Bài Tập Chương 1 Đại số tuyến tính | Trường Đại học Phenika

BÀI TẬP -
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
BỘ MÔN TOÁN – ĐẠI HỌC PHENIKAA
Biên soạn: Phan Quang Sáng
BỘ MÔN TOÁN K – HOA KHCB- I
ĐẠ HỌC PHENIKAA
CHƯƠNG 1: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài 1. Tìm các s
ố m, n, k biết : 1) A .B  C 2) A .B  C m x 3 n x 4 2 x k 2 m x n k x 5
ĐS: 1) m  2,n  3, k  4 2) m  2,n  5, k  2  6 9   1 2
Bài 2. Cho 2 ma trận A    và B    . Tính : 2
A , AB và BA . 4  6   1 0  
0 0 3 12 2 3 ĐS: 2 A  , ,       0 0 2 8  6  9        1 1   1 4 3 2 7 Bài 3.  
Cho các ma trận: A    , B  2 3 , C    . 2 5 0     3 1 4 6   Tính  3 t A
B , AB , BA , ABC , CB .  1  1  3  4 10 15 21 29 1  29 118 ĐS:   3 t A B    , AB    ,BA  8 23 6 , ABC    , 1   14 18 12 13     63 71    16 46 12   không tồn tại C . B  2  1    Bài 4 2 1 3 1  1 . Cho các ma trận   A  , B  0 2   và C    . 0 1 2     0 1    1 1  
1) Hai ma trận nào có thể nhân được với nhau ? 2) Tính , , n AB ABC C .
ĐS: 1) AB, B , A BC, CA 1 3 1 4 1 n 2) AB  , ABC  , n C        2 0 2 2 0 1       Bài 5. Th c
ự hiện các phép tính sau: 3 4 1 3 1    2 1 3   1)   3   ; 2) 2 2  0   . 1 2 0     1     0 1 1    1 27 9 14 ĐS:   1)   ; 2) 18 2  8 0 . 10    0 9 1      1 2  1   3 4 Bài 6.  
Cho 2 ma trận A    và B  0 5 0 2   3      3  1  
a) Tìm ma trận X sao cho   2 t A X  B .
b) Tìm ma trận Y sao cho t
Y  BA  0 .
BỘ MÔN TOÁN K – HOA KHCB- I
ĐẠ HỌC PHENIKAA 1 0 3 1  3 2   ĐS:   a) X    b) Y  1  10  7  4 8 5      2 15   9 1   1     1 2 2 1 2 1 
Bài 7. Cho hai ma trận A ; B       2 3 4 2 2 3       1 5 
Hãy thực hiện phép tính: , t t
AB B A . Kiểm tra lại đẳng thức ( )t t t
AB  B A có đúng với các ma trận , A B hay không .  0 10  0 2   ĐS:  ; t t AB B A  .      2 21 10 21    
Bài 8. Cho các ma trận: 3 2 1  3 1       3 1 2 1 5 0 1 0 A    , B    ,   C   0 2 0  1 3 1 2 1       3 2  1   2 2   Tìm phần t n ử ằm ở hàng 2, c t ộ 3 c a ủ ma trận 3 t A BC . ĐS: 15 2 1
Bài 9. Cho ma trận A    0 2
1) Tìm ma trận X thỏa mãn 2
A  2A  3X  0 2) Tính 2017 A . 8  2   2017 2016 ĐS 2 2017.2  : 1) 3 X   ; 2) 2017 A     8 2017 0 2 0    3
Bài 10. Tính các định thức sau: 1 2 2 2 4 0 0 1  1 2 1 2 1 2 2 3 1 0 2 a) 2 0 2 b) c) 2 2 1 2 0 1 2 2 1  2 5 2 2 2 1 1 2 1 0 1 2 1 1  1 1  3 1 3 6  0 1 1  2 d) 1 1 2  e) 1 1  2 f) 2 1 1  1 2 5 4 8 5 4 1 1  2 0 ĐS: a) 24 b) 7  c) 3  7 d)35 e - ) 56 f - ) 24 Bài 11. nh t Tính các đị hức sau:
BỘ MÔN TOÁN K – HOA KHCB- I
ĐẠ HỌC PHENIKAA 1 0 3 1 4 0 0 1  x 1 1 0 1 1 1 a 1 0 2 6 0 3 1  0 2 1) 1 x 1 ; 2) 1 0 x ; 3) 2 1 a ; 4) ; 5) . 1 0 3 1 0 1 2  2  1 1 x 1 x 0 3 2 1 4 1 5 0 1 2 1 0 ĐS: 1) 2
(x  2)(x 1) 2) 0 3) 2
3a  4a  2 4) 40 5) -45  2  1 m Bài 12.   Cho ma trận A  1 1 1    2 1 3    1) Với m 1 t hãy tính 4 det ,
A det(5A ), det(A ) . 
2) m là giá trị nào đó màdet A  3 . Với nh ng gi ữ
á trị m đó hãy tính 1 2
det(A ), det(2 A )
ĐS: 1) det A  2 , det(5 t A )  250 , 4 det( A )  16  1 2) 1 2 det A  , det(2A )  72 3 Bài 13. nh t Tính các đị h c ứ sau: 1 m m 2 4 2 m 1 m 2 m a) 5 m 1 b) 1 2 m m 2 4 3 2 1 1 1 ĐS: a) 2 2
 m  32m 10
b)  m  m  m  2 3 2 3 1 2 Bài 14. 5 Cho hai ma trận ,
A B vuông cấp 3 có: det(2 ) A  4  , 3
det(B )  8 , det( A  ) B  . 2
Tính det A, det B , det( t t A B ) , 4 1 det(5A B  ) , 2
det( AB  B ) . ĐS:  det A  1
 / 2; det B  2; det( t t A B )  1  ; 4 1
det(5A B )  125 / 32 ; 2
det( AB  B )  5 .
Bài 15. Cho ma trận A cấp 3 có det 2A  80 .
a) Chứng minh ma trận A khả nghịch. b) Tính  1
det A  ,det  t A  và  6 det A . ĐS: a
) det A 10  0 , nên ma trận A khả nghịch. 1 b) det  1 A   , det  t A  10,  6A 6 det  10 10
Bài 16. Cho các ma trận: 1 3 2 2 6 5  1 1 2  2  2  3          A  2 1 1   , B  1 4 3   , C  2 1  1   và D  1 4 3   . 3 0 2    3 9 7     3 0 2    3 3  3  
1) Hãy tính các tích AB và BA . T ừ t
đó hãy cho biế ma trận A có khả nghịch không? chỉ ra
ma trận nghịch đảo (nếu có) c a ủ ma trận A .
2) Ma trận C có phải ma trận nghịch đảo của ma trận B hay không? Vì sao?
3) Tìm ma trận X (nếu có) th a
ỏ mãn: XA  B.
4) Hãy tính tích CD. T ừ t
đó hãy cho biế ma trận D có khả nghịch không? chỉ ra ma trận
nghịch đảo (nếu có) của ma trận D .
ĐS: 1) AB  BA  I , 1
A  B 2) không 3) 2
X  B  ... 4) CD  3I 3 3
BỘ MÔN TOÁN K – HOA KHCB- I
ĐẠ HỌC PHENIKAA
Bài 17. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) c a
ủ các ma trận sau: 5 0 1  1  1 3   2 5     a) A    b)B  1 3 2 c) C  1 4 2   3 3     2 1   0  1 3 1    2 1   1  1 5    3 3  2 10 14        ĐS: 3 9 4 2 1   a) 1   A    b) 1 B    3 c) 1 C  1  2  1 1 2      3 3  6    1 4 5    3 9    7 5  5  3 3  2 1 1 Bài 18.   Cho ma trận A  4 3 0 .   1 1 x   1) Tìm x 1
để ma trận A khả nghịch và thỏa mãn det  A   2 .
2) Tìm ma trận nghịch đảo c a ủ A khi x  2.  2 1  1 ĐS: 3   1) x  ; 2) 1 A  8 / 3 5 / 3 4 / 3 . 4    1/ 3 1  / 3 2 / 3         Bài 19. 2 3 1 1 2
Cho hai ma trận: A    và B    . 1 1    2 2 3  
1) Tìm ma trận nghịch đảo của A .
2) Tìm ma trận X sao cho t XA  B .
3) Tìm ma trận Y sao cho AYA  B . 3  / 5 1  / 5 1  / 5 3 / 5 ĐS:   1) 1 A    ; 2) X  1/ 5 7  / 5 ; 3) Không t n t ồ ại ma trận Y . 1/ 5 2  / 5      1 0    m1 3  1  Bài 20.   Cho ma trậ n A  2 1  2   ,  3 5 2  
a) Tìm m để ma trận A khả nghịch.
b) Với m  3 , tìm ma trận nghịch đảo nếu có c a ủ ma trận A.
ĐS: a) det A  8
 m 21 . A khả nghịch  m  21/ 8  8 1 5    3 3 3   2 1 2   b) 1 A   3 3 3    7 1 4      3 3 3 
BỘ MÔN TOÁN K – HOA KHCB- I
ĐẠ HỌC PHENIKAA m 1 2 Bài 21.   Cho ma trận A  1 m 2    1 2 1  
a) Tìm m để ma trận A khả nghịch.
b) Khi A khả nghịch, tính 1 det(A ) . 2
det A  m 6m 5. ĐS:  1 a) m  1, b) det  1 A   det A  0   2 m  6m 5 m   5. 1 2 1  Bài 22(+).   Cho ma trận A  0 m 1   1 1 3   
1) Tìm m để ma trận A khả nghịch.
2) Giả sử m là nh ng gi ữ
á trị mà ma trận A khả nghịch. Ch ng m ứ inh rằng với nh ng gi ữ á trị m đó thì 2 3
A , A cũng khả nghịch. 3) Với m  1
 , hãy tìm ma trận nghịch đảo c a ủ A .  4 5 3 ĐS:   1)m  1  / 2 3) 1 A  1 2  1    1 1 1     2 1 3 1      Bài 23(+). 1 4 2 2 Cho ma trận A     . 3 2 1 3     1 3 m 2
a) Tìm điều kiện của m để ma trận A khả nghịch.
b) Khi A khả nghịch, hãy tìm phần tử nằm ở hàng 4, c t ộ 3 c a
ủ ma trận nghịch đảo của . A m  5
ĐS: a) m  2 b) m 2 1  m 1 1 1     m Bài 24(+). 1 1 1 1 Cho ma trận A     1 1 1 m 1     1 1 1 1  m
1) Tìm điều kiện của m để A khả nghịch.  1
2) Khi A khả nghịch, gỉả sử ma trận nghịch đảo của A là 1 A   c
. Tìm m để c  ij  23 4 4  4 1 vàdet  1 A    16
ĐS: 1) m  0và m  4  2) m  2 
BỘ MÔN TOÁN K – HOA KHCB- I
ĐẠ HỌC PHENIKAA  1 0 0 2 1 0 0 2        Bài 25. 1 2 2 2 1 1 2 2
Cho hai ma trận A    B     và . 1 3 3 1 1 1 1 1      3 0 1 2 3 1 1 1 1) Tìm phần t n
ử ằm ở vị trí hàng 3, c t ộ 2 của ma trận 2 A .
2) Tính A  B . 3) Ch ng m ứ
inh A khả nghịch. Tìm phần t n
ử ằm ở vị trí hàng 1, cột 3 của ma trận 1 A .
4) Tính det( A  B) và 2 det(A  B ) A .
ĐS: 1) Phần tử cần tìm là tích của “hàng 3 ma trận A” với “cột 2 ma trận A ”;  2 0 0 0   2 1 0 0 2) A B    
; 4) det( A  B)  24 ; 2 det( A  B ) A  1  008 .  2 4 4 0    6 1 2 3
Bài 26. Tìm hạng c a ủ các ma trận sau: 3 4 1 2 0 1 0 1 0 2 7 3 1 6       1 4 7 2 1 3 1 3 1 A  3 5 2 2 4       ; B  C    ;  .  1 10 17 4 3 5 3 5 3 9 4 1 7 2       4 1 3 3 7 9 7 9 7 ĐS: r( )
A  2, r(B)  3, r(C)  2 Bài 27. Tìm hạng c a ủ các ma trận sau :  1 0 2 3 21 0 9 0  1 3  4 2       4  1  5 0 7 1  2  1  A  2 1 1 4         ; B C  ; . 1 3 7 0  0 0 6 0  1  2  1 2          5 0 1  1 0 0 0 0 0  ĐS: r( )
A  2; r(B)  3; r(C)  3 .
Bài 28: Xác định hạng của các ma trận sau tùy theo tham số a : 3 a 1 2 1 1 3     1 4 7 2 1) A  2 1 a     2) B   1 10 17 4 1 a 3      4 1 3 3 
ĐS: 1) Với a  0; 5   r( )
A  2; a  0; 5   r( ) A  3.
2) Với a  0  r(B)  2;a  0  r(B)  3.
Bài 29. Tìm m để ma trận sau có hạng bằng 2:  3 1 4 1   m 2 3 1 A     3 1 1 0    3 3 7 2 ĐS : m  0
BỘ MÔN TOÁN K – HOA KHCB- I
ĐẠ HỌC PHENIKAA  3  3  3 1 2 2  Bài 30.     Cho A  0 1 1    , B  3 2  1 
 và I là ma trận đơn vị cấp 3.  6 5 8     0 1 1  
1) Tìm ma trận X sao cho 2A3X  5I . 2) Tính 2
A  B và . t B A .
Từ đó hãy cho biết ma trận B có khả nghịch không ? nếu có, hãy suy ra ma trận nghịch
đảo của ma trận B . 3) Tìm x 
sao cho det(B  xI )  0 . Tìm ma trận Y th a
ỏ mãn: (B  3I )Y  0 .  11  / 3 2  2  4 3  9  ĐS:     1) X  0 1  2  / 3 t   ; 2) 2 A  B  3  12 4 
 ; B.A  3I .  4 10 / 3 7    9 4 6     3 13 t
3) x  3  x 
; Y  3z 2 z z , z  . 2 1 2 3 4 5 Bài 31.     Cho A  0  1 2 1   và B  7   . Tìm các m
a trận X sao cho AX  B . 0 0 3 2   6    2z  1   0.5z  4 ĐS: X   , z  .  z    3 1.5z 
Bài 32. Giải các phương trình sau: 1 2 3 1  3 0 1  2 3  5     a) X    
 b) X 3 2 4  3 1 3     3 4 5 9     2 1 0 3  4 4     20  15  13   1  1     ĐS: a) X    b) X  17 12  11 2 3     48  35  30   
Bài 33. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau :
 2x  2y  z  t  2
 x  y  2 z  4t  0  
 4x  3y z  2t  3 1) 3
 x  y  2z  8t  0; 2)  
8x  5 y  3z  4t  6 
x  4 y  z  7t  0 
3x  3y  2z  2t  3 
3x  2y  3z  4t 1
 x  4y  3z  1  
 x  y  z  2 
 5x  5 y  z  2 3)  ; 4)  .
6x  5 y  6z  4t  5  
7x  2 y  3z 10 
7x 5y  7z 8t  0 
2x 3y  z  5  ĐS:  1 1 1 1 
1) x  3t; y  t; z  0; t  2) ; ; ;    2 2 2 2  3) x  4
 t  z  5; y  4t  7; z,t  4) VN.
BỘ MÔN TOÁN K – HOA KHCB- I
ĐẠ HỌC PHENIKAA
Bài 34. Tìm m để hệ phương trình sau trở thành hệ n
Cramer? Khi đó hãy tính thành phầ x trong công thức nghiệm:
x 2y  z  2 2
 my  2z  1 
x  y  3z  3 ĐS: m  1  / 2
Bài 35. Với giá trị nào của m thì các hệ phương trình sau có nghiệm:
 x  2y  z  t  1
 x  y 10z  6t  3   a) 3
 x  y  2z  t  2 ;
b)  x  2 y  mz  t 1 .  
x  5y  4z  mt   5 2
 x  5y  z  mt  2
ĐS: a) m  4 b) m  3
Bài 36. Với giá trị nào của m thì các hệ phương trình sau có nghiệm:
 x 2 y  z  t  1  x
  y 10z 6t  3   a) 3
 x  y 2z  t  2 b) x
  2y mz t  1  
x  5 y 4 z  mt  5 
2x  5y  z  mt  2 
ĐS: a) m  4 b) m  3
Bài 37. Với giá trị nào của m thì hệ m
phương trình sau có nghiệ duy nhất? Có vô s nghi ố ệm? x  3y  2t  0 
  y 2z t  0  2x
 z  t  0 
4x y mz   0 ĐS: det( )
A  11m  5 với A là ma trận hệ s c
ố ủa hệ (Hệ vuông thuần nhất có nghiệm duy
nhất khi và chỉ khi det( )
A  0 , có vô số nghiệm khi và chỉ khi det( ) A  0)
Bài 38. Cho hệ phương trình: 
x  y  z  1  
2x 3y  z  4  2 3
 x  3y  (m  4)z  m  2
a) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
b) Giải hệ phương trình với m  1  .
x  1 4z  ĐS: a) m  1     b) y 2 3z z 
Bài 39. Tìm tất cả các ma trận X (nếu có) thỏa mãn:
BỘ MÔN TOÁN K – HOA KHCB- I
ĐẠ HỌC PHENIKAA  1  2 1 2 1 2 1  2  1  1    3 2    1  2 1) X  X     ; 2) X 1  1 0      3) X      1 3 1 3 1 0 2      5 4  5 6 1 1  2   1 3 2  2  1 2 3  1 3 0         4) 1 2 3 X  1     5) 3 2 4 X  10 2 7     1 1 0  3      2 1  0  1  0 7 8      x y   3  7 2  ĐS: 1) X  , , x y    ; 2) X    ; y x  y   1 1  .5 0.5    7 / 4  6 4 5 3  2       3) X  
 ; 4) X  5 / 4 ; 5) X  2 1 2 5  4       7 / 4   3 3 3  
BỘ MÔN TOÁN K – HOA KHCB- I
ĐẠ HỌC PHENIKAA