( )
Suy ra diện tích nhỏ nhất của phần dùng để trang trí là:
( )
B3: Khi đó Vậy số tiền ít nhất dùng để trang trí phần tô đậm:
(đồng).
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
* Xét có toạ độ đỉnh và qua điểm có toạ độ .
Ta có hoành độ đỉnh: ; qua điểm và qua điểm
Suy ra:
* Xét đường thẳng qua : (với ). Khi đó và
là giao điểm của và đường thẳng . Suy ra: , .
* Yêu cầu của bài toán đạt được khi diện tích hình chữ nhật phải lớn nhất.
Ta có:
Đặt (với )
Khi đó:
2 3
2 4 2 8
CDEF
S f t t t t t
2
2
2
32
4
3
S x
m
2
CDEF
S MaxS
32 32 3
4,5083
3 9
m
2
4,5083 1.000.000 4.508.300
2
: 0
P y ax bx c a
0;4
2;0
0 0
2
b
b
a
P
0;4
4
c
P
2;0
1
a
2
: 4
P y x
,
E D
y m
0 4
m
4 ;
E m m
4 ;
D m m
P
y m
2 4
ED m
EF m
CDEF
. 2 4 .
CDEF
S ED EF m m
4
t m
2 2
4 4
t m m t
0 2
t
2 3
2 4 2 8
CDEF
S f t t t t t
2
6 8 0
f t t
2
3
t
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 80 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
Suy ra: khi
* Mặt khác diện tích của chiếc cổng: ( )
Suy ra diện tích nhỏ nhất của phần dùng để trang trí là: (
)
* Vậy số tiền ít nhất dùng để trang trí phần tô đậm: (đồng).
(Lưu ý: Có thể dùng MTBT để tìm GTLN của trên khoảng ).
32 3
9
CDEF
MaxS
2 8
3
3
t m
2
2
2
32
4
3
S x
m
2
CDEF
S MaxS
32 32 3
4,5083
3 9
m
2
4,5083 1.000.000 4.508.300
CDEF
S
0 4
m
0
2
0
+
-
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 81
DẠNG 17: CÂU HỎI LÝ THUYẾT VỀ MAX MIN
Câu 87. (Sở GD&ĐT Đà Nẵng 2018-2019) Cho
x
,
y
,
z
là các số thực dương thay đổi và thỏa
2 2 2
5 9 2
x y z xy yz zx
Giá trị lớn nhất của biểu thức
3
2 2
1x
P
y z
x y z
bằng
A.
18
. B.
12
. C.
16
. D.
24
.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
y f x
theo
phương pháp hàm số.
2. Hướng giải:
B1: Từ giả thiết
2 2 2
5 9 2
x y z xy yz zx
ta thấy vai trò của
y
và
z
là như nhau nên
đánh giá
2
x y z
.
B2: Đánh giá
3
4 1
27
P
y z
y z
.
B3: Lập bảng biến thiên của hàm số
3
4
27
t
f t t
với
1
0
t
y z
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
Ta có:
2 2 2 2 2 2
5 9 2 5 5 9 18 0
x y z xy yz zx x y z x y z yz
2 2 2
5 9 18 5 1
x x y z yz y z
.
Ta lại có:
2 2
2 2 2 2
7 0 7 14 7 0 2 18 5 2
y z y yz z y z yz y z
.
Từ (1) và (2) suy ra:
2
2
5 9 2 2 5 0
x x y z y z x y z x y z
2 0 5 0 , , 0
x y z do x y z x y z
2
x y z
Do đó:
3 3 3
2 2
2
2
1 1 4 1
1
27
2
2
y z
x
P
y z y z
x y z y z
y z y z
y z
.
Đặt
1
0
t
y z
khi đó
3
4 ; 0
27
t
P t t
.
Xét hàm số:
3
4 ; 0
27
t
f t t t
có
2
6 6 16
' 4 0
9
6 0
t f
t
f t
t l
Ta có:
3
lim 4
27
t
t
t


.
Bảng biến thiên:
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 82 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
Dựa vào bảng biến thiên suy ra:
3
4 16 0
27
t
f t t t
.
Suy ra:
3
4 16 0
27
t
P t t
Suy ra
16maxP
Đẳng thức xảy ra khi:
1
1
12
1
6
2
3
y z
y z
y z
x
x y z
.
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 83
DẠNG 18: BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ (KHÔNG
CHỨA THAM SỐ) HOẶC BIẾT BBT, ĐỒ THỊ
Câu 88. (Sở GD&ĐT Ninh Bình lần 1 năm 2018-2019) Tổng số đường tiệm cận ngang và đường
tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2
2 1 1x
y
x
là
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
3
.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm tiệm cận của hàm số
y f x
.
2. Hướng giải:
+ Đường thẳng
0
x x
được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y f x
nếu ít nhất một
trong bốn điều kiện sau được thỏa mãn:
0 0 0 0
lim ; lim ; lim ; lim
x x x x x x x x
f x f x f x f x
   
+ Đường thẳng
0
y y
được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
y f x
nếu
0
lim
x
f x y

hoặc
0
lim
x
f x y

.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
Tập xác định:
; 1 1;D  
.
Từ tập xác định ta thấy hàm số không có giới hạn khi
0x
, do đó đồ thị hàm số không có
tiệm cận đứng.
Mặt khác:
2
2
1 1
2 1
2 1 1
lim lim 2
x x
x
x x
x
x
x
 
2
2
1 1
2 1
2 1 1
lim lim 2
x x
x
x x
x
x
x
 
Nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là
2y
và
2y
.
Câu 89. (Sở GD&ĐT Phú thọ lần 2 năm 2018-2019) Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên như
sau:
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2
3 2
y
f x
là
A.
3
. B.
4
. C.
5
. D.
6
.
Phân tích hướng dẫn giải
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 84 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
1.Dạng toán: Đây là dạng toán xác định các đường tiệm cận của hàm số
y f x
khi biết
bảng biến thiên của hàm số.
2. Hướng giải:
+ Đường thẳng
0
x x
được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y f x
nếu ít nhất một
trong bốn điều kiện sau được thỏa mãn:
0 0 0 0
lim ; lim ; lim ; lim
x x x x x x x x
f x f x f x f x
   
+ Đường thẳng
0
y y
được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
y f x
nếu
0
lim
x
f x y

hoặc
0
lim
x
f x y

.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình
3 2 0f x
(hay
2
3
f x
) có
4
nghiệm
1
x ,
2
x ,
3
x ,
4
x
thỏa
1
; 1x
,
2
1; 0x
,
3
0;1x
,
4
1;x
. Suy ra đồ thị hàm số
2
3 2
y
f x
có 4 tiệm cận đứng là
1
x x ,
2
x x ,
3
x x ,
4
x x .
Vì
2
lim lim 0
3 2
x x
y
f x
 
nên
0y
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2
3 2
y
f x
.
Vì
2
lim lim 2
3 2
x x
y
f x
 
nên
2y
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2
3 2
y
f x
.
Do đó đồ thị hàm số
2
3 2
y
f x
có 2 tiệm cận ngang là
0y
,
2y
.
Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2
3 2
y
f x
là
6
.
DẠNG 19: BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ CÓ
CHỨA THAM SỐ
Câu 90. (Sở GD&ĐT Bắc Ninh lần 1 năm 2018-2019) Cho hàm số
3 2 2
3
3 2 1
x
y
x mx m x m
.
Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn
6; 6
của tham số để đồ thị hàm số có
4
đường
tiệm cận?
A.
8
. B.
9
. C.
12
. D.
11
.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán xác định các đường tiệm cận của hàm số
y f x
có chứa
tham số.
2. Hướng giải:
+ Đường thẳng
0
x x
được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y f x
nếu ít nhất một
trong bốn điều kiện sau được thỏa mãn:
0 0 0 0
lim ; lim ; lim ; lim
x x x x x x x x
f x f x f x f x
   
m
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 85
+ Đường thẳng
0
y y
được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
y f x
nếu
0
lim
x
f x y

hoặc
0
lim
x
f x y

.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Gọi
C
là đồ thị hàm số
3 2 2
3
3 2 1
x
y
x mx m x m
.
Ta có:
3 2 2
3
lim lim 0
3 2 1
x x
x
y
x mx m x m
 
nên đồ thị hàm số có
1
đường tiệm cận
ngang là
0y
.
Do đó
C
có
4
đường tiệm cận khi và chỉ khi
C
có
3
đường tiệm cận đứng
3 2 2
3 2 1 0 1x mx m x m
có
3
nghiệm phân biệt khác
3
.
Ta có
2
2
1 2 1 0
2 1 0
x m
x m x mx
x mx
.
Phương trình có
3
nghiệm phân biệt khác
3
2
2 2
2
3
3
1 0
1
1
2 1 0
5
3 6 1 0
3
m
m
m
m
m
m m
m
m
.
Do
6; 6m
,
m
nguyên nên
6; 5; 4; 3; 2; 2; 4; 5; 6m
.
Vậy có
9
giá trị
m
thỏa mãn.
Câu 91. (Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để đồ
thị hàm số
2
1
8 2
x
y
mx x
có đúng
4
đường tiệm cận?
A.
8
. B.
6
. C.
7
. D. Vô số.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán xác định các đường tiệm cận của hàm số
y f x
có chứa
tham số.
2. Hướng giải:
+ Đường thẳng
0
x x
được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y f x
nếu ít nhất một
trong bốn điều kiện sau được thỏa mãn:
0 0 0 0
lim ; lim ; lim ; lim
x x x x x x x x
f x f x f x f x
   
+ Đường thẳng
0
y y
được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
y f x
nếu
0
lim
x
f x y

hoặc
0
lim
x
f x y

.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
(1)
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 86 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
TH1:
0
m
suy ra tập xác định của hàm số là
1 2
;
D x x
, (
1
x
,
2
x
là nghiệm của phương trình
2
8 2 0
mx x
). Do đó
0
m
không thỏa yêu cầu của bài toán.
TH2:
1
0
8 2
x
m y
x
suy ra tập xác định của hàm số là
; 4
D 
.
4
lim ; lim
x
x
y y

 
. Khi đó ta có
4
x
là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Do đó
0
m
không thỏa yêu cầu của bài toán
TH3:
0
m
suy ra tập xác định của hàm số là
1 2
; ;D x x
 
(
1
x
,
2
x
là nghiệm của
phương trình
2
8 2 0
mx x
). Do đó đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận khi phương trình
2
8 2 0
mx x
có hai nghiệm phân biệt khác
6 2 0 8
1 0; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 7
8 2 0 6
m m
m m m m m
m m
.
. Suy ra có tất cả
6
giá trị nguyên của tham số
m
thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Câu 92. (SỞ GD&ĐT ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số
2 6
1
x
y
x
là
A.
1.
x
B.
6.
y
C.
3.
x
D.
2.
y
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
.
y f x
2. Hướng giải: Tìm
0
lim
x
y y
hoặc
0
lim
x
y y
thì
0
y y
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm
số
.
y f x
Lời giải
Chọn D
Ta có
lim lim 2
x x
y y
 
nên
2
y
là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 87
DẠNG 20: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ CÁC ĐƯỜNG TIỆM
CẬN
Câu 93. (SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho là điểm có hoành độ dương
thuộc đồ thị hàm số
2
,
2
x
y
x
sao cho tổng khoảng cách từ đến hai đường tiệm cận của đồ
thị hàm số là nhỏ nhất. Tọa độ điểm là:
A.
4;3 .
B.
0; 1 .
C.
1; 3 .
D.
3;5 .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm điểm liên quan đến tiệm cận của đồ thị hàm số
ax b
y
cx d
2. Hướng giải:
B1: Gọi
2
;
2
a
M a C
a
, (với
0a
) theo tham số thỏa mãn điều kiện đã cho .
B2: Tìm các đường tiệm cận của hàm số.
B3: Tính khoảng cách từ
M
đến các tiệm cận.
B4: Tính tổng khoảng cách từ đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là nhỏ nhất để tìm
được tham số
.M
Lời giải
Chọn A
Vì là điểm có hoành độ dương thuộc đồ thị hàm số
2
2
x
y
x
nên
2
;
2
a
M a
a
(với
0a
).
Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là :
1
: 2x
và
2
: 1.y
Suy ra :
1
1
;
| 2 |
M
d d a
và
2
2
;
2 4 4
1
2 2 | 2|
M
a
d d
a a a
Vây tổng khoàng cách từ đến hai đường tiệm cận là:
1 2
4 4
| 2 | 2 | 2 | 4.
| 2 | | 2 |
d d d a a
a a
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có .
4 4
| 2 | 2 | 2 || 4.
| 2 | | 2 |
a a
a a
Dấu bằng xảy ra khi :
2
2 2 4
4
2 ( 2) 4 .
2 2 0
| 2 |
a a
a a
a a
a
Mà
0 4.a a
Vậy
4;3 .M
DẠNG 21: NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ
Câu 94. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số
y f x
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây SAI?
A. Giá trị lớn nhất của hàm số
y f x
trên đoạn
2;2
bằng 2.
M
M
M
M
M
M
2
-2
-2
-1
21
y
x
O
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 88 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
B. Hàm số
y f x
có cực tiểu bằng
1.
C. Hàm số
y f x
có hai điểm cực trị.
D. Nếu
2m
thì phương trình
f x m
có nghiệm duy nhất.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán lí thuyết tổng hợp về hàm số.
2. Hướng giải: Xét các mệnh đề và loại trừ các mệnh đề đúng, đồng thời chọn ra mệnh đề sai.
Lời giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị có BBT của hàm số
y f x
trên
2;2
như sau:
► A đúng.
► B sai vì hàm số
y f x
có giá trị cực tiểu bằng
2
hay cực tiểu bằng
2.
► C đúng vì hàm số
y f x
có hai điểm cực trị
C§
1, 1.
CT
x x
► D đúng vì
2
2 ,
2
m
m
m
phương trình
f x m
có nghiệm duy nhất.
Câu 95. (SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho bảng biến thiên sau:
Bảng biến thiên trên là của hàm số nào trong các hàm số sau đây?
A.
1
x
y
x
B.
1
1
y
x x
C.
1
x
y
x
D.
1 .y x x
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán dựa vào bảng biến thiên để tìm hàm số.
2. Hướng giải: Dựa vào bảng biến thiên tìm các tiệm cận, đồng thời dựa vào các hàm số loại
trừ hàm số không thỏa mãn. Chọn được đáp án đúng và kiểm tra lại các điều kiện đúng đã thỏa
mãn.
Lời giải
Chọn A
Dựa vào BBT, suy ra:
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là
1x
Loại đáp án D.
Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận ngang là
1y
Loại đáp án B.
Hàm số không có đạo hàm tại
0x
Loại đáp án C.
Xét đáp án A ta có:
+
0
1
1
+
x
y'
y
1
0 +
∞
∞
∞
∞
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 89
TXĐ:
\ 1 .
D
1
lim
x
y

và
1
lim
x
y

, suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là
1.
x
| | 1
lim lim lim lim 1.
1
1
1
1
1
x x x x
x x
y
x
x
x
x
   
| | 1
lim lim lim lim 1.
1
1
1
1
1
x x x x
x x
y
x
x
x
x
   
Suy ra đồ thị hàm số có các đường tiệm cận ngang là
1.
y
1
1
lim
1
lim
x
x
y
x
y




là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
0 0 0
| |
( ) (0) 1
1
lim lim lim 1.
0 1
x x x
x
f x f
x
x x x
0 0 0
| |
( ) (0) 1
1
lim lim lim 1.
0 1
x x x
x
f x f
x
x x x
Ta thấy
0 0
( ) (0) ( ) (0)
lim lim
0 0
x x
f x f f x f
x x
nên hàm số không có đạo hàm tại
0.
x
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 90 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
DẠNG 22: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH DỰA VÀO ĐỒ THỊ,
BẢNG BIẾN THIÊN
Câu 96. (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số
y f x
có bảng biến
thiên như hình vẽ sau.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để phương trình
0f x m
có
4
nghiệm phân
biệt.
A.
1;2 .m
B.
1;2 .m
C.
1;2 .m
D.
1;2 .m
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hoặc bảng
biến thiên.
2. Hướng giải:
B1: Dựa vào bảng biến thiên tìm giá trị cực tiểu và giá trị cực đại.
B2: Đường thẳng
y m
là đường thẳng song song hoặc trùng với
.Ox
B3: Suy ra tham số
m
để phương trình có số nghiệm thỏa mãn.
Lời giải
Chọn C
Ta có
0 .f x m f x m
Phương trình (*) có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
đồ thị hàm số
y f x
cắt đồ thị hàm số
y m
tại
4
điểm phân biệt.
Theo bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số
y f x
cắt đồ thị hàm số
y m
tại
4
điểm phân
biệt khi và chỉ khi
1 2.m
Câu 97. (SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH NĂM 2018-2019) Cho hàm số
y f x
liên tục trên
R
và có đồ
thị như hình vẽ. Tập hợp nghiệm của phương trình
1 0f f x
có bao nhiêu phần tử?
A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán xét sự tương giao của đồ thị hàm số ( hàm số hợp ) với đường
thẳng
y b
để ra số nghiệm của phương trình .
2. Hướng giải:
1 0 1.f f x f f x
B1: Xét đồ thị hàm số
y f X
cắt đường thẳng
1y
tại bốn điểm phân biệt
1 2 3 4
; ; ;X X X X . Dựa vào đồ thị , xác định vị trí tương đối của 4 giá trị này.
4
4
7
6
9
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 91
B2: Thay vai trò của
1 2 3 4
; ; ;X X X X
bởi
f x
trong từng trường hợp. Lặp lại quá trình xét sự
tương giao của đồ thị hàm số
y f x
với đường thẳng
y b
, trong đó
b
là giá trị thỏa mãn
vị trí tương đối của
1 2 3 4
; ; ; .X X X X
Tuy nhiên , nếu có những trường hợp có hai hoành độ giao điểm nào đó có thể thuộc cùng
một khoảng chung ( khi đó hai nghiệm có thể trùng nhau ) thì ta cần lý luận về tính đơn điệu
của hàm số trong khoảng đó để loại trừ khả năng trùng nghiệm.
B3: Khi đó số nghiệm của phương trình
1 0f f x
bằng tổng số giao điểm của cả 4
trường hợp xét trong bước 2
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
Dựa vào đồ thị ta có
1 0f f x
1f f x
2
2; 1
0
2
f x a
f x b
f x
f x c
.
+ Với
2f x a
1
2
2
2
x x
x x
.+ Với
2; 1f x b
3
4
5
6
2
2; 1
1;0
2
x x
x x
x x
x x
.
+ Với
7
8
9
2
0 2; 1
2;3
x x
f x x x
x x
+ Với
2f x c
vô nghiệm.
Ta thấy hàm số
y f x
đơn điệu trên
; 2
,
1 3
f x a b f x
nên
1 3
.x x
Hàm số
y f x
đơn điệu trên
2;
,
6 9
0f x b f x
nên
6 9
.x x
Vậy phương trình đã cho có 9 nghiệm phân biệt.
Câu 98. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số
y f x
thỏa mãn
7
0
6
f
và có bảng biến thiên như sau:
Giá trị lớn nhất của tham số
m
để phương trình
3 2
13 1
2 7
2 2
f x f x f x
e m
có nghiệm trên đoạn
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 92 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
0;2
là
A.
2
e
. B.
15
13
e
. C.
4
e
. D.
3
e
.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm giá trị của tham số
m
để phương trình
f x m
có
nghiệm trên một đoạn. Phương pháp chung là tìm GTNN, GTLN của hàm số trên đoạn đó rồi
chặn
m
bởi hai giá trị đó.
2. Hướng giải: Phương trình
3 2
13 1
2 7
2 2
f x f x f x
e m
3 2
13 1
2 7 ln , ( 0).
2 2
f x f x f x m m
B1: Đổi biến
.
t f x
Từ điều kiện
0;2
x
dựa vào BBT để lý luận về điều kiện của
.
t
B2: Chuyển bài toán về tìm điều kiện của tham số
m
để phương trình
ln
g t m
có nghiệm
trên miền điều kiện của
.
t
Cụ thể là tính đạo hàm , lập BBT của
g t
rồi tìm
max ;min .
g t g t
Cho
ln
m
bị chặn giữa
max ;min .
g t g t
B3: Khi đó
m
đạt GTLN khi
ln
m
đạt GTLN
ln max .
m g t
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Phương trình
3 2
13 1
2 7
2 2
f x f x f x
e m
3 2
13 1
2 7 ln , ( 0).
2 2
f x f x f x m m
Đặt
.
t f x
Với
0;2
x
và từ bảng biến thiên
1;max 0 , 2
t f f
Vì
7 15 7
0 , 2 3
6 13 6
f f f
nên
7
max 0 , 2
6
f f M
.
Do đó
7
1;M 1; .
6
t
Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất của
m
để phương trình
3 2
13 1
ln 2 7 (*)
2 2
m t t t
có nghiệm
1;
t M
.
Xét hàm số
3 2
13 1
2 7 , 1; .
2 2
g t t t t t M
2
' 6 13 7
g t t t
1
' 0
7
6
t
g t
t
Bảng biến thiên
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 93
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình
(*)
có nghiệm
ln 1g M m g
2
1;
max ln max 1 2 max e .
M
m = g t g m
Vậy giá trị lớn nhất của
m
để phương trình cho có nghiệm
0;2x
là
2
.e
Câu 99. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH 2018-2019) Cho hàm số
3 2
3x .f x x
Tính tổng tất cả các giá
trị nguyên của
m
để đồ thị hàm số
g x f x m
cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
A. 3. B. 10. C. 4. D. 6.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán về đồ thị hàm số có giá trị tuyệt đối dạng
y f x
được suy
ra từ đồ thị hàm số
y f x
đã có hoặc dễ vẽ.
2. Hướng giải:
B1: Vẽ đồ thị hàm số
3 2
3 ( )f x x x C
.
B2: Để vẽ đồ thị hàm số
y f x
từ đồ thị
y f x
ta thực hiện:
Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị
( )y f x C
gồm các điểm bên phải và các điểm nằm trên
trục
Oy
; bỏ phần đồ thị bên trái trục
Oy
.Ta được phần đồ thị
1
.P
Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị
1
P qua trục
Oy
ta được phần đồ thị
2
.P
Khi đó: Đồ thị
y f x
bao gồm đồ thị
1
P và
2
.P .
B3: Số giao điểm của
( ')C
với đường thẳng
y m
chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
g x f x m
với trục hoành. Vậy để có 4 giao điểm thì điều kiện của
m
thuộc khoảng
nào đó. Từ đó ta chọn các số nguyên rồi tính tổng.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số
3 2
3x .f x x
Ta có đồ thị hàm số
y f x
như sau:
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 94 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
Từ đó ta có đồ thị hàm số
3 2
3y f x x x
như sau:
Để đồ thị hàm số
g x f x m
cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì phương trình
0g x
có 4 nghiệm phân biệt. Do đó phương trình
f x m
có 4 nghiệm phân biệt hay
đường thẳng
y m
cắt đồ thị hàm số
3 2
3y f x x x
tại 4 điểm phân biệt.
Dựa vào đồ thị hàm số
y f x
suy ra bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi
4 0 0 4.m m
.
Kết hợp yêu cầu đề bài
m Z
, do đó
1;2;3m
.
Vậy tổng các giá trị nguyên của
m
thỏa mãn là:
1 2 3 6.
Câu 100. (CỤM 1 SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho đồ thị của hàm số
3 2
6 9 2y x x x như hình vẽ.
Khi đó phương trình
3 2
6 9 2x x x m
(
m
là tham số) có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ
khi.
A.
2 2m
. B.
0 2m
C.
0 2m
. D.
2 2m
.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán về đồ thị hàm số có giá trị tuyệt đối dạng
y f x
được suy
ra từ đồ thị hàm số
y f x
đã có hoặc dễ vẽ.
2. Hướng giải: Gọi đồ thị hàm số
3 2
6 9 2y x x x
là
( ).C
O
x
y
3
2
1
2
NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 95
B1: Đồ thị hàm số
3 2
6 9 2 ( ')y x x x C
có được bằng cách biến đổi đồ thị
( )C
của hàm
số
3 2
6 9 2y x x x
như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị
( )C
nằm trên trục hoành.
- Lấy đối xứng phần đồ thị của
( )C
phần dưới trục hoành qua trục hoành.
- Xóa phần đồ thị còn lại của
( )C
phía dưới trục hoành.
B2: Số nghiệm của phương trình
3 2
6 9 2x x x m
chính là số giao điểm của đồ thị
( ')C
với đường thẳng
y m
.
B3: Phương trình
3 2
6 9 2x x x m
có 6 nghiệm phân biệt khi đồ thị
( ')C
và đường thẳng
y m
có 6 giao điểm phân biệt.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Gọi đồ thị hàm số
3 2
6 9 2y x x x
là
( ).C
Đồ thị hàm số
3 2
6 9 2 ( ')y x x x C
có được bằng cách biến đổi đồ thị
( )C
của hàm số
3 2
6 9 2y x x x như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị
( )C
nằm trên trục hoành.
- Lấy đối xứng phần đồ thị của
( )C
phần dưới trục hoành qua trục hoành.
- Xóa phần đồ thị còn lại của
( )C
phía dưới trục hoành.
+) Số nghiệm của phương trình
3 2
6 9 2x x x m
là số giao điểm của đồ thị hàm số
3 2
6 9 2y x x x và đồ thị hàm số
y m
. Để phương trình có 6 nghiệm phân biệt thì điều
kiện cần và đủ là
0 2.m
.
Câu 101. Cho hàm số
y f x
liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình
y
=
m
x
y
2
y
x
=
x
3
6∙
x
2
+ 9∙
x
2
1
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019 NHÓM WORD BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Trang 96 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
2
3sin cos 1
4 4 (1)
2cos sin 4
x x
f f m m
x x
có nghiệm?
A.
3
. B.
4
. C.
5
. . D. Vô số.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán sử dụng tính đơn điệu của hàm số
y f x
để tìm điều kiện
có nghiệm của phương trình
.
f U f V U V
2. Hướng giải:
B1: Đổi biến
3sin cos 1
2cos sin 4
x x
t
x x
, sau đó tìm GTNN, GTLN của
t
bằng cách chuyển về tìm
điều kiện để phương trình lượng giác dạng .sin .cos
a x b x c
có nghiệm là
2 2 2
.
a b c
B2: Chuyển phương trình về dạng
2
4 4
f t f m m
. Dựa vào đồ thị
y f x
khẳng
định hàm số đồng biến trên
0; .
Suy ra
2
4 4.
t m m
B3: Từ điều kiện của
t
tìm ra điều kiện của
.
m
Sau đó chọn những giá trị nguyên.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Đặt
3sin cos 1
2cos sin 4
x x
t
x x
2 1 cos 3 sin 1 4 *
t x t x t
.
Phương trình
*
có nghiệm
2 2 2
4 1 3 1 4
t t t
9
1.
11
m
Suy ra
0 1
t
.
Từ đồ thị
y f x
ta có
*
y f x
đồng biến trên
0;

*
2
2
4 4 2 0; .
m m m
*
0;1
t
Nên
2
3sin cos 1
4 4
2cos sin 4
x x
f f m m
x x
2
4 4
f t f m m
2
4 4
t m m
. Phương trình
1
có nghiệm
2
0 4 4 1
m m
2
4 4 1
m m
3 1.
m
Do
3; 2; 1 .
m Z m
| 1/96
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
TUYỂN CHỌN CÁC CÂU HÀM SỐ MỨC ĐỘ VD-VDC
PHÂN TÍCH DẠNG TOÁN VÀ HƯỚNG SUY LUẬN (PHẦN 1) MỤC LỤC
DẠNG 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ THỊ ........................................ 2
DẠNG 2: TÌM THAM SỐ M ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU ......................................................................... 12
DẠNG 3: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀO PT, BPT, HPT, BĐT ................................................... 21
DẠNG 4: CÂU HỎI LÝ THUYẾT VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU ...................................................................... 26
DẠNG 5: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC ....................................................... 28
DẠNG 6: TÌM CỰC TRỊ DỰA VÀO BBT, ĐỒ THỊ ............................................................................... 37
DẠNG 7: TÌM M ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ TẠI 1 ĐIỂM X0 CHO TRƯỚC .................................. 42
DẠNG 8: TÌM M ĐỂ HÀM SỐ, ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN ..
.............................................................................................................................................. 44
DẠNG 9: TÌM M ĐỂ HÀM SỐ, ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐK
.............................................................................................................................................. 49
DẠNG 10: TÌM M ĐỂ HÀM SỐ, ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÁC HÀM SỐ KHÁC CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN
ĐIỀU KIỆN .............................................................................................................................................. 52
DẠNG 11: GTLN, GTNN TRÊN ĐOẠN ................................................................................................. 56
DẠNG 12: GTLN, GTNN TRÊN KHOẢNG ............................................................................................ 63
DẠNG 13: SỬ DỤNG CÁC ĐÁNH GIÁ, BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN .............................................. 64
DẠNG 14: ỨNG DỤNG GTNN, GTLN TRONG BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG
TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH .................................................................................................................. 65
DẠNG 15: GTLN, GTNN HÀM NHIỀU BIẾN ....................................................................................... 69
DẠNG 16: BÀI TOÁN ỨNG DỤNG, TỐI ƯU, THỰC TẾ ..................................................................... 73
DẠNG 17: CÂU HỎI LÝ THUYẾT VỀ MAX MIN ................................................................................ 81
DẠNG 18: BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ (KHÔNG CHỨA
THAM SỐ) HOẶC BIẾT BBT, ĐỒ THỊ ................................................................................................... 83
DẠNG 19: BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ CÓ CHỨA THAM SỐ .
.............................................................................................................................................. 84
DẠNG 20: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN ............ 87
DẠNG 21: NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ ........................................................................................................... 87
DẠNG 22: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH DỰA VÀO ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN
.............................................................................................................................................. 90 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 1
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
DẠNG 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ THỊ
Câu 1. (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số y  f  x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau Hàm số y  2
 f x  2019 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A.  4  ;2 . B.  1  ;2 . C.  2  ;  1 . D. 2;4 .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán xét tính đơn điệu của hàm số tổng dựa vào bảng biến thiên.
2. Hướng giải: Xét y  g  x  2  f x  2019
B1: Tính đạo hàm của của hàm số g 'x.
B2: Lập bảng xét dấu của g 'x từ đó suy ra khoảng đồng biến (nghịch biến).
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B Xét y  g  x  2  f  x  2019 . x  2  x  1  Ta có g  x   2  f x  2019   2
 f x , gx  0   . x  2  x  4
Dựa vào bảng xét dấu của f  x , ta có bảng xét dấu của g x :
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy hàm số y  g  x nghịch biến trên khoảng  1  ;2 .
Câu 2. (SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Cho hàm số bậc bốn
y  f (x) có đồ thị của hàm số y  f (  x) như hình vẽ bên. y 1 O -4 -3 -2 2 x -1 -2 -3 Hàm số 3 2
y  3 f (x)  x  6x  9x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. 0;2 . B. 1;  1 . C. 1; . D. 2;0 .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán xét tính đơn điệu của hàm số tổng dựa vào đồ thị. 2. Hướng giải: Vì
y  f x là hàm số bậc bốn nên có dạng 4 3 2
f (x)  ax  bx  cx  dx  e,(a  0) và 3 2 f (
 x)  4ax  3bx  2cx  d Trang 2 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
B1: Hàm số f 'x đi qua bốn điểm nên xác định được công thức của hàm số.
B2: Khi đó, để xét tính đồng biến của hàm số cần tìm, ta tính đạo hàm và lập bảng xét dấu.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D Hàm số 4 3 2
f (x)  ax  bx  cx  dx  e,(a  0) ; 3 2 f (
 x)  4ax  3bx  2cx  d .
Đồ thị hàm số y  f (
 x) đi qua các điểm (4;0),( 2
 ;0),(0;3),(2;1) nên ta có:  5 a   96
256a  48b  8c  d  0   7  32a 12b 4c d 0 b            24 d  3    7 3  2 12  4  1 c a b c d   24  d  3  5 15 55  Do đó hàm số 3 2
y  3 f (x)  x  6x  9 ; x y  3 2 f (  x)  x  4x  3 3 2  3 x  x  x    24 8 12  x  11 y 0 
   x  0 . Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 1  1;0) và 2; .  x  2 
Câu 3. Cho y  f x là hàm đa thức bậc 4 , có đồ thị hàm số y  f  x như hình vẽ. Hàm số    
y  f  x  x  x đồng biến trong khoảng nào trong các khoảng sau đây?   2 5 2 4 10 y 5 3 1 O 1 2 x   3   3 A. 3;4 5 . B. 2  ;  . C.  ;2 . D. 0; .    2 2   2
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán xét tính đơn điệu của hàm số hợp dựa vào đồ thị.
2. Hướng giải: g  x  f   x 2 5 2  4x 10x
B1: Dựa vào đồ thị hàm số f 'x , có hai điểm đặc biệt trên đồ thị (2 điểm cực trị ) có hoành độ 1
x , x2. Khi đó f ' x ax  1
x x x2 nên f 'x chính là nguyên hàm của hàm số f ' x. Từ
đây, ta tìm được công thức của hàm số f 'x.
B2: Tính đạo hàm của hàm số g 'x dựa vào hàm số f 'x.
B3: Lập bảng xét dấu, từ đồ thị suy ra khoảng đồng biến (nghịch biến).
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 3
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Từ đồ thị của y  f  x ta suy ra y  f  x có hai điểm cực trị A0;  1 , B2;5 . 3 ax
Ta có f   x  ax x   2
2  ax  2ax , do đó y  f  x 2   ax  b   1 . 3 b  1  b  1
Thay tọa độ các điểm , A B vào   1 ta được hệ: 8a   .  4a  b  5  a  3   3 Vậy f  x 3 2  x  3x 1.
Đặt g  x  f   x 2
5 2  4x 10x hàm có TXĐ  . Đạo hàm g x    f 
   x  x       3 2 2 5 2 4 5
4 4x  24x  43x  22 , x  2 g  x 0     4  5 x   2
Ta có bảng xét dấu của g x Từ BBT ta chọn đáp án B.
Câu 4. (SỞ GD&ĐT CẦN THƠ NĂM 2018-2019) Cho hàm số y  f (x) liên tục trên R và có đồ thị hàm số y  f (
 x) như hình vẽ dưới. Hàm số 2
y  f (x)  x  2x nghịch biến trên khoảng A. (1; 2) . B. (1;3) . C. (0;1) . D. ( ;  0) .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán xét tính đơn điệu của hàm số tổng dựa vào đồ thị. 2. Hướng giải: Đặt 2 y  g( ) x  f ( ) x  x  2x .
B1: Tính đạo hàm của hàm số g 'x
B2: Số nghiệm của phương trình g (
 x)  0 chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số f (x)
và đường thẳng () : y  2x  2
B3: Nếu trên khoảng (a;b) đồ thị hàm f (
 x) nằm hoàn toàn phía trên đường thẳng
() : y  2x  2 thì g (  x)  0 x  (a;b) .
Nếu trên khoảng (a;b) đồ thị hàm f (x) nằm hoàn toàn phía dưới đường thẳng
() : y  2x  2 thì g (  x)  0 x  (a;b) .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Trang 4 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020 Chọn C Đặt 2
y  g(x)  f (x)  x  2x . Ta có: 2 g ( ) x  ( f ( ) x  x  2 ) x   f ( ) x  2x  2 .
 g (x)  0  f (x)  2x  2 .
Số nghiệm của phương trình g (x)  0 chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số f (x) và
đường thẳng () : y  2x  2 (như nhình vẽ dưới). x  1  
Dựa vào đồ thị ta thấy gx 0  x 1 x3 
Dấu của g (x) trên khoảng (a;b) được xác định như sau:
Nếu trên khoảng (a;b) đồ thị hàm f (x) nằm hoàn toàn phía trên đường thẳng () : y  2x  2 thì g (  x)  0 x  (a;b) .
Nếu trên khoảng (a;b) đồ thị hàm f (x) nằm hoàn toàn phía dưới đường thẳng
() : y  2x  2 thì g (  x)  0 x  (a;b) .
Dựa vào đồ thị ta thấy trên (1;1) đồ thị hàm f (x) nằm hoàn toàn phía dưới đường thẳng
() : y  2x  2 nên g (
 x)  0 x  (1;1) . Do đó hàm số 2
y  f (x)  x  2x nghịch biến trên (1;1) mà (0;1)  (1;1) nên hàm số nghịch biến trên (0;1) .
Câu 5. (SỞ GD&ĐT CÀ MAU NĂM 2018-2019) Cho hàm số y  f  x có đồ thị f x như hình vẽ sau
Hàm số g  x  f  2
x  2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1;  3 . B.  3  ;  1 . C. 0;  1 . D. 4;  .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán xét tính đơn điệu của hàm số hợp dựa vào đồ thị. 2. Hướng giải: Đặt 2 y  g( ) x  f ( ) x  x  2x .  
B1: Tính đạo hàm của hàm số g x   f 2 2 2   2
x  2  x  2 . f  x  2  2 .x f x  2 .     
B2: Dựa vào đồ thị, giải phương trình g 'x 0. TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 5
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
B3: Lập bảng xét dấu của x, f  2
' x  2 và g 'x. Từ đó tìm được khoảng nghịch biến.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C  g x   f 2  2 2   2
x  2  x  2 .f  x  2  2 .x f x  2 .      x  0 x  0 2x  0  g  x 0  x 2 1          x  1. f   x  2 2 2  0    2 x  2  2 x  2      f  x 2 2 x  2 2  0  x  2  2  , f  2 x   2
2  0  x  2  2  2  x  2 .  x  2
Bảng xét dấu của g x :
Vậy g  x nghịch biến trên khoảng 0;  1 .
Câu 6. (Sở GD&ĐT Quảng Bình năm 2018-2019) Cho hàm số y  f  x có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên. Hàm số 3 f 2 x 1 f 2 x y  e    3
đồng biến trên khoảng nào dưới đây. A. 1; B.  ;  2   . C.  1  ;3 . D.  2  ;  1 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Xét sự biến thiên của hàm số   mf uxn cf uxd g x  a  b khi biết bảng xét dấu
đạo hàm của hàm số y  f  x .
Phương pháp giải: Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm của hàm số y  f  x , xét dấu của hàm số
y  g x , từ đó kết luận khoảng đồng biến của hàm số   mf uxn cf uxd g x  a  b . 2. Hướng giải:
B1: Tính đạo hàm của hàm số   mf uxn cf u xd g x  a  b ;
        mfuxn
       cfux '. ln '. d g x mf u x n a a cf u x d b ln b .
B2: Tìm tất cả các giá trị của biến x để g x  0 .
B3: Đối chiếu với các phương án và kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D Trang 6 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020 x  
Từ bảng đạo hàm ta thấy f  x 1 '  0  . 1    x  4 3 f 2 x 1 f 2x y  e    3
 y '  3. f '2  x 3 f 2x 1 e
  f '2  x f 2x .3 .ln 3
 y '   f '2  x 3 f 2 x 1 f 2x 3e    3 .ln 3   .
Để hàm số đồng biến thì y '   f '2  x 3 f 2 x 1 f 2x 3e    3 .ln 3  0  
  f '2  x  0 (vì 3f 2 x 1 f 2x 3e    3 .ln 3  0 )        f   x 2 x 1 x 3 ' 2  0   . 1   2 x 4      2   x  1
Đối chiếu các đáp án, chọn x thuộc khoảng  2  ;  1 .
Câu 7. (Sở GD&ĐT Phú Thọ năm 2018-2019 lần 1) Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên .
 Đồ thị của hàm số y  f ' x như hình vẽ
Hàm số g  x  f 2x   1   x  
1 2x  4 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?  1   1   1  A. 2;   . B.  ;  2 . C.  ;    . D.  ; 2   .  2   2   2 
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Xét sự biến thiên của hàm số g  x  f u  x  v x khi biết đồ thị hàm số y  f  x .
Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x xét dấu của hàm số y  g x , từ đó kết
luận tính biến thiên của hàm số g  x  f u x  v x . 2. Hướng giải:
B1: Tính đạo hàm của hàm số g x  f u x  vx ; g x  u x. f u  v 'x . B2: Đặt t  2
 x 1, tìm các giá trị t để y '  2 f 't  2t  2t  f 't  0 , suy ra tất cả các
giá trị của biến x để g x  0 .
B3: Đối chiếu với các phương án và kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 7
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Ta có y  g  x  f  x     x   x    f  x   2 2 1 1 2 4 2 1  2x  2x  4 .
y '  2 f '2x   1  4x  2 . Đặt t  2  x 1 2
 x  t 1. Khi đó y '  2 f '2x   1  4x  2 trở thành y '  2
 f 't  2t  2t  f 't Xét y '  2
 f 't  2t  2t  f 't  0  t  f 't x  2 t  3   2  x 1 3        1 . 2  t  5 2  2  x 1 5 2  x    2 Vậy hàm số
g  x  f 2x   1   x  
1 2x  4 đồng biến trên các khoảng  1  2; ,2;   .  2 
Câu 8. (Sở GD&ĐT Bình Phước năm 2018-2019 lần 1) Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như sau Hàm số y  f  2
x  2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 2; . B. 0;2 . C. ;2 . D. 2;0 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Xét sự biến thiên của hàm số g  x  f u x khi biết bảng biến thiên của hàm số y  f  x .
Phương pháp giải: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  f  x xét dấu của hàm số
y  g x, từ đó kết luận tính biến thiên của hàm số g  x  f u  x . 2. Hướng giải:
B1: Tính đạo hàm của hàm số g  x  f u  x ; g x  u x. f u .
B2: Giải phương trình g x  0 . Trang 8 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
B3: Xét dấu hàm số y  g x (dựa vào dấu của u x và f u ) và kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A Ta có y  x f  2 ' 2 . ' x  2 . x  0 x  0  2 x  0 x  2  2  y ' 0       x   . f '   2 2 x  2 2  0  x  2  0   x  2 2 x 2 2    
Do các nghiệm của phương trình y '  0 đều là nghiệm bội lẻ, mà y '3  6 f '7  0 nên ta có bảng xét dấu y ' Vậy hàm số y  f  2
x  2 nghịch biến trên khoảng 2; .
Câu 9. (Sở GD&ĐT Lào Cai năm 2019) Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị
hàm số y  f  x như hình vẽ.
Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  2017  2018x  2019 là A. 1. B. 3. C. 2. D. 0.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Tìm số điểm cực trị của hàm số F  x  f u x  g  x khi biết đồ thị hàm số y  f  x .
Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x tìm số nghiệm của phương trình
F x  0 và xét dấu hàm số y  F x , từ đó suy ra số cực trị của hàm số
F  x  f u x  g  x . 2. Hướng giải:
B1: Đặt t  x  2017 . Đưa hàm số đã cho về hàm số y  f t  .
B2: Tính đạo hàm của hàm số y  f t  . Giải phương trình f t  0 (dựa vào đồ thị hàm số y  f  x ).
B3: Xét sự đổi dấu của hàm số y  f t và kết luận số cực trị.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 9
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT Lời giải Chọn A
Đặt t  x  2017  x  t  2017 , ta được hàm số y  f t   2018t  2017  2019
 y  f t  2018t  2018.2017  2019 .
Khi đó: y  f t  2018 .
y  0  f t  2018
Từ đồ thị ta thấy đường thẳng y  2018 cắt đồ thị hàm số y  f  x tại một điểm duy nhất
nên phương trình y  0 có nghiệm duy nhất t . 0
Với t  t , ta có: yt  0 . 0
Với t  t , ta có: yt   0 . 0
Vậy hàm số đã cho có 1 điểm cực trị.
Câu 10. (Sở GD&ĐT Bà Rịa Vũng Tàu năm 2018-2019) Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên . 
Đồ thị hàm số y  f  x như hình vẽ. Hỏi hàm số   2 y
f x  nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. 1;0 . B.  ;   1 . C. 1;4 . D. 4; .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Xét sự biến thiên của hàm số g  x  f u  x khi biết đồ thị hàm số y  f x.
Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x xét dấu của hàm số y  g x , từ đó kết
luận tính biến thiên của hàm số g  x  f u x . 2. Hướng giải:
B1: Tính đạo hàm của hàm số g  x  f u  x ; g x  u x. f u .
B2: Giải phương trình g x  0 .
B3: Xét dấu hàm số y  g x (dựa vào dấu của u x và f u ) và kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A Đặt     2 g x
f x . Ta có: gx  xf  2 2 x .
Từ đồ thị hàm số y  f  x ta có: Trang 10 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020 2 x  1   x  1 +) f  2 x  2  0  x  1    .  x  2 2 x  4  x  1   2   x  1  +) f x  2 2  0     . 2 1   x  4 1   x  2 1 x 1  1   x 1 +) f x  2 2 0       x  2  . 2 x 4   x  2  Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số   2 y
f x  nghịch biến trên khoảng 1;0 .
Câu 11. (Sở GD-ĐT Nam Định 2018-2019) Cho hàm số f  x liên tục trên  và có đạo hàm f  x thỏa mãn
f  x  1 x x  2 g  x  2018 với g  x  0, x   . Hàm số
y  f 1 x  2018x  2019 nghịch biến trên khoảng nào ? A. 1; . B. 0;3 . C. ;3 . D. 4; .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm hợp. 2. Hướng giải:
B1: Tìm đạo hàm của hàm hợp đề bài cho theo công thức f u  u . f u
B2: Đề bài có yếu tố f 1 x nên thay x bằng 1 x . Đề bài yêu cầu tìm khoảng nghịch biến
nên tiến hành giải bất phương trình y  0 .
Từ đó ta có lời giải cụ thể như sau : Lời giải Chọn D
Đặt: y  h  x  f 1 x  2018x  2019 .
Ta có: h x   f 1 x  2018  x3 x g 1 x .
Xét h x  0  x3  x  0 (vì g 1 x  0, x    ) 0  x  3 .
Vậy hàm số h x nghịch biến trên 0;3 nên đáp án đúng là đáp án B. TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 11
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
DẠNG 2: TÌM THAM SỐ M ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU
Câu 12. (Sở GD&ĐT Bắc Ninh năm 2018-2019 lần 01) Tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3 2
y  x  3mx  3x 1 đồng biến trên  là: A. m  1  ;  1 . B. m ;  1 1; . C. m  ;    1 1; . D. m  1  ;  1 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Tìm tham số để hàm số bậc ba đơn điệu trên một khoảng D cho trước. 2. Hướng giải:
B1: Liên quan tới tính đơn điệu nên đầu tiên ta đi tính đạo hàm của hàm đã cho.
B2: Đề bài yêu cầu hàm đồng biến trên  nên y  0 x   . Sau đó ta triển khai theo 2 hướng.
Hướng 1. Nếu cô lập được D sang 1 vế, vế còn lại đặt là h x thì so sánh m với h x trên D . Nếu m  h x x
  D  m  min hx , nếu m  hx x
  D  m  max h x . x D  x D  x D  x D 
Hướng 2. Nếu không cô lập được m thì ta dùng tính chất của hàm bậc ba hoặc dấu tam thức bậc hai.
Từ đó ta có lời giải chi tiết sau: Lời giải Chọn A Ta có 2 y  3x  6mx  3
Hàm số đồng biến trên   y  0,x   .
Đạo hàm là hàm bậc hai, nên: 3   0 
y  0,x      m    m  .       36  m  2 1 0 1;1 2   1 0 y x  m
Câu 13. (Sở GD&ĐT Quảng Ninh năm 2018-2019 lần 01) Cho hàm số y  . Tập hợp tất cả các x  2
giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng 0; là A. 2; . B. ;2 . C. ;2. D. 2; .
Phân tích hướng dẫn giải.
1. Dạng toán: Tìm tham số để hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất đơn điệu trên một khoảng D cho trước. 2. Hướng giải:
B1: Liên quan tới tính đơn điệu nên đầu tiên ta đi tính đạo hàm của hàm đã cho.  ax b    ad  bc Cách tính nhanh :     cx  d  cx  d 2
B2: Hàm số có tập xác định K . Hàm số chỉ đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác
định nên trước hết phải đảm bảo D  K . u m
B3: Đạo hàm của hàm số có dạng ; trong đó 2 v  0, x
  K nên chỉ cần xét dấu của . m v 2 v
Nếu hàm đồng biến thì m  0; hàm nghịch biến thì m  0 . (lưu ý, không xảy ra dấu “=”)
Từ đó ta có lời giải chi tiết như sau: Lời giải Chọn B Trang 12 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020 TXĐ: D   \  2 .
Như vậy 0;  D 2  m Ta có y  . x  22
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0;  y  0, x  0; .
 2  m  0  m  2 hay m;2 .
Câu 14. (Sở GD&ĐT Hà Tính năm 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số 4 2
y  x  mx đồng biến trên khoảng 2; . A. 4 . B. 8 . C. 9 . D. 7 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Tìm tham số để hàm trùng phương đơn điệu trên một khoảng D cho trước. 2. Hướng giải:
B1: Liên quan tới tính đơn điệu nên đầu tiên ta đi tính đạo hàm của hàm đã cho.
B2: Đề bài yêu cầu hàm đồng biến trên 2; nên y  0 x
 2; . Theo tính chất hàm
trùng phương, phương trình y  0 luôn có 1 nghiệm bằng 0 . Tách x ra còn hàm bậc hai. Sử
dụng dấu tam thức bậc hai hoặc lập bảng biến thiên để xét dấu đạo hàm.
Từ đó ta có lời giải chi tiết sau: Lời giải Chọn B + TXĐ: D   . Ta có 3 y  4x  2mx .
Hàm số đồng biến trên 2;  y  0, x  2; . x  2  3  4x  2mx  0, x  2;   2x   2 2x  m  0 2
 2x  m  0 x  2; 2
 m  2x x 2; 2  m  min 2x 2;
Lập bảng biến thiên của hàm bậc hai 2
y  2x và xét trên khoảng 2; ta được :
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m  8 .
Vì m nguyên dương nên m1;2;3;4;5;6;7;  8 .
Vậy số giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn YCBT: 8 .
Câu 15. (Sở GD&ĐT Điện Biên năm 2018-2019) Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm 1 số 3 2
y  x  2x  2m  3 x  4 đồng biến trên khoảng  1  ; . 3  1   1  A. 0; . B.  ;   . C. ;   . D. ;0 .  2  2   
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Tìm tham số để hàm số bậc ba đơn điệu trên một khoảng D cho trước. 2. Hướng giải: TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 13
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
B1: Liên quan tới tính đơn điệu nên đầu tiên ta đi tính đạo hàm của hàm đã cho.
B2: Đề bài yêu cầu hàm đồng biến trên khoảng  1
 ; nên y  0 x1;. Sau đó ta triển khai theo 2 hướng.
Hướng 1. Nếu cô lập được m sang 1 vế, vế còn lại đặt là h x thì so sánh m với h x trên D .
Nếu m  h x  m  min h x , nếu m  h x  m  max h x . x D  x D  x D  x D 
Hướng 2. Nếu không cô lập được m thì ta dùng tính chất của hàm bậc ba hoặc tính chất của hàm đạo hàm.
Từ đó ta có lời giải chi tiết sau: Lời giải Chọn D Ta có 2
y  x  4x  2m  3
Hàm số đồng biến trên khoảng  1
 ;  y  0, x   1  ; . 2
 x  4x  2m  3  0, x   1  ; . 2  2m  x  4x  3, x
 1;  2m  min  2 x  4x  3   * .  1  ; Đặt g  x 2  x  4x  3.
g x  2x  4 ; g x  0  x  2  .
Lập bảng biến thiên của g  x ta được:
Dựa vào bảng biến thiên, *  2m  g   1  m  0 .
Câu 16. (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  1  0;10 để hàm số 3 2
y  x  3x  3mx  2019 nghịch biến trên khoảng 1;2 ? A. 10 . B. 20 . C. 11. D. 21 .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán định m để hàm số đồng nghịch trên khoảng cho trước .
PP chung: Trước tiên ta đạo hàm hàm số.
Sau đó tùy thuộc vào dữ kiện đề bài ta sẽ biện luận tham số m 2. Hướng giải:
B1: Tìm TXĐ, tính đạo hàm y   2 3 x  2x  m . B2: Xét phương trình 2
x  2x  m  0 có   1 m .
B3: Biện luận  theo tham số m .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C Trang 14 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020 Hàm số y  f  x 3 2
 x  3x  3mx  2019.
Tập xác định: D   . Ta có y   2 3 x  2x  m . Xét phương trình 2
x  2x  m  0 có   1 m .
*Với m  1 ta có   0 nên f  x  0, x
   do đó hàm số luôn đồng biến (không thỏa mãn)
*Với m  1 ta có   0 nên f  x  0có hai nghiệm phân biệt x x x  x 1 , 2 ( 1 2 ).Ta có bảng
biến thiên của hàm số y  f  x
Hàm số y  f  x nghịch biến 1;2 khi và chỉ khi 3  . f     1  0 m 1  0 x  1  2  x      m  0 1 2 3  . f   2  0 m  0
Kết hợp yêu cầu bài toán ta có m  1  0; 9  ;...; 1  ;  0 . 4 3 2 x mx x
Câu 17. (SỞ GD&ĐT KIÊN GIANG NĂM 2018-2019) Cho hàm số y     mx  2019 ( 4 3 2
m là tham số). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho
đồng biến trên khoảng 6;  . Tính số phần tử của S biết rằng m  2020 . A. 4041 . B. 2027 . C. 2026 . D. 2015 .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán định m để hàm số đồng nghịch trên khoảng cho trước .
PP chung: Trước tiên ta đạo hàm hàm số.
Sau đó tùy thuộc vào dữ kiện đề bài ta sẽ biện luận tham số m ( độc lập tham số m nếu được) 2. Hướng giải:
B1: Tìm TXĐ, tính đạo hàm 3 2 3
y  x  mx  x  m  x  m 2 x   1  x  0, x  6;  .
B2: Độc lập tham số m :
B3: Đặt f  x là biểu thức độc lập tham số m .Khi đó ta sẽ tìm min f  x, x  6; .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 6;  khi và chỉ khi y  0, x  6;  . 3 2 3
y  x  mx  x  m  x  m  2 x   1  x  0, x  6; . 3 x  x  m   , x x   6;  2  . x 1 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 15
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Đặt f  x  x thì m  f  x, x
 6;   m  min f x,x 6;  .  m  6 . Mà m  2020 nên m  2  020; 2019;..., 
6 , có 2027 phần tử. Ta chọn B.
Câu 18. Do câu 18 trùng với câu 16 nên không làm lại câu này ạ.
Câu 19. (SỞ GD&ĐT CÀ MAU NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m mx 1 để hàm số y 
đồng biến trên khoảng  ;  3   . x  m A. 4 . B. 1. C. 3 . D. 2 .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán định m để hàm số đồng nghịch trên khoảng cho trước đối với hàm nhất biến .
PP chung: Tìm tập xác đinh,đạo hàm hàm số.
Sau đó tùy thuộc vào dữ kiện đề bài ta sẽ biện luận tham số m , và nghiệm mẫu
nằm ngoài khoảng đồng biến hoặc nghịch biến mà đề yêu cầu. 2. Hướng giải: 2 m 1
B1: Tìm TXĐ, tính đạo hàm y  . x  m2 2 m 1 0
B2: Để hàm số đồng biến trên khoảng  ;  3    m   ;  3
B3: Giải và giao nghiệm để tìm ra tham số m .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D
Tập xác định D   \  m . 2 m 1 Ta có y  . x  m2 m 1 2 m 1  0 
Để hàm số đồng biến trên khoảng  ;  3      m  1  m   ;3  m  3  m ;    1 1; 
3 . Vì m nguyên dương nên m2;  3 .
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 20. (SỞ GD&ĐT LẠNG SƠN NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 3 y  x  m   2 x   2 3 2
3 m  4m x 1 đồng biến trong khoảng 0;  1 ? A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 4 .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán định m để hàm số đồng nghịch trên khoảng cho trước .
PP chung: Trước tiên ta đạo hàm hàm số.
Sau đó tùy thuộc vào dữ kiện đề bài ta sẽ biện luận tham số m ( độc lập tham số m nếu được) 2. Hướng giải:
B1: Tìm TXĐ, tính đạo hàm 2
 y   x  m   x   2 3 6 2 3 m  4m . Trang 16 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
B2: Do bài này việc độc lập tham số m phức tạp nên ta dự đoán nghiệm của bài toán x  m y  0  x  m  4
B3: Ta lập bảng biến thiên dụa vào nghiệm vừa tìm được và so sánh với khoảng đề bài cho để tìm được tham số m .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D Ta có 3 y  x  m   2 x   2 3 2 3 m  4m x 1 2
 y   x  m   x   2 3 6 2 3 m  4m 2
  3x  2m  2 x  mm  4   x  m y  0  x  m  4 Bảng biến thiên:
Để hàm số đồng biến trên khoảng 0; 
1 thì  m  0  1  m  4   3  m  0 . Vì m nguyên nên m   3; 2;1; 
0 . Vậy có 4 giá trị nguyên của m.
Câu 21. (CỤM 1 SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi S là tập hợp các số nguyên x  m
m để hàm số y  f x 2 3 
đồng biến trên khoảng  ;  1   4 . Tính tổng T của x 3m 2 các phần tử trong S ? A. T  10 . B. T  9 . C. T  6 . D. T  5 .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm điều kiện của tham số để hàm số phân thức hữu tỉ bậc nhất
trên bậc nhất đơn điệu trên một khoảng cho trước (cố gắng đưa ra phương pháp chung cho dạng toán này nếu được) 2. Hướng giải:
B1: Tìm tập xác định D   \ 3m  2 5m 5
B2: Tính đạo hàm f x x3m22
B3: Hàm số đồng biến trên  ;  1  
4 khi và chỉ khi hàm số liên tục trên  ;  1   4 và f x 0 x   ;  1  
4 ( f x 0 tại hữu hạn điểm thuộc  ;  1   4 .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A
Tập xác định D   \ 3m  2 . TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 17
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT 5m 5 Ta có f x . x3m22   5m5 0   m 1
Hàm số đồng biến trên  ;  1   4      3  m2    ;  14 3  m2 14   m 1     4   m 1  . m  4  Vậy S   4  ; 3  ; 2  ; 1  ; 
0  T  4321 10 .
Câu 22. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số y  f x liên tục trên 
và có đạo hàm f x 2  x x  2
2 x 6x  m với mọi x   . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn  2
 019;2019 để hàm số gx f 1x nghịch biến trên khoảng  ;    1 ? A. 2012 . B. 2009 . C. 2011 . D. 2010 .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm điều kiện của tham số để hàm số hợp đơn điệu trên một
khoảng cho trước (cố gắng đưa ra phương pháp chung cho dạng toán này nếu được) 2. Hướng giải: B1: Tính đạo hàm của hàm số
g x f 1 x là gx f 1 x
 x2 x   x2 1 1 1 61 x m         2  2 
 x 1 x 1x 4xm 5
B2: Hàm số g x nghịch biến trên khoảng  ;    1  gx0, x   1   
* , (dấu "  " xảy ra tại hữu hạn điểm). B3: Đánh giá với x 1 thì x 2 1  0 và x 1 0 nên   2 *  x 4x m5 0, x   1  2
 m x 4x 5, x  1  .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C
gx f   x  x2 x    x  2 1 1 1 1 61xm  
x 2x  2 1 1 x  4x m  5 .
Hàm số g x nghịch biến trên khoảng  ;    1  gx0, x   1   
* , (dấu "  " xảy ra tại hữu hạn điểm). Với x  1  thì x 2
1  0 và x 1 0 nên   2
*  x  4x m5 0, x   1  2
 m x 4x5, x  1  . Xét hàm số 2
y  x 4x 5 trên khoảng  ;   
1 , ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra m  9. Trang 18 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
Kết hợp với m thuộc đoạn  2
 019;2019 và m nguyên nên m9;10;11;...;201  9 .
Vậy có 2011 số nguyên m thỏa mãn đề bài.
Câu 23. (SỞ GD&ĐT YÊN BÁI NĂM 2018-2019) Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên 
và hàm số y  f x có đồ thị như hình vẽ.
Xét hàm số g x f  2x  
5 . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng  ;    2 .
B. Hàm số g x đồng biến trên khoảng  2  ;0.
C. Hàm số g xđồng biến trên khoảng 2;   .
D. Hàm số g xnghịch biến trên khoảng  2  ;  2 .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán xét tính đơn điệu của hàm số hợp (cố gắng đưa ra phương pháp
chung cho dạng toán này nếu được) 2. Hướng giải:
B1: Tính đạo hàm gx x f  2 2 x   5 .
B2: Giải phương trình gx 0 .
B3: Xét dấu đạo hàm gx, từ đó suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B x  0
Ta có gx x f  2 2 x   5 ; gx 0    . f    2x   5  0 x  0 x  0   Từ đồ thị ta suy ra 2 x 51   x  2    .  2  x  5  2  x   7  Bảng biến thiên x ∞ 7 0 2 7 2 +∞ x 0 + + + f ' x2  -5 + 0 0 0 0 + g' 0 + 0 + 0 0 0 + g TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 19
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số g xđồng biến trên khoảng  2  ;  0 .
Câu 24. (SỞ GD&ĐT ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019) Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có
bảng xét dấu f x như hình vẽ 1
Giá trị của tham số m để hàm số y  gx f 1 x chắc chắn luôn 2 2 x  mx  m 1 đồng biến trên  3  ;0. A. m  2  ;  1 . B. m  ;    2 . C. m  1  ;0. D. 0;   .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm điều kiện của tham số để hàm số hợp đơn điệu trên một
khoảng cho trước (cố gắng đưa ra phương pháp chung cho dạng toán này nếu được) 2. Hướng giải:
B1: Tìm điều kiện xác định: 2 2 x mxm 1 0 2x  m
B2: Tính đạo hàm gx  f 1 xx mxm  2 2 2 1
B3: Đặt ẩn phụ t 1 ; x x  3  ;  0 ,  t 1;  4 .
Hàm số đồng biến trên khoảng  3
 ;0khi và chỉ khi gx0 x   3  ;  0 .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D 2 2  m 3m Điều kiện: 2 2
x mxm 1 0 (luôn đúng vì 2 2 x  mx  m 1 x     1 0  )  2  4        x 2x m g x f 1  . x  mx  m  2 2 2 1 Đặt t 1 ; x x  3  ;  0  t 1; 
4  f 1 x, x  3  ; 
0 chính là  f t, t 1;  4 . Do
đó từ bảng biến thiên suy ra  f t 0, t  1; 
4   f 1x 0, x   3  ;0 2x  m Ycbt   2xm 0, x   3  ;0   0, x  3;0   2 2 x  mx  m  2   1
 m 2x,  3;0 m  min2x m  0 . 3;0 Vậy m 0;   . Trang 20 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
DẠNG 3: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀO PT, BPT, HPT, BĐT
Câu 25. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho phương trình 2 m ln x 
1 x2mlnx  1  x2  0  
1 . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình  
1 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 0  x  2  4  x là khoảng  ; a    . 1 2 Khi đó a thuộc khoảng A. 3,8;3,  9 . B. 3,6;3,7. C. 3,7;3,  8 . D. 3,5;3,  6 .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn
điều kiện cho trước bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số (cố gắng đưa ra phương pháp
chung cho dạng toán này nếu được) 2. Hướng giải:
B1: Tìm điều kiện: x  1  .  x  2 m   lnx   2 1
B2: Biến đổi phương trình tương đương với  1 x  10  e x  2
B3: Xét hàm số f x trên khoảng 0; 
 , lập bảng biến thiên. Từ đó kết luận về lnx   1
điều kiện của m để thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C Điều kiện: x  1.
Vì x  0 không thỏa mãn phương trình nên ta có  x  2  m  2 m lnx   1  x  2    lnx     1 1  m lnx  
1  x 2 lnx   1 1  0          . ln  x  1  1   1 x  1  e 1 Do nghiệm x  1
 0 nên phương trình  
1 có hai nghiệm thoả mãn 0  x  2  4  x khi e 1 2
và chỉ khi phương trình  
2 có hai nghiệm phân biệt sao cho 0  x  2  4  x . 1 2   x   x 2 ln 1  x  2 Xét hàm số f x trên khoảng 0;   ta có f x x 1  . lnx   1 2 ln x   1 
f x  x  x 2 0 ln 1   0   3 . x 1 x  1 1
Xét hàm số hx x   2 ln 1  có hx 
 0 x  0 , nên hx đồng x 1 x 1 x  2 1 biến trên 0; 
 do đó phương trình f x 0 có không quá một nghiệm. Mà f   2 f  
4  0 và f x là hàm số liên tục trên 2;4 suy ra phương trình   3 có duy
nhất một nghiệm x  2;4 . Từ đó ta có bảng biến thiên 0   TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 21
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Từ bảng biến thiên ta có phương trình  
1 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 6  6 
0  x  2  4  x khi và chỉ khi m   m  ;   . 1 2  ln 5 ln5  6 Vậy a  3,7;3,  8 . ln 5
Câu 26. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số y  f (x) có bảng biến thiên như sau: 3 13 2 3 2 f ( x) f (x)7 f ( x)
Giá trị lớn nhất của m để phương trình: 2 2 e
 m có nghiệm trên đoạn 0;2 . 15 A. 5 e . B. 13 e . C. 3 e . D. 4 e .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm tham số m để phương trình có nghiệm 2. Hướng giải:
B1: Lập bảng biến thiên 3 13 2 3 2 f ( x) f ( x)7 f ( x)
B2: Dựa vào bảng biến thiên tìm GTLN và GTNN của hàm số 2 2 y  e trên 0;2 .
B3: Kết luận về giá trị lớn nhất của m
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D 3 13 2 3 2 f ( x) f ( x)7 f (x) 13 3 Ta có: 2 2 e  m  3 2 2 f (x) 
f (x)  7 f (x)   ln m . 2 2 13 3 Đặt 3 2 g(x)  2 f (x)  f (x)  7 f (x)  . 2 2 g x  f  x  2 ( )
( ) 6 f (x) 13 f (x)  7 . Trang 22 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020   f (x)  0 x 1; x  3  Ta có g (x) 0 f (x) 1       x  1; x  a  3   .  7 x  b  0  f (x)    6
Bảng biến thiên trên đoạn 0;  2 :
Giá trị lớn nhất của m để phương trình có nghiệm trên đoạn 0;2 là: 4 ln m  4  m  e .
Câu 27. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m 4 1 4
tham số m để phương trình  m  sin  2 x  2019  sin 2 3 3 x  2019 có nghiệm 2 3 2 3 thực? A. 3 . B. 2 . C. 7 . D. 6 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm tham số m để phương trình có nghiệm. Tuy nhiên bài toán
không thể cô lập được tham số ngay mà sau khi đặt ẩn phụ đưa về được dạng f (t)  f (a) , với f (t) là hàm đơn điệu. 2. Hướng giải:
B1: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình.
B2: Từ hệ phương trình ta suy ra được f (t)  f (a) , với f (t) là hàm đơn điệu. Dựa vào bảng
biến thiên tìm GTLN và GTNN của hàm số f (t) .
B3: Kết luận về giá trị lớn nhất của m
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A Đặt  2
sin x  2019  a a 1;  1  m 4 1 4 Phương trình đã cho  3 3  m  a  a 2 3 2 3  1 4 1 4 3 3  m  a  t m  a  t 1 4 2 3    4 4 Đặt 2 3 3 m  a  t     3 3  a  a  t  t 2 3 1 4  1 4 3  3 3 3   m  t  a m t a  2 3 2 3 4 4 Xét hàm 3
f (t)  t  t với t   . Ta có 2 f (
 t)  3t   0 với t   . 3 3 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 23
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT 4 3
 f (t)  t  t đồng biến trên  . Từ (*) suy ra f (t)  f (a)  t  a . 3 1 4 8 8 8 Do đó 3 3
m  a  a  m  2a  a với a  1  ;  1 . Đặt 3 2 g(a)  2a  a; g (  a)  6a  . 2 3 3 3 3  2 a  8  Ta có 2 3 g (
 a)  6a   0   (thỏa mãn) 3 2 a    3 2 2  2  32  2  32
Khi đó: g(1)   ; g(1)  ; g   ; g       3 3  3  27  3  27  32 32   m 
Phương trình có nghiệm khi min g(a)  m  max g(a)   27 27  m 1;0;  1  1  ;  1 1; 1 m
Câu 28. Có bao nhiêu giá trị âm của tham số m để phương trình 2 2
2019m  2019m  x  x có hai nghiệm thực phân biệt? A. 1. B. 0 . C. Vô số. D. 2 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt.
Tuy nhiên ta không thể cô lập được tham số ngay mà sau khi đặt ẩn phụ đưa về được dạng
f (t)  f (a) , với f (t) là hàm đơn điệu. 2. Hướng giải:
B1: Đưa phương trình về dạng f (t)  f (a) với f (t) là hàm đơn điệu suy ra f (t)  f (a)  t  a
B2: Từ phương trình t  a  g(x)  ( h )
m . Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) .
B3: Kết luận về giá trị lớn nhất của m
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A Điều kiện 2 2019m  x  0. Phương trình 2 2 2 4
2019m  2019m  x  x  2019m  2019m  x  x 2 2 4 2
 2019m  x  2019m  x  x  x (1). Xét hàm số 2
f (t)  t  t trên 0; , ta có f (t)  2t 1  0, t
  0 suy ra f (t) luôn đồng biến trên 0; . Khi đó (1)  f  2 2019m  x  2 2 2 4 2
 f x   2019m x  x  2019m  x  x .  x  0   1 Xét hàm số 4 2 g(x)  x  x có 3 g (
 x)  4x  2x ; g (x)  0  x   2   1 x    2 Trang 24 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020 Ta có bảng biến thiên  1  1 2019m   m  
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm   4   8076 .   2019m  0 m  0 1 Vì m âm nên m  
. Vậy có 1 giá trị cần tìm. 8076 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 25
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
DẠNG 4: CÂU HỎI LÝ THUYẾT VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU
Câu 29. (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d có
đồ thị như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng a  0 a  0 a  0 a  0 A.  . B.  . C.  . D.  . 2 b  3ac  0 2 b  3ac  0 2 b  3ac  0 2 b  3ac  0
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán nhận dạng đồ thị hàm số bậc ba. 2. Hướng giải:
B1: Dựa vào hình dạng đồ thị hàm số suy ra mối quan hệ giữa các hệ số , a , b , c d B2: Kết luận
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B
Dựa vào đồ thị ta có lim y   suy ra a  0 x
Từ đồ thị ta suy ra y  0, x   2
 3ax  2bx  c  0,x   2  b 3ac  0 . a  0 Vậy  . 2 b   3ac  0
Câu 30. (SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM NĂM 2018-2019) Tập hợp tất cả các giá trị của
tham số thực m để hàm số 3 2
y  x  6x  4m  2 x  2 nghịch biến trên khoảng  ;  0 là  1   5   1   5  A.  ;    . B.  ;    . C.  ;    . D. ;   . 2     2   2  2   
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm tham số m để hàm số nghịch biến trên một khoảng 2. Hướng giải: B1: Tìm đạo hàm f (
 x)  0 cô lập . Tìm GTLN và GTNN của g(x) trên khoảng theo yêu cầu bài toán.
B3: Kết luận về giá trị của m .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D Ta có 2 y  3
 x 12x  4m  2 .
Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;  0 khi 2 y  3
 x 12x  4m  2  0, x   ;  0 Trang 26 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020 2  4m  3x 12x  2, x   ;  0 . Đặt 2 f (x)  3x 12x  2, x   ;  0. f (
 x)  6x 12  0  x  2
 . Ta có bảng biến thiên của f (x) + 5
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 2 4m  3x 12x  2, x   ;
 0  4m  10  m   2  5  Vậy m   ;   
hàm số nghịch biến trên khoảng  ;  0. 2    Câu 31. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số 3 2
y  x  bx  cx  d,  , b ,
c d   có đồ thị như hình vẽ
Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. b  0, c  0, d  0. B. b  0, c  0, d  0. C. b  0, c  0, d  0. D. b  0, c  0, d  0.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán đồ thị của hàm số bậc 3.
2. Hướng giải: Dựa vào các dấu hiệu như: tính đơn điệu; cực trị; giao của đồ thị với các trục
tọa độ; … để tìm dấu của các hệ số b, c, d . Cụ thể:
B1: Từ vị trí giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung ta tìm được dấu hệ số d.
B2: Từ vị trí hai điểm cực trị của đồ thị ta suy ra phương trình y  0 phải có hai nghiệm x ; x 1 2
thỏa mãn x  0  x ; x  x  x . x  0; x  x  0. 1 2 1 2 1 2 1 2
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D Ta có: 2 y  3x  2bx  . c
Nhìn vào đồ thị hàm số ta thấy:
- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung nằm phía trên trục hoành ta kết luận được d  0.
- Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục tung đồng thời khoảng cách từ
điểm cực đại tới trục tung nhỏ hơn khoảng cách từ điểm cực tiểu tới trục tung nên phương trình
y  0 phải có hai nghiệm x ; x thỏa mãn: 1 2 2b
x  0  x ; x  x  x . x  0; x  x  0  3c  0;   0  b  0; c  0 . 1 2 1 2 1 2 1 2 3
Vậy b  0, c  0, d  0. TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 27
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
DẠNG 5: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC
Câu 32. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f  x có
f  x  x  x  2  x  3 3
2 , x  . Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là A. 3. B. 1. C. 5. D. 2.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán cực trị của hàm số - tìm số cực trị của hàm số khi cho công thức của f x.
2. Hướng giải: Từ công thức của f  x ta suy ra bảng xét dấu của f  x rồi kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B x  0 Ta có: f x 0 x  x 32  x 23 0         x  3.  x  2 
Ta có bảng xét dấu của f  x như sau:
Vậy hàm số đã cho có 1 điểm cực tiểu
Câu 33. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Hàm số nào sau đây không có điểm cực trị? A. 3 y  x  3x 1. B. 3 y  x  3x 1. C. 4 2 y  x  4x 1. D. 2 y  x  2 . x
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán cực trị của hàm số - tìm số cực trị của hàm số khi cho công
thức của hàm số y  f  x.
2. Hướng giải: Từ công thức của hàm số y  f  x ta tính y  f  x rồi suy ra bảng xét dấu
của f  x và kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B - Với hàm số 3
y  x  3x 1 là hàm số bậc 3; có tập xác định: D   ; có đạo hàm 2
y  3x  3; y  0  x  1
 nên hàm số có 2 điểm cực trị. - Với hàm số 3
y  x  3x 1 là hàm số bậc 3; có tập xác định: D   ; có đạo hàm 2 y  3x  3  0, x
  nên hàm số không có cực trị. - Với hàm số 4 2
y  x  4x 1 là hàm số bậc 4 trùng phương; có tập xác định: D   ; có đạo hàm 3 y  4x  8 ;
x y  0  x  0 nên hàm số có 1 điểm cực trị. Trang 28 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020 - Với hàm số 2
y  x  2x là hàm số bậc 2; có tập xác định: D   ; có đạo hàm
y  2x  2; y  0  x  1 nên hàm số có 1 điểm cực trị. 1
Câu 34. (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Hàm số 3 2
y  x  x  3x 1 đạt cực 3 tiểu tại điểm A. x  1  . B. x  1. C. x  3  . D. x  3.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán cực trị của hàm số - tìm cực trị của hàm số bậc 3 .
2. Hướng giải: Từ công thức của hàm số y  f  x ta tính y  f  x rồi suy ra bảng xét dấu
của f  x và kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B 1 Hàm số 3 2
y  x  x  3x 1 là hàm số bậc 3; có tập xác định: D   ; có đạo hàm 3 x  3  2
y  x  2x  3; y  0  .  x 1
Bảng xét dấu đạo hàm:
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  1.
Câu 35. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f  x có
f  x   x   x  2  x  3  x  4 1 2 3
4 , x  . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 3. B. 5. C. 2. D. 4.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán cực trị của hàm số - tìm số cực trị của hàm số khi cho công thức của f x.
2. Hướng giải: Từ công thức của f  x ta suy ra bảng xét dấu của f  x rồi kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C x  1 x  2
Ta có: f  x  0   x  
1  x  22 x  33  x  44  0   . x  3  x  4
Ta có bảng xét dấu của f  x như sau: TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 29
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Vậy hàm số đã cho có 2 điểm cực trị. 2 x  4
Câu 36. (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ ) Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f ' x  , x  0 . 2 3x
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 3 . B. 5 . C. 2 . D. 1.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm số cực trị của hàm số khi biết đạo hàm. 2. Hướng giải:
B1: Giải phương trình f  x  0 tìm các nghiệm.
B2: Lập bảng biến thiên hàm số f  x .
B3: Dựa vào bảng biến thiên kết luận
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C
Ta có f ' x  0  x  2 . Bảng biến thiên.
Do đó hàm số có 2 điểm cực trị.
Câu 37. (SỞ GD&ĐT LÀO CAI 2019) Cho hàm số f  x có đạo hàm f  x trên khoảng K , đồ thị
hàm số f x trên khoảng K như hình vẽ.
Hàm số f  x có bao nhiêu điểm cực trị? Trang 30 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020 A. 0 . B. 1. C. 4 . D. 2 .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm số cực trị của hàm số khi biết đồ thị hàm f  x . 2. Hướng giải:
B1: Từ đồ thị hàm f  x lập bảng biến thiên hàm số f  x , đồ thị hàm nằm dưới trục Ox thì
f  x  0 ,đồ thị hàm nằm trên trục Ox thì f  x  0.
B2: Dựa vào bảng biến thiên tìm số cực trị của hàm số.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B
Dựa vào đồ thị hàm số f  x ta có bảng biến thiên của hàm số f  x như sau:
Vậy hàm số f  x có 1 điểm cực trị.
Câu 38. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  , có đạo hàm f  x  x x  2 3
1  x  2 . Hỏi hàm số
y  f  x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2 . B. 0 . C. 1. D. 3 .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm số cực trị của hàm số khi biết đạo hàm. 2. Hướng giải:
B1: Giải phương trình f  x  0 tìm nghiệm.
B2: Lập bảng biến thiên hàm số f  x .
B3: Dựa vào bảng biến thiên kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A  x  0 Ta có: f x 0 x  x 2 3 1  x 2 0         x 1  x  2  
Ta thấy f  x chỉ đổi dấu khi đi qua x  0 và x  2
 nên hàm số y  f x có 2 điểm cực trị.
Câu 39. (SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong các khẳng định sau về hàm số x  2 y  khẳng định nào đúng? x 1 A. Đồng biến trên  .
B. Đồng biến trên từng khoảng xác định.
C. Có duy nhất một cực trị.
D. Nghịch biến trên  .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán xét chiều biến thiên của hàm số bậc nhất trên bậc nhất. 2. Hướng giải: TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 31
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
B1: Tìm tập xác định, tính y , ta thấy y  0, x  TXĐ.
B2: Tính giới hạn hàm số khi x   và tại các điểm không thuộc tập xác định của hàm số
B3: Lập bảng biến thiên và kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B
Tập xác định của hàm số: D   \  1 . 3 Ta có: y   0,x  D . x  2 1 x  2 x  2 x  2 lim y  lim 1; lim y  lim   ;  lim y  lim   . x x x 1 x   1  x   1  x 1 x   1  x   1            x 1
Từ đó ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng  ;    1 và  1  ; .
Vậy khẳng định đúng là B.
Câu 40. (SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số 3
y  x  3x có giá trị cực
đại và cực tiểu lần lượt là y , y . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 2 A. 2y  y  6 . B. y  y  4  . C. 2y  y  6  . D. y  y  4 . 1 2 1 2 1 2 1 2
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm cực trị của hàm số bậc 3 2. Hướng giải:
B1: Tìm tập xác định, tính y . Giải phương trình y  0 .
B2: Lập bảng biến thiên tìm các cực trị của hàm số.
B3: Kiểm tra xem đẳng thức nào trong các đáp án đưa ra là phù hợp.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A  x 1
Tập xác định: D   . Ta có: y   3 x  x 2 3  3x  3 suy ra 2
y  0  3x  3  0   x  1  Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra: y  y  2; y  y  2   2y  y  2.2  2   6 1 2   1 đ c 2 t c . Trang 32 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
Câu 41. (SỞ GD&ĐT CẦN THƠ NĂM 2018-2019) Cho hàm số y  f  x xác định trên  \  0 và 2 2x  x 1 có f  x 
, x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? x
A. Hàm số có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại.
B. Hàm số có ba điểm cực trị.
C. Hàm số có hai điểm cực tiểu.
D. Hàm số có hai điểm cực đại.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán cực trị của hàm số.
+ Để tìm số cực trị của hàm số y  f  x , ta cần tìm được số lần đổi dấu của hàm số f  x trên tập xác định.
+ Để xác định cực đại, cực tiểu của hàm số, ta cần lập được bảng xét dấu của hàm số f  x
trên tập xác định (bảng biến thiên của hàm số f  x ). Ở một số bài ta có thể kiểm tra thông qua f   x . 2. Hướng giải:
B1: Lập bảng biến thiên của hàm số f  x trên tập xác định.
B2: Xác định số điểm cực đại, số điểm cực tiểu của hàm số y  f  x .
B3: Chọn mệnh đề đúng.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C
Hàm số đã cho xác định trên  \  0 .  1 2 2x  x 1 x   Ta có f  x   0   2 . x  x  1
Bảng biến thiên của hàm số y  f  x
Vậy hàm số có hai điểm cực tiểu. Chọn đáp án C.
Câu 42. (SỞ GD&ĐT KIÊN GIANG NĂM 2018-2019) Cho hàm số f  x có đạo hàm
f  x  x  x  x2 2 2 9 3
, x   . Gọi T là giá trị cực đại của hàm số đã cho. Chọn khẳng định đúng. A. T  f 0 . B. T  f 9 . C. T  f 3 . D. T  f 3 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm giá trị cực trị của hàm số.
+ Để xác định giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số, ta cần lập được bảng xét dấu của hàm số
f  x hoặc bảng biến thiên của hàm số f  x trên tập xác định của hàm số. TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 33
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT 2. Hướng giải:
B1: Lập bảng biến thiên của hàm số f  x trên tập xác định.
B2: Xác định giá trị cực đại của hàm số y  f  x .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C x  3 
Ta có f  x  0  x  x  x2 2 2 9 3  0   . x  0 Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số là T  f 3 .
Câu 43. (SỞ GD&ĐT CÀ MAU NĂM 2018-2019) Cho hàm số f  x có đạo hàm
f  x   x  2  x  3 1
2 2x  3 , x   . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là: A. 2. B. 6. C. 1. D. 3.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán xác định số điểm cực trị của hàm số.
+ Để tìm số cực trị của hàm số y  f  x , ta cần tìm được số lần đổi dấu của hàm số f  x trên tập xác định. 2. Hướng giải:
B1: Giải phương trình f  x  0 .
B2: Xác định số nghiệm bội lẻ của phương trình f  x  0 .
B3: Kết luận về số điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A
Từ công thức đạo hàm của hàm số f  x ta có:  x  1 
f  x  0   x  2 x  3 1
2 2x  3  0  x  2  .  3 x    2 3
Phương trình f  x  0 có 1 nghiệm bội lẻ là x  2 và 1 nghiệm đơn x   , còn nghiệm 2
x  1 là nghiệm bội chẵn ( kép) nên số điểm cực trị của hàm số là 2.
Câu 44. (CỤM 1 SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU NĂM 2018-2019 LẦN 01) Điểm cực tiểu của hàm số 3 2 y  x  3x  9x  2 . A. x  11 . B. x  3 . C. x  7 . D. x  1 . Trang 34 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán xác định điểm cực trị của hàm số.
+ Để xác định điểm cực đại, cực tiểu của hàm số, ta cần lập được bảng xét dấu của hàm số
f  x hoặc bảng biến thiên của hàm số f  x trên tập xác định của hàm số.
+ Có thể sử dụng việc xét dấu của f   x tại các nghiệm của phương trình f  x  0 thỏa mãn f   x  0 . 0  2. Hướng giải: Cách 1:
B1: Lập bảng biến thiên của hàm số f  x trên tập xác định.
B2: Xác định điểm cực tiểu của hàm số y  f  x . Cách 2:
B1: Giải phương trình f x  0  x  x . i
B2: Xét dấu f   x . Nếu f   x  thì x là điểm cực đại. Nếu f  x  thì x là điểm i  0 i  0 i  i i cực tiểu.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có 2 y  3x  6x  9 . x  1 y  0   . x  3 Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x  3 . Cách 2: x  1 Ta có 2
y  3x  6x  9 . y  0   . x  3 y  6x  6 . y  
1  12  0 ; y 3  12  0 .
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x  3 .
Câu 45. (CỤM 1 SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU NĂM 2018-2019 LẦN 01) Giá trị cực tiểu của hàm số 4 2 y  x  2x  3 là: A. y  3 . B. y  3 . C. y  4 . D. y  4 . CT CT CT CT
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm giá trị cực trị của hàm số. TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 35
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
+ Để xác định giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số, ta cần lập được bảng xét dấu của hàm số
f  x hoặc bảng biến thiên của hàm số f  x trên tập xác định của hàm số. 2. Hướng giải:
B1: Lập bảng biến thiên của hàm số f  x trên tập xác định.
B2: Xác định giá trị cực đại của hàm số y  f  x .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D
Tập xác định D   . 3 y  4x  4x . x  0 y  0   . x  1 Bảng biến thiên
Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là y  4 . CT Trang 36 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
DẠNG 6: TÌM CỰC TRỊ DỰA VÀO BBT, ĐỒ THỊ
Câu 46. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số y  f  x có đồ thị
y  f  x như hình vẽ sau
Đồ thị hàm số g  x  f  x 2 2
 x có tối đa bao nhiêu điểm cực trị? A. 7 B. 5 C. 6 D. 3
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm số cực trị của hàm ẩn chứa dấu giá trị tuyệt đối.
2. Hướng giải: Đặt h  f  x 2 2  x .
B1: Giải phương trình h x  0.
B2: Lập bảng biến thiên của h x.
B3: Từ BBT của h x ta suy ra BBT của g  x sao cho có nhiều cực trị nhất.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A
Xét hàm số h  x  f  x 2 2
 x  h ' x  2 f ' x  2x .
Từ đồ thị ta thấy h ' x  0  f ' x  x  x  2  x  2  x  4 . 2   4
2 f ' x  2xdx  2x  2 f 'xdx  0 2 2
 hx 2  h x 4  h2  h2  h4  h2  h4  h2 2  2 Bảng biến thiên TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 37
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Vậy g  x  f  x 2 2
 x có tối đa 7 cực trị.
Câu 47. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 02)Cho hàm số y  f ( ) x có bảng biến thiên như hình vẽ
Xét hàm số y  g x  f  x   2019 ( ) 4  2018
. Số điểm cực trị của hàm số g( ) x bằng A. 5 . B. 1. C. 9 . D. 2 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm số cực trị của hàm ẩn chứa dấu giá trị tuyệt đối. 2. Hướng giải:
B1: Vẽ BBT hàm số y  f  x  4 bằng cách dời đồ thị qua phải 4 đơn vị.
B2: Vẽ BBT hàm số y  f  x  4  bằng cách lấy đối xứng qua trục x  4.
B3: Từ BBT hàm số y  f  x  4  ta suy ra số điểm cực trị của hàm số y  g x  f  x   2019 ( ) 4  2018 . Lời giải Chọn A Gọi ( )
C là đồ thị của hàm số y  f ( ) x .
Khi đó hàm số y  f  x  4 có đồ thị (C') với (C') là ảnh của ( )
C qua phép tịnh tiến sang phải 4 đơn vị.
Từ bảng biến thiên của hàm y  f ( )
x suy ra bảng biến thiên của hàm số y  f x  4 là :
Từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số y  f  x  4  là Trang 38 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
Vậy hàm số y  f  x  4  cho có 5 cực trị.
Do đó hàm số y  g x  f  x   2019 ( ) 4  2018 có 5 cực trị.
Câu 48. (CỤM 1 SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (  )
x có đồ thị như hình vẽ. 3 x Hàm số 2 g(x)  f (x) 
 x  x  2 đạt cực đại tại điểm nào? 3 A. x  2 B. x  0 C. x  1 D. x  1
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm số cực trị của hàm ẩn. 2. Hướng giải:
B1: Giải phương trình g x  0.
B2: Từ đồ thị của g x ta lập bảng biến thiên của g  x.
B3: Từ BBT của g  x ta suy ra điểm cực đại.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C.
Ta có: g  x  f  x 2 ' '  x  2x 1. x  0
g ' x  0  f x 2 '  x  2x 1 
 x  1 ( Như hình vẽ ).  x  2  TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 39
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Bảng xét dấu của g ' x :
Từ bảng xét dấu của g ' x ta suy ra hàm số g  x đạt cực đại tại x  1 .
Câu 49. (SỞ GD&ĐT BÀ RỊA VŨNG TÀU NĂM 2018-2019)Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên
 . Hàm số y  f x có đồ thị như hình vẽ.
Số điểm cực trị của hàm số g  x  f  x  2018  2019x  2020 là A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm số cực trị của hàm ẩn. 2. Hướng giải:
B1: Giải phương trình g x  0 bằng cách xét giao điểm của đường thẳng y  f  x  2018
và đường thẳng y  2019 .
B2: Từ đồ thị của g x ta lập bảng biến thiên của g  x.
B3: Từ BBT của g  x ta suy ra số điểm cực trị.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Trang 40 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020 Lời giải Chọn B
Ta có g x  f  x  2018  2019, gx  0  f  x  2018  2019  1
Số nghiệm của phương trình  
1 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x  2018 và đường thẳng y  2019.
Đồ thị y  f  x  2018 được vẽ bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y  f  x về bên phải
2018 đơn vị theo phương của trục O .
x Do đó, số nghiệm của phương trình   1 bằng số nghiệm
của phương trình f  x  2019.
Từ đồ thị hàm số y  f  x suy ra đường thẳng y  2019 cắt đồ thị hàm số y  f  x  2018
tại một điểm duy nhất, tức là phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Phương trình g x  0 không có nghiệm bội chẵn nên hàm số y  g x đổi dấu một lần.
Vậy hàm số g  x  f  x  2018  2019x  2020 có một điểm cực trị. TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 41
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
DẠNG 7: TÌM M ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ TẠI 1 ĐIỂM X0 CHO TRƯỚC
Câu 50. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như sau
Số điểm cực tiểu của hàm số g  x 3  f x 2 2  4 f  x 1 là A. 4 B. 9 C. 5 D. 3
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm số cực trị của hàm ẩn. 2. Hướng giải:
B1:Giải phương trình g x  0
B2:Lập bảng biến thiên của g  x.
B3: Từ BBT của g  x ta suy ra số điểm cực trị. Lời giải Chọn C Ta có g x 2
 6 f  x. f x 8 f x. f  x  0 .   f x  0   f    x  0   f x 4    3 x  0 x  x  1 
Dựa vào bảng biến thiên suy ra f  x  0  ,  f  x 1  0  ,  x  1 x  x  1  2 x  a x ; 1  1   4 x  b  1  ;0 f  x    . 3 x  c0; 1  x  d   1;x2 
Khi đó ta có bảng xét dấu của g x là x x a 1 b 0 c 1 d x 1 2  g x 0  0  0  0
 0  0  0  0  0 
Do đó hàm số có 5 điểm cực tiểu.
DẠNG 7: ..................................
Câu 51. ( Sở GDĐT Vĩnh Phúc năm 2018 - 2019 lần 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm 1 số 3 y  x  m  3 2 x  4m  3 3
x  m  m đạt cực trị tại x ,x 1   x  x 1 2 thỏa mãn 1 2 . 3 Trang 42 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020 7 m  3  7 A. 3  m  1. B.   m  3. C.  . D.   m  2  . 2 m 1 2
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc 3 có các điểm cực trị
thỏa mãn điều kiện cho trước. 2. Hướng giải:
B1: Tính y . Tìm điều kiện để y có hai nghiệm phân biệt x , x sao cho 1   x  x . 1 2 1 2 B2:
Cách 1: Đặt ẩn phụ t  x 1  x  t 1 đưa ra phương trình ẩn t và tìm đk để phương trình đó
có 2 nghiệm dương phân biệt.
Cách 2: Dùng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai.
Cách 3: Cô lập m với phương trình y  0 .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B Ta có 2
y  x  2m  3 x  4m  3
Đặt t  x 1  x  t 1. Khi đó 2
y  t  2m  2t  2m  7
Hàm số đạt cực trị tại x ,x 1   x  x 2
 x  2m  3 x  4m  3  0 1 2 thỏa mãn 1 2 có hai nghiệm phân biệt x ,x 1   x  x 2
 t  2m  2t  2m  7  0 1 2 thỏa mãn 1 2 có hai nghiệm
phân biệt dương. Điều này tương đương với m  3  2 
  m  2m  3  0   m 1   S   m   7 2 2  0  m  2     m  3  . 2 P 2m 7 0     7  m    2  Cách 2 Ta có 2
y  f (x)  x  2m  3 x  4m  3
Hàm số đạt cực trị tại x ,x 1   x  x 2
 x  2m  3 x  4m  3  0 1 2 thỏa mãn 1 2 có hai nghiệm phân biệt x ,x 1   x  x 1 2 thỏa mãn 1
2 . Điều này tương đương với m  3       m 1   0 2 m  2m  3  0    7 7   . a f ( 1  )  0  1
  2(m  3)  4(m  3)  0  m     m  3 . Chọn B.  2 2 S        2(m 3) 1   1 m  3  2  2   TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 43
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
DẠNG 8: TÌM M ĐỂ HÀM SỐ, ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN
Câu 52. ( Sở GDĐT Quảng Ninh năm 2018 - 2019 lần 1) Cho hàm số 3 2 2 3
y  x 3mx  3(m 1)x  m
với m là tham số, gọi C là đồ thị của hàm số đã cho. Biết rằng, khi m thay đổi, điểm cực
đại của đồ thị C  luôn nằm trên một đường thẳng d cố định. Xác định hệ số góc k của đường thẳng d . A. k   1 3 . B. k  . C. k  1 3. D. k   . 3 3
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc 3 có các điểm
cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước. 2. Hướng giải:
B1: Tính y . Tìm điều kiện để y có hai nghiệm phân biệt x , x . 1 2
B2: Lập BBT để tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số là M m 1; 3m  2 .
B3:Khi đó, tìm mối quan hệ giữa hoành độ và tung độ điểm M suy ra phương trình đường thẳng d .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A Ta có: 2 2 2 2
y  3x  6mx  3(m 1)  3(x  2mx  m 1) x  m 1 2 2
y  0  x  2mx  m 1   x  m 1 Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy điểm cực đại của đồ thị C là điểm M  m 1; 3  m  2  . Nhận xét: y  3  m  2  3  (m 1) 1  3
 x 1 M d  : y  3  x 1, . m M M
Vậy: khi m thay đổi, điểm cực đại của đồ thị C luôn nằm trên một đường thẳng d cố định
có phương trình: y  3x 1.
Vậy đường thẳng d có hệ số góc k  3 .
Câu 53. ( Sở GDĐT Ninh Bình năm 2018 - 2019 lần 1) Cho hàm số 3 y  x  m   2 2 2 x  5x 1. Tìm
tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số có hai điểm cực trị x x  x  x 1 2  1 , 2 thỏa mãn x  x  2 . 1 2 7 A. . B.  1 1. C. . D. 5 . 2 2
Phân tích hướng dẫn giải Trang 44 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc 3 có các điểm cực trị
thỏa mãn điều kiện cho trước. 2. Hướng giải:
B1: Tính y . Tìm điều kiện để y có hai nghiệm phân biệt x , x . 1 2
B2: Khi đó, nhận xét về dấu các nghiệm của phương trình y  0 là x  0  x nên 1 2
x  x  2  x  x  2 1 2 1 2 7
Từ đó sử dụng định lý Viet với phương trình y  0 và tìm được m  . 2
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A Tính được: 2
y  3x  4m  2 x 5 .
Khi đó   m  2 4
2 15  0 nên hàm số luôn có hai điểm cực trị x x  x  x 1 2  1 , 2 . Nhận xét . a c  0 nên x  0  x 1 2 Suy ra: b 4m  2 7
x  x  2  x  x  2   2   2  m  1 2 . 1 2 a 3 2 Câu 54. Cho hàm số 3 y  x  m   2 2 3
1 x  6m  2 x 1 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị
của m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trong khoảng  2  ;3 . A. m   1  ;4 \  3 . B. m  3; 4 . C. m 1;3. D. m  1  ;4 .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc 3 có các điểm cực trị
thỏa mãn điều kiện cho trước. 2. Hướng giải:
B1: Tính y . Tìm điều kiện để y có hai nghiệm phân biệt x , x là m  3 . 1 2
B2: Khi đó, nhận xét phương trình y  0 có các nghiệm là x  1
 ; x  m  2 nên y  0 có 1 2
hai nghiệm phân biệt nằm trong khoảng  2  ;3 thì 2   m  2  3 . Từ đó tìm được m .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A Ta có 2 y  6x  6m   1 x  6m  2 . x  1  2
y  0  x  m  
1 x  m  2  0   . x  m  2
Để hàm số có điểm cực đại cực tiểu nằm trong khoảng  2
 ;3 thì y  0 có hai nghiệm phân m  2  1  m  3
biệt nằm trong khoảng  2  ;3     .  2   m  2  3  1   m  4
Câu 55. ( Sở GDĐT Quảng Nam năm 2018 - 2019) Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị 3 1 hàm số 3 2 3
y  x  mx  m có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng y  x ? 2 2 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 45
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT A. 1 B. 3 C. 2 D. 0
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc 3 có các điểm
cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước. 2. Hướng giải:
B1: Tính y . Tìm điều kiện để y có hai nghiệm phân biệt x , x . 1 2  1 
B2: Tìm điểm cực trị của đồ thị hàm số là 3 A 0; m , B  ; m 0. .    2 
B3:Khi đó, tìm điều kiện để hai điểm cực trị ,
A B đối xứng nhau qua đường thẳng y  x . Từ đó tìm m .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải x  0 Ta có 2
y '  3x  3mx ; y '  0   x  m
Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y '  0 có hai nghiệm phân biệt  m  0 .  1 
Với điều kiện m  0 , giả sử hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là 3 A 0; m , B  ; m 0.    2   1 3   3   m m AB ; m  m   và I  ;
 là trung điểm của đoạn thẳng AB .  2   2 4   1 3   m  m  0 A . B u  0  m   d 2 2 Yêu cầu bài toán       3 I d m m  m  0   2 4
Đối chiếu điều kiện ta được m   2 .
Câu 56. (SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tìm tất cả các giá trị của m để đường
thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số 3
y  x  3mx  2 cắt đường tròn tâm I 1; 
1 , bán kính R  1 tại hai điểm phân biệt ,
A B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất? 1 3 2  3 1 5 1 3 A. m  . B. m  . C. m  . D. m  . 2 2 2 3
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm giá trị của tham số thỏa điều kiện cho trước 2. Hướng giải:
B1:Tìm điều kiện (1) của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Viết phương trình đường
 thẳng đi qua cực đại và cực tiểu . 1 B2: S  .I . B I . B sin  AIB . Với 0  sin  AIB  1 . IAB 2 Khi đó S
đạt giá trị lớn nhất khi sin 
AIB  1  Tam giác IAB vuông cân tại I . IAB IA B3:Khi đó d I  2 2 ,  
. Từ đó tìm giá trị tham số m . 2 2
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B Trang 46 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020 Ta có 3 2
y  x  3mx  2  y  3x  3m . Hàm số 3
y  x  3mx  2 có 2 điểm cực trị  phương trình 2
y  3x  3m  0 có hai nghiệm phân biệt  m  0   1 . 1 Ta có y  . x y  2mx  2 . 3
Suy ra phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là
y  2mx  2  2mx  y  2  0 .
Đường thẳng  cắt đường tròn tâm I 1; 
1 , bán kính R  1 tại hai điểm phân biệt , A B 2m 1  d(I,)  R 
1  4m  0 luôn đúng do m  0. 2 4m 1 1 1 1 Ta có S  .I . B I . B sin  AIB  sin  AIB  . IAB 2 2 2
Dấu bằng xảy ra  sin  AIB  1   AIB  90 .
Khi đó tam giác IAB vuông cân tại I có IA  1 nên  d I,  2 2 3 2 
 4m  8m 1  0  m  thỏa mãn đk (1). 2 2 2  3
Vậy diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất khi m  . 2
Câu 57. (CỤM 1 SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số y  f  x 1 3  x  m   2
1 x  m  3 x  m  4 . Tìm m để hàm số y  f  x  có 5 điểm cực trị? 3 A. 3   m  1  . B. m 1. C. m  4 . D. m  0 .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm số điểm cực trị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Số điểm cực trị của hàm số f  x  bằng 2n 1 với n là số cực trị dương của hàm số f  x .
2. Hướng giải: Hàm số y  f  x 3 2
 ax  bx  cx  d a  0 .
B1:Hàm số y  f  x  có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi f  x có hai điểm cực trị dương.
B2:Khi đó phương trình f  x  0có hai nghiệm dương phân biệt.
B3:Thiết lập hệ bất phương trình theo tham số m . Giải hệ tìm m .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 47
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT Chọn B
Có y  f  x  là hàm số chẵn. Nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng 1 Xét y  f  x 3  x  m   2
1 x  m  3 x  m  4. 3
Hàm số y  f  x  có 5 điểm cực trị  y  f x có 2 điểm cực trị phân biệt có hoành độ dương.
 f x  0 có 2 nghiệm phân biệt x  0; x  0 . Có f x 2  x  2m   1 x  m  3 1 2 2   0 m  m  2  0  
 x  x  0  m 1  0  m  1. 1 2 x .x  0 m  3  0  1 2  Trang 48 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
DẠNG 9: TÌM M ĐỂ HÀM SỐ, ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐK
Câu 58. Cho hàm số y  f  x có đồ thị như hình vẽ. Biết tất cả các điểm cực trị của hàm số y  f  x là 2  ; 0; 2; ; a 6 với 4  a  6 . y -2 O 2 a 6 x y = f(x)
Số điểm cực trị của hàm số y  f  6 2 x  3x  là: A. 8 . B. 11. C. . 9 D. 7 . Lờigiải Chọn C g x  f  6 2 ( ) x  3x  . g 'x   f  6 2 x  3x  '   6 2 x  3x '. f ' 6 2 x  3x    5 6x  6x f ' 6 2 x  3x . x  0  x  1   6 2 x  3x  2    1 5 6x  6x  0 y '  0   5 6x  6x f ' 6 2 x  3x   6 2  0    x  x   f '   3 0 2 . 6 2 x 3x    0    6 2 x 3x  2 3  6 2 x  3x  a 4  6 2 x  3x  6  5 6 2 x  x     6 2 2 3
2 1  x  3x  2  0  x  1  x  1. 2 x  0 * x  0 6 2 x  3x  02       . 4 4 x  3 x   3 6 2 x  x    6 2 2 3
2 3  x 3x 2  0  x  2  x   2 .
Ta xét bảng biến thiên của hàm số: TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 49
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT y  h x 6 2  x  3x x  0  h0  0  y '  h ' x 5
 6x  6x  0  x  1   h  1  2  x 1 h   1  2
Từ bảng biến thiên ta suy ra phương trình 6 2 x  3x  a
4 có một nghiệm biệt khác 0;1;  1
và khác nghiệm của phương trình 2 ; 3 Phương trình 6 2 x  3x  6
5 có hai nghiệm phân biệt khác 0;1;  1 và khác nghiệm của
phương trình 2;3;4 . Ta có thể lấy nghiệm gần đúng như sau: x  m x  2,355 6 2 x  3x  65 6 2 2
 x 3x  6  0  x  ,
m m  5,547,m5;6        x  2  ,355 x m 2 n  x  m 6 2 x 3x  a4 4   m  x   n 6 2 
 4  x  3x  6  n  2,195   4 4  a  6      2,355 n x m m 
Vậy y '  g ' x   0 có:
+) 2 nghiệm bằng x  1  x  1 không là điểm cực trị.
+) 2 nghiệm bằng x  1  x  1 không là điểm cực trị.
+) 3 nghiệm bằng x  0  x  0 là 1 điểm cực trị. +) 1 nghiệm bằng 4 4
x   3  x   3 là 1 điểm cực trị. +) 1 nghiệm bằng 4 4
x  3  x  3 là 1 điểm cực trị.
+) 1 nghiệm bằng x  m  x  m là 1 điểm cực trị.
+) 1 nghiệm bằng x   m  x   m là 1 điểm cực trị.
+) 1 nghiệm bằng x  2  x  2 là 1 điểm cực trị.
+) 1 nghiệm bằng x   2  x   2 là 1 điểm cực trị.
+) 1 nghiệm x và x   m; n  x 1 1   là điểm cực trị. 1 1 +) 1 nghiệm x và x  n; m  x 1 2   là điểm cực trị. 2 2
Vậy có tất cả 9 điểm cực trị.
Câu 59. (SỞ GD&ĐT LẠNG SƠN NĂM 2018-2019) Để đồ thị hàm số 4 2
y  x  2mx  m 1 có ba
điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2, giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây? A. 2;3. B.  1  ;0 . C. 0;  1 . D. 1;2 . Trang 50 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương. Hàm số y  f  x 4 2
 ax  bx  ca  0 . b  b  b  Nếu 
 0 thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lần lượt là A0;c , B ; f   , 2a  2  a 2  a      b  b  C   ; f    
. tạo thành tam giác cân tại A . 2  a 2  a     2. Hướng giải:
B1:Tìm điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị. Tìm tạo độ các điểm cực trị đó.
B2:Các điểm cực trị đó tạo thành tam giác cân. Tính diện tích tam giác cân đó.
B3:Từ điều kiện bài toán suy ra giá trị tham số m .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D x  0 3
y  4mx  4mx . Xét y  0   với m  0 . x   m
Tọa độ ba điểm cực trị là: A0;m   1 , B  2 m; m  m   1 , C  2 m; m  m   1 . Gọi H là trung điểm của cạnh BC , ta có 2 AH  m , BC  2 m . 1 2 5 S
 .AH.BC  m m  2  m  4  . ABC 1;2 2 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 51
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
DẠNG 10: TÌM M ĐỂ HÀM SỐ, ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÁC HÀM SỐ KHÁC CÓ CỰC
TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN
Câu 60. (SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m để hàm số 4 3 2 2
y  3x  4x 12x  m có đúng 5 điểm cực trị? A. 5 . B. 7 . C. 6 . D. 4 .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm số điểm cực trị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Số điểm cực trị của hàm số f  x bằng tổng số cực trị của hàm số f  x và số nghiệm đơn và
nghiệm bội lẻ của phương trình f  x  0 . 2. Hướng giải:
B1:Xác định số điểm cực trị của hàm số y  f  x trong dấu giá trị tuyệt đối. Hàm này có 3 điểm cực trị.
B2:Suy ra số nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ của phương trình f  x  0 là 2 .
B3:Bài toán quy về tìm m để phương trình 4 3 2 2
3x  4x 12x  m  0 có hai nghiệm phân biệt.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C Xét hàm số f  x 4 3 2 2
 3x  4x 12x  m ; f x 3 2  12x 12x  24x
f  x  0  x  0, x  1
 , x  2 . Suy ra, hàm số y  f x có 3 điểm cực trị.  Hàm số 4 3 2 2
y  3x  4x 12x  m có 5 điểm cực trị khi đồ thị hàm số y  f  x cắt trục
hoành tại 2 điểm phân biệt 4 3 2 2
 3x  4x 12x  m  0 có 2 nghiệm phân biệt. Phương trình 4 3 2 2 4 3 2 2
3x  4x 12x  m  0  3x  4x 12x  m (1). Xét hàm số g  x 4 3 2
 3x  4x 12x ; gx 3 2  1  2x 12x  24x . Bảng biến thiên: 2 m  0
Phương trình (1) cớ 2 nghiệm phân biệt   5  m  32 . 2 5  m  32 Vậy m 5  ; 4; 3;3;4;  5 .
Câu 61. (SỞ GD QUẢNG NAM 2019) Cho hai hàm đa thức y  f  x, y  g  x có đồ thị là hai
đường cong ở hình vẽ bên. Biết rằng đồ thị hàm số y  f  x có đúng một điểm cực trị là B , 7
đồ thị hàm số y  g  x có đúng một điểm cực trị là A và AB  . Có bao nhiêu giá trị 4
nguyên của tham số m thuộc khoảng  5
 ;5 để hàm số y  f x  g x  m có đúng 5 điểm cực trị? Trang 52 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020 A. 1. B. 3 . C. 4 . D. 6 .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm số điểm cực trị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Số điểm cực trị của hàm số f  x bằng tổng số cực trị của hàm số f  x và số nghiệm đơn và
nghiệm bội lẻ của phương trình f  x  0 . 2. Hướng giải:
B1:Xác định số điểm cực trị của hàm số f  x  g  x trong dấu giá trị tuyệt đối. Hàm này có 1 điểm cực trị là x . 0
Xác định số nghiệm của phương trình f  x  g  x . Phương trình này có hai nghiệm phân biệt.
Suy ra hàm số f  x  g  x có 1 2  3 điểm cực trị.
B2:Suy ra số nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ của phương trình f  x  g  x  m  0 là 2 . Lập bảng biến thiên tìm m .
B3:Kết hợp với điều kiện m 5
 ;5 và m nguyên suy ra kết quả.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B
Gọi x là điểm cực trị của f 0
x và gx. Dựa vào đồ thị ta có bảng dấu của f x và gx .
Đặt h x  f  x  g  x ; x  . Lúc đó, hx  f  x  g x  0  x  x . 0
Ta có BBT của h x là:
Dựa vào BBT của h x , phương trình h x  0 có hai nghiệm phân biệt a và b ( a  b ). TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 53
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Lúc đó, ta có BBT của hàm số y  h x như sau:
Dựa vào BBT hàm số y  hx thì hàm số y  f  x  g  x  m có 5 cực trị khi và chỉ khi 7 m  . 4 Vì m  5
 ;5 và m   nên m  2,3,4 .
Vậy có 3 giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 62. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH 2018-2019) Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m m để hàm số 3 2
y  x  3x  9x  5  2 có 5 điểm cực trị? A. 62 . B. 63. C. 64 . D. 65.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán khảo sát đồ thị hàm số y  f (x)
 f  x khi f  x  0
Cho hàm số y  f  x có đồ thị C . Hàm số y  f  x   có đồ thị
 f  x khi f  x  0 C bằng cách:
 Giữ nguyên phần đồ thị C nằm trên A2; 3   . ax 1 2x 1
 Lấy đối xứng phần đồ thị C nằm dưới y  qua y 
và bỏ phần đồ thị C cx  d 1 x 2x 1 nằm dưới y  ; . x 1 2. Hướng giải: m
B1: Khảo sát và lập bảng biến thiên hàm số g  x 3 2  x  3x  9x  5  . 2
B2: Hàm số y  g  x có 5 điểm cực trị  Đồ thị hàm số g x cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
B3: Giải bất phương trình y  0  y  tìm m thỏa yêu cầu min max
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B m Xét hàm số g  x 3 2  x  3x  9x  5  . 2 x  1  Ta có: g x 2
 3x  6x  9 ; gx  0   . x  3 Trang 54 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020 m m Ta có: g   1  , g 3   32 . 2 2
Bảng biến thiên của hàm số g  x : m m
Hàm số g  x có giá trị cực tiểu là g 3  32 và giá trị cực đại là g   1  . 2 2 m Hàm số 3 2
y  x  3x  9x  5  2 có 5 điểm cực trị  m
Đồ thị hàm số g  x 3 2
 x  3x  9x  5  2 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt  m m  32  0   0  m  64 . 2 2
Vì m là số nguyên nên có 63 giá trị m thỏa mãn bài toán. TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 55
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
DẠNG 11: GTLN, GTNN TRÊN ĐOẠN
Câu 63. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Có bao nhiêu giá trị của tham số m để 2 x  m  2
giá trị lớn nhất của hàm số y 
trên đoạn 0;4 bằng 1. x  m A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1.
Phân tích hướng dẫn giải ax  b
1. Dạng toán: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y  trên đoạn a;b. cx  d 2. Hướng giải:
B1: Hàm số xác định và liên tục trên đoạn a;b. Tính y ' , kiểm tra y '  0 hay y '  0 trên a;b.
B2: Nếu y '  0 thì hàm số đồng biến trên  ;
a b  max y  y b, min y  y a . a;b a;b
Nếu y '  0 thì hàm số nghịch biến trên  ;
a b  max y  y a,min y  y b . a;b a ;b
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D Điều kiện: x  m .
Hàm số đã cho xác định trên 0;4 khi m0;4   * . 2  1  7 m   2 m m 2      2  4 Ta có y    0 x   0;4  với   . x  m2 x  m2 2 2  m
Hàm số đồng biến trên đoạn 0;4 nên max y  y 4  . 0;4 4  m 2 2  m m  2 2 max y  1    1
  m  m  6  0  .   0;4 4  m m  3
Kết hợp với điều kiện (*) ta được m  3
 . Do đó có một giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 64. Cho hàm số 4 2
y  x  2x  m  2 đồ thị C  . Gọi S là tập các giá trị m sao cho đồ thị C có
đúng một tiếp tuyến song song với trục Ox . Tổng tất cả các phần tử của S là: A. 5 . B. 3 . C. 2 . D. 8 .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Tiếp tuyến của hàm số trùng phương 4 2
y  ax  bx  c có đồ thị C. Kiểm tra hàm số 4 2
y  ax  bx  c có bao nhiêu cực trị.
Nếu hàm số có 1 điểm cực trị thì C có đúng 1 tiếp tuyến song song hoặc trùng Ox .
Nếu hàm số có 3 điểm cực trị thì C có đúng 2 tiếp tuyến song song hoặc trùng Ox . 2. Hướng giải:
B1: Kiểm tra hàm số có 3 điểm cực trị A0;m  2, B 1
 ;m  3,C 1;m 3 .
B2: Viết được 2 phương trình tiếp tuyến d : y  m  2 và d : y  m  3. 2  1  d  Ox
B3: Yêu cầu của bài toán có đúng 1 tiếp tuyến song song với Ox nên 1  . d  Ox  2
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Trang 56 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020 Lời giải Chọn A x  1 Ta có 3 y  4x  4x , y 0     x  0  . x 1 
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị.
Giả sử A0;m  2, B 1
 ;m  3,C 1;m 3 là ba điểm cực trị của đồ thị C.
Tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm A0;m  2 là d : y  m  2 . 1 
Tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm B 1
 ;m  3 và C 1;m  3 là d : y  m 3. 2 
Đồ thị C có đúng một tiếp tuyến song song với trục Ox khi và chỉ khi d d trùng với 1 hoặc 2
trục Ox , hay m  2 hoặc m  3 . Vậy S  2; 
3 , suy ra tổng tất cả các phần tử của S là 5 .
Câu 65. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tổng giá trị lớn nhất M và giá trị
nhỏ nhất m của hàm số f  x   x   2 6
x  4 trên đoạn 0; 
3 có dạng a  b c với a là số
nguyên và b , c là các số nguyên dương. Tính S  a  b  c . A. 4 . B. 2 . C. 2  2. D. 5 .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x trên đoạn a;b. 2. Hướng giải:
B1: Hàm số xác định và liên tục trên đoạn a ;b. Tính y và cho y  0 tìm các giá trị x a;b . i 
B2: Tính y a, yb, y  x . i 
B3: Khi đó min y  miny a, y b, y  x và max y  maxy a, y b, y x . i  i  a;b a;b
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A
Hàm số f  x   x   2 6
x  4 xác định và liên tục trên đoạn 0;  3 . 2   f  x x 2x 6x 4 2  x  4  x  6.  . 2 2 x  4 x  4 x  10;  f  x 3  0   . x  2  0; 3 f 0  12, f   1  5  5 , f 2  8  2 , f 3  3  13 . Suy ra max y  M  3  13 và min y  m  1  2 . 0; 3 0; 3
M  m  3 13 12  a  b c với a là số nguyên và b , c là các số nguyên dương nên a  1
 2,b  3,c 13 . Do đó S  a  b  c  4 . TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 57
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Câu 66. (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số   2 x
f x  x  e trên đoạn  1  ;  1 . ln 2   1 A. max y  . B. 2 max y  1 e .  1  ;  1 2 1; 1 ln 2 1 C. max y   2 1 e  . D. max y  .  1  ;  1  1  ;  1 2
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x trên đoạn a ;b. 2. Hướng giải:
B1: Hàm số xác định và liên tục trên đoạn a ;b. Tính y và cho y  0 tìm các giá trị x a;b . i 
B2: Tính y a, yb, y  x . i 
B3: Khi đó min y  miny a, y b, y  x và max y  maxy a, y b, y x . i  i  a;b a;b
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A Hàm số   2 x
f x  x  e xác định và liên tục trên đoạn  1  ;  1 .   2 1 2 x f x e . f  x 1 1
 0  x  ln 1;  1 . 2 2  f     1 1 1 1 2 1  1 e , f ln   ln 2  , f     2 1  1 e .  2 2  2 2 ln 2   1 Vậy max y  .  1  ;  1 2 2 x  m
Câu 67. Cho hàm số f  x 
với m là tham số thực. Giả sử m là giá trị dương của tham số m x  8 0
để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0; 
3 bằng 3 . Giá trị m thuộc khoảng nào trong các 0 khoảng cho dưới đây ? A. 20; 25 . B. 5;6 . C. 6;9 . D. 2;5 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Bài toán tham số về Max-Min (cụ thể của hàm phân thức trên đoạn a ;b). 2. Hướng giải:
Xét hàm số phân thức bậc nhất y  f  x ; m tham số m , trên đoạn a ;b. B1: Tính y  f (
 x;m) . Do hàm số là phân thức bậc nhất, lại có đạo hàm đặc biệt, nên dễ thấy f (
 x;m)  0 hoặc f (x;m)  0,x a;b.
B2: Tính được max f x, min f  x chứa tham số m . a;b a;b
B3: YCĐB  Pt tham số m  tham số m cần tìm.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Trang 58 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020 Chọn D 2 x  m Xét hàm số f  x  trên đoạn 0;  3 . x  8 2 8  m 2 x  m Ta có: f x 
 0,x  0;3  hàm số f  x 
đồng biến trên đoạn 0;  3 . 2   x 8 x  8 2 m
 min f x  f 0   . 0; 3 8 2 m m  2 6
Theo giả thiết, ta có: min f  x  3    3   . 0; 3 8 m  2 6
Mà m  0  m  2 6  2;5 . 0 0  
Câu 68. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2 2 2 2
x  y  4x  6 y  4  y  6 y 10  6  4x  x . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 T 
x  y  a . Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn 10;10
của tham số a để M  2m ? A. 17 . B. 15 . C. 18 . D. 16 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Bài toán tham số về Max-Min của biểu thức nhiều biến (cụ thể biểu thức 2 biến). 2. Hướng giải:
Chuyển về bài toán Max-Min của đoạn thẳng dễ giải hơn, trong mặt phẳng tọa độ Oxy . B1: Ta có : 2 2 T 
x  y  a  OA  a , với 2 2
OA  x  y , A x; y,O 0;0, a tham số.
B2: Trong đó: A x yC 2 2 2 2 ;
: x  y  4x  6 y  4  y  6y 10  6  4x  x .
Sử dụng pp hàm số, rút gọn phương trình C  → C  là phương trình đường tròn.
Suy ra, GTLN – GTNN của OA.
B3: Biện luận theo a , tìm được GTLN M - GTNN m của T dựa vào GTLN–GTNN của OA.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D Ta có 2 2 2 2
x  y  4x  6 y  4  y  6 y 10  6  4x  x  2 2 2 2
y  6 y 10  y  6 y 10  6  4x  x  6  4x  x (*). Xét hàm số   2
f t  t  t , có f t   2t 1  0,t  0 . Nên   2
f t  t  t đồng biến trên 0;   , mà 2 y  y     2 6 10 0;
, 6  4x  x 0; 
(*)  f  2y  y    f  2 6 10 6  4x  x   2 2
y  6 y 10  6  4x  x  y  y 
  x  x   x  2   y  2 2 2 6 10 6 4 2 3  9.
Xét điểm A x; y thuộc đường tròn C có phương trình  x  2   y  2 2 3  9 . Ta có 2 2 OA  x  y .
Đường tròn C  có tâm I 2; 3 , bán kính R  3 nên điểm O0;0 nằm ngoài C  . TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 59
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Gọi A , A là giao điểm của đường thẳng OI với đường tròn C  . 1 2
A x; yC  : OA  OA  OA với OA  OI  R  13  3 và OA  OI  R  13  3. 1 2 1 2 Tức là ta có : 2 2
13  3  x  y  13  3  2 2
13  3  a  x  y  a  13  3  a.
Th1: 13  3  a  0  a  13  3   1 .
Khi đó: 13  3  a  T  13  3  a  m  13  3  a , M  13  3  a .
Để M  2m  13  3  a  2 13 3 a  a  13 9 * .
Mà a nguyên, thuộc đọan 10;10 , kết hợp (1), (*)  a 5;4;3;2;1;  0 .
Th2: 13  3  a  0  a  13  3 2.
Khi đó, 13  3  a  T  13  3  a  M  a  13  3, m  a  13  3.
M  2m  a  13  3  2a  13  3  a  13  9 **.
Mà a nguyên, thuộc đọan 10;10 , kết hợp 2;**  a 7;8;9;1  0 .  13 3 a  0 Th3: 
 13  3  a  13  3 3.  13  3 a  0
Khi đó, M  0 và m  0 ta luôn có M  2m .
Mà a nguyên, thuộc đọan 10;10 , kết hợp 3  a 1;2;3;4;5;  6 .
Vậy a 5;4;3;2;1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;1  0 .
Câu 69. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f  x . Biết hàm số
y  f ' x có đồ thị như hình bên. Trên đoạn  4  ; 
3 , hàm số g  x  f  x    x2 2 1 đạt giá
trị nhỏ nhất tại điểm. A. x  1 . B. x  3. C. x  4 . D. x  3  . 0 0 0 0
Phân tích hướng dẫn giải Trang 60 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
1.Dạng toán: Đây là dạng toán về hàm số g  x mà cho sẵn đồ thị hàm số f  x . 2. Hướng giải:
B1: Tính g x . Cho g x  0  f  x  h x .
B2: Vẽ đồ thị hàm số y  h x lên hệ trục tọa độ có sẵn đồ thị hàm số f  x . Dựa vào đó xét được dấu g x .
B3: Lập bảng biến thiên hàm số g  x và kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A Ta có 2
g(x)  2 f (x)  (1 x)  g (
 x)  2 f (x)  2(1 x)  2 f (x) (1 x). x  4 
g (x)  0  f (x)  1 x     x  1   . x  3  Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, suy ra g  x đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn  4  ;  3 tại x  1. 0 Ta có: 2
g(x)  2 f (x)  (1 x)  g (
 x)  2 f (x)  2(1 x)  2 f (x) (1 x). Vì trong đoạn  4  ; 
1 đồ thị hàm số y  f  x nằm phía dưới đồ thị hàm số y 1 x  f ( ) x 1 x, x  [ 4
 ;1] g (x)  0, x  [ 4
 ;1]  g(x) nghịch biến trên  4  ;  1
 g(4)  g(3)  g( 1  )   * . Vì trong đoạn  1  ; 
3 đồ thị hàm số y  f  x nằm phía trên đồ thị hàm số y 1 x  f (x) 1 x, x  [ 1  ;3]  g ( ) x  0, x  [ 1
 ;3]  g(x) đồng biến trên  1  ;3  g(3)  g( 1  ) **. Từ * và * 
* suy ra g  x đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn  4  ;  3 tại x  1. 0 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 61
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Câu 70. (SỞ GD&ĐT CẦN THƠ NĂM 2018-2019) Cho hàm số y  f  x nghịch biến trên  và thỏa mãn  f   x  x f   x 6 4 2
 x  3x  2x ,x   . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x trên đoạn 1;2 . Giá trị của 3M  m bằng A. 4 . B. 2  8. C. 3  . D. 33.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán cho một phương trình về hàm số f  x (phương trình hàm) sau
đó hỏi một vấn đề về hàm số f  x . 2. Hướng giải:
B1: Từ phương trình đề cho biến đổi thành hằng đẳng thức để tìm f  x (có thể kết hợp thêm
điều kiện đề cho để xác định f  x ).
B2: Đã xác định được hàm số f  x , ta tính toán trả lời yêu cầu bài toán.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A Ta có:  f   x  x f   x 6 4 2 2
 x  x  x  f  x  xf x 6 4 2 3 2  x  3x  2x 2  f x  xf  x 6 4 2 2
 x  x  x  f  x  xf x 2 6 4 2 4 4 4 12 8 4 4  x  4x 12x  9x 3        2 2 2 f x x 2x 3x f  x 3 x x
 2 f x  x   2 3 2x  3x         . 2 f  x 3  x  2x  3x  f   x 3  x  x Với f  x 3  x  x f x 2 2  3x  2 0, x
  nên f x đồng biến trên  . Với f  x 3
 x  x f  x 2  3  x 1 0, x
  nên f x nghịch biến trên  . Suy ra:   3
f x  x  x . Vì f  x nghịch biến trên  nên M  max f x  f   1  2 1;2
và m  min f  x  f 2  1  0 . 1;2
Từ đây, ta suy ra: 3M  m  3. 2   10  4. Trang 62 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
DẠNG 12: GTLN, GTNN TRÊN KHOẢNG
Câu 71. (SỞ GD&ĐT ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Giá trị lớn nhất của hàm số 2 y  x  2x  3 trên đoạn 0;  3 . A. 18. B. 3 . C. 6 . D. 2 .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x liên
tục trên đoạn a;b. 2. Hướng giải:
B1: Tìm các điểm x , x ,..., x trên khoảng a;b , tại đó f  x bằng 0 hoặc không xác định. 1 2 n
B2: Tính f a, f  x , f x ,..., f x , f b . 1   2  n   
B2: Tìm số M lớn nhất, số m nhỏ nhất trong các số trên. Ta có:
max f  x  M , min f  x  . m a;b a;b
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A
Ta có y  2x  2 ; y  0 x  1    0;  3 .
f 0 1 ; f 3 18.
Suy ra max f  x  f 3  18. 0;3 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 63
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
DẠNG 13: SỬ DỤNG CÁC ĐÁNH GIÁ, BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN
Câu 72. (CỤM 1 SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU NĂM 2018-2019 LẦN 01) Để giá trị lớn nhất của hàm số 2
y  2x  x  3m  4 đạt giá trị nhỏ nhất thì m thỏa 3 1 4 5 A. m  . B. m  . C. m  . D. m  2 2 3 3
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán :Đây là dạng toán cực trị của hàm giá trị tuyệt đối 2. Hướng giải:
B1: Từ hàm số đề bài đã cho , dùng cách đặt ẩn phụ 2
t  2x  x .Tìm miền xác định của ẩn phụ t f 0  f 1
B2 :Vì hàm f t  t  3m  4 luôn tăng nên max f t   max f 0 ; f 1  . t 0;1            2
B3: Sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt A  B  A  B . Lời giải Chọn A
Gọi A  max y . Ta đặt t  x  x  t   x  2 2 2 1 1 do đó 0  t  1
Khi đó hàm số được viết lại là y  t  3m  4 với t 0;  1 suy ra      t  m    m  m 3m 4 5 3m A max 3 4 max 3 4 ; 5 3  0; 1 2
Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có:      t  m    m   m 3m 4 5 3m A max 3 4 max 3 4 ; 5 3  0; 1 2 3m  4  5  3m 3m  4  5  3m 1    2 2 2 1  3m  4  5  3m  3
Do đó A  . Đẳng thức xảy ra   m  . 2
3m  45  3m  0 2 Trang 64 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
DẠNG 14: ỨNG DỤNG GTNN, GTLN TRONG BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Câu 73. (SỞ GD&ĐT ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019) Cho hàm số y  f  x . Hàm số y  f  x có
bảng biến thiên như sau: x  2 1   0 y 2  Bất phương trình   3
f x  x  m đúng với mọi x  1  ;  1 khi và chỉ khi A. m  f  x 1 . B. m  f   1 1. C. m  f   1 1. D. m  f   1 1 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán :Đây là dạng toán ứng dụng giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất 2. Hướng giải: B1: Cô lập m . Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng m  g x, x   1  ;  1  m  max g x . x   1  ;  1
B2 : Khảo sát hàm số g  x trên 1; 
1 nhằm tìm max g  x . x   1  ;  1 B3 : Kết luận về m . Lời giải Chọn C   3       3 f x x m m f x  x 1 . Xét      3 g x f x  x , x  1  ;  1  f    x  f   1  0,x 1;  1 gx  f  x 2  3x  0, x   1  ;  1 vì  2 3x  0, x    1; 1
 Hàm số y  g x nghịch biến trên 1;  1 .  g  
1  g  x  g   1 , x  1  ;  1 .
1 đúng với mọi x 1  ;  1  m  g   1  f   1 1.
Câu 74. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH 2018-2019) Số các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  2
 019;2019để phương trình 2
x  m   x   m   3 2 4 1 x  4x có nghiệm là A. 2011 . B. 2012 . C. 2013 . D. 2014 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán :Đây là dạng toán kết hợp biện luận số nghiệm của phương trình và tìm giá trị
lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn 2. Hướng giải:
B1. Biến đổi phương trình đã cho nhằm tìm ra các biểu thức giống nhau dẫn đến dặt ẩn phụ để 2 x  4
bài toán đơn giản . Đăt t  . x
B2. Từ điều kiện xác định của ẩn x , tìm điều kiện chính xác của ẩn phụ t .
B3. Cô lập tham số m , ta thu được phương trình hoành độ giao điểm : m  f t . TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 65
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
B4. Khảo sát hàm y  f t . Dựa vào bảng biến thiên , tìm điều kiện của tham số m thỏa yêu cầu đề bài . Lời giải Chọn C Điều kiện : 3 x  4x  0  x  0.
*) Nhận thấy x  0 không là nghiệm của phương trình.
*) Với x  0 chia cả hai vế của phương trình cho 3 x  4x ta được: 2 x  4  x m  2  m 1. 1 2   x x  4 2 x  4 4 4 Đặt t   x   2. . x
 2 . Vậy t  2 với x  0 . x x x Phương trình   1 trở thành: 2 t  t  2 4 2 t  m  
1 t  m  2  0  m   m  t  2  (t  2) 2 . t 1 t 1 Xét hàm số f t 4  t  2  trên 2; . t 1 2   t  3 t t 2; 4 2 3  f t  1  ; f  t  0   2 2   t  1 t   1 t  1  2;
Bảng biến thiên của hàm số f t  :
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình 2 có nghiệm t 2;  .
Từ bảng biến thiên ta thấy m  7 . Kết hợp m là số nguyên và m 2019; 2019 suy ra có 2013 giá trị m .
Câu 75. (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Số giá trị nguyên của tham số m nằm
trong khoảng 0;2020 để phương trình x 1  2019  x  2020  m có nghiệm là A. 2020 . B. 2021 . C. 2019 . D. 2018 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán : Đây là dạng toán cực trị của hàm giá trị tuyệt đối 2. Hướng giải:
B1. Xét hàm f  x  x 1  2019  x . Phá dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét dấu biểu thức.
B2.Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số của hàm bên trong dấu trị tuyệt .
B3. Sử dụng tính chất hàm trị tuyệt đối toàn phần để suy ra được giá trị lớn nhất của hàm số
f x  x 1  2019  x .
B4. Vậy phương trình có nghiệm khi min f  x  2020  m  max f  x . Lời giải Trang 66 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020 Chọn D 2018, x   1;2019
Ta có f  x  x 1  2019  x   .  2x  2020 , x   1;2019
Vì hàm số h(x)  2x  2020 là hàm số đồng biến trên đoạn [1; 2019] nên ta có
max h(x)  maxh(1),h(2019 
)  2018, min h(x)  minh(1),h(2019  )  2  018 [1;2019] [1;2019]
Suy ra min f  x  0 và max f  x  2018 .Do đó, ta có min f  x  0 và max f  x  2018. 1;2019 1;2019  
Vì vậy, phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 0  2020  m  2018  2  m  2020 .
Suy ra có 2018 giá trị nguyên của m nằm trong khoảng 0;2020 .
Câu 76. (SỞ GD&ĐT ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019) Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để
bất phương trình  x  4 2 4 2
1  x  4x  5  m  m  6m thỏa mãn với mọi giá trị của x   .
Tính tổng các giá trị của S. A. 1. B. 3 . C. 5 . D. 2 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán : Đây là dạng toán kết hợp biện luận số nghiệm của phương trình và tìm giá trị
lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn 2. Hướng giải:
B1.Cô lập tham số m để dẫn đến f m  g x, x
    f m  min g x.
B2. Khảo sát hàm số g  x để tìm ra min g  x .
B3. Giải bất phương trình f m  min g  x để tìm ra giá trị tham số m . Lời giải Chọn A
Đặt f  x   x  4 2 1  x  4x  5 .
 f x  x  3  x   x  x  x  x  x  2 3 2 ' 4 1 2 4 4 12 14 2 3  3   f ' x  0  x  0 x -∞ 0 +∞ f '(x) - 0 + +∞ +∞ f(x) -4 Xét f m 4 2
 m  m  m  f m 3 6 '  4m  2m  6 f 'm  0  m  1 m -∞ 1 +∞ f '(m) - 0 + +∞ +∞ f(m) -4 f x 4 2 min
 m  m  6m  m  1 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 67
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
vậy tổng các giá trị của là 1.
Câu 77. (SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH NĂM 2018 - 2019) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên
dương của tham số m để bất phương trình sau 6 4 3 3 2
x  3x  m x  4x  mx  2  0 nghiệm đúng
với mọi x 1;3. Tổng tất cả các phần tử của S bằng: A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Biện luận nghiệm của BPT chứa tham số dựa vào phương pháp hàm số
Xét BPT f u f v  
1 xác định trên khoảng K.
- Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng K thì ta có   1  u  . v
- Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng K thì ta có   1  u  . v 2. Hướng giải: 3
B1: Biến đổi BPT đã cho về dạng x   x  mx3 2 2 1 1
mx để từ đó ta xét hàm số đặc trưng   3
f t  t t là hàm số luôn đồng biến trên khoảng  ;     .
B2: Khi đó BPT đã cho tương đương với 2 x 1 mx .
Bài toán trở thành tìm m để BPT 2
x 1 mx nghiệm đúng với mọi 2  x   x 1 1; 3  m  , x 1;  3 . x 2 x 1
B3: Xét hàm số g x , x 1; 
3 . Bài toán được thỏa mãn nếu m  min gx. x 1; 3
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A Ta có: 6 4 3 3 2 6 4 2 3 3
x  3x  m x  4x  mx  2  0  x  3x  4x  2  m x  mx
 x  3 x    mx3 2 2 1 1  mx   1
Xét hàm đặc trưng f t  3  t  t  f t 2 '  3t 1  0
   f  2x    f mx 2 1 1  x 1  mx
Bài toán trở thành tìm m để bất phương trình 2
x 1 mx nghiệm đúng với mọi x 1;3. 2 x 1 2 x 1  mx  m   g x , x  1;  3 x gx 1
1  0,x  1; 3  min g x  g 1  2. 2       x 1;3
Vậy để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x 1;  3 thì m  2.
Vì m nguyên dương nên S  1; 
2 có 2 phần tử. Tổng các phần tử bằng 3. Trang 68 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
DẠNG 15: GTLN, GTNN HÀM NHIỀU BIẾN
Câu 78. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH 2018 - 2019) Cho ,
x y  thỏa mãn x  y  1 và 2 2
x  y  xy  x  y 1. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức xy P  . Tính M m. x  y 1 1 2 1 A. . B.  1 . C. . D.  . 3 3 2 3
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán GTLN, GTNN của biểu thức nhiều biến.
Phương pháp: Biến đổi biểu thức đã cho về dạng hàm phụ thuộc một biến số (chú ý xác định
điều kiện cho biến số phụ) và đưa về bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số một biến trên tập
hợp đã xác định được (khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn). 2. Hướng giải: xy
B1: Thế điều kiện của giả thiết vào vế trái của P, ta có P  2 2 x  y  xy
B2: Ta nhận thấy rằng tử và mẫu của P là hai biểu thức đẳng cấp bậc hai đối với hai ẩn x, y.
- Ta tính giá trị của P khi y  0 .
- Khi y  0, chia cả tử và mẫu của P cho 2
y , ta biến đổi P trở thành biểu thức phụ thuộc x một biến số t  . y t
B3: Khi đó bài toán đưa về tìm GTLN, GTNN của hàm số f t , t  .  2 t t 1
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B xy Với điều kiện 2 2 x  y  1
 ; x  y  xy  x  y 1 ta có : P  . 2 2 x  y  xy x  1 1 5 - Nếu y  0 thì   x  . Khi đó P  0 . 2 x  x 1  0 2 x y x t - Nếu y  0 thì P  . Đặt t  . Ta có: P  , t   . 2  x  x y 2 t  t 1  1  y    y t 2 t  1 Xét f t  , t   . f t 
; f t  0  t  1  . 2 t  t 1 t t  2 2 1 1 t lim   lim  lim t f t  0. 2 t t t  t 1 t 1 1 1  2 t t
Ta có bảng biến thiên của hàm số f t: TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 69
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT Từ bảng biến thiên: x  y  x  x  y  1 1  1  x  y   M  x 1 tại y        1 . 3 2 3   x  2x 1  0  x  y   2 2  1
x  y  xy  x  y 1 x    3  3 x  1  x x   y   1  x   y  y  1 m  1 tại y     x 1  2 x 1 0       x  1 2 2
x  y  xy  x  y 1 x  1   y 1 2 Vậy M  m   . 3
Câu 79. (SỞ GD&ĐT ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019) Cho x, y thỏa mãn 2 2 5x  6xy  5y 16 và
hàm số bậc ba y  f  x có đồ thị như hình vẽ. Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ 2 2  x  y  2  nhất của P  f . Tính 2 2 M  m .  2 2   x  y  2xy  4  4 3 2 1 4 2 2 -1 0 1 1 2 3 A. 2 2 M  m  4. B. 2 2 M  m 1 . C. 2 2 M  m  25 . D. 2 2 M  m  2 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán GTLN, GTNN của biểu thức nhiều biến.
Phương pháp: Biến đổi biểu thức đã cho về dạng hàm phụ thuộc một biến số (chú ý xác định
điều kiện cho biến số phụ) và đưa về bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số một biến trên tập
hợp đã xác định được (khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn). 2. Hướng giải: 2 2 x  y 2 B1: Đặt t 
, ta thế điều kiện của giả thiết, tìm được miền giá trị của ẩn t . 2 2 x  y 2xy  4
B2: Bài toán đưa về dựa vào đồ thị của hàm số để xác định GTLN, GTNN của hàm số trên một miền cho trước. B3: Kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A Trang 70 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020 2 2 x  y  2 Đặt t   P  f t . Vì 2 2 5x  6xy  5y 16 2 2 x  y  2xy  4 2 2 1 x  y   2 2 5x  6xy  5y  3 2 2 x  y  6xy 3 8 x  y2 nên t    . 1        2 2 18x  2y  4xy 2 x  y2 2 2 2 2 2 16 2 5 6 5 x x y xy x xy y 4 3   Do đó 0  t   P  3 f t với t  0; . 2  2   4 3 2 1 4 2 2 -1 0 1 1 2 3
Dựa vào đồ thị, ta có M  max P  f  
0  0; m  min P  f   1  2  .  3  3 0;  0;   2  2     Suy ra: 2 2 M  m  4.
Câu 80. (SỞ GD QUẢNG NAM - 2019) Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn x 2y y 2x log  y 1 x 2     
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  bằng 2  y e  ln 2 e  ln 2 e ln 2 e A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 ln 2
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán GTLN, GTNN của biểu thức nhiều biến.
Phương pháp: Biến đổi biểu thức đã cho về dạng hàm phụ thuộc một biến số (chú ý xác định
điều kiện cho biến số phụ) và đưa về bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số một biến trên tập
hợp đã xác định được (khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn). 2. Hướng giải:
B1: Từ điều kiện của giả thiết, ta có 2y y 2x log  y 1 x 2     
 2y   2  log 2  2y y x x 1 2   2    1 Đặt  log 2  2y t x , ta biến đổi  
1 về phương trình dạng f u f v, với hàm số f luôn 2  
đơn điệu trên khoảng  ;     .
B2: Khi đó ta rút được t theo y và suy được x theo y .
B3: Biến đổi P trở thành hàm một ẩn y và tính GTNN của hàm số trên một khoảng bằng cách
lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng đó.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C Có 2y y 2x log  y 1 x 2     
 2y   2  log 2  2y y x x 1   1 2   2  . Đặt  log 2  2y t x  2  2y  2t x  2  2t  2y x 2   . TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 71
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT  
1 trở thành: 2y   2t  2y y  t 1 y 1 2    1  2t y  t . 2 Xét hàm số    2x f x
 x, x       2x f x ln 2 1  0, x
  nên hàm số    2x f x  x
luôn đồng biến trên  . Kết hợp với 2 ta có: t  y 1  log 2  2y x  y 1 2   y y 1 2x 2 2     1 2y x    . x 1 2y y 1  y 1 2 y ln 2 2   Khi đó P    P  . y y 2 y 1
Cho P  0  y ln 2 1  0  y  . ln 2 Bảng biến thiên: e ln 2 e Vậy P  khi x  1 và y  . min 2 2 ln 2 Trang 72 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
DẠNG 16: BÀI TOÁN ỨNG DỤNG, TỐI ƯU, THỰC TẾ
Câu 81. (SỞ GD&ĐT BÀ RỊA VŨNG TÀU NĂM 2018-2019) Một công ty bất động sản có 40 căn hộ
cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 3.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ
đều có người thuê và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng một tháng (theo qui
định trong hợp đồng) thì sẽ có một căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì công
ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng. A. 3.700.000 đồng. B. 3.500.000 đồng. C. 3.900.000 đồng. D. 4.000.000 đồng.
Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng toán: Đây là dạng toán ứng dụng, tối ưu, thực tế. 2. Hướng giải: x
B1: Xác định số căn phòng bị bỏ trống khi tăng giá cho thuê thêm x đồng là (phòng). 100.000 x
Suy ra số căn phòng còn lại có người thuê là: 40 100.000
B2: Tính số tiền công ty thu được trong một tháng (bằng số phòng có người thuê nhân với giá
tiền thuê phòng), ta được hàm số một ẩn x .
B3: Bài toán đưa về tìm điểm x để hàm số đạt GTLN tại x trên một khoảng cho trước. 0 0
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B
Theo bài cứ tăng thêm 100.000 đồng trên một căn thì có 1 căn trống. x
Do đó nếu tăng x đồng trên một căn thì có căn trống. 100.000
Số tiền thu nhập một tháng khi cho thuê căn hộ là 2 x x (3000.000  x)(40  ) 
10x 120.000.000  f (x) 100.000 100.000
Do f (x) là một hàm bậc hai với hệ số số a  0 nên f (x) đạt giá trị lớn nhất khi x  500.000 đ.
Vậy khi đó giá thuê mỗi căn là 3.500.000 đồng.
Câu 82. (Sở GD Quảng Nam 2019 ) Cho nửa đường tròn đường kính AB và hai điểm C, D thay đổi
trên nửa đường tròn đó sao cho ABCD là hình thang. Diện tích lớn nhất của hình thang ABCD bằng 1 3 3 3 3 A. . B. . C. 1. D. . 2 4 2
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm MAX- MIN của bài toán có yếu tố hình học.
Phương pháp: - Tìm cách đặt biên chuyển về phương trình hàm.
- Lập bảng biến thiên thiên và suy ra giá trị MAX- MIN 2. Hướng giải: TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 73
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT H D C x 1 A O B
B1: Đặt OH  x 0 x   1 . Ta có 2 CD  2CH  2 1 x ABCD.OH  2 2 S   x  x 1 x . 2
B2: Lập bảng biến thiên: f x 2
 x x 1x , với x 0;  1 . 3 3
B3: Vậy diện tích lớn nhất của hình thang ABCD là . 4
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B H D C x 1 A O B
Gọi H là trung điểm của CD . Đặt OH  x 0  x   1 . Ta có 2 CD  2CH  2 1 x . ABCD.OH
Diện tích hình thang ABCD là: 2 2 S   x  x 1 x 2 Xét hàm số f x 2 2
 x  x 1x , với x 0;  1 . 2 12x 3 Ta có f x1 ; f x 2 2
 0  1 x  2x 1 x  2 1 x 2 Bảng biến thiên: 3 3
Vậy diện tích lớn nhất của hình thang ABCD là . 4
Câu 83. (Sở GD& ĐT Cà Mau Năm 2018-2019) Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể tích V   3
18 m , biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng và bể không có Trang 74 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
nắp. Hỏi cần xây bể có chiều cao h bằng bao nhiêu mét để nguyên vật liệu xây dựng là ít nhất
(biết nguyên vật liệu xây dựng các mặt là như nhau)? 5 3 A. 2  m . B. m. C.  1 m D. m. 2 2
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm MAX- MIN của các yếu tố hình học.
Phương pháp: - Tìm cách đặt biên chuyển về phương trình hàm.
- Lập bảng biến thiên thiên và suy ra giá trị MAX- MIN 2. Hướng giải: H D C x 1 A O B
B1: Đặt x x  0 là chiều rộng hình chữ nhật đáy bể, suy ra chiều dài hình chữ nhật đáy bể là 18 6 3x : 2 V  . h . x 3x  .
h 3x  18  x  0 .  h   , 2 2 3x x
Nguyên vật liệu ít nhất khi P nhỏ nhất. 6 6 48 2 2 2 P  2hx  2. . h 3x  3x  2. .x  2. .3x  3x   3x . 2 2 x x x 48
B2: Lập bảng biến thiên : f  x 2   3x , x  0 . x 6 6 3
B3: Suy ra vật liệu ít nhất khi h    m 2  . x 4 2
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D
Gọi x  x  0 là chiều rộng hình chữ nhật đáy bể, suy ra chiều dài hình chữ nhật đáy bể là 3 . x 2 V  . h . x 3x  . h 3x  18  x  0 . 18 6  h   , 2 2 3x x
Gọi P là diện tích xung quanh cộng với diện tích một đáy bể của hình hộp chữ nhật.
Nguyên vật liệu ít nhất khi P nhỏ nhất. TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 75
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT 6 6 48 2 2 2 P  2hx  2. . h 3x  3x  2. .x  2. .3x  3x   3x . 2 2 x x x 48 Đặt f  x 2   3x , x  0 . x 4  8 4  8 Ta có f  x   6x , f x 3  0 
 6x  0  x  8  x  2. 2 x 2 x Bảng biến thiên: 6 6 3
Suy ra vật liệu ít nhất khi h    m 2  . x 4 2
Câu 84. (Cụm 1 Sở GD& ĐT Bạc Liêu Năm 2018-2019) Người ta muốn xây một bể chứa nước dạng
hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích 200m3. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi
chiều rộng. Giá thuê nhân công xây bể là 300.000 đồng/m2. Chi phí thuê công nhân thấp nhất là A. 51 triệu đồng. B. 75 triệu đồng. C. 46 triệu đồng. D. 36 triệu đồng.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm MAX- MIN của các yếu tố hình học.
Phương pháp: - Tìm cách đặt biến chuyển về một biểu thức.
- Sử dụng bất dẳng thức COSI tìm giá trị MAX- MIN 2. Hướng giải:
B1: Gọi chiều rộng, chiều dài của đáy lần lượt là x và 2x, chiều cao là y
Diện tích các mặt bên và mặt đáy là 2 S  6xy  2x 100 Thể tích là 2 V  2x y  200  xy  . x 600 300 300 300 300 B2: 2 2 2 3 3 S   2x    2x  3 . .2x  30 180 . x x x x x
B3: Khi đóchi phí thấp nhất là 3 T  30 180.300000d  5 t 1 riệu
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A
Gọi chiều rộng, chiều dài của đáy lần lượt là x và 2x, chiều cao là y
Diện tích các mặt bên và mặt đáy là 2 S  6xy  2x 100 Thể tích là 2 V  2x y  200  xy  . x 600 300 300 300 300 2 2 2 3 3 S   2x    2x  3 . .2x  30 180 x x x x x
Vậy chi phí thấp nhất là 3
T  30 180.300000d  51triệu
Câu 85. (Sở GD & ĐT Ninh Bình lần 01 Năm 2018-2019) Một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật có
thể tích bằng 48 và chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chất liệu làm đáy và 4 mặt bên của hộp có Trang 76 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
giá thành gấp ba lần giá thành của chất liệu làm nắp hộp. Gọi h là chiều cao của hộp để giá m
thành của hộp là thấp nhất. Biết h 
với m , n là các số nguyên dương nguyên tố cùng n nhau. Tổng m  n là A. 12 . B. 13 . C. 11. D. 10 .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm MAX- MIN của các yếu tố hình học.
Phương pháp: - Tìm cách đặt biên chuyển về biểu thức.
- Áp dụng bất đẳng thức COSI tìm giá trị MAX- MIN 2. Hướng giải:
B1: Gọi chiều dài, chiều rộng của hộp là 2x và x (x  0) . Khi đó, ta có thể tích của cái hộp là 2 2 2
V  2x .h  2x .h  48  x .h  24
Do giá thành làm đáy và mặt bên hộp là 3, giá thành làm nắp hộp là 1nên giá thành làm hộp là L   2 x  xh  xh 2 3 2 2 4  2x
B2: Do giá thành làm đáy và mặt bên hộp là 3, giá thành làm nắp hộp là 1 nên giá thành làm hộp là L   2 x  xh  xh 2 3 2 2 4  2x
B3: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho ba số không âm, ta được 2 L  8x  9xh  9xh  3 2 3 8x .9x . h 9xh  x h2 2 3 3 648  216
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C
Gọi chiều dài, chiều rộng của hộp là 2x và x (x  0) . Khi đó, ta có thể tích của cái hộp là 2 2 2
V  2x .h  2x .h  48  x .h  24
Do giá thành làm đáy và mặt bên hộp là 3, giá thành làm nắp hộp là 1nên giá thành làm hộp là L   2 x  xh  xh 2 3 2 2 4  2x
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho ba số không âm, ta được 2 L  8x  9xh  9xh  3 2 3 8x .9x . h 9xh  x h2 2 3 3 648  216  9h x    2  x 3 8x  9xh  8 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi      8 2  2 x h  24 9   3 h .h  24  2  3 8
Vậy m  8 , n  3 và m  n  11. TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 77
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Câu 86. (Sở GD & ĐT Quảng Bình Năm 2018-2019) Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol
P có kích thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng 4 m, AB  4 m. Người ta thiết kế
cửa đi là một hình chữ nhật CDEF (với C, F  AB ; D, E  P ), phần còn lại (phần tô đậm)
dùng để trang trí. Biết chi phí để trang trí phần tô đậm là 1.000.000 đồng/ 2 m . Hỏi số tiền ít
nhất dùng để trang trí phần tô đậm gần với số tiền nào dưới đây? A. 4.450.000 đồng. B. 4.605.000 đồng. C. 4.505.000 đồng. D. 4.509.000 đồng.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm MAX- MIN của các yếu tố hình học.
Phương pháp: - Tìm cách đặt biên chuyển về phương trình hàm.
- Tính diện tích hình học bằng công thức thông thường hoặc bằng tích phân.
Từ đó suy ra giá trị MAX- MIN 2. Hướng giải: B1: Phương trình của P 2 : y  x  4
Xét đường thẳng qua E, D : y  m (với 0  m  4 ).
Khi đó E  4  m;m và D 4  m;m là giao điểm của P và đường thẳng y  m .
* Yêu cầu của bài toán đạt được khi diện tích hình chữ nhật CDEF phải lớn nhất. Ta có: S  E . D EF  2 4  m.m CDEF B2: Đặt t  4  m 2 2
 t  4  m  m  4  t (với 0  t  2 ) Trang 78 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020 Khi đó: S  f t  t  2  t  3 2 4  2t  8t CDEF - Lập bảng biến thiên. 2 32
* Mặt khác diện tích của chiếc cổng: 2 S  x  4  ( )  m2 3 2 
Suy ra diện tích nhỏ nhất của phần dùng để trang trí là: S  MaxS  32 32 3   4,5083 CDEF ( m2 ) 3 9
B3: Khi đó Vậy số tiền ít nhất dùng để trang trí phần tô đậm: 4,50831.000.000  4.508.300 (đồng).
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D * Xét  P 2
: y  ax  bx  c a  0 có toạ độ đỉnh 0;4 và qua điểm có toạ độ 2;0 . b  Ta có hoành độ đỉnh:
 0  b  0 ; P qua điểm 0;4  c  4 và P qua điểm 2;0 2a  a  1 Suy ra: P 2 : y  x  4
* Xét đường thẳng qua E, D : y  m (với 0  m  4 ). Khi đó E  4  m;m và
D  4  m;m là giao điểm của P và đường thẳng y  m . Suy ra: ED  2 4m , EF  m .
* Yêu cầu của bài toán đạt được khi diện tích hình chữ nhật CDEF phải lớn nhất. Ta có: S  E . D EF  2 4  m.m CDEF Đặt t  4  m 2 2
 t  4  m  m  4  t (với 0  t  2 ) Khi đó: S  f t  t  2  t  3 2 4  2t  8t CDEF f t 2  6  t  8  0 2  t   3 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 79
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT 0 2 + 0 - 32 3 Suy ra: MaxS  2 8 t   m  CDEF khi 9 3 3 2 32
* Mặt khác diện tích của chiếc cổng: 2 S  x  4  ( )  m2 3 2 
Suy ra diện tích nhỏ nhất của phần dùng để trang trí là: S  MaxS  32 32 3   4,5083 CDEF ( 3 9 m2 )
* Vậy số tiền ít nhất dùng để trang trí phần tô đậm: 4,50831.000.000  4.508.300 (đồng).
(Lưu ý: Có thể dùng MTBT để tìm GTLN của S   CDEF trên khoảng 0 m 4 ). Trang 80 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
DẠNG 17: CÂU HỎI LÝ THUYẾT VỀ MAX MIN
Câu 87. (Sở GD&ĐT Đà Nẵng 2018-2019) Cho x , y , z là các số thực dương thay đổi và thỏa  x 1 2 2 2
5 x  y  z   9xy  2yz  zx Giá trị lớn nhất của biểu thức P   2 2 y  z x  y  z3 bằng A. 18 . B. 12. C. 16. D. 24 .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  f  x theo phương pháp hàm số. 2. Hướng giải: B1: Từ giả thiết  2 2 2
5 x  y  z   9xy  2yz  zx ta thấy vai trò của y và z là như nhau nên
đánh giá x  2 y  z . 4 1 B2: Đánh giá P    . y  z 27 y  z3 3 t 1
B3: Lập bảng biến thiên của hàm số f t  4t  với t   0 . 27  y  z
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C Ta có:  2 2 2
x  y  z   xy  yz  zx 2  x   2 2 5 9 2 5
5 y  z  9x y  z 18yz  0 2
 x  x y  z  yz   2 2 5 9 18 5 y  z    1 .
Ta lại có:  y  z2   y  yz  z    y  z2 2 2  yz   2 2 7 0 7 14 7 0 2 18 5 y  z  2 . Từ (1) và (2) suy ra:
x  x y  z   y  z2 2 5 9 2
 x  2 y  z 
 5x  y  z  0
 x  2 y  z  0 do 5x  y  z  0 x  , y, z  0  x  2 y  z x 1 2 y  z 1 4 1 Do đó: P       . 2 2 y  z
x  y  z3 1 y z2 2y z 3  y  z y  z 27 y  z3  2 1 3 t Đặt t   0 khi đó P  4t  ; t  0 . y  z 27 3 t 2 t t  6  f 6 16
Xét hàm số: f t  4t 
; t  0 có f 't  4   0   27 9 t  6   0  l 3  t  Ta có: lim 4t      . t  27  Bảng biến thiên: TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 81
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT 3 t
Dựa vào bảng biến thiên suy ra: f t  4t   16 t   0 . 27 3 t Suy ra: P  4t   16 t   0 27 y  z  1  y  z  1   
Suy ra maxP 16 Đẳng thức xảy ra khi: 12 y  z    . 6 1  x  x  2   y  z  3 Trang 82 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
DẠNG 18: BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ (KHÔNG
CHỨA THAM SỐ) HOẶC BIẾT BBT, ĐỒ THỊ
Câu 88. (Sở GD&ĐT Ninh Bình lần 1 năm 2018-2019) Tổng số đường tiệm cận ngang và đường 2 2 x 1 1
tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là x A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3 .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm tiệm cận của hàm số y  f  x . 2. Hướng giải:
+ Đường thẳng x  x được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f  x nếu ít nhất một 0
trong bốn điều kiện sau được thỏa mãn: lim f  x   ;  lim f x   ;  lim f x   ;  lim f x   x x        0 x x 0 x x 0 x x 0
+ Đường thẳng y  y được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x nếu 0
lim f  x  y hoặc lim f  x  y . 0 0 x x
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C
Tập xác định: D   ;    1 1;.
Từ tập xác định ta thấy hàm số không có giới hạn khi x  0 , do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. 1 1   2 2 1 2 2 x 1 1 x x Mặt khác: lim  lim  2 x x x  x x 1 1    2 2 1 2 2 x 1 1 lim  lim x x  2  x x x  x x
Nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y  2 và y  2  .
Câu 89. (Sở GD&ĐT Phú thọ lần 2 năm 2018-2019) Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như sau: 2
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là 3 f x  2 A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 .
Phân tích hướng dẫn giải TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 83
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
1.Dạng toán: Đây là dạng toán xác định các đường tiệm cận của hàm số y  f  x khi biết
bảng biến thiên của hàm số. 2. Hướng giải:
+ Đường thẳng x  x được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f  x nếu ít nhất một 0
trong bốn điều kiện sau được thỏa mãn: lim f  x   ;  lim f x   ;  lim f x   ;  lim f x   x x     0 xx 0 xx 0 xx 0
+ Đường thẳng y  y được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x nếu 0
lim f  x  y hoặc lim f  x  y . 0 0 x x
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình 3 f  x  2  0 (hay f  x 2  ) có 4 x , x , 3 nghiệm 1 2 x , x x   ;  1  , x  1
 ; 0 , x  0;1 , x  1;   . Suy ra đồ thị hàm số 4   3   2   3 4 thỏa 1   2 y 
có 4 tiệm cận đứng là x  x , x  x , x  x , x  x . 3 f x  2 1 2 3 4 2 2 Vì lim y  lim
 nên y  0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  . x x f  x 0 3  2 3 f x  2 2 2 Vì lim y  lim
 nên y  2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  x x f  x 2 3  2 3 f x  2 . 2
Do đó đồ thị hàm số y 
có 2 tiệm cận ngang là y  0, y  2 . 3 f  x  2 2
Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là 6 . 3 f  x  2
DẠNG 19: BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ CÓ CHỨA THAM SỐ x  3
Câu 90. (Sở GD&ĐT Bắc Ninh lần 1 năm 2018-2019) Cho hàm số y  . 3 2 x  3mx   2 2m   1 x  m
Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn  6
 ; 6 của tham số m để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận? A. 8 . B. 9 . C. 12. D. 11.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán xác định các đường tiệm cận của hàm số y  f  x có chứa tham số. 2. Hướng giải:
+ Đường thẳng x  x được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f  x nếu ít nhất một 0
trong bốn điều kiện sau được thỏa mãn: lim f  x   ;  lim f x   ;  lim f x   ;  lim f x   x x     0 xx 0 xx 0 xx 0 Trang 84 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
+ Đường thẳng y  y được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x nếu 0
lim f  x  y hoặc lim f  x  y . 0 x 0 x
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B x  3
Gọi C là đồ thị hàm số y  . 3 2 x  3mx   2 2m   1 x  m x  3 Ta có: lim y  lim
 0 nên đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận 3 2 x x x  3mx   2 2m   1 x  m ngang là y  0 .
Do đó C có 4 đường tiệm cận khi và chỉ khi C có 3 đường tiệm cận đứng 3 2  x  mx  2 3 2m   1 x  m  0  
1 có 3 nghiệm phân biệt khác 3 . x  m Ta có   1   x  m 2 x  2mx   1  0   . 2 x  2mx 1  0  m  3 m  3   2 m 1  0 m  1
Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khác 3     . 2 2  m  2m 1  0  m  1  2 3 6m 1 0     5 m   3 Do m 6  ;  6 , m nguyên nên m 6
 ; 5;  4; 3;  2; 2; 4; 5;  6 .
Vậy có 9 giá trị m thỏa mãn.
Câu 91. (Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ x 1 thị hàm số y 
có đúng 4 đường tiệm cận? 2 mx 8x  2 A. 8 . B. 6 . C. 7 . D. Vô số.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán xác định các đường tiệm cận của hàm số y  f  x có chứa tham số. 2. Hướng giải:
+ Đường thẳng x  x được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f  x nếu ít nhất một 0
trong bốn điều kiện sau được thỏa mãn: lim f  x   ;  lim f x   ;  lim f x   ;  lim f x   x x     0 xx 0 xx 0 xx 0
+ Đường thẳng y  y được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x nếu 0
lim f  x  y hoặc lim f  x  y . 0 x 0 x
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 85
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
TH1: m  0 suy ra tập xác định của hàm số là D   x ; x , ( x , x là nghiệm của phương trình 1 2  1 2 2
mx 8x  2  0 ). Do đó m  0 không thỏa yêu cầu của bài toán. x 1 TH2: m  0  y 
suy ra tập xác định của hàm số là D   ;  4 . 8  x  2 lim y   ;
 lim y  . Khi đó ta có x  4
 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x x 4  
Do đó m  0 không thỏa yêu cầu của bài toán
TH3: m  0 suy ra tập xác định của hàm số là D   ;  x  x ; ( x , x 1   2  1 2 là nghiệm của phương trình 2
mx 8x  2  0 ). Do đó đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận khi phương trình 2
mx 8x  2  0 có hai nghiệm phân biệt khác 6  2m  0 m  8  
1  m  0;m    m  0;m    m 1; 2; 3; 4; 5;  7 . m 8 2 0     m  6  
. Suy ra có tất cả 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Câu 92. (SỞ GD&ĐT ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị 2x  6 hàm số y  là x 1 A. x  1  . B. y  6  . C. x  3. D. y  2.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x.
2. Hướng giải: Tìm lim y  y hoặc lim y  y thì y  y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm 0 0 0 x x số y  f  x. Lời giải Chọn D
Ta có lim y  lim y  2 nên y  2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x x Trang 86 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
DẠNG 20: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN
Câu 93. (SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho M là điểm có hoành độ dương x  2
thuộc đồ thị hàm số y 
, sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của đồ x  2
thị hàm số là nhỏ nhất. Tọa độ điểm M là: A. 4;3. B. 0;  1 . C. 1;3. D. 3;5.
Phân tích hướng dẫn giải ax  b
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm điểm liên quan đến tiệm cận của đồ thị hàm số y   cx  d 2. Hướng giải:  a  2  B1: Gọi M ; a  
 C , (với a  0 ) theo tham số thỏa mãn điều kiện đã cho .  a  2 
B2: Tìm các đường tiệm cận của hàm số.
B3: Tính khoảng cách từ M đến các tiệm cận.
B4: Tính tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là nhỏ nhất để tìm được tham số  M . Lời giải Chọn A x  2  a  2 
Vì M là điểm có hoành độ dương thuộc đồ thị hàm số y  nên M ; a   (với a  0 ). x  2  a  2 
Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là :  : x  2 và  : y  1. 1 2 a  2 4 4 Suy ra : d  d |  a  2 | và d  d  1    1 M ; 2 M;2 1  a  2 a  2 | a  2 | Vây tổng khoàng cách từ M đến hai đường tiệm cận là: 4 4 d  d  d |  a  2 |   2 | a  2 |  4. 1 2 | a  2 | | a  2 | 4 4
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có .| a  2 |   2 | a  2 |  4. | a  2 | | a  2 | 4 a  2  2 a  4 Dấu bằng xảy ra khi : 2 a  2   (a  2)  4    . | a  2 | a 2 2      a  0
Mà a  0  a  4. Vậy M 4;3.
DẠNG 21: NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ
Câu 94. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số y  f  x liên tục trên 
và có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây SAI? y 2 x -2 -1 O 1 2 -2
A. Giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x trên đoạn 2;2 bằng 2. TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 87
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
B. Hàm số y  f  x có cực tiểu bằng 1  .
C. Hàm số y  f  x có hai điểm cực trị.
D. Nếu m  2 thì phương trình f  x  m có nghiệm duy nhất.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán lí thuyết tổng hợp về hàm số.
2. Hướng giải: Xét các mệnh đề và loại trừ các mệnh đề đúng, đồng thời chọn ra mệnh đề sai. Lời giải Chọn B
Dựa vào đồ thị có BBT của hàm số y  f  x trên 2;2 như sau: ► A đúng.
► B sai vì hàm số y  f  x có giá trị cực tiểu bằng 2  hay cực tiểu bằng 2  .
► C đúng vì hàm số y  f  x có hai điểm cực trị x  1, x  1. CT C§  m  2
► D đúng vì m  2  
, phương trình f  x  m có nghiệm duy nhất. m  2
Câu 95. (SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho bảng biến thiên sau: x ∞ 1 0 + ∞ y' + 1 +∞ 1 y 0 ∞
Bảng biến thiên trên là của hàm số nào trong các hàm số sau đây? x 1 x A. y   B. y   C. y   D. y  x  x   1 . x 1 x x   1 x 1
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán dựa vào bảng biến thiên để tìm hàm số.
2. Hướng giải: Dựa vào bảng biến thiên tìm các tiệm cận, đồng thời dựa vào các hàm số loại
trừ hàm số không thỏa mãn. Chọn được đáp án đúng và kiểm tra lại các điều kiện đúng đã thỏa mãn. Lời giải Chọn A Dựa vào BBT, suy ra:
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x  1   Loại đáp án D.
Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận ngang là y  1   Loại đáp án B.
Hàm số không có đạo hàm tại x  0  Loại đáp án C. Xét đáp án A ta có: Trang 88 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020 TXĐ: D   \  1 .
lim y   và lim y   , suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x  1  . x 1  x 1  | x | x 1  lim y  lim  lim  lim  1. x x x 1 x  1 x  1 x 1 1    x  x | x | x 1 lim y  lim  lim  lim  1. x x x 1 x  1 x  1 x 1 1    x  x
Suy ra đồ thị hàm số có các đường tiệm cận ngang là y  1  .  lim y     x 1    x  1
 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. lim y   x 1  | x | f (x)  f (0)  1 x 1 lim  lim  lim 1. x 0  x 0 x 0 x 0 x     x 1 | x | f (x)  f (0)  1 x 1 lim  lim  lim  1  . x 0  x 0 x 0 x 0 x     x 1 f (x)  f (0) f (x)  f (0) Ta thấy lim  lim
nên hàm số không có đạo hàm tại x  0. x 0  x 0 x 0    x  0 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 89
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
DẠNG 22: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH DỰA VÀO ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN
Câu 96. (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như hình vẽ sau.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f  x  m  0 có 4 nghiệm phân biệt. A. m  1;2. B. m 1;2. C. m  1;2. D. m 1;2.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên. 2. Hướng giải:
B1: Dựa vào bảng biến thiên tìm giá trị cực tiểu và giá trị cực đại.
B2: Đường thẳng y  m là đường thẳng song song hoặc trùng với O . x
B3: Suy ra tham số m để phương trình có số nghiệm thỏa mãn. Lời giải Chọn C
Ta có f  x  m  0  f x  m . Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
đồ thị hàm số y  f  x cắt đồ thị hàm số y  m tại 4 điểm phân biệt.
Theo bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y  f  x cắt đồ thị hàm số y  m tại 4 điểm phân
biệt khi và chỉ khi 1  m  2.
Câu 97. (SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH NĂM 2018-2019) Cho hàm số y  f  x liên tục trên R và có đồ
thị như hình vẽ. Tập hợp nghiệm của phương trình f  f x 1  0 có bao nhiêu phần tử? A. 4 . B. 7 . C. 6 . D. 9 .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán xét sự tương giao của đồ thị hàm số ( hàm số hợp ) với đường
thẳng y  b để ra số nghiệm của phương trình .
2. Hướng giải: f  f x 1  0  f  f  x  1.
B1: Xét đồ thị hàm số y  f  X  cắt đường thẳng y  1 tại bốn điểm phân biệt
X ; X ; X ; X . Dựa vào đồ thị , xác định vị trí tương đối của 4 giá trị này. 1 2 3 4 Trang 90 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
B2: Thay vai trò của X ; X ; X ; X bởi f  x trong từng trường hợp. Lặp lại quá trình xét sự 1 2 3 4
tương giao của đồ thị hàm số y  f  x với đường thẳng y  b , trong đó b là giá trị thỏa mãn
vị trí tương đối của X ; X ; X ; X . 1 2 3 4
Tuy nhiên , nếu có những trường hợp có hai hoành độ giao điểm nào đó có thể thuộc cùng
một khoảng chung ( khi đó hai nghiệm có thể trùng nhau ) thì ta cần lý luận về tính đơn điệu
của hàm số trong khoảng đó để loại trừ khả năng trùng nghiệm.
B3: Khi đó số nghiệm của phương trình f  f  x 1  0 bằng tổng số giao điểm của cả 4
trường hợp xét trong bước 2.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D  f  x  a  2 
 f  x  b 2;  1
Dựa vào đồ thị ta có f  f x 1  0  f  f  x  1    f  x  0   f   x  c  2 . x  x  2  + Với f  x  a  2  1   x  x  2  2 x  x  2 3 x  x  2  ;1  4  
.+ Với f  x  b 2  ;  1   . x  x  1;0 5    x  x  2  6 x  x  2 7  + Với f  x  0  x   x  2;1 8   x  x  2;3  9  
+ Với f  x  c  2 vô nghiệm.
Ta thấy hàm số y  f  x đơn điệu trên ; 2 , f  x  a  b  f x nên x  x . 1   3 1 3
Hàm số y  f  x đơn điệu trên 2;  , f  x  b  0  f x nên x  x . 6   9 6 9
Vậy phương trình đã cho có 9 nghiệm phân biệt.
Câu 98. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số y  f  x thỏa mãn f   7
0  và có bảng biến thiên như sau: 6 3 f  x 13 2  f  x f x 1 2 7 
Giá trị lớn nhất của tham số m để phương trình 2 2 e
 m có nghiệm trên đoạn TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 91
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT 0;2 là 15 A. 2 e . B. 13 e . C. 4 e . D. 3 e .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán tìm giá trị của tham số m để phương trình f  x  m có
nghiệm trên một đoạn. Phương pháp chung là tìm GTNN, GTLN của hàm số trên đoạn đó rồi
chặn m bởi hai giá trị đó. 3 f x 13 2  f x f  x 1 2 7 
2. Hướng giải: Phương trình 2 2 e  m 13 1 3  2 f  x 2 
f  x  7 f  x   ln m , (m  0). 2 2
B1: Đổi biến t  f  x. Từ điều kiện x 0; 
2 dựa vào BBT để lý luận về điều kiện của t.
B2: Chuyển bài toán về tìm điều kiện của tham số m để phương trình g t  ln m có nghiệm
trên miền điều kiện của t. Cụ thể là tính đạo hàm , lập BBT của g t  rồi tìm
max g t;min g t . Cho ln m bị chặn giữa max g t;min g t .
B3: Khi đó m đạt GTLN khi ln m đạt GTLN  ln m  max g t.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A 3 f x 13 2  f x f  x 1 2 7  13 1 Phương trình 2 2 e  m 3  2 f  x 2 
f  x  7 f  x   ln m , (m  0). 2 2
Đặt t  f  x. Với x0;2 và từ bảng biến thiên  t  1  ;max 
 f 0, f 2 7 15 7
Vì f 0  , f 2  f 3   nên  f   f   7 max 0 , 2  M  . 6 13 6 6   Do đó t   7 1; M  1; .    6  13 1
Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất của m để phương trình 3 2 ln m  2t  t  7t  (*) 2 2
có nghiệm t 1;M . 13 1 Xét hàm số g t 3 2  2t  t  7t  , t 1; M . 2 2 g t 2 '  6t 13t  7 t  1 g 't 0    7 t   6 Bảng biến thiên Trang 92 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (*) có nghiệm g M   ln m  g   1
max ln m = max g t  g   2 1  2  max m  e . 1;M 
Vậy giá trị lớn nhất của m để phương trình cho có nghiệm x 0;2 là 2 e .
Câu 99. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH 2018-2019) Cho hàm số f  x 3 2
 x  3x . Tính tổng tất cả các giá
trị nguyên của m để đồ thị hàm số g  x  f  x   m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. A. 3. B. 10. C. 4. D. 6.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán về đồ thị hàm số có giá trị tuyệt đối dạng y  f  x  được suy
ra từ đồ thị hàm số y  f  x đã có hoặc dễ vẽ. 2. Hướng giải:
B1: Vẽ đồ thị hàm số f  x 3 2  x 3x (C) .
B2: Để vẽ đồ thị hàm số y  f  x  từ đồ thị y  f  x ta thực hiện:
Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị y  f  x (C) gồm các điểm bên phải và các điểm nằm trên
trục Oy ; bỏ phần đồ thị bên trái trục Oy .Ta được phần đồ thị P. 1
Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị P qua trục Oy ta được phần đồ thị P . 1 2
Khi đó: Đồ thị y  f  x  bao gồm đồ thị P và P . . 1 2
B3: Số giao điểm của (C ') với đường thẳng y  m chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
g  x  f  x   m với trục hoành. Vậy để có 4 giao điểm thì điều kiện của m thuộc khoảng
nào đó. Từ đó ta chọn các số nguyên rồi tính tổng.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D Xét hàm số f  x 3 2
 x 3x . Ta có đồ thị hàm số y  f x như sau: TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 93
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
Từ đó ta có đồ thị hàm số y  f  x  3 2  x  3 x như sau:
Để đồ thị hàm số g  x  f  x   m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì phương trình
g  x  0 có 4 nghiệm phân biệt. Do đó phương trình f  x   m có 4 nghiệm phân biệt hay
đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số y  f  x  3 2
 x  3 x tại 4 điểm phân biệt.
Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  suy ra bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi
4  m  0  0  m  4. .
Kết hợp yêu cầu đề bài m Z , do đó m1;2;  3 .
Vậy tổng các giá trị nguyên của m thỏa mãn là: 1 2  3  6.
Câu 100. (CỤM 1 SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho đồ thị của hàm số 3 2
y  x  6x  9x  2 như hình vẽ. y 2 3 O 1 x 2  Khi đó phương trình 3 2
x  6x  9x  2  m ( m là tham số) có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi. A. 2   m  2 . B. 0  m  2 C. 0  m  2 . D. 2   m  2 .
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán về đồ thị hàm số có giá trị tuyệt đối dạng y  f  x được suy
ra từ đồ thị hàm số y  f  x đã có hoặc dễ vẽ.
2. Hướng giải: Gọi đồ thị hàm số 3 2
y  x  6x  9x  2 là (C ). Trang 94 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2019-2020 B1: Đồ thị hàm số 3 2
y  x  6x  9x  2 (C ') có được bằng cách biến đổi đồ thị (C) của hàm số 3 2
y  x  6x  9x  2 như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên trục hoành.
- Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) phần dưới trục hoành qua trục hoành.
- Xóa phần đồ thị còn lại của (C) phía dưới trục hoành.
B2: Số nghiệm của phương trình 3 2
x  6x  9x  2  m chính là số giao điểm của đồ thị (C ')
với đường thẳng y  m . B3: Phương trình 3 2
x  6x  9x  2  m có 6 nghiệm phân biệt khi đồ thị (C ') và đường thẳng
y  m có 6 giao điểm phân biệt.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B Gọi đồ thị hàm số 3 2
y  x  6x  9x  2 là (C). Đồ thị hàm số 3 2
y  x  6x  9x  2 (C ') có được bằng cách biến đổi đồ thị (C) của hàm số 3 2
y  x  6x  9x  2 như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên trục hoành.
- Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) phần dưới trục hoành qua trục hoành.
- Xóa phần đồ thị còn lại của (C) phía dưới trục hoành. y y x   = x3 6∙x2 + 9∙x 2 2 y = m x 1
+) Số nghiệm của phương trình 3 2
x  6x  9x  2  m là số giao điểm của đồ thị hàm số 3 2
y  x  6x  9x  2 và đồ thị hàm số y  m . Để phương trình có 6 nghiệm phân biệt thì điều
kiện cần và đủ là 0  m  2. .
Câu 101. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN Trang 95
CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG – 2018-2019
NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT  3sin x  cos x 1  f  f    2
m  4m  4 (1) có nghiệm?  2cos x  sin x  4  A. 3 . B. 4 . C. 5 . . D. Vô số.
Phân tích hướng dẫn giải
1.Dạng toán: Đây là dạng toán sử dụng tính đơn điệu của hàm số y  f  x để tìm điều kiện
có nghiệm của phương trình f U   f V   U  V. 2. Hướng giải: 3sin x  cos x 1 B1: Đổi biến t 
, sau đó tìm GTNN, GTLN của t bằng cách chuyển về tìm 2cos x  sin x  4
điều kiện để phương trình lượng giác dạng . a sin x  .
b cos x  c có nghiệm là 2 2 2 a  b  c .
B2: Chuyển phương trình về dạng f  t   f  2
m  4m  4 . Dựa vào đồ thị y  f x khẳng
định hàm số đồng biến trên 0; . Suy ra 2 t  m  4m  4.
B3: Từ điều kiện của t tìm ra điều kiện của .
m Sau đó chọn những giá trị nguyên.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A 3sin x  cos x 1 Đặt t   2t  
1 cos x  t  3sin x  1   4t   * . 2cos x  sin x  4 9
Phương trình * có nghiệm   t  2  t  2    t2 4 1 3 1 4    m  1. 11 Suy ra 0  t  1 .
Từ đồ thị y  f  x ta có
* y  f  x đồng biến trên 0;
* m  m   m  2 2 4 4 2 0; . * t 0;  1  3sin x  cos x 1  Nên f  f    2
m  4m  4  f  t   f  2 m  4m  4  2cos x  sin x  4  2
 t  m  4m  4 . Phương trình   1 có nghiệm 2
 0  m  4m  4  1 2  m  4m  4  1  3   m  1  . Do m Z  m 3  ; 2  ;  1 . Trang 96 TỔNG HỢP: HOÀNG TUYÊN