Bài tập chương 4-chương 8 | Môn toán cao cấp

lOMoAR cPSD| 47206071 Chương 4 đến 8
Câu 1. Hàm sản lượng của một xí nghiệp có dạng như sau: Q(L, K) = 2L + 3 LK với L, K lần lượt là lượng
lao động và 琀椀 ền vốn. Gọi A, B lần lượt là biên tế của Q theo L, theo K tại (L, K) = (40, 160). Chọn kết quả đúng.
A. A.B = 15/2 B. A/B = 3/20 C. A + B = 20/3 D. A – B = 17/4. Ta có: A = Q 2 3 K 2 L L ∂ = + ∂ và B = Q 3 L 2 K K ∂ = ∂ .
Tại (L, K) = (40, 160), ta có:
A = 2 3 160 2 40+ = 5 và B = 3 40 2 160 = 3/4.
Do đó, A – B = 17/4. Vậy ta chọn đáp án D.
Câu 2. Xét hàm f(x, y) = x 3 + y 4 – 12a 2x – 8y + 1 (a > 0). Chọn câu phát biểu sai.
A. Trên miền x > 0, y > 0 thì hàm f(x, y) đạt cực trị toàn cục
B. Hàm f(x, y) có cực 琀椀 ểu
C. Hàm f(x, y) có cực đại
D. Hàm f(x, y) chỉ có một cực trị. * ' x ' y f 0 f 0 = lOMoAR cPSD| 47206071 = ⇔ 2 2 3 3x 12a 0 4y 8 0 − = − = ⇔ 3 3 x 2a x 2a y 2 y 2 = = − = = ∨ .
Do đó, hàm số có hai điểm dừng: (2a, 3 2 ) và (– 2a, 3 2 ). * '' xxf = 6x, '' xyf = 0, '' yyf = 12y 2. lOMoAR cPSD| 47206071 + Tại (2a, 3 2 ), ta có: 3 12a 0 H 0 12 4 = , 1 3 2 H 12a 0 H H 144a. 4 0 = > = = >
⇒ hàm số đạt cực 琀椀 ểu tại (2a, 3 2 ).
+ Tại (– 2a, 3 2 ), ta có: 3 12a 0 H 0 12 4 − = , lOMoAR cPSD| 47206071
H2 = |H| = −144a. 3 4 < 0
⇒ hàm số không đạt cực trị tại (– 2a, 3 2 ). Vậy ta chọn đáp án C.
Xét cực trị toàn cục của hàm f(x, y) trên miền x > 0, y > 0: trên miền này, hàm số có một điểm dừng: (2a, 3 2 ). Khi đó, ta có: 2 6x 0 H(x, y) 0 12y = , 1 2 2 H 6x 0, x 0, y 0 H H 72xy 0, x 0, y 0 = > ∀ > > = = > ∀ > >
⇒ hàm số đạt cực 琀椀 ểu toàn cục trên miền x > 0, y > 0 tại (2a, 3 2 ).
Câu 3. Xét phương trình vi phân 2 '
3y y 4x= (*). Biết y = f(x) là một nghiệm riêng của phương trình (*)
thỏa điều kiện ban đầu f(0) = 1. Khi đó
A. f(1) = 3 2 B. f(1) = 3 3 C. f(1) = 2 D. f(1) = 3 .
PTVP đã cho 3y2 y’ = 4x ⇔ (y3) ’ = 4x ⇔ y 3 = 4xdx∫ lOMoAR cPSD| 47206071
⇔ y 3 = 2x 2 + C ⇔ y = f(x) = 3 2 2x C+ .
Cách khác: 3y2y’ = 4x ⇔ 3y 2 dy = 4xdx ⇔ 2 3y dy 4xdx=∫ ∫
⇔ y 3 = 2x 2 + C ⇔ y = f(x) = 3 2 2x C+ .
Ta có: f(0) = 1 nghĩa là x = 0 thì y = 1.
Thay vào nghiệm của PTVP, ta được 13 = 2.0 2 + C, tức là C = 1.
Do đó, nghiệm riêng của PTVP đã cho là y = f(x) = 3 2 2x 1+ . Vì thế, f(1) = 3 32
2.1 31+ = . Vậy ta chọn đáp án B. Câu 4. Phương
trình vi phân '' ' 3x y 6y 9y 2xe sin x− + = có một
nghiệm riêng dưới dạng A. u(x) = 3x xe a cos x b sin
x( )+ B. u(x) = 3x xe (ax b) sin x+ C. u(x) = 3x e [(ax b)
cos x (cx d) sin x]+ + + D. u(x) = 3x xe [(ax b) cos x (cx d) sin x]+ + + .
Phương trình đặc trưng: k2 – 6k + 9 = 0 ⇔ k = 3 (nghiệm kép).
Vế phải của PTVP đã cho: 2x.e3x .sinx = e 3x
.(0.cosx + 2x.sinx) với α = 3, β = 1, và P0 = 0, Q1 = 2x.
Ta có: α ± i.β = 3 ± i không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng.
Do đó nghiệm riêng của PTVP đã cho có dạng: u(x) = e3x.[(ax + b).cosx + (cx + d).sinx]. Vậy ta chọn đáp án C.
Câu 5. Xét hàm số f(x) khả vi trên  và thỏa mãn 2 x 0 f (x) 4 2 x x 3 lim → − = lOMoAR cPSD| 47206071
+ . Chọn phát biểu đúng. A. x 0 f (x) 0lim → = B. x 0 2 f (x) 3 lim → = C. ' x 0 f (x) 0lim → = D. ' x 0 2 f (x) 3 lim → = . Ta có: x 0 lim[f (x) 4] → − = 2 2 x 0 f (x) 4 lim(x x). x x→ − + + = 2 2 x 0 x 0 f (x) 4 lim(x x).lim x x→ → − lOMoAR cPSD| 47206071 + + = (0 2 + 0).(2/3) = 0. Do đó: x 0 lim f (x) → = x 0 lim[f (x) 4 4] → − + = 0 + 4 = 4. Mặt khác, ta có: 2/3 = 2 x 0 f (x) 4 lim x x→ − + = x 0 ' f (x) lim 2x 1→ + (quy tắc L) = x 0 x 0 ' lim f (x) lim(2x 1) → → + = ' x 0 f (x)lim → . Vậy ta chọn đáp án D. lOMoAR cPSD| 47206071
Câu 6. Cho hàm số y(x) thỏa mãn x4 – 2xy – xe y + y – 1 = 0. Khi đó giá trị ' y (0) là
A. 1 B. 2 – e C. e + 2 D. e – 2.
Xét phtr: x4 – 2xy – xe y + y – 1 = 0. (1)
Lấy đạo hàm theo biến x hai vế của phtr (1), ta được:
4x 3 – 2y – 2xy ’ – e y – xy ’ e y + y ’ = 0. (2)
Thay x = 0 vào phtr (1), ta được y = 1.
Thay x = 0 và y = 1 vào phtr (2), ta được – 2 – e + y’(0) = 0, tức là y’ (0) = e + 2. Vậy ta chọn đáp án C.
Câu 7. Xét hàm cầu theo giá là D
Q (P) 300 2P= − với P là đơn giá. Ký hiệu D (P)ε là hệ số co giãn của
cầu theo giá. Gọi Q0 là lượng cầu khi D (P) 1ε = . Chọn kết quả đúng.
A. Q0 = 5 B. Q0 = 10 C. Q0 = 15 D. Q0 = 20.
Với hàm cầu Q = 300 2P− , ta có:
D (P)ε = dQ / Q dP / P = ' P Q (P) Q = 2 P . 2 300 2P 300 2P − − − = P 300 2P − − .
Hơn nữa, D (P) 1ε = ⇔ |– P / (300 – 2P)| = 1 lOMoAR cPSD| 47206071
⇔ P = 300 – 2P hoặc P = 2P – 300 ⇔ P = 100 hoặc P = 300.
Điều kiện: P > 0 và 300 – 2P > 0 ⇔ 0 < P < 150. Do đó P = 100.
Khi đó, Q0 = 300 2.100− = 10. Vậy ta chọn đáp án B.
Câu 8. Cho hàm chi phí C(Q) = Q2 + 20Q + 100 với Q là mức sản lượng. Cho biết hệ số co giãn của
C(Q) tại Q0 là 6/5. Khi đó chi phí biên tại Q0 là A. 30 B. 40 C. 60 D. 50.
Câu 9. Cho hàm số f(x, y) = x 6 + y 3 – 3x2 – 27y. Chọn phát biểu đúng.
A. f đạt cực 琀椀 ểu tại (1, 3) và đạt cực đại tại (–1, –3)
B. f đạt cực đại tại (0, –3) và đạt cực 琀椀 ểu tại (–1, –3)C. f không đạt cực trị tại
(±1, –3) và đạt cực đại tại (±1, 3)
D. f đạt cực 琀椀 ểu tại (±1, 3). * ' x ' y f 0 f 0 = = ⇔ 5 2 6x 6x 0 3y 27 0 lOMoAR cPSD| 47206071 − = − = ⇔ 4 2 6x(x 1) 0 3(y 9) 0 − = − = ⇔ x 0 x 1 y 3 = ∨ = ± = ± .
Do đó, hàm số có sáu điểm dừng: (0, 3); (0, –3); (±1, 3); (±1, –3). * '' xxf = 30x 4 – 6, '' xyf = 0, '' yyf = 6y. + Tại (0, 3), ta có: 6 0 H 0 18 lOMoAR cPSD| 47206071 − = , H2 = |H| = −108 < 0
⇒ hàm số không đạt cực trị tại (0, 3).
+ Tại (0, –3), ta có: 6 0 H 0 18 − = − , 1 2 H 6 0 H H 108 0 = − < = = >
⇒ hàm số đạt cực đại tại (0, –3).
+ Tại (±1, 3), ta có: 24 0 H 0 18 = , lOMoAR cPSD| 47206071 1 2 H 24 0 H H 24.18 0 = > = = >
⇒ hàm số đạt cực 琀椀 ểu tại (±1, 3).
+ Tại (±1, –3), ta có: 24 0 H 0 18 = − , H2 = |H| = −24.18 < 0
⇒ hàm số không đạt cực trị tại (±1, –3).
Vậy ta chọn đáp án D. Câu 10. Cho b > 0 và
hàm số f(x, y) = 2 2b 1 bx 1 y bxy 2x y 4 2 + + + − −
. Giả sử (x0, y 0) là điểm dừng của hàm f. Khi đó
A. f đạt cực đại toàn cục tại (x0 , y0)
B. f đạt cực 琀椀 ểu toàn cục tại (x0, y 0)C. f không đạt cực trị toàn cục tại (x 0, y 0) lOMoAR cPSD| 47206071 D. các câu kia đều sai.
Câu 11. Cho hàm số f(x, y) = x3y3 – 5x2 – 3y 2. Ta có
A. d 2f(1, 2) = 38dx 2 + 72dxdy + 6dy2 B. d 2f(1, 2) = 48dx 2 + 72dxdy + 6dy2
C. d 2f(1, 2) = 38dx 2 + 72dxdy + 8dy2 D. d 2 f(1, 2) = 48dx 2 + 36dxdy + 12dy 2 .
Câu 12. Cho hàm u(x, y) = 2 43 10x y+ . Độ co giãn riêng của u theo x và độ co giãn riêng của u theo y tại (10, 10) lần lượt là
A. 2/165; 400/165 B. 2/165; 200/165 C. 2/33; 400/165 D. 2/33; 200/165.
Độ co giãn riêng của u theo x: ux (x, y)ε = u / u x / x ∂ ∂ = u x . x u ∂ ∂ = ….
Độ co giãn riêng của u theo y: uy (x, y)ε = u / u y / y ∂ ∂ = u y . y u ∂ ∂ = ….
Câu 13. Cho hàm lợi ích U(x, y) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên 2 lOMoAR cPSD| 47206071
 . Giả sử ta có điều kiện 8x2
+ 7y2 = 840 (1). Điều kiện cần để U đạt cực trị tại (x, y) thỏa điều kiện (1) là: A. ' '
x y7yU 8xU= B. ' ' x y7xU 8yU= C. ' '
x y8yU 7xU= D. các câu kia đều sai.
Ta có bài toán 琀 m cực trị của hàm U(x, y) với ràng buộc 8x2 + 7y 2 = 840 (1).
Ta lập hàm Lagrange: L(x, y, λ) = U(x, y) + λ(840 – 8x 2 – 7y 2 ).
Khi đó, điều kiện cần để U đạt cực trị tại (x, y) thỏa điều kiện (1) là hệ phtr sau có nghiệm (x, y, λ): L’x = 0, L’y = 0, L’λ = 0, tương đương với U’x − 16λx = 0, (2) U’y − 14λy = 0, (3) 840 − 8x2 − 7y2 = 0.
Từ (2), ta suy ra: yU’x = 16λxy. (4)
Từ (3), ta suy ra: xU’y = 14λxy. (5) Do đó,
từ (4) và (5) ta được: 8xU’y = 7yU’x. Vậy, ta chọn đáp án A.
Câu 14. Gọi P là giá bán và C = C(Q) là hàm chi phí, với Q là mức sản lượng. Biết rằng P.Q = 500 và chi
phí biên tại Q = 10 là 20. Khi đó dC/dP tại Q = 10 là A. –2 B. –4 C. –12 D. –24.
Ta có: P.Q = 500, tức là Q = 500/P. Vì thế, dQ/dP = − 500/P2.
Mặt khác, dC/dP = (dC/dQ).(dQ/dP) = (dC/dQ).( − 500/P2).
Tại Q = 10, ta có: P = 500/10 = 50, dC/dQ = 20 và do đó, dC/dP = 20.( − 500/502) = − 4. Vậy ta chọn đáp án B.
Câu 15. Cho x > 0 và y = x x 30+ lOMoAR cPSD| 47206071
. Hệ số co giãn của y đối với x tại x = 30 là A. 3/4 B. 1/3 C. 3 D. 4/3.
Câu 16. Cho g là hàm khả vi trên  và đặt f(x, y) = – y + g(– x2 + y 2) với mọi 2
(x, y) ∈  . Chọn kết quả đúng.
A. ' ' x yy.f (x, y) x.f (x, y) x+ =
B. ' ' x yy.f (x, y) x.f (x, y) y+ =
C. ' ' x yy.f (x, y) x.f (x, y) y+ = −
D. ' ' x yy.f (x, y) x.f (x, y) x+ = − .
Ta có: f ’x(x, y) = − 2x.g’(− x2 + y 2) và f ’y(x, y) = − 1 + 2y.g’(− x2 + y 2).
Do đó, y. f’x(x, y) + x. f ’y(x, y) = − x. Vậy ta chọn đáp án D.
Câu 17. Cho hàm f(x, y) = – 4x2 – 4y2 + 72ln(xy). Kết luận nào sau đây là đúng?
A. f không có cực trị B. f có cả cực đại và cực 琀椀 ểu
C. f chỉ có cực đại D. f chỉ có cực 琀椀 ểu.
Câu 18. Xét phương trình vi phân ' 2 x y 2y
2xe− = (1). Phát biểu nào sau đây là sai?
A. Mọi nghiệm y(x) của phương trình (1) có 琀 nh chất x (x) 0lim y→−∞ = .
B. Mọi nghiệm y(x) của phương trình (1) có 琀 nh chất x (x) 0lim y →+∞ = .
C. Phương trình (1) có một nghiệm riêng y = x 2e 2x .
D. Phương trình (1) có một nghiệm riêng y = x 2e 2x – 3e 2x .
Xét PTVP: y ’ – 2y = 2xe 2x . (1)
Đây là PTVP tuyến 琀 nh cấp một với P(x) = − 2.
Ta có: P(x)dx∫ = 2dx−∫ = − 2x. lOMoAR cPSD| 47206071
Nhân cả hai vế của (1) với e^ ( )P(x)dx∫ = e−2x, ta được PTVP tương đương: y’
.e−2x – 2y.e−2x = 2x, tức là (y.e−2x) ’ = 2x.
Do đó, y.e −2x = 2xdx∫ ⇔ y.e−2x = x 2 + C ⇔ y = e 2x(x2 + C) với C là hằng số tùy ý. Ta có: x lim y(x) →+∞ = 2 x 2 x lim e (x C) →+∞
+ = +∞ . Vậy ta chọn đáp án B. Lưu ý: x lim y(x) →−∞ = 2 x 2 x lim e (x C) →−∞ + = 2 2 xx x C lim e−→ −∞ + (DVĐ ∞ ∞ ) = 2 xx 2x lim 2e−→−∞ − (DVĐ ∞ ∞ ) lOMoAR cPSD| 47206071 = 2 xx 2 lim 4e−→−∞ = 0.
Câu 19. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân '' '
y 4y 5y 7x cos x− − = có dạng A. u(x) = x 5x ae be (mx
n) cos x (px q) sin x− + + + + + B. u(x) = x 5x 2 2 ae be
(mx nx) cos x (px qx) sin x− + + + + + C. u(x) = x 5x 2 ae be (mx nx) cos x− + + +
D. u(x) = (mx n) cos x (px q) sin x+ + +
với a, b, m, n, p, q là các hằng số.
Phương trình đặc trưng: k2 – 4k – 5 = 0 ⇔ k = –1 hoặc k =
5. Khi đó, nghiệm tổng quát của PTVP thuần nhất '' ' y 4y 5y
0− − = là: Y(x) = x 5x ae be− + với a, b là các hằng số.
Vế phải của PTVP đã cho: 7x.cosx = e 0x.(7x.cosx + 0.sinx) với α = 0, β = 1 và P1 = 7x, Q0 = 0.
Ta có: α ± i.β = 0 ± i không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng.
Do đó nghiệm riêng của PTVP đã cho có dạng: u1(x) = e 0x
.[(mx + n).cosx + (mx + n).sinx].
Vì thế, nghiệm tổng quát của PTVP đã cho có dạng:
u(x) = Y(x) + u 1(x) = x 5x ae be− + + (mx + n).cosx + (mx + n).sinx. Vậy ta chọn đáp án A.
Câu 20. Cho x > 0 và y = x x 80+
. Hệ số co giãn của y đối với x tại x = 80 là A. 3/4 B. 1/8 C. 8 D. 4/3.
Câu 21. Cho hàm số y = y(x) thỏa mãn ln(2y) + 2xy = 0. Khi đó giá trị ' y (0) là lOMoAR cPSD| 47206071
A. e/2 B. –e/2 C. 1/2 D. –1/2.
Cách giải câu này tương tự cách giải câu 6.
Câu 22. Cho biết P = 40 – 0,15Q2, trong đó P là đơn giá bán và Q là sản lượng. Khi đó, hệ số co giãn của
cầu theo giá khi P = 30 là
A. –0,5 B. –1,0 C. –1,5 D. –2,0.
Với hàm cầu P = 40 – 0,15Q2, ta có hệ số co giãn của cầu theo giá:
QP (P)ε = dQ / Q dP / P = dQ P . dP Q = 1 P . dP dQ Q = 1 P . 0, 3Q Q− = 2 P 0, 3Q − = P 0, 3(40 P) 0,15 − − .
Do đó, hệ số co giãn của cầu theo giá khi P = 30 là QP (30)ε = 30 0, 3(40 30) 0,15 − − = –1,5. Vậy ta chọn đáp án C. lOMoAR cPSD| 47206071
Câu 23. Cho biết hàm sản xuất là Q(L, K) = 15L0,3
K0,4 với L là lượng lao động và K là vốn. Khi L tăng 2%
và K không đổi thì Q tăng xấp xỉ
A. 0,3% B. 0,6% C. 0,8% D. 1,4%.
Câu hỏi đề bài: ∆L/L = 2% (với điều kiện K không đổi) ⇒ ∆Q/Q = ? %
Độ co giãn của Q theo L (với điều kiện K không đổi): , 0,3 4 0 7 0,4 0,QL Q / Q Q L (L, K) . 15.0, 3L K 0, 3 / 15L KL L L L Q −∂ ∂ = = ∂ ε = = ∂ . Ta có: QL Q Q 0, 3 L L (L, K) ∆ ≈ = ∆ ε .
Vì thế: ∆L/L = 2% ⇒ ∆Q/Q ≈ 0,3.2% = 0,6%. Vậy ta chọn đáp án B. lOMoAR cPSD| 47206071
Câu 24. Cho hàm số f(x, y) = x2 + 3xy + 2y2 – 5x + y – 7 có điểm dừng là (x 0, y 0). Chọn kết quả đúng.
A. M không phải là điểm cực trị và thỏa x 0 + y 0 = – 6
B. M không phải là điểm cực trị và thỏa x 0 + y 0 = 6
C. M là điểm cực 琀椀 ểu và thỏa x 0 + y 0 = – 6
D. M là điểm cực đại và thỏa x 0 + y 0 = 6. * ' x ' y f 0 f 0 = = ⇔ 2x 3y 5 0 3x 4y 1 0 + − = + + = ⇔ x 23 y 17 = − =