Bài tập chương mô hình toán kinh tế | Môn toán cao cấp

lOMoAR cPSD| 49519085 ) lOMoAR cPSD| 49519085 Ch ng I: GI
I THI U MỌ HÌNH TOÁN KINH T
BƠi 1: Cho hƠm cung vƠ hƠm cầu của m t loi hƠng hóa lần l ợt lƠ S(P) = 0,1P2 + 5P -10 D(P) = −
Chứng t luôn tồn ti giá cơn bằng nằm trong kho ng (3,5) Gi i:
Giá cân bằng khi: S(p) = D(p) Đặt f (p) =
S(p) - D(p) = 0,1p2 + 5p -10 - −
f (3) = 0,1.32 + 5.3 -10 - = -44,1 −
f (5) = 0,1.52 + 5.5 -10 - = 0,83 −
 f (3). f (5) < 0 1 lOMoAR cPSD| 49519085
 ∃ p0 ∈(3,5) sao cho f (p0) = 0  S(p0) = D(p0 ). BƠi 2: Cho hƠm doanh thu TR(Q) = 1200Q – Q2; Q 0
a) Tìm hƠm doanh thu cận biên:
Hàm doanh thu cận biên: MR(Q) = (TR(Q))' = -2Q + 1200
b) T i Q0 = 590, khi Q tăng lên 1 v thì doanh thu s thay ổi bao nhiêu v
Q0 = 590  MR(Q0 ) = MR(590) = -2.590+1200 = 20
Vậy khi sản lượng tăng thêm 1 ơn vị thì doanh thu tăng thêm 20 ơn vị.
c) Tính giá tr doanh thu biên t i Q0 = 610 vƠ gi i thích ý nghĩa
Q0 = 610  MR(Q0 ) = MR(610) = -2.610 +1200 = -20
Vậy khi sản lượng tăng thêm 1 ơn vị thì doanh thu giảm bớt 20 ơn vị.
BƠi 3: Cho hƠm s n xuất ngắn h n Q = 30 ; L 0
a) Tìm hƠm s n phẩm cận biên của lao ng
MPL = QL' = 30. .L -1/2 = 15L-1/2
b) T i L0 = 144, nu L tăng lên 1 v, snl ợng s thay ổi bao nhiêu v
L0 = 144  MPL(L0 ) = MPL(144) = 15.144-1/2 = 1,25
Vậy nếu lao ộng tăng thêm 1 ơn vị thì sản lượng sẽ tăng thêm 1,25 ơn vị. 2 lOMoAR cPSD| 49519085
BƠi 4: Cho hƠm chi tiêu
C(Y ) = aY + b; (0 < a < 1, b > 0); Y 0
a) Tìm hƠm xu h ng tiêu dùng cận biên: MCP(Y ) =C’(Y ) = a
b) Ý nghĩa kinh t của h s a lƠ:
khi Y tăng thêm 1 ơn vị thì chi tiêu C tăng thêm a ơn vị.
BƠi 5 : Cho hƠm tổng chi phí
TC(Q) = 0,1Q2 + 0,3Q + 100, (Q 0)
a) Tìm hƠm chi phí biên: MC(Q) = TC'(Q) = 0,2Q + 0,3
b) Tính chi phí biên t i mức sn l ợng Q0 = 120 vƠ gi i thích ý nghĩa
Q0 = 120  MC(Q0 ) = MC(120) = 0,2.120 + 0,3 = 24,3
Vậy tại mức Q0 = 120 , khi sản lượng tăng thêm 1 ơn vị thì chi phí tăng 24,3 ơn vị. BƠi 6 :
Xét hƠm cầu của m t lo i hƠng hóa D = D(P)
a) Lập công thức tính h s co dưn t i cầu t i mức giá P0 D = D'(P0).
b) Áp dụng v i D(P) = 6P - P2 , t i P0=5 vƠ gi i thích ý nghĩa k t qu = − D = D'(P0). = (6 - 2P0). = − − 3 lOMoAR cPSD| 49519085 Tại P0 = 5 D= −4
Ý nghĩa : Khi P tăng lên 1% thì sản lượng D giảm xuống 4%. BƠi 7:
Cho hƠm s n xuất Q = aLα , (a > 0, 0 < α < 1) Q’ = αaLα-1
a) H s co dưn của sn l ợng theo lao ng εQ/L = Q’. = αaLα-1.a = α
b) Áp dụng cho Q = 40L0,4, t i L0 = 20 Q = 40L0,4, tại L0 = 20
ứng với α = 0,4 Dựa vào công thức từ câu a
=> Hệ số co dãn của sản lượng theo lao ộng tại L0 = 20 : εQ/L = 0,4 BƠi 8:
Cho hƠm s n xuất Q = 120L2 – L3, L > 0
Xác nh mức sử dụng lao
ng ể sn l ợng ti a Q’ = 240L – 3L2 Q’= 0 → [ == ạ
Q" = -6L + 240 → Q"(80) = -6.80 + 240 = -240 < 0
=> Mức sử dụng lao ộng ể tối a sản lượng là: L = 80
BƠi 9 : Cho hƠm s n xuất Q = 30 ; L >0 4 lOMoAR cPSD| 49519085
T i mức sử dụng lao
ng bất kì, n u lao ng tăng 10% thì s n l ợng thay ổi bao nhiêu % εQ/L = (30 =
Kết luận: Tại mức sử dụng lao ộng bất kì, nếu lao ộng tăng 10% thì sản lượng tăng 20/3 %.
BƠi 10 : Cho hƠm s n xuất biên của lao ng MPL = 40L0,5 . Tìm hƠm s n xuất
ngắn h n Q = f(L) bi t Q(100) = 4000
MPL = 40L0,5 => Q = f (L) = MPLdL = ., Ta có : Q(100) = + c = 4000 => c = - .,− Vậy Q =
, dL = L1,5 + c BƠi 11: Cho hƠm
chi phí cận biên ở m i mức sn l ợng Q
lƠ MC = 8e0,2Q vƠ chi phí c nh FC
= 50. Tìm hƠm tổng chi phí Ta có:
TC = ∫ MCdQ = ∫ 8e0,2QdQ = 40e0,2Q + c 0,2.0
FC = TC(Q = 0) = 40.e + c = 50 c = 10
Vậy TC = 40e0,2Q +10
BƠi 12 : Cho hƠm doanh thu biên ở m i mức sn l ợng Q lƠ
MR(Q) = 50 – 2Q – 3Q2 5 lOMoAR cPSD| 49519085
Hưy xác nh hƠm tổng doanh thu vƠ hƠm cầu i v i s n phẩm
Ta có : MR(Q) = 50 – 2Q – 3Q2 TR =
= – Q – dQ = 50Q – Q2 – Q3 + C
TR = P.Q => P = = -Q2 – Q + 50 +
BƠi 13: Chi phí cận biên ở m i mức sn l ợng Q lƠ MC = 32 + 18Q – 12Q2 vƠ
FC = 43. Tìm hƠm tổng chi phí vƠ chi phí kh bi n MC = 32 + 18Q – 12Q2 => TC = = + − = 32Q + 9Q2 – 4Q3 + C Mà TC(Q=0) = FC => C = 43
=> TC = -4Q3 + 9Q2 + 32Q + 43
VC = TC – FC = -4Q3 + 9Q2 + 32Q
BƠi 14 : Chi phí cận biên ở m i mức sn l ợng Q lƠ MC = 12e0,5Q vƠ
FC = 36. Tìm hƠm tổng chi phí TC = = ,dQ = 12. . , + C = 24e0,5Q + C ,
TC(Q=0) = FC => 24e0,5.0 + C = 36 => C = 12 Vậy TC(Q) = 24e0,5Q + 12
BƠi 15 : Doanh thu cận biên ở m i mức sn l ợng Q lƠ MR = 40Q – 16e0,4Q
Tìm hƠm tổng doanh thu
Ta có hàm doanh thu cận biên MR = 40Q – 16e0,4Q Mà TR = ∫ MR => TR = − , = 20Q2 – 40e0,4Q + C 6 lOMoAR cPSD| 49519085
Q = 0 => TR = 0 => C = -40
Vậy hàm tổng doanh thu TR = 20Q2 – 40e0,4Q – 40
BƠi 16: Doanh thu cận biên ở m i mức sn l ợng Q lƠ MR = 84 – 4Q – Q2 Hưy
tìm hƠm tổng doanh thu vƠ hƠm cầu
Ta có hàm doanh thu cận biên MR = 84 – 4Q – Q2
Mà TR = ∫ MR => TR = ∫(84 – 4Q – Q2)dQ = 84Q – 2Q2 − Q3 + C
=> P = TR/Q = 84 – 2Q − Q2 +
Vậy hàm tổng doanh thu TR(Q) = 84Q – 2Q2 − Q3 + C
Hàm cầu P = 84 – 2Q − Q2 +
BƠi 17 : Cho hƠm tiêu dùng C(Y) = 0,8Y + 0,2 + 300 ; Y ≥ 0
a) T i mức thu nhập Y0 = 169 n u thu nhập tăng thêm 1 thì mức tiêu dùng thay ổi nh th nƠo ? , = = 0,8 + (1) √
Thế Y0 = 169 vào (1) ta ược ≈ 0,81
Vậy nếu thu nhập tăng thêm 1 thì mức tiêu dùng tăng 0,81 ơn vị
b) Tính MPC(Y) t i Y0 = 144 vƠ gi i thích ý nghĩa k t qu nhận c
Tương tự câu a, thế Y0 = 144 vào (1) ta ược ≈ 0,81
Ý nghĩa: Nếu thu nhập tăng thêm 1 thì mức tiêu dung tăng 0,81 ơn vị
BƠi 18 : Cho các hƠm cầu Q1 = 40 - P1 ; Q2 = 30 - 0.5 P2
Hưy lập hƠm doanh thu 7 lOMoAR cPSD| 49519085
Q1 = 40 - P1 => P1= 40 - Q1
Q2 = 30 - 0.5 P2 => P2= 60 - 2Q2 TR(Q) = P1Q1 + P2Q2 = (40 - Q1)Q1 + (60 - 2Q2)Q2 = - - 2 + 40Q1 + 60Q2
BƠi 19 : Cho hƠm s n xuất Q = 10K0.3L0.4 . Giá thuê m t n v K bằng 3$, giá thuê 1
n v L bằng 2$ vƠ giá s n phẩm lƠ P = 4. Hưy lập hƠm lợi nhuận π(K,L) Tổng chi phí: TC= 3K + 2L
Doanh thu: TR= PQ = 40K0.3L0.4
Lợi nhuận: π = TR – TC = 40K0.3L0.4 – 3K - 2L
BƠi 20 : Cho hƠm s n xuất Q = 20K1/4L3/4 .
Hưy tìm s n l ợng cận biên t i K = 16, L = 81. Gii thích ý nghĩa = 5K-0.75L3/4 1/4L-1/4 = 15K Với K = 16, L = 81 -0.75 L3/4 = 16.875 => = 5K 1/4L-1/4 = 10 = 15K 8 lOMoAR cPSD| 49519085 Ý nghĩa:
+ Khi vốn tăng 1 ơn vị thì sản lượng tăng 16.875 ơn vị
+ Khi lao ộng tăng 1 ơn vị thì sản lượng tăng 10 ơn vị
BƠi 21 : Cho hƠm hữu dụng TU(x1;x2) = 2.√ .√
Hưy tính lợi ích cận biên của hƠng hóa 1, 2 t i mức tiêu dùng t ng ứng 64 vƠ
25. Gii thích ý nghĩa Ta có : − (x1;x2) = ’(x1;x2) = (x1;x2) = . => (64;25) = ’(64;25) = (64;25) = Ý nghĩa :
Tại x1 = 64, x2 = 25 nếu tăng thêm 1 ơn vị x và y không ổi, thì lợi ích sẽ tăng ơn vị. − (x1;x2) = ’(x1;x2) = (x1;x2) = . => (64;25) = ’(64;25) = (64;25) = Ý nghĩa : 9 lOMoAR cPSD| 49519085
Tại x1 = 64, x2 = 25 nếu tăng thêm 1 ơn vị x và y không ổi, thì lợi ích sẽ tăng ơn vị.
BƠi 22 : Cho hƠm cầu : D = 0,4.Y0,2.P-0,3. Hưy tính εD/Y vƠ εD/P a) εD/Y = D’Y.
= 0,4.0,2.Y-0,8.P-0,3. , .,. − , = 0,2 b) εD/P = D’Y.
= -0,4.0,3.Y0,2.P-1,3. , .,. − , = - 0,3 BƠi 23 :
Tính h s co dưn của các hƠm sau t i iểm cho tr c a) Q(P1;P2) = 6300 - 2 - t i (20;30) ε/ = ′ . = -4P1. = − − − ε/ = ′ . = -4P2. = − − − − − − ε = ε/ + ε/ = + = = -1,15 10 lOMoAR cPSD| 49519085
b) Q(K;L) = 120K1/3L2/3 εQ/K = ′ . = 120. .K-2/3L2/3.
/ / = εQ/L = ′ . = 120. .K1/3L-1/3. / / = ε = εQ/K + εQ/L = + = 1
BƠi 24 : Cho hƠm s n xuất Y(t) = 0,2K0,4L0,8
Trong ó K = 120 + 0,1t ; L = 300 + 0,3t
a. Tính h s co dưn của Y theo K, L Ta có : Y = 0,2K0,4L0,8 , . , .− , , | = . = , ., , = 0,4 , . , ., − , | = . = , ., , = 0,8
b. Tính h s tăng tr ởng của K, L vƠ Y
Hệ số tăng trưởng của vốn K , = . = + ,
Hệ số tăng trưởng của vốn L , , = . = = + , + ,
Hệ số tăng trưởng của Y : , [ , . , + , − , + , . , + , − , 11 lOMoAR cPSD| 49519085 = . = , + , , , + , , + , − , + , + , − , = + , , + , , , , , , = + = + + , + , + , + ,
c. Hưy cho bi t hi u qu của vic tăng quy mô sn xuất trong tr ng hợp nƠy
Ta có : = / + / = 0,4 + 0,8 = 1,2
Nếu trong iều kiện các yếu tố khác không ổi, nếu K và L tăng lên 1% thì Y tăng lên 1,2%
BƠi 25 : Cho hƠm s n xuất Y(t) = 5K0,6L0,3
a. Tính H s thay th của K cho L Ta có : Y = 5K0,6L0,3
Hệ số thay thế của K cho L là : . ,, − , = - = - . , − , = − b. Cho bi t chi phí
n v v n wK = 5, chi phí n v lao ng wL = 3 . Tính
mức sử dụng t i u v n vƠ lao
ng ể t mức sn l ợng cho trc Y0 = 30000
Doanh nghiệp sử dụng tối a vốn và lao ộng khi : TC(K, L) = wKK + wLL → min TC = 5K + 3L min 12 lOMoAR cPSD| 49519085
Ta có : Y(t)= Y0 5K0,6L0,3 = 30000 Lập hàm Lagrange :
f(K, L, )= TC(K, L) + (Y0 – Y(t))= 5K + 3L + (30000-5K0,6L0,3) = − − , , ; − , , = − , , − ,, − , = − , ; = − , − , − , = − − , , = Tìm iểm dừng: = − , , − , = { = − , , = − , , { = , , − , { = {= =23 =, , = , , =
tọa ộ iểm dừng của f là: (K,L, )=(16762, 13968, 23) Xét vi phân toàn phần cấp 2: − , , K + = K + L + 2= , , − , L -2. , − , − ,
Đặt g(K;L)= 5K0,6L0,3, ta có hàm vi phân toàn phần cấp 1 là : = (1) − , ,; = , , − , ; 13 lOMoAR cPSD| 49519085 Thay vào (1) ta ược : − , ,dK +, , − , dL = 0  dL=,− −,, −,, = − = − 0 − Thay = 0 = , − , , K + , − , L + 2. , − , − , . à , đượ d2f 0 Vậy TCmin khi K= , L= .
BƠi 26: Thu nhập quc dơn (Y) của m t quc gia có dng: Y= 0.48 K0.4L0.3NX0.01
Trong ó : K lƠ v n, L lƠ lao ng vƠ NX lƠ xuất khẩu ròng.
a) Khi tăng 1% lao ng s nh h ởng nh th nƠo
n thu nhập? Có ý ki n
cho rằng gi m mức lao ng xung 2% thì có thể tăng xuất khẩu ròng
15% mƠ cho bi t thu nhập vẫn không ổi , cho bit iều nƠy úng hay sai?
b) Cho nhp tăng tr ởng của NX lƠ 4% của K lƠ 3%, của L lƠ 5%. Xác
nh nhp tăng tr ởng của Y. Gi i: a) * Ta có: Y L = . = 0,3
Vậy khi tăng lao ộng 1% thì thu nhập tăng 0,3%
khi giảm mức lao ộng xuống 2% thì thu nhập giảm : 0,3.2 = 0,6% YNX = . = 0,01 14 lOMoAR cPSD| 49519085
khi tăng xuất khẩu ròng lên 15% thì thu nhập tăng: 0,01.15 = 0.15%
Vậy khi ta ồng thời giảm lao ộng xuống 2% và tăng xuất khẩu ròng lên 15% thì
thu nhập thay ổi: -0,6% + 0,15% = -0,45 Khẳng ịnh trên là sai. b) Ta có: Y K = 0,4; rk=3 Y L = 0,3; rL=5 YNX = 0,01; rNX=4
Vậy nhịp tăng trưởng của Y là:
rY = Y K .rK+ Y L.rL + YNX.rNX
= 0,4.3 + 0,3.5 + 0,01.4 = 2,74%
BƠi 27: Gi sử dơn s tăng theo mô hình P(t) = P(0)2bt vƠ tiêu dùng của dơn c
tăng theo mô hình C(t)= C(0)eat.
a) Tính h s tăng tr ởng của dơn s vƠ tiêu dùng của dơn c .
b) Vi iều kin nƠo thì h s tăng tr ởng của tiêu dùng cao h n h s tăng tr ởng
của dơn s . Nêu ý nghĩa của quan h ó.
c) Gi thi t l ợng lao
ng ợc sử dụng tỉ l vi dơn s vƠ có d ng L(t)=
kP(t) (k<1); s n l ợng Y(t) lƠ m t hƠm v n K(t) vƠ lao ng có d ng
Cobb - Doughlas vƠ C(t) lƠ m t hƠm tuy n tính của Y(t). Xác nh m t
mô hình thể hi n m i quan h giữa các bi n. Gi i:
a) Hệ số tăng trưởng của dân số:
P t( )/ t bln2 (0)2P bt 15 lOMoAR cPSD| 49519085 rp bt bln2 P t( ) P(0)2
Hệ số tăng trưởng tiêu dùng của dân cư:
C t( ) / t aC(0)eat rc at a P t( ) C(0)e
b) Hệ số tăng trưởng của tiêu dùng cao hơn hệ số tăng trưởng của dân số khi a > bln2.
Ý nghĩa: khi dân số tăng trưởng với tốc ộ là bln2% thì tiêu dùng của dân cư tăng
trưởng nhanh hơn với tốc ộ a%.
c) Hàm sản lượng Y(t) theo vốn K(t) và lao ộng L(t) có dạng:
Y t( ) f K L(, ) aK L
Mà L(t)=kP(t)=k2bt
Y t( ) f K L(, ) aK k 2 bt
Với hàm tiêu dùng C(t) là một hàm tuyến tính của Y(t), ta có: C(t)=b+cY
eat b cak 2 bt K
BƠi 28: Cho hƠm tổng chi phí : TC= Q3- 5Q + 14Q+ 144
a) Tính h s co giưn của TC theo Q t i Q= 2.
b) Cho giá s n phẩm lƠ P= 70, v i mức thu doanh thu 20%, tính lợi nhuận khi Q=3. Gi i :
a) Hệ số co giãn của TC theo Q: Q
(3Q2 10Q 14)Q 5Q2 28Q 432 TC Q/ TC '. 3 2 3 3 2 TC
Q 5Q 14Q 144
Q 5Q 14Q 144
Hệ số co giãn của TC theo Q với Q=2: 5.22 28.2 432 16 lOMoAR cPSD| 49519085 TC Q/(2) 3 3 2 0,075 2 5.2 14.2 144
b) Khi Q=3, TC 33 5.32 14.3 144 168
Doanh thu của doanh nghiệp: TR=P.Q=70.3=210
Thuế doanh thu: T=20%.TR=0,2.210=42 Lợi nhuận của công ty: TR T TC 210 168 42 0
BƠi 29: Cho nhu cầu hai mặt hƠng phụ thuc vƠo giá nh sau:
Q1= 40-2P1-P2 ; Q2= 35-P1-P2
HƠm tổng chi phí lƠ TC= Q 2 2
1 +2Q2 + 12. Trong ó Qi,, , Pi lƠ s n l ợng vƠ
giá của hƠng hóa, a) Xác
nh Q1, Q2 sao cho tổng lợi nhuận lƠ l n nhất. b) Xác
nh chi phí biên cho từng mặt hƠng t i u tìm ợc cơu a.
c) Hai mặt hƠng nƠy có thay th cho nhau ợc không. Gi i: = − − = − + a) { ↔ { = + = − − − TR( , = . + . = − + + + − = − − + + + . = − − + + + . − − − = + − − + + . − Tìm , ể lợi nhuận cực ại Đạo hàm riêng của , : ′ = − + + 17 lOMoAR cPSD| 49519085 + ′ = − + ′′( = − ′′( = − ′′ , = ′ = − + + Tìm iểm dừng = = { ′ = − + + , = − = Điểm dừng là : = Tại iểm dừng, ta có: A = ′′( = − < 0 ↔ { = = B = ′′ , = C = ′′( = − Xét AC – B2 = 28 > 0 18 Vậy tại iểm dừng = và =
thì lợi nhuận cực ại. lOMoAR cPSD| 49519085 b) MC( =′ = MC( =′ = V i = = ớ và , ta có: MC( =. = MC( =. =
c) Ta có: Hệ số thay thế của Q1, Q2 là / = − = − = − < (Vì , /
Vậy hai mặt hàng này có thể thay thế cho nhau. Khi Q2 tăng 1 ơn vị ể
mức lợi nhuận không ổi thì Q1 giảm 2 ơn vị.
BƠi 30: Cho hƠm tổng chi phí TC= 5000 + +
a) Tìm hƠm chi phí biên MC
b) Tính chi phí trung bình AC t i Q=100
c) Tính h s co giưn của TC theo Q t i Q=17
Gi i : Ta có hàm tổng chi phí là : TC= 500 + + a) Hàm chi phí biên là : MC=TC’ = ( 500 + )’ = +
b) Hàm chi phí trung bình AC là : TC 5000 5Q AC= = +
, tại Q= 100 ta ược AC(Q=100)= . Q Q Q+3
c) Hệ số co giãn của TC theo Q là : ƐTC/Q . + / Q + tại Q=17 ta ược Q Q+ 19