



Preview text:
Ch˜Ïng 3 Bài toán giá tr‡ riêng, và Chéo hóa ma tr™n 3.1 Bài t™p ∑ ngh‡ Bài 1. Cho ma tr™n 6 1 A =
. Các véc tÏ d˜Ói ây có ph£i véc tÏ riêng cıa A 2 3 không? 1 2 1 u = , u = , w = . 1 1 2 2 1 2 1 3
Bài 2. Cho ma tr™n A = 4 6 1 0
. Các véc tÏ d˜Ói ây có ph£i véc tÏ riêng 5 1 2 1 cıa A không? 2 3 2 3 2 3 1 2 0 u = 6 , v 3 , w 1 . 4 5 = 4 5 = 4 5 13 2 1
Bài 3. Các ánh x§ tr˜Òt ngang và tr˜Òt dÂc cıa R2 l¶n l˜Òt cho bi các ma tr™n 1 2 1 0 , . 0 1 2 1
Tìm các giá tr‡ riêng và các véctÏ riêng cıa các ma tr™n ó.
Bài 4. Cùng câu h‰i cho các ma tr™n sau 1 1 2 6 A = , B = . 1 3 0 2
(a) Tìm các giá tr‡ riêng cıa và các véc tÏ riêng t˜Ïng ˘ng cıa ma tr™n..
(b) Ma tr™n có chéo hóa ˜Òc không? Bài 5. Hãy vi t
∏ ma tr™n cıa phép quay cıa R2 quanh gËc tÂa Î O mÎt góc 30 Î ng˜Òc
chi∑u kim Áng hÁ. Tìm các giá tr‡ riêng và các véctÏ riêng (n∏u có) cıa ma tr™n ó.
BÎ môn Toán, Khoa Khoa hÂc cÏ b£n Bài 6. Cho ma tr™n 3 1 A = . 2 6
(a) Tìm các giá tr‡ riêng cıa và các véc tÏ riêng t˜Ïng ˘ng cıa A.
(b) Ma tr™n A có chéo hóa ˜Òc không. N∏u có hãy tìm ma tr™n làm chéo hóa A và ma tr™n chéo n Á g d§ng cıa A. (c) Tính A2023. Bài 7. Cho ma tr™n 2 3 3 2 0 A = 2 1 0 4 . 5 0 0 1
(a) Tìm các giá tr‡ riêng cıa A.
(b) Tìm các véc tÏ riêng th¸c cıa A.
Bài 8. Cùng câu h‰i cho các ma tr™n sau 2 1 2 1 3 2 3 2 3 1 3 1 1 2 1 A = , B , C 4 6 1 0 = = 5 4 3 5 1 5 4 6 1 0 , 5 1 2 1 3 3 1 1 2 1
(a) Tìm các giá tr‡ riêng cıa và các véc tÏ riêng t˜Ïng ˘ng cıa ma tr™n.
(b) Ma tr™n có chéo hóa ˜Òc không. N∏u có hãy tìm ma tr™n làm chéo hóa A và
ma tr™n chéo Áng d§ng cıa nó. Bài 9. Cho ma tr™n 2 1 1 4 3 A = 2 0 4 4 . 5 1 1 5
(a) Tìm các giá tr‡ riêng cıa. Ma tr™n A có chéo hóa ˜Òc không?
(b) Tìm các véc tÏ riêng t˜Ïng ˘ng cıa A.
(c) Xác ‡nh ma tr™n làm chéo hóa A và ma tr™n chéo n Á g d§ng cıa A. Bài 10. Cho ma tr™n sau 2 0 1 1 3 1 1 0 . 4 5 1 1 0
(a) Chéo hóa A (n∏u có th ) ∫ . (b) Tính A2023.
Bài 11. Chéo hóa các ma tr™n sau (n∏u có th∫) 2 5 3 2 3 2 3 2 0 1 3 3 1 0 0 2 1 0 , 3 5 3 , 0 2 1 4 5 4 5 4 . 5 0 0 1 3 3 1 0 1 2
Bài t™p §i sË tuy∏n tính 4
BÎ môn Toán, Khoa Khoa hÂc cÏ b£n Bài 12. Cho ma tr™n 21 2 33 A = 2 3 0 4 . 5 4 0 4
(a) Tìm các giá tr‡ riêng cıa và các véc tÏ riêng t˜Ïng ˘ng cıa A.
(b) Ma tr™n A có chéo hóa ˜Òc không. N∏u có hãy tìm ma tr™n làm chéo hóa A và ma tr™n chéo n Á g d§ng cıa A.
(c) Tìm ma tr™n B (n∏u có) sao cho A3B = I, trong ó I là ma tr™n n Ï v‡ cßp 3. Bài 13. Cho ma tr™n 25 3 1 0 A = 40 0 1 . 5 1 0 5
(a) Tìm các giá tr‡ riêng cıa và các véc tÏ riêng t˜Ïng ˘ng cıa A.
(b) Ma tr™n A có chéo hóa ˜Òc không. N∏u có hãy tìm ma tr™n làm chéo hóa A
và ma tr™n chéo Áng d§ng cıa A.
(c) Tìm ma tr™n B (n∏u có) sao cho BA3 = I 2B, trong ó I là ma tr™n Ïn v‡ cßp 3.
Bài 14. Cho ma tr™n sau Ëi x˘ng 2 3 2 1 1 A = 4 1 2 1 . 5 1 1 2
(a) Cho các véc tÏ u = (1, 3, 4)T , v = (2, 3, 1)T . Hãy ki∫m tra r¨ng (Au, v) = (u, Av).
(b) Ch˘ng minh r¨ng (Au, v) = (u, Av) vÓi mÂi véc tÏ cÎt u, v 2 R3. (c) Hãy chéo hóa A.
(d) Hãy chéo hóa tr¸c giao A, t˘c là tìm mÎt ma tr™n tr¸c giao P sao cho P T AP có d§ng chéo.
Bài 15. GÂi a là ch˙ sË cuËi cùng trong mã sinh viên, hãy chéo hóa ma tr™n sau 6a 25 3a + 15 . 10a 50 5a + 30
Bài 16. GÂi a, b là hai ch˙ sË cuËi cùng trong mã sinh viên, hãy chéo hóa ma tr™n sau 4a + b + 9 2a + b + 5 . 2a + b + 5 a + b + 3
Bài 17. GÂi a, b là hai ch˙ sË cuËi cùng trong mã sinh viên, hãy chéo hóa ma tr™n sau 2 4a 3 3b 12a 12b 6a 6b a + b 3a + 4b 2a + 2b 4 . 5 0 0 a
Bài t™p §i sË tuy∏n tính 5
BÎ môn Toán, Khoa Khoa hÂc cÏ b£n
Bài 18. GÂi a, b là hai ch˙ sË cuËi cùng trong mã sinh viên, hãy chéo hóa ma tr™n sau 2 3 1 1 b 1 b a 1 2a + 2b 1 3a + 2b 1 . 4 5 a + 1 2a b + 1 3a b + 1
Bài 19. GÂi a, b, c là ba ch˙ sË cuËi cùng trong mã sinh viên, hãy chéo hóa ma tr™n sau 2 c b + c b + c 3 a + c 2a 2b + c 3a 2b + c 4 . 5 a c 2a + b c 3a + b c
Bài 20. Gi£ s˚ A là ma tr™n vuông cßp n. Ch˘ng minh r¨ng các giá tr‡ riêng cıa ma
tr™n A2 b¨ng bình ph˜Ïng cıa các giá tr‡ riêng cıa A (k∫ c£ bÎi).
Bài t™p §i sË tuy∏n tính 6