Bài tập chương 6 | Môn toán cao cấp

lOMoAR cPSD| 49831834 = 1
Bài số 1. Chứng minh rằng hàm số y
+ ax5 + bx là nghiệm của phương trình 12x x y2 // −5x y/ +5y = 1 x
Hướng dẫn: Tính ạo hàm rồi thay vào phương trình ta có iều phải chứng minh.
Bài số 2. Chứng minh rằng hàm số y = a + bx + 16 x3 e2x là nghiệm của phương trình y// −4y/ + =4y xe2x
Hướng dẫn: Tính ạo hàm rồi thay vào phương trình ta có iều phải chứng minh.
Bài số 3. Giải các phương trình vi phân cấp 1 1. y/ + =2y 4x 2. y/ + 2xy = xe−x2 3. y/ + =y cosx 4. (1+x)ydx (1 y)xdy+ − =0 5. y/ = x + +y 2 x − +y 4 6. y/ −ysinx =sinxcosx 7. y/ 1− + =x2 y arcsinx , y(0) =0 8. y/ − y = xln x , y(e) = 1 e2 xln x 2 lOMoAR cPSD| 49831834
9. y/ −9x y2 = (x5 + x )y , y(0)2 = 0 10. y/ − ytan x = , y(0) = 0 11. y/ − y = − sin x y .3 2x 2x Đáp số : 1) y(x) = − +2x 1
Ce−2x; 2) y(x) = 1 x e2 −x2 +Ce−x2; 3) y(x) = 1(sin x +cosx) +C; 2 2 y (
4) ln xy + x − y = C x = 0 y = 0; 5) arctan x +−13 = ln (y −1)2 + ) (x +3)2 +C;
6) y(x) =−cosx + +1 Ce−cosx; 7) y(x) = arcsinx −1;8) y(x) = x lnx;2 3 1 x 9) y(x) = 18 ex3(x6 + 2x3) ;10) y(x) =
cosx ;11) y2(a −cosx)= x hay y = 0.
Bài 4. Giải các phương trình vi phân sau: 1) xy/ − =2y 2x4 7) (xy/ −1)lnx = 2y 2) (2x +1)y/ = +4x 2y 8) (x + y )dyy2/ = ydx 3) x(y/ − =y) ex 9) y/ − =y x.e x2 x 4) x y2 / + + =xy 1 0 10) y/ + =y 14e4x 5) y = x(y − xcosx) 11) y/ − =y x lOMoAR cPSD| 49831834 12) xy/ − y = xtan 6) y/ = 2x(x2 + y) y x
Bài số 5. Giải các phương trình vi phân cấp 2 thuần nhất sau: 1. y// + − =y/ 2y 0 7. y// + − =y/ 6y 0 2. y// − =9y 0 8. y// + =4y 0 3. y// −4y/ = 0 9. y// +6y/ +12y = 0 4. y// + =y 0 10. y// +2y/ + =5y 0 5. y// +6y/ +13y = 0 11. y// −2y/ − =y 0 6. y// −10y/ +25y = 0 12. 4y// −20y/ +25y = 0
Đáp số :1) y(x) = Aex +Be−2x ; 2) y(x) = Ae3x +Be−3x ; 3) y(x) = Ae4x +B;
4) y(x) = Asinx + Bcosx ; 5) y(x) = e−3x (Asin2x +Bcos2x);
6) y(x) = Aex +Be5x ; 7) y(x) = Ae2x +Be−3x ; 8) y(x) = Asin2x + Bcos2x;
9) y(x) = e−3x(Asin 3x +Bcos 3x); 10) y(x) = e−x (Asin2x +Bcos2x); 5
11) y(x) = Ae(1+ 2)x +Be(1−2)x ; 12) y(x) =(Ax + B e) 2x .
Bài số 6. Giải các phương trình vi phân với iều kiện ầu sau: 1. y// −4y/ + =3y 0, y(0) = 6, y/(0) =14 2. 4y// + 4y/ + =y 0, y(0) = 2, y/(0) = 0
3. y// + 4y/ + 29y = 0, y(0) = 0, y/(0) =15
4. y// = xe−x, y(0) =1, y/(0) =1 5. y// −4y/ + =3y e5x, y(0) = 3, y/(0) = 9 lOMoAR cPSD| 49831834 6. y// + =4y sin2x +1, y(0) = , y (0)/ = 0
x +4e ; 2) y(x3x ) = +(x 2)e−12x; 3) y(x) =3e−2x sin5x;
Đáp số : 1) y(x) = 2e
4) y(x) = 2x − +1e−x(x + 2); 5) y(x) = 11 e3x + 1ex + 1e5x; 4 8 8
6) y(x) = 1sin2x − 1 xcos2x + 1. 8 4 4
Bài số 7. Giải các phương trình vi phân không thuần nhất sau 1. y// + y = 9. y// −3y/ + =2y e−x 10. y// + =y tanx 2. y// −2y/ + = +y 1 x
11. y// −4y/ =−12x2 − −6x 4
3. y// −2y y e 1 x/ + = x ( + ) 12. y// −9y/ +20y = x e2 4x 4. y// + =y sinx +cos2x 13. y// − =y 2sinx −4cosx 5. 2y// + − =y/ y 2ex 14. y// + =y cosx +cos2x 6. y// +a y2 = e ,x a 0. 7. y// −7y/ + =6y sinx 15. y// − =y xcos x2 8. y// −6y/ + =9y 2x2 − +x 3 16. y// = 6y/ + =9y xe x,
Đáp số :1) y(x) = y (x)0 + y (x)r = Asinx +Bcosx +ln sinx sinx −xcosx;
2) y(x) = (Ax + B)ex + +x 3; 3) y(x) = (Ax + B)ex +ex 16 x3+ 12 x2 ; 1 lOMoAR cPSD| 49831834
4) y(x) = Asinx + Bcosx − 1 xcosx − 1cos2x;5) y(x) = Ae2x +Be−x +e ;x 2 3 5 7 6) y(x) = Asinax +Bcosax +
+1 2 e ; 7) y(x)x= Ae6x +Bex + 74 sinx + 74 cosx; 1 a
8) y(x) = (Ax + B)e3x + 2 x2 + 5 x + 11; 9) y(x) = Aex + Be2x + 1e−x; 9 27 27 6 sinx −1
10) y(x) = Asinx + Bcosx + 1cosxln
;11) y(x) = A + Be4x + x3 + 3 x2 + 7 x; 2 sinx +1 2 4 12) y(x) = Ae5x + Be4x + − 13x3 − x2 −2x e
4x;13) y(x) = Aex + Be−x −sinx + 2cosx;
14) y(x) = Asinx + Bcosx + 1 xsinx − 1cos2x; 2 3
15) y(x) = Aex + Be−x − 1 x + 2 sin2x − 1 xcos2x; 2 25 10
16) Khi =−3: y(x) =(Ax + B e) −3x + x e3 3− x; Khi −3: y(x) =(Ax + B e) −3x + +13)2 x − ( +23)3 e x. (