Bài tập chương 4: Hàm nhiều biến | Môn toán cao cấp

Lập ma trận H=. Tại điểm dừng (18,6) thì H=→H1=2, H2. Vì H2>0 nên hàm f(x,y) đạt cực trị tại (18,6), hơn nữa do H1>0 nên hàm f(x,y) đạt cực tiểu tại (18,6). Tại điểm dừng (0,0) thì H=→ H1=2, H2. Vì H2<0 nên hàm f(x,y) không đạt cực trị tại điểm dừng (0,0). Vậy hàm f(x,y) có cực tiểu, không có cực đại. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem !

11 6 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Toán Cao Cấp (KTHCM)

Trường: Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh

Thông tin:

9 trang 6 ngày trước

Tác giả:

Profile Ma Thu Hương
lOMoARcPSD| 47207194
BÀI TẬP CHƯƠNG 4. HÀM NHIỀU BIẾN
Bài 1: Tìm cực trị của hàm
1/
→
→
Vậy hàm có 2 điểm dừng là (18,6) và (0,0)
Lập ma trận H=
• Tại điểm dừng (18,6) thì H=→H
1
=2, H
2
=
Vì H
2
>0 nên hàm f(x,y) đạt cực trị tại (18,6), hơn nữa do H
1
>0 nên hàm
f(x,y) đạt cực tiểu tại (18,6)
• Tại điểm dừng (0,0) thì H=→ H
1
=2, H
2
=
Vì H
2
<0 nên hàm f(x,y) không đạt cực trị tại điểm dừng (0,0)
Vậy hàm f(x,y) có cực tiểu, không có cực đại
2/ /
→
Vì nên nghiệm của pt còn
Vậy có 1 điểm dừng là
Lập ma trận H=
lOMoARcPSD| 47207194
• Tại điểm dừng thì H=→H
1
=8, H
2
=
Vì H
2
>0 nên hàm f(x,y) đạt cực trị tại (), hơn nữa do H
1
>0 nên hàm
f(x,y) đạt cực tiểu tại ()
Bài 2: Tìm cực trị của hàm: f(x,y) = x.y với điều kiện : = 0
L(x,y,
L’
x
= y-=0 (1)
L’
y
= -=0 (2)
L’= (3)
Từ (1), (2) → =→x=y
Thay x= y vào (3) thì được -x
3
-x
3
+2= 0→x=1→ y =1
→ =
Vậy hàm L(x,y, có 1 điểm dừng là (1,1, )
L’’
xx
= -=-2
L’’
yy
== -2
L’’
xy
=1 g’
x
=
-3x
2
= -3 g’
y
=
-3y
2
= -3
Lập ma trận → nên hàm f(x,y) đạt cực đại tại (1,1).
5/220
a.
→
Vậy hàm có 1 điểm dừng là (-10,-8)
lOMoARcPSD| 47207194
Lập ma trận H=
• Tại điểm dừng (-10,-8)thì H=→H
1
=2, H
2
=
Vì H
2
<0 nên hàm f(x,y) không đạt cực trị tại điểm dừng (-10,-8)
b.
→
Vậy hàm có 1 điểm dừng là (2,2)
Lập ma trận H=
• Tại điểm dừng (2,2) thì H=→H
1
=1, H
2
=
Vì H
2
>0 nên hàm f(x,y) đạt cực trị tại (2,2), hơn nữa do H
1
>0 nên
hàm f(x,y) đạt cực tiểu tại (2,2)
c.
→
Vậy hàm có 1 điểm dừng là ()
Lập ma trận H=
• Tại điểm dừng () thì H=→H
1
=, H
2
=
Vì H
2
>0 nên hàm f(x,y) đạt cực trị tại (), hơn nữa do H
1
>0 nên hàm
f(x,y) đạt cực tiểu tại ()
d. f(x,y)= xy +
Giải
lOMoARcPSD| 47207194
→
Vậy hàm có 1 điểm dừng là (5,2)
Lập ma trận H=
Tại điểm dừng (5,2) thì H=→H
1
=, H
2
=
Vì H
2
>0 nên hàm f(x,y) đạt cực trị tại (5,2) hơn nữa do H
1
>0 nên hàm
f(x,y) đạt cực tiểu tại (5,2)
e. f(x,y)=x
3
+y
3
+3xy
Giải
Vậy hàm có 2 điểm dừng là (0,0) và (-1, -1)
Lập ma trận H=
• Tại điểm dừng (0,0) thì H=→H
1
=0, H
2
=
Vì H
2
<0 nên hàm f(x,y) không đạt cực trị tại điểm dừng (0,0)
• Tại điểm dừng (-1,-1) thì H=→H
1
=-6, H
2
=
Vì H
2
>0 nên hàm f(x,y) đạt cực trị tại (-1,-1) hơn nữa do H
1
>0 nên
hàm f(x,y) đạt cực đại tại (-1,-1)
f(x,y)=x
3
+y
2
+12xy+1
Ta có :
Vậy hàm có 2 điểm dừng là (0,0) và (24, -144)
lOMoARcPSD| 47207194
Lập ma trận H=
• Tại điểm dừng (0,0) thì H=→H
1
=0, H
2
=
Vì H
2
<0 nên hàm f(x,y) không đạt cực trị tại điểm dừng (0,0)
• Tại điểm dừng (24,-144) thì H=→H
1
=144, H
2
=
Vì H
2
>0 nên hàm f(x,y) đạt cực trị tại (24,-144) hơn nữa do H
1
>0 nên
hàm f(x,y) đạt cực tiểu tại (24,-144)
6. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm sau đây:
Hàm Lagrange:
Hàm có 1 điểm dừng () =
→
→ đạt cực tiểu tại điểm với điều kiện ràng buộc
Hàm Lagrange:
Hàm có 2 điểm dừng là
lOMoARcPSD| 47207194
• Tại
→ đạt cực tiểu tại điểm với điều kiện ràng buộc
• Tại
→ đạt cực đại tại điểm với điều kiện ràng buộc
c. f (x,y) = x
2
+12xy + y
2
nếu x và y thỏa mãn điều kiện 4x
2
+ y
2
=25
L(x,y, = x
2
+12xy+y
2
+(25-4x
2
-y
2
)
=>
Giải hệ:
và và
Ta có:
= 8x ;
Ma trận Hesse:
H= ;
Với
=> Hàm đạt cực tiểu tại ()
=> Hàm đạt cực tiểu tại ()
=> Hàm số đạt cực đại tại ()
lOMoARcPSD| 47207194
=> Hàm số đạt cực đại tại ()
Bài 9. (Chọn C) Hàm f(x,y) =x
2
+ y
3
- 6xy có hai điểm dừng là A(0,0)
và B(18,6). Chọn kết luận đúng.
a) Hàm f không đạt cực trị địa phương tại A, đạt cực đại địa phương tại
B
b) Hàm f đạt cực tiểu địa phương tại A, đạt cực đại địa phương tại B
c) Hàm f không đạt cực trị địa phương tại A, đạt cực tiểu địa
phương tại B
d) Hàm f đạt cực đại địa phương tại A, đạt cực tiểu địa phương tại B
Giải
Ta có: f(x, y)= x
2
+ y
3
- 6xy có 2 điểm dừng là A( 0,0) và
B( 18,6).
=>
+ Điểm dừng A(0,0)
H= => H
1
= 2 > 0
H
2
= -36 < 0
=> Vậy suy ra hàm f(x,y) không đạt cực trị địa phương tại A(0,0)
+ Điểm dừng B(18,6)
H= => H
1
= 2 > 0
H
2
= 36 > 0
=> Vậy suy ra hàm f(x,y) đạt cực tiểu địa phương tại B( 18,6) => Chọn
C
lOMoARcPSD| 47207194
Bài 10. (Chọn D) Cho hàm z (x,y) = xe
y
+ x
3
+2y
2
-4y. Chọn mệnh đề
đúng trong các mệnh đề sau đây. A. Hàm z đạt cực tiểu tại M(0,1)
B. Hàm z đạt cực đại tại M(0,1)
C. Hàm z có điểm dừng nhưng không có cực trị
D. Hàm z không có điểm dừng
Giải
Ta có:
=>
=> Hệ vô nghiệm vì e
y
+ 3x
2
> 0, Chọn
đáp án D
Bài 11. ( Chọn C) Cho hàm f(x,y) = -3x
2
+ 2e
y
-2y + 3. Chọn mệnh đề
đúng trong các mệnh đề dưới đây. A. Hàm f đạt cực tiểu tại M(0,0)
B. Hàm f đạt cực đại tại M(0,0)
C. Hàm f có điểm dừng nhưng không có cực trị.
D. Hàm f không có điểm dừng.
Giải
Ta có:
=> H =
Ta có: H
1
= -6 < 0 ; H
2
= = -12 <0
Vậy hàm f có điểm dừng nhưng không có cực trị. Chọn C
Bài 12. ( Chọn C) Xét hàm f(x,y) = xy
2
( 1-x-y) và điểm M ( 0,1 ).
Chọn kết luận đúng.
lOMoARcPSD| 47207194
a) Hàm f đạt cực tiểu tại M
b) Hàm f đạt cực đại tại M
c) M là điểm dừng nhưng không phải cực trị của hàm f
d) M không phải là điểm dừng của hàm f
Giải
Ta có hệ phương trình như sau:
Thay M( 0,1) vào hệ:
=> M(0,1) là điểm dừng của hàm f (x,y)
Ta có:
Xét tại điểm M(0,1) có ma trận Hesse
H=
H
1
= -2 < 0
H
2
= -1 < 0
=> Hàm f(x,y) không đạt cực trị tại M (0,1) => M là điểm dừng nhưng
không phải cực trị của hàm => Chọn C.
Bài 13: (Chọn B). Vi phần toàn phần của hàm f (x,y) =x
2
+ 2
y
là kết
quả nào?
A. df = 2xdx + 2
y
dy
B. df = 2xdx + 2
y
ln2dy
C. df = 2xdx + y2
y-1
dy
D. df = 2xdx + y2
y
ln2dy
| 1/9
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

lOMoAR cPSD| 47207194
BÀI TẬP CHƯƠNG 4. HÀM NHIỀU BIẾN
Bài 1: Tìm cực trị của hàm 1/ → →
Vậy hàm có 2 điểm dừng là (18,6) và (0,0) Lập ma trận H=
• Tại điểm dừng (18,6) thì H=→H1=2, H2=
Vì H2>0 nên hàm f(x,y) đạt cực trị tại (18,6), hơn nữa do H1>0 nên hàm
f(x,y) đạt cực tiểu tại (18,6)
• Tại điểm dừng (0,0) thì H=→ H1=2, H2=
Vì H2<0 nên hàm f(x,y) không đạt cực trị tại điểm dừng (0,0)
Vậy hàm f(x,y) có cực tiểu, không có cực đại 2/ / →
Vì nên nghiệm của pt còn
Vậy có 1 điểm dừng là Lập ma trận H= lOMoAR cPSD| 47207194
• Tại điểm dừng thì H=→H1=8, H2=
Vì H2>0 nên hàm f(x,y) đạt cực trị tại (), hơn nữa do H1>0 nên hàm
f(x,y) đạt cực tiểu tại ()
Bài 2: Tìm cực trị của hàm: f(x,y) = x.y với điều kiện : = 0 L(x,y, L’x= y-=0 (1) L’y= -=0 (2) L’= (3)
Từ (1), (2) → =→x=y
Thay x= y vào (3) thì được -x3-x3+2= 0→x=1→ y =1 → =
Vậy hàm L(x,y, có 1 điểm dừng là (1,1, ) L’’xx= -=-2 L’’yy== -2 L’’xy=1 g’x= -3x2= -3 g’y= -3y2= -3
Lập ma trận → nên hàm f(x,y) đạt cực đại tại (1,1). 5/220 a. →
Vậy hàm có 1 điểm dừng là (-10,-8) lOMoAR cPSD| 47207194 Lập ma trận H=
• Tại điểm dừng (-10,-8)thì H=→H1=2, H2=
Vì H2<0 nên hàm f(x,y) không đạt cực trị tại điểm dừng (-10,-8) b. →
Vậy hàm có 1 điểm dừng là (2,2) Lập ma trận H=
• Tại điểm dừng (2,2) thì H=→H1=1, H2=
Vì H2>0 nên hàm f(x,y) đạt cực trị tại (2,2), hơn nữa do H1>0 nên
hàm f(x,y) đạt cực tiểu tại (2,2) c. →
Vậy hàm có 1 điểm dừng là () Lập ma trận H=
• Tại điểm dừng () thì H=→H1=, H2=
Vì H2>0 nên hàm f(x,y) đạt cực trị tại (), hơn nữa do H1>0 nên hàm
f(x,y) đạt cực tiểu tại () d. f(x,y)= xy + Giải lOMoAR cPSD| 47207194 →
Vậy hàm có 1 điểm dừng là (5,2) Lập ma trận H=
Tại điểm dừng (5,2) thì H=→H1=, H2=
Vì H2>0 nên hàm f(x,y) đạt cực trị tại (5,2) hơn nữa do H1>0 nên hàm
f(x,y) đạt cực tiểu tại (5,2) e. f(x,y)=x3+y3+3xy Giải
Vậy hàm có 2 điểm dừng là (0,0) và (-1, -1) Lập ma trận H=
• Tại điểm dừng (0,0) thì H=→H1=0, H2=
Vì H2<0 nên hàm f(x,y) không đạt cực trị tại điểm dừng (0,0)
• Tại điểm dừng (-1,-1) thì H=→H1=-6, H2=
Vì H2>0 nên hàm f(x,y) đạt cực trị tại (-1,-1) hơn nữa do H1>0 nên
hàm f(x,y) đạt cực đại tại (-1,-1) f(x,y)=x3+y2+12xy+1 Ta có :
Vậy hàm có 2 điểm dừng là (0,0) và (24, -144) lOMoAR cPSD| 47207194 Lập ma trận H=
• Tại điểm dừng (0,0) thì H=→H1=0, H2=
Vì H2<0 nên hàm f(x,y) không đạt cực trị tại điểm dừng (0,0)
• Tại điểm dừng (24,-144) thì H=→H1=144, H2=
Vì H2>0 nên hàm f(x,y) đạt cực trị tại (24,-144) hơn nữa do H1>0 nên
hàm f(x,y) đạt cực tiểu tại (24,-144)
6. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm sau đây: Hàm Lagrange:
Hàm có 1 điểm dừng () = →
→ đạt cực tiểu tại điểm với điều kiện ràng buộc Hàm Lagrange: Hàm có 2 điểm dừng là lOMoAR cPSD| 47207194 • Tại
→ đạt cực tiểu tại điểm với điều kiện ràng buộc • Tại
→ đạt cực đại tại điểm với điều kiện ràng buộc
c. f (x,y) = x2 +12xy + y2 nếu x và y thỏa mãn điều kiện 4x2 + y2 =25
L(x,y, = x2+12xy+y2+(25-4x2-y2) => Giải hệ: và và Ta có: = 8x ; Ma trận Hesse: H= ; Với
=> Hàm đạt cực tiểu tại ()
=> Hàm đạt cực tiểu tại ()
=> Hàm số đạt cực đại tại () lOMoAR cPSD| 47207194
=> Hàm số đạt cực đại tại ()
Bài 9. (Chọn C) Hàm f(x,y) =x2+ y3- 6xy có hai điểm dừng là A(0,0)
và B(18,6). Chọn kết luận đúng.
a) Hàm f không đạt cực trị địa phương tại A, đạt cực đại địa phương tại B
b) Hàm f đạt cực tiểu địa phương tại A, đạt cực đại địa phương tại B
c) Hàm f không đạt cực trị địa phương tại A, đạt cực tiểu địa phương tại B
d) Hàm f đạt cực đại địa phương tại A, đạt cực tiểu địa phương tại B Giải
Ta có: f(x, y)= x2+ y3- 6xy có 2 điểm dừng là A( 0,0) và B( 18,6). => + Điểm dừng A(0,0) H= => H1= 2 > 0 H2= -36 < 0
=> Vậy suy ra hàm f(x,y) không đạt cực trị địa phương tại A(0,0) + Điểm dừng B(18,6) H= => H1 = 2 > 0 H2 = 36 > 0
=> Vậy suy ra hàm f(x,y) đạt cực tiểu địa phương tại B( 18,6) => Chọn C lOMoAR cPSD| 47207194
Bài 10. (Chọn D) Cho hàm z (x,y) = xey + x3 +2y2 -4y. Chọn mệnh đề
đúng trong các mệnh đề sau đây. A. Hàm z đạt cực tiểu tại M(0,1)
B. Hàm z đạt cực đại tại M(0,1)
C. Hàm z có điểm dừng nhưng không có cực trị
D. Hàm z không có điểm dừng Giải Ta có: =>
=> Hệ vô nghiệm vì ey + 3x2 > 0, Chọn đáp án D
Bài 11. ( Chọn C) Cho hàm f(x,y) = -3x2 + 2ey -2y + 3. Chọn mệnh đề
đúng trong các mệnh đề dưới đây. A. Hàm f đạt cực tiểu tại M(0,0)
B. Hàm f đạt cực đại tại M(0,0)
C. Hàm f có điểm dừng nhưng không có cực trị.
D. Hàm f không có điểm dừng. Giải Ta có: => H =
Ta có: H1= -6 < 0 ; H2 = = -12 <0
Vậy hàm f có điểm dừng nhưng không có cực trị. Chọn C
Bài 12. ( Chọn C) Xét hàm f(x,y) = xy2 ( 1-x-y) và điểm M ( 0,1 ).
Chọn kết luận đúng. lOMoAR cPSD| 47207194
a) Hàm f đạt cực tiểu tại M
b) Hàm f đạt cực đại tại M
c) M là điểm dừng nhưng không phải cực trị của hàm f
d) M không phải là điểm dừng của hàm f Giải
Ta có hệ phương trình như sau: Thay M( 0,1) vào hệ:
=> M(0,1) là điểm dừng của hàm f (x,y) Ta có:
Xét tại điểm M(0,1) có ma trận Hesse H= H1= -2 < 0 H2 = -1 < 0
=> Hàm f(x,y) không đạt cực trị tại M (0,1) => M là điểm dừng nhưng
không phải cực trị của hàm => Chọn C.
Bài 13: (Chọn B). Vi phần toàn phần của hàm f (x,y) =x2 + 2y là kết quả nào? A. df = 2xdx + 2ydy B. df = 2xdx + 2yln2dy C. df = 2xdx + y2y-1dy D. df = 2xdx + y2yln2dy