Bài tập phương trình mũ

Toán 12 PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Dạng 1: Dùng phép biến đổi tương đương đưa ptr đã cho về dạng f (x) g ( x) a  a (1) với a là
một số dương và khác 1 (ví dụ: a = 2 ; a = 7/2 , ví dụ phương trình 2x3 2x3 5x 5 3 .5  3 .5 x )
Khi đó: (1) f (x) g ( x) a  a
 f (x)  g(x) 2
Dạng 2: nếu cơ số a = h(x) là một biểu thức có chứa ẩn số x (ví dụ: ptr 2 x 2 x 2 3 (x 1)  (x 1) ) thì: T
 H 1: h(x) 1  f ( x) g ( x) h(x)  h(x) 
dk : 0  h(x)  1  TH 2 :  
 f (x)  g(x)
Dạng 3: Phương pháp đặt ẩn phụ Đặt f ( x) t  a
,t  0 với a và f (x) thích hợp để đưa phương trình biến số x đã cho về phương
trình mới với biến t, giải phương trình này tìm t (nhớ so điều kiện t > 0) rồi từ đó tìm x. Ví dụ: 9x 4.3x 
 45  0 đặt ẩn phụ  3x t , dk : t  0 2 2 2 Ví dụ: x 5 x x 5 x2 4  2  4  (đặt t= 5 2 x x ) BÀI TẬP DẠNG 1 2 1. x x 8  1 3 2  4  x ĐS:  2  ;  3 2 2. x 5 x6 5 1   3. 2 5 x  125 ĐS: 3   2 x 3x 1   4   7  16 4.   0      7   4  49 2 5 x 6  x 5. 2 2 16 2 ĐS: 1;  7  1 6. 3 (3 2 2) x   3 2 2 ĐS:    3 7. x 1  x x 1 5 6.5 3.5     52 ĐS:   1 8. 2 x3 2 x3 5x 5 3 .5  3 .5 x x 1  x 9. x 1  x 1 5 25   10. x 1  2 x2 9 3 .2 12 x 11. x 1  x2 x 3  x x 1  x2 3
 3  3  9.5  5  5 ĐS:   0 12. x x 1 3 .2   72 ĐS:   2 13. x x 1  x2 2 .3 .5 12 ĐS:   2 14. x2 x5 3  9 15. 4x 4  x 1 3 81   ĐS: x 1 1 1  16. 2 2
2x ( x  4  x  2)  4 x  4  4x  8   2 17. 6x 4.3x 2x    4  0 ĐS: 0;  2 BÀI TẬP DẠNG 2 2 1. 2 x 2 x 2 3 (x 1)  (x 1) ĐS:  2;  3 2. x 3 (x 1)   1 ĐS:   3 3. x x 1  x2 x x 1  x2 2  2  2  3 3  3 ĐS: 2 x 3  x 1  4. x 1  x 3 ( 10 3) ( 10 3)     ĐS:  5 5. 8.3x 3.2x 24 6x    (ĐH QGHN-2000) ĐS:1;  3 2 2 6. x x x x 2 2  4.2
 2 x  4  0 (ĐH D-2006) ĐS:0;  1 BÀI TẬP DẠNG 3 1. 9x 4.3x   45  0 ĐS: 2 2. 2 2 x 2x   6  0 3. 9x 8.3x   7  0 2 2 4. 4x 6.2x   8  0 5. x x 1 8 6.2    2  0 ĐS: 0 6. x 1  1 5  5 x  26 ĐS: 1; -1 7. x 1 7
 7  x  6  0 ĐS: 1 2 2 k 8. sin x cos 9 9 x  10 ĐS: 2 9. x2 x2 4 16 10.2 ĐS: 3; 11 2 2 2 10. x 5x x 5 x2 4  2  4  (đặt t= 5 2 x x ) ĐS: 2 2 3x 3 
11. 8x  2 x 12  0 ĐS: 3; log 8 6 12. (7 4 3)x (2 3)x     2  0 ĐS: 0 13. (2 3)x (2 3)x    14 ĐS: 2 2 2 2 14. 15.25x 34.15x 15.9x    0 1 1 1 15. 6.9x 13.6x 6.4x    0 ĐS: 1; -1 16. 2 x 4 3.4 2.3 x 5.36x   ĐS: 0; 1/2 17. x x 3
(3  5) 16.(3  5)  2 x ĐS: log 4 3 5 ( ) 2 2 2 2 18. 2x 6x 9  x 3x 5  2 x 6 x 9 3 4.15 3.5    ĐS: 1; -4
Dạng 4: Phương pháp lôgarit hóa
Biến đổi phương trình đã cho về một trong các dạng sau:  f ( x) a
 b  f (x)  log b a  f ( x) g ( x) a  b
 f (x)  g(x)log b a  f ( x) g ( x) a .b
 c  f (x)  g(x)log b  log c a a
Chú ý: Phương pháp này thường áp dụng cho các phương trình chứa phép nhân, chia giữa các hàm số mũ.
VD. Giải các phương trình sau 2
1. 3x .2x  1 ĐS: 0;log 2 3 2 x 4 x2 2. 2  3 ĐS: 2;log 2  2 3 2 3. x 5  x6 x 3 5 2   ĐS: 3;2  log 2 5 x 1  4. 3 .
x 4 x 18 ĐS: 2;log 2 3 x 5.  2 2 8  36.3 x x  ĐS: 4; 2   log 2 3 7x 5x 6. 5  7 ĐS: log (log 7) 7 5 5 7. 3log x 5 5  25x ĐS: 5 1 4 3 log 5 8. .5 5 x x  ĐS: 4 ; 5 5 9. log9 2 9. x x  x ĐS: 9 x 1  10. 5 .
x 8 x  500 ĐS: 3;log 2 5
Dạng 5: Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Cách 1: (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất)
Đưa phương trình đã cho về dạng f (x)  g(x) (*)
 Bước 1: Chỉ ra x là một nghiệm của phương trình (*) 0
 Bước 2: Chứng minh f (x) là hàm đồng biến, g(x) là hàm nghịch biến hoặc f (x) là hàm
đồng biến, g(x) là hàm hằng hoặc f (x) là hàm nghịch biến, g(x) là hàm hằng. Từ đó suy ra tính duy nhất nghiệm
Cách 2: Đưa phương trình đã cho về dạng f (u)  f (v) , rồi chứng minh f là hàm số luôn đồng
biến (hoặc luôn nghịch biến trên D). Từ đó suy ra f (u)  f (v)  u  v .
Ví dụ 1: Giải phương trình 3x  x  4  0
Cách 1: 3x   4  0  3x x  x  4 (*)
 Ta thấy x 1 là một nghiệm của phương trình (*) x  
f (x)  3  x Đặt:  g(x)  4 Ta có: '( ) 3 . x f x  ln 3 1 >0 x  Suy ra ( )  3x f x
 x là hàm đồng biến trên R.
Mà g(x)  4 là hàm hằng
Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là x 1
Cách 2: 3x   4  0  3x x  x  4 (*)
Ta thấy x 1 là một nghiệm của phương trình (*) x 1   3  3  3
Nếu x 1, ta có  x  1
 3x  x  31  4 (vô lý) x 1   3  3  3
Nếu x  1, ta có  x  1
 3x  x  31 4 (vô lý).
Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là x 1 . x
Ví dụ 2: Giải phương trình x 2 2  3 1 x Ta có: x 2 2  3 1 2x ( 3)x   1 3 x 1 1 ( ) ( )x    (*) 2 2
 Ta thấy x  2 là một nghiệm của phương trình (*) x x   3   1   x x      f (x)         3 3  1   1  Đặt:  2  
 2  . Ta có f '(x)    .ln    ln  0 x   R          2 2      2   2  g(x) 1 3 x 1 Suyra ( ) ( ) ( )x f x  
là hàm nghịch biến trên R 2 2
Mà g(x)  1 là hàm hằng
Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là x  2
Giải các phương trình sau: 1. 3.8x 4.12x 18x 2.27x     0 ĐS: 1 2 2 2. x x 2 2
 2 xx  3 ĐS: -1; 2
3. ( 2 1)x ( 2 1)x     2 2  0 ĐS: 1; -1 x 4. x x 2 4.3  9.2  5.6 ĐS: 4 2 2 5. 2 x 1  x x 2 x2 2  9.2  2  0 ĐS: -1; 2 6. 25x 15x 2.9x   ĐS: 0 7. x x 3x 1 125 50 2    ĐS: 0 2 2 2 8. x 3  x2 x 6x 5  2x 3  x 7 4 4 4    1 ĐS: 1  ;2; 5  9. cos x cos ( 7 4 3 ) ( 7 4 3 ) x     4 ĐS: k x x 1 12 10. 3 2  6.2   1 ĐS: 1 3( x 1  ) 2 2x