Bài tập phương trình vi phân | Môn toán cao cấp

lOMoAR cPSD| 47207194
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1) Kiểm tra rằng y cosx(sinx 1) là nghiệm của bài toán y ytanx cos x2 giá trị ban đầu y(0) 1 trên khoảng 2 2, Lời giải: y
sinx(sinx 1) cos x2 y ytanx sinx(sinx 1) cos x2 sinx(sinx 1) cos x2
2) Giải các phương trình tách biến dy xex dx a. y 1 y2 Lời giải: dy xex 2 xe dxx y 1 y dy dx y 1 y2 y 1 y dy2 xe dxx C1 (1 y ) 12 y2 3(x 1)ex C du 2 2u t tu b. dt Lời giải: du du du 2 2u t tu (1 u)(2 t) (2 t)dt dt dt (1 u) 1 lOMoAR cPSD| 47207194 2ln 1 u 4t t2 C 3)
Tìm nghiệm của PTVP thoả mãn điều kiện ban đầu dy 2 0 1 y , y(1) a. dx ; Lời giải: dy 1y2 dy dx arctany x C
dx 1 y2 với y(1) 0 thì C 1 nghiệm của phương trình : arctany x 1 b. y ex y ex y,y(0) 1; Lời giải: e dx y ex y ex y e yy (e2y 1)ex e dy2yy1) x (e (ee dy2yy 1) x C arctaney ex C e dx y(0) 1 với
thì C arctane 1 nghiệm của phương trình : arctaney ex arctane 1 du 2t sec t2 , u(0) 5 c. dt 2u . Lời giải:
dudt 2t 2sec tu 2 2udu (2t sec t)dt2 2t cos t12 dt u2 C t2 tant u2 C
với u(0) 5 thì C 25 nghiệm của phương trình t2 tant u2 25 2 lOMoAR cPSD| 47207194 4)
Tìm phương trình đường cong thoả mãn y 4x y3 và cắt trục Oy tại 7. Lời giải: y 4x y3 dy y
4x dx3 y Cex4 ,từ giả thiết thì y(0) 7 nên C 7
Đó là đường cong có phương trình y 7ex4
5)Dung dịch glucose được truyền theo đường tĩnh mạch vào máu với vận tốc không
đổi r. Khi glucose được đưa vào, nó chuyển thành các chất khác và bị đẩy khỏi
máu với vận tốc tỷ lệ thuận với nồng độ tại thời điểm đó. Như vậy, mô hình biểu diễn dC
nồng độ C C(t)của dung dịch glucose trong máu là dt r kC, trong đó k là
hằng số dương.Giả sử nồng độ tại thời điểm t 0 là C0. Xác định nồng độ tại thời
điểm tuỳ ý bằng cách giải PTVP nói trên. r C0 lim C(t)
Giả sử rằng k , tìm giới hạn t và diễn giải đáp án của bạn. Lời giải: dCdt rkC dCdt kC rC(t) e kdt A r e kdtdt C(t) e kt A r e dt kt e kt rekkt r kt A k Ae r C(t) r C0 r Tại t k 0 A C0 k .Vậy k e kt r C0 lim C(t) a. Giả sử rằng k , tìm giới hạn t
và diễn giải đáp án của bạn. Lời giải: 3 lOMoAR cPSD| 47207194
Hiển nhiên tlim C(t) kr tlim C 0 kr e kt kr
Khi dung dịch glucose được truyền theo đường tĩnh mạch vào máu với vận tốc không
đổi,và thời gian truyền vô hạn thì nồng độ glucose của dung dịch glucose trong máu coi như không đổi.
6)Lượng cá bơn halibut Thái bình dương được mô hình hoá bởi PTVP dy y dt ky 1 K ,trong đó
y(t) là sinh khối (khối lượng tổng cộng của các cá thể trong quần thể) theo kilogram
tại thời điểm t (đo theo năm), dung lượng cực đại được ước lượng bởi K 8 107 kg và k 0,71 theo năm.
a. Nếu y(0) 2 107 kg, tìm sinh khối một năm sau.
b. Bao lâu nữa sinh khối đạt được 4 107 kg? Lời giải: dy y ky2 ky 1 k Từ dt K y ky K y y 2 ky 1 Kk y 1 ky 1 Kk z kz K z e kdt C K e k kdtdt e kt C eKkt ye kt C eKkt 1 với z y 1 Kekt 4 lOMoAR cPSD| 47207194 y KC ekt
y(0) 2 107 kg thì 2 107 8 8 1010 7C7 1 8 107C 1 4 C 3 10 8 7 Khi 8 10 7ekt y 3 ekt y 8 310 e70e,710,71 3,23 10 7
a) Sinh khối một năm sau được xác định: 8 107ktekt 7ekt 3 t 0ln3,71. 4 10
b) Ta cần tìm t sao cho 3 e ln3
Vậy sau t 0,71 1,547 năm sinh khối đạt được 4 107 kg.
7) Trong mô hình sinh trưởng theo mùa, một hàm tuần hoàn theo thời gian được
đề nghị để tính đến những biến đổi có tính mùa vụ liên quan đến vận tốc sinh
trưởng. Những biến đổi ấy có thể, chẳng hạn, gây ra do những thay đổi có tính
chất mùa vụ về nguồn thức ăn.Tìm nghiệm của mô hình sinh trưởng theo mùa dP
kPcos(rt ) P(0) P0 dt , trong đó k, r và φ là những hằng số dương. Lời giải: dP k k kPcos(rt ) lnP sin(rt ) C P(0) P0 lnP0 sin C dt r với r C ksin rlnP0 lnP k sin(rt ) ksin rlnP0 r r r 5 lOMoAR cPSD| 47207194 k PP kr sin(rt ) sin ln sin(rt ) sin P(t) P exp0 0 r
8) Giải PTVP thuần nhất hoặc bài toán ban đầu: a. (x2 3y )dx2 2xydy 0; Lời giải: 2 3y )dx2 2xydy 0 dy x2 3y2 x 3y (x dx 2xy 2y 2x khi xy 0 1 2udu dx Đặt y xu y u xu 2u 2xu 3u u u2 1 x u2 1 Cx y2 (1 Cx)x ;2 x,y y xy xtan y 0 y(1) b. x 2 ; Lời giải: y y y xy xtan y 0 y tan 0 x x x cosu dx C y xu y u xu u xu tanu u 0 du sinu Đặt sinu x x sin y C y(1) xsin y 1 ta có x x với
2 thì C 1 nghiệm của phương trình x y xsin y y c. x x ysin x ; Lời giải: 6 lOMoAR cPSD| 47207194 y xsin xy x ysin xy y sin xy 1 xysin xy Đặt y xu y u xu (u xu )sinu 1 usinu xu sinu 1 0 dxy
sinudu x cosu ln Cx Cx ecos x y y y sin y(1) d. x x 2 ; Lời giải: Đặt y xu y u xu u xu u sinu xu sinu du dx d tan u2 u sinu x ln Cx tan u ln tan 2 2 y u y ln Cx ln tan Cx tan y(1) x tan 2 2x với 2 thì C 1 2x e. (x y)ydx x dy2 0 Lời giải: y (x y)ydx x dy2 01 2 x với xy 0 ta có x y y y du dx C xu y u xu u xu u u2 ln x Đặt u2 x u 7 lOMoAR cPSD| 47207194
nghiệm của phương trình Cx yln x , ngoài ra x 0;y 0 thỏa mãn phương x 0; y 0 trình nên
là nghiệm kì dị của phương trình 9) Xét xem phải chăng
phương trình là tuyến tính: a. y yex x y2 5 Lời giải:
y yex x y25 y y 5 y 4ex x2 y 4 4y 4 ex 4x2 Từ u 4uex 4x2
Giả sử y (x)1 và y (x)2 là hai nghiệm của phương trình,tức là y1 y e1 x
x y2 15 y 2 y e2 x x y2 52 nhưng (ay1 by )2 (ay1 by )e2 x a y 1 y e x x 5 1 b y 2 y e2
x (ay2 1 by )2 đó không phải là phương trình vi
phân tuyến tính .Xong đó là phương trình Becnuli nên có thể đưa phương trình về
phương trình vi phân tuyến tính bằng cách đặt u y 4 . xy lnx x y2 0 b. Lời giải: Từ xy lnx x y2 0 y xy lnx
x đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một. c. x y4 y sinx Lời giải: 8 lOMoAR cPSD| 47207194
Từ x y4 y sinx y y4 sinxx4 đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một. x d. xy y x sinx2 Lời giải: Từ xy y y x sinx2 y xsinx x
đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một. 10) Giải các PTVP: a. y 2y 2ex ;
Lời giải: phương trình đã cho là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định 2dx C1 2 e ex 2dxdx C3 e22ex3x y e 3ye 2x C
2e3x là nghiệm phương trình b. xy y x ; Lời giải: y 1 xy y x y x x
đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định y e dxx C1 1x e dxx dx y 1x C1 x dx 3yx C
2x x là nghiệm phương trình. dy 2xy x2 9 lOMoAR cPSD| 47207194 c. dx ; Lời giải: dy 2xy x2 y 2xy x2 dx
đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên y e 2xdx C x e2 2xdxdx y e x2 C x e2x2 dx
nghiệm được xác định d. y 3x y2 6x2 ; Lời giải:
y 3x y2 6x2 đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,
nên nghiệm được xác định y e 3x dx2 C 6x e2 3x dx2 dx
y e x3 C 2 ex3dx3 y e x3 C 2ex3 y Ce x3 2 e. y xy y ln y ; Lời giải: dx dx x ln y y x ln y coi x x(y) dy dy y
y đó là phương trình vi phân tuyến
tính cấp một,nên nghiệm được xác định x e y C ln yy e dyy dy x y C ln yy2 dy x y C lnyd 1y dy 10 lOMoAR cPSD| 47207194 ln y 1 x y C y y 1 x ln y Cy 1 2 y y x f. x 1 ;
Lời giải: đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được
xác định y e x 1dx C1 x e2 x 1dx dx y x1 1 C1 x (x2 1)dx C 3x4 4x3 y 12(x 1) g. y ytanx sin x2 .
Lời giải: đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định tan xdx 2 tan xdxdx y cosx C 1 sin xcosx2 dx y e C1 sin xe 1 x y cosx C 1 cosxdx cosxdx y Ccosx 2sin2x cosxln tan 2 4
11) Giải bài toán giá trị ban đầu: 11 lOMoAR cPSD| 47207194 dv 2tv 3t e2 t2 v(0) 5 a. dt ;
Lời giải: đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định v e 2tdt C 3t e e2 t2 2tdtdt v et2 C 3t dt2 v et2 C t3 với v(0) 5 C 5 v et2 5 t3 b. xy y x sinx2 y( ) 0. Lời giải: xy y y x sinx2 y xsinx x
đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp
một,nên nghiệm được xác định dx y e x C xsinxe dxx dx y x C sinxdx y x(C cosx) với y( ) 0 C 1 y x(1 cosx)
12) Những nhà tâm lý quan tâm đến lý luận học tập khảo sát đường cong học.
Đường cong học là đồ thị của hàm số P(t), hiệu quả của một ai đó học một kỹ năng dP 12 lOMoAR cPSD| 47207194
được coi là hàm của thời gian huấn luyện t. Đạo hàm dt thể hiện vận tốc mà tại đó
hiệu suất học được nâng lên. dP a.
Bạn nghĩ P tăng lên nhanh nhất khi nào? Điều gì xảy ra với dt khi t tăng lên? Giải thích. Lời giải:
P tăng lên nhanh nhất khi thời gian huấn luyện ít nhất dP
Khi t tăng, tức là thời gian huấn luyện tăng lên dẫn đến dt giảm đi b.
Nếu M là mức cực đại của hiệu quả mà người học có khả năng đạt được,giải dP k(M P) thích tại sao PTVP dt
, k là hằng số dương là mô hình hợp lý cho việc học. Lời giải: dP 0 Khi P M max thì dt c.
Giải PTVP để tìm ra một biểu thức của P(t).Dùng lời giải của bạn để vẽ đồ thị
đường cong học.Giới hạn của biểu thức này là gì? Lời giải:
dP k(M P) dP kP kM P e kt C kM e dt kt P M Ce kt Từ dt dt
Từ giả thiết của bài toán ta có P(0) 0 C M P M Me kt lim P lim(M Ce kt ) M t t
13) Giải PTVP Bernoulli: 2 y3 y x y x2 ; 13 lOMoAR cPSD| 47207194 a. Lời giải: x2 y3 3 2 y 2 12 z y 2 z 4xz x22 y y 2 y y x x ,đặt x
đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định z e x C1 x22 e 4xdxdx z x4 C1 x26 dx z x4 C1 5x25 4dx 5x (Cx5 2)y2 b. xy y xy2 ; Lời giải: z
đặt z y 1 ta được z x 1 đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một, nên
nghiệm được xác định z e dx dxx dx z x C dxx z x C ln x 1 xy C ln x x C e c. (2xy2 y)dx xdy 0 ; Lời giải: (2xy2 y)dx xdy 0 y y 2y2 x z 14 lOMoAR cPSD| 47207194 1 z 2 đặt z y ta được x
đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,
nên nghiệm được xác định dx z e x C1 e dxx dx z 1x C1 xdx z 1x C1 x22 x y(C x )2 d. 2xyy y2 x 0 ; Lời giải: 2xyy y2 x 0 y2 x y2 0 z y2 z xz 1 đó là phương đặt
trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định dx z e x C e dxx dx z x C dxx z x C ln x y2 x C ln x 2x e. y x cosy2 4sin2y ; Lời giải: dx x cosy2 4sin2y 2 x cosy2 4sin2y x coi x x(y) dy 2x 15 lOMoAR cPSD| 47207194
đặt z x2 z zcosy 4sin2y đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một, nên
nghiệm được xác định z e cos ydy
C 4sin2ye cos ydydy z esin y C 8 sinye sin yd( sin y) z esin y C 8(1 sin y)e sin y z Cesin y 8(1 sin y) x2 Cesin y 8(1 sin y) f. xy y y lnx2 ; Lời giải: xy y y lnx 2 y y 2 yx 1 lnxx đặt z y 1 z xz lnxx đó là
phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định dx z e x C lnxx e dxx dx z x C lnxx2 dx z x C lnxx x1 y Cx lnx 1 1 g. xy 2xy lnx2 y 0 . Lời giải: xy 2xy lnx2 y 0 y xy 2 y 1 yx 1 2lnx đặt z y 1 2y lnx 16 lOMoAR cPSD| 47207194 z z 2lnx x
đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định z e dxx C 2lnxe dxx dx z x C 2 lnxx dx z x C 2 lnxd(lnx) 1 y z x C ln x2 x C ln x2
14) Một vật khối lượng m rơi xuống từ trạng thái nghỉ và chúng ta giả sử rằng sức
cản không khí tỷ lệ thuận với vận tốc của vật. Nếu S(t) là khoảng cách rơi được sau t
giây thì vận tốc là v S (t)
và gia tốc là a v (t) . Nếu g là gia tốc trọng
trường thì lực hướng xuống dưới tác động lên vật là mg cv , trong đó c là hằng số dương, Định dv m mg cv
luật Newton thứ hai dần đến dt . v mg 1 e ctm c a.
Giải PT này khi coi nó là PT tuyến tính để chỉ ra rằng . Lời giải: 17 lOMoAR cPSD| 47207194 m dvdt mg cv dvdt mc v g v e m c dt A g e mc dtdt v e ctm A mg c emct v e m ct A mg emct mg
Khi vật không rơi tức v(0) 0,từ c ta có A c v mg 1 e ctm c
b. Vận tốc giới hạn là bao nhiêu? Lời giải: lim v mg lim 1 e mct mg t c t c
c. Tính quãng đường vật rơi được sau t giây. Lời giải: S(t) mgc 1 e mct dt mgc t mc e mct A từ S(0) 0 A m gc22 S(t) mg t m e mct m g22 c c c 18 lOMoAR cPSD| 47207194
15) Tìm các quỹ đạo trực giao của họ các đường cong y (x k) 1. Vẽ một vài
đường của mỗi họ trên cùng một hệ trục. Lời giải:
Quỹ đạo trực giao của họ các đường cong y (x k) 1là quỹ tích của tọa độ khúc tâm
của chính đường cong đó,và tọa độ đó được xác định (1 y 2)y 1 y 2 X x ;Y y y y y Từ y (x k) 1 y2 (x 1k)2 ;y 2y3 (x 2k)3 y (1 y 2) y (12 y )4 1 1 y4 3 y4 X x y x 3 X k y 2y X k 2y ; 2y 1 y4 1 3y4 3 (3 y )4 4 3(X k) 4 Y y 2y3 2y3 y2 2y y3 y2 y3
Y 3(Xy 2 k) y43 và X k 3 2yy4
16) Giải các PTVP toàn phần: (x y )dx2 2xydy 2 0 a. x ; Lời giải: 19 lOMoAR cPSD| 47207194 (x y )dx2 2xydy 2 0 Nhận thấy x là PTVP toàn phần vì x y2 2xy 2y x2 y x2 x x2 (x y )dx2 2xydy nên AB x2
không phụ thuộc đường lấy tích phân
Do vậy ta chọn A(1,0) ; B(x,y),khi đó nghiệm của phương trình được xác định (x y )dx2 2xydy x dx y 2ydy C y2 x2 x x ln x C AB 1 0 x b. (2x y 1)dx (2y x 1)dy 0; Lời giải:
Nhận thấy (2x y 1)dx (2y x 1)dy 0 là PTVP toàn phần vì (2x y 1) y (2y x 1) x 1 (2x y 1)dx (2y x 1)dy nên AB
không phụ thuộc đường lấy tích phân
Do vậy ta chọn A(0,0) ; B(x,y),khi đó nghiệm của phương trình được xác định x y (2x y 1)dx (2y x 1)dy (2x 1)dx (2y x 1)dy C AB 0 0 x2 x y2 xy y C 20