Bài tập ôn K47 môn toán cao cấp | Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh

lOMoAR cPSD| 49519085 Trắc nghiệm: Câu 1: Cho ma trận
. Đặt . Khi đó B suy biến khi và chỉ khi
A. m = -1 B. m = +-1 C. m = 1 D. Không tồn tại m Bài giải: Ta có: 2I3 – A = 2 - = - =
B suy biến khi và chỉ khi det(B)=0 Chọn đáp án C 17 7 1 3 10 4 0 1 A 1 1 3 4 Câu 2: 4 2 2 3
Tìm hạng của ma trận:
a) r(A)=1 b) r(A)=2 c) r(A)=3 d) r(A)=4 Bài giải: lOMoAR cPSD| 49519085 Vậy r(A) =2 Đáp án B
Câu 3 : Ký hiệu AT là ma trận chuyển vị của A. Cho phương trình ma trận
ATXBC=D với A,B,C,D là các ma trận vuông cùng cấp và A,B,C khả nghịch:
D. Các câu trên đều sai Bài giải: Ta có : ATXBC=D XBC = (AT)-1D XB = (AT)-1DC-1
X = (AT)-1DC-1B-1 -> Đáp án C
Câu 4 : Cho A,B là 2 ma trận vuông cấp n. Khi đó: b) c) d) AB=BA Bài giải:
A sai vì ATBT=BTAT khi BT là ma trận nghịch đảo của AT
B đúng vì ta có tính chất (AB)T=BTAT C sai vì không thỏa mãn tính
chất (AB)T=BTAT D sai vì AB=BA khi B là ma trận nghịch đảo của A.
Câu 5: Các phát biểu nào sau đây là sai?
A. Hạng của ma trận không thay đổi qua các phép biến đổi sơ cấp trên dòng.
B. Ma trận nghịch đảo của A (nếu có) là ma trận B thỏa AB=.
C. Định thức của ma trận vuông thì luôn nhỏ hơp cấp của ma trận đó.
D. Ma trận nghịch đảo của A (nếu có) có định thức khác 0. Bài giải: A. Cho A = lOMoAR cPSD| 49519085 r(A) vẫn bằng 3 B. Cho A = Có A.B = C. Cho A = r(A)=2 Lại có
Ta thấy . Do đó nhận định C Sai D. Cho A =
Câu 06 : Phép biến đổi nào sau đây làm thay đổi tập nghiệm của phương trình?
a) Nhân cả hai vế của một phương trình với .
b) Trừ vế theo vế hai phương trình bất kỳ.
c) Đổi chỗ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ 3, đổi chỗ phương trình
thứ 2 cho phương trình thứ 4. Bài giải:
a. Nhân cả hai vế của một phương trình với không làm thay đổi tập nghiệm củahệ phương trình. Ví dụ: Nhân cả hai vế với 2:
b. Trừ vế theo vế cho 2 phương trình bất kỳ làm thay đổi tập nghiệm của hệphương trình. lOMoAR cPSD| 49519085 Ví dụ:
Trừ vế theo vế cho 2 phương trình bất kỳ: -> Đáp án b
c. Đổi chỗ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ 3, đổi chỗ phương trìnhthứ
2 cho phương trình thứ 4 không làm thay đổi tập nghiệm của hệ phương trình.
Đổi chỗ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ 3, đổi chỗ phương trình
thứ 2 cho phương trình thứ 4:
Câu 7:Cho A là ma trận vuông cấp 3 thỏa mãn
a. -27 b. 27 c.-3 d. Một kết quả khác Bài giải: 3A2016 + I3 = A2017
3(A-1)2016A2016 + (A-1)2016 = (A-1)2016.A2017 3I3 +(A-1)2016 = A (A-1)2016 = A - 3I3 3(A-1)2016 = 3A - 9I3 |3(A-1)2016| = |3A - 9I3| 27 |(A-1)2016| = |3A - 9I3|
= |3A - 9I3| -> Chọn đáp án D
Câu 08: Trong mô hình input, output mở biết ma trận đầu vào . Gọi x1, x2 lần
lượt là giá trị đầu ra của ngành 1 và ngành 2. Khi đó nếuthì tổng giá trị nguyên
liệu của ngành 1 cung cấp cho ngành 2 và ngành 2 cung cấp cho ngành 1 là:
a) 400 b) 450 c) 390 d)430 lOMoAR cPSD| 49519085 Bài giải :
Ta có: Ma trận hệ số đầu vào
Giá trị đầu vào của ngành 1 và ngành 2
Giá trị nguyên liệu của ngành 1 cung cấp cho ngành 2 là: 600.0,3 = 180
Giá trị nguyên liệu của ngành 2 cung cấp cho ngành 1 là: 500.0,5 = 250
Vậy tổng giá trị nguyên liệu của 2 ngành trên là: 180 + 250 = 430 Chọn câu d
Câu 09: Đối với một hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn thì
khẳng định nào sau đây là đúng?
a) Các câu còn lại đều sai.
c) Là hệ Cramer nên có duy nhất nghiệm. b) Có vô số nghiệm. d) Vô nghiệm Bài giải:
Đề bài ở đây chỉ cho một hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn
nên ta không có đủ giữ kiện (như giả thiết về định thức) để kết luận về nghiệm của hệ. lOMoAR cPSD| 49519085 lOMoAR cPSD| 49519085
Câu 19: G i ọ , theo gi thuyếết , ta có:ả G i là s n lọ ả
ượng ngành m và là s n lở ả ượng 3 ngành Ta có: Ch n A ọ
Câu 20: G i S là sốế nghi m c a h nghi m c b n c a h phọ ệ ủ ệ ệ ơ ả ủ ệ ương trình:
. Ta có S l n nhấết khi:ớ A. m B. m C. m = 0 D. m = 1 Xét ma tr n h sốế:ậ ệ A = 2d2 d2 – 2d1 d3 d3 + d2 d3 d3 – d1
Ta có : S = n – r Đ S l n nhấết thì r nh nhấtế ể ớ ỏ d4 d4 – 2d2 Ch n Cọ x y 2z 3t 0
Câu 21: Cho h phệ ương trình tuyếến tnh (I) : 2x 2y 5z 8t 0. H vect nào sau ệ ơ
đấy là m t h nghi m c b n c a h (I) ộ ệ ệ ơ ả ủ ệ u (1,0, 2,1),u (1,1, 1, 0) u A. 1 2
B. 1 (1,0, 2,1),u 2 ( 2,2,0,0),u3 (0,1, 2, 1) u1 (1,0, 2,1),u
2 (0,1, 2, 1) D. u (1,0, 2, 1) C. Gi i:ả lOMoAR cPSD| 49519085 1 1 2 3 d d d2 2 2 1 1 1 2 3 A 2 2 5 8 0 0 1 2
H phệ ương trình tương đương: x y 2z 3t 0 x y t z 2t z 2t
H vố đ nh ph thu c vào 2 tham sốế, có h nghi m t ng quát:ệ ị ụ ộ ệ ệ ổ ( y t y;
; 2 ; ) t t H nghi m c b n: (1; 0; -2; 1), (0; 1; -2;1) ệ ệ ơ ả Ch n Cọ
PHẦẦN TỰ LU N:Ậ
Bài 1 : Cho ma tr nậ A= . Bi n lu n h ng c a ma tr n A theo lOMoAR cPSD| 49519085 m.ệ ậ ạ ủ ậ A= V i m 4, m 5 r = 4 ớ V i ớ m = 4 r = 3 V i ớ m = -5 r = 3 lOMoAR cPSD| 49519085 lOMoAR cPSD| 49519085
Bài 4: Xét mô hình Input-Output mở gồm 3 ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào 0,1 0,2 0,2 A 0,2 0,2 0,3 0,4 0,1 0,2 a)
Tìm tổng nguyên liệu đầu vào của ba ngành để sản xuất ra được 10 đơn vị đầu racủa từng ngành;
Gọi X là ma trận tổng nguyên liệu đầu ra, B là ma trận tổng đơn vị đầu vào của ba ngành Có X = và A.X = B = lOMoAR cPSD| 49519085 b)
Tìm sản lượng ngành 1, biết rằng ngành 3 phải cung cấp cho ngành 1 với
lượng nguyên liệu giá trị 70 (đvt). Điều kiện: x1 > 0 Ta có: X1 = = = 175 (nhận) c)
Nếu biết sản lượng của ngành 3 là 100, thì ngành 1 phải cung cấp cho ngành 3 làbao nhiêu? Ta có X3 = = 100 B3 = 0,2 . 100 = 20 Câu 5 (t lu n):ự ậ
G i lọ ượng cafe ( tnh theo pound) mốỗi lo i I,II,III lấần lạượt là x,y z. Ta có h phệương trình:
Ta có ma tr n h sốế m r ng:ậ ệ ở ộ d3 -> d2- d3 d2 -> d1- 2d2
Ta được: 5z = 200 => z= 40 => y= 40
2x + 3.40 +6.40 =400 => x= 20 V y s n lậ ả
ượng mốỗi lo i lấần lạ ượt là x=20 pound, y=40 pound,z= 40 pound Gi i tchả Câu 1: F(x)= lOMoAR cPSD| 49519085 Ch n đáp án Dọ Câu 2: Có h phệ ương trình v
2 đi m d ng là (0,0) và (1,ể ừ 1) T i (1,1): H =ạ Có Đ t c c t u đ a phạ ự ể ị ương t i (1,1) ạ Ch n Bọ Câu 3: a) V i :ớ V i:ớ
Vì => khống có đ o hàm => Lo i cấu Aạ ạ b) lOMoAR cPSD| 49519085
Hàm g p gi i h n khi x tếnế gấần t i 0ặ ớ ạ ớ Lo i cấu Bạ c) Ta có: Hàm liến t c t i ụ ạ Ch n Cọ CẦU 4: a. = (a > 0) = a b. c. . d. C a,b,c đếầu saiả GI I: Ả a. (a > 0) (
Áp d ng quy tắếc L’Hospital:ụ = = SAI b. ( lOMoAR cPSD| 49519085
Áp d ng quy tắếc L’Hospital:ụ SAI c. .
+) ( Áp d ng quy tắếc L’Hospitalụ : = = TH A Ý 1Ỏ +) = = = ==1
TH A Ý 2Ỏ , ch n Cọ
Câu 5: Cho hàm sốế f kh vi trong m t lấn c n c a 0, f(0)=0 và f’(x) là m t vố cùngả ộ ậ
ủ ộ bé b c cao h n x khi , đ t khi đó ta cóậ ơ ặ
a) L = 1/2 b) L = 0 c) L = 1 d) L = Gi i:ả
Vì b c c a f’(x) l n h n b c c a xậ ủ ớ ơ ậ ủ => = = lOMoAR cPSD| 49519085 = = = => Đáp án: D Câu 6: Cho . Thì: a) f kh vi t i x=0ả ạ
b) f kh vi và khống liến t c t i x=0ả ụ ạ
c) f liến t c và khống kh vi t i x =0ụ ả ạ d) C a,b,c đếầu saả i Bài làm TXĐ: D=R Ta có
Xét tính liên tục của hàm số f(x)
Hàm f(x) liến t c t i x=0ụ ạ
Xét tính khả vi của hàm số f(x) F(x) = 2x Tại x=0 lOMoAR cPSD| 49519085 = = 0 = f(0)
Hàm sốế f(x) kh vi t i x=0ả ạ Ch n Dọ
Câu 7 : Cho f(x,y)=
Độ co dãn riêng của f theo x và độ co dãn riêng của f theo y tại (10,10) lần lượt là:
A.3/81;100/81 B. 3/81;50/81 C. 4/81;100/81 D.4/81;50/81 Giải F’x= F’y=
Độ co dãn riêng của f theo x: = x=
Độ co dãn riêng của f theo y: = x= Chọn C Câu 8: Cho hàm số:
Tìm m để khả vi tại x0 = 0 a) m = 2 b) m = 1 c) m = 3 d) Cả 3 đều sai
Để khả vi tại x0=0 thì: • liên tục tại x0=0 m=1 • g
g Hàm khả vi tại x0 = 0 = 1 lOMoAR cPSD| 49519085 f(x,y) ax 2 a 1 (1 )y2 axy x y. Câu 9: Cho a>0 và 2 2
Giả sử (xo,yo) là điểm dừng
A. f đạt cực đại toàn cục tại(xo,yo) B. f đạt cực tiểu toàn cục tại(xo,yo)
C. f đạt cực đại toàn cục tại(xo,yo) D. Các câu kia đều sai
giải: các đạo hàm cấp 1:
(xo,yo) là điểm dừng Các đạo hàm cấp 2: F’’(x) = 2a : A F’’(xy) = a : B F’’(y) = 2 + a : C Ma trận H: Ta có:
hàm số f(x,y) đạt cực tiểu toàn cục tại (xo,yo)
Câu 10: Vi phân toàn phần của hàm số tại (1,1) là: a. dx – 3dy b. 0 c. 3dx + dy d. -3dy GIẢI lOMoAR cPSD| 49519085
Vi phân toàn phần của hàm số tại (1,1) là: Chọn b
Câu 11: Xét phương trình vi phân : y’ + 4y = 4e-2x (1). Phát biểu nào sau đây là sai lim
A. Mọi nghiệm y(x) của phương trình (1) đều có tính chất x y(x) 0
B. Mọi nghiệm y(x) của phương trình (1) đều có tính chất x lim y(x) 0
C. Phương trình (1) có một nghiệm riêng y=2e-2x D.
Phương trình (1) có một nghiệm riêng y=(2+e-2x)e-2x Giải: y’ + 4y = 4e-2x (1)
Xét phương trình thuần nhất: y’ + 4y =0 <=> y = C. = C. (2)
Đặt C(x) = C, thay vào (2), ta có: y = C(x).
=> y’= C’(x). + (-4).C(x).
Thay y’= C’(x). + (-4).C(x). vào (1), ta có:
C’(x). - 4.C(x). + 4.C(x). = 4 <=> C’(x). = 4 <=> C’(x) = 4 <=> =
<=> C(x) = 4. . + K = 2. + K lOMoAR cPSD| 49519085
Vậy nghiệm tổng quát của (1) là y = C(x). = 2. + K.
Với K = 0 => nghiệm riêng của (1) là y = 2 => câu C đúng.
Với K = 1 => nghiệm riêng của (1) là y = (2+e-2x)e-2x => câu D đúng.
Với nghiệm riêng y = 2 ( khi K = 0), ta có: = 0 => câu A đúng
= + => câu B sai => chọn đáp án B. ‘’
Câu 12: Cho hàm số:
A. Liên tục tại . B. Có đạo hàm tại .
C. Khả tích trên [a,b]. D. Cả a,b,c đều sai.
Ta có: 0 (Theo giả thiết cho) = = = = = = = ≠ không liên tục tại x=0
Vậy cả ba câu A, B, C đều sai Chọn câu D Câu 13 : a) b) c) d) Cả a,b,c đều sai. Bài làm :