47 trang 2 lượt tải

Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Bồi Dưỡng HSG Toán 8 Có Lời Giải Chi Tiết

4

Cho a, b, c là các số thực dương, Tìm GTNN. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c chu vi là 2p. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 2, hãy so sánh a, b, c với 1. Cho a, b, c là chiều dài ba cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 2. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!

Chủ đề: Chương 2: Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng (KNTT) 24 tài liệu

Môn: Toán 8 2.2 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mỹ Châu

22 giờ trước
Danh sách Quiz
/47
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A-B >0, CHÚ Ý BĐT
2
0A
Bài 1: CMR : với mọi x,y,z thì
2 2 2
x y z xy yz zx+ + + +
HD:
Xét hiệu ta có:
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 0 0x y z xy yz zx x y y z z x+ + − − − = − + − + −
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
Bài 2: CMR : với mọi x,y,z thì
2 2 2
2 2 2x y z xy yz zx+ + + −
HD:
Xét hiệu ta có:
( )
2
2 2 2
2 2 2 0 0x y z xy yz zx x y z+ + − − + = − +
Dấu bằng xảy ra khi x+z=y
Bài 3: CMR : với mọi x,y,z thì
( )
2 2 2
32x y z x y z+ + + + +
HD:
Xét hiệu ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 0x y z− + − + −
Dấu bằng khi x=y=z=1
Bài 4: CMR : với mọi a,b ta có :
HD :
Xét hiệu ta có :
2 2 2 2
2
0
24
a b a ab b+ + +
−
<=>
( )
2 2 2 2
2 2 2 0a b a ab b+ − − +
( )
2
22
2 0 0a ab b a b= + + = +
Dấu bằng khi a=b
Bài 5: CMR : với mọi a,b,c ta có :
2
2 2 2
33
a b c a b c+ + + +



HD:
Ta có:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
39
a b c a b c ab bc ac+ + + + + + +
( )
2 2 2 2 2 2
3 3 3 2 2 2 0a b c a b c ab bc ac= + + − + + + + +
2 2 2
2 2 2 2 2 2 0a b c ab bc ac= + + − − −
( ) ( ) ( )
2 2 2
0a b b c c a= − + − + −
, Dấu bằng khi a=b=c
Bài 6: CMR :
( )
2
2 2 2
3
abc
abc
++
+ +
HD:
Ta có:
2 2 2 2 2 2
3 3 3 2 2 2a b c a b c ab bc ca+ + + + + + +
2 2 2
2 2 2 2 2 2 0a b c ab bc ac= + + − − −
( ) ( ) ( )
2 2 2
0a b b c c a= − + − + −
, Dấu bằng khi a=b=c
Trang 2
Bài 7: CMR :
( )
2
22
2
2
ab
a b ab
+
+
HD:
Ta chứng minh:
( )
2
22
2
ab
ab
+
+
2 2 2 2
2 2 2a b a ab b= + + +
( )
2
22
2 0 0a b ab a b= + − = −
Dấu bằng khi a=b
Ta chứng minh
( )
2
2
2
ab
ab
+
( )
2
22
2 4 0a ab b ab a b= + + = −
Dấu bằng khi a=b
Bài 8: Cho a,b,c là các số thực, CMR:
2
2
4
b
a ab+
HD:
Ta có:
( )
2
22
4 4 2 0a b ab a b+ − = −
Dấu bằng khi b=2a
Bài 9: Cho a,b,c là các số thực, CMR :
22
1a b ab a b+ + + +
HD:
Ta có:
22
10a b ab a b+ + − − −
22
2 2 2 2 2 2 0a b ab a b= + + − − −
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 1 2 1 0a ab b a a b b= − + + − + + − +
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 0a b a b= − + − + −
Dấu bằng khi a=b=1
Bài 10: Cho a,b,c,d là các số thực : CMR :
( )
2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e+ + + + + + +
HD:
Ta có:
2 2 2 2 2
0a b c d e ab ac ad ae+ + + + − − − −
2 2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 4 4 4 0a b c d e ab ac ad ae= + + + + − − − −
=
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 4 4 0a ab b a ac c a ad d a ae e− + + − + + − + + − +
=
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2 0a b a c a d a e− + − + − + −
Dấu bằng xảy ra khi a=2b=2c=2d=2e
Bài 11: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0 CMR:
11
1 1 9
ab
+ +
HD:
ta có: VT
1 1 2 2 4 2 1
a b a b b a a b
a b a b b a
++
= + + = + + = + + +
5 2 5 2.2 9
ab
ba

= + + + =


Dấu bằng khi
22
1
2
ab
a b a b
ba
= = + = = =
Trang 3
Bài 12: Cho
2
, 0, :
2
xy
x y CMR xy
+




HD:
Ta có:
( )
2
2 2 2 2
2 4 2 0 0x y xy xy x xy y x y+ + = − + = −
, Dấu bằng khi x=y
Bài 13: Cho a > 0, b > 0, CMR:
HD:
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
3 2 3 2 2 2
00a a b b ab a a b b a b− + − = − − −
=
( )
( )
( ) ( )
2
22
00a b a b a b a b− − = − +
Dấu bằng khi a=b
Bài 14: Cho
1,ab
CMR:
22
1 1 2
1 1 1a b ab
+
+ + +
HD:
Xét hiệu:
22
1 1 1 1
0
1 1 1 1a ab b ab
− + −
+ + + +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
22
0
1 1 1 1
a b a b a b
a ab b ab
−−
= +
+ + + +
=
( ) ( )
( )
( )( )
2
22
1
0
11
b a ab
ab a b a
−−
+ + +
Dấu bằng khi a=b hoặc a=b=1
Bài 15: CMR : với mọi số thực x,y,z,t ta luôn có :
( )
2 2 2 2
x y z t x y z t+ + + + +
HD:
Ta có:
2 2 2 2
0x y z t xy xz xt+ + + − − −
=
2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 4 0x y z t xy xz xt+ + + − − −
=
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 0x xy y x xz z x xt t x− + + − + + − + +
Dấu bằng khi x= 2y=2z=2t=0
Bài 17: CMR :
2
22
2
4
a
b c ab ac bc+ + − +
HD:
Ta có:
2 2 2
4 4 4 4 8 0a b c ab ac bc+ + − + −
( )
( )
2 2 2
4 4 2 0a a b c b c bc= − − + + −
=
( ) ( )
2
2
4 4 0a a b c b c− − + −
=
( )
2
2 2 0aac− +
Bài 19: CMR :
2 2 2
2 2 2x y z xy zx yz+ + − +
HD:
Ta có:
2 2 2
2 2 2 0x y z xy yz zx+ + − − +
( )
2 2 2
2 2 0x x y z y yz z− − + − +
( ) ( ) ( )
22
2
2 0 0x x y z y z x y z− − + − = − +
Trang 4
Bài 20: CMR :
( )
4 4 4 2
1 2 1x y z x xy x z+ + + − − +
HD:
Ta có:
4 4 4 2 2 2
1 2 2 2 2 0x y z x y x xz x+ + + − + − −
( ) ( ) ( )
4 4 2 2 2 2 2
2 2 2 1 0x y x y x xz z x x+ − + − + + − +
( )
( ) ( )
2
22
22
10x y x z x− + − + −
Dấu bằng khi x=z=1, y=
1
Bài 21: CMR :
2 2 2
a b c ab bc ca+ + + +
HD:
Ta có :
2 2 2
0a b c ab bc ca+ + − − −
2 2 2
2 2 2 2 2 2 0a b c ab bc ca= + + − − −
( ) ( ) ( )
2 2 2
0a b b c c a= − + − + −
Bài 22: CMR :
22
a b ab+
HD:
ta có:
22
0a b ab+ −
2
2 2 2
2
33
2 . 0 0
2 4 4 2 4
b b b b b
a a a

= − + + = − +


Bài 23: CMR :
22
0x xy y+ +
HD:
Ta có:
2
2 2 2
2
33
2 . 0 0
2 4 4 2 4
y y y y y
x x x

+ + + = + +


Bài 24: CMR :
( )( )( )
22
0a a b a c a b c b c+ + + + +
HD:
( )( )( )
22
0a a b c a b a c b c= + + + + +
=
( )( )
2 2 2 2
0a ab ac a ab ac bc b c+ + + + + +
Đặt
2
a ab ac x
bc y
+ + =
=
Khi đó ta có:
( )
2 2 2
00x x y y x xy y+ + = + +
Bài 25: CMR :
( )( ) ( )
2
2 2 4 4 3 3
a b a b a b+ + +
HD:
Ta có:
6 2 4 4 2 6 6 3 3 6
2a a b a b b a a b b+ + + + +
=
( ) ( )
4 2 3 3 2 4 3 3
0a b a b a b a b− + −
=
( ) ( )
3 2 2 3
0a b a b a b b a− + −
=
( )
( )
( )
2
3 2 2 3 2 2
00a b a b a b a b a b− − = −
Bài 26: CMR :
( )
( ) ( )
3 3 4 4
2a b a b a b+ + +
HD:
Ta có:
4 3 3 4 4 4
22a ab a b b a b+ + + +
=
4 3 4 3
0a ab b a b− + −
=
( ) ( )
33
0a a b b b a− + −
=
( )
( ) ( )
( )
2
3 3 2 2
00a b a b a b a ab b− − = − + +
Trang 5
Bài 27: Cho a,b > 0, CMR :
( )
( )
( )
3 3 2 2
2 a b a b a b+ + +
HD:
Ta có:
3 3 3 2 2 3
22a b a ab a b b+ + + +
=
3 2 3 2
0a a b b ab− + −
=
( ) ( )
22
0a a b b b a− + −
=
( ) ( )
2
0a b a b− +
Bài 28: Cho a, b > 0, CMR:
( )
( )
3
33
4 a b a b+ +
HD:
Ta có:
3 3 3 2 2 3
4 4 3 3a b a a b ab b+ + + +
=
3 2 3 2
3 3 3 3 0a a b b ab− + −
=
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
3 3 0 3 0a a b b b a a b a b− + − = − −
=
( ) ( )
2
30a b a b− +
Bài 29: Cho a,b,c > 0, CMR:
( )
33
a b abc ab a b c+ + + +
HD:
Ta có:
3 3 2 2
a b abc a b ab abc+ + + +
=
3 2 3 2
0a a b b ab− + −
=
( ) ( )
22
0a a b b b a− + −
=
( ) ( )
2
0a b a b− +
Bài 30: CMR:
( )
( )
2
2
22
a b ab a b+ +
HD:
Ta có:
( )
4 2 2 4 2 2 3 2 2 3
2 2 2a a b b ab a ab b a b a b ab+ + + + = + +
=
( ) ( )
4 3 4 3
0a a b b ab− + −
=
( ) ( )
33
0a a b b b a− + −
=
( )
( ) ( )
( )
2
3 3 2 2
00a b a b a b a ab b− − = − + +
Bài 31: CMR:
( )
2 2 2
a b c a b c+ + +
HD:
ta có:
2 2 2
0a b c ab ac+ + − −
=
2 2 2
4 4 4 4 4 0a b c ab ac+ + − −
=
( ) ( )
2 2 2 2 2
4 4 4 4 2 0a ab b a ac c a− + + − + +
=
( ) ( )
22
2
2 2 2 0a b a c a− + − +
Bài 32: CMR:
( )
2 2 2 2
a b c d a b c d+ + + + +
HD:
2 2 2 2
0a b c d ab ac ad+ + + − − −
=
2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 4 0a b c d ab ac ad+ + + − − −
=
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 0a ab b a ac c a ad d a− + + − + + − + +
=
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 2 2 0a b a c a d a− + − + − +
Trang 6
Bài 33: CMR:
( )
2 2 2
3
4
a b c a b c+ + + + +
HD:
Ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2
3
0
4
a a b b c c− + − + − +
=
2 2 2
1 1 1
0
4 4 4
a a b b c c
− + + − + + − +
=
2 2 2
1 1 1
0
2 2 2
abc
− + − + −
Bài 34: CMR:
44
24a b ab+ +
HD:
ta có:
44
4 2 0a b ab+ − +
=
4 4 2 2 2 2
2 2 4 2 0a b a b a b ab+ − + − +
=
( ) ( )
2
2 2 2 2
2 2 1 0a b a b ab− + − +
=
( )
( )
2
2
22
2 1 0a b ab− + −
Bài 35: CMR:
4
4 5 0xx− +
HD:
ta có:
( ) ( )
4 2 2
4 4 4 4 1 0x x x x− + + − +
=
( )
( )
2
2
2
2 2 1 0xx− + −
Không xảy ra dấu bằng
Bài 36: CMR:
4
1
0
2
xx− +
HD:
Ta có:
4 2 2
11
0
44
x x x x
− + + − +
=
22
2
11
0
22
xx
− + −
Bài 37: CMR:
32
4 1 3 ( 0)x x x x+ +
HD:
ta có:
32
3 4 1 0x x x− + +
=
( )
22
4 1 0x x x x− + + +
=
( )
2
2
2 1 0x x x− + +
, Vì x > 0
Bài 39: CMR:
( )( )( )( )
1 2 3 4 1x x x x− − − − −
HD:
( )( )( )( )
1 4 2 3 1 0x x x x− − − − +
=
( )( )
22
5 4 5 6 1 0x x x x− + − + +
Đặt
2
55x x t− + =
Khi đó ta có:
( )( )
1 1 1 0tt− + +
=
2
0t
, Dấu bằng khi t=0
Trang 7
Bài 40: CMR:
432
10x x x x+ + + +
HD:
Ta có :
( ) ( )
32
1 1 0x x x x+ + + +
=
( )
( )
32
1 1 0x x x+ + +
x
=
( )
( )
2
22
1 1 0x x x x+ − + +
( ĐPCM)
Bài 41: CMR :
2 2 2
4 4 4 8 4a b c ab bc ac+ + + −
HD:
Ta có:
2 2 2
4 4 4 8 4 0a b c ab bc ac+ + − − +
=
( ) ( )
22
2
2 2 2. .2 2.2 .2 2. .2 0a b c a b b c a c+ + − − +
=
( )
2
0a b c− +
Bài 42: CMR :
( )
( ) ( ) ( )
3 3 3
3 3 3
8 a b c a b b c c a+ + + + + + +
với a, b, c >0
HD:
Ta có:
3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2
8 8 8 2 2 2 3 3 3 3 3 3a b c a b c a b ab b c bc a c ac+ + + + + + + + + +
=
3 3 3 2 2 2 2 2 2
6 6 6 3 3 3 3 3 3 0a b c a b ab b c bc a c ac+ + − − − − − −
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0a a b a a c b b a b b c c bc c ac− + − + − + − + − + −
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 0a a b a a c b b a b b c c c b c c a− + − + − + − + − + −
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
3 3 3 0a b a b a c a c b c b c− − + − − + − −
=
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
22
3 3 3 0a b a b a c a c b c b c− + + − + + − +
Bài 43: CMR:
( )
3
3 3 3
24a b c a b c abc+ + + + +
với a,b,c>0
HD:
Ta có:
( )( )( )
3 3 3 3 3 3
3 24a b c a b b c c a a b c abc+ + + + + + + + +
=
( )( )( )
3 24a b b c c a abc+ + +
Vì
2
2
2
a b ab
b c bc
c a ca
+
+
+
, Nhân theo vế ta được ĐPCM
Bài 44: CMR: Với mọi x, y # 0 ta có:
22
22
43
x y x y
y x y x

+ + +


HD:
Ta có:
( )
4 4 2 2 2 2
43x y x y xy x y+ + +
=
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 0x y xy x y x y xy x y+ − + + − +
=
( )( ) ( )
2 2 2 2 2 2
20x y x y xy xy xy x y+ + − + − −
=
( )( )
2 2 2 2
20x y xy x y xy+ − + −
=
( )
( )
2
22
0x y x xy y− − +
Trang 8
Bài 45: CMR : Nếu
1ab+
, thì
33
1
4
ab+
HD:
Ta có:
3 2 3
1 1 3 3b a b a a a − = − + −
=
2
3 3 2
1 1 1
3 3 1 3
2 4 4
a b a a a

+ − + = − +


Bài 46: Cho a,b,c > 0, CMR :
2 2 2
ab bc ca a b c+ + + +
HD:
Ta có:
2 2 2
0a b c ab bc ca+ + − − −
=
( ) ( ) ( )
2 2 2
0a b b c c a− + − + −
Bài 47: CMR :
2
2
1
0
1
aa
aa
++
−+
HD:
Ta có:
22
13
1 0,
44
a a a a a

+ + = + + +


22
13
1 0,
44
a a a a a

− + = − + +


Nên VT > 0
Bài 48: CMR :
( )( )( )
2
4 1 1 0a a b a a b b+ + + + +
HD:
Ta có:
( )( )( )
2
4 1 1 0a a b a a b b+ + + + +
=
( )( )
2 2 2
40a ab a a ab a b b+ + + + + +
. đặt
2
a ab a x
by
+ + =
=
=
( )
2
40x x y y+ +
=
22
4 4 0x xy y+ +
=
( )
2
20xy+
, Dấu bằng khi
( )
2
21
2 2 2 2
21
aa
x y a ab a b b
a
+
= − = + + = − = = −
+
Bài 49: CMR :
( )
2
22
2
2
xy
x y xy
+
+
HD:
Ta có:
( )
( )
( )
( )
2
2
2 2 2 2 2 2
2
2
22
2 2 2 0
2
2 2 4 0
2
xy
x y x y x y xy x y
xy
xy x y xy xy x y
+
+ = + + + = −
+
= + + = −
Bài 50: CMR :
1 1 4
a b a b
+
+
, Với a,b > 0
HD:
Ta có:
( )
4
ab
ab a b
+
+
=
( ) ( )
22
40a b ab a b+ = −
Trang 9
Bài 51: CMR :
( )
4 4 2 2
a b ab a b+ +
HD:
Ta có:
4 4 3 3
0a b a b ab+ − −
=
( ) ( )
33
0a a b b a b− + −
=
( )
( )
2
22
0a b a ab b− + +
Bài 52: CMR :
4
44
22
a b a b++



HD:
Ta có:
4 4 4 4 2 2 2 2 3 3
8 8 4 2 4 4a b a b a b a b a b ab+ + + + + +
=
4 4 2 2 2 2 3 3
7 7 4 2 4 4 0a b a b a b a b ab+ − − − −
=
( ) ( ) ( )
4 4 2 2 4 4 2 2 2 2
2 6 6 4 8 0a b a b a b ab a b a b+ + + + − + −
=
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 4 4 2 2
4 4 6 12 0a b ab a b a b a b a b+ − + + + + −
=
( ) ( )
2
2 2 4 4 2 2
2 6 2 0a b ab a b a b+ − + + −
=
( )
( )
2
4
22
60a b a b− + −
Bài 53: Cho a+b+c=0, CMR :
0ab bc ca+ +
HD:
Ta có:
( )
2 2 2
20a b c ab bc ca+ + + + + =
=
( )
( )
2 2 2
20ab bc ca a b c+ + = − + +
Dấu bằng khi a=b=c=0
Bài 54: Cho x,y,z
R
, CMR :
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2
3x y y z z x x y z− + − + − + +
HD:
Ta có:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 3 3 3x y z xy yz zx x y z+ + − − − + +
=
2 2 2
2 2 2 0x y z xy yz zx+ + + + +
=
( )
2
0x y z+ +
Bài 55: CMR : Với mọi x,y khác 0, ta luôn có :
66
44
22
xy
xy
yx
+ +
HD:
Ta có:
( )
2 2 4 4 8 8
x y x y x y+ +
=
8 8 6 2 2 6
0x y x y x y+ − −
=
( ) ( )
6 2 2 6 2 2
0x x y y x y− − −
=
( )( )
6 6 2 2
0x y x y− −
=
( )( )( )
2 2 4 2 2 4 2 2
0x y x x y y x y− + + −
=
( ) ( )
2
2 2 4 2 2 4
0x y x x y y− + +
Bài 56: CMR :
( )
2 2 2
22a b c a b c+ + +
HD:
Ta có:
2 2 2
2 2 2 0a b c ab ac+ + − −
=
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 0a ab b a ac c− + + − +
=
( ) ( )
22
0a b a c− + −
Trang 10
Bài 57: CMR :
4 3 3 4
0a a b ab b+ + +
HD:
ta có:
( ) ( )
33
0a a b b a b+ + +
=
( )
( )
33
0a b a b+ +
=
( )
( )
2
22
0a b a ab b+ − +
Bài 58: CMR :
4 3 2 2 3 4
2 2 2 0a a b a b ab b− + − +
HD:
Ta có:
( ) ( )
4 2 2 2 4 2 2 2
2 . 2 . 0a a ab a b b ab b a b− + + − +
( ) ( )
22
22
0a ab b ab= − + −
Bài 59: CMR :
( )
4 4 2 2
1 2 1a b c a ab a c+ + + − + +
HD:
Ta có:
4 4 2 2 2 2
1 2 2 2 2 0a b c a b a ac a+ + + − + − −
=
( ) ( ) ( )
4 4 2 2 2 2 2
2 2 2 1 0a b a b a ac c a a+ − + − + + − +
=
( )
( ) ( )
2
22
22
10a b a c a− + − + −
Bài 60: CMR :
( ) ( )
2
3ab bc ca abc a b c+ + + +
HD:
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 3 3 3 0a b b c c a ab c abc a bc a bc ab c abc+ + + + + − − −
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0a b b c c a ab c abc a bc= + + − − −
Đặt
ab x
bc y
ca z
=
=
=
=>
2 2 2
0x y z xy yz zx+ + − − −
=
( ) ( ) ( )
2 2 2
0x y y z z x− + − + −
Bài 61: CMR :
( ) ( )
1 1 1 1 1
y x z x z
x z y x z
+ + + + +
, Với
0 x y z
HD:
Ta có:
( ) ( )
2
0
y x z x z
xz
xz y xz
++
+
+ −
=
( )
2
0y xz y x z+ − +
=
2
0y xz xy yz+ − −
( )( )
0y x z y= − −
Bài 62: Cho a,b dương có tổng 1, CMR :
1 1 4
1 1 3ab
+
++
HD:
Ta có:
Quy đồng
=
( ) ( )( )
3 2 4 1 1a b a b+ + + +
=
( ) ( )
2
4 1 9 1 4 4ab a b ab a b ab+ + + = = +
=
( )
2
0ab−
( đúng)
Trang 11
Bài 63: CMR : Với a,b,c > 0 thì
22
22
a b a b
b a b a
+ +
HD:
Ta có:
22
22
20
a b a b a b
b a b a b a
+ − + + +
=
22
22
22
a b a b
VT
b a b a


+ − + +




=
22
22
2. 1 2. 1 0
a a b b
b b a a
− + + − +
Bài 64: CMR :
( )
8 8 8
3 3 3
1 1 1
, , , 0
abc
abc
a b c a b c
++
+ +
HD:
Ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2
8 8 8 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2
a b c a b b c c a a b b c c a+ + + + = + +
2 4 2 2 4 2 4 2 2
VT a b c b c a a b c + +
( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c a b c a b c ab bc ca= + + + +
8 8 8 8 8 8
2 2 2 3 3 3
1 1 1a b c a b c
ab bc ca
a b c a b c a b c
+ + + +
= + + = + +
Bài 65: CMR :
( )( ) ( )( )
10 10 2 2 8 8 4 4
a b a b a b a b+ + + +
HD:
Ta có:
12 10 2 2 10 12 12 8 4 4 8 12
a a b a b b a a b a b b+ + + + + +
( ) ( )
10 2 8 4 2 10 4 8
0a b a b a b a b= − + −
( ) ( )
8 2 2 2 2 8 2 2
0a b a b a b b a= − + −
( )( )
2 2 2 2 6 6
0a b a b a b= − −
=
( ) ( )
2
2 2 2 2 4 2 2 4
0a b a b a a b b− + +
Bài 66: Cho a,b,c dương có abc=1, và
1 1 1
abc
abc
+ + + +
, CMR :
( )( )( )
1 1 1 0abc− − −
HD:
Ta có:
a b c ab bc ca+ + + +
,
Xét
( )( )( ) ( ) ( )
1 1 1 1a b c abc ab bc ca a b c− − − = − + + + + + −
=
( ) ( )
0a b c ab bc ca+ + − + +
Bài 67: Cho a,b>0, thỏa mãn :
33
a b a b+ = −
, CMR :
22
1a b ab+ +
HD:
Ta có:
( )
( )
3 3 3 3 2 2
a b a b a b a ab b+ − = − + +
( ) ( )
( )
22
a b a b a b ab= − − + +
22
1a b ab= + +
Bài 68: CMR :
( ) ( )( )
8 8 3 3 5 5
2 a b a b a b+ + +
HD:
Ta có:
8 8 8 3 5 5 3 8
22a b a a b a b b+ + + +
=
( ) ( )
8 5 3 8 3 5
0a a b b a b− + −
=
( ) ( )
5 3 3 5 3 3
0a a b b a b− − −
=
( )( )
5 5 3 3
0a b a b− −
, Giả sử a > b =>
3 3 5 5
,a b a b
=> ĐPCM
Nếu a<b =>
3 3 5 5
,a b a b
=> ĐPCM
Trang 12
Bài 79: CMR :
( ) ( )( )
8 8 8 3 3 3 5 5 5
3 a b c a b c a b c+ + + + + +
HD:
Ta có:
( ) ( )( )
8 8 3 3 5 5
2 a b a b a b+ + +
( ) ( )( )
8 8 3 3 5 5
2 b c b c b c+ + +
( ) ( )( )
8 8 3 3 5 5
2 c a a c a c+ + +
Cộng theo vế ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8 8 8 8 8 8 3 5 5 5 3 5 5 5 3 5 5 5
4 a b c a b c a a b c b a b c c a b c+ + + + + + + + + + + + +
( ) ( )( )
8 8 8 3 3 3 5 5 5
3 a b c a b c a b c= + + + + + +
Bài 70: Cho a+b=2, CMR :
8 8 7 7
a b a b+ +
HD:
Ta có:
( )
( )
( )
8 8 7 7 8 8 7 7
2 a b a b a b a b ab a b+ + + = + + +
=
( )
( )
8 8 7 7 7 7
00a b a b ab a b a b+ − − = − −
Giả sử
77
0
0
ab
ab
ab
−
=
−
Nếu
77
0
0
ab
ab
ab
−
=
−
Bài 71: CMR :
( )
6 6 6 5 5 5
, , , 0a b c a b b c c a a b c+ + + +
HD:
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
5 5 5 5 5 5 5
0a a b b b c c c a a b a b c a c b− + − + − = − − + − −
Giả sử :
55
0
0
ca
abc
cb
−
=
−
và
55
0
0
ab
ab
−
−
=> ĐPCM
Bài 72: CMR : Với mọi a,b,c > 0 thì
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
b c c a a b b c c a a b
+ + + +
+ + + + + +
HD:
Xét
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2
22
2 2 2 2
a b c a b c
ab a b ac a c
aa
b c b c
b c b c b c b c
+ − +
− + −
− = =
++
+ + + +
Giả sử
abc
=> Các ngoặc đều dương => ĐPCM
Bài 73: Cho a, b là hai số dương, CMR :
( )
( ) ( )
3 3 4 4
2a b a b a b+ + +
HD:
Ta có:
4 4 4 3 3 4
2 2 0a b a ab a b b+ − − − −
=
( ) ( )
4 3 4 3
0a a b b ab− + −
=
( ) ( )
33
0a a b b a b− − −
Bài 74: Cho a,b là hai số dương, CMR :
( )
( ) ( )( )
4 4 2 2 3 3
a b a b a b a b+ + + +
HD:
Ta có:
5 4 4 5 5 2 3 3 2 5
0a ab a b b a a b a b b+ + + − − − −
=
( ) ( )
4 3 2 4 2 3
0a b a b ab a b− + −
=
( ) ( )
33
0a b a b ab b a− + −
=
( )
( )
33
0a b a b ab− −
=
( )
( )
22
0ab a b a b− −
Trang 13
Bài 75: CMR :
( )
22
42a b ab a b+ + + +
HD:
Ta có:
22
4 2 2 0a b ab a b+ + − − −
=
22
2 2 8 2 4 4 0a b ab a b+ + − − −
=
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 4 4 4 4 0a ab b a a b b− + + − + + − +
Bài 76: Cho a,b là hai số có tổng bằng 2, CMR :
4 4 3 3
a b a b+ +
HD:
Ta có:
( )
( )
( )
4 4 3 3
2 a b a b a b+ + +
=
4 4 4 3 3 4
2 2 0a b a ab a b b+ − − − −
=
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
4 3 4 3 3 3 3 3
0 0 0a a b b ab a a b b b a a b a b− + − = − + − = − −
Bài 77: Cho a,b,c là ba số thỏa mãn : a+b+c=3, CMR :
4 4 4 3 3 3
a b c a b c+ + + +
HD:
Ta có:
( )
( )
( )
4 4 4 3 3 3
3 a b c a b c a b c+ + + + + +
=
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 2 2
2 2 2 2 2
3
0
24
b
a b a b b c b bc c c a c ac a


− + + + − + + + − + +





Bài 78: Cho
0 , , 1x y z
, CMR :
01x y z xy yz zx + + − − −
HD:
Ta có:
Xét tích
( )( )( ) ( )
1 1 1 1 0x y z xyz xy yz zx x y z− − − = − − − − + + + −
mà
1
x xy
y yz x y z xy yz zx xyz
z zx
= + + − − − −
mà
0 1 1 1xyz xyz = −
Bài 79: Cho
1 , , 2x y z−
và x+y+z=0, CMR :
2 2 2
6x y z+ +
HD:
Ta có:
Xét
( )( )
( )( )
( )( )
2
2
2
2 1 0
20
2 1 0 2 0
20
2 1 0
xx
xx
y y y y
zz
zz
− +
− −
− + = − −


− −
− +
, Cộng theo vế ta có:
2 2 2 2 2 2
6 0 6x y z x y z+ + − = + +
Bài 80: Cho x > 0, y > 0, z > 0, CMR :
1 1 1 1
x y z xyz
+ −
, Với
2 2 2
5
3
x y z+ + =
HD:
Ta có:
( )
2
2 2 2
0 2 2 2 0x y z x y z xy yz zx+ − = + + + − −
=
( )
5
20
3
xy yz zx+ − −
=
( )
55
21
36
xy yz zx yz zx xy
−
− − = + −
=
1 1 1 1
x y z xyz
+ −
Trang 14
Bài 81: Cho 0 < a,b,c < 1, CMR :
3 3 3 2 2 2
2 2 2 3a b c a b b c c a+ + + + +
HD:
Do
2
1 1, 1a a b =
=>
( )
( )
2 2 2
1 1 0 1 0a b a b a b− − = + − −
=
22
1 a b a b+ +
Mặt khác: 0< a, b<1=>
2 3 3 2 3 3
,b ba a a b a b = + +
Vậy
2 3 3
1 a b a b+ +
, Chứng minh tương tự => ĐPCM
Bài 82: CMR :
( )
4 4 4
a b c abc a b c+ + + +
HD:
Chuyển vế ta có:
4 4 4 2 2 2
0a b c a bc ab c abc+ + − − −
=
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 0a b a b b c b c c a a c a bc b ac abc− + + − + + − + − − −
=
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b b c c a− + − + −
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 0a b a bc a c a b ab c b c a b ab c b c a c abc b c+ − + + − + + − + + − +
Bài 83: Cho a,b,c,d > 0 thỏa mãn:
a c d+
,
b c d+
, CMR:
ab a d bc+
HD:
Ta có:
( )( )
0
0
a c d a c d
a c b d cd
b c d b d c
+ −

= = − −

+ −

, Nhân vào ta được ĐPCM
Bài 84: Cho
0 , , , 1a b c d
, CMR :
( )( )( )( )
1 1 1 1 1a b c d a b c d− − − − − − − −
HD:
Ta có:
( )( )
1 1 1 1a b a b ab a b− − = − − + − −
( do ab >0)
Do
( )( )( ) ( )( )
1 1 0 1 1 1 1 1 1c c a b c a b c a b c = − = − − − − − − − − −
Chứng minh tương tự => ĐPCM
Bài 85: Cho a.b.c=1,
3
36a
, CMR :
2
22
3
a
b c ab bc ca+ + + +
HD:
Xét hiệu
22
22
0
4 12
aa
b c ab bc ac+ + + − − −
22
22
2 3 0
4 12
aa
b c ab ac bc bc

= + + − − + + −


=
2
3
36
2 12
a a abc
bc
a
−

− − +


, Do
3
3
36
36 0
12
a abc
a
a
−
=
ĐPCM
Bài 86 : Chứng minh rằng : Nếu
4 4 4 4
4a b c d abcd+ + + =
và a,b,c,d là các số dương thì
a= b= c= d
Bài 87: Cho hai số a, b thỏa mãn:
0,ab+
Chứng minh rằng:
2
22
1
2
ab
ab
ab

+
+ +

+

HD:
Ta có:
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2 2
1
2 1 2
ab
a b a b a b ab a b
ab

+
+ + = + + + + +

+

( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 1 0a b a b ab a b ab

= + + − − + + +


( ) ( ) ( ) ( )
4 2 2 2
2 2 1 0a b ab a b a b ab= + − + − + + +
( ) ( ) ( ) ( )
4 2 2
2 1 1 0a b a b ab ab= + − + + + +
( )
2
2
10a b ab

= + − −


(ĐPCM)
Trang 15
Bài 88: Cho
0xy
hãy so sánh :
xy
A
xy
−
=
+
, và
22
22
xy
B
xy
−
=
+
HD:
Vì
0, 0 0x y x y = +
( )( )
( )
2
x y x y
xy
A
xy
xy
−+
−
==
+
+
, lại có:
2 2 2 2 2 2
2 , 0x y xy x y x y+ + + −
2 2 2 2
2 2 2 2
2
x y x y
AB
xy x y x y
−−
= = =
+ + +
Bài 89: Cho x, y > 0 thỏa mãn điều kiện:
2 3 3 4
x y x y+ +
, Chứng minh rằng:
33
2xy+
, Dấu bằng xảy
ra khi nào?
HD:
Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có:
3 2 2 4 3
2 , 2x x x y y y+ +
, Do vậy
( ) ( )
3 2 4 2 3 2 2 3 2 3 3 4 2 3
22x x y y x y x y x y x y x y x y+ + + + = + + + + − − +
,(
2 3 3 4
x y x y+ +
)
Mà:
2 4 2
1 2 , 1 2x x y y+ +
, nên
2 4 2 2 3 2 3 3 4
1 1 2 2 2 2x y x y x y x y x y+ + + + + + + +
Do vậy
33
2xy+
Dấu bằng xảy ra khi:
1xy==
Bài 90: Chứng minh BĐT sau:
22
1x y xy x y+ − + −
HD:
Ta có:
( )
( )
2 2 2 2
1 2 2 1x y xy x y x y xy x y+ − + − = + − + −
22
2 2 2 2 2 2x y xy x y= + − + −
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 1 2 1 0x xy y x x y y= − + + − + + − +
Bài 91: Cho a, b là các số dương thỏa mãn:
3 3 5 5
a b a b+=+
, Chứng minh rằng:
22
1a b ab+ +
HD:
Ta có:
( )
( )
2 2 2 2 2 2
11a b ab a b ab a b a b ab a b+ + = + − = + + − +
( )( )
( )
( )
3 3 3 3 3 3 5 5 3 3 5 5
2a b a b a b a b a b a b a b ab a b= + + = + + + + = +
( ) ( )
2
4 2 2 4 2 2
2 0 0, , 0ab a a b b ab a b a b= − + = −
Bài 92: Cho các số a, b, c
0;1


, chứng minh rằng:
23
1a b c ab bc ca+ + − − −
HD:
Do a, b,c
0;1


, nên:
( )( )( )
1 1 1 0 1 0a b c a b c ab bc ca abc− − − = − − − + + + −
11a b c ab bc ca abc= + + − − − −
Do
23
, , 0;1 ,ca b c b b c

=

, từ đó ta có:
23
1a b c ab bc ca a b c ab bc ca+ + − − − + + − − −
Trang 16
DẠNG 2 : SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ
Các BĐT phụ hay dùng :
( )
2
22
2
ab
ab
+
+
( )
2
4x y xy+
2
xy
yx
+
Bài 1: Cho a+b > 1, CMR :
44
1
8
ab+
HD:
Ta có:
( )
22
2
22
22
21
1
1
2
20
a b ab
a b a b
a b ab
+ +
+ = = +
+ −
=>
( )
4 4 2 2
2
2 2 4 4
4 2 2 2
1
2
11
22
4
44
20
a b a b
a b a b
a b a b
+ +
+ = = +
+ −
Vậy
44
1
8
ab+
Bài 2: Cho a+b = 1, CMR :
22
1
2
ab+
HD:
Ta có:
( )
22
2
2 2 2 2
22
21
1
1 2 2 1
2
20
a ab b
a b a b a b
a ab b
+ + =
+ = = = + = +
− +
Bài 3: Cho a+b > 2, CMR :
22
2ab+
HD:
Ta có:
( )
22
2
2 2 2 2
22
24
4 2 2 4 2
20
a ab b
a b a b a b
a ab b
+ +
+ = = + = +
− +
Bài 4: Cho
22
2ab+
, CMR:
2ab+
HD:
Ta có:
22
2 2 2 2
2
2 2 2
ab
a b ab ab a b
+
+ = +
Cộng theo vế ta được:
( )
2
22
2 4 4 2a b ab a b a b+ + = + = +
Bài 5: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
( )
2 2 2
2a b c ab bc ca+ + + +
HD:
Ta có: Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên ta có:
( )
2
2 2 2 2
2
2
a ab ac
a b c
b a c b ab bc a b c ab bc ac
c a b
c ac bc
+
+
+ = + = + + + +


+
+
Bài 6: Cho a,b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1, CMR:
33
1
4
ab+
HD:
Ta có:
( )
3
3
1 1 1a b b a b a+ = = = − = = −
=>
3 3 3 2 3 2
1 3 3 3 3 1a b a a a a a a+ = + − + − = − +
2
2
1 3 1 1 1
33
4 4 2 4 4
a a a
= − + + = − +
Trang 17
Bài 7: Cho
, , 0x y z
, CMR :
( )( )( )
8x y y z z x xyz+ + +
HD:
Ta có:
2
2
2
x y xy
y z yz
z x zx
+
+
+
, Nhân theo vế ta được:
( )( )( )
8x y y z z x xyz+ + +
Bài 8: Cho a,b,c > 0, CMR :
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc abc
+ +
+ + + + + +
HD:
Ta có:
( )
( )
( )
3 3 2 2
a b a b a ab b a b ab+ = + − + +
, Do
22
a ab b ab− +
Khi đó
( ) ( )
33
b abc a b ab abc ab a b c+ + + + = + +
Chứng minh tương tự ta có:
( )
33
b c abc bc a b c+ + + +
và
( )
33
c a abc ac a b c+ + + +
Khi đó ta có:
1 1 1 1 1 1
.
abc
VT
a b c ab bc ca a b c abc abc
++

+ + = =

+ + + +

Bài 9: CMR: Với mọi a,b,c > 0 thì
( )
1 1 1
9abc
abc

+ + + +


HD:
Ta có:
3
3a b c abc+ +
và
3
1 1 1 1
3
a b c abc
+ +
Nhân theo vế ta có:
( )
1 1 1
9abc
abc

+ + + +


Bài 10: Cho a,b,c > 0, CMR :
3
2
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
HD:
Ta có:
Từ
( )
1 1 1
9x y z
x y z

+ + + +


, Đặt
x a b
y b c
z c a
=+
=+
=+
=>
( )
1 1 1
29abc
a b b c c a

+ + + +

+ + +

<=>
9
2
a b c a b c a b c
a b b c c a
+ + + + + +
+ +
+ + +
=>
93
3
22
c a b
a b b c c a
+ + − =
+ + +
Bài 11: Cho a,b > 0, CMR :
13
1 1 2
ab
b a a b
+ +
+++
HD:
Ta có:
1
1 1 1 3
11
ab
b a a b
+ + + + + +
+++
( )
1 1 1 9 3
1 3 3
1 1 2 2
ab
a b a b

= + + + + − − =

+ + +

Bài 12: Cho a,b,c là ba số dương, CMR :
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
++
+ +
+ + +
HD:
Ta có:
2 2 2
4 4 4 2
a b c b c a c a b a b c
VT
b c c a a b
+ + + + +
= + + + + + −
+ + +
22
a b c a b c
VT a b c VP
+ + + +
+ + − = =
Trang 18
Bài 13: Cho a,b,c > 0, CMR :
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2
a b c
a b b c c a a b c

+ + + +

+ + +

HD:
Ta có:
22
22
22
2
1 1 1 1 1 1 1
2
2 2 2 2 2 2 2
2
a b ab
a b c
b c bc VT
ab bc ca b c a a b c
c a ca
+

+ = + + = + + = + +


+
Bài 14: CMR: với a,b,c > 0 thì :
2 2 2
abc
abc
b c a
+ + + +
HD:
Ta có:
( )
2 2 2
a b c
b c a a b c
b c a
+ + + + + − + +
( )
2 2 2a b c a b c a b c VP + + − + + = + + =
Bài 15: CMR :
2 2 2
3
4
a b c a b c+ + + − − −
HD:
Ta có:
2 2 2
1 1 1
0
4 4 4
a a b b c c
+ + + + + + + +
Bài 16: Cho a,b,c dương có tổng là 1, CMR :
1 1 1
9
abc
+ +
HD:
Vì
( ) ( )
1 1 1
19a b c a b c
abc

+ + = = + + + +


Bài 17: Cho a,b,c là các số không âm và
3abc+ +
,CMR :
2 2 2
3 1 1 1
1 1 1 2 1 1 1
abc
a b c a b c
+ + + +
+ + + + + +
HD:
Ta có:
2
2
2 2 2
2
12
3
12
1 1 1 2 2 2 2
12
aa
a b c a b c
bb
a b c a b a
cc
+
+ = + + + + =
+ + +
+
Đặt
1
1 3 6
1
ax
b y x y z a b c
cz
+=
+ = = + + = + + +
+=
=>
1 1 1 3
2
B
x y z
= + +
,
Khi đó:
( )
1 1 1 1 1 1 9 9 3
9
62
x y z
x y z x y z x y z

+ + + + = + + =

++

Bài 18: Cho x,y,z > 0, CMR :
4 4 2 2
4 4 2 2
2
x y x y x y
y x y x y x
+ − − + +
HD:
Ta có:
44
44
2
xy
yx
+
, Tương tự
2
xy
yx
+
và
22
22
2
xy
yx

− + −


Cộng theo vế ta có:
2 2 2 2VT + − =
Bài 19: Cho a,b là các số dương thỏa mãn: a+b < ab, CMR : a+b > 4
HD:
Ta có:
( )
2
4
4
ab
a b ab
ab a b
+
+ =
+
Do
4
1 1 4
a b ab
a b ab a b
ab ab a b
+
+ = = = = +
+
Trang 19
Bài 20: Cho a,b,c > 0, CMR :
3 3 3
abc
ab bc ca
b c a
+ + + +
HD:
Ta có:
( )
3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b c
b c a a b c
b c a
+ + + + + − + +
Mà:
( )
( )
33
2
ab a b
ab
a a b a ab
bb
+
+
= + = +
Tương tự =>
33
2 2 2 2
,
bc
c b bc a c ca
ca
+ + + +
Khi đó VT
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
a b c ab bc ca a b c ab bc ca + + + + + − + + = + +
Bài 21: Cho a,b,c thỏa mãn:
2 2 2
3abc+ + =
, CMR:
6ab bc ca a b c+ + + + +
HD:
Ta có:
( )
( ) ( )
22
2 2 2 2 2
22
2
2 2 2 2.3 2
2
a b ab
b c bc a b c ab bc ca ab bc ca
c a ac
+
+ = + + + + = + +
+
=>
3ab bc ca+ +
(1)
Mặt khác:
( )
2
2
2
12
1 2 3 3 2 3
12
aa
b b a b c a b c
cc
+
+ = + + + = + +
+
(2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được ĐPCM
Bài 22: CMR:
22
44
1
1 16 1 16 4
xy
xy
+
++
, với mọi x,y là số thực
HD:
Ta có:
2
4 4 2 2
4
1
1 16 2. 16 2.4 8
1 16 8
x
x x x x
x
+ = = =
+
(1)
Tương tự:
22
42
1
1 16 8 8
yy
yy
=
+
(2)
Cộng theo vế ta được :
1
4
VT
Bài 23: CMR với a,b,c > 0 thì
bc ac ab
abc
a b c
+ + + +
HD:
Ta có:
2
bc ac a b
cc
a b b a

+ = +


, Tương tự ta có:
2 , 2
ac ab ab bc
ab
b c c a
+ +
Cộng theo vế ta được :
22VT VP VT VP =
Bài 24: CMR: với a,b > 0 và a > b > 0 thì
22
22
a b a b
a b a b
−−
++
HD:
Ta có:
( )( )
( ) ( )
22
22
a b a b
a b a b
ab
a b a b
−+
−−
==
+
++
, Mà
2 2 2 2
2a ab b a b+ + +
Khi đó
22
22
ab
VT
ab
−
+
Bài 25: Cho 3 số a,b,c dương thoă mãn: a+b+c = 4, CMR :
a b abc+
Trang 20
HD:
Ta có:
( ) ( ) ( )
2
2
44a b ab a b c a b c+ = + + +


( )
16 4 a b c= +
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2
4 4 4 2 4a b c a b a b c a b ab c abc= + = + + = + =
=>
a b abc+
Bài 26: Cho 2 số x,y > 0 thỏa mãn:
33
x y x y+ = −
, CMR :
22
1xy+
HD:
Ta có:
( )
( )
3 3 2 2 2 2 3 3
0 0 1x y x y x y x y x y x y+ = − = + = − + +
3 2 2 3 3 3
x xy x y y x y= + − − +
( )
3 2 2 2 2
2 0 2 0y x y xy y y x xy= + − = + −
Bài 27: Cho a+b = 1, CMR:
22
1
2
ab+
HD:
Ta có:
( )
22
2
2 2 2 2
22
21
1
1 2 2 1
2
20
a ab b
a b a b a b
a ab b
+ + =
+ = = = + = +
− +
Bài 28: Cho a+b=1, CMR:
44
1
8
ab+
HD:
Ta có:
22
2 2 2 2
22
21
1
2 2 1
2
20
a ab b
a b a b
a ab b
+ + =
= + = +
− +
Mặt khác:
4 4 2 2
4 4 4 4
4 4 2 2
1
2
11
22
4
48
20
a b a b
a b a b
a b a b
+ +
= + = +
+ −
Bài 29: Cho 3 số x,y,z >0, CMR:
3
x y z
y z x
+ +
HD:
Ta có:
3
3 . . 3
x y z x y z
y z x y z x
+ + =
, Dấu bằng khi
2
2
2
x yz
x y z
y xz x y z
y z x
z xy
=
= = = = = = =
=
Bài 30: Cho a,b,c thỏa mãn:
2 2 2
1,abc+ + =
CMR:
( )
2 1 0abc a b c ab bc ca+ + + + + + +
HD:
Vì
2 2 2
1 , , 1 1 , , 1a b c a b c x y z+ + = = = −
Khi đó:
( )( )( )
1 1 1 0 1 0a b c abc ab bc ca a b c+ + + = + + + + + + +
(1)
mà
( ) ( ) ( )
22
1 2 1 0a b c a b c a b c+ + + = + + + + + +
( ) ( )
2 2 2
2 2 1 0a b c ab bc ca a b c= + + + + + + + + +
10ab bc ca a b c= + + + + + +
(2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
( )
2 1 0abc ab bc ca a b c+ + + + + + +

Tài liệu khác của Toán 8

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A-B >0, CHÚ Ý BĐT 2 A  0
Bài 1: CMR : với mọi x,y,z thì 2 2 2
x + y + z xy + yz + zx HD: Xét hiệu ta có:
(x + y + z − xy− yz − zx) = (x− y)2 +(y− z)2 +(z − x)2 2 2 2 2 0  0
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
Bài 2: CMR : với mọi x,y,z thì 2 2 2
x + y + z  2xy + 2yz − 2zx HD: Xét hiệu ta có:
x + y + z − xy − yz + zx  = ( x − y + z)2 2 2 2 2 2 2 0  0
Dấu bằng xảy ra khi x+z=y
Bài 3: CMR : với mọi x,y,z thì 2 2 2
x + y + z + 3  2( x + y + z) HD: Xét hiệu ta có:
(x − )2 +( y − )2 +(z − )2 1 1 1  0 Dấu bằng khi x=y=z=1 2 2 2 a + ba + b
Bài 4: CMR : với mọi a,b ta có :    2  2  HD : Xét hiệu ta có : 2 2 2 2 a + b
a + 2ab + b −  0 <=> 2 2 a + b − ( 2 2 2 2
a − 2ab + b )  0 2 4
= a + ab + b  = (a + b)2 2 2 2 0  0 Dấu bằng khi a=b 2 2 2 2 a + b + c
a + b + c
Bài 5: CMR : với mọi a,b,c ta có :    3  3  HD: Ta có: 2 2 2 2 2 2 a + b + c
a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac  3 9 2 2 2
= a + b + c − ( 2 2 2 3 3 3
a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac)  0 2 2 2
= 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ac  0
= (a −b)2 + (b − c)2 + (c − a)2  0 , Dấu bằng khi a=b=c a + b + c 2 2 2 ( )2
Bài 6: CMR : a + b + c  3 HD: Ta có: 2 2 2 2 2 2
3a + 3b + 3c a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca 2 2 2
= 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ac  0
= (a −b)2 + (b − c)2 + (c − a)2  0 , Dấu bằng khi a=b=c Trang 1 a + b 2 2 ( )2
Bài 7: CMR : a + b   2ab 2 HD: a + b 2 2 ( )2
Ta chứng minh: a + b  2 2 2 2 2
= 2a + 2b a + 2ab + b
= a + b − ab  = (a −b)2 2 2 2 0  0 Dấu bằng khi a=b (a +b)2 Ta chứng minh  2ab 2
= a + ab + b ab = (a − b)2 2 2 2 4  0 Dấu bằng khi a=b 2 b
Bài 8: Cho a,b,c là các số thực, CMR: 2 a +  ab 4 HD: Ta có:
a + b − ab = ( a − b)2 2 2 4 4 2  0 Dấu bằng khi b=2a
Bài 9: Cho a,b,c là các số thực, CMR : 2 2
a + b +1  ab + a + b HD: Ta có: 2 2
a + b +1− ab − a − b  0 2 2
= 2a + 2b + 2 − 2ab − 2a − 2b  0 = ( 2 2
a − ab + b ) + ( 2
a − a + ) + ( 2 2 2 1 b − 2b + ) 1  0
= (a − b)2 + (a − )2 + (b − )2 1 1  0 Dấu bằng khi a=b=1
Bài 10: Cho a,b,c,d là các số thực : CMR : 2 2 2 2 2
a + b + c + d + e a (b + c + d + e) HD: Ta có: 2 2 2 2 2
a + b + c + d + e − ab − ac − ad − ae  0 2 2 2 2 2
= 4a + 4b + 4c + 4d + 4e − 4ab − 4ac − 4ad − 4ae  0 = ( 2 2
a − ab + b ) + ( 2 2
a − ac + c ) + ( 2 2
a − ad + d ) + ( 2 2 4 4 4 4 4 4
a − 4ae + 4e )  0
= (a − b)2 + (a − c)2 + (a − d )2 + (a − e)2 2 2 2 2  0
Dấu bằng xảy ra khi a=2b=2c=2d=2e  1  1 
Bài 11: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0 CMR: 1+ 1+  9     a  b  HD:  a + b  a + b   b  a   a b  ta có: VT = 1+ 1+ = 2 + 2 + = 4 + 2 + +1          a  b   a  b   b a   a b  = 5 + 2 +  5 + 2.2 = 9    b a a b 1 Dấu bằng khi 2 2
= = a + b = a = b = b a 2 Trang 2 2  x + y
Bài 12: Cho x, y  0,CMR :  xy    2  HD: Ta có:
x + y + xy xy = x − xy + y  = (x − y)2 2 2 2 2 2 4 2 0  0 , Dấu bằng khi x=y
Bài 13: Cho a > 0, b > 0, CMR: 3 3 2 2
a + b a b + ab HD: Ta có: ( 3 2 a − a b) + ( 3 2 b − ab ) 2
 = a (a − b) 2 0
− b (a − b)  0
= (a −b)(a −b )  = (a −b)2 2 2 0 (a +b)  0 Dấu bằng khi a=b 1 1 2
Bài 14: Cho a b  1, CMR: +  2 2 1+ a 1+ b 1+ ab HD: Xét hiệu:  1 1   1 1  − + −  0  2   2  1+ a
1+ ab  1+ b 1+ ab
a (b − a) b(a −b) = ( +  0 2 1+ a )(1+ ab) ( 2 1+ b )(1+ ab)
(b − a)2 (ab − ) 1 = (  1+ ab)( 0 2 a + ) 1 ( 2 b + a)
Dấu bằng khi a=b hoặc a=b=1
Bài 15: CMR : với mọi số thực x,y,z,t ta luôn có : 2 2 2 2
x + y + z + t x ( y + z + t) HD: Ta có: 2 2 2 2
x + y + z + t − xy − xz − xt  0 = 2 2 2 2
4x + 4 y + 4z + 4t − 4xy − 4xz − 4xt  0 = ( 2 2
x − xy + y ) + ( 2 2
x − xz + z ) + ( 2 2
x − xt + t ) 2 4 4 4 4 4 4 + x  0
Dấu bằng khi x= 2y=2z=2t=0 2 a Bài 17: CMR : 2 2
+ b + c ab − ac + 2bc 4 HD: Ta có: 2 2 2
a + 4b + 4c − 4ab + 4ac − 8bc  0 2
= a − a (b − c) + ( 2 2 4
4 b + c − 2bc)  0
= a − a(b − c) + (b − c)2 2 4 4  0
= (a − a + c)2 2 2  0 Bài 19: CMR : 2 2 2
x + y + z  2xy − 2zx + 2yz HD: Ta có: 2 2 2
x + y + z − 2xy − 2yz + 2zx  0 2
x − x ( y − z) 2 2 2
+ y − 2yz + z  0
x − x ( y − z) + ( y − z)2  = ( x − y + z)2 2 2 0  0 Trang 3 Bài 20: CMR : 4 4 4
x + y + z +  x ( 2
1 2 xy − x − z + ) 1 HD: Ta có: 4 4 4 2 2 2
x + y + z +1− 2x y + 2x − 2xz − 2x  0 ( 4 4 2 2
x + y − x y ) + ( 2 2
x − xz + z ) + ( 2 2 2 x − 2x + ) 1  0 2
(x − y ) +(x− z)2 +(x− )2 2 2 1  0 Dấu bằng khi x=z=1, y= 1  Bài 21: CMR : 2 2 2
a + b + c ab + bc + ca HD: Ta có : 2 2 2
a + b + c − ab − bc − ca  0 2 2 2
= 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ca  0
= (a −b)2 + (b − c)2 + (c − a)2  0 Bài 22: CMR : 2 2
a + b ab HD: ta có: 2 2 2 2 2 2 b b 3bb  3b
a + b − ab  0 2 = a − 2 . a + +  0 = a − +  0   2 4 4  2  4 Bài 23: CMR : 2 2
x + xy + y  0 HD: Ta có: 2 2 2 2 y y 3yy  3y 2 x + 2 . x + +  0 = x + +  0   2 4 4  2  4
Bài 24: CMR : a (a + b)(a + c)(a + b + c) 2 2 + b c  0 HD:
= a(a + b + c)(a + b)(a + c) 2 2 + b c  0 = ( 2
a + ab + ac)( 2
a + ab + ac + bc) 2 2 + b c  0 2
a + ab + ac = x Đặt  bc = y
Khi đó ta có: x ( x + y) 2 2 2
+ y  0 = x + xy + y  0
Bài 25: CMR : ( + )( + )  ( + )2 2 2 4 4 3 3 a b a b a b HD: Ta có: 6 2 4 4 2 6 6 3 3 6
a + a b + a b + b a + 2a b + b = ( 4 2 3 3
a b − a b ) + ( 2 4 3 3
a b − a b )  0 = 3 2
a b (a − b) 2 3
+ a b (b − a)  0
= (a −b)(a b − a b )  = a b (a −b)2 3 2 2 3 2 2 0  0
Bài 26: CMR : (a + b)( 3 3 a + b )  ( 4 4 2 a + b ) HD: Ta có: 4 3 3 4 4 4
a + ab + a b + b  2a + 2b = 4 3 4 3
a − ab + b − a b  0 = 3
a (a − b) 3
+ b (b − a)  0 = (a −b )(a −b)  = (a −b)2 3 3 ( 2 2 0
a + ab + b )  0 Trang 4
Bài 27: Cho a,b > 0, CMR : ( 3 3 + )  ( + )( 2 2 2 a b a b a + b ) HD: Ta có: 3 3 3 2 2 3
2a + 2b a + ab + a b + b = 3 2 3 2
a − a b + b − ab  0 = 2
a (a − b) 2
+ b (b − a)  0
= (a −b)2 (a + b)  0
Bài 28: Cho a, b > 0, CMR: ( + )  ( + )3 3 3 4 a b a b HD: Ta có: 3 3 3 2 2 3
4a + 4b a + 3a b + 3ab + b = 3 2 3 2
3a − 3a b + 3b − 3ab  0 = 2
a (a − b) 2
+ b (b − a)  = (a −b)( 2 2 3 3 0 3 a − b )  0
= (a −b)2 3 (a +b)  0
Bài 29: Cho a,b,c > 0, CMR: 3 3
a + b + abc ab(a + b + c) HD: Ta có: 3 3 2 2
a + b + abc a b + ab + abc = 3 2 3 2
a − a b + b − ab  0 = 2
a (a − b) 2
+ b (b − a)  0
= (a −b)2 (a + b)  0 2 Bài 30: CMR: ( + )  ( + )2 2 2 a b ab a b HD: Ta có: 4 2 2 4
a + a b + b ab( 2 2
a + ab + b ) 3 2 2 3 2 2
= a b + 2a b + ab = ( 4 3 a − a b) + ( 4 3
b − ab )  0 = 3
a (a − b) 3
+ b (b − a)  0
= (a −b )(a −b)  = (a −b)2 3 3 ( 2 2 0
a + ab + b )  0 Bài 31: CMR: 2 2 2
a + b + c a (b + c) HD: ta có: 2 2 2
a + b + c − ab − ac  0 = 2 2 2
4a + 4b + 4c − 4ab − 4ac  0 = ( 2 2
a − ab + b ) + ( 2 2
a − ac + c ) 2 4 4 4 4 + 2a  0
= (a − b)2 + (a − c)2 2 2 2 + 2a  0 Bài 32: CMR: 2 2 2 2
a + b + c + d a (b + c + d ) HD: 2 2 2 2
a + b + c + d − ab − ac − ad  0 = 2 2 2 2
4a + 4b + 4c + 4d − 4ab − 4ac − 4ad  0 = ( 2 2
a − ab + b ) + ( 2 2
a − ac + c ) + ( 2 2
a − ad + d ) 2 4 4 4 4 4 4 + a  0
= (a − b)2 + (a − c)2 + (a − d )2 2 2 2 2 + a  0 Trang 5 3 Bài 33: CMR: 2 2 2
a + b + c +  (a + b + c) 4 HD: Ta có: ( 3 2 a − a) + ( 2 b − b) + ( 2
c − c) +  0 4  1   1   1  = 2 2 2 a − a + + b − b + + c − c +  0        4   4   4  2 2 2  1   1   1  = a − + b − + c −  0        2   2   2  Bài 34: CMR: 4 4
a + b + 2  4ab HD: ta có: 4 4
a + b − 4ab + 2  0 = 4 4 2 2 2 2
a + b − 2a b + 2a b − 4ab + 2  0 2 = ( 2 2
a − b ) + ( 2 2
2 a b − 2ab + ) 1  0 2
= (a −b ) + (ab − )2 2 2 2 1  0 Bài 35: CMR: 4
x − 4x + 5  0 HD: ta có: ( 4 2
x − x + ) + ( 2 4 4 4x − 4x + ) 1  0
= (x − )2 +( x − )2 2 2 2 1  0 Không xảy ra dấu bằng 1 Bài 36: CMR: 4 x − x +  0 2 HD: Ta có:  1   1 4 2 2  x − x + + x − x +  0      4   4  2 2 =  1   1 2  x − + x −  0      2   2  Bài 37: CMR: 3 2
x + 4x +1  3x (x  0) HD: ta có: 3 2
x − 3x + 4x +1  0 = x( 2 x − x + ) 2 4 + x +1  0
= x(x − )2 2
2 + x +1  0 , Vì x > 0 Bài 39: CMR: ( x − )
1 ( x − 2)( x − 3)( x − 4)  1 − HD: (x − )
1 ( x − 4)( x − 2)(x − 3) +1 0 = ( 2 x − x + )( 2 5
4 x − 5x + 6) +1 0 Đặt 2
x − 5x + 5 = t
Khi đó ta có: (t − ) 1 (t + ) 1 +1  0 = 2
t  0 , Dấu bằng khi t=0 Trang 6 Bài 40: CMR: 4 3 2
x + x + x + x +1  0 HD: Ta có : 3
x ( x + ) + ( x + ) 2 1 1 + x  0 = (x + )( 3 x + ) 2 1 1 + x  0 x = (x + )2 ( 2 x − x + ) 2 1 1 + x  0 ( ĐPCM) Bài 41: CMR : 2 2 2
a + 4b + 4c  4ab + 8bc − 4ac HD: Ta có: 2 2 2
a + 4b + 4c − 4ab − 8bc + 4ac  0
= a + ( b)2 + ( c)2 2 2 2 − 2. .2 a b − 2.2 .2 b c + 2. .2 a c  0
= (a − b + c)2  0
Bài 42: CMR : ( + + )  ( + )3 + ( + )3 + ( + )3 3 3 3 8 a b c a b b c
c a với a, b, c >0 HD: Ta có: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2
8a + 8b + 8c  2a + 2b + 2c + 3a b + 3ab + 3b c + 3bc + 3a c + 3ac = 3 3 3 2 2 2 2 2 2
6a + 6b + 6c − 3a b − 3ab − 3b c − 3bc − 3a c − 3ac  0 = ( 3 2 a − a b) + ( 3 2 a − a c) + ( 3 2 b − b a) + ( 3 2 b − b c) + ( 3 2 c − bc ) + ( 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3c − 3ac )  0 = 2
a (a − b) 2
+ a (a − c) 2
+ b (b − a) 2
+ b (b − c) 2
+ c (c −b) 2 3 3 3 3 3
+ 3c (c − a)  0
= (a −b)( 2 2
a − b ) + (a − c)( 2 2
a − c ) + (b − c)( 2 2 3 3 3 b − c )  0
= (a −b)2 (a + b) + (a − c)(a + c) + (b − c)2 3 3 3 (b + c)  0
Bài 43: CMR: (a + b + c)3 3 3 3
a + b + c + 24abc với a,b,c>0 HD: Ta có: 3 3 3
a + b + c + (a + b)(b + c)(c + a) 3 3 3 3
a + b + c + 24abc
= 3(a + b)(b + c)(c + a)  24abc
a + b  2 ab  Vì b
 + c  2 bc , Nhân theo vế ta được ĐPCM
c+ a  2 ca  2 2 x yx y
Bài 44: CMR: Với mọi x, y # 0 ta có: + + 4  3 + 2 2   y xy x  HD: Ta có: 4 4 2 2
x + y + x y xy ( 2 2 4 3 x + y )
= (x + y )2 2 2 − xy ( 2 2 x + y ) 2 2 + x y − xy ( 2 2 2 2 x + y )  0 = ( 2 2 x + y )( 2 2
x + y − xy) + xy( 2 2 2
xy − x − y )  0 = ( 2 2
x + y − xy)( 2 2
x + y − 2xy)  0
= (x − y)2 ( 2 2
x − xy + y )  0 Trang 7 1
Bài 45: CMR : Nếu a + b  1, thì 3 3 a + b  4 HD: Ta có: 3 2 3
b  1− a = b  1− 3a + 3a − a 2  1  1 1 = 3 3 2
a + b  3a − 3a +1 = 3 a − +     2  4 4
Bài 46: Cho a,b,c > 0, CMR : 2 2 2
ab + bc + ca a + b + c HD: Ta có: 2 2 2
a + b + c − ab − bc − ca  0
= (a −b)2 + (b − c)2 + (c − a)2  0 2 a + a +1 Bài 47: CMR :  0 2 a − a +1 HD: Ta có:  1  3 2 2
a + a +1 = a + a + +  0, a     4  4  1  3 2 2
a − a +1 = a − a + +  0, a     4  4 Nên VT > 0
Bài 48: CMR : a (a + b)(a + )(a + b + ) 2 4 1 1 + b  0 HD: Ta có:
a (a + b + )(a + )(a + b) 2 4 1 1 + b  0 2
a + ab + a = x = ( 2
a + ab + a)( 2
a + ab + a + b) 2 4 + b  0 . đặt b = y
= x(x + y) 2 4 + y  0 = 2 2
4x + 4xy + y  0 2a a +1 2 ( )
= ( x + y)2 2
 0 , Dấu bằng khi 2x = −y = 2a + 2ab + 2a = b − = b = − 2a +1 x + y 2 2 ( )2
Bài 49: CMR : x + y   2xy 2 HD: Ta có:  (x + y)2 x + y
= 2x + 2y x + y + 2xy = (x − y)2 2 2 2 2 2 2  0  2 (x + y)2 
 2xy = x + y + 2xy  4xy = (x − y)2 2 2  0  2 1 1 4 Bài 50: CMR : +  , Với a,b > 0 a b a + b HD: Ta có: (a +b) 4 
= (a + b)2  ab = (a −b)2 4  0 ab a + b Trang 8 Bài 51: CMR : 4 4 +  ( 2 2 a b ab a + b ) HD: Ta có: 4 4 3 3
a + b − a b − ab  0 = 3
a (a − b) 3
+ b (a −b)  0
= (a −b)2 ( 2 2
a + ab + b )  0 4 4 4 a + ba + b  Bài 52: CMR :    2  2  HD: Ta có: 4 4 4 4 2 2 2 2 3 3
8a + 8b a + b + 4a b + 2a b + 4a b + 4ab = 4 4 2 2 2 2 3 3
7a + 7b − 4a b − 2a b − 4a b − 4ab  0 = ( 4 4 2 2
a + b + a b ) + ( 4 4
a + b ) − ab( 2 2 a + b ) 2 2 2 6 6 4 −8a b  0 = (a +b )2 2 2 − ab( 2 2 a + b ) 2 2 + a b + ( 4 4 a + b ) 2 2 4 4 6 −12a b  0
= (a +b − ab)2 2 2 + ( 4 4 2 2 2
6 a + b − 2a b )  0
= (a −b)4 + ( 2 2
6 a − b )2  0
Bài 53: Cho a+b+c=0, CMR : ab + bc + ca  0 HD: Ta có: 2 2 2
a + b + c + 2(ab + bc + ca) = 0
= (ab + bc + ca) = −( 2 2 2 2
a + b + c )  0 Dấu bằng khi a=b=c=0
Bài 54: Cho x,y,z  R , CMR : ( x − y)2 + ( y − z)2 + ( z − x)2  ( 2 2 2
3 x + y + z ) HD: Ta có: 2 2 2 2 2 2
2x + 2y + 2z − 2xy − 2yz − 2zx  3x + 3y + 3z = 2 2 2
x + y + z + 2xy + 2yz + 2zx  0
= (x + y + z)2  0 6 6 x y
Bài 55: CMR : Với mọi x,y khác 0, ta luôn có : 4 4 x + y  + 2 2 y x HD: Ta có: 2 2 ( 4 4 + ) 8 8 x y x
y x + y = 8 8 6 2 2 6
x + y − x y − x y  0 = 6 x ( 2 2 x − y ) 6 − y ( 2 2 x − y )  0 = ( 6 6 x − y )( 2 2 x − y )  0 = ( 2 2 x − y )( 4 2 2 4
x + x y + y )( 2 2 x − y )  0
= (x − y )2 2 2 ( 4 2 2 4
x + x y + y )  0 Bài 56: CMR : 2 2 2
2a + b + c  2a (b + c) HD: Ta có: 2 2 2
2a + b + c − 2ab − 2ac  0 = ( 2 2
a − ab + b ) + ( 2 2 2
a − 2ac + c )  0
= (a − b)2 + (a − c)2  0 Trang 9 Bài 57: CMR : 4 3 3 4
a + a b + ab + b  0 HD: ta có: 3 a (a + b) 3
+ b (a + b)  0 = ( 3 3
a + b )(a + b)  0
= (a + b)2 ( 2 2
a − ab + b )  0 Bài 58: CMR : 4 3 2 2 3 4
a − 2a b + 2a b − 2ab + b  0 HD: Ta có: ( 4 2 2 2
a − a ab + a b ) + ( 4 2 2 2 2 . b − 2a .
b b + a b )  0 2 2 = ( 2 a − ab) + ( 2 b − ab)  0 Bài 59: CMR : 4 4 2
a + b + c +  a ( 2
1 2 ab − a + c + ) 1 HD: Ta có: 4 4 2 2 2 2
a + b + c +1− 2a b + 2a − 2ac − 2a  0 = ( 4 4 2 2
a + b − a b ) + ( 2 2
a − ac + c ) + ( 2 2 2 a − 2a + ) 1  0
= (a −b )2 + (a −c)2 + (a − )2 2 2 1  0
Bài 60: CMR : (ab + bc + ca)2  3abc(a + b + c) HD: Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b + b c + c a + 2ab c + 2abc + 2a bc − 3a bc − 3ab c − 3abc  0 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= a b + b c + c a − ab c − abc − a bc  0 ab = x
Đặt bc = y => 2 2 2
x + y + z − xy − yz − zx  0 ca = z
= (x − y)2 + ( y − z)2 + (z − x)2  0  1 1  1  1 1  Bài 61: CMR : y + +   (x + z)  + 
( x + z) , Với 0  x y z x z yx z  HD: Ta có:
y ( x + z) x + z (x + z)2 + −  0 xz y xz = 2
y + xz − y ( x + z)  0 = 2
y + xz − xy − yz  0
= ( y − x)(z − y)  0 1 1 4
Bài 62: Cho a,b dương có tổng 1, CMR : +  a +1 b +1 3 HD: Ta có:
Quy đồng = 3(a + b + 2)  4(a + ) 1 (b + ) 1
= (ab + a + b + )  =  ab = (a + b)2 4 1 9 1 4  4ab
= (a −b)2  0 ( đúng) Trang 10 2 2 a b a b
Bài 63: CMR : Với a,b,c > 0 thì +  + 2 2 b a b a HD: 2 2 a b
a b   a b  Ta có: + − 2 + + +  0 2 2     b a
b a   b a  2 2   = a ba b VT   +  − 2 + + 2 2 2    b a   b a  2 2     = a a b b
− 2. +1 +  − 2. +1  0 2 2  b b   a a  8 8 8 a + b + c 1 1 1 Bài 64: CMR :  + + , a, , b c  0 3 3 3 ( ) a b c a b c HD: 2 2 2 Ta có: 8 8 8 4 4 4 4 4 4 + +  + + = ( 2 2 ) + ( 2 2 ) + ( 2 2 a b c a b b c c a a b b c c a ) 2 4 2 2 4 2 4 2 2
VT a b c + b c a + a b c 2 2 2 = ( 2 2 2 + + ) 2 2 2 a b c a b
c a b c (ab + bc + ca) 8 8 8 8 8 8 a + b + c a + b + c 1 1 1 =
ab + bc + ca =  + + 2 2 2 3 3 3 a b c a b c a b c Bài 65: CMR : ( 10 10 + )( 2 2 + )  ( 8 8 + )( 4 4 a b a b a b a + b ) HD: Ta có: 12 10 2 2 10 12 12 8 4 4 8 12
a + a b + a b + b a + a b + a b + b = ( 10 2 8 4
a b − a b ) + ( 2 10 4 8
a b − a b )  0 8 2 = a b ( 2 2 a − b ) 2 8 + a b ( 2 2 b − a )  0 2 2 = a b ( 2 2 a − b )( 6 6 a − b )  0
= a b (a −b )2 2 2 2 2 ( 4 2 2 4
a + a b + b )  0 1 1 1
Bài 66: Cho a,b,c dương có abc=1, và a + b + c  + + , CMR : (a − ) 1 (b − ) 1 (c − ) 1  0 a b c HD:
Ta có: a + b + c ab + bc + ca , Xét (a − ) 1 (b − ) 1 (c − )
1 = abc − (ab + bc + ca) + (a + b + c) −1
= (a + b + c) − (ab + bc + ca)  0
Bài 67: Cho a,b>0, thỏa mãn : 3 3
a + b = a − b , CMR : 2 2
a + b + ab  1 HD: Ta có: 3 3 3 3 +  − = ( − )( 2 2 a b a b
a b a + ab + b ) = ( − )  ( − )( 2 2 a b
a b a + b + ab) 2 2
= a + b + ab  1 Bài 68: CMR : ( 8 8 + )  ( 3 3 + )( 5 5 2 a b a b a + b ) HD: Ta có: 8 8 8 3 5 5 3 8
2a + 2b a + a b + a b + b = ( 8 5 3
a − a b ) + ( 8 3 5
b − a b )  0 = 5 a ( 3 3 a − b ) 5 − b ( 3 3 a − b )  0 = ( 5 5 a − b )( 3 3
a − b )  0, Giả sử a > b => 3 3 5 5
a b , a b => ĐPCM Nếu a 3 3 5 5
a b , a b => ĐPCM Trang 11 Bài 79: CMR : ( 8 8 8 + + )  ( 3 3 3 + + )( 5 5 5 3 a b c a b c
a + b + c ) HD: Ta có: ( 8 8 + )  ( 3 3 + )( 5 5 2 a b a b a + b ) ( 8 8 + )  ( 3 3 + )( 5 5 2 b c b c b + c ) ( 8 8 + )  ( 3 3 + )( 5 5 2 c a a c a + c ) Cộng theo vế ta được: ( 8 8 8 + + )  ( 8 8 8 + + ) 3 + ( 5 5 5 + + ) 3 + ( 5 5 5 + + ) 3 + ( 5 5 5 4 a b c a b c a a b c b a b c
c a + b + c ) = ( 8 8 8 + + )  ( 3 3 3 + + )( 5 5 5 3 a b c a b c
a + b + c ) Bài 70: Cho a+b=2, CMR : 8 8 7 7
a + b a + b HD: Ta có: ( 8 8 + )  ( + )( 7 7 + ) 8 8 7 7 2 a b a b a
b = a + b + ab + a b = 8 8 7 7
a + b − a b − ab  = (a − b)( 7 7 0 a − b )  0 a − b  0 a − b  0
Giả sử a b = 
Nếu a b =  7 7 a − b  0 7 7 a − b  0 Bài 71: CMR : 6 6 6 5 5 5
a + b + c a b + b c + c a,(a,b,c  0) HD: Ta có: 5
a (a − b) 5
+ b (b − c) 5
+ c (c − a) = (a − b)( 5 5
a − b ) + (c − a)( 5 5 c − b )  0 c − a  0 a − b  0
Giả sử : a b c =  và  => ĐPCM 5 5 c − b  0 5 5 a − b  0 2 2 2 a b c a b c
Bài 72: CMR : Với mọi a,b,c > 0 thì + +  + + 2 2 2 2 2 2 b + c c + a a + b
b + c c + a a + b HD: 2 a a
a (b + c) − a ( 2 2 2
b + c ) ab(a − b) + ac(a − c) Xét − = = 2 2 b + c b + c (b + c)( 2 2 b + c ) (b + c)( 2 2 b + c )
Giả sử a b c => Các ngoặc đều dương => ĐPCM
Bài 73: Cho a, b là hai số dương, CMR : (a + b)( 3 3 a + b )  ( 4 4 2 a + b ) HD: Ta có: 4 4 4 3 3 4
2a + 2b − a − ab − a b − b  0 = ( 4 3 a − a b) + ( 4 3
b − ab )  0 = 3
a (a − b) 3
− b (a −b)  0
Bài 74: Cho a,b là hai số dương, CMR : ( + )( 4 4 + )  ( 2 2 + )( 3 3 a b a b a b a + b ) HD: Ta có: 5 4 4 5 5 2 3 3 2 5
a + ab + a b + b − a − a b − a b − b  0 = ( 4 3 2
a b − a b ) + ( 4 2 3
ab − a b )  0 = 3
a b(a − b) 3
+ ab (b − a)  0
= (a −b)( 3 3
a b − ab )  0 = ab(a − b)( 2 2 a − b )  0 Trang 12 Bài 75: CMR : 2 2
a + b + 4  ab + 2(a + b) HD: Ta có: 2 2
a + b + 4 − ab − 2a − 2b  0 = 2 2
2a + 2b + 8 − 2ab − 4a − 4b  0 = ( 2 2
a − ab + b ) + ( 2
a − a + ) + ( 2 2 4 4
b − 4b + 4)  0
Bài 76: Cho a,b là hai số có tổng bằng 2, CMR : 4 4 3 3
a + b a + b HD: Ta có: ( 4 4 + )  ( + )( 3 3 2 a b a b a + b ) = 4 4 4 3 3 4
2a + 2b − a − ab − a b − b  0 = ( 4 3 a − a b) + ( 4 3 b − ab ) 3
 = a (a −b) 3
+ b (b − a)  = (a −b)( 3 3 0 0 a − b )  0
Bài 77: Cho a,b,c là ba số thỏa mãn : a+b+c=3, CMR : 4 4 4 3 3 3
a + b + c a + b + c HD: Ta có: ( 4 4 4 + + )  ( + + )( 3 3 3 3 a b c
a b c a + b + c ) 2   = (   a − b)2 b 3  a + + b  
 + (b − c)2 (b + bc + c ) + (c − a)2 2 2 2 ( 2 2
c + ac + a )  0  2  4  
Bài 78: Cho 0  x, y, z  1, CMR : 0  x + y + z − xy − yz − zx  1 HD: Ta có:
Xét tích (1− x)(1− y)(1− z) = −( xyz − xy − yz − zx + x + y + z − ) 1  0 x xy
mà y yz = x + y + z − xy − yz − zx  1− xyz z zx
mà 0  xyz  1 = 1− xyz  1
Bài 79: Cho −1  x, y, z  2 và x+y+z=0, CMR : 2 2 2
x + y + z  6 HD:
Ta có: (x−2)(x+ ) 2 1  0
x − x − 2  0   Xét (
y − 2)( y + ) 2
1  0 = y − y − 2  0 , Cộng theo vế ta có: (   z − 2  )(z + ) 2 1  0
z − z − 2  0  2 2 2 2 2 2
x + y + z − 6  0 = x + y + z  6 1 1 1 1 5
Bài 80: Cho x > 0, y > 0, z > 0, CMR : + −  , Với 2 2 2
x + y + z = x y z xyz 3 HD: Ta có:
(x + y − z)2 2 2 2
 0 = x + y + z + 2xy − 2yz − 2zx  0
= 5 + 2(xy − yz − zx)  0 3 −
= (xy − yz − zx) 5 5 2 
= yz + zx − xy  1 3 6 = 1 1 1 1 + −  x y z xyz Trang 13
Bài 81: Cho 0 < a,b,c < 1, CMR : 3 3 3 2 2 2
2a + 2b + 2c  3 + a b + b c + c a HD: Do 2
a  1 = a  1,b  1 => ( 2 − a )( −b) 2 2 1 1
 0 =1+ a b − a − b  0 = 2 2
1+ a b a + b
Mặt khác: 0< a, b<1=> 2 3 3 2 3 3
a a , b  b = a + b a + b Vậy 2 3 3
1+ a b a + b , Chứng minh tương tự => ĐPCM Bài 82: CMR : 4 4 4
a + b + c abc (a + b + c) HD: Chuyển vế ta có: 4 4 4 2 2 2
a + b + c − a bc − ab c − abc  0
= (a −b )2 + a b + (b − c )2 + b c + (c − a )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
+ 2a c − 2a bc − 2b ac − 2abc  0
= ( − )2 + ( − )2 + ( − )2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a +( 2 2 2 2 2
a b − a bc + a c ) + ( 2 2 2 2 2
a b − ab c + b c ) + ( 2 2 2 2 2
a b − ab c + b c ) + ( 2 2 2 2 2 2 2 2
a c − 2abc + b c )  0
Bài 83: Cho a,b,c,d > 0 thỏa mãn: a c + d , b c + d , CMR: ab ad + bc HD:
a c + d
a − c d  0 Ta có:  = 
= (a − c)(b − d )  cd , Nhân vào ta được ĐPCM b   c + d b
 − d c  0
Bài 84: Cho 0  a,b, c, d  1, CMR : (1− a)(1− b)(1− c)(1− d ) 1− a − b − c − d HD:
Ta có: (1− a)(1− b) =1− a − b + ab 1− a − b ( do ab >0)
Do c  1 = 1− c  0 = (1− a)(1− b)(1− c)  (1− a − b)(1− c) 1− a − b − c
Chứng minh tương tự => ĐPCM 2 a Bài 85: Cho a.b.c=1, 3 a  36 , CMR : 2 2
+ b + c ab + bc + ca 3 HD: 2 2 a a 2 2  aa Xét hiệu 2 2 +
+ b + c − ab − bc − ac  0 2 2
=  + b + c − ab − ac + 2bc+ −3bc  0 4 12  4  12 2 3 3 − =  aa − 36abc a 36abc − b − c +   , Do 3 a  36 =  0 ĐPCM  2  12a 12a
Bài 86 : Chứng minh rằng : Nếu 4 4 4 4
a + b + c + d = 4abcd và a,b,c,d là các số dương thì a= b= c= d 2  ab + 
Bài 87: Cho hai số a, b thỏa mãn: a + b  0, Chứng minh rằng: 2 2 1 a + b +  2   a b  +  HD: 2  ab +1 2 2 2 Ta có: 2 2 a + b +  2 = ( 2 2
a + b )(a+ ) b + (ab+ ) 1  2(a+   )b a+ b  (a )2 b (a )2 b ab = + + −
− (a+ b)2 + (ab+ )2 2 2 1  0    = (a+ )4
b − ab(a+ )2 b − (a+ )2 b + (ab+ )2 2 2 1  0 = (a+ )4 b − (a+ )2
b (ab+ ) + (ab+ )2 2 1 1  0 (a ) 2 2 b ab 1 = + − −  0  (ĐPCM)   Trang 14 x − y 2 2 x − y
Bài 88: Cho x y  0 hãy so sánh : A = , và B = x + y 2 2 x + y HD:
Vì x  0, y  0 = x + y  0 x − y
(x− y)(x+ y) A = = , lại có: 2 2 2 2 2 2
x + y + 2xy x + y , x − y  0 x + y (x+ y)2 2 2 2 2 x − y x − y = A =  = B 2 2 2 2
2xy + x + y x + y
Bài 89: Cho x, y > 0 thỏa mãn điều kiện: 2 3 3 4
x + y x + y , Chứng minh rằng: 3 3
x + y  2 , Dấu bằng xảy ra khi nào? HD:
Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có: 3 2 2 4 3
x + x  2x , y + y  2y , Do vậy 3 2 4 2 3 2
x + x + y + y x + y = x + y  ( 2 3 x + y ) + ( 2 3 3 4
x + y − x − y ) 2 3 2 2  x + y ,( 2 3 3 4
x + y x + y ) Mà: 2 4 2 x +1 2 ,
x y +1 2y , nên 2 4 2 2 3 2 3 3 4
1+ x + 1+ y  2x + 2y  2x + 2y x + y + x + y Do vậy 3 3 x + y  2
Dấu bằng xảy ra khi: x = y = 1
Bài 90: Chứng minh BĐT sau: 2 2
x + y − xy x + y −1 HD: Ta có: 2 2
x + y − xy x + y − = ( 2 2 1
2 x + y − xy)  2(x + y− ) 1 2 2
= 2x + 2y − 2xy  2x + 2y − 2 = ( 2 2
x − xy + y ) + ( 2
x − x + ) + ( 2 2 2 1 y − 2y + ) 1  0
Bài 91: Cho a, b là các số dương thỏa mãn: 3 3 5 5
a + b = a + b , Chứng minh rằng: 2 2
a + b  1+ ab HD: Ta có: 2 2 2 2
a + b  + ab = a + b − ab  = (a+ b)( 2 2 1 1
a + b − ab)  a+ b 3 3
= a + b a+ b = ( 3 3 a + b )( 3 3
a + b )  (a+ b)( 5 5 a + b ) 3 3 5 5
= 2a b ab + a b
= ab(a − a b + b )  = ab(a − b )2 4 2 2 4 2 2 2 0  0, , a b  0
Bài 92: Cho các số a, b, c  0;1   , chứng minh rằng: 2 3
a + b + c − ab − bc − ca  1 HD: Do a, b,c  0;1   , nên: (1− )
a (1− b)(1− c)  0 = 1− a− b − c + ab + bc + ca− abc  0
= a + b + c − ab − bc − ca  1− abc  1 Do 2 3 , a ,
b c 0;1 = b  , b c  c   , từ đó ta có: 2 3
a + b + c − ab − bc − ca a + b + c − ab − bc − ca  1 Trang 15
DẠNG 2 : SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ Các BĐT phụ hay dùng : (a +b)2 x y 2 2 a + b
(x + y)2  4xy +  2 2 y x 1
Bài 1: Cho a+b > 1, CMR : 4 4 a + b  8 HD: 2 2
a +b + 2ab 1 1 Ta có: (a + b)2 2 2 1 = 
= a + b  2 2
a + b − 2ab  0 2  1 1
a + b + 2a b  1 => (a + b ) 4 4 2 2 2 2 2 4 4  = 
4 = 2a + 2b  4 4 4 2 2 2
a +b −2a b  0 1 Vậy 4 4 a + b  8 1 Bài 2: Cho a+b = 1, CMR : 2 2 a + b  2 HD: 2 2
a + 2ab +b =1 1 Ta có: (a + b)2 2 2 2 2 =1 = 
= 2a + 2b 1 = a + b  2 2
a − 2ab + b  0 2
Bài 3: Cho a+b > 2, CMR : 2 2 a + b  2 HD: 2 2
a + 2ab +b  4 Ta có: (a + b)2 2 2 2 2  4 = 
= 2a + 2b  4 = a + b  2 2 2
a − 2ab + b  0 Bài 4: Cho 2 2
a + b  2 , CMR: a + b  2 HD: Ta có: 2 2
a + b  2  2 2 2 2
a + b  2ab = 2ab a + b  2
Cộng theo vế ta được: a + b + ab  = (a + b)2 2 2 2 4
 4 = a + b  2
Bài 5: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: 2 2 2
a + b + c  2(ab + bc + ca) HD:
Ta có: Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên ta có: 2
a b + c
a ab + ac   2 2 2 2 b
  a + c = b
  ab + bc = a + b + c  2(ab + bc + ac)   2
c a + b
c ac + bc  1
Bài 6: Cho a,b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1, CMR: 3 3 a + b  4 HD:
Ta có: a + b = = b = − a = b = ( − a)3 3 1 1 1 => 3 3 3 2 3 2
a + b = a +1− 3a + 3a − a = 3a − 3a +1 2  1 3   1  1 1 2 = 3 a − a + + = 3 a − +       4 4   2  4 4 Trang 16
Bài 7: Cho x, y, z  0 , CMR : ( x + y)( y + z)( z + x)  8xyz HD:
x + y  2 xy 
Ta có: y + z  2 yz , Nhân theo vế ta được: ( x + y)( y + z)( z + x)  8xyz
z + x  2 zx  1 1 1 1
Bài 8: Cho a,b,c > 0, CMR : + +  3 3 3 3 3 3
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc HD: Ta có: 3 3 + = ( + )( 2 2 a b
a b a − ab + b )  (a + b)ab , Do 2 2
a − ab + b ab Khi đó 3 3
+b + abc  (a + b)ab + abc = ab(a + b + c)
Chứng minh tương tự ta có: 3 3
b + c + abc bc (a + b + c) và 3 3
c + a + abc ac (a + b + c) 1  1 1 1  1 a + b + c 1 Khi đó ta có: VT  + + = . =  
a + b + c ab bc ca a + b + c abc abc  
Bài 9: CMR: Với mọi a,b,c > 0 thì (a + b + c) 1 1 1 + +  9    a b c  HD: 1 1 1 1 Ta có: 3
a + b + c  3 abc và 3 + +  3 a b c abc  
Nhân theo vế ta có: (a + b + c) 1 1 1 + +  9    a b c a b c 3
Bài 10: Cho a,b,c > 0, CMR : + + 
b + c c + a a + b 2 HD: Ta có:
x = a + b   
Từ ( x + y + z) 1 1 1 + +  9  
, Đặt y = b + c x y z
z = c + a   
=> (a + b + c) 1 1 1 2 + +  9  
a + b b + c c + a
a + b + c a + b + c a + b + c 9 c a b 9 3 <=> + +  => + +  − 3 = a + b b + c c + a 2
a + b b + c c + a 2 2 a b 1 3
Bài 11: Cho a,b > 0, CMR : + + 
b +1 a +1 a + b 2 HD:  a   b   1    Ta có: +1 + +1 + +1 + 3       = (a + b + ) 1 1 1 9 3 1 + + − 3  − 3 =    b +1   a +1   a + b
a + b a +1 b +1 2 2 2 2 2 a b c a + b + c
Bài 12: Cho a,b,c là ba số dương, CMR : + + 
b + c c + a a + b 2 HD: 2 2 2  a
b + c   b
c + a   c
a + b a + b + c Ta có: VT =  +  +  +  +  +  −  b + c 4   c + a 4   a + b 4  2 a + b + c a + b + c
VT a + b + c − = = VP 2 2 Trang 17 a b c 1  1 1 1 
Bài 13: Cho a,b,c > 0, CMR : + +  + + 2 2 2 2 2 2   a + b b + c c + a 2  a b c  HD: 2 2
a + b  2aba b c 1 1 1 1  1 1 1  Ta có: 2 2 b
 + c  2bc = VT  + + = + + = + +  
2ab 2bc 2ca 2b 2c 2a 2   a b c  2 2
c + a  2ca  2 2 2 a b c
Bài 14: CMR: với a,b,c > 0 thì : + +
a + b + c b c a HD: 2 2 2  a   b   c  Ta có: 
+ b +  + c +  + a −(a + b + c)  2a + 2b + 2c −(a + b + c) = a + b + c =VP b   c   a  3 Bài 15: CMR : 2 2 2
a + b + c +  −a − b − c 4 HD:  1   1   1  Ta có: 2 2 2 a + a + + b + b + + c + c +  0        4   4   4  1 1 1
Bài 16: Cho a,b,c dương có tổng là 1, CMR : + +  9 a b c HD:  
Vì (a + b + c) = = (a + b + c) 1 1 1 1 + +  9    a b c
Bài 17: Cho a,b,c là các số không âm và a + b + c  3 ,CMR : a b c 3 1 1 1 + +   + + 2 2 2 1+ a 1+ b 1+ c
2 1+ a 1+ b 1+ c HD: 2 1  + a  2aa b c a b c 3 Ta có: 2 1
 + b  2b = + +  + + = 2 2 2 1+ a 1+ b 1+ c 2a 2b 2a 2  2 1+ c  2c  1  + a = x  1 1 1 3 Đặt 1
 + b = y = x + y + z = a + b + c + 3  6 => B = + +  , x y z 2 1  + c = z   
Khi đó: ( x + y + z) 1 1 1 1 1 1 9 9 3 + +  9 = + +   =    x y z x y z x + y + z 6 2 4 4 2 2 x y x y x y
Bài 18: Cho x,y,z > 0, CMR : + − − + +  2 4 4 2 2 y x y x y x HD: 4 4 x y x y 2 2  x y  Ta có: +
 2 , Tương tự +  2 và − +   2 − 4 4 y x y x 2 2  y x
Cộng theo vế ta có: VT  2 + 2 − 2 = 2
Bài 19: Cho a,b là các số dương thỏa mãn: a+b < ab, CMR : a+b > 4 HD: Ta có: ( + a + b ab 4 a + b)2 a b 4  4ab = 
Do a + b ab =  =1 =1 
= a + b  4 ab a + b ab ab a + b Trang 18 3 3 3 a b c
Bài 20: Cho a,b,c > 0, CMR : + +
ab + bc + ca b c a HD: Ta có: 3 3 3  a   b   c  2 2 2 
+ b  + + c  + + a  −( 2 2 2
a + b + c )  b   c   a  3 3 a + b ab(a + b) Mà: 
= a(a + b) 2 = a + ab b b 3 3 b c Tương tự => 2 2 2 2
+ c b + bc,
+ a c + ca c a Khi đó VT  ( 2 2 2 + + ) + ( + + )−( 2 2 2 a b c ab bc ca
a + b + c ) = ab + bc + ca
Bài 21: Cho a,b,c thỏa mãn: 2 2 2
a + b + c = 3, CMR: ab + bc + ca + a + b + c  6 HD: 2 2
a + b  2ab  Ta có: 2 2 b
 + c  2bc = 2( 2 2 2
a + b + c )  2(ab + bc + ca) = 2.3  2(ab + bc + ca)  2 2
c + a  2ac
=> ab + bc + ca  3 (1) 2 a +1 2a  Mặt khác: 2 b
 +1 2b = 3+ 3  2(a + b + c) = a + b + c  3 (2)  2 c +1  2c
Cộng (1) và (2) theo vế ta được ĐPCM 2 2 x y 1 Bài 22: CMR: +
 , với mọi x,y là số thực 4 4 1+16x 1+16y 4 HD: 2 x 1 Ta có: 4 4 2 2
1+16x  2. 16x = 2.4x = 8x =  (1) 4 1+16x 8 2 2 y y 1 Tương tự:  = (2) 4 2 1+16y 8y 8 1
Cộng theo vế ta được : VT  4 bc ac ab
Bài 23: CMR với a,b,c > 0 thì + +
a + b + c a b c HD: bc aca b ac ab ab bc Ta có: + = c +  2c   , Tương tự ta có: +  2a, +  2b a bb a b c c a
Cộng theo vế ta được : 2VT  2VP = VT VP 2 2 a − b a − b
Bài 24: CMR: với a,b > 0 và a > b > 0 thì  2 2 a + b a + b HD: a − b
(a −b)(a +b) 2 2 a − b Ta có: = = , Mà 2 2 2 2
a + 2ab + b a + b a + b (a +b)2 (a +b)2 2 2 a − b Khi đó VT  2 2 a + b
Bài 25: Cho 3 số a,b,c dương thoă mãn: a+b+c = 4, CMR : a + b abc Trang 19 HD:
Ta có: (a + b)2  4ab = (a +b) 2 + c  4 
(a +b)c =16  4(a +b)c
=  (a + b)c = (a + b)  (a + b) c = (a +b)  ( ab)2 2 4 4 4 2 c = 4abc
=> a + b abc
Bài 26: Cho 2 số x,y > 0 thỏa mãn: 3 3
x + y = x − y , CMR : 2 2 x + y  1 HD: Ta có: 3 3 2 2
x + y  = x − y  = x + y  = (x − y)( 2 2 x + y ) 3 3 0 0 1  x + y 3 2 2 3 3 3
= x + xy − x y − y x + y 3 2 2
= y + x y − xy  = y ( 2 2 2 0
2y + x − xy)  0 1 Bài 27: Cho a+b = 1, CMR: 2 2 a + b  2 HD: 2 2
a + 2ab + b =1 1 Ta có: (a + b)2 2 2 2 2 =1 = 
= 2a + 2b 1= a + b  2 2
a − 2ab + b  0 2 1 Bài 28: Cho a+b=1, CMR: 4 4 a + b  8 HD: 2 2
a + 2ab +b =1 1 Ta có: 2 2 2 2 
= 2a + 2b 1 = a + b  2 2
a − 2ab + b  0 2  1 4 4 2 2
a + b + 2a b  1 1 Mặt khác: 4 4 4 4 
4 = 2a + 2b  = a + b  4 8 4 4 2 2
a +b −2a b  0 x y z
Bài 29: Cho 3 số x,y,z >0, CMR: + +  3 y z x HD: 2 x = yz x y z x y z x y z  Ta có: + +  3 2 3 . . = 3, Dấu bằng khi
= = = y = xz = x = y = z y z x y z x y z x  2 z = xy
Bài 30: Cho a,b,c thỏa mãn: 2 2 2
a + b + c = 1, CMR: abc + 2(1+ a + b + c + ab + bc + ca)  0 HD: Vì 2 2 2
a + b + c = 1 = a , b , c  1 = 1
−  x, y, z  1 Khi đó: (a + ) 1 (b + ) 1 (c + )
1  0 = abc + ab + bc + ca + a + b + c +1  0 (1)
mà (a + b + c + )2 = (a + b + c)2 1
+ 2(a + b + c) +1 0 2 2 2
= a + b + c + 2(ab + bc + ca) + 2(a + b + c) +1 0
= ab + bc + ca + a + b + c +1  0 (2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được: abc + 2(ab + bc + ca + a + b + c + ) 1  0 Trang 20

Tài liệu liên quan: