Bài tập chương 2: Bài toán tối ưu hóa sản xuất và tiêu dùng | Môn toán cao cấp

lOMoAR cPSD| 47305584 B I TẬ P TO`N KINH TẾ
CHƯƠNG 2. BÀI TOÁN TỐI ƯU HÓA SẢN XUẤT VÀ TIÊU DÙNG
Mô hình Hành vi của hộ gia ình
Bài 1. Cho hàm chi tiêu: 𝐶 = 0,8. 𝑌 + 0,2. + 300, 𝑌 ≥ 0
a. Tại mức thu nhập Y = 169 USD nếu thu nhập tăng thêm 1 USD thì mức tiêu dùng thay ổi
như thế nào? Nếu thu nhập tăng thêm 1% thì mức tiêu dùng thay ổi như thế nào? b. Tính
MPC(Y) tại mức thu nhập Y= 144 USD. Nêu ý nghĩa kết quả nhận ược.
Bài 2. Cho hàm tiêu dùng C=C(Y) phụ thuộc vào mức thu nhập Y và xu hướng tiêu dùng cận
biên MPC(Y) ở mỗi mức thu nhập Y là: 𝑀𝑃𝐶(𝑌) = 0,8 + 0,1. 𝑌(−1/2) . Hãy tìm hàm tiêu dùng,
biết rằng mức tiêu dùng tự ịnh là 50.
Bài 3. Cho hàm tiết kiệm S=S(Y) phụ thuộc vào mức thu nhập Y và xu hướng tiết kiệm cận
biên MPS(Y) ở mỗi mức thu nhập Y là: MPS(Y)= −8 + 0,4Y. Hãy tìm hàm tiết kiệm, biết
rằng mức tiết kiệm sẽ là S = 40 khi mức thu nhập Y = 10.
Bài 4. Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng 𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1𝑥2 + 𝑥1 + 𝑥2, trong ó x1, x2 lần lượt là
khối lượng hai mặt hàng. Giả sử giá bán của các mặt hàng tương ứng là p1=2 USD, p2=5
USD và thu nhập dành cho người tiêu dùng là M=593 USD.
a. Hãy xác ịnh lượng cầu ối với mỗi mặt hàng nếu người tiêu dùng muốn tối a hóa lợi ích của mình. (ĐS: x1= 149, x2= 59, 30)
b. Nếu thu nhập của người tiêu dùng tăng 1 USD thì lợi ích tối a thay ổi như thế nào?(30)
c. Nếu thu nhập của người tiêu dùng tăng 1% thì lợi ích tối a thay ổi như thế nào? 1,977%
Bài 5. Một hộ gia ình lựa chọn gói hàng (𝑥1, 𝑥2), hàm lợi ích (lợi ích) của hộ:
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 0,5𝑙𝑛𝑥1 + 0,7𝑙𝑛𝑥2 Giá
hàng một 5$, hàng hai: 8,75$; ngân sách tiêu dùng của hộ: 600 $.
a. Hãy tìm gói hàng có lợi ích tối a. (ĐS: x1= 50, x2= 40, 0,02)
b. Nếu giá hàng và ngân sách tiêu dùng cùng tăng 10% thì lựa chọn của hộ gia ình có thay ổi không? Tại sao?
Bài 6. Một hộ gia ình lựa chọn gói hàng (𝑥, 𝑦), hàm lợi ích của hộ: 𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥10,4𝑥20,6 TS. LÊ THỊ HUỆ-UEB Page 1 lOMoAR cPSD| 47305584 B I TẬ P TO`N KINH TẾ
a. Nếu tăng hàng một lên 1% và giảm hàng hai 2% thì mức lợi ích thay ổi bao nhiêu? Hãy
giải thích ý nghĩa kinh tế của các ạo hàm riêng cấp 1 và cấp 2?
b. Cho biết giá hàng một: 50$, hàng hai: 10 $; ngân sách tiêu dùng của hộ: 7500$. Hãy tìm
gói hàng có lợi ích tối a. (ĐS: x1= 60, x2= 450)
c. Nếu ngân sách tiêu dùng của hộ là 75001 $ thì lợi ích tối a của hộ gia ình bằng bao nhiêu?
Bài 7. Một người muốn dùng số tiền 178 triệu ồng ể mua hai mặt hàng có ơn giá
P1 = 0,4 triệu ồng và P2 = 0,6 triệu ồng. Hàm hữu dụng của hai mặt hàng trên là TU
(x1 20).(x2 10) (x1, x2 lần lượt là số lượng của hai mặt hàng). Hãy xác ịnh số lượng
cần mua của hai loại mặt hàng trên ể hàm hữu dụng ạt giá trị cao nhất. (ĐS: x1= 220, x2= 150, 400)
Bài 8. Một nhóm dân cư có hàm thỏa dụng 𝑈 = 2𝑋0,6. 𝑌0,2. Biết rằng giá các mặt hàng tương
ứng lần lượt là PX =240, PY =4. Hãy xác ịnh phương án tiêu dùng cho cụm dân cư trên ể có
thể ạt ược ộ thỏa dụng là 40 với chi phí bé nhất. (ĐS: X= 20, Y= 400, 200)
Bài 9. Một hộ gia ình có hàm lợi ích tiêu dùng với hai loại hàng hóa như sau: U(x 0,4 0,4 1, x2) = 5x1
x2 Ngân sách tiêu dùng là 300USD, giá một ơn vị hàng hóa thứ nhất là
3USD và giá một ơn vị hàng hóa thứ hai là 5USD. (ĐS: x1= 50, x2= 30, 0,249)
a. Tìm gói hàng mà tại ó hộ gia ình có lợi ích tiêu dùng ạt giá trị lớn nhất x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
b. Nếu ngân sách tiêu dùng của hộ gia ình giảm 1 USD thì mức lợi ích tối a giảm bao nhiêu? Bài 10.
Một hộ gia ình có hàm lợi ích tiêu dùng với hai loại hàng hóa như sau: U(x 0,45 0,55 1, x2) = 20x1 x2
(x1 > 0, x2 > 0), trong ó x1, x2 tương ứng là số ơn vị của 2 loại hàng
hóa, với p1 = 6, p2 = 11. Ngân sách tiêu dùng là B = 600.
a. Lập hàm Lagrange ể tìm cực trị hàm lợi ích với ràng buộc ngân sách tiêu dùng.
b. Tìm gói hàng cực ại hàm lợi ích. (ĐS: x1= 45, x2= 30, =1,2)
c. Khi ngân sách tiêu dùng của hộ gia ình tăng 1 ơn vị thì giá trị lợi ích cực ại là bao nhiêu?
Mô hình Hành vi sản xuất của doanh nghiệp
Bài 1. Một doanh nghiệp có hàm cầu: 𝑄 = 90 − 0,5𝑃 và hàm chi phí trung bình: TS. LÊ THỊ HUỆ-UEB Page 2 lOMoAR cPSD| 47305584 B I TẬ P TO`N KINH TẾ
𝐴𝐶 = 8𝑄2 − 14𝑄 − 108 + 250/𝑄 , trong ó P là giá sản phẩm, Q là sản lượng.
a. Xác ịnh hàm doanh thu và doanh thu cận biên
b. Xác ịnh hệ số co giãn của cầu theo giá tại mức giá P=6.
c. Xác ịnh hàm chi phí cận biên.
d. Xác ịnh mức sản lượng cho lợi nhuận tối a.(Q=4)
Bài 2. Một công ty ộc quyền có hàm cầu ngược: 𝑃= 460 – 2𝑄, với P: giá, Q: sản lượng.
Hàm chi phí: 𝑇𝐶 = 20 + 0,5𝑄2.
a. Tìm hàm chi phí biến ổi, MVC và doanh thu biên.
b. Xác ịnh mức sản lượng và mức giá ể tối a hoá lợi nhuận. (Q=92, P=276)
Bài 3. Một nhà sản xuất ộc quyền bán sản phẩm trên thị trường có hàm cầu: Q=750-0,5P; với
P: Giá sản phẩm, Q: lượng cầu.
a. Tính ộ co giãn của cầu theo giá tại mức giá P=160 và P=1100, các số ó phản ánh iều gì?
b. Căn cứ theo hàm cầu ể bán ược Q ơn vị sản phẩm thì nhà sản xuất phải ặt giá tương ứng
như thế nào? Tính doanh thu cận biên của nhà sản xuất ở mức sản lượng Q=280 và giải thích ý nghĩa.
Bài 4. Cho nhu cầu hai mặt hàng phụ thuộc vào giá như sau: Q1= 1300 –P1; Q2 = 675 – 0,5P2.
Hàm tổng chi phí là 𝑇𝐶 = 𝑄12 + 𝑄22 + 3𝑄1𝑄2 (Qi , Pi là sản lượng và giá của hàng hóa)
a. Xác ịnh Q1, Q2 và giá bán tương ứng sao cho tổng lợi nhuận là lớn nhất. ĐS: (250, 100)
b. Xác ịnh chi phí biên cho từng mặt hàng tối ưu tìm ược câu a.
c. Hai mặt hàng này có thay thế cho nhau ược không?
Bài 5. Một doanh nghiệp ộc quyền bán 2 loại hàng: Hàm cầu của thị trường về hàng hoá của
doanh nghiệp có dạng sau: 𝑄1 = 52 − 2𝑃1 − 𝑃2; 𝑄2 = 44 − 𝑃1 − 𝑃2. Doanh nghiệp có hàm tổng
chi phí là: 𝑇𝐶 = 𝑄12 + 𝑄22 + 12
a. Hai loại hàng hoá trên có thể thay thế hay bổ sung cho nhau?
b. Tìm số cung mà doanh nghiệp lựa chọn ể lợi nhuận tối a? Lợi nhuận tối a là bao nhiêu? Giá
của 2 loại hàng là bao nhiêu? (ĐS: 𝑄1 = 6, Q2 =8) TS. LÊ THỊ HUỆ-UEB Page 3 lOMoAR cPSD| 47305584 B I TẬ P TO`N KINH TẾ
Bài 6. Một doanh nghiệp sản xuất kết hợp 2 loại sản phẩm. Hãy cho biết doanh nghiệp sản
xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại ể thu ược lợi nhuận tối a. Biết tổng lợi nhuận (π) của doanh
nghiệp thu ược từ việc sản xuất x ơn vị hàng hoá thứ nhất và y ơn vị hàng hoá thứ hai ược xác ịnh bởi hàm số :
a. 𝜋 = 6𝑥𝑦– 2𝑥2 − 10𝑦2 + 144𝑥 + 48𝑦 + 820
b. 𝜋 = – 𝑥3 – 3x𝑦2 + 15𝑥 + 12𝑦 –18
Bài 7. Một công ty có hàm sản xuất Q= 0,5K(L-2) trong ó K, L lần lượt là vốn và lao ộng.
Biết giá một ơn vị vốn là pK = 120 và giá một ơn vị lao ộng là pL =60
a. Nếu doanh nghiệp chi số tiền là 3000. Tính mức sử dụng vốn và lao ộng ể tối ưu hóa sản lượng? (ĐS: K=12, L=26, 0,1)
b. Nếu chi phí tăng 1 ơn vị thì sản lượng tăng bao nhiêu ơn vị?
c. Tính hệ số co dãn của hàm tổng chi phí theo sản lượng Q tại thời iểm tối ưu? Nêu ý nghĩa của hệ số ó?
d. Tính hệ số thay thế giữa 2 yếu tố K, L tại thời iểm tối ưu? Nêu ý nghĩa của hệ số ó?
Bài 8. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: 𝑄 = 6. K(1/3)L(1/3) bán sản phẩm trên thị trường
cạnh tranh hoàn hảo với mức giá P=18. a.
Quá trình công nghệ thể hiện bằng hàm số trên có tuân theo quy luật hiệu quả cận biên giảm dần không? b.
Nếu giá mua 2 yếu tố ầu vào L và K tương ứng là 8 và 27, doanh nghiệp cần sử dụng
bao nhiêu ơn vị lao ộng và vốn ể lợi nhuận lớn nhất. (K=8; L=27)
Bài 9. Cho hàm sản xuất 𝑌 = 0,3. 𝐾0,5. 𝐿0,5 , Y: sản lượng, K: vốn, L: lao ộng
a. Tính sản phẩm biên của vốn và lao ộng tại K=4, L=9.
b. Quá trình công nghệ thể hiện bằng hàm số trên có năng suất cận biên giảm dần không? Hãy giải thích.
c. Nếu K tăng 8%, L không ổi, Y tăng bao nhiêu %?
d. Nếu K tăng 9%, L giảm 2%, Y thay ổi như thế nào?
e. Nếu giá mua 2 yếu tố ầu vào L và K tương ứng là 5 và 10, và ngân sách cho các yếu tố là
1000. Doanh nghiệp cần sử dụng bao nhiêu ơn vị lao ộng và vốn ể tối a hóa sản lượng. (K=50; L=100) TS. LÊ THỊ HUỆ-UEB Page 4 lOMoAR cPSD| 47305584 B I TẬ P TO`N KINH TẾ Bài 10.
Doanh nghiệp có hàm sản xuất: 𝑄 = 𝐾0,6. 𝐿0,4 (K:vốn, L: lao ộng)
a. Nếu doanh nghiệp tăng quy mô thì hiệu quả tăng hay giảm? Giải thích ý nghĩa các ạo hàm riêng cấp 2?
b. Nhận xét ý kiến: tăng lao ộng 3%, giảm vốn 2% thì sản lượng không ổi.
c. Với giá 2 yếu tố PK =5, PL =2 và ngân sách cho các yếu tố là 2000, tìm K và L ể doanh
nghiệp có sản lượng tối a.Với giá sản phẩm là 60, hãy tính doanh thu và lợi nhuận. K=240, L=400 Bài 11.
Giả sử hàm sản xuất doanh nghiệp có dạng: 𝑄 = 25. 𝐾0,5. 𝐿0,5 . Biết rằng giá thuê
một ơn vị vốn là 𝑝𝐾 =12, giá thuê một ơn vị lao ộng là 𝑝𝐿 =3 .
a. Định mức sử dụng K, L tối ưu ể sản xuất ược mức sản lượng Q=1250. (K=25, L=100)
b. Tính hệ số co dãn của tổng chi phí theo sản lượng tại iểm tối ưu và nêu ý nghĩa. TS. LÊ THỊ HUỆ-UEB Page 5