Bài tập chương 7: Phương trình vi phân | Môn toán cao cấp

Xét phương trình vi phân y’’– 2y’+ 5y = ex.sin2x (1). Khi đó, một nghiệm riêng của (1) có dạng nào sau đây:    a. u(x) = ex.(acos2x + bsin2x). Xét phương trình vi phân y’’– 4y’+ 5y = e2x.sinx (1). Khi đó, một nghiệm riêng của (1) có dạng nào sau đây:    a. u(x) = x(acosx + bsinx). Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem !

14 7 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Toán Cao Cấp (KTHCM)

Trường: Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh

Thông tin:

3 trang 1 tuần trước

Tác giả:

Profile Ma Thu Hương
lOMoARcPSD| 47206071
Chương VI: Phương trình vi phân
Câu 7: Xét phương trình vi phân y’’– 2y’+ 5y = e
x
.sin2x (1). Khi đó, một
nghiệm riêng của (1) có dạng nào sau đây: a. u(x) = e
x
.(acos2x +
bsin2x)
b. u(x) = axe
x
.sin2x
c. u(x) = e
x
x.(acos2x + bsin2x)
d. u(x) = e
x
.(ax+b).sin2x
G:
- Xét phương trình thuần nhất: y’’– 2y’+ 5y = 0 (2)
=> Phương trình đặc trưng: k
2
– 2k + 5 = 0 => k
1;2
= 1 ± 2i
=> Nghiệm độc lập tuyến tính của (2): y
1
(x) = e
x
.cos2x ; y
2
(x) = e
x
.sin2x
=> Nghiệm tổng quát của (2): Y(x) = e
x
.(C
1
.cos2x + C
2
.sin2x)
- Ta có: f(x) = e
x
.sin2x (α=1, β=2, P
0
(x) = 0, Q
0
(x) = 1)
- Vì f(x) = e
x
.sin2x là nghiệm của phương trình đặc trưng nên phương trình (1) có
nghiệm riêng dạng:
u(x) = e
x
.x.(acos2x + bsin2x)
Câu 8: Xét phương trình vi phân y’’– 4y’+ 5y = e
2x
.sinx (1). Khi đó, một
nghiệm riêng của (1) có dạng nào sau đây: a. u(x) = x(acosx + bsinx)
b. u(x) = xe
2x
.(acosx + bsinx)
c. u(x) = e
2x
.((ax+b)cosx + (cx+d)sinx)
d. u(x) = x.((ax+b)cosx + (cx+d)sinx)G:
- Xét phương trình thuần nhất: y’’– 4y’+ 5y = 0 (2)
=> Phương trình đặc trưng: k
2
– 4k + 5 = 0 => k
1;2
= 2 ± i
=> Nghiệm độc lập tuyến tính của (2): y
1
(x) = e
2x
.cosx ; y
2
(x) = e
2x
.sinx
=> Nghiệm tổng quát của (2): Y(x) = e
2x
.(C
1
.cosx + C
2
.sinx)
lOMoARcPSD| 47206071
- Ta có: f(x) = e
2x
.sinx (α=2, β=1, P
0
(x) = 0, Q
0
(x) = 1)
- Vì f(x) = e
2x
.sinx là nghiệm của phương trình đặc trưng nên phương trình (1) có
nghiệm riêng dạng: u(x) = xe
2x
.(acosx + bsinx) Bài tập ôn K47:
Câu 18: Cho hàm lợi ích đối với 2 sản phẩm là: U(x, y) = lnx +lny. Một người
tiêu dùng có thu nhập 36 triệu để mua 2 sản phẩm trên biết P
x
= 2 triệu; P
y
= 4
triệu.Tìm x, y Để U
max
?
G:
- Ta có hàm lợi ích: U(x, y) = lnx +lny
- Một người tiêu dùng có thu nhập 36 triệu để mua 2 sản phẩm trên biết P
x
= 2
triệu; P
y
= 4 triệu => 2x + 4y = 36
- Thiết lập hàm Lagrange: L ( x, y ,λ ) = lnx +lny + λ(36 – 2x – 4y)
- Ta có: L
'
x
= 1/x - 2λ; L
'
y
= 1/y - 4λ; L
'
λ
= 36 – 2x – 4y - Mặt khác ta có hệ phương
trình:
L
'
x
=
0 1/x−2 λ=0 L
'
x
=
0 x=9
+ L
'
y
=0 { 1/ y−4 λ=0 {L
'
y
=0 { y=9/2
L
'
λ
=0 36−2 x−4 y=0 L
'
λ
=0 λ=1/18
=> Điểm dừng M
0
(9; ; )
- Đạo hàm riêng cấp 2 của từng ẩn:
+ L' 'xx= −21; L' 'yy= −12 ; ; L' 'λλ= 0 ; L' 'xy= L' 'yx= 0 ; L' 'x λ= L' 'λx= −2 ; L' 'yλ = L' 'λy =
−4 x y
-Thiết lập ma trận Hesse:
{
lOMoARcPSD| 47206071
−1 L
xx
'' L' '
xy
L' '
x λ
x2
0 −2
=
0
−
2
1
−
4
)
H = L
' '
yx L
''
yy L
''
yλ )
'' ' ' ' '
Lλx Lλy Lλλy
−2 −4 0
= LL' '
' 'xx
LL
x λ
''' '
λλ
|
=
|−−x2 0
2
1 −2| = −4<0; |H
3
|=|H| = 0,395 > 0 |H
2
|
λx
=> Hàm lợi ích đạt cực đại tại x = 9, y = 9/2
| 1/3
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

lOMoAR cPSD| 47206071
Chương VI: Phương trình vi phân
Câu 7: Xét phương trình vi phân y’’– 2y’+ 5y = ex.sin2x (1). Khi đó, một
nghiệm riêng của (1) có dạng nào sau đây: a. u(x) = ex.(acos2x + bsin2x) b. u(x) = axex.sin2x
c. u(x) = exx.(acos2x + bsin2x)
d. u(x) = ex.(ax+b).sin2x G:
- Xét phương trình thuần nhất: y’’– 2y’+ 5y = 0 (2)
=> Phương trình đặc trưng: k2 – 2k + 5 = 0 => k1;2= 1 ± 2i
=> Nghiệm độc lập tuyến tính của (2): y1(x) = ex.cos2x ; y2(x) = ex.sin2x
=> Nghiệm tổng quát của (2): Y(x) = ex.(C1.cos2x + C2.sin2x)
- Ta có: f(x) = ex.sin2x (α=1, β=2, P0(x) = 0, Q0(x) = 1)
- Vì f(x) = ex.sin2x là nghiệm của phương trình đặc trưng nên phương trình (1) có nghiệm riêng dạng:
u(x) = ex.x.(acos2x + bsin2x)
Câu 8: Xét phương trình vi phân y’’– 4y’+ 5y = e2x.sinx (1). Khi đó, một
nghiệm riêng của (1) có dạng nào sau đây: a. u(x) = x(acosx + bsinx)
b. u(x) = xe2x.(acosx + bsinx)
c. u(x) = e2x.((ax+b)cosx + (cx+d)sinx)
d. u(x) = x.((ax+b)cosx + (cx+d)sinx)G:
- Xét phương trình thuần nhất: y’’– 4y’+ 5y = 0 (2)
=> Phương trình đặc trưng: k2 – 4k + 5 = 0 => k1;2= 2 ± i
=> Nghiệm độc lập tuyến tính của (2): y1(x) = e2x.cosx ; y2(x) = e2x.sinx
=> Nghiệm tổng quát của (2): Y(x) = e2x.(C1.cosx + C2.sinx) lOMoAR cPSD| 47206071
- Ta có: f(x) = e2x.sinx (α=2, β=1, P0(x) = 0, Q0(x) = 1)
- Vì f(x) = e2x.sinx là nghiệm của phương trình đặc trưng nên phương trình (1) có
nghiệm riêng dạng: u(x) = xe2x.(acosx + bsinx) Bài tập ôn K47:
Câu 18: Cho hàm lợi ích đối với 2 sản phẩm là: U(x, y) = lnx +lny. Một người
tiêu dùng có thu nhập 36 triệu để mua 2 sản phẩm trên biết Px = 2 triệu; Py = 4
triệu.Tìm x, y Để Umax? G:
- Ta có hàm lợi ích: U(x, y) = lnx +lny
- Một người tiêu dùng có thu nhập 36 triệu để mua 2 sản phẩm trên biết Px = 2
triệu; Py = 4 triệu => 2x + 4y = 36
- Thiết lập hàm Lagrange: L ( x, y ,λ ) = lnx +lny + λ(36 – 2x – 4y)
- Ta có: L'x = 1/x - 2λ; L'y = 1/y - 4λ; L'λ = 36 – 2x – 4y - Mặt khác ta có hệ phương trình: = = L'x 0 1/x−2 λ=0 L'x 0 x=9 { {
+ L'y=0 { 1/ y−4 λ=0 L'y=0 { y=9/2 L'λ=0
36−2 x−4 y=0 L'λ=0 λ=1/18
=> Điểm dừng M0 (9; ; )
- Đạo hàm riêng cấp 2 của từng ẩn:
+ L' 'xx= −21; L' 'yy= −12 ; ; L' 'λλ= 0 ; L' 'xy= L' 'yx= 0 ; L' 'x λ= L' 'λx= −2 ; L' 'yλ = L' 'λy = −4 x y
-Thiết lập ma trận Hesse: lOMoAR cPSD| 47206071 −1 Lxx'' L' 'xy L' 'x λx2 0 −2 = ) H = L' 'yx L''yy L''yλ ) 0 − 1 4 2 − '' ' ' ' ' Lλx Lλy Lλλy −2 −4 0 |H2| = | LL λλ| = | ' ' = ' 'xxLLx λ''' ' −−x2 021 −2
−4<0; |H3|=|H| = 0,395 > 0 λx
=> Hàm lợi ích đạt cực đại tại x = 9, y = 9/2