Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số – Huỳnh Đức Khánh Toán 12

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số – Huỳnh Đức Khánh Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

20 10 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

TRAÉC NGHIEÄM 12

TUYEÅN CHOÏN 2020 - 2021

HUỲNH ĐỨC KHÁNH (chủ biên)

Đăng ký mua trọn bộ trắc nghiệm 12 FILE WORD

Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH - 0975 120 189

https://www.facebook.com/duckhanh0205

Khi mua có sẵn file word đề riêng;

file word đáp án riêng thuận tiện cho việc dạy

Ngoài ra còn có

TRAÉC NGHIEÄM 11 - TUYEÅN CHOÏN 2020 – 2021 (bản mới nhất)

TRAÉC NGHIEÄM 10 - TUYEÅN CHOÏN 2020 – 2021 (bản mới nhất)

CHUÛ ÑEÀ

ÖÙNG DUÏNG ÑAÏO HAØM ÑEÅ KHAÛO SAÙT

VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ

1) Định lí

Chú ý: Khoảng

trong định lí trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc một một nửa

khoảng. Khi đó phải bổ sung thêm giả thiết

Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa

khoảng đó

''.

Chẳng hạn:

Giả sử hàm số

 

f x

có đạo hàm trên khoảng



Nếu

 

f x





với mọi

thuộc

thì hàm số

 

f x

đồng biến trên



Nếu

 

f x





với mọi

thuộc

thì hàm số

 

f x

nghịch biến trên



Nếu

 

f x





với mọi

thuộc

thì hàm số

 

f x

không đổi trên

SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN

CUÛA HAØM SOÁ

Nếu hàm số

 

f x

liên tục trên đoạn

 

;a b

và có đạo hàm

 

f x





trên khoảng

 

;a b

thì hàm số

 

f x

đồng biến trên đoạn

 

; .a b

2) Định lí mở rộng

Chú ý: Tuy nhiên một số hàm số có

 

f x





tại vô hạn điểm nhưng các điểm rời rạc

thì hàm số vẫn đơn điệu. Ví dụ: Xét hàm số

2 sin 2 .y x x 

Ta có

 

2 2 cos 2 2 1 cos 2 0, .

y x x x



       

 



0 1 cos 2 0 y x x k k





      

có vô hạn điểm làm cho





nhưng

các điểm đó rời rạc nên hàm số

2 sin 2y x x 

đồng biến trên

.

Dạng 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT

Câu 1. Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm trên

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Nếu hàm số

 

f x

đồng biến trên khoảng K thì

 

0, K.

f x x



  

B. Nếu

 

0, K

f x x



  

thì hàm số

 

f x

đồng biến trên K.

C. Nếu

 

0, K

f x x



  

thì hàm số

 

f x

đồng biến trên K.

D. Nếu

 

0, K

f x x



  

và

 

f x





chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số

đồng biến trên K.

Lời giải. Theo định lí mở rộng thì đáp án C sai. Chọn C.

Câu 2. Cho hàm số

 

f x

xác định trên

 

; ,a b

với

1 2

, x x

bất kỳ thuộc

 

; .a b

Mệnh đề

nào sau đây đúng?

A. Hàm số

 

f x

đồng biến trên

 

;a b

khi và chỉ khi

   

1 2 1 2

.x x f x f x  

B. Hàm số

 

f x

đồng biến trên

 

;a b

khi và chỉ khi

   

1 2 1 2

.x x f x f x  

C. Hàm số

 

f x

nghịch biến trên

 

;a b

khi và chỉ khi

   

1 2 1 2

.x x f x f x  

D. Hàm số

 

f x

nghịch biến trên

 

;a b

khi và chỉ khi

   

1 2 1 2

.x x f x f x  

Lời giải. A sai. Sửa lại cho đúng là

   

1 2 1 2

'' ''.

x x f x f x

  

B sai: Sửa lại cho đúng là

   

1 2 1 2

'' ''.

x x f x f x

  

C sai: Sửa lại cho đúng là

   

1 2 1 2

'' ''.

x x f x f x

  

D đúng (theo định nghĩa). Chọn D.

Giả sử hàm số

 

f x

có đạo hàm trên khoảng

. Nếu

 

f x





với mọi



(hoặc

 

f x





với mọi



) và

 

f x





chỉ tại một số hữu hạn

điểm của

thì hàm số

 

f x

đồng biến (nghịch biến) trên

Câu 3. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Nếu hàm số

 

f x

đồng biến trên

 

;a b

thì hsố

 

f x

nghịch biến trên

 

; .a b

B. Nếu hàm số

 

f x

đồng biến trên

 

;a b

thì hsố

 

f x

nghịch biến trên

 

; .a b

C. Nếu hsố

 

f x

đồng biến trên

 

;a b

thì hsố

 

2020

f x



đồng biến trên

 

; .a b

D. Nếu hsố

 

f x

đồng biến trên

 

;a b

thì hsố

 

2020

f x

 

nghịch biến

 

; .a b

Lời giải. Ví dụ hàm số

 

f x x

đồng biến trên

 

; , 

nhưng hàm số

 

1 1

f x x



nghịch biến trên các khoảng

 

;0

và

 

0; .

Do đó B sai. Chọn B.

Câu 4. (ĐHSP Hà Nội lần 3, năm 2018-2019) Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm trên

,

thỏa mãn

 

f x





với mọi

 

Mệnh đề nào sau đây đúng?

   

1 2

f x f x

với mọi

1 2

, x x

 

và

1 2

.x x

 

f x



với mọi

1 2

, x x

 

và

1 2

.x x

   

2 1

f x f x

x x







với mọi

1 2

, x x

 

và

1 2

.x x

   

2 1

f x f x

x x







với mọi

1 2

, x x

 

và

1 2

.x x

Lời giải. Từ giả thiết

 

f x





với mọi

 

suy ra

 

f x

nghịch biến trên

.

Do đó đáp án D đúng. Chọn D.

Dạng 2. TÍNH CHẤT

Câu 5. Cho hàm số

 

y f x

đồng biến trên khoảng

 

; .a b

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số

 

y f x

 

đồng biến trên

 

; .a b

B. Hàm số

 

y f x

 

đồng biến trên

 

; .a b

C. Hàm số

 

y f x 

nghịch biến trên

 

; .a b

D. Hàm số

 

y f x

  

nghịch biến trên

 

; .a b

Lời giải. Chọn A. Phép tịnh tiến lên trên hay xuống dưới không làm thay đổi khoảng

đồng biến, nghịch biến. Nhưng tịnh tiến sang trái, sang phải thì thay đổi.

Câu 6. Nếu hàm số

 

y f x

đồng biến trên khoảng

 

1;2

thì hàm số

 

y f x

 

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

 

1;2 .

 

1;4 .

 

3;0 .

 

2;4 .

Lời giải. Tịnh tiến đồ thị hàm số

 

y f x

sang trái

đơn vị, ta sẽ được đồ thị của

hàm số

 

2 .

y f x

 

Vì hàm số

 

y f x

đồng biến trên khoảng

 

1;2

nên hàm số

 

y f x

 

đồng biến trên

 

3;0 .

Chọn C.

Cách 2. Từ giả thiết suy ra

 

0 1 2.

f x x



    

Xét

   

2 .

g x f x

 

Ta có

   

gia thiet

2 0 1 2 2 3 0.

g x f x x x

 

           

Câu 7*. Nếu hàm số

 

y f x

đồng biến trên khoảng

 

0;2

thì hàm số

 

2g f x

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

 

0;2

. B.

 

0;4

. C.

 

0;1

. D.

 

2;0

Lời giải. Chọn C. Từ giả thiết suy ra

 

0 0 2.

f x x



   

Xét

   

2 .g x f x

Ta có

     

gia thiet

2 2 0 2 0 0 2 2 0 1.

g x f x f x x x

  

         

Câu 8. Cho hàm số

 

3 2

8 cosf x x x x x   

và hai số thực

, a b

sao cho

.a b

Mệnh đề nào sau đây đúng?

   

.f a f b

   

.f a f b

   

.f a f b

D. Không so sánh được

 

f a

và

 

f b

Lời giải. Tập xác định:

. D

Đạo hàm:

 

2 2

3 2 8 sin 3 2 1 7 sin 0, .

f x x x x x x x x



            

Suy ra

 

f x

đồng biến trên

.

Do đó với mọi số thực

   

a b f a f b  

. Chọn C.

Câu 9. Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm trên



sao cho

 

0, 0.

f x x



  

Biết

2,718.



Mệnh đề nào sau đây đúng?

       

3 4 .

f e f f f

  

   

f e f

 

     

2 2 .

f e f f

 

     

1 2 2 3 .

f f f

 

Lời giải. Từ giả thiết suy ra hàm số

 

f x

đồng biến trên khoảng

 



. Do đó



   

       

3 3

3 4 .

4 4

e f e f

f e f f f

f f



 



   



   





  





Vậy A đúng. Chọn A.



       

e f e f f e f

       

Vậy B sai.

Tương tự cho các đáp án C và D.

Câu 10. Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm

 

2, .

f x x x



    

Mệnh đề nào sau

đây đúng?

   

1 1 .

f f

 

   

1 1 .

f f

 

   

1 1 .

f f

 

   

1 1 .

f f

 

Lời giải. Có

 

2 0

f x x



   

hàm số đồng biến. Do đó

   

1 1 .

f f

 

Chọn D.

Câu 11. Cho hàm số

 

4 2

2 1

f x x x

  

và hai số thực

 

, 0;1

u v



sao cho

.u v

Mệnh đề nào sau đây đúng?

   

.f u f v

   

.f u f v

   

.f u f v

D. Không so sánh

 

f u

và

 

f v

được.

Lời giải. Tập xác định:

. D

Đạo hàm:

 

3 2

4 4 4 1 ; 0 .

f x x x x x f x







 

     



 



Vẽ bảng biến thiên ta thấy được hàm số nghịch biến trên

 

0;1 .

Do đó với

 

, 0;1

u v



thỏa mãn

   

.u v f u f v  

Chọn C.

Câu 12. Hàm số

3 2

y ax bx cx d   

đồng biến trên



khi

0; 0

0; 3 0

a b c

a b ac



  



  



0; 0

0; 3 0

a b c

a b ac



  



  



0; 0

0; 3 0

a b c

a b ac



  



  



0; 0

0; 3 0

a b c

a b ac



  



  



Lời giải. Quan sát các đáp án, ta sẽ xét hai trường hợp là:

a b

 

và





Nếu

a b

 

thì

y cx d 

là hàm bậc nhất



để

đồng biến trên



khi





Nếu



ta có

3 2 .y ax bx c



  

Để hàm số đồng biến trên



0,y x



    

3 0

b ac







 

 

 

 



 

 

 



Chọn D.

Dạng 3. BẢNG BIẾN THIÊN

Câu 13. [KHTN Hà Nội lần 1, năm 2018-2019] Cho hàm số

 

f x

có bảng biến

thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

 

; 1 . 

 

1; . 

 

1;3 .

 

3; .

Lời giải. Chọn C.

Câu 14. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2018-2019] Cho hàm số

 

f x

có bảng biến thiên sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

 

2;0 .

 

2; .

 

0;2 .

 

0; .

Lời giải. Chọn C.

Câu 15. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số

 

y f x

có bảng xét dấu đạo

hàm như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng

 

2;0 .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng

 

;0 .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 

0;2 .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 

; 2 . 

Lời giải. Chọn C.

Câu 16. Cho hàm số

 

y f x

có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào

sau đây đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng

;

 





 









 

và

 

3; .

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

; .

 





 









 

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

 

3; .

D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

 

;3

Lời giải. Chọn C.

Câu 17. Cho hàm số

 

y f x

có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào

sau đây đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng

 

 

và

 

; 2 . 

B. Hàm số đã cho đồng biến trên

   

; 1 1;2 .   

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

 

0;2 .

D. Hàm số đã cho đồng biến trên

 

2;2

Lời giải. Hàm số đồng biến trên khoảng

 

1;2 ,

mà

   

0;2 1;2 

nên suy ra C đúng.

Chọn C.

Câu 18. Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



và có bảng biến thiên như sau

Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?

i) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng

 

; 5 

và

 

3; 2 . 

ii) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

 

;5 .

iii) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

 

2; . 

iv) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

 

; 2 . 

Lời giải. Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên

khoảng

 

; 2 ; 

nghịch biến trên khoảng

 

2; . 

Suy ra ii) Sai; iii) Đúng; iv) Đúng và i) Đúng (vì

   

; 5 ; 3    

). Chọn A.

Dạng 4. ĐỒ THỊ HÀM

 

f x

Câu 19. [ĐỀ THAM KHẢO 2018-2019] Cho hàm số

 

f x

có

đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào

trong các khoảng sau đây?

 

0;1 .

 

;1 .

 

1;1 .

 

1;0 .

Lời giải. Chọn D.

Câu 20. Cho hàm số

 

f x

xác định, liên tục trên



và

có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số đồng biến trên

 

1; .

B. Hàm số đồng biến trên

 

; 1 

và

 

1; .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 

1;1 .

D. Hàm số đồng biến trên

   

; 1 1; .   

Lời giải. Dựa vào đồ thị ta có kết quả: Hàm số đồng biến trên

 

; 1 

và

 

1; ,

nghịch biến trên

 

1;1

nên các mệnh đề A, B, C đúng.

Theo định nghĩa hàm số đồng biến trên khoảng

 

;a b

thì mệnh đề D sai.

Ví dụ: Ta lấy

   

1,1 ; 1 , 1,1 1; : 1,1 1,1       

nhưng

   

1,1 1,1 .

f f

 

Chọn D.

Câu 21. (Đại học Vinh lần 2, năm 2018-2019) Cho

hàm số

 

f x

có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đồng

biến trên khoảng nào sau đây?

 

2;4 .

 

0;3 .

 

2;3 .

 

1;4 .

Lời giải. Chọn C.

Câu 22. (Đại học Vinh lần 3, năm 2018-2019) Cho hàm số

 

f x

có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến

trên khoảng nào trong các khoảng sau?

 

0;2 .

 

2;0 .

 

3; 1 . 

 

2;3 .

Lời giải. Chọn D.

Câu 23. (Đại học Vinh lần 1, năm 2018-2019) Cho

hàm số

 

f x

có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau

đây đúng về hàm số đó?

A. Nghịch biến trên khoảng

 

1;0 .

B. Đồng biến trên khoảng

 

3;1 .

C. Đồng biến trên khoảng

 

0;1 .

D. Nghịch biến trên khoảng

 

0;2 .

Lời giải. Chọn C.

Câu 24*. (Đại học Vinh lần 3, năm 2018-2019) Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị như hình bên. Hàm số

   

g x f x 

đồng

biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

 

1;2 .

 

;2 .

 

2; .

 

2;2 .

Lời giải. Ta có

   

2 .g x f x

 

 

Hàm số

 

g x

đồng biến

 

g x



 

hay

   

2. 0 0.

f x f x

 

   

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có

 

0 0 2.

f x x



   

Chọn A.

Dạng 5. XÉT KHOẢNG ĐỒNG BIẾN,

NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Câu 25. Cho hàm số

y x x  

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên

.

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên

 

;1 .

C. Hàm số đã cho đồng biến trên

 



và nghịch biến trên

 

;1 .

D. Hàm số đã cho đồng biến trên

 

;1

và nghịch biến

 

1; .

Lời giải. Đạo hàm:

 

2 1 1 0, y x x x x



        

và

0 1.

y x



  

Suy ra hàm số đã cho luôn đồng biến trên

.

Chọn A.

Câu 26. Hàm số

3 2

3 9

   y x x x m

nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

 

1;3 .

 

; 3 

hoặc

 

1; .

 

; . 

 

; 1 

hoặc

 

3; .

Lời giải. Ta có

2 2

3 6 9 0 3 6 9 0 1 3.

y x x x x x



           

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

 

1;3 .

Chọn A.

Câu 27. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên toàn trục số?

3 2

3 .y x x 

3 2

3 3 2.

y x x x

    

3 1.

y x x

   

.y x

Lời giải. Để hàm số nghịch biến trên toàn trục số thì hệ số của

phải âm. Do đó A

& D không thỏa mãn.

Xét B: Ta có

 

3 6 3 1 0, y x x x x



          

và

0 1.

y x



  

Suy ra hàm số này luôn nghịch biến trên

.

Chọn B.

Câu 28. (ĐỀ MINH HỌA 2016-2017) Hàm số

2 1

y x

 

đồng biến trên khoảng nào

trong các khoảng sau?

; .

 





 









 

; .

 





 









 

 

;0 .

 

0; .

Lời giải. Đạo hàm:

8 .y x





Hàm số đồng biến

0 8 0 0.

y x x



     

Chọn D.

Câu 29. Cho hàm số

4 2

2 4 .y x x 

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên

   

; 1 0;1 .  

B. Hàm số đã cho đồng biến trên

 

2;0 .

C. Hàm số đã cho đồng biến trên

 

2; . 

D. Hàm số đã cho đồng biến trên

 

2; .

Lời giải. Đạo hàm:

 

3 2

8 8 8 1 ; 0 .

y x x x x y







 

     



 



Dựa vào BBT, ta thấy hàm số đồng biến trên từng khoảng

 

1;0

và

 

1; .

Vì

   

2; 1;

  

nên đáp án D đúng. Chọn D.

Câu 30. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên



3 2

3 4.

y x x

  

3 2

2 1.

y x x x

    

4 2

2 2.

y x x

   

4 2

3 2.

y x x

  

Lời giải. Hàm trùng phương không thể nghịch biến trên



. Do đó ta loại C & D.

Để hàm số nghịch biến trên



số thì hệ số của

phải âm. Do đó loại A.

Vậy chỉ còn lại đáp án B. Chọn B.

Thật vậy: Với

3 2 2

2 1 3 2 2 0, .

y x x x y x x x



             

Câu 31. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Cho hàm







Chọn mệnh đề đúng:

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 

; 1 . 

B. Hàm số đồng biến trên khoảng

 

; 1 . 

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 

; .  

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 

1; .  

Lời giải. TXĐ:

 

\ 1 . 

Đạo hàm:

 



 



với mọi

 D

Chọn B.

Câu 32. Các khoảng nghịch biến của hàm số

2 1







là

 

\ 1 .

   

;1 1; .  

 

;1

và

 

1; .

 

; . 

Lời giải. TXĐ:

 

\ 1 . 

Đạo hàm:

 





 



với mọi

 D

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng

 

;1

và

 

1; .

Chọn C.

Chú ý: Sai lầm hay gặp là chọn A hoặc B. Lưu ý rằng khi kết luận hàm bậc nhất trên

bậc nhất là đồng biến (nghịch biến) trên từng khoảng xác định.

Câu 33. Cho hàm số

2 1







Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên

.

B. Hàm số đã cho đồng biến trên

 

\ 2 .

C. Hàm số đã cho đồng biến trên

 

;0 .

D. Hàm số đã cho đồng biến trên

 

1; .

Lời giải. TXĐ:

 

\ 2 . 

Đạo hàm:

 



 



với mọi

 D

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng

 

; 2 

và

 

2; . 

Suy ra hàm số đồng biến trên

 

1; .

Chọn D.

Bình luận: Hàm số đồng biến trên tất cả các khoảng con của các khoảng đồng biến

của hàm số. Cụ thể trong bài toán trên:



Hàm số đồng biến trên

 

2; ; 



   

1; 2; .   

Suy ra hàm số đồng biến trên

 

1; .

Câu 34. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Hàm số nào dưới đây đồng biến trên



3 3 2.

y x x

  

2 5 1.

y x x

  

4 2

3 .y x x 







Lời giải. Đặc trưng hàm trùng phương là không đồng biến trên

.

Loại C.

Hàm bậc nhất trên bậc nhất cũng không đồng biến trên

.

Loại D.

Xét đáp án A, ta có TXĐ:

. D

Đạo hàm:

9 3 0, .

y x x



     

Chọn A.

Câu 35. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số

2 1.

y x

 

Mệnh đề nào sau

đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 

1;1 .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng

 

0; .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng

 

;0 .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 

0; .

Lời giải. TXĐ:

. D

Đạo hàm:

;

2 1







0 0.

y x



  

Ta có

0 0

y x



  

và

0 0.

y x



  

Suy ra hàm số nghịch biến trên

 

;0 ,

đồng biến trên

 

0; .

Chọn B.

Câu 36. Hàm số

y x x 

nghịch biến trên khoảng nào đã cho dưới đây?

 

1;1 .

 

1;2 .

 

0;1 .

 

0;2 .

Lời giải. TXĐ:

 

0;2 .

Đạo hàm:

; 0 1.

y y x

x x



 

   



Dựa vào BBT, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng

 

1;2 .

Chọn B.

Câu 37. Cho hàm số

1 4 .y x x   

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên

 

1;4 .

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên

1; .

 













 

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên

;4 .

 













 

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên

.

Lời giải. TXĐ:

 

1;4 .

Đạo hàm:

1 1

2 1 2 4

x x



 

 

Xét phương trình

 

1;4

0 1 4 1;4

1 4

y x x x

x x











        





  





Lập bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên khoảng

;4 .

 













 

Chọn C.

Câu 38*. Hàm số nào sau đây đồng biến trên



2 1







2 cos 2 5.

y x x

  

3 2

2 1.

y x x x

   

y x x

  

Lời giải. Chọn B. Vì

 

2 2sin 2 2 sin 2 1 0, y x x x



       

và

0 sin 2 1.

y x



   

Phương trình

sin 2 1

 

có vô số nghiệm nhưng các nghiệm tách rời nhau nên hàm số đồng

biến trên

.

Câu 39. Hàm số nào sau đây đồng biến trên











5 3.

y x x

  

tan .y x

Lời giải. Xét hàm số





Đạo hàm:

 

2 2

1 1

y x

x x



    

 



hàm số đồng biến trên

.

Chọn B.

Câu 40*. (ĐHSP Hà Nội lần 1, năm 2018-2019) Cho hàm số

 

2019

1 .

f x x 

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên

 

;0 .

B. Hàm số nghịch biến trên

 

;0 .

C. Hàm số nghịch biến trên

.

D. Hàm số đồng biến trên

.

Lời giải. TXĐ:

. D

Đạo hàm:

   

 

2018

2019. 2 1 .

f x x x



  

 

2018

1 0, x x

    

nên

 

0 2 0 0.

f x x x



     

Chọn A.

Dạng 6. BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ

Câu 41. Tìm tất các các giá trị thực của tham số

để hàm số

3 2

y x x mx m   

đồng biến trên tập xác định.





1 3.

  



Lời giải. TXĐ:

. D

Đạo hàm:

3 6 .y x x m



  

YCBT

0,y x



    

(





có hữu hạn nghiệm)

3 0

9 3 0







 

   

 

 



 

 



 



Chọn B.

Cách giải trắc nghiệm. Quan sát ta nhận thấy các giá trị

cần thử là:





thuộc B & C nhưng không thuộc A, D.





thuộc C & D nhưng không thuộc A, B.



Với

 

3 2 2

3 3 3 3 3 6 3 3 1 0, .

m y x x x y x x x x



              



Do đó ta loại A và D.



Với

3 2 2

2 3 2 2 3 6 2.

m y x x x y x x



         

Phương trình

0 3 6 2 0

y x x



    

có

nghiệm phân biệt nên



không thỏa.

Câu 42. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số

 

3 2

4 9 5

y x mx m x

     

với

là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

để hàm số nghịch biến trên



Lời giải. TXĐ:

. D

Đạo hàm:

3 2 4 9.

y x mx m



    

Hàm số đã cho nghịch biến trên



0,y x



    

(





có hữu hạn nghiệm)

 

0 3 4 9 0 9 3

m m m



           

 

9; 8;...; 3 .



    



Chọn D.

Sai lầm hay gặp là

Hàm số đã cho nghịch biến trên



0,y x



    

. Khi đó ra

giải ra

9 3

  

và chọn B.

Câu 43. Cho hàm số

 

3 2

2 3

y x x m x m    

. Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số

để hàm số đồng biến trên

.

 



Lời giải. TXĐ:

. D

Đạo hàm:

4 3.

y mx x m



   

Yêu cầu bài toán

0, y x



    

(





có hữu hạn nghiệm):

TH1:





thì

4 3 0

y x x



     

(không thỏa mãn).

TH2:



3 4 0

a m

m m





 



 







     





Suy ra giá trị

nhỏ nhất thỏa mãn bài toán là



Chọn D.

Câu 44. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Hỏi có bao nhiêu số nguyên

để hàm số

 

2 3 2

1 1 4

y m x m x x

     

nghịch biến trên khoảng

 

;

 

Lời giải. TH1:





Ta có

y x

  

là phương trình của một đường thẳng có

hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên

.

Do đó nhận



TH2:



 

Ta có

2 4

y x x

   

là phương trình của một đường Parabol nên

hàm số không thể nghịch biến trên

.

Do đó loại

 

TH3:



 

Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng

 

;

 

0,y x



    

(





có hữu hạn nghiệm)

 

2 2

3 1 2 1 1 0, m x m x x

        

 

1 0

1 0.

1 3 1 0

m m







 







 

       

 

 



 

   

 









Vậy có

giá trị

nguyên cần tìm là



hoặc



Chọn C.

Câu 45. [ĐỀ THAM KHẢO 2018-2019] Tập hợp các giá trị thực của tham số

để

hàm số

 

3 2

6 4 9 4

y x x m x

   

nghịch biến trên khoảng

 

; 1 

là

 

;0 .

 

0; .

; .

 





 









; .

 





 









Lời giải. Đạo hàm:

3 4 9.

y x x m

   





Cách 1. (So sánh nghiệm) Yêu cầu bài toán



 

với mọi

 

; 1 .

  

TH1:





với mọi

 

 

0 36 3 4 9 0 .

m m



         

TH2:





có hai nghiệm phân biệt

thỏa mãn

1 2

x x  

   

  

 

1 2

1 2 1 2

1 2

1 1 0 2

4 2

1 0

1 1 0

x x x x

x x





      

  



 

  

  

  

   

  

  



vô lý.

Vậy

 

thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.

Cách 2. (Phương pháp hàm số) Yêu cầu bài toán



 

với mọi

 

; 1

  

   

3 12 9

3 4 9 0, ; 1 , ; .

x x

x x m x m x

 

              

 

Xét hàm số

 

3 12 9;

g x x x

  

 

6 12.

g x x



 

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

 

; 1

min

4 4

g x

 

  

Nhận xét: 1) Phương pháp hàm số chỉ dùng được khi cô lập tham số

dễ dàng.

2) Phương pháp hàm số chỉ tham khảo thêm vì bài này chưa học tới.

Câu 46*. Cho hàm số

 

3 2 2

1 2 3 2 2 2 1       

y x m x m m x m m

. Tìm tất cả

các giá trị thực của tham số

để hàm số đã cho đồng biến trên



2; .









2 .

m  

 

m 

Lời giải. Đạo hàm:

 

2 2

3 2 1 2 3 2 .

y x m x m m



     

Xét phương trình





có

 

   

2 2

1 3 2 3 2 7 1 0, .

m m m m m m



           



Suy ra phương trình





luôn có hai nghiệm

1 2

x x

với mọi

Hàm số đồng biến trên





 



phtrình





có hai nghiệm

1 2

, x x

thỏa

1 2

x x

 

   

  

 

1 2 1 2

1 2

2 2 0 4

2 4 0

2 2 0

x x x x

x x



      



 

 

 

   

  

 



 

2 1

2 3 2

2 1

2. 4 0

3 3



 













  





  





m m

2 .







    





  





Chọn B.

Nhận xét: 1) Nếu đề bài yêu cầu hàm số đồng biến trên

 



thì yêu cầu bài toán

vẫn là





có hai nghiệm

1 2

x x

 

2) Có thể giải như sau:

   

2 2

1 2

1 7 1 1 7 1

0 .

3 3

m m m m m m

y x x

       



    

Do đó ycbt

 

1 7 1

2 7 1 5 2 .

3 2

m m m

m m m m

   

          

Câu 47*. Cho hàm số

   

3 2

1 3 4.

y x m x m x

      

Tìm tất cả các giá trị thực

của tham số

để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

 

0;3 .

m 

m 



1 .

m 

Lời giải. Đạo hàm:

 

2 1 3.

y x m x m



     

Có

4 0, .

m m m



       

Suy ra phương trình





luôn có hai nghiệm

1 2

x x

với mọi

Hàm số đồng biến trên

 

0;3



phtrình





có hai nghiệm

1 2

, x x

thỏa

1 2

0 3

  x x

 

1. 0 0

3 0

9 6 1 3 0

1. 3 0

m m







 

 



   

 

 

     

 

 



Chọn A.

Cách 2. (Phương pháp hàm số)

YCBT

     

2 3

2 1 3 0, 0;3 , 0;3 .

2 1

x x

y x m x m x m x

 



             



 

Khảo sát hàm

 

2 3

2 1

x x

g x

 





trên

 

0;3 ,

ta được

 

   

0;3

max 3 .

g x g 

Do đó

 

* .

m 

Câu 48*. Cho hàm số

     

3 2

3 1 3 2 .f x x m x m m x    

Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số thực

để hàm số nghịch biến trên đoạn

 

0;1

D. Vô số.

Lời giải. Đạo hàm:

     

3. 2 1 2 ;

f x x m x m m

 



    

 

 

 

0 .

x m

f x

x m









 



 



Bảng biến thiên

Dựa vào BBT, ta có YCBT

   

0;1 ; 2 1 0.

2 1

m m m







       





 





Chọn C.

Câu 49*. Cho hàm số

 

4 2

2 1 2

y x m x m

    

với

là tham số thực. Tìm tất cả

các giá trị

để hàm số đồng biến trên khoảng

 

1;3 .

1 2.

 

1 2.

 



Lời giải. Đạo hàm:

   

3 2

4 4 1 4 1 ; 0 .

y x m x x x m y

x m





 



 

       

 

 



 





Nếu

1 0 1 0

m m y



     

có một nghiệm



và



đổi dấu từ

'' ''

sang

'' ''

khi qua điểm

 

hàm số đồng biến trên khoảng

 



nên đồng biến

trên khoảng

 

1;3

. Vậy



thỏa mãn.



Nếu

1 0 1 0 1.

m m y x m

x m









         



 



Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến tiên, ta có YCBT

1 1 2 1 2

m m m



       

Hợp hai trường hợp ta được



Chọn D.

Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để hàm số

4 2

y x mx 

nghịch

biến trên

 

;0

và đồng biến trên

 

0; .



. B.



. C.



. D.



Lời giải. Đạo hàm:

 

3 2

4 4 4 ; 0 .

y x mx x x m y

x m







 

     







TH1:



0 0

m y



  

có một nghiệm



và



đổi dấu từ

'' ''

sang

'' ''

khi

qua điểm

 

hàm số nghịch biến trên

 

;0

và đồng biến trên

 

0; .

TH2:



0 0

m y



  

có ba nghiệm phân biệt:

; 0; .m m

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng

 

m

và

 



, nghịch biến trên các khoảng

 

;



và

 

0; .m

Do đó trường hợp này

không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.

Cách khác. Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì hàm số chỉ có một cực trị

. 0 0

a b m

   

nhưng vấn đề cực trị ở bài này chưa học.

Câu 51. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số

2 3

mx m

x m

 





với

là tham

số thực. Gọi

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của

để hàm số đồng biến trên

các khoảng xác định. Tìm số phần tử của

D. Vô số.

Lời giải. Đạo hàm:

 

2 3

m m

x m

  







Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

y x m



   

 

2 3 0 1 3 0;1;2 .

m m m m



          



Chọn A.

Nhận xét: Sai lầm hay gặp là cho

 

0, 1 3 1;0;1;2;3 .

y x m m m





         



Câu 52. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2017-2018] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để hàm số

x m







nghịch biến trên khoảng

 

;2 .









Lời giải. Đạo hàm:

 

x m

 







Với

1 0 1

m m

    

thì

y x m



  



hàm số đã cho nghịch biến trên từng

khoảng

 

;m

và

 

; .



YCBT

   

;2 ; 2

m m

     

: (thỏa mãn). Chọn D.

Cách 2. YCBT

 

1 0

0, 2

y x

x m



   





  

  



  

    

  

  

 







  



Câu 53. Gọi

là tập hợp các số nguyên

để hàm số

2 1

m x







nghịch biến trên

khoảng

 

3; .

Tổng các phần tử của

bằng

35.

40.

45.

55.

Lời giải. TXĐ:

\ .

 



 



 

 

 

D

Đạo hàm:

 

2 1

m m









Hàm số nghịch biến trên khoảng

   

3; 0, 3;y x



     

 

2 2 2

10 0 10 0 10 0

, 3

1 1 1

3; 3

2 2 2

m m m m m m

m m m

  

  

     

  

    

  

  

  

   

  

  

 

0 10 1;2;3...;9 .

m m



    



Chọn C.

Câu 54. Tìm tất các các giá trị thực của tham số

để hàm số

x mx

 





nghịch

biến trên các khoảng xác định.







 

Lời giải. TXĐ:

   

;1 1; .   

Đạo hàm:

 

2 1

x x m

   







Yêu cầu bài toán

2 2

2 1 0, 2 1 0, x x m x x x m x

              D D

0 1 0

0 4 0

 

 

 

   

 

 

   

 

 

Chọn B.

Câu 55*. Tập hợp các giá trị thực của tham số

để hàm số

tan 2

tan 1

x m





 

đồng

biến trên khoảng



 













 

là

 

1; .

 

3; .

 

2;3 .

   

;1 2;3 . 

Lời giải. Đặt

tan ,t x

với

 

0; 0;1 .

x t



 





  









 

Hàm số trở thành

   

 

2 3

t m

y t y t

t m

 



  

 

Ta có

0, 0; ,

cos

t x



 







   









 

suy ra

tant x

đồng biến trên

0; .



 













 

Do đó YCBT

 

y t

đồng biến trên khoảng

 

0;1

   

0, 0;1

y t t



   

   

 

3 0

3 0 3 0 1

, 0;1 , 0;1 .

1 0;1

1 0 1 2 3

m m m

t t

t m m t m



    



    

 

  



       

  



  

 

      

 

   



Chọn D.

Câu 56*. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để hàm số

sin

sin 1

x m







nghịch

biến trên khoảng

; .



 













 

 

 

 

 

Lời giải. Đặt

sin ,t x

với

 

; 0;1 .

x t



 





  









 

Hàm số trở thành

   

 

t m m

y t y t

  



  



Ta có

cos 0, ; ,

t x x



 







   









 

suy ra

sint x

nghịch biến trên

; .



 













 

Do đó YCBT

 

y t

đồng biến trên khoảng

 

0;1

   

0, 0;1

y t t



   

 

1 0

, 0;1 1 0 1.

1 0

t m m



  



         





 





Chọn C.

Nhận xét. Khi ta đặt ẩn

nếu

là hàm đồng biến trên khoảng đang xét thì giữ

nguyên câu hỏi trong đề bài. Còn nếu

là hàm nghịch biến thì ta làm ngược lại câu

hỏi trong đề bài.

Câu 57*. Cho hàm số

 

1 1

f x

x m

 



 

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

thuộc

 

5;5

để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

 

3;0

Lời giải. Đặt

1 ,t x 

với

   

3;0 1;2 .

x t

   

Hàm số trở thành

   

 

1 1

t m

f t f t

t m

 



  



Ta có

 

0, 3;0 .

2 1

t x





    



Suy ra

t x 

nghịch biến trên

 

3;0 .

Do đó YCBT

 

f t

nghịch biến trên

 

1;2

   

0, 1;2

f t t



   

   

 

1 0

1 0 1 0

, 1;2 , 1;2

1;2

m m

t t

t m m t



   



   

 

  

      

  

  

 

   

 

  



 

 

5 5

1 0

1 1

5; 4;...;0 .



  



 





  







     

 







 

 





 









Chọn C.

Dạng 7. ĐỒ THỊ HÀM

 

f x



Câu 58*. Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm

 

f x



xác định,

liên tục trên



và

 

f x



có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh

đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên

 

1; .

B. Hàm số đồng biến trên

 

; 1 

và

 

3; .

C. Hàm số nghịch biến trên

 

;1 .

D. Hàm số đồng biến trên

 

1;3 .

Lời giải. Dựa vào đồ thị của hàm số

 

,f x



ta có nhận xét:



 

f x



đổi dấu từ

'' ''

sang

'' ''

khi qua điểm

 



 

f x



đổi dấu từ

'' ''

sang

'' ''

khi qua điểm



Do đó ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đáp án B đúng. Chọn B.

Câu 59*. Cho hàm số bậc bốn

 

,f x

có đạo hàm là

 

.f x



Đồ thị hàm số

 

f x



như hình bên. Mệnh đề nào

sau đây sai?

A. Hàm số

 

f x

đồng biến trên

 

2;1 .

B. Hàm số

 

f x

nghịch biến trên

 

1;1 .

C. Hàm số

 

f x

đồng biến trên

 



D. Hàm số

 

f x

nghịch biến trên

 

; 2 . 

Lời giải. Từ đồ thị của hàm số

 

,f x



ta có bảng biến thiên

Từ BBT suy ra

 

f x

đồng biến trên

 

2;1

 

f x

đồng biến trên

 

1;1 .

Do đó đáp án B sai. Chọn B.

Câu 60*. Cho hàm số

 

f x

có

   

f x x x



 

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

 

2; . 

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng

 

; 2 

và

 

0; .

C. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng

 

; 2 

và

 

0; .

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

 

2;0 .

Lời giải. Chọn A. Ta có

 

0 nghiem kep

0 .

f x









 



 



Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có



Hàm số

 

f x

đồng biến trên khoảng

 

2; . 



Hàm số

 

f x

nghịch biến trên khoảng

 

; 2 . 

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số

xác định trên tập hợp

 

 

D D

và

 D

được gọi là một điểm cực đại của hàm số

nếu tồn tại một khoảng

 

;a b

chứa điểm

sao cho

 

;a b

 D

và

   

f x f x

với mọi

   

; \ .x a b x

Khi đó

 

f x

được gọi là giá trị cực đại của hàm số

được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số

nếu tồn tại một khoảng

 

;a b

chứa điểm

sao cho

 

;a b

 D

và

   

f x f x

với mọi

   

; \ .x a b x

Khi đó

 

f x

được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số

Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị.

CHÚ Ý



Giá trị cực đại (cực tiểu)

 

f x

của hàm số

nói chung không phải là giá

trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số

trên tập hợp

;

 

f x

chỉ là giá trị lớn

nhất (nhỏ nhất) của hàm số

trên khoảng

 

;a b

nào đó chứa điểm chứa

CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ



Nếu

là một điểm cực trị của hàm số

thì người ta nói rằng hàm số

đạt cực trị tại điểm

và điểm có tọa độ

 

0 0

;

x f x

được gọi là điểm cực

trị của đồ thị hàm số



Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số

 

y f x

có đạo hàm trên

khoảng

 

;a b

và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại

thì

 

f x





2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

ĐỊNH LÍ 1

3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

ĐỊNH LÍ 2

ĐỊNH LÍ 3

4. Quy tắc tìm cực trị

QUY TẮC 1

1. Tìm tập xác định. Tính

 

.f x



2. Tìm các điểm tại đó

 

f x



bằng

hoặc

 

f x



không xác định.

3. Lập bảng biến thiên

4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

Giả sử hàm số

đạt cực trị tại điểm

Khi đó, nếu

có đạo hàm

tại

thì

 

f x





Giả sử hàm số

liên tục trên khoảng

 

;a b

chứa điểm

và có

đạo hàm trên các khoảng

 

;a x

và

 

; .x b

Khi đó

a) Nếu

 

f x





với mọi

 

;x a x

và

 

f x





với mọi

 

;x x b

thì hàm số

đạt cực tiểu tại điểm

b) Nếu

 

f x





với mọi

 

;x a x

và

 

f x





với mọi

 

;x x b

thì hàm số

đạt cực đại tại điểm

Giả sử hàm số

có đạo hàm cấp một trên khoảng

 

;a b

chứa điểm

 

f x





và

có đạo hàm cấp hai khác

tại điểm

a) Nếu

 

f x





thì hàm số

đạt cực đại tại điểm

b) Nếu

 

f x





thì hàm số

đạt cực tiểu tại điểm

Ví dụ: Áp dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số

 

3 2

1 4

3 .

3 3

f x x x x   

Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên

.

Ta có

 

2 3;

f x x x



  

 

0 1

f x x



   

hoặc



Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm

 

giá trị cực đại của hàm số là

 

1 3;

 

hàm số đạt cực tiểu tại điểm



giá trị cực tiểu của hàm số là

 

3 .

f  

QUY TẮC 2

1. Tìm tập xác định. Tính

 

.f x



2. Tìm các nghiệm

 

1,2,3...



của phương trình

 

f x





3. Tìm

 

f x



và tính

 

f x



Nếu

 

f x





thì hàm số đạt cực đại tại điểm

Nếu

 

f x





thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm

Ví dụ: Áp dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số

 

3 2

1 4

3 .

3 3

f x x x x   

Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên

.

Ta có

 

2 3;

f x x x



  

 

0 1

f x x



   

hoặc



 

2 2.

f x x



 

Vì

 

1 4 0



   

nên hàm số đạt cực đại tại điểm

 

 

1 3.

 

Vì

 

3 4 0



 

nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm



 

3 .

f  

Dạng 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT

Câu 1. Cho hàm số

 

f x

xác định, liên tục và có đạo hàm trên khoảng

 

; .a b

Mệnh

đề nào sau đây sai?

A. Nếu

 

f x

đồng biến trên

 

;a b

thì hàm số không có cực trị trên

 

; .a b

B. Nếu

 

f x

nghịch biến trên

 

;a b

thì hàm số không có cực trị trên

 

; .a b

C. Nếu

 

f x

đạt cực trị tại điểm

 

;x a b

thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

điểm

 

0 0

;

M x f x

song song hoặc trùng với trục hoành.

D. Nếu

 

f x

đạt cực đại tại

 

;x a b

thì

 

f x

đồng biến trên

 

;a x

và nghịch

biến trên

 

; .x b

Lời giải. Các mệnh đề A, B, C đều đúng theo định nghĩa trong SGK.

Xét mệnh đề D. Vì mệnh đề này chưa chỉ rõ ngoài

 

;x a b

là cực đại của

 

f x

thì

còn có cực trị nào khác nữa hay không. Nếu có thêm điểm cực đại (hoặc cực tiểu khác)

thì tính đơn điệu của hàm sẽ bị thay đổi theo.

Ví dụ: Xét hàm số

 

4 2

2 .f x x x 

Ta có

 

f x

đạt cực đại tại

 

2 ,

 

nhưng

 

f x

không đồng biến trên

 

2;0

và cũng không nghịch biến trên

 

0;2 .

Chọn D.

Câu 2. Cho khoảng

 

;a b

chứa điểm

hàm số

 

f x

có đạo hàm trên khoảng

 

;a b

(có thể trừ điểm

). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nếu

 

f x

không có đạo hàm tại

thì

 

f x

không đạt cực trị tại

B. Nếu

 

f x





thì

 

f x

đạt cực trị tại điểm

C. Nếu

 

f x





và

 

f x





thì

 

f x

không đạt cực trị tại điểm

D. Nếu

 

f x





và

 

f x





thì

 

f x

đạt cực trị tại điểm

Lời giải. Chọn D (theo định lí SGK). Các mệnh đề còn lại sai vì:

A sai, ví dụ hàm

y x

không có đạo hàm tại



nhưng đạt cực tiểu tại



B thiếu điều kiện

 

f x



đổi dấu khi qua

C sai, ví dụ hàm

y x

có

 

0 0





 















nhưng



là điểm cực tiểu của hàm số.

Câu 3. Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm cấp

trên khoảng

và

.x K

Mệnh đề

nào sau đây đúng?

A. Nếu

là điểm cực đại của hàm số

 

y f x

thì

 

f x





B. Nếu

 

f x





thì

là điểm cực trị của hàm số

 

.y f x

C. Nếu

là điểm cực trị của hàm số

 

y f x

thì

 

f x





D. Nếu

là điểm cực trị của hàm số

 

y f x

thì

 

f x





Lời giải. Chọn C. Các mệnh đề còn lại sai vì:

A sai, vì theo định lí SGK không có chiều ngược lại. Có thể lấy ví dụ cho hàm

.y x

B sai, lấy phản ví dụ. Cụ thể hàm

.y x

D sai, ví dụ hàm

y x

có

 

0 0





 















nhưng



là điểm cực tiểu của hàm số.

Câu 4. Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm cấp hai trên

.

Trong các mệnh đề sau đây, có

bao nhiêu mệnh đề sai?

i) Nếu

 

f x





và

 

f x





thì

là điểm cực tiểu của hàm số.

ii) Nếu

 

f x





và

 

f x





thì

là điểm cực đại của hàm số.

iii) Nếu

 

f x





và

 

f x





thì

không là điểm cực trị của hàm số.

iv) Nếu

 

f x





và

 

f x





thì chưa kết luận được

có là điểm cực trị của

hàm số.

Lời giải. Các khẳng định i), ii) và iv) là đúng; khẳng định iii) là sai. Chọn B.

Câu 5. (ĐHSP Hà Nội lần 4, năm 2018-2019) Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm cấp hai

trên

.

Trong các mệnh đề sau có bao nhiêu mệnh đề đúng?

i) Nếu hàm số

 

f x

đạt cực tiểu tại

x x

thì

 

f x





 















ii) Nếu hàm số

 

f x

đạt cực đại tại

x x

thì

 

f x





 















iii) Nếu

 

f x





thì hàm số

 

f x

không đạt cực trị tại

.x x

Lời giải. Xét hàm số

 

.f x x

TXĐ:

. D

Đạo hàm:

 

4f x x





và

 

12 .f x x





Ta có

 

0 0

f x x



  

và

 

0 khi 0

f x x



 



 











nên hàm số

 

f x x

đạt cực tiểu

tại



nhưng

 

0 0.





Do đó i) và iii) đều sai.

Tương tự, xét hàm số

 

f x x

  

ii) sai. Chọn A.

Dạng 2. ĐỒ THỊ HÀM

 

f x

Câu 6. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2017-2018] Cho hàm số

3 2

y ax bx cx d   

 

, , ,a b c d

 

có đồ thị như hình vẽ

bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Lời giải. Chọn C.

Câu 7. [ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016-2017] Cho hàm số

 

f x

xác định, liên tục trên đoạn

 

2;2

và có đồ thị

là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số

 

f x

đạt

cực đại tại điểm nào dưới đây?

 



Lời giải. Chọn B.

Câu 8. Cho hàm số bậc ba

 

f x

có đồ thị như hình vẽ.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng

1.

B. Điểm cực tiểu của hàm số là

1.

C. Điểm cực đại của hàm số là

D. Giá trị cực đại của hàm số bằng

Lời giải. Chọn A.

Câu 9. [ĐHSP Hà Nội lần 3, năm 2018-2019] Cho hàm số

 

f x

liên tục trên



và có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào

sau đây đúng?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại

 



B. Hàm số không có điểm cực tiểu.

C. Hàm số đạt cực tiểu tại



D. Hàm số đạt cực đại tại



CÑ

Lời giải. Chọn A.

Câu 10. Cho hàm số

 

f x

liên tục trên

 

1;3

và có đồ thị

hàm số như hình bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại



cực đại tại



B. Hàm số có hai điểm cực tiểu là



C. Hàm số đạt cực tiểu tại



cực đại tại

 

D. Hàm số có hai điểm cực đại là

 



Lời giải. Chọn A.

Câu 11. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017] Cho hàm trùng

phương

4 2

y ax bx c  

có đồ thị như hình bên. Phương

trình





có bao nhiêu nghiệm trên tập số thực?

Lời giải. Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số có ba điểm cực trị



phương

trình





có đúng ba nghiệm thực phân biệt. Chọn D.

Câu 12. Cho hàm số

 

f x

liên tục trên



và có đồ thị

như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải. Dễ nhận thấy hàm số có một điểm cực trị là điểm cực tiểu tại



Xét hàm số

 

f x

trên khoảng

1 1

; ,

2 2

 















 

ta có

   

f x f



với mọi

1 1

;0 0; .

2 2

   

 

 

  

 

 

 

 

   

Suy ra



là điểm cực đại của hàm số. Vậy hàm số có

điểm cực trị. Chọn C.

Chú ý: Tại



hàm số không có đạo hàm nhưng vẫn đạt cực đại tại đó.

Câu 13. [Đại học Vinh lần 3, năm 2018-2019]

Cho hàm số

 

f x

có đồ thị như hình vẽ. Trên đoạn

 

1;3

hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải. Hàm số có điểm cực đại



điểm cực tiểu



Chọn B.

Câu 14. Cho hàm số

 

f x

liên tục trên



và có đồ

thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm

cực trị?

Lời giải. Chọn D.

Câu 15. Cho hàm số

 

f x

liên tục trên



và có đồ thị

như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu giá trị cực trị?

Lời giải. Hàm số có

giá trị cực trị là:

2,

1,

Chọn B.

Câu 16. Cho hàm số bậc ba

 

y f x

có đồ thị như hình

vẽ. Hỏi hàm số

 

y f x

có bao nhiêu giá trị cực trị?

Lời giải. ĐTHS

 

y f x



suy ra từ ĐTHS

 

y f x

bằng cách:



Giữ nguyên đồ thị hàm số

 

y f x

phần phía trên trục

hoành;



Đồ thị hàm số

 

y f x

phần phía dưới trục hoành ta lấy đối

xứng qua trục hoành.

Dựa vào đồ thị hàm số

 

,y f x

ta thấy có

giá trị cực trị. Chọn B.

Chú ý: Nếu đề bài hỏi điểm cực trị thì ta kết luận có

điểm cực trị.

Câu 17. Cho hàm số

 

f x

xác định, liên tục trên

đoạn

 

6;6

và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ

bên. Hỏi trên đoạn

 

6;6

hàm số

 

y f x

có bao

nhiêu điểm cực trị?

Lời giải. ĐTHS

 

y f x

được suy ra từ ĐTHS

 

y f x

bằng cách:



Giữ nguyên đồ thị hàm số

 

y f x

phần bên phải

trục tung (xóa bỏ phần đồ thị phía bên trái trục tung);



Lấy đối xứng phần vừa giữ trên qua trục tung.

Dựa vào đồ thị hàm số

 

,y f x



ta thấy có

điểm cực trị. Chọn A.

Dạng 3. BẢNG BIẾN THIÊN

Câu 18. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2018-2019] Cho hàm số

 

f x

có bảng biến thiên sau:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm

 



Lời giải. Chọn B.

Câu 19. [ĐỀ THAM KHẢO 2017-2018] Cho hàm số

 

f x

có bảng biến thiên sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm



Lời giải. Chọn C.

Câu 20. [ĐỀ THAM KHẢO 2018-2019] Cho hàm số

 

f x

có bảng biến thiên sau:

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

Lời giải. Chọn D.

Câu 21. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số

 

f x

có bảng biến thiên sau:

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số có hai điểm cực tiểu. B. Hàm số có giá trị cực đại bằng

C. Hàm số có ba điểm cực trị. D. Hàm số có giá trị cực đại bằng

Lời giải. Chọn B.

Câu 22. Cho hàm số

 

f x

có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số có ba giá trị cực trị.

B. Hàm số có ba điểm cực trị.

C. Hàm số có hai điểm cực trị.

D. Hàm số đạt cực đại tại điểm



Lời giải. Chọn B. Dựa vào đồ thị hàm số, ta có các nhận xét sau:



Hàm số có ba điểm cực trị, gồm các điểm

 



vì đạo hàm



đổi

dấu đi qua các điểm đó.



Hàm số đạt cực đại tại



đạt cực tiểu tại

 

(đáp án A sai vì hàm số chỉ có hai giá trị cực trị là

 

và

 

Nếu nói đến

đồ thị hàm số thì khi đó mới có ba điểm cực trị là

     

0; 3 , 1;4 , 1; 4 .

A B C

  

)

Câu 23. [Đại học Vinh lần 2, năm 2018-2019] Cho hàm số

 

f x

có tập xác định

 

;2

và bảng biến thiên như hình sau:

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số có hai điểm cực tiểu. B. Hàm số có hai điểm cực đại.

C. Giá trị cực tiểu bằng

1.

D. Giá trị cực đại bằng

Lời giải. Chọn A.

Câu 24. Cho hàm số

 

f x

liên tục trên



và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hỏi hàm số

 

f x

có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải. Nhận thấy

 

f x



đổi dấu khi qua

 

và



nên hàm số có

điểm

cực trị. (



không là điểm cực trị vì

 

f x



không đổi dấu khi qua



). Chọn C.

Câu 25. [Đại học Vinh lần 1, năm 2018-2019] Cho hàm số

 

f x

liên tục trên đoạn

 

3;3

và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Đạt cực tiểu tại



B. Đạt cực tiểu tại



C. Đạt cực đại tại

 

D. Đạt cực đại tại



Lời giải.



 

f x



đổi dấu từ

'' ''

sang

'' ''

khi qua

 

và



nên đạt cực đại

tại hai điểm này.



 

f x



đổi dấu từ

'' ''

sang

'' ''

khi qua



nên đạt cực tiểu tại điểm này.



 

f x



không đổi dấu khi qua



nên không đạt cực trị tại điểm này. Chọn A.

Câu 26. Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên

 

x

và có bảng biến thiên sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số có hai điểm cực đại, một điểm cực tiểu.

B. Hàm số có một điểm cực đại, không có điểm cực tiểu.

C. Hàm số có một điểm cực đại, hai điểm cực tiểu.

D. Hàm số có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu.

Lời giải.



Tại

,x x

hàm số

 

y f x

không xác định nên không đạt cực trị tại

điểm này.



Tại

,x x

hàm số đạt cực đại tại điểm này.



Tại

,x x

hàm số không có đạo hàm tại

nhưng liên tục tại

nên hàm số đạt

cực trị tại

và theo bảng biến thiên thì

là cực tiểu.

Vậy hàm số có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu. Chọn D.

Câu 27. Cho hàm số

 

y f x

xác định và liên tục trên

 

\ ,x

có bảng biến thiên

như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đã cho có một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.

B. Hàm số đã cho không có cực trị.

C. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

D. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.

Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy



 

f x



đổi dấu từ

" "

sang

" "

khi đi qua điểm

nhưng tại

hàm số

 

f x

không xác định nên

không phải là điểm cực đại.



 

f x



đổi dấu từ

" "

sang

" "

khi đi qua điểm

suy ra

là điểm cực tiểu của

hàm số. Chọn A.

Câu 28. Cho hàm số

 

y f x

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số

 

y f x

có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số

 

y f x

cắt trục hoành tại một điểm duy nhất và đồ thị hàm

số

 

y f x

có hai điểm cực trị (hình vẽ).

Suy ra đồ thị hàm số

 

y f x

có

điểm cực trị. Chọn B.

Câu 29*. [KHTN lần 2, năm 2018-2019] Cho hàm số

 

f x

có bảng biến thiên như

hình dưới đây

Biết

 

0 0.



Hỏi hàm số

 

y f x



có bao nhiêu điểm cực trị?

11.

Lời giải. Từ bảng biến thiên của hàm số

 

,f x

ta có thể vẽ

phát họa đồ thị hàm số

 

f x

như hình bên, mục đích để làm

trắc nghiệm cho nhanh.

Từ đồ thị hàm số

 

,f x

suy ra đồ thị hàm số

 

f x

trước và

tiếp tục suy ra đồ thị hàm số

 

.f x

Chọn C.

Chú ý: Nếu đề cho

 

0 0



thì ta chọn đáp án D.

Câu 30*. [Đại học Vinh lần 1, năm 2018-2019] Cho hàm số

 

y f x

có bảng biến

thiên như hình vẽ

Hàm số

   

2g x f x

đạt cực đại tại

 

x 



Lời giải. Ta có

   

2 2 ;g x f x

 



   

BBT

2 1 0,5

0 2 0 2 0 0 .

2 2 1

x x

g x f x x x

x x

 

   

 

 

      

 

 

 

Bảng biến thiên

Dựa vào BTT, ta thấy hàm số

 

g x

đạt cực đại tại

 

và tại



Chọn D.

Nhận xét: 1) Đây là bài toán thuộc dạng VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO. Khi gặp

những bài hàm hợp như thế này thì ta đi tính đạo hàm và lập BBT cho hàm hợp. Sau

đó dựa vào BBT để kết luận.

2) Cách xét dấu

 

g x



như sau:



Trước tiên tìm nghiệm của

 

g x





và xác định rõ từng nghiệm là nghiệm bội lẻ

(qua nghiệm đổi dấu) hay nghiệm bội chẵn (qua nghiệm không đổi dấu).



Sau đó ta áp dụng xét dấu nhanh. Cụ thể trong bài toán trên ta xét trên khoảng

 

1; ,

chọn

 

2 1; .

  

Ta cần tính

 



mang dấu

'' ''



hay

'' ''.



Ta có

   

2 2 4 ,

g f

 



mà

 

4 0





(vì BBT cho trong đề bài chứng tỏ

 

f x

nghịch biến

trên

 



). Do đó

 

2 0.





Câu 31. Cho hàm số

 

y f x

xác định, liên tục trên



và có bảng biến thiên sau:

Hàm số

   

3 1

g x f x

 

đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?

 



 



Lời giải. Ta có

   

3 .g x f x

 



Do đó điểm cực tiểu của hàm số

 

g x

trùng với điểm cực tiểu của hàm số

 

.f x

Vậy điểm cực tiểu của hàm số

 

g x

là

 

Chọn C.

Câu 32. Cho hàm số

 

y f x

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số

   

g x f x 

có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải. Ta có

   

3 .g x f x

 

  



   

theo BBT

3 0 3

0 3 0 .

3 2 1

x x

g x f x

x x

 

  

 

 

     

 

  

 



 

g x



không xác định

3 1 2.

x x

    

Bảng biến thiên

Vậy hàm số

   

g x f x 

có

điểm cực trị. Chọn B.

Dạng 4. TÌM ĐIỂM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU CỦA HÀM SỐ

Câu 33. Tìm các điểm cực trị

của hàm số

3 2

5 3 1.

y x x x

   

 

và

x  



và

x 



và

x  



và

x 

Lời giải. Ta có

2 2

3 10 3; 0 3 10 3 0 .

y x x y x x







 



        









Chọn D.

Câu 34. Tìm các điểm cực trị của đồ thị của hàm số

3 2

3 .y x x 

 

0;0

và

 

1; 2 .

 

0;0

và

 

2;4 .

 

0;0

và

 

2; 4 .

 

0;0

và

 

2; 4 . 

Lời giải. Ta có

 

0 0 0

3 6 3 2 ; 0 .

2 2 4

x y

y x x x x y

x y



  



 

     



   





Chọn C.

Câu 35. Tìm điểm cực đại

của hàm số

3 1.

y x x

  

 



Lời giải. Ta có

 

2 2

3 3 3 1 ; 0 1.

y x x y x

 

       

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại

1 

. Chọn A.

Câu 36. [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017] Giá trị cực đại của hàm số

3 2

y x x

  

bằng

1.

Lời giải. Ta có

3 3 0; 0 1.

y x y x

 

      

Bảng biến thiên

Vậy giá trị cực đại của hàm số bằng

Chọn D.

Câu 37. Cho hàm số

 

3 .

f x x 

Giá trị cực đại của hàm số

 

f x



bằng

8.

Lời giải. Ta có

     

4 2 3

6 9 4 12 .f x x x f x x x g x



      

Bài toán yêu cầu tìm giá trị cực đại của hàm

 

4 12 .g x x x 

Đạo hàm

 

12 12;

g x x



 

 

0 1.

g x x



   

Vẽ BBT, ta thấy

 

g x

đạt cực đại tại

 

giá trị cực đại bằng

Chọn C.

Nhận xét. Rất nhiều học sinh đọc đề không kỹ đi tìm giá trị cực đại của hàm số

 

f x

và dẫn tới chọn đáp án D.

Câu 38. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Đồ thị hàm số

3 2

3 9 1

y x x x

   

có hai cực

trị

và

Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng

 

0; 1 .



 

1; 10 .



 

1;0 .

 

1;10 .



Lời giải. Ta có

 

1 1 6

3 6 9; 0 .

3 3 26

x y

y x x y

x y



    



 

    



   





Suy ra đồ thị hàm số đã hai điểm cực trị là

 

1;6



và

 

3; 26 .



Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là đường thẳng

có phương

trình

: 8 2.

d y x

  

Suy ra

 

1; 10 .N d 

Chọn B.

Cách 2. Lấy

chia cho



ta được phần dư là

8 2.

y x

  

Đây chính là phương

trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Câu 39. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Tìm giá trị thực của tham số

để đường

thẳng

 

: 2 1 3

d y m x m   

vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của

đồ thị hàm số

3 2

3 1.

y x x

  

m  

m 

Lời giải. Xét hàm

3 2

3 1,

y x x

  

có

 

0 0 1

3 6 0 .

2 2 3

x y

y x x y

x y



  



 

    



   





Suy ra

 

0;1 ,

 

2; 3



là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Suy ra đường thẳng

có một VTCP là

 

2; 4AB

  



VTPT

 

2;1 .





Đường thẳng

 

: 2 1 3

d y m x m   

có một VTPT là

 

2 1; 1 .

n m

  



YCBT

 

. 0 2. 2 1 1 0 .

AB d

n n m m       

 

Chọn D.

Câu 40. Cho hàm số

4 2

2 3.

y x x

   

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số có

điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.

B. Đồ thị hàm số có

điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.

C. Đồ thị hàm số có

điểm cực đại và

điểm cực tiểu.

D. Đồ thị hàm số có

điểm cực tiểu và

điểm cực đại.

Lời giải. Ta có

 

3 2

4 4 4 1 ; 0 1 .

y x x x x y x







 

        



 



Bảng biến thiên

Từ BBT, ta thấy đồ thị hàm số có

điểm cực tiểu và

điểm cực đại. Chọn D.

Cách 2. (Cách trắc nghiệm) Ta có



 



  











đồ thị hàm số có ba điểm

cực trị. Vì

1 0

  

nên đồ thị có dạng chữ M. Từ đó suy ra đồ thị hàm số có

điểm

cực tiểu và

điểm cực đại.

Câu 41. Tính diện tích

của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm

số

4 2

2 3.

y x x

  

S 



. D.



Lời giải. Ta có

 

0 0 3

4 4 0 .

1 1 2

x y

y x x y

x y



  



 

    



    





Suy ra đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là

     

0;3 , 1;2 , 1;2 .

A B C



Gọi

là trung điểm

 

0;2

AH BC

















Khi đó

. 1.

S BC AH

 

Chọn B.

Câu 42. Hàm số

5 3

2 1

y x x

  

có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải. Ta có

4 2

5 6 0;

y x x



  

 

2 2

0 5 6 0.

y x x



   

Phương trình





không có nghiệm bội lẻ nên hàm số đã cho không có điểm cực trị. Chọn A.

Câu 43. Hàm số

y x

có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải. Hàm số xác định trên



và có đạo hàm

, 0.

y x



  

Ta có

0, 0

y x





  











  



đổi dấu khi qua



Vậy



là điểm cực tiểu của hàm số. Chọn B.

Câu 44. Hàm số

3 1

y x x

  

có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải. TXĐ:

. D

Ta có

3 2

3 1, 0 3 3, 0

x x x x x

y y

x x x x x

 

 

    

 



  

 

 

      

 

 

Suy ra

0 1.

y x



  

Ta thấy



chỉ đổi dấu khi qua



Vậy hàm số có một điểm cực trị. Chọn B.

Câu 45. (KHTN lần 3, năm 2018-2109) Hàm số

4 2

4 1

y x x

  

có bao nhiêu điểm

cực trị?

Lời giải. Xét hàm

 

4 2

4 1.

f x x x

  

Ta có

 

4 8 ;f x x x



 

 

0 .

f x









 



 





Bảng biến thiên

Suy ra bảng biến thiên của hàm số

 

4 2

4 1

y f x x x

   

như sau:

Vậy hàm số đã cho có

điểm cực trị. Chọn D.

Câu 46. Giá trị cực đại của hàm số

2 cosy x x 

trên khoảng

 

0;

bằng

















Lời giải. Đạo hàm:

1 2 siny x



 

và

2 cos .y x



 

Xét trên khoảng

 

0;

, ta có

0 sin .

y x













   









Do đó

2. 0

6 2



 







  









 

và

5 3

2 0.

6 2



 















   















 



 

Vậy hàm số đạt cực đại tại





giá trị cực đại bằng

6 6

 

 





 









 

Chọn C.

Câu 47. Biết rằng trên khoảng

 

0;2

hàm số

sin cos

y a x b x x  

đạt cực trị tại





và

.x 

Tổng

a b

bằng



3 1.

3 1.

Lời giải. Đạo hàm:

cos sin 1.

y a x b x



  

Hàm số đạt cực trị tại





và

x 

nên

 





 















 







 













1 3

1 0

3 1.

2 2

1 0

a b











  



 

     

 

 



 



  





Chọn C.

Câu 48. Hàm số

 

4 1 2y x x

  

có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải. Đạo hàm:

 

  

3 2

2 2

2.2 4 1 2 4 .3. 2 1 2y x x x x x



      

 

  

2 2

2 2 2 2

1 2 4 . 4 1 2 6 4 2 1 2 4 7 2 12 .

x x x x x x x x x

 

           

 

 

Phương trình





có

nghiệm đơn nên hàm số có

điểm cực trị. Chọn C.

Cách 2. (Phương pháp trắc nghiệm) Vẽ phác họa đồ thị

hàm số bằng cách:



Cho



tìm được nghiệm kép



nghiệm kép

 

nghiệm bội ba

0,5.





Hệ số của bậc cao nhất khi nhân ra âm.

Từ đó ta phỏng đoán được đồ thị như hình bên.

Cách 3. (Công thức giải nhanh) Áp dụng công thức: số điểm cực trị bằng

2 1.

m n

 

Trong đó

là số nghiệm bội lẻ,

là số nghiệm bội chẵn. (



Dạng 5. BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ

Câu 49. Tập hợp các giá trị của tham số

để hàm số

3 2

3 6

y x mx mx m   

có hai

điểm cực trị là

 

0;2 .

   

;0 2; .  

 

0;8 .

   

;0 8; .  

Lời giải. Ta có

 

3 2 2 .y x mx m



  

Để hàm số có hai điểm cực trị



 

có hai

nghiệm phân biệt

2 0 .

m m









     







Chọn B.

Câu 50. Biết rằng hàm số

   

3 3

y x a x b x

    

có hai điểm cực trị. Mệnh đề nào

sau đây đúng?









Lời giải. Ta có

     

2 2

2 2 2 2

3 3 3 2 .y x a x b x x a b x a b



         

Hàm số có hai

điểm cực trị



 

có hai nghiệm phân biệt

 

2 2

0 0.

a b a b ab



        

Chọn A.

Câu 51. Cho hàm số

 

3 2 2

1 1

3 2 2 3 1 4.

3 2

y x m x m m x

      

Tìm giá trị thực của

tham số

để hàm số có hai điểm cực trị là



và



Lời giải. Ta có

 

2 2

3 2 2 3 1 .

y x m x m m



     

Yêu cầu bài toán



phương trình





nhận



và

5

làm nghiệm

 

9 3 3 2 2 3 1 0

2 6 4 0

2 12 16 0

25 5 3 2 2 3 1 0

m m m

m m

m m m





     





  



 

   

 

 

  

     

 







Chọn C.

Câu 52. Tập hợp các giá trị của tham số

để hàm số

3 2

2020

y x x x   

có cực

trị là

 

;1 .

   

;0 0;1 . 

   

;0 0;1 . 

 

;1 .

Lời giải.



Nếu



thì

2017 :

y x x

  

Hàm bậc hai luôn có cực trị.



Khi



ta có

2 1.

y mx x



  

Để hàm số có cực trị



 

có hai nghiệm

phân biệt

0 1.

1 0







   







   





Hợp hai trường hợp ta được



Chọn D.

Nhận xét. Sai lầm thường gặp là không xét trường hợp



dẫn đến chọn đáp án B.

Câu 53. Tìm tất cả các giá trị của tham số

để hàm số

 

3 2

3 2 3

y m x mx

   

không có cực trị.





Lời giải.



Nếu



thì

6 3.

y x

  

Đây là một Parabol nên luôn có một cực trị.

Do đó



không thỏa mãn.



Nếu



ta có

 

3 3 4 .y m x mx



  

Để hàm số có không có cực trị



 

có

nghiệm kép hoặc vô nghiệm

4 0 0.

m m



     

Chọn C.

Câu 54. Cho hàm số

3 2

2 1.

y x bx cx

   

Biết

 

1; 6



là điểm cực tiểu của đồ thị

hàm số. Điểm cực đại

của đồ thị hàm số là

 

2;21 .

 

2;21 .



 

2;11 .



 

2;6 .

Lời giải. Đạo hàm:

6 2

y x bx c



  

và

12 2 .y x b



 

Điểm

 

1; 6



là điểm cực tiểu

 

1 0

2 6

1 6 9 .

2 12 0

1 0

b c

y b c





 



  









 

       

  

  

 



  

   













Khi đó

 

3 2

2 3 12 1

y f x x x x

    

Ta có

   

 

2 21

6 6 12; 0 .

2 0

f x x x f x



  









 

     









 

 

 



Suy ra

 

2;21



là điểm cực đại của đồ thị hàm số. Chọn B.

Câu 55. Cho hàm số

 

3 2

.f x ax bx cx d   

Biết

 

0;2 ,

 

2; 2



là các điểm cực

trị của đồ thị hàm số. Tính

 

2 .



 

2 18.

  

 

2 2.

 

 

2 6.

 

 

2 22.

 

Lời giải. Đạo hàm:

 

3 2 .f x ax bx c



  

Vì

   

0;2 , 2; 2

M N



là các điểm cực trị của đồ thị hàm số nên

 

0 0

;

12 4 0

2 0

a b c





 









 

 



  





 



 

0 2

8 4 2 2

2 2

a b c d



 









 

 

    

 



 



 

Giải hệ

 

và

 

, ta được

   

3 2

3 2 2 18.

f x x x f







 



       















Chọn A.

Câu 56. Biết rằng hàm số

3 2

y ax bx cx  

 



nhận

 

là một điểm cực trị.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

.a c b 

2 0.

a b

 

3 2 .a c b 

3 2 0.

a b c

  

Lời giải. Đạo hàm:

3 2 .y ax bx c



  

Hàm số nhận

 

là một điểm cực trị nên suy ra

 

1 0



 

3 2 0 3 2 .a b c a c b      

Chọn C.

Câu 57. Biết rằng hàm số

3 2

3 3

y x mx mx

   

có một điểm cực trị

 

Tìm

điểm cực trị còn lại

của hàm số.

x  

x 

2 6.

x m

  

Lời giải. Đạo hàm:

9 2 .y x mx m



  

Để hàm số có hai điểm cực trị



 

có hai

nghiệm phân biệt

9 0 .

m m









     







 

Từ giả thiết, suy ra

 

1 0 9 3 0 3

y m m



       

(thỏa

 

Với

 

thì

9 6 3; 0 .

y x x y



 



 



    









Chọn B.

Câu 58. Cho hàm số

 

3 2 2

4 5

f x x mx m x

    

với

là tham số thực. Tìm tất

cả các giá trị của

để hàm số đạt cực tiểu tại điểm

 



 

. C.



 

. D.

3 1.

  

Lời giải. Đạo hàm:

 

2 2

2 4

f x x mx m



   

và

 

2 2 .f x x m



 

Hàm số đạt cực tiểu tại

 

 

1 0 2 3 0 .

f m m









       



 



Thử lại ta thấy chỉ có giá trị

 

thỏa mãn (vì

 

f x



đổi dấu từ

'' ''

sang

'' ''

khi qua

 

). Chọn B.

Cách 2. (Riêng hàm bậc ba) Yêu cầu bài toán

 

1 0





  



   







 





Câu 59. Cho hàm số

4 2

y ax bx c  

 

0 .



Với điều kiện nào của các tham số

, , a b c

thì hàm số có ba điểm cực trị?

, a b

cùng dấu và

bất kì. B.

, a b

trái dấu và

bất kì.



và

, a c

bất kì. D.



và

, a b

bất kì.

Lời giải. Đạo hàm:

 

3 2

4 2 2 2 ; 0 .

y ax bx x ax b y







 



     



 





Để hàm số có ba điểm cực trị



 

có ba nghiệm phận biệt

0 0.

    

Khi đó

và

trái dấu,

bất kì. Chọn B.

Câu 60. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để hàm số

4 2 2

y x mx m m   

có ba điểm cực trị.









Lời giải. Ta có



2 .b m

Hàm số có ba điểm cực trị

1.2 0 0.

m m

   

Chọn C.

Câu 61. Cho hàm số

4 2

y ax bx

  

 

0 .



Với điều kiện nào của các tham số

, a b

thì hàm số có một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại?

0, 0.

a b

 

0, 0.

a b

 

0, 0.

a b

 

0, 0.

a b

 

Lời giải. Để hàm số có ba điểm cực trị

 

 

Để ba điểm cực trị là một điểm cực tiểu, hai điểm cực đại

 

(để dáng điệu của

đồ thị là chữ M).

 

Từ

 

và

 

2 ,

ta có

0 0

a a

ab b

 

 

 



 

 

 

 

 

Chọn B.

Câu 62. Cho hàm số

4 2

y ax bx

  

 

0 .



Với điều kiện nào của các tham số

, a b

thì hàm số chỉ có duy nhất một điểm cực trị là điểm cực tiểu?

0, 0.

a b

 

0, 0.

a b

 

0, 0.

a b

 

0, 0.

a b

 

Lời giải. Để hàm số có một điểm cực trị

 

 

Để điểm cực trị là điểm cực tiểu

 

(để dáng điệu của đồ thị là chữ U).

 

Từ

 

và

 

2 ,

ta có

0 0

a a

ab b

 

 

 



 

 

 

 

 

Chọn D.

Câu 63. (ĐHSP Hà Nội lần 1, năm 2018-2019) Tập hợp các giá trị thực của tham số

để hàm số

4 2

y mx x

  

có đúng một điểm cực trị là

 

;0 .

 

0; .

 

;0 .

 

0; .

Lời giải. Ta có

,a m

 



Nếu



thì

y x



  

là hàm bậc hai nên chỉ có duy nhất một cực trị.



Khi



hàm số có đúng một điểm cực trị

 

1 0 0.

m m



    

Kết hợp hai trường hợp ta được



Chọn A.

Câu 64. (KTTN lần 3, năm 2018-2019) Số giá trị nguyên của tham số

để hàm số

 

4 2 2

y mx m x m   

không có điểm cực đại là

Lời giải.



Với



ta được

3 :y x

Đồ thị là một Parabol với bề lõm quay lên

nên hàm số có duy nhất một điểm cực tiểu. Do đó



thỏa mãn.



Với



hàm số là hàm trùng phương. Để hàm số không có điểm cực đại tức là

hàm số chỉ có đúng một cực tiểu

 

 

0 3 1;2;3 .

3 0

a m

m m

ab m m





 



     





  







Vậy có tất cả

giá trị nguyên thỏa mãn bài toán. Chọn D.

Câu 65. Biết rằng đồ thị hàm số

4 2

y x x ax b   

có điểm cực tiểu là

 

2; 2 .



Tính

tổng

.S a b 

20.

 

14.

 

14.



34.



Lời giải. Đạo hàm:

4 6 .y x x a



  

Đồ thị có điểm cực tiểu

 

2 0

2; 2 .

2 2





 



 



  

 

 



 



 



Thử lại: Với

20, 34

a b

  

ta được

4 2

3 20 34.

y x x x

   

Tính đạo hàm và lập

BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại



(thỏa). Vậy

14.



 



 











Chọn C.

Câu 66. Biết rằng đồ thị hàm số

 

4 2

y ax bx c a

   

có điểm đại

 

0; 3



và có điểm

cực tiểu

 

1; 5 .

 

Tổng

a b c 

bằng

9.

5.

1.

Lời giải. Đạo hàm:

4 2 .y ax bx



 

Đồ thị có điểm cực đại

 

0 0

0; 3 3.

0 3

A c





 



    





 





 

Đồ thị có điểm cực tiểu

 

1 0

4 2 0

1; 5 .

1 5

a b

a b c





  



  



   

 

 

   

  



 



 

Giải hệ gồm

 

và

 

2 ,

ta được

2, 4, 3.

a b c

    

Thử lại: Với

2, 4, 3

a b c

    

ta được

4 2

2 4 3.

y x x

  

Tính đạo hàm và lập BBT

ta thấy hàm số đạt cực đại tại



đạt cực tiểu tại

 

: thỏa mãn. Chọn B.

Câu 67. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để hàm số

x mx

 





có điểm

cực đại và điểm cực tiểu.









Lời giải. Tập xác định:

 

\ 1 . 

Đạo hàm:

 

2 1

x x m

  







Đặt

 

2 1.

g x x x m

   

Để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu

 

g x

 

có hai nghiệm phân biệt khác

 

1 0

g x















 

   

 

 





 







Chọn C.

Câu 68. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để hàm số

x mx

x m

 





đạt cực

đại tại



 



Lời giải. TXĐ:

 

\ .m 

Đạo hàm:

 

2 2

2 1

x mx m

x m

  







Hàm số đạt cực đại tại

 

2 2 0 .

x y



 





   



 





Thử lại với

 

thì hàm số đạt cực tiểu tại

2 :



không thỏa mãn.



Thử lại với

 

thì hàm số đạt cực đại tại

2 :



thỏa mãn. Chọn B.

Câu 69*. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để hàm số

 

3 2

2 3

f x x x m  

có các giá trị cực trị trái dấu.

1 0.

  

0 1.

 

 





 

Lời giải. Đạo hàm:

   

 

0 0

6 6 ; 0 .

1 1 1

x f m

f x x x f x

x f m



   



 

   



    





Yêu cầu bài toán

     

0 . 1 0 1 0 1 0.

f f m m m

          

Chọn A.

Câu 70*. Cho hàm số

   

3 2

1 4

1 2 1

3 3

y x m x m x

     

với

là tham số thực

dương. Tìm giá trị của

để đồ thị hàm số có điểm cực đại thuộc trục hoành.

m  



m 

Lời giải. Đạo hàm:

   

2 1 2 1 ; 0 .

2 1

y x m x m y

x m







 

      



 





nên

2 1 1.

 

Suy ra đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị.



nên

2 1 1m

  

hoành độ điểm cực đại là



nên

 

1 1.

y y m

  

Yêu cầu bài toán

0 1 0 1:

y m m

      

thỏa mãn. Chọn B.

Câu 71*. Gọi

1 2

, x x

là hai điểm cực trị của hàm số

 

3 2 2 3

3 3 1 .y x mx m x m m     

Tìm các giá trị của tham số

để

2 2

1 2 1 2

x x x x

  



m  

 

Lời giải. Đạo hàm:

 

2 2

3 2 1 .

y x mx m

 



   

 

 

Có

2 2

1 1 0, m m m



        

nên

hàm số luôn có hai điểm cực trị

1 2

, .x x

Theo định lí Viet, ta có

1 2

x x m



 







 





YCBT

 

2 2 2

1 2 1 2

3 7 4 3 1 7 4 2.

x x x x m m m m

            

Chọn D.

Câu 72*. Gọi

1 2

, x x

là hai điểm cực trị của hàm số

3 2

4 3 .y x mx x  

Tìm các giá trị

thực của tham số

để

1 2

4 0.

x x

 



m  

Lời giải. Đạo hàm:

12 2 3.

y x mx



  

Có

36 0,m m



      

nên hàm số luôn

có hai điểm cực trị

1 2

, .x x

Theo Viet, ta có

1 2

x x  

Kết hợp với yêu cầu bài toán

1 2

4 0.

x x

 

Suy ra

x m

 

x 

Lại có theo Viet:

1 2

1 2 1 81 9

. .

4 9 18 4 4 2

x x m m m

 





          









 

Chọn D.

Câu 73*. Cho hàm số

   

3 2

2 2 3 2020

y x m x m x     

có đồ thị là

 

Có bao

nhiêu giá trị nguyên của tham số

thuộc đoạn

 

50;50

để



là hoành độ trung

điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị

 

49.

50.

Lời giải. Đạo hàm:

   

2 2 2 3 ; 0 .

2 3

y x m x m y

x m







 

      



 



Để hàm số có hai điểm cực trị

1 2

, x x

khi và chỉ khi

2 3 1 1.

m m

    

 

Gọi

 

1 1

;A x y

và

 

2 2

;B x y

là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Khi đó theo định lí Viet, ta có

1 2

2 4.

x x m

  

Yêu cầu bài toán

2 4

1 1:



    

không thỏa mãn

 

. Chọn A.

Nhận xét. Qua khảo sát 99% học sinh chọn đáp án A, lý do là quên điều kiện để có hai

cực trị. Tôi cố tình ra giá trị

đúng ngay giá trị loại đi.

Nếu gặp bài toán không ra nghiệm đẹp như trên thì ta giải như sau:

là hoành độ

trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba

3 2

y ax bx cx d   

khi và chỉ khi





có hai nghiệm phân biệt và

 

0''.

y x





Câu 74*. Cho hàm số

 

3 2

6 3 2 6     

y x x m x m

với

là tham số thực. Tìm tất

cả các giá trị của

để hàm số có hai điểm cực trị

1 2

, x x

thỏa mãn

1 2

1 .x x 

 

 





Lời giải. Đạo hàm:

 

3 4 2 .

y x x m

 



   

 

 

Yêu cầu bài toán



 

có hai nghiệm phân biệt

1 2

, x x

thỏa mãn

1 2

  x x

 

1 0 1.

y m



    

Chọn C.

Câu 75*. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

thuộc đoạn

 

2019;2020

để

hàm số

 

3 2

   

y x mx m x

có hai điểm cực trị nằm trong khoảng

 



2017.

2018.

2019.

2020.

Lời giải. Đạo hàm:

2 2

y x mx m



   

Yêu cầu bài toán



 

có hai nghiệm dương phân biệt

 

 

& 2019;2020

1 2

0 2 3;4;5;...2020 .

m m

S x x m m

P x x

  





 



       





 







Chọn B.

Câu 76*. Cho hàm số

   

3 2

2 3 1 6 2 1     

y x m x m x

với

là tham số thực. Tập

hợp các giá trị của

để hàm số có hai điểm cực trị nằm trong khoảng

 

2;3

là

 

1;3 .

 

3;4 .

   

1;3 3;4 . 

 

1;4 .

Lời giải. Đạo hàm:

   

6 6 1 6 2 ; 0 .

x x

y x m x m y

x x m



  



 

      



  



Để hàm số có hai cực trị



 

có hai nghiệm phân biệt

2 1 3.

m m

     



Nếu

1 2

x x m

  

thì ycbt

2 1 2 3 1 3



 



           











m m



Nếu

1 2

x x m

  

thì ycbt

2 2 1 3 3 4







          











m m

Vậy

   

1;3 3;4 .

  

Chọn C.

Câu 77*. Cho hàm số

3 2

y x ax bx c   

và giả sử

, A B

là hai điểm cực trị của đồ thị

hàm số. Khi đó, điều kiện nào sau đây cho biết đường thẳng

đi qua gốc tọa độ

 0.

 9 2 3 .b a

 9 .ab c

Lời giải. Đạo hàm:

3 2 .y x ax b



  

Thực hiện phép chia

cho



ta được

1 1 2 2 1

. .

3 9 3 9 9

y x a y b a x c ab

   

 

 



     

 

 

 

 

   

Suy ra phương trình đường thẳng

là:

2 2 1

3 9 9

y b a x c ab

 





   









 

đi qua gốc tọa độ

0 9 .

O c ab ab c

    

Chọn D.

Câu 78*. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để khoảng cách từ điểm

 

0;3

đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

3 1

y x mx

  

bằng

 

 

. C.

3, 1.

m m

  

D. Không tồn tại

Lời giải. Đạo hàm:

2 2

3 3 ; 0 .y x m y x m

 

     

Để hàm số có hai điểm cực trị



 

có hai nghiệm phân biệt

 

 

Thực hiện phép chia

cho



ta được phần dư

2 1.



Suy ra đường thẳng đi qua

hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình

: 2 1.

y mx

  

Yêu cầu bài toán

 

2 2

, 1

4 1

d M m

     



 











 



1 loaïi

1 thoûa maõn

Chọn B.

Câu 79*. Tìm giá trị thực của tham số

để đồ thị hàm số

3 1

y x mx

   

có hai

điểm cực trị

sao cho tam giác

OAB

vuông tại

với

là gốc tọa độ.

 



m 



Lời giải. Đạo hàm:

 

2 2

3 3 3 .y x m x m



     

Để hàm số có hai điểm cực trị

x m

  

có hai nghiệm phân biệt

 

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

 

;1 2

A m m m

 

và

 

;1 2 .B m m m



Yêu cầu bài toán

 

. 0 4 1 0 .

OA OB m m m       

 

thoûa maõn

Chọn C.

Câu 80*. Tìm tất cả các giá trị của tham số

để đồ thị hàm số

3 2

y x mx

  

có

hai điểm cực trị

sao cho

và

 

1; 2



thẳng hàng.

 



 



Lời giải. Đạo hàm:

 

3 6 3 2 ; 0 .

y x mx x x m y

x m







 

     







Nên hàm số có hai điểm cực trị



 

có hai nghiệm phân biệt

0 2 0.

m m

   

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

 

0;2

và

 

2 ;2 4 .

B m m



Suy ra

 

1;4 ,

MA  



 

2 1;4 4 .

MB m m  



Ba điểm

và

thẳng hàng

 

2 1 4 4

1 4

m m





 



  





 





loaïi

thoûa

Chọn C.

Câu 81*. Tập hợp các giá trị của

để đồ thị hàm số

 

3 2

2 1 3

y x mx m x

    

có

điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng một phía đối với trục tung là

 

0;2 .

;1 .

 















 

 

;1 1; .

 





 









 

   

;1 1; .  

Lời giải. Đạo hàm:

2 2 1.

y x mx m



   

Yêu cầu bài toán



phương trình





có hai nghiệm

1 2

, x x

phân biệt và cùng dấu

 

2 1 0

m m

P m















    



 

 

 



  

 







Chọn C.

Nhận xét:



Nếu yêu cầu hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm khác phía đối với

trục tung



 

có hai nghiệm trái dấu.



Nếu yêu cầu hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng một phía đối với trục

hoành



 

có hai nghiệm phân biệt

thỏa mãn

   

1 2

. 0.

y x y x





Nếu yêu cầu hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm khác phía đối với trục hoành



 

có hai nghiệm phân biệt

thỏa mãn

   

1 2

. 0.

y x y x



Câu 82*. Cho hàm số

3 2

2 12 13

y x mx x

   

với

là tham số thực. Tìm giá trị của

để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cách đều trục tung.

 



Lời giải. Đạo hàm:

6 2 12.

y x mx



  

Yêu cầu bài toán



 

có hai nghiệm phân biệt

thỏa

1 2 1 2

x x x x   

(do dáng điệu của hàm bậc ba nên

1 2

x x

Suy ra

1 2

0 0.

x x m

   

Chọn B.

Câu 83*. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Gọi

là tập hợp tất cả các giá trị thực của

tham số

để đồ thị của hàm số

 

3 2 2

y x mx m x

   

có hai điểm cực trị

và

sao cho

, A B

nằm khác phía và cách đều đường thẳng

: 5 9.

d y x

 

Tổng tất cả

các phần tử của

bằng

6.

Lời giải. Đạo hàm:

 

2 2

2 1 ;

y x mx m



   

0 .

x m



 





 



 



Tọa độ các điểm cực trị:

3 2

m m

A m

 

 



















 

và

3 2

1; .

m m

B m

 

 



















 

Yêu cầu bài toán



trung điểm

;

m m

I m

 



















 

của

thuộc

5 9 18 27 0 .

3 3 5

m m

m m m











       

 









Vậy tổng các phần tử của

bằng

Chọn B.

Câu 84*. Cho hàm số

3 2

3 3 1

y x mx m

    

với

là tham số thực. Tìm giá trị của

để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng

: 8 74 0.

d x y

  

 



Lời giải. Đạo hàm:

 

3 2 ; 0 .

y x x m y

x m







 

    







Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

0 2 0.

m m

   

Tọa độ các điểm cực trị:

 

0; 3 1

A m

 

và

 

2 ;4 3 1 .

B m m m

 

Suy ra tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

là

 

;2 3 1 .

I m m m

 

Đường thẳng

có một vectơ chỉ phương là

 

8; 1 .

 



Yêu cầu bài toán

 

8 2 3 1 74 0

. 0

8 2 0

I d

m m m

AB u







    



 

   

 

 



 

 











Chọn D.

Câu 85*. Cho hàm số

 

4 2 2

2 1 1

y x m m x m

     

với

là tham số thực. Tìm giá

trị của

để đồ thị hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu, đồng thời

khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.

 

. B.



. C.

 

. D.



Lời giải. Đạo hàm:

 

2 2

4 1 ; 0 .

y x x m m y

x m m







 

 

     

 



 

   





Tọa độ hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là:

 

A m m y

  

và

 

1; .

B m m y 

Khi đó

 

2 2

1 3

4 1 4 3.

2 4

AB m m m

 

 

 





      





 





 

 

 

Dấu

'' ''

xảy ra

m 

Chọn B.

Câu 86*. Cho hàm số

4 2

2 2

y x mx

  

với

là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị

nguyên của

để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị

, , A B C

thỏa mãn

. . 12

OA OB OC



với

là gốc tọa độ?

Lời giải. Để hàm số có ba điểm cực trị

 

0 1. 2 0 0.

ab m m

      

Đạo hàm:

 

4 ; 0 0,

y x x m y x

 

    

.x m 

Tọa độ các điểm cực trị:

 

0;2 ,

 

; 2

B m m

 

và

 

; 2 .

C m m  

Bài toán yêu cầu:

 

. . 12 2. 2 12 2.

OA OB OC m m m

 

       

 

 

Chọn B.

Cho hàm trùng phương

4 2

.y ax bx c  

Khi đó

có

cực trị

 

có

cực trị

 

 0

cực tiểu

 0

cực đại

 0

cực đại,

cực tiểu

 0

cực đại,

cực tiểu

Xét trường hợp có ba cực trị



tọa độ các điểm cực trị

 

0; , ; , ; .

2 4 2 4

b b

A c B C

a a a a

   

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

   



 

b b

AB AC

  

với

4b ac  



Phương trình đường qua điểm cực trị:



 :

BC y

và

AB y x c

AC y x c



 













 













 



 













  













 





Gọi





BAC

, luôn có

cos

b a











Diện tích tam giác

ABC

là

 



Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC

là

b a

a b







Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

ABC

là

4 1 1



 









 













 

Dữ kiện Công thức thỏa



,B C Ox

4 0

b ac

 



BC m

 

2 0

am b

 

AB AC n

2 2 4

16 8 0

a n b ab

  

BC kAB kAC 

 

3 2 2

. 8 4 0

b k a k

  

ABOC

nội tiếp

. 0

b a

 







 









 

ABOC

là hình thoi

2 0

b ac

 

----------------------------------------------------------

------------------------------------

7) Tam giác

ABC

vuông cân tại

8 0

a b

 

8) Tam giác

ABC

đều

 

24 0

a b

9) Tam giác

ABC

có góc





BAC

3 2

8 .tan 0

a b



 

10) Tam giác

ABC

có

góc nhọn

 

8 0

b a b

 

11) Tam giác

ABC

có diện tích

 

3 5

32 0

a S b

 

12) Tam giác

ABC

có trọng tâm

6 0

b ac

 

14) Tam giác

ABC

có trực tâm

8 4 0

b a ac

  

16) Tam giác

ABC

có

là tâm đường tròn nội tiếp

8 4 0

b a abc

  

17) Tam giác

ABC

có

là tâm đường tròn ngoại tiếp

8 8 0

b a abc

  

18) Tam giác

ABC

có điểm cực trị cách đều trục hoành

8 0

b ac

 

Câu 87*. Cho hàm số

4 2

2 4

y x mx

   

có đồ thị là

 

. Tìm tất cả các giá trị thực

của tham số

để tất cả các điểm cực trị của

 

đều nằm trên các trục tọa độ.

 





 



Lời giải. Ta có

 

4 0 .

y x x m

x m









    







Hàm số có ba điểm cực trị

 

Tọa độ các điểm cực trị:

 

0; 4

A Oy 

 

; 4

B m m

 

và

 

; 4 .

C m m 

Yêu cầu bài toán

 

, 4 0 .

B C Ox m



 



     









loaïi

thoûa maõn

Chọn B.

Công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị:

0 0.

ab m

  

YCBT

 

2 2

4 0 4 16 0 .

b ac m



 



      









loaïi

thoûa maõn

Câu 88*. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để đồ thị hàm số

4 2

2 1

y x mx

  

có ba điểm cực trị

 

0;1 ,

thỏa mãn



 



 

Lời giải. Ta có

 

4 ; 0 .

y x x m y

x m







 

   







Hàm số có ba điểm cực trị

 

Tọa độ các điểm cực trị:

 

0;1 , ;1

A B m m



và

 

;1 .

C m m 

YCBT:

4 2 4 2 4

BC m m m

      

(thỏa mãn). Chọn C.

Công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị

0 0.

ab m

  

YCBT:

 

2 2

0 0

2 0 1.4 2. 2 0 4.

BC m am b m m

         

Câu 89*. (ĐỀ MINH HỌA 2016-2017) Tìm giá trị thực của tham số

sao cho đồ

thị của hàm số

4 2

2 1

y x mx

  

có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân.

m  

 

m 



Lời giải. Ta có

4 4 0 .

y x mx

x m









   



 



Hàm số có ba điểm cực trị

 

Toạ độ các điểm cực trị:

 

0;1 , ; 1

A B m m

  

và

 

; 1 .

C m m   

YCBT

 

. 0 0 .

AB AC m m







     



 





 

loaïi

thoûa maõn

Chọn B.

Công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị

0 0.

ab m

  

YCBT

 

8 0 8.1 2 0 1.

a b m m

        

Câu 90*. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để đồ thị của hàm số

4 2

y x mx 

có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có

diện tích nhỏ hơn





0 1.

 

0 4.

 

Lời giải. Ta có

 

4 ; 0 .

y x x m y

x m







 

   







Hàm số có ba điểm cực trị

 

Tọa độ các điểm cực trị:

 

0;0 , ;

A B m m



và

 

; .

C m m 

Tam giác

ABC

cân tại

suy ra

 

2 2

1 1

, . .2 .

2 2

ABC

S d A BC BC m m m m



  

Theo bài ra, ta có

 

1 1 0 1 : .

ABC

S m m m



      thoûa maõn

Chọn C.

Công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị

0 0.

ab m

  

YCBT

1 1 0 1.

m m

       

Dạng 6. BIỂU THỨC

 

f x



- ĐỒ THỊ HÀM

 

f x



Câu 91*. [ĐỀ THAM KHẢO 2018-2019] Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm

    

1 2 ,

f x x x x



  

  

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Lời giải. Đạo hàm:

    

1 2 ;

f x x x x



  

 

0 1 .

f x x









  



 



Bảng xét dấu

Ta thấy

 

f x



đổi dấu

lần nên hàm số đã cho có

điểm cực trị (cụ thể là

điểm

cực tiểu và

điểm cực đại). Chọn C.

Cách trắc nghiệm. Ta nhẩm được phương trình

 

f x





có

nghiệm bội lẻ nên

hàm số

 

f x

có

điểm cực trị.

Câu 92*. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2018-2019] Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm

   

2 ,

f x x x



 

  

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Lời giải. Dễ thấy phương trình

 

f x





có một nghiệm đơn



và một nghiệm

kép

 

Do đó hàm số

 

f x

có

điểm cực trị. Chọn B.

Câu 93*. Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm

      

1 1 2 1

f x x x x



    

với mọi

 

Hàm số

   

g x f x x 

có bao nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải. Đạo hàm:

        

1 1 1 2 ;

g x f x x x x

 

     

      

0 1 1 2 0 1 .

g x x x x x



 





       







Ta thấy

 

và



là các nghiệm

đơn,



là nghiệm kép



hàm số

 

g x

có

điểm cực trị. Chọn B.

Câu 94*. Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm

 

1 4

f x x x



  

với mọi

 

Hàm số

   

g x f x 

có bao nhiêu điểm cực đại?

Lời giải. Ta có

       

 

3 3 1 3 4 6 8 1 ;

g x f x x x x x x

 

 

              

 

 

 

0 2,

g x x



  



 

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy hàm số

 

g x

đạt cực đại tại



Chọn B.

Chú ý: Dấu của

 

g x



được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng

 

2;4 ,

ta chọn



Khi đó

       

3 0 1 . 4 4 0.

g f

 

 

        

 

Nhận thấy các nghiệm của

phương trình

 

g x





đều là các nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.

Câu 95*. Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm

       

4 5 3

1 2 3

f x x x x



   

với mọi

 

Số điểm cực trị của hàm số

 

g x f x

là

Lời giải. Ta có

       

4 5 3

0 1 2 3 0 2 .

f x x x x x



 





       



 



 

f x



chỉ đổi dấu khi

đi qua

 

và





hàm số

 

f x

có

điểm cực trị là:

 

và



Trong đó chỉ có

điểm cực

trị dương



hàm số

 

f x

có

điểm cực trị (cụ thể là

2; 0; 2

x x x

   

do tính đối xứng

của hàm số chẵn

 

f x

). Chọn B.

Câu 96*. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị hàm

số

 

.y f x





Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số

 

y f x

đạt cực đại tại điểm

 

B. Hàm số

 

y f x

đạt cực tiểu tại điểm



C. Hàm số

 

y f x

đạt cực tiểu tại điểm

 

D. Hàm số

 

y f x

đạt cực đại tại điểm

 

Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số

 

,y f x





ta có các nhận xét sau:



 

f x



đổi dấu từ

" "

sang

" "

khi đi qua điểm

 



 

f x



không đổi dấu khi đi qua điểm



Bảng biến thiên

Dựa vào BBT, ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm

 

Chọn C.

Câu 97*. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị hàm

số

 

.y f x





Số điểm cực trị của hàm số

 

y f x

là

Lời giải. Ta thấy đồ thị hàm số

 

f x



có

điểm chung với trục hoành là:

1 2 3

x x x  

nhưng chỉ cắt thực sự tại hai điểm là

và

Bảng biến thiên

Vậy hàm số

 

y f x

có

điểm cực trị. Chọn A.

Cách trắc nghiệm. Ta thấy đồ thị của

 

f x



có

điểm chung với trục hoành nhưng

cắt và băng qua luôn trục hoành chỉ có

điểm nên có hai cực trị.



Cắt và băng qua trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại.



Cắt và băng qua trục hoành từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu.

Câu 98*. Hàm số

 

f x

có đạo hàm

 

f x



trên

khoảng

Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số

 

f x



trên khoảng

Hỏi trên khoảng

hàm số

 

f x

có

bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra trên khoảng

phương trình

 

f x





chỉ có một

nghiệm bội lẻ

 

(cắt trục hoành) và hai nghiệm bội chẵn



(tiếp xúc

với trục hoành). Suy ra hàm số

 

f x

có đúng một cực trị (đó là điểm cực tiểu vì

 

f x



đổi dấu từ

'' ''

sang

'' ''

khi qua nghiệm bội lẻ

 

). Chọn B.

Câu 99*. Cho hàm số

 

.y f x

Đồ thị hàm số

 

y f x





như hình bên. Hàm số

 

g x f x

 

có bao nhiêu điểm

cực trị?

Lời giải. Ta có

 

2 3 ;

g x xf x

 

 

 

theo do thi

0 3 2 1 .

3 0

2 nghiem kep

3 1 nghiem kep

f x

g x x x

f x

















        





 





 

 





Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.

Chú ý: Dấu của

 

g x



được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng

 





 

2; 0.

x x

   

 



 

theo do thi '

2 2 2

2; 4 3 1 3 0.

f x

x x x f x



         

 

Từ

 

và

 

2 ,

suy ra

 

2 3 0

g x xf x

 

  

trên

 



nên

 

g x



mang dấu



Nhận thấy các nghiệm

 

và



là các nghiệm bội lẻ nên

 

g x



qua nghiệm

đổi dấu; các nghiệm

 

là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy

 

f x



tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

) nên qua nghiệm không đổi dấu.

Câu 100*. Cho hàm số

 

.y f x

Đồ thị của hàm số

 

y f x





như hình bên. Hàm số

 

2021

g x f x 

có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải. Từ đồ thị hàm số

 

f x



ta thấy

 

f x



cắt trục hoành tại

điểm có hoành

độ dương (và

điểm có hoành độ âm)

 

f x

có

điểm cực trị dương

 

f x



có

điểm cực trị

 

2021

f x

 

có

điểm cực trị (vì phép tịnh tiến không ảnh hưởng đến số điểm

cực trị của hàm số). Chọn C.

1. Định nghĩa

Cho hàm số

 

y f x

xác định trên tập

Kí hiệu:

 

max .M f x

Kí hiệu:

 

min .m f x

2. Định lý

3. Quy tắc tìm GTLN - GTNN của hàm số liên tục trên đoạn

 

;a b

1. Tìm các điểm

1 2

, ,...,

x x x

trên

 

;a b

mà tại đó

 

f x





hoặc

 

f x



không xác định.

2. Tính

         

1 2

, , , ..., , .

f a f x f x f x f b

3. Tìm số lớn nhất

và số nhỏ nhất

trong các số trên. Ta có

 

 

;

max

a b

M f x

và

 

 

;

min .

a b

m f x

Dạng 1. BẢNG BIẾN THIÊN

Câu 1. Cho hàm số

 

f x

xác định, liên tục trên



và có bảng biến thiên sau:

a) Số

được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số

 

y f x

trên tập

nếu

 

f x M

với mọi

thuộc

và tồn tại

 D

sao cho

 

.f x M

b) Số

được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số

 

y f x

trên tập

nếu

 

f x m

với mọi

thuộc

và tồn tại

 D

sao cho

 

.f x m

Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất trên đoạn đó.

GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ

GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng

B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng

1.

C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng

D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng

1

và

Lời giải. Chọn A.

Câu 2. Cho hàm số

 

f x

xác định, liên tục trên



và có bảng biến thiên sau:

Mệnh đề nào sau đây sai?

 

 

1;3

min 1.

f x

 

 

min 2.

f x

 



 

 

2;3

max 4.

f x





 

max 4.

f x





Lời giải. Xét trên

,

hàm số không có giá trị lớn nhất. Vậy D sai. Chọn D.

Câu 3. (ĐHSP Hà Nội lần 2, năm 2018-2019) Cho hàm số

 

f x

xác định, liên tục

trên



và có bảng biến thiên sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại điểm



B. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm

 

C. Hàm số đạt cực đại tại điểm

x 

D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng

Lời giải. Chọn D.

Câu 4. [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017] Cho hàm số

 

f x

xác định, liên tục trên



và

có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số có đúng một điểm cực trị.

B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng

và giá trị nhỏ nhất bằng

1.

D. Hàm số đạt cực đại tại



và đạt cực tiểu tại



Lời giải. Chọn D.

A sai vì hàm số có

điểm cực trị.

B sai vì hàm số có giá trị cực tiểu bằng

1.

C sai vì hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên



Câu 5. Cho hàm số

 

f x

xác định, liên tục trên



và có bảng biến thiên sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số có hai điểm cực trị.

B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng

4.

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng

3.

D. Hàm số có một điểm cực tiểu.

Lời giải. Chọn B.

A sai vì hàm số có ba điểm cực trị là

1; 0; 1.

x x x

   

C sai vì hàm số không có giá trị lớn nhất.

D sai vì hàm số có hai điểm cực tiểu là

 

và



Câu 6. Cho hàm số

 

f x

liên tục trên

 



và có bảng biên thiên như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

   

5 4 .

f f

  

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 

;2 .

C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng

D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng

Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số

 

y f x

nghịch biến trên khoảng

 

;0

nên

   

5 4 .

f f

  

Chọn A.

Câu 7. Cho hàm số

 

f x

xác định và liên tục trên

 

5;7 ,

có bảng biến thiên sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?





 

5;7

min 2

f x





và hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên

 

5;7 .





 

5;7

max 6

f x





và

 

 

5;7

min 2.

f x









 

5;7

max 9

f x





và

 

 

5;7

min 2.

f x









 

5;7

max 9

f x





và

 

 

5;7

min 6.

f x





Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta nhận thấy:



Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng

đạt tại

 

1 5;7 .

  



Ta có

   

 

9, 5;7

lim

f x x

f x







    











Mà

 

5;7 

nên không tồn tại

 

5;7

 

sao cho

 

f x



Do đó hàm số không đạt GTLN trên

 

5;7 .

Vậy

 

 

5;7

min 2

f x





và hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên

 

5;7 .

Chọn A.

Dạng 2. ĐỒ THỊ

Câu 8. Cho hàm số bậc ba

 

y f x

có đồ thị như

hình vẽ. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của

hàm số trên đoạn

 

2;2

lần lượt là

5

và

5

và

1.

1

và

2

và

Lời giải. Nhận thấy trên đoạn

 

2;2



Đồ thị hàm số có điểm thấp nhất có tọa độ

 

2; 5 

và

 

1; 5



giá trị nhỏ nhất của hàm số này trên đoạn

 

2;2

bằng

5.



Đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ

 

1; 1 

và

 

2; 1



giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn

 

2;2

bằng

1.

Chọn B.

Câu 9. Cho hàm số bậc ba

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ.

Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trên đoạn

 

 



 

 

lần lượt là

1

và

1

và

1

và

Lời giải. Chọn C.

Câu 10. Cho hàm số

 

f x

có đồ thị như hình

bên. Giá trị lớn nhất của hàm số

 

f x

trên đoạn

 

2;3

bằng

Lời giải. Nhận thấy trên đoạn

 

2;3

đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ

 

3;4



giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn

 

2;3

bằng

Chọn C.

Câu 11. [Đề THAM KHẢO 2018-2019] Cho hàm số

 

f x

liên tục trên đoạn

 

1;3

và có đồ thị như hình vẽ. Gọi

và

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

hàm số đã cho trên

 

1;3 .

Giá trị của

M m

bằng

Lời giải. Dựa vào đồ thị ta có

3, 2.

M m

  

Khi đó

M m

 

Chọn B.

Câu 12. Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị trên đoạn

 

2;4

như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của hàm số

 

y f x

trên đoạn

 

2;4

bằng

 

0 .

Lời giải. Từ đồ thị hàm số

 

y f x

trên đoạn

 

2;4

ta suy ra đồ thị hàm số

 

y f x

trên

 

2;4

như hình vẽ.

Do đó

 

 

2;4

max 3

f x





tại

 

Chọn C.

Câu 13. Cho hàm số bậc ba

 

f x

có đồ thị như hình bên.

Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?

i) Hàm số có hai điểm cực trị.

ii) Hàm số có GTLN là

và GTNN là

2.

iii) Hàm số đồng biến trên

 

;0

và

 

2; .

iv) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị:

 

0;2

và

 

2; 2 .

Lời giải. Dựa vào đồ thị suy ra hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Tức là mệnh đề ii) sai. Các mệnh đề còn lại đều đúng. Chọn B.

Câu 14. Cho hàm số

 

f x

liên tục trên đoạn

 

2;2

và có đồ

thị như hình vẽ bên. Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu

mệnh đề đúng?

i) Hàm số nghịch biến trên khoảng

 

0;1 .

ii) Hàm số đồng biến trên khoảng

 

1;2 .

iii) Trên đoạn

 

2;2

hàm số có ba điểm cực trị.

iv) Trên đoạn

 

2;2

hàm số có giá trị lớn nhất bằng

Lời giải. Chọn B. Khẳng định ii) và iv) là sai. Khẳng định i) và iii) là đúng.

Câu 15*. Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



và có

đồ thị như hình vẽ bên. Gọi

, M m

lần lượt là GTLN –

GTNN của hàm số

 

4 4

2 sin cos .g x f x x

 

 

 

 

Tổng

M m

bằng

Lời giải. Ta có

 

4 4 2 4 4

sin cos 1 sin 2 1 2 sin cos 2.

x x x x x

 

      



Dựa vào đồ thị, suy ra

   

max 1 3

min 2 1

M g x f

M m

m g x f



   



  





  





Chọn B.

Dạng 3. TÌM GTLN – GTNN TRÊN ĐOẠN

Câu 16. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

 

3 2

2 4 1

f x x x x

   

trên đoạn

 

1;3 .

 

 

1;3

max 7.

f x

 

 

 

1;3

max 4.

f x

 

 

 

1;3

max 2.

f x

 

 

 

1;3

max .

f x 

Lời giải. Đạo hàm:

   

 

2 1;3

3 4 4 0 .

1;3

f x x x f x



 



 

     



  





Ta có

 

 

   

1;3

1 4

2 7 max 3 2.

3 2

f f x f



  



     





 





Chọn C.

Cách 2: Sử dụng công cụ TABLE (MODE 7).

Bước 1: Bấm tổ hợp phím MODE 7.

Bước 2: Nhập

 

3 2

X X 2X 4X 1.

   

Sau đó ấn phím



(nếu có

 

g X

thì ấn tiếp phím



). Tiếp theo nhập

Start 1

End 3 .

Step 0.2













 





(Chú ý: Thường ta chọn

End Start

Step





)

 

4

1.2

4.952

1.4

5.776

1.6

6.424

1.8

6.848

7

2.2

6.832

2.4

6.296

2.6

5.344

2.8

3.928

Bước 3: Tra bảng nhận được và tìm GTLN:

2

Dựa vào bảng giá trị ở trên, ta thấy

 

   

1;3

max 3 2.

f x f

  

Câu 17. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

3 2

7 11 2

f x x x x

   

trên đoạn

 

0;2

bằng

2.

11.

Lời giải. Đạo hàm:

   

 

0;2

3 14 11

0 .

1 2

f x fx x x





 



 

  

 



 





Ta có

 

 

   

0;2

0 2

1 3

in 0 .

m 2

f f x f



  



 









 





Chọn A.

Câu 18. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Giá trị nhỏ nhất của hàm số

3 2

2 7y x x x  

trên đoạn

 

0;4

bằng

259.

4.

68.

Lời giải. Đạo hàm:

   

 

1 0;4

3 4 7 0 .

0;4

f x x x f x



 



 

     



  





Ta có

 

 

   

0;4

0 0

1 4 1

4 6

m n .

i 4

ff x



 



  









 





Chọn B.

Câu 19. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

3 2

2 3 1

f x x x

  

trên đoạn

 

 

 

 

 

bằng



5.



Lời giải. Đạo hàm:

   

0 2;

6 6 0 .

1 2;

f x x x f x



 



 

   



 

 



 

    



 



 

    



 

 



Ta có

 

   

min 5

2 5

1 0 min max 5.

max 0

1 1

2 2

f x

f f x f x

f x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 









  



  



 

      

 

 



 

 

 





  

 







 



 





Chọn B.

Câu 20. Biết rằng hàm số

 

3 2

3 9 28

f x x x x

   

đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn

 

0;4

tại

Tính

2020.

P x

 



2017.



2021.



2023.



Lời giải. Đạo hàm:

   

 

1 0;4

3 6 9 0 .

3 0;4

f x x x f x



  



 

     



 





Ta có

 

 

 

0;4

0 28

3 1 min 1

4 8

f f x



 



  











khi

3 2023.

x x P

   

Chọn D.

Câu 21. Xét hàm

 

3 2

2 3

f x x x x

    

trên

 

1;1 .

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại

 

và giá trị lớn nhất tại



B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại



và giá trị lớn nhất tại

 

C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại

 

nhưng không có giá trị lớn nhất.

D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất nhưng có giá trị lớn nhất tại



Lời giải. Đạo hàm:

   

4 4 1 2 1 0, .

f x x x x x



         



Suy ra hàm số

 

f x

nghịch biến trên đoạn

 

1;1

nên có giá trị nhỏ nhất tại



và

giá trị lớn nhất tại

 

Chọn B.

Câu 22. [ĐỀ THAM KHẢO 2017-2018] Giá trị lớn nhất của hàm số

 

4 2

4 5

f x x x

  

trên đoạn

 

2;3

bằng

50.

122.

Lời giải. Đạo hàm:

   

 

0 2;3

4 8 0 .

2 2;3

f x x x f x



  



 

    



   





Ta có

 

 

 

2;3

0 5

2 1

max 50.

2 5

3 50

f x





 



 



 





 









Chọn C.

Câu 23. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

4 2

x xf x

  

trên đoạn

 

2;3

bằng

13.

Lời giải. Đạo hàm:

   

 

0 2;3

4 2 0 .

2;3

f x x x f x



  



 

    



   





Ta có

 

 

 

2;3

2 25

3 85

min .

0 13

1 51

f x







 







 







 









 















 





Chọn B.

Câu 24. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

4 2

2 4 10

f x x x

   

trên đoạn

 

0;2

bằng

Lời giải. Đạo hàm:

   

 

0 0;2

8 8 0 1 0;2 .

1 0;2

f x x x f x x



 



 

       



  



Ta có

 

 

 

 

 

0;2

0 10

max 12

1 12 6.

min 6

2 6

M f x

f M m

m f x



 



  



    

 

 

  

 



 







Chọn C.

Câu 25. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

3 1

f x







trên đoạn

 

0;2

bằng



Lời giải. Đạo hàm:

 

0, 0;2 .

f x x





   



Suy ra hàm số

 

f x

nghịch biến trên đoạn

 

0;2

nên

 

   

 

   

0;2

max 0

min 2 5

M f x f

m f x f





  







   





Khi đó

M m  

Chọn B.

Câu 26. Hàm số nào sau đây không có GTLN và GTNN trên đoạn

 

2;2

y x

 

4 2

.y x x 







y x

  

Lời giải. Nhận thấy hàm số







không xác định tại

 

1 2;2 .

   

Lại có

1 1

lim ; lim .

1 1

 

 

 

   

 

x x

Do đó hàm số này không có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên

 

2;2 .

Chọn C.

Câu 27. [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017] Giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

f x







trên đoạn

 

2;4

bằng

3.

2.

Lời giải. Đạo hàm:

 

 

1 2;4

2 3

0 .

3 2;4

x x

f x f x



  

 



 

   



 







Ta có

 

 

 

2;4

2 7

3 6 min 6.

f f x









  











Chọn C.

Câu 28. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

2 1

x x

f x

 





trên

đoạn

 

0;1

bằng

1.

1 2.

2 2.

Lời giải. Đạo hàm:

 

2 4

x x

f x









Ta có:

   

 

0, 0;1

0 0

f x x





   









  





Suy ra hàm số

 

f x

đồng biến trên đoạn

 

0;1

nên

 

   

 

   

0;1

max 1 2

min 0 1

f x f





 







 





Chọn B.

Câu 29. Tập giá trị của hàm số

 

f x x

 

với

 

2;4



là đoạn

 

; .a b

Hiệu

b a

Lời giải. Đạo hàm:

   

 

2 2

3 2;4

9 9

1 0 .

3 2;4

f x f x

x x



 





 

     



  





Ta có

 

 

 

 

 

 

2;4

min 6

13 1

3 6 ; 6; .

2 2

max

f x

f a b b a

f x

















 



 

 

      

 

 

 

 

 



 









Chọn A.

Câu 30. Tập giá trị của hàm số

 

f x x

 

với

 

3;5



là

29 127

; .

3 5

 

 

 

29 526

; .

3 15

 

 

 

38 142

; .

3 5

 

 

 

38 526

; .

3 15

 

 

 

Lời giải. Đạo hàm:

 

2 2

2 1

2 0, 3;5 .

f x x x

x x





     

Suy ra hàm số đồng biến trên

 

3;5

nên

 

   

 

   

3;5

29 127

min 3 ; max 5 .

3 5

f x f f x f   

Vậy tập giá trị của hàm số là đoạn

29 127

; .

3 5

 

 

 

Chọn A.

Câu 31. Giá trị lớn nhất của hàm số

 

2 4

f x x x   

bằng

Lời giải. TXĐ:

 

2;4 .

Có

     

1 1

0 3 2;4 .

2 2 2 4

f x f x x

x x

 

      

 

Ta có

 

2 2

3 2 max 2.

4 2

f f x









  











Chọn B.

Câu 32. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

f x x x

 

bằng

2 2.

Lời giải. TXĐ:

 

2;2 . 

Đạo hàm:

 

2 2

4 2

4 4

x x

f x x

x x





   

 

 

 

2 2;2

0 4 2 0 .

2 2;2

f x x



  





     



   



Ta có

 

2 0

2 2

max 2

min 2

2 2

2 0

f x





 



  





 





 

 

 



 











Chọn A.

Câu 33. Giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

f x x x

  

bằng

2.

1.

Lời giải. TXĐ:

2; 2 .

 

 

 

 

Đạo hàm:

 

f x



 



 

2 2

0 1 2 1 2; 2 .

f x x x x

x x







 



           



 

 



 







Ta có

 

2 2

1 2 min 2.

2 2

f f x





  



   











Chọn A.

Câu 34*. Giá trị lớn nhất của hàm số

 

1 3 2 4 3

f x x x x x

       

bằng

2.

Lời giải. TXĐ:

 

1;3 .

Đặt

 

1 3 2 2

t x x t     

2 2 2

1 3 2 1 3 2 4 3 2 .t x x x x x x t             

Khi đó, bài toán trở thành

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

 

g t t t

   

trên

đoạn

2;2 ''

 

 

 

. Xét hàm số

 

g t t t

   

xác định và liên tục trên

2;2 .

 

 

 

Đạo hàm:

 

2 1 0, 2;2

g t t t



     

Suy ra hàm số

 

g t

nghịch biến trên đoạn

2;2 .

 

 

 

Do đó

 

 

 

1;3

2 ;2

max 2 2 max 2.

g t g f x

 

 

 

   

Chọn C.

Bình luận: Sau khi đọc lời giải, bạn đọc thắc mắc là tại sao biết được

2;2

 



 

 

???

Từ phép đặt ẩn phụ

 

1 3 .t x x h x    

Đạo hàm:

     

1 1

0 2 1;3 .

2 1 2 3

h x h x x

x x

 

      

 

Ta có

 

 

 

 

 

1;3

1 2

min 2

2 2 2 2 2 2.

max 2

3 2

h x

h h x t

h x















 

       

 

 



 











Câu 35. Giá trị lớn nhất của hàm số

 

2 2 2

f x x x x x

    

bằng

Lời giải. TXĐ:

 

0;2 .

Đặt

 

2 2 2 .

t x x t    

2 2 2

2 2 2 2 2 2.

t x x x x x x t

         

Khi đó, bài toán trở thành

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

 

g t t t

  

trên

đoạn

2;2 ''

 

 

 

. Xét hàm số

 

g t t t

  

xác định và liên tục trên

2;2 .

 

 

 

Đạo hàm:

 

2 1 0, 2;2

g t t t



    

Suy ra hàm số

 

g t

đồng biến trên đoạn

2;2 .

 

 

 

Do đó

   

 

 

0;2

2 ;2

max 2 4 max 4.

g t g f x

 

 

 

   

Chọn C.

Câu 36. Giá trị lớn nhất của hàm số

 

4 5

f x x x

   

trên đoạn

 

6;6

bằng

55.

110.

Lời giải. Xét hàm số

 

4 5

g x x x

   

liên tục trên đoạn

 

6;6

Đạo hàm:

     

2 4 0 2 6;6 .

g x x g x x

 

         

Lại có

 

 

1 6;6

0 4 5 0

5 6;6

g x x x



  



      



   





Có

 

   

 

 

 

         

 

6;6 6;6

6 7

2 9

max max 6 ; 2 ; 6 ; 1 ; 5 55.

6 55

1 5 0

f x g g g g g

g g

 



   



 



     





 



  





Chọn C.

Nhận xét. Bài này rất dễ sai lầm vì không để ý hàm trị tuyệt đối không âm.

Câu 37. Giá trị lớn nhất của hàm số

 

3 2

f x x x x   

trên đoạn

 

4;4

bằng

17.

34.

68.

Lời giải. Hàm số

 

f x

xác định và liên tục trên đoạn

 

4;4



Nếu

 

1;2



thì

3 2 0

x x

  

nên suy ra

 

2 2

f x x x

   

Đạo hàm:

     

2 2 0 1 1;2 .

f x x f x x

 

       

Ta có

 

1 1

2 2



  







 







Nếu

   

4;1 2;4

  

thì

3 2 0

x x

  

nên suy ra

 

4 2

f x x x

  

Đạo hàm:

       

2 4 0 2 4;1 2;4 .

f x x f x x

 

        

Ta có

 

4 34

1 1

2 2

4 2



  



 







 









So sánh hai trường hợp, ta được

 

   

4;4

max 4 34.

f x f



  

Chọn C.

Câu 38. Giá trị lớn nhất của hàm số

 

sin cos 2 sin 3

f x x x x

   

bằng

112

Lời giải. Ta có

 

3 3 2

sin cos 2 sin 3 sin 2 sin sin 4.

f x x x x x x x

       

Đặt

 

sin 1 1 .

t x t

   

Khi đó, bài toán trở thành

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

 

3 2

2 4

g t t t t

   

trên đoạn

 

1;1 ''

Đạo hàm:

   

 

1 1;1

3 4 1 0 .

1;1

g t t t g t



  



 

     



  





Ta có

 

 

   

1;1

1 0

1 112 1 112 112

max max .

3 27 3 27 27

1 4

g g t g f x

 



  



   



 

 

     

 



 

 

 



   











Chọn B.

Câu 39. Giá trị lớn nhất của hàm số

 

sin 1

sin sin 1

f x

x x





 

bằng

110

111

Lời giải. Đặt

 

sin 1 1 .

t x t

   

Khi đó, bài toán trở thành

Tìm giá trị lớn nhất

của hàm số

 

g t

t t





 

trên đoạn

 

1;1 ''

Đạo hàm:

 

 

0 1;1

0 2 0 .

2 1;1

t t

g t g t t t

t t



  

 



 

       



   

 





Ta có

 

 

     

1;1

1 0

0 1 max 0 1 max 1.

g g t g f x

 





 



     













Chọn A.

Câu 40*. (Đại học Vinh lần 3, năm 2018-2019) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của hàm số

 

2 cos

f x x



 

trên đoạn

 

2;2

bằng

4.

2.

Lời giải. Đạo hàm:

 

2 sin .

2 2

f x

 



 

Vì

 

sin 0 2 2 sin 2 0, .

2 2 2 2 2 2 2 2

x x

f x x

       



              



Suy ra hàm

 

f x

đồng biến trên đoạn

 

2;2

nên

 

   

 

   

2;2

max 2 3

min 2 5

f x f







 







   





Chọn B.

Dạng 4. TÌM GTLN – GTNN TRÊN KHOẢNG

Câu 41. Giá trị lớn nhất của hàm số

 

f x x

 

trên

 

0;3

bằng

Lời giải. Đạo hàm:

 

1 0, .

f x x



    



Dựa vào BBT, ta thấy





   

0;3

max 3 .

f x f 

Chọn D.

Nhận xét: Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên

 

0;3 .

Câu 42. Xét hàm

 

cos 4

f x x x x

   

trên

 

0; .

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số có giá trị lớn nhất là

5

nhưng không có giá trị nhỏ nhất.

B. Hàm số không có giá trị lớn nhất nhưng có giá trị nhỏ nhất là

5.

C. Hàm số có giá trị lớn nhất là

và có giá trị nhỏ nhất là

5.

D. Hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải. Ta có

 

3 1 sin 0, .

f x x x x



      

Dựa vào BBT, ta thấy không tồn tại





 

max

f x



nhưng

 

   

min 0 5.

f x f



  

Chọn B.

Câu 43. Xét hàm số

 

f x x

  

trên đoạn

 

1;2 .

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là

4

và giá trị lớn nhất là

B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là

4

và không có giá trị lớn nhất.

C. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất nhưng có giá trị lớn nhất là

D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất.

Lời giải. Ta có

 

2 2

4 4

1 ;

f x

x x

 



   

 

0 2.

f x x



   

Dựa vào BBT, ta thấy trên

 

1;2

hàm số không có giá trị nhỏ nhất và cũng không có

giá trị lớn nhất. Chọn D.

Câu 44. Biết rằng hàm số

 

2019f x x

   

đạt giá trị lớn nhất trên

 

0;4

tại

Tính

2020.

P x

 

2017.



2018.



2021.



4037.



Lời giải. Đạo hàm:

 

2 2

1 1

1 ;

f x

x x

 



   

 

1 0;4

0 .

1 0;4

f x



 





 



  





Dựa vào BBT, ta thấy hàm số đạt GTLN trên

 

0;4

tại

1 2021.

x P

  

Chọn C.

Câu 45. Gọi

là giá trị cực tiểu của hàm số

 

y f x x

  

trên

 

0; .

Mệnh

đề nào sau đây đúng?

 

min .y y





 

1 min .y y



 

 

min .y y





 

min .y y





Lời giải. Đạo hàm:

   

2 2

2 2 2

2 0 1.

f x x f x x

x x



 

      

Dựa vào BBT, ta thấy trên khoảng

 



hàm số chỉ có một cực trị và là giá trị cực

tiểu nên đó cũng chính là giá trị nhỏ nhất của hàm số. Vậy

 

min .y y





Chọn C.

Câu 46. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

3f x x

 

trên khoảng

 



bằng

2 9 .

3 9 .

Lời giải. Đạo hàm:

 

3 ;

f x



 

 

8 8 8

0 3 .

3 3

f x x x



      

Dựa vào BBT, ta thấy

 

min 3 9.

f x f



 









  









 

Chọn B.

Câu 47. Giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

f x x

 

trên

 



bằng

Lời giải. Đạo hàm:

 

;

1 1

2 2

f x

x x x

x x





 

 

 

1 0;

0 .

1 0;

f x



   





 



  





Dựa vào BBT, ta thấy

 

   

min 1 2.

f x f



 

Chọn C.

Dạng 5. BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ

Câu 48. Tìm giá trị thực của tham số

để hàm số

 

3 2

f x x x a   

có giá trị nhỏ

nhất trên đoạn

 

1;1

bằng



Lời giải. Đạo hàm:

   

 

0 1;1

3 6 0 .

2 1;1

f x x x f x



  



 

     



   





Ta có

 

 

   

1;1

1 2

0 min 1 4.

1 4

f a

f a f x f a

f a





   



    





 





Theo bài ra:

 

 

1;1

min 0 4 0 4.

f x a a



     

Chọn C.

Câu 49. Cho hàm số

 

3 2 2

1 2

f x x m x m

    

với

là tham số thực. Tìm tất cả

các giá trị của

để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn

 

0;2

bằng

 

Lời giải. Đạo hàm:

 

2 2

3 1 0, .

f x x m x



      

Suy ra hàm số

 

f x

đồng biến trên

 

   

0;2

0;2 min 0 2.

f x f m

   

Theo bài ra:

 

 

0;2

min 7 2 7 3.

f x m m

      

Chọn D.

Câu 50. Giá trị lớn nhất của hàm số

 

x m

f x







trên đoạn

 

0;1

bằng

.m

m

m

Lời giải. Đạo hàm:

 

 

0, 0;1 .

f x x





   



Suy ra hàm số

 

f x

đồng biến trên

 

   

0;1

0;1 max 1 .

f x f



  

Chọn C.

Câu 51. Gọi

là tập tất cả các phần tử của tham số

để hàm số

 

x m

f x







có

giá trị nhỏ nhất trên đoạn

 

0;3

bằng

2.

Tổng các phần tử của tập

bằng

16.

8.

Lời giải. Đạo hàm:

 

 

0, 0;3 .

y x





   



Suy ra hàm số

 

f x

đồng biến trên đoạn

 

   

0;3

0;3 min 0 .

f x f   

Thao bài ra:

 

 

0;3

min 2 2 4.

f x m

        

Chọn C.

Câu 52. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số

 

x m

f x







(với

là tham

số thực) thỏa mãn

 

 

 

 

1;2

min max .

f x f x 

Mệnh đề nào sau đây đúng?



0 2.

 

2 4.

 



Lời giải. Đạo hàm:

 

f x









Suy ra hàm số

 

f x

là hàm số đơn điệu trên đoạn

 

1;2

với mọi



Khi đó

 

 

 

     

1;2

1 2 16 5 25

min max 1 2 5.

2 3 3 6 6

m m m

f x f x f f m

 

         

Vậy



là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện



Chọn D.

Câu 53. Cho hàm số

 

f x m x

 

(

là tham số khác 0). Gọi

là hai giá trị

của

thỏa mãn

 

 

 

 

2;5

min max 10.

f x f x m

  

Tổng

1 2

m m

bằng

10.

Lời giải. Đạo hàm:

 

2 1

f x







không đổi dấu trên

 

2;5 .

Do đó

 

 

 

     

2 2 2

2;5

min max 10 2 5 10 3 10 0.

f x f x m f f m m m

          

Khi đó theo định lí Viet, ta có

1 2

m m

 

Chọn B.

Câu 54*. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số

 

x m

f x







(với

là tham

số thực) thỏa mãn

 

 

2;4

min 3.

f x



Mệnh đề nào sau đây đúng?

 

1 3.

 

3 4.

 



Lời giải. Đạo hàm:

 

f x





 



TH1. Với

 

suy ra

 

0; 1

f x x





    



nên hàm số

 

f x

nghịch biến

trên mỗi khoảng xác định. Khi đó

 

   

2;4

min 4 3 5

f x f m



    

(chọn).

TH2. Với



suy ra

 

0; 1

f x x





    



nên hàm số

 

f x

đồng biến

trên mỗi khoảng xác định. Khi đó

 

   

2;4

min 2 2 3 1

f x f m m

     

(loại).

Vậy



là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện



Chọn D.

Câu 55*. Cho hàm số

 

x m

f x







với

là tham số thực lớn hơn

Tập hợp các

giá trị của

để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

 

0;4

nhỏ hơn

là

 

1;3 .

 

1;3 .

   

1;3 \ 2 .

 

1; 5 .

Lời giải. Ta có

 

   

2 2 4

, 0 0;4 .

2 1 1

m x

f x f x x x

x x x





 

      

 

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT, ta thấy YCBT

 

2 1

3 4 3 5 1; 5 .

f m m m



 





        









 

Chọn D.

Câu 56*. Cho hàm số

   

3 2

3 2 3

f x x x a x a

     

(với

là tham số thực). Gọi

lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số trên

 

1 2 ;2 3 .

a a

 

Tính

m M





P 



Lời giải. Điều kiện:

1 2 2 3 1.

a a a

    

Đạo hàm:

 

3 6 2 0, f x x x a x



       

(do



Suy ra hàm số

 

f x

tăng trên

 

1 2 ;2 3

a a

 

nên

 

3 2

2 3 8 22 20 3

1 2 8 22 0 9

M f a a a a

m f a a





     









    













 

Chọn C.

Câu 57*. Cho hàm số

 

4 2

f x ax bx c  

 



có

 

   

min 1 .

f x f



 

Giá trị nhỏ

nhất của hàm số

 

f x

trên đoạn

 

 

 

bằng

.c a

8 .c a

c 

c 

Lời giải. Đạo hàm:

 

3 2

4 2 2 2 ; 0 .

f x ax bx x ax b f x







 



     



 





Nhận xét: Hàm số đã cho là hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung.

Do đó từ giả thiết

 

   

min 1

min 1 .

f x f

 

 

 





 



  





 





Vậy

   

 

min 1

min .

f x f

f x f a b c

f x c a

b a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 





    



 

   

 

 

 

 

 









Chọn A.

Dạng 6. TOÁN ỨNG DỤNG

Câu 58. Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi bằng

16 cm

thì hình chữ nhật

có diện tích lớn nhất bằng

16cm .

20cm .

30cm .

36cm .

Lời giải. Gọi

, 0

a b



lần lượt là chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật.

Diện tích hình chữ nhật:

.S ab

 

Biểu thức

phụ thuộc hai biến

và

nên gây khó khăn cho việc xét hàm (vì ta chỉ

xét hàm một biến). Do đó ta cần tìm mối liên hệ giữa

và

mục đích để rút

theo

(hoặc

theo

) để đưa

về biểu thức một biến.

Theo giả thiết, ta có

 

2 16 8 8 .a b a b b a       

Thay vào

 

ta được

 

8 8 .S ab a a a a     

Xét hàm

 

8f a a a  

trên

 

0;8 ,

ta được

 

max 16

f a



khi



Chọn A.

Cách 2. (Dùng bất đẳng thức) Ta có

 

16.

4 4

a b

S ab



   

Câu 59. Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích

thì hình chữ nhật có chu

vi nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

2 .S

4 .S

2 .S

4 .S

Lời giải. Gọi

, 0

a b



lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

Chu vi hình chữ nhật:

 

2 .P a b 

 

Mối liện hệ giữa

và

là:

S ab

(trong đó

là diện tích cho trước không đổi).

Suy ra



Thay vào

 

ta được

 

2 2 .

P a b a

   

Xét hàm

 

f a a

 

trên

 

0; ,

ta được

 

min 4

f a S

khi

.a S

Chọn B.

Cách 2. Ta có

 

2 2.2 4 4 .P a b ab ab S    

Dấu

'' ''

xảy ra

a b 

Câu 60. [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017] Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh

12cm.

Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông

có cạnh bằng

 

cm ,

rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp

không nắp. Tìm

để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.



Lời giải. Khối hộp có: đáy là hình vuông cạnh bằng

 

12 2 cm ;



chiều cao

 

với

0 6.

 

Thể tích khối hộp

 

3 2

12 2 . 4 48 144 .V x x x x x

    

Xét hàm

 

3 2

4 48 144f x x x x  

trên

 

0;6 ,

ta được

 

   

0;6

max 2 128.

f x f

 

Vậy với

 

2 cm



thể tích khối hộp lớn nhất. Chọn A.

Cách 2. Ta có

     

1 1 4 12 2 12 2

12 2 .4 . 12 2 . 12 2 128.

4 4 3

x x x

V x x x x x

 

   





      









 

Dấu

'' ''

xảy ra

4 12 2 2.

x x x

    

Câu 61. Ông An quyết định bán một phần mảnh đất hình chữ nhật có chu vi

50m.

Mảnh đất còn lại sau khi bán là một hình vuông cạnh bằng chiều rộng của mảnh đất

hình chữ nhật ban đầu. Tìm số tiền lớn nhất mà ông An nhận được khi bán đất, biết

giá tiền

đất khi bán là

1500000 VN

đồng.

112687500 VN

đồng. B.

114187500 VN

đồng.

115687500 VN

đồng. D.

117187500 VN

đồng.

Lời giải. Ông An thu được số tiền lớn nhất khi bán được diện tích đất nhiều nhất.

Gọi chiều rộng của mảnh đất là

 

m .

Điều kiện

0 .

x 

Vì mảnh đất có chu vi

50m,

suy ra chiều dài mảnh đất là

 

25 m .



Diện tích đất ban đầu

 

25 m .

S x x 

Diện tích đất còn lại

 

2 2

m .

S x



Suy ra diện tích đất bán được là

   

 

2 2

25 25 2

m .

f x S S x x x x x

      

Khảo sát hàm

 

25 2f x x x 

trên đoạn

0; ,

 

 

 

ta được

 

625

max f x

 

 

 



Số tiền lớn nhất thu được là

625

.1500000 117187500.



Chọn D.

Câu 62. Từ một tấm tôn hình chữ nhật người ta cuộn

thành một chiếc thùng hình trụ không đáy (như hình

vẽ). Biết tấm tôn có chu vi bằng

120 cm.

Để chiếc thùng

có thể tích lớn nhất thì chiều dài, chiều rộng của tấm

tôn lần lượt là

35 cm; 25 cm.

30 cm; 30 cm.

40 cm; 20 cm.

50 cm; 10 cm.

Lời giải. Gọi chiều dài tấm tôn là

 

0 60 .

 

Suy ra chiều rộng:

 

60 cm .



Giả sử quấn tấm tôn theo cạnh có kích thước

x 

bán kính đáy





và chiều cao

60 .h x 

Khi đó

   

 

3 2

Cosi

2 3

. . 120 2 120 2

60 8000

cm .

4 8 8 .27

x x x x x x

x x

V r h

   

   

 

    

Dấu

" "

xảy ra

 

120 2 40 cm .

x x x

    

Chọn C.

Cách 2. Xét hàm

 

3 2

60f x x x  

trên

 

0;60 .

Câu 63. Tính diện tích lớn nhất

max

của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn

có bán kính 10cm, biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của

đường tròn.

max

80cm .



max

100cm .



max

160cm .



max

200cm .



Lời giải. Đặt

BC x



là độ dài cạnh hình chữ nhật

không nằm dọc theo đường kính của đường tròn

 

0 10 .

 

Khi đó độ dài cạnh hình chữ nhật nằm dọc

trên đường tròn là

2 2

2 2. 10 cm.

AB OB x

  



Diện tích hình chữ nhật:

2 2 2

2 10 cm .

S x x

 

Xét hàm

 

2 2

2 10

f x x x

 

trên

 

0;10 ,

được

 

0;10

10 2

max 100.

f x f

 









 









 

Chọn B.

Cách 2. Ta có

 

2 2 2

2 2

2. 10 2. 100.

x x

 

  

Câu 64. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích

961m ,

người ta muốn mở rộng thêm 4 phần đất sao cho tạo thành

hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn. Biết tâm hình tròn trùng

với tâm của hình chữ nhật (xem hình minh họa). Tính diện

tích nhỏ nhất

min

của 4 phần đất được mở rộng.

 

min

961 961 m .

 

 

min

1922 961 m .

 

 

min

1892 946 m .

 

 

min

480,5 961 m .

 

Lời giải. Gọi

   

m , m

x y

 

0, 0

x y

 

lần lượt là hai kích thước mảnh vườn hình

chữ nhật;

 

là bán kính hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn

2 2

x y

R OB



  

Theo đề bài, ta có

961m .



Diện tích 4 phần đất mở rộng:

tron ABCD

S S S R xy   

 

2 2

Cosi

. . 480,5 961.

4 4

x y

xy xy  



     

Chọn D.

Nhận xét. Dấu

'' ''

xảy ra khi

ABCD

là hình vuông. Nếu phát hiện đều này thì làm

trắc nghiệm rất nhanh.

Câu 65. Bạn Nam làm một cái máng thoát

nước, mặt cắt hình thang cân có độ dài hai

cạnh bên và cạnh đáy đều bằng

20 cm

, thành

máng nghiêng với mặt đất một góc



 

0 90   

(tham khảo hình vẽ bên). Bạn

Nam phải nghiêng thành máng một góc trong

khoảng nào sau đây để lượng nước mưa thoát

được là nhiều nhất?

 

10 ;30 . 

 

30 ;50 . 

 

50 ;70 . 

 

70 ;90 . 

Lời giải. Theo yêu cầu bài toán,

max thang max

V S



Ta có

 

thang

20 40 cos 20

.20 sin



 



 

400 1 cos sin  

Xét

 

sin sin .cos

    

trên

0; ,



 













 

được

 

3 3

max





 

















 



khi

60 . 

Chọn C.

Câu 66. Mỗi trang giấy của cuốn sách giáo khoa cần diện

tích

384cm .

Lề trên và lề dưới là

3cm,

lề trái và lề phải là

2cm.

Hãy cho biết kích thước tối ưu của trang giấy?

A. Dài

23,5cm;

rộng

17cm.

B. Dài

24cm;

rộng

16cm.

C. Dài

25cm;

rộng

15,36cm.

D. Dài

25,6cm;

rộng

15cm.

Lời giải. Trang giấy có kích thước tối ưu khi diện tích phần trình bày nội dung là lớn

nhất. Gọi chiều dài của trang giấy là

 

384 8 6x x

  

chiều rộng là

384

Diện tích để trình bày nội dung là

   

384 2304

6 4 4 408.

f x x x

x x

 





      









 

Xét hàm

 

2304

4 408

f x x

   

trên



8 6; ,









ta tìm được tại



thì hàm số

có giá trị lớn nhất. Chọn B.

Câu 67. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 6cm.

Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ. Tìm

tổng

x y

để diện tích hình thang

EFGH

đạt giá trị

nhỏ nhất.

x y

 

x y

 

7 2

x y 

4 2

x y

 

Lời giải. Để

EFGH

nhỏ nhất

AEH CGF DGH

S S S S

  



   

lớn nhất (do

BEF



không đổi).

Tính được

  

2. 2 3 6 6 4 3 36.

S x y x y xy x y



        

 

Ta có

EFGH

là hình thang





AEH CGF

AE AH x

AEH CGF xy

CG CF y

       

∽

 

Từ

 

và

 

, suy ra

2 42 4 .

S x

 







  









 

Để



lớn nhất khi và chỉ khi



nhỏ

nhất. Mà

18 18

4 2 4 . 12 2.

x x

  

Dấu

'' ''

xảy ra

18 3 2

4 2 2.

x x y

     

Chọn C.

Câu 68*. Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí

cách bờ biển

một khoảng

5km



. Trên bờ biển có một cái kho ở vị

trí

cách

một khoảng là

7km.

Người canh hải đăng

có thể chèo đò từ

đến vị trí

trên bờ biển với vận tốc

4km/h

rồi đi bộ đến

với vận tốc

6km/h.

Vị trí của

điểm

cách

một khoảng gần nhất với giá trị nào sau

đây để người đó đến kho nhanh nhất?

2,1km.

3,0km.

4,5km.

7,0km.

Lời giải. Đặt

 

25 km

km 0 7 .

7 km

AM x

BM x x

MC x





 



   





 





Thời gian chèo đò từ

đến

là:





Thời gian đi bộ từ

đến

là:







Thời gian người canh hải đăng đi từ

đến

là

25 7

4 6

AM MC

x x

t t t

 

   

Xét hàm

 

25 7

4 6

x x

f x

 

 

trên

 

0;7 ,

ta được

 

 

0;7

14 5 5

min 2 5 .

f x f



 

Vậy người đó đến kho nhanh nhất khi vị trí của điểm

cách

một khoảng

2 5 4,5km.

 

Chọn C.

Câu 69*. Một sợi dây kim loại dài

60cm

được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất

uốn thành hình vuông cạnh

đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính

Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số

bằng

Lời giải. Gọi

là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn

 

0 60 .

 

Suy ra chiều dài đoạn còn lại là

60 .x

Chu vi đường tròn:

r x r



   

Diện tích hình tròn:

. .

S r



 

Diện tích hình vuông:

 

















 

Tổng diện tích hai hình:

 

4 . 120 3600

4 4 16

x x

  

 

  

 







  









 

Đạo hàm:

 

4 . 60

60 4

; 0 ; 0.

8 4 8

S S x S

 

  

 



  

     



Suy ra hàm

chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại







Do đó

đạt giá trị nhỏ

nhất tại







Với

 

60 30

4 4

x r



 

  

 

và

 

240 240

4 .4 120

r

   



Chọn B.

Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz, ta có

2 2

60 60

4 4 4 16

x x

 

 







  









 



Dấu

'' ''

xảy ra khi

60 60

4 16 4

x x



 



  



Câu 70*. Chủ của một nhà hàng muốn làm tường rào

bao quanh

600m

đất để làm bãi đỗ xe. Ba cạnh của

khu đất sẽ được rào bằng một loại thép với chi phí

14000

đồng một mét, riêng mặt thứ tư do tiếp giáp

với mặt bên của nhà hàng nên được xây bằng tường

gạch xi măng với chi phí là

28000

đồng mỗi mét. Biết

rằng cổng vào của khu đỗ xe là

5m.

Tìm chu vi của

khu đất sao cho chi phí nguyên liệu bỏ ra là ít nhất,

biết rằng khu đất rào được có dạng hình chữ nhật.

75m.

100m.

125m.

150m.

Lời giải. Gọi độ dài của hàng rào xây bằng xi măng là

 

x x



và độ dài hai hàng rào vuông góc với nó là

Vì diện tích khu đất rào được bằng

600m

nên

600

600 .

xy y

  

Độ dài dây thép để làm hàng rào là

 

600 1200

5 2 5 2. 5.

x y x x

x x

       

Suy ra tổng chi phí là

 

1200 16800000

5 .14000 .28000 42000 70000.

f x x x x

x x

 





      









 

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có

 

16800000

2 42000 . 5 1610000.

f x x

  

Đẳng thức xảy ra khi

16800000

42000 20.

x x

  

Suy ra chu vi của khu đất là

 

600

2 2 20 100 m.

x y

 





   









 

Chọn B.

Câu 71*. Cho một từ giấy hình chữ nhật với chiều

dài

12cm

và chiều rộng

8cm.

Gấp góc bên phải của

tờ giấy sao cho sau khi gấp, đỉnh của góc đó chạm

dưới như hình vẽ. Gọi độ dài nếp gấp là

thì giá trị

nhỏ nhất của

là bao nhiêu?

3 5.

3 7.

6 2.

6 3.

Lời giải. Gọi các điểm như hình vẽ, kẻ

vuông góc với

.CD

Đặt

 

8 .

BM x x

 

Để

chạm đáy

thì

MB MC

nên



Ta có

MNC NPQ 

∽

nên

MN NC

NP PQ



 

2 2

8 8 4

x x

x NC x x

PB x

y x

 

     



Ta chú ý thêm điều kiện

2 2

12 12

PB AB y x

    

2 8

12 18 6 5 18 6 5 18 6 5 8.

x x x



           



Xét hàm

 

f x





trên

18 6 5;8 ,

 



 

 

ta được

   

18 6 5 ;8

min 6 108.

f x f

 



 

 

 

Suy ra

min

108 6 3.

 

Chọn D.

Dạng 7. BIỂU THỨC

 

f x



- ĐỒ THỊ HÀM

 

f x



Câu 72. (Đại học Vinh lần 2, năm 2018-2019) Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm

    

1 2

f x x x x



  

với mọi

 

Giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

f x

trên đoạn

 

1;2

là

 

1 .



 

0 .

 

2 .

 

3 .

Lời giải. Ta có

 

0 1 .

2 nghiem kep

f x x









   









Bảng biến thiên

Dựa vào BBT, suy ra

 

   

1;2

min 0 .

f x f





Chọn B.

Câu 73. Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm

 

f x



liên tục trên



và đồ thị của hàm

số

 

f x



trên đoạn

 

2;6

như hình vẽ

bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

 

   

2;6

max 2 .

f x f



 

 

   

2;6

max 0 .

f x f





 

   

2;6

max 2 .

f x f





 

     

 

2;6

max max 1 , 6 .

f x f f



 

Lời giải. Từ đồ thị của

 

,f x



suy ra bảng biến thiên của hàm số

 

f x

nhưu sau

Dựa vào BBT, suy ra

     

 

[ 2;6]

max max 1 ; 6 .

f x f f



 

Chọn D.

Câu 74. Cho hai hàm số

 

y f x

và

 

y g x

liên tục trên



có đồ thị hàm số

 

y f x





là đường cong nét đậm và

 

y g x





là đường cong nét mảnh như hình vẽ. Gọi ba giao

điểm

, , A B C

của đồ thị

 

y f x





và

 

y g x





trên hình vẽ

lần lượt có hoành độ là

, , .a b c

Giá trị nhỏ nhất của hàm số

     

h x f x g x 

trên đoạn

 

;a c

bằng

 

0 .

 

.h a

 

.h b

 

.h c

Lời giải. Ta có

       

do thi

0h xh x f

g x xx



 

 

 





hoặc

x b

hoặc

.x c

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra

 

   

;

min .

a c

h x h b

Chọn C.

Câu 75. Cho hàm số

 

.y f x

Đồ thị hàm số

 

y f x





như hình bên. Biết rằng

       

0 3 2 5 .

f f f f

  

Giá trị

nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của

 

f x

trên đoạn

 

0;5

lần

lượt là

   

0 ; 5 .

f f

   

2 ; 0 .

f f

   

1 ; 5 .

f f

   

2 ; 5 .

f f

Lời giải. Từ đồ thị

 

f x



trên

 

0;5 ,

ta có BBT của hàm số

 

f x

như sau

Suy ra

 

   

0;5

min 2

f x f



và

 

     

 

0;5

max max 0 ; 5 .

f x f f



Từ giả thiết, ta có

       

5 3 0 2 .

f f f f

  

 

Hàm số

 

f x

đồng biến trên

     

2;5 3 2 .

f f

 

 

Từ

 

và

 

, suy ra

   

 

     

 

 

0;5

5 0 max 0 , 5 5 .

f f f x f f f

   

Chọn D.

1. Khái niệm

2. Tiệm cận ngang

Cho hàm số

 

y f x

xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng

   

; , ;a b 

hoặc

 

;

 

). Đường thẳng

y y

được gọi là đường tiệm cận

ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số

 

y f x

nếu ít nhất một trong các

điều kiện sau được thỏa mãn

   

0 0

lim ; lim .

x x

f x y f x y

 

 

Đường thẳng

y y

là tiệm cận ngang

của đồ thị (khi

x  

Đường thẳng

y y

là tiệm cận ngang

của đồ thị (khi

x  

3. Tiệm cận đứng

Đường thẳng

x x

được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ

thị hàm số

 

y f x

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

   

0 0

lim , lim ,

lim , lim .

x x x x

f x f x

 

 

   

   

Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị

 

Điểm

 

 C

là khoảng cách từ

đến đường thẳng

Đường thẳng

gọi là tiệm cận của đồ thị hàm số nếu

khoảng cách

dần về

khi

 

hoặc

.x x

ÑÖÔØNG TIEÄM CAÄN

Đường thẳng

x x

là tiệm cận đứng của

đồ thị (khi

x x





Đường thẳng

x x

là tiệm cận đứng của

đồ thị (khi

x x





Dạng 1. BẢNG BIẾN THIÊN

Câu 1. [ĐHSP Hà Nội lần 4, năm 2018-2019] Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm

trên

 

 

 

 

 



và có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta có:



 

1 1

lim

2 2

f x y



    

là TCN.



 

lim

f x x



   

là TCĐ.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả

đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn B.

Câu 2. Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm trên

 

\ 1

và có bảng biến thiên

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta có:



 

lim 5 5

f x y



  

là TCN;



 

lim 2 2

f x y



  

là TCN.



 

lim 1

f x x



    

là TCĐ.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả

đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn C.

Câu 3. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2018-2019] Cho hàm số

 

y f x

có bảng biến thiên

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta có:



 

lim 2 2

f x y



  

là TCN;



 

lim 0

f x x





   

là TCĐ.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả

đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn B.

Câu 4. [KHTN Hà Nội lần 1, năm 2018-2019] Cho hàm số

 

y f x

có bảng biến

thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

Lời giải. Chọn B.

Câu 5. Cho hàm số

 

y f x

xác định trên

 

\ 0 ,

liên tục trên mỗi khoảng xác

định và có bảng biến thiên như sau:

Trong các mệnh đề sau đây có bao nhiêu mệnh đề đúng?

i) Giá trị lớn nhất của hàm số bằng

ii) Trên khoảng

 

0; ,

hàm số có giá trị lớn nhất bằng

iii) Hàm số có

điểm cực trị.

iv) Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang và một đường tiệm cận đứng.

Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta có:



 

lim 2

f x





nên không tồn tại

để

 

f x



Do đó i) sai.



Dễ thấy ii) đúng



Tại



hàm số không xác định nên



không là điểm cực trị. Do đó iii) sai.



 

lim 2 2

f x y



  

là TCN;



 

lim 0

f x x



   

là TCĐ.

Do đó iv) đúng. Vậy có tất cả

mệnh đề đúng. Chọn B.

Câu 6. Cho hàm số

 

y f x

có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

Lời giải. Chọn C.

Câu 7. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Cho hàm số

 

y f x

có bảng biến thiên

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

Lời giải. Từ bảng biến thiên, ta có:



lim 0 0

y y



  

là TCN.



 

lim 2

y x



 

    

là TCĐ;



lim 0

y x





   

là TCĐ.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả

đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn C.

Câu 8. Cho hàm số

 

y f x

có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

Lời giải. Từ bảng biến thiên, ta có:



lim



  

đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.



 

lim 2

y x



 

    

là TCĐ;



lim 1

y x





   

là TCĐ.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả

đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn B.

Câu 9. Cho hàm số

 

y f x

có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

Lời giải. Từ bảng biến thiên, ta có:



 

lim 0 0

f x y



  

là TCN;



 

lim 1 1

f x y



  

là TCN.



 

lim 1

f x x





   

là TCĐ;



 

lim 2 2

f x x



 

   

khônglàTCĐ.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả

đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn C.

Câu 10. [ĐHSP Hà Nội lần 1, năm 2018-2019] Cho hàm số

 

y f x

có bảng biến

thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

 

2 1

g x

f x





là

Lời giải. Dựa vào BBT, ta có:



   

2 1 0

f x f x

   

có hai nghiệm phân biệt. Suy ra ĐTHS

 

g x

có

TCĐ.



Lại có

 

lim 1 lim 1

2 1

lim 1 lim 1

2 1

x x

f x

 

 





  







 





  









là TCN của ĐTHS

 

.g x

Vậy đồ thị hàm số

 

g x

có tất cả

đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn D.

Câu 11. Hàm số

 

y f x

xác định và có đạo hàm trên

 

\ 1;1 ,

có bảng biến thiên

như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

 

g x

f x





là

Lời giải. Dựa vào BBT, có

 

; 1

f x

x a







  



   



ĐTHS

 

g x

có hai TCĐ.

Lại có

 

lim lim 0 0 TCN

lim 0 lim 1 1 TCN

x x

f x y

f x

f x y

f x

 

 





     











      









Vậy đồ thị hàm số

 

g x

có tất cả

đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn C.

Câu 12. Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm trên

 

\ 1

và có bảng biến thiên

Đồ thị hàm số

 

g x

f x





có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Lời giải. Xét phương trình

 

   

3 1

9 0 .

3 2

f x







  



 





Dựa vào BBT, ta thấy mỗi

phương trình

 

và

 

đều có một nghiệm (hai nghiệm này khác nhau)



Đồ thị

hàm số

 

g x

có

đường TCĐ. Chọn C.

Câu 13*. Cho hàm số

 

3 2

y f x x bx cx d    

có bảng biến thiên như hình vẽ:

Đồ thị hàm số

 

   

x x

g x

f x f x





 

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Lời giải. Xét

   

5 0 .

f x

f x f x

f x









   









Dựa vào BBT, ta thấy:



 

có nghiệm duy nhất



100

   

f x x h x

  

với

 

h x

là hàm bậc hai và

 

h x



vô nghiệm.



 

có nghiệm



(nghiệm kép) và

 

0;1

x a

 

    

2 .

f x x a x    

Do đó

 

    

2 .

x x

g x

x a x h x

x a x xh x



 

 

Suy ra đồ thị hàm số

 

g x

có

đường tiệm cận đứng là

x a

và



Chọn B.

Dạng 2. ĐỒ THỊ

Câu 14. (ĐHSP Hà Nội lần 2, năm 2018-2019) Cho hàm

trùng phương

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ. Số đường tiệm

cận đứng của đồ thị hàm số

 

g x

f x





là

Lời giải. ĐTHS

 

g x

có số đường tiệm cận đứng là số nghiệm của phương trình

   

1 0 1.

f x f x

    

Dựa vào đồ thị, ta thấy phương trình

 

f x

 

có

nghiệm phân biệt.

Vậy đồ thị hàm số

 

g x

có

đường tiệm cận đứng. Chọn C.

Câu 15. Cho hàm trùng phương

 

y f x

có đồ thị như

hình vẽ. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ

thị hàm số

 

   

g x

f x f x



 



 

là

10.

Lời giải. Xét

   

 

1 0 .

f x

f x f x

f x







 

  



 







Dựa vào đồ

thị, ta thấy phương trình

   

1 0

f x f x

 

 

 

có

nghiệm

phân biệt trong đó không có nghiệm nào bằng

(

là

nghiệm của tử)



đồ thị hàm số có

đường tiệm cận đứng.

Lại có

 

g x

là hàm phân thức hữu tỷ với bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu



đồ thị hàm số

 

g x

có đúng một tiệm cận ngang là



101

Vậy đồ thị hàm số

 

g x

có tất cả

đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn C.

Câu 16. Cho hàm trùng phương

 

y f x

có đồ thị như hình

vẽ. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

 

2019

2020

g x

f x

 

là

Lời giải. Ta có

 

2019 2020

f x

g x

f x





Dựa vào đồ thị, ta thấy



   

0, 2019 2020 0,f x x f x x

        

(nghĩa là tử không có nghiệm).



 

f x



 



  







Đồ thị hàm số có

TCĐ:

 

và



Ta có

   

lim lim 2020

x x

f x g x

 

   



Đố thị hàm số có TCN:

2020.



Vậy đồ thị hàm

 

g x

số có tất cả

đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn C.

Câu 17*. Cho hàm số bậc ba

 

3 2

y f x x bx cx d    

có đồ

thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số

 

   

g x

f x f x







có bao

nhiêu đường tiệm cận đứng?

Lời giải. Xét

   

0 1

4 0 .

4 2

f x

f x f x

f x







  









Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy



 

có nghiệm

 

; 1

x x

   

(nghiệm đơn) và



(nghiệm kép)

    

1 .

f x x x x   



 

có nghiệm

 

(nghiệm kép) và

 

1;x x

  

(nghiệm đơn)

     

4 1 .f x x x x

    

Do đó

 

  

      

     

2 2

1 2

1 1

1 . 1

x x

g x

x x x x x x

 

 

   



đồ thị hàm số

 

g x

có

đường TCĐ. Chọn D.

102

Câu 18*. Cho hàm bậc ba

 

y f x

có đồ thị như hình. Số

tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

 

1 4 3

f x

g x

x x x



  

là

Lời giải. Từ giả thiết suy ra

     

1 2 .

f x x x  

Khi đó

 

   

    

1 2

1 1 3

x x

g x

x x x

 



  

Vì

 

f x

có TXĐ:

   

1 2;

   

nên

1, 1

x x

  

không là các đường TCĐ



đồ thị hàm số

 

g x

có

đường tiệm cận đứng là



Chọn A.

Nhận xét: Học sinh dễ nhầm lẫn

 

cùng là một đường TCĐ.

Dạng 3. TÌM TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ

Câu 19. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Đồ thị hàm số







có bao nhiêu

đường tiệm cận?

Lời giải. TXĐ:

 

\ 2 . 

Ta có:



lim 0 0

y y



  

là TCN.



2 2

lim lim 2

x x

y x

 



     



là TCĐ;

2 2 2

2 1 1

lim lim lim 2

2 44

x x x

y x

  



    



không là TCĐ.

Vậy đồ thị hàm số có

đường TCN và

đường TCĐ. Chọn C.

Câu 20. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Đồ thị hàm số

3 4

x x

 





có bao nhiêu

đường tiệm cận đứng?

Lời giải. TXĐ:

 

\ 4 . 

Ta có:



  

4 4 4 4

1 4

3 4 1

lim lim lim lim 4

4 4 416

x x x x

x x

x x x

y x

x x xx

   

 

  

       

  

là TCĐ;



  

4 4 4 4

1 4

3 4 1 5

lim lim lim lim 4

4 4 4 8

x x x x

x x

x x x

y x

x x x

   

 

  

     

  



không là TCĐ.

Vậy đồ thị hàm số có

đường TCĐ. Chọn B.

103

Câu 21. (Đại học Vinh lần 1, năm 2018-2019) Đồ thị hàm số

3 2

x x





 

có bao

nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải. TXĐ:

 

\ 1;2 . 

Ta có:



lim 1 1

y y



  

là TCN.



  

1 1

2 2

lim lim 1

2 1

x x

x x x

y x

x x

 

 

     

 

là TCĐ;

  

 

2 2

2 2 2

lim lim lim 2

2 1 1

x x x

x x x x x

y x

x x x

  

  

    

  

không là TCĐ.

Vậy đồ thị hàm số có

đường TCN và

đường TCĐ. Chọn B.

Câu 22. Đồ thị hàm số

3 2







có bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải. TXĐ:

 

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Ta có

3 2

lim 3 3





    



là TCN;

3 2

lim 3 3





  



là TCN.

Vậy đồ thị hàm số có

đường TCN và không có đường TCĐ. Chọn B.

Câu 23. Đồ thị hàm số

x x





 

có bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải. TXĐ:

 

\ 2;2 . 

Ta có



lim lim 1 1

x x

y y

x x

 



   

 

là TCN.



lim 2

y x



    

là TCĐ;

lim 2

y x



   

là TCĐ.

Vậy đồ thị hàm số có

đường TCN và

đường TCĐ. Chọn C.

Câu 24. Đồ thị hàm số

2 1

x x

 





có bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải. Ta có

2 2

khi 1, 1

2 1

1 1

khi 1

x x





  





 







  





 



  











Dễ thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng



104



2 1

lim lim 0 0

x x

y y

 

 

   



là TCN.

Vậy đồ thị hàm số có

đường TCN và

đường TCĐ. Chọn C.

Câu 25. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Đồ thị hàm số nào trong các hàm số dưới

đây có tiệm cận đứng?









x x



 

Lời giải. Nhận thấy các đáp án B, C, D hàm số có TXĐ:

 D

nên không có TCĐ.

Dùng phương pháp loại trừ thì A đúng. Chọn A.

(Thật vậy; hàm số



có

0 0

lim lim 0

x x

y x

 

 

    

là TCĐ)

Câu 26. [ĐỀ THAM KHẢO 2017-2018] Đồ thị hàm số nào trong các hàm số dưới

đây có tiệm cận đứng?





3 2

x x

 





y x

 





Lời giải. Quan sát các đáp án ta dự đoán là B hoặc D.

Xét đáp án D thấy

 

là nghiệm của mẫu và không là nghiệm của tử nên đáp án

D là đúng. Chọn D.

Câu 27. Đồ thị hàm số

3 4

x x





 

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Lời giải. TXĐ:

 

7; . 

Vì

3 4 0, D.

x x x

    

Do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Chọn A.

Câu 28. Đồ thị hàm số

4 2 1

x x





 

có bao nhiêu đường tiệm cận?

. B.

. C.

. D.

Lời giải. Ta có

4 2 1 0,x x x

     

TXĐ của hàm số

 D

. Do đó đồ thị

hàm số không có tiệm cận đứng.

Xét

1 1 1

lim

2 2

4 2 1

x x





  

 

là TCN;

1 1 1

lim

2 2

4 2 1

x x





    

 

là TCN.

Vậy đồ thị hàm số có

đường TCN. Chọn B.

105

Câu 29. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2017-2018] Đồ thị hàm số

9 3

x x

 





có bao nhiêu

đường tiệm cận đứng?

Lời giải. TXĐ:

   

9; \ 0; 1 .   

Ta có



1 1

9 3

lim lim 1

x x

y x

x x

 

 

     



là TCĐ;



 

0 0 0

1 1

lim lim lim 0

9 3 1 9 3

x x x

y x

x x x x x

  

    

     

không là TCĐ.

Vậy đồ thị hàm số có

đường tiệm cận đứng. Chọn B.

Câu 30. [ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016-2017] Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ

thị hàm số

2 1 3

5 6

x x x

x x

   



 

 

và

 



và



Lời giải. TXĐ:

 

;3 .

\ 2

 



 

2 2

2 1 3

lim lim

5 6 2 1 3

x x x

x x x x x





   



     

 

(3 1) 7

lim 2

3 2 1 3

x x x x







    

    

không là TCĐ.



lim 3

y x



   

là TCĐ. Chọn D.

Câu 31. Đồ thị hàm số







có bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải. TXĐ:

 

3;3

  

không tồn tại

lim



và

lim .



Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Ta có:



3 3 3

lim lim lim 0 3

3 . 3 3

x x x

  

  

  

     

  



không là TCĐ;



3 3 3

lim lim lim 3

3 . 3 3

x x x

  

  

  

     

  



là TCĐ.

106

Vậy đồ thị hàm số có

đường TCĐ. Chọn B.

Câu 32. Đồ thị hàm số







có bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải. TXĐ:

 

4;4 . 

Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Ta có:



4 4

16 1

lim lim 4

x x

 

 

 

 









     











 



là TCĐ;



4 4

16 1

lim lim 4

x x

 

 

 

 









    











 



là TCĐ.

Vậy đồ thị hàm số có

đường TCĐ. Chọn C.

Câu 33. Đồ thị hàm số

2 3

x x





 

có bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải. TXĐ:

 

3 ; 3 \ 1 .

 

 

 

 

Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Ta có

2 3

lim

2 3

lim

x x















 



 



 









 



 





là TCĐ.

Vậy đồ thị hàm số có

đường TCĐ. Chọn A.

Câu 34. Đồ thị hàm số

2 1

3 2

x x

 



 

có bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải. TXĐ:

 

2 ; 2 \ 1 .

 

 

 

 

Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Ta có

2 1

lim 0

3 2

2 1

lim 0

3 2

x x











 







 









 







 





đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận. Chọn A.

Câu 35. Đồ thị hàm số

3 2

x x

 





có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Lời giải. TXĐ:

 

\ 1;1 . 

Ta có

107



2 2

3 3

4 4

1 1

3 2 3 2 3

lim lim 1

1 1

x x

x x x x

x x

 

 

   

    

 

không là TCĐ;



 

3 2

lim

3 2

lim

x x





 





 



 







  





 



 









là TCĐ.

Vậy đồ thị hàm số có

đường TCĐ. Chọn B.

Câu 36. Đồ thị hàm số

2 3

y x x x   

có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

Lời giải. Ta có

 

2 2

2 3

lim 2 3 lim lim 1

2 3

1 1

2 3 2 3

lim 2 3 lim 1 lim 1 1

x x x

x x

x x x x x x

x xx x

  

  



 

















 













 

     







 



 

  







  







 

 

 



 











             















 

 







 





Vậy đồ thị có một đường tiệm cận ngang là



. Chọn B.

Câu 37. Cho hàm số







Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị

hàm số đã cho là

Lời giải. TXĐ:

   

1;1 1;

   

. Ta có



3 4

1 1

lim lim lim 0 0

x x x

x x

y y

  



    



là TCN.



  

 

  

 

1 1 1

1 1

lim lim lim

1 1

lim lim lim

1 1

x x x

x x

  

  

  









   



 



 









   



 





là TCĐ;

   

  

 

1 1 1

1 1

lim lim lim 1

1 1

x x x

y x

x x

  

     



      

 

 

là TCĐ;.

Vậy đồ thị hàm số có

đường TCN và

đường TCĐ. Chọn C.

108

Câu 38. Gọi

, n d

lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số đường tiệm cận đứng của

đồ thị hàm số

 

x x







Khẳng định nào sau đây là đúng?

n d

 

0; 1.

n d

 

1; 2.

n d

 

0; 2.

n d

 

Lời giải. TXĐ:

 

0;1

 

Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Xét phương trình

 

1 0 .

x x







  







Ta có



 

lim 0

x x







   



là TCĐ;



 

1 1

lim lim 1

1 1

x x x x



 



 

    

 

là TCĐ.

Vậy

0; 2.

n d

 

Chọn D.

Câu 39. Cho hàm số

2 1 1





 

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của

đồ thị hàm số đã cho là

Lời giải. TXĐ:

 

1 1

; ; \ 1;1 .

2 2

   





 

     











 

 

 



1 1 1

lim

2 2

2 1 1





  

 

là TCN;

1 1 1

lim

2 2

2 1 1





    

 

là TCN.



 

1 1 1

1 2 1 1

2 1 1

lim lim lim 1

2 1

x x x

x x

y x

  

  

 

      





là TCĐ;

 

1 1 1

1 2 1 1

2 1 1 1

lim lim lim 1

2 1 2

2 1

x x x

x x

y x

  

  

 

    





không là TCĐ.

Vậy đồ thị hàm số có

đường TCN và

đường TCĐ. Chọn C.

Câu 40. Cho hàm số

khi 1





















Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận

đứng của đồ thị hàm số đã cho là

Lời giải. Ta có

109



lim lim 2 2

x x

y y

 

   



là TCN;

lim lim 1 1

x x

y y

 



   

là TCN.



1 1

lim lim 1

x x

y x

 

 

    



là TCĐ.

Vậy đồ thị hàm số có

đường TCN và

đường TCĐ. Chọn C.

Dạng 4. BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ

Câu 41. Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



và có bảng biến thiên như hình vẽ

Tìm tất cả các số thực

để đồ thị hàm số

 

g x

f x m





có

đường tiệm cận đứng?

 

 

5 4.

  

5 4.

  

Lời giải. Để đồ thị hàm số

 

g x

f x m





có ba tiệm cận đứng thì phương trình

 

f x m

 

có ba nghiệm phân biệt. Dựa vào BBT

  

Chọn B.

Câu 42. Biết rằng đồ thị hàm số

 

2 3 5

m n x

x m n

  



 

nhận hai trục tọa độ làm hai

đường tiệm cận. Tính tổng

2 2

S m n

  

 



Lời giải. Dễ dàng có được:

x m n 

là TCĐ và

2 3

y m n

  

là TCN.

Từ giả thiết, ta có

2 2

0 1

2 0.

2 3 0 1

m n m

S m n

m n n

 

  

 

     

 

 

    

 

 

Chọn B.

Câu 43. Tìm trên đồ thị hàm số

2 1







những điểm

sao cho khoảng cách từ

đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ

đến tiệm cận ngang của đồ thị.

 















 

hoặc

 

2;5 .

 

4;3

hoặc

 

2;1 .



 

4;3

hoặc

 

2;5 .

 















 

hoặc

 

2;1 .



110

Lời giải. Đường tiệm cận đứng

: 1;

 

đường tiệm cận ngang

: 2.



 

Gọi

2 1

;

M a

 















 



với



là điểm thuộc đồ thị.

Ycbt

 

 

4;3

2 1

, 3 , 1 3 2 .

2;1

d M d M a









 





         



 



 



 



Chọn B.

Câu 44. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để đồ thị hàm số

2 3

x x m

x m

 





không

có tiệm cận đứng.



. B.

1, 2

m m

 

. C.

0, 1

m m

 

. D.



Lời giải. TXĐ:

 

\ .m 

Ta có

      

2 2 3 2 1 2 1

2 2 3 .

x m x m m m m m

y x m

x m x m

     

    

 

Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì các giới hạn

lim

x m





tồn tại hữu hạn

 

2 1 0 .

m m







   







Chọn C.

Cách 2. YCBT



Phương trình

2 3 0

x x m

  

có một nghiệm là

x m

 

2 3 0 2 1 0

m m m m m







       







. Chọn C.

Câu 45. Tập hợp các giá trị thực của tham số

để đồ thị hàm số

2 4

x mx





 

có

ba đường tiệm cận là

   

; 2 2; .   

5 5

; ; 2 .

2 2

   

 

 

    

 

 

 

 

   

 

5 5

; ; 2 2; .

2 2

   

 

 

      

 

 

 

 

   

 

2; .

Lời giải. Ta có

lim 0 0

2 4

x mx





  

 

là TCN với mọi

Do đó ycbt



phương trình

2 4 0

x mx

  

có hai nghiệm phân biệt khác

1

   

4 0

2 5 0

1 2 . 1 4 0



















 









 

 



 



  

  

  

 

    

  









 





Chọn C.

111

Câu 46. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực

thuộc đoạn

 

2020;2020

để

đồ thị hàm số

x x m





 

có hai tiệm cận đứng?

2020.

2022.

2023.

2024.

Lời giải. Ycbt

4 0

x x m

   

có hai nghiệm phân biệt khác

2

   

4 0 4

12 0 12

2 4. 2 0

m m





 



 

  

 



  

  

  

  

   

    

 

  





 

   

2020 ;2020

2020;...;0 ;1;2;3 \ 12



 

   



Vậy có tất cả

2023

giá trị nguyên thỏa mãn. Chọn C.

Câu 47. Cho hàm số

x x m





 

với

là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên

để đồ thị hàm số có

đường tiệm cận?

D. Vô số.

Lời giải. Ta có

lim 0 0

x x m





  

 

là TCN với mọi

Do đó YCBT



đồ thị hàm số có

TCĐ



phương trình

4 0

x x m

  

có nghiệm

kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng

2

   

4 0

2 4 2 0





   















   



 







 









    







Chọn C.

Câu 48. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

thuộc

 

12;12

để đồ thị hàm số

x x m





 

có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng?

10.

11.

Lời giải. Ta có

lim 0 0

x x m





  

 

là TCN với mọi

Do đó YCBT

4 0

x x m

   

vô nghiệm

0 4.



    

Chọn A.

Nhận xét. Bạn đọc dễ nhầm lẫn mà xét thêm trường hợp mẫu thức

4 0

x x m

  

có nghiệm

2 12.

x m

    

Điều này là sai, vì với

 

thì hàm số trở

thành





Đồ thị này vẫn còn TCĐ là



Câu 49. [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017] Cho hàm số







với

là tham số

thực. Tập hợp các giá trị

để đồ thị của hàm số có

tiệm cận ngang là

 

;0 .

 

0 .

 

0; .

.

112

Lời giải. Với



thì hàm số có TXĐ là một khoảng không chứa



nên đồ thị

hàm số không có TCN.

Với



suy

1y x

  

đồ thị hàm số không có tiệm cận.

Khi



ta có:



1 1 1

lim lim

x x

m m

 



   



là TCN;



2 2

1 1

lim lim

1 1

x x

y y

m m

x m m

x x

 

 









 







 

      

 

là TCN.

Vậy với



thì đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang. Chọn C.

Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để đồ thị hàm số







có

đường tiệm cận ngang.









Lời giải.



Với



khi đó hàm số có TXĐ:

4 4

3 3

D ;

m m

 









   









 

là một khoảng

không chứa



nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.



Với

1 2

0 . .

3 3

m y x   

Khi đó

lim ,



 

suy ra đồ thị không có TCN.



Với



khi đó hàm số có TXĐ:

 D

và

4 4

lim lim

3 3

x x

x m m

x x

 

 

















 

 

 

 

là TCN. Chọn C.

Câu 51. Biết rằng đồ thị của hàm số

2 4

y x ax bx

   

có một đường tiệm cận

ngang

 

Giá trị của biểu thức

P a b 

bằng

72.

8.

72.

Lời giải. Ta có:



 

lim lim 2 4 .

x x

y x ax bx

 

     



 

4 4

lim lim 2 4 lim .

2 4

x x x

a x bx

y x ax bx

x ax bx

  

  

    

  

Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là

 

nên

 

4 4

lim 1

2 4

a x bx

x ax bx



  

 

  

113

4 0

2 8.

P a b



 









 

      



 

 

 





 









Chọn B.

Câu 52. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số

để đồ thị hàm số

4 1

y ax x

  

có tiệm cận ngang?

D. Vô số.

Lời giải. Ta có

 

2 2

4 1

lim lim 4 1 lim .

4 1

x x x

a x

y ax x

ax x

  

 

   

 



Với

4 0

 

ta có

 

2 2

4 1

lim

4 1

a x

ax x



 

  

 

Đồ thị hàm số không có TCN.



Với

4 0 2

a a

    

ta có

 

2 2

4 1

lim lim 0

4 1 4 1

x x

a x

ax x ax x

 

 



  

   

Đồ thị

hàm số có TCN là



Vậy

 

thỏa mãn. Chọn C.

Câu 53*. Cho hàm số

 

2 1 2

x m x m x m



 

   

 

 

với

là tham số. Tập hợp các

giá trị thực của tham số

để đồ thị hàm số có

đường tiệm cận là

 

0;1 .

 

0;1 .

 

0;1 \ .

 

 

 

 

 

 

;1 \ .

 

 



 

 

 

Lời giải. TXĐ:

 

; .

 

Xét phương trình

 

2 1 2 0

1, 2

2 1 2 0 .

x m x m

x x m

x m x m x m

x m



   



 



 



      

 



 





 





Ta có

lim 0



 

Đồ thị hàm số có TCN:



Khi đó YCBT



đồ thị hàm số có

đường TCĐ

1 2

1 .

0 1

m m





 







  

 

 

 

 







Chọn C.

Câu 54*. Cho hàm số

2 2 2 1

x x m x





    

với

là tham số. Có bao nhiêu số

nguyên

thuộc đoạn

 

3;6

để đồ thị hàm số có

đường tiệm cận?

10.

114

Lời giải. Ta có

lim

2 1

lim

2 1



























 





Đồ thị hàm số có

đường TCN.

Khi đó YCBT



đồ thị hàm số có

đường TCĐ



2 2 2 1 0

x x m x

     

có

nghiệm phân biệt khác

Ta có

2 2 2 1 .

4 1 0

x x m x

x x m



 



     





   





 

Để

 

có

nghiệm phân biệt khác

  

   

 

1 2

3 0

3 6

1 4.1 1 0

* * .

1 1 0

x x

x x m

x x

 

 



 





 



 



  



    



  

  

  

    



 



  

 

     

 









Chọn B.

Câu 55*. Cho hàm số

 

1 1

1 2

x m x m

 



  

với

là tham số. Có bao nhiêu giá trị

nguyên

để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng?

Lời giải. Ta có



xác định khi

 

Yêu cầu bài toán



phương trình

 

1 2 0

x m x m

   

có hai nghiệm phân biệt

thỏa mãn

 

1 2 1 2

0 10 1 0

1 2 1 2

1. 2 0

. 1 0

m m

x x x x m

a f





    



 

          

 

 

 

 

 



 

2 5 2 6 1;0 .

m m



       



Chọn B.

Nhận xét: Vấn đề đặt ra là sao không thể cho

1 2

x x  

? Vì

1 2,

x m

    

suy



Lúc đó mẫu thức là

  

1 4

x x 

xác định khi



 







Suy ra điều kiện

xác định của hàm số là

 

đường

 

không là đường tiệm cận.

Câu 56*. Cho hàm số

1 1

x mx m

 



 

với

là tham số. Tập hợp các giá trị của

tham số

để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là

0; .

 













 

0; .

















 

0; .

   

; 12 0; .   

Lời giải. Ta có



xác định khi

 

115

Yêu cầu bài toán



phương trình

3 0

x mx m

  

có hai nghiệm phân biệt

thỏa mãn

 

1 2 1 2

0 12 0

1 2 2 0 .

1. 1 2 0

. 1 0

m m

x x x x m m

a f





   



 

            

 

 

 

 



Chọn A.

Câu 57*. Cho hàm số

12 4

6 2

x x

x x m

 



 

với

là tham số. Tập hợp các giá trị của

để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là

 

0;4 .

 

0;4 .

4; .

 













 

4; .

 













Lời giải. Ta có

x x

xác định khi

0 4.

 

Yêu cầu bài toán



phương trình

6 2 0

x x m

  

có hai nghiệm phân biệt

thỏa mãn

 

1 2

9 2 0

. 0 0

0 4 4 .

2 8 0

. 4 0

0 6 8

0 8

a f

x x m

a f

x x



 





 







 

       

 

 

 



 

 

 

  









Chọn C.

Nhận xét: Giải thích tại sao không lấy dấu

'' ''

tại

và tại

Với

0 0,

x m

  

suy ra

 

6 0;4 .

 

Với

4 4,

x m

  

suy ra

 

2 0;4 .

 

Ta thấy điều kiện của căn ở tử là

 

0;4 ,

còn

khi



thì điều kiện của căn ở mẫu là

   

;2 4; .  

Câu 58*. Cho hàm số

x mx





 

với

là tham số. Có bao nhiêu giá trị

nguyên

để đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang?

D. Vô số.

Lời giải. Ta có:



3 1

lim lim

x x

x mx

 



 



 

với



;



3 1

lim lim

x x

x mx

 



 



 

với

0, 1.

m m

 

Nếu



thì

 

3 4

1 1 1

3 4

lim lim lim . ,

4 4

x x x

x x

y x

  

 











   











  





 



 

   

suy ra đồ thị hàm số có đúng một TCN là



do lim khi 1 .

y m



 





 









 

Do đó giá

trị



thỏa.

116

Nếu

















để đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang

1 1

m m

   

 

Vậy

0, 1

m m

 

thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.

Câu 59*. Cho hàm số

 

2 1

x mx

 





với

là tham số. Có bao nhiêu số nguyên

thuộc đoạn

 

10;10

để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng?

10.

11.

12.

13.

Lời giải. Ta có

 

lim 2 1 2 1

x mx m



    

với

 

Do đó với

 

thì hàm

số không có giới hạn khi



nên đồ thị hàm số không có TCĐ.



Với



 













thì

 

lim 2 1 2 1 0

lim

lim 1 0

x mx m







     



  





 





nên đồ thị hàm

số có TCĐ là





Với



ta có

 

2 2

1 1 1

2 3 1 1

lim lim lim

1 2 3 1

x x x

  

  

 



  

 

lim

2 3 1 1

x x x





  

  

nên ĐTHS có TCĐ là



Vậy để đồ thị hàm số có TCĐ

 

 

10;10

1 1;0;1;2;...;10 .

m m



 

     



Chọn C.

Câu 60. Cho hàm số

 

f x

thỏa mãn

 

tan cos .f x x

Tìm tất cả các giá trị thực của

tham số

để đồ thị hàm số

 

2019

g x

f x m





có hai đường tiệm cận đứng.



0 1.

 





Lời giải. Ta có

 

4 2

tan cos cos .

tan 1

f x x x

  



Suy ra

 

f x





Để đồ thị hàm số

 

2019

g x

f x m





có hai đường tiệm cận đứng



phương trình

 

f x m

 

có hai nghiệm phân biệt

 

  



có hai nghiệm phân biệt.

Xét

 

1 1

0 1

m x

    



 



  

Để phương trình này có

nghiệm

phân biệt

1 0 1.

    

Vậy

0 1

 

thỏa YCBT. Chọn B.

117

1. Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số.

2. Sự biến thiên



Xét chiều biến thiên của hàm số:

+ Tính đạo hàm;

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng

hoặc không xác định;

+ Xét dấu đạo hàm và suy ra chiều biến thiên của hàm số.



Tìm điểm cực trị.



Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).



Lập bảng biến thiên.

3. Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.

Dạng 1. ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Câu 1. [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017] Đường cong ở hình bên là

đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số

nào?

3 1.

y x x

   

y x x

   

4 2

y x x

  

3 1.

y x x

  

Lời giải. Đặc trưng của đồ thị là hàm bậc ba. Loại đáp án B và C.

Hình dáng đồ thị thể hiện



Chọn D.

Câu 2. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Đường cong ở hình bên là

đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số

nào?

3 2

3 3.

y x x

  

4 2

2 1.

y x x

   

4 2

2 1.

y x x

  

3 2

3 1.

y x x

   

Lời giải. Đặc trưng của đồ thị là hàm bậc ba nên loại B, C.

Hình dáng đồ thị thể hiện



nên chỉ có A phù hợp. Chọn A.

KHAÛO SAÙT SÖÏ BIEÁN THIEÂN VAØ

VEÕ ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ

118

Câu 3. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2017-2018] Đường cong ở hình bên

là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm

số nào?

3 2

3 2.

y x x

  

4 2

y x x

  

4 2

y x x

   

3 2

3 2.

y x x

   

Lời giải. Đặc trưng của đồ thị là hàm bậc ba nên loại B, C.

Hình dáng đồ thị thể hiện



nên chỉ có D phù hợp. Chọn D.

Câu 4. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn

hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

3 2

3 2.

y x x

   

3 2

3 2.

y x x

  

3 2

3 2.

y x x

   

3 2

3 2.

y x x

  

Lời giải. Hình dáng đồ thị thể hiện



. Loại đáp án A, C.

Thấy đồ thị cắt trục hoành tại điểm

 

nên thay



 













vào hai đáp án B và D,

chỉ có B thỏa mãn. Chọn B.

Câu 5. (Đại học Vinh lần 2, năm 2018-2019) Đường

cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới

đây. Hàm số đó là hàm số nào?

3 2

5 8 1.

y x x x

   

3 2

6 9 1.

y x x x

   

3 2

6 9 1.

y x x x

    

3 2

6 9 1.

y x x x

   

Lời giải. Hình dáng đồ thị thể hiện



Loại đáp án C.

Khi

0 1.

x y

   

Loại đáp án B.

Đồ thị hàm số đi qua điểm

 

3; 1

nên chỉ có đáp án D thỏa mãn. Chọn D.

Câu 6. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm

số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

   

1 1 .y x x

  

   

1 1 .y x x

  

   

1 2 .y x x

  

   

1 2 .y x x

  

Lời giải. Hình dáng đồ thị thể hiện



Loại đáp án B, D.

119

Để ý thấy khi



thì



Do đó chỉ có đáp án C phù hợp. Chọn C.

Câu 7. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số

dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

3 2

2 6 6 1.

y x x x

    

3 2

2 6 6 5.

y x x x

    

3 2

2 6 6 1.

y x x x

   

3 2

2 6 6 5.

y x x x

   

Lời giải. Dựa vào dáng điệu đồ thị ta loại A và B.

Đồ thị hàm số đi qua điểm

 

1;3 .

Chọn C.

Câu 8*. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn

hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

y x

  

3 2.

y x x

   

3 2

3 3 2.

y x x x

    

y x

  

Lời giải. Khi



thì



Loại đáp án A.

Dựa vào đồ thị, suy ra hàm số không có cực trị nên ta loại đáp án B vì

3 3

y x



  

có hai nghiệm.

Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ

 

1;1 ,

kiểm tra thấy C & D đều thỏa mãn.

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

3 2 CASIO

3 3 2 0 2.

x x x x

      

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

 

2 0 2 1;2 .

x x

     

Do đó chỉ có D

thỏa mãn. Chọn D.

Câu 9. Hình dạng có thể có của đồ thị hàm số

3 2

y x bx x d   

là những hình nào

trong các hình sau đây?

(Hình I) (Hình II) (Hình III) (Hình IV)

A. (I). B. (III). C. (I) hoặc (III). D. (II) hoặc (IV).

Lời giải. Hàm số

3 2

y x bx x d   

có hệ số của

dương nên loại (II) và (IV).

Xét

3 2 1

y x bx



  

có

3 0, .

b b



      

Do đó hàm số có hai cực trị. Chọn A.

Câu 10. Biết rằng hàm số

 

3 2

y ax bx cx d a

   

có đồ thị là một trong các dạng

dưới đây:

120

(Hình I) (Hình II) (Hình III) (Hình IV)

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Đồ thị như (I) có được khi



và

 

f x





có hai nghiệm phân biệt.

B. Đồ thị như (II) có được khi



và

 

f x





có hai nghiệm phân biệt.

C. Đồ thị như (III) có được khi



và

 

f x





vô nghiệm.

D. Đồ thị như (IV) có được khi



và

 

f x





có có nghiệm kép.

Lời giải. Chọn C.

Câu 11. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2017-2018] Đường cong ở hình bên

là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm

số nào?

4 2

2 1.

y x x

  

4 2

2 1.

y x x

   

3 2

y x x

  

3 2

y x x

   

Lời giải. Đặc trưng của đồ thị là hàm trùng phương. Loại đáp án C và D.

Hình dáng đồ thị thể hiện



. Chọn A.

Câu 12. [ĐỀ THAM KHẢO 2017-2018] Đường cong ở hình bên

là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm

số nào?

4 2

2 2.

y x x

  

4 2

2 2.

y x x

   

3 2

3 2.

y x x

  

3 2

3 2.

y x x

   

Lời giải. Đặc trưng của đồ thị là hàm trùng phương. Loại đáp án C và D.

Hình dáng đồ thị thể hiện



Chọn B.

Câu 13. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn

hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

4 2

2 2.

y x x

   

4 2

2 2.

y x x

  

4 2

4 2.

y x x

  

4 2

2 3.

y x x

  

Lời giải. Hình dáng đồ thị thể hiện



Loại đáp án A.

Để ý thấy khi



thì



nên ta loại đáp án D.

121

Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ

 

1;1

nên chỉ có B thỏa mãn. Chọn B.

Câu 14. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn

hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

4 2

2 1.

y x x

  

4 2

2 4 1.

y x x

   

4 2

2 1.

y x x

   

4 2

2 1.

y x x

   

Lời giải. Hình dáng đồ thị thể hiện



Loại A.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

1

nên thể hiện

 

Loại D.

Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ

 

1;1

nên chỉ có B thỏa mãn. Chọn B.

Câu 15. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong

bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

4 2

y x x

  

4 2

y x x

  

4 2

y x x

  

4 2

y x x

  

Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy khi



thì



Loại A, B.

Hàm số có một cực trị nên

, a b

cùng dấu. Chọn D.

Câu 16. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong

bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

4 2

2 3.

y x x

   

4 2

2 3.

y x x

   

4 2

2 3.

y x x

   

4 2

2 3.

y x x

  

Lời giải. Hình dáng đồ thị thể hiện



Loại D.

Dựa vào đồ thị thấy khi



thì



Loại B.

Hàm số có một cực trị nên

, a b

cùng dấu. Chọn A.

Câu 17. Cho hàm số

 

4 2

y f x ax bx c   

có đồ thị

như hình bên

 

, , .

a b c

 

Tính

 

2 .

 

2 15.



 

2 16.



 

2 17.



 

2 18.



122

Lời giải. Ta có

 

3 2

4 2 2 2 .y f x ax bx x ax b

 

    

Đồ thị hàm số đi qua các điểm

   

0;1 , 1; 1

A B



và đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại

 

1; 1



nên ta có hệ phương trình:

 

0 1

1 2

1 1 1 4.

4 2 0 1

1 0

c a

f a b c b

a b c



 

 

 

 



 



 



 

         

  

  

    





 

 





Do đó:

   

4 2

2 4 1 2 17.

y f x x x f

     

Chọn C.

Câu 18. [ĐỀ THAM KHẢO 2018-2019] Đường cong

ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới

đây. Hàm số đó là hàm số nào?

2 1







4 2

y x x

  







3 1.

y x x

  

Lời giải. Đặc trưng của đồ thị là hàm bậc nhất trên bậc nhất. Loại đáp án B và D.

Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ

 

0; 1

 

chỉ có C thỏa mãn. Chọn C.

Câu 19. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một

trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

























Lời giải. Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ

 

2;0



loại C và D.

Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ

 

0;2



chỉ có B thỏa mãn. Chọn B.

Câu 20. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Đường cong

ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới

đây. Hàm số đó là hàm số nào?

2 3







2 1







2 2







2 1







Lời giải. Đồ thị hàm số có TCĐ:

 

Loại đáp án C và D.

Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ

 

0; 1

 

chỉ có B thỏa mãn. Chọn B.

123

Câu 21. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một

trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

2 1







2 1







2 1







2 1







Lời giải. Đồ thị hàm số có TCĐ:



Loại đáp án A và B.

Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ

 

0;1



chỉ có C thỏa mãn. Chọn C.

Câu 22. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một

trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

2 1







2 1







2 1





2 1







Lời giải. Các chi tiết đồ thị hàm số có TCĐ:

 

và TCN:



đều giống nhau.

Chỉ có chi tiết đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ là phù hợp cho đáp án C. Chọn C.

Dạng 2. BẢNG BIẾN THIÊN

Câu 23. Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số

nào có bảng biến thiên như sau?

3 2

3 9 2.

y x x x

    

3 2

1 2

3 .

3 3

y x x x   

3 2

3 9 2.

y x x x

   

3 2

1 2

3 .

3 3

y x x x    

Lời giải. Dựa vào BBT và các phương án lựa chọn, ta thấy:

Đây là dạng hàm số bậc

có hệ số



Loại A và D.

Mặt khác, đồ thị hàm số đi qua điểm

 

1;1

nên loại C. Chọn B.

124

Câu 24. Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số

nào có bảng biến thiên như sau?

2 6 .y x x 

2 6 8.

y x x

   

2 6 .y x x  

2 6 8.

y x x

  

Lời giải. Dựa vào dáng điệu của bảng biến thiên suy ra



Loại B và C.

Thử tại

1 4

x y

   

thì chỉ có đáp án A thỏa mãn. Chọn A.

Câu 25. Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số

nào có bảng biến thiên như sau sau?

3 2

3 3 1.

y x x x

    

3 2

2 .y x x x  

3 2

3 3 2.

y x x x

   

3 2

3 3 2.

y x x x

    

Lời giải. Dựa vào dáng điệu của bảng biến thiên suy ra



Loại B và C.

Thử tại

1 1

x y

  

thì chỉ có đáp án D thỏa mãn. Chọn D.

Câu 26. Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số

nào có bảng biến thiên như sau?

4 2

2 1.

y x x

  

4 2

2 1.

y x x

   

4 2

2 2.

y x x

  

4 2

2 2.

y x x

   

Lời giải. Dựa vào BBT và các phương án lựa chọn, ta thấy:

Đây là dạng hàm số trùng phương có hệ số



Loại A và C.

Mặt khác, đồ thị hàm số đi qua điểm

 

0;2

nên loại B. Chọn D.

125

Câu 27. Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số

nào có bảng biến thiên sau?











 





1 2







Lời giải. Dựa vào BBT và các phương án lựa chọn, ta có các nhận xét sau:



Đồ thị hàm số có TCĐ:

 

Loại đáp án A và B.



Đồ thị hàm số có TCN:

 

Chọn D.

Câu 28. Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số

nào có bảng biến thiên như sau?

 





 





 





 





Lời giải. Dựa vào BBT và các phương án lựa chọn, ta có các nhận xét sau:



Đồ thị hàm số có TCĐ:

 

Loại đáp án C và D.



Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Thử đáp án A, có

 





 



không thỏa mãn. Vậy còn lại duy nhất đáp án B. Chọn B.

Câu 29. Cho hàm số

 

3 2

y f x ax bx cx d    

có bảng biến thiên sau:

Đồ thị nào trong các phương án A, B, C, D thể hiện hàm số

 

y f x

126

A B C D

Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:



Hàm số có giá trị cực đại bằng

và giá trị cực tiểu bằng

2.

Loại đáp án B và C.



Khi

x  

thì

y  

nên chỉ có đáp án A là phù hợp. Chọn A.

Câu 30. Cho hàm số

 

3 2

y f x x ax bx c    

có bảng biến thiên như hình vẽ:

Tính giá trị của biểu thức

3 .P a b c  

 



Lời giải. Đạo hàm:

3 2 .y x ax b



  

Phương trình





có hai nghiệm là

1

và

3 2 0 3

27 6 0 9

a b a

a b b

 

    

 

 

 

 

    

 

 

Lại có

 

3 24 27 9 3 24 3.

f a b c c

         

Vậy

3 3.

P a b c

    

Chọn B.

Câu 31. Cho hàm số

   

4 2

y f x ax bx c a

    

có bảng biến thiên như hình vẽ:

Tính giá trị của biểu thức

2 2 2

.P a b c  



Lời giải. Đạo hàm:

 

3 2

4 2 2 2 .y ax bx x ax b



   

Phương trình





có nghiệm



2 0.

a b

  

 

Lại có

 

0 1

1 2

a b c



 









 

 

  





 



 

127

Giải hệ

 

và

 

2 ,

ta được

2 2 2

1, 2, 1 6.

a b c P a b c

        

Chọn C.

Câu 32. Cho hàm số

   

4 2

y f x ax bx a

   

có bảng biến thiên như hình vẽ:

Hiệu

a b

bằng

3.

1.

Lời giải. Đạo hàm:

 

3 2

4 2 2 2 .f x ax bx x ax b



   

Từ bảng biến thiên, ta có

 

1 0

2 2 0

1 1

a b







 



  





 

 

  

  

 



  



  



Chọn D.

Dạng 3. PHÉP SUY ĐỒ THỊ

Câu 33. Cho hàm số

3 2

6 9y x x x  

có đồ thị như Hình

. Đồ thị Hình

là của

hàm số nào trong bốn đáp án A, B, C, D dưới đây?

Hình 1 Hình 2

3 2

6 9 .y x x x   

3 2

6 9 .y x x x

  

3 2

6 9 .y x x x  

6 9 .y x x x

  

Lời giải. Nhắc lại lí thuyết: Đồ thị hàm số

 

y f x

được suy ra từ đồ thị hàm số

 

y f x

bằng cách



Giữ nguyên phần đồ thị hàm số

 

y f x

với





Sau đó lấy đối xứng phần đồ thị vừa giữ ở trên qua trục

. Chọn D.

Câu 34. Cho hàm số

3 2

y x x

  

có đồ thị như Hình

. Đồ thị Hình

là của hàm

số nào dưới đây?

128

Hình 1 Hình 2

3 2.

y x x

  

3 2

3 2 .

y x x

  

3 2 .

y x x  

3 2

3 2.

y x x

   

Lời giải. Nhắc lại lí thuyết: Đồ thị hàm số

 

y f x

được suy ra từ đồ thị hàm số

 

y f x

bằng cách



Giữ nguyên phần đồ thị hàm số

 

y f x

với





Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số

 

y f x

với



qua trục

.Ox

Chọn B.

Câu 35. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Cho hàm số

 

2 1

y x x

  

có đồ thị như hình vẽ bên. Hình nào

dưới đây là đồ thị của hàm số

 

2 1

y x x

  

A. B. C. D.

Lời giải. Ta có

 

2 1 khi 2

2 1

khi 2

x x x

y x x

x x x



  

 







   





Suy ra đồ thị của hàm số

 

2 1

y x x

  

như sau:



Giữ nguyên phần đồ thị của hàm số

 

2 1

y x x

  

với



(bên phải đường

thẳng





Lấy đối xứng phần đồ thị

 

2 1

y x x

  

với



qua trục hoành.

Hợp hai phần đồ thị ở trên ta được đồ thị hàm số cần tìm. Chọn A.

Câu 36. Cho hàm số

 

2 1

y x x

  

có đồ thị như

hình vẽ bên. Hình nào dưới đây trong các đáp án A, B,

C, D là đồ thị của hàm số

 

1 3 2 ?

y x x x

   

129

A. B. C. D.

Lời giải. Ta có

 

2 1 khi 1

1 3 2 .

2 1 khi 1

x x x

y x x x

x x x



   



    



    



Suy ra đồ thị của hàm số

 

1 3 2

y x x x

   

giống hoàn toàn phần đồ thị của hàm

số

 

2 1

y x x

  

với

 

(bên phải đường thẳng

 

Đối chiếu các đáp án ta chọn C.

Câu 37. Cho hàm số

2 1





có đồ thị như Hình

. Đồ thị Hình

là của hàm số

nào trong các đáp án A, B, C, D dưới đây?

Hình 1 Hình 2

2 1





2 1





2 1





2 1





Lời giải. Chọn A.

Câu 38. Cho hàm số

2 1







có đồ thị như Hình

. Đồ thị Hình

là của hàm số

nào trong các đáp án A, B, C, D dưới đây?

Hình 1 Hình 2

2 1

 







 









 



2 1







2 1







2 1







Lời giải. Chọn B.

130

Câu 39. Đồ thị hàm số

2 1







có đồ thị như

hình bên. Hỏi đồ thị hàm số

2 1







có đồ

thị là hình nào trong các đáp án sau:

A. B.

C. D.

Lời giải. Ta có

2 1 1

khi

2 1

1 2

2 1 1

khi



















 



 



Do đó đồ thị hàm số

2 1







được suy từ đồ thị hàm số

2 1







bằng cách:



Giữ nguyên phần đồ thị hàm số

2 1







phía bên phải đường thẳng

x 



Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số

2 1







phía bên trái đường thẳng



qua

trục hoành.

Hợp hai phần đồ thị ở trên ta được toàn bộ đồ thị hàm số

2 1







Chọn C.

Câu 40. Trong các đồ thị hàm số sau, đồ thị nào là đồ thị của hàm số





131

A. B.

C. D.

Lời giải. Ta có

khi 1













 









 









Do đó đồ thị hàm số





được suy từ đồ thị hàm số





bằng cách:



Giữ nguyên phần đồ thị hàm số





phía bên phải đường thẳng





Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số





phía bên trái đường thẳng



qua

trục hoành.

Hợp hai phần đồ thị ở trên ta được toàn bộ đồ thị hàm số





. Chọn B.

Dạng 4. TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ

Câu 41. Cho hàm số

3 2

y ax bx cx d   

có đồ thị như

hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

0, 0, 0, 0.

a b c d

   

0, 0, 0, 0.

a b c d

   

0, 0, 0, 0.

a b c d

   

0, 0, 0, 0.

a b c d

   

Lời giải. Ta có

3 2 .y ax bx c



  

Đồ thị hàm số thể hiện



cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên



132

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy

CT CÐ CT

CÐ CÐ CT

1 0

1 0 . 0

x x x

 

  

 



 

 

   

 

 

0 0 0

b b

a a

c c

a a







     









    





Vậy

0, 0, 0, 0.

a b c d

   

Chọn C.

Câu 42. [ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016-2017] Cho hàm số

3 2

y ax bx cx d   

có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh

đề nào sau đây đúng?

0, 0, 0, 0.

a b c d

   

0, 0, 0, 0.

a b c d

   

0, 0, 0, 0.

a b c d

   

0, 0, 0, 0.

a b c d

   

Lời giải. Chọn A.

Câu 43. Cho hàm số

3 2

y ax bx cx d   

có đồ thị như hình vẽ.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

0, 0.

ac bd

 

0, 0.

ac bd

 

0, 0.

ac bd

 

0, 0.

ac bd

 

Lời giải. Chọn A. Ta có

3 2 .y ax bx c



  



Dễ dàng suy ra



và





Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đều dương nên phương trình





có hai

nghiệm dương phân biệt, suy ra



và

0 0.



   

Vậy

0, 0.

ac bd

 

Câu 44. Cho hàm số

4 2

y ax bx c  

có đồ thị như hình vẽ bên.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

0, 0, 0.

a b c

  

0, 0, 0.

a b c

  

0, 0, 0.

a b c

  

0, 0, 0.

a b c

  

Lời giải. Đồ thị hàm số thể hiện



Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên

0 0.

ab b



  

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên



Vậy

0, 0, 0.

a b c

  

Chọn C.

133

Câu 45. Cho hàm số

4 2

y ax bx c  

có đồ thị như hình vẽ

bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

0, 0, 1.

a b c

  

0, 0, 1.

a b c

  

0, 0, 1.

a b c

  

0, 0, 0.

a b c

  

Lời giải. Chọn B.

Câu 46. Cho hàm số

4 2

y ax bx c  

có đồ thị như hình vẽ bên.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

0, 0, 0.

a b c

  

0, 0, 0.

a b c

  

0, 0, 0.

a b c

  

0, 0, 0.

a b c

  

Lời giải. Chọn B.

Câu 47. Hàm số

 

4 2

y ax bx c a

   

có đồ thị như hình vẽ

bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

0, 0, 0.

a b c

  

0, 0, 0.

a b c

  

0, 0, 0.

a b c

  

0, 0, 0.

a b c

  

Lời giải. Dựa vào dáng điệu đồ thị suy ra



Hàm số có

điểm cực trị nên

0 0.

ab b



  

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên



Vậy

0, 0, 0.

a b c

  

Chọn A.

Câu 48. Hàm số

ax b

cx d







với



có đồ thị như

hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

0, 0, 0.

b c d

  

0, 0, 0.

b c d

  

0, 0, 0.

b c d

  

0, 0, 0.

b c d

  

Lời giải. Từ đồ thị hàm số, ta thấy



Khi

0 0 0.

y x b



      



Khi

0 0 0

x y d



     

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng

0 0.

x c



    

Vậy

0, 0, 0.

b c d

  

Chọn A.

134

Câu 49. Hàm số

bx c

x a













, , a b c

 

có đồ

thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

0, 0, 0.

a b c ab

   

0, 0, 0.

a b c ab

   

0, 0, 0.

a b c ab

   

0, 0, 0.

a b c ab

   

Lời giải. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng

x a

 

tiệm cận ngang

y b

 

Mặt khác, ta thấy dạng đồ thị là đường cong đi xuống (từ trái sang phải) nên suy ra

đạo hàm

 

0, 0.

c ab

y x a c ab

x a





      



Vậy

0, 0, 0.

a b c ab

   

Chọn A.

Câu 50. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Đường cong

ở hình bên là đồ thị hàm số

ax b

cx d







với

, , , a b c d

là

các số thực. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

0, 1.

y x



  

0, 2.

y x



  

0, 1.

y x



  

0, 2.

y x



  

Lời giải. Dựa vào hình vẽ, ta thấy hàm số

ax b

cx d







nghịch biến trên mỗi khoảng

xác định và đường thẳng



là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Suy ra

0, 2

y x



  

. Chọn B.

135

1. Giao điểm của hai đồ thị

Giả sử hàm số

 

y f x

có đồ thị là

 

và hàm số

 

y g x

có đồ thị là

 

Để tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là ta giải phương trình

   

.f x g x

Số nghiệm của phương trình trên bằng số giao điểm của hai đồ thị.

2. Sự tiếp xúc của hai đường cong

Giả sử hàm số

 

y f x

có đồ thị là

 

và hàm số

 

y g x

có đồ thị là

 

Hai đường cong

 

và

 

tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình

   

f x g x



 







 







có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm của hai đường

cong đó.

Dạng 1. BẢNG BIẾN THIÊN

Câu 1. [ĐỀ THAM KHẢO 2017-2018] Cho hàm số

 

y f x

có bảng biến thiên sau

Số nghiệm thực của phương trình

 

2 0

f x

 

là

Lời giải. Ta có

   

2 0 2.

f x f x

   

Do đó số nghiệm của phương trình đã cho

bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

 

y f x

và đường thẳng



SÖÏ TÖÔNG GIAO

CUÛA CAÙC ÑOÀ THÒ

136

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giữa hai đường này có

điểm chung. Vậy phương

trình đã cho có

nghiệm phân biệt. Chọn D.

Câu 2. [ĐỀ THAM KHẢO 2018-2019] Cho hàm số

 

y f x

có bảng biến thiên sau

Số nghiệm thực của phương trình

 

2 3 0

f x

 

là

Lời giải. Ta có

   

2 3 0 .

f x f x    

Do đó số nghiệm của phương trình đã cho

bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

 

y f x

và đường thẳng

 

Dựa vào bảng

biến thiên ta thấy giữa hai đường này có

điểm chung. Vậy phương trình đã cho có

nghiệm phân biệt. Chọn D.

Câu 3. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2018-2019] Cho hàm số

 

y f x

có bảng biến thiên sau

Số nghiệm thực của phương trình

 

2 3 0

f x

 

là

Lời giải. Chọn D.

Câu 4. (KHTN Hà Nội lần 1, năm 2018-2019) Cho hàm số

 

y f x

có bảng biến

thiên như sau

Số nghiệm thực của phương trình

 

2 3 0

f x

 

là

137

Lời giải. Chọn C.

Câu 5. Cho hàm số

 

y f x

có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thực của phương trình

 

2 7 0

f x

 

là

Lời giải. Ta có

     

7 7

2 7 0 .

2 2

f x f x f x      

Dựa vào BBT, suy ra

 

f x



có

nghiệm;

 

f x

 

có

nghiệm. Chọn C.

Cách 2. Từ BBT của hàm số

 

,f x

suy ra BBT của hàm số

 

f x

như sau

Dựa vào BBT

   

2 7 0

f x f x

    

có

nghiệm.

Câu 6*. Cho hàm số

 

y f x

xác định, liên tục trên

 

\ 0

và có bảng biến thiên

như sau

Gọi

là số nghiệm của phương trình

 

f x



và

là số nghiệm của phương trình

 

f x



. Khẳng định nào sau đây đúng?

m n

 

m n

 

m n

 

m n

 

138

Lời giải. Từ BBT của hàm số

 

f x

, suy ra BBT của hàm số

   

g x f x

như hình bên(trong

đó

là hoành độ giao điểm của

đồ thị

 

y f x

với trục hoành).

Dựa vào BBT

 

f x

 

có

nghiệm.

Từ BBT của hàm số

 

f x

, suy

ra BBT của hàm

 

h x f x

như hình bên. Dựa vào BBT

 

f x

 

có

nghiệm.

Vậy

3 4 7.

m n

   

Chọn C.

Dạng 2. ĐỒ THỊ

Câu 7. Cho hàm số bậc ba

 

y f x

có đồ thị như hình

vẽ. Hỏi phương trình

 

f x

 



 

có bao nhiêu nghiệm?

Lời giải. Ta có

 

   

2 1

4 .

2 2

f x







 

 



 

 





Do đó số nghiệm

của phương trình

 

f x

 



 

chính là số giao điểm của đồ thị

hàm số

 

f x

với hai đường thẳng



và

 

Dựa vào đồ thị ta thấy: Phương trình

 

có

nghiệm; Phương trình

 

có

nghiệm. Vậy phương trình đã cho có

nghiệm. Chọn C.

Câu 8. Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên

 

2;2

và có đồ

thị là đường cong như hình vẽ. Hỏi phương trình

 

1 1

f x

 

có bao nhiêu nghiệm phân biệt trên

 

2;2

Lời giải. Ta có

 

   

0 1

1 1 .

2 2

f x







  









139

Dựa vào đồ thị, ta thấy

 

có

nghiệm;

 

có

nghiệm. Chọn C.

Câu 9*. Cho hàm số

 

3 2

3 4

f x x x

  

có đồ thị như hình vẽ.

Hỏi phương trình

 

   

3 5 4

f f x

f x f x

 

 



 

có bao nhiêu nghiệm ?

Lời giải. Ta có

 

   

       

3 2 2

1 3 4 3 5 4

3 5 4

f f x

f x f x f x f x

f x f x

 

 

      

 

     

 

3 2

6 5 0 1 2 .

f x

f x f x f x f x

f x







     







Dựa vào đồ thị ta thấy

 

có

nghiệm;

 

có

nghiệm;

 

có

nghiệm. Chọn C.

Câu 10. (KHTN Hà Nội lần 1, năm 2018-2019) Cho hàm bậc

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương

trình

 

2 5 0

f x

 

là

Lời giải. Từ đồ thị hàm số

 

,f x

suy ra đồ thị hàm số

 

f x

như hình bên.

Ta có

   

2 5 0 .

f x f x   

 

Dựa vào đồ thị hàm số

 

,f x

suy ra phương trình

 

có

nghiệm. Chọn C.

Câu 11*. Cho hàm bậc ba

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ. Hỏi

phương trình

 

f x

  

có bao nhiêu nghiệm?

Lời giải. Đồ thị hàm số

 

2 ,

f x 

được suy từ đồ thị

 

f x

bằng cách:



Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số

 

f x

phía bên phải

(xóa phần đồ thị bên trái

) qua

(xem Hình 1);



Tịnh tiến đồ thị ở bước trên sang phải

đơn vị (xem Hình 2).

140

Hình 1. Hình 2.

Từ đồ thị của hàm số

 

2 ,

f x



suy ra phương trình đã cho có

nghiệm. Chọn C.

Câu 12*. Cho hàm số

   

1 .

y x f x 

xác định, liên tục trên



và có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của

để

đường thẳng

y m m 

cắt đồ thị hàm số

 

1 .

y x f x 

tại

hai điểm có hoành độ nằm ngoài đoạn

 

1;1 .





0 1.

 



hoặc



Lời giải. Từ đồ thị hàm số

   

1 . ,y x f x 

suy ra đồ thị hàm

số

 

f x x



như hình bên.

Dựa vào đồ thị, suy ra phương trình

 

1 .

x f x m m  

có hai

nghiệm có hoành độ nằm ngoài đoạn

 

1;1

khi và chỉ khi

0 .

m m







  







Chọn D.

Câu 13*. Cho hàm số bậc ba

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ.

Hỏi phương trình

 

f f x

 



 

có bao nhiêu nghiệm thực

phân biệt?

Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số

 

,y f x

ta suy ra phương trình

 

   

2 1

0 0 1

1 2

f x a a

f f x f x b b

f x c c



    



 

    



 



  



 

2 .

Mỗi phương trình đều có

nghiệm. Chọn D.

141

Câu 14*. (ĐHSP Hà Nội lần 4, năm 2018-2019) Cho

hàm số

 

y f x

liên tục trên



và có đồ thị như hình

vẽ. Số nghiệm thực của phương trình

 

f f x

 

là

Lời giải. Từ đồ thị

 

,y f x

suy ra phương trình

 

f x

f f x

f x



 



  









 

Dựa vào đồ thị, ta thấy

 

có

nghiệm;

 

có

nghiệm. Chọn C.

Câu 15*. Cho hàm số bậc ba

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ. Số

nghiệm của phương trình

 

2 3 0

f x

 

là

Lời giải. Đặt

t x

 

0 .



Khi đó phương trình đã cho trở thành:

 

f t  

 



Số nghiệm của

 



chính là số giao điểm của đồ thị hàm số

 

y f x

và đường thẳng

 

Dựa vào đồ thị, phương trình

 

2 2

3 3

0 2 .

t x t







      



   





loaïi

Chọn C.

Câu 16. Cho hàm trùng phương

 

y f x

có đồ thị như hình

vẽ. Số nghiệm thực của phương trình

 

3 8 0

f x

 

là

Lời giải. Ta có

   

3 8 0 .

f x f x   

Do đó số nghiệm của

phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

 

y f x

và đường thẳng

y 

Dựa vào đồ thị ta thấy giữa hai đường này có

điểm chung. Vậy phương trình đã cho

có

nghiệm phân biệt. Chọn B.

142

Câu 17. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2017-2018] Cho hàm trùng

phương

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực

của phương trình

 

4 3 0

f x

 

là

Lời giải. Chọn D.

Câu 18. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2017-2018] Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên

 

2;2

và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm

của phương trình

 

3 4 0

f x

 

trên đoạn

 

2;2

là

Lời giải. Chọn C.

Câu 19. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2017-2018] Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên đoạn

 

2;4

và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm

của phương trình

 

3 5 0

f x

 

trên đoạn

 

2;4

là

Lời giải. Chọn D.

Câu 20. Cho hàm số

4 2

y x mx n  

với

m n

 

có đồ thị

như hình vẽ. Biết phương trình

4 2

x mx n

  

có

nghiệm

thực phân biệt,

 

Mệnh đề nào sau đây đúng?

















Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình

4 2

x mx n

  

có

nghiệm

phân biệt, suy ra



Do đồ thị hàm số có

điểm cực trị nên



ta thấy hàm số cắt trục tung tại điểm

có tung độ dương nên

0 0.

n mn

  

Chọn C.

Dạng 3. CHO HÀM SỐ

Câu 21. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Cho hàm số

3y x x 

có đồ thị

 

Tìm

số giao điểm của

 

và trục hoành.

Lời giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của

 

và trục hoành:

143

 

3 2

3 0 3 0 .

x x x x







     



 





Suy ra phương trình có

nghiệm phân biệt nên có

giao điểm. Chọn D.

Câu 22. [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017] Biết rằng đường thẳng

2 2

y x

  

cắt đồ thị

hàm số

y x x

  

tại điểm duy nhất có tọa độ

 

0 0

; .x y

Tìm

 



Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm:

2 2 2 0.

x x x x

      

Với

0 2.

x y

  

Chọn C.

Câu 23. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số

 

2 1

y x x

  

có đồ thị

 

Mệnh đề nào sau đây đúng?

 

không cắt trục hoành. B.

 

cắt trục hoành tại một điểm.

 

cắt trục hoành tại hai điểm. D.

 

cắt trục hoành tại ba điểm.

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của

 

với trục hoành:

 

2 1 0 2 0 2.

x x x x

       

Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm. Chọn B.

Câu 24. Biết rằng đồ thị hàm số

3 2

3 2 1

y x x x

   

có hai điểm chung với đồ thị

hàm số

3 1

y x x

  

là

và

Độ dài đoạn thẳng

bằng

2 2.

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm:

3 2 2

3 2 1 3 1

x x x x x

     

   

3 2

1 1

4 5 2 0 1 2 0 .

2 1

x y

x x x x x

x y



   



         



   



Suy ra

   

1; 1 , 2; 1 1.

A B AB

   

Chọn A.

Câu 25. Đồ thị hàm số

4 2

2y x x  

có bao nhiêu điểm chung với trục hoành?

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm:

4 2

2 0 .

x x







   



 





Suy ra phương trình có

nghiệm nên có

điểm chung. Chọn C.

Câu 26. Tìm tọa độ giao điểm

của đồ thị hàm số

2020

2 1







với trục tung.

 

0;0 .

 

0; 2020 .



 

2020;0 .

 

2020; 2020 .



Lời giải. Do giao với trục tung nên thay

0 2020.

x y

   

Chọn B.

144

Câu 27. Biết rằng đồ thị hàm số

2 1





có hai điểm chung với đồ thị hàm số

y x x

  

là

 

1 1

;A x y

và

 

2 2

; .B x y

Tổng

1 2

y y

bằng

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm:

 

2 1

1 0

x x x



   

 

2 3 2

1 1 3

2 1 1 1 0 .

1 1 1

x y

x x x x x x x

x y



  



          



    





Khi đó

   

1 2

1 1 4

y y y y

    

. Chọn C.

Dạng 4. BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ

Câu 28. (ĐHSP Hà Nội lần 4, năm 2018-2019) Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm

trên



và có bảng biến thiên như hình vẽ

Phương trình

 

f x m

có

nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi

 

1;2 .

 

 

1;2 .



 

1;2 .



 

1;2 .



Lời giải. Dựa vào BBT, suy ra

 

f x m

có

nghiệm

1 2.

  

Chọn B.

Câu 29. Cho hàm số

 

y f x

xác định, liên tục trên



và có bảng biến thiên sau:

Tìm tất cả các giá trị của tham số

để phương trình

 

f x m 

có

nghiệm.

2 1.

   

1, 0.

m m

  

2, 1.

m m

   

2, 1.

m m

   

Lời giải. Ta có

   

1 1.

f x m f x m

    

Do đó YCBT

1 0 1

1 1 2

m m

 

   

 

 

 

    

 

Chọn C.

145

Câu 30. Cho hàm số

 

y f x

xác định trên

 

\ 2 ,

liên tục trên mỗi khoảng xác

định và có bảng biến thiên sau:

Tập hợp các giá trị thực của tham số

để phương trình

 

f x m

 

có nhiều

nghiệm thực nhất là

   

; 1 15; .   

   

; 15 1; .   

   

; 1 15; .   

   

; 15 1; .   

Lời giải. Ta có

   

0 .f x m f x m    

Do đó YCBT

1 1

15 15

m m

 

   

 

 

 

   

 

Chọn C.

Câu 31. Cho hàm số

 

y f x

xác định trên

 

\ 1 ,

liên tục trên từng khoảng xác

định và có bảng biến thiên như sau:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để đồ thị hàm số

 

y f x

cắt đường thẳng

2 1

y m

 

tại hai điểm phân biệt.

1 .

m 

1 .

m 

1 .

m 

1 2.

 

Lời giải. YCBT

1 2 1 2 1 .

m m      

Chọn A.

Nhận xét: Sai lầm hay gặp là cho

1 2 1 2 1 .

m m     

Câu 32. Cho hàm số

 

y f x

xác định trên

 

\ 1;1 ,

liên tục trên mỗi khoảng xác

định và có bảng biến thiên sau:

146

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để đường thẳng

2 1

y m

 

cắt đồ thị hàm

số đã cho tại hai điểm phân biệt.

 



 



 



Lời giải. YCBT

2 1 3 1

2 1 3 2

m m

 

  

 

 

 

    

 

Chọn D.

Nhận xét: Nếu yêu cầu bài toán có duy nhất một nghiệm thực

3 2 1 3.

    

Câu 33. [ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016-2017] Cho hàm số

 

y f x

xác định trên

 

\ 0 ,

liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Tập hợp các giá trị của tham số thực

để phương trình

 

f x m

có

nghiệm thực

phân biệt là

 

;2 .

 

1;2 .

 

1;2 .

 

1;2 .

Lời giải. Dựa vào BBT, suy ra

 

f x m

có

nghiệm

1 2.

   

Chọn B.

Nhận xét: Nếu yêu cầu bài toán có

nghiệm

;



 











nghiệm

 

Câu 34. Cho hàm số

 

y f x

xác định trên

 

\ 1

, liên tục trên mỗi khoảng xác

định và có bảng biến thiên như sau:

147

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

thuộc

 

5;5

để phương trình

 

f x m

có nghiệm duy nhất?

Lời giải. Dựa vào BBT, suy ra

 

f x m

có nghiệm duy nhất

3 4



 







 



Chọn B.

Câu 35. Cho hàm số

 

y f x

xác định trên

 

\ 1

, liên tục trên mỗi khoảng xác

định và có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để phương trình

 

f x m

có

nghiệm

phân biệt?

Lời giải. Dựa vào BBT, suy ra

 

f x m

có

nghiệm

2 0.

   

Chọn B.

Nhận xét. 1) Học sinh rất dễ sai lầm vì cho rằng

2 0.

  

2) Phtrình có

nghiệm











 



, có

nghiệm











 



, có

nghiệm

0 1.

 

Câu 36. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số

4 2

2y x x  

có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá

trị thực của tham số

để phương trình

4 2

x x m  

có

nghiệm phân biệt.

0 1.

 

0 1.

 





Lời giải. Chọn B.

Câu 37. Cho hàm số bậc ba

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ

bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để phương

trình

 

2020 0

f x m

  

có nghiệm duy nhất.

2017, 2021.

m m

 

2017 2021.

 

2017, 2021.

m m

 

2017 2021.

 

Lời giải. Ta có

   

2020 0 2020 .f x m f x m     

148

Do đó YCBT

2020 3 2017

2020 1 2021

m m

 

  

 

 

 

   

 

Chọn C.

Câu 38. Cho hàm số

3 2

3y x x 

có đồ thị như hình vẽ. Dựa

vào đồ thị, tìm tất cả các giá trị của tham số

để phương

trình

3 2

3 3 1 0

x x m

   

có ba nghiệm phân biệt trong đó có

đúng hai nghiệm lớn hơn

1 5

3 3

m 

1 .

m 

2 .

m 

2 .

m  

Lời giải. Ta có

3 2 3 2

3 3 1 0 3 1 3 .x x m x x m       

Do đó YCBT

4 1 3 2 1 .

m m       

Chọn B.

Chú ý: Không để ý kỹ sẽ mắc sai lầm hay gặp là cho

4 1 3 0

   

Câu 39. Cho hàm số

 

3 2

2 9 12y f x x x x   

có đồ thị

như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của tham số

để

phương trình

 

f x m

 

có

nghiệm phân biệt.



5 4.

   

4 5.

 

 

Lời giải. Trước tiên từ đồ thị hàm số

 

y f x

, ta suy ra

đồ thị hàm số

 

y f x

như hình vẽ.

Ta có

   

0 .f x m f x m    

Do đó YCBT

4 5 5 4.

m m

       

Chọn B.

Câu 40. Cho hàm số bậc ba

 

y f x

có đồ thị như hình

vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để

phương trình

 

2 0

f x m

 

có

nghiệm phân biệt?

149

Lời giải. Trước tiên từ đồ thị hàm số

 

,y f x

ta suy

ra đồ thị hàm số

 

y f x

như hình vẽ.

Ta có

   

2 0 .

f x m f x   

Do đó YCBT

0 4 0 8.

     

Chọn C.

Câu 41. Cho hàm số bậc ba

 

y f x

đồ thị như hình

vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

thuộc

đoạn

 

10;10

để phương trình

 

2 0

f x m

 

có

nghiệm phân biệt?

Lời giải. Trước tiên từ đồ thị hàm số

 

,y f x

ta suy

ra đồ thị hàm số

 

y f x



như hình vẽ.

Ta có

   

2 0 .

f x m f x   

Do đó YCBT

0 1

  

hoặc



0 2

  

hoặc

10.



Chọn B.

Câu 42. Tập hợp các giá trị của tham số

để đồ thị hàm số

 

   y x x mx m

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là

 

0;4 .

 

4; .

1 1

; ;0 .

2 2

   

 

 

   

 

 

 

 

   

 

1 1

; ;0 4; .

2 2

   

 

 

     

 

 

 

 

   

Lời giải. Phtrình hđgđ:

 

1 0 .

0 1

x x mx m

x mx m







    



  





YCBT



 

có hai nghiệm phân biệt khác

1 .1 0

1 .

4 0

m m





  









   





Chọn D.

Phương trình hoành độ giao điểm

3 2

ax bx cx d

   



Nếu nhẩm được một nghiệm

thì phương trình tương đương

x x

ax b x c







 

  





Cô lập tham số

và lập bảng biến thiên hoặc dùng đồ thị.



Nếu không nhẩm được nghiệm và không cô lập được

thì bài toán được giải

quyết theo hướng tích hai cực trị, cụ thể:

150

◦ Đồ thị cắt trục hoành đúng ba điểm phân biệt

CD CT

. 0.

y y

 

◦ Đồ thị có hai điểm chung với trục hoành

CD CT

. 0.

y y

 

◦ Đồ thị có một điểm chung với trục hoành

CD CT

. 0

y y

 

hoặc hàm số không có cực

trị.

Chú ý: Nếu

3 2 0

y ax bx c



   

nhẩm được hai nghiệm thì tính

CD CT

, y y

dễ dàng.

Trường hợp không nhẩm được nghiệm thì dùng mối liên hệ hai nghiệm đó là hệ thức

Viet.

Câu 43. Tập hợp các giá trị thực của tham số

để đồ thị hàm số

3 2

3y x x 

cắt

đường thẳng

y m

tại ba điểm phân biệt là

 

4;0 .

 

0; .

 

; 4 . 

   

; 4 0; .   

Lời giải. Chọn A. Xét hàm bậc ba

3 2

3 ,y x x 

có

0 0

3 6 0 .

2 4

x y

y x x y

x y



  



 

    



   





Dựa vào dáng điệu của đồ thị hàm bậc ba, ta có YCBT

CT CD

4 0.

y m y m

      

Câu 44. Cho phương trình

3 2

2 3 2 1.

x x m

  

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt.

m  

 

m  

m 



m  

Lời giải. Chọn A. Xét hàm bậc ba

 

3 2

2 3 ,f x x x 

có

   

0 0

6 6 0 .

1 1

x y

f x x x f x

x y



  



 

    



   





Dựa vào dáng điệu của đồ thị hàm bậc ba, ta có YCBT

2 1

2 1 0

2 1 2 1 1

m y

m y m



 



 



    



Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để đồ thị hàm số

3 2

y x mx

  

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.









Lời giải. Ta có

 

3 2 3 2 0 .

y x mx x x m y







 



      









YCBT



Hàm số có hai điểm cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu

151

 

4. 4 0

0 . 0

y y











 



   





 

 





 





















 











 



Chọn D.

Câu 46. Tìm giá trị thực của tham số

để đồ thị hàm số

3 2

y x mx

  

có đúng

hai điểm chung với trục hoành.

m 



m 



Lời giải. Ta có

 

3 6 3 2 0 .

y x mx x x m y

x m







 

      







YCBT



hàm số có hai điểm cực trị và tích hai cực trị bằng

   

 

2 0

0 . 2 0 2. 4 2 0

y y m m













 

   

 

 

   

 







Chọn C.

Câu 47. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để phương trình

3 2 0

x mx

  

có nghiệm duy nhất.



0 1.

 





Lời giải. Ta có

 

2 2 2

3 3 3 0 .y x m x m y x m

 

       

Khi đó yêu cầu bài toán tương đương với:



TH1: Hàm số không có cực trị



 

có nghiệm kép hoặc vô nghiệm

 



TH2: Hàm số có hai cực trị

CD CT

, y y

thỏa mãn

CD CT

. 0

y y



      

0 0

0 1.

. 0 2 2 2 2 0

m m

y m y m m m m m

 

 

 







 

  

     

  

  

    





  

 

 

Kết hợp hai trường hợp ta được



Chọn B.

Câu 48. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để đường thẳng

 

: 1 1

d y m x

  

cắt đồ thị hàm số

3 1

y x x

   

tại ba điểm phân biệt

 

1;1 , , .A B C



m 

 

. D.



m 

Lời giải. Phtrình hđgđ:

 

3 1 1 1

x x m x

     

 

1 2 0 .

2 0 *

x x x m

x x m







      



   





YCBT



 

có hai nghiệm phân biệt khác

9 4 0







   





 

 

 





 







. Chọn C.

152

Câu 49. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để đồ thị hàm số

3 2

y x x

  

cắt đường thẳng

 

: 1

d y m x

 

tại ba điểm phân biệt có hoành độ

1 2 3

, , x x x

thỏa

mãn

2 2 2

1 2 3

x x x

  

 

 

 

 

Lời giải. Phtrình hđgđ:

 

3 2

3 2 1 .

2 2 0 *

x x m x

x x m







    



   





Để

 

có hai nghiệm phân biệt khác

1 2 0

1 2.1 2 0





    



   





   





Giả sử



Khi đó

là hai nghiệm của

 

* .

Theo Viet, ta có:

2 3

x x

x x m



 







  





YCBT

   

2 2

2 3 2 3 2 3

4 2 4 4 2 2 4 2

x x x x x x m m

              .

Chọn D.

Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để đường thẳng

: 4

d y x

 

cắt đồ

thị hàm số

 

3 2

2 3 4

y x mx m x

    

 

tại ba điểm phân biệt

 

0;4 , , A B C

sao

cho tam giác

MBC

có diện tích bằng

, với

 

1;3 .



 



Lời giải. Phtrình hđgđ:

 

3 2

2 3 4 4 .

2 2 0 *

x mx m x x

x mx m







      



   





Để

cắt

 

tại ba điểm phân biệt



 

có hai nghiệm phân biệt khác

2 0

2 1

2 0

m m









    





 







   

 

 



Gọi

1 2

,x x

là hai nghiệm của

 

* .

Theo định lí Viet, ta có

1 2

. 2

x x m



  







 





Giải sử

   

1 1 2 2

; 4 , ; 4 .

B x x C x x

 

Ta có

 

2 1

BC x x

 

và

 

1 3 4

, 2.

d M d

 

 

YCBT:

     

2 2

2 1 1 2 1 2

4 , 4 16 4 16

MBC

S d M d BC x x x x x x         



 

6 0 .

m m







    



 





thoûa maõn

loaïi

Chọn A.

Câu 51. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Tập hợp các giá trị thực của tham số

để

đường thẳng

d y mx 

cắt đồ thị của hàm số

3 2

y x x m

   

 

tại ba điểm

phân biệt

, , A B C

sao cho

AB BC

là

 

; 1 . 

 

;3 .

 

1; .

 

; . 

Lời giải. Phtrình hđgđ:

 

3 2

3 2 .

2 2 0

x x m mx

x x m







     



    





153

Để

cắt

 

tại ba điểm phân biệt

 

*

có hai nghiệm phân biệt khác

 

1 2 0

1 2.1 2 0 3

m m

 



 

    

 

   

 

 

    

 

 

Gọi

1 2

, x x

là hai nghiệm của

 

* .

Theo định lí Viet, ta có

1 2

x x

 

Giả sử



thì

1 2

2 1

x x

  

, suy ra

1 2

1 .x x 

Theo giả thiết

BA BC

nên

là trung điểm của

do đó



và

x x

. Khi đó ta có

A C B

x x x 

nên

luôn cắt

 

tại ba điểm phân biệt

, , A B C

thỏa mãn

.AB BC

Vậy với



thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.

Câu 52*. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để đồ thị hàm số

3 2

3 6 8

y x mx mx

   

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành

cấp số cộng.



2, 1.

m m

  

 



Lời giải. Ta có

1 3 2

3 2 Viet

1 2 3 2

0 .

x x x

b b

ax bx cx d x x x x

a a

 

           

Phương trình hoành độ giao điểm:

3 2

3 6 8 0.

x mx mx

   

 

Từ giả thiết suy ra phương trình

 

có một nghiệm

.x m

Thay

x m

vào phương trình

 

* ,

ta được

3 2

3 . 6 . 8 0 .

m m m m m



 



    







Thử lại:



Với

 

ta được

3 2

3 6 8 0 1 :

x x x x



 



      







thỏa mãn.



Với



ta được

3 2

6 12 8 0 2 :

x x x x

     

không thỏa mãn.

Vậy

 

là giá trị cần tìm. Chọn C.

Câu 53. Với điều kiện nào của tham số

thì phương trình

 

2 2

4 1 1

x x k  

có bốn

nghiệm phân biệt?

0 2.

 



1 1.

  

0 1.

 

Lời giải. Xét hàm trùng phương

 

2 2 4 2

4 1 4 4 ,y x x x x    

có

 

0 0 0

16 8 0 .

2 2

x y

y x x y

x y



  



 

 

     











    













 



YCBT

CT CD

1 0 1 1 0 1.

y k y k k

          

Chọn D.

Biện luận số nghiệm của phương trình

 

4 2

0, 0 .

ax bx c m a b

    

 

154

Cách 1. Phương trình

4 2

ax bx c m  

là phương trình hoành độ giao điểm của đồ

thị hàm trùng phương

4 2

y ax bx c  

và đường thẳng

y m

(có phương song song

với trục hoành)

Do hệ số

0, 0

a b

 

nên đồ thị hàm số

4 2

y ax bx c  

có dạng như sau:

Dựa vào đồ thị ta có:



 

vô nghiệm

.m y 



 

có

nghiệm

m y

















 

có

nghiệm

.m y 



 

có

nghiệm

CT CD

.y m y  

Cách 2. Phương trình

4 2 4 2

ax bx c m ax bx c m

       

 

Do hệ số

0, 0

a b

 

nên đồ thị hàm số

4 2

y ax bx c m   

có dạng như sau:

Ta có các trường hợp sau:



 

vô nghiệm

 



 

có

nghiệm

















 

có

nghiệm

 



 

có

nghiệm

CT CD

0 .y y  

Câu 54. Cho hàm số

 

4 2 3

y x m m x m   

với

là tham số thực. Tìm tất cả các

giá trị của

để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.



 



0 1.

 

Lời giải. Xét hàm trùng phương

 

4 2 3

1 ,y x m m x m   

có

 

   

2 3

4 2 1 0 .

1 1

2 4

x y m

y x m m x y

m m m m

x y m



  



 

     

 



    





YCBT



hàm số có ba điểm cực trị và

CT CD

y y 

 

3 3

0 1

m m













   









   





. Chọn D.

Câu 55. Tìm giá trị thực của tham số

để phương trình

4 2

2 2020 0

x x m

   

có

đúng ba nghiệm.

6060.



4040.



2020.



1794.



Lời giải. Xét hàm trùng phương

4 2

2 ,y x x 

có

155

 

0 0 0

4 4 0 .

1 1 1

x y

y x x y

x y



  



 

    



     





YCBT

2020 2020 0 2020.

m y m m

       

Chọn C.

Câu 56*. Cho hàm số

 

4 2

2 2 4

y x m x m     

với

là tham số thực. Có bao

nhiêu giá trị nguyên của

để đồ thị hàm số không có điểm chung với trục hoành?

Lời giải. Xét hàm trùng phương

 

4 2

2 2 4 ,y x m x m     

có

 

4 4 2 0 .

y x m x y

x m







 

      



 



Dựa vào dáng điệu của hàm trùng phương với hệ số của

âm, ta có các trường hợp

sau thỏa mãn yêu cầu bài toán:



Hàm số có một cực trị và cực trị đó âm

 

2 0

4 2.

0 0

4 0



  



 



 

      

 

 



  



 





Hàm số có ba điểm cực trị và giá trị cực đại âm

 

2 0

2 0.

2 0

3 0

y m

m m



 





 



 

     

 

 

  

 

 







Kết hợp hai trường hợp ta được

 

4 0 3; 2; 1 .

m m



       



Chọn C.

Câu 57. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để đường thẳng

: 2 1

d y mx m

  

cắt đồ thị hàm số

2 2

2 1







 

tại hai điểm phân biệt.







Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm:

2 2 1

2 1

2 1 2

mx m x

 







    









 



  

2 2 2 1 2 1 4 4 3 0.

x mx m x mx mx m

          

 

Để

cắt

 

tại hai điểm phân biệt



phương trình

 

có hai nghiệm phân biệt

12 0







  







   





Chọn A.

Câu 58. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để đường thẳng

: 2d y x m 

cắt

đồ thị hàm số







 

tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.

0 1 

. B.

2, 5.

m m

  

 

. D.

 

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm:

 

2 1

x m x



   



156

  

3 2 1 2 2 3 0.

x x m x x mx m

         

 

YCBT



 

có hai nghiệm dương phân biệt

0 1 .

S m





 



    





 





Chọn C.

Câu 59. Gọi

là đường thẳng đi qua

 

1;0

và có hệ số góc

Tìm tất cả các giá trị

thực của tham số

để

cắt đồ thị hàm số







 

tại hai điểm phân biệt

thuộc hai nhánh của đồ thị.







0 1.

 

Lời giải. Đường thẳng

có dạng

 

1 .y m x mx m   

Phương trình hoành độ giao điểm:

 

mx m x



  



    

 

2 1 2 1 2 0.

g x

x mx m x mx m x m

          



 

YCBT



 

có hai nghiệm phân biệt

1 2

x x

thỏa mãn

1 2

x x 

   

1 0 2 1 2 0

mg m m m m









   

 

 

 

     

 

  



Chọn C.

Câu 60. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để đường thẳng

  d y x m

cắt

đồ thị hàm số

2 1

 





 

tại hai điểm

sao cho

2 2.





 









 









 









 







Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm:

 

2 1

x m x

 

    



    

2 1 1 1 1 0.

x x m x x m x m

            

 

Để

cắt

 

tại hai điểm phân biệt



 

có hai nghiệm phân biệt

   

3 2 3

1 4 1 0 .

3 2 3

m m



  



       



  





Theo đinh lí Viet, ta có

1 2

x x m



  







 





Giả sử

 

1 1

;

 A x x m

và

 

2 2

; .B x x m 

YCBT:

   

2 2

2 1 1 2 1 2

2 2 8 2 8 4 4         

AB AB x x x x x x

   

1 4 1 4

m m







     



 



(thỏa mãn). Chọn A.

157

Câu 61. Tìm giá trị thực của tham số

để đường thẳng

: 2

d y x m

  

cắt đồ thị

hàm số





 

tại hai điểm phân biệt

và

sao cho độ dài

ngắn nhất.

 



Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm:

 

2 1

x m x

   



    

2 2 1 1 2 0.

x x m x x m x m

          

 

Ta có

2 9 0, m m m

       

nên

luôn cắt

 

tại hai điểm phân biệt.

Gọi

là hai nghiệm của

 

* .

Theo định lí Viet, ta có

1 2

x x m



  







 





Giả sử

 

1 1

; 2

A x x m

 

và

 

2 2

; 2

B x x m

 

là tọa độ giao điểm của

và

 

Ta có

         

2 2 2 2

2 1 1 2 1 2

2 2 8 2 1 8 2 2 1 16 16.

AB x x x x x x m m m            

Dấu

'' ''

xảy ra

 

Chọn C.

Câu 62. Tìm giá trị thực của tham số

sao cho đường thẳng

: 2 1

d y x k

  

cắt đồ

thị hàm số

2 1







 

tại hai điểm phân biệt

và

sao cho các khoảng cách từ

và

đến trục hoành là bằng nhau.

 

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm:

 

2 1

2 1 1

x k x



    



  

2 1 2 1 1 2 2 0.

x x k x x kx k

         

 

Để

cắt

 

tại hai điểm phân biệt



 

có hai nghiệm phân biệt

2 0

k k









     







Gọi

1 2

x x

là hai nghiệm của

 

. Giả sử

 

1 1

; 2 1

A x x k

 

và

 

2 2

; 2 1

B x x k

 

YCBT :

   

1 2

, , 2 1 2 1

d A Ox d B Ox x k x k

      

 

1 1

2 1 2 1

x k x k

      

(do

1 2

x x

)

 

1 2

4 2 2 4 2 1 .

x x k k k k

             thoûa maõn

Chọn C.

Câu 63. Tìm giá trị thực của tham số

để đường thẳng

d y x m 

cắt đồ thị hàm

số

2 1







 

tại hai điểm phân biệt

, A B

sao cho tam giác

OAB

vuông tại

với

là gốc tọa độ.

 

m  



Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm:

 

2 1

x m x



  



158

    

2 1 1 3 1 0.

x x m x x m x m

          

 

Để

cắt

 

tại hai điểm phân biệt



 

có hai nghiệm phân biệt

2 5 0, .

m m m

        

Gọi

1 2

, x x

là hai nghiệm của

 

. Theo định lí Viet, ta có

1 2

x x m



  







 





Giả sử

 

1 1

;

A x x m

và

 

2 2

; .B x x m

YCBT

    

1 2 1 2 1 2 1 2

. 0 0 2 0

OA OB x x x m x m x x m x x m

           

 

   

2 1 3 0 2 0 2.

m m m m m m

           

Chọn A.

Câu 64. Tìm giá trị thực của tham số

để đường thẳng

: 3

d y x m 

cắt đồ thị

hàm số

2 1







 

tại hai điểm phân biệt

và

sao cho trọng tâm tam giác

OAB

thuộc đường thẳng

: 2 2 0,

x y

   

với

là gốc tọa độ.

 



m  

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm:

 

2 1

3 1

x m x



  



    

2 1 3 1 3 1 1 0.

x x m x x m x m

           

 

Để

cắt

 

tại hai điểm phân biệt



 

có hai nghiệm phân biệt

10 11 0 .

m m



 



      







Gọi

là hai nghiệm của

 

. Theo Viet, ta có

1 2

x x



 

và

1 2

x x





Giả sử

 

1 1

; 3

A x x m 

và

 

2 2

; 3 .B x x m 

Suy ra

 

1 2

3 2

; .

3 3

x x m

x x

 

  



















 

YCBT :

 

1 2

3 2

2. 2 0

3 3

x x m

x x

  



     

 

1 2

1 11

2. 2 0 .

9 3 5

m m

  



      

thoûa maõn

Chọn D.

Câu 65. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để đường thẳng

: 2

d y x m 

cắt

đồ thị hàm số

2 4







 

tại hai điểm phân biệt

và

sao cho

4 15,

IAB





với

là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị.

 



 



Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm:

 

2 4

2 1

x m x



  



    

2 4 2 1 2 4 4 0.

x x m x x m x m

          

 

159

Để

cắt

 

tại hai điểm phân biệt



 

có hai nghiệm phân biệt

16 0 .



 



     







Gọi

1 2

, x x

là hai nghiệm của

 

. Theo Viet, ta có

1 2

x x



 

và

1 2

x x





Giả sử

 

1 1

A x x m

và

 

2 2

B x x m

YCBT:

 

2 2

4 15 2 . , 15 2 . 15 4 . 1125

IAB

S AB d I AB AB AB m      

   

2 2

1 2 1 2 1 2

20 1125 4 4 225

x x m x x x x m

 

      

 

 

 

2 2 2

16 225 25 5 .

m m m m

        thoûa maõn

Chọn C.

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/159

| | Tải xuống

Preview text:

TRAÉC NGHIEÄM 12
TUYEÅN CHOÏN 2020 - 2021
HUỲNH ĐỨC KHÁNH (chủ biên)
Đăng ký mua trọn bộ trắc nghiệm 12 FILE WORD
Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH - 0975 120 189
https://www.facebook.com/duckhanh0205
Khi mua có sẵn file word đề riêng;
file word đáp án riêng thuận tiện cho việc dạy Ngoài ra còn có
TRAÉC NGHIEÄM 11 - TUYEÅN CHOÏN 2020 – 2021 (bản mới nhất)
TRAÉC NGHIEÄM 10 - TUYEÅN CHOÏN 2020 – 2021 (bản mới nhất) CHUÛ ÑEÀ
ÖÙNG DUÏNG ÑAÏO HAØM ÑEÅ KHAÛO SAÙT 1.
VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ
SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ 1) Định lí
Giả sử hàm số f x có đạo hàm trên khoảng K.
 Nếu f x 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x đồng biến trên K.
 Nếu f x 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x nghịch biến trên K.
 Nếu f x  0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x không đổi trên K.
Chú ý: Khoảng K trong định lí trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc một một nửa
khoảng. Khi đó phải bổ sung thêm giả thiết ' Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa
khoảng đó ' . Chẳng hạn: 1
Nếu hàm số f x  liên tục trên đoạn a;b và có đạo hàm f x   0 trên khoảng a;b
thì hàm số f x  đồng biến trên đoạn a;b.
2) Định lí mở rộng
Giả sử hàm số f x có đạo hàm trên khoảng K . Nếu f x   0 với mọi
x  K (hoặc f x   0 với mọi x  K ) và f x   0 chỉ tại một số hữu hạn
điểm của K thì hàm số f x  đồng biến (nghịch biến) trên K.
Chú ý: Tuy nhiên một số hàm số có f x   0 tại vô hạn điểm nhưng các điểm rời rạc
thì hàm số vẫn đơn điệu. Ví dụ: Xét hàm số y  2x  sin 2x.
Ta có y  2  2 cos 2x  21cos 2x   0, x  . 
y   0  1 cos 2x  0  x  k 
k   có vô hạn điểm làm cho y  0 nhưng
các điểm đó rời rạc nên hàm số y  2x  sin 2x đồng biến trên .
Dạng 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1. Cho hàm số f x  có đạo hàm trên K. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu hàm số f x  đồng biến trên khoảng K thì f x   0, x  K.
B. Nếu f x   0, x  K thì hàm số f x đồng biến trên K.
C. Nếu f x   0, x  K thì hàm số f x đồng biến trên K.
D. Nếu f x   0, x  K và f x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K.
Lời giải. Theo định lí mở rộng thì đáp án C sai. Chọn C.
Câu 2. Cho hàm số f x  xác định trên a;b, với x , x bất kỳ thuộc a;b. Mệnh đề 1 2 nào sau đây đúng?
A. Hàm số f x  đồng biến trên a;b khi và chỉ khi x  x  f x  f x . 1 2  1  2 
B. Hàm số f x  đồng biến trên a;b khi và chỉ khi x  x  f x  f x . 1 2  1  2
C. Hàm số f x  nghịch biến trên a;b khi và chỉ khi x  x  f x  f x . 1 2  1  2 
D. Hàm số f x  nghịch biến trên a;b khi và chỉ khi x  x  f x  f x . 1 2  1  2
Lời giải. A sai. Sửa lại cho đúng là ' x  x  f x  f x ''. 1 2  1  2 
B sai: Sửa lại cho đúng là ' x  x  f x  f x ''. 1 2  1  2 
C sai: Sửa lại cho đúng là ' x  x  f x  f x ''. 1 2  1  2 
D đúng (theo định nghĩa). Chọn D. 2
Câu 3. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu hàm số f x  đồng biến trên a;b thì hsố  f x  nghịch biến trên a;b. 1
B. Nếu hàm số f x  đồng biến trên a;b thì hsố
nghịch biến trên a;b. f x 
C. Nếu hsố f x  đồng biến trên a;b thì hsố f x  2020 đồng biến trên a;b.
D. Nếu hsố f x  đồng biến trên a;b thì hsố  f x 2020 nghịch biến a;b. 1 1
Lời giải. Ví dụ hàm số f x   x đồng biến trên  ;    , nhưng hàm số  f x  x
nghịch biến trên các khoảng  ;  0 và 0; 
 . Do đó B sai. Chọn B.
Câu 4. (ĐHSP Hà Nội lần 3, năm 2018-2019) Cho hàm số f x  có đạo hàm trên , 
thỏa mãn f x   0 với mọi x  .
 Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. f x  f x với mọi x , x   và x  x . 1   2 1 2 1 2 f x1 B.
 với mọi x , x   và x  x . f  1 x 1 2 1 2 2 
f x  f x 2   1 C.
 0 với mọi x , x   và x  x . x  x 1 2 1 2 2 1
f x  f x 2   1 D.
 0 với mọi x , x   và x  x . x  x 1 2 1 2 2 1
Lời giải. Từ giả thiết f x   0 với mọi x  ,
 suy ra f x nghịch biến trên . 
Do đó đáp án D đúng. Chọn D. Dạng 2. TÍNH CHẤT
Câu 5. Cho hàm số y  f x  đồng biến trên khoảng a;b. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số y  f x  
1 đồng biến trên a;b.
B. Hàm số y  f x 1 đồng biến trên a;b.
C. Hàm số y   f x  nghịch biến trên a;b.
D. Hàm số y   f x 1 nghịch biến trên a;b.
Lời giải. Chọn A. Phép tịnh tiến lên trên hay xuống dưới không làm thay đổi khoảng
đồng biến, nghịch biến. Nhưng tịnh tiến sang trái, sang phải thì thay đổi.
Câu 6. Nếu hàm số y  f x  đồng biến trên khoảng  1
 ;2 thì hàm số y  f x  2
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A.  1  ;2. B. 1;4. C.  3  ;0. D. 2;4. 3
Lời giải. Tịnh tiến đồ thị hàm số y  f x  sang trái 2 đơn vị, ta sẽ được đồ thị của
hàm số y  f x  2. Vì hàm số y  f x  đồng biến trên khoảng  1  ;2 nên hàm số
y  f x  2 đồng biến trên  3  ;0. Chọn C.
Cách 2. Từ giả thiết suy ra f x   0  1   x  2. gia thiet
Xét g x   f x  2. Ta có g x   f x  2  0  1  x  2  2  3  x  0.
Câu 7*. Nếu hàm số y  f x  đồng biến trên khoảng 0;2 thì hàm số g  f 2x 
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. 0;2 . B. 0;4 . C. 0  ;1 . D.  2  ;0 .
Lời giải. Chọn C. Từ giả thiết suy ra f x   0  0  x  2. gia thiet
Xét g x   f 2x . Ta có g x   2 f 2x   0  f 2x   0  0  2x  2  0  x 1.
Câu 8. Cho hàm số f x  3 2
 x  x 8x  cos x và hai số thực a, b sao cho a  . b
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. f a  f b.
B. f a f b.
C. f a  f b.
D. Không so sánh được f a và f b .
Lời giải. Tập xác định: D  . 
Đạo hàm: f x  2
 x  x   x   2 3 2 8 sin
3x  2x  
1 7  sin x   0, x  . 
Suy ra f x  đồng biến trên .
 Do đó với mọi số thực a  b  f a  f b . Chọn C.
Câu 9. Cho hàm số f x có đạo hàm trên  sao cho f x  0, x  0. Biết
e  2,718. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. f e f   f   3  f 4.
B. f e f   0.
C. f e f   2 f 2. D. f  
1  f 2  2 f   3 .
Lời giải. Từ giả thiết suy ra hàm số f x  đồng biến trên khoảng 0; . Do đó e
  3  f e f   3    
 f e f  f  
3  f 4. Vậy A đúng. Chọn A. 
  4  f   f 4 
 e    f e f   f e f  0. Vậy B sai.
Tương tự cho các đáp án C và D.
Câu 10. Cho hàm số y  f x  có đạo hàm f x  2
 x  2, x  .  Mệnh đề nào sau đây đúng? A. f   1  f  
1 . B. f   1  f   1 . C. f   1  f   1 . D. f   1  f   1 .
Lời giải. Có f x  2
 x  2  0  hàm số đồng biến. Do đó f   1  f   1 . Chọn D. 4
Câu 11. Cho hàm số f x  4 2
 x 2x 1 và hai số thực ,
u v  0  ;1 sao cho u  . v
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. f u  f v.
B. f u  f v.
C. f u  f v.
D. Không so sánh f u và f v được.
Lời giải. Tập xác định: D  .  x  0
Đạo hàm: f x  3
 4x  4x  4x  2 x  
1 ; f x   0   .  x  1 
Vẽ bảng biến thiên ta thấy được hàm số nghịch biến trên 0  ;1 . Do đó với ,
u v  0 
;1 thỏa mãn u  v  f u  f v. Chọn C. Câu 12. Hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d đồng biến trên  khi
a  b  0; c  0
a  b  0; c  0 A.  .   B. . 2
a  0; b 3ac  0   2
a  0; b 3ac  0 
a  b  0; c  0
a  b  0; c  0 C.  .   D. . 2
a  0; b 3ac  0   2
a  0; b 3ac  0 
Lời giải. Quan sát các đáp án, ta sẽ xét hai trường hợp là: a  b  0 và a  0.
 Nếu a  b  0 thì y  cx  d là hàm bậc nhất  để y đồng biến trên  khi c  0.
 Nếu a  0, ta có 2
y   3ax  2bx  c. Để hàm số đồng biến trên   y   0, x    a   0 a   0       . Chọn D. 2   0 b  3ac  0  
Dạng 3. BẢNG BIẾN THIÊN
Câu 13. [KHTN Hà Nội lần 1, năm 2018-2019] Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A.  ;    1 . B.  1  ;. C.  1  ;  3 . D. 3;   .
Lời giải. Chọn C.
Câu 14. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2018-2019] Cho hàm số f x  có bảng biến thiên sau: 5
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A.  2;  0. B. 2;   . C. 0;2. D. 0;   .
Lời giải. Chọn C.
Câu 15. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số y  f x  có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng 2;0.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;  0.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;2.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;  2.
Lời giải. Chọn C.
Câu 16. Cho hàm số y  f x  có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây đúng?  1 
A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  ;       và 3;.  2   1 
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   ; .     2 
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 3;   .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ;   3 .
Lời giải. Chọn C. 6
Câu 17. Cho hàm số y  f x  có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  2;   và  ;  2.
B. Hàm số đã cho đồng biến trên  ;    1  1  ;2.
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0;2.
D. Hàm số đã cho đồng biến trên  2  ;2 .
Lời giải. Hàm số đồng biến trên khoảng  1
 ;2, mà 0;2 1
 ;2 nên suy ra C đúng. Chọn C.
Câu 18. Cho hàm số y  f x  liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau
Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?
i) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  ;    5 và  3  ; 2  .
ii) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ;   5 .
iii) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  2;     .
iv) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ;  2. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ;
 2; nghịch biến trên khoảng  2;     .
Suy ra ii) Sai; iii) Đúng; iv) Đúng và i) Đúng (vì  ;  5   ;    3 ). Chọn A. 7
Dạng 4. ĐỒ THỊ HÀM f x 
Câu 19. [ĐỀ THAM KHẢO 2018-2019] Cho hàm số f x  có
đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào
trong các khoảng sau đây? A. 0  ;1 . B.   ;1 . C.  1   ;1 . D.  1  ;0.
Lời giải. Chọn D.
Câu 20. Cho hàm số f x  xác định, liên tục trên  và
có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số đồng biến trên 1;   .
B. Hàm số đồng biến trên  ;    1 và 1;   .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1   ;1 .
D. Hàm số đồng biến trên  ;    1 1;.
Lời giải. Dựa vào đồ thị ta có kết quả: Hàm số đồng biến trên  ;    1 và 1;,
nghịch biến trên 1 
;1 nên các mệnh đề A, B, C đúng.
Theo định nghĩa hàm số đồng biến trên khoảng a;b thì mệnh đề D sai. Ví dụ: Ta lấy 1  ,1   ;    1 , 1,1  1;: 1
 ,1 1,1 nhưng f  1  ,  1  f 1,  1 . Chọn D.
Câu 21. (Đại học Vinh lần 2, năm 2018-2019) Cho
hàm số f x  có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đồng
biến trên khoảng nào sau đây? A. 2;4. B. 0;  3 . C. 2;  3 . D.  1  ;4.
Lời giải. Chọn C.
Câu 22. (Đại học Vinh lần 3, năm 2018-2019) Cho hàm số
f x  có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến
trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. 0;2. B.  2;  0. C.  3  ;  1 . D. 2;  3 . 8
Lời giải. Chọn D.
Câu 23. (Đại học Vinh lần 1, năm 2018-2019) Cho
hàm số f x  có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau
đây đúng về hàm số đó?
A. Nghịch biến trên khoảng  1  ;0.
B. Đồng biến trên khoảng  3   ;1 .
C. Đồng biến trên khoảng 0  ;1 .
D. Nghịch biến trên khoảng 0;2.
Lời giải. Chọn C.
Câu 24*. (Đại học Vinh lần 3, năm 2018-2019) Cho hàm số
y  f x  có đồ thị như hình bên. Hàm số g x   2
 f x đồng
biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. 1;2. B.  ;  2. C. 2;. D.  2;  2.
Lời giải. Ta có g x   2 f x .
Hàm số g x  đồng biến  g x   0 hay 2
 . f x 0  f x 0.
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có f x   0  0  x  2. Chọn A.
Dạng 5. XÉT KHOẢNG ĐỒNG BIẾN,
NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 3 x Câu 25. Cho hàm số 2 y 
 x  x. Mệnh đề nào sau đây đúng? 3
A. Hàm số đã cho đồng biến trên . 
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên  ;   1 .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên 1; 
 và nghịch biến trên  ;   1 .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên  ;  
1 và nghịch biến 1;.
Lời giải. Đạo hàm: y   x  x   x  2 2 2 1 1
 0, x   và y  0  x  1.
Suy ra hàm số đã cho luôn đồng biến trên .  Chọn A. Câu 26. Hàm số 3 2
y  x  3x  9x  m nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A.  1  ;  3 . B.  ;    3 hoặc 1;   . C.  ;     . D.  ;    1 hoặc 3;   . 9 Lời giải. Ta có 2 2
y  3x  6x  9  0  3x  6x  9  0  1   x  3.
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  1  ;  3 . Chọn A.
Câu 27. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên toàn trục số? A. 3 2
y  x 3x . B. 3 2
y  x  3x 3x  2. C. 3 y  x  3x 1. D. 3 y  x .
Lời giải. Để hàm số nghịch biến trên toàn trục số thì hệ số của 3
x phải âm. Do đó A & D không thỏa mãn.
Xét B: Ta có y    x  x   x  2 2 3 6 3
1  0, x   và y   0  x  1.
Suy ra hàm số này luôn nghịch biến trên .  Chọn B.
Câu 28. (ĐỀ MINH HỌA 2016-2017) Hàm số 4
y  2x 1 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?  1  1  A.  ;   .      B.   ; .  C.  ;  0. D. 0;   .    2  2 
Lời giải. Đạo hàm: 3
y   8x . Hàm số đồng biến 3
 y  0  8x  0  x  0. Chọn D. Câu 29. Cho hàm số 4 2
y  2x  4x . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên  ;    1 0  ;1 .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên  2;  0.
C. Hàm số đã cho đồng biến trên  2;     .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên 2;   . x  0
Lời giải. Đạo hàm: 3
y   8x 8x  8x  2 x   1 ; y   0   .  x  1 
Dựa vào BBT, ta thấy hàm số đồng biến trên từng khoảng  1  ;0 và 1;.
Vì 2;  1; nên đáp án D đúng. Chọn D.
Câu 30. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên  ? A. 3 2
y  x  3x  4. B. 3 2
y  x  x  2x 1. C. 4 2
y  x  2x  2. D. 4 2
y  x 3x  2. 10
Lời giải. Hàm trùng phương không thể nghịch biến trên  . Do đó ta loại C & D.
Để hàm số nghịch biến trên  số thì hệ số của 3
x phải âm. Do đó loại A.
Vậy chỉ còn lại đáp án B. Chọn B. Thật vậy: Với 3 2 2
y  x  x  2x 1 
 y  3x  2x 2  0, x  .  x  2
Câu 31. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Cho hàm y  . Chọn mệnh đề đúng: x 1
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;    1 .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;    1 .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;   .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1  ;   . 3
Lời giải. TXĐ: D   \ 
1 . Đạo hàm: y  
 0 với mọi x  .
D Chọn B. x  2 1 2x 1
Câu 32. Các khoảng nghịch biến của hàm số y  là x 1 A.  \   1 . B.   ;1 1;. C.   ;1 và 1;. D.  ;     . 3 
Lời giải. TXĐ: D   \ 
1 . Đạo hàm: y 
 0 với mọi x  . D x  2 1
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;  
1 và 1;. Chọn C.
Chú ý: Sai lầm hay gặp là chọn A hoặc B. Lưu ý rằng khi kết luận hàm bậc nhất trên
bậc nhất là đồng biến (nghịch biến) trên từng khoảng xác định. 2x 1
Câu 33. Cho hàm số y 
. Mệnh đề nào sau đây đúng? x  2
A. Hàm số đã cho đồng biến trên . 
B. Hàm số đã cho đồng biến trên  \ 2.
C. Hàm số đã cho đồng biến trên  ;  0.
D. Hàm số đã cho đồng biến trên 1;   . 5
Lời giải. TXĐ: D   \ 2
 . Đạo hàm: y 
 0 với mọi x  . D x  22
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng  ;  2 và  2;     .
Suy ra hàm số đồng biến trên 1;   . Chọn D.
Bình luận: Hàm số đồng biến trên tất cả các khoảng con của các khoảng đồng biến
của hàm số. Cụ thể trong bài toán trên:
 Hàm số đồng biến trên 2;; 11  1; 2;  .
Suy ra hàm số đồng biến trên 1;   .
Câu 34. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Hàm số nào dưới đây đồng biến trên  ? A. 3
y  3x  3x  2. B. 3
y  2x 5x 1. x  2 C. 4 2
y  x  3x . D. y  . x 1
Lời giải. Đặc trưng hàm trùng phương là không đồng biến trên .  Loại C.
Hàm bậc nhất trên bậc nhất cũng không đồng biến trên .  Loại D.
Xét đáp án A, ta có TXĐ: D  .  Đạo hàm: 2
y   9x  3  0, x  .  Chọn A.
Câu 35. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số 2
y  2x 1. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1   ;1 .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng 0;   .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;  0.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;   . 2x
Lời giải. TXĐ: D  .
 Đạo hàm: y 
; y   0  x  0. 2 2x 1
Ta có y   0  x  0 và y   0  x  0.
Suy ra hàm số nghịch biến trên  ;
 0, đồng biến trên 0;. Chọn B. Câu 36. Hàm số 2
y  2x  x nghịch biến trên khoảng nào đã cho dưới đây? A.  1   ;1 . B. 1;2. C. 0  ;1 . D. 0;2. 1 x
Lời giải. TXĐ: D  0;2. Đạo hàm: y 
; y  0  x  1. 2 2x  x
Dựa vào BBT, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng 1;2. Chọn B.
Câu 37. Cho hàm số y  x 1  4  x . Mệnh đề nào sau đây đúng? 12
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên 1;4.  5
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên 1  ; .    2 5 
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên  ;4 .    2 
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên .  1 1
Lời giải. TXĐ: D  1;4. Đạo hàm: y   . 2 x 1 2 4  x x 1;4 5 
Xét phương trình y   0 
x 1  4  x     x   1;4  .
x 1  4  x 2  5 
Lập bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên khoảng  ;4 .    Chọn C. 2 
Câu 38*. Hàm số nào sau đây đồng biến trên  ? 2x 1 A. y  .
B. y  2x  cos 2x 5. x 1 C. 3 2
y  x  2x  x 1. D. 2 y  x  x 1.
Lời giải. Chọn B. Vì y   2  2 sin 2x  2sin 2x  
1  0, x   và y   0  sin 2x  1.
Phương trình sin 2x  1 có vô số nghiệm nhưng các nghiệm tách rời nhau nên hàm số đồng biến trên . 
Câu 39. Hàm số nào sau đây đồng biến trên  ? x x A. y  . B. y  . C. 2
y  x 5x  3.
D. y  tan x. x 1 2 x 1 x
Lời giải. Xét hàm số y  . 2 x 1 1 Đạo hàm: y  
 0, x   
 hàm số đồng biến trên .  Chọn B.  2 x   2 1 x 1
Câu 40*. (ĐHSP Hà Nội lần 1, năm 2018-2019) Cho hàm số f x     x 2019 2 1 .
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên  ;  0.
B. Hàm số nghịch biến trên  ;  0.
C. Hàm số nghịch biến trên . 
D. Hàm số đồng biến trên . 
Lời giải. TXĐ: D  .
 Đạo hàm: f x 
 x  x 2018 2 2019. 2 1 . Do   x 2018 2 1  0, x
   nên f x 0  2x  0  x  0. Chọn A. 13
Dạng 6. BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ
Câu 41. Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y  x  3x  mx  m
đồng biến trên tập xác định. A. m  1. B. m  3.
C. 1  m  3. D. m  3.
Lời giải. TXĐ: D  .  Đạo hàm: 2
y   3x  6x  . m a   0 3   0  
YCBT  y   0, x   ( y   0 có hữu hạn nghiệm)      m  3.    0 9  3m  0   Chọn B.
Cách giải trắc nghiệm. Quan sát ta nhận thấy các giá trị m cần thử là:
 m  3 thuộc B & C nhưng không thuộc A, D.
 m  2 thuộc C & D nhưng không thuộc A, B.  Với m  
 y  x  x  x  
 y  x  x   x  2 3 2 2 3 3 3 3 3 6 3 3 1  0, x  .  Do đó ta loại A và D.  Với 3 2 2 m  2 
 y  x  3x  2x  2 
 y  3x  6x  2. Phương trình 2
y   0  3x  6x  2  0 có 2 nghiệm phân biệt nên m  2 không thỏa.
Câu 42. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số 3 2
y  x  mx 4m  9x  5
với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên  ? A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.
Lời giải. TXĐ: D  .  Đạo hàm: 2
y   3x  2mx  4m  9.
Hàm số đã cho nghịch biến trên   y  0, x
   ( y  0 có hữu hạn nghiệm) 2
   0  m 34m  9 0  9   m  3  m  m   9  ; 8  ;...;  3 . Chọn D.
Sai lầm hay gặp là ' Hàm số đã cho nghịch biến trên   y   0, x    ' . Khi đó ra giải ra 9
  m  3 và chọn B. m Câu 43. Cho hàm số 3 2 y 
x  2x m  
3 x  m . Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số 3
m để hàm số đồng biến trên .  A. m  4. B. m  2. C. m  0. D. m  1.
Lời giải. TXĐ: D  .  Đạo hàm: 2
y   mx  4 x  m  3.
Yêu cầu bài toán  y  0, x   ( y  0 có hữu hạn nghiệm): 3
TH1:  m  0 thì y   4x  3  0  x  (không thỏa mãn). 4 a   m  0  TH2:    m 1. 2   m  3m  4  0  y 
Suy ra giá trị m nhỏ nhất thỏa mãn bài toán là m  1. Chọn D. 14
Câu 44. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y   2 m   3
x m   2 1
1 x  x  4 nghịch biến trên khoảng  ;   ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. TH1:  m  1. Ta có y  x  4 là phương trình của một đường thẳng có
hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên .
 Do đó nhận m  1.
TH2:  m  1. Ta có 2
y  2x  x  4 là phương trình của một đường Parabol nên
hàm số không thể nghịch biến trên .
 Do đó loại m  1. TH3:  m  1.
 Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng  ;
   y  0, x  
( y   0 có hữu hạn nghiệm)   2 m   2 3
1 x  2m  
1 x 1  0, x   2  a   0 m  1 0   1     
   m 1 m  m  0.    0    m  2 1  3 2 m   1    0 2 
Vậy có 2 giá trị m nguyên cần tìm là m  0 hoặc m  1. Chọn C.
Câu 45. [ĐỀ THAM KHẢO 2018-2019] Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y  x  6x 4m 9 x  4 nghịch biến trên khoảng  ;    1 là  3   3  A.  ;  0.
B. 0; . C.  ;   .   D.  ;  .    4   4  
Lời giải. Đạo hàm: 2
y   3x 12x  4m  9.
Cách 1. (So sánh nghiệm) Yêu cầu bài toán  y   0 với mọi x   ;    1 .
TH1: y   0 với mọi x               m  3 0 36 3 4 9 0 m . y 4
TH2: y   0 có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn 1  x  x 1 2 1 2 
 x 1  x 1  0
x  x  2   4  2 1   2   1 2         : vô lý. 
 x 1 x 1   0
x x  x  x 1 0
x x  x  x 1 0 1  2    1 2  1 2    1 2  1 2   3 Vậy m  
thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C. 4
Cách 2. (Phương pháp hàm số) Yêu cầu bài toán  y   0 với mọi x   ;    1 2 3x 12x  9 2
 3x 12x  4m 9  0, x   ;    1  m  , x   ;    1 . * 4
Xét hàm số g x  2
 3x 12x  9; gx  6x 12. Bảng biến thiên 15 min g x  ; 1  3
Dựa vào bảng biến thiên, ta có *    m    . 4 4
Nhận xét: 1) Phương pháp hàm số chỉ dùng được khi cô lập tham số m dễ dàng.
2) Phương pháp hàm số chỉ tham khảo thêm vì bài này chưa học tới.
Câu 46*. Cho hàm số 3
y  x m   2 x  2 1
2m  3m  2 x  2m 2m   1 . Tìm tất cả
các giá trị thực của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên 2;.  3 3 A. m  5. B. 2   m  . C. m  2. D. m  . 2 2
Lời giải. Đạo hàm: 2
y   x  m   x  2 3 2 1
2m  3m  2. 2
Xét phương trình y  0 có   m     2
m  m     2 1 3 2 3 2
7 m  m   1  0, m   . 
Suy ra phương trình y  0 luôn có hai nghiệm x  x với mọi . m 1 2
Hàm số đồng biến trên 2;  
phtrình y  0 có hai nghiệm x , x thỏa x  x  2 1 2 1 2 
 x 2  x 2  0
x  x  4 1   2    1 2     
 x 2 x 2   0
x x 2 x  x  4  0 1  2    1 2  1 2   2m   1   4  m   5  3     3         3 2 m . Chọn B.   2
 2m 3m  2 2m   1 2  m  2    2.  4  0  2  3 3
Nhận xét: 1) Nếu đề bài yêu cầu hàm số đồng biến trên 2; thì yêu cầu bài toán
vẫn là y   0 có hai nghiệm x  x  2. 1 2 2) Có thể giải như sau: m 1 7 2 m  m   1 m 1 7 2 m  m   1
y   0  x   x  . 1 2 3 3 m 1 7 2 m  m   1 3 Do đó ycbt   2  7 2 m  m  
1  5 m  2  m  . 3 2 1
Câu 47*. Cho hàm số 3
y   x m   2
1 x m  
3 x  4. Tìm tất cả các giá trị thực 3
của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0;  3 . 16 12 12 12 A. m  . B. m  . C. m  1. D. 1  m  . 7 7 7
Lời giải. Đạo hàm: 2 y  x   2m 
1 x  m  3. Có 2
  m m  4  0, m  . 
Suy ra phương trình y   0 luôn có hai nghiệm x  x với mọi . m 1 2
Hàm số đồng biến trên 0; 
3  phtrình y  0 có hai nghiệm x , x thỏa x  0  3  x 1 2 1 2  1  .y0 0 m  3  0  12       m  .  Chọn A. 1  .y  3   0  9   6m   1  m  3  0 7  
Cách 2. (Phương pháp hàm số) 2 x  2x 3 YCBT 2  y  x   2m  
1 x  m  3  0, x  0;  3  m  , x  0;  3 . * 2x 1 2 x  2x 3 12
Khảo sát hàm g x  
trên 0;3, ta được max g x   g   3  . 2x 1 0;3 7 Do đó   12 *  m  . 7
Câu 48*. Cho hàm số f x  3
 x  m   2 3
1 x  3mm  2 x. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số thực m để hàm số nghịch biến trên đoạn 0  ;1 ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. x  m
Lời giải. Đạo hàm: f x  2  3. x 2  m  
1 x  mm  2 ;     
 f x 0 .  x  m  2  Bảng biến thiên m   
Dựa vào BBT, ta có YCBT   m m   0 0;1 ; 2    1
  m  0. Chọn C. m   2 1 
Câu 49*. Cho hàm số 4
y  x  m   2 2
1 x  m  2 với m là tham số thực. Tìm tất cả
các giá trị m để hàm số đồng biến trên khoảng 1;  3 .
A. 1  m  2.
B. 1  m  2. C. m  1. D. m  2. x  0
Lời giải. Đạo hàm: 3
y   4x  4m   2
1 x  4x x   m  
1  ; y   0   .    2 x  m 1 
 Nếu m 1  0  m 1 
 y  0 có một nghiệm x  0 và y đổi dấu từ ' ' sang
'  ' khi qua điểm x  0 
 hàm số đồng biến trên khoảng 0; nên đồng biến trên khoảng 1; 
3 . Vậy m  1 thỏa mãn. 17 x  0   
Nếu m 1  0  m  1 
 y  0  x   m 1.   x  m 1  Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến tiên, ta có YCBT m 1 m 1 1 m 2        1  m  2 .
Hợp hai trường hợp ta được m  2. Chọn D.
Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 4 2
y  x  2mx nghịch biến trên  ;
 0 và đồng biến trên 0;   . A. m  0 . B. m  1 . C. m  0 . D. m  0 . x  0
Lời giải. Đạo hàm: 3
y   4x  4mx  4x  2
x  m; y  0   .  2 x  m 
TH1:  m  0 
 y  0 có một nghiệm x  0 và y đổi dấu từ ' ' sang '  ' khi
qua điểm x  0 
 hàm số nghịch biến trên  ;
 0 và đồng biến trên 0;   .
TH2:  m  0 
 y  0 có ba nghiệm phân biệt:  m; 0; m.
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng  m;0 và  m; 
 , nghịch biến trên các khoảng  ;
 m và 0; m. Do đó trường hợp này
không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.
Cách khác. Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì hàm số chỉ có một cực trị  .
a b  0  m  0 nhưng vấn đề cực trị ở bài này chưa học. mx  2m 3
Câu 51. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số y  với m là tham x  m
số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên
các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S. A. 3. B. 4. C. 5. D. Vô số. 2 m   2m 3
Lời giải. Đạo hàm: y   . x m2
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định  y   0, x  m 2 2 3 0 1 3 m m m m    
      
m  0;1;2. Chọn A.
Nhận xét: Sai lầm hay gặp là cho 0, 1 3 m y x m m 
         m   1  ;0;1;2;  3 . 18
Câu 52. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2017-2018] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m x 1 để hàm số y 
nghịch biến trên khoảng  ;  2. x  m A. m  1. B. m  1. C. m  2.
D. m  2. m  1
Lời giải. Đạo hàm: y   . x m2 Với m
 1  0  m 1 thì y  0, x  m 
 hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng  ;
 m và m;. YCBT   ;  2 ;
 m  m  2 : (thỏa mãn). Chọn D.
y  0,x  2  m  1 0  m  1 0    Cách 2. YCBT          x  m m     m 2. ;2 m   2    2 m x  5
Câu 53. Gọi S là tập hợp các số nguyên m để hàm số y  nghịch biến trên 2mx 1 khoảng 3; 
 . Tổng các phần tử của S bằng A. 35. B. 40. C. 45. D. 55.  1     2 m 10m
Lời giải. TXĐ: D   \ .    Đạo hàm: y . 2m   2mx  2 1
Hàm số nghịch biến trên khoảng 3;  y  0, x  3;   2 2 2 m  10m  0 m  10m  0 m  10m  0          , x  3 1  1   x      1 3;   3  2m 2m 2m 0 10 m m     
m  1;2;3...;9. Chọn C. 2 x  mx 1
Câu 54. Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để hàm số y  nghịch 1 x
biến trên các khoảng xác định. A. m  0. B. m  0. C. m  0. D. m  .  2
x  2x m 1
Lời giải. TXĐ: D   
;1 1;. Đạo hàm: y   1 x  . 2 Yêu cầu bài toán 2 2  x
  2x m 1  0, x  D  x 2x 1 m  0, x  D a   0 1   0        m  0.  Chọn B.   0 4m  0   19 tan x  2
Câu 55*. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số y  đồng tan x  m 1  
biến trên khoảng 0;    là  4
A. 1;. B. 3;   . C. 2;  3 . D.   ;1 2;  3 .  
Lời giải. Đặt t  tan x, với x  0;   t  0  ;1 .    4  t  2 3  m
Hàm số trở thành y t  
 yt  . t  m 1
t m  2 1 1     Ta có t    0, x  0
 ; , suy ra t  tan x đồng biến trên 0; . 2     cos x  4   4
Do đó YCBT  y t đồng biến trên khoảng 0 
;1  y t  0, t    0;1 3  m  0 3  m  0 3  m  0        t     t    m 1 , 0;1 , 0;1     Chọn D. t  m 1  0 m  1  t m        . 1 0;1 2  m  3    sin x  m
Câu 56*. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  nghịch sin x 1  
biến trên khoảng  ;.    2  A. m  1. B. m  1. C. m  1. D. m  1.  
Lời giải. Đặt t  sin x, với x   ;  t  0  ;1 .    2  t  m 1  m
Hàm số trở thành y t  
 yt  . t 1 t  2 1    
Ta có t   cos x  0, x   ;,   
 suy ra t  sin x nghịch biến trên  ;.    2   2 
Do đó YCBT  y t đồng biến trên khoảng 0 
;1  y t  0, t    0;1  1  m  0    , t   
0;1  1 m  0  m  1. Chọn C. t  1  0 
Nhận xét. Khi ta đặt ẩn t, nếu t là hàm đồng biến trên khoảng đang xét thì giữ
nguyên câu hỏi trong đề bài. Còn nếu t là hàm nghịch biến thì ta làm ngược lại câu hỏi trong đề bài.  x 
Câu 57*. Cho hàm số f x  1 1 
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 1 x  m thuộc  5
 ;5 để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  3  ;0? A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.
Lời giải. Đặt t  1 x , với x   3  ;0  t 1;2. 20 t 1 m 1
Hàm số trở thành f t  
 f t  . t  m t  m2 1  Ta có t    0, x   3
 ;0. Suy ra t  1 x nghịch biến trên  3  ;0. 2 1 x
Do đó YCBT  f t nghịch biến trên 1; 
2  f t  0, t  1;  2 m  1 0 m  1 0 m  1 0      , t   1;  2   , t  1;  2   t   m  0  m   t  m     1;2   m  1 0   1   m 1    m   2 m     
m  5;4;...;0 Chọn C. m  .  5  5    m 2    m  1 
Dạng 7. ĐỒ THỊ HÀM f x 
Câu 58*. Cho hàm số f x  có đạo hàm f x  xác định,
liên tục trên  và f x có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên 1;   .
B. Hàm số đồng biến trên  ;    1 và 3;   .
C. Hàm số nghịch biến trên   ;1 .
D. Hàm số đồng biến trên 1;3.
Lời giải. Dựa vào đồ thị của hàm số f x , ta có nhận xét:
 f x đổi dấu từ '  ' sang '''' khi qua điểm x  1.
 f x đổi dấu từ ' ' sang '' '' khi qua điểm x  3.
Do đó ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đáp án B đúng. Chọn B. 21
Câu 59*. Cho hàm số bậc bốn f x , có đạo hàm là
f x . Đồ thị hàm số f x như hình bên. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số f x  đồng biến trên 2  ;1 .
B. Hàm số f x  nghịch biến trên  1   ;1 .
C. Hàm số f x  đồng biến trên 1; .
D. Hàm số f x  nghịch biến trên  ;  2.
Lời giải. Từ đồ thị của hàm số f x , ta có bảng biến thiên
Từ BBT suy ra f x  đồng biến trên   2;1  
 f x đồng biến trên 1  ;1 .
Do đó đáp án B sai. Chọn B.
Câu 60*. Cho hàm số f x  có f x  2
 x x  2. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 2;.
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng  ;  2 và 0;   .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  ;  2 và 0;   .
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 2;0.
x  0 nghiem kep
Lời giải. Chọn A. Ta có f x   0   .  x  2   Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
 Hàm số f x đồng biến trên khoảng 2;.
 Hàm số f x nghịch biến trên khoảng  ;  2. 22
CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ 1. Định nghĩa
Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D D   và x  . 0 D
a) x được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng 0
a;b chứa điểm x sao cho a;b D và 0
f x   f x
với mọi x  a;b\x . 0  0  Khi đó f x
được gọi là giá trị cực đại của hàm số f . 0 
b) x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng 0
a;b chứa điểm x sao cho a;b D và 0
f x   f x
với mọi x  a;b\x . 0  0  Khi đó f x
được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f . 0 
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị. CHÚ Ý
 Giá trị cực đại (cực tiểu) f x của hàm số f nói chung không phải là giá 0 
trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp D ; f x chỉ là giá trị lớn 0 
nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng a;b nào đó chứa điểm chứa x . 0 23
 Nếu x là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số 0
f đạt cực trị tại điểm x và điểm có tọa độ x ; f x
được gọi là điểm cực 0  0  0
trị của đồ thị hàm số f .
 Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y  f x có đạo hàm trên
khoảng a;b và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x thì f x  0. 0  0
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị ĐỊNH LÍ 1
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x . Khi đó, nếu f có đạo hàm 0
tại x thì f x  0. 0  0
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị ĐỊNH LÍ 2
Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng a;b chứa điểm x và có 0
đạo hàm trên các khoảng a; x
và x ;b . Khi đó 0  0 
a) Nếu f x   0 với mọi x  a; x
và f x   0 với mọi x  x ;b 0  0 
thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x . 0
b) Nếu f x   0 với mọi x  a; x
và f x   0 với mọi x  x ;b 0  0 
thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x . 0 ĐỊNH LÍ 3
Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng a;b chứa điểm
x , f x
 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x . 0  0 0
a) Nếu f  x  0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x . 0  0
b) Nếu f  x  0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x . 0  0
4. Quy tắc tìm cực trị QUY TẮC 1
1. Tìm tập xác định. Tính f x .
2. Tìm các điểm tại đó f x  bằng 0 hoặc f x không xác định.
3. Lập bảng biến thiên
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị 24 1 4
Ví dụ: Áp dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số f x  3 2
 x  x 3x  . 3 3
Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên . 
Ta có f x  2
 x 2x 3;
f x   0  x  1  hoặc x  3. Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x  1
 , giá trị cực đại của hàm số là f   1  3;
hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  3, giá trị cực tiểu của hàm số là f   23 3   . 3 QUY TẮC 2
1. Tìm tập xác định. Tính f x .
2. Tìm các nghiệm x i  1,2,3 
... của phương trình f x   0. i
3. Tìm f  x  và tính f  x . i
Nếu f  x   0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x . i i
Nếu f  x  0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x . i i 1 4
Ví dụ: Áp dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số f x  3 2
 x  x 3x  . 3 3
Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên . 
Ta có f x  2
 x 2x 3;
f x   0  x  1  hoặc x  3;
f  x  2x  2. Vì f   
1  4  0 nên hàm số đạt cực đại tại điểm x  1, f   1  3. Vì f   
3  4  0 nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  3, f   23 3   . 3 25
Dạng 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1. Cho hàm số f x  xác định, liên tục và có đạo hàm trên khoảng a;b. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu f x  đồng biến trên a;b thì hàm số không có cực trị trên a;b.
B. Nếu f x  nghịch biến trên a;b thì hàm số không có cực trị trên a;b.
C. Nếu f x  đạt cực trị tại điểm x  a;b thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 0  
điểm M x ; f x
song song hoặc trùng với trục hoành. 0  0 
D. Nếu f x  đạt cực đại tại x  a;b thì f x  đồng biến trên a; x và nghịch 0  0  
biến trên x ;b . 0 
Lời giải. Các mệnh đề A, B, C đều đúng theo định nghĩa trong SGK.
Xét mệnh đề D. Vì mệnh đề này chưa chỉ rõ ngoài x  a;b là cực đại của f x  thì 0  
còn có cực trị nào khác nữa hay không. Nếu có thêm điểm cực đại (hoặc cực tiểu khác)
thì tính đơn điệu của hàm sẽ bị thay đổi theo.
Ví dụ: Xét hàm số f x  4 2
 x 2x . Ta có f x đạt cực đại tại x  0  2;  2 , nhưng 0  
f x  không đồng biến trên  2;
 0 và cũng không nghịch biến trên 0;2. Chọn D.
Câu 2. Cho khoảng a;b chứa điểm x , hàm số f x  có đạo hàm trên khoảng a;b 0
(có thể trừ điểm x ). Mệnh đề nào sau đây đúng? 0
A. Nếu f x  không có đạo hàm tại x thì f x  không đạt cực trị tại x . 0 0
B. Nếu f x
 0 thì f x đạt cực trị tại điểm x . 0  0
C. Nếu f x
 0 và f  x  0 thì f x không đạt cực trị tại điểm x . 0  0  0
D. Nếu f x
 0 và f  x  0 thì f x đạt cực trị tại điểm x . 0  0  0
Lời giải. Chọn D (theo định lí SGK). Các mệnh đề còn lại sai vì:
A sai, ví dụ hàm y  x không có đạo hàm tại x  0 nhưng đạt cực tiểu tại x  0.
B thiếu điều kiện f x  đổi dấu khi qua x . 0
 f 0 0  C sai, ví dụ hàm 4
y  x có 
nhưng x  0 là điểm cực tiểu của hàm số. f   0 0 
Câu 3. Cho hàm số y  f x  có đạo hàm cấp 2 trên khoảng K và x  K. Mệnh đề 0 nào sau đây đúng?
A. Nếu x là điểm cực đại của hàm số y  f x  thì f  x  0. 0  0
B. Nếu f  x
 0 thì x là điểm cực trị của hàm số y  f x. 0  0
C. Nếu x là điểm cực trị của hàm số y  f x  thì f x  0. 0  0
D. Nếu x là điểm cực trị của hàm số y  f x  thì f  x  0. 0  0
Lời giải. Chọn C. Các mệnh đề còn lại sai vì: 26
A sai, vì theo định lí SGK không có chiều ngược lại. Có thể lấy ví dụ cho hàm 4 y  x .
B sai, lấy phản ví dụ. Cụ thể hàm 3 y  x .
 f 0 0  D sai, ví dụ hàm 4
y  x có 
nhưng x  0 là điểm cực tiểu của hàm số. f  0   0 
Câu 4. Cho hàm số f x  có đạo hàm cấp hai trên .
 Trong các mệnh đề sau đây, có bao nhiêu mệnh đề sai?
i) Nếu f x  0 và f  x  0 thì x là điểm cực tiểu của hàm số. 0  0  0
ii) Nếu f x
 0 và f  x  0 thì x là điểm cực đại của hàm số. 0  0  0
iii) Nếu f x
 0 và f  x  0 thì x không là điểm cực trị của hàm số. 0  0  0
iv) Nếu f x
 0 và f  x  0 thì chưa kết luận được x có là điểm cực trị của 0  0  0 hàm số. A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. Các khẳng định i), ii) và iv) là đúng; khẳng định iii) là sai. Chọn B.
Câu 5. (ĐHSP Hà Nội lần 4, năm 2018-2019) Cho hàm số f x  có đạo hàm cấp hai trên .
 Trong các mệnh đề sau có bao nhiêu mệnh đề đúng?
 f x  0 0  
i) Nếu hàm số f x  đạt cực tiểu tại x  x thì  . 0
 f  x   0 0  
 f x  0 0  
ii) Nếu hàm số f x đạt cực đại tại x  x thì  . 0  f   x  0 0  
iii) Nếu f  x  0 thì hàm số f x  không đạt cực trị tại x  x . 0  0 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. Xét hàm số f x  4
 x . TXĐ: D  .
 Đạo hàm: f x 3
 4x và f  x 2  12x .
 f x 0 khi x  0 
Ta có f x   0  x  0 và    nên hàm số   4 f x x đạt cực tiểu
f x  0 khi x  0 
tại x  0 nhưng f  0  0. Do đó i) và iii) đều sai. Tương tự, xét hàm số   4
f x  x   ii) sai. Chọn A.
Dạng 2. ĐỒ THỊ HÀM f x 
Câu 6. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2017-2018] Cho hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d  ,
a b, c, d   có đồ thị như hình vẽ
bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 27
Lời giải. Chọn C.
Câu 7. [ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016-2017] Cho hàm số
f x  xác định, liên tục trên đoạn  2;  2 và có đồ thị
là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f x  đạt
cực đại tại điểm nào dưới đây? A. x  2. B. x  1.  C. x  1. D. x  2.
Lời giải. Chọn B.
Câu 8. Cho hàm số bậc ba f x  có đồ thị như hình vẽ.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 1. 
B. Điểm cực tiểu của hàm số là 1. 
C. Điểm cực đại của hàm số là 3.
D. Giá trị cực đại của hàm số bằng 0.
Lời giải. Chọn A.
Câu 9. [ĐHSP Hà Nội lần 3, năm 2018-2019] Cho hàm số
f x  liên tục trên 
và có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x  1, y  0. CT
B. Hàm số không có điểm cực tiểu.
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x  1, y  4. CT
D. Hàm số đạt cực đại tại x  0, y  0. CÑ
Lời giải. Chọn A.
Câu 10. Cho hàm số f x liên tục trên  1  ;3 và có đồ thị
hàm số như hình bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x  0, cực đại tại x  2.
B. Hàm số có hai điểm cực tiểu là x  0, x  3.
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x  0, cực đại tại x  1. 
D. Hàm số có hai điểm cực đại là x  1  , x  2.
Lời giải. Chọn A. 28
Câu 11. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017] Cho hàm trùng phương 4 2
y  ax  bx  c có đồ thị như hình bên. Phương
trình y   0 có bao nhiêu nghiệm trên tập số thực? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số có ba điểm cực trị   phương
trình y   0 có đúng ba nghiệm thực phân biệt. Chọn D.
Câu 12. Cho hàm số f x  liên tục trên  và có đồ thị
như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. Dễ nhận thấy hàm số có một điểm cực trị là điểm cực tiểu tại x  1.  1 1  1   1
Xét hàm số f x trên khoảng   ; ,        
 ta có f x f 0 với mọi x ;0   0; .       2 2 2  2
Suy ra x  0 là điểm cực đại của hàm số. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị. Chọn C.
Chú ý: Tại x  0 hàm số không có đạo hàm nhưng vẫn đạt cực đại tại đó.
Câu 13. [Đại học Vinh lần 3, năm 2018-2019]
Cho hàm số f x  có đồ thị như hình vẽ. Trên đoạn  1
 ;3 hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Hàm số có điểm cực đại x  0, điểm cực tiểu x  2. Chọn B.
Câu 14. Cho hàm số f x  liên tục trên  và có đồ
thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải. Chọn D. 29
Câu 15. Cho hàm số f x  liên tục trên  và có đồ thị
như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu giá trị cực trị? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải. Hàm số có 3 giá trị cực trị là: 2, 1, 0. Chọn B.
Câu 16. Cho hàm số bậc ba y  f x  có đồ thị như hình
vẽ. Hỏi hàm số y  f x  có bao nhiêu giá trị cực trị? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải. ĐTHS y  f x  suy ra từ ĐTHS y  f x  bằng cách:
 Giữ nguyên đồ thị hàm số y  f x phần phía trên trục hoành;
 Đồ thị hàm số y  f x phần phía dưới trục hoành ta lấy đối
xứng qua trục hoành.
Dựa vào đồ thị hàm số y  f x  , ta thấy có 3 giá trị cực trị. Chọn B.
Chú ý: Nếu đề bài hỏi điểm cực trị thì ta kết luận có 5 điểm cực trị.
Câu 17. Cho hàm số f x  xác định, liên tục trên đoạn  6
 ;6 và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ
bên. Hỏi trên đoạn  6;
 6 hàm số y  f  x  có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.
Lời giải. ĐTHS y  f  x  được suy ra từ ĐTHS
y  f x  bằng cách:
 Giữ nguyên đồ thị hàm số y  f x phần bên phải
trục tung (xóa bỏ phần đồ thị phía bên trái trục tung);
 Lấy đối xứng phần vừa giữ trên qua trục tung.
Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x , ta thấy có 4 điểm cực trị. Chọn A. 30
Dạng 3. BẢNG BIẾN THIÊN
Câu 18. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2018-2019] Cho hàm số f x  có bảng biến thiên sau:
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm A. x  3.  B. x  1.  C. x  1. D. x  2.
Lời giải. Chọn B.
Câu 19. [ĐỀ THAM KHẢO 2017-2018] Cho hàm số f x  có bảng biến thiên sau:
Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm A. x  0. B. x  1. C. x  2.
D. x  5.
Lời giải. Chọn C.
Câu 20. [ĐỀ THAM KHẢO 2018-2019] Cho hàm số f x  có bảng biến thiên sau:
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A. 0. B. 1. C. 2. D. 5.
Lời giải. Chọn D.
Câu 21. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số f x  có bảng biến thiên sau: 31
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số có hai điểm cực tiểu.
B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0.
C. Hàm số có ba điểm cực trị.
D. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3.
Lời giải. Chọn B.
Câu 22. Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số có ba giá trị cực trị.
B. Hàm số có ba điểm cực trị.
C. Hàm số có hai điểm cực trị.
D. Hàm số đạt cực đại tại điểm x  1.
Lời giải. Chọn B. Dựa vào đồ thị hàm số, ta có các nhận xét sau:
 Hàm số có ba điểm cực trị, gồm các điểm x  1
 , x  1, x  0 vì đạo hàm y đổi
dấu đi qua các điểm đó.
 Hàm số đạt cực đại tại x  0, đạt cực tiểu tại x  1.
(đáp án A sai vì hàm số chỉ có hai giá trị cực trị là y  3
 và y  4. Nếu nói đến CD CT
đồ thị hàm số thì khi đó mới có ba điểm cực trị là A0;  3 , B  1
 ;4, C 1;4. )
Câu 23. [Đại học Vinh lần 2, năm 2018-2019] Cho hàm số f x  có tập xác định  ;
 2 và bảng biến thiên như hình sau:
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số có hai điểm cực tiểu.
B. Hàm số có hai điểm cực đại. 32
C. Giá trị cực tiểu bằng 1.
D. Giá trị cực đại bằng 2.
Lời giải. Chọn A.
Câu 24. Cho hàm số f x  liên tục trên  và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Hỏi hàm số f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. Nhận thấy f x đổi dấu khi qua x  3 và x  2 nên hàm số có 2 điểm
cực trị. ( x  1 không là điểm cực trị vì f x  không đổi dấu khi qua x  1 ). Chọn C.
Câu 25. [Đại học Vinh lần 1, năm 2018-2019] Cho hàm số f x  liên tục trên đoạn  3
 ;3 và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Đạt cực tiểu tại x  0.
B. Đạt cực tiểu tại x  1.
C. Đạt cực đại tại x  1.
D. Đạt cực đại tại x  2.
Lời giải.  f x đổi dấu từ '  ' sang '''' khi qua x  1 và x  2 nên đạt cực đại tại hai điểm này.
 f x đổi dấu từ ' ' sang '' '' khi qua x  1 nên đạt cực tiểu tại điểm này.
 f x không đổi dấu khi qua x  0 nên không đạt cực trị tại điểm này. Chọn A.
Câu 26. Cho hàm số y  f x  liên tục trên  \x
và có bảng biến thiên sau: 2 
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số có hai điểm cực đại, một điểm cực tiểu.
B. Hàm số có một điểm cực đại, không có điểm cực tiểu.
C. Hàm số có một điểm cực đại, hai điểm cực tiểu.
D. Hàm số có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu. 33
Lời giải.  Tại x  x , hàm số y  f x  không xác định nên không đạt cực trị tại 2 điểm này.
 Tại x  x , hàm số đạt cực đại tại điểm này. 1
 Tại x  x , hàm số không có đạo hàm tại x nhưng liên tục tại x nên hàm số đạt 0 0 0
cực trị tại x và theo bảng biến thiên thì x là cực tiểu. 0 0
Vậy hàm số có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu. Chọn D.
Câu 27. Cho hàm số y  f x  xác định và liên tục trên  \x , có bảng biến thiên 1  như sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đã cho có một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.
B. Hàm số đã cho không có cực trị.
C. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
D. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.
Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy
 f x đổi dấu từ "" sang "" khi đi qua điểm x nhưng tại x hàm số f x 1 1
không xác định nên x không phải là điểm cực đại. 1
 f x đổi dấu từ "" sang "" khi đi qua điểm x suy ra x là điểm cực tiểu của 2 2 hàm số. Chọn A.
Câu 28. Cho hàm số y  f x  có bảng biến thiên như sau:
Hàm số y  f x  có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. 34
Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số
y  f x  cắt trục hoành tại một điểm duy nhất và đồ thị hàm
số y  f x  có hai điểm cực trị (hình vẽ).
Suy ra đồ thị hàm số y  f x  có 3 điểm cực trị. Chọn B.
Câu 29*. [KHTN lần 2, năm 2018-2019] Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như hình dưới đây
Biết f 0 0. Hỏi hàm số y  f  x  có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5. B. 7. C. 9. D. 11.
Lời giải. Từ bảng biến thiên của hàm số f x , ta có thể vẽ
phát họa đồ thị hàm số f x  như hình bên, mục đích để làm trắc nghiệm cho nhanh.
Từ đồ thị hàm số f x , suy ra đồ thị hàm số f  x  trước và
tiếp tục suy ra đồ thị hàm số f  x  . Chọn C.
Chú ý: Nếu đề cho f 0  0 thì ta chọn đáp án D.
Câu 30*. [Đại học Vinh lần 1, năm 2018-2019] Cho hàm số y  f x  có bảng biến thiên như hình vẽ
Hàm số g x   f 2x  đạt cực đại tại 1
A. x  2.
B. x  1.
C. x  .
D. x  1. 2 35 2x  1 x  0  ,5  
Lời giải. Ta có g x   2 f 2x ; g x   0  f 2x  BBT  0 
 2x  0  x  0 .   2x 2   x  1   Bảng biến thiên 1
Dựa vào BTT, ta thấy hàm số g x  đạt cực đại tại x   và tại x  1. Chọn D. 2
Nhận xét: 1) Đây là bài toán thuộc dạng VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO. Khi gặp
những bài hàm hợp như thế này thì ta đi tính đạo hàm và lập BBT cho hàm hợp. Sau
đó dựa vào BBT để kết luận.
2) Cách xét dấu g x  như sau:
 Trước tiên tìm nghiệm của gx  0 và xác định rõ từng nghiệm là nghiệm bội lẻ
(qua nghiệm đổi dấu) hay nghiệm bội chẵn (qua nghiệm không đổi dấu).
 Sau đó ta áp dụng xét dấu nhanh. Cụ thể trong bài toán trên ta xét trên khoảng 1; 
 , chọn x  2 1;. Ta cần tính g2 mang dấu ' ' hay ' ' . Ta có
g 2  2 f 4, mà f 4  0 (vì BBT cho trong đề bài chứng tỏ f x  nghịch biến
trên 2; ). Do đó g 2  0.
Câu 31. Cho hàm số y  f x  xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên sau:
Hàm số g x   3 f x 1 đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây? A. x  1. B. x  1. C. x  1. D. x  0.
Lời giải. Ta có g x   3 f x . 36
Do đó điểm cực tiểu của hàm số g x  trùng với điểm cực tiểu của hàm số f x.
Vậy điểm cực tiểu của hàm số g x  là x  1.  Chọn C.
Câu 32. Cho hàm số y  f x  có bảng biến thiên như sau:
Hàm số g x   f 3 x  có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 3. C. 5. D. 6.
Lời giải. Ta có g x    f 3 x . 3 x  0 x  3
 gx  0  f 3 x theo BBT  0     .  3  x  2 x 1  
 gx không xác định  3 x  1  x  2. Bảng biến thiên
Vậy hàm số g x   f 3 x  có 3 điểm cực trị. Chọn B.
Dạng 4. TÌM ĐIỂM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU CỦA HÀM SỐ
Câu 33. Tìm các điểm cực trị x của hàm số 3 2
y  x  5x  3x 1. 0 1 10
A. x  3 và x   .
B. x  0 và x  . 0 0 3 0 0 3 10 1
C. x  0 và x   .
D. x  3 và x  . 0 0 3 0 0 3 x  3  Lời giải. Ta có 2 2
y   3x 10x  3; y  0  3x 10x  3  0   1 . Chọn D. x   3 37
Câu 34. Tìm các điểm cực trị của đồ thị của hàm số 3 2
y  x 3x .
A. 0;0 và 1;2.
B. 0;0 và 2;4.
C. 0;0 và 2; 4  . D. 0;0 và  2  ; 4  .
x  0  y0 0 Lời giải. Ta có 2
y   3x  6x  3x x  2; y  0   .  Chọn C.
x  2  y 2    4 
Câu 35. Tìm điểm cực đại x của hàm số 3
y  x  3x 1. 0 A. x  1. B. x  0. C. x  1. D. x  3. 0 0 0 0 Lời giải. Ta có 2
y   x    2 3 3 3 x  
1 ; y   0  x  1.  Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực đại tại x  1  . Chọn A.
Câu 36. [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017] Giá trị cực đại của hàm số 3
y  x 3x  2 bằng A. 1. B. 0. C. 1. D. 4. Lời giải. Ta có 2
y   3x 3  0; y   0  x  1  . Bảng biến thiên
Vậy giá trị cực đại của hàm số bằng 4. Chọn D.
Câu 37. Cho hàm số f x   x  2 2
3 . Giá trị cực đại của hàm số f x  bằng 1 A. 8. B. . C. 8. D. 9. 2
Lời giải. Ta có f x  4 2
 x  x    f x 3 6 9
 4x 12x  g x.
Bài toán yêu cầu tìm giá trị cực đại của hàm g x  3  4x 12x.
Đạo hàm g x  2
 12x 12; gx  0  x  1. 
Vẽ BBT, ta thấy g x đạt cực đại tại x  1, giá trị cực đại bằng 8. Chọn C. 38
Nhận xét. Rất nhiều học sinh đọc đề không kỹ đi tìm giá trị cực đại của hàm số f x 
và dẫn tới chọn đáp án D.
Câu 38. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Đồ thị hàm số 3 2
y  x 3x  9x 1 có hai cực
trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB ?
A. M 0;  1 .
B. N 1;10.
C. P 1;0. D. Q  1  ;10. x  1   y  1  6 Lời giải. Ta có 2
y   3x  6x  9; y  0   . 
x  3  y   3    26 
Suy ra đồ thị hàm số đã hai điểm cực trị là A1;6 và B 3;26.
Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là đường thẳng AB có phương
trình d : y  8x  2. Suy ra N 1;10  d. Chọn B.
Cách 2. Lấy y chia cho y ,
 ta được phần dư là y  8
 x 2. Đây chính là phương
trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Câu 39. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Tìm giá trị thực của tham số m để đường
thẳng d : y  2m  
1 x  3  m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2
y  x 3x 1. 1 3 1 3 A. m   . B. m  . C. m  . D. m  . 2 2 4 4
x  0  y01
Lời giải. Xét hàm 3 2
y  x 3x 1, có 2
y   3x  6x   y  0   .  x  2  y  2  3  Suy ra A0  ;1 , B 2; 
3 là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.  
Suy ra đường thẳng AB có một VTCP là AB  2;4   VTPT n  2  ;1 . AB 
Đường thẳng d : y  2m  
1 x  3  m có một VTPT là n  2m 1;  1 . d   YCBT  n n   m     m  Chọn D. AB d   3 . 0 2. 2 1 1 0 . 4 Câu 40. Cho hàm số 4 2
y  x  2x  3. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.
B. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.
C. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.
D. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại. x  0  Lời giải. Ta có 3
y   4x  4x  4x  2 x  
1 ; y   0  x  1 .  x  1   Bảng biến thiên 39
Từ BBT, ta thấy đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại. Chọn D. a   1 
Cách 2. (Cách trắc nghiệm) Ta có   ab  0 
 đồ thị hàm số có ba điểm b   2 
cực trị. Vì a  1  0 nên đồ thị có dạng chữ M. Từ đó suy ra đồ thị hàm số có 1 điểm
cực tiểu và 2 điểm cực đại.
Câu 41. Tính diện tích S của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số 4 2
y  x  2x  3. 1 A. S  . B. S  1. C. S  2 . D. S  4. 2
x  0  y0 3 Lời giải. Ta có 3
y   4x  4x   y  0   .  x  1   y  1   2 
Suy ra đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là A0; 
3 , B 1;2, C 1;2. H 0;2  1
Gọi H là trung điểm BC   .    Khi đó S BC.AH 1. Chọn B. AH  BC  2 Câu 42. Hàm số 5 3
y  x  2x 1 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Ta có 4 2
y   5x  6x  0; 2 y    x  2 0
5x  6  0. Phương trình y  0
không có nghiệm bội lẻ nên hàm số đã cho không có điểm cực trị. Chọn A. Câu 43. Hàm số 3 2 y 
x có tất cả bao nhiêu điểm cực trị? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 2
Lời giải. Hàm số xác định trên  và có đạo hàm y   , x  0. 3 3 x
 y  0, x   0 Ta có    y 
đổi dấu khi qua x  0 .
y  0, x  0 
Vậy x  0 là điểm cực tiểu của hàm số. Chọn B. 3
Câu 44. Hàm số y  x 3x 1 có tất cả bao nhiêu điểm cực trị? 40 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. TXĐ: D  .  3 2
x 3x 1, x  0 3
 x 3, x  0   Ta có y     y  
. Suy ra y   0  x  1. 3 2
 x 3x 1, x 0        3
 x 3, x  0 
Ta thấy y chỉ đổi dấu khi qua x  1. Vậy hàm số có một điểm cực trị. Chọn B.
Câu 45. (KHTN lần 3, năm 2018-2109) Hàm số 4 2
y  x  4x 1 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. x  0
Lời giải. Xét hàm f x  4 2
 x  4x 1. Ta có f x 3
 4x 8x; f x  0   .  x   2  Bảng biến thiên
Suy ra bảng biến thiên của hàm số y  f x  4 2
 x  4x 1 như sau:
Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị. Chọn D.
Câu 46. Giá trị cực đại của hàm số y  x  2 cos x trên khoảng 0; bằng 5 5   A.  3. B.  3. C.  3. D.  3. 6 6 6 6
Lời giải. Đạo hàm: y   1 2 sin x và y   2 cos x.   x  1  6
Xét trên khoảng 0; , ta có y  0  sin x    . 2  5 x   6 41  3 5      3  Do đó y       2  .  0         và y 2     0.  6  2  6   2    
Vậy hàm số đạt cực đại tại x 
, giá trị cực đại bằng y       3.   Chọn C. 6  6  6
Câu 47. Biết rằng trên khoảng 0;2 hàm số y  a sin x  b cos x  x đạt cực trị tại  x  và x  .
 Tổng a  b bằng 3 3 A. 3. B. 1. C. 3 1. D. 3 1. 3
Lời giải. Đạo hàm: y   a cos x b sin x 1.    y     0   
Hàm số đạt cực trị tại x 
và x   nên  3   3
y0  1 3  a        1 a b 1 0      
a  b  3 1. 2 2  Chọn C.  b   3  a 1 0      2 3
Câu 48. Hàm số y   2
x  4 12x có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1. B. 3. C. 4. D. 6. 2 3 2
Lời giải. Đạo hàm: y   x  2
x    x  2 2.2 4 1 2
x  4 .3.212x  x 2 x   x x   x            x2 2 2    2 x   2 1 2 4 . 4 1 2 6 4 2 1 2
4 7x  2x 12. 
Phương trình y  0 có 4 nghiệm đơn nên hàm số có 4 điểm cực trị. Chọn C.
Cách 2. (Phương pháp trắc nghiệm) Vẽ phác họa đồ thị hàm số bằng cách:
 Cho y  0 tìm được nghiệm kép x  2, nghiệm kép
x  2, nghiệm bội ba x  0,5.
 Hệ số của bậc cao nhất khi nhân ra âm.
Từ đó ta phỏng đoán được đồ thị như hình bên.
Cách 3. (Công thức giải nhanh) Áp dụng công thức: số điểm cực trị bằng m  2n 1.
Trong đó m là số nghiệm bội lẻ, n là số nghiệm bội chẵn. ( m  1, n  2 ).
Dạng 5. BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ
Câu 49. Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số 3 2
y  x  3mx  6mx  m có hai
điểm cực trị là A. 0;2. B.  ;
 02;. C. 0;8. D.  ;  08;. 42
Lời giải. Ta có y    2
3 x  2mx  2m. Để hàm số có hai điểm cực trị  y  0 có hai m  0 nghiệm phân biệt 2
   m 2m  0   .  Chọn B. m  2  3 3
Câu 50. Biết rằng hàm số        3 y x a x b
 x có hai điểm cực trị. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ab  0. B. ab  0. C. ab  0. D. ab  0. 2 2
Lời giải. Ta có y   x  a  x  b 2 2
 x  x  a b 2 2 3 3 3 2
x  a  b . Hàm số có hai 2
điểm cực trị  y  0 có hai nghiệm phân biệt    a  b  2 2
a  b  0  ab  0. Chọn A. 1 1 Câu 51. Cho hàm số 3 y 
x  3m  2 2 x  2
2m  3m  
1 x  4. Tìm giá trị thực của 3 2
tham số m để hàm số có hai điểm cực trị là x  3 và x  5. A. m  0. B. m  1. C. m  2. D. m  3. Lời giải. Ta có 2
y   x  m  x  2 3 2
2m  3m   1 .
Yêu cầu bài toán  phương trình y  0 nhận x  3 và x  5 làm nghiệm 9  3  3m 2 2
2m  3m   2 1  0 2
 m 6m  4  0      
 m  2. Chọn C. 2
 553m 2 2
2m  3m   2 1  0 2
 m 12m 16  0   m
Câu 52. Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số 3 2 y 
x  x  x  2020 có cực 3 trị là A.  ;   1 . B.  ;  00;  1 . C.  ;  00;  1 . D.   ;1 .
Lời giải.  Nếu m  0 thì 2
y  x  x  2017 : Hàm bậc hai luôn có cực trị.
 Khi m  0, ta có 2
y   mx  2x 1. Để hàm số có cực trị  y   0 có hai nghiệm m   0  phân biệt    0  m 1.    1m  0 
Hợp hai trường hợp ta được m  1. Chọn D.
Nhận xét. Sai lầm thường gặp là không xét trường hợp m  0 dẫn đến chọn đáp án B.
Câu 53. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  m   3 2
3 x  2mx  3 không có cực trị. A. m  3.
B. m  0, m  3. C. m  0. D. m  3.
Lời giải.  Nếu m  3 thì 2
y  6x  3. Đây là một Parabol nên luôn có một cực trị.
Do đó m  3 không thỏa mãn. 43
 Nếu m  3, ta có y  m   2 3
3 x  4mx. Để hàm số có không có cực trị  y  0 có
nghiệm kép hoặc vô nghiệm 2
   4m  0  m  0. Chọn C. Câu 54. Cho hàm số 3 2
y  2x  bx  cx 1. Biết M 1;6 là điểm cực tiểu của đồ thị
hàm số. Điểm cực đại N của đồ thị hàm số là A. N 2;2  1 . B. N  2;  2  1 . C. N   2;11 .
D. N 2;6.
Lời giải. Đạo hàm: 2
y   6x  2bx  c và y   12x  2 . b y  1  0  2
 b  c  6     b   3  
Điểm M 1;6 là điểm cực tiểu  y   1  6  b
  c  9   .   c   1  2    y   2  b 12  0 1 0  
Khi đó y  f x  3 2
 2x  3x 12x 1. x  1
 f 2 21 
Ta có f x  2
 6x  6x 12; f x  0     .  x  2  f    2 0  Suy ra N 2; 
21 là điểm cực đại của đồ thị hàm số. Chọn B.
Câu 55. Cho hàm số f x  3 2
 ax bx  cx  d. Biết M 0;2, N 2;2 là các điểm cực
trị của đồ thị hàm số. Tính f  2  . A. f  2
   18. B. f  2    2. C. f  2    6. D. f  2    22.
Lời giải. Đạo hàm: f x  2
 3ax  2bx  c.
Vì M 0;2, N 2; 2
  là các điểm cực trị của đồ thị hàm số nên
 f 0 0 c   0      ;    1  f 2  0 1
 2a  4b  c  0    f 0 2 d   2      .  2 f  2  2  8
 a  4b  2c  d  2   a  1 b 3  Giải hệ  
1 và 2 , ta được   f x 3 2
 x 3x  2 
 f 2  18. Chọn A. c   0 d 2 
Câu 56. Biết rằng hàm số 3 2
y  ax  bx  cx a  0 nhận x  1
 là một điểm cực trị.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  c  . b
B. 2a  b  0.
C. 3a  c  2 . b
D. 3a  2b  c  0.
Lời giải. Đạo hàm: 2
y   3ax  2bx  c.
Hàm số nhận x  1 là một điểm cực trị nên suy ra y  1  0
 3a 2b  c  0  3a  c  2 . b Chọn C. 44
Câu 57. Biết rằng hàm số 3 2
y  3x  mx  mx  3 có một điểm cực trị x  1. Tìm 1
điểm cực trị còn lại x của hàm số. 2 1 1 1 A. x   . B. x  . C. x  .
D. x  2m  6. 2 3 2 3 2 4 2
Lời giải. Đạo hàm: 2
y   9x  2mx  .
m Để hàm số có hai điểm cực trị  y   0 có hai m  0 nghiệm phân biệt 2
   m 9m  0   .  * m  9 
Từ giả thiết, suy ra y 
1  0  9  3m  0  m  3 (thỏa * ). x  1  Với m  3 thì 2
y   9x  6x 3; y  0   1 .  Chọn B. x   3 1
Câu 58. Cho hàm số f x  3 2
 x mx  2
m  4x  5 với m là tham số thực. Tìm tất 3
cả các giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  1. A. m  1. B. m  3 .
C. m  1 , m  3 . D. 3   m 1.
Lời giải. Đạo hàm: f x  2
 x  mx  2 2
m  4 và f  x   2x  2 . m m  1
Hàm số đạt cực tiểu tại x  1   f   2
1  0  m  2m 3  0   .  m  3 
Thử lại ta thấy chỉ có giá trị m  3 thỏa mãn (vì f x đổi dấu từ ' ' sang '  ' khi qua
x  1 ). Chọn B.  f   1  0 
Cách 2. (Riêng hàm bậc ba) Yêu cầu bài toán    m  3.  f    1   0  Câu 59. Cho hàm số 4 2
y  ax  bx  c a  0. Với điều kiện nào của các tham số
a, b, c thì hàm số có ba điểm cực trị?
A. a, b cùng dấu và c bất kì.
B. a, b trái dấu và c bất kì. C. b  0 và ,
a c bất kì.
D. c  0 và a, b bất kì. x  0 
Lời giải. Đạo hàm: 3
y   4ax  2bx  2x  2
2ax  b; y  0   b . 2 x    2a b
Để hàm số có ba điểm cực trị  y   0 có ba nghiệm phận biệt    0  ab  0. 2a
Khi đó a và b trái dấu, c bất kì. Chọn B. 45
Câu 60. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 4 2 2
y  x  2mx  m  m có ba điểm cực trị. A. m  0. B. m  0. C. m  0. D. m  0.
Lời giải. Ta có a  1, b  2 .
m Hàm số có ba điểm cực trị  1.2m  0  m  0. Chọn C. Câu 61. Cho hàm số 4 2
y  ax  bx 1 a  0. Với điều kiện nào của các tham số a, b
thì hàm số có một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại?
A. a  0, b  0. B. a  0, b  0.
C. a  0, b  0.
D. a  0, b  0.
Lời giải. Để hàm số có ba điểm cực trị  ab  0.   1
Để ba điểm cực trị là một điểm cực tiểu, hai điểm cực đại  a  0 (để dáng điệu của đồ thị là chữ M). 2 a   0 a   0   Từ   1 và 2, ta có    .  Chọn B. ab  0 b   0   Câu 62. Cho hàm số 4 2
y  ax  bx 1 a  0. Với điều kiện nào của các tham số a, b
thì hàm số chỉ có duy nhất một điểm cực trị là điểm cực tiểu?
A. a  0, b  0. B. a  0, b  0.
C. a  0, b  0.
D. a  0, b  0.
Lời giải. Để hàm số có một điểm cực trị  ab  0.   1
Để điểm cực trị là điểm cực tiểu  a  0 (để dáng điệu của đồ thị là chữ U). 2 a   0 a   0   Từ   1 và 2, ta có    .  Chọn D. ab  0 b   0  
Câu 63. (ĐHSP Hà Nội lần 1, năm 2018-2019) Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số 4 2
y  mx  x 1 có đúng một điểm cực trị là A.  ;  0.
B. 0;. C.  ;  0. D. 0;   .
Lời giải. Ta có a  , m b  1.
 Nếu m  0 thì y x
  1 là hàm bậc hai nên chỉ có duy nhất một cực trị.  
Khi m  0, hàm số có đúng một điểm cực trị  m  m 0 1  0  m  0.
Kết hợp hai trường hợp ta được m  0. Chọn A.
Câu 64. (KTTN lần 3, năm 2018-2019) Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số 4
y  mx m   2 2
3 x  m không có điểm cực đại là A. 0. B. 1. C. 3. D. 4.
Lời giải.  Với m  0, ta được 2
y  3x : Đồ thị là một Parabol với bề lõm quay lên
nên hàm số có duy nhất một điểm cực tiểu. Do đó m  0 thỏa mãn. 46
 Với m  0 hàm số là hàm trùng phương. Để hàm số không có điểm cực đại tức là a   m  0 
hàm số chỉ có đúng một cực tiểu  
 0  m  3 m 
m  1;2;  a
 b  mm   3 . 3  0 
Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên thỏa mãn bài toán. Chọn D.
Câu 65. Biết rằng đồ thị hàm số 4 2
y  x 3x  ax  b có điểm cực tiểu là A2; 2  . Tính
tổng S  a  . b A. S  20. B. S  14. C. S  14. D. S  34.
Lời giải. Đạo hàm: 3
y   4x  6x  . a y2 0 a   20  
Đồ thị có điểm cực tiểu A2; 2       .  y  2  2  b   34  
Thử lại: Với a  2
 0, b  34 ta được 4 2
y  x 3x  20x  34. Tính đạo hàm và lập a   20 
BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x  2 (thỏa). Vậy  
S  14. Chọn C. b   34 
Câu 66. Biết rằng đồ thị hàm số 4 2
y  ax  bx  c a  0 có điểm đại A0;  3 và có điểm cực tiểu B  1  ; 
5 . Tổng a  b  c bằng A. 9.  B. 5.  C. 1.  D. 3.
Lời giải. Đạo hàm: 3
y   4ax  2bx. y0 0 
Đồ thị có điểm cực đại A0;  3    c  3.    1 y 0  3   y  1  0  4
 a 2b  0  
Đồ thị có điểm cực tiểu B  1  ;  5     .  2 y    1  5  a
 b c  5    Giải hệ gồm  
1 và 2, ta được a  2, b  4, c  3.
Thử lại: Với a  2, b  4,
 c  3 ta được 4 2
y  2x  4x 3. Tính đạo hàm và lập BBT
ta thấy hàm số đạt cực đại tại x  0, đạt cực tiểu tại x  1 : thỏa mãn. Chọn B. 2 x  mx 1
Câu 67. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  có điểm x 1
cực đại và điểm cực tiểu. A. m  0. B. m  0.
C. m  0. D. m  0. 2
x  2x  m 1
Lời giải. Tập xác định: D   \ 
1 . Đạo hàm: y   . x  2 1
Đặt g x  2
 x 2x m 1. 47
Để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu  g x   0 có hai nghiệm phân biệt khác         gx  0 m 0   1      m  0.  Chọn C. g   1  0 m   0   2 x  mx 1
Câu 68. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  đạt cực x  m đại tại x  2. A. m  1. B. m  3.
C. m  1, m  3. D. m  3. 2 2
x  2mx  m 1
Lời giải. TXĐ: D   \ m
 . Đạo hàm: y  . x m2 m  
Hàm số đạt cực đại tại x    y  1 2 2  0   .  m  3  
 Thử lại với m  1 thì hàm số đạt cực tiểu tại x  2 : không thỏa mãn.
 Thử lại với m  3 thì hàm số đạt cực đại tại x  2 : thỏa mãn. Chọn B.
Câu 69*. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số f x 3 2
 2x 3x m
có các giá trị cực trị trái dấu. A. 1   m  0.
B. 0  m  1. C. m  1  , m  0.
D. m  0, m  1. 
x  0  f 0 m 
Lời giải. Đạo hàm: f x  2
 6x 6x; f x  0   . 
x  1  f   1  m    1 
Yêu cầu bài toán  f 0. f   1  0  m   m    1  0  1
  m  0. Chọn A. 1 4
Câu 70*. Cho hàm số 3 y 
x m   2
1 x 2m   1 x 
với m là tham số thực 3 3
dương. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại thuộc trục hoành. 1 3 4 A. m   . B. m  1. C. m  . D. m  . 2 4 3 x  1
Lời giải. Đạo hàm: 2
y   x  2m  
1 x 2m   1 ; y  0   .  x  2m 1 
Do m  0 nên 2m 1  1. Suy ra đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị.
Do m  0 nên 2m 1  1 
 hoành độ điểm cực đại là x  1 nên y
 y 1  m 1. CD  
Yêu cầu bài toán  y
 0  m 1  0  m  1: thỏa mãn. Chọn B. CD
Câu 71*. Gọi x , x là hai điểm cực trị của hàm số 3 2
y  x  mx   2 m   3 3 3 1 x  m  . m 1 2
Tìm các giá trị của tham số m để 2 2
x  x  x x  7. 1 2 1 2 1 9 A. m  0.
B. m   . C. m   . D. m  2. 2 2 48
Lời giải. Đạo hàm: 2 y  
 x  mx  2 3 2 m    1  .    Có 2 2
 m m 1  1 0, m   nên
x  x  2m 
hàm số luôn có hai điểm cực trị x , x . Theo định lí Viet, ta có 1 2  . 1 2 2
x x  m 1  1 2 2
YCBT  x  x  2
3x x  7  4m 3 2 m   2
1  7  m  4  m  2.  Chọn D. 1 2 1 2
Câu 72*. Gọi x , x là hai điểm cực trị của hàm số 3 2
y  4x  mx 3x. Tìm các giá trị 1 2
thực của tham số m để x  4x  0. 1 2 1 3 9 A. m  0. B. m   . C. m   . D. m   . 2 2 2
Lời giải. Đạo hàm: 2
y   12x  2mx 3. Có 2
  m  36  0, m   nên hàm số luôn m
có hai điểm cực trị x , x . Theo Viet, ta có x  x  
. Kết hợp với yêu cầu bài toán 1 2 1 2 6 2 m
x  4x  0. Suy ra x   , m x  . 1 2 1 9 2 18 1  2  m 1 81 9 Lại có theo Viet: 2 x x      m.    m 
 m   . Chọn D. 1 2   4  9  18 4 4 2 1
Câu 73*. Cho hàm số 3 y 
x m  2 2
x 2m  
3 x  2020 có đồ thị là C Có bao m . 3
nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  5
 0;50 để x  1 là hoành độ trung
điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị C ? m  A. 0. B. 1. C. 49. D. 50. x  1
Lời giải. Đạo hàm: 2
y   x  2m  2 x 2m   3 ; y   0   .  x  2m  3 
Để hàm số có hai điểm cực trị x , x khi và chỉ khi 2m  3  1  m  1. * 1 2
Gọi Ax ; y và B x ; y là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. 2 2  1 1 
Khi đó theo định lí Viet, ta có x  x  2m  4. 1 2 2m  4 Yêu cầu bài toán 
 1  m  1: không thỏa mãn *. Chọn A. 2
Nhận xét. Qua khảo sát 99% học sinh chọn đáp án A, lý do là quên điều kiện để có hai
cực trị. Tôi cố tình ra giá trị m đúng ngay giá trị loại đi.
Nếu gặp bài toán không ra nghiệm đẹp như trên thì ta giải như sau: ' x là hoành độ 0
trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba 3 2
y  ax  bx  cx  d khi và chỉ khi y  0 có hai nghiệm phân biệt và y  x  0''. 0 
Câu 74*. Cho hàm số 3 2
y  x  6x  3m  2 x  m  6 với m là tham số thực. Tìm tất
cả các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị x , x thỏa mãn x  1  x . 1 2 1 2 49
A. m  1.
B. m  1.
C. m  1. D. m  1.
Lời giải. Đạo hàm: 2
y   3 x  4x   m  2.  
Yêu cầu bài toán  y   0 có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn x  1  x 1 2 1 2  y 
1  0  m  1. Chọn C.
Câu 75*. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  2  019;2020 để 1 hàm số 3 2 y 
x  mx  m  2 x có hai điểm cực trị nằm trong khoảng 0; ? 3 A. 2017. B. 2018. C. 2019. D. 2020.
Lời giải. Đạo hàm: 2
y   x  2mx  m  2
Yêu cầu bài toán  y   0 có hai nghiệm dương phân biệt     0 
m & m   2  019;2020  S
  x  x  0  m  2 m  3;4;5;...2020 . Chọn B. 1 2  
P  x x 0  1 2
Câu 76*. Cho hàm số 3
y  x  m   2 2 3
1 x  6m  2 x 1 với m là tham số thực. Tập
hợp các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị nằm trong khoảng  2  ;  3 là A. 1;  3 . B. 3;4. C.  1  ;  3 3;4. D.  1  ;4. x  x  1 
Lời giải. Đạo hàm: 2
y   6x  6m  
1 x  6m 2 1 ; y  0   . 
x  x  2  m  2
Để hàm số có hai cực trị  y  0 có hai nghiệm phân biệt  2  m  1  m  3. m  1   
Nếu x  x  m  3 thì ycbt  2   1
  2  m  3    1 m  3 . 1 2 m  3  m  3  
Nếu x  x  m  3 thì ycbt  2
  2  m  1 3    3  m  4 . 1 2 m  4  Vậy m   1  ; 
3 3;4. Chọn C.
Câu 77*. Cho hàm số 3 2
y  x  ax  bx  c và giả sử ,
A B là hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số. Khi đó, điều kiện nào sau đây cho biết đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ O ? A. a  0. B. c  0.
C. 9  2b  3 . a
D. ab  9c.
Lời giải. Đạo hàm: 2
y   3x  2ax  . b 1 1  2 2  1
Thực hiện phép chia y cho y ,  ta được 2
y   x  a .  y  
 b  a  x  c  . ab     3 9 3 9  9 2 2  1
Suy ra phương trình đường thẳng AB là: 2
y   b  a  x  c  . ab   3 9  9 1
Do AB đi qua gốc tọa độ O 
c  ab  0  ab  9c. Chọn D. 9 50
Câu 78*. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để khoảng cách từ điểm M 0;  3 2
đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3
y  x  3mx 1 bằng . 5 A. m  1. B. m  1 .
C. m  3,m  1. D. Không tồn tại . m
Lời giải. Đạo hàm: 2 2
y   3x  3m; y   0  x   . m
Để hàm số có hai điểm cực trị  y   0 có hai nghiệm phân biệt  m  0 . *
Thực hiện phép chia y cho y ta được phần dư 2mx 1. Suy ra đường thẳng đi qua
hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình  : y  2mx 1.  2 2 m   1 loaï  i
Yêu cầu bài toán  d M , 2    m  1   . Chọn B. 2 4m 1 5 m    1 thoûa maõn 
Câu 79*. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3
y  x  3mx 1 có hai điểm cực trị ,
A B sao cho tam giác OAB vuông tại O, với O là gốc tọa độ. 1 A. m  1. B. m  0. C. m  . D. m  1. 2
Lời giải. Đạo hàm: 2
y    x  m    2 3 3
3 x  m.
Để hàm số có hai điểm cực trị 2
 x m  0 có hai nghiệm phân biệt  m  0.
Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A m;12m m và B m;1 2m m.   1 Yêu cầu bài toán 3  .
OA OB  0  4m  m 1  0  m 
thoûa maõn. Chọn C. 2
Câu 80*. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3 2
y  x  3mx  2 có hai điểm cực trị , A B sao cho ,
A B và M 1; 2   thẳng hàng. A. m   2. B. m  2.
C. m   2. D. m  0. x  0
Lời giải. Đạo hàm: 2
y   3x  6mx  3x x  2m; y   0   .  x  2m 
Nên hàm số có hai điểm cực trị  y   0 có hai nghiệm phân biệt  0  2m  m  0.
Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A0;2 và B  3
2m;2  4m .  
Suy ra MA  1;4, MB   3
2m 1; 4  4m . 3 m  0   loaïi 2m 1 4 4m 
Ba điểm A , B và M thẳng hàng    .  Chọn C. 1 4
m   2 thoûa  1
Câu 81*. Tập hợp các giá trị của m để đồ thị hàm số 3 2 y 
x  mx 2m   1 x 3 có 3
điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng một phía đối với trục tung là 51  1  1  A. 0;2. B.   ;1 .     
C.  ;11;. D.   ;1 1;.    2  2 
Lời giải. Đạo hàm: 2
y   x  2mx  2m 1.
Yêu cầu bài toán  phương trình y   0 có hai nghiệm x , x phân biệt và cùng dấu 1 2   2
  m  m  m 1 2 1  0        1 .  Chọn C.
P  2m 1 0 m     2
Nhận xét:  Nếu yêu cầu hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm khác phía đối với
trục tung  y   0 có hai nghiệm trái dấu.
 Nếu yêu cầu hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng một phía đối với trục
hoành  y   0 có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn y x .y x  0. 1   2 1 2
 Nếu yêu cầu hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm khác phía đối với trục hoành
 y  0 có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn yx .y x  0. 1   2 1 2
Câu 82*. Cho hàm số 3 2
y  2x  mx 12x 13 với m là tham số thực. Tìm giá trị của
m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cách đều trục tung. A. m  1. B. m  0. C. m  1. D. m  2.
Lời giải. Đạo hàm: 2
y   6x  2mx 12.
Yêu cầu bài toán  y   0 có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa 1 2 x  x   x  x
 (do dáng điệu của hàm bậc ba nên x  x ). 1 2 1 2 1 2
Suy ra x  x  0  m  0. Chọn B. 1 2
Câu 83*. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của 1
tham số m để đồ thị của hàm số 3 2 y 
x  mx  2 m  
1 x có hai điểm cực trị A và 3 B sao cho ,
A B nằm khác phía và cách đều đường thẳng d : y  5x  9. Tổng tất cả
các phần tử của S bằng A. 6. B. 0. C. 3. D. 6. x  m 1
Lời giải. Đạo hàm: 2
y   x  mx  2 2 m   1 ; y   0   .  x  m 1  3  m 3m  2   3  m 3m  2  
Tọa độ các điểm cực trị: Am 1;        và B m 1; .    3   3  3  m 3m   
Yêu cầu bài toán  trung điểm I m;    
của AB thuộc d  3  m  3 3 m 3m  3 
 5m 9  m 18m  27  0   . 3  3 5 3 m   2 52
Vậy tổng các phần tử của S bằng 0. Chọn B.
Câu 84*. Cho hàm số 3 2
y  x  3mx  3m 1 với m là tham số thực. Tìm giá trị của
m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng
d : x  8 y 74  0. A. m  2. B. m  1. C. m  1. D. m  2. x 
Lời giải. Đạo hàm: y    x x  m 0 3 2 ; y  0   .  x  2m 
Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  0  2m  m  0.
Tọa độ các điểm cực trị: A0; 3  m   1 và B  3
2m; 4m 3m   1 .
Suy ra tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là I  3
m;2m 3m   1 . 
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u  8;  1 . I  d m  8    3 2m 3m   1 74  0 
Yêu cầu bài toán       m  2.   Chọn D. 2 AB.u  0  8  2m  0 
Câu 85*. Cho hàm số 4
y  x   2
m  m   2 2
1 x  m 1 với m là tham số thực. Tìm giá
trị của m để đồ thị hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu, đồng thời
khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất. 1 1 3 3 A. m   . B. m  .
C. m   . D. m  . 2 2 2 2 x  0
Lời giải. Đạo hàm: 2
y   4x x    2 m  m   1  ; y  0   .    2
x   m m 1 
Tọa độ hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là: A 2
 m m 1; y và B  2
m  m 1; y . CT  CT  2    1  3 1 Khi đó 2 AB  4 2 m  m   1  4 m       3.   
Dấu '  '' xảy ra  m  . Chọn B.  2  4   2
Câu 86*. Cho hàm số 4 2
y  x  2mx  2 với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị ,
A B, C thỏa mãn . OA OB.OC  12
với O là gốc tọa độ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 4.
Lời giải. Để hàm số có ba điểm cực trị  ab  0  1.2m  0  m  0.
Đạo hàm: y   x  2 4
x  m; y  0  x  0, x   m.
Tọa độ các điểm cực trị: A0;2, B  2 m; m   2 và C  2  m; m   2.  
Bài toán yêu cầu: OA OB OC   m  m   2 2 . . 12 2. 2   12 
 m  2. Chọn B.   53 Cho hàm trùng phương 4 2
y  ax  bx  c. Khi đó
y có 1 cực trị  ab  0
y có 3 cực trị  ab  0
a  0 : 1 cực tiểu
a  0 : 1 cực đại
a  0 : 1 cực đại,
a  0 : 2 cực đại, 2 cực tiểu 1 cực tiểu
Xét trường hợp có ba cực trị 
 tọa độ các điểm cực trị       b    b  
A 0;c , B   ;   , C   ;     .  2a 4a   2a 4a  4  b b b BC  2  , AB  AC   với 2
  b  4ac . 2a 2 16a 2a 3     b   
AB : y      x  c    2a 
 Phương trình đường qua điểm cực trị: BC : y   và  . 4a  3    b   
AC : y      x  c   2a   3   b 8a Gọi 
BAC   , luôn có cos   . 3 b 8a 5  b
Diện tích tam giác ABC là S   . 3 32a 3   b 8a
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R  . 8 a b 2  b
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r  .  3   b  4 a 1   1      8a    Dữ kiện
Công thức thỏa ab  0
1) B,C  Ox 2
b  4ac  0
2) BC  m 2
am  2b  0 0 0
3) AB  AC  n 2 2 4
16a n b  8ab  0 0 0
4) BC  kAB  kAC 3 2 b k  a  2 . 8 k  4  0
5) ABOC nội tiếp 2   c.      0   b 4a 
6) ABOC là hình thoi 2
b  2ac  0
---------------------------------------------------------- ------------------------------------
7) Tam giác ABC vuông cân tại A 3
8a  b  0
8) Tam giác ABC đều a  3 24 b  0
9) Tam giác ABC có góc  BAC    3 2 8a  b .tan  0 2
10) Tam giác ABC có 3 góc nhọn b  3
8a  b  0 54
11) Tam giác ABC có diện tích S 32a S  b  0 0 2 3 5 0
12) Tam giác ABC có trọng tâm O 2 b  6ac  0
14) Tam giác ABC có trực tâm O 3
b  8a  4ac  0
16) Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp 3
b  8a  4abc  0
17) Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp 3
b  8a  8abc  0
18) Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành 2 b  8ac  0
Câu 87*. Cho hàm số 4 2
y  x  2mx  4 có đồ thị là C
. Tìm tất cả các giá trị thực m 
của tham số m để tất cả các điểm cực trị của C
đều nằm trên các trục tọa độ. m  A. m  2. B. m  2. C. m  0.
D. m  2 , m  0. x  0
Lời giải. Ta có y   4x  2
x  m  0   . 
Hàm số có ba điểm cực trị  m  0. 2 x  m 
Tọa độ các điểm cực trị: A0;4  Oy , B  2
 m;m  4 và C  2 m;m  4.
m  2loaïi Yêu cầu bài toán 2 B,C Ox m 4 0        .  Chọn B. m   2thoûa maõn 
Công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị: ab  0  m  0. m  2  loaïi YCBT 2 2 b 4ac 0 4m 16 0          .  m  2  thoûa maõn 
Câu 88*. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4 2
y  x  2mx 1 có ba điểm cực trị A0 
;1 , B, C thỏa mãn BC  4. A. m  2.
B. m   2.
C. m  4. D. m  4.  x  0
Lời giải. Ta có y   4x  2
x  m; y  0   . 
Hàm số có ba điểm cực trị  m  0. 2 x  m 
Tọa độ các điểm cực trị: A  B 2 0;1 ,
m;1 m  và C  2
 m;1m .
YCBT: BC  4  2 m  4  m  2  m  4 (thỏa mãn). Chọn C.
Công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị ab  0  m  0. YCBT: 2 2
BC  m  am  2b  0  1.4  2. 2
 m  0  m  4. 0 0  
Câu 89*. (ĐỀ MINH HỌA 2016-2017) Tìm giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số 4 2
y  x  2mx 1 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân. 1 1 A. m   . B. m  1.  C. m  . D. m  1. 3 9 3 9 x  0 Lời giải. Ta có 3
y   4x  4mx  0   . 
Hàm số có ba điểm cực trị  m  0. 2 x  m   55
Toạ độ các điểm cực trị: A  B 2 0;1 , m  ; m    1 và C  2  m  ; m    1 .   m  0loaïi YCBT 4 AB.AC 0 m m 0        .  Chọn B. m     1 thoûa maõn 
Công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị ab  0  m  0. YCBT 
 a  b    m3 3 8 0 8.1 2  0  m  1.
Câu 90*. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m để đồ thị của hàm số 4 2
y  x  2mx có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1. A. m  0. B. m  1.
C. 0  m  1. D. 3 0  m  4. x  0
Lời giải. Ta có y   4x  2
x  m; y  0   . 
Hàm số có ba điểm cực trị  m  0. 2 x  m 
Tọa độ các điểm cực trị: A  B 2 0;0 , m; m   và C 2  m; m  . 1 1
Tam giác ABC cân tại , A suy ra S
 d A BC BC  m m  m m ABC   ,  2 2 . .2 . 2 2 Theo bài ra, ta có 2 S 1  m
m  1  0  m  1 : 
thoûa maõn. Chọn C. ABC
Công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị ab  0  m  0. 5 b YCBT 5    1  m 1  0  m 1. 3 32a
Dạng 6. BIỂU THỨC f x  - ĐỒ THỊ HÀM f x 
Câu 91*. [ĐỀ THAM KHẢO 2018-2019] Cho hàm số
f x  có đạo hàm
f x   x x  x  3 1 2 , x  .
 Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. x  0 
Lời giải. Đạo hàm: f x   x x  x  3 1
2 ; f x   0  x  1 .  x  2  Bảng xét dấu
Ta thấy f x  đổi dấu 3 lần nên hàm số đã cho có 3 điểm cực trị (cụ thể là 2 điểm
cực tiểu và 1 điểm cực đại). Chọn C.
Cách trắc nghiệm. Ta nhẩm được phương trình f x   0 có 3 nghiệm bội lẻ nên
hàm số f x  có 3 điểm cực trị. 56
Câu 92*. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2018-2019] Cho hàm số f x  có đạo hàm
f x   x x  2 2 , x  .
 Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. Dễ thấy phương trình f x   0 có một nghiệm đơn x  0 và một nghiệm
kép x  2. Do đó hàm số f x  có 1 điểm cực trị. Chọn B. 2
Câu 93*. Cho hàm số f x  có đạo hàm f x   x   1 x  
1 x 21 với mọi x  . 
Hàm số g x   f x  x có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 2
Lời giải. Đạo hàm: g x   f x 1  x   1 x   1 x  2; x  1  
g x   0  x   1 x  2
1 x 2  0  x  1 .  Ta thấy x  1
 và x  2 là các nghiệm x  2 
đơn, x  1 là nghiệm kép 
 hàm số g x có 2 điểm cực trị. Chọn B.
Câu 94*. Cho hàm số f x  có đạo hàm f x    2 x  
1 x  4 với mọi x  .  Hàm số
g x   f 3 x  có bao nhiêu điểm cực đại? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 2  
Lời giải. Ta có g x    f   x      x   
  x       2 3 3 1 3 4
x  6x  8x   1 ;    
g x   0  x  2, x  4, x  1. Bảng biến thiên
Dựa vào BBT ta thấy hàm số g x  đạt cực đại tại x  2. Chọn B.
Chú ý: Dấu của g x  được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 2;4, ta chọn
x  3. Khi đó g  
3   f 0      
1 .4  4  0.  
Nhận thấy các nghiệm của
phương trình g x   0 đều là các nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu. 4 5 3
Câu 95*. Cho hàm số f x  có đạo hàm f x   x  
1 x  2 x   3 với mọi x  . 
Số điểm cực trị của hàm số g x   f  x  là A. 2. B. 3. C. 5. D. 7. 57 x  1  4 5 3
Lời giải. Ta có f x   0  x  
1 x  2 x   3  0  x  2 .  x  3 
Do f x  chỉ đổi dấu khi x đi qua x  3  và x  2 
 hàm số f x có 2 điểm cực trị là: x  3
 và x  2. Trong đó chỉ có 1 điểm cực trị dương 
 hàm số f  x  có 3 điểm cực trị (cụ thể là x  2; x  0; x  2 do tính đối xứng
của hàm số chẵn f  x  ). Chọn B.
Câu 96*. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị hàm
số y  f x . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số y  f x  đạt cực đại tại điểm x  1. 
B. Hàm số y  f x  đạt cực tiểu tại điểm x  1.
C. Hàm số y  f x  đạt cực tiểu tại điểm x  2.
D. Hàm số y  f x  đạt cực đại tại điểm x  2 .
Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số y  f x , ta có các nhận xét sau:
 f x đổi dấu từ "" sang "" khi đi qua điểm x  2.
 f x không đổi dấu khi đi qua điểm x  1. Bảng biến thiên
Dựa vào BBT, ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x  2. Chọn C.
Câu 97*. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị hàm
số y  f x . Số điểm cực trị của hàm số y  f x  là A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải. Ta thấy đồ thị hàm số f x  có 4 điểm chung với trục hoành là:
x  0  x  x nhưng chỉ cắt thực sự tại hai điểm là 0 và x . 1 2 3 3 Bảng biến thiên 58
Vậy hàm số y  f x  có 2 điểm cực trị. Chọn A.
Cách trắc nghiệm. Ta thấy đồ thị của f x  có 4 điểm chung với trục hoành nhưng
cắt và băng qua luôn trục hoành chỉ có 2 điểm nên có hai cực trị.
 Cắt và băng qua trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại.
 Cắt và băng qua trục hoành từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu.
Câu 98*. Hàm số f x  có đạo hàm f x trên
khoảng K. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số f x 
trên khoảng K. Hỏi trên khoảng K hàm số f x  có
bao nhiêu điểm cực trị? A. 0. B. 1. C. 2. D. 4.
Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra trên khoảng K phương trình f x   0 chỉ có một
nghiệm bội lẻ x  1 (cắt trục hoành) và hai nghiệm bội chẵn x  0, x  2 (tiếp xúc
với trục hoành). Suy ra hàm số f x  có đúng một cực trị (đó là điểm cực tiểu vì f x 
đổi dấu từ ' ' sang '  ' khi qua nghiệm bội lẻ x  1 ). Chọn B.
Câu 99*. Cho hàm số y  f x . Đồ thị hàm số y  f x 
như hình bên. Hàm số g x   f  2
x 3 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải. Ta có g x   xf  2 2 x   3 ; x  0 x  0 x  0       g x 
theo do thi f x  2  0            f    x 3 2 x 1 . 2 x   3  0    2
x 3  1 nghiem kep x  2  nghiem kep   Bảng biến thiên 59
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.
Chú ý: Dấu của g x  được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 2;
 x 2;  x  0.   1  2 2
theo do thi f ' x x       x  
 x    f  2 2; 4 3 1 x   3  0. 2 Từ  
1 và 2, suy ra g x   xf  2 2 x  
3  0 trên 2; nên g x  mang dấu  .
Nhận thấy các nghiệm x  1 và x  0 là các nghiệm bội lẻ nên g x  qua nghiệm
đổi dấu; các nghiệm x  2 là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy f x 
tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 ) nên qua nghiệm không đổi dấu.
Câu 100*. Cho hàm số y  f x . Đồ thị của hàm số
y  f x  như hình bên. Hàm số g x   f  x  2021
có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 3. C. 5. D. 7.
Lời giải. Từ đồ thị hàm số f x  ta thấy f x  cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành
độ dương (và 1 điểm có hoành độ âm) 
 f x có 2 điểm cực trị dương 
 f  x  có 5 điểm cực trị 
 f  x  2021 có 5 điểm cực trị (vì phép tịnh tiến không ảnh hưởng đến số điểm
cực trị của hàm số). Chọn C. 60
GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ
GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ 1. Định nghĩa
Cho hàm số y  f x  xác định trên tập D.
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y  f x  trên tập D
nếu f x M với mọi x thuộc D và tồn tại x  f x  M. 0
D sao cho  0 
Kí hiệu: M  max f x . D
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y  f x  trên tập D
nếu f x  m với mọi x thuộc D và tồn tại x  D sao cho f x  . m 0  0
Kí hiệu: m  min f x . D 2. Định lý
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất trên đoạn đó.
3. Quy tắc tìm GTLN - GTNN của hàm số liên tục trên đoạn a;b
1. Tìm các điểm x , x ,..., x trên a;b mà tại đó f x   0 hoặc f x  1 2 n không xác định.
2. Tính f a, f x , f x , ..., f x , f b . 1   2  n   
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có
M  max f x  và m  min f x . a;b a;b
Dạng 1. BẢNG BIẾN THIÊN
Câu 1. Cho hàm số f x  xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên sau: 61
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2.
B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1. 
C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1.
D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1  và 1.
Lời giải. Chọn A.
Câu 2. Cho hàm số f x  xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên sau:
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. min f x   1.
B. min f x   2. 1;3 
C. max f x   4.
D. max f x   4.  2  ;3 
Lời giải. Xét trên , hàm số không có giá trị lớn nhất. Vậy D sai. Chọn D.
Câu 3. (ĐHSP Hà Nội lần 2, năm 2018-2019) Cho hàm số f x  xác định, liên tục
trên  và có bảng biến thiên sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại điểm x  3.
B. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  1.  1
C. Hàm số đạt cực đại tại điểm x  . 3
D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 3.
Lời giải. Chọn D.
Câu 4. [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017] Cho hàm số f x  xác định, liên tục trên  và
có bảng biến thiên như sau: 62
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số có đúng một điểm cực trị.
B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1.
C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 1. 
D. Hàm số đạt cực đại tại x  0 và đạt cực tiểu tại x  1.
Lời giải. Chọn D.
A sai vì hàm số có 2 điểm cực trị.
B sai vì hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1. 
C sai vì hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên  .
Câu 5. Cho hàm số f x  xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số có hai điểm cực trị.
B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 4.
C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 3.
D. Hàm số có một điểm cực tiểu.
Lời giải. Chọn B.
A sai vì hàm số có ba điểm cực trị là x  1
 ; x  0; x  1.
C sai vì hàm số không có giá trị lớn nhất.
D sai vì hàm số có hai điểm cực tiểu là x  1 và x  1.
Câu 6. Cho hàm số f x  liên tục trên \0 và có bảng biên thiên như sau: 63
Mệnh đề nào sau đây đúng? A. f   5  f  4  .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;  2.
C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 2.
D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2.
Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y  f x  nghịch biến trên khoảng  ;
 0 nên f   5  f  4  . Chọn A.
Câu 7. Cho hàm số f x  xác định và liên tục trên  5
 ;7, có bảng biến thiên sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. min f x   2 và hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên  5  ;7. 5;7
B. max f x   6 và min f x   2. 5;7 5;7
C. max f x   9 và min f x   2. 5;7 5;7
D. max f x   9 và min f x   6. 5;7 5;7
Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta nhận thấy:
 Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 2, đạt tại x  1 5  ;7.
 f x 9,x  5  ;7   Ta có  .      Mà 7
 5;7 nên không tồn tại x  5;7 sao cho 0  
lim f x   9   x7 f x
 9. Do đó hàm số không đạt GTLN trên  5  ;7. 0 
Vậy min f x   2 và hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên  5  ;7. Chọn A. 5;7 Dạng 2. ĐỒ THỊ 64
Câu 8. Cho hàm số bậc ba y  f x  có đồ thị như
hình vẽ. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  2;  2 lần lượt là A. 5 và 0. B. 5 và 1. C. 1  và 0. D. 2  và 2.
Lời giải. Nhận thấy trên đoạn  2  ;2
 Đồ thị hàm số có điểm thấp nhất có tọa độ 2;  5 và 1;  5 
 giá trị nhỏ nhất của hàm số này trên đoạn  2  ;2 bằng 5. 
 Đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ  1  ;  1 và 2;  1  
 giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn  2  ;2 bằng 1.  Chọn B.
Câu 9. Cho hàm số bậc ba y  f x  có đồ thị như hình vẽ.  5
Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trên đoạn 1;   2    lần lượt là 7 5 A. 1 và . B. 1 và . 2 2 C. 1 và 4. D. 1 và 4.
Lời giải. Chọn C.
Câu 10. Cho hàm số f x  có đồ thị như hình
bên. Giá trị lớn nhất của hàm số f x  trên đoạn  2;  3 bằng A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải. Nhận thấy trên đoạn  2
 ;3 đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ 3;4 
 giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn  2
 ;3 bằng 4. Chọn C. 65
Câu 11. [Đề THAM KHẢO 2018-2019] Cho hàm số f x 
liên tục trên đoạn  1
 ;3 và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M
và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên  1
 ;3. Giá trị của M  m bằng A. 0. B. 1. C. 4. D. 5.
Lời giải. Dựa vào đồ thị ta có M  3, m  2. Khi đó M  m  1. Chọn B.
Câu 12. Cho hàm số y  f x  có đồ thị trên đoạn  2;
 4 như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của hàm số
y  f x  trên đoạn  2  ;4 bằng A. 1. B. 2. C. 3. D. f 0 .
Lời giải. Từ đồ thị hàm số y  f x  trên đoạn  2;
 4 ta suy ra đồ thị hàm số y  f x trên  2  ;4 như hình vẽ.
Do đó max f x   3 tại x  1.  2  ;4 Chọn C.
Câu 13. Cho hàm số bậc ba f x  có đồ thị như hình bên.
Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?
i) Hàm số có hai điểm cực trị.
ii) Hàm số có GTLN là 2 và GTNN là 2. 
iii) Hàm số đồng biến trên  ;  0 và 2;   .
iv) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị: 0;2 và 2; 2  . A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. Dựa vào đồ thị suy ra hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Tức là mệnh đề ii) sai. Các mệnh đề còn lại đều đúng. Chọn B. 66
Câu 14. Cho hàm số f x  liên tục trên đoạn  2  ;2 và có đồ
thị như hình vẽ bên. Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề đúng?
i) Hàm số nghịch biến trên khoảng 0  ;1 .
ii) Hàm số đồng biến trên khoảng  1  ;2. iii) Trên đoạn  2;
 2 hàm số có ba điểm cực trị. iv) Trên đoạn  2;
 2 hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Chọn B. Khẳng định ii) và iv) là sai. Khẳng định i) và iii) là đúng.
Câu 15*. Cho hàm số y  f x  liên tục trên  và có
đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M , m lần lượt là GTLN –
GTNN của hàm số g x  f   4 4 2 sin x cos x    .   Tổng
M  m bằng A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. 1 Lời giải. Ta có 4 4 2 sin cos 1 sin 2 x x x x      1  2 4 4
sin x  cos x   2. 2
M  max gx f   1  3 
Dựa vào đồ thị, suy ra  
 M  m  4. Chọn B. m
  min gx f 2  1 
Dạng 3. TÌM GTLN – GTNN TRÊN ĐOẠN
Câu 16. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x 3 2
 x 2x  4x 1 trên đoạn 1;3.
A. max f x   7.
B. max f x   4. 1;3 1;3 67
C. max f x   2.
D. max f x   . 1;3 1;3 27 x  2 1;3 
Lời giải. Đạo hàm: f x  2
 3x  4x  4 
 f x  0   . 2  x    1;3  3  f   1  4  
Ta có  f 2  7  
max f x  f   3  2.  Chọn C. 1;3
f  3 2  
Cách 2: Sử dụng công cụ TABLE (MODE 7).
Bước 1: Bấm tổ hợp phím MODE 7.
Bước 2: Nhập f   3 2 X  X  2X  4X 1. 67 St  art 1 
Sau đó ấn phím  (nếu có g X  thì ấn tiếp phím  ). Tiếp theo nhập End  3 .  St  ep  0.2  End Start
(Chú ý: Thường ta chọn Step  ) 10
Bước 3: Tra bảng nhận được và tìm GTLN: X f X 1 4 1.2 4.952 1.4 5.776 1.6 6.424 1.8 6.848  2 7  2.2 6.832 2.4 6.2  96 2.6 5.344 2.8 3.928 3 2 
Dựa vào bảng giá trị ở trên, ta thấy max f x   f   3  2. 1;3
Câu 17. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x  3 2
 x 7x 11x 2 trên đoạn 0;2 bằng A. 2  . B. 0. C. 3. D. 11.  11 x   0;2
Lời giải. Đạo hàm: f x  2
 3x 14x 11 
 f x  0   3 .  x  1 0;2   f 0 2   Ta có  f   1  3   in m
f x   f 0  2.  Chọn A. 0;2 f 2 0 
Câu 18. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y  x  2x 7x trên đoạn 0;4 bằng A. 25  9. B. 4.  C. 0. D. 68. 68  x 10;4 
Lời giải. Đạo hàm: f x  2
 3x  4x 7 
 f x  0   . 7  x    0;4  3  f 0 0  Ta có  f   1  4   m n
i f x   f   1  4.  Chọn B. 0;4   f 4  68 
Câu 19. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x  3 2
 2x 3x 1 trên đoạn  1  2;   bằng 2    11 1 A.  . B. 5.  C.  . D. 5. 2 2   1 
x  0  2;    2   
Lời giải. Đạo hàm: f x  2
 6x  6x 
 f x  0   .   1 
x  1 2;    2       f  
 min f x  5 2 5        1  2;    2     Ta có  f   1  0   
 min f x max f x  5.   Chọn B. max f   x  1   1  0  2;   2  ;      1   2     2  1 1      2;         2 f         2 2 
Câu 20. Biết rằng hàm số f x  3 2
 x 3x 9x  28 đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn
0;4 tại x . Tính P  x  2020. 0 0 A. P  3. B. P  2017. C. P  2021. D. P  2023. x  1   0;4
Lời giải. Đạo hàm: f x  2
 3x 6x 9 
 f x  0   .  x  3   0;4   f 0 28  Ta có  f   3  1 
 min f x  1       khi x 3 x P 2023. Chọn D.  0 0;4 f 48  4
Câu 21. Xét hàm f x 3 2
  x 2x  x 3 trên  1  
;1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3
A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x  1 và giá trị lớn nhất tại x  1.
B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x  1 và giá trị lớn nhất tại x  1.
C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x  1 nhưng không có giá trị lớn nhất.
D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất nhưng có giá trị lớn nhất tại x  1. 69
Lời giải. Đạo hàm: f x    x  x    x  2 2 4 4 1 2 1  0, x  . 
Suy ra hàm số f x nghịch biến trên đoạn  1  
;1 nên có giá trị nhỏ nhất tại x  1 và
giá trị lớn nhất tại x  1.  Chọn B.
Câu 22. [ĐỀ THAM KHẢO 2017-2018] Giá trị lớn nhất của hàm số f x  4 2
 x  4x  5 trên đoạn  2;  3 bằng A. 1. B. 5. C. 50. D. 122.
x  0 2;3 
Lời giải. Đạo hàm: f x  3
 4x 8x 
 f x  0  . 
x   2 2;3   f 0 5
f  21 Ta có  
max f x  50.  Chọn C.  f  2   2;3  5
f  350 
Câu 23. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x  4 2
 x  x 13 trên đoạn  2  ;3 bằng 49 51 51 A. . B. . C. . D. 13. 4 4 2 x  0  2  ;3 
Lời giải. Đạo hàm: f x  3
 4x 2x 
 f x  0   1  x    2  ;3.   2
 f 2 25
f  385  51 
Ta có  f 0  13 
min f x  .  Chọn B.  2  ;3 4   1  51     f          2  4
Câu 24. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x  4 2  2
 x  4x 10
trên đoạn 0;2 bằng A. 2. B. 4. C. 6. D. 8. x  0 0;2  
Lời giải. Đạo hàm: f x  3
 8x 8x 
 f x  0  x  1  0;2 .  x  1   0;2  70  f 010 
M  max f x12   0;2   Ta có  f   1  12   
 M  m  6.  Chọn C.  m
  min f x   f 2 6    0;2 6   x 
Câu 25. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x  3 1  trên đoạn x 3 0;2 bằng 16 14 14 16 A.  . B.  . C. . D. . 3 3 3 3 8 
Lời giải. Đạo hàm: f x    0, x  0;2. x  2 3 M 
f x   f   1 max 0  
Suy ra hàm số f x  nghịch biến trên đoạn 0;2 nên 0;2 3  .  m
  min f x  f 2  5  0;2  14
Khi đó M  m   . Chọn B. 3
Câu 26. Hàm số nào sau đây không có GTLN và GTNN trên đoạn  2  ;2? x 1 A. 3 y  x  2. B. 4 2
y  x  x . C. y  .
D. y  x  1. x 1 x 1
Lời giải. Nhận thấy hàm số y 
không xác định tại x  1  2;2. x 1 x 1 x 1 Lại có lim  ;  lim  .    x1 x  x 1 1  x 1
Do đó hàm số này không có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên  2  ;2. Chọn C. 2 x  3
Câu 27. [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017] Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x   x 1
trên đoạn 2;4 bằng 19 A. 3. B. 2. C. 6. D. . 3 2    x  1 x x  2;4 2 3 
Lời giải. Đạo hàm: f x   
 f x  0   .   x  2 1 x  3   2;4 
f 2  7  Ta có  f   3  6 
min f x  6.  Chọn C. 2;4
f   19 4   3 71 2 2x  x 1
Câu 28. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x   trên x 1 đoạn 0  ;1 bằng A. 1.  B. 3. C. 1 2. D. 2  2. 2  2x  4x
 f x 0, x  0;  1 
Lời giải. Đạo hàm: f x   . Ta có:  . x  2 1
 f x 0  x   0  max 
f x   f   1  2  0; 1 
Suy ra hàm số f x  đồng biến trên đoạn 0  ;1 nên  . Chọn B. min 
f x   f 0   1  0; 1 
Câu 29. Tập giá trị của hàm số   9 f x  x 
với x  2;4 là đoạn a;b. Hiệu b a x 1 25 13 A. . B. 6. C. . D. . 2 4 2 2   x  3 x 2;4 9 9 
Lời giải. Đạo hàm: f x   1 
 f x  0   . 2 2  x x x  3   2;4   f   13 2   min  f x   6 2   2;4    13 1   Ta có  f   3  6   
a;b  6;   b a  .     Chọn A.   f x  13   2  2 max    f   25 2;4  2 4   4 2
Câu 30. Tập giá trị của hàm số f x  2
 x  với x 3;5 là x 29 127 29 526 38 142 38 526 A.  ; .        B. ; . C. ; . D. ; . 3 5     3 15     3 5     3 15    2 3 x   1 2
Lời giải. Đạo hàm: f x   2x  
 0, x  3;  5 . 2 2 x x 29 127
Suy ra hàm số đồng biến trên 3;5 nên min f x  f   3 
; max f x   f   5  . 3;5 3;5 3 5 29 127
Vậy tập giá trị của hàm số là đoạn  ; .  Chọn A. 3 5   
Câu 31. Giá trị lớn nhất của hàm số f x  x  2  4  x bằng A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 1 1
Lời giải. TXĐ: D  2;4. Có f x   
 f x  0  x  3 2;4. 2 x  2 2 4  x 72  f  2  2  Ta có  f   3  2 
 max f x  2.  Chọn B. f 4 2 
Câu 32. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x  2
 x 4  x bằng A. 0. B. 2. C. 2 2. D. 4. 2 2 x 4  2x
Lời giải. TXĐ: D  2;2. Đạo hàm: f x 2  4  x   2 2 4  x 4  x
x  2 2;2    f x 2
 0  4 2x  0  .  x   2  2  ;2   f  2    0
f  22 max  f x   2   Ta có     Chọn A.     .  min  f x f  2 2 2  
f 20 
Câu 33. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x  2
 x  2  x bằng A.  2. B. 1. C. 1. D. 2. x Lời giải. TXĐ:  D 2; 2    .   
 Đạo hàm: f x 1 2 2  x      f x x x 0 2  0 
 1  2  x  x    x  1    2; 2. 2 2     2  2  2  x  x x 
 f  2 2  Ta có  f   1  2 
min f x   2.  Chọn A.
f  2 2 
Câu 34*. Giá trị lớn nhất của hàm số f x 2
 x 1  3 x 2 x  4x 3 bằng 9 A.  2. B. 0. C. 2. D. . 4
Lời giải. TXĐ: D  1;3. Đặt t  x 1  3 x  2  t  2 2 2 2 
 t  x 1 3 x  2 x 1 3 x 
2 x  4x 3  2 t .
Khi đó, bài toán trở thành ' Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g t 2  t   t  2 trên đoạn  2;2 ''   
 . Xét hàm số gt 2  t
  t  2 xác định và liên tục trên 2;2 .  
Đạo hàm: g t  2
 t 1  0, t   2;2 . 73
Suy ra hàm số g t nghịch biến trên đoạn  2;2 .  
Do đó max g t  g  2  2 
 max f x  2. Chọn C.  2;2 1;3  
Bình luận: Sau khi đọc lời giải, bạn đọc thắc mắc là tại sao biết được t  2;2    ???
Từ phép đặt ẩn phụ t  x 1  3 x  hx . 1 1
Đạo hàm: hx    
hx  0  x  2 1;3. 2 x 1 2 3 x h   1 2  min  h  x 2   1;3  Ta có h  2  2   
 2  hx 2   2  t  2.   ma
 x hx 2 h     1;3 3  2  
Câu 35. Giá trị lớn nhất của hàm số f x  2
 x  2  x  2 2x  x bằng A. 2. B. 2. C. 4. D. 8.
Lời giải. TXĐ: D  0;2. Đặt t  x  2  x  2  t  2. 2 2 2 
t  x  2 x 2  x  2  x 
2 2x  x  t 2.
Khi đó, bài toán trở thành ' Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g t 2
 t  t 2 trên đoạn  2;2 ''       
 . Xét hàm số gt 2 t t
2 xác định và liên tục trên 2;2 .  
Đạo hàm: g t  2t 1  0, t   2;2 .
Suy ra hàm số g t đồng biến trên đoạn  2;2 .  
Do đó max g t  g 2  4 
max f x  4. Chọn C.   0;2 2 ;2   
Câu 36. Giá trị lớn nhất của hàm số f x  2
 x  4x  5 trên đoạn  6  ;6 bằng A. 0. B. 9. C. 55. D. 110.
Lời giải. Xét hàm số g x  2
 x  4x  5 liên tục trên đoạn  6  ;6.
Đạo hàm: g x   2x  4 
 gx  0  x  2  6;6. x  1 6;  6
Lại có g x  2 0 x 4x 5 0          . x  5    6;6  g 6    7  g 2    9  Có 
 max f x  max g 6
  ; g2 ; g 6 ; g   1 ; g   5   55.  g 6  6  ;6 6;6    55
g 1 g 50  Chọn C.
Nhận xét. Bài này rất dễ sai lầm vì không để ý hàm trị tuyệt đối không âm. 74
Câu 37. Giá trị lớn nhất của hàm số f x  2
 x 3x  2  x trên đoạn  4  ;4 bằng A. 2. B. 17. C. 34. D. 68.
Lời giải. Hàm số f x  xác định và liên tục trên đoạn  4  ;4.
 Nếu x 1;2 thì 2
x 3x  2  0 nên suy ra f x  2
 x  2x 2 .  f   1  1 
Đạo hàm: f x   2  x  2 
 f x  0  x  11;2. Ta có  .  f  2  2   Nếu x  4   ;1 2;4 thì 2
x 3x  2  0 nên suy ra f x  2
 x 4x  2 .  f  4    34
 f  1 1  
Đạo hàm: f x   2x  4 
 f x  0  x  2   4;1 2;4. Ta có  .  f 2 2 
f 42 
So sánh hai trường hợp, ta được max f x   f  4
   34. Chọn C.  4  ;4
Câu 38. Giá trị lớn nhất của hàm số f x  3
 sin x  cos 2x  sin x 3 bằng 112 A. 0. B. . C. 4. D. 5. 27
Lời giải. Ta có f x  3 3 2
 sin x  cos 2x  sin x 3  sin x 2 sin x  sin x  4.
Đặt t  sin x  1   t  
1 . Khi đó, bài toán trở thành ' Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g t 3 2
 t 2t  t  4 trên đoạn  1   ;1 ' .
t  11  ;1 
Đạo hàm: g t 2
 3t  4t 1 
 gt  0   . 1  t   1   ;1  3 g  1  0  1 112 1 112 112  Ta có g      
max g t  g         
max f x  . Chọn B.      1  ;  1 3 27 3 27 x  27
g 14  sin x 1
Câu 39. Giá trị lớn nhất của hàm số f x   bằng 2
sin x  sin x 1 70 90 110 A. 1. B. . C. . D. . 79 91 111
Lời giải. Đặt t  sin x 1  t  
1 . Khi đó, bài toán trở thành ' Tìm giá trị lớn nhất t 1
của hàm số g t  trên đoạn  1   ;1 ' . 2 t  t 1 75 2    t  0 t t  1   ;1 2
Đạo hàm: g t    gt 2  0  t  2t  0   .   t  t  2 2 t  2    1   ;1 1 
g 1  0 
Ta có g 0  1 
max g t  g0  1 
max f x  1.  Chọn A.  1  ;  1 x   g  2 1   3
Câu 40*. (Đại học Vinh lần 3, năm 2018-2019) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ x
nhất của hàm số f x   2x  cos trên đoạn  2  ;2 bằng 2 A. 4.  B. 2.  C. 0. D. 2.  x
Lời giải. Đạo hàm: f x   2  sin . 2 2   x    x  Vì    sin    0  2   2  sin  2  
 f x 0, x  .  2 2 2 2 2 2 2 2 max 
f x   f 2  3 2;2 
Suy ra hàm f x  đồng biến trên đoạn  2  ;2 nên  . Chọn B. min 
f x  f 2    5 2;2 
Dạng 4. TÌM GTLN – GTNN TRÊN KHOẢNG
Câu 41. Giá trị lớn nhất của hàm số   1 f x  x  trên 0;3 bằng x 3 8 A. 0. B. 3. C. . D. . 8 3 1
Lời giải. Đạo hàm: f x   1  0, x  .  2 x 8
Dựa vào BBT, ta thấy max f x   f   3  . Chọn D. 0;3 3
Nhận xét: Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên 0;3.
Câu 42. Xét hàm f x  3
 x  x cos x  4 trên 0;. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số có giá trị lớn nhất là 5 nhưng không có giá trị nhỏ nhất.
B. Hàm số không có giá trị lớn nhất nhưng có giá trị nhỏ nhất là 5. 76
C. Hàm số có giá trị lớn nhất là 5 và có giá trị nhỏ nhất là 5. 
D. Hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải. Ta có f x  2
 3x 1 sin x  0, x  . 
Dựa vào BBT, ta thấy không tồn tại max f x  nhưng min f x   f 0  5  . Chọn B. 0;   0;  
Câu 43. Xét hàm số   4 f x  x  trên đoạn  1
 ;2. Mệnh đề nào sau đây đúng? x
A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là 4
 và giá trị lớn nhất là 5.
B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là 4
 và không có giá trị lớn nhất.
C. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất nhưng có giá trị lớn nhất là 5.
D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất. 2 4 x   4
Lời giải. Ta có f x   1 
; f x   0  x  2  . 2 2 x x
Dựa vào BBT, ta thấy trên  1
 ;2 hàm số không có giá trị nhỏ nhất và cũng không có
giá trị lớn nhất. Chọn D.
Câu 44. Biết rằng hàm số f x 1  x
  2019  đạt giá trị lớn nhất trên 0;4 tại x . x 0
Tính P  x  2020. 0 A. P  2017.
B. P  2018. C. P  2021. D. P  4037. 2  1 x  1 x  1  0;4
Lời giải. Đạo hàm: f x   1   
; f x   0   . 2 2  x x x  1    0;4  77
Dựa vào BBT, ta thấy hàm số đạt GTLN trên 0;4 tại x  1 
 P  2021. Chọn C. 0 2 Câu 45. Gọi y
là giá trị cực tiểu của hàm số y  f x  2
 x  trên 0;   . Mệnh CT x đề nào sau đây đúng? A. y  min . y B. y  1 min . y C. y  min . y D. y  min . y CT  CT CT CT 0;   0; 0; 0; 3 2 2x  2
Lời giải. Đạo hàm: f x   2x   
 f x  0  x  1. 2 2 x x
Dựa vào BBT, ta thấy trên khoảng 0; hàm số chỉ có một cực trị và là giá trị cực
tiểu nên đó cũng chính là giá trị nhỏ nhất của hàm số. Vậy y  min . y Chọn C. CT 0;   4
Câu 46. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x   3x  2 x
trên khoảng 0;  bằng 33 A. 3 2 9 . B. 3 3 9 . C. 7. D. . 5 8 8 8 8
Lời giải. Đạo hàm: f x   3 ; f x  3 3  0 
 3  x   x  . 3 x 3 x 3 3 78  8
Dựa vào BBT, ta thấy  min f x  3 3  f      3 9. Chọn B. 0;    3 
Câu 47. Giá trị nhỏ nhất của hàm số   1 f x  x  trên 0; bằng x A. 0. B. 1. C. 2. D. 2. 1 1 2  2 x 1 x  1  0;  
Lời giải. Đạo hàm:   x f x  
; f x   0   .  1 1 x  1  0;   2 2 x  2x x   x x
Dựa vào BBT, ta thấy min f x   f   1  2. Chọn C. 0;
Dạng 5. BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ
Câu 48. Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số f x  3 2
 x 3x  a có giá trị nhỏ nhất trên đoạn  1   ;1 bằng 0. A. a  0. B. a  2. C. a  4. D. a  6.
x  0 1  ;1
Lời giải. Đạo hàm: f x  2
 3x 6x 
 f x  0   .  x  2   1    ;1   f   1  a  2 
Ta có  f 0  a 
 min f x  f   1  a  4.   1  ;  1
f  1 a4 
Theo bài ra: min f x   0  a  4  0  a  4. Chọn C. 1;  1
Câu 49. Cho hàm số f x  3  x  2 m   2
1 x  m  2 với m là tham số thực. Tìm tất cả
các giá trị của m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;2 bằng 7. A. m  1. B. m   2. C. m   7. D. m  3.
Lời giải. Đạo hàm: f x  2 2
 3x  m 1 0, x  . 
Suy ra hàm số f x  đồng biến trên 0;2 
 min f x  f 0 2  m 2. 0;2
Theo bài ra: min f x  2
 7  m 2  7  m  3  . Chọn D. 0;2 79 2 x  m
Câu 50. Giá trị lớn nhất của hàm số f x   trên đoạn 0  ;1 bằng x 1 2 1 m 2 1 m A. 2 m  . B. 2 m . C. . D. . 2 2 2 1 m
Lời giải. Đạo hàm: f x    0, x 0  ;1 . x  2 1 2 1 m
Suy ra hàm số f x  đồng biến trên 0  ;1 
max f x  f   1  . Chọn C. 0;  1 2 2 x  m
Câu 51. Gọi S là tập tất cả các phần tử của tham số m để hàm số f x   có x  8
giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;3 bằng 2.
 Tổng các phần tử của tập S bằng A. 16  . B. 8.  C. 0. D. 2. 2 8  m
Lời giải. Đạo hàm: y  
 0, x 0;3. x 82 2 m
Suy ra hàm số f x  đồng biến trên đoạn 0;3 
min f x  f 0   . 0;3 8 2 m
Thao bài ra: min f x   2    2
  m  4. Chọn C. 0;3 8 x  m
Câu 52. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số f x   (với m là tham x 1 16
số thực) thỏa mãn min f x max f x  
. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1;2 1;2 3
A. m  0.
B. 0  m  2.
C. 2  m  4. D. m  4. 1 m
Lời giải. Đạo hàm: f x   . x  2 1
Suy ra hàm số f x  là hàm số đơn điệu trên đoạn 1;2 với mọi m  1. m 1 m  2 16 5m 25
Khi đó min f x  max f x   f   1  f 2       m  5. 1;2 1;2 2 3 3 6 6
Vậy m  5 là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện m  4. Chọn D.
Câu 53. Cho hàm số f x   m x 1 ( m là tham số khác 0). Gọi m , m là hai giá trị 1 2
của m thỏa mãn min f x  max f x 2
 m 10. Tổng m  m bằng  1 2 2;5 2;5 A. 2. B. 3. C. 5. D. 10. m
Lời giải. Đạo hàm: f x  
không đổi dấu trên 2;5. 2 x 1
Do đó min f x  max f x  2
 m 10  f 2 f   2 2
5  m 10  m 3m 10  0. 2;5 2;5 80
Khi đó theo định lí Viet, ta có m  m  3. Chọn B. 1 2 x  m
Câu 54*. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số f x   (với m là tham x 1
số thực) thỏa mãn min f x  3. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2;4 A. m  1. 
B. 1  m  3.
C. 3  m  4. D. m  4. m 1
Lời giải. Đạo hàm: f x    . x  2 1 m 1
TH1. Với m  1
 suy ra f x  
 0; x  1 nên hàm số f x nghịch biến x  2 1 m  4
trên mỗi khoảng xác định. Khi đó min f x  f 4 
 3  m  5 (chọn). 2;4 3 m 1
TH2. Với m  1
 suy ra f x  
 0; x  1 nên hàm số f x đồng biến x  2 1
trên mỗi khoảng xác định. Khi đó min f x   f 2  m  2  3  m  1 (loại). 2;4
Vậy m  5 là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện m  4. Chọn D. x  m
Câu 55*. Cho hàm số f x  2 
với m là tham số thực lớn hơn 1. Tập hợp các x 1
giá trị của m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 0;4 nhỏ hơn 3 là A. 1;  3 . B. 1;3. C. 1;  3 \ 2. D. 1; 5. 2  m x m 2 4
Lời giải. Ta có f x   , f x  1  0   x   x  0;4. 2x   1 x x   2 1 m m Bảng biến thiên  4 
Dựa vào BBT, ta thấy YCBT 2 m 1  f   
  3  m  4  3  m  5   m  1; 5 . 2     m  Chọn D.
Câu 56*. Cho hàm số f x 3 2
 x 3x a  2x  a 3 (với a là tham số thực). Gọi m  M
M , m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số trên 1 2a;2a 3. Tính P  . 2 81 3 A. P  1. B. P  . C. P  3. D. P  6. 2
Lời giải. Điều kiện: 1 2a  2a 3  a  1.
Đạo hàm: f x  2
 3x  6x  a  2  0, x   (do a 1 ).
Suy ra hàm số f x  tăng trên 12a;2a 3 nên
M  f 2a   3 2
3  8a  22a  20a 3  m  M    P   3. Chọn C. m
  f 12a 3 2
 8a  22a 20a  9 2 
Câu 57*. Cho hàm số   4 2
f x  ax  bx  c a  0 có min f x   f   1 . Giá trị nhỏ ;0 1 
nhất của hàm số f x  trên đoạn  ;2  bằng 2    7a 9a A. c  . a B. c  8 . a C. c  . D. c  . 16 16 x  0 
Lời giải. Đạo hàm: f x  3
 4ax  2bx  2x  2
2ax  b; f x  0   b . 2 x    2a
Nhận xét: Hàm số đã cho là hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung. min 
f x   f   1  1    ;2    
Do đó từ giả thiết min f x   f   2 1    . ;0  b    1  2a min 
f x   f   1    1  min  f       
x f   1 a b c ;2   1      Vậy 2   ;2         2    min f x  c . a Chọn A.    1 b   ;2      1 b   2a 2       2a
Dạng 6. TOÁN ỨNG DỤNG
Câu 58. Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi bằng 16 cm thì hình chữ nhật
có diện tích lớn nhất bằng A. 2 16cm . B. 2 20cm . C. 2 30cm . D. 2 36cm .
Lời giải. Gọi a, b  0 lần lượt là chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật.
Diện tích hình chữ nhật: S  . ab *
Biểu thức S phụ thuộc hai biến a và b nên gây khó khăn cho việc xét hàm (vì ta chỉ
xét hàm một biến). Do đó ta cần tìm mối liên hệ giữa a và ,
b mục đích để rút a theo
b (hoặc b theo a ) để đưa S về biểu thức một biến.
Theo giả thiết, ta có 2a  b  16  a  b  8  b  8 .
a Thay vào * ta được
S  ab  a  a 2 8  a   8 . a
Xét hàm f a 2  a
 8a trên 0;8, ta được max f a  16 khi a  4. Chọn A. 82 a b2 2 8
Cách 2. (Dùng bất đẳng thức) Ta có S  ab    16. 4 4
Câu 59. Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích S thì hình chữ nhật có chu
vi nhỏ nhất bằng bao nhiêu? A. 2 S . B. 4 S . C. 2S. D. 4S.
Lời giải. Gọi a, b  0 lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.
Chu vi hình chữ nhật: P  2a  b. *
Mối liện hệ giữa a và b là: S  ab (trong đó S là diện tích cho trước không đổi). S Suy ra b 
. Thay vào * ta được a
 a  b 2S P 2  2a  . a S
Xét hàm f a 2  2a  trên 0; 
 , ta được min f a  4 S khi a  S. Chọn B. a
Cách 2. Ta có P  2a  b  2.2 ab  4 ab  4 S . Dấu '  '' xảy ra  a  b .
Câu 60. [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017] Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm.
Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông
có cạnh bằng x cm, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp
không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
A. x  2. B. x  3.
C. x  4. D. x  6.
Lời giải. Khối hộp có: đáy là hình vuông cạnh bằng 12  2x cm;
chiều cao x cm với 0  x  6.
Thể tích khối hộp V    x2 3 2 12 2
.x  4x  48x 144x.
Xét hàm f x  3 2
 4x  48x 144x trên 0;6, ta được max f x  f 2  128. 0;6
Vậy với x  2cm thể tích khối hộp lớn nhất. Chọn A. Cách 2. Ta có 3          x2 1  x 
 x   x 1 4x 12 2x 12 2x V x 12 2 .4 . 12 2 . 12 2       128.   4 4  3 
Dấu '  '' xảy ra  4 x  12  2x  x  2.
Câu 61. Ông An quyết định bán một phần mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 50m.
Mảnh đất còn lại sau khi bán là một hình vuông cạnh bằng chiều rộng của mảnh đất 83
hình chữ nhật ban đầu. Tìm số tiền lớn nhất mà ông An nhận được khi bán đất, biết giá tiền 2
1m đất khi bán là 1500000 VN đồng.
A. 112687500 VN đồng.
B. 114187500 VN đồng.
C. 115687500 VN đồng.
D. 117187500 VN đồng.
Lời giải. Ông An thu được số tiền lớn nhất khi bán được diện tích đất nhiều nhất. 50
Gọi chiều rộng của mảnh đất là x m. Điều kiện 0  x  . 4
Vì mảnh đất có chu vi 50m, suy ra chiều dài mảnh đất là 25 x m.
Diện tích đất ban đầu S  x 25 x   2 m . 1 
Diện tích đất còn lại 2 S  x  2 m . 2 
Suy ra diện tích đất bán được là f x   S S  x 25 x  x  25x  2x m . 2   2 2 2 1    50 625
Khảo sát hàm f x  2
 25x 2x trên đoạn 0;  ,  
ta được max f x  . 4     50 0;  8  4    625
Số tiền lớn nhất thu được là
.1500000  117187500. Chọn D. 8
Câu 62. Từ một tấm tôn hình chữ nhật người ta cuộn
thành một chiếc thùng hình trụ không đáy (như hình
vẽ). Biết tấm tôn có chu vi bằng 120 cm. Để chiếc thùng
có thể tích lớn nhất thì chiều dài, chiều rộng của tấm tôn lần lượt là
A. 35 cm; 25 cm. B. 30 cm; 30 cm. C. 40 cm; 20 cm. D. 50 cm; 10 cm.
Lời giải. Gọi chiều dài tấm tôn là x cm 0  x  60. Suy ra chiều rộng: 60  x cm. x
Giả sử quấn tấm tôn theo cạnh có kích thước x  bán kính đáy r  và chiều cao 2
h  60  x. Khi đó x   60x
x.x.120 2x 
x  x 1202x3 3 2 Cosi 8000 2 V  r h      3 cm . 4 8 8 .2  7 
Dấu "  " xảy ra  x  120  2x  x  40 cm. Chọn C.
Cách 2. Xét hàm f x  3 2  x
  60x trên 0;60.
Câu 63. Tính diện tích lớn nhất S
của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn max
có bán kính 10cm, biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của đường tròn. A. 2 S  80cm . B. 2 S  100cm . C. 2 S  160cm . D. 2 S  200cm . max max max max 84
Lời giải. Đặt BC  x cm là độ dài cạnh hình chữ nhật
không nằm dọc theo đường kính của đường tròn
0  x 10. Khi đó độ dài cạnh hình chữ nhật nằm dọc trên đường tròn là 2 2
AB  2OB  2. 10  x cm. 
 Diện tích hình chữ nhật: 2 2 2
S  2x 10  x cm . 10 2 
Xét hàm f x  2 2
 2x 10  x trên 0;10, được max f x  f      100. Chọn B. 0;10  2  2 x  2 2 10  x  Cách 2. Ta có 2 2
2.x 10  x  2.  100. 2
Câu 64. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 2 961m ,
người ta muốn mở rộng thêm 4 phần đất sao cho tạo thành
hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn. Biết tâm hình tròn trùng
với tâm của hình chữ nhật (xem hình minh họa). Tính diện tích nhỏ nhất S
của 4 phần đất được mở rộng. min A. S  961 961  2 m . B. S
 1922 961  2 m . min  min  C. S
 1892 946  2 m . D. S
 480,5 961  2 m . min  min 
Lời giải. Gọi x m, y m x  0, y  0 lần lượt là hai kích thước mảnh vườn hình 2 2 x  y
chữ nhật; Rm là bán kính hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn 2 2  R  OB  . 4 Theo đề bài, ta có 2 xy  961m .
Diện tích 4 phần đất mở rộng: 2 S  S S
 R  xy tron ABCD  2 2 x  y  Cosi 2xy  .   xy  . 
 xy  480,5 961. Chọn D. 4 4
Nhận xét. Dấu '  '' xảy ra khi ABCD là hình vuông. Nếu phát hiện đều này thì làm trắc nghiệm rất nhanh. 85
Câu 65. Bạn Nam làm một cái máng thoát
nước, mặt cắt hình thang cân có độ dài hai
cạnh bên và cạnh đáy đều bằng 20 cm , thành
máng nghiêng với mặt đất một góc 
0   90 
 (tham khảo hình vẽ bên). Bạn
Nam phải nghiêng thành máng một góc trong
khoảng nào sau đây để lượng nước mưa thoát được là nhiều nhất? A. 10 ;  30   . B. 30 ;  50   . C. 50 ;  70   . D. 70 ;  90.
Lời giải. Theo yêu cầu bài toán, V  S max thang max
20  40cos20 Ta có S  .20 sin  thang 2
 4001 cossin    3 3
Xét f   sin   sin .
 cos trên 0; , 
 được max f   khi 0
  60 . Chọn C.  2      0  ;  4    2 
Câu 66. Mỗi trang giấy của cuốn sách giáo khoa cần diện tích 2
384cm . Lề trên và lề dưới là 3cm, lề trái và lề phải là
2cm. Hãy cho biết kích thước tối ưu của trang giấy?
A. Dài 23,5cm; rộng 17cm.
B. Dài 24cm; rộng 16cm.
C. Dài 25cm; rộng 15,36cm.
D. Dài 25, 6cm; rộng 15cm.
Lời giải. Trang giấy có kích thước tối ưu khi diện tích phần trình bày nội dung là lớn 384
nhất. Gọi chiều dài của trang giấy là x x  384  8 6  chiều rộng là . x  
Diện tích để trình bày nội dung là f x   x   384 2304 6 
 4  4x   408.    x  x
Xét hàm f x  2304  4  x   408 trên 8 6;    , x  thì hàm số x  ta tìm được tại 24
có giá trị lớn nhất. Chọn B. 86
Câu 67. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 6cm.
Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ. Tìm
tổng x  y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất.
A. x  y  7.
B. x  y  5. 7 2
C. x  y 
. D. x  y  4 2 . 2
Lời giải. Để S
nhỏ nhất  S   S S S lớn nhất (do S EFGH AEH  CG  F D  GH BEF  không đổi).
Tính được 2.S   2x  3y 6  x 6  y  xy  4x 3y  36.   1
Ta có EFGH là hình thang    AEH  CGF AE AH 2 x   AE 
H ∽ CGF        xy  6. 2 CG CF y 3  18 18 Từ  
1 và 2 , suy ra 2S   42 4x   . 
 Để 2S  lớn nhất khi và chỉ khi 4x  nhỏ  x  x 18 18 nhất. Mà 4x   2 4x.  12 2. x x 18 3 2
Dấu '  '' xảy ra  4x   x 
 y  2 2. Chọn C. x 2
Câu 68*. Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí A cách bờ biển
một khoảng AB  5km . Trên bờ biển có một cái kho ở vị
trí C cách B một khoảng là 7km. Người canh hải đăng
có thể chèo đò từ A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc
4km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6km/h. Vị trí của
điểm M cách B một khoảng gần nhất với giá trị nào sau
đây để người đó đến kho nhanh nhất? A. 2,1km. B. 3, 0km. C. 4,5km. D. 7,0km.  2
AM  x 25 km 
Lời giải. Đặt BM  x km 0  x  7   . 
MC  7  x km  2 x  25
Thời gian chèo đò từ A đến M là: t  h. AM 4 7  x
Thời gian đi bộ từ M đến C là: t  h. MC 6 
 Thời gian người canh hải đăng đi từ A đến C là 2 x  25 7  x t  t  t   h. AM MC 4 6 2 x  25 7  x 14  5 5
Xét hàm f x   
trên 0;7, ta được min f x  f 2 5  . 4 6 0;7 12 87
Vậy người đó đến kho nhanh nhất khi vị trí của điểm M cách B một khoảng
x  2 5  4,5km. Chọn C.
Câu 69*. Một sợi dây kim loại dài 60cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất
uốn thành hình vuông cạnh a, đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính r. a
Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số bằng r A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Gọi x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn 0  x  60.
Suy ra chiều dài đoạn còn lại là 60  x. x 2 x
Chu vi đường tròn: 2r  x  r    Diện tích hình tròn: 2 S  .  r  . 2 1 4 2 60 x 
Diện tích hình vuông: S      . 2    4  2 x 60 x    2 2 4
.x 120x  3600
Tổng diện tích hai hình: S       .   4  4  16
4 .x 60 60 4   Đạo hàm: S  
; S   0  x  ; S    0. 8 4   8 60
Suy ra hàm S chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại x 
. Do đó S đạt giá trị nhỏ 4   60 nhất tại x  . 4   60 30 240 a 240 Với x   r  và a      2. Chọn B. 4   4   4  .4 r 120 2 2 2 x 60 x  60
Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz, ta có S       .   4  4  4 16 x 60  x 60 Dấu '  '' xảy ra khi   x  . 4 16 4   88
Câu 70*. Chủ của một nhà hàng muốn làm tường rào bao quanh 2
600m đất để làm bãi đỗ xe. Ba cạnh của
khu đất sẽ được rào bằng một loại thép với chi phí
14000 đồng một mét, riêng mặt thứ tư do tiếp giáp
với mặt bên của nhà hàng nên được xây bằng tường
gạch xi măng với chi phí là 28000 đồng mỗi mét. Biết
rằng cổng vào của khu đỗ xe là 5m. Tìm chu vi của
khu đất sao cho chi phí nguyên liệu bỏ ra là ít nhất,
biết rằng khu đất rào được có dạng hình chữ nhật. A. 75m. B. 100m. C. 125m. D. 150m.
Lời giải. Gọi độ dài của hàng rào xây bằng xi măng là x x  
5 và độ dài hai hàng rào vuông góc với nó là . y
Vì diện tích khu đất rào được bằng 2 600m nên 600
xy  600  y  . x
Độ dài dây thép để làm hàng rào là x   600 1200
5  2 y  x 5  2.  x  5. x x Suy ra tổng chi phí là   f x  1200 16800000  x  5 .14
 000 x.28000  42000x  70000.    x  x
Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có f x  16800000  2 42000x.  5  1610000. x 16800000
Đẳng thức xảy ra khi 42000x   x  20. x  
Suy ra chu vi của khu đất là x  y 600 2  220     100 m.   Chọn B.  20 
Câu 71*. Cho một từ giấy hình chữ nhật với chiều
dài 12cm và chiều rộng 8cm. Gấp góc bên phải của
tờ giấy sao cho sau khi gấp, đỉnh của góc đó chạm
dưới như hình vẽ. Gọi độ dài nếp gấp là y thì giá trị
nhỏ nhất của y là bao nhiêu? A. 3 5. B. 3 7. C. 6 2. D. 6 3.
Lời giải. Gọi các điểm như hình vẽ, kẻ PQ vuông góc với
CD. Đặt BM  x x  8.
Để N chạm đáy CQ thì MB  MC nên x  4. MN NC Ta có M  NC ∽ N  PQ nên  NP PQ 89 x NC x
x 8  x 2 2 3 x 2      y  . 2 2 PB 8  8 x  4 y x
Ta chú ý thêm điều kiện 2 2
PB  AB  12  y  x  12 3 x 2 x 8 x 12 18 6 5 x 18 6 5          
186 5  x  8. x  4 3 x
Xét hàm f x   trên 1  8 6 5;8  ,      min f x f 6 108. x  4  ta được     1  8 6 5;8    Suy ra y
 108  6 3. Chọn D. min
Dạng 7. BIỂU THỨC f x  - ĐỒ THỊ HÀM f x 
Câu 72. (Đại học Vinh lần 2, năm 2018-2019) Cho hàm số f x  có đạo hàm
f x   x x  x  2 1 2 với mọi x  .
 Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên đoạn  1  ;2 là A. f   1 . B. f 0.
C. f 2. D. f   3 . x  0  Lời giải. Ta có 
f x   0  x  1 .  
x  2 nghiem kep  Bảng biến thiên
Dựa vào BBT, suy ra min f x   f 0. Chọn B.  1  ;2
Câu 73. Cho hàm số f x  có đạo hàm
f x  liên tục trên  và đồ thị của hàm
số f x  trên đoạn  2;  6 như hình vẽ
bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. max f x   f 2.  2  ;6
B. max f x   f 0.  2  ;6 90
C. max f x   f 2.
D. max f x   max  f   1 , f 6.  2  ;6  2  ;6
Lời giải. Từ đồ thị của f x, suy ra bảng biến thiên của hàm số f x  nhưu sau
Dựa vào BBT, suy ra max f x   max  f  
1 ; f 6. Chọn D. [ 2  ;6]
Câu 74. Cho hai hàm số y  f x  và y  g x  liên tục trên
 có đồ thị hàm số y  f x là đường cong nét đậm và
y  g x  là đường cong nét mảnh như hình vẽ. Gọi ba giao điểm ,
A B, C của đồ thị y  f x  và y  g x  trên hình vẽ
lần lượt có hoành độ là , a ,
b c. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
hx   f x  g x  trên đoạn a;c  bằng A. h0.
B. ha.
C. hb.
D. hc .
Lời giải. Ta có hx   f x  g x  do thi 
hx  0  x  a hoặc x  b hoặc x  c. Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra min hx   hb. Chọn C. a;c
Câu 75. Cho hàm số y  f x . Đồ thị hàm số y  f x 
như hình bên. Biết rằng f 0 f  
3  f 2 f   5 . Giá trị
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f x trên đoạn 0;5 lần lượt là
A. f 0; f   5 .
B. f 2; f 0. C. f   1 ; f 5.
D. f 2; f   5 .
Lời giải. Từ đồ thị f x  trên 0;5, ta có BBT của hàm số f x  như sau 91
Suy ra min f x   f 2 và max f x   max  f 0; f   5 . 0;5 0;5
Từ giả thiết, ta có f   5  f  
3  f 0 f 2.   1
Hàm số f x  đồng biến trên 2;5   f  
3  f 2. 2 Từ  
1 và 2 , suy ra f   5  f 0 
max f x   f 0, f   5   f   5 . Chọn D. 0;5 92
ÑÖÔØNG TIEÄM CAÄN 1. Khái niệm
Cho hàm số y  f x  có đồ thị C . Điểm M  C , MH là khoảng cách từ
M đến đường thẳng d. Đường thẳng d gọi là tiệm cận của đồ thị hàm số nếu
khoảng cách MH dần về 0 khi x   hoặc x  x . 0 2. Tiệm cận ngang
Cho hàm số y  f x  xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng a;   ,  ;  b hoặc  ;  
 ). Đường thẳng y  y được gọi là đường tiệm cận 0
ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y  f x  nếu ít nhất một trong các
điều kiện sau được thỏa mãn
lim f x   y ; lim f x  y . 0   0 x  x 
Đường thẳng y  y là tiệm cận ngang Đường thẳng y  y là tiệm cận ngang 0 0
của đồ thị (khi x   ).
của đồ thị (khi x   ).
3. Tiệm cận đứng
Đường thẳng x  x được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ 0
thị hàm số y  f x  nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
lim f x   ,
 lim f x   ,  x  x x  x 0 0
lim f x   ,
 lim f x   .    x  x  0 x x0 93
Đường thẳng x  x là tiệm cận đứng của Đường thẳng x  x là tiệm cận đứng của 0 0 đồ thị (khi x x  ). đồ thị (khi x x   ). 0 0
Dạng 1. BẢNG BIẾN THIÊN
Câu 1. [ĐHSP Hà Nội lần 4, năm 2018-2019] Cho hàm số y  f x  có đạo hàm 1   trên  \  
và có bảng biến thiên như sau: 2  
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta có:  1 f x  1 1 lim   
 y   là TCN.  lim f x     x  là TCĐ. x  2 2 1 x  2 2
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 2 đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn B.
Câu 2. Cho hàm số y  f x  có đạo hàm trên  \  1
 và có bảng biến thiên
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 94
 lim f x  5   y  5 là TCN;
 lim f x  2   y  2 là TCN. x  x 
 lim f x   
 x  1 là TCĐ. x  1 
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 3 đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn C.
Câu 3. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2018-2019] Cho hàm số y  f x  có bảng biến thiên
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
 lim f x  2   y  2 là TCN;
 lim f x     x  0 là TCĐ. x   x  0
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 2 đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn B.
Câu 4. [KHTN Hà Nội lần 1, năm 2018-2019] Cho hàm số y  f x  có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Chọn B.
Câu 5. Cho hàm số y  f x  xác định trên  \0, liên tục trên mỗi khoảng xác
định và có bảng biến thiên như sau: 95
Trong các mệnh đề sau đây có bao nhiêu mệnh đề đúng?
i) Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2. ii) Trên khoảng 0; 
 , hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1.
iii) Hàm số có 2 điểm cực trị.
iv) Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang và một đường tiệm cận đứng. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
 lim f x  2 nên không tồn tại x để f x  2. Do đó i) sai. 0  0 x   Dễ thấy ii) đúng
 Tại x  0 hàm số không xác định nên x  0 không là điểm cực trị. Do đó iii) sai.
 lim f x  2   y  2 là TCN;
 lim f x     x  0 là TCĐ. x  x  0
Do đó iv) đúng. Vậy có tất cả 2 mệnh đề đúng. Chọn B.
Câu 6. Cho hàm số y  f x  có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Chọn C.
Câu 7. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Cho hàm số y  f x  có bảng biến thiên 96
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Từ bảng biến thiên, ta có:  lim y  0   y  0 là TCN. x 
 lim y     x  2  là TCĐ;
 lim y     x  0 là TCĐ.   x  2   x  0
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 3 đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn C.
Câu 8. Cho hàm số y  f x  có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Từ bảng biến thiên, ta có:
 lim y   
 đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. x 
 lim y     x  2  là TCĐ;
 lim y     x  1 là TCĐ.   x  2   x 1
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 2 đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn B.
Câu 9. Cho hàm số y  f x  có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Từ bảng biến thiên, ta có:
 lim f x  0   y  0 là TCN;
 lim f x  1   y  1 là TCN. x  x 
 lim f x     x  1 là TCĐ;
 lim f x  2   x  2  khônglàTCĐ.   x 1  x     1 97
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 3 đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn C.
Câu 10. [ĐHSP Hà Nội lần 1, năm 2018-2019] Cho hàm số y  f x  có bảng biến thiên như sau: 1
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g x   là 2 f x 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. Dựa vào BBT, ta có:
 f x   f x 1 2 1 0
 có hai nghiệm phân biệt. Suy ra ĐTHS gx có 2 TCĐ. 2  f x 1 lim  1   lim  x x  f x  1 2 1   Lại có    y  1 
là TCN của ĐTHS g x .  f x  1 lim  1   lim  x x   f x  1 2 1 
Vậy đồ thị hàm số g x  có tất cả 3 đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn D.
Câu 11. Hàm số y  f x  xác định và có đạo hàm trên  \1  ;1 , có bảng biến thiên như sau: 1
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g x   là f x 1 A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. x  0
Lời giải. Dựa vào BBT, có f x   1     
ĐTHS g x  có hai TCĐ.
x  a   ;    1  98  f x  1 lim     lim    y  x
x  f x  0 0 TCN 1  Lại có  .   f x  1 lim  0   lim     y   x x   f x  1 1 TCN 1 
Vậy đồ thị hàm số g x  có tất cả 4 đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn C.
Câu 12. Cho hàm số y  f x  có đạo hàm trên  \  1
 và có bảng biến thiên 1
Đồ thị hàm số g x  
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 2 f x  9 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
 f x 3   1
Lời giải. Xét phương trình 2 f x  9 0     . 
Dựa vào BBT, ta thấy mỗi f
 x  3 2  phương trình  
1 và 2 đều có một nghiệm (hai nghiệm này khác nhau)   Đồ thị
hàm số g x  có 2 đường TCĐ. Chọn C.
Câu 13*. Cho hàm số    3 2 y
f x  x  bx  cx  d có bảng biến thiên như hình vẽ: 2 x  2x
Đồ thị hàm số g x  
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 21 2
f x 5 f x  4 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.   f x 3    1 21  2 Lời giải. Xét 2
f x 5 f x   0   . Dựa vào BBT, ta thấy: 4   f x 7  2  2   
1 có nghiệm duy nhất x  0 99   f x 3
  x.hx với hx là hàm bậc hai và hx  0 vô nghiệm. 2
 2 có nghiệm x  2 (nghiệm kép) và x  a 0  ;1   f x 7
  x ax 22 . 2 x x  2 1
Do đó g x    .
x ax 22 .xhx x ax 2.hx
Suy ra đồ thị hàm số g x  có 2 đường tiệm cận đứng là x  a và x  2. Chọn B. Dạng 2. ĐỒ THỊ
Câu 14. (ĐHSP Hà Nội lần 2, năm 2018-2019) Cho hàm
trùng phương y  f x  có đồ thị như hình vẽ. Số đường tiệm 1
cận đứng của đồ thị hàm số g x   là f x 1 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. ĐTHS g x  có số đường tiệm cận đứng là số nghiệm của phương trình
f x 1  0  f x   1  .
Dựa vào đồ thị, ta thấy phương trình f x   1
 có 3 nghiệm phân biệt.
Vậy đồ thị hàm số g x  có 3 đường tiệm cận đứng. Chọn C.
Câu 15. Cho hàm trùng phương y  f x  có đồ thị như
hình vẽ. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ x
thị hàm số g x   là
f x  f x 1   A. 6. B. 8. C. 9. D. 10.
 f x 0
Lời giải. Xét f x  f x 1  0   .    Dựa vào đồ f  x  1 
thị, ta thấy phương trình f x  f x 1  0   có 8 nghiệm
phân biệt trong đó không có nghiệm nào bằng 0 ( 0 là nghiệm của tử) 
 đồ thị hàm số có 8 đường tiệm cận đứng.
Lại có g x  là hàm phân thức hữu tỷ với bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu 
 đồ thị hàm số g x có đúng một tiệm cận ngang là y  0. 100
Vậy đồ thị hàm số g x  có tất cả 9 đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn C.
Câu 16. Cho hàm trùng phương y  f x  có đồ thị như hình
vẽ. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g x  2019   là f x  2020 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
2019  2020 f x 
Lời giải. Ta có g x  
Dựa vào đồ thị, ta thấy f x  .
 f x 0,x   
2019  2020 f x 0,x   (nghĩa là tử không có nghiệm). x    f x 2  0     
Đồ thị hàm số có 2 TCĐ: x  2 và x  2. x  2 
Ta có lim f x    
 lim g x  2020 
 Đố thị hàm số có TCN: y  2020. x  x 
Vậy đồ thị hàm g x  số có tất cả 3 đường tiệm cận (ngang và đứng). Chọn C.
Câu 17*. Cho hàm số bậc ba    3 2 y
f x  x  bx  cx  d có đồ 2 x 1
thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số g x   có bao 2
f x  4 f x 
nhiêu đường tiệm cận đứng? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
 f x 0   1 Lời giải. Xét 2
f x  4 f x  0     . 
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy f x    4 2    
1 có nghiệm x  x  ;  1
 (nghiệm đơn) và x  1 (nghiệm kép) 1   
 f x  x  x x  2 1 . 1
 2 có nghiệm x  1 (nghiệm kép) và x  x  1; (nghiệm đơn) 2   
 f x4  x  2 1 x  x . 2  x   1 x   1 1
Do đó g x   
x  x x 1 . x 1 x  x x  x
x 1 . x 1 x  x 1  2  2  2   1     2  
 đồ thị hàm số g x có 4 đường TCĐ. Chọn D. 101
Câu 18*. Cho hàm bậc ba y  f x  có đồ thị như hình. Số f x 
tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g x   là x  2  2 1 x  4x   3 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. x  2 1 x 2 2
Lời giải. Từ giả thiết suy ra f x   x  
1 x  2. Khi đó g x   . x  2 1 x   1 x   3 Vì
f x  có TXĐ: D   
1 2; nên x  1, x  1 không là các đường TCĐ 
 đồ thị hàm số g x có 1 đường tiệm cận đứng là x  3. Chọn A.
Nhận xét: Học sinh dễ nhầm lẫn x  1 cùng là một đường TCĐ.
Dạng 3. TÌM TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ x  2
Câu 19. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Đồ thị hàm số y  có bao nhiêu 2 x  4 đường tiệm cận? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. TXĐ: D   \2. Ta có:  lim y  0   y  0 là TCN. x    x 2 lim y  lim   
 x  2 là TCĐ; 2 x  2  x  2  x  4 x  2 1 1 lim y  lim  lim  
 x  2 không là TCĐ. 2 x 2 x 2 x 2 x  4 x  2 4
Vậy đồ thị hàm số có 1 đường TCN và 1 đường TCĐ. Chọn C. 2 x 3x  4
Câu 20. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Đồ thị hàm số y  có bao nhiêu 2 x 16
đường tiệm cận đứng? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. TXĐ: D   \ 4  . Ta có: 2 x  3x  4 x   1 x  4   x 1 lim y  lim  lim  lim   
 x  4 là TCĐ; 2 x 4 x 4 x 4 x 16
x  4x 4 x4 x  4 2 x 3x  4 x   1 x  4   x 1 5 lim y  lim  lim  lim  
 x  4 không là TCĐ. 2 x  4 x  4 x  4 x 16
x  4x 4 x4 x  4 8
Vậy đồ thị hàm số có 1 đường TCĐ. Chọn B. 102 3 x  4x
Câu 21. (Đại học Vinh lần 1, năm 2018-2019) Đồ thị hàm số y  có bao 3 x  3x  2
nhiêu đường tiệm cận? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. TXĐ: D   \1;2. Ta có:  lim y  1   y  1 là TCN. x 
x x 2x  2  lim y  lim     x  1  là TCĐ; x  x 
x 2x  2 1 1 1
x x  2x  2 x x  2 8 lim y  lim  lim  
 x  2 không là TCĐ. x  x 
x 2x  2 1 x  x  2 2 2 2 1 9
Vậy đồ thị hàm số có 1 đường TCN và 1 đường TCĐ. Chọn B. 3x  2
Câu 22. Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận? x 1 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. TXĐ: D   
 Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. 3x  2 Ta có lim  3    y  3  là TCN; x  x 1 3x  2 lim  3   y  3 là TCN. x  x 1
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường TCN và không có đường TCĐ. Chọn B. 2 x 1
Câu 23. Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận? 2 x  x  2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. TXĐ: D   \2;2. Ta có 2   x 1 lim y  lim  1   y  1 là TCN. 2 x 
x  x  x  2
 lim y   
 x  2 là TCĐ; lim y     x  2 là TCĐ. x  2  x 2
Vậy đồ thị hàm số có 1 đường TCN và 2 đường TCĐ. Chọn C. 2 x  2x 1
Câu 24. Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận? 2 x 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.  1 
khi x  1, x  1 2  x  2x 1 x 1 x 1
Lời giải. Ta có y     . 2 2 x 1 x 1  1   khi x  1   x 1
 Dễ thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1. 103 2    x 2x 1 lim y  lim  0   y  0 là TCN. 2 x  x  x 1
Vậy đồ thị hàm số có 1 đường TCN và 1 đường TCĐ. Chọn C.
Câu 25. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Đồ thị hàm số nào trong các hàm số dưới
đây có tiệm cận đứng? 1 1 1 1 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . x 4 x 1 2 x 1 2 x  x 1
Lời giải. Nhận thấy các đáp án B, C, D hàm số có TXĐ: D   nên không có TCĐ.
Dùng phương pháp loại trừ thì A đúng. Chọn A. 1 1
(Thật vậy; hàm số y  có lim y  lim     x  0 là TCĐ) x   x 0 x 0 x
Câu 26. [ĐỀ THAM KHẢO 2017-2018] Đồ thị hàm số nào trong các hàm số dưới
đây có tiệm cận đứng? 2 x 2 x 3x  2 x A. y  . B. y  . y  x  y  2 D. . x 1 x  C. 2 1. 1 x 1
Lời giải. Quan sát các đáp án ta dự đoán là B hoặc D.
Xét đáp án D thấy x  1 là nghiệm của mẫu và không là nghiệm của tử nên đáp án
D là đúng. Chọn D. x 7
Câu 27. Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 2 x  3x  4 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. TXĐ: D  7;   . Vì 2
x  3x  4  0, x  D. Do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Chọn A. x 1
Câu 28. Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận? 2 4x  2x 1 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải. Ta có 2
4x  2x 1  0, x   
 TXĐ của hàm số D   . Do đó đồ thị
hàm số không có tiệm cận đứng. x 1 1 1 Xét lim    y  là TCN; x  2   2 2 4x 2x 1 x 1 1 1 lim     y   là TCN. x  2   2 2 4x 2x 1
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường TCN. Chọn B. 104 x  9 3
Câu 29. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2017-2018] Đồ thị hàm số y  có bao nhiêu 2 x  x
đường tiệm cận đứng? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. TXĐ: D   9;  \0;  1 . Ta có    x 9 3 lim y  lim     x  1  là TCĐ; 2 x 1 x 1 x  x  x 1 1 lim y  lim  lim  
 x  0 không là TCĐ. x 0 x 0  2
x  x  x  9   x 0 3 x   1  x  9   3 6
Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng. Chọn B.
Câu 30. [ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016-2017] Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ 2
2x 1 x  x  3 thị hàm số y  . 2 x 5x  6
A. x  3 và x  2. B. x  3.
C. x  3 và x  2. D. x  3.
Lời giải. TXĐ: D  \ ; 2  3 . 2x  2 1  2 x  x   3  lim y  lim x 2   x 2  2
x 5x  6 2
2x 1 x  x  3 (3x 1) 7  lim   
 x  2 không là TCĐ.  x 2 x   2
x   x  x   6 3 2 1 3
 lim y   
 x  3 là TCĐ. Chọn D. x 3 x  3
Câu 31. Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận? 2 9  x A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. TXĐ: D   3  ;  3 
 không tồn tại lim y và lim y. x  x  
Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Ta có:     x 3 x 3 x 3 lim  lim  lim  0 
 x  3 không là TCĐ; x 3 2 x  3  x 3  9  x 3 x . 3  x 3  x     x 3 x 3 x 3 lim  lim  lim     x  3 là TCĐ.    x 3 2 x 3 x 3 9  x 3 x . 3  x 3 x 105
Vậy đồ thị hàm số có 1 đường TCĐ. Chọn B. 2 16  x
Câu 32. Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận? 2 x 16 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. TXĐ: D   4
 ;4. Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Ta có: 2      16 x  1  lim  lim       x     4 là TCĐ;  2    x 4 x 4   2 x 16  16 x  2      16 x  1  lim  lim         x  4 là TCĐ.  2     x 4 x 4 2 x 16  16 x 
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường TCĐ. Chọn C. 2 2x 3  x
Câu 33. Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận? 2 x  x  2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. TXĐ:  D 3 ; 3   \  1 .  
Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.  2  2x 3  x lim     2 x1  x  x  2 Ta có    x  1  là TCĐ. 2  2x 3 x lim    2 x 1   x  x  2
Vậy đồ thị hàm số có 1 đường TCĐ. Chọn A. 2 2  x 1
Câu 34. Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận? 2 x 3x  2 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. TXĐ:  D 2 ; 2    \   1 .  
Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.  2  2  x 1 lim  0   2 x1  x 3x  2 Ta có    
đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. 2  2  x 1 lim  0  2 x 1   x 3x  2
Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận. Chọn A. 2 x 3x  2
Câu 35. Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 3 4 x 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. TXĐ: D   \ 1   ;1 . Ta có 106 2 2      x 3x 2 x 3x 2 3 lim  lim   
 x  1 không là TCĐ;   x 1  3 4 x 1  3 4   4 x 1 x 1 2  x 3x  2  lim    x  3 4 1    x 1  
 x  1 là TCĐ. 2  x 3x  2  lim     x  3 4 1  x 1
Vậy đồ thị hàm số có 1 đường TCĐ. Chọn B.
Câu 36. Đồ thị hàm số 2 y 
x  2x  3  x có bao nhiêu đường tiệm cận ngang? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. Ta có      3             x      lim       x x x x              x   2 2 3 2 2 3  lim lim 1 x  2   x  2x  3 x  x     2 3      1  1   2  .  x x                               lim x x x x x  x               x   2 3 2 3 2 2 3  2 lim 1 lim 1 1 2 2 x     x x x        x x  
Vậy đồ thị có một đường tiệm cận ngang là y  1 . Chọn B. x 1
Câu 37. Cho hàm số y 
. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị 2 x 1 hàm số đã cho là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. TXĐ: D   1   ;1 1; . Ta có 1 1  3 4   x 1 x x lim y  lim  lim  0   y  0 là TCN. 2 x 
x  x 1 x  1 1 2 x  x 1 1 lim y  lim  lim       x 1  x 1   x   1 x   x 1 1 
x 1x   1      x  1  là TCĐ;  x 1 1 lim y  lim  lim       x 1  x 1  x   1 x   x 1 1  x 1x    1  x 1 1 lim y  lim  lim   
 x  1 là TCĐ;.    x     1 x     1 x   1 x   1 x     1 x   1 x 1
Vậy đồ thị hàm số có 1 đường TCN và 2 đường TCĐ. Chọn C. 107 Câu 38. Gọi ,
n d lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số đường tiệm cận đứng của 1 x
đồ thị hàm số y 
. Khẳng định nào sau đây là đúng? x   1 x
A. n  d  1.
B. n  0; d  1.
C. n  1;d  2.
D. n  0; d  2.
Lời giải. TXĐ: D  0  ;1 
 Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. x 
Xét phương trình x   0 1 x  0   .  Ta có x  1    1 x lim     x  0 là TCĐ;  x 0 x   1 x    1 x 1 lim  lim     x  1 là TCĐ. x 1 x      x 1 1 x  x 1 x
Vậy n  0; d  2. Chọn D. x 1
Câu 39. Cho hàm số y 
. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của 2 2x 1 1
đồ thị hàm số đã cho là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.  1   1 
Lời giải. TXĐ:   D   ;      ;\ 1  ;1 .    2   2      x 1 1 1 lim    y  là TCN; x  2 2x 1 1 2 2 x 1 1 1 lim     y   là TCN. x  2 2x 1 1 2 2 x   1  2 2x 1   1 2    2x 1 1 lim y  lim    
 x   là TCĐ; x  x  2 lim 1 2 1 1 x   x 1 1  2x   1 x   1  2 2x 1   1 2 2x 1 1 1 lim y  lim   
 x  không là TCĐ. x  x  2 lim 1 2 1 1 x   x 1 1  2x   1 2
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường TCN và 1 đường TCĐ. Chọn C.  2  x 1  khi x  1  Câu 40. Cho hàm số x y   . 
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận  2x  khi x  1 x 1
đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Ta có 108  2x lim y  lim  2   y  2 là TCN; x 
x  x 1 2 x 1 lim y  lim  1   y  1 là TCN. x  x  x  2x lim y  lim     x  1 là TCĐ.   x 1  x 1  x 1
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường TCN và 1 đường TCĐ. Chọn C.
Dạng 4. BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ
Câu 41. Cho hàm số y  f x  liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ 1
Tìm tất cả các số thực m để đồ thị hàm số g x  
có 3 đường tiệm cận đứng?
f x  m A. m  5. B. m  5.
C. 5  m  4.
D. 5  m  4. 1
Lời giải. Để đồ thị hàm số g x  
có ba tiệm cận đứng thì phương trình
f x  m
f x  m  0 có ba nghiệm phân biệt. Dựa vào BBT 
 m  5. Chọn B. m2n  3 x  5
Câu 42. Biết rằng đồ thị hàm số y 
nhận hai trục tọa độ làm hai
x  m  n
đường tiệm cận. Tính tổng 2 2
S  m  n  2.
A. S  1.
B. S  0.
D. S  1.
D. S  2.
Lời giải. Dễ dàng có được: x  m  n là TCĐ và y  m  2n 3 là TCN. m   n  0 m   1   Từ giả thiết, ta có 2 2    
S  m  n 2  0. Chọn B. m  2n 3  0 n   1   2x 1
Câu 43. Tìm trên đồ thị hàm số y 
những điểm M sao cho khoảng cách từ x 1
M đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của đồ thị.  7 A. M   4;    hoặc M 2;  5 . B. M 4;  3 hoặc M 2  ;1 .  5  7 C. M 4;  3 hoặc M 2;  5 . D. M   4;  
 hoặc M 2  ;1 .  5 109
Lời giải. Đường tiệm cận đứng  : x  1; đường tiệm cận ngang  : y  2.  2a 1
Gọi M a ;  
 với a  1 là điểm thuộc đồ thị.  a 1     2a 1 a  4 M 4 ;  3
Ycbt  d M ,  3d M ,  a 1  3 2     .   Chọn B.    a 1 a  2  M  2     ;1  2
2x 3x  m
Câu 44. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  không x  m có tiệm cận đứng. A. m  0 .
B. m  1, m  2 .
C. m  0, m  1 . D. m  1 .
Lời giải. TXĐ: D   \m.
x m2x 2m 
3  2mm   1 2mm   1 Ta có y 
 2x  2m 3  . x  m x  m
Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì các giới hạn lim y tồn tại hữu hạn  x m  
 mm   m 1 2 1  0   .  Chọn C. m  0 
Cách 2. YCBT  Phương trình 2
2x  3x  m  0 có một nghiệm là x  m m  0 2 
 2m 3m  m  0  2mm   1  0   . Chọn C. m  1  x 1
Câu 45. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  có 2 x  2mx  4 ba đường tiệm cận là  5  5  A.  ;
 22;. B.  ;        ; 2  .      2  2   5  5  C.  ;        ; 2  2;   . D. 2;   .     2  2  x 1
Lời giải. Ta có lim  0 
 y  0 là TCN với mọi . m 2
x  x  2mx  4
Do đó ycbt  phương trình 2
x  2mx  4  0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 m  2       2  0  m   4  0     m  2         . Chọn C.    2 1  2 . m   1  4  0 2  m 5  0     5 m     2 110
Câu 46. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn  202  0;2020 để x  2
đồ thị hàm số y 
có hai tiệm cận đứng? 2
x  4x  m A. 2020. B. 2022. C. 2023. D. 2024. Lời giải. Ycbt 2
 x  4x  m  0 có hai nghiệm phân biệt khác 2      0   4 m  0 m   4            2
 2 4.2 m  0 m  12  0 m   12      m  
 m  2020;...;0;1;2;  3 \ 12 . m   2020 ;2020
Vậy có tất cả 2023 giá trị nguyên thỏa mãn. Chọn C. x  2
Câu 47. Cho hàm số y 
với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên 2
x  4x  m
m để đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. x  2
Lời giải. Ta có lim  0 
 y  0 là TCN với mọi . m 2
x  x  4x  m
Do đó YCBT  đồ thị hàm số có 1 TCĐ  phương trình 2
x  4x  m  0 có nghiệm
kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 2 
  4m  0    m  4   
   4 m  0    .   Chọn C.  m  12      2
 2 42 m  0  
Câu 48. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc  1
 2;12 để đồ thị hàm số x  2 y 
có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng? 2
x  4x  m A. 8. B. 9. C. 10. D. 11. x  2
Lời giải. Ta có lim  0 
 y  0 là TCN với mọi . m 2
x  x  4x  m Do đó YCBT 2
 x  4x  m  0 vô nghiệm    0  m  4. Chọn A.
Nhận xét. Bạn đọc dễ nhầm lẫn mà xét thêm trường hợp mẫu thức 2
x  4x  m  0
có nghiệm x  2 
 m  12. Điều này là sai, vì với m  12 thì hàm số trở 1 thành y 
. Đồ thị này vẫn còn TCĐ là x  6. x  6 x 1
Câu 49. [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017] Cho hàm số y 
với m là tham số 2 mx 1
thực. Tập hợp các giá trị m để đồ thị của hàm số có 2 tiệm cận ngang là A.  ;  0. B. 0. C. 0;   . D. .  111
Lời giải. Với m  0 thì hàm số có TXĐ là một khoảng không chứa  nên đồ thị hàm số không có TCN.
Với m  0 suy y  x 1 
 đồ thị hàm số không có tiệm cận. Khi m  0, ta có: 1 1   x 1 1 1 x lim  lim    y  là TCN; x  2 mx 1 x  1 m m m  2 x  1    1 x 1    1        x 1 1 x lim y  lim      y   là TCN. x  x  1 1 m m x m  m  2 2 x x
Vậy với m  0 thì đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang. Chọn C. 2 x  2
Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  có 4 mx  3
đường tiệm cận ngang. A. m  0. B. m  0. C. m  0. D. m  0.  3 3 
Lời giải.  Với m  0, khi đó hàm số có TXĐ: 4 4 D    ;     là một khoảng  m m 
không chứa  nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.  1 2 Với 2 m  0   y  .x  . Khi đó lim y  ,
 suy ra đồ thị không có TCN. 3 3 x   2  2   2 x 1     2 1   2    x 1 x
Với m  0, khi đó hàm số có TXĐ: D   và lim  lim  x  3 x  3 m 2 x m  m  4 4 x x 1   y  là TCN. Chọn C. m
Câu 51. Biết rằng đồ thị của hàm số 2
y  2x  ax  bx  4 có một đường tiệm cận ngang y  1.
 Giá trị của biểu thức 2
P  2a b bằng A. 72  . B. 8.  C. 8. D. 72.
Lời giải. Ta có:  y         2 lim lim 2x ax bx 4  . x x
4  a x bx  4  lim y  lim      2x ax bx 4    2 2 lim . x x x  2
2x  ax  bx  4 4a 2 x bx  4
Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y  1 nên lim  1 x  2
2x  ax  bx  4 112 4 a  0  a   4   2   b    
 P  2a b  8.  Chọn B.  1 b   4   2  a
Câu 52. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số a để đồ thị hàm số 2
y  ax  4x 1 có tiệm cận ngang? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. 2 2 a  4 x 1
Lời giải. Ta có lim y  lim ax  x   x  x   2 4 1   lim . x  2 ax  4x 1  2 a  4 2 x 1  Với 2
a  4  0 ta có lim   
 Đồ thị hàm số không có TCN. x  2 ax  4x 1  2a 4 2 x 1   1 Với 2
a  4  0  a  2 ta có lim  lim  0   Đồ thị x  2 x  2 ax  4x 1 ax  4 x 1
hàm số có TCN là y  0. Vậy a  2 thỏa mãn. Chọn C. 1
Câu 53*. Cho hàm số y 
với m là tham số. Tập hợp các 2 x   2m  
1 x  2m x  m  
giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận là         A. 0  ;1 . B. 0  ;1 . C.   1 0;1 \ .   D.   1 ;1 \ . 2   2  
Lời giải. TXĐ: D  m;. Xét phương trình 2
x 2m   1 x  2m  0
x  1, x  2m 2       x  2m  1 x 2m
x  m  0    .      0 x    m x m  
Ta có lim y  0 
 Đồ thị hàm số có TCN: y  0. x  1   2m  1  m    
Khi đó YCBT  đồ thị hàm số có 3 đường TCĐ  1   m   2 .   Chọn C.   2  m  m 0   m 1   x 1
Câu 54*. Cho hàm số y 
với m là tham số. Có bao nhiêu số 2
2x  2x  m  2  x 1
nguyên m thuộc đoạn  3
 ;6 để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận? A. 7. B. 8. C. 9. D. 10. 113  1  lim y  x  2 1
Lời giải. Ta có    
Đồ thị hàm số có 2 đường TCN. 1  lim y  x   2 1
Khi đó YCBT  đồ thị hàm số có 2 đường TCĐ  2
2x  2x  m  2  x 1  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1. x 1  Ta có 2
2x  2x  m  2  x 1   . * 2
x 4x m 1 0 
Để * có 2 nghiệm phân biệt khác 1     0 m  3  0      2 m   2 1
  4.1m 1  0    3  m  6      1 x x2 4        Chọn B.   x  1    x   1 x   * * . 1 x x2 m 1 1  0   1 2 m 2    1      x  1  
 x 1  x 1  0  2  1   2   1 x 1
Câu 55*. Cho hàm số y 
với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị 2
x 1 mx  2m
nguyên m để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Ta có x 1 xác định khi x  1.
Yêu cầu bài toán  phương trình 2
x 1 m x  2m  0 có hai nghiệm phân biệt x , 1 2   0 m  10m 1 0       x thỏa mãn 1
  x  x  x  x  2   1  m  2  2 1 2 1 2      . a f    1  0 1  .m  2 0   2 5 2 6 m m       
m  1;0. Chọn B.
Nhận xét: Vấn đề đặt ra là sao không thể cho 1  x  x ? Vì x  1  m  2, suy 1 2 1 x  1
ra x  4. Lúc đó mẫu thức là x  
1 x  4 xác định khi  . Suy ra điều kiện 2 x  4 
xác định của hàm số là x  4   đường x  1
 không là đường tiệm cận. 1 x 1
Câu 56*. Cho hàm số y 
với m là tham số. Tập hợp các giá trị của 2
x  mx 3m
tham số m để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là  1  1 A. 0; .    B. 0; .  2  2
C. 0;. D.  ;  1
 20;.
Lời giải. Ta có x 1 xác định khi x  1  . 114
Yêu cầu bài toán  phương trình 2
x  mx  3m  0 có hai nghiệm phân biệt x , x 1 2 2   0 m  12m  0     1   thỏa mãn 1
  x  x  x  x  2   m   2
 0  m  . Chọn A. 1 2 1 2      . a f    1  0    m 2 1. 1 2  0   2 12  4x  x
Câu 57*. Cho hàm số y 
với m là tham số. Tập hợp các giá trị của m 2
x  6x  2m
để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là  9  9 A. 0;4. B. 0;4. C. 4; .     D. 4; .    2  2  Lời giải. Ta có 2
4x  x xác định khi 0  x  4.
Yêu cầu bài toán  phương trình 2
x  6x  2m  0 có hai nghiệm phân biệt x , x 1 2    0 9    2m  0      . a f 0  0 m   0   9 
thỏa mãn 0  x  x  4    
 4  m  . Chọn C. 1 2  . a f  4 0 2  m 8  0 2      0
  x  x  8 0   6  8   1 2
Nhận xét: Giải thích tại sao không lấy dấu '  '' tại 0 và tại 4.
Với x  0  m  0, suy ra x  6  0;4 . 2   1
Với x  4  m  4, suy ra x  2  0;4 . Ta thấy điều kiện của căn ở tử là 0;4, còn 2   1
khi m  4 thì điều kiện của căn ở mẫu là  ;
 24;. x 3
Câu 58*. Cho hàm số y 
với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị 2 x  mx  4
nguyên m để đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải. Ta có:   x 3 1 lim y  lim  với m  0 ; x  x  2 x  mx  4 1 m   x 3 1 lim y  lim 
với m  0, m  1. x  x  2 x  mx  4 1 m  3    4         x   3  2
x  4  x  1 1 1    2  x  x  Nếu m  1 thì 2 lim y  lim  lim x .   ,  x  x  4 x  4 1  1 
suy ra đồ thị hàm số có đúng một TCN là y  do lim y  khi m  1 .    Do đó giá 2 x   2  trị m  1 thỏa. 115 m   0  1 1 Nếu 
, để đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang    m  0. m   1  1 m 1 m
Vậy m  0, m  1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C. 2 2x  mx 1
Câu 59*. Cho hàm số y 
với m là tham số. Có bao nhiêu số nguyên x  2 1
m thuộc đoạn  1
 0;10 để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng? A. 10. B. 11. C. 12. D. 13.
Lời giải. Ta có lim      với m  1
 . Do đó với m  1  thì hàm   2 2x mx 1 2 m 1 x 1 
số không có giới hạn khi x  1 nên đồ thị hàm số không có TCĐ. lim          2 2x mx 1 m  1 2 m 1 0   x 1 Với  thì  
 lim y   nên đồ thị hàm m   3   x  limx  2 1 1  0 x 1 
số có TCĐ là x  1. 2 2     2x 3x 1 x 1
Với m  3 ta có lim y  lim  lim x x x  2 1 x x  2 1 1 1 1  2
2x  3x 1 x 1  lim
  nên ĐTHS có TCĐ là x  1. x 1   2
2x  3x 1x   1
Vậy để đồ thị hàm số có TCĐ  m  1 m
 m  1;0;1;2;...;10 Chọn C. m  .  10  ;10
Câu 60. Cho hàm số f x  thỏa mãn f  x  4 tan
 cos x . Tìm tất cả các giá trị thực của 2019
tham số m để đồ thị hàm số g x  
có hai đường tiệm cận đứng.
f x  m A. m  0.
B. 0  m  1. C. m  0. D. m 1. 2 1 1
Lời giải. Ta có f tan x  4  cos x   2 cos x  
. Suy ra f x   . tan x  2 2 1 x  2 2 1 2019
Để đồ thị hàm số g x  
có hai đường tiệm cận đứng  phương trình
f x  m 1
f x  m  0 có hai nghiệm phân biệt 
m  0 có hai nghiệm phân biệt. x  2 2 1 1 1 1 Xét 2
m  0  1 x  m  0 2  x 
1. Để phương trình này có   2 2 1 m x m 1
2 nghiệm x phân biệt 
1 0  m 1. Vậy 0  m 1 thỏa YCBT. Chọn B. m 116
KHAÛO SAÙT SÖÏ BIEÁN THIEÂN VAØ
VEÕ ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ 1. Tập xác định
Tìm tập xác định của hàm số. 2. Sự biến thiên
 Xét chiều biến thiên của hàm số: + Tính đạo hàm;
+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định;
+ Xét dấu đạo hàm và suy ra chiều biến thiên của hàm số.  Tìm điểm cực trị.
 Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
 Lập bảng biến thiên. 3. Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.
Dạng 1. ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Câu 1. [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017] Đường cong ở hình bên là
đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? A. 3
y  x  3x 1. B. 2
y  x  x 1. C. 4 2
y  x  x 1. D. 3
y  x 3x 1.
Lời giải. Đặc trưng của đồ thị là hàm bậc ba. Loại đáp án B và C.
Hình dáng đồ thị thể hiện a  0. Chọn D.
Câu 2. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Đường cong ở hình bên là
đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? A. 3 2
y  x 3x  3. B. 4 2
y  x  2x 1. C. 4 2
y  x  2x 1. D. 3 2
y  x  3x 1.
Lời giải. Đặc trưng của đồ thị là hàm bậc ba nên loại B, C.
Hình dáng đồ thị thể hiện a  0 nên chỉ có A phù hợp. Chọn A. 117
Câu 3. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2017-2018] Đường cong ở hình bên
là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? A. 3 2
y  x 3x  2. B. 4 2
y  x  x  2. C. 4 2
y  x  x  2. D. 3 2
y  x  3x  2.
Lời giải. Đặc trưng của đồ thị là hàm bậc ba nên loại B, C.
Hình dáng đồ thị thể hiện a  0 nên chỉ có D phù hợp. Chọn D.
Câu 4. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn
hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? A. 3 2
y  x 3x  2. B. 3 2
y  x  3x  2. C. 3 2
y  x  3x  2. D. 3 2
y  x 3x  2.
Lời giải. Hình dáng đồ thị thể hiện a  0 . Loại đáp án A, C. x  1 
Thấy đồ thị cắt trục hoành tại điểm x  1 nên thay  vào hai đáp án B và D, y  0 
chỉ có B thỏa mãn. Chọn B.
Câu 5. (Đại học Vinh lần 2, năm 2018-2019) Đường
cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới
đây. Hàm số đó là hàm số nào? A. 3 2
y  x 5x  8x 1. B. 3 2
y  x  6x  9x 1. C. 3 2
y  x  6x  9x 1. D. 3 2
y  x  6x  9x 1.
Lời giải. Hình dáng đồ thị thể hiện a  0. Loại đáp án C.
Khi x  0  y  1. Loại đáp án B.
Đồ thị hàm số đi qua điểm 3; 
1 nên chỉ có đáp án D thỏa mãn. Chọn D.
Câu 6. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm
số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? 2 2
A. y  x   1 1 x .
B. y  x   1 1 x . 2 2
C. y  x   1 2  x .
D. y  x   1 2  x .
Lời giải. Hình dáng đồ thị thể hiện a  0. Loại đáp án B, D. 118
Để ý thấy khi x  0 thì y  2. Do đó chỉ có đáp án C phù hợp. Chọn C.
Câu 7. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số
dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? A. 3 2
y  2x  6x  6x 1. B. 3 2
y  2x  6x  6x  5. C. 3 2
y  2x  6x  6x 1. D. 3 2
y  2x  6x  6x  5.
Lời giải. Dựa vào dáng điệu đồ thị ta loại A và B.
Đồ thị hàm số đi qua điểm I 1;  3 . Chọn C.
Câu 8*. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn
hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? A. 3 y  x  1. B. 3
y  x  3x  2. C. 3 2 y  x
  3x 3x  2. D. 3
y  x  2.
Lời giải. Khi x  0 thì y  2. Loại đáp án A.
Dựa vào đồ thị, suy ra hàm số không có cực trị nên ta loại đáp án B vì 2
y   3x  3 có hai nghiệm.
Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ 1 
;1 , kiểm tra thấy C & D đều thỏa mãn.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: 3 2 CASIO
x  3x 3x  2  0  x  2.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: 3 3 x   2  0 
 x  2 1;2. Do đó chỉ có D thỏa mãn. Chọn D.
Câu 9. Hình dạng có thể có của đồ thị hàm số 3 2
y  x  bx  x  d là những hình nào trong các hình sau đây? (Hình I) (Hình II) (Hình III) (Hình IV) A. (I). B. (III). C. (I) hoặc (III). D. (II) hoặc (IV).
Lời giải. Hàm số 3 2
y  x  bx  x  d có hệ số của 3
x dương nên loại (II) và (IV). Xét 2
y   3x  2bx 1 có 2
  b  3  0, b  .
 Do đó hàm số có hai cực trị. Chọn A. y 
Câu 10. Biết rằng hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d a 
 0 có đồ thị là một trong các dạng dưới đây: 119 (Hình I) (Hình II) (Hình III) (Hình IV)
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị như (I) có được khi a  0 và f x   0 có hai nghiệm phân biệt.
B. Đồ thị như (II) có được khi a  0 và f x   0 có hai nghiệm phân biệt.
C. Đồ thị như (III) có được khi a  0 và f x   0 vô nghiệm.
D. Đồ thị như (IV) có được khi a  0 và f x   0 có có nghiệm kép.
Lời giải. Chọn C.
Câu 11. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2017-2018] Đường cong ở hình bên
là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? A. 4 2
y  x  2x 1. B. 4 2
y  x  2x 1. C. 3 2
y  x  x 1. D. 3 2
y  x  x 1.
Lời giải. Đặc trưng của đồ thị là hàm trùng phương. Loại đáp án C và D.
Hình dáng đồ thị thể hiện a  0 . Chọn A.
Câu 12. [ĐỀ THAM KHẢO 2017-2018] Đường cong ở hình bên
là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? A. 4 2
y  x  2x  2. B. 4 2 y  x   2x  2. C. 3 2
y  x  3x  2. D. 3 2 y  x   3x  2.
Lời giải. Đặc trưng của đồ thị là hàm trùng phương. Loại đáp án C và D.
Hình dáng đồ thị thể hiện a  0. Chọn B.
Câu 13. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn
hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? A. 4 2
y  x  2x  2. B. 4 2
y  x  2x  2. C. 4 2
y  x  4x  2. D. 4 2
y  x  2x  3.
Lời giải. Hình dáng đồ thị thể hiện a  0. Loại đáp án A.
Để ý thấy khi x  0 thì y  2 nên ta loại đáp án D. 120
Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ 1 
;1 nên chỉ có B thỏa mãn. Chọn B.
Câu 14. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn
hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? A. 4 2
y  x  2x 1. B. 4 2
y  2x  4x 1. C. 4 2
y  x  2x 1. D. 4 2
y  x  2x 1.
Lời giải. Hình dáng đồ thị thể hiện a  0. Loại A.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 nên thể hiện c  1. Loại D.
Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ 1 
;1 nên chỉ có B thỏa mãn. Chọn B.
Câu 15. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong
bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? A. 4 2
y  x  x  2. B. 4 2
y  x  x  2. C. 4 2
y  x  x 1. D. 4 2
y  x  x 1.
Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy khi x  0 thì y  1. Loại A, B.
Hàm số có một cực trị nên a, b cùng dấu. Chọn D.
Câu 16. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong
bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? A. 4 2
y  x  2x  3. B. 4 2
y  x  2x 3. C. 4 2 y  x   2x 3. D. 4 2
y  x  2x  3.
Lời giải. Hình dáng đồ thị thể hiện a  0. Loại D.
Dựa vào đồ thị thấy khi x  0 thì y  3. Loại B.
Hàm số có một cực trị nên a, b cùng dấu. Chọn A. Câu 17. Cho hàm số    4 2 y
f x  ax  bx  c có đồ thị
như hình bên a , b , c  . Tính f 2.
A. f 2  15.
B. f 2  16.
C. f 2  17.
D. f 2  18. 121
Lời giải. Ta có y   f x  3
 ax  bx  x  2 4 2 2 2ax  b.
Đồ thị hàm số đi qua các điểm A0  ;1 , B 1; 
1 và đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại  f 01  c   1 a   2       B 1; 
1 nên ta có hệ phương trình:  f   1  1   a
  b  c  1   b   4.        f  
4a  2b  0 c   1 1 0   
Do đó: y  f x  4 2
 2x 4x 1 
 f 2  17. Chọn C.
Câu 18. [ĐỀ THAM KHẢO 2018-2019] Đường cong
ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới
đây. Hàm số đó là hàm số nào? 2x 1 A. y  . B. 4 2
y  x  x 1. x 1 x 1 C. y  . D. 3
y  x  3x 1. x 1
Lời giải. Đặc trưng của đồ thị là hàm bậc nhất trên bậc nhất. Loại đáp án B và D.
Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ 0;  1  
 chỉ có C thỏa mãn. Chọn C.
Câu 19. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một
trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? x  2 x  2 A. y  . B. y  . x 1 x 1 x  2 x  2 C. y  . D. y  . x  2 x 1
Lời giải. Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ 2;0   loại C và D.
Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ 0;2 
 chỉ có B thỏa mãn. Chọn B.
Câu 20. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Đường cong
ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới
đây. Hàm số đó là hàm số nào? 2x  3 2x 1 A. y  . B. y  . x 1 x 1 2x  2 2x 1 C. y  . D. y  . x 1 x 1
Lời giải. Đồ thị hàm số có TCĐ: x  1. Loại đáp án C và D.
Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ 0;  1  
 chỉ có B thỏa mãn. Chọn B. 122
Câu 21. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một
trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? 2x 1 2x 1 A. y  . B. y  . x 1 x 1 2x 1 2x 1 C. y  . D. y  . x 1 x 1
Lời giải. Đồ thị hàm số có TCĐ: x  1. Loại đáp án A và B.
Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ 0  ;1 
 chỉ có C thỏa mãn. Chọn C.
Câu 22. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một
trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? x 1 x  3 A. y  . B. y  . 2x 1 2x 1 x x 1 C. y  . D. y  . 2x 1 2x 1 1 1
Lời giải. Các chi tiết đồ thị hàm số có TCĐ: x   và TCN: y  đều giống nhau. 2 2
Chỉ có chi tiết đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ là phù hợp cho đáp án C. Chọn C.
Dạng 2. BẢNG BIẾN THIÊN
Câu 23. Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số
nào có bảng biến thiên như sau? 1 2 A. 3 2
y  x  3x  9x  2. B. 3 2 y 
x  x 3x  . 3 3 1 2 C. 3 2
y  x 3x  9x  2. D. 3 2
y   x  x  3x  . 3 3
Lời giải. Dựa vào BBT và các phương án lựa chọn, ta thấy:
Đây là dạng hàm số bậc 3 có hệ số a  0. Loại A và D.
Mặt khác, đồ thị hàm số đi qua điểm 1 
;1 nên loại C. Chọn B. 123
Câu 24. Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số
nào có bảng biến thiên như sau? A. 3
y  2x  6x. B. 3
y  2x  6x 8. C. 3
y  2x  6x. D. 3
y  2x  6x  8.
Lời giải. Dựa vào dáng điệu của bảng biến thiên suy ra a  0. Loại B và C.
Thử tại x  1  y  4 thì chỉ có đáp án A thỏa mãn. Chọn A.
Câu 25. Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số
nào có bảng biến thiên như sau sau? A. 3 2
y  x  3x 3x 1. B. 3 2
y  x  x  2x. C. 3 2
y  x  3x  3x  2. D. 3 2
y  x  3x 3x  2.
Lời giải. Dựa vào dáng điệu của bảng biến thiên suy ra a  0. Loại B và C.
Thử tại x  1  y  1 thì chỉ có đáp án D thỏa mãn. Chọn D.
Câu 26. Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số
nào có bảng biến thiên như sau? A. 4 2
y  x  2x 1. B. 4 2
y  x  2x 1. C. 4 2
y  x  2x  2. D. 4 2
y  x  2x  2.
Lời giải. Dựa vào BBT và các phương án lựa chọn, ta thấy:
Đây là dạng hàm số trùng phương có hệ số a  0. Loại A và C.
Mặt khác, đồ thị hàm số đi qua điểm 0;2 nên loại B. Chọn D. 124
Câu 27. Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số
nào có bảng biến thiên sau? x 1 2  x 2   x 1 2x A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . x 1 x 1 x 1 x 1
Lời giải. Dựa vào BBT và các phương án lựa chọn, ta có các nhận xét sau:
 Đồ thị hàm số có TCĐ: x  1. Loại đáp án A và B.
 Đồ thị hàm số có TCN: y  2.  Chọn D.
Câu 28. Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số
nào có bảng biến thiên như sau?  x  2  x 2 x 2  x  2 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . x 1 x 1 x 1 x 1
Lời giải. Dựa vào BBT và các phương án lựa chọn, ta có các nhận xét sau:
 Đồ thị hàm số có TCĐ: x  1. Loại đáp án C và D.   3
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Thử đáp án A, có y    0 : x  2 1
không thỏa mãn. Vậy còn lại duy nhất đáp án B. Chọn B. Câu 29. Cho hàm số    3 2 y
f x  ax  bx  cx  d có bảng biến thiên sau:
Đồ thị nào trong các phương án A, B, C, D thể hiện hàm số y  f x  ? 125 A B C D
Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:
 Hàm số có giá trị cực đại bằng 2 và giá trị cực tiểu bằng 2. Loại đáp án B và C.
 Khi x   thì y   nên chỉ có đáp án A là phù hợp. Chọn A. Câu 30. Cho hàm số    3 2 y
f x  x  ax  bx  c có bảng biến thiên như hình vẽ:
Tính giá trị của biểu thức P  a  b  3c. A. P  9. B. P  3. C. P  3. D. P  9.
Lời giải. Đạo hàm: 2
y   3x  2ax  . b 3
 2a b  0 a   3  
Phương trình y  0 có hai nghiệm là 1  và 3     . 2
 7  6a b  0 b   9   Lại có f   3  24 
27  9a  3b  c  24   c  3.
Vậy P  a  b  3c  3. Chọn B.
Câu 31. Cho hàm số y  f x  4 2
 ax bx  c a  0 có bảng biến thiên như hình vẽ:
Tính giá trị của biểu thức 2 2 2
P  a  b  c .
A. P  2. B. P  4. C. P  6. D. P  8.
Lời giải. Đạo hàm: 3
y   ax  bx  x  2 4 2 2 2ax  b.
Phương trình y  0 có nghiệm x  1  2a  b  0.   1  f 01 c   1   Lại có     . 2  f   1  2 a
  b  c  2   126 Giải hệ   1 và 2, ta được 2 2 2 a  1
 , b  2, c  1 
 P  a b  c  6. Chọn C.
Câu 32. Cho hàm số y  f x  4 2
 ax  bx a  0 có bảng biến thiên như hình vẽ:
Hiệu a b bằng A. 3. B. 1. C. 1. D. 3.
Lời giải. Đạo hàm: f x  3
 ax  bx  x  2 4 2 2
2ax  b.  f   1  0 2
 2a b 0 a  1   
Từ bảng biến thiên, ta có      .  Chọn D. f    1 1 a     b  1 b   2  
Dạng 3. PHÉP SUY ĐỒ THỊ Câu 33. Cho hàm số 3 2
y  x  6x  9x có đồ thị như Hình 1 . Đồ thị Hình 2 là của
hàm số nào trong bốn đáp án A, B, C, D dưới đây? Hình 1 Hình 2 3 2 A. 3 2
y  x  6x  9x.
B. y  x  6 x  9 x . 3 C. 3 2
y  x  6x  9x . D. 2
y  x  6x  9 x .
Lời giải. Nhắc lại lí thuyết: Đồ thị hàm số y  f  x  được suy ra từ đồ thị hàm số
y  f x  bằng cách
 Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y  f x với x  0.
 Sau đó lấy đối xứng phần đồ thị vừa giữ ở trên qua trục Oy . Chọn D. Câu 34. Cho hàm số 3 2
y  x  3x  2 có đồ thị như Hình 1. Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây? 127 Hình 1 Hình 2 3 A. 2
y  x  3x  2. B. 3 2
y  x  3x  2 . 3 C. 2
y  x  3x  2 . D. 3 2
y  x 3x  2.
Lời giải. Nhắc lại lí thuyết: Đồ thị hàm số y  f x  được suy ra từ đồ thị hàm số
y  f x  bằng cách
 Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y  f x với y  0.
 Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y  f x với y  0 qua trục Ox. Chọn B.
Câu 35. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Cho hàm số
y  x   2 2 x  
1 có đồ thị như hình vẽ bên. Hình nào
dưới đây là đồ thị của hàm số y  x   2 2 x   1 ? A. B. C. D. x 2 2 x   1 khi x  2
Lời giải. Ta có y  x   2  2 x   1   .    x 2 2 x   1 khi x  2 
Suy ra đồ thị của hàm số y  x   2 2 x   1 như sau:
 Giữ nguyên phần đồ thị của hàm số y  x   2 2 x  
1 với x  2 (bên phải đường thẳng x  2 ).
 Lấy đối xứng phần đồ thị y  x   2 2 x  
1 với x  2 qua trục hoành.
Hợp hai phần đồ thị ở trên ta được đồ thị hàm số cần tìm. Chọn A.
Câu 36. Cho hàm số y  x   2 2 x   1 có đồ thị như
hình vẽ bên. Hình nào dưới đây trong các đáp án A, B,
C, D là đồ thị của hàm số y  x   2
1 x 3x  2? 128 A. B. C. D. x 2 2 x   1 khi x  1  
Lời giải. Ta có y  x 1  2
x  3x  2   .    x 2 2 x   1 khi x  1  
Suy ra đồ thị của hàm số y  x   2
1 x 3x  2 giống hoàn toàn phần đồ thị của hàm
số y  x   2 2 x  
1 với x  1 (bên phải đường thẳng x  1 ).
Đối chiếu các đáp án ta chọn C. x
Câu 37. Cho hàm số y 
có đồ thị như Hình 1. Đồ thị Hình 2 là của hàm số 2x 1
nào trong các đáp án A, B, C, D dưới đây? Hình 1 Hình 2 x x x x A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . 2x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1
Lời giải. Chọn A. x  2
Câu 38. Cho hàm số y 
có đồ thị như Hình 1 . Đồ thị Hình 2 là của hàm số 2x 1
nào trong các đáp án A, B, C, D dưới đây? Hình 1 Hình 2  x  2  x  2 x  2 x  2
A. y   .    B. y  C. y  . D. y  . 2x 1 2 x 1 2x 1 2x 1
Lời giải. Chọn B. 129 2x 1
Câu 39. Đồ thị hàm số y  có đồ thị như x 1 2x 1
hình bên. Hỏi đồ thị hàm số y  có đồ x 1
thị là hình nào trong các đáp án sau: A. B. C. D. 2x 1 1   khi x  2x 1  x 1 2
Lời giải. Ta có y    . x 1  2x 1 1  khi x    x 1 2 2x 1 2x 1
Do đó đồ thị hàm số y 
được suy từ đồ thị hàm số y  bằng cách: x 1 x 1   2x 1 1
Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y 
phía bên phải đường thẳng x  . x 1 2   2x 1 1
Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y 
phía bên trái đường thẳng x  qua x 1 2 trục hoành. 2x 1
Hợp hai phần đồ thị ở trên ta được toàn bộ đồ thị hàm số y  . Chọn C. x 1 x
Câu 40. Trong các đồ thị hàm số sau, đồ thị nào là đồ thị của hàm số y  ? x 1 130 A. B. C. D.  x  khi x  1  x x 1
Lời giải. Ta có y    . x 1  x   khi x  1  x 1 x x
Do đó đồ thị hàm số y 
được suy từ đồ thị hàm số y  bằng cách: x 1 x 1  x
Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y 
phía bên phải đường thẳng x  1. x 1  x
Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y 
phía bên trái đường thẳng x  1 qua x 1 trục hoành. x
Hợp hai phần đồ thị ở trên ta được toàn bộ đồ thị hàm số y  . Chọn B. x 1
Dạng 4. TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ Câu 41. Cho hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d có đồ thị như
hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  0, b  0, c  0, d  0.
B. a  0, b  0, c  0, d  0.
C. a  0, b  0, c  0, d  0.
D. a  0, b  0, c  0, d  0. Lời giải. Ta có 2
y   3ax  2bx  c.
Đồ thị hàm số thể hiện a  0; cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên d  0. 131 x 1
x  x  0  
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy CT CÐ CT     1 x  0 x .x  0  CÐ  CÐ CT  2b b a0   0    0  b  0  3a a   .      Vậy a 0, b 0, c 0, d 0. Chọn C. c c  a0   0    0  c  0 3a a
Câu 42. [ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016-2017] Cho hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  0, b  0, c  0, d  0.
B. a  0, b  0, c  0, d  0.
C. a  0, b  0, c  0, d  0.
D. a  0, b  0, c  0, d  0.
Lời giải. Chọn A. Câu 43. Cho hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d có đồ thị như hình vẽ.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ac  0, bd  0.
B. ac  0, bd  0.
C. ac  0, bd  0.
D. ac  0, bd  0.
Lời giải. Chọn A. Ta có 2
y   3ax  2bx  c.
 Dễ dàng suy ra a  0 và d  0.
 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đều dương nên phương trình y  0 có hai c 2b
nghiệm dương phân biệt, suy ra  0 và a0   0 
b  0. Vậy ac  0, bd  0. 3a 3a Câu 44. Cho hàm số 4 2
y  ax  bx  c có đồ thị như hình vẽ bên.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  0, b  0, c  0.
B. a  0, b  0, c  0.
C. a  0, b  0, c  0.
D. a  0, b  0, c  0.
Lời giải. Đồ thị hàm số thể hiện a  0.
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên a0 ab  0  b  0.
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên c  0.
Vậy a  0, b  0, c  0. Chọn C. 132 Câu 45. Cho hàm số 4 2
y  ax  bx  c có đồ thị như hình vẽ
bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  0, b  0, c  1.
B. a  0, b  0, c  1.
C. a  0, b  0, c  1.
D. a  0, b  0, c  0.
Lời giải. Chọn B. Câu 46. Cho hàm số 4 2
y  ax  bx  c có đồ thị như hình vẽ bên.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  0, b  0, c  0.
B. a  0, b  0, c  0.
C. a  0, b  0, c  0.
D. a  0, b  0, c  0.
Lời giải. Chọn B. Câu 47. Hàm số 4 2
y  ax  bx  c a  0 có đồ thị như hình vẽ
bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  0, b  0, c  0.
B. a  0, b  0, c  0.
C. a  0, b  0, c  0.
D. a  0, b  0, c  0.
Lời giải. Dựa vào dáng điệu đồ thị suy ra a  0 .
Hàm số có 1 điểm cực trị nên a0 ab  0  b  0.
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên c  0.
Vậy a  0, b  0, c  0. Chọn A. ax  b
Câu 48. Hàm số y 
với a  0 có đồ thị như cx  d
hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. b  0, c  0, d  0.
B. b  0, c  0, d  0.
C. b  0, c  0, d  0.
D. b  0, c  0, d  0.
Lời giải. Từ đồ thị hàm số, ta thấy  b  b  Khi a 0 y  0 
 x    0  b  0.  Khi b 0 x  0 
 y   0  d  0 . a d d
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng d 0 x    0  c  0. c
Vậy b  0, c  0, d  0. Chọn A. 133 bx  c
Câu 49. Hàm số y 
a  0; a, b, c   có đồ x  a
thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  0, b  0, c  ab  0.
B. a  0, b  0, c  ab  0.
C. a  0, b  0, c  ab  0.
D. a  0, b  0, c  ab  0.
Lời giải. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  a  0; tiệm cận ngang y  b  0.
Mặt khác, ta thấy dạng đồ thị là đường cong đi xuống (từ trái sang phải) nên suy ra c  ab đạo hàm y  
 0, x  a 
c ab  0. Vậy a  0, b  0, c ab  0. Chọn A. x a2
Câu 50. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Đường cong ax  b
ở hình bên là đồ thị hàm số y 
với a, b, c, d là cx  d
các số thực. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. y   0, x  1. B. y   0, x  2.
C. y   0, x  1. D. y   0, x  2. ax  b
Lời giải. Dựa vào hình vẽ, ta thấy hàm số y 
nghịch biến trên mỗi khoảng cx  d
xác định và đường thẳng x  2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Suy ra y   0, x  2 . Chọn B. 134 SÖÏ TÖÔNG GIAO CUÛA CAÙC ÑOÀ THÒ
1. Giao điểm của hai đồ thị
Giả sử hàm số y  f x  có đồ thị là 
và hàm số y  g x  có đồ thị là C . 2  1 C 
Để tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là ta giải phương trình
f x   g x .
Số nghiệm của phương trình trên bằng số giao điểm của hai đồ thị.
2. Sự tiếp xúc của hai đường cong
Giả sử hàm số y  f x  có đồ thị là C và hàm số y  g x có đồ thị là C . 2  1 
Hai đường cong C và C tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình 2  1 
 f x gx 
f x    g x  
có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó.
Dạng 1. BẢNG BIẾN THIÊN
Câu 1. [ĐỀ THAM KHẢO 2017-2018] Cho hàm số y  f x  có bảng biến thiên sau
Số nghiệm thực của phương trình f x 2  0 là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. Ta có f x  2  0  f x  2. Do đó số nghiệm của phương trình đã cho
bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y  f x  và đường thẳng y  2. 135
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giữa hai đường này có 3 điểm chung. Vậy phương
trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt. Chọn D.
Câu 2. [ĐỀ THAM KHẢO 2018-2019] Cho hàm số y  f x  có bảng biến thiên sau
Số nghiệm thực của phương trình 2 f x  3  0 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Ta có
f x    f x  3 2 3 0
  . Do đó số nghiệm của phương trình đã cho 2 3
bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y  f x  và đường thẳng y   . Dựa vào bảng 2
biến thiên ta thấy giữa hai đường này có 4 điểm chung. Vậy phương trình đã cho có
4 nghiệm phân biệt. Chọn D.
Câu 3. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2018-2019] Cho hàm số y  f x  có bảng biến thiên sau
Số nghiệm thực của phương trình 2 f x 3  0 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Chọn D.
Câu 4. (KHTN Hà Nội lần 1, năm 2018-2019) Cho hàm số y  f x  có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm thực của phương trình 2 f x  3  0 là 136 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. Chọn C.
Câu 5. Cho hàm số y  f x  có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm thực của phương trình 2 f x  7  0 là A. 2. B. 4. C. 6. D. 8. 7 7
Lời giải. Ta có 2 f x  7  0  f x 
 f x   . 2 2
Dựa vào BBT, suy ra f x  7
 có 4 nghiệm; f x 7
  có 2 nghiệm. Chọn C. 2 2
Cách 2. Từ BBT của hàm số f x , suy ra BBT của hàm số f x  như sau Dựa vào BBT 
 f x    f x 7 2 7 0  có 6 nghiệm. 2
Câu 6*. Cho hàm số y  f x  xác định, liên tục trên  \0 và có bảng biến thiên như sau
Gọi m là số nghiệm của phương trình f x   3 và n là số nghiệm của phương trình
f  x   3 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. m  n  4.
B. m  n  6.
C. m  n  7.
D. m  n  8. 137
Lời giải. Từ BBT của hàm số
f x  , suy ra BBT của hàm số
g x   f x  như hình bên(trong
đó a là hoành độ giao điểm của
đồ thị y  f x  với trục hoành). Dựa vào BBT 
 f x  3 có 3 nghiệm.
Từ BBT của hàm số f x  , suy
ra BBT của hàm hx   f  x 
như hình bên. Dựa vào BBT 
 f  x   3 có 4 nghiệm.
Vậy m  n  3  4  7. Chọn C. Dạng 2. ĐỒ THỊ
Câu 7. Cho hàm số bậc ba y  f x  có đồ thị như hình
vẽ. Hỏi phương trình  f x  2   4   có bao nhiêu nghiệm? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.  f x  2 1 2    
Lời giải. Ta có  f x   4   .    Do đó số nghiệm f
 x  2 2 
của phương trình  f x  2   4  
chính là số giao điểm của đồ thị
hàm số f x  với hai đường thẳng y  2 và y  2.
Dựa vào đồ thị ta thấy: Phương trình  
1 có 1 nghiệm; Phương trình 2 có 3
nghiệm. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. Chọn C.
Câu 8. Cho hàm số y  f x  liên tục trên  2;  2 và có đồ
thị là đường cong như hình vẽ. Hỏi phương trình
f x 1  1 có bao nhiêu nghiệm phân biệt trên  2;  2? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
 f x 0   1
Lời giải. Ta có f x  1 1     .  f x    2 2  138
Dựa vào đồ thị, ta thấy  
1 có 3 nghiệm; 2 có 2 nghiệm. Chọn C.
Câu 9*. Cho hàm số f x  3 2
 x 3x  4 có đồ thị như hình vẽ.
f  f x    Hỏi phương trình
 1 có bao nhiêu nghiệm ? 2
3 f x 5 f x  4 A. 4. B. 5. C. 6. D. 8.
f  f x    Lời giải. Ta có 3
 1  f x 2 3 f x 2
 4  3 f x5 f x 4 2
3 f x 5 f x  4
 f x 0   1   3  f x 2
6 f x5 f x  0  f
 x  1 2. 
 f x    3 5 
Dựa vào đồ thị ta thấy  
1 có 2 nghiệm; 2 có 3 nghiệm;  
3 có 1 nghiệm. Chọn C.
Câu 10. (KHTN Hà Nội lần 1, năm 2018-2019) Cho hàm bậc
ba y  f x  có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương
trình 2 f x  5  0 là A. 1. B. 3. C. 4. D. 6.
Lời giải. Từ đồ thị hàm số f x , suy ra đồ thị hàm số f x  như hình bên. Ta có
f x     f x  5 2 5 0  . * 2
Dựa vào đồ thị hàm số f x  , suy ra phương trình * có 4 nghiệm. Chọn C.
Câu 11*. Cho hàm bậc ba y  f x  có đồ thị như hình vẽ. Hỏi
phương trình f  x   1 2   có bao nhiêu nghiệm? 2 A. 1. B. 3. C. 4. D. 6.
Lời giải. Đồ thị hàm số f  x 2 , được suy từ đồ thị f x bằng cách:
 Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số f x phía bên phải Oy (xóa phần đồ thị bên trái
Oy ) qua Oy (xem Hình 1);
 Tịnh tiến đồ thị ở bước trên sang phải 2 đơn vị (xem Hình 2). 139 Hình 1. Hình 2.
Từ đồ thị của hàm số f  x  2 , suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm. Chọn C.
Câu 12*. Cho hàm số y  x  
1 . f x  xác định, liên tục trên
 và có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng 2
y  m  m cắt đồ thị hàm số y  x 1 . f x  tại
hai điểm có hoành độ nằm ngoài đoạn  1   ;1 . A. m  0. B. m  1.
C. 0  m  1.
D. m  1 hoặc m  0.
Lời giải. Từ đồ thị hàm số y  x  
1 . f x , suy ra đồ thị hàm
số f x  x 1 như hình bên.
Dựa vào đồ thị, suy ra phương trình x  f x  2 1 .
 m m có hai
nghiệm có hoành độ nằm ngoài đoạn  1   ;1 khi và chỉ khi m 1 2
m  m  0   .  Chọn D. m  0 
Câu 13*. Cho hàm số bậc ba y  f x  có đồ thị như hình vẽ.
Hỏi phương trình f  f x  0  
có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? A. 3. B. 5. C. 7. D. 9.
Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số y  f x , ta suy ra phương trình
 f x a 2  a   1    1 
f  f x   0  f x   b 0  b      1 2. 
 f x  c 1 c  2    3
Mỗi phương trình đều có 3 nghiệm. Chọn D. 140
Câu 14*. (ĐHSP Hà Nội lần 4, năm 2018-2019) Cho
hàm số y  f x  liên tục trên  và có đồ thị như hình
vẽ. Số nghiệm thực của phương trình f  f x  2 là A. 2. B. 4. C. 5. D. 9.
 f x  1    1
Lời giải. Từ đồ thị y  f x , suy ra phương trình f  f x 2      . f  x  2  2
Dựa vào đồ thị, ta thấy  
1 có 3 nghiệm; 2 có 2 nghiệm. Chọn C.
Câu 15*. Cho hàm số bậc ba y  f x  có đồ thị như hình vẽ. Số
nghiệm của phương trình f  2 2 x  3  0 là A. 0. B. 2. C. 4. D. 6. Lời giải. Đặt 2
t  x t  0. Khi đó phương trình đã cho trở thành: f t 3   .    2 Số nghiệm của  
 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f x và đường thẳng t  0 loaïi 1    3 
y   . Dựa vào đồ thị, phương trình  
  0  t  2 
 x   t . Chọn C. 2 2 2  t  2   x   t  3 3 
Câu 16. Cho hàm trùng phương y  f x  có đồ thị như hình
vẽ. Số nghiệm thực của phương trình 3 f x 8  0 là A. 0. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Ta có f x    f x  8 3 8 0
 . Do đó số nghiệm của 3
phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 8
y  f x  và đường thẳng y  . 3
Dựa vào đồ thị ta thấy giữa hai đường này có 2 điểm chung. Vậy phương trình đã cho
có 2 nghiệm phân biệt. Chọn B. 141
Câu 17. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2017-2018] Cho hàm trùng
phương y  f x  có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực
của phương trình 4 f x 3  0 là A. 0. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Chọn D.
Câu 18. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2017-2018] Cho hàm số y  f x  liên tục trên  2
 ;2 và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm
của phương trình 3 f x  4  0 trên đoạn  2;  2 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Chọn C.
Câu 19. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2017-2018] Cho hàm số y  f x 
liên tục trên đoạn  2;
 4 và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm
của phương trình 3 f x 5  0 trên đoạn  2;  4 là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. Chọn D. Câu 20. Cho hàm số 4 2
y  x  mx  n với m , n   có đồ thị
như hình vẽ. Biết phương trình 4 2
x  mx  n  0 có k nghiệm thực phân biệt, *
k   . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. k  2, mn  0.
B. k  2, mn  0.
C. k  4, mn  0.
D. k  4, mn  0.
Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình 4 2
x  mx  n  0 có 4 nghiệm
phân biệt, suy ra k  4.
Do đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị nên m  0, ta thấy hàm số cắt trục tung tại điểm
có tung độ dương nên n  0 
 mn  0. Chọn C.
Dạng 3. CHO HÀM SỐ
Câu 21. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Cho hàm số 3
y  x 3x có đồ thị C . Tìm
số giao điểm của C  và trục hoành. A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của C  và trục hoành: 142 x  0 3 x 3x 0 x  2 x 3 0        .  x   3 
Suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên có 3 giao điểm. Chọn D.
Câu 22. [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017] Biết rằng đường thẳng y  2x  2 cắt đồ thị hàm số 3
y  x  x  2 tại điểm duy nhất có tọa độ x ; y . Tìm y . 0 0  0 A. y  1. B. y  0. C. y  2. D. y  4. 0 0 0 0
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: 3
2x  2  x  x  2  x  0. Với x  0 
 y  2. Chọn C.
Câu 23. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số y  x   2 2 x   1 có đồ thị
C. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. C  không cắt trục hoành.
B. C  cắt trục hoành tại một điểm.
C. C  cắt trục hoành tại hai điểm.
D. C  cắt trục hoành tại ba điểm.
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của C  với trục hoành: x   2 2 x  
1  0  x  2  0  x  2.
Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm. Chọn B.
Câu 24. Biết rằng đồ thị hàm số 3 2
y  x 3x  2x 1 có hai điểm chung với đồ thị hàm số 2
y  x 3x 1 là A và B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng A. 1. B. 2. C. 2 2. D. 3.
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: 3 2 2
x 3x  2x 1  x  3x 1
x   y  
 x 4x 5x 2  0  x  2 1 1 3 2
1 x  2  0   . 
x  2  y  1   Suy ra A1;  1 , B 2;  1 
 AB  1. Chọn A.
Câu 25. Đồ thị hàm số 4 2
y  x  2x có bao nhiêu điểm chung với trục hoành? A. 0. B. 2. C. 3. D. 4. x  0
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: 4 2 x 2x 0      .  x   2 
Suy ra phương trình có 3 nghiệm nên có 3 điểm chung. Chọn C. x  2020
Câu 26. Tìm tọa độ giao điểm M của đồ thị hàm số y  với trục tung. 2x 1 A. M 0;0. B. M 0; 20  20.
C. M 2020;0.
D. M 2020; 2020  .
Lời giải. Do giao với trục tung nên thay x  0 
 y  2020. Chọn B. 143 2x 1
Câu 27. Biết rằng đồ thị hàm số y 
có hai điểm chung với đồ thị hàm số x 2
y  x  x 1 là Ax ; y và B x ; y . Tổng y  y bằng 2 2  1 1  1 2 A. 0. B. 2. C. 4. D. 6. 2x 1
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: 2
 x  x 1 x  0 x x    y  
 2x 1  x  1 1 3 2 x  x     3 2
1  x  x  x 1  0  .  x  1   y  1  1 
Khi đó y  y  y 1  y 1  4 . Chọn C. 1 2    
Dạng 4. BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ
Câu 28. (ĐHSP Hà Nội lần 4, năm 2018-2019) Cho hàm số y  f x  có đạo hàm
trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ
Phương trình f x   m có 2 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi A. m   1
 ;2. B. m 1;2.
C. m  1;2.
D. m  1;2.
Lời giải. Dựa vào BBT, suy ra f x   m có 2 nghiệm  1  m  2. Chọn B.
Câu 29. Cho hàm số y  f x  xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên sau:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f x 1  m có 2 nghiệm.
A. 2  m  1. B. m  1, m  0.
C. m  2, m  1. D. m  2, m  1.
Lời giải. Ta có f x 1  m  f x   m 1. m 1 0 m  1 Do đó YCBT     .  Chọn C. m 1  1  m  2   144
Câu 30. Cho hàm số y  f x  xác định trên  \2, liên tục trên mỗi khoảng xác
định và có bảng biến thiên sau:
Tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình f x  m  0 có nhiều nghiệm thực nhất là A.  ;    1 15;. B.  ;  1   5 1;. C.  ;    1 15;. D.  ;
 151;.
Lời giải. Ta có f x  m  0  f x    . m  m   1 m  1 Do đó YCBT     .  Chọn C. m   15 m 15  
Câu 31. Cho hàm số y  f x  xác định trên  \ 
1 , liên tục trên từng khoảng xác
định và có bảng biến thiên như sau:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  f x  cắt đường thẳng
y  2m 1 tại hai điểm phân biệt. 3 3 3
A. 1  m  .
B. 1  m  .
C. 1  m  .
D. 1  m  2. 2 2 2 3
Lời giải. YCBT  1  2m 1  2  1  m  . Chọn A. 2 3
Nhận xét: Sai lầm hay gặp là cho 1  2m 1  2  1  m  . 2
Câu 32. Cho hàm số y  f x  xác định trên  \ 1  
;1 , liên tục trên mỗi khoảng xác
định và có bảng biến thiên sau: 145
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y  2m 1 cắt đồ thị hàm
số đã cho tại hai điểm phân biệt. A. m  2. B. m  1.
C. m  2, m  1.
D. m  2, m  1. 2m 1 3 m 1
Lời giải. YCBT     .  Chọn D. 2m 1  3  m  2  
Nhận xét: Nếu yêu cầu bài toán có duy nhất một nghiệm thực  3  2m 1  3.
Câu 33. [ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016-2017] Cho hàm số y  f x  xác định trên
 \0, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:
Tập hợp các giá trị của tham số thực m để phương trình f x   m có 3 nghiệm thực phân biệt là A.  ;  2. B.  1  ;2. C. 1;2. D.  1  ;2.
Lời giải. Dựa vào BBT, suy ra f x   m có 3 nghiệm  1  m  2. Chọn B. m  1
Nhận xét: Nếu yêu cầu bài toán có 2 nghiệm   ; 
1 nghiệm  m  2. m  2 
Câu 34. Cho hàm số y  f x  xác định trên  \  1
 , liên tục trên mỗi khoảng xác
định và có bảng biến thiên như sau: 146
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc  5
 ;5 để phương trình f x  m có nghiệm duy nhất? A. 4. B. 5. C. 6. D. 7. m  1 
Lời giải. Dựa vào BBT, suy ra f x   m có nghiệm duy nhất   .  Chọn B. 3  m  4 
Câu 35. Cho hàm số y  f x  xác định trên  \ 
1 , liên tục trên mỗi khoảng xác
định và có bảng biến thiên như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f x   m có 4 nghiệm phân biệt? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Dựa vào BBT, suy ra f x   m có 4 nghiệm  2  m  0. Chọn B.
Nhận xét. 1) Học sinh rất dễ sai lầm vì cho rằng 2  m  0. m 1 m  1
2) Phtrình có 2 nghiệm      , có 3 nghiệm
, có 5 nghiệm 0  m  1. m  2   m  2  
Câu 36. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số 4 2
y  x  2x có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá
trị thực của tham số m để phương trình 4 2
x  2x  m có 4 nghiệm phân biệt.
A. 0  m  1.
B. 0  m  1.
C. m  1.
D. m  0.
Lời giải. Chọn B.
Câu 37. Cho hàm số bậc ba y  f x  có đồ thị như hình vẽ
bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương
trình f x  m 2020  0 có nghiệm duy nhất.
A. m  2017, m  2021.
B. 2017  m  2021.
C. m  2017, m  2021.
D. 2017  m  2021.
Lời giải. Ta có f x m  2020  0  f x   2020  . m 147 2020m  3 m  2017 Do đó YCBT     .  Chọn C. 2020  m  1 m  2021   Câu 38. Cho hàm số 3 2
y  x 3x có đồ thị như hình vẽ. Dựa
vào đồ thị, tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3 2
x  3x  3m 1  0 có ba nghiệm phân biệt trong đó có
đúng hai nghiệm lớn hơn 1. 1 5 5 A.  m  .
B. 1  m  . 3 3 3 7 4
C. 2  m  . D. 2   m  . 3 3 Lời giải. Ta có 3 2 3 2
x  3x  3m 1  0  x  3x  1 3 . m 5
Do đó YCBT  4  13m  2  1  m  . Chọn B. 3
Chú ý: Không để ý kỹ sẽ mắc sai lầm hay gặp là cho 4  13m  0 .
Câu 39. Cho hàm số y  f x  3 2
2x 9x 12x có đồ thị
như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
phương trình f  x  m  0 có 6 nghiệm phân biệt. A. m  5  . B. 5   m  4. 
C. 4  m  5. D. m  4  .
Lời giải. Trước tiên từ đồ thị hàm số y  f x  , ta suy ra
đồ thị hàm số y  f  x  như hình vẽ.
Ta có f  x  m  0  f  x    . m
Do đó YCBT  4  m
  5  5  m  4. Chọn B.
Câu 40. Cho hàm số bậc ba y  f x  có đồ thị như hình
vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
phương trình 2 f x   m  0 có 4 nghiệm phân biệt? A. 3. B. 4. C. 7. D. 8. 148
Lời giải. Trước tiên từ đồ thị hàm số y  f x , ta suy
ra đồ thị hàm số y  f x  như hình vẽ. m
Ta có 2 f x   m  0  f x   . 2 m Do đó YCBT  0 
 4  0  m  8. Chọn C. 2
Câu 41. Cho hàm số bậc ba y  f x  đồ thị như hình
vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10
 ;10 để phương trình 2 f x m  0 có 2 nghiệm phân biệt? A. 0. B. 1. C. 2. D. 4.
Lời giải. Trước tiên từ đồ thị hàm số y  f x , ta suy
ra đồ thị hàm số y  f x  như hình vẽ. m
Ta có 2 f x   m  0  f x   . 2 m m Do đó YCBT  0  1 hoặc  5 2 2
 0  m  2 hoặc m  10. Chọn B.
Câu 42. Tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y  x   2
1 x  mx  m
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là A. 0;4. B. 4;.  1  1   1  1  C.   ;               ;0. D. ;     ;04;.         2  2  2  2  x 1
Lời giải. Phtrình hđgđ: x  1  2 x mx m 0       .  2
x  mx  m  0    1  2 1   .1 m  m  0  YCBT   
1 có hai nghiệm phân biệt khác 1   . Chọn D. 2 
  m  4m  0 
Phương trình hoành độ giao điểm 3 2
ax  bx  cx  d  0 . x  x
 Nếu nhẩm được một nghiệm x thì phương trình tương đương 0  . 0  2 ax  b x   c   0 
 Cô lập tham số m và lập bảng biến thiên hoặc dùng đồ thị.
 Nếu không nhẩm được nghiệm và không cô lập được m thì bài toán được giải
quyết theo hướng tích hai cực trị, cụ thể: 149
◦ Đồ thị cắt trục hoành đúng ba điểm phân biệt  y .y  0. CD CT
◦ Đồ thị có hai điểm chung với trục hoành  y .y  0. CD CT
◦ Đồ thị có một điểm chung với trục hoành  y .y
 0 hoặc hàm số không có cực CD CT trị. Chú ý: Nếu 2
y   3ax  2bx  c  0 nhẩm được hai nghiệm thì tính y , y dễ dàng. CD CT
Trường hợp không nhẩm được nghiệm thì dùng mối liên hệ hai nghiệm đó là hệ thức Viet.
Câu 43. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2
y  x 3x cắt
đường thẳng y  m tại ba điểm phân biệt là A. 4;0. B. 0;. C.  ;  4. D.  ;
 40;.
Lời giải. Chọn A. Xét hàm bậc ba 3 2
y  x 3x , có x  0   y  0 2 CD
y   3x  6x   y  0   .  x  2   y  4  CT
Dựa vào dáng điệu của đồ thị hàm bậc ba, ta có YCBT  y  m  y  4  m  0. CT CD
Câu 44. Cho phương trình 3 2
2x  3x  2m 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt. 1 1 5
A. m   , m  1. 
B. m   , m   . 2 2 2 1 5 5 C. m  , m  .
D. m  1, m   . 2 2 2
Lời giải. Chọn A. Xét hàm bậc ba f x  3 2
 2x 3x , có      f x  x 0 y 0 2
 6x 6x   f x CD  0   .  x  1   y  1  CT 2m 1  y 2m 1  0
Dựa vào dáng điệu của đồ thị hàm bậc ba, ta có YCBT CD     .  2m 1  y 2m 1 1  CT 
Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2
y  x  mx  4
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. A. m  0. B. m  0. C. m  3. D. m  3. x  0  Lời giải. Ta có 2
y   3x  2mx  x 3x  2m   y  0   2m . x   3
YCBT  Hàm số có hai điểm cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu 150  2m   0 m  0   3    3  4m   m  3.       Chọn D.      y  2m 4. 4 0 0 .y      0          27   3   
Câu 46. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2
y  x 3mx  2 có đúng
hai điểm chung với trục hoành. 1 1 A. m  . B. 3 m  2. C. m  . D. m  3. 6 3 2 x  0 Lời giải. Ta có 2
y   3x  6mx  3x x  2m   y  0   .  x  2m 
YCBT  hàm số có hai điểm cực trị và tích hai cực trị bằng 0 2  m  0 m   0   1          m Chọn C.
y 0.y 2m  0 2.     . 3 4m  2 3  0 2 
Câu 47. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3
x  3mx  2  0 có nghiệm duy nhất. A. m  0.
B. 0  m  1. C. m  1. D. m  1. Lời giải. Ta có 2
y   x  m   2 x  m 2 3 3 3 
 y  0  x  . m
Khi đó yêu cầu bài toán tương đương với:
 TH1: Hàm số không có cực trị  y  0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm  m  0.
 TH2: Hàm số có hai cực trị y , y thỏa mãn y .y  0 CD CT CD CT m   0 m   0   m   0             y
  m y m    m m    m m 0 m 1. . 0 2 2 2 2  0 m  1   
Kết hợp hai trường hợp ta được m  1. Chọn B.
Câu 48. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y  mx   1 1 cắt đồ thị hàm số 3
y  x  3x 1 tại ba điểm phân biệt A1 
;1 , B, C. 9 9 9 A. m  0. B. m  . C. 0  m  .
D. m  0 , m  . 4 4 4
Lời giải. Phtrình hđgđ: 3 x
  3x 1  mx   1 1 x 1 x  1  2 x x 2 m 0         .  2
x  x  2  m  0  *   9    9  4m  0 m    
YCBT  * có hai nghiệm phân biệt khác 1     4 . Chọn C. m   0   m   0  151
Câu 49. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2
y  x 3x  2
cắt đường thẳng d : y  mx  
1 tại ba điểm phân biệt có hoành độ x , x , x thỏa 1 2 3 mãn 2 2 2
x  x  x  5. 1 2 3 A. m  3.  B. m  3.  C. m  2.  D. m  2. x  1
Lời giải. Phtrình hđgđ: 3 2 x 3x 2 mx  1       .  2
x  2x  m  2  0  *  
   1 m  2  0 
Để * có hai nghiệm phân biệt khác 1    m  3. 2 1
 2.1m2  0 
x  x  2 
Giả sử x  1. Khi đó x , x là hai nghiệm của *. Theo Viet, ta có: 2 3  . 1 2 3 x x  m  2  2 3 2 YCBT 2 2
 x  x  4  x  x
2x x  4  4  2 m  2  4  m  2. Chọn D. 2 3  2 3  2 3  
Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y  x  4 cắt đồ thị hàm số 3 2
y  x  2mx m   3 x  4 C
tại ba điểm phân biệt A0;4, B, C sao m 
cho tam giác MBC có diện tích bằng 4 , với M 1;  3 . A. m  3.
B. m  2, m  3.
C. m  2, m  3. D. m  2, m  3. x  0
Lời giải. Phtrình hđgđ: 3 2 x 2mx m  3 x 4 x 4         .  2
x  2mx  m  2  0  * 
Để d cắt C
tại ba điểm phân biệt  * có hai nghiệm phân biệt khác 0 m  2
  m m2  0 m  2      . m   2  0  2   m  1   
x  x  2m 
Gọi x , x là hai nghiệm của *. Theo định lí Viet, ta có 1 2  . 1 2
x .x  m  2  1 2  
Giải sử B x ; x  4 , C x ; x  4 . Ta có BC  2x  x và d M d  1 3 4 ,   2. 2 1 2 1 1   2 2  2 1 2 2 YCBT: S
 4  d M d BC   x  x   x  x  x x  MBC  ,  4  16 4 16 2 1   1 2  1 2 2
m  3thoûa maõn 2 m m 6 0       .  Chọn A. m    2loaïi 
Câu 51. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Tập hợp các giá trị thực của tham số m để
đường thẳng d : y  mx cắt đồ thị của hàm số 3 2
y  x 3x  m  2 C  tại ba điểm phân biệt ,
A B, C sao cho AB  BC là A.  ;    1 . B.  ;   3 .
C. 1;. D.  ;  . x  1
Lời giải. Phtrình hđgđ: 3 2 x 3x m 2 mx        .  2
x  2x  m  2  0     152
Để d cắt C  tại ba điểm phân biệt  * có hai nghiệm phân biệt khác 1     0 1
 m 2 0        m  3. 2 1
 2.1m2  0 m     3 
Gọi x , x là hai nghiệm của *. Theo định lí Viet, ta có x  x  2. 1 2 1 2
Giả sử x  1 thì x  2  x  1 , suy ra x  1  x . 2 1 2 1 2
Theo giả thiết BA  BC nên B là trung điểm của AC do đó x  1 và x  x , B A 1
x  x . Khi đó ta có x  x  2x nên d luôn cắt C  tại ba điểm phân biệt , A B, C C 2 A C B
thỏa mãn AB  BC. Vậy với m  3 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
Câu 52*. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2
y  x 3mx  6mx 8 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. A. m  1.
B. m  2, m  1. C. m  1. D. m  2. b   b Lời giải. Ta có 3 2 Viet x x 2 x 1 3 2
ax  bx  cx  d  0 
 x  x  x    x   . 1 2 3 2 a 3a
Phương trình hoành độ giao điểm: 3 2
x  3mx  6mx  8  0. *
Từ giả thiết suy ra phương trình * có một nghiệm x  . m m  1
Thay x  m vào phương trình *, ta được 3 2 m 3 . m m  6 . m m  8  0   .  m  2  x  4  
Thử lại:  Với m  1, ta được 3 2
x  3x  6x 8  0  x  1  :  thỏa mãn. x  2 
 Với m  2, ta được 3 2
x  6x 12x 8  0  x  2 : không thỏa mãn. Vậy m  1
 là giá trị cần tìm. Chọn C.
Câu 53. Với điều kiện nào của tham số k thì phương trình 2 x  2 4
1 x   1 k có bốn nghiệm phân biệt?
A. 0  k  2. B. k  3. C. 1   k 1.
D. 0  k  1.
Lời giải. Xét hàm trùng phương 2 y  x  2  x  4 2 4 1
 4x  4x , có x  0   y0  0   3
y   16x  8x   y  0     . 2  2  x     y     1  2  2   YCBT  y 1 k  y
 0 1k 1  0  k 1. Chọn D. CT CD
Biện luận số nghiệm của phương trình 4 2
ax  bx  c  m a  0, b  0.   1 153
Cách 1. Phương trình 4 2
ax  bx  c  m là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm trùng phương 4 2
y  ax  bx  c và đường thẳng y  m (có phương song song với trục hoành)
Do hệ số a  0, b  0 nên đồ thị hàm số 4 2
y  ax  bx  c có dạng như sau:
Dựa vào đồ thị ta có:   
1 vô nghiệm  m  y . CT m  y    1 có 2 nghiệm CT   .  m  y  CD   
1 có 3 nghiệm  m  y . CD    1 có 4 nghiệm  y  m  y . CT CD
Cách 2. Phương trình 4 2 4 2
ax  bx  c  m 
 ax  bx  c m  0. 2
Do hệ số a  0, b  0 nên đồ thị hàm số 4 2
y  ax  bx  c  m có dạng như sau:
Ta có các trường hợp sau:
 2 vô nghiệm  y  0. CT  y  0  2 có 2 nghiệm CT   .  y  0  CD
 2 có 3 nghiệm  y  0. CD
 2 có 4 nghiệm  y  0  y . CT CD Câu 54. Cho hàm số 4
y  x  mm   2 3
1 x  m với m là tham số thực. Tìm tất cả các
giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
A. m  1. B. m   2.
C. m  2.
D. 0  m  1.
Lời giải. Xét hàm trùng phương 4
y  x  mm   2 3 1 x  m , có 3 x  0   y  m  3
y   4x  2mm   1 x   y  0    mm   m m  2 2 . 1 1 2 3 x    y    m  2 4
YCBT  hàm số có ba điểm cực trị và y  0  y CT CD
mm   1   0  2    0  m  1  . Chọn D.
 m m  2 2 1 3 3   m  0   m  4
Câu 55. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 4 2
x  2x  2020  m  0 có đúng ba nghiệm. A. m  6060. B. m  4040. C. m  2020. D. m  1794.
Lời giải. Xét hàm trùng phương 4 2
y  x  2x , có 154 x  0   y0  0 3 
y   4x  4 x   y  0  .  x  1   y  1  1 
YCBT  m  2020  y
 m 2020  0  m  2020. Chọn C. CD
Câu 56*. Cho hàm số 4 y  x     m 2 2 2
x  4  m với m là tham số thực. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số không có điểm chung với trục hoành? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Xét hàm trùng phương 4 y  x     m 2 2 2 x  4  , m có x  0 3
y   4x  42  mx   y  0   .  2 x  2  m 
Dựa vào dáng điệu của hàm trùng phương với hệ số của 4
x âm, ta có các trường hợp
sau thỏa mãn yêu cầu bài toán: 2   m  0 2   m  0   
Hàm số có một cực trị và cực trị đó âm           y   4 m 2. 0  0  4  m  0  
 Hàm số có ba điểm cực trị và giá trị cực đại âm 2   m  0 2     m  0            m 
y  2  m  2 0. 2  0 m   3m  0    
Kết hợp hai trường hợp ta được 4 0 m m      m   3  ;2;  1 . Chọn C.
Câu 57. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y  2mx  m 1 2x  2
cắt đồ thị hàm số y 
C  tại hai điểm phân biệt. 2x 1 A. m  0. B. m  0. C. m  1. D. m  1. 2x  2  1
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm:
 2mx  m 1 x       2x 1  2
 x    mx  m   x   2 2 2 2 1 2
1  4mx  4mx  m  3  0. *
Để d cắt C  tại hai điểm phân biệt  phương trình * có hai nghiệm phân biệt m   0     m  0.  Chọn A.   12m  0 
Câu 58. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y  x  2m cắt x  3
đồ thị hàm số y 
C  tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. x 1 3 1
A. 0  m  1 .
B. m  2, m  5. C. 1  m  . D. 0  m  . 2 3 x 3
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm:
 x 2m x    1 x 1 155
 x   x  mx   2 3 2
1  x  2mx  2m  3  0. *     0  3 
YCBT  * có hai nghiệm dương phân biệt  S
  0  1 m  .  Chọn C. 2 P  0 
Câu 59. Gọi d là đường thẳng đi qua A1;0 và có hệ số góc .
m Tìm tất cả các giá trị x  2
thực của tham số m để d cắt đồ thị hàm số y 
C  tại hai điểm phân biệt x 1
thuộc hai nhánh của đồ thị. A. m  0. B. m  0. C. m  0.
D. 0  m  1.
Lời giải. Đường thẳng d có dạng y  mx   1  mx  . m x  2
Phương trình hoành độ giao điểm:
 mx m x   1 x 1
 x   mx  mx   2 2
1  mx 2m  
1 x  m  2  0.
 * gx 
YCBT  * có hai nghiệm phân biệt x  x thỏa mãn x 1  x 1 2 1 2 m   0 m   0         Chọn C. m  g  m
 m  m   m 0. 1 0 2 1  m  2  0    
Câu 60. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y  x  m cắt 2  x 1
đồ thị hàm số y 
C  tại hai điểm ,
A B sao cho AB  2 2. x 1 m  7  m  7  m  2 m  1 A.  .     B. . C. . D. . m  1  m  5  m 1  m 1  2  x 1
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm:
 x  m x    1 x 1
  x    x
  mx   2 2 1
1  x m  
1 x 1 m  0. *
Để d cắt C  tại hai điểm phân biệt  * có hai nghiệm phân biệt    2 m 3 2 3      m  
1  41 m 0  .  m  32 3 
x  x  m 1  Theo đinh lí Viet, ta có 1 2  .   
Giả sử Ax ;x  m và B x ; x m . 2 2  1 1  x x  1 m  1 2 2 2 YCBT: 2
AB  2 2  AB  8  2x  x
 8  x  x  4x x  4 2 1   1 2  1 2   2 m 1  m  
1  41m  4  
(thỏa mãn). Chọn A. m  7  156
Câu 61. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y  x  m  2 cắt đồ thị 2x hàm số y 
C  tại hai điểm phân biệt A và B sao cho độ dài AB ngắn nhất. x 1 A. m  3.  B. m  1. 
C. m  1. D. m  3. 2x
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm:
 x m  2 x   1 x 1
 x  x m  x   2 2 2
1  x m  
1 x  m  2  0. * Ta có 2
  m 2m  9  0, m   nên d luôn cắt C  tại hai điểm phân biệt.
x  x  m 1 
Gọi x , x là hai nghiệm của *. Theo định lí Viet, ta có 1 2  . 1 2
x x  m 2  1 2
Giả sử Ax ; x  m  2 và B x ; x  m  2 là tọa độ giao điểm của d và C  . 2 2  1 1  2 2 2 2 Ta có 2
AB  2x  x  2 x  x
8x x  2 m 1 8 m 2  2 m 1 16 16. 2 1   1 2  1 2      
Dấu '  '' xảy ra  m  1. Chọn C.
Câu 62. Tìm giá trị thực của tham số k sao cho đường thẳng d : y  x  2k 1 cắt đồ 2x 1 thị hàm số y 
C  tại hai điểm phân biệt A và B sao cho các khoảng cách từ A x 1
và B đến trục hoành là bằng nhau. A. k  4.
B. k  3. C. k  1. D. k  2. 2x 1
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm:
 x  2k 1 x    1 x 1
 x   x  k  x   2 2 1 2 1
1  x  2kx  2k  0. *
Để d cắt C  tại hai điểm phân biệt  * có hai nghiệm phân biệt k  2 2
   k 2k  0   . k  0 
Gọi x  x là hai nghiệm của * . Giả sử Ax ; x  2k 1 và B x ; x  2k 1 . 2 2  1 1  1 2 YCBT : d  ,
A Ox   d B,Ox   x  2k 1  x  2k 1 1 2
 x  2k 1   x  2k 1 (do x  x ) 1  1  1 2  x  x  4  k 2  2  k  4
 k 2  k  1 thoûa maõn . Chọn C. 1 2  
Câu 63. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y  x  m cắt đồ thị hàm 2x 1 số y 
C  tại hai điểm phân biệt ,
A B sao cho tam giác OAB vuông tại O, với x 1
O là gốc tọa độ. 1 A. m  2.  B. m   . C. m  0. D. m  1. 2 2x 1
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm:
 x  m x   1 x 1 157
 x   x  mx   2 2 1
1  x m 3x 1 m  0. *
Để d cắt C  tại hai điểm phân biệt  * có hai nghiệm phân biệt 2
   m 2m  5  0, m  . 
x  x  3m 
Gọi x , x là hai nghiệm của * . Theo định lí Viet, ta có 1 2  . 1 2 x x 1m  1 2
Giả sử Ax ; x  m và B x ; x  m . 2 2  1 1    YCBT  .
OA OB  0  x x x  mx  m  0  2x x  mx  x  2  m  0 1 2 1 2 1 2 1 2
   m m  m 2 2 1 3
 m  0  m  2  0  m  2. Chọn A.
Câu 64. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y 3x m cắt đồ thị 2x 1 hàm số y 
C  tại hai điểm phân biệt A và B sao cho trọng tâm tam giác x 1 
OAB thuộc đường thẳng : x 2 y 2  0, với O là gốc tọa độ. 1 11 A. m  2. B. m  0. C. m   . D. m   . 5 5 2x 1
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm:
3x m x   1 x 1 
 x    x  mx   2 2 1 3
1  3x 1mx m 10. *
Để d cắt C  tại hai điểm phân biệt  * có hai nghiệm phân biệt m  1  2
   m 10m 11 0   .  m  11  1 m m 1
Gọi x , x là hai nghiệm của * . Theo Viet, ta có x  x  và x x  . 1 2 1 2 3 1 2 3
 x  x 3x  x 2m   1 2 1 2 
Giả sử Ax ;3x m và B x ;3x m . Suy ra G  ; . 2 2  1 1     3 3  x  x
3x  x  2m 1 2 1 2  YCBT : G     2. 20 3 3 1 m   m   1  2m 11  2.
20  m   thoûa maõn. Chọn D. 9 3 5
Câu 65. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y  2x  m cắt 2x  4
đồ thị hàm số y 
C  tại hai điểm phân biệt A và B sao cho 4S  15,  với x 1 IAB
I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị.
A. m  5.
B. m  5. C. m  5. D. m  0. 2x  4
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm:
 2x  m x   1 x 1
 x    x  mx   2 2 4 2
1  2x m  4x  m  4 0. * 158
Để d cắt C  tại hai điểm phân biệt  * có hai nghiệm phân biệt m  4 2
   m 16  0   .  m  4  4  m 4  m
Gọi x , x là hai nghiệm của * . Theo Viet, ta có x  x  và x x  . 1 2 1 2 2 1 2 2
Giả sử Ax ;2x  m và B x ;2x  m . 2 2  1 1  m YCBT: S   AB d I AB   AB   AB m  IAB   2 2 4 15 2 . , 15 2 . 15 4 . 1125 5 2 2  
 20x  x  2
m  1125  4 x  x  2 4x x m  225 1 2  1 2 1 2      2 m   2 2
16 m  225  m  25  m  5thoûa maõn. Chọn C. 159

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số – Huỳnh Đức Khánh Toán 12

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Chuyên đề giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số từ cơ bản đến nâng cao

Chuyên đề ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Toán 12

Chuyên đề khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số từ cơ bản đến nâng cao

Ôn kiến thức, luyện kỹ năng bài giảng tính đơn điệu của hàm số

Ôn kiến thức, luyện kỹ năng bài giảng cực trị của hàm số