Bài tập chương 4 đại số tuyến tính | Môn toán cao cấp

Tìm cực trị của hàm: f(x,y) = x2 + 2y2 – 3xy – 4x + 2y + 5= 2x – 3y – 4  = 4y – 3x+ 2 Cho: => M0 (-10 ; -8 ) là điểm dừng . Ta có: | H2 |=  = -1 . | H2 | < 0 => hàm f(x,y) không đạt cực trị tại điểm M0 ( -10 ; -8 ).Vì: f đạt cực trị tại, f đạt cực tiểu tại địa phương.Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem !

14 7 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Toán Cao Cấp (KTHCM)

Trường: Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh

Thông tin:

6 trang 1 tuần trước

Tác giả:

Profile Ma Thu Hương
lOMoARcPSD| 47206071
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 – TỔ 3
M 愃 lp: 23C1MAT50800148
Phần I: Trong file
Câu 1:
1.1: Tìm cực trị f(x,y)=
• =
Tìm điểm dừng
Vậy M
0
(18,6) và M
1
(0,0) là 2 điểm dừng
*) Tại M
0
(18,6) có đạo hàm cấp 2:
;
Ma trận Hesse tại M
0
(18,6) :
H1= 2>0
H2= 36>0
• F(x,y) đạt cực tiểu tại M
0
(18,6) *)
Tại M
1
(0,0) có đạo hàm cấp 2:
Ma trận Hesse tại M
1
(0,0):
H1=2>0
H2= -36<0
• F(x,y) không có cực trị tại M
1
(0,0)
1.2 Tìm cực trị: (x, y) = 4x
4
+ 2y
4
2x
2
y
2
Điều
kiện cần:
(do điều kiện x )
Điểm dừng là M(
Điều kiện đủ:
- H = =
- Với điểm dừng M( H = = 32
- Kết hợp ta có và TXĐ của (x, y) là R
(x, y) đạt cực tiểu địa phương tại M(
Câu 2: Tìm cực trị của hàm: với điều kiện:
Xét = x.y +
lOMoARcPSD| 47206071
Từ đó ta có hệ:
Tại điểm ta có:
; =
Vậy f đạt cực đại tại (1;1)
Phần II: Trong SBT
Câu 5:
a. Tìm cực trị của hàm: f(x,y) = x
2
+ 2y
2
– 3xy – 4x + 2y + 5
= 2x – 3y – 4
= 4y – 3x + 2
Cho:
=> M
0
(-10 ; -8 ) là điểm dừng
Ta có:
Ta có: | H
2
|= = -1
| H
2
| < 0 => hàm f(x,y) không đạt cực trị tại điểm M
0
( -10 ; -8 )
b.
Từ đó ta có hệ:
Vậy là
điểm dừng
lOMoARcPSD| 47206071
Vì:
, f đạt cực trị tại
, f đạt cực tiểu tại địa phương.
c. f(x,y)=x+y+
Giải hệ phương trình:
Điểm dừng M
0
=(
Các đạo hàm riêng cấp 2
; ;
Ma trận Hesse tại M
0
=(là H=
H
1
=>0
H
2
=|H|=>0
Vậy f(x,y) đạt cực tiểu tại M
0
=(
Câu 6:
a. Ta có : + =1 3x+ 4y=12
Hàm Lagrange : L(x,y,λ)= (12-3x-4y)
Giải hệ phương trình:
Ta có các đạo hàm liên tục cấp 2:
, ,
, ,
Ma trận hesse:
==-9
=-50
L đạt cực tiểu tại
f(x,y) đạt cực tiểu tại b.
L(x,y)= x
2
+y
2
+λ(x
2
-3x+y
2
-4y)
=2x+λ(2x -3)=0
= 2y +λ(2y-4)=0
= x^2+3x+y^2 -4y=0(1)
=>x=
y=. Thế x, y vào (1) ta có:
(-λ( - (*)
(*)=> 9λ
2
-9λ(2+2λ)+16λ
2
-16λ(2+2λ)=0
25λ
2
-18λ
2
-32λ
2
-18λ-32λ=0
lOMoARcPSD| 47206071
-25λ^2-50λ=0
=2+2λ-3λ=2+2λ
=2+2λ
=0
d
2
L=(2+2λ)dx
2
+(2+2λ)dy
2
• =0=>d^2L=4>0
(0;0) cực tiểu
• =-2=>d^2L=-2 + (-2)=-4<0
(3,4) cực đại
L
Giải hệ trên
Ta có các đạo hàm cấp 2 , ,
H= Ma trận
Hesse
=> Hàm số đạt cực đại tại
Câu 9:
Hàm f(x,y) = + - 6xy có 2 điểm dừng là A(0,0) và B(18,6). Chọn kết
luận đúng
A . Hàm không đạt cực trị địa phương tại A, đạt cực đại địa
phươngtại B
B Hàm đạt cực tiểu địa phương tại A, đạt cực đại địa phương
tại B
C Hàm không đạt cực trị địa phương tại A, đạt cực tiểu địa
phương tại B
D Hàm đạt cực đại địa phương tại A, đạt cực tiểu địa phương
tại B
Ta có: f’x = 2x -6y
f’y = 3 - 6x
f’’xx = 2
f’’xy = -6
f’’yy = 6y
lOMoARcPSD| 47206071
• Tại A (0,0), ta có ma trận Hesse: H =
= 2 > 0
= -36 < 0
=> hàm f(x,y) không đạt cực trị địa phương tại A(0,0)
• Tại B(18,6), ta có ma trận Hesse: H =
= 2 > 0
= 36 > 0
=> hàm f(x,y) đạt cực tiểu địa phương tại B (18,6)
Kết luận: C đúng
Câu 10: Cho hàm z(x;y) = x++2- 4y. Chọn mệnh đề đúng trong các
mệnh đề sau đây:
a. Hàm z đạt cực tiểu tại M(0;1)
b. Hàm z đạt cực đại tại M(0;1)
c. Hàm z có điểm dừng nhưng không có cực trị
d. Hàm z không có điểm dừng
Đạo hàm cấp 1 của hàm z theo biến x: +3
biến y: 4y – 4
Từ đó ta được hệ phương trình:
Ta có phương trình (1) vô nghiệm
Hệ vô nghiệm
Hàm số đã cho không có điểm dừng
Chọn D
Câu 11: Cho hàm f(x,y) = -3x
2
+ 2e
y
– 2y + 3. Chọn mệnh đề đúng
trong các mệnh đề sau đây
a. Hàm f đạt cực tiểu tại M (0,0)
b. Hàm f đạt cực đại tại M (0,0)
c. Hàm f có điểm dừng nhưng không có cực trị
d. Hàm f không có điểm dừngXét hàm f(x,y) ta có:
f’x = -6x; f’y = 2e
y
– 2
Giải hệ phương trình:
Điểm dừng (x,y) của f là (0,0)
H = =
Tại điểm dừng (0,0), H =
lOMoARcPSD| 47206071
Vì
f không có cực trị Chọn C
Câu 12:
Xét hàm f(x,y) = x(1 - x - y) và điểm M(0,1). Chọn kết luận đúng:
a. Hàm f đạt cực tiểu tại M
b. Hàm f đạt cực đại tại M
c. M là điểm dừng nhưng không phải cực trị của hàm f
d. M không phải điểm dừng của hàm f
= - 2x - ; = 2xy - y - 3x
Ta có hệ phương trình:
Thay M(0,1) vào hpt, ta được: (thoả) ⇒ M(0,1) là điểm dừng
= -2 = 2x - 2 - 6xy = 2y - 4xy - 3
Tại M(0,1), ta có ma trận Hesse
H = ⇒ = - 2 < 0; = = - 1 < 0
⇒ c. M là điểm dừng nhưng không phải cực trị của hàm f
Câu 13:
Vi phân toàn phần của hàm f( x, y ) = là kết quả nào sau đây
a. Df = 2xdx + dy
b. Df = 2xdx + dy
c. Df = 2xdx + ydy
d. Df = 2xdx + y
Ta có: f( x, y ) =
• Df(x) = 2xdx
• Df(y) = dy
=> Df( x, y ) = 2xdx + dy
=> Chọn câu B
| 1/6
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

lOMoAR cPSD| 47206071
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 – TỔ 3
M 愃̀ lớp: 23C1MAT50800148 Phần I: Trong file Câu 1:
1.1: Tìm cực trị f(x,y)= • = Tìm điểm dừng
Vậy M0 (18,6) và M1(0,0) là 2 điểm dừng
*) Tại M0(18,6) có đạo hàm cấp 2: ;
Ma trận Hesse tại M0(18,6) : H1= 2>0 H2= 36>0
• F(x,y) đạt cực tiểu tại M0(18,6) *)
Tại M1(0,0) có đạo hàm cấp 2:
Ma trận Hesse tại M1(0,0): H1=2>0 H2= -36<0
• F(x,y) không có cực trị tại M1(0,0)
1.2 Tìm cực trị: (x, y) = 4x4 + 2y4 2x2 y2 Điều kiện cần: (do điều kiện x ) Điểm dừng là M( Điều kiện đủ: - H = =
- Với điểm dừng M( H = = 32
- Kết hợp ta có và TXĐ của (x, y) là R
(x, y) đạt cực tiểu địa phương tại M(
Câu 2: Tìm cực trị của hàm: với điều kiện: Xét = x.y + lOMoAR cPSD| 47206071 Từ đó ta có hệ: Tại điểm ta có: ; =
Vậy f đạt cực đại tại (1;1) Phần II: Trong SBT Câu 5:
a. Tìm cực trị của hàm: f(x,y) = x2 + 2y2 – 3xy – 4x + 2y + 5 = 2x – 3y – 4 = 4y – 3x + 2 Cho:
=> M0 (-10 ; -8 ) là điểm dừng Ta có: Ta có: | H2 |= = -1
| H2 | < 0 => hàm f(x,y) không đạt cực trị tại điểm M0 ( -10 ; -8 ) b. Từ đó ta có hệ: Vậy là điểm dừng lOMoAR cPSD| 47206071 Vì: , f đạt cực trị tại
, f đạt cực tiểu tại địa phương. c. f(x,y)=x+y+ Giải hệ phương trình: Điểm dừng M0=(
Các đạo hàm riêng cấp 2 ; ;
Ma trận Hesse tại M0=(là H= H1=>0 H2=|H|=>0
Vậy f(x,y) đạt cực tiểu tại M0=( Câu 6: a. Ta có : + =1 3x+ 4y=12
Hàm Lagrange : L(x,y,λ)= (12-3x-4y) Giải hệ phương trình:
Ta có các đạo hàm liên tục cấp 2: , , , , Ma trận hesse: ==-9 =-50
L đạt cực tiểu tại
f(x,y) đạt cực tiểu tại b.
L(x,y)= x2 +y2+λ(x2 -3x+y2-4y) =2x+λ(2x -3)=0 = 2y +λ(2y-4)=0 = x^2+3x+y^2 -4y=0(1) =>x=
y=. Thế x, y vào (1) ta có: (-λ( - (*)
(*)=> 9λ2-9λ(2+2λ)+16λ2-16λ(2+2λ)=0
25λ2-18λ2-32λ2-18λ-32λ=0 lOMoAR cPSD| 47206071 -25λ^2-50λ=0 =2+2λ-3λ=2+2λ =2+2λ =0 d2L=(2+2λ)dx2+(2+2λ)dy2 • =0=>d^2L=4>0 (0;0) cực tiểu
• =-2=>d^2L=-2 + (-2)=-4<0 (3,4) cực đại L Giải hệ trên
Ta có các đạo hàm cấp 2 , , H= Ma trận Hesse
=> Hàm số đạt cực đại tại Câu 9:
Hàm f(x,y) = + - 6xy có 2 điểm dừng là A(0,0) và B(18,6). Chọn kết luận đúng
A . Hàm không đạt cực trị địa phương tại A, đạt cực đại địa phươngtại B
B Hàm đạt cực tiểu địa phương tại A, đạt cực đại địa phương tại B
C Hàm không đạt cực trị địa phương tại A, đạt cực tiểu địa phương tại B
D Hàm đạt cực đại địa phương tại A, đạt cực tiểu địa phương tại B Ta có: f’x = 2x -6y f’y = 3 - 6x f’’xx = 2 f’’xy = -6 f’’yy = 6y lOMoAR cPSD| 47206071
• Tại A (0,0), ta có ma trận Hesse: H = = 2 > 0 = -36 < 0
=> hàm f(x,y) không đạt cực trị địa phương tại A(0,0)
• Tại B(18,6), ta có ma trận Hesse: H = = 2 > 0 = 36 > 0
=> hàm f(x,y) đạt cực tiểu địa phương tại B (18,6) Kết luận: C đúng
Câu 10: Cho hàm z(x;y) = x++2- 4y. Chọn mệnh đề đúng trong các
mệnh đề sau đây:
a. Hàm z đạt cực tiểu tại M(0;1)
b. Hàm z đạt cực đại tại M(0;1)
c. Hàm z có điểm dừng nhưng không có cực trị
d. Hàm z không có điểm dừng
Đạo hàm cấp 1 của hàm z theo biến x: +3 biến y: 4y – 4
Từ đó ta được hệ phương trình:
Ta có phương trình (1) vô nghiệm Hệ vô nghiệm
Hàm số đã cho không có điểm dừng Chọn D
Câu 11: Cho hàm f(x,y) = -3x2 + 2ey – 2y + 3. Chọn mệnh đề đúng
trong các mệnh đề sau đây a.
Hàm f đạt cực tiểu tại M (0,0) b.
Hàm f đạt cực đại tại M (0,0) c.
Hàm f có điểm dừng nhưng không có cực trị d.
Hàm f không có điểm dừngXét hàm f(x,y) ta có:
f’x = -6x; f’y = 2ey – 2 Giải hệ phương trình:
Điểm dừng (x,y) của f là (0,0) H = =
Tại điểm dừng (0,0), H = lOMoAR cPSD| 47206071 Vì f không có cực trị Chọn C Câu 12:
Xét hàm f(x,y) = x(1 - x - y) và điểm M(0,1). Chọn kết luận đúng:
a. Hàm f đạt cực tiểu tại M
b. Hàm f đạt cực đại tại M
c. M là điểm dừng nhưng không phải cực trị của hàm f
d. M không phải điểm dừng của hàm f = - 2x - ; = 2xy - y - 3x Ta có hệ phương trình:
Thay M(0,1) vào hpt, ta được: (thoả) ⇒ M(0,1) là điểm dừng
= -2 = 2x - 2 - 6xy = 2y - 4xy - 3
Tại M(0,1), ta có ma trận Hesse
H = ⇒ = - 2 < 0; = = - 1 < 0
⇒ c. M là điểm dừng nhưng không phải cực trị của hàm f Câu 13:
Vi phân toàn phần của hàm f( x, y ) = là kết quả nào sau đây a. Df = 2xdx + dy b. Df = 2xdx + dy c. Df = 2xdx + ydy d. Df = 2xdx + y Ta có: f( x, y ) = • Df(x) = 2xdx • Df(y) = dy => Df( x, y ) = 2xdx + dy => Chọn câu B