Bài tập chương 2 ( có lời giải ) | Môn toán cao cấp

lOMoAR cPSD| 49519085
BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP CHƯƠNG 2
(TỔ 2 - LỚP CHIỀU THỨ 2) A. TRẮC NGHIỆM
Chọn câu kết luận đúng Câu 1: ax by c bx cy a cx ay b Cho hệ phương trình
với a,b,c là các tham số thực
Gọi A,A là ma trận hệ số và ma trận mở rộng A a b c abc 3 3 3 3 a) RankA=3 b) A 0
b) Nếu hệ có đúng một nghiệm thì
c) Nếu hệ có nghiệm thì a b c3 3 3 3abc Giải a) Ta có: A= => r(A)= 2 => đáp án a sai b)
Ta có = suy ra ||= = abc +abc +abc - =
3abc - => đáp án b sai c) Ta có: =
H có đúng m t nghi m khi và ch khi r(A)= r()= n=2 <=> ệ ộ ệ ỉ
= 0 Khi đó ||=0 => đáp án c sai.
d) H có nghi m khi và ch khi r(A)= r()ệ ệ ỉ <=> = 0 lOMoAR cPSD| 49519085
<=> bc - - + = <=> bc - - =
Nhân a vào 2 vếế ta được: abc - <=> 3abc = + + => đáp án d đúng
Câu 2: Cho hệ phương trình ïïï ïï
ïíïîìïïï -2x yx mx m-++2(( +-+2z33)=)yy mz3++7z = -=-m1+9
Tìmmđể hệ đã cho có vô số nghiệm .
a) m=-1 b) m=1 c) m=-1 , m= 1 d)Cả 3 câuđềusai Giải A=
Để hệ phương trình có vô số nghiệm thì r(A)= r()< n=3 <=> m-1=0 <=> m=1
Vậy chọn đáp án B
Câu 3. Cho hệ phương trình: x y z 2 5 x y mz m 2 mx y z m 2 2
Kết luận nào sau đây đúng?
a) Hệ luôn có nghiệm với mọi m
b) Tồn tại m để hệ vô nghiệm
c) Hệ luôn có đúng một nghiệm với mọi m
d) Tồn tại m để hệ có vô số nghiệm. Giải lOMoAR cPSD| 49519085 =
Với m=1 thì r(A)=2 ≠ r()=3
Tồn tại m để hệ vô nghiệm
Với m=5 thì r(A)=2 ≠ r()=1
Với m ≠ 1 và m ≠ 5 thì r(A)= r()= n=3 => Hệ có nghiệm duy nhất. Chọn đáp án B
Câu 4 : Gọi s là số nghiệm của hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình x x x x x 01 2 3 4 5 2x 3x 4x 5x 6x1 2 3 4 5 0 4x 5x 6x 7x 8x1 2 3 4 5 0. Ta có : A. s = 1 B. s = 2 C. s = 3 D. s = 4 Giải A= => r(A)=2
=> Số nghiệm của hệ phương trình cơ bản là n-r = 5-2=3 Chọn đáp án C
Câu 5: Gọi s là số nghiệm của hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình lOMoAR cPSD| 49519085 x 4x 2x x 01 2 3 4 2x 7x 3x 4x1 2 3 4 0 x 5x 3x x 01 2 3 4 x 2x mx 5x 01 2 3 4 . Ta có s lớn nhất khi A. m 1 B. m 0 C. m 0 D. m 1 Giải Ta có: A=
S lớn nhất khi n-r(A) lớn nhất. Khi và chỉ khi r(A) nhỏ nhất <=> r(A)=2 <=> m=0 Chọn đáp án C
Câu 6: Cho hệ phương trình tuyến tính x y 2z 3t 0
(I) : 2x 2y 5z 8t 0. Hệ vectơ nào sau đây là một hệ nghiệm cơ bản của hệ (I) A B. u . u
1 (1,0, 2,1),u 2 ( 2,2,0,0),u3 (0,1, 2, 1) 1 (1,0, 2,1),u 2 (1,1, 1, 0) C D. . u (1,0, 2, u 1) 1 (1,0, 2,1),u 2 (0,1, 2, 1) Giải Ta có: A = Hệ (I) trở thành:
Nghiệm tổng quát: (x; y; -2x-2y; x+y)
Hệ nghiệm cơ bản: (1;0;-2;1) (0;1;-2;1) (1)
(-2;2;0;0) (-2;2;0;0) (2) lOMoAR cPSD| 49519085
Ta thấy hệ (1) và (2) độc lập tuyến tính nên 2 hệ vecto trên chính là hệ nghiệm cơ bản của hệ (I)
Chọn đáp án C
Câu 7: Trong mô hình input, output mở biết ma trận đầu vào 0,3 0,1 0,2 0,4 A 0,2 0,1 0,2 0,3 0,3
Giả sử sản lượng của ba ngành lần lượt là 80, 100 và 60 . Phát biểu nào sau đây là đúng ?
A. Tổng gía trị nguyên liêu mà ngành 1 đã sử dụng là 40 ̣
B. Giá trị nguyên liêu mà ngành 2 cung cấp cho ngành 3 là 10̣
C. Giá trị sản lượng mà các ngành cung cấp cho ngành mở là 40,50,28
D. Các phát biểu trên đều đúng. Giải
Tổng giá trị nguyên liệu ngành 1 đã sử dụng: + += 0,3.80+0,2.100+0,3.60=62 →A và D sai
Giá trị nguyên liệu mà ngành 2 cung cấp cho ngành 3: .= 0.1 x 60=6 → B sai
II. PHẦN TỰ LUẬN: ---------------- Bài 01 : x y z 2 0 ax y z 2 1 x y az 2
Giải và biện luận hệ phương trình: Giải =
Với a =2 hoặc a=1 thì r(A)=2 ≠ r()=3 suy ra hệ vô nghiệm
Với a ≠ 2 và a ≠ 1 thì r(A)=r()=n=3 suy ra hệ có nghiệm duy nhất lOMoAR cPSD| 49519085 Ta có: D=det(A)= (a-1)(a-2) = = : (a-1)(a-2)= = = = : (a-1)(a-2)= = = : (a-1)(a-2)= =
Vậy nghiệm của phương trình là ( ; ; ) với a ≠ 1 và a ≠ 2.
Bài 02 : Cho hệ phương trình
ìïïïïíï-2x y z m3+x y mz-32- += =- 1 ïïïï x y z-+2 =2 î
Tìm m để hệ phương rình vô số nghiệm Giải =
Để hệ phương trình có nghiệm thì r(A) = r() < n=3 => m+1=0 m= -1
Bài 03: Trong mô hình Input – Output mở, cho ma trận hệ số đầu vào 0,1 0,2 0,1 A 0,2 0,2 0,1 0,3 0,1 0,2
a) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận I A
, với I là ma trận đơn vị cấp 3.
b) Tìm sản lượng của 3 ngành, biết yêu cầu của ngành mở đối với 3 ngành là D 68,86,29 . Giải Câu a) Ta có: -A= - = Cho B= 10(-A)= => = = = lOMoAR cPSD| 49519085 => = 10= Câu b) X= .D = . =
Bài 04: Xét mô hình Input-Output mở gồm 3 ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào 0,1 0,2 0,2 A 0,2 0,2 0,3 0,4 0,1 0,2
a) Tìm tổng nguyên liệu đầu vào của ba ngành để sản xuất ra được 10 đơn vị đầu ra của từng ngành
b) Tìm sản lượng ngành 1, biết rằng ngành 3 phải cung cấp cho ngành 1 với lượng nguyên liệu giá trị 70 (đvt). lOMoAR cPSD| 49519085
c) Nếu biết sản lượng của ngành 3 là 100, thì ngành 1 phải cung cấp cho ngành 3 là baonhiêu? Giải a) Ta có: Y=A.X →. =
b) Sản lượng ngành 1 = = = 175 (đvt)
c) Ngành 1 phải cung cấp cho ngành 3 là . =0,2.100 = 20 (đvt)
Bài tập trong sách bài tập từ trang 93: 11,13,14,15,18,20 Câu 11. Cho hệ phương trình:
Tìm m để hệ có vô số nghiệm và tìm nghiệm tổng quát trong trường hợp đó. Giải A=
Để hệ có vô số nghiệm thì r(A) = r() < n=3
Khi và chỉ khi r(A)=r()= 2 m-3=0 m=3 Với m=3, hệ trở thành
Giải bằng phương pháp Gauss: A= →
Ma trận hóa hệ phương trình
Không có thông tin nào về z nên z tùy ý => Hệ có vô số nghiệm, phụ thuộc vào một tham số.
Nghiệm tổng quát là: (; y; -2y) (với z thuộc R) lOMoAR cPSD| 49519085 lOMoAR cPSD| 49519085 Câu 13.
Cho hệ phương trình tuyến tính (I)
Khi đó, hệ (I) là hệ Cramer khi và chỉ khi a. a ≠ 1  b. a ≠ 2  c. a ≠ 1 hoặc a ≠ 2  d. a ≠ 1 và a ≠ 2 Giải Ta có: det(A) = = +3a-2
Hệ (I) là hệ Cramer khi và chỉ khi: Chọn đáp án D Câu 14.
Cho hệ phương trình tuyến tính (I)
Khi đó, hệ (I) có đúng một nghiệm khi và chỉ khỉ? Giải Ta có <=>
Hệ (I) có đúng duy nhất một nghiệm (x;y)=(1;1) => <=> Đáp án C Câu 15.
Cho hệ phương trình tuyến tính (I)
Cho biết (x=1, y=1, z=1) thỏa hệ (I). chọn mệnh đề đúng. Giải =
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi r(A)=r()=3 m≠-4 (b và d sai) lOMoAR cPSD| 49519085
Hệ có vô số nghiệm khi và chỉ khi r(A)=r() < n=3 m+4 =0 m=-4 (a đúng c sai) Chọn đáp án a Câu 18 .
Trong mô hình input-output mở biết ma trận đầu vào A= a)
Nêu ý nghĩa kinh tế của hệ số =0.3
b) Biết sản lượng của ngành 2 là 100, tính giá trị của lượng nguyên liệu mà các ngành cung cấp cho nó.
c) Tìm ma trận nghịch đảo của -A
d) Tìm sản lượng của 3 ngành, nếu ngành mở yêu cầu 3 ngành trên phải cung cấp cho nó lượng
sản phẩm giá trị tương ứng (39,49,16)
e) Nếu yêu cầu xuất khẩu dự trữ thay đổi đối với các ngành lần lượt là ∆D=(3,-2,0). Tính mức
thay đổi sản lượng của các ngành. Giải
a) Để ngành 1 tạo ra giá trị sản lượng là 1 (đvt) thì ngành 2 cần cung cấp cho ngành 1 lượng nguyên liệu là 0.3 (đvt)
b) Giá trị lượng nguyên liệu mà các ngành cung cấp cho cho ngành 2 là:
Lượng nguyên liệu ngành 1 cung cấp cho ngành 2 là: x 100=0.2 x 100= 20
Lượng nguyên liệu ngành 2 cung cấp cho ngành 2 là: x 100=0.1 x 100= 10
Lượng nguyên liệu ngành 3 cung cấp cho ngành 2 là: x 100=0.3 x 100= 30 Tổng
giá trị lượng nguyên liệu mà các ngành cung cấp cho ngành 2 là 20+10+30=60 c) Ta có: -A= = Đặt B=10(-A) => = Ta có: |B|= = 488 Tính B* = 69 ; =26 ; =27 = 25 ; =66 ; =31 lOMoAR cPSD| 49519085 = 29 ; =18 ; =75 => .B*= = => = = d) Ta có X=.D= .=
e) Mức thay đổi sản lượng của các ngành là: ∆X= . ∆D= . =
Câu 20. Xét mô hình Input-Output mở Leontief ba ngành với ma trận hệ số đầu vào là: A= =
a) Giải thích ý nghĩa kinh tế của hệ số . Từ đó tính số tiền mà ngành 2 phải đóng góp cho
ngành 3 khi giá trị sản lượng đầu ra của ngành 3 là 200 (đvt)
b) Giải thích ý nghĩa kinh tế của hệ số . Từ đó suy ra ngành mở phải đóng góp bao nhiêu cho
ngành 3 khi giá trị sản lượng của ngành 3 là 1000 (đvt)
c) Hãy tìm giá trị của m, biết rằng ngành mở phải đóng góp 150 (đvt) cho ngành 2 khi giá trị
sản lượng của ngành 2 là 500 (đvt)
d) Với m=0,4 hãy tìm giá trị sản lượng của 3 ngành nếu biết yêu cầu của ngành mở đối với 3
ngành lần lượt là 66, 124,100. Giải
a. Ý nghĩa kinh tế của hệ số là: Để ngành 3 tạo ra giá trị sản lượng là 1 (đvt) thì ngành 2 cần
cung cấp cho ngành 3 lượng nguyên liệu là 0.1 (đvt)
Số tiền mà ngành 2 phải đóng góp cho ngành 3 khi giá trị sản lượng đầu ra của ngành 3 là 200
(đvt) là: 200 x 0.1 = 20 (đvt) b. Ta có: = 1-(++) = 0,4
Ý nghĩa kinh tế của hệ số là: ngành mở đóng góp 0,4 (đvt) cho ngành 3 để ngành 3 sản xuất một
lượng hàng hóa giá trị 1 (đvt)
Ngành mở phải đóng góp cho ngành 3 là: 1000 x 0,4 = 400 (đvt) c. Ta có:
= 1 - (++) = 1 - (0,1+m+0,2) = 0,7-m => m<0,7
= = 0,3 => 0,7-m=0,3 => m=0,4 lOMoAR cPSD| 49519085 d. Khi m=0,4 ta có: A=
Gọi X là vecto sản lượng của 3 ngành kinh tế viết theo cột ta có: X= X=.D (- A)=
Đặt B=10(-A) = => |B| = 219. Tính B* = 40 ; =17 ; =22 = 11 ; =43 ; =17 = 13 ; =11 ; =40 => B*= => .B*= = = = Ta có X=.D= .=