33 trang 6 lượt tải

Bài Tập Cơ Bản Toán 8 Chương 2 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ Và Ứng Dụng Có Đáp Án Và Lời Giải

11

Hằng đẳng thức là đẳng thức mà hai vế luôn cùng nhận một giá trị khi thay các chữ trong hằng đẳng thức bằng các số tùy ý. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau. Chứng minh rằng với mọi x thì. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!

Chủ đề: Chương 2: Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng (KNTT) 20 tài liệu

Môn: Toán 8 2 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mỹ Châu

20 giờ trước
Danh sách Quiz
/33
Trang 1
CHƯƠNG 2. HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1. HIỆU HAI BÌNH PHƯƠNG,
BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG HAY MỘT HIỆU
I. LÝ THUYẾT.
1) Hằng đẳng thức.
Ví dụ 1: Khi thực hiện phép nhân
( )
.a a b+
ta được
( )
2
.a a b a ab+ = +
Như vậy đẳng thức
( )
2
.a a b a ab+ = +
là đẳng thức đúng và khi thay
,ab
bởi các
giá trị khác nhau thì hai vế của đẳng thức luôn nhận giá trị bằng nhau.
Kết luận:
Hằng đẳng thức là đẳng thức mà hai vế luôn cùng nhận một giá trị khi thay các
chữ trong hằng đẳng thức bằng các số tùy ý.
2) Hiệu hai bình phương.
Ví dụ 2: Thực hiện phép nhân
( )( )
a b a b−+
ta được
( )( )
22
a b a b a b− + = −
Như vậy
( )( )
22
a b a b a b− = − +
gọi là hẳng đẳng thức hiệu hai bình phương.
Tổng quát:
Với
là hai biểu thức tùy ý ta có
( )( )
22
A B A B A B− = − +
Ví dụ 3: Tính nhanh
( )( )
22
50 48 50 48 50 48 2.98 196.− = − + = =
Ví dụ 4: Viết thành tích
( )( )
22
4 25 2 5 2 5x y x y x y− = − +
3) Bình phương của một tổng.
Ví dụ 5: Khi ta thức hiện phép tính
( ) ( )( )
2
22
2a b a b a b a ab b+ = + + = + +
Như vậy
( )
2
22
2a b a ab b+ = + +
gọi là hẳng đẳng thức bình phương của một tổng
Tổng quát:
Với
là hai biểu thức tùy ý ta có
( )
2
22
2A B A AB B+ = + +
Ví dụ 6: Tính nhanh
( )
2
2 2 2 2
2 3 4 2.6 9 4 12 9x y x xy y x xy y+ = + + = + +
Ví dụ 7: Viết gọn
2
9 12 4xx++
thành bình phương của một tổng
( ) ( )
22
22
9 12 4 3 2.3 .2 2 3 2x x x x x+ + = + + = +
4) Bình phương của một hiệu.
Ví dụ 8: Khi ta thực hiện phép tính
( ) ( )( )
2
22
2a b a b a b a ab b− = − − = − +
Như vậy
( )
2
22
2a b a ab b− = − +
gọi là hằng đẳng thức bình phương của một hiệu.
Ví dụ 9: Tính nhanh
( )
2
2 4 2 4 2
2 1 4 2.2 1 4 4 1x x x x x− = − + = − +
Ví dụ 10: Viết gọn
22
9 24 16x xy y−+
thành bình phương của một hiệu
( ) ( ) ( )
2 2 2
22
9 24 16 3 2.3 .4 4 3 4x xy y x x y y x y− + = − + = −
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Trang 2
Bài 1: Triển khai các biểu thức sau theo hằng đẳng thức
1)
( )
2
1x +
2)
( )
2
4 x+
3)
( )
2
6 x−
4)
( )
2
5x −
5)
( )
2
51x +
6)
( )
2
23x +
7)
( )
2
21x −
8)
( )
2
32x −
9)
( )
2
2xy+
10)
( )
2
5xy+
11)
( )
2
2xy−
12)
( )
2
2xy−
13)
( )
2
35xy+
14)
( )
2
23xy+
15)
( )
2
23xy−
16)
( )
2
25xy−
17)
( )
2
2
9x +
18)
( )
2
2
21x +
19)
( )
2
22
xy−
20)
( )
2
2
3xy−
21)
( )
2
2
2xy+
22)
( )
2
2
23xy+
23)
( )
2
2
42xy−
24)
( )
2
2
42xy−
Bài 2: Triển khai các biểu thức sau theo hằng đẳng thức
1)
2
4x −
2)
2
14x−
3)
2
49x −
4)
2
9 25x−
5)
2
4 25x −
6)
2
9 36x −
7)
( )
2
2
3xy−
8)
( )
2
2
2xy−
9)
( )
2
2
2xy−
10)
( )
2
4
39xy−
11)
( )
2
22
16xy−
12)
( )
2
42
3xy−
13)
( )( )
11xx−+
14)
( )( )
55xx−+
15)
( )( )
66xx−+
16)
( )( )
2 1 2 1xx+−
17)
( )( )
22x y y x−+
18)
( )( )
5 3 3 5x y y x−+
19)
11
55
xx
−+
20)
33
22
xx
−+
21)
3 4 3 4
x y x y
−+
22)
22
33
xx
yy
−+
23)
2 3 3 2
x y y x
+−
24)
22
22
33
xx
−+
25)
33
22
55
xx
+−
26)
1 4 4 1
2 3 3 2
xx
−+
27)
22
22
3 2 3 2
yy
xx
−+
28)
( )( )
22
33x y x y−+
29)
( )( )
22
22x y x y−+
30)
( )( )
2 2 2 2
x y x y−+
Bài 3: Rút gọn biểu thức sau:
1)
( ) ( )
22
2 1 2 1xx+ + −
2)
( ) ( )
22
11xx− + − −
3)
( ) ( )
22
22x y x y+ − −
4)
( ) ( )
22
3x y x y+ + −
5)
( ) ( )
22
53xx− + − −
6)
( ) ( )
22
3 2 3 1xx− − −
7)
( ) ( )
22
44x y x y− + +
8)
( ) ( )
22
2 3 5 3xx− − + − −
9)
( ) ( )
22
2 3 5 3xx− + − −
10)
( ) ( )
22
2 1 3 1xx+ + − −
11)
( ) ( )
22
2x y x y− − − +
12)
( ) ( )
22
11xx− + + −
13)
( ) ( )
22
2 7 2 3xx+ + − −
14)
( ) ( )
22
23x y x y− − − +
15)
( ) ( )
22
2 7 2 3xx− + + − −
Bài 4: Thực hiện phép tính
1)
( ) ( )
2
11x x x− + −
2)
( )
2
2
3 10 7x x x− − + −
3)
( ) ( )( )
2
2 3 1x x x+ − − +
4)
( )( ) ( )
2
4 2 3x x x+ − − −
5)
( ) ( )( )
2
2 1 5x x x− + − +
6)
( )( ) ( )
3 3 23x x x x+ − − +
7)
( )( ) ( )
2
1 2 5 3 4x x x− − + −
8)
( )( ) ( )( )
2 2 3 1x x x x− + − − +
Trang 3
9)
( ) ( )( )
2
1 2 2 4x x x x+ + − + −
10)
( ) ( )( )
2
2 3 3 10x x x+ − + − +
11)
( ) ( )( ) ( )
2
4 5 5 2 1x x x x x+ + + − − +
12)
( ) ( )( ) ( )
22
1 4 4 3x x x x− − − + + +
13)
( ) ( )( ) ( )
2
1 2 3 3 4 4x x x x x− − + − + −
14)
( )( )
( ) ( )( )
2 2 2
3 3 9 2 2y y y y y− + + − + −
Bài 5: Thu gọn về hằng đẳng thức:
1)
42
4 4 1xx−+
2)
2
4 12 9xx−+
3)
2
36 12xx+−
4)
2
1 10 25xx−+
5)
42
81 18xx++
6)
2
4 20 25xx−+
7)
2 4 2
44x y xy+−
8)
22
10 25x xy y++
9)
22
9 24 16y xy x−+
Bài 6: Thu gọn về hằng đẳng thức:
1)
( ) ( )
2
2 1 2 2 1 1xx+ + + +
2)
( ) ( )
2
3 2 4 3 2 4x y x y− + − +
3)
( ) ( ) ( )( )
22
3 2 2 3 2x x x x+ + − − + −
4)
( ) ( )( ) ( )
22
3 5 2 3 5 3 5 3 5x x x x− − − + + +
5)
( ) ( ) ( )( )
22
2x y x y x y x y− + + − + −
6)
( ) ( ) ( )( )
22
5 5 2 10 5x x x x− + + − + −
7)
( ) ( ) ( )( )
22
2 1 2 2 1x x x x− + + + − − −
8)
( ) ( )
( )
22
22
2 3 2 3 2 4 9x y x y x y+ + − − −
Bài 7: Tính
1)
( )( ) ( )
2 4 16
8 3 1 3 1 ..... 3 1A = + + +
2)
( )( )
( )( ) ( )
2 4 16
1 3 3 1 3 1 3 1 ..... 3 1B = − + + + +
3)
( )( )
( )( ) ( )
2 4 16
5 1 5 1 5 1 5 1 ..... 5 1C = − + + + +
4)
( )( ) ( )
2 4 64
15 4 1 4 1 ..... 4 1D = + + +
5)
( )( )( ) ( ) ( )
2 4 8 128 256
24 5 1 5 1 5 1 ..... 5 1 5 1E = + + + + + −
Bài 8: Tính giá trị của các biểu thức sau
1)
( ) ( )
22
2 3 2 1 6A x x x= + − − −
tại
201x =
2)
( ) ( )( )
2
2 5 4 3 3B x x x= + − + −
tại
1
20
x =
3)
22
8 16C x xy y= − +
tại
45xy−=
4)
22
9 1620 12 4D x xy y= + − +
tại
3 2 20xy−=
Bài 9: Tìm
x
biết
1)
2
90x −=
2)
2
25 0x−=
3)
2
36 0x− + =
4)
2
4 4 0x −=
5)
2
4 36 0x −=
6)
2
4 36 0x −=
7)
( )
2
3 1 16 0x + − =
8)
( )
2
2 3 49 0x − − =
9)
( )
2
2
2 5 0xx− − =
10)
( )
2
2
3 45xx+ − =
11)
( )
2
2
5 4 49 0xx− − =
12)
( )
2
16 1 25 0x − − =
Bài 10: Tìm
x
biết
1)
( ) ( )
22
2 3 1 0xx− − − =
2)
( ) ( )
22
2 1 1 0xx+ − − =
3)
( ) ( )
22
3 5 1 0xx− − + =
4)
( ) ( )
22
2 2 5 0xx+ − − =
5)
( ) ( )
22
3 1 5 0xx− − + =
6)
( ) ( )
22
2 3 5 0xx− − + =
7)
( ) ( )
22
3 4 2 0xx− − + =
8)
( ) ( )
22
2 1 3 0xx− − − =
9)
( ) ( )
22
5 1 1 0xx− − + =
Bài 11: Tìm
x
biết
1)
( )
( )
2
2
2 1 4 1 0xx− − − =
2)
( ) ( )
2
2 3 2x x x+ − − =
Trang 4
3)
( ) ( )
2
5 2 5x x x− − + =
4)
( ) ( )
2
1 4 11x x x− + − =
5)
( )( ) ( )
2
3 3 5x x x− + = −
6)
( ) ( )
2
2 1 4 1 17x x x+ − − =
7)
( ) ( )
2
3 1 9 2 25x x x+ − − =
8)
( )( ) ( )
3 2 3 2 9 1 0x x x x− + − − =
9)
( ) ( )( )
2
2 2 2 0x x x+ − − + =
10)
( ) ( )( )
2
2 3 3 3x x x+ − − + = −
11)
( ) ( )( )
2
3 2 3 5 3 2 0x x x+ − − + =
12)
( ) ( )( )
2
3 2 2 4 17x x x x+ − + − = +
13)
( ) ( )( )
2
3 1 5 2 3 25x x x− + + − = −
14)
( ) ( )
22
2
3 2 2x x x+ + − =
Bài 12: Tìm
,xy
biết
1)
22
4 13 6x y y x+ + + =
2)
22
17 2 8x y x y+ + = −
3)
22
45 12 6x y y x+ + = −
4)
22
4 9 2 4 6x y x y+ + = +
5)
22
9 4 26 4 30x y y x+ + + =
6)
22
9 20 12 8x y x y+ + = +
7)
22
49 5 14 4x y y x+ + + =
8)
22
16 25 13 20 24x y y x+ + = +
Bài 13: Chứng minh rằng với mọi
x
thì
1)
2
10A x x= − +
2)
2
10B x x= + +
3)
2
2 2 0C x x= + +
4)
2
5 10 0A x x= − +
5)
2
8 20 0B x x= − +
6)
2
8 17 0C x x= − +
7)
2
6 10 0A x x= − +
8)
2
9 6 2 0B x x= − +
9)
2
2 8 15 0C x x= + +
Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
1)
2
3A x x= − +
2)
2
1B x x= + +
3)
2
41C x x= − +
4)
2
57D x x= − +
5)
2
22E x x= + +
6)
2
31F x x= − +
7)
2
33G x x= + +
8)
2
3 3 5H x x= + −
9)
2
4 2 3I x x= + +
10)
2
4 3 2K x x= + +
11)
( )( )
1 3 11M x x= − − +
12)
( ) ( )
22
32N x x= − + −
Bài 15: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau
1)
2
41A x x= − +
2)
2
34B x x= − −
3)
2
85C x x= − −
4)
2
46D x x= − − +
5)
2
10 6E x x= − − −
6)
2
13 1F x x= − + +
7)
2
7 4 8G x x= − − +
8)
2
4 12H x x= − −
9)
2
3 9 1I x x= − −
10)
2
7 9 8K x x= − −
11)
2
2 4 7M x x= − −
12)
2
4 4 3N x x= − + +
Bài 16: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau
1)
2
3 12 1A x x= − + −
2)
2
9 4 2B x x= + −
3)
2
9 2 3C x x= + −
4)
2
2 2 3D x x= − −
5)
2
7 3 5E x x= − +
6)
2
2 2 9F x x= − −
7)
2
15 7 5G x x= + −
8)
2
10 6 5H x x= − +
9)
2
11 5 10I x x= − +
10)
2
3 6 12K x x= − − −
Bài 17: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
Trang 5
1)
22
2 4 6A x x y y= − + − +
2)
( )
22
72B x y x y= + + − +
3)
( )
22
22C x y x y= + + + +
4)
22
4 2 10D x x y y= − + + −
5)
22
2 2 2E x xy x y= − + +
6)
22
2 2 5 2F x y xy y= + + + −
7)
22
2 4 3G x x y y= − + − +
Bài 18: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau
1)
22
42A x x y y= − − − +
2)
22
1 5 4B x y xy x= − − − +
3)
22
2 4 6C x x y y= − + − − +
4)
22
2 4 6D x x y y= − − − + +
5)
( )
22
23E x y x y= − − − + +
6)
22
2 2 2 1F x xy y y− = − + + +
Trang 6
Bài 2. LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG HAY MỘT HIỆU.
I. LÝ THUYẾT.
1) Lập phương của một tổng.
Ví dụ 1: Khi tính
( ) ( )( )
32
3 2 2 3
33a b a b a b a a b ab b+ = + + = + + +
Đẳng thức
( )
3
3 2 2 3
33a b a a b ab b+ = + + +
gọi là hằng đẳng thức lập phương của
một
tổng.
Ví dụ 2: Khai triển theo hằng đẳng thức
( )
3
3 2 3 2
2 3. .2 3. .4 8 6 12 8x x x x x x x+ = + + + = + + +
Ví dụ 3: Thu gọn
( )
3
3 2 3 2 2 3
12 48 64 3. .4 3. .4 4 4x x x x x x x+ + + = + + + = +
Kết luận:
Với hai biểu thức
A
và
B
tùy ý, ta có
( )
3
3 2 2 3
33A B A A B AB B+ = + + +
Hằng đẳng thức trên còn được viết dưới dạng
( ) ( )
3
33
3A B A B AB A B+ = + + +
2) Lập phương của một hiệu.
Ví dụ 4: Khi tính
( ) ( )( )
32
3 2 2 3
33a b a b a b a a b ab b− = − − = − + −
Đẳng thức
( )
3
3 2 2 3
33a b a a b ab b− = − + −
gọi là hằng đẳng thức lập phương của
một
hiệu.
Ví dụ 5: Khai triển theo hằng đẳng thức
( )
3
3 2 3 2
3 3. .3 3. .9 27 9 27 27x x x x x x x− = − + − = − + −
Ví dụ 6: Thu gọn
( )
3
3 2 3 2 3
6 12 8 3. .2 3. .4 2 2x x x x x x x− + − = − + − = −
Kết luận:
Với hai biểu thức
A
và
B
tùy ý, ta có
( )
3
3 2 2 3
33A B A A B AB B− = − + −
Hằng đẳng thức trên còn được viết dưới dạng
( ) ( )
3
33
3A B A B AB A B− = − − −
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1: Triển khai các biểu thức sau theo hằng đẳng thức:
1)
( )
3
3x +
2)
( )
3
1 x+
3)
( )
3
2 x−
4)
( )
3
3x −
5)
( )
3
21x +
6)
( )
3
32x +
7)
( )
3
23x −
8)
( )
3
31x −
9)
( )
3
2xy+
10)
( )
3
2xy+
11)
( )
3
3xy−
12)
( )
3
3xy−
13)
( )
3
23xy+
14)
( )
3
32xy+
15)
( )
3
32xy−
16)
( )
3
4xy−
Bài 2: Viết gọn lại thành lập phương của một tổng hoặc một hiệu
1)
32
3 3 1x x x+ + +
2)
32
3 3 1x x x− + −
3)
32
6 12 8x x x+ + +
4)
32
6 12 8x x x− + −
5)
32
9 27 27x x x− + −
6)
32
9 27 27x x x− + − +
7)
32
8 12 6 1x x x− + −
8)
3 2 2 3
33x x y xy y+ + +
9)
3 2 2 3
6 12 8x x y xy y− + −
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau
1)
( ) ( )
33
22xx− + +
2)
( ) ( )
33
11xx− − +
3)
( ) ( )
33
13xx− + +
Trang 7
4)
( ) ( )
33
22x y x y+ − −
5)
( ) ( )
33
2y x x y− − −
6)
( ) ( )
33
22x y y x+ − −
7)
( ) ( )
32
2 3 2 2 1x x x− − +
8)
( ) ( )
3
2
3 1 27 1x x x− − +
9)
( ) ( )
32
2 1 8 1x x x+ − −
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau
1)
( ) ( )( )
3
3
1 4 4x x x x+ − − + −
2)
( ) ( )( )
3
2
2 3 3 12 8x x x x x+ − + − − −
3)
( ) ( )( ) ( )
3
2 2 2 6 3x x x x x x− − − + + −
4)
( )( ) ( )
3
5 5 5 100x x x x x− + − − +
5)
( ) ( )( )
3
3 2 2x y x y y x− − − +
6)
( ) ( )( )
3
2 2 2x y x y x x y− − + − +
7)
( ) ( )
32
3
22x y x x y y− − − − −
8)
( ) ( ) ( )
23
2
2x x y x y y y x− − + − + −
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức
1)
32
3 3 1012A x x x= − + +
tại
11x =
.
2)
32
6 12 108B x x x= − + −
tại
12x =
.
3)
32
9 27 2027C x x x= + + +
tại
23x =−
4)
3 2 2 3
6 12 8D x x y xy y= + + +
tại
2xy=−
Bài 6: Tìm
x
biết
1)
32
8 12 6 1 0x x x− + − =
2)
32
6 12 8 27x x x− + − =
3)
( )
3
2
8 16 5 4x x x− + = −
4)
( ) ( )
3
2 6 2x x x− = −
5)
( ) ( ) ( )
3 3 2
1 1 6 1 10x x x+ − − − − = −
6)
( ) ( )
33
2
3 3 36 54x x x x− − + = −
Trang 8
Bài 3. TỔNG VÀ HIỆU HAI LẬP PHƯƠNG.
I. LÝ THUYẾT.
1) Tổng hai lập phương.
Ví dụ 1: Khi ta tính tích
ab+
với
22
a ab b−+
ta được
( )
( )
2 2 3 3
a b a ab b a b+ − + = +
Đẳng thức
( )
( )
3 3 2 2
a b a b a ab b+ = + − +
gọi là hẳng đẳng thức tổng hai lập
phương.
Tổng quát:
Với
là hai biểu thức tùy ý, ta có
( )
( )
3 3 2 2
A B A B A AB B+ = + − +
Biểu thức
22
A AB B−+
còn gọi là bình phương thiếu của một hiệu.
Ví dụ 2: Khai triển theo hằng đẳng thức
( )
( )
3 3 3 2
8 2 2 2 4x x x x x+ = + = + − +
2) Hiệu hai lập phương.
Ví dụ 3: Khi ta tính tích
ab−
với
22
a ab b++
ta được
( )
( )
2 2 3 3
a b a ab b a b− + + = −
Đẳng thức
( )
( )
3 3 2 2
a b a b a ab b− = − + +
gọi là hằng đẳng thức hiệu hai lập
phương.
Tổng quát:
Với
là hai biểu thức tùy ý, ta có
( )
( )
3 3 2 2
A B A B A AB B− = − + +
Biểu thức
22
A AB B++
còn gọi là bình phương thiếu của một tổng
Ví dụ 4: Khai triển theo hằng đẳng thức
( )
( )
32
1 1 1x x x x− = − + +
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1: Khai triển theo hằng đẳng thức
1)
3
1x +
2)
3
8x +
3)
3
8x −
4)
3
27x −
5)
33
xy+
6)
33
8xy+
7)
33
xy−
8)
33
8xy−
9)
3
18x+
10)
3
1 27y+
11)
3
18x−
12)
3
27 1x −
Bài 2: Viết thành vế kia của hằng đẳng thức
1)
( )
( )
2
11x x x+ − +
2)
( )
( )
2
11x x x− + +
3)
( )
( )
2
2 2 4x x x− + +
4)
( )
( )
2
2 2 4x x x+ − +
5)
( )
( )
2
3 3 9x x x− + +
6)
( )
( )
2
4 4 16x x x− + +
7)
( )
( )
2
5 5 25x x x− + +
8)
( )
( )
2
2 1 4 2 1x x x+ − +
9)
( )
( )
2
3 2 9 6 4x x x+ − +
10)
( )( )
2 4 2
3 3 9x x x+ − +
11)
( )( )
2 4 2
2 2 4x x x+ − +
12)
( )( )
3 6 3
2 2 4x x x− + +
Bài 3: Viết thành vế kia của hằng đẳng thức
1)
( )
( )
22
2 2 4x y x xy y− + +
2)
( )
( )
22
2 4 2x y x xy y+ − +
3)
( )
( )
22
3 3 9x y x xy y− + +
4)
( )
( )
22
3 9 3x y x xy y− + +
5)
( )
( )
22
2 3 4 6 9x y x xy y+ − +
6)
( )
( )
22
3 2 9 6 4x y x xy y− + +
Trang 9
7)
( )
( )
22
4 3 16 9 12x y x y xy− + +
8)
( )
( )
22
3 4 9 16 12x y x y xy− + +
Bài 4: Thực hiện phép tính
1)
( )
( ) ( )
23
1 1 9x x x x+ − + − −
2)
( ) ( )
( )
2
2
1 2 2 4x x x x x− − + − +
3)
( )
( )
( )
3
2
5 5 25 5x x x x+ − + − +
4)
5)
( )
( )
( )
2
2
5 . 5 25 4 16x x x x x x+ − + − − +
6)
( )
( )
( )
( )
22
2 2 4 1 1x x x x x x+ − + + − + +
7)
( )
( )
( )( )
2
2 2 4 1 1x x x x x x+ − + − − +
8)
( )
( )
( )( )
2
2 2 4 4 4x x x x x x− + − + + + −
9)
( )
( )
( )
( )
22
1 1 1 1x x x x x x+ + + − − +
10)
( )
( )
( )
( )
22
2 2 4 2 2 4x x x x x x− + + + − +
Bài 5: Thực hiện phép tính:
1)
( ) ( )
( )
( )
3
22
2 2 4 2 4 6x x x x x x− − + − + + − −
2)
( ) ( )
( )
( )( )
3
2
1 2 2 4 3 4 4x x x x x x− − + − + + + −
3)
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
3 2 4 2x y x xy y x y x xy y+ − + + − + +
4)
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
3 3 9 3 9 3x y x xy y x y x xy y+ − + + − + +
Bài 6: Cho biểu thức
( )
( ) ( )
23
2 1 4 2 1 7 1A x x x x= − + + − +
.
a) Rút gọn biểu thức
A
b) Tính giá trị của biểu thức A tại
1
2
x
−
=
.
Bài 7: Cho biểu thức
( )
( )
( )( ) ( )
22
3 3 9 3 3 3 3 7 7A x y x xy y y x y x y x xy x= + − + + + − − + −
.
a) Chứng minh rằng biểu thức
A
không phụ thuộc vào giá trị của biến
y
b) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
1x =−
.
Bài 8: Cho biểu thức
( )
( )
( )( ) ( )
22
3 3 9 3 3 3 3 7 7A x y x xy y y x y x y x xy x= − + + − + − + − +
.
a) Chứng minh rằng biểu thức
A
không phụ thuộc vào giá trị của biến
y
b) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
1x =−
.
Bài 9: Tìm
x
biết:
1)
( )
( )
( )( )
2
1 1 2 2 5x x x x x x− + + + + − =
2)
( )
( ) ( )
22
2 1 4 2 1 8 2 17x x x x x+ − + − + =
3)
( )
( )
( )( )
2
1 1 2 2 21x x x x x x+ − + − − + =
4)
( )
( ) ( )
22
3 3 9 8x x x x x− + + = −
5)
( ) ( )
( ) ( )
3
22
1 3 3 9 3 4 2x x x x x− − + − + + − =
Trang 10
Bài 4. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ.
I. LÝ THUYẾT.
1) Phân tích bằng cách đặt nhân tử chung.
Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của
những đa thức.
Ví dụ 1: Với đa thức
32
xx+
ta thấy có chung
2
x
nên ta làm như sau
( )
3 2 2
1x x x x+ = +
Khi đó
2
x
gọi là nhân tử chung.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức
( ) ( ) ( )( )
2 3 2 3x y x x y x y x+ − + = + −
Chú ý:
Đưa dấu
""−
ra ngoài để có nhân tử chung
( )
a b b a− = − −
2) Phân tích bằng cách nhóm hạng tử.
Ví dụ 3: Với đa thức
ax bx cx a b c+ + + + +
ta có thể làm như sau
( ) ( )( )
1ax bx cx a b c x a b c a b c a b c x+ + + + + = + + + + + = + + +
Ví dụ 4: Với đa thức
1xy x y+ + +
ta sẽ nhóm hai hạng tử
xy
và
x
lại với nhau,
y
và
1
lại với nhau.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1 1 1 1xy x y x y y y x+ + + = + + + = + +
3) Phân tích bằng cách dùng hằng đẳng thức.
Ví dụ 5: Với đa thức
2
8 16xx−+
ta thấy nó là một hằng đẳng thức nên ta sẽ làm như sau
( )
2
2
8 16 4x x x− + = −
Ví dụ 6: Với đa thức
( ) ( )( )
2
22
5 5 5 5x x x x− = − = − +
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1: Phân tích thành nhân tử ( Đặt nhân tử chung)
1)
2
xx−
2)
2
8xx−
3)
2
12xx+
4)
3
4xx−
5)
2
3xx−
6)
2
2xy y+
7)
2
x xy−
8)
32
x x y−
9)
33xy−
10)
10 15xy+
11)
3 12xy−
12)
4 20x −
13)
2
62xx−
14)
2
24xx−
15)
2
36xx−
16)
2
36xx+
17)
2
46xx+
18)
2
26xx+
19)
3
28xx−
20)
32
23xx−
21)
4
3 24xx−
22)
2
4 12xx−
23)
32
69xx+
24)
2
9 16xx−
25)
3
8yx y+
26)
32
5x y x y+
27)
2
25xy x−
28)
2
7 14x xy+
29)
22
46x y xy−
30)
2
39xy x−
31)
2
63x xy−
32)
23
33xy x−
33)
36xy xz+
34)
23
18 12x y x−
35)
22
82xy x y−
36)
2
36xy xyz+
Bài 2: Phân tích thành nhân tử ( Đặt nhân tử chung)
1)
32
2x x x++
2)
4 3 2
44x x x−+
3)
32
5 10 5x x x−+
4)
32
2 12 18x x x−+
5)
2
8 8 2x y xy x−+
6)
2
5 35 60x y xy y−+
7)
2 3 2
25x x x y++
8)
32
2 8 8x y x y xy−+
9)
2 2 2 2
4 8 18x y xy x y−+
10)
2 2 2 3
6 4 12x y xy x y+−
11)
2 2 2 2
2 3 4x y xy x y−+
12)
2 2 2 2
3 6 9x y x y xy− + −
13)
3 4 5 6 7 8
246x y x y y x−+
14)
4 3 2 4 3 4
2 3 5x y x y x y−+
Trang 11
Bài 3: Phân tích thành nhân tử ( Đặt nhân tử chung)
1)
( ) ( )
5 x y y x y− − −
2)
( ) ( )
1 8 1x y y+ + +
3)
( ) ( )
5 x y x x y− − −
4)
( ) ( )
5z x y x y+ − +
5)
( ) ( )
3 5 2 5x x x+ − +
6)
( ) ( )
2
1 4 1x x x− + −
7)
( ) ( )
5 1 1x x x−−−
8)
( ) ( )
11x y y y− − −
9)
( ) ( )
2 3 2y x x− − −
10)
( ) ( )
3 x y y y x− − −
11)
( ) ( )
3 2 5 2x x x− + −
12)
( ) ( )
7x x y y x−−−
13)
( ) ( )
3 1 2 1x x y x− − −
14)
( ) ( )
35x y x y x− − −
15)
( ) ( )
x x y y y x− + −
16)
( ) ( )
22
1 4 1x y y− + −
17)
( ) ( )
2 1 5 2 1x y y− − −
18)
( ) ( )
9 2 2x y x y x− + −
19)
( ) ( )
10 8x x y y y x− − −
20)
( ) ( )
36x x y y x− + −
21)
( ) ( )
5 1 15 1x x x x− − −
22)
( ) ( )
10 6x x y y y x− − −
23)
( ) ( )
3 2 6 2x x y y y x− + −
24)
( ) ( )
20 8x x y y y x+ − +
25)
( ) ( )
2
3 4 3xy x x x− + −
26)
( ) ( )
2
26x x y x x y+ − +
27)
( ) ( )
2
93x y z x y z+ + +
28)
( ) ( )
2
2 1 2 1x y x y− − −
29)
( ) ( )
10 6xy x y y y x− − −
Bài 4: Phân tích thành nhân tử ( Đặt nhân tử chung)
1)
( ) ( )
2
. 1 1x x x− + −
2)
( ) ( )
2
1 3 1xx+ − +
3)
( ) ( )
2
2 2 2x x x− − −
4)
( ) ( )
23
3 1 1x x x− − −
5)
( ) ( )
2
3 2 5 2x x x+ − +
6)
( ) ( )
2
43x x y y x− + −
Bài 5: Phân tích thành nhân tử ( Nhóm hạng tử)
1)
( )
2 2 3 6y x x+ − −
2)
( )
2
3 4 4x x x+ − −
3)
( )
2
2 5 5x x x+ − −
4)
( )
2
6 3 6x x x+ − +
5)
( )
55x x y x y+ − −
6)
( )
22x x y x y− + −
7)
( )
2 6 5 3x x x− + −
8)
( )
3 2 4 8x x x− − +
9)
( )
33x x y x y+ − −
10)
( )
77x x y x y+ − −
11)
( )
2
22x x y x y− + −
12)
( )
3 5 15x x y x y+ − −
13)
( )
2 5 3 15x x x− + −
14)
( )
x x y ax ay+ + +
15)
( )
44a x y x y+ − −
16)
( )
a x y bx by− + −
17)
( )
5xz yz x y+ − +
18)
( )
5 x y ax ay− + −
Bài 6: Phân tích thành nhân tử ( Nhóm hạng tử)
1)
2
33x x x+ − −
2)
2
x xy x y− + −
3)
2
xy y x y+ − −
4)
22xy y x+ − −
5)
32
22x x x− + −
6)
43
x x y x y+ − −
7)
2
x xy xz yz+ − −
8)
33xy xz y z+ + +
9)
2
33x x xy y− + −
10)
2
33xy x y y− − +
11)
2
22x x xy y+ − −
12)
2
33x x xy y− − +
13)
2
55x xy x y+ + +
14)
( )
1 2 2x y x+ − −
15)
2
22x xy x y− + −
16)
2
22x x y xy− + −
17)
2
22x xy x y+ − −
18)
2
66x xy x y− − +
19)
2 3 6xy z y xz+ + +
20)
2
3 3 5 5x xy x y− − +
21)
2
6 2 12x x xy y− − +
22)
2
3 5 15x xy x y+ − −
23)
2
3 2 3 2x x xy y− − +
24)
2
3 3 5 5x xy x y− − +
25)
32
66x x x+ + +
26)
32
9 9 4 4x x y x y− − +
27)
2
2 6 5 15x xy x y− + −
28)
23
99x y x y x− − +
29)
32
2 4 8x x x+ − −
30)
22
5 5 1xy x y− + −
31)
32
4 4 9 9x x x− − +
32)
10 5 2ax ay x y− − +
33)
32
a a x ay xy− − +
34)
2
x ab ax bx+ + +
35)
2
ax bx ab x− + −
Bài 7: Phân tích thành nhân tử ( Nhóm hạng tử)
Trang 12
1)
2
33ax axy bx by− + −
2)
2 2 2 2
55x y xy a x a y+ − −
3)
32
2 6 6 18ax ax ax a+ + +
4)
22
10 5 2xy by ax ab− + −
5)
3 3 3ax bx cx a b c− + − + −
6)
2 3 2 3ax bx cx a b c− + − + −
7)
2 2 2 4ax bx cx a b c− − − + +
8)
22
3 3 5 5ax bx ax bx a b+ + + + +
9)
22
2 2 3 3ax bx ax bx a b− − + − +
Bài 8: Phân tích thành nhân tử ( Hằng đẳng thức)
1)
2
9x −
2)
2
49 x−
3)
4
41y −
4)
2
41x −
5)
22
9xy−
6)
2
25 9x −
7)
2
4 25x −
8)
22
16xy−
9)
2
91x −
10)
2
69xx++
11)
2
4 4 1xx++
12)
2
10 25xx−−
13)
22
96x xy y++
14)
22
4 12 9x xy y−+
15)
22
44x y xy++
16)
42
44xx+−
17)
42
21xx++
18)
42
21xx−+
19)
3
18x−
20)
3
27x +
21)
33
8xy−
22)
3
1
8
8
x −
23)
3
1
27
x +
24)
3
8
125
x −
Bài 9: Phân tích thành nhân tử ( Hằng đẳng thức)
1)
( )
2
9 xy−−
2)
( )
2
4xy−−
3)
( )
2
2
2xy+−
4)
( )
2
2
5xy+−
5)
( )
2
2
9x y x+−
6)
( )
2
2
16 1xx−+
7)
( )
2
4 5 25x −−
8)
( )
2
22
14xx+−
9)
( )
2
2
2 3 25xy−−
10)
( ) ( )
22
3 1 1xx+ − +
11)
( ) ( )
22
x y x y+ − −
12)
( ) ( )
22
2 1 2xy x y+ − +
13)
( ) ( )
22
94x y x y− − +
14)
( ) ( )
22
3 2 2 3x y x y− − −
15)
( )
( )
2
2
4 4 1 1x x x− + − +
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử
1)
22
x x y y− − −
2)
22
x y x y− + −
3)
22
33x y x y− + −
4)
22
55x y x y− + −
5)
22
55x x y y− − −
6)
22
22x y x y− + −
7)
22
42x y x y− + +
8)
22
22x y x y− − −
9)
22
4 2 4x y x y− + +
10)
( )
22
x x y x y− + −
11)
22
10 10x y x y− + −
12)
22
20 20x y x y− + +
13)
22
4 9 4 6x y x y− − −
14)
3 3 2 2
77x y x y− + −
15)
( )
33
44x x y y+ − +
16)
33
22x y x y+ + +
17)
3 3 2 2
22x y x y xy− − +
18)
3 2 2
44x x x xy− + −
Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử
1)
22
21x x y− + −
2)
22
69x x y+ + −
3)
22
21x x y+ − +
4)
22
44x y x− + +
5)
22
4 4 1a a b− + −
6)
22
44x x y+ − +
7)
22
69x y y− − −
8)
22
69x x y− + −
9)
22
8 16x x y+ + −
10)
22
4 4 1x y x− + +
11)
22
4 6 9x y y+ − −
12)
22
6 4 9x x y− − +
13)
22
12 36y x y− − +
14)
22
21x y y− − −
15)
22
14 49x y x− + +
16)
22
1 8 16x x y− + −
17)
22
16 4 4x y x− + +
18)
22
10 16 25x x y+ − +
Trang 13
19)
22
14 25 49y y x− − +
20)
22
4 16 64x y x− + +
21)
22
16 4 12 9y x x− − −
Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử
1)
22
24x xy y− − +
2)
22
42x xy y− − −
3)
22
4 4 4x y xy+ − −
4)
22
2 25x xy y− − +
5)
22
92x xy y− − −
6)
22
29x xy y+ − +
7)
22
21x xy y− + −
8)
22
24x xy y− + −
9)
22
2 49x xy y− + −
10)
22
2 25x xy y+ + −
11)
22
16 4 4x xy y− − +
12)
22
25 2x xy y− + −
13)
22
25 4 4x xy y− + −
14)
22
4 4 9x xy y+ + −
15)
22
4 16 4x xy y+ − +
16)
22
9 8 16a ab b− − +
17)
22
36 4 4x xy y− + +
18)
( )
22
4 4 1x y x− + +
19)
2 2 2
2x xy y z− + −
20)
2 2 2
29x xy y z− + −
21)
2 2 2
24x y xy z+ − −
22)
2 2 2
3 6 3 3x xy y z+ + −
23)
22
3 6 3 12x xy y+ + −
Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử
1)
22
2 2 2x y x xy y− − + −
2)
22
2 2 2x y xy x y+ − + −
3)
4 2 2
2x x xy y− + −
4)
22
2 2 2x xy x y y− + + −
5)
22
2x y xy yz zx+ + + +
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử
1)
22
2 1 2 1x x y x− + − + −
2)
22
4 4 6 9x x y y− + − − −
3)
22
4 4 1 8 16x x y y− + − − −
4)
2 2 2 2
22x xy y z zt t− + − + −
5)
( ) ( )
2
21x y x y+ − + +
6)
( ) ( )
2
2 2 2
1 2 1x x x x x x+ + + + + +
7)
( ) ( )
2
8 12x y x y+ − + +
8)
( )
2
22
2 2 4 3x x x x+ − − −
9)
( )
2
22
4 4 12x x x x+ + + −
10)
( )
2
22
2 9 18 20x x x x+ + + +
11)
( ) ( )
2
22
2 15x x x x+ − + −
12)
( ) ( )
2
22
4 2 4 15x x x x+ − + −
Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử
1)
32
2x x x−+
2)
32
69x x x−+
3)
32
28x x x−−
4)
32
44x x x−+
5)
32
2 3 2x x x+−
6)
32
2 8 8x x x−+
7)
32
44x x x++
8)
32
3 6 3x x x−+
9)
32
7 10x x x−+
10)
32
2 12 18x x x−+
11)
32
2 20 18x x x−+
12)
32
8 16a a a−+
13)
82
xx−
14)
4
27xx−
15)
52
27xx+
16)
( )
3
33
x y x y+ − −
17)
( ) ( )
33
x y x y+ − −
18)
( ) ( )
33
x y x y+ + −
19)
3 3 2 2
22x y x y− + −
20)
33
44x y x y− − +
21)
3 3 2 2
84x y x y− + −
Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử
1)
22
43x xy y−+
2)
22
45x xy y−+
3)
22
43x xy y++
4)
22
9 6 8x xy y+−
5)
22
2 3 5x xy y+−
6)
22
35 2x y xy−−
7)
22
10 16x xy y−+
8)
22
3 10 8x xy y−+
9)
22
4 4 15x xy y+−
10)
22
2 10 8x xy y++
11)
22
5 10 5x xy y++
12)
22
7 3 2xy x y− + +
Trang 14
Dạng 2. Tìm
x
Bài 17: Tìm
x
biết:
1)
2
0xx−=
2)
2
40xx−=
3)
2
30xx+=
4)
2
50xx+=
5)
2
70xx−=
6)
2
3 6 0xx−=
7)
2
70xx+=
8)
2
7 2 0xx+=
9)
2
60xx+=
10)
2
2 5 0xx−=
11)
2
3 7 0xx+=
12)
2
5 3 0xx−=
13)
2
5 13 0xx−=
14)
2
3 5 0xx− + =
15)
2
3 7 0xx−=
16)
3
40xx−=
17)
3
40xx−=
18)
3
90xx−=
19)
3
16 0xx−=
20)
3
25 0xx−=
21)
3
4 36 0xx−=
Bài 18: Tìm
x
biết:
1)
( ) ( )
4 1 8 1x x x+ = +
2)
( ) ( )
5 2 2 0x x x− − − =
3)
( ) ( )
1 2 1 0x x x− − − =
4)
( ) ( )
2 3 2 0x x x+ − + =
5)
( ) ( )
2 1 3 1 0x x x+ − + =
6)
( ) ( )
2
2 3 2 0x x x− + − =
7)
( ) ( )
2 5 7 5 0x x x− − − =
8)
( ) ( )
3 2 2 2 0x x x− + − =
9)
( ) ( )
3 2 2 3 0x x x x+ − + =
10)
( )
5 1 1x x x− = −
11)
( )
2 2 0x x x+ − − =
12)
( )
2 2 0x x x− + − =
13)
( )
3 3 0x x x− − + =
14)
( )
2 1 1 0x x x− − + =
15)
( )
3 2 6 0x x x+ − − =
16)
( )
2 5 5 0x x x+ − − =
17)
( )
3 2 6 0x x x− + − =
18)
( )
1 2 2 0x x x− + − =
19)
( )
5 3 3 0x x x− − + =
20)
( )
3 2 6 0x x x− − + =
21)
( )
2
2 3 3 0x x x+ − − =
22)
( )
2 1 4 2 0x x x− + − =
23)
( )
4 3 12 0x x x− + − =
24)
( )
4 2 6 3 0x x x− − + =
25)
( )
20 20 0x x x− − + =
26)
( )
2
2 5 5 0x x x+ − − =
27)
( )
2
3 5 25 0x x x− − + =
28)
( )
8 5 3 15 0x x x− − + =
29)
( )
3 5 2 10 0x x x− − + =
30)
( )
8 5 2 10 0x x x− − + =
Bài 19: Tìm
x
biết:
1)
2
2 3 6 0x x x+ − − =
2)
2
8 3 24 0x x x− + − =
3)
2
4 5 20 0x x x+ − − =
4)
2
20 20 0x x x+ − − =
5)
2
10 2 20 0x x x+ − − =
6)
2
12 2 24 0x x x+ + + =
7)
32
4 4 0x x x− − + =
8)
32
3 3 1 0x x x− + − =
9)
32
3 4 12 0x x x+ − − =
10)
( )
2
2
2 2 1x x x− = −
11)
( )
2
3 3 0xx− + − =
12)
( )
2
2 4 8 0xx− − + =
13)
( )
2
3 6 60 10xx− = −
14)
( )
2
3 6 18 0xx+ − − =
15)
( )
2
4 4 16 0xx− − + =
16)
( )
2
2 5 25 0xx− − + =
17)
( )
2
1 1 0x x x+ − + =
18)
( )
2
2
4 25 2 5 0xx− + + =
19)
( )( )
2
4 2 3 0x x x− + + − =
20)
( ) ( )
2
2 1 1 0x x x− − − =
21)
( )( )
2
1 1 3 0x x x− + + − =
Bài 20: Tìm
x
biết:
1)
2
12 0xx+ − =
2)
2
8 7 0xx− + =
3)
2
4 5 0xx− − =
4)
2
8 9 0xx− − =
5)
2
4 3 0xx− + =
6)
2
5 4 0xx+ + =
7)
2
5 6 0xx− + =
8)
2
4 3 0xx− + =
9)
2
3 18 0xx+ − =
10)
2
3 10 0xx− − =
11)
2
3 10 0xx+ − =
12)
2
2 35 0xx− − =
13)
2
7 12 0xx− + =
14)
2
7 12 0xx− + =
15)
2
4 12 9 0xx− + =
16)
2
8 30 7 0xx+ + =
17)
2
3 5 2 0xx+ + =
18)
2
9 30 24 0xx− + =
Trang 15
ĐÁP ÁN
CHƯƠNG 2. HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1. HIỆU HAI BÌNH PHƯƠNG,
BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG HAY MỘT HIỆU
Bài 1:
1)
2
21xx++
2)
2
16 8xx++
3)
2
36 12xx−+
4)
2
10 25xx−+
5)
2
25 10 1xx++
6)
2
4 12 9xx++
7)
2
4 4 1xx−+
8)
2
9 12 4xx−+
9)
22
44x xy y++
10)
22
10 25x xy y++
11)
22
44x xy y−+
12)
22
44x xy y−+
13)
22
9 30 25x xy y++
14)
22
4 12 9x xy y++
15)
22
4 12 9x xy y−+
16)
22
4 20 25x xy y−+
17)
42
18 81xx++
18)
42
4 4 1xx++
19)
4 2 2 4
2x x y y−+
20)
2 2 4
96x xy y−−
21)
2 2 2
44x xy y++
22)
24
4 12 9x xy y++
23)
2 2 4
16 16 4x xy y−+
24)
4 2 2
16 16 4x x y y−+
Bài 2:
1)
( )( )
22xx−+
2)
( )( )
1 2 1 2xx−+
3)
( )( )
2 3 2 3xx−+
4)
( )( )
3 5 3 5xx−+
5)
( )( )
2 5 2 5xx−+
6)
( )( )
3 6 3 6xx−+
7)
( )( )
33x y x y−+
8)
( )( )
22x y x y−+
9)
( )( )
22x y x y−+
10)
( )( )
22
3 3 3 3x y x y−+
11)
( )( )
22
44x y x y−+
12)
( )( )
2 2 2 2
33x y x y−+
13)
2
1x −
14)
2
25x −
15)
2
36x −
16)
2
41x −
17)
22
4xy−
18)
2
25 9xy−
19)
2
1
25
x
−
20)
2
9
4
x −
21)
22
9 16
xy
−
22)
2
2
4
9
x
y
−
23)
22
94
yx
−
24)
2
4
4
9
x −
25)
2
9
4
25
x−
26)
2
16
49
x
−
27)
2
4
4
94
y
x −
28)
24
9xy−
29)
42
4xy−
30)
44
xy−
Bài 3:
1)
2
82x +
2)
2
22x−−
3)
8xy
4)
22
10 4 2x xy y++
5)
2
2 4 34xx− − −
6)
63x−+
7)
22
2 32xy+
8)
2
29 42 18xx− + −
9)
2
21 18xx−+
10)
2
13 10 2xx++
11)
22
5 2 2x xy y− − −
12)
4x−
13)
2
8 40 58xx++
14)
22
5 2 10x xy y− − −
15)
16 40x−−
Bài 4:
1)
1x−+
2)
42x +
3)
67x +
4)
8 17x −
5)
2
21x −
6)
23 9x−−
Trang 16
7)
2
7 21 21xx−+
8)
21x −
9)
2
2 2 3xx−−
10)
4 23x +
11)
69x −
12)
2
3 26xx++
13)
2
3 18 19xx−+
14)
77−
Bài 5:
1)
( )
2
2
21x −
2)
( )
2
23x −
3)
( )
2
6x −
4)
( )
2
51x −
5)
( )
2
2
9x +
6)
( )
2
25x −
7)
( )
2
2
2xy−
8)
( )
2
5xy+
9)
( )
2
34yx−
Bài 6:
1)
( )
2
22x +
2)
( )
2
3 2 2xy−+
3)
25
4)
100
5)
2
4y
6)
2
4x
7)
9
8)
2
36y
Bài 7:
1)
( )( ) ( )
2 4 16
8 3 1 3 1 ..... 3 1A = + + +
( )( )( ) ( )
2 2 4 16
3 1 3 1 3 1 ..... 3 1A = − + + +
( )( ) ( )
4 4 16
3 1 3 1 ..... 3 1A = − + +
…..
( )( )
16 16 32
3 1 3 1 3 1A = − + = −
2)
( )( )
( )( ) ( )
2 4 16
1 3 3 1 3 1 3 1 ..... 3 1B = − + + + +
( )( )
( )( ) ( )
2 4 16
3 1 3 1 3 1 3 1 ..... 3 1B = − − + + + +
( )( )( ) ( )
2 2 4 16
3 1 3 1 3 1 ..... 3 1B = − − + + +
…..
( )( ) ( )
16 16 32 32
3 1 3 1 3 1 1 3B = − − + = − − = −
3)
( )( )
( )( ) ( )
2 4 16
5 1 5 1 5 1 5 1 ..... 5 1C = − + + + +
( )( )( ) ( )
2 2 4 16
5 1 5 1 5 1 ..... 5 1C = − + + +
…..
( )( )
16 16 32
5 1 5 1 5 1C = − + = −
4)
( )( ) ( )
2 4 64
15 4 1 4 1 ..... 4 1D = + + +
( )( )( ) ( )
2 2 4 64
4 1 4 1 4 1 ..... 4 1D = − + + +
…..
( )( )
64 64 128
4 1 4 1 4 1D = − + = −
5)
( )( )( ) ( ) ( )
2 4 8 128 256
24 5 1 5 1 5 1 ..... 5 1 5 1E = + + + + + −
( )( )( )( ) ( ) ( )
2 2 4 8 128 256
5 1 5 1 5 1 5 1 ..... 5 1 5 1E = − + + + + + −
…..
Trang 17
( )( ) ( ) ( )
128 128 256 256 256 256
5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 2 5 1E = − + + − = − + − = −
Bài 8:
1)
10 8Ax=+
tại
201x =
thì
10.201 8 2018A = + =
2)
20 11Bx=−
tại
1
20
x =
thì
1
20. 11 10.
20
B = − = −
3)
( )
2
4C x y=−
tại
45xy−=
thì
2
5 25C ==
4)
( )
2
3 2 1620D x y= − +
tại
3 2 20xy−=
thì
2
20 1620 2020D = + =
Bài 9:
1)
3; 3x −
2)
5; 5x −
3)
6; 6x−
4)
1; 1x−
5)
3; 3x−
6)
3; 3x−
7)
5
1;
3
x
−



8)
5; 2x−
9)
5
5;
3
x



10)
6x
11)
1
2;
3
x

−


12)
91
;
44
x
−



Bài 10:
1)
4
;2
3
x



2)
0; 2x −
3)
1; 3x
4)
1; 7x
5)
1; 3x−
6)
2
;8
3
x
−



7)
1
;3
2
x



8)
4
2;
3
x

−


9)
1
0;
2
x



Bài 11:
1)
1
2
x



2)
2
7
x
−



3)
5
3
x



4)
5x
5)
17
5
x



6)
2x
7)
1x
8)
4
9
x



9)
2x−
10)
4x−
11)
2
3
x
−



12)
2x
13)
2x
14)
13
2
x
−



Bài 12:
1)
22
4 13 6x y y x+ + + =
22
6 9 4 4 0x x y y − + + + + =
( ) ( )
22
3 2 0xy − + + =
3 0 3
2 0 2
xx
yy
− = =



+ = = −

2)
22
17 2 8x y x y+ + = −
22
2 1 8 16 0x x y y − + + + + =
( ) ( )
22
1 4 0xy − + + =
1 0 1
4 0 4
xx
yy
− = =



+ = = −

3)
22
45 12 6x y y x+ + = −
22
6 9 12 36 0x x y y + + + − + =
( ) ( )
22
3 6 0xy + + − =
4)
22
4 9 2 4 6x y x y+ + = +
22
4 4 1 9 6 1 0x x y y − + + − + =
( ) ( )
22
2 1 3 1 0xy − + − =
Trang 18
3 0 3
6 0 6
xx
yy
+ = = −



− = =

2 1 0
11
;.
3 1 0
23
x
xy
y
−=
= =

−=
5)
22
9 4 26 4 30x y y x+ + + =
22
9 30 25 4 4 1 0x x y y − + + + + =
( ) ( )
22
3 5 2 1 0xy − + + =
3 5 0
51
;.
2 1 0
32
x
xy
y
−=
−
= =
+=
6)
22
9 20 12 8x y x y+ + = +
22
9 12 4 8 16 0x x y y − + + − + =
( ) ( )
22
3 2 4 0xy − + − =
3 2 0
2
; 4.
40
3
x
xy
y
−=
= =
−=
7)
22
49 5 14 4x y y x+ + + =
22
4 4 49 14 1 0x x y y − + + + + =
( ) ( )
22
2 7 1 0xy − + + =
20
1
2; .
7 1 0
7
x
xy
y
−=
−
= =
+=
8)
22
16 25 13 20 24x y y x+ + = +
22
16 24 9 25 20 4 0x x y y − + + − + =
( ) ( )
22
4 3 5 2 0xy − + − =
4 3 0
32
;.
5 2 0
45
x
xy
y
−=
= =
−=
Bài 13:
1)
2
10A x x= − +
Ta có
2
1 1 1
2. . 1
2 4 4
A x x= − + + −
2
1 3 3
0
2 4 4
Ax

= − +


2)
2
10B x x= + +
Ta có
2
1 1 1
2. . 1
2 4 4
B x x= + + + −
2
1 3 3
0
2 4 4
Bx

= + +


3)
2
2 2 0C x x= + +
Ta có
2
2 1 1C x x= + + +
( )
2
1 1 1 0Cx = + +
4)
2
5 10 0A x x= − +
Ta có
2
5 25 25
2. . 10
2 4 4
A x x= − + + −
2
5 15 15
0
2 4 4
Ax

= − +


5)
2
8 20 0B x x= − +
Ta có
2
2. .4 16 4B x x= − + +
( )
2
4 4 4 0Bx = − +
6)
2
8 17 0C x x= − +
Ta có
2
2. .4 16 1C x x= − + +
( )
2
4 1 1 0Cx = − +
7)
2
6 10 0A x x= − +
Ta có
2
2. .3 9 1A x x= − + +
( )
2
3 1 1 0Ax = − +
8)
2
9 6 2 0B x x= − +
Ta có
( )
2
3 2.3 .1 1 1B x x= − + +
( )
2
3 1 1 1 0Bx = − +
9)
2
2 8 15 0C x x= + +
Ta có
( )
2
2 4 15C x x= + +
( )
2
2 2. .2 4 15 8C x x = + + + −
( )
2
2 2 7 7 0Cx = + +
Bài 14:
1)
2
3A x x= − +
2)
2
1B x x= + +
Trang 19
Ta có
2
1 1 1
2. . 3
2 4 4
A x x= − + + −
2
1 11 11
2 4 4
Ax

= − +


Dấu
""=
xảy ra khi
11
0
22
xx− = =
.
Vậy
11
4
min
A =
đạt được khi
1
.
2
x =
Ta có
2
1 1 1
2. . 1
2 4 4
B x x= + + + −
2
1 3 3
2 4 4
Bx

= + +


Dấu
""=
xảy ra khi
11
0
22
xx
−
+ = =
Vậy
3
4
min
B =
đạt được khi
1
.
2
x
−
=
3)
2
41C x x= − +
Ta có
2
2. .2 4 1 4C x x= − + + −
( )
2
2 3 3Cx= − − −
Dấu
""=
xảy ra khi
2 0 2xx− = =
Vậy
3
min
C =−
đạt được khi
2.x =
4)
2
57D x x= − +
Ta có
2
5 25 25
2. . 7
2 4 4
D x x= − + + −
2
5 3 3
2 4 4
Dx

= − +


Dấu
""=
xảy ra khi
55
0
22
xx− = =
Vậy
3
4
min
D =
đạt được khi
5
.
2
x =
5)
2
22E x x= + +
Ta có
2
2. .1 1 1E x x= + + +
( )
2
1 1 1Ex = + +
Dấu
""=
xảy ra khi
1 0 1xx+ = = −
Vậy
1
min
E =
đạt được khi
1.x =−
6)
2
31F x x= − +
Ta có
2
3 9 9
2. . 1
2 4 4
F x x= − + + −
2
3 5 5
2 4 4
Fx
−−

= − +


Dấu
""=
xảy ra khi
33
0
22
xx− = =
Vậy
5
4
min
F
−
=
đạt được khi
3
.
2
x =
7)
2
33G x x= + +
Ta có
2
3 9 9
2. . 3
2 4 4
G x x= + + + −
2
3 3 3
2 4 4
Gx

= + +


Dấu
""=
xảy ra khi
33
0
22
xx
−
+ = =
Vậy
3
4
min
I =
đạt được khi
3
.
2
x
−
=
8)
2
3 3 5H x x= + −
Ta có
2
5
31
3
H x x

= − +


2
5 25 25
3 2. . 1
6 36 36
H x x

= − + + −


2
5 11 33 11
3
6 36 36 12
Hx


= − + =





Dấu
""=
xảy ra khi
55
0
66
xx− = =
Vậy
11
12
min
H =
đạt được khi
5
.
6
x =
9)
2
4 2 3I x x= + +
10)
2
4 3 2K x x= + +
Trang 20
Ta có
( )
2
2 2 3I x x= + +
( )
2
2 2 1 3 2I x x = + + + −
( )
2
2 1 1 1Ix = + +
Dấu
""=
xảy ra khi
1 0 1xx+ = = −
Vậy
1
min
I =
đạt được khi
1.x =−
Ta có
( )
2
3 9 9
2 2.2 . 2
4 16 16
K x x= + + + −
2
3 23 23
2
4 16 16
Kx

= + +


Dấu
""=
xảy ra khi
33
20
48
xx
−
+ = =
Vậy
23
16
min
K =
đạt được khi
3
.
8
x
−
=
11)
( )( )
1 3 11M x x= − − +
Ta có
2
4 14M x x= − +
2
2. .2 4 10M x x = − + +
( )
2
2 10 10Mx = − +
Dấu
""=
xảy ra khi
2 0 2xx− = =
Vậy
10
min
M =
đạt được khi
2.x =
12)
( ) ( )
22
32N x x= − + −
Ta có
2
2 10 13N x x= − +
( )
2
2 5 13N x x = − +
2
5 25 25
2 2. . 13
2 4 2
N x x

= − + + −


2
5 1 1
2
2 2 2
Nx

= − +


Dấu
""=
xảy ra khi
55
0
22
xx− = =
Vậy
1
2
min
N =
đạt được khi
5
.
2
x =
Bài 15:
1)
2
41A x x= − +
Ta có
( )
2
41A x x= − − −
( )
2
2. .2 4 5A x x = − − + −
( )
2
25Ax

= − − −

( )
2
2 5 5Ax = − − +
Vậy
5
max
A =
đạt được khi
2.x =
2)
2
34B x x= − −
Ta có
( )
2
43B x x= − + −
( )
2
2. .2 4 7B x x = − + + −
( )
2
27Bx

= − + −

( )
2
2 7 7Bx = − + +
Vậy
7
max
B =
đạt được khi
2.x =−
3)
2
85C x x= − −
2
5 57 57
2 4 4
Cx

= − + +


Vậy
57
4
max
C =
đạt được khi
5
.
2
x
−
=
4)
2
46D x x= − − +
( )
2
3 5 5Dx= − − +
Vậy
5
max
D =
đạt được khi
3.x =
5)
2
10 6E x x= − − −
( )
2
3 1 1Ex= − + − −
Vậy
1
max
E =−
đạt được khi
3.x =−
6)
2
13 1F x x= − + +
2
13 173 173
2 4 4
Fx

= − − +


Vậy
173
4
max
F =
đạt được khi
13
.
2
x =

Tài liệu khác của Toán 8

Preview text:

CHƯƠNG 2. HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1. HIỆU HAI BÌNH PHƯƠNG,
BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG HAY MỘT HIỆU I. LÝ THUYẾT. 1) Hằng đẳng thức.
Ví dụ 1: Khi thực hiện phép nhân .
a (a + b) ta được ( + ) 2 .
a a b = a + ab
Như vậy đẳng thức ( + ) 2 .
a a b = a + ab là đẳng thức đúng và khi thay a, b bởi các
giá trị khác nhau thì hai vế của đẳng thức luôn nhận giá trị bằng nhau. Kết luận:
 Hằng đẳng thức là đẳng thức mà hai vế luôn cùng nhận một giá trị khi thay các
chữ trong hằng đẳng thức bằng các số tùy ý.
2) Hiệu hai bình phương.
Ví dụ 2: Thực hiện phép nhân (a − b)(a + b) ta được ( − )( + ) 2 2
a b a b = a − b Như vậy 2 2
a − b = (a − b)(a + b) gọi là hẳng đẳng thức hiệu hai bình phương. Tổng quát:  Với ,
A B là hai biểu thức tùy ý ta có 2 2
A − B = ( A − B)( A + B)
Ví dụ 3: Tính nhanh 2 2
50 − 48 = (50 − 48)(50 + 48) = 2.98 =196.
Ví dụ 4: Viết thành tích 2 2
4x − 25y = (2x − 5y)(2x + 5y)
3) Bình phương của một tổng.
Ví dụ 5: Khi ta thức hiện phép tính (a + b)2 = (a + b)(a + b) 2 2
= a + 2ab + b
Như vậy (a + b)2 2 2
= a + 2ab + b gọi là hẳng đẳng thức bình phương của một tổng Tổng quát:  Với ,
A B là hai biểu thức tùy ý ta có ( A + B)2 2 2
= A + 2AB + B
Ví dụ 6: Tính nhanh ( x + y)2 2 2 2 2 2 3
= 4x + 2.6xy + 9y = 4x +12xy + 9y
Ví dụ 7: Viết gọn 2
9x +12x + 4 thành bình phương của một tổng 2 x + x + = ( x)2 2 9 12 4 3 + 2.3 .2
x + 2 = (3x + 2)2
4) Bình phương của một hiệu.
Ví dụ 8: Khi ta thực hiện phép tính (a − b)2 = (a − b)(a − b) 2 2
= a − 2ab + b
Như vậy (a − b)2 2 2
= a − 2ab + b gọi là hằng đẳng thức bình phương của một hiệu.
Ví dụ 9: Tính nhanh ( x − )2 2 4 2 4 2 2
1 = 4x − 2.2x +1 = 4x − 4x +1
Ví dụ 10: Viết gọn 2 2
9x − 24xy +16y thành bình phương của một hiệu 2 2
9x − 24xy +16y = (3x)2 − 2.3 .4
x y + (4y)2 = (3x − 4y)2
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Trang 1
Bài 1: Triển khai các biểu thức sau theo hằng đẳng thức 1) ( x + )2 1 2) ( + )2 4 x 3) ( − )2 6 x 4) ( x − )2 5 5) ( x + )2 5 1 6) ( x + )2 2 3 7) ( x − )2 2 1 8) ( x − )2 3 2 9) ( x + y)2 2 10) ( x + y)2 5 11) ( x − y)2 2 12) ( − )2 2x y 13) ( x + y)2 3 5 14) ( x + y)2 2 3 15) ( x − y)2 2 3 16) ( x − y)2 2 5 17) (x + )2 2 9 18) ( x + )2 2 2 1 19) ( − )2 2 2 x y 20) ( − )2 2 3x y 21) (x + y )2 2 2 22) ( x + y )2 2 2 3 23) ( x − y )2 2 4 2 24) ( x − y)2 2 4 2
Bài 2: Triển khai các biểu thức sau theo hằng đẳng thức 1) 2 x − 4 2) 2 1− 4x 3) 2 4x − 9 4) 2 9 − 25x 5) 2 4x − 25 6) 2 9x − 36 7) ( )2 2 3x − y 8) 2 x − (2y)2 9) ( )2 2 2x − y 10) ( x)2 4 3 − 9y 11) − ( )2 2 2 16x y 12) x − ( y )2 4 2 3 13) ( x − ) 1 ( x + ) 1
14) ( x − 5)( x + 5)
15) ( x − 6)(6 + x) 16) (2x + ) 1 (2x − ) 1
17) ( x − 2y)(2y + x)
18) (5x − 3y)(3y + 5x)  1  1   3  3 
x y  x y  19) − 5 + 5    20) x − x +    21) − +     x  x   2  2   3 4  3 4 
x 2  x 2 
x y  y x   2  2  22) − +    23) + −    24) 2x − + 2x   
y 3  y 3   2 3  3 2   3  3   3  3   1 4  4 1   2 y  2 y  25) 2x + − 2x    26) x − + x    27) 2 2 x − x +     5  5   2 3  3 2   3 2  3 2  28) ( 2 x − y )( 2 3 3x + y ) 29) ( 2 x − y)( 2 2 x + 2y) 30) ( 2 2 − )( 2 2 x y x + y )
Bài 3: Rút gọn biểu thức sau: 2 2 2 2 2 2 1) (2x + ) 1 + (2x − ) 1 2) −( x + ) 1 − ( x − ) 1
3) ( x + 2y) − ( x − 2y) 2 2 2 2 2 2
4) (3x + y) + ( x − y)
5) −( x + 5) − ( x − 3)
6) (3x − 2) − (3x − ) 1 2 2 2 2 2 2
7) ( x − 4y) + ( x + 4y) 8) −( 2
− x + 3) − (5x − 3) 9) ( 2
− x + 3) − (5x − 3) 2 2 2 2 2 2 10) (2x + ) 1 + ( 3 − x − ) 1
11) −( x − y) − (2x + y) 12) −( x + ) 1 + ( x − ) 1 2 2 2 2 2 2 13) (2x + 7) + ( 2 − x − 3)
14) −(2x − y) − ( x + 3y) 15) −(2x + 7) + ( 2 − x − 3)
Bài 4: Thực hiện phép tính
1) x ( − x) + ( x − )2 1 1 2) ( x − )2 2
3 − x +10x − 7 2
3) ( x + 2) − ( x − 3)( x + ) 1
4) ( x + )( x − ) − ( x − )2 4 2 3 2
5) ( x − 2) + ( x − ) 1 ( x + 5)
6) ( x + 3)( x − 3) − x(23 + x)
7) ( − x)( − x) + ( − x)2 1 2 5 3 4
8) ( x − 2)( x + 2) − ( x − 3)( x + ) 1 Trang 2 2 2 9) ( x + )
1 + ( x − 2)( x + 2) − 4x
10) ( x + 2) − ( x + 3)( x − 3) +10 2 2 2
11) ( x + 4) + ( x + 5)( x − 5) − 2x( x + ) 1 12) ( x − )
1 − ( x − 4)( x + 4) + (x + 3) 2 13) ( x − )
1 − 2( x + 3)( x − 3) + 4x( x − 4)
14) ( y − )( y + )( 2 y + ) −( 2 y + )( 2 3 3 9 2 y − 2)
Bài 5: Thu gọn về hằng đẳng thức: 1) 4 2 4x − 4x +1 2) 2 4x −12x + 9 3) 2 36 + x −12x 4) 2 1−10x + 25x 5) 4 2 x + 81+18x 6) 2 4x − 20x + 25 7) 2 4 2
x + 4y − 4xy 8) 2 2
x +10xy + 25y 9) 2 2
9y − 24xy +16x
Bài 6: Thu gọn về hằng đẳng thức: 2 2 1) (2x + ) 1 + 2(2x + ) 1 +1
2) (3x − 2y) + 4(3x − 2y) + 4 2 2 2 2
3) ( x + 3) + ( x − 2) − 2( x + 3)( x − 2)
4) (3x − 5) − 2(3x − 5)(3x + 5) + (3x + 5) 2 2 2 2
5) ( x − y) + ( x + y) − 2( x + y)( x − y)
6) (5 − x) + ( x + 5) − (2x +10)( x − 5) 2 2 2 2
7) ( x − 2) + ( x + ) 1 + 2( x − 2)( 1 − − x)
8) ( x + y) + ( x − y) − ( 2 2 2 3 2 3 2 4x − 9y ) Bài 7: Tính
1) A = ( 2 + )( 4 + )2 ( 16 8 3 1 3 1 ..... 3 + 4 )1 2) B = ( − )( + )( + 2 )( +4 ) ( 16 1 3 3 1 3 1 3 1 ..... 3 + 16 )1 3) C = (5 − ) 1 (5 + ) 1 2 (5 + 4 )1(5 +64 )1.....(5 + )1 4) D =15(4 + 2 )1(4 + 4 )1.....8(4 + )1 5) E =
( + )( + )( + ) ( 128 + )+( 256 24 5 1 5 1 5 1 ..... 5 1 5 − ) 1
Bài 8: Tính giá trị của các biểu thức sau
1) A = ( x + )2 − 2 ( x − )2 2 3 2
1 − 6x tại x = 201 1
2) B = (2x + 5) − 4( x + 3)( x − 3) tại x = 3) 2 2
C = x − 8xy +16y tại x − 4y = 5 20 4) 2 2
D = 9x +1620 −12xy + 4y tại 3x − 2y = 20
Bài 9: Tìm x biết 1) 2 x − 9 = 0 2) 2 25 − x = 0 3) 2 −x + 36 = 0 4) 2 4x − 4 = 0 5) 2 4x − 36 = 0 6) 2 4x − 36 = 0 7) ( x + )2 3 1 −16 = 0 8) ( x − )2 2 3 − 49 = 0 9) ( x − )2 2 2 5 − x = 0 10) ( x + )2 2 3 − x = 45 11) ( x − )2 2 5 4 − 49x = 0 12) (x − )2 16 1 − 25 = 0
Bài 10: Tìm x biết 2 2 2 2 2 2
1) (2x − 3) − ( x − ) 1 = 0 2) (2x + ) 1 − ( x − ) 1 = 0
3) (3x − 5) − ( x + ) 1 = 0 2 2 2 2 2 2
4) ( x + 2) − (2x − 5) = 0 5) (3x − )
1 − ( x + 5) = 0 6) (2x − 3) − ( x + 5) = 0 2 2 2 2 2 2
7) (3x − 4) − ( x + 2) = 0 8) (2x − )
1 − (3 − x) = 0 9) (5x − ) 1 − ( x + ) 1 = 0
Bài 11: Tìm x biết 2 2 1) ( x − ) − ( 2 2 1 4x − ) 1 = 0
2) ( x + 2) − x( x − 3) = 2 Trang 3 2 2
3) ( x − 5) − x( x + 2) = 5 4) ( x − )
1 + x(4 − x) =11 2
5) ( x − )( x + ) = ( x − )2 3 3 5 6) (2x + ) 1 − 4x(x − ) 1 =17 2 7) (3x + )
1 − 9x( x − 2) = 25
8) (3x − 2)(3x + 2) − 9( x − ) 1 x = 0 2 2
9) ( x + 2) − ( x − 2)( x + 2) = 0
10) ( x + 2) − ( x − 3)( x + 3) = 3 − 2 2
11) (3x + 2) − (3x − 5)(3x + 2) = 0
12) ( x + 3) − ( x + 2)( x − 2) = 4x +17 2 2 2 13) 3( x − )
1 + ( x + 5)(2 − 3x) = 2 − 5
14) ( x + ) + ( x − ) 2 3 2 = 2x
Bài 12: Tìm x, y biết 1) 2 2
x + y + 4y +13 = 6x 2) 2 2
x + y +17 = 2x − 8y 3) 2 2
x + y + 45 =12y − 6x 4) 2 2
4x + 9y + 2 = 4x + 6y 5) 2 2
9x + 4y + 26 + 4y = 30x 6) 2 2
9x + y + 20 =12x + 8y 7) 2 2
x + 49y + 5 +14y = 4x 8) 2 2
16x + 25y +13 = 20y + 24x
Bài 13: Chứng minh rằng với mọi x thì 1) 2
A = x − x +1  0 2) 2
B = x + x +1  0 3) 2
C = x + 2x + 2  0 4) 2
A = x − 5x +10  0 5) 2
B = x − 8x + 20  0 6) 2
C = x − 8x +17  0 7) 2
A = x − 6x +10  0 8) 2
B = 9x − 6x + 2  0 9) 2
C = 2x + 8x +15  0
Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau 1) 2
A = x − x + 3 2) 2
B = x + x +1 3) 2
C = x − 4x +1 4) 2
D = x − 5x + 7 5) 2
E = x + 2x + 2 6) 2
F = x − 3x +1 7) 2
G = 3 + x + 3x 8) 2
H = 3x + 3 − 5x 9) 2
I = 4x + 2x + 3 10) 2
K = 4x + 3x + 2
11) M = ( x − ) 1 (x − 3) +11 2 2
12) N = ( x − 3) + ( x − 2)
Bài 15: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau 1) 2
A = 4x − x +1 2) 2
B = 3 − 4x − x 3) 2
C = 8 − x − 5x 4) 2 D = 4 − − x + 6x 5) 2 E = 10
− − x − 6x 6) 2
F = −x +13x +1 7) 2 G = 7
− − 4x + 8x 8) 2 H = 4 − x −12x 9) 2
I = 3x − 9x −1 10) 2
K = 7 − 9x − 8x 11) 2
M = 2x − 4x − 7 12) 2 N = 4 − x + 4x + 3
Bài 16: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau 1) 2 A = 3 − x +12x −1 2) 2
B = 9 + 4x − 2x 3) 2
C = 9x + 2 − 3x 4) 2
D = 2x − 2 − 3x 5) 2
E = 7x − 3x + 5 6) 2
F = 2 − 2x − 9x 7) 2
G =15 + 7x − 5x 8) 2
H = 10x − 6x + 5 9) 2
I =11− 5x +10x 10) 2 K = 3
− x − 6x −12
Bài 17: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau Trang 4 2 2 1) 2 2
A = x − 2x + y − 4y + 6
2) B = 7 + x + y − 2( x + y) 3) 2 2
C = 2 + x + y + 2( x + y) 4) 2 2
D = x − 4x + y + 2y −10 5) 2 2
E = 2x − 2xy + 2x + y 6) 2 2
F = x + 2y + 2xy + 5 − 2y 7) 2 2
G = x − x + 2y − 4y + 3
Bài 18: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau 1) 2 2
A = −x − 4x − y + 2y 2) 2 2
B =1− 5x − y − 4xy + x 3) 2 2
C = −x + 2x − y − 4y + 6 4) 2 2
D = −x − 2x − y + 4y + 6 5) 2 2
E = −x − y − 2( x + y) + 3 6) 2 2
−F = x − 2xy + 2y + 2y +1 Trang 5
Bài 2. LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG HAY MỘT HIỆU. I. LÝ THUYẾT.
1) Lập phương của một tổng.
Ví dụ 1: Khi tính (a + b)3 = (a + b)(a + b)2 3 2 2 3
= a + 3a b + 3ab + b
Đẳng thức (a + b)3 3 2 2 3
= a + 3a b + 3ab + b gọi là hằng đẳng thức lập phương của một tổng.
Ví dụ 2: Khai triển theo hằng đẳng thức (x + )3 3 2 3 2
2 = x + 3.x .2 + 3. .4
x + 8 = x + 6x +12x + 8 Ví dụ 3: Thu gọn 3 2 3 2 2 3
x +12x + 48x + 64 = x + 3.x .4 + 3. .4 x + 4 = (x + 4)3 Kết luận:
 Với hai biểu thức A và B tùy ý, ta có ( A + B)3 3 2 2 3
= A + 3A B + 3AB + B
 Hằng đẳng thức trên còn được viết dưới dạng ( A + B)3 3 3
= A + B + 3AB( A + B)
2) Lập phương của một hiệu.
Ví dụ 4: Khi tính (a − b)3 = (a − b)(a − b)2 3 2 2 3
= a − 3a b + 3ab − b
Đẳng thức (a − b)3 3 2 2 3
= a − 3a b + 3ab − b gọi là hằng đẳng thức lập phương của một hiệu.
Ví dụ 5: Khai triển theo hằng đẳng thức (x − )3 3 2 3 2
3 = x − 3.x .3 + 3. .9
x − 27 = x − 9x + 27x − 27 Ví dụ 6: Thu gọn 3 2 3 2 3
x − 6x +12x − 8 = x − 3.x .2 + 3. .
x 4 − 2 = (x − 2)3 Kết luận:
 Với hai biểu thức A và B tùy ý, ta có ( A − B)3 3 2 2 3
= A − 3A B + 3AB − B
 Hằng đẳng thức trên còn được viết dưới dạng ( A − B)3 3 3
= A − B − 3AB( A − B)
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1: Triển khai các biểu thức sau theo hằng đẳng thức: 1) ( x + )3 3 2) ( + )3 1 x 3) ( − )3 2 x 4) ( x − )3 3 5) ( x + )3 2 1 6) ( x + )3 3 2 7) ( x − )3 2 3 8) ( x − )3 3 1 9) ( x + y)3 2 10) ( + )3 2x y 11) ( − )3 3x y 12) ( x − y)3 3 13) ( x + y)3 2 3 14) ( x + y)3 3 2 15) ( x − y)3 3 2 16) ( − )3 4x y
Bài 2: Viết gọn lại thành lập phương của một tổng hoặc một hiệu 1) 3 2
x + 3x + 3x +1 2) 3 2
x − 3x + 3x −1 3) 3 2
x + 6x +12x + 8 4) 3 2
x − 6x +12x − 8 5) 3 2
x − 9x + 27x − 27 6) 3 2
−x + 9x − 27x + 27 7) 3 2
8x −12x + 6x −1 8) 3 2 2 3
x + 3x y + 3xy + y 9) 3 2 2 3
x − 6x y +12xy − 8y
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau 3 3 3 3 3 3
1) ( x − 2) + ( x + 2) 2) ( x − ) 1 − ( x + ) 1
3) (1− x) + ( x + 3) Trang 6 3 3 3 3 3 3
4) ( x + 2y) − ( x − 2y)
5) ( y − x) − (2x − y)
6) (2x + y) − 2( y − x) 3 2 3 3 2
7) (2x − 3) − 2x(2x + ) 1 8) ( x − ) 2 3
1 − 27x ( x + ) 1 9) (2x + )
1 − 8x( x − ) 1
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau 3 3
1) ( x + ) − ( x − )( x + ) 3 1 4 4 − x
2) ( x + ) − x( x + )( x − ) 2 2 3 3 −12x − 8 3
3) ( x − 2) − x( x − 2)( x + 2) + 6x( x − 3)
4) x ( x − )( x + ) − ( x − )3 5 5 5 +100x 3 3
5) ( x − 3y) − ( x − 2y)(2y + x)
6) (−x − 2y) + x(2y − x)( x + 2y) 3 2 2 3
7) −( x − y) − x( x − y) 3 2 2 − y
8) −x ( x − y) + ( x − y) 2
+ y ( y − 2x)
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức 1) 3 2
A = x − 3x + 3x +1012 tại x = 11. 2) 3 2
B = x − 6x +12x −108 tại x = 12 . 3) 3 2
C = x + 9x + 27x + 2027 tại 4) 3 2 2 3
D = x + 6x y +12xy + 8y tại x = −2 y x = −23
Bài 6: Tìm x biết 1) 3 2
8x −12x + 6x −1 = 0 2) 3 2
x − 6x +12x − 8 = 27 3 3) 2
x − 8x +16 = 5(4 − x)3
4) (2 − x) = 6x( x − 2) 3 3 2 3 3 5) ( x + ) 1 − (x − ) 1 − 6(x − ) 1 = 1 − 0
6) ( − x) − ( x + ) 2 3
3 = 36x − 54x Trang 7
Bài 3. TỔNG VÀ HIỆU HAI LẬP PHƯƠNG. I. LÝ THUYẾT.
1) Tổng hai lập phương.
Ví dụ 1: Khi ta tính tích a + b với 2 2
a − ab + b ta được ( + )( 2 2 − + ) 3 3 a b a
ab b = a + b Đẳng thức 3 3 + = ( + )( 2 2 a b
a b a − ab + b ) gọi là hẳng đẳng thức tổng hai lập phương. Tổng quát:  Với ,
A B là hai biểu thức tùy ý, ta có 3 3 + = ( + )( 2 2 A B
A B A − AB + B )  Biểu thức 2 2
A − AB + B còn gọi là bình phương thiếu của một hiệu.
Ví dụ 2: Khai triển theo hằng đẳng thức 3 3 3 x + = x + = (x + )( 2 8 2 2 x − 2x + 4)
2) Hiệu hai lập phương.
Ví dụ 3: Khi ta tính tích a − b với 2 2
a + ab + b ta được ( − )( 2 2 + + ) 3 3 a b a
ab b = a − b Đẳng thức 3 3 − = ( − )( 2 2 a b
a b a + ab + b ) gọi là hằng đẳng thức hiệu hai lập phương. Tổng quát:  Với ,
A B là hai biểu thức tùy ý, ta có 3 3 − = ( − )( 2 2 A B
A B A + AB + B )  Biểu thức 2 2
A + AB + B còn gọi là bình phương thiếu của một tổng
Ví dụ 4: Khai triển theo hằng đẳng thức 3
x − = (x − )( 2 1 1 x + x + ) 1
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1: Khai triển theo hằng đẳng thức 1) 3 x +1 2) 3 x + 8 3) 3 x − 8 4) 3 x − 27 5) 3 3 x + y 6) 3 3 x + 8y 7) 3 3 x − y 8) 3 3 x − 8y 9) 3 1+ 8x 10) 3 1+ 27 y 11) 3 1− 8x 12) 3 27x −1
Bài 2: Viết thành vế kia của hằng đẳng thức 1) ( x + )( 2 1 x − x + ) 1 2) ( x − )( 2 1 x + x + ) 1 3) ( x − )( 2 2 x + 2x + 4) 4) ( x + )( 2 2 x − 2x + 4) 5) ( x − )( 2 3 x + 3x + 9) 6) ( x − )( 2 4 x + 4x +16) 7) ( x − )( 2 5 x + 5x + 25) 8) ( x + )( 2 2 1 4x − 2x + ) 1 9) ( x + )( 2 3
2 9x − 6x + 4) 10) ( 2 x + )( 4 2 3 x − 3x + 9) 11) ( 2 x + )( 4 2 2 x − 2x + 4) 12) ( 3 x − )( 6 3 2 x + 2x + 4)
Bài 3: Viết thành vế kia của hằng đẳng thức 1) ( x − y)( 2 2 2
x + 2xy + 4y ) 2) ( x + y)( 2 2 2
4x − 2xy + y ) 3) ( x − y)( 2 2 3
x + 3xy + 9y ) 4) ( x − y)( 2 2 3
9x + 3xy + y ) 5) ( x + y)( 2 2 2 3
4x − 6xy + 9y ) 6) ( x − y)( 2 2 3 2
9x + 6xy + 4y ) Trang 8 7) ( x − y)( 2 2 4 3
16x + 9y +12xy) 8) ( x − y)( 2 2 3 4
9x +16y +12xy)
Bài 4: Thực hiện phép tính 2 1) ( x + )( 2
x − x + ) −( 3 1 1 x − 9)
2) x ( x − ) − ( x + )( 2 1 2 x − 2x + 4) 4) 3) ( x + )( 2
5 x − 5x + 25) − (x + 5)3 5) ( x + ) ( 2
5 . x − 5x + 25) − x(x − 4)2 +16x 6) (x + )( 2
x − x + ) + ( − x)( 2 2 2 4 1 1+ x + x ) 7) ( x + )( 2
2 x − 2x + 4) − x(x − ) 1 (x + ) 1 8) −( x + )( 2
2 x − 2x + 4) + x(x + 4)(x − 4) 9) ( x + )( 2
x + x + )(x − )( 2 1 1 1 x − x + ) 1 10) ( x − )( 2
x + x + )(x + )( 2 2 2 4 2 x − 2x + 4)
Bài 5: Thực hiện phép tính:
1) (−x − 3)3 + ( x − )( 2 x + x + 2 ) 2 2 2 4 2
4 − x (x − 6) 2) ( x − ) 1 − ( x + 2) 2 (x −2x+4 2 )+3(x+4)(x−4)
3) ( x + y)(x − xy + y 2 )+ ( x− y) 2 ( 2 2 3 2
4x + 2xy + y 2 )
4) ( x + y)(x − xy + y ) + ( x − y)( 2 3 3 9 3
9x + 3xy + y )
Bài 6: Cho biểu thức A = ( x − )( 2
x + x + ) − ( 3 2 1 4 2 1 7 x + ) 1 .
a) Rút gọn biểu thức A 1 −
b) Tính giá trị của biểu thức A tại x = . 2
Bài 7: Cho biểu thức
A = (x + y)( 2 2 3
x − 3xy + 9y ) + 3y(x + 3y)(x −3y) − x(3xy + 7x − 7).
a) Chứng minh rằng biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến y
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = −1.
Bài 8: Cho biểu thức
A = (x − y)( 2 2 3
x + 3xy + 9y ) −3y(x + 3y)(x −3y) + x(3xy − 7x + 7).
a) Chứng minh rằng biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến y
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = −1.
Bài 9: Tìm x biết: 1) ( x − )( 2 1 x + x + )
1 + x(x + 2)(2 − x) = 5 2) ( x + )( 2
x − x + ) − x( 2 2 1 4 2 1 8 x + 2) =17 3) ( x + )( 2 1 x − x + )
1 − x(x − 2)(x + 2) = 21 4) (x − )( 2
x + x + ) = x( 2 3 3 9 x − 8)
5) ( x − )3 − ( x + )( 2
x − x + ) + ( 2 1 3 3 9 3 x − 4) = 2 Trang 9
Bài 4. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ. I. LÝ THUYẾT.
1) Phân tích bằng cách đặt nhân tử chung.
Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.
Ví dụ 1: Với đa thức 3 2
x + x ta thấy có chung 2
x nên ta làm như sau 3 2 2
x + x = x ( x + ) 1 Khi đó 2
x gọi là nhân tử chung.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức 2( x + y) − 3x( x + y) = ( x + y)(2 − 3x) Chú ý:
 Đưa dấu " −" ra ngoài để có nhân tử chung a − b = −(b − a)
2) Phân tích bằng cách nhóm hạng tử.
Ví dụ 3: Với đa thức ax + bx + cx + a + b + c ta có thể làm như sau
ax + bx + cx + a + b + c = x(a + b + c) + a + b + c = (a + b + c)(x + ) 1
Ví dụ 4: Với đa thức xy +1+ x + y ta sẽ nhóm hai hạng tử xy và x lại với nhau, y và 1 lại với nhau.
(xy + x) +( y + )1 = x( y + )1 + ( y + )1 = (y + )1(x + )1
3) Phân tích bằng cách dùng hằng đẳng thức.
Ví dụ 5: Với đa thức 2
x − 8x +16 ta thấy nó là một hằng đẳng thức nên ta sẽ làm như sau 2
x − 8x +16 = ( x − 4)2 2
Ví dụ 6: Với đa thức 2 2
x − 5 = x − ( 5) = (x − 5)(x + 5)
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1: Phân tích thành nhân tử ( Đặt nhân tử chung) 1) 2 x − x 2) 2 x − 8x 3) 2 x +12x 4) 3 x − 4x 5) 2 3x − x 6) 2 2xy + y 7) 2 x − xy 8) 3 2 x − x y 9) 3x − 3y 10) 10x +15y 11) 3x −12 y 12) 4x − 20 13) 2 6x − 2x 14) 2 2x − 4x 15) 2 3x − 6x 16) 2 3x + 6x 17) 2 4x + 6x 18) 2 2x + 6x 19) 3 2x − 8x 20) 3 2 2x − 3x 21) 4 3x − 24x 22) 2 4x −12x 23) 3 2 6x + 9x 24) 2 9x −16x 25) 3 yx + 8y 26) 3 2 x y + 5x y 27) 2 xy − 25x 28) 2 7x +14xy 29) 2 2 4x y − 6xy 30) 2 3xy − 9x 31) 2 6x − 3xy 32) 2 3 3xy − 3x 33) 3xy + 6xz 34) 2 3 18x y −12x 35) 2 2 8xy − 2x y 36) 2 3xy + 6xyz
Bài 2: Phân tích thành nhân tử ( Đặt nhân tử chung) 1) 3 2
x + 2x + x 2) 4 3 2
x − 4x + 4x 3) 3 2
5x −10x + 5x 4) 3 2
2x −12x +18x 5) 2
8x y − 8xy + 2x 6) 2
5x y − 35xy + 60y 7) 2 3 2
2x + 5x + x y 8) 3 2
2x y − 8x y + 8xy 9) 2 2 2 2
4x y − 8xy +18x y 10) 2 2 2 3
6x y + 4xy −12x y 11) 2 2 2 2
2x y − 3xy + 4x y 12) 2 2 2 2 3
− x y + 6x y − 9xy 13) 3 4 5 6 7 8
2x y − 4x y + 6y x 14) 4 3 2 4 3 4
2x y − 3x y + 5x y Trang 10
Bài 3: Phân tích thành nhân tử ( Đặt nhân tử chung)
1) 5( x − y) − y ( x − y) 2) x ( y + ) 1 + 8( y + ) 1
3) 5( x − y) − x( x − y)
4) z ( x + y) − 5( x + y)
5) 3x ( x + 5) − 2(5 + x) 6) 2 x ( x − ) 1 + 4( x − ) 1 7) 5x ( x − ) 1 − (1− x) 8) x ( y − )
1 − y (1− y)
9) y ( x − 2) − 3(2 − x)
10) 3( x − y) − y ( y − x)
11) 3x ( x − 2) + 5(2 − x)
12) 7x ( x − y) − ( y − x) 13) 3x ( x − )
1 − 2y (1− x)
14) 3( x − y) − 5x( y − x)
15) x ( x − y) + y ( y − x) 16) x ( 2 y − ) + ( 2 1 4 1− y ) 17) x (2y − ) 1 − 5(2y − ) 1
18) 9( x − 2y) + x(2y − x)
19) 10x ( x − y) − 8y ( y − x)
20) 3x ( x − y) + 6( y − x) 21) 5x ( x − )
1 −15x(1− x)
22) 10x ( x − y) − 6y ( y − x)
23) 3x ( x − 2y) + 6y (2y − x) 24) 20x( x + y) − 8y ( y + x) 25) 2
xy ( x − 3) + 4x(3 − x)
26) x ( x + y) 2 2
− 6x (x + y) 27) 2
9x ( y + z) + 3x( y + z) 28) 2 2x ( y − )
1 − 2x( y − ) 1
29) 10xy ( x − y) − 6y ( y − x )
Bài 4: Phân tích thành nhân tử ( Đặt nhân tử chung) 2
1) x ( x − ) + ( − x)2 . 1 1 2) ( x + ) 1 − 3( x + ) 1 3)
x( x − ) − ( x − )2 2 2 2 2 3 4) 3x ( x − ) 1 − (1− x) 5)
x( x + ) − ( x + )2 3 2 5 2 6)
x( x − y) + ( y − x)2 4 3
Bài 5: Phân tích thành nhân tử ( Nhóm hạng tử)
1) 2 y ( x + 2) − 3x − 6 2) (x + ) 2 3 4 − x − 4x 3) (x + ) 2 2 5 − x − 5x 4) 2
x + 6x − 3( x + 6)
5) x ( x + y) − 5x − 5y
6) x ( x − y) + 2x − 2y
7) 2x − 6 + 5x ( x − 3)
8) 3x ( x − 2) − 4x + 8
9) x ( x + y) − 3x − 3y
10) x ( x + y) − 7x − 7 y 11) 2
x ( x − y) + 2x − 2y
12) x ( x + 3y) − 5x −15y
13) 2x ( x − 5) + 3x −15
14) x ( x + y) + ax + ay
15) a ( x + y) − 4x − 4y
16) a ( x − y) + bx − by
17) xz + yz − 5( x + y)
18) 5( x − y) + ax − ay
Bài 6: Phân tích thành nhân tử ( Nhóm hạng tử) 1) 2
x + 3x − x − 3 2) 2
x − xy + x − y 3) 2
xy + y − x − y
4) xy + y − 2x − 2 5) 3 2
x − 2x + x − 2 6) 4 3
x + x y − x − y 7) 2
x + xy − xz − yz
8) xy + xz + 3y + 3z 9) 2
x − 3x + xy − 3y 10) 2
xy − 3x − y + 3y 11) 2
x + 2x − xy − 2y 12) 2
3x − x − 3xy + y 13) 2
x + 5xy + x + 5y 14) ( x + )
1 y − 2x − 2 15) 2
x − 2xy + x − 2y 16) 2
x − 2x + 2y − xy 17) 2
x + xy − 2x − 2y 18) 2
x − xy − 6x + 6y
19) 2xy + 3z + 6 y + xz 20) 2
3x − 3xy − 5x + 5y 21) 2
x − 6x − 2xy +12y 22) 2
x + 3xy − 5x −15y 23) 2
3x − 2x − 3xy + 2y 24) 2
3x − 3xy − 5x + 5y 25) 3 2
x + 6x + x + 6 26) 3 2
9x − 9x y − 4x + 4y 27) 2
2x − 6xy + 5x −15y 28) 2 3
x y − x − 9y + 9x 29) 3 2
x + 2x − 4x − 8 30) 2 2
5xy − 5x + y −1 31) 3 2
4x − 4x − 9x + 9
32) 10ax − 5ay − 2x + y 33) 3 2
a − a x − ay + xy 34) 2
x + ab + ax + bx 35) 2
ax − bx + ab − x
Bài 7: Phân tích thành nhân tử ( Nhóm hạng tử) Trang 11 1) 2
ax − 3axy + bx − 3by 2) 2 2 2 2
5x y + 5xy − a x − a y 3) 3 2
2ax + 6ax + 6ax +18a 4) 2 2
10xy − 5by + 2ax − ab
5) ax − bx + cx − 3a + 3b − 3c
6) 2ax − bx + 3cx − 2a + b − 3c
7) ax − bx − 2cx − 2a + 2b + 4c 8) 2 2
3ax + 3bx + ax + bx + 5a + 5b 9) 2 2
ax − bx − 2ax + 2bx − 3a + 3b
Bài 8: Phân tích thành nhân tử ( Hằng đẳng thức) 1) 2 x − 9 2) 2 49 − x 3) 4 4 y −1 4) 2 4x −1 5) 2 2 x − 9y 6) 2 25x − 9 7) 2 4x − 25 8) 2 2 x −16y 9) 2 9x −1 10) 2 x + 6x + 9 11) 2 4x + 4x +1 12) 2
10x − x − 25 13) 2 2
9x + 6xy + y 14) 2 2
4x −12xy + 9y 15) 2 2
x + 4y + 4xy 16) 4 2 x + 4 − 4x 17) 4 2 x + 2x +1 18) 4 2 x − 2x +1 19) 3 1− 8x 20) 3 x + 27 21) 3 3 8x − y 22) 3 1 8x − 23) 3 1 x + 24) 3 8 x − 8 27 125
Bài 9: Phân tích thành nhân tử ( Hằng đẳng thức) 1) − ( − )2 9 x y
2) ( x − y)2 − 4 3) ( x + )2 2 2 − y 4) ( x + )2 2 5 − y 5) ( x + y)2 2 − 9x 6) 2 16x − ( x + )2 1 7) ( x − )2 4 5 − 25 8) (x + )2 2 2 1 − 4x 9) ( x − )2 2 2 3 − 25y
10) ( x + )2 − ( x + )2 3 1 1 2 2 2 2
11) ( x + y) − ( x − y) 12) (2xy + ) 1 − (2x + y)
13) ( x − y)2 − ( x + y)2 9 4 2 2
14) (3x − 2y) − (2x − 3y) 15) ( 2 4x − 4x + ) 1 − (x + )2 1
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử 1) 2 2
x − x − y − y 2) 2 2
x − y + x − y 3) 2 2
3x − 3y + x − y 4) 2 2
5x − 5y + x − y 5) 2 2
x − 5x − y − 5y 6) 2 2
x − y + 2x − 2y 7) 2 2
x − 4y + x + 2y 8) 2 2
x − y − 2x − 2y 9) 2 2
x − 4y + 2x + 4y 10) ( − ) 2 2
x x y + x − y 11) 2 2
x − y +10x −10y 12) 2 2
x − y + 20x + 20y 13) 2 2
4x − 9y − 4x − 6y 14) 3 3 2 2
x − y + 7x − 7 y 15) 3 x + x − ( 3 4 y + 4y) 16) 3 3
x + y + 2x + 2y 17) 3 3 2 2
x − y − 2x y + 2xy 18) 3 2 2
x − 4x + 4x − xy
Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử 1) 2 2
x − 2x +1− y 2) 2 2
x + 6x + 9 − y 3) 2 2
x + 2x − y +1 4) 2 2
x − y + 4x + 4 5) 2 2
4a − 4a +1− b 6) 2 2
x + 4x − y + 4 7) 2 2
x − y − 6y − 9 8) 2 2
x − 6x + 9 − y 9) 2 2
x + 8x +16 − y 10) 2 2
4x − y + 4x +1 11) 2 2
4x + 6y − y − 9 12) 2 2
x − 6x − 4y + 9 13) 2 2
y − x −12y + 36 14) 2 2
x − y − 2y −1 15) 2 2
x − y +14x + 49 16) 2 2
1− 8x +16x − y 17) 2 2
x −16y + 4x + 4 18) 2 2
x +10x −16y + 25 Trang 12 19) 2 2
y −14y − 25x + 49 20) 2 2
x − 4y +16x + 64 21) 2 2
16y − 4x −12x − 9
Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử 1) 2 2
x − 2xy − 4 + y 2) 2 2
4 − x − 2xy − y 3) 2 2
x + 4y − 4xy − 4 4) 2 2
x − 2xy − 25 + y 5) 2 2
9 − x − 2xy − y 6) 2 2
x + 2xy − 9 + y 7) 2 2
x − 2xy + y −1 8) 2 2
x − 2xy + y − 4 9) 2 2
x − 2xy + y − 49 10) 2 2
x + 2xy + y − 25 11) 2 2
x −16 − 4xy + 4y 12) 2 2
25 − x + 2xy − y 13) 2 2
25 − x + 4xy − 4y 14) 2 2
4x + 4xy + y − 9 15) 2 2
x + 4xy −16 + 4y 16) 2 2
a − 9 − 8ab +16b 17) 2 2
x − 36 + 4xy + 4y 18) ( 2 2
4 x − y ) + 4x +1 19) 2 2 2
x − 2xy + y − z 20) 2 2 2
x − 2xy + y − 9z 21) 2 2 2
x + y − 2xy − 4z 22) 2 2 2
3x + 6xy + 3y − 3z 23) 2 2
3x + 6xy + 3y −12
Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử 1) 2 2
2x − 2y − x + 2xy − y 2) 2 2
x + y − 2xy + 2x − 2y 3) 4 2 2
x − x + 2xy − y 4) 2 2
x − 2xy + 2x + y − 2y 5) 2 2
x + y + 2xy + yz + zx
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử 1) 2 2
x − 2x +1− y + 2x −1 2) 2 2
x − 4x + 4 − y − 6y − 9 3) 2 2
4x − 4x +1− y − 8y −16 4) 2 2 2 2
x − 2xy + y − z + 2zt − t 2 2
5) ( x + y) − 2( x + y) +1 6) ( 2
x + x + ) + x( 2 x + x + ) 2 1 2 1 + x 2
7) ( x + y) − 8( x + y) +12 8) (x + x)2 2 2 2
− 2x − 4x − 3 9) (x + x)2 2 2 + 4x + 4x −12 10) (x + x)2 2 2 2 + 9x +18x + 20 2 2 11) ( 2 x + x) − ( 2 2 x + x) −15 12) ( 2 x + x) − ( 2 4 2 x + 4x) −15
Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử 1) 3 2
x − 2x + x 2) 3 2
x − 6x + 9x 3) 3 2
x − 2x − 8x 4) 3 2
x − 4x + 4x 5) 3 2
2x + 3x − 2x 6) 3 2
2x − 8x + 8x 7) 3 2
4x + 4x + x 8) 3 2
3x − 6x + 3x 9) 3 2
x − 7x +10x 10) 3 2
2x −12x +18x 11) 3 2
2x − 20x +18x 12) 3 2
a − 8a +16a 13) 8 2 x − x 14) 4 x − 27x 15) 5 2 27x + x 3 3 3 3 16) ( + )3 3 3
x y − x − y
17) ( x + y) − ( x − y)
18) ( x + y) + ( x − y) 19) 3 3 2 2
x − y + 2x − 2y 20) 3 3
x − y − 4x + 4y 21) 3 3 2 2
x − 8y + x − 4y
Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử 1) 2 2
x − 4xy + 3y 2) 2 2
4x − 5xy + y 3) 2 2
x + 4xy + 3y 4) 2 2
9x + 6xy − 8y 5) 2 2
2x + 3xy − 5y 6) 2 2
x − 35y − 2xy 7) 2 2
x −10xy +16y 8) 2 2
3x −10xy + 8y 9) 2 2
4x + 4xy −15y 10) 2 2
2x +10xy + 8y 11) 2 2
5x +10xy + 5y 12) 2 2 7
− xy + 3x + 2y Trang 13
Dạng 2. Tìm x
Bài 17: Tìm x biết: 1) 2 x − x = 0 2) 2 x − 4x = 0 3) 2 x + 3x = 0 4) 2 x + 5x = 0 5) 2 x − 7x = 0 6) 2 3x − 6x = 0 7) 2 x + 7x = 0 8) 2 7x + 2x = 0 9) 2 x + 6x = 0 10) 2 2x − 5x = 0 11) 2 3x + 7x = 0 12) 2 5x − 3x = 0 13) 2 5x −13x = 0 14) 2 3 − x + 5x = 0 15) 2 3x − 7x = 0 16) 3 4x − x = 0 17) 3 x − 4x = 0 18) 3 x − 9x = 0 19) 3 x −16x = 0 20) 3 x − 25x = 0 21) 3 4x − 36x = 0
Bài 18: Tìm x biết: 1) 4x ( x + ) 1 = 8( x + ) 1
2) 5x ( x − 2) − (2 − x) = 0 3) x( x − ) 1 − 2(1− x) = 0
4) x ( x + 2) − 3( x + 2) = 0 5) 2x ( x + ) 1 − 3(x + ) 1 = 0 6) 2
x ( x − 2) + 3( x − 2) = 0
7) 2x ( x − 5) − 7(5 − x) = 0 8) 3x( x − 2) + 2( x − 2) = 0 9) x(3x + 2) − x(2x + 3) = 0 10) 5x ( x − ) 1 = x −1
11) x ( x + 2) − x − 2 = 0
12) x ( x − 2) + x − 2 = 0
13) x ( x − 3) − x + 3 = 0 14) 2x ( x − ) 1 − x +1 = 0
15) x ( x + 3) − 2x − 6 = 0
16) 2x ( x + 5) − x − 5 = 0
17) x ( x − 3) + 2x − 6 = 0 18) x ( x − ) 1 + 2x − 2 = 0
19) 5x ( x − 3) − x + 3 = 0
20) x ( x − 3) − 2x + 6 = 0 21) ( x + ) 2 2
3 − x − 3x = 0 22) x (2x − ) 1 + 4x − 2 = 0
23) x ( x − 4) + 3x −12 = 0
24) 4x ( x − 2) − 6 + 3x = 0
25) x ( x − 20) − x + 20 = 0 26) ( x + ) 2 2
5 − x − 5x = 0 27) x ( x − ) 2 3 5 − x + 25 = 0
28) 8x ( x − 5) − 3x +15 = 0
29) 3x ( x − 5) − 2x +10 = 0 30) 8x( x − 5) − 2x +10 = 0
Bài 19: Tìm x biết: 1) 2
x + 2x − 3x − 6 = 0 2) 2
x − 8x + 3x − 24 = 0 3) 2
x + 4x − 5x − 20 = 0 4) 2
x + 20x − x − 20 = 0 5) 2
x +10x − 2x − 20 = 0 6) 2
x +12x + 2x + 24 = 0 7) 3 2
x − 4x − x + 4 = 0 8) 3 2
x − 3x + 3x −1 = 0 9) 3 2
x + 3x − 4x −12 = 0 10) 2
2x − 2x = ( x − )2 1 11) ( x − )2 3 + 3 − x = 0 12) ( x − )2 2 − 4x + 8 = 0 13) ( x − )2 3 6 = 60 −10x 14) ( x + )2 3 − 6x −18 = 0 15) ( x − )2 4 − 4x +16 = 0 16) ( x − ) 2 2 5 − x + 25 = 0 17) x ( x + ) 2 1 − x +1 = 0 18) 2
4x − 25 + (2x + 5)2 = 0 19) 2
x − 4 + ( x + 2)( x − 3) = 0 2
20) x ( x − ) − ( − x)2 2 1 1 = 0
21) x −1+ ( x + ) 1 ( x − 3) = 0
Bài 20: Tìm x biết: 1) 2 x + x −12 = 0 2) 2
x − 8x + 7 = 0 3) 2
x − 4x − 5 = 0 4) 2
x − 8x − 9 = 0 5) 2
x − 4x + 3 = 0 6) 2 x + 5x + 4 = 0 7) 2
x − 5x + 6 = 0 8) 2
x − 4x + 3 = 0 9) 2
x + 3x −18 = 0 10) 2
x − 3x −10 = 0 11) 2
x + 3x −10 = 0 12) 2
x − 2x − 35 = 0 13) 2
x − 7x +12 = 0 14) 2
x − 7x +12 = 0 15) 2
4x −12x + 9 = 0 16) 2
8x + 30x + 7 = 0 17) 2 3x + 5x + 2 = 0 18) 2
9x − 30x + 24 = 0 Trang 14 ĐÁP ÁN
CHƯƠNG 2. HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1. HIỆU HAI BÌNH PHƯƠNG,
BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG HAY MỘT HIỆU Bài 1: 1) 2 x + 2x +1 2) 2 16 + 8x + x 3) 2 36 −12x + x 4) 2 x −10x + 25 5) 2 25x +10x +1 6) 2 4x +12x + 9 7) 2 4x − 4x +1 8) 2 9x −12x + 4 9) 2 2
x + 4xy + 4y 10) 2 2
x +10xy + 25y 11) 2 2
x − 4xy + 4y 12) 2 2
4x − 4xy + y 13) 2 2
9x + 30xy + 25y 14) 2 2
4x +12xy + 9y 15) 2 2
4x −12xy + 9y 16) 2 2
4x − 20xy + 25y 17) 4 2 x +18x + 81 18) 4 2 4x + 4x +1 19) 4 2 2 4
x − 2x y + y 20) 2 2 4
9x − 6xy − y 21) 2 2 2
x + 4xy + 4y 22) 2 4
4x +12xy + 9y 23) 2 2 4
16x −16xy + 4y 24) 4 2 2
16x −16x y + 4y Bài 2:
1) ( x − 2)( x + 2)
2) (1− 2x)(1+ 2x)
3) (2x − 3)(2x + 3)
4) (3 − 5x)(3 + 5x)
5) (2x − 5)(2x + 5)
6) (3x − 6)(3x + 6)
7) (3x − y)(3x + y)
8) ( x − 2y)( x + 2y)
9) (2x − y)(2x + y) 10) ( 2 x − y )( 2 3 3 3x + 3y ) 11) ( 2 x − y )( 2 4 4x + y ) 12) ( 2 2 x − y )( 2 2 3 x + 3y ) 13) 2 x −1 14) 2 x − 25 15) 2 x − 36 16) 2 4x −1 17) 2 2 x − 4y 18) 2 25x − 9y 1 2 2 x y 19) − 25 20) 2 9 x − − 2 21) x 4 9 16 2 x 4 2 2 y x 22) − 23) − 24) 2 4 4x − 2 y 9 9 4 9 9 2 x 16 2 4 y 25) 2 − 4x 26) − 27) 4 x − 25 4 9 9 4 28) 2 4 9x − y 29) 4 2 x − 4y 30) 4 4 x − y Bài 3: 1) 2 8x + 2 2) 2 2 − x − 2 3) 8xy 4) 2 2
10x + 4xy + 2y 5) 2 2
− x − 4x − 34 6) −6x + 3 7) 2 2 2x + 32y 8) 2 29
− x + 42x −18 9) 2 21 − x +18x 10) 2 13x +10x + 2 11) 2 2 5
− x − 2xy − 2y 12) −4x 13) 2 8x + 40x + 58 14) 2 2 5
− x − 2xy −10y 15) −16x − 40 Bài 4: 1) −x + 1 2) 4x + 2 3) 6x + 7 4) 8x −17 5) 2 2x −1 6) 23 − x − 9 Trang 15 7) 2 7x − 21x + 21 8) 2x −1 9) 2 2x − 2x − 3 10) 4x + 23 11) 6x − 9 12) 2 x + 3x + 26 13) 2 3x −18x +19 14) −77 Bài 5: 1) ( x − )2 2 2 1 2) ( x − )2 2 3 3) ( x − )2 6 4) ( x − )2 5 1 5) (x + )2 2 9 6) ( x − )2 2 5 7) (x − y )2 2 2 8) ( x + y)2 5 9) ( y − x)2 3 4 Bài 6: 1) ( x + )2 2 2
2) ( x − y + )2 3 2 2 3) 25 4) 100 5) 2 4 y 6) 2 4x 7) 9 8) 2 36 y Bài 7:
1) A = ( 2 + )( 4 + ) ( 16 8 3 1 3 1 ..... 3 + )
1  A = ( 2 − )( 2 + )( 4 + ) ( 16 3 1 3 1 3 1 ..... 3 + ) 1
A = ( 4 − )( 4 + ) ( 16 3 1 3 1 ..... 3 + ) 1 …..
A = ( 16 − )( 16 + ) 32 3 1 3 1 = 3 −1
2) B = ( − )( + )( 2 + )( 4 + ) ( 16 1 3 3 1 3 1 3 1 ..... 3 + ) 1
B = −( − )( + )( 2 + )( 4 + ) ( 16 3 1 3 1 3 1 3 1 ..... 3 + ) 1
B = −( 2 − )( 2 + )( 4 + ) ( 16 3 1 3 1 3 1 ..... 3 + ) 1 …..
B = −( 16 − )( 16 + ) = −( 32 − ) 32 3 1 3 1 3 1 =1− 3
3) C = ( − )( + )( 2 + )( 4 + ) ( 16 5 1 5 1 5 1 5 1 ..... 5 + ) 1
C = ( 2 − )( 2 + )( 4 + ) ( 16 5 1 5 1 5 1 ..... 5 + ) 1 …..
C = ( 16 − )( 16 + ) 32 5 1 5 1 = 5 −1 4) D = ( 2 + )( 4 + ) ( 64 15 4 1 4 1 ..... 4 + ) 1
D = ( 2 − )( 2 + )( 4 + ) ( 64 4 1 4 1 4 1 ..... 4 + ) 1 …..
D = ( 64 − )( 64 + ) 128 4 1 4 1 = 4 −1 5) E =
( 2 + )( 4 + )( 8 + ) ( 128 + )+( 256 24 5 1 5 1 5 1 ..... 5 1 5 − ) 1
E = ( 2 − )( 2 + )( 4 + )( 8 + ) ( 128 + ) + ( 256 5 1 5 1 5 1 5 1 ..... 5 1 5 − ) 1 ….. Trang 16
E = ( 128 − )( 128 + ) + ( 256 − ) 256 256 = − + − = ( 256 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 2 5 − ) 1 Bài 8:
1) A = 10x + 8 tại x = 201 thì A =10.201+ 8 = 2018 1 1
2) B = 20x −11 tại x = thì B = 20. −11 = 1 − 0.
3) C = ( x − y)2 4 tại x 20
− 4y = 5 thì C 202 = 5 = 25
4) D = ( x − y)2 3 2
+1620 tại 3x − 2y = 20 thì 2 D = 20 +1620 = 2020 Bài 9: 1) x 3; −  3 2) x 5; −  5 3) x 6; −  6 4) x 1; −  1 5) x 3; −  3 6) x 3; −  3  5 −   5 7) x  1  ;  8) x 5; −  2 9) x  5;    3   3  1 9 1 −  10) x   6 11) x   2; −  12) x   ;   3 4 4  Bài 10: 4  1) x   ; 2 2) x 0; −  2 3) x 1;  3 3   2 −  4) x 1;  7 5) x 1 − ;  3 6) x   ; 8  3  1   4  1  7) x   ; 3 8) x   2; −  9) x  0;  2   3  2 Bài 11: 1   2 −  5 1) x    2) x    3) x    4) x   5 2  7  3 17   4 5) x    6) x   2 7) x   1 8) x     5  9   2 −  9) x −  2 10) x −  4 11) x    12) x   2  3   13 −  13) x   2 14) x     2  Bài 12: 1) 2 2
x + y + 4y +13 = 6x 2) 2 2
x + y +17 = 2x − 8y 2 2
x − 6x + 9 + y + 4y + 4 = 0 2 2
x − 2x +1+ y + 8y +16 = 0
 (x − )2 + ( y + )2 3 2 = 0 2 2  (x − ) 1 + ( y + 4) = 0 x − 3 = 0 x = 3 x −1= 0 x =1         y + 2 = 0 y = 2 − y + 4 = 0 y = 4 − 3) 2 2
x + y + 45 = 12y − 6x 4) 2 2
4x + 9y + 2 = 4x + 6y 2 2
x + 6x + 9 + y −12y + 36 = 0 2 2
 4x − 4x +1+ 9y − 6y +1 = 0
 (x + )2 + ( y − )2 3 6 = 0 2 2  (2x − ) 1 + (3y − ) 1 = 0 Trang 17x + 3 = 0 x = 3 − 2x −1 = 0   1 1     
 x = ; y = . y − 6 = 0 y = 6 3  y −1 = 0  2 3 5) 2 2
9x + 4y + 26 + 4 y = 30x 6) 2 2
9x + y + 20 = 12x + 8y 2 2
 9x − 30x + 25 + 4y + 4y +1 = 0 2 2
 9x −12x + 4 + y − 8y +16 = 0
 ( x − )2 + ( y + )2 3 5 2 1 = 0 2 2
 (3x − 2) + ( y − 4) = 0 3  x − 5 = 0 5 1 − 3  x − 2 = 0  2   x = ; y = .  
x = ; y = 4. 2y +1= 0 3 2 y − 4 = 0 3 7) 2 2
x + 49y + 5 +14y = 4x 8) 2 2
16x + 25y +13 = 20 y + 24x 2 2
x − 4x + 4 + 49y +14y +1 = 0 2 2
16x − 24x + 9 + 25y − 20y + 4 = 0
 (x − )2 + ( y + )2 2 7 1 = 0 2 2
 (4x − 3) + (5y − 2) = 0 x − 2 = 0 1 − 4x − 3 = 0  3 2   x = 2; y = .    x = ; y = . 7y +1= 0 7 5  y − 2 = 0 4 5 Bài 13: 1) 2
A = x − x +1  0 2) 2
B = x + x +1  0 Ta có 2 1 1 1 A = x − 2. . x + +1− Ta có 2 1 1 1 B = x + 2. . x + +1− 2 4 4 2 4 4 2  1  3 3 2   1  3 3 A = x − +   0    B = x + +   0    2  4 4  2  4 4 3) 2
C = x + 2x + 2  0 4) 2
A = x − 5x +10  0 Ta có 2
C = x + 2x +1+1 Ta có 2 5 25 25 A = x − 2. . x + +10 −  C = (x + )2 1 +11  0 2 4 4 2  5  15 15  A = x − +   0    2  4 4 5) 2
B = x − 8x + 20  0 6) 2
C = x − 8x +17  0 Ta có 2 B = x − 2. .4 x +16 + 4 Ta có 2 C = x − 2. .4 x +16 +1
B = (x − )2 4 + 4  4  0
C = (x − )2 4 +11  0 7) 2
A = x − 6x +10  0 8) 2
B = 9x − 6x + 2  0 Ta có 2 A = x − 2. .3 x + 9 +1 Ta có B = ( x)2 3 − 2.3 .1 x +1+1
A = (x − )2 3 +11  0
B = ( x − )2 3 1 +11  0 9) 2
C = 2x + 8x +15  0 Ta có C = ( 2 2 x + 4x) +15  C = ( 2 2 x + 2. .2 x + 4) +15 −8  C = (x + )2 2 2 + 7  7  0 Bài 14: 1) 2
A = x − x + 3 2) 2
B = x + x +1 Trang 18 Ta có 2 1 1 1 A = x − 2. . x + + 3 − Ta có 2 1 1 1 B = x + 2. . x + +1− 2 4 4 2 4 4 2  1  11 11 2   1  3 3 A = x − +     B = x + +     2  4 4  2  4 4 1 1 1 1 −
Dấu " = " xảy ra khi x − = 0  x = .
Dấu " = " xảy ra khi x + = 0  x = 2 2 2 2 11 1 3 1 − Vậy = m A = in
đạt được khi x = . Vậy B = đạt được khi x . 4 2 min 4 2 3) 2
C = x − 4x +1 4) 2
D = x − 5x + 7 Ta có 2 C = x − 2. .2 x + 4 +1− 4 Ta có 2 5 25 25 D = x − 2. . x + + 7 − C = ( x − )2 2 − 3  3 − 2 4 4 2
Dấu " = " xảy ra khi x − 2 = 0  x = 2  5  3 3  D = x − +  Vậy C = 3 −   min
đạt được khi x = 2.  2  4 4 5 5
Dấu " = " xảy ra khi x − = 0  x = 2 2 3 5 Vậy m D = in
đạt được khi x = . 4 2 5) 2
E = x + 2x + 2 6) 2
F = x − 3x +1 Ta có 2 E = x + 2. .1 x +1+1 Ta có 2 3 9 9 F = x − 2. . x + +1−  E = (x + )2 1 +11 2 4 4 2
Dấu " = " xảy ra khi x +1 = 0  x = −1  3  5 − 5 −  F = x − +  Vậy E =1   min
đạt được khi x = −1.  2  4 4 3 3
Dấu " = " xảy ra khi x − = 0  x = 2 2 5 − 3 Vậy = m F in
đạt được khi x = . 4 2 7) 2
G = 3 + x + 3x 8) 2
H = 3x + 3 − 5x   Ta có 2 3 9 9 G = x + 2. . x + + 3 − Ta có 2 5
H = 3 x − x +1 2 4 4    3  2  3  3 3    G = x + +  2 5 25 25  
H = 3 x − 2. . x + +1−    2  4 4  6 36 36  3 3 − 2  
Dấu " = " xảy ra khi x + = 0  x =  5  11 33 11  =  − +     = 2 2 H 3 x  6  36 36 12   3 3 − Vậy I = = min đạt được khi x . 5 5 4 2
Dấu " = " xảy ra khi x − = 0  x = 6 6 11 5 Vậy H = min
đạt được khi x = . 12 6 9) 2
I = 4x + 2x + 3 10) 2
K = 4x + 3x + 2 Trang 19 Ta có I = ( 2 2 x + 2x) + 3 Ta có K = ( x)2 3 9 9 2 + 2.2 . x + + 2 − 4 16 16  I = ( 2 2 x + 2x + ) 1 + 3 − 2 2  3  23 23  = + +   K 2x I = ( x + )2 2 1 +11    4  16 16
Dấu " = " xảy ra khi x +1 = 0  x = −1 3 3 − Vậy I =1
Dấu " = " xảy ra khi 2x + = 0  x = min
đạt được khi x = −1. 4 8 23 3 − Vậy K = = min đạt được khi x . 16 8
11) M = ( x − ) 1 ( x − 3) +11 2 2
12) N = ( x − 3) + ( x − 2) Ta có 2
M = x − 4x +14 Ta có 2
N = 2x −10x +13 2
M = x − 2. .2 x + 4 +10  N = ( 2 2 x − 5x) +13
M = (x − )2 2 +10 10  
Dấu " = " xảy ra khi x − 2 = 0  x = 2 2 5 25 25
N = 2 x − 2. . x + +13 −    2 4  2 Vậy M =10 min
đạt được khi x = 2. 2  5  1 1  N = 2 x − +     2  2 2 5 5
Dấu " = " xảy ra khi x − = 0  x = 2 2 1 5 Vậy N = min
đạt được khi x = . 2 2 Bài 15: 1) 2
A = 4x − x +1 2) 2
B = 3 − 4x − x Ta có A = −( 2 x − 4x − ) 1 Ta có B = −( 2 x + 4x − 3)  A = −( 2 x − 2. . x 2 + 4 − 5)  B = −( 2 x + 2. . x 2 + 4 − 7) A (x )2 2 5  = − − −  B  = − (x + 2)2    − 7  
A = −(x − )2 2 + 5  5
B = −(x + )2 2 + 7  7 Vậy A = 5 max
đạt được khi x = 2. Vậy B = 7 max
đạt được khi x = −2. 3) 2
C = 8 − x − 5x 4) 2 D = 4 − − x + 6x 2  5  57 57
D = −( x − )2 3 + 5  5 C = − x + +     2  4 4 Vậy D = 5 max
đạt được khi x = 3. 57 5 − Vậy = m C = ax đạt được khi x . 4 2 5) 2 E = 10
− − x − 6x 6) 2
F = −x +13x +1 E = −( x + )2 3 −1 1 − 2  13  173 173 F = − x − +    Vậy E = 1 − max
đạt được khi x = −3.  2  4 4 173 13 Vậy m F = ax
đạt được khi x = . 4 2 Trang 20

Tài liệu liên quan: