Bài giảng toán cao cấp 1 | Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh

lOMoAR cPSD| 47207194
BỘ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 1 Mã số: BAS 1219
KHOA PHỤ TRÁCH: KHOA CƠ BẢN 1 CHỦ
BIÊN: ThS. Nguyễn Thị Dung
Hà Nội – Năm 2015 lOMoAR cPSD| 47207194 LỜI NÓI ĐẦU
Toán cao cấp 1 là một trong những môn học đầu tiên của sinh viên khối ngành
kinh tế. Học phần này bao gồm những nội dung sau:
Chương 1: Hàm số và giới hạn
Chương 2: Đạo hàm và vi phân
Chương 3: Phép tính tích phân
Chương 4: Hàm số nhiều biến số
Chương 5: Phương trình vi phân
Chương 1 trình bày những khái niệm cơ bản về dãy số, hàm số một biến, giới hạn
và tính liên tục của hàm một biến.
Chương 2 và chương 3 gồm các nội dung về phép tính đạo hàm, vi phân, tích
phân của hàm một biến.
Chương 4 trình bày về giới hạn, sự liên tục, đạo hàm riêng, vi phân toàn phần
của hàm số nhiều biến số.
Chương 5 gồm những khái niệm cơ bản về phương trình vi phân và cách giải
một số phương trình vi phân cấp một, cấp hai.
Các nội dung trên được lựa chọn nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức
cơ bản về phép tính vi tích phân, phương trình vi phân. Nhờ đó, sinh viên có kiến thức
nền tảng để học tiếp các môn xác suất thống kê, toán kinh tế, kinh tế lượng và sau này
biết vận dụng nghiên cứu các vấn đề chuyên môn của mình.
Vì thời gian dành cho môn học không nhiều nên bài giảng Toán cao cấp 1 không
quá đi sâu vào lí thuyết, nhiều định lí không được chứng minh, sinh viên có thể tìm
hiểu trong các tài liệu tham khảo.
Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn TS.Vũ Gia Tê, PGS.TS Lê Bá Long và các thầy
cô giáo trong bộ môn Toán đã đọc và cho nhiều ý kiến sâu sắc liên quan đến nội dung bài giảng.
Chắc rằng bài giảng vẫn còn nhiều thiếu sót, tác giả rất mong nhận được thêm
những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên. Xin chân thành cảm ơn! lOMoAR cPSD| 47207194 MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ................................................................... 5
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN ........................................................................................ 7
1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ ........................................................................ 7
1.1.1. Các khái niệm cơ bản ................................................................................................... 7
1.1.2. Các hàm số sơ cấp cơ bản. Hàm số sơ cấp ................................................................. 10
1.1.3. Một số hàm thường dùng trong phân tích kinh tế ...................................................... 13
1.2. DÃY SỐ THỰC ................................................................................................................ 14
1.2.1. Khái niệm dãy số thực, dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn ............................................ 14
1.2.2. Giới hạn dãy số, dãy số hội tụ, dãy số phân kì ........................................................... 15
1.2.3. Tính chất của dãy số hội tụ ......................................................................................... 17
1.3. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ............................................................................................... 21
1.3.1. Khái niệm giới hạn hàm số ......................................................................................... 21
1.3.2. Tính chất của hàm số có giới hạn ............................................................................... 23
1.3.3. Một số giới hạn đáng nhớ ........................................................................................... 29
1.3.4. Đại lượng vô cùng bé (VCB), đại lượng vô cùng lớn (VCL)..................................... 30
1.4. HÀM SỐ LIÊN TỤC ........................................................................................................ 33
1.4.1. Khái niệm hàm số liên tục .......................................................................................... 33
1.4.2. Các phép toán trên các hàm số liên tục ...................................................................... 34
1.4.3. Các tính chất cơ bản của hàm số liên tục trên một khoảng đóng ............................... 37
BÀI TẬP CHƯƠNG 1 ............................................................................................................. 39
CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN ..................................................................................... 43
2.1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ .............................................................................................. 43
2.1.1. Khái niệm đạo hàm..................................................................................................... 43
2.1.2. Các quy tắc tính đạo hàm ........................................................................................... 48
2.1.3. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản ..................................................................... 49
2.2. VI PHÂN CỦA HÀM SỐ ................................................................................................. 53
2.2.1. Định nghĩa vi phân ..................................................................................................... 53
2.2.2. Các quy tắc tính vi phân ............................................................................................. 54
2.2.3. Áp dụng vi phân để tính gần đúng ............................................................................. 54
2.3. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO .............................................................................. 55
2.3.1. Đạo hàm cấp cao ........................................................................................................ 55
2.3.2. Vi phân cấp cao .......................................................................................................... 57
2.4. CÁC ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH .......................................................................... 59
2.4.1. Định lí Fermat ............................................................................................................ 59 3 lOMoAR cPSD| 47207194
2.4.2. Định lí Rolle ............................................................................................................... 60
2.4.3. Định lí Lagrange ........................................................................................................ 62
2.4.4. Định lí Cauchy ........................................................................................................... 63
2.4.5. Công thức Taylor, công thức Maclaurin .................................................................... 63
2.5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ........................................................................ 65
2.5.1. Sử dụng qui tắc L’Hospital để tính các giới hạn dạng vô định .................................. 65
2.5.2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số ............................................................................. 71
2.5.3. Tìm cực trị của hàm số ............................................................................................... 72
2.5.4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên khoảng đóng .............. 74
CHƯƠNG 3. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN ..................................................................................... 84
3.1. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH ............................................................... 84
3.1.1. Nguyên hàm của hàm số ............................................................................................ 84
3.1.2. Tích phân bất định ...................................................................................................... 85
3.1.3. Nguyên hàm của các hàm sơ cấp cơ bản .................................................................... 86
3.1.4. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân bất định ....................................................... 88
3.1.5. Tích phân của các hàm hữu tỉ ..................................................................................... 92
3.2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ................................................................................................... 101
3.2.1. Khái niệm tích phân xác định ................................................................................... 101
3.2.2. Điều kiện khả tích .................................................................................................... 103
3.2.3. Tính chất cơ bản của tích phân xác định .................................................................. 104
3.2.4. Liên hệ với tích phân bất định .................................................................................. 106
3.2.5. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân xác định ..................................................... 108
3.3. TÍCH PHÂN SUY RỘNG .................................................................................................. 113
3.3.1. Tích phân suy rộng với cận vô hạn ........................................................................... 113
3.3.2. Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn ......................................................... 117
BÀI TẬP CHƯƠNG 3 ............................................................................................................... 121
CHƯƠNG 4. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ ................................................................................ 128
4.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN .......................................................................................... 128
4.1.1. Tập hợp n, khoảng cách, lân cận, tập mở, tập đóng, tập bị chặn ............................ 128
4.1.2. Định nghĩa hàm nhiều biến, miền xác định và đồ thị của hàm nhiều biến .............. 129
4.1.3. Giới hạn của hàm số nhiều biến ............................................................................... 130
4.1.4. Sự liên tục của hàm số nhiều biến số ....................................................................... 132
4.2. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TOÀN PHẦN ......................................................... 134
4.2.1. Đạo hàm riêng .......................................................................................................... 134
4.2.2. Đạo hàm riêng của hàm số hợp ................................................................................ 136
4.2.3. Vi phân toàn phần ..................................................................................................... 138
4.2.4. Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân cấp cao .............................................................. 144
4.2.5. Đạo hàm của hàm số ẩn............................................................................................ 148 4 lOMoAR cPSD| 47207194
4.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN .................................................................................. 153
4.3.1. Cực trị không có điều kiện ràng buộc ...................................................................... 153
4.3.2. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên miền đóng, bị chặn ............................ 157
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 ............................................................................................................... 158
CHƯƠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .............................................................................. 163
5.1. KHÁI NiỆM CHUNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .............................................. 163
5.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT ....................................................................... 164
5.2.1. Đại cương về phương trình vi phân cấp một ............................................................ 164
5.2.2. Cách giải một số phương trình vi phân cấp một....................................................... 166
5.3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI ............................................................................. 176
5.3.1. Các khái niệm cơ bản ............................................................................................... 176
5.3.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai................................................................... 178
BÀI TẬP CHƯƠNG 5 ............................................................................................................... 195
ĐÁP SỐ VÀ GỢI Ý ................................................................................................................... 199
CHƯƠNG 1............................................................................................................................ 199
CHƯƠNG 2............................................................................................................................ 199
CHƯƠNG 3............................................................................................................................ 201
CHƯƠNG 4............................................................................................................................ 205
CHƯƠNG 5............................................................................................................................ 210
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................................... 218
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT CÁC KÍ HIỆU
 Tập các số tự nhiên khác 0
 Tập các số thực khác 0
* Tập các số thực dương
* Tập các số thực âm
CÁC CHỮ VIẾT TẮT VCB Vô cùng bé VCL Vô cùng lớn GTLN Giá trị lớn nhất 5 lOMoAR cPSD| 47207194 GTNN Giá trị nhỏ nhất PTVP Phương trình vi phân 6 lOMoAR cPSD| 47207194
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ
1.1.1. Các khái niệm cơ bản
A. Định nghĩa hàm số
Định nghĩa 1.1: Cho X ,Y  (thông thường người ta chọn Y ).
Một hàm số f từ X vào Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x X một
phần tử duy nhất y Y. f : X Y
x y f x( )
X được gọi là tập xác định của hàm số f.
Phần tử x X được gọi là biến số.
Số thực y f x ( ) gọi là giá trị của hàm số f tại x (hay gọi là ảnh của x bởi hàm số f ). Tập f X( )
f x( ): x X gọi là tập giá trị của hàm số f.
Người ta thường cho hàm số dưới dạng công thức xác định ảnh là y f x( ).
Khi đó miền xác định X của hàm số là tập hợp các phần tử x làm cho
biểu thức f x( ) có nghĩa.
B. Các phép toán trên các hàm số
Cho hai hàm số f X:  , g X: .
Các hàm số f g X: ; f g X: ; fg X:  xác định bởi (f g x)( )
f x( ) g x( ); (f g x)( ) f x( ) g x( ); (fg x)( ) f x g x( ) ( )
theo thứ tự gọi là tổng, hiệu, tích của hai hàm số f g, . f
Ngoài ra, nếu g x( ) 0 với x X thì hàm số : X  xác định bởi g f f x( ) ( )x g g x( ) gọi là
thương của hai hàm số f g, . 7 lOMoAR cPSD| 47207194
C. Các hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn, đơn điệu 8 lOMoAR cPSD| 47207194
Giả sử X là tập số thực sao cho x X với x X và f là hàm số xác định
trên X. f được gọi là hàm số chẵn nếu f x( ) f ( x), x X. f được gọi là
hàm số lẻ nếu f x( )
f ( x), x X.
Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục hoành, đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc O.
Cho hàm số f xác định trên X.
f được gọi là tuần hoàn trên X nếu tồn tại số
0 sao cho với mọi x X, ta có: x +
X và f (x + ) = f (x).
Số T dương bé nhất trong các số gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn f x( ).
 Cho hàm số f xác định trên X , f được gọi là tăng trên X nếu:
( x1, x2 X x) 1 x2 f x( 1) f x( 2), tăng ngặt trên X nếu: ( x1, x2
X x) 1 x2 f x( 1) f x( 2), giảm trên X nếu: ( x1, x2 X x) 1 x2
f x( 1) f x( 2), giảm ngặt trên X nếu: ( x1, x2 X x) 1 x2 f x( 1) f
x( 2). f được gọi là hàm số đơn điệu trên X nếu nó tăng hoặc giảm trên X.
f được gọi là đơn điệu ngặt trên X nếu nó tăng ngặt hoặc giảm ngặt trên X.
 Hàm số f (x) được gọi là
bị chặn trên trong X nếu tồn tại số A sao cho: ( )f x A, x X,
bị chặn dưới trong X nếu tồn tại số B sao cho: ( )f x B, x
X, bị chặn trong X nếu tồn tại các số A, B sao cho B f x( ) A, x X.
D. Hàm số hợp
Cho các hàm số f : X Y và g Y: .
Hàm số hợp của hai hàm số f g, kí hiệu là g f và xác định như sau:
g f X:  9 lOMoAR cPSD| 47207194
x gf x( ) g f x( ( )).
* Người ta còn diễn tả định nghĩa hàm số hợp bằng lược đồ như sau: g f f g Y X  f ( x ) x g f x( ( )) g f x( )
Ví dụ 1.1: Hàm số z sin(x3 x 2) là hợp của hai hàm số y x 3 x 2 và z sin .y
Nói cách khác, z g f trong đó f : g :
x y f x( ) x3 x 2 và
y g y( ) sin y
E. Hàm số ngược
Giả sử hàm số f X: Y ( X Y, ) là một song ánh. Khi đó với mỗi y Y, tồn tại duy
nhất x X sao cho y f x( ).
Hàm số g Y: X
y x thỏa mãn y f x( ) gọi là hàm
số ngược của hàm số f, kí hiệu là f 1.
Vậy f 1 :Y X và f 1( )y x y f x( ).
 Người ta thường kí hiệu biến số là x, hàm số là y, nên nói hàm số y f 1( )x là
hàm số ngược của hàm số f x( ) (chẳng hạn hàm số y loga x là hàm số ngược của hàm số y ax ).
Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, đồ thị của hai hàm số ngược nhau đối xứng qua đường phân giác thứ nhất.
1.1.2. Các hàm số sơ cấp cơ bản. Hàm số sơ cấp
A. Các hàm số sơ cấp cơ bản
1. Hàm lũy thừa: f x( ) x ( x 0, ). 10 lOMoAR cPSD| 47207194
2. Hàm số mũ: f x( ) ax (a 0,a 1).
3. Hàm số lôgarit: f x( ) loga x (a 0,a 1).
4. Các hàm số lượng giác: f x( ) sin ,x f x( ) cos ,x f x( ) tan ,x f x( ) cotx.
5. Các hàm số lượng giác ngược:
f x( ) arcsin ,x f x( ) arccos ,x f x( ) arctan ,x f x( ) arccot .x
Hàm arcsin là hàm số ngược của hàm sin: 2 , 2 1,1 .  arcsin: 1,1 2 , 2 x arcsinx
Như vậy, y arcsinx x sin ;y x 1,1 ; y 2 2, .
 Hàm arccos là hàm số ngược của hàm số cos : 0, 1,1 . arccos : 1,1 0, x arccosx
Như vậy, y arccosx x cos ;y x
1,1 ; y 0, . Hàm arctan
là hàm số ngược của hàm số tan : , 2 2 .  arctan :  2 , 2
x arctanx
Như vậy, y arctanx x tan ;y x ; y 2 2, . 11 lOMoAR cPSD| 47207194
 Hàm arccot là hàm số ngược của hàm cot:(0, ) . arccot :  0, x arccotx
Như vậy, y arccotx x cot ;y x ; y 0, . 1 1 arctan0, arccot1.
Ví dụ 1.2: Tính arcsin ,arccos , 2 2 12 6 6 12 6 , . Giải: arcsin vì sin và 2 2 1
Tương tự arccos , arctan0 0, arccot1= . 2 3 4 Nhận xét 1.3:
Có x sin(arcsin )x cos 2 arcsin x
2 arcsin x arccosx
arcsin x arccosx . 2
Tương tự, arctanx arccotx . 2
B. Hàm số sơ cấp
Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán
cộng, trừ, nhân, chia và phép lấy hàm hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng số.
Ta thường gặp các hàm số sơ cấp, chẳng hạn:
f x( ) e 2x cos3x 1
arcsin x là hàm số sơ cấp. 12 lOMoAR cPSD| 47207194 ln x
1.1.3. Một số hàm thường dùng trong phân tích kinh tế
Trong phân tích kinh tế, người ta thường dùng một số hàm, chẳng hạn:
A. Hàm cung và hàm cầu
 Hàm cung (supply function) có dạng Qs S p( ),
p là giá của hàng hóa;
QS là lượng cung, tức là lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng bán ở mỗi mức giá.
 Hàm cầu (demand function) có dạng QD D p( )
p là giá của hàng hóa;
QD là lượng cầu,tức là lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua ở mỗi mức giá.
Khi phân tích thị trường một loại hàng hóa, người ta xét lượng cung của thị
trường là tổng lượng cung của tất cả các nhà sản xuất và lượng cầu của thị trường là
tổng lượng cầu của toàn bộ những người tiêu dùng. Trong thực tế, lượng cung và lượng
cầu hàng hóa không chỉ phụ thuộc vào giá hàng hóa mà còn phụ thuộc nhiều yếu tố
khác, chẳng hạn như thu nhập của người tiêu dùng hoặc giá của các hàng hóa liên
quan. Tuy nhiên, khi xem xét các mô hình hàm cung và hàm cầu như trên, người ta giả
thiết rằng các yếu tố khác không thay đổi. Quy luật thị trường trong kinh tế học cho
thấy rằng thông thường, hàm cung là hàm đơn điệu tăng còn hàm cầu là hàm đơn điệu
giảm, nghĩa là nếu các yếu tố khác giữ nguyên thì khi giá hàng hóa tăng lên, nhu cầu
bán sẽ tăng và nhu cầu mua sẽ giảm.
Nếu QS QD tại p p thì mức giá p gọi là mức giá cân bằng. Khi đó lượng hàng
bán ra vừa đủ cung cấp trên thị trường.
B. Hàm sản xuất ngắn hạn
Hàm sản xuất biểu diễn sự phụ thuộc của sản lượng vào các yếu tố đầu vào của sản
xuất, chẳng hạn như vốn, lao động,..
Khái niệm ngắn hạn ở đây được hiểu là khoảng thời gian mà ít nhất một trong các yếu
tố sản xuất không đổi. 13 lOMoAR cPSD| 47207194
Người ta thường quan tâm đến hai yếu tố sản xuất quan trọng là vốn (capital) và lao
động (labor), kí hiệu lần lượt là K và L. Trong sản xuất ngắn hạn, K không đổi, do đó ta
có hàm sản xuất dạng Q f L( ).
L là lượng lao động , Q là mức sản lượng tương ứng.
Khi xét hàm sản xuất thì sản lượng Q và các yếu tố sản xuất K, L thường được đo
theo định kì (hàng ngày, hàng tuần, hàng tháng, hàng năm,..)
C. Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận
Tổng doanh thu (total revenue), tổng chi phí (total cost) và tổng lợi nhuận (total
profit) của nhà sản xuất phụ thuộc vào sản lượng.
 Hàm doanh thu có dạng TR TR Q( )
TR là tổng doanh thu, Q là sản lượng.
 Hàm chi phí có dạng TC TC Q( )
TC là tổng chi phí, Q là sản lượng.
 Hàm lợi nhuận có dạng
( )Q TR Q( ) TC Q( ).
D. Hàm tiêu dùng và hàm tiết kiệm
 Hàm tiêu dùng có dạng
C f Y( )
Y là biến thu nhập (income);
C là biến tiêu dùng (consumption).
Thực tế cho thấy khi thu nhập tăng thì người ta thường có xu hướng tiêu dùng nhiều
hơn, vì vậy hàm tiêu dùng thường là hàm đồng biến.
 Hàm tiết kiệm có dạng
S S Y( )
S là biến tiết kiệm (saving); Y là biến thu nhập. 1.2. DÃY SỐ THỰC
1.2.1. Khái niệm dãy số thực, dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn
 Hàm số u:  14 lOMoAR cPSD| 47207194
nu n u( ) n gọi là một dãy số thực.
Dãy số thường được viết dưới dạng un hoặc u u1 2,,...,un,...
un gọi là số hạng tổng quát của dãy số un .
 Dãy un được gọi là tăng nếu un un 1 , n  ,
tăng ngặt nếu un un 1, n  , giảm
nếu un un 1 , n  , giảm ngặt nếu un un 1, n  .
Dãy số tăng hoặc giảm được gọi là dãy số đơn điệu.
Dãy số tăng ngặt hoặc giảm ngặt được gọi là dãy số đơn điệu ngặt.  Ta nói rằng dãy
un bị chặn trên nếu A  sao cho un A, n 
un bị chặn dưới nếu B  sao cho un B, n 
un bị chặn nếu tồn tại M  sao cho un M , n  .
Ví dụ 1.3: Dãy số un với un 1 có dạng 1,1 1 1, , ,..., 1 ,... n 2 3 4 n
un là dãy giảm ngặt, bị chặn.
1.2.2. Giới hạn dãy số, dãy số hội tụ, dãy số phân kì
Định nghĩa 1.2:
 Dãy un được gọi là có giới hạn l  nếu 0,
N  : n N un l
. Kí hiệu limun l hoặc un l khi n . n
 Dãy un được gọi là có giới hạn nếu 15 lOMoAR cPSD| 47207194
A>0, N  : n N un A. Kí hiệu lim un . n
 Dãy un được gọi là có giới hạn nếu A
0, N  : n N un A. Kí hiệu lim un . n
 Dãy un được gọi là hội tụ nếu có số l  để nlim un l.
Dãy số không hội tụ gọi là dãy phân kì. Như vậy dãy un phân kì khi lim un
hoặc không tồn tại lim un. n n
Nhận xét 1.2: Giới hạn nlim un l cho thấy các số hạng un có xu hướng tập trung gần số
l (có thể bằng l) khi n lớn vô hạn. 1
Ví dụ 1.4: Chứng minh lim 0. n n Giải: 0, 1 0 n 1. n
Chọn N là số tự nhiên mà N 1. 1
Ta có: n N n 1 1 0 . Vậy lim 0. n n n
Nhận xét 1.3: Giới hạn của dãy số không phụ thuộc vào một số hữu hạn số hạng đầu tiên.
Ví dụ 1.5: Xét dãy un gồm các số hạng 1 1 1 1 1
100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, , , , ,..., ,... 9 10 11 12 n Ta thấy lim un 0. n 16 lOMoAR cPSD| 47207194
Ví dụ 1.6: Xét dãy un trong đó un a với mọi n.
Dễ thấy lim un a. n
1.2.3. Tính chất của dãy số hội tụ
A. Tính duy nhất của giới hạn
Nếu dãy un có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
B. Tính bị chặn
Dãy un hội tụ thì bị chặn trong tập .
C. Tính chất đại số của dãy hội tụ (Trường hợp giới hạn là hữu hạn)
1. lim un a
lim un a . n n 2. lim un 0
lim un 0. n n
3. lim un a, lim vn b lim(un vn) a b. n n n
4. lim un a lim un a, là hằng số. n n
5. lim un 0, vn bị chặn nlim( u vn n) 0. n
6. lim un a, lim vn b lim(u vn n) ab. n n n
7. lim un a, lim vn b 0 lim un a. n n n v b n
Chú ý 1.1: Đối với các giới hạn vô hạn, ta áp dụng các phép toán như trên tập số thực mở rộng: x : x ( )x , x () x ; ( ) , ( ) ;
x * x ,x 0 : .( x ).x , x.( ).x ; 17 lOMoAR cPSD| 47207194
x * x ,x 0 : .( x ) .x , x.( ) .x ; .( ) .( ) , .( ) .( ) .
Ví dụ 1.7: Tìm giới hạn của các dãy có số hạng tổng quát sau: n 2 ( 1) a) un n3 4 n3n ; b) u n 2 2 n n c) un
n32n 2 n sin4nn ; d) un 2n3 n 2. Giải: n2 1 n3 1 1 3 n 4 2 nlim n n 0. 1 0 0.
a) limn u nlim 3 n n3
1 n4 n23 1 0 0 n 1 ( 1) n 1 ( 1) n b) Có lim lim 0 lim 0. n n n n n n 1 1 sinn 0 1 n 4 3 c) nlim u n n nlim 3 0 3. sinn 1 1, n). (nlim n
0 vì nlim n 0 và sinn 18 lOMoAR cPSD| 47207194
d) Có lim un lim n3 2 12 n23 . n n n
D. Tính chất về thứ tự và nguyên lý kẹp
1. Giả sử limun l và a l b. Khi đó n
n0  sao cho n n0 a un b. 2. Giả sử limun l và n0 : n n0 a
un b. Khi đó a l b. n
3. Giả sử ba dãy un , vn , wn thỏa mãn: n0: n
n0 un vn wn và lim un lim wn l. n n
Khi đó lim vn l. n
4. Giả sử n n0, un vn và lim un . Khi đó lim vn . n n
E. Tính chất của dãy số đơn điệu
1. Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
2. Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
3. Dãy un tăng và không bị chặn trên thì dần đến .
4. Dãy un giảm và không bị chặn dưới thì dần đến .
Ví dụ 1.8: Chứng minh rằng en 1 1n n hội tụ.
Giải: Trước hết ta sẽ chỉ ra en tăng. Thật vậy, theo công thức nhị thức Newton, ta có: 19 lOMoAR cPSD| 47207194 en 1 1 n n Cnk 1n k k n0 k
n!( n ! k)! 1n k n k 0
1 n 1n n n(1.2 1) 12 n n( 1.2.31)(n 2) 1n3 
n n( 1)...(1.2...nn n 1) 1nn n 1 1 2!1 1 1n  k1! 1 1n 1 n2  1 kn 1  n1! 1 1n  1 nn 1 Suy ra en 1 1 n1 1 n 1 1 1 2!1 1 n1 1 3!1 1 n1 1 1 n2 1 ... 1 1 n1 1 1 n2 1 ... 1 nn 11 (n 11)! 1 n1 1 1 n2 1 ... 1 nn 1 . n!
Nhận xét: en 1 nhiều hơn en một số hạng dương và từ số hạng thứ ba trở đi mọi số hạng của e 1
n nhỏ hơn số hạng tương ứng của en 1 (vì 1
n 1 n1 1) . Suy ra en 1 en . 1
Ngoài ra en 2 2!1 3!1  n1! 2 12 2  1 2n 1 , 2 như vậy en 2 3, n. 1
Dãy en tăng và bị chặn trên nên hội tụ. 20