Ch˜Ïng 3
Bài toán giá tr riêng,
và Chéo hóa ma trn
3.1 Bài tp ∑ ngh
Bài 1.
Cho ma trn A =
6 1
2 3
. Các véc tÏ d˜Ói ây ph£i véc tÏ riêng cıa A
không?
u
=
1
1
, u =
2
1
, w =
1
2
.
Bài 2.
Cho ma trn A =
2
4
1 2 1
6 1 0
1 2 1
3
5
. Các véc tÏ d˜Ói ây ph£i véc tÏ riêng
cıa A không?
u
=
2
4
1
6
13
3
5
, v =
2
4
2
3
2
3
5
, w =
2
4
0
1
1
3
5
.
Bài 3. Các ánh x§ tr˜Òt ngang tr˜Òt dÂc cıa R
2
l n l ˜Òt cho b i các ma tr n
1 2
0 1
,
1 0
2 1
.
Tìm các giá tr riêng các véct riêng cÏ ıa các ma trn ó.
Bài 4. Cùng câu hi cho các ma trn sau
A
=
1 1
1 3
, B =
2 6
0 2
.
(a) Tìm các giá tr riêng cıa và các véc tÏ riêng t ng a ma tr˜Ï ˘ng cı n..
(b) Ma tr n chéo hóa ˜Òc không?
Bài 5. y vi t ma tr n c a phép quay c ı ıa R
2
quanh g c tË Âa Î O mÎt c 30 Î ng c˜Ò
chiu kim Áng hÁ. Tìm các giá tr riêng và các véct riêng (n a ma tr nÏ u có) cı
ó.
BÎ môn Toán, Khoa Khoa hÂc cÏ b n£
Bài 6. Cho ma tr n
A
=
3 1
2 6
.
(a) Tìm các giá tr riêng cıa và các véc tÏ riêng t ng˜Ï ˘ng c .ıa A
(b) Ma trn A chéo hóa c không. N u hãy tìm ma tr n làm chéo hóa˜Ò A
và ma tr ng d ng cn chéo Á § ıa A.
(c) Tính .A
2023
Bài 7. Cho ma tr n
A
=
2
4
3 2 0
2 1 0
0 0 1
3
5
.
(a) Tìm các giá tr riêng c .ıa A
(b) Tìm các véc t c c .Ï riêng th¸ ıa A
Bài 8. Cùng câu hi cho các ma trn sau
A
=
2
4
1 2 1
6 1 0
1 2 1
3
5
, B =
2
4
1 3 1
3 5 1
3 3 1
3
5
, C =
2
4
1 2 1
6 1 0
1 2 1
3
5
,
(a) Tìm các giá tr riêng cıa và các véc tÏ riêng t ng a ma tr˜Ï ˘ng cı n.
(b) Ma tr n chéo hóa ˜Òc không. Nu y tìm ma tr n làm chéo hóa A và
ma tr n chéo ng d ng c Á § ıa nó.
Bài 9. Cho ma tr n
A
=
2
4
1 1 4
2 0 4
1 1 5
3
5
.
(a) Tìm các giá tr riêng cıa. Ma trn A chéo hóa c không?˜Ò
(b) Tìm các véc tÏ riêng t˜Ïng ng c .˘ ıa A
(c) Xác nh ma tr n làm chéo hóa‡ A ma tr ng d ng cn chéo Á § ıa A.
Bài 10. Cho ma trn sau
2
4
0 1 1
1 1 0
1 1 0
3
5
.
(a) (nChéo hóa A u th ).
(b) Tính .A
2023
Bài 11. Chéo hóa các ma trn sau (n u th )
2
4
5 2 0
2 1 0
0 0 1
3
5
,
2
4
1 3 3
3 5 3
3 3 1
3
5
,
2
4
1 0 0
0 2 1
0 1 2
3
5
.
Bài t i sp § Ë tuyn tính 4
BÎ môn Toán, Khoa Khoa hÂc cÏ b n£
Bài 12. Cho ma tr n
A
=
2
4
1 2 3
2 3 0
4 0 4
3
5
.
(a) Tìm các giá tr riêng cıa và các véc tÏ riêng t ng˜Ï ˘ng c .ıa A
(b) Ma trn A chéo hóa c không. N u hãy tìm ma tr n làm chéo hóa˜Ò A
và ma tr ng d ng cn chéo Á § ıa A.
(c) (nTìm ma trn B u có) sao cho A
3
B = I, trong ó I ma tr n v c p 3.n Ï ß
Bài 13. Cho ma tr n
A
=
2
4
5 1 0
0 0 1
1 0 5
3
5
.
(a) Tìm các giá tr riêng cıa và các véc tÏ riêng t ng˜Ï ˘ng c .ıa A
(b) Ma trn A chéo hóa c không. N u hãy tìm ma tr n làm chéo hóa˜Ò A
và ma tr ng d ng cn chéo Á § ıa A.
(c) (nTìm ma trn B u có) sao cho BA
3
= I 2B, trong ó I ma trn Ïn v
cßp 3.
Bài 14. Cho ma trn sau Ëi x˘ng
A
=
2
4
2 1 1
1 2 1
1 1 2
3
5
.
(a) Cho các véc tÏ u = (1, ,3 4)
T
, v = (2, ,3 1)
T
. y kim tra r¨ng (Au, v) =
(u, Av).
(b) Ch˘ng minh r¨ng (Au, v) = (u, Av) vÓi m i véc tÂ Ï cÎt u, v 2 R
3
.
(c) Hãy chéo hóa A.
(d) Hãy chéo hóa tr¸c giao A, t˘c tìm mÎt ma trn tr¸c giao P sao cho P
T
AP
d§ng chéo.
Bài 15. GÂi a ch s cu i cùng trong sinh viên, hãy chéo hóa ma tr n sau˙ Ë Ë
6 3a 25 a + 15
10
a 50 5a + 30
.
Bài 16. GÂi a, b hai ch s cu i cùng trong sinh viên, y chéo hóa ma tr˙ Ë Ë n sau
4a + b + 9 2a + b + 5
2a + b + 5 a + b + 3
.
Bài 17. GÂi a, b hai ch s cu i cùng trong sinh viên, y chéo hóa ma tr˙ Ë Ë n sau
2
4
4 3 6 6a b 12 12a b a b
a + b 3a + 4b 2a + 2b
0 0 a
3
5
.
Bài t i sp § Ë tuyn tính 5
BÎ môn Toán, Khoa Khoa hÂc cÏ b n£
Bài 18. GÂi a, b hai ch s cu i cùng trong sinh viên, y chéo hóa ma tr˙ Ë Ë n sau
2
4
1 1 b 1 b
a 1 2a + 2b 1 3a + 2b 1
a + 1 2a b + 1 3a b + 1
3
5
.
Bài 19. GÂi a, b, c ba ch s cu i cùng trong sinh viên, hãy chéo hóa ma tr˙ Ë Ë n sau
2
4
c b + c b + c
a + c 2a 2b + c 3a 2b + c
a c 2a a+ b c 3 + b c
3
5
.
Bài 20. Gi s£ ˚ A ma trn vuông cßp n. Ch˘ng minh r riêng c¨ng các giá tr ıa ma
trn A
2
b¨ng bình ph˜Ïng c a các giá trı riêng cıa A (k c£ bÎi).
Bài t i sp § Ë tuyn tính 6

Preview text:

Ch˜Ïng 3 Bài toán giá tr‡ riêng, và Chéo hóa ma tr™n 3.1 Bài t™p ∑ ngh‡   Bài 1. Cho ma tr™n 6 1 A =
. Các véc tÏ d˜Ói ây có ph£i véc tÏ riêng cıa A 2 3 không?  1   2   1  u = , u = , w = . 1 1 2 2 1 2 1 3
Bài 2. Cho ma tr™n A = 4 6 1 0
. Các véc tÏ d˜Ói ây có ph£i véc tÏ riêng 5 1   2 1 cıa A không? 2 3 2 3 2 3 1 2 0 u = 6 , v 3 , w 1 . 4 5 = 4 5 = 4 5 13 2 1
Bài 3. Các ánh x§ tr˜Òt ngang và tr˜Òt dÂc cıa R2 l¶n l˜Òt cho bi các ma tr™n  1    2 1 0 , . 0 1 2 1
Tìm các giá tr‡ riêng và các véctÏ riêng cıa các ma tr™n ó.
Bài 4. Cùng câu h‰i cho các ma tr™n sau  1    1 2 6 A = , B = . 1 3 0 2
(a) Tìm các giá tr‡ riêng cıa và các véc tÏ riêng t˜Ïng ˘ng cıa ma tr™n..
(b) Ma tr™n có chéo hóa ˜Òc không? Bài 5. Hãy vi t
∏ ma tr™n cıa phép quay cıa R2 quanh gËc tÂa Î O mÎt góc 30 Î ng˜Òc
chi∑u kim Áng hÁ. Tìm các giá tr‡ riêng và các véctÏ riêng (n∏u có) cıa ma tr™n ó.
BÎ môn Toán, Khoa Khoa hÂc cÏ b£n Bài 6. Cho ma tr™n  3  1 A = . 2 6
(a) Tìm các giá tr‡ riêng cıa và các véc tÏ riêng t˜Ïng ˘ng cıa A.
(b) Ma tr™n A có chéo hóa ˜Òc không. N∏u có hãy tìm ma tr™n làm chéo hóa A và ma tr™n chéo  n Á g d§ng cıa A. (c) Tính A2023. Bài 7. Cho ma tr™n 2 3 3 2 0 A = 2 1 0 4 . 5 0 0 1
(a) Tìm các giá tr‡ riêng cıa A.
(b) Tìm các véc tÏ riêng th¸c cıa A.
Bài 8. Cùng câu h‰i cho các ma tr™n sau 2 1 2 1 3 2 3 2 3   1 3 1 1 2 1 A = , B , C 4 6 1 0 = = 5 4   3 5 1 5 4 6 1 0 , 5 1   2 1 3 3 1    1 2 1
(a) Tìm các giá tr‡ riêng cıa và các véc tÏ riêng t˜Ïng ˘ng cıa ma tr™n.
(b) Ma tr™n có chéo hóa ˜Òc không. N∏u có hãy tìm ma tr™n làm chéo hóa A và
ma tr™n chéo Áng d§ng cıa nó. Bài 9. Cho ma tr™n 2 1 1 4 3 A = 2 0 4 4 . 5 1 1 5
(a) Tìm các giá tr‡ riêng cıa. Ma tr™n A có chéo hóa ˜Òc không?
(b) Tìm các véc tÏ riêng t˜Ïng ˘ng cıa A.
(c) Xác ‡nh ma tr™n làm chéo hóa A và ma tr™n chéo  n Á g d§ng cıa A. Bài 10. Cho ma tr™n sau 2 0 1 1 3 1 1 0 . 4 5 1 1 0
(a) Chéo hóa A (n∏u có th ) ∫ . (b) Tính A2023.
Bài 11. Chéo hóa các ma tr™n sau (n∏u có th∫) 2 5 3 2 3 2 3 2 0 1 3 3 1 0 0 2 1 0 ,   3 5 3 , 0 2 1 4 5 4 5 4 . 5 0 0 1 3 3 1 0 1 2
Bài t™p §i sË tuy∏n tính 4
BÎ môn Toán, Khoa Khoa hÂc cÏ b£n Bài 12. Cho ma tr™n 21 2 33 A = 2 3 0 4 . 5 4 0 4
(a) Tìm các giá tr‡ riêng cıa và các véc tÏ riêng t˜Ïng ˘ng cıa A.
(b) Ma tr™n A có chéo hóa ˜Òc không. N∏u có hãy tìm ma tr™n làm chéo hóa A và ma tr™n chéo  n Á g d§ng cıa A.
(c) Tìm ma tr™n B (n∏u có) sao cho A3B = I, trong ó I là ma tr™n  n Ï v‡ cßp 3. Bài 13. Cho ma tr™n 25 3 1 0 A = 40 0 1 . 5 1 0 5
(a) Tìm các giá tr‡ riêng cıa và các véc tÏ riêng t˜Ïng ˘ng cıa A.
(b) Ma tr™n A có chéo hóa ˜Òc không. N∏u có hãy tìm ma tr™n làm chéo hóa A
và ma tr™n chéo Áng d§ng cıa A.
(c) Tìm ma tr™n B (n∏u có) sao cho BA3 = I  2B, trong ó I là ma tr™n Ïn v‡ cßp 3.
Bài 14. Cho ma tr™n sau Ëi x˘ng 2 3 2 1 1 A = 4 1 2 1 . 5 1 1 2
(a) Cho các véc tÏ u = (1, 3, 4)T , v = (2, 3, 1)T . Hãy ki∫m tra r¨ng (Au, v) = (u, Av).
(b) Ch˘ng minh r¨ng (Au, v) = (u, Av) vÓi mÂi véc tÏ cÎt u, v 2 R3. (c) Hãy chéo hóa A.
(d) Hãy chéo hóa tr¸c giao A, t˘c là tìm mÎt ma tr™n tr¸c giao P sao cho P T AP có d§ng chéo.
Bài 15. GÂi a là ch˙ sË cuËi cùng trong mã sinh viên, hãy chéo hóa ma tr™n sau  6a   25 3a + 15 . 10a  50 5a + 30
Bài 16. GÂi a, b là hai ch˙ sË cuËi cùng trong mã sinh viên, hãy chéo hóa ma tr™n sau     4a + b + 9 2a + b + 5 . 2a + b + 5 a + b + 3
Bài 17. GÂi a, b là hai ch˙ sË cuËi cùng trong mã sinh viên, hãy chéo hóa ma tr™n sau 2 4a 3  3b 12a  12b 6a  6b a + b 3a + 4b 2a + 2b 4 . 5 0 0 a
Bài t™p §i sË tuy∏n tính 5
BÎ môn Toán, Khoa Khoa hÂc cÏ b£n
Bài 18. GÂi a, b là hai ch˙ sË cuËi cùng trong mã sinh viên, hãy chéo hóa ma tr™n sau 2 3    1 1  b 1  b a   1 2a + 2b  1 3a + 2b  1 . 4 5 a + 1 2a  b + 1 3a  b + 1
Bài 19. GÂi a, b, c là ba ch˙ sË cuËi cùng trong mã sinh viên, hãy chéo hóa ma tr™n sau 2 c b + c b + c 3 a   + c 2a  2b + c 3a  2b + c 4 . 5 a  c 2a + b  c 3a + b  c
Bài 20. Gi£ s˚ A là ma tr™n vuông cßp n. Ch˘ng minh r¨ng các giá tr‡ riêng cıa ma
tr™n A2 b¨ng bình ph˜Ïng cıa các giá tr‡ riêng cıa A (k∫ c£ bÎi).
Bài t™p §i sË tuy∏n tính 6