lOMoAR cPSD| 47028186
Bài giảng TOÁN KINH TẾ
DÀNH CHO QUẢN TRỊ VÀ KINH TẾ
Mª học phần: 270008
----------------------------------------------------------------------------------------------------- Phần 1:
CÁC MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH
TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ
1.1. Mô hình cân ối liên ngành
(Mô hình Input – Output của Leontief)
Trong phần này, chúng ta nghiên cứu một mô hình kinh tế ó là Mô
hình cân ối liên ngành (còn ược gọi là Mô hình I/O (Input/Output) của
Léontief) , công cụ chủ yếu ể giải mô hình này là các phép toán với ma trận và ịnh thức.
1.1.1. Giới thiệu mô hình
Trong một nền kinh tế hiện ại, một ngành nào ó sản xuất một loại
sản phẩm hàng hóa (output) phải sử dụng các loại hàng hóa (của những
ngành khác hoặc của chính ngành ó) ể làm nguyên liệu ầu vào
(input) của quá trình sản xuất. lOMoAR cPSD| 47028186
Ta cần nghiên cứu mức sản lượng của mỗi ngành sao cho không
thừa, không thiếu ể ảm bảo nền kinh tế phát triển ổn ịnh.
Để thuận tiện cho việc tính chi phí cho các yếu tố sản xuất, sản
lượng của tất cả các loại hàng hóa ta phải biểu diễn ở dạng giá trị, tức là o bằng tiền.
Giả thiết một nền kinh tế có n ngành sản xuất, ngành 1, 2,..., n.
–xik : (Cầu trung gian) : là giá trị sản phẩm của ngành i mà ngành k cần
sử dụng cho quá trình sản xuất của mình .
–bi : (Cầu cuối cùng) : là giá trị sản phẩm của ngành i ể tiêu dùng bao
gồm các hộ gia ình, Nhà nước, các tổ chức… và xuất khẩu.
- xi: (Tổng cầu) là sản phẩm hàng hóa của ngành i (i 1, 2,..., n) ược xác ịnh bởi:
x i = xi1 + xi2 + ..... + xin + bi ( i = 1, 2,..., n)
Việc xác ịnh tổng cầu ối với sản phẩm của mỗi ngành sản xuất trong
tổng thể nền kinh tế là quan trọng,
Tuy nhiên, trong thực tế, ta thường không có thông tin về giá trị
cầu trung gian x ik , nhưng người ta lại chủ ộng trong việc xác ịnh tỉ phần
chi phí ầu vào của sản xuất.
Công thức trên có thể viết lại dưới dạng: lOMoAR cPSD| 47028186 x x x x i1 i2 in i x1+ x2+......+
xn +bi ( i = 1, 2,..., n) x1 x2 x n x ik Khi ó
Đặt aik ( i , k = 1, 2,..., n), x k
xi ai1.x1 ai2.x2 ...... ain.xn+bi a11 ...... a1n ...... a a a 12 2n Ta ặt ma trận ...... A 21 ... a 22 ...... ... an1 ... a an2 nn
Ma trận A ược gọi là ma trận hệ số ầu vào, hay ma trận hệ số kĩ thuật.
ý nghĩa của các phần tử aik của ma trận A.
Phần tử aik (phần tử thuộc dòng i, cột k của A) là tỉ phần chi phí mà
ngành k trả cho việc mua hàng hoá của ngành i tính trên một ơn vị giá trị hàng hoá của ngành k.
Chẳng hạn, aik = 0,2 có nghĩa là ể sản xuất ra $1 giá trị hàng hoá của
mình , ngành k phải mua $0,2 hàng hoá của ngành i.
Ta giả thiết là các phần tử aik không ổi và gọi aik là hệ số chi phí cho
yếu tố sản xuất hay hệ số kĩ thuật. lOMoAR cPSD| 47028186 0 aik < 1.
• các phần tử của dòng i là hệ số giá trị hàng hoá của ngành i bán cho
tất cả các ngành làm hàng hoá trung gian ( kể cả cho chính ngành i),
• các phần tử của cột k là hệ số giá trị hàng hoá mà ngành k mua của
các ngành ể sử dụng cho việc sản xuất hàng hoá của mình (kể cả của chính ngành k).
Tổng tất cả các phần tử của cột k là tỷ phần chi phí mà ngành k phải
trả cho việc mua các yếu tố sản xuất trên $1 giá trị hàng hoá của mình. Do ó:
a1k + a2k +........+ ank 1 (k = 1, 2, ..., n) Ví dụ 1:
Quan hệ trao ổi sản phẩm giữa 3 ngành sản xuất và cầu hàng hoá ược cho
bởi ma trận hệ số kỹ thuật: 0,15 0,21 0,3 A 0,4 0,5 0,23 0,12 0,25 0,33
1- Ý nghĩa của a12 =0,21 là ể sản xuất 1 ơn vị giá trị hàng hóa của mình,
nghành 2 cần mua 0,21 ơn vị giá trị hàng hóa của ngành 1....
2- Tổng các giá trị trong cột 1 là a11 a21 a31 0,15+0,4+0,25=0,8 là
tỷ phần chi phí ầu vào của ngành 1.
Khi ó 1-0,8=0,2 là tỷ phần giá trị gia tăng của ngành 1
3- Nếu lấy tỷ phần chi phí nhân với tổng cầu tương ứng thì ta nhận ược
tổng chi phí; và nếu lấy tỷ phần giá trị gia tăng nhân với tổng cầu thì
ta nhận ược giá trị gia tăng tương ứng.
Lập ma trận hệ số kỹ thuật : lOMoAR cPSD| 47028186
Ví dụ2:
Quan hệ trao ổi sản phẩm giữa 3 ngành sản xuất và cầu hàng hoá ược
cho bởi bảng sau (ơn vị: triệu USD) Ngành cung
Ngành sử dụng sản phẩm (Inputs) Cầu cuối ứng 1 2 3 cùng sản phẩm (Output) 1 20 60 10 50 2 50 10 80 10 3 40 30 20 40
Trong bảng số liệu trên, mỗi dòng ứng tên một ngành sản xuất
(Output), mỗi cột ở giữa ứng tên một ngành với danh nghĩa là người mua sản phẩm (Inputs)
Hãy tính tổng cầu ối với sản phẩm của mỗi ngành
và lập ma trận hệ số kỹ thuật. Giải
Tổng cầu hàng hoá của:
• Ngành 1: x1 = 20 + 60 + 10 + 50 = 140
• Ngành 2: x2 = 50 + 10 + 80 + 10 = 150
• Ngành 3: x3 = 40 + 30 + 20 + 40 = 130
Ma trận hệ số kỹ thuật: 0,143 0,400 0,077 A 0,375 0,067 0,615 0,286 0,200 0,154 lOMoAR cPSD| 47028186
Ví dụ3:
Trong một khu công nghiệp, xét 2 nhà máy A và B có quan hệ sản xuất như sau: -
Để sản xuất 1 ơn vị giá trị sản phẩm của mình, nhà máy A sử dụng
0,2 ơn vị giá trị sản phẩm của mình và 0,5 ơn vị giá trị sản phẩm của nhà máy B. -
Nhà máy B, khi sản xuất 1 ơn vị giá trị sản phẩm của mình, phải
sử dụng 0,3 ơn vị giá trị sản phẩm của nhà máy A và 0,4 ơn vị giá trị sản phẩm của mình.
Hãy lập ma trận hệ số kỹ thuật.
Cách lập ma trận hệ số kỹ thuật: Số liệu input của nhà máy A ưa vào
cột 1, và số liệu iuput của nhà máy A ưa vào cột 2 ta nhận ược ma tận hệ số kỹ thuật: 0,2 0,3 A 0,5 0,4
1.1.2. Phương pháp giải:
Ta cần phải tìm ma trận tổng cầu X ể dự tính cho kế hoạch sản xuất
cho mọi ngành phải phấn ấu ạt ược ể nền kinh tế vận hành ổn inh, tránh
tình trạng dư thừa hoặc thiếu hụt hàng hoá.
Từ tổng cầu ta tính ược tổng chi phí và giá trị gia tăng của các ngành
Để giải ược mô hình ta ặt các ma trận: a 11 a12 ...... a1n b1 x1 lOMoAR cPSD| 47028186 A
a21 a22 ...... a2n , B b2 , X x2 , ... ... ...... ... ... ... a n1 an2 ...... ann bn xn 1 0 ...... 0 Ma trận ơn vị E ... 0 ... ...... 1 ... ...... 0 ...... 0 1 0
Ma trận X là ma trận tổng cầu,
Ma trận B là ma trận cầu cuối.
Ma trận E là ma trận ơn vị cấp n
Từ phương trình trên xi ai1.x1 ai2.x2 ...... ain.xn+bi ta
chuyển vế và sau khi biến ổi ta nhận ược hệ phương trình viết dưới dạng ma trận như sau: (E-A).X = B
Khi ó ta tìm ược ma trận tổng cầu X ối với hàng hoá của tất cả các ngành sản xuất: X = (E-A) - 1 B
Công thức trên ược gọi là công thức tính ma trận tổng cầu.( Như
vậy, nếu chúng ta biết ma trận hệ số kỹ thuật A và ma trận cầu cuối cùng B
thì sẽ xác ịnh ược giá trị tổng cầu của các ngành sản xuất X.) lOMoAR cPSD| 47028186
+) Ma trận E A ược gọi là ma trận Leontief.
+) Ma trận C E A 1 , và gọi là ma trận hệ số chi phí toàn bộ. 1.1.3. Các ví dụ Ví dụ 1
Giả sử trong một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2,
ngành 3. Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật 0,2 0,3 0,2 A 0,4 0,1 0,2 0,1 0,3 0,2
a. Ý nghĩa của 0,4 ở ầu dòng 2 Giải
. Số 0,4 ở dòng thứ 2 cột thứ 1 của ma trận A. Điều ó có nghĩa là: ể sản
xuất $1 hàng hoá của mình, ngành 1 cần $0,4 hàng hoá của ngành 2 ể sử
dụng trong quá trình sản xuất,
b. Tính tỉ phần giá trị gia tăng hàng hoá của ngành 3 trong tổng giá trị sản phẩm của ngành ó, Giải
Tỉ phần chi phí cho sản xuất của ngành 3 là tổng các phần tử ở cột thứ 3 của ma trận A: lOMoAR cPSD| 47028186 0,2 + 0,2 + 0,2 = 0,6.
Vậy tỉ phần giá trị gia tăng trong tổng giá trị hàng hoá của ngành 3 là: 1-0,6 = 0,4 hay 40%,
c. Cho biết mức cầu cuối cùng ối với các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 10, 5,
6 (triệu USD), hãy xác ịnh mức tổng cầu ối với mỗi ngành Giải 10
Ma trận cầu cuối: B 5
; ma trận tổng cầu là: X E A 1B 6 24,84 X 20,68 18,36
d. Hãy xác ịnh mức tổng chi phí cho các hàng hóa ược sử dụng làm ầu vào
của sản xuất ối với mỗi ngành. Giải
Tổng chi phí cho các hàng hóa ược sử dụng làm ầu vào mỗi ngành:
c1 = (0,2 + 0,4 + 0,1) x 24,84 = 0,7 x 24,84 = 17,388 c2
= (0,3 + 0,1 + 0,3) x 20,68 = 0,7 x 20,68 = 14,476 c3 =
(0,2 + 0,2 + 0,2) x 18,36 = 0,6 x 18,36 = 11,016 Ví dụ 2.
Trong một khu công nghiệp, xét 2 nhà máy A và B có quan hệ sản xuất như sau: -
Để sản xuất 1 ơn vị giá trị sản phẩm của mình, nhà máy A sử dụng
0,2 ơn vị giá trị sản phẩm của mình và 0,5 ơn vị giá trị sản phẩm của nhà lOMoAR cPSD| 47028186 máy B. -
Nhà máy B, khi sản xuất 1 ơn vị giá trị sản phẩm của mình, phải sử
dụng 0,3 ơn vị giá trị sản phẩm của nhà máy A và 0,4 ơn vị giá trị sản phẩm của mình.
Nếu nhu cầu thị trường ối với sản phẩm của A là 160 và B là 220 ơn vị giá trị,
1- Tính tổng cầu ối với sản phẩm của nhà máy A và Tính tổng cầu ối
với sản phẩm của nhà máy B.
Lập ma trận hệ số kỹ thuật và ma trận cầu cuối cùng:
Số liệu input của nhà máy A ưa vào cột 1, và số liệu iuput
của nhà máy A ưa vào cột 2 ta nhận ược ma tận hệ số kỹ thuật: A 0,2 0,3 0,5 0,4
Số liệu cầu cuối của cả 2 nhà máy A và B ta ưa vào một 160
cột của ma trận cầu cuối cùng ta nhận ược: B 220
Thực hiện bài toán tính tổng cầu: X E A 1B A. 490,91 B. 775,76
2- Biết tổng cầu ối với sản phẩm của nhà máy A là 490 (ơn vị giá trị),
Tính tổng chi phí cho các hàng hóa ược sử dụng làm ầu vào của sản xuất ối với nhà máy A
Tính tổng chi phí của nhà máy A: lOMoAR cPSD| 47028186
Cộng các hệ số chi phí của nhà máy A ở cột thứ nhất: 0,2+0,5=0,7 và
nhân với tổng cầu của nhà máy A là 490 ta nhận ược tổng chi phí của nhà máy A A. 343
3- Biết tổng cầu ối với sản phẩm của nhà máy B là 775 (ơn vị giá trị),
Tính tổng chi phí cho các hàng hóa ược sử dụng làm ầu vào của sản
xuất ối với nhà máy B.
Tính tổng chi phí của nhà máy B:
Cộng các hệ số chi phí của nhà máy B ở cột thứ hai: 0,3+0,4=0,7 và
nhân với tổng cầu của nhà máy B là 775 ta nhận ược tổng chi phí của nhà máy B B. 542,5 Ví dụ 3.
Trong một khu công nghiệp, xét 2 nhà máy A và B có quan hệ sản xuất như sau: -
Để sản xuất 1 ơn vị giá trị sản phẩm của mình, nhà máy A sử dụng
0,2 ơn vị giá trị sản phẩm của mình và 0,3 ơn vị giá trị sản phẩm của nhà máy B. -
Nhà máy B, khi sản xuất 1 ơn vị giá trị sản phẩm của mình, phải
sử dụng 0,5 ơn vị giá trị sản phẩm của nhà máy A và 0,1 ơn vị giá trị sản phẩm của mình.
Nếu nhu cầu thị trường ối với sản phẩm của A là 230 và B là 170 ơn vị giá trị,
1- Tính tổng cầu ối với sản phẩm của nhà máy A và tổng cầu ối với sản phẩm của nhà máy B.
Lập ma trận hệ số kỹ thuật và ma trận cầu cuối cùng
Số liệu input của nhà máy A ưa vào cột 1, và số liệu iuput
của nhà máy A ưa vào cột 2 ta nhận ược ma tận hệ số kỹ thuật: lOMoAR cPSD| 47028186 A 0,2 0,5 0,3 0,1
Số liệu cầu cuối của cả 2 nhà máy A và B ta ưa vào một
cột của ma trận cầu cuối cùng ta nhận ược: 230 B 170
Thực hiện bài toán tính tổng cầu: X E A 1B A. 512,28 B. 359,65
1- Tính tổng chi phí cho các hàng hóa ược sử dụng làm ầu vào của sản xuất ối với nhà máy A
Tính tổng chi phí của nhà máy A:
Cộng các hệ số chi phí của nhà máy A ở cột thứ nhất: 0,2+0,3=0,5 và
nhân với tổng cầu của nhà máy A là 512 ta nhận ược tổng chi phí của nhà máy A A. 256
2- Tính tổng chi phí cho các hàng hóa ược sử dụng làm ầu vào của sản
xuất ối với nhà máy B.
Tính tổng chi phí của nhà máy B:
Cộng các hệ số chi phí của nhà máy B ở cột thứ hai: 0,5+0,1=0,6 và
nhân với tổng cầu của nhà máy B là 359 ta nhận ược tổng chi phí của nhà máy B B. 215,4 lOMoAR cPSD| 47028186
Ví dụ 4. Trong mô hình input – output mở biết ma trận kỹ thuật số như sau 0,2 0,2 0,3 A 0,3 0,1 0,2 0,2 0,3 0,2 300
Và ma trận cầu cuối của 3 ngành là B 250 220 Tìm ma trận tổng cầu 840,66 Đáp số: X 726,34 757,54
Bài tập (Có hướng dẫn) Bài số 1.
Trong mô hình cân ối liên ngành cho ma trận hệ số kỹ thuật A và ma trận cầu cuối B A 0,2 0,4 & B 200 0,1 0,3 300
Hãy xác ịnh ma trận tổng cầu X: lOMoAR cPSD| 47028186 500 Đáp số: X 500 Bài 2
Trong một khu công nghiệp, xét 2 nhà máy A và B có quan hệ sản xuất như sau:
- Để sản xuất 1 ơn vị giá trị sản phẩm của mình, nhà máy A sử dụng
0,3 ơn vị giá trị sản phẩm của mình và 0,4 ơn vị giá trị sản phẩm của nhà máy B.
- Nhà máy B, khi sản xuất 1 ơn vị giá trị sản phẩm của mình, phải sử
dụng 0,6 ơn vị giá trị sản phẩm của nhà máy A và 0,2 ơn vị giá trị sản phẩm của mình.
Nếu nhu cầu thị trường ối với sản phẩm của A là 250 và B là 190 ơn vị giá trị,
1- Tính tổng cầu ối với sản phẩm của nhà máy A và tổng cầu ối
với sản phẩm của nhà máy B.
Lập ma trận hệ số kỹ thuật và ma trận cầu cuối cùng
Số liệu input của nhà máy A ưa vào cột 1, và số liệu
iuput của nhà máy A ưa vào cột 2 ta nhận ược ma tận hệ số kỹ thuật: 0,3 0,6 A 0,4 0,2
Số liệu cầu cuối của cả 2 nhà máy A và B ta ưa vào một cột 250
của ma trận cầu cuối cùng ta nhận ược: B 190
Thực hiện bài toán tính tổng cầu: X E A 1B A. 981,25 lOMoAR cPSD| 47028186 B. 728,12
2- Tính tổng chi phí cho các hàng hóa ược sử dụng làm ầu
vào của sản xuất ối với nhà máy A Tính tổng chi phí của nhà máy A:
Cộng các hệ số chi phí của nhà máy A ở cột thứ nhất:
0,3+0,4=0,7 và nhân với tổng cầu của nhà máy A là 981 ta nhận
ược tổng chi phí của nhà máy A A. 686,7
3- Tính tổng chi phí cho các hàng hóa ược sử dụng làm ầu vào
của sản xuất ối với nhà máy B.
Tính tổng chi phí của nhà máy B:
Cộng các hệ số chi phí của nhà máy B ở cột thứ hai: 0,6+0,2=0,8
và nhân với tổng cầu của nhà máy B là 728 ta nhận ược tổng chi phí của nhà máy B B. 582,4 Bài 3
Trong một khu công nghiệp, xét 2 nhà máy A và B có quan hệ sản xuất như sau:
- Để sản xuất 1 ơn vị giá trị sản phẩm của mình, nhà máy A sử dụng
0,2 ơn vị giá trị sản phẩm của mình và 0,3 ơn vị giá trị sản phẩm của nhà máy B.
- Nhà máy B, khi sản xuất 1 ơn vị giá trị sản phẩm của mình, phải sử
dụng 0,6 ơn vị giá trị sản phẩm của nhà máy A và 0,1 ơn vị giá trị sản phẩm của mình.
Nếu nhu cầu thị trường ối với sản phẩm của A là 260 và B là 170 ơn vị giá trị,
3- Tính tổng cầu ối với sản phẩm của nhà máy A và tổng cầu ối
với sản phẩm của nhà máy B.
Lập ma trận hệ số kỹ thuật và ma trận cầu cuối cùng lOMoAR cPSD| 47028186
Số liệu input của nhà máy A ưa vào cột 1, và số liệu
iuput của nhà máy A ưa vào cột 2 ta nhận ược ma tận hệ số kỹ thuật: 0,2 0,6 A 0,3 0,1
Số liệu cầu cuối của cả 2 nhà máy A và B ta ưa vào
một cột của ma trận cầu cuối cùng ta nhận ược: 260 B 170
Thực hiện bài toán tính tổng cầu: X E A 1B A. 622,22 B. 396,3
2- Tính tổng chi phí cho các hàng hóa ược sử dụng làm ầu vào
của sản xuất ối với nhà máy A Tính
tổng chi phí của nhà máy A:
Cộng các hệ số chi phí của nhà máy A ở cột thứ nhất:
0,2+0,3=0,5 và nhân với tổng cầu của nhà máy A là 622 ta nhận
ược tổng chi phí của nhà máy A A. 311
3-Tính tổng chi phí cho các hàng hóa ược sử dụng làm ầu vào của
sản xuất ối với nhà máy B.
Tính tổng chi phí của nhà máy B:
Cộng các hệ số chi phí của nhà máy B ở cột thứ hai: 0,6+0,1=0,7
và nhân với tổng cầu của nhà máy B là 396 ta nhận ược tổng chi phí của nhà máy B B. 277,2 lOMoAR cPSD| 47028186 Bài 4
Giả sử trong một nền kinh tế có hai ngành sản xuất: ngành 1 và 0,2 0,3
ngành 2 có ma trận hệ số kỹ thuật là: A 0,4 0,1
Cho biết giá trị cầu cuối cùng ối với sản phẩm của ngành 1 và ngành 2
thứ tự là 10, 20 tỉ ồng.
1- Hãy xác ịnh giá trị tổng cầu ối với mỗi ngành.
2- Hãy xác ịnh giá trị gia tăng ối với mỗi ngành. Giải X1 Gọi ma tận tổng cầu X X2
Với x1 là giá trị tổng cầu của ngành 1, x2 là giá trị tổng cầu của ngành 2. 10
Theo giả thiết ma trận cầu cuối B có dạng: B 20
1- Tính ma trận tổng cầu theo công thức: E A 1B X lOMoAR cPSD| 47028186 25
Vậy ma trận tổng cầu là: X 33,33
Giá trị tổng cầu của ngành 1 là x1 25 tỉ ồng.
Giá trị tổng cầu của ngành 2 là x2 33,33tỉ ồng.
2- Tỷ phần giá trị gia tăng của ngành 1 là: 1-(0,2+0,4) = 0,4.
Giá trị gia tăng của ngành 1 là: 25x0,4 = 10
Tỷ phần giá trị gia tăng của ngành 2 là: 1-(0,3+0,1) = 0,6.
Giá trị gia tăng của ngành 2 là: 33,33x0,6 = 19,998 Bài 5
Giả sử trong một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2 0,4 0,1 0,2 0,3
và ngành . Biết ma trận hệ số kĩ thuật là: A 0,2 0,2 0,1 0,4 0,3
và giá trị cầu cuối cùng ối với sản phẩm của từng ngành thứ tự là 40,
40 và 110 (ơn vị tính: nghìn tỉ ồng).
Hãy xác ịnh giá trị tổng cầu của từng ngành sản xuất. Giải lOMoAR cPSD| 47028186 X1
Gọi ma trận tổng cầu là. X X2 X3
Với x1 là giá trị tổng cầu của ngành 1,
x2 là giá trị tổng cầu của ngành 2,
x3 là giá trị tổng cầu của ngành 3. 40
Theo giả thiết ma trận cầu cuối : B 40 110
Áp dụng công thức tính ma trận tổng cầu: 200 X E A 1B 200 300
Vậy giá trị tổng cầu của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là x1 200 (nghìn tỉ ồng), x 2 200 (nghìn tỉ ồng) x 3 300 (nghìn tỉ ồng). Bài 6.
Trong mô hình cân ối liên ngành cho ma trận hệ số kỹ thuật
A và ma trận cầu cuối B lOMoAR cPSD| 47028186 0,4 0,2 0,1 40 A 0,1 0,3 0,4 & B 110 0,2 0,2 0,3 40
Hãy xác ịnh ma trận tổng cầu X: 200 Đáp số: X 300 ; 200
Bài tập (Tự giải) Bài 1.
Trong mô hình cân ối liên ngành cho ma trận hệ số kỹ thuật
A và ma trận cầu cuối B 0,3 0,5 0,3 20000 A 0,2 0,2 0,3 & B 10000 0,4 0,2 0,3 40000
Hãy xác ịnh ma trận tổng cầu X: 265178,6 Đáp số: X 175892,9