Bài tập chương 6 | Môn toán cao cấp

Chứng minh rằng hàm số y = 1 + ax5 + bx là nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng hàm số y =a + bx + 16 x3e2x là nghiệm của phương trình.Giải các phương trình vi phân cấp 1. Giải các phương trình vi phân sau. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem !

Môn:
Thông tin:
5 trang 4 tuần trước

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Bài tập chương 6 | Môn toán cao cấp

Chứng minh rằng hàm số y = 1 + ax5 + bx là nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng hàm số y =a + bx + 16 x3e2x là nghiệm của phương trình.Giải các phương trình vi phân cấp 1. Giải các phương trình vi phân sau. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem !

27 14 lượt tải Tải xuống
lOMoARcPSD| 49831834
Bài số 1. Chứng minh rằng hàm số y
= 1
+ ax
5
+ bx là nghiệm của phương trình
12x
x y
2 //
5x
y
/
+5y
=
1
x
Hướng dẫn: Tính ạo hàm rồi thay vào phương trình ta có iều phải chứng minh.
Bài số 2. Chứng minh rằng hàm số y = a + bx +
1
6
x
3
e
2x
là nghiệm của
phương trình
y
//
4y
/
+ =4y xe
2x
Hướng dẫn: Tính ạo hàm rồi thay vào phương trình ta có iều phải chứng minh.
Bài số 3. Giải các phương trình vi phân cấp 1
1. y
/
+ =2y 4x
2. y
/
+ 2xy = xe
x
2
3. y
/
+ =y cosx
4. (1+x)ydx (1 y)xdy+ − =0
5. y/ = x + +y 2 x +y 4
6. y
/
ysinx =sinxcosx
7. y
/
1− + =x
2
y arcsinx , y(0) =0
8. y
/
y
= xln x , y(e) =
1
e
2
xln x 2
lOMoARcPSD| 49831834
9. y
/
9x y
2
= (x
5
+ x )y , y(0)
2
= 0
10. y
/
ytan x = , y(0) = 0
11. y/ y = − sin x y .3
2x 2x
Đáp số :
1) y(x) = − +2x 1
Ce
2x
; 2) y(x) =
1
x e
2
x
2
+Ce
x
2
; 3) y(x) =
1
(sin x +cosx) +C;
2 2
4) ln xy + x y = C x = 0 y = 0; 5) arctan
x
y
+
1
3
= ln( (y 1)
2
+(x +3)
2
)+C;
6) y(x) =−cosx + +1 Ce
cosx
; 7) y(x) = arcsinx 1;8) y(x) = x lnx;
2
3
9) y(x) = 18
1
e
x
3
(x
6
+ 2x
3
) ;10) y(x) = cosx
x
;11) y
2
(a cosx)= x hay y
= 0.
Bài 4. Giải các phương trình vi phân sau:
1) xy
/
− =2y 2x
4
7) (xy
/
1)lnx = 2y
2) (2x +1)y
/
= +4x 2y
8) (x + y )dyy
2/
= ydx
3) x(y
/
− =y) e
x
9) y
/
− =
y
x.e
x2
x
4) x y
2 /
+ + =xy 1 0
10) y
/
+ =y 14e
4x
5) y = x(y xcosx)
11) y
/
− =y x
lOMoARcPSD| 49831834
6) y
/
= 2x(x
2
+ y)
12) xy
/
y = xtan
y
x
Bài số 5. Giải các phương trình vi phân cấp 2 thuần nhất sau:
1. y
//
+ − =y
/
2y 0
2. y
//
− =9y 0
3. y
//
4y
/
= 0
4. y
//
+ =y 0
5. y
//
+6y
/
+13y = 0
6. y
//
10y
/
+25y = 0
7. y
//
+ − =y
/
6y 0
8. y
//
+ =4y 0
9. y
//
+6y
/
+12y = 0
10. y
//
+2y
/
+ =5y 0
11. y
//
2y
/
− =y 0
12. 4y
//
20y
/
+25y = 0
Đáp số :1) y(x) = Ae
x
+Be
2x
; 2) y(x) = Ae
3x
+Be
3x
; 3) y(x) = Ae
4x
+B;
4) y(x) = Asinx + Bcosx ; 5) y(x) = e
3x
(Asin2x +Bcos2x);
6) y(x) = Ae
x
+Be
5x
; 7) y(x) = Ae
2x
+Be
3x
; 8) y(x) = Asin2x + Bcos2x;
9) y(x) = e
3x
(Asin 3x +Bcos 3x); 10) y(x) = e
x
(Asin2x +
Bcos2x
);
5
11) y(x) = Ae
(1
+
2)x
+Be
(1
2)x
; 12) y(x) =(Ax +
B e
)
2x
.
Bài số 6. Giải các phương trình vi phân với iều kiện ầu sau:
1. y
//
4y
/
+ =3y 0, y(0) = 6, y
/
(0) =14
2. 4y
//
+ 4y
/
+ =y 0, y(0) = 2, y
/
(0) = 0
3. y
//
+ 4y
/
+ 29y = 0, y(0) = 0, y
/
(0) =15
4. y
//
= xe
x
, y(0) =1, y
/
(0) =1
5. y
//
4y
/
+ =3y e
5x
, y(0) = 3, y
/
(0) = 9
lOMoARcPSD| 49831834
6. y
//
+ =4y sin2x +1, y(0) = , y (0)
/
= 0
x
+4e ; 2) y(x
3x
) = +(x 2)e1
2x
; 3) y(x) =3e
2x
sin5x;
Đáp số : 1) y(x) = 2e
4) y(x) = 2x +1e
x
(x + 2); 5) y(x) =
11
e
3x
+
1
e
x
+
1
e
5x
;
4 8 8
6) y(x) =
1
sin2x
1
xcos2x +
1
.
8 4 4
Bài số 7. Giải các phương trình vi phân không thuần nhất sau
1. y// + y = 9. y// 3y/ + =2y ex
10. y
//
+ =y tanx
2. y
//
2y
/
+ = +y 1 x
11. y
//
4y
/
=−12x
2
− −6x 4
3. y
//
2y y e 1 x
/
+ =
x
( + )
12. y
//
9y
/
+20y = x e
2 4x
4. y
//
+ =y sinx +cos2x
13. y
//
− =y 2sinx 4cosx
5. 2y
//
+ − =y
/
y 2e
x
14. y
//
+ =y cosx +cos2x 6.
y
//
+a y
2
= e ,
x
a 0.
7. y
//
7y
/
+ =6y sinx 15. y
//
− =y xcos x
2
8. y
//
6y
/
+ =9y 2x
2
− +x 3 16. y
//
= 6y
/
+ =9y xe
x
,
Đáp số :1) y(x) = y (x)
0
+ y (x)
r
= Asinx +Bcosx +ln sinx sinx xcosx;
2) y(x) = (Ax + B)e
x
+ +x 3; 3) y(x) = (Ax + B)e
x
+e
x
1
6 x
3
+
1
2
x
2
;
1
lOMoARcPSD| 49831834
4) y(x) = Asinx + Bcosx
1
xcosx
1
cos2x;5) y(x) = Ae
2x
+Be
x
+e ;
x
2 3
6) y(x) = Asinax +Bcosax + +
1
2 e ; 7) y(x)
x
= Ae
6x
+Be
x
+ 74
5
sinx + 74
7
cosx;
1 a
8) y(x) = (Ax + B)e
3x
+
2
x
2
+
5
x +
11
; 9) y(x) = Ae
x
+ Be
2x
+
1
e
x
;
9 27 27 6
10) y(x) = Asinx + Bcosx +
1
cosxln
sinx 1
;11) y(x) = A + Be
4x
+ x
3
+
3
x
2
+
7
x;
2 sinx +1 2 4
12) y(x) = Ae
5x
+ Be
4x
+ −
1
3x
3
x
2
2x e
4x
;13) y(x) = Ae
x
+ Be
x
sinx +
2cosx;
14) y(x) = Asinx + Bcosx +
1
xsinx
1
cos2x;
2 3
15) y(x) = Ae
x
+ Be
x
1
x +
2
sin2x
1
xcos2x;
2 25 10
16) Khi =−3: y(x) =(Ax + B e)
3x
+ x e
3 3
x
;
Khi 3: y(x) =(Ax + B e)
3x
+ +
1
3)2 x ( +
2
3)3 e
x
.
(
| 1/5

Preview text:

lOMoAR cPSD| 49831834 = 1
Bài số 1. Chứng minh rằng hàm số y
+ ax5 + bx là nghiệm của phương trình 12x x y2 // −5x y/ +5y = 1 x
Hướng dẫn: Tính ạo hàm rồi thay vào phương trình ta có iều phải chứng minh.
Bài số 2. Chứng minh rằng hàm số y = a + bx + 16 x3 e2x là nghiệm của phương trình y// −4y/ + =4y xe2x
Hướng dẫn: Tính ạo hàm rồi thay vào phương trình ta có iều phải chứng minh.
Bài số 3. Giải các phương trình vi phân cấp 1 1. y/ + =2y 4x 2. y/ + 2xy = xe−x2 3. y/ + =y cosx 4. (1+x)ydx (1 y)xdy+ − =0 5. y/ = x + +y 2 x − +y 4 6. y/ −ysinx =sinxcosx 7. y/ 1− + =x2 y arcsinx , y(0) =0 8. y/ − y = xln x , y(e) = 1 e2 xln x 2 lOMoAR cPSD| 49831834
9. y/ −9x y2 = (x5 + x )y , y(0)2 = 0 10. y/ − ytan x = , y(0) = 0 11. y/ − y = − sin x y .3 2x 2x Đáp số : 1) y(x) = − +2x 1
Ce−2x; 2) y(x) = 1 x e2 −x2 +Ce−x2; 3) y(x) = 1(sin x +cosx) +C; 2 2 y (
4) ln xy + x − y = C x = 0 y = 0; 5) arctan x +−13 = ln (y −1)2 + ) (x +3)2 +C;
6) y(x) =−cosx + +1 Ce−cosx; 7) y(x) = arcsinx −1;8) y(x) = x lnx;2 3 1 x 9) y(x) = 18 ex3(x6 + 2x3) ;10) y(x) =
cosx ;11) y2(a −cosx)= x hay y = 0.
Bài 4. Giải các phương trình vi phân sau: 1) xy/ − =2y 2x4 7) (xy/ −1)lnx = 2y 2) (2x +1)y/ = +4x 2y 8) (x + y )dyy2/ = ydx 3) x(y/ − =y) ex 9) y/ − =y x.e x2 x 4) x y2 / + + =xy 1 0 10) y/ + =y 14e4x 5) y = x(y − xcosx) 11) y/ − =y x lOMoAR cPSD| 49831834 12) xy/ − y = xtan 6) y/ = 2x(x2 + y) y x
Bài số 5. Giải các phương trình vi phân cấp 2 thuần nhất sau: 1. y// + − =y/ 2y 0 7. y// + − =y/ 6y 0 2. y// − =9y 0 8. y// + =4y 0 3. y// −4y/ = 0 9. y// +6y/ +12y = 0 4. y// + =y 0 10. y// +2y/ + =5y 0 5. y// +6y/ +13y = 0 11. y// −2y/ − =y 0 6. y// −10y/ +25y = 0 12. 4y// −20y/ +25y = 0
Đáp số :1) y(x) = Aex +Be−2x ; 2) y(x) = Ae3x +Be−3x ; 3) y(x) = Ae4x +B;
4) y(x) = Asinx + Bcosx ; 5) y(x) = e−3x (Asin2x +Bcos2x);
6) y(x) = Aex +Be5x ; 7) y(x) = Ae2x +Be−3x ; 8) y(x) = Asin2x + Bcos2x;
9) y(x) = e−3x(Asin 3x +Bcos 3x); 10) y(x) = e−x (Asin2x +Bcos2x); 5
11) y(x) = Ae(1+ 2)x +Be(1−2)x ; 12) y(x) =(Ax + B e) 2x .
Bài số 6. Giải các phương trình vi phân với iều kiện ầu sau: 1. y// −4y/ + =3y 0, y(0) = 6, y/(0) =14 2. 4y// + 4y/ + =y 0, y(0) = 2, y/(0) = 0
3. y// + 4y/ + 29y = 0, y(0) = 0, y/(0) =15
4. y// = xe−x, y(0) =1, y/(0) =1 5. y// −4y/ + =3y e5x, y(0) = 3, y/(0) = 9 lOMoAR cPSD| 49831834 6. y// + =4y sin2x +1, y(0) = , y (0)/ = 0
x +4e ; 2) y(x3x ) = +(x 2)e−12x; 3) y(x) =3e−2x sin5x;
Đáp số : 1) y(x) = 2e
4) y(x) = 2x − +1e−x(x + 2); 5) y(x) = 11 e3x + 1ex + 1e5x; 4 8 8
6) y(x) = 1sin2x − 1 xcos2x + 1. 8 4 4
Bài số 7. Giải các phương trình vi phân không thuần nhất sau 1. y// + y = 9. y// −3y/ + =2y e−x 10. y// + =y tanx 2. y// −2y/ + = +y 1 x
11. y// −4y/ =−12x2 − −6x 4
3. y// −2y y e 1 x/ + = x ( + ) 12. y// −9y/ +20y = x e2 4x 4. y// + =y sinx +cos2x 13. y// − =y 2sinx −4cosx 5. 2y// + − =y/ y 2ex 14. y// + =y cosx +cos2x 6. y// +a y2 = e ,x a 0. 7. y// −7y/ + =6y sinx 15. y// − =y xcos x2 8. y// −6y/ + =9y 2x2 − +x 3 16. y// = 6y/ + =9y xe x,
Đáp số :1) y(x) = y (x)0 + y (x)r = Asinx +Bcosx +ln sinx sinx −xcosx;
2) y(x) = (Ax + B)ex + +x 3; 3) y(x) = (Ax + B)ex +ex 16 x3+ 12 x2 ; 1 lOMoAR cPSD| 49831834
4) y(x) = Asinx + Bcosx − 1 xcosx − 1cos2x;5) y(x) = Ae2x +Be−x +e ;x 2 3 5 7 6) y(x) = Asinax +Bcosax +
+1 2 e ; 7) y(x)x= Ae6x +Bex + 74 sinx + 74 cosx; 1 a
8) y(x) = (Ax + B)e3x + 2 x2 + 5 x + 11; 9) y(x) = Aex + Be2x + 1e−x; 9 27 27 6 sinx −1
10) y(x) = Asinx + Bcosx + 1cosxln
;11) y(x) = A + Be4x + x3 + 3 x2 + 7 x; 2 sinx +1 2 4 12) y(x) = Ae5x + Be4x + − 13x3 − x2 −2x e
4x;13) y(x) = Aex + Be−x −sinx + 2cosx;
14) y(x) = Asinx + Bcosx + 1 xsinx − 1cos2x; 2 3
15) y(x) = Aex + Be−x − 1 x + 2 sin2x − 1 xcos2x; 2 25 10
16) Khi =−3: y(x) =(Ax + B e) −3x + x e3 3− x; Khi −3: y(x) =(Ax + B e) −3x + +13)2 x − ( +23)3 e x. (